Grupurile Finite

Cuprins

CAPITOLUL I: ELEMENTE DE TEORIA GRUPURILOR

1. Operații algebrice

2. Grupuri. Morfisme de grupuri

3. Subgrupuri

4. Relații de echivalență pe un grup

în raport cu un supgrup al său

5. Grup factor. Teorema fundamentală

de izomorfism pentru grupuri

CAPITOLUL II: GRUPURI FINITE

1. Ordinul unui element intr-un grup. Grupuri ciclice

2. Teorema lui Lagrange. Aplicații

3. Grupuri de permutări

4. Grupul diedral Dn

5. Grupul cuaternionilor Q

6. Grupul Zn

CAPITOLUL III: GRUPURI FINITE DE ORDIN MAI MIC SAU EGAL CU 11

1. Enumerarea tipurilor de grupuri de ordin mai mic sau egal cu 11

2. Produse semidirecte

CAPITOLUL IV: APLICAȚII ALE GRUPURILOR FINITE

1. Grupul de simetrie ale unei figuri finite

2. Acțiunea unui grup pe o mulțime

3. Metoda de enumerare Pólya – Burnside

CAPITOLUL V: PROBLEME REZOLVATE

BIBLIOGRAFIE

C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu: Bazele algebrei, vol. I, Editura Academiei, Bcurești, 1986

C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu: Aritmetică și algebră, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1993

Ion D. Ion, N. Radu: Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

M. Becheanu, C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea , I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu: Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Ion D. Ion, C. Năstăsescu, C. Niță: Complemente de algebră, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1984

D. Popescu, C. Vraciu: Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Științifică și Enciclopedică, București 1986

C. Năstăsescu, G. Andrei, M. Țena, I. Otărășanu: Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, Bcurești, 1988

C. Niță, T. Spircu: Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, București, 1974

Ion D. Ion, C. Niță, N. Radu, D. Popescu: Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

C. Năstăsescu, C. Niță, M. Brandiburu, D. Joița: Exerciții și probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Ion D. Ion, A. P. Ghioca, N. I. Nediță: Algebră, manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995

Colecția „Gazeta Matematică”.

CAPITOLUL I. ELEMENTE DE TEORIA GRUPURILOR

§1. Operații algebrice

1.1.1. DEFINIȚIE: Fiind dată o mulțime nevidă M, se numește operație algebrică internă sau lege de compoziție internă, definita pe M, orice funcție *: M x M M, (x, y) x*y.

1.1.2. EXEMPLE:

Adunarea și înmulțirea în mulțimea a numerelor naturale, în mulțimea , a numerelor întregi, în mulțimea Q a numerelor raționale, în mulțimea R a numerelor reale și în mulțimea C a numerelor complexe.

Fie M o mulțime și F (M) mulțimea tuturor funcțiilor f: MM. Asociind fiecărei perechi ordonate (f, g) de funcții din F (M) funcția fog F (M) se obține o lege de compoziție : F (M)x F (M) F (M)

(f, g) (f, g)=fog numită operația de compunere a funcțiilor

Dacă M este o mulțime nevidă, iar P(M)= {x/xM} este mulțimea părților lui M, atunci reuniunea (X,Y)XY, x, y P (M) și intersecția (X,Y)XY, X, Y P(M) sunt operații algebrice pe M.

Pe Z, scăderea este operația algebrică: s: Z x Z Z, s (x, y) = x + (-y)=x-y. La fel scăderea este operație algebrică si pe mulțimile Q, R, C. Pe mulțimea numerelor naturale scăderea nu este operație algebrică deoarece rezultatul acesteia nu este totdeauna un număr natural.

Fie n1 un număr natural. Pe mulțimea Zn={} a claselor de resturi modulo „n” definim următoarele operații algebrice:

(numită adunare)

(numită înmulțire). Să arătăm că adunarea este o operație algebrică pe Zn adică nu depinde de alegerea reprezentanților. Într-adevăr, fie 1 și 1. Atunci aa1 (mod n) și bb1 (mod n), adică n/a-a1 și n/b-b1 de unde n/((a+b)-(a1+b1)), adică a+ba1+b1(mod n) și deci 1+1. La fel se arată că dacă 1 și 1 atunci =și deci operația de înmulțire este bine definită.

1.1.3. Dăm câteva proprietăți ale operațiilor algebrice cu ajutorul cărora se definesc structurile de bază ale algebrei.

ASOCIATIVITATEA

O lege de compoziție M x M M, (x,z) x*y se numește asociativă dacă:

(x*y)*z=x*(y*z), x,y,z M.

În scrierea aditivă, condiția de asociativitate se va scrie:

(x+y)+z=x+(y+z), x,y,z M.

În scrierea multiplicativă, condiția de asociativitate se va scrie:

(xy)z=x(yz), x,y,z M.

Dacă * nu este asociativă atunci se spune că * este o operație algebrică neasociativă.

EXEMPLE:

Operațiile algebrice de adunare și înmulțire pe mulțimile N, Z, Q, R, C sunt asociative. Operația algebrică de compunere a funcțiilor pe F (M) dată in exemplul 2 este asociativă de asemenea reuniunea și intersecția pe P (M) sunt operații algebrice asociative.

Adunarea si înmulțirea pe Zn sunt operații algebrice asociative (ex. 5).

Într-adevăr, dacă a, b, c Zn, atunci

+(+ ) = + = = = = +

() = = = = =

Scăderea numerelor nu este asociativă; de exemplu 3-(2-4) (3-2)-4.

COMUTATIVITATEA

O lege de compoziție M x MM, (x, y) x*y se numește comutativă dacă x*y=y*x, x, yM.

Dacă * nu este comutativă, atunci se spune că * este o operație algebrică necomutativă

Operațiile algebrice de adunare și înmulțire pe mulțimile N, Z, Q, R, C sunt comutative, scăderea numerelor este necomutativă (5-22-5). Operația algebrică de compunere pe F (M) nu este comutativă decât dacă M are un singur element. Reuniunea și intersecția pe P (M) sunt operații algebrice comutative. Adunarea și înmulțirea pe Zn sunt operații algebrice comutative.

ELEMENT NEUTRU

Un element e M se numește element neutru pentru o lege de compoziție
M x MM, (x, y) x*y, dacă e*x=x*e, xM.

Să presupunem că e și e’ sunt elemente neutre pentru aceeași operație algebrică. Atunci avem e=e*e’=e’, deci element neutru dacă există, atunci el este unic determinat.

Dacă folosim scrierea aditivă, elementul neutru se numește element nul sau element zero sau chiar zero și se notează de obicei cu 0 (zero). Cu această notație condiția elementului zero devine: x+0=0+x=x xM.

În scrierea multiplicativă, elementul neutru se numește și element unitate și se notează, de obicei, cu e sau chiar cu 1. Cu această notație condiția elementului unitate devine: x*e=e*x=x, xM, respectiv x*1=1*x=x xM.

EXEMPLE:

Pentru operații de adunare în ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, numărul 0 este element neutru iar pentru operația de înmulțire a numerelor, numărul 1 este element neutru.

Pentru operația de compunere a funcțiilor, definită pe F (M) funcția 1M este element neutru.

Pentru operația de reuniune (respectiv intersecție) pe mulțimea P (M) a părților unei mulțimi M, mulțime vidă Ø (respectiv mulțimea totală M) este element neutru.

Pentru adunarea pe mulțimea Zn elementul neutru este , iar pentru înmulțire elementul neutru este .

Dacă considerăm mulțimea 2Z={2n/nZ} a numerelor întregi pare, înmulțirea numerelor întregi este o operație algebrică internă care nu are element neutru.

ELEMENTE SIMETRIZABILE

Un element se numește simetrizabil în raport cu legea de compoziție (asociativă cu element neutru) MxM M, (x, y) x*y, dacă există, astfel încât x*x’=x’*x =e .

Observăm că dacă x’’M satisface aceleași condiții x’’*x=x*x’’=e, atunci x’=x’’.

Într-adevăr, x’=x’*e=x’*(x*x’’)=(x’*x)*x’’=e*x’’=x’’

Dacă xM este simetrizabil, atunci unicul element x’M, cu proprietatea că x’*x=x*x’=e se numește simetricul lui x (în raport cu operația *).

În notația multiplicativă simetricul lui x, în caz că există, se notează cu x-1 și se numește inversul lui x; în notația aditivă se notează cu –x și se numește opusul lui x. Așadar x-1x=xx-1=1 și (-x)+x=x+(-x)=0.

Observație: dacă M≠Ø este o mulțime, iar *: M x M M, (x,y) x*y este o operație algebrica pe M, care admite element neutru pe e atunci e este simetrizabil, simetricul său fiind e. Într-adevăr e*e=e.

EXEMPLE

În mulțimea ℕ a numerelor naturale, numai 0 (elementul neutru) are un opus fața de operația de adunare și numai l are invers fată de operația de înmulțire.

În mulțimea ℤ a numerelor întregi, față de adunare orice element are un opus, iar față de înmulțire l si -l au invers.

În ℚ, ℝ, ℂ, față de adunare orice element are un opus, iar față de înmulțire orice element nenul are un invers.

În mulțimea F (M) cu operația de compunere a funcțiilor inversabile sunt funcțiile bijective.

În mulțimea P (M) față de reuniune numai mulțimea Ø are un simetric, iar față de intersecție, numai mulțimea totală M are un simetric.

În mulțimea Zn={, , …, } cu operația algebrică de adunare, Zn are un opus anume Zn. Dacă considerăm Zn cu operația algebrică de înmulțire, avem că Zn , dacă și numai dacă a este prim cu n ( (a,n)=1). Într-adevăr, dacă este inversabil, atunci există Zn astfel încât = sau = și deci n/ab –1. Atunci există k Z astfel încât ab-1=kn sau ab+n(-k)=1 și deci (a,b)=1. Reciproc, dacă a, n =1 atunci există u, v Z astfel încât au+nv =1 de unde =1 sau =1. Dar = și deci =, adică a este inversabil în Zn.

1.1.4. DEFINIȚIE:

O mulțime nevidă M înzestrată cu o operație algebrică asociativă și cu element neutru se numește monoid. Dacă în plus operația algebrică este comutativă, monoidul se numește comutativ.

1.1.5. EXEMPLE:

Mulțimea ℕ a numerelor naturale față de adunarea obișnuită formează un monoid comutativ. De asemenea ℕ cu înmulțirea obișnuită este monoid comutativ. Mulțimile ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, față de adunarea obișnuită, cât și separat, față de înmulțirea obișnuită formează monoizi comutativi. Mulțimea F(M) a funcțiilor definite pe M cu valori în M, cu operația de compunere, formează un monoid, în general, necomutativ. Mulțimea P (M) a părților unei mulțimi M cu operația de reuniune, ca și cu cea de intersecție, formează monoid comutativ. Mulțimea Zn a claselor de resturi modulo n cu operația de adunare cât și separat cu operația de înmulțire este monoid comutativ.

1.1.6. Fie ( M,·) un monoid multiplicativ și x M fixat. Notăm cu x0=e și xn=x·x···x, () nℕ*.

Elementul xnM și se numește puterea a n-a elementului x.

Dacă în plus, xU(M), adică x este inversabil în monoidul M, notăm cu
x-n=(xn)-1, () nℕ*, adică definim x-n ca fiind inversul lui xn (invers care există deoarece dacă x este inversabil, atunci și xn este inversabil).

1.1.7. PROPOZIȚIE:

Fie M un monoid, n un număr natural și x1, x2,…, xn M. Dacă x1, x2,…, xn sunt elemente inversabile atunci x1, x2,…, xn este inversabil și (x1, x2,…, xn)-1= x1-1, x2-1,…, xn-1.

DEMONSTRAȚIE: Pentru n=1 afirmația este evidentă.

Pentru n=2 avem: (x1x2) (x2-1×1-1) =x1x2 x2-1×1-1= x1e x1-1= x1x1-1e și
(x2-1×1-1) (x1x2)= x2-1 x1-1 x1x2= x2-1e x2= x2-1 x2=e

Deci x1x2 este inversabil și (x1x2) -1= x2-1×1-1

Presupunând că enunțul este adevărat și pentru n-1 elemente avem x1x2…xn=(x1x2…xn-1) xn deci x1x2…xn este inversabil fiind produsul a două elemente inversabile și (x1x2…xn) -1 = [(x1x2…xn-1) xn] -1 = xn-1 (x1x2…xn-1) -1= xn –1(xn-1 -1… x2-1 x1-1) = xn-1… x2-1 x1-1

1.1.8 PROPOZIȚIE: Fie ( M,·) un monoid și xM. Atunci:

9) xn ·xm = xn+m, n, mℕ

10) (xn)m =xnm n, mℕ.

Dacă în plus xU(M) (x este inversabil) egalitățile precedente au loc pentru orice n, mℤ.

DEMONSTRAȚIE: 1) xn ·xm=(x · x · · · x) (x · x · · · x) = x · x · x · · · x = xn+m

De n ori De m ori De m+n ori

2) (xn)m =(xn · xn · · · xn)= x · x · x · · · x

De m ori De m·n ori

Dacă în plus, x este inversabil, egalitățile din enunț trebuie dovedite în fiecare din cazurile: n<0, m<0; n≥0, m<0; n<0, m≥0.

Dăm în continuare demonstrația lui 2) în cazul n≥0, m<0 (toate celelalte cazuri se probează analog). Cum m<0, putem scrie m=-m` cu m`>0. Atunci

(xn)m= (xn)-m`=[(xn)-m`]-1=(xnm`)-1=x-nm`= xnm.

§1. GRUPURI. MORFISME DE GRUPURI

1.2.1 DEFINIȚIE:

Un cuplu (G,*) format cu o mulțime nevidă G și o lege de compoziție
:G x GG, (x, y) x*y

se numește grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

(G1) Operația * este asociativă;

(G2) Operația * are element neutru;

(G3) Orice element din G este simetrizabil față de operația *. Dacă în plus este satisfăcută și axioma:

(G4) Opertația * este comutativă, atunci cuplul (G, *) sem+n ori

2) (xn)m =(xn · xn · · · xn)= x · x · x · · · x

De m ori De m·n ori

Dacă în plus, x este inversabil, egalitățile din enunț trebuie dovedite în fiecare din cazurile: n<0, m<0; n≥0, m<0; n<0, m≥0.

Dăm în continuare demonstrația lui 2) în cazul n≥0, m<0 (toate celelalte cazuri se probează analog). Cum m<0, putem scrie m=-m` cu m`>0. Atunci

(xn)m= (xn)-m`=[(xn)-m`]-1=(xnm`)-1=x-nm`= xnm.

§1. GRUPURI. MORFISME DE GRUPURI

1.2.1 DEFINIȚIE:

Un cuplu (G,*) format cu o mulțime nevidă G și o lege de compoziție
:G x GG, (x, y) x*y

se numește grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

(G1) Operația * este asociativă;

(G2) Operația * are element neutru;

(G3) Orice element din G este simetrizabil față de operația *. Dacă în plus este satisfăcută și axioma:

(G4) Opertația * este comutativă, atunci cuplul (G, *) se numește grup comutativ (abelian).

Așadar un grup este un monoid în care orice element este simetrizabil, adică în care U(G)=G. Reciproc nu este adevărat, mai precis nu orice monoid este grup. De exemplu, (ℤ,*) este un monoid dar nu este grup, căci U(ℤ)={-1,1} ≠ℤ.

1.2.2. PROPOZIȚIE:

Într-un grup sunt adevărate regulile de simplificare la stânga și la dreapta

x * y = x * z => y = z;

y * x = z * x => y = z.

DEMONSTRAȚIE: Presupunem că x*y = x*z pentru orice x, y, z din G. Fie x’ simetricul lui x, iar e, elementul neutru din G; atunci: y=e*y=(x’*x)*y= x’*(x*y)= x’*(x*z) =(x* x’)z=e*z=z.

Analog pentru simplificarea la dreapta.

1.2.3. PROPOZIȚIE:

Oricare ar fi a, b dintr-un grup G, ecuațiile a*x=b și y*a=b au soluții unice și anume x=a’*b și y=b*a’.

DEMONSTRAȚIE: Dacă x1 și x2 sunt soluții din G ale ecuației a*x=b atunci a* x1=b=a* x2 deci a* x1=a* x2 și folosind regula de simplificare la stânga, avem x1=x2. Așadar, ecuația a*x=b are cel mult o soluție in G. Fie x=a’*b unde a’ este simetricul lui a. Avem a*x=a*(a’*b)=(a*a’)*b=e*b=b de unde rezultă ca x=a’*b este soluție (din G) a ecuației a*x=b admite soluția uinică y=b*a.

1.2.4. PROPOZIȚIE: Fie (M,∙) un monoid. Mulțimea U(M) a elementelor inversabile ale monoidului M este un grup relativ la operația monoidului numit grupul elementelor inversabile (grupul unităților) din monoidul M.

DEMONSTRAȚIE: Dacă x,y U(M) atunci x ∙ y U(M) căci inversul elementului x ∙ y este (x ∙ y)-1=y-1x-1. Așadar ’’∙’’ este operație algebrică pe mulțimea U(M). Operația ’’∙’’ este asociativă pe mulțimea U(M) întrucât este asociativă pe M. Elementul neutru e M fiind inversabil înseamna că e U(M) și astfel e este elementul neutru și pentru operația indusă pe U(M). Orice element xU(M) are un invers x-1M dar atunci și x-1 este inversabil, deci x-1 U(M). Remarcăm că dacă M este monoid comutativ, atunci grupul U(M) este comutativ.

1.2.5. EXEMPLE DE GRUPURI

(ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+), (ℚ*, ∙ ), (ℝ*, ∙ ), (ℂ*, ∙ ) grupuri abeliene;

(ℤn,+) grup abelian;

Un={zℂ/zn=1}, n ≥1 număr natural fixat. (Un,∙) este grup abelian.

Alte exemple sunt furnizate de propoziția 1.1.4. Pentru monoizii (ℕ, ∙ ), (ℤ, ∙ ), (ℚ, ∙ ), (ℝ, ∙ ), (ℂ, ∙ ) grupurile elementelor inversabile sunt respectiv (U1, ∙ ), (U2, ∙ ), (ℚ*, ∙ ), (ℂ*, ∙ ). Pentru monoidul (F (A), o) grupul elementelor inversabile este (S(A),o) unde o desemnează compunerea funcțiilor. Acest grup este necomutativ dacă A conține cel putin 3 elemente.

În particular, dacă A={1,2,…,n} acest grup este (Sn,o) al permutărilor de grad n. Acest grup este necomunicativ pentru n≥3.

1.2.6. DEFINIȚIE:

Fie G și G´ două grupuri. Se numește morfism de grupuri de la G la G´ o funcție f:GG´ astfel încât f(x∙y)=f(x) ∙ f(y), x,yG. Un Morfism de grupuri de la un grup la el însuși se numește endorfism al acestui grup.

1.2.7. EXEMPLE:

Dacă G și G´ sunt două grupuri arbitrare, funcția Φ:GG´, Φ(x)=e´ (e´ este element neutru a lui G´) este evident un morfism de rupuri numi morfismul nul.
Într-adevăr, Φ(x∙y)=e´=e´∙e´= Φ(x) ∙ Φ(y). Fie nℤ și funcția φ: ℤℤ φ (x)=nx. φ este un endomorfism al grupului aditiv al numerelor întregi.

φ n (x+y)=n(x+y)=nx+ny= φ n (x)+ φ n(y)

1.2.8. PROPOZIȚIE:

Fie f:GG un morfism de grupuri. Atunci:

f(e)=e´, e = element neutru al lui G și e´=element neutru al lui G´;

f(x-1)=(f(x))-1, pentru orice xG

DEMONSTRAȚIE:

Avem: e´∙f(e)=f(e)=f(e∙e)=f(e) ∙f(e). Simplificând cu f(e) obținem: e´=f(e)

Pentru xG avem: e´=f(e)=f(x∙x -1)=f(x) ∙f(x -1)

e´=f(e)=f(x -1∙x)=f(x -1) ∙f(x) deci

e´=f(x) ∙f(x -1)=f(x -1) ∙f(x) de unde (f(x))-1=f(x -1).

1.2.9.PROPOZIȚIE:

Fie f:GG´ și g:G´G´´ doua morfisme de grupuri. Atunci compunerea
gof: G´G este un morfism de grupuri.

DEMONSTRAȚIE:

Pentru orice doua elemente x, y G avem:

(gof)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(gof)(x)(gof)(y).

1.1.10. PROPOZIȚIE:

Fie f:GG´, un morfism de grupuri bijectiv. Atunci aplicația inversa f1:G´G este un morfism de grupuri.

DEMONSTRAȚIE:

Pentru element x´ G´ avem x´=f(f1(x´)) și deci pentru x´,y´ G avem:

x´y´= f(f1(x´)) f(f1(y´))= f(f1(x´) f(f1(y´)) și f1(x´y´)= f1(x´) f1(y´)

1.1.11 DEFINIȚIE:

Un morfism de grupuri f:gG´ se numește izomorfism daca există un morfism de grupuri g:G´G astfel încât fog=1G´ si gof=1G. În această situașie f este bijectivă și reciproc, dacă morfismul de grupuri f:GG´ este aplicație bijectivă, aplicația inversă f1:GG este tot un morfism de gruprui si fof1=1G´ și f1of=1G astfel încât f este izomorfism. Un izomorfism de la un grup la el însuși se numește automorfism al acelui grup. Dacă între cele două grupuri există cel putin un izomorfism spunem că ele sunt izomorfe și scriem G≅G´. Relația de izomorfism ≅ este o relație echivalentă pe clasa tuturor grupurilor. Într-adevăr, pentru orice grup G avem G≅G deoarece aplicația identică este aparent un izomorfism. Daca G≅G´ atunci G´≅G si G´≅G´´ atunci propoziția 1.1.9. ne arată ca G≅G´´. Clasa de echivalență a unui grup modulo relația de izomorfism se numește tipul grupului G. În teoria grupurilor nu se face distincție între doua grupuri izomorfe.

1.1.12. DEFINIȚIE:

Fie G1, G2, …, Gn grupuri și G= G1xG2x…xGn produsul lor cartezian. Introducem pe G legea (x1, x2,…,xn) (y1, y2,…,yn)= (x1y1, x2y2,…, xnyn) pentru
x1y1G1, x2y2G2,… xnynGn. Atunci grupul (G, ∙ ) se numește produs direct al grupurilor G1, G2, Gn.

1.2.13. APLICAȚIE:

Fie ca grupurile aditive ale claselor Zn și Zm de resturi modulo n, respectiv m. Să consideram produsul direct al acestor grupuri ZnxZm unde (,)+(´,´)=(´, ´) oricare ar fi (,), (´,´)Zn și Zm.

Se arată și că, dacă (m,n)=1, grupul (ZnxZm,+) ≅(Znm,+).

Definim φ:Znm ZnxZm prin φ()=(,).φ este bine definită căci daca = adică (mod mn), atunci mn/x-y deci m/x-y și n/x-z adică (mod n) adică =și și deci (,)=(,) adică φ ()=φ ().

φ este un morfism de grupuri deoarece, dacă φ(+)=φ ()=(, )= (,)+(,)=φ ()φ().

Φ este injectiv deoarece, dacă φ ()=φ() atunci (,) = (,) adică = și = deci m/x-y și n/x-y dar (m,n)=1, așadar mn/x-y și =.

Deoarece φ este injectiv și Znm și ZmxZn au același număr de elemente, φ este surjectivă, deci bijectivă.

Generalizare: Dacă n1, n2,…,nk sunt numere naturale astfel încât pentru i≠j ni este prim cu nj atunci se poate stabili un izomorfism Zn1xZn2x…xZnk Zn1n2…nk.

§3. SUBGRUPURI

1.3.1. definiție:

Fie G un grup. O submulțime nevidă H a lui G se numește subgrup al lui G dacă:
1) Oricare ar fi x, y din H => x∙yH;

2) Oricare ar fi xH => x´H unde x´ este simetricul lui x în raport cu operația din G.

1.3.2. TEOREMĂ:

Fie G un grup, e elementul său neutru și H un subgrup al lui G. Atunci:

1) eH;

2) H este grup în raport cu operația indusă pe H de către operația din G.

DEMONSTRAȚIE:

1) Dacă H este nevidă atunci există xH. Conform definiției subgrupului x´H și xx´=e este în H=>eH.

2) H este parte stabilită în raport cu legea ´´∙´´. Dacă notăm tot multiplicativ operația indusă pe H de către operația lui G, atunci ea este operație asociativă, admite element neutru pe eH, iar dacă xH atunci simetricul x´G este și în H, deci este simetricul lui x în raport cu operația indusă.

1.3.3. TEOREMĂ:

Fie G un grup și H o submulțime nevidă a lui G. Atunci afirmațiile următoare sunt echivalente:

1) H este sungrup al lui G;

2) () x,yH atunci xy-1H.

DEMONSTRAȚIE:

1=>2 Fie x,yH. Cum H este subgrup, atunci y-1 H și deci xy-1H.

2=>1 Dacă xH, atunci xx-1= eH și x-1=ex-1H. Dacă yH avem y-1H și xy=x(y-1)-1H.

1.3.4. OBSERVAȚII:

1)Dacă G este un grup abelian orice subgrup al său este abelian.

2)Dacă G este un grup atunci G însuși este un subgrup al său numit subgrupul total al lui G. De asemenea submulțimea {e} a lui G este subgrup numit subgrupul nul al lui G. Subgrupul total și subgrupul nul ale lui G se numesc subgrupuri ale lui G. Orice subgrup diferit de acestea se numește subgrup propriu al lui G.

3) Fie Z grupul aditiv al numerelor întregi, iar nZ un număr întreg oarecare. Submulțimea n Z = {nk/kZ} a lui Z este un subgrup al lui Z. Într-adevăr, dacă x,yZ, x=nh și y=nk, cu h,kZ atunci x-y=n(h-k) Z și deci n Z este subgrup al lui Z. Mai mult, propoziția următoare ne arată că orice subgrup al lui Z este de acest tip.

1.3.5. PROPOZIȚIE:

Dacă H este un sungrup oarecare al grupului aditiv Z, atunci există nZ, n≥0, astfel încât H=n Z.

DEMONSTRAȚIE:

Fie HZ un subgrup oarecare al grupului aditiv Z. Daca H={0} adică H este subgrupul nul, atunci H=0 Z. Dacă H≠{0}, există xH, x≠0; dar -x≠0. Rezultă că H conține numere întregi pozitive. Fie n cel mai mic număr întreg pozitiv din H.

Demonstrăm că H=n Z.

Avem 0H, nH, 2n=n+nH și în general kn=n+H oricare ar fi kN.

De asemenea, knH oricare k negativ deoarece kn=(-k)(-n)=(-n)+ .

Așadar n Z H.

Fie acum xH un element oarecare. Conform teoremei împărțirii cu rest, pentru numere întregi se poate scrie x=nQ+r, 0≤r<n.

Deoarece xH și nqH rezultă că r=x-nqH. Cum 0≤r<n, iar n este cel mai mic număr natural nenul din H rezultă că r=0 deci x=nqnZ. Am demonstrat HnZ de unde H=nZ.

1.3.6. PROPOZIȚIE:

Fie G un grup și {Hi}iI este o familie de subgrupuri ale lui G. Atunci Hi este un subgrup al lui G.

DEMONSTRAȚIE:

Fie x,yHi. Atunci x,yHi iI și cum fiecare Hi este subgrup rezultă că
xy -1Hi oricare ar fi iI, Deci xy -1Hi.

1.3.7. DEFINIȚIE:

Fie G un grup și E o submulțime a sa. Intersecția tuturor subgrupurilor care conțin mulțimea E se numește subgrup generat de E în G și se notează cu <E>. Deci <E>= (H subgrup).

Dacă H=<E>, se spune că E este un siste, de generatori pentru H, sau că E generează pe H.

1.3.8. DEFINIȚIE:

Un subgrup H al lui G,, care admite un sistem de generatori finit se spune că este un subgrup finit generat sau de tip finit. Forma elementelor subgrupului generat de o submultime nevidă E în G este dată de urmatoarea teoremă:

1.3.9. TEOREMĂ:

Fie E≠0, o submulțime a lui G. Atunci subgrupul <E> generat de E în G, este format din mulțimea elementelor lui G care se pot pune sub forma a1ε1 a2ε2 … akεk unde k≥0, ε1=±1, a1E, 1≤i≤k.

DEMONSTRAȚIE:

Să notăm cu:

H´={xG/x= a1ε1 a2ε2 … akεk unde k≥0, ε1=±1, a1E, 1≤i≤k.}. Să arătăm că H´ este un subgrup al lui G care-l conține pe E. Într-adevăr, oricare ar fi aE, a=a´H, deci EH´, de unde H´≠Ø.

Dacă x,yH atunci x== a1ε1 a2ε2 … akεk, y= b1 μ1 b2 μ2…bk μk, ε1=±1, μ1=±1, a1,b1E și deci xy-1= a1ε1 a2ε2 … akεk b1 μ1 b2 μ2…bk μk H´. Cum H´ este un subgrup, avem că
a1ε1 a2ε2 … akεkH=>H´H. Cum H este un subgrup arbitrar care-l conține pe E, rezultă că H´ este conținut în intersecția tuturor acestor subgrupuri, adică în <E>.

§4. RELAȚII DE ECHIVALENȚĂ PE UN GRUP ÎN RAPORT CU UN SUBGRUP AL SAU

1.4.1. DEFINIȚIE:

Fie G un grup și H un subgrup al său. Considerăm pe G relațiile binare RS și Rd definite astfel: dacă x,yG atunci xRSy <=> x-1yH, xRdy<=>xy-1H. Reșațiile de mai sus RS si Rd se numesc relații de congruența la stânga respectiv la dreapta în raport cu H sau modulo H. Se mai notează: x≡Sy(mod H) sau x≡dy(mod H).

1.4.2 PROPOZIȚIE:

Relațiile binare RS și Rd sunt relații de echivalență.

DEMONSTRAȚIE:

a) reflexivitate. Fie xG. Deoarece H este subgrup, e și x-1 aparțin lui H. Deci
x-1=eH, adică x≡dx(mod H).

b) simetrie. Fie x,yG și x≡Sy(mod H), adică x-1yH. Dar y-1x=(x-1y)-1H deci y≡sx(mod H).

c)tranzitivitate. Fie x,y,zG și x≡Sy(mod H) și y≡sz(mod H). Deci x-1yH și y-1zH. Urmează x-1z=(x-1y)(y-1z)H adică x≡sz(mod H).

Analog se demonstrează că Rd este o relație de echivalență.

Pentru fiecare element xG, clasa de echivalență a lui x relativ la relația de echivalență ≡S(mod H) este mulțimea notată cu xH={yG/x-1yH}={xH/hH}.

Pentru fiecare element xG, clasa de echivalență a lui x relativ la relația de echivalență ≡d(mod H) este mulțimea notată cu Hx={yG/xy-1H}={Hx/hH}.

Mulțimile factor G/≡S(mod H) și respectiv G/≡d(mod H) se notează cu (G/H)S și (G/H)d, adică

(G/H)S ={xH/h }

(G/H)d ={Hx/hG}

1.4.3. OBSERVAȚIE:

Dacă (G/H)S este finită atunci (G/H)d este finită și au același număr de elemente. În acest caz se spune că H are indice finit în G sau că subgrup de indice finit al grupului G. Numărul de elemente ale mulțimii (G/H)S sau (G/H)d se numește indicele lui H in G și se notează [G:H].

1.4.4 DEFINIȚIE:

Un subgrup N al lui G se spune că este subgrup normal sau divizor normal dacă oricare ar fi xG și HN avem: xhx-1N.

Fie un grup, aG și morfismul φ a:CG, φ a(x)=axa-1. Atunci N este un subgrup normal al lui G dacă și numai dacă φ a(N)= N oricare ar fi aG.

1.4.5 PROPOZIȚIE:

Fie N un subgrup al lui G. Sunt echivalente afirmațiile:

1) N este subgrup normal;

2) relațiile de congruență modulo N, ≡S și ≡d coincid.

3) xN=Nx oricare xG.

DEMONSTRAȚIE:

1=>2 Dacă xRSy => x-1yN, deci x-1y=hN=> y=xh. Cum N este subgrup normal, avem xhx-1N, adică xhx-1=h´N => xh=h´x. Atunci y=h´x, de unde yx-1N adică xRdy.

Analog se demonstrează că, dacă xRdy, atunci xRsy, adică relațiile RS și Rd coincid.

2=>3 Dacă yxN atunci y=xh cu hN, deci x-1y=hN, adică xRsy. Deci xRdy, adică yx-1N, de unde y=h´xNx deci xNNx. Analog demonstrăm că NxxN.

3=>1 Dacă xG si hN atunci xhxN=Nx și deci xh=h´x, de unde
xhx-1=h´N, adică N este subgrup normal.

1.4.6. EXEMPLE:

1) G și {e} sunt subgrupuri normale ale grupului G.

2) Dacă G este grup abelian, orice subgrup al sau este normal. Într-adevăr,
xhx-1=xx-1h=eh=hN.

3) Orice subgrup de indice 2 al unui grup oarecare G este normal. Intra-devăr, dacă H este subgrup al lui G astfel încât [G:H]=2, atunci G/RS={H,G\H} și G/Rd={H,G\H} deci G/RS=G/Rd.

4) Fie S3 grupul permutărilor de 3 elemente și permutarea =. Submulțimea {e,} este un subgrup al lui S3 care nu este normal. Într-adevăr, dacă ==>-1=N.

§5. GRUP FACTOR. TEOREMA FUNDAMENTALĂ DE IZOMORFISM

PENTRU GRUPURI.

Fie G un grup și N un subgrup normal al său. Vom mai scrie în acest caz NG. Deoarece relațiile de congruență la stânga și la dreapta coincid, vom scrie x≡y(mod N). Cele două mulțimi factor G/RS și G/Rd coincid, mulțimea factor G/R fiind notată cu G/N.

1.5.1. PROPOZIȚIE:

Dacă G este un grup și N este subgrup normal al său, atunci pe mulțimea factor G/N se poate defini o operație algebrică împreună cu care G/N devine grup, iar funcție surjectivă p:GG/N, p(x)=x este morfism de grupuri.

DEMONSTRAȚIE:

Dacă x,yG, definim .

Demonstrăm că operația este bine definită, adică, dacă = și =, atunci
=.

Într-adevăr, x-1x´N și y-1y´N deci x-1x´=h1 și y-1y´=h2 deci x´=xh1 și y´=yh2 =>x´y´=xh1yh2=x(h1y)h2. Cum N este normal h1yyN, deci h1y=yh3 deci
x´y´=xy(h3 h2) deci (xy)-1x´y´N, adică xy este congruent modulo N cu x´y´, de unde
= .

Operația este asociativă deoarece, dacă ,,G/N, atunci ()== = =().

Operația admite element neutru G/N, deoarece, oricare ar fi G/N, avem evident ==.

Orice element G/N are un invers care este G/N, deoarece == și ==. Am demonstrat că G/N este grup.

Funcția surjectivă p:GG/N, p(x) = este morfism de grupuri deoarece p(xy)=

==p(x)p(y).

1.5.2. DEFINIȚIE:

Grupul G/N construit în propoziția anterioară se numește grupul factor (cât) al lui G în raport cu subgrupul normal N.

1.5.3. OBSERVAȚIE:

Dacă G este grup comutativ, atunci orice subgrup al său este comutativ, deci normal, deci are sens grupul factor al lui G în raport cu orice subgrup al său și mai mult, grupul factor este comutativ.

1.5.4. EXEMPLE:

Să calculăm grupurile factor ale grupului aditiv (Z,+) al numerelor întregi.

Fie H Z un subgrup al său. Atunci H=nZ, n≥0. Dacă n=0 adică H={0}, avem Z/{0}=Z. Dacă n>0, atunci pentru x,yZ avem xRy(mod nZ) dacă și numai daca n/x-y dacă și numai dacă x≡y(mod n). Așadar relația de echivalență pe Z modulo subgrupul nZ coincide cu relația de congruentă modulo n și deci avem Z/nZ=Zn. Mai mult, operația algebrică pe grupul factor Z/nZ coincide cu adunarea claselor de resturi modulo n. Deci grupul factor (Z/nZ,+) al lui Z în raport cu subgrupul nZ, coincide cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo n.

Fie (G, ∙) un subgrup oarecare. Subgrupul impropriu H={e} este un subgrup normal, întrucât ()xG=>xex-1=e{e}. Clasele modulo subgrupul {e} sunt formate din câte un singur element, căci x={xe}={x}, ()xG. Grupul factor G/{e} se comportă practic ca și grupul G, doar că în loc de elemente simple x apar mulțimile de tip {x}.

Fie (G, ∙) un grup oarecare. Subgrupul impropriu H=G este un subgrup normal, întrucât ()xG și ()hG=>xhx-1G. Deoarece x-1G() xG înseamnă că x-1 eG, deci =, ()xG. Aceasta arată că există o singură clasă modulo G, iar grupul factor G/G={e} este un grup de ordinul 1.

1.5.5 PROPOZIȚIE:

Un subgrup N al grupului G este subgrup normal dacă și numai dacă există un morfism de grupuri definit pe G al cărui nucleu să fie N.

DEMONSTRAȚIE:

Dacă N este un subgrup normal al lui G, iar p:GG/N este morfismul de grupuri definit mai sus prin p(x)= , atunci Ker p= n. Într-adevăr, dacă xKer atunci p(x)= deci = de unde xRe sau xe-1N adică xN. Reciproc, dacă xN, atunci xRe adică = de unde p(x)== și deci xKer p.

Fie acum f:GG´ morfism de grupuri. Ker f=f-1({e}´)={xG/f(x)=e´} unde e´ este elementurl neutru al lui G´, este subgrup normal al lui G. Într-adevăr, fie x,yKer f, deci f(x)=e´ și f(y)=e´, f(xy-1)=f(x)f(y-1)=e´e´=e´=>xy-1Ker f, așadar Ker f este subgrup. Fie acum xG și hKer f, deci f(h)=e´. Atunci f(xhx-1)=f(x)f(h)f(x-1) =f(x)∙e´f(x)-1=e´. Deci xhx-1Ker f și Ker f este subgrup normal al lui G. În concluzie, dacă f:GG´ este un morfism de grupuri, atunci Ker f este subgrupul normal al lui G și are sens grupul factor G/Ker f.

Arătăm că Im(f)=f(G)={yH/există xG astfel încât y=f(x)} este subgrup al lui G´. Fie y1, y2 Im f. Atunci există x1 și x2G astfel încât y1=f(x1) și y2=f(x2).

y1y2-1=f(x1)(f(x2))-1=f(x1x2-1) și x1x2G. Deci y1y2-1Im f.

1.5.6. TEOREMA FUNDAMENTALĂ DE IZOMORFISM:

Fie G si G´ două grupuri si f:GG´ morfism de grupuri. Atunci există un izomorfism de grupuri f:G/Ker f Im f.

DEMONSTRAȚIE:

Definim :G/Ker fIm f prin ()=f(x), xG. Arătăm că este funcție:

Dacă =G/Ker f, atunci x-1yKer f deci f(x-1y)=e´ deci f(x)=f(y) adică ()=().

f este surjectivă deoarece, oricare ar fi elementul aIm f există xG astfel încât a=f(x)= (). Deci pentru orice aIm f există G/Ker f, astfel încât a=(). Demonstrăm că este injectivă:

Fie ()=() deci f(x)=f(y), așadar f(x-1y)=e´ și x-1yKer f de unde=.

este morfism deoarece ()=f(xy)=f(x)f(y)= ()=f().

1.5.7 EXEMPLE:

Fie ℂ* grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule, iar T subgrupul numerelor complexe de modul 1. Atunci

1) Grupul factor ℂ*/T este izomorfism cu grupul multiplicativ ℝ*+ al numerelor reale negative. Avem f:ℂ*ℝ*+, f(z)=.

f este morfism deoarece f(xy)=f(x)f(y).

Ker f={xℂ*/f(x)=1}={xℂ*/=1}=T. F surjectivă, adică Im f=ℝ*+. Din teorema precedentă rezultă că ℂ*/T este izomorfism cu ℝ*+.

2) Grupul factor ℂ*/ℝ*+ este izomorfism cu T.

f:ℂ*T f(x)= . f(xy)= = =f(x)f(y) deci este morfism și evident f surjectivă, adică Im f=t.

Ker f={xℂ*/f(x)=1}={xℂ*/=1}={xℂ*/x=}=ℝ*+. Din teorema fundamentală de izomorfism, avem că ℂ*ℝ*+ este izomorfism cu T.

3) Grupul factor ℝ/ℤ este izomorfism cu T.

f:ℝT, f(x)= cos2+isin

f(x+y)=cos2(x+y)+isin2(x+y)=cos(2x+isin2x)(cos2y+isin2y)=
=f(x)f(y), ()x,yℝ.

Determinăm nucleul și imaginea acestui morfism:

Avem xKer f <=> f(x)=1<=>cos2x+isin2x=1<=>2xℤ. Așadar Ker f=ℤ.

Im f = {f(x)/xℝ} = {cos2x+isin2x/xℝ} = {cost+isint/tℝ} =
{zℂ/=1}–T.

Conform teoremei fundamentale de izomorfism ℝ/Ker fIm f, adică ℝ/ℤG.

CAPITOLUL II. GRUPURI FINITE

§1. Ordinul unui element într-un grup. Grupuri ciclice

2.1.1. DEFINIȚIE:

Un subgrup H al lui G care admite un sistem de generatori format dintr-un singur element, se spune că este un subgrup ciclic sau monogen. Vom scrie H=<a>, aH.

Din teorema 1.3.9. deducem că H=<a>={an/nℤ}. Numărul a se numește generator al subgrupului ciclic H.

2.1.2. EXEMPLE:

1) În grupul (ℚ*, ∙) avem <-1>={-(1)k / kℤ}={1,-1}=U2

2) În grupul (ℂ*, ∙) avem <i>={ik / kℤ}={1,-1, i, -i}=U4

3) În grupul (ℝ, +) avem <1>={k∙1 / kℤ}=ℤ

4) În orice grup (G, ∙) avem <e>={ek / kℤ}={ e}

5) în grupul (ℂ*, ∙) avem

=

2.1.3. DEFINIȚIE:

Un grup G se numește ciclic dacă subgrupul H este ciclic adică exista aG astfel încăt G=<a> sau, mai sugestiv, dacă G este generat de un element al său.

2.1.4. DEFINIȚIE:

Dacă G este un grup cu un număr finit de elemente atunci vom numi ordinul grupului ( ord G ) numărul său de elemente.

2.1.5. EXEMPLE:

1)(ℤ,+) este ciclic fiind generat de 1 sau de –1 adică (ℤ,+)=,<1>=<-1>.

2)Grupul aditiv (ℤn,+) al claselor de resturi modulo n este ciclic, generat de exemplu de Î adică (ℤn,+)=<Î>. Să arătăm că aℤn este generator al grupului (ℤn,+) dacă și numai dacă (a,n)=1. Într-adevăr dacă este generator al lui ℤn, adică ℤn=<>, atunci există ℤn astfel încât 1-ba=nk sau ab-nk=1, adică (a,n)=1. Reciproc dacă (a,n)=1 atunci rezultă că =U(ℤn) și deci există bℤn cu =1. Atunci dacă ℤn, ==∙=∙∙=∙=(x∙b)∙. Cum xbℤ avem că <>. Așadar ℤn=<a>.

2.1.6. DEFINIȚIE:

Un element a al grupului G este de ordin finit dacă există i,jℤ cu ai=aj. În caz contrar adică toate puterile lui a sunt distincte, se spune că a este de ordin infinit.

2.1.7. OBSERVAȚIE:

Fie G un grup și a un element al său. Considerăm funcția :ℤG, (n)=an, nℤ. Avem Im =<a>; elementul a este număr finit dacă funcția nu este injectivă și este de ordin infinit dacă funcția este injectivă.

Fie aG este element de orin finit și i<j astfel încât ai=aj. Atunci ai-j=e și deci există o putere pozitivă a lui a egală cu elementul neutru. Deci mulțimea
M={k/ak=e, k>0} este nevidă. Cum M este o mulțime nevidă de numere naturale, iar mulțimea numerelor naturale este bine ordonată, atunci M are cel mai mic (prim) element.

2.1.8. DEFINIȚIE:

Numim ordinul unui element a și-l notăm ord a, cel mai mic număr înterg poziztiv n astfel încât an=e. Deci ord a=min{k*/ak=e}.

2.1.9. PROPOZIȚIE:

Fie a un element de ordin finit al grupului G și un număr întreg pozitiv. Atunci n=ord a dacă și numai dacă sunt satisfăcute condițiile:

1) an =e

2) Dacă ak=e, kℤ, atunci n divide pe k.

DEMONSTRAȚIE:

Fie n=ord a, atunci din definiție avem an =e. Fie kℤ cu cu an =e. Din teorema împărțirii cu rest există q, rℤ astfel încât k=nq+r, cu 0≤r<n deci
ar=ak-nq=ak-(an)-q=e∙e=e. Cum r<n avem r=0 deci n/k. Reciproc daca n satisface 1) și 2) iar ak=e cu k>0 atunci n/k deci n≤k. Așadar n este cel mai mic număr dintre toate numerele naturale nenule k, cu ak=e, deci ord a=n.

2.1.10. PROPOZIȚIE:

Fie G un grup. Dacă aG este un element de ordin n, atunci subgrupul ciclic generat de a are exact n elemente și anume <a>={e, a, a2, …, an-1}.

DEMONSTRAȚIE:

Să demonstrăm că ai≠aj oricare ar fi i≠j, 0≤i, j≤n-1. Într-adevăr, dacă am avea ai=aj, 0≤i≤j≤n-1 atunci aj-i=e și 0<j-i<n contradicție cu faptul că n este cel mai mic număr natural nenul astfel încât an=e. După teorema împărțirii cu rest, există q,rℤ astfel încât k=nq+r cu 0≤r≤n-1. Atunci ak=anq+r=anq∙ar= eq∙ar= ar și deci
ak{e, a, a2, …, an-1}.

2.1.11. Reluând exemplele de la 2.1.2. putem exemplifica ordinele unor elemente în anumite grupuri uzuale:

1) În grupul (ℚ*, ∙) elementul –1 are ordinul 2.

2) În grupul (ℂ*, ∙) elementul i are ordinul 4.

3) În grupul (ℝ, +) elementul 1 are ordinul infinit.

4) În orice grup (G, ∙) elementul neutru și nu numai acesta are ordinul 1.

5) în grupul (ℂ*, ∙) elementul zn=este element de ordinul n.

Următoarea teoremă ne arată că grupurile aditive Z și Zn, n>0 sunt singurele tipuri de grupuri ciclice.

2.1.12. TEOREMĂ:

Orice grup ciclic este izomorf cu grupul (ℤ,+) fie cu (ℤn,+), n>0.

DEMONSTRAȚIE:

Dacă G=<a>, considerăm funcția :ℤG, (n)=an. Avem (m+n)=am+n=am ∙ an=(m)+(n) deci este morfism de grupuri. Mai mult, este evident morfism surjectiv, deci Im =G. Considerăm nucleul lui , ker și distingem două cazuri:

1) Ker ={0}

2) Ker ≠{0}

În primul caz, conform teoremei fundamentale de izomorfism avem
Z/{0}Im=G. În cazul al doilea, Ker este de forma nZ cu n>0 număr întreg și deci Z/nZIm, adică ZnG.

2.1.13. OBSERVAȚIE:

Din teorema de mai sus, rezultă că, dacă G este grup ciclic și a un generator al său, atunci:

1) Dacă a este de ordin infinit atunci G este izomorfism cu grupul aditiv Z al numerelor întregi;

2) Dacă a este morfism de ordin n (finit) atunci G este izomorfism cu grupul aditiv Zn al claselor de resturi modulo n.

2.1.14. PROPOZIȚIE:

Orice subgrup și orice factor al unui grup ciclic este ciclic.

DEMONSTRAȚIE:

Dacă G=<a> este un grup ciclic, iar H un subgrup al său, atunci grupul factor G/H este ciclic generat de , clasa lui a modulo H, adică G/H=<>.

Să arătăm că orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic: într-adevăr dacă G este izomorf cu Z am arătat că subgrupurile lui Z sunt de forma nZ, adică sunt ciclice; deci și subgrupurile lui G sunt ciclice.

Fie G un grup ciclic finit al cărui generator a este de ordin n și fie H un subgrup al său. H={e} atunci evident H este ciclic generat e. Dacă H≠{e} atunci există xH, x≠e. Dar cum xG, avem că x=ak cu k≠0. De asemenea x-1H adică
a-kH deci există r>0 astfel încât arH.

Deci mulțimea de numere naturale M={n/ anH, n>0} este nevidă și cum N este bine ordonată, M are cel mai mic element m. Vom arăta că H=<am>, adică H este sungrupul ciclic generat de am. Fie x <am>, atunci x=(am)k, kZ și cum H este subgrup, iar amH=>xH. Reciproc dacă yH atunci yG, adică y= at, tZ. După teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi, t=mq+r cu q,rZ, iar 0≤r<m și deci y= at=amq+r=amq∙ar=(am)q∙ar de unde ar=(am)-q∙y. Deci arH și cum m este cel mai mic element al lui M=>R=0 și deci t=mq. Așadar, y=amq=(am)q<am>.

2.1.15. OBSERVAȚIE:

Dacă G=<a> este un grup ciclic de ordin n din teorema precedentă avem că izomorfismul dintre G și grupul aditiv Zn este dat de funcția :ℤG definită prin ()=ak. Așadar, având în vedere caracterizarea generatorilor grupului aditiv Zn dată în exemplul 2.1.5. exemplul 2, avem că elementul ak este generator al lui G dacă și numai dacă avem (k,n)=1.

2.1.16. EXEMPLE:

1) Să descriem subgrupurile grupului aditiv (ℤ6,+). Cum grupul aditiv ℤ6 este ciclic, atunci orice subgrup al său este ciclic. Vom comsidera pe rând elementele lui ℤ6 și luam subgrupul ciclic generat de fiecare. Astfel <>={}, <>=ℤ6, <>={, , }, <>={,}, <>={,,}, <>=ℤ6. Deci ℤ6 are 4 subgrupuri și anume: <>={}, <>=<>=ℤ6, <>=<>={, , }, <>={,}.

2) Fie acum n>0 un număr natural și Un grupul multiplicativ al rădăcinilor de gradul n ale unității, adică Un={zC/zn=1}. Avem ca Un={0, 1,…, n-1} unde k=, 0≤k≤n-1. După formula lui Moivre, avem că k=1k și deci Un este grup ciclic de ordin n, un generator al său fiind 1.

2.1.17. DEFINIȚIE:

Un generator al grupului Un se numește rădăcină primitivă de gradul n a unitații.

Conform celor de mai sus rezultă că 1 este rădăcină primitivă de ordinul n a unității dacă și numai dacă avem (k,n)=1.

§2. Teorema lui Lagrange. Aplicații.

2.2.1. Teorema lui Lagrange:

Dacă G este un grup finit și H este un subgrup al său atunci are loc relația: ord G=[G:H]∙ord H.

DEMONSTRAȚIE:

Deoarece mulțimile (G/H)s și (G/H)d sunt cardinal echivalente, este suficient să facem demonstrașia doar pentru relația de echivalență s pe G.

a)Considerăm clasele de echivalență la stânga modulo H:x1H, x2H,…, xkH. Cum numărul lor este k, avem k=[G:H]. Arătăm că două astfel de clase xiH și xjH cu i≠j au același număr de elemente, iar pentru acestea demonstrăm că aplicația : xiH xjH definitivă prin(xiH)= xjH este bijectivă. Dacă (xiH)= (xiH´) avem că xiH= xiH´ și deoarece suntem într-un grup, avem regula de simplificare la stânga, adică h=h´ și prin urmare xiH= xiH´. este surjectivă prin definiție.

b)Cum H este clasa de echivalență și anume clasa elementului neutru, rezultă că numărul de elemente ale oricărei clase coincide cu ordinul lui H. Pe de altă parte avem:

G= iH și xiH∩xjH≠∅pentru i≠j, deci Card G=(xiH)=k

sau Org G=[G:H]∙ordH.

2.2.2. PROPOZIȚIE:

Fie G un grup finit și a un element al său atunci ord a/ord G.

DEMONSTRAȚIE: Dacă k=ord a atunci H={e, a, a2, …, ak-1} este subgrupul generat de a. Conform teoremei lui Lagrange ord H/ord G, deci ord a/ord G.

Consecință. Dacă G este un grup finit și ord G=n atunci orice aG are propietatea că an=e.

2.2.3. TEOREMĂ:

Orice grup finit cu un număr prin de elemente este ciclic.

DEMONSTRAȚIE.

Fie (G,∙) un grup finit cu p elemente unde p este număr prim. Să considerăm un element xG-{e} și să notăm cu H subgrupul ciclic generat de elementul x. Conform teoremei lui Lagrange ordinul lui H divide ordinul lui G, care este număr prim p. Deducem că ordinul lui H divide ordinul lui G, care este număr prim p. Deducem că ordinul lui H este 1 sau p. Dacă ordinul lui H ar fi egal cu 1, ar însemna că H={e} ceea ce nu se poate căci xH și x≠e. Atunci ordinul lui H este p, deci H=G. Cum H este grup ciclic deducem că G este grup ciclic.

Remarcă. Din demonstrația de mai sus deducem că într-un grup de ordin număr prim, orice element diferit de elementul unitate este generator al grupului.

2.2.4. Consecință.

Orice grupuri cu 3, 5, 7, … elemente sunt ciclice. Deci mai putin un izomorfism, există un singur grup cu 3 elemente, un singur grup cu 5 elemente, cu 7 elemente și cu 11 elemente.

Putem da acum două aplicații în teoria numerelor.

2.2.5. TEOREMA LUI EULER:

Fie nN, n≥2 și aZ, (a,n)=1. Atunci =1(mod n) unde desemnează indicatorul lui Euler.

DEMONSTRAȚIE:

Considerăm grupul multiplicativ U(Zn) al elementelor ireversabile din monoidul (Zn,∙). Acest grup are ordinul (n). Cum (a,n)=1 înseamnă că aU(Zn). Din consecința propoziției 2.2.2. rezultă =1 adică =1 ceea ce este echivalent cu ≡1(mod n).

2.2.6. Mica Teoremă a lui FERMAT

Fie p>0 un număr prim și a Z, a nedivizibil cu p. Atunci ≡1(mod p).

DEMONSTRAȚIE:

Observăm că pentru p prim, afirmația a nedivizibil cu p este echivalentă cu (a,p)=1. De asemenea, pentru p prim avem (p)=p-1, căci toate numerele 1,2,…,p-1 sunt relativ prime cu p. Conform teoremei lui Euler avem , adică≡1(mod p).

OBSERVAȚIE:

1)Înmulțind cu a congruența din teorema lui Fermat obținem ap≡a(mod p) congruență care rămâne valabilă și în cazul când se divide cu p. Așadar teorema lui Fermat se mai poate enunța și astfel: dacă p>0 este un număr prim, iar aZ arbitrar, atunci ap≡a(mod p).

2)Teorema lui Fermat este un caz particular al teoremei lui Euler.

§3. Grupuri de permutări

Fie A o mulțime. Mulțimea S(A) a funcțiilor bijective ale lui A în A formează față de compunere un grup numit grupul permutărilor mulțimii A sau grupul simetric pe mulțimea A. Un grup de permutări pe mulțimea A este un subgrup al grupului S(A).

2.3.1. PROPOZIȚIE.

Dacă două mulțimi A și B sunt cardinal echivalente atunci grupurile simetrice S(A) și S(B) sunt izomorfe.

DEMONSTRAȚIE:

Mulțimile A și B fiind cardinal echivalente există aplicațiile f:AB și g:BA astfel ca fog=1B și gof=1A. Definim aplicațiile φ:S(A)S(B), φ(σ)=foσog, unde σ∈S(A) (BAAB; foσog∈S(B), deoarece compunerea foσog fiind compunerea a trei aplicații bijective este de asemenea o aplicație bijectivă). Analog definim ψ:S(B)S(A) ψ(τ)=goτof, τ∈S(B). Aplicația φ este morfism de grupuri: φ(σoσ´)og=fo(σoσ´)og=(foσog)o(fσo´og)=φ(σ)o´φ(σ´), σ,σ´∈S(A). În plus pentru
S(B)(φoψ)()= φ(ψ())=φ()=fo()og=(fog)oo(gof)=t. Deci φoψ=1S(B). Analog φoψ=1S(A). Acesta ne arată că ψ este un izomorfism de grupuri.

Importanța grupurilor de permutări rezultă din faptul că orice grup este izomorf cu un grup de permutări.

2.3.2. TEOREMA LUI CAYLEY.

Orice grup G este izomorf cu un grup de permutări pe mulțimea G.

DEMONSTRAȚIE:

Este suficient să definim un morfism de grupuri injectiv φ:GS(G). Fie xG și fie φx:GG aplicația definită prin φx(g)=xg. Pentru x,yG avem (φxoφy)(g)= φx(yg)=x(yg)=(xy)g= φxx(g) deci φxo φy= φxy. De asemenea φ1(g)=1g=g= 1G(g) deci φ1= 1G, aplicația identică a mulțimii G. Prin urmare pentru xG avem:

φxoφx-1=φx x-1=φ1=1G

φx-1oφx=φx-1x=φ1=1G

Aceasta arată că pentru orice xG avem φxS(G). Putem definii aplicația φ:GS(G) luând φ(x)= φx, xG. φ este morfism de grupuri deoarece φ(xy)= φxy= φxo φy= φ(x)o φ(y). Φ este izomorfism injectiv deoarece pentru xKer φ avem φx=1G deci 1=1G(1)= φx(1)=x adică Ker φ={1}.

În particular dacă A este o mulțime finită cu n elemente, conform propoziției 2.3.1. există o ijecție între A și mulțimea {1,2,…,n} și deci grupurile de permutări S(A) și S({1,2,…,n}) sunt izomorfe.

Deci pentru a studia grupul de permutări al unei milțimi cu n elemente este suficient să studiem grupul Sn de permutări al mulțimii {1,2,..,n}.

Grupul Sn se numește grupul simetric de grad n.

Elementele lui Sn se numesc permutări de n elemente sau permutări de grad n.

Elementul neutru e din Sn se numește permutarea identică de grad n.

Codsiderăm Sn o permutare de n elemente, adică o funcție bijectivă de la mulțimea {1,2,…,n} în ea însăși. Punând în evidență valoarea (i) a funcțiilor pentru i{1,2,..,n} vom nota permutarea astfel:

,,…, sunt numerele 1,2,…,n eventual într-o altă ordine.

2.3.3. OBSERVAȚIE.

Dacă 1≤m≤n atunci definim funcția m,n:SmSn prin

Se verifică ușor că m,n este morfism injectiv de grupuri. Acesta ne permite să identificăm grupul Sm cu un subgrup al lui Sn și anume cu subgrupul format din acele permutări care lasă invariante numerele: m+1, m+2, …n.

2.3.4. PROPOZIȚIE:

Sn are n! elemente.

DEMONSTRAȚIE (folosind teorema lui Lagrange):

Fie funcția :Sn-1Sn definită prin ()(i)= . este morfism de grupuri și Ker ={e}, adică este injectivă. Din teorema fundamentală de izomorfism rezultă că SnIm . Pe baza acestui izomorfism grupul Sn-1 poate fi identificat cu subgrupul Im al lui Sn=n!.

Pentru n=1 este evident că ord S1=1=1!. Presupunem că ord Sn-1=(n-1)! Și demonstrăm că ord Sn=n!.

După teorema lui Lagrange avem că ord Sn[Sn:Im]∙ord(Im). Cum
Sn-1≅Im rezultă că ord(Im)=ord Sn-1=(n-1)!. Vom arăta că [Sn:Im]=m, adică numărul claselor de echivalență la stânga (respectiv la dreapta) modulo Imeste n. Fie Sn. Atunci dacă și numai dacă , dacă și numai dacă (n)=(n). Deci clasele de echivalență și stânga modulo Im sunt: unde ={ Sn/(n)=i} pentru i=1,2,…,. Așadar [S:Im]=n, de unde ord Sn=[Sn:Im]∙ord(Im)=n(n-1)!=n!.

2.3.5. DEFINIȚII.

Fie o permutare de n elemente. O pereche (i,j) se numește inversiune a permutării dacă i<j și (i)>(j).

Notăm cu inv() numărul inversiunilor permutării. DacăSn este o permutare, definim . se numește semnul (signatura) permutării . Observăm că orice factor pentru i<j de la numărătorul produsului din formula care ne dă se simplifică cu unul din factorii de la numitor care apare, eventual cu semn schimbat. Așadar este un produs de +1 și –1, factorul –1 apărând de atâtea ori cât este numărul inv() al inversiunilor permutării. Deci =. Avem că dacă este un număr par și se numește impară dacă =-1,a dică inv() este un număr impar. Există permutări pare, de exemplu permutare identică. Daca n≥2, există și permutări impare in Sn după cum se va arăta in propoziția următoare:

Fie n≥2 și k{1,2,…,n}, 1≠k. Să considerăm permutarea definită prin. O permutare de forma unde 1≠k se numește transpoziție și se mai notează (l,k).

2.3.6. PROPOZIȚIE.

Dacă n≥2 este un număr natural atunci orice transpoziție din Sn este impară.

DEMONSTRAȚIE.

Fie transpoziția (l,k) și presupunem l<k. Atunci și numărul de inversiuni este
(k-1)+(k-1)-1=2(k-1)-1. Deci =

2.3.7. PROPOZIȚIE.

Fie n≥2 și funcția:Sn{-1,1} de la grupul permutărilor Sn la grupul multiplicativ {-1,1}, definită prin Atunci este un morfism surjectiv de grupuri.

DEMONSTRAȚIE.

Fie . Deoarece numerele sunt tocmai numerele 1, 2, …, n eventual într-o altă ordine și cum în produsul care îl dă pe () diferențele de numitor se pot face și în altă ordine, rezultă că avem

.

Deci

= adicăeste un morfism de grupuri. Din cele arătate mai sus rezultă că există permutări pare și permutări impare și deci este surjectiv.

2.3.8. OBSERVAȚIE.

Nucleul din, Ker, este un subgrup normal al lui Sn și deci
Ker={Sn/()=1},a dică Ker este format din toate permutările pare ale lui Sn.

2.3.9. DEFINIȚIE.

Vom nota Ker cu și+l numim grupul altern de grad n.

Deoarece este surjectiv, conform teoremei fundamentale de izomrfism pentru grupuri, avem

.

Deci, conform teoremei lui Lagrange, are elemente. Așadar, există permutări pare de grad n și permutări de grad n.

2.3.10. DEFINIȚIE.

O permutareSn se numește ciclu de lungime m, unde 2≤m≤n, dacă există m numere {1, 2,…, n} astfel încât să avem:

1) oricare ar fi .

2) .

Acest ciclu îl vom nota cu .

Observăm că la orice sistem de m numere cuprinse între 1 și n putem să asociem cel puțin un ciclu de lungime m și mai mult,

Așadar numărul ciclurilor de lungime m, 2≤m≤n, este .

În particular, o transpoziție o vom nota=(ij) și este un ciclu de lungime 2. Numărul transpozițiilor din Sn este.

2.3.11. PROPOZIȚIE.

Dacă din Sn este un ciclu de lungime m atunci:

1) ;

2) ord()=m

DEMONSTRAȚIE:

1) Se verifică imediat

2) Din definiția ciclului obținem că pentru orice 1≤k≤m-1 și . Deoarece pentru orice 1≤k≤m-1, avem pentru orice 1≤k≤m-1. Vom arăta că . Dacă , atunci și deci . Dacă am observat că iar dacă , 1≤k≤m-1 atunci . Deci oricare ar fi i, 1≤i≤n, avem că , adică . Am demonstrat astfel că ord()=m.

2.3.12. PROPOZIȚIE.

Fie , iar A, B două mulțimi nevide și disjuncte ale mulțimii {1,2,…,n} astfel încât:

1) Dacă sA, atunci

2) Dacă tB, atunci , iar dacă tB atunci.

Atunci și ord()=c.m.m.m.c.(ord(),ord())

DEMONSTRAȚIE.

Fie un element oarecare. Dacă atunci și deci ()(r)=((r))=(r)=r și ()(r)=((r))=(r)=r adică ()(r)= ()(r). Dacă rA atunci rB și deci (r)=r. Avem ()(r)= ((r))=(r) iar
()(r)=((r)). Dar cum (r)A, atunci(r) B și deci((r))=(r). Rezultă că și în acest caz ()(r)=()(r). Analog dacă rB rezultă ()(r)=()(r). Deci ()(r)=()(r), oricare ar fi r{1,2,…,n}, adică .

Fie acum ord()=l, ord()=k și ord()=m și să notăm u=c.m.m.m.c.(l,k). Avem =e și cum =, rezultă că =e sau . Vom arăta că . Într-adevăr dacă ≠e, atunci există astfel încât și deci neapărat rA. Din =, avem ≠r deci și deci neapărat rB. Așadar r, contradicție cu faptul că =. Am observat astfel că .

Din 2.1.9. rezultă co l/m și k/m și deci u/m. Fie l´,k´N astfel încât u=ll´ și u=kk´. Deci ()u= și rezultă că m/u. Deci u/m și m/u rezultă că m=u și propoziția este demonstrată.

2.3.13. DEFINIȚIE.

Ciclurile = și = se numesc independente dacă =. Propoziția precedentă aplicată în cazul ciclurilor independente și ne spune că și ord()=c.m.m.m.c.(k,m).

2.3.14. TEOREMĂ.

Orice permutare , se descompune ca un produs (compunere) finit de cicluri independente. Mai mult, această descompunere este uncia abstracție făcând de ordinea factorilor.

DEMONSTRAȚIE.

Fie numărul de elemente ale mulțimii {1, 2, …, n} permutate efectiv de către adică=card{i/(i)≠i}. Deoarec e≠e, ecistă i astfel încât (i)=i și cum este injectivă avem ((i))≠(i) și deci ≥2. Vom face demonstrația prin inducție după acest număr. Dacă, astfel încât =2, atunci există i≠j, astfel încât (i)=j, (j)=i și (k)=k oricare ar fi k≠i și k≠j. În acest caz este transpoziția (i,j). Presupunem că teorema este adevărată pentru toate permutarile care permută efectiv mai putin de elemente, adică cu < și să arătăm că ea este adevărată pentru .

Dacă {1, 2, …, n} astfel încât ()≠notăm =(), =(), …, =(), … . Este clar că =oricare ar fi k≥1. Dacă 1 ord(), atunci și deci , adică . După propietatea de bună ordonare a mulțimii N a numerelor naturale, există cel mai mic număr natural n cu propietatea că .

Numerele sunt distincte. Într-adevăr, dacă , cu rs și 0≤r, s<m, atunci . Să presupunem că r>s și fie p=r-s. Atunci= adică = sau =.

Dar = unde 0<p<m, este în contradicție cu alegerea numărului m. Fie acum ciclul și să considerăm permutarea . Dacă (i)=i atunci i≠ și deci de unde. Mai mult, dacă este clar că ==(())= și deci, în plus elementele rămân neschimbate dacă le aplicăm permutarea . Așadar < și conform ipotezei de inducție există ciclurile independente , ,…, astfel încât =… sau =… de unde =. Mai mult, din demonstrație rezultă că ciclul este independent față de ciclurile independente …. Notând , obținem descompunerea în produs de cicluri independente= în produs de cicluri independente. Tot din demonstrație se observă că această descompunere este unică, abstracție făcând ordinea factorilor.

2.3.15 COROLAR.

Fie i, n≥2, o permutare astfel încât = unde sunt cicluri independente. Atunci ord()=c.m.m.m.c.(ord(),ord(),…,ord())

DEMONSTRAȚIE.

Rezultă din generalizarea punctului 2. al propoziției 2.3.12.

2.3.16. PROPOZIȚIE.

Orice ciclu din este produs de transpoziții.

DEMONSTRAȚIE.

Dacă este un ciclu de lungime m, atunci direct prin calcul rezultă .

2.3.17. COROLAR.

Orice permutare , n≥2, este produs de transpoziții.

DEMONSTRAȚIE.

Dacă =e atunci =e=(1,2)(1,2)

Dacă ≠e, afirmația rezultă din teorema 2.3.14. și propoziția 2.3.16.

2.3.18. OBSERVAȚIE.

Descompunerea unei permutări în produs de transpoziții nu este unciă, de exemplu: e=(1,2)(1,2)= (1,2)(1,2)(1,2)(1,2).

Paritatea numărului de transpoziții care apar în orice descompunere a unei permutări este aceași. Într-adevăr, fie== unde și sunt transpoziții. Ținând cont că semnul unei transpoziții este -1, obținem:

=()=…=(-1)r

=()=…=(-1)s. Deci (-1)r=(-1)s de unde r și s sunt în același timp pare sau impare.

2.3.19. APLICAȚIE,

Fie permutarea

.

Să scriem permutarea ca produs de cicluri independente și ca produs de transpoziții.

Soluție. Observăm că(1)=4, (4)=6, (6)=1; deci (1, 4, 6) determină un ciclu. Apoi (2)=8, (8)=3, (3)=5, (5)=12, (12)=2; deci (2, 8, 3, 5, 12) determină alt ciclu. În fine (7)=11, (11)=10, (10)=7, iar (9)=9; deci (7, 11, 10) și (9) determină alte cicluri. Ultimul ciclu (9) are lungimea 1 și este de fapt permutarea identică. Permutarea poate fi scrisă ca o compunere de cicluri

(1, 4, 6)(2, 8, 3, 5, 12)(7, 11, 10)

Conform propoziției 2.3.16. avem că serie ca produs de tranziții astfel:

.

Din corolarul 2.3.15. avem ord())c.m.m.m.c.(3, 5, 3)=15.

2.3.20. EXERCIȚIU.

Singurele grupuri cu mai puțin de 11 elemente sun .

DEMONSTRAȚIE

Am notat cu grupul S(A), unde A={1, 2, .., n}, grupurl simetric de grad n (numit și grupul permutărilor de grad n). Știm din propoziția 2.3.4. că are n! elemente. Deci card =1, card , card , card , etc; așadar grupurile cu card ≤11 sunt .

Vom studia aceste grupuri:

Grupul este grup de ordinul 2 fiind grupul permutărilor mulțimii A={1,2}. are deci două elemente. ={e,} unde , .

Alcătuim tabela operației induse din studiul căreia observăm că este grup comutativ. Subgrupurile lui sunt și .

Să determinăm tabela de multiplicare a grupului . Singurele elemente ale lui sunt:

deci { și card 6. Avem , . Aceste relații determină complet tabla de multiplicare a lui (deci pe însuși).

Astfel ====, == etc.

Din acest motiv spunem că este generat de elementele și și de relațiile: , , ; mai precis, aceasta înseamnă că toate elementele lui se pot exprima în funcție de și , iar tabla de multiplicare a lui se poate calcula folosind numai relațiile indicate.

Studiem acum subgrupurile lui :

Fie H un subgrup al lui . Deoarece card=6 și ordH/ord rezultă că ord H poate fi 1, 2, 3, sau 6.

Dacă ord H=1 atunci H este subgrupul trivial {e}.

Dacă ord H=2 atunci H={1,a} pentru un a cu ord a=2. Din tabla de multiplicare se vede că singurele elemente de ord 2 din sunt: , , . Deci ={e,}, , sunt toate subgrupurile de ordin 2 ale lui .

Dacă ord H=3 stim că H trebuie să fie un grup ciclic, deci H=<a>={1, a, } pentru a cu ord a=3. Din tabla de multiplicare se vede că singurele elemente de ordin 3 din sunt sunt și și avem: <>=<>={1,, }. Deci {1,, } este singurul subgrup de ordinul 3 al lui .

Dacă ord H=6 atunci H=.

Să construim mulțimile claselor de echivalență la stânga și la dreapta modulo : Dacă, atunci dacă și numai dacă ()(3)=3 dacă și numai dacă (3)=(3). Deci obținem trei clase de echivalență la stânga și anume:

, și .

Dacă , atunci dacă și numai dacă-1(3)= -1(3). Deci clasele de echivalență la dreapta sunt:

, și .

Se observă că mulțimile /={} și /={} sunt diferite. Este interesant de descris și relația de incluziune pe mulțimea subgrupurilor lui prin următoarea diagramă.

{1}

{l,} {l,} {l,} {l,,}

§4. GRUPUL DIEDRAL Dn

2.4.1. DEFINIȚII.

Fie R mulțimea numerelor reale. Un spațiu metric este o mulțime nevidă X împreună cu o aplicație d:XxXR numită funcția distantă, satisfăcând pentru orice x, y, z∈X următoarele condiții:

d (x, y)≥0 și d(x, y)=0 ⇔x=y

d (x, y)=d (y, x)

d (x, y)≤d (x, z)+d (z, y) (inegalitatea triunghiului)

Fie X un spațiu metric cu funcția distantă d. O aplicație bijectivă φ:XX se numește izometrie dacă d (φ(x), φ(y))=d (x, y), x, y∈X.

2.4.2.OBSERVAȚIE.

Compunerea a două izometrii φ,φ´:XX este tot o izometrie. Într-adevăr, d(φφ´(x), φφ´(y))=d(φ(φ´(x)), φ(φ(φ´(x))))=d (φ´(x), φ´(y)) (deoarece φ este o izometrie) =d (x, y) (deoarece φ´ este o izometrie). De asemenea φ-1 este o izometrie. d(φ-1(x),
φ-1(y))=d (φ(φ-1(x)), φ(φ-1(x)))=d (x, y).

Rezultă că mulțimea izom (X) a tuturor izomerilor lui X este un subgrup al grupului S(X) al permutărilor mulțimii X.

În continuare vom considera X=E2 – planul euclidian, cu funcția distantă uzuală. Dacă alegem un sistem de coordonate cartezian, se identifică fiecare punct A∈ E2 cu perechea ordonată (xA, yA) a coordonatelor sale în acest sistem (unde xA, yA,∈R).

Atunci d(A,B) = , A,B∈E2.

Dacă alegem un punct O∈E2 ca origine,

se identifică fiecare punct A∈E2 cu

segmentul de dreaptă orientat (vectorul)

OA. Adunarea a doi vectori se definește

prin regula paralelogramului.

Pe mulțimea acestor vectori se definește în mod evident și o înmulțire cu scalari α∈R. Se obține astfel un spațiu liniar V de dimensiune 2 peste corpul numerelor reale R.

Într-un sistem de coordonate cartezian cu originea în O avem:

A+B= (xA+xB, yA+yB)

αA= (α xA, α yA)

și o bază a lui V peste R este B={e1, e2}, unde e1=(1, 0), e2=(0, 1). Vom descrie acum câteva izometrii speciale ale lui E2.

2.4.3.DEFINIȚIE.

O aplicație φ: E2 E2 care duce fiecare punct într-o direcție dată la o distanță dată se numește translație

Dacă se alege o origine O și se consideră spațiul liniar V definit mai sus, o translație a lui E2 nu este altceva decât o aplicație de forma: tA: E2 E2, tA(S)=A+S, S∈E2, unde A este un punct fixat din E2.

Dacă A, B∈ E2 atunci (tA tB)(S)=A+(B+S)=(A+B)+S= tA+B (S) pentru orice S∈E2, deci tAtB = tA+B.

În particular, deoarece A+(-A)=-A+A=0 rezultă tAt-A = t-AtA = t0=1, deci tA este o aplicație bijectivă și (tA)-1= t-A . De asemenea, calculând distanțele într-un sistem de coordonate cartezian cu originea în O, se vede că:

d(tA(S), tA(S´))=d(A+S, A+S´)=d(S, S´). Rezultă din cele de mai sus că orice translație a lui E2 este o izometrie; vom nota Tr E2 mulțimea tuturor translațiiloor pe E2. Tr E2 este un subgrup al grupului Izom (E2). Considerând grupul aditiv al spațiului liniar V se vede imediat că aplicația:

t:VTr E2 t(A)= tA , A∈V este un izomorfism de grupuri.

2.4.4. DEFINIȚIE.

O aplicație φ: E2 E2 se numesc simetrie dacă există o dreaptă 1 în E2 astfel ca pentru fiecare punct A∈E2, φ(A) să fie simetricul lui A față de 1.

Dacă alegem un sistem de coordonate cartezian astfel ca dreapta 1 să fie axa OX, atunci, simetria față de dreapta 1 este dată prin φ (x, y)=(x, -y), x, y∈R.

Se vede ușor că φ2=1, deci φ este o aplicație bijectivă cu φ-1=φ și de asemenea că φ este o izometrie a lui E2.

2.4.5. Alegem un punct O∈E2 și o semidreaptă 1 cu originea în O. Considerăm un sistem de coordonate plan cu polul O și axa 1. Atunci r A

fiecărui punct A∈E2 îi asociem modulul său r și

argumentul său θ și identificăm A cu numărul θ

complex: 0 1

reiθ=r(cosθ+isinθ).

DEFINIȚIE. O rotație a lui E2 în jurul lui O este o aplicație de forma

ρα: E2E2

ρα(reiθ)=rei(θ+α), unde α este un număr real fixat.

Se vede imediat că ραρβ=ρα+β, α, β∈R și ρ0=. Rezultă că ρα este o aplicație bijectivă, inversa ei fiind (ρα)-1=ρ-α. De asemenea, ρα este o izometrie a lui E2: calculăm distanțele într-un sistem de coordonate cartezian cu originea în O și dreapta 1 ca axă Ox și pentru A1=r1eiθ1=(r1 cos θ1, r1 sin θ1) și A2=r2eiθ2=(r2 cos θ2, r2 sin θ2) avem:

d(A1,A2)

Rezultă că mulțimea Rot (O,) a tuturor rotațiilor lui E în jurul lui O este un subgrup al lui Izom() și considerând grupul aditiv R al numerelor reale, avem un omomorfism de grupuri surjective :RRot(O,E2) definit prin , ∈R.

Este interesant de observat că orice izomerie a planului este unic determinată de imaginile a trei puncte necoliniare ∈E2. Pentru a putea demonstra aceasta să considerăm mai întâi o izomerie a planului astfel încât ()=,
i=1, 2, 3. Pentru orice punct M∈E2, fie ri=d(M,) și (Ci) cercul cu centrul în și de rază ri, i=1, 2, 3. Deoarece punctele, , sunt necoliniare, cercurile (), (), () au un unic punct comun, anume M. Însă, deoarece d((M,))= d((M),())=d(M,), i=1, 2, 3 și punctul (M) este comun acestor cercuri. Astfel (M)=M, deci =. Acum, dacă ,´∈Izom(E2) și ()=´(),
i=1, 2, 3, atunci ()()=, i=1, 2, 3 și conform celor de mai sus, =, deci =.

2.4.6. TEOREMĂ.

Orice izomerie a lui E2 este de forma , unde este o translație și este o rotație.

DEMONSTRAȚIE.

Fie o izometrie a lui E2. Alegem un punct OE2 ca origine și fie A, B două puncte distincte din plan astfel încât O să nu aparțină dreptei AB. Notăm O´=(O), A´=(A), B´=(B). Considerăm translația =O´ și fie A´´=(A), B´´=(B). Deoarece este o iometrie deducem că triunghiurile O´A´B´ și O´A´´B´´ au laturile egale. Prin urmare, A´O´A´´ și B´O´B´´ sunt egale și deci triunghiul O´A´B´ este imaginea triunghiului O´A´´B´´, printr-o rotație în jurul lui O´ de unghi A´O´A´. Deoarece imaginile punctelor O, A, B, prin izometriile și coincid deducem în baza lui 2.4.5. că =.

2.4.7. Noțiunea de simetrie joacă în ultimul timp un rol important atât în fizică, chimie, cât și în matematică. În mod obisnuit prin simetria figurilor geometrice se înțelege propietatea acestora de a conține părți egale și uniform distribuite. S-a observat însă că legile distribuției uniforme ale parților egale unei figuri sunt determinate de transformările de simetrie ale figurii respective și că aceste transformări formează un grup. S-a ajuns la noțiunea de grup de simetrie ca o măsură a simetriei (regularității) unei figuri geometrice.

În teoria grupurilor, un rol important îl joacă grupul de simetrie Dn=(Pn) unde n este un întreg >3 și Pn este un poligon regulat cu n laturi în planul euclidian E2. Grupul Dn se numește grupul diedral de grad n. Pentru a descrie elementele grupului Dn observăm că există un cerc unic (C) circumscris poligonului Pn. Fie O centrul cercului (C), r raza sa și , , …, vârfurile poligonului Pn.

Avem d(, O)=r, i=1, 2, …, n și d(A, O)<r pentru oricare A Pn\{, , …, }. Pentru o izomerie Dn, avem: (Pn)= Pn și,(O))=r,
i=1, 2, …, n. d(){, , …, } pentru orice i=1, 2, …, n, adică transformă vârfurile lui Pn tot în vârfuri ale lui Pn. Prin urmare induce o permutare a mulțimii (){, , …, }. Aplicația DnSn; este un omomorfism de grupuri și deoarece orice izometrie este unic destinată de imaginile a trei puncte necoliniare (, , de exemplu), este clar că acest omorfism este injectiv. Am demonstrat deci că grupul Dn se poate scufunda in Sn.

Se observă că rotația = în jurul centrului O simetria față de un din axele de simetrie ale lui Pn (o axă de simetrie a lui Pn este o dreaptă care trece
printr-un vârf și prin mijlocul laturii opuse dacă m este impar, sau care trece prin mijloacele a două laturi opuse dacă n este par) sunt elemente ale lui Dn. Obținem astfel 2n elemente distincte ale lui Dn={1, ,, …,, , , , …, . 1, ,, …,} sunt rotații în jurul centrului O, iar , , ,…, sunt simetrii față de axele de simetrie ale lui Pn. Putem arăta că Dn are cel mult 2n elemente, de unde rezultă că |Dn| si Dn={1, ,, …,, , , , …, }. Pentru aceasta reamintim că o izometrie Dn permută între ele vârfurile , , …, și deci, pentru a defini un Dn există cel mult n posibilități pentru (), anume ()=, i=1, 2, …, n; dacă () este definit, atunci () are numai două posibilități, anume vârfurile adiacente ale lui ()=() (aceasta deoarece trebuie să avem d((), ())=d(,) latura poligonului Pn, în timp ce distanța dintre două vârfuri neadiacente este mai mare ca latura); în fine, izometria este unic determinată dacă definim () și () (deoarece (O)=O și este unic determinată de imaginile a trei puncte necoliniare).

În general se observă că =1, =1, = și Dn este generat de elementele , cu aceste relații.

2.4.8. EXERCIȚIU.

Singurele grupuri Dn cu mai puțin de 11 elemente sunt , , , , , .

DEMONSTRAȚIE.

S-a demonstrat că |Dn|=2n. Rezultă |D1|=2, |D2|=4, |D3|=6, |D4|=8, |D5|=10. Grupul D0 se poate definii ca fiind grupul trivial D0=1. Grupul D1 se definește ca fiind grupul de simetrie al unui segment. Notând cu simetria în raport cu mijlocul segmentului D1={1,} cu 2=1.

D2 se definește cc grupul de simetrie al unui unghi dreptunghi care nu este pătrat. Notând cu și simetriile în raport cu cele două axe de simetrie ale dreptunghiului; o=o este simetria în raport cu centrul dreptunchiului.

Avem D2={1,,,o} cu

2=1

2=1

o=o

Grupul D2 se numește de obicei grupul Klein. Se vede că elementele x D2 cu x2=1, x≠1 sunt , și . Prin urmare D2 are trei subgrupuri de ordin 2, anume: {1,}, {1,}, {1,·} și laticea subgrupurilor lui D2 se reprezintă prin:

D2

{1,} {1,} {1,·}

{1}

Deoarece D3 se poate scufunda in S3 și |D3|=|S3|=6 rezultă D3S3. Din relațiile =1, =1 și = se calculează imediat tabla de multiplicare a grupului D4={1, , , , , , ,} și se obține:

Din tabla legii se observă că D4 este necomutativ. Ordinele elementelor din D4 sunt ord 1=1, ord =4, ord =2, ord =4, ord =ord = = ord = 2. Subgrupurile de ordin 2 ale lui D4 sunt: {1,}, {1,}, {1,}, {1,}, {1,}. Subgrupurile de ordin 4 ale lui D4 pot fi ciclice: H<a> cu ord a=4 sau de tipul grupului lui Klein: H=<a, b> cu ord a=ord b=2 si ab=ba. Este clar că {1, , , } este singurul grup ciclic de ordin 4 al lui D4 iar subgrupurile de tipul grupului lui Klein ale lui D4 sunt {1,, , } și {1,, , }. Următoarea diagramă descrie laticea subgrupurilor lui D4.

{1}

{1, } {1, } {1, } {1, } {1,}

{1,, , } {1, , , } {1,, , }

D4

Grupul D5 se definește ca fiind grupul de simetrie al unui pentagon regulat D5={1, , , ,, , , , , } unde este rotația în jurul centrului O și simetria față de una din axele de simetrie ale pentagonului.

D

D5 este grup necomutativ.

§5. Grupul cuaternionilor Q

Considerăm matricile complexe: , și notând cu l matricea identică, observăm că: j4=l, j2= k2, kj= j3k. Datorită acestor relații mulțimea Q={l, j, j2, j3, k, jk, j2k, j3k} este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricilor.

Cum înmulțirea matricilor din M2 (C) este asociativă la fel va fi si operația indusă pe Q.

Pe tabela de multiplicare a legii de compoziție induse de înmulțirea matricilor pe Q se observă că 1 este element neutru și că orice element admite invers.

Așadar Q este grup în raport cu această lege de compoziție indusă, numit grupul cuaternionilor. Acest grup este necomutativ. Laticea subgrupurilor lui Q este:

Q

{l, k, j2, j2k} {l, j, j2, j3} {l, jk, j2, j2k}

{j, j2}

{l}

Conform tabelei sale de înmulțuire are un unic subgrup de ordinul 2, anume {l,j2} și trei sungrupuri ciclice de ordinul 4.

§6. Grupul Zn

Pe mulțimea Z/nZ=Zn a claselor de congruență modulo n s-a introdus legea de compoziție + = și s-a demonstrat că în capitolul 1 că Zn cu legea de compoziție de mai sus este grup abelian. Întotdeauna când va fi vorba de grupul Zn, legea de compoziție pe grup va fi această adunare a claselor.

În 2.1.5. s-a arătat că aZn este generator al grupului Zn dacă și numai dacă (a,n)=1 iar în 1.2.13. s-a demonstrat că n și m sunt numere naturale prime între ele atunci produsul direct ZnxZm este izomorf cu grupul aditiv Znm.

2.6.1. EXERCIȚIU.

Să se studieze grupurile Zn și Zn1xZn2x … xZnk cu mai puțin de 11 elemente.

Grupul Z1 se definește ca fiind grupul de ordinul 1: Z1={}

Grupul Z2 este grupul de ordinul 2 Z2={,}

Tabla operației induse pe Z2 este:

Subgrupurile lui Z2 sunt Z1 și Z2.

Grupul Z3 se definește ca fiind grupul de ordinul 3 Z3={0, 1, 2}.

Tabla operației induse pe Z3 este:

Subgrupurile lui Z3 sunt: Z1 și Z3.

Grupul Z4={,,,}

Tabla operației induse pe Z4 este:

Subgrupurile lui Z4 pot avea ordinele 1, 2 sau 4 și sunt:H1={}=<>;H2={,} și H3={,,,}=<>.

Știm din teorema lui Cayley că orice grup finit este izomorf cu un grup de permutări. Să transpunem acest rezultat în cazul grupului aditiv al claselor de resturi modulo 4, indicând efectiv grupul de permutări cu care acesta este izomorf. Dacă Z4={,,,} notăm cu 1, cu 2, cu 3 și cu 4. Avem f1:{1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4}, f1(k)=1+k (1+k nu reprezintă adunarea uzuală ci legea din grupul G, adică adunarea claselor de resturi cu simbolurile 1 și k).

f1(1)=1+1=+==1

f1(2)=1+2=+==2

f1(3)=1+3=+==3

f1(4)=1+4=+==4.

Așadar

Avem f2:{1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4}, f2(k)=2+k

f2(1)=2+1=+==2

f2(2)=2+2=+==3

f2(3)=2+3=+==4

f2(4)=2+4=+==.1

Așadar

Analog deducem că și . Așadar pe mulțimea compunerea definește o structură de grup, izomorf cu grupul claselor de resturi modulo 4.

Grupul Z2xZ2 se definește (conform cu 1.2.12.) ca fiind grupul:

Z2xZ2={(,);(,);(,);(,)} iar subgrupurile sale sunt:

H1={(,)} subgrup de ord 1

H2={(,);(,)} subgrup de ord 2

H3=Z2xZ2 subgrup de ord 4

Tabla operației induse pe Z2xZ2 este:

Grupul Z5 este grupul de ord 5 Z5={,,,, }. Tabla

operației induse este:

Subgrupurile lui Z5 sunt: H1={}=<> subgrup de ordinul 1 și Z5={,,,, }=<><><><> subgrup de ord 5.

Grupul Z6 este de ord 6 și se definește astfel: Z6={,,,, ,}.

Tabla operației induse este:

Subgrupurile lui Z6 sunt:

H1={}=<> subgrup de ord 1

H2={,}=<> subgrup de ord 2

H3={,, }=<>=<> subgrup de ordinul 3

Z6={,,,,,}=<>=<> subgrup de ordinul 6.

Grupurile Z2xZ3 și Z3xZ2 sunt izomorfice cu Z6.

Grupul Z7 este grupul de ordinul 7: Z7={,,,, ,,}. Tabla operației este:

Subgrupurile lui Z7 sunt:

H1={}=<> subgrup de ord 1

Z7={,,,, ,,} subgrup de ordinul 7

Z8 este grupul de ordinul 8; Z8={,,,, ,,,}

Subgrupurile lui Z8 sunt:

H1={}=<> subgup de ordinul 1

H2={,}=<> subgup de ordinul 2

H3={, , , }=<> subgup de ordinul 4

H4= Z8=<>=<>=<

Grupul Z4 x Z2 este grupul de ordinul 8:

Z4 x Z2 = {,} {,} {,} {,} {,} {,} {,} {,}

Grupul Z4 x Z2 este izomorf cu D4 deoarece funcția: f: D4Z4 x Z2, f(xiyj)=(i,j) este un izomorfism al celor doua grupuri.

Grupul Z2 x Z4 este grupul de ordinul 8:

Z2 x Z4 = {,} {,} {,} {,} {,} {,} {,} {,}

Grupul Z2 x Z2 x Z2 este grupul de ordinul 8:

Z2 x Z2 x Z2 = {(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)}

Grupul Z9 este grupul de ordinul 9:

Z9={,,,, ,,,,}

Grupul Z3 x Z3 este grupul de ordinul 9:

Z3 x Z3={(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)}

Grupul Z10 este grupul de ordinul 10:

Z10={,,,, ,,,,,}

Grupurile Z2 x Z5 și Z5 x Z2 sunt izomorfice cu Z10 deoarece 2 și 5 sunt prime între ele.

Z11={,,,, ,,,,,, } este grup de ordinul 11.

Capitolul III. GRUPURI FINITE DE ORDIN

MAI MIC SAU EGAL CU 11

§1. Enumerarea tipurilor de grupuri de ordin mai mic sau egal cu 11

Fie G un grup. Clasa tuturor grupurilor izomorfe cu G se numește tipul grupului G. Așadar două grupuri sunt izomorfe dacă și numai dacă au același tip. Intuitiv este clar că o proprietate adevărată pentru un grup G rămâne adevărată pentru grup izomorf cu G. din acest motiv, de regulă nu se face distincție între două grupuri izomorfe. Pentru orice număr întreg pozitiv n se notează cu v(n) numărul tipurilor de grupuri de ordin n. pentru funcția v se cunosc diferite majorări ale sale și unele dintre aceste majorări rezultă din teoremă lui Cayley: v(n)≤2 n!

3.1.1. PROPOZIȚIE

Există cel puțin un grup de ordinul n.

DEMONSTRAȚIE.

Pentru fiecare număr întreg pozitiv n, mulțimea Un={y∈ℂ/ zn=1} a tuturor rădăcinilor de ordin n ale lui 1, este un grup de ordinul n în raport cu înmulțirea numerelor complexe, deci propoziția este adevărată.

Într-adevăr, dacă z și z’∈ Un avem: (z∙ z’)n= z n ∙ z’n=1∙1=1 deci z∙ z’∈ Un.

Apoi (z-1)n=(z n) –1=1–1=1 deci z-1∈ Un și 1∈ Un. Deci există cel puțin un grup de ordinul n.

Pentru orice număr prim p, avem v(p)=1. Aceasta rezultă imediat din teoremele 2.2.3. și 2.1.12.

3.1.2. PROPOZIȚIE

Să se arate că dacă toate elementele nenule ale unui grup G sunt de ordinul 2, atunci G este abelian. Mai mult, dacă G este finit, atunci ordinul său este o putere a lui 2.

DEMONSTRAȚIE.

Relația x2=e implică x-1=x. Dacă x și y sunt elemente din G, obținem xyx-1y-1= xyxy=(xy)2=e și deci xy=yx.

Fie G de ordin finit. Vom dovedi prin inducție că ordinul său este o putere a lui 2. Acest lucru este adevărat dacă G este trivial (G={e}). Să presupunem acum G≠{e}; atunci există în G un element x≠e. Cum ordinul lui x este 2, rezultă că subgrupul generat de x este <x>={e, x}. Acest subgrup este normal în G căci G este comutativ. Grupul G/<x> este de ordin strict mai mic decât ordinul lui G, iar toate elementele nenule ale sale sunt de ordin 2. Conform ipotezei de inducție, ordinul lui G/<x> este 2n și astfel, conform teoriei lui Lagrange, ordinul lui G este 2 n+1.

3.1.3. PROPOZIȚIE

Orice grup cu 4 elemente este izomorf fie cu grupul aditiv Z4, fie cu grupul lui Klein.

DEMONSTRAȚIE.

Fie G un grup cu 4 elemente. Deoarece ordinul oricărui element din G divide ordinul grupului, rezultă că un element din G, diferit de e, poate avea ordinul 2 sau 4.

Fie G = {e, x, y, z} grupul dat. Avem două posibilități:

1. Există în G un element diferit de e (fie el x) având ordinul 4. În acest caz G = {e, x, x2, x3} și deci G este izomorf cu Z4.

2. Toate elementele diferite de e din G au ordinul 2. Atunci grupul G este comutativ. Dacă luăm elementele x, y∈G, atunci elementele xy (=yx) aparține lui G și este diferit de x și y. De asemenea, xy≠e, în caz contrar x=y-1=y, absurd. Deci z=xy și astfel G= {e, x, y, xy} izomorf evident cu grupul lui Klein.

Observație.

Pentru a identifica un grup cu 4 elemente, se procedează conform celor de mai sus, în modul următor: luăm un element diferit de e; dacă ordinul său este 4, atunci grupul este de tip Z4; dacă ordinul său este 2, atunci luăm un alt element diferit de e; dacă și acesta are ordinul 2, atunci grupul este de tip Z2x Z2.

3.1.4 PROPOZIȚIE

Orice grup de ordinul 6 este izomorf fie cu grupul aditiv Z6, fie cu grupul S3 al permutărilor unei mulțimi cu 6 elemente.

DEMONSTRAȚIE.

Ordinul unui element diferit de e din grupul G cu 6 elemente poate fi 2, 3 sau 6. Dacă există în G un element de ordinul 6, atunci G este izomorf cu Z6. Dacă orice element x≠e ar avea ordinul 2, ar rezulta că G are 2m elemente, contradicție. Deci există în G un element x≠e de ordinul 3. Astfel în G apar elemente distincte e, x, x2, iar x3=e. Fie y un alt element din G. Dacă y ar avea ordinul 3, atunci în G apar 9 elemente distincte: e, x, x2, y, xy, x2y, y2, xy2, x2 y2, contradicție. Deci y trebuie să aibă neapărat ordinul 2 sau 6. Să presupunem că y are ordinul 2. În acest caz apar 6 elemente distincte: e, x, x2, y, xy, x2y.

Elementul yx∈G trebuie să coincidă cu unul din acestea 6. Prin verificare directă se arată că yx≠e, x, x2, y. rămân doar două cazuri:

a) xy=yx, în care caz luând t=xy, obținem că t are ordinul 6 deci G este izomorf cu Z6;

b) yx= x2y. În acest caz funcția f:GS3 dată de f(x) = și f(y) = și extinsă la G prin multiplicare, este un izomorfism de grupuri, ceea ce se constată imediat.

3.1.5. PROPOZIȚIE

Orice grup abelian cu 8 elemente este izomorf, fie cu Z8, fie cu produsul direct Z4xZ2, fie cu produsul direct Z2xZ2xZ2.

DEMONSTRAȚIE.

Fie G un grup comutativ cu 8 elemente. Ordinele elementelor sale pot fi : 1, 2, 4 sau 8. Distingem următoarele cazuri:

a) Există în G un element de ordinul 8. În acest caz este clar că G este izomorf cu Z8;

b) Orice element din G are ordinul mai mic decât 8. Distingem 2 subcazuri:

b’) Există în G un element x de ordinul 4. Putem deci separa în G 4 elemente distincte: e, x, x2, x3, iar x4=e. Dintre cele 4 elemente rămase, să alegem unul, fie acesta y; de asemenea să formăm și produsele xy, x2y, x3y. Elementele e, x, x2, x3, y, xy, x2y, x3y sunt distincte după cum se poate verifica imediat. De exemplu, dacă x3y=x, rezultă că x2y=e, adică y= x2 ceea ce contrazice alegerea lui y.

Astfel să considerăm elementul y2∈G. Dacă am avea y2=x, ar rezulta că y are ordinul 8, contradicție. Dacă am avea y2=x3 ar rezulta de asemenea că y are ordinul 8, contradicție. Evident y2≠y, xy, x2y, x3y. Rămân deci două posibilități: y2=e sau y2=x2.

Dacă y2=e, atunci y are ordinul 2, și un izomorfism f între G și Z4xZ2 este dat de f(xi yj) = .

Dacă y2=x2, atunci, notând xy=z, rezultă x2y=xz, x3y= x2z; iar y= x3z; în plus z2= x2 y2= x4=e, adică z are ordinul 2. Deci în acest caz un izomorfism f între G și Z4xZ2 este dat de f(xi yj) = .

b’’) Orice element diferit de e din G are ordinul 2. În acest caz, dacă alegem două elemente x, y din G astfel încât x≠y și x, y≠e, atunci putem separa în G 4 elemente distincte: e, x, y, xy.

Dintre cele 4 elemente rămase să alegem unul, fie acesta z. Se verifică imediat că cele opt elemente din G pot fi scrise astfel: e, x, y, z, xy, xz, xyz și că în acest caz G este izomorf cu Z2xZ2xZ2 prin izomorfismul

f:G Z2xZ2xZ2 f(xi yj zk)= .

3.1.6. RPOPOZIȚIE

Orice grup necomutativ cu 8 elemente este izomorf fie cu grupul cuaternonilor Q, fie cu grupul diedral cu 8 elemente, D4.

DEMONSTRAȚIE.

În propoziția anterioară s-a stabilit că există trei grupuri neiyomorfe cu 8 elemente și anume Z8, Z4xZ2,și Z2xZ2xZ2.

Rămâne să căutăm grupurile neabeliene cu 8 elemente. Dacă orice element diferit de e din G are ordinul 2, atunci este clar că grupul este abelian; de asemenea, dacă în G există un element de ordinul 8, atunci grupul este abelian.

Așadar, dacă G este neabelian, atunci există un element x∈G de ordinul 4; odată cu el, putem pune în evidență în G patru elemente distincte: e, ferite: e, x, x2, x3. Dintre celelalte patru elemente ale lui G, să alegem unul, fie acesta y; să formăm produsele: xy, x2y, x3y. se poate verifica imediat că elementele e, x, x2, x3, y, xy, x2y, x3y sunt toate distincte; astfel ele sunt exact cele 8 elemente ale lui G.

Dacă am avea xy=yx, atunci ar rezulta că G este abelian; așadar, xy≠yx.

Se poate verifica imediat acum că elementul yx nu poate fi unul dintre elementele e, x, x2, x3, y. astfel rămân două posibilități: y2=e și y2=x2. Grupul având următoarele patru elemente: e, x, x2, x3, y, xy, x2y, x3y, unde yx= x3y iar x4=y2=e, este numit grupul diedral cu 8 elemente, este numit grupul diedral cu 8 elemente și este notat cu D4 (vezi exercițiul 2.4.8.). Grupul având următoarele 8 elemente: e, x, x2, x3, y, xy, x2y, x3y, unde yx= x3y, y2=x2, x4=e, este numit grupul cuaternonilor și este notat cu Q.

Grupul diedral D4 are două elemente, x și x3,de ordinul 4, iar elementele x2, y, xy, x2y, x3y au ordinul 2.

Grupul cuaternonilor Q are doar elementul x2 de ordinul 2, restul elementelor fiind de ordinul 4.

Astfel cele două grupuri nu sunt izomorfe.

3.1.7.PROPOZIȚIE

Orice grup cu nouă elemente este izomorf cu grupul aditiv Z9, fie cu grupul aditiv Z3xZ3.

DEMONSTRAȚIE.

Fie G un grup cu nouă elemente; orice element al său diferit de e, are deci ordinul 3 sau 9. Distingem două cazuri:

1. În G există un element de ordinul 9; în acest caz este clar că G este ciclic și deci este izomorf cu Z9.

2. Toate elementele diferite de e au ordinul 3. În acest caz, fie x≠e un element; atunci elementele e, x, x2 sunt distincte și x3=e. Fie y un alt element din G (adică y≠e, x, x2). Atunci în G există elementele: e, x, x2, y, xy, x2y, y2, xy2, x2y2 diferite două câte două; deci acestea sunt toate elementele lui G. să considerăm elementul yx∈G; acesta trebuie să coincidă cu unul din cele de mai sus. Evident yx≠e, x, x2, y, y2. Dacă am avea yx= x2y atunci xyx=y. Deducem (xy)2=xyx·y=y2 deci e=(xy)3=xy(xy)2=xy·y2=x contradicție. Dacă am avea yx = x2y2, atunci (yx)2=yx·x2y2=e, adică yx are ordinul 2, contradicție. Rămâne doar o posibilitate, ca yx=xy, și astfel grupul G este comutativ. Observăm că putem scrie orice element din G sub forma xiyi cu 0≤i<3, 0≤j<3. Se verifică imediat că aplicația f:G Z3xZ3 dată de f(xiyj)= este un izomorfism de grupuri.

3.1.8. PROPOZIȚIE

Orice grup cu 10 elemente este izomorf fie cu Z10, fie cu grupul diedral D5.

DEMONSTRAȚIE.

Fie G un grup având 10 elemente; elementele grupului pot avea ordinele: 1, 2, 5 sau 10. Distingem mai multe cazuri:

a) Dacă în G există un element de ordinul 10, atunci G este ciclic și deci izomorf cu Z10.

b) Orice element diferit de e din G are ordinul mai mic decât 10. În acest caz există un element x din G, de ordinul 5. Într-adevăr, conform celor stabilite în propoziția 3.1.2., dacă toate elementele diferite de e din G ar avea ordinul 2, atunci G ar avea 2m elemente, iar 10 nu se poate scrie sub forma 2m cu m∈ℕ. Așadar în G există elemente distincte: e, x, x2, x3, x4 iar x5=e. Dintre celelalte 5 elemente să luăm unul, fie acesta y. Să formăm produsele xy, x2y, x3y, x4y. atunci în G apar 10 elemente distincte: e, x, x2, x3, x4, y, xy, x2y, x3y, x4y și astfel G coincide cu mulțimea acestor elemente. Elementul yx∈G este evident diferit de e, x, x2, x3, x4, y.

b’) Să presupunem că yx=xy. Atunci grupul G este comutativ. Dacă y ar avea ordinul 5 atunci în G am avea 25 elemente distincte xiyj, 0≤I, j<5 ceea ce este absurd. Deci y are ordinul 2, adică y2=e. în acest caz putem stabili un izomorfism: f:G Z5x Z2, f(xiyj)= . Însă se știe că Z5x Z2 este izomorf cu Z10.

b’’) Să presupunem că yx=x4y, deci G nu este comutativ. Dacă y ar avea ordinul 5, ținem seama că yx poate avea ordinul 2 sau 5; obținem succesiv: (yx)2=yx∙yx=x4yx4y=x4x4yx3y=x3x4yx2y=x2yx2y=x2∙x4y∙xy=xy∙xy=x5y2=y2≠e. (yx)5=yx(yx)2(yx)2=yx∙y2y2=x4y5= x4≠e, contradicție. Astfel y are ordinul 2. Acest grup este numit grupul diedral cu 10 elemente notat D5 (exercițiul 2.4.8.).

b’’’)Să presupunem că yx=x2y; atunci se poate stabili ușor că (yx)2=xy2; (yx)4=y4; (yx)5=x2y5. Dacă am presupune că y are ordinul 2, ar rezulta că (yx)2=x≠e, deci yx are ordinul 5; însă atunci e=(yx)5=x5y5=x2y de unde y=x3 ceea ce contrazice alegerea lui y. deci acest caz nu este posibil.

bIV) Să presupunem că yx=x3y; atunci se poate stabili ușor că (yx)2=x2y2 ; (yx)4=y4, (yx)5=x3y5.Dacă am presupune că y are ordinul 5, ar rezulta că (yx)5=x3≠e deci yx ar avea ordinul 2; însă atunci e=(yx)4=y4 deci ordinul lui y ar divide pe 4, absurd. Dacă am presupune că y are ordinul 2, ar rezulta că (yx)2=x2≠e deci yx ar avea ordinul 5; însă atunci e=(yx)5=x3y5=x3y, de unde y=x2 ceea ce contrazice alegerea lui y. Deci nici acest caz nu este posibil.

În concluzie, putem afirma că grupurile neizomorfe cu 10 elemente sunt în număr de două: Z10 (comutativ) și D5.

NOTĂ: În continuare vom enumera tipurile de grupuri (neizomorfe) cu n elemente 1≤n≤11.

Dacă n=1 atunci avem un singur tip de grup și anume Z1.

Dacă n=2 atunci avem un singur tip de grup cu două elemente și anume Z2.

Dacă n=3, de asemenea avem un singur tip de grup, anume Z3.

Dacă n=4, avem două tipuri de grupuri, ambele comutative, Z4 și Z2xZ2.

Dacă n=5, avem un singur tip de grup, anume Z5.

Dacă n=6, avem două tipuri de grup, unul comutativ, Z6 iar celălalt
necomutativ S3.

Dacă n=7, avem un singur tip de grup, anume Z7.

Dacă n=8, avem 5 tipuri de grup: trei comutative, anume Z8, Z4x Z2, Z2xZ2xZ2 și două necomutative, anume D4 și Q.

Dacă n=9, avem două tipuri de grup, ambele comutative, anume Z9 și Z3xZ3.

Dacă n=10, avem două tipuri de grup, unul comutativ Z10 și unul necomutativ D5.

Dacă n=11, avem un singur tip de grup, anume Z11.

Așadar pentru n, 1≤n≤11 există 19 tipuri de grupuri: Z1, Z2, Z3, Z4, Z2xZ2, Z5, Z6, S3, Z7, Z8, Z4x Z2, Z2xZ2xZ2, D4, Q, Z9, Z3xZ3, Z10, D5, Z11.

§2 PRODUSE SEMIDIRECTE

3.2.1. Dacă G este un grup notăm:

Aut(G)={τ:GG/ τ automorfism}.

Dacă σ, τ∈Aut(G), atunci evident στ∈Aut(G).

Aut(G) împreună cu compunerea morfismelor formează un grup numit automorfismelor lui G.

Dacă g∈G, atunci τg:GG, definită prin τg (x)=gxg-1 este un automorfism al lui G. Într-adevăr, dacă x, x'∈G atunci τg(xx')=gxx'g-1=gxg-1gx'g-1= τg(x)∙ τg(x') deci τg este un morfism de grupuri. Mai mult, τg este bijectivă. Fie x, x'∈G astfel încât τg(x)= τg(x') atunci gxg-1=gx'g-1 de unde x=x'. Așadar τg este injectivă. Dacă avem y∈G, atunci
τg(g-1yg)=gg-1ygg-1=y și deci τg este surjectiv. Avem că τg∈Aut(G) și-l vom numi automorfism interior. Notăm Int(G)={τg/g∈G}.

Dacă τg, τg'∈Int(G) atunci τg τg'=τgg' aparțin lui Int(G), deoarece (τgo τg')(x)= τg(τg'(x))=g τg'(x)g-1=(gg')xg'-1g-1=(gg')x(gg') -1=τgg'(x), oricare x∈G. Mai mult, 1G=τe∈Int(G) și (τg)-1=τg-1. Deci Int(G) este un subgrup al lui Aut(G), numit grupul automorfismelor interioare ale lui G.

3.2.2.Fie G un grup și H, K subgrupuri ale lui G. Atunci G este produsul direct al subgrupurilor H, K dacă H și K sunt normale în G, HK={e}, HK=G.

În acest caz structura grupului G este complet determinată de cea a grupurilor H și K; orice element din G se scrie sub forma hk cu h∈H și k∈K și pentru h, h'∈H, k, k'∈K avem (hk)(h'k')=(hh')(kk'). Echivalent se formează grupul HxK (produsul direct al grupurilor H și K) și aplicația HxKG (h, k)hk este un izomorfism de grupuri.

3.2.3. Ca o generalizare a acestor considerații apare noțiunea de produs semidirect. Spunem că G este produsul semidirect al subgruprurilor H și K dacă H este normal în G, HK={e}, HK=G. În această situație, deoarece H este normal în G, grupul K acționează pe mulțimea elementelor lui H prin conjugare: HxKH (h, k)kh=khk-1∈H. Pentru fiecare k∈K, aplicația HH, hkh=khk-1 este indusă pe H de automorfismul interior τk al lui G, deci este un automorfism al lui H. Rezultă că reprezentarea prin permutări asociată acțiunii lui K pe H este un omomorfism de grupuri φ:KAut(H) (pentru k∈H, h∈H, avem φk(h)= φ(k)(h)= kh=khk-1). Structura grupului G este complet determinată de cea a grupurilor H și K și de omomorfismul φ. Într-adevăr, orice element din G se scrie în mod unic sub forma hk, h∈H, k∈K și pentru h, h'∈H, k, k'∈K, avem: (hk)(h'k')=hkh'k1kk'=(hφk(h'))(kk').

3.2.4.Fie H și K grupuri arbitrare și φ:KAut(H) un omomorfism de grupuri. Vom construi un grup G astfel ca G să fie produs semidirect al grupurilor H', K', H'≅H, K'≅K și identificând H' cu H și K' cu K, omomorfismul φ':K'Aut(H') indus de acțiunea lui K' pe H' să coincidă cu φ. Pentru aceasta luăm G={(h, k)/h∈H, k∈K} și definim multiplicarea pe G prin: (h, k)(h', k')=(hφk(h')kk'). Axiomele grupului se verifică astfel:

((h,k)(h'k'))(h''k'')=(hφk(h'),kk')(h'',k'')=(hφk(h')φkk'(h''),kk'k'')=(hφk(h'φk'(h'')),kk'k'') = (h,k)(h'φk'(h''),k'k'')=(hk)((h',k')(h'',k'')

(h,k)(e,e)=(hφk(e),k)=(h,k)=(eφe(h),k)=(e,e)(h,k) deci elementul unitate din G este (e,e).

(h,k)(φk-1(h-1),k-1)=(hφkφk-1(h-1),kk-1)=(hφe(h-1),e)=(hh-1,e)=(e,e)=(φk-1(e),e)=
(φk-1(h-1),φk-1(h),k-1k)=(φk-1(h-1),k-1)(h,k) deci inversul elementului (h,k) din G este (φk-1(h-1),k-1). Grupul G astfel definit se notează HxφK și se numește produsul semidirect al grupurilor H și K relativ la φ.

Dacă omomorfismul φ este trivial, deci φk(h)=h pentru orice h∈H, k∈K, atunci, evident, produsul semidirect HxφK coincide cu produsul direct obișnuit HxK.

Aplicațiile α:HG, β:KG, definite prin α(h)=(h, e) și β(k)=(k, e), h∈H și k∈K, sunt evident omomorfism de grupuri injective astfel că H'=Im α și K'=Im β sunt subgrupuri ale lui G izomorfe cu H și K, respectiv. De asemenea, se verifică imediat că G este produsul semidirect al subgrupurilor H' și K'.

Considerând și omomorfismul φ':K'Aut(H') indus de acțiunea lui K' pe H', avem:

φ'(e, k)(h, e)=(e, k)(h, e)(e, k)-1=(e, k)(h, k-1)=(φk(h),e) prin urmare identificând H și K cu imaginile lor H' și K' prin α și β, respectiv, avem, φ'=φ.

3.2.5.Să calculăm acum grupurile de automorfisme ale unor grupuri ciclice.

Știm că dacă G este un grup ciclic de ordin n, atunci G este izomorf cu grupul (Zn,+) al claselor de resturi modulo n. Mai mult, ∈Zn este generator dacă și numai dacă (k, n)=1. Deci dacă G=<a>={e, a, …, an-1} este grup ciclic, a fiind generator al său, atunci ak este generator al lui G dacă și numai dacă (k, n)=1.

PROPOZIȚIE.

Dacă G=<a> este grup ciclic, iar σ:GG este un automorfism al său, atunci σ(a) este de asmenea un generator al lui G.

DEMONSTRAȚIE.

Fie G={e, a, a2, …, an-1} este un grup ciclic de ordin n, a un generator al său și σ:GG un automorfism. Cum σ este un morfism injectiv, atunci din ak≠ae rezultă că (σ(a))k≠( σ(a))e și cum σ(G)={e, σ(a), …, σ(an-1)}⊂G deci: G={e, σ(a), …, σ(an-1)}.

Deci σ(a) este generator al lui G.

Dacă G={e, a} este grup ciclic de ordinul 2, atunci din propoziția precedentă rezultă că Aut(G)={1} unde 1 este morfismul identic al lui G.

Dacă G={e, a, a2} este grup ciclic de ordinul 3, generatorii lui sunt a și a2. Deci Aut (G)={1, σ}} unde 1 este morfismul identic iar σ:GG este definit prin σ(e)=e, σ(a)=a2, σ(a2)=a. deci Aut(G)≅Z2.

Dacă G={e, a, a2, a3} este grup ciclic de ordinul 4, generatorii lui sunt a și a3. Deci Aut(G)={1, σ} unde 1 este morfismul identic iar σ:GG este definit prin σ(e)=e, σ(a)=a3, σ(a2)=(σ(a))2=(a3)2=a6=a4a2=ea2=a2, σ(a3)=a. deci Aut(G)≅Z2.

Dacă G={e, a, a2, a3, a4} este grupo ciclic de ordinul 5, atunci generatorii săi sunt a, a2, a3, a4. Atunci Aut (G)={1, σ1, σ2, σ3} unde 1 este morfismul identic iar σ1(a)=a2, σ2(a)=a3, σ2(a)=a4. Să explicităm pe elemente cum acționează morfismele σ1, σ2, σ3:

σ1(e)=e, σ1(a)=a2, σ1(a2)=( σ1(a))2=a4, σ1(a3)=( σ1(a))3=a6=a5a=ea=a

σ1(a4)=( σ1(a))4=a8=a3.

σ2(e)=e, σ2(a)=a3, σ2(a2)=a, σ2(a3)=a4, σ2(a4)=a2

σ3(e)=e, σ3(a)=a4, σ3(a2)=a3, σ3(a3)=a2, σ3(a4)=a.

Cum Aut(G) este grup cu patru elemente și este ciclic rezultă că Aut(G) ≅Z4.

Fie G={e, a, b, c} grupul lui Klein, unde tabla legii este:

Acest grup este izomorf cu grupul produs (Z2x Z2,+). Mai mult, avem că: c=ab=ba deci G={e, a, b, ab}. Să descriem grupul Aut(G). Un automorfism al lui G este determinat de imaginile elementelor sale a și b. Orice autotmorfism al lui G este de forma unei permutări, elementele din linia de jos fiind corespunzătoarele prin automorfism ale celor din linia întâia.

, ,

, ,

,

3.2.6. Să prezentăm acum unele din grupurile finite studiate care sunt produse semidirecte.

Fie H și K grupuri finite astfel încât ord H =3, ord K=2 adică H=<a>={e, a, a2} și K=<b>={e, b}. Fie φ:KAut(H) un morfism de grupuri, mai precis φe=1H iar φb:HH este astfel încât φb(e)=e, φb(a)=a2, φb(a2)=a. Atunci produsul semidirect HxφK={(ai, bj)/0≤i≤2, 0≤j≤1} are 6 elemente și, mai mult este grup necomutativ. Într-adevăr, (a, b)(a2, e)=(aa, b)=(a2, e). Pe de altă parte (a2, e)(a, b)=(aφb(a2),eb)=(a2a, b)=(a3, b)=(e, b). Deci (a, b)( a2, e)≠ ( a2, e) (a, b). Cum HxφK este grup necomutativ cu 6 elemente, este izomorf cu S3. Deci S3 este produsul lui H și K relativ la φ. Dacă φ este morfismul trivial, atunci produsul semidirect al lui H și K relativ la acesta ne va da produdul semidirect al lui H și K relativ la aceasta ne va da produsul direct obișnuit HxK care este izomorf cu Z6. Deci grupurile cu 6 elemente sunt produse semidirecte (un tip relativ la morfismul netrivial φ, iar celălalt tip relativ la morfismul trivial).

Fie H și K grupuri finite, ord H=5, ord K=2

CAPITOLUL IV. APLICAȚII ALE

GRUPURILOR FINITE

§1. GRUPUL DE SIMETRIE AL UNEI FIGURI FINITE

O mulțime F de puncte din spațiul tridimensional care poate fi inclusă într-o sferă se numește figură finită. Cubul, mulțimea celor 5 puncte în care sunt plasați atomii moleculei de metan, CH4, cilindrul circular drept sunt exemple de figuri fixate

(Fig.1).

Simetria figurilor finite se studiază cu ajutorul transformărilor de simetrie admise. O transformare de simetrie poate fi:

Rotație proprie (rotație de unghi α în jurul unei drepte d);

Rotație improprie sau rotoreflexie (rotație de un unghi α în jurul unei drepte d, urmată de simetria față de un plan perpendicular pe dreapta d).

Spunem că o transformare de simetrie T este admisă de figura F dacă T(F)=F. Astfel rotația de unghi 2π/3 în jurul dreptei determinată de vârfurile 1 și 7 este admisă de cubul K(Fig.1, a).

Aceeași transformare de simetrie este admisă de molecula de metan care poate fi înscrisă în cub ca în Fig. 1, b. Orice rotație în jurul dreptei D este admisă de cilindrul circular drept (Fig. 3, c).

Să notăm cu O(F) mulțimea tuturor transformărilor de simetrie admise de figura finită F. Se demonstrează că O(F) formează grup în raport cu compunerea transformărilor, numit grupul de simetrie al figurii F. Rotațiile proprii din O(F) formează nu subgrup SO(F) al lui O(F), numit grupul rotațiilor proprii al figurii F.

În cazul când figura finită F poate fi inclusă într-un plan П se poate vorbi de transformările de simetrie ale planului П admise de F. În acest caz transformările de simetrie sunt rotație în jurul unui punct (rotație proprie) și simetria față de o dreaptă a planului (rotație improprie).

§2 ACȚIUNEA UNUI GRUP PE O MULȚIME

Fie G un grup multiplicativ și M o mulțime. O aplicație GxMM(a, x)a·x se numelte acțiune a grupului G pe mulțimea M dacă sunt satisfăcute axiomele:

A1) (ab)·x=a·(b·x), oricare a, b∈M;

A2) e·x=x, oricare xM, unde e este elementul neutru. Se mai spune în spune în acest caz că M este o G-mulțime.

4.2.1. Exemplu

Fie G=Sn și M={1, 2, …, n}. Dacă σ∈Sn și i∈M, atunci punem σ·I=defσ(i)∈M.

Pentru σ, π∈Sn și i∈M avem:

(σoπ)·i=(σoπ)(i)=σ(π(i))=σ·(π·i)

e·i=e(i)=i, unde e este permutarea identică.

Rezultă că aplicația

SnxMM

(σ,i)σ·i este o acțiune a grupului simetric Sn pe mulțimea M={1,2,…,n}.

4.2.2. Exemplu

Fie K un cub, M={1, 2, …, 8} mulțimea vârfurilor sale și O(K) grupul de simetrie a cubului K (Fig. 1.a). Dacă i este un vârf al cubului K iar T∈O(K), atunci T(i) este de asemenea vârf al cubului K.

Ca și în exemplul 4.2.1 se verifică ușor că aplicația

O(K) x MM

(T,i)T·i T(i) este o acțiune a grupului O(K) pe mulțimea M a vârfurilor cubului K. Analog, aplicația

SO(K) x MM

(T,i)T·i T(i) este o acțiune a grupului SO(K) al rotațiilor proprii ale cubului K pe mulțimea vârfurilor sale.

Fie G un grup și M○G-o mulțime. Pentru orice x∈M, definim:

Stab x={a∈G / a·x=x}

Orb x={y∈M / ∃a∈G, y=a·x} numite stabilizatorul lui x în G, respectiv orbita lui x. Dacă X este o mulțime finită, vom nota un cu |X| numărul elementelor sale. Dacă G este un grup nu un număr finit de elemente, atunci |G| se numește ordinul grupului G.

Orb x={ax/x∈G}

4.2.3.TEOREMĂ

Fie M o G-mulțime. Dacă |G|<∞ și |M|<∞, atunci |G|=|Stab x|∙|Orb x|, oricare ar fi x∈M.

DEMONSTRAȚIE

Aplicația

φ: GOrb x

φ(a)=a∙x, oricare a∈G este evident surjectivă. Fie H=Stab x. dacă a∈G, fie aH={ah/h∈H} și avem |aH|=|H|. Este suficient să aratam că aplicația

λ:HaH

λ(h)=ah, oricare h∈H este bijectivă. Cum λeste evident surjectivă, rămâne să mai arătăm că λ este injectivă. Dacă λ(h1)= λ(h2), atunci ah1=ah2, de unde h1=h2, deci λ este aplicație injectivă.

Fie y∈Orb x și fie a ∈G, astfel încât y=a∙x=φ(a). Avem φ-1(y)=aH. Într-adeva, dacă b∈aH, b=ah, cum h∈H, atunci φ(b)=b∙x=(ah) ∙x=a∙(h∙x)=a∙x=y, deci b∈ φ-1(y), de unde aH⊆φ-1(y). Reciproc, b∈ φ-1(y), atunci b∙x=φ(b)=y=a∙x, deci (a-1b) ∙x=x, de unde a-1b=h∈H.

Așadar, b=ah∈aH, deci φ-1(y)⊆aH. În definitiv, φ-1(y)=aH. Deducem că
|φ-1(y)|=|aH|=|H|=|Stab x|, oricare y∈Orb x. Cum φ-1(y1)⋂ φ-1(y2)=∅, oricare ar fi y1≠y2 avem: |G|.

4.2.4. Aplicație

Ordinul grupului SO(K) al rotațiilor proprii ale unui cub K.

Fie M={1, 2, …, 8} mulțimea vârfurilor cubului K (Fig. 1.a.). Aplicația SO(K)xMM (T,i)T∙i=T(i)∈M este o acțiune a grupului SO(K) pe mulțimea vârfurilor cubului K.

Să determinăm stabilizatorul vârfului 1 în grupul SO(K). Dacă T∈Stab 1, atunci centrul O al cubului și vârful 1 sunt puncte fixe ale transformării de simetrie T, de unde rezultă că T este o rotație în jurul dreptei d determinată de vârfurile 1 și 7. Dar singurele rotații în jurul lui d care invariază pe K sunt cele de unghiuri 0, 2π/3 și 4π/3, de unde |Stab 1|=3.

Dintre rotațiile proprii diferite de transformarea identică care invariază cubul K distingem (Fig. 2).

(α) rotațiile de unghiuri 2π/3 și 4π/3 în jurul unei diagonale a cubului, în total 8 asemenea transformări

(β) rotația de unghi π în jurul unei drepte care trece prin mijloacele de muchii opuse, în total 6 asemenea transformări.

(y) rotațiile de unghiuri π/2, π, și 3π/2 în jurul unei drepte care trece prin centre de fețe opuse, în total 9 asemenea transformări.

Am pus în evidență 1+8+6+9=24 rotații proprii admise de cub. Să arătăm că altele nu mai există.

Într-adevăr, se observă că pentru orice vârf i al cubului K există o rotație proprie T, dintre cele deja enumerate, astfel încât T(i)=i. Se deduce că Orb 1=M de unde |SO(K)|=|Stab 1|∙|Orb 1|=3x|M|=3∙8=24.

4.2.5. Aplicație.

Ordinul grupului rotațiilor proprii ale moleculei CH4.

Să notăm cu G grupul rotațiilor proprii admise de molecula CH4 și fie
N={1, 3, 6, 8} mulțimea vârfurilor cubului în care sunt plasați atomii de H (Fig. 1. b). Dacă T∈G și i∈N, atunci T(i)∈N, așadar putem defini aplicația

G x NN

(T, i)T∙i=T(i)∈N

care definește o acțiune a grupului G pe N. Fie T∈G o rotație proprie care lasă pe loc atomul de H din vârful 1. Cum T lasă pe loc și atomul de C rezultă că T este rotația de unghi 0, 2π/3 sau 4π/3 în jurul axei determinate de vârfurile 1 și 7. Se deduce că stabilizatorul lui 1 în G are 3 elemente.

Transformarea identică, rotațiile de tip (α) (în total 8) și rotațiile de unghi π de tip (y) (în total 3) sunt admise de molecula de CH4.

Am pus în evidență astfel 1+8+3=12 rotații proprii admise de molecula CH4. Pentru orice i∈N există o rotație proprie T (dintre cele enumerate) astfel încât T(1)=i. Rezultă că Orb 1=N, de unde |G|=|Stab 1|·|Orb 1|=3×4=12.

4.2.6. Aplicație Grupul diedral D6.

Fie P6 un poligon regulat cu 6 laturi și fie D6=O(P6) grupul de simetrie al lui P6.

Fie M={1, 2, 3, 4, 5, 6} mulțimea vârfurilor hexagonului P6 (Fig. 3). Elementele grupului D6 sunt rotații în jurul centrului de simetrie O al hexagonului regulat sau simetrii față de drepte care trec prin O. Se deduce că pentru orice T∈D6 și i∈M, avem T(i)∈M.

Putem deci defini aplicația:

D6xMM

(T,i)T∙i=T(i)∈M. Care este o acțiune a lui D6 pe mulțimea vârfurilor hexagonului regulat.

Fie R rotația de unghi 2π/6=π/3 în jurul lui O (în sens invers acelor ceasornicului) și simetria S față de dreapta d0 (Fig. 3). Evident R∈D6 și S∈D6.

Se observă că Rh∙1=Rh(1)=h+1, 0≤h≤6, de unde rezultă că Orb 1=M.

Se mai observă că Stab 1={E, S} unde E este transformarea identică. Deducem că |D6|=|Stab 1|∙|Orb 1|=2×6=12.

Se observă că Rh este rotația de unghi 2hπ/6 în jurul lui O iar Rh○S este simetria față de dreapta ce trece prin O și face unghiul hπ/6 cu d0, adică simetria față de dreapta dh, 0≤h≤6 (Fig. 3). Cum |D6|=12, deducem că

D6={E, R, R2, …, R5, S, R○S, R2○S, …, R5○S}.

Grupul de simetrie al unui poligon regulat Pn cu n laturi se notează Dn și se numește grupul diedral Dn. Ca și în cazul n=6 se arată că |Dn|=2n.

§3 METODA DE NUMĂRARE Pólya-Burnside

Fie G un grup finit pe o mulțime finită M. Fie x, y∈M. Spunem că y este G-echivalent cu x dacă y∈Orb x, adică există a∈G astfel încât y=a∙x. cum
x=a-1y∈Orb y, rezultă că și x este G-echivalent cu y. Mai mult, dacă x este G-echivalent cu y, atunci:

Orb x=Orb y, |Stab x|=|Stab y|.

Într-adevăr, dacă z ∈Orb y, atunci z=b∙y=b∙(a∙x)=(ba)x∈Orb x și deci Orby ⊆Orb x și analog Orb x⊆Orb y. Acum, din teorema 4.2.3. deducem:

|Stab x|=|G|/|Orb x|=|G|/|Orb y|=|Stab y|.

Evident, dacă Orb x=Orb y, atunci x este G-echivalent cu y. dacă x și y nu sunt G-echivalente, atunci Orb x∩Orb y=∅. Intr-adevăr în caz contrar, există z∈Orb x ∩Orb y, de unde Orb x=Orb y=Orb z. Contradicție.

Cum |M|<∞, există z1, z2, …, zq∈M astfel încât:

(*)M=Orb z1∪Orb z2∪… ∪ Orb z2, și Orb zi∩Orb zj=∅ pentru i≠j.

În adevăr, fie z1∈M. Dacă Orb z1=M, afirmația este adevărată cu q=1. În caz contrar, fie z2∈M\Orb z1 și avem Orb z1∩Orb z2=∅. Dacă Orb z1∪Orb z2=M, luăm q=2. În caz contrar, fie z3∈M\(Orb z1∪Orb z2) s.a.m.d. Se determină astfel elementele z1, z2,… , zj,… din M astfel încât: zj∈M\(Orb z1∪Orb z2∪…∪Orb zj-1), j≥2.

Cum zk=e∙ zk∈Orb zk, avem |Orb zk|≥1, oricare ar fi k≥1. Există q≥1astfel încât: M=Orb z1∪Orb z2∪…∪Orb zq căci astfel se obține contradicția:

j≤|Orb z1|+|Orb z2|+…+|Orb zj|<|M|, oricare ar fi j∈ℕ.

Spunem că două elemente din M sunt de același tip dacă sunt G-echivalente. Din (*) rezultă că numărul tipurilor distincte de elemente din M este egal cu numărul q al orbitelor distincte. G. Pólya a elaborat metode eficiente de calcul pentru numerele |Fix a|, a∈G, unde Fix a={x∈M/a·x=x}, ceea ce face operant următorul rezultat al lui Burnside pentru determinarea numărului orbitelor distincte ale unei G-mulțimi finite.

4.3.1.TEOREMĂ (Burnside).

Dacă M este o G-mulțime finită, atunci , unde q este numărul orbitelor distincte.

DEMONSTRAȚIE.

Fie |G|=m, |M|=n, a1, a2, …, am elementele lui G și x1, x2, …, xn elementele lui M. Fie S={(ai,xj)∈GxM / aixj= xj}. în tabloul de mai jos punem la intersecția liniei lui ai cu coloana xj numărul εij definit prin:

Numărul 1 se găsește de |Fix ai| ori pe linia ai și de |Stab xj| ori pe linia lui xj. în taloul considerat 1 se găsește de |S| ori, de unde =|S|=. Dacă x∈Orb z, atunci Orb x=Orb y și |Stab x|=|Stab y|. Flosind acum (*) și teorema 4.2.3., obținem:

===·==q.

4.3.2. APLICAȚIE (problema colierului).

În șase puncte egal distante de pe o sârmă circulară se montează șase pietre, care pot fi de culoare albă sau neagră. Câte tipuri de coliere pot fi obținute dacă pietrele de aceeași culoare sunt indiscernabile?. Pietrele vor fi montate în vârfurile unui hexagon regulat inscris în cercul determinat de sârma circulară (Fig.4).

Cum pentru fiecare vârf avem două posibilități (piatra albă sau neagră) rezultă că avem 26=64 posibilități de montare în ipoteza că sârma circulară este fixă. Fie M mulțimea celor 64 coliere care se obțin pe această cale și fie x un colier din mulțimea M. Rotind colierul x în jurul centrului cu un unghi egal cu 2hπ/6, 0≤h≤6 sau răsturnând colierul x în jurul uneia dintre cele 6 axe de simetrie ale hexagonului (realizarea fizică a simetriei față de o dreaptă din planul colierulrui) se obține tot un colier din M. cu terminologia adoptată, se acționează cu grupul diedral D6 pe mulțimea M,

D6xMM

(a,x)a∙x∈M

Două coliere x și y din M vor fi declarate ca fiind de același timp dacă sunt D6 echivalente, adică există a∈D6 astfel încât a∙x=y. Cu alte cuvinte, y se obține din x prin rotire în jurul centrului sau prin răsturnare. Evident, numărul tipurilor de coliere este egal cu numărul q al orbitelor acțiunii D6 asupra mulțimii M.

Pentru calculul lui q este suficient să cunoaștem numerele |Fix a|, a∈D6 (teorema 4.3.1.).

Presupunem că a este simetria S față de o dreaptă care trece prin două vârfuri opuse ale hexagonului (Fig. 5).

Dacă pentru x∈M avem S∙x=x, atunci în vârfurile 2 și 6 trebuie montate pietre de aceeași culoare. Aceeași condiție trebuie să

fie îndeplinită de vârfurile 3 și 5. Rezultă că în vârfurile 1, 2, 3 și 4 putem monta arbitrar bile albe sau negre, în total 24 posibilități, de unde |Fix S|=24.

Analog, dacă a este simetria T în raport cu o dreaptă care trece prin mijloacele a două vârfuri opuse atunci |Fix T|=23. Dacă R este rotația de unghi 2π/6 în jurul centrului O iar E este transformarea identică se observă că:

|Fix E|=23, |Fix R|=|Fix R5|=2, |Fix R2|=|Fix R4|=22, |Fix R3|=23. Cum elementele lui D6 sunt transformările Rh, 0≤h ≤6, 3 transformări de tipul lui S și 3 transformări de tipul T (aplicația 4.3.3.) rezultă că:

26+2×2+2×22+23+2×24+2×23=156

de unde ==13.

4.3.3.APLICAȚIE.

Numărul compușilor chimici care se obțin din benzen C6H6 prin reacția de substituire a hidrogenului cu radical CH3 (metil).

Cei șase atomi de C din molecula de benzen sunt plasați în vârfurile unui hexagon regulat (considerăm echivalente cele șase legături C-C) iar cei șase atomi de H în pozițiile 1, 2, 3, 4, 5, și 6 (Fig. 6, a) care de asemenea, sunt vârfurile unui hexagon regulat.

Există26=64 posibilități de a completa pozițiile 1-6 cu atomi de H sau cu radical CH3. Acțiunea grupului D6 asupra acestora este aceeași cu cea de la aplicația 4.3.2. Numărul q al orbitelor este 13, așadar se obțin 13 compuși chimici distincți, dacă includem printre ei și benzenul (cinci dintre aceștia sunt dați în Fig. 6).

4.3.4.APLICAȚIE

Numărul circuitelor electrice cu contacte care nu sunt echivalente prin permutarea intrărilor.

Fie B o mulțime cu două elemente, notate cu 0 și 1. Fie B3=BxBxB și să notăm cu F mulțimea tuturor funcțiilor f,

f:BB

(x1, x2, x3)f(x1, x2, x3)

Cum |B|=2 și |B3|=23=8, rezultă că

|F|= =28=256

Dacă λ∈S3 și f∈F, notăm cu λ∙f funcția din F pentru care avem:

(λ∙f) (x1, x2, x3)= , oricare ar fi x1, x2, x3∈B

Se verifică faptul că (λ○μ)∙f=λ∙ (μ○f) și e∙f=f, oricare ar fi λ, μ∈S3 și f∈F unde e este permutarea identică. Rezultă că aplicația

S3xFF

(λ, f) λ∙f definește o acțiune a grupului S3 pe mulțimea F. să calculăm numărul q al orbitelor. Este suficient să determinăm numerele |Fix λ|, λ∈S3. Pentru elementele grupului păstrăm notațiile adoptate în capitolul II.

Fie λ=α=. Cum (α∙f)( x1, x2, x3)=f()=f(x1, x2, x3) rezultă că α∙f=f dacă și numa dacă f(0, 1, 0)=f(0, 0, 1) și f(1, 1, 0)=f(1, 0, 1)

Așadar valorile f(0, 0, 0), f(1, 0, 0), f(0, 0, 1), f(0, 1, 1), f(1, 0, 1)și f(1, 1, 1) pot fi date arbitrar, în total 26 posibilități și apoi să definim f(0, 1, 0)=f(0, 0, 1) și f(1, 1, 0)=f(1, 0, 1). Se deduce că |Fix α|=26. Analog se arată că |Fix β|=|Fix y|=26. De asemenea |Fix e|=28, |Fix σ|=24=|Fix π|. Aplicând terorema 4.3.1. obținem:

Pentru orice funcție f:B3B se poate proiecta unn circuit electric cu contacte care să realizeze funcția f. Pentru a evita detalii inutile problemei noatre, un asemenea circuit poate fi imaginat ca o “cutie neagră” cu trei borne la intrare, la care se aplică trei impulsuri binare x1, x2, x3 și cu o bornă la ieșire care furnizează valorile f(x1, x2, x3) ale funcției f, elementele 0 și 1 corespunzând la două nivele diferite ale unei tensiuni electrice (Fig 7).

Considerațiile făcute mai sus arată că există 80 de funcții f1, f2, …, f80∈F astfel încât λ∙fi≠ fj, oricare ar fi λ∈S3 și i≠j, 1≤I, j≤80. Proiectând câte un circuit cu contacte pentru fiecare funcție fj, 1≤i≤80, restul de 256-80=176 de funcții sunt realizate de circuite care se obțin din cele 80 deja proiectate prin permutarea firelor de la bornele de la intrare (Fig. 7), operație extrem de simplă din punct de vedere tehnic.

CAPITOLUL V. PROBLEME REZOLVATE

5.1. Fie σ∈S10, σ=

Arătați că există σ1, σ2, σ3∈S10\{e} astfel încât σn= σ1n σ2n σ3n, ∀n∈ℕ, e fiind permutarea identică

Demonstrați că σ30=e.

Soluție:

O condiție suficientă pentru a avea loc relația din enunț este ca σ= σ1σ2σ3 și σiσj=σjσI pentru care orice i, j∈{1, 2, 3}. Un procedeu de determinare a unor astfel de parametri se bazează pe faptul că mulțimea {1, 2, …, 10} se descompune într-o reuniune de mulțimi disjuncte O1={1, 10}, O2={2, 6, 9}, O3={3, 8, 4, 7, 5} astfel că σ(Oi)= Oi, i=. Corespunzător fiecărei submulțimi, construim permutările σi∈S10 astfel: σi(k)= .

Prin calcul direct se verifică σ12= σ23=σ35= e și folosind punctul anterior, obținem σ30= (σ12)35 ∙ (σ23)25 ∙ (σ35)23=e

5.2. Considerăm matricile R0=, S0=, θ∈ℝ și mulțimea G={R0, Rπ, Rπ/2, R3π/2, iS0, iSπ/2, iS3π/2} G⊂(ℂ).

Să se arate că (G, ∙) este grup necomutativ;

Să se determine toate subgrupurile proprii ale lui G și arătați că acestea sunt comutative;

Să se arate că există subgrupuri proprii H⊂G și a∈G\H astfel încât G=H∪aH.

Soluție:

Avem:

G= și dacă notăm E=,I=, J=, K=, observăm că putem scrie G={±E, ±I, ±J, ±K}. Se vede imediat că I2 = J2 = K2 = -E, IJ = K = -JI, JK = I = -KJ, KI = J = -IK. De aici rezultă că înmulțirea este operație algebrică pe mulțimea G. Altfel spus, dacă notăm ℒ2 (ℂ) grupul multiplicativ al matricilor inversabile din (ℂ), mulțimea G este o parte finită și stabilă față de înmulțire a grupului ℒ2 (ℂ), ceea ce este suficient pentru a afirma că G este un subgrup al grupului ℒ2 (ℂ). Grupul G este necomutativ, căci de exemplu IJ≠JI.

Observăm că (-E)2=E, (±I)2=(±J)2=(±K)2= -E și deci (±I)4=(±J)4=(±K)4=E. Aceasta înseamnă că în grupul G elementul –E are ordinul 2, iar elementele ±I, ±J, ±K au ordinul 4. Subgrupurile proprii ale unui grup cu 8 elemente, deoarece conform teoremei lui Lagrange ordinul unui subgrup este divizor al ordinului grupului.

Orice grup cu 2 elemente este ciclic, generat de un element de ordinul 2. Cum singurul element de ordinul 2 din G este –E, rezultă că unicul subgrup cu 2 elemente al lui G este

H1=<-E>={E, -E}.

Orice grup cu 4 elemente este fie ciclic – generat de un element de ordinul 4, fie izomorf cu grupul lui Klein – în care caz posedă 3 elemente de ordinul 2.

Deoarece în G nu avem 3 elemente de ordinul 2, înseamnă că G nu poate conține subgrupuri de tip Klein, deci subgrupurile sale cu 4 elemente vor fi neapărat ciclice . Aceste subgrupuri sunt:

H2=<I>={E, I, I2, I3}={E, I, -E, -I},

H3=<-I>= H2 (deoarece –I aparține lui H2 și atunci subgrupul ciclic cu 4 elemente generat de –I va coincide cu H2),

H4=<J>={E, J, J2, J3}={E, J, -E, -J},

H5=<-I>= H2 (deoarece –I∈H4 și atunci <-J>=H4),

H6=<K>={E, K, K2, K3}={E, K, -E, -K},

H7=<-K>= H6 (deoarece –K∈H6 și atunci <-K>=H6).

În concluzieG conține ca subgrupuri proprii un subgrup cu 2 elemente și trei subgrupuri cu câte 4 elemente. Toate aceste subgrupuri sunt ciclice, deci cu atât mai mult comutative. (De altfel, orice grup comutativ de ordin ≤5 este comutativ și în particular grupurile de ordin 2 și de ordin 4 sunt comutative.)

Să luăm H=<I>={E, I, -E, -I} și a=J∈G\H.

Atunci aH={J, JI, -J, -JI}={J, -K, -J, K}, deci H⋃aH={E, I, -E, -I, J, -K, -J, K}=G.

OBSERVAȚIE: Grupul din această problemă este izomorf cu grupul cuaternionilor.

5.3. Demonstrați că, dacp subgrupul H al lui Sn conține transpozițiile (1, 2), (1, 3), …, (1, n) atunci H=Sn.

Soluție:

Trebuie să arătăm că Sn⊂H. Deoarece orice permutare σ∈ Sn este produs de transpoziții, este suficient să arătăm că orice transpoziție (i, j)∈ Sn este produs de transpoziții de tipul (1, k). Dar (i, j)=(1, i)(1, j)(1, i) și exercițiul este rezolvat.

5.4. Să se demonstreze că orice grup cu proprietatea că printre oricare trei elemente distincte ale sale există două care să comute este comutativ.

Soluție:

Este suficient să arătăm că oricare două elemente distincte x și y dintr-un grup
(G, ∙) și distincte de elementul neutru e, comută între ele.

Într-adevăr, în condițiile amintite, să observăm că elementul xy este diferit de x și de y. Așadar elementele x, y și xy sunt trei elemente din grupul G, distincte două câte două. Conform ipotezei, există printre ele două care comută.

Dacă x și y comută, problema este încheiată.

Dacă x și xy comută, avem x∙xy=xy∙x, de unde, prin simplificare la stânga cu x, obținem xy=yx, adică x și y comută.

Dacă y și xy comută, avem y∙xy=xy∙y, de unde, prin simplificare la dreapta cu y, obținem yx=xy, adică x și y comută. Cu aceasta, soluția se încheie.

5.5. Să se arate că pe orice mulțime finită se poate defini o structură de grup comutativ.

Soluție:

Fie M={x0, x1, …, xn-1} o mulțime cu n elemente, n∈ℕ* și fie funcția f:RnM f(k)=xk, oricare k∈Rn, care, evident, este bijectivă. Pe mulțimea M definim operația *:MxMM, xi* xj= xi⊕j, oricare (i, j)∈RnxRn. Este evident că mulțimea M este stabilă față de operația *. Avem și

oricare xi, xj, xk∈M avem (xi* xj)* xk= xi⊕j* xk=x(i⊕j)⊕k= xi⊕j(⊕k)= xI* xj⊕k=xi*(xj*xk) ceea ce arată că * este asociativă.

Oricare xi∈M avem xi*x0= xi⊕o= x0⊕i= xi ceea ce arată că x0 este elementul neutru al operației *.

Pentru orice i∈{ x0, x1, …, xn-1} notăm și atunci avem că xi* xi´= xi⊕(n-i)= x0= x(n-I)⊕i= xi´*xi, oricare i= și evident x0* x0= x0 adică fiecare x∈M este inversabil. Cu aceasta am arătat că (M,*) este grup. Să arătăm acum că acest grup este comutativ. Într-adevăr oricare xi, xj∈M avem xi*xj= xi⊕j= xj⊕i= xj*xi adică grupul (M,*) este comutativ.

5.6. Pentru fiecare a∈ℝ* și b∈ℝ considerăm funcțiile fa,b:ℂℂ, fa,b(z)=az+b și ga,b:ℂℂ, ga,b(z)= +b.

Să se arate că mulțimea G={fa,b/ a∈ℝ* și b∈ℝ}∪{ga,b/ a∈ℝ* și b∈ℝ} este grup în raport cu operația de compunere a funcțiilor;

Să se demonstreze că subgrupurile lui G cu două elemente sunt cele de tipul H={ f1, 0; g1, 0}, H´={ f1,0; f-1,b} și H″={f1,0; g-1,b} unde b∈ℝ.

Să se demonstreze că subgrupurile lui G cu două elemente sunt cele de tipul Kb={f1, 0; g1, 0; f-1,b; g-1,b} unde b∈ℝ.

Soluție

Se verifică ușor că

fa,b○fc,d=fac,ad+b

ga,b○gc,d=fac,ad+b

fa,b○gc,d=gac,ad+b

ga,b○fc,d=gac,ad+b

Folosind aceste relații rezultă ușor că elementul neutru este f1,0 și că orice element este inversabil.

Un subgrup H al lui G cu două elemente este de forma {f1,0; fa,b} cu fa,b○fa,b= f1,0 sau de forma {f1,0; ga,b} cu ga,b○ga,b = f1,0 adică al doilea element din subgrup trebuie să aibă ordinul 2. Folosind relațiile de la a), din fa,b○fa,b= f1,0 obținem a=1, b=0 și a=-1, b∈ℝ ceea ce trebuia verificat.

Fie K un subgrup cu patru elemente. Dacă fa,b∈K atunci f4a,b= f1,0 (într-un grup de ordin n orice element compus cu el însuți de n ori ne dă elementul neutru al grupului). Rezultă că a4=1 și a3b+ a2b+ab+b=0, sistem ce conduce la soluțiile a=1, b=0 și a=-1, b∈ℝ. Analog, dacă ga,b∈K atunci g4a,b= f1,0 și obținem soluțiile a=1, b=0 și a=-1, b∈ℝ.

Să presupunem că f-1,b1 și f-1,b2 sunt din K cu b1≠b2. Atunci f-1,b1○f-1,b2= f-1,b1-b2 ∈K și, conform celor de mai sus avem b1-b2=0 sau b1=b2, absurd.

Analog dacă g-1,b1 și g-1,b2 sunt din K cu b1≠b2 avem g-1,b1○g-1,b2= f-1,b1-b2 ∈K de unde b1=b2, contradicție. Deci grupul K conține un singur element de forma f-1,b1 și un singur element de forma g-1,b2. Din nou din f-1,b1○g-1,b2= g-1,b1-b2 ∈K rezultă că b1=b2 și totodată g1,0∈K. Deci K conține elementul neutru f1,0 și elementele de ordinul doi g1,0, f-1,b, g-1,b unde b∈ℝ.

5.7. Fie G un grup cu proprietatea următoare: G se poate scrie ca reuniune a trei subgrupori diferite de G sintre care două au câte două elemente. Să se arate că G este izomorf cu grupul lui Klein

Soluție:

Fie Hi⊂G, i∈{1,2,3} subgrupuri ale grupului G astfel încât G=H1∪H2∪H3. Cum prin enunț două dintre aceste grupuri au câte două elemente, fie H1={e, a} și H2= {e, b} unde e este elementul netru al grupului G și a≠b, a≠e, b≠e. Evident a2∈ H1 rezultă că a2≠a (dacă a2=a => a=e, contradicție) și deci a2=e. în mod analog arătăm că b2=e. Fie c∈H3, c≠a, c≠b, c≠e. Dacă ac∈H3 atunci a∈H3 și este necesar ca b∉H3 (dacă b∈H3atunci G=H3) de unde rezultă că bc∉H3 și deci bc∈H2. Dacă bc=b rezultă că c=e, contradicție, iar dacă bc=e rezultă că b∈H3, contradicție. Deducem că a, b∉H3 și de aici că și cb∉H3 de unde ca=b și cb=a (nu putem avea ca=a sau cb=b deoarece ar rezulta că c=e). Ținând cont că a2=b2=e rezultă că c=ab=ba și prin urmare H3={e, ab}. Evident (ab)2=e. Deoarece oricare x∈G, x2=e, rezultă că grupul arată astfel:

Rezultă imediat că grupul (G,∙) este izomorf cu grupul lui Klein.

5.8. Fie (G,∙) un grup necomutativ cu 8 elemente și e elementul său neutru, a∈G un element de ordinul 4 și b∈G\{a, a, a2, a3}. Să se arate că G={e, a, a2, a3, b, ba, ba2, ba3}, ab=ba3 și b2∈{e, a2}.

Soluție:

Fie H={a, a, a2, a3} subgrupul ciclic generat de elementul a și să notăm bH={b, ba, ba2, ba3}. Mulțimile H și bH au câte 4 elemente și sunt disjuncte deoarece dacă ar exista x∈bH∩H, atunci x=by, cu y∈H și de aici ar rezulta b=xy-1∈H, contradicție cu ipoteza b∈G\H. Deoarece H⊂G, bH⊂G, rezultă că bH∪H⊂G și deoarece fiecare din mulțimile bH∪H și G au câte 8 elemente, incluziunea de mai sus este chiar o egalitate. Deci G=bH∪H={e, a, a2, a3, b, ba, ba2, ba3}.

Nu putem avea ab∈H deoarece din ab=t∈H ar rezulta b=a-1t∈H, contradicție. Prin urmare ab∈bH={b, ba, ba2, ba3}. Dacă am avea ab=b ar rezulta a=e, contradicție. Dacă am avea ab=ba, având în vedere că toate elementele lui G se scriu sub forma biaj (a∈{0, 1}, j∈{0, 1, 2, 3}), ar rezulta că G este abelian, contradicție. Dacă am avea ab =ba2, ar rezulta a2b=a(ab)=a(ba2)=(ab)a2=(ba2)a2=ba4=b, adică a2=e, contradicție cu faptul că a este element de ordinul 4 în grupul G. Rămâne drept singură posibilitate ab=ba3.

Nu putem avea b2∈bH, deoarece din b2=bu cu u∈H, ar rezulta că b=u∈H, contradicție. Prin urmare b2∈H={e, a, a2, a3}. Dacă am avea b2=a atunci, ținând seama că a are ordinul 4, ar rezulta că 4 este cel mai mic număr natural cu proprietatea (b2)4=e, adică 8 este cel mai mic număr natural așa încât b8=e, deci b ar fi un element de ordinul 8 în grupul G; atunci grupul G ar fi ciclic (generat de b) și deci abelian, contradicție. Dacă am avea b2=a3, constatând ușor că și a3 are tot ordinul 4 în grupul G, conform raționamentului anterior, am ajunge la concluzia că b este element de ordinul 8 în grupul G, ceea ce ar însemna că G este ciclic, deci abelian, contradicție. Prin urmare neapărat b∈{e, a2}. Un exemplu de grup necomutativ cu opt elemente îl constituie grupul multiplicativ al cuaterionilor.

5.9. Fie G un grup abelian cu proprietatea că pentru orice n∈ℕ* ecuația xn=e are exact n soluții (distincte) în grupul G; notăm cu Un mulțimea acestor soluții. Să se demonstreze că:

Un este subgrup al lui G;

Orice subgrup finit al lui G este egal cu un anumit Un;

Un⊆Um dacă și numai dacă n divide m;

Un∩Um= Ud, unde d=(n, m).

Soluție:

Fie x, y∈Un; atunci (xy)n=xnyn=e∙e=e, deci xy∈Un. La fel, (x-1)n=( x n) -1=
=e-1=e, deci x-1∈Un. Rezultă că Un este subgrup al lui G.

Fie H⊆G un subgrup finit cu n elemente. Atunci, oricare x∈H, avem xn=e, deci x∈Un. Așadar H⊆Un și cum ambele mulțimi au n elemente, deducem egalitatea H=Un.

Dacă Un⊆ Um, înseamnă că Un este subgrup al lui Um și conform teoremei lui Lagrange rezutlîă că n divide m. Reciproc, dacă n divide m, putem scrie m=kn, cu k natural. Fie x∈Un, deci xn=e; atunci xm=(xn)k=e, deci x∈Um și cum x a fost arbitrar în Un, deducem că Un⊆Um.

Deoarece Un și Um sunt subgrupuri finite ale lui G, rezultă că Un∩Um este subgrup finit al lui G. conform cu b) există d∈ℕ astfel încât Un∩Um=Ud. arătăm că d=(n, m). Deoarece Ud⊆Un, conform cu c) avem d divide n și analog d divide m, deci d este un divizor comun pentru numerele n și m. fie acum d´ un divizor comun arbitrar pentru numerele n și m. Conform cu c) vom avea Ud´⊆Un și Ud´⊆Um, deci Ud´⊆Un∩Um=Ud și atunci tot datorită lui c) rezultă că d´divide d. Așadar d=(n, m).

5.10. Să se determine părțile finite ale lui A, stabile față de înmulțire, unde A=ℤ sau A=ℚ sau A=ℝ sau A=ℂ.

Soluție:

Dacă 0∉H, atunci H este parte finită și stabilă față de înmulțire a grupului (ℂ*,∙) deci H=Um, cu m∈ℕ*; dacă 0∈H, atunci H={0} sau H\{0} este subgrup al lui (ℂ*,∙) adică H={0} sau H={0}∪Um, cu m∈ℕ*. De altfel, intersectând mulțimile găsite cu ℤ, ℚ, ℝ, se găsesc cele cinic mulțimi care sunt:

{0}, U1, {0}∪U1, U2, {0}∪U2, și repreznită părțile finite ale lui A, stabile față de înmulțire, pentru A=ℤ sau A=ℚ sau A=ℝ.

5.11. Fie Sn grupul permutărilor de gradul n și p un număr prim astfel încât p nu divide n. dacă σp=e (permutare identică) atunci există un a∈{1, 2, …, n} astfel încât σ(a)=a.

Soluție:

Permutarea σ se descompune unci într-un produs de cilci disjuncți: σ=σ1σ2…σt. Deoarece σ1, σ2, …, σt sunt disjuncți, rezutlă că acești cicli și deci și puterile lor comută. Atunci egalitatea σp=e se scrie … =e. vom arăta că de aici rezultă:

===e (1).

Să presupunem prin absurd că există 1≤i≤t cu σip≠e. înseamnă că există x∈{1, 2, …, n} cu x; atunci x aparține orbitei ciclului σi (în caz contrar, x ar fi invariat de σi și deci și de σi ), deci nu aparține orbitelor ciclilor disjuncți de acesta σ1, σ2, …, σi-1, σi+1, …, σt. De aici rezultă

(x)=(x)=…= (x)=(x)=…=(x)=x și mai departe putem scrie x=e(x)=( ……)(x), care este o contradicție. Deci egalitățile (1) au fost demonstrate.

Din (1) rezultă că ordinele permutărilor σ1, σ2, …, σt în grupul Sn sunt divizori ai lui p mai mari ca 1 și cum p este prim rezultă că toate ordinele sunt egale cu p. Cum ordinul unui ciclu în grupul Sn este egal cu lungimea ciclului respectiv (cardinalul orbitei sale), deducem că σ1, σ2, …, σt sunt cicli de lungime p.

Reuniunea orbitelor acestor cicli disjuncți va fi o mulțime p∙t elemente inclusă în mulțimea {1, 2, …, n}. Această reuniune a orbitelor ciclilor σ1, σ2, …, σt reprezintă mulțimea elementelor neinvariate de permutarea σ. Dar, prin ipoteză, p∙t≠n, ceea ce înseamnă că reuniunea orbitelor ciclilor σ1, σ2, …, σt nu acoperă întreaga mulțime {1, 2, …, n}. Aceasta înseamnă că există elemente invariate de permutarea σ, adică există a∈{1, 2, …, n} cu σ(a)=a.

5.12. Dacă într-un grup finit mai mult de jumătate din elementele lui comută cu toate elementele grupului, atunci grupul este abelian.

Soluție:

Fie G cu proprietatea din enunț și să considerăm mulțimea H, a elementelor care comută cu orice element din G: H={x∈G/xy=yx, oricare y∈G}. H este un subgrup abelian al grupului G, numit centrul grupului G. Conform ipotezei avem |H|> |G|, adică |G|<2|H|. Dar conform teoremei lui Lagrange ordinul unui subgrup divide ordinul grupului, deci există n∈ℕ* astfel încât |G|=n|H|<2|H|, adică n<2, deci n=1. Atunci |G|=|H|, adică H=G, deci G este abelian.

5.13.Fie G un grup comutativ finit cu elementul neutru e și fie x∈G. Dacă x2=e, pentru mai mult de jumătate din elementele grupului, atunci x2=e, pentru orice x din G.

Soluție:

Fie H={x∈G/ x2=e}. H este un subgrup al lui G. într-adevăr, dacă x, y∈H avem x2=e, y2=e și cum G este abelian putem scrie:

(xy-1)2=x2(y-1)2=x2(y2)-1=e∙e=e, deci xy-1∈H. fie n ordinul grupului G și k ordinul subgrupului H. Din ipoteză avem: k>n/2, adică n<2k (1).

Conform teoriei lui Lagrange k divide n, adică există p natural cu n=p∙k. Nu putem avea p≥2, deoarece ar rezulta n≥2k, ceea ce contrazice (1). Așadar p=1, deci n=k, adică H=G.

5.14. Fie G un grup multiplicativ finit și x∈G un element de ordinul 15. Să se demonstreze că x se poate scrie în mod unic sub forma: x=yz=zy cu y, z∈G, y de ordin 3 iar z de ordin 5.

Soluție:

Arătăm mai întâi că, luând y=x10 și z=x6, se verifică cerințele din enunț. Într-adevăr, deoarece x15=e avem x=x10x6=x6x10. Fie n ordinul elementului y=x10. Atunci yn=e, deci x10n=e și cum x are ordinul 15, rezultă că 10n la 15, adică 10n=15k. această egalitate se mai scrie 2n=3k și cum n este minim posibil rezultă n=3, k=2. Am obținut deci că ordinul elementului y=x10 este n=3.

Analog, se arată că ordinul elementului z=x6 este m=5. Fie acum o altă scriere x=y1z1=z1y1, unde y1, z1∈G, y1 având ordinul 3 iar z1 având ordinul 5. Ridicând la puterea a 6-a și ținând seama că y1 și z1 comută, putem scrie:

x6=(y1z1)6=y16z16=(y13)2(z15)z1=z1.

De asemenea, ridicând la puterea a 10-a avem:

X10=(y1z1)10=y110z110= (y13)3y1(z15)2 = y1 .

Am obținut așadar z1=x6=z și y1=x10=y, ceea ce arată că scrierea este unică. Evident, problema admite o generalizare simplă:

Dacă x∈G are ordinul ab, cu a, b naturale, relativ prime, atunci el se scrie în mod unic sub forma x=yz=zy, cu y, z∈G, y de ordin a, iar z de ordin b.

5.15. Fie G un grup și x un element de ordin finit din G. Atunci, pentru orice n întreg avem: ord(xn) divide ord(x).

Soluție:

Elementul xn aparține subgrupului ciclic generat de elementul x, sungrup care are ordinul egal cu ord(x). cum ordinul unui element divide ordinul grupului din care face parte, rezultă că ord(xn) divide ord(x).

5.16. Fie G un grup și x un element de ordin finit din G. Dacă m și n sunt doi întregi pozitivi cu proprietățile: (m, n)=1, ord(xm)=n, ord(xn)=m, atunci ord(x)mn.

Soluție:

Fie k=ord(x). cum ord(xn)=m rezultă că (xn)m=e, adică xnm=e. de aici rezultă că nm∶k(1).

Cum xk=e, putem scrie cu atât mai mult xmk=e, adică (xm)k=e și cum ord(xm)=n rezultă că k∶n (2).

Analog vom avea xnk=e, deci (xn)k=e și cum ord(xn)=m rezultă k∶m (3).

Cum (m, n)=1, din (2) și (3) rezultă k∶mn (4).

Din (1) și (4) rezultă k=mn, adică ord(x)=mn.

5.17. Arătați că mulțimea elementelor de ordin impar dintr-un grup ciclic finit formează un sungrup de ordin egal cu cel mai mare divizor impar al ordinului.

Soluție:

Fie G un grup ciclic de ordin 2k∙p (k≥0, p impar) și fie w un generator al său. Deci G={1, w, w2, …, }. Fie H subgrupul lui G generat de elementul w2k; evident H este un subgrup de ordinul p, deoarece elementul w2k are ordinul p în grupul G. Așadar
H={1, w2k, ()2, …, ()p-1}.

Vom arăta că H coincide cu mulțimea elementelor de ordin impar din grupul G și atunci problema va fi rezolvată. Fie x∈H, deci x=w2k∙a, cu 0≤a≤p-1. Notând cu u ordinul elementului x în grupul G vom avea xu=1, adică =1, deci există s∈ℕ astfel încât:

au∙2k=2k∙p∙s (1)

Fie d=(p, a), deci a=da´ și p=dp´cu (a´, p´)=1. Relația (1) devine: da´u∙2k=2k∙dp´s sau a´u=p´s și cum u este minim, rezultă u=p´ (și s=a´). Dar p´este un divizor al lui p, deci este impar, ceea ce arată că x este un element de ordin impar al grupului G.

Reciproc, fie x din G un element având ordinul impar u. Deoarece ordinul unui element divide ordinul grupului, avem u/2k∙p și deci u/p, adică există q în ℕ cu p=qu. În grupul G elementul x se scrie x=w2 cu 0≤a≤2k∙p-1 și din xn=1 avem wau=1, deci fie t cu prorpietatea au=2kqut, de unde a=2k∙qt. Dar atunci x=wa=()qt∈H ceea ce trebuia demonstrat.

5.18. Pe mulțimea {a, b, c, d, e} operația * definește o structură de grup. Știind că a*b=d, c*a=e, d*c=b, să se alcătuiască tabla grupului.

Soluție:

Se știe că orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic și oricare element al său diferit de elementul neutru este un generator al grupului. Așadar grupul considerat va fi ciclic și deci abelian. În egalitatea a*b=d compunând (la stânga) cu c obținem (c*a)*b=c*de*b=b. Această egalitate arată că e este element neutru. Notând cu G grupul considerat, luând pe a drept generator, vom avea G={e, a, a2, a3, a4}. Deoarece c*a=e, deducem că c este inversul lui a, adică c= a4. Rezultă {b, d}={ a2, a3}. Nu putem avea b= a3 și d= a2 căci nu ar fi adevărată ipoteza a*b=d. deci b= a2 și d= a3. Așadar,G=e, a, a2=b, a3=d, a4=c} și ținând seama că a5=e, tabla va fi:

5.19. Fie n≥2 un număr natural. Să se arate că n este un număr prim dacă și numai dacă orice grup cu n elemente are exact două subgrupuri.

Soluție:

Dacă n este un număr prim, considerând un grup arbitrar G cu n elemente, orice subgrup al acestuia va avea ca ordin un divizor al lui n (teorema lui Lagrange), adică pe 1 sau pe n. Rezultă că G are numai două subgrupuri și anume {e} și G.

Reciproc, să admitem că G are numai 2 subgrupuri și să arătăm că n este prim. Presupunem prin absurd că n nu este prim și fie atunci p un divizor prim al lui n, p<n. Să considerăm grupul aditiv cu n elemente: ℤn={}.Subgrupul ciclic H, generat de clasa , are p elemente și cum 1<p<n, urmează că H este un subgrup propriu al grupului ℤn.

Așadar am găsit grupul cu n elemente ℤn, care are cel puțin trei subgrupuri și anume {}, H, și ℤn. Aceasta contrazice ipoteza că orice grup cu n elemente are numai două subgrupuri. Așadar, presupunerea făcută este falsă, deci n este număr prim.

5.20. Fie G un grup și x∈G. vom defini aplicația:

tx: ℤG astfel: . Să se arate că:

tx este omomorfism de grupuri;

Elementul x are ordin finit n≠0 dacă și numai dacă Ker tx=nℤ;

Dacă x, y∈G, atunci xy și yx au același ordin.

Soluție:

Ținând seama de asociativitatea operației din G, pentru m, n>0 obținem:

tx(m+n)=xm+n=xm∙xn=tx(m)∙ tx(n). la fel se tratează toate cazurile.

Dacă x are ordinul n≠0, atunci xn=e și xr≠e pentru 0<r<n. Deci tx(n)=e, adică n∈Ker tx și deci nℤ⊂Ker tx. Dacă m∈Ker tx, atunci xm=e. deci m≥n și avem m=qn+r cu 0≤r<n. Așadar e=xm=(xn)q∙xr=e∙xr=xr și astfel r=0. Rezultă că m=qn și deci m∈ nℤ. Reciproc, dacă Ker tx=nℤ≠0, atunci este clar că x are ordinul n≠0, atunci este clar că x are ordinul n≠0.

Dacă (xy)n=e, atunci y(xy)nx=yx, deci yx(yx)n-1yx=yx sau (yx)nyx=yx, adică (yx)n=e. deci ord(xy) este mai mare decât ord(yx); prin simetrie cele două ordine sunt egale.

5.21. Să considerăm matricea (cu componente întregi): . Să se arate că matricele X, X2, X3, …, formează un grup comutativ. Câte elemente are acest grup?

Soluție:

Obținem succesiv:

X2=,
X3= , X4= =1, X5=X. Astfel matricele I, X, X2, X3, formează un grup ciclic cu 4 elemente.

5.22. Fie G={a1, a2, …, an} un subgrup al grupului ℂ* și fie k∈ℕ*. Să se arate că:

G=Un, unde Un este grupul multiplicativ al rădăcinilor al rădăcinilor de ordinul n ale unității;

Există relația + +…+ =

Soluție:

Deoarece G are n elemente, avem xn=1, pentru orice x∈G. Aceasta înseamnă că G⊆Un. Dar atât G cât și Un au câte n elemente și atunci incluziunea G⊆Un este chiar egalitate, adică G=Un.

Notând , vom avea: G={1, ε, ε2, …, εn-1}. Fie k=nq+r, cu 0≤r≤n-1. Notând cu S suma din enunț, putem scrie:

S= =1+ εk+ ε2k+…+ ε(n-1)k=

=1+(εn)qεr+(εn)(n-1)qε(n-1)r+…+(εn)qεr=1+εr+ε2r+…+εr(n-1)r.

Dacă r=0 (adică k este multiplu de n) atunci S=n iar dacă n>0 (k ≠multiplu de n) atunci: S=1+εr+ε2r+…+ε(n-1)r= =0

5.23. Fie G un grup cu proprietatea că există a∈G astfel încât G\{a} este subgrup al grupului G. să se arate că G este izomorf cu grupul aditiv ℤ2.

Soluție:

Vom arăta mai întâi că G nu poate să conțină trei elemente distincte. Într-adevăr, să admitem prin absurd că G are cel puțin trei elemente distincte și fie H=G\{a}. Nu putem avea a=e, deoarece subgrupul H trebuie să-l conțină pe e; așadar a≠e. fie atunci b∈G\{e, a}, ceea ce este posibil, dat fiind că am presupus că G are cel puțin trei elemente. Ecuația b∙x are în G o unică soluție x. nu putem avea x=e, căci ar rezulta b=a, de asemenea nu putem avea x=a, căci ar rezulta b=e.

Așadar x∈G\{e, a}.

Am găsit două elemente b și x din H al căror produs b∙x=a nu aparține lui H, ceea ce ar însemna că H cu este subgrup al lui G, contradicție. Rezultă deci că |G|≤2. Nu putem avea |G|=1, căci nu se mai verifică proprietatea din enunț. Rămâne unica posibilitate |G|=2, deci G≅ℤ2 și proprietatea din enunț are loc, căci ℤ2\{}={} care este subgrup al lui ℤ2.

5.24. Fie G un grup cu proprietatea că există a, b∈G, a≠b, astfel încât G\{a, b} să fie subgrup al lui G. Să se arate că G este izomorf fie cu grupul ℤ3, fie cu grupul ℤ4, fie cu grupul lui Klein.

Soluție:

Din enunț observăm că G trebuie să aibă cel puțin trei elemente. Vom arăta ca G nu poate avea mai mult de patru elemente. Pentru aceasta vom arăta că, dacă G are mai mult de trei elemente, atunci are exact patru elemente.

Fie, într-adevăr, un grup G având proprietatea din enunț și conținând mai mult de trei elemente. Notând cu e elementul neutru din G, se vede că a≠e, b≠e (căci subgrupul H=G\{a, b} conține elementul neutru e) și fie x∈{e, a, b} arbitrar. Ecuația xu=a cu necunoscuta u are o soluție unică în grupul G. Deoarece x∈H, iar a∈G\H, rezultă u∈G\H, adică u∈{a, b}. Dacă u=a rezultă x=e, contradicție. Deci în mod necesar u=b și atunci x=an-1=ab-1. Prin urmare x este unic determinat și cum el a fost ales arbitrar în mulțimea G\b{e, a, b}, rezultă că G are patru elemente,
G={e, a, b, x} = {e, a, b, ab-1}.

Am demonstrat așadar că orice grup cu proprietatea din enunț are în mod necesar trei sau patru elemente. Să observăm însă că această condiție necesară este și suficientă. Într-adevăr, dacă G are trei elemente, avem G≅ℤ3 și ℤ3 verifică proprietatea, căci
ℤ3\{}={}. Dacă G are patru elemente, atunci se știe că G≅ℤ4 sau G≅K (grupul lui Klein) și ambele grupuri verifică proprietatea ℤ4\{}={} care este subgrup al lui ℤ4, iar dacă notăm K={e, a, b, c} atunci K\{a, b}={e, c} care este subgrup al lui K.

5.25. Fie (G, ∙) un grup cu cel puțin două elemente astfel încât orice funcție f:GG cu proprietățile f(e)=e și f∘f=1G, este morfism de grupuri. Să se demonstreze că G este izomorf cu (ℤ2,+) sau cu (ℤ3,+) sau cu grupul lui Klein.

Soluție:

Vom arăta mai întâi că G nu poate avea mai mult de patru elemente. Să presupunem că grupul G are cel puțin patru elemente. Să fixăm două elemente a, b∈G\{e}, a≠b.

Funcția f:GG, f(a)=b, f(b)=a, f(x)=x, oricare x∈G\{a, b} arbitrar satisface proprietățile din enunțul problemei, deci este un morfism de grupuri. Să luăm un element x∈G\{e, a, b} și să considerăm elementul ax∈G. arătăm că ax=b.

Într-adevăr, dacă am avea ax=e, aplicând morfismul f ar rezulta bx=e, deci ax=bx, adică a=b, contradicție; dacă am avea ax=a ar rezulta x=e, contradicție; dacă ax=x, rezultă a=e, contradicție; în sfârșit, dacă mai există un element y∈G\{e, a, b, x} astfel încât ax=y, aplicând morfismul f ar reuzulta bx=y, deci ax=bx, de unde a=b, contradicție. Rămâne drept unică posibilitate ax=b, deci x=a-1b, ceea ce arată că x este unic determinat. Dar x a fost ales arbitrar din G\{e, a, b}. Rezultă că G={e, a, b, x}, adică G are patru elemente. Vom verifica acum faptul că dintre grupurile având cel puțin două elemente și ce mult patru elemente, cele care verifică proprietatea din ennunț sunt (ℤ2,+), (ℤ3,+) și grupul lui Klein.

Este clar că orice funcție f:GG cu proprietățile f(e)=e și f∘f=1G este o bijecție (permutare) a mulțimii G, care este detrminată de restricția sa la G\{e}. Vom pune în evidență cu ajutorul tabelelor de valori funcțiile care verifică ipotezele din enunț în cazul grupurilor cu două, trei, respectiv cu patru elemente și vom constata că toate aceste funcții sunt morfisme (de fapt automorfisme) numai în cazul grupurilor (ℤ1,+), (ℤ3,+) și Klein (excepție face grupul ((ℤ4,+)).

Cazul 1. Dacă G are două elemente, se știe că G≅(ℤ2,+). Pentru grupul (ℤ2,+) singura funcție cu proprietățile din enunț este f1=1ℤ2 care este un automorfism. Deci (ℤ2,+) verifică proprietatea din problemă.

Cazul 2. Dacă G are trei elemente, se știe că G≅(ℤ3,+). Pentru grupul (ℤ3,+)funcțiile cu proprietățile din enunț sunt f1=1ℤ3 și f2 definită prin

adică f2(x)=-x, oricare x∈ℤ3. Ambele funcții f1 și f2 sunt automorfisme ale lui ℤ3 deci și acest grup verifică enunțul.

Cazul 3. Dacă G are patru elemente, se știe că G≅(ℤ4,+) sau G≅(K, ∙) ( grupul lui Klein). Arătăm că ℤ4 nu verifică enunțul. Într-adevăr, funcția f: ℤ4ℤ4 definită prin

verifică ipotezele problemei, dar nu este morfism, căci f()=f()=, în timp ce f()+f()=+=. Trecând acum la grupul lui Klein K{e, a, b, c}, funcțiile ce verifică ipotezele sunt f1=1K și cele ale căror restricții la K\{e}={a, b, c} sunt transpoziții ale mulțimii {a, b, c}. Aceste funcții sunt f2, f3, f4 definite astfel:

Se constată ușor că toate sunt morfisme de grup. Aceasta arată că grpul lui Klein verifică problema și aceasta încheie soluția.

5.26. Dacă (G, +) este un grup, atunci pentru o aplicație bijectivă f:GH, să se determine unicul grup (H, *) astfel încât aplicația f să fie un izomorfism de grupuri.

Soluție:

Să definim pe H operația * astfel: x*y=f(f-1(x)+f-1(y)), oricare x, y∈H.

Se verifică ușor că (H,*) este un grup având elementul neutru eH=f(0G), iar simetricul fiecărui element x∈H este = f(-f-1(x)), unde prin 0G am desemnat elementul neutru din (G,+), iar prin –t înțelegem simetricul elementului t în grupul (G,+).

Din modul cum am definit operația * rezultă

f-1(x*y)= f-1(x)+ f-1(y), oricare ar fi x, y∈H, ceea ce înseamnă că f-1 este un morfism de grupuri. Fiin și bijecție, rezultă că f-1 este un izomorfism de grupuri, deci și f este un izomorfism de grupuri. Să arătăm că grupul (H,*) este unic, în sensul că operația * este unica operație ce se poate introduce pe mulțimea H, în așa fel ca (H,*) să fie un grup izomorf cu (G,*) prin izomorfismul f-1. Fie, pentru aceasta, o altă operație notată multiplicativ, definită pe H, astfel încât f:(G,+)(H,∙) să fie izomorfism de grupuri. Fie x, y∈H; datorită surjectivității lui f avem x=f(a), y=f(b) cu a, b∈G. Atunci

x*y=f(a)*f(b)=f(a+b)

xy=f(a)f(b)=f(a+b).

Deci xy=x*y, oricare ar fi x, y∈H ceea ce încheie soluția.

5.27. Notăm cu Sn grupul permutărilor de gradul n. Dacă σ∈ Sn, notăm cu m(σ) numărul tuturor inversiunilor permutării σ. Să se arate că: n!

Soluție:

Fie o permutare din Sn și să considerăm permutarea Sn, obținută prin răsturnarea liniei de jos a permutării σ. Se observă ușor că orice cuplu (i, j), cu 1≤i<j≤n, este inversiune în una și numai una din permutările σ sau . Atunci numărul inversiunilor din cele două permutări σ și este egal cu numărul total al acestor cupluri, adică . Așadar putem scrie m(σ)+m()==. Deoarece permutările grupului Sn pot fi aranjate în perechi de tipul (σ,) și suma inversiunilor permutărilor dintr-o asemenea pereche este , , rezultă .

5.28. Dați exemplu de grup finit (G,∙) și un număr natural n≥2, pentru care ecuația xn=e are în grupul G mai mult de n soluții.

Soluție:

În grupul lui Klein, luând n=2, ecuația x2=e are 4 soluții, adică toate elementele grupului.

5.29. Să se demonstreze că numărul structurilor de grup ce se pot introduce pe o mulțime G cu n elemente, izomorfe cu o structură de grup fixată (G,*) este n! unde Aut (G,*) reprezintă grupul automorfismelor grupului fixat (G,*).

Soluție:

Să considerăm SG grupul permutărilor (bijecțiilor) mulțimii G. Pentru fiecare bijecție φ∈ SG putem considera pe G o operație elgebrică notată φ*, definită astfel: xφ*y=φ(φ-1(x)*φ-1(y)), oricare x, y∈G. Se arată ușor – vezi problema 26 – că (G, φ*) este un grup izomorf cu grupul fixat (G,*), aplicația φ: (G,*)(G, φ* ) fiind un izomorfism de grupuri. Se spune că noua structură de grup (G, φ*) este obținutădin structura de grup inițială (G,*) printr-un transport dat de bijecția φ.

Să observăm acum că orice structură de grup (G,o) izomorfă cu structura inițială (G,*) provine printr-un transport dat de o asemenea bijecție. Într-adevăr, dacă φ:(G,*)(G,o) este un izomorfism de grupuri, atunci operația o nu este alta decât cea transportată prin bijecția φ, adică o=φ*, lucru care se probează fără dificultate:

xoy=φ(φ-1(xoy))=φ(φ-1(x)*φ-1(y))=xφ*y, oricare x, y∈G.

Totuși, deși am văzut că toate structurile de grup pe mulțimea G, izomorfe cu cea fixată (G,*), provin din transportul acesteia prin bijecții prin SG, se pune problema câte bijecții transportă această structură inițială într-o aceeași structură de grup. Mai precis, să vedem în ce condiții două permutări φ și ψ ale lui G dau aceeași operație, adică φ*=ψ*. Avem

φ*=ψ* ⇔ xφ* y=xψ* y, oricare x, y∈G ⇔

⇔ φ(φ-1(x)*φ-1(y))= ψ(ψ-1(x)*ψ-1(y)) ⇔

⇔ ψ-1φ(φ-1(x)*φ-1(y))= ψ-1(x)*ψ-1(y), oricare x, y∈G.

Notând x´= φ-1(x), y´= φ-1(y), ultima echivalență se scrie

(x´*y´)= ψ-1φ(x´)*ψ-1φ(y´), oricare x, y∈G și arată că ψ-1φ este un automorfism al grupului (G,*).

Prin urmare, pentru φ, ψ∈SG avem echivalența φ*=ψ* ⇔ ψ-1φ∈Aut (G,*) (1)

Din (1) rezultă că fixând o bijecție φ∈SG toate bijecțiile care transportă structura (G,*) în aceeași structură (G, φ*) sunt cele de tipul φθ, cu θ∈Aut (G,*) și numai acestea, care sunt în număr de |Aut (G,*)|. Cum în SG există n! bijecții și câte |Aut (G,*)| din ele dau o aceeași structură de grup pe mulțimea G, izomorfă cu (G,*), conchidem că numărul structurilor de grup izomorfe cu (G,*) ce se pot introduce pe mulțimea G este .

5.30. a) Să se demonstreze că numărul tuturor structurilor de grup ciclic ce se pot defini pe o mulțime cu n elemente este n!, unde φ este indicatorul lui Euler.

b) Să se demonstreze că pentru p număr prim, numărul structurilor de grup ce se pot defini pe o mulțime cu p elemente este (p-2)!p.

Soluție:

Evident, orice două grupuri ciclice cu același număr de elemente sunt izomorfe. Dacă G={e, a, a2, …, an-1} este o structură de grup ciclic fixată pe mulțimea G cu n elemente, atunci pentru a defini un endomorfism θ al lui (G,∙) este necesar și suficient să știm cine este θ(a).

Afirmăm că pentru ca acest endomorfism să fie chiar automorfism (bijecție) este necesar și suficient ca θ(a)=ak, unde k este relativ prim cu n.

Într-adevăr, notând cu r0, r1, …, rn-1 respectiv resturile la împărțirea cu n ale numerelor 0, k, 2k, …, (n-1)k, ținând seama că θ este morfism și că an=e, avem:
Im θ={}.
Endomorfismul θ este automorfism dacă și numai dacă Im θ=G, adică dacă și numai dacă {r0, r1, …, rn-1}={0, 1, 2, …, n-1} și această ultimă egalitate are loc dacă și numai dacă (k, n)=1.
În concluzie, θ∈Aut (G,∙) dacă și numai dacă θ(a)=ak, cu (k, n)=1, deci grupul Aut (G,∙) are φ(n) elemente. Se aplică apoi rezultatul din problema precedentă.
Cum orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic, iar
φ(p)=p-1, conform punctului a) numărul căutat va fi ==(p-2)!p.

5.31. Să se demonstreze că numărul tuturor structurilor de grup care se pot defini pe o mulțime cu 4 elemente este 16.
Soluție:
Știm că orice grup cu patru elemente este sau ciclic (izomorf cu (ℤ4,+)) sau izomorf cu grupul lui Klein. Să vedem câte structuri de grup din fiecare tip se pot defini pe o mulțime fixată cu elemente.
Conform problemei 30 numărul structurilor de grup ciclic ce se pot introduce pe mulțimea dată este =12. Pentru numărul structurilor de grup de tip Klein ce se pot introduce pe mulțimea dată cu patru elemente, trebuie să știm cine este grupul automorfismelor grupului lui Klein, pentru a putea aplica apoi rezultatul din problema 29.
Considerăm grupul lui Klein K={e, a, b, c}, observăm că orice automorfism al lui K duce pe e în e și “permută“ între ele elementele mulțimii {a, b, c}; reciproc, orice permutare σ a mulțimii {a, b, c}induce un automorfism φ:KK definit astfel:
φ(e)=e, φ(x)=σ(x), oricare x∈{a, b, c}.
Prin urmare, numărul automorfismelor grupului Klein este egal cu numărul permutărilor mulțimii {a, b, c} adică 3!=6.
Conform problemei 29 numărul structurilot de grup izomorfe cu grupul lui Klein, ce se pot introduce pe mulțimea dată cu patru elemente, va fi egal cu . În total avem 12+4=16 structuri (distincte) de grup pe o mulțime cu patru elemente.

5.32. Fie G un grup cu 2n elemente, n≥2. Dacp G are două subgrupuri H1 și H2, fiecare cu n elemente, așa încât H1∩H2={e} să se demonstreze că:
a) pentru orice x1∈H1\{e} și x2∈H2\{e} avem x1x2=c unde {c}=G\(H1∪H2);
b) numărul n este egal cu 2 și G este izomorf cu grupul lui Klein;

c) grupul lui Klein verifică ipotezele enunțului.

Soluție:

Fie x1∈H1\{e} și x2∈H2\{e}. Atunci x1x2∉H1 deoarece dacă x1 x2=h1∈H1, atunci x2=x1-1h1∈H1∩H2, absurd. Analog x1x2∉H2 deci x1x2∈G\(H1∪H2) are 2n-(2(n-1)+1)=1 element, rezultă {x1, x2} = G\(H1∪H2).

Presupunem n>2. Există atunci x2, x2´ ∈H2\{e}, x2≠ x2´. Dacă x1∈H1\{e}, atunci, conform punctului a), x1x2= x1x2´ de unde x2=x2´ absurd. Deci n=2. Deoarece n=2, atunci H1={e, a}, H2={e, b} și deci G={e, a, b, c}. Deoarece a2∈H1 rezultă că a2∈{e, a} și datorită faptului că a2=a => a=e obținem o absurditate, deci a2=e. analog b2=e. Conform punctului a) avem ab=c. Tabla legii lui G este de unde se deduce că grupul G este izomorf cu grupul K al lui Klein.

c) Evident, grupul lui Klein, K={1, u, v, w} satisface condițiile din enunț deoarece putem lua H1={1, u} și H2={1, v}.

5.33.Considerăm grupul (ℤ, +).

Să se determine monoidul (End(ℤ), o) și să se arate că acest monoid este izomorf cu monoidul (ℤ, ∙);

Să se determine grupul (Aut(ℤ), o) și să se arate că acest monoid este izomorf cu monoidul (ℤ2, +).

Soluție:

Dacă f∈End(ℤ), vom avea f(n)=f(n-1)=n∙f(1), oricare n∈ℤ. Notând a=f(1)∈ℤ, rezultă endomorfismele grupului ℤ sunt funcțiile fa: ℤℤ f(a)=an, cu a∈ℤ. Observăm că dacă a, b∈ℤ, atunci fa∘fb=fab, întrucât

(fa∘fb) (n)= fa(fb(n))= fa(bn)=abn= fab(n) oricare n∈ℤ. Definim atunci funcția:

φ:(End (ℤ), o) (ℤ, ∙) prin φ(fa)=a.

Această funcție este bine definită și este un izomorfism de monoizi. Într-adevăr, φ este morfism de monoizi căci pentru a, b∈ℤ arbitrare avem

φ(fa∘fb)= φ(fab)=ab= φ(fa) φ(fb) și este bijecție întrucât oricare ar fi a ∈ℤ există un unic fa∈(End(ℤ),∘) astfel încât φ(fa)=a. Prin urmare avem izomorfismul de monoizi (End(ℤ),∘)≅(ℤ,∙).

Dacă f∈Aut(ℤ) cu atât mai mult f∈End(ℤ), deci există a∈ℤ cu f=fa. Deoarece f este bijecție, există n∈ℤ cu fa(n)=1, adică an=1, deci a este un divizor al lui 1. Atunci a∈{-1, 1} ceea ce arată că automorfismele lui (ℤ,+) sunt f1=1ℤ, adică automorfismul identic în grupul aditiv (End (ℤ),+). Așadar Aut(ℤ)={1ℤ, -1ℤ}. Fiind un grup de ordin 2 este ciclic, căci 2 este număr prim și orice grup de ordin prim este ciclic. Cum toate grupurile de același ordin sunt izomorfe, rezultă (Aut(ℤ),∘)≅(ℤ,+).

5.34. Să se arate că dacă n>1, atunci grupul Hom(ℤn, ℤ) este nul.

Soluție:

Fie f:ℤnℤ, f()=a; atunci:

0=f()=f()===na. Cum n≠0, rezultă că a=0. Deci =0 și astfel =x=0. Deci f=0. Așadar Hom(ℤn, ℤ)=0.

5.35. Fie m și n două numere naturale prime între ele. Să se arate că grupul Hom(ℤm, ℤn) este nul.

Soluție:

Fie f:ℤm ℤn un omomorfism de grupuri. Să notăm =. Atunci:

===m=m= și deci ma≡0 (mod n). Deoarece (m, n)=1 rezutlă că a≡0 (mod n) și deci =. Astfel, pentru orice ∈m :f()=x=x= și deci f=0 => Hom(ℤm, ℤn)=0.

5.36. Fie (G, ∙) un grup finit cu proprietatea că funcția f:GG, f(x)=x2 este automorfism. Să se arate că G are un număr impar de elemente.

Soluție:

Fie e∈G elementul neutru al grupului G. Arătăm că oricare x∈G\{e} avem x≠x-1. Presupunem că există x∈G\{e} astfel încât x=x-1. Înmulțind egalitatea cu x obținem x2=e cu x≠e. Dar x2=f(x) și e=f(e), deci f(x)=f(e) și cum f este funcție injectivă x=e, fals. Deci oricare ar fi x∈G\{e} avem x≠x-1.

Grupăm elementele mulțimii G\{e} în perechi formate din câte un element al mulțimii și inversul său. Deci G\{e} are un număr par de elemente și atunci G are un număr impar de elemente.

5.37. Să se determine morfismele de grup de la grupul numerelor raționale (ℚ, +) la grupul simetric Sn.

Soluție:

Fie φ: (ℚ, +)Se numește un morfism de grupuri. Pentru x∈ℚ arbitrar, să notăm cu σ pemruitarea care este imaginea prin morfismul φ a numărului rațional x/n!, adică σ=φ(x/n!). Atunci putem scrie: φ(x)= φ= =σn!=e, unde e este permutarea identică. Cum x a fost arbitrar în (ℚ, +), deducem că singurul morfism de grupuri de la (ℚ, +) la (Sn, o) este cel banal, adică φ(x)=e, oricare x∈ℚ.

5.38. Să se determine automorfismele grupului lui Klein, ℤ2xℤ2.

Soluție:

Un automorfism al lui ℤ2xℤ2 este descris de o matrice:

A= unde a, b, c, d ∈ℤ2, iar det A=.

Aceste matrici sunt în număr de 6, și anume:

, , , , și .

Notând X=, Y= găsim că X2=; X3==I; Y2=I;

X∙Y=; X2Y=; X∙Y=Y∙X.

Astfel grupul Aut (ℤ2xℤ2) este izomorf cu grupul de permutări S3.

5.39. Orice subgrup propriu al grupului necomutativ.

Soluție:

Fie H un subgrup propriu arbitrar al lui S3. Conform teoremei lui Lagrange ordinul lui H divide ordinul lui S3, care este 3!=6. Așadar ordinul lui H este 2 sau 3. Dar 2 și 3 sunt numere prime și orice grup de ordin prim este ciclic, deci cu atât mai mult comutativ. Așadar H este comutativ deci S3 are proprietatea că orice subgrup propriu al său este comutativ.

5.40. În grupul diedral D4, să considerăm submulțimile N={1, ερ, ερ2, ερ3} și H={1, ερ}. Arătați că:

N este sungrup normal în D4;

H este subgrup normal în N, dar nu în D4.

Soluție:

Ținând seama de regulile:

ερ= ρ3ε, ρ4=1, ε2=1

rezultă că N și H sunt subgrupuri ale lui D4 și evident HN. Însă D4 are opt elemente, N are patru elemente iar H are două elemente. Deci [D4:N]=2=[N:H] de unde rezultă că H este subgrup normal în N.

Pe de altă parte, constatăm că:

ρH=ρ{1, ερ}={ρ, ε} iar

Hρ={1, ερ}ρ={ρ, ερ2}≠ρH, deci H nu este normal în D4.

BIBLIOGRAFIE

C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu: Bazele algebrei, vol. I, Editura Academiei, Bcurești, 1986

C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu: Aritmetică și algebră, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1993

Ion D. Ion, N. Radu: Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

M. Becheanu, C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea , I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu: Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Ion D. Ion, C. Năstăsescu, C. Niță: Complemente de algebră, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1984

D. Popescu, C. Vraciu: Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Științifică și Enciclopedică, București 1986

C. Năstăsescu, G. Andrei, M. Țena, I. Otărășanu: Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, Bcurești, 1988

C. Niță, T. Spircu: Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, București, 1974

Ion D. Ion, C. Niță, N. Radu, D. Popescu: Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

C. Năstăsescu, C. Niță, M. Brandiburu, D. Joița: Exerciții și probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Ion D. Ion, A. P. Ghioca, N. I. Nediță: Algebră, manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995

Colecția „Gazeta Matematică”.