Grupuri Finite,teoremele Lui Sylow, Aplicatii

Introducere

Lucrarea “Grupuri finite,Teoremele lui Sylow,Aplicatii” este alcatuita din trei

capitole care prezinta elemente de teoria grupurilor.

In primul capitol sunt prezentate cateva notiuni fundamentale ,ca de exemplu, acelea de

grup, subgrup,sunt enuntate cateva teoreme de exemplu teorema lui Lagrange si sunt prezentate

notiuni despre grupuri finite .

Rezultate dificile din teoria grupurilor pot fi obtinute relativ simplu “ reprezentand” un

grup abstract oarecare intr-un mod “concret”. In general se folosesc reprezentari ale grupurilor

prin permutari sau prin matrici. In capitolul 2 se introduc reprezentarile grupurilor prin

permutari, reprezentari care sunt similare de fapt cu actiunile grupurilor pe multimi.Majoritatea

rezultatelor care se obtin in capitolul doi si in urmatorul se pot demonstra si fara considerarea

actiunilor,dar in limbajul actiunilor ele capata un caracter unitar iar demonstratiile se simplifica

sau ,in orice caz , sunt mai usor de urmarit.

In capitolul 3 sunt prezentate proprietatile de baza ale p-grupurilor,sunt enuntate si demonstrate

teoremele lui Sylow si sunt prezentate cateva aplicatii a teoremelor lui Sylow

Proprietatile de baza ale p-grupurilor si teoremele lui Sylow sunt instrumente

puternice,deosebit de folositoare in studiul structurii grupurilor finite.Pentru a ilustra modul in

care teoremele lui Sylow intervin in teoria grupurilor ,se demonstreaza in capitolul 4 faptul ca

orice grup finit simplu neabelian de ordin este izomorf cu grupul altern A5.Tot ca o

aplicatie a teoremelor lui Sylow,folosind insa si notiunea de produs semidirect,se prezinta

structura grupurilor de ordin pq,p si q fiind numere prime.

Cuprins

Capitolul 1.

Definitia 1. Putem defini un grup ca fiind o multime nevida G impreuna cu o lege de

compozitie binara pe G satisfacand urmatoarele conditii(numite axiomele grupului):

1) legea de asociativitate: a(bc) = (ab)c oricare ar fi a,b,c G;

2) legea elementului neutru : exista un element 1 G, astfel ca , a1 = 1a = a oricare ar fi aG;

3) legea inversului : pentru orice aG exista un element a-1G, astfel ca aa-1 = a-1a = 1.

Daca legea de compozitie este comutativa atunci grupul este comutativ(abelian).

ab = ba

Definitia 2. Spunem ca G este grup ciclic daca exista aG astfel incat G = {ak /

kin notatie multiplicativa , in notatie aditiva G = {ka / kElementul a se numeste

generator al grupului ciclic G.

Definitia 3. Fie G un semigrup. Un grup H se numeste subgrup al lui G daca sunt satisfacute urmatoarele conditii:

Multimea elementelor lui H este inclusa in multimea elementelor lui G.

Produsul in H a oricaror doua elemente x,y coincide cu produsul in G al acestor elemente

Prin abuz de limbaj, vom spune ca un subgrup H al lui G este o submultime a lui G care satisface conditiile:

xy  pentru orice x, y 

x-1  pentru oricex 



Definitia 4. Fie G un grup, H un subgrup al lui G si xMultimea

x = {hx | h

se numeste clasa la dreapta a lui x relativ la H. Spunem de asemenea ca Hx este o clasa la

dreapta a lui H in G. Notam cu (G/H)d multimea tuturor claselor la dreapta ale lui H in G. In mod

analog se definesc clasele la stanga xH = {xh | h H}si se noteaza cu (G/H)s multimea tuturor

claselor la stanga ale lui H in G.

Propozitia 5. (Teorema lui Lagrange). Pentru orice subgrup H al unui grup G avem:

= .

Definitia 6. Fie G si H doua grupuri .O aplicatie f : G H se numeste omomorfism (de

grupuri) daca

f(ab) = f(a) f(b), a,b 

( vom spune adesea si morfism in loc de omomorfism).

Propozitia 7. Fie f: G H un omomorfism.Atunci au loc urmatoarele egalitati :

f(1) = 1;

f(a-1) = (f(a))-1, a 

f(an) = (f(a))n, a n

Propozitia 8. Pentru orice subgrup H al lui exista un numar natural n astfel ca H = n.

Propozitia 9. Fie f : G H un omomorfism de grupuri, K un subgrup al lui G si L un

subgrup al lui H. Au loc urmatoarele afirmatii:

Im f H si f(K) H ;

Daca f este aplicatie injectiva avem G Im f si K f(K);

Ker f G si f-1(L) G;

F este aplicatie injectiva daca si numai daca Ker f = {1}.

Definitia 10. Fie A un element dintr-un grup G si a : G aplicatia definita prin a(n) = , n a este un omomorfism de grupuri. Intr-adevar ,

a(m + n) = = = a(m)a(n).

Nucleul omomorfismului a este un subgrup al lui si conform Propozitiei 8,exista un

unic numar intreg nenegativ n astfel incat Ker a = .Spunem ca este ordinul lui a si scriem

o(a) = . Observam ca si pentru orice mavem mm, deci = o() este

unicul numar intreg nenegativ care satisface urmatoarele conditii:

= 1 ;

pentru orice numar intreg m astfel ca = 1 avem |m.

Se observa ca Im a = {| mDaca o() = 0, avem Ker a= 0 si , conform

Propozitiei 9. , a este injectiva si Daca o() = >0, pentru orice avem

= = 1 | () 

Exista atunci o aplicatie bijectiva evidenta () intre multimea elementelor grupului

ciclic si multimea/s.Rezulta conform Propozitiei 7. :

|: | = = o().

De obicei , in loc sa spunem ca un element este de ordinul o, vom spune ca este de

ordin infinit si vom scrie o() = . In acest mod egalitatea (i) are sens pentru orice element



 Propozitia 11. (Teorema fundamental de izomorfism.) Fie f : un morfism de grupuri. Atunci G/Ker f Im f. Mai précis,exista un unic omomorfism de grupuri : G/Ker Im , astfel ca = i,unde i : Im este incluziunea canonica,: G G/Ker f este proiectia canonica si este izomorfism.

Definitia 12.In particular , multimea (A) a tuturor permutarilor lui A este un grup de permutari pe A. Grupul (A) este de fapt grupul elementelor inversabile ale monoidului .(A) se numeste grupul simetric pe multimea A.

1. Grupuri finite

Definitia 1.1. Un grup G se numeste grup finit daca multimea G a elementelor sale este

finita. In acest caz numarul natural se numeste ordinul lui G.

Daca G este un grup infinit,numarul cardinal se numeste de asemenea ordinul lui G.

De obicei insa in acest caz,vom scrie = ∞ si vom spune ca ordinul lui G este infinit.

Exemple . Fie G un grup. Considerand subgrupul trivial 1 al lui G avem

x≡sy(mod 1) ⇔x-1y⇔x=y.

Prin urmare relatia de congruenta la stanga modulo 1 (ca si relatia de congruenta la dreapta

dealtfel), coincide cu relatia de egalitate pe G. Clasa de congruenta la stanga modulo 1 a unui

element xG este {x},iar

(G/1)s = { {x} |x G}

este multimea tuturor submultimilor cu un singur element ale lui G. Rezulta = .

Putem considera si subgrupul impropriu G al lui G.In acest caz,pentru orice doua

elemente x, y G avem x≡sy(mod G). Prin urmare orice clasa de congruenta la stanga modulo G

coincide cu G deci

(G/G)s = {G} si = 1.

Amintim ca o multime A se numeste finita daca orice aplicatie injectiva f : A A este si

surjectiva. Cardinalul unei multimi finite este un numar natural .De exemplu , cardinalul

multimii vide este numarul natural 0 ; cardinalul unei multimi { } cu un singur element este

numarul natural 1; cardinalul unei multimi {x,y} cu doua elemente este numarul natural 2.

Astfel , cardinalul unei multimi finite A este tot una cu “numarul de elemente ale multimii A”.

Cardinalul unei multimi oarecare A il vom nota cu . Cardinalul multimii elementelor unui

grup G se va nota cu si se va numi ordinul grupului G.

(1.2) Scopul teoriei grupurilor finite este de a descrie pentru fiecare numar natural n toate

tipurile de grupuri de ordin n si de a gasi procedeul prin care fiind date doua grupuri de ordin n

sa se decida daca ele sunt de acelasi tip sau nu .Matematica , la ora actual ,nu este in masura sa

resolve aceasta problema chiar daca problema corespunzatoare pentru grupuri abeliene a fost

rezolvata inca din secolul trecut .

(1.3) Se poate vedea usor ca pentru orice intreg pozitiv n exista cel putin un grup de ordin

n si exista cel mult un numar finit de tipuri de grupuri de ordin n.Astfel, multimea radacinilor

complexe n-are ale unitatii {x | xn =1} este un grup de ordin n relativ la multiplicarea

numerelor complexe . Sa consideram apoi o multime finite X cu = n. Pentru orice grup G , de

ordin n, exista o operatie binara pe X astfel ca X sa fie un grup izomorf cu G relativ la aceasta

operatie. Pentru a vedea aceasta ,alegem o aplicatie bijectiva : G X si definim operatia

binara pe X prin

(g1) (g2) = (g1g2).

Evident ,aceasta operatie binara satisface axiomele grupului (deoarece operatia binara a lui G le

satisface ) si ,in mod automat ,este un izomorfism de grupuri. Rezulta ca numarul tipurilor de

grupuri de ordin n este cel mult egal cu numarul operatiilor binare pe X, adica este .

(1.4). Fie G o multime finita impreuna cu o operatie binara pe G. Presupunem ca

si G = {,,…,}. Atunci , operatia binara a lui G poate fi considerata ca un tablou

cu n linii si n coloane , indexate cu elementele ,,…, ale lui G, in care , la intersectia liniei

cu coloana apare podusul al elementelor si in G. Acest tablou se numeste tabla

operatiei binare respective (sau table de multiplicare a lui G). Practic , table de multiplicare nu se

foloseste in teoria grupurilor decat pentru a exemplifica unele notiuni.

(1.5). Sa determinam table de multiplicare a grupului simetric 3 pe trei elemente.

Singurele elemente ale lui 3 sunt :

1= , , 2 = ,

= , = , 2 = .

Deci 3 = {1,, 2,, , 2} si = 6. Avem 3 = 1,2 = 1 , = 2. Aceste relatii

determina complet table de multiplicare a lui 3 (deci pe 3 insusi) :

Astfel, 2 = = = , = = .

Din acest motiv spunem ca 3 este generat de elementele si si de relatiile = 1,

=1, = ; mai precis ,aceasta inseamna ca toate elementele lui se pot exprima in functie

de si , iar tabla de multiplicare a lui se poate calcula folosind numai relatiile indicate.

Capitolul 2.Actiuni ale grupurilor pe multimi

1.Actiuni si reprezentari prin permutari

Fie G un grup si M o multime. O actiune a lui G pe M este o aplicatie

: G M M

Care satisface urmatoarele conditii:

(1, ) = , M ;

g1g2, ) = (g1, (g2 , )) , g1, g2 G si M.

De regula vom nota (g, =g,g G, M.

Cu aceasta notatie conditiile (1) si (2) se scriu astfel:

(1’) 1 = ;

(2’) (g1g2) = g1(g2).

(1.2) O reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M este un omomorfism de grupuri

T : G

unde este grupul simetric pe multimea M

(1.3) Sa consideram o actiune : G M M a lui G pe M. Pentru fiecare element gG

Definim aplicatia T(g) : G M M prin:

T(g) () = g, M.

Conditia (1. 1,1’) asigura ca T (1) = 1 – aplicatia identica a multimii M, iar conditia (1.1;2’) revine la egalitatea

T(g1g2) = T(g1) T(g2).

Egalitatea este valabila pentru orice doua elemente g1, g2 G. In particular, pentru orice element

g G avem:

T(g) T(g-1) = T(gg-1) = T(1) = 1

si, analog, T(g-1) T(g) = 1. Prin urmare, T(g) este o permutare a multimii M. Obtinem astfel o

aplicatie = T : G , gT(g) si egalitatea (1) arata ca aceasta aplicatie este o

reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M. Spunem ca este reprezentare prin

permutari asociata actiunii .

Reciproc, sa consideram o reprezentare T : G. Atunci aplicatia

= : G M M

Definita prin (g, ) = T(g) (, g G, M, satisface in mod evident conditiile (1.1, 1) si

(1.1,2) , deci, este o actiune a lui G pe M. Spunem ca este actiunea asociata reprezentarii prin

permutari T.

Egalitatile = si = T, a caror demonstratie este evidenta, arata ca aplicatiile

si T sunt aplicatii inverse una alteia de la multimeui 3 (deci pe 3 insusi) :

Astfel, 2 = = = , = = .

Din acest motiv spunem ca 3 este generat de elementele si si de relatiile = 1,

=1, = ; mai precis ,aceasta inseamna ca toate elementele lui se pot exprima in functie

de si , iar tabla de multiplicare a lui se poate calcula folosind numai relatiile indicate.

Capitolul 2.Actiuni ale grupurilor pe multimi

1.Actiuni si reprezentari prin permutari

Fie G un grup si M o multime. O actiune a lui G pe M este o aplicatie

: G M M

Care satisface urmatoarele conditii:

(1, ) = , M ;

g1g2, ) = (g1, (g2 , )) , g1, g2 G si M.

De regula vom nota (g, =g,g G, M.

Cu aceasta notatie conditiile (1) si (2) se scriu astfel:

(1’) 1 = ;

(2’) (g1g2) = g1(g2).

(1.2) O reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M este un omomorfism de grupuri

T : G

unde este grupul simetric pe multimea M

(1.3) Sa consideram o actiune : G M M a lui G pe M. Pentru fiecare element gG

Definim aplicatia T(g) : G M M prin:

T(g) () = g, M.

Conditia (1. 1,1’) asigura ca T (1) = 1 – aplicatia identica a multimii M, iar conditia (1.1;2’) revine la egalitatea

T(g1g2) = T(g1) T(g2).

Egalitatea este valabila pentru orice doua elemente g1, g2 G. In particular, pentru orice element

g G avem:

T(g) T(g-1) = T(gg-1) = T(1) = 1

si, analog, T(g-1) T(g) = 1. Prin urmare, T(g) este o permutare a multimii M. Obtinem astfel o

aplicatie = T : G , gT(g) si egalitatea (1) arata ca aceasta aplicatie este o

reprezentare a lui G prin permutari ale multimii M. Spunem ca este reprezentare prin

permutari asociata actiunii .

Reciproc, sa consideram o reprezentare T : G. Atunci aplicatia

= : G M M

Definita prin (g, ) = T(g) (, g G, M, satisface in mod evident conditiile (1.1, 1) si

(1.1,2) , deci, este o actiune a lui G pe M. Spunem ca este actiunea asociata reprezentarii prin

permutari T.

Egalitatile = si = T, a caror demonstratie este evidenta, arata ca aplicatiile

si T sunt aplicatii inverse una alteia de la multimea actiunilor lui G pe M la

multimea reprezentarilor lui G prin permutari ale lui M.

(1.4) O actiune a lui G pe M se numeste fidela daca reprezentarea prin permutari :

: G asociata lui este o aplicatie injectiva. In general, deoarece este un

omomorfism de grupuri nucleul sau Ker este un subgrup al lui G care se numeste nucleul

actiunii. Deoarece Ker = {g G | (g) = 1 } = {g G| g = , M}, este o

actiune fidela daca si numai daca elemental unitate este singurul element din G care actioneaza

identic pe toate elementele lui M (adica g = , M implica g = 1 ).

(1.5) Fie M si M’ doua multimi. Daca f : MM’ este o aplicatie bijectiva, atunci aplicatia

= :

definita prin = -1 este un izomorfism de grupuri.

Fie de asemenea G si G’ doua grupuri, o actiune a lui G pe M si o actiune a lui G pe

M’. Spunem ca actiunile si sunt echivalente daca exista un izomorfism de grupuri h:

GG’ si o aplicatie bijectiva f : M astfel ca

h = .

Aceasta revine la a spune ca pentru orice g G si orice M avem f ((g,) = (h(g), f()),

adica

f(g) = h(g) f().

(1.6) Fie o actiune a grupului G pe multimea M si H un subgrup al lui G. Consideram

reprezentarea prin permutari

: G

Atunci , restrictia lui la H este o reprezentare prin permutari a lui H:

H : H ;

Ea defineste o actiune a lui H pe M notata |H care evident se va numi restrictia lui la H.Avem:

H (h,(h, ), h H, M.

Sa presupunem ca H este normal in G si ca H Ker = nucleul actiunii . Fie : G

G / H proiectia canonica. Atunci , exista evident un unic omomorfism

: G/H

astfel ca =. este o reprezentare prin permutari a grupului factor G / H, deci,

defineste o reprezentare a lui G / H pe M. se numeste actiunea lui G / H pe M indusa de . Avem :

(gH , = (g , , g G , M.

(1.7) Fie M o multime si G un grup de permutari pe multimea M. Atunci, G este un

subgrup al lui si incluziunea canonica

: G

Este un omomorfism, deci o reprezentare prin permutari a lui G. Actiunea

: G M M

asociata lui este evident definita prin ( , ) = (, G, M. Spunem ca este

actiunea canonica a lui G pe M.

(1.8) Fie G un grup si M = G – multimea elementelor lui G. Aplicatia

: G G G

definita prin (g , = g , g G, G (unde g este produsul in G al elementelor g si )

este evident o actiune ; ea se numeste actiunea lui G pe el insusi prin traslatii la stanga. Daca

elementul g G se gaseste in nucleul acestei actiuni, atunci g = pentru orice G si rezulta

g = 1. Prin urmare, actiunea este fidela. Rezulta ca reprezentarea prin permutari

: G

Este un omomorfism injective. Deci G este izomorf cu Im , adica G este izomorf cu un

subgrup al lui . Am obtinut astfel un rezultat cunoscut sub numele de teorema lui Cayley:

orice grup este izomorf cu un grup de permutari.

Aplicatia

: G G G ,

definita prin (g , = g-1, g G, este de asemenea o actiune. Considerand si aplicatia

: G G

definita prin ( = -1, G, avem

((g , = (g) =( g)-1 = -1 g-1 = (g ,(.

In plus, este aplicatie bijectiva.Rezulta ca actiunile si sunt echivalente.

2.Actiuni tranzitive

(2.1) Fie un grup, M o multime si o actiune a lui G pe M. Spunem ca este o actiune

tranzitiva daca pentru orice doua elemente , M exista un g G astfel ca g= .

(2.2) Fie H un subgrup al lui G. Consideram multimea (G/H)s a claselor la stanga ale lui

H in G (vezi capitolul 1;definitia 4.). Pentru orice g G si H (G/H)s avem:

g = (g) H (G/H)s .

Prin urmare, putem considera aplicatia

: G s (G/H)s

definita prin (g, ) = g(), g G, H (G/H)s . In mod evident este o actiune. Numim

actiunea lui G pe multimea (G/H)s prin translatii la stanga ( vezi (1.8) pentru cazul cand H = 1).

Actiunea lui G pe multimea (G/H)s prin translatii la stanga este tranzitiva. Intr-adevar,

daca H, H (G/H)s, luam g = G si avem:

g = (g) H = () H = H.

(2.3) Propozitie. Fie G un grup, M o multime nevida si o actiune a lui G pe M.

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) este o actiune tranzitiva ;

(b) exista un subgrup H al lui G astfel ca actiunea sa fie echivalenta cu actiunea lui G

pe multimea (G/H)s prin translatii la stanga.

Demonstratie. (a) (b). Alegem un element M si fie

H = { g G| g = }.

H este un subgup al grupului G. Intr-adevar,se verifica conditiile din( capitolul 1; definitia 3) astfel:

1 = , deci 1 H ;

daca g H , atunci g-1 = g-1(g) = (g-1g) = 1 = , deci g-1 H;

daca g1, g2 H , atunci (g1g2) = g1(g2) = g1 = , deci g1g2 H.

Deoarece este tranzitiva, pentru orice M exista un g G astfel ca g = . Se observa de

asemenea ca daca g , G avem :

g = -1g= -1g H gH =H.

Rezulta ca putem considera aplicatia

: M (G/H)s

definita prin (g) = gH , g G. In mod evident , aplicatia este bijectiva. Acum, fie g G,

M si presupunem = , G. Avem :

g) = g(H) = (g) H = (g)

(ultima egalitate are loc deoarece g = g( = (g ).Este clar atunci ca actiunea este

echivalenta cu actiunea lui G pe (G/H)s prin translatii la stanga.

(b) (a). Am vazut deja ca actiunea lui G pe (G/H)s prin translatii la stanga este

tranzitiva. Pe de alta parte, este clar ca orice actiune echivalenta cu o actiune tranzitiva este tranzitiva.

(2.4). Fie G un grup, H un subgrup al lui G si HG nucleul actiunii lui G pe (G/H)s prin

translatii la stanga. Pentru un element g G avem :

g HG (g) H =, G -1g H , G g -1, G

Prin urmare

HG se numeste inima lui H in G. HG este un subgrup normal in G (deoarece este nucleul unei

actiuni) si

In plus , pentru orice subgrup normal N al lui G astfel ca N H, avem N = -1-1

pentru orice G , deci:

Am demonstrate astfel ca HG este cel mai mare

subgroup normal al lui G inclus in H.

(2.5) Propozitie. Fie G un grup si H un subgroup de indice finit al lui G . Daca |G : H| = n

atunci G/ HG poate fi scufundat in n.

Demonstratie. Fie M = (G/H)s, actiunea lui G pe M prin translatii la stanga si :

: G

reprezentarea prin permutari asociata lui . Prin definitie este un omomorfism de grupuri si

HG = Ker . Conform teoremei fundamentale de izomorfism(capitolul 1; propozitia 11) rezulta

ca G / HG poate fi scufundat in . Pe de alta parte , daca | G : H | = n, avem |M| = n si deci

n. Prin urmare , G / HG poate fi scufundat in n.

(2.6) Propozitie. Fie G un grup finit si p cel mai mic divizor prim al ordinului lui G.

Atunci , orice subgrup al lui G de indice p este normal in G.

Demonstratie. Fie |G| = m si H un subgrup de indice p al lui G. Conform teoremei lui

Lagrange avem :

|G : HG| = = | G : H | | H : HG | = p | H : HG |

si

m = |G| = | G : HG | | HG| = p | H : HG | | HG |.

Presupunem prin absurd ca H nu este normal in G. Atunci, H HG si exista un divizor prim q al

lui |H : HG |. Egalitatea (2) arata ca q este si un divizor prim al lui m, deci p q deoarece , prin

ipoteza, p este cel mai mic divizor prim al lui m. Pe de alta parte, Propozitia (2.5) arata ca G / HG

poate fi scufundat in p si prin urmare | G : HG | = | G / HG| este un divizor al lui |p | = p !.

Egalitatea (1) arata ca pq este un divizor al lui |G : HG | si deci pq | p !. Rezulta q p – 1.

Aceasta contrazice faptul ca p q. Deci H este normal in G.

3.Orbitele unei actiuni

(3.1) Fie G un grup, M o multime nevida si o actiune a lui G pe M. Pentru fiecare element

M, multimea

G = {g g G}

Se numeste orbita lui relativ la actiunea (sau , pe scurt , G-orbita lui). Avem = 1 G.

Daca 1 , 2 M si G-orbitele G1 si G2 au un element comun, adica exista g1, g2 G astfel ca

g11 = g22, atunci pentru orice g G avem :

g1 = gg1-1(g11) = gg1-1(g22) = (gg1-1g2) 2 G2

si, analog, g2 G1 ; prin urmare G1 = G2. Rezulta ca multimea M este reuniunea disjuncta a

G-orbitelor. In particular , obtinem egalitatea :

| M | =

(unde sumarea se face dupa toate G-orbitele ).

Cardinalul | | al orbitelor se numeste lungimea orbitei . Orbitele de lungime 1

se numesc triviale. Deci, orbita este triviala daca si numai daca = {}, adica g =

pentru orice g G.

(3.2) Pentru fiecare element M si orice g G si G, G, avem :

g() = (g G.

Rezulta ca putem considera aplicatia

: G G

definita prin (g,) = g() si aceasta aplicatie este evident o actiune a lui G pe multimea

G. In plus, este o actiune tranzitiva : pentru orice G elementul g = -1 G

satisface g ( = . Din demonstratia (a) (b) a propozitiei (2.3) rezulta ca

H = { g G | g = }

este un subgrup al lui G si exista o aplicatie bijectiva

: G (G/H)s ;

prin urmare

| G| = | (G/H)s | = | G: H|.

Subgrupul H definit in (1) se numeste stabilizatorul lui in G (relativ la actiunea ) si se noteaza

StabG(). Egalitatea(2) devine :

| G| = | G : StabG() |.

(3.3) Fie G un grup, H si K subgrupuri ale lui G si G.

Multimea :

HK = {hk | h H , k K}

Se numeste clasa dubla a lui relativ la perechea (H, K). Aplicatia

: H HK HK

definita prin ( , hh) =hk) = ( h ) k HK, , h H, k K, este evident o actiune a

grupului H pe multimea HK. Pentru orice element hk HK, h H, k K, H-orbita este

H(hk) = (Hh) k = Hk si , pentru doua astfel de orbite ,Hk si , avem :

Hk = (k) ()-1 H k-1-1 Hk-1 -1H

(-1H) k =(-1H).

Rezulta ca exista o aplicatie bijectiva Hk (-1H) k intre multimea H-orbitelor multimii HK si multimea (K / K -1H)d , deci , numarul H-orbitelor multimii HK este | K : K -1H|. Pe de alta parte, este clar ca lungimea oricarei H-orbite | Hk |, k K,este egala cu | H |. Egalitatea (3.1,1) arata ca

| HK | =

(sumare dupa toate H-orbitele)

In particular, daca K este grup finit, obtinem :

| HK | = ;

daca in plus = 1, rezulta

| HK | = .

Cicluri si transpozitii

( 4.1 ) Fie n un numar intreg pozitiv , M = { 1, 2, …,n } si = grupul simetric pe

multimea M (vezi capitolul 1;definitia 12). Pentru un element consideram grupul G =

si actiunea canonica a lui G pe M (vezi (1.7)). Pentru fiecare M ,

G- orbita lui este :

G = {si | s }

si se va numi -orbita lui i. De exemplu, daca

= 8,

-orbitele sunt {1 , 3 , 4} , {2}, {5, 7, 8, 6 }. In general avem urmatorul rezultat :

(4.2) Propozitie. Fie m cel mai mic intreg pozitiv astfel ca m = , M. Atunci orbita lui are lungimea m si

G = { , , …, }.

Demonstratie. Un element din -orbita lui este de forma cu s . Daca s = mq + r

cu q,r si 0 r m , atunci = (m)q . Deoarece m = , rezulta = . Prin

urmare, G = { , , …, } si | G| m. Presupunand ca | G | m, ar exista s, t

, astfel ca 0 s t m si = . Atunci ; dar 0 t – s t m, ceea ce

contrazice alegerea lui m ca cel mai mic intreg pozitiv m astfel ca

(4.3) Fie . Daca toate -orbitele sunt triviale atunci = 1 . Daca exista o singura

-orbita netriviala spunem ca este un ciclu si lungimea -orbitei netriviale se numeste

lungimea ciclului . Fie un ciclu de lungime m. Conform lui (4.2) -orbita netriviala are

forma

{, , …, }

pentru un M = { 1,2, …, n} si Notam = . Atunci

elementele , , M sunt distincte doua cate doua si avem

(1)

Reciproc, daca se dau m elemente , , M, distincte doua cate doua, atunci formula

defineste un ciclu de lungime m din n a carui orbita netriviala este {, , Acest ciclu se va nota ( ) . De exemplu, in 8 avem

( 1 3 5 7 ) = .

Doua cicluri , n se numesc disjuncte daca -orbita netriviala si -orbita

netriviala sunt disjuncte. Se observa imediat ca pentru doua cicluri disjuncte , n , avem

= .

(4.4) Propozitie. Orice permutare n se scrie in mod unic ( abstractie facand de

ordinea factorilor) ca un produs de cicluri disjuncte doua cate doua:

= 12

In plus,-orbitele netriviale sunt exact – orbitele netriviale, k = 1, 2, , .

Demonstratie. La fiecare -orbita netriviala de lungime m asociem un ciclu in modul

urmator : alegem un element si luam = (, , …, ). Deoarece = {,, …,

} si | | = m, elementele ,, …, sunt disjuncte doua cate doua, deci este intr-

adevar un ciclu de lungime m. In plus, ciclul nu depinde de alegerea lui . Intr-adevar,

pentru un j exista un t , 1 m si j = t -1. Notand =

, avem egalitatea evidenta :

( ) = ( )

Si aceasta egalitate revine la

() = (j j

Presupunem ca are r orbite netriviale 1, 2 ,r. Atunci, obtinem in modul descris mai

sus r cicluri 1, 2 ,r astfel ca pentru orice k, 1 k r, k – orbita netriviala este k si

pentru orice k sa avem = k. In mod evident avem = 1, 2 ,r. Pentru a

demonstra si afirmatia de unicitate sa presupunem ca , , , sunt cicluri disjuncte doua

cate doua astfel ca =, , , . Pentru fiecare k, 1 k , fie k – orbita netriviala.

Daca pentru un 1 k atunci = si -orbita lui coincide cu Rezulta ca –

orbitele netriviale sunt exact , , , . Prin urmare r = si renumerotand ,eventual,

ciclurile , , putem presupune k = , decik = pentru orice k = 1, 2, … , r.

(4.5) Ciclurile de lungime 2 din n se numesc transpozitii. Orice ciclu (, ,)

este un produs de transpozitii:

(1) ( ) = ( ) ( ) ().

Aplicand si (4.4) rezulta ca orice permutare din n este un produs de transpozitii. Altfel spus,

multimea tuturor transpozitiilor din n formeaza un sistem de generator pentru n.

(4.6) Fie n. Signatura lui este numarul

sgn σ =

O inversiune a lui este o pereche (i, j) cu 1 I < j n si (i) > (j).Daca r este numarul de

inversiuni ale lui avem evident sgn = (-1)r. Spunem ca este o permutare para daca sgn =

1, adica daca are un numar par de inversiuni; daca sgn = -1 , spunem ca este o permutare

impara. Fie , n. Avem:

sgn (στ) =

=

=

=

=

sgn σ

sgn τ

Rezulta ca aplicatia sgn : n * este un omomorfism de grupuri a carui imagine este {-1,1}.

Nucleul omomorfismului sgn se noteaza cu An si este format din toate permutarile pare din toate

permutarile pare din n. Vom numi An grupul altern pe n elemente. Din teorema fundamentala de

izomorfism avem:

n / An {-1, 1}.

Rezulta | n : An | = 2, deci | An | = |n | 2 = n !/ 2.

(4.7) Pentru o transpozitie (r s) cu 1 r s < n, inversiunile sunt de forma (r , i) cu r < i

<s sau de forma (i, s) cu r < i < s. Prin urmare,numarul inversiunilor transpozitiei (r,s) este 2(s-r)

– 1. Astfel, orice transpozitie este o permutare impara. Daca n si scriem pe ca un produs

de transpozitii,

= t1t2 … tm,

atunci :

sgn() = sgn (t1) sgn (t2) … sgn ™ = (-1)m.

Deci m este numar par sau impar,dupa cum este o permutare para sau impara. In particular, un

ciclu (i1,i2 … ir) este un produs de r – 1 transpozitii prin (4.5, 1 ), deci

sgn(i1i2 … ir) = (-1)r-1.

5.Actiuni prin conjugare

(5.1) Fie G un grup. Definim actiunea a grupului G pe multimea G a elementelor lui

G prin = , G. Conditiile din definitia unei actiuni se verifica astfel:

() = ((-1 = -1) =

=(, ()), (1, ) = 11-1 = .

Actiunea se numeste actiunea lui G pe el insusi prin conjugare si se foloseste de obicei, pentru

aceasta actiune, o notatie exponentiala:

= = .

(5.2) Nucleul actiunii prin conjugare este :

Ker = { G | = pentru orice G} = { G | = pentru orice G} =

{ G | = pentru orice G} = ,centrul grupului G.

Nucleul actiunii lui G pe el insusi prin conjugare este centrul al lui G. Deci , actiunea

prin conjugare este fidela daca si numai daca = 1.

Orbita unui element G relativ la actiunea prin conjugare este

= { | g G} = { | g G}

si se numeste clasa de conjugare a lui g. Doua elemente G se numesc conjugate daca au

aceeasi clasa de conjugare,adica daca exista un g G astfel ca y = = .

Stabilizatorul unui element G relativ la actiunea prin conjugare este

{ g G | = } = { g G | = }= { g G | = };

el se noteaza cu CG() si se numeste centralizatorul lui in G.

Clasa de conjugare a unui element Geste triviala daca si numai daca = , sau

= , pentru orice G ; altfel spus ,

| | = 1 .

In general , conform lui (3.3, 3), avem

| | = | G : CG() | .

In cazul actiunii prin conjugare relatia (3.1 , 1) devine :

| G | = | | + | G : CG() |

(unde sumarea se face dupa toate clasele de conjugare netriviale ) . Relatia (2) se numeste

ecuatia claselor grupului G .

(5.3) Propozitie. Fie G un grup finit si presupunem ca | G | = pm , unde p este un numar

prim si m un numar intreg pozitiv . Atunci centrul al lui G este netrivial .

Demonstratie . Pentru orice element G , | G : CG() | este un divizor al lui | G | = pm si

daca | G : CG() | 1 , rezulta | G : CG() | = pk pentru un numar intreg pozitiv k .

Ecuatia claselor pentru grupul G devine atunci

Pm = | G | = | | + + … +

unde n este numarul claselor de conjugare netriviale , iar k1 , k2 , … , k n sunt numere intregi

pozitive . Deoarece p | ( + +… + ) , ecuatia de mai sus arata ca p | deci

1 .

(5.4) Corolar . Fie p un numar prim . Atunci orice grup G de ordin p2 este abelian .

Demonstratie . Conform propozitiei precedente avem 1 si deoarece | | | | G |

= p2, rezulta | | = p sau | | = p2. Nu putem avea insa | | = p , deoarece in acest

caz | G / | = = p , deci grupul factor G / este ciclic ( aceasta rezulta de exemplu din

faptul ca orice grup de ordin prim este , conform teoremei lui Lagrange , grup simplu ) ; aplicam

apoi propozitia … si rezulta G abelian , deci ) = G , ceea ce nu se poate . Prin urmare singura

posibilitate este | | = p2 = | G | , de unde rezulta ) = G , deci G abelian .

(5.5) Propozitie . ( Teorema lui Cauchy . ) Fie G un grup finit si p un numar prim astfel ca

p | G | . Atunci exista un element G cu o() = p .

Demonstratie . Vom face demonstratia prin inductie dupa ordinul | G | al lui G . Presupunem

intai ca G este abelian . Daca G este simplu , atunci G este grup ciclic de ordin prim si pentru un

generator al lui G avem o() = p . Daca G nu este simplu , atunci exista un subgrup propriu si

netrivial H al lui G si deoarece | G | = | H | | G / H | avem p | | H | sau p | | G / H | . Daca p | H | ,

atunci , conform ipotezei de inductie , exista un element H cu o() = p . Daca p | H | ,

atunci p | | G / H | si notand m = | H | avem ( p , m ) = 1 , deci exista numere intregi k si n astfel

incat pk + mn = 1 . Pe de alta parte , conform ipotezei de inductie , exista un element G

astfel ca o(H) = p (H ca element in grupul factor G/H ) , deci (H) p = H si H . Luam y =

m n si deoarece p mn avem m n H , deci y 1. Pe de alta parte , deoarece H si m = | H|

avem ( ) m = 1 , deci yp = 1 . Astfel o ( y ) = p . Acum presupunem G neabelian si consideram

ecuatia claselor pentru grupul G :

| G | = | ) | + () |

Unde 1, 2, … , r sunt elemente din G necentrale . Daca p | | | atunci , deoarece este

abelian , exista un element cu o () = p . Daca p | | , atunci exista un i { 1 , 2 ,

… , r } astfel ca p | G : C () | . Deoarece p | G | = | CG () / | G : CG () | , rezulta p | | CG ()

| < | G | si , conform ipotezei de inductie , exista un element CG () cu o () = p .

(5.6) Definitie . Fie G un grup G si U o submultime a lui G . Definim

= U-1 = {-1 | U } .

Atunci aplicatia

: G P(G) P(G)

( unde P(G) este multimea tuturor submultimilor lui G ) definita prin

(, U) =

este o actiune . Conditiile din definitia unei actiuni :

) = si = U,

Se verifica in mod evident. Actiunea se numeste actiunea lui G pe multimea submultimilor lui

G prin conjugare .

Pentru fiecare submultime U a lui G , stabilizatorul lui U relativ la aceasta actiune se

numeste normalizatorul lui U in G si se noteaza NG(U) . Avem

NG(U) = { G | = U } = { G | U-1 = U } = { G | gU = Ug } .

In cazul unui subgrup H al lui G avem H NG(H) si pentru orice subgrup K a lui G , H K

NG ( H ) K , sau altfel spus , NG(H) este cel mai mic subgrup al lui G care contine pe H ca

subgrup normal .

Pentru fiecare submultime U a lui G orbita lui U relativ la actiunea prin conjugare =

{ | G } se numeste si clasa de conjugare a lui U , iar doua submultimi U si care au

aceeasi clasa de conjugare se numesc conjugate .

Capitolul 3 p-GRUPURI SI TEOREMELE LUI SYLOW

1.Proprietati de baza ale p-grupurilor

Definitia 3.1 : Fiind dat un numar prim p,un grup finit G se numeste p-grup,daca

ordinul G este o putere a lui p.

Observatie: In virtutea teoremei lui Cauchy,un grup finit G este p-grup daca si numai daca

orice element xG are ca ordin o putere a lui p.

Aceasta observatie permite generalizarea notiunii de p-grup si la cazul grupurilor infinite:un grup

oarecare G se numeste p-grup daca orice element xG are ordinul o putere a lui p.

Propozitia 3.2. : Pentru orice p-grup finit G care actioneaza pe o multime finita M avem

FixG (mod p).

Demonstratie. Consideram ecuatia claselor pentru actiunea data:

= FixG (X)+ G|.

Deoarece pentru fiecare orbita netriviala , avem 1≠ | G: StabG | | |G| si cum ordinul lui G

este o putere a lui p,rezulta ca p| | G: StabG | deci ca p divide suma care apare in membrul

drept al egalitatii de mai sus,adica

|M|≡ | FixG(M) | (mod p).

Propozitia 3.3. : Fie G un grup,H si K subgrupuri ale lui G si presupunem ca H este de

indice finit in G,sa zicem | G:H | = n iar K este un p-grup finit,unde p este un numar prim care

nu divide pe n. Atunci exista un element gG,astfel incat K ≤ H.

Demonstratie. Consideram actiunea lui G pe multimea M=(G/H)s prin multiplicare la

dreapta si apoi restrictia acestei actiuni la K. In virtutea propozitiei precedente avem

FixK(M) ≡ | M | = | G:H |=n(mod p),

Astfel ca,deoarece p∤n, avem FixK(M )≠ø. Exista deci un element Hastfel ca H=H

pentru orice Dar

H=H ⇔H⇔H,

Astfel ca K≤ H

Propozitia 3.4. Fie G un grup finit si H un p-subgrup al lui G astfel incat p | G:H|.Atunci

p | | NG (H): H|.

Demonstratie.Consideram actiunea lui G pe multimea M=(G/H)s prin multiplicare la

dreapta si apoi restrictia acestei actiuni la H.Conform propozitiei avem | FixH(M) | ≡ | G:H | (mod

p),astfel ca avem p | | | FixH(M) |.Pentru un element HM avem H FixH(M) daca si numai daca

H=H pentru orice Deoarece

H=H⇔H

rezulta ca

H FixH(M) ⇔H≤ H⇔H=H⇔G(H);

ceea ce arata ca

FixH(M)=NG (H) / H (G/H)s =M.

Prin urmare

p | |NG (H) / H | = |NG (H): H |.

Corolarul 3.5. Fie G un p-grup finit si H un subgroup al lui G.Atunci,daca H<G, avem

H<NG (H).

Demonstratie. Deoarece | G:H | ≠si | G:H | |G|, avem p | | G:H | astfel ca putem aplica

propozitia precedent.Conform acestei propozitii rezulta p||NG(H): H |,deci | NG(H): H | ≠ 1,adica

H<NG(H).

Propozitia 3.6. Fie G un grup finit,H un subgroup normal al lui G si K un p-subgrup al

lui G. Atunci, daca | H |≡1(mod p),avem H ∩ CG(K) ≠

Demonstratie. Deoarece H este normal in G,G actioneaza pe multimea elementelor lui H

prin conjugare.Restrictia acestei actiuni la K este o actiune a lui K pe H,pentru care avem

h FixK(H) ⇔kh=h pentru orice k

⇔kh=hk pentru orice k⇔h∩ CG(K),

astfel ca

Fix K(H)=∩ CG(K).

Deoarece Keste p-grup, rezulta din

|H∩ CG(K)| | H |(mod p)

Si deoarece prin ipoteza | H | 1 (mod p), obtinem |H∩ CG(K)| 1 (mod p) si , in particular

=∩ CG(K) 1.

Corolarul 3.7. Fie G un p-grup si H un subgrup normal netrivial al lui G.Atunci

intersectia H∩Z(G) este netriviala : H∩Z(G) 1.

Demonstratie .Luam in propozitia precedent K = G si rezultatul este imediat.

Definitia 3.8. Fie un grup finit si p un numar prim. Presupunem ca = pmr si pr.

Atunci un subgroup al lui G de ordin pm se numeste p-subgrup Sylow al lui G. Existenta p-

subgrupurilor Sylow ale unui grup G pentru orice numar prim p si proprietatile acestor p-

subgrupuri sunt de importanta fundamental in teoria grupurilor.

Propozitia 3.9. (Prima teorema a lui Sylow.) Fie G un grup finit si p un numar prim

.Atunci exista un p-subgrup Sylow al lui G.

Demonstratie . Printre p-subgrupurile lui G , alegem unul H de ordin maxim si fie =

pm . Evident H este un p-subgrup Sylow al lui G daca si numai daca p . Presupunem,prin

absurd, ca p . Atunci , conform propozitiei 4,avem si p . In plus,putem

forma grupul factor NG (H) / H si ordinal acestui grup este divizibil cu p. Conform teoremei lui

Cauchy, grupul NG (H) / H are un element de ordin p si acesta genereaza evident un subgrup de

ordin p.Prin urmare, NG (H) / H are un subgrup de ordin p, si acesta este de forma K / H,unde

H K NG(H). Avem = = pmp=pm+1,si aceasta contrazice alegerea lui H ca p-

subgrup al lui G de ordin maxim.

Alta demonstratie a teoremei lui Sylow. Vom demonstra acum prima teorema a lui Sylow fara a

folosi teorema lui Cauchy.Pentru aceasta fie = pmr , cu pr si fie X multimea tuturor

submultimilor U ale lui G care au pm elemente.Numarul acestor submultimi U este

X==

(unde inseamna numarul combinarilor de n obiecte luate cate k)

Daca intr-unul din factorii produsului de mai sus ,sa zicem , j 0,1,…,pm-1}, facem toate

simplificarile posibile cu divizorii comuni ai numaratorului si numitorului,numaratorul astfel

obtinut nu se divide cu p .Aceasta este clar pentru j=0:

= =

Si deoarece n<m, avem p(pm-nr s).Deoarece p este prim,rezulta ca p nu divide produsul

numaratorilor obtinuti dupa aceste simplificari si , in concluzie , p.Deoarece pentru un gG

si UX avem = = pm,putem considera aplicatia

definita prin si aceasta aplicatie este evident o actiune. Deoarece X este o

multime finita, actiunea noastra are un numar finit de orbite, sa zicem X1,X2, …, Xr si avem =

+ + … . Deoarece p,exista o asemenea orbita ,sa zicem X1 , cu p.

Alegem un element VX1 si fie H = StabG(V)={G | V=V}. Atunci H este un subgrup al lui

G si vom demonstra ca H este un p-subgrup Sylow. Avem = , deci pmr = =

si, deoarece p ,rezulta pm | .Pentru orice havem hV = V, astfel ca alegand

un element V ,putem define aplicatia : H V prin = h, h H. Aplicatia este

evident injective si prin urmare = pm.De aici si din faptul ca pm | , rezulta =

pm.

Propozitia 3.10. (A doua teorema a lui Sylow.) Fie G un grup finit,p un numar prim, K

un p-subgrup al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui G. Atunci , exista un g G ,astfel incat K

gHg-1.In plus, p-subgrupurile Sylow ale lui G formeaza o clasa de conjugare de subgrupuri.

Demonstratie .Prima parte a teoremei rezulta evident din propozitia 3. Pentru a doua parte,

observam ca , pentru orice element G, avem = , astfel ca H -1 este si el un

p-subgrup Sylow pentru orice G. Reciproc, daca K este un p-subgrup Sylow, avem K

H -1, pentru un G si deoarece = = rezulta K= H -1.

Propozitia 3.11. (A treia teorema a lui Sylow.) Fie G un grup finit, p un numar prim, H

un p-subgrup Sylow al lui G si np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G. Atunci

np = , np | si np 1(mod p).

Demonstratie. Fie Sp multimea p-subgrupurilor Sylow ale lui G.Conform lui .10, Sp este

orbita lui H relative la actiunea prin conjugare a lui G pe multimea submultimilor lui G motiv

pentru care

Np = = .

Deoarece

= | = np ,

Avem np | Putem defini aplicatia Sp Sp prin = K-1, KSp, si

aceasta aplicatie este evident o actiune a lui H pe multimea Sp. Conform lui 2 avem

Sp(mod p).

Pentru un KSp avem

KSp) gKg-1 = K , H NG(K) ;

In aceasta situatie H si K sunt p-subgrupuri Sylow ale lui NG(K) si conform lui 3.10. Avem H =

K-1 pentru un g NG(K) adica H = K. Prin urmare Sp)={H} si congruent de mai sus

devine np 1(mod p).

Observatie. A doua demonstratie a teoremei lui Sylow nu foloseste teorema lui Cauchy ca

prima demonstratie. Mai mult, putem deduce teorema lui Cauchy din prima teorema a lui Sylow,

astfel:

Fie G un grup finit , p un numar prim si p | . Din prima teorema a lui Sylow exista un

p-subgrup Sylow H al lui G si deoarece ordinul lui divide , ordinul lui este o putere a lui

p : o() = ps . Atunci = 1 si Atunci, pentru y = , avem yp = =1 si y 1,

ceea ce arata ca o(y) = p.

Propozitia 3.12. (Lema lui Frattini.). Fie G un grup oarecare, K un subgrup normal finit

al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui K, unde p este un numar prim. Atunci G = NG(H)K.

Demonstratie. Pentru orice element G, avem

H-1 K-1= K

si deoarece = , este un p-subgrup Sylow al lui K ca si H.Prin teorema a

doua a lui Sylow , exista un element kK, astfel incat= H-1 ceea ce implica

()H(-1g) = H,adica NG(H) sau g NG(H)k NG(H)K. Aceasta arata ca G =

NG(H)K.

Corolarul 3.13. Fie G un grup finit, p un numar prim si H un p-subgrup Sylow al lui

G.Atunci, pentru orice subgroup K al lui G cu NG(H) K, avem NG(K) = K.

Demonstratie.Avem H NG(H) K, ceea ce arata ca H este si un p –subgrup Sylow al

lui K. Luam L = NG(K) si aplicam lema lui Frattini grupului L. Rezulta L= NL(H) K. Dar

NL(H) NG(H) K,astfel ca L= NL(H) K KK= K, deci L = K, adica NG(K) = K.

Exemple si unele aplicatii ale teoremelor lui Sylow.

Teoremele lui Sylow au aplicatii numeroase si importante in teoria grupurilor. Exemplele si

aplicatiile pe care le voi indica mai jos sunt dintre cele mai concrete ,ele ilustrand insa foarte bine

importanta teoremelor lui Sylow si modul in care se folosesc ele. O modalitate des utilizata

consta in a folosi teoremele lui Sylow pentru a identifica un subgroup normal propriu si netrivial

al unui grup G : Fie p un divisor al lui G si H un p-subgrup Sylow al lui G. Deoarece p | ,

avem >1 , iar daca G nu este p-grup avem H<G deci H este un subgrup propriu si netrivial.

Fie np numarul p-subgrupurilor Sylow ale lui G.Daca aratam, folosind teorema a treia a lui

Sylow sau alte mijloace, ca np = 1, atunci din teorema a doua a lui Sylow rezulta ca H este un

subgrup normal al lui G.

Subgrupurile Sylow ale lui S4. Avem

S4 = 4 ! = 24 = 233.

Prin urmare 2-subgrupurile Sylow ale lui S4 sunt exact subgrupurile de ordinul 8, iar 3-

subgrupurile Sylow sunt exact subgrupurile de ordinal 3. Subgrupurile de ordinul 3 ale lui S4 se

descopera imediat: ele sunt generate de elemente de ordinul 3 , iar elementele de ordinal 3 in S4

sunt exact ciclurile de lungime 3. Gasim n3 = 4 si 3-subgrupurile Sylow ale lui S4 sunt : {1, (123)

, (132)}, {1,(124),(142)}, {1, (134), (143)} , {1,(234),(243) }. Pentru a descrie 2-

subgrupurile Sylow ale lui S4 , observam ca daca luam si = (1 2) (3 4), avem 4 =

1, 2 = 1 , = 3 =(2 4).

Rezulta ca

H = = { 1 , , 2, 3 , , ,, }

Este un subgrup de ordinul 8 al lui S4 , izomorf cu grupul diedral D4. Orice 2-subgrup Sylow al

lui S4 este conjugat cu H , deci , de asemenea , izomorf cu D4. In virtutea celei de-a treia teoreme

a lui Sylow , numarul n2 al 2-subgrupurilor Sylow satisface conditia n2|3 , deci n2 = 1 sau n2 = 3.

In cazul n2 = 1, H ar fi normal in S4 , ceea ce nu este adevarat. Intr-adevar , avem :

H = {1, (1 2 3 4), (1 3) (2 4) , (1 4 3 2), (1 2 ) (3 4), (1 3 ), (2 4) }

Deci, de exemplu, (2 4) H si

(1 4) (2 4) (1 4)-1 = (1 2) .

Prin urmare avem n2 = 3 , iar cele 3 subgrupuri ale lui S4 de ordinul 8 sunt H

(1 4)H(1 4)-1 = {1, (1423), (12) (34),(1324), (1324), (13) (24), (34), (12)}

si

(12)H(12)-1= {1,(1342), (14) (23), (1243),(12)(34), (23), (14)}.

Subgrupurile Sylow ale lui Dn, n impar. Avem

Dn = , unde = 1 , = 1, = n-1 = -1.

Deoarece = 2n, avem o( deci H = este un subgrup al lui Dn de ordin n.

Orice element din Dn – H este de forma k cu k {0, 1, …, n-1 } si se verifica imediat (eventual

prin inductia dupa k) ca k = n-k pentru orice numar natural k. Prin urmare

(k2 = k(k) = k-k = 1 .

Astfel ca orice element din Dn– H are ordinul 2. In cazul cand n este impar, 2-subgrupurile

Sylow ale lui Dn au ordinul 2 si deci sunt tot atatea 2-subgrupuri Sylow in Dn cate elemente de

ordinul 2 are Dn, iar aceste elemente de ordinul 2 din Dn sunt exact elementele de forma k ,

k {0, 1, …, n-1 }. Intr-adevar , H fiind un grup de ordin n si n fiind impar, H nu are elemente

de ordinul 2. Prin urmare n2 = n si 2-subgrupurile Sylow ale lui Dn sunt:

{1, k} , k {0, 1, …, n-1 }.

Acum fie p un numar prim impoar si presupunem ca p | | Dn | = 2n. Atunci p|n si daca P este un

p=subgrup Sylow al lui Dn, P nu contine elemente de ordinul 2. Rezulta P H.

Prin urmare, np = 1 si un p-subgrup Sylow al lui Dn este ciclic. Astfel , toate subgrupurile Sylow

ale lui Dn, n impar , sunt ciclice.

Grupurile de ordin pq

Fie p si q numere prime distincte si fie G un grup de ordin pq.Fie P un p-subgrup Sylow al lui G

si Q un q-subgrup Sylow al lui G. Avem = p si = q , astfel ca P si Q sunt grupuri ciclice ,

sa zicem P = si Q = , unde o(x) = p , o(y) = q . Fie np numarul p-subgrupurilor Sylow

ale lui G. Avem np|q si np 1(mod p) ; rezulta np = 1 sau np = q, iar egalitatea np = q poate avea

loc numai in cazul cand q 1(mod p). Analog nq = 1 sau nq = p , iar egalitatea nq = p poate avea

loc numai in cazul cand p 1(mod q). Deoarece pq, nu putem avea simultan si q 1(mod p)

si p 1(mod q). Prin urmare np = 1 sau nq = 1, ceea ce arata ca P G sau Q G.Aceasta arata ca

G nu este grup simplu.

In plus, in cazul p1(mod q) si q1(mod p) avem np = 1 si nq = 1, deci P G si Q G. Atunci

P, -1 P, y-1-1 P,

deci

y-1-1 = (y-1-1) P.

Analog

y-1-1 = (y-1-1 Q

astfel ca

y-1-1 P Q = 1, deci y = y.

Fie n un numar intreg si presupunem (y)n = 1. Din legea de comutativitate generalizata rezulta

1 = (y)n = nyn,

deci n = -n P Q = 1, deci n = yn = 1.

Aceasta demonstreaza ca p|n, q|n, deci pq|n si astfel o(y) = pq = | G |. Prin urmare G

= si G este ciclic. Astfel, orice grup de ordin pq, unde p si q sunt numere prime, p1(mod

q) si q1(mod p) este ciclic. De exemplu orice grup de ordin 15, 33, 35 este ciclic.

Grupuri de ordin p2q

Fie p si q numere prime distincte si G un grup de ordin p2q. Fie P un p-subgrup Sylow al lui G si

Q un q-subgrup Sylow al lui G. Avem | P | = p2 si | Q | = q. Fie np numarul p-subgrupurilor

Sylow ale lui G. Sa presupunem ca np | q si q este numar prim, rezulta np = q si deoarece q = np

1(mod p), rezulta q > p . Deoarece np| p2, avem nq = p sau nq = p2 si deoarece nq 1 (mod q) si q

> p , nu putem avea nq = p. Prin urmare, nq = p2. Orice element de ordinul q al lui G genereaza un

subgrup de ordinul q al lui G, deci un q-subgrup Sylow al lui G si orice doua asemenea

subgrupuri au intersectia triviala de unde rezulta ca numarul elementelor de ordin q ale lui G este

Nq(q – 1 ) = p2 (q-1)

iar numarul elementelor lui G care nu sunt de ordin q este

p2q – p2(q – 1) = p2.

Deoarece | P | = p2, orice element din P nu este de ordin q, de unde rezulta ca P coincide cu

multimea tuturor elementelor lui G, care nu au ordinul q. Acest lucru se va intampla de fapt

pentru orice p-subgrup Sylow al lui G, astfel ca rezulta np = 1, o contradictie.Prin urmare np = 1

sau nq = 1, adica P G sau Q G. Astfel , orice grup de ordin p2q nu este grup simplu.

Presupunem acum ca p2 1 (mod q) si q 1 (mod p). Conform celor de mai sus vom

avea np = 1 si nq = 1, deci P G si Q G. Avem | P | = p2, | Q | = q si | P Q | divide atat pe | P |

= p2 cat si pe | Q | = q, astfel ca | P Q | = 1 , P Q = 1 . Avem

| PQ | = = p2q,

Astfel ca G = PQ. Fie acum P si y Q. Atunci y-1-1 P Q = 1, astfel y = y. De aici

rezulta ca G este abelian. Intr-adevar, pentru orice doua elemente , G avem = iyi, i

P, yi Q.Atunci, deoarece P si Q sunt abeliene,

= ()() = ( = () =()() = (() = ) = () = ()() = .

Prin urmare, daca |G| = p2q si p2 1 (mod q), q 1 (mod p), atunci G este abelian.Astfel, orice

grup de ordin 45,99,175, este grup abelian.

Capitolul 4.

Grupuri simple de ordin ≤ 100

Problema determinarii tuturor tipurilor de grupuri finite simple este o problema centrala in

teoria grupurilor; ea a fost rezolvata complet abia in 1980 .

Se stie ca un grup abelian G este simplu daca si numai daca G este finit si |G| = este un

numar prim;in aceasta situatie G este ciclic,deci G Zp.

Ne propunem in continuare sa demonstram ca orice grup simplu neabelian de ordin ≤ 100

este izomorf cu grupul altern A5.Incepem prin a demonstra ca un numar natural cu 1 ≤ ≤ 100

si ≠ 60 nu poate fi ordinul unui grup simplu neabelian.Obtinem in aceasta directie o serie de

rezultate mai generale .

Lema 4.1. Fie G un grup finit,p un divizor prim al ordinului lui G,H un -subgrup

Sylow al lui G si np numarul -subgrupurilor Sylow ale lui G.Au loc urmatoarele afirmatii:

daca = 1 atunci 1< H ⊴ G;

daca |H| = atunci numarul elementelor lui G de ordin p este (p-1).

Demonstratie.

a) Deoarece avem 1 < H. Faptul ca H ⊴ G rezulta din a 2 teorema a lui Sylow.

b)Fie =, H= H1, H2, …, Hn -subgrupurile Sylow distinct ale lui G si = \

{1},= 1, 2, …,n. Deoarece | | = |H| = , orice element din este de ordin .Reciproc

,pentru orice element G de ordin , este de ordin ,deci este un -subgrup Sylow al lui

G ; rezulta pentru un = 1, 2, …,. In plus, pentru 1≤j ≤ n , Hi ∩ Hj este un subgrup

propriu al lui Hi si | | = ,deci,conform teoremei lui Lagrange , Hi ∩ Hj = 1 si = .

Rezulta ca multimea tuturor elementelor lui G de ordin este M = … si ,

aceasta reuniune fiind disjuncta , avem :

= = ( -1).

Propozitia 4.2. Fie p , q , r numere prime si G un grup finit. Atunci , G nu este un grup

simplu in fiecare din urmatoarele situatii:

G este un -grup neabelian ;

= ;

= ;

qr .

Demonstratie.

Luam H = Z(G)- centrul lui G.Rezulta ca H este un subgrup normal in

G , 1H si H G deoarece G este neabelian.

Tinand seama de i) putem spune ca . Fie >.Daca prin absurd , G nu este

simplu atunci (4.1,a) arata ca >1.Conform teoremei a treia a lui Sylow avem

= tot teorema a treia arata ca (mod .Dar nu putem avea > si

(mod .

Prin absurd , presupunem > 1 si > 1.divide , deci = .

De asemenea,(mod , deci > . Cum divide , avem = sau =, si

(mod Daca = rezulta (mod , deci >, o contradictie. Prin urmare

=. Deoarece un -subgrup Sylow al lui G are ordinal q conform lui (4.1,b),rezulta ca

numarul elementelor lui G de ordin q este = Fie M multimea

elementelor lui G care nu sunt de ordin . Avem =. Fie P un –

subgrup Sylow al lui G.Ordinul oricarui element din P este un divizor al lui = si

rezulta P dar = =, deci P = M. Rezulta ca P este unicul -subgrup Sylow al

lui G, deci =1 , contradictie.

(iv) In virtutea lui (iii) putem presupune ca p, q, r sunt distincte doua cate doua. Fie >>

r. Prin absurd , presupunem ca G este un grup simplu. Atunci > 1,> 1, > 1. Conform

lui (4.2,b) G contine elemente de ordinul p, elemente de ordinul q

si elemente de ordinul Prin urmare avem:

= qr

In virtutea celei de-a treia teoreme a lui Sylow si (mod .Deoarece > si

>r nu putem avea = =. Deci = . De asemenea, si

(mod . Deoarece q >= Deci =sau = ; in orice caz .

In fine, deoarece divide q si > avem q. Din (1) rezulta :

qr + qr + +q = qr +

si deci 0 >

4.3. Fie G un grup finit de ordin unde 1 ≤ 100. Din (4.2) rezulta ca daca nu

este egal cu 24 = = 40 = = 2

80 =

96 = 100 = In continuare vom

analiza ce se intampla in fiecare din aceste cazuri.

Lema 4.5. Fie G un grup finit simplu neabelian si H un subgrup propriu al lui G.

Atunci

Demonstratie. Consideram inima HG a lui H in G . Avem HGHGHG poate fi

scufundat in m, unde m = . Deoarece G este grup simplu avem HG = 1, deci G poate fi

scufundat in m. Nu putem avea m = 2 sau m = 3 deoarece 2 si 3 nu au subgrupuri simple

neabeliene (2 este abelian ; 3 nu este simplu si orice subgrup propriu al lui este abelian). In

cazul m = 4, trebuie sa fie un divizor al lui Deoarece insusi nu este

grup simplu si G nu este -grup, singurele posibilitati pentru sunt 2 dar si

acestea sunt excluse prin (4.2). Prin urmare avem m

4.6. Fie G un grup finit de ordin = 36 = 222, = 54 = 23 si = 100 =

2252,consideram un p-subgrup Sylow H al lui G , unde p = 3 sau p = 5. Atunci |G:H| va fi,

respective, 22, 2 si 22, deci |G: H |< 5 in toate aceste trei cazuri . In virtutea lui (4.4) G nu este

un grup simplu.

In cazurile = 24 = 23, n = 48 = , = 96 = 25, consideram un 2-subgrup

Sylow H al lui G. Atunci vom avea | G : H | = 3 < 5, deci si in aceste cazuri G nu este un grup

simplu.

In cazurile =40 = 235, = 56 = 237, = 72 = 232, = 88 = 2311 consideram un p-

subgrup Sylow H al lui G, unde p este , respective, 5,7,3,11. Fie p numarul p-subgrupurilor

Sylow ale lui G. Atunci p divide 23 , deci putem avea p = 1,2,4,8. Daca p = 1, G nu este grup

simplu ,in virtutea lui (4.1, a). Deoarece p = |G : NG(H)|, G nu este grup simplu nici in cazurile

p =2 sau p = 4. Ramane cazul p = 8. Va trebui sa avem 8 = p 1 (mod p) ; acest lucru nu se

poate daca p = 5, 3 sau 11. Ramane p = 7, deci = 56 = 237. In acest caz numarul elementelor lui

G de ordin 7 este 7(7 – 1 ) = 86 = 48. Deci G are exact 56- 48 = 8 elemente care nu sunt de

ordinal 7. Orice 2-subgrup Sylow H al lui G are ordinul 8, deci coincide cu multimea celor 8

elemente care nu sunt de ordinul 7. Rezulta = 1 si G nu este un grup simplu.

In cazul = 80 = 245 consideram un 2-subgrup Sylow H al lui G si inima HG a lui H in G. Daca

HG 1 atunci G nu este simplu. Daca HG = 1 , atunci, deoarece |G: H| = 5, G poate fi scufundat

in . Prin urmare =5 divide | = 5 !, deci = 16 divide 4! = 24; evident, acest lucru nu

se poate.

In cazul = 84 = 37 numarul al 7- subgrupurilor Sylow ale lui G satisface

conditiile si 1 (mod 7). Din aceste conditii rezulta, evident, , deci G nu este un

grup simplu.