Grupuri Finite

Introducere

Lucrarea tratează teoria grupurilor finite, cu definirea structurilor fundamentale și caracterizarea instrumentelor de investigație specifice.

Studiul grupurilor finite are aplicații în diverse domenii ale matematicii și în alte științe precum fizica și chimia.

În primul capitol am făcut o scurtă introducere în teoria grupurilor definind noțiunea de grup, produsul direct a două grupuri, morfisme de grupuri și am caracterizat grupurile ciclice, grupurile finite și subgrupurile unui grup.

În capitolul II am enunțat teorema lui Lagrange și teoreme de izomorfism prezentând definiția indicelui unui subgrup într-un grup și caracterizând subgrupurile generate de o mulțime, subgrupurile normale și grupurile factor. Am dat drept consecințe teoremele lui Euler, Fermat și Wilson. În finalul capitolului am prezentat teoremele de izomorfism cu aplicații la studiul subgrupurilor unui grup ciclic și a grupurilor rezolubile.

În capitolul III am prezentat grupurile abeliene finit generate insistând asupra structurii acestora cu evidențierea părții de torsiune a unui grup abelian și caracterizând grupurile abeliene libere de rang finit și p-grupurile abeliene. Ne-am ocupat și de determinarea tuturor tipurilor de grupuri abeliene finit generate și am caracterizat grupul automorfismelor unui grup ciclic.

Capitolul I: Introducere în teoria grupurilor ………………………………………………. 3

§ 1. Definiția noțiunii de grup. Exemple de grupuri …………………………… 3

§ 2. Reguli de calcul într-un grup ……………………………………………………. 5

§ 3. Produsul direct a două grupuri ………………………………………………….. 7

§ 4. Morfisme de grupuri ……………………………………………………………….. 8

§ 5. Grupuri ciclice ……………………………………………………………………….. 10

§ 6. Grupuri finite …………………………………………………………………………. 14

§ 7. Subgrupuri …………………………………………………………………………….. 15

Capitolul II: Teorema lui Lagrange: grupuri factor,

teoreme de izomorfism …………………………………………………………… 20

§ 1. Indicele unui subgrup ……………………………………………………………… 20

§ 2. Subgrupul generat de o submulțime ………………………………………….. 22

§ 3. Subgrupurile lui Z …………………………………………………………………… 24

§ 4. Ordinul unui element într-un grup ……………………………………………. 27

§ 5. Câteva aplicații ale teoremei lui Lagrange …………………………………. 29

§ 6. Subgrupuri normale ………………………………………………………………… 33

§ 7. Grupuri factor ………………………………………………………………………… 37

§ 8. Grupurile factor ale lui Z;

teoremele lui Euler, Fermat și Wilson ……………………………………….. 40

§ 9. Teorema fundamentală de izomorfism ………………………………………. 43

§ 10. Alte teoreme de izomorfism ……………………………………………………. 48

§ 11. Subgrupurile unui grup ciclic ………………………………………………….. 51

§ 12. Grupuri rezolubile ………………………………………………………………….. 54

Capitolul III: Grupuri abeliene finit generate ………………………………………………. 57

§ 1. Produse directe ……………………………………………………………………….. 57

§ 2. Produse directe de grupuri ciclice ……………………………………………… 60

§ 3. Structura grupurilor abeliene finit generate ………………………………… 63

§ 4. Partea de torsiune a unui grup abelian;

grupuri abeliene libere de rang finit …………………………………………… 66

§ 5. p-grupuri abeliene …………………………………………………………………… 69

§ 6. Determinarea tuturor tipurilor de grupuri abeliene finit generate …… 73

§ 7. Grupul automorfismelor unui grup ciclic ……………………………………. 75

Bibliografie …………………………………………………………………………………………….. 80

Cap.I: Introducere în teoria grupurilor

§ 1. Definiția noțiunii de grup. Exemple de grupuri.

(1.1) Definiție. Se numește grup o mulțime nevidă G împreună cu operația algebrică pe G care are proprietatea:

este asociativă;

admite element neutru;

orice element din G să fie simetrizabil.

(1.2) Definiție. Dacă operația grupului este comutativă grupul se numește comutativ (abelian).

Notăm un grup cu (G; ) unde legea de compoziție este notată multiplicativ.

(1.3) Exemple de grupuri.

1) Mulțimile Z, Q, R, C sunt grupuri comutative în raport cu operația de adunare a numerelor.

2) Mulțimile Q*, R*, C* sunt grupuri comutative în raport cu operația de înmulțire a numerelor.

3) Mulțimile Q, R = (0; ) sunt grupuri comutative în raport cu operația de înmulțire a numerelor.

4) Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, (n 2): Zn = {, …,n-1} este mulțimea claselor de resturi modulo n care se obține împărțind mulțimea Z în n submulțimi cu proprietatea că fiecare submulțime conține toate numerele întregi care dau același rest la împărțirea la n. Aceste submulțimi formează o partiție a mulțimii Z, iar ca reprezentant într-o clasă de resturi se alege cel mai mic număr natural din clasă.

Pe Zn se poate introduce operația de adunare a claselor + : Zn x Zn Zn. + = x + y . Această operație este bine definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanților claselor de resturi.

(Zn; +) – grup comutativ.

5) Grupul permutărilor unei mulțimi.

Fie M , S(M) = {f : M M | f bijectivă}.

Deoarece compunerea funcțiilor este asociativă, are element neutru, funcția 1M și orice funcție f bijectivă este inversabilă cu inversa tot bijectivă S(M) are o structură de grup în raport cu operația de compunere a funcțiilor. Deoarece compunerea funcțiilor este necomutativă acest grup este necomutativ.

O funcție bijectivă de la o mulțime în ea însăși se mai numește și permutare a acelei mulțimi. Din acest motiv grupul (S(M); ) se mai numește și grupul permutărilor mulțimii M.

6) Fie (G; ) – un grup și I o mulțime. Considerăm mulțimea GI = {f : I G}, adică mulțimea tuturor funcțiilor definite pe I cu valoari în G. GI are o structură de grup în raport cu operația de înmulțire a funcțiilor indusă de operația grupului G, () f, g GI definim f g GI prin: (f g)(x) = f(x) g(x), () x I.

Dacă G este un grup comutativ atunci GI este tot comutativ. Elementul neutru al grupului GI este funcția f0: I G, f0(x) = e, () x I, unde e este elementul neutru din G,iar simetricul elementului f : I G este funcția (x) = f’(x), () x I, f’(x) este simetricul lui f(x).

7) Grupul elementelor inversabile ale unui monoid.

Fie (M; ) un monoid și U(M) = {x M | x este inversabil în M}. Atunci U(M) este un grup numit grupul elementelor inversabile al monoidului M, sau grupul unităților lui M. Într-adevăr deoarece operația monoidului este asociativă și restricția sa la U(M) va fi tot asociativă și evident elementul neutru e al monoidului se află în U(M).

Fie x U(M) x este inversabil în M, adică există x’ M astfel încât, x x’ = x’ x = e x’ inversabil în M x’ U(M) U(M) este grup.

Exemple:

1) Pentru monoidul (Z, ) avem U(M) = {1; -1};

2) Pentru monoidul (M, ) unde M = {f : A A}, U(M) = S(A) = {f : A A, f bijectivă};

3) Pentru monoidul (Mn(R); ) , U(Mn(R)) = {M Mn(R)| det M 0 }.

§ 2. Reguli de calcul într-un grup

Deoarece orice grup este în particular un monoid, toate regulile de calcul de la monoizi rămân valabile și la grupuri. Există însă și reguli noi specifice grupului cum ar fi: simetricul unei compuneri de elemente.

(2.1) Propoziție. Dacă (G; ) este un grup și x1, x2, …, xn G, atunci

(x1 x2 … xn)-1 =

adică simetricul compunerii a n elemente este egal cu compunerea simetricelor ele-mentelor în ordinea inversă.

Demonstrație.

(x1 x2 … xn)() = e

()(x1 x2 … xn-1 xn) = e

(2.2) Consecință. Dacă x1 = x2 = …= xn = a, formula anterioară devine (an)-1=(a-1)n.

(2.3) Puterile unui element din grup.Fie (G; ) un grup și x G un element fixat, iar n Z.

Atunci xn =

(2.4) Propoziție. Deoarece regula generalizată de asociativitate fruncționează în orice grup au loc următoarele operații cu puteri:

xn xm = xn+m, () x G, () n, m Z;

(xn)m = xnm, () x G, () n, m Z;

(2.5) Reguli de simplificare în grupuri.

Fie (G; ) un grup și x, y, z G. Atunci:

a) dacă xy = xz y = z (simplificare la stânga)

b) dacă yx = zx y = z (simplificare la dreapta).

(2.6) Elementul neutru și simetricul unui element

Element neutru. Pentru a determina eventualele elementele neutre la stânga și la dreapta luăm în ecuațiile ax = b (1) și ya = b (2), b = a. Notăm cu xa soluția ecuației (1) și ya soluția ecuației (2), adică a xa = a și ya a = a. Din aceste relații se observă că xa ar putea fi element neutru la dreapta, iar ya ar putea fi element neutru la stânga. Pentru a justifica acest lucru va trebui să arătăm că x xa = x, () x G și ya x = x, () x G.

Fie x G. Pornim de la x xa. Pentru ca să dispară factorul xa, trebuie să reprezentăm pe x ca un produs de doi factori cu al doilera factor fiind a, lucru posibil de realizat dacă luăm b = x în ecuația (2). Notăm cu y soluția ecuației obținute yx a = x. Atunci x xa = (yx a)xa = yx(a xa) = yx a = x. Calculăm yax. Pentru a elimina factorul ya trebuie să-l scriem pe x ca un produs de doi factori, primul factor fiind a. Pentru aceasta luăm în ecuația (1) b = x și notăm cu xx soluția ecuației obținute a xx = x.

ya x = ya(a xx) = (ya a)xx = a xx = x xa este element neutru la dreapta în G și ya este element neutru la stânga în G.

xa = ya xa = ya xa = ya e (e – element neutru în G).

Simetricul unui element. Luăm b = e în ecuațiile (1), (2) a xe = e și ye a = e xe = simetricul la dreapta al lui a = a-1 la dreapta și ye = simetricul la stânga al lui a = a-1 la stânga.

Din următorul șir de egalitați xe = e xe = (ye a) xe = ye(a xe) = ye e = ye a-1 (G; ) este grup.

§ 3. Produsul direct a două grupuri

(3.1) Fie (G1; ) și (G2; ) două grupuri cu operațiile notate multiplicativ. Considerăm produsul cartezian P = G1 x G2 = {(x, y), x G1, y G2}.

Definim pe mulțimea P o operație algebrică indusă de legile celor două grupuri prin (x, y) (a, b) = , () x, a G1, () y, b G2.

(3.2) Propoziție. Mulțimea P = G1 x G2 cu operația algebrică mai sus definită capătă o structură de grup. Dacă grupurile G1 și G2 sunt comutative atunci (G1 x G2,) este grup comutativ.

Demonstrație. Verificăm axiomele grupului.

1) Asociativitate:

(x1,y1) [(x2,y2) (x3,y3)] = [(x1,y1) (x2,y2)] (x3, y3), () (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) P.

(x1, y1) [(x2, y2) (x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3, y2y3) =

= (x1(x2x3), y1(y2y3)) = ((x1x2)x3, (y1y2)y3) = (x1x2y1y2)(x3y3) = [(x1y1) (x2y2)] (x3y3).

În egalitatea de mai sus am folosit asociativitatea operațiilor din grupurile G1 și G2.

2) Element neutru: Fie e1, e2 elementele neutre din G1, respectiv din G2. Trebuie să deteminăm (e, f ) P astfel încât

(x, y) (e, f) = (e, f) (x, y) = (x, y), () (x, y) P.

(x,y) (e,f) = (xe,yf) = (x,y), () (x,y) P xe = x, () xG1 și yf = y, () yG2.

(e,f) (x,y) = (ex,fy) = (x,y), () (x,y) P ex = x, () x G1 și fy = y, () yG2.

Deci, am obținut e = e1 și f = e2 (e1, e2) este element neutru din P.

3) Simetricul unui element: Trebuie să arătăm că () (x,y) P, () (x’,y’) P ast
Atunci xn =

(2.4) Propoziție. Deoarece regula generalizată de asociativitate fruncționează în orice grup au loc următoarele operații cu puteri:

xn xm = xn+m, () x G, () n, m Z;

(xn)m = xnm, () x G, () n, m Z;

(2.5) Reguli de simplificare în grupuri.

Fie (G; ) un grup și x, y, z G. Atunci:

a) dacă xy = xz y = z (simplificare la stânga)

b) dacă yx = zx y = z (simplificare la dreapta).

(2.6) Elementul neutru și simetricul unui element

Element neutru. Pentru a determina eventualele elementele neutre la stânga și la dreapta luăm în ecuațiile ax = b (1) și ya = b (2), b = a. Notăm cu xa soluția ecuației (1) și ya soluția ecuației (2), adică a xa = a și ya a = a. Din aceste relații se observă că xa ar putea fi element neutru la dreapta, iar ya ar putea fi element neutru la stânga. Pentru a justifica acest lucru va trebui să arătăm că x xa = x, () x G și ya x = x, () x G.

Fie x G. Pornim de la x xa. Pentru ca să dispară factorul xa, trebuie să reprezentăm pe x ca un produs de doi factori cu al doilera factor fiind a, lucru posibil de realizat dacă luăm b = x în ecuația (2). Notăm cu y soluția ecuației obținute yx a = x. Atunci x xa = (yx a)xa = yx(a xa) = yx a = x. Calculăm yax. Pentru a elimina factorul ya trebuie să-l scriem pe x ca un produs de doi factori, primul factor fiind a. Pentru aceasta luăm în ecuația (1) b = x și notăm cu xx soluția ecuației obținute a xx = x.

ya x = ya(a xx) = (ya a)xx = a xx = x xa este element neutru la dreapta în G și ya este element neutru la stânga în G.

xa = ya xa = ya xa = ya e (e – element neutru în G).

Simetricul unui element. Luăm b = e în ecuațiile (1), (2) a xe = e și ye a = e xe = simetricul la dreapta al lui a = a-1 la dreapta și ye = simetricul la stânga al lui a = a-1 la stânga.

Din următorul șir de egalitați xe = e xe = (ye a) xe = ye(a xe) = ye e = ye a-1 (G; ) este grup.

§ 3. Produsul direct a două grupuri

(3.1) Fie (G1; ) și (G2; ) două grupuri cu operațiile notate multiplicativ. Considerăm produsul cartezian P = G1 x G2 = {(x, y), x G1, y G2}.

Definim pe mulțimea P o operație algebrică indusă de legile celor două grupuri prin (x, y) (a, b) = , () x, a G1, () y, b G2.

(3.2) Propoziție. Mulțimea P = G1 x G2 cu operația algebrică mai sus definită capătă o structură de grup. Dacă grupurile G1 și G2 sunt comutative atunci (G1 x G2,) este grup comutativ.

Demonstrație. Verificăm axiomele grupului.

1) Asociativitate:

(x1,y1) [(x2,y2) (x3,y3)] = [(x1,y1) (x2,y2)] (x3, y3), () (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) P.

(x1, y1) [(x2, y2) (x3, y3)] = (x1, y1)(x2x3, y2y3) =

= (x1(x2x3), y1(y2y3)) = ((x1x2)x3, (y1y2)y3) = (x1x2y1y2)(x3y3) = [(x1y1) (x2y2)] (x3y3).

În egalitatea de mai sus am folosit asociativitatea operațiilor din grupurile G1 și G2.

2) Element neutru: Fie e1, e2 elementele neutre din G1, respectiv din G2. Trebuie să deteminăm (e, f ) P astfel încât

(x, y) (e, f) = (e, f) (x, y) = (x, y), () (x, y) P.

(x,y) (e,f) = (xe,yf) = (x,y), () (x,y) P xe = x, () xG1 și yf = y, () yG2.

(e,f) (x,y) = (ex,fy) = (x,y), () (x,y) P ex = x, () x G1 și fy = y, () yG2.

Deci, am obținut e = e1 și f = e2 (e1, e2) este element neutru din P.

3) Simetricul unui element: Trebuie să arătăm că () (x,y) P, () (x’,y’) P astfel încât (x, y)(x’, y’) = (x’, y’)(x, y) = (e1, e2).

(x, y)(x’, y’) = (xx’, yy’) = (x’x, y’y) = (e1, e2) .

În concluzie simetricul elementului (x, y) este (x-1, y-1).

4) Comutativitate. Dacă G1, G2 sunt grupuri comutative atunci

(x, y)(x’, y’) = (xx’, yy’) = (x’x, y’y) = (x’,y’)(x, y), () (x, y), (x’, y’) P

P este grup comutativ.

§ 4. Morfisme de grupuri

(4.1) Definiție. O funcție f : G H se numește morfism de grupuri dacă f(x y) = f(x) f(y), () x, y G, adică f este compatibilă cu legile celor două grupuri.

(4.2) Propoziție. Dacă f : Z Z este un morfism de grupuri atunci există a Z astfel încât f(x) = ax, () x Z.

Demonstrație. f – morfism de grupuri f(x+y) = f(x) + f(y), () x , y Z.

x = y = 0 f(0) = f(0) + f(0) = f(0) = 0

y = – x f(0) = f(x) + f(-x) f(-x) = – f(x), () x Z f impară.

Determinăm forma lui f pe N. x = y = 1

f(2) = f(1) + f(1) = 2 f(1) și f(3) = f(2)+ f(1) = 3 f(1)

Demonstrăm prin inducție că:

P(n): f(n) = nf(1).

Presupunem că P(n) adevărat P(n+1) adevărat. P(n+1): f(n+1) = (n+1)f(1)

f(n+1) = f(n) + f(1) nf(1) + f(1) = (n+1)f(n) f(x) = x f(1), () x N.

Extindem funcția f pe Z: f(-n) = -f(n) = -n f(1), () n N f(x) = x f(1), () xZ.

Notăm a = f(1) f(x) = ax, () x Z.

(4.3) Propoziție. Fie (G; ), (H; ), (K; ) grupuri și f : G H, g : H K morfisme de grupuri. Atunci:

g f : G K este morfism de grupuri, adică compunerea a două morfisme de grupuri dă tot un morfism de grupuri;

Aplicațiile identice 1G : G G, 1H : H H sunt morfisme de grupuri și satisfac relațiile = f și = f.

Demonstrație. (g f)(xy) = g(f(xy)) g(f(x) f(y)) g(f(x)) g(f(y)) =

= (g f)(x) (g f)(y), () x, y G.

(4.4)Definiție. Un morfism de grupuri injectiv se numește monomorfism iar un morfism de grupuri surjectiv se numește epimorfism. Un morfism de grupuri de la un grup în el însuși se numește endomorfism de grupuri.

(4.5) Definiție. Un morfism de grupuri f : G H se numește izomorfism de grupuri dacă există un morfism de grupuri g : H G astfel încât f g = 1H și g f = 1G.

(4.6) Observație. Morfismul g din definiția anterioară este unic determinant și se notează cu f -1.

Demonstrație. Presupunem că există g’: H G astfel încât f g’ = 1H și g’ f = 1G. g = g 1H = g (f g’) = (g f) g’ = 1G g’ = g’.

(4.7) Teoremă. Dacă (G, ) și (H; ) sunt grupuri și f : G H este un morfism de grupuri, atunci:

f(e) = e’ , unde e – element neutru din G, e – element neutru din H (f duce elementul neutru din domeniu în elementul neutru din codomeniu);

f(x-1) = [f(x)]-1 , () x G, adică imeginea simetricului prin f este egală cu simetricul imaginii.

Demonstrație.

1) f(e) = f(e e) = f(e) f(e) | [f(e)]-1

f(e) [f(e)]-1 = f(e) f(e)[f(e)]-1 e’ = f(e).

2) e’ = f(e) = f(x x-1) = f(x) f(x-1) | [f(x)]-1la stânga

[f(x)]-1 = [f(x)]-1 f(x) f(x-1) [f(x)]-1 = f(x-1)

(4.8) Observație. A doua relație din teoremă poate avea și alte forme în funcție de notația legii. Avem cazurile:

Dacă f : (G, +) (H, ) atunci f(-x) = [f(x)]-1

Dacă f : (G, ) (H, +) atunci f(x-1) = – f(x)

Dacă f : (G, +) (H, +) afunci f(-x) = – f(x)

(4.9) Automorfismele interioare ale unui grup.

Fie (G, ) un grup, a G fixat și funcția a : G G definit prin a(x) = axa-1.

Atunci a este un automorfism al lui G numit automorfism interior al lui G.

a este morfism de grupuri: a(x, y) = a xy a-1 = a x e y a-1 = a x a-1 a y a-1 =

= (a y a-1) (a y a-1) = a(x) a(y).

2) a este bijectivă :

injectivitate: a(x) = a(y) a x a-1 = a y a-1 | a a-1a x= ya-1a x = y

surjectivitate: () y G, () x G, astfel încât a(x) = y a x a-1 = y |a

a-1 a x a-1a = a-1 y a x = a-1 y a G.

Observație: Funcția inversă a lui a este .

§ 5. Grupuri ciclice

(5.1) Definiție. Dacă G este un grup și a G, atunci subgrupul generat de a, adică < a> = {ak | k Z } se mai numește subgrupul ciclic generat de a.

(5.2) Definiție. Un grup G se numește ciclic dacă el este generat de un element al său, adică există a G astfel încât G = <a>, iar a se numește generator

al grupului G.

(5.3) Exemplu.

(Z, +) este un grup ciclic generat de 1 sau –1;

(Zn, +) este un grup ciclic generat de ;

În (C*; ) subgrup generat de <i> = {1; -1, i, -i} este un subgrup ciclic;

În (Q*; ) subgrup generat de <2> = {2k | k Z } este un subgrup ciclic.

(5.4) Definiție. Dacă (G, ) este un grup, iar a G spunem că a este de ordin finit dacă există k N* astfel încât xk = e. În caz contrar elementul a este de ordin infinit.

(5.5) Propoziție. Au loc următoarele afirmații:

a este un element de ordin finit i, j N*, i j astfel încât ai = aj, adică puterile lui a se repetă;

a este un element de ordin infinit () i, j N*, i j avem ai aj, adică orice două puteri distincte ale lui a sunt diferite.

Demonstrație. 1) a este un element de ordin finit () k N* astfel încât ak = e | ai cu i N* ak+i = ai. Notăm j = k+i aj = ai cu j i.

Dacă ai = aj cu i j, presupunem i > j. Înmulțim relația cu a-j ai-j = e ak = e unde k = i – j.

2) Analog.

Fie (G; ) – grup și a G fixat. Definim aplicația a: Z G prin a(n) = an, () n Z. Evident Im f = {ak | k Z} = < a >.

a G are ordin finit a nu este injectivă.

a G are ordinul a este injectivă.

(5.6) Definiție. Se numește ordinul elementului a G și se notează cu ord a, cel mai mic număr natural nenul n pentru care avem an = e (na = 0 pentru lege

aditivă), adică ord a = min {k N* | ak = e }.

(5.7) Propoziție. Fie (G; ) un grup și a G un element de ordin finit. Atunci ord a = n sunt îndeplinite condițiile:

an = e;

ak = e n divide k.

Demonstrație. ( ) Știm că ord a = n an = e 1) este demonstrat.

Fie k N* astfel încât ak = e. Din teorema împărțirii cu rest () q, r N astfel încât k = nq + r cu 0 r < n r = k – nq ar = ak-nq = ak(an)-q = e e-q = e. Dar r < n și n este cel mai mic număr natural nenul pentru care an = e r = 0 k =nq n | k.

( ) an = e și ak = e n | k n este cel mai mic număr natural nenul pentru care an = e n = ord a.

(5.8) Propoziție. Fie (G, ) – grup și a G un element de ordin n. Atunci subgrupul generat de a are exact n elemente și anume < a > = {e, a, a2, …, an-1}.

Demonstrație. Să demonstrăm că ai aj, pentru () i, j {1, 2, …, n-1} cu i j . Presupunem că () i, j {1, 2, …, n-1} cu i j așa încât ai = aj, (i > j) ai-j = e. Din propoziția anterioară n | i – j. Dar i – j {1, 2, …, n-2} ceea ce este o contradicție.

Să demonstrăm că orice putere a lui a coincide cu una din mulțimea din enunț.

Fie k Z. Din teorema împărțirii cu rest () q, r Z astfel încât k = nq + r cu 0 r < n ak = anq+r = (an)q ar = eq ar = ar.

(5.9) Consecință. Dacă (G; ) este un grup finit și a G este un element, atunci ord a|ord G (adică ordinul oricărui element dintr-un grup finit divide ordinul grupului).

Demonstrație. ord a = ord <a> | ord G din teorema Lagrange.

(5.10) Teoremă. Orice grup ciclic este izomorf sau cu grupul (Z; +) al numerelor întregi sau cu un grup (Zn, +), n 1 al claselor de resturi modulo n.

Demonstrație. Fie G = <a>, cu a G și funcția : Z G definită prin (n) = an, () n Z. este morfism de grupuri deoarece (m+n) = am+n = am an = = (m) (n), () m, n Z. este evident surjectivă.

Pentru Ker f avem două cazuri:

1) Ker f = {0} din teorema fundamentală de izomorfism = ZG;

2) Ker f {0}. Deoarece Ker este un subgrup al lui (Z; +), () n N*, astfel încât Ker = nZ. Din teorema fundamentală de izomorfism = = ZnG.

(5.11) Consecință. Dacă (G; ) este un grup ciclic și a G este un generator al său, atunci:

a are ordinul GZ;

a are ordinul finit n GZn.

(5.12) Propoziție. Orice subgrup și orice grup factor al unui grup ciclic este tot ciclic.

Demonstrație. Fie (G; ) un grup ciclic cu G = < a > și H un subgrup în G, atunci: este un grup ciclic generat de clasa = aH adică = < >.

Să demonstrăm că H este un subgrup ciclic al lui G.

Dacă GZ deoarece subgrupurile lui Z sunt de forma nZ, adică sunt ciclice, atunci și subgrupurile lui G sunt tot ciclice.

Dacă G = < a > cu ord a = n, atunci GZn.

Fie H subgrup în G, H {e} (dacă H ={e}, atunci H este ciclic generat de e) rezultă că () x H, x e. Dar x G () k 0 astfel încât x = ak x-1 H a-k H () r>0 astfel încât arH. Considerăm mulțimea M = {n | anH, n>0} care este nevidă și este bine ordonată fiind o submulțime a lui N M are cel mai mic element m. Să demonstrăm că H = < am >.

Fie x <am> () k astfel încât x = (am)k. Deoarece H este subgrup amH x H.

Fie y H y G () t Z astfel încât y = at. Din teorema împărțirii cu rest t = mq + r, q, r Z, 0 r < m y = at = amq+r = (am)q ar ar = (am)-q, y H. Deoarece m este cel mai mic element cu am = e r = 0 t = mq y = at = = amq= (am)q.

§ 6. Grupuri finite

(6.1) Un grup G se numește finit dacă mulțimea elementelor sale este finită. Reamintim că o mulțime A se numește finită dacă orice aplicație injectivă f : AA este și surjectivă. Cardinalul unei mulțimi finite este un număr natural egal cu numărul de elemente ale mulțimii respective. Vom nota cardinalul unei mulțimi oarecare A cu | A |. Cardinalul mulțimii elementelor unui grup G se va nota cu | G | și se va numi ordinul grupului G.

(6.2) Scopul teoriei grupurilor finite este de a descrie pentru fiecare număr natural n toate tipurile de grupuri de ordin n și de a găsi procedeul prin care fiind date două grupuri de ordin n să se decidă dacă ele sunt de același tip sau nu. Matematica, la ora actuală, nu este în măsură să rezolve această problemă, deși problema corespunzătoare pentru grupuri abeliene a fost rezolvat încă din secolul trecut.

(6.3) Se poate vedea ușor că pentru orice întreg pozitiv n există cel puțin un grup de ordin n și există cel mult un număr finit de tipuri de grupuri de ordin n. Astfel, mulțimea rădăcinilor complexe n-are ale unității {x C | xn = 1} este un grup de ordin n relativ la multiplicarea numerelor complexe. Să considerăm apoi o mulțime finită X cu | X | = n. Pentru orice grup G, de ordin n, există o operație binară pe X astfel ca X să fie un grup izomorf cu G relativ la această operație. Pentru a vedea aceasta, alegem o aplicație bijectivă: : G X și definim operația binară pe X prin

Evident, această operație binară satisface axiomele grupului (deoarece operația binară a lui G le satisface) și , în mod automat, este un izomorfism de grupuri. Rezultă că numărul tipurilor de grupuri de ordin n este cel mult egal cu numărul operațiilor binare pe X, adică este .

(6.4) Fie G o mulțime finită împreună cu o operație binară pe G. Presupunem că | G | = n și G = {x1, x2, …, xn}. Atunci, operația binară a lui G poate fi considerată ca un tablou cu n linii și n coloane, indexate cu elementele x1, x2, …, xn ale lui G, în care, la intersecția liniei xi cu coloana xj apare produsul xixj al elementelor xi și xj în G. Acest tablou se numește tabla operației binare respective (sau tabla de multiplicare a lui G). Practic, tabla de multiplicare nu se folosește în teoria grupurilor decât pentru a exemplifica unele noțiuni.

§ 7. Subgrupuri

(7.1) Fie G un grup. Un grup H se numește subgrup al lui G dacă sunt satisfă-cute următoarele condiții:

(1) Mulțimea elementelor lui H este inclusă în mulțimea elementelor lui G;

(2) Produsul în H a oricăror două elemente x, y H coincide cu produsul în G al acestor elemente.

Să presupunem că G este un grup și fie H un subgrup al lui G. Condiția (1) se scrie H G și, în această situație, avem o aplicație

i : H G,

definită prin i(x) = x, x H. Aplicația i se numește incluziunea canonică a lui H în G. Condiția (2) este atunci echivalentă cu faptul că i este un omomorfism de grupuri. Deci, elementul unitate al lui H notat cu 1 coincide cu elementul unitate al lui G notat cu 1 (1 = i(1) = 1) și inversul oricărui element x H în H coincide cu inversul lui x în G.

Reciproc, fie H o submulțime a unui grup G satisfăcând următoarele condiții:

(a) xy H pentru orice x, y H;

(b) x-1 H pentru orice x H;

(c) 1 H.

Atunci, evident, H este un subgrup relativ la operația binară

H2 H

(x, y) xy, x, y H,

și acest grup este un subgrup al lui G. Prin abuz de limbaj, vom spune că un subgrup H al lui G este o submulțime a lui G care satisface condițiile (a) – (c) de mai sus.

(7.2) Propoziție. O submulțime nevidă H a unui grup G este un subgrup al lui G dacă și numai dacă xy-1 H pentru orice x, y H.

Demonstrație. Dacă H este un subgrup al lui G atunci condiția din enunț este evident satisfăcută. Reciproc, să presupunem că xy-1 H pentru orice x, y H. Deoarece H este nevidă, putem alege un element x0 H și atunci 1 = H. Pentru orice xH avem x-1 = 1x-1 H și pentru orice x,yH avem xy = x(y-1)-1 H. Deci, condițiile (a), (b), (c) din (7.1) sunt satisfăcute și H este un subgrup al lui G.

(7.3) În general, vom scrie H G dacă H este o submulțime a lui G și H G dacă H este un subgrup al lui G.

(7.4) Fie G un grup, A și B submulțimi ale lui G. Definim

AB = {ab | a A, b B}.

Acest „produs” este asociativ deoarece

(AB)C = A(BC) = {abc | a A, b B, c C}

pentru orice trei submulțimi A, B, C ale lui G.

Fie P(G) mulțimea tuturor submulțimilor lui G: ea este înzestrată cu o operație binară

P(G)2 P(G),

(A, B) AB, A, B P(G),

față de care devine un semigrup. {1} este evident element unitate în P(G), deci P(G) este monoid.

Fie A G. Definim

A-1 = {a-1 | a A}.

Notația A-1 este abuzivă deoarece A-1 nu este în general inversul lui A în monoidul P(G). Avem însă

(AB)-1 = {(ab)-1 | a A, b B} = {b-1a-1 | a A, b B} = B-1A-1,

pentru orice A, B P(G). Presupunând că B ={b}, scriem Ab și bA în loc de AB, respectiv, BA. În notație aditivă scriem A + B în loc AB:

A + B = {a + b | a A, b B}.

(7.5) Propoziție. Fie G un grup, H o submuțime nevidă a lui G, și A și B două subgrupuri ale lui G. Atunci au loc următoarele afirmații:

(i) H G dacă și numai dacă HH = H și H-1 = H;

(ii) AB G dacă și numai dacă AB = BA.

Demonstrație. (i) Presupunem că H este un subgrup al lui G, deci H satisface condițiile (7.1, a – c). Atunci, datorită condiției (7.1, a) avem HH H; datorită condiției (7.1, b) avem H-1 H. În plus prin condiția (7.1, c) avem 1 H, deci x = 1x HH pentru orice x H; prin urmare și H HH, deci H = HH. De asemenea, pentru orice x H avem x-1 H, deci x = (x-1)-1 H-1; în consecință H = H-1. Reciproc, dacă HH = H și H-1 = H atunci pentru orice x, y H avem

y-1 H -1 = H și xy-1 HH = H. Prin urmare, H este un subgrup al lui G conform lui (7.2).

(ii) Presupunem că AB este un subgrup al lui G. Atunci, conform lui (i), AB = (AB)-1 = B-1A-1 = BA. Reciproc, dacă AB = BA atunci

(AB) (BA) = A(BA)B = A(AB)B = (AA) (BB) = AB

și

(AB)-1 = B-1A-1 = BA = AB.

Rezultă, tot din (i), că AB este subgrup al lui G.

(7.6) Fie f : G H un omomorfism de grupuri. Pentru orice submulțime K a lui G notăm f(K) = {f(x) | x K}. f(K) se numește imaginea lui K prin f. În particular, mulțimea Im f = f(G) se numește imaginea lui f. Pentru orice submulțime L a lui H notăm f-1(L) se numește imaginea inversă a lui L prin f. În particular, Ker f = f-1({1}) se numește nucleul lui f.

(7.7) Propoziție. Fie f : G H un omomorfism de grupuri, K un subgrup al lui G și L un subgrup al lui H. Au loc următoarele afirmații:

(i) Im f H și f(K) H;

(ii) dacă f este aplicație injectivă avem GIm f și Kf(K);

(iii) Ker f G și f-1(L) G;

(iv) f este aplicație injectivă dacă și numai dacă Ker f = {1}.

Demonstrație. (i) Fie x, y K. Avem f(x) f(y) = f(xy) f(K) deoarece xy K; (f(x))-1 = f(x-1) f(K) deoarece x-1 K și 1 = f(1) f(K) deoarece 1 K. Rezultă f(K) H. Deoarece G G rezultă în particular și Im f = f(G) H.

(ii) Dacă f este un omomorfism injectiv, atunci aplicația : G Im f definită prin este un omomorfism bijectiv, deci un izomorfism. Prin urmare GIm f . Considerăm în locul lui f, restricția lui f la K, adică aplicația f : K H definită prin f(x) = f(x), x K, obținem și KIm f = f(K).

(iii) Avem f(1) = 1 L și deci 1 f-1(L). Dacă x, y f-1(L) atunci deducem f(x), f(y) L și f(xy-1) = f(x) (f(y))-1 L; deci xy-1 f-1(L). Rezultă f-1(L) G. Deoarece, evident, {1} H rezultă în particular și Ker f = f-1({1}) G.

(iv) Presupunem f injectiv. Avem 1 Ker f și pentru orice x Ker f avem f(x) = 1 = f(1), deci x = 1; prin urmare Ker f = {1}. Reciproc, să presupunem că Ker f = {1}. Fie x, y G astfel încât f(x) = f(y). Atunci f(xy-1) = f(x) (f(y))-1 = f(x) (f(x))-1 = 1, și obținem xy-1 Ker f = {1}. Rezultă xy-1 = 1 și y = 1y = (xy-1)y = x, deci f este o aplicație injectivă.

(7.8) Dacă există un omomorfism de grupuri injectiv f : G H spunem că grupul G poate fi scufundat în grupul H. (7.7, ii) arată că G poate fi scufundat în H dacă și numai dacă G este izomorf cu un subgrup al lui H.

Cap.II: Teorema lui Lagrange: grupuri factori,

teoreme de izomorfism

În capitolul de față se prezintă câteva instrumente puternice de cercetare a grupurilor finite (Teorema lui Lagrange) și a grupurilor în general (noțiunea de grup factor și teoremele de izomorfism). Acestea au încă un caracter elementar și în orice caz sunt folosite pentru a deduce rezultate elementare din teoria grupurilor finite (descrierea grupurilor de ordin 4 și de ordin 6, descrierea subgrupurilor lui Σ3 și D4, descrierea subgrupurilor unui grup ciclic etc.). Rezultatele obținute sunt apoi aplicate pentru a deduce unele propoziții elementare de aritmetică (existența celui mai mare divizor comun a două numere întregi, teoremele lui Euler și Fermat, informații asupra funcției φ a lui Euler etc.). De asemenea, teoremele de izomorfism sunt folosite în studiul proprietaților grupurilor rezolubile.

§ 1. Indicele unui subgrup

(1.1) Fie G un grup, H un subgrup al lui G și x G. Mulțimea Hx = {hx | h H} se numește clasă la dreapta a lui x relativ la H. Spunem de asemenea că Hx este o clasă la dreapta a lui H în G. Notăm cu (G/H)d mulțimea tuturor claselor la dreapta ale lui H în G. În mod analog se definesc clasele la stânga xH = {xh | hH} și se notează cu (G/H)s mulțimea tuturor claselor la stânga ale lui H în G.

(1.2) Propoziție. Mulțimile (G/H)d și (G/H)s sunt echipotente.

Demonstrație. Fie M=Hx o clasă la dreapta a lui H în G. Atunci M-1 = (Hx)-1 = = x -1H-1 = x -1H este o clasă la stânga a lui H în G și (M-1)-1 = M. În mod analog, dacă N = yH (G/H)s, atunci N-1 = Hy-1 (G/H)d și (N-1)-1 = N. Evident, asocierile M M-1 și N N-1 definesc două aplicații

(G/H)d (G/H)s și (G/H)s (G/H)d

care sunt inverse una alteia. Prin urmare, mulțimile (G/H)d și (G/H)s sunt echipotente.

(1.3) Propoziția (1.2) asigură că | (G/H)d | = | (G/H)s |. Acest număr cardinal se notează | G:H | și se numește indicele lui H în G.

(1.4) Fie A o mulțime nevidă. O mulțime P de submulțimi nevide ale lui A se numește partiție a lui A dacă elementele lui P sunt disjuncte două câte două și reuniunea lor este A. În această situație avem

(i) | A | = .

În particular, dacă pentru un element P0P avem | P | = | P0 | pentru orice P P, atunci relația (i) devine

(ii) | A | = | P0 | | P |.

Relațiile (i) și (ii) sunt intuitiv evidente când mulțimea A este finită. În general, ele pot fi considerate ca definiții pentru suma, respectiv produsul de numere cardinale.

(1.5)Teorema lui Lagrange. Fie G un grup și H un subgrup al lui G. Atunci

| G | = | H | | G:H |

Demonstrație. Pentru orice element x G avem x = 1x Hx (G/H)d. Pe de altă parte, orice element M (G/H)d este de forma M = Hx cu x G și deci x Hx = M. Prin urmare, elementele lui (G/H)d sunt submulțimi nevide ale lui G. Fie h un element arbitrar din H. Evident, avem Hh HH = H. Deoarece h-1 H deducem Hh-1 H și H = (Hh-1)h Hh; deci H = Hh. Fie M = Hx (G/H)d, x G. Pentru orice element y = hx M, h M, avem Hy = H(hx) = (Hh)x = Hx = M. Rezultă imediat că două elemente distincte ale lui (G/H)d sunt disjuncte. În concluzie, mulțimea (G/H)d este o partiție a lui G. Pe de altă parte, aplicația φ: H Hx = M definită prin φ(h) = hx, h H, este evident bijectivă și deci rezultă | M | = | H | pentru orice M (G/H)d. Aplicând (1.4, ii) obținem:

G = | H | | (G/H)d | = | H | | G:H |.

(1.6) În cazul când G este un grup finit, | G |, | H |, | G:H | sunt numere naturale și relația | G | = | H | | G:H | arată că | H | este un divizor al lui | G |. Altfel spus, ordinul unui subgrup al unui grup finit G este un divizor al ordinului lui G.

(1.7) Fie G un grup. Grupul G însuși poate fi considerat ca un subgrup al lui G și, în această situație, îl vom numi subgrupul total al lui G. Se observă imediat că pentru orice x G avem Gx = G; deci (G/G)d = {G} și | G:G | = 1. De asemenea, 1 = {1} este un subgrup al lui G (1 este unicul subgrup de ordinul unu al lui G); el se numește subgrupul trivial al lui G. Prin teorema lui Lagrange avem

| G | = |1| | G:1 | = | G:1 |.

§ 2. Subgrupul generat de o submulțime

(2.1)Propoziție. Orice intersecție de subgrupuri ale unui grup G este un subgrup al lui G.

Demonstrație. Fie {Hi}iI o familie de subgrupuri ale lui G și H =. Evident, 1Hi pentru orice i I, deci 1 H. În plus, pentru x, y H avem x,y Hi, deci xy-1 Hi pentru orice i I; prin urmare xy-1H. Rezultă că H este un subgrup al lui G.

(2.2) Fie S o submulțime a unui grup G. Intersecția tuturor subgrupurilor lui G care conține pe S se notează <S> și se numește subgrupul lui G generat de S.

(2.3) Propoziție. Fie S o submulțime a lui G. Avem

<S> = {x1x2…xn | x1,x2,…,xn SS-1 , n N}.

Demonstrație. Notăm H = {x1x2…xn | x1,x2,…,xn SS-1, n N}.

Atunci se verifică imediat că H este un subgrup al lui G. Evident,H conține pe S, deci <S> H. Pe de altă parte, S este inclusă în subgrupul generat de S, S-1 de asemenea este inclusă în <S> și deci produsul unui număr finit oarecare de elemente din SS-1 aparține lui <S>, adică H <S>. Prin urmare H = <S>.

(2.4) Dacă S = {x1,x2,…,xn} este o submulțime finită a lui G, atunci scriem < x1,x2,…,xn > în loc de <S>. Spunem că G este un grup finit generat dacă există o submulțime finită S a lui G astfel încât <S> = G. Dacă în plus | S | n pentru un număr n N, atunci spunem că G este un grup n-generat. Un grup G se numește ciclic dacă există un element a G astfel încât G = <a> sau, altfel spus, dacă G este 1-generat. Remarcăm că, în virtutea lui (2.3), avem

<a> = {an | n Z}.

Un element a G astfel încât G = <a> se numește generator al lui G, iar o submulțime S a lui G astfel încât G = <S> se numește sistem de generatori al lui G.

(2.5) Propoziție. Fie {Hn}n1 un șir de subgrupuri ale lui G astfel încât H1 H2 … Hn … .

Atunci, au loc următoarele afirmații:

(i) H = este un subgrup al lui G;

(ii) dacă H Hn pentru orice n 1 atunci H nu este un grup finit generat.

Demonstrație. (i) evident, H este o submulțime nevidă a lui G dacă x, y H atunci x Hm și y Hn, unde m și n sunt numere întregi pozitive. Dacă m n atunci avem Hn Hm. Deci x, y Hm H. Prin urmare, H este un subgrup al lui G.

(ii) Presupunem prin absurd că H este finit generat și fie {x1, x2, …, xm} un sistem de generatori al lui G. Pentru fiecare i = 1, 2, …, m există un număr ni N astfel încât . Evident, subgrupurile sunt incluse în Hn, pentru n = max {n1, n2,…, nm}. Deci H = <x1,x2,…,xm> Hn H, adică H = Hn, ceea ce contrazice ipoteza.

(2.6) Fie Q grupul aditiv al numerelor raționale și pentru orice număr întreg n, fie

Deoarece avem Hn Hn+1 și în mod evident. Rezultă că Q nu este un grup finit generat.

(2.7) În general, un grup finit generat poate avea subgrupuri care nu sunt finit generate. De exemplu, aplicațiile

definite prin = x+1, , x R, R fiind mulțimea numerelor reale. Fie G subgrupul generat de și în grupul simetric al mulțimii R; Pentru orice număr întreg n, fie = și Hn = <> G. Avem, evident:

= 2nx;

= = = = = și

= = = =

pentru orice x R. Rezultă deci Hn-1 = <> Hn. Pe de altă parte, deoarece în caz contrar am avea pentru un k Z; deci x + 2-n = pentru orice x R, ceea ce conduce la 1 = 2k, adică la o contradicție deoarece k Z. Conform lui (2.5) rezultă că H este subgrup al lui G și că H nu este finit generat.

§ 3. Subgrupurile lui Z

(3.1) Grupul aditiv Z al numerelor întregi este un grup ciclic infinit. Avem Z = <1> = <-1>, iar 1 și –1 sunt singurii generatori ai lui Z.

Fie n un număr întreg oarecare. Notăm cu nZ mulțimea tuturor multiplilor lui n, adică

nZ = {nk | kZ}.

Evident, nZ este subgrupul lui Z generat de n; nZ = <n>. Orice subgrup al lui Z este de forma nZ pentru un anumit întreg nenegativ n. Înainte de a demonstra acest lucru reamintim un rezultat cunoscut sub numele de teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi: dacă x și n sunt numere înteregi și n > 0 atunci există numerele întregi q și r astfel încât:

x = nq + r și 0 r < n.

Pentru demonstrație, considerăm mulțimea de numere întregi {x – nk | k Z} și fie x – nq cel mai mic întreg nenegativ al ecestei mulțimi.Atunci, r = x – nq 0 și x – n(q+1) < 0, adică r – n < 0, r < n. Numerele q și r se numesc câtul și, respectiv, restul împărțirii lui x la n.

(3.2)Propoziție. Pentru orice subgrup H al lui Z există un număr n N astfel încât H = = nZ.

Demonstrație. Dacă H este trivial luăm n = 0 și avem H = nZ. În caz contrar, există un întreg nenul n H. Atunci rezultă –n H și avem n > 0 sau –n < 0. Prin urmare, H conține un întreg pozitiv. Fie n cel mai mic întreg pozitiv conținut în H. Deoarece H este subgrup și n H, avem nZ = <n> H. Reciproc, dacă x H, avem x = nq +r cu q, r Z și 0 r < n. Evident, x H, nq nZ H și deci rezultă r = x – nq H. Dacă r > 0 se contrazice alegerea lui n ca fiind cel mai mic întreg pozitiv conținut în H. Prin urmare trebuie să avem r = 0 și deci x = nq nZ. În concluzie, H = nZ.

(3.3) Reamintim câteva noțiuni relative la divizibilitatea numerelor întregi. Fie m și n două numere întregi. Spunem că n divide pe m (sau că n este un divizor al lui m) și scriem n|m dacă există un număr întreg k astfel încât m = nk. Un număr întreg d se numește cel mai mare divizor comun al lui m și n și scriem (m, n) = d dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:

(a) d|m și d|n;

(b) pentru orice număr întreg d' astfel încât d'|m și d'|n avem d'|d.

În mod analog, un număr întreg k se numește cel mai mic multiplu comun al lui m și n și scriem [m, n]= k dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:

(a) m|k și n|k;

(b) pentru orice număr întreg k' astfel încât m|k' și n|k' avem k|k'.

(3.4) Propoziție. Fie mZ și nZ două subgrupuri ale lui Z, unde m și n sunt numere întregi. Atunci au loc afirmațiile:

(i) mZ nZ n|m;

(ii) mZ + nZ = (m, n)Z;

(iii) mZ ∩ nZ = [m, n]Z.

Demonstrație. (i) Presupunem că mZ < nZ. Avem m = m1 mZ, deci m nZ, de unde rezultă evident n|m. Reciproc, dacă n|m avem m nZ, deci mZ = = <m> nZ.

(ii) Conform punctului (ii) al următoarei propoziții

Propoziție. Fie G un grup, H o submulțime nevidă a lui G și A și B două subgrupuri ale lui G. Atunci au loc următoarele afirmații:

(i) H G dacă și numai dacă HH = H și H-1 = H;

(ii) AB G dacă și numai dacă AB = BA.

avem că mZ + nZ este un subgrup al lui Z, deci mZ + nZ = dZ, unde d este un număr întreg nenegativ. Atunci mZ dZ și nZ dZ, deci d|m și d|n. Fie d' un număr întreg astfel încât d'|m și d'|n. Atunci mZ d'Z și nZ d'Z, de unde rezultă dZ = mZ + nZ d'Z, adică d'|d. Prin urmare d = (m, n).

(iii) Conform lui (2.1),mZ ∩ nZ este un subgrup al lui Z, deci mZ ∩ nZ = kZ, unde k este un număr întreg nenegativ. Ca și la punctul (ii) se demonstrează că avem k = [m, n].

(3.5) Fie m și n două numere întregi. Din (3.4, i) rezultă că mZ = nZ dacă și numai dacă m|n și n|m, adică dacă și numai dacă m = n. În particular rezultă că pentru orice subgrup H al lui Z există un unic număr natural n astfel încât H = nZ. Punctele (ii) și (iii) din (3.4) pot fi folosite în mod evident pentru a arăta că pentru orice două numere întregi m și n există cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al lor și acestea sunt unic determinate abstracție făcând de semn.

(3.6) Propoziție. Fie n un număr întreg pozitiv. Atunci | Z:nZ | = n.

Demonstrație. Trebuie să arătăm că mulțimea

(Z/nZ)s = {x + nZ | x Z}

are exact n elemente. Pentru orice nZ există două numere întregi q și r astfel încât x = nq + r și 0 r < n. Atunci, x – r = nq nZ și x + nZ = r + nZ. Deci

(Z/nZ)s = {r + nZ | r = 0, 1, …, n – 1}.

Astfel am demonstrat că mulțimea (Z/nZ)s are cel mult n elemente. Dacă 0 r < s < < n și r + nZ = s + nZ, atunci s – r nZ și n|(s – r),ceea ce este o contradicție deoarece 0 < s – r < n. Prin urmare, r + nZ s + nZ, adică clasele la stânga r + nZ cu r = 0, 1, …, n – 1 sunt distincte două câte două. Aceasta demonstrează că mulțimea (Z/nZ)s are exact n elemente.

§ 4. Ordinul unui element într-un grup

(4.1) Fie a un element dintr-un grup G și φa : Z G aplicația definită prin φa(n) = an, n Z. φa este un omomorfism de grupuri. Într-adevăr,

φa(m + n) = am+n = aman = φa(m) φa(n).

Nucleul omomorfismului φa este un subgrup al lui Z și, conform lui (2.3), există un unic număr întreg nenegativ n astfel încât Ker φa = nZ. Spunem că n este ordinul lui a și scriem o(a) = n. Observăm că n nZ și pentru orice m nZ n|m, deci n = o(a) este unicul număr întreg nenegativ care satisface următoarele condiții:

(a) an = 1;

(b) pentru orice număr întreg m care satisface relația am = 1 avem n|m.

(4.2) Observăm că Imφa = {am | mZ} = <a>. Dacă o(a) = 0, avem Ker φa = 0 și, conform propoziției următoare:

(*) Propoziție. Fie f : G H un omomorfism de grupuri, K un subgrup al lui G și L un subgrup al lui H. Au loc următoarele afirmații:

(i) Im f H și f(K) H;

(ii) dacă f este aplicație injectivă avem GIm f și Kf(K);

(iii) Ker f G și f-1(L) G;

(iv) f este aplicație injectivă dacă și numai dacă Ker f = {1},

φa este injectiv și Z<a>. Dacă o(a) = n >0, pentru orice x, y Z avem

ax = ay ax-y = 1n | (x – y)x – y nZx + nZ = y + nZ.

Există atunci o aplicație bijectivă evidentă (ax x + nZ) între mulțimea evenimentelor grupului ciclic <a> și mulțimea (Z/nZ)s. Rezultă conform lui (3.6):

(i) | <a> | = | Z: nZ | = n = o(a).

De obicei, în loc să spunem că un element a G este de ordinul 0, vom spune că a este de ordinul infinit și vom scrie o(a) = . În acest mod egalitatea (i) are sens pentru orice element a G.

(4.3) Dacă G este un grup ciclic finit,să spunem G = <a> și |G| = o(a) = n > 0, atunci G este definit de generatorul a și relatia an = 1. Într-adevăr, conform celor de mai sus,

G = {1, a, a2, …, an-1} = {ai | 0 i < n}

și pentru 0 i, j < n, avem:

Astfel, dacă n = 4, tabla de multiplicare a lui G este:

Rezultă de asemenea că orice două grupuri ciclice finite sunt izomorfe dacă și numai dacă au același ordin. Dacă G este un grup ciclic infinit, atunci GZ și deci orice două grupuri ciclice infinite sunt izomorfe.

O consecintă importantă a teoremei lui Lagrange este următoarea:

(4.4) Propoziție. Fie G un grup finit de ordinul m. Atunci m este un multiplu al lui o(a) pentru orice a G. În particular, am = 1.

Demonstrație. Fie H = <a> subgrupul ciclic generat de a. Avem o(a) = | H | si, conform teoremei lui Lagrange, | H | este un divizor al lui m = | G |; deci o(a)|m.

§ 5. Câteva aplicații ale teoremei lui Lagrange

(5.1) Grupuri de ordin prim. Fie p un număr prim și G un grup arbitrar de ordinul p. Alegem un element a G, a 1 și fie H = <a>. Avem H 1 și, datorită teoremei lui Lagrange, | H | este un divizor al lui p, deci | H | = p. Rezultă G = H = = <a>. Astfel, orice grup de ordinul p este ciclic și orice două grupuri de ordin p sunt izomorfe.

(5.2) Grupuri de ordinul 4. Fie G un grup de ordinul 4. Dacă există un element a G cu o(a) = 4, atunci | <a> | = 4, deci G = <a>, adică G este un grup ciclic. În caz contrar, pentru orice a G, a 1, avem o(a) = 2. Rezultă x2 = 1 pentru orice x G și prin urmare G este abelian. Într-adevăr, pentru orice x, y G avem:

xy = x1y = x(xy)2y = x2yxy2 = 1yx1 = yx.

În plus, dacă a G, a 1 și H = <a> = {1, a}, avem | G:H | = 2. Alegând un element b G\H, rezultă G = H Hb = {1, a, b, ab}. Grupul G este definit de generatorii a și b și relațiile a2 = 1, b2 = 1, ab = ba, iar tabla sa de multiplicare este:

Rezultă că există cel mult două tipuri de grupuri de ordinul 4. Existența celui de-al doilea tip (cel care nu este ciclic) se probează fie verificând că tabla de multiplicare de mai sus satisface axiomele grupului, fie construind, prin alte mijloace, un grup de ordinul 4 care nu este ciclic. Un astfel de grup se numește grupul lui Klein.

(5.3) Grupuri de ordinul 6. Fie G un grup de ordinul 6. Dacă există un element a G cu o(a) = 6, atunci G este ciclic: G = <a>. În caz contrar, pentru orice a G, a 1, avem o(a) = 3 (conform propoziției (4.4)). Presupunem că pentru orice a G, a 1 avem o(a) = 2. Atunci, pentru orice x G avem x2 = 1 și, ca mai sus, rezultă G abelian. În plus, alegând două elemente a, b G cu a 1, b 1 și a b, H = {1, a, b, ab} este evident un subgrup al lui G. Dar | H | = 4 și 46, ceea ce contrazice teorema lui Lagrange. Astfel, dacă G este neciclic, atunci există un element G cu o() = 3. Fie H = <> = {1,}. Atunci | G:H | = | G | / | H | = = 6/3 = 2. Alegând un G/H, rezultă

G = H = {}.

Să presupunem că . Atunci o() = 3, deci . Nu putem avea sau deoarece, în caz contrar, ar rezulta sau , deci . Nu putem avea nici sau deoarece, în caz contrar, ar rezulta sau , ceea ce nu se poate. Prin urmare trebuie ca . Nu putem avea , sau deoarece, în caz contrar, ar rezulta sau .Nu putem avea nici deoarece, în caz contrar, avem ; aceasta implică odeci o; am exclus însă o astfel de situație. Prin urmare trebuie ca . Se constată imediat că grupul G este definit de generatorii și si relațiile și . În plus avem GΣ3.

Am demonstrat astfel că există exact două tipuri de grupuri de ordinul 6: orice grup de ordinul 6 este ciclic sau este izomorf cu Σ3.

(5.4) Subgrupurile lui Σ3. Vom folosi tabla de multiplicare a lui Σ3:

Fie H un subgrup al lui Σ3. Deoarece | Σ3 | = 6 și | H | | Σ3 | rezultă că putem avea | H | = 1, 2, 3, 6. Dacă | H | = 1 atunci H este subgrupul trivial: H = 1. Dacă | H | = 2 atunci | H | = {1, a} pentru un a Σ3 cu o(a) = 2. Din tabla de multiplicare se vede că singurele elemente de ordinul 2 din Σ3 sunt . Deci sunt toate subgrupurile de ordinul 2 ale lui Σ3. Dacă | H | = 3 știm că H trebuie să fie un grup ciclic, deci H = <a> = {1, a, a2} pentru un a Σ3 cu o(a) = 3. Din tabla de multiplicare se vede că singurele elemente de ordinul 3 din Σ3 sunt și și avem <> = <> = . Deci este singurul subgrup de ordinul 3 al lui Σ3. Dacă | H | = 6, atunci H = Σ3. Este interesant de descris și relația de incluziune pe mulțimea subgrupurilor lui Σ3. Putem face aceasta prin următoarea diagramă:

Σ3

(5.5) Subgrupurile lui D4. Vom folosi tabla de multiplicare a lui D4 :

Ordinele elementelor lui D4 sunt: o(1)=1, o()=4, o()=2, o()=4, o() = o() = o() = o() = 2. Subgrupurile de ordinul 2 ale lui D4 sunt . Subgrupurile de ordin 4 ale lui D4 pot fi ciclice: H = <a> cu o(a) = 4, sau de tipul grupului lui Klein: H = <a, b> cu o(a) = o(b) = 2 și ab = ba. Este clar că este sin-gurul subgrup ciclic de ordin 4 al lui D4, iar subgrupurile de tipul grupului lui Klein ale lui D4 sunt și .Următoarea diagramă descrie laticea subgrupurilor lui D4:

{1}

D4

§ 6. Subgrupuri normale

Fie G un grup. Pentru fiecare element gG, considerăm aplicația : G G definită prin (x) = gxg-1. Dar este un omomorfism de grupuri deoarece:

(xy) = g(xy)g-1 = (gxg-1)(gyg-1) = (x)(y), x, yG.

Pe de altă parte, observăm că pentru g1, g2 G avem:

=() = () x ()-1 = (x), x G.

Deci = . De asemenea, avem (x) = 1×1-1 = x, x G, deci = 1. Prin urmare, = = = 1 și, analog,= 1. Rezultă că este automorfism al lui G și ()-1 = . Numim automorfismul interior al lui G definit de elementul g G.

(6.1) Fie G un grup și H un subgrup al său. Spunem că H este normal în G dacă pentru orice g G avem gHg-1 H. Deoarece gHg-1 = (H), unde este automorfismul interior al lui G definit de elementul g G, rezultă că H este normal în G dacă este invariat de orice automorfism interior al lui G, adică (H) H pentru orice g G.

Să presupunem că H este normal în G. Pentru orice g G avem:

(H) H și (H) H,

deci H = ((H)) (H), adică (H) = H, sau gHg-1 = H.

(6.2) Propoziție. Fie G un grup și H un subgrup al lui G. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) H este normal în G;

(b) pentru orice gG avem Hg = gH;

(c) (G/H)s = (G/H)d.

Demonstrație. Fie g G. Dacă gHg-1 = H atunci rezultă gH = gHg-1g = Hg. Reciproc, dacă gH = Hg atunci avem gHg-1 = Hgg-1 = H. Prin urmare, afirmațiile (a) și (b) sunt echivalente. Evident,(b) implică (c). Mai rămâne de demonstrat implicația (c)(b). Fie g G. Există o clasă la stânga M a lui H în G astfel încât g M și, prin ipoteză, M este și o clasă la dreapta a lui H în G. Deoarece M este o clasă la stânga și g M, avem M = gH. Analog, M = = Hg, deci gH = Hg.

(6.3) Subgrupul trivial 1 și subgrupul total G sunt evident normale în grupul G.

(6.4) Dacă G este un grup abelian, orice subgrup H al lui G este normal în G. Într-adevăr, avem evident Hg = gH pentru orice g G.

(6.5) Fie H un subgrup al unui grup G și presupunem că | G:H | = 2. Atunci H este normal în G. Într-adevăr, avem H = 1H (G/H)s și, deoarece (G/H)s are numai două elemente, rezultă (G/H)s = {H, G\H}. În mod analog, deducem (G/H)d = {H, G\H}, deci (G/H)s = (G/H)d.

(6.6) Fie : G H un omomorfism de grupuri. Atunci nucleul său Ker este un subgrup normal în G. Într-adevăr, Ker este un subgrup al lui G și pentru orice g G, x Ker avem:

(gxg-1) = (g) (x) ((g))-1 = (g)((g))-1 = 1,

adică gxg-1 Ker . Prin urmare, Ker este invariat de orice automorfism interior al lui G.

(6.7) Orice intersecție de subgrupuri normale este un subgrup normal. Într-adevăr, dacă {Hi}iI este o familie de subgrupuri normale în G și H = , atunci se știe că H este un subgrup în G; în plus pentru orice g G avem:

gHg-1 .

(6.8) Examinăm subgrupurile lui Σ3 descrise in (5.4). Subgrupul nu este normal în Σ3 deoarece . De asemenea, și și deci nici și nu sunt subgrupuri normale. Subgrupul este normal în Σ3 deoarece este de indice 2 în Σ3. Descrierea relației de incluziune între subgrupurile normale ale lui Σ3 este deci:

{1}

Σ3

(6.9) În mod analog se cercetează subgrupurile normale ale lui D4. Se obține:

{1}

D4

Cele trei subgrupuri de ordinul 4 din această diagramă sunt normale în D4 deoarece au indicele 2; subgrupul de ordinul 2. este normal în D4 deoarece este intersecția a oricăror două dintre subgrupurile de ordinul 4.

(6.10) În general, dacă H este un subgrup al lui G, scriem HG dacă H este normal în G și HG dacă H nu este normal în G. Se observă că putem avea KHG și KG. Într-adevăr, dacă luăm G = D4, K = {} și H = avem K H G, KH deoarece H este abelian și HG deoarece | G:H | = 2, dar KG (deoarece ).

§ 7. Grupuri factor

(7.1) Fie G un grup și H un subgrup al lui G. Considerăm mulțimea (G/H)s a claselor la stânga ale lui H în G ca submulțime a mulțimii P(G) a tuturor părților lui G. Se cunoaște că mulțimea P(G) este un semigrup relativ la operația binară

P(G)2 P(G), (A, B) AB, A, B P(G).

Vom studia în ce condiții (G/H)s este un subgrup al semigrupului P(G).

(7.2) Propoziție. (G/H)s este un subgrup al semigrupului P(G) dacă și numai dacă H este normal în G.

Demonstrație.()Presupunem că H este normal în G. Fie A, B (G/H)s. Avem A = aH = Ha și B = bH = Hb, unde a, b G și

AB = (aH) (bH) = a(Hb)H = a(bH)H = (ab)HH = (ab)H (G/H)s.

Rezultă că putem considera pe mulțimea (G/H)s operația binară (A, B) AB și (G/H)s este un semigrup relativ la această operație. Vom demonstra că (G/H)s este un grup. Pentru aceasta vom observa mai intâi că H = 1H (G/H)s și pentru orice A = aH (G/H)s, a G, avem:

AH = (aH) (1H) = (a1)H = aH = A

și

HA = (1H) (aH) = (1a)H = aH = A.

Prin urmare H este element unitate al semigrupului (G/H)s. Pentru orice A P(G) am definit A-1 = {a-1 | a A}. Dacă A = aH (G/H)s atunci avem:

A-1 = (aH)-1 = H-1a-1 = Ha-1= a-1H (G/H)s;

AA-1 = (aH) (a-1H) = (aa-1)H = 1H = H

și analog A-1A = H. Prin urmare, orice element al monoidului (G/H)s este inversabil. Deci, monoidul (G/H)s este un grup, și anume un subgrup al semigrupului P(G).

() Presupunem că (G/H)s este un subgrup al semigrupului P(G). Deoarece H (G/H)s și HH = H, H este elementul unitate al grupului (G/H)s. Rezultă că pentru A = aH (G/H)s avem HA = A, adică HaH = aH. Deoarece 1 H avem Ha HaH = aH și deci a-1Ha H. Prin urmare, H este normal în G.

(7.3) Presupunem că H este normal în G. Subgrupul (G/H)s = (G/H)d al semigrupului P(G) se numește grupul factor al lui G prin H și se notează G/H. Aplicația : G G/H definită prin , g G, se numește proiecția canonică a lui G pe G/H. Evident, este o aplicație surjectivă și, după cum rezultă din demonstrația Propoziției (7.2), avem:

(a)(b) = (aH) (bH) = (ab)H = (ab), a, b G;

deci este un omomorfism de grupuri. Se observă că pentru orice element a G avem:

(a) = 1 ( =H – elementul unitate al grupului G/H ) aH = H a H.

Prin urmare Ker = H.

(7.4) Subgrupul trivial 1 și subgrupul total G sunt normale în G. Pentru orice a G avem a1 = {a} așa încât proiecția canonică : G G/1 este un izomorfism. Prin urmare G/1G. Deoarece pentru orice a G avem aG = G, rezultă G/G = = {G}1.

(7.5) Grupul Inn (G) al automorfismelor interioare ale lui G este un subgrup normal în grupul Aut (G) al automorfismelor lui G. Într-adevăr, pentru orice G și orice Aut (G) avem:

;

deci Inn(G). Grupul factor Aut (G)/Inn(G) se numește grupul automorfismelor exterioare ale lui G.

(7.6) Definim comutatorul unei perechi ordonate (x, y) de elemente din G prin:

[x, y] = xyx-1y-1 G.

Dacă H și K sunt subgrupuri ale lui G, definim comutatorul lor prin:

[H, K] = {[h, k] | hH, kH} G.

Altfel spus, [H, K] este subgrupul lui G generat de toți comutatorii [h, k] cu h H, k H. În particular, subgrupul [G, G] generat de toți comutatorii din G se numește subgrupul comutator (sau subgrupul derivat) al lui G și se notează cu G. Se observă imediat că G este abelian dacă și numai dacă G = 1. În general G este normal în G.Pentru a demonstra aceasta observăm mai intâi că [x, y]-1 = (xyx-1y-1)-1 = = yxy-1x-1 = [y, x]. Aplicând (2.3) rezultă că orice element z G este un produs de comutatori:

z = [x1, y1] [x2, y2] … [xn, yn].

Pentru orice Aut (G) avem

,

deci

G.

În particular, luând , g G, obținem gzg-1 = G pentru orice z G, adică G este normal în G.

Fie H un subgrup normal în G. Pentru orice x, y G în grupul factor G/H avem, evident, [xH, yH] = [x, y]H. De aici rezultă că G/H este abelian [xH, yH] = = H pentru orice x, y G[x, y] H pentru orice x, y G G H. În particular, G/G este abelian. Grupul G/G se numește abelianizatul grupului G.

(7.7) Fie A un inel cu unitate. O submulțime I a lui A se numește ideal al lui A dacă este ideal la stânga și ideal la dreapta al lui A. În particular, I este subgrup al grupului aditiv al lui A și putem considera grupul factor A/I. Orice element al lui A/I este de forma pentru un x A. Evident, avem , x, y A, dacă și numai dacă x – y I. Fie x, x, y, y A așa încât și . Atunci, există a, b I astfel încât și și avem:

xy = (x + a) (y + b) = xy + (xb + ay + ab).

Deoarece I este ideal al lui A, x'b + ay' + ab I și deci . Prin urmare putem considera operația binară notată multiplicativ

(A/I)2 A/I,

.

Se verifică imediat că grupul aditiv A/I împreună cu această operație este un inel cu unitate, elementul unitate fiind . Inelul A/I se numește inelul factor al lui A în raport cu I.

§8. Grupurile factor ale lui Z; teoremele lui Euler,

Fermat și Wilson

(8.1) Z fiind un grup abelian, orice subgrup al său este normal. Conform lui (3.2) orice subgrup al lui Z este de forma nZ, unde n este un număr natural. Dacă n = 0, 0Z = 0 (subgrupul trivial în notație aditivă) și Z/0ZZ. Dacă n = 1, 1Z = Z și Z/1Z0. Dacă n ≥ 2, grupul factor Z/nZ se notează cu Zn și se numește grupul claselor de resturi modulo n (notația Zn = Z/nZ se folosește în unele situații și în cazurile n = 0 și n = 1).

Conform lui (3.6) avem Zn = | Z:nZ | = n și Zn = {x + nZ | xZ} = {x + nZ | x = 0, 1, …, n –1}. De obicei se notează = x + nZ, x Z și prin urmare

Zn = {}.

De exemplu, Z6 = {} iar tabla sa de adunare în Z6 este:

Pentru x, y Z vom scrie xy(mod n) dacă în Zn, adică dacă x–y nZ.

(8.2) Considerăm și multiplicarea numerelor întregi, în raport cu care grupul aditiv Z este un inel comutativ cu unitate. Pentru orice număr natural n, subgrupul nZ al lui Z este de fapt un ideal al inelului Z și inelul factor Z/nZ se notează tot cu Zn și se numește inelul claselor de resturi modulo n. Evident, grupul aditiv al inelului Zn este grupul Zn definit în (8.1). Pentru exemplificare dăm mai jos tabla multiplicarii în inelul Z6:

(8.3) În continuare vom folosi grupul U(Zn) al unităților inelului Zn. Avem:

U(Zn) = {U(Zn) | pentru un Zn} =

={Zn | (mod n) pentru un Z}.

(8.4) Propoziție. Fie n un număr natural întreg ≥ 2 și un element din Zn (x Z). Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) (x, n) = 1 (altfel spus, x și n sunt numere întregi prime între ele);

(b) U(Zn);

(c) Zn = <>.

Demonstrație. (a)(b). Conform lui (3.4) avem xZ + nZ = (x, n)Z = 1Z. Deci există numerele întregi x și n astfel încât xx + nn = 1. Atunci, xx1 (mod n) și prin urmare avem U(Zn).

(b)(c).Prin ipoteză există un x Z astfel încât .Evident, putem presupune x ≥ 0. Prin urmare, și deci .

Deoarece Zn = <>, rezultă Zn <>; deci Zn = <>.

(c)(b). Avem Zn = <>, deci există un număr întreg pozitiv x astfel încât . Prin urmare U(Zn).

(b)(a). Prin ipoteză, există un Z astfel încât (mod n), adică există un Z astfel încât . Orice divizor comun al lui x și n este un divizor și al lui , deci al lui 1. Prin urmare (x, n) = 1.

(8.5) Din (8.4) obținem că U(Zn) = { Zn; (x, n) = 1}.

Scriind elementele lui Zn sub forma Zn = , deducem că elementele grupului U(Zn) sunt în corespondență bijectivă cu mulțimea numerelor naturale prime cu n și mai mici ca n. De exemplu, U(Z12) =.

În general, numărul numerelor naturale prime cu n și mai mici ca n se notează cu (n) și se numește indicatorul Euler al lui n (dacă n = 1 se consideră (1) = 1). Prin urmare | U(Zn) | = (n). Conform lui (4.4) pentru orice U(Zn) avem . De aici rezultă în mod evident ceea ce se numește teorema lui Euler : pentru orice număr întreg pozitiv n și orice număr întreg a prim cu n avem (mod n).

(8.6) Dacă n = p este un număr prim (p) = p – 1 și U(Zn) = Zp*. Rezultă că inelul Zp este corp. De asemenea, deducem teorema lui Fermat : pentru orice număr prim p și orice număr întreg a prim cu p avem (mod p).

(8.7) Prin considerente de teoria grupurilor putem obține și teorema lui Wilson : pentru orice număr prim p avem (p – 1)! + 10 (mod p). Pentru aceasta să considerăm mai intâi un grup finit abelian G de ordinul n. Să presupunem că G = {x1, x2, …, xn}, unde x1 = 1, iar x2, …, xt, unde 1 t n sunt toate elementele lui G de ordinul 2. Atunci, elementele xt+1, …, xn au ordinul > 2 și pot fi grupate două câte două {xi, xj} astfel ca xixj = 1. Alegând în mod convenabil ordinea xt+1, xt+2,…, xn a elementelor lui G de ordin > 2, rezultă x1x2…xn = x2…xt. Dacă F este un corp, ecuația x2 = 1 are cel mult două soluții în F, anume –1 și 1. Prin urmare, –1 este eventual singurul element de ordin 2 în grupul U(F) =F *. Presupunând că F este un corp finit și luând G = F *, rezultă că produsul tuturor elementelor lui F * este -1. Dacă F = Zp = se obține:

,

adică (p – 1)!–1 (mod p) și teorema lui Wilson este demonstrată.

§ 9. Teorema fundamentală de izomorfism

(9.1) Fie : G H un omomorfism de grupuri. Deci Im este un subgrup al lui H. Datorită acestui fapt incluziunea canonică a lui Im în H, adică aplicația i : Im H definită prin i(y) = y, y Im, este un omomorfism de grupuri. Deoarece Ker este un subgrup normal în G putem considera grupul factor G/Ker. Proiecția canonică : G G/Ker este un omomorfism de grupuri surjectiv și Ker = Ker ; rezultă că pentru orice x, y G avem:

Ker = Ker (x) = (y).

(9.2)Teorema fundamentală de izomorfism. Există un unic izomorfism de grupuri : G/Ker Im astfel încât = .

Demonstrație. Presupunem că există o aplicație : G/Ker Im astfel încât = . Atunci, pentru orice x G avem . Deoarece orice element din G/Ker este de forma , rezultă imediat unicitatea lui . Pentru a construi procedăm astfel: pentru fiecare element z G/Ker alegem x G astfel ca z = și definim ; definiția nu depinde de alegerea lui x deoarece dacă x, y G și , atunci (x) = (y). În plus, avem oricare ar fi x G, adică . Pe de altă parte, pentru orice x, y G avem: , ceea ce demonstrează că aplicația este injectivă; de asemenea,

,

ceea ce spune că este un omomorfism de grupuri. În plus, orice element din Im este de forma G. Rezultă că este și aplicație surjectivă; deci este un izomorfism de grupuri.

Câteva exemple care ilustrează modul în care se folosește teorema fundamentală de izomorfism:

(9.4) Fie K un corp și n un întreg pozitiv. O matrice cu coeficienți în K este un tablou

cu , iar mulțimea tuturor acestor matrici se notează M n(K). Dacă M n(K) definim:

M n(K);

M n(K).

Evident, mulțimea M n(K) împreună cu operațiile „+” și „∙” astfel definite este un inel cu unitate, elementul unitate fiind

Grupul unităților acestui inel se notează cu GLn(K) și se numește grupul liniar general de grad n peste K. Elementele acestui grup se numesc matrici inversabile. Se știe că o matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul său, det , este un element nenul din K. Se obține în acest mod o aplicație

det : GLn(K) K *

și, deoarece

det = det det , M n(K),

această aplicație este un omomorfism de grupuri. În plus, este un omomorfism de grupuri surjectiv. Nucleul său este un subgrup normal al lui GLn(K), care se notează cu SLn(K) și se numește grupul liniar special de grad n peste K. Prin urmare, SLn(K) = {| det} și, conform teoremei fundamentale de izomor-fism, GLn(K) / SLn(K)K*. În particular, dacă K este corpul finit cu q elemente, obținem:

| SLn(K) | = | GLn(K) | /(q – 1).

(9.5) Considerăm planul euclidian E2. Alegem un punct O din E2 și o semidreapta l cu originea în O. Considerăm un sistem de coordonate polare cu polul O și axa l. Atunci fiecărui punct A E2 îi asociem modulul său r și argumentul său și identificăm A cu numărul complex: cosi sin

O rotație a lui E2 în jurul lui O este o aplicație de forma

cu ,

unde este un număr real fixat. Se vede imediat că R și Rezultă că este o aplicație bijectivă, inversa sa fiind . De asemenea, este o izometrie a lui E2: calculăm distanțele într-un sistem de coordonate cartezian cu originea în O și dreapta l ca axă OX și pentru cos sin și cossin avem:

Rezultă că mulțimea Rot (O, E2) a tuturor rotațiilor lui E2 în jurul lui O este un subgrup al lui Izom (E2) și, considerând grupul aditiv R al numerelor reale, avem un omomorfism de grupuri surjectiv

R Rot (O, E2),

definit prin R. Deci avem:

Ker= {R | } = {| kZ} = 2Z

sau, altfel spus, Ker este subgrupul lui R generat de . Din teorema fundamen-tală de izomorfism rezultă R/ZRot (O, E2).

(9.6) Fie G un grup, H un subgrup normal în G și un automorfism al lui G. Considerăm proiecția canonică : G G/H și compunerea

: G G G/H.

Avem

Ker (deoarece Ker= H) =

și Im= Im = G/H. Din teorema fundamentală obținem că este un subgrup normal în G și G/. În particular, să considerăm grupul aditiv R al numerelor reale și : R R definită prin R. Aplicația este evident un automorfism al lui R și, folosind notațiile de la exemplul precedent, avem (Z) = Z și

R/ZR/(Z) = R/ZRot (O, E2).

(9.7) Fie G un grup. Pentru fiecare element g G, considerăm aplicația : G G definită prin . Această aplicație este un omomorfism de grupuri deoarece:

Aplicația : G Aut (G), definită prin , este un omomorfism de grupuri. Se observă imediat că Ker. Ker se notează cu Z(G) și se numește centrul lui G. Prin urmare, centrul Z(G) al lui G este subgrup normal în G și, deoarece Im = Inn(G), avem G/G(Z)Inn(G).

(9.8) Considerăm grupul aditiv R al numerelor reale, grupul multiplicativ C* al numerelor complexe nenule și aplicația : R C* definită prin:

= cos + i sin, R.

Evident, este un omomorfism de grupuri. Avem:

Ker= {R | cos = 1 și sin = 0} = Z

și

Im= {C* | | z | = 1}.

Im este un subgrup al lui C*, care se notează de obicei cu D. Prin teorema fundamentală de izomorfism rezultă R/ZD.

Considerăm grupul aditiv Q al numerelor raționale. Restricția omomorfismu-lui la Q este un omomorfism g : Q D pentru care avem Ker g = Z și

Im g = {C* | N astfel ca zn = 1}.

Im g se notează cu V și se numește grupul rădăcinilor complexe ale unității. Avem Q/ZV D.

(9.9) Fie G un grup, a G și : Z G omomorfismul de grupuri definit în (4.1). Avem Ker= nZ unde n = o(a) și Im = <a>. Rezultă Z/nZ <a> G. În particular, dacă G este un grup ciclic infinit rezultă ZG iar dacă G este un grup ciclic de ordin n deducem ZnG.

(9.10) Fie : A B un omomorfism de inel cu unitate. Evident, Im este un subinel al lui B (adică este inel și incluziunea canonică i : Im B este un omomorfism de inele). De asemenea, Ker este nu numai un subgrup al grupului aditiv al lui A, ci chiar un ideal în A, iar proiecția canonică : A A/Ker este un omomorfism de inele. Atunci, unicul morfism

: A/Ke Im

care satisface = este un izomorfism de inele. Avem astfel nu numai o teoremă de izomorfism pentru grupuri, ci și o teoremă de izomorfism pentru inele. În mod evident se formulează o teoremă de izomorfism pentru module sau, mai general, pentru grupuri cu operatori.

§ 10. Alte teoreme de izomorfism

(10.1) Fie G un grup, H un subgrup normal în G și : G G/H proiecția canonică. Pentru orice subgrup K al lui G care conține pe H,

este un subgrup al lui G/H (conform Propoziției (*) din §4). Notăm cu L(G; H) mulțimea tuturor subgrupurilor lui G care conțin pe H și cu L(G/H) = L (G/H; 1) mulțimea tuturor subgrupurilor lui G/H.

(10.2) Prima teoremă de izomorfism. Fie K, K1, K2 L(G; H) . Următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) asocierea K K/H definește o aplicație bijectivă : L(G; H) L(G/H);

(ii) K1 K2 dacă și numai dacă ;

(iii) K este normal în G dacă și numai dacă este normal în G/H și în această situație avem G/K(G/H) / (K/H).

Demonstrație. (i) Fie L un subgrup al lui G/H. Atunci, este un subgrup al lui G care conține Ker = H și prin urmare L(G; H). Se obține în acest mod o aplicație : L(G/H) L(G; H) definită prin , L(G; H). Avem . În plus, pentru orice , există un așa încât ; de aici rezultă și . Prin urmare . De asemenea, pentru L(G;H) avem . În plus, dacă , atunci și există astfel încât . Rezultă Ker = H K și deci (deoarece ). Prin urmare . Deci și sunt aplicații inverse una alteia și în concluzie este bijectivă.

(ii) Dacă atunci, evident, . Reciproc, dacă atunci

(iii) Presupunem că subgrupul L(G;H) este normal în G și fie p: GG/K proiecția canonică. Pentru orice avem:

KerKer

Deoarece . Evident, asocierea definește o aplicație : G/H G/K. Deoarece și sunt omomorfisme, rezultă că și este omomorfism. Avem:

KerKer,

deci Ker. În plus, este surjectiv. Conform teoremei fundamentale de izomorfism avem:

KerIm.

Reciproc, dacă K/H este normal în G/H putem considera proiecția canonică iar K este evident nucleul compunerii

G.

Prin urmare K este normal în G.

(10.3) A doua teoremă de izomorfism. Fie H, K două subgrupuri ale unui grup G astfel încât K este normal în G. Atunci, HK este subgrup în G, H ∩ K este subgrup normal în H și

.

În plus, dacă și H este normal în G, atunci HK este normal în G.

Demonstrație. Deoarece KG avem xK = Kx pentru orice . Prin urmare,

.

Conform propoziției:

Propoziție. Fie G un grup, H o submulțime nevidă a lui G și A și B două subgrupuri ale lui G. Atunci au loc următoarele afirmații:

(i) H G dacă și numai dacă HH = H si H-1 = H;

(ii) AB G dacă și numai dacă AB = B,

rezultă că HK este un subgrup al lui G. Pentru fiecare element avem și . Deci putem considera aplicația : H HK/K definită prin . Această aplicație este evident un omomorfism. Orice element din HK/K este de forma (xy)K = x(yK) = xK = . Deci este surjectivă. În plus,

Ker .

Conform teoremei fundamentale de izomorfism rezultă că este normal în H și .Dacă și H este normal în G atunci pentru orice avem x(HK) = (xH)K = (Hx)K = H(Kx) = (HK)x,

ceea ce arată că HK este normal în G.

§ 11. Subgrupurile unui grup ciclic

(11.1) Deoarece orice grup ciclic netrivial este izomorf cu Z sau cu Zn, n ≥ 2, iar subgrupurile lui Z au fost studiate în §3, ne rămân de studiat subgrupurile lui Zn, n ≥ 2. Conform lui (10.2), orice subgrup al lui Zn este de forma H/nZ, unde H este un subgrup al lui Z care conține pe nZ și

Zn/(H/nZ) = (Z/nZ)/(H/nZ) = Z/H.

Conform lui (3.2) și (3.4) avem H = dZ, unde d este un divizor pozitiv al lui n. Prin urmare, orice subgrup al lui Zn este de forma dZ/nZ, unde d > 0 și d|n și

Zn/( dZ/nZ) = Z/dZ = Zd

Pentru un astfel de subgrup K = dZ/nZ avem | Zn : K | = | Zd | = d și, conform teoremei lui Lagrange,

(i) | dZ/nZ | = | Zn | / | Zn : K | = n/d.

În plus, K este un grup ciclic, anume K = dZ/nZ = <d>, unde d = d + nZZn.

(11.2) Pentru exemplificare luăm n = 12. Divizorii lui 12 sunt d = 1, 2, 3, 4, 6, 12 și deci subgrupurile lui Z12 sunt:

Z/12Z = Z12 = ;

2Z/12Z = ; 3Z/12Z = ;

4Z/12Z = ; 6Z/12Z = ;

12Z/12Z = .

Laticea subgrupurilor lui Z12 este:

0

6Z/12Z 4Z/12Z

3Z/12Z 2Z/12Z

Z12

(11.3) Fie G un grup ciclic oarecare și un generator al său. După cum am văzut în (9.9) , dacă G este infinit aplicația Zn G, d ad, d Z, este izomorfism; de asemenea din (9.9) rezultă că dacă G este finit de ordin n atunci aplicația Zn G, ad, nZ Zn, d Z, este un izomorfism. Aceste izomorfisme ne permit să formulăm rezultate relative la structura subgrupurilor lui Z și ale lui Zn ca rezultate relative la structura subgrupurilor grupului ciclic G.

(11.4) Propoziție. Fie G un grup ciclic și un generator al său. Următoarele afirmații sunt adevărate:

(i) orice subgrup și orice grup factor al lui G este ciclic;

(ii) dacă G este infinit (finit de ordin n) atunci, pentru orice număr întreg pozitiv d (orice divizor pozitiv d al lui n), există un unic subgrup H al lui G astfel încât | G : H | = d, și anume H = <ad>;

(iii) dacă G este finit de ordinul n atunci, pentru orice divizor pozitiv d al lui n, există un unic subgrup H al lui G de ordinul d, și anume

.

Demonstrație. Este evidentă din (11.3).

Afirmația (iii) a lui (11.4) caracterizează de fapt grupurile ciclice de ordin n. Mai precis, avem:

(11.5) Propoziție. Fie G un grup finit. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) G este ciclic;

(b) pentru orice număr întreg pozitiv d, există cel mult un subgrup în G de ordinul d;

Demonstrație. (a)(b) rezultă din (11.4, iii). Reciproc, presupunem că afirmația (b) este adevărată. Pentru fiecare număr întreg pozitiv d fie

Md = | o(a) = d}.

Evident, mulțimile Md sunt disjuncte două câte două și reuniunea lor este mulțimea elementelor lui G. În plus, dacă n = | G | și mulțimea Md, d > 0, este nevidă, atunci obligatoriu d este un divizor al lui n. Prin urmare avem:

(1) n = | G | = | Md |.

Mai precis, dacă d este un divizor al lui n mulțimea Md este nevidă dacă și numai dacă există un subgrup ciclic Hd, de ordin d al lui G; în această situație, datorită ipotezei, Hd este unicul subgrup de ordin d al lui G și

Md = .

În plus, în virtutea lui (8.4), dacă mulțimea Md este nevidă vom avea | Md | = = fiind funcția Euler. Prin urmare, dacă toate mulțimile Md sunt nevide, relația (1) devine

(2) n =.

Relația (2) este cu siguranța satisfăcută deoarece există subgrupuri de ordinul n ca, de exemplu Zn, pentru care toate mulțimile corespunzatoare sunt nevide.Deoarece |Md| = 0 sau |Md| = pentru orice divizor d al lui n, relațiile (1) și (2) nu pot fi satisfacute simultan decât dacă | Md | = pentru orice asemenea d. În particular, pentru d = n, mulțimea Mn va fi nevidă, deci va exista un subgrup ciclic Hn al lui G de ordinul n. Atunci G = Hn, deci G este ciclic.

Remarcăm că (11.5) nu este adevărată dacă renunțăm la ipoteza că G este un grup finit.

(11.6) Folosind structura subgrupurilor grupului Zn și a doua teoremă de izomorfism să demonstrăm relația

(m, n) [m, n] = mn,

m și n fiind două numere întregi pozitive. A două teoremă de izomorfism ne dă

mZ + nZ/nZmZ/mZ ∩ nZ

sau, conform Propoziției (3.4),

(m, n)Z/nZmZ/[m,n]Z.

Pe de altă parte, avem (conform lui 11.1, i):

| (m, n)Z/nZ | = n/(m, n) și | mZ/[m, n]Z | = [m, n]/m.

Prin urmare, n/(m, n) = [m, n]/m, de unde deducem

(m, n) [m, n] = mn.

§ 12. Grupuri rezolubile

(12.1) Un grup G se numește rezolubil dacă există un număr natural n și subgrupurile 1 = G0, G1, G2, … … , Gn = G ale lui G astfel ca pentru orice i = 1,2,…,n să avem Gi-1Gi și grupul factor Gi/Gi-1 să fie abelian.

Evident, orice grup abelian este rezolubil. De asemenea, examinând subgrupurile lui și D4 descrise în §5, se constată imediat că și aceste grupuri sunt rezolubile. Există însă și grupuri care nu sunt rezolubile (de exemplu grupurile simple neabeliene).

(12.2) Lemă. Fie G un grup și A, B, C subgrupuri ale lui G. Sunt adevărate următoarele afirmații:

(i) dacă B A atunci A ∩ (BC) = B(A ∩ C);

(ii) dacă BA atunci B ∩ CA ∩ C și (A ∩ C)/(B ∩ C)B(A ∩ C)/B;

(iii) dacă BA și CG atunci BCAC și AC/BC A/B(A ∩ C).

Demonstrație. (i) Evident, B(A ∩ C) A ∩ (BC). Fie a A ∩ (BC). Atunci, a = bc cu b B, c C, deci b-1a = c A ∩ C (deoarece B A). Prin urmare a = = b(b-1a) B(A ∩ C).

(ii) Deoarece A ∩ C A și BA putem aplica (10.3) cu A în locul lui G, A ∩ C în locul lui H, B în locul lui K. Rezultă B ∩ C = (A ∩ C) ∩ BA ∩ C și

(A ∩ C)/(B ∩ C)(A ∩ C) B/B = B(A ∩ C)/B.

(iii) Deoarece CG, AC și BC sunt subgrupuri ale lui G și evident BC AC. Luând un element x = ac AC, a A, c C, avem:

x (BC) = acBC = acCB = aCB = aBC = BaC = BaCc = Bcac = (BC) x.

Aceasta arată că BCAC. Aplicăm (10.3) cu AC în locul lui G, A în locul lui H și BC în locul lui K. Rezultă A ∩ (BC) A și

A(BC)/BC A/A ∩ (BC).

În final avem A(BC) = AC și, conform lui (i), A ∩ (BC) = B(A ∩ C). Rezultă

AC/BC A/B(A ∩ C).

(12.3) Propoziție. Fie G un grup și H, K subgrupuri ale lui G cu KG. Au loc următoarele afirmații:

(i) dacă G este rezolubil atunci H și G/K sunt rezolubile;

(ii) dacă K și G/K sunt rezolubile atunci G este rezolubil.

Demonstrație. (i) Fie 1 = G0G1Gn = G astfel încât pentru orice i = 1, 2, … , n, Gi/Gi-1 este grup abelian. Deoarece Gi-1Gi, putem aplica (12.2, ii) cu Gi-1 în locul lui B, Gi în locul lui A și H în locul lui C. Rezultă Gi-1 ∩ HGi ∩ H și

Gi ∩ H/Gi-1 ∩ H Gi-1(Gi ∩ H)/Gi-1 Gi/Gi-1.

Deoarece Gi/Gi-1 este abelian, rezultă Gi ∩ H/Gi-1 ∩ H abelian pentru orice i = 1, 2, … ,n. Prin urmare șirul

1 = G0 ∩ HG1 ∩ HGn ∩ H = H

arată că H este rezolubil. Aplicăm (12.2, iii) și rezultă Gi-1KGiK și

GiK/Gi-1K Gi/Gi-1 ∩(Gi ∩ K).

Conform lui (10.2) avem

(GiK)/(Gi-1K/K) GiK/Gi-1K

și

(Gi/Gi-1)/(Gi-1(Gi ∩ K)/Gi-1) Gi/Gi-1(Gi ∩ K).

Deoarece Gi/Gi-1 este abelian, rezultă Gi/Gi-1(Gi ∩ K) abelian, deci și GiK/Gi-1K abelian. Prin urmare șirul

1 = G0K/KG1K/KGnK/K = G/K

arată că G/K este rezolubil.

(ii) Prin ipoteză, există șirurile

1 = K0K1Km = K

și

1 = G0/KG1/K Gn/K = G/K

astfel încât pentru orice i = 1, 2, … , m și j = 1, 2, … , n, Ki/Ki-1 și Gj/Gj-1 (Gj/K)/(Gj-1/K) sunt abeliene. Este clar atunci că șirul

1 = K0K1Km = G0G1Gn = G

arată că G este rezolubil.

Cap.III: Grupuri abeliene finit generate

§1. Produse directe

(1.1) Fie G un grup, n un număr natural și H1, H2, … ,Hn subgrupuri ale lui G. Vom nota

.

(1.2) Lemă. Presupunem că pentru orice , , orice element din Hi este permutabil cu orice element din Hj. Atunci este subgrup al lui G. Demonstrație. Fie și , unde xi, yi Hi, i {1, 2, …, n}. Deoarece Hi sunt subgrupuri înseamnă că yi, i = 1, 2, …, n sunt inversabile și, cum Hi, i =1, 2, …, n sunt monoizi, vom avea

.

De asemenea, deoarece Hi, i = 1, 2, …, n sunt semigrupuri în care elementele xi, yi, i = 1, 2, …, n sunt permutabile și xiyi Hi, i = 1, 2, …, n vom avea:

.

Este clar atunci că este un subgrup în G.

(1.3) Propoziție. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) pentru orice i, j {1, 2, … , n}, , elementele lui Hi sunt permutabile cu elementele lui Hj și orice element x G se scrie în mod unic sub forma x = x1x2 … xn cu xi Hi, i {1, 2, … , n}.

(b) și, pentru orice j {1, 2, … , n}, Hj este normal în G iar .

Demonstrație. (a)(b). Deoarece orice element x G se scrie în mod unic sub forma x = x1x2 … xn cu xi Hi, i {1, 2, … , n}, este clar că și pentru orice j {1, 2, … , n}. Fie x = x1x2 … … xn și y = y1y2 … yn cu xi, yi Hi, i {1, 2, … ,n}. Din demonstrația lemei de mai sus avem:

.

În particular, dacă presupunem x Hi, adică xj = 1 pentru orice j = {1, 2, … , n}, , obținem

.

Prin urmare Hi este normal în G.

(b)(a).Fie i, j {1,2,…,n}, și xHi, yHj. Avem xyx-1 = x(yxy-1)-1Hi, deoarece Hi este normal în G și xyx-1y-1 = (xyx-1y)y-1 Hj, deoarece Hj este normal în G. Prin urmare,

;

rezultă , deci xy = yx. Astfel, orice element din Hi este permutabil cu orice element din Hj. Presupunem că x1x2 … xn = y1y2 … yn, unde xi, yi Hi, i {1, 2, … , n}. Avem:

și rezultă

,

Deci xj = yj pentru orice j {1, 2, … , n}.

(1.4) Dacă subgrupurile H1, H2, … , Hn ale lui G satisfac condițiile propoziției (1.3) spunem că G este produsul direct al subgrupurilor H1, H2, … , Hn și scriem

Dr sau .

(1.5) Fie H1, H2, … , Hn grupuri arbitrare. Vom construi un grup G așa încât G să fie produs direct de subgrupuri izomorfe cu H1, H2,…, Hn. Pentru aceasta vom lua

G = {(x1, x2, … , xn) | x1 H1, x2 H2, … , xn Hn}

și definim multiplicarea pe G prin:

(x1, x2, … , xn) (y1, y2, … , yn) = (x1y1, x2y2, … , xnyn).

Axiomele grupului se verifică imediat:

– legea de asociativitate este evidentă;

– elementul unitate în G este 1 = (1, 1, … , 1);

– inversul unui element oarecare x = (x1, x2, … , xn)G este .

Pentru fiecare i = 1, 2, … , n, aplicația : Hi G definită prin:

,

este în mod evident un omomorfism de grupuri injectiv. Prin urmare, conform propoziției (*) din §4,

Im

este un subgrup al lui G izomorf cu Hi. În plus, este ușor de verificat că subgrupurile ale lui G satisfac fie condiția (a), fie condiția (b) din propoziția (1.3). Spunem că grupul G astfel construit este produsul direct al grupurilor H1,H2,…,Hn și scriem .

(1.6) Fie A și B două inele. Considerând A și B ca grupuri aditive, putem forma produsul lor direct , operația binară a acestui grup fiind definită prin:

(a, b) + (a, b) = (a + a, b + b), a, a A, b, b B.

Putem defini și o multiplicare pe , luând

(a, b) (a, b) = (aa, bb)

și, în raport cu această multiplicare, este evident un inel. Dacă A și B sunt inele cu unitate și este inel cu unitate,elementul unitate în fiind 1=(1,1). Se observă ușor că pentru un element (a, b) avem (a, b) U() dacă și numai dacă a U(A) și b U(B). Produsul direct al inelelor A1, A2, …, An se definește analog.

(1.7) Fie o mulțime oarecare. Presupunând că H1, H2, …, Hn sunt -grupuri, produsul lor direct este de asemenea un -grup dacă definim:

,

x1 H1, x2 H2, …, xn Hn.

În particular, putem defini produsul direct de A-module la stânga, unde A este un inel cu unitate.

§2. Produse directe de grupuri ciclice

(2.1) Propoziție. Fie H și K două grupuri ciclice finite de ordin m, respectiv n. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) este grup ciclic;

(b) m și n sunt prime între ele.

Demonstrație. (a) (b). Deoarece | | = | H | ∙ | K | = mn, un generator (x, y) al lui va avea ordinul mn. Pentru orice multiplu comun k al lui m și n avem, conform lui (II; 4.4), xk = 1, yk = 1, deci (x, y)k = (xk, yk) = (1, 1) = 1; prin urmare mn = o(x, y)|k. În particular, mn | [m, n] – cel mai mic multiplu comun al lui m și n. Deoarece mn = [m, n] (m, n), conform lui II; 11.6, rezultă (m ,n) = 1.

(b)(a). Fie H = <x>, K = <y>. Considerăm omomorfismele : Z H, : Z K și :Z (conform lui II; 4.1). Pentru orice k Z avem:

.

În plus, deoarece o(x) = m și o(y) = n, avem Ker= mZ și Ker= nZ. De asemenea, avem:

k Ker

Ker Ker = mZ nZ =[m, n] Z = mnZ (deoarece (m, n)=1).

Prin urmare, o(x, y) = mn și = <(x, y)>.

(2.2) Propoziție. Fie H1, H2, …, Hn grupuri ciclice finite și | Hi | = mi, i = 1, 2, …, n. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) este grup ciclic;

(b) oricare două dintre numerele m1, m2, …, mn sunt prime între ele.

Demonstrație. (a)(b). Fie i, j {1, 2, …, n}, . Atunci grupul se poate scufunda în . Conform Propoziției (II; 11.4), rezultă că este grup ciclic, deci (mi, mj) = 1 în baza Propoziției (2.1).

(b)(a). Pentru n = 1 afirmația este evidentă. Presupunem n > 1 și, inductiv, că este grup ciclic. Atunci, conform Propoziției (2.1), rezultă că

este grup ciclic.

(2.3) Fie H un grup ciclic de ordin , unde p1, p2, …, ps sunt numere prime distincte două câte două și sunt numere întregi nenegative. Deoarece sunt prime între ele două câte două, propoziția (2.2) asigură că Dr este un grup ciclic. Rezultă

Zn Dr

sau, altfel spus, există elementele y1, y2, …, ys H astfel încât

G = Dr și o(yi) = p.

(2.4) Fie m și n două numere întregi pozitive. Considerăm proiecțiile canonice p: ZZm și q: ZZn și aplicația : ZZm Zn definită prin x Z. Deoarece p și q sunt omomorfisme de inele, este de asemenea un omo-morfism de inele și, în plus, Ker = [m, n]Z. Din demonstrația propoziției (2.1) rezultă că dacă m și n sunt prime între ele atunci induce un izomorfism (de inele)

: Zmn Zm Zn

astfel încât:

Z, mnZ Zmn.

În particular, în acest caz, rezultă un izomorfism de grupuri

U(Zmn) U(ZmZn) = U(Zm)U(Zn).

Mai general (conform (2.2)), dacă m1, m2, …, mn sunt numere întregi pozitive, prime între ele două câte două, atunci avem un izomorfism de inele

ZZZZ

și un izomorfism de grupuri

U(Z)U(Z)U(Z)U(Z).

În particular, considerând indicatorul lui Euler (definit în II; 8.5), rezultă:

.

§3. Structura grupurilor abeliene finit generate

(3.1) Vom demonstra că orice grup abelian finit generat este un produs direct (finit) de grupuri ciclice. Reciproca acestei afirmații este evidentă deoarece dacă G = Dr și Hi = <xi>, i = 1, 2, …, n, atunci {x1, x2, …, xn} este un sistem de generatori pentru G.

(3.2) Lemă. Fie G un grup abelian finit generat, {x1, x2, …, xn} un sistem de generatori a lui G și m1, m2, …, mn numere întregi nenegative astfel încât (m1, m2, …, mn) – cel mai mare divizor comun al lor să fie 1. Atunci, există un sistem de generatori y1, y2, …, yn al lui G astfel încât .

Demonstrație. Fie m = m1 + m2 + … +mn. Vom aplica inducția după m. Dacă m = 1 atunci, cum m1, …, mn sunt numere întregi nenegative, avem mi 0 pentru un singur i {1, 2, …, n}. Deoarece putem face abstracție de numerotarea elementelor y1, y2, …, yn, putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că m10. Atunci, m1 = 1 și m2 = … = mn = 0, iar afirmația lemei este evidentă. Acum, fie m > 1. Deoarece (m1, m2, …, mn) = 1, există cel puțin doi indici i, j {1, 2, …, n}, cu . Putem presupune că . Atunci, deoarece , {x1, x1x2, x3, …, xn} este un sistem de generatori pentru G. În plus, (m1 – m2, m2, …, mn) = 1 și (m1 – m2) + m2 + … +mn < m. Conform ipotezei de inducție, există un sistem de generatori {y1, y2, …, yn} al lui G astfel încât

.

(3.3) Teorema de structură a grupurilor abeliene finit generate. Fie G un grup abelian n-generat. Atunci, există elementele x1, x2, …, xn G astfel încât G = Dr.

Demonstrație. Dacă n = 1, G este ciclic și afirmația din enunț este evidentă. Prin urmare putem presupune n>1. Notăm cu mulțimea elementelor (x1, x2, …, xn) ale lui G astfel încât <x1, x2, …, xn> = G și o(x1) o(x2) … o(xn) (în aceste inegalități ∞ (conform (II; 4.2)) apare ca un „număr” mai mare ca orice număr întreg pozitiv). Deoarece orice sistem de generatori {x1, x2, …, xn} al lui G poate fi ordonat (evident, în mai multe moduri) astfel ca el să devină un element al lui , mulțimea este nevidă. Fie M1 cel mai mic „număr” (putem avea M1 = ∞) pentru care există un (x1, x2, …, xn) astfel încât o(x1) = M1. Cu M1 astfel definit, fie M2 cel mai mic „număr” pentru care există un (x1, x2, …, xn) astfel încât o(x1) = M1 și o(x2) = M2; M1 și M2 fiind astfel definite, notăm cu M3 cel mai mic „număr” pentru care există un (x1, x2, …, xn) astfel încât o(x1) = M1, o(x2) = M2 și o(x3) = M3 etc. Se obține astfel un șir de „numere” M1, M2, …, Mn având următoarele proprietăți:

– există (x1, x2, …, xn) astfel ca o(xi) = Mi, i {1, 2, …, n};

– pentru orice (y1, y2, …, yn) și orice j {1, 2, …, n} dacă o(yi) = Mi pentru orice i {1, 2, …, j – 1}, atunci Mi o(yi) pentru orice i {j, …, n}.

Vom demonstra că pentru un element (x1, x2, …, xn) așa încât o(xi) = Mi, i {1, 2, …, n}, avem G = Dr. Deoarece x1, x2, …, xn este un sisitem de generatori al lui G, avem G = . Rămâne să demonstrăm că orice element y G se scrie în mod unic sub forma y = y1y2 … yn cu yi <xi>, i = 1, 2, …, m. Presupunem, prin absurd, că acest lucru nu este adevărat. Atunci, există numerele întregi r1, r2, …, rn așa încât și există un i {1, 2, …, n} cu . Putem presupune că r1, r2, …, rn sunt numere nenegative. Într-adevăr, dacă pentru un i {1, 2, …, n} avem ri < 0, atunci înlocuim xi cu (putem face acest lucru deoarece o() = o(xi)) și întrucât = ), putem schimba pe ri cu –ri > 0.

Considerăm numerele întregi s1, s2, …, sn astfel încât pentru orice i{1,2,…,n} să avem 0 si < o(xi) și x = x. Putem construi numerele si astfel:

– dacă o(xi) < ∞ atunci, prin teorema împărțirii cu rest, există numerele întregi qi și si astfel încât

ri = qi o(xi) + si și 0 si < o(xi).

Atunci

– dacă o(xi) = ∞ luăm si = ri.

Deoarece prin ipoteză avem x pentru un i, rezultă si > 0 pentru un i. Fie j {1,…, n} cel mai mic număr natural astfel ca sj > 0. Atunci si = 0 pentru orice i {1, …, j – 1}. Fie d = (s1, s2, …, sn) și pentru fiecare i{1,2,…,n} notăm mi = si/d. Atunci, m1, m2, …, mn sunt numere întregi nenegative și (m1, m2, …, mn) = 1. Deoarece mi = 0 pentru i<j, avem (mj, mj+1, …, mn) = 1. Fie H = <xj, xj+1, …, xn> G.

Atunci, conform lemei, există un sistem de generatori {yj, yj+1, …, yn} al lui H astfel încât . Deci

=

(deoarece si = 0 pentru i < j) și prin urmare = 1 (prin definiția numerelor s1, s2,…, sn). Rezultă în mod evident că

G = <x1, …, xj-1, yj, yj+1, …, yn>

și o(yi) d sj < o(xj). Aceasta însă contrazice alegerea lui (x1, x2, …, xn). Prin urmare, avem că G = Dr .

§4. Partea de torsiune a unui grup abelian;

grupuri abeliene libere de rang finit

(4.1) Fie G un grup abelian finit generat. Conform teoremei de structură (3.3), G este un produs direct de grupuri ciclice:

(1) G = .

În general o descompunere a lui G ca produs direct de grupuri ciclice nu este unică deoarece,de exemplu:

Z30 Z6 Z5 Z10 Z3 (conform 2.1).

Putem totuși să formulăm o teoremă de unicitate pentru un anumit tip de descompunere a lui G ca produs direct de grupuri ciclice; numărul și ordinele acestor grupuri ciclice vor defini în mod evident un sistem de numere întregi care determină complet tipul grupului G.

(4.2) Putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că în descompunerea (4.1; 1) a lui G, r elemente (0 r n), și anume x1, x2, …, xr sunt de ordin infinit și celelalte n – r sunt de ordin finit. Notăm

LG =

și

T(G) = .

Atunci avem:

(1) G = LG T(G),

unde LG este un produs direct de r grupuri ciclice infinite și T(G) este un produs direct de grupuri ciclice finite, deci un grup abelian finit.

Deoarece într-un grup ciclic infinit orice element netrivial este de ordin infinit, este clar că această proprietate ramâne adevărată și pentru un produs direct de r grupuri ciclice infinite. Pe de altă parte, deoarece T(G) este un grup finit, orice element din T(G) este de ordin finit. Reciproc, să presupunem că un element x G este de ordin finit. Avem x = yz cu y LG și z T(G). Luăm n = o(x) și avem 1 = xn = (yz)n = ynzn , yn LG și zn T(G). Ținând seama de (1) rezultă 1 = yn = zn. Dacă atunci o(y) = ∞ și . Prin urmare, y = 1 și x = z T(G). Am demonstrat astfel că

(2) T(G) = {x G | o(x) < ∞}.

În plus (conform lui (II; 10.3)), avem G/T(G) LG. Rezultă că grupurile T(G) și LG sunt unic determinate (până la un izomorfism) de grupul G; mai precis, două grupuri abeliene finit generate G și G sunt izomorfe dacă și numai dacă T(G) T(G) și LG LG .

(4.3) Să presupunem că G este un grup abelian oarecare. Atunci T(G), definit ca în (4.2, 2), este un subgrup al lui G. Într-adevăr, dacă x, y T(G) și o(x) = m, o(y) = n, atunci

(xy)mn = xmnymn = (xm)n (yn)m = 1n1m = 1,

deci xy este un element de ordin finit, adică xy T(G). De asemenea, (x-1)m = (xm)-1= = 1-1 = 1, deci x-1 T(G). Numim T(G) subgrupul de torsiune al lui G.

Remarcăm că, în general, dacă G nu este abelian, atunci T(G) nu este neaparat un subgrup al lui G.

(4.4) Un produs direct de r grupuri ciclice infinite se numește grup abelian liber de rang r.

Conform lui (4.2) problema unicității pentru un grup abelian finit generat G se reduce la

studiul separat a două cazuri:

– cazul când G este un grup abelian liber de rang finit (adică T(G) = 1);

– cazul când G este un grup abelian finit (adică T(G) = G).

Rezolvarea problemei unicității pentru grupuri abeliene libere de rang finit:

Fie G un grup abelian și m un număr natural; notăm

G(m) = {xm | x G}.

Evident, G(m) este un subgrup al lui G.

(4.5) Propoziție. Presupunem că G este un grup abelian finit generat și considerăm descompunerea (4.1, 1). În aceste condiții sunt adevărate următoarele afirmații:

(i) G(m) = ;

(ii) dacă G este liber de rang r atunci | G : G(m) | = mr.

Demonstrație. Orice element x G se scrie sub forma:

cu k1, k2, …, kn Z;

atunci

.

Prin urmare . În plus, pentru orice i=1,2,…,n avem . Rezultă că sunt satisfăcute condițiile (1.3, b) pentru Hi = . Deci . De asemenea rezultă că sunt satisfăcute conditiile (1.3, b) și pentru G/G(m) și Hi = , deci

Dr

În condițiile lui (ii) putem presupune n = r și că <x1>, <x2>, …, <xr> sunt infinite. Atunci, conform Propoziției (II; 11.4), avem , deci

.

(4.6) Propoziție. Fie G și G grupuri abeliene libere, G de rang r și G de rang r. Atunci G și G sunt izomorfe dacă și numai dacă r = r.

Demonstrație. Conform lui (4.5, ii) avem și . Dacă atunci, și , deci 2r = 2r, adică r = r. Reciproc, dacă r = r avem

,

unde fiecare Hi, i = 1, …, r, este un grup ciclic infinit (deci Hi Z).

§5. p-grupuri abeliene

(5.1) Fie G un grup abelian finit. Considerăm o descompunere a lui G ca produs direct de grupuri ciclice.

(1) G = Dr .

Elementele x1, x2, .., xr sunt de ordin finit. Notăm ni = o(xi) și avem | G | = n1n2 … nr. Pentru fiecare divizor prim p al lui | G | va exista un i = 1, 2, …, r astfel încât p|ni. Fie P = {p1, p2, …, ps} mulțimea tuturor divizorilor primi ai lui | G |. Rezultă, din cele de mai sus, că fiecare ni este de forma:

,

Unde sunt numere întregi pozitive. Conform lui (2.3) avem

<xi> = ,

unde . Atunci egalitatea (1) devine:

adică

(2) ,

unde pentru fiecare k = 1, 2, …, s am notat

Dr .

Avem

,

unde . Deci, pentru orice p P, | Gp | este o putere a lui p. Conform Propoziției (II; 4.4), ordinul unui element oarecare x Gp este o putere a lui p; în plus, dacă avem pentru orice număr prim și orice t Z. Fie x G și x = x1x2 … xs, unde xk , k = 1, 2, …, s. Presupunem că p P și o(x) = pn, unde n este un număr întreg nenegativ. Avem:

,

deci, datorită lui (2), . Rezultă xk = 1, pentru orice k = 1, 2, …, s cu , adică x Gp. Am demonstrat astfel că

Gp = {x G | o(x) este o putere a lui p}.

Așadar, subgrupurile Gp, p P, ale lui G sunt unic determinate (nu depind de descompunerea (1) a lui G). Mai mult, două grupuri abeliene finite G și G sunt izomorfe dacă și numai dacă | G | = | G | și Gp pentru orice divizor prim p al lui | G |.

(5.2) Fie G un grup finit și p un număr prim. Spunem că G este un p-grup dacă |G| este o putere a lui p. Revenim la cazul când G este abelian. Atunci subgrupul Gp al lui G definit în (5.1) este un p-grup și egalitățile (2) și (3) din (5.1) arată că problema unicității pentru un grup abelian finit se reduce la cazul când G este un p-grup.

(5.3) Fie G un grup abelian și m un număr natural oarecare. Notăm

G(m) = {x G | xm = 1}.

Evident, G(m) este un subgrup al lui G.

Fie m și n două numere naturale prime între ele astfel încât mn = | G |. Fie P mulțimea divizorilor primi ai lui m și P mulțimea tuturor divizorilor primi ai lui n.

Mulțimea P = {p1, p2, …, ps} a tuturor divizorilor primi ai lui G este egală cu PP și în plus PP = . Atunci din (2) rezultă că

.

În plus, dacă pentru fiecare pP avem , atunci și | | = m, | | = n.

Fie p P și x Gp. Evident, o(x) este o putere a lui p și divide mn; rezultă o(x) divide m, deci xG(m). Prin urmare . Reciproc, fie xG(m), x = x1x2 … xs cu xi, i{1, 2, …, s}. Avem , deci ; rezultă o(xi)|m, adică xi = 1 sau pi P pentru orice i {1, 2, …, s}. Prin urmare . Avem deci și analog . Relația (1) devine atunci:

.

Mai mult, raționamentul de mai sus arată că G(m) este unicul subgrup de ordin m al lui G (și analog G(n) este unicul subgrup de ordin n al lui G).

(5.4) Propoziție. Fie p un număr prim și G, H două p-grupuri abeliene. Considerăm descompunerile

Dr și H = Dr ,

unde pentru fiecare i = 1, 2, …, r și j = 1, 2, …, s avem o(xi) = , o(yi) = , și . Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) ;

(b) r = s și mi = ni pentru orice i = 1, 2, …, r.

Demonstrație. (a)(b). Vom aplica inducția după | G | = | H |. Dacă | G | = p este clar că r = s = 1 și m1 = n1 = 1. În general, conform propoziției (4.5), avem

(1) Dr

și deci

Dr .

Conform propoziției (II; 11.4) avem pentru orice i = 1, 2, …, r, deci ; în plus, rezultă și

(2) o.

Din (1) si (2) rezultă

G(p) = Dr ,

unde luăm 0 k r astfel încât . În mod analog avem și

H(p) = Dr ,

unde . Din rezultă și . Prin urmare pr = ps, deci r = s și, analog, k = u. Deoarece | G(p) | = | H(p) | < < | G |, prin ipoteza de inducție rezultă mi = ni pentru orice i = 1, 2, …, k.

(b)(a). Pentru orice i = 1, 2, …, r avem

<xi> Z<yi>,

deci, .

§6. Determinarea tuturor tipurilor de grupuri

abeliene finit generate

(6.1) Teorema de unicitate pentru grupuri abeliene finit generate. Orice grup abelian finit generat G determină un sistem de numere întregi

astfel încât:(1) r și s sunt nenegative;

(2) p1, p2, …, ps sunt prime distincte;

(3) t1, t2, .., ts sunt pozitive;

(4) pentru orice i = 1, 2, …, s, ;

(5) , unde L este un grup abelian liber de rang r și pentru fiecare i = 1, 2, …, s, Hi este produs direct de ti grupuri ciclice de ordine , j = 1, 2, …, ti.

În plus, două grupuri abeliene finit generate sunt izomorfe dacă și numai dacă ele determină același sistem de numere întregi.

Demonstrația teoremei rezultă în mod evident din (4.2), (4.6), (5.2) și (5.4).

(6.2) Fie n un număr întreg pozitiv. O partiție a lui n este un sistem ordonat (m1, m2, …, mn) de n numere întregi nenegative astfel încât și m1 + m2 + … + mn = n.

Există un mod prescurtat de a scrie partițiile unui număr întreg pozitiv n. Fie (m1, m2, …, mn) o partiție a lui n. Mai intâi, se omit zerourile, deci, dacă și mk+1 = … = mn = 0, atunci vom scrie (m1, m2, …, mk) în loc de (m1, m2, …, mn). Apoi dacă s dintre numerele m1, m2, …, mk coincid cu un număr dat m, vom nota cu ms sistemul acestor numere, adică . Notăm cu kn numărul partițiilor lui n. Funcția n kn este una dintre cele mai complicate funcții ale aritmeticii, comparabilă, din acest punct de vedere, cu funcția n = numărul numerelor prime mai mici ca n.

În tabelul de mai jos vom descrie, pentru n 6, toate partițiile distincte ale lui n și vom indica numărul lor kn:

n = 1 ; (1) ; k1 = 1.

n = 2 ; (2), (1) ; k2 = 2.

n = 3 ; (3), (2,1), (13) ; k3 = 3.

n = 4 ; (4), (3,1), (22), (2,12), (14) ; k4 = 5.

n = 5 ; (5), (4,1), (3,2), (3,12), (22,1), (2,13), (15) ; k5 = 7.

n = 6 ; (6), (5,1), (4,2), (4,12), (32),(3,2,1),(3,13),(23),(22,12),(2,14), (16); k6=11.

(6.3) Fie p un număr prim și n un număr întreg pozitiv. (6.1) ca și (5.3) arată că numărul tipurilor de grupuri abeliene de ordin pn coincide cu kn = numărul partițiilor lui n. Astfel, de exemplu, există cinci tipuri de grupuri abeliene de ordin 16 = 24:

Z16 – corespunzător partiției (4);

Z8Z2 – corespunzător partiției (3, 1);

Z4Z4 – corespunzător partiției (22);

Z4Z2Z2 – corespunzător partiției (2, 12);

Z2Z2Z2Z2 – corespunzător partiției (14).

(6.4) În general, fie n un număr întreg pozitiv și descompu-nerea lui n ca produs de numere prime (deci p1, p2, .., ps sunt prime distincte și n1, n2, …, ns sunt numere întregi pozitive). Din (6.1) reiese că numărul tipurilor de grupuri abeliene de ordin n este . Astfel, de exemplu, există nouă tipuri de grupuri abeliene de ordin 216 = 23 ∙ 33 :

Z8Z27;

Z4Z2Z27;

Z2Z2Z2Z27;

Z8Z9Z3;

Z4Z2Z9Z3;

Z2Z2Z2Z9Z3;

Z8Z3Z3Z3;

Z4Z2Z3Z3Z3;

Z2Z2Z2Z3Z3 Z3.

§7. Grupul automorfismelor unui grup ciclic

(7.1) Fie G un grup abelian. Un omomorfism f : G G se numește endomorfism al lui G. Notăm cu End (G) mulțimea tuturor endomorfismelor lui G. Pentru f, g End (G) aplicația f + g : G G definită prin

(f + g) (x) = f(x) g(x), x G,

este de asemenea un endomorfism. Într-adevăr, pentru x, y G avem:

(f + g) (xy) = f(xy) g(xy) = f(x) f(y) g(x) g(y) =

=f(x) g(x) f(y) g(y) (deoarece G este abelian) = (f + g) (x) (f + g) (y).

În plus, compunerea fg : G G este evident un endomorfism al lui G.

Mulțimea End (G) împreună cu operațiile binare (f, g) f + g și (f, g) fg este un inel cu unitate (în același mod se poate vorbi de inelul endomorfismelor unui modul, un endomorfism al unui modul M fiind un omomorfism de la M la el însuși).

Remarcăm că elementul nul al inelului End (G) este endomorfismul 0 definit prin o(x) = 1 pentru orice x G, iar elementul unitate este aplicația identică a lui G.

Remarcăm de asemenea că grupul Aut (G) al automorfismelor lui G este exact grupul unitaților inelului End (G).

(7.2) Pentru fiecare număr întreg k aplicația : G G, definită prin , a G, este un endomorfism al lui G. În plus, folosind legile puterii în notație aditivă adică se deduce că aplicația : Z End (G), , k Z , este un omomorfism de inele.

Presupunem că G este un grup ciclic, x este un generator al lui G și n = o(x). În această situație pentru orice f End (G), f(x) trebuie să fie de forma xk, k Z și deci, pentru orice i Z,

,

Deci . Prin urmare, aplicația este surjectivă. Pentru a determină Ker , observăm că pentru un k Z avem k Ker dacă și numai dacă , adică xk = 1, deci n|k (conform lui (II; 4.4)). Prin urmare Ker = nZ. Conform teoremei fundamentale de izomorfism (II; 9.10), există un izomorfism

: Zn End (G)

astfel încât nZ Zn.

Cum este un izomorfism de inele el induce un izomorfism de grupuri

: U(Zn) Aut (G).

În concluzie, Aut (G) este un grup abelian finit. Dacă G este infinit avem n = o(x) = 0, Zn = Z și Aut (G) U(Zn) = {–1, 1} Z2; în acest caz, elementele lui Aut (G) sunt si , unde ( este aplicația identică a lui G) și . Dacă G este finit avem n > 0, | Aut (G) | = – indicatorul Euler al lui n și elementele lui Aut (G) sunt de forma , unde k Z și (k, n) = 1.

(7.3) Descrierea tipului grupului Aut (G) în cazul când G este grup ciclic finit.

Fie n = |G| și , descompunerea în factori primi ai lui n. Conform lui (7.2) și (2.4) avem:

Aut (G) U(Z)U(Z)U(Z) Aut ()Aut ()Aut (),

unde pentru fiecare divizor prim al lui n, Gp = {x G | o(x) este o putere a lui p} este un p-grup ciclic. Problema formulată se reduce astfel la descrierea grupului automorfismelor unui p-grup ciclic.

(7.4) Propoziție. (i). Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al unui corp K este ciclic.

(ii). Grupul Aut (G) al unui grup ciclic G de ordin p (p număr prim) este ciclic.

Demonstrație. (i). Fie G K*, G finit, m un divizor al lui G și H un subgrup de ordin m al lui G. Presupunem cunoscut faptul că {x K | xm = 1} are cel mult m elemente (în general, un polinom de grad m cu coeficienți într-un corp K are cel mult m rădăcini în K). În particular, rezultă | G(m) | m și cum H G(m) și | H | = m, obținem | H | = G(m). Astfel, G are cel mult un subgrup de ordin m. Deci G este ciclic conform lui (II; 11.5).

(ii). Conform lui (7.2) avem Aut (G) U(Zp) = Z– grupul multiplicativ al corpului Zp. Deci conform lui (i) Aut (G) este ciclic.

(7.5) Propoziție. Fie p un număr prim, e un număr întreg ≥ 2 și G un grup ciclic de ordin pe. Au loc următoarele afirmații:

(i) | Aut (G) | = pe-1(p – 1);

(ii) dacă p > 2 sau p = 2 = e atunci Aut (G) este un grup ciclic;

(iii) dacă p = 2 și e > 2 atunci Aut (G) Z2Z.

Demonstrație. Numerele întregi care nu sunt prime cu p sunt multipli lui p. Prin urmare, numerele întregi pozitive prime cu pe și mai mici ca pe se obțin din șirul 1, 2, 3, …, pe ștergând multiplii p, 2p, …, pe-1p ai lui p. Rezultă

| Aut (G) | = .

Deoarece pe-1 și p – 1 sunt prime între ele conform lui (5.3) avem:

(1) Aut (G) = ,

unde H este unicul subgrup de ordin pe-1, iar K unicul subgrup de ordin p – 1 al lui Aut (G). Vom arata că Aut (G) are un subgrup ciclic de ordin p – 1 și va rezulta că grupul K este ciclic. Pentru aceasta fie L = <xp> G și . Conform lui (II; 11.4), și , iar, conform lui (7.4, ii), Aut () este un grup ciclic de ordin p – 1. Notând cu aplicația canonică Z End () descrisă în (7.2), deducem că există un întreg k, , astfel încât sa fie automorfism al lui G de ordin p – 1. Deoarece (k, pe) = 1, Aut (G) și avem .Dacă n=o() atunci și rezultă , deci . Prin urmare p – 1 = o() este un divizor al lui n. Conform (II; 11.4) subgrupul <> al lui Aut (G), deci și Aut (G) însuși, conține un subgrup ciclic de ordin p – 1.

Cum (1 + p, pe) = 1 avem Aut (G). Avem și pentru orice număr natural n:

(2) (mod pe).

Calculând , cu binomul lui Newton, obținem:

.

Se observă că se divide cu pk-j+1 pentru orice j = 1, 2, …, pk, deci

se divide cu pk+1. Prin urmare avem

(3) (mod pk+1).

De asemenea, dacă p > 2, se divide cu pk-j+2 pentru orice

j = 2, …, pk, deci se divide cu pk+2. Rezultă:

(4) (mod pk+2) (mod pk+2).

În particular (3) arată că (mod pe), deci, conform lui (1), o() divide pe-1. Relația (4) arată că (mod pe) și prin urmare o() = pe-1. Deducem că dacă p > 2, subgrupul H de ordin pe-1 al lui Aut (G) este ciclic. Conform lui (2.1) rezultă că și Aut (G) este ciclic.

Presupunem că p = 2. Atunci K = 1 și H = Aut (G). Dacă e = 2, atunci | Aut (G) | = 2 și automorfismul definit mai sus: este singurul automorfism netrivial al lui Aut (G). Considerăm e > 2. Atunci există un automor-fism al lui G cu și acesta este evident de ordin 2. Notând B = <> avem B Z2. Luăm Aut (G), deci și notăm C = <>. Deoarece pentru k ≥ 1 avem

și se divide cu , deci cu 2k+2 pentru j ≥ 1 și cu 2k+3 pentru j ≥ 2, rezultă (mod 2k+2) și (mod 2k+3) (mod 2k+3). În particular, avem (mod 2e), ceea ce arată că o() = 2e-2. Prin urmare CZ. Grupul ciclic C de ordin 2e-2 conține un unic subgrup de ordin 2, deci un unic automorfism de ordin 2, anume . Dacă presupunem prin absurd că , rezultă , deci , sau (mod 2e). Dar (mod 2e) și (mod 2e)

implică , deci 2 = 2e-1, e = 1, ceea ce nu este cazul. Rezultă B C = 1, deci BC = B C = Aut (G).

bibliografie

1. Ion D. Ion, Radu N. – Algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981.

2. Dorin Popescu, Constantin Vraciu – Elemente de teoria grupurilor finite, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1986.

3. C. Niță, C. Năstăsescu, C. Vraciu – Bazele algebrei, EAR, 1987.

4. M. Becheanu – Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

5. T. Spircu – Structuri algebrice prin probleme, Ed. Științifică, București, 1991.

6. Iordănescu R. – Introducere în teoria reprezentărilor grupurilor finite, Ed. Increst, București, 1978.