Grupuri de transform ˘ari s ¸i ecuat ¸ii cu derivate part ¸iale Publicat ¸iile DAL Craiova Fis ¸ier prelucrat ˆın data de [December 7, 2016 ] Pentru… [624987]

Octavian G. Mustafa
Heat Lie
Grupuri de transform ˘ari s ¸i ecuat ¸ii cu derivate
part ¸iale
Publicat ¸iile DAL
Craiova
Fis ¸ier prelucrat ˆın data de [December 7, 2016 ]

Pentru Andrei-Lucian s ¸i Doriana.
ˆIn memoria lui Valerian s ¸i a Lidiei As ¸tefanei,
bunicii mei.

Avertisment
Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. ˆIn consecint ¸ ˘a, cont ¸inutul s ˘au trebuie
considerat “ca atare.”
Autorul v ˘a as ¸teapt ˘a comentariile la adresa lui de e-mail1s ¸i v˘a mult ¸umes ¸te anti-
cipat pentru efortul depus.
Fiecare proiect de la Publicat ¸iile DAL trebuie considerat “s ¸antier” dac ˘a nu este
declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.
Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.
[anonimizat]
vii

Prefat ¸ ˘a
ˆIn aceast ˘a lucrare prezent ˘am elemente de teorie local ˘a a grupurilor Lie de trans-
form ˘ari, evit ˆand, pe c ˆat posibil, aparatul geometriei diferent ¸iale. Rezultate le sunt
aplicate la analiza ecuat ¸iei adimensionale a c ˘aldurii.
ˆIn primul capitol sunt discutate forma canonic ˘a a grupurilor uniparametrice de
transform ˘ari punctuale, seria Lie s ¸i not ¸iunea de generator al unui g rup de trans-
form ˘ari.
Al doilea capitol descrie extinderile grupurilor ˆın cazurile unui dublet de variabile
(una independent ˘a s ¸i una dependent ˘a), respectiv al unui set de m+1 variabile ( m
independente s ¸i una dependent ˘a).
ˆIn ultimul capitol este introdus ˘a algebra Lie asociat ˘a ecuat ¸iei c ˘aldurii.
Craiova,[December 7, 2016] O.G.M.
ix

Cuprins
1 Grupuri de transform ˘ari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Prima teorem ˘a a lui Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Seria lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Schimb ˘ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Forma canonic ˘a a grupurilor Lie uniparametrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Pe orbit ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Transform ˘ari Lie-B ¨acklund. Observat ¸ia lui
Boyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Algebra Lie pentru ecuat ¸ia c ˘aldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Simetriile punctuale ale ecuat ¸iei c ˘aldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Calculul algebrei Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Referint ¸e Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi

Lista de Figuri
1.1 Rectificarea (local ˘a) a curent ¸ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Trecerea la coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Simetria la rotat ¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 O orbit ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Planul Praportat la reperul Oxyy′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Simetria fat ¸ ˘a de axa Ox. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
xiii

Capitolul 1
Grupuri de transform ˘ari
1.1 Prima teorem ˘a a lui Lie
FieD⊆Rn, unde n≥1, o mult ¸ime deschis ˘a, simplu conex ˘a s ¸iE⊆Run interval
deschis astfel ˆıncˆat 0∈Es ¸i(E,⋆)constituie un grup (local) av ˆandu-l pe 0 ca element
neutru. ˆIn plus, funct ¸iile Φ:E×E→Rs ¸iι:E→Rdate de formulele
Φ(ε,δ)=ε⋆δ,ι(ε)=ε−1,ε,δ∈E,
sunt analitice12, cf. [7, p. 16].
Consider ˘am o familie (− →X(·,ε))ε∈Ede funct ¸ii netede, unde− →X(·,ε):D→D,
avˆand urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i:
(i)− →X(·,0)=idD— identitatea lui D—;
(ii) pentru orice ε∈E, funct ¸ia− →X(·,ε):D→Deste bijectiv ˘a;
(iii) pentru orice ε,δ∈E, are loc identitatea
− →X(·,ε⋆δ)=− →X(·,δ)◦− →X(·,ε). (1.1)
Cu alte cuvinte,
− →X(− →x,ε⋆δ)=− →X(− →X(− →x,ε),δ),− →x∈D.
Prin netezime ˆınt ¸elegem c ˘a funct ¸iile din aceast ˘a familie sunt de clas ˘aC∞ˆın raport
cu ambele variabile s ¸i analitice ˆın raport cu ε.
1Cu aceste propriet ˘at ¸i, mult ¸imea Econstituie un grup Lie local . Prin local ˆınt ¸elegem c ˘a testarea
propriet ˘at ¸ilor operat ¸iei grupale se face numai atunci c ˆand rezultatul operat ¸iilor exist ˘a: dac ˘a, fiind
dateε,δ,η∈E, avem(ε⋆δ)⋆η,ε⋆(δ⋆η)∈E, atunci se verific ˘a asociativitatea (ε⋆δ)⋆η=
ε⋆(δ⋆η), cf. [10, p. 19].
2Din demonstrat ¸ia de la pagina 3 rezult ˘a c˘a netezimea funct ¸iei Φimplic ˘a,ˆın jurul lui 0, netezimea
funct ¸ieiι.
1

2 1 Grupuri de transform ˘ari
Familia(− →X(·,ε))ε∈Ese numes ¸te grup Lie (local, uniparametric) de transform ˘ari.
Vezi [4, p. 88], [10, p. 20, Definition 1.25]. Aplicat ¸iile− →X(·,ε)se mai numesc s ¸i
transform ˘ari punctuale , cf. [12, p. 5], ale domeniului D.
Lema 1 (cf. [4, p. 37]) Fiind date ε,δ∈E, avem identitatea
− →X(·,δ)=− →X(·,ε−1⋆δ)◦− →X(·,ε).
Demonstrat ¸ie. Cum Eeste grup, avem δ=ε⋆(ε−1⋆δ). Concluzia rezult ˘a din
(1.1) ˆınlocuind m ˘arimileε,δcuε,ε−1⋆δ./square
Deoarece aplicat ¸ia− →Xeste analitic ˘aˆın raport cu ε, putem scrie c ˘a
− →X(− →x,ε) =− →X(− →x,0)+ε·∂− →X
∂ε(− →x,0)+ε2
2·∂2− →X
∂ε2(− →x,0)+···
=− →x+ε·− →ξ(− →x)+O(ε2)cˆandε→0. (1.2)
Funct ¸ia− →ξ:D→Rneste de clas ˘aC∞.
De asemeni, aplicat ¸ia Φfiind analitic ˘aˆın raport cu cea de-a doua variabil ˘a, putem
scrie c ˘a — reamintim c ˘a 0 este element neutru —
ε−1⋆δ=Φ(ε−1,δ)
=Φ(ε−1,ε)+(δ−ε)·∂Φ
∂δ(ε−1,ε)+(δ−ε)2
2·∂2Φ
∂δ2(ε−1,ε)+···
= (δ−ε)·∂Φ
∂δ(ε−1,ε)+O((δ−ε)2)cˆandδ−ε→0. (1.3)
ˆIn particular, (ε−1⋆δ)2=O((δ−ε)2)cˆandδ→ε.
Fie acum− →x∈Ds ¸iδ,ε∈Efixat ¸i. Pe baza lemei 1 s ¸i a formulelor (1.2), (1.3),
avem estim ˘arile
− →X(− →x,δ)
=− →X(− →X(− →x,ε),ε−1⋆δ)
=− →X(− →X(− →x,ε),0)+(ε−1⋆δ)·∂− →X
∂ε(− →X(− →x,ε),0)+O((ε−1⋆δ)2)
=− →X(− →x,ε)+(ε−1⋆δ)·∂− →X
∂ε(− →X(− →x,ε),0)+O((δ−ε)2)
=− →X(− →x,ε)+(δ−ε)∂Φ
∂δ(ε−1,ε)·∂− →X
∂ε(− →X(− →x,ε),0)+O((δ−ε)2),
de unde — cer ˆand caδ→ε—
∂
∂ε[− →X(− →x,ε)] =∂Φ
∂δ(ε−1,ε)·∂− →X
∂ε(− →X(− →x,ε),0)
=Γ(ε)·− →ξ(− →X(− →x,ε)). (1.4)

1.1 Prima teorem ˘a a lui Lie 3
Luˆandε=0ˆın (1.3) — observ ˘am c ˘a 0−1=0ˆınE—, deducem c ˘a
∂Φ
∂δ(0,0)=1.
Dat˘a fiind netezimea aplicat ¸iei Φ, exist ˘a intervalul I⊂Epentru care
0∈I s ¸i∂Φ
∂δ(ε,δ)>0 cˆandε,δ∈I.
Teorema funct ¸iilor implicite implic ˘a existent ¸a intervalelor deschise V,W⊂I, cu
0∈V∩W, s ¸i a biject ¸iei h:V→Wde clas ˘aC∞astfel ˆıncˆat — vezi nota de subsol 2
de la pagina 1 —
Φ(h(ε),ε)=0,(adic˘a,h(ε)=ε−1)ε∈V.
Astfel, funct ¸ia Γ:V→(0,+∞)din (1.4) este de clas ˘aC∞.
Mics ¸or ˆand eventual intervalul V, introducem aplicat ¸ia bijectiv ˘aτ:V→V⋆⊂E
dat˘a de formula — 0 ∈V⋆—
τ(ε)=/integraldisplayε
0Γ(α)dα,ε∈V.
Inversa acestei funct ¸ii este solut ¸ia ε:V⋆→Va problemei Cauchy
/braceleftbiggdε
dτ=[Γ(ε)]−1
ε(0)=0.
Atunci, via (1.4), deducem c ˘a
d
dτ[− →X(− →x,ε(τ))] =∂
∂ε[− →X(− →x,ε(τ))]·dε
dτ(τ)
=− →ξ(− →X(− →x,ε(τ))),τ∈V⋆. (1.5)
As ¸adar, funct ¸ia− →X(− →x,·)verific ˘a problema Cauchy
/braceleftbiggd
dε[− →X(− →x,ε)]=Γ(ε)− →ξ(− →X(− →x,ε))− →X(− →x,0)=− →x(1.6)
ˆın vecin ˘atatea Va lui 0 iar aplicat ¸ia− →Y(− →x,·)dat˘a de formula
− →Y(− →x,τ)=− →X(− →x,ε(τ)),τ∈V⋆,
verific ˘a problema Cauchy
/braceleftbiggd
dτ[− →Y(− →x,τ)]=− →ξ(− →Y(− →x,τ))− →Y(− →x,0)=− →x(1.7)

4 1 Grupuri de transform ˘ari
ˆın vecin ˘atatea V⋆a lui 0. Funct ¸ia− →ξfiind de clas ˘aC∞, facem observat ¸ia c ˘a solut ¸ia
problemei (1.7) are urm ˘atoarea proprietate specific ˘a ecuat ¸iilor autonome
− →Y(− →x,τ1+τ2)=− →Y(− →Y(− →x,τ1),τ2). (1.8)
ˆIn concluzie, subfamilia (− →X(·,ε))ε∈Veste reconstruit ˘a cu ajutorul funct ¸iei− →ξ.
Reorganizarea sa ca (− →Y(·,τ))τ∈V⋆ˆınseamn ˘a, via (1.8), ˆınlocuirea legii grupale ne-
cunoscute Φcu adunarea uzual ˘a a numerelor reale3, cf. [4, p. 38], [5, p. 41].
Relat ¸iile (1.7) constituie prima teorem ˘a a lui Sophus Lie . Vezi [5, p. 39, Theorem
2.3.1-1], [10, pg. 67, 68].
1.2 Seria lui Lie
V om utiliza problema (1.7) pentru a obt ¸ine o reprezentare computabil ˘aa familiei
(− →Y(·,τ))τ∈V⋆.
ˆIn acest scop, fie− →x=(xi)i∈1,nun punct din Rns ¸iai:B⊂Rn→Rfunct ¸ii netede
definite pe bila deschis ˘aB, centrat ˘aˆın− →x. Cantitatea
− →X− →x=n
∑
i=1ai(− →x)·∂
∂xi∈T− →xRn
se numes ¸te vector legat ˆın− →xs ¸i se calculeaz ˘a cu formula
− →X− →x(f)=n
∑
i=1ai(− →x)·∂
∂xi[f(− →x)]
pentru toate funct ¸iile netede f:U⊂Rn→Rdefinite pe vecin ˘atatea deschis ˘aUa
punctului− →x. Notat ¸ia va fi utilizat ˘a s ¸iˆın calculul cu funct ¸ii vectoriale, mai precis
− →X− →x(− →f) =/parenleftigg
n
∑
i=1ai(− →x)·∂
∂xi[fj(− →x)]/parenrightigg
j∈1,m
=n
∑
i=1ai(− →x)·∂
∂xi[− →f(− →x)],
unde− →f:U→Rmeste neted ˘a s ¸i− →f=(fj)j∈1,m,m≥1.ˆIn particular,
− →X− →x(idRn)=( ai(− →x))i∈1,n. (1.9)
S˘a consider ˘am problema Cauchy
3Atent ¸ie,(E,+)va fi un grup Lie local. Altfel, am avea E=R. Vezi, de exemplu, [10, Example
1.23, p. 20].

1.2 Seria lui Lie 5
/braceleftigg
d− →X
dε=− →ξ(− →X)− →X(0)=− →x,(1.10)
unde− →ξ:D→Rneste presupus ˘a analitic ˘a.
Solut ¸ia− →Xa problemei (1.10) fiind analitic ˘a, putem scrie c ˘a
− →X(ε)=− →x++∞
∑
k=1εk
k!·dk− →X
dεk/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0,ε∈V. (1.11)
Pentru a calcula derivatele din partea dreapt ˘a a dezvolt ˘arii (1.11), vom introduce
o familie de vectori legat ¸i. Astfel, avem estim ˘arile
d2− →X
dε2(ε) =d
dε[− →ξ(X1(ε),…, Xn(ε))]
=n
∑
i=1∂− →ξ
∂Xi(ε)(− →X(ε))·d
dε[Xi(ε)]
=n
∑
i=1ξi(− →X(ε))·∂− →ξ
∂Xi(ε)(− →X(ε))
=− →X− →X(ε)(− →ξ), unde ai=ξi,i∈1,n. (1.12)
Lema 2 Aplicat ¸ia V ∋ε/ma√sto−→− →X− →X(ε)∈/unionsqtext
− →x∈RnT− →xRn—fibratul tangent al lui Rn,
vezi [8, p. 81] — este continu ˘aˆın sensul c ˘a
lim
ε→0− →X− →X(ε)(f)=− →X− →x(f), f∈C∞(D,R). (1.13)
Demonstrat ¸ie. Dat˘a fiind continuitatea funct ¸iei− →ξ, este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘a
∂
∂xi[f(− →x)]= lim
ε→0∂
∂Xi(ε)[f(− →X(ε))]. (1.14)
Aceast ˘a identitate este, practic, evident ˘a.ˆIntr-adev ˘ar, dac ˘a not ˘am cu∂if, unde i∈
1,n, derivata funct ¸iei fˆın raport cu cea de-a i–a variabil ˘a, atunci∂
∂Xi(ε)[f(− →X(ε))]=
∂if(− →X(ε)).
Dat˘a fiind netezimea aplicat ¸iei f, funct ¸iaε/ma√sto−→∂if(− →X(ε))este de clas ˘aC∞.ˆIn
particular, lim
ε→0∂if(− →X(ε))=∂if(− →X(0))=∂if(− →x)./square
Cantitatea
− →X=n
∑
i=1ai∂
∂xi=n
∑
i=1ai∂i

6 1 Grupuri de transform ˘ari
se numes ¸te cˆamp vectorial peRn. Valorile sale sunt date de formula− →X(− →x)=− →X− →x.
Putem calcula, de asemeni, valori ale c ˆampului vectorial ˆınC∞(D,Rm)cu ajutorul
formulei− →X(− →f)=n
∑
i=1ai·∂i− →f∈C∞(D,Rm), unde∂i− →f=(∂ifj)j∈1,m.
Definim (inductiv) puterile unui c ˆamp vectorial:− →Xk(− →f) =− →X(− →Xk−1(− →f)),ex-
ponent ¸iala unui c ˆamp vectorial: exp (− →X)=+∞
∑
k=01
k!− →Xk, unde− →X0− →x(− →f)=− →f(− →x), etc.
Este, de asemeni, evident c ˘a
− →X(− →x)(− →f)=− →X(− →f)(− →x)=− →X− →x(− →f),− →f∈C∞(D,Rm),− →x∈D.
Not ¸iunea de c ˆamp vectorial se foloses ¸te ˆın cele ce urmeaz ˘a la introducerea seriei
lui Lie.
T ¸ inˆand seama de formula (1.9) s ¸i de lema 2, concluzion ˘am c ˘a
d− →X
dε/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=− →ξ(− →X(− →x,0))=− →ξ(− →x)=− →X− →x(idRn)
s ¸i
d2− →X
dε2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=− →X− →x(− →ξ)=− →X2− →x(idRn).
Prin induct ¸ie matematic ˘a ajungem la — reamintim not ¸iunea de c ˆamp vectorial− →X—
− →X(− →x,ε) =− →x++∞
∑
k=1εk
k!·− →Xk− →x(idRn) (1.15)
=exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(idRn),ε∈V. (1.16)
Pasul k⇒k+1 se rezum ˘a astfel: dac ˘adk− →X
dεk=− →η(− →X(ε)), atunci
dk+1− →X
dεk+1=n
∑
i=1ξi(− →X(ε))·∂− →η
∂Xi(ε)(− →X(ε))=− →X− →X(ε)(− →η)
s ¸i
dk+1− →X
dεk+1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=− →X− →x(− →η)/parenleftig
=− →X− →x/parenleftig− →Xk(idRn)/parenrightig/parenrightig
.
Seria (1.15) se mai numes ¸te s ¸i seria lui Sophus Lie , cf. [10, p. 31]. Fiind dat
grupul Lie (− →X(·,ε))ε∈E, undeΦeste adunarea uzual ˘a, aplicat ¸ia− →ξ∈C∞(D,Rn)cu
formula

1.3 Schimb ˘ari de variabile 7
− →ξ(− →x)=∂
∂ε[− →X(− →x,0)],− →x∈D,
este infinitesimalul grupului iar c ˆampul− →X=n
∑
i=1ξi∂ieste generatorul grupului,
cf. [4, pg. 34, 40]. Formula (1.16) ne arat ˘a cum putem calcula grupul Lie c ˘aruia
ˆıi cunoas ¸tem generatorul. ˆIn aceast ˘a situat ¸ie, curba neted ˘a parametrizat ˘aε/ma√sto−→− →X(− →x,ε)este denumit ˘acurent (flow) prin− →xal cˆampului− →X, cf. [10, p. 27].
Relat ¸ia
− →x⋆=− →x+ε·− →ξ(− →x),ε∈E,− →x∈D, (1.17)
constituie transformarea infinitesimal ˘aa grupului Lie (− →X(·,ε))ε∈E, cf. [5, p. 39].
Ea este, evident, liniarizarea identit ˘at ¸ii
− →X(− →x,ε)=− →x+ε·− →ξ(− →x)+O(ε2). (1.18)
1.3 Schimb ˘ari de variabile
S˘a consider ˘am biject ¸ia− →y:D→D0, unde D0este o mult ¸ime deschis ˘a s ¸i sim-
plu conex ˘a, astfel ca− →y,− →y−1s˘a fie analitice. Cum transport ˘a aceasta grupurile
Lie? Mai precis, ce relat ¸ie trebuie s ˘a existe ˆıntre generatorii− →X,− →Yai grupurilor
(− →X(·,ε))ε∈E,(− →Y(·,ε))ε∈Edate de problemele Cauchy
/braceleftigg
d− →Y
dε=− →η(− →Y)− →Y(0)=− →y(− →x)s ¸i/braceleftigg
d− →X
dε=− →ξ(− →X)− →X(0)=− →x
astfel ˆıncˆat
− →Y(− →y(− →x),ε)=− →y(− →X(− →x,ε)),− →x∈D,ε∈E? (1.19)
Propozit ¸ia 1 Dac˘a− →η=− →X(− →y)◦(− →y)−1, ceea ce este echivalent cu
− →Y− →y(− →x)(f)=− →X− →x(f◦− →y), f∈C∞(D0,R),− →x∈D, (1.20)
atunci are loc (1.19)4.
Demonstrat ¸ie. Relat ¸ia− →η◦− →y=− →X(− →y), adic ˘a
4Geometric, c ˆampurile− →X,− →Ysunt− →y –legate , ceea ce se mai scrie s ¸i− →X=− →y⋆− →Y, cf. [9, p. 3],
respectiv− →Y=− →y⋆− →X.ˆIn reformulare, acest rezultat afirm ˘a c˘a:atunci c ˆand dou ˘a cˆampuri vecto-
riale sunt− →y –legate, adic ˘a diferent ¸iala lui− →y transport ˘a vector tangent ˆın vector tangent,− →y va
transporta curent ˆın curent , cf. [10, pg. 32, 33]. C ˆampul− →Yse mai numes ¸te s ¸i push-forward al
cˆampului− →X, cf. [8, p. 89].

8 1 Grupuri de transform ˘ari
ηj(− →y(− →x))=n
∑
i=1ξi(− →x)∂yj
∂xi(− →x), j∈1,n, (1.21)
ne conduce la
n
∑
j=1ηj(− →y(− →x))∂f
∂yj(− →x)(− →y(− →x))
=n
∑
i=1ξi(− →x)/bracketleftigg
n
∑
j=1∂f
∂yj(− →x)(− →y(− →x))·∂yj
∂xi(− →x)/bracketrightigg
=n
∑
i=1ξi(− →x)∂(f◦− →y)
∂xi(− →x),− →x∈D,
adic˘a la (1.20). Demonstrat ¸ia ˆın sens invers este standard, aleg ˆandu-se diverse funct ¸ii
netede fpentru identitatea (1.20).
Pentru a stabili egalitatea (1.19) ˆıntre dou ˘a funct ¸ii analitice, le dezvolt ˘amˆın serie
de puteri ˆın raport cu εˆın jurul lui 0 s ¸i verific ˘am egalitatea coeficient ¸ilor core-
spunz ˆand puterilor de exponent egal din cele dou ˘a serii5. De exemplu, pentru a
determina coeficientul corespunz ˘ator luiεˆın dezvoltarea aplicat ¸iei− →y(− →X(− →x,ε)),
facem urm ˘atorul calcul
∂
∂ε[yi(− →X(− →x,ε))] =/parenleftbigg
∇− →X(− →x,ε)yi/parenrightbigg
(− →X(− →x,ε))·∂
∂ε[− →X(− →x,ε)]
=/parenleftbigg
∇− →X(− →x,ε)yi/parenrightbigg
(− →X(− →x,ε))·− →ξ(− →X(− →x,ε))
=n
∑
j=1ξj(− →X(− →x,ε))·∂yi
∂Xj(− →x,ε)(− →X(− →x,ε))
=− →X− →X(− →x,ε)(yi).
Conform lemei 2,∂
∂ε[yi(− →X(− →x,ε))]/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=− →X− →x(yi), unde i∈1,n, adic ˘a coefi-
cientul c ˘autat este− →X− →x(− →y) =− →X(− →y)(− →x). Pentru aplicat ¸ia− →Y(− →y(− →x),ε), coefi-
cientul este [− →η(− →Y(− →y(− →x),ε))]/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=− →η(− →y(− →x)).ˆIn concluzie, egalitatea acestor
coeficient ¸i este echivalent ˘a cu− →η◦− →y=− →X(− →y).
Pentru a verifica egalitatea celorlalt ¸i coeficient ¸i, util iz˘am tehnica de la pasul k⇒
k+1 din construct ¸ia seriei lui Lie. /square
Propozit ¸ia 2 (cf. [4, p. 42], [10, p. 30]) Fiind dat ˘a funct ¸ia F ∈Cω(D,R)—
analitic ˘a —, avem identitatea
F(− →X(− →x,ε))= F/parenleftig
exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(idRn)/parenrightig
=exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(F),− →x∈D.
5Cf. [13, pg. 47, 48], dac ˘a dou ˘a funct ¸ii olomorfe, definite pe domeniul D⊆C, coincid pe mult ¸imea
nevid ˘aA⊂Dcare admite cel put ¸in un punct de acumulare ˆınD— de exemplu, Aeste un mic
interval deschis centrat ˆın 0 —, atunci ele coincid ˆınˆıntreg domeniul D.

1.4 Forma canonic ˘a a grupurilor Lie uniparametrice 9
ˆIn general, fiind date funct ¸iile− →F∈Cω(Rn,Rm), unde m≥1, s ¸i− →f∈Cω(D,Rn),
avem identitatea
− →F/parenleftig
exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →f)/parenrightig
=exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →F◦− →f),− →x∈D. (1.22)
Dac˘a− →F este un difeomorfism6analitic s ¸i− →f∈Cω(Rn,Rn), identitatea (1.22) ne
conduce la
− →f/parenleftig
exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →F)/parenrightig
=exp(ε− →F⋆− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →F(− →x)(− →f),
vezi [10, p. 33, ec. (1.26)].
Demonstrat ¸ie. Ca s ¸i anterior, dezvolt ˘am funct ¸iile ˆın serii de puteri ale lui εˆın
jurul lui 0. Astfel,
F(− →X(− →x,ε)) = F(− →X(− →x,0))
+ε·/parenleftbigg
∇− →X(− →x,ε)F(− →X(− →x,ε))·∂
∂ε[− →X(− →x,ε)]/parenrightbigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0+…
=F(− →x)+ε·/parenleftbigg
− →X− →X(− →x,ε)(F)/parenrightbigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0+…
=F(− →x)+ε− →X− →x(F)+…,
ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia. /square
Teorema 1 (cf. [10, Proposition 2.6, p. 79]) Aplicat ¸ia F ∈Cω(D,R)este invariant ˘a
ˆın raport cu grupul Lie (− →X(·,ε))ε∈E—adic ˘a, m˘arimea F (− →X(− →x,ε))nu depinde de
ε— dac ˘a s ¸i numai dac ˘a− →X(F)≡0.
Demonstrat ¸ie. Conform propozit ¸iei 2, avem
F(− →X(− →x,ε))= F(− →x)++∞
∑
k=1εk
k!·− →Xk(F)(− →x),− →x∈D,ε∈E.
Dac˘aF(− →X(− →x,ε))= F(− →x)ˆınE, atunci, dat ˘a fiind netezimea aplicat ¸iei F, putem
— prin deriv ˘ari repetate ˆın raport cu εale relat ¸iei precedente — stabili c ˘a− →Xk(F)≡0
pentru orice k≥1. Implicat ¸ia cealalt ˘a este imediat ˘a./square
1.4 Forma canonic ˘a a grupurilor Lie uniparametrice
S˘a presupunem c ˘a grupul Lie (− →Y(·,ε))ε∈Edin sect ¸iunea anterioar ˘a este dat de
relat ¸iile
6Aici, n=m.

10 1 Grupuri de transform ˘ari
Yi(− →y0,ε)=y0i, i∈1,n−1,
Yn(− →y0,ε)=y0n+ε,(1.23)
unde− →y0=(y0i)i∈1,n∈D.
Este us ¸or de verificat c ˘a infinitesimalul− →ηeste aplicat ¸ia constant ˘a
− →η≡(0,…, 0,1)∈Rn
iar
− →Y=∂n. (1.24)
Conform propozit ¸iei 1, putem scrie c ˘a
− →η=− →η◦− →y=− →X(− →y), (1.25)
unde− →y:D→Deste o biject ¸ie analitic ˘a pe care dorim s ˘a o determin ˘am.
Relat ¸ia (1.25) reprezint ˘a sistemul diferent ¸ial al schimb ˘arii de variabile canonice
− →y, s ¸i anume


n
∑
j=1ξj(− →x)·∂yi
∂xj=0, i∈1,n−1,
n
∑
j=1ξj(− →x)·∂yn
∂xj=1.
Fig. 1.1 Rectificarea (local ˘a)
a curent ¸ilor

1.4 Forma canonic ˘a a grupurilor Lie uniparametrice 11
Rezolvarea acestui sistem se realizeaz ˘a prin metoda caracteristicilor, cf. [6, p. 97
s ¸i urm.]. Funct ¸iile (yi)i∈1,n−1sunt n−1 solut ¸ii funct ¸ional independente ale ecuat ¸iei
liniare
n
∑
j=1ξj(− →x)·∂z
∂xj=0,− →x∈D.
Un caz particular important se cuvine discutat: cel al rotat ¸iilor , cf. [4, pg. 47,
48]. Astfel, avem un c ˆamp− →Xdat de vectorul− →X− →x=α(x,y)∂
∂x+β(x,y)∂
∂y, unde
− →x=(x,y), s ¸i dorim s ˘a-l aducem la forma− →Y− →y=∂
∂s. Aici,− →y=(r,s)iarr=r(x,y)
s ¸is=s(x,y)sunt funct ¸ii netede care trebuie determinate cu ajutorul e cuat ¸iilor
α(x,y)rx+β(x,y)ry=0 (1.26)
s ¸i
α(x,y)sx+β(x,y)sy=1 (1.27)
astfel ˆıncˆatD(r,s)
D(x,y)s˘a nu aib ˘a zerouri ˆınD.
Luˆandα(x,y)=−ys ¸iβ(x,y)=x, solut ¸iile generale ale ecuat ¸iilor (1.26), (1.27)
sunt date de formulele
r(x,y)=h(x2+y2), s(x,y)=arctany
x+c,
unde heste o funct ¸ie neted ˘a s ¸ic∈Ro constant ˘a. Aleg ˆandh=|idD|s ¸ic=0, reg ˘asim
coordonatele polare —(r,θ), undeθ=s, vezi Figura 1.2 —.
Fig. 1.2 Trecerea la coordo-
nate polare

12 1 Grupuri de transform ˘ari
O analiz ˘a asem ˘an˘atoare, bazat ˘a pe formula (1.20), se g ˘ases ¸te ˆın [12, Exercise 2.5,
pct. 2, p. 16].
Relat ¸iile (1.23) constituie forma canonic ˘aa grupului (− →X(·,ε))ε∈Eiar (1.24) este
forma normal ˘aa generatorului− →X, cf. [4, p. 45], [12, p. 10]. Grupul Lie dat de (1.23)
este un grup de translat ¸ii — vezi Figura 1.1 —.
1.5 Pe orbit ˘a
Mult ¸imea O− →x={− →X(− →x,ε):ε∈E}esteorbita grupului Lie prin− →x∈D.
ˆIn Figura 1.3 este ilustrat ˘a orbita trec ˆand prin− →x0=(x0,y0)a grupului de rotat ¸ii
− →X(− →x,ε)=( xcosε−ysinε,xsinε+ycosε)T,
unde D={(x,y):x2+y2<1}s ¸iE= (−π,π). Astfel, biject ¸ia− →X(·,ε)rotes ¸te, ˆın
sens trigonometric, punctele lui Dˆın jurul originii planului cu unghiul ε. Aceste
puncte r ˘amˆanˆınD, adic ˘adomeniul D este simetric la rotat ¸ii . Spunem c ˘a grupul Lie
de transform ˘ari constituie un grup de simetrii punctuale ale domeniului D.
Transformarea infinitesimal ˘a a acestui grup de rotat ¸ii este dat ˘a de formula
(− →x0)⋆=(x−yε,xε+y)T.
Ea este tot o rotat ¸ie ˆın sens trigonometric — t ¸inem seama de relat ¸iile cos ε∼1,
sinε∼εcˆandε∼0 — ˆın jurul originii, ˆıns˘a de unghi infinitesimal . Not ˆand acest
unghi cu dε, putem privi rotat ¸ia de unghi εca o compunere de rotat ¸ii infinitesimale:
ε=/integraldisplay
dε.
Ideea central ˘a a metodei lui Sophus Lie este, acum, clar ˘a: orice simetrie finit ˘a
(complicat ˘a) poate fi imaginat ˘a ca o compunere de simetrii infinitesimale (simple),
cf. [12, p. 7].
Propozit ¸ia 3 Sunt valabile urm ˘atoarele relat ¸ii:
− →X− →x(− →X(·,ε))=− →ξ(− →X(− →x,ε)) (1.28)
s ¸i, cf. [4, Exercise 2.2, pct. 6, p. 53], — aici, m ≥1—
− →X− →X(− →x,ε)(− →f)=− →X− →x(− →f◦− →X(·,ε)),− →f∈C∞(D,Rm). (1.29)
Demonstrat ¸ie7.Pentru identitatea (1.28), vom folosi sistemele ˆın variat ¸ie asoci-
ate problemelor Cauchy, cf. [1, p. 102]. Mai precis, prin der ivarea componentelor
7Des ¸i admite o demonstrat ¸ie independent ˘a, aceast ˘a propozit ¸ie este un caz particular al propozit ¸iei
1. Ea afirm ˘a c˘a:− →Y=− →Xatunci c ˆand− →y=− →X(·,ε). Cu alte cuvinte, orbitele grupului sunt invariante
la transform ˘arile din grup.

1.5 Pe orbit ˘a 13
sistemului
/braceleftigg
d− →X
dε=− →ξ(− →X)− →X(0)=− →x,
deducem c ˘a matricea M(− →x,ε)=∇− →x− →X(− →x,ε)este solut ¸ia problemei Cauchy
/braceleftigg
dM
dε=/parenleftbig
∂βξα(− →X(− →x,ε))/parenrightbig
α,β∈1,nM
M(0)=In,(1.30)
unde Inreprezint ˘a matricea unitate n×n.
Ca s ¸i anterior, ambii membri ai relat ¸iei (1.28) sunt dezvo ltat ¸iˆın serii de puteri ˆın
raport cu εˆın jurul lui 0. Coeficientul corespunz ˘ator luiεˆın dezvoltarea din st ˆanga
este
d
dε/bracketleftigg
n
∑
i=1ξi(− →x)·∂
∂xi[− →X(− →x,ε)]/bracketrightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0.
Avem estim ˘arile — not ˘am cu Micoloana a i–a a matricei M—
d
dε/bracketleftigg
n
∑
i=1ξi(− →x)·∂
∂xi[− →X(− →x,ε)]/bracketrightigg
=n
∑
i=1ξi(− →x)·d
dε[Mi(− →x,ε)]
=n
∑
i=1ξi(− →x)·/bracketleftig/parenleftbig
∂βξα(− →X(− →x,ε))/parenrightbig
α,β∈1,n·Mi(− →x,ε)/bracketrightig
Fig. 1.3 Simetria la rotat ¸ii

14 1 Grupuri de transform ˘ari
=/parenleftbig
∂βξα(− →X(− →x,ε))/parenrightbig
α,β∈1,n·/bracketleftigg
n
∑
i=1ξi(− →x)·Mi(− →x,ε)/bracketrightigg
.
Identitatea elementar ˘a
n
∑
i=1ξi(− →x)·Mi(− →x,0)=− →ξ(− →x),− →x∈D,
ne conduce la
d
dε/bracketleftigg
n
∑
i=1ξi(− →x)·∂
∂xi[− →X(− →x,ε)]/bracketrightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
ε=0=/parenleftbig
∂βξα(− →x)/parenrightbig
α,β∈1,n·− →ξ(− →x).
Pentru a determina coeficientul lui εˆın dezvoltarea din dreapta, observ ˘am c ˘a
d
dε[ξα(− →X(− →x,ε))] =n
∑
β=1∂βξα(− →X(− →x,ε))·d
dε[Xβ(− →x,ε)]=(∇ξα)T·d− →X
dε
= (∇ξα(− →X(− →x,ε)))T·− →ξ(− →X(− →x,ε)),
respectiv
d
dε[− →ξ(− →X(− →x,ε))]=/parenleftbig
∂βξα(− →X(− →x,ε))/parenrightbig
α,β∈1,n·− →ξ(− →X(− →x,ε)).
Pentru a stabili identitatea (1.29), ˆıncepem din partea st ˆang˘a. Vezi Figura 1.4.
V om discuta numai cazul m=1. Astfel, t ¸in ˆand seama de identitatea− →X− →x(Xi(·,ε))
=ξi(− →X(− →x,ε))— stabilit ˘a anterior —, deducem c ˘a
Fig. 1.4 O orbit ˘a

1.5 Pe orbit ˘a 15
− →X− →X(− →x,ε)(f)=n
∑
i=1ξi(− →X(− →x,ε))·∂
∂Xi(− →x,ε)[f(− →X(− →x,ε))]
=n
∑
i=1/braceleftigg
n
∑
j=1ξj(− →x)·∂
∂xj[Xi(− →x,ε)]/bracerightigg
·∂
∂Xi(− →x,ε)[f(− →X(− →x,ε))]
=n
∑
j=1ξj(− →x)/braceleftigg
n
∑
i=1∂Xi
∂xj(− →x,ε)·∂
∂Xi(− →x,ε)[f(− →X(− →x,ε))]/bracerightigg
=n
∑
j=1ξj(− →x)·∂
∂xj[(f◦− →X(·,ε))(− →x)].
Demonstrat ¸ia s-a ˆıncheiat./square
Pentru a justifica nota de subsol 7 de la pagina 12, s ˘a observ ˘am c ˘a, prin iterare,
relat ¸ia (1.29) ne conduce la
exp(µ− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →X(− →x,ε)(− →f)=exp(µ− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →f◦− →X(·,ε)),µ∈E.(1.31)
Luˆand− →f=idRnˆın (1.31), obt ¸inem c ˘a
− →X(− →y(− →x),µ)=exp(µ− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →y),− →y=− →X(·,ε). (1.32)
Mai departe, lu ˆand− →F=− →ys ¸i− →f=idRnˆın (1.22), putem scrie c ˘a
− →y/parenleftig
exp(µ− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(idRn)/parenrightig
=exp(µ− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →y). (1.33)
ˆIn concluzie, identit ˘at ¸ile (1.32), (1.33) — adic ˘a, nimic altceva dec ˆat relat ¸iile tri-
viale
− →X(− →X(− →x,ε),µ)=− →X(− →X(− →x,µ),ε) (=− →X(− →x,ε+µ)),
undeε,µ,µ+ε∈E— descriu invariant ¸a orbitelor grupului la transform ˘arile din
grup.

Capitolul 2
Extinderea grupurilor de transform ˘ari
2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1)
S˘a consider ˘am ecuat ¸ia diferent ¸ial ˘a ordinar ˘a
y′(x)−y(x)=0, x∈I⊆R, (2.1)
unde Ieste un interval deschis. ˆInR3— av ˆand punctele (x,y,y′)—, suprafat ¸a
F(x,y,y′)=−y+y′=0 (2.2)
este reprezentat ˘aˆın Figura 2.1 de planul P. Aici, curbele integrale ale ecuat ¸iei (2.1)
sunt date de relat ¸iile1
− →γ(x)=/parenleftbig
x,y0ex−x0,y0ex−x0/parenrightbig
, x,x0∈I,y0∈R.
Planul Peste acoperit ˆın totalitate de aceste curbe integrale — lu ˘amI=R—,
prin fiecare punct (x0,y0,y0)al s˘au trec ˆand o singur ˘a curb ˘a.
Se observ ˘a cu us ¸urint ¸ ˘a c˘auna din simetriile planului P, s ¸i anume simetria fat ¸ ˘a
de axa Ox, transport ˘a curbe integrale ˆın curbe integrale! Vezi Figura 2.2.
Plecˆand de la aceast ˘a observat ¸ie, se pot pune mai multe ˆıntreb ˘ari. Astfel, fiind
dat˘a suprafat ¸a (2.2) pe care se afl ˘a curbele integrale ( ˆınc˘a necalculate!) ale unei
ecuat ¸ii diferent ¸iale, cum determin ˘am acele simetrii ale sale care transport ˘a curbe
integrale ˆın curbe integrale? Apoi, fiind date anumite simetrii, cum de termin ˘am
ecuat ¸iile diferent ¸iale ale c ˘aror curbe integrale s ˘a fie transportate ˆın curbe integrale
de c˘atre respectivele simetrii?
S˘a consider ˘am grupul de simetrii (transform ˘ari punctuale) ale domeniului D⊆
R2dat de relat ¸iile
1De fapt, este vorba de proiect ¸ia curbelor integrale x/ma√sto−→(x,y(x))situate ˆın planul Oxy pe planul
P. V om folosi ˆın acest mod nerestrictiv termenul de curb ˘a integral ˘a.
17

18 2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari
/braceleftbigg
x⋆=X(x,y,ε)=x+εξ(x,y)+O(ε2)
y⋆=Y(x,y,ε)=y+εη(x,y)+O(ε2).(2.3)
Evident, t ¸in ˆand seama de (1.18), avem
− →X(− →x,ε)=( X(x,y,ε),Y(x,y,ε))T,− →x=(x,y)T,− →ξ=(ξ,η).
Ecuat ¸iei diferent ¸iale
y′+f(x,y)=0, (2.4)
unde f:D→Reste neted ˘a, i se asociaz ˘a suprafat ¸a simpl ˘a
F(x,y,y′)=f(x,y)+y′=0. (2.5)
Urm ˘atorul set de formule


x⋆=X(x,y,ε)=x+εξ(x,y)+O(ε2)
y⋆=Y(x,y,ε)=y+εη(x,y)+O(ε2)
y⋆
1=Y1(x,y,y1,ε)=y1+εη(1)(x,y,y1)+O(ε2)(2.6)
va desemna un grup de transform ˘ari punctuale ale acestei suprafet ¸e. Pentru calculul
aplicat ¸iei η(1)ne folosim de observat ¸ia c ˘a suprafat ¸a (2.5) este acoperit ˘a de curbele
integrale ale ecuat ¸iei diferent ¸iale.
Fie(x0,y0)∈D,I⊆Dy0s ¸iJ⊆Dx0dou˘a intervale deschise, nevide, din proiect ¸iile
domeniului D
Dy0×{y0}=D∩(R×{y0}),{x0}×Dx0=D∩({x0}×R).
Fig. 2.1 Planul Praportat la
reperul Oxyy′

2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1) 19
Consider ˘amI∋x/ma√sto−→y(x)∈Jo solut ¸ie a ecuat ¸iei diferent ¸iale (2.4). ˆIn calculul
care urmeaz ˘a,xeste variabila independent ˘aiaryvariabila dependent ˘a. Acest caz al
extinderii grupurilor de transform ˘ari este numit (1,1): o variabil ˘a independent ˘a s ¸i o
variabil ˘a dependent ˘a — solut ¸ia general ˘a a unei ecuat ¸ii diferent ¸iale —.
ˆIncepem cu y1=dy
dx(x)s ¸i dorim ca — mics ¸or ˆandu-l eventual pe Eastfel ˆıncˆat
X(ε)∈Ipentru orice ε∈E—
y⋆
1(x⋆(ε))=dy⋆
dx⋆(ε)(x⋆(ε)),ε∈E. (2.7)
Vezi [12, p. 15]. ˆIn mod echivalent, putem utiliza relat ¸iile dintre diferen t ¸iale
dy=y1(x)dx, dy⋆=y⋆
1(x⋆)dx⋆. (2.8)
Relat ¸iile (2.8) se mai numesc s ¸i condit ¸ii de contact , cf. [4, p. 55].
Avem, as ¸adar, estim ˘arile
y⋆
1=dy⋆
dx
dx⋆
dx=∂Y
∂x+∂Y
∂y·dy
dx
∂X
∂x+∂X
∂y·dy
dx. (2.9)
Pe baza primei relat ¸ii din (2.9) putem scrie c ˘a
y⋆
1=y′(x)+ε·d
dx[η(x,y(x))]+ O(ε2)
1+ε·d
dx[ξ(x,y(x))]+ O(ε2),
de unde, t ¸in ˆand seama de identitatea elementar ˘a
Fig. 2.2 Simetria fat ¸ ˘a de axa
Ox

20 2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari
1
1+ε·A+O(ε2)=1−ε·A+O(ε2), (2.10)
concludem c ˘a
y⋆
1=y′(x)+ε·/braceleftbiggd
dx[η(x,y(x))]−y′(x)·d
dx[ξ(x,y(x))]/bracerightbigg
+O(ε2)
=y1+ε/parenleftbiggdη
dx−y1·dξ
dx/parenrightbigg
(x,y)+O(ε2).
Am obt ¸inut c ˘a
η(1)(x,y,y1)=/parenleftbiggdη
dx−y1·dξ
dx/parenrightbigg
(x,y)
=∂η
∂x(x,y)+y1/parenleftbigg∂η
∂y−∂ξ
∂x/parenrightbigg
(x,y)−y2
1∂ξ
∂y(x,y). (2.11)
Se observ ˘a c˘a, utiliz ˆand cea de-a doua relat ¸ie (2.9) ˆımpreun ˘a cu (2.10), ajungem
direct la (2.11).
ˆIn mod inductiv, introducem formulele — vezi [4, Theorem 2.3 .2-1, p. 61], [12,
p. 12] —
y⋆
k=Yk(x,y,y1,…, yk,ε)=yk+εη(k)(x,y,y1,…, yk)+O(ε2), (2.12)
unde
yk=y′
k−1(x),η(k)=d
dx[η(k−1)]−ykdξ
dx, k≥2.
Aici, prindh
dxˆınt ¸elegem derivata total ˘aa funct ¸iei (netede) h, adic ˘a — lu ˘am 1≤p≤
k−1 —
d
dx[h(x,y,y1,…, yp)]
=/parenleftbigg∂
∂x+y1∂
∂y+…+yp+1∂
∂yp/parenrightbigg
[h(x,y,y1,…, yp)].
La fel ca anterior, formulele (2.12) pentru 1 ≤k≤nsunt folosite pentru a analiza
simetriile hipersuprafet ¸ei simple ˆınRn+2
y(n)+f(x,y,y′,…, y(n−1))=0
care transport ˘a curbele integrale x/ma√sto−→(x,y(x),y′(x),…, y(n)(x))ˆın curbe integrale.
Astfel, condit ¸iile de contact sunt
dyk−1=yk(x)dx, dy⋆
k−1=y⋆
k(x⋆)dx⋆.
Grupul de transform ˘ari(− →X(·,ε))ε∈E, unde

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1) 21
− →X=(X,Y,Y1,…, Yk)T, k≥2,
este cea de-a k–a extindere (prelungire) a grupului (2.3). Aici,− →X(·,ε):D(k)⊆
Rk+2→D(k)s ¸i, evident,
Yp(x,y,y1,…, yk)=Yp(x,y,y1,…, yp), p∈1,k.
Generatorul acestui grup Lie local este
− →X− →x=ξ(− →x)∂
∂x+η(− →x)∂
∂y+k
∑
p=1η(p)(− →x)∂
∂yp,− →x∈D(k).
2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1)
Fiem≥1. S˘a consider ˘am grupul de simetrii (transform ˘ari punctuale) ale dome-
niului D⊆Rm+1dat de relat ¸iile


x⋆
i=Xi(x1,…, xm,y,ε)
=xi+εξi(x1,…, xm,y)+O(ε2),i∈1,m,
y⋆=Y(x1,…, xm,y,ε)=y+εη(x1,…, xm,y)+O(ε2).(2.13)
Acum avem mvariabile independente x 1,…, xms ¸i o variabil ˘adependent ˘a y:
acesta este cazul (m,1)ˆın care hipersuprafat ¸a simpl ˘aˆınRm+2ale c ˘arei simetrii ne
intereseaz ˘a are formula
∂y
∂xi−f(x1,…, xm,y)=0
pentru un anumit i∈1,m.
V om folosi notat ¸iile consacrate — [11, p. 34], [6, p. 617] —
y
1=D1y=∇y,y
2=D2y=/parenleftbigg∂2y
∂xixj/parenrightbigg
i,j∈1,m, … y
k=Dky,
unde k≥2. Lor le ad ˘aug˘am o notat ¸ie pentru derivata total ˘aˆın raport cu variabila xk,
s ¸i anume — [7, p. 25] —
Dkh(x1,…, xm,r1,…, rp)
=/parenleftigg
∂h
∂xk+p
∑
t=1∂rt
∂xk·∂h
∂rt/parenrightigg
(x1,…, xm,r1,…, rp).
Urm ˘atorul set de formule

22 2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari


x⋆
i=Xi(x1,…, xm,y,ε)
=xi+εξi(x1,…, xm,y)+O(ε2),i∈1,m,
y⋆=Y(x1,…, xm,y,ε)=y+εη(x1,…, xm,y)+O(ε2)
y
1⋆=Y
1(x1,…, xm,y,y
1,ε)=y
1+ε− − →
η(1)(x1,…, xm,y,y
1)+O(ε2),(2.14)
unde
− − →
η(1)=(η(1)
1,η(1)
2,…,η(1)
m),
desemneaz ˘a prima extindere a grupului de transform ˘ari punctuale (2.13). Aici,
D(1)⊆R2m+1.
Luˆand
y
1=/parenleftbigg∂y
∂x1,…,∂y
∂xm/parenrightbigg
=(y1,…, ym), (2.15)
condit ¸iile de contact devin
dy⋆=m
∑
j=1y⋆
j(x⋆
1,…, x⋆
m)dx⋆
j, y⋆
j=∂y⋆
∂x⋆
j.
Deoarece


dx⋆
j=m
∑
q=1Dqx⋆
j(x1,…, xm,y,ε)dxq,
dy⋆=m
∑
q=1Dqy⋆(x1,…, xm,y,ε)dxq
ajungem la
m
∑
j=1Dqx⋆
j(x1,…, xm,y,ε)·y⋆
j(x⋆
1,…, x⋆
m)=Dqy⋆(x1,…, xm,y,ε)
pentru orice q∈1,m, respectiv la — vezi [4, p. 64] —

D1y⋆
…
Dmy⋆
=/parenleftbig
Dqx⋆
j(x1,…, xm,y,ε)/parenrightbig
q,j∈1,m·
y⋆
1
…
y⋆
m
. (2.16)
Notˆand cu Amatricea p ˘atrat˘a din membrul drept al identit ˘at ¸ii (2.16), unde A=
(DqXj)q,j∈1,m, obt ¸inem relat ¸iile fundamentale
Y
1=
Y1
…
Ym
=A−1·
D1Y
…
DmY
. (2.17)

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1) 23
Aici, m ˘arimile(Yi)i∈1,mreprezint ˘a componentele funct ¸iei vectoriale Y
1s ¸i nu nis ¸te
derivate!
Pentru a determina funct ¸ia− − →
η(1), utiliz ˘am varianta matriceal ˘a a relat ¸iei (2.10), s ¸i
anume
A−1=[Im+ε·B+O(ε2)]−1=Im−ε·B+O(ε2). (2.18)
Avem relat ¸iile
aq j=DqXj(x1,…, xm,y,ε)=Dq[xj+εξj(x1,…, xm,y)+O(ε2)]
=δq j+ε·Dqξj(x1,…, xm,y)+O(ε2),1≤q,j≤m,
undeδdesemneaz ˘a simbolul lui Kronecker. As ¸adar, B=(Dqξj)q,j∈1,m.
Fiei∈1,mfixat. Atunci, t ¸in ˆand seama de (2.18),
Yi(x1,…, xm,y,y
1,ε) =yi+εη(1)
i(x1,…, xm,y,y
1)+O(ε2)
=linia a i–a a matricei A−1·
D1Y
…
DmY

=m
∑
j=1[δi j−εDiξj+O(ε2)]·DjY
=m
∑
j=1[δi j−εDiξj+O(ε2)]·[yj+εDjη+O(ε2)]
=yi+ε/bracketleftigg
Diη−m
∑
j=1Diξj·yj/bracketrightigg
+O(ε2),
de unde
η(1)
i(x1,…, xm,y,y
1)=Diη(x1,…, xm,y)−m
∑
j=1Diξj(x1,…, xm,y)·yj
pentru orice i∈1,m. Pentru o variant ˘a a acestei demonstrat ¸ii, vezi [10, p. 110, The-
orem 2.36].
ˆIn mod inductiv, introducem formulele, cf. [4, Theorem 2.3. 4-1, p. 67],
y⋆
i1…ik=yi1…ik+εη(k)
i1…ik(x1,…, xm,y,y
1,…, y
k)+O(ε2),
unde
η(k)
i1…ik=Dikη(k−1)
i1…ik−1−m
∑
j=1Dikξj·yi1…ik−1j (2.19)

24 2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari
s ¸ik≥2.
Condit ¸iile de contact sunt
dy⋆
i1…ik−1=m
∑
j=1y⋆
i1…ik−1jdx⋆
j.
2.3 Transform ˘ari Lie-B ¨acklund. Observat ¸ia lui
Boyer
S˘a consider ˘am un set de transform ˘ari mai generale dec ˆat (2.13), s ¸i anume


− →x⋆=− →X(− →x,y,y
1,…, y
p,ε)=− →x+ε·− →ξ(− →x,y,y
1,…, y
p)+O(ε2),
y⋆=Y(− →x,y,y
1,…, y
p,ε)=y+ε·η(− →x,y,y
1,…, y
p)+O(ε2),(2.20)
unde− →x∈D⊆Rm,Deste un domeniu s ¸i m,p≥1. Ele au fost utilizate de Emmy
Noether s ¸i sunt denumite curent transform ˘ari Lie-B ¨acklund , cf. [4, pg. 252, 253].
Ne intereseaz ˘a modul ˆın care funct ¸ia analitic ˘af:D→Reste modificat ˘a de
(2.20). Mai precis, lu ˆandy=f=f(− →x), cine este y⋆=f⋆=f⋆(− →x⋆)? Vezi s ¸i
discut ¸ia din [10, pg. 92, 93].
R˘aspunsul este dat ˆın doi pas ¸i. Mai ˆıntˆai, afirm ˘am c ˘a
− →x=− →x⋆−ε·− →ξ/parenleftbigg
− →x⋆,f(− →x⋆),f
1(− →x⋆),…, f
p(− →x⋆)/parenrightbigg
+O(ε2). (2.21)
Pentru a stabili acest lucru, facem urm ˘atoarele dezvolt ˘ari — t ¸in ˆand cont de esti-
marea− →x−− →x⋆=O(ε)—
− →x⋆=− →x+ε·− →ξ(− →x,f(− →x),f
1(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε2)
=− →x+ε·/bracketleftigg
− →ξ(− →x⋆,f(− →x),…)+m
∑
i=1∂− →ξ
∂x⋆
i·(xi−x⋆
i)+…/bracketrightigg
+O(ε2)
=− →x+ε·/bracketleftbigg− →ξ(− →x⋆,f(− →x),f
1(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε)/bracketrightbigg
+O(ε2)
=− →x+ε·− →ξ(− →x⋆,f(− →x),f
1(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε2).
Funct ¸ia ffiind neted ˘a, este evident c ˘a
|f(− →x)−f(− →x⋆)|≤ max− →u∈/bracketleftig− →x,− →x⋆/bracketrightig/bardbl∇f(− →u)/bardbl·/bardbl− →x−− →x⋆/bardbl=O(ε),
deci dezvolt ˘arile anterioare sunt urmate de

2.3 Transform ˘ari Lie-B ¨acklund. Observat ¸ia lui Boyer 25
=− →x+ε·/braceleftigg
− →ξ(− →x⋆,f(− →x⋆),…)+∂− →ξ
∂f(− →x⋆)·[f(− →x)−f(− →x⋆)]+…/bracerightigg
+O(ε2)
=− →x+ε·− →ξ(− →x⋆,f(− →x⋆),f
1(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε2).
Continu ˘am dezvolt ˘arile p ˆan˘a ajungem la
− →x⋆=− →x+ε·− →ξ(− →x⋆,f(− →x⋆),f
1(− →x⋆),…, f
p(− →x⋆))+O(ε2),
de unde deducem valabilitatea relat ¸iei (2.21).
ˆIn cel de-al doilea pas, avem urm ˘atoarele dezvolt ˘ari
y⋆=f⋆(− →x⋆)=f(− →x)+ε·η(− →x,f(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε2)
=/bracketleftigg
f(− →x⋆)+m
∑
i=1∂f
∂x⋆
i(− →x⋆)·(xi−x⋆
i)+…/bracketrightigg
+ε·η+O(ε2)
=/braceleftigg
f(− →x⋆)+m
∑
i=1∂f
∂x⋆
i(− →x⋆)·/bracketleftbig
−εξi(− →x⋆,f(− →x⋆),…)+O(ε2)/bracketrightbig
+…/bracerightigg
+ε·η+O(ε2)
=f(− →x⋆)−ε·m
∑
i=1∂f
∂x⋆
i(− →x⋆)·ξi(− →x⋆,f(− →x⋆),f
1(− →x⋆),…f
p(− →x⋆))
+ε·η(− →x,f(− →x),…, f
p(− →x))+O(ε2).
Repet ˆand dezvolt ˘arile pentru funct ¸ia analitic ˘aη, concludem c ˘a
y⋆=f⋆(− →x⋆)
=f(− →x⋆)−ε·m
∑
i=1∂f
∂x⋆
i(− →x⋆)·ξi(− →x⋆,f(− →x⋆),f
1(− →x⋆),…f
p(− →x⋆))
+ε·η(− →x⋆,f(− →x⋆),…, f
p(− →x⋆))+O(ε2).
Observat ¸ia lui Boyer [2], [4, p. 258] const ˘aˆın aceea c ˘a — reamintim notat ¸ia
(2.15) — urm ˘atorul grup de transfom ˘ari


− →x⋆=− →X(− →x,y,y
1,…, y
p,ε)=− →x
y⋆=Y(− →x,y,y
1,…, y
p,ε)=y+ε·[η(− →x,y,y
1,…, y
p)
−m
∑
i=1yi·ξi(− →x,y,y
1,…, y
p)]+O(ε2)

26 2 Extinderea grupurilor de transform ˘ari
produce acelas ¸i efect ca grupul (2.20) asupra funct ¸iei f. Vezi [4, Theorem 5.2.3-1,
p. 261].

Capitolul 3
Algebra Lie pentru ecuat ¸ia c ˘aldurii
3.1 Simetriile punctuale ale ecuat ¸iei c ˘aldurii
S˘a consider ˘am ecuat ¸ia adimensional ˘a a c ˘aldurii
∂2y
∂x2
1−∂y
∂x2=0,(x1,x2)∈R2. (3.1)
C˘aut˘am grupurile Lie de transform ˘ari asociate ecuat ¸iei (3.1). Generatorii lor sunt
— vezi [3] —
− →X− →x=− →X(x1,x2,y,y1,y2,y11,y12,y22)
=ξ1(x1,x2,y)∂
∂x1+ξ2(x1,x2,y)∂
∂x2+η(x1,x2,y)∂
∂y
+η(1)
1(x1,x2,y,y
1)∂
∂y1+η(1)
2(x1,x2,y,y
1)∂
∂y2
+2
∑
i,j=1η(2)
i j(x1,x2,y,y
1,y
2)∂
∂yi j, (3.2)
unde — reamintim notat ¸ia (2.15) — yi j=∂2y
∂xi∂xjpentru orice i,j∈1,2. Grupul Lie
precedent este un grup de transform ˘ariˆınRnm, unde m=2 s ¸inm=1
2(m2+5m+2)=
8.
Cum ne afl ˘amˆın cazul(2,1), descris ˆın capitolul anterior, grupul de transform ˘ari
dat de (3.2) constituie cea de-a 2–a extindere a grupului de t ransform ˘ari cu genera-
torul de mai jos
− →X− →x=− →X(x1,x2,y)
=ξ1(x1,x2,y)∂
∂x1+ξ2(x1,x2,y)∂
∂x2+η(x1,x2,y)∂
∂y. (3.3)
27

28 3 Algebra Lie pentru ecuat ¸ia c ˘aldurii
Ecuat ¸ia (3.1) ne conduce la urm ˘atoarea hipersuprafat ¸ ˘a simpl ˘aˆınR8, s ¸i anume
hiperplanul — vezi [4, p. 164] —
y11−y2=F(x1,x2,y,y1,y2,y11,y12,y22)
=y11−f(x1,x2,y,y1,y2,y12,y22)=0. (3.4)
Fiind date grupul Lie (− →X(·,ε))ε∈E, unde− →X(·,ε):D→D, s ¸i hipersuprafat ¸a
simpl ˘aHcu formula
F(− →x)=xn−f(x1,…, xn−1)=0,
unde D=Dn−1×In, mult ¸imea Dn−1⊆Rn−1este deschis ˘a, simplu conex ˘a, funct ¸ia
f:Dn−1→Reste analitic ˘a iar mult ¸imea In⊆Reste un interval deschis care in-
clude mult ¸imea f(Dn−1), ne intereseaz ˘a o condit ¸ie ˆın care grupul de transform ˘ari
invariaz ˘ahipersuprafat ¸a — adic ˘a, funct ¸iile din grup transport ˘a subvariet ˘at ¸i ale
hipersuprafet ¸ei ˆın subvariet ˘at ¸i ale hipersuprafet ¸ei f ˘ar˘a a le invaria s ¸i pe acestea din
urm˘a neap ˘arat; vezi s ¸i discut ¸ia din [10, p. 97] —.
ˆIn discut ¸ia de fat ¸ ˘a, invariant ¸a hipersuprafet ¸ei ˆınseamn ˘a c˘agrupul Lie dat de (3.2)
va duce solut ¸ii ale ecuat ¸iei (3.1) ˆın solut ¸ii ale ecuat ¸iei (3.1) .
Prin solut ¸ie invariant ˘a y=y(x1,x2)a ecuat ¸iei (3.1) ˆınt ¸elegem orice supra-fat ¸ ˘a
invariant ˘a a grupului Lie (3.3) astfel ˆıncˆat extensia (3.2) a acestuia s ˘a invarieze
hipersuprafat ¸a (3.4), cf. [4, Definition 4.2.1-1, p. 169]. O critic ˘a a definit ¸iei poate
fi citit ˘aˆın [10, p. 237].
Teorema 2 (cf. [4, Theorem 2.2.7-1, p. 49]) Grupul Lie (− →X(·,ε))ε∈Einvariaz ˘a
hipersuprafat ¸a Hdac˘a s ¸i numai dac ˘a1
− →X(F)(− →x)=0 (3.5)
pentru orice− →x∈H.
Demonstrat ¸ie. Partea direct ˘a.Plec˘am de la identitatea
F(− →X(ε))= Xn(ε)−f(X1(ε),…, Xn−1(ε))= 0,ε∈E.
Prin derivare ˆın raport cu ε, obt ¸inem
0=n
∑
i=1∂
∂Xi(ε)[F(X1(ε),…, Xn(ε))]·dXi
dε
=n
∑
i=1ξi(− →X(ε))∂
∂Xi(ε)[F(− →X(ε))]
=− →X− →X(ε)(F).
Aplic ˆand lema 2, ajungem la (3.5).
1Vectorii− →X− →xsunt tangent ¸i la Hatunci c ˆand− →x∈H, cf. [10, p. 37, Proposition 1.35].

3.1 Simetriile punctuale ale ecuat ¸iei c ˘aldurii 29
Partea reciproc ˘a.ˆIn mod evident, F∈Cω(D,R), unde
F(x1,…, xn)=xn−f(x1,…, xn−1),(x1,…, xn−1)∈Dn−1,xn∈In.
Avem urm ˘atoarea estimare
− →X− →x(F) =ξn(− →x)−n−1
∑
i=1ξi(− →x)∂
∂xi[f(− →x)]
=ξn(− →x)−n−1
∑
i=1ξi(− →x)fi(− →x),− →x∈D.
Conform (3.5), are loc identitatea
ξn(x1,…, xn−1,f(x1,…, xn−1))
−n−1
∑
i=1ξi(x1,…, xn−1,f(x1,…, xn−1))fi(x1,…, xn−1)=0 (3.6)
pentru orice (x1,…, xn−1)∈Dn−1.
Fixˆandj∈1,n−1, s˘a calcul ˘am derivata total ˘aˆın raport cu xja identit ˘at ¸ii prece-
dente. Obt ¸inem c ˘a
Dj/parenleftigg
ξn−n−1
∑
i=1ξifi/parenrightigg
=∂ξn
∂xj+∂ξn
∂xn·fj−n−1
∑
i=1/parenleftbigg
Djξi·fi+ξi·∂fi
∂xj/parenrightbigg
=/bracketleftigg
∂ξn
∂xj−n−1
∑
i=1∂
∂xj(ξifi)/bracketrightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x+/braceleftigg
fj·/bracketleftigg
∂ξn
∂xn−n−1
∑
i=1∂
∂xn(ξifi)/bracketrightigg/bracerightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x=0
pentru orice− →x∈H. Cu alte cuvinte,
∂
∂xj(− →XF)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x=−/bracketleftbigg
fj·∂
∂xn(− →XF)/bracketrightbigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x, j∈1,n−1. (3.7)
Mai departe, t ¸in ˆand seama de (3.7) s ¸i apoi de (3.6), avem
− →X2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(F) =− →X/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(− →XF)=/bracketleftigg
ξn·∂
∂xn(− →XF)+n−1
∑
j=1ξj·∂
∂xj(− →XF)/bracketrightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x
=/parenleftigg
ξn−n−1
∑
j=1ξj·fj/parenrightigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x·∂
∂xn(− →XF)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x=0,− →x∈H.
ˆIn mod inductiv, se arat ˘a c˘a− →Xk/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(F)=0 pentru orice k≥3. Deducem de aici
c˘a
exp(ε− →X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle− →x(F)=0,ε∈E,− →x∈H.

30 3 Algebra Lie pentru ecuat ¸ia c ˘aldurii
Conform propozit ¸iei 2, avem F(− →X(− →x,ε)) = 0 cˆand− →x∈H, ceea ce ˆıncheie
demonstrat ¸ia. /square
Revenind la ecuat ¸ia c ˘aldurii (3.1), pe baza [4, Theorem 4.2.3-7, p. 175], s ¸tim c ˘a
ξi=ξi(x1,x2),i∈1,2,η(x1,x2,y)=c(x1,x2)y+d(x1,x2). (3.8)
Condit ¸ia (3.5), unde generatorul− →Xeste dat de (3.2) s ¸i au loc relat ¸iile (3.8), este
η(2)
11=η(1)
2.
Aici,
η(1)
2=∂d
∂x2+∂c
∂x2y−∂ξ1
∂x2y1+/parenleftbigg
c−∂ξ2
∂x2/parenrightbigg
y2
s ¸i
η(2)
11=∂2d
∂x2
1+∂2c
∂x2
1y+/parenleftbigg
2∂c
∂x1−∂2ξ1
∂x2
1/parenrightbigg
y1
−∂2ξ2
∂x2
1y2+/parenleftbigg
c−2∂ξ1
∂x1/parenrightbigg
y11−2∂ξ2
∂x1y12.
Identitatea (3.6) ne conduce la ecuat ¸iile — vezi [4, p. 177] —


∂ξ2
∂x1=0,
∂ξ2
∂x2−∂2ξ2
∂x2
1−2∂ξ1
∂x1=0,
2∂f
∂x1−∂2ξ1
∂x2
1+∂ξ1
∂x2=0,
∂2f
∂x2
1−∂f
∂x2=0,
∂2g
∂x2
1−∂g
∂x2=0.(3.9)
3.2 Calculul algebrei Lie
Rezolv ˆand sistemul de ecuat ¸ii (3.9), obt ¸inem c ˘a


ξ1(x1,x2)=κ+δx1+βx2+γx1x2,
ξ2(x1,x2)=α+2βx2+γx2
2,
f(x1,x2)=−γ
4(x2
1+2×2)−δx1
2+λ,
unde numerele α,β,γ,δ,κ,λ∈Rsunt arbitrare.
Ecuat ¸ia c ˘aldurii (3.1) admite, as ¸adar, ˆın spat ¸iul R3={(x1,x2,y)}un grup Lie
6–parametric av ˆand generatorii — [10, p. 118] —

3.2 Calculul algebrei Lie 31


− →X1=∂
∂x1,
− →X2=∂
∂x2,
− →X3=x1∂
∂x1+2×2∂
∂x2,
− →X4=x1x2∂
∂x1+x2
2∂
∂x2−y
4(x2
1+2×2)∂
∂y,
− →X5=x2∂
∂x1−x1y
2∂
∂y,
− →X6=y∂
∂y.
O solut ¸ie a ecuat ¸iei (3.1) invariant ˘aˆın raport cu grupul Lie uniparametric generat
de− →X4este — cf. [4, p. 179] —
y=y(x1,x2)=1√x2e−x2
1
4×2/parenleftbigg
c1+c2x1
x2/parenrightbigg
, c1,c2∈R.

Referint ¸e Bibliografice
1. Barbu, V.: Ecuat ¸ii diferent ¸iale. Junimea, Ias ¸i (1985)
2. Boyer, T.H.: Continuous symmetries and conserved currents. An n. Phys. 42, 445–466 (1967)
3. Bluman, G.W., Cole, J.D.: Similarity methods for differentia l equations. Springer-Verlag,
New York (1974)
4. Bluman, G.W., Kumei, S.: Symmetries and differential equatio ns. Springer-Verlag, New York
(1989)
5. Bluman, G.W., Anco, S.C.: Symmetry and integration methods fo r differential equations.
Springer-Verlag, New York (2002)
6. Evans, L.C.: Partial differential equations. Amer. Math. So c., Providence, RI (2003)
7. Ibragimov, N.H.: Transformation groups applied to mathematic al physics. D. Reidel Publ.
Comp., Dordrecht (1985)
8. Lee, J.M.: Introduction to smooth manifolds. Springer-Verlag , New York (2003)
9. Moser, J., Zehnder, E.J.: Notes on dynamical systems. Courant LNM 1 2, AMS Providence,
RI (2005)
10. Olver, P.J.: Applications of Lie groups to differential e quations. Springer-Verlag, New York
(2000)
11. Ovsiannikov, L.V.: Group analysis of differential equati ons. Academic Press, New York
(1982)
12. Stephani, H.: Differential equations. Their solutions usi ng symmetries (M. McCallum, Ed.).
Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989)
13. Stoilow, S.: Teoria funct ¸iilor de o variabil ˘a complex ˘a. V ol. I: Not ¸iuni s ¸i principii fundamen-
tale. Ed. Acad. R.P.R., Bucures ¸ti (1954)
33

Index
adimensional, 27
algebra Lie, ix, 30
aplicat ¸ie invariant ˘a, 9
Boyer, T., 25
cˆamp vectorial, 6, 7
condit ¸ii de contact, 19, 20
coordonate polare, 11
critic ˘a, 28
curb˘a integral ˘a, 17, 20
curent, 7
derivata total ˘a, 20, 21, 29
ecuat ¸ia c ˘aldurii, 27, 30
ecuat ¸ie autonom ˘a, 4
exponent ¸ial ˘a, 6
extindere, 22
fibratul tangent, 5
forma canonic ˘a, 12
forma normal ˘a, 12
funct ¸ie olomorf ˘a, 8
funct ¸ie vectorial ˘a, 4, 23
generator, ix, 7, 12, 21, 27, 30
grup de rotat ¸ii, 12
grup de translat ¸ii, 12
grup Lie de transform ˘ari, 2, 7, 9, 12, 15, 19,
21, 22, 25, 27, 28, 31
grup Lie local, 1, 4, 21
grupuri Lie, ix, 7, 28, 30
hipersuprafat ¸ ˘a, 20, 21, 28independent ¸ ˘a funct ¸ional ˘a, 11
infinitesimal, 7, 10
invariant ¸ ˘a, 28
lege grupal ˘a, 4
Lie, Marius S., 4, 6, 12
liniarizare, 7
local, 1
metoda caracteristicilor, 11
netezime, 1, 4, 5, 9, 11, 18, 24
Noether, E., 24
orbita, 12, 15
prelungire, 21
push-forward, 7
putere, 6
seria Lie, ix, 6
serie de puteri, 8, 9, 13
simetrie, 17
simetrii punctuale, 12, 17, 21, 27
sistem ˆın variat ¸ie, 12
solut ¸ie invariant ˘a, 28, 31
teorema funct ¸iilor implicite, 3
teorie local ˘a, ix
transform ˘ari, ix
transform ˘ari punctuale, 2
transformare Lie-B ¨acklund, 24
variabil ˘a, 7
variabil ˘a, 19
vector legat, 4
35