Grupul ortogonal [612260]

Grupul ortogonal
Mircea Crasmareanu
Facultatea de Matematic˘ a
Universitatea ”Al. I. Cuza”
Ia¸ si, 700506
Romˆ ania
[anonimizat]
http://www.math.uaic.ro/ »mcrasm
Curs de Perfect ¸ionare 2007
9 Figuri
Abstract
However varied may be the imagination of man, nature is still
thousand times richer.
H. Poincar´ e
1

Paginile care urmeaz˘ a sunt rodul unor ˆ ıntreb˘ ari. De¸ si ˆ ıntreb˘ arile au un
caracter general, ˆ ın sensul c˘ a ¸ si le poate pune orice profesor de matematic˘ a
(sau om de ¸ stiint ¸a, sau ¸ si mai general, orice om) r˘ aspunsurile sunt particulare,
pentru c˘ a ˆ ın matematic˘ a (sau, cum spuneam ˆ ın ¸ stiint ¸˘ a) nu exist˘ a dictatur˘ a!
Astfe, rˆ andurile urm˘ atoare sunt o invitat ¸ie la c˘ autare, la gustare din bucuriile
acestei lumi, atˆ at cˆ at au fost ele g˘ asite de autor. ˆIn mod sigur, sunt mult,
mult mai multe!
S ¸i iat˘ a deci un h˘ at ¸i¸ s al ˆ ıntreb˘ arilor, puse de autor sie¸ si de-a lungul tim-
pului:
1) La pagina xi din [3]
Edit ¸ia englez˘ a a c˘ art ¸ii citate ()
apare citat˘ a o legend˘ a a anilor ’20 ai secolului trecut precum c˘ a exist˘ a
doar doisprezece oameni ˆ ın lume care ˆ ıl pot ˆ ınt ¸elege cu adev˘ arat pe Einstein .
Cel ce scrie aici pred˘ a geometria euclidian˘ a, un subiect cu adev˘ arat ˆ ınt ¸eles
de mult mai mult ¸i. Dar oare sunt printre ace¸ sti preafericit ¸i sau am doar
o viziune exterioar˘ a, ˆ ın¸ sel˘ atoare asupra acestei teorii? Revenind la cartea
citat˘ a, abia acum reu¸ sesc, avˆ and ¸ si un model de comparat, s˘ a apreciez la
justa valoare, c˘ art ¸ile Floric˘ ai T. Cˆ ampan de istorie a lui i¸ si a altor numere
celebre.
2

Concursul Florica T. Campan (? – 19?)
2) Pe coperta a IV-a a c˘ art ¸ii [5] este urm˘ atoarea povestioar˘ a: ”Cinci orbi
au pip˘ ait un elefant ¸ si li s-a cerut s˘ a-l descrie. Cel ce i-a atins un picior a
spus c˘ a-i un stˆ alp, cel ce i-a atins burta a spus c˘ a-i un tavan, cel ce i-a pip˘ ait
o latura a spus c˘ a-i un zid, cel ce i-a atins urechea a spus c˘ a-i un evantai,
iar cel ce i-a atins trompa a spus c˘ a-i un ¸ sarpe uria¸ s.” Asemeni autorului
respectivei c˘ art ¸i, m˘ a ˆ ıntreb ¸ si eu: care dintre orbi sunt, relativ la elefantul
numit geometrie euclidian˘ a ?
3

Note de curs
Fix˘ am num˘ arul natural nenul n¸ siRmult ¸imea numerelor reale. Consider˘ am
produsul cartezian a nfactoriRi.e.Rn=R£: : :£Rcu elemente de forma
x= (x1; : : : ; xn); xi2R;1·i·n.
Definit ¸ia 1 Operat ¸ii peRn:
¢adunarea + :Rn£Rn!Rn; x+y= (x1+y1; : : : ; xn+yn) dac˘ a x=
(x1; : : : ; xn); y= (y1; : : : ; yn).
¢ˆ ınmult ¸irea cu scalari :¢/x52:R£Rn!Rn; ¸x= (¸x1; : : : ; ¸xn) pentru ¸2R.
Elementele x; y2Rnpentru care exist˘ a scalarul ¸a.ˆ ı.y=¸xse numesc
coliniare . Dac˘ a ¸ > 0 spunem c˘ a x; ysunt la fel orientat ¸i iar dac˘ a ¸ < 0
spunem c˘ a x; ysunt contrar orientat ¸i .
Propozit ¸ia 2 (Rn;+;¢/x52)este spat ¸iu vectorial (sau liniar )real.
Demonstrat ¸ie Se verific˘ a imediat axiomele:
SV1) (Rn;+) este grup abelian cu elementul neutru 0 = (0 ; : : : ; 0) numit
vectorul nul .
SV2) distributivit˘ at ¸i generalizate :
SV2.1) ¸(x+y) =¸x+¸y
SV2.2) ( ¸+¹)x=¸x+¹x
SV2.3) ¸(¹x) = (¸¹)x
SV2.4) 1 ¢x=x.¤
Observat ¸ia 3 Din acest motiv, elementele lui Rnle vom numi vectori
(reali) n-dimensionali iarRnˆ ıl numim spat ¸iul aritmetic n-dimensional .
Definit ¸ia 4 1) Un set de k(·n) vectori fe1; : : : ; ekgdinRnˆ ıl numim
liniar independent dac˘ a relat ¸ia ¸1e1+: : :+¸kek=0 implic˘ a ¸1=: : :=¸k=
0.
2) Un set liniar independent de exact nvectori ˆ ıl numim baz˘ a ˆ ınRn.
Observat ¸ia 5 Pentru simplificarea scrierii relat ¸iilor de tipul precedent
vom utiliza regula Einstein : aparit ¸ia unui indice sus ¸ si jos semnific˘ a sumarea
expresiei repective dup˘ a toate valorile acelui indice. Astfel, relat ¸ia din definit ¸ie
se poate scrie concentrat: ¸iei=0.
4

Albert Einstein (1879 – 1955)
Fix˘ am baza B=feig1·i·n¸ si vectorul x. Sistemul fx;e1; : : : ; engavˆ and
n+1> nvectori nu este liniar independent ¸ si deci exist˘ a scalarii ®; ®1; : : : ; ®n
nu tot ¸i nuli a.ˆ ı.:
®x+®iei=0:
ˆIn ultima relat ¸ie nu putem avea ®= 0. ˆIn adev˘ ar, presupunˆ and ®= 0 ar
rezulta ®iei=0, ceea ce, cu definit ¸ia liniarei independent ¸e, ar da c˘ a tot ¸i
®isunt nuli; ˆ ın concluzie s-ar contrazice cuvintele sublinite anterior. Din
neanularea lui ®rezult˘ a: x=¡®i
®ei¸ si deci am obt ¸inut:
Propozit ¸ia 6 Orice x2Rnse descompune ˆ ın raport cu o baz˘ a dat˘ a B:
x=xiei: (1)
Mai mult, scrierea (1)este unic˘ a relativ la B!
Demonstrat ¸ie Trebuie ar˘ atat˘ a doar ultima parte. Din x=xiei=xiei
rezult˘ a ( xi¡xi)ei=0 ¸ si din nou liniara independent ¸˘ a d˘ a concluzia. ¤
Definit ¸ia 7 Scalarii fxig1·i·ndat ¸i de descopunerea (1) se numesc com-
ponentele lui xˆ ın raport cu baza B
Exemplul 8 Se arat˘ a imediat c˘ a Bc=feig1·i·ncu
ei= (0; : : : ; 1; : : : ; 0) avˆ and 1 doar pe locul ieste o baz˘ a ˆ ın Rn.Bco numim
baza canonic˘ a a luiRn¸ si un vector x2Rnare drept componente ˆ ın raport
cuBcexact componentele sale ca vector n-dimensional.
ˆIn afar˘ a de structura algebric˘ a de R-spat ¸iu vectorial, Rnposed˘ a o struc-
tur˘ a topologic˘ a indus˘ a de o metric˘ a ce provine dintr-un produs scalar.
5

Definit ¸ia 9
1) Aplicat ¸ia <; >:Rn£Rn!R:
< x; y > =x1y1+: : :+xnyn(2)
se nume¸ ste produsul scalar euclidian peRn. Avem:
< x; x > = (nX
i=1(xi)2)1
2: (3)
Perechea (Rn; <; > ) o numim spat ¸iul vectorial euclidian n-dimensional canonic .
Doi vectori x; y2Rnˆ ıi numim ortogonali (sauperpendiculari ), ¸ si not˘ am x?y,
dac˘ a:
< x; y > = 0: (4)
Exemplu remarcabil ˆ ın 2D : Dac˘ a x= (a; b)2R2atunci x?= (¡b; a)
este perpendicular pe x. Aceast˘ a alegere (deoarece ¸ si ¡x?este perpendicular
pex) este ˆ ın acord cu sensul trigonometric (care este antiorar!): i?= (¡1;0).
2) Aplicat ¸ia k;k:Rn!R+;kxk=p< x; x > o numim norma euclidian˘ a
peRn. Obt ¸inem:
kxk=p
(x1)2+: : :+ (xn)2: (5)
Vectorul x2Rnpentru care kxk= 1 se nume¸ ste versor .
3) Baza B=feig1·i·no numim ortonormat˘ a dac˘ a este format˘ a din versori
ortogonali doi cˆ ate doi i.e.:
<ei;ej>=±ij (6)
unde ±estesimbolul lui Kronecker adic˘ a 1 dac˘ a i=j¸ si 0 dac˘ a i6=j.
Leopold Kronecker (7.12.1823 – 29.12.1891)
6

Observat ¸ia 10
1) Avem not ¸iunile generale de produs scalar ¸ si norm˘ a:
i) Numim produs scalar pe spat ¸iul vectorial real Vo aplicat ¸ie <; >:V£V!
Rcu propriet˘ at ¸ile:
PS1) pozitiva definire :< x; x > ¸0;8x2V;< x; x > = 0,x= 0V,
PS2) simetria :< x; y > =< y; x > ,
PS3) biliniaritatea :< ¸x +¹y; z > =¸ < x; z > +¹ < y; z > .
Perechea ( V; <; > ) o numim spat ¸iu vectorial euclidian .
(ii) Numim norm˘ a pe spat ¸iul vectorial Vo aplicat ¸ie k ¢ k :V!Rcu
propriet˘ at ¸ile:
N1) (pozitiva definire) kxk ¸0;8x2V;kxk= 0,x= 0 V=vectorul nul
dinV,
N2) (pozitiva omogenitate) k¸xk=j¸jkxk,
N3) (inegalitatea triunghiului) kx+yk · k xk+kyk.
Perechea ( V;k ¢ k) o numim spat ¸iu vectorial normat .
(iii) O inegalitate ce leag˘ a not ¸iunile de produs scalar ¸ si norm˘ a este:
j< u; v > j · kukkvk (7)
numit˘ a forma geometric˘ a a inegalit˘ at ¸ii CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz).
Cauchy (1789 – 1857)
Pe un spat ¸iu vectorial euclidian putem introduce unghiul orientat dintre
doi vectori nenuli: dac˘ a x; y2(Vn f0Vg; <; > ) atunci definim µ=µ(x; y)2
[0; ¼) prin:
cosµ =< x; y >
kxkkyk: (8)
7

Rezult˘ a inegalitatea jcosµj ·1 ¸ si caracterizarea cunoscut˘ a a ortogonalit˘ at ¸ii:
x?y,µ(x; y) =¼
2
6
-xy
Fig. 1 Vectori ortogonali
2) Orice produs scalar genereaz˘ a o norm˘ a¸ :
(V; <; > )!(V;k ¢ k)
dup˘ a formula:
kxk=p< x; x > (9)
3) Apelˆ and la (4) obt ¸inem forma algebric˘ a a inegalit˘ at ¸ii CBS :
jnX
i=1uivij2·ÃnX
i=1¡
ui¢2!ÃnX
i=1¡
vi¢2!
: (10)
Avem egalitate dac˘ a ¸ si numai dac˘ a jcosµ(u; v)j= 1, echivalent vectorii u; v
sunt coliniari, echivalent avem proport ¸ionalitateav1
u1=: : :=vn
un(=¸).
4)Identitatea paralelogramului este specific˘ a normelor generate de un produs
scalar: 8u; v2(V; <; > ) avem:
ku+vk2+ku¡vk2= 2¡
kuk2+kvk2¢
: (11)
Semnificat ¸ia geometric˘ a (ce d˘ a ¸ si denumirea): suma p˘ atratelor diagonalelor
unui paralelogram este egal˘ a cu suma p˘ atratelor laturilor .
Demonstrat ¸ie Se adun˘ a relat ¸iile:
½ku+vk2=kuk2+kvk2+ 2< u; v >
ku¡vk2=kuk2+kvk2¡2< u; v >:¤
S˘ a mai observ˘ am c˘ a prima din relat ¸iile precedente este exact teorema
Pitagora generalizat˘ a sauteorema cosinusului :
ku+vk2=kuk2+kvk2+ 2kukkvkcosµ(u; v) (12)
8

sau ˆ ınc˘ a, alegˆ and u=¡ !BA; v =¡ !AC:
BC2=AB2+AC2+ 2AB¢AC¢cos³
¼¡bA´
deoarece ]³¡ !BA;¡ !AC´
=¼¡bA. Literal, avem:
a2=b2+c2¡2bccosbA: (13)
Evident, pentru triunghiul dreptunghic ˆ ın A, i.e. bA=¼
2, avem teorema
Pitagora ce spune c˘ a p˘ atratul ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept
bA) este egal cu suma p˘ atratelor catetelor.
@
@
@
@
cb a =p
b2+c2
a aa
AC
B
Fig. 2 Teorema Pitagora
Pitagora (c.580 ˆ ı.Hr. – c.500 ˆ ı.Hr.)
Deoarece lucrul cu indici poate deveni la un moment dat deosebit de
dificil vom utiliza ˆ ın cele ce urmeaz˘ a calculul matriceal. Astfel, cu schema
xB!XB=0
B@x1
…
xn1
CArelat ¸ia (1) se scrie:
x= (e1; : : : ; en)¢0
B@x1
…
xn1
CA=B¢XB: (14)
9

Produsul scalar se poate scrie:
< x; y > = (x1; : : : ; x n)¢0
B@y1
…
yn1
CA=tx¢y: (15)
De asemeni, condit ¸ia de ortonormare pentru baze devine:
tB¢B=0
B@e1
…
en1
CA¢¡
e1: : :en¢
=0
@<e1;e1> : : : < e1;en>
: : : : : : : : :
<e1;en> : : : < en;en>1
A=In:
(16)
Exemplul 11 Baza canonic˘ a Bceste ortonormat˘ a.
Studiem ˆ ın continuare problema schimb˘ arilor de baze ˆ ın Rn. Fie deci
B=fe1; : : : ; engrespectiv B0=fe0
1; : : : ; e0
ngbaze (oarecare ˆ ıntr-o prim˘ a
faz˘ a!) ˆ ın Vn. Descompunem vectorul e0
iˆ ın baza Bcu relat ¸ia e0
i=sj
iej¸ si
obt ¸inem astfel ansamblul ( s1
i; : : : ; sn
i) asociat vectorului e0
i. Fie Smatricea
ce are drept coloane ansamblurile precedente:
S=0
BBB@s1
1 s1
i s1
n……………
sn
1 sn
i sn
n
e0
1 e0
i e0
n1
CCCA
este o matrice p˘ atratic˘ a de ordin ni.e.S2Mn(R). Ret ¸inem convent ¸ia
de notare a elementelor unei matrici: indicele superior reprezint˘ a linia iar
indicele inferior reprezint˘ a coloana! Matricea So numim matricea de trecere
de la BlaB0¸ si not˘ am B0=S(B). Spre exemplu, ˆ ın unele c˘ art ¸i aceea¸ si
matrice se notez˘ a cu Cinit ¸iala cuvˆ antului englez change =schimbare.
O alt˘ a scriere a relat ¸iei dintre B¸ siB0, formal˘ a dar deosebit de util˘ a ˆ ın
cele ce urmeaz˘ a, este:
B0=B¢S (17)
ˆ ın care gˆ andim bazele ca matrici linie de vectori ¸ si scalarii din S, de¸ si apar
ˆ ın dreapta vectorilor, ˆ ıi regˆ andim ˆ ın stˆ anga.
Propozit ¸ia 12 (i)Dac˘ a B0=S(B)¸ siB00=S0(B0)atunci B00=SS0(B).
(ii)Matricea Seste inversabil˘ a ¸ si avem B=S¡1(B0).
10

Demonstrat ¸ie (i) Relat ¸ia B00=B0¢S0= (B¢S)¢S0=B¢(SS0) d˘ a
concluzia.
(ii) Fie B00=B. Aplicˆ and (i) rezult˘ a c˘ a matricea de trecere de la BlaB
esteSS0dar evident c˘ a aceasta este matricea unitate In. Prin urmare Seste
inversabil˘ a ¸ si S0matricea de trecere de la B0laBeste exact S¡1.¤
Combinarea relat ¸iilor (13) ¸ si (14) conduce la:
tB0¢B0=tS¢(tBB)¢S (18)
ceea ce implic˘ a urm˘ atorul rezultat fundamental:
Propozit ¸ia 13 (i)Dac˘ a B¸ siB0sunt ortonormate atunci Ssatisface :
tS¢S=In: (19)
(ii)Reciproc, dac˘ a Beste ortonormat˘ a ¸ si Ssatisface identitatea precedent˘ a
atunci B0este ortonormat˘ a.
Demonstrat ¸ie (i)ˆInlocuimtB¢B=tB0¢B0=Inˆ ın (10).
(ii)ˆIn condit ¸iile ipotezei avemtB0¢B0=Inceea ce d˘ a concluzia. ¤
Suntem astfel condu¸ si la introducerea:
Definit ¸ia 14 O matrice S2Mn(R) o numim n-ortogonal˘ a dac˘ a:
tS¢S=In. Not˘ am cu O(n) mult ¸imea matricilor n-ortogonale.
Cum inversul unui element ˆ ıntr-un monoid, dac˘ a exist˘ a, este unic, con-
siderˆ and monoidul ( Mn(R)n fOng;¢) avem c˘ a o matrice n-ortogonal˘ a este
caracterizat˘ a ¸ si de relat ¸ia S¢tS=In. Prin urmare avem urm˘ atorul criteriu
complet de recunoa¸ stere a matricilor n-ortogonale:
Propozit ¸ia 15 Pentru S2Mn(R)urm˘ atoarele afirmat ¸ii sunt echiva-
lente:
(i)S2O(n),
(ii)tS¢S=In,
(iii)coloanele lui Sconstituie o baz˘ a ortonormat˘ a ˆ ın Rn,
(iv)S¢tS=In,
(v)liniile lui Sconstituie o baz˘ a ortonormat˘ a ˆ ın Rn.
Datorit˘ a punctului (ii) din Propozit ¸ia 12 introducem mult ¸imea:
GL(n; K) =fA2Mn(R);Ainversabil˘ a g: (20)
11

Propozit ¸ia 16 GL(n;R)este grup relativ la ˆ ınmult ¸irea matricilor, ne-
abelian pentru n¸2.
Demonstrat ¸ie i) Dac˘ a A; B2GL(n;R) atunci AB2GL(n;R) cu
(AB)¡1=B¡1A¡1. Deci ˆ ınmult ¸irea este lege intern˘ a pe GL(n;R).
ii)ˆInmult ¸irea matricilor este asociativ˘ a.
iii) Element neutru este matricea identitate In¸ si evident In2GL(n;R) cu
I¡1
n=In.
iv) Dac˘ a S2GL(n;R) atunci exist˘ a S¡1¸ si evident S¡12GL(n;R) cu
(S¡1)¡1=S.¤
Definit ¸ia 17 GL(n;R) se nume¸ ste n-grupul liniar general real .
Observat ¸ia 18 (i) Rezultatul anterior are loc mai general pentru GL(n; K)
cuKun corp oarecare. Avem astfel ¸ si n-grupul liniar general complex
GL(n;C).
(ii) Spre exemplu, GL(1; K) =K¤.
Un rezultat central al acestui curs este urm˘ atorul:
Propozit ¸ia 19 O(n)este subgrup ˆ ın GL(n;R).
Demonstrat ¸ie i) Fie A; B2O(n). Din:
t(AB)AB=tBtAAB =tBInB=tBB=In
rezult˘ a c˘ a AB2O(n).
ii) Fie S2O(n) oarecare. Din:
t(S¡1)S¡1=t(tS)tS=StS=In
(conform punctului (iv) al propozit ¸iei 15) rezult˘ a c˘ a S¡12O(n). ¤
Definit ¸ia 20 O(n) se nume¸ ste n-grupul ortogonal .
Reamintim dou˘ a funct ¸ii matriceale remarcabile pe mult ¸imi de matrici
p˘ atratice:
A) Funct ¸ia determinant det:Mn(R)!R, pe o utiliz˘ am la caracterizarea
elementelor lui GL(n;R). Astfel, GL(n;R) =fA2Mn(R);detA6= 0g.
Propriet˘ at ¸i:
A1) este invariant˘ a la transpunere: det(tA) = det A. Reamintim c˘ a o matrice
Apentru caretA=A(respectivtA=¡A) o numim simetric˘ a (respectiv
antisimetric˘ a ).
A2) este multiplicativ˘ a: det(AB) =detA¢detB .
12

Aceast˘ a proprietate spune c˘ a restrict ¸ia detjGL(n;K)!K¤este morfism de
grupuri multiplicative. Acest morfism este surjectiv dar nu este izomorfism
nefind injectiv.
Cum detI n= 1 rezult˘ a:
A3)detcomut˘ a cu luarea inversei: S2GL(n; K))detS¡1= (detS)¡1=
1
detS.
B) Funct ¸ia urm˘ a Tr:Mn(R)!R; TrA =nP
i=1ai
i.
Propriet˘ at ¸i:
B1) este invariant˘ a la transpunere: Tr(tA) =TrA.
B2) este operator liniar Tr(¸A+¹B) =¸TrA +¹TrB adic˘ a
Tr2(Mn(R))¤=dualul spat ¸iului vectorial real Mn(R).
B3!) este invariant˘ a la permut˘ ari circulare: Tr(ABC ) =Tr(BCA ).
B4) ˆ ınlocuind C=Inˆ ın B3) avem: Tr(AB) =Tr(BA).
B5) tot din B3) rezult˘ a c˘ a dac˘ a S2GL(n; K) atunci Tr(SAS¡1) =TrA.
Teorema 21 Funct ¸ia <; >:Mm;n(R)£Mm;n(R)!R:
< A; B > =1
nTr(tB¢A) (21)
este un produs scalar pe Mm;n(R)
Demonstrat ¸ie Tr(tA¢A) =1
nP
i=1;mj=1;njai
jj2¸0;Tr(tA¢A) = 0 ()
A=Om;n= matricea nul˘ a.
n < B; A > =Tr(tA¢B) =Tr(t(tA¢B)) =Tr(tB¢A) =n < A; B > :
Liniaritatea ˆ ın primul argument rezult˘ a imediat din liniaritatea urmei. ¤
Definit ¸ia 22 Produsul scalar (21) se nume¸ ste produsul scalar Hilbert-
Schmidt . Norma indus˘ a o vom numi norma Hilbert-Schmidt .
David Hilbert (23.01.1862 – 14.02.1943)
13

Propozit ¸ia 23 Produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘ a produsul
scalar euclidian (cˆ and n= 1). Din acest motiv folosim aceea¸ si notat ¸ie.
Demonstrat ¸ie Dac˘ a n= 1 avem x; y2Mm(R) ¸ si< x; y > =Tr(ty¢x) =t
y¢xdeoarecety¢xeste un scalar fiindc˘ aty2M1;n(R) ¸ six2Mn;1(R) implic˘ a
ty¢x2M1;1(R) =R. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘ a
produsul scalar euclidian. ¤
Un rezultat extrem de util este datorat inegalit˘ at ¸ii Cauchy-Buniakowski-
Schwarz care devine:
Propozit ¸ia 24 Norma Hilbert-Schmidt este submultiplicativ˘ a i.e.:
kABk · k AkkBk: (22)
Suntem uneori interesat ¸i ˆ ın schimbarea locului unei matrici ˆ ın cadrul pro-
dusului scalar:
Propozit ¸ia 25 Dac˘ a A; B; C 2Mn(R)atunci :
< A¢B; C > =< B;tA¢C >; (23)
< B¢A; C > =< B; C ¢tA > : (24)
Demonstrat ¸ie
n < B;tA¢C >=Tr(t¡tAC¢
B) =Tr¡tCAB¢
=n < A ¢B; C >;
n < B; C ¢tA >=Tr(t¡tCA¢
B) =Tr¡tACB¢
=Tr¡tCBA¢
=n < B ¢A; C > :
Corolarul 26 Dac˘ a S2O(n)¸ siA2Mn(R)atunci :
kSAS¡1k=kAk: (25)
Demonstrat ¸ie
< SAS¡1; SAS¡1>=< AS¡1;tSSAS¡1>=< AS¡1; AS¡1>=
=< A; AS¡1t¡
S¡1¢
>=< A; AS¡1S >=< A; A > :
Definit ¸ia 27 Matricile A; B2Mn(K) se numesc asemenea (ˆ ın englez˘ a
”similar”) dac˘ a exist˘ a S2GL(n; K) a.ˆ ı.:
B=SAS¡1: (26)
14

Propozit ¸ia 28 Dou˘ a matrici asemenea au acela¸ si determinant ¸ si aceea¸ si
urm˘ a. Dac˘ a S2O(n)atunci au ¸ si aceea¸ si norm˘ a .
FieS2O(n). Trecˆ and la determinant ˆ ın relat ¸ia caracteristic˘ atS¢S=In
¸ si folosind proprietatea A1 obt ¸inem ( detS)2= 1 ceea ce conduce la:
Propozit ¸ia 29 Dac˘ a S2O(n)atunci detS2 f¡ 1;+1g.
Definit ¸ia 31 Consider˘ am O¡(n) =fS2O(n);detS =¡1g¸ siSO(n) =
fS2O(n);detS = +1g.
Propozit ¸ia 32 O¡(n)nu este parte stabil˘ a la ˆ ınmult ¸irea matricilor deci
nu este subgrup ˆ ın O(n).
Demonstrat ¸ie FieS1; S22O¡(n). Atunci det(S1S2) = (¡1)(¡1) = +1
deciS1S22SO(n).¤
Propozit ¸ia 33 SO(n)este subgrup ˆ ın O(n).
Demonstrat ¸ie Un calcul imediat arat˘ a c˘ a SO(n) este parte stabil˘ a la
ˆ ınmult ¸irea matricilor. Fie S2SO(n) oarecare. Cum S¡1=Stdin propri-
etatea A1 rezult˘ a c˘ a detS¡1=detS = +1 i.e. S¡12SO(n).¤
Definit ¸ia 34 SO(n) se nume¸ ste n-grupul ortogonal special .
Exemplul 35 O(1) =f¡1;+1g; O¡(1) =f¡1g; SO(1) =f+1g.
Definit ¸ia 36 Fie spat ¸iul vectorial normat ( V;kk), elementul x02V¸ si
num˘ arul real r >0. Mult ¸imea S(x0; r) =fx2V;kx¡x0k=rgo numim
sfera centrat˘ a ˆ ın x0de raz˘ a r.
Exemplul 37 Sfera unitate esteSn=fx2V;kxk= 1g. Astfel, cercul
unitate S1este binecunoscutul cerc trigonometric S1=fz2C;jzj= 1gal
numerelor complexe de modul 1.
6
–
ÁÀ¿
xy
S1ai
Fig. 3 Cercul unitate
15

Propozit ¸ia 38 O(n)este sfera din Mn(R)centrat˘ a ˆ ın origine=matricea
nul˘ a, de raz˘ a r= 1relativ la distant ¸a indus˘ a de norma Hilbert-Schmidt .
Demonstrat ¸ie FieS2O(n) oarecare. Avem: d(On; S) =kSk=
p< S; S > =q
1
nTr(St¢S) =q
1
nTrI n= 1. ¤
ˆIncheiem acest curs cu o consecint ¸˘ a important˘ a a Propozit ¸iei 25:
TEOREM ˘A: Relat ¸ia fundamental˘ a a geometriei euclidiene
FieA; B2Mn(R)¸ siS2O(n).Atunci :
< SA; SB > =< A; B >; < AS; BS > =< A; B > : (27)
ˆIn particular, dac˘ a x; y2Rnatunci :
< Sx; Sy > =< x; y > : (28)
Relat ¸ia (27)spune c˘ a O(n) invariaz˘ a produsul scalar euclidian pe Rn.
Cum ortogonalitatea ¸ si norma euclidian˘ a sunt generat˘ a de produsul scalar
euclidian avem ¸ si:
COROLAR O(n) invariaz˘ a
i)ortogonalitatea i.e. x?y,Sx?Sy,
ii)norma euclidian˘ a pe Rni.e.:
kSxk=kxk: (29)
Mai general, datorit˘ a relat ¸iei (8)avem c˘ a O(n)invariaz˘ a orice unghi .
16

1 SEMINAR: Grupul ortogonal
S1.1 FieGL+(n;R) respectiv GL¡(n;R) mult ¸imea matricilor cu determinant
strict pozitiv repectiv strict negativ. S˘ a se arate c˘ a GL¡(n;R) nu este parte
stabil˘ a la ˆ ınmult ¸ire ¸ si c˘ a GL+(n;R) este subgrup ˆ ın GL(n;R).
Rezolvare Acelea¸ si argumente ca la Propozit ¸iile 32 ¸ si 33.
S1.2 S˘ a se arate c˘ a mult ¸imea SL(n;R) a matricilor de determinant +1
este subgrup ˆ ın GL+(n;R). Acest grup se nume¸ ste n-grupul liniar special
real.
Rezolvare Verific˘ area condit ¸iilor de subgrup este imediat˘ a.
Exemplu :SL(1;R) = SO(1) = +1. Pentru n¸2 avem SO(n)½
SL(n;R) dup˘ a cum o arat˘ a exercit ¸iul S4.
S1.3 Utilizˆ and rezultatul precedent ¸ si Propozit ¸ia 19 s˘ a se reobt ¸in˘ a c˘ a
SO(n) este subgrup ˆ ın O(n).
Rezolvare Avem: SO(n) =O(n)\SL(n;R).
S1.4 S˘ a se arate c˘ a matricea:
S=µ3 4
2 3¶
este ˆ ın SL(2;R) dar nu este ˆ ın SO(2).
Rezolvare Avem det S= 1 ¸ si:
tSS=µ3 2
4 3¶µ3 4
2 3¶
=µ13 18
18 25¶
6=I2:
S1.5 S˘ a se determine O(2). Interpretare geometric˘ a pentru SO(2).
Rezolvare Reamintim c˘ a pentru A2O(n) coloanele sale sunt versori
ortogonali doi cˆ ate doi. Un versor ˆ ın R2este de forma ¯ u= (cos'; sin' ) iar
un versor ortogonal pe acesta este ¯ u?=§(¡sin'; cos' ).
Cazul I
R'=µcos'¡sin'
sin'cos'¶
; ' 2[0;2¼) (30)
descrie SO(2). Interpretarea geometric˘ a cerut˘ a este urm˘ atoarea: transfor-
marea liniar˘ a a lui R2de matrice R'esterotat ¸ia de unghi 'ˆ ın sens trigono-
metric (i.e. antiorar) din origine!
17

Cazul II
S'=µcos'sin'
sin'¡cos'¶
; ' 2[0;2¼) (31)
descrie O¡(2).
S1.6 (Interpretare geometric˘ a pentru O¡(2)) Fie d'=2dreapta din plan
ce trece prin origine ¸ si face unghiul orientat '=2 cu axa Ox. S˘ a se arate c˘ a
simetria axial˘ a ˆ ın raport cu d'=2este transformarea liniar˘ a pe R2de matrice
S'. Exemple.
Rezolvare Ecuat ¸ia lui d'=2:y=tg'
2¢xse scrie d'=2:¡sin'
2¢x+cos'
2¢y=
0 deci aceast˘ a dreapt˘ a are versorul normalei ¯N= (¡sin'
2; cos'
2). Avem
formula:
rM00=rM¡2F¼(rM)
kNk2N (32)
ce d˘ a simetricul M00al punctului Mfat ¸˘ a de hiperplanul ¼de normal˘ a N,
deci de ecuat ¸ie ¼:F¼(r) :=<r;N >= 0. Prin urmare, simetria axial˘ a fat ¸˘ a
de dreapta d=d'=2are ecuat ¸ia:
Sd(x; y) = (x; y)¡2(sin'
2¢x+cos'
2¢y)(¡sin'
2; cos'
2) =
=³
x(1¡2 sin2'
2) + 2ysin'
2cos'
2;2xsin'
2cos'
2+y(1¡2 cos2'
2)´
=
= (xcos'+ysin'; xsin'¡ycos') =S'¢µx
y¶
:
Exemple :
I)'= 0)d'=2=axa Ox. Avem deci simetria fat ¸˘ a de Ox:
S0=µ1 0
0¡1¶
; S Ox(x; y) =µ1 0
0¡1¶µx
y¶
=µx
¡y¶
:(33)
ˆIn englez˘ a S0se nume¸ ste reflection across x-axis .
6
–
xy
¡¡a(x; y)
a@@
(x;¡y)
18

Fig. 4 Simetria fat ¸˘ a de Ox
II)'=¼)d'=2=axa Oy. Avem deci simetria fat ¸˘ a de Oy:
S¼=µ¡1 0
0 1¶
; S Oy(x; y) =µ¡1 0
0 1¶µx
y¶
=µ¡x
y¶
:(34)
6
–
xy
¡¡a(x; y)a
@@(¡x; y)
Fig. 5 Simetria fat ¸˘ a de Oy
III)'=¼
2)d'=2=prima bisectoare B1. Avem deci simetria fat ¸˘ a de B1:
S¼
2=µ0 1
1 0¶
; S B1(x; y) =µ0 1
1 0¶µx
y¶
=µy
x¶
: (35)
6
–
xy
¡¡¡¡B1
¡
¡
¡
¡
Fig. 6 Prima bisectoare
IV)'=3¼
2)d'=2=a doua bisectoare B2. Avem deci simetria fat ¸˘ a de
B2:
S3¼
2=µ0¡1
¡1 0¶
; S B2(x; y) =µ0¡1
¡1 0¶µx
y¶
=µ¡y
¡x¶
:(36)
19

6
–
xy
@@@@B2
@
@
@
@
Fig. 7 A doua bisectoare
S1.7 (Compunerea simetriilor axiale ˆ ın plan) Fie d1; d2drepte ˆ ın plan
prin origine ¸ si ®unghiul orientat de la d1lad2. S˘ a se arate c˘ a simetria axial˘ a
fat ¸˘ a de d1compus˘ a cu cea fat ¸˘ a de d2este rotat ¸ia de unghi ®.
Rezolvare Un calcul imediat, folosind identit˘ at ¸i trigonometrice, d˘ a:
S'2¢S'1=R'2¡'1=R® (37)
S1.8 S˘ a se arate c˘ a:
R'1¢R'2=R'1+'2 (38)
¸ si s˘ a se interpreteze.
Rezolvare Folosind identit˘ at ¸i trigonometrice relativ la cosinusul ¸ si si-
nusul sumei de unghiuri avem relat ¸ia cerut˘ a.
Interpretare : avem c˘ a grupul SO(2) este abelian, rezultat ce nu este
valabil pentru SO(n) cun¸3.
S1.9 S˘ a se arate c˘ a:
SµR'=Sµ¡' (39)
RµS'=Sµ+': (40)
Rezolvare Se folosesc din nou identit˘ at ¸ile trigonometrice uzuale.
S1.10 Fix˘ am S2O¡(n). S˘ a se arate c˘ a O¡(n) =fRS;R2SO(n)g.
Tratat ¸i cazul particular n= 2.
Rezolvare Fix˘ am A2O¡(n); trebuie s˘ a rezolv˘ am ecuat ¸ia A=RSˆ ın
necunoscuta R. Cum S2O¡(n)½O(n)=grup, exist˘ a S¡12O(n). Avem
deci solut ¸ia unic˘ a R=AS¡12O(n). Din multiplicitatea determinatului
rezult˘ a det R= (¡1)(¡1) = +1 adic˘ a R2SO(n).
20

Exemplu . Putem lua simetria fat ¸˘ a de primul hiperplan:
S=Sn=0
BBB@1
…
1
¡11
CCCA2O¡(n):
Caz particular n= 2. Fix˘ am R=R'¸ siS=S2coincide cu S0a
problemei S6. Avem:
RS=R'¢µ1 0
0¡1¶
=S'
reobt ¸inˆ and astfel expresia matricilor din O¡(2).
S1.11 Se cere inversa S¡1
µa simetriei Sµ2O¡(2).
Rezolvare Folosind (37) avem:
SµSµ=Rµ¡µ=R0=I2 (41)
¸ si deci:
S¡1
µ=Sµ: (42)
S1.12 S˘ a se arate c˘ a singurele rotat ¸ii ce comut˘ a cu simetria S'2O¡(2)
sunt R0=I2¸ siR¼=¡I2.
Rezolvare Presupunem S'Rµ=RµS'¸ si utiliz˘ am (39) ¸ si (40); rezult˘ a
S'¡µ=Sµ+'. Reamintim c˘ a S®=S¯este echivalent cu ¯´®(mod2¼) ¸ si
deci: µ+'='¡µ+ 2k¼; k2Z. Rezult˘ a µ=k¼dar din µ2[0;2¼) avem
k2 f0;1gceea ce voiam.
S1.13 Se nume¸ ste centru al grupului Gmult ¸imea Z(G) a elementelor lui
Gce comut˘ a cu toate elementele lui Gi.e.Z(G) =fx2G;xy=yx;8y2Gg.
(Spre exemplu, dac˘ a Geste abelian atunci Z(G) =G.) Folosind problema
precedent˘ a se cere centrul lui O(2).
Rezolvare Deoarece SO(2) este abelian avem c˘ a Z(O(2)) este dat de ele-
mentele lui O(2) ce comut˘ a cu cele din O¡(2). Datorit˘ a rezultatului anterior
avem Z(O(2)) = f+I2;¡I2g:
Pentru cazul general avem rezultatul urm˘ ator, [6, p. 144]:
Z(SO(2n)) =f+I2n;¡I2ng 'Z2 (43)
21

Z(SO(2n+ 1)) = fI2n+1g 'grupul trivial (44)
unde'ˆ ınseamn˘ a izomorfism de grupuri iar Z2=fˆ0;ˆ1geste grupul aditiv al
claselor de resturi modulo 2.
S1.14 S˘ a se arate c˘ a Z(GL(n;R)) =f¸In;¸2R¤g.
Rezolvare Fiex2Z(GL(n;R)) ¸ si:
y1
n=0
BBB@¡1
1
…
11
CCCA2GL(n;R):
ˆIn matricea produs xyprima coloan˘ a este -prima coloan˘ a din xiar ˆ ın ma-
tricea produs yxprima linie este -prima linie din x. Din egalitatea xy=yx
rezult˘ a c˘ a pe prima coloan˘ a ¸ si prima linie din matricea xnu r˘ amˆ ane decˆ at x1
1.
Procedˆ and analog cu matricile y2
n; : : : ; yn
nrezult˘ a c˘ a xeste matrice diagonal˘ a:
x=0
BBB@x1
1
x2
2…
xn
n1
CCCA:
Fie acum pentru i; j2 f1; : : : ; n gindici diferit ¸i, matricea zij
nce schimb˘ a ˆ ıntre
ele liniile i; jdin matricea In. Avem zij
n2GL(n;R) iar comutarea xzij
n=zij
nx
implic˘ a rezultatul.
S1.15 Dat grupul Gcu elementul neutru e¸ si elementul x2Gdac˘ a exist˘ a
n2N¤a.ˆ ı.xn=eatunci cel mai mic m2N¤pentru care xm=ese nume¸ ste
ordinul lui xˆ ınG(sau, cu o denumire mai veche, perioada lui xˆ ınG).ˆIn
caz contrar, spunem c˘ a xareordin infinit .
Se cere ordinul elementelor lui O(2).
Rezolvare Dat˘ a simetria Sµ, datorit˘ a relat ¸iei (40) avem c˘ a Sµare ordinul
2.
Fie acum rotat ¸ia R'. Datorit˘ a relat ¸iei (38) avem:
Rn
'=Rn' (45)
¸ si deci avem dou˘ a cazuri:
I)'=multiplu rat ¸ional de 2 ¼.
22

Dac˘ a '=2k¼
natunci R'are ordinul n.
II)'=multiplu irat ¸ional de 2 ¼.
Atunci R'are ordin infinit.
S1.16 Un subgrup Hal grupului Gse nume¸ ste divizor normal dac˘ a avem
xHx¡1=Hpentru orice x2G.
S˘ a se arate c˘ a SL(n; K) este divizor normal ˆ ın GL(n; K). Consecint ¸˘ a
pentru SO(n).
Rezolvare FieS2GL(n; K) ¸ siU2SL(n; K). Deoarece GL(n; K) este
grup avem c˘ a SUS¡12GL(n; K) iar din multiplicativitatea determinantului
rezult˘ a det(SUS¡1) =detU = +1 i.e. U2SL(n; K).
Consecint ¸˘ a :SO(n) =SL(n;R)\O(n) este divizor normal ˆ ın O(n).
Observat ¸ie Dac˘ a Geste grup abelian atunci orice subgrup al s˘ au este
divizor normal. Exemplu: S1este divizor normalˆ ın C¤; a se vedea Consecint ¸a
de la exercit ¸iul S20.
S1.17 Folosind formulele (37) ¡(40) s˘ a se reobt ¸in˘ a faptul c˘ a SO(2) este
divizor normal ˆ ın O(2).
Rezolvare Avem:
1)RµR'R¡1
µ=Rµ+'+(¡µ)=R'2SO(2),
2)SµR'S¡1
µ=SµR'Sµ=Rµ¡(µ+')=R¡'2SO(2).
S1.18 S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia modul kk:C!R+; z=x+iy! jzj=p
x2+y2este multiplicativ ˘ a:
jz1z2j=jz1jjz2j: (46)
Rezolvare Dac˘ a z1=x1+iy1; z2=x2+iy2atucni:
z1z2= (x1x2¡y1y2) +i(x1y2+x2y1) (47)
¸ si atunci relat ¸ia cerut˘ a este echivalent˘ a cu:
(x1x2¡y1y2)2+ (x1y2+x2y1)2= (x2
1+y2
1)(x2
2+y2
2) (48)
care este adev˘ arat˘ a, ambii membrii fiind ( x1x2)2+(x1y2)2+(x2y1)2+(y1y2)2.
Observat ¸ie Modulul este de fapt norma euclidian˘ a pe R2=C.
S1.19 S˘ a se arate c˘ a ( C¤;¢) este grup abelian.
23

Rezolvare 1) Se arat˘ a imediat c˘ a produsul a dou a numere complexe
nenul este un num˘ ar complex nenul folosind proprietatea analoag˘ a de la
numere reale.
2) Se verific˘ a prin calcul asociativitatea ˆ ınmult ¸irii numerelor complexe.
3) Element neutru este 1 = 1 + i¢0.
4) Privind la relat ¸ia (47) se observ˘ a imediat invariant ¸a indicilor la per-
mutarea 1 $2 ceea ce ˆ ınseamn˘ a comutativitatea z1z2=z2z1.
5) Fie num˘ arul complex z=x+iy2C¤¸ siconjugatul s˘ au ¯z=x¡iycare
apart ¸ine tot lui C¤. Avem:
z¯z=jzj2(49)
¸ si din znenul avem jzj>0. Avem atunci inversul:
z¡1=1
kzk2¯z: (50)
S1.20 S˘ a se arate c˘ a S1este subgrup ˆ ın C¤. Consecint ¸˘ a asupra comuta-
tivit˘ at ¸ii lui S1.
Rezolvare 1) Fie z1; z22S1. Din (46) avem: jz1z2j=jz1jjz2j= 1¢1 = 1
i.e.z1z22S1.
2) Fie z2S1. Conform (50) avem:
z¡1= ¯z: (51)
6
–
ÁÀ¿
xy
S1az
az¡1= ¯z
Fig. 8 Inversul unui element din cercul unitate
Dar:
j¯zj=jzj (52)
¸ si deci jz¡1j=j¯zj=jzj= 1 i.e. z¡12S1.
Consecint ¸˘ a CumC¤este abelian rezult˘ a c˘ a ¸ si S1este abelian.
S1.21 FieJ:C¤!GL(2;R); z=x+iy!J(z):
J(z) =xI2+yJ2=µx¡y
y x¶
(53)
24

unde:
J2=µ0¡1
1 0¶
: (54)
S˘ a se arate c˘ a Jeste morfism injectiv de grupuri multiplicative. Interpretare
pentru funct ¸ia modul.
Rezolvare Observ˘ am mai ˆ ıntˆ ai faptul c˘ a zfiind nenul avem, ˆ ın adev˘ ar,
J(z)2GL(2;R).
1)J(z1) =J(z2) implic˘ a, via egalitatea primei coloane, z1=z2.
2)
J(z1)J(z2) =µx1¡y
y1x11¶µx2¡y2
y2x2¶
=
=µx1x2¡y1y2¡(x1y2+x2y1)
x1y2+x2y1x1x2¡y1y2¶
=J(z1z2):
Interpretare :
jzj2=detJ(z): (55)
Obt ¸inem astfel o alt˘ a demonstrat ¸ie pentru multiplicativitatea modulului:
jz1z2j2=det(J(z1z2)) =det(J(z1)J(z2)) =detJ(z1)detJ(z2) =jz1j2jz2j2:
S1.22 S˘ a se arate c˘ a:
J2
2=¡I2: (56)
Deci, J2este o extensie 2-dimensional˘ a a unit˘ at ¸ii complexe i=p¡1. Din
acest motiv, J2se nume¸ ste structura complex˘ a (sau uneori structura simplec-
tic˘ a) a planului.
Rezolvare
J2
2=µ0¡1
1 0¶µ0¡1
1 0¶
=µ¡1 0
0¡1¶
:
S1.23 S˘ a se arate c˘ a J22SO(2).
Rezolvare
tJ2¢J2=µ0 1
¡1 0¶µ0¡1
1 0¶
=µ1 0
0 1¶
¸ sidetJ 2= +1.
25

S1.24 S˘ a se arate c˘ a:
J(S1) =SO(2): (57)
Rezolvare Fiez2Ccu scrierea trigonometric˘ a: z=jzj(cos' +isin' ).
Dac˘ a z2S1atunci: z=cos' +isin' ¸ si deci J(z) =R'2SO(2).
6
–
ÁÀ¿
xy
S1
az
aasin'
cos'¾
?
Fig. 9 Un element din cercul unitate ¸ si scrierea sa trigonometric˘ a
Consecint ¸˘ a foarte important˘ a Cum Jera deja morfism injectiv avem
izomorfismul de grupuri:
SO(2)'S1: (58)
O alt˘ a observat ¸ie important˘ a este aceea c˘ a aplicat ¸ia Jconserv˘ a nu numai
structura algebric˘ a (de grup) ci ¸ si cea metric˘ a deoarece atˆ at elementele lui
S1cˆ at ¸ si cele ale lui SO(2) au norma (euclidian˘ a=modul, respectiv Hilbert-
Schmidt) egal˘ a cu 1. Spunem c˘ a Jeste o izometrie .
S1.25 S˘ a se expliciteze izomorfismul Jˆ ın termeni de exponent ¸ial˘ a. In-
terpretare pentru ˆ ınmult ¸irea exponent ¸ialelor.
Rezolvare Fiez2Ccu scrierea trigonometric˘ a: z=jzj(cos' +isin' ).
Reamintim c˘ a zadmite ¸ si scrierea exponent ¸ial˘ a :
z=jzjei': (59)
Rezult˘ a:
J(ei') =R': (60)
Interpretare Din ultima relat ¸ie reobt ¸inem binecunoscuta lege deˆ ınmult ¸irea
exponent ¸ialelor:
ei'1¢ei'2=J¡1(R'1)J¡1(R'2) =J¡1(R'1R'2) =J¡1(R'1+'2) =ei('1+'2)
26

care ˆ ınseamn˘ a relat ¸ia lui Moivre :
(cos' +isin' )(cosµ+isinµ ) =cos('+µ) +isin('+theta ): (61)
ˆIn particular:
(cos' +isin' )n=cos(n') +isin(n'): (62)
S1.26 FieA2Mn(R) ¸ si¸2C.
1)¸se nume¸ ste r˘ ad˘ acin˘ a caracteristic˘ a a lui Adac˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a a polino-
mului caracteristic :
PA(¸) =det(A¡¸In): (63)
2) Dac˘ a ¸2Ratunci ¸se nume¸ ste valoare proprie dac˘ a exist˘ a x2Rnf¯0g
a.ˆ ı.:
Ax=¸x: (64)
Acest xse nume¸ ste vector propriu corespunz˘ ator valorii proprii ¸.
S˘ a se arate c˘ a orice valoare proprie este r˘ ad˘ acin˘ a caracteristic˘ a. Consecint ¸˘ a
pentru nimpar.
Rezolvare Relat ¸ia (62) este echivalent˘ a cu sistemul:
(A¡¸In)x=f¯0g
care este liniar ¸ si omogen. S ¸tim c˘ a un astfel de sistem admite solut ¸ie nenul˘ a
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a determinantul sistemului este nul.
Consecint ¸˘ a . Gradul polinomului caracteristic este n. Prin urmare, dac˘ a
neste impar, o matrice A2Mn(R) admite m˘ acar o valoare proprie.
S1.27 FieS2O(n) ce admite valoarea proprie ¸. S˘ a se arate c˘ a ¸2
S0=f¡1;+1g. Consecint ¸˘ a pentru S2SO(n) cunimpar. Caz particular
n= 3.
Rezolvare Deoarece S2O(n) avem, pentru vectorul propriu x:
< Sx; Sx > =< x; x > =kxk2
¸ si totodat˘ a;
< Sx; Sx > =< ¸x; ¸x > =k¸xk2=j¸j2kxk2:
Egalˆ and ultimele dou˘ a relat ¸ii ¸ si folosind kxk 6= 0 avem j¸j= 1.
27

Consecint ¸˘ a . Dac˘ a S2SO(n) ¸ si¸1; : : : ; ¸ nsunt r˘ ad˘ acinile sale car-
acteristice atunci folosind ultima relat ¸ie Viet´ e avem: ¸1: : : ¸ n= (¡1)n¡1.
Presupunˆ and c˘ a neste impar ¸ si ¸1; : : : ; ¸ nsunt chiar valorile proprii ale lui
Srezult˘ a c˘ a ¸1: : : ¸ n= 1 ¸ si deci avem variantele:
i)¸1=: : :=¸n= 1,
ii) un num˘ ar impar de ¸sunt +1 ¸ si un num˘ ar par de ¸sunt (¡1).
Caz particular n= 3. O matrice S2SO(3) poate avea urm˘ atoarele
r˘ ad˘ acini caracteristice:
1)¸1=¸2=¸3,
2)¸1= 1; ¸2=¸3=¡1,
3)¸1= 1; ¸2=¯¸3=eiµ.
S1.28 Se cer r˘ ad˘ acinile caracteristice ale matricilor din O(2). S˘ a se
studieze diagonalizabilitatea elementelor lui O(2).
Rezolvare 1) Ecuat ¸ia ce d˘ a r˘ ad˘ acinile caracteristice pentru matrici din
SO(2):
PR'(¸) =¯¯¯¯cos'¡¸¡sin'
sin' cos'¡¸¯¯¯¯=¸2¡2¸cos'+ 1 = 0
are discriminantul redus: ∆0= cos2'¡1 =¡sin2'·0 ¸ si deci avem solut ¸ia
¸1=¸2=ei'. Avem ∆0= 0 doar in cazurile:
i)'= 0 cˆ and reobt ¸inem R0=I2cu valorile proprii ¸1=¸2= 1,
ii)'=¼cˆ and reobt ¸inem R¼=¡I2cu valorile proprii ¸1=¸2=¡1.
2) Ecuat ¸ia ce d˘ a r˘ ad˘ acinile caracteristice pentru matrici din O¡(2):
PS'(¸) =¯¯¯¯cos'¡¸sin'
sin' ¡cos'¡¸¯¯¯¯=¸2¡1 = 0
are solut ¸iile ¸1= +1 ; ¸2=¡1. Deci orice simetrie axial˘ a este diagonalizabil˘ a
cu forma diagonal˘ a S0.
Vectorii proprii:
1)V(¸1) : (cos'¡1)x+sin'y = 0 are solut ¸ia ¯ u1= (1; tg'
2),
2)V(¸2) : (cos' + 1)x+sin'y = 0 are solut ¸ia ¯ u2= (1;¡ctg'
2).
Avem deci matricea de diagonalizare:
S=µ1 1
tg'
2¡ctg'
2¶
28

¸ si un calcul imediat d˘ a inversa:
S¡1=1
2sin'¢µctg'
21
tg'
2¡1¶
:
Concluzie Avem un rezultat ce puneˆ ın balant ¸˘ a ”calit˘ at ¸ile” ¸ si ”defectele”
celor dou˘ a mult ¸imi SO(2) respectiv O¡(2):
i)SO(2) este subgrup (”calitate”) dar singurele sale elemente diagonalizabile
sunt cele triviale §I2(”defect”),
ii)O¡(2) nu-i subgrup (”defect”) dar are toate elementele diagonalizabile
(”calitate”).
Ca o sugestie aproape filozofic˘ a: nimic din ce ne-a dat Dumnezeu nu-i de
lep˘ adat chiar dac˘ a a¸ sa ar p˘ area la o prim˘ a vedere!
29

2 SEMINAR: Aplicat ¸ii ale formei algebrice a
inegalit˘ at ¸ii CBS
S2.1 Metoda vectorului constant
Ce devine forma algebric˘ a a inegalit˘ at ¸ii CBS (i.e. relat ¸ia (10)) dac˘ a vectorul
veste constant?
Rezolvare Putem lua v= (1; : : : ; 1) ¸ si relat ¸ia (10) devine:
jnX
i=1uij2·nÃnX
i=1¡
ui¢2!
: (65)
sau sub forma:
jnX
i=1uij ·pnÃnX
i=1¡
ui¢2!1
2
: (66)
Avem egalitate dac˘ a ¸ si numai dac˘ a vectorul ueste la rˆ andul s˘ au constant i.e.
u1=: : :=un.
S2.2 Metoda split˘ arii
I) Fie p; q2(0;1) a.ˆ ı. p+q= 1. Atunci, dac˘ a xeste un vector n-dimensional
cu toate componentele strict pozitive avem:
(nX
i=1xi)2·ÃnX
i=1¡
xi¢2p!ÃnX
i=1¡
xi¢2q!
: (67)
II) Fie m; p2R. Atunci:
(nX
i=1xi)m·ÃnX
i=1¡
xi¢m+p!ÃnX
i=1¡
xi¢m¡p!
: (68)
Rezolvare I) Lu˘ am u=¡
(x1)p; : : : ; (xn)p¢
respectiv v=¡
(x1)q; : : : ; (xn)q¢
.
II) Lu˘ am u=³
(x1)m+p
2; : : : ; (xn)m+p
2´
respectiv v=³
(x1)m¡p
2; : : : ; (xn)m¡p
2´
.
Avem egalitate pentru xvector constant.
S2.3 Metoda versorului
Ce devine inegalitatea CBS dac˘ a veste versor?
30

Rezolvare
jnX
i=1uivij2·ÃnX
i=1¡
ui¢2!
: (69)
S2.4 Folosind metoda versorului s˘ a se arate c˘ a pentru orice x; y; z avem:
½jxcosµ+ysinµj ·p
x2+y2
jxcos'cosµ+ycos'sinµ+zsin'j ·p
x2+y2+z2:
Rezolvare v= (cos µ;sinµ) respectiv v= (cos 'cosµ;cos'sinµ;sin')
sunt versori. Presupunem x6= 0. Prima relat ¸ie este egalitate cˆ and tgµ=y
x.
Pentru a obt ¸ine cazul de egalitate ˆ ın a doua relat ¸ie presupunem ¸ si y6= 0.
Avem atunci egalitate dac˘ a tgµ=y
x¸ sitg'=zjyj
yp
x2+y2.
S2.5 Folosind metoda vectorului constant s˘ a se arate:
1 +p
2 +: : :+pn < nr
n+ 1
2:
Rezolvare Lu˘ am ˆ ın (66) vectorul u=¡
1;p
2; : : : ;pn¢
.
S2.6 Metoda simetriilor
Fie vectorul x= (x1; : : : ; xn) de termeni strict pozitivi ¸ si S(x) =nP
i=1xi. S˘ a
se arate:
i)S(x)·(n¡1)nP
i=1(xi)2
S¡xi,
ii)q
S(x)¡x1
S(x)+: : :+q
S(x)¡xn
S(x)·p
n(n¡1),
iii)12
x1+: : :+n2
xn¸n2(n+1)2
4S(x).
Rezolvare i) Folosim CBS cu u=µ
x1p
S(x)¡x1; : : : ;xnp
S(x)¡xn¶
¸ si
v=³p
S(x)¡x1; : : : ;p
S(x)¡xn´
.
ii) Folosim u=³q
S(x)¡x1
S(x); : : : ;q
S(x)¡xn
S(x)´
ˆ ın (66).
iii) Folosim CBS cu u=³
1p
x1; : : : ;np
xn´
¸ si
v=³p
x1; : : : ;pxn´
.
Inegalit˘ at ¸ile devin egalit˘ at ¸i doar pentru vectori constant ¸i.
31

S2.7 De la identit˘ at ¸i la inegalit˘ at ¸i
Se ¸ stie c˘ a funct ¸ia f(x) =cos(µx) satisface f2(x) =1
2(1+f(2x)). Fie numerele
p1; : : : ; p n2(0;1) cu p1+: : :+pn= 1. S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia ponderat˘ a
g(x) =p1f(µ1x) +: : :+pnf(µnx) satisface g2(x)·1
2(1 +g(2x)).
Rezolvare Folosim CBS cu u=¡pp1; : : : ;ppn¢
¸ si
v=¡pp1cos (µ1x); : : : ;ppncos (µnx)¢
.
S2.8 Inegalitatea mediilor
Fie vectorul x= (x1; : : : ; xn) de termeni strict pozitivi ¸ si:
i)media aritmetic˘ a Ma(x) =x1+:::+xn
n,
ii)media geometric˘ a Mg(x) =np
x1¢: : :¢xn,
iii)media armonic˘ a Mh(x) =n
(x1)¡1+:::+(xn)¡1,
iv)media p˘ atratic˘ a Mp(x) =q
(x1)2+:::+(xn)2
n.
S˘ a se arate inegalitatea mediilor:
Mh(x)·Mg(x)·Ma(x)·Mp(x): (70)
Rezolvare
a) Inegalitatea Mh(x)·Ma(x) rezult˘ a din CBS cu u=x¸ siv= (1
x1; : : : ;1
xn):
n2·¡
x1+: : :+xn¢µ1
x1+: : :+1
xn¶
: (71)
b) Inegalitatea Ma(x)·Mp(x) este exact (66) ˆ ımp˘ art ¸it˘ a la n.
c) Inegalitatea Mh(x)·Mg(x) este consecint ¸˘ a a inegalit˘ at ¸ii Mg(y)·Ma(y)
luˆ and yi=1
xi.
ˆIn concluzie a r˘ amas de ar˘ atat Mg(x)·Ma(x). Ar˘ at˘ am c˘ a pentru n= 2
aceasta este o consecint ¸˘ a a CBS. Mai precis lu˘ am u= (p
x1;p
x2) ¸ siv=
(p
x2;p
x1).
S2.9
Rezolvare
32

References
[1]M. A., Armstrong, Groups and Symmetry , Undergraduate Texts in Math-
ematics, Springer, 1988.
[2]Mircea, Crasmareanu, Geometrie analitic˘ a ,
http://www.math.uaic.ro/ »mcrasm.
[3]Paul J. Nahin, O poveste imaginar˘ a. Istoria num˘ aruluip¡1, Ed. Theta,
Bucure¸ sti, 2000.
[4]Liliana, R˘ aileanu, Prin algebr˘ a spre geometrie , Ed. Alexandru Myller,
Ia¸ si, 2005.
[5]Gheorghe, Stan, O.K. pentru America! , Institutul European, Ia¸ si, 2006.
[6]Kristopher Tapp, Matrix Groups for Undergraduates , Student Mathema-
tical Library, Vol. 29, AMS, 2005.
33

Index
GL+(n;R), 17
GL¡(n;R), 17
O¡(2): expresia general˘ a ¸ si inter-
pretare geometric˘ a, 18
SL(n; K) ca divizor normalˆ ın GL(n; K),
23
SO(2) ca divizor normal ˆ ın O(2),
23
SO(2): expresia general˘ a ¸ si inter-
pretare geometric˘ a, 17
SO(n) ca divizor normal ˆ ın O(n),
23
n-grupul liniar general real, 12
n-grupul liniar special real, 17
n-grupul ortogonal, 12
n-grupul ortogonal special, 15
ˆ ınmult ¸irea vectorilor cu scalari, 4
adunarea vectorilor, 4
baz˘ a ˆ ınRn, 4
baz˘ a ortonormat˘ a, 6
baz˘ a ortonormat˘ a: exprimare ma-
triceal˘ a, 10
baza canonic˘ a ˆ ın Rn, 5
centrul lui O(2), 22
centrul lui SO(2n), 22
centrul lui SO(2n+ 1), 22
centrul unui grup, 22
componentele unui vectorˆ ın raport
cu o baz˘ a, 5
componentele unui vector: expri-
mare matriceal˘ a, 10
compunerea simetriilor axialeˆ ın plan,
20conjugatul unui num˘ ar complex, 24
determinantul; propriet˘ at ¸i, 13
divizor normal, 23
formula fundamental˘ a a geometriei
euclidiene, 16
identitatea paralelogramului, 9
inegalitatea CBS, 9
inversa unei simetrii ˆ ın plan, 21
inversul unui num˘ ar comlex nenul,
24
izometrie, 26
matrice antisimetric˘ a, 13
matrice ortogonal˘ a, 11
matrice simetric˘ a, 13
matricea de schimbare a bazelor,
10
matrici asemenea, 14
modulul conjugatului unui num˘ ar
complex, 24
modulul unui num˘ ar complex, 23
norm˘ a euclidian˘ a pe Rn, 6
norm˘ a pe un spat ¸iu vectorial, 9
norma Hilbert-Schmidt, 13
numere complexe: scrierea exponent ¸ial˘ a,
27
numere complexe: scrierea trigono-
metric˘ a, 26
ordinul unei rotat ¸ii, 23
ordinul unei simetrii, 23
ordinul unui element ˆ ıntr-un grup,
23
34

polinom caracteristic, 27
produs scalar, 9
produsul scalar euclidian pe Rn, 6
produsul scalar euclidian: exprimare
matriceal˘ a, 10
produsul scalar Hilbert-Schmidt, 13
r˘ ad˘ acin˘ a caracteristic˘ a, 27
regula Einstein de sumare, 4
relat ¸ia lui Moivre, 27
rotat ¸ia de unghi 'ˆ ın sens trigono-
metric din origine, 17
rotat ¸iile ce comut˘ a cu o simetrie ˆ ın
plan, 21
schimbarea bazelor, 10
sensul trigonometric ca sens antio-
rar, 6
sfer˘ a ˆ ıntr-un spat ¸iu vectorial nor-
mat, 15
simbolul lui Kronecker, 6
simetria axial˘ a ˆ ın plan fat ¸˘ a de o
dreapt˘ a prin origine, 18
simetria fat ¸˘ a de Ox, 18
simetria fat ¸˘ a de Oy, 19
simetria fat ¸˘ a de a doua bisectoare,
19
simetria fat ¸˘ a de prima bisectoare,
19
simetricul unui punct fat ¸˘ a de un
hiperplan prin origine, 18
sistem liniar independent, 4
spat ¸iu vectorial (sau liniar), 4
spat ¸iu vectorial euclidian, 9
spat ¸iu vectorial normat, 9
spat ¸iul aritmetic n-dimensional, 4
spat ¸iul vectorial euclidian n-dimensional
canonic, 6structura complex˘ a a planului, 25
structura simplectic˘ a a planului, 25
teorema cosinusului, 9
teorema Pitagora, 9
teorema Pitagora generalizat˘ a, 9
unghiul orientat dintre doi vectori
nenuli, 9
urma unei matrici, 13
valoare proprie, 27
vector n-dimensional, 4
vector propriu, 27
vectori coliniari, 4
vectori contrar orientat ¸i, 4
vectori la fel orientat ¸i, 4
vectori ortogonali, 6
versor, 6
35