Graficele Functiilor In Analiza Matematica. Aplicatii

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE ȘTIINȚE

LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ PENTRU

OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC

Coordonator științific

lect. univ. dr. Rovența Ionel

Candidat

Lăutaru C. Gabriel,

Școala Gimnazială Corobăi, Dragotești, Gorj

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE ȘTIINȚE

GRAFICELE FUNCȚIILOR ÎN ANALIZA MATEMATICĂ. APLICAȚII

Coordonator științific

lect. univ. dr. Rovența Ionel

Candidat

Lăutaru C. Gabriel,

Școala Gimnazială Corobăi, Dragotești, Gorj

Declarație de autenticitate

[anonimizat] având funcția didactică de profesor la unitatea școlară Școala Gimnazială Corobăi, Dragotești, Gorj declar pe propria răspundere că lucrarea cu titlul „Graficele funcțiilor in analiza matematică. Aplicații” având coordonator științific lect. univ. dr. Rovența Ionel a fost elaborată personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului.

Data Semnătura candidatului

CUPRINS

Capitolul 1. Introducere

Tezaurul științific al unei științe se formează și se păstrează de la o generație la alta prin intermediul teoriilor, experimentelor, limbajelor și mediilor de stocare a cunoașterii.

De asemenea, evoluția cunoașterii este determinată de natura și performanța reprezentării și stocării. Astăzi, se poate afirma că pilonii cunoașterii sunt reprezentați de: limbaje, teorii, metode și tehnici, medii de reprezentare și stocare, de procesul învățării.

Matematică are un rol foarte important în formarea intelectuală și profesională. Astfel, unul din scopurile studiului matematicii în școală este educarea modului de gândire riguros și obiectiv, precum și exprimarea precisă.

Ultimul deceniu a marcat o serioasă marginalizare a problemelor școlii românești, și în particular a învățământului matematic, care s-au multiplicat și au crescut în gravitate atingând un prag critic. Școala se confruntă nu numai cu indiferența familiei, ci și a societății civile și a media în general. Un mesaj mult mai puternic și mai atractiv îl lansează televiziunile, unde tot felul de personaje se laudă ce mediocri erau în școală și cât de bine au ajuns. Din nefericire, banii au devenit în societatea românească scopul suprem, iar lipsa de moralitate în dobândirea lor a atins și tânăra generație.

Cu toate acestea, nimeni, în societatea românească, nu acceptă că se poate trăi fără matematică. Matematica este o parte însemnată a acestui sistem. Importanța ei instrumentală stă în dezvoltarea gândirii logice, riguroase, dar și în aplicațiile pe care le are în diverse domenii.

Studierea comportamentului funcțiilor în analiza matematică este un deziderat important. În acest sens, capacitatea de a înțelege și reprezenta grafic evoluția unui proces ce are la baza un model matematic concret sta la baza unor decizii de care depinde creșterea economică și progresul.

Această lucrare își propune să determine rolul analizei matematice, în particular a reprezentărilor grafice a funcțiilor în diverse domenii dar și folosirea noilor tehnologii, respectiv a soft-urilor în vederea înțelegerii și punerii în valoare a evoluțiilor prezentate de acestea.

Ipoteza de la care se pleacă este că există o diferență semnificativă în atitudinea față de analiza matematică, observată înainte, utilizând metode tradiționale și după folosirea tehnologiei.

Obiectivul principal al acestei lucrări este determinarea relației dintre folosirea noilor tehnologii în tratarea conceptelor de funcții și atitudinea elevilor față de analiza matematică. În același timp, doresc să prezint și alte modalități de studiere a conceptelor din analiza matematică, mult mai rapide și mai convingătoare.

Pentru atingerea acestor obiective, cercetarea întreprinsă are doua coordonate o cercetare bibliografică și una de tip empiric prin studierea diverselor aplicabilități ale graficelor de funcții.

În capitolul al doilea sunt prezentate concepte teoretice privind noțiuni generale despre funcții, derivata unei funcții prin determinarea derivatei unei funcții într-un punct, operații cu funcții derivabile și derivatele unor funcții uzuale precum și proprietățile funcțiilor derivabile, integrala definită studiind aria unei suprafețe plane mărginite de o curbă, proprietățile funcțiilor integrabile și formule de medie, necesare în aplicațiile din capitolele următoare.

În capitolul al treilea sunt studiate etapele desenării graficului unei funcții respectiv determinarea domeniul maxim de definiție al funcției Intersecția graficului funcției cu axele de coordonate, determinarea semnului funcție și eventualele simetrii, studierea asimptotele funcției, studiul funcției folosind prima derivata, studiul funcțiilor folosind derivata a doua, tabelul de variație al funcției și trasarea graficul funcției.

În capitolul al patrulea sunt prezentate aplicațiile în matematica financiară, evoluția și comportamentul speciilor biologice, teoria jocurilor care sunt multiple și extrem de interesante. Ne propunem să studiem în detaliu mijloacele cu ajutorul cărora putem desena graficul unei funcții definite în spațiul euclidian n-dimensional.

Utilizarea calculatorului permite realizarea unor serii de activități și de dezvoltări care sunt realmente unice. Acestea sunt software-ul de simulare, foi de calcul, sisteme de calcul, modelările și vizualizările pe calculator, instrumente de programare sau software-ul de învățare cu accent pe teme specifice dar mai ales așa numitul experiment pe calculator, care reprezintă a terța cale de descoperire științifică după cea experimentală și prima ca importanță cea logico-matematică.

Dezvoltarea analizei matematice depinde din ce în ce mai mult de calculator. Îmbunătățirea experimentelor cu ajutorul calculatorului conduce la depășirea dificultăților de ordin matematic dar și la înțelegerea profundă a unor legi pe care nu le-am fi bănuit fără această nouă fața a folosirii calculatorului.

Folosirea calculatorului cu tehnica lui de animație este de mare efect pedagogic. Mai precis vom urmări atât metode și tehnici de lucru matematice dar și posibilități de a folosi diferite aplicații și softuri, ce ne vor permite o reliefare cat mai precisa a rezultatelor si ideilor matematice prezentate în prealabil.

Capitolul 2. Concepte teoretice

2.1. Noțiuni generale despre funcții

Într-o expunere făcută de L. Euler în anul 1749 se menționează de mai multe ori noțiunea de funcție ca fiind o mărime variabilă ce depinde de o altă mărime variabilă. Pentru unele scopuri, o astfel de definiție este suficientă. Însă în dezvoltarea ulterioară a matematicii s-a impus necesitatea de a se da noțiunii de funcție un conținut mai general și mai abstract. Nu dependența variabilelor (prin care de obicei se înțeleg numere care pot fi comparate în ceea ce privește mărimea) este esențială în conținutul noțiunii de funcție, ci corespondența prin care anumitor obiecte li se asociază alte obiecte. În felul acesta, noțiunea de funcție se fundamentează pe noțiuni ale teoriei mulțimilor. O bară metalică prin încălzire își modifică dimensiunile, de exemplu o bară de cupru de lungime la , va avea la o temperatură de to C lungimea de l= 200(l0 +0,000016 *t). Această formulă pune în corespondență fiecărei temperaturi t0 C cuprinsă între și o anumită lungime l cuprinsă între și . În mod analog fiecărei cantități dintr-o anumită marfă îi corespunde o anumită sumă de bani, prețul de vânzare.

În felul acesta, pot fi puse în corespondență nu numai mulțimi de numere ci și mulțimi generale astfel încât elementelor aA le corespund elemente bB. Astfel corespondența este determinată de o relație între elemente din mulțimea A și elemente din mulțimea B.

Pentru a descrie o funcție trebuie stabilite domeniul de definiție, domeniul valorilor și corespondența dintre acestea.

Definiție: Fie A și B două mulțimi nevide. Spunem că am definit o funcție pe mulțimea A cu valori în B dacă printr-un procedeu oarecare (relație) facem ca fiecărui element x A să-i corespundă un singur element y B.

Notație: O funcție definită pe A cu valori în B se notează f : A B (citim “f definită pe A cu valori în B”). Uneori o funcție se notează simbolic A B, x y = f(x) (citim: “f de x”), unde y este imaginea elementului x din A prin funcția f sau valoarea funcției f în x. Elementul x se numește argument al funcției sau variabilă independentă.

Mulțimea A se numește domeniul de definiție a funcției f iar B se numește mulțimea în care funcția ia valori sau codomeniul funcției f.

Dacă f este o funcție de la A la B, atunci se mai spune că f este o aplicație de la A la B.

De obicei funcțiile se notează cu litere mici f, g, h, … iar mulțimea tuturor funcțiilor definite pe mulțimea A cu valori în mulțimea B se notează cu F(A, B).

În concluzie o corectă definire a unei funcții presupune existența a trei elemente:

A = domeniul de definiție al funcției

B = codomeniul funcției

F = legea de corespondență ce leagă cele două mulțimi.

2.1.1. Moduri de definire a unei funcții.

Indiferent de modul în care este definită o funcție trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează: domeniul de definiție, codomeniul și legea de corespondență.

Există în principal două moduri fundamentale de definire a funcțiilor: sintetic și respectiv analitic.

În cele ce urmează vor fi exemplificate cele două moduri de definire în sens general dar și particular pentru funcțiile elementare studiate.

a. Funcții definite sintetic corespund acelor funcții f : A B pentru care se indică fiecărui element x din A elementul y = f (x) din B sau altfel spus corespondența este precizată “element cu element”

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeți, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o funcție se utilizează când A = domeniul de definiție este o mulțime finită.

Exemplu: Fie f : {1, 2, 3} {a,b,c} definită prin f (1) = a f (2) = b, f (3) = c.

În diagrama cu săgeți sunt reprezentate mulțimile prin diagrame, iar legea de corespondență prin săgeți. Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic element y = f (x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeți că din fiecare element din A pleacă o singură săgeată. Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigență înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai multe săgeți sau chiar niciuna.

Un contraexemplu de lege de corespondență ce nu reprezintă o funcție (ci doar o relație) este reprezentat în diagrama de mai jos:

Elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element din B.

Contraexemplul de mai sus specifică o altă situație în care elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element din B și elementului 1 A îi corespund două elemente din B, f(1) = a și f(1) = b.

Aceleași funcții definite la exemplele de mai sus le putem descrie și utilizând tabelele de valori, acestea fiind formate din două linii, în prima linie se trec elementele mulțimii pe care este definită funcția (domeniul de definiție al funcției) iar pe linia a doua valorile funcției în aceste elemente.

Definiție: Prin mulțimea f(A) = { y B x A y=f(x) } înțelegem imaginea mulțimii A prin intermediul funcției f aceasta notându-se și Imf, aceasta fiind o submulțime a codomeniului nu neapărat egală ca mulțime cu codomeniul.

Exemplu: În funcția f : {-1, 0, 1, 2} {a, b, c, d, e} definită cu ajutorul tabelului de valori de mai jos.

Atunci Imf = {f(-1), f(0), f(1), f(2)} = {a, b, c} B.

Exemplu: Func{a, b, c} B.

Exemplu: Funcția f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definită prin f(1) = (2) = (3) = (4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în prima linie avem domeniul de definiție iar în linia a doua sunt valorile funcției în punctele domeniului (3 este valoarea lui f în x = 1, 1 este valoarea lui f în x = 2, etc.). O astfel de funcție se numește permutare de gradul patru. O astfel de reprezentare este f=

Observație. Nu putem defini sintetic o funcție al cărui domeniu de definiție are o infinitate de elemente.

b. Funcții definite analitic. Funcțiile f : A B (unde A,B ) definite cu ajutorul unei (sau a unor) formule, sau a unor proprietăți sunt funcții definite analitic. Corespondența f leagă între ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa y = f(x).

Exemplu:

1) Fie funcția f : R R, f(x) = x2+1. Această funcție asociază fiecărui număr real x numărul x2+1.

2) Funcția f : Z Z,

este exemplu de funcție definită prin două formule.

Funcțiile definite prin mai multe formule se numesc funcții multiforme.

Observație. În cazul funcțiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită submulțime a lui A și deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia și aceluiași element.

Cea mai frecventă reprezentare a unei funcții în matematică este printr-o formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiție și ale domeniului valorilor nu pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reguli de calcul corespunzătoare. De exemplu: y = f(x) = 4x – 2. f: R R.

Observație: Când asupra domeniului de definiție nu s-au făcut ipoteze speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în corespondență o anumită valoare.

De exemplu în cazul funcției y = 4x – 2, domeniul de definiție este alcătuit din mulțimea numerelor reale.

Definiție. Fie f : A B, g : C D două funcții; f, g sunt funcții egale (notând f = g) dacă: A = C (funcțiile au același domeniu de definiție)

B = D (funcțiile au același codomeniu)

f(x) = g(x), x A (punctual, funcțiile coincid).

Definiție. Fie f : A B. Se numește imaginea reciprocă a unei părți B’ a lui B, notată f -1 (B’), submulțimea lui A formată din acele elemente ale căror imagini prin f aparțin lui B’. Deci, f-1(B’) = {x A f(x) B’}.

Exemplu: Se consideră funcția f : {-1, 0, 1, 2} {1, 2, 3} definită prin diagrama cu săgeți. În acest caz, f-1({1}) = {0}, deoarece f(0) = 1; f-1({2}) = {-1, 1} pentru că f(-1) = f(1) = 2; f-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece f(-1) = (0) = (1) = 2.

Definiție: Fie o funcție f : A B. Se numește graficul funcției f mulțimea de cupluri Gf = {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y = f(x)}.

Exemple:

Fie funcția definită de diagrama de mai jos

Atunci graficul său este mulțimea Gf = {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y = f(x)} = {(1,a), (2,b),(3,c)}.

2) În funcția f : {-1, 0, 1, 2} {-2, 0, 2, 3} definită cu ajutorul tabelului de valori de mai jos.

În acest caz, graficul lui f este mulțimea Gf = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.

Dacă funcția f : A B este o funcție numerică (A,B R), atunci la produsul cartezian A x B R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul în care se consideră un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulțimea R x R se reprezintă geometric prin planul cartezian, se poate deduce că: graficul funcției numerice se reprezintă geometric printr-o anumită submulțime a planului.

Această submulțime a planului se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției. Reprezentarea grafică a unei funcții f : A B este, în general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcției f și notată Cf = {M (x, y) x A, y = f(x)}.

Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcții vom spune simplu graficul funcției f.

Exemplu: Funcția f : {-1, 0, 1} R, f(x) = 2x are graficul Gf = {( -1, -2), (0, 0), (1, 2)}, iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).

Definiție: Despre mulțimea D R spunem că se numește mulțime simetrică dacă și numai dacă : x D -x D

Definiție: Fie f : D R, D simetrică. Despre funcția f spunem că este:

funcție pară dacă și numai dacă: x D f(-x) = f(x)

funcție impară dacă și numai dacă: x D f(-x) = – f(x)

Observație: Dacă funcția f : D R, (D simetrică) este:

funcție pară atunci Gf este simetric față de axa Oy

funcție impară atunci Gf este simetric față de O (originea axelor de coordonate).

Exemple:

y1= x2 este o funcție pară și y2 = x3 este o funcție impară și sunt reprezentate în figura următoare.

Definiție: O funcție f: A → B se numește funcție injectivă ( sau simplu injecție) dacă: x1 , x2 A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2)

Altfel spus o funcție f: A → B se numește funcție injectivă ( sau simplu injecție) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y B ecuația f (x) = y are cel mult o soluție x A.

Exemplu:

y=x5

Exemplu:

Utilizând un principiu al logicii formale potrivit căruia propozițiile (pq)(), o altă modalitate de definire a unei funcții injective ar fi:

Definiție: O funcție f: A → B se numește funcție injectivă ( sau simplu injecție) dacă: din presupunerea f(x1 ) = f( x2) x1 = x2

Exemplu: Funcția definită sintetic prin diagrama de mai jos este o funcție injectivă

Un contraexemplu de funcție ce nu este injectivă este prezent în graficul următor.

y = x4-16x

Observăm că orice dreaptă y || Ox dusă prin orice y -12*22/3 -19,05 (minimumul global al funcției) intersectează graficul funcției în două puncte.

Teoremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele afirmații:

funcția f este injectivă;

x1 , x2 A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2);

f(x1 ) = f( x2) x1 = x2;

Pentru y B, ecuația f(x) = y are cel mult o soluție x A;

Orice paralelă la axa Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, taie graficul funcției în cel mult un punct.

Definiție: O funcție f: A → B se numește funcție surjectivă ( sau simplu surjecție) y B, x A astfel încât f(x) = y.

Este valabilă și următoarea definiție echivalentă cu prima.

Definiție: O funcție f: A → B se numește funcție surjectivă ( sau simplu surjecție) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel puțin unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul că pentru orice y B ecuația f (x) = y are cel puțin o soluție x A.

Sau f: A → B este surjectivă f (A) =B, adică Im f = B.

Pe diagrama cu săgeți o funcție este surjectivă dacă la fiecare element din B ajunge cel puțin o săgeată. Graficul unei funcții poate preciza daca funcția este surjectivă. Altfel spus Dacă orice pange cel putin o sageata._______________________ralela la Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct atunci funcția f este surjectivă.

Exemplu: Funcția ex : R → (0, )

Observație: O funcție f: A → B nu este surjectivă dacă exista y B astfel încât x A, f (x) ≠ y. Un astfel de contraexemplu poate fi definit în diagrama de mai jos.

Elementului c B nu-i corespunde nici o contraimagine din A.

Teoremă: Funcția f: A → B este surjectivă dacă și numai dacă Im f = B

Demonstrație: „” este imediată

„” Egalitatea a două mulțimi se demonstrează prin dubla incluziune. Avem întotdeauna f(A)B (1). Fie acum y B, cum f este surjectivă, există atunci x A, astfel încât f(x) = y. Deci y f(A). De aici rezultă B f(A) (2). Din (1) și (2) rezultă f(A)= B.

Observație: Funcția f: A → B nu este surjectivă dacă f(A)≠B

Teoremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele afirmații:

funcția f este surjectivă;

y B, x A, astfel încât f(x) = y;

Pentru y B, ecuația f(x) = y are cel puțin o soluție x A;

Im f = f(A) = B;

Orice paralelă dusă la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul funcției în cel puțin un punct.

Definiție: O funcție f: A → B se numește funcție bijectivă ( sau simplu bijecție), dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Altfel spus funcția f: A → B este funcție bijectivă y B, ! x A astfel încât f(x) = y. Simbolul ! înseamnă “există în mod unic”.

Observație: Pe diagrama cu săgeți o funcție este bijectivă dacă în fiecare element al codomeniului ajunge exact o săgeată. Se mai spune despre funcția bijectivă că este o corespondenta “one to one” (“unu la unu”) sau corespondență biunivocă. O funcție numerică dată prin graficul său este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în exact un punct.

Exemplu: Funcția f: R→ R unde f(x) = x3 +1 este bijectivă (fiind de altfel o funcție strict monotonă). y= x3 +1

Teoremă: Pentru funcția f: A → B unde A, B R sunt echivalente următoarele afirmații:

f este bijectivă;

f este injectivă și surjectivă în același timp;

Pentru y B, ecuația f(x) = y are o unică soluție x A;

Orice paralelă dusă la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul funcției în exact un punct.

Dacă f: A → B este bijectivă, atunci pentru orice element y B există exact un element x din A astfel încât f(x) = y, ceea ce înseamnă ca x = f-1 (y) (adică preimaginea sau contraimaginea elementului y este elementul x).

Definiție: Fie f: A → B o funcție bijectivă Se numește funcție inversă a funcției f, funcția g: B → A, care asociază fiecărui element y din B elementul unic x din A astfel încât f(x) = y.

Notație: Pentru funcția g utilizăm notația f-1 (citim “f la minus unu”). O funcție f care are inversă se spune ca este inversabilă.

Funcția f se numește funcție directă, iar f-1 funcție inversă (a lui f).

Exemplu: Pentru funcția f : R → R descrisă de forma analitică f(x)=2x+1 admite ca funcție inversă f-1 (x)= .

Din punct de vedere grafic cele două drepte sunt simetrice față de dreapta de ecuație y = x (ecuația primei bisectoare), după cum se observă în graficul comparativ anterior.

2.1.2. Operații cu funcții

Operații algebrice cu funcții.

Definiție: Fie O funcție se numește funcție numerică sau funcție reală de variabilă reală.

Definiție (operații cu funcții):

a) Funcția definită prin , se numește suma dintre funcția f și funcția g.

b) Funcția definită prin , se numește produsul dintre funcția f și funcția g.

c) Funcția definita prin

se numește câtul dintre funcția f și funcția g.

Definiție:

a) Se definește produsul dintre un număr real și o funcție , ca fiind functia .

b) Dacă , atunci definim diferența dintre funcția f și funcția g ca fiind funcția . De fapt, diferența f – g este suma , unde

Exemplu: Fie f, g : R R, Atunci R R sunt definite astfel:

Proprietăți ale adunării funcțiilor

Fie F (A, R) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc:

Teoremă: Pentru operația de adunare pe F (A, R) au loc proprietățile:

(adunarea funcțiilor este asociativă);

(adunarea funcțiilor este comutativă);

exista functia astfel incat (0 se numește funcție nulă și este element neutru pentru adunarea funcțiilor);

) astfel încât ( orice funcție f are o opusa (-f)).

Proprietăți ale înmulțirii funcțiilor.

Teoremă: Pentru operația de înmulțire pe F (A, R), au loc proprietățile:

(înmulțirea funcțiilor este asociativă);

(înmulțirea funcțiilor este comutativă);

există functia astfel incat (1 se numeste funcția unitate pe mulțimea A ).

Propoziție: Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea pe F(A, R), adica:

2.2. Derivata unei funcții

2.2.1. Derivata unei funcții într-un punct

Fie o funcție ƒ : E → R (ER) și, x0 punct de acumulare al mulțimii E. Reținem că ƒ este definită in x0.

Definiție:

1) Se spune că ƒ are derivată în punctul x0, dacă există ( în )

notată cu ƒ’(x0);

2) Dacă derivata ƒ’(x0) există și este finită se spune că funcția ƒ este derivabilă în x0.

Observații. 1. Se poate întâmpla ca ƒ’(x0) să existe și să fie .

2.Trebuie remarcat că problema existenței derivatei sau a derivabilității nu se pune în punctele izolate ale mulțimii E (dacă E are astfel de puncte!).

Presupunem că ƒ’(x0) există; făcând translația x – x0 = h, atunci din relația de definiție rezultă că

Definiție: Dacă o funcție ƒ: E → R este derivabilă în orice punct al unei submulțimi FE, atunci se spune că ƒ este derivabilă pe mulțimea F. In acest caz, funcția F → R, x → ƒ’(x) se numește derivata lui ƒ pe mulțimea F și se notează cu ƒ’. Operația prin care ƒ’ se obține din ƒ se numește derivarea lui ƒ.

Teoremă. Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Demonstrația este simplă: Presupunem că ƒ: E → R este derivabilă în punctul xE, deci limita din definiția 1 există și este finită.

În general reciproca teoremei este falsă. Un exemplu este funcția modul în origine.

În studiul existenței limitei unei funcții într-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptăm acest criteriu la studiul derivabilității unei funcții într-un punct, ținând cont că existența derivatei implică în fond existența unei anumite limite.

Definiție: Fie ER și x0E un punct de acumulare pentru E. Dacă limita

există (în R), atunci această limită se numește derivata la stânga a funcției ƒ în punctul x0.Dacă, în plus, această limită există și este finită, atunci se spune că ƒ este derivabilă la stânga în punctul x0.

În mod similar se definesc derivata la dreapta și noțiunea de funcție derivabilă la dreapta în x0.

Teoremă: Dacă ƒ: E → R este derivabilă în punctul x0E, atunci ƒ este derivabilă la stânga și la dreapta în x0 și

Reciproc, dacă ƒ este derivabilă la stânga și la dreapta în x0 și dacă , atunci ƒ este derivabilă în x0 și

Dacă E=[ a, b], faptul că ƒ este derivabilă în a (respectiv b) revine la aceea că ƒ este derivabilă la dreapta în punctul a (respectiv la stânga în b).

Exemplu: Pentru , ƒ(x) =| x |, avem

Similar se obține că: , regăsim că ƒ nu este derivabilă în punctul x = 0.

Dacă ƒ: (a, b)→R este o funcție derivabilă într-un punct x0 (a, b), atunci conform relațiilor

graficul lui ƒ are tangentă în x0 (sau mai corect în punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuație

Așadar ƒ’(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, în punctul (x0,ƒ(x0)). Dacă ƒ’(x0)= (în sensul că limita din definiție este infinită), atunci tangenta în (x0, ƒ(x0)) este paralelă cu axa Oy.

Fără nici o dificultate, se poate vorbi de semitangentă la dreapta sau la stânga într-un punct la un grafic, în legătură cu derivatele laterale respective în acel punct. Geometric, pentru o funcție derivabilă într-un punct, direcțiile semitangentelor la dreapta și stânga la grafic în acel punct coincid.

Dacă într-un punct x0, ƒ este continuă și avem (sau invers), atunci punctul x0 se numește punct de întoarcere al graficului lui ƒ.

Dacă o funcție ƒ: E → R (ER) este continuă într-un punct x0E, dacă există ambele derivate laterale, cel puțin una dintre ele fiind finită, dar funcția nu este derivabilă în x0, atunci se spune că x0 este punct unghiular al graficului lui ƒ. Intr-un punct unghiular cele două semitangente, la stânga și la dreapta, formează un unghi α

Exemplu: Pentru funcția ƒ(x) = , scriem ecuația tangentei în punctul x0 = 1.

Avem și ecuația cerută este

2.2.2. Operații cu funcții derivabile. Derivatele unor funcții uzuale

Este utilă o sinteză a derivatelor funcțiilor uzuale și se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcții derivabile.

Derivatele funcțiilor elementare:

Orice funcție constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă

(1).

Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0) este derivabilă pe R și ƒ’(x) = nxn-1.

(2).

Funcția logaritmică ƒ: (0, ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiție și are derivata

(3).

Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R și pentru orice x avem

(sin x)’ = cos x

(cos x)’= – sin x

Pentru funcții ca ƒ, g : E→R derivabile, E R, funcțiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeași proprietate.

Teoremă: Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x0E și o constantă. Atunci:

(a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 și

(b) λƒ este derivabilă în x0 și

(c) produsul ƒg este o funcție, derivabilă în x0 și

Demonstrația se face de asemenea ușor folosind definiția derivatei.

Generalizând se obține următorul

Corolar: Dacă ƒ1, ƒ2,…ƒk sunt funcții derivabile în punctul x0, atunci suma ƒ1 + ƒ2 + … +ƒk, respectiv produsul ƒ1ƒ2…ƒk sunt derivabile în x0 și, în plus:

și

Teoremă: Presupunem că ƒ și g sunt derivabile în x0 și că . Atunci funcția – cât este derivabilă în x0 și, în plus :

Teoremă: Fie I, J intervale și două funcții. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0I, și g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x0), atunci funcția compusă G= gƒ este derivabilă în x0 și G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci gf este derivabilă pe I și are loc formula:

Demonstrație. Avem de arătat că

Considerăm funcția ajutătoare F:I→R, definită prin

Funcția F este continua în punctul y0 deoarece

Pe de altă parte, pentru orice xx0 avem

Intr-adevăr dacă f(x) = ƒ(x0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar dacă ƒ(x) ƒ(x0), atunci ƒ(x) y0 și, conform funcției ajutătoare , deci relația precedentă este dovedita în ambele cazuri. Observând că

F(f(x))→F(f(x0)=F(y0)=g’(y0)

și trecând la limită (x→x0) relația precedentă rezultă că

Teoremă: Fie ƒ: I →J o funcție continuă și bijectivă între două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă într-un punct x0I și ƒ’(x0) 0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) și, în plus,

Demonstrație. Mai întâi trebuie să punem condiția pentru că limita

;

yy0. Din faptul că yy0 rezultă că xx0 și, în plus,

.

Trecând la limită când y→y0, rezultă că

g(y)→g(y0) adică x→x0

și ultimul raport tinde către .

Primul raport din relația de mai sus va avea limită, deci funcția g este derivabilă în punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.

Această teoremă se folosește la aflarea derivatelor unor inverse de funcții. Cum ar fi arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Reguli de derivare:

1.

2.

3.

4.

Tabloul de derivare al funcțiilor elementare:

Toate aceste derivate se demonstrează ușor folosind definiția derivatei și teorema 6. Teorema de derivare a funcțiilor compuse împreună cu tabloul anterior permite obținerea următoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o funcție derivabilă).

Tabloul de derivare al funcțiilor compuse:

Adăugăm că dacă u, v sunt funcții derivabile și u > 0, atunci funcția uv = evlnu are derivata

formulă care rezultă aplicând teorema de derivare a funcțiilor compuse funcției evlnu și ținând cont că

2.2.3. Proprietățile funcțiilor derivabile

In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim și minim, a intervalelor de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei funcții, în care rolul derivatelor este esențial.

Unele din teoremele care urmează sunt intuitiv evidente (folosind de regulă interpretare geometrică a derivatei) și demonstrațiile pot fi la început omise, insistând pe înțelegerea enunțurilor.

Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, și bineînțeles matematice, este important de știut care sunt maximele și minimele anumitor mărimi variabile. După ce problemele capătă o formulare matematică, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor funcții. Sunt necesare în prealabil câteva definiții precise.

Definiție: Fixăm o funcție ƒ : A→R (AR). Un punct x0A se numește punct de maxim relativ (respectiv de minim relativ) al lui ƒ dacă există o vecinătate U a punctului x0 astfel încât pentru orice xUA să avem

(respectiv ).

In acest caz valoarea ƒ(x0) se numește un maxim (respectiv un minim) relativ al lui ƒ.

Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ. Dacă inegalitățile din definiție sunt stricte se spune că x0 este un punct de extrem strict. Valorile funcției în punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale funcției.

Observații:

1) Funcția considerată trebuie să fie neapărat cu valori reale.

2) Trebuie ținut cont de faptul că o funcție poate să aibă mai multe puncte de maxim și de minim relativ, iar un minim să fie mai mare decât un maxim, ceea ce justifică faptul că punctele de maxim și de minim sunt „relative”.Valorile calculate se mai numesc extremele globale ale lui ƒ pe A.

Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extrem local, deoarece inegalitățile de tipul celor din definiție sunt verifica te nu neapărat pe întreg domeniul de definiție al funcției ƒ ci numai un jurul lui x0.

3) Dacă marginea M= este atinsă pe mulțimea A, atunci orice punct x astfel încât ƒ(x0) = M va fi un punct de maxim (nu neapărat strict). O situație analoagă (cu sensul inegalității schimbat) are loc pentru marginea inferioară și pentru punctele de minim.

Dacă marginea superioară nu este atinsă pe mulțimea A, atunci se poate spune că funcția nu are puncte de maxim (figura următoare).

Teoremă: (teorema lui P. Fermat, 1601- 1665). Fie I un interval deschis și x0I un punct de extrem (relativ) al unei funcții ƒ: IR. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0, atunci ƒ’(x0)=0.

Demonstrație. Presupunem că x0 este un punct de maxim (cazul minimului se tratează la fel sau se reduce la cazul precedent considerând funcția –ƒ). Atunci există o vecinătate U a lui x0 (și putem presupune că UI) astfel încât pentru orice .

Cum ƒ este derivabilă în x0, atunci și Conform ultimei inegalități de pe pagina alăturată raportul este 0 (respectiv 0) pentru xU, x > x0 (respectiv pentru xU, x < x0), deci f’(x0) 0, f’(x0) 0, de unde f’(x0) = 0.

Observații. 1) Dacă nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I=[a, b] și x0=a (sau x0=b), atunci teorema nu ar fi fost adevărată pentru că ƒ(x) nu ar fi fost definită pentru x< a, respectiv pentru x > b (figura a).

2) Reciproca teoremei lui Fermat este în general falsă: din faptul că ƒ este derivabilă într-un punct x0 și ƒ’(x0)=0 nu rezultă că x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru funcția ƒ(x)=x3 avem ƒ’(0)=0, dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru că ƒ este strict crescătoare (figura b). Se mai spune că teorema lui Fermat dă condiții necesare de extrem, dar nu și suficiente.

Teorema lui Fermat are o interpretare geometrică evidentă : în condițiile enunțului, într-un punct de extrem, tangenta la grafic este paralelă cu axa Ox ( figura c).

Dacă ƒ: IR este o funcție derivabilă pe un interval deschis I, atunci zerourile derivatei ƒ’ pe I sunt numite și puncte critice ale lui ƒ pe I; teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local sunt printre punctele critice. In practică, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei funcții ƒ derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolvă mai întâi ecuația ƒ(x)=0.

O funcție ƒ: [a, b] R (a< b) se numește funcție Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] și derivabilă pe intervalul deschis (a, b).

Teoremă: (teorema lui M. Rolle, 1652 – 1719). Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcție Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puțin un punct c(a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.

Demonstrație. Funcția ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită și își atinge marginile în [a, b]. Fie

Apar trei cazuri :

M> ƒ(a). Există un punct c [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) și, evident, c a, ab (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); așadar, c (a, b) și cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.

m< ƒ(a). Similar.

m= M. Atunci funcția ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c (a, b).

Corolar: Intre două zerouri ale unei funcții derivabile pe un interval se află cel puțin un zerou al derivatei.

Demonstrație. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I și a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) și putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].

Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puțin un punct între a și b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (figura a.).

Observații. Toate condițiile din enunțul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunța la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.

Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcției

arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deși ƒ(0)=ƒ(1). (figura b.).

Dacă ƒ(a) ƒ(b), este suficient să considerăm funcția ƒ(x)= x pe [0, 1] (figura c.).

Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, așa cum arată exemplul funcției ƒ(x) = | x | pe intervalul [-1, 1].

Teoremă: (teorema lui J. Lagrange, 1736- 1813, a creșterilor finite). Fie ƒ o funcție Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel încât

Demonstrație. Vom considera funcția auxiliară cu k o constantă reală , pe care o vom determina din condiția F(a)= F(b). Așadar avem că,

, deci Pentru acest k, funcția F verifică condițiile teoremei lui Rolle și, ca atare, există un punct c (a, b) în care F’(c)=0. Pe de altă parte,

, deci

și se obține relația din enunț.

Observații. 1) Relația din enunț y se mai numește formula creșterilor finite sau formula de medie pentru derivabilitate.

Notând rezultă , cu

2) Ca și în cazul teoremei lui Rolle, punctul c nu este unic. Interpretarea geometrică a teoremei lui Lagrange rezultă din interpretarea geometrică a derivatei și este următoarea: există cel puțin un punct c(a, b) pentru care tangenta la graficul lui ƒ in. (c, ƒ(c)) este paralelă cu „coarda” determinată de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) (figura anterioară)

3) Putem aplica teorema lui Lagrange restricției lui ƒ la orice subinterval [a, x] [a, b], unde a< x b. Atunci ƒ(x)- ƒ(a)= (x-a)ƒ’(c) cu a (a, x) nu neapărat unic, depinzând de x; uneori se scrie c = cx, ca atare, ƒ(x) – ƒ(a)= x – a)ƒ’(cx). Este important de remarcat că dacă x a, atunci cx a.

Iată acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util în a decide derivabilitatea unei funcții într-un punct.

Corolar: Fie ƒ o funcție definită într-o vecinătate V a punctului x0, derivabilă pe V\{x0} și continuă în x0. Dacă există limita atunci ƒ’(x0) există și ƒ’(x0)=. Dacă limita este finită, atunci ƒ este derivabilă în x0.

Demonstrație. Aplicând teorema lui Lagrange funcției ƒ pe un interval [x, x0]V, x< x0, rezultă =ƒ’(cx) cu x< cx< x0,, deci

(căci cxx0, dacă xx0, x<x0).

In mod similar, există și este egală cu , deci ƒ are derivată în x0 și ƒ’(x0) = .

Trecem acum la demonstrarea unei alte proprietăți fundamentale legate de derivabilitate. Fie două funcții ƒ, g:[a, b]R verificând condițiile teoremei lui Lagrange și presupunem că g’(x) 0, x (a, b). Ne interesează raportul . Aplicând separat funcțiilor ƒ și g teorema lui Lagrange, rezultă că există puncte c, c’ din (a, b) astfel încât

.

Nu există nici un motiv să considerăm aici că avem c= c’ totuși se poate demonstra.

Teoremă: (teorema lui Cauchy). Fie ƒ, g două funcții Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel încât g’(x) 0, x(a, b); atunci există un punct c (a, b) astfel încât

Demonstrație. Condiția g’(x) 0 pentru orice x(a, b) implică faptul că g(a) g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle, ar rezulta că există c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.

Considerăm funcția ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), kR și determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k=. Aplicând teorema lui Rolle funcției F cu k astfel determinat, există c (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k=, de unde se obține relația ce trebuia demonstrată.

Observație. Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy și apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange.

In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcțiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcții.

Teoremă: (teorema lui Darboux).Dacă ƒ: IR este o funcție derivabilă pe un interval I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux (adică nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare).

Demonstrație. Fie a<b două puncte din I astfel încât f’(a)=ƒ’(b). Pentru a fixa ideile, să presupunem că ƒ’(a)<ƒ’(b). Fie (ƒ’(a), ƒ’(b)). Trebuie arătat că există un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=. Pentru aceasta vom considera funcția auxiliară F(x)=ƒ(x)-x; evident, F’(a)=ƒ’(a)-<0 și F’(b)=ƒ’(b)->0.

Funcția F este derivabilă, deci continuă în intervalul [a, b] și, ca atare, marginea inferioară m=F(x) este atinsă, într-un punct c [a, b]. Vom arăta că de fapt m nu poate fi atins nici în a, nici în b. Așadar, c (a, b) și din teorema lui Fermat se obține F’(c)=0. Dar aceasta arată că f’(c)-=0, adică ƒ’(c)=, tocmai ce trebuia verificat.

Pentru a arăta că punctul c aparține intervalului (a, b), vom proceda astfel: alegem >0 astfel încât |F’(a)|> și F’(b)>. Din definiția derivatei lui F în punctele a și b, există >0 depinzând de astfel încât din faptul că (respectiv să rezulte că

Deoarece , raportul va fi strict negativ, pentru orice Deci , adică . In mod analog, din inegalitatea F’(b)->0, rezultă că F(x)<F(b) pentru Aceste inegalități arată că marginea inferioară a funcției F nu este atinsă nici în a, nici în b.

Corolar: Fie o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă derivata ƒ’ nu se anulează pe I, atunci ƒ’ are semn constant pe I.

Intr-adevăr, dacă ƒ’ nu ar avea semn constant pe I, atunci ƒ’ ar lua valori pozitive și valori negative pe I, deci, conform teoremei lui Darboux, ar lua valoarea zero, ceea ce contravine ipotezei că ƒ’ nu se anulează pe I.

2.3. Integrala definită

2.3.1. Aria unei suprafețe plane mărginite de o curbă

Noțiunea de integrală a apărut din nevoia practică de a determina lungimi, arii și volume ale unor figuri din plan și corpuri din spațiu, cât și multe considerații din fizică. Bazele calculului integral și aplicațiile sale în geometrie, mecanică și fizică au fost dezvoltate în secolul al XVIII–lea în lucrările lui Newton și Leibniz. Definiția riguroasă a conceptului de “integrală“ a fost dată peste un secol în lucrările lui Cauchy și Darboux pentru clasa funcțiilor continue pe un interval compact din R. Extinderea integralei pentru funcții discontinue a fost realizată de Riemann și Lebesgue, care au formulat condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru funcții reale de o variabilă reală.

Unele probleme speciale din teoria integrabilității au fost elaborate de Stieltjes și Lebesgue care au generalizat conceptul de integrală pentru cazul mulțimilor abstracte.

Definiție: Se dă colecția de obiecte:

[a,b] – interval închis

Δ – diviziune a intervalului [a,b], Δ = (a = x0 < x1 < x2 <…<xn = b)

f : [a,b] → R

ξI – un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b], ξI  [xi-1,xi]

Numim suma Riemann atașată funcției f, diviziunii Δ și sistemului de puncte intermediare ξI numărul notat:

Definiție: Se dă f : [a,b] R. Spunem ca funcția f este integrabilă în sens Riemann dacă  If  R a.i.  > 0,  >0 cu proprietatea ca  Δ o diviziune a intervalului [a,b] și (ξi) un sistem de puncte intermediare, ξi  [xi-1,xi] cu || Δ || <  sa avem | Δ (f, ξi) – If | < .

If – se numește integrala definită a funcției f pe intervalul [a,b] și se notează: If =

Observații:

1) Numărul real If este unic respectiv este unică.

Demonstrație:

Putem presupune, prin metoda reducerii la absurd, că  I1I2 care verifică condițiile din definiție, atunci pentru  >0  k, >0 (k=1,2) astfel încât pentru orice diviziune: = (x0,x1,…,xn) a lui [a,b] cu |||| <  și orice puncte intermediare xi-1  i  xi (1  i  n) să avem:

|(f,)-Ik| < /2 (k = 1,2).

Luând  = min(1, , 2,) rezulta ca pentru orice diviziune  a lui [a,b] cu ||||< si orice sistem (i) de puncte intermediare asociat lui , avem:

|(f,)-I1| < /2 și |(f,)-I2| < /2,

deci: |I1- I2| < |I1- (f,)| + |(f,)-I2| < /2+/2 = .

Cum  > 0 a fost luat arbitrar, rezulta I1=I2, dar din ipoteza I1I2  contradicție.

Deci If este unic.

2) f:[a,b]R, f – integrabilă în sens Riemann pe [a,b]  f mărginită pe [a,b].

Demonstrație: f – integrabilă pe [a,b]   If  R a.i.   o diviziune a lui [a,b] si  >0,  >0 pentru care ||||<|(f,i) – If |<  i un sistem de puncte intermediare.

Arătăm că f este mărginită pe [xk-1,xk]. Fie

(f,i)

|(f,i) – If | <  - < (f,i) – If < /+ If → - + If < (f,i) <  + If

- + If < <  + If

[1/(xk-xk-1)][- + If – < f(x) < [1/(xk-xk-1)][- + If – ]

[] []

M1 M2

M1< f(x) < M2

 f – mărginită pe [xk-1,xk]  k  {1,2,…,n}  f – mărginită pe [a,b]

3) f,g : [a,b] R, A[a,b], A finită cu proprietatea g integrabilă pe [a,b], f(x) = g(x) x[a,b] atunci: a) f – integrabilă pe [a,b] b)

Demonstrație:

Este suficient ca demonstrația să fie făcută pentru cazul când mulțimea finită A este formată dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obține din acesta prin inducție matematică. Presupunem deci A={c}.

Funcția g fiind integrabilă, este mărginită, deci  M1  0 astfel încât:

|g(x)|  M1  x[a,b]

Luând M = max( M1, |f(c)| ) f(x)  M și g(x)  M,  x[a,b].

g – integrabilă    > 0,  ’ > 0 a.i. | (g,i) – | < /2

  = (x0, x1,…,xn), cu |||| < ’ si  sistemul de puncte intermediare i. Luând  = min (’, /(8*M) ), avem ’   si 4*M*  /2.

Daca c este un punct al diviziunii , atunci  0  i  n astfel încât c = xj. În acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele j sau j+1. Deci ținând seama de faptul ca f(x) = g(x)  x  c, obținem:

| (g,i) – (f,i) | = |  ( g(i) – f(i) )*( xi – xi-1 )|  | g(j) – f(j)|*(xj – xj-1) + | g(j+1) – f(j+1)|*(xj+1 – xj)  4*M*|||| < 4*M* < /2

Daca c nu este punct al diviziunii , atunci c este conținut într-un interval deschis (xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul k, prin urmare:

| (g,i) – (f,i) | = |  ( g(i) – f(i) )*( xi – xi-1 )|  | g(k) – f(k)|*(xk – xk-1)  2*M*||||  2*M* < /2

Din analiza făcută până acum rezultă că:| (g,i) – (f,i) | < /2

Din 1) si 2) obținem: | (g,i) – | <  adică f este integrabilă și

Fie y = f(x) o funcție continuă, pozitivă și crescătoare în intervalul (a,b). Graficul acestei funcții este un arc de curbă situate deasupra axei Ox. Să calculez aria trapezului mixtiliniu ABB’A’. În acest scop vom construi un șir de poligoane exterioare și un șir de poligoane interioare de o formă anumită, care duc la rezultat.

Să împărțim intervalul A’B’ prin punctele , , în n subintervale, iar prin aceste puncte să ducem paralele la axa Oy, paralele care taie arcul AB în punctele astfel încât trapezul mixtiliniu ABB’A’ apare ca reuniune a n trapeze mixtilinii .

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între aria dreptunghiului exterior și a dreptunghiului ; dacă notăm cu Sk și sk aceste două arii , urmează că avem neegalățiile; ; însumând obținem unde

Sumele s și S se numesc sumele lui Darboux.

Înainte de a merge mai departe să definim câteva noțiuni.

Fie un interval închis și mărginit. O familie finită de puncte și se numește o diviziune a intervalului . Un interval oarecare al diviziunii se numește interval parțial sau subinterval.

Vom numi norma diviziunii numărul pozitiv adică lungimea celui mai mare interval parțial al diviziunii d; deci pentru orice avem .

Vom spune că o diviziune d’ a intervalului este mai fină decât diviziunea d și se scrie sau dacă toate punctele diviziunii d aparțin diviziunii d’ (care conține și alte puncte). Dacă d’ este mai fină decât d, atunci .

2.3.2. Proprietățile funcțiilor integrabile

Teoremă (Operații algebrice cu funcții integrabile): Dacă f , g : [a, b] R sunt funcții integrabile, atunci funcțiile:

sunt integrabile și au loc formulele de calcul:

Demonstrația este imediată folosind definiția, teorema de caracterizare a integrabilității cu șiruri de diviziuni cu șirul normelor tinzând la zero, teorema lui Darboux, rezultatul din teorema lui Lebesgue și operațiile cu șiruri convergente în R.

Consecință: Dacă f , g R[a, b] atunci , R funcția f + g R[a, b] și are loc formula de calcul:

Observații:1. Integrala Riemann are proprietatea de liniaritate cu scalari din R.

2. Dacă f R[a, b] și a=b, avem:(după (1) din definiție). Dacă a > b, avem .

3. Reciproca afirmației f , g R[a, b] f + g R[a, b] în general, nu este adevărată.

4. Mulțimea de funcții integrabile R[a, b] are structura algebrică de spațiu liniar în raport cu operațiile uzuale de înmulțire și adunare cu scalari reali pentru funcții reale de o variabilă reală.

Teoremă (Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul): Funcția f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă și numai dacă, c (a, b) funcțiile sunt integrabile și are loc formula: .

Demonstrația se obține folosind teorema de caracterizare cu șiruri de diviziuni cu șirul normelor tinzând la zero.

Consecință: Dacă I R este interval și f : [a, b] R este o funcție continuă, atunci a, b, c I, are loc relația.

Demonstrație: Dacă a< b < c avem (3) după 2o. Dacă a<b <c, avem:

Observații: 1. Din teorema 2 rezultă că dacă f R[a, b], pentru [c, d] [a, b] compact avem f R[c, d], numită “proprietatea de ereditate”.

2. Formula (3) se numește “proprietatea de aditivitate a integralei ca funcție de interval”.

3. Formula (3) se extinde în cazul unei reuniuni finite: .

Teoremă (Proprietatea de monotonie a integralei): Fie f , g: [a, b] R cu f , g R[a, b] și f (x) g(x) x[a, b], atunci avem: .

Demonstrația se obține cu ajutorul funcției h = f – g pe [a, b] și a teoremei de caracterizare.

Consecință: Fie f : [a, b] R cu f R[a, b] și m, M marginile lui f (m f(x) M, x[a, b]), atunci avem: .

Demonstrație. Din relația m f(x) M, x[a, b], prin integrare, avem:

.

Observații: 1. Formula (5) conține expresia care se numește valoarea medie a lui f pe [a, b].

Formula (4) exprimă “proprietatea de monotonie a integralei” și pentru f(x) 0, x[a, b] și f R[a, b], avem: .

Consecință: Dacă f : [a, b] R este o funcție continuă, atunci există [a, b] a. î. .

Demonstrație. Funcția f continuă pe compactul [a, b] este mărginită și își atinge marginile (teorema Weierstass) deci există x1, x2[a, b] a. î. m = f (x1), M = f (x2). Funcția f continuă pe intervalul [a, b] are proprietatea lui Darboux și pentru [m, M] = f ( [a, b]) există [a, b] a. î. f () = și notând din (5) se obține (6).

Teoremă (Majorarea modulului integralei): Dacă f : [a, b] R este integrabilă, atunci |f | R[a, b] și avem:

.

Demonstrație: Pentru x, y[a, b], avem | |f (x)| – |f (y)|| |f (x) – |f (y)| și din această inegalitate deducem că |f | R[a, b]. Cum – |f (x)| f (x) |f (x)| , x [a, b], folosind (4) avem: și cum rezultă (7).

2.3.3. Formule de medie și de calcul

Teoremă (Teorema I de medie ): Fie f : [a, b] R cu f R[a, b] și g(x) 0, atunci există [m, M] .

În particular, dacă g(x) = 1, x [a, b], avem: .

Demonstrație:și după (4) rezultă: . Dacă

și pentru [m, M] are loc (8). Dacă , notăm și după (*) rezultă (8).

Consecința: Dacă f : [a, b] R este continuă și g R[a, b] este nenegativă, atunci există [a, b] a. î. .

În particular, dacă se obține (6).

Demonstrația este directă. Din ipoteza “f continuă pe [a, b]”, pentru [m, M], există [a, b], astfel încât f () = (8).

Teoremă: Fie I R interval și f : I R local integrabilă pe I. Dacă a I este un punct fixat și se consideră funcția

(9) F(x) = , x I atunci F are proprietățile:

(i) F este continuă pe I;

(ii) F este derivabilă în x0I în care f este continuă cu F’(x0) = = f (x0).

Demonstrație. (i) Fie x0 I și r >0 fixat, atunci F(x) – F(x0) = =.

Considerăm >0 și

F continuă pe I.

(ii) Fie x0 I și f continuă în x0 I; pentru >0 există >0 a. î. | f (x) – f (x0)| < , xI [x0 – , x0 + ] x I cu x x0 ,

și avem:

există F este derivabilă în x0I cu F’(x0) = f(x0).

Consecință: Fie I R interval și f : I R.

Dacă f este o funcție continuă pe I, atunci pentru aI fixat, funcția (9) este derivabilă și avem F’(x)= f (x ), xI, deci f admite primitive pe I și F este o primitivă a funcției f pe I.

Pentru a, bI și f continuă pe I, avem:

(10) ,

unde F este o primitivă oarecare a lui f pe I.

Demonstrație. I) Afirmația este o consecință directă a teoremei 6(ii).

II) a, bI fixați și F o primitivă a lui f pe I, notăm:

și după afirmația I), avem: pe I, deci .

Cum

Observații: 1. Dacă f din teorema 6 este continuă la stânga (la dreapta) în x0I, atunci F este derivabilă la stânga (la dreapta) în x0I cu

.

2. Formula (10) este formula Leibniz – Newton care este o metodă de calcul a integralei Riemann.

3. Dacă f este mărginită și integrabilă pe intervalul , am văzut că avem, unde m și M sunt marginile funcției f în . Urmează că există un număr cuprins între m și M astfel încât .

Să presupunem că f(x) este și continuă pe În această situație există cel puțin un punct astfel încât , deci , care se numește formula mediei pentru integrale. Această formulă are o interpretare geometrică simplă, și anume spune că există cel puțin un punct astfel încât aria mărginită de arcul de curbă AB, și de segmentele este egală cu aria dreptunghiului de înălțime și bază .

Dacă f și p sunt doua funcții mărginite și integrabile pe și dacă , f(x) este continuă pe , atunci există un punct astfel încât

Să presupunem că mai întâi pe f(x) numai mărginită și integrabilă. Avem și pentru că urmează deci și

neegalitatea care arată că există un număr cuprins între m și M astfel încât .

Să presupunem acum că f este și continuă în , deci că există un punct astfel încât . În această situație relația se scrie: . Formula obținută se numește formula generală a mediei pentru integrale.

Cele două formule de medie obținute sunt variabile și pentru .

4. Inegalitatea lui Schwarz – Buniakovski. Oricare ar fi funcțiile f, g integrabile pe avem .

Să considerăm forma pătratică în și

pozitivă pentru orice și . Discriminantului ei este negativ

de unde deducem inegalitatea din enunț.

Teoremă (Formula Leibniz – Newton): Dacă f : [a, b] R este o funcție integrabilă și f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

(10) .

Demonstrație. Pentru D([a, b]), avem

din teorema Lagrange aplicată lui F derivabilă pe și avem. Cum f este integrabilă, aplicând teorema 1 (de caracterizare a funcțiilor integrabile):

.

Consecință: Dacă f : [a, b] R este o funcție derivabilă cu f ’ funcție integrabilă pe [a, b], avem: .

Teoremă (Formula de integrare prin părți): Fie f , g : [a, b] R cu f , g C1([a, b]), atunci are loc formula de integrare prin părți:

(11) .

Demonstrație. Din f , g C1([a, b]) (fg)’ = f’g +g’ f este o funcție continuă pe [a, b] și după consecința 7 – (i) admite primitive și este integrabilă, deci se aplică formula de calcul (10): , dar

.

Teoremă (Formula schimbării de variabilă (I)): Fie f : [a, b] R o funcție continuă, atunci pentru orice : [, ] [a, b] cu C1([a, b]) are loc formula schimbării de variabilă (I):

(12) .

Demonstrație: Pentru f continuă pe [a, b], fie F o primitivă a sa și cum F, sunt derivabile, atunci F : [, ] R este derivabilă cu.

. Funcția (f ) ’ este integrabilă și (F )’ continuă pe [, ], admite primitive, deci:

Teoremă (Formula schimbării de variabilă (II)): Dacă f : [a, b] R este continuă pentru orice : [, ] [a, b] bijectivă și cu -1 C1([a, b]) are loc formula schimbării de variabilă (II):

(13) .

Demonstrație: Cum este bijectivă și -1 : [a, b] [, ] este bijectivă și de clasă C1([a, b]) atunci f : [a, b] R este continuă și avem:

(13).

Observații: 1. Formula (12) se numește “prima formulă de schimbare de variabilă” în integrală unde x = (t), t [, ] și C1([a, b]), iar a = (), b = (). Se alege convenabil funcția astfel încât integrala din membrul doi al formulei (12) să fie mai simplă sau chiar din tabelul primitivelor unor funcții elementare.

2. Formula (13) se numește “a doua formulă de schimbare de variabilă” și pentru x = (t) strict crescătoare avem: ()= a, () = b și cum , iar este inversabilă cu -1C1([a, b]), atunci f este continuă și f ( -1)’ integrabilă pe [a, b].

3. Denumirea de formula (I) și (II) de schimbare de variabilă în integrală este convențională; de fapt avem o singură formulă de schimbare de variabilă și mai multe moduri de aplicare a acestei formule în calcule.

4. Din necesitatea de a folosi integralele Riemann în aplicații concrete este uneori suficient să se cunoască o valoare aproximativă a integralei cu o eroare dată oricât de mică. În acest scop, vom enunța fără demonstrație, teoremele care indică metodele de calcul aproximativ al integralelor.

Teoremă (Formula dreptunghiurilor): Fie f : [a, b] R cu f C2([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(14).

Teoremă (Formula trapezelor): Fie f : [a, b] R cu f C2([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(15).

Teoremă (Formula lui Simpson): Fie f : [a, b] R cu f C4([a, b]) și cu i {0, 1, 2, …, n}, atunci Sn aproximează cu o eroare:

(16) .

Orice mărime geometrică, fizică, economică etc. care are proprietatea de “aditivitate față de mulțime (interval)” se poate exprima printr-o integrală definită. Astfel noțiunile de “arie” și “volum” pentru figuri geometrice din plan și corpuri din spațiu se pot defini în mod riguros din punct de vedere matematic. Vom prezenta fără demonstrație unele aplicații ale integralei definite.

I. Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulțimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 și graficul funcției f : [a, b] R pozitivă și continuă se calculează prin formula: (17o).

2. În cazul f : [a, b] R continuă și de semn oarecare, avem: (17’).

3. Aria mulțimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b și graficele funcțiilor f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: (18o).

II. Lungimea unui arc de curbă

Se numește curbă plană o mulțime R2 cu proprietatea că există o funcție continuă f : [a, b] R, notată y = f (x), x [a, b] și Gf = R2 (graficul lui f din plan este ). Dacă f are derivată continuă (sau numai funcție integrabilă) pe [a, b], lungime a curbei se calculează după formula: (19o) .

III. Volumul unui corp de rotație

Fie f : [a, b] R o funcție continuă, atunci corpul K din spațiu obținut prin rotirea graficului lui f, Gf, în jurul axei Ox, are volumul calculat prin formula: (20o) .

IV. Suprafața unui corp de rotație

Fie f : [a, b] R o funcție derivabilă pe [a, b] și cu f’ continuă (f C1([a, b])), atunci suprafața S a corpului K obținut prin rotirea graficului lui f în jurul axei Ox se calculează prin formula: (21o) .

Capitolul 3. Studiului matematic al desenării graficului unei funcții

Pașii realizării graficului unei funcții sunt:

3.1. Determinarea domeniul maxim de definiție al funcției

Domeniul maxim de definiție al unei funcții se determină în funcție de tipul funcției. Astfel:

– în cazul expresiilor raționale, numitorul funcției trebuie să fie diferit de zero;

– cantitatea de sub un radical cu indice par trebuie să fie cel puțin zero;

– baza unei funcții exponențiale trebuie să fie strict pozitivă;

– funcțiile arcsinus și arccosinus trebuie să fie definite pe [-1,1];

– numărul, căruia i se aplică logaritmul, trebuie să fie strict pozitiv, iar baza logaritmului trebuie să fie strict pozitivă și diferită de 1.

Studiind în particular

pentru funcțiile iraționale de forma  se pune condiția ca ; 

pentru funcția logaritmică de forma   se pune condiția ca ; 

pentru funcțiile raționale de forma . 

3.2. Intersecția graficului funcției cu axele de coordonate:

Se determină intersecția cu axele de coordonate:

y=0 f(x)=0, iar dacă soluțiile ecuației f(x)=0 există, atunci acestea reprezintă abscisele punctelor în care graficul intersectează axa Ox;

x=0 y=f(0) punctul în care graficul intersectează axa ordonatelor.

Dacă domeniul de definiție este nemajorat, atunci se cercetează limita funcției când x → , iar dacă domeniul de definiție este neminorat, atunci se cercetează limita funcției când x → -.

Cu alte cuvinte intersecția graficului funcției cu axa Ox se  obține punând condiția  y=0 f(x)=0 (adică rezolvând ecuația) și intersecția graficului funcție cu axa Oy se obține punând condiția ca   x=0 și calculând y=f(0).

3.3. Determinarea semnului funcție și eventualele simetrii

Se explicitează funcțiilor: modulul, maxim, minim, signatură, partea întreagă și partea zecimală (dacă funcția le conține).

Se determină paritatea sau imparitatea funcției: dacă funcția este pară, , atunci graficul funcției este simetric față de axa ordonatelor, dacă funcția este impară, , atunci graficul funcției este simetric față de originea axelor; deci este suficient ca trasarea graficului să fie efectuată pe semiaxa Ox pozitivă, apoi să se simetrizeze. Graficul unei funții f este simetric față de dreapta dacă și este simetric față de punctul dacă

O funcție are simetrii dacă este pară sau impară, o funcție para este simetrică față de axa Oy, iar o funcție impară este simetrică față de origine.

Se determină perioada T a funcției trigonometrice și se trasează graficului pe intervalul intersectat cu domeniul de definiție, apoi extensia sistemului (a detaliului de grafic) pe toată axa absciselor.

3.4. Asimptotele funcției

Calculam limitele la capetele domeniului de definiție, studiem continuitatea și determinam eventualele asimptote daca există.

Există trei tipuri de asimptote: orizontale, verticale și oblice.

Asimptotele verticale se definesc pentru funcții nemărginite, chiar dacă sunt definite pe mulțimi mărginite. Ele trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției, adică în punctele în care funcția f nu este definită.

Observație: dacă dreapta x = x0 este asimptotă verticală la graficul funcției f, atunci distanța dintre grafic și asimptotă, măsurată pe orizontală, descrește necontenit când punctul de pe grafic se depărtează necontenit;

Asimptotele oblice: se caută pentru funcții definite pe mulțimi nemărginite, chiar dacă funcțiile sunt mărginite.

Spunem că dreapta este asimptotă oblică la ramura spre + a graficului, dacă:

Dacă mulțimea E, pe care este definită funcția, este nemărginită la dreapta, atunci + este un punct de acumulare al mulțimii E. Dacă mulțimea E, pe care este definită funcția, este nemărginită la stânga, atunci – este un punct de acumulare al mulțimii E.

Spunem că dreapta y = m1x+n1 este asimptotă oblică la ramura spre – a graficului, dacă:

Dacă dreapta este asimptotă la , atunci coeficientul unghiular m și ordonata la origine n, verifică egalitățile:

Observații:

dacă există m și este finit, dar n nu există sau e infinit, graficul funcției nu are asimptotă oblică la ;

dacă nu există m sau e infinit, graficul funcției nu are asimptotă oblică la .

Asimptote orizontale dacă există și este finită, atunci dreapta y=a este asimptotă la , paralelă cu axa Ox.

Observații:

Dacă graficul are asimptotă orizontală, atunci el nu mai poate avea și asimptotă la și reciproc;

În cazul funcțiilor periodice, un grafic poate avea o infinitate de asimptote verticale;

Pot să existe asimptote orizontale spre și oblice spre ;

În cazul funcțiilor circulare inverse, graficul poate avea o infinitate de asimptote orizontale;

Dacă dreapta y = a este asimptotă orizontală la graficul funcției f, atunci distanța dintre grafic și asimptotă, măsurată pe verticală, descrește necontenit când punctul de pe grafic se depărtează.

Asimptotele parabolice se caută pentru funcții definite pe mulțimi nemărginite, chiar dacă funcțiile sunt mărginite.

Spunem că parabola y = mx²+nx+p este asimptotă parabolică la ramura + a graficului, dacă:

Spunem că parabola y = mx²+nx+p este asimptotă parabolică la ramura – a graficului, dacă:

Dacă parabola y = mx²+nx+p este asimptotă la , atunci coeficienții reali m,n,p verifică egalitățile:

Observație: egalitatea exprimă faptul că

distanța dintre graficul funcției și parabolă, măsurată pe axa ordonatelor, tinde la 0.

3.5. Studiul funcției folosind prima derivata

Cu ajutorul derivatei întâi determinam intervalele de monotonie și punctele de extrem.

Fie f : A R, o funcție de variabilă reală și I A.

Definiție: Despre funcția f spunem că este:

strict crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) < f(x2).

strict descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) > f(x2).

crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

Observație: O funcție f crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numește monotonă pe I. Dacă f este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiție ) spunem simplu că funcția f este strict monotonă (sau monotonă) fără a mai indica mulțimea. A studia monotonia unei funcții f : A R revine la a preciza submulțimile lui A pe care f este strict crescătoare (crescătoare) și submulțimile lui A pe care f este strict descrescătoare (descrescătoare).

Exemplu: f: [0,2] R, f(x)=+x, f’(x)=2x+1, f’(x)>0 f este strict crescătoare pe [0,2].

Pentru studiul monotoniei unei funcții numerice f : A R, se utilizează raportul:

cu x1, x2 A și x1 x2 numit raportul de variație asociat funcției f și numerelor x1, x2.

Diferența (x2 – x1) se numește variația argumentului, iar diferența (f(x2) – f(x1)) se numește variația funcției. Prin urmare raportul de variație asociat lui f și numerelor x1, x2 este raportul dintre variația funcției și variația argumentului.

Teoremă: Fie f : A R o funcție numerică și I A. Atunci:

f este strict crescătoare (crescătoare) pe I

> () 0, () x1, x2 I x1 x2;

f este strict descrescătoare (descrescătoare) pe I

< ()0, () x1, x2I x1x2;

Valori extreme ale unei funcții se determină studiind monotonia laterală a funcției în punctele ce sunt rădăcinile derivatei.

Definiție: Fie funcția numerică f : A R, I A. Dacă există x0 I astfel încât f(x) f(x0), x I, atunci f(x0) se numește maximumul local al funcției f pe mulțimea I și scriem f(x0) = max f(x).

Punctul x0 pentru care se obține valoarea maximă a lui f pe I se numește punct de maxim local pentru funcția f pe I. Dacă există x1 I astfel încât f(x) f(x1), x I, atunci f(x1) se numește minimumul local al funcției f pe mulțimea I și scriem f(x1) = min f(x).

Punctul x1 pentru care se obține valoarea minimă a lui f pe I se numește punct de minim local pentru funcția f pe I. Valoarea maximă sau minimă a lui f pe I se numesc valori extreme ale funcției pe I.

Exemplu: Funcția , f(x) = x3 – x2 are următoarea reprezentare:

Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numește punct de extrem local pentru funcția f pe I.

Exemplu: Graficul anterior este graficul funcției: f : R R, f(x)=x17- 8×15 unde

Exemplu: Funcția f definită prin tabelul de valori următor are valoarea maximă egală cu 8 și se atinge pentru x = -6.

Deci max f = f(-6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru funcție. Valoarea minimă a lui f este egală cu –5 și se obține pentru x = 0. Deci min f = f(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al funcției. În final, valorile extreme ale funcției sunt –5 și 8, iar punctele de extrem sunt 0 și respectiv –6.

Definiție: O funcție numerica f: A R (A R) se numește mărginită dacă există două numere reale m, M a.î. m f(x) M, xA.

Exemplu: Funcția sinx: R [-1,1], al cărei grafic este reprezentat în figura următoare, este mărginită de m = -1 și M = 1.

Exemplu: Funcția cosx: R [-1,1], al cărei grafic este reprezentat în figura următoare, este mărginită de m = -1 și M = 1.

Semnificația geometrică a unei funcții mărginite este aceea că graficul funcției este cuprins între dreptele orizontale y = m, y = M, după cum se observă și din graficele celor două funcții prezentate în exemple de funcții sin x și cos x unde M = 1 și m = -1. O definiție echivalentă ar fi și următoarea:

Definiție: O funcție numerica f: A R (A R) se numește mărginită dacă există numărul real M a.î. |f(x)| M, xA.

3.6. Studiul funcțiilor folosind derivata a doua

Cu ajutorul derivatei a doua determinăm intervalele de convexitate sau concavitate și punctele de inflexiune.

Considerăm funcția f: I R unde I – interval. Atunci are loc următoarea:

Definiție: a) despre funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă:

x1, x2I , q1, q2 ≥ 0 astfel încât q1+ q2 =1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≤ q1 f(x1) + q2 f(x2) (1)

despre funcția f spunem că este concavă pe intervalul I dacă:

x1, x2I , q1, q2 ≥ 0 astfel încât q1+ q2 =1 avem: f(q1 x1+ q2 x2) ≥ q1 f(x1) + q2 f(x2) (2)

Observație: Dacă în inegalitățile (1) și (2) avem inegalitate strictă se spune că funcția f este strict convexă respectiv strict concavă.

Noțiunea de funcție convexă respectiv concavă a fost introdusă J. Jensen care a pornit de la o relație mai particulară decât (1) și (2), anume:

despre funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă:

x1, x2I , x1≠x2

despre funcția f spunem că este concavă pe intervalul I dacă:

x1, x2I , x1≠x2

Din punct de vedere grafic pentru o funcție convexă în general avem următoarea reprezentare

Exemplu: Funcția f: R R f(x) = x2 este o funcție convexă.

Din punct de vedere grafic pentru o funcție concavă în general avem următoarea reprezentare

Exemplu: Funcția f: R R f(x) = – x2 este o funcție concavă.

Observație: Funcția de gradul II-lea de forma f(x) = ax2+bx+c unde f: R R este:

convexă pe R dacă a > 0

concavă pe R dacă a < 0

Funcțiile periodice sunt o specie de funcții particulare.

Definiție: Fie T R* și f: D R, unde D R o mulțime cu proprietatea x D x+T D și x -T D. Despre f: D R spunem că este periodică de perioada T dacă f(x+T) = f(x) (1). Cel mai mic întreg pozitiv T pentru care este îndeplinită relația (1) se numește perioada principală a lui f.

Exemple:

1. Funcțiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principală 2.

2. Funcția lui Dirichlet : f(x)= este periodică având ca perioada orice număr rațional.

3.7.  Tabelul de variație al funcției

Întocmim tabelul de variație al unei funcții se realizează cu datele corespunzătoare conform punctelor determinate în etapele precedente.

Se formează un tabel de valori al funcției f, tablou în care se trec, pentru sistematizare, rezultatele funcție în anumite puncte, în funcție de particularitățile ei, dar în general în punctele care sunt rădăcini ale ei, a derivatei de ordinul I și a derivatei a doua. În general un tabel de valori are următoarea formă:

3.8. Trasarea graficul funcției

Trasarea graficului funcției se realizează conform rezultatelor sistematizate în tabelul de valori, într-un sistem de axe carteziene .

Studiind în general funcțiile reale particulare de o singură variabilă reală, trebuie să luăm în considerare și alte elemente particulare. Astfel pentru:

funcția de gradul al doilea se atașează ecuații de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 0

Se calculează formula = b2 – 4ac. Dacă > 0 atunci se calculează

, , = b2 – 4ac; sau

, , b = 2b’, ’ = b’2 – ac.

Alte formule utile în studiul ecuației de gradul al II-lea:

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP

x14 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x12x22= S4 – 4S2P + 2P2

Stabilirea naturii și semnul rădăcinilor în funcție de semnele lui = b2 – 4ac, P = x1x2 și S = x1 + x2 se realizează astfel:

Semnul funcției f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR se stabilește astfel:

Dacă > 0: a 0, x1 < x2.

Dacă = 0

Dacă < 0

Graficul funcției f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR este o parabolă. Această funcție se poate scrie și sub forma , numită formă canonică.

y

C

O A B x

V

> 0, a > 0, a > 0, a > 0, B(x2,0), C(0,c), B(x2,0), V

Maximul sau minimul funcției de gradul al doilea se determină astfel:

dacă a > 0, funcția f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu , minim ce se realizează pentru x = ;

dacă a < 0, funcția f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu , maxim ce se realizează pentru x = .

Intervale de monotonie pentru funcția de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a0 se stabilesc astfel:

dacă a > 0, funcția f este strict descrescătoare pe intervalul și strict crescătoare pe intervalul .

dacă a < 0, funcția f este strict crescătoare pe intervalul și strict descrescătoare pe intervalul .

Observație: Intervalele și se numesc intervale de monotonie ale funcției f.

Descompunerea funcției f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR, a0, x1 și x2 fiind rădăcinile ei, se poate realiza astfel:

> 0, f(x) = a(x – x1)(x – x2);

= 0, f(x) = a(x – x1)2;

< 0, f(x) este ireductibilă pe R, deci f(x) = ax2 + bx + c

Construirea unei ecuații de gradul al doilea când se cunosc suma și produsul rădăcinilor ei se realizează astfel: x2 – Sx + P = 0 unde S = x1 + x2 și P = x1x2.

Se poate studia dacă două ecuații diferite de gradul al doilea, spre exemplu ax2 + bx + c = 0 și a’x2 + b’x + c’ = 0, a,b,c,a’,b’,c’R, a,a’0, au cel puțin o rădăcină comună. Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă:

sau

Condiții necesare și suficiente pentru ca numerele reale date și s[ fie în anumite relații cu rădăcinile x1 și x2 ale ecuației de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,cR, a0, respectiv, pentru ca f(x) să păstreze un semn constant .

Observație: Rezolvarea ecuației bipătrate ax2n + bxn + c = 0, , prin substituția xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 și la rezolvarea a două ecuații binome de forma xn = y1, xn = y2.

Funcția reciprocă de gradul al treilea f(x) = ax3 + bx2 bx a se poate studia prin atașarea ecuației reciproce de forma ax3 + bx2 bx a = 0, a,bR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuației (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

Funcția reciprocă de gradul al patrulea f(x) = ax4 bx3 + cx2 bx + a se studiază cu ajutorul ecuației reciproce ax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,cR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuații de gradul al doilea, prin substituția

y = x + și se obține a(x2 + ) b(x + ) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.

Funcția bipătrată f(x) = ax4 + bx2 + c se studiază prin atașarea ecuației bipătrate

ax4 + bx2 + c = 0, a,b,cR, a0

Cu x = y2, rezultă ecuația ay2 + by + c = 0, deci

Pentru funcțiile de gradul n de forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an se are în vedere forma algebrică a polinomului atașat fC[x] este f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 coeficientul dominant, an – termenul liber.

Funcția polinomială asociată lui fC[x] este :CC () = f() C, f() fiind valoarea polinomului f în .

Teorema împărțirii cu rest: f,gC[x], g0 există polinoamele unice q,rC[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Restul împărțirii polinomului fC[x], f0 la X-a este f(a).

Schema lui Horner: ne ajută să aflăm câtul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1

al împărțirii polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an

la binomul X-a precum și restul acestei împărțiri r = f(a);

Numărul R se numește rădăcină a polinomului f dacă și numai dacă () = 0.

Teorema lui Bezout: Numărul R este rădăcină a polinomului f0(X-a) f.

Definiție: Numărul se numește rădăcină multiplă de ordinul p a polinomului f0 dacă și numai dacă (X-a) f iar (X-a)p+1 nu-l divide pe f.

Teoremă: Dacă fR[x] este un polinom de gradul n și x1,x2,x3,…,xn sunt rădăcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,…,mn atunci

unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + … + mn = grad f.

Definiție: O ecuație de forma f(x) = 0 unde f0 este un polinom, se numește ecuație algebrică.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuațiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali.

Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuație algebrică de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puțin o rădăcină (complexă).

Formulele lui Viete: Dacă numerele x1,x2,…,xn sunt rădăcinile polinomului fC[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a00 atunci:

Capitolul 4. Aplicații pentru grafice de funcții

4.1. Aplicații din diverse domenii

4.1.1. Aplicații din economie

Sunt domenii importante ale științelor economice care se bazează și utilizează într-o măsură largă metodele matematice.

Un exemplu este Econometria, domeniu al științelor economice structurat bazat pe suportul Teoriei Probabilităților și al Statisticii Matematice.

În prezent este clar că studiile economice sunt matematizate și informatizate.

Este greu să ne imaginăm funcționarea economiei fără utilizarea computerelor.

Acestea pot administra, proteja, transmite și prelucra mari cantități de informație într-un timp scurt.

Utilizarea calculatoarelor în economie devine posibilă numai după ce procesele economice sunt transpuse, dintr-un limbaj obișnuit, în limbajul simbolurilor și conceptelor matematice.

În definiție, funcția presupune însă numai doua mulțimi sau domenii în corelație. O corelație pentru care mulțimea (A) este determinantă, astfel socotita domeniu de definiție, domeniul determinant, de (B), care este domeniul în care funcția ia valori (codomeniu), domeniul determinat. În strictețea acestei logici, pentru oricare element (a), component al domeniului (A), va exista un singur corespondent funcțional, (b), component al domeniului (B).

Un grafic în economie, expus corect este și unul complet, în sensul în care acesta să conțină toate elementele, atât date (exogene) cât și rezultate (endogene). Economia ca știință nu beneficiază de instrumentarul riguros și direct al științelor exacte. Respectiv, îi rămâne apropierea de obiectul ei de cercetare prin teorii și modele. Modelul este simplificarea unei realități mult mai complicate ca principiu și realitate. El lucrează astfel în favoarea explicitării sale și înțelegerii unei esențe fenomenologice.

Tipuri de corespondență:

Mulțimea A: Mulțimea proprietarilor, Mulțimea B: mulțimea mașinilor

Există următoarele tipuri de corespondente:

1-1: un proprietar poate avea doar o mașină

1-2: un proprietar poate avea doua mașini

2-1: doi proprietari pot avea o singura mașină

0-0: un proprietar nu are nici o mașină sau o mașină nu are nici un proprietar

Economia expusă în limbajul matematic, beneficiază de un potențial enorm de metode de soluționare a celor mai complexe metode.

De exemplu: O persona depune la bancă suma de 4000 u.m. la data de 1 martie și suma de 6000 u.m. la data de 16 aprilie. Considerând că procentul anual utilizat este de 8%, să se determine suma revenită deponentului la data de 11 octombrie a aceluiași an.

Sf = S1 ˑ (1+ iˑ t1) +S2 ˑ (1+iˑ t2) =

= 4000ˑ +6000 ˑ =10428,89 u.m.

Cu aceste date generale, fără alte adăugări, se poate calcula suma revenita după un an, sau chiar mai mulți. O astfel de reprezentare se află în figura următoare.

Începând cu 11 octombrie graficul reprezintă funcția f(x) = 1,08x.

Un alt exemplu: Cu ce procent anual trebuie plasată suma de 1500 u.m. pe durata de 10 luni, în regim de dobândă simplă, pentru a obține suma finală de 1600 u.m?

Sf = S0 ˑ

1600= 1500 ˑ → i =0,08 → p=8%

Analizele statistice și reprezentările lor în economie se fac pe bază de tabele explicite.

Ca exemplu, în tabelul următor sunt date generale din Rezultatul net al exercițiului financiar realizat și prognozat, pentru o societate comercială.

O reprezentare grafică a acestor date poate fi realizată astfel:

Concepte din analiza matematică în economie sunt foarte des întâlnite. Dintre acestea sunt și metodelor de optimizare.

Dacă considerăm f o funcție numerică de n variabile pe care, pentru simplitate, o presupunem definită și cu derivate parțiale cel puțin de ordinul doi în fiecare punct din Rn. Considerăm problema de optimizare fără restricții:

(P) Să se determine x*Rn cu proprietatea:

În legătură cu această problemă, analiza matematică clasică furnizează următorul rezultat fundamental:

Teoremă: Dacă x* este un punct de extrem local al funcției f, atunci f(x*) = 0, unde

este gradientul funcției f. Reciproc, dacă x* Rn este un punct în care condiția (1) are loc și în plus matricea hessiană H(x*) este pozitiv definită, unde

atunci x* este un punct de minim local al funcției f.

Prin urmare, soluția optimă a problemei (P) trebuie căutată printre soluțiile sistemului de n ecuații în n variabile, în general neliniar:

Însă rezolvarea sistemului, cel puțin în sensul uzual al termenului, este practic imposibil de făcut în cvasitotalitatea cazurilor practice. Chiar și în cazul fericit în care, prin mijloace analitice, adică “cu formule”, am putea găsi o soluție a sistemului nu avem nici o garanție că aceasta este soluția optimă a problemei. Ea ar putea fi foarte bine un punct de maxim local sau un punct șa sau, în cel mai bun caz, un minim local diferit de cel global. Astfel apare necesitatea considerării altor metode de abordare a problemei.

Principiul metodelor de optimizare fără restricții este următorul:

Se generează un șir de puncte x0, x1, x2 … din Rn, numite în continuare aproximații. Punctul inițial x0 este dat, alegerea sa fiind făcută de utilizator în funcție de specificul problemei (P). O dată obținută aproximația xk, noua aproximație xk+1 se determină astfel:

Se alege o direcție de deplasare sk precum și un pas al deplasării k ; sk este un vector nenul din Rn – de regulă ; k este un scalar pozitiv.

Se pune:

În principiu, vectorul sk este astfel ales încât prin deplasarea din xk în direcția sk, să se obțină – cel puțin în prima fază a deplasării – o descreștere a valorii funcției de minimizat f.

O dată stabilită direcția de deplasare sk, pasul k se alege astfel încât:

Prin urmare:

Mai precis k se găsește prin minimizarea funcției de o singură variabilă:

Pentru a obține o metodă efectivă de minimizare este necesar să se precizeze:

modul de alegere a direcției de deplasare sk, k = 0,1,2,…;

modul de alegere a pasului k altfel spus, modul în care se execută minimizarea funcției unidimensionale g();

procedeul de oprire a procesului iterativ.

În ipotezele și notațiile precedente, o hipersuprafață de nivel a funcției f este mulțimea punctelor care satisfac o ecuație de forma: f( x ) = C, unde C este o constantă. În cazul a două (respectiv trei) variabile vom vorbi despre curbe (respectiv,suprafețe) de nivel. Astfel pentru funcțiile:

curbele de nivel sunt: a) drepte paralele; b) cercuri concentrice; c) elipse concentrice ca în reprezentarea următoare.

Gradientul funcției f este vectorul:

Acesta are următoarele proprietăți:

În orice punct de extrem local x* al funcției f avem f(x*) = 0; reciproca nu este în general adevărată.

Fie un punct în care .Atunci este direcția de deplasare din corespunzătoare celei mai rapide descreșteri a funcției f. Analog, este direcția celei mai rapide creșteri.

Considerând funcția pătratică:

Curbele sale de nivel sunt elipse cu centrul în punctul care reprezintă și punctul de minim global al funcției. Gradientul lui f:

în punctul = (1,1) este nenul: = (32,-6). Cea mai rapidă descreștere a funcției f plecând din are loc pe direcția = (-32,6)

Pe direcția celei mai rapide descreșteri, funcția nu descrește neîncetat. Pentru ilustrare, în exemplul de mai sus, să considerăm un punct variabil pe direcția celei mai rapide descreșteri din = (1,1):

Pe această direcție, comportarea funcției f este descrisă de funcția:

a cărei variație este reprezentată în figura următoare.

Se observă că atunci când crește de la 0 la 0.032 (= punctul în care g() are valoarea minimă), funcția g și deci și funcția f scad de la valoarea 25 la valoarea 7.893 după care încep din nou să crească.

Putem afirma cu certitudine că deciziile luate fără utilizarea metodelor matematice, sunt departe de a fi științific argumentate. O economie fără matematică și informatică nu poate fi constructivă.

4.1.2. Aplicații din biologie

Biomatematica și bioinformatica sunt discipline sistematic elaborate și consolidate, prezente în zeci de tratate și lucrări publicate de toate marile edituri internaționale din întreaga lume. Tehnicile de studiu, se bazează în principal, pe teoria ecuațiilor diferențiale, pe statistică matematică și pe noțiunile de reprezentare grafică.

Biologia este un domeniu larg de cunoaștere al fenomenelor, a ceea ce influențează și determină apariția și funcționarea sistemelor vii. Deși este perceput ca abordând mai degrabă aspecte fundamentale, descriptive ale vieții, sub toate formele ei, biologia are de fapt o puternică valență experimentală. Practic, nivelul actual de înțelegere în acest domeniu a fost atins ca urmare a aplicării principiilor care stau la baza raționamentelor logice. Astfel, nu este de mirare că în prezent explicarea dar și prezicerea fenomenelor vii este argumentată logic, ca rezultat al unor ipoteze verificate experimental.

În anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematică în Pisa. Problema propusă concurenților a fost celebra “Problema iepurașilor” lui Fibonacci.

Dacă se pornește de la o singura pereche de iepuri și știind că fiecare pereche de iepuri produce în fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productivă” la vârsta de 1 luna, calculați câte perechi de iepuri vor fi după n luni. (de asemenea se consideră că iepurii nu mor în decursul respectivei perioade de n luni).

Să notăm Fn numărul de perechi de iepuri după n luni. Numărul de perechi de iepuri după n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodată!), la care se adaugă iepurii nou-născuți. Dar iepurașii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel puțin o lună, deci vor fi Fn-1 perechi de iepuri nou-născuți. Obținem astfel o relație de recurență, reprezentată în figura următoare: Fn+1 = Fn + Fn-1; F1=1; F0=0

Aceasta relație de recurență reprezintă regula care generează termenii șirului lui Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…..

Șirul lui Fibonacci este un șir de numere în care fiecare, începând cu al treilea, este suma celor doua dinaintea sa.

Aplicabilitățile șirul lui Fibonacci în lumea animalelor și a plantelor sunt multiple.

Toate elementele faciale esențiale ale tigrului sunt amplasate la întretăierea grilei divizate după PHI. Ochii, gâtul, aripioara și alte puncte marcante ale fizionomiei pinguinului sunt amplasate proporțional, după rigla divizată în raporturi constante PHI. Secțiunile corporale ale furnicii sunt definite la punctele de divizare ale riglei gradate în raporturi de PHI.

Corpul omenesc și numerele lui Fibonacci: Mâna umană are 5 degete, fiecare deget având 3 falange, separate prin 2 încheieturi. Media lungimilor falangelor este de 2, 3 și respectiv 5 cm. În continuarea lor este un os al palmei care are în medie 8 cm.

Câtul dintre lungimea părții de jos a corpului omenesc, măsurată de la ombilic până la tălpi, și partea de sus, măsurată din creștet până la ombilic este numărul de aur.

Numărul de aur se regăsește în modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semințelor la plante. La multe plante, numărul de petale este un număr Fibonacci

3 petale: crin, iris

5 petale: trandafir sălbatic, viorele, lalele

8 petale: delphiniums

13 petale: gălbenele, porumb, cineraria, unele margarete

21 petale: margarete, cicoare

34 petale: pătlagina

Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci, si de asemenea la floarea soarelui.

Ritmul ciclic al bătăilor inimii apare în electrocardiograma unui om sănătos ca o linie curbă, cu suișuri și coborâșuri. Reprezentarea grafică a "șirului lui Fibonacci" seamănă izbitor cu cea de-a doua parte a amintitei EKG.

Cu alte cuvinte, biologia modernă face uz de gândirea matematică abstractă, pentru a exprima logic desfășurarea proceselor biologice, de la nivel subcelular și până la nivel de ecosisteme și biosferă.

Disciplinele din domeniul biologie în care matematizarea are pondere cea mai ridicată sunt biologia celulară, și moleculară, biochimia, biofizica, genetica, microbiologia, biotehnologia, fiziologia animală, și vegetală, ecologia generală, fitosociologia și ecologia populațiilor.

4.1.3. Aplicații din teoria jocului

Teoria jocurilor este o ramură a matematicii aplicate care abordează problema comportamentului optim în jocurile cu două sau mai multe persoane, într-un cadru descris de un ansamblu de reguli precise care stabilesc posibilitățile de acțiune ale fiecărui jucător, precum și modul cum li se acordă acestora, în final, anumite valori. Teoria jocurilor reprezintă un model abstract de luare a deciziilor. Punctul comun al tuturor jocurilor imaginat în cadrul teoriilor este ideea de strategie. Teoria jocurilor reprezintă o abordare interdisciplinară a studiului comportamentului uman. Cele mai implicate discipline, în teoria jocurilor, sunt matematica și economia, dar și alte științe sociale și comportamentale.

Respectând regulile, fiecare jucător urmărește o manieră de acțiune pentru optimizarea câștigului său. Clasificarea jocurilor se face după o serie de criterii cum ar fi:

a) numărul jucătorilor

b) numărul mutărilor (de acțiuni succesive la care are dreptul fiecare jucător)

c) numărul posibilităților de acțiune ale fiecărui jucător (finit sau infinit)

d) cantitatea informației pe care o deține fiecare jucător asupra acțiunilor proprii sau ale celorlalți jucători: joc fără informație, joc cu informație parțială și joc cu informație completă;

e) modul de repartizare a câștigurilor: joc cu sumă nulă și joc cu sumă nenulă constantă;

f) în funcție de comunicarea dintre jucători

g) în funcție de posibilitatea stabilirii unor alianțe între jucători

În teoria standard jucătorii au un singur obiectiv: maximizarea câștigului. Acest model este unul foarte simplificat. Situațiile din lumea reală sunt mai complexe, jucătorii de obicei trebuie să ia în considerare mai multe criterii. Aceste criterii nu se pot compara și nu pot fi agregate într-un singur criteriu.

Tipologia de informații folosite de decidenți într-un joc sunt reprezentate în schema următoare.

Situații în care participanții la un joc acționează într-un anumit mediu se caracterizează printr-o interdependență strategică, adică profiturile depind de acțiunile celorlalți. Jocul reprezintă reprezentarea formală a unei situații. Se cunosc două tipuri de reprezentări:

reprezentarea strategică sau matriceală: este o versiune simultană și jucătorii aleg acțiunile lor în același moment și nu pot observa loviturile adversarilor săi;

reprezentarea extensivă, sub formă de arbore: jucătorii trebuie să aleagă la fiecare nod de decizie câte o acțiune ținând cont de informația de care dispune.

Jocurile multicriteriale (sau jocuri cu câștiguri vectoriale) sunt extensii ale jocurilor unicriteriale, și oferă un model mai realist al situațiilor reale. Un joc multicriterial necooperativ poate fi definit ca un sistem:

Г = ((N; Si; ui); i = 1; n);

unde:

N reprezintă o mulțime de jucători iar n reprezintă numărul jucătorilor;

Si este mulțimea acțiunilor posibile pentru jucătorul i.

S = S1 x S2 x … x Sn

S este mulțimea tuturor strategiilor posibile ale jocului.

Pentru fiecare jucător i N

ui : S Rr(i)

reprezintă funcția sa de câștig, unde r(i) este numărul criteriilor pentru jucătorul i.

4.2. Aplicații utilizând diverse software

4.2.1. Edward Feigenbaum

Edward Feigenbaum de la Stanford University arată că “sistemele expert sunt programe concepute pentru a raționa în scopul rezolvării problemelor pentru care în mod obișnuit se cere o expertiză umană considerabilă”.

Însă, în același timp, putem constata faptul că există o serie de probleme care frânează procesul de implementare a sistemelor software matematice în procesul de predare-învățare a matematicii, treapta liceală.

Softul educațional vine in sprijinul elevilor de liceu în studierea funcțiilor elementare și conceptelor din analiză matematică prezentate în clasele a XI-a și a XII-a dar și noțiuni pentru elevii mici, cu funcții de gradul I și de gradul al II-lea. Softul încearcă să desenez orice funcție elementară. Permite trasarea funcțiilor doar cu un singur parametru.

Softul permite calcularea derivatelor funcțiilor introduse cât și plotarea derivatei în același grafic permițând în același timp vizualizarea punctelor de extreme, maximelor, minimelor și soluțiile.

Se poate înțelege foarte ușor noțiunea de derivată în asociere cu graficul funcției. Elementul de baza al softului este plotterul, care nu tratează doar exemple concepute de programatori ci clase întregi de funcții care pot fi plotate indiferent de instanțele acestora.

Plotterul implementat pentru desenarea funcțiilor este prezentat în figura următoare.

Exemplu introducere funcție:

Softul cuprinde atât plotterul pentru desenarea funcțiilor cât și vizualizarea conceptelor de analiză matematică, cât și ca o parte educațională, anumite lecții de introducere și teste din domeniul analizei matematice. Interfața este simplă, sugestivă, și adaptată la nivelul elevilor. Butoanele sunt mari și clare în limba română. Grupul țintă fiind elevii înainte de examenul de bacalaureat. Partea teoretica este preluata din diverse manuale cât și după internet.

Printre acestea se află și studiile teoretice ale funcțiilor de gradul întâi și de gradul al doilea. În figurile următoare sunt prezentate conceptele teoretice ale acestor tipuri de funcții precum și aplicații ale acestora.

Pentru modelul de teste, softul generează funcții aleatoare și utilizatorul trebuie să:

deseneze funcția;

scrie simbolic ecuația derivatei funcției respective;

sa scrie ecuația integralei;

punctele de minim, maxim, soluții;

integrala definită într-un interval.

Sistemele Expert, sunt un element cheie în așa numita a 5-a generație de calculatoare.

Aceste mașini, nu îți vor spune doar ceea ce vrei să știi, ci și cum să găsești ceva, fără ca să fie nevoie să cunoști un limbaj de programare. Cu toate că argumente pro și contra există în ceea ce privește capacitatea calculatoarelor de a acționa inteligent, ele totuși se “închină” în fața a ceea ce matematicienii numesc “dovadă existentă “.

4.2.2. GeoGebra

Geogebra este o aplicație special adaptată matematicii.

Este un instrument ideal pentru învățare și predare. Este util, atractiv, ușor de folosit, și se adresează atât cadrelor didactice, cât și elevilor. Este util și în orele de algebră (grafice de funcții, inegalități), și în orele de geometrie (puncte, unghiuri, figuri geometrice regulate sau neregulate). Fiind o aplicație interactivă, atenția elevilor este stimulată permanent; în consecință cunoștințele se vor fixa ușor și va crește randamentul școlar.

Softul Geogebra oferă:

posibilitatea vizualizării simultane a unei expresii în fereastra algebrică și a corespondentului său din fereastra geometrică (grafică).

posibilitatea vizualizării simultane a formei algebrice (analitice) a unei funcții cât și formei sale grafice.

posibilitatea introducerii directe a ecuațiilor unor curbe.

obținerea soluțiilor unor ecuații sau a unor sisteme de ecuații.

Exemple de grafice realizate cu GeoGebra:

1)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

intersecțiile cu axele sunt (0,0), (-1,0);

funcția nu este pară, nici impară;

nu există asimptote;

este continuă pe R.

și

2)

domeniul maxim de definiție: R\{0};

funcție aperiodică;

graficul nu taie axa Oy; intersecția cu axa Ox este (-1,0);

funcția nu este pară, nici impară;

asimptote: Ox (orizontală), Oy (verticală);

este continuă pe R\{0}.

3)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

intersecția cu axele este: (0,0);

funcția este impară ;

asimptote: Ox (orizontală);

și este continuă pe R.

4)

domeniul maxim de definiție: (0,+);

funcție aperiodică;

graficul nu taie axa Oy; intersecția cu axa Ox este (1,0);

funcția nu este pară, nici impară;

nu admite asimptote;

este continuă pe (0,+).

5)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție periodică, de perioadă principală 2;

intersecțiile cu axele sunt (k,0); (kZ)

funcția este impară;

nu admite asimptote;

este continuă pe R.

6)

domeniul maxim de definiție: R\{0};

funcție aperiodică;

graficul nu intersectează axa Oy; intersecția cu axa Ox este (-2,0);

funcția este impară;

nu admite asimptote;

este continuă pe R\{0}.

7)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

graficul nu intersectează axa Ox; intersecția cu axa Oy: (0,1);

funcția este pară;

admite asimptotă orizontală axa Oy;

este continuă pe R;

cunoscută și sub numele de “clopotul lui Gauss”.

8)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

graficul intersectează axele în (0,0);

funcția este impară;

nu admite asimptote;

este continuă pe R;

cunoscută sub numele de “sinus hiperbolic”.

9)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

graficul nu intersectează axa Ox; intersecția cu axa Oy: (0,1);

funcția este pară;

nu admite asimptote;

este continuă pe R;

cunoscută sub numele de “cosinus hiperbolic”.

10)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție aperiodică;

graficul intersectează axele în (0,0);

funcția este pară;

admite asimptote orizontale dreptele y=1 și y=-1;

este continuă pe R;

cunoscută sub numele de “tangentă hiperbolică”.

11)

domeniul maxim de definiție: R\{0};

funcție aperiodică;

graficul nu intersectează axele;

funcția este impară;

admite asimptote orizontale dreptele y=1 și y=-1; admite asimptotă verticală axa Oy;

este continuă pe R\{0};

cunoscută sub numele de “cotangentă hiperbolică”.

12)

domeniul maxim de definiție: R;

funcție periodică, de perioadă principală 2;

graficul intersectează axa Oy în (0,1), iar pe Ox în (k,0); (kZ\{0})

funcția este pară;

admite asimptote orizontale spre – și spre + dreapta y = 0

este continuă pe R;

cunoscută sub numele de “sinus atenuat”.

13)

domeniul maxim de definiție: R\{0};

funcție periodică, fără perioadă principală;

graficul nu intersectează axa Oy; graficul intersectează axa Ox în punctele (k/2,0); (kZ\{0}), k număr impar;

funcția este impară;

admite asimptotă verticală axa Oy;

este continuă pe R\{0};

cunoscută sub numele de “cosinus atenuat”.

14)

domeniul maxim de definiție: R\{0,k/2};

funcție periodică, fără perioadă principală;

graficul intersecteză axa Oy în (0,1); graficul intersectează axa Ox în punctele (k,0); (kZ\{0})

funcția este pară;

admite asimptote verticale dreptele x=k/2; (kZ\{0})

este continuă pe (-/2, /2);

cunoscută sub numele de “tangentă atenuată”.

15) Fie funcțiile și

Să determinăm aria subgraficului funcției

Cum obținem

Aria subgraficului funcției este integrala definită

Efectuăm schimbul de variabile . Prin schimbările limitelor inferioare și superioare obținem

Pentru aceeași arie am obținut reprezentarea

Atunci

deoarece funcția este o funcție pară.

În final, avem

Astfel, aria subgraficului funcției din enunț este egală cu .

4.2.3. Microsoft Mathematics

Microsoft Mathematics este un program educațional, proiectat pentru Microsoft Windows, care permite utilizatorilor rezolvarea problemelor din matematică și știință.

Conține caracteristici care sunt concepute pentru a ajuta la rezolvarea matematică, științe și a problemelor legate de tehnologie. Are instrumente, cum ar fi un calculator de grafică și un convertor de unitate. Este foarte util la reprezentarea grafică în plan și în spațiu.

Să reprezentăm grafic funcția:

Tabloul de variație:

Să reprezentăm grafic “Serpentina lui Newton” dată prin funcția:

Pentru a=1,2,3,4,5,6 și 7 graficele se află în figura următoare.

4.2.4. Maple

Maple este unul dintre cele mai noi softuri pentru rezolvarea problemelor de matematica și crearea de aplicații tehnice interactive. Intuitiv și ușor de realizat, acesta oferă cele mai avansate, complete capabilități matematice.

Maple permite crearea de documente tehnice executabile care oferă atât răspunsul cât și analiza modului de gândire. Documentele Maple combină perfect calcule numerice și simbolice, explorări, notații matematice, documentare, butoane și glisante, grafică și animații.

Să calculăm derivata în punctul pentru astfel:

Se introduce de la tastatură .

Se alege Differentiate -> x. Pe foaia de lucru apare rezultatul derivatei funcției date.

Se alege Evaluate at a Point. Pe ecran apare o fereastra în care introducem valoarea pentru .

Cerința rezolvată cu Maple are următoarea formă:

Să definim funcția și să determinăm valoarea acesteia în punctul A(2,3).

Derivata unei funcții de o singură variabilă poate di făcută cu instrucțiunea D(funcție)

Să calculăm derivata funcției

Comanda pentru calculul integralelor nedefinite este: int(funcție,variabilă)

Calculăm cu sintaxa este: int(x*exp(x),x)

Comanda pentru integralele definite este: int(funcție,variabilă=a..b) unde a și b sunt capetele integralei definite.

Calcularea se realizează cu sintaza int(x*exp(x),x=1..2)

Reprezentarea unei funcții definite pe R cu valori în R se face cu ajutorul instrucțiunii

plot(functie,domeniu).

Să reprezentăm grafic funcția

> plot(cos(x/2) + sin(2*x), x = 0..4*Pi)

Pentru când

plot(x3-sqrt(x),x=1,,3, axes=boxed, axesfont=[COURIER,OBLIQUE,14], caption=desen, color=magenta, coords=polar, axis=[gridlines=[colour=green]])

4.2.5. MAFA Plotter

MAFA Plotter de grafice matematice este un program care calculează și generează grafice de funcții matematice introduse de utilizator. Este intuitiv și ușor de folosit, dar în același timp oferă posibilitatea unor setări de mare precizie și complexitate, fiind astfel capabil să rezolve majoritatea funcțiilor introduse.

Se pot introduce pana la 4 funcții pentru aceeași reprezentare. Exemplu:

Graficul generat este în figura următoare.

Tabel de valori generat de program:

Pentru funcția f(x)= , dacă aplicăm etapele de realizare a graficului, obținem:

Domeniul de definiție D=(-∞,-1]U[1, + ∞)

Intersectează Ox în (-1,0) și (1,0) dar nu și Oy pentru că x0.

Asimptote oblice sunt y = si y = (liniile roșii)

, f’(x)=0 nu are soluții pe domeniul de definiție.

, f’’(x)=0 nu are soluții.

4.2.6. MATLAB

Matlab-ul este un pachet de programe de o performanță remarcabilă care are o vastă aplicabilitate atât în domeniul științei cât al ingineriei.

Pentru lansarea în execuție a programului se acționează dublu click pe pictograma Matlab de pe Desktop sau se selectează Start / All Programs / Matlab.

Cu ajutorul Matlab se pot realiza vizualizări grafice pentru diverse tipuri de funcții sau a unor baze de date.

Reprezentarea grafică în Matlab printr-o histograma, a notele obținute de cei 50 de elevi la teza de la matematică, unde notele se vor citi dintr-un fișier text.

Se construiește un script în Matlab, cu denumirea fis.m, ce conține:

fid=fopen('pond.txt','r');

u=fscanf(fid,'%f\t',[1,50]);

fclose(fid);

iar în linia de comandă se scrie:

>> fis

>> for j=1:max(u)

v=find(u(1:length(u))==j);

n(j)=length(v);

end

>> sum(n)

ans=50

>> v=1:10;

>> hist(u,v)

>> grid on

Și pentru reprezentarea funcțiilor se poate aplica Matlab. Reprezentarea grafică a următoarele funcții în plan:

Pasul 1. Se fixează intervalul pe care va fi reprezentată funcția și un anumit pas.

>>x=-5:0.1:5;

Pasul 2. Definim funcția ce urmează să fie reprezentată.

>> f=@(x) asin(2*x./(1+x.^2));

Pasul 3. Realizăm reprezentarea grafică.

>> plot(f(x),'m','LineWidth',4)

>>x=-1:0.01:1;

>> f=@(x) asin(x);

>> g=@(x) acos(x);

>> plot(x,f(x),'r',x,g(x),'b','LineWidth',3)

Reprezentarea arcului de parabolă AB: , care unește punctele A(1,1) și B(2,4).

Secvența Matlab următoare permite reprezentarea arcului AB.

>> x=-4:.1:4;

>> y=x.^2;

>> plot(x,y,1,1,'or',2,4,'or')

Scrierea unui fișier “function” în Matlab pentru a reprezenta grafic funcția

se selectează succesiv File->New->M-file și se scriu următoarele instrucțiuni

function r=f(x)

if x~=0

r=x*cos(1/x);

elseif x==0

r=0;

end

end

Se salvează fișierul cu f.m apoi în linia de comanda se scrie:

>> x=-0.5:0.01:0.5;

>> for k=1:length(x)

y(k)=f(x(k));

end

>> plot(x,y)

4.2.7. Programe tabelare

Softurile tabelare, construite în principal pentru analiza și gestionarea datelor din situațiile vieții cotidiene pot fi utilizate în matematică, pentru exemplificarea unor fenomene ce descriu serii numerice sau în modele matematice ce se pot aproxima prin astfel de serii de date.

În plus este o modalitate la îndemână oricărui, fără programe speciale pentru calculator, să atragă elevii spre frumusețea matematicii asistată de calculator.

În exemplul ce urmează se deduce din datele numerice gestionate în Excel, comportamentul asimptotic al unui șir definit recurent, oferind astfel o bază experimentală pentru o demonstrație teoretică a rezultatului bănuit.

În esență, acesta este rolul simulării cu mijloacele informaticii moderne: a oferi informații asupra unui posibil rezultat teoretic general.

Un program tabelar modern dispune de suficiente facilități pentru a face astfel de studii numerice și grafice.

Exemplu: să studiem cu Excel comportamentul la limită al șirului definit prin:

x1=a, xn+1= a0 ≈ 0,10

pentru n = 1, 2, 3, …, și eventual să determinăm dependența acestui comportament față de „data inițială” a > 0.

Vom folosi coloanele tabelului, de exemplu până la linia 31 (acest număr poate varia în funcție de problemă și limita de calcul a softului ales). Pe coloana A vom genera numerele naturale 1, 2, 3, …, 31, de exemplu punând A1=1, A2=A1+1, și apoi copiind formula până la linia 31.

Vom începe studiul cu A1=1, xn șirul fiind generat pe coloana B.

Așezăm data inițială a = 1 (pentru început) în B1 și în B2 formula pentru:

x2 =

Copiem apoi formula pe toata coloana B și pe încă câteva coloane în care vom schimba pe rând data inițiala din C1, D1, …

Cu „Insert Charts” putem vedea si grafic rezultatele

Pentru a = 1 șirul numeric susține ideea că subșirul termenilor impari converge rapid la 1, iar cel al termenilor pari puternic crescător la infinit.

Pentru a = 2, comportamentul este schimbat, în sensul că șirul termenilor pari tinde la 1 și cel al termenilor impari la infinit:

Pentru a = 0,1 se produce o schimbare: șirul termenilor impari converge la 1 și al celor pari la infinit:

Pentru a = 0,2 se remarcă același comportament ca cel pentru a = 1, iar prin încercări succesive (coloane noi, formula copiată și date inițiale schimbate), rezultă că probabila tranziție de fază, adică schimbarea bruscă a comportamentului șirului se produce pentru o valoare a care cu două zecimale exacte este a = 0,10.

Urmează faza demonstrației teoretice a rezultatelor justificate de calcule numerice ce va aparține matematicianului, și anume:

Teoremă: Pentru șirul definit prin: x1=a, xn+1= există un număr real a0 ≈ 0,10 cu următoarea proprietate:

pentru a (0,a0) șirul x2n tinde la infinit iar șirul x2n+1 converge la 1;

pentru a (a0, 1) șirul x2n converge la 1 iar șirul x2n+1 tinde la .

Procesorul de calcul tabelar Excel, face parte din categoria software de aplicații și cuprinde o varietate de programe care realizează o gama diversificata de calcule. Dintre facilitățile oferite de Microsoft Excel se pot specifica:

• lucru cu coloane si linii întregi;

• realizarea de operații matematice;

• generarea, căutarea și actualizarea datelor dintr-un sistem de gestiune a fișierelor sau bazelor de date;

• includerea de module grafice integrate sau independente prin care se pot reprezenta datele dintr-o matrice sub forma de diagrame dreptunghiulare sau circulare.

Concluzii

Astăzi un rol deosebit în introducerea cu succes a tehnologiei în predare și în învățare îi revine școlii. În toate etapele procesului de învățământ, cadrele didactice au datoria de a găsi cele mai adecvate metode și procedee spre a facilita însușirea de cunoștințe matematice de către generațiile tinere.

Rezultatele evaluărilor realizate până acum în educația asistată de calculator relevă faptul că procesul de învățământ realizat cu ajutorul noilor tehnologii este mai eficient ca formele tradiționale de educație, cu condiția unei proiectări corespunzătoare.

Tehnologia informației și comunicării (TIC) are un mare potențial pentru ameliorarea rezultatelor instruirii și pentru eficientizarea învățării, însă valorificarea maximă în educație ține de implicarea cadrului didactic, de iscusința acestuia să le integreze, de capacitatea lui, de modul în care este sprijinit precum și de resursele tehnologice disponibile din școala cum ar fi: accesul la laboratorul de informatică, existența softului educațional în școală, conectivitatea la serviciul internet.

Realizarea obiectivelor de cercetare a antrenat:

metode teoretice: documentarea științifică, descrierea, analiza, comparația, sinteza, generalizarea.

metode experimentale: proiectarea, observația, experimentul psihopedagogic, convorbirea, lucrul individual, chestionarul de opinie.

În efectuarea cercetărilor pedagogice se utilizează un număr însemnat de metode precum: metoda observării, metoda experimentării, metoda anchetelor biografice, metoda statistică, metoda corelației, metoda grupelor echivalente, metoda aprecierii.

Metoda (sens general) = „ansamblul operațiilor ce se constituie ca instrument al acțiunii umane în general, prin intermediul căruia subiectul cunoscător abordează dezvăluirea lumii obiective. Se constituie ca :

1. modalitate generală de abordare a realității;

2. strategie tehnică a investiției într-un anumit domeniu al realității;

Sunt obișnuite distincțiile între metodă – care este calea generală de deosebire a adevărului și procedeu – care este detaliul de metode”..

Metodele de cercetare, în pedagogie, sunt metode folosite pentru obținerea unor rezultate valabile la problemele ridicate de cercetarea pedagogică în sprijinul dezvoltării și perfecționării științei pedagogice și practicii educative.

Metodele de cercetare pot fi grupate în:

Metode de cercetare a datelor: observarea, experimentul, ancheta de chestionar, ancheta biografică, convorbirea, testele, fișele pedagogice. Acestei grupe îi sunt asociate și “metodele de cuantificare”, de măsurare a datelor cercetării, fiindcă fără măsurare, datele colectate nu sunt utile unei cercetări în sens științific.

Metode privind organizarea colectivelor de experimentare (de cercetare), pentru ca datele adunate și rezultatele cercetării să exprime cât mai corespunzător generalitatea întreagă (mărirea eșantionului, pe echivalente, rotația grupelor).

Metode prin prelucrarea matematică (statistică) a datelor procurate prin metodele de la punctul 1, în condițiile de valabilitate, stabilitate la punctul 2 și pentru exprimarea științifică a legilor aflate, în final ca o metodă integrală de cercetare, este metoda experimentală, deosebită de experiment.

„De fapt, metoda reprezintă un anumit model de a proceda, care tinde să plaseze elevul într-o situație de învățare mai mult sau mai puțin divizată, mergându-se la una similară aceleia de cercetare științifică, de urmărire și descoperire a adevărului și raportarea lui la aspecte practice ale vieții.”.

În acest experiment, consider că am folosit cele mai eficiente metode de cercetare pedagogică: observația pedagogică, experimentul pedagogic, convorbirea, metoda analizei produselor, metoda testelor.

Metoda observației constă în urmărirea sistematică a faptelor educaționale, așa cum se desfășoară ele în condiții obișnuite. Spre deosebire de experiment, care presupune intervenție din partea cercetătorului, observația constă în înregistrarea datelor și constatărilor, așa cum se prezintă, cercetătorul așteptând ca ele să se producă pentru a putea să le surprindă.

Folosirea observației presupune respectarea unor cerințe cum ar fi:

elaborarea prealabilă a unui plan de observație cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară, a instrumentelor necesare pentru înregistrarea datelor;

datele observației să fie consemnate imediat, fără ca cei observați să-și dea seama de acest lucru. În acest sens, se folosesc fișa sau foaia de observație pe baza căror se întocmește protocolul observației; aparate tehnice pentru înregistrarea unor date și manifestări;

crearea condițiilor pentru a nu altera desfășurarea naturală a fenomenelor observate, efectuarea acelorași observații în împrejurări variate de către un singur observator sau de către mai mulți observatori oferă posibilitatea confruntării datelor actuale.

„Observația presupune constatarea lucrurilor și fenomenelor așa cum le oferă natura în chip obișnuit. Profesorul trebuie să-l observe pe elev în timpul când acesta își trăiește viața de copil și de școlar, ori în afară de ea, între patru ochi sau în cercul colegilor, dar nelăsându-i niciodată bănuiala că este supus observației exprese destinate să-l califice.”

Metoda convorbirii este formată dintr-un dialog între un cercetător și subiecții supuși investigației în vederea acumulării unor date, opinii, în legătură cu anumite fenomene și manifestări. Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări elaborate, ceea ce înseamnă că, pe parcursul ei, cercetătorul nu se poate abate de la întrebările fixate în funcție de situațiile neprevăzute ce pot apărea.

Dialogul trebuie să fie cât mai natural, cercetătorul să manifeste multă elasticitate, evitându-se întrebările care angajează în mod nemijlocit personalitatea interlocutorului, dar apelând la întrebări colaterale, menite a-l stimula pe acesta pentru a-și expune gândurile și opiniile.

Întrebările trebuie să fie clare și adecvate situației, să se refere la un aspect concret. Referitor la felurile întrebărilor putem deosebi întrebări închise, întrebări deschise și întrebări cu răspunsuri formulate dinainte.

Întrebările închise sunt acelea care oferă două-trei posibilități de răspuns: da, nu, nu știu. Întrebările deschise sunt acelea care oferă libertate deplină subiectului, pentru a formula răspunsul conform gândurilor și opiniilor sale.

În cazul celei de-a treia categorii de întrebări, subiectul urmează să aleagă răspunsul din mai multe răspunsuri date. Prin această metodă se realizează o multitudine de sarcini ale procesului de învățământ datorită multiplelor sale calități informative.

În literatura de specialitate întâlnim numeroase definiții date testelor, însă sintetizând, putem considera ca fiind un instrument constituit dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea elaborării prezenței sau absenței unui fenomen psihic, a unui comportament natural sau un stimul dat.

Pentru ca aceste probe să răspundă cerințelor unui test trebuie standardizate sau etalonate. Prin standardizare înțelegem precizarea unor reguli și cerințe privitoare la administrarea testelor, înregistrarea și evaluarea rezultatelor lui, cum ar fi instructajul necesar înainte de administrare, stabilirea modalităților de răspuns și a felului de a face evaluarea rezultatelor.

Etalonarea constă în elaborarea unei scări considerată ca etalon la care se face măsurarea și evaluarea acestora. Testul trebuie să îndeplinească anumite condiții cum ar fi: fidelitatea, validitatea și sensibilitatea.

Testele oferă date despre persoana umană, unele dintre ele neputând fi obținute pe alte căi. Consecințele unei aprecieri pripite și inexacte asupra personalității copilului, pornind de la datele unui test, pot fi uneori grave.

Răspunderea morală a cercetătorului este implicată nemijlocit în asemenea aprecieri. În practica pedagogică folosirea testului se numește testare și se comportă precum niște răspunsuri verbale, motorii, grafice, precum și ca o apreciere după criterii stabilite anterior.

Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale, cu scopul verificării ipotezei care a declanșat aceste inovații.

El trece prin trei faze: faza prealabilă intervenției factorului experimental când se selecționează eșantioanele, se testează situația și trăsăturile; faza administrării factorului experimental și faza înregistrării rezultatelor.

Cercetarea experimentală constă în declanșarea unor acțiuni educaționale originale în vederea descoperirii unor relații cauzale și a unor legități după care se desfășoară procesul educațional.

Rezultatele sunt înregistrate și prelucrate pentru a demonstra eficiența lor educativă.

Metoda analizei produselor presupune analiza diferitelor produse ale activităților copiilor și a documentelor școlare cu scopul relevării unor trăsături ale personalității acestora, prin prisma obiectivării în produsele muncii: desene, obiecte confecționate, fișe de lectură.

Metoda oferă indirect cercetătorului diferite date privitoare la acțiunea educațională, îndeosebi asupra rezultatelor ei.

Produsele activității ne permit să facem previziuni în legătură cu dezvoltarea personalității copiilor și să depistăm cauzele unor manifestări comportamentale ale lor.

Bibliografie

Bucur C.M., Popeea C. A., Simion G., (1983), Matematici speciale. Calcul numeric, Ed. Didactică și Pedagogică, București

Berbente C., Mitran S., Zancu S. , (1997), Metode numerice, Ed. Tehnică, București

Bianco Tamara,Volker Ulm (Ed.) (2010), Mathematics Education with Technology-Experiences in Europe:University of Augsburg

Buiu C., (2011), Biomatematica și bioinformatica. Concepte și aplicații, Editura Universitară

Cerghit S., (1976), Metode de învățământ, E.D.P., București

Colojoară Alexandra, I. Colojoară, (1997), Analiză matematică: Rezolvarea problemelor din manual, Ed. Rotech Pro, București

Cojocariu, V., M. (2001), Introducere în pedagogie. Teoria și metodologia curriculum-ului, curs, Universitatea din Bacău

Chen, C. J. și Liu, P. L. (2007), Personalized computer-assisted mathematics problem-solving program and its impact on taiwanese students. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 26(2), 105-121.

Căciula Ioana (2009), Utilizarea calculatorului în educație (revistă electronică), București

Kantorovitch, L. V., Krylov V. L., (1950), Metode aproximative ale analizei superioare, Gosudarstvennoe izd., Moskva

McAdams D., (2015), Jucatorul ingenios. Teoria jocurilor si arta transformarii situatiilor strategice, Editura Publica

Miculescu R., (2010), Analiză matematică, note de curs, Ed. Universității din București

Muster D., (1985), Metodologia cercetării în educație și învățământ, București

Niculescu C. P., (2002), Calculul integral al funcțiilor de mai multe variabile. Teorie și aplicații, Ed. Universitaria, Craiova

Noveanu E., (coord.) (2004), Impactul formativ al utilizării Ael în educație, București, Centrul pentru inovare în educație

Potolea D., Noveanu E. (coord) (2008), Informatizarea sistemului de învățământ: Progeamul S.E.I. Raport de cercetare evaluativă, București: Univ. București, Facultatea de Psihologie și Știintele Educației

Prostire C. (2011), Efectele folosirii tehnologiei în predare asupra atitudinii elevilor față de matematică

Șabac U. G., Ciocârlan P., Stănășilă O., Topală A., (1983), Matematici speciale, vol. 2, Ed. Didactică și Pedagogică, București

Siretchi, G., (1985), Calcul diferential si integral. Vol. I, II, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti

Tarvan Magdalena, (2015), Modele educaționale de teoria jocurilor. Aplicații în evaluarea școlară, Editura Universității din București

Utsumi, M. și Mendes, C. (2000), Researching the attitudes towards mathematics in basic education. Educational Psychology, 20(2), 237-243. doi:10.1080/713663712

Vlada M. (2009), Utilizarea Tehnologiilor eLearing: cele mai importante 10 inițiative proiecte din România, București: Centrul pentru Inovare în Educație

Vladislav R., Rașa I., (1997), Analiza numerică, Ed. Tehnică, București

Wills, S. și Alexander, S. (2000), Managing Technological Change and University Teaching. În Evans, T. și Nation, D. (eds) Changing University Teaching: reflections on creating educational technologies

Wang, Y. și O'Dwyer, L. (2011), Teacher-directed student use of technology and mathematics achievement: Examining trends in international patterns. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 30(1), 79-135.

*** Dicționar de pedagogie, Ed.Didactică și Pedagogică, București,1979

*** Colecția “Gazeta Matematică”

*** Programa Școlara Matematică, clasele a VII-a – XII-a

*** http://www.cabri.com/

*** Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus

*** Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2

*** (2011) Geogebra, Didactica Matematica nr 2

*** (2014) Considerații privind editarea computerizată a textelor matematice cu grafică. Pledoarie pentru aplicația GEOGebra, Didactica Matematică nr 1