Gradul didactic, prenume, nume Nume, prenume [614622]

1

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA

FACULTATEA DE MATE MATICĂ ȘI INFORMATICĂ

PROGRAMUL DE STUDII DE MASTER:

LUCRARE DE DISERTAȚIE

COORDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat], prenume, nume Nume, prenume

TIMIȘOARA

2018

2

UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIȘOARA

FACULTATEA DE MATE MATICĂ ȘI INFORMATICĂ

PROGRAMUL DE STUDII DE MASTER:

MODELE ECONOMICE DISCRETE

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: ABSOLVENT: [anonimizat], prenume, nume Nume, prenume

TIMIȘOARA

2018

3
CUPRINS

ABSTRACT ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 4
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 5
MODELE ECONOMICE DINAMICE DISCRETE ÎN TIMP ………………………….. ……………. 6
CAP. I. MODELE FODE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 7
I.1.NOȚIUNI TEORETICE DESPRE FODE ………………………….. ………………………….. ………… 7
I.2.MODELUL KEYNESIAN ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 18
I.3.MODELU L SIMPLU DE STABILIZARE PHILIPS ………………………….. …………………… 26
I.4.MODELUL ”PÂNZĂ DE PĂIANJEN” ………………………….. ………………………….. ………….. 30
CAP.II MODELE SODE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 34
II.1.NOȚIUNI TEORETICE DESPRE SODE ………………………….. ………………………….. …….. 34
II.2.MODELUL MULTIPLICATOR -ACCELERATOR ………………………….. ………………….. 40
Model de politică de stabilizare Phillips ………………………….. ………………………….. ……………….. 42
Modelul pânză de păianjen cu intrare fermă ………………………….. ………………………….. …………. 44
CAP.III. ECUAȚII DIF ERENȚIALE NELINIARE ………………………….. ………………………… 49
III.1.NOȚIUNI TEORETICE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 49
III.2.UN MODEL NEOCLASIC DE BAZĂ DE CREȘTERE ………………………….. …………… 58
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 69

4
ABSTRACT

In this paper we present economical mathematical models such as Theil and Boot, Klein,
Hendry, Ferguson and Crawford and Lim models.
The results of these models have been used to analyze and develop macroeconomic
policies. Two important theoretical directions in addressing macroeconomic policies are
noteworthy. The first direction broke out between 1964 -1970 and formed the static theory of
macroeconomic policies. Within thi s theory were studied the interactions between instruments
and purposes that were supposed to be constant over time. The second direction has developed
since 1970 and appears to be the dynamic theory of macroeconomic policies. Here, the
interaction between political objectives and the political model is approached as variable over
time.
The shift from static to dynamic models has been an obvious breakthrough in
macroeconomic policy theory. However, there have been a number of issues regarding the
framework for representing dynamic models and objectives. The variety of models combined
with the main types of objectives raises the question of choosing the best combination of model
and objective that can represent the real economic system.
Another problem, whi ch is difficult to solve, is the introduction, in dynamic political
issues, of performance functions, turning them into optimization problems. Long time, optimal
policy issues have been the focal point in developing the theory of macroeconomic policies.
Economic theory usually focuses on equilibrium relations.
In the following, we propose to introduce an introduction into the u se of differential
equations in economic analysis.
The differential equation is a mathematical relationship between the value of a y variable
at t, which we note yt and its value in one or more previous periods, and which we note y t-i,
where the value of i represents how far we go follow.
If y = 1 we will have y t-1 and the relation y t = f(yt-1) is known as the first -order differential
equation. (FODEA).
If we work with y t = f(yt-1, y t-2) we will have a second -order differential equation
(SODE).

5
INTRODUCERE

În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele
descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și Lim.
Rezultatele acestor modele au fost utilizate pentru a analiza și a elabora politici
macroeconomice. Sunt de remarcat două direcții teoretice importante în abordarea politicilor
macroeconomice. Prima direcție s -a desprins în perioada 1964 -1970 și a format teoria statică a
politicilor macroeconomice. În cadrul acestei teorii s -au studiat interacțiunile dintre instrumente
și scopuri care se presupuneau a fi constante în timp. Cea de -a doua direcție s -a dezvoltat dup ă
1970 și apare ca teoria dinamică a politicilor macroeconomice. Aici, interacțiunea dintre
obiectivele politice și modelul politic este abordată ca fiind variabilă în timp.
Trecerea de la modelel e statice la cele dinamice, a constituit un progres evident al teo riei
politicilor macroeconomice. S -a ridicat, însă, o serie de probleme în ce ea ce priveș te cadrul de
reprezentare a modelelor și obiectivelor dinamice. Varietatea de modele combinată cu tipurile
principale de obiective ridică problema alegerii cele i mai bune combinaț ii de model ș i obiectiv
cu ajutorul cãreia se poate reprezenta sistemul economic real.
O altă problemă , difi cil de rezolvat, este cea legată de introducerea, în problemele politice
dinamice, a unor funcț ii de performanță, transformarea lor în probleme de optimizare. Mult timp
problemele politice optimale au constituit punctul central în dezvoltarea teoriei politicilor
macroeconomice.
Teoria economică se concentrează, de obicei, pe relațiile de echilibru.
În cele ce urmează ne propunem să facem o introducere în utilizarea ecuațiilor
diferențiale în analiza economică.
Ecuația diferențială este o relație matematică dintre valoare unei variabile y în timpul t,
pe care o notăm y t și valoarea sa într -una sau mai multe perioade anterioare și pe care le notăm
yt-i, unde valoarea lui i reprezintă cât de departe mergem în urmă.
Dacă i=1 vom avea y t-1 și relația y t=f(y t-1) este cunoscută ca fiind ecuația diferențială de
ordinul întâi. (FODE).
Dacă lucrăm cu y t=f(y t-1, yt-2) vom avea o ecuație diferențială de ordinul al doilea
(SODE).

6

MODELE ECONOMIC E DINAMICE DISCRETE ÎN TIMP

În mod inerent, comportamentul economic este dinamic la nivel micro și macro –
economic. Lucrurile se schimbă în timp. Astfel, există o schimbare continuă a economiei și, de
aceea, o mare parte din analiza economică se ba zează pe timp discret cum ar fi: o lună, un
trimestru, un an, reflectând ast fel, caracterul periodic de colectare a datelor și de luare a
deciziilor.
Având în vedere că economia este supusă unei serii continue de șocuri aleatoare poate să
dureze mult timp pentru ca aceasta să revină la poziția de echilibru. Este posibil ca fiecare
variabilă economică, fie că este vorba de o variabilă micro precum prețul sau o variabilă macro
precum PIB -ul, aceasta să prezinte o trecere mai rapidă prin punctele de echilibru.
Cu toate acestea, teoria economică se concentrază asupra relațiilor de ech ilibru. În
general, relațiile de echilibru sunt determinate de rezolvarea problemei de optimizare a
comportamentului economic.
Scopul lucrării de față este de a oferi o introducere în utilizarea modelelor bazate pe
ecuații diferențiale în analiza economică .
În general, se pornește de la ecuații diferențiale de ordinul întâi și se construiesc sisteme
de ecuații diferențiale care acoperă în timp modelele de ecuații diferențiale neliniare, procesele
haotice și modelele de optimizare în timp discret.

7
CAP. I. MODELE FODE

I.1.NOȚIUNI TEORETICE DESPRE FODE
(First -order difference equations – Ecuații diferențiale de ordinul întâi )

Cel mai simplu tip de ecuație diferențială este o ecuație liniară, de ordinul întâi, a cărei
formă generală este:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.1)
Într-o astfel de ecuație, indicele este timpul "t" și nu trebuie văzut ca fiind timpul
calendaristic, ci mai degrabă ca fiind timpul scurs adică, timpul care a trecut de la procesul
dinamic pe care îl studiem. Așa cum este scris, atunci când te rmenul g este diferit de zero,
ecuația (I .1.1) se numește ecuație neomogenă, iar când g este egal cu zero, ecuația (I .1.1) se
numește ecuație omogenă. Mai mult decât atât , deoarece α este o constantă, e cuația ( I.1.1) este,
de asemenea, un exemplu de ecuație diferențială de ordinul întâi (FODE). Cele mai multe
aplicații econ omice ale FODE implică modele cu coeficienți constanți, deși aceasta nu este o
cerință.
Conform acestei ecuații, valoarea pe care variabila Y o ia în perioada t este egală cu o
constantă g plus un termen care depinde de valoarea p e care Y a luat -o în perioada t -1. În
aplicațiile economice, termenul g reprezintă toate acele variabile care afectează valoarea curentă
a lui Y, altele decât valoarea proprie a lui Y.
Un alt mod de a privi ecuația (I.1.1) este să o rescriem schimbând variabila, adică t=Y t-
Yt-1. Aceasta implică ceea ce este cunoscut ca o repara metrizare liniară a ecuației (I.1 .1), care se
reduce la redirecționarea termenilor din ecuația (I.1 .1), fără a schimba semnificația ei. În cazul
ecuației (I.1 .1), pur și simplu scădem Y t-1 din ambii membrii ai ecuației (I.1 .1) și, pentru o
interpretare mai ușoară , rearanjăm termenii și obținem :
∆𝑌𝑡= 𝛼−1 𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.2 )
Ecuația (I.1.2) (care conține exact aceleași informații ca și ecuația (I.1 .1), dar este
prezentată diferit) ne indică faptul că suma cu care valo area Y variază de la perioada t -1 la
perioada t depinde de val oarea sa în perioada t -1, și d e valoarea lui g.
Pentru ca structura ecuați ei diferențiale să fie utilă în aplicațiile teoretice și econometrice,
trebuie să mergem mai departe și să observăm cum sunt legate valorile actuale și cele trecute ale

8
lui Y. Trebuie să extragem informații exacte despre natura acestei relații. Această info rmație este
denumită structură dinamică sau, câteodată, dinamica relației. Pentru a obține o idee despre cum
putem face acest lucru, considerăm o versiune mai simplă și mai omogenă a ecuației (I.1 .1):
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1 (I.1.3 )
Mai sus am spus că relația dintre Yt și Y t-1 trebuie să fie o relație de cauzalitate reală, ceea
ce înseamnă că trebuie să existe o legătură continuă în timp între valorile actuale și cele trecute
ale lui Y. Având în vedere acest lucru, putem scrie, de asemenea, Y t-1 = αY t-2 și Y t-2 = αY t-3 și așa
mai departe . Deoarece fiecare dintre aceste expresii trebuie obținută, d in definiție, apoi succesiv,
prin substituție inversă obținem:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1=𝛼2𝑌𝑡−2=⋯=𝛼𝑡𝑌𝑡−𝑡=𝛼𝑡𝑌0 (I.1.4 )
unde Y t-t este evident Y 0, și despre care putem spune că este valoarea inițială a lui Y și pe
care o presupunem ca fiind constantă.
Deoarece ecuația (I.1.4) este obținută din secvența de ecuații care începe cu ecuaț ia
(I.1.3), ea nu conține nici o informație nouă, ci doar prezintă informațiile anterioare într -o formă
ușor diferită. Motivul pentru care această formă este utilă se datorează modului în care elementul
de timp, t, apare în ecuația (I.1 .4). În loc de o ecuație în Yt și Yt-1, avem o ecua ție care ne arată
cum valoarea lui Yt depinde de valoarea lui t în sine. O expresie ca aceasta, care ne dă valoarea
lui Y t în funcție de t, nu de Yt-1, este în general menționată ca fiind o funcție soluție pentru
FODE. Funcția soluție face lumină asupra ro lului pe care îl are termenul α în evoluția lui Y t.
Dacă 0 <α <1: presupunem că α este o fracție constantă, pozitivă. Apoi, pe măsură ce
timpul trece și indicele de timp, t, devine o constantă mai mare, iar termenul αt devine constantă
mai mică, ajungând l a zero când se apropie de infinit. Oricare ar fi valoarea inițială Y 0, atâta timp
cât Y 0 nu este egal cu zero, după ce a trecut suficient timp și t a devenit suficient de mare, ecuația
(I.1.4) ne spune că Y t converge la zero.
Dacă α> 1: presupunem că α este un număr constant, pozitiv mai mare decât 1. În acest
caz, odată cu trecerea timpului și t devine tot mai mare, și el devine tot mai mare și din ecuația
(I.1.4), indiferent cât de mică este valoarea noastră inițială Y 0 este, atâta timp cât nu este de fapt
egală cu zero, când t merge la infinit, în cele din urmă Y t merge la infinit.
Putem menționa un rezultat general: a tunci când comportamentul în timp al unei variabile
Y poate fi caracterizat printr -o ecuație diferențială omoge nă de ordinul întâi, cum ar fi e cuația

9
(I.1.3), putem, prin substituție, să găsim o expresie precum (I.1.4), în care este afișată valoarea
lui Y ca funcție a indicelui de timp, t.
Funcțiile soluție
Ecuațiile omogene
Pentru majoritatea exemplelor cu care ne confruntăm, o ecuație precum (I.1 .3) are ca
soluție o funcție cu forma generală:
𝑌𝑡=𝐴𝜆𝑡 (I.1.5.)
unde λ este rădăcina ecuației diferențiale și A este o constantă a cărei valoare urmează a
fi determinată din condițiile date în problemă. Din moment ce indicele de timp este arbitrar,
această expresie generală se va aplica în fiecare perioadă, astfel încât, de exemplu, 𝑌𝑡−1=𝐴𝜆𝑡−1.
Aceasta înseamnă că putem folosi funcția soluție (I.1.5) pentru a rescrie ecuația (I.1.3) astfel:
𝐴𝜆𝑡−𝛼𝐴𝜆𝑡−1=𝐴𝜆𝑡−1 𝜆−𝛼 =0 (I.1.6.)
care ne dă:
𝜆−𝛼 =0 (I.1.7.)
cunoscută ca fiind ecuația caracteristică a FODE originală (I.1.3). Din ecuația (I.1.7)
vedem că λ = α și înlocuind lui în ecuația (I.1.5) obținem soluția FODE ca fiind:
𝑌𝑡=𝐴𝛼𝑡 (I.1.8.)
Pentru a verifica faptul că soluția (I.1 .8) este într-adevăr o soluție, reținem că, deoarece
forma ecuației care determină valoarea lui Y în fiecare perioadă de timp se presupune a fi
neschimbată în timp , putem scrie Y t-1 = Aαt-1 dând Y t = αY t-1, care este chiar FODE omogen de
la care am pornit, în ecuația (I.1 .3).
Apoi, este nevoie să rezolvăm pentru constanta nedeterminată A. În realitate, nu avem
suficiente informații în această problemă pentru a putea face acest lucru: trebuie să aducem ș i
alte informații. Inf ormația suplimentară utilizată cel mai frecvent este ceea ce se numește
condiți e inițială și , care , este pur și simp lu o afirmație că la momentul t =0, Y t preia valoarea
specifică, denumită Y0. Condiția iniția lă nu trebuie să se refere la t =0. Tot ceea ce a vem nevoie
este, de fapt , să cunoaștem valoarea lui Y la o valoare specifică a lui t, dar t =0 este valoarea cea
mai frecvent utilizată.
Presupunem deci că știm că la momentul t=0, Y preia valoarea specifică Y 0.
Deoarece ecuația (I.1.8) determină valoarea lui Y t pentru fiecare valoare a lui t, din cuația (I.1.8)
avem că Y 0=A, deoarece α0=1. Atunci când știm valoarea numerică specifică reprezentată de Y 0,

10
putem folosi aceasta pentru a determina Y t pentru t0. Punând Y 0 în ecuația (I.1.8) în locul lui A
obținem expresia completă pentru soluția ecuației diferențiale (I.1.3):
𝑌𝑡=𝑌0𝛼𝑡 (I.1.9)
care este, în mod fericit, exact aceeași cu soluția stabilită în ecuația (I.1.4), st abilită prin
substituție inversă .
În stabilirea faptului că o ecuație diferențială de forma Y t = αY t-1 are o soluție de forma
Yt = Aλt unde λ se dovedește a fi egală cu α și A egal cu Y 0, se pare că am reinventat roata,
deoarece am stabilit deja soluția Y t=Y 0αt ca o funcție ce ne dă valoarea lui Y în orice moment t.
Deși soluțiile unor e cuații mai complicate vor fi extensii ale formei de bază Y t=Aλt și stabilirea
faptului că pornind de la această formă dăm naștere la soluția pe care am găsit -o deja din
substituția directă ar trebui să ne dea încredere cu privire la aplicabilitatea acestei abordări în
cazuri mai complicate.
Ecuații neomeogene
În continuare vom coonsidera ecuația neomogenă:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.10)
unde g este inițial tratată ca o constantă, iar ulterior este generalizată la cazurile în care
acesta nu este constant. Rezolvarea acestei ecuații se face în două etape.
Primul lucru pe care îl facem este să rezolvăm ceea ce se numește soluția specială pentru
ecuația (I.1.10). Apoi, vom găsi soluția părții omogene a ecuației (I.1.10), și apoi vom uni pur și
simplu cele două părți pentru a obține soluția generală a ecuației (I.1.10). În aplicațiile
economice, soluția specială este pur și simplu ceea ce noi numim echilibrul sistemului (ecuației)
(I.1.10).
În analiza dinamică, un echilibru al unei ecuații diferențiale este defi nit ca având
proprietatea că, dacă sistemul este de fapt în acel punct, nu există nicio tendință ca acesta să se
îndepărteze de el, indiferent de valoarea lui t. Dacă Y t este la valoarea sa de echilibru atunci va
rămâne la acea valoare. Reținem că acest lu cru nu ne spune nimic despre ceea ce se întâmplă cu
valoarea lui Y dacă nu este egal cu valoarea de echilibru și, în special, nu ne spune nimic dacă Y
va avea tendința de a converge sau de a se abate de la valoarea sa de echilibru odată cu trecerea
timpulu i. Comportamentul valorii reale a lui Y în timp, când Y nu este inițial la valoarea sa de
echilibru, depinde de stabilitatea echilibrului. Dacă valoarea reală a lui Y tinde să se
convertească la valoarea de echilibru pe măsură ce trece timpul, spunem că ec hilibrul este stabil,

11
iar dacă valoarea reală a lui Y tinde să se abată de la valoarea de echilibru pe măsură ce timpul
trece, spunem că echilibrul este instabil. În discuția noastră despre comportamentul dinamic al
ecuațiilor omogene, zero a fost echilibr ul tuturor cazurilor.
În general, forma matematică a soluției de echilibru sau a unei soluții particulare a unei
ecuații diferențiale va fi determinată de forma matematică a termenului 'g' din partea dreaptă a
ecuației (I.1.10). Atunci când g este o constantă, soluția particulară va fi, în general, și o
constantă. Atunci când g este în funcție de alte variabile exogene (adică ale căror valori sunt
determinate în afara sistemului pe care îl analizăm în prezent) soluția specială va fi, de asemenea,
în funcție de acele variabile. Vom vedea mai târziu un caz în care g este ea însăși o funcție de
timp, făcând soluția specială a ecuație (I.1.10) o funcție de timp.
Mai întâi să luăm în considerare cazul în care g este o constantă cunoscută. Am observat
mai su s că, în aplicațiile economice dinamice, atunci când vorbim despre o valoare de echilibru
înțelegem o valoare pe care sistemul va tinde să o păstreze , dacă ar trebui să fie atinsă. Dacă
sistemul rămâne la acea valoare odată cu trecerea t impului, este clar că Y nu se va schimba în
timp, ceea ce înseamnă că la echilibru, Y t=Y t-1=Y* pentru toate valorile lui t, unde prin Y* am
notat valoarea de echilibru a lui Y. Din ecuația (I.1.10) de mai sus deducem valoarea de echilibru
Y* astfel:
𝑌∗=𝑔
1−𝛼 (I.1.11)
care se dovedește a fi o constantă a cărei valoare depinde, dar nu este egală cu valoarea
lui g. Reținem că atunci când g este egal cu 0, Y* este de asemenea egal cu 0, ceea ce susține
afirmația noastră că în exemplele de ecuații omogene analizate mai sus, zero a fost valoarea de
echilibru a lui Y în fiecare caz.
Uneori se va întâmpla ca această metodă să nu fie valabilă deoarece (1 – α) = 0 sau α = 1.
În acest caz, procedura obișnuită este să încercăm ca forma funcției Y* să fie aceeași ca forma
lui g, dar înmu lțită cu t. În acest caz, înseamnă că încercăm să o considrăm ca fiind o constantă,
să spunem G, înmulțită cu t. Deoarece forma pe care o încercăm pentru soluția noastră
particulară, Gt, depinde de t, vom nota soluția particulară a lui Y ca fiind 𝑌𝑡∗. Apoi, din moment
ce încercăm ca soluție 𝑌𝑡∗=𝐺𝑡 (și deci 𝑌𝑡−1∗=𝐺(𝑡−1)), înlocuim această formă în ecuația
(I.1.10) și rearanjăm termenii astfel:
𝐺𝑡 1−𝛼 +𝛼𝐺=𝑔 (I.1.12)
Deoarece α = 1, acesta devine G = g, dând, soluția noastră sub forma:

12
𝑌𝑡∗=𝑔𝑡 (I.1.13)
În general, în secțiunile teoretice care urmează, vom avea de -a face cu cazurile în care α
nu este egal cu 1, dar este de remarcat faptul că următorul pas după ce am constatat că prima
formă funcțională naturală care a fost încercată ca o posibil ă soluție forma nu a reușit, în general,
să se încerce aceeași formă generală înmulțită cu t.
Revenind la cazul în care α nu este egal cu 1, am găsit soluția noastră particulară, sau
echilibrul, Y*=g/(1 – α). Reținem că am omis indicele de timp de la Y* pe ntru a sublinia că, în
acest caz, unde g este o constantă și α nu este egal cu 1, valoarea de echilibru a lui Y nu se
schimbă în timp. Următorul lucru pe care trebuie să -l facem este să găsim soluția pentru partea
omogenă a ecuației (I.1.10).
Partea omogen ă a unei ecuații diferențiale precum (I.1.10) este pur și simplu ecuația
diferențială omogenă care este obținută atunci când renunțăm la termenul 'g', și anume Y t=aY t-1.
Am rezolvat deja o formă identică cu aceasta, în discuția noastră despre ecuațiile de diferențe
omogene, astfel încât să putem scrie:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝜆𝑡=𝐴𝛼𝑡 (I.1.14)
unde am scris superscriptul "h" la Yt pentru a indica faptul că este soluția pentru o parte
omogenă a unei ecuații diferențiale neomogene. Reținem că nu am înlocu it A cu o valoare
specifică în ecuația (I.1 .14): atunci când rezolvăm o ecuație diferențială neomogenă, acesta este
ultimul pas în acest proces.
Înainte de a face acest pas, trebuie să combinăm soluția specială cu soluția din partea
omogenă pentru a ne da forma soluției ge nerale a ecuației diferențiale:
𝑌𝑡=𝑌𝑡𝑕+𝑌𝑡∗ (I.1.15)
Reținem că am adăugat un indice "t" la termenul de echilibru, pentru a permite
posibilitatea ca valoarea de echilibru să depindă de timp. Evident, o valoare constantă de
echilibru este un caz special de timp dependent de timp. În cazul ecuației (I.1.10), combinând
soluțiile obținem:
𝑌𝑡=𝑌𝑡𝑕+𝑌∗=𝐴𝛼𝑡+ 𝑔
1−𝛼 (I.1.16)
Ca pas final, rezolvăm pentru constanta nedeterminată A, folosind din nou o condiție
inițială, care ne spune că la t=0, Y t este egal cu o valoare numerică exactă cunoscută Y 0.
Înlocuind t=0 în ecuația (I.1.16), notând că α 0=1 și rearanjând termenii obținem:

13
𝐴=𝑌0− 𝑔
1−𝛼 (I.1.17)
Obținem o perspectivă asupra a ceea ce înseamnă această expresie pentru A dacă
observăm că o pute m scrie și ca A = Y 0 -Y*. Deoarece Y 0 este valoarea inițială reală a lui Y și
Y* este valoarea lui (constantă) de echilibru, acest lucru ne spune că A este doar abaterea inițială
a valorii reale față de valoarea de echilibru Y sau cantitatea de dezechilibru inițial. Acest lucru ne
spune și de ce trebuie să lăsăm rezolvarea lui A la sfărșitul procesului – nu putem găsi
dezechilibrul inițial până când nu avem atât expresia pentru echilibru, cât și valoarea inițială a lui
Y. Prin urmare, înlocuirea cu A în ecuația (I.1.16) ne dă soluția generală a ecuației noastre
diferențiale ca fiind:
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝛼𝑡+ 𝑔
1−𝛼 (I.1.18)
Diagramele de fază
Reprezentarea grafică liniară, FODE
Când am derivat condițiile de stabilitate pentru ecuațiile diferențiale liniare de ordinul
întâi, am ilustrat rezultatele noastre grafic într-un sistem ortogonal de axe în care pe axa verticală
am reprezentat valoarea lui Yt și pe axa orizontală timpul. Acest tip de diagramă este foarte util
în ceea ce privește trasarea traiectoriei pe care Y o va urma, în special pentru cazu rile în care
avem valori numerice reale ale coeficienților și expresii explicite pentru funcții. Un alt
instrument grafic util, cel puțin în cazul FODE, este un dispozitiv cunoscut sub denumirea de
diagrama de fază, care descrie Y t față de Y t-1.
Considerăm ecuația liniară simplă FODE:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔, 0<𝛼<1 (I.1.19)
Echilibrul pentru această ecuație este Y*=g/(1 – α) și deoarece α este o fracție pozitivă,
echilibrul este stabil. Atunci, reprezentarea noastră schematică ar trebui să arate Y convergând la
Y* pe măsură ce timpul trece.
Diagrama de fază pentru Ecuația (I.1 .19), reprezentată în figura I.1. (a), descrie pur și
simplu Y t în funcție de Y t-1, cu adăugarea unei linii suplimentare denumită linia de 450. Ecuația
(I.1.19 ) este reprezentat ă ca o linie dreaptă cu interceptul vertical g și panta α. În plus, am
desenat o linie de 450, definită ca o linie de -a lungul căreia Y t=Yt-1 sau, mai formal, locul
puncte lor în care Yt=Y t-1.

14

15

Figura I.1.1 Diagrama de fază pentru FODE
Ecuația (I.1.19) de mai sus definește relația dintre Yt și Yt -1 pentru toate valorile lui t.
Din punct de vedere al diagramei de fază, aceasta înseamnă că fiecare pereche observată (Yt, Yt –
1) trebuie să se găsească pe graficul ecuației (I.1.19). Punctele de pe lin ia ce reprezintă ecuația
(I.1.19) sunt perechi (Y t,Yt-1) care, prin definiție, nu satisfac ecuația (I.1.19), ceea ce înseamnă că
sistemul nu poate fi la nici unul dintre ele. G raficul e cuației (I.1.19 ) îngustează pr actic mulțimea
puncte lor pe care le obser văm din tre toate punctele de pe diagramă doar la cel e care satisfac
ecuația (I.1.19 ).
Linia de 450 este pe diagramă deoarece ne permite să găsim punctul de echilibru al
sistemului. Atâta timp cât termenul g din Ecuația (I.1.19) este o constantă, valoarea de echilibru
a lui Y va fi o constantă (din moment ce α = 1), ceea ce înseamnă că, odată ce am atin s valoarea
de echilibru Y, Y t=Y t-1=Y* pentru toate valorile viitoare ale lui t. Aceasta înseamnă că, pentru
cazul în care echilibrul este o constantă, valoarea de echilibru va fi undeva pe linia de 450.
Valoarea de echilibru a sistemului, fiind soluția par ticulară a ecuației (I.1.19), trebuie să
se situeze de -a lungul liniei ce reprezintă ecuația (I.1.19 ). Fiind o constantă, trebuie să se î ntindă
de-a lungul liniei de 450. Aceasta înseamnă că punctul de echilibru al sistemului (I.1.19) trebuie
să fie punct ul de intersecție di ntre linia care reprezintă grafic ecuația (I.1.19 ) și linia de 450. Cu
alte cuvinte, este soluția sistemul ui de două ecuații:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.20)
𝑌𝑡=𝑌𝑡−1 (I.1.21)
Rezolvarea acestor ecuații ne va conduce la Y*=g/(1 – α).
Diagrama de fază ne arată totuși mai mult decât valoarea de echilibru. De asemenea, ne
permite să complotăm abordarea sistemului față de echilibrul său (presupunând, desigur, că

16
echilibrul este stabil). Pentru a vedea acest lucru, să presupunem că valoarea noastră inițială
Y0=0. Atunci , în perioa da 1, t = 1 și t – 1 = 0, găsim Y1 din ecuația (I.1.19). A dică, obținem
Y1=g. Pe diagramă, aceasta ne permite să găsim prima noastră pereche (Y t, Yt-1), (Y 1, Y0)=(g, 0).
Acest punct este doar intersecția cu verticala a graficului e cuației ( I.1.19 ). Vom face referire la
acest grafic în termeni generali ca fiind graficul funcției Y t(Yt-1), deoarece ne arată valo area lui
Yt în funcție a valoarea lui Y t-1.
Pentru a determina următorul punct, reținem că, după ce a trecut o perioadă, Y 1, care a
fost Y t, aceasta a devenit Y t-1. Facem acest lucru pentru a sublinia faptul că indicele "t" se referă
la momentul prezent, oricare ar fi valoarea lui t, iar indicel e t -1 se referă cu o perioadă în urmă
față de t. Astfel, oda tă ce a mai trecut o perioadă, t = 2 și valoarea lui Y luată în perioada 1 este
acum valoarea lui Y t-1. Pentru a găsi valoarea lui Y 2, trebuie să găsim punctul pe axa Y t-1, care
este egal cu valoarea Y 1, iar apoi, folosind pe Yt-1 putem citi valoarea lui Y2 ca fiind coordonata
verticală a punctului de pe graficul funcției Yt(Yt-1) care se află chiar deasupra Yt-1=Y 1.
Există un mod simplu pentru a face acest lucru. Ceea ce vrem să găsim este un punct pe
axa orizontală a cărui valoare este egală cu cea a unui punct pe care l -am găsit deja pe axa
verticală. Deoarece axa orizontală este axa Y t-1 și axa verticală este axa Y t, căutăm un punct unde
Yt-1 = Y t, când știm deja valoarea lui Y t.
Uneori, este mai ușor să vedem acest lucru dacă uităm, pentru moment, că t se referă la
timpul, care se mută întotdeauna de la t -1 la t și ne gând im pur și simplu la t și t – 1 ca fiind indici
care identifică variabile. În acest caz, în care valoarea lui Y t merge la valoarea lui Y t-1 acestea nu
prezintă probleme concept uale. Sau pur și simplu reținem că, de când a trecut o perioadă, care a
fost Y t acum este Yt-1, deci valoarea sa trebuie să fie afișată mai degrabă pe axa orizontală decât
pe cea verticală. Indiferent de modul în care gândim acest proces, cu toate acestea, putem găs i Y 2
dat valorii lui Y 1 prin m utare de la valoarea lui Y 1 pe axa verticală în dreptul liniei de 450, și
apoi, folosind acel punct pentru a identifica noul Y t-1 , mergem vertical până la funcția Y t(Yt-1)
pentru a găsi pe Y2.
Pe diagrama de faze, pentru a re duce dezordinea, acest lucru este arătat de obicei ca și
cum sistemul ar fi riguros între funcția Y t(Yt-1) și linia de 450, dar de fapt sistemul este
întotdeau na al funcției Yt(Yt-1) și trasarea liniei de 450 se face doar pentru a ne ajuta să găsim
următorul punct pe graficul funcției Yt(Yt-1). Cu alte cuvinte, nu ne mișcăm efectiv de -a lungul

17
pașilor arătați pe diagramă, dar trecem, între o perioadă și următoarea, între punctele în care
colțurile pașilor ating simbolul Y t(Yt-1).
Urmând această cale de -a lungul funcției Y t(Yt-1), putem vedea că sistemul converge la
punctul de intersecție dintre această funcție și linia de 450, punct pe care deja l -am identificat ca
fiind echilibrul sistemului. De asemenea, putem observa că, dacă în loc să luăm o valoare inițială
a lui Y egală cu 0, am ales o valoare inițială deasupra lui Y* și am urmat aceeași procedură
pentru a găsi următoarele puncte – reprezentarea orizontală a funcției Y t(Yt-1) peste linia de 450 –
că vom termina deplasar ea în jos pe Y t(Yt-1) a funcției spre punctul de echilibru. Indiferent unde
ne-am ales valoarea inițială a lui Y, cu timpul vom trece la valoarea de echilibru. Acest lucru este
în concordanță cu faptul că am identificat intersecția celor două linii pe diag ramă ca punct de
echilibru stabil.
Diagrama de fază ilustrează, de asemenea, că nu putem depăși echilibrul – dacă am pornit
de la o valoare inițială a lui Y sub valoarea de echilibru și am încercat să trecem spre dreapta lui
Y*, procesul de trasare pe care tocmai l -am descris ne -ar muta înapoi la echilibru. Deoarece
acest lucru se va aplica oricarui pas pe care l -am luat la dreapta lui Y*, indiferent de cât de mic
este pasul, concluzionăm că nu putem trece de la punctele din stanga lui Y* la punc tele din
dreapta ale acelei valori. Aceasta înseamnă că nu putem depăși echilibrul și deoarece depășirea
este esența comportamentului ciclic, așa cum vom arăta când discut ăm despre ecuațiile
diferenț ilale de ordinul doi (SODE), înseamnă că FODE nu poate a fișa un comp ortament ciclic.
Un alt punct de discutat înainte de a trece la un alt caz este: diagrama sugerează că fiecare
etapă succesivă pe care o luăm de -a lungul funcției Y t(Yt-1) va fi mai mică decât pasul anterior, și
acest lucru este de fapt adevărat. În mod s trict vorbind, convergem la Y*, dar nu ajungem
niciodată într -un timp finit, deoarece în expresia:
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝜆𝑡+𝑌∗ (I.1.22)
Pentru Y t =Y* vom avea:
𝑌0−𝑌∗ 𝜆𝑡=0 (I.1.23)
Deoarece Y 0 și Y* sunt constante și egale între ele numai accidental , în general, (Y0-Y*)
nu sunt egale cu zero, astf el încât pentru ca ecuația (I.1.23 ) să fie îndeplinită, trebuie să existe
cazul ca:
𝜆𝑡=0 (I.1.24)

18
care, cu λ o fracție pozitivă dar care nu egală cu zero, necesită t = ∞. Atât de strict
vorbind, este nevoie de o perioadă infinită de timp pentru ca noi să ajungem la echilibru, dar
putem ajunge atât de aproape în timp, încât în scopuri practice suntem în punctul de echilibru.
Prin urmare, vom continua să ne referim la sistem ca atingând echilibrul atunci când, de fapt, el
este în mod arbitrar apropiat de el și încă se îndreaptă spre el, ci închide un gol care este
neobișnuit de mic, luând pași care sunt ei înșiși neobservabil de mici. Se iau în considerare
diagramele de fază pentru diferite valori ale α.
Exerciții:
Rezolvați ecuațiile:
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑡+2𝑦=6, cu condiția inițială y(0)=10.
2. 𝑑𝑦
𝑑𝑡+4𝑦=6, cu condiția inițială y(0)=1.
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑡=2, cu condiția inițială y(0)=5.
Soluț ii: 1. 𝑦 𝑡 = 10−3 𝑒−2𝑡+3
𝑦 𝑡 =7𝑒−2𝑡+3
2. 𝑦 𝑡 = 1−0 𝑒−4𝑡+0
𝑦 𝑡 =𝑒−4𝑡
3.𝑦 𝑡 =5+2𝑡
I.2.MODELUL KEYNESIAN

Se pare că cel mai simplu model care este reprezentat cu ajutorul lui FODE este
multiplicatorul Keynesian sau modelul Keynesian Cross. În timp ce acest model este cel mai des
folosit din punct de vedere static, procesul de adaptare de la vechi la nou asupra echilibrului
macroeconomic după un șoc este descris din punct de vedere dianmic.
Keynesismul este un a dintre cele mai prestigioase și răspâ ndite teor ii și doctrine
economice din secolul al XX-lea, considerându -se că ideile profunde și provocările revoluț iei
keynesiste au inspirat o nouă generaț ie de teoreticieni.
Economia de bază din modelul Keynesian Cross este după cum urmează:
Y=C+I+G (I.2.1)
𝐶=𝐶0+𝑐𝑌,0<𝑐<1 (I.2.2)

19
Unde am notat cu Y –totalul veniturilor , I–investiția totală, G –cheltuielile guvernamentale
și C –consumul de agregate . În această versiune a modelului investițiile și cheltuielile
guvernamentale sunt autonome.
În ecuația (I. 2.2) C 0 este consumul autonom și c este înclinația marginală a consumului.
Ecuația (I. 2.1) reprezintă condiția de echilibru Keynesian. Versiunea modelului descris
aici este în esență statică și, deci, nu depinde de timp. Starea de echilibru des crisă în ecuația
(I.2.1) ne arată că totalul veniturilor este egal cu valoarea cheltuielilor agregate care reprezintă
suma dintre consum, investiții și cheltuieli guvernamentale. Înlocuind ecuația (I.2 .2) în ecuația
(I.2.1) obținem:
𝑌=𝐶0+𝑐𝑌+𝐼+𝐺,0<𝑐<1 (I.2.3)
De unde vom avea:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐶0+𝐼+𝐺) (I.2.4)
Unde 1
1−𝑐 este multiplicatorul simplu Keynesian. Acest model ne arată că, schimbarea
unei componente autonome (de exemplu, cheltuielile guvernamentale, G) se traduce prin
schimbarea în relația de echilibru ∆𝑌∗ cu magnitudinea de schimbare dependentă de mărimea
multiplicatorului:
∆𝑌∗=1
1−𝑐∆𝐺 (I.2.5)
În timp ce modelul static implică faptul că venitul efectiv instantaneu sare la un nou nivel
de echilibru s-au introdus textele introductive ale economiei pentru a putea explica procesul de
ajustare. În prezentarea acestui proces din punct de vedere matematic este necesară introducerea
anumitor ajustări î n model ul dat .
Consumul rămas
Cea mai simplă abordare pentru introducerea unui element dynamic î n modelul
Keynesian are un consum de adaptare a veniturilor cu un decalaj de timp deorece, în general,
consumatorii au nevoie de ceva timp pentru a -și adapta modelele de consum ca răspuns la
schimbările veniturilor. Adăugarea indicatorilo r de timp corespunzători ne conduc la:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.6)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.2.7)
În cazul în care nu există modificări în timp în consumul autonom, nici I și nici G,
deoarece ei nu se schimbă cu timpul în acest model.

20
Înlocuind (I. 2.7) în (I. 2.6) și rearanjând termenii obținem
𝑌𝑡=𝑐𝑌𝑡−1+𝐼+𝐺+𝐶0 (I.2.8)
Care este clar o ecuație diferențială liniară de ordinul I cu suma elementelor autonome ( 𝐼+𝐺+
𝐶0) ca termenul ”g”. Reținem că termenul ”g” este constant, în sensul că valorile elementelor
sale componente, în timp ce ar putea fi endogene pentru alte modele, sunt exogene pentru acest
model. Termenul constant de aici nu înseamnă că nu se schimbă nicioad ată ci înseamnă mai
degrabă că modificările valorilor termenului sunt determinate de factori strict externi acestui
model. Mai târziu vom complica modelul făcând investiții endogene.
Tratând g ca o constantă vom găsi soluția ecuației de echilibru prin sta bilirea relației
𝑌𝑡=𝑌𝑡−1=𝑌∗ care dă echilibru, sau soluția particulară ca fiind:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.9)
Care este exact aceeași cu expresia pentru venitul de echilibru în modelul static.
Revenind acum la modelul dynamic partea omogenă a ecuației (I. 2.8) este 𝑌𝑡−𝑐𝑌𝑡−1=0
și presupunând că soluția părții omogene va fi de forma 𝑌𝑡=𝐴𝜆𝑡 vom obține:
𝐴𝜆𝑡−1 𝜆−𝑐 =0 (I.2.10)
Ecuația caracteristică a lui (I.2.8 ) este (𝜆−𝑐)=0 cu rădăcina caracteristică 𝜆=𝑐.
Aceasta ne d ă, soluția ecuației omogene (I.2.8 ) ca fiind:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝑐𝑡 (I.2.11)
Combinând cele două părți în soluția generală obținem:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝑐𝑡+𝑌∗ (I.2.12)
și învocând condițiile inițiale uzuale pentru Y 0 obținem A=Y 0-Y* care produce apoi forma
dinamică :
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝑐𝑡+ 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.13)
Venitu l rămas
O abordare alternativă pentru a face modelul Keynesian dianmic ar fi să se facă în mod
explicit dinamizarea ajustării veniturilor. Modelul Keynesian Cross este determinat de cerere,
oferta răspunzând la schimbările din cerere – un mod de a face modelul dynamic este să facem
aprovozionarea să răspundă cu un decalaj. În acest model, desigur, oferta agr egată este aceeași
cu cea a veni tului agregat, deci vom pune dinamica în comportamentul lui Y al identității
venitului național.

21
În această versiune a modelului vom înlocui expresia venitului național (I. 2.1) cu o
expresie pentru cererea agregată, D t:
𝐷𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.14)
Pentru a păstra modelul foarte simplu, trebuie să eliminăm elementul dinamic de consum,
ceea ce face astfel încât consumul curent să depindă de venituri le curente :
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡 (I.2.15)
Dar vom introduce dinamica prin modificarea venitului la cerere:
𝑌𝑡−𝑌𝑡−1=𝛿 𝐷𝑡−𝑌𝑡−1 , 0<𝛿<1 (I.2.16)
Unde  este viteza de ajustare în timp. Această ecuație ne arată că schimbarea în sursa de
venit în perioada t -1 și t este o fracție din excesul de cerere în perioada t față de veniturile din
perioada t -1. Am scris elementul dinamic (I.2.16) sub formă diferenția lă deoarece acest tip de
proces de ajustare este reprezentat, de obicei, în acest mod.
Înlocuind D t în (I.2.16 ) și rearanjând termenii sub forma unei FODE obținem:
𝑌𝑡= 1−𝛿
1−𝛿𝑐 𝑌𝑡−1+ 𝛿
1−𝛿𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.17)
Cu anumite artificii obținem că echilibrul sau soluția particulară a ecuației diferențiale de
ordinul I (I.2.17) este:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.18)
Schimbarea dinamicii de ajustare a unui model nu va schimba, în general, echilibrul său.
Rădăcina caracteristică a ecuației (I.2.17 ) va fi :
𝜆= 1−𝛿
1−𝛿𝑐 (I.2.19)
Astfel încât, în timp ce echilibru va fi același în cele două modele, vitezele de reglare vor
fi diferite (se persupune că c are aceeași valoare în ambele modele).
𝛿=(1−𝑐)/(1−𝑐2) (I.2.20 )
Consumul și venitul rămas
Există, desigur, și alte modalități de a face ca modelul Keynesian Cross să fie dinamic.
Putem introduce o tendință marginală în investiție și presupunem că investiția răspunde
veniturilor cu un decalaj al perioadei : 𝐼𝑡=𝐼0+𝜃𝑌𝑡−1. Alternativ, am putea combin a cele două
modele pe care le -am examinat anterior astfel încât să avem:
𝐷𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.21)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.2.22)

22
𝑌𝑡−𝑌𝑡−1=𝛿 𝐷𝑡−𝑌𝑡−1 , 0<𝛿<1 (I.2.23)
În acest caz, făcând substituții adecvate, sistemul poate fi redus la:
𝑌𝑡= 1−𝛿 1−𝑐 𝑌𝑡−1+𝛿(𝐶0+𝐼+𝐺) (I.2.24)
Care are ecuația caracteristică:
𝜆− 1−𝛿 1−𝑐 =0 (I.2.25)
Astfel , rădăcina sistemului este 𝜆=(1−𝛿 1−𝑐 ) și va fi pozitivă din moment ce
(1−𝑐) este înclinația marginală de salvare, care este presupusă în model a fi o fracție și  este
coeficientul de vite ză de ajustare a venitului, de a semenea, o fracție.
Echilibru pentru acest sistem este:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.26 )
Adăugând aceasta dinamicii nu se afe ctează localizarea echilibrului ci doar procesul prin
care sistemul ajunge la echilibru. Este de remarcat faptul că, în toate cazurile Keynesian Cross pe
care le -am avut în vedere , am ajuns la următoarea formă a ecuației diferențiale:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝛾(𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.27 )
Unde  și  au luat diferite forme în diferite versiuni al e modelului. Acest lucru ridică o
problemă care s -a dovedit a fi importantă din punctul de vedere empiric al dinamicii economice:
faptul că timpul de comportament al unei serii economice, cum ar fi PIB -ul, poate fi reprezentat
ca o ecuație diferențială dar nu ne spune la care dintre posibilele modele dinamice alternative
pentru acea variabilă ne conduc. Aceasta este determinată de faptul că este necesară o analiză
economică mai atentă de fapt, analiza econometrică.
Principalele caracteristici ale modelului Keynesian sunt:
1.Modelul k eynesian constituie o teorie dinamică a fluxurilor econommice, compatibilă
cu multe echilibre diferite, dar echilibrul ocupării depline nu constituie una dintre posibilități.
2.Modelul keynesian include mai multe variabile decât modelul clasic ș i presupune , în
consecință, mai puț ine constante;
3.Modelul keynesian ia în considerare fluxurile monetare din economie, precum ș i rolul
lor activ;
4.Modelul economic constă în relaț ii de cauzalitate dintre variabilele care se inf luențează
unele pe altele și care asigură realizarea unui echilibru global;
5.În acest model investiț iile sunt co nsiderate doar un factor de creș tere imediată a

23
venitului, dar n u și factor de creștere a potenț ialului productiv.
6.Modelul k eynesian pune un accent particular pe importanț a cererii globale.
Circuitul keynesian se bazează pe două condiții esenț iale de echilibru:
1)Cererea global ă efectivă = Oferta globală (D = Y)
2)Mărimea economiilor = Volumul investiț iilor (S = I)
Valoarea produc ției ofer ite (Y) este egală cu venitul naț ional dist ribuit (Y = R), care trebuie
să fie schimbat integral î n cheltuieli (Y = D), pentru ca circui tul să fie î n echilibru.
Două fenomene pot afecta acest echilibru:
– ieșirile (pierderile) de monedă în exteriorul circuitului, adică acele părți de venit global
creat de intreprinderi ș i care nu sunt recuperate de ele;
– injectiile, adică cererile de monedă care nu provin de la intreprinderi sub forma
remunerațiilor factorilor de producție și care in tră în circuit.
Pentru a se stabili echilibrul dintre produsul global și cheltuiala globală, este necesar ca
pierderile să fie egale cu injecț iile.
Pierderile sunt constituite prin:
– economii (S) la consumatori;
– prin importuri (M);
– prin prelevă rile statului (T).
Injecț iile sunt reprezentate prin:
– investi ții (I);
– exporturi (X);
– cheltuieli publice (G).
În țările avansate economic realitatea economică recentă s-a dovedit și se dovedeș te a fi
mult mai com plexă decâ t cea din deceniile anterioare. De aceea, modelele neoclasice ș i chiar
cele keynesiene si neokeynesiene au devenit insuficient de cuprinzătoare ș i de fundamentate
pentru a mai servi la analiza stă rilor de echilibru, respectiv de dezechilibru ale economiilor
contemporane. În aceste noi condiții, știința economică a fost pusă în fața situaț iei de a evalua
critic teoria lui Keynes despre relaț ia dezechilibru -echilibru.
Principalele aspecte negative ale teoriei keynesiene sunt:
A creat iluzia că prin adoptarea și aplicarea unor măsuri de ordin politic, monetar ș i
fiscal se poate rezolva orice problema economică și socială , iar aceasta este o iluzie periculoasă .

24
Toate țările foste socialiste suferă acum de pe urm a însușirii acestei iluzii, așa cum înai nte de
1929 toate ță rile occidentale au suferit de pe ur ma iluziei propagate de economiștii clasici ș i
neocla sici care credeau orbește î n legea cererii și a ofertei, în economia de piață liberă .
De altfel, s -a dovedit că p olitica deficit ului bugetar prin care se finanțează investiț iile
noi este de asemenea , falsă. Aceasta în sensul că atunci când se schimbă dinamica sist emului
economic, se va schimba și multiplicatorul investițiilor. În plus, nu există suficien te argumente
practice pe baza cărora să se demonstreze existenț a ace stui multiplicator. Adesea, creșterea
venitului național a fost mai puțin intensă decât î nainte de efectuarea investiț iei;
Pe termen lung, promovarea politicii monetare și fiscale, î n termenii t eoriei
keynesiene, a complicat ș i mai mult problemele economice și sociale ale ță rilor. Aceasta ,
deoarece prin a ceste politici s -a dat curs creș terii datoriei publice, problemă cu care se confruntă
și astăzi aproape toate ță rile occidentale.
Se poate spune că, structurile ș i dinamicile eco nomiei contemporane impun reexaminar ea
tuturor modelelor elaborate î n trecut, inclusiv a celui keynesian. In plus, este necesar să se
integreze î n modelele macroeconomice c ontemporane noile cuceriri ale științ ei economice.
Următorul exemplu numeric v-a lămur i mai bine ceea ce nu merge în teoria lui Keynes
(admitem că se poate folosi regresia ca instrument pentru a determina înclinația marginală spre
import și spre economisire):
–dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 0,25
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu doar 1.25%) și înclinația marginală
spre import de 0,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 2.25%) avem că
multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi : 1/(0,25 + 0,45) adică ar fi de 1.42
(o creștere a cheltuielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 7,14%)
–dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 1,25
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economi sirile cresc cu doar 6.25%) și înclinația marginală
spre import de 1,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 7.25%) avem că
multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi: 1/(1,25 + 1,45) adică ar fi de 0,37
(o crește re a cheltuielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 1,85%)
Problema se complică enorm atunci când ambii multiplicatori sunt negativi. În economia
reală globalizată și deschisă pot fi ambii negativi adică dacă cresc veniturile consum ul să scadă și

25
să scadă și importurile dacă românii preferă să cumpere din afară bunuri și servicii plecând în
străinătate sau dacă preferă investițiile pe piața locală sau pe piața internațională.
Atunci nu vom avea creșt ere economică ci, dimpotrivă, avem scădere economică.
Abordarea keynesistă a lucrurilor a dus la:
1.Creșterea datoriilor publice la un nivel record;
2.Au crescut locurile de muncă în sectorul public în dauna sectorului privat (statul a
devenit net creator de locuri de muncă)
3.Dobânda mone tară s -a prăbușit până la a topi orice urmă de a mai economisi ceva în
economia privată .
Teoria economică pe care se bazează cea mai mare parte a intervenționismului economic
actual pleacă de la ceea ce numim „multiplicatorii” lui Keynes.
Unde greșește Keynes în această „pseudo -teorie” bazată pe astfel de multiplicatori ?
În primul rând pentru că asumă relația liniară dintre consum și venituri și că înclinația
marg inală spre consum este una sub unitară (c < 1 adică 1 – c > 0 adică s > 0, dacă ar lua s<0 î n
multiplicatorul venitului național 1/(s+m) nu mai poate spune nimic despre impactul cheltuielilor
guvernamentale asupra creșterii economice). Cu alte cuvinte, Keynes exclude posibilitatea de a
consuma mai mult decât veniturile pe care le ai (dacă cresc v eniturile consumul nu poate crește
mai mult decât cresc veniturile): acest lucru e complet eronat pentru că există și consum pe
datorie adică Keynes exclude preferința de timp (să consum mai mult în prezent în dauna
consumului viitor, care pe o expansiune a creditului poate fi chiar destul de accelerată
această creștere a consumului față de dinamica veniturilor). Aceeași problemă există și pe
importuri unde asumă că înclinația marginală spre importuri este pozitivă (dacă veniturile cresc
neapărat trebuie să crească importurile).
Keynes asumă că relația dintre consum și venituri generează înclinații marginale spre
economisire (s) și spre import (m) de semn pozitiv : în fapt toată teoria lui Keynes se bazează pe
aceste două regresii foarte simple între consum / import și venituri care pot duce la un rezultat pe
m și pe s de valoare negativă: dacă m < 0 și s <0 obținem că o creștere a cheltuielilor
guvernamentale reduce produsul intern brut adică diminuează creșterea economică;
Keynes exclude complet din discuție investițiile care îl încurcă destul de tare în
interpretarea rezultatelor sale: dacă venitul crește pot să crească investițiile și nu importul sau
consumul din formula venitului național. Această falsă problemă a creșterii consumului cu orice

26
preț arată c ât de puțin cunosc economie cei care nu văd că și o scădere a consumului poate fi
benefică atâta timp cât ea se duce către investiții. În plus, e destul de dificil în economie să faci
distincția între consum și investiții (nimeni nu poate spune atunci când cumpăr 10 borcane de
gem din magazin dacă le cumpăr pentru consumul imediat sau pentru consumul viitor, caz în
care acest aparent consum ar fi o investiție);
Toată „teoria” lui Keynes se învârte în jurul venitului național , un agregat problematic
pentru c ă nu ia în considerare bunurile intermediare care intră în componența acestuia și nici
momentul în care ele au fost create (de exemplu în consumul unui autoturism înregistrat
de venitul național curent se află tablă și alte materii prime produse cu un an s au doi în urmă).
Interdependențele dintre componentele venitului național (consum și investiții, import și
investiții, consum și import) anulează din concluziile „teoriei” lui Keynes.
Întotdeauna mai mulți bani pentru cheltuielile guvernamentale înseamnă m ai puțini
pentru consumul privat și pentru investițiile private (ceea ce teoria lui Keynes nu reflectă). Mai
mult, eficiența investițiilor private (unde piața decide falimentul) este mult mai mare. Și
consumul privat generează investiții private. Deci o te orie care spune că poți avea creștere
economică dacă crești cheltuielile guvernamentale nu ne spune că această creștere poate fi mai
mică și mai puțin durabilă decât o creștere prin mediul privat.
Toate aceste slăbiciuni arată cât de problematice sunt poli ticile publice care se grăbesc să
aloce bani în criză pentru „a salva economia” sau pentru a crea „locuri de muncă”. Ele nu fac
decât să adâncească această criză , să o prelungească mai mult decât e cazul, complicând
echilibrul natural al pieței libere . Ace ste politici publice ridicate la rang de măsuri providențiale
pentru o națiune își găsesc permanent justificarea în astfel de teorii insuficient fundamentate și
superficial construite pe ipoteze discutabile. Rezultatul este o piață liberă într -un dezechili bru
mult mai mare decât cel la care ar fi ajuns prin acțiunile noastre de zi cu zi. Bani și resurse
cheltuite cu tot felul de institute și specialiști care plătiți din banul public mimează că pot
controla de la butoane piața liberă și pot determina echilib rul său .
I.3.MODELUL SIMPLU DE STABILIZARE PHILIPS
Modelul Keynesian Cross este, desigur, asociat cu politica fiscal și o extensie evident a
modelului de bază Keynessian Cross implică adăugarea unei reguli de politică fiscal în model. În

27
cele ce urmează vom considera o versiune a unui model dezvoltat de Philips (1954) care
încorporează o regulă de politică proporțională.
Vom pleca de la ecuațiile (I. 2.6) și (I.2.7) de mai sus, dar vom modifica termenul G t:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼𝑡+𝐺𝑡 (I.3.28)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.3.29)
𝐺𝑡=𝐺0+𝐺𝑡𝑝 (I.3.30)
Unde 𝐺𝑡𝑝 este component a politicii fiscal e proporționale a cheltuielilor guvernamentale și
𝐺0 este o cheltuială autonomă care se află în esență în afara controlului discrețional sau, cel
puțin, a cheltuielilor ce nu pot fi ajustate cu ușurință în scopul politicii fiscal. Motivul pentru care
acest model este oferit ca un model de politică proporțio nală constă în exprimarea în sine a lui
𝐺𝑡𝑝:
𝐺𝑡𝑝=𝛾 𝑌𝐹−𝑌𝑡−1 , 𝛾>0 (I.3.31)
unde 𝑌𝐹 este venitul total al ocupării forței de muncă și  este coeficientul valorii vitezei
de ajustare.
Ecuația de mai sus (I.3 .31) ne arată că sunt ajustate cheltu ielile discreționare ale
guvernării în această perioadă, în scopul de politică fiscal, proporționale cu decalajul dintre
venitul total ocupat și venitul real din ultima perioadă. Dacă economia se afla la sfârșitul
perioadei de ocupare a forței de muncă, c heltuielile discreționare vor fie gale cu zero, și dacă
economia se află într -o situație inflaționistă deficitară în ultima perioadă, cu veniturile reale mai
mari decât cheltuielile discreționare totale la nivel de angajare vor fi negative , ceea ce într -un
model mai detaliat ar însemna probabil o combinație de reduceri de cheltuieli și de majorări de
impozite.
Combinând aceste ecuații vom obține ecuația diferențială pentru acest model ca fiind:
𝑌𝑡= 𝑐−𝛾 𝑌𝑡−1+(𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹) (I.3.32)
Partea omogenă a ecuației este 𝑌𝑡− 𝑐−𝛾 𝑌𝑡−1=0, ceea ce ne dă ecuația caracteristică:
𝜆− 𝑐−𝛾 =0 (I.3.33)
a cărui rădăcină este 𝜆=(𝑐−𝛾). Aici  va avea probabil valoare absolută mai mică
decât 1, dar dacă  este prea mare în raport cu tendința marginală de consum, c,  ar putea fi
negativă, iar sistemul ar putea afișa alternanțe. Cu toate acestea, la valorile uzuale ale lui c și 

28
acest lucru este foarte puțin probabil. Este mult mai probabil că sistemul va converge monoton
către un echilibru.
Este de reținut scrierea părții omogene a soluției ca 𝑌𝑡𝑕=𝐴(𝑐−𝛾)𝑡 și comparând -o pe
aceasta cu soluția omogenă a unui model fără a cosntrui o regulă explicită de politică observăm
că introducerea unei reguli expl icite de politică a redus magnitudinea rădăcinii de la c la (c -).
În acest caz, spre deosebire de altele, modul în care am introdus un nou element dinamic
a modificat localizarea echilibrului. În cazul de față echilibrul sistemului este:
𝑌∗= 1
1−𝑐+𝛾 (𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹) (I.3.34)
Astfel încât introducerea termenului de venit agregat țintă, 𝑌𝐹, mărește valoarea
echilibrului relativ la valoarea pe care ar fi av ut -o fără a exista o regulă proporțională a politicii
fiscale și dacă cheltuielile guvernamentale ar fi egale cu 𝐺0.
De asemenea, este de notat faptul că valoarea multiplicatorului keynesian este redusă în
acest model de la 1/(1 -c) la 1/(1 -c+) deci, o creștere exogenă a investiției are un impact mai mic
într-un model în care guvernul urmează o regulă de stabilizare proporțională decât într -un model
în care nu se respectă o astfel de regulă. Bineânțeles, aceasta înseamnă, de asemenea, că o
reducere exogenă a inve stiției va avea un efect mai scăzut asupra venitului de echilibru în
prezența unei reguli explicite de politică de stabilizare. De notat încă un punct referitor la acest
model: faptul că am introdus o țintă explicită de angajare completă în ceea ce priveșt e
cheltuielile guvernamentale nu ne -a redus expresia pentru venitul de echilibru la Y*=YF care ar
apărea doar dacă 𝑌𝐹=(𝐶0+𝐼+𝐺0)/(1−𝑐); aceasta se întâmplă doar dacă echilibrul
sistemului ar fi fost oricum la YF.
De asemenea, vom putea rescrie ecuația (I.3.34) astfel:
𝑌∗= 1−𝑐
1−𝑐+𝛾 𝑌0+ 𝛾
1−𝑐+𝛾 𝑌𝐹 (I.3.35)
𝑌𝑂= 1
1−𝑐 (𝐶0+𝐼+𝐺0) (I.3.36)
Unde Y0 este valoarea echilibrului nonpolitic. Dat fiind faptul că termenii care se
înmulțesc Y0 și YF la în partea dreaptă sunt fracții care se compară cu 1, echilibrul în politica
modelului nostru este o medie ponderată a valorii pe care o va avea echilibrul dacă guvernul nu a
aplicat nicio p olitică fiscală stabilizatoare, Y0, și pe deplin în nivelul ocupării forței de muncă,
YF. Aceasta înseamnă că introducerea regulii de politică fiscală atrage un echilibru deasupra

29
nivelului său de acțiune, dar nu este suficient pentru a atrage totul până la ocuparea integrală a
forței de muncă.
Înainte de a părăsi aceste valori fundamentale ale politicii Philips să reținem că, în
versiunea pe care am discutat -o, valorile actuale ale lui G și C depind de veniturile din ultima
perioadă.
Să presupunem că modificăm funcția de consum, astfel încât consumul curent
depind e de venitul curent, scriind C t=C0+cY t, dar lăsăm regula politic ii fiscale neschimbată, în
funcție de venitul din ultima perioadă. Motivul ar fi acel a că, deși, consumatorii știu ce venituri
curente sunt a tunci când își fac cheltuielile guvernul are nevoie de ceva timp pentru a calcula
venitul național , astfel încât acestea pot fi cunoscute (de fapt, estimate, da r noi nu introducem
acest lucru complicații aici) după un decalaj.
Modelul nostru devine acum:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼𝑡+𝐺𝑡 (I.3.37)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡 (I.3.38)
𝐺𝑡=𝐺0+𝐺𝑡𝑝 (I.3.39)
Care dă FODE sub forma:
1−𝑐 𝑌𝑡=−𝛾𝑌𝑡−1+𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹 (I.3.40)
Din care avem partea omogenă ca fiind:
𝑌𝑡+ 𝛾
1−𝑐 𝑌𝑡−1=0 (I.3.41)
Ecuația caracteristică pentru ecuația diferențială omogenă este:
𝜆+ 𝛾
1−𝑐 =0 (I.3.42)
De unde obținem rădăcina sistemului ca fiind 𝜆=−𝛾/(1−𝑐) și, la echilibru:
𝑌∗= 1
1−𝑐+𝛾 (𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹) (I.3.43)
Care este aceeași cu expresia pe care am avut -o pentru venitul de echilibru di n modelul
precedent, ecuația (I.3 .34). Rădăcina sistemului, însă, nu este diferită de rădăcina anterioară, ci
este negativă. Nu putem fi siguri că, la valori rezonabile ale lui  și c, echilibru va fi stabil.
Stabilitatea necesită (1-c) ceea ce ar trebui să fie verificat empiric.
Prin schimbarea structurii consumului întârziat vom schimba valoarea de echilibru a
sistemului și comportamentul dianmic de la monoton la cel alternativ. Explicația diferenței este
destul de simplă în primul model Philips pe care l -am considerat , introducând fu ncția de politică

30
nu s-a adăugat nicio structură de timp nouă problemei cid oar câșiva termini. Elementele induse
sau e ndogene ale cheltuielilor ag regate actuale, indifferent de consumul privat sau de cheltuielile
de politică fiscal guvernamentală, taote d epend de veniturile din ultima perioadă.
În cea de -a doua versiune a modelului există o schimbare dinamică, în timp ce, partea
indusă a cheltuielilor guvernamentale din această perioadă depinde încă de veniturile din ultima
perioadă, partea indusă a chelt uielilor de consum din această perioadă depinde de venitul acestei
perioade. Rezultatul este că, chiar și în acest model simplu, dianmica devine mai complicată.
Intervenția noastră obișnuită de a fi prudenți cu privire la valabilitatea modelelor economice cu
rădăcini negative se aplică totuși și, sincer, dianmica macroeconomică foarte interesantă este
asociată cu modele care generează ecuații diferențiale de ordin mai mare, deci, în acest moment
ne vom întoarce de la macroeconomia elelmentară la microeconom ia elementară și luăm în
considerare în model comportamentul prețurilor.
I.4.MODELUL ”PÂNZĂ DE PĂIANJEN”
După ce a avertizat în repetate rânduri că nu se pune prea multă încredere în modelele
care dau rădăcini negative se pare că este potrivit ca primul nostrum exemplu macroeconomic să
fie un model care, într -adevăr, ne dă rădăcini negative. Modelul pânză de păianjen este un model
simplu de cerere și ofertă, cu o întârziere a răspunsului dintr -o perioadă de timp, constru ită pe
partea de aprovizionare.
Pe partea cererii avem:
𝑄𝑡𝐷=𝛼0−𝛼1𝑃𝑡+𝛼2𝑌𝑡 (I.4.44)
Unde 𝑄𝑡𝐷este cantitatea cerută în perioada t, 𝑃𝑡 este prețul în perioada t și 𝑌𝑡 este un factor
de schimbare a cererii, de obicei, venitul. Am scris funcția cererii cu un semn negativ în fața lui
𝛼1, deci, 𝛼1 în sine este pozitiv.
Pe partea de aprovizionare avem:
𝑄𝑡𝑆=𝛽0+𝛽1𝑃𝑡−1+𝛽3𝑍𝑡 (I.4.45)
Unde 𝑄𝑡𝑆 este cantitatea furnzată în perioada t, 𝑃𝑡−1 este prețul în perioada t -1, 𝑍𝑡 este un
factor de schimbare de aprovizionare, și 𝛽1 este pozitiv.
Aci, cantitatea livrată astăzi depinde de prețul de piață de ieri. În timp ce acest lucru se
aplică oricărui produs cu un decalaj semnificativ între începutul procesului de producție și
furnizarea efectivă a producției pe piață, cele mai frecvente exemple sunt cele din agricultură, în

31
care, deciziile de plantare sunt luate pe baza prețului obținut pe piață în momentul în care trebuie
făcută plantarea, dar recolta și furnizarea efectivă a pr oducției pe piață apare destul de mult timp
mai târziu. De reținut este faptul că, am presupus că toatăcantitatea produsă este furnizată pe
piață, adică, nu există stocare și că nimic din producție nu este distrus dacă prețul pieței se
dovedește a fi foart e scăzut în momentul în care producția este adusă efectiv pe piață.
Completând modelul cu condiția standard de echilibru :
𝑄𝑡𝐷=𝑄𝑡𝑆 (I.4.46)
ceea ce înseamnă că, în fiecare perioadă, piața actuală a prețurilor pieței se ajustează clar. Faptul
că presupunem că piața se află în echilibru în fiecare perioadă individuală nu înseamnă că
echilibrul modelului dinamic este garantat a fi stabil.
Ecuația ( I.4.46) este o condiție de lichidare a pieței pe termen scurt, oferindu -ne ceea ce
este denumită uneori serie de prețuri de echili bru pe termen scurt. Echilibrul a ecuației
diferențiale care caracterizează sistemul ne oferă ceea ce numim prețul de echilibru de lung ă
durată și întrebarea cheie în ceea ce privește dinamica pieței modelu l este d acă prețurile de scurtă
durată converg în cele din urmă la prețul de echilibru pe termen lung.
Înlocuind ecu ațiile (I.4.44) și (I.4.45) în (I.4 .46) obținem:
𝛼0−𝛼1𝑃𝑡+𝛼2𝑌𝑡=𝛽0+𝛽1𝑃𝑡−1+𝛽3𝑍𝑡 (I.4.47)
din care derivă o ecuație diferențială de ordinul întâi în preț:
𝑃𝑡= 𝛼0−𝛽0
𝛼1 − 𝛽1
𝛼1 𝑃𝑡−1− 𝛽3
𝛼1 𝑍𝑡+ 𝛼2
𝛼1 𝑌𝑡 (I.4.48)
Partea omogenă a ecuației ( I.2.48) poate fi scrisă astfel :
𝑃𝑡+ 𝛽1
𝛼1 𝑃𝑡−1=0 (I.4.49)
Dând ecuația cara cteristică pentru (I.4.48 ):
𝜆+ 𝛽1
𝛼1 =0 (I.4.50)
Cu rădăcina caracteristică 𝜆=− 𝛽1
𝛼1 .
Deoarece atât α 1 cât și β 1 sunt pozitive, rădă cina este negativă.
Echilibru l va fi stabil atâta timp cât -(β1/α1), care este mai mic decât zero, este
mai mare de -1 (<1 în valoare absolută): o fracție negativă. Astfel, pentru stabilitate, trebuie să
avem:
1> 𝛽1
𝛼1 >0 (I.4.51)

32
care este satisfăcut atunci când α 1> β 1 ceea ce spune că, pentru ca echilibrul să fie stabil,
curba cererii trebuie să fie mai abruptă decât curba de aprovizionare. Dacă presupunem că toate
variabilele din modelul nostru sunt în formă de jurnal, stabilitatea necesită curba cererii
să fie mai elastică decât curba de alimentare.
Revenind la soluția particulară la ecuația ( I.4.48), scriem ecuația difere nțială ca:
𝑃𝑡+ 𝛽1
𝛼1 𝑃𝑡−1= 𝛼0−𝛽0
𝛼1 − 𝛽3
𝛼1 𝑍𝑡+ 𝛼2
𝛼1 𝑌𝑡 (I.4.52)
Observăm că toți termenii din partea dreaptă sunt constanți, în sensul că valorile lor sunt
date exogene, nu sunt determinate în cadrul modelului. Acest lucru suge rează că prețul de
echilibru, P *, va fi de asemenea o constantă. Punând P t = P t-1 = P* și rezolvând, găsim:
𝑃∗= 𝛼0−𝛽0
𝛼1+𝛽1 − 𝛽3
𝛼1+𝛽1 𝑍𝑡+ 𝛼2
𝛼1+𝛽1 𝑌𝑡 (I.4.53)
Deoarece α 0+α2Yt este valoarea cantității cerute atunci când P t=0, care este intersecția cu
orizontala a curbei cererii în diagrama obișnuită de cerere și alimentare și β 0+β3Zt este valoarea
cantității furnizate când P t=0, care este intersecția cu orizontala a curbei de aprovizionare, P* va
fi pozitiv. Este ușor de stabil it expresia pentru P * din e cuația ( I.4.53) este aceeași cu cea a
prețul ui de echilibru dintr -un model static de cerere și ofertă .
Am stabilit, deci, că atâta timp cât α 1> β 1, prețul pe care modelul pânză de păianjen l -a
făcut în cele din urmă este la fel ca prețul de echilibru static – și încă o dată , valoarea echilibrului
nu este afectată de introducere a unui element dinamic. Elementul dinamic adaugă cev a nou
modelului. Dincolo de posibilitatea ca echilibrul să fie instabil, și prețurile individuale ale pieței
nu converg niciodată pe valoa rea de echilibru pe termen lung este faptul că acesta este unul
dintre puținele modele economice în care rădăcin a ecuația caracteristică este negativă. După cum
am văzut mai devreme, o rădăcină negativă înseamnă că, chiar dacă echilibrul este stabil, prețu l
va fi alternativ deasupra și dedesubt de valoare a sa de echilibru de la perioadă la perioadă . Dacă
echilibrul pe termen lung este stabil, atunci când prețurile de echilibru de scurtă durată converg
în cele din urmă pe termen lung la prețul de echilibru, prețul și cantitatea vor scădea și se vor
opri din sărituri .
Exemplele pe care le -am considerat aici sunt probabil cele ma i frecvent utilizate
exemple de FODE, în primul rând pentru că ele formează b aza pentru o serie de mai multe
modele complicate. Întruc ât acțiunea cu adevărat interesantă începe atunci când intrăm în analiza

33
modelelor teoretice care implică ecuații diferențiale de ordin mai înalt, acum ne vom îndrepta
atenția spre astfel de modele.

Exerciții:
1.Pe baza relațiilor:
𝑄𝑑𝑡=𝑄𝑠𝑡
𝑄𝑑𝑡=𝛼−𝛽𝑃𝑡, (𝛼,𝛽>0)
𝑄𝑠𝑡=−𝛾+𝛿𝑃𝑡−1, (𝛾,𝛿>0)
Găsiți Q în funcție de timp și condiția pentru convergență.
Răspuns: 𝑄𝑡=𝛼−𝛽 𝑃0−𝑃 −𝛿
𝛽 𝑡
−𝛽𝑃 .
2.Având în vedere cererea și oferta pentru modelul de păianjen după cum urmează, găsiți
prețul de echilibru intertemporal și stabiliți dacă echilibrul este stabil:
a)𝑄𝑑𝑡=18−3𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=−3+4𝑃𝑡−1
b) 𝑄𝑑𝑡=19−6𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=6𝑃𝑡−1−5
Răspuns:
a)𝑃 =3, oscilație explozivă
b) 𝑃 =2, oscilație uniformă
3.Modelul de pânză de păianjen, ca și alte modele de piață dianmice se bazează în
principal pe piața statică. Ce presupunere economică este agentul de dianmizare în acest
caz? Explicați!
Răspuns : decalajul din funcția de alimentare.

34
CAP.II MODELE SODE

II.1.NOȚIUNI TEORETICE DESPRE SODE

În aplicațiile economice, ecuațiile diferențiale de ordinul doi (SODE) apar frecvent în
forma generală:
𝑌𝑡+𝛽1𝑌𝑡−1+𝛽2𝑌𝑡−2=𝑔 (II.1.1)
unde termenii sunt aceeași cu cei definiți în capitolul despre ecuațiile de ordinul întâi.
Metoda de determinare a soluției este, de asemenea, în termeni generali, aceeași ca și
pentru ecuațiile de ordinul întâi. Începem prin a privi soluția specială sau de echilibru a ecuației
(II.1.1). Din nou, o găsim printr -un proces de în cercare și eroare, pornind de la presupunerea că
forma funcțională a valorii de echilibru a lui Y va fi aceeași cu cea a termenului din partea
dreaptă g, astfel încât, ca și înainte, dacă g este o constantă începem prin a verifica o constanta ca
fiind solu ție specială, Y*.
În cazul ecuației (II.1.1), înlocuind Y t=Y t-1=Y t-2=Y* și rearanjând termenii obținem:
𝑌∗=𝑔
1+𝛽1+𝛽2 (II.1.2)
Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, dacă (1 + β1 + β2) = 0, ecuația (II.1.2) nu va
funcționa ca o soluție, iar următorul pas pe care trebuie să -l facem este să vedem ce se întâmplă
dacă încercăm ca formă de echilibru, un termen constant G înmulțit cu timpul t:
𝑌𝑡∗=𝐺𝑡 (II.1.3)
Înlocuind în ecuația (II.1.1) obținem:
𝐺𝑡+𝛽1𝐺 𝑡−1 +𝛽2𝐺 𝑡−2 =𝑔 (II.1.4)

din care, deoarece (1 + β 1 + β 2) = 0, vom avea :
𝐺=−𝑔
𝛽1+2𝛽2 (II.1.5)
Acest lucru dă 𝑌𝑡∗ ca:
𝑌𝒕∗=−𝑔𝑡
𝛽1+2𝛽2 (II.1.6)
Pentru a verifica această procedură pentru a găsi soluția specială, u tilizăm e cuația (II.1. 6)
pentru a determina Y *, cu ajustări adecvate la termenii "t", apoi înlocuiți -i în ecuația ( II.1.1)
(pentru cazul în care g este o constantă) pentru a da:

35

−𝑔𝑡
𝛽1+2𝛽2 + −𝑔(𝑡−1)
𝛽1+2𝛽2 + −𝑔(𝑡−2)
𝛽1+2𝛽2 =𝑔 (II.1.7)
Rearanjând termenii și ținând cont de faptul că ave m de -a face cu cazul în care
(1+β1+β2)=0, aratăm că ecuația (II.1 .7) este valabilă. În general, procedura de determinare a
soluției particulare sau de echilibru pentru SODE este aceeași cu cea pentru FODE.
Rădăcinile caracteristice
Rădăcinile reale
Procedura pentru găsirea soluției omogene este, în principiu , aceeași ca pentru FODE.
Partea omogenă a ecuației (II.1.1) este:
𝑌𝑡+𝛽1𝑌𝑡−1+𝛽2𝑌𝑡−2=0 (II.1.8)
Din nou, ca și în cazul ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi, încercăm o soluție de forma
generală:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝜆𝑡 (II.1.9)
Înlocuind e cuația (II.1.9) în (II.1.8) și rearanjând din nou elementele obținem:
𝐴𝜆𝑡+𝛽1𝐴𝜆𝑡−1+𝛽2𝐴𝜆𝑡−2=0 (II.1.10 )
din care găsim ecuația caracteristică:
𝜆2+𝛽1𝜆+𝛽2=0 (II.1.11 )
Aceasta este o ecuație de ordinul al doilea, care are două soluții, găsite din expresia
generală:
𝜆1,2=−𝛽1± 𝛽12−4𝛽2
2 (II.1.12 )
care ne oferă două rădăcini posibile pentru ecuația noastră caracteristică și două soluții
posibile pentru forma omogenă:
𝑌𝑡𝑕=𝐴1𝜆1𝑡
𝑌𝑡𝑕=𝐴2𝜆2𝑡 (II.1.13 )
unde am pus indici termenilor "A" pentru a ajuta la distingerea cazurilor. Din modul în
care s -au găsit aceste soluții, știm că oricare dintre ele va funcționa ca o soluție la ecuația noastră
omogenă. Din fericire, rezultă că, în funcție de un rezultat cunoscut sub numele de teorema
superpoziției, putem combina cele două soluții într -una singură:
𝑌𝑡𝑕=𝐴1𝜆1𝑡+𝐴2𝜆2𝑡 (II.1.14 )

36
Ca și în cazul ecuațiil or de ordinul întâi, soluția părții omogene a ecuației diferențiale
controlează dinamica sistemului. În acest caz, evident că va fi cel puțin o întorsătură care s ă țină
seama de minusul di n expresie (II.1 .12). T ermenul (𝛽12−4𝛽2), care este numit discriminantu l
rădăcinilor, ar putea fi negativ, ceea ce înseamnă că, atunci când vom lua rădăcina pătrată, vom
avea de -a face cu numere complexe. Deoarece acest termen apare în expresia ambelor rădăcini,
știm că dacă una dintre rădăcini este un număr complex, ce alalaltă trebuie să fie, de asemenea,
un număr complex – complexul său conjugat. Cazul în care rădăcinil e ecuației noastre
caracteristice sunt numere complexe se dovedește a fi foarte important în aplicațiile economice.
Pentru moment, vom presupune că (𝛽12−4𝛽2) este pozitivă și că ambele rădăcini sunt
reale , dar chiar și atunci când ne limităm la cazul în care λ 1 și λ 2 sunt reale, avem încă patru
cazuri de rezolvat. Oricare dintre cele două rădăcini ar putea fi pozitivă sau negativă și poate fi
mai mare sau mai mică decât 1 în valoare absolută. Dacă una dintre rădăcini este mai mică decât
1 în valoare abso lută, nimic nu impune ca cealaltă rădăcină să fie de asemenea o fracție
subunitară. De fapt, în multe aplicații economice, o rădăcină este o fracțiune, în timp ce cealaltă
este mai mare decât unu. Aceste cazuri sunt adesea denumite în interiorul și în exte riorul cercului
unitate – care este o terminologie alternativă de a spune că o rădăcină este mai mică sau mai mare
decât 1 în valoare absolută.
Ambele rădăcini sunt fracții pozitive
Mai întâi, luăm în considerare cazul în care ambele rădăcini sunt pozitive și în interiorul cercului
unitate – adică ambele sunt fracții pozitive. Pentru moment nu avem informații despre termenii A, nici
măcar dacă sunt pozitivi sau negativi, deci vom începe prin a presupune că atât A 1 cât și A 2 sunt pozitivi.
Sub această ipoteză, este destul de ușor să car acterizăm dinamica termenului 𝑌𝑡𝑕 din ecuația
(II.1.14). Ambele rădăcini sunt fracții pozitive, astfel încât atunci când t merge spre infinit, fiecare dintre
cele două elemente care constituie ecuația (II.1 .14) merge la zero. Ce se întâmplă mai întâi (sau strict
vorbind, devine atât de aproape de zero, încât ar putea fi la zero, deoarece niciun termen nu va ajunge de
fapt la zero până când nu ajunge la infinit) nu contează pentru scopurile prezente, deoarece, pe termen
lung, ambele sunt zero.
În acest caz, echilibrul sist emului va fi stabil, deoarece 𝑌𝑡𝑕 va converge la zero, indiferent de locul
de unde a început. Menționăm acest lucru ca fiind cazul în care ambele rădăcini sunt stabile – a se vedea
exemplul acestui tip de comportament în Figura II .1(a). Nu este surprinzător că este indistingui zabil de
graficul pe care l -am trasat pentru cazul unui FODE cu o rădăcină stabilă.

37
Ambele rădăcini sunt pozitive și mai mari decât 1
Cel de -al doilea caz în care comportamentul dinamic al lui 𝑌𝑡𝑕 este ușor de stabilit este
cazul în care ambele rădăcini sunt pozitive și în afara cercului unitate, adică pozitive și mai mari
decât 1 în valoare absolută. În acest caz, ambele părți ale ecu ației (II.1.14) devin tot mai mari pe
măsură ce timpul trece, convergând spre infinit, pe măsură ce t merge la infinit, deci Y este de
asemenea condus la infinit, sau, dând -o într -un alt mod, 𝑌𝑡𝑕 diverge. Menționăm acest lucru ca
fiind cazul în care ambe le rădăcini sunt instabile – pentru un exemplu al acestui tip de traiectorie,
a se vedea figura II.1 (b).
Când ambele rădăcini sunt reale și stabile, echilibru se numește nod stabil, iar atunci când
ambele rădăcini sunt reale și instabile, echilibrul se nu mește un nod instabil.

38

Figura II.1 Comportamentul dinamic al SODE -urilor
Ambele rădăcini sunt negative
În acest caz, echilibrul sistemului va fi stabil dacă ambele rădăcini sunt fracții negative,
iar echilibrul va fi instabil dacă ambele rădăcini sunt negative și în afara cercului unitate. Ca și în
cazul ecuațiilor de ordinul întâi, rădăcinile negative dau un comportament alternativ, iar
componentele din ecuația (II.1.14) sar de sus în jos și înapoi deasupra echilibrului din nou,
indiferent dacă r ădăcinile sunt stabile sau instabile. Exemple de căi de timp pentru cazurile
stabile și instabile sunt ilustrate în Figura II.1 (c) și (d). Dacă se întâmplă ca ambele rădăcini să
fie negative, se pare că există o mulțime de posibilități pentru nereguli în timp a variabilelor.
Pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul al doilea trebuie să cunoaștem
următoarele noțiuni fundamentale:
Ținând cont că ecuațiile diferențiale de ordinul al doilea au forma:
𝑦𝑡+2+𝑎1𝑦𝑡+1+𝑎2𝑦𝑡=𝑐 (II.1.15)
Aceasta este o ecuație liniară neomogenă și cu coeficienți constanți (𝑎1,𝑎2) și termenul
neconstant c.
Soluția specifică a acestei ecuații are două componente: o soluție specială ce reprezintă
nivelul de echilibru intertemporal al lui y și o funcție comp lementară, care, pentru fiecare

39
perioadă de timp, exprimă deviația de la un echilibru. Soluția particulară definită de orice soluție
a ecuației complete poate oricând să fie găsită pur și simplu prin încercarea unei soluții de forma
𝑦𝑡=𝑘. Înlocuind acea stă valoare a lui y în forma generală a unei SODE (II.1.15) vom obține:
𝑘+𝑎1𝑘+𝑎2𝑘=𝑐 și 𝑘=𝑐
1+𝑎1+𝑎2 (II.1.16)
Pentru (1+a1+a2)≠0 vom obține astfel, soluția particulară:
𝑦𝑝 =𝑘 =𝑐
1+𝑎1+𝑎2 (II.1.17 )
pentru cazul în care 𝑎1+𝑎2≠−1
Exemple:
1.Găsiți soluția particulară a ecuației 𝑦𝑡+2−3𝑦𝑡+1+4𝑦𝑡=6 .
Avem: 𝑎1=−3,𝑎2=4 și 𝑐=6. Cum 𝑎1+𝑎2≠−1 soluția particulară o putem obține
din (II.1.17) astfel:
𝑦𝑝=6
1−3+4=3

În cazul 𝑎1+𝑎2=−1, apoi, prin încercarea soluției 𝑦𝑡=𝑘 se descompune, și, vom
putea încerca în schimb, 𝑦𝑡=𝑘𝑡. Înlocuind apoi în (II.1.15) și ținând cont că acum avem
𝑦𝑡+1=𝑘(𝑡+1) și 𝑦𝑡+2=𝑘(𝑡+2) vom găsi:
𝑘(𝑡+2)+𝑎1𝑘(𝑡+1)+𝑎2𝑘𝑡=𝑐
și 𝑘=𝑐
1+𝑎1+𝑎2 𝑡+𝑎1+2=𝑐
𝑎1+2 (când 𝑎1+𝑎2=−1)
prin urmare, vom putea scrie soluția particulară ca fiind:
𝑦𝑝 =𝑘𝑡 =𝑐
𝑎1+2𝑡 cazul când 𝑎1+𝑎2=−1, 𝑎1≠−2. (II.1.18)
2.Găsiți soluția particulară a ecuației 𝑦𝑡+2+𝑦𝑡+1−2𝑦𝑡=12.
Aici, 𝑎1=1, 𝑎2=−2 și 𝑐=12. E clar că nu putem aplica (II.1.17) deoarece 𝑎1+𝑎2=
−1, dar putem aplica (II.1.18). prin urmare,
𝑦𝑝=12
1+2𝑡=4𝑡
Această soluție particulară reprezintă echilibru în mișcare.
Dacă 𝑎1+𝑎2=−1, dar în același timp 𝑎1=−2 (adică 𝑎1=−2 și 𝑎2=1) vom încerca
soluția de forma 𝑦𝑡=𝑘𝑡2, care implică 𝑦𝑡+1=𝑘(𝑡+1)2, etc. Așa cum se poate verifica, în
acest caz particular soluția se dovedește a fi:

40
𝑦𝑝=𝑘𝑡2=𝑐
2𝑡2 (cazul în care 𝑎1=−2 și 𝑎2=1).
În orice caz, deoarece această formulă se aplică numai în cazul unic al ecuației
diferențiale 𝑦𝑡+2−2𝑦𝑡+1+𝑦𝑡=𝑐, utilitatea sa este destul de limitată.

II.2.MODELUL MULTIPLICATOR -ACCELERATOR

Dacă modelul multiplicator Keyne sian Cross este unul dintre cele mai elementare dintre
toate modelele FODE din economie, extinderea acestuia la modelul multiplicator -accelerator
este unul dintre cele mai de bază dintre toate modelele SODE (Second -Order Difference
Equation – Ecuații diferențiale de ordinul al doilea ). În acest model se adaugă la modelul mai
simplu o ecuație de investi ție și obținem:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼𝑡+𝐺 (II.2.1)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡,0<𝑐<1 (II.2.2 )
𝐼𝑡=𝐼0+𝑣 𝐶𝑡−1−𝐶𝑡−2 ,𝑣>0 (II.2.3 )
Ecuația (II. 2.3) ne spune că investiția are două componente: prima, un element autonom
care, în modelul de multiplicare era întregul termen de investiție, iar a doua, un termen care
depinde cu un decalaj de variația cheltuielilor de consum. În acest model, răspunsul cheltuiel ilor
de investiții la cheltuielile de consum este, în general, explicat în sensul că toate cheltuielile
pentru investiții răspund așteptărilor profitului, că profiturile cresc odată cu creșterea consumului
de consum și că așteptările privind profiturile vi itoare se formează miopic – este de așteptat ca
perioada următoare să fie de asemenea bună. Decalajul din e cuația (II. 2.3), care spune că
cheltuielile de investiții depind astăzi de creșterea de ieri a cheltuielilor de consum, reflectă
decalajele di n conve rsia planurilor de investiții în cheltuielile de investiții.
Pentru a obține o ecuație diferențială în Y din acest model, notăm că ecuația (II.2.2 ) ne
arată faptul că, în orice perioadă , t, t-1, t-2 etc. , consumul depinde de venitul din acea perioadă
conform unei funcții de consum keynesiene. Aceasta ne permite să înlocuim C t-1 și C t-2 cu
expresii în Y t-1 și Y t-2, obținând astfel :
𝐼𝑡=𝐼0+𝑣𝑐(𝑌𝑡−1−𝑌𝑡−2) (II.2.4)
Apoi, înlocuind ecuațiile (II. 2.4) și (II.2.2) în (II.2.1 ) și rearanjând termenii obținem
ecuația diferențială pentru model:

41
𝑌𝑡 1−𝑐 −𝑣𝑐𝑌𝑡−1+𝑣𝑐𝑌𝑡−2=𝐶0+𝐼0+𝐺 (II.2.5)
Deoarece partea dreaptă a Ecuației (II.2.5 ) este compusă din constante și variabile care
sunt exogene pentru model, valoarea echilibrului venitului va fi ea însăș i o constantă:
𝑌∗=𝐶0+𝐼0+𝐺
1−𝑐 (II.2.6)
deci, dacă valoarea lui I 0 în acest model este a ceeași cu valoarea investiției din modelul
de multiplicare (și termenii C și G au, de asemenea, aceleași valori ca în modelul mai simplu),
valoarea venitului de echilibru în modelul multiplicator – modelul de accelerație va fi acee ași cu
valoarea venitului de echilibru din modelul de multiplicare.
Privind la dinam ica sistemului putem scrie partea omogenă a ecuației (II.2.5 ) ca fiind:
𝑌𝑡− 𝑣𝑐
1−𝑐 𝑌𝑡−1+ 𝑣𝑐
1−𝑐 𝑌𝑡−2=0 (II.2.7 )
a cărui ecuație caracteristică este:
𝜆2− 𝑣𝑐
1−𝑐 𝜆+ 𝑣𝑐
1−𝑐 =0 (II.2.8 )
Rădăcinile acestei ecuații sunt:
𝜆1,2=(𝑣𝑐
1−𝑐)± 𝑣𝑐
1−𝑐 2
−4𝑣𝑐
1−𝑐
2 (II.2.9 )
La prima vedere, expresia (II.2.9 ) nu este deloc informativă. Cu toate acestea, putem
aplica unele dintre rezultatele pe care le -am amintit mai devreme. Mai întâi, modelul semnelor
elementelor din ecuația ( II.2.8) este (+, -, +) care, din regula de semne a lui Descartes, deducem
că, dacă rădăcinile noastre sunt reale, ambele sunt pozitive. Avem de fapt o abordare alternativă
la stabilirea acestui rezultat: de oarece produsul rădăcinilor, vc/ (1 – c), este pozitiv, rădăcinile
trebuie să aibă același semn, fie ambele pozitive, fie ambele negative. De a semenea, suma
rădăcinilor, vc/ (1 – vc), este pozitivă. Deoarece rădăcinile, dacă sunt reale, trebuie să aibă același
semn și suma lor trebuie să aibă o valoare pozitivă, ambele rădăci ni trebuie să fie pozitive.
Aplicând acestei probleme condițiile :
1+𝛽1+𝛽2>0 (II.2.10 )
1−𝛽2>0 (II.2.11 )
1−𝛽1+𝛽2>0 (II.2.12 )

vedem că ecuațiile ( II.2.10 ) și ( II.2.12 ) sunt satisfăcute (presupunând că (1 – c) este o
fracție pozitivă). P entru a satisface condiția (II.2.11 ) avem nevoie de:

42
𝑣<1−𝑐
𝑐 (II.2.13 )
Acest lucru stabilește în mod clar o limită strânsă asupra valorilor lui v care sunt
compatibile cu stabilitatea: dacă luăm valoarea manuală comună a lui c=0,8, atunci stabilitatea
impune ca v să fie mai mică decât 0,25.
În plus, pentru ca ti mpul să fie monoton , trebuie ca discriminantul sistemului să fie
pozitiv, ceea ce, la rândul său, impune condiția :
𝑣>4(1−𝑐)
𝑐 (II.2.14 )
Pentru a înțelege ce implică acest lucru, dacă setăm din nou c = 0.8, comportamentul
monotonic presupune ca v să fie mai mare decât 1.
În mod clar, ecuațiile ( II.2.13 ) și ( II.2.14 ) nu pot fi satisfăcute în același timp.
Dacă ecuația ( II.2.13 ) este satisfăcută, astfel încât să avem un echilibru stabil, atunci prin ecuați a
(II.2.14 ), calea timpului lui Y trebuie să fie ciclică. Prin urmare, această versiune specială a
modelului accelerator multiplicator impune comportament ciclic asupra economiei.
Spunem această versiune a modelului, deoarece există și alte versiuni ale ac estuia, este
modelul de bază. Am făcut ca investițiile să depindă de modificările de consum și am făcut ca
nivelul consumului curent să fie în funcție de venitul curent. O versiune alternativă ar pune și o
întârziere în funcția de consum, dar aceasta ar pr oduce o ecuație diferențială de ordinul trei și nu
putem aborda încă exemple din acest tip de model. O altă versiune alternativă ar pune o perioadă
de întârziere în funcția de consum și va înlocui funcția de investiție pe care am utilizat -o cu:
𝐼𝑡=𝐼0+𝑣 𝑌𝑡−1−𝑌𝑡−2 , 𝑣>0 (II.2.15 )
În această versiune, investiția depinde direct de modificările înregistrate în venit, iar în
acest caz, chiar dacă folosim funcția de consum C t = C 0 + cY t-1, vom ajunge la SODE:
𝑌𝑡− 𝑐+𝑣 𝑌𝑡−1+𝑣𝑌𝑡=𝐶0+𝐼0+𝐺 (II.2.16 )
Încheiem analiza acestui sistem ca exercițiu, observând doar că , în acest exemplu , este
posibil să avem o cale de timp care să fie atât monotonă, cât și stabilă.
Model de politică de stabilizare Phillips
Pentru al doilea exemplu economic al unui model SODE, dezvoltăm din nou un model pe
care l -am considerat în capitolul anterior privind modelele de ordinul întâi. În acest capitol am
introdus modelul de stabilizare proporțională Phillips; aici adăugăm un element suplimentar
regulii de politică fiscală.

43
Modelul de bază este ca înainte:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺𝑡 (II.2.17 )
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1, 1>𝑐>0 (II.2.18 )
𝐺𝑡=𝐺0+𝐺𝑡𝑝+𝐺𝑡𝑑 (II.2.19 )
𝐺𝑡𝑝=𝛾 𝑌𝐹−𝑌𝑡−1 , 𝛾>0 (II.2.20 )
𝐺𝑡𝑑=−𝛿 𝑌𝑡−1−𝑌𝑡−2 , 𝛿>0 (II.2.21 )
Aici, investiția este din nou exogenă și am adăugat un termen guvernamental suplimentar
𝐺𝑡𝑑, care depinde de schimbarea Y între perioadele t -2 și t – 1. Conform acestui termen, dacă
creșterea Y a fost pozitivă, avem o creștere a acelei modificări într -o red ucere a cheltuielilor
guvernamentale. Acest termen al politicii, cunoscut sub numele de termen de politică derivată,
este conceput pentru a preveni creșterea economică prea rapidă și, într -un model macroeconomic
mai complet, lăsând presiunile inflaționiste să crească prea repede.
Înlocuirea e cuațiilor ( II.2.18 ) – (II.2.21 ) în ( II.2.17 ) și rearanjând termenii obținem:
𝑌𝑡− 𝑐−𝛾−𝛿 𝑌𝑡−1−𝛿𝑌𝑡−2=𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹 (II.2.22 )
care se dovedește a avea aceeași expresie pentru Y * ca și în modelul mai simplu,
proporțional cu stabilizarea:
𝑌∗=𝐶0+𝐼+𝐺0+𝛾𝑌𝐹
1−𝑐+𝛾 (II.2.23 )
Ecuația (II.2.23 ) ne spune că, la fel ca în modelul mai simplu, introducerea elementului
de politică nu garantează în mod automat că echilibrul va fi la un loc de muncă deplină. De fapt,
spre deosebire de termenul γ, termenul δ nu intră nici măcar în expresia pentru echilibru. Aceasta
nu este o surpriză, deoarece termenul δ, coeficientul de stabilizare a derivatelor, se referă la
viteza cu care se mișcă sistemul, nu la locul unde se află.
Ecuația caracteristică pentru (II.2.22 ) este:
𝜆2− 𝑐−𝛾−𝛿 𝜆−𝛿=0 (II.2.24)
Cu rădăcinile:
𝜆1,2=(𝑐−𝛾−𝛿)± (𝑐−𝛾−𝛿)2+4𝛿
2 (II.2.25 )
Stabilitatea necesită:
1− 𝑐−𝛾−𝛿 −𝛿>0 (II.2.26 )
1+𝛿>0 (II.2.27 )
1+ 𝑐−𝛾−𝛿 −𝛿>0 (II.2.28 )

44
Privind aceste condiții, prima este în mod clar satisfăcută de ipotezele obișnuite cu privire
la mărimea tendinței marginale de a consuma, iar a doua este satisfăcută deoarece δ este pozitiv.
A treia condiție, totuși, depinde de mărimile relative ale coeficienților, iar cel mai bu n lucru pe
care îl putem face este să identificăm mărimile relative care să garanteze stabilitatea.
Privind la e cuația (II.2.25 ) vedem că discriminantul rădăcinilor este pozitiv, deci
rădăcinile sunt reale și nu vor exist a oscilații, dar uitându -ne la e cuația (II.2.24 ), vedem că
modelul semn elor este fie (+ , -, -), sau (+ , +, -); în ambele cazuri , există o schimbare și o
continuare ceea ce înseamnă , prin regula lui Descartes, că avem o rădăcină pozitivă și una
negativă. Prezența unei rădăcini negative înseamnă că, în timp ce sistemul nu va afișa oscilații,
va avea un element de alternanță cu acesta.
Există multe modele macro care pot fi reduse la ecuații diferențiale de ordin al doilea sau
mai mare și care au cel puțin potențialul de a genera comportame nte ciclice. Poate că cea mai
largă clasă a acestor modele este clasa modelelor de ajustare a stocurilor, începând cu Metzler
(1941). Vom reveni la modelele macro atunci când luăm în considerare sistemele de ordin
superior: pentru exemplul următor ne întoa rcem la microeconomie.
Modelul pânză de păianjen cu intrare fermă
În acest exemplu, revenim din nou la un model pe care l -am văzut în capitolul anterior
privind sistemele de ordinul întâi: modelul pânză de păianjen. De această dată, adăugăm
modelului de ba ză o expresie pentru intrarea fermă. Acest lucru ne obligă să facem o manipulare
destul de dezordonată a modelului, dar vom putea, în capitolul următor, să folosim acest
exemplu ca bază a unei comparații între două abordări pentru modelele care implică mai multe
ecuații diferențiale.
Ecuațiile modelului pânză de păianjen sunt:
𝑄𝑡𝐷=𝛽0−𝛽1𝑃𝑡+𝛽2𝑌𝑡 (II.2.29 )
𝑄𝑡𝐷=𝛼0+𝛼1𝑃𝑡−1+𝛼2𝑁𝑡 (II.2.30 )
𝑄𝑡𝐷=𝑄𝑡𝑆 (II.2.31 )
𝑁𝑡=𝑁𝑡−1+𝛾 𝑃𝑡−1−𝑃𝑐 , 𝛾>0 (II.2.32 )
unde Q este cantitatea, P este prețul, Y este venitul consumatorului și N este numărul de
firme de pe piață.
Ecuația (II.2.32 ) afirmă că numărul firmelor de pe piață în perioada t este egal cu
numărul care exista u în perioada t – 1 plus un termen de ajustare care depinde de diferența dintre

45
nivelul prețului în t – 1 și o valoare critică, PC. Atunci când prețul în t – 1 este peste valoarea
critică, noile firme intră și N t > N t-1, când prețul în t – 1 este sub valoarea critică, firmele existente
părăsesc și N t <N t – 1 și când prețul în t – 1 este egal cu valoarea critică, nu a existat nici o tendință
ca firmele să intre sau să părăsească industria, astfel încât numărul firmelor a rămas neschimbat
între cele două perioade: N t = N t-1.
În cazul unei piețe perfect competitive, ne putem gândi la nivelul critic al prețurilor ca
fiind egal cu punctul minim pe curba medie a costurilor (comune) a firmelor. Termenul γ este un
coeficient de viteză de ajustare: cu cât este mai mare γ, cu at ât mai multe firme intră sau părăsesc
piața, ca răspuns la o abatere a prețului din ultima perioadă de la nivelul critic.
Înlocuind e cuațiile (II.2.29) și (II.2.30 ) în ( II.2.31 ) ne dă:
𝛽0−𝛽1𝑃𝑡+𝛽2𝑌𝑡=𝛼0+𝛼1𝑃𝑡−1+𝛼2𝑁𝑡 (II.2.33 )
ca și în modelul simplu al pânzei de păianjen. Problema este că acum avem o ecuație și
pentru N, deci ecuațiile ( II.2.32 ) și ( II.2.3 3) formează un sistem de două FODE în două
variabilele , N și P. Din fericire se dovedește că există o modalitate de a forma din cele două
ecuații o ecuație diferențială unică.
Mai întâi, reținem că, deoarece presupunem că piața este întotdeauna în echilibru scurt,
ecuația ( II.2.3 3) trebuie menținută . În acest caz, putem rearanja e cuația ( II.2.3 3) astfel încât să
obține m o expresie pentru N t:
𝑁𝑡= 𝛽0−𝛼0
𝛼2 − 𝛽1
𝛼2 𝑃𝑡− 𝛼1
𝛼2 𝑃𝑡−1+ 𝛽2
𝛼2 𝑌𝑡 (II.2.34 )
Scriind relația (II.2.34 ) pentru t -1, obținem o expresie pentru N t-1. Înlocuind aceste
expresii în (II.2.32 ) și rearanjând termen ii obținem un SODE:
𝑃𝑡− 𝛽1−𝛼1−𝛾𝛼2
𝛽1 𝑃𝑡−1− 𝛼1
𝛽1 𝑃𝑡−2= 𝛽2
𝛽1 𝑌𝑡− 𝛽2
𝛽1 𝑌𝑡−1+ 𝛾𝛼2
𝛽1 𝑃𝑐 (II.2.35 )
În partea dreap tă a ecuației (II.2.35 ) avem termeni în Y t și Y t-1, dar aceasta nu înseamnă
că avem o ecuație diferențială în Y. Pentru a avea o ecuație diferențială în Y, ar trebui să avem o
ecuație care să reflecte mecanismul care leagă curentul de valorile anterioare ale lui Y. Prezența
lui Y t și Y t-1 reflectă ceea ce este cunoscut ca un efect de ajustare întârziat, lucru cu care ne vom
ocupa în alt capitol.
Pentru moment, am finisat problema presupunând că venitul consumatorului este
constant în timp, astfel încât Y t = Y t-1 = Y 0. În mod convenabil, când înloc uim acest lucru în
ecuația (II.2.35 ), termenii cu Y din partea dreapta dispar și vom rămâne cu:

46
𝑃𝑡− 𝛽1−𝛼1−𝛾𝛼2
𝛽1 𝑃𝑡−1− 𝛼1
𝛽1 𝑃𝑡−2= 𝛾𝛼2
𝛽1 𝑃𝑐 (II.2.36 )
Ecuația (II.2.36 ) este S ODE în P. Deoarece ecuația (II.2.36 ) am obținut -o înlocuind
cererea -oferta din condiția de egalitate direct în ecuația de intrare fermă, ea combină informațiile
din toate ecuațiile din sistem; prezența din termenul y indică acest lucru. Este un pic regretabil că
am pierdut din vedere pe N, dar într -unul din capitolele următoare vom aborda această problemă.
Pentru moment, avem de der ivat un SOD E în preț, pe care o putem analiza acum.
Din moment ce se presupune că PC este constant (nu se produce nici o schimbare
tehnologică, care ar putea schimba curba medie a costurilor firmelor), presupunem că prețul de
echilibru, P*, este de asemenea constant. Făcând substituț iile obișnuite în ecuația (II.2.36 ),
constatăm că:
P*=Pc
care spune că prețul de echilibru pe termen lung al modelului este prețul critic, prețul la
care numărul firmelor rămâne neschimbat în timp. Aceasta este, desigur, în concordanță cu
definiția echilibrului de piață pe termen lung din teoria microeconomică introductivă și ne
afirmă, de asemenea, c ă informațiile din ecuația (II.2.32 ) nu au fost pierdute de sistem în timpul
calculelor noastre. Ea ne spune că dacă prețul curent nu este ega l cu Pc, sistemul nu poate fi în
echilibru și având în vedere că Pc apare numai în ecuația de intrare fermă, aceasta are loc atunci
când prețul curent nu este egal cu Pc, sau cele vechi nu mai sunt, schimbând curba ofertei și
modificând prețul de echilibru .
În ceea ce privește dinamica sistemului, ecuația caracteristică este:
𝜆2− 𝛽1−𝛼1−𝛾𝛼2
𝛽1 𝜆− 𝛼1
𝛽1 =0 (II.2.37)
Modelul de semn al ecuației (II.2.37 ) depinde de semnul lui (β1 – α1 – γα2) / β1 și este fie
(+, -, -) sau (+, +, -). În ambele cazuri avem o schimbare de semn și o continuitate , deci avem o
rădăcină pozitivă și una negativă. Putem spune și acest lucru din faptul că – (α1 / β1), care este
produsul rădăcinilor, este negativ. Dacă rădăcinile erau complexe, terme nul final din partea
dreaptă a e cuației (II.2.37 ) ar trebui să fie pozitiv, deci faptul că este negativ înseamnă că
rădăcinile sunt reale. În mod clar pentru ca acesta să fie negativ, rădăcinile trebuie să aibă semne
opuse. Faptul că una dintre rădăcini este negativă înseamnă că sistemul va afișa alternanțe –
aceasta este în mod evident o consecință a prezenței elementelor de păianjen. Adăugarea ecuației
de intrare fermă nu a schimbat acest lucru.

47
Verificând condițiile de stabilitate, pentru stabilitate avem nevoie de :
1− 𝛽1−𝛼1−𝛾𝛼2
𝛽1 − 𝛼1
𝛽1 >0 (II.2.38 )
1+ 𝛼1
𝛽1 >0 (II.2.39 )
1+ 𝛽1−𝛼1−𝛾𝛼2
𝛽1 − 𝛼1
𝛽1 >0 (II.2.40 )
Expresia (II.2.38 ) devine γα 2/β1> 0 care este în mod clar satisfăcută. Condiția ( II.2.39 )
este de asemenea satisfăcută din construcți e. Aceasta ne lasă cu ecuația (II.2.40 ) care poate fi
redusă la β 1>α1+γα 2/2 unde β 1 este panta (valoarea absolută a) curbei cererii, α1 este panta curbei
de aprovizionare, γ este intrarea fermă la parametrul de viteză și α 2 ne indică cât de mult se
schimbă curba de aprovizionare a pieței ca răspuns l a intrarea noilor firme.
În modelul original al pânzei de păianjen, stabilitatea impunea să fie mai abruptă curba
cererii decât curba de aprovizionare. În cazul de față, acest lucru nu este suficient: curba cererii
trebuie să fie chiar mai abruptă (sau mai elastică la preț) pentru a compensa schimbarea curbei de
aprovizionare datorată intrării ferme.
În principiu, o creștere a lui P în perioada t – 1 are două efecte în perioada t: determină
întreprinderile existente să -și mărească producția cu o sumă determ inată de panta curbei de
ofertă, termenul α1, și de asemenea, determină firmele să intre. Astfel, o creștere a lui P în t -1
are un efect dublu asupra aprovizionării în perioada t, ambele efecte având tendința de a crește
cantitatea de producție oferită sp re vânzare pe piață. Prin urmare, avem condiții mai stricte
plasate pe panta curbei cererii.
Fără a determina efectiv rădăcinile ecuației (II.2.3 7) putem spune că rădăcinile sistemului
vor fi reale (deci nu vor exista oscilații în preț) și că sistemul va avea o rădăcină pozitivă și una
negativă (astfel încât vor exista alternanțe de preț) și că stabilitatea sistemului depinde de panta
curbei cererii față de cele două efecte care reflectă răspunsul ofertei în perioada t la schimbări în
preț în perioada t – 1.
În dezvoltarea modelului pânză de păianjen cu intrare fermă, a trebuit să facem anumite
artificii și să reducem câteva ecuații la una singură. Doar câteva modele de ordin superior pot fi
derivate î n acest mod, dar se dovedește că putem extrage o mulțime de informații din sistemele
de ecuații fără să trebui ască să le reducem . Vom lua în considerare modele de acest tip în
următoarele capitol e.

48
Exerciț iu:
Se consideră ecuațiile:
𝑝𝑡=𝛼−𝑇−𝛽𝑈𝑡+𝑔𝜋𝑡 (𝛼,𝛽>0; 0<𝑔≤1)
𝜋𝑡+1−𝜋𝑡=𝑗 𝑝𝑡−𝜋𝑡 (0<𝑗≤1)
și schimbând 𝑈𝑡+1−𝑈𝑡=−𝑘 𝑚−𝑝𝑡+1 , (𝑘>0) la 𝑈𝑡+1−𝑈𝑡=−𝑘 𝑚−𝑝𝑡 .
derivați noua ecuaț ie diferențială în variabila p.
Vom avea:
𝑝𝑡+2− 2−𝑗 1−𝑔 −𝛽𝑘 𝑝𝑡+1+ 1−𝑗 1−𝑔 −𝛽𝑘 1−𝑗 𝑝𝑡=𝑗𝛽𝑘𝑚

49
CAP. III. ECUAȚII DIFERENȚIALE NELINIARE

III.1.NOȚIUNI TEORETICE

Modelele discutate până acum au fost practic liniare, iar analiza a fost în termeni
ecuațiilor diferențiale liniare.
În practică, multe modele economice produc relații dinamice neliniare. Probabil, cel mai
des întâlnit dintre aceste modele sunt diferite modele de creștere economică, dar modelele de
consum de tipul celor la care ne -am referit până acum dau și relații neli niare, mai ales atunci
când funcția de utilitate nu este membră a unei clase de funcții destul de restrictive.
În sensul larg , introducerea neliniarității nu schimbă esența unei ecuații diferențiale: o
privim în continuare ca o ecuație care descrie evoluți a unei variabile în timp. Se întâ mplă să
scriem ceva de genul x t+1 = f(xt) în loc de ceva de genul x t+1 = a + bx t. Forma neliniară include
forma liniară ca un caz particular și permite dezvoltarea unei game mult mai largi de tipuri de
traiectorii. Cel mai bine putem v edea acest lucru considerând nelinaritatea funcției f (x) pentru
diagrama de fază a unui FODE.
Diagrame de fază
Considerăm cazul în care x t+1 = f(x t) cu f ’(x)> 0 și f’’(x) <0. Fie f (0) = 0. Reținem că, în
aceste ipoteze, în timp ce panta funcției f(x) funcția se aplatizează pe măsura creșterii lui x, ea nu
devine niciodată negativă.
Dacă reprezentăm grafic această curbă într -un sistem ortogonal care are x t+1 pe ax a
verticală și x t pe axa orizontală, obținem ceva care arată ca în Figura III.1(a). Am reprezentat de
asemenea , și o dreaptă la 450 pe Figura III .1(a). Ca și în cazul diagramei de fază pentru un FODE
liniar, intersecția celor două curbe marc hează un punct de echilibru, punct ul în care x t+1=xt.
Deoarece funcția f (x) și dreapta la 450 trec prin zero, x t+1=xt=0 este un echilibru al
sistemului. Dacă am avea de -a face cu un FODE liniar, acesta ar fi singurul echilibru al
sistemului.
În figura III .1(a), totuși, există un al doilea punct în care curba f(x) taie dreapta de 450, la
valoarea lui x pe care am notat -o cu x* și deoarece acesta este un punct în care x t+1=xt, atunci el
este de asemenea , un punct de echilibru. O ecuație diferențială neliniară poate avea, atunci,
echilibre multiple, câte unul pentru fiecare dată când funcția f (x) traversează linia de 45◦.

50

Figura III .1 Diagrame de fază pentru ecuații diferențiale neliniare.

În figura III .1(a), așa cum am trasat -o, al doilea punct de echilibru, cel superior, are loc
într-un punct în care linia f(x) traversează dreapta de 450 deasupra, cu o pantă pozitivă și mai

51
mică decât 1. În schimb, la primul punct de echilibru, mai mic, cel de la origine, curba f(x) are o
pantă pozitivă mai mare decât 1.
Din cele arătate anterior ș tim despre liniile FODE că atunci când echilibrul unei ecuații
liniare este asociat cu o pantă pozitivă, x se va apropia de ea sau se va aba te de la ea în mod
monot on. R ezultatul care duce la cazul neliniar este ușor de observat . De asemenea, putem vedea
prin analogie cu cazul liniar , că atunci când panta funcției f (x) la echilibru este mai mică de cât 1,
echilibrul este stabil și când panta este mai mare decât 1, ech ilibrul este instab il. În ceea ce
privește figura III .1(a), aceasta înseamnă că echilibrul mai mic, la x = 0, este instabil și că cel
superior, mai mare, la x = x *, este stabil.
Translatând aceste observații în comportamentul lui x, putem observa că, dacă x0,
valoarea inițială a lui x, este la oricare dintre echilibre, atunci valoarea lui x nu se va schimba în
timp. Dacă x 0 este fie mai sus, fie chiar sub 0, sistemul se va abate de la zero, iar dacă x 0 este
deasupra sau chiar sub x*, sistemul va converge la x*.
De fapt, așa cum am arătat în figura III .1(a), dacă valoarea inițială este oriunde pes te 0,
sistemul va converge la x * fie de sus, fie de jos, în timp ce , dacă valoarea inițială este oriunde
sub 0 (presupunând că valori le negative sunt admisibile, dar de multe ori nu este valabil în
aplicații economice), siste mul va fi diveregnt m ai jos de 0.
Strict vorbind, stabilitatea echilibrului la x* ar trebui să fie caracterizată ca stabilita te
locală, deoa rece sistemul va converge la x * numai dacă se întâmplă ca valoarea inițială să scadă
într-o zonă locală în jurul echilibrului – în acest caz se întâmplă ca în zona locală toate valorile să
fie strict mai mari decât zero. Dacă funcț ia f(x) a fost liniară, cu o pantă pozitivă și mai mică
decât 1 în cazul în care taie dreapta situată la 450 în x*, sistemul ar converge la x* indiferent de
locul în care s -a întâmplat să fie valoarea sa inițială. Î n acest caz, ne vom referi la x * ca fiind un
echilibru stabil la nivel global. În mod evident, ori de câte ori avem mai multe echilibre ,
stabilitatea va fi mai degrabă locală decât globală.
În figura III .1(b) am schimbat forma lui f(x) astfel încât, după tăierea dreptei de 450 în x*,
ca în figura III .1(a), se curbează apoi înapoi și se intersectează din nou la x**. Acum, x** este de
asemenea un echilibru și, din faptul că panta lui f(x) este mai mare decât 1 în acel moment,
putem vedea că este un echilibru instabil.
Dacă valoarea inițială a sistemului este deasupra aces tui nou echilibru, atunci x se va
îndrepta spre infinit (presupunând, desigur, că nu există un alt echilibru mai sus decât acesta).

52
Echilibrul la x* este încă stabil local, dar acum vecinătatea în interiorul căreia valoarea inițială a
lui x trebuie să stea pentru ca sistemul de convergență la x* să fie diminuat: sistemul va
converge la x* dacă valoarea sa inițială se află în intervalul deschis dintre 0 și x ** (adică de
oriunde doar puțin peste 0 și până oriunde puțin mai jos de x **, dar fără a include niciu na dintre
aceste valori pentru punctul final – dacă începe de la 0 sau la x ** atunci va rămâne acolo).
Convergența spre un echilibru precu m x* nu trebuie să fie monoton ă. În figur a III.1(c)
am schimbat funcția f (x) astfel încât panta sa la x* (care este încă un punct de echilibru) este
negativă, dar mai mică decât 1 în valoare absolută (adică o fracție negativă). În acest caz,
echilibrul este încă stabil, dar calea de -a lungul căreia sistemul converge spre el afi șează
alternanțe. De fapt, după cum am arătat în figura III.1 .(c), dacă valoarea inițială a lui x este chiar
deasupra echilibrului inferior, calea de timp a lui x va fi inițial monoton ă, cu alternanțe ce apar
doar când x se apropie x*.
Prin urmare, nonline aritatea poate duce la amestecuri interesante de proprietăți ale seriilor
de timp în seturile de date. Ele pot deveni chiar mai interesante decât am crezut: să presupunem
că desenați o diagramă de fază cu două ech ilibre, unul la zero și unul la x*, ca în f igura III .1(a),
dar curba f(x) trasată taie dreapta de 450 în x* cu o pantă care este negativă și mai mare decât 1,
în valoare a bsolută, astfel încâ t ambele echilibre sunt instabile. E ste posibil ca sistemul să afișeze
alternanțe apropiate de echilibrul su perior?
Experimentarea cu traiectoriile obținute de o diagramă de genul a cesta sugerează că ceea
ce vom vedea este un comportament destul de haotic, dar vom discuta despre haos într -o
paragraf ulterior .
Aici, în discuția noastră , am evaluat stabilitatea unui punct de echilibru prin analizar ea
modului în care curba f(x) taie o diagramă de fază. Din moment ce privirea la o diagr amă nu este
niciodată suficient ă pentru a dovedi ceva, avem nevoie de ceva mult mai formal. Problema
evidentă privind testarea stabilității prin calcularea pantei curbei lui f(x) este aceea că, valoarea
pantei se modifică pe măsură ce ne mișcăm de -a lungul curbei, ceea ce înseamnă că orice
declarație pe care o facem despre pantă se a plică numai porțiunii curbei în apropierea punctului
la care se calculează panta.
Acest lucru a fost dedus din discuția noastră de spre diagrame . Acolo am vorbit despre
panta lui f(x) în apropi erea echilibrul ui inferior, arătând că echilibrul era instabil ș i am vorbit
despre panta lui f (x) în apropierea echilibrul ui superior arătând că echilibrul a fost stabil, dar nu

53
am atras concluzii directe asup ra stabilității din panta lui f (x) la punctele dintre cele două
echilibre. Dar, dat fiin d faptul că am trasat f uncția f (x) ca fiind continuă și diferențiată (adică fără
colțuri), dacă panta ei este mai mare de cât 1 la echilibrul mai mic și mai mică de cât 1 la partea
superioară, trebuie să existe un punct între cele două echilibre care să fie egal cu 1, fapt care nu a
intrat în discuția noastră despre stabilitatea oricărui punct de echilibru.
Liniarizarea ecuațiilor diferențiale neliniare
Când studiem în mod formal stabilitatea echilibrului derivat dintr -o ecuație diferențială
neliniară, cel mai bun lucru pe care îl putem face este să studiem stabilitatea într -o zonă relativ
mică în jurul echilibrului. Facem acest lucru liniarizând funcția neliniară la echilibru și testând
aproximarea liniară a pantei. În esență, aceasta este doar o formalizare a ceea ce am făcut atu nci
când am analizat panta funcției f(x) pe diagrama de fază – am apreciat stabilitatea echilibrului
prin panta lui f(x) în vecinătatea echilibrului.
Liniarizăm f(x) prin găsirea unei extinderi în prima serie a Taylor a acestei funcții, cu
echilibrul ca pu nct de expansiune. În termeni generali, o expansiune de serie Taylor de primul
ordin produce o aproximare liniară față de o funcție neliniară. Această aproximare este bună
numai pentru o gamă limitată în jurul a ceea ce este cunoscut ca punctul de expansiu ne, și cu cât
este mai mare gradul de curbură al funcției originale, cu atât va fi mai mic intervalul.
Aproximațiile nu trebuie să se oprească la o expansiune de ordinul întâi – putem lua
expansiunea la o comandă cât de mare dorim și cu cât este mai mare c urbura funcției, cu atât este
mai mare ordinea de expansiune necesară pentru a o apropia mai mult . Cu toate acestea, acești
termeni de ordin mai mare introduc elemente nelin iare în expansiune și, din moment ce scopul
de a aproxima este eliminarea neliniari tăților, ne oprim la cea de prim ul ordin sau la o
aproximare liniară.
Pentru a face o aproximație de serie Taylor de ordinul întâi a unei funcții generale f(x),
mai întâi selectăm valoarea lui x care determină punctul în jurul căruia vom construi o
aproxim are liniară față de funcția neliniară. Pentru a fi constanți cu notația noastră, vom nota
această valoare a lui x cu x*, ceea ce înseamnă că valoarea funcției f(x) în punctul de
aproximație este f(x*). Apoi, putem scrie, aproximația funcției f(x) în orice punct arbitrar x
astfel:
𝑓 𝑥 ≈𝑓 𝑥∗ +𝑓𝑥 𝑥∗ (𝑥−𝑥∗) (III.1.1)

54
Este d e reținut că derivatul din partea dreaptă este, de asemenea, evaluat la x*. Aproape
că x este la x*, aproape că valoarea aproximării (expresia din partea dreaptă a ecuației (III.1 .1))
este mai apropiată de valoarea adevărată a funcției (expre sia din partea stângă a ecuației
(III.1 .1)).
FODE neliniare
Pentru a aplica acest lucru unei FODE neliniare, reamintim că x t+1 = f(x t) și că am folosit
notarea x* pentru a desemna un echilibru al si stemului. Aproximarea funcției în apropierea
echilibrului ne dă:
𝑥𝑡+1=𝑓(𝑥𝑡)=𝑓 𝑥∗ +𝑓𝑥(𝑥∗)(𝑥𝑡−𝑥∗) (III.1.2 )
Apoi, reținem că, deoarece x* este un punct de echilibru (stabil sau instabil)
vom avea f(x*) = x* . Aceasta ne permite să scriem e cuația (III.1 .2) ca:
𝑥𝑡+1=𝑥∗+𝑓𝑥(𝑥∗)(𝑥𝑡−𝑥∗) (III.1.3 )
Acum, definim o nouă variabilă xd care este definită ca fiind abaterea valorii curente a lui
x de la valoarea sa de echilibru. Astfel, 𝑥𝑡𝑑=𝑥𝑡−𝑥∗ și 𝑥𝑡+1𝑑=𝑥𝑡+1−𝑥∗ și vom putea rescrie
ecuația (III.1 .3) astfel :
𝑥𝑡+1𝑑=𝑓𝑥(𝑥∗)𝑥𝑡𝑑 (III.1.4)
Pentru interpretarea Ecuației (III.1 .4), reținem că prima derivată, f x(x*), este evaluată la
un singur punct (aici punctul de echilibru), ceea ce înseamnă că este o constantă. Avâ nd în
vedere aceasta, ecuația (III.1 .4) devine o ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi în xd, cu
coeficienți constanți, ceea ce înseamnă că este o ecuație liniară de diferențială omogenă de
ordinul întâi.
Faptul că ecuația (III.1 .4) este o ecuație diferențială omogenă înseamnă că echilibrul său
este la xd=0, dar din moment ce xd este abaterea originei , neschimbând x din echilibrul său,
atunci când xd = 0, trebuie să fie cazul când x=x*. Deci, dacă Ecuația (III.1 .4) este stabilă în
sensul că xd converge pe echilibrul său, trebuie să fie și cazul în care x converge pe echilibrul
său.
Echilibrul din ecuația (III.1 .4) va fi stabil în aceleași condiții ca și echilibrul oricărei alte
ecuaț ii diferențiale liniare; când termenul pantă este mai mic decât 1 în valoare absolută. Trucul
este că panta trebuie evaluată la x*.
Putem extinde acest proces la cazul unui sistem de două FODE neliniare. Fie:
𝑦𝑡+1=𝑓(𝑦𝑡,𝑥𝑡)

55
𝑥𝑡+1=𝑔(𝑦𝑡,𝑥𝑡) (III.1.5 )
unde f (·) și g (·) sunt funcții neliniare. Punctul de echilibru ale cărui proprietăți de
stabilitate pe care încercăm să le stabilim (și din nou, poate fi una din mai multe echilibre) îl
notăm (x *, y *) și fie yd și xd reprezintă încă o dată variabile le definite ca deviații ale
variabilelor originale x și y din valorile lor de echilibru. Expresiile pentru aproximările de
ordinul întâi (ad ică liniar) față de ecuațiile (III.1 .5) sunt:
𝑦𝑡+1=𝑓 𝑦𝑡,𝑥𝑡 ≈𝑓 𝑦∗,𝑥∗ +𝑓𝑥 𝑦∗,𝑥∗ 𝑥𝑡−𝑥∗ +𝑓𝑦 𝑦∗,𝑥∗ (𝑦𝑡−𝑦∗)
𝑥𝑡+1=𝑔 𝑦𝑡,𝑥𝑡 ≈𝑔 𝑦∗,𝑥∗ +𝑔𝑥 𝑦∗,𝑥∗ 𝑥𝑡−𝑥∗ +𝑔𝑦 𝑦∗,𝑥∗ (𝑦𝑡−𝑦∗) (III.1.6 )
Acum, deoarece f(y*, x* )=y* și g(y*, x*)=x*. Ecuația (III.1 .6) poate fi scrisă sub formă
de deviație astfel:
𝑦𝑡+1𝑑≈𝑓𝑥 𝑦∗,𝑥∗ 𝑥𝑡𝑑+𝑓𝑦 𝑦∗,𝑥∗ 𝑦𝑡𝑑
𝑥𝑡+1𝑑≈𝑔𝑥 𝑦∗,𝑥∗ 𝑥𝑡𝑑+𝑔𝑦 𝑦∗,𝑥∗ 𝑦𝑡𝑑 (III.1.7 )
Sistemul (III.1 .7) conține două FODE liniare omogene pentru care matricea coeficienților
are elementele ca fiind primele derivate parțiale ale funcțiilor f și g, toate evaluate la punctul de
echilibru. În vecinătatea din jurul echilibrulu i, putem lucra cu sistemul (III.1.7 ), în loc de
sistemul inițial neliniar, atâta timp cât extinderea dă o bună aproximare. În special, putem afla
rădăcinile sis temului (III.1 .7) și putem evalua stabili tatea punctului de echilibru (x*, y *).
În mod evident, într -un sistem cu echilibre multiple, nu este suficient să evaluăm sistemul
(III.1 .7) numai la unul din echilibre. Chiar dacă stabilim că punctul de echilibru în cauză est e
stabil, rădăcinile ecuației (III.1 .7) nu ne indică dacă este stabil la nivel local sau global și dacă
este stabil local, cât de mare sau mică este localitatea sa relevantă. Toate acestea înseamnă că o
evaluare am ănunțită a unui sistem precum (III.1 .5) necesită identificarea tuturor echilibrelor sale
și apoi evaluarea prop rietăților de stabilitate ale fiecărui echilibru. George și Oxley (1999) critică
în mod justificat cercetătorii care, în realitate, liniarizează în jurul echilibrului preferat și tratează
proprietățile de stabilitate locale ca și cum ar fi cele globale.
Totuși, chiar făcând toate acestea avem o imagine incompletă a dinamicii sist emului
reprezentat de ecuația ( III.1.5). Am văzut deja că, cu un singur FODE neliniar, calea de timp a
variabilei pe care o reprezintă poate implica un amestec de traiectorii – mono tone și alternante.
Mai mult, ca și în cazul sistemelor liniare, atunci când începem să ne ocupăm de cazuri cu mai
mult de o variabilă și cu mai multe rădăcini, putem intra foarte rapid într -o din amică interesantă.
Adăugarea neliniarități lor mărește doar g ama de tipuri de dinamică tranzitorie unde acestea s-ar

56
putea întâlni. Acest lucru nu ar conta prea mult dacă am fi fost siguri că sistemul nostru era
mereu aproape de echilibru, poate din cauza vitezei extrem de rapide de ajustare, dar dacă
credem că cele mai multe observații sunt mai degrabă dezechilibre decât puncte de echilibru, ele
pot deveni foarte importante în scopuri empirice.
Pentru a vedea cum funcționează liniarizarea într -un exemplu simplu de ordinul întâi, să
presupunem că ecuația diferențială neliniară este:
𝑥𝑡=𝐴𝑥𝑡−1 1−𝑥𝑡−1 , 𝐴>1 (III.1.8)
Această expresie pătratică se manifestă în expunerile privind neliniaritatea în economie,
deoarece este una dintre cele mai simple forme ale ecuației diferențiale neliniare și totuși, cu o
alegere adecvată a valorii pentru termenul scalar A, este capabilă să genereze căi de timp destul
de complexe.
Deoarece ecuația (III.1 .8) este o ecuație de diferențială neliniară de ordinul întâi, putem
desena o diagramă de fază pentru aceasta, dup ă cum se arată î n Figura III.1 .2. Diagrama arată că
funcția f(x t-1) descrisă de ecuația (III.1 .8) are interceptări orizontale la x t-1 = 0 și la x t-1 = 1 și că
funcția are o formă de U întors între interceptările orizontale , atingând un maxim la x t-1 = 1/2,
moment în care xt = A/4. Echilibrul pentru această ecuație diferențială se găsește la punctele de
intersecție dintre funcția f (xt-1) și linia de 450: în cazul ecuației (III.1 .8), echilibrele sunt la x = 0
și x = 1 – 1 /A.
Din figura III.1 .2 este clar că echilibrul inferi or este instabil, doar dacă cel superior este
stabil sau nu depinde de valoarea lui A. Dacă A = 2 valoarea de echilibru a lui x coincide cu
valoarea la care f(x t-1) atinge valo area maximă, a se vedea figura III.1 .2(a).
Dacă A> 2, v aloarea x t-1 care maximizează f (xt -1) este la stânga valo rii de echilibru a lui
x, vezi f igura III.1 .2(b). În timp ce dacă A <2, valoarea de echilibru a lui x, 1 -1 / A este mai mică
decât 1/2 și funcția f (xt -1) taie linia de 450 spre stânga maximului său, vezi f igura III.1 .2(c ).
În figu ra III.1 .2(c), la echilibru, panta lui f(x t-1) este pozitivă și mai mică decât 1 și, prin
urmare, echilibrul superior este stabil și abordarea acestuia este mon otonă. În schimb, în figura
III.1.2 (b), panta funcției f(x t-1) este negativă la echilibrul superior, ceea ce înseamnă că abordarea
echilibrului va afișa alternanțe. Dacă alternanțele vor fi stabile sau nu, depinde de valoarea
exactă a pantei la echilibru.
Diferențiind ecuația (III.1 .8) obținem expresia generală pentru pant ă:
𝜕𝑥𝑡
𝜕𝑥𝑡−1=𝐴(1−2𝑥𝑡−1) (III.1.9 )

57

Figura III.1 .2. Liniarizarea ecuațiilor diferențiale neliniare.
Evaluând acest lucru la echilibrul inferior, x = 0, obținem ∂x t/∂x t-1=A și am presupus deja
că A>1. La echilibrul superior, deoarece x t=xt-1=(1 – 1/A), expresia pentru panta lui f(x t-1)
devine:
𝜕𝑥𝑡
𝜕𝑥𝑡−1=𝐴 1−2 1−1
𝐴 =𝐴 2
𝐴−1 =2−𝐴 (III.1.10 )

58
care este pozitivă (sau negativă) deoarece A este mai mică decât (mai mare decât) 2.
Dacă ecuația (III.1 .10) este negativă, echilibrul superior va fi încă s tabil, atâta timp cât ecuația
(III.1 .10) se află între -1 și 0. Aceasta necesită un A situat între 2 și 3. Dacă A este mai mare
decât 3, echilibrul superior este instabil. Notăm, de altfel, că valoarea lui A nu afectează valoarea
lui x t-1, la care ecuația (III.1 .9) este egală cu zero – maximul acestei funcții f(x t-1) va fi
întotdeauna la x t-1 = 1/2, deși v aloarea lui xt în acel punct, A /4, depinde doar de valoarea lui A.
Deoarece această funcție f(xt -1) va tăia întotdeauna axa orizontală la 0 și 1 și va ati nge
întotdeauna punctul său de vârf la x t-1 = 1/2, rolul lui A este clar de a întinde (sau comprima)
funcția pe verticală.
Dacă A este mai mare decât 3, suntem în situația interesantă de a avea două echilibre
adiacente instabile. În mod normal, în analiza economică, presupunem că echilibrul va alterna,
stabil și apoi instabil, dar neliniaritatea ne cere să reconsiderăm această presupunere. Atunci
când un model are un echilibru instabil adiacent și valoarea inițială a lui x se află între ele, cel
mai bun luc ru pe care putem să -l sperăm este că sistemul va fi stabil în Lyapunov – ceea ce
înseamnă că acesta rămâne într -o regiune bine definită, dar niciodată nu converge la un singur
punct. Deoarece, în acest caz, echilibrul superior este asociat cu o panta negat ivă a lui f(x t-1),
sistemul va afișa în mod clar alternări.
Pentru unele valori ale lui A se va stabili într -un model regulat, repetat, al alternanțelor în
jurul punctului de echilibru superior, în timp ce pentru alte valori ale lui A sistemul nu se opreșt e
niciodată în sensul repetării uneia, posibil complicată , traiectorie după traiectorie . În acest ultim
caz, traiectoria este alternantă, dar aperiodică, iar în acest caz comportamentul sistemului este
denumit haotic. Vom r eveni la chestiunea haosului mai jos. Înainte de a face acest lucru, totuși,
considerăm un model economic care implică o ecuație diferențială neliniară.

III.2.UN MODEL NEOCLASIC DE BAZĂ DE CREȘTERE

Exemplul economic pe care îl considerăm în continuare este modelul de bază neoclasic
de creștere. Acest model conține ecuații diferențiale pentru două variabile, dar printr -un truc
comun cu modelele de creștere suntem capabili să -l reducem la un model cu o ecuație
diferențială de o variabilă.
Începem cu o funcție de producție agregată:

59
𝑌𝑡=𝐹(𝐾𝑡,𝐿𝑡) (III.2.1)
unde Y este producția agregată, K este capitalul agregat și L este forța de muncă
agregată. Indicii de timp pentru fiecare variabilă indică faptul că nu există decalaje în procesul de
producție.
Reamintim că ne -am referit la acest c az în discuția noastră despre dinamica populației.
Tratăm populația ca o unitate unică, omogenă, cel puțin în ceea ce privește funcția de producție.
Putem scăpa de acest lucru, chiar dacă diferitele grupe de vârstă ale muncii au de fapt
productivități marg inale diferite, atâta timp cât distribuția pe vârste a populației noastre este
neschimbată în timp. Într – un model mai detaliat, vom intra în diferitele grupe de vârstă ale
muncii ca intrări separate în funcția de producție și adăugăm matricea dinamicii p opulației în
sistemul nostru.
Pentru simplitate, vom presupune că forța de muncă (care se presupune că este identică
cu populația, adică rata de participare a forței de muncă este de 100%) va crește la o rată
proporțională exogenă, în funcție de ecuația diferențială:
𝐿𝑡=(1+𝜂)𝐿𝑡−1 (III.2.2 )
Observăm că ecuația (III.2. 2) poate fi rescrisă ca (L t-Lt-1)/Lt-1=η, deci referindu -ne la  ca
la o rată de creștere proporțională.
Capitalul crește ca rezultat al investiției nete, care este definită ca o investiție brută minus
o indemnizație pentru depreciere, iar investiția brută este egală cu economiile – acesta este un
model neoclasic, astfel încât toate economiile sunt investite în capitalul fizic productiv:
𝐾𝑡=𝑠𝐹 𝐾𝑡−1,𝐿𝑡−1 +(1−𝛿)𝐾𝑡−1 (III.2. 3)
Aici δ este rata de depreciere și s este rata de economisire (exogenă). Rețineți că există un
interval de timp între momentul când se face economisirea și când apare capitalul. Această
ecuație ne arată că în această perioadă capitalul este egal cu parte a nedeterminată rămasă din
ultima perioadă, plus orice economie/investiție realizată din venitul (output -ul) ultimei perioade,
care s -a transformat în noul echipament de capital din această perioadă.
În acest moment, introducem o presupunere care simplific ă lucrurile. În mod specific,
presupunem că funcția de producție agregată, F(Kt, Lt), afișează întoarceri constante la scară.
Lucrul bun despre o întoarcere constantă la funcția de producție la scară este că (se poate
demonstra că) putem scrie:
𝐹 𝐾𝑡,𝐿𝑡 =𝐿𝑡𝐹 𝐾𝑡
𝐿𝑡,1 (III.2.4)

60
unde K t/Lt este raportul curent capital -forță de muncă și F(K t/Lt,1) este cantitatea de
producție pe care un lucrător unic ar putea să o producă dacă ar avea la dispoziție o sumă de
capital egală cu raportul agregat curent capital -muncă. În condiții de întoarcere constantă la
scară, producția agregată este doar nivelul de ieșire al unui singur lucrător, înmulțit cu forța de
muncă tota lă. De obicei, scriem ecuația (III.2. 4) astfel:
𝐹 𝐾𝑡,𝐿𝑡 =𝐿𝑡𝑓(𝑘𝑡) (III.2.5 )
unde k t este raportul cur ent capital -forță de muncă și f (kt) este doar o notație mai
convenabilă pentru F(K t/Lt,1), cantitatea de producție pe care o poate produce un singur lucrător.
Rearanjând e cuația (III.2. 5) obținem :
𝑓 𝑘𝑡 =𝐹(𝐾𝑡,𝐿𝑡)
𝐿𝑡 (III.2.6 )
care afirmă că dacă vom calcula curenții pe producție, luând producția totală și împărțind –
o la forța de muncă totală (adică calculând produsul mediu al forței de muncă), valoarea pe care
o obținem va fi identică cu nivelul de producție pe care o are un singur lucrător în condițiile
descrise mai sus. De obicei, se notează această ieșire pe lucrător cu y t. Această proprietate de
scalabilitate a unei reduceri constante la funcția de producție de scară înseamnă că putem analiza
modelul în termeni pe cap de locuitor , ceea ce se dovedește a fi o modalitate de a rezolva
problema de a avea prea multe ecuații diferențiale.
Considerăm expresia noastră pentru capitalul agregat al perioadei curente, așa cu m este
prezentat în ecuația (III.2. 3). Împărțin d ambii membrii ai ecu ației (III.2. 3) cu L t obținem:
𝐾𝑡
𝐿𝑡=𝑠𝐹(𝐾𝑡−1,𝐿𝑡−1)
𝐿𝑡+(1−𝛿)𝐾𝑡−1
𝐿𝑡 (III.2.7 )
Care, într -adevăr nu pare a fi extrem de utilă, deoarece, în timp ce în partea stângă este
raportul curent capital -forță de muncă, kt, indicele de timp din partea dreaptă nu se potrivește
perfect. Cu toate acestea, dacă înmulț im și împărțim toți termenii din partea dreaptă cu L t-1, ceea
ce înseamnă că înmulțim cu 1 și care, prin urmare, nu modifică expresia, vom avea:
𝐾𝑡
𝐿𝑡= 𝑠𝐹(𝐾𝑡−1,𝐿𝑡−1)
𝐿𝑡−1 𝐿𝑡−1
𝐿𝑡 + (1−𝛿)𝐾𝑡−1
𝐿𝑡−1 𝐿𝑡−1
𝐿𝑡 (III.2.8 )
Aici, termenul F(K t-1, Lt-1)/Lt-1 este în mod evident rezultatul pe lucrător în perioada t -1,
iar termenul K t-1/Lt-1 este raportul capital -muncă în perioada t -1 . Termenul (L t-1/Lt) este uș or de
arătat, din ecuația (III.2.3 ) de mai sus, că este egal cu 1/(1 + η). Astfel, folosind notația pe care
am dezvoltat -o mai sus putem rescrie ecuația (III.2.8 ) astfel:

61
𝑘𝑡=𝑠𝑓(𝑘𝑡−1)
(1+𝜂)+ 1−𝛿
1+𝜂 𝑘𝑡−1 (III.2.9 )
care, deoarece η și δ sunt exogene, este un FODE neliniar în k .
Deoarece nu am specificat o formă funcțională precisă pentru f(k t), suntem limitați la
analiza calitativă a d iagramei de fază a ecuației (III.2. 9), dar diagramele de fază pot fi foarte
revelatoare. În acest caz, constatăm fără a demonstra că funcția de producție pe cap de locuitor
sf(k t) are toate proprietățile obișnuite de productivitate marginală, deși arată producția pe lucrător
în funcție de capitalul pe lucrător. Cel mai important este că produsul marginal al lui k este
pozitiv și diminuat:
𝑓′ 𝑘 >0, 𝑓′′ 𝑘 <0 (III.2.10)
Folosind aceste ipoteze, putem trasa di agrama de fază pentru ecuația (III.2 .9) cu k t pe
verticală și k t-1 pe orizontală, ve zi figura III.2 .3. Linia curbată este funcția k t(kt-1).
Reținem că acesta pornește din origine, pe argumentul (destul de standard) că atunci când
kt-1 este egal cu zero, f(k t-1) este egal cu zero. Panta funcției k t(kt-1) se găsește prin diferențierea
ecuației (III.2. 9) în funcție de k t-1:
𝜕𝑘𝑡
𝜕𝑘𝑡−1= 𝑠
1+𝜂 𝑓′ 𝑘𝑡−1 + 1−𝛿
1+𝜂 (III.2.11)

Figure III.2 .3 Diagrama fazelor pentru un model neoclasic de creștere.

Făcând a doua derivată obținem:
𝜕2𝑘𝑡
𝜕𝑘𝑡−12= 𝑠
1+𝜂 𝑓′′ 𝑘𝑡−1 <0 (III.2.12 )

62
Din ecuațiile (III.2.11 ) și ( III.2.12 ), funcția k t(kt-1) este inițial înclinată în mod pozitiv cu
o înclinare descendentă și ajungând la zero unde, din ecuația (III.2.11 ):
𝑓′ 𝑘𝑡−1 =−(1−𝛿)
𝑠<0 (III.2.13 )
este cu siguranță posibil ca produsul marginal al capitalului pe lucrător să devină negativ
– s-ar putea să existe atât de mult capital în jurul valorii pe care muncitorii să înceapă să -l
depășească – dar la nivel macro nu este probabil o posibilitate prea gravă. În diagrama fazelor
pentru această problemă, desenați funcția k t(kt-1) cu o pantă care, în timp ce se diminuează, este
întotdeauna pozitivă.
Din ecuația (III.2. 9), vedem că valoarea de echilibru a lui k, k*, pentru care nu putem
găsi o expresie fără a avea o expresie matematică precisă pentru f(k), trebuie să satisfacă
condiția:
𝑓(𝑘∗)
𝑘∗=(𝜂+𝛿)
𝑠 (III.2.14 )
unde se poate demonstra că f(k) /k=F(K,L)/K, produsul mediu al capitalului.
În raport de echilibru, raportul capital -forță de muncă trebuie să fie astfel încât produsul mediu al
capitalului să fie egal cu (η + δ)/s, unde δ reprezintă suma care trebuie retrasă de pe unit atea de
capital pentru a înlocui capitalul uzat și η reprezintă capitalul care trebuie alocat doar pentru a se
asigura că, în perioada curentă, fiecare lucrător nou venit este echipat cu același capital ca cel
disponibil lucrătorilor existenți.
Una dintre formele funcționale cele mai simple și cele mai utilizate în mod obișnui t
pentru funcția de producție f (k) este:
𝑓 𝑘 =𝑘𝛽, 0<𝛽<1 (III.2.15 )
Dacă înlocuim Ecuația (III.2.15 ) în modelul nostru, găsim, pentru nivelul de echilibru al
lui k:
𝑘∗= 𝑠
𝜂+𝛿 1/(1−𝛽)

Înlocuind a ceastă expresie în ecuația (III.2.11 ), constatăm că panta funcției k t(kt-1) este
într-adevăr pozitivă și mai mică decât 1, astfel încât punctul de echilibru superior este stabil.
Evaluarea pantei la echilibrul inferior confirmă faptul c ă pentru k = 0 este un echilibru instabil.
Reținem că echilibrul pentru această problemă este exprimat în k, raportul capital -forță de
muncă. Populația noastră și forța de muncă nu se opresc în momentul în care ajungem la
echilibru, nici stocul total de ca pital. Din moment ce populația crește odată cu timpul , netul

63
nostru (adică după scăderea unor capitaluri pentru înlocuirea stocului depreciat) trebuie să
crească la fel, altfel , k nu va rămâne constant . Astfel, în acest model, echilibrul este definit în
termeni de capital per lucrător și, prin urmare, în termeni de producție; și dacă definim consumul
pe cap de locuitor ca fiind (1-s)f(k), în termeni de consum pe cap de locuitor.
Valorile pe cap de locui tor rămân constante odată ce ajungem la echilibru. Variabilele
agregate continuă să crească, însă la o rată proporțională constantă, astfel încât mărimea acestora
față de cea a populației să rămână neschimbată. Deoarece populația continuă să crească, toate
celelalte variabile agregate cheie trebuie să crească la aceeași rată pentru ca valorile lor pe cap de
locuitor să rămână neschimbate. Acest tip de creștere, totuși, nu crește consumul pe cap de
locuitor și, prin urmare, nu ridică nivelul de trai. O țară subdezvoltată care a ajuns la un echilibru
la o valoare mică, probabil la subzistență, k * ar putea apoi să crească foarte rapid în termeni
agregați, deoarece populația sa crește foarte rapid, în timp ce nivelul de trai al populației nu se
îmbunătățește del oc.
Haos în economie
Am menționat mai devreme în acest capitol cazul unei ecuații diferențiale neliniare cu
două echilibre, ambele fiind instabile. De exemplu, luăm în considerare o ecuație diferențială
neliniară de forma:
𝑥𝑡=𝐴𝑥𝑡−1 1−𝑥𝑡−1 , 2<𝐴≤4 (III.3.1)
unde limita inferioară a lui A este necesară pentru a se asigura că sistemul afișează
oscilații la nivelul echilibrului superior, iar limita superioară este pur și simplu o chestiune de
obicei exprimată utilizând acestă formă. Schema de faze arată ca cele din figura III.2 .2 unde
funcț ia x t(xt-1) este un U inversat , tăind axa orizontală la x t-1=0 și din nou , la x t-1=1. Privind
punctele de intersecție di ntre această funcție și linia de 450 vedem că are două echilibre,
echilibrul mai mic la zero și cel s uperior la o valoare pozitivă x *. De asemenea, așa cum am
observat mai devreme, maximul e cuației (III.3.1 ) se găsește la xt-1=1/2, și atunci la acea valoare a
lui xt-1, xt=A/4. Prin restrângere, A nu trebuie să fie mai mare de cât 4, și vom păstr a ambele
valori ale lui xt-1 și xt în afara intervalului [0, 1].
Atunci când sistemul nostru generează acest tip de diagramă de fază, există praguri în
comportamentul acestuia, astfel încât micile modificări ale valorii lui A pot duce la schimbări
dramatic e în tipul de traiectorie i pe care o urmează x. Pentru valori ale lui A între 2 și 3, avem
variații convergente directe, dar pe măsură ce A crește mai mult de 3, traiectoriile devin din ce în

64
ce mai complicate. Pentru unele valori ale lui A între 3 și 4, x t se stabilește în alternări periodice
– un ciclu limită, în care se preia și aceeași serie de valori.
La A = 3.2, de exemplu, dacă este permis să funcționeze suficient de mult, sistemul se va
instala în ceea ce este cunoscut ca un ciclu de perioadă 2, sărind înainte și înapoi între
(aproximativ) 0,513045 și 0,799455. În acest caz, avem versiunea alternativă a unui ciclu de
limită. Limitele de cicluri adecvate necesită ca sistemul să fie capabil să producă oscilații, ceea
ce înseamnă că trebuie să avem d e-a face cu un sistem neliniar de ordin mai înalt înainte decât
apare. Totuși, versiunea alternantă ne dă esența ciclurilor limită.
Dacă începem sistemul chiar deasupra echilibrului inferior, el se va abate de la acel
echilibru, se ridică spre cel superior , dar pentru că echilibrul acesta este de asemenea instabil,
fără a ajunge la el niciodată în realitate. În schimb, se va soluționa modelul alternanțelor repetate
dintre cele două valori pe care le -am dat mai sus. În mod similar, dacă începem sistemul de la un
punct apropiat, dar nu egal cu cel al echilibrului superior, traiectoria lui va ieși în exterior ,
departe de echilibrul superior și din nou se va regăsi în alternanțe repetate între 0,513045 și
0,799455. Atunci, p e termen lung, ciclul în sine este un ul atractiv , stabil pentru sistem.
Pot exista, de asemenea, cicluri limită instabile, care au aceleași proprietăți de bază ca și
echilibrele instabile. Dacă începem de la o valoare în ciclul de limită, vom rămâne pe aceeași
cale ciclică pentru totdeauna, nici convergentă, nici divergentă, dar dacă începem de o parte și de
alta a ei, ne vom abate de la ea. Aici, cazul interesant apare atunci când pornim de la o valoare
din interiorul traiectoriei ciclului limită. În acest caz, va exista, în general, un echi libru care este
un accent stabil spre care vom converge pe parcursul timpului. În acest caz, ciclul limită
definește localitatea în interiorul căreia focalizarea este un echilibru local stabil.
Dacă mărim ușor pe A , până la 3.4, modelul se schimbă, alternâ nd între 0.451963 și
0.842154, dar dacă luăm pe A până la 3.5, sistemul se stabilește într -un ciclu de 4 cicluri,
mergând de la 0.38282 la 0.826941 la 0.500884 până la 0.874997. Pentru A egal cu 3,84 revenim
la o perioadă de 3 cicluri, cu x (eventual) stab ilindu -se între săriturile 0,149407, 0,4888004 și
0,959447.
Tranziția dintre periodicitatea alternanțelor nu este netedă, totuși, și aici intră haosul în
imagine. Când fixăm A egal cu 3,58, sistemul alternează în jurul echilibrului superior (care în
acest caz este la x t=0,72067), dar nu se repetă niciodată și nu se regăsește niciodată într -un
model care se repetă mereu – devine aperiodic sau haotic.

65
Pentru economiști, haosul este de interes mai mare decât o curiozitate matematică. Cea
mai importantă este extrem de dificila deosebire a unei serii haotice de o serie aleatoare. Cu
ochiul liber și cu cele mai multe teste stat istice standard pentru aleator , o serie haotică are
aceleași proprietăți ca o serie de numere aleatorii. De fapt, secvențele de numere pr oduse de
generatoarele de numere aleatoare folosite în calculatoare și programe de calculator produc în
mod tipic, de fapt, serii haotice, nu serii aleatorii.
În timp ce seria haotică și aleatorie este practic indistinguizabilă, în special în probele
mici, acestea sunt, de fapt, fundamental diferite. O serie aleatoare nu poate fi prognozată exact.
Dacă știm funcția densității de probabilitate a variabilei aleatoare, putem asocia probabilități la
intervale de valori în care următoarea valoare observată ar pu tea să scadă, dar cu siguranță nu
putem anticipa următoarea valoare.
În schimb, dacă știm funcția care generează o serie haotică și dacă știm exact valoarea
curentă a seriei, putem prezice următoarea valoare din serie cu certitudine absolută.
Cerințele de informare pentru prezicerea unei serii haotice sunt enorme – trebuie să
cunoaștem valorile exacte ale parametrilor ecuației diferențiale care generează seria și trebuie să
știm exact care este valoarea sa actuală. Una dintre trăsăturile definitorii ale une i serii haotice
este sensibilitatea extremă față de valorile inițiale.
Să presupunem că luăm o funcție de haos, alegem o valoare inițială x și lăsăm funcția să
funcționeze. Vom încheia cu o serie lungă de numere, indicând valorile lui x pe care le ia în
fiecare perioadă. Să presupunem că apoi ne întoarcem și executăm aceeași funcție, cu exact
aceiași parametri, dar cu o valoare inițială foarte puțin diferită. Cele două serii vor putea fi
urmărite în mod rezonabil pentru o perioadă scurtă de timp, dar până l a urmă, noua serie se va
deosebi în mod dramatic de cea veche. Dacă o ecuație diferențială prezintă comportament haotic,
schimbările mici ale valorii inițiale vor produce, pe termen lung, istorii dramatice diferite.
La început, deoarece comportamentul haot ic poate fi practic indiscutabil față de
comportamentul aleator, nu a fost decât o curiozitate matematică. După un timp, însă, în alte
domenii au început să apară exemple de comportament e aparent haotic e, inclusiv în fizică și
medicină . Aceasta a determina t un număr de economiști să se întrebe dacă neregulile observate
în cele mai multe serii de timp economice și care se presupune că sunt produsul introducerii
șocurilor aleatoare în sistemele de ecuații diferențiale bine comportate ar putea fi, de fapt, un

66
comportament haotic. Day (1982, 1983 ) de exemplu, a arătat că modele le familiare dinamice
economice ar putea fi modificate pentru a produce comportamente haotice.
Unul dintre cazurile care s -au luat în considerare a fost modelul neoclasic de creștere
economică, cel pe care l -am descris mai sus. Day a presupus modificarea funcției de producție
(scrisă în termeni per lucrător) de la for ma standard Cobb -Douglas f(k) = Bkβ la:
𝑓 𝑘 =𝐵𝑘𝛽(𝑚−𝑘)𝛾, 𝑚>𝑘, 𝛾>0 (III.3.2)
unde noul termen este un efect de congestie, modificând funcția de producție Cobb –
Douglas pentru a admite un caz pe care l -am exclus din discuția noastră anterioară – cazul în care
productivitatea marginală a lui k devine negativă. Notele lui Day , ne arată că, atâta timp cât γ
este mic, termenul de congestie nu ar avea efect prea mare până când k nu se apropie de m, dar
când k este aproape de m, congestia poate avea un efect puternic asupra producț iei. Day a stabilit
că există valori ale parametrilor care , atunci când sunt introduși în e cuația (III.3.2 ), vor da tipare
haotice în k și, prin urmare, în producția pe capital.
Activitatea lui Day a determinat pe alții să caute modalități de convingere a modelelor
familiare pentru a produce comportamente haotice. Așa cum notează Frank și Stengos (1988), în
multe cazuri acest lucru nu se rezuma decât la luarea unui model care include o ecuație
diferențială și înlocuiește cea mai comună formă funcțională pen tru această ecuație diferențială
cu o variantă din ecuația (III.3.1 ). În alte cazuri, totuși, cercetătorii au fost mai atenți la modul în
care au introdus dinamică haotică.
Day și Pavlov (2002) au luat unul dintre cele mai vechi modele de ciclu de afaceri
keynesiene, un model de păianjen dezvoltat de Goodwin (1967), un model macroeconomic
keynesian, în care dinamica a intrat prin răspunsul întârziat al cheltuielilor investiționale la rata
dobânzii și a arătat cum, cu presupuneri rezonabile privind ecuația n eliniară care conduce
investiția, interacțiunile dintre bunuri și piața monetară ar putea determina o serie de comportări
dinamice în venitul total.
Demonstrațiile lui Day, potrivit cărora modele economice simple ar putea arăta haosul,
nu au demonstrat des igur că seriile de timp neregulate observate în atât de multe serii economice
au fost de fapt haotice. La urma urmei, lucrul care a făcut haosul atât de interesant a fost datorat
comportamentul ui haotic atât de greu de deosebit de comportamentul aleatoriu, încât faptul că un
model ar putea fi modificat pentru a produce modele deterministe care părea u aleatori i nu a
dovedit că, seriile de timp economice au fost, de fapt, haotice.

67
Mai mult, în timp ce majoritatea literaturii teoretice s -a limitat la simple FO DE, folosind
simple forme funcționale neliniare, ecuațiile care conduc variabilele economice reale nu se
limitează la formele ușor de manipulat. Acest lucru a ridicat probleme evidente pentru
investigațiile econometrice ale haosului, deoarece aceasta însem na că nu există o singură ecuație
de haos bine definită care să poată fi testată empiric. În schimb, haosul a trebuit să fie căutat în
comportamentul seriilor de timp ale variabilelor economice.
Tehnicile econometrice utilizate depășesc cu mult scopul aces tei lucrări.
Cunningham (1993) a făcut o lucrare interesantă de reunire a două subiecte fierbinți din
dinamica econometrică: dinamismul haosului și rădăcinii unitare, în scopul de a ridica îndoielile
cu privire la tehnicile utilizate pentru a le testa pe fiecare.
În timp ce o parte din literatura econometrică s -a ocupat de testarea empirică a haosului
în ciclurile de afaceri, cea mai mare parte a acestuia s -a concentrat pe căutarea dovezilor de haos
pe piețele financiare. În afara literaturii economice, au torii par să ia în seamă prezența haosului,
inspirată în parte de metafore despre sensibilitatea la condițiile inițiale – un fluture care își aruncă
aripile în China va produce o tornadă în Kansas. O bună parte a interesului pentru haosul pieței
financiare în rândul noneconomiștilor se datorează, fără îndoială, termenului însuși – pur și
simplu se uită la comportamentul recente al piețelor financiare, ceea ce face evident pentru mulți
oameni că aceste piețe sunt haotice. Este mult mai ușor să înfășurați min tea în jurul unui termen
ca "haotic" decât în jurul "stochastic". Pentru majoritatea oamenilor, într -adevăr, haotic și
aleatoriu înseamnă în esență același lucru. Faptul că ei au semnificații matematice foarte diferite
și spun povești foarte diferite despr e ceea ce conduce piețele nu este, în general, înțeles.
Unii observatori ai piețelor financiare înțeleg, bineînțeles, subtilitățile și, într -adevăr,
pentru unii, diferența fundamentală dintre comportamentul haotic și aleatoriu este un subiect
atractiv și p uternic. La urma urmei, dacă piețele financiare sunt mai degrabă haotice decât
aleatoare, acestea sunt, cel puțin în principiu, perfect previzibile. Frank și Stengos (1988) oferă
un exemplu simplu al unei serii de prețuri simulate, generate de o funcție cu noscută de haos, care
a trecut toate testele standard pentru piețe eficiente și a reținut că "puteți obține o mulțime de
bani într -o" piață eficientă "ca aceasta". Fără îndoială, pentru unele persoane, speranța de
previzibilitate și de bătaie a pieței repr ezintă o mare parte din ademenirea haosului.
La un moment dat, haosul economic, în special cel aplicat piețelor financiare, părea un
program de cercetare extrem de promițător. În 1988, Frank și Stengos au susținut că, deși munca

68
empirică la acest punct nu a produs prea multe dovezi ale haosului, perspectiva a fost bună în
cazul piețelor pentru care au fost disponibile seturi mari de date de înaltă calitate. Au observat în
special piețele financiare și piețele de schimb valutar, dar au oferit mai puțină sper anță pentru
descoperirea haosului în datele agregate ale seriilor de timp (chiar presupunând că a fost de fapt
prezent). Scriind doar câțiva ani mai târziu, Granger (1991) a concluzionat că nu există dovezi de
haos în datele economice. O revizuire admirabi lă a literaturii până în prezent sugerează că
concluzia Granger rămâne, deși există disidenți. George și Oxley (1999) care găsesc dovezi de
haos.
Acest lucru nu înseamnă că haosul a fost o cale oarbă ca program de cercetare
economică. Îmbunătățirea procedu rilor de testare ar putea da dovadă de haos, deși trebuie să
recunoaștem că, dacă o variabilă economică care este condusă de o funcție de haos este, de
asemenea, supusă unor șocuri aleatorii, componenta haotică deterministă a seriilor sale de timp
observat e este probabil să fie umflat ă de elementul stochastic. Având în vedere sensibilitatea
funcțiilor haosului la condițiile inițiale, componenta stochastică ar trebui extrasă foarte bine
înainte de a putea trece la elementul determinist.
Pe o notă mai pozitiv ă, programul de cercetare al haosului a atras atenția asupra
importanța neliniarităților în relațiile economice structurale. Liniaritatea în structura economică a
fost întotdeauna privită ca o aproximare de ordinul întâi la lumea reală, dar limitările aces tei
aproximări au tendința de a fi trecute cu vederea. În literatura empirică despre haosul economic,
se concluzionează că ancheta lor nu a adus dovezi ale haosului, ci a adus dovezi de neliniaritate
structurală. Pe termen lung, focalizarea atenției asupra neliniarităților nonhaotice și asupra
abordării modelării acestora se poate dovedi a fi cea mai importantă contribuție a p rogramului de
cercetare în haos .

69
BIBLIOGRAFIE

1.Anderson, G.J. and Blundell, R.W. (1983), ‘Testing Restrictions in a Flexib le Dynamic
Demand System: An Application to Consumer’s Expenditure in Canada’, Review of
Economic Studies , L(3), No. 162, 397 –410.

2.Baumol, W.J. (1958), ‘Topology of Second Order Linear Difference Equations with
Constant Coefficients’, Econometrica , 26, 258–285.

3.Brian S.Ferguson and G.C. Lim, Dynamic economic models in discrete time: theory and
empirical applications, 11 New Fetter Lane, London EC4P 4EE

4.Day, Richard H. and Ping Chen (1993), Nonlinear Dynamics and Evolutionary Economics ,
Oxford University Press, Oxford.

5.Frank, Murray and Stengos, Thanasis (1988), ‘Chaotic Dynamics in EconomicTime Series’,
Journal of Economic Surveys , 2(2), 103 –133.

6.Pagan, Adrian (1985), ‘Time Series Behaviour and Dynamic Specification’, Oxford Bulletin
of Economics and Statistics , 47(3), 199 –211.

7.Phillips, A.W. (1954), ‘Stabilisation Policy in a Closed Economy’, Economic Journal , 64,
290–323.

8.Taylor, John B. (1993), Macroeconomic Policy in a World Economy: From Econometric
Design to Practical Operation , W.W. Norton, New York.