Gradinaru(baron) Camelia Emilia Md [607592]

1
CAPITOLUL I
S IRURI DE NUMERE REALE
^In acest capitol ne propunem s a aducem ^ n atent ie conceptul de limit a a unui  sir
numeric, s a trecem ^ n revist a unele propriet at i ale  sirurilor de numere reale con-
vergente  si, de asemenea s a punem ^ n evident  a c^ ateva rezultate fundamentale din
teoria convergent ei  sirurilor: teoreme de convergent  a a  sirurilor monotone, criteriul
cle stelui.
1:1GENERALIT AT I
Denit ie Numim  sir numeric sau  sir de numere reale o funct ie denit a pe Ncu
valori ^ n R:
Vom nota cu xnvaloarea funct iei f^ n punctul n2N;xnse va numi termen general
al  sirului f:
Un  sir se va nota cu ( xn)n2Nsau ( xn) sau indic^ and doar termenul s au general xn:
Se va nota prin xnmult imea termenilor  sirului xn:
Denit ie Spunem c a un  sir de numere reale ( xn) este majorat (minorat) dac a
mult imea termenilor s ai este majorat a (minorat a).
Denit ie Spunem c a  sirul ( xn) este m arginit dac a este majorat  si minorat
simultan, adic a dac a exist a un interval m arginit [ ; ] dinRcare s a cont in a tot i
termenii  sirului.
^Intruc^ at orice interval [ ; ] este cont inut ^ ntr-un interval centrat ^ n 0 de forma
[M; M ] cuM > 0 se observ a c a ( xn) este m arginit dac a  si numai dac a exist a un
num ar M > 0 astfel ^ nc^ at s a avem:
jxnj M;pentru orice n2N
Denit ie Spunem c a un  sir ( xn) este nem arginit dac a nu este m arginit, adic a
dac a ^ n afara oric arui interval m arginit exist a cel put in un termen al  sirului.
Prin urmare, un  sir de numere reale ( xn) este nem arginit e dac a nu este majorat,
e dac a nu este minorat, e dac a nu este nici majorat, nici minorat.
Exemple:
1:S irul Xn= (1)neste m arginit ^ ntruc^ at jxnj 1;(8)n2N.
2:S irul xn=1
neste m arginit ^ ntruc^ at 0 < x n1;(8)n2N:
3:S irul xn= 2nnu este majorat de si este minorat ( xn>0;(8)n2N):
4:S irul xn=nnu este minorat dar este majorat ( xn<0;(8)n2N):

2
5:S irul xn= (1)n
nnu este nici majorat nici minorat.
Denit ie Spunem c a un  sir de numere reale ( xn) este cresc ator (strict cresc ator)
dac a xnxn+1(respectiv xn< x n+1pentru orice n2N:
Denit ie Spunem c a un  sir de numere reale ( xn) este descresc ator (strict de-
scresc ator) dac a xnxn+1(respectiv xn> x n+1pentru orice n2N:
Orice  sir de numere reale cresc ator (strict cresc ator) sau descresc ator (strict de-
scresc ator) se nume ste  sir monoton (respectiv strict monoton).
Exemple: 1:S irul xn= 11
neste strict cresc ator.
2:S irul xn=1
n2este strict descresc ator.
3:S irurile xn= (1)n; xn=(1)n
nnu sunt  siruri monotone.
Denit ie Fie ( xn) un  sir de numere reale, iar ( nk) un  sir strict cresc ator de
numere naturale. S irul yn=xnk, pentru care k2Nse nume ste sub sir al  sirului xn.
Observat ii: 1:Dac a nk=kpentru orice k2Natunci sub sirul coincide cu
 sirul init ial xk.
2:Se poate ar ata prin induct ie matematic a c a nkkpentru orice k2N.^Intradev ar,
dac a n1< n 2< : : : < n k< : : : , cum n2> n 1iarn11 rezult a n22:
Presupunem c a npp si se arat a c a np+1p+ 1. ^Intruc^ at np+1> n p> p rezult a
imediat c a np+1p+ 1:
1:2LIMITA UNUI S IR DE NUMERE REALE
^In aceast a sect iune vom deni unul dintre cele mai importante  si, ^ n acela si
timp, mai dicile concepte ale Analizei Matematice,  si anume acela de limit a a unui
 sir de numere reale.
Denit ie Spunem c a un  sir de numere reale ( xn)Rare limita x2Rdac a
orice vecin atate a lui xcont ine termenii  sirului except^ and, eventual, un num ar nit
de termeni.
Cu alte cuvinte, xeste limita  sirului de numere reale ( xn) dac apentru orice
vecin atate V a punctului x2Rexist a un num ar natural nvastfel ^ nc^ at pentru orice
nnvs a avem xn2V.^In acest caz vom scrie x= lim
n!1xnsau xn!x:
Denit ie
a) Un  sir de numere reale care are limit a ^ n Rse nume ste  sir convergent.
b) Un  sir de numere reale care nu are limit a ^ n Rse nume ste  sir divergent.
Pentru demonstrarea unor propriet at i importante ale  sirurilor convergente

3
este util a  si urm atoarea proprietate ce caracterizeaz a limita unui  sir de numere reale.
Teorem a: S irul de numere reale ( xn) este convergent la x!Rdac a  si numai
dac apentru orice " >0 exist a un num ar natural n", care depinde de ", astfel ^ nc^ at
jxnxj< "pentru orice nn":
Demonstrat ie. S a presupunem c a lim
n!1xn=x:Cum mult imile de forma ( x"; x+");
unde " > 0, sunt vecin at at i ale punctului xrezult a, conform denit iei, c a pentru
orice " > 0 exist a un num ar natural n"astfel ^ nc^ at oricare ar  nn"s a avem
xn2(x"; x+"), adic a jxnxj< " oricare ar  nn":Reciproc, vrem s a
ar at am c a dac a pentru orice " >0 exist a un num ar natural n", care depinde de ",
astfel ^ nc^ at jxnxj< ",8nn", atunci lim
n!1xn=x:FieVo vecin atate oarecare
a punctului x2R, atunci exist a un " > 0 astfel ^ nc^ at ( x"; x+")V. Con-
form ipotezei, pentru acest " > 0 exist a un rang n"astfel ^ nc^ at nn"s a duc a la
xn2(x"; x+"). Dar, din ( x"; x+")Vavem c a xn2V, pentru orice nn"
prin urmare, lim
n!1xn=x
Teorem a: Un  sir de numere reale ( xn)Rare limita x2Rdac a  si numai dac a
 sirul d(xn; x) =jxnxjtinde la 0.
Exemple:
1.S irul xn=1
nare limita 0 deoarece pentru orice " >0 exist a n"2Nastfel ^ nc^ at
nn"s a implice
j1
n0j< ";
sau
1
n< " pentru orice nn"
2.S irul de numere reale xn= (1)nnu este convergent deoarece dac a am presupune
c a lim
n!1xn=ℓ;atunci pentru "=1
2am g asi un n2Nastfel ^ nc^ at
j(1)nℓj<1
2;pentru orice nn"
Pentru npar am avea j1ℓj<1
2oricare ar  nn", iar pentru nimpar am avea
j 1ℓj<1
2oricare ar  nn", sau echivalent j1 +ℓj<1
2:
Dar atunci

4
2 =j2j=j1 + 1j=j(1 + ℓ) + (1 ℓ)j  j1 +ℓj+j1ℓj<1
2+1
2= 1;
ceea ce, evident este fals.
1:3PROPRIET AT I ALE S IRURILOR CONVERGENTE
Teorem a. Dac a un  sir de numere reale are limit a, atunci aceasta este unic a.
Demonstrat ie: S a presupunem, prin reducere la absurd, c a ar exista un  sir ( xn) astfel
^ nc^ at xn!x sixn!ycux̸=y. Comform teoremei de mai sus, exist a o vecin atate
Va punctului x si o vecin atate Ua punctului yastfel astfel ^ nc^ at U\V=∅:Cum
xn!xrezult a c a exist a nVastfel ^ nc^ at pentru nnVs a avem xn2V:Pe de alt a
parte, xn!y si atunci pentru Uexist a un rang nUastfel ^ nc^ at pentru nnUs a
avem xn2U:Dac a n0= max fnV; nUg, atunci pentru ( 8)nn0rezult a xn2U\V,
ceea ce contrazice presupunerea f acut a. Deci, x=y
Teorem a. Prin ad augarea sau eliminarea unui num ar nit de termeni un  sir
convergent r am^ ane convergent cu aceea si limit a, iar un  sir divergent r am^ ane diver-
gent.
Teorem a. Prin schimbarea ordinii termenilor unui  sir convergent, se obt ine un
 sir convergent cu aceea  si limit a, iar unui  sir divergent se obt ine tot un  sir divergent.
Demonstrat ie: ^Intr-adev ar, cum pozit ia pe dreapta a termenilor  sirului nu este
condit ionat a de rangul lor ci de valoarea lor, rezult a c a ^ n afara oric arei vecin at at i
a limitei se a
 a un num ar nit de termeni ai  sirului dat  si acela si num ar de termeni
ai  sirului obt inut prin schimbarea ordinii termenilor.
Teorem a. Orice sub sir al unui  sir convergent este convergent la aceea si limit a.
Demonstrat ie: Fie xn!x. Atunci pentru orice " > 0 exist a un rang n"astfel
^ nc^ at pentru orice nn"s a avem jxnxj". Dac a ( xnk) este un sub sir al  sirului
(xn), t in^ and seama c a pentru orice kn"avem nkkn", de unde rezult a c a
jxnkxj< "pentru orice kn", ceea ce duce la xnk!x:
Observat ie. Dac a un  sir cont ine dou a sub siruri convergente cu limite diferite,
atunci  sirul este divergent.
Astfel,  sirul xn= (1)n, analizat mai sus, cont in^ and sub sirul x2k= 1 cu limita 1  si
sub sirul x2k+1=1 cu limita -1, este divergent.
Teorem a. Orice  sir convergent este m arginit.
Demonstrat ie: Fie xn!x. Atunci, pentru "= 1 exist a un rang n1astfel^ nc^ atoricare
ar  nn1s a avem jxnxj<1, de unde rezult a c a jxnj  jxnxj+jxj<1 +jxj
pentru orice nn1. Dac a M= max jx1j;jx2j; : : : ;jxnj;1 +jxnj, atunci jxnj M,

5
oricare ar  n2N:
Teorem a. Orice  sir nem arginit este divergent.
Se observ a astfel c a  sirul xn=neste divergent deoarece este nemajorat, ^ n timp ce
 sirul xn=neste divergent deoarece este neminorat.
Observat ie. Condit ia de m arginire este necesar a dar nu  si sucient a pentru
convergent a unui  sir.
Astfel s-a v azut deja mai sus c a  sirul xn= (1)nde si m arginit nu este convergent.
Teorem a. (Criteriul major arii) Dac a ( xn)Reste astfel ^ nc^ at jxnxj n;
pentru orice n2N;unde ( n) este un  sir de numere pozitive convergent la 0, atunci
xn!x:
Demonstrat ie. Cum n!0 rezult a c a pentru orice " > 0 exist a un n"2Nastfel
^ nc^ atpentru orice nn"s a avem n< ": Rezult a c a jxnxj< " pentru orice
nn", ceea ce implic a xn!x:
1:3OPERAT II CU S IRURI CONVERGENTE
^Intruc^ at  sirurile de numere reale sunt funct ii cu valori reale vom deni operat iile
de adunare, diferent  a, produs  si c^ at de  siruri dup a denit iile corespunz atoare de la
funct ii. Astfel, dac a ( an);(bn) sunt dou a  siruri de numere reale, prin ( an) + ( bn)
vom ^ nt elege  sirul ( an+bn), prin ( an)(bn) vom ^ nt elege  sirul ( anbn), prin (an);unde
2R, vom ^ nt elege  sirul ( an);prin(an)
(bn)vom ^ nt elege  sirul(
an
bn)
, dac a bn̸= 0
pentru orice n2N:
Teorem a. Fie ( an);(bn) dou a  siruri de numere reale astfel ^ nc^ at lim
n!1an=a si
lim
n!1bn=b. Atunci:
I. lim
n!1(an+bn) =a+b;
II. lim
n!1(an) =apentru orice 2R;
III. lim
n!1(anbn=ab
IV. lim
n!11
an=1
a, dac a a̸= 0:
Demonstrat ie: I. Pentru orice " >0 exist a numerele naturale n1 sin2astfel ^ nc^ at
pentru nn1s a avem janaj<"
2; si pentru nn2s a avem jbnbj<"
2:
Fien0= max( n1; n2):Atunci, pentru orice nn0avem, conform celor dou a ine-
galit at i
j(an+bn)(a+b)j  janaj+jbnbj<"
2+"
2=";
de unde rezult a c a lim
n!1(an+bn) =a+b:

6
II. Dac a = 0, teorema este evident a. S a presupunem c a ̸= 0:Atunci, pentru
orice " >0 exist a n02N, astfel ^ nc^ at
nn0) janaj<"
jj:
De aici pentru nn0obt inem:
janaj=jjjanaj<"
jjjj=";
de unde rezult a c a lim
n!1an=a:
III. Cum ( an) este un  sir convergent rezult a c a este m arginit. Atunci exist a M > 0
astfel ^ nc^ at
janj M;pentru orice n2N: (1)
Dac a b= 0, atunci pentru orice " >0;exist a n12Nastfel^ nc^ at nn1) jbnj<"
M:
De aici obt inem pentru nn1
janbn0j=janbnj=janj
jbnj< M"
M=";
ceea ce implic a lim
n!1(anbn) = 0 :
S a presupunem c a lim
n!1bn=b̸= 0:Cum  sirul ( an) este convergent, pe de o parte
este m arginit, deci ^ ndepline ste condit ia de mai sus, iar pe de alt a parte, pentru
orice " >0 exist a n12Nastfel ^ nc^ at
nn1) janaj<"
2jbj: (2)
Limita  sirului ( bn) ind b̸= 0 rezult a c a pentru orice " >0 exist a n22Nastfel ^ nc^ at
nn2) jbnbj<"
2M: (3)
Lu^ and n0= max( n1; n2), din relat iile (1), (2)  si (3), pentru orice nn0avem:
janbnabj=janbnanb+anbabj  janjjbnbj+jbjjanaj 
Mjbnbj+jbjjanaj< M"
2M+jbj"
2jbj=";

7
adic a lim
n!1(anbn) =ab:
IV. Cum a̸= 0 rezult a c a anar putea  egal cu 0 numai pentru un num ar nit de
n. Astfel1
aneste denit cu except ia, eventual, a unui num ar nit de termeni.
Fien12Nastfel ^ nc^ at janaj<jaj
2pentru orice nn1:De aici rezult a c a janj>jaj
2pentru orice nn1:
Pentru orice " > 0 exist a un num ar natural n2> n 1astfel ^ nc^ atpentru nn2s a
rezulte janaj<1
2jaj2
":
De aici rezult a c a pentru orice nn2avem
1
an1
a=ana
ana<jaj2"
2
2
jaj2=";
adic a lim
n!11
an=1
a:
Observat ie. Din prima parte a demonstrat iei punctului III al teoremei rezult a
c a dac a ( an) este un  sir m arginit iar ( bn) un  sir convergent la 0, atunci ( anbn) con-
verge, de asemenea, la 0.
Corolar. Dac a lim
n!1an=a si lim
n!1bn=b, atunci:
I. lim
n!1(anbn) =ab;
II. dac a, ^ n plus, b̸= 0;, atunci lim
n!1an
bn=a
b:
Demonstrat ie: I rezult a imediat din punctele I  si II ale teoremei precedente pentru
=1:II rezult a din punctele II  si Iv ale teoremei precedente.
Lema. Dac a a sibsunt dou a numere reale astfel ^ nc^ at a < b +"pentru orice
" >0;atunci ab:
Demonstrat ie: Presupunem prin reducere la absurd c a a > b . Atunci ab > 0:
Aplic^ and inegalitatea a < b +"cu"=abvom obt ine a < b + (ab) =a, ceea
ce evident este fals.
Teorem a: Dac a ( an)  si ( bn) sunt dou a  siruri de numere reale convergente la a,
respectiv la b, iar anbn, pentru orice n2N, atunci ab:
Demonstrat ie: Cum lim
n!1an=a si lim
n!1bn=brezult a c a lim
n!1(anbn) =ab:Deci,
pentru orice " >0 exist a un num ar natural n"astfel ^ nc^ atpentru nn"s a rezulte
j(anbn)(ab)j< ", adic a dac a nn"atunci ab" < a nbn< ab+":
Dar, din ipotez a, anbn0 pentru orice n2N si atunci, din prima parte a dublei
inegalit at i, pentru nn"obt inem ab"0 sau ab+":Cum inegalitatea
are loc pentru orice " >0 rezult a c a ab:

8
Observat ie. Dac a ^ ntre termenii celor dou a  siruri ( an);(bn) are loc inegalitatea
strict a an< b npentru orice n2N, prin trecere la limit a se poate obt ine  si egalitate.
Astfel, dac a se consider a  sirurile an= 11
nevident an< b npentru orice n, atunci
lim
n!1an= lim
n!1bn= 1:

9
CAPITOLUL II
SERII DE NUMERE REALE
SERII CONVERGENTE. SERII DIVERGENTE.GENERALIT AT I
Dup a cum se  stie, pentru orice mult ime nit a de numere reale a1; a2; : : : ; a n
se poate asocia un num ar real S=a1+a2+: : :+an, numit a suma numereloe reale
a1; a2; a3; : : : ; a n:
Ne punem, acum, ^ ntrebarea reasc a: dac a^ n locul mult imii nite a1; a2; a3; : : : ; a n
se consider a un  sir ( an)n2Nde numere reale am putea s a-i asociem un num ar real
care s a extind a not iunea de sum a a unei mult imi nite de numere reale?
^In cele ce urmeaz a vom c auta s a r aspundem la aceast a ^ ntrebare.
Observ am c a pentru a realiza o sum a nit a a0+a1+a2+: : :+anse calculeaz a re-
curent, ^ n felul urm ator: consider am, mai ^ nt^ ai, suma a0+a1denit prin axiomele lui
R, apoi se consider a a0+a1+a2= (a0+a1)+a2; a 0+a1+a2+a3= (a0+a1+a2)+a3
 si ^ n general,
a0+a1+a2+: : :+an= (a0+a1+a2+: : :+an1) +an:
Aceast a observat ie sugereaz a s a ata s am  sirului ( Sn)n2N;unde Sn=a0+a1+
a2+: : :+an, pentru orice num ar natural n, numit  sirul sumelor part iale asociat
 sirului ( an)n2N:
Denit ie. Cuplul format din  sirurile ( an)n2N si (Sn)n2N, unde Sn=a0+a1+a2+
: : :+an, pentru orice num ar natural n, se nume ste serie de termen general sn.
Vom nota aceasta prin unul din simbolurile1∑
n=0an;∑
n2Nansaua0+a1+a2+
: : :+an+: : : :
Denit ie. Spunem c a seria1∑
n=0anesteconvergent a dac a  sirul sumelor part iale
(Sn)n2N, asociat lui ( sn)n2Neste convergent ^ n R:
^In acest caz lim
n!1Sn=Sse nume ste suma seriei  si se noteaz a cu1∑
n=0sau∑
n2Nan
saua0+a1+a2+: : :+an+: : : :
Denit ie. Spunem c a seria1∑
n=0anestedivergent a dac a  sirul sumelor part iale
(Sn)n2N, asociat lui ( sn)n2Nestedivergent ^ nR:

10
Observat ii.
1.Prin simbolurile1∑
n=0an^ nt elegem e seria cu termenul general an, e, ^ n caz
de convergent  a, suma seriei cu termenul general an. Din context va reie si dac a este
vorba de serie, ca pereche de  siruri, sau de suma seriei, num ar real asociat seriei ^ n
caz de convergent  a.
2.Uneori vom indexa termenii unei serii ^ ncep^ and cu n= 1. Atunci vom scrie
1∑
n=1an si ^ n acest caz vom conveni s a not am tot prin Snsuma seriei a1+a2+: : :+an:
Exemple
1.Seria1∑
n=0aqn, unde a; q2R, poart a numele de serie geometric a . Dac a
a= 0, seria este convergent a pentru orice q2R, cu suma 0. S a presupunem
prin absurd c a a̸= 0. Se observ a c a pentru q̸= 1, suma part ial a de ordin neste
Sn=a+aq+aq2+: : :+aqn=a
1qn+1
1q;iar pentru q= 1; S n=a(n+1). Pentru
jqj<1, ^ ntruc^ at lim
n!1qn+1= 0, avem lim
n!1Sn=a
1q. Deci, pentru jqj<1 seria
geometric a este convergent a, iar suma ei estea
1q. Dac a jqj 1, atunci  sirul ( Sn)
este divergent, deoarece pentru q1, lim
n!1Sn= +1sau1, dup a cum a >0 sau
a <0, iar pentru q 1 limita  sirului Snnu exist a. ^In concluzie, seria geometric a
este convergent a dac a  si numai dac a jqj<1.
2.Seria1∑
n=11
n(n+ 1)este convergent a. ^Intr-adev ar, observ^ and c a a1=1
1
2=
11
2; a 2=1
2
3=1
21
3; : : : ; a n=1
n(n+ 1)=1
n1
n+ 1, . . . vom obt ine
Sn=a1+a2+: : :+an= 11
n+ 1, pentru orice num ar natural nenul n. Prin
urmare, lim
n!1Sn= 1, ceea ce ne arat a c a seria este convergent a, iar seria ei este 1.
De remarcat este faptul c a ^ n acest exemplu termenul general ans-a putut scrie sub
forma nn+1, unde comportarea  sirului ( n) este cunoscut a. Asemenea serii, ^ n
care termenul general anpoate  scris sub forma an=nn+1, unde ( n) este
un  sir cu comportare cunoscut a poart a numele de serie telescopic a .^In aceast a
situat ie se observ a u sor c a seria∑
n2Naneste convergent a dac a  si numai dac a  sirul
(n) este convergent. Am v azut mai sus c a problema convergent ei unei serii este
echivalent a cu problema convergent ei unui  sir, a  sirului sumelor part iale. Observ am
acum c a,  si invers, dac a avem un  sir ( n), studiul naturii sale poate  redus la studiul
naturii seriei 1+ (21) + (32) +: : :+ (nn+1) +: : :^ n care  sirul sumelor
part iale este chiar  sirul dat ( n).^In acest fel, folosind anumite procedee pentru
determinarea naturii unei serii ne vom putea pronunt asupra naturii anumitor  siruri.

11
3.Seria1∑
n=1(1)neste divergent a. ^Intr-adev ar, deoarece seria S2k= 0  si S2k1=1
pentru orice k2Nrezult a c a  sirul ( Sn) nu este convergent.
^In exemplele 1, 2, 3 am putut s a ne pronunt  am asupra naturii seriei  si chiar am
putut preciza suma seriei deoarece am reu sit s a g asim o form a convenabil a pentru
Sn, termenul general al  sirului sumelor part iale asociat lui ( an).^In general, aseme-
nea situat ii ind rare, va trebui s a ne mult umim cu dezvoltarea unei teorii calitative
a seriilor, care s a ne permit a s a decidem natura seriilor ^ n funct ie de comportarea
termenului general al seriei, f ar a a g asi, efectiv, suma seriei.
PROPRIET AT I GENERALE ALE SERIILOR CONVERGENTE
T  in^ and seama de denit ia seriilor convergente se obt in cu u surint  a urm atoarele
propriet at i:
Teorema. Dac a unei serii i se adaug a sau ise suprim a un num ar nit de
termeni, atunci natura ei nu se schimb a.
Demonstrat ie: Fie seria1∑
n=1an si s a presupunem c a i s-au al aturat termenii
an1; an2; : : : ; a np:F ar a a mic sora generalitatea rezultatului, putem presupune c a
ace sti termeni sunt chiar primii ptermeni: a1; a2; a3; : : : ; a p:^Intr-adev ar, aduc^ and
termenii an1; an2; : : : ; a np:pe primele plocuri se obt ine o serie care are aceea si natur a
cu seria init ial a, deoarece, not^ and cu ( Sn)  si respectiv ( Tn)  sirul sumelor part iale
pentru seria init ial a  si seria obt inut a prin schimbarea ordinii termenilor, atunci pen-
tru orice n > n 0= max n1; n2; n3; : : : ; n pare loc relat ia Sn=Tn, de unde se vede c a
cele dou a serii au aceea si natur a.
Fie acum seria1∑
n=1bnseria obt inut a din seria1∑
n=1anprin eliminarea termenilor
a1; a2; : : : ; a p si s a e ( n)  sirul sumelor sale part iale. Observ am c a n=Sn+pSp,
pentru orice num ar natural n,  si deci seria1∑
n=1bneste convergent a dac a  si numai
dac a  sirul Sn+pSpeste convergent, adic a dac a  si numai dac a seria init ial a este
convergent a.
Dac a, acum, ad aug am seriei1∑
n=1anun num ar nit de termeni c1; c2; c3; : : : ; c p;
se obt ine o nou a serie1∑
n=1cn. Privind seria1∑
n=1anca o serie obt inut a din seria1∑
n=1cn
prin eliminarea unui num ar nit de termeni ( c1; c2; : : : ; c p), rezult a, conform primei
p art i, c a seria1∑
n=1cnare aceea si natur a ca  si seria1∑
n=1an.
Observat ie. ^In cazul ^ n care seria este convergent a suma se modic a
ad aug^ and (respectiv suprim^ and) suma nit a a termenilor care se adaug a (respectiv
se suprim a).

12
Teorem a. Dac a1∑
n=1anconverge, atunci lim
n!inftyan= 0:

13
CAPITOLUL III
APLICAT II ALE CRITERIULUI CLES TELUI
S iruri convergente c atre zero  si trinomul de gradul doi
1:1 Fie a; b; c 2Rastfel ^ nc^ at b24ac < 0  si ( xn)n2N, (yn)n2Ndou a  siruri de
numere reale astfel ^ nc^ at lim
n!1(ax2
n+bxnyn+cy2
n) = 0. S a se arate c a lim
n!1xn= 0  si
lim
n!1yn= 0
Solut ie: Observ am c a din condit ia b24ac < 0 ne rezult a c a a̸= 0. Cum ^ n ipotez a
avem lim
n!1(ax2
n+bxnyn+cy2
n) = 0, atunci  si lim
n!1a(ax2
n+bxnyn+cy2
n) = 0!0. Pe
de alt a parte avem:
0(
axn+byn
2)2
=a(
ax2
n+bynxn+cy2
n)
+b24ac
4y2
n
a(
ax2
n+bXnyn+cy2
n)
!0
Folosind criteriul cle stelui vom obt ine c a a(ax2
n+bynxn+cy2
n) +b24ac
4y2
n!0,
de undeb24ac
4y2
n!0. Cum b24ac̸= 0 rezult a c a y2
n!0. Deci, yn!0!.
Cum(
axn+byn
2)2
!0 rezult a c a axn+byn
2!0. Adic a, axn!0. Cum a̸= 0,
atunci xn!0.
Evaluarea asimptotic a a convergent ei unui  sir cu sum a simpl a  si a altuia
cu sum a dubl a
1:2 (i) Consider am  sirul ( xn)n2Ndat de termenul general:
xn=n∑
i=1i2
p
n4+i
S a se arate c a lim
n!1xn
n=1
3 si lim
n!1n(
xn
n1
3)
=1
2

14
(ii) Consider am  sirul ( xn)n2Ndat de termenul general:
xn=n∑
i;j=1i2+j2
√
n4+i+j
S a se arate c a lim
n!1xn
n2=2
3 si lim
n!1n(
xn
n22
3)
= 1
Solut ie: (i) Fie n2N. Pentru orice 1 in, avem
p
n4+ 1p
n4+ip
n4+n;
de unde ne rezult a
1p
n4+n1p
n4+i1p
n4+ 1
^Inmult ind cu i2, vom obt ine:
i2
p
n4+ni2
p
n4+ii2
p
n4+ 1
Sum^ and de la i= 1 p^ an a la i=n si t in^ and cont c an∑
i=1i2=n(n+ 1)(2 n+ 1)
6vom
obt ine
n(n+ 1)(2 n+ 1)
6p
n4+nxnn(n+ 1)(2 + 1)
6p
n4+ 1
^Imp art ind la nva rezulta:
(n+ 1)(2 n+ 1)
6p
n4+nxn
n(n+ 1)(2 + 1)
6p
n4+ 1
Cum lim
n!1(n+ 1)(2 n+ 1)
6p
n4+n=1
3 si lim
n!1(n+ 1)(2 n+ 1)
6p
n4+ 1=1
3folosind criteriul cle stelui
ne rezult a lim
n!1xn
n=1
3
Fiean=n∑
i=1i2
n2 sizn=xnan. Avem zn=n∑
i=1i2(
1p
n4+i1p
n4)
Dac a 0 < a < b , atunci:
ba
2apa<1p
b1pa<ba
2bp
b
De unde rezult a:
i
2n4p
n4<1p
n4+i1p
n4<i
2(n4+i)p
n4+i i
2(n4+n)p
n4+n

15
^Inmult ind cu i2 si sum^ and de la i= 1 p^ an a la i=nvom obt ine:
n4+: : :
2
4n6< z n<n4+: : :
2
4(n4)p
n4+n
.
Cum lim n! 1 n4+: : :
2
4n6= 0  si lim n! 1 n4+: : :
2
4(n4)p
n4+n= 0, din teorema
cle stelui rezult a zn!0.
Cum xn=zn+an=zn+n(n+ 1)(2 n+ 1)
6n2=zn+n
3+3n+ 2
6nrezult a :
n(
xn
n1
3)
=xnn
3=zn+3n+ 2
6n!1
2
.
(ii) Fie n2N. Pentru orice 1 i; jn, avem
p
n4<√
n4+i+jp
n4+n
adic a1
n2>1√
n4+i+j1p
n4+n
^Inmult ind cu i2+j2, obt inem:
i2+j2
n2>i2+j2
√
n4+i+ji2+j2
p
n4+n
Sum^ and de la i; j= 1 p^ an a la i; j=n si 'in^ and cont de :
n∑
i;j=1(i2+j2) =n∑
i=1n∑
j=1(i2+j2) =n∑
i=1(
ni2+n(n+ 1)(2 n+ 1)
6)
=
n2(n+ 1)(2 n+ 1
3;
obt inem :
n2(n+ 1)(2 n+ 1
3xnn2(n+ 1)(2 n+ 1
3p
n4+n;
de unde rezult a :
(n+ 1)(2 n+ 1
3xn
n2(n+ 1)(2 n+ 1
3p
n4+n:
Aplic^ and criteriul cle stelui rezult a c a : lim
n!1xn
n2=2
3

16
Fiean=n∑
i;j=1i2+j2
n2 sizn=xnan
Avem :
zn=n∑
i;j=1(i2+j2)(
1√
n4+i+j1p
n4)
=n∑
i;j=1(i2+j2)(f(i+j)f(0))
unde f: [0;1)!R; f(x) =1p
x+n4
Dac a lu am 0 < a < b , atunci din teorema lui Lagrange rezult a c a exist a a < c < b
astfel ^ nc^ at f(b)f(a) =f′(c)(ba). Cum f′(x) =1
2(x+n4)p
x+n2este cresc atoare,
rezult a f′(a)< f′(c)< f′(b). De aici obt inem:
f′(a)(ba)< f(b)f(a)< f′(b)(ba)
Atunci:
(i+j)f′(0)< f(i+j)f(0)<(i+j)f′(i+j)(i+j)f′(2n)
Prin sumare de la i; j= 1 p^ an a la i; j=nvom obt ine:
n∑
i;j=1(i2+j2)(i+j)f′(0)< z nn∑
i;j=1(i2+j2)(i+j)f′(2n)
^Inlocuind valoarea lui f′(0)  si f′(2n) obt inem:
1
2n6n∑
i;j=1(i2+j2)(i+j)< z n 1
2(2n+n4)p
2n+n4n∑
i;j=1(i2+j2)(i+j)
Avem de calculat :
n∑
i;j=1(i2+j2)(i+j) =n∑
i=1n∑
j=1(i2+j2)(i+j) =n∑
i=1n∑
j=1(i3+i2j+ij2+j3) =
n∑
i=1(
n2(n+ 1)2
4+n(n+ 1)(2 n+ 1)i
6+n(n+ 1)
2i2+ni3)
=
2n3(n+ 1)2
4+2n2(n+ 1)2(2n+ 1)
12=n2(n+ 1)2(5n+ 1)
6:

17
^Inlocuind vom obt ine:
n2(n+ 1)2(5n+ 1)
12n6< z n=n2(n+ 1)2(5n+ 1)
12(2n+n4)p
2n+n4
Aplic^ and criteriul cle stelui va rezulta: zn!0
Dar,
n∑
i;j=1=n2(2n2+ 3n+ 1)
3;
iar
an=2n2
3+n+1
3:
Cum xn=an+znrezult a :
xn
n22
3=(an
n2)
+zn
n2=1
n+1
3n2+zn
n2
de unde rezult a:
n(
xn
n22
3)
= 1 +1
3n+1
n
zn!1

18
Un procedeu sucient de general de evaluare asimptotic a a convergent ei
unor  siruri
1:3 (a) Fie IRun interval deschis, ( xnk)0kn;n2NIo matrice triangular a
innit a astfel ^ nc^ at xn0< x n1< x n2< : : : < x nn,8n2N sif:I!Ro funct ie
derivabil a pe I astfel ^ nc^ at f′este monoton a pe I.
(i) Presupunem c a exist a l2Rastfel ^ nc^ at lim
n!1f′(xn0) =l si lim
n!1f′(xnn) =l. S a
se arate c a:
lim
n!1n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1(nk)xn0]=l
(ii) Presupunem c a f′nu se anuleaz a pe I  si lim
n!1f′(xnn)
f′(xn0)= 1. S a se arate c a:
lim
n!1n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1(nk)xn0]= 1
(b) S a se arate c a:
lim
n!1ln(
e+1
n2+ 1)
ln(
e+2
n2+ 2)



ln(
e+n
n2+n)
=e1
2e:
Solut ie: (a) (i) Fie n2N. Din teoreme lui Lagrange, pentru orice 1 kn, exist a
xn0< c nk< x nkastfel ^ nc^ at f(xnk)f(xn0) =f′(cnk)(xnkxn0). Cum f′este
monoton cresc atoare pe Irezult a c a f′(xn0)f′(cnk)f′(xnn)), ceea ce va duce
la:
f′(xn0)(xnkxn0)f(xnk)f(xn0)f′(xnn)(xnkxno)
De aici, prin sumare de la k= 1 p^ an a la k=n, vom obt ine:
f′(xn0)n∑
k=1(xnkxn0)n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]f′(xnn)n∑
k=1(xnkxn0)
adic a:

19
f′(xn0)n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1(xnkxn0)f′(xnn); (1)
Din ipotenuz a, relat ia (1)  si criteriul cle stelui rezult a:
lim
n!1n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1(xnk)xn0]=l
(ii) Cum f′nu se anuleaz a pe I, iar f′are proprietatea lui Darboux, are semn con-
stant  si pentru a face o alegere presupunem f′(x)>0;8x2I. Atunci, f′(xn0)>0,
iar din relat ia (1) vom obt ine:
1n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1(xnk)xn0]f′(xnn)
f′(xn0)
Din aceast a inegalitate, ipoteza  si criteriul cle stelui vom obt ine:
lim
n!1n∑
k=1[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1(xnk)xn0]= 1
(b) Fie f: (1e;1)!R,f(x) = ln(ln( e+x)). Avem f′(x) =1
(e+x) ln(e+x),
care este strict descresc atoare pe intervalul (1 = e;1)
Fie
an= ln(
e+1
n2+ 1)
ln(
e+2
n2+ 2)



ln(
e+n
n2+n)
:
Atunci:
lnan=n∑
k=1[
f(
k
n2+k)
f(0)]
:

20
Avem
f′(0) =1
e; f′(
n
n2+n)
=1(
e+n
n2+n)
ln(
e+n
n2+n)!1
e
 si s a not am:
bn=n∑
k=1k
n2+k:
Din ( a)(ii)(^ n care xnk=k
n2+k) rezult aelnan
bn!1:
Dar,
1
2=n∑
k=1k
n2+nbn=n∑
k=1k
n2+kn∑
k=1k
n2n+ 1
2n;
de unde folosind criteriul cle stelui rezult a bn!1
2 si de aici ln an!1
2e, deci
an!e1
2e:
Evaluarea convergent ei unor  siruri naturale asociate unei funct ii
1:4 Fie f: [0;1]!Ro funct ie de clas a C2:
(i) S a se arate c a exist a M > 0 astfel ^ nc^ at:
jf(x)f(0)xf′(0)j Mx2;8×2[0;1]:
(ii) Fie a2(1;1). S a se calculeze:
lim
n!1n(n∑
k=0akf(
k
n)
f(0)
1a)
:
Solut ie: (i) Cum f2C2,f′′este continu a pe [0 ;1]  si prin urmare m arginit a, adic a
M=1
2sup
x2[0;1]jf′′(x)j<1. Din formula lui Mac Laurin exist a 0 xastfel
^ nc^ at f(x) =f(0) + xf′(0) +x2
2f′′(), de unde rezult a:
jf(x)f(0)xf′(0)j Mx2;8×2[0;1]:

21
(ii) Fie n2N. Din (i) avem :
f(
k
n)
f(0)k
nf′(0)Mk2
n2;81kn:
De aici, prin sumare de la k= 1 p^ an a la k=nobt inem:
n∑
k=0ak[
f(
k
n)
f(0)k
nf′(0)]n∑
k=0jakjf(
k
n)
f(0)k
nf′(0)
n∑
k=0jajkMk2
n2=M
n
n∑
k=0k2jaj2
n:
Folosind criteriul cle stelui vom obt ine:
n(n∑
k=0akf(
k
n)
n∑
k=0akf(0)n∑
k=0kak
nf′(0))
!0: (1)
Dar, prin derivare obt inem:
n∑
k=0kak= [nan+1(n+ 1)an+ 1]
a
(1a)2
^Inlocuind ^ n (1) vom obt ine:
n(n∑
k=0akf(
k
n)
f(0)
1a)
+nan+1
1af(0)af′(0)
(1a)2[nan+1(n+ 1)an+ 1]!0:
Cum nan!0;(jaj<1), rezult a:
n(n∑
k=0akf(
k
n)
f(0)
1a)
!af′(0)
(1a)2:
1:5 Fie f: [0;1)!Rcuf(0) = 0, o funct ie de dou a ori derivabil a pe (0 ;1), cu
de rivata a doua m arginit a pe (0 ;1). Fie ( pn)n2Nun  sir de numere naturale astfel
^ nc^ at lim
n!1pn=1 sia2(1;1). S a se arate c a:
lim
n!1npn∑
k=1akf(k2
n)
=a(a+ 1)
(1a)3f′(0):

22
Solut ie: Fie x >0. Din exercit iul 1 :4(i) avem:
jf(x)xf′(0)j Mx2;8x >0: (1)
Fien2N si 1kpn:Din relat ia (1) obt inem:
f(
k2
n)
k2
nf′(0)Mk4
n2
sau
nakf(
k2
n)
k2akf′(0)Mk4jajk
n: (2)
Dac a not am:
xn=npn∑
k=1akf(
k2
n)
:
Prin sumare de la k= 1 p^ an a la k=pn^ n relat ia (2) vom obt ine:
xnpn∑
k=1k2akf′(0)pn∑
k=1nakf(
k2
n)
k2akf′(0)
M
npn∑
k=1k4jajk;8n2N: (3)
Deriv^ and vom obt ine:
m∑
k=1k2ak=a(a+a)(m+ 1)2am+1+ (2m2+ 2m1)am+2m2am+3
(1a)3;
8m2N; a2R
 si cum lim
x!1xmjajx= 0;8m2N;jaj<1, iar lim
n!1pn=1, va rezulta lim
n!1pn∑
k=1k2ak=
a(a+1)
(1a)3 si analog lim
n!1pn∑
k=1k4jajkexist a  si este un num ar real nit. ^In relat ia (3)
aplic^ and criteriul cle stelui vom obt ine:
lim
n!1xn=f′(0) lim
n!1pn∑
k=1k2ak=a(a+ 1)
(1a)3f′(0):

23
Un alt procedeu sucient de general de evaluare asimptotic a a
convergent ei unor  siruri
1:6 (a) Fie IRun interval deschis, ( xnk)0k<n;
n2NIo matrice triangular a innit a
astfel ^ nc^ at xn0< x n1< x n2< : : : < x nn;8n2N sif:I!Ro funct ie derivabil a pe
I astfel ^ nc^ at f' este monoton a pe I si (k)k2Nun  sir de numere reale strict pozitive.
(i) Presupunem c a exist a l2Rastfel ^ nc^ at:
lim
n!1f′(xn0) = lim
n!1f′(xnn) =l:
S a se arate c a:
lim
n!1n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1k(xnkxn0)=l:
(ii) Presupunem c a f′nu se anuleaz a pe I si lim
n!1f′(xnn)
f′(xn0)= 1. S a se arate c a:
lim
n!1n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1k(xnkxn0)= 1:
(b) Fie a2(0;1). S a se calculeze:
lim
n!1n2n∑
k=1akln(
1 +k
n2+k)
:
Solut ie: Acest exercit iu este o extensie a exercit iului 1 :3
(a) (i) Fie n2N. Din teorema lui Lagrange pentru orice 1 knexist a
xn0< c nk< x nkastfel ^ nc^ at f(xnk)f(xn0) = f′(cnk)(xnkxn0):Cum f' este
monoton ape I, adic a monoton cresc atoare, rezult ac a f′(xn0)f′(cnk)f′(xnn).
Cum k>0;8k2Nva rezulta:
kf′(xn0)(xnkxn0)f(xnk)f(xn0)kf′(xnn)(xnkxn0):
Prin sumare de la k= 1 p^ an a la k=nvom obt ine:
f′(xn0)n∑
k=1k(xnkxn0)n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]f′(xnn)n∑
k=1k(xnkxn0)

24
adic a:
f′(xn0)n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1k(xnkfxn0)f′(xnn): (1)
Din relat ia (1), ipotez a  si din criteriul cle stelui va rezulta:
lim
n!1n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
n∑
k=1k(xnkxn0)=l:
(ii) Cum f' nu se anuleaz a pe I, iar f' are proprietatea lui Darboux, ea are semn
constant  si pentru a face o alegere presupunem f′(x)>0;8x2I.
Atunci f′(xn0)>0, iar din relat ia (1) vom obt ine:
1n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1k(xnkfxn0)f′(xnn)
f′(xn0): (1)
De aici folosind datele din ipotez a  si criteriul cle stelui vom obt ine:
lim
n!1n∑
k=1k[f(xnk)f(xn0)]
f′(xn0)n∑
k=1k(xnkxn0)= 1:
(b) Fie xn=n2n∑
k=1akln(
1 +k
n2+k)
:Lu am f: (1;1)!R,f(x) = ln(1+ x); xnk=
k
n2+k;0kn:Avem f′(x) =1
1 +x; f′(0) = 1, f′(
n
n2+n)
!1, iar din (a)(i)
n∑
k=1akf(
k
n2+k)
n∑
k=1kak
n2+k!1, de unde:
lim
n!1xn= lim
n!1n2n∑
k=1kak
n2+k:
Din relat ia:

25
n∑
k=1kak
n2+nn∑
k=1kak
n2+kn∑
k=1kak
n2
rezult a
n2
n2+nn∑
k=1kak
n2+k
n∑
k=1kak1:
Aplic^ and criteriul cle stelui vom obt ine:
n2n∑
k=1kak
n2+k
n∑
k=1kak!1:
Cumn∑
k=1kak!a
(1a)2rezult a lim
n!1xn=a
(1a)2:
Limita unor  siruri de tip exponent ial
1:7 Fie f: (0;1]!(0;1) o funct ie derivabil a pe (0 ;1] cu f′(1)>0  si ln fare
derivata descresc atoare. Consider am  sirul:
xn=n∑
k=1[
f(
k
n)]n
:
S a se arate c a:
lim
n!1xn=8
>><
>>:0; dacaf (1)<1
1
1ef′(1); dacaf (1) = 1
1 dacaf (1)>1
Solut ie: Vezi G:M:B:; 2;1996; C: 1789.
I) Dac a f(1)>1, avem xn>[
f(
n
n)]n
= [f(1)]n! 1 .
II) Dac a f(1)1, avem xn=n1∑
k=0[
f(
nk
n)]n
=n1∑
k=0enlnf0
B@nk
n1
CA
. Aplic^ and

26
teorema lui Lagrange asupra funct iei f pe intervalul[
1k
n;1]
ne va rezulta c a ex-
ist a 1 k
n<  < 1 astfel ^ nc^ at:
lnf(1)ln(
1k
n)
=k
n
f′()
f()k
n
f′(1)
f(1):
La ultima inegalitate s-a folosit faptul c a (ln f)′=f′
feste descresc atoare. De aici va
rezulta:
lnf(
1k
n)
lnf(1)k
n
f′(1)
f(1);
de unde rezult a:
enlnf0
B@nk
n1
CA
[lnf(1)]n
ek
f′(1)
f(1);81kn:
Adic a:
0< x n<[f(1)]nn1∑
k=0ek
f′(1)
f(1)= [f(1)]n
1enf′(1)
f(1)
1ef′(1)
f(1); (1)
Dac a f(1)<1, aplic^ and criteriul cle stelui ^ n relat ia (1) vom obt ine lim
n!1= 0:
Dac a f(1)>1, atunci inegalitatea (1) va deveni xn<1
1ef′(1);8n2N, de unde
rezult a:
lim sup xn1
1ef′(1); (2)
Fie acum i2Nxat. Atunci pentru orice n2N,niavem:
xni1∑
k=0ellnf0
B@1k
n1
CA
:
^Ins a pentru k2N, xat avem:

27
lim
n!1nlnf(
1k
n)
= lim
n!1lnf(
1k
n)
f(
1k
n)
1
f(
1k
n)
1
k
n
(k) =kf′(1):
Deci, din relat ia (2) pentru n! 1 obt inem:
lim inf xni1∑
k=0ekf′(1)=1eif′(1)
1ef′(1);8i2N:
 si trec^ and la limit a dup a i! 1 vom obt ine:
lim inf xn1
1ef′(1):
Folosind relat iile (1)  si (3) vom obt ine:
1
1ef′(1)lim inf xnlim sup xn1
1ef′(1)
adic a:
lim
n!1xn=1
1e;unde =f′(1):

28
CAPITOLUL III
LIMITE DE INTEGRALE S I EVALU ARI ASIMPTOTICE
Variat iuni pe tema unei limite fundamentale
3:1 S a se calculeze:
a) lim
n!1n1∫
0xnsin(xn+1)dx b) lim
n!1n1∫
0xnexn
x+ 1dx:
Solut ie: a) Facem schimbarea de variabil a xn=t; x=np
t; dx =np
t
ntdt si avem:
n1∫
0xnsin(xn+1)dx=1∫
0np
tsin(tnp
t)dt:
Din teorema lui Lagrange, pentru orice t2(0;1), exist a un 2(tnp
t; t) astfel
^ nc^ at sin( tnp
t)sint= (tnp
tt) cos, de unde va rezulta:
np
tsin(tnp
t)np
tsintsin(tnp
t)sint=
=(tnp
tt) costnp
tt=(1np
t):
Deci,
np
tsin(tnp
t)np
tsint(1np
t);8t2[0;1]:
Prin integrare vom obt ine:
1∫
0np
tsin(tnp
t)dt1∫
0sintdt
1∫
0np
tsin(tnp
t)np
tsintdt1∫
0(
1np
t)
dt!0

29
Cum,
lim
n!11∫
0np
tsin(tnp
t)dt=1∫
0sintdt =2

de unde rezult a:
lim
n!1n1∫
0xnsin(xn+1)dx=2
:
b) Facem schimbarea de variabil a xn=t; x=np
t; dx =np
t
ntdt si avem:
n1∫
0xnexn
n+ 1dx=1∫
0np
tet
np
t+ 1dt:
Din teorema lui Lagrange, pentru orice a < b rezult a:
0ebea(ba)eb;
de unde va rezulta:
0et
np
t+ 1et
2(
t
np
t+ 1t
2)
et
2=1np
t
2(np
t+ 1)
tet
21
2e1
2(1np
t):
Deci,
0np
tet
np
t+ 1np
tet
2et
np
t+ 1et
2A(1np
t);8t2[0;1]:
Integr^ and vom obt ine:
01∫
0np
tet
np
t+ 1dt1∫
0np
tet
2dtA1∫
0(1np
t)dt=A
n+ 1:
Din teorema cle stelui va rezulta:1∫
0np
tet
np
t+ 1dt1∫
0np
tet
2dt!0

CONTENTS 30
Dar1∫
0np
tet
2dt!1∫
0et
2dt= 2(pe1). Atunci1∫
0np
tet
np
t+ 1dt!2(pe1):Deci,
lim
n!1n1∫
0xnexn
x+ 1dx= 2(pe1):
Evalu ari asimptotice pentru  siruri standard de sume Riemann
3:2 Fie f: [a; b]!Ro funct ie de clas a C1 si
an=b∫
af(x)dxba
nn∑
k=1f(
a+k(ba)
n)
:
(i) S a se arate c a
lim
n!1nan=(ba)(f(b)f(a))
2:
(ii) Dac a feste de clas a C2, s a se arate c a :
lim
n!1n(
nan+(f(b)f(a))(ba)
2)
=(ba)2(f′(b)f′(a))
12:
Solut ie: Fie xk=a+k(ba)
n; okn si s a observ am c a xkxk1=ba
n;
1kn;iar
b∫
af(x)dxn∑
k=1f(xk)(xkxk1) =∑
de terminat
Contents