Grad I In Intregime [310118]

Universitatea „Ștefan cel Mare” [anonimizat] I

Coordonator științific:

Lect. univ.dr. Colomeischi Tudor

Candidat: [anonimizat]. înv. primar Florea (Surdu) Elena Mihaela

Școala Gimnazială ,,Alexandru Podoleanu”, Podoleni

Suceava

2018

METODE NONSTANDARD DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

Coordonator științific

Lect. univ. dr. Colomeischi Tudor

Candidat: [anonimizat]. înv. primar Florea (Surdu) Elena Mihaela

Suceava

2018

CUPRINS

ARGUMENT…………………………………………………………………………p.4

Capitolul I . ……………………………………………………………………………………p.6

I . 1 . Definiția conceptului…………………………………………………………p.6

I . 2 . Istoricul conceptului ………………………………………………………..p.9

I . 3 . Teorii ale conceptului……………………………………………………….p.11

4 [anonimizat] …………………………..p.14

Capitolul II ………………………………………………………………………………….p.28

1. Clasificarea problemelor………………………………………p.28

II.2.Metodologia rezolvării problemelor de matematică………………..p.30

II.3.Pașii de rezolvare………………………………………………………………p.51

Capitolul III Activitatea metodică de cercetare………………………………p.57

III.1. Ipoteza de lucru…………………………………………………………….p.57

III.2. Obiective………………………………………………………………………p.57

III.3 Metode și instrumente………………………………………………………p.57

Capitolul IV ……………………………………………………………………………….p.59

IV . 1 .Desfășurarea cercetării……………………………………………………p.59

IV.2 Analiza prelucrarea și interpretarea datelor……………………….p.59

IV. 3 Interpretarea rezultatelor………………………………………………….p.74

Concluzii……………………………………………………………………………………….p.75

Anexe……………………………………………………………………………………………p.78

Bibliografie……………………………………………………………………………………p.136

ARGUMENT

Marele nostru matematician Gheorghe ¸Tițeica afirma: ”Studiul științific al fenomenelor naturii caută să ia formă matematic㸠[anonimizat] a fost găsită”.

[anonimizat] a fenomenelor, se impune stabilirea unor relații numerice care să redea adevărata măsură a elementelor luate în considera ție. [anonimizat]-[anonimizat] a se neglija dezvoltarea gândirii logice ¸si a calităților acesteia: fluență, flexibilitate, creativitate.

Modelul uman de viațã a fãcut ca permanent sã ne lovim de rezolvarea unor

probleme. A rezolva o problemã înseamnã a pleca de la anumite date cunoscute și

a încerca sã gãsim soluții potrivite.

Există însă si un alt mod de abordare a matematicii care, atât prin formularea enunțului cât ¸si prin modul de rezolvare, îl aduce pe elev mai aproape de universal lui, de ”problemele” vieții de fiecare zi: acestea sunt problemele nonstandard. Ele oferă posibilitatea dezvoltării gândirii elevilor pe un plan mai general, prin eliminarea tiparelor, a șablonismului.

Am ales aceasta temă deoarece poate fi abordată din diverse unghiuri.

Sintagma ,, problemă non-standard” se referă separat și / sau unitar la :

– capacități sociale ;

– gândirea ca proces de rezolvare de probleme ;

– tip superior de învățare ;

– nivel de performanță ;

– metodă ;

– algoritm ;

– strategie ;

– unitate de învățare distinctă sau subordonată;

– tratare interdisciplinară , intradisciplinară .

Cu alte cuvinte , în lucrare am dorit sa dovedesc că rezolvarea de probleme este un scop pentru sine si niciodată ales ca mijloc pentru altceva , scop în funcție de care ne dorim si alte lucruri . ( Aristotel)

Un alt motiv pentru care am ales tema este natura omului – singura ființă

înzestrată cu rațiune , judecată , gândire , limbaj . Acestea pot și trebuie dezvoltate prin cunoașterea adevărului , adică prin matematică .

,,Cunoașterea începe cu probleme și sfârșește ( în masura în care ea se sfârșește vreodată) cu probleme” K .R . Popper

OBIECTIVELE LUCRĂRII

Mi – am propus prin această lucrare :

să demonstrez că , indiferent de domeniu , rezolvarea creativă de probleme trebuie să fie atributul ce caracterirează omul în orice ipostază s-ar afla : școală , familie , mediu , societate ;

să argumentez și să dovedesc că matematica este câmpul deschis al cunoașterii științifice unde brainstorming – ul (sintagma traducerii directe ,,furtuna în creier” sau ,,asaltul de idei”) se poate duela cu algoritmizarea spre a ieși învingători elevii ;

să ofer un studiu de caz și un experiment pedagogic pentru o problemă controversată : modul de instruire și transferul învațării orizontal , pe grupe valorice de nivel – materii ( omogene , în funcție de aptitudinea specială matematică ) ;

să verific ( empiric ) o ipoteză întemeiată pe studii teoretice privind Introducerea organizatorului cognitiv , ca metoda optimă folosită pentru a maximaliza performanțele elevului la acest test și la acest obiect – matematica ( pe termen lung );

să promovez ideea că prin matematică se dezvoltă gândirea și operațiile ei, creativitatea , tăria de caracter , sentimentele și atitudinile pozitive , spiritul de competiție intelectuală .

CAPITOLUL I .

I . 1 . Definiția conceptului

Prin rezolvarea și compunerea de probleme se manifestă în esențial activitatea. Noțiunea de problemă are un conținut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni din diferite planuri de activitate. În sens psihologic ,,o problemă’’ este o situație, dificul tate, obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat. Dificultatea se prezintă subiectului ca o lacună cognitivă, constând dintr-o necunoscută.

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică, ce necesită o rezolvare, o soluționare, poartă numele de problemă. O problemă există doar dacă soluția posibilă și depășirea obstacolului se face prin mijloace intelectuale, soluția problemei fiind rezultatul elaborării prin gândire și nu al aplicării standard a unui algoritm. Pe parcursul vieții, gândirea individului uman este în permanență confruntată cu diverse probleme de

diferite grade de dificultate, care necesită să fie rezolvate. O problemă

devine cu atât mai dificilă cu cât aceasta diferă de acelea rezolvate anterior de subiect. Confruntarea individului cu o problemă implică scopul de a rezolva, conștiința dificultăților de rezolvare și a motivației corespunzatoare.

Procesul gândirii, arată S.L.Rubinstein, începe cu analiza unei situații problematice.

Analiza descompune datele stabilind cunoscutul și necunoscutul, rezultatul cerut. Prin aceasta începe formularea problemei. Analiza datelor conduce la stabilirea condițiilor și a cerințelor problemei. Prin condițiile problemei, se înțeleg datele care determină soluționarea ei și sunt incluse ca premise indispensabile în mersul raționamentelor care conduc la soluție.

Schema generală a rezolvării oricărei probleme constă în corelarea condițiilor problemei cu cerințele ei. Între ceea ce se dă si ceea ce se cere există o concordanță relativă. În procesul rezolvării unei probleme au loc ample fenomene de transfer, de transpunere, de aplicare a cunoștințelor si proceselor dobândite în rezolvările anterioare la problema nouă. Rezolvarea de probleme este un proces multifazic. În rezolvarea unei probleme, subiectul, arăta R.Gagne, procedează la reactualizarea conceptelor disponibile și a regulilor cunoscute anterior, la evaluarea conceptelor pe baza experienței, la formarea de ipoteze specifice, la demersul de descoperire orientat spre soluție, la verificarea soluției alese drept optimă.

Pe baza înțelegerii datelor si a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției problemei. Prezentarea de enunțuri, la care elevii să completeze întrebarea și invers, a întrebării pe baza căreia elevul să formuleze răspunsul, întăresc convingerea acestora despre unitatea celor două componente dar le dezvoltă și gândirea creatoare, căutând răspunsul la întrebare sau reflectând asupra a ce întrebare sau enunț să formuleze, în legătură cu cerința problemei.

În general, pentru formularea noțiunii de problemă se parcurg câteva etape:

a) rezolvări de probleme simple cu date din mediul înconjurător:

Ex. Într-un coș sunt două mere roșii si unul galben. Câte mere sunt în coș?

b) rezolvări de probleme după date desenate

+ = ?

c) completarea de către elevi a datelor care lipsesc dintr- o problemă astfel ca să se poată rezolva, urmând apoi rezolvarea ei:

Ex. 1) Într-o livadă s-au plantat 30 de pomi fructiferi. Meri … , peri … , și restul pruni. Câți pruni s-au plantat?

2) Pe un lac erau .. . bărci dintre care 5 erau galbene, 3 roșii, restul albastre. Câte bărci albastre erau?

d) compuneri de probleme de către elevi după un dicționar de întrebări, de produse sau alte elemente orientative:

Ex.1) … 2 cărți … 3 caiete

Câte cărți și caiete sunt în ghiozdan?

2) … 2 banane și … portocale a mâncat Irina

Câte fructe a consumat Irina?

e) completarea de către elevi a întrebărilor la o problemă, apoi rezolvarea ei :

Ex. ,,Un vânător a vânat 3 fazani iar iepuri cu 3 mai mulți.’’

Puneți întrebarea si rezolvați problema

În majoritatea acestor etape, elevii sunt puși în situația de a gândi creator. La

rezolvarea problemelor după datele desenate, imaginația elevului și analiza situațiilor posibile îl ajută în stabilirea corespondenței dintre datele schițate și realitate. La completarea datelor care lipsesc dintr – o problemă, astfel ca să se poată rezolva, elevul este pus în situația să caute situații posibile si eventual optime, realizându-se astfel educarea flexibilității gândirii în acest

proces continuu de autocontrol. La completarea întrebării care lipsește de la problemă, în acest caz elevii sunt puși în situația de a lua decizii legate de practica vieții, precum și situația realizării unei concordanțe între cele două componente ale problemei ( enunț si în-trebare) .

În ultima etapă de probleme, când elevul are sarcina de a compune probleme după un, ,dicționar’’ de date sau întrebări, aici elevii sunt puși în situația de a formula problema complexul și unitatea ei, creativitatea având un câmp deschis, astfel compoziția fiind direcționată de niște termeni care lămuresc sfera și conținutul noțiunii de problemă și este dublat de procesul de dezvoltare a gândirii creatoare.

Prin activitatea de compunere a problemelor, elevul își dă seama de corelația dintre exerciții și probleme. În lipsa acestei corelații, elevii ar rămâne cu ideea că exercițiile și problemele sunt activități fără legătură. Etapa pregătitoare muncii de compunere a pro- blemelor este aceea de formare a noțiunii de problemă. Etapele pătrunderii complete în activitatea de compunere a problemelor pot fi clasificate astfel:

compuneri de probleme după date numerice indicate, iar tema la libera alegere;

Ex. Să compună o problemă cu numerele 8, 9, 10

Compuneri de probleme după tema indicată, iar datele numerice la libera alegere;

Ex. Să se compună o problemă cu datele dintr-o școală.

Compuneri de probleme după un exercițiu numeric dat;

Ex. Să compună o problemă sub forma exercițiului:

32 + 28 – 16 = R

Compuneri de probleme dupa exercițiul literal dat;

Ex. Să compună o problemă după exercițiul:

( a+ b) x 2= ?

Maria are 5 lei. Fratele ei are 3 lei. Bunica le dublează suma

Câți lei au împreună cei doi frați?

Activitatea de compunere a problemelor le solicită elevilor un efort de muncă independentă și de creație, de analiză și sinteză, de confruntare a cunoștintelor teoretice cu cele practice.

Gheorghe Polya în lucrarea sa ,,Euristica rezolvării problemelor’’ spune: , , A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței, iar inteligența este apanajul specific speciei umane; se poate spune că dintre toate îndeletnicirile omeneșți cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică’’(Ghe.Polya ,,Cum rezolvăm o problemă’’, E.D.P.Buc.1971,pag73).

Deprinderile de muncă intelectuală care se formează prin activitatea de rezolvare a problemelor , se vor reflecta pozitiv și la celelalte discipline de învățământ. Tocmai în acest scop este bine ca fiecare elev să rezolve probleme de logică matematică.

I . 2 . Istoricul conceptului

În etapa actuală a dezvoltării științei, procesului de învățământ îi devin necesare anumite modalități noi care să-l facă mai operativ și mai ușor racordabil nevoilor vieții, prin perfecționarea conținutului și tehnicii didactice.

Matematica a jucat un rol important în istoria gândirii. Secole de-a rândul marii gânditori au fost cu deosebire atrași de întrebări cum ar fi: "Care este natura obiectelor matematice?", "Cum se poate, dobândi perspicacitate matematică", "Ce face din matematică o știință aplicabilă ?".

Matematica este obiectul de învățământ care acționează asupra tuturor trăsăturilor definitorii ale gândirii moderne: practica globală, modelatoare, pluridisciplinară, prospectiva, etc. de aceea are un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a omului. Cultura matematică devine azi din ce în ce mai necesară, aplicându-se în cele mai variate domenii ale științei și practicii.

Perioada micii școlarități este cea în care are loc o constituire și dezvoltare intensă a unor algoritmi ai activității intelectuale. Prin intermediul algoritmilor se creează una din condițiile elaborării rapide de decizii logice.

Cunoașterea procesului, a regulii, a formulei, constituie cheia rezolvării rapide și corecte a numeroase cazuri particulare, situații, probleme.

Învățarea matematicii la clasele mici se face prin integrarea acesteia în ansamblul activității copilului. Operațiile aritmetice iau naștere ca operații concrete, efectuate pe un material concret, iar problemele de calcul aritmetic sunt abstracții ale unor probleme luate din lumea concretă.

Studiul teoretic și practic al matematicii, bazat pe rezolvarea unor probleme reale din viață, care contribuie la aplicarea unor noțiuni matematice, conduce la rezultate superioare în însușirea acestui obiect de învățământ. "Situațiile problematice, locuri matematice, exersarea capacităților intelectuale, atestă deosebita valoare formativă a acestei discipline școlare în structurarea deprinderilor de activitate intelectuală, în dezvoltarea gândirii, memoriei și a imaginației, în formarea unor trăsături de personalitate (voința, perseverența, simțul ordinii, al disciplinei în muncă, etc.), indispensabile integrării în ciclurile școlare următoare, în viața activă în general" 1).

Matematica este unul din obiectele de bază ale ciclului primar în care se formează noțiunile elementare cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții.

Dragostea pentru acest obiect se poate trezi la școlarul mic prin stimularea sistematică a gândirii.

Ceea ce face uneori ca această disciplină să fie considerată de către elevi greoaie este și faptul că programa acestei discipline este foarte încărcată, fiind necesară o decongestionare a acestei programe, o "aerisire" a manualelor pentru a evita îndepărtarea unor elevi de această materie.

Considerăm că este mult mai important să pui baze temeinice acestei discipline, elevii să fie ajutați să înțeleagă lucruri clare, elementare, necesare pe tot parcursul vieții, decât să fie supraîncărcați de informații matematice, multe dintre ele nefiind aplicate nici o dată și care îndepărtează unii elevi de această disciplină, făcându-i prea ușor să ajungă la concluzia că ei nu sunt "buni la matematică".

Un rol important în dezvoltarea gândirii elevilor, îl are rezolvarea problemelor, iar stimularea creativității gândirii se realizează prin compunerile de probleme.

Pentru ca activitatea de rezolvare a problemelor să-și materializeze valențele formative în direcția gândirii creatoare, se impune nevoia selecționării și ordonării problemelor după gradul de dificultate pe care-l ridică în rezolvare, precum și orientarea activității de rezolvare adecvată acestui scop.

Legătură logică dintre diferitele tipuri de probleme, crearea de situații problematice, au drept urmare deprinderea unor instrumente adecvate de lucru, instrumente care asigură o bună înțelegere a etapelor următoare de școlarizare.

Realizarea eficientă a acestor dificile probleme, necesită dăruire și competență, muncă din partea învățătorului, cu atât mai mult cu cât acesta lucrează cu un material, uman receptiv, mobil, înzestrat cu un activism natural deosebit și cu interes pentru cunoaștere.

I . 3 . Teorii ale conceptului

"În teoria pedagogică este evidențiată corelația dintre capacitatea de învățare și succesul – insuccesul școlar, nivelul dezvoltării capacității de învățare a elevilor, generează succesul – insuccesul școlar, acesta fiind atribuit atât elevilor, cât si învățătorului" 2).

Modernizarea pedagogiei învățământului matematic, în special din perspectiva apropierii formării gândirii logice a elevilor încă din primele clase, de logica științei propriu-zise, impune organizarea și desfășurarea acesteia într-o manieră nouă: conștientizarea, cultivarea complexității actului de predare – învățare, folosirea metodelor activ – participative, cultivarea interesului pentru studiu, prin toate acestea urmărindu-se sporirea eficienței formative a învățământului.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor ocupă un loc deosebit în procesul de învățământ, învățătorului revenindu-i sarcina deosebită, de a face din această activitate o adevărată muncă de creație, la baza căreia să stea următoarele criterii:

– aplicarea celor mai adecvate metode și procedee la fiecare lecție;

– gradarea efortului la care supunem gândirea;

– întrebările folosite să stimuleze efortul la gândire, să respecte ordinea logică, antrenându-i pe elevi la o participare activă; să stimuleze interesul tuturor elevilor; să conducă la descoperirea adevărului de către elevi;

– întrebările să nu rămână fără răspuns; soluționarea lor să fie rodul întregului colectiv;

– elevul să primească în clasă informații și tehnici de lucru care să-i permită aplicarea cunoștintelor în practică și capacitatea de a munci prin mijloace proprii;

– învățătorul să transforme elevul într-un participant activ dezvăluindu-i interesul și atitudinea investigatoare, mizând pe curiozitatea spontană și pe dorința lui de a descoperi mereu ceva nou;

– să se cuprindă rezolvarea integrală a problemei într-o formulă, contribuind la formarea gândirii sintetice;

– pe lânga rezolvarea problemelor să se folosească compunerea problemelor;

– să li se insufle copiilor încrederea în capacitățile lor creatoare, curajul de a pune întrebări, îndrăzneală, inițiativă, tenacitatea, perseverență.

Tot ca punct slab în programa acestei discipline am putea spune că nu se pune suficient accent pe rezolvarea și compunerea de probleme în scopul dezvoltării creativității gândirii elevilor. De asemenea problemele de perspicacitate sunt foarte rare, la capitole întregi sunt aproape inexistente. Sunt destul de greu de găsit chiar și în culegeri.

Istoria dezvoltării psihice a copilului constituie astăzi "cheia" înțelegerii problemelor psihologice pe care se sprijină pedagogia.

Psihologia dezvăluie legile activității psihice a elevilor în condițiile educației și instrucției, iar pedagogia folosește datele despre activitatea psihică a elevilor în măsură în care aceasta este necesară, pentru reglarea gradului de eficiență a procesului pedagogic.

Școala, ca formă de acțiune instituționalizată, sistematizează și ordonează toate informațiile colectate de copii nu numai prin intermediul ei, ci și pe alte căi, stabilind între acestea o anumită logică fundamentală, pe baze științifice a noțiunilor copilului.

Concomitent satisface și dezvoltă interesele și capacitățile de cunoaștere, în special capacitatea de a folosi cunoștințele și de a gândi, pregătind astfel intelectul uman pentru forme de activități intelectuale mai complexe.

În cele ce urmează, subliniind importanța matematicii ca instrument al gândirii, ne vom ocupa de dezvoltarea proceselor intelectuale care facilitează însușirea cunoștintelor elevilor.

Dezvoltarea intelectuală are loc în procesul gândirii, care pătrunde totdeauna dincolo de limitele a ceea ce se obține nemijlocit prin percepție. Pentru a activa gândirea matematică a elevilor trebuie să-i punem în contact cu probleme nerezolvate, să-i îndemnăm să-și pună probleme, să gândească soluții la problemele puse de alții sau de ei înșiși. Trebuie să fim preocupați de felul cum gândesc, care sunt limitele acestei gândiri, cum se realizează o gândire creatoare.

De la legătura nemijlocită cu acțiunea pâna la raționamentul abstract, gândirea copilului se dezvoltă treptat, urmând o cale complicată și trecând printr-o serie de etape având fiecare specificul ei calitativ. Procesul acesta are loc în unitate cu dezvoltarea limbajului copilului, în cadrul relațiilor sociale ale copilului cu cei din jur sub influența neîncetată și hotărâtoare a educației.

În formele ei inițiale, gândirea și limbajul copilului sunt legate nemijlocit de activitatea practică, de situații percepute direct.

La școlari, gândirea are un caracter intuitiv. Începând însă să se desprindă de imediat, de percepția nemijlocită și sprijinindu-se pe primele noțiuni, pe un fond destul de bogat de reprezentări, începe să cuprindă și (abstractul) absentul. Apar primele abstracțiuni, primele operații ample de analogie, de intuiție, de deducție, de analiză și sinteză ca operații mentale propriu-zise. Totuși caracterul intuitiv al gândirii se va păstra și în primii ani de școală. În procesul de învățământ se formează noțiunile științifice ale copilului, se dezvoltă gândirea sa logică, deprinderile mintale și motorii necesare activității sale practice.

"Însușirea conștientă și corectă a unei noțiuni este determinată de vârsta școlarului mic, de multitudinea de percepții și reprezentări asupra realității și a căilor pe care gândirea lui este condusă să desprindă esențialul dintr-o categorie sau alta de obiecte" 3).

Noțiunile se îmbogățesc și se precizează treptat. Ele însă pot fi asimilate de către elevi și fără o participare activă a operațiilor gândirii, dar printr-o asociere simplă a cunoștințelor noi cu cele vechi. În această situație însușirea noțiunilor se efectuează cu o mobilitate minimă a operațiilor intelectuale, ceea ce face ca gândirea să nu progreseze într-un ritm corespunzător. Noțiunile dobândite pe această cale nu pot ridica cunoașterea pe o treaptă mai înaltă. Operațiile intelectuale se dezvoltă intens atunci când sunt solicitate nemijlocit de procesul de asimilare al noțiunilor. Modul cum se desfășoară acest proces joacă un rol mai important în dezvoltarea gândirii însăși și mai ales în evoluția aspectului operativ."Orice descoperire impune căutarea și rezolvarea de probleme. Crearea unor situații problemă în timpul învățării atrage de la sine o gimnastică a gândirii și a celorlalte procese de cunoaștere în vederea găsirii de noi soluții" 4) . Ele pot fi descoperite de elev numai în procesul de învățământ, care pe lângă funcția formativă, de transmitere de cunoștințe, trebuie să dezvolte și aptitudinile intelectuale ale copiilor, precum și gândirea independent – creativă.

I.4 Creativitatea prin rezolvarea de probleme si exerciții– obiectiv major al învățământului primar

,,Creativitatea este o floare atât de delicată încât elogiu o face să înflorească – în timp ce descurajarea o înăbușă adesea, chiar înainte ca să se poată transforma în floare”

(Osborn)

În urma studiilor efectuate de oamenii de specialitate s-a dovedit că formele cunoașterii senzoriale, deși necesare, singure nu sunt suficiente pentru a-i permite omului cunoașterea însușirilor esențiale ale obiectelor, fenomenelor, precum și a relațiilor intime dintre acestea, a legilor fenomenelor.

Prin urmare, procesul cunoașterii nu se oprește la conținutul informațional asigurat de nivelul senzorial. Ele se continuă și se realizează la un nivel calitativ superior de reflectare a realității, nivelul reflectării logico-abstracte, conceptuale, esențiale a obiectelor și fenomenelor. Această formă de reflectare este realizată de gândire prin noțiuni, judecăți și raționamente.

Gândirea este, deci, procesul psihic, specific uman de reflectare a însușirilor generale și esențiale ale obiectelor și fenomenelor realității obiective precum și a relațiilor esențiale între ele. Gândirea este prin excelență o reflectare relațională; funcția gnoseologică a gândirii constă în a surprinde esența fenomenelor, legile realității. Cunoașterea acestora asigură posibilitatea omului de a prevedea desfășurarea lor, modificarea și transformarea realității în conformitate cu trebuințele sale.

Cunoașterea prin gândire este o cunoaștere generalizată, deoarece gândirea reflectă ceea ce este general stabil, esențial în obiecte și fenomene, are un caracter simbolic, abstract. Simbolurile sunt substitute ale obiectelor și fenomenelor materiale, sunt forme purtătoare de informații despre acestea.Simbolul poate fi un cuvânt, o cifră, o literă, un semn, tot ce se poate constitui un cod de semnificații generalizate.

Gândirea, ca reflectare procesuală abstractă, se realizează prin următoarele operații logice fundamentale:analiza,sinteza,comparația,abstractizarea,generalizarea,concretizarea, clasificarea și sistematizarea.

Analiza- presupune operația de descompunere mintală a obiectelor sau fenomenelor în elementele lor componente.

Sinteza- este operația inversă analizei; ea constă în unificare mintală într-un tot unitar al elementelor componente ale obiectivului sau fenomenului urmărit.

Comparația- constă în confruntarea și evidențierea, în stabilirea mintală a seriei de asemănări și deosebiri dintre obiecte și/sau fenomene supuse confruntării.

Prin descoperirea a ceea ce este asemănător, comun, se descoperă, în fapt, însușirile generale și esențiale ale obiectelor și fenomenelor și totodată, neglijarea însusiri-lor neesențiale.

Generalizarea- constă în operația de distribuire, de repartizare a obiectelor sau fenomenelor în grupe sau subgrupe în funcție de însușirile comune și esențiale care le diferențiază.

Sistematizarea- este operația logică de normare, de organizare în sens ierarhic a informațiilor, obiectelor, fenomenelor în concepte și sisteme de abstracțiuni, în specii, clase genuri, categorii.

Omul utilizează în procesul gândirii, nu noțiuni izolate, ci sisteme, lanțuri de noțiuni. Legătura dintre noțiuni, care reflectă relațiile obiective dintre ele, constituie judecată. Aceasta, ca formă a cunoașterii raționale, a gândirii, reprezintă afirmarea sau negarea a ceva despre un lucru, fenomen. Judecățile legate între ele formează raționamente.

Raționamentul, ca formă a cunoașterii logice, abstracte, constă în relația dintre două sau mai multe judecăți care, confruntate, duc la obținerea unei judecăți noi. Felul rațio namentelor sunt: inductive, deductive sau prin analogie. Inducția reprezintă operația de obținere, din câteva judecați particulare, a unei judecăți generale, iar deducția este operația inversă și anume trecerea de la general la particular. Raționamentele prin analogie se realizează pornind tot de la judecăți particulare. Înțelegerea este o formă a gândirii, de pătrundere, de descoperire a relațiilor esențiale dintre obiectele și fenomenele realității.

Înțelegerea se realizează prin relaționarea noilor informații de cele anterioare și includerea noilor date în sisteme de referință pe care elevul le stăpânește.

În procesul de învățământ, înțelegerea se manifestă în două moduri:

– prin cuvânt, prin expunerea orală a unei teme cu cuvinte proprii și prin capacitatea elevului de a da diferite exemple legate de această temă;

– prin acțiune, adică prin aplicare în practica a cunoștințelor noi;

Calitățile gândirii creative sunt:

– lărgimea gândirii- capacitatea elevului de a cuprinde mintal un ansamblu mare de date acțiuni ce vor servi la rezolvarea problemelor;

-rapiditatea- care constă în rezolvarea imediată a problemei;

– flexibilitatea

Noul curriculum al disciplinei Matematică pune accent pe caracterul explorativ-investigativ al învățării matematicii, pe valoarea formativă a contextelor problematice în care trebuie să se producă învățarea și pe raționalizarea conținuturilor la nivelul anului de studiu.

Obiectivele-cadru au un grad ridicat de generalitate și complexitate și marchează evoluția copilului de-a lungul întregului ciclu primar. Acestea sunt:

cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme;

formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic;

dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate.

Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalității atât sub aspect intelectual cât și sub aspect estetic și moral.

Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii exersează capacitatea de a judeca, ajută elevul să distingă adevărul științific de neadevăr, să-l demonstreze; antrenează organizarea logică a gândirii, ordonarea ideilor, recunoașterea ipotezelor și a concluziilor, îl învață pe copil să distingă diversele aspecte ale unei situații, să separe esențialul de neesențial; dezvoltă atenția, antrenează memoria logică, exersează analiza și sinteza, favorizează dezvoltarea imaginației creatoare; dezvoltă spiritul critic, formează spiritul științific obiectiv și stimulează dorința de cercetare.

Sub aspect estetic se dezvăluie frumusețea matematicii exprimată prin formule, relații, figuri, demonstrații, cultivă calități ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganță), îl ajută pe elev să recunoască și să aprecieze legătura formală a creației artistice din echilibrul arhitectural, compoziția artelor plastice, ritmuri și structuri muzicale, frumusețea și organizarea naturii și a tehnicii.

Din punct de vedere moral, matematica formează capacitatea aprecierii adevărului, obiectivității și echității, creează nevoia de rigoare, discernământ și probarea ipotezelor, dezvoltă nevoia de cunoaștere, de a înțelege. Se formează deprinderi de cercetare și investigare, e stimulată perseverența.

Gândirea creatoare se dezvoltă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care solicită strategii atipice, inventate și prin compunerea de probleme. O problemă este sau nu creativă, în funcție de vârsta, experiența și capacitatea intelectuală a elevului. Compunerea de probleme reprezintă o treaptă superioară de dezvoltare a gândirii creatoare, de legare a teoriei de practică. Pentru ca elevul să elaboreze textul unei probleme este necesar să găsească împrejurările corespunzătoare, să-și imagineze acțiunea, să aleagă datele numerice în concordanță cu realitatea, să stabilească soluții aritmetice corespunzătoare între informațiile date și să formuleze întrebarea problemei.

În activitatea de învățare a compunerii de probleme se pot folosi mai multe procedee, care pot fi grupate după forma de prezentare, strategiile și mecanismele gândirii pe care le solicită.

1. Compuneri de probleme după o acțiune sau o poveste

Se iau ca model activități zilnice sau povestiri. De exemplu, doi copii care au adus o vază cu flori pot da naștere ideii de creație a unei probleme. Acțiunea se va desfășura în fața clasei, florile vor fi numărate cu voce tare. Astfel se poate alcătui problema:

,,Ionuț a pus în vază 3 garoafe și Ana a mai pus încă 5.

Câte flori sunt în vază?”

2. Compuneri de probleme după desene

Pot fi folosite desene viu colorate, cu imagini sugestive precum fructe, flori, figuri geometrice, animale, insecte ș.a. sub formă de tablouri sau desene pe tablă. Se sugerează, astfel, ce să cuprindă enunțul problemei și ce numere vor constitui datele problemei.

Creativitatea se manifestă în transpunerea datelor din desen în relații matematice și în găsirea a cât mai multe variante de probleme. Elevii trebuie stimulați să inventeze probleme cât mai originale sau să le complice.Se vor folosi și desene care să indice operațiile pe care trebuie să le efectueze. Astfel, pentru operația de adunare pot fi desenate amimale sau insecte care vin într-un grup, iar pentru scădere care pleacă. De asemenea, pot fi desenate elemente tăiate cu o linie pentru a indica operația de scădere.

O altă modalitate de compunere a unor probleme este reprezentarea unor numere în tabele la care se indică, de exemplu: cantitatea avută, cantitatea consumată, cantitatea rămasă. Cantitatea care trebuie calculată e marcată de semnul întrebării. Pe baza acestor informații se pot compune probleme cât mai variate.

3. Compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior

Acest procedeu solicită elevii să compună probleme prin analogie, schimbând enunțul și datele iar întrebarea să rămână aceeași. În clasa I, tendința este de a păstra enunțul și întrebarea, elevii schimbând numai datele. Acum ei trebuie să fie îndrumați să aleagă și alte domenii din care să se inspire.În mod asemănător se cere elevilor să schimbe denumirea mărimilor și să păstreze datele.

În clasele mai mari procedeul devine mobilizator, antrenează gândirea elevilor și dezvoltă capacitatea de creație prin muncă independentă.

4. Completarea de către elevi a datelor care lipsesc

Aceste probleme nu solicită în mod deosebit creativitatea. Elevii trebuie să înlocuiască spațiile libere cu numere, având grijă să îndeplinească cerințele problemei. Astfel, ei sunt puși în situația de a înțelege că au dreptul să intervină în compunerea de probleme, solicitându-li-se inițiativa.

Exemplu:

,,Un elev are de citit 120 de pagini în 3 zile. În prima zi a citit………pagini, în a doua zi………pagini, iar în a treia zi restul.

Câte pagini a citit în a treia zi?”

5. Alcătuirea de probleme după întrebări date

Acestea pot fi abordate începând din clasa a II-a. Li se face cunoscută elevilor întrebarea și li se cere să potrivească enunțul. Întrebările vor fi clare, cerând în mod precis o anumită operație: ,,Cât au împreună?”, ,,Cât a mai rămas?”, ,,Cu cât este mai mare?”, ,,De câte ori este mai mare?”, ,,Câte pagini a citit a doua zi?” etc.

Creativitatea va fi stimulată prin necesitatea găsirii unor domenii cât mai variate.

6. Completarea (formularea) întrebării unei probleme

Folosind această formă de activitate în perioada în care elevii învață să desprindă din conținutul problemei enunțul de întrebare, se realizează conștientizarea cunoștințelor cu privire la elementele componente ale unei probleme, se conving elevii de necesitatea separării întrebării de enunț în rezolvarea ulterioară a problemelor.

Găsirea de întrebări noi contribuie la dezvoltarea imaginației, a gândirii divergente și flexibile.

Exemplu:

,,Într-o cutie sunt 63 de creioane. În altă cutie sunt de 9 ori mai puține.”

Pot fi formulate întrebările:

,,Câte creioane sunt în a doua cutie?!

,,Cu câte creioane sunt mai multe în prima cutie?”

,,Câte creioane sunt în cele două cutii?”

7. Compuneri de probleme după formulă numerică dată

Această activitate va avea succes dacă elevii au fost obișnuiți să transpună problemele în exerciții după ce le-au rezolvat (formule numerice sau literale).

După ce au fost stabilite datele numerice și relațiile dintre ele, efortul gândirii se concentrează la transpunerea formulei numerice sub formă de problemă concretă. Posibilitățile sunt limitate deoarece se pune accent pe rigoarea științifică a transformării.

Exemple:

Se cere compunerea unor probleme după exerciții date:

a) 70 kg + 20 kg =

b) 2 x 30 l =

c) 40 m : 2 =

d) 90 – 30 =

e) 338 + ( 338 – 127) =

f) 280 – (10 x 2) + 50 =

g) Compuneți o problemă cu numerele 197, 425, 200 astfel încât să aveți în rezolvare o adunare și o scădere.

La ultimul exemplu fiecare elev își poate manifesta independența în gândire, spiritul inventiv, ingeniozitatea, spontaneitatea gândirii, originalitatea.

8. Compuneri de probleme după formulă literală

Mecanismul gândirii este același ca la alcătuirea problemelor după formulă numerică, dar se face un pas către abstractizare și generalizare, adică spre gândirea specifică următoarei etape de dezvoltare intelectuală. Aici, elevii sunt puși în situația de a înlocui literele cu numere adecvate.

Din clasa I se pot alcătui probleme după formule literale simple:

a + b = c; a – b = c; a + b + c = d; a + b – c = d; a – b + c = d; a + (b + c) = d; (a + b) + (c + d) = e; a + (a + b) =c.

În clasele mai mari formulele literale se vor complica:

a = 29

b = a + 14

c = (a + b) + 47

a + b + c = ?

sau

a = 3

b = a x 6

c = a x b

a + b + c = ?

sau

a = b x 5

b = 8

c = a – b

a + b + c = ?

9. Compuneri de probleme după scheme

a) Scheme simple ce pornesc de la relațiile dintre datele problemei, ajungându-se la întrebarea problemei (metoda sintetică):

b) Scheme alcătuite pe calea metodei analitice (pornind de la întrebarea problemei): 10 + 6 ? 20 – 5 ?

c) Scheme fără indicarea operațiilor:

Variante posibile: a + b = ; a – b

d) Scheme cu indicația operațiilor și simboluri:

……………… ………………….

+ –

a + b – c

e) Scheme grafice:

19__________________

______________ _____4

10. Complicarea treptată a unei probleme

Acest procedeu se poate folosi în perioada în care se trece de la probleme simple la probleme mai complicate, în clasele a III-a și a IV-a.

Se cere elevilor să adauge date și să completeze enunțul, fiind solicitați să creeze relații, să-și pună în valoare cunoștințele despre realitatea practică.

11. Compuneri de probleme de un anumit tip

Acest procedeu se poate folosi când elevii învață să rezolve probleme tipice, când ei înțeleg și știu să folosească algoritmul de rezolvare a problemei, care să fixeze în mintea lor regula sau procedeul de calcul.

De exemplu: ,,Compuneți o problemă care să se rezolve prin metoda figurativă.

12. Rezolvarea problemelor prin mai multe metode

Acesta este un mijloc eficient de antrenare a gândirii creatoare, care necesită o gândire logică bine dezvoltată, pentru a putea vedea raționamentul în întregime, pentru a putea găsi noi relații între aceleași cantități, mărimi, valori.

Fiecare variantă de rezolvare poate fi transformată în formulă numerică sau literală după care să se compună alte probleme.

13. Probleme ale căror soluții nu sunt unic determinate

Acestea se întâlnesc în viața practică, în producție, unde se cere găsirea tuturor posibilităților, compararea lor și luarea unor decizii.

Copiii trebuie obișnuiți să caute mai multe variante de rezolvare, respectând condițiile impuse. Acest tip de probleme duce la dezvoltarea gândirii probabilistice.

De exemplu:

a) Scrieți toate numerele posibile a căror sumă să fie 9.

b) Găsiți cât mai multe soluții pentru exercițiile: a + b = 6, a – b = 4, unde a<10. Alegerea valorilor unei necunoscute nu se face la întâmplare, ci trebuie să se încadreze în cerințele impuse de condițiile date. Lucrurile se pot complica introducându-se condiții suplimentare.

c) Introducerea variabilelor în operații cu numere

Se urmărește dezvoltarea spiritului de independență, consolidarea cunoștințelor referitoare la numere, operații cu numere, relații dintre numere.

Varietatea exercițiilor de acest fel contribuie la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor creative în care să se utilizeze proprietățile operațiilor (comutativitatea), scrierea numerelor ca o sumă sau diferență (simetria egalității), utilizarea parantezei în cazul adunării unui număr cu o sumă sau o diferență (asociativitatea).

De exemplu exercițiul de forma 5 + a = se poate rezolva dacă lui ,,a” i se dau anumite valori.

d) Exerciții de aflare a numărului necunoscut dintr-o relație de egalitate sau inegalitate

Exemple:

Găsiți numărul ce trebuie scris, astfel încât egalitatea să fie adevărată:

…. + 2 = 8

40 + …. = 90

…. – 50 = 20

e) Exerciții de sinteză cu mai multe operații:

● Găsiți numerele potrivite astfel încât propozițiile să fie adevărate:

5 + …. + 1 = 9

8 = 4 + 1 + ….

90 + 10 – …. = 3

● Rezolvați exercițiile aflând valoarea lui a:

1 + 2 + a < 7

a + 4 – 3 = 2

● Ce numere putem scrie în locul lui n astfel încât să fie adevărată inegalitatea?

n + 14 < 19

f) Exerciții pentru aflarea semnului operației:

Completați spațiile punctate cu unul dintre semnele învățate, pentru ca relațiile să fie adevărate:

2 x (3 + 6) …. 2 x 3 + 2 x 6;

17 – (2 + 9)…. 17 – 2 + 9.

14. Probleme în care căutarea soluției se face prin încercare-eroare-reglare

Pentru rezolvarea unei astfel de probleme, elevul trebuie să aleagă dintre mai multe variante pe cele mai potrivite. Pentru aceasta trebuie să formuleze ipoteze, să analizeze, să tragă concluzii, să descopere calea ce duce la rezultatul căutat. În această activitate se manifestă gândirea probabilistică și cea deductivă.

Exemplu:

Se dă exercițiul: 5 x 4 : 2 + 8 – 2

Așezați corespunzător paranteze pentru a obține pe rând, rezultatele: 40; 16; 48.

15. Probleme care se rezolvă prin strategii atipice descoperite de elevi

Pentru rezolvarea acestor probleme elevii trebuie să se îndepărteze de tentația de a aplica modele cunoscute. Ei trebuie să găsească strategia de rezolvare adecvată specificului problemei. În această categorie se vor întâlni mai multe probleme de genul celor prezentate la punctele anterioare. Rezolvarea lor solicită flexibilitatea gândirii și capacitatea de adaptare mentală la noua situație descoperită.

Exemple:

a) Scrieți cel mai mic număr natural de 3 cifre diferite.

b) Care este cel mai mare număr natural de 3 cifre egale?

c) Efectuați înmulțirile într-o ordine care să ușureze calculele:

5 x 21 x 26 = ; 25 x 5 x 6 x 12 =

16. Probleme specifice de logică și perspicacitate

Acest tip de probleme este mai dificil. Este necesară o reflectare mai atentă asupra conținutului, selectarea cu precizie a întrebării, reținerea informațiilor care ajută la rezolvarea problemei.

Se dezvoltă gândirea logică, atenția, capacitatea de a descoperi pistele false, spiritul de inițiativă și observația, deprinderea de a lucra corect și rapid.

Exemple:

a) Câte degete sunt la o mână? Dar la două mâini? Dar la 10 mâini?

b) O punte rezistă la cel mult 70 kg. Un om care avea 69 kg și 800 g și ducea în mână două mere de 200 g fiecare, a traversat puntea dintr-o dată , fără să se rupă. Cum a procedat?

Răspuns: Din momentul în care a pășit pe punte și până a părăsit-o, a jucat merele aruncându-le în aer, în așa fel încât avea în mână doar un măr, celălalt fiind în aer.

Astfel nu a depășit greutatea admisă.

c) Cum am putea scădea pe 22 din 20, ca să obținem 88?

Răspuns:

XX – (cifre romane)

2 2

8 8

d) Zboară un cârd de gâște: o gâscă în față, două în spate, două în față, una între două și trei în șir.Câte zboară în total?

Sfera procedeelor pentru compunerile de probleme și rezolvarea lor prin muncă independentă, nu este limitată. Scopul rămâne același: dezvoltarea creativității gândirii elevilor, asigurarea succesului spre domeniul cercetării științifice care se bazează, în primul rând, pe matematică.

CAPITOLUL II

II.1. Clasificarea problemelor

Adoptăm , dupa G.Polya , o primă clasificare a problemelor în probleme ,,de aflat” și probleme ,,de demonstrat”. Această clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează încă de la Euclid , termenul de problemă ,, de aflat” corespunzând celui de problemă , iar cel de problemă ,,de demonstrat” corespunzând termenul de theorema.

Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a găsi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserțiune este adevarată sau falsă . Uneori , cele două operații – de aflare și de demonstrare – se pot întâlni în aceeași problemă . În matematicile elementare predomină ,,problemele de aflat” .

După numărul operațiilor necesare aflării soluției , problemele de aritmetică se clasifică în două mari grupe : probleme simple și probleme compuse . Se numesc simple problemele în care soluția se obține printr-o singură operație aritmetică , iar compuse – problemele a căror rezolvare se face cu două sau mai multe operații aritmetice .

După scopul imediat pe care îl urmăresc ( aplicarea unei reguli sau teoreme , dezvoltarea judecății , formarea deprinderilor de calcul ) problemele se clasifică în :

1 . Exerciții ;

2 . Probleme teoretice ;

3 . Probleme practice ;

4 . Probleme artificiale ;

5 . Probleme recreative .

Exercițiile sunt probleme ușoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei reguli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor. De fapt , dacă ținem seama că rezolvarea unei probleme implică o dificultate , exercițiile n-ar trebui să fie încadrate printre probleme .

Probleme teoretice . ,,Problemele care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată , asimilarea temeinică a cunoștințelor teoretice din aritmetică , aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicilor , se numesc probleme teoretice” .

Probleme practice . ,,Problemele care conțin date luate din lumea înconjurătoare legate de procesul de producție , așa cum se desfășoară el în realitate în uzine , pe ogoare , în laboratoare , aplicații tehnice , din calcule financiare , din comerț etc…., se numesc probleme practice”.

Probleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă , să folosească anumite reguli sau procedee de calcul . Autorul unei asemenea probleme se străduiește ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate .

Citez din lucrarea lui Gh.A.Chitei o problemă artificială : ,,O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui . După câte sărituri ogarul va ajunge vulpea , știind că el face șase sărituri în timp ce vulpea face șapte sărituri , iar trei sărituri ale ogarului fac cât patru ale vulpii ?”

De ce este artificială această problemă ? Pentru că o persoană nu poate număra în același timp numărul săriturilor făcute de vulpe și ogar , iar pe de altă parte acestea nu au o mărime constantă . Totuși , problema este instructivă , prin raționamentul care conduce la rezolvare .

Probleme recreative . ,,Problemele care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvarea lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic , se numesc probleme recreative”.

CRITERII :

după numărul de operații – simple

– compuse

b) după gradul de generalitate – generale

– tipice

– recreative

c) după sfera de aplicabilitate – teoretice

– practice

d) după conținut – de mișcare

– amestec și aliaj

– geometrie

– algebră

e) după modul de implicare al creativității – demonstrativ-aplicative

– reproductiv creative

– euristic creative

– de optimizare

f) după rolul de implicare în procesul didactic – formativ

– informativ

II.2.Metodologia rezolvării problemelor de matematică

PROBLEME SIMPLE . PROBLEME COMPUSE

Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală , în familie , în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui .Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări . În aceasta perioadă de început , activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă . De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub forma de joc și au caracter de probleme-acțiune și cărora li se asociază un bogat și variat material didactic- intuitiv . Rezolvarea lor se realizează la un nivel concret , ca acțiuni de viață ( au mai venit …,s-au spart …. , au plecat …., i-a dat…, au mâncat ….) . Activitatea de rezolvare se află aproape de aceea de calcul, dificultatea principală pe care o întâmpină elevii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice . Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de ,,problemă” , ,,întrebarea problemei” , ,,rezolvarea problemei”, ,,rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații . Învățătorul se folosește de ,,probleme acțiune”care după ce au fost puse în scenă vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare , învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operație aritmetică .

Care sunt , în esență , aceste tipuri ?

Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

– de aflare a sumei a doi termeni ;

– de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

– probleme de genul ,,cu atât mai mult” .

Probleme simple bazate pe scădere pot fi :

– de aflare a diferenței , a restului ,

– de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat ;

– de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei ;

– probleme de genul ,,cu atât mai puțin” ;

– probleme de aflare ,,cu cât este mai mare / mai mic” un număr decât altul .

Probleme simple bazate pe înmulțire sunt , în general:

– de repetare de un număr de ori a unui număr dat ;

– de aflare a produsului ,

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat .

Probleme simple bazate pe împărțire pot fi :

– de împărțire a unui număr dat în părți egale ;

– de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul ;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat ;

– de aflare a unei părți dintr-un întreg ;

– de aflare a raportului a două numere ;

– de câte ori este mai mare / mai mic un număr față de altul .

În general dificultatea frecventă constă în confundarea operației ce trebuie efectuate .Se recomandă abordarea unei mari varietăți de enunțuri .

Prin procedeele folosite se urmărește nu o învățare a problemelor , ci formarea capacităților de a domina varietatea lor . Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere ,să facă operații de compunere și descompunere , să folosească strategii și modele mintale anticipative .

Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă rezolvarea succesivă a unor probleme simple . Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi , construirea raționamentului .

Examinarea unei probleme compuse se face , de regulă , prin metoda analitică sau sintetică . Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta , caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției . Atât o metodă cât si cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care , prin rezolvare succesivă , duc la găsirea soluției finale . Deosebirea dintre ele constă, practic , în punctul de plecare al raționamentului . prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției ei , iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele .

În practică s-a stabilit că metoda sintezei este mai accesibilă , dar nu solicită prea mult gândirea elevilor . Mai mult , se constată ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei . Metoda analitică pare mai dificilă , dar solicită mai mult gândirea elevilor și , folosind-o , îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei , să aibă mereu în atenție întrebarea ei .

Odată cu analiza logica a problemei se formulează și planul de rezolvare . Planul trebuie scris de învățător pe tabla si de elevi pe caiete , mai ales la rezolvarea primelor probleme . În clasa I , planul problemei se întocmește la început oral , treptat se scrie . Forma în care se scrie planul este variată .

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare , deoarece se cultivă mobilitatea gândirii , creativitatea , se formează simțul estetic al elevilor . Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevarată gimnastică a minții , educându-se astfel atenția , spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor . De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare . Sarcina învățătorului este aceea că prin măiestria sa pedagogică , prin analiza întreprinsă cu clasa , prin întrebări ajutătoare ,să-i determine pe elevi să gândească și alte modalități de rezolvare .

Alt procedeu are la bază ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obținut prin etape succesive :

,,Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme , sesizând organizarea internă a conținutului ei . Elaborarea modelului în forme si modalitați dintre cele mai variate – cu cerculețe ,cu pătrate , cu litere, cu cuvinte , cu prescurtări ,este un instrument ajutător în rezolvarea problemei . prin alcătuirea modelului , elevul parcurge o etapă de gândire , pătrunde în procesul de rezolvare , probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei , îsi exersează gândirea divergentă , creatoare , precum si abilitățile de compunere de probleme .”

O categorie de probleme căreia învățătorul trebuie să-i acorde o atenție deosebită este aceea în care datele sunt în relații de ,,cu atât mai mare /mai mic” sau ,,de atâtea ori mai mare / mai mic” . Pentru elevii din clasa aII-a în special , aceste noțiuni au caracter abstract si dacă nu face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute . Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori : a+(a+b) ; a – (a – b); a+a x b ; a – a:b ; a+(a+b)+(a+c) si dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le va neglija , deci nu le va mai lua în calcul a doua sau , dupa caz , a n-a oară sau elevul în aceste situații nu știe cum să procedeze .

În aceste cazuri se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi recompunerea din acestea a problemei inițiale .

În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate , explicându-se copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație-problemă.

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită de multe ori folosirea schemelor , desenelor , graficelor , iar pentru formarea unei gândiri sintetice , formule numerice sau literale . Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și factorilor , dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și să compună probleme simple de aflare a unui termen , a unui factor , a sumei , diferenței , produsului , câtului , să mărească , să micșoreze o cantitate de atâtea ori – folosind formule literale , elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de schematizare și generalizare a unei probleme compuse printr-un exercițiu numeric sau formulă literală

Rezolvarea problemelor tip ( standard )

O încercare de a pune ,,ordine” în multitudinea problemelor de aritmetică , o posibilă

clasificare a problemelor de aritmetică :

I – Probleme cu operațiile relativ evidente .

Sunt problemele cel mai des întâlnite în manualele din clasele I-IV . Acestea sunt : A.Probleme simple

B.Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt , în principal , două: metoda analitică și metoda sintetică.

II – Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

III – Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la același termen al comparației )

IV – Probleme de presupunere ( metoda falsei ipoteze )

V – Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers )

VI – Probleme de amestec si aliaje cu două variante :

A. De categoria I

B. De categoria a II -a

VII – Probleme de miscare ( bazate pe relatia d=vxt ) , cu două variante :

A. În același sens

B. În sensuri contrare

VIII – Probleme cu mărimi proporționale , cu două variante :

A. Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

B. Împărțirea unui număr în părți invers proporționale

C. Împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date

IX – Probleme care , depinzând de alcătuirea întrebării și de date , rezolvate si încadrate la categoriile specificate mai sus , dar cu conținut specific :

A.Probleme cu conținut geometric

B.Probleme cu conținut de fizică

C.Probleme asupra acțiunii și muncii în comun

X.Probleme nonstandard ( recreative , rebusistice , de perspicacitate , probleme – joc etc.)

Această categorie de probleme nu presupune existența vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care nu permite aplicarea unei metode învățate.

Pentru a putea rezolva o astfel de problemă nu trebuie căutată o anumită metodă ci trebuie puse la contribuție atât gândirea cât și imaginația, fiecare problemă presupunând un act de creație. Nici o problemă nu seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvarea este proprie.

Datorită marii varietăți a acestui tip de probleme și a gradului înalt de particularitate al fiecăreia, acestea pot fi rezolvate numai în ore speciale de matematică, adică în cadrul unui opțional sau în cadrul cercurilor matematice.

Voi exemplifica în continuare două probleme ca să se poată vedea modul diferit de rezolvare.

Exemplu:

“Câte numere diferite se pot scrie cu cifrele 1, 4, 5?”

Pentru a putea scrie numere de 3 cifre cu cifrele 1, 4, 5 fiecare dintre ele vor ocupa pe rând locul unităților, zecilor, sutelor. Așadar numerele nou formate vor fi: 145, 154, 514, 541, 451, 415.

Dar enunțul problemei nu specifică dacă numerele formate să aibă una, două sau trei cifre. Ca urmare a acestei observații mai putem scrie următoarele numere: 14, 15, 41, 45, 51, 54, 1, 4, 5.

“Într-un coș sunt 5 mere. Cum trebuie împărțite aceste mere la 5 fetițe în așa fel încât să capete câte un măr, iar în coș să mai rămână un măr?”

Analizând problema observăm că nu putem da câte un măr la fiecare fetiță, iar în coș să mai rămână un măr. Ar fi trebuit ca în coș să fie 6 mere. De aceea, una dintre fetițe va primi coșul cu măr cu tot.

Prin problemă – tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip . O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul si suntem în posesia algoritmului de rezolvare .

Voi prezenta în continuare o clasificare a problemelor tipice si pentru fiecare tip o metodă de rezolvare . Pentru identificarea metodei ( algoritmului ) voi rezolva ,, model” unele dintre cele mai semnificative probleme aparținând unui anumit tip .

Problemele pentru fiecare tip urmăresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului), iar la alte probleme care sunt mai complexe si pot conține în enunțul lor două sau mai multe tipuri diferite de probleme,rezolvitorul trebuie să stabilească ce tipuri anume apar în enunț si apoi să le rezolve corespunzător .

Nu suntem adepții unor sabloane , pentru că rezolvitorii s-ar putea transforma în niște roboți , posesori ai unor cartele pe care sunt imprimați algoritmii și sarcina lor ar fi doar să stabilească tipul , să ,,tragă” cartele corespunzătoare si să le adapteze datelor problemei . Însă un rezolvitor de probleme trebuie să fie , pe lângă un bun specialist al matematicii , si un tip creator , novator , întreprinzător – calități disjuncte ale ,,robotului” , în sensul clasic al cuvântului .

Rezolvarea problemelor tip pe cale aritmetică presupune cunoașterea metodei specifice aplicabilă tipului respectiv .

Să trecem în revistă principalele probleme tip :

a)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma si diferența lor

Aceste probleme sunt de forma :

Suma a doua numere a si b ( a >b ) , este s, iar diferența lor este d . Să se afle cele două numere .

Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentându-se prin segmente cele două numere și punându-se în evidență suma si diferența lor .

d

a |––––––-|–––|

} s

b |––––––-|

Se ajunge la concluzia că numărul mai mare este egal cu semisuma dintre s si d , iar numărul mai mic este egal cu semidiferența lor :

a=s+d , b= s – d

2 2

Aceste formule nu trebuie să se aplice mecanic , ci să se facă apel la imaginea intuitivă a relației dintre cele două numere .

Probleme de sumă și diferență sunt si problemele de forma : Suma a doua numere este S , daca din primul se scade a’ si din al doilea b’ , se obțin numere egale . Care sunt cele două numere ?

a’

a |–––––|–––––––|

} s

b’

b |–––––|––|

În cazul acesta diferența celor două numere este egală cu a’ – b’ . Pentru problemele de sumă și diferență se poate face și următoarea generalizare :

Suma a n numere este s , diferența dintre al doilea si primul este d 1 , diferența dintre al treilea si primul este d 2 , diferența dintre ultimul număr si primul este d n -1 . Care sunt numerele ?

Folosind metoda figurativă ,

Obținem a 1 = ( d1 + d2 + …. + dn-1 )

n

a1 |–––––|

d1

a2 |–––––|––|

d2

a3 |–––––|–––––|

…………………………………………………..

dn-1

an |–––––|–––––––––|

b)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma si raportul lor

Aceste probleme sunt de forma : suma a două numere a si b este s , iar raportul lor este r . Să se afle aceste două numere .

Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentând prin segmente cele două numere si punând în evidență relațiile dintre ele .

a |––|

} s

b |––|––|––|––|––|

Se obține : b = s , a = s . r

r+1 r+1

c)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște diferența si raportul lor

Enunțul problemelor de acest tip este de forma :

Diferența a două numere a si b ( a > b ) este d , iar raportul dintre ele este r . Care sunt cele două numere ?

Rezolvăm problema facând apel la metoda figurativă .

b |––|

a |––|––|––|––|

|___________|

d

observăm : b = d , a = d . r pentru r # 1

r-1 r-1

pentru r=1 considerăm cazurile :

1) d= 0, atunci numerele sunt egale

avem nedeterminare

2) d# 0 , imposibilitate

d)Probleme de eliminare a necunoscutei prin sumă sau diferență

Rezolvarea acestor probleme revine la rezolvarea unui sistem de forma :

(1) x + y = a x-y=a

265

b |–––-|

I . Rezolvarea explicativă inițială

a ) Primul mod : prin eliminarea părții inegale din suma dată

1p+1p=2părți egale

265 – 17= 248 ( reprezintă mărimea a două părți egale )

248 : 2 = 124( mărimea unei părți )

124 x 1 = 124 ( marimea lui b )

124 x 1 + 17 = 141 ( a )

b ) Rezolvarea tipică ( propunere )

265 – 17 = 248 ( 2p egale )

248 : 2 = 124 ( 1p)

b = 124 x 1

b= 124

a= 124 x 1 + 17

a = 141

Verificare

a + b = 141 + 124 = 265 ( suma )

a – b = 141 – 124 = 17 ( diferența )

II . Al doilea mod : prin completarea numărului mic cu mărimea diferenței , suma mărindu-se cu această diferență

a ) Rezolvarea explicativă inițială :

a |–––––-|

} 265

b |–––-|…….|

17

265 + 17 = 282 ( reprezintă mărimea a două părți egale )

282 : 2 = 141 ( mărimea unei părți )

141 x1= 141 ( a )

141 – 17 = 124 ( b )

După formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor prin metoda figurativă de aflare a două numere când se cunoaște suma si diferența lor , se poate aplica formula de aflare

Astfel :

Numărul mare = ( S + D ) : 2

Numărul mic = ( S – D ) : 2

PROBLEMĂ

Dacă se așază câte doi elevi într-o bancă rămân 14 elevi în picioare . Dacă așezăm câte 2 elevi într-o bancă ramân 3 bănci libere . Câți elevi și câte bănci sunt ?

– datele sunt mărimi discrete ( bănci și elevi ) , care se pot pune în corespondență după criterii desprinse din analiza textului ; figurăm fie cu desen ( dreptunghiuri si cerculețe ) , fie cu litere ( banca cu B, elevul cu e ) :Obținem grupe de forma :

situația de la început

e e e e e e e e

B B B B B B B B 14 elevi

e

Dacă îi așezăm câte doi într-o bancă , deci alcătuim grupe de forma B e

Vom realiza :

e e e e e e e

B B B B B……………………….B B

e e e e e e 14 elevi

Avem deci :

e e e e e e e

B B B B………………B B…….B

e e e e e e e

|__________________________| |_____|

14 nu stim câte

e e e e e e e

B B B……………………….B B B B B B B

e e e e e e e

|__________________________| |__________| |___________|

14 B 3B 3B

TOTAL 14 B +3B+3B=20 B

1X20 +14 =34 ELEVI

PROBLEMĂ

Într-un vas de fructe sunt de trei ori mai multe prune decât mere . La masă sunt patru persoane . Fiecare din ele își ia câte un măr și câte o pară . Rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere . Câte prune si câte mere au fost la început?

Figurăm mărul cu M și pruna cu p . Situația de la început ar arăta astfel :

p p p p p p p

Mp Mp Mp Mp Mp………….. Mp Mp

p p p p p p p

Cele patru persoane își iau câte un măr și o prună .

Figurăm ce a rămas :

p p p p p p p

Mp…………….Mp Mp

P p p p p p p

Deci au rămas 8 prune ,,izolate”si grupe de câte un măr cu câte 3 prune fiecare .

În partea a doua a problemei , enunțul ne indică faptul că rămân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere , deci suntem obligați să realizăm grupe de forma

P

P M P

P

Cum obținem acest lucru ? ,,Obligând” câte o prună să treacă la o grupă de câte un măr și cu câte 3 prune pentru a completa până la 4 prune fiecare grupă : Observăm că cele 8 prune vor completa 8 grupe PPMPP, adică 8 mere, deoarece în fiecare grupă se află câte un măr.

Așadar în vas rămân 8 mere după ce cele patru persoane au servit câte un măr. La început au fost 8+4=12 mere si de trei ori mai multe prune decât mere , deci 12×3= 36 prune.

Rezolvarea si compunerea de probleme de aflare a unor numere consecutive necesită cunoașterea unor noțiuni și aplicarea lor . Spre exemplu elevii trebuie să știe să scrie forma generală :

– a numerelor consecutive ;

– a numerelor consecutive pare sau impare ;

Această metodă figurativă devine ,,o ghicitoare foarte atractivă” pentru elevii claselor primare atunci când li se cere să compună probleme . Prin joc ei respectă relațiile și condițiile observate pe desen , utilizând în același timp teoria si limbajul matematic corespunzător (două numere consecutive pare sau impare , a trei numere consecutive pare sau impare ) .

Metoda dublului raport

Problema dublului raport are la baza metoda figurativă și se desfășoară în trei etape :

1. etapa inițială ;

2. etapa transformărilor ;

3. etapa finală ( a celui de – al doilea raport )

Rezultă că există un raport inițial , apoi un alt raport final .

Cerințe metodice :

I . se vor face câteva exerciții de împărțire în grupe pe valori cunoscute ;

II. pentru vizualizarea corectă a relațiilor dintre date este bine ca etapa inițială să conțină un număr de grupe pe partea finală încât să asigure vizualizarea după etapa de transformare ;

III. simbolurile pentru elementele din grupe să conțină de obicei literele cu care încep , evităm aceeași literă

PROBLEMĂ

Într-un vas sunt de trei ori mai multe prune decât mere. Dacă se iau 4 mere si 4 prune, în vas ar ramâne de 4 ori mai multe prune decât mere. Câte prune si câte mere sunt ?

Notam p – prune si m – mere

Raport inițial

p

P |––|––|––| grupe 1 mar si trei prune m p

m|––| p

Aflarea numărului de grupe e dat de numărul de mere

I . m ppp ……………..mppp mppp mppp mppp mppp

II . m ppp ……………….mppp ppp ppp pp __

III. ppmpp ……………..ppmpp

Schema de rezolvare :

– să vadă că în raportul final al doilea raport e 1 la 4

– grupele și-au menținut prunele

– grupa finală a apărut prin completarea grupelor cu câte 1 prună

1) câte prune sunt pentru completarea grupelor ? 3+3+2=8prune

2) câte grupe vor completa 8 prune ? 8 grupe

3) care e numărul total de grupe ? 8+4=12

4) 1×12=12mere 3×12=36prune

PROBLEMĂ

Un elev are de 5 ori mai mulți porumbei decât iepuri . Dacă ar cumpăra 4 iepuri si 8 porumbei el ar avea de 4 ori mai mulți porumbei decât iepuri .

Raportul inițial – mai mare

Raportul final – mai mic

I . ippppp……………….ippppp

* * *

II. ippppp……………….ippppp ippppp ippp i i

|__________9 grupe __________________|

III. ppipp ………………..ppipp ppipp ppipp ppipp ppipp

|_______________________________|

completăm

1) câți porumbei ne trebuie pentru completarea grupelor ?

1+4+4=9 raportul 1 la 4

2) câte grupe sunt cele care se vor completa cu cei 9 porumbei ?

9:1 = 9 grupe

3) câte grupe sunt inițial ?

9-1=8

nr. Iepuri 1×8=8 nr . porumb

Experimentele întreprinse în scopul studierii eficienței metodelor folosite în rezolvarea problemelor se referă la :

1 . Utilizarea fișelor ;

2 . Recunoașterea tipului căruia îi aparține o problemă ;

3 . Alcătuirea unei probleme de un anume tip ,

4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode .

1 . Utilizarea fișelor

Un prim rezultat pe care l-am obținut în utilizarea fișelor este cel al unei participări active a elevilor la descoperirea și însușirea metodei speciale de rezolvare a unui tip de probleme . Acest lucru a stat la baza trăiniciei cunoștințelor elevilor .

În general fișele folosite pentru studiul unui tip de probleme conțin trei părți : o problemă , indicații asupra rezolvării și rezolvarea . Elevul trece la partea următoare numai după ce o rezolvă pe precedenta . Pentru aceasta cele trei părți ale unei fișe ( problema , indicații , rezolvarea ) pot fi prezentate separat . Nu toate fișele conțin soluții , ci doar întrebări care-i conduc pe elevi la aflarea soluției .

FIȘĂ

Problemă

O gospodină a făcut dulceață de prune și de gutui . Cantitatea de dulceață de prune este cu 8 kg mai mare decât cea de gutui , iar cea de gutui este de 9 ori mai mică decât cea de prune .

Câte kg de dulceață a făcut din fiecare ?

1. Rezolvă problema

2. Indicație : De câte ori se cuprinde cantitatea de dulceață de gutui în diferența dintre cantitatea de dulceață de prune și cea de gutui ?

3. Soluție : Reprezentăm cantitățile de dulceață de prune și de gutui prin două segmente care să respecte relațiile din problemă .

8 kg cantitatea de dulceață de gutui se cuprinde

pr. |–|–|–|–|–|–|–|–|–| de 8 ori în diferența

g. |–| celor două cantități de dulceață

Rezolvare

Proba

4. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5. Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

FIȘĂ

Problemă

Într-un depozit erau 963 kg de zahăr și de orez . Cantitatea de orez era de 8 ori mai mare decât cea de zahăr . Câte kg de zahăr și câte kg de orez erau în depozit?

1 . Rezolvă problema .

2 . Indicație : De câte ori cantitatea de zahăr se cuprinde în cantitatea totală de zahăr și de orez ?

3 . Soluție : Reprezentăm cantitățile de zahăr și de orez prin două segmente (unul de opt ori mai mic decât celălalt) .

z. |–|

} 963

o. |–|–|–|–|–|–|–|–|

Cantitatea de zahăr se cuprinde în cea totală de zahăr și orez de 9 ori

4 . Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5 . Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

FIȘĂ

Problemă

Un camion a parcurs în două zile 453 km . În prima zi a mers cu 211 km mai puțin decât în a doua zi . Cât a mers în fiecare zi?

1 . Rezolvă problema

2 . Indicație : Folosind metoda figurativă , reprezintă spațiul parcurs de camion în cele două zile prin două segmente .

I |–––-|

} 453 km

II |–––-|––|

211

Observăm că , dacă scoatem din spațiul total parcurs în cele două zile spațiul parcurs în plus a doua zi față de prima , obținem de două ori spațiul parcurs în prima zi . Deci :

1) I =453 – 211 2) II =453 – 211

2 2

Explică rezolvarea .

3. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

4 . Alcătuiește o problemă de același tip cu problema dată .

2. Recunoașterea tipului căruia îi aparține o problemă sau a metodei aplicabile constituie o condiție necesară folosirii algoritmului de rezolvare a problemelor tip . Dau , mai jos , două teste folosite în acest scop .

TESTUL A

Indicați de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Un camion a parcurs 560 km . Să se afle cât a parcurs în fiecare zi , dacă în prima zi a parcurs cu 160 km mai mult decât în a doua zi ?

2 . Într-o școală sunt 396 de elevi . Numărul elevilor dintr-o clasă este de 10 ori mai mic decât numărul total al elevilor din celelalte clase . Câți elevi sunt în clasa respectivă ?

3 . Un elev cumpără 3 cărți și 2 caiete și plătește 962 de lei . Altădată , prețul rămânând același , pentru 8 cărți și 10 caiete plătește 3410 de lei . Care este prețul unei cărți și al unui caiet ?

4 . Trei copii au cules o cantitate de nuci . Unul dintre ei a împărțit nucile prin numărare în trei părți egale și – a luat o parte . La fel a procedat fiecare copil cu nucile rămase după operația făcută de predecesorul său și au rămas la urmă 48 de nuci . Câte nuci au fost la început ?

5 . Într-un vas sunt de 5 ori mai multe prune decât mere . Dacă se mai adaugă în vas două mere și se scot 14 prune , în vas rămân de 3 ori mai multe prune decât mere . Câte prune și câte mere au fost ?

6 . Un tată este cu 39 de ani mai mare decât fiul său , iar peste 7 ani va avea de 4 ori vârsta fiului său . Câți ani are fiecare ?

TESTUL B

Indicați de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Trei obiecte , notate cu A , B , C , costă împreună 14 880 de lei . Știind că B costă cu 4950 de lei mai puțin decât A și cu 3720 de lei mai mult decât C , să se afle cât costă fiecare .

2 . Într-o livadă sunt 28 de pomi , meri și pruni . Numărul prunilor este de trei ori mai mare decât al merilor . Câți pomi sunt de fiecare fel ?

3 . O carte are cu 225 de pagini mai mult decât o broșură , iar numărul paginilor broșurii este de 10 ori mai mic decât cel al cărții . Câte pagini are cartea și câte are broșura ?

4 . Mama și fiica au împreună 109 de ani . Să se afle câți ani are fiecare , știind că mama este cu 31 de ani mai în vârstă decât fiica .

5 . Pentru 2 kg de zahăr și 5 kg de orez s-au plătit 3615 lei . Altă dată , prețurile , rămânând aceleași , pentru 2 kg de zahăr și 3 kg de orez s-au plătit 2885 lei . Cât a costat 1 kg de zahăr și cât a costat 1 kg de orez ?

6 . Am o sumă de bani . Dublez această sumă și iau după aceea din ea 20 de lei . Suma obținută astfel o dublez iarăși și iau din ea din nou 20 de lei . A treia oară, dublez suma rămasă , iau din ea 20 de lei și nu mai rămâne nimic . Cât a fost suma de la început ?

3. Alcătuirea de probleme de un tip dat

Prin alcătuirea de către elevi a unui număr de probleme de un tip dat am urmărit două scopuri : însușirea caracteristicilor problemelor de tipul studiat și a metodei de rezolvare ; însușirea tehnicii de alcătuire a unei probleme , a părților principale pe care orice problemă trebuie să le cuprindă ( date , necunoscută , condiție ) . Elevilor li s-a dat ca temă alcătuirea de probleme tip , în general după o lecție în care s-a întreprins studiul tipului respectiv de probleme. De asemenea am întreprins și acțiunea de durată mai îndelungată a împărțirii elevilor unei clase pe colective care să redacteze probleme de un anume tip , în scopul alcătuirii unei culegeri de probleme .

Problemele alcătuite de elevi demonstrează , în general , că ei știu să formuleze o problemă de un tip dat . Cel mai ușor formulează probleme care se rezolvă prin metoda figurativă , iar dintre acestea problemele numerice ( datele sunt numere naturale ) sunt la îndemâna elevilor de clasa a patra .

4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode constituie un prilej de dezvoltare a creativității gândirii elevilor . Iată două probleme care se pot rezolva prin mai multe metode :

1 . Un centru de legume și fructe a vândut struguri cu 220 de lei kg si cu 240 de lei kg . Câte kg de struguri de fiecare fel a vândut acest magazin dacă a încasat suma de 13680 de lei pe cantitatea totală de 60 de kg ?

2. La un magazin alimentar sunt două calități de mere . Prima calitate se vinde cu 140 de lei kg , iar a doua cu 118 lei kg . Câte kg trebuie să se ia din fiecare calitate pentru a se forma un amestec de 110 kg care să se vânda cu 133 de lei kg ?

Elevii au rezolvat aceste probleme prin metodele : falsa ipoteză , figurativă , algebrică sau încadrându-le în categoria problemelor de eliminare a unei necunoscute prin sumă .

II.3.Pașii de rezolvare

Introducerea elevilor în rezolvarea problemelor se face progresiv, de la eforturi minime la eforturi sporite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor în rezolvarea problemelor se îmbogățește. Odată cu învățarea primelor operații de adunare și scădere se începe rezolvarea, mai întâi pe cale orală și prin intuiție, a problemelor simple. Mai târziu elevii încep să rezolve aceste probleme și în scris. Un moment important îl constituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la cele compuse. Varietatea și complexitatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficiența formativă a activității de rezolvare a problemelor. Pentru a înțelege mai bine eforturile intelectuale la care sunt supuși elevii trebuie să menționăm că sunt două situații posibile în rezolvarea de probleme, care îi solicită în mod diferit:

Când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cea rezolvată anterior sau o problemă tip, el trebuie să recunoască cărui tip îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care au același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează schema mintală de rezolvare. În cazul problemelor tip, această schemă se fixează ca un algoritm de calcul, de rezolvare a problemei.

În cazul când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă de rezolvare cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În acest fel este solicitată creativitatea, favorizată de flexibilitatea gândirii, de capacitatea anticipativă.

Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape. În fiecare dintre aceste etape datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluția problemei. În acest fel, sunt solicitate capacitățile gândirii de analiză și sinteză prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care duce la soluția problemei.

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze presupune ca elevul să aibă un bagaj de cunoștințe pe care să le aplice, cât și o gamă variată de priceperi și abilități intelectuale necesare în procesul rezolvării problemelor. Diferitele ipoteze iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor asimilate anterior. Cu cât cunoștințele anterioare sunt mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în mintea celui care rezolvă să îl conducă mai repede la o soluție, cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat, cu atât alegerea este mai bună. De aceea, capacitatea de a rezolva probleme complexe se bazează pe o solidă pregătire de specialitate, dar și pe cultură generală.

Pentru a rezolva probleme sunt necesare cunoașterea și formarea unor tehnici, procedee, moduri de acțiune, priceperi și abilități cum ar fi: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (deprinderi de calcul).

Cele mai multe dintre problemele de matematică nu sunt independente, izolate ci fiecare se încadrează într-o anumită categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea copiilor se formează schema de rezolvare, li se fixează un algoritm de lucru, care se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este ușurată în cazul în care elevul poate subordona problema unei categorii, unui tip de probleme deja cunoscut. Această subordonare se poate face corect dacă elevul a înțeles raționamentul rezolvării problemei, dacă o poate descoperi și recunoaște.

Pentru a putea rezolva o problemă, elevul trebuie să înțeleagă structura și logica rezolvării ei. Elevul trebuie să cuprindă întregul film al defășurării raționamentului și să-l aplice întregii categorii de probleme. Pentru a realiza și generaliza raționamentul comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de analiză și înțelegere a datelor, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

Spre a rezolva o problemă compusă, elevul rezolvă mai multe probleme simple. Ele nu sunt probleme simple care se rezolvă izolat ci fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecărei dintre ele ducând la aflarea necunoscutei reprezentând un pas înainte pe calea raționamentului problemei compuse.

Să luăm exemplul următor:

“Mama a cumpărat pentru iarnă 54 kg de ceapă, o cantitate de morcovi de 6 ori mai mică, iar cartofi o cantitate de 9 ori mai mare decât cea de morcovi.

Câte kilograme de legume a cumpărat mama?” (clasa a II-a)

54 kg ceapă ………. morcovi de 6 ori mai puțin ………. cartofi de 9 ori mai mult decât morcovi …………. ? kilograme legume a cumpărat.

După rezolvarea primei probleme simple (mama a cumpărat 54 kg ceapă și morcovi de 6 ori mai puțin, câte kilograme morcovi a cumpărat?), problema se poate formula astfel:

“Mama a cumpărat pentru iarnă 54 kg ceapă, 9 kg morcovi și o cantitate de cartofi de 9 ori mai mare decât cea de morcovi.

Câte kilograme de legume a cumpărat mama?”

După rezolvarea celei de-a doua probleme simple (a cumpărat 9 kg morcovi și o cantitate de cartofi de 9 ori mai mare, câte kilograme de cartofi a cumpărat mama?), problema se poate formula astfel:

“Mama a cumpărat pentru iarnă 54 kg de ceapă, 9 kg de morcovi și 81 kg de cartofi.

Câte kilograme de legume a cumpărat mama?”

În rezolvarea unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza cărora rezolvitorul găsește drumul în direcția aflării soluției problemei.

Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altei căi sau metodă de rezolvare;

generalizare;

compunere de probleme după o schemă asemănătoare.

1.1 Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa în care se începe rezolvarea oricărei probleme. Rezolvitorul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este necunoscuta problemei. Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citire de către învățător sau elevi sau prin enunțare orală. Se va repeta problema de mai multe ori până va fi însușită de către toți elevii. Citirea și enunțarea orală a textului vor fi expresive pentru a se evidenția anumite date și legături dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și în caietele elevilor datele problemei.

Înțelegerea enunțului problemei

Pentru ca elevul să formuleze ipoteze și să realizeze raționamentul rezolvării problemei trebuie să cunoască termenii în care se pune problema. Enunțul problemei constituie minimul necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Informațiile minime trebuie recepționate de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar prin acțiuni.

Nereceptarea corectă a problemei generează multe dificultăți în activitatea de rezolvare cum ar fi: schimbarea sensului unor date, neglijarea unor date, luarea în considerație a unor numere care nu au funcție de date ale problemei.

Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei.

În acest moment se elaborează raționamentul prin care se rezolvă problema, adică se realizează legătura și drumul dintre datele problemei și necunoscută. Prin analiza datelor, prin cunoașterea semnificațiilor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se realizează trecerea de la situațiile concrete pe care le prezintă problema (“a parcurs …. kilometri”, “a cumpărat …. kilograme”, “a …… lei kilogramul”) la relații abstracte cum ar fi cele dintre parte și întreg; viteză, distanță și timp; cantitate, preț, valoare.

Pentru a evidenția esența matematică a problemei se poate transpune problema într-un desen, o imagine, schemă, se pot scrie datele problemei într-o coloană sau pe orizontală evidențiindu-se relațiile dintre ele. Folosind reprezentarea matematică a problemei elevii pot observa cum este cazul problemei de mai sus că este vorba despre o sumă dintre trei numere ultimele reprezentând un cât și un produs.

Această transpunere matematică a problemei îi ajută pe elevi în găsirea soluției.

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare din planul logic

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare.

Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Această etapă în cadrul rezolvării unei probleme are o importanță majoră în formarea abilităților, a priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme. Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și altor metode de rezolvare și de găsire a celei mai bune, mai simple căi de rezolvare. Prin această etapă se verifică și modul în care s-a însușit enunțul problemei, corectitudinea raționamentului realizat și a planului de rezolvare întocmit.

După verificarea problemei se poate integra problema categoriei din care face parte prin fixarea algoritmului de rezolvare. Pentru a realiza această schemă generală a unei categorii de probleme în această etapă învățătorul poate rezolva cu elevii probleme asemănătoare, poate compune probleme cu aceleași date sau cu date schimbate. Acest lucru duce la dezvoltarea gândirii creatoare.

Sarcina învățătorului atunci când are de rezolvat o problemă este să-i conducă pe elevi la o analiză profundă a datelor problemei și a relațiilor dintre ele, să-i aducă pe elevi la găsirea soluției. Uneori ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunț și elevii au tendința de a le rezolva în ordine. Atunci soluția poate fi eronată.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă pe elev de la concret spre generalizare, abstractizare, la transpunerea datelor în relații matematice.

Strategii de rezolvare a problemelor

Organizarea activității de rezolvare a problemelor se bazează pe etapele fundamentale de efort mintal pe care le parcurg elevii:

cunoașterea enunțului problemei;

înțelegerea enunțului problemei;

analiza și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

activități suplimentare după rezolvarea problemei.

Activitatea de rezolvare în ansamblu și pe etape în parte se poate desfășura în funcție de dificultățile pe care le ridică fiecare problemă, de posibilitățile pe care le oferă vârsta școlară respectivă, de experiența elevilor în legătură cu rezolvarea problemelor.

CAPITOLUL III ACTIVITATEA METODICĂ DE CERCETARE

III. 1 Ipoteza de lucru.

Ipoteza pe care mi-am propus să o verific în planul practic al realității școlare este: dacă în învățământul primar se concepe și utilizează metodele nonstandard de rezolvare a problemelor, atunci se va determina o creștere a performanței școlare.

Aplicând metodele nonstandard de rezolvarea a problemelor scontăm ca elevii să-și formeze strategii de învățare,astfel încât să -și poată realiza obiectivele .
Alternativa aleasă a fost descrisă în capitolele anterioare și a fost experimentată la clasă.

III. 2 Obiectivele cercetării:

Obiectivele cercetării de față sunt următoarele:

cunoașterea nivelului de pregătire intelectuală a copiilor și stabilirea performanței individuale;

cunoașterea și evidențierea valențelor formativ-educative ale metodelor de rezolvare ale problemelor;

elaborarea și implementarea unor programe speciale de valorificare a metodelor nonstandard de rezolvare a problemelor

III.3 Metode și instrumente.

a)Eșantionul de lucru

Cercetarea s-a realizat în luna martie 2017 pe un eșantion de 30 de învățători din cadrul cercului pedagogic de la Școlile din Podoleni, Costișa, Români, Județul Neamț.

Au fost implicați de asemeni, elevii clasei a II-a , provenind de la Școala Gimnazială ,,Alexandru Podoleanu”, Podoleni , care a fost aleasă clasă experimentală, având un număr de 23 de elevi.

b)Pentru a demonstra ipoteza formulată, am recurs la următoarele metode de cercetare:

* ancheta pe bază de chestionar. Folosind această metodă, am cules informații asupra opiniilor cadrelor didactice din învățământul primar despre aplicarea metodelor nonstandard de rezolvare a problemelor.

Cele 8 întrebări scrise au fost ordonate logic, iar răspunsurile mixte au fost înregistrate în scris. Datele rezultate din aplicarea chestionarului au fost analizate din punct de vedere cantitativ și calitativ, permițând formularea unor concluzii și a conturării unor direcții de viitor.

Observarea elevilor în timpul activităților desfășurate la orele de matematică, pe baza cărora am obținut informații atât de natură cantitativă, cât mai ales calitativă. Aceste observații au contribuit la perfectarea unor strategii în diverse laturi ale lor: conținut, dirijare, performanță.

Analiza unor probe de evaluare ale elevilor și a unor activități independente;

Metoda experimentului a furnizat cele mai multe date, atât de natură cantitativă, cât mai ales calitativă.

Înregistrarea datelor a presupus utilizarea unor fișe în care erau trecute seriile statistice,

pentru prezentarea datelor înregistrate am utilizat histogramele și poligoanele de frecvență, care aduc un plus de claritate asupra fenomenului în evoluția sa.

CAPITOLUL IV

IV.1 Desfășurarea cercetării:

a) În prima etapă s-a desfășurat pretestarea (pentru a vedea dacă a fost bine elaborat chestionarul).

b) Etapa a doua a constat în redactarea definitivă a chestionarului.

Folosindu-mă de chestionare aș putea afla în ce măsură se angajează copiii în învățare prin metode nonstandard de rezolvare a problemelor, cum stimulează ele dezvoltarea imaginației și găndirii creative, în ce măsură se asigură progresul școlar.

c) În cadrul etapei a treia a fost aplicat chestionarul și au fost interpretate datele obținute.

IV.2 Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor.

Răspunsurile la chestionar sunt prezentate pentru fiecare întrebare. Pentru unele întrebări, procentul răspunsurilor este reprezentat prin diagrame.

Item 1: În ce măsură folosiți metodele de rezolvare a problemelor în activitatea didactică la clasă?

Rezultatele obținute oferă informații despre cât de folosite sunt metodele de rezolvare a problemelor în activitate.

În măsură potrivită : 10%, în mare măsură : 37% și în foarte mare măsură 53%.

Item 2: Se angajează copiii dumneavoastră în învățare prin rezolvarea de probleme?

Rezultatele obținute oferă informații despre angajarea copiilor în învățare prin jocul didactic. În foarte mică măsură: 7%, în măsură potrivită : 13 %, în mare măsură :23 % și în foarte mare măsură : 57 %.

Item 3:În ce măsură stimulează dezvoltarea creativității rezolvarea de probleme?

Item 4: Care sunt cele mai utlizate tipuri probleme?

1. Problemele simple

2. Problemele nonstandard

3. Problemele tip

Rezultatele obținute oferă informații despre cele mai utilizate probleme: probleme simple: 33%, probleme nonstandard: 27%, probleme tip: 40%.

Item 5:În ce măsură se asigură progresul școlar folosind metodele nonstandard de rezolvare a problemelor?

Item 6:Bifați perioadele în care metodele nonstandard ar fi mai eficiente:

învățământ preșcolar;

învățământ primar;

învățământ gimnazial.

Rezultatele obținute pun în lumină perioadele mai eficiente pentru utilizarea jocului.

Învățământ preșcolar: 10%, învățământ primar: 83%, învățământ gimnazial:7%.

Item 7 Considerați că rezultatele obținute în urma evaluării oferă informații despre:

1. activitatea de învățare a elevilor;

2. activitatea didactică a învățătorului;

3. ambele.

Rezultatele obținute în urma evaluării oferă informații atât despre activitatea de învățare a copiilor, cât și despre activitatea didactică a învățătoarei (acest răspuns a fost în proporție de 90%).

10 % dintre învățătoare consideră că evaluarea oferă informații despre activitatea de învățare a copiilor..

Item 8: Ați participat la cursuri de formare cu tema ,, Tipuri și metode de rezolvare a problemelor în învățământul primar,,?

DA NU

Cercetarea desfășurată a avut la bază ipoteza generală enunțată. Variabilele independente (experimentale) ce se introduc în procesul educativ s-au constituit în utilizarea unei diversități de metode nonstandard de rezolvare a problemelor în procesul de predare învățare. Etapa experimentală a constat în desfășurarea instruirii în concordanță cu cele afirmate mai sus, iar etapa evolutivă a însemnat atât evaluările de tip continuu formative, cât și cele de tip sumativ.

Tratarea diferențiată , munca independentă cu caracter de investigare, descoperire, elaborare de noi cunoștințe, crearea unor situații problemă, au constituit câteva puncte de reper în desfășurarea instruirii la clasa experimentală.

În etapa evaluativă elevii au primit spre rezolvare următorul test inițial:

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

NUMERELE NATURALE ÎN CONCENTRUL 0-10

1 p oficiu

Total: 10 puncte

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

REZULTATE OBȚINUTE DE ELEVI LA TESTAREA INIȚIALĂ

Numerele naturale în concentrul 0-10

Sintetic, rezultatele obținute se prezintă astfel:

Interpretarea rezultatelor

Rezultatele obținute la acest test inițial m-au ajutat să ajung la câteva concluzii:

colectivul clasei este unul omogen, cu posibilități intelectuale ( un număr de 16 elevi obținând rezultate bune și foarte bune );

unii elevi întâmpină dificultăți în rezolvarea unei sarcini :

7 elevi întâmpină greutăți în găsirea regulei și completarea șirului dat;

ritmul de lucru al unor elevi a fost cel mediu;

În urma acestui test, pe parcursul activităților didactice următoare, la fiecare unitate de învățare studiată voi utiliza intensiv problematizarea pentru a observa dacă situația constatată în acest test poate fi modificată odată cu aplicarea testului final.

Evaluarea finală a elevilor

TEST DE EVALUARE FINALĂ

Matematică

1) Ordonează crescător și descrescător numerele: 24; 15; 37; 8; 13.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

2) Descompuneți în zeci întregi și unități numerele:

28= ____+____ 16=____=____ 31=____+____

3) Scrieți numerele mai mari decât 74 și mai mici decât 80.

______________________________________________________

4) Scrieți numerele naturale de la 30 la 50 din 5 în 5.

_________________________________________________________

5) Aflați suma numerelor:

23 și 16 ______________________ 11 și 18 _______________________

6) Aflați diferența numerelor:

68 și 20 _______________________ 36 și 14 _______________________

7) Găsiți termenul necunoscut:

+ 12=36 – 24=15 68 – = 30

8) Într-o seară un drumeț a poposit la un han. Nu avea bani, dar avea un lanț de argint compus din șapte verigi. A fost găzduit cu condiția să-i dea hangiului, în fiecare zi, câte o verigă din lanț.

Care este cel mai mic număr de verigi care trebuie tăiate, astfel încât drumețul să fie în ordine cu plata în fiecare din cele șapte zile cât este găzduit?

Plan și rezolvare

REZULTATELE OBȚINUTE DE ELEVI LA TESTAREA FINALĂ

Matematică

Sintetic, rezultatele obținute se prezintă astfel:

Reprezentarea grafică a rezultatelor:

Interpretarea rezultatelor:

nici un elev nu a mai obținut calificativul insuficient;

toți elevii au rezolvat itemii testului sumativ;

itemul 1 a fost rezolvat corect de toți elevii, ceea ce dovedește că elevii sunt abilitați cu deprinderi de ordonare.

Reprezentarea datelor obținute

În scopul diagnosticării progreselor elevilor, calificativele obținute de aceștia la testările inițiale și finale au fost comparate:

După cum se observă, prin comparație, rezultatele obținute de elevi de la testul final au fost mai bune, ceea ce ne confirmă că utilizarea metodelor nonstandard de rezolvare a problemelor, care pun accentul pe creativitatea elevului în actul învățării, sunt mult mai eficiente.

IV.3. Interpretarea rezultatelor

Analizând reprezentările grafice ale rezultatelor obținute în urma chestionarelor aplicate cadrelor didactice, în pre-test și post-test, se constată o îmbunătățire a dezvoltării gândirii, în urma implicării metodelor nonstandard ca modalitate de învățare.

Rezultatele consemnate în tabel, demonstrează că la începutul acestui experiment, mulți elevi aveau deficiențe in rezolvarea de probleme nonstandard.

Aplicând diferite metode nonstandard de rezolvare a problemelor, doamnele învățătoare au constatat că s-a produs o schimbare evidentă a experiențelor cognitive ale elevilor, puse în valoare de rezultatele obținute în final.

Atât rezultatele cantitative cât și cele calitative vin în confirmarea ipotezei generale.

Având în vedere vârsta școlarilor, știm că principala activitate a acestora este jocul. Am demonstrat pe parcursul lucrării mele în ce măsură utilizarea metodelor nonstandard în procesul instructiv-educativ face ca deprinderile intelectuale specifice dezvoltării sale să fie mai trainic formate și mai eficiente. În procesul instructiv-formativ a făcut ca școlarul să învețe cu plăcere, să devină interesat față de activitatea pe care a desfășurat-o, a făcut ca cei timizi să devină mai volubili, mai activi, mai curioși, să capete mai multă încredere în capacitățile lor, mai multă siguranță și tenacitate.

În zilele noastre societatea are nevoie de un om cu gândire creatoare, inventiv,  explorator, îndrăzneț, de aceea este necesară modernizarea matematicii, perfecționarea învățământului în vederea sporirii eficienței sale formative. Dar nu orice perfecționare, orice introducere a noului înseamnă modernizare, ci căutarea de noi mijloace, folosirea celor existente cu scopul de a mări eficiența, de a asigura calitatea însușirii, de a forma oamenii capabili să stăpânească cunoștințele și deprinderile necesare și să le poată aplica în viață, în producție.

Prin activități practice se va contura un circuit continuu, din care, elevul va ieși, sperăm, biruitor.

CONCLUZII

În epoca contemporană se poate afirma că nu se poate trăi fără matematică. Necesitatea culturii matematice, devine tot mai acută, făcând parte integrantă din cultura generală. Învățământul matematic modern, contribuie la formarea unei gândiri active și personale, la formarea și dezvoltarea capacităților de analiză și sinteză.

Modernizarea învățământului matematic, înseamnă potențarea acestor valențe formative, studiul acestei discipline contribuind cu precădere la dezvoltarea gândirii creatoare.

Activitatea de rezolvare de probleme are cele mai bogate valențe formative, în cadrul ei valorificându-se atât cunoștințele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a acestuia. Este cunoscut faptul că rezolvarea de probleme necesită un efort mai mare al gândirii decât rezolvarea unui exercițiu.

Procesul rezolvării și compunerii de probleme poate începe fără nici o ezitare din semestrul I al clasei I, însă gradat, respectând particularitățile de vârstă și pe cele individuale ale elevilor.

Cele mai multe probleme rezolvate și compuse de elevi trebuie să fie inspirate din problemele pe care le implică viața, să vadă legătura cu practica, necesitatea lor în viața de toate zilele. Problemele mai complicate nu trebuie descompuse în probleme simple și rezolvate operație cu operație. Elevii trebuie să cuprindă problema în ansamblu, s-o rezolve în mod sintetic, reducând-o la nivel concret într-o formulă numerică, iar nivelul relațiilor într-o formulă literală.

Partea cea mai importantă în rezolvarea unei probleme este etapa în care se desfășoară raționamentul rezolvării, fixarea schemei, a formulei de rezolvare.

Copiii manifestă apriga dorință de a descoperi ceea ce este necunoscut, cercetând, tatonând și chiar inventând. Pentru formarea personalității lor trebuie să fie stimulată gândirea și imaginația lor creatoare.

Încă din primele ore de matematică se urmărește formarea limbajului matematic necesar, dar în așa fel încât fiecare oră să contribuie la dezvoltarea gândirii matematice, să îi pregătească pentru judecarea și rezolvarea problemelor, să îi facă să înțeleagă faptul că orice problemă, simplă sau complexă, este produsul unei dezvoltări și că la rândul ei poate fi dezvoltată.

Însușirea vocabularului corespunzător fiecăreia din cele 4 operații aritmetice de bază nu este suficientă pentru ca elevii să rezolve o problemă.

Textul problemei devine singurul suport de înțelegere a problemei, după ce elevii au depășit faza rezolvării de probleme pe bază de desene sau imagini. Înțelegerea problemei este asigurată numai dacă elevul va interpreta corect sensul cuvintelor din text și sensul propozițiilor, fără a omite nimic sau a denatura ceva.

Există mai multe metode de rezolvare a problemelor. Pentru stimularea gândirii se poate expune o întrebare căreia să îi lipsească întrebarea. Învățătorul poate lucra cu material concret sau semiconcret, cerând elevilor să deseneze schematic. Pe parcursul avansării în tainele disciplinei, se pot propune probleme a căror ordine de rezolvare nu coincide cu ordinea datelor din enunț. Elevul trebuie să aleagă perechile de date între care stabilește relații matematice care duc la rezolvarea problemei.

Gândirea creatoare poate fi stimulată prin provocări. Copiii trebuie provocați să compună și ei probleme după anumite formule numerice și literale. Acestea se pot complica prin prezența relațiilor diferite între termeni (spre exemplu, aflarea unui termen când se cunoaște suma și ceilalți termeni).

Metode moderne, des folosite la orele de matematică sunt problematizarea (elevii participă prin efort propriu de gândire și acțiune la descoperirea adevărului, dezvoltâdu-și spiritul experimental, capacitatea de prelucrare), euristica (sporește caracterul formativ al învățării, dezvoltând spiritul de observație, capacitățile de analiză și sinteză, interesul cognitiv, motivația intrinsecă), brainstorming-ul (asaltul de idei care urmărește stimularea copiilor pe drumul căutării a cât mai multor ipoteze), învățarea prin descoperire, întrecerea reciprocă (impulsul determinând răspunsuri din ce în ce mai rapide, mai corecte, găsirea cât mai multor soluții, rezolvarea problemelor într-un timp cât mai scurt).

Se urmărește formarea deprinderii de a lucra cu simboluri, de a folosi raționamentul deductiv, de a găsi căi originale de rezolvare, de a alcătui alte probleme.

Așadar, privind metodele nonstandard de rezolvare a problemelor ca o activitate ce poate sprijini activitatea de învățare, în experimentul pe care l-am desfășurat , mi-am propus să demonstrez modul cum pot fi valorificate metodele nonstandard în rezolvarea problemelor matematice.

Rezultatele obținute de copii, au condus la următoarele constatări:

• prin aceste metode se motivează copilul ;

• i-a antrenat pe copii în activitățile de învățare, dezvoltându-le creativitatea, stăpânirea de sine, curajul, perseverența și mai ales deprinderea de a munci în colectiv;

• pot să completeze multe lacune ale copiilor, ajutându-i să le depășească și să le corecteze;

• rezultatele elevilor obținute la testele în care au fost utilizate metodele nonstandard de rezolvare, sunt mult mai bune, în comparație cu cele anterioare ;

Consider că obiectivul propus și ipoteza lucrării au fost confirmate și că importanța metodelor nonstandard nu stă în teorie, ci în modul în care acestea sunt integrate și valorificate în activitățile elevilor, fie că aceștia învață într-o clasă cu copii de aceeași vârstă cu ei, fie că învață într-o clasă de copii cu vârste diferite.

Chestionarul propus pentru cercetare

Modele de teste propuse pentru cercetare

Fișe de lucru, rebusuri matematice, probleme ilustrate

Miniculegere de probleme nonstandard

Chestionar pentru învățători

În ce măsură folosiți metodele de rezolvare a problemelor în activitatea didactică la clasă?

în foarte mică măsură;

în măsură potrivită;

în mare măsură;

în foarte mare măsură.

Se angajează copiii dumneavoastră în învățare prin rezolvarea de probleme?

în foarte mică măsură;

în măsură potrivită;

în mare măsură;

în foarte mare măsură.

În ce măsură stimulează creativitatea rezolvarea de probleme?

în foarte mică măsură;

în măsură potrivită;

în mare măsură;

în foarte mare măsură.

Care sunt cele mai utilizate probleme?

problemele simple

problemele nonstandard;

problemele tip;

V. În ce măsură se asigură progresul școlar folosind metodele

nonstandard de rezolvare a problemelor?

1. în foarte mică măsură

2. în măsură potrivită;

3. în mare măsură;

4. în foarte mare măsură.

VI. Bifați perioadele în care metodele nonstandard ar fi mai eficiente:

învățământ preșcolar;

învățământ primar;

învățământ gimnazial.

VII. Considerați că rezultatele obținute în urma evaluării oferă informații despre:

1. activitatea de învățare a elevilor;

2. activitatea didactică a învățătorului;

3. ambele.

VIII. Ați participat la cursuri de formare cu tema ,, Tipuri și metode de rezolvare a problemelor în învățământul primar,,?

DA NU

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

NUMERELE NATURALE ÎN CONCENTRUL 0-10

1 p oficiu

Total: 10 puncte

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

TEST DE EVALUARE FINALĂ

Matematică

1) Ordonează crescător și descrescător numerele: 24; 15; 37; 8; 13.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

2) Descompuneți în zeci întregi și unități numerele:

28= ____+____ 16=____=____ 31=____+____

3) Scrieți numerele mai mari decât 74 și mai mici decât 80.

______________________________________________________

4) Scrieți numerele naturale de la 30 la 50 din 5 în 5.

_________________________________________________________

5) Aflați suma numerelor:

23 și 16 ______________________ 11 și 18 _______________________

6) Aflați diferența numerelor:

68 și 20 _______________________ 36 și 14 _______________________

7) Găsiți termenul necunoscut:

+ 12=36 – 24=15 68 – = 30

8) Într-o seară un drumeț a poposit la un han. Nu avea bani, dar avea un lanț de argint compus din șapte verigi. A fost găzduit cu condiția să-i dea hangiului, în fiecare zi, câte o verigă din lanț.

Care este cel mai mic număr de verigi care trebuie tăiate, astfel încât drumețul să fie în ordine cu plata în fiecare din cele șapte zile cât este găzduit?

Plan și rezolvare

FIȘĂ DE LUCRU

Taie imaginea care nu se potrivește celorlalte:

Colorează florile mici cu galben, iar florile mari cu roșu:

Colorează fața care crezi că ți se potrivește, după ce ai rezolvat fișa:

FIȘĂ DE LUCRU

Unește mulțimile cu tot atâtea elemente:

Marchează (X) mulțimea cu mai multe elemente:

Marchează mulțimea cu mai puține elemente:

Desenează pe masă o vază cu flori, iar sub masă o minge; colorează fluturașul care se află deasupra florii:

COMPARAREA, ORDONAREA ȘI ROTUNJIREA NUMERELOR NATURALE

1. Compară, folosind semnele <, =, > , următoarele perechi de numere:

63 896 …… 630 896 50 500 …… 50 050 512 215 …… 512 125

103 333 …… 130 333 50 005 …… 50 500 512 521 …… 512 512

400 400 …… 44 444 50 500 …… 50 500 12 014 …… 12 104

13 427 …… 13 427 55 055 …… 55 050 12 104 …… 12 140

2. În luna august, în stațiunea Eforie Sud au fost 32 187 de turiști, iar în stațiunea Eforie Nord au fost 23 871 de turiști.

Completează spațiile libere:

3. Completează spațiile libere cu numere potrivite, astfel încât relațiile să fie adevărate:

…………………….. < 32 609 < ……………………. 203 270 > …………………….. > …………………….

…………………….. > 100 000 > ……………………. 89 898 < …………………….. < …………………….

…………………….. > 17 999 > ……………………. 198 988 < …………………….. < …………………….

…………………….. < 372 590 < ……………………. 99 998 > …………………….. > …………………….

4.a) Ordonează crescător numerele: 90 990; 99 909; 99 090; 99 009; 90 090; 90 900 :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) Ordonează descrescător numerele: 104 040; 440 001; 404 100; 100 440; 100 040; 144 000 :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Se dau următoarele numere: 136 476; 61 303; 88 809; 55 550; 13 752; 248 007; 55 421; 205 304; 520 035; 62 208; 17 003; 29 606.

a) Ordonează crescător numerele impare:

…………………………………………………………………………………………………………………………………..

b) Ordonează descrescător numerele pare:

……………………………………………………………………………………………………………………………………

c) Ordonează descrescător numerele mai mari decât 80 000:

……………………………………………………………………………………………………………………………………

d) Ordonează crescător numerele mai mici decât 80 000:

……………………………………………………………………………………………………………………………………

e) Compară cel mai mic număr par cu cel mai mic număr impar: …………………………………..

f) Compară cel mai mare număr impar cu cel mai mare număr par: ………………………………

6. Scrie și citește numerele naturale:

a) de la 6 896 la 6 903: ……………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………

b) cuprinse între 17 805 și 17 815: ………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

c) mai mari decât 20 998 și mai mici decât 21 011: ……………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………

d) pare de la 3 663 la 3 676: ………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………

e) impare cuprinse între 5 397 și 5 413: ……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………

7. Scrie toate variantele posibile pentru fiecare cerință formulată mai jos:

a) 5 numere consecutive, știind că unul dintre ele este 7 588:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) 5 numere pare consecutive, știind că unul dintre ele este 13 406:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

c) 5 numere impare consecutive, știind că unul dintre ele este 2 493:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. Descoperă regula și completează următoarele șiruri de numere naturale cu încă trei numere:

a) 14 602 14 604 14 606 ……………….. ……………….. ………………..

b) 9 345 9 340 9 335 ……………….. ……………….. ………………..

c) 81 009 81 007 81 005 ……………….. ……………….. ……………….

d) 14 109 14 106 14 103 ……………….. ……………….. ………………..

e) 99 990 99 994 99 998 ……………….. ……………….. ………………..

f) 12 043 23 154 34 265 ……………….. ……………….. ………………..

g) 98 040 99 040 100 040 …………………. ……………….. ………………..

8. Rotunjește numerele după modelul dat:

AFLAREA UNUI NUMĂR NECUNOSCUT

1. Află numerele necunoscute:

8 246 + a = 10 206 b + 28 560 = 113 412 46 824 + c = 81 958

a = …………………………………….. b = ……………………………….. c=………………………

a = …………………………………….. b = ……………………………….. c=……………………….

d + 326 541 = 413 826 n – 12 486 = 58 473 m – 238 609 = 386 906

d = ……………………………………. n = ……………………………….. m=…………………………..

d = ……………………………………. n = ……………………………….. m=…………………………

586 247 – o = 77 528 143 574 – p = 96 886 29 438 + r = 200 000

o = …………………………………… p = ………………………………… r=…………………………..

o = …………………………………… p = ………………………………… r=………………………..

2. Completează tabelele:

3.a) Un termen al adunării este 74 512, iar suma 90 000.

Află celălalt termen.

………………………………………………………………………………..

b) Descăzutul este 606 341, iar diferența 43 526.

Află scăzătorul.

………………………………………………………………………………..

c) Scăzătorul este 87 512, iar diferența 8 751.

Află descăzutul.

………………………………………………………………………………..

4. Află numărul necunoscut:

14 563 + 28 407 + a = 50 000 25 576 + 39 523 – b = 55 075

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

……………………………………………………………. ………………………………………………………………….

62 814 – 53 346 + c = 23 481 83 596 – 37 817 – c = 14 896

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

……………………………………………………………. ………………………………………………………………….

……………………………………………………………. ………………………………………………………………….

31 547 + a + 13 593 = 71 526 52 482 + a – 72 604 = 15 521

……………………………………………………………. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

15 731 – a + 19 864 = 27 301 73 511 – a – 26 849 = 19 753

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

…………………………………………………………….. ………………………………………………………………….

5. Află suma dintre cel mai mare număr natural scris cu cinci cifre și cel mai mare număr natural scris cu cinci cifre diferite.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. La o bibliotecă s-au adus 13 596 volume cu poezii, cu 5 634 mai multe volume cu povești, iar numărul enciclopediilor este cu 7 839 mai mic decât numărul volumelor cu poezii.

Câte cărți s-au adus în total la bibliotecă?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. La un ocol silvic s-au adus 30 000 de puieți de brad, de stejar și de fag. Dacă 12 731 nu sunt de brad, iar 25 815 nu sunt de fag, află câți puieți sunt de fiecare fel.

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

8. La o fermă sunt 19 019 ovine, bovine și porcine. Dacă 15 561 nu sunt ovine, iar 10 253 nu sunt porcine, află câte animale sunt de fiecare fel.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. Află, prin încercări, valorile lui „a” care fac adevărate relațiile date:

73 + a < 80 a = …………………………….. 326 – a > 317 a= ………………………..

a + 36 < 42 a = …………………………….. 502 – a ≥ 495 a= ………………………..

124 + a ≤ 130 a = …………………………….. a – 428 < 3 a= ………………………..

a + 547 ≤ 555 a = …………………………….. a – 498 ≤ 2 a= ………………………..

150 ≤ 154 – a a = …………………………….. 25 < a + 22 ≤ 28 a= ………………………..

628 ≤ 630 – a a = …………………………….. 87 ≤ 85 + a ≤ 90 a= ………………………..

200 ≥ 197 + a a = …………………………….. 40 ≥ a – 50 > 35 a= ………………………..

110 ≥ a + 106 a = …………………………….. 93 < 100 – a ≤ 97 a= ………………………..

10. Un termen al adunării este 407, iar suma este mai mică decât 415.

Ce valori poate avea celălalt termen ?

…………………………………………………………………………………………………………..

11. Scăzătorul este 222, iar diferența mai mică decât 6.

Ce valori poate avea descăzutul ?

…………………………………………………………………………………………………………..

12. Descăzutul este 420, iar diferența e mai mică decât 3.

Ce valori poate avea scăzătorul ?

……………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ADUNAREA

Proprietate a adunǎrii.

Un termen al adunǎrii se aflǎ prin ……….. .

Rezultatul adunǎrii se numește …………… .

Adunarea este o operație …………… .

Altǎ proprietate a adunǎrii.

Numerele care se adunǎ se numesc ………… .

La dunare 0 este element …………

Proba adunǎrii se poate efectua prin ………….. .

SCǍDEREA

1.Acest semn “ – “ se numește ………….

2.Primul termen al scǎderii se numește …………… .

3.Scǎderea este o operație inversǎ ………… .

4.Proba scǎderii se face prin scǎdere sau prin ………… .

5.Ỉmpǎrțirea este o ………….. repetatǎ.

6.Rezultatul scǎderii se numește rest sau …………. .

7.A face proba înseamnǎ a …………… .

8.Al doilea termen al scǎderii se numește ……………… .

ỈNMULȚIREA

ỈNMULȚIREA

Primul factor al înmulțirii.

Al doilea factor al înmulțirii.

Proprietate a înmulțirii.

Cum este înmulțirea fațǎ de adunare?

Dacǎ unul din factori este zero, produsul este ………. .

Cum se numesc numerele care se înmulțesc?

Altǎ proprietate a înmulțirii.

Rezultatul înmulțirii.

Pentru înmulțire 1 este element ……….. .

Ỉnmulțirea este o ………… repetatǎ.

ỈMPǍRȚIREA

Ỉmpǎrțirea poate fi în pǎrți egale sau prin ……… .

Numerele fǎrǎ soț se numesc numere ……….. .

Primul termen al împǎrțirii se numește ………….. .

Rezultatul împǎrțirii se numește …………… .

Când deîmpǎrțitul nu se împarte exact la împǎrțitor avem o împǎrțire cu ………… .

Al doilea termen al împǎrțirii se numește ………… .

Ỉmpǎrțirea este o operație inversǎ a …………. .

La împǎrțire 1 este element …………… .

Operația 0 : 0 nu are …………. .

Numerele cu soț se numesc numere ……………. .

153

OPERAȚII

Operație care nu are sens dacǎ al doilea numǎr este 0.

Rezultatul înmulțirii, dar și scrierea a x b.

Numere care se înmulțesc.

Fǎrǎ ea nu ai nevoie de judecatǎ.

Poate fi mintal, oral sau în scris.

Și scrierea a – b se numește astfel, nu numai rezultatul scǎderii.

Rezultatul adunǎrii.

Orice scriere a : b, dar și rezultatul împǎrțirii.

GEOMETRIE

Suma lungimii tuturor laturilor.

Figura geometricǎ cu trei laturi.

Repetiția este mama ………… .

Ỉmparte cercul în douǎ pǎrți egale.

10.Dreptunghiul cu toate laturile egale.

11.Ỉmpǎrțirea fǎrǎ rest.

12.Numǎr mare de obiecte.

13.Jumǎtate.

14.Porțiunea dintr-o dreaptǎ mǎrginitǎ numai la un capǎt.

GEOMETRIE

Figurǎ geometricǎ ce are trei laturi.

Unitatea principalǎ pentru mǎsurat lungimea obiectelor.

Instrument cu ajutorul cǎruia se construiește cercul.

Suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri geometrice.

Figurǎ geometricǎ ce are douǎ câte douǎ, laturile opuse, egale.

Porțiunea dintr-o dreaptǎ mǎrginitǎ la ambele capate.

Porțiunea dintr-o dreaptǎ mǎrginitǎ numai la un capǎt.

Douǎ semidrepte care au aceeași origine și nu sunt în prelungire, formeazǎ ……………

Linia este formatǎ dintr-o infinitate de …………… .

Unitǎți de mǎsurǎ

Cu kilogramul se mǎsoarǎ ……….. .

Ora dureazǎ 60 de ………….. .

Când e an bisect, ………… are 29 de zile.

De 1000 de ori mai mic decât unitatea principalǎ pentru mǎsurat masa.

Cu el se mǎsoarǎ valoarea obiectelor.

De 1000 ori mai mic decât metrul.

Unitatea principalǎ pentru mǎsurat lichidele.

Vas sau ……… .

Mai Mari decât unitatea principalǎ.

Are 100 de ani.

Mergem la școalǎ 5 ………… din sǎptǎmânǎ.

FRACȚII

1.Desparte numǎrǎtorul de numitor.

2.Linia de fracție se mai citește ………. .

3.Ne aratǎ câte pǎrți din întreg sunt luate în considerare.

4.Una, mai multe, zero sau numǎrul total de pǎrți luate în considerare dintr-un întreg împǎrțit în pǎrți la fel de mari formeazǎ o …………….

5.O singurǎ parte dintr-un întreg.

6.Jumǎtate.

7.Pǎtrime.

FRACȚII

Unul din numerele care se înmulțesc.

Ỉmpǎrțirea numǎrǎtorului și numitorului la același numǎr diferit de zero.

Ca sǎ aflǎm suma a douǎ sau mai multe numere efectuǎm operația de ………… .

Ỉnmulțirea numǎrǎtorului și numitorului cu același numǎr diferit de zero.

Ne aratǎ câte pǎrți luǎm dintr-un întreg.

Ỉntre numǎrǎtor și numitor se pune ……….. de fracție.

Jumǎtate.

CIFRELE ROMANE

Cifrele romane cu valoare mai micǎ scrise înaintea cifrelor cu valoare mai mare indicǎ ……….. (IV, IX etc).

59 scris cu cifre romane.

I, X, C, M – sunt …….. romane.

I, X, C, M nu se pot repeta mai mult de ………. ori consecutiv.

Sunt în total 7 ……….. pe care romanii le foloseau pentru scrierea numerelor.

Ỉn prezent, noi folosim cifrele ……….. .

Gǎsim scrierea cu cifre romane pe ………… istorice.

1400 scris cu cifre romane.

VII – cifrǎ care în cuvinte se scrie ………..

Descifrarea unor ………. se realizeazǎ datoritǎ cunoașterii cifrelor romane.

Pentru scrierea numerelor, romanii foloseau șapte semne, respectând cinci ……….

Au plecat pe apa mare

Boboceii la plimbare.

Ce s-o fi-ntâmplat pe drum?

Nu se mai văd nicidecum!

– Nouă-au fost, i-a prins

Vreun val?

Strigă gâsca de pe mal.

Doi pe apă lin plutesc,

Trei în iarbă picotesc.

Cine oare poate ști

Câți sub papură or fi?

MINICULEGERE DE PROBLEME CARE SE REZOLVĂ PRIN METODE NONSTANDARD

PROBLEME PENTRU MINȚI ISTEȚE

„Există ceva care-i separă pe copii de cei ce nu mai sunt copii ; aceasta este ideea de joc .

Pentru copil , ca și pentru un matematician , jocul este o treabă serioasă.”

Grigore Moisil

1. Niște purceluși , pe cale Unu-n coada șirului

Au pornit , în șir , la vale : Și doi înaintea lui .

Unu-n frunte , doi în spate , Asta e o ghicitoare .

Între ei unu-i desparte ; Câți purcei , în șir , sunt oare ?

2. Într-o cameră goală intră câteva pisici și se așază în colțurile camerei . Câte pisici sunt în acea cameră , dacă fiecare pisică vede câte trei pisici ?

3. Întors de la pescuit , un pescar mărturisește :

__ Am prins 6 fără cap , 9 fără coadă și 8 pe jumătate .

Câți pești a prins șugubățul pescar ?

4. Pe un lac erau 9 rațe sălbatice . Un vânător iscusit a împușcat 3 rațe dintr-un foc .

Câte rațe au rămas pe lac ?

5. Ionel are 13 mașinuțe . În afară de 10 , le-a stricat pe toate .

Câte mașinuțe mai are Ionel ?

6. Gigel se urcă pe cântar . Așază ghiozdanul alături de el . Cântarul indică 29 kg . Pune ghiozdanul în spate . Cât indică acum cântarul ?

7. Dacă alaltăieri a fost marți , ce zi va fi poimâine ?

8. Cât fac unu și cu altul și cu trei legat de patru ?

9. În șirul numerelor naturale de la 0 la 100 sunt și numere de două cifre care au numărul ce reprezintă cifra zecilor cu 2 mai mare decât numărul ce reprezintă cifra unităților .

Care sunt aceste numere ?

10. Adună cel mai mic număr natural de o cifră cu cel mai mare număr natural de două cifre care are numărul ce reprezintă cifra zecilor mai mic decât numărul ce reprezintă cifra unităților .

Care este suma obținută ?

Unul din numerele date în șirul următor nu se potrivește cu celelalte . Care este „intrusul” ?

91 ; 52 ; 36 ; 25 ; 19 .

PROBLEME DISTRACTIVE

CLASA I

I.1. Cu cât este mai mic 2 față de un număr cu 7 mai mare decât el?

I.2. Scrie pe 3 ca sumă de 3 , 4, 5 termeni.

I.3. Ce număr adunat cu 30 ne dă dublul său ?

I.4. Aveți de plasat în careul magic numerele 20, 30, 40,astfel ca suma pe linii și coloane să fie aceeași :

I.5. Sunt penultimul , adică al 16 -lea , dintr-un grup. Câți copii formează șirul ?

I.6. Când s-au aliniat la ora de educație fizică , Oana constată că are 10 colegi înainte si 12 dupa ea. Câți elevi sunt în acea clasă ?

I.7. Tatăl , mama și cele două fiice au împreună 88 de ani.

Cât însumau vârstele lor în urmă cu 5 ani ?

I. 8. “Ana , George și cu Lulu,

Kilograme-au optzeci și-unu

Prima are vro 30,

Al doilea, cam 20.

– Lulule, cât cântărești?

PROBLEME DE PERSPICACITATE

1 . Într-o poieniță un vânător a zărit trei vulpi . A pus pușca la ochi , a tras și a omorât o vulpe .

Câte vulpi au rămas în poieniță ?

2 . Într-o plasă sunt un kilogram de mere mari , iar în altă plasă sunt un kilogram de mere mici . În care dintre plase sunt mai multe mere ?

3 . Un copil are înălțimea de un metru . El urcă pe o scară la înălțimea de 1 metru . Ce înălțime are acum copilul ?

4 . Corina are 2 prune în mâna stângă și 3 prune în mâna dreaptă. Trece două prune din mâna dreaptă în mâna stângă . Acum are mai multe , mai puține sau tot atâtea prune câte a avut inițial ?

5 . Dintr-o bucată de plastilină , Andrei face un iepuraș . Nemulțumit de cum arată , îl strică și face un elefant . Cine cântărește mai mult : iepurașul sau elefantul din plastilină ?

6 . Ileana ține furculița în mâna dreaptă . În ce mână ține Ileana furculița , în imaginea ei din oglindă ?

7 . Doi frați gemeni au împlinit astăzi 2 ani . Câți ani au trecut de când s-au născut ?

8 . La un concurs de triciclete , Monica a fost câștigătoare . Care roată a tricicletei , cea mare din față sau cele mici din spate a parcurs o distanță mai mare în concurs ?

9 . Vreau să aprind focul într-o sobă și am doar un singur chibrit.Mai am la îndemână o lumânare , o bucată de hârtie , o cârpă îmbibată în benzină , câteva așchii de lemn . Ce trebuie să aprind mai intâi ?

10 . Câte zile de naștere a avut un copil de 4 ani ?

11 . Ceasul arată ora 4 , dar este cu o oră în urmă . Care este ora reală ?

12 . Daniel avea 5 mașinuțe . În afară de 2 , el le-a stricat pe toate . Câte mașinuțe i-au rămas nestricate ?

13. Pe o pășune sunt multe animale mici. Un elev trecând pe acolo îl întreabă pe paznic:

Sunt 100 de animale mici ?

Nu, răspunse paznicul. Ca să fie 100, ar mai trebui un animal mic. Ele sunt o parte mânji, de 4 ori mai mulți viței decât mânji și de 6 ori mai mulți miei decât mânji. Socotești tu , spune în continuare paznicul, câți mânji sunt, câți viței și câți miei.

Rezolvare: Proba:

1+4+6=11(părți ) 9+

100-1=99 36

99:11=9 ( numărul mânjilor ) 54

9×4=36 ( numărul vițeilor ) 99( animale mici)

9×6=54 ( numărul mieilor ) 99+1=100

14. O gospodină venea de la piață ducând în coșuri trei rațe, doi iepuri și patru găini. Puteți preciza câte picioare veneau de la piață ?

Rezolvare: De la piață veneau doar două picioare, deoarece animalele erau duse în coș.

15. Pe o masă sunt 6 pahare. 3 sunt pline cu apă și trei sunt goale. Încercați să așezați paharele într-o alternativă, adică unul plin și unul gol, dar cu o condiție – să nu mișcați decât un singur pahar.

Soluție – Se ia al doilea pahar plin și se pune apa în al cincilea pahar gol. În felul acesta paharele pline și goale au o poziție alternativă.

16.Completați șirul : U ; D ; T ; P _ ; _ ; _ ; O ; _ ; _.

Fiecare literă reprezintă litera inițială a numerelor cuprinse în

concentrul 0-10.Șirul complet va fi: U ; D ; T ; P ; C ; Ș ; Ș, O ; N ; Z.

PROBLEME CULESE DIN BASMELE ROMÂNILOR

,,Amu, cică era odată un om,care avea o iapă (și ) într-o zi vroia omul să bage iapa în ocol și nu ea nu vrea nici în ruptul capului, și înciudându-se omul pe dânsa, începu a o bate; atunci iapa a sărit peste gardul de răzlogi și a fugit într-o pădure depărtată. Iapa era a făta și peste noapte a fătat un băiat (…) pe care îl chemă Făt – Frumos, Fiul Iepei.

Și băiat ca acela nici că mai era altul prin meleagurile acelea…cât creștea el într-o zi , altul creștea într-un an. Și când a împlinit băiatul un an , socotind că-i destul, voinicul s-a dus în codru și a chitit un stejar care era mai gros, pe care a vrut să-l smulgă din pământ…”

( Ion Creangă – ,, Făt – Frumos, Fiul Iepei “ )

Întrebare – Cât crecuse Făt- Frumos într-un an ?

,,…Cică era odată o babă și un moșneag.Moșneagul era de o sută de ani și baba de nouăzeci.Și amândoi bătrânii erau albi ca iarna din pricină că nu aveau copii…

( Ion Creangă – ,, Povestea porcului “ )

Basmul nu ne spune, dar zice-se că ar fi avut un copil pe când vârsta babei era jumătate din jumătatea celei de-acum a moșneagului și că ar fi murit când vârsta moșneagului era de două ori cât vârsta aceea a babei.

Întrebare – Cât a trăit acel prunc ?

PROBLEME DE ATENȚIE ȘI PERSPICACITATE

(CLS III- IV)

1.Cum procedați?

Avem numerele:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Citiți cu atenție fiecare cerință!

a)Încercuiți cifra 3.

b)Dacă 3 este mai mic decât 5,trageți o linie sub cifra 4.

c)Dacă 6 este dublul lui 3, tăiați numerele care îl compun pe 3.

d)Dacă 10 este de două ori câte 5, puneți o cruce sub numărul care urmează.

e)Dacă 10 e după 8,încadrați într-un triunghi cifra 9.

f)Puneți câte un x deasupra numerelor rămase fără semn și notați ce relații sunt între acestea

2. Să nu te grăbești!

Coborând de pe TÂMPA prin pădure,Sorin si Alex au intâlnit un tăietor de lemne care tăia un trunchi de copac.

-În câte părți veți tăia trunchiul? întrebă Alex.

-În cinci părți trebuie,răspunse omul.

-Și cam cât timp durează pentru o tăiere?

-Cam patru minute cu acest fierăstrău.

-O, deci în 20 minute e gata,s-a grăbit să socotească Sorin.

-Ești sigur? întrebă tăietorul zâmbind.

Voi ce credeți?

3. Găsește semnele potrivite!

7 7 7 7 = 6

6 6 6 6 =66

5 5 5 5 = 3

8 8 8 8 = 9

4.Substituire

Alegeți pentru literele O R T cifre corespunzătoare pentru a obține suma:

O R T+ Soluție O=9; R=1; T=6

T T R

R R O

R T O T

CUM GÂNDIM , CUM REZOLVĂM PROBLEME

Probleme rezolvate metodic

Clasele I-IV

1. ENUNȚURI

Suma vârstelor a 3 copii este de 5 ani .Cel mare are ochi albaștri. Câți ani are fiecare?

2. Într-un coș sunt 7 mere.Cum trebuie împărțite aceste mere la 7 fetițe în așa fel încât fiecare să aibă un măr , iar în coș să rămână unul ?

3. Petrică are de 7 ori mai mulți lei decât Sergiu .Câți lei are fiecare știind că dacă Petrică îi dă lui Sergiu 63 lei , atunci sumele lor ar fi egale ?

4. Ionel are 5 ani , iar Vasile 6 ani .Câți ani are Ionică , dar Vasilică ?

5. Diferența a două numere este 57 .Câtul dintre cel mai mare și cel mai mic număr este 3 iar restul 13. Aflați numerele.

6. Calculele de mai jos sunt incorecte ,deoarece unele cifre nu au fost puse la locul lor. Găsiți-le voi locul!

a) 13 + 7=38 c) 47+ 32= 97

b) 89 – 74 =51 d)825- 341=115

7. 100 de veverițe se joacă în felul următor: un grup se cațără în copaci de 7 ori mai multe mănâncă alune ,iar 36 aleargă pe vârful unei coline.

Câte veverițe mănâncă alune ?

8. O carte este deschisă la întâmplare .Stabiliți numerele celor două pagini pe care le priviți dacă suma acestora este 21.

9. În două canistre sunt 28 litri de ulei de in. Dacă din prima canistră luăm 9 litri și îi mutăm în a doua canistră,vom obține în a doua canistră o cantitate de trei ori mai mare.

Câți litri de ulei sunt în fiecare canistră ?

10. Suma a patru numere naturale consecutive este de 126.Aflați numerele .

11. Patru frați A, B, C, D, au împreună o sumă de bani. C are de 5 ori mai puțin decât B, iar B are de două ori mai mult decât A, iar A are de trei ori mai puțin decât D.

Ce sumă are fiecare dacă B are 350 lei?

12. Un elev constată că un sfert din banii economisiți de el reprezintă prețul unui pix, iar cu restul își mai poate cumpăra încă un pix și două mingi.

Care costă mai mult , pixul sau mingea ? Cu cât ?

13. Un elev are de rezolvat în 5 zile un număr de probleme .Luni rezolvă jumătate din numărul lor, marți jumătate din cele rămase, miercuri jumătate din ce i-a rămas, joi jumătate din ce a rămas iar vineri restul .

Dacă miercuri a rezolvat 4 probleme,aflați câte probleme a rezolvat în fiecare zi și în total?

14. Tatăl, mama și fiul au împreună 90 de ani .Aflați vârsta fiecăruia, dacă tatăl este mai în vârstă decât mama cu 4 ani iar mama mai în vârstă decât fiul cu 19 ani .

15. Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este cu 20 metri mai mare decât lățimea. Perimetrul terenului este de 1 km.

Calculați dimensiunile terenului.

16. Produsul vârstelor a trei frați este 36. Doi sunt gemeni. Cel mic are ochii verzi.

Ce vârstă au cei trei copii ?

17. Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât lățimea. Care este perimetrul dreptunghiului, dacă lățimea lui este de 6 cm?

18. Într-o livadă sunt 172 de pomi fructiferi: meri, peri, nuci. Dacă în livadă ar mai fi 3 nuci, atunci numărul merilor ar fi de două ori mai mare decât numărul nucilor și jumătate din numărul perilor .

Câți pomi fructiferi din fiecare fel sunt în livadă?

19. Aurel, Bogdan și Ciprian au economisit împreună 6 871 lei. Aurel are cu 300 lei mai puțin decât Bogdan și cu 900 lei mai mult decât îndoitul sumei lui Ciprian.

Câți lei a economisit fiecare?

20. Ce numere reprezintă literele A, L, M, N știind că A este de 5 ori mai mare decât L; L este de 15 ori mai mare decât M; M este de 4 ori mai mic decât N; N este de 10 ori mai mic decât 1 360 ?

21. 6 saci cu făină cântăresc cu 100 de kg mai mult decât 4 saci cu făină.

Cât cântărește fiecare sac cu făină ?

22. 6 sticle și 4 bidoane cu ulei conțin cantitatea de 14 litri, iar 6 sticle cu ulei și 6 bidoane conțin 18 litri ulei .

Ce cantitate de ulei se află într-o sticlă și respectiv într-un bidon?

23. Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul din ei îl întreabă pe celălalt câți copii are. Cel întrebat răspunde :

…. Trei.

….Ce vârstă au ?

….Ghicește !

Deoarece amândoi erau buni de glume ,între ei se înfiripă următorul dialog:

….Nu pot să spun .Dă-mi câteva informații.

….Produsul vârstelor este 36.

….Nu-mi ajunge această informație .

….Suma vârstelor este cât numărul acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm.

….Tot nu pot să răspund . Mai dă-mi altă informație.

….Cel mai mic are ochi albaștri.

După această informație ,el reușește să răspundă. Cum a procedat ?

CUM GÂNDIM?

1. Scrieți numărul 5 ca sumă de trei termeni. Sunt două posibilități. Găsiți-le!

Puteți lua 6 mere din coș iar pe cel de-al saptelea îl lăsați în coș. Cum veți împărți?

Metoda figurativă. Reprezentăm sumele celor doi copii prin două segmente ca în figura de mai jos.

Informațiile sunt sărace.Singura informație are coincidența dintre vârsta fiecăruia și numărul literelor din care este format numele copiilor.

Încercați să readuceți cifrele respective acolo unde trebuie pentru a obține calcule corecte. La punctul d. se vor schimba două cifre de la locul lor.

Reprezentați grafic numerele și diferența lor.

100-36=64(veverițe se urcă în copaci sau mănâncă alune )

Puteți aplica apoi metoda grafică (figurativă)

Cele două pagini pe care le privim au numere consecutive , iar suma lor este 21.( metoda figurativă )

Se reprezintă grafic cele două cantități după ce s-a făcut transferul .

Se cunoaște că diferența dintre numerele consecutive este 1,iar suma celor patru numere este 21.

Se va porni în aflarea sumelor de la B care are 350 lei.

Din datele problemei rezultă că cele două pixuri se cumpără din jumătatea sumei pe care o are.

De observat că miercuri a rezolvat 4 probleme adică jumătate din câte a rezolvat marți. Puteți ușor să aflați câte probleme a rezolvat marți . Așa veți proceda și pentru celelalte zile.

Metoda figurativă

90ani

4

Un kilometru are 1 000 m.

20 m

20 m + 20 m =40 m

1000 m – 40 m =960 m ( reprezintă de 4 ori înălțimea )

Scrieți numărul 36 ca produs de 3 numere .Trebuie să găsiți 5 moduri.

Urmăriți ce relație există între lungimea și lățimea dreptunghiului. Puteți afla lungimea?

Folosiți metoda figurativă:

Folosiți tot metoda figurativă:

900

600

Ultima informație stabilește că N este de 10 ori mai mic decât 1360, adică 136 deoarece 1360 :10 =136. Încercați să aflați celelalte litere.

Analizând datele problemei ajungem la concluzia că cei 6 saci cu făină cântăresc mai mult cu 100 kg, pentru că sunt mai mulți cu 2 decât cei 4 saci cu a căror greutate au fost comparați.

Dacă ordonăm datele se observă că diferența dintre cantitățile totale de ulei se datorează diferenței dintre numărul de bidoane. Putem scrie :

6 sticle………………………….4 bidoane………………………..14 litri

6 sticle………………………….6 bidoane…………………………18 litri

a) Cum a raționat cel pus să ghicească după prima informație ? A alcătuit toate treptele de numere care să aibă produsul 36 astfel:

1 x 1 x 36 1 x 6 x 6

1 x 2 x 18 2 x 2 x 9

1 x 3 x 12 2 x 3 x 6

1 x 4 x 9 3 x 3 x 4

Nu se poate decide.

b) Suma vârstelor este cât numărul acestei cas

1 + 1+ 36 =38 1 + 6 + 6=13

1 + 2 +18 =21 2 + 2 + 9 =13

1 + 3 + 12=16 2 + 3 + 6=11

1 + 4 + 9 =14 3 + 3 + 4 =10

De ce credeți că nu s-a putut decide deși se știa numărul casei în dreptul căreia se aflau?

3. IDEEA

1 + 1 + 3 = 5

1 + 2 + 2 = 5

Știind că cel mai mare are ochi albaștri,care variantă este cea bună ?

Împărțiți merele fără a lua ultimul măr din coș.

Din problemă rezultă că suma de 63 lei este reprezentată prin 3 segmente de mărimi egale cu suma pe care o are Sergiu:

63 : 3 = 21 lei are Sergiu

Numele lui Ionel are 5 litere ,deci el are 5 ani. Numele lui Vasile are 6 litere, deci el are 6 ani.

Puteți afla ușor vârsta lui Ionică și a lui Vasilică procedând la fel :

a) 31 + 7 =37 c) 47 + 32 = 79

b) 89 – 74 = 15 d) 852 – 341 = 511

( 57 – 13 ) : 2 = 22 reprezintă numărul mic

Se aplică metoda figurativă astfel :

Puteți afla câte veverițe se cațără în copaci. Cum?

( 21 – 1 ) : 2 = 10 va fi numărul primei pagini. Aflați voi numărul la pagina a doua.

28 : 4 = 7 1itri de ulei se vor afla în prima canistră după ce se va lua din ea 91. Puteți afla câți litri de ulei s-au aflat în ea la început? Dar în a doua dacă acum

are :

7 x 3 = 21 litri

126 – ( 3 + 2 + 1 ) = 126 – 6 = 120 ( reprezintă suma celor patru numere dacă ar fi egale. Puteți afla cel mai mic număr. Cum?

C are 3500 : 5 =700 lei

A are 3500 : 2 = 1750 lei

Cum îl aflați pe D?

Mingile le ia din cealaltă jumătate. Puteți spune care costă mai mult?

Marți a rezolvat 8 probleme, luni 16 probleme. Dar joi și vineri? Vă va ajuta figura?

90 – ( 19 + 19 + 4 ) = 48 reprezintă de trei ori vârsta fiului.

48 : 3 = 16 ani are fiul.

Aflați câți ani are tatăl. Dar mama?

Puteți afla lățimea astfel: 960 : 4 =240 m

Observați relația dintre lățime și lungime și aflați lungimea.

1 x 4 x 9 = 36

1 x 6 x 6 = 36

2 x 3 x 6 = 36

3 x 3 x 4 = 36

Aflați din cele 5 doar pe cele 3 moduri în care 2 factori sunt egali ( nu uitați că doi sunt gemeni) Ultima informație : ,, Cel mic are ochii verzi, vă ajută să găsiți soluția.

Aflați lungime astfel : 6 cm + 3 cm = 9 cm

Perimetrul reprezintă suma lungimilor laturilor. Deci cât va fi perimetrul dacă lungimea este 9 cm, iar lățimea 6 cm?

172 + 3 = 175

175 : 7 = 25 reprezintă numărul nucilor după ce li se mai adaugă 3 nuci.

25 – 3 = 22 nuci sunt în livadă.

Dar meri și peri ?

6871 – ( 9 + 9 + 3 ) : 5 = 1370 lei are Ciprian

Cum aflați sumele celorlalți doi copii?

M fiind de 4 ori mai mic decât N înseamnă că-l stabilim prin operația

136 : 4 = 34

L va fi 34 x 15 = 510

A reprezintă un număr de 5 ori mai mare decât L adică 510 x 5 = 2550

Un sac de făină cântărește de două ori mai puțin decât 100.

Deci două bidoane conțin 4 litri, adică un bidon conține 2 l ulei. Pentru a stabili capacitatea unei sticle luăm in considerație prima din situațile date :

4 x 2 = 8 l conțin 4 bidoane

14 – 8 = 6 l conțin 6 sticle

Acum puteți afla o sticlă câți litri de ulei conține.

Ei se aflau în fața casei cu numărul 13 și tocmai de aceea nu s-a putut pronunța. De observat că în cazul nr. 13 există două variante. Pe care o va alege? Îl va ajuta a treia informație: ,, Cel mic are ochi albaștri ”. Acum ghicește vârsta copiilor.

Dar voi ați ghicit?

Din variantele 1 + 6 + 6 = 13 și

2 + 2 + 9 + 9 =13 ;

Alegeți acea variantă în care există un cel mai mic.

SOLUTIA

Cei trei copii au : 1 an, 1 an și 3 ani.

6 fetițe vor primi câte un măr , iar cea de-a șeaptea va primi un măr pus în coș.

Petrică are 21 x 7 = 147 lei

Sergiu are 21 lei

Ionică are 6 ani

Vasilică are 8 ani

Soluția nu este unică.

Numerele sunt 22 și 79.

64 : 8 = 8 veverița se cațără in copaci

8x 7 = 56 veverița mănâncă alune

Cartea a fost deschisă la paginile 10 și 11.

7 + 9 = 16 l ulei în prima canistră

21 – 9 = 12 l ulei în cealaltă canistră

Numerele vor fi: 30; 31; 32; 33.

D = 175 x 3 =5250 lei deci : A are 1750 lei

B are 3500 lei

C are 700 lei

D are 5250 lei

Luni rezolvă 16 probleme, marți 8, miercuri 4, joi și vineri câte două probleme.

Pixul și mingea au același preț.

Fiul are 16 ani, mama 35 ani, tatăl 39 lei.

Lungimea este egală cu 260 m iar lățimea 240 m.

Un an, 6 ani, 6 ani.

( 9 + 6 ) x 2 =30 m este perimetrul dreptunghiului.

22 nuci, 50 meri, 100 peri.

Ciprian are 1370 lei, Aurel 2749, iar Bogdan 2752 lei.

A este 2550; M este 34; L este 510; N este 136.

50 kg cântărește fiecare sac.

O sticlă conține 1 l ulei.

Un an, 6 ani, 6 ani

PROBLEME PROPUSE DE ELEVI

1.În câte moduri pot sta Valeria, Martin și Tina pe o bancă de 3 locuri?

REZOLVARE:

Fiecare dintre ei poate fi primul în bancă iar imediat, lângă el, poate sta oricare dintre ceilalți doi.

1 (primul), 2 (al doilea), 3 (al treilea)

I. a) Valeria, Martin, Tina

b) Valeria, Tina, Martin

II. a) Martin, Valeria, Tina

b) Martin, Tina, Valeria

III. a) Tina, Valeria, Martin

b) Tina, Martin, Valeria

În total, în 6 moduri se pot așeza cei trei.

2. Mara stă alături de Ana, dar nu la un capăt.

Irina se așează la un capăt, dar nu alături de Ana.

Ana este la stânga Marei, dar nu la capăt.

Ileana este la un capăt, dar nu alături de Mara.

Citește condițiile, apoi scrie numele pe fiecare etichetă.

REZOLVARE:

Din prima informație rezultă că Mara are unul din cele două locuri de la mijloc, din a doua că Irina trebuie așezată pe unul din cele două locuri de la capete.

A treia informație «limpezește» mai mult răspunsul: Ana ocupă unul de la locurile de la mijloc (pentru că nu este la capăt), iar prima parte a informației este clară – «Ana este la stânga Marei».

Ultima informație arată că Ileana stă la capăt, dar alături de Ana (negația indică această concluzie). Deci, ordinea în care se înscriu numele pe etichetă este: Irina, Mara, Ana, Ileana.

3. PROBLEMĂ ZDRENȚUITĂ

ZDREANȚĂ stă-mbrăcat c-o zdreanță

Pe-altă zdreanță lâng-o treanță.

Câte zdrențe sunt în total

REZOLVARE:

Zdreanță este renumitul câine din poezia lui Tudor Arghezi, deci nu este o ruptură ca în celelalte cazuri. Astfel deducem că sunt: o zdreanță de pe cățel cu o zdreanță pe care stă și cu cea de lângă ea, adică 1+1+1=3 zdrențe în total.

4. BULINE CU BUCLUC

Oana are o rochie roșie cu 11 buline albe, iar cele trei ciuperci culese de ea au respectiv 7,5 și 6 buline albe.

Câte buline albe au mai rămas nespălate, dacă mama ei le-a spălat cu detergent ?

REZOLVARE:

Au rămas tot cele 7+5+6=18 buline albe de la ciuperci, deoarece mama Oanei a spălat cu detergent numai rochia, nu și ciupercile

5. LA ZOO

La Zoo există o șopârlă cenușie, un șarpe de casă, o viperă, o broască țestoasă de uscat și un crocodil. Câte membre au ei în total?

REZOLVARE:

Șopârla are 4 membre, broasca are 4 membre, crocodilul 4membre, iar șarpele de casă și vipera nu au picioare.

6. O lumânare se consumă în 15 minute.

În cîte minute se vor consuma 5 lumânări aprinse simultan?

Rezolvare: Tot 15 minute.

7. Ducându-se la antrenament, Robert și trei dintre colegii lui dau mâna.

De câte ori dă mâna Robert?

Câte strângeri de mână au fost?

Rezolvare: de 3 ori

8. TIMPUL

Nouăzeci și opt minute

Te-ai jucat pe întrecute.

Opt minute ai cântat

Paisprezece –ai alergat.

Minute multe or fi,

Însă câte ore știi?

Rezolvare: 2 ore

9. În curtea lui Andrei,

Au intrat 10 purcei,

10 rațe și-o găină,

Andrei are curtea plină.

Câte animale oare are,

Andrei în curte oare?

Numără, de reușești,

Câte picioare găsești?

Rezolvare: 10+10+1 = 21 (animale)

10*4+10*2+1*2 = 62 (picioare)

10. Doi tați și doi fii au mâncat 3 mere.

Fiecare a mâncat câte un singur măr .

Cum e posibil?

Rezolvare: erau fiu, tată și bunic.

11. Cenușăreasa a intrat la bal la ora 21:30 și a plecat fugind când orologiul a bătut ora 24:00. Câte minute a stat la bal?

Rezolvare: 60+60+30=150 (minute)

Piticii aveau 7 ceșcuțe cu farfurioare. Neatentă, Albă-ca-Zăpada a spart 2 ceșcuțe și 3 farfurioare. Câte ceșcuțe au rămas fără farfurioare?

Rezolvare: 1 ceșcuță

12. Albă-ca-Zăpada a făcut cumpărături de la negustoreasă. Știind că o cingătoare costă cât 3 piepteni, iar un pieptene costă cât 3 mere, câte mere costă o cingătoare?

Rezolvare: 1 cingătoare = 3 piepteni

1 piepten = 3 mere

=> 1 cingătoare = 3 + 3 + 3 = 9 (mere)

13. Să se afle cel mai mare număr natural de patru cifre pare distincte, astfel încât cifra sutelor să fie dublul cifrei unităților.

14. Să se afle numerele naturale de trei cifre astfel încât cifra sutelor este jumătate din cifra zecilor și un sfert din cifra unităților .

15. Să se afle numerele naturale de trei cifre astfel încât cifra sutelor este jumătate din cifra zecilor și un sfert din cifra unităților .

16. Să se afle trei numere naturale a, b și c, astfel încât:

a+b=8, b+c=7 și a+c=9.

17. Un tată are 38 ani și patru copii de 8,6,4 și 2 ani. După câți ani tatăl va avea vârsta egală cu suma vârstelor copiilor(la acea dată)?

18. O carte are 100 pagini. De câte cifre a fost nevoie pentru numerotarea cărții?

19. În timp ce vulpea mănâncă 2 pești, ursul mănâncă 3. Ei au mâncat împreună 10 pești. Câți pești a mâncat ursul?

Rezolvare: 6 pești

20. Câți termeni are suma: 1+2+3+4+5+………

dacă este un număr format din două cifre identice?

Rezolvare:

Suma are 10 termeni, deoarece:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

Bibliografie

1. Ausubel, G.U. și Robinson, F. 1982, Învățarea în școală. O introducere în psihogia pedagogică, Editura Didactică si Pedagogică, București.

2. Bunescu, V., Proiectarea – rigoare, creativitate si spontaneitate în condițiile unui proces didactic formativ, în ,,Revista de pedagogie" nr.12 / 1988.

3. Cristea, S., 1991, Planurile de învățământ în ,,Învățământul în antecamera reformei", Editura Porto-Franco, Galați .

4. Cristea, S., 1996, pedagogie generală, Editura Didactică și Pedagogică, București.

5. Crișan, Al.,Programele școlare în contextul reformei, în ,,Tribuna învățământului", nr.1-2/ 1993 si nr.11/1994 .

6. Dăncilă, Eduard; Dăncilă, Ioan – Matematica pentru bunul învățător, ERCPres, București, 2002

7. Dinuța, Neculae – Metodica predării matematice la clasele I-IV, Edit . Universității din Pitești, 2003

8. Joița, E., 1994, Didactica aplicată, partea I, învățământul primar Editura Gheorghe Alexandru, Craiova .

9. Jurca, Maria Georgeta – Cum rezolvam probleme de aritmetică Editura Transpres, 1994.

10. M.E.N., Planuri – cadru de învățământ pentru învățământul preuniversitar coord.D.Georgescu ,M.Cerchez, M.Singer, L.Preoteasa Editura Corint, București .

11. M.E.N., Consiliul Național pentru Curriculum. Programe școlare.

12. M.E.N., Programul de formare al profesorilor. Curriculum. Evaluare .

13. Muster, D., 1985, Metodologia cercetării în educație și învățământ Editura Litera, București.

14. Neacșu, Ioan -Metodica predării matematicii la clasele I-IV, E.D.P. București 1988.

15. Pârâială, Dumitru; Pârâială, Viorica –Aritmetica. Probleme tipice rezolvate prin mai multe metode si procedee, Institutul European , Iași , 1993.

16. Polya, George

-Cum rezolvăm o problema ? Un nou aspect al metodei matematice,

– Descoperirea în matematica . Euristica rezolvării problemelor,

Editura științifică, București, 1971 .

17. Radu, I.T., Învățământul diferențiat. Concepții și strategii. Editura Didactică și Pedagogică, Bucureșt

18. Stoica, A ., Necesitate, atribuții, activitate SNEE, MEN. Buletinul informativ, București, 1999.

19. Stoica, D. și Stoica, M., 1982, Psihopedagogie școlară, Editura Scrisul Românesc, Craiova.

20. Stoica, M., 1997, Pedagogie pentru definitivat, gradul al II lea, gradul I si studenți, Editura Gheorghe Alexandru , Craiova.

21. Vlăsceanu, L., 1979, Decizie si inovație în învățământ, Editura Didactică și Pedagogică, București.

22. XXX Revista de pedagogie nr. 11 – 1983, nr. 3 – 1989

23. XXX Învățământul primar nr. 4 – 1992

24. XXX Învățământul primar nr. 1 și 2 – 1996