Grad I Capita Livia [620094]

1

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Prof. dr. Cezar Oniciuc
AUTOR :
Prof. Căpiță Livia -Cosmina

IAȘI 2017

2

APLICAȚII ALE ALGEBREI LINIARE
IN GEOMETRIE

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Prof. dr. Cezar Oniciuc
AUTOR :
Prof. Căpiță Livia -Cosmina

IAȘI 2017

3
CUPRINS

Introducere …………………………………………………………………………………..
Capitolul I : Vectori liberi………………………………………………………………
1.Vectori liberi …………………………………. …………………………………..
2.Adunarea vectorilor liberi …………………………………………………….
3.Înmulțirea unui vector liber cu un scalar ………………………………….
4.Coliniaritate și coplanaritate …………………………………………………
5Proiecția ortogonală pe o dreaptă ………………………………………………
6.Expresia analitică a unui vector liber ………………………………………..
7.Produsul scalar ………………………………………………………………………
8.Produsul vectorial ……………………………………………………………………
9.Produsul mixt ………………………………………………………. ……………….
10. Teoreme clasice demonstrate cu ajutorul vectorilor liberi …………..
Capitolul II : Dreapta și planul în spațiu……………………………………………………..
1. Ecuațiile dreptei în spatiu ………………………………………………..
2. Ecuațiile dreptei în plan …………………………………………………..
3. Ecuația planului in spatiu …………………………………………………..
4. Unghiuri în spațiu ………………………………………………………….
5. Distanțe în spațiu …………………………………………………………..

Capitolul II I: Probleme de geometrie elementară în plan și în spațiu demonstrate
cu ajutorul vectorilor liberi…………………………………………….. …………………….

Capitolul IV: Probleme de geometrie sintetică rezolvate analitic…………. …………..

Capitolul V: Probleme deosebite……………………………………………………………………..

Capitolul V I: Aspecte metodice …………
Proiecte de lecții………………………………………………………………………………
Teste de evaluare……………………………………………………………………………..
Bibliografie …….. ……………………………………………………………………………………….

4
INTRODUCERE

Algebra liniară și geometria analitică reprezintă de multă vreme instrumente fundamentale
pentru disciplinele matematice, abstracte sau aplicate. Algebra liniară este ramura matematicii care
studiază vectorii,(în particular vectorii liberi ) spațiile vectoriale, transformările liniare și sistemele
de ecuații liniare. Este utilizată pe scară largă în geometrie , dar și în algebra abstractă, sau în
analiza funcțională. Geometria nu este o disciplină matematică închisă, ea s -a conturat și dezvoltat
într-un efort de modelare a lumii fizice și există în virtutea interconexiunilor ei cu alte discipline
matematice.
Una din cele mai importante no țiuni geometrice create în mod special pentru a modela
situații din lumea fi zică este cea de vector liber.
Noțiunea de vector liber, model geometric pentru numeroase aspecte ale realității, este un
instrument important de aplicare a geometriei în practică , direct sau prin intermediul altor discipline
științifice.
Vectorii liberi și operațiile cu ei oferă o cale de a exprima unitar și elegant noțiuni și
rezultate de geometrie și fizică. Calculul cu vectori liberi poate fi folosit în rezolvarea unor
problem e de geometrie, unele chiar foarte “rezistente” la o abordare direct ă. Se vorbește curent de
metoda vectorială ca metoda de rezolvare a problemelor de geometrie.
Atât predarea cât și învățarea noțiunii de vector liber ridică o serie de dificultăți. Ele se
datorează faptului că vectorul liber este o clasă de echivalență , în raport cu o anume relație de
echivalență( relația de echipolență pe mulțimea segementelor orientate) în sens algebric. Deși
procedeul de a crea noi obiecte matematice prin “factorizare” este des utilizat în matematică, el nu
este prea accesibil elevilor. Clasa de echivalență este o mulțime formată din elemente care, într -un
sens bine precizat, sunt pe “picior de egaliatate”. Oricare dintre ele poate reprezenta clasa de
echivalență în tota litate, adică este un reprezentant al ei, și oricând un reprezentant poate fi înlocuit
prin altul. Opera țiile cu vectori, deci cu clase de echivalență, se definesc cu ajutorul
reprezentanților.Trebuie să demonstrăm că aceste operații sunt corect definite, adică nu depind de
reprezentanții aleși. Această posibilitate oferă avantaje semnificative, dar tocmai aceasta
interschimbare a reprezentanților poate crea o anume nesiguranță elevilor care nu au înțeles esența
definirii prin clase de echivalență(factori zare).
Având în vedere dificultățile menționate și importanța studiului noțiunii de vector apreciez
că strategia optimă este de a introduce noțiunea de vector și operațiile cu vectori într -o manieră

5
neformală, prin considerații geometrice simple, pe baza i ntuiției sprijinită de o terminologie
specifică, mai intâi în plan, apoi în spațiu.
Un alt instrument foarte util în rezolvarea problemelor de sintetică îl reprezintă geometria
analitică. Ea poate fi considerate de către elevii mai buni un pic “plictisitoa re”, din cauza calculelor
implicate în demonstrații, dar oferă uneori o meodă mai “sigură” și mai directă (atunci când nu
vedem anumite artificii specific geometriei sintetice). Geometria analitică este foarte utilă elevilor
care vor urma studii tehnice.
Lucrarea este structurată în șase :
Capitolul I : Vectori liberi
Capitolul II : Dreapta și planul în spațiu
Capitolul III: Probleme de geometrie elementară în plan și în spațiu demonstrate
cu ajutorul vectorilor liberi
Capitolul IV: Probleme de geometrie sintetică rezolvate analitic
Capitolul V: Probleme deosebite
Capitolul VI : Aspecte metodice
În primul capitol am prezentat noțiuni generale de vectori liberi,operații, teoreme clasice
demonstrate vectorial. Al doilea capitol face referire la elemente de geometrie plană, dar mai ales a
celei în spațiu. În capitolul trei sunt prezentat e probleme de geometrie elementară în plan și în spațiu
demonstrate cu ajutorul vectorilor liberi , în capitolul patru sut prezentate probleme de geometrie
sintetică rezolvate analitic. În capitolul cinci sunt prezentate probleme deosebite de la olimpiade și
concursuri demonstrate vectorial. Ultimul capitol prezinte aspecte metodice și are ca anexe proiecte
de lecții și teste de evaluare.

6
CAPITOLUL I
VECTORI LIBERI

1.Vectori liberi

Vom considera spațiul construit cu axiomatica Hilbert sau Birkhoff.
Notație . Fie A și B două puncte din . Vom nota cu , – segmentul determinat de A și B, și
cu ̅̅̅̅ segmentul orientat determinat de A și B, în această ordine ( ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅). Punctul A se numește
origine , iar B vârf sau extremitate.

A

B
AB
AB

Observație. Dacă , atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Prin definiție ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ dacă și
.
Notație. Vom nota cu ̅ mulțimea segmentelor orientate, adică ̅ * ̅̅̅̅ +
Considerăm că un segment orientat ̅̅̅̅ poate fi gândit și ca o pereche (A, B) ( dar
se pierde imaginea intuitivă).
Definiție. Două segmente orientate ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅ se numesc echipolente și scriem ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅,
dacă , -și , – au același mijloc.

Fig. I.1 .1
A
C
D
B
Fig. I.1.2

7
Observație. Dacă avem A = B, atunci mijlocul segmentului , – este considerat A.
Segmentul orientat (A,A) se mai numește și segment orientat nul .

Desigur (A,A) A.
Proprietăți.
1) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ și ;
2) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ;
3) Dacă sunt patru puncte coliniare, distincte, atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dacă și numai
dacă , – , – și semidreptele , , , au intersecția o semidreaptă
4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
5) Dacă sunt necoliniare, atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ este un parallelogram.

Demonstra ție.
1) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , – , – au același mijloc și , – , – au același mijloc.Fie
acesta M. Avem atunci și . Rezultă coliniare. Alegând un
sistem de coordonate, avem:

;
2) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , – are același mijloc cu , -, ceea ce este evident adevărat, mijlocul unui
segment(inclusiv dacă este nul) fiind nul;
3) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

au același semn și
adică , – , -;
4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , – și , – au același mijloc , – , – au același mijloc ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ;
5) Fie ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , – , – au același mijloc. Avem, deci figura de mai jos:
și ( )
și paralelogram.
Reciproc, es te cunoscut că într -un paralelogram
diagonalele se înjumătățesc.

A
B
D
C
M
Fig. I.1 .3

8
Teoremă. Fie fixat și fie ̅̅̅̅ . Atunci există un punct unic astfel încât
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
Teoremă. Relația de echipolență este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor
orientate.
Notație. Mulțimea segmentelor orientate din o vom nota prin ̅ . Aceeași convenție se
păstrează pentru segmentele orientate construite cu punctele unei submulțimi
.
Definiție. O clasă de echivalență de segmente orientate, în raport echipolența segmentelor
orientate, se numește vector liber din spațiul .
Notații .a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ={ ̅̅̅̅ | ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅} ,citim vectorul liber ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Evident, ⃗⃗⃗⃗⃗ deoarece ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ se numește vector liber .
b) ={ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̅̅̅̅ ̅ }
c) ( ̅)={ ̅̅̅̅ | A,B ( ) }, ( ) un plan oarecare din
d) ( )={ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̅̅̅̅ ( ̅)}
e) ( )={ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̅̅̅̅ ( ̅)}, (d) o dreaptă oarecare din
Definiție . Un segment orientat ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se numește reprezentant al vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Avem următoarele proprietăți :
1) Dacă ̅̅̅̅ șin ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ , atunci ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
3) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Definiție. Fie ⃗⃗⃗⃗⃗ , . Dreapta AB împreună cu toate dreptele paralele cu AB
formează direcția vectorului liber ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Definiție. Fie ⃗⃗⃗⃗⃗ . Numim lungimea (mărimea, norma) vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗ lungimea
segmentului [AB].
Definiția de mai sus este corectă deoarece dacă ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , atunci segmentele [AB] și [CD]
au aceea și lungime.
Notăm || ⃗⃗⃗⃗⃗ || = AB (pentru lungimea segmentului [AB] și dreapta determinată de A și B
folosim aceeași notație AB).
Observație. Oricare doi vectori nenuli din ( ) au aceeași direcție, și anume dreapta (d).

9
Definiție. Fie ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ doi vectori liberi nenuli având aceeași direcție, iar dreptele AB și
CD distincte. Spunem că ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ au același sens , respectiv au sens opus , dacă B și D sunt în
același semiplan(al planului determinat de AB și CD) determinat de dreapta AC, respectiv B și D
sunt în semiplane opuse .
Definiția de mai sus are caracter geometric( sau este corectă) deoarece nu depinde de
reprezentanții ̅̅̅̅ și ̅̅̅̅.
Teoremă. Un vector liber nenu l din este unic determinat de lungime , direcție și
sens.Vectorul nul este singurul vector liber de lungime 0, el nu are direcția și sensul precizate, deci
vectorul nul are aceeași direcție și același sens cu orice vector liber.
Definiție. Un vector liber de lungime unu se numește versor.
Definiție. Doi vectori liberi sunt egali dacă au același modul , aceeași direcție și același
sens, ei putând fi situați pe aceeași dreaptă sau pe drepte paralele .

Uneori vectorii egali așezați pe drepte paralele se mai numesc vectori echipolenți .
Dacă notăm cu ̅ și ̅cei doi vectori, vom scrie egalitatea lor astfel : ̅ ̅

Definiție. Doi sau mai mulți vectori liberi nenuli se numesc coliniari sau paraleli dacă au
aceeași direcție.

Definiție. Doi vectori coliniari care au aceeași lungime, dar sensuri opuse se numesc vectori
opuși ; opusul vectorului liber ̅ va fi notat cu – ̅ .

𝑢̅
𝑢̅
𝑣̅
Fig.I.1.4
𝑣̅

Fig. I.1.5
𝑣̅
𝑣̅
Fig. I.1.6

10
Definiție. Trei sau mai mulți vectori nenuli s e numesc coplanari dacă există un plan și
dreptele determinate de reprezentanțiil or sunt paralele cu acel plan.

Definiția de mai sus are caracter geometric, adică nu depinde de reprezentanți.
Observație . În cazul lui ( ), oricare doi vectori ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ au aceeași direcție. Vectorii liberi
⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ au același sens dacă , , este o semidreaptă.
Dacă nu dorim să punem în evidență un anumit reprezentant al unui vector liber, convenim
să notăm vectorul liber respectiv cu literă mică ̅, ̅ .
Corolar.
1) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2) ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ , A, B

2.Adunarea vectorilor liberi

Operația de adunare se reduce la adunarea segmentelor orientate, vectorii fiind considerați pe
o dreaptăcu direcția lor comună.
Definiție. Fie ̅ și ̅ , ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ , . Definim suma vectorilor ̅ și ̅
prin ̅ + ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

𝑢̅
𝑣̅
𝑤̅
Fig. I.1.7
A

𝑢̅
B
C
𝑢̅ + 𝑣̅
𝑣̅
Fig. I.2.1

11
Această metodă de adunare a doi vectori liber se numește regula triunghiului.

Teoremă. Definiția sumei a doi vectori liberi ̅ + ̅ este corectă, adică nu depinde de
segmentele orientate cu care sunt reprezentați vectorii, adică dacă ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , atunci ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Desigur, suma a doi vectori poate fi dată și cu regula paralelogramului.
Definiție. Fie ̅și ̅ doi vectori liberi, O un punct fixat în spațiul și considerăm
vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Atunci suma vectorilor ̅și ̅ notată ̅+ ̅
este vectorul ̅= ⃗⃗⃗⃗⃗ , unde OC este diagonala paralelogramului OACB.

Observație. Vectorul sumă ̅ este independent de alegerea punctului O în spațiu, adică de
alegerea reprezentanților ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ai vectorilor ̅ și respectiv ̅.
Dacă vectorii sunt de același sens , atunci vectorul sumă are ca mărime suma segmentelor ce
reprezintă mărimile vectorilor dați și sensul același cu al vectorilor dați.
Dacă vectorii au sensuri diferite , atunci vectorul sumă are ca mărime și sens mărim ea și
sensul sumei segmentelor orientate care reprezintă vectorii dați.
Elementul neutru este vectorul nul, iar opusul lui ⃗⃗⃗⃗⃗ este ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Adunarea vectorilor liberi are următoarele proprietăți.
1. comutativă : ̅+ ̅ ̅ ̅ ,( ) ̅, ̅
2. asociativ ă: ̅+ ( ̅+ ̅) = ( ̅+ ̅ )+ ̅ , ( ) ̅, ̅ , ̅
3. element neutru : ( ) ̅ astfel încât ̅+ ̅ ̅ ̅, ( ) ̅
4. element simetrizabil : ( ) ̅ astfel încât ̅+ ( ̅) ( ̅) ̅ ̅, ( ) ̅

Demonstrație . 1. Proprietatea de comutativitate a adunării vectorilor liberi este
imediată dacă se folosește regula paralelogramului.

O
𝑢̅

𝑣̅

𝑤̅ 𝑢̅ 𝑣̅
C
Fig. I.2.2

12
1. Proprietatea de asociativitate este evidentă daca se ține cont de regula triunghiului:
Fie ̅, ̅ , ̅

Propriet ățile 3 și 4 sunt evidente .

Scăderea vectorilor coliniari se reduce la adunare, deoarece ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Vectorii se aduc apoi pe aceeași dreaptă și se adună.
Din punct de vedere grafic, diferența ̅ ̅ este cea de -a doua diagonală a
paralelogramului construit pe vectorii ̅și ̅ , cu sensul către vectorul care se scade.

3. Înmulțirea unui vector liber cu un scalar
Definiție. Fie ̅ și . Se numește înmulțire a vectorului ̅ cu scalarul(numărul
real) și se notează ⃗ vectorul definit astfel :
– ̅, dac ă ̅=0 sau =0 ;
– ̅, dacă ̅ 0 și 0, unde ̅ are aceeși direc ție cu ̅, are același sens cu ̅ dacă
și sens opus lui ̅ dacă , iar ‖ ̅ ‖ ‖ ̅‖ .

𝑢̅
𝑣̅
𝑤̅
𝑢̅ 𝑣̅
( 𝑢̅+𝑣̅ ) + 𝑤̅
𝑣̅
𝑣̅ + 𝑤̅
𝑤̅
𝑢̅+( 𝑣̅ + 𝑤̅ )
𝑢̅
Fig. I.2.3
𝑢̅
𝑣̅
𝑢̅ 𝑣̅
𝑢̅ 𝑣̅
Fig. I.2.4

13
Înmulțirea vectorilor liberi cu scalar are următoarele proprietăți:
1) 1 ̅ = ̅ , ̅ ;
2) ( ) ̅ = ( ̅) ; , ̅ ;
3) distributivitatea față de adunarea scalarilor : ( ) ̅= ̅+ ̅, ,
̅ ;
4) distributivitatea față de adunarea vectorilor : ( ̅ ̅)= ̅ + ̅, ̅ ̅
;

Demonstra ție:
1) și 2) Evident, din definiția înmulțirii unui vector liber cu un scalar, dacă se ține cont
de orientările și lungimile vectorilor care apar în ambii membri ai egalităților de demonstrat.
3) Vom considera următoarele cazuri:
i) Vectorii ( ) ̅și ̅ ̅ vor avea aceeași direcție și
același sens cu ̅.
În legătură cu lungimile lor, obținem :
‖( ) ̅‖ = ‖ ̅‖ =( )‖ ̅‖= ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ = ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ =‖ ̅
̅‖ .
Astfel avem ( ) ̅= ̅+ ̅
ii) , se tratează similar cazului anterior
iii) și . Fără a restrânge generalitatea presupunem că
.Atunci avem:
̅ ̅ ( ) ̅ ̅ ( ) ̅ ( ̅) ̅ ( ) ̅
iv) și se trateaz ă similar cazului anterior.

4) Considerăm vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ .

Atunci ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅.
Pentru cazul ( similar pentru ).
Consideram punctele , astfel încât
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̅ ̅ ).

O
A
𝐴
B
𝐵
Fig. I.3.1

14
Avem asemănarea OAB O , deci segementele [AB] și [ ] sunt paralele, iar
între lungimile lor există relația : [ ] = [AB] . Obținem că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅.
Aplicând regula triunghiului avem că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , adică ( ̅ ̅)= ̅ + ̅ .

4.Coliniaritate și coplanaritate

Definiție. Doi vectori liberi nenuli ̅ și ̅ care au aceeași direcție se numesc vectori
coliniari.
Definiție. Trei vectori liberi nenuli care au reprezentanți situați în același plan se
numesc vectori coplanari .

Teoremă. Descompunerea unui vector după o direcție.
Fie ̅, ̅ { ⃗ } doi vectori liberi. Atunci ̅ și ̅ sunt coliniari dacă și numai dacă
există un scalar unic astfel încât ̅ ̅.

Demontrație :
Presupunem că vectorii ̅ și ̅ sunt coliniari. Considerăm versorii lor ̅ ⃗⃗
‖ ̅‖ și ̅ ̅
‖ ̅‖.
Deoarece ̅ și ̅sunt coliniari, atunci și versorii lor ̅ și ̅ vor fi coliniari.
Știind că ‖ ̅ ‖ ‖ ̅ ‖ , rezultă că ̅ și ̅ vor fi sau egali sau opuși, deci
̅ ‖ ̅‖
‖ ̅‖ ̅ sau ̅ ‖ ̅‖
‖ ̅‖ ̅. Astfel ̅ ̅, . Unicitatea lui este clară, deoarece
‖ ̅‖
‖ ̅‖, dacă ̅ și ̅ au același sens, respectiv ‖ ̅‖
‖ ̅‖ , dacă ̅și ̅au sensuri opuse.

Teoremă. Descompunerea unui vector liber dupa două direcții necoliniare.
Fie doi vectori liberi ̅și ̅ necoliniari. Dacă exista un vector liber ̅ coplanar cu vectorii
̅ și ̅, atunci există și sunt unici scalarii astfel încât ̅ ̅+ ̅.

15
Demonstrație :
Dacă ̅ sau ̅ar fi vector nul, atunci ̅ și ̅ vor fi coliniari, fapt care contrazice ipoteza. Prin
urmare , ̅ , ̅ { ⃗ }.
Dacă ̅ ̅, result ă și concluzia teoremei este clară.
Așadar, în continuare vom lucra cu ̅ ̅ ̅ vectori liberi nenuli.
Fie un punct O ales arbitrar în spatial 3 și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅.
Vectorii ̅ ̅ ̅ sunt coplanari cu punctele O, A, B si C .
Construim paralele prin punctul C la vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗
și notăm cu , respectiv , intersecțiile acestor paralele
cu direcțiile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ și respectiv ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vom obține
paralelogramul OA’CB’ . Evident ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Vom demonstra că ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt vectori unici,
care au aceeași direcție cu vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și respectiv ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
cu proprietatea că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Presupunem prin absurd că există ” punct pe dreapta și B” punct pe dreapta
astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Rezultă că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Este evident că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ este un vector nenul
coliniar cu ⃗⃗⃗⃗⃗ iar ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ este deasemenea un vector nenul coliniar cu ̅. Astfel egalitatea
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ conduce la coliniaritatea vectorilor ̅și ̅, ceea ce este o contradicție. Deci
scrierea ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ este unică.
Pe de altă parte, deoarece vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari, rezultă că există și este unic un
scalar astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Similar, folosind coliniaritatea vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ , obținem că
există un unic scalar astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Deci ̅ ̅+ ̅, cu și scalari unic determinați.

Teoremă.Descompunerea unui vector după trei direcții necoplanare. Fie ̅ ̅ ̅ trei
vectori liberi necoplanari. Dacă ̅este u n vector liber, atunci există și sunt unici scalarii
astfel încât ̅ ̅ ̅ ̅.

O
𝐴
A

B
𝐵
C
Fig. I.4.1

16
Demonstrație:
Vectorii ̅ ̅ ̅ sunt nenuli ( altfel se contrazice condiția de necoplanaritate din ipoteză).
Dacă ̅ ⃗ , atunci avem și concluzia teoremei este clară.
Dacă ̅ este coplanar cu doi dintre vectorii atunci ̅ ̅ ̅ se reduce la cazul teoremei
anterioare.
În continuare vom considera ̅ ̅ ̅ ̅vectori
liberi nenuli și oricare trei vectori sunt necoplanari.
Fie O un punct din spațiul 3 și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ . Construim paralela prin
punctual M la ⃗⃗⃗⃗⃗ și notăm cu N punctul de intersecție al
acestei paralele cu planul determinat de vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Pe dreptele suport ale vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se
consideră punctele , și respectiv astfel încât
patrulaterele OA’NB’ și ONMC’ sunt paralelograme.
Este evident că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)
Se demonstrează, prin reducere la absurd, că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt vectori unici care au
aceeași direcție cu vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ și respectiv ⃗⃗⃗⃗⃗ , cu proprietatea că
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Se obține astfel existența și unicitatea scalarilor astfel încât
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ . (2)
Înlocuind relațiile (2) în (1), obținem ̅ ̅ ̅ ̅.

Teoremă. Fie A, M, B trei puncte coliniare, cu M situate între A și B. Dacă O este un punct
arbitrar în spațiu și ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖, atunci ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.

A
A
’
N
O
B
B’
M
C’
C
Fig. I.4.2

17
Demonstrație :
Deoarece k este raportul a două lungimi de vectori,
k este pozitiv.
Cum ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt vectori coliniari de sensuri opuse
și ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖, rezultă că
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , (3)
Din triunghiurile OAM și OBM găsim că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
Și respectiv ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (5)
Înlocuind relațiile (4) și (5) în (3), obținem că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), de unde rezultă că
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.
Caz particular important. Dacă M este mijlocul segmentului [AB] , atunci k=1 și avem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
.

5.Proiectia ortogonala a unui vector liber pe un vector nenul

Definiție. Doi vectori liberi, ̅, ̅ 3 , se numesc ortogonali și notăm ̅ ̅ dacă
direcțiile celor doi vectori sunt perpendiculare.
Prin convenție : ̅ ̅ și ̅ , ( ) 3.
Lemă. Dacă ̅ 3, ̅ , atunci se constată că ̅̅̅̅=* ̅ + este un subspațiu vectorial
al lui 3 și este suplimentul ortogonal al lui , ̅-.
Orice vector ̅ 3 se poate scrie în mod unic sub forma ̅ ̅ ̅ ̅̅̅ cu ̅ ̅ .
Definiție. Aplicația ̅ : 3 definit ă prin ̅ ̅ ̅ ̅ , se numește proiecție
ortogonală a spațiului pe vectorul liber(nenul ) ̅ și se notează ̅ ̅ ̅ ̅, cu ̅ ̅ .
Definiție. Notând cu ̅ vectorul coliniar, de același sens cu ̅ și cu lungimea egală cu
unitatea( deci versorul lui ̅), avem : ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅ . Numărul real ̅ ̅ se notează
cu ̅ ̅ și se numește proiecția ortogonală scalară a vectorului ̅pe vectorul ̅(nenul).
A
M
B
O
Fig. I.4.3

18
Avem așa dar scrierea ̅ ̅ ( ̅ ̅) ̅ , unde ̅ este versorul vectorului ̅ .
Deoarece proiecția ortogonală a vectorului ̅ pe ̅ depinde numai de direcția lui ̅ , iar
̅ ̅ depinde numai de direcția și sensul lui ̅, avem :
̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅) ̅ , unde ̅ este vector unitar.
Definiție .Unghiul a doi vectori nenuli ̅, ̅ 3 este măsura unghiului , unde ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅
și ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ și se notează ( ̅ ̅).

Observație . Pentru unghiurile neorientate, pentru oricare doi vectori nenului, avem scrierea
( ̅ ̅) ( ̅ ̅).
Lemă. Pentru oricare doi vectori liberi nenuli ̅ și ̅ , avem : ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅).

6. Expresia analitică a unui vector liber

Fie o bază ortonormată { ̅ ̅ ̅ }, adică ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ̅‖ și direcțiile lui ̅ ̅ ̅ sunt
perpendiculare două câte două. Fie ̅ , și aplicăm vectorii ̅, ̅ ̅ ̅ în O.
Obținem un sistem cartezian și ̅ ̅ ̅ ̅ . Tripletul ( x,y,z) nu depinde de punctul O
fixat și sunt coordonatele vectorului liber ̅ în raport cu baza { ̅ ̅ ̅ }.

𝑢̅
𝑣̅
A
B
O
Fig. I.5.1 Reprezentarea unghiului dintre vectorii liberi

19

O

y
x

z
j

k
i

zyxM ,,
y

z
x

v
Fig. I.6.1 Reprezentarea unui reper cartezian în

Întrucât versorii ̅ ̅ ̅ , sunt necoplanari, pentru orice vector ̅ ( ) unic
determinați astfel încât ̅ se exprimă în forma ̅ ̅ ̅ ̅, numită expresia analitică a
vectorului ̅. Numerele ( ) se numesc coordonatele euclidiene (componente ) ale lui ̅ în raport
cu reperul { ̅ ̅ ̅ }.

Definiție. Fie fixat. Vectorul ̅̅̅̅̅ se numește vector de poziție al punctului M.
Coordonatele vectorului de poziție ̅̅̅̅̅ în raport cu reperul { ̅ ̅ ̅ } se numesc coordonatele
punctului M. Dacă ̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ atunci se scrie ( ) .
Definiție. Dacă și ( ), ( ) sunt două puncte date, atunci
vectorl ⃗⃗⃗⃗⃗ are expresia analitică:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅,
iar distanța dintre punctele și notat ă ( ) se calculează conform formulei:
( ) ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √( ) ( ) ( ) .

20

O

y
x

z
j

k
i

111,,zyxA
222 ,,zyxB
Fig. I.6.2 Reprezentarea unui reper cartezian în

7. Produsul scalar

Fie ̅ ̅ . Pentru ̅ ̅, ̅ ̅ se notează cu , – unghiul dintre ̅ și ̅.

Definiție . Fie ̅ ̅ . Produsul scalar al vectorului ̅ cu vectorul ̅ este definit prin :
〈 ̅ ̅〉 { ̅ ̅ ̅ ̅
‖ ̅‖ ‖ ̅‖ ̅ ̅ ̅ ̅

Observa ție. 〈 ̅ ̅〉 ‖ ̅‖ ̅ ̅ , dacă ̅ ̅ și
〈 ̅ ̅〉 ‖ ̅‖ ̅ ̅, dacă ̅ ̅

Interpretarea mecanică a produsului scalar.
Dacă ̅ și ̅ sunt doi vectori liberi, iar O este un punct material asupra căruia se exercită o
forța ̅ ̅ și care efectuează o deplasare definită de vectorul ̅, atunci produsul scalar ̅ ̅
reprezinta lucrul mecanic L al forței ̅pentru deplasarea ̅.

21

Produsul scalar al vectorilor liberi are următoarele proprietăți:
a) comutativitatea : 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉, ( ) ̅ ̅ ;
b) 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉, ( ) ̅ ̅ și ( )
c) distributivitatea față de adunarea vectorilor liberi:
〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉, ( ) ̅ ̅ ̅
〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉, ( ) ̅ ̅ ̅
d) 〈 ̅ ̅〉 ( ) ̅ , ̅ ̅ și 〈 ̅ ̅〉 ̅ ̅
e) 〈 ̅ ̅〉 ̅ ̅, ̅ ̅, ̅ ̅

Teoremă. (Expresia analitică a produsului scalar). Fie ̅ ̅ ̅ ̅,
și ̅ ̅ ̅ ̅, doi vectori liberi, dați sub formă analitică. Atunci produsul lor scalar se
obține cu formula : 〈 ̅ ̅〉 .

Demontra ție:
Vom determina mai întâi valorile produsului scalar pe multimea versorilor { ̅, ̅ ̅+ .
Din defini ția produsului scalar obținem astfel :
〈 ̅ ̅〉=‖ ̅‖ ‖ ̅‖ și 〈 ̅ ̅〉=‖ ̅‖ ‖ ̅‖ .

Aceste rezultate ale produsului scalar pe mulțimea versorilor axelor de coordonate pot fi date
sub forma tabelului următor :

O
𝐹̅ = 𝑢̅
𝑣̅
Fig. I.7.1 Reprezentarea unui reper cartezian în

𝑖̅
𝑗̅
𝑘̅
1
0
0
𝑖̅
𝑗̅
𝑘̅
1
0
0
0
1
0

22
Folosind proprietățile produsului scalar și tabelul de mai sus obținem :
〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅〉
〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉
〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉

Teoremă. Fie un vector liber ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅, atunci avem : 〈 ̅ ̅〉
‖ ̅‖ .

Defini ție. Unghiul dintre vectorii nenuli ̅ ̅ * ̅+ este dat de formula
〈 ̅ ̅〉
‖ ̅‖‖ ̅‖
√ √ , –

Observație. Vectorii ̅ și ̅ sunt ortogonali dacă și numai dacă

8. Produsul vectorial

Fie ̅ ̅ Pentru ̅ ̅, ̅ ̅ se notează cu , – unghiul dintre ̅ și ̅.

Definiția. Produsul vectorial dintre vectorii liberi ̅ și ̅ este vectorul liber ̅ ̅ construit în
felul următor:
 Direc ția lui ̅ ̅ este ortogonală planului determinat de vectorii ̅ și ̅.
 Mărimea lui ̅ ̅ este data de formula
‖ ̅ ̅‖ { ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
‖ ̅‖‖ ̅‖ ̅ ̅
 Sensul dat de regula burghiului, adică sensul de avansare al burghiului, când
se deplasează vectorul ̅ peste vectorul ̅ cu unghiul .

23

Observa ție. Folosind mărimea produsului vectorial obținem
o altă metodă de determinare a unghiului dintre doi vectori
nenuli .În consecință , doi vectori liberi nenulisunt coliniari
dacă și numai dacă produsul vectorial este zero .

Interpretarea geometrică a produsului vectorial : Mărimea produsului vectorial a doi
vectori liberi ̅ și ̅nenuli și necoliniari este egală cu aria paralelogramului construit pe vectorii ̅ și
̅.
Produsul vectorial al vectorilor liberi are următoarele proprietăți algebrice :
a) anticomutativitatea : ̅ ̅ ( ̅ ̅) ( ) ̅, ̅ ;
b) ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅, ̅ ( ) ;
c) distributivitatea față de adunarea vectorilor:
̅ ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅, ̅ ̅ ;
( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅, ̅ ̅ ;
d) ̅ ̅ ̅ ( ) ̅ ;
e) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅ ;

𝑢̅ 𝑣̅
z
𝑢̅
0
𝑣̅
𝜑
y
x
Fig.I.8.1 Reprezentarea grafică a produsului vectorial

𝑢̅
𝑣̅
𝑢̅ 𝑣̅
Fig. I.8.2

24
Teoremă.(Expresia analitică a produsului vectorial). Fie ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ și
̅ ̅ ̅ ̅ doi vectori liberi, dați sub formă analitică. Atunci produsul lor
vectorial se calculează după formula:
̅ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ | ̅ ̅ ̅

|

Demonstra ție:
Vom determina mai întâi valorile produsului vectorial pe multimea versorilor
{ ̅, ̅ ̅+ . Din defini ția produsului vectorial și orientarea versorilor obținem :
̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅ .
Aceste rezultate ale produsului vectorial pe mulțimea versorilor axelor de coordonate pot fi
date sub forma tabelului următor :

Din proprietățile produsului vectorial și din tabelul de mai sus obținem:
̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅)= ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ .

Pe de altă parte, avem :
̅ ̅ | ̅ ̅ ̅

| ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ .

Compar ând aceste două relații, obținem rezultatul dorit.

𝑘̅

𝑖̅
𝑗̅
̅
𝑘̅
𝑗̅
𝑖̅
𝑗̅
𝑘̅
̅

𝑘̅
0

𝑖̅
𝑗̅
𝑖̅
̅
𝑖̅
𝑗̅
𝑘̅

25
Produsul vectorial al vectorilor liberi are următoarele proprietăți geometrice :
a) 〈 ̅ ̅ ̅〉
〈 ̅ ̅ ̅〉 } adică ̅ ̅ este orthogonal pe ̅ și ̅
b) identitatea lui Lagrange : ‖ ̅ ̅‖ ‖ ̅‖ ‖ ‖ 〈 ̅ ̅〉 , ( ) ̅, ̅ ;
c) ‖ ̅ ̅‖ este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanților lui ̅ și ̅
având aceeași origine .

‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
Dar . Rezult ă ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
.

9. Produsul mixt

Definiție. Fie un triplet ordonat ( ̅ ̅ ̅) de vectori liberi și o orientare a spațiului ,
produsul mixt al tripletului este definit prin : ( ̅ ̅ ̅) 〈 ̅ ̅ ̅〉.
Observa ție. Dacă schimbăm orientarea lui atunci ( ̅ ̅ ̅) își schimbă sensul.

Interpretarea geometrică a produsului mixt :
Dacă vectorii liberi ̅ ̅ ̅ * ̅+ sunt necoplanari, atunci produsul mixt, în valoare
absolută a celor trei vectori reprezintă
volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori ca muchii .

𝑢̅
𝑣̅
B
C
A
𝛼
O
Fig. I.8.3.Interpretarea geometrică a produsului vectorial

26
Notăm cu
 unghiul dintre vectorii ̅ și ̅ și cu
unghiul dintre vectorii ̅ și ̅ ̅ ̅, atunci avem :

〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅〉 ‖ ̅‖‖ ̅‖
‖ ̅ ̅‖⏟
‖ ̅‖ ⏟

Adic ă 〈 ̅ ̅ ̅〉

Teoremă. Volumul tetraedului construit pe vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅,are expreia:

̅ ̅ ̅ .
Produsul mixt al vectorilor liberi are următoarele proprietăți :
1) 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉, ( ) ̅, ̅ ̅ ;
2) 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉, ( ) ̅, ̅ ̅ ;
3) 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉, ( ) ̅, ̅ ̅ , ( ) ;
4) 〈 ̅ ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉 〈 ̅ ̅ ̅〉, ( ) ̅, ̅ ̅ ̅ ;

5) identitatea lui Lagrange :〈 ̅ ̅ ̅ ̅〉 |〈 ̅ ̅〉〈 ̅ ̅〉
〈 ̅ ̅〉〈 ̅ ̅〉|, ( ) ̅, ̅ ̅ ̅

6) 〈 ̅ ̅ ̅〉 dacă și numai dacă :
a) cel pu țin unul dintre vectorii ̅, ̅, ̅ este nul;
b) doi dintre vectori sunt coliniari;
c) vectorii ̅, ̅, ̅ suntcoplanari.

Teoremă.(Expresia analitică a produsului mixt). Fie ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅,
̅ ̅ ̅ ̅, și ̅ ̅ ̅ ̅ trei vectori liberi, dați sub formă analitică.
Atunci produsul mixt al celor trei vectori se calculează după formula:

𝑣̅
𝑡̅
𝑢̅
h
𝑤̅
Fig I.9.1 Interpretarea geometrică
a produsului mixt
𝜃
𝜑̅

27
( ̅ ̅ ̅) |

| .

Demonstrație. Din expresia analitică a produsului vectorial avem:
̅ ̅ | ̅ ̅ ̅

| |
| ̅ |
| ̅ |
| ̅
Folosind definiția produsului mixt și expresia analitică a produsului scalar, rezultă că :
( ̅ ̅ ̅) 〈 ̅ ̅ ̅〉 |
| |
| |
| |

|

Observa ție. Dacă ( ), ( ), ( ), ( ) sunt vârfurile
unui tetraedu, atunci volumul tetraedului este dat de formula :

|

|

10. Teoreme clasice demonstrate vectorial

1. Teorema lui Thales. Fie un triunghi și punctele Atunci dreapta
MN este paralelă cu BC dacă și numai dacă punctele și împart segmentele , – și , – în
același raport.

Demonstrație. Să arătăm că punctele și
împart segmentele , – și , – în același raport,
dreptele MN și BC sunt paralele. Fie ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1). Folosind regula poligonului obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Înmulțim a doua relație cu k și obținem prin adunare:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
A
B
C
M
N

28
Așad ar vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari și astfel .
Reciproc, fie . Notăm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Vom arăta că .
Din coliniaritatea vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ există astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Avem relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,(1)
Folosind raportul în care și împart segmentele , – și , – se obțin relațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Substituind ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ în relația (1) se obține:
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

sau
⃗⃗⃗⃗⃗ 0( )
1 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

/ .
Dar vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ nu sunt co liniari și se obține că:

, deci .
Așadar punctele și împart segmentele , – și , – în același raport.

2.Teorema bisectoarei interioare. Într-un triunghi bisectoarea interioară ,
împarte latura , – în segmente proporționale cu laturile unghiului :

.

Demonstra ție. Notăm , ,
și fie raportul în care punctul
împarte segmentul , -. Rezultă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Considerăm punctele și astfel
încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Se observă că ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ , ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ,

deci vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ au același modul. Rezultă că vectorul sumă ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ este coliniar cu
vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ , deoarece patrulaterul este romb.
Așadar există cu proprietatea că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
A
B
C
M
N
P
D

29
Dar ⃗⃗⃗⃗⃗ împarte segmentul , – în raportul , deci avem că:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Se obține că:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
și
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Din cele două egalități care exprimă vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ sau .
/ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
/ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ .
Deoarece vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt necoliniari rezultă că :

și
și astfel

.

Observație .
1. Din demonstrația teoremei se obține că
, deci ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și se
obține relația vectorială ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(1).

2. Folosind faptul că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , din relația (1) se
obține vectorul de poziție al punctului , piciorul bisectoarei :
̅ ̅ ̅
.

3.Teorema lui Menelau. Fie ABC un triunghi și d o transversală care intersectează dreptele
AB, BC în punctele M,N și P. Atunci are loc relați a:

.

Demonstra ție. Punctele M AB , N AC si P BC
astfelincat ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Obținem relațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(2)
A
M
N
P
B
C

30
Deoarece vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari rezultă că există un , astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Din relațiile (1) și (2) vom obține că : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
și folosind faptul că ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
va rezulta egalitatea : , ( )- ⃗⃗⃗⃗⃗ 0 ( )
1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Dar vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt necoliniari și obținem astfel relațiile ( ) și
( ).
Eliminând din cele două egalități obținem că și teorema este astfel demonstrată.

4.Teorema reciprocă a lui Menelau. Pelaturile triunghiului se consideră punctele
astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Dacă atunci punctele
sunt puncte coliniare.

Demonstrație. Considerăm vectorii de poziție în plan
cu originea în .
Vom arăta că există astfel încât
̅ ̅ ( ) ̅ , relație care arată că punctele sunt coliniare.

Avem succesiv :
̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

0 ⃗⃗⃗⃗⃗ .
/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 (1)
Din relația (1) din care se obține că :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Dacă
, atunci
și astfel ̅ ̅ ( ) ̅ , deci punctele
sunt coliniare.

5.Teorema lui Ceva. Fie un triunghi și puncte astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Atunci dreptele , și sunt concurente dacă și numai dacă
.

A
B
C
M
N
P

31

Demonstrație. Orice ( ) să arătăm
că sunt coliniare. Fie ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ coplanare, unde
* + . Avem relațiile următoare
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
În triunghiul aplicăm teorema lui Menelaus și

,

;

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

(

) ( ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ) , adică .

CAA'

A
B
C
𝐴
𝐵
𝐶
P

32
CAPITOLUL II
DREAPTA ȘI PLANUL ÎN SPAȚIU

1. Ecuațiile dreptei în spațiu
O dreaptă în spațiu poate fi dată prin :
 un punct și un vector director nenul ;
 două puncte distincte ;
 intersec ția a două plane

 Dreapta definită printr -un punct și un vector director
Definiție. Fie o dreaptă (d) dată în spațiu. Vectorul ̅ ̅ ̅ ̅ se numeste vector
director al dreptei d, daca are direcția paralelă cu dreapta data, iar l, m, n se numesc parametrii
directori.
Teoremă. (Ecuația vectorială a dreptei). Fie un punct fixat arbitrar în spațiu, iar ̅
un vector nenul, atunci ecuația vectorială a dreptei ce trece prin și are ca vector director
pe ̅ este ̅ ̅ ̅ , , unde ̅este vectorul de poziție al punctului oarecare M de pe o
dreaptă, iar ̅ este vectorul de poziție al lui .

z

𝑣̅
x
𝑖̅
𝑘̅
𝑗̅
y
𝑀
𝑀
Fig. II.1.1

33
Demonstrație. Deoarece vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ̅ sunt coliniari există un scalar astfel încât
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ . Aplicând regula triunghiului obținem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ .
Deci ̅ ̅ ̅ sau, echivalent ̅ ̅ ̅ .
Teoremă.(Ecuațiile parametrice ale dreptei). Fie ( ) un punct fixat arbitrar în
spațiu care are vectorul director ̅ ̅ ̅ ̅, atunci ecuațiile parametrice ale dreptei care
trece prin punctul ( ) sunt:
{

,

Demonstrație. Avem ecuația vectorială a dreptei ̅ ̅ ̅ , unde unde ̅este vectorul de
poziție al punctului M, iar ̅ este vectorul de poziție al lui .
Folosind expresiile analitice ale vectorilor ̅ ̅ și respectiv ̅ , obținem :
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ⃗ ),
Deci ̅ ̅ ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
Folosind unicitatea de descompunere a unui vector dup ă trei vectori necoplanari, rezultă că
{

, .

Teoremă.(Ecuațiile canonice ale dreptei). Fie ( ) un punct fixat arbitrar în
spațiu care are vectorul director ̅ ̅ ̅ ̅, atunci ecuațiile canonice ale dreptei care trece
prin punctul ( ) sunt:

𝑀
𝑣̅
𝑟̅
𝑟̅
𝑀
O
Fig. II.1.2

34

, unde .

 Dreapta definită prin două puncte distincte
Teoremă.(Ecuația vectorială a dreptei prin două puncte distincte). Fie un reper
ortonormat și două puncte distincte M 1 și M 2 care au vectorii de poziție ̅ și respectiv ̅ . Atunci
punctul M cu vectorul de poziție ̅ aparține dreptei M1M2 dacă și numai dacă ̅= ̅ +t( ̅ ̅ ),
ecuație numită ecuația vectorială a dreptei dată prin două puncte.
Teoremă. (Ecuațiile paramatrice ale dreptei prin două puncte distincte). Fie un reper
ortonormat și două puncte distincte M 1(x1,y1,z1) și ( ), atunci coordonatele unui punct
M(x,y,z), oarecare, al dreptei sunt de forma :
{ ( )
( )
( ) ,
iar relațiile se numesc ecuațiile parametrice ale dreptei date prin două puncte distincte.
Teoremă. Fie un reper ortonormat și două puncte distincte M 1(x1,y1,z1) și ( ),
atunci ecuațiile canonice ale dreptei sunt :

Demonstra ție. Punctele distincte M1 și determină un vector director
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
Deci, conform teoremei anterioare, ecuațiile parametrice ale dreptei sunt:

 Dreapta definită ca intersecție de două plane
Teorem ă. Fie dreapta d dată prin intersecția a două plane :
d: {

Atunci ecua țiile dreptei sunt :

, unde ( ) este o solu ție particulară a
sistemului , iar |
| , |
| , |
|.

35
Demonstrație. Orice punct de pe dreaptă are coordonatele : {

Printr -un calcul direct și elementar se introduc aceste coordonate în ecuațiile celor două
plane și se arată că aceste ecuații sunt verificate.

2. Ecuațiile dreptei în plan
În mod analog obținerii rezultatelor pentru drepte în spațiu, formal, neglijând cotele
punctelor, obținem rezultate pentru dreptele în plan.
Definiți e. Fie o dreaptă (d) dată în plan. Vectorul ̅ ̅ ̅ se numeste vector director al
dreptei (d), dacă are direcția paralelă cu dreapta data, iar l, m se numesc parametrii directori.
Teoremă. (Ecuația vectorială a dreptei). Fie un punct fixat arbitrar în plan, iar ̅ un
vector nenul, atunci ecuația vectorială a dreptei ce trece prin și are ca vector director pe ̅ este
̅ ̅ ̅ , , unde ̅este vectorul de poziție al punctului oarecare M de pe o dreaptă, iar
̅ este vectorul de poziție al lui .

Teoremă.(Ecuațiile parametrice ale dreptei). Fie ( ) un punct fixat arbitrar în
plan care are vectorul director ̅ ̅ ̅, atunci ecuațiile parametrice ale dreptei care trece
prin punctul ( ) sunt:
{
,
Definiție. Fie o dreaptă (d) din planul ( ), ecuația generală a dreptei este :
,
𝑖̅
𝑗̅
y
𝑀
𝑀
𝑣̅
x
Fig. II.2.1

36
Teoremă.(Ecuațiile canonice ale dreptei). Fie ( ) un punct fixat arbitrar în plan
care are vectorul director ̅ ̅ ̅, atunci ecuațiile canonice ale dreptei care trece prin
punctul ( ) sunt:

, unde .
Observație . Dacă l=0, ecuația dreptei care este paralelă cu Oy este . Analog,
este ecuația unei drepte paralele cu Ox.
Observație . Dacă l , ecuația dreptei se poate scrie :
( )
Dacă notăm cu =
, ecuația devine ( ), iar se numește panta
drepte i d și este egală cu tg , unde este unghiul dintre axa Ox și dreapta d.
Observație .Ecua ția ( ) se mai poate scrie sub forma , unde
este ordonata la origine a dreptei (d) față de reper și reprezintă ordonata punctului de intersecție al
dreptei (d) cu axa .
Definiție. Fie dreapta d în planul , raportată la reperul ortonormat * ̅, ̅ +. Se
consider ă pe dreapta d punctele distincte fixate ( ) și ( ) și punctul variabil
( ). Ecuația vectorială a dreptei d este : ̅ ̅ ( ̅ ̅ ), .
Teoremă. Fie un reper ortonormat și două puncte distincte M 1(x1,y1,z1) și ( ),
atunci ecuațiile canonice ale dreptei sunt :

Demonstrație : Ecua ția vectorială a dreptei se explicitează astfel :
̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ ̅ ̅)
{ ( )
( )

Observație. Dacă atunci ecuația dreptei este și reprezintă o dreaptă
paralelă cu axa Oy, iar dacă , atunci ecuația dreptei este și reprezintă o dreaptă
paralelă cu axa Ox.
Dacă atunci ecuația dreptei este
( ) iar panta dreptei d
este
.

Observație . Ecuația dreptei date prin două puncte distincte

se poate scrie în mod echivalent : |

|

37
Observa ție. Dacă punctul aparține dreptei d determinată de punctele distincte
( ) și ( ) atunci coordonatele punctului verifică ecuație dreptei și deci
avem : |

| . Aceasta este condi ția de coliniaritate a punctelor , , .

Teoremă . Fie un reper ortonormat și trei puncte distincte M 1(x1,y1,z1) și
( ), ( ),atunci aria triunghilui determinat de cele trei puncte este :

, unde |

|

Observație . Dacă dreapta d intersectează axa în punctul ( ) și axa în punctul
B(0, b), atunci ecuația dreptei se poate scrie :
|

|

. Aceast ă ecuație se numește ecuația dreptei prin tăieturi.

Pozițiile relative a două drepte în plan :
Fie dreptele ( ) și ( ) din planul ( ) date de ecuațiile generale :
( ) și ( ) , și
. Atunci avem :
a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( ) și ( ) ( )

3. Ecuația planului în spațiu

Un plan în spațiu este determinat de condiții geometrice ca : trei puncte necoliniare, dou ă
drepte concurente, două drepte paralele, o dreaptă și un punct exterior ei, un punct și un vector
normal la plan, precum și distanța de la origine la plan împreună cu versorul normal la plan.

38

Teoremă.( Ecuația planului ce trece printr -un punct dat și este perpendicular pe o
direcție dată) : Dacă ( ) este un punct fix în spațiu, iar ̅ ̅ ̅ ̅ un vector
nenul dat, atunci ecuația planului ce trece prin și este perpendicular pe vectorul ̅ are forma :
( ) ( ) ( )

Demonstra ție. Fie ( ) planul căutat și considerăm ( ) un punct arbitrar în planul ( ) ,
diferit de punctul . Apartenența punctului M la planul ( ) este echivalentă cu perpendicularitatea
vectorilor ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , deci cu relația 〈 ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 . Deoarece ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅
( ) ̅ și ținând cont de expresia analitică a produsului scalar obținem ( ) ( )
( ) .
Deci, un punct ( ) aparține planului ( ) dacă și numai dacă :
( ) ( ) ( ) .
Definiție. Orice vector perpendicular pe un plan dat se numește vector normal la planul
respectiv.
Observație. Din demonstrația teoremei anterioare reiese că, fiind dat un plan de ecuație
, atunci ̅ ̅ ̅ ̅ este un vector normal la planul considerat.
Teoremă.(Ecuația generală a planului). Orice p lan din spațiu este definit de o ecuație de
forma : , cu anumite constante reale astfel încât
.
Demonstrație. Fie ( ) un plan arbitrar. Alegând ( ) un punct în planul ( ) și
̅ ̅ ̅ ̅ un vector normal la planul ( ), obtinem astfel ecuația planului ( ): ( )
( ) ( ) , adic ă
𝑛̅
(𝜋)
𝑀
M
Fig. II.3.1

39
, unde . Datorită faptului că un vector
normal la un plan este nenul, obținem condiția .

Teoremă.( Ecuația planului paralel cu două direcții neparalele).
Dacă ( ) este un punct fix în spațiu, iar ̅ ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅
̅ ̅ sunt doi vectori neparaleli, atunci ecuația planului ce trece prin și este paralel cu
vectorii ̅ și ̅ are forma : |

|

Demonstra ție. Fie ( ) planul ce trece prin și este paralel cu vectorii ̅ și ̅ .
Considerăm ( ) un punct arbitar în planul ( ). Vectorii liberi ̅ și ̅ fiind paraleli cu
planul ( ), pot fi considerați ca fiind incluși în ( ), de unde obținem coplanaritatea vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
̅ și ̅ adică ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ , ̅ )=0. Cum ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ și ținând cont de
expresia analitică a produsului scalar , obținem ecuația dorită.
Teoremă. (Ecuația planului de trece prin trei puncte necoliniare) :
Dacă ( ) ̅̅̅̅, sunt trei puncte necoliniare, atunci ecuația planului determinat
de cele trei puncte este : |

|

(𝜋)
𝑀
𝑀
𝑣̅
𝑣̅
Fig. I I.3.2
(𝜋)
Fig. II.3.3
𝑀
𝑀
𝑀

40
Demonstra ție. Se știe că trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul.
Fie planul ( ) ce trece prin punctele ( ) ̅̅̅̅. Notăm ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vectorii ̅ și ̅ sunt incluși în planul( ), deci paraleli cu planul ( ), iar punctul aparține
planului ( ). Știind că :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) ̅
Și folosind relația |

| se obține ecuația dorită.

Teoremă. (Ecuația planului prin taieturi) : Planul care intersecteaz ă axele sistemului
cartezian ortogonal în punctele ( ) ( ) ( ) (diferite de originea O a sistemului
cartezian) are ecuația

.

Demontrație. Evident, punctele A, B, C sunt necoliniare. Ecuația planului determinat de
punctele A, B, C este : |

| .
Dezvolt ând aceste determinant după prima linie obținem : ( )
Împărțind relația precedentă prin obținem ecuația

x
A
B
O
C
z
y
Fig. I.2.7

41
4. Unghiuri în spațiu

Definiție. Unghiul dintre două plane ( 1) și ( 2) , notat ( ) ( )), este unghiul format de
doi vectori normali ai celor două plane.

Observație. Unghiul dintre două plane, definit anterior, este egal sau suplementar unghiului
diedru (acest lucru depinzând de sensul vectorilor normali).

Teoremă. (Unghiul dintre două plane) : Fie ( ) și
( ) două plane din spațiu. Atunci
(( ) ( ))
√ √ .
Demonstrație. Fie ̅ ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅ ̅. Atunci vectorii ̅ și
̅ sunt vectori normali pentru planele ( ) și respectiv ( ) și în plus, din definiția anterioară
(( )) ( ̅ ̅ ) .
Dar, ( ̅ ̅ ) ̅ ̅
‖ ̅ ‖‖ ̅ ‖
√ √ , de unde se obține rezultatul dorit.

(𝜋 )
(𝜋 )
𝑛̅
𝑛̅

Fig. II.4.1

42
Cazuri particulare:
1) ( ) ( ) dacă și numai dacă (condiția de perpendicularitate
dintre două plane).
2) ( ) ( ) dacă și numai dacă

(condiția de paralelism dintre două plane).

Definiție . Unghiul dintre două drepte arbitrare din spațiu ( ) și ( ), notat (( ),
( )) , este unghiul format de doi vectori directori ai celor două drepte.

Teoremă. (Unghiul dintre două drepte). Fie ( )

și ( )

două drepte dins pațiu. Atunci
(( ))
√ √ .
Demonstrație. Vectorii ̅ ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅ ̅ sunt vectori
directori ai dreptelor ( ) și ( ) . Deoarece
(( ) ( )) ̅ ̅
‖ ̅ ‖‖ ̅ ‖
√ √ și se obține relația dorită.
Cazuri particulare:
1) ( ) ( ) dacă și numai dacă (condiția de perpendicularitate
dintre două drepte).
2) ( ) ( ) dacă și numai dacă

(condiția de paralelism dintre două drep te).

Definiție. Se numește unghi format de dreapta (d) și planul ( ) și se notează (( ) ( ))
cel mai mic dintre unghiurile formate de dreapta (d) cu proiecția ei pe planul ( ).

(d)
𝑛̅
𝑣̅

(𝜋)
Fig. II.4.2

43
Teoremă .(Unghiul dintre o dreaptă și un plan). Dacă ( ) este o dreaptă având ecuațiile

, iar ( ) un plan de ecuație , atunci
(( ) ( ))
√ √ .

Demonstrație: Dacă ̅ ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅ ̅, atunci
( ̅ ̅)=
(( ) ( )). Obținem astfel că ( ̅ ̅)= (( ) ( )) și folosind formula
unghiului dintre doi vectori obținută la produsul scalar, va rezulta relația cerută.

Cazuri particulare:
( ) ( ) dacă și numai dacă

(condiția de perpendicularitate dintre o
dreaptă și un plan).
( ) ( ) dacă și numai dacă (condiția de paralelism dintre o
dreaptă și un plan ).

5.Distanțe în spațiu

Teoremă.(Distanța de la un punct la un plan) : Dacă ( ) este un punct , iar ( ) este
un plan de ecuație , atunci distanța de la punctul la planul ( ) este :
( ( ))
√ .

𝑀
𝑀
𝑀
𝑛̅
Fig. II.5.1

44
Demonstra ție. Fie ̅ ̅ ̅ ̅, proiecția punctului pe planul ( ) și
( ) un punct arbitrar din planul ( ), diferit de . Atunci ( ( )) ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖, iar
lungimea vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ reprezintă modulul mărimii proiecției ortogonale a vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ pe
vectorul normal ̅ : ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=| ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. Ob ținem deci ( ( )) | ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. Dar, din
produsul scalar, avem | ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ‖〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅〉‖
‖ ̅‖ .
Va rezulta că :
( ( )) ‖〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅〉‖
‖ ̅‖ | ( ) ( ) ( )|
√
√

√ .

Teoremă.(Distanța de la un punct la o dreaptă). Dacă ( ) este un punct, iar (d)
este o dreaptă de ecuații

, atunci distanța de la punctul la dreapta (d) este :
( ( )) ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅‖
‖ ̅‖ , unde ( ) și ̅ ̅ ̅ ̅ .

Demonstrație. Punctul ( ) se află pe dreapta (d), iar ̅ ̅ ̅ ̅ este
vector director al dreptei (d). Considerăm paralelogramul construit pe vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ̅ .

Din geometria clasică știm că ( ( )) ‖ ̅‖, iar din interpretarea geometrică a
produsului vectorial aria paralelogramului este ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅‖ . Din cele două exprimări ale ariei
obținem ( ( )) ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅‖
‖ ̅‖ .

(d)
𝑀
𝑣̅
𝑀
Fig. I I.5.2

45
Teoremă. (Distanța dintre două drepte necoplanare): Dacă
( )

și ( )

sunt două drepte necoplanare, atunci
distanța dintre dreptele ( ) și ( ) este (( ) ( )) |( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ )|
‖ ̅ ̅ ‖, unde
( ), ( ), ̅ ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅ ̅ .

Demonstrație. Vom considera paralelipipedul construit pe vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ .Înălțimea
acestui paralelipiped , , este chiar distanța dintre dreptele ( ) ( ), iar aria bazei
paralelipipedului este ‖ ̅ ̅ ‖ . Din interpretarea geometrică a produsului mixt avem că volumul
acestui paralelipiped este |( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ )| .

Deci, (( ) ( )) ‖ ̅ ̅ ‖ |( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ )| .
Observație.
1) Dacă dreptele ( ) ( ) sunt concurente, atunci evident distanța dintre ele este
(( ) ( )) .
2) Dacă dreptele ( ) ( ) sunt paralele , atunci pentru a determina distanța dintre cele două
drepte se consideră un punct pe dreapta ( ) și este (( ) ( )) ( ( )) .

(𝑑 )
(𝑑 )
𝑀
𝑣̅
𝑀
𝑣̅
Fig. II.5.3

46
CAPITOLUL III
PROBLEME DE GEOMETRIE ELEMENTARĂ
ÎN PLAN ȘI ÎN SPAȚIU REZOLVATE
CU AJUTORUL VECTORILOR

Problema 1. Pe latura a unui triunghi se consideră un punct care împarte
segmentul , – în raportul
. Notând cu ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, să se demonstreze
relația : ̅ ̅ ̅
.

Demonstra ție. Din relația

Obținem

(1)
Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari și prin urmare,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
În triunghiul , vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ prin relația :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Substituind ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (2) în (3) obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(4)
În triunghiul , vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul relației :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (5)
Subtituind valoarea lui ⃗⃗⃗⃗⃗ din (5) în (4), obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(6)
Ținând seama de notațiile vectoriale din ipoteză, se obține : ̅ ̅ ̅
.
Observa ție. Dacă , atunci punctul este mijlocul laturii . Prin urmare, este
mediană.
Formula (6) devine ̅ ̅ ̅
.
A
B
C
M

47
Problema 2. Se dă paralelogramul și un punct arbitrar. Se notează ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅,
⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Să se demonstreze relația : ̅ ̅ ̅ ̅.

Demonstra ție. În triunghiurile
și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă
prin formulele :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅} (1)
Perechile de puncte ( ) și ( ) sunt
echipolente și, prin urmare,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Substituind (1) în (2) se obține : ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ .

Problema 3. Fie mijloacele laturilor unui triunghi oarecare și un punct
oarecare în planul triunghiului. Să se demonstreze relația : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Demonstra ție. În triunghiurile
, și dreptele
sunt mediane și prin urmare :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Adun ăm aceste relații vectoriale și
obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

sau
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

A
B
C
D
O
A
B
C
O
𝐴
𝐵
𝐶

48
Problema 4. În triunghiul , bisectoarele interioare , și se intersectează în
punctul . În planul determinat de punctele și se ia un punct arbitrar O. Se notează ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ,
⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ . Dacă sunt laturile triunghiului , să se demonstreze relațiile : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
̅ ̅
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
.
Demonstra ție. În triunghiul dreptele
, sunt bisectoare interioare și, prin urmare,
vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin formulele:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
, (1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

În triunghiurile , , , vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , (2)
Substituind valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din rela țiile (1) și (2), obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
, (3)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
,
În triunghiurile și se pot scrie relați ile:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
Înlocuind aceste sume vectoriale din (4) în (3) obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅
.

Problema 5. Să se demonstreze că medianele unui triunghi sunt concurente și să se
arate că suma vectorilor care au originea în punctul de intersecție al medianelor și extremitățile în
vârfurile triunghiului, este vectorul nul.
A
B
C
O
𝐴
𝐵
𝐶
I

49

Demonstrație. 1.Se consideră triunghiul
și medianele și respectiv,
corespunzătoare vârfurilor și . Notăm cu
punctul de intersecție al medianelor .
Considerăm în plan un punct arbitrar ca origine.
Vectorii de poziție ai punctelor și se
exprimă prin relațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(1)

Punctele și respectiv, sunt coliniare și prin urmare avem relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)
Substituind valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (1) în (2) obținem:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ),
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) . (3)
Din aceste dou ă egalități deducem :
⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (4)
Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt liniari independenți, prin urmare avem :

,
;

(5)
Substituind valorile lui și din relația (5) in relația (2) obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(6)
Expresia vectorului de pozi ție este ind ependentă de ordinea în care se consideră operațiile cu
vectorii de poziție ai punctelor ; prin urmare, cele trei mediane sunt concurente.
2. Din rela ția (6) deducem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ̅ . (7)
În triunghiurile vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ respectiv se exprimă prin relațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . (8)
A
O
B
C
𝐶
𝐴
𝐵
G

50
Substituind valorile diferen țelor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ din (8) în (7) obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ .

Problema 6. Să se demonstreze că înălțimile unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație. În triunghiul notăm cu
punctul de intersecție al înălțimilor și .
Unim cu și prelungim segmentul până
intersectează în punctul .
În triunghiul avem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ,
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (1)
Din rela țiile (1) deducem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (2)
În mod asemănător se stabilesc relațiile:
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (3)
Din relațiile (2) și (3) obținem:
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (4)
sau
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (5)
În triunghiul avem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . (6)
Substituind pe ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (6) în (5) obținem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (7)
Din rela ția (7) rezultă că vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt ortogonali; deci este înălțime.

C
B
A
𝐵
𝐴
𝐶
H

51
Problema 7. Să se demonstreze că bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente.

Demonstrație. Se consideră triunghiul
și bisectoarele interioare ale unghiurilor .
Notăm : și cu punctul de
intersecție al acestor bisectoare. Vectorii ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗
determinați de vârfurile și punctul de intersecție
al bisectoarelor se exprimă prin relațiile :
⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ,
⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (1)
În triunghiul avem relația :
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Substituind în (2) valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ obținem:
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Înlocuind în formula (3) vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ prin suma ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ obținem:
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt liniari independen ți și, prin urmare, avem relațiile :
(5)
Din relațiile (5) deducem :

(6)

Substituind valorile lui și din (y) în (1) obținem :
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
;
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(7)
Luăm un punct O în planul triunghiul . În triunghiul avem :
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (8)
Substituind valoarea vectorului ⃗⃗⃗⃗ din (7) în (8) obținem :
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(9)
Cum însă :
B
C
𝐴
𝐵
I
A
O
𝐶

52
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (10)
Relația (9) devine :
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(11)
Relația (11) este simetrică față de produsele ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; prin urmare este punctul de
intersec ție al bisectoarelor.

Problema 8. Să se arate că dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse unui tetraedu
sunt concurente.

Demonstrație. Considerăm originea planului
în și notăm cu ̅ ̅ ̅ ̅ vectorii de poziție ai
punctelor față de originea .Fie și
mijloacele muchiilor opuse și .Notăm cu
mijlocul segmentului .
Obținem relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)
Deoarece punctele și sunt mijloacele
laturilor respectiv , putem scrie:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
̅ ̅
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
̅ ̅
(2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă:
⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ ̅ ̅
.
Dacă calculăm vectorul de poziție al mijlocului segmentului de dreaptă care unește punctele
și cu mijloacele muchiilor opuse ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ datorită simetriei
expresiei (3), vom obține pentru vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ aceeași expresie ; deci dreapta trece prin același
punct . Rezultă că punctul este locul unde se întâlnesc toate dreptele care unesc mijloacele
muchiilor opuse.

S
C
B
N
A
M
P
O

53
Problema 9. Să se arate că dacă este punctul de intersecție a medianelor unui triunghi
oarecare , avem relația :
( ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ .

Demontra ție. În triunghiul ,
punctul este centru de greutate și,
prin urmare, avem relația :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Prin ridicarea la p ătrat scalară a relației (1)
se obține :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (2)
În triunghiurile aplicăm teorema lui Pi tagora și obținem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (3)
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 .
Adun ăm relațiile (3) membru cu membru și obținem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉

Substituind în (2) suma produselor scalare din relația (3), obținem :

sau
( ) .

Problema 10. Să se demonstreze că suma pătratelor laturilor unui paralelogram este egală
cu suma pătratelor diagonalelor .

Demonstrație. În paralelogramul
avem : ( ) ( ) și ( ) ( ),
prin urmare:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
C
B
A
𝐵
𝐴
𝐶
G
A
B
C
D

54
În triunghiurile și vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Ținând seama de (1), relațiile (2) devin :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Prin ridicarea la pătrat scalară a ambilor membri ai egalității (3) se obține :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ,
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (4)
Adun ând aceste două egalități membru cu membru obținem :
( ) .

Problema 11. Într-un punct așezat pe ipotenuza a unui triunghi dreptunghic se
duce o perpendiculară pe ipotenuză, care intersectează catetele și în punctele și . Să se
demonstreze relația : .

Demonstra ție. În triunghiul avem
relația :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)

Se înmulțesc scalar aceste două egalități membru cu membru și se obține :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (2)
În membrul drept al egalității (2) se înlocuiește ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ prin vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și se obține:
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (3)
În relația (3), produsele scalare 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 și 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 sunt nule și, prin urmare,
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (4)
sau
.

P
C
A
B
M
N

55
Problema 12. Să se calculeze medianele unui triunghi în funcție de laturile triunghiului.

Demonstrați. Fie triunghiul și medianele
, și .
Notăm : .
În triunghiul , este mediana
corespunzătoare vârfului și, prin urmare avem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(1)
Înmulțim scalar ambii membri ai egalității (1)
și obținem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉
(2)
În triunghiul avem și relația :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (3)
sau
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (4)
Substituind valoarea produsului scalar din (4) în (2) se obține :

( )

sau
( )

Se stabilesc în mod analog relațiile :
( )
, ( )
.

Problema 13. Într-un triunghi dreptunghic o catetă este medie proporțională între lungimea
ipotenuzei și lungimea proiecției ei pe ipotenuză.

Demonstrație. Considerăm triunghiul dreptunghic . În triunghiul dreptunghic
( ̂ ) ducem

A
B
C
𝐴
𝐵

56
Din triunghiul obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)
Efectu ăm produsul scalar al ambilor membri
ai egalității (1) cu vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ și obținem :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (2)
Produsul scalar 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 este nul,
prin urmare, rela ția (2) devine :
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (3)
În relația (3) vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ se înlocuiește cu suma vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și devine:
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (4)
Produsul scalar 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 este nul și, prin urmare,
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ (5)
sau

Problema 14. Într-un triunghi dreptunghic înălțimea corespunzătoare unghiului drept este
medie proporțională între segmentele d eterminate de ea pe ipotenuză.

Demonstrație. Considerăm triunghiul dreptunghic
( ̂ ) și înălțimea .
În triunghiurile și vectorul -înălțime
⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
respectiv ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Efectu ăm produsul scalar al celor două egalități membru cu membru și obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 (2)
În triunghiul avem relația :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
A
B
D
C
A
B
D
C

57
Înlocuim suma ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ numai în termenul al doilea al membrului drept al egalită ții (2) și
obținem:
〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sau .

Problema 15. Se dă triunghiul și se notează cu laturile opuse unghiurilor
.
Să se demonstreze relația :

Demonstra ție. Notăm ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ .
În triunghiul vectorul ̅ se exprimă în funcție
de vectorii ̅ și ̅ prin formula : ̅ ̅ ̅ . (1)
Prin ridicarea la p ătrat scalară a ambilor
membri ai egalității (1) se obține :
〈 ⃗ 〉
sau
(3)
Observa ție. Dacă ( ) , atunci relația (3) devine : .

Problema 16. Să se arate că linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu latura a treia și
egală cu jumătatea ei.

Demonstra ție. Fie triunghiul .
Notăm cu și mijloacele laturilor și .
În triunghiul , dreapta este mediană.
Vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul vectorilor
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ prin formula:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1)
În triunghiul , vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ prin formula:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Substituind pe ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (1) în (2) obținem :
A
B
C
𝑎̅
𝑏̅
𝑐̅
A
B
C
M
N

58
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(3)
Punctul este mijlocul dreptei ; prin urmare, vectorul ⃗⃗⃗⃗⃗ este opusul vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Suma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ este vectorul nul. Formula (3) devine:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari. Deci .

Problema 17. Să se arate că într -un trapez dreapta care unește mijloacele a două laturi
neparalele este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor.

Demonstrație. Fie trapezul .
Notăm cu și mijloacele laturilor și .
Se unește punctul cu vârfurile și ale
trapezului.În triunghiul , dreapta
este mediană. Prin urmare vectorul
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă cu ajutorul vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ prin formula :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1)
În triunghiurile și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin formulele :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)
Substituind vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (2) în (1) obține m:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(3)
Vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt opuși, deci ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Formula (3) devine:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(4)
Deoarece , din formula (4) ob ținem :
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
.
Prin urmare, și
.

A
B
C
D
M
N

59
Problema 18. Pe laturile și ale unui triunghi se iau punctele și , asa încât

. Se prelungesc apoi segmentele și , respectiv cu și .
Să se demonstreze că punctele , și sunt coliniare.

Demonstrație. Din ipoteza problemei se deduc rel ațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ }

În triunghiurile și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
Ținând seama de (1), relațiile (2) devin :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
În triunghiurile și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
Substituind în (4) valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (1) obținem: :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (5)
Ținând seama de valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ din (3) relațiile (5) se scriu:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ / ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ / ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( 6)
Din relațiile (6) deducem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (7)
D
A
𝐷
𝐸
E
C
B

60
Prin urmare, vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari și punctele și sunt coliniare.

Problema 19. Se prelungesc medianele , ale triunghiului cu și
. Să se arate că punctele sunt coliniare.

Demonstrație. Din ipoteză de deduc relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)

În triunghiurile și vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)
În triunghiul , segmentele de dreaptă și sunt mediane și prin urmare:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)
Substituind valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din (1) în (2) și apoi a vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ din
(3) în (2) se obține:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
Din rela țiile (4) rezultă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Punctele , sunt coliniare.

Problema 20. Se prelungesc laturile neparalele și ale unui paralelogram cu
segmentele și Să se arate că punctele sunt coliniare.

𝐶
A
𝐶
𝐵
𝐵
C
B

61

Demonstrație. Notăm
(1)
Rezultă că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
În triunghiurile și vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ se exprimă prin relațiile:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)

Substituind în (3) valorile vectorilor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ din (2) se obține:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Rezultă că:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (5)
Prin urmare, vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari; deci punctele sunt coliniare.

A
B
M
D
C
E

62
CAPITOLUL 4
PROBLEME DE GEOMETRIE SINTETICĂ
REZOLVATE ANALITIC

Problema 1. Să se demonstreze că triunghiul cu vârfurile în punctele ( ), ( ) și
( √ √ ) este echilateral.

Demonstrație. Calculăm lungimile laturilor :
√( ) ( ) √( ) ( ) √ √
√( ) ( ) √( √ ) ( √ )
√( √ ) ( √ ) √ √ √ √
√( ) ( ) √( √ ) ( √ )
√( √ ) ( √ ) √ √ √ √

Deci este echilateral.

Problema 2. Se consideră punctele ( ), ( ) și ( ), unde . Să se
determine valorile lui pentru care este dreptunghic în .

Demonstrație. Calculăm lungimile laturilor folosind formula distanței dintre două puncte.
√( ) ( ) √( ) ( ) √
√( ) ( ) √( ) ( ) √
√( ) ( ) √( ) ( ) √

Folosind teorema lui Pitagora avem că este dreptunghic în dacă:

63
.

Problema 3. Se consideră punctele ( ), ( ) și ( ).
a)Să se scrie ecuația dreptei .
b)Să se determine astfel încât punctele să fie coliniare.

Demonstrație.
a) Aplicăm formula ecuației dreptei determinată de punctele avem :
|

|

b) Condi ția de coliniaritate a punctelor conduce la relația :
|

|

Așadar, pentru punctele sunt coliniare, iar pentru * +,
punctele sunt necoliniare.

Problema 4. Să se scrie ecuația medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ,
unde ( ) ( ) ( ) Să se calculeze lungimea medianei corespunzătoare laturii BC.

Demonstrație. Fie mijlocul laturii . Punctul va avea coordonatele :

,

Avem ecua ția medianei :

Pe de alt ă parte, avem :
√( ) ( ) √( ) ( ) √

64
Problema 5 . Fie ( ) ( ) ( ) vârfurile triunghiului . Să se calculeze
a) coordonatele centrului de greutate .
b) perimetrul triunghiului

Demonstrație. a) Coordonatele centrului de greutate sunt :

( )

b)Perimetrul este:
√( ) ( ) √ √
√( ) ( ) √ √
√( ) ( ) √ √
Deci √ √ √ √ √

Problema 6. Fie punctele ( ) ( ) ( ) ( ), .
a) Să se determine știind că dreptele și sunt paralele.
b) Să se determine știind că dreptele și sunt perpendiculare.

Demonstrație. a) Calculăm panta dreptei

Calcul ăm panta dreptei

Din

b)Știm că și

Din

65
Problema 7. Se consideră punctele ( ), ( ) și ( ).Să se determine :
a) lungimea înălțimii triunghiului duse din ;
b) aria suprafeței triunghiulare ABC ;
c) aria suprafeței patrulatere unde ( ).

Demonstrație.
a) Aplicăm formula ecuației dreptei determinată de punctele avem :
|

|
( )
√ √

b)
, unde |

|

.
Avem:
Dar
, unde |

|
Deci
.
Se ob ține:

.

66
Problema 8. Într-un reper cartezian , se consideră punctele ( ) ( ) (
) Determinați , astfel încât aria triunghiului să fie egală cu 2.

Demonstrație. Calculăm aria triunghiului determinat de punctele date :

, unde
|

| ( )

( ) ( ) și din ( )
( ) .

Problema 9. Într-un reper cartezian , se consideră punctele ( ) (
) ( ) Determinați , astfel încât aria triunghiului să fie minimă.

Demonstrație. Calculăm aria triunghiului determinat de punctele date :

, unde
|

| |

| ( )

,( ) -.
Cum ( )

Deci, valoarea minima pentru este
, iar această valoare este luată atunci când
, ceea ce conduce la
.

Problema 10. Într-un reper cartezian , se consideră punctele ( ) (
( ) ) ( ( ) ), Arătați că aria triunghiului nu depinde de a.

Demonstrație. Calculăm aria triunghiului determinat de punctele date :

, unde |
( )
( ) |.
Remarcând că:

67
|
( )
( ) | ( )( )( )

Problema 11. Fie tetraedul de vârfuri
( ) ( ) ( ) ( ) Să se determine volumul tetraedului și lungimile
înălțimilor sale.

Demonstrație. Calculăm volumul tetraedului determinat de punctele date :

|

| =
|||

|||

.

Problema 12. Într-un reper cartezian , se consideră punctele
( ) ( ) ( ) și ( ). Fie mijlocul lui , – și mijlocul lui , -. Arătați că
mijloacele segmenteleor sunt coliniare.

Demonstrație. Calculăm coordonatele punctelor și :
este mijlocul segmentului , -:

,

, ( )
este mijlocul segmentului , -:

,

, ( )
Fie mijlocul lui , -:

,

, ( )
Fie mijlocul lui , -:

,

, ( )
Fie mijlocul lui , -:

,

, ( )

68
Condi ția de coliniaritate a punctelor conduce la relația :
|

| |

| , punctele sunt coliniare.

Problema 13. Într-un reper cartezian , se consideră
punctele ( ) ( ) ( ). Arătați că picioarele perpendicularelor din pe dreptele
sunt coliniare.

Demonstrație. Fie și .
Din ( ) ( ) ecuația dreptei este :
|

|

Din , unde .
Din ( ) ecuația dreptei este: ( )

Pentru a afla punctul de intersecție al dreptelor rezolvăm ecuațiile celor două drepte :
{
{
{
. Deci ( )

Din ( ) ( ) ecuația dreptei este :
|

|

Din , unde .
Din ( ) ecuația dreptei este: ( )

69
Pentru a afla punctul de intersecție al dreptelor rezolvăm ecuațiile celor două drepte :
{
{
{
. Deci ( )

Din ( ) ( ) ecuația dreptei este :
|

|

.
Din , unde

.
Din ( )
ecuația dreptei este: ( )

Pentru a afla punctul de intersecție al dreptelor rezolvăm ecuațiile celor două drepte :
{

{
{

. Deci (

)
Avem ( ) ( ) și (

) și verificam coliniaritatea punctelor:
|

| |

| , punctele sunt coliniare.

70
CAPITOLUL V
PROBLEME DEOSEBITE

Problema 1. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul ( ) și este
paralelă cu dreapta (d ) de ecuație .
(Bacalaureat, M1, 2012)
Demontrație. Determinăm panta dreptei :
.
Ecua ția paralelei este :
( )
( )

.

Problema 2. Se consideră vectorii încât ̅ ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅. Determinați
numărul real pentru care 〈 ̅ ̅〉 .
(Bacalaureat, M1, 2012)
Demontrație. Din 〈 ̅ ̅〉

Problema 3. În reperul cartezian se consideră punctele ( ) și ( ).
Determina ți coordonatele punctului știind că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
(Bacalaureat, M1, 2012)
Demontrație. ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ .
Din ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ {
{
, deci ( ).

Problema 4. Determinați numărul real pentru care vectorii ̅ ̅ ̅ și ̅
̅ ( ) ̅ sunt coliniari.
(Bacalaureat,mate -info, 2013)

Demontrație. Vectorii ̅ și ̅ sunt coliniari, deci avem :

71
Problema 5. Se consideră punctele și astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ .
Calculați lungimea vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗ .
(Bacalaureat, șt -nat, 2013)

Demontrație. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) ̅ ̅.
Iar lungimea vectorului ⃗⃗⃗⃗⃗ este: ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √ .

Problema 6. În triunghiul punctele și sunt mijloacele laturilor și,
respectiv, . Arătați că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅.
(Bacalaureat, mate -info, 2014)

Demontrație. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ̅

Problema 7. În reperul cartezian se consideră vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ și ⃗⃗⃗⃗⃗ (
) ̅ ̅, unde m este număr real. Determinați numărul real m știind că ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
(Bacalaureat, mate -info, 2014 )

Demontrație. Din ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ avem 🙁 ) ̅ ̅ ( ̅ ̅)

Problema 8. Determinați numărul real știind că vectorii ̅ ( ) ̅ ̅ și ̅ ̅
̅ sunt opuși.

(Bacalaureat, șt -nat, 2014 )
Demontrație. Din ̅ și ̅ vectori opuși avem : ̅ ̅

Problema 9. În reperul cartezian se consideră punctele ( ) și ( ).
Determina ți ecuația dreptei (d ) care trece prin punctul și este perpendiculară pe dreapta .
(Bacalaureat, mate -info, 2015 )

72
Demontrație. Scriem panta dreptei :

Din rela ția ( )
Ecuația dreptei (d) este : ( ) ( ) .

Problema 10. În reperul cartezian se consideră punctele ( ) ( ) și ( ).
Determina ți numărul real pentru care punctele și sunt coliniare.
(Bacalaureat, șt -nat, 2015 )

Demontrație. Scriem condiția de coliniaritate a celor trei puncte :
|

|

Problema 11. În reperul cartezian se consideră punctele ( ) și ( ).
Determina ți ecuația dreptei (d ) care trece prin punctul și este paralelă cu dreapta .
(Bacalaureat, mate -info, 2016)
Demontrație. Scriem panta dreptei :

Din rela ția ( )
Ecuația dreptei (d) este : ( ) .

Problema 12. În reperul cartezian se consideră punctul ( ). Determina ți ecuația
dreptei (d ), care trece prin punctul și este paralelă cu dreapta de ecuație .
(Bacalaureat, șt -nat, 2016)
Demontrație. Panta unei dreptei paralele cu dreapta (d) este 3.
Ecuația dreptei care trece prin punctul și este paralelă cu dreapta (d) este :
( )

Problema 13. Spunem că o mulțime de vectori nenuli din plan are proprietatea (S) dacă
are cel puțin trei elemente și pentru orice ̅ există ̅ ̅ astfel încât ̅ ̅ și ̅ ̅ ̅.
a) Demonstrați că, pentru orice , există mulțime cu vectori nenuli, care
are proprietatea ( ).

73
b) Demonstrați că orice mulțime finită de vectori nenuli, care are proprietatea
( ), are cel puțin 6 elemente.
(Olimpiada Județeană, 2003)

Demontrație. a) Pentru avem { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } , unde este un
hexagon regulat de centru .
Demonstrăm prin inducție după . Fie * ̅ ̅ ̅ + o mulțime de vectori care are
proprietatea (S). Construim o mulțime cu ( ) vectori care are aceeași proprietate. Dacă ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ sunt vectori distincți, diferiți de ̅ ,din m ulțimea , atunci va rezulta :
* ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ + * ̅ ̅ ̅ +, de unde rezult ă că:
( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅
Prin urmare, există * + astfel încât ̅ ̅ , mulțimea * ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ +, cu
( ) elemente, are proprietatea (S).

b)Fie { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }. Alegem două axe, de versori ̅ ̅, neparalele cu nici unul
dintre vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Rezultă : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅, .
Mulțimea * + are aceeași proprietate cu (S).
Fie
Ma , cel mai mic element. Atunci există b, c diferite, b, c < 0 astfel încât a = b + c (dacă b >
0 sau c > 0, a nu poate fi cel mai mic element). Rezultă că M conține cel puțin trei numere negative.
Considerând cel mai mare element din M, găsim cel puțin trei numere pozitive în M. Rezultă
6n .

Problema 14. Să se determine coordonatele vârfurilor unui triunghi în care sunt date
ortocentrul ( ) centrul cercului circumscris ( ) și mijlocul ( ) al laturii , -.
(Olimpiada Județeană, 2004)

Demontrație. Avem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , de unde rezultă ( ) și raza cercului circumscris
√ . Dreapta este perpendiculară pe și are ecuația .
Din condiția √ se obțin ( ) și ( ) (sau viceversa)

74
Problema 15. Fie un triunghi nedreptunghic, ortocentrul său și respectiv
mijloacele laturilor . Fie simetricele lui față de , iar
ortocentrele triunghiurilor , și . Demonstrați că:
a) triunghiurile și au același centru de greutate;
b) centrele de greutate ale triunghiurilor , , și , formează un triunghi
asemenea cu triunghiul dat.
(Olimpiada Județeană, 2005)

Demontrație. În raport cu O, centrul cercului circumscris triunghiului avem relația :
̅ ̅ ̅ ̅
Din ̅ ̅ ̅ rezult ă că ̅ ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ̅ ) ̅ , deci este
simetricul lui față de . Rezultă că ( ).
a) Fie centrul de greutate al triunghiului și centrul de greutate al triunghiului
. Atunci avem:
̅
( ̅ ̅ ̅ )
( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )

( ̅ ̅ ̅ ).
(am folosit ̅ ̅ Rezultă .

b) Fie centrul de greutate al triunghiului . Atunci :
̅ ̅
( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )
( ̅ ̅ )
⃗⃗⃗⃗⃗ și
analoagele.
Rezultă asemanarea de raport
.

Problema 16. Fie un patrulater convex, mijlocul lui , mijlocul lui ,
punctul de intersecție a dreptelor , iar punctul de intersecție a dreptelor .
Arătați că dacă
și
, atunci este paralelogram.
(Olimpiada Județeană, 2006)

Demontrație. Notăm ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ cu .
Rezultă : ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ̅ ( ) ̅ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̅
̅ .

75
Cum ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
̅
̅ .
Cum ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari, obținem:
Analog, din ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ coliniari deduce , de unde rezult ă , deci
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , așadar este paralelogram.

Problema 17. Fie triunghiul și punctele pe ( ) , pe ( ), pe , pe
( ), pe ( ) și pe ( ) astfel încât

,

( ).
a) Să se arate că triunghiurile și sunt asemenea.
b) Să se determine astfel încât aria triunghiului să fie minimă.
(Olimpiada Județeană, 2007)

Demontrație. a) Față de un punct , avem: ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ ̅ ̅ ( ) ̅
̅ ( ) ̅

Deoarece are loc relația ̅ ̅ ̅
și relațiile analoage, rezultă :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
Analog avem: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . .
Deci triunghiurile și sunt asemenea, raportul de asemanare fiind .

b) Raportul ariilor celor două triunghiuri este , deci aria triunghiului este minimă
dacă este minim.
Din ( ) ( ) ( – 0
1 .
Rezultă
pentru
.

Problema 18 . Pe laturile și ale triunghiului se consideră punctele și ,
astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Fie intersecția dreptelor și . Să se determine
astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

(Olimpiada Județeană, 2009)

76
Demontrație. Se observă că vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ au, respectiv, direcțiile
vectorilor necoliniari ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ , deci suma lor este vectorul nul dacă și numai dacă ambii sunt nuli.
Deducem că punctele și sunt mijloacele segmentelor ( ) și( ), deci T este centrul
de greutate al triunghiului .
Din relația ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅ rezultă .

Problema 19 . O dreaptă care trece prin centrul al cercului înscris unui triunghi taie
laturile și în , respectiv . Notăm , ,

.
a) Arătați că ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ .
b) Arătați că .
c) Arătați că dacă , atunci dreptele sunt concurente.
(Olimpiada Județeană, 2010)

Demontrație. a) Din ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̅, rezultă concluzia.
b) Avem : ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . Cum punctele sunt coliniare,
rezult ă

, deci ( )( ) .
c) Din ( )
În acest caz, dacă * + atunci

, de unde, conform
reciprocei teoremei lui Ceva reiese cerin ța cerută.

Problema 20. Pe laturile ale paralellogramului se consideră
punctele astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Să se arate că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
(Olimpiada Județeană, 2011)

Demontrație. Notăm

. Avem :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
Deci, conform ipotezei, rezultă că :
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Deoarece vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt necoliniari, rezultă că .

77
Pe de altă parte, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , de unde
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Problema 21. Un cerc care trece prin vârfurile ale unui triunghi taie din nou
laturile ( ) ( ) în , respectiv . Luăm punctele ( ) ( ) astfel încât unghiurile
și să aibă aceeași bisectoare.
a) Arătați că ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ .
b) Arătați că mijloacele segmentelor ( ) ( ) ( ) sunt coliniare.
(Olimpiada Județeană, 2012)

Demontr ație. a) Din ipoteză avem că și , deci
de unde rezultă

(1)
Analog obținem :

(2)
Împărțind relația (1) la (2) obținem :

.

b)Fie :

. Obținem :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Pentru mijlocul al segmentului ( ) avem: ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Pentru mijlocul al segmentului ( ) avem: ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Pentru mijlocul al segmentului ( ) avem: ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Deducem astfel c ă ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , deci punctele sunt coliniare.

Problema 22 . Se consideră triunghiul și punctele ( ), ( )
( ) astfel încât și . Notăm cu mijloacele segmentelor
, – , – respectiv , – și cu intersecția dreptelor și .
a)Arătați că

;
b) Ar ătați că dreptele și sunt concurente .
(Olimpiada Județeană, 2013)

78
Demontrație. a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , unde

coliniare

, de unde cerința

b)Definim analog punctele și din punctul a) reiese

și, aplicând reciproca
teoremei lui Ceva, obținem concluzia.

Problema 23 . Medianele și ale triunghiului se intersectează în punctul .
Fie un punct în interioru,l tri unghiului, nesituat pe niciuna dintre medianele acestuia. Dreapta
care trece prin și este paralelă cu intersectează latura în punctul . În mod analog se
definesc punctele și . Să se arate că :
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
(Olimpiada Județeană, 2014)

Demontrație . Construim prin paralele la
laturile triunghiului. Dacă paralelele la și
intersectează latura în punctele și
, atunci triunghiurile și sunt
evident asemenea , și cum e paralelă
cu mediana , rezultă că este mijlocul
segmentului . Atunci:
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Și egalitațile similare .
Deducem că suma ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ este egală cu ̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
Dar ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , și analoagele, deci: ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, de unde concluzia.

A
B
C
P
𝐶𝐵
𝐵𝐶
𝐴𝐵
𝐴
D
𝐴𝐶
𝐵𝐴
𝐶𝐴

79
Problema 24 . Înălțimea , – dusă pe ipotenuza triunghiului intersectează
bisectoarele , – și , – în punctele respectiv . Demonstrați că dreapta care trece prin
mijloacele segmentelor , – și , – este paralelă cu dreapta .
(Olimpiada Națională, 2012)

Demontrație . Dacă sunt laturile ,
atunci avem :

,

,

,
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
și analog, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , de unde
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ , ceea ce dovedește concluzia .

Problema 25 . Fie și mijoacele diagonalelor și ale patrulaterului . Se
consideră punctele ( ) ( ) ( ) și ( ) astfel încât

.
Să se arate că centrul de greutate al triunghiului este situat pe segmentul , -.
(Olimpiada Națională, 2014)
Demontrație . Fie centrul de grautate al triunghiului . Avem:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
( )
și
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Pe de altă parte,
̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
, de unde deducem :
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅,

de unde rezultă imediat
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅,
Q
A
B
C
H
E
D
P
I
M
N

80
așadar punctele și sunt coliniare.

Problema 26 . Un triunghi are ortocentrul diferit de vârfuri și de centrul al
cercului circumscris. Notăm centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor și
respectiv . Demonstrați că dreptele și sunt concurente.
(Olimpiada Națională, 2016)

Demontrație . Cercul este simetricul
cercului circumscris triunghiului, deci
este simetricul lui față de .
Dacă este mijlocul lui , -, atunci
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
deci ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Rezult ă că este paralelogram, deci
trece prin mijlocul segmentului , –
Analog .

A
B
C
M
D
O
H
P
N

81
CAP ITOLUL VI
CONSIDERAȚII DE ORDIN METODIC

Matematica este considerată, pe drept cuvânt, un element de cultură generală absolut necesar
în orice domeniu de activitate umană. În etapa contemporană, matematicii i se rezervă un rol esențial
în procesul de învățământ.
Procesul de învățământ reprezintă ansamblul acțiunilor organizate, planificate, conduse și
evaluate sistematic de către educatori asupra educaților într -un cadru instituțional organizat, pe baza
unor documente(planuri, programe), a unui sistem taxonomic al scopurilor și obiectivelor, în
vederea formării personalității acestora în conformitate cu cerințele idealului educațional.
În structur a învățământului preuniversitar au loc schimbări și modificări, corelarea
interdisciplinară a anumitor aspecte comune mai multor discipline de învățământ, trecerea de la
învâțământul informativ la cel formativ, de modelare a intelectului elevului.
Întreaga filozofie a curriculumului este centrată pe formarea de comportamente și capacități,
elemente constitutive ale competențelor, învățarea având ca scop formarea unei atitudini pro -active
fată de învățare în general și față de disciplina matematică, în parti cular. Conținuturile disciplinare
sunt semnificative pentru elev dar, într -un curriculum centrat pe competențe, ele își pierd valoarea
de scop final al învățării și devin mijloc prin care se formează competențele ca finalități ale
procesului de învățare.
Modelul modern sau curricular al proiectării pedagogice se distinge de vechiul model,
tradițional sau didacticist ; într-o perspectivă comparativă , cele două modele se prezin tă astfel :
Modelul didacticist al proiect ării pedagogice :
 este centrat pe conținuturi , îndeosebi pe acțiuni specifice procesului de predare;
 conținuturile își subordonează obiectivele, metodologia și evaluarea didactică într-o logică a
“învă țământului informativ ” ;
 relațiile dintre elementele activității didactice sunt întâmplătoare, disparate, nediferențiate și
nedefinite pedagogic , stabilindu -se mai ales sub presiunea conținutului și sarcinilor de
predare;

82
 întreține dezechilibre în formarea formatorilor -inițială și continuă -între pregătirea de
specialitate(predominantă și adesea mon odisciplinară) și pregatirea pshopedagogică.
Modelul curricular al proiectării pedagogice:
 este centrat pe obiective și propune acțiuni didactice specifice procesului complex de
predare -învățare -evaluare ;
 punctul de plecare îl constituie obiectivele stabilite pentru elev în spiritul unui învățământ
formativ , bazat pe valorificarea potențialului de autoinstruire -autoeducație al fiecărui
elev/student ;
 între toate elementele activității didactice(obiective -conținuturi -metodologie -evaluare) se
stabilesc raporturi de interdependență , determinate de rolul central al obiectivelor
pedagogice ;
 asigur ă echilibrul dintre pregătirea de specialitate a formatorilor(concepută interdisciplinar,
cu o “principal ă” și cel puțin una “ secundară ”) și pregătirea psihopedago gică.
Învățământul în țara noastră a cunoscut în ultimii ani o serie de modificări menite să
îmbunătățească procesul de instruire și educare a tineretului școlar. Acțiunile de îmbunătățire ale
acestui proces de modernizare a învățământului, ur mează comanda socială a epocii în care trăim.
Caracterizată prin accelerarea impetuasă a ritmului de dezvoltare economică și socială în ansamblu,
prin apariția în știință și tehnică a unei cantități însemnate de date metodologice noi, prin implicarea
învăț ământului și cercetării științifice în viața tehnico -productivă a țării, epoca actuală impune școlii
o serie de sarcini noi, care urmăresc în ultimă instanță, creșterea eficienței activității de instruire și
educație.
Un rol important îl repre zintă modernizarea metodelor de învățământ în sensul
valorificării noului conținut al învățământului, punându -se accent mai mare pe munca independentă
a elevilor, pe formele de pregătire diferențiată a acestora, pe activitățile desfășurate in laborator.
Creșterea randamentului școlar depinde de perfecționarea tehnologiei didactice.
Tehnologia didactică desemnează demersul întreprins de profesor în vederea aplicării principiilor
învățării într -o situație practică de instruire. Tehnologia didac tică nu se reduce la folosirea
mijloacelor pentru transmiterea informației, ea incluzând într -un tot unitar toate componentele
procesului de învățământ, înlăturând anumite granite artificiale dintre ele, insistând asupra
interdependenței dintre conținut ș i toate celelalte aspecte, cum ar fi organizarea, relațiile profesor –
elev, metodele, procedeele folosite.

83
Tehnologia didactică presupune proiectarea și evaluarea activității didactice, operații
care în final, trebuie să concure la îmbunătățir ea acestei activități.
Proiectarea didactică este procesul de anticipare a pașilor ce urmează a fi parcurși în
realizarea activității didactice, deci, un demers anticipativ a obiectivelor, conținuturilor, metodelor și
mijloacelor de învățare, a instrumentelor de evaluare și a relațiilor ce se stabilesc între toate aceste
elemente în contextul unei modalitați specifice de organizare a activității didactice.
Proiectarea didactică are următoarele funcții:
 de anticipare – definirea proiect ării ca un ansamblu de operații de anticipare, de prefigurare a
desfășurării procesului instructiv -educativ;
 de orientare –raportarea proiectării la obiectivele educaționale,care sunt criterii de referință
 de organizare -planificarea instruirii printr -un complex de op erații;
 de dirijare -identificarea posibilităților de acțiune, a strategiei de realizare a activității
instructive -educative;
 de reglare -autoreglare -raportarea rezultatelor finale la obiective;
 de decizie -ameliorarea și optimizarea activității insstructiv -educative;
 de inovare -schimbarea concepției privind conținutul programelor și manualelor; școlare,
metodelor didactice, tipurile de învățare, relațiile pedagogice;
Pentru o proiectare pedagogică eficientă trebuie sa se parcurg ă următo arele
etape:definirea obiectivelor și a sistemului de referință spațio -temporal, determinarea conținuturilor,
stabilirea strategiei optime de acțiune și stabilirea criteriilor și a instrumentelor de evaluare.
Elaborarea strategiilor de instruire sol icită roluri noi pentru fiecare participant la actul
învățării, modalități noi de realizarea a instruirii, dar și alte perspective de evaluare. Situațiile de
învățare trebuie să -i încurajeze pe elevi să colaboreze în rezolvarea sarcinilor de lucru, să -i stimuleze
spre căutarea informației, să le ofere climatul motivant pentru cunoaștere și exprimarea propriilor
opinii, iar modalitățile de realizare a învățării trebuie să vizeze formarea de competențe și deprinderi
practice, cu accent pe învățarea prin coope rare.
Strategia didactică este modalitatea prin care profesorul alege, combină și organizează
ansamblul de metode pedagogice, materiale didactice și mijloace de învățământ, precum și forme de
organizare a spațiului de învățare și a grupului de elevi , într -o succesiune optimă pentru atingerea
obiectivelor stabilite.

84
Strategiile didactice sunt demersuri acționale și operaționale flexibile, coordonate și
racordate la obiective și situații prin care se creează condițiile predării și generării înv ățării, a
schimbărilor de atitudini și de conduite în contextele didactice diverse, particulare.
Operaționalizarea unei strategii didactice necesită o pregătire care debutează cu
selectarea celor mai potrivite metode centrate pe elev pentru abordar ea procesului instructiv –
educativ.
Metodologia didactică este definită ca fiind sistemul de metode și procedee didactice
care asigură atingerea obiectivelor informative și formative ale învățământului și constituie una
dintre componentele esențiale ale curriculumului școlar.
Metoda didactică reprezintă un ansamblu de principii, reguli, tehnici, procedee și
operații constituite ca instrument al cunoașterii, cu menirea de a facilita și spori eficiența acesteia.
Procedeul didactic este o componentă a metodei și are o acțiune tehnică mai limitată, un
element de sprijin al metodei sau un mod concret de valorificare a metodei.
Mijloacele de învățământ reprezintă baza materială a unității școlare, ca suport material
al activităților cu elevii, asigură aplicarea principiului intuiției în procesul învățării.
Preocupați de dezvoltarea teoretică a unei pedagogii a diferențierii bazate pe strategii
centrate pe elev, R.D.Cherciu și L.Șoitu argumentează metodic și evidențiază abordarea strategiilor
educaționale din două perspective :

85

Strategiile centrate pe elev au două dimensiuni :
1. Dimensiunea structural ă:
 metode
 procedee:
– procedee de introducere a unor noi cuno ștințe( explicarea, definirea )
– procedee de întemeiere a susținerilor( demonstrația, argumentarea )
– metode
 mijloace didactice
 forme de organizare
Articulare
flexibilă a
metodelor,
procedeelor
și formelor
de
organizare
ale
activității.
Opțiunea
strategică în
funcție de
obiective,
conținuturi
și
particularită
țile
individuale
sau de grup

COMPONENTA
FUNCȚIONALĂ
STRATEGIA
DIDACTICĂ
COMPONENTA
STRUCTURALĂ

METODE
PROCEDEE

FORMĂ DE
ORGANIZARE
MIJLOACE
DE
INSTRUIRE
STRUCTURĂ ACȚIONALĂ CENTRATĂ PE ELEV

86
2. Dimensiunea funcțional ă:
 articularea flexibilă a metodelor, mijloacelor și formelor de organizare a activității;
 opíunea strategic ă în funcție de obiective, conținuturi și particularități ale elevilor.
Fiecare decizie asigură trecerea la secvența următoare, prin valorificarea informațiilor
dobândite în etapa anterioară.Strategia didactică nu se identifică cu metodele pe c are le include în
strucură. Utilizarea unei metode reprezintă o acțiune care vizează performanța învățării imediate
într-o secvență de instruire.
Metodele didactice ca demersuri de acțiune desemnează modalități de execuție ale
succesiunii oper ațiilor care conduc la realizarea sarcinilor de predare și învățare. Din acest punct de
vedere, ca demersuri de acțiune, există metode care îl solicită mai mult pe profesor : prelegerea,
expunerea ; altele mai mult pe elev: exerci țiul, lectura individuală sa u colectivă , rezolvarea de
probleme , dar și metode care, în ponderi relativ egale, solicită acțiuni didactice atât profesorului, cât
și elevilor : problematizarea, abordarea euristic ă.
Strategia didactică este deci un scenariu didactic complex care, plecând de la obiectivele și
competențele educaționale vizate, implică actorii instruirii, condițiile realizării, metodele, mijloacele
utilizate și prefigurează traseul metodic cel mai potrivit, cel mai logic și mai eficient pentru
abordarea unei sit uații concrete de predare și învățare, astfel încât să se poată preveni erorile,
riscurile și evenimentele nedorite din activitatea didactică.
Etapele elaborării unei strategii didactice :
În general, strategia didactică arată, ce face profesorul și ce face elevul ; aceasta pune în evidență, pe
de o parte, capacitatea cadrului didactic de a alege și combina într -o anumită ordine metode,
procedee și mijloace de instruire, forme de grupare a elevilor, de a selecta structura conținutului
științific în funcți e de obiectivele propuse, de a opta pentru o anume experiență de învățare ce
urmează a fi trăită de elevi, iar pe de altă parte, prevede strategii de învățare, de care beneficiază
direct elevii. Profesorul gândește strategia didactică pas cu pas, pentru a asigura dobândirea
competențelor specifice de către elevi.
Elaborarea strategiei trebuie să se bazeze pe analiza situației date, pe inventarierea resureselor și
constrângerilor umane, materiale și procesuale (metodice) existente sau posibile.

87
I.Cerghit prezintă un demers de elaborare constructivă a unei strategii, valorificând rezultatele
studiilor pedagogilor J.Parent și Ch.Nero, în schema următoare :

Faza de sinteză
Faza de analiz ă
Analiza
variabilelor
obiective
conținut
resurse
umane
moduri de
predare
timp școlar
evaluare
feedback
Examinarea
factorilor
psihopedagogici
care influențează
activitatea
-mod de abordare
-metode
-forme de activitate
-materiale didactice/suporturi
-mijloace de instruire
-echipamente/organizarea
mediului
-participarea fizică și mentală
-aplicarea cunoștințelor
-respectarea ritmului
individual de învățare
-cunoașterea rezultatelor
-repetiția
-motivația învățării
-organizarea conținuturilor
S
T
R
A
T
E
G
I
E
Elaborarea unei strategii

88
Evaluarea randamentului aplicării strategiei didactice se face prin raportare la :
 gradul de placere în învățare pe care -l conferă elevilor, motivându -i intrisec să își
construiască propriile înțelesuri și să interiorizeze cunoștințele noi;
 eficiența învățării , nivelul de însușire al cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, și de
atingere a obiectivelor propuse ;
 eficiența în formarea și dezvoltarea abilităților de a folosi în viață ceea ce au învățat în
practică;
 raportul dintre necesarul de timp solicitat și timpul disponibil;
 relația de armonizare și de complementaritate dintre metodele, tehnicile, mijloacele
didactice și formele de organizare a activității, ca părți componente;
Pe lista criteriilor de evaluare a eficienței unei strategii elaborate pentru o secvență sau unitate de
învățare, profesorul de matematică trebuie să adauge și pr ocentul de valorificare al multiplelor
avantaje obținute de elevi prin studierea matematicii :
 oportunit ăți nelimitate de dezvoltare a gândirii logice, gândirii analitice și gândirii critice ;
 un excelent context pentru dobândirea deprinderilor de muncă orga nizată;
 flexibilitate în utilizarea raționamentelor inductive și deductive;
 exersarea abilităților de transfer de la teorie la practică, de la abstract la situații concrete și
implicit de abordare realistă a situațiilor de viață;
 acumularea cunoștințelor d e bază pentru finalizarea studiilor;
Strategii didactice utilizate în învățarea matematicii :
Majoritatea speciali știlor în didactica matematicii consideră că strategiile didactice utile
învățării matematicii sunt acelea care vizează dominant sp rijinirea înțelegerii, a identificării
semnificațiilor, dezvoltarea capacităților rezolutive, stimularea capacităților creative, formarea și
dezvoltarea capacităților de conceptualizare prin învățarea spontană, dar mai ales dirijată. Didactica
matematicii tradițională argumentează ideea că sarcinile instruirii matematice a elevilor din
învățământul preuniversitar, indiferent de nivel, coincid în mare măsură cu sarcinile educației
intelectuale. Conform teoriei științelor psihopedagogice, educația intelectual ă necesită dezvoltarea :
 capacit ăților de înțelegere
 capacit ăților de conceptualizare

89
 capacit ăților rezolutive și creative

La acestea, actualele orientări pedagogice adaugă :
 dezvoltarea intereselor pentru cunoa ștere
 inițierea elevilor în tehnicile de cercetare/muncă intelectuală
 formarea unei concepții realiste despre lume și viață

Priceperile și deprinderile de muncă intelectuală presupun formarea și dezvoltarea acelor
competențe pe care trebuie să le dobândească elevii pentru a fi capabili să înțele agă singuri
noțiunile, conceptele, fenomenele, sau experiențele pe care le învață, studiază sau cercetează.
Cunoștințele au valoare numai când sunt utile și înțelese conceptual, iar succesul inegrării
sociale este al celor care analizează critic informația și își construiesc propriile realități.
Concluziile studiilor în domeniu dovedesc faptul că activitățile instructive cu cea mai
bună rată de memorare și asimilare sunt cele încare elevii :
 aplic ă în mod activ ceea ca au invățat
 sunt solicitați să își formeze construcții mentale
 sunt implicați în sarcini de lucru
Pentru diagnoza și analiza eficienței celor mai utilizate strategii în învățarea matematicii
trebuie avute în vedere sarcinile care facilitează atingerea competențelor specifice instruiri i
matematice :
 dezvolatarea capacit ății de a gestiona informații matematice(definiții, enunțuri, noțiuni și
concepte care au o largă aplicabilitate în învățare și constituie elementele de bază ale
structurii cognitive a elevului)
 dobândirea deprinderii de u tilizare a conceptelor și regulilor (care în procesul învățării
constituie însușirea strategiilor rezolutive simple)
 dezvoltarea deprinderii de argumentare logică și demonstrare, de analiză și sonteză a datelor(
care constituie interconexiunea între strate giile cognitive și cele rezolutive, adică metodica
specifică rezolvării problemelor)
 cultivarea unei atitudini pozitive față de propriul progres în învățarea matematicii .

Plecând de la criterii metodice, sarcini de instruire și obiective generale ale disc iplinei , cele
mai folosite tipuri de strategii specifice activităților de învățare a matematicii sunt :
 strategii euristice de predare -învățare

90
 strategii pentru dezvoltarea capacităților rezolutive
 strategii de inițiere a elevilor în operații specifice procesului rezolutiv
 strategii de formare a unor deprinderi de lucru utile în rezolvarea de probleme
 strategii de progres a contribuției personale a elevilor în rezolvarea problemelor
 strategii de antrenare progresivă a elevilor în rezolvarea problemelor d ificile
 strategii de stimulare a creativităților elevilor

Metoda euristică este definită în literatura de specialitate ca fiind calea specifică de rezolvare
a unei problem cu caracter general . Structura metodei euristice include mai multe procedee care
practice sunt detalieri ale metodei, cu aplicabilitate restrânsă la diversele secvențe de învățare.

Procedeele euristice sunt mecanisme ale gândirii care suger ează și stimulează generarea de
conexiuni între cunoștințe însușite și experiențe trăite, conexiuni necesare rezolvării și care permit
identificarea căii optime de rezolvare a problemei.
Scopul principal urmărit în învățarea matematicii reprezintă formarea priceperilor și
deprinderilor de rezolvare a exercițiilor și problemelor, principala pr eocupare a profesorului de
matematică în domeniul realizării mijloacelor de învățământ rămâne alegerea celor mai potrivite
exerciții și probleme din anuale, din culegeri și reviste de matematică, alcătuirea de teste și seturi de
exerciții și probleme propu se și rezolvate model, care să fie folosite de elevi.
Într-un învățământ modern în care funcția principală este de instruire și educație a tinerei
generații, este importantă existența în școală a unui sistem de mijloace de învățământ ca și
componentă esențială pentru obținerea unei calități sporite a întregului proces instructiv -educativ.
Astfel în învățământul matematicii sunt folosite mijloace de învățământ realizate în acest
scop: truse, modele, folii, diapozitive, filme dida ctice, emisiuni TV, planșe, culegeri de exerciții și
probleme, reviste de matematică, etc. cât și altele preluate din alte domenii: aparate, instrumente de
măsură, etc. Mijloacele de învățământ au evoluat de la materialul intuitiv confecționat pentru
demon strație, la mijloace moderne din zilele noastre pe măsura dezvoltării științei și tehnicii și în
funcție de cerințele procesului d e învățământ în diferite etape.
Evaluarea reprezintă o variabilă foarte importantă procesului de instruire, iar poziția sa a
fost reconsiderată în ultimele decenii. Relația dintre curriculum și evaluare este foarte complexă și
acest lucru implică abordarea procesului de predare -învățare -evaluare în mod unitar. În didactica
modernă evaluarea este plasată în rândul c elorlalte elemente ale procesului de intruire pentru că ea

91
este văzută ca o activitatea care furnizează informații și date în legătură cu felul în care s -a
desfășurat procesul care a generat rezultate.
Semnificația cuprinzătoare a evaluării der ivă din aceea că ea constituie o activitate
pshihopedagogică complexă, de stabilire a relevanței și a valorii unor prestații, performanțe,
comportamente, procese prin raportarea acestora la un sistem de indicatori de performanță, respectiv
criterii și stan darde prestabilite.
Evaluarea are un caracter dinamic și flexibil, este desfășurată în timp, etapizată, orientată de
scopuri și obiective bine delimitate. Scopul major al evaluării nu este atât notarea elevilor, cât, mai
ales, susținerea și sp rijinirea activității de învățare a acestora și generarea procesului de învățare.
O evaluare eficientă trebuie :
 să arate educatorului dacă au fost atinse obiectivele educaționale propuse
 să ajute evaluatorul să facă o diagnoză a progresului elevilor
 să ajute cadrul didactic să adapteze acțiunile elevilor cu posibilitățile acestora
 sa orienteze elevii în alegerea celei mai bune căi de afirmare
 să ajute cadrul didactic să -și evalueze propria activitate
 să furnizeze informații către părinți

Analiza statutu lui evaluării în contextul curriculumului educa țional, precum și a locului său
în sistemul componentelor de învățământ, permite identificarea funcțiilor evaluării, care se referă la
sarcinile, obiectivele, rațiunea și rolul evaluării.
Funcțiile evaluării didactice sunt în relație de interdependență unele față de altele, aș cum se
vede în schema următoare :

92

Pentru a -și atinge scopul, evaluarea trebuie să se realizeze printr -o gamă cât mai largă de forme,
metode și tehnici care conduc la stabilirea unor strategii de evaluare.
Strategia de evaluare reprezintă maniera operațională de stabilire a :
 formelor și tipurilor de evaluare
 metodelor, tehnicilor și probelor de evaluare a randamentului școlar
 modalităților de îmbinare a acestora și a momentului în care se aplică, în conformitate cu
obiectivele educaționale urmărite și cu conținuturile selectate
 descriptorii de performanță, baremelor, sistemelor de notare
Având în vedere stabilirea raportului dintre rezultatele obținute în procesul de predare -învățare și
rezultatele scontate prin formularea obiectivelor operaționale, strategia de evaluare reprezintă
componenta acțiunii educative care validează, respec tiv confirmă sau infirmă atingerea
Func țiile
evaluării
didactice
Func ția
educativă
Func ția
motivațională
Funcția
pedagogică de
feedback
Func ția
constatativă
Func ția
predictivă/prognostică
Func ția de
certificare
Func ția
diagnostică
Func ția
socială
Func ția
de selecție/decizie

93
performanțelor urmărite în activitatea de instruire. Plecând de la informațiile obținute, educatorul va
proiecta și realiza reglarea și optimizarea instrucției și educației în etapele ulterioare.
Eficiența înv ățământului se referă la capacitatea sistemului educațional de a produce, în mod
satisfăcător, rezultatele preconizate, adică de a le vedea concretizate în comportamentele și
atitudinile absolvenților, prin eforturi determinate la nivel macro – și microstru ctural.
Evaluarea școlară este procesul prin care se delimitează, se obțin și se furnizează informații
utile, permițând luarea unor decizii ulterioare. Actul evaluării presupune tre momente relativ
distincte : măsurarea, aprecierea rezultatelor școlare și adoptarea măsurilor de ameliorare.
Evaluarea trebuie concepută nu numai ca un control al cunoștințelor sau ca mijloc de măsurare
obiectivă, ci ca o cale de perfecționare, ce presupune o strategie globală a formării. Operația de
evaluare n u este o etapă supraadăugată ori suprapusă procesului de învățare, ci constituie un act
integrat activității pedagogice.Evaluarea constituie o ocazei de validare a justeței secvnțelor
educative, a comportamentului procesului didactic și un mijloc de delimi tare, fixare și intervenție
asupra conținuturilor și obiectivelor educaționale.
Pentru ca strategia de evaluare să fie cea optima, evaluatorul trebuie să răspundă la setul
de întrebări:
 Pentru ce se face evaluare?(care sunt funcțiile acesteia)
 În raport cu ce? ( care este sistemul de referință, care sunt criteriile evaluării)
 Pentru cine?(care sunt destinatarii evaluării?)
 Ce se evaluează?(conduite, rezultate, procese, evoluții)
 Cu ajutorul căror instrumente și prin ce proceduri se face evaluarea?
Aspectele procesului de învățământ legate de verificarea și aprecierea cunoștințelor sunt
încadrate în docimologie – știință pedagogică care are drept obiect studiul sistematic a examenelor,
în particular al sistemelor de notare, și comporta mentul examinatorilor și al examinaților.
Docimologia nu trebuie concepută însă numai ca știință a examinării; ea trebuie să ofere totodată
posibilitatea de a cunoaște interesul real al elevului pentru obiect, suportul motivațional al
rezultatelor obținut e, factorii care au contribuit la obținerea rezultatelor, posibilitatea de apreciere a
resurselor unui elev, de urmărire a evoluției acestuia.

94
Testul docimologic este o alternativă și o cale de eficientizare a examinării tradiționale.
Testul este o probă standardizată care asigură o obiectivitate mai mare în procesul de învățare.
Testele pos asigura îndepliniarea mai multor funcții :
 identificarea nivelului de preg ătire a elevilor
 evaluarea eficienței predării și a demersului educațional în general
 diagnosticarea dificultăților și a neîmplinirilor în învățare
 selecționarea pentru accederea pe trepte superioare ale instrucției și certificarea

Eficiența utilizării testelor docimologice depinde de o serie de condiții riguroase pe care
trebuie să le îndeplinească :
 validitatea – exprim ă capacitatea unui test de a măsura ceea ce și -a propus și nu depinde în
niciun fel de subiectivitatea profesorului care o aplică
 fidelitatea -exprimă gradul de constanță a testului prin aplicarea lui succesivă, capacitatea sa
de a oferi aceleași rezultate în condițiile examinării subiecților cu alte teste cuprinzând itemi
cu valoare echivalentă
 omogenitatea -se referă la unitatea de structură și de conținut la nivelul ansamblului și al
fiecărei secțiuni în parte
 relația testului cu alte teste -fiecare test are o identitate proprie, dar care trebuie să fie
convergentă cu determinările altor teste
 stabilirea valorilor etalon -permit cuntificarea și măsurarea cantității de informație deținută
de o persoană cu referire la un anumit domeniu.
 stabilirea condițiilor de aplicare -precizând condițiile de utilizare
Testele docimologice se deosebesc de examene prin faptul că ele presupun o muncă
meticuloasă de pregătire, iar secvențele procedurale sunt foarte stricte. Ele permit însă
standardizarea condițiilor de examinare, a modalităților de notare, aduc ând un spor de obictivitate.
Elaborarea unui test docimologic constituie o activitate dificilă și presupune parcurgerea
mai multor etape : precizarea obiectivelor, documentarea științifică, avansarea unei ipoteze,
experimentarea testului, an aliza statistică și ameliorarea testului.
În funcție de perspectiva temporală, putem testele pot fi : inițiale, de progres (formative)
și finale.

95
Testele inițiale se realizează la începutul unei perioade de instruire și are ca scop stabil irea
nivelului de pregătire al elevilor, a condițiilor în care aceștia se pot integra în activitatea care
urmează. . Rezultatele nesatisfăcătoare obținute la aceste teste impun organizarea unor activități de
completare a lipsurilor observate.
Testele de pr ogres pot fi integrate pot fi integrate în orice moment al unei lecții și pot fi
folosite pe parcursul întregului an școlar. Are a obiective verificarea sistematică a progreselor
elevilor, cunoașterea sistematică a rezultatelor, determinând efecte reglatoa re asupra activității și
ameliorarea ei continuă.
Testele sumative se realizează la sfârșitul unei perioade mai lungi de instruire(semestru, an,
ciclu de învățământ) sau la finalul unei unități de învățare, pentru a oferi informații despre nivelul de
perfo rmanță al elevilor în raport cu obiectivele educaționale.
Pentru a construi un test de evaluare este necesar să optăm pentru unul sau mai multe tipuri
de itemi, ei reprezentând orice întrebare sau element din structura unui test.
Itemii se împart in trei categorii :
-itemi obiectivi -ușor de construit, asigură o obiectivitate ridicată, măsoară rezultate ale învățării
situate la niveluri cognitive inferioare(conoștințe, priceperi, capacități de bază). Din categoria
itemilor obiectivi fac parte : itemi cu aleg ere dual ă, itemi de tip pereche, itemi cu alegere multiplă
-itemi semiobiectivi -cuprind întrebări și cerințe care presupun elaborarea răspunsurilor de către elevi
și pot fi folosiți în toate etapele de evaluare.În categoria itemilor semiobiectivi sunt incl uși: itemi cu
răspuns scurt, itemi de completare, itemi de tip întrebări structurale
-itemi subiectivi -permit evaluarea unor obiective complexe ale învățării care scot în evidență
originalitatea, creativitatea și caracterul personal al răspunsului.Principalele tipuri de itemi subiectivi
sunt: rezolvarea de problem și eseul.
Lecția este definită forma principală a desfășurării procesului instructiv -educativ, forma
științifică de organizare a acestui proces în școală. Ea este c onstituită din trei dimensiuni:
funcțională, structurală și operațională.
Conceperea și desfășurarea unei activități de instruire presupun derularea mai multor etape ,
secvențe sau evenimente într -o ordine ce ține de logica actului pedagogic. O ordine posibil ă a
“evenimentelor ” unei lecții ar fi:

96
1. captarea aten ției elevilor
2. informarea elevilor cu privire la obiectivele de atins
3. reactualizarea elementelor învățate anterior
4. prezentarea elementelor specifice de conținut
5. dirijarea învățării
6. obținerea performanței
7. asigurarea feedbackului
8. evaluarea performanței
9. asigurarea retenției și a transferului
Deși aceste “evenimente ”ale instruirii sunt valabile pentru orice tip de lecție, ele nu
trebuie să se transforme într -o structură rigidă, inflexibi lă, într -o formă căreia nu i se pot asocia
conținuturi specifice și care nu generează activități de învățare eficientă. Profesorul este cel care
decide, în funcție de contextul învățării, plecând de la obiectivele de atins, maniera în care se îmbină
aceste evenimente , ca număr, pondere și succesiune, într -un demers educational autentic și eficient.
Ceea ce contează, din această perspectivă, este ca succesiunea evenimentelor s ă includă toate acele
acțiuni necesare pentru parcurgerea eficientă și productivă a traseului învățării .
Principalele tipuri de lecție pot fi identificate în funcție de obiectivul general
urmărit.Fiecare tip are o structură proprie, dar nu fixă, rigidă, ci flexibilă, deschisă , ce permite
adaptări și diversificări în funcție de variabilele care definesc contextul intern și extern al instruirii.
Nu există o tipologie unică a lecțiilor, după cum nu există o structură unică pentru fiecare tip și
variantă.
Putem distinge următoarele tipuri de lecție
 lecția mixtă -care urmărește r ealizarea, în măsură aproximativ egală, a mai multor scopuri sau
sarcini didactice : comunicare, sistematizare, fixare și verificare
 lecția de comunicare/însușire de noi cunoștințe – are ca obiectiv didactic
fundamental :însușirea de noi cunoștințe
 lecția de formare de priceperi și deprinderi -specifică unor domenii de activitate diverse :
desen, muzica, literatur ă, educație fizică, tehnică etc.
 lecția de fixare și sistematizare -vizează, în principal, consolidarea cunoștințelor însușite, dar
și aprofundarea lor și completarea unor lacune.

97
 lectia de verificare și apreciere a rezultatelor școlare – urmărește, în principal, constatarea
nivelului de pregătire a elevilor, cu consecințe ce decurg din această constatare pentru
activitatea viitoare a profesorului cu ele vii.
Impunând obligativitatea adoptării strategiilor de lucru la caracteristicile temei, la particularitățile
colectivului de elevi, la condițiile locale și la alți parametri, lecția a fost și rămâne un act de creație
al profesorului; acest act trebuie să asocieze atrcția cu eficacitatea, datele solide și precise cu
întrebările care vor motiva lecțiile următoare, cunăștințele noi cu formarea spiritului.
O lecție bună provoacă activitatea elevului și introduce o colaborare, un dialog între
profesor și elevi.
Procesul de învățare a matematicii, ca și a oricărei alte discipline din planul de învățământ,
cuprinde următoarele etape:
 proiectarea activității de instruire;
 desfășurarea instruirii;
 activitatea de învățare de către elevi;
 evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii.

Obiectivul de bază al predării geometriei în gimnaziu și liceu este formarea la elevi a
conceptelor (abstracte) geometrice, deprinderea de către aceștia a metodelor specifice g eometriei, a
raționamentului inductiv și deductiv, a capacității de a supune unor operații logice conceptele
geometrice însușite.
Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții vom formula obiectivele predării ei
prin derivare de la obiec tivele generale ale predării geometriei. Pe lângă aceste obiective, care arată
în ce măsură tema respectivă contribuie la realizarea obiectivelor predării geometriei este necesar să
ne formulăm și obiective operaționale, prin care să precizăm ce anume capa cități intelectuale și
deprinderi practice trebuie să posede elevii la sfârșitul unei secvențe de instruire.
Proiectarea lecțiilor de geometrie trebuie astfel concepută, încât fiecare activitate concretă să
conducă spre realizarea unor obiective op eraționale clar formulate.
Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate este necesar ca să se prevadă realizarea conexiunii
inverse, atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale instruirii.

98
Geometria are un rol deosebit în formarea intelectuală a omului contemporan. Raționamentul
geometric presupune analiza amănunțită a tuturor concluziilor de derivă din anumite date, a cadrului
de validitate a diferitelor rezultate. El nu permite nicio neglijență în gândire, nic i o concluzie pripită,
superficială, insuficient fundamentală logic. De aceea, studiul geometriei este o admirabilă
gimnastică a consecvenței în gândire și a spiritului critic.

99
Anexe

PROIECT DIDACTIC
Profesor: Căpiță Livia -Cosmina
Unitatea de învățământ: Colegiul Tehnic Forestier , Piatra Neamț
Clasa : a IX-a
Data:
Disciplina : Matematică – Geometrie
Profil : Tehnologic
Unitatea de învățare: Vectori în plan
Subiectul lecției: Înmulțirea vectorilor cu un scalar. Vectori coliniari.
Tipul lecției: Comunicare și însușire de noi cunoștințe
Durata: 50 minute

Competențe generale:

CG.1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în
care au fost definite;
CG.2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice;
CG.3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete ;
CG.4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative a le unei situații concrete și a
algoritmilor de prelucrare a acestora;
CG.5. Analiza și interpretarea caracteristicil or matematice ale unei situații -problemă;
CG.6. modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din
diverse domenii

Competențe specifice:

CS.1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte ;

100
CS.2. Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe
configurații date ;
CS.3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie configurații geometrice date;
CS.4 Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configurații geometrice;
CS.5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date;
CS.6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe.

Competențe derivate :

CD1. Calcularea înmulțirii vectorilor cu un scalar ;
CD2. Identificarea vectorilor coliniari ;
CD3. Aplicarea proprietăților înmulțirii vectorilor cu un scalar ;
CD4. Precizarea coliniarității a trei puncte ;
CD5. Rezolvarea de exerciții cu înmulțirea vectorilor cu un scalar, cu coliniaritatea a doi vectori.
CD6. Rezolvarea corectă a exercițiilo propuse în fișa de lucru .
CC7.Participarea activ ă la lecție.

Strategia didactică:
 Principii didactice
– Principiul participării și învățării active;
– Principiul asigurării progresului gradat al performanței;
– Principiul conexiunii inverse.
 Metode și procedee
– Explicația
– Conversația
– Exercițiul
– Problematizarea
– Exemplificarea
– Învățarea prin descoperire
– Observația
 Forme de organizare
– Activitate frontală

101
– Activitate individuală
 Resurse
– Capacitățile de învățare ale elevilor;
– Cunoștințele însușite anterior de către elevi;

 Mijloace didactice :
– Cretă albă și colorată; burete
– Caiete de clasă și de teme
– Instrumente geometrice
– Fișe de lucru
 Modalități de evaluare :
– Observarea sistematică a elevilor,
– Analiza răspunsurilor
– Rezolvarea unor fișe de lucru
 Locul : sala de clasă
 Timp : 50 min
 Bibliografie :

102

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Etapele
lecției
CD Conținutul informațional Strategii didactice
Metode,
procedee Forme de
activitate
1.
Moment
organizatoric Se a sigură condițiile optime pentru
desfășurarea orei; se face prezența și notează
absenții în catalog; Conversația Frontal
2.
Verificarea
temei petru
acasă Se verifică tema pentru acasă, se discută
ideile de rezolvare enunțate de elevi. Explicația

Conversația
Frontal

3.
Reactualiza rea
cunoștințelor
dobândite
anterior
CD7 Se reactualizează cunoștințele elevilor
referitoare la adunarea vectorilor, la
proprietățile adunării vectorilor, la regulile
de adunare a segmentelor orientate(regula
triunghiului și a paralelogramului).
Conversația
Explicația Frontal
4.
Informarea
elevilor asupra
subiectului și a
competențelor
urmărite CD7 Se anunță tema lecției și competențele
vizate. Lecția de astăți este : “Înmulțirea
vectorilor cu scalari.Vectori coliniari ”.
La sfârșitul orei aș dori veti cunoaste aceste
notiuni si le veti aplica in probleme.
Conversația
Explicația Frontal
5.
Prezentarea
materialului
stimul și
dirijarea
învățării CD1
CD2
CD3
CD4 Definiție. Fie ̅ un vector din plan și
. Se numește înmulțire a vectorului ̅ cu
scalarul(numărul real) și se notează ̅
vectorul definit astfel :
– ̅, dac ă ̅=0 sau =0 ;
– ̅, dacă ̅ 0 și 0, unde ̅ are
aceeși direc ție cu ̅, are același sens cu Conversația
Explicația
Exercițiu
Activitate
independentă Frontal și
Individual

103
̅ dacă și sens opus lui ̅ dacă
, iar ‖ ̅ ‖ ‖ ̅‖ .
Înmulțirea vectorilor liberi din plan cu scalar
are următoarele proprietăți:
1. 1 ̅ = ̅ , ̅
2. ( ) ̅ = ( ̅) ; , ̅
3. distributivitatea față de adunarea
scalarilor : ( ) ̅= ̅+ ̅,
, ̅ ;
4. distributivitatea față de adunarea
vectorilor : ( ̅ ̅)= ̅ + ̅,
̅ ̅
Definiție. Doi vectori liberi nenuli ̅ și ̅
care au aceeași direcție se numesc vectori
coliniari.
Teoremă .Fie ̅, ̅ doi vectori liberi din plan.
Atunci ̅ și ̅ sunt coliniari dacă și numai
dacă există un scalar unic astfel încât ̅
̅.
Teoremă . Fie ̅, ̅ doi vectori liberi din
plan. a) ̅ și ̅ sunt colini ari dacă și numai
dacă există astfel încât ̅ ̅ ̅.
b) ) ̅ și ̅ sunt necolini ari dacă și numai
dacă din egalitatea ̅ ̅ ̅ rezultă
.
Definiție. Punctele sunt coliniare
dacă vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari, deci
cu ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

6.
Obținerea
performanței
CD5
CD6
CD7 Pentru a asigura performanța clasei
profesorul propune spre rezolvare exerciții
din fișa de lucru. Conversația
Explicația Frontal

104
Profesorul scoate la tablă un elev pentru a
rezolva.

7.
Obținerea
feed-back -ului

CD7 Pentru a vedea dacă elevii au înțeles
scurtă recapitulare printr -o serie de întrebări:
– Care este definiția înmulțirii unui
vector cu un sclar?
– Care sunt proprietațile?
– Ce sunt vectorii coliniari?
-se apreciază verbal elevii. Conversația
Explicația Frontal
8.
Retenție și
transfer
Exercițiile care nu s -au rezolvat în clasă,
vor rămâne ca temă; profesorul oferă
indicații pentru rezolvarea temei Conversația
Explicația Frontal

9.
Aprecieri,
note
2 min
La sfârșit au loc concluziile și aprecierile
profesorului.
Elevii își exprimă părerea în legătură cu
activitatea susținută,
Sunt notați elevii care s -au remarcat la
lecție . Conversația
Explicația Frontal

105

FIȘĂ DE LUCRU
Înmulțirea vectorilor cu scalari. Vectori liberi

1. Calculați :
a) ( ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅)
b) ( ̅ ̅) ̅ ( ̅ ̅)
c) 4( ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅)
d) -2( ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅)

2. Se consideră segmentul [AB] .Să se determine în cazurile :
a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
d) 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

3. Fie triunghiul și ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅, ⃗⃗⃗⃗⃗ ̅. Se notează cu și mijloacele laturilor , – , -.
Să se exprime în funcție de ̅ și ̅ vectorii :
a) ⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
d) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4. Pe catetele și ale triunghiului dreptunghic se consideră în exterior pătrat ele
și . Să se demonstreze că vectorii ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari.

5. Se consideră paralelogramul și punctele ( ) ( ) astfel îmcât
și . Să se demonstreze că punctele sunt coliniare.

6. Fie un triunghi și ( ) astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Demontrați că vectorii : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
și ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari.

106

PROIECT DIDACTIC
Profesor: Căpiță Livia -Cosmina
Unitatea de învățământ: Colegiul Tehnic Forestier , Piatra Neamț
Clasa : a IX-a
Data:
Disciplina : Matematică – Geometrie
Profil: Tehnologic
Unitatea de învățare: Vectori în plan
Subiectul lecției: Vectori în plan. Aplicații.
Tipul lecției: recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Durata: 50 minute

Competențe generale:

CG.1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în
care au fost definite;
CG.2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri
matematice;
CG.3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete ;
CG.4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a
algoritmilor de prelucrare a acestora;
CG.5. Analiza și interpretarea caracteristicil or matematice ale une i situații -problemă;
CG.6. modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din
diverse domenii

Competențe specifice:

CS.1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte ;
CS.2. Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe
configurații date ;

107
CS.3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie configurații geometrice date;
CS.4 Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descri e anumite configurații geometrice;
CS.5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date;
CS.6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe.

Competențe derivate :

CD1. Calcularea adunării vectorilor ;
CD2. Calcularea înmulțirii vectorilor cu un scalar ;
CD2. Identificarea vectorilor coliniari ;
CD3. Descompunerea unui vector într -un reper cartezian;
CD4. Precizarea coliniarității a trei puncte ;
CD5. Rezolvarea corectă a exercițiilor propuse în fișa de lucru;
CD6. Participarea activ ă la lecție .

Strategia didactică:
 Principii didactice
– Principiul participării și învățării active;
– Principiul asigurării progresului gradat al performanței;
– Principiul conexiunii inverse.
 Metode și procedee
– Explicația
– Conversația
– Exercițiul
– Problematizarea
– Exemplificarea
– Învățarea prin descoperire
– Observația
 Forme de organizare
– Activitate frontală
– Activitate individuală
 Resurse

108
– Capacitățile de învățare ale elevilor;
– Cunoștințele însușite anterior de către elevi;

 Mijloace didactice :
– Cretă albă și colorată; burete
– Caiete de clasă și de teme
– Instrumente geometrice
– Fișe de lucru
 Modalități de evaluare :
– Observarea sistematică a elevilor,
– Analiza răspunsurilor
– Rezolvarea unor fișe de lucru
 Locul : sala de clasă
 Timp : 50 min
 Bibliografie :

109
DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Etapele
lecției
CD Conținutul informațional Strategii didactice
Metode,
procedee Forme de
activitate
1.
Moment
organizatoric Se a sigură condițiile optime pentru
desfășurarea orei; se face prezența și notează
absenții în catalog; Conversația Frontal
2.
Verificarea
temei petru
acasă Se verifică tema pentru acasă, se discută
ideile de rezolvare enunțate de elevi. Explicația

Conversația
Frontal

3.
Reactualizarea
cunoștințelor
dobândite
anterior
CD6 Se reactualizează cunoștințele elevilor
referitoare la segmente orientate, adunarea
vectorilor, înmulțirea vectorilor cu scalari,
descompunerea unui vector într -un reper
cartezian Conversația
Explicația Frontal
4.
Informarea
elevilor asupra
subiectului și a
competențelor
urmărite CD6 Se anunță tema lecției și competențele
vizate. Lecția de astăzi este : “Vectori în
plan. Aplicații”
Se comunică elevilor competențele urmărite.

Conversația
Explicația Frontal
5.
Prezentarea
materialului
stimul și
dirijarea
învățării CD1
CD2
CD3
CD4 Fiecare elev va primi câte o fișă de
activitate, în care se regăsesc exerciții
fundamentale referitoare la acest capitol.
Înainte de rezolvarea fiecărui exercițiu, se va
reaminti, prin întrebări adresate elevilor,
teoria necesară rezolvării exercițiului.

Conversația
Explicația
Exercițiu
Frontal și
Individual

110
6.
Obținerea
performanței
și asigurarea
feed-back -ului CD5
CD6
Pentru a asigura performanța clasei
profesorul propune spre rezolvare exerciții
din fișa de lucru.
Profesorul scoate la tablă un elev pentru a
rezolva. Conversația
Explicația

Activitate
independentă Frontal

7.
Aprecierea
rezultatelor
La sfârșit au loc concluziile și aprecierile
profesorului.
Elevii își exprimă părerea în legătură cu
activitatea susținută,
Sunt notați elevii care s -au remarcat la
lecție . Conversația
Explicația Frontal
8.
Tema pentru
acasă
Exercițiile care nu s -au rezolvat în clasă,
vor rămâne ca temă; profesorul oferă
indicații pentru rezolvarea temei Conversația
Explicația Frontal

111

FIȘĂ DE LUCRU
Vectori în plan

1. Se consideră vectorii ̅ ̅ ̅, ̅ ̅ ̅.
a) Să se determine coordonatele vectorului ̅ ̅.
b) Să se calculeze ‖ ̅ ̅‖ .

2. Punctele sunt mijloacele laturilor , – , – , – , – ale patrulaterului . Să
se demonstreze că ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

3. Se consideră triunghiul și punctele astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . Să se arate
că dreptele și sunt paralele.

4. Să se determine pentru care vectorii ̅ ̅ ( ) ̅ , ̅ ̅ ̅ sunt coliniari.

5. Se consideră punctele ( ) ( ) ( ). Să se scrie în funcție de ̅ și ̅ vectorii
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ și ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).

6. Fie vectorii ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ și ̅ ( ) ̅ ( ) ̅. Să se determine
astfel încât vectorii ̅ și ̅ să aibă același modul.

7. Se consideră punctele ( ) ( ) ( ). Să se determine pentru
care punctele sunt coliniare.

8. Fie un pătrat.
a) Să se calculeze lungimea vectorului ̅ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
b) Dacă sunt mijloacele laturilor , – , – , – respectiv , -, să se arate
că pentru oricare punct din plan are loc relația : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

112

Bibliografie

1. Ioan Pop, Gh. Neagu Algebră liniară și geometrie analitică în plan și
spațiu, Editura Plumb, Bacau, 1996.
2. Gh.D. Simionescu Noțiuni de algebră vectorială și aplicații în geometrie,
Editura tehnică, București,
3. Gh. Simionescu, V.Stefanescu Aplicații ale calculului vectorial în geometrie și
trigonometrie, Editura Didactică și Pedagogica,
București, 1975.
4. V. Crucean u Elemente de alegebra liniara si geometrie, Editura
Didactică si Pedagogica, București, 1973.
5. V. Obadeanu Elemente de algebra liniara si geometrie analitica,
Editura Facla, Timisoara, 1981.
6. Leonard Dăuș Algebră liniară și geometrie analitic ă,București, 2009
7. C.Cuco ṣ Pedagogie “, Editura.Polirom, 2006
8. Mihai Postolache Metodica predării matematicii in liceu , Editura Fair ,
Parteners Junior , 2011
9. Constantin Chirilă Formarea continuă a profesorilor de matematică în
societatea cunoașterii , 2012
10. *** Manualele de geometrie pentru liceu

113