Gheorghiu A. Constantin Bogdan [610836]

UNIVERSITATEA “TRANSILVANIA” DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator științific:
Conf. univ. dr. CIUPALĂ LAURA

Candidat: [anonimizat] „Spiru Haret”, Tecuci, Galați

2015 -2017

1 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

UNIVERSITATEA “TRANSILVANIA” DIN BRAȘOV
FACULTATEA DE PSIHOLOGIE ȘI ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

TITLUL LUCR ĂRII
GRAFURI ORIENTATE -METODE
MODERNE DE PREDARE – ÎNVĂȚARE

Coordonator științific:
Conf. univ. dr. CIUPALĂ LAURA

Candidat: [anonimizat] „Spiru Haret”, Tecuci, Galați

2015 -2017

2 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Avizul conducătorului științific,
Numele și gradul didactic

Domnule Director,

Subsemnatul____ ________________________________________
vă rog să -mi aprobați susținerea lucrării metodico – științifice cu titlul
__________________________________________________________
______________________________________________________ ____
sub îndrumarea d -nei conf. univ. dr. ________ _____________________

Data, Semnătura,

3 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Cuprins
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 5
Capitolul I. Aspecte teoretice generale ale grafurilor orientate ………………………….. …… 8
1.1. Grafuri orientate -terminologie, noțiuni de bază, forme de reprezentare ………………… 8
1.1.1. Un exemplu de graf ………………………….. ………………………….. ………………………… 8
1.1.2. Noțiunile de graf orientat, adiacență, incidență, grad . Mulțimile ”gama” și
”omega” ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 8
1.1.3. Reprezentarea grafurilor orientate ………………………….. ………………………….. …… 10
1.1.3.1. Matricea de adiacență ………………………….. ………………………….. ……………… 11
1.1.3.2. Listele vecinilor ………………………….. ………………………….. ……………………… 13
1.1.3.3. Vectorul de arce ………………………….. ………………………….. …………………….. 15
1.1.3.4. Matricea vârfuri -arce ………………………….. ………………………….. ………………. 16
1.1.3.5. Matricea drumurilor ………………………….. ………………………….. ……………….. 17
1.2. Noțiunile de graf parțial și subgraf. Noțiunile de lanț , drum și circuit ………………… 17
1.2.1. Graf parțial ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 17
1.2.2. Subgraf ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 21
1.2.3. Lanț ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 24
1.2.4. Drum ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 28
1.2.5. Circuit ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 29
1.3. Tipuri speciale de grafuri ………………………….. ………………………….. ……………………… 33
1.3.1. Graf complet ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 33
1.3.2. Graf t urneu ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 33
Capitolul II. Algoritmi de prelucrare a grafurilor orientate ………………………….. ……… 34
2.1. Algoritmul Roy -Warshall(determinarea matricii drumurilor) ………………………….. .. 34
2.2. Algoritmul Roy -Floyd(determinarea drumurilor de cost minim) ……………………….. 36
2.3. Algoritmul lui Dijkstra(determinarea costului și drumului minim, de la un vârf ales
la toate celelalte) ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 41
2.4. Conexitat e în grafuri orientate ………………………….. ………………………….. ……………… 46
2.4.1. Verificarea conexității unui graf ………………………….. ………………………….. …….. 46
2.4.2. Descompunerea în componente conexe a unui graf orientat ……………………….. 48
2.4.3. Verificarea proprietății de tare conex a unui graf , parcurgerea D.F., algoritmul
lui Kosaraju ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 52
2.4.4. Descompunerea în componente tare conexe a unui graf orientat …………………. 57
Capitolul III. Metode și strategii didactice de învățare și evaluare ……………………….. 61

4 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3.1. Metode didactice și funcțiile acestora ………………………….. ………………………….. ……. 61
3.2. Procedeul didactic ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 62
3.3. Organizarea învățării ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 62
3.4. Clasific ări ale metodelor de învățământ ………………………….. ………………………….. …. 63
3.5. Metodica predării informaticii ………………………….. ………………………….. ……………… 65
3.5.1. Expunerea sistematică a cunoștințelor ………………………….. …………………………. 66
3.5.2. Metoda conversației ………………………….. ………………………….. ……………………… 68
3.5.3. Problematizarea și învățarea prin descoperire ………………………….. ………………. 71
3.5.4 . Modelarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 74
3.5.5 . Exemplificarea sau demonstrarea materialului intuitiv ………………………….. ….. 77
3.5.6 . Metod a exercițiului ………………………….. ………………………….. ………………………. 79
3.5.6.1. Exerciții și probleme de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode ….. 80
3.5.6.2. Exerciții și probleme aplicative ale unor formule sau algoritmi cunoscuți . 80
3.5.6.3. Probleme care permit însușirea unor noțiuni ………………………….. ………….. 80
3.6. Instruirea asistată de calculator(I.A.C.) ………………………….. ………………………….. … 84
3.7. Evaluarea(clasificări, funcții) ………………………….. ………………………….. ……………….. 89
3.8. Evaluarea prin proiecte ………………………….. ………………………….. ……………………… 114
Capitolul IV. Creativitatea ………………………….. ………………………….. ………………………… 117
4.1. Conceptul de creativitate ………………………….. ………………………….. ……………………. 117
4.2. Creativitatea ca produs ………………………….. ………………………….. ………………………. 117
4.3. Creativitatea ca proces ………………………….. ………………………….. ……………………… 118
4.4. Creativitatea ca potențialitate general umană ………………………….. ……………………. 118
4.5. Creativitatea ca dimensiune complexă a personalității ………………………….. ……….. 119
4.6. Factorii creativității ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 120
4.7. Relația dintre creativitate și inteligență ………………………….. ………………………….. … 121
Capitolul V.Proiectarea didactică ………………………….. ………………………….. ……………… 123
5.1. Planul unității de învățare – “tare conexitate în grafuri orientate”(IAC) ……………. 123
5.2. Test de evaluare – tare conexitate în grafuri orientate ………………………….. ………… 131
5.3. Proiect didactic – proiecte ………………………….. ………………………….. ………………….. 140
5.4. Ghid de realizare a proiectului ………………………….. ………………………….. ……………. 143
5.5. Fișa de autoevaluare ………………………….. ………………………….. ………………………….. 145
5.6. Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 146
Anexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 148
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 185

5 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

INTRODUCERE

[29]Originile teoriei grafurilor se găsesc în rezolvarea unor probleme de jocuri și
amuzamente matematice, care au atras atenția unor matematicieni de seamă, cum ar fi:
Euler, Hamilton, Cayley, Sylvester, Birkoff .
Data nașterii teoriei grafurilor este consider ată a fi anul 1736 , când matematicianul
Leonhard Euler a publicat un articol în care a clarificat problema celor șapte poduri și a
prezentat o metodă pentru rezolvarea altor probleme de același tip. Articolul în limba latină
avea titlul: Solutio problemat is ad geometriam situs pertinentis (solutia unei probleme
legate de geometria poziției) și a apărut în revista Commentarii Academiae Scietiarum
Imperialis Petropolitanae .
Cu 200 de ani mai târziu, în 1936, apărea la Leipzig prima carte din teoria grafurilor
al cărei autor este matematicianul maghiar Dénes König . În amintirea contribuției lui
Euler, unele noțiuni și tipuri de grafuri de care acesta s -a ocupat sunt denumite de către
Dénes König lanț(ciclu) eulerian, graf eulerian, etc.
Un alt matematician care s -a ocupat de aceleași probleme ca și Euler (se pare, fără a
cunoaște articolul) dar care și -a publicat rezultatele cercetărilor sale în anul 1873, a fost
Karl Hierholzer . Acesta a demonstrat în plus unele rezultate care lui Euler i se păruseră
evidente.
În 1851 articolul lui Euler a fost tradus și publicat în revista Nouvelles Annales de
Mathematiques , iar rezultatele sale au fost îmbogățite, fiind studiate în clase specia le de
grafuri.
Alte izvoare ale teoriei grafurilor sunt: studiul rețelelor elctrice, problema celor
patru culori, aplicațiile teoriei garfurilor în chimie(inițiate de Cayley ), probleme
hamiltoniene, grafuri planare.
Fizicianul Kirchoff a studiat în mijlocul secolului trecut rețelele electrice cu metode
care aparțin astăzi teoriei grafurilor, contribuind la dezvoltarea acestei teorii (în anul 1845 a
formulat legile care guvernează circulația curentului într -o rețea electrică, iar în 1847 tot el
a arătat cum poate fi construită într -un graf o mulțime fundamentală de cicluri,
demonstrând că, pentru orice graf conex cu n vârfuri și m muchii, o mulțime fundamentală
de cicluri conține întotdeauna m -n+1 cicluri).
Termenul de graf a fost folos it pentru prima dată în sensul său actual (fiind derivat
din termenul notație grafică din chimie) într -un articol publicat în 1878 de matematicianul
J. Sylvester (prieten al lui Cayley), articol ce a apărut în primul număr al revistei American

6 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Journal of Mathematics . Teoria grafurilor are numeroase aplicații în chimie, cercetări
privind determinarea numărului de izomeri ai compușilor organici contribuind în mare
măsură la rezolvarea problemelor de numărare a grafurilor aparținând unor clase speciale.
”Azi teoria grafurilor a devenit o disciplină majoră, deși nu -și găsește locul într -o
clasificare dogmatică a capitolelor matematicii.
Folosirea teoriei grafurilor în domenii variate, de la chimie la economie, de la
studiul rețelelor electrice la critica textel or și la politică, îi dau azi un prestigiu de care
cel ce clasifică științele trebuie să țină seama ”
(Grigore C. Moisil)
Sinteze ale principalelor părți ale lucrării :
Capitolul I. ( Aspecte teoretice generale ale grafurilor orientate ) – prezintă asp ecte
teoretice generale ale grafurilor orientate, pornind de la noțiunea de graf, terminologia
utilizată, reprezentările grafurilor. Următoarea secțiune a acestui capitol este dedicată
descrierii tipurilor special e de grafuri orientate: complet și turneu .
Capitolul II. ( Algoritmi de prelucrare a grafurilor orientate ) – este dedicat descrierii
algoritmilor: Roy -Warshall, Roy -Floyd, Dijkstra împreună cu programele de implementare
ale acestora precum și a conexității grafurilor orientate, cu ve rificarea conexității unui graf,
descompunerea în componente conexe , verificarea proprietății de tare conex dar și
descompunerea în componente tare conexe , parcurgerea în adâncime și algoritmul lui
Kosaraju .
Capitolul III. ( Metode și strategii didactice de învățare și evaluare) – cuprinde noțiuni
teoretice referitoare la metodele didactice t radiționale și active utilizate în procesul de
predare -învățare -evaluare, cu accent pe metoda instruir ii asistată de calculator (I.A.C.) și
metoda evaluării prin proiec te.
Instruirea asistată de calculator permite elevilor sa -și dezvolte aptitudini reale,
cerute în zilele noastre, cum ar fi: capacitatea de a rezolva probleme complexe, capacitatea
de auto – direcționare și de autoevaluare, stimularea creativității și a i maginației.
Capitolul IV. ( Creativitatea ) – urmărește descrierea conceptului de creativitate și
analizează formele în care aceasta apare nu numai la elevi, ci în general, la orice persoană:
ca produs, ca proces, ca potențialitate general umană, ca dimensi une complexă a
personalitații.
Capitolul V. (Proiectarea didactică) – Unitatea de învățare „Tare conexitate în grafuri
orientate ” este organizată sub forma unui portofoliu care cuprinde :

7 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

– planul unității de învățare ( instruirea asistată de calculator(I.A.C.) ) cu obiectivele
operaționale aliniate competențelor specifice și competențelor generale vizate, cu
setul de întrebări cheie, precum și cu activitățile desfășurate, metodele de predare și
evaluare, mijloacele de învățare folosite, etc;
– testul de evaluare finală ;
– proiect didactic – evaluarea prin proiecte;
– ghidul de realizare a unui proiect;
– fișa de autoevaluare;
– prezentări realizate de profesor, alte materiale documentare care sprijină predarea și
evaluarea unității de învățare;
– materiale realizate de elevi.
Procesul instructiv -educativ valorifică și dezvoltă continuu capacitățile de cunoaștere
ale elevilor, spiritul de observație și de investigare, gândirea creativă, transformând nevoia
de instruire și de autoinstruire într -o trebuință intrinsecă fiecărei personalități în formare.

8 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

CAPITOLUL I
ASPECTE TEORETICE GE NERALE ALE GRAFURILO R
ORIENTATE

1.1. GRAFURI ORIENTATE: T ERMINOLOGIE, NOȚIUNI DE BAZĂ, FORME
DE REPREZENTARE

1.1.1. Un exemplu de graf
[27] Pentru a înțelege mai bine utilitatea grafurilor orientate ne putem imagina un
oraș. El poate fi privit ca un ansamblu de străzi care se intersectează între ele. Pentru a
putea ajunge dintr -un loc în altul, trebuie să parcurgem niște străzi și să trecem prin
intersecții.
Un graf orientat îl putem asemăna cu o hartă a orașului. Pentru a putea realiza
această hartă, mai întâi vom reprezenta intersecțiile prin puncte. Apoi străzile care „leagă”
aceste intersecții le vom reprezenta prin curbe, care pe harta noastră vor uni punctele deja
fixate. Străzilor cu sens unic trebuie să le dăm o anumită orientare, cu ajutorul unor săgeți
„pictate” pe curbele care reprezintă stră zile pe hartă. Bineînțeles că o stradă pe care se
poate circula în ambele sensuri o vom marca prin săgeți în ambele sensuri sau chiar prin
două curbe câte una pentru fiecare sens.
Am construit astfel un graf orientat.

1.1.2. Noțiunea de graf orientat, adiacență, incidență, grad . Mul țimile ”gama” și
”omega”.

 [27]Definiție :
Se numește graf orientat, o pereche ordonată de mulțimi G = (X,U), unde X este
o mulțime finită și nevidă numită mulțimea vârfurilor, și U este o mulțime formată din
perechi ordonate de elemente ale lui X, numit ă mulțimea arcelor.
Trebuie precizat că prin noțiunea de perechi ordonate nu trebuie să înțelegem
diferența în lungime sau în măsura specifică, ci se înțelege faptul că arcul (x,y) nu este
același cu (y,x).

9 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Exemplu: în figura alăturată este
reprezentat un graf orientat G(X,U), unde avem:
X = {1,2,3,4,5,6} și U = {u 1,u2,u3,u4,u5,u6,u7}=
{(1,2), (1,5), (1,6), (2,3), (4,1), (5,3), (5,4)}
Fiecare arc este de forma u = (x,y) unde x
se numește extremitate inițială, sau predecesor al
lui y, iar y se numește ex tremitate finală, sau
succesor al lui x.
Privind un ansamblu de două arce
împreună cu extremitățile lor, putem desprinde
noțiunile de adiacență și incidență . Astfel, vârful 1 este adiacent cu vârful 4, deoarece
acestea sunt unite printr -un ar c. Dar vârfurile 1 și 3 nu reprezintă o pereche de vârfuri
adiacente.
Muchia (1,6) este incidentă în vârful 1 respectiv 6 deoarece aceste vârfuri reprezintă
extremități pentru un arc.

Gradul unui vârf
 [27]Definiție :
Gradul exterior al unui vârf, notat cu d+(x), reprezintă numărul arcelor care ies
din vârful x, adică numărul arcelor de forma (x,y) Є U.
 [27]Definiție :
Gradul interior al unui vârf, notat cu d-(x), reprezintă numărul arcelor care intră
în vârful x, adică numărul arcelor de forma (y,x) Є U.
După cum se observă în figura
alăturată, există trei arce care ies din nodul 2 și
anume: u 1 = (2,1), u 3 = (2,3), u 4 = (2,4) . În
cazul nostru d+(2) = 3.
Există un arc care intră în nodul 2 și
anume: u2 = (3,2). În cazul nostru d-(2) = 1.
Deoarece d+(5) = 0 și d-(5) = 0, putem
spune că vârful 5 este izolat .

Figura 1
Figura 2

10 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Mulțimile Γ și ω
 [27]Definiție :
Se definește Γ+(x) = {y Є X / (x,y) Є U}, drept mulțimea nodurilor ce constituie
extremități finale ale arcelor care pleacă din nodul x. Pe scurt, mulțimea succesorilor lui
x.
În figura alăturată se poate observa că succesorii
nodului 2 sunt 1, 3, și 4, urmare a faptului că
muchiile care pleacă din 2 sunt (2,1), (2,3) și (2,4).
În cazul nostru Γ+(2) = {1, 3,4}.

 [27]Definiție :
Se define ște Γ-(x) = {y Є X / (y,x) Є U},
drept mulțimea nodurilor ce constituie extremități inițiale ale arcelor ce intră în nodul x.
Pe scurt, mulțimea predecesorilor lui x.
În cazul nostru Γ-(2) = {3}, deoarece în nodul 2 intră doar muchia (3,2), deci mulțimea
predecesorilor lui 2 conține doar nodul 3.

 [27]Definiție :
Se definește ω+ (x) = {u = (x,y) / u Є U} drept mulțimea arcelor care ies din nodul x.

 [27]Definiție :
Se definește ω- (x) = {u = (y,x) / u Є U} drept mulțimea arcelor care intră în nodul x.

Privind graful G (X,U) din figura 3, putem observa mulțimea arcelor care ies din
nodul 2, pe care o vom nota cu ω+(2) = {(2,1), (2,3), (2,4)} și mulțimea acelor care intră in
nodul 2, ω- (2) = { (3,2) }.
1.1.3. Reprezentarea grafurilor orientate
[4]Considerăm un graf orientat G=(X,U) cu m arce și n vârfuri numerotate
1,2,3,…..,n . Cele mai cunoscute forme de reprezentare ale unui astfel de graf sunt:
 matricea de adiacență
 listele vecinilor
 vectorul arcelor
 matricea vârfuri – arce( de incidență )
Figura 3

11 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 matricea drumurilor
Pentru implementările acestor metode de reprezentare vom considera definițiile globale de
constante și tipuri următoare:
#define N 50 //numărul de vârfuri
#define M 100 //numărul de arce
#define INF 32000
typedef unsigned char tip;

1.1.3.1. Matricea de adiacență.
[4]Este o matrice pătrată de forma n*n, cu n numărul de vârfuri ale grafului,
alcătuită din elementele 0 și 1. Această matrice nu este simetrică față de diagonala sa
principală. Se va completa a[i,j](matricea) cu elementul 1 dacă există arc de la nodul i la
nodul j și cu 0 dacă nu există arc de la nodul i la nodul j.

a[i][j]= 1, dacă există arcul [i,j] cu i j
0, în caz contrar

Pentru a exemplifica matricea de adiacență ne vom folosi de figura 4:
0 1 0 1

0 0 1 0
A4*4=
1 0 0 0

0 0 0 0

Observații
 Suma elementelor de pe linia x din matricea de adiacență reprezintă gradul exterior
al nodului x, iar suma elementelor de pe coloana x din matricea de adiacență
reprezintă gradul interior al nodului x.
 Suma tuturor valorilor din matricea de adiacență este egală cu numărul arcelor din
graf.
Pentru memorarea în programe a matricei de adiacență se folosesc matrici pătratice
binare. Uzual, dintr -un fișier text se citesc numărul vârfurilor și, eventual, cel al muchiilor,
apoi perechi de valori diferite de vârfuri din graf reprezentând extremitățile unui arc. Din
fiecare pereche citită, o singură valoare din matricea de adiacență prime ște valoarea 1.
Funcția următoare citește dintr -un fișier text informațiile referitoare la un graf în
forma descrisă mai sus și construiește matricea de adiacență.
Figura 4

12 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

void citire(tip a[N][N],int &n,int &m)

int k,x,y;
ifstream f(“in.txt”); f>>n>>m;
//numarul de varfuri si numarul de muchii
for(k=1;k<=m;k++)

f>>x>>y; //extremitățile un ui arc
a[x][y]=1;

f.close();


Dacă nu se precizează numărul arcelor din graf, funcția de citire se modifică în felul
următor:
void citire(tip a[N][N],int &n)

int x,y;
ifstream f(“in.txt”); f>>n;
//numarul de varfuri
while(!f.eof())

f>>x>>y; //extremitatile un ui arc
a[x][y]=1;

f.close();

Dacă în fișier este memorată integral matricea de adiacență, citirea se face element cu
element ca în fu ncția următoare:

void citire(tip a[N][N],int &n)

int x,y;
ifstream f(“in.txt”); f>>n;
//numarul de varfuri
for(x=1;x<=n;x++)
for(y=1;y<=n;y++)f>>a[x][y]);
f.close();


13 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Funcția de determinare a gradului exterior unui vârf x transmis ca parametru este
următoarea:
int dplus(int x)
{
int i,s;
s=0;
for(i=1;i<=n;i++)
s=s+a[x][i];
return s;
}

Funcția de determinare a gradului interior unui vârf x transmis ca parametru este
următoarea:
int dminus(int x)
{
int j,s;
s=0;
for(j=1;j<=n;j++)
s=s+a[j][x];
return s;
}

1.1.3.2. Listele vecinilor .
[4] O altă modalitate standard de reprezentare a unui graf orientat G(X,U) o
constituie listele vecinilor. Lista vecinilor reține pentru fiecare vârf din graf, vârfurile
adiacente cu acesta(vecine cu el). Pentru fiecare nod i se construiesc două liste ale vecinilor
săi:
 L+(x)- lista vecinilor succesori; deci va conține nodurile care sunt
extremități finale ale arcelor ce ies din nodul x;
 L-(x)- lista vecinilor predecesori; conține nodurile care sunt extremități
inițiale ale arcelor care intră în nodul x.
Pentru a înțelege mai bine luăm spre
exemplu un graf G(X,U), cu n=6 noduri și
m=7 arce.

Figura 5

14 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În figura de mai sus(figura 5) avem:
 Pentru nodul x=1:
– arcele care ies din nodul 1 sunt (1,6), (1,5) și (1,2). În consecință lista vecinilor
succesori L+(1) conține nodurile 2,5 si 6;
– în nodul 1 intră un singur arc și anume (4,1), motiv pentru care lista vecinilor
predecesori conține doar nodul 4.
 Pentru nodul x=2:
– arcul care iese din nodul 2 este (2,3). L+(2) conține nodul 3;
– arcul care intră în nodul 2 este (1,2). Deci L-(2) conține nodul 1;
 Pentru nodul x=3:
– arcul care iese din nodul 3 este (3,5).Deci L+(3)={5};
– arcul care intră în nodul 3 este (2,3).Deci L-(3) conține nodul 2;
 Pentru nodul x=4:
– arcul care iese din nodul 4 este (4,1).L+(4) va conține un sigur nod: 1;
– arcul care intră în nodul 4 este (5,4).În consecință L-(4) conține nodul 5;
 Pentru nodul x=5:
– arcul care iese din nodul 5 este (5,4). Dec i L+(5) conține nodul 4.
– arcele care intră în nodul 5 sunt (1,5) și (3,5).L-(5) conține nodurile 1 și 3.
 Pentru nodul x=6:
– din nodul 6 nu iese nici un arc. Prin urmare L+(6) nu va conține nici un nod; va fi
egală cu mulțimea vidă.
– în nodul 6 intră un singur arc (1,6). L-(6) conține nodul 1.
Pentru o exprimare mai puțin prolix ă a listelor vecinilor putem constitui următorul
tabel:
Nodul x
L+(x)
L-(x)

1 2,5,6 4
2 1 1
3 5 2
4 1 5
5 4 1,3
6 vida 1
Figura 5

15 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Observații:
 Lista vecinilor unui graf G(X,U) poate fi determinată atât pe baza ma tricii de
adiacență, cât și pe baza matricii vârfuri_arce.
 Pe baza listei vecinilor putem determina gradul interior și gradul exterior al unui
nod, cât și Γ+ și Γ- a unui nod.

1.1.3.3. Vectorul de arce.
[4]Fiecare arc al grafului poate fi privit ca o înregistrare cu două componente: cele
două vârfuri care con stituie extremitățile arcului . Notând aceste extremități cu x și y, putem
defini tipul de date TARC astfel:
typedef struct {
int x,y;
} TARC ;
Graful în ansamblul său, este o mulțime de arce, adică o mulțime de elemente de tipul
TARC . În consecință, definim graful ca un “ vector de arce”, adică un vector cu elemente
de tipul TARC :
TARC v[M];
Numărul real de elemente este numărul de arce m. Astfel, elementele efectiv folosite ale
vectorului vor fi v[1],v[2],….,v[m] . Fiecare element v[i] este de tipul TARC și reprezintă
un arc al grafului, având două componente: v[i].x și v[i].y care sunt vârfurile extremități
ale arcului .
Observații : în structura TARC se pot memora și alte informații referitoare la arcele
grafului (de exemplu, costul arcului ).
Funcția următoare realizează construirea vectorului arcelor prin citirea acestora
dintr -un fișier text.

void citire(T ARC v[M],int &n,int &m)


int k;
ifstream f(“in.txt”); f>>n>>m;
for(k=1;k =m;k++)
f>>v[k].x>>v[k].y;
f.close();


16 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

1.1.3.4. Matricea vârfuri -arce

[27]Matricea vârfuri -arce sau matricea de incidență este una dintre cele mai
cunoscute modalități standard de reprezentare a unui graf G(X,U). Aceasta este o matrice
“b” cu n linii și m coloane, în care fiecare elemen t b[i,j] este:
 1 daca nodul i este o extremitate inițială a arcului (i,j)
 -1 daca nodul i este o extremitate finală a arcului (i,j)
 0 daca nodul i nu este extremitate a arcului (i,j)
Pentru o înțelegere mai bună a matricii vârfuri -arce av em ca exemplu graful de mai
jos(figura 6) cu n=4 vârfuri și m=5 arce.

Pentru a exemplifica construcția matricei vom deduce elementele liniei 3:
 a[3,1]=0 pentru că nodul 3 nu este extremitate a arcului (1,2) ; analog,
a[3,3]=0 deoarece nodul 3 nu este extrem itate a arcului (4,2);
 a[3,5]= -1deorece nodul 3 este extremitate finală a arcului (4,3);
 a[3,2]=1 și a[3,4]=1 întrucât nodul 3 este extremitate inițială a arcului (3,2),
respectiv (3,4).
Observații:
 Pentru fiecare coloană j (aferentă arcului u j), avem exact 2 elemente nenule: un
1(linia i pe care se află reprezintă extremitatea inițială a arcului u j) și un -1 (linia i
pe care se află reprezintă extremitatea finală a arcului u j).
 Numărul valorilor de 1 de pe linia i reprezintă gradul exterior al nodului i( numărul
arcelor ce au ca extremitate inițială pe i), iar numărul valorilor de -1 de pe linia i
reprezintă gradul i nterior al nodului i( numărul arcelor care au ca extremitate finală
pe i).
1 0 0 0 0
-1 -1 -1 0 0
0 1 0 1 -1
0 0 1 -1 1
Figura 6 B4x5=

17 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 Matricea vârfuri_arce a unui graf G(X,U) poate fi construită pe baza matricii de
adiacență a acestuia.
 O modalitate de a ne asigura că matricea vârfuri_arce este corectă este ca su ma
tuturor numerelor de pe fiecare coloana sa fie 0 (ex:coloana 1 a matricii b[i,j]=1+( –
1)+0+0=0), datorită unei singure valori 1 și a unei singure valori -1 (fiecare arc are
un singur început și un sfârșit).

Funcția următoare ilustrează modul de constr uire a matricii de incidență prin citirea
informațiilor dintr -un fișier text.

void citire(tip a[N][M],int &n,int &m)
 int k,x,y;
int k,x,y;
ifstream f(“in.txt”); f>>n>>m;
//numarul de varfuri si numarul de arce
for(k=1;k<=m;k++)

f>>x>>y; //extremitatile unui arc
a[x][k]=1;
a[y][k]= -1;
//muchia k este incidenta cu extremitatile x si y

f.close();


1.1.3. 5. Matricea drumurilor

Va fi prezentată la capitolul ” Algoritmi de prelucrare a grafurilor orientate -Algoritmul
Roy-Warshall ”.
1.2. NOȚIUNILE DE GRAF PA RȚIAL ȘI SUBGRAF
NOȚIUNILE DE LANȚ, D RUM ȘI CIRCUIT

1.2.1. Graf parțial

 [27]Definiție :
Fie graful G=(X,U). G1=(X,V), cu V⊆𝑼, este un graf parțial al lui G dacă și numai
dacă se obține prin eventuala eliminare a unor arce din G. Astfel, în cazul în care nu se
va elimina nici un arc , un graf parțial al lui G poate fi chiar G.

18 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Un exemplu de graf parțial este cel construit î n figura 8, obținut din graful
reprezentat în figura 7.

Astfel, grafului G=(X,U) cu X={1, 2, 3, 4} și U={ u1, u2, u3, u4} îi corespunde
graful parțial G1=(X,V), cu V={ u1, u2, u3} obținut prin eliminarea arcului u4 .
Se poate afla dacă G1 este un graf parțial al lui G folosind matricile de adiacență ale
celor două grafuri. Având aceleași dimensiuni, cele două matrici a și b (aparținând lui G,
respectiv lui G1) vor fi parcurse simultan pentru a verifica dacă există un arc în G1 care să
nu existe în G. În acest caz, V nu este inclus în U pentru că are un element în plus, deci G1
nu este graf parțial al lui G. În schimb, dacă nu se găsește un asemenea arc, concluzia este
că G1 este graf parțial al lui G. D acă cele două matrici de adiacență sunt identice atunci G1
este chiar G.
Pentru exemplul reprezentat în figurile 7 și 8 am construit matricile de adiacență
din figurile 9 și 10.

0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0

Figura 9 Figura 10
Matricea de adiacență Matricea de adiacență
a grafului G=(X,U) a grafului G1=(X,V)

Se observă astfel că nu există un arc în matricea de adiacență a lui G1 care să nu
existe în matricea de adiac ență a lui G . De asemenea, pot apare noduri izolate .
Figura 7
Figura 8

19 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Programul C++ de generare a tuturor grafurilor parțiale ale unui graf G(X,U) dat prin
vectorul de arce este următorul:
– Programul utilizează tehnica Backtracking în varianta recursivă;
– Se generează toate grafurile parțiale distincte după modelul combinărilor;
– Soluțiile sunt prezentate sub forma matricilor de adiacență asociate grafurilor
parțiale rezultate.
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int st[10],a[10][10],m,n,k,p;
struct arc
{
int x,y;
}v[10 ];

void citiri()
{
int i;
cout<<"Nr. de noduri: ";
cin>>n;
cout<<"Nr. de arce: ";
cin>>m;
cout<<"Introduceti extremitatile arcelor "<<endl;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cout<<"v["<<i<<"]= ";
cin>>v[i].x>>v[i].y;
}
}

void init()
{
int i;
for(i=1;i< =p;i++)
st[i]=0;
}

int valid(int k)
{
if(k>1&&st[k]<=st[k -1])

20 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

return 0;
return 1;
}

void tipar()
{
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;
for(i=1;i<=p;i++)
a[v[st[i]].x][v[st[i]].y]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
cout<<a[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
cout<<"#############"<<endl;
}

void bktr(int k)
{
int i;
for(i=1;i<=m;i++)
{
st[k]=i;
if(valid(k))
if(k==p)
tipar();
else
bktr(k+1);
}
}

void main()
{
int i,j;
clrscr();
citiri();

21 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
cout<<a[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
cout<<"#############"<<endl;
for(p=1;p<=m;p++)
{
init();
bktr(1);
}
getch();
}

1.2.2. Subgraf
 [15]Definiție :

Fie graful G=(X,U). G1=(Y,T), cu T⊆𝑼 și Y⊆𝑿, este un subgraf al lui G dacă și
numai dacă se obține prin eventuala eliminare a unor noduri din G, precum și a arcelor
incidente cu acestea. Astfel, în cazul în care nu se va elimina nici un nod, un subgraf al
lui G poate fi chiar G.
Fie graful orientat G=(X,U). Graful G1=(Y,T) va fi subgraf al lui G dacă Y este inclus
în X și dacă T este inclus în U.
Pentru graful din fi gura 7 , am construit subgraful obținut prin eliminarea nodurilor 1 și
4, reprezentat în figura 11.

Astfel mulțimea X={1, 2, 3, 4} devine Y={ 1, 2, 4} iar U={u1, u2, u3, u4} se reduce la
mulțimea T={ u2} datorită suprimării arcelor u1, u3 și u4 incidente cu nodul 3 .
Figura 11 u2

22 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Programul C++ de generare a tuturor subgrafurilor unui graf G(X,U) dat prin vectorul
de arce este ur mătorul:
– Programul utilizează tehnica Backtracking în varianta recursivă;
– Se generează toate subgrafurile distincte după modelul combinărilor;
– Soluțiile sunt prezentate sub forma mulțimii nodurilor și mulțimii arcelor asociate
subgrafurilor rezultate.
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int st[10],a[10][10],m,n,k,p;
struct arc
{
int x,y;
}v[10];

void citiri()
{
int i;
cout<<"Nr. de noduri: ";
cin>>n;
cout<<"Nr. de arce: ";
cin>>m;
cout<<"Introduceti extremitatile arcelor "<<endl;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cout<<"v["<<i<<"]= ";
cin>>v[i].x>>v[i].y;
}
}

int exista(int q,int z)
{
int i;
for(i=1;i<=m;i++)
if(v[i].x==q&&v[i].y==z)
return 1;
return 0;
}

void init()

23 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

{
int i;
for(i=1;i<=p;i++)
st[i]=0;
}

int valid(int k)
{
if(k>1&& st[k]<=st[k -1])
return 0;
return 1;
}

void tipar()
{
int i,j;
cout<<"Noduri: ";
for(i=1;i<=p;i++)
cout<<st[i]<<' ';
cout<<endl;
cout<<" Arce : ";
for(i=1;i<=p -1;i++)
for(j=i+1;j<=p;j++)
if(exista(st[i],st[j]))
cout<<'('<<st[i]<<','<<st[j] <<"),";
cout<<endl;
cout<<"#############"<<endl;
}

void bktr(int k)
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
st[k]=i;
if(valid(k))
if(k==p)
tipar();
else
bktr(k+1);

24 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

}
}

void main()
{
int i,j;
clrscr();
citiri();
for(p=1;p<=n;p++)
{
init();
bktr(1);
}
getch();
}

1.2.3. Lanț
 [12]Definiție :
Se numește lanț într-un graf orientat G(X,U), o mulțime de arce
L={(x 1,×2),(x 2,×3),…,(x k-1,xk), cu proprietatea că oricare
două arce vecine în mulțime au o extremitate comună.
Observație:
Într-un lanț nu contează orientarea arcelor !!!

Lanțurile pot fi : – elementare;
– neelementare.
Lanțurile elementare sunt cele care au proprietatea că oricare două noduri comparate
împreună din componența sa sunt distincte.
Lanțurile neelementare au proprietatea că cel puțin un nod se regăsește de cel puțin
două ori în mulțimea de noduri a lanțului.
În figura 12, putem identifica atât lanțuri elementare cât și lanțuri neelementare .
 Lanțuri elementare: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 sau 1 , 2 , 4 , 5 , 3 sau 5 , 1 , 2 , 4 , 3
 Lanțuri neelementare: 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 5 , 1 sau 2 , 4 , 5 , 3 , 4 , 1
Astfel, x 1 și x k sunt extremitățile lanțului, numărul de arce dintre acestea ce leagă
componentele lanțului între ele reprezentând lungimea lanțului. 1 2
3 5
4
Figura 12

25 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Programul C++ de generare a tuturor lanțurilor elementare dintr -un graf G(X,U) dat prin
matricea d e adiacență este următorul:
– Programul utilizează tehnica Backtracking în varianta recursivă;
– Se generează toate lanțurile elementare distincte după modelul combinărilor;
– Soluțiile sunt prezentate sub forma unor șiruri de noduri.

#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int st[10], n,m, k,p, a[10][10],v[10][10],t,r;

int caut()
{
int t,z,sw,sw1,t1,nr;
if(r==0)
{
r++;
for(t=1;t<=p+1;t++)
v[r][t]=st[t];
return 0;
}
else
{
sw=0;
for(z=1;z<=r;z++)
{
nr=0;
for(t=1;t<=p+ 1;t++)
{
sw1=0;
for(t1=1;t1<=p+1;t1++)
if(v[z][t1]==st[t])
sw1=1;
if(sw1==1)
nr++;
}
if(nr==p+1)
sw=1;
}
if(sw==0)

26 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

{
r++;
for(t=1;t<=p+1;t++)
v[r][t]=st[t];
return 0;
}
}
return 1;
}

void init()
{ int i;
for(i=1; i<=p+1; i++)
st[i]=0;
}

int valid(int k)
{
int i;
if(k>1)
for(i=1; i<=k -1; i++)
if(st[k]==st[i])
return 0;
if((k>1)&&(a[st[k]][st[k -1]]==0) &&(a[st[k -1]][st[k]]==0 )
return 0;
return 1;
}

void tipar()
{
int i;
if(caut()==0)
{
for(i=1;i<=p+1;i++)
cout<<st[i]<<' ';
cout<<endl;
}
}

void bktr(int k)

27 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

{
int i;
for(i=1; i<=n; i++)
{
st[k]=i;
if(valid(k))
if(k==p+1)
tipar();
else
bktr(k+1);
}
}

void introducere()
{
int i,j ,x,y;
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
a[i][j]=0;
for(i=1; i<= m; i++)
{
cout<< "Tastati extremitatile unui arc: ";
cin>> x>>y;
a[x][y]=1;
}
}

void init1()
{
int i,j;
r=0;
for(i=1;i<=10;i++)
for(j=1;j<=10;j++)
v[i][j]=0;
}

28 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

void meniu()
{char c,w;
do
{
clrscr();
cout<<"0 -Introducere date"<<endl;
cout<<"1 -Afisarea solutii"<<endl;
cout<<"2 -Parasire program"<<endl;
cout<<"Introduceti optiunea: ";
cin>>c;
if(c=='0')
{
introducere();
}
if(c=='1')
{
for(p=1;p<=m;p++)
{
init1();
init();
bktr(1);
}
cout<<endl;
cout<<"apasati o litera";
cin>>w;
}
}while(c!='2');
}

void main()
{
meniu();
}

1.2.4. Drum
 [12]Definiție :
Se numește drum în tr-un graf orientat G(X,U), un șir de noduri D=[z 1,z2,……..,z k],
unde z 1,z2,….,z k ∈ X, cu proprietatea că oricare două noduri consecutive sunt adiacente,
adică există arcele [z 1,z2], [z2,z3],………, [zk-1,zk] care să aparțină lui U.

29 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Astfel, z 1 și z k sunt extremitățile drumului, numărul de arce dintre acestea ce leagă
componentele drumului între ele reprezentând lungimea drumului .
Drumurile se clasifică în: – elementare;
– neelementare.
Drumurile elementare sunt cele care, în afară de primul și ultimul, au toate
nodurile distincte.
Exemplu: 1, 2, 3 în graful din figura 13.
Drumurile neelementare , spre deosebire de cele eleme ntare, au proprietatea că cel
puțin un nod se repetă în cadrul succesiunii.
Exemplu: 1, 2, 4, 2, 3 în graful din figura 13.

1.2.5. Circuit
 [12]Definiție :
Într-un graf orientat oarecare G=(X,U), noțiunea de ci rcuit se definește ca fiind un
drum L={x 1, x2, x3, …, x k} , unde x 1, x2, x3, …, x k aparțin mulțimii X , cu proprietatea că:
– primul nod este egal cu ultimul(x 1=xk);
– arcele (x1,x2), (x 2,×3), …, (x k-1,xk) sunt distincte două câte două.
Astfel, x 1 și x k sunt extremitățile circuitului , numărul de arce dintre acestea ce leagă
componentele ci rcuitului între ele reprezentând lungimea ci rcuitului .

1 2
3
4 5 6
7
Figura 14 1
4
3 2
Figura 13

30 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Circuitele se clasifică în: – elementare;
– neelementare.
Circuitele elementare sunt cele care, în afară de primul și ultimul, au toate
nodurile distincte.
Exemplu: 5, 6, 7, 5 și 1, 2, 3, 4, 5, 1 în graful din figura 14.
Circuitele neelementare , spre deosebire de cele elementare, au proprietatea că cel
puțin un nod se repetă în cadrul succesiunii, făcând abstracție de ultimul nod.
Exemplu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 1 în graful din figura 14.

Programul C++ de generare a tuturor ci rcuitelor elementare dintr -un graf G(X,U) dat
prin matricea de adiacență este următorul:
– Programul utilizează tehnica Backtracking în varianta recursivă;
– Se generează to ate ci rcuitele elementare distincte ;
– Soluțiile sunt prezentate sub forma unor șiruri de noduri.

#include <iostream.h>
#include<conio.h>

int a[10][10],st[10],n,k,t;

void init()
{ int i;
for(i=1;i<=t+1;i++)
st[i]=0;
}

int valid(int k)
{int i;
if((k> 1)&&(a[st[k -1]][st[k]]==0))
return 0;
if((k>1)&&(k<t+1))
{
for(i=1;i<=k -1;i++)
if(st[k]==st[i])
return 0;
if(st[k]<st[k -1])
return 0;
}

31 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

if((k==t+1)&&(st[k]!=st[1]))
return 0;
return 1;
}

void tipar()
{int i;
for(i=1;i<= t+1;i++)
cout<<st[i]<<" ";
cout<<endl;
}

void bktr(int k)
{int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
st[k]=i;
if(valid(k))
if(k==t+1)
tipar();
else
bktr(k+1);
}
}

void citiri()
{int i,j ,x,y;
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=n; i++)
for(j=1; j<=n; j++)
a[i][j]=0;
for(i=1; i<=m; i++)
{
cout<<"Tastati extremitatile unui arc: ";
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;

32 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

}
}

void meniu()
{
cout<<"1 -Introducere date"<<endl;
cout<<"2 -Generari cicluri"<<endl;
cout<<"3 -Parasire program"<<endl;
}

void main()
{int q;
do
{meniu();
cin>>q;
if(q==1)
{
citiri();
getch();
clrscr();
}
if(q==2)
{
for(t=3;t<=n;t++)
{
init();
bktr(1);
}
getch();
clrscr();
}
}while(q!=3);
cout<<"SFARSIT!";
}

33 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

1.3. TIPURI SPECIALE DE G RAFURI
1.3.1. Graf complet
 [9]Definiție :
Un graf orientat G=(X,U) este complet, dacă și numai dacă oricare două noduri ale
sale sunt adiacente.
Spre deosebire de grafurile neorientate la care există un graf complet unic cu n vârfuri,
pentru un n dat, putem construi mai multe grafuri orientate complete având numărul de
noduri n.
Acest lucru decurge din faptul că două vârfuri x, y sunt adiacente în oricare din
următoarele situații: există arcul (x,y), există arcul (y,x), există ambele arce (x,y), (y,x).
Cum sunt C n2 posibilități de a alege două noduri distincte , iar pentru fiecare dintre acestea
există 3 situații ca ele să fie adiacente rezultă că pentru un n dat sunt 3x grafuri orientate
complete cu n vârfuri unde x= Cn2
Exemplu: Pentru n=2, vom avea trei grafuri orientate complete, ca în figura 15.

1.3.2. Graf t urneu
 [29]Definiție :
Un graf orientat este turneu, dacă oricare ar fi două vârfuri i și j, i≠j, între ele există
un singur arc: arcul (i,j) sau arcul (j,i).
Proprietăți:
o Orice graf turneu este graf complet;
o Există 2𝑛(𝑛−1)
2 grafuri turneu cu n noduri;
o În orice graf turneu e xistă un drum elementar care trece prin toate vârfurile
grafului.
Exemplu de graf turneu cu n=4 vârfuri (figura 16):

1
2 1
2 1
2
Figura 15
1
2 4
3 Figura 16

34 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

CAPITOLUL II
ALGORITMI DE PRELUCRARE A GRAFURILOR ORIENTATE

2.1. ALGORITMUL ROY -WARSHALL (DETERMINAREA MATRIC II
DRUMURILOR)
[12]Matricea drumurilor se obține aplicând matricei de adiacență niște transformări
succesive. Vom spune că există drum de la nodul i la nodul j, dacă găsim un nod k(diferit
de i și de j) cu proprietatea că exist ă drum de la i la k și drum de la k la j.
Astfel, un element a[i,j] care este 0, devine 1, dacă există un nod intermediar, k, astfel
încât a[i, k]=1 și a[k,j]=1. Pentru a găsi arcele nodului k, trebuie parcurse pe rând în
variabila k toate nodurile 1, 2,.., n.
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (a[i,j]=0) and ((i<>k) and (j<>k) then
{vârful intermediar k trebuie sa fie diferit de cele 2 noduri între care se caută un drum}
a[i,j]:=a[i,k]*a[k,j];
Atribuirea a[i,j]:=a[i,k]*a[k,j] este o scriere elegantă a regulii de mai jos:
– în cazul în care unul din elementele a[i,k], a[k,j] este 0, a[i,j] va rămâne 0;
– dacă a[i, k]=1 și a[k,j]=1, atunci a[i,j] devine 1.
Pentru a înțelege mai bine vă vom prezenta un exemplu ce vă poate veni în ajutor.
Exemplu :
Fie graful G cu matricea de adiacență A dată mai jos:

A =

Graful are n=4 noduri, deci matricea de adiacență va suferi patru transformări într -un
ciclu, pentru k=1,2,3,4 .
Pentru început vom urmări în detaliu prima transformare, cu k=1. 0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 0 0 1
4
3 2
Figura 17

35 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În alte două cicluri for se parcurg elementele a[i,j] ale matricei de adiacență, dar cu
condiția suplimentară i≠k și j≠k. Așadar la prima transformare nu vor fi „analizate ”
elementele de pe linia 1 și coloana 1. Dintre restul elementelor se reperează cele egale cu 0
în matricea de adiacență. Acestea sunt a[2,2], a[3,2], a[3,3], a[3,4], a[4,3], a[4,4].
Ce face algoritmul pentru fiecare astfel de element a[i,j] egal cu 0? Încearcă să -l
transforme în 1 prin atribuirea a[i,j]:= a[i,1]*a[1,j].Luând pe rând elementele a[i,j]
enumerate mai sus avem:
– a[2,2]:=a[2,1]*a[1,2] = 0; – a[3,2]:=a[3,1]*a[1,2] = 0;
– a[3,3]:=a[3,1]*a[1,3] = 0; – a[3,4]:=a[3,1]*a[1,4] = 0;
– a[4,3]:=a[4,1]*a[1,3] = 1; – a[4,4]:=a[4,1]*a[1,4] = 0;
Observăm că la prima transformare, pentru k=1,a devenit 1 un singur element din
rândul celor care erau nule, și anume a[4,3]. Pentru m oment matricea a este

a =

Continuăm cu a doua transformare, pentru k=2, care, atenție, se aplică acum noii
matrici obținute. În mod similar se caută a[i,j] nule, cu j≠k, adică i, j≠2. Acestea sunt:
a[1,1], a[1,4], a[3,1], a[3,3], a[3,4], a[4,4]. Pentru fiecare dint re ele se aplică din nou
transformarea a[i,j]:=a[i,k]*a[k,j], adică a[i,j]:=a[i,2]*a[2,j]. În urma atribuirilor
respective, vor deveni 1 elementele a[1,4] și a[4,4]. Acum am obținut matricea

a =

Au mai rămas două transformări, pentru k=3 și k=4. Procedând absolut analog, veți
putea observa că pentru k=3 nu se mai tra nsformă nici un element, iar pentru k=4 vor fi
transformate în 1 trei dintre elementele nule ale matricii. Vom obține în final matricea
drumurilor de mai jos.

a =

0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 1 0
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1

36 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

2.2. ALGORITMUL ROY -FLOYD(DETERMINAREA D RUMURILOR DE COST
MINIM)

[12]Fiind dat un graf G=(X,U) cu X={x 1, x2,…, x3} și o funcție l: U→R + să se
determine pentru fiecare pereche de noduri x i,, xj (i≠j) lungimea minimă a drumului de la x i
la x j precum și aceste drumuri .
Algoritmul Roy -Floyd determină lungimile minime ale drumurilor între oricare două
noduri ale grafului într -o matrice C=(c ij)n*n unde
0, dacă i =j
Cij = lungimea drumului minim de la x i la x j, dacă există drum de la x i la x j
∞, dacă nu exi stă drum de la x i la x j
Determinarea matricii C este asemănătoare algoritmului Roy -Warshall pentru
obținerea matricii drumur ilor.
Se pornește de la matricea costurilor C .
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,k]+c[k,j]) < c[i,j] then
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j];

Observație. Acest algoritm poate fi privit ca o succesiune de n transformări aplicate
matricii C.
Simultan cu determinarea lungimilor minime ale drumurilor, pot fi reținute și acestea.
Vom folosi o matrice D = (d ij)n*n ale cărei elemente d ij sunt mulțimi de nod uri (d ij va
reprezenta în final mulțimea nodurilor ce pot precede pe x j în drumul minim de la x i la x j).
Odată cu inițializarea matricii C cu matricea costurilor vom inițializa și matricea D
astfel:
{xi} dacă c ij < ∞ sau i≠j
dij=
dacă c ij = ∞ sau i=j
Pe măsură ce se actualizează matricea C vom actualiza și matricea D după cum urmează:
 dacă c ij < cik + ckj, atunci d ij rămâne neschimbat;

37 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 dacă c ij = c ik + c kj (înseamnă că am găsit noi posibilit ăți de construire a
drumului minim de la x i la x j folosind nodul k) se adaugă la d ij vârfurile din
dkj;
 dacă c ij > cik + ckj se inițializează d ij cu d kj.
În final reconstituirea drumurilor minime între oricare două vârfuri x i, xj se face pornind
din x j, astfel: precedentul lui x j îl alegem din mulțimea d ij având unul din aceste noduri
fixat (să -l numim x q) precedentul acestuia va fi orice nod din mulțimea d iq. Precedentul
continuă până ajungem la nodul x i.
Observație: Dacă ne interesează doar câte un drum pentru fiecare pereche de noduri x i,
xj vom considera în locul matricii D o matrice D’ tot n*n astfel încât d’ ij să rețină un nod
ce-l poate precede pe x j în drumul minim de la x i la x j.
Mai jos este prezentat programul Pascal de determinare a drumurilor minime între
oricare două vârfuri ale unui graf G = (X,U) cu X = {1,2,……,n};

program roymin;
const nmax=20;
inf=maxint;
{inf poate fi o constanta cu o valoare mai mare decat suma tuturor costurilor}
type multime=set of 1..nmax;
var c:array [1..nmax,1..nmax[ of word;
{c initial matricea drumurilor}
d:array[1..nmax,1..nmax] of multime;
dr:array[1..nmax] of 1..nmax;
n,m,i,j,k,lg:word;
procedure initc;
{initializeaza matricea costurilor C}
begin
write(‘Introduceti nr. de noduri’);
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
c[i,j]:=inf;
c[i,i]:=0;
end;
write(‘Nr de arce este:’);

38 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

readln(m)
for i:=1 to m do
begin
write(‘ Extremitatile si lungimea arcului ‘,i,’:’);
readln(x,y,z);
c[x,y]:=z;
end;
end;

procedure initd;
{initializam matricea D}
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,j]<inf) and (i<>j) then
d[i,j]:=[i]
else
d[i,j]:=[];
end;
procedure drum(i,j:integer);
{genereaza in vectorul dr un drum minim de la i la j pornind din nodul j}
var k:integer;
begin
if k<>j then
begin
for k:=1 to n do
if k in d[i,j] then
begin
inc(lg);
dr(lg):=k;
drum(i,k);
lg:=lg -1;
end;
end
else
begin

39 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

writeln;
for k:=lg downto 1 do
write(dr[k],’ ’);
end;
end;
procedure afisare;
var i,j:integer;
{afisarea rezultatelor}
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
writeln;
if c[i,j]=inf then
writeln(’nu exista drum intre’,i,’si’,j);
else
begin
writeln(’Lungimea drumurior minime de la’,i,’la’,j,’este’,c[i,j]);
if i<>j then
begin
lg:=1;
dr[1]:=j;
drum(i,j);
end;
end;
end;
end;
begin
initc;
initd;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if c[i,j]>c[i,k]+c[k,j] then
begin
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j];
d[i,j]:=d[k,j];

40 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end
else
if c[i,j]=c[i,k]+c[k,j] then
d[i,j]:=d[i,j]+d[k,j];
afisare;
end.

Drumuri maxime în grafuri orientate

Fie G = (X,U) un graf fără circuite cu X={x 1,×2,……..,x n} și l: U→ R + .
Ne punem problema determinării drumurilor de lungime maximă în acest graf. Vom
atașa grafului G o matrice M = (m ij)n*n definită astfel:

l(xi,xj) dacă (x i,xj) € U

mij = −∞ dacă (x,x) € U și (i≠j)

0 dacă i=j

Observăm că această matrice este asemănătoare matricii costurilor atașată grafului
pentru determinarea drumurilor minime, cu diferența că pentru perechi de noduri x i ,xj (i≠j)
pentru care nu există arcul (x i,xj) marcăm în matrice −∞ (care evident nu va interveni
niciodată într -un eventual drum maxim de la x i la x j).
Algoritmii de determinare a drumurilor minime pot fi adaptați cu mici modificări
pentru determinarea drumurilor max ime. Considerând problema determinării tuturor
drumurilor maxime între oricare două vârfuri x i,xj (i≠j) pentru care există drum de la x i la xj
putem utiliza următorul algoritm:
Fie M matricea asociată grafului ca mai sus, iar D=(d ij)n*n cu
{Xi} dacă m ij > -∞ și (i≠j)
dij=
O dacă m ij = -∞ sau i=j
For k:= 1 to n do
For i:= 1 to n do (k ≠i)
For j:= 1 to n do (k ≠j)
If m ij < m ik + m kj then

41 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

begin
mij:=m ik +m kj;
dij:=d kj;
end
else
if m ij=m ik + m kj then
dij:=d ij + d kj;

2.3. ALGORITMUL LUI DIJKS TRA(DETERMINAREA COS TULUI ȘI
DRUMULUI MINIM, DE L A UN VÂRF ALES LA TOATE CELELA LTE)

[27]Algoritmul utilizează metoda Greedy , generând drumurile minime în ordinea
crescătoare a lungimilor.
Exemplu :

Se pornește de la vârful x i0.Evident cel mai scurt drum de la x io la unul din celelalte
vârfuri ale grafului este dat de arcul (x i0, xj) de lungime minimă. Următorul drum în
ordinea lungimilor va fi dat fie de un alt arc cu extremitatea inițial ă xi0 fie de un drum (x i0,
xj, xp). Alegem în continuare drumuri în ordinea crescătoar e a lungimilor, până când am
determinat drumuri minime de la x i0 către toate vârfurile pentru care există drum pornind
de la x i0. Pentru aceasta se consideră S mulțimea vârfurilor x j aparținând mulțimii nodurilor
grafului, pentru care am găsit drum minim d e la x i0 la x j. Inițial S={x io}. La fiecare pas,
adăugăm în S acel nod x k care aparține mulțimii nodurilor grafului și nu mai aparține
mulțimii S, cu proprietatea că drumul minim de la x i0 la x k are cel mai mic cost dintre toate
drumurile de la x i0 la x p( xp nu aparține lui S).
Pentru exemplul considerat , S va avea pe rând următorul conținut:
S={1} 3
1 2
6 4 5 1 7
1 2
3 1
3
1
Figura 18

42 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

S={1, 2}
S={1, 2, 5}
S={1, 2, 5, 3}
S={1, 2, 5, 3, 4}
Să observăm că drumul minim de la x io la x k (xk nodul ce urmează să -l adăugăm în S la
un moment dat) trece numai prin vârfuri din S( cu excepția lui x k); într -adevăr notând x i
primul vârf de pe acest drum ce nu aparține lui S și presupunând că x i≠xk ar rezulta că
drumul de la x i0 la x i este mai scurt decât cel de la x io la x k ceea ce ar contrazice alegerea
lui x k.
Pentru a alege nodul x k ce urmează a fi adăugat în S vom folosi un vector d=(d 1,
d2,…,d n) astfel incât:

Lungimea drumului minim de la x i0 la x i, dacă x i aparține lui S

di= Lungimea drumului minim de la x i0 la x i ce folosește numai vârfuri din S, dacă
xi nu aparține lui S

Inițial d i=C(i0, i), i=1,n unde C este matricea costurilor.
La un moment dat, ad ăugăm în S nodul x k cu proprietatea că
dk= min (d j, xk ).
După adăugarea lui x k în S trebuie actualizate valorile lui d pentru elementele care nu sunt
în S, deoarece este posibil ca drumul minim de la x i0 la unul din aceste noduri (folosind
noduri din S) să folosească nodul x k pe care tocmai l -am adăugat. Fie x j (nu apartine lui S)
un astfel de nod. Drumul minim de la x i0 la x j ce folosește noduri din S (incl usiv x k) va fi
de forma D=(x i0,…,x k,xj). Într -adevăr, presupunând că există noduri intermediare x p la x i
adică D=(x i0,…,xk,…,xp…,xj) ar exista drumul mai scurt format din drumul minim de la
xi0 la x p (care evident nu conține x k deoarece x p a fost adăugat m ai înainte la mulțimea S) și
secvența din D de la x p la x j. Deci pentru x j, dj se modifică după adăugarea lui x k la S
numai dacă
dk+ C(k,j)<d j, caz in care d j:=d k + C(k,j).
În final, vectorul d va conține costur ile( lungimile) drumur ilor minim e de la x i0 la celelalte
noduri; dacă pentru un nod x j nu există drum de la x i0 la x j, dj=∞.

43 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Pentru a reține și drumurile minime (nu numai lungimile lor) vom considera un vector
numit PREC care reține indicele precedentului fiecărui nod în dru mul minim de la x i0 la
acel nod.
Acest lucru se bazeaz ă pe faptul că dacă D=(z 1, z2,…,z q) este drum minim de la z 1 la z q
atunci D 1=(z 1,…,z q-1) este drum minim de la z 1 la z q-1, D 2=(z 1,…,z q-2) este drum minim de
la z 1 la z q-2 și așa mai departe.

Inițial, PREC i= 0 dacă i=i 0 sau C(i 0,i)=∞
i0 dacă C(i 0,i)≠∞ și i≠i 0

La fiecare modificare d j:=d k+ C(k,j) vom avea o actualizare a lui PREC de forma
PREC j:=k.
Algoritmul se termină când S conține toate nodurile xj pentru care există drum de la x i0 la
xj ; deci, fie când S cuprinde toate nodurile grafului, fie când nodurile care nu aparțin lui S
cuprind numai noduri pentru care nu există drumuri pornind de la x i0 la ele (caz în care
min(x i, xj)=∞).
Mai jos est e prezentat algoritmul în limbaj Pascal. Pentru prezentarea mulțimii S s -a
folosit vectorul caracteristic S cu n componente

0 dacă x i nu aparține lui S
S[i]=
1 dacă x i aparține lui S
Ca mulțime de noduri se consideră X=(1, 2,…, n) iar lungimile arcelor se consideră
numere întregi.
program Dijkstra;
const nmax=15;
inf=maxint div 2;
var c:array[1..nmax, 1..nmax] of integer;
k,i,j,arc,m,n,x,y,z,xp:integer;
s,d,prec:array[1..nmax] of integer;
g:boolean;
procedure min(var k:integer);
var m,i:integer;
begin
m:=inf*2;

44 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

for i:= 1 to n do
if (S[i]=0) and (d[i]<m) then
begin
m:=d[i];
k:=i;
end;
end;
procedure drum(i:integer);
begin
if i<>0 then
begin
drum(prec[i]);
write(i);
end
else
writeln;
end;
begin
writeln(‘dati numarul d e noduri’); readln(n);
for i:=1 to n do
for j:= 1 to n do
c[i,j]:=inf;
for i:=1 to n do
c[i,i]:=0;
writeln(‘dati numarul de arce’); read(arc);
for i:=1 to arc do
begin
write(‘dati arcul’,i,’si lungimea lui’);
readln(x,y,z);
end;
read(xp);
for i:=1 to n do
begin
d[i]:=c[xp,i];
s[i]:=0;
if c[xp,i]< inf then
prec[i]:=xp

45 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

else
prec[i]:=0;
end;
s[xp]:=1;
prec[xp]:=0;
g:=true;
x:=0;
repeat
min(k);
x:=x+1;
if (d[k]=inf) or (x=n) then
g:=false;
else
begin
s[k]:=1;
for j:=1 to n do
if (s[j]=0) and (d[j]>d[k]+c[k,j]) then
begin
d[j]:=d[j]+ c[k,j];
prec[j]:=k;
end;
end;
until (not g);
for i:= 1 to n do
if i<>xp then
if d[i]=inf then
begin
write(‘nu exista drum de la ‘,xp,’la’,i);
writeln;
end
else
begin
writeln(‘drum minim de la’,xp,’la’,i);
drum(i);
writeln;
end;
end.

46 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

2.4. CONEXITATE ÎN GRAFURI ORIENTATE
2.4.1. V erificarea conexității unui graf
 [27]Definiție :

Un graf G(X,U) este conex, dacă oricare ar fi două vârfuri ale sale există un lanț
care le leagă.
Fie graful G(X,U) din figura 19:

Verificarea proprietății de conex o putem ușor realiza prin aplicarea algoritmului
B.F. de parcurgere în lățime, cu precizarea că prin ”vecin” trebuie să înțelegem orice vârf
adiacent cu vârful curent din coadă (să existe arcul (i,j) sau (j,i)) .
Aplicarea algoritmului de parcurgere în lățime B.F. pe graful d in figura 19 ,
furnizează, indifere nt de nodul ales ca punct de start, un șir de valori ce conține toate
vârfurile grafului.
Ordinea vizitării vârfurilor în parcurgerea BF, la consider area ca vârf de start 1,
este 1,2,5,6,3,4 .
Șirurile obținute sunt de fapt lanțuri, ce unesc două noduri, trecând prin (n -2)
noduri intermediare. Rezultă că luând oricare două noduri, ele pot fi unite printr -un lanț,
ceea ce arată că graful din figură este conex.
Verificarea proprietății de graf conex se face simplu prin aplicarea algoritmului de
parcurgere î n lățime B.F.; ulterior, dacă au fost vizitate toate nodurile (echivalent cu
depunerea în coadă a tuturor nodurilor), graful are proprietatea de conex.

Programul C++ pentru verificarea proprietății de conex a unui graf orientat G(X,U)
cu n vârfuri, dat pr in cele m arce ale sale , este următorul:

#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int viz[30],n,a[20][20],c[30]; Figura 19 3
1 2
6 4 5

47 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

void introducere()
{
int i,j,x,y,m;
cout<<"Dati numarul de varfuri n=";
cin>>n;
cout<<"Dati numarul de arce m=";
cin>>m;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cout<<"Extremitatile arcului "<<i<<" sunt: ";
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
}
}

int bf()
{
int i,pi,ps,pstart;
cout<<"Varful de start: ";
cin>>pstart;
for(i=1;i<=n;i++)
viz[i]=0;
pi=1;
ps=1;
viz[pstart]=1;
c[pi]=pstart;
while(pi>=ps)
{
for(i=1;i<=n;i++)
if((a[c[ps]][i]==1||a[i][c[ps]]==1)&&viz[i]==0)
{
pi++;
c[pi]=i;

48 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

viz[i]=1;
}
ps++;
}
return(pi==n);
}

void main()
{
int i;
clrscr();
introdu cere();
if(bf())
cout<<"Graful este conex";
else
cout<<"Graful NU este conex";
getch();
}

2.4.2. Descompunerea în componente conexe a unui graf orientat
 [27]Definiție :

Se numește componentă conexă a grafului G =(X,U), un subgraf G1 =(X1,U1)
a lui G, conex, cu proprietatea că NU există LANȚ care să lege un nod din X1 cu unul
din X -X1.
Altfel spus , o componentă conexă a grafului G este un subgraf conex al lu i G,
maximal în raport cu această proprietate.

2
1 3
5
4 6 7
9 8
Figura 20

49 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Dacă se consideră nodul 1 ca punct de start la aplicarea algoritmului B.F. pe graful
din figura 20, atunci:
– vecin ul lui 1 este 2
– vecinul nevizitat a lui 2 este 4
– vecin ii nevizita ți ai lui 4 sunt 3 și 5
Ordinea vizit ării nodurilor este 1, 2, 4, 3, 5 iar nodurile nevizitate sunt: 6,7,8,9.
Similar, dacă se consideră exemplul nodului 6 ca punct de start , se pot vizita numai
nodurile 6, 7, 8, 9, rămânând nevizitate următoarele noduri: 1,2,3,4,5.
Prin urmare, l a o parcurgere nu se pot vizita toate nodurile , consecința fiind
clară : nu oricare două noduri pot fi legate printr -un traseu de tip lanț , rezultând că
graful nu este conex, acesta deținând componente conexe.
Din definițiile și exemplele anterioare , se desprind următoarele concluzii care sunt
foarte importante:
-Dacă numărul componentelor conexe dintr -un graf este mai mare decât 1, atunci
graful nu este con ex.
-Un graf conex are o singură componentă conexă, care cuprinde toate n odurile sale.
– Un nod izolat reprezintă o componentă conexă.

Programul C++ pentru descompunerea în componente conexe a unui graf orientat
G(X,U) cu n vârfuri, dat prin cele m arce ale sale , este următorul:
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int viz[30],n,k,u,v,p,a[20][20],c[30],pstart;

void introducere()
{
int i,j,m,x,y;
cout<<"Dati numarul de varfuri n=";
cin>>n;
cout<<"Dati numarul de arce m=";
cin>>m;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;

50 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

for(i=1;i<=m;i++)
{
cout<<"Ex tremitatile arcului "<<i<<" sunt: ";
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
}
cout<<"Dati varful de plecare ";
cin>>pstart;
for(j=1;j<=n;j++)
viz[j]=0;
}

void bf()
{
int i,pi,ps;
pi=1;
ps=1;
viz[pstart]=1;
c[pi]=pstart;
while(pi>=ps)
{
for(i=1;i<=n;i++)
if((a[c[ps]][i]==1||a[i][c[ps]]==1)&&viz[i]==0)
{
pi++;
c[pi]=i;
viz[i]=1;
}
ps++;
}
if(pi==n)
cout<<"Graful este conex";
else
{
cout<<"Componenta conexa"<<endl;
for(i=1;i<=pi;i++)
cout<<c[i]<<' ';

51 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

cout< <endl;
}
}

void meniu()
{char c1,w;
do
{
clrscr();
cout<<"0 -Introducere date"<<endl;
cout<<"1 -Afisarea rezultatelor"<<endl;
cout<<"2 -Parasire program"<<endl;
cout<<"Introduceti optiunea: ";
cin>>c1;
if(c1=='0')
{
introducere();
}
if(c1=='1')
{
do
{
bf();
pstart=1;
while(viz[pstart]==1&&pstart<=n)
pstart++;
}while(pstart<=n);
cout<<endl;
cout<<"apasati o litera";
cin>>w;
}
}while(c1!='2');
}
void main()
{
meniu();
}

52 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

2.4.3. Verificarea proprietății de tare conex a unui graf, parcurgerea D.F., algoritmul
lui Kosaraju
 [9]Definiție :

Un graf orientat G(X,U) este tare conex, dacă oricare ar fi două vârfuri ale sale x și
y există un drum de la x la y precum și un drum de la y la x .

[31]Parcurgerea unui graf orientat în adâncime (depth first)

Parcurgerea unui graf în adâncime se face prin utilizarea stivei (alocate implicit prin
subprograme recursive ).
Pentru fiecare vârf se parcurge primul dintre vecinii lui neparcur și încă.
După vizitarea vârfului inițial x1, se explorează primul vârf adiacent lui, fie acesta x2 , se
trece apoi la primul vârf adiacent cu x2 și care nu a fost parcurs încă, ș.a.m.d.
Fiecare vârf se parcurge cel mult o dată.
De exemplu , pentru graful de mai jos, se va proceda în felul urmă tor:
se porne ște din vârful 1, (se poate începe de la oricare alt vârf)

se exploreaz ă în continuare primul vecin al acestuia : vârful 2,
se obține 1,2
2
1 3
5
4 6 7
9 8
Figura 21

53 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

după care din 2 se exploreaz ă vârful adiacent cu acesta și care nu a fost vizitat : 3.
se obține 1,2,3
În continuare ar trebui să se parcurg ă vecinul lui 3 nevizitat : 4
se obține 1, 2, 3, 4

Pentru vârful 4 ar trebui să se parcurgă primul său vecin neparcurs(vârful 1) dar acesta a
fost deja parcurs. Nu mai avem ce vizita și se trece la nivelul anterior din stivă, la vârful 3.
1, 2, 3, 4 .
Se parcurge vecinul său nevizitat , vârful 5 .
Se obține : 1, 2, 3, 4 , 5.
Vârful 3 nu mai are vecini nevizitați și se trece pe nivelul anterior din stivă, vârful 2 : 1, 2,
3, 4, 5 . Nici acesta nu mai are vecni nevizitați și se trece pe nivelul anterior, la vârful 1 : 1,
2, 3, 4, 5 . Cum nici acesta nu mai are vecini nevizitați, se încheie algoritmul.
Vârful 6 rămâne nevizitat .

Programul C++ pentru parcurgerea în adâcime a unui graf orientat G(X,U) cu n
vârfuri, dat prin cele m arce ale sale , este următorul:

#include<fstream.h>
#include<conio.h>
int a[20][20],n,m,viz[100];

void d fmr(int nod)
{
cout<<nod<<" ";

54 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

viz[nod]=1;
for(int k=1;k<=n;k++)
if(a[nod][k]==1&&viz[k]==0)
dfmr(k);
}

void main()
{int x,y,i,j,z;

clrscr();

cin>>n>>m;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
a[i][j]=0;
for(i=1;i< =n;i++)
viz[i]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
}
cout<<endl<<"matricea de adiacente"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{for(j=1;j<=n;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"Dati vf de plecare ";
cin>>z;
cout<<en dl<<"parcurgere in adancime incepand de la varful "<<z<<endl;
dfmr(z);

getch();
}

55 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Verificarea proprietății de tare conex o putem ușor realiza prin aplicarea algoritmului
Kosaraju .

Algoritmul lui Kosaraju

Algoritmul folosește două parcurgeri DFS (una pe graful inițial și una pe graful
transpus) și o stivă pentru a reține ordinea terminării parcurgerii nodurilor grafului original
(evitând astfel o sortare a nodurilor după acest timp la terminarea parcurgerii).
Graful din figura 21 este tare co nex, ordinea vârfurilor fiind următoarea:
 1, 4, 5, 8, 9, 7, 6, 3, 2

Programul C++ pentru verificarea proprietății de tare conex a unui graf orientat
G(X,U) cu n vârfuri, dat prin cele m arce ale sale , este următorul:

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define nmax 100100

vector <int> v[nmax];
vector <int> vt[nmax];
vector <int> comp[nmax];
int t[nmax];
int viz[nmax];
int n,m,a,b,i,k,nr;

void dfs(int x)
{
viz[x]=1;
for(int i=0; i<v[x].size(); ++i)
if(viz[v[x][i]]==0)

56 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

dfs(v[x][i]);
t[++k]=x;
}

void dfst(int x)
{
viz[x]= -1;
comp[a].push_back(x);
for(int i=0; i<vt[x].size(); ++i)
if(viz[vt[x][i]]==1)
dfst(vt[x][i]);
}

int main()
{
cout<< "n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=m; ++i)
{
cout<<"a b ";
cin>>a>>b;
v[a].push_back(b);
vt[b].push_back(a);
}
for(i=1; i<=n; ++i)
if(viz[i]==0)
{
dfs(i);
}
a=0;
for(i=n; i>0; –i)

57 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

if(viz[t[i]]!= -1)
{
a++;
dfst(t[i]);
}
if(a==1)
cout<<"Graful este tare conex";
else
cout<< "Graful nu este tare conex ”;
}
2.4.4. Descompunerea în componente tare conexe a unui graf orientat

 [9]Definiție :

Se numește componentă tare conexă a grafului orientat G =(X,U), un subgraf
G1 =(X1,U1) a l lui G, tare conex, și maximal în raport cu această proprietate (adică
pentru orice vârf x ∈ X-X1 subgraful indus de X1 ∪{x} nu mai este tare conex).

Descompunerea în componente tare conexe se realizează simplu, prin aplicarea
algoritmului Kosaraju .
Componentele tare conexe ale grafului din figura 22 sunt:
 10
 1, 4, 5, 3, 2
 6, 8, 9, 7
Din definițiile și exemplele anterioare , se desprind următoarele concluzii care sunt
foarte importante: 2
1 3
5
4 6 7
9 8
Figura 22 10

58 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

-Dacă numărul componentelor tare conexe dintr -un graf este mai mare decât 1,
atunci graful nu este tare conex.
-Un graf tare conex are o singură componentă tare conexă, care cuprinde toate
vârfurile sale.
– Un vârf izolat reprezintă o componentă tare conexă.
Programul C++ pentru descompunerea în componente tare conexe a unui graf
orientat G(X,U) cu n vârfuri, dat prin cele m arce ale sale , este următorul:
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define nmax 100100

vector <int> v[nmax];
vector <int> vt[nmax];
vector <int> comp[nmax];
int t[nmax];
int viz[nmax];
int n,m,a,b,i,k,nr;

void dfs(int x)
{
viz[x]=1;
for(int i=0; i<v[x].size(); ++i)
if(viz[v[x][i]]==0)
dfs(v[x][i]);
t[++k]=x;
}

void dfst(int x)
{
viz[x]= -1;
comp[a].push_back(x);

59 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

for(int i=0; i<vt[x].size(); ++i)
if(viz[vt[x][i]]==1)
dfst(vt[x][i]);
}

int main()
{
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=m; ++i)
{
cout<<"a b ";
cin>>a>>b;
v[a].push_back(b);
vt[b].push_back(a);
}
for(i=1; i<=n; ++i)
if(viz[i]==0)
{
dfs(i);
}
a=0;
for(i=n; i>0; –i)
if(viz[t[i]]!= -1)
{
a++;
dfst(t[i]);
}
if(a==1)
cout<< "Graful este tare conex si are o singura component a tare conexa ";
else

60 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

cout<<"Graful nu este tare conex si are "<<a<<" componente tare conexe"<<' \n';
for(i=1; i<=a; ++i)
{
for(int j=0; j<comp[i].size(); ++j)
cout<<comp[i][j]<<' ';
cout<<' \n';
}
}

61 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

CAPITOLUL III
METODE ȘI STRATEGII DIDACTICE DE ÎNVĂȚARE ȘI
EVALUARE

3.1. METODE DIDACTICE ȘI FUNCȚIILE ACESTORA
[18]. Metoda didactică reprezintă o cale spre didactică, și are ca scop atingerea
obiectivelor educaționale. Ea este o cale în fixarea conturului unor fapte, legi, descrieri,
interpretări, apropiindu -le cât mai mult de realitate.
În același timp, metodele didactice prezintă, co ordonează cu informațiile, ce s -au
acumulat în baza de cunoștințe a oricărei persoane. Unele metode au rolul de a descoperi
adevăruri, altele slujesc la descoperirea altor adevăruri sau în cadrul cercetărilor științifice.
Metoda didactică reprezintă o surs ă sigură de organizare și desfășurare a procesului
de predare -învățare, și se împreunează cu alte componente ale educației.
Metoda didactică reprezintă următoarele modalități de lucru:
– încadrată în lecții sau activități extradidactice prin intermediul elevilor în scopuri utile
acestora;
– intuiește, în mare parte a cazurilor, legătura dintre profesori și elevi, soluționarea
problemelor împreună, prin depistarea adevărului de neadevăr;
– utilizată, sub forma unor procedee, unite și folosite, în dependenț ă de cerințele elevilor, ca
scop av ând înțelegerea și aprofundarea cunoștințelor, a dezvoltării creativității;
– ușurează rolul profesorului, ca persoană competentă în promovarea cunoștințelor noi, și
organizator abil al proceselor de predare -învățare.
Metoda didactică poate lua parte la realizarea mai multor obiective de predare –
învățare. Prin decizii complexe, profesorul, alege o metodă sau altă metodă în procesul
instructiv, în dependență de scopurile urmărite, de deosebirile de vîrstă, psihologice,
individuale, de experiența didactică a sa.
O metodă pedadogică ia naștere prin interacțiunea mai multor factori, la care
educația se modelează după cerințele societății.

Metodele didactice conțin următoarele funcții:
– funcția cognitivă : prin care oricărui el ev, i se deschide un drum spre aflarea adevărului,
înțelegerea științei și tehnicii, de cercetare a culturii și a omului;

62 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

– funcția formativ -educativă : elevii din punct de vedere psihic și fizic sunt determinați să –
și cre eeze noi deprinderi intelectuale, s tructuri culturale, atitudini noi, sentimente,
capacități, comportamente;
– funcția instrumentală : metoda reprezintă un instrument de execuție, fiind un mijlocitor
spre atingerea obiectivelor educative;
– funcția normativă : metoda indică, faptul cum trebui e utilizat e procedeele educative, cum
trebuie de predat, și cum de învățat, astfel înc ât în final să existe un randament al învățării
cât mai mare.
3.2. PROCEDEUL DIDACTIC
[18]Procedeul didactic se poate utiliza în situații concrete.
Procedeul didactic este o secvență a metodei, o bucățică, o particolă a aceste ia, o
tehnică, mai departe de acțiunea propriu -zisă, o parte minusculă a metodei.
Mai multe procedee legate și unite împreună, specifice unei situații concrete de
învățare, dau naștere unei metode noi.
Metoda este recunoscută eficientă, în cazul în care, procedeele utilizate în cadrul ei,
la fel sunt de valoare. În același context, ordinea procedeelor utilizate într -o metodă, se
poate schimba în dependență de cerințele de moment, iar acest fapt face ca o metodă să
poată căpăta trăsături noi, formate prin combinarea procedeelor.
Schimbările pot fi într-atât de mari, înc ât la un moment dat, o metodă să devină
procedeu, și invers – procedeul poate să devină metodă.
Procedeul d idactic reprezintă un mod de a manifesta, de a proceda, av ând ca scop punerea
elevului într -o situație de învățare, cu sau fără profesor – în calitate de dirijor.
Acest fapt dezvoltă o altă situație, și anume una de cercetare științifică, în care sunt
realizare descoperiri, dezvălu iri a adevărului. Informațiile primite sunt racordate la
particularitățile lumii înconjurătoare.
Procedeul didactic reprezintă niște soluții didactice, utilizate în viața practică. În
ajutorul procedeelor didactice vin tehnicile și mijloacele didactice. Re lația dintre metodă și
procedeu, este una mereu în schimbare, avînd un caracter dinamic.
3.3. ORGANIZAREA ÎNVĂȚĂRII
[17]Acest mod al educației este superior tuturor metodelor și procedeelor didactice.
Organizarea învățării reprezintă un grup de metode și p rocedee, care activează
într-un anumit moment al educației, sau prin interacțiunea cu un mod nou de realizare a
învățării: învățarea asistată, învățarea bazată pe cărți, etc.

63 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În cadrul metodologiei didactice, există nivele, iar o metodă este mai sus față d e
alta în dependență de secvențele procedurale utilizate. Nu mai putem vorbi de o
metodologie pură, în cadrul ei infiltr ându-se, alte metode și procedee.
Omenirea, pe parcursul a mai multor veacuri, necesită un mod de învățare c ât mai
dificil. Învățarea și finalitățile acestei a, în mare măsură depind de modificările, care au loc
în societate, chiar schimbările care au loc în oameni însuși: modul de g ândire, concentrare,
memorare. Anume aceste particularități a le omului, au dat ton la crearea diferitor metod e
noi de învățare.
Oricum, putem spune, că omenirea încă nu a găsit soluția potrivită în raport cu
etapele educării, a proceselor încadrate în sistemul educațional. Acest fap t este observat în
cazul apariției multor întrebări legate de învățăm ânt, a greută ților, care încetinesc acest
proces. Un rezultat al învățării va fi mic, în cazul în care omul nu și -a înțeles propriile
capacități de prelucrare a cunoștințelor, de primire a acestora în container.
Din cauza situațiilor, în care doar o parte reușesc la în vățătură, se trezesc interes e
asupra metodologiilor, încadrate în procesele de predare -învățare.
În momentul în care cauzele sunt descoperite, se recurge la construcția altora mai
rezonabile. Prin analiza detalia tă a proceselor educative s -a descoperit pos ibilitatea în care
oamenii vor să prelucreze informații, iar acest fapt a tras după sine probabila explicație a
proceselor, care vor ajuta la constituirea competențelor.
Aceste a au dezvăluit faptul, de ce, cînd omul dorește să studieze, atunci c ând nu
înțelege materia, nu primește rezultatele dorite. Rezultatele sunt cele așteptate, atunci c ând
omul deține o înțelegere corectă asupra mater ialului studiat.

3.4. CLASIFICĂ RI ALE METODELOR DE INVĂȚĂMÂNT
[18]O metodă se caracterizează prin dominarea unor procedee într -un anumit timp, și se
pot schimba, astfel înc ât metoda corespunzătoare să fie clasificată altfel .
În clasificarea metodologiei didactice, se respectă următoarele:
– criteriile de clasificare trebuie să fie aceleași, nerepetate;
– clasificarea trebuie să fie completă
– clasele, în care sunt plasate metodologiile, nu trebuie să se repete;
În rezultat există următoarele clasificări posibile:
1. din punct de vedere istoric :
– metode tradiționale : expunerea, conversația, exerci țiul etc.;

64 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

– metode m oderne : algoritmizarea, problematizarea, brainstorming -ul, instruirea
programată
2. din punct de vedere al extinderii sferei de aplicabilitate :
• metode generale: expunerea, prelegerea, conversa ția, discursul magistral etc.;
• metode particulare: exercițiu l moral sau exemplul, în cazul educației morale.
3. din pu nct de vedere a prezentării cunoștin țelor:
• metode verbale, bazate pe cuv ântul scris sau rostit;
• metode intuitive, bazate pe observarea directă, senzorială a obiectelor și fenomenelor
realității.
4. din punct de vedere al angajării elevilor la lec ție:
• metode expozitive , centrate pe memoria reproductivă și pe ascultarea pasivă ;
• metode active, care suscită activitatea de explorare personală a realită ții.
5. după funcția didactică principală :
• cu funcția principală de predare și comunicare;
• cu funcția principală de fixare și consolidare;
• cu funcția principală de verificare și apreciere a rezultatelor muncii.
6. din punct de vedere al însușirii materiei :
• metode algoritmice, bazate pe secven țe operaționale, stabile, prestabilit construite;
• metode euristice, bazate pe descoperire proprie și rezolvare de probleme.
7. din punct de vedere al structurării muncii :
• metode individuale, pentru fiecare elev individual;
• metode de predare -învățare în grupuri: de nivel sau omogene și pe grupe eterogene;
• metode frontale, cu întreaga clasă ;
• metode combinate, prin alternări între variantele de mai sus.
8. după modul de percepție – învățare conștientă, prin descoperire :
• metode bazate pe învățarea prin receptare: expunerea, demonstrația cu caracter expozitiv;
• metode care apar în preponderent descoperirii dirijate: conversația euristică, studiul de
caz;
• metode de descoperire propriu -zisă: exerci țiul euristic, brainstorming -ul etc.
9. după schimbă ri produse la elevi :
• metode heterostructurante: transformarea se produce prin altul, ca în cazul expunerii,
conversației, studiului de caz, problematizării etc.;
• metode autostructurante: individul se transf ormă prin sine, prin descoperire , exerci țiu.

65 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3.5. [32] METODICA PREDĂRII INFORMATICII
Metode, tehnici, procedee didactice.
Sarcinile didactice se realizează cu ajutorul tehnicilor, metodelor și procedeelor
didactice.
Subdomeniil e informaticii nu pot fi predate apelând la o singură metodă. În cele ce
urmează se vor prezenta metode specifice de abordări; a predării diferitelor domenii din
infor matică; metodele clasice de predare (prin expunere, descoperire dirijată ctc.) urmând
să fie prezentate ulterior. Bineînțeles, metodele didactice se vor combina, de asemenea se
vor dezvolta pe baza ex perienței fiecărui profesor. Dar există câteva elemente care neapărat
trebuie luate în conside rare în momentul în care se alege o metodă sau o combinație a mai
multora:
1 – domeniul propriu -zis al disciplinei; conținutul științific;
2 – categoria de vârstă;
3 – obiectivele generale și specifice;
4 – nivelul clasei;
5 – personalitatea clasei;
6 – personalitatea profesorului;
7 – convingerile prof esorului.
Metodele care vor fi prezentate se vor analiza cu avantajele și dezavantajele lor. Se
recomandă să nu se fixeze nicicând pentru totdeauna o anumită metodă aleasă la un
moment dat pentru predarea unei anumite părți din materie. S -ar plictisi pro fesorii, s -ar
plictisi elevii, iar rezultatul nu va fi cel scontat .
1. Metode generale de învățare:
Vom analiza metodele generale utilizate în predarea informaticii.
1. Expunerea sistematică a cunoștințelor.
2. Conversația
3. Problematizarea
4. Modelarea
5. Demonstrarea folosind materialul intuitiv
6. Exercițiul
7. Învățarea pe grupe mici
8. Munca cu manualul
9. Jocurile didactice
10. Instruirea programată

66 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În tratarea acestor metode se vor urmări cu predilecție particularitățile specifice
predării discipli nelor de informatică și, în special, aplicațiile practice de laborator și
contribuția informaticii la realizarea obiectivelor didactice ale altor discipline din
învăță mântul preuniversitar.
3.5.1. Expunerea sistematică a cunoștințelor
Dintre formele pe care le îmbracă expunerea sistematică a cunoștințelor
(povestirea, prelegerea, descrierea, explicația, conversația etc.), opinăm că informatica
utilizează cu precădere explicația. Elementele explicative domină procesul de instruire
inform atică, acestea fiind caracteristice atingerii unor obiective de referință care cuprind
formarea de deprinderi și abilități practice de utilizare a unor produse soft deseori
complicate și dominate de interfețe neprietenoase față de utilizator (netransparent e).
Ceea ce conferă o accentuată notă de adaptabilitate este operativitatea impusă de
aplicarea acestei metode prin alternarea expunerii cu demonstrația practică, elevii
fiind astfel scoși din pasivitatea posturii de simpli receptori. Analogiile cu situați i
cunoscute fac din receptorul pasiv un participant activ la expunere. Expunerea nu se
desfășoară în condiții perfect univoce, adică fără alternative și reveniri, nici la
disciplinele cărora metoda le este caracteristică. La informatică, aceasta se întâmpl ă cu
atât mai puțin. Elevul primește în condiții univoce doar ceea ce i se comunică în funcție
de nivelul de cunoștințe dobândit, de propriile -i presupuneri, de experiența sa practică,
de nivelul său de gândire, de înțelegerea codului de comunicație, ca să nu mai vorbim de
oscilațiile de atenție. Profesorul trebuie să reproiecteze lecția prin prisma posibilităților
elevilor și cu mijloacele lor de gândire. Accentul trebuie pus pe raționament, prin
argumentări temeinice, prin scoaterea în evidență a modului în care trebuie să gândească.
Expunerea trebuie să fie însoțită de un control permanent al gradului de
receptivitate al clasei, urmărindu -se mimica elevilor (edificatoare în special la elevii
mici), satisfacția înțelegerii lecției sau îngrijorarea și neliniștea în cazul în care elevul
a pierdut firul explicației citindu -se pe fața elevilor, întrebările, repetiția, explicațiile
suplimentare, analogiile cu alte noțiuni cunoscute permit realizarea unui control
permanent al receptivității l a expunere, în informatică recurgem neapărat la metoda
expunerii (explicației) atunci când tema este complet nouă și printr -o metodă activă
nu se poate descoperi noutatea, sau metoda activă este ineficientă din punctul de
vedere al operativității. Astfel e ste necesară această metodă pentru a înțelege noțiunea de
algoritm (inclusiv exemplificările clasice), de structură de date (inclusiv modalitățile de
reprezentare), de comandă, funcție sau procedură standard (în legătură cu sistemul de

67 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

operare sau mediul d e programare ales), de raționament (într -un spațiu închis ales) și
chiar a modalității de prezentare și introducere a unor programe utilitare, softuri de
aplicație etc. În acest context, pentru prezentarea comenzilor unui sistem de operare, a
unui editor d e texte (sau grafic), a altor softuri mai complicate (prevăzute de programa
școlară) se poate recurge la următoarele (sub)metode:
• Expunerea (la tablă, prin slide -uri pe video proiector sau prin PowerPoint) cu
„desenarea" meniurilor și prezentarea funcțiilor fiecărei opțiuni, urmând ca elevul (prin
aplicațiile de laborator) să exerseze fiecare funcție în parte, individual sau în grupe
mici de lucru.
• Prezentarea meniurilor și funcțiilor fiecărei opțiuni simultan cu exersarea
acestora în cadrul orelor de aplicații practice de laborator.
• Prezentarea meniurilor și funcțiilor fiecărei opțiuni simultan cu demonstrarea
practică în momentul prezentării lor de către profesor, sarcina elevului fiind numai
aceea de a urmări și reține modul de executare a operațiilor prezentate de profesor,
urmând ca elevul să aplice cunoștințele dobândite în cadrul orelor de laborator, în
aplicații ample (integrate, de dorit, într -un mediu economic clar), care necesită
utilizarea în mod repetat și în situații diferite a fu ncțiilor fiecărei opțiuni din meniul
discutat.
Fiecare dintre variantele de mai sus au avantajele și dezavantajele lor. Prima
variantă este cel mai des folosită deoarece, de regulă, profesorul nu are la dispoziție un
laborator și pentru predare (iar aceast a se face cu întreaga clasă). Ea prezintă
dezavantajul că elevul nu vede pe viu efectul executării fiecărei opțiuni (profesorul fiind
nevoit în acest caz să -1 descrie în cuvinte), dinamica transformărilor și efectul video al
acestora fiind greu de redat în cuvinte. Singurul avantaj este cel al obținerii de către elev a
unui rezumat logic și coerent după care se va ghida în timpul realizării unor aplicații
practice. A doua variantă înlătură dezavantajul neobservării pe viu a efectului executării
fiecărei opț iuni, dar atenția elevului este îndreptată spre realizarea practică (simultan cu
comunicarea modului de realizare a funcțiilor opțiunilor din meniuri). Astfel, o parte
dintre funcții sunt abordate prea „abrupt" sau sunt chiar omise, iar altele sunt exersat e
prea mult. La acest dezavantaj se adaugă și reducerea randamentului prin faptul că
profesorul trebuie să urmărească modul în care fiecare elev sau grupă aplică funcția
prezentată și să intervină ori de câte ori un elev sau o grupă este în impas, în plus, unii
elevi își formează mai repede deprinderea utilizării, iar alții mai greu, primii fiind tentați
să încerce între timp alte opțiuni (chiar neprezentate încă de către profesor), ceea c e

68 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

creează disfuncțio nalități în desfășurarea lecției, aprecierea gradului de asimilare și
chiar formarea unor idei greșite de utilizare (datorate încercărilor individuale,
necoordonate). Pe lângă acestea, se pierde din vedere și realizarea unui rezumat
sistematic al modului de utilizare, elevul fiind tentat să exerseze imediat funcția și uită să –
și noteze „în stil propriu" modul de utilizare a acesteia. Ultima variantă pare să cumuleze
toate avantajele celor anterioare prin faptul că elevul urmărește și reț ine (neavând alte
preocupări care să -i distragă atenția) modul în care profesorul execută (corect) și explică
simultan, elevii putând nota tot ce acesta prezintă. Este o manieră de expunere ce înlătură
formarea unor deprinderi greșite, mărind randamentul l a predare și asimilarea noilor
cunoștințe. Această variantă are însă și un dezavantaj: necesitatea existenței unei dotări
speciale, care să permită observarea în bune condiții, de către toți elevii clasei, a ecranului
calculatorului pe care profesorul face demonstrația. Utilizarea unui retroproiector sau a
unui videoproiector are multe inconveniente (în afară de costul ridicat), printre care faptul
că trebuie să existe anumite condiții de mediu specifice în sala de clasă. De exemplu,
pentru grupe mici poate fi folosit numai calculatorul ca atare, dacă elevii pot fi așezați în
preajma acestuia astfel încât fiecare să poată observa fără efort ecranul. Indiferent de
conținutul lecției, metoda expunerii nu se folosește singură decât foarte rar pe parcursul
unei ore întregi, aceasta alternând cu alte metode de predare. Pe de altă parte, există o
tendință accentuată a cadrelor didactice de a nu -și propune aprioric folosirea cu
precădere a nici unei metode, ceea ce este foarte dăunător.
3.5.2 . Metoda conversației
Metoda conversației se referă la dialogul dintre profesor și elev, în care profesorul
nu trebuie să apară în rolul examinatorului permanent, ci în rolul unui colaborator care nu
numai întreabă, ci și răspunde la întrebările elevilor. Prin metoda conversației se
stimulează gândirea elevilor în vederea însușirii, fixării și sistematizării cunoștințelor și
deprinderilor, în vederea dezvoltării spiritului de colaborare și de echipă. Se asigură
astfel o participare activă din partea elevilor, întrebările putând fi adresate (teoretic) în
orice moment al lecției. Metoda conversației este frecvent utilizată în învățarea informaticii,
ea implicând un dialog continuu între elev și profesor, respectându -se anumite reguli
elementare de colaborare constructivă care să nu d etermine diminuarea demersului
didactic, ci să -1 amplifice și să -1 consolideze . Conversația didactică poate îmbrăca forme
diferite, în funcție de anumite criteria; în funcție de numărul de persoane, ea poate fi:
• Individuală. Se poartă între un elev și profesor.
• Colectivă sau frontală, întrebările sunt adresate întregii clase, iar

69 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

răspunsurile „vin" de la diferiți elevi.
După obiectivele urmărite în diferite variante de lecții, conversația poate fi:
• Introductivă. Aceasta este folosită în momentul captării atenției și
reactualizării cunoștințelor asimilate anterior, pentru a trezi interesul pentru lecția care
urmează.
• Expozitivă, în timpul prezentării unei noi lecții, ea poate trezi interesul pentru
fixarea noilor c unoștințe.
• Recapitulativă. Este utilizată atunci când se urmărește recapitularea și
generalizarea unor rezultate prezentate anterior.
• Evaluativă. Este indicată, desigur, pe parcursul procesului de verificare și
evaluare.
• Dezvoltată. Este destinată prezentării unui nou subiect, nu complet
necunoscut.
Caracteristicile principale ale întrebărilor, indiferent de forma de conversație,
impun precizie și vizarea unui singur răspuns. De multe ori se pun întrebări vagi care
încep cu Ce puteți spune despre… sau Ce știți despre…, care plasează elevul într -un dubiu
total în legătură cu conținutul răspunsului. Din aceeași gamă face parte și celebrul
îndemn de evaluare Prezintă subiectul pe care -l cunoști tu cel mai bine. Nu este normal ca
întrebarea să conțin ă răspunsul sau să ceară un răspuns prin da sau nu. Ea contribuie la
dezvoltarea gândirii. De asemenea, răspunsurile acceptate trebuie să fie corecte, complete,
exprimate în termeni preciși, să oglindească o înțelegere efectivă a problemei abordate.
Discuțiile au și rolul de a corecta greșelile din răspuns. Identificarea cauzei, eliminarea
greșelii, cât și posibilitatea reapariției ei sunt foarte importante. Conversația ar e un rol
primordial prin faptul că ajută la formarea limbajului informatic, la dezvoltarea
raționamentului logic și a gândirii elevului. Dificultățile pe care elevul le întâmpină în
formarea limbajului de specialitate pot lăsa urme în plan afectiv, repercut ându -se asupra
dezvoltării lui intelectuale. De aceea se impune o analiză amănunțită a cauzelor acestor
dificultăți, iar scoaterea lor în evidență trebuie relevate prin examinări (scrise, orale,
reprezentări schematice, utilizarea simbolurilor specifice). A fi la curent cu dificultățile
de limbaj pe care le au elevii la anumite vârste școlare și la un anumit stadiu de însușire a
disciplinei înseamnă în primul rând să nu se abuzeze de termeni de specialitate
(înlocuindu -i cu termeni sinonimi din vocabularul curent sau explicându -le sensul, dacă
un alt înțeles al termenului este accesibil). Dificultatea formării vocabularului de
specialitate constă și în faptul că aceste cuvinte noi sunt introduse în același timp cu

70 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

introducerea noțiunilor noi, ceea ce face ca îmbogățirea limbajului informatic să se facă
simultan cu dezvoltarea și formarea gândirii informatice. Stăpânirea limbajului se reflectă
în rezolvarea problemelor și înțelegerea textelor și documentațiilor de specialitate.
Nestăpânirea acestuia provoacă inhibiție, imposibilitatea comunicării sau chiar o
comunicare și o înțelegere defectuoasă, făcându -1 pe elev timid, incoerent sau chiar
ridicol în exprimare. Această metodă mai are și următoarele subdirecții:
• Euristică. Nu există reguli precise, se bazează doar pe întrebare/răspuns, în
funcție de evoluția concretă a dialogului.
• Tip dezbatere. Se realizează un schimb de păreri în care este implicat un
anumit colectiv. Ar fi bine să fie trase și niște concluzii care să nu aibă doar un rol
istoric.
• Catehetică. Aceasta impune efectuarea unor teste care implică memoria.
Este clar că o conversație se face prin întrebări, în plus, acestea trebuie să satisfacă
următoarele condiții (un ele dintre ele rezultând din ceea ce am amintit mai înainte):
• Să fie precise (vizând un singur răspuns).
• Să nu conțină răspunsul și să aibă un rol instructiv.
• Să stimuleze gândirea și capacitatea de creativitate a elevilor (De ce ?,
Din ce cauză ? , In ce caz ? etc.).
• Să fie formulate prin enunțuri variate și „atrăgătoare".
• Să se adreseze întregului colectiv vizat.
• Să conțină întrebări ajutătoare atunci când răspunsul este eronat sau
parțial.
Răspunsurile acceptate trebuie să fie nu numai corecte, ci și exprimate in
termeni preciși și să oglindească un anumit nivel de înțelegere. Răspunsuri le
eronate trebuie corectate imediat, prin discuții individuale. Cadrul didactic trebuie să
dirijeze conversația astfel încât ideile să fie bine conturate înainte de a trece la altele, în
timp ce lecția își menține caracterul unitar. În ceea ce privește informatica, recomandăm
și utilizarea unor instrumente ajutătoare, ca de exemplu introducerea/exprimarea
noțiunilor printr -un limbaj „de programare" (scris/oral) care să implice utilizarea
eficientă a simbolurilor (în afară de latura did actică propriu -zisă), ceea ce înseamnă
separarea clară a sintaxei de semantică.

71 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3.5.3. Problematizarea și învățarea prin descoperire

Predarea și învățarea prin problematizare și descoperire presupun utilizarea unor
tehnici care să producă elevului conștientizarea „conflictului" dintre informația dobândită
și o nouă informație, determinându -1 să acționeze în direcția lichidării acestuia prin
desco perirea unor (noi) proprietăți ale fenomenului studiat. Pedagogic vorbind,
conflictele se mai numesc și situații -problemă (problematizare) , putând fi de cel puțin
două tipuri:
• Contradicții între posibilitățile existente ale elevului (nivelul intelectual și de
pregătire) și cerințele, situațiile în care este pus de noua problemă. Aceste conflicte se
datorează imposibilității elevului de a selecta dintre cunoștințele sale anterioare pe cele
potrivite cu valoarea operațională de aplicabilitate a viitorului.
• Incapacitatea ele vului de a integra noțiunile selectate într -un sistem, în același
timp cu conștientizarea faptului că sistemul este pe moment ineficient operațional (lucru
care poate fi remediat doar prin completarea informației de bază).
Întrebările frontale sau individu ale utilizate în etapa de pregătire a introducerii
unei noțiuni, a prezentării unui domeniu nou, întrebări care se adresează capacității de
reacționare a individului, pot genera noi situații conflictuale de tipul menționat anterior.
Pe cât posibil, cadrul didactic trebuie să gestioneze el însuși apariția situațiilor -problemă.
La modul ideal, ele trebuie să apară de la sine în mintea elevului. Relativ la condițiile
pedagogice ale acestor situații conflictuale generate de anumite probleme practice putem
spune că problemele trebuie să aibă un sens precis și să fie enunțate într -un moment
„optim" al lecției. Ele trebuie să înglobeze cunoștințe anterior însușite de elev, să le
trezească interesul, să le solicite un anumit efort mental creator. Există părerea că
rezolvarea problemei poate fi privită ca un proces prin care elevul descoperă că o
combinație de reguli învățate anterior se poate aplica pentru găsirea soluției unei noi
situații conflictuale. în acest sens se pot evidenția următoarele etape in rezolvarea
problemei :
• Prezentarea problemei (verbal, scris, grafic etc.).
• Definirea problemei de către elev în sensul distingerii caracteristicilor
esențiale ale situației, însușirii enunțului, găsirii legăturii între date, informații etc.
• Formularea d e către elev a anumitor criterii, ipoteze care pot fi aplicate în
vederea găsirii unei soluții.
• Verificarea succesivă a unor asemenea ipoteze, eventual și a altora noi, și

72 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

găsirea efectivă a unei soluții (sau a tuturor).
Desigur că în contextul de mai sus expresiile situa ție conflictuală, problemă,
rezolvare de problemă se referă la probleme și soluții noi, necunoscute încă de elev, și
nu la ceva de tipul substituirii de valori numerice în expresii date, execuția unui program
dat pentru niște valori de intr are etc. Utilizarea în predare a acestei metode este totdeauna
utilă în momentul în care se și găsește rezolvarea conflictului.
Descoperirea apare ca o întregire a problematizării. Se pot pune astfel în
evidență trei modalități principale de învățare prin problematizare și descoperire
(clasificarea făcându -se după tipul de raționament folosit):
• Modalitatea inductivă
• Modalitatea deductivă
• Modalitatea prin analogie.
În primul caz este vorba de generalizări. Elevul trebuie încurajat să -și dezvolte
propria cale de învățare, care să nu contrazică lucrurile în care deja „crede", prin
folosirea unor mijloace tehnice și resurse informaționale personale, în al doilea caz se
folosește logica sau, mai exact, sistemele deductive (ca metodă de raționament). Putem
deriva (obține) cunoștințe noi din cunoștințe vechi (cu ajutorul unor reguli de inferență
specifice), în ultimul caz, se încurajează folosirea unei experiențe anterioare nu numai
dintr -un domeniu conex, ci chiar din domenii total diferite.
Problematiz area are astfel interferențe cu conversația, întrebările individuale sau
frontale care se adresează gândirii, raționamentului născând situații conflictuale. Generarea
situațiilor -problemă trebuie produsă astfel încât întrebările să apară în mintea elevului
fără ca acestea să fie puse de către profesor. După cum am mai precizat, ca disciplină cu
caracter formativ, informatica își propune formarea unei gândiri algoritmice, sistematice
și rigu roase, care să promoveze creativitatea, să stimuleze imaginația și să combată
rutina. Chiar dacă aparent travaliul informatic se sprijină pe anumite șabloane, acestea
reprezintă numai tendințe utile de standardizare. Procesele care izvorăsc din situații
reale, care implică folosirea calculatorului în rezolvarea unor probleme aparținând
diferitelor sfere ale vieții de zi cu zi, analiza acestor probleme, alegerea structurilor de
date pe care se mulează informația oferită de mediul înconjurător, pașii algoritm ilor și
programarea în sine determină folosirea metodei problematizării, iar aplicarea acestei
metode necesită formarea unor deprinderi ce nu se obțin decât printr -un exercițiu
îndelungat. Rezolvarea de probleme, ceva curent în învățarea informaticii, poat e fi
privită ca un proces prin care elevul descoperă că o altă combinație de reguli învățate

73 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

anterior conduc la rezolvarea unei noi situații problematice. Formularea de probleme de
către elevii înșiși constituie forme ale creativității și presupune că elev ii și-au format
deprinderi intelectuale eficiente din punctul de vedere al generalizării și aplicabilității
(orice soluție generează o nouă problemă). Problemele propuse pot fi inspirate din viața
cotidiană, din cunoștințele dobândite prin studiul altor di scipline, din generalizarea unor
probleme de informatică rezolvate anterior, probleme de perspicacitate, jocuri etc.
Problematizarea și descoperirea fac parte dintre metodele formativ -participative, care
solicită gândirea creatoare a elevului, îi pun la în cercare voința, îi dezvoltă imaginația,
îi îmbogățește experiența ; în lecțiile în care se aplică aceste metode profesorul alege
problemele, le formulează, dirijează învățarea și controlează munca depusă de elev în
toate etapele activității sale. Această me todă este caracteristică, de exemplu, unor lecții
de aplicații practice de laborator, metoda învățării prin descoperire fiind frecvent aplicată
în momentul în care este necesară folosirea programelor utilitare, a softurilor de aplicație
etc. Utilitarele se abordează în funcție de problemele concrete care urmează a fi rezolvate.
Obiectivul imediat este cunoașterea și exploatarea produsului și nu îmbunătățirea lui.
Concentrarea atenției va fi dirijată spre rezolvarea problemei și nu asupra analizei
facilităților și lipsurilor produsului software. Cu siguranță, în acest caz este deosebit de
importantă experiența dobândită, cunoștințele și deprinderile formate în alte situații
similare de învățare : lucrul cu meniuri, funcții comune mai multor utilitar e, cunoașterea
structurilor de date, dexteritatea în tehnoredactare etc. Cunoașterea facilităților produsului
soft se face în momentul ivirii necesității exploatării acestuia și nu printr -o prezentare a
lui ca o înșiruire mai mult sau mai puțin sistematică și completă de funcții sau facilități.
Bineînțeles că este obligatorie o prezentare generală a utilitarului ; în contextul altor
produse similare, trebuie concepută o viziune de ansamblu din care să se desprindă
caracteristicile dominante ale utilitarelor din clasa respectivă și să se prezinte parti –
cularitățile specifice produsului, cu îmbunătățiri fată de versiunile anterioare și perspective
de dezvoltare pentru cele viitoare.
Ca informaticieni, ne interesează (în acest context) și ceea ce numim rezolvare a
problemelor (problem solving). Îndemânările dobândite în legătură cu acest subiect
depind în primul rând de cunoștințele specifice acumulate, dar din punctul de vedere al
psihologi ei există acordul că se pot căpăta și „îndemânări generale". Procesul cogn itiv în
ansamblu este foarte complicat, numai pentru explicarea coerentă a acestuia fiind
necesară o întreagă carte. Vom sublinia doar câteva elemente -cheie și direcții principale
pentru abordarea rezolvării unor probleme. Astfel, când dorim să rezolvăm o problemă

74 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

cu ajutorul calculatorului, presupunând că enunțul este „acceptat", trebuie să ne întrebăm
în primul rând:
• Ce știm în legătură cu domeniul implicat?
• Cum sunt apreciate „pe piață" rezultatele?
• Care strategii generale sunt aplicabile ?
• Care sunt motivațiile suplimentare ?
După ce problema a fost enunțată și sunt furnizate anumite indicații
suplimentare, putem trece la alegerea strategiei concrete de rezolvare. Aceasta trebuie să
fie selectată după un anumit plan, să permită un anumit tip de verifi care și generalizare.
De asemenea, trebuie avute în vedere metode sau metodologii prin care să se interzică
anumite „ramuri" și să se permită explorarea de direcții colaterale. Una dintre strategiile
generale poate fi următoarea:
• Pot să rezolv problema (am cunoștințele necesare).
• Definesc în mod (semi)formal.
• Caut informațiile suplimentare astfel încât să am o definiție formală concretă
(eventual, chiar într -un limbaj de programare concret).
• Fac planul de implementare.
• Îl execut (scriu „programele" și le „r ulez").
• Verific faptul că ceea ce am făcut este „corect".
• Generalizez (la alte cazuri, la alte probleme).
Peste tot, cunoașterea măcar a unei părți din logica formală este indispensabilă.
3.5.4. Modelarea
Modelarea ca metodă pedagogică poate fi descrisă ca fiind un mod de lucru prin
care gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului, folosind un așa -numit
model și utilizându -se raționamentul prin analogie. Modelul și metoda în sine nu
presupun o asemănare perfectă cu cazurile reale inițial specificate, ci numai o analogie
rezonabil ă. Ea con stă în construirea unui sistem a cărui descriere coincide cu descrierea
sistemului original până la un anumit punct, și poate avea o natură diferită și este î n
general mai simplificat și formalizat. Ideea este că, investigând sistemul și prin metode
specifice legate de o anumită temă de lecție, se pot găsi noi soluții, care apoi pot fi
translatate în concluzii asupra evol uției sistemului de bază . Modelarea are o mare valoare
euristică colaterală, prin utilizarea ei putându -se dezvolta spiritul de observație,
capacitatea de analiză și sinteză, creativitatea. Ideea ar fi să putem determina elevii să
descopere singuri modelul. Astfel elevul se obișnuiește să creeze noi probleme ce trebuie

75 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

rezolvate, să adapteze algoritmi cunoscuți la situații noi etc. Realitatea înconjurătoare este
percepută și înțeleasă pe baza unor modele deja cunoscute. Dezvoltarea deprinderilor de
modelare, obișnuirea elevilor cu gândirea logică se realizează prin prezentarea exactă și
clară a modelelor și prin transparența particularizărilor. Un exemplu edificator îl
constituie învățarea metodelor de elaborare a algoritmilor. Necesitatea unor formalizări
se impune prin rigoarea modului de abordare a problemei, prin sistematizarea organizării
informației de intrare, a exactității proiectării prelucrării și prin standardizarea ieșirii.
Formalizarea necesită cunoștințe dobândite î n studiul altor discipline, fundamentate
teoretic, iar accesibilitatea formalizării este condiționată de factori specifici nivelului de
cunoștințe dobândite anterior, de categoria de vârstă, de capacitatea de asimilare ( de
nivelul clasei, de exemplu). Abor darea ponderată a acestor aspecte conduce la dezvoltarea
deprinderilor de abstractizare, a gândirii algoritmice și sistemice. Utilizarea modelelor în
realizarea algoritmilor presupune stabilirea unor analogii și în organizarea datelor de
intrare, învățarea algoritmilor este legată de cunoașterea modului de organizare a datelor,
de cunoașterea profundă a structurilor de date posibile a fi prelucrate ușor de către
calculator. Etapa cea mai importantă este cea a descoperirii algoritmului, urmată de
stabilirea modului de organizare a datelor, dar importanța acestui ultim aspect este
esențială în determinarea performan țelor produsului program care implementează
algoritmul. Modelarea (ca metodă pedagogică) este definită ca un mod de lucru prin care
gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului, grație
raționamentului prin analogie. Modelarea similară constă în realizarea unui sistem de
aceeași natură c u originalul care să permită evidențierea trăsăturilor esențiale ale
originalului. O gamă variată de probleme sunt rezolvate prin metoda backtracking.
Pentru implementarea într-un limbaj de programare a unui algoritm elaborat prin
backtracking, elevul are nevoie de un model reprezentat de un program, cum ar fi cel de
generare a permutărilor sau de rezolvare a problemei celor opt dame, și, prin mici
modificări, el poate obține multe alte programe care implementează algoritmi ce
rezolvă probleme clasice, cum ar fi: generarea aranjamentelor, combinărilor, problema
parantezelor, partițiile unei mulțimi, problema celor opt turnuri etc. Similar se procedează
în rezolvarea problemelor care necesită utilizarea stivelor sau a cozilor, folosind
operațiile elementare c u elementele acestor structuri dinamice elementare. Modelarea
analogică nu presupune o asemănare perfectă cu originalul, ci numai folosirea unei
analogii. Momentele cunoașterii în procesul modelării sunt:
• Trecerea de la original la model.

76 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

• Transformarea mod elului sau experimentarea pe model.
• Transferul pe original a rezultatelor obținute pe model.
• Verificarea experimentală pe original a proprietăților obținute pe model.

Trecerea de la original la model se face prin simplificare. Se impune ca
simplificarea să nu fie exagerată, pentru a nu se omite trăsăturile esențiale ale originalului.
Totodată, trebuie să nu se scape din vedere că valoarea modelului va fi apreciată prin
prisma eficacității lui, adică a posibilităților pe care le oferă pentru atingerea scop ului și
că noile informații obținute pe baza modelului vor fi transferate cu grijă asupra
originalului, având în vedere diferența dintre model și original. Modelul devine astfel
purtătorul unei semnifi cații, informații, care poate fi exprimată printr -un suport material
sau ideal. O clasificare a modelelor după natura suportului sub care se vehiculează
informația poate fi:
• Modele materiale, care au suport concret și care se folosesc foarte puțin în
învățarea informaticii: folosirea unui table de șah în rez olvarea problemei celor
opt dame determină o rapidă înțelegere a mecanismului metodei backtracking ;
utilizarea unei stive de monede de dimensiuni diferite pentru înțelegerea
rezolvării problemei turnurilor din Hanoi. Nu trebuie exclusă posibilitatea învăț ării
direct pe obiectul de studiu, caz întâlnit (și recomandat) în studiul structurii și
arhitecturii sistemelor de calcul, unde prezentarea părților componente ale unui sistem
de calcul și a conexiu nilor dintre ele, în contextul funcționalității ca un ansamblu
(sistem), este esențială.
• Modele ideale (virtuale), care se exprimă prin imagini, sisteme de
simboluri sau semne convenționale.
Învățarea informaticii prin modelare presupune două etape, într-o primă
etapă, învățarea se va face pe baza modelelor c onstruite „de profesori", etapă în
care se vor analiza trăsăturile modelului și compararea lui cu originalul. Pentru a
reliefa condițiile pe care trebuie să le îndeplinească modelul, se vor da și contraexemple.
În a doua etapă, elevii vor fi deprinși să co nstruiască singuri modele. Importan ța
descoperirii modelului de către elev constă în faptul că elevul este obișnuit să reprezinte
într-o formă standard condițiile impuse de problemă și -și adâncește convingerea că
informatica este un domeniu în care rezultatele pozitive se obțin doar printr -o înlănțuire
logică de raționamente. Folosirea modelelor nu înseamnă impunerea unor metode care
trebuie reținute și aplicate orbește. Se va pune accentul pe înțelegerea pașilor unui

77 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

algoritm și se va încura ja prezentarea oricăror metode care exclud modelul și care se
impun prin eleganță și eficiență. Elevii vor fi încurajați să -și dezvolte și să -și prezinte
ideile proprii, contribuind astfel la creșterea încrederii în posibilitățile lor, în valoarea
ideilor lor. Ei nu trebuie să fie obligați să reproducă ideile altora, să aștepte ca totul să fie
prezentat de profesor, să asimileze rețete, ci să descopere metode noi, să le prezinte,
analizeze și perfecționeze printr -o comunicare continuă și constructivă. Folos irea
modelelor în învățare deschide pentru informatică o impresionantă arie de aplicabilitate
(inclusiv utilizarea ei în predarea altor discipline, de la artele plastice la cele mai diverse
domenii ale tehnicii).

3.5.5. Exemplificarea sau demonstrarea mat erialului intuitiv
Prin exemplificare sau demonstrație, în acest caz, înțelegem prezentarea
sistematizată și organizată a unor obiecte, procese, experimente, cu scopul de a ușura
înțelegerea intuitivă și executarea corectă a unor activități programate. Cuvântul
intuiție din titlu înseamnă utilizarea oricărui raționament inductiv, în contextul temei și
bagajului de cunoștințe ale elevului. Utilizarea intuiției împreună cu exemplificarea
necesară poate implica folosirea a diverse modalități și tehnici didactice datorită
diversității materialului de studiu. Exemplificarea sau demonstrarea materialului intuitiv
presupune utilizarea ob iectelor reale, cum ar fi: material grafic (planșe, scheme);
retroproiector/videoproiector și material pretipărit; calculator (imagini grafice,
multimedia, power point). În acest context putem spune că: Prin demonstrarea
materialului intuitiv se înțelege p rezentarea sistematică și organizată a unor obiecte,
procese etc. sau producerea unor experiențe, fenomene în fala elevilor, cu scopul de a
ușura înțelegerea și executarea corectă a unor activități . Un rol deosebit îl joacă astfel
intuiția (intuiția este o experiență mentală ; înseamnă o simplă observare și notare a
unor fapte; intuiția poate fi asimilată cu un raționament de tip inductiv). Intuiția
realizează corelația dintre imagine și cuvânt, fiind atât sursă de cunoștințe, cât și mijloc de
verificare. I nformatica nu poate fi desprinsă decât artificial de bazele ei intuitive și de
extinderea ei în realitatea cotidiană. Convertirea principiului intuiției în metoda
demonstrației se realizează în funcție de materialul intuitiv : machete, grafică, film
didact ic, televiziune școlară, software -uri de învățare. Materialul intuitiv este frecvent
folosit în numeroase lecții, cum ar fi :
• învățarea algoritmilor de sortare, unde prin diferite moduri de reprezentare
sunt urmărite grafic valorile care se compară și se schimbă între ele, conducând la

78 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

ordonarea șirului.
• învățarea metodei backtracking, unde folosind materialul natural se urmărește
formarea soluției prin avansări și întoarceri repetate.
• Vizualizarea ocupării și eliberării zonelor de memorie prin alocarea
dinamică a variabilelor.
• Ilustrarea modului de lucru cu elementele listelor simplu și dublu înlănțuite, a
stivelor și a cozilor.
• Echilibrarea arborilor binari (arbori AVL).

Ținând cont de eficiența transmiterii informației prin mijloacele vizuale (inclusiv
Internet) și de orientarea cu predilecție spre mijloacele de informare rapidă care solicită
atât memoria vizuală, cât și cea auditivă și formarea involuntară a unui public consumator
de informație audio -video , o orientare a metodelor și procedeelor didactice în vederea
exploatării acestei stări de lucruri creează un avantaj aparte procesului instructiv -educativ.
Crearea unor filme (casete video) didactice care să urmărească cu exactitate programa
școlară creează facilități de predare multor discipline și ar permite elevului să poată
revizualiza predarea lectici. Aceasta ar putea elimina ambiguitățile sau golurile create de
momentele de neatenție din timpul predării și ar cons titui un veritabil profesor la
purtător al elevului. Este evident că acest mijloc didactic nu poate înlocui (nici măcar
suplini) exercițiul individual și nici prezența efectivă a cadrului didactic. Efortul profe –
sorului este însă cu totul special. Nu este suficient ca un elev să vadă un material, el
trebuie învățat să vadă. Poate că în acest moment ar trebui să aducem în discuție
euristicile și încurajarea creativității. S e pot pune în evidență chiar euristici pentru
dezvoltarea creativității:
• Încercați să aveți cât mai multe idei. Cu cât sunt mai multe, cu atât puteți
selecta câteva „bune".
• „Inversați" (reformulați, reiterați, puneți într -un alt context etc.) problema.
• „Ghiciți" o soluție la întâmplare (chiar urmărind un Dicționar…).
• Gândiți -vă la ceva distractiv, apropo de utilizările posibile ale rezolvării.
• Gândiți -vă la probleme similare și la soluțiile acestora, chiar în contexte
diferite.
• Concepeți o listă generală „explicativă" de cuvinte -cheie, proprietăți utile,
stimulente ș.a.m.d. car e au cât de cât legătură cu tema în cauză.

79 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3.5.6. Metoda exercițiului
La modul cel mai general, exercițiile pot fi privite ca acțiuni concrete
efectuate conștient și repetat în scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi
(mai rar cunoștințe) noi, pentr u a ușura anumite activități și a contribui la
dezvoltarea unor aptitudini. Avantajele metodei exercițiului sunt:
• Se poate forma o gândire productivă, creatoare, cu implicație financiară.
• Se oferă posibilitatea câștigării unei anumite independențe.
• Se oferă posibilitatea inițierii unui dialog -conversație cu obiective precise
asupra unor metode și soluții.
• Se activează atitudinea critică și poate crește discernământul elevilor în privința
celor mai bune metode de lucru.
• Se oferă profesorului o anumită posibilitate de a analiza și evalua activitatea
sau performanțele generale ale unui elev.
Condiția primordială de reușită este dată în principal de selecția corespunzătoare a
problemelor sau exercițiilor, precum și de activitatea de îndrumare -proiectare. Prin
urmare, exercițiile sunt acțiuni efectuate în mod conștient și repetat de către elev cu
scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi și chiar cunoștințe noi, pentru a ușura alte
activități și a contribui la dezvoltarea altor aptitudini, însușirea cu noștințelor de informatică
este organic legată de exersarea utilizării unor softuri de aplicație, de rezolvarea unor
probleme de programare etc. Nu există lecție în care să nu se aplice această metodă. Alte
avantaje sunt concretizate în rezultatele aplicăr ii ei: formează o gândire productivă;
oferă posibilitatea muncii independente; oferă posibilitatea analizei diverselor metode și
soluții de rezolvare a problemelor; activează simțul critic și autocritic și îi învață pe
elevi să -și aprecieze rezultatele și metodele de lucru; oferă posibilitatea depistării și
eliminării erorilor.
Este clar că metoda nu contribuie numai la formarea priceperilor și deprinderilor
de lucru cu calculatorul, ci contribuie substanțial la dezvoltarea unui raționament flexibil
și operant. Pentru profesor, alegerea, formularea și rezolvarea problemelor și apoi
exploatarea rezultatelor obținute constituie o sarcină de importanță deosebită. Alegerea
problemelor este condiționată de programa analitică, succesiunea prezentării noțiunilor în
manuale, metodele de rezolvare ce pot fi folosite și de elevii cărora li se adresează.
Formularea problemelor trebuie să țină cont de noțiunile cunoscute de elevi, să fie clară,
concisă (nu ambiguă) și să folosească limbajul de specialitate numai în măsura în care
este cunoscut elevilor. Rezolvarea trebuie să aibă în vedere obținerea rezultatelor pe căi

80 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

clare și ușor de verificat, reținerea tipurilor de raționamente folosite, deschiderea
perspectivei pentru rezolvarea unor probleme analoag e sau mai complexe. Folosirea
rezultatelor obținute trebuie să vizeze lămurirea conținutului activ în cunoașterea
noțiunilor învățate și adâncirea semnificației lor, asimilarea metodelor de rezolvare și
aplic area lor la rezolvarea altor probleme. Utilizarea pe scară largă a acestei metode a
condus la o clasificare a exercițiilor și problemelor în funcție de aportul capacităților
intelectuale necesare rezolvării lor. În subsecțiunile care urmează insistăm asupr a unor
particularizări.

3.5.6.1. Exerciții și probleme de recunoaștere a unor noțiuni, formule, metode
De exemplu, elevilor li se prezintă metoda backtracking. Utilizând -o, se pot
descrie algoritmii care generează permutările, aranjamentele, combinările, apoi li se
poate cere să genereze toate funcțiile injective, surjective, bijective definite pe o mulțime
cu m elemente, cu valori într -o mulțime cu n elemente.

3.5.6.2. Exerciț ii și probleme aplicative ale unor formule sau algoritmi cunoscuți
Cunoscând modul de lucru cu elementele structurilor de date tip stivă sau coadă,
elevilor li se poate propune să rezolve problema parcurgerii „în lățime" sau „în adâncime"
a unui graf oarecare. Exercițiile aplicative trebuie utilizate atât timp cât ele trezesc
interesul. Repetarea lor nejustificată poate conduce la efecte contrarii. Contraexemplele
însoțite de o analiză amănunțită vin să sublinieze trăsăturile esențiale . În același timp,
analiza erorilor este utilă prin faptul că dezvăluie anumite lacune în cunoștințele
elevilor.
3.5.6.3. Probleme care permit însușirea unor noțiuni
Specifice informaticii sunt problemele al căror grad de dificultate crește treptat,
o dată cu formarea și asimilarea noțiunii, fiecare nouă problemă aducând un plus de
dificultate . În rezolvarea unei probleme de programare este necesar să se țină seama de
următoarele etape :
• Analiza inițială a problemei prin care se stabilește formatul și natura datelor
de intrare, intervalele de variație a datelor de intrare, a variabilelor de lucru (date
intermediare), precum și formatul și intervalele de variație a datelor de ieșire. Tot în
această etapă se va stabili un algoritm (plan) de rezolvare, exprimat, eventual, în limbaj
natural, pe baza căruia se va permite fiecărui elev să lucreze independent.

81 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

• Rezolvarea propriu -zisă a problemei este etapa în care se realizează
transpunerea într-un limbaj de programare a algoritmului stabilit în prima etapă . În
prealabil, algoritmul este reprezentat în una dintre formele cunoscute ; se stabilesc
variabilele de lucru, forma lor de alocare, prelucrările ce vor avea loc, apoi se trece la
implementarea în limbajul dorit.
Dacă rezolvarea se poate face pe mai multe căi, treb uie să se sublinieze,
dacă este posibil, calea optimă.
• Verificarea soluției sau soluțiilor obținute va permite elevului să -și dea seama
dacă soluția obținută este cea corectă, în această etapă intervine profesorul cu seturi de
date de test care să cuprindă, dacă este posibil, majoritatea (dacă nu toate) cazurilor
ridicate de problemă și în special cazurile critice, la limit ă, ale datelor de intrare.
Aceste etape cuprind în esență: însușirea enunțului; discutarea problemei și
stabilirea algoritmului de rezolvare; rezolvarea propriu -zisă; verificarea soluțiilor. Ele
se pot modifica după natura problemelor. Acolo unde problema permite mai multe căi
de rezolvare, profesorul analizează t oate aceste căi și le selectează pe cele mai importante,
propunându -le spre rezolvare pe grupe, comparând rezultatele, avantajele și dezavantajele
fiecărei metode în parte. Se va evidenția în mod obligatoriu cea mai bună soluție.
Exemplu. Se cere elevilor determinarea arborelui parțial de cost minim asociat
unui graf, prin algoritmul lui Kruskal.
În prima etapă:
Se analizează enunțul.
Se verifică dacă elevii cunosc noțiunea de arbore și de arbore parțial de cost
minim.
Pe tablă se desenează un graf oarecare, se numerotează nodurile și se stabilesc
costurile muchiilor.
Se stabilesc datele de intrare, formatul acestora, tipul lor (deja se gândește în
direcția implementării într -un limbaj de programare); în acest caz datele de intrare se vor
citi dintr -un fișier text cu înregistrări de forma:
n – numărul de noduri ale grafului;
i, j , a i,j . – muchia de la nodul i la nodul y are costul a. •
Fișierul va conține un număr de înregistrări de forma celor de mai sus, egal cu
numărul de muchii al grafului.
Aici poate interveni profesorul, solicitând elevilor sau prezentând o formă mai
condensată a fișierului de intrare, cu înregistrări de forma:

82 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

n – numărul de noduri ale grafului;
1 i1 a1,il i2 a1,i2… ik a1 , i k – nodul l are vecinii i 1, i2, …, ik, cu ik>1, iar
costurile acestor muchii sunt a 1,il, a1,i2, …, a, 1,ik
2 j1 a2,j1 -nodul 2 are vecinii j 1, j2,…… jt, cu jk>2, iar costurile acestor
muchii sunt a 2,j1, a2,j2, …, a2,jt
…………………………….
n-1 1 1 an-1 , 1 1 – nodul n-1 poate avea cel mult un vecin mai mare decât el,
nodul n. Dacă un nod nu are vecini mai mari decât el, linia din fișierul de intrare cores –
punzătoare acelui nod va lipsi.
Vom construi fișierul de intrare pentru graful desenat pe tablă, pe care îl vom
folosi ca prim fișier de test .

În a doua etapă :
Se va stabili modul de memorare a datelor de intrare. Elevii vor fi tentați să
reprezinte graful printr -o matrice de adiacență (simetrică), iar într -o altă matrice, tot
simetrică, costurile muchiilor – sau, în cel mai fericit caz, printr -o singură matrice, atât
costurile muchiilor, cât și graful. Aici trebuie să intervină profesorul. El va sublinia
risipa de memorie realizată prin acest tip de memorare și va propune sau va încerca să
obțină de la elevi o memorare mai eficientă (printr -un vector) a grafului și costurilor
muchiilor. Se va defini un tip de dată numit muchie:
muchie : record
i,j:byte;
a:byte;
end;
cu semnificația că i, j sunt extremitățile muchiei, iar a – costul ei și se va aloca
un vector de muchii, a cărui dimensiune maximă se va stabili împreună cu elevii.
Profesorul va prezenta Algoritmul lui Kruskal. Apoi se consideră inițial arborele parțial
vid. Se va selecta muchia de cost minim neselectată anterior și care nu formează un
circuit cu muchiile deja selectate; procedeul se oprește după selectarea a n – l muchii
(< 16>, <25>, < 36 >). Se insistă asupra criteriului de oprire, profesorul având dou ă
posibilități: să prezinte el criteriul și să verifice cu clasa de ce acesta este cel corect, sau
să încerce să obțină de la clasă un criteriu de oprire. Următoarea problemă care trebuie
abordată este cea a alegerii muchiei. Evident că prin ordonarea cres cătoare a vectorului de
muchii acestea vor putea fi selectate în ordinea crescătoare a costurilor lor, dar se pune

83 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

problema eliminării muchiilor care formează circuite. Aici se va obține de la clasă o
soluție, ținând cont că determinarea componentelor cone xe ale unui graf a fost deja
rezolvată. Se va stabili algoritmul de ordonare a vectorului de muchii și modul de
memorare a nodurilor selectate pe parcursul determinării arborelui parțial de cost minim.
Tot în această etapă, se va determina o soluție în caz ul numeric prezentat în figura de
pe tablă.
În a treia etapă li se va propune elevilor implementarea algoritmului fie cu
memorarea datelor de intrare în matrice, fie în vectorul de muchii, pe grupe de lucru. Li
se poate cerc chiar folosirea de algoritmi de sortare diferiți, pentru a constata faptul că
soluția nu este unică și, în plus, li se va cere să determine cauza obținerii de soluții
diferite, dar optime. Profesorul va supraveghea implementarea solicitând elevilor
verificarea etapă cu etapă a realizării programului, prin afișarea temporară chiar a unor
rezultate intermediare . În ultima etapă, elevii vor proba corectitudinea programului prin
folosirea de date de test construite de ei și prin noi teste propuse de către profesor, dar
aceste teste vor fi prezentate sub formă grafică, prin desen pe tablă e tc., pentru ca ei
să construiască singuri fișierul de intrare . În final se vor propune elevilor, spre rezolvare,
probleme care să utilizeze rezultatul obținut sau să folos ească tehnici asemănătoare –
evident, fără a li se specifica acest lucru.
Problemă . O localitate având n puncte vitale, legate prin străzi a căror lungime
se cunoaște, este complet înzăpezită. Primăria, care nu dispune de suficiente rezerve de
combustibil, este obligată să deszăpezească un număr de străzi, astfel încât toate punctele
vitale ale localității să fie accesibile din fiecare punct și să realizeze un consum minim
de carburant. Să se determine străzile care trebuie deszăpezite știind că orice consu m de
carburant este direct proporțional cu lungimea drumului deszăpezit. Exemplul prezentat
subliniază importanța și consecințele pe care le are asupra modului de rezolvare a unei
probleme modul de organizare a datelor de intrare și a celor intermediare, d e lucru. O
posibilă clasificare a problemelor/exercițiilor (relativ la capacitățile intelectuale pentru
rezolvare) ar fi:
Exerciții de recunoaștere a unor noțiuni (unitate curentă de I/E, unitate de
disc, memorie internă, comandă externă, programe executabile de tip .co m sau .exe,
HTTP -uri, telnet etc.).
Exerciții aplicative (programe pentru transcrierea unor formule, pseudocoduri).
Aceste două clase de exerciții sunt recomandate în special pentru fixarea unor
cunoștințe deja predate, în acest conte xt poate fi utilă o complicare graduală a enunțului

84 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

inițial, urmărindu -se memorarea mai bună a formulei sau a ideii algoritmului, cum ar fi:
încadrarea acestuia într -un eventual alt tip de probleme cunoscute; complicarea lui în
mod progresiv în vederea uti lizării sale în alte situații; prezentarea unor cazuri -limită
care pot conduce la rezultate eronate.
Exerciții grafice – planșe, vizualizări.
Exerciții complexe – presupun o analiză mult mai detaliată a problemei în
ansamblu și implică descompunerea problemei în subprobleme, succesiv, până în
momentul în care rezolvarea subproblemelor elementare este cunoscută.
În rezolvarea exercițiilor este importantă crearea posibilității îndeplinirii unei
independen țe (individual, grup, e chipă). Pentru formarea unor priceperi sau abilități
legate de munca independentă se poate utiliza și așa -numita formulă a exercițiilor
comentate. Aceasta constă în rezolvarea exercițiilor de către toți elevii, în timp ce un elev
desemnat explică permanent rezultatele obținute. Nu este nevoie ca această explicație să
fie utilizată pe calculator. Profesorul poate în orice moment să invite oricare alt elev
pentru conti nuarea explicației (în acest fel, metoda este deosebit de activă). Discuțiile
suplimentare sunt obligatorii în acest caz. Se vor evidenția permanent avantajele și
dezavantajele rezolvărilor propuse, alte metode posibile de rezolvare, idei privind
utilizarea acestor rezolvări în lecțiile următoare, particularizări ale lor în lecțiile
anterioare.

3.6 INSTRUIREA ASISTATĂ DE CALCULATOR
[28]În anii 1950, B.F.Skinner și Norman Crowder, teoreticieni americani, au emis idei
despre instruirea programată, aceștia fiind considerați pionierii modernelor tehnici de
instruire cu ajutorul calculatorului.
Principiile instruirii programate au fost aplicate într -o metodă de instruire numită
sistem de învățare personalizată.
Aceasta este o metodă de instruire, în care elevul învață în ritm propriu, materialul
educațional este structurat în secvențe mici de st udiu, urmate de chestionare, instruitul și
instructorul put ând să observe imediat evoluția procesului de instruire.
Folosirea calculatorului în procesul de învățămînt se dovedește a fi o necesitate în
condițiile dezvoltării în ritm accelerat a tehnologiei informației. Pentru noile generații de
elevi și studenți, a devenit o cerință conceptul de asistare a procesului de învățămînt cu
calculatorul, în condițiile avalanșei de informații multimedia.
Conceptul de asistare a procesului de învățăm ânt cu calculator ul include :

85 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 Predarea unor lecții de comunicare de cunoștințe ;
 Aplicarea,consolidarea,sistematizarea noilor cunoștințe;
 Verificarea automată a unei lecții sau a uni grup de lecții.
Numită și « inovația tehnologică cea mai importantă a pedagogiei moderne » , instruirea
asistată de calculator – IAC – contribuie la eficiența instruirii,este un rezultat al introducerii
treptate a informatizării în învățămînt.
Calculatorul poate fi utilizat în procesul de predare –învățare de către profesor și elev în
scopul int ermedierii activității de predare interumană ce are loc între cei doi poli
educaționali : profesor și elevi.
«Mișcarea pedagogică de învățămînt programat a fost inaugurată de B.F. Skinner ca
fiind o aplicare a principiilor cunoscute ale instruirii,care îns eamnă organizarea condițiilor
de învă țare prin mâ nuirea balanței,recompensei și penalizării,în alegera răspunsului corect.
Simplificat putem spune că în secvența de învățare prin instruire programată apare în
evidență succesiunea : stimul – răspuns – confi rmare».
Învătămîntul programat permite două modalități de programare pedagogică :
1. Programare liniară (tip Skinner)
2. Programarea ramificată (tip Crowder)
În "Dicționarul de pedagogie contemporană" se regăsesc următoarele principii,ce stau la
baza instruirii programate:
 Principiul participării active și independente a elevului;
 Principiul pașilor mici;
 Principiul progresului gradat;
 Principiul întăririi imediate a răspunsului;
 Principiul ritmului individual de studiu;
 Principiul răspunsurilor corecte ;
 Principiul repetiției.
Metoda instruirii programate dezvoltă propriile sale principii,valabile la nivel strategic în
orice variantă d e organizare cibernetică a învăț ării, într-o structură liniară sau ramificată:

86 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 Principiul pașilor mici – se referă la diviz area materiei în unități de conținut,care
asigură elevului șansa reușitei și a continuității în activitatea de predare – învățare –
evaluare;
 Principiul comportamentului activ – vizează dirijarea efortului elevului în direcția
selecționării,înțelegerii și aplicării informației necesare pentru elaborarea unui
răspuns corect;
 Principiul evaluării imediate a răspunsului – înseamnă întărirea pozitivă sau
negativă a comportamentului elevului în funcție de reușita sau nereușita în
îndeplinirea sarcinii de învățar e corespunzătoare fiecărui «pas».
După constituirea ciberneticii ca știință au fost realizate numeroase mașini de învățat și au
fost puse bazele teoretice ale instruirii programate ; printre acestea se remarcă lucrările lui
B.F.Skinner, care au inițiat și au fundamentat instruirea programată cu program me liniare
și ale lui N.A.Crowder, inițiatorul programelor ramificate.
Programarea ramificată – varianta N.A.Crowder – "solicită un efort intelectual mai mare"
necesar elevului pentru "recunoașterea răspunsul ui corect din cîteva răspunsuri date, pe
baza testului alegerii repetate" (Okon,Vicenty,1974).
Acest tip de programare nu urmărește numai preînt âmpinarea g reșelilor – ca în cazul
variantei liniare – ci tratarea acestora în diferite modalități de întărire n egativă, care
reorientează activitatea elevului în direcția recuperării, reselecționării, reinterpretării,
reaplicării informației necesare pentru parcurgerea "pasului" respectiv.
Secvența de instruire, proiectată în cazul instruirii ramificate are următoa rea structură de
organizare:
a. Informarea elevului;
b. Prezentarea sarcinii didactice;
c. Rezervarea spațiului și timpului pentru alegerea răspunsului;
d. Întărirea pozitivă, în cazul răspunsului corect, care asigură trecerea la informația
necesară pentru parcurgerea secvenței următoare/"pasului" următor, sau întărirea negativă,
în cazul alegerii răspunsului incorect, care orientează elevul spre o "programă secundară",
obligatorie pentru corectarea răspunsului, după care urmează trecerea la informația
necesară pentru parcurgerea secvenței următoare /"pasului" următor;
e. Confirmarea răspunsului (corect sau incorect în varianta de întărire pozitivă, respectiv în
cea de întărire negativă);
f. Informarea din secvența următoare (Țîrcovnicu,1975).

87 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Reușita ac estei metode, în varianta sa liniară, ramificată sau combinată, depinde de
calitatea mijloacelor didactice necesare pentru proiectarea și realizarea activității de
predare – învățare – evaluare în spiritul principiilor cibernetice și pedagogice evocate
anterior: manualele programate și mașinile de instruire. În toate situațiile, însă, rolul
profesorului rămîne determinant.
Avantajele și dezavantajele instruirii asistate de calculator.
Această metodă depinde nu numai de calitatea calculatorului, ci și de condiția pedagogică
asumată la nivelul programelor elaborate special pentru :
 Conștientizarea valorii interactive a informației alese ;
 Sistematizarea rapidă a unui volum mare de informații ;
 Difuzarea eficientă a unor informații esențiale solicitate de un număr ridicat de
participanți la actul didactic;
 Individualizarea reală și completă a actului învățării, adaptabilă la ritmul fiecărui
elev prin asistență pedagogică imediată, realizată/realizabilă de/prin calculator;
 Stimularea capacității profesorului d e "a deveni un adevărat educator: ghid și
animator, evaluator și îndeosebi formator preocupat de cultivarea atitudinilor
superioare’’ (Văideanu, 1988).
Valoarea instruirii programate constă în faptul că, prin organizarea procesului de
învățare, principiile didactice (al însușirii conștiente și active, al sistematizării și
continuității, al accesibilității și însușirii temeinice a cunoștințelor) acționează concomitent
și în fiecare moment al activității elevului cu programa, stimul ând formarea și dezvoltarea
capacităților intelectuale, precum și deprinderi de muncă independentă. De asemenea, se
reduc în mod simțitor timpul necesar însușirii cunoștințelor și redundanța inerentă
procesului de transmisiune a informațiilor de la profesor sau de la manual la elev.
În instruirea asistată de calculator rolul esențial revine educatorului. Pe lîngă o serie de
avantaje, această modernă și eficientă formă de învățare are și anumite limite :
 Individualizarea excesivă a învățării duce la negarea dialogului elev -profesor și la
izolarea actului de învățare în contextul său psihosocial ;
 Segmentează și atomizează prea mult materialul de învățat;
 Duce prea mult la „tutelare ”, dirijând pas cu pas activitatea mentală a subiectului și,
prin aceasta, împiedicîndu -l să-și dezvolte c apacitățile creatoare.

88 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Totodată, instruirea programată nu poate cuprinde întregul proces instructiv -educativ și
nu poate constitui o metodă generală și universală în pedagogie, în primul rînd din cauză că
modelul cibernetic al procesului de învățămînt pe c are se bazează îl reprezintă, ca orice
model, numai din anumite puncte de vedere și nu cuprinde toate reacțiile elevului la
perturbațiile interne și externe, dar și pentru că nu toate obiectele de învățămînt sau
disciplinele științifice pot fi programate, pentru că accentuează verbalismul (în scris) fără a
dezvolta suficient intuiția, pentru că elevul nu are imaginea conturată a obiectului în
ansamblu și pentru că, dificultățile fiind fragmentate, se limitează formarea unor motivații
superioare, spiritul cr itic și g ândirea independentă. De asemenea, instruirea programată
prezintă, datorită formalizării procesului de instruire, și pericolul formalismului și al
standardizării cunoștințelor.
Cu toate acestea, integrarea noilor tehnologii – dependente de capacit atea de asistență
pedagogică a calculatorului – în structura de acțiune specifică metodei didactice conferă
activității elevului un caracter reactiv și proactiv, în raport cu informația vehiculată, cu
timpul real de învățare, cu valoarea formativă a cunoșt ințelor dobîndite.
Modalități de utilizare a calculatorului electronic în procesul de predare – învățare.
Calculatorul oferă posibilități reale de individualizare a instruirii. El nu este doar un mijloc
de transmitere a informației ci poate oferi programe de învățare adaptate conduitei și
cunoștințelor elevului.
Realizarea unei metodologii care să facă eficientă asistarea procesului de învățăm ânt cu
calculatorul a solicitat folosirea instrumentelor psihopedagogiei.
« Conceptul de asistare a procesului de în vățăm ânt cu calculatorul include :
 Predarea unor lecții de comunicare de noi cunoștințe ;
 Aplicarea, consolidarea, sistematizarea noilor cunoștințe;
 Verificarea automată a unei lecții sau a unui grup de lecții ;
 Verificarea automată a unei discipline școlare sau a unei anumite programe școlare.
Utilizarea calculatorului în procesul de învățăm ânt devine din ce în ce mai importantă
(chiar indispensabilă) deoarece:
 Are loc o informatizare a societății;
 Mediile de instruire bazate pe informatică oferă un p uternic potențial educativ ».

89 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Calculatorul – instrument didactic
Din acest punct de vedere remarcăm mai multe modalități de apariție a calculatorului în
demersul didactic:
 Utilizarea calculatorului pentru tehnoredactarea computerizată a documentelor
școla re cum ar fi cele care reprezintă rezultate ale proiectării didactice la nivel
micro, adică planificări, proiecte de unități de învățare, proiecte de lecție, c ât și a
unor documente de evidență școlară cum ar fi cele legate de prezența la anumite
activităț i didactice sau notarea evoluției elevilor la activitățile de verificare și
evaluare a cunoștințelor ;
 Utilizarea calculatorului ca mijloc de predare în cadrul lecțiilor de comunicare de
noi cunoștințe, de recapitulare sau a prelegerilor în care calculator ul poate
reprezenta suport al unor sinteze, imagini, figuri ce pot fi proiectate în scopul
transmiterii de cunoștințe. În felul acesta elevii au posibilitatea să vizioneze o
expunere concretă și clară a teoremelor, pot să aibă pe ecran imaginea unor
fenome ne sau procese simulate pe calculator ;
 Realizarea unor calcule numerice, mai mult sau mai puțin complicate, în scopul
formării deprinderilor de calcul sau al eliberării de etapa calculatorie în rezolvarea
unor probleme, prelucrarea unor date ;
 Realizarea unor bănci de date, adică stocarea de informații dintr -un domeniu
oarecare într -o modalitate care să permită ulterior regăsirea informațiilor după
anumite criterii ;
 Învățarea unui limbaj de programare ;
 Realizarea unor laboratoare asistate de calculator .

3.7 [17] EVALUAREA (CLASIFICĂRI, FUNCȚII)

Evaluarea ne permite să ne pronunțăm “asupra stării unui fapt, proces, la un anumit
moment, din perspectiva informațiilor pe care la culegem cu ajutorul unui instrument care
ne permite să măsurăm în raport cu o anumită normă la care ne raportăm” (Etienne
Brunswic).

90 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În sens larg, prin strategie se înțelege ansamblul de acțiu ni întreprinse într -o
organizație (militară, economică, educațională etc.) pentru atingerea obiectivelor stabilite
pe termen lung sau mediu.
Strategia vizează asigurarea și pregătirea resurselor umane și materiale, probleme
de planificare și organizare a m uncii, de cooperare în cadrul organizației sau cu alte
organizații etc., potrivit funcțiilor managementului modern, toate acestea având însă un
caracter anticipativ, cu bătaie lungă, deci un pronunțat spirit de previziune.
Se poate asocia termenul de strat egie, definit astfel, cu activitatea didactică în
general și cu cea de evaluare, în particular. Activitatea didactică, indiferent de tipul și
gradul (nivelul) instituției de învățământ, se desfășoară în conformitate cu anumite
finalități, cunoscute sub den umirea de obiective pedagogice sau didactice.
Pentru atingerea lor, atât la nivelul instituției de învățământ, cât și la nivelul clasei,
intră în joc resursele materiale (spații de învățământ, mobilier, materiale didactice, mijloace
tehnice etc.) dar și c ele umane (profesori, elevi, personal auxiliar etc.), au loc procese de
planificare, organizare și dirijare, de control și evaluare, toate acestea, împreună, vizând
atingerea obiectivelor pedagogice stabilite.
De priceperea utilizării resurselor și de capa citatea de conducere a procesului de
învățământ (deci, de strategia didactică) depind, în ultimă instanță, performanțele școlare
obținute de elevi.
Problema se pune asemănător și în cazul evaluării, o componentă principală a
procesului de învățământ, alătu ri de predare și învățare, deoarece atât profesorul, la nivelul
clasei, cât și directorul, la nivelul școlii, sunt datori să -și stabilească din timp când și cum
vor verifica dacă se află pe drumul cel bun, la capătul căruia obiectivele stabilite vor fi
atinse și aceasta nu oricum, ci cu cheltuieli materiale, financiare, de timp și umane cât mai
reduse.
Așadar, a stabili o strategie de evaluare în învățământ echivalează cu a fixa când
evaluezi, sub ce formă, cu ce metode și mijloace, cum valorifici informați ile obținute etc.
Desigur, în final, în funcție de concluziile desprinse, elevul își va modifica strategia de
învățare, profesorul pe cea de predare iar directorul strategia managerială.
Strategia de evaluare denotă modul de integrare a acțiunii de evaluar e (realizabilă
prin operațiile de măsurare -apreciere -decizie) în structura de funcționare a activității
didactice/ educative. Conceptul de strategie de evaluare reflectă tendința de extindere a
acțiunilor evaluative: de la verificările tradiționale la eval uarea proceselor și condițiilor de
desfășurare a activității didactice, a situațiilor de instruire/învățare.

91 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Fiind un proces multidimensional, se pot identifica, în funcție de criteriile alese,
mai multe strategii/tipuri de evaluare:
1. Din punct de veder e al situațiilor de evaluare , putem identifica două strategii:
♦ evaluare realizată în circumstanțe obișnuite, bazată pe observarea activității elevilor;
♦ evaluare specifică, realizată în condiții special create ce presupune elaborarea și aplicarea
unor p robe, partenerii angajați în proces fiind conștienți de importanța demersurilor de
verificare și apreciere întreprinse;

2. După funcția dominantă îndeplinită, putem identifica două strategii:
♦ evaluare diagnostică (se realizează o diagnoză descriptivă ce constă în localizarea
lacunelor și erorilor în cunoștințe și abilități dar și a “punctelor forte” și o diagnoză
etiologică care relevă cauzele care au generat neajunsurile constatate);
♦ evaluare predictivă prin care se urmărește prognozarea gradului în c are elevii vor putea
să răspundă pe viitor unui program de instruire;

3. După modul în care se integrează în desfășurarea procesului didactic , putem
identifica trei strategii:
♦ evaluare inițială, realizată la începutul demersurilor instructiv -educative, pentru a stabili
nivelul la care se situează elevii;
♦ evaluare formativă, care însoțește întregul parcurs didactic, organizând verificări
sistematice în rândul tuturor elevilor din toată materia;
♦ evaluarea sumativă, care se realizează de obicei, la sfâr șitul unei perioade mai lungi de
instruire;

Prezentăm în continuare o analiză comparativă a celor trei strategii de evaluare,
urmărind criteriile: scopul, principiul temporalității, obiectul, funcțiile, modalitățile de
realizare, avantajele, dezavantajel e și notarea:

 SCOPUL URM ĂRIT
 Evaluarea inițială:
o identifică nivelul achizițiilor inițiale ale elevilor în termeni de
cunoștințe, competențe și abilități, în scopul asigurării premiselor
atingerii obiectivelor propuse pentru etapa imediat următoare;

92 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

o “este indispensabilă pentru a stabili dacă subiecții dispun de preg ătirea
necesar ă creării de premise favorabile unei noi învățări” (Ioan Cerghit,
2002).
 Evaluarea formativă:
o urmărește dacă obiectivele concrete propuse au fost atinse și permite
continuarea deme rsului pedagogic spre obiective mai complexe; “Unicul
scop al evaluării formative este să identifice situațiile în care întâmpină
elevul o dificultate, în ce constă aceasta și să -l informeze” (De
Landsheere, 1975) , atât pe el cât și pe profesor.
 Evaluarea sumativă:
o stabilește gradul în care au fost atinse finalitățile generale propuse (fie
dobândirea unei atitudini sau a unei capacități), comparându -i pe elevi
între ei (interpretare normativă), ori comparând performanțele
manifestate de fiecare cu performan țele așteptate (interpretarea
criterială).

 PRINCIPIUL TEMPORALITĂȚ II
 Evaluarea inițială:
o se efectuează la începutul unui program de instruire (ciclu de
învățământ, an școlar, semestru, începutul unui capitol și chiar al unei
lecții).
 Evaluarea formativă:
o axată pe proces și internă, se face pe parcursul învățării;
o frecventă, la sfârșitul fiecărei unități de studiu.
 Evaluarea sumativă:
o este finală și de regulă externă, având loc după învățare;
o regrupează mai multe unități de studiu, face bilanțul.

 OBIECTUL EVALUĂ RII
 Evaluarea inițială:
o este interesată de “acele cunoștințe și capacități care reprezintă premise
pentru asimilarea noilor conținuturi și formarea altor competențe” (I. T.

93 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Radu), premise “cognitive și atitudinale” capacități, interese, motivații),
necesare integrării în activitatea următoare.
 Evaluarea formativă:
o vizează cunoștințele, competențele și metodologiile în raport cu o normă
prestabilită, dar și cu o sarcină mai complexă de învățări ulterioare
despre care elevul își face o reprezentare” (I. T. Radu);
o se extinde și asupra procesului realizat.
 Evaluarea sumativă:
o “se concentrează mai ales asupra elementelor de permanență ale
aplicării unor cunoștințe de bază, ale demonstrării unor abilități
importante dobândite de elevi într -o perioadă mai lungă de instruire”
(S.N.E.E.)

 FUNC ȚII ÎNDEPLINITE
 Evaluarea inițială:
o funcție diagnostică;
o funcție prognostică.
 Evaluarea formativă:
o “funcție de constatare a rezultatelor și de sprijinire continuă a elevilor”
(I.T.Radu);
o funcție de feed -back;
o funcție de corectare a greșelilor și ameliorare și reglare a procesului;
o funcție motivațională.
 Evaluarea sumativă:
o funcție de constatare și verificare a rezultatelor;
o funcție de clasificare;
o funcția de comunicare a rezultatelor;
o funcție de certificare a nivelului d e cunoștințe și abilități;
o funcție de selecție;
o funcție de orientare școlară și profesională.

94 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 MODALIT ĂȚI DE REALIZARE
 Evaluarea inițială:
o harta conceptuală;
o investigația;
o chestionarul;
o testele.

 Evaluarea formativă:
o observare curentă a comportamentului școlar al elevului;
o fișe de lucru;
o examinări orale;
o tehnica 3 -2-1;
o metode R.A.I.;
o probe de autoevaluare.
 Evaluarea sumativă:
o examene (susținute prin rezolvarea unor probe scrise, orale sau
practice);
o portofoliul;
o proiectul.

 AVANTAJELE
 Evaluarea inițială:
o oferă profesorului cât și elevului posibilitatea de a avea o reprezentare
cât mai exactă a situației existente (potențialul de învățare al elevilor ,
lacunele ce trebuiesc completate și remediate) și a formula cerin țele
următoare;
o pe baza informațiilor eval uării inițiale se planifică demersul pedagogic
imediat următor și eventual a unor programe de recuperare.
 Evaluarea formativă:
o permite elevului să -și remedieze erorile și lacunele imediat după apariția
ei și înainte de declanșarea unui proces cumulativ;
o oferă un feed -back rapid, reglând din mers procesul;
o este orientată spre ajutorul pedagogic imediat;

95 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

o oferă posibilitatea tratării diferențiate (I. Cerghit);
o dezvoltă capacitatea de autoevaluare la elevi;
o reduce timpul destinat actelor evaluative ample, spori ndu-l pe cel
destinat învățării;
o sesizează punctele critice în învățare.
 Evaluarea sumativă:
o rezultatele constatate pot fi folosite pentru preîntâmpinarea greșelilor la
alte serii de cursanți;
o permite aprecieri cu privire la prestația profesorilor, a calității proceselor
de instruire, a pro gramelor de studii;
o oferă o recunoaștere socială a meritelor.

 DEZAVANTAJELE
 Evaluarea inițială:
o nu permite o apreciere globală a performanțelor elevului și nici
realizarea une i ierarhii;
o nu-și propune și nici nu po ate să determine cauzele existenței lacunelor
în sistemul cognitiv al elevului.
 Evaluarea formativă:
o “aplicarea acestei strategii de evaluare, foarte pretențioasă, necesită o
organizare riguroasă a predării, competență în precizarea obiectivelor, în
stabil irea sarcinilor, în aleger ea tehnicilor de evaluare” (Ioan. Cerghit);
o “recursul la evaluarea formativă este testul unei pedagogii a rigorii, a
lucidității și a eficienței” (I. Cerghit).
 Evaluarea sumativă:
o nu oferă suficiente informații sistematice și complete despre măsura în
care elevii și -au însușit conținutul predat și nici dacă un elev stăpânește
toate conținuturile esențiale predate;
o are efecte reduse pentru ameliorarea/regla rea și remedierea lacunelor,
efectele resimțindu -se după o perioadă mai î ndelungată, de regulă,
pentru seriile viitoare;
o deplasează motivația elevilor către obținerea unui rang mai înalt în
ierarhia grupului, punând accent pe competiție;

96 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

o nu favorizează dezvoltarea capacității de autoevaluare la elevi;
o nu oferă o radiografie a d ificultăților în învățare;
o generează stres, teamă, anxietate.

 DIN PUNCT DE VEDERE AL NOT ĂRII
 Evaluarea inițială:
o nu își propune aprecierea performanțelor globale ale elevilor și nici
ierarhizarea lor.
 Evaluarea formativă:
o “Acest tip de evaluare nu se exp rimă în note și cu atât mai puțin în
scoruri. ” (I. T. Radu)
o nu realizea ză ierarhii și clasificări între elevi;
o oferă premise pentru notare.
 Evaluarea sumativă:
o Evaluarea sumativă se traduce printr -un scor… Prin scor desemnăm
rezultatele obiective obținute în urma unui test sau a oricărei alte forme
de evaluare prin adunare sau scădere de puncte după reguli fixe.
o constată performanțele și clasifică (ierarhizează) elevii în funcție de
acestea.

4. După autorul care efectuează evaluarea, putem identifica trei strategii:
♦ evaluare internă, întreprinsă de aceeași persoană/instituție care este direct implicată și a
condus activitatea de învățare (de exemplu, învățătorul sau profesorul clasei);
♦ evaluarea externă, realizată de o altă persoană/instituție, alta de cât cea care a asigurat
derularea predării și învățării;
♦ autoevaluare, efectuată de subiectul însuși asupra propriului progres;

5. Nu este mai puțin importantă nici departajarea ce se face între:
♦ evaluarea preponderent pedagogică, vizând în esență cee a ce subiecții au asimilat, ceea
ce știu să facă și ce capacități și trăsături și -au format;

97 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

♦ evaluarea preponderent psihologică, privind funcțiile psihice implicate în activitatea de
învățare. Evaluările psihologice vizează aptitudinea subiectului de a î nvăța, adică ceea ce
poate să facă;

6. După obiectul evaluării:
♦ evaluarea procesului de învăț are (atât a achizițiilor cât și a procesului în sine);
♦ evaluarea performanțelor (realizate individual, în grup sau de către grup);
♦ evaluarea a ceea ce s -a învățat în școală sau a ceea ce s -a învățat în afara școlii;

7. După accentul pus pe proces sau pe sistem :
♦ evaluarea de proces – se referă la performanțele elevilor;
♦ evaluarea de sistem – accentul se pune pe sistemul în care se desfășoară procesul de
învățământ;

8. După domeniu :
♦ evaluarea în domeniul psihomotor (capacități, aptitudini, deprinderi);
♦ evaluarea în domeniul socio -afectiv ( atitudini);
♦ evaluarea în domeniul cognitiv (cunoștințe);

9. După modul în care pot sau nu pot fi cuantificate rezultatele:
♦ evaluare cantitativă – rezul tatele sunt cuantificabile în funcție de un punctaj;
♦ evaluare calitativă – la care rezultatele nu pot fi măsurate prin cuantificare;

10. Evaluarea este realizată întotdeauna cu un anumit scop. Diversitatea situ ațiilor
educative, precum și spectrul larg de obiective presupun aplicarea unor variate strategii de
evaluare, în unele cazuri apare necesitatea de a compara performanțele elevilor; în altele –
de a determina nivelul achizițiilor elevului în raport cu un o biectiv fixat. Există situații în
care se impune identificarea abilității elevilor de a executa acțiuni necesare pentru
rezolvarea unei probleme specifice; în alte situații se urmărește obținerea unor informații
generale despre performanțe în contextul dez voltării preconizate și al devierilor posibile. În
sfîrșit, profesorul are nevoie de o înțelegere amplă, cuprin zătoare a comportamentului
elevului.

98 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Cerințele enumerate pot fi executate prin utilizarea următoarelor strategii de
evaluare: evaluarea normativ ă, evaluarea criterială, evaluarea detaliată, evaluarea
exploratorie, evaluarea diagnostică.
Evaluarea normativă
Evaluarea care compară performanțele unui elev cu ale altora se numește evaluare
normativă. Ea permite determina rea poziți ei relativ e a elevulu i în clasă, de a afla dacă
întreaga clasă se înscrie în limitele unei norme stabilite la nivelul unității de învățăm ânt sau
la nivelul țării. Evaluarea normativă creează posibilitatea de a măsura progresul școlar. Cel
mai frecvent se utilizează în activită țile de selectare.
Limite: informația obținută este prea generală pentru organizarea procesului de
formare; normele prestabilite deseori s unt inconvenabile pentru un elev (o clasă)
concret(ă).
Evaluarea criterială
Evaluarea care măsoară performanțele indiv iduale ale elevului la un obiectiv
specific educațional se numește evaluare criterială. Această strategie este orientată spre
nivelul de performanță al unui singur elev, realizările celorlalți nefiind relevante.
Avantajele evaluării criteriale consistă în flexibilitatea și adaptabilitatea ei la
diverse curriculumuri, în posibilitatea măsurării capacităților specifice la diferite niveluri și
a identificării nivelurilor acceptabile de formare a capacităților.
Evaluarea criterială se utilizează la probele de absolvire, în evaluarea curentă.
Limite: lipsa informației despre poziția relativă a elevului în clasă; concentrarea pe
nivelul de performanță doar al unui singur elev.
Evaluarea detaliată
Rezolvarea oricărei probleme implică un complex de activități (problema în acest
context are o semnificație foarte largă). Dificultățile ce apar în acest proces s unt cauzate fie
de lipsa unor capacități specifice, fie de inaptitudinea elevului de a integra capacitățile
necesare într -o suită de pași ce conduc la soluț ionarea problemei, fie de faptul că abilitățile
formate nu s unt aplicate în situații noi. Evaluarea realizării unei sarcini, în cadrul căreia o
capacitate este divizată în unități didactice și măsurată -apreciată fiecare în parte, se
numește evaluare detali ată.
Avantaje: selectarea obiectivelor de referință, identificarea pașilor ce conduc la
rezolvarea problemei, evidențierea unor unități de învățare comune, pe care elevul trebuie
să le stăp ânească.

99 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Evaluarea detaliată necesită un interval de timp mai mare și în multe sisteme de
învățăm ânt este efectuată de specialiști în domeniu.
Evaluarea exploratorie
Evaluarea care se angajează să confirme că un elev a rămas în urma colegilor de
clasă se numește evaluare exploratorie. Ea permite contura rea competen țelor la formarea
cărora elevul înt âmpină dificultăți.
Evaluarea exploratorie este orientată pe curriculum: se face o trecere în revistă a
deprinderilor de bază. Dacă în rezultatul evaluării s unt detectate discrepanțe neînsemnate
între ceea ce realizează elevul ș i ceea ce se așteaptă de la el, atunci s unt proiectate acțiuni
de remediere, în cazul unor discrepanțe mari, se recurge la o evaluare diagnostică.
Avantaje: posibilitatea de a evalua structura achizițiilor elevului, de a contura ariile
de conținut în care acesta se confruntă cu dificultăți de învățare.
Limite: perioada îndelungată de timp necesară pentru identificarea riguroasă a
multiplelor capacități prevăzute de curriculum.
Evaluarea diagnostică
Evaluarea care se angajează să determine cauzele restanțel or unui elev se numește
evaluare diagnos tică. Aceste cauze pot fi at ât de ordin intern (proiectarea și aplicarea
nesatisfacătoare a intervențiilor educative etc.) c ât și de ordin extern. La evaluarea
diagnostică se recurge dacă: s -a stabilit că abilitățil e și comportamentul elevului diferă
semnificativ de cele prevăzute pentru o dezvoltare și formare normală; discrepanța dintre
nivelul achizițiilor elevului și obiectivele preconizate persistă sau este în creștere;
discrepan ța nu se înscrie în limitele vari ației normale și intervențiile profesorului nu
conduc la schimbări vizibile.
În cadrul evaluării diagnostice, profesorul observă comportamentul elevului în
diferite situații și condiții. O informație pertinentă poate fi obținută prin combi narea
metodelor formale și informale de evaluare.
Avantaje: posibilitatea depistării și înțelegerii cauzelor ce provoacă probleme de
învățare, în consecință pot fi elaborate remedii precise.
Consumul mare de timp necesar pentru elaborarea instrumentelor de evaluare și
evaluarea propriu -zisă constituie principala dificultate la utilizarea acestei strategii de
evaluare.
Aceste cinci strategii de evaluare reprezintă strategiile de bază utilizate în școală.
Diferențier ea dintre ele nu este absolută. Și evaluarea detaliată, și evaluarea exploratorie, și
cea diagnostică s unt, de fapt, evaluări criteriale.

100 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Evaluarea exploratorie presupune examinarea achizițiilor elevului de la o "înălțime mare"
(pot fi analizate numai elem entele importante). Evaluarea criterială este o apreciere de la o
"înălțime medie" (s unt vizibile practic toate detaliile). Evaluarea detaliată constituie o
examinare "cu lupa" a landșaftului achizițiilor (deși s unt observate cele mai mici detalii,
sunt ex plorate doar unele dintre componentele landșaftului). Evaluarea diagnos tică este o
cercetare "cu lupa", efectuată însă pe anumite porțiuni.

11. Evaluarea formativă promovează un nou demers în cadrul căruia “interesează
din ce în ce mai mult progresul ele vului în timp, în raport cu obiectivele pedagogice
dinainte definite.” Dezvoltându -se pe terenul inovației pedagogice, evaluarea formativă
sprijină realizarea unei pedagogii diferențiate care “permite o reglare interactivă” în
cadrul căreia “formatorul nu mai e interesat numai de rezultat, ci și de procesul care
conduce la acest rezultat.”
Dezvoltând interesul pentru autoevaluare, noțiunea de evaluare se transformă:
Evaluarea formativ ă Evaluarea formatoare

Evaluarea formativă “realizează o d iagnoză asupra rezultatelor unei perioade
încheiate” de învățare, depistând “lacunele în însușirea conținutului” și “dificultățile de
învățare” (I.T. Radu, 2000)
Ea presupune compararea rezultatelor cu obiectivele concrete/operaționale ale
activității de predare -învățare -evaluare, atât profesorul cât și elevul cunoscând care este
stadiul progresului la învățătură și care sunt măsurile ameliorative ce trebuie adoptate,
orientând desfășurarea ulterioară a secvenței de învățare.
“Realizarea ei presupune din p artea profesorului un rol din ce în ce mai activ în
învățare. El trebuie să supravegheze activitatea elevilor, să comenteze explicațiile
acestora și să -i orienteze diferen țiat pe cei care comit erori sau întâmpină dificultăți”
Pentru a exprima mai bine fun cția sa prioritară – aceea de a -l ajuta pe elev –
evaluarea formativă primește de la autorul G. Nunziati (1990) calificativul de
formatoare .
Evaluarea formativă , creează lumină asupra procesului de desfășurat în clasă,
fiind centrată pe intervenția profeso rului către elev. Ea relevă răspunsuri din partea
elevului, la intervenția profesorului. Evaluarea formatoare vine către elev și inițiativa îi
aparține . Dacă evaluarea formativă facilitează învățarea, iar cadrul didactic orientează

101 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

și conduce elevul, în cadrul evaluării formatoare inițiativa de învățare și implicit de
evaluare aparține elevului care reflectă asupra rezultatelor activității sale. Profesorul îi
urmărește evoluția, oferindu -i sprijin și îndrumare.
Evaluarea formativă nu garantează de la sine că elevul a învățat, deoarece vine
din afara sa. Rolul său prioritar este cel de reglare a activității cu ajutorul profesorului.
Evaluarea formatoare este mult mai eficientă pentru că vine din propria inițiativă a
celui care învață ș i se implică în realizarea unor materiale cu scop evaluativ, sporinduși în
același timp capacitățile de autoevaluare. Pentru acesta este necesar ca profesorul să dețină
o serie de tehnici prin care să -i învețe pe elevi să învețe, modalități prin care elevu l să se
simtă activ și să -și poată evalua propriile activități. Evaluarea formatoare are rol de
reglare și autoreglare a activității cu sprijnul ambilor parteneri ai acțiunii educaționale.
Evaluarea formatoare îl ajută pe elev să învețe cerându -i să antici peze.
Obiectivelor de reglare pedagogică, de gestionare a erorilor și întărire a reușitelor,
obiective comune diferitelor modele de evaluare formativă, dispozitivul de evaluare
formatoare le mai adaugă o exigență, care -l privește pe elev: reprezentarea cor ectă a
scopurilor, planificarea prealabilă a acțiunii, însușirea criteriilor și autogestionarea erorilor.
Această abordare lărgește și mai mult conceptul de evaluare, în măsura în care tot
ce are legătură cu construirea unui model personal de acțiune este considerat parte
integrantă a evaluării formative și obiectiv prioritar de învățare. “Versiune modernă a
vechiului contract de muncă individual, acest model îi înfățișează elevului diferite
obiective ale învățării.
Acestea din urmă fac însă, pe de o parte, obiectul unei negocieri între profesor și
elev, ceea ce costituie o primă condiție pentru îmbunătățirea învățării; pe de altă parte,
elevului i se oferă două posibilități: să abordeze învățarea pe baza unei logici combinatorii,
legată de un scop, de un produs, și să reflecte la mijloacele, metodele și criteriile de
realizare a obiectului finit. Urmele evaluării formatoare a unei competențe vor fi deci, pe
de o parte, etapele sau obiectivele intermediare prin care el evul a hotărât să treacă și, pe de
altă parte, lista metodelor sau instrumentelor pe care le va utiliza sau pe care le -a utilizat
(criterii de realizare). Accentul cade, în acest model, pe reperarea de către elev a criteriilor
de realizare. Ace asta este și principala dificultate de ordin pedagogic” – afirmă Genevieve
Meyer (2000) .
Caracteristicile celor două tipuri de evaluări, prezentate sintetic:

 EVALUAREA FORMATIVĂ

102 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 inițiativa îi aparține profesorului;
 profesorul intervine asupra elevului;
 este exterioar ă elevului, provenind din procesul didactic la care elevul nu
are acces decât prin intermediul profesorului;
 se repercutează pozitiv asupra schimburilor dintre profesor și elev, din
exterior.

 EVALUAREA FORMATOARE
 inițiativa aparține elevului și este orien tată sau nu de către profesor;
 izvorăște din reflecția elevului asupra propriei transformări, asupra
propriei învățări;
 este susținută de motivația interioară a elevului;
 se repercutează pozitiv asupra schimburilor dintre elev și profesor,
dinăuntru.

Astfel, cadru l didactic trebuie să -și îmbunătățească practica evaluării, alternând
metodele și instrumentele de evaluare tradiționale (probe scrise, probe orale, probe
practice) cu cele complementare (observarea sistematică și directă a elevului, investiga ția,
interviul) și active (lucrări de laborator, proiectul de cercetare, portofoliul, studiul de caz,
jurnalul reflexiv, hărțile conceptuale).

12. Evaluarea traditională tinde să fie tot mai mult înlocuită cu evaluarea
alternativă, dialogată, (“dialogical evaluation”)
Iată care sunt diferențele dintre cele două modele de evaluare, adaptate la nivelul
învățământului:

 EVALUAREA TRADIȚIONALĂ
 este o căutare a obiectivității și a modalităților știintifice de evaluare cu
proceduri standard. Accentul se pune pe profesorul -evaluator .
 este interesată mai mult de măsurarea aspectelor cantitative. Aspectele
calitative fiind dificil de măsurat tind să fie ignorate.
 are un grad înalt de control managerial al procesului de evaluare de către
evaluator, singurul care pune întrebările. Ceilalți participanți care sunt
afectați de constatările evaluării au o influență slabă în procesul evaluării

103 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

și anume în a formula întrebările care pot fi puse, în a -și exprima părerea
despre modalitățile de evaluare ori să discute cu profes orul despre
concluziile la care acesta a ajuns. Elevul nu e direct implicat în procesul
de evaluare. El e exterior acestuia prin faptul că se supune intervenției
profesorului. Acesta este cel care vine cu propunerea: când, cum și ce se
evaluează.
 nu exist ă o cooperare între evaluator și elev privind modalitățile de
evaluare; din acest motiv profesorul evaluator poate fi perceput negativ.

 EVALUAREA DIALOGATĂ
 este privită ca parte integrantă a procesului de dezvoltare și schimbare și
implică judecata reflexi vă
 este centrată pe dialog, pe cercetarea calitativă mai mult decât pe
măsurarea cantitativă; folosește mai puțin metodele formale.
 funcția principală este de energizare din interior a procesului, depășind
concepția prin care evaluarea este un proces de co ntrol care acționeaz ă din
exteriorul procesului de învățare. Se pleacă de la ideea că fiecare este
unic, având propriul stil de lucru, diferite modalități de percepție, gândire
și acțiune. Elevul participă activ la procesul de evaluare. Negocierea și
conse nsul constituie elemente importante, iar profesorul discută cu elevii
rezultatele și le face recomandări.
 rolul evaluatorului este cel de facilitator din interior al procesului de
învățare mai mult decât un observator neutru. El ușurează învățarea și
evalu area, plecând de la premiza c ă evaluarea îndeplinește funcții mai
degrabă de ameliorare și de corectare decât de sancționare și de speculare
a greșelilor.

13. Metode de evaluare: metoda orală , metoda scrisă , metoda practică , evaluarea
asistată de calculator , alte metode .
Numeroase discuții s -au purtat de -a lungul timpului și continuă să se poarte și astăzi
în legătură cu gradul de obiectivitate și de precizie al metodelor de evaluare.
Sunt numeroase argumente „pro” și „contra” utilizării exclusive a uneia sau alteia
dintre metodele cunoscute. În realitate, îmbinarea lor constituie soluția cea mai potrivită.

104 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 Metoda de evaluare orală
Este una dintre cele mai răspândite și se poate aplica individual sau pe grupe de
elevi. Principalul avantaj al acestei metode îl constituie posibilitatea dialogului profesor –
elev, în cadrul căruia profesorul își poate da seama nu doar „ce știe” elevul, ci și cum
gândește el, cum se exprimă, cum face față unor situații problematice diferite de cele
întâlnite pe parc ursul instruirii. Cu prilejul examinării orale, profesorul îi poate cere
elevului să -și motiveze răspunsul la o anumită întrebare și să -l argumenteze, după cum tot
el îl poate ajuta cu întrebări suplimentare atunci când se află în impas.
Metoda are însă și unele dezavantaje: ea este mare consumatoare de timp, timp
care, adesea, le lipsește profesorilor ale căror discipline sunt prevăzute în planul de
învățământ cu un număr mic de ore, deci care au mai mulți elevi cărora trebuie – potrivit
reglementărilor în vigoare – să le atribuie cel puțin trei note „în oral” pentru a li se încheia
media semestrială.
Un alt dezavantaj este și acela referitor la dificultatea de a selecționa, pentru toți
elevii examinați, întrebări cu același grad de dificultate. Pentru a el imina aceste
dezavantaje se pot stabili anumite restricții cu privire la durata acestor examinări orale, în
funcție de vârstă; întrebările vor fi stabilite din vreme pentru a fi cât mai uniforme, ca grad
de dificultate, pentru întregul grup de elevi supus verificării, formularea lor făcându -se clar
și precis, fără ambiguități.
Ca să -i fie mai ușor, profesorul poate avea în față, pe durata examinării, o fișă de
evaluare orală .

 Metoda de evaluare scrisă
Este utilizată sub diferite forme: extemporal, teză, te st, chestionar, eseu, referat,
temă executată acasă, portofoliu, proiect etc.
Prin această metodă se asigură uniformitatea subiectelor (ca întindere și ca
dificultate îndeosebi) pentru elevii supuși evaluării, ca și posibilitatea de a examina
un număr mai mare de elevi în aceeași unitate de timp.
Ea îi avantajează pe elevii emotivi și -i pune la adăpost pe profesorii tentați
să evalueze preferențial prin metoda orală.
Ca și metoda de evaluare orală și cea scrisă are unele dezavantaje sau limite: la
teste, de exemplu, elevii pot ghici răspunsurile la itemii cu alegere multiplă; la extemporale
și teze se poate copia.
Indiferent de forma utilizată, în cazul probelor scrise este dificil de apreciat

105 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

anumite răspunsuri, când acestea sunt formulate ambiguu, deoarece profesorul care
corectează lucrarea nu -i poate cere lămuriri autorului.
În general, metoda de evaluare scrisă nu oferă aceleași posibilități de investigare a
pregătirii elevilor (cunoștințe, deprinderi, abilități, capacități, competențe etc.) ca evaluarea
orală. În realitate, combinarea celor două metode amplifică avantajele și diminuează
dezavantajele, așa încât e preferabilă folosirea unui sistem de metode pentru a realiza o
evaluare cât mai apropiată de adevăr.
Ca și în cazul evaluării orale, pentru eva luarea scrisă, este necesar să se stabilească
unele criterii de apreciere.
La cerințele de conținut, ar trebui să se țină cont de volumul și corectitudinea
cunoștințelor, de rigoarea demonstrațiilor (acolo unde este cazul).
Important este întotdeauna să nu se omită cunoștințele esențiale din materia supusă
verificării (examinării).
Prezentarea conținutului să se facă sistematic și concis, într -un limbaj
inteligibil (riguros din punct de vedere științific și corect din punct d e vedere gramatical).
Forma lucrării presupune și o anumită organizare a conținutului (în funcție de
specificul acestuia), unele sublinieri, realizarea unor scheme, tabele și grafice, pentru a
pune în valoare unele idei principale și a -i permite corectorul ui să urmărească, mai ușor,
aceste idei. Când se recurge la citate, este necesar să se indice și sursa.

 Metoda de evaluare practică
Le permite profesorilor să constate la ce nivel și -au format și dezvoltat elevii
anumite deprinderi practice, capacitatea d e „a face” (nu doar de „a ști”). Și această metodă
se realizează printr -o mare varietate de forme, în funcție de specificul obiectului de studiu
de la probele susținute de elevi la educația fizică, unde există baremuri precise, la lucrările
din laboratoare și ateliere unde elevii pot face dovada capacității de a utiliza cunoștințe
asimilate prin diverse tehnici de lucru: montări și demontări, executări de piese sau lucrări,
efectuarea unor experiențe etc.
Și, la această categorie de probe, evaluatorii trebu ie să stabilească unele criterii,
norme și/sau cerințe pedagogice, pentru că, de fapt, evaluarea din învățământ, prin oricare
dintre metode s -ar realize, are prin excelență, o valoare, o semnificație pedagogică. Aceste
cerințe nu trebuie să difere de cele formulate pe parcursul instruirii, în schimb, ele trebuie
să fie cunoscute și de elevi, împreună cu bareme (standardele) de notare.

106 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 Evaluarea cu ajutorul calculatorului
Noile tehnologii ale informării și comunicării (N.T.I.C), cu largi aplicații în toate
domeniile, au pătruns – e adevărat, destul de greu – și în învățământ.
Studii internaționale de profil menționează că aplicațiile N.T.I.C „au fost
experimentate în toate etapele procesului educativ: motivare, diagnoză, prezentarea
informațiilor, pregătire, memorare, rezolvare de probleme, verificare, notare” (O. I. D. I.,
1990)
Învățământul asistat de calculator – marea „minune” a tehnicii actuale care
zdruncină din temelii învățământul tradițional fundamentat de Comenius în celebra sa
lucrare Didactica Mag na, acum mai bine de trei secole – își propune obiective ambițioase,
cum sunt: „dezvoltarea raționamentului, imaginației și creativității, precum și a capacității
de a emite o apreciere critică asupra rezultatului dialogului om – mașină” (O.I.D.I, 1990).
Experții remarcă, pe bună dreptate, că „Informatica are un potențial educativ foarte
mare față de ceea ce ar putea oferi alte tehnologii. Informatica permite adaptarea
învățământului la cerințele fiecărui elev, la ritmul de muncă, la aptitudinile intelectua le și
la nivelul său de cunoștințe, deci, diversificarea modalităților pedagogice și personalizarea
învățământului”.
Utilizat în evaluare, calculatorul le oferă, atât profesorilor cât și elevilor, o mare
diversitate de modalități.
Spre deosebire de metodel e de evaluare tradiționale, evaluarea cu ajutorul
calculatorului este debarasată de orice elemente de subiectivism, ca și de emoțiile
care-i însoțesc pe cei mai mulți dintre elevi la verificările curente și la examene.
Ea economisește timpul și efortul eva luatorilor care, astfel, pot fi utilizate în alte
domenii. Se schimbă, deci, însuși raportul profesor -elev, prin creșterea încrederii elevilor
în obiectivitatea profesorilor.
Mai mult, elevii înșiși se pot autoevalua pe parcursul muncii independente pe car e o
depun zilnic, beneficiind de feed -back -ul atât de necesar unei învățări eficiente și
performante.
Deși metoda de evaluare cu ajutorul calculatorului este folosită, încă prea puțin, în
școala românească de toate gradele, începuturile sunt promițătoare i ar numărul adepților
utilizării ei în evaluarea curentă și la examene crește.
Integrată procesului de instruire, evaluarea asistată de calculator ar trebui să capete
o mai mare extindere în rezolvarea de probleme (mai dificile pentru elevi).

107 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

După Nisbet și Sbucksmith (1986), citați de A. K. Jalaluddin (1990), „procesul de
rezolvare a problemelor poate fi redus la următoarele operații: examinarea problemei
model, prelucrarea modelului în vederea efectuării necesare și exprimării problemei în
funcție de acest e condiții”.
Acest proces permite studiul pe bază de experiență (diferit de cel static) care,
asociat cu utilizarea materialului imprimat pe calculator, îi oferă elevului un mod interactiv
de construire și asimilare a noilor cunoștințe, concomitent cu posi bilitatea de a verifica
dacă ceea ce a învățat este corect sau nu.

 Alte metode de evaluare
În practica școlară sunt folosite și alte metode de evaluare a nivelului de pregătire al
elevilor, atât pe parcursul instruirii cât și la sfârșitul ei.
Menționăm câ teva, întâlnite mai des, în activitatea profesorilor:
• observarea;
• referatul;
• eseul;
• fișa de evaluare;
• chestionarul;
• investigația;
• proiectul;
• portofoliul;
• disertația/lucrarea de diplomă.
Multe dintre ele, cum este cazul eseului, referatului, fișei de evaluare,
chestionarului, proiectului și disertației/lucrării de diplomă, pot fi incluse în categoria
metodelor de evaluare scrisă.
OBSERVAREA (înțeleasă aici ca metodă de cunoaștere a elevului sub diverse
aspecte) poate fi folosită și ca metodă de evaluare , cu condiția să respecte aceleași cerințe
psihopedagogice , ca și în cazul unei cercetări (investigații) pe o temă dată: să aibă
obiective cla re (exemplu: stimularea interesului elevilor pentru o anumită disciplină;
ameliorarea rezultatelor școlare; creșterea caracterului aplicativ al predării și învățării); să
se efectueze sistem atic, pe o perioad ă mai îndelungată (semestru sau an școlar); să s e
înregistreze operativ, într-o fișă specială sau într -un caiet, rezultatele observării.
Obiectul observării îl constituie: activitatea elevilor, comportamentul lor, produsele
unor activități realizate în conformitate cu cerințele programelor școlare

108 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

sau c ombinație a lor.
Rezultatele observării vor fi comparate cu rezultatele la învățătură, în urma unor
analize calitative și cantitative (matematice și statistice).
Observarea va fi folosită, mai ales, pentru sesizarea cât mai exactă a cauzelor care
determină obținerea unor rezultate slabe la învățătură la anumiți elevi și oscilațiile
(variațiile) prea mari în pregătirea altora, dar și pentru a evita erorile de apreciere prin
atribuirea unor note (fie prea mari, fie prea mici) sub impresia momentului, a unor e valuări
conjuncturale.
În mod deosebit, prin observarea sistematică a comportamentului și activității
elevilor, se evită, atât supraestimarea unor elevi ca urmare a impresiei bune create despre
ei, cât și subestimarea celor despre care există o impresie pr oastă.
În toate cazurile însă, valoarea observării depinde de rigoarea cu care este făcută și
de competența evaluatorului.

REFERATUL (folosit ca bază de discuție în legătură cu o temă dată fiind menit
să contribuie la formarea sau dezvoltarea deprinderilo r de muncă independentă ale elevilor
din clasele mari sau ale studenților), este și o posibilă probă de evaluare a gradului în care
elevii sau studenții și -au însușit un anumit segment al programei, cum ar fi o temă sau o
problemă mai complexă dintr -o temă .
El este întocmit fie pe baza unei bibliografii minimale, recomandate de profesor, fie
pe baza unei investigații prealabile, în acest din urmă caz, referatul sintetizând rezultatele
investigației, efectuate cu ajutorul unor metode specifice (observarea, c onvorbirea, ancheta
etc.).
Când referatul se întocmește în urma studierii anumitor surse de informare, el
trebuie să cuprindă atât opiniile autorilor studiați în problema analizată, cât și propriile
opinii ale autorului.
Nu va fi considerat satisfăcător re feratul care va rezuma sau va reproduce anumite
lucrări studiate, cu speranța că profesorul, fie nu cunoaște sursele folosite de elev sau de
student, fie nu sesizează plagiatul.
Referatul are, de regulă trei -patru pagini și este folosit doar ca element de portofoliu
sau pentru acordarea unei note parțiale în cadrul evaluării efectuate pe parcursul instruirii.
Deoarece el se elaborează în afara școlii, elevul putând beneficia de sprijinul altor
persoane, se recomandă susținerea referatului în cadrul clasei/g rupei, prilej cu care
autorului i se pot pune diverse întrebări din partea profesorului și a colegilor.

109 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Răspunsurile la aceste întrebări sunt, de regulă, edificatoare în ceea ce privește
contribuția autorului la elaborarea unui referat, mai ales când între bările îl obligă la
susținerea argumentată a unor idei și afirmații.

ESEUL, preluat din literatură (unde este folosit pentru a exprima liber și cât mai
incitant, anumite opinii, sentimente și atitudini, referitoare la diverse aspecte ale vieții
oamenilor, într-un număr de pagini cât mai mic), poate fi folosit și ca metodă de evaluare.
Problematica eseului în învățământ este foarte diversă putând fi abordată atât cu
mijloace literare, cât și cu mijloace științifice, într -un spațiu care, de regulă, nu depășe ște
două -trei pagini.
Rostul eseului, ca metodă de evaluare, este acela de a -i da elevului sau studentului
posibilitatea de a se exprima liber, de a -și formula nestingherit opiniile față de un anumit
subiect, neîncorsetat de anumite scheme livrești sau de prejudecăți.
El este o alternativă la testul grilă, bazat pe itemi stereotipi, cu alegere duală sau
multiplă, care tind să monopolizeze evaluările sumative în ultimii ani.
Și eseul însă, ca și referatul, poate oferi informații limitate despre nivelul de
pregătire al unui elev sau student, informațiile lui urmând a fi corelate cu informațiile
obținute cu ajutorul altor metode de evaluare.
Oricum, eseul se bucură de o largă apreciere în rândul elevilor și studenților și,
atunci când este bine folosit (ca mo ment și ca domeniu de aplicare), le oferă evaluatorilor
informații foarte interesante, cel puțin în ceea ce privește capacitatea de gândire a elevilor
(studenților), imaginația lor, spiritul critic, puterea de argumentare a unor idei personale și
altele as emenea, ce nu pot fi „măsurate”, la fel de precis, cu alte metode de evaluare.

FIȘA DE EVALUARE este un formular de dimensiunea unei coli de hârtie A4
sau A5 (în funcție de numărul și complexitatea sarcinilor de îndeplinit), pe care sunt
formulate diverse exerciții și probleme ce urmează a fi rezolvate de elevi în timpul lecției,
de regulă după predarea de către profesor a unei secvențe de conținut și învățarea acesteia,
în clasă, de către elevi.
În aceste condiții, fișa de evaluare se folosește, mai ales, pentru obținerea feedback –
ului de către profesor, pe baza căruia el poate face precizări și completări, noi exemplificări
etc., în legătură cu conținutul predat.

110 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Nu este, deci, obligatoriu ca elevii să fie notați, fișa de evaluare având, în felul
acesta, un pronunțat caracter de lucru, de optimizare a învățării, ceea ce o și deosebește de
testul de evaluare care se folosește, prioritar, pentru aprecierea și notarea elevilor.
Fișa de evaluare mai poate fi folosită și pentru înregistrarea rezultatelor observ ării
sistematice a comportamentului și activității elevilor, în această situație evaluarea având un
rol sumativ.

CHESTIONARUL, folosit pe scară largă în anchetele de teren de către sociologi,
precum și ca metodă de cercetare psihopedagogică, poate fi folo sit și ca instrument de
evaluare, mai ales atunci când profesorul dorește să obțină informații despre felul în care
elevii percep disciplina predată sau stilul lui de predare și de evaluare.
Cu ajutorul chestionarului se pot obține informații despre opțiun ile elevilor și
atitudinea lor față de disciplină sau față de anumite probleme cuprinse în programă și
manual, ceea ce înseamnă că, pe această cale, putem obține informații și despre nivelul lor
de motivație la o anumită disciplină.
Nu este însă mai puțin adevărat că, prin intermediul chestionarului, se pot obține și
informații referitoare la pregătirea elevilor (chestionarea putându -se face atât oral, cât și în
scris), cu toate că, în practică, sunt preferate alte metode și instrumente ce permit obținerea
unor informații mai relevante (testul, de exemplu, fiind bazat pe o mare varietate de itemi,
asigură o apreciere mult mai riguroasă decât chestionarul).
Când dorește însă o informare operativă cu privire la stăpânirea de către elevi a
unor probleme esenția le, dintr -o lecție, dintr -o temă sau dintr -un capitol, profesorul poate
recurge la chestionar.
Pe baza răspunsurilor primite de la elevi, el poate face nu doar aprecieri privind
gradul de însușire a unor cunoștințe, ci și precizări, completări, dezvoltări etc., care să
conducă la o mai bună cunoaștere a unei anumite părți din materia parcursă.

INVESTIGAȚIA (în sensul de cercetare, descoperire) se folosește, de regulă, ca
metodă de învățare, pentru a -i deprinde pe elevi să gândească și să acționeze independ ent,
atât individual cât și în echipă.
La începutul semestrului, profesorul stabilește lista de teme pe care elevii urmează
să le abordeze cu ajutorul investigației, perioada investigației, modul de lucru, de
prezentare și de valorificare a rezultatelor.
Investigația se poate realiza individual sau colectiv.

111 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Este de preferat ca rezultatele să fie analizate cu clasa de elevi, pentru ca profesorul
să poată formula observații, aprecieri și concluzii.
Pe baza analizei activității elevilor și a rezultatelor obținute de ei în cadrul
investigației, profesorul poate acorda note, valorificând, în felul acesta, funcția evaluativă a
investigației.

PROIECTUL are, de asemenea, un dublu rol: el poate fi folosit cu elevii din
clasele mari de liceu și cu studenții pent ru învățarea unor teme mai complexe, care se
pretează la abordări pluridisciplinare, interdisciplinare și transdisciplinare sau ca metodă de
evaluare (pe parcursul instruirii sale) sumativă. Cu ajutorul lui elevii/studenții, pot face
dovada că au capacitat ea de a investiga un subiect dat, cu metode și instrumente diferite,
folosind cunoștințe din diverse domenii. Uneori, proiectul este folosit ca probă de evaluare
la absolvirea unei școli profesionale, a unui liceu industrial sau cu profil artistic, precum și
la absolvirea unei facultăți din domeniile tehnicii, artei, arhitecturii etc.
Ca și în cazul investigației, profesorul stabilește lista temelor de proiect, perioada de
realizare și -i inițiază pe elevi sau pe studenți asupra etapelor și a tehnicilor de l ucru
(individual sau colectiv).
Elevii/studenții trebuie să fie orientați și îndrumați și (eventual) sprijiniți de
profesor în colectarea datelor necesare (potrivit temei alese sau repartizate), iar pe
parcursul realizării proiectului să beneficieze de con sultații și de evaluări parțiale.
La aceste evaluări, ca și la evaluarea finală (când proiectul se prezintă sau se
susține), profesorul operează cu anumite criterii, referitoare, atât la proces (documentarea,
utilizarea datelor și a informațiilor în formul area concluziilor etc.), cât și la produs
(structura proiectului, concordanța dintre conținut și temă, capacitatea de analiză și sinteză,
relevanța concluziilor, caracterul inedit al rezultatelor etc.). Aceste criterii se recomandă să
fie cunoscute și de e levi/studenți.
PORTOFOLIUL , este o metodă de evaluare mai veche, folosită, îndeosebi, în
învățământul primar, unde învățătorii le cereau elevilor să realizeze o seamă de lucrări, pe
parcursul instruirii, care constituiau un fel de carte de vizită a lor. Ac este lucrări,
cuprinzând compuneri, rezolvări de probleme, diverse produse executate la lucrul manual,
ierbare, insectare, colecții minerale și altele asemenea, erau apreciate și notate, iar cele mai
reușite erau prezentate în cadrul unor expoziții organiz ate la sfârșitul anului școlar.
„Descoperită” după anul 1989 și numită „portofoliu”, metoda s -a extins și la
celelalte trepte de învățământ, dându -i-se un conținut mai precis.

112 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Adrian Stoica o include între metodele „complementare” de evaluare, alături de
observare, de investigație și de proiect, nici ele noi dar mai bine definite, evidențiindu -li-se
valențele formative și apartenența la ceea ce autorul numește „evaluare autentică”, prin
care înțelege „un concept relativ nou” ce „se referă la evaluarea perfo rmanțelor elevilor
prin sarcini de lucru complexe” (Stoica, A., 2003).
În această perspectivă, Adrian Stoica include în portofoliu diverse rezultate ale
activității desfășurate de elevi pe parcursul instruirii, înregistrate fie cu ajutorul metodelor
consid erate „tradiționale” (orale, scrise și practice), fie cu ajutorul celor numite
„complementare” (observarea, proiectul, investigația).
Fără a minimaliza valoarea portofoliului și a celorlalte metode „complementare”,
suntem de părere că oricare dintre metode le de evaluare (mai vechi sau mai noi,
„tradiționale” sau „moderne”) trebuie utilizate de profesori și apreciate în raport cu
„fidelitatea” lor, adică cu gradul în care ele reușesc să măsoare cât mai riguros ceea ce
vrem să măsurăm, măsurarea fiind o carac teristică importantă a oricărei evaluări.
Ideea pentru care pledăm este aceea de a nu absolutiza nici o metodă de evaluare ci,
de a utiliza un sistem de metode, amplificându -le astfel avantajele și diminuându -le
dezavantajele.
Să nu uităm că elementele por tofoliului sunt lucrări executate de elev, de regulă, în
cadrul activității independente din afara școlii, el putând beneficia de îndrumarea altor
persoane sau prelua de la acestea lucrări gata făcute.
Așadar, și portofoliul va putea fi folosit ca o altern ativă, alături de alte metode,
conținutul său fiind precizat de evaluator, în funcție de specificul disciplinei de studiu, la
începutul semestrului sau al anului de învățământ.
DISERTAȚIA este folosită sub această denumire sau sub denumirea de lucrare
de absolvire, de licență sau de diplomă, la încheierea unei școli sau a unei facultăți.
Disertația este o lucrare științifică mai amplă, susținută public, în fața unei comisii
de examen. Pe parcursul realizării, autorul (elev sau student) beneficiază de îndrum area
unui profesor, specialist în domeniul din care a fost aleasă tema lucrării. Ea se folosește și
ca probă finală în obținerea titlului de doctor în științe sau, sub formă de discurs, la
primirea în Academia Română.
Faptul că frecven ța cotidiană a elevi lor este slabă , iar exigențele cadrelor didactice
sunt mai mici decât în alte țări, se reflectă în scăderea nivelului rezultatelor la examene,
mai ales ale celor ilustrând capacitățile de gândire ale elevilor.

113 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

„Malnutriția intelectuală”, cauzată și de conținutul programelor școlare, este
ilustrată în special de rezultatele școlare nesatisfăcătoare obținute la disciplinele
fundamentale. De exemplu, este de -a dreptul alarmant gradul de însușire de către elevi a
limbii naționale (atât în privința modului d e exprimare, cât și a capacității de înțelegere).
În continuare sunt abordate patru aspecte ale noțiunii de reușită școlară, implicit ale
sistemului de evaluare:
În prezent, această reușită depinde, în primul rând, de aptitudinile elevului de a
se exprima operativ în scris, care, la rândul ei, este în funcție de capacitatea fiecăruia de
memorare a datelor. Examenul privilegiază, deci, această capacitate, punând accentul mai
mult pe cunoștințe decât pe deprinderi, mai curând pe memorare decât pe priceperea d e a
sesiza esența unei probleme, în sfârșit, mai mult pe exprimarea scrisă decât pe alte forme
de comunicare.
Un alt aspect al reușitei școlare care trebuie avut în vedere și care este mai
dificil de evaluat, fiind deci mai slab înregistrat la examene, îl constituie capacitatea
elevului de a utiliza cunoștințele, de preferat aceleia de a le însuși, aptitudinea lui de a le
folosi mai degrabă pe plan practic decât pe plan teoretic.
O a treia problemă este aceea a aptitudinilor personale și sociale: predispozi ția
elevului de a comunica cu alții, înclinația spre cooperare (în interesul colectivului și al său),
spiritul de inițiativă, încrederea în sine, capacitatea de a lucra singur, fără supraveghere.
Practic, asemenea calități nu intră în preocupările comisiil or de examen.
Un al patrulea aspect privește motivația elevului și autoangajarea, puterea de a
accepta eșecul fără a -i dramatiza urmările, perseverența, convingerea că trebuie să învețe
fără a se lăsa descurajat de dificultățile întâmpinate. Multor elevi i ntrați în școală fără
motivație, profesorii au reușit să le cultive interesul pentru învățătură, ca o precondiție a
reușitei școlare. În cazurile în care școala n -a acordat cuvenita importanță acestui aspect,
celelalte trei au fost, în mod automat, neglija te.
Având în vedere că tinerii care sosesc pe piața muncii trebuie ca, pe lângă un nivel
corespunzător de instruire școlară, să aibă o serie de calități în ceea ce privește
comunicarea, creativitatea, autonomia și luarea deciziilor, autorii propun, printre altele, o
reconsiderare a sistemului de evaluare în cadrul examenelor, în contextul unei reforme mai
ample a învățământului.

114 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3.8. [17]EVALUAREA PRIN PROIE CTE
 Reprezintă „o metodă complexă de evaluare, individuală sau de grup,
recomandată profesorilor pentru evaluarea sumativă.” (Cucoș, 2008, 138).
 Elaborarea proiectului necesită o perioadă mai mare de timp (câteva zile sau
câteva săptămâni) și poate fi sarcină de lucru individuală sau de grup.

În utilizarea acestei metode se parcurg următoarele etape :
1. Stabilirea temelor pentru proiect (pot fi implicați și elevii, dacă le este deja
familiar acest tip de activitate).
2. Stabilirea și precizarea perioadei de realizare a proiectului .
3. Familiarizarea elevilor cu exigențele specifice elaborării unui proiect .
4. Planificarea activității (individuale sau de grup)
– formularea obiectivelor proiectului;
– constituirea grupelor de elevi (dacă este cazul);
– distribuirea/alegerea subiectului de către fiecare elev/grup de elevi;
– distribuirea/asumarea responsabilităților de către fiecare membru al grupului;
– identificarea surselor de documentare.
5. Desfășurarea cercetării/colectarea datelor .
6. Realizarea produselor/materialelor .
7. Prezentarea rezultatelor obținute/proiectului .
8. Evaluarea proiectului .

Este indicat ca profesorul să le recomande elevilor ca în realizarea proiectului să
respecte următoarea structură (adaptare după Stoica, 2001, 60 -61):
a. Pagina de titlu (include tema proiectului, numele autorului/autorilor, școala, clasa,
perioada de realiza re);
b. Cuprinsul (se precizează titlurile capitolelor și subcapitolelor);
c. Introducerea (se fac referiri la importanța temei, cadrul conceptual și metodologic);
d. Dezvoltarea elementelor de conținut prezentate în cuprins;
e. Concluzii;
f. Bibliografie;
g. Anexe.

115 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Pe parcursul realizării proiectului, cadrul didactic oferă suport și consultații elevilor
în desfășurarea cercetării, în colectarea datelor necesare și poate efectua evaluări parțiale.
Evaluarea proiectului implică atât raportarea la calitatea produsului, cât și la calitatea
procesului, a activității elevului. În acest sens, este necesar ca profesorul să formuleze
criterii clare, susceptibile de a asigura o evaluare obiectivă, și să le comunice elevilor.

Un exemplu de structurare a criteriilor de evaluar e a unui proiect îl oferă A. Stoica, în
lucrarea sa – Evaluarea curentă și examenele. Ghid pentru profesori (2001, 63):
 Stabilirea scopului/obiectivelor proiectului și structurarea conținutului;
 Activitatea individuală realizată de către elev (investigați e, experiment,
anchetă etc.);
 Rezultate, concluzii, observații. Aprecierea succesului proiectului, în
termeni de eficiență, validitate, aplicabilitate etc.;
 Prezentarea proiectului (calitatea comunicării, claritate, coerență, capacitate
de sinteză etc.);
 Relevanța proiectului (utilitate, conexiuni interdisciplinare etc.).

 Avantaje ale utilizării proiectului ca metodă de evaluare :
 este, în același timp, o metodă eficientă de evaluare, dar și o metodă de învățare
interactivă;
 plasează elevul într -o situație de cercetare autentică;
 cultivă responsabilitatea pentru propria învățare și rezultatele acesteia;
 asigură implicarea tuturor elevilor în realizarea sarcinilor propuse;
 facilitează abordările de tip inter – și transdisciplin ar;
 promovează interevaluarea/autoevaluarea și interînvățarea;
 oferă posibilitatea aprecierii unor rezultate de diverse tipuri (cunoștințe, capacități,
abilități);
 permite exersarea și evaluarea:
 capacității de a observa;
 capacității investigative;
 capacității de analiză, sinteză, comparație, generalizare și abstractizare;
 capacității de a utiliza tehnici specifice de muncă intelectuală;
 capacității de a utiliza, asocia, transfera diverse cunoștințe;

116 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

 capacității argumentative;
 capacității de a realiz a un produs etc.;
 asigură dezvoltarea competențelor de relaționare, a competențelor de comunicare;
 stimulează creativitatea;
 facilitează dezvoltarea încrederii în propriile forțe etc..

 Limite ale utilizării proiectului ca metodă de evaluare :
 apariția unor conflicte între elevi (în condițiile elaborării în grup a proiectelor);
 minimalizarea rolului profesorului etc..

117 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

CAPITOLUL I V
CREATIVITATEA
4.1.[30] CONCEPTUL DE CREATIVITATE
Creativitatea constituie una dintre problemele majore ale contemporaneității, devenind
un ,,concept central" î n psihologie. Creativitatea a devenit una dintre cele mai fascinante
probleme, depășind cu mult sfera psihologiei și pătrunzând în cele mai divers e specialități
științifice .
Unii psihologi formulează definiții reducționiste, prin asimilarea creativității cu alte
fenomene psihice (capacit ăți, aptitudini, rezolvare de probleme, inteligen ță, etc.). Pentru
Guilford creativitatea și rezolvarea de problem e nu se deosebesc prin nimic între ele.
Manualele recente de psihologie consider ă creativitatea „un caz particular al rezolvării
problemelor ”(Wittig ) sau „un tip de rezolvare a problemelor ”(Papalia ).
Conceptul de creativitate își are originea în cuvântul l atin creare care înseamnă
zămislire, făurire, naștere.
Într-o accepțiune foarte larg ă, creativitatea constituie un fenomen general uman,
forma cea mai înaltă a activității omenești.
Din perspectiva ceva mai îngustă și mai specific psihologică , creativitate a apare în 4
accepțiuni importante: ca produs; ca proces; ca disponibilitate, potențialitate general
umană , ca o capacitate și abilitate creativ ă; ca dimensiune complexă de personalitate.
4.2. [30]CREATIVITATEA CA PRO DUS
Cei mai mulți psihologi care au definit creativitatea s -au referit la caracteristicile
produsului creator, ca note di stinctive ale ei. Caracteristicile esențiale ale unui produs al
activității umane care sa permită încadrarea acestuia în categoria produselor creatoare au
fost considerate :
1. noutatea si originalitatea lui
– acest atribut al produsului creator a fost interpretat :
– în sens foarte larg , luând în considerare noutatea produsului creator (Newell,
Shaw, Simon)
– în sens restr âns luând în considerare numai n outatea produsului pentru
societate.(Al. Roșca)
– ,,noul " a fost interpretat și dintr -o altă accepțiune impus ă de necesitatea
evaluării răspunsurilor la testele de creativitate, și anume nou în sens de rar întâlnit

118 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

din punct de vedere statistic. Unicitatea ră spunsului devine deci esențială pentru
considerarea lui ca fiind nou și original, chiar dac ă luat în sine răspunsul este banal.
Noutate a produsului trebuie considerată însă numai corelativ cu utilitatea lui ,, Întrucât
un produs poate s ă fie o riginal, dar f ără valoare, cei doi termeni ai definiției nu pot fi
separați "(Roșca).
2. valoarea, utilitatea social ă, și aplicabilitatea vast ă
4.3. [30]CREATIVITATEA CA PRO CES
Aceasta accepțiune vizează caracterul fazic, procesual al crea tivității, faptul c ă ea
necesită parcurgerea unor etape disti ncte între ele, num ărul acestora variind de la autor la
autor.
ui creator:
– preg ătirea, incuba ția, iluminarea, verificarea
Atitudinea psihologic ă față de aceste etape a fost extrem de variat ă:
– incuba ția a fost contestat ă, Guilford o considera ca fiind mai degrab ă o condi ție
decât o form ă a activit ății cum sunt celelalte etape.
– Iluminarea controversat ă (pot avea loc il umin ări false)
– Succesiunea etapelor a r ămas neconfirmat ă (uneori etapele se suprapun, se
inverseaz ă așa încât procesul creator este nu stadial, ci continuu cu întrep ătrunderea
etapelor).
Singurele două etape care au întrunit adeziunea tuturor psihologi lor au fost prepararea
si verificarea.
Dar și în cazul acestora au fost evidenț iate diferen țe importante între ele în func ție de
tipul de crea ție.
4.4. [30]CREATIVITATEA CA POT ENȚIALITATE GENERAL UMA NĂ
Aceast ă accep țiune ofer ă răspunsul la una dintre problemele mult dezbă tute în
psihologie: exista oameni noncreatori?
De-a lungul timpului au fost formulate o serie de teorii care refuzau creativitatea unor
oameni.
Astfel creativitatea a fost considerată ca fiind un dar sau har divin rezervat unor
privile giați ai soartei, unei minorit ăți.
Unii autori o credeau ca fiind o capacitate înnăscută, transmis ă pe cale ereditar ă.
Galton, în lucrarea sa Hereditary genius afirma c ă exist ă atâtea talente c âte s-au
manifestat, afirmat.

119 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Asemenea concep ții au fr ânat nu numai studiul științific al creativit ății, ci și
dezvoltarea creativității multor oameni. Creativitatea este o capacitate general uman ă.
Sub o forma latent ă, virtual ă, evident în grade și proporții diferite, se găsește la fiecare
individ.
4.5. [30]CREATIVITATEA CA DIM ENSIUNE COMPLEX Ă A
PERSONALIT ĂȚII
Creativitatea integrează în sine întreaga personalitate și activitate psihic ă a individului
iar la rândul ei, se subsumează și integrează organic în structurile de personalitate devenind
astfel una dint re dimensiunile cele mai complexe ale personalității. Creativitatea este o
dimensiune de sine st ătătoare a personalității , integrat ă organic în ea.
După Guilford , personalitatea creatoare se distinge prin:
– fluiditate
– flexibilitate
– originalitate
– elaborare
– sensibilitate fa ță de probleme
– capacitate de redefinire.
Taylor : anumite tr ăsături ale personalității cum ar fi :
– lipsa de îngâmfare
– toleran ță față de situațiile ambigui
– încredere în propria activitate creatoare
sunt def initorii pentru personalitățile creatoare .
Pentru caracterizarea persoanelor înalt creative, în afara metodei descrierii și
autodescrierii, s -a utilizat și metoda studierii familiilor cu persoane creative.
S-a descoperit c ă oamenii creativi nu -și petrec de obicei copil ăria într-un climat de
dragoste și căldură patern ă, dimpotrivă relațiile dintre ei și părinții lor sunt reci ș i distante,
bazate pe încurajarea gândirii și acțiunii independente.
Studiul a 100 de persoane excep ționale între 17 -35 ani (matemati cieni, olimpici) a
demonstrat ca acestea au fost de timpuriu absorbite de lumea științei, sportului, în multe
cazuri p ărinții practic ând profesiunile respective.
Prin creativitate, personalitatea uman ă se înscrie într-un orizont axiologic, omul
valorificâ ndu-se pe sine însuși .

120 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

4.6. [30]FACTORII CREATIVITĂȚ II
Fiind o dimensiune a personalității atât de complexă , creativitatea este nu numai
plurifazic ă, ci și multidimensional ă. Factori extrem de diverși ca natura, structura și
valoare a acționează asupra in dividului pentru a genera contextul propice funcțion ării ei.
Factorii interiori -structurali sunt de natur ă psihologic ă.
Se subdivid în 3 categorii:
– intelectuali (se refer ă la inteligen ța și la gâ ndirea creatoare, cu forma ei
esențială gândirea divergent ă, orientat ă spre solu ții)
– afectiv -motiva ționali (dezlănțuie, susțin si orientează creativitatea; curiozitatea,
pasiunea, creșterea tensiunii motivaționale, tendința de autorealizare, tendința de a
comunica sau nevoia de nou si de claritate impulsionează creația)
– de personalitate (atitudinali, aptitudinali, temperamentali – cresc sau frânează
poten țele creatoare ale individului; inițiativa, tenacitatea, atitudinea activ ă față de
dificult ăți, asumarea riscului, îndrăzn eala în gândire facilitează creația, pe când indecizia,
autodescurajarea, timiditatea excesiv ă, frica de critică sau de e șec o inhib ă)
Factorii exterior -conjuncturali sau socioculturali sunt legați de particularitățile
sociale, istorice, de orânduirea, cla sa social ă, de grupul căruia aparține individul, de
condițiile materiale favorabile sau precare, ca și de ceea ce am putea numi ,,spiritul
timpului".
Factorii psihosociali se refer ă la ambian ța relațională , la climatul psihosocial în care
trăiește individu l.
Climatele destinse, cooperatoare bazate pe încurajarea schimbului de idei favorizează
creația, în timp ce cele tensionale, conflictuale, rigide, conformiste o frâ nează.
Factorii socio -educa ționali sunt legați de nivelul educațional, de prezen ța sau
absența influen țelor educati ve ale familiei, procesului de î nvățământ, colectivelor de
munca , etc.
Analiza globa lă a acestor factori ne duce la câteva concluzii:
1. Creativitatea nu poate fi redus ă la factori psihologici. Aceștia deși
indispensabili prin ei înșiși nu conduc automat la crea ție.
2. Nici în interiorul factorilor psihologici nu pot fi f ăcute reducț ii
unilaterale la factorii intelectuali, cei mai de și invoca ți în leg ătura cu creat ivitatea, ci
este necesar ă considerarea multitudinilor.

121 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

3. Ceea ce contează în actul creator este nu atât prezenț a în sine a tuturor
factorilor, ci configura ția lor. Se pare c ă raporturile dintre facto ri sunt mult mai
importante decâ t valoarea absolut ă a fiec ăruia în parte.
4.7. [30]RELA ȚIA DINTRE CREATIVITA TE ȘI INTELIGEN ȚĂ
La prima vedere s -ar putea crede ca între creativitate ș i inteligen ță exist ă o corela ție
crescut ă.
Cercetările nu au confirmat însă o asemenea presupunere. P ână în anii '60 relația
creativitate -inteligen ță a fost studiat ă accidental.
Adevărata controvers ă cu privire la raportul dintre cele 2 dimensiuni ale personalității
începe o data cu apariția lucrării lui GETZELS si JACKSON , Creativity and Intelligence
(1962).
Cei 2 auto ri au selecționat dintr -un eșantion mai mare, investigat prin teste de
inteligen ță și creativitate, 2 grupuri de subiecți:
– primul grup conținea 26 de s ubiecți care se situaser ă printre primii 20% la testele
de creativitate, f ără a fi printre primii 20% și la testele de inteligenta;
– cel de -al doilea grup cuprindea 28 de s ubiecți situați printre primii 20% la testele
de inteligenta, f ără a fi printre primii 20% și la cele de creativitate.
Comparând rezultatele acestor grupuri artificial construite s -a ajuns la ideea
independen ței absolute și chiar a antagonismului î ntre coeficientul de inteligen ță și cel de
creativitate.
R.L. Thorndike în '63 reexamin ând datele lui Getzels și Jackson pe un e șantion
reprezentativ a descoperit existen ța unor corelații ridicate între testele de inteligen ță și cele
de creativitate, ca și cele dintre diferite teste de creativitate. Constatările lui Thorndike au
rămas singulare, mul ți autori au infirmat existen ța unui asemenea tip de corela ție.
Astfel, Torr ance în '62 refăcând cercetările lui Getzels ș i Jackson, tinde s ă exagereze
contrastul dintre inteligen ță și creativitate.
După opinia multor psihologi aceste rezultate nu sunt surprinzătoare, ele se datorează:
– erorilor de eșantionar e
– unor caracteristici ale instrumentelor de diagnoz ă folosite
– cauza esențială o constituie faptul c ă prin testele de
inteligen ță se m ăsoară gândirea convergent ă, iar prin cele de creativitate g ândirea
divergen tă, total opuse între ele.
Se pare c ă atributele psihice care facilitează inteligen ța nu sunt aceleași cu cele
implicate în creativitate.

122 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Alți autori au descoperit c ă nu inteligen ța în general contează în procesul creator, ci
un anumit nivel al ei. S -a considerat c ă pentru a se ob ține performan țe creative este necesar
un nivel minimal de inteligen ță, care variaz ă de la un moment la altul de activitate. Pentru
activitatea științifică nivelul minim al coeficientului de inteligen ță ar fi de 110, iar pentru
activitatea artistic ă de 95 -100. Peste acest nivel minim, un coeficient de inteligen ță mai
ridicat nu garantează o cre ștere automat ă a creativit ății.
Cercet ările au descoperit ca scorurile peste medie sau fost foarte joase la testele de
inteligen ță și au o asocia ție scăzută cu creativitatea.
Dacă o inteligen ță crescut ă nu garanteaz ă activitatea, o inteligen ță scăzută lucrează
împotriva ei. O frână în calea creativit ății o poate reprezenta și un nivel foarte înalt al
inteligen ței. A ap ărut astfel problema coeficientului de inteligen ță optimal pentru
activitate. Studiile lui Simonton arată că nivelul optimal al lui Q.I. pentru creativitate este
de 19 puncte deasupra mediei subiec ților dintr -un câmp de investiga ție.
Când persoanele dispun de nivelul optimal a l inte ligenț ei, performan țele lor creative
sau noncreative se datoreaz ă factorilor nonintelectuali (motiva ționali și de personalitate).
Decurge de aici ideea c ă nu at ât nivelul de inteligen ță în sine contează , cât modul l ui
de utilizare .
Se poate vorbi de o utilizare creativ ă a inteligenț ei sau de una noncreativ ă, steril ă.
Sterilitatea inteligen ței nu este o consecin ță direct ă a insuficientei dezvolt ări a
inteligen ței, ci a absen ței sau insuficientei dezvolt ări a altor atribute specifice creativit ății
(redusa fantezie creatoare, slaba independen ță a gândirii, slaba originalitate).

123 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

CAPIT OLUL V
PROIECTAREA DIDACTICĂ

5.1. PLANUL UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE
Tare c onexitate, componente tare conexe în grafuri orientate – folosind metoda
instruirii asistată de calculator(IAC) .

Autor unitate : Prof. Gheorghiu C onstantin Bogdan
Județ : Galați
Denumire școală : Colegiul Național „Spiru Haret”
Localitate : Tecuci
Prezentare generală a unității de învățare :
Titlul planului unității de învățare:
”Tare c onexitate, componente tare conexe în grafuri orientate”
Unitatea presupune studiul – ca element de conținut – a următoarelor subunități:
– Tare c onexitate în grafuri orientate;
– Descompunerea grafurilor orientate în componente tare conexe.
Aria tematică : info rmatică
Tipul lecției : dobândire de noi cunoștințe
Locul de desfășurare : laboratorul de informatică
Clasa : a XI-a A matematică -informatică, neintensiv
Timp necesar : 50 minute
Competențe generale :
Identificarea datelor care intervin într -o problemă și aplicarea
algoritmilor fundamentali de prelucrare a acestora;
Elaborarea algoritmilor de rezolvare a problemelor;
Implementarea algoritmilor într -un limbaj de programare.
Competențe specifice :
Descrierea operațiilor specifice structurii de stivă și elaborarea unor
programe care să implementeze aceste operații;
Aplicarea algoritmului Kosaraju pentru verificarea proprietății de tare
conex a unui graf orientat;

124 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Identificarea și descompunerea în componente tare conexe a unui graf
orientat .
Obiective ope raționale și rezultate așteptate :
Să utilizeze ter minologia specifică grafurilor o rientate;
Să utilizeze algoritmi de implementare a grafurilor orientate;
Să rezolve aplicațiile propuse prin utilizarea cunoștințelor dobândite;
Să descrie în limbajul de pro gramare studiat algoritmul Kosaraju ;
Să definească noțiunea de graf tare conex;
Să definească noțiunea de componentă tare conexă;
Să implementeze în limbajul de programare studiat verificarea proprietății
de graf tare conex și descompunerea acestuia în com ponente tare conexe.
Aptitudini obligatorii :
Cunoștințe generale pentru ca elevul să poată începe studiul unității de învățare:
Elevii și -au însușit noțiunile fundamentale:
a) definiție, incidență, adiacență, grad;
b) metode de reprezentare: matricea de adiace nță, vectorul
de muchii, listele de adiacență;
c) lanț, drum;
d) subgraf;
Elevii utilizează și operează corect cu algoritmul D.F.;
Elevii utilizează corect calculatorul și aplicația C++.
Strategii didactice :
 Principii didactice :
– Principiul participării și învățării active;
– Principiul asigurării progresului gradat al performanței;
– Principiul conexiunii inverse.
 Metode de învățământ :
– Metode de comunicare orală: expunere, conversație;
– Metode de acțiune: exercițiul, învățarea prin descoperire, rezolvarea
de pro bleme;
– Instruirea asistată de calculator: utilizarea aplicației C++ și Power
Point în predare.
 Procedee de instruire :

125 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

– Conversația de verificare a cunoștințelor;
– Conversația euristică, cu scopul de a redescoperi cunoștințele;
– Învățarea prin descoperire, pri n rezolvarea de probleme;
– Conversația de consolidare în etapa de fixare a cunoștințelor.
 Forme de organizare :
– Frontală;
– Individuală.
 Forme de dirijare a învățării : dirijată de profesor sau independentă.
 Resurse materiale :
– Material bibliografic: Tudor Sorin, Manual pentru clasa a XI -a,
Editura L&S, INFOMAT, București, 2001;
– Fișe de lucru;
– Calculator;
– Videoproiector.
 Metode de evaluare :
– Evaluare inițială: întrebări orale și exerciții;
– Evaluare finală: fișe de lucru.
Desfășurarea lecției :
Moment organizat oric:
 Pregătirea lecției:
– Întocmirea proiectului didactic;
– Pregătirea setului de întrebări;
– Pregătirea setului de aplicații;
– Pregătirea temei.
 Organizarea și pregătirea clasei: 2 min
o verificarea frecvenței.
o Captarea atenției clasei:
– Anunțarea subiectului pentru tema propusă;
– Anunțarea obiectivelor urmărite;
– Anunțarea modului de desfășurare a activității.
Reactualizarea cunoștințelor : 10 min
 Se reactualizează cunoștințele cu ajutorul fișei 1. Evaluarea în etapa de
reactualizare se realizează frontal.

126 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

FIȘA 1
1. Ce este stiva și ce operații putem efectua în aceasta?
2. Fie stiva cu elementele a, b, c, d introduse în această ordine. Specificați forma stivei după fiecare
din operațiile: AD(e), AD(f), AD(g), EL, EL.
3. Fie graful orientat din figură:

a) scrieți secvențele de vârfuri din graf, ce constituie lanțuri elementare de lungime 2, între vârfurile
1 și 3;
b) scrieți toate secvențele de vârfuri din graf, ce constituie drumuri elementare de lungime 2;
c) parcurgeți în adâncime graful, utilizând algoritmul D.F., alegând vârf de start 6 .
4. Fie un graf orientat cu n=10 vârfuri și m=7 arce. Câte grafuri parțiale distincte cu 3 arce pot fi
generate?
5. Care dintre afirmațiile următoare, referitoare la un graf orientat, este adevărată?
i. Orice lanț este și drum;
ii. Orice drum este și circuit;
iii. Orice drum este și lanț;
iv. Cel mai scurt drum conține cel puțin 3 v ârfuri.

RĂSPUNSURI AȘTEPTATE
1.Stiva este reprezentată printr -un vector, care funcționează pe principiul „ ultimul intrat – primul
ieșit”( LIFO). Aceasta deține un capăt, de intrare – extragere a datelor . Operațiile ce se pot efectua
sunt de adăugare a informațiilor pe la un capăt, respectiv extragerea acestora pe la același capăt.

2.

AD(e)

127 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

AD(f)

AD(g)

EL

EL

3.
a)
 1, 2, 3
 1, 6, 3
 1, 5, 3
b)
 1, 5, 3
 3, 6, 1
 6, 1, 4
 6, 1, 2
 6, 1, 5
 5, 3, 2
 5, 3, 6
c)
 6, 1, 2, 4, 5, 3
4.
𝐶73=𝐶74

5.
iii

Comunicarea noilor cunoștințe : 20 min

Profesorul comunică noile cunoștințe prin intermediul unui soft educațional
tareconexitate.ppt( listing în anexa I ), proiectat de acesta în Po wer Point, fiind structurat în
9 slide -uri, după cum urmează:
În primul slide, se comunică titlul lecției: ” Tare c onexitate în grafuri orientate”.
În al II -lea și al III -lea slide, se începe actualizarea cunoștințelor cu noțiunea de stivă,
exemplificându -se operațiile posibile cu aceasta.
În cel de -al IV-lea slide se prezintă noțiunea de graf tare conex(definiția), c ontinuând
în slide -ul V cu evidențierea proprietății de tare conex, prin aplicarea algoritmului
Kosaraju .

128 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

În cel de -al VI -lea slide se prezintă noțiunea de componentă tare conexă(definiția),
continuând în slide -ul VII și VIII cu evidențierea componentelor tare conexe, prin aplicarea
algoritmului Kosaraju , precum și evi dențierea în slide -ul VIII a unor concluzii privitoare
la tare conexitate -componente tare conexe.
Slide -ul IX, conține link -ul către o aplicație demonstrativă pentru evidențierea
proprietății de tare conex sau a componentelor tare conexe, în formă text sau grafică,
pentru un graf cu maximum 5 noduri, aplicație originală .

Dirijarea învățării pentru obținerea performanței : 15 min
 Se realizează cu ajutorul fișei 2.
FIȘA 2
1.Fie graful orientat din figura alăturată:

a. verificați dacă graful este tare conex;
b. câte componente tare conexe are graful?
c. câte arce minim trebuie adăugate astfel încât graful să devină tare conex?
2.Construiți în C++ programul de verificare a proprietății de tare conex unui graf orientat G(X,U),
dat prin numărul ”n” de vârfuri și extremitățile celor ”m” arce .

RĂSPUNSURI AȘTEPTATE

1.
a. Graful nu este tare conex, deoarece nu între oricare două vârfuri x și y există drum x y și yx.
b. Graful are două componente tare conexe: C .T.C.1: 1, 3, 2
C.T.C.2: 4, 5
c. Numărul minim de arce ce pot fi adăugate este un arc: 5 1 sau 43
2.

129 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define nmax 100100

vector <int> v[nmax];
vector <int> vt[nmax];
vector <int> comp[nmax];
int t[nmax];
int viz[nmax];
int n,m,a,b,i,k,nr;

void dfs(int x)
{
viz[x]=1;
for(int i=0; i<v[x].size(); ++i)
if(viz[v[x][i]]== 0)
dfs(v[x][i]);
t[++k]=x;
}

void dfst(int x)
{
viz[x]= -1;
comp[a].push_back(x);
for(int i=0; i<vt[x].size(); ++i)
if(viz[vt[x][i]]==1)
dfst(vt[x][i]);
}

130 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

int main()
{
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<< "m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=m; ++i)
{
cout<<"a b ";
cin>>a>>b;
v[a].push_back(b);
vt[b].push_back(a);
}
for(i=1; i<=n; ++i)
if(viz[i]==0)
{
dfs(i) ;
}
a=0;
for(i=n; i>0; –i)
if(viz[t[i]]!= -1)
{
a++;
dfst(t[i]);
}
if(a==1)
cout<<"Graful este tare conex";
else
cout<<"Graful nu este tare conex ”;
}

Tema pentru acasă : 3 min

131 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Construiți programul C++ pentru descompunerea în componente tare conexe a unui
graf orientat G(X,U), dat prin numărul de vârfuri ”n” și extremitățile celor ”m” arce ale
sale.
5.2. TEST DE EVALUARE – tare conexitate în grafuri orien tate
Obiectiv cadru:
Realizarea de aplicații utilizând algoritmi specifici
Obiective de referință:
o Să aplice algoritmul de parcurgere în adâncime D.F.;
o Să urmărească etapele de rezolvare a unei probleme.
Obiective educaționale:
o Să utilizeze corect definițiile însușite;
o Să utilizeze corect structura de stivă;
o Să aplice corect algoritmul de par curgere în adâncime a unui graf orientat;
o Să identifice componentele tare conexe ale unui graf orientat;
o Să elaboreze algoritmi pentru problemele propuse;
o Să ut ilizeze subprogramele pentru rezolvarea unor probleme.
Subiectul I
Pentru graful din figură, precizați :

a. ordinea vârfurilor la aplicarea algoritmului D.F. cu vârf de start 3;
b. ordinea vârfurilor la aplicarea algoritmului D.F. cu vârf de start 5;
c. câte componente tare conexe are graful precum și vârfurile din alcătuirea fiecăreia;
d. câte arce minim trebuie adăugate astfel încât graful să devină tare conex?

Subiectul al II -lea
Completați spațiile libere :
a. Un graf orientat cu n=12 vârfuri și m=8 arce poate avea m inim……..componente tare
conexe;
b. Un graf orientat cu n=12 vârfuri și m=8 arce poate avea maxim……..componente tare

132 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

conexe;
c . Fie graful orientat din figură:

Descompuneți graful în componente tare conexe.
d. Un graf orientat cu n=10 vârfuri și m= 90 arce are……….componente tare conexe.

Subiectul al III -lea
Răspundeți cu adevărat(A)/fals(F ):
a. O componentă tare conexă a unui graf orientat G(X,U) este un graf parțial G1(X,U1) al
lui G, cu proprietatea de tare conex;
b. Aplicarea algoritmului D.F. pe un graf orientat, nu duce întotdeauna la obținerea tuturor
vârfurilor în șir ;
c. O componentă tare conexă a unui graf orientat cu ”n” vârfuri , are minim un vârf și
maxim ”n” vârfuri ;
d. Pentru graful din figură:

aplicarea algoritmului D.F. cu vârf de start=3 duce la obținerea următoarei succesiuni de
vârfuri : 3, 1, 4, 2.
Subiectul al IV -lea
Alegeți răspunsul corect:

133 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

1.Care este numărul maxim de componente tare conexe într -un graf orientat cu n=9 vârfuri
și m=12 arce?
a.5
b.6
c.7
d.4
2. Care este numărul minim de componente tare conexe într -un graf orientat cu n=12
vârfuri și m=7 arce?
a.4
b.3
c.5
d.6
3.Pentru graful din figur ă:

ordinea vârfurilor la aplicarea algoritmului D.F. cu vârf de start=2 este:
a.2, 3, 5, 1, 4
b.2, 5, 3
c.2, 3, 5
d.2, 5, 4, 1, 3
4.Fie graful orientat din figură:

Numărul minim de arce ce pot fi eliminate astfel încât graful obținut să aibă două
componente tare conexe este:
a.4
b.3

134 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

c.2
d.6

Subiectul al V -lea
Pentru un graf orientat G(X,U), dat prin numărul de vârfuri ”n” și extremitățile celor ”m”
arce ale sale , realizați funcții care:
a. să afișeze componenta tare conexă cu număr maxim de vârfuri ;
b. să afișeze vârful maxim din fiecare componentă tare conexă.

REZOLVAREA TESTULUI DE EVALUARE

Subiectul I
a.3, 4, 2, 1, 5, 8, 6, 7
b.5, 8, 6, 7
c. Graful are patru componente tare conexe:
CTC1: 2, 4, 3
CTC2: 5, 6, 8
CTC3: 7
CTC4: 1
d. Sunt necesare minim două arce: 1 8 și 74.

Subiectul al II -lea
a. minim 6 CTC
b. maxim 9 CTC
c. CTC1: 1
CTC2: 2
CTC3: 3, 4, 6, 5
d. O componentă tare conexă

Subiectul al III -lea
a.F
b.A

135 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

c.A
d.F

Subiectul al IV -lea
1.b
2.d
3.b
4.c

Subiectul al V -lea
a.
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define nmax 100100

vector <int> v[nmax];
vector <int> vt[nmax];
vector <int> comp[nmax];
int t[nmax];
int viz[nmax];
int poz,n,m,a,b,i,k,nr,w;

void dfs(int x)
{
viz[x]=1;
for(int i=0; i<v[x].size(); ++i)
if(viz[v[x][i]]==0)
dfs(v[x][i]);
t[++k]=x;
}

void dfst(int x)
{

136 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

viz[x]= -1;
comp[a].push_back(x);
for(int i=0; i<vt[x].size(); ++i)
if(viz[vt[x][i]]==1)
dfst(vt[x][i]);
}

int main()
{
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=m; ++i)
{
cout<<"a b ";
cin>>a>>b;
v[a].push_back(b);
vt[b].push_back(a);
}
for(i=1; i<=n; ++i)
if(viz[i]==0)
{
dfs(i);
}
a=0;
for(i=n; i>0; –i)
if(viz[t[i]]!= -1)
{
a++;
dfst(t[i]);
}
w=0;
for(i=1; i<=a; ++i)

if(comp[i].size()>w)

137 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

{
w=comp[i].size();
poz=i;
}
for(int j=0; j<comp[poz].size(); ++j)
cout<<comp[poz][j]<<' ';
}

b.
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

#define nmax 100100

vector <int> v[nmax];
vector <int> vt[nmax];
vector <int> comp[nmax];
int t[nmax];
int viz[nmax];
int poz,n,m,a,b,i,k,nr,w;

void dfs(int x)
{
viz[x]=1;
for(int i =0; i<v[x].size(); ++i)
if(viz[v[x][i]]==0)
dfs(v[x][i]);
t[++k]=x;
}

void dfst(int x)
{

138 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

viz[x]= -1;
comp[a].push_back(x);
for(int i=0; i<vt[x].size(); ++i)
if(viz[vt[x][i]]==1)
dfst(vt[x][i]);
}

int main()
{
cout<<"n=";
cin>>n;
cout<<"m=";
cin>>m;
for(i=1; i<=m; ++i)
{
cout<<"a b ";
cin>>a>>b;
v[a].push_back(b);
vt[b].push_back(a);
}
for(i=1; i<=n; ++i)
if(viz[i]==0)
{
dfs(i);
}
a=0;
for(i=n; i>0; –i)
if(viz[t[i]]!= -1)
{
a++;
dfst(t[i]);
}
for(i=1; i<=a; ++i)

139 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

{
w=0;
for(int j=0; j< comp[i].size(); ++j)
if(comp[i][j]>w)
w=comp[i][j];
cout<<w<<' \n';
}

}

BAREM DE CORECTARE
Subiectul I 16 p
a, b, c, d 4 p/răspuns corect
Subiectul II 20 p
a, b, c, d 5 p/răspuns corect
Subiectul III 16 p
a, b, c, d 4 p/răspuns corect
Subiectul IV 20 p
1, 2, 3, 4 5 p/răspuns corect
Subiectul V 18 p
a 9 p
3 p-antet corect
3 p-algoritm corect
3 p-corectitudinea sintaxei
b 9 p
3 p-antet corect
3 p-algoritm corect
3 p-corectitudinea sintaxei
OFICIU 10 p
TOTAL 100 p

140 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

5.3. PROIECT DIDACTIC
Disciplina : Informatică
Clasa : a XI -a A, matematică -informatică, neintensiv
Profesor : Gheorghiu Constantin Bogdan
Tem ele proiect elor:
1.Generarea tuturor lanțurilor neelementare de lungime „p” într -un graf orientat .
2.Drumuri minime și maxime în grafuri orientate.
3.Generarea tuturor lanțurilor elementare într -un graf orientat.
4.Generarea tuturor circuitelor elementare într -un graf orientat .
5.Generarea tuturor circuitelor elementare de lungime „p” într -un graf orien tat.
6.Problema comis -voiajorului .
Termen de realizare : 12 ore
Obiectiv :
Corelarea cunoștințelor dobândite la disciplinele de specialitate cu
deprinderile de proiectare și de realizare a programelor, în scopul realizării
unei aplicații din sfera de interes a elevilor de la acest profil.
Cerințele proiectului :
culegerea datelor din domeniul de activitate(Internet și alte surse de
date pentru documentare, comunicare)
prelucrarea datelor prin activități specifice domeniului, care necesită
alegerea după caz, a anumitor tipuri de aplicații studiate(editor de
text, editor de prezentare, mediu de programare, eventual baze de
date, soft specializat)
Organizarea activității(sarcinile profesorului)
1. Se împart elevii în grupe de lucru( grupe de câte 5 elevi /proiec t)
2. Se precizează cerințele proiectului și termenul de realizare
3. Se coordonează activitățile organizatorice la nivelul fiecărei grupe în
parte: împărțirea sarcinilor în echipă, prefigurarea unor strategii de
lucru și stabilirea unor termene intermediare și a cerințelor
preliminare care urmează a fi realizate la fiecare termen
4. Se urmărește activitatea elevilor și se mediază eventualele conflicte
intervenite în grupul de lucru
5. Se asigură climatul corespunzător pentru prezentare și susținerea
proiectului

141 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Tema l ecției : Prezentarea și susținerea proiectului
Tipul lecției : de verificare de cunoștințe, priceperi și deprinderi
Durata lecției : 50 min
Locul de desfășurare : laboratorul de informatică
Competențe specifice :
Culegerea, organizarea și prelucrarea datelor din domeniul de
activitate
Alegerea aplicației necesare scopului propus
Realizarea și prezentarea unor aplicații practice specifice domeniului
Competențe derivate :
Să urmărească etapele de realizare a unui proiect
Să participe la munca în echipă și să interpreteze diferite roluri în
cadrul echipei
Să identifice problemele din cadrul disciplinelor de specialitate în
care intervin cunoștințe de utilizare a calculatorului și de programare
Să realizeze prezentări în Power Point
Să utilizeze un editor de tex t(Microsoft Word)
Să realizeze programe în Borland Pascal /C++
Produse software utilizate :
Editor de texte: Word
Grafică de prezentare: Power Point
Internet: Internet Explorer
Programare: Borland Pascal /Borland C
Strategii didactice :
Metode de învățământ:
 Metode bazate pe acțiune: aplicații
 Metode de comunicare orală: conversația
Forme de organizare a activității instructive:
 Pe grupe
 Individuală
Forme de dirijare a învățării:
 Dirijată de profesor sau prin materiale didactice
 Independentă

142 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Bibliografie:
 Pentru elevi:
o Tehnologia prelucrării informației -Informatica –
Tehnologii asistate de calculator M. Miloșescu,
manual clasa a IX -a, a X -a, a XI -a
o Microsoft Word -ghid de utilizare Teora
 Pentru profesor:
o Elemente de metodica predării informaticii în școală,
C. Petre, C. Boboila, editura Dova, 1997
o Ghid de evaluare Informatica, Tehnologia prelucrării
informației, Informatica -Tehologii asistate de
calculator
o Metodica predării informaticii și tehnologiei
informației, editura Arves
o Turbo Pascal, Algoritmi și limbaje de programare,
Manual pentru clasa a IX -a – Tudor Sorin, Editura
Teora, 1995
o Totul despre C și C++ -Manualul fundamental de
programare în C și C++, Dr. Kris Jamsa & Lars
Klander.
Resurse materiale :
Calculatoare
Fișe de studiu
Materiale bibliografice
Videoproiector
Test de autoevaluare
Instrumente de evaluare :
Proiect
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor
Autoevaluarea
Barem de corectare și notare :
Oficiu 1p
Tehnoredactare(concepție, aspect, expresivitate, punere în pagină)
0.75p

143 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Modul de organizare a datelor culese 1.5p
Aspecte de complexitate (meniuri, grafică, programarea
modulară)1.5p
Calitatea și consistența conținutului științific 1.5p
Calitatea prezentării în Power Point 0.75p
Contribuții originale la tematica proiectu lui 0.75p
Capacitatea de autoanaliză a proiectului 0.75p
Autoevaluarea gradului de participare a fiecărui membru al grupului
la realizarea proiectului 0.5p
Încadrarea în timp și respectarea termenelor 1p
Structura lecției :
Moment organizatoric:
o Pregătirea lecției
o Intocmirea proiectului didactic
Organizarea și pregătirea clasei(2 min):
o Verificarea frecvenței elevilor
o Verificarea existenței resurselor materiale
Captarea atenției elevilor(1 min):
o Anunțarea temei
Explicarea modului de desfășurare a evaluării(2 min)
Prezentarea proiectului(45 min):
o Etapa 1: Prezentarea noțiunilor teoretice
o Etapa 2: Prezentarea aplicațiilor informatice realizate
o Etapa 3: Autoevaluare(chestionar)
o Etapa 4: Concluzii

5.4. GHID DE REALIZARE A PROIECTULUI
Temele proiect elor:
1.Gene rarea tuturor lanțurilor neelementare de lungime „p” într -un graf orientat.
2.Drumuri minime și maxime în grafuri orientate.
3.Generarea tuturor lanțurilor elementare într -un graf orientat.
4.Generarea tuturor circuitelor elementare într -un graf orientat.
5.Generarea tuturor circuitelor elementare de lungime „p” într -un graf orientat.

144 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

6.Problema comis -voiajorului.
Proiect e interdisciplinar e de grup.
Scop : Utilizarea eficientă a unor produse software pentru rezolvarea unor proiecte
informatice.
Produse software utilizate :
Editor de texte: Word
Grafică de prezentare: PowerPoint
Internet: Internet Explorer
Programare: mediul de programare Borland Pascal /Borland C
Cerințe dosar :
Va fi predat în format electronic(CD)
Modalitate de desfășurare și predare a proiectului :
Prezența obligatorie
Necesitate studiu individual
Observarea sistematică a activității și comportamentului elevilor
Proiectul va fi verificat parțial pe parcursul celor trei săptămâni(12
ore)
Predarea și susținerea proiectului se va realiza î n ultimele 2
săptămâni de școală, conform graficului stabilit de profesor
Nu se acceptă proiectul care nu respectă integral cerințele
Conținut dosar :
Pagina de titlu (include tema proiectului, numele autorului/autorilor,
școala, clasa, perioada de realizar e);
Cuprinsul (se precizează titlurile capitolelor și subcapitolelor);
Introducerea (se fac referiri la importanța temei, cadrul conceptual
și metodologic);
Dezvoltarea elementelor de conținut prezentate în cuprins;
Concluzii;
Bibliografie;
Anexe.

145 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

5.5. FIȘA DE AUTOEVALUARE
1.Chestionar
 Care sunt etapele pe care le -ai parcurs în vederea rezolvării efective a sarcinii de
lucru?
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
 Prin rezolvarea acestei sarcini am învățat:
a)………………………………………………………………………………………
b)………………………………………………………………………………………
c) ……………………………………………………………………………………..
d) ……………………………………………………………………………………..
 Dificultățile pe care le -am întâmpinat au fost următoarele:
a)………………………………………………………………………………………
b)………………………………………………………………………………………
c) ……………………………………………………………………………………..
 Cred că mi-aș putea îmbunătăți performanța dacă:
a)………………………………………………………………………………………
b)………………………………………………………………………………………
 Cred că activitatea mea ar putea fi apreciată ca fiind:………………………………..
2.Scara de clasificare
Fișa de autoevaluare Slab Mediu Bun Foarte bun Excelent
Creativitate
Motivație
Independență, inițiativă
Curiozitate intelectuală
Performanțe școlare
Participare la discuții
Disciplina de lucru
Progresul realizat
Comportamentul general
Numele:………………………………….
Prenumele:………………………………
Clasa:…………………………………….

146 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

5.6. CONCLUZII

Am dorit ca în lucrarea de față să cuprind o parte a muncii mele la clasă și să
demonstrez că prin utilizarea noilor tehnici și tehnologii, combinate cu experiența lucrului
cu elevul, se pot obține rezultate superioare.
Progresul se înregistrează nu numai la nivel teoretic ci și la nivel practic, elevii
demonstrând că nu numai știu, dar știu și ce să facă cu ceea ce știu, lucru esențial după
părerea mea, căci în producție sunt necesari teoreticieni, dar și practicieni.
Ideea a fost să transmit colectivului clase i a XI-a A noile cunoștințe din unitatea
„Tare conexitate, descompunerea în componente tare conexe”, prin utilizarea unei metode
modern e(instruirea asistată de calculator, I.A.C.) și să arăt, că prin aceasta, poate fi
influențată în mod pozitiv, gândirea și creativitatea elevilor.
Un element de noutate este că pe lângă prezentarea Power Point, am utilizat un
program demonstrativ creat de mine, bazat pe parte grafică, cu rol de sugestionare a
fenomenelor, de stimulare a creativității și de o mai bună fixare a cunoștințelor .
În plus, noile noțiuni le -am predat cu ajutorul unui algoritm eficient, algoritmul
Kosaraju , de complexitate O(n+m) .
În urma pre dării și fixării cunoștințelor, am evaluat performanțele elevilor printr -un
test de evaluare cuprinzând itemi diferiți.
În urma aplicării testului de evaluare , s-au obținut următoarele rezultate:
Număr elevi: 30
Nota Numă de elevi
10 9
9 7
8 8
7 6
Rezultatele le apreciez ca fiind foarte bune.
Utilizarea I .A.C. mărește interesul elevilor, informațiile fiind prezentate
într-o formă nouă, atractivă, profesorul având posibilitatea de a lărgi domeniul creativ și de
a interacționa mai mult cu elevii, ace știa adresând întrebări despre modul de realizare a
programelor precum și despre domeniile în care pot utiliza noile forme de prezentare.
Datorită interesului crescut, informațiile sunt mult mai bine aprofundate, asimilate
și exploatate, rezultatele ulteri oare fiind considerabil mai bune.

147 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Bazându -mă pe interesul și inteligența elevilor, am realizat o evaluare prin
proiecte , în care am urmărit și partea științifică, dar mai ales descoperirea, imaginația și
creativitatea copiilor , pe parte grafică .
O noutate a acestei metode o reprezintă și implicarea elevilor în procesul de
evaluare. În momentul în care sunt implicați în evaluare și autoevaluare, elevii dezvoltă un
sentiment de control asupra procesului de învățare și se consideră ca fiind capabili și
perform anți. Pentru acest lucru însă , profesorul trebuie să pună la dispoziția elevilor
următoarele: stabilirea obiectivelor, definirea de sarcini și identificarea a ceea ce urmează
să învețe; crearea și utilizarea baremelor de corectare a testelor, a listelor de verificare și a
criteriilor d e evaluare, utilizarea întrebărilor de reflecție, care să -i ajute pe elevi să se
gândească la propriul proces de învățare și să se autoevalueze, oferirea și pri mirea de feed –
back din partea colegilor.
Metoda proiectului presupune o colaborare între membri i echipei, aceștia depin zând
unii de alții, iar această interdependență pozitivă îi conduce la devotament față de grup și
responsabilitate individuală.
Metoda proiectului poate propune și o abordare transdisciplinară a temei, pentru
realizarea conexiunil or între cunoștințele dobândite și aplicarea acestora în dezvoltarea
personală.
În urma prezentării și evaluării celor 6 proiecte, în care au fost implicați toți
elevii(la fiecare proiect au lucrat câte 5 elevi), rezultatele au fost uimitoare : aplicațiile de
programare au demonstrat implicarea totală în abordarea temelor, în aprofundarea și
asimilarea unor noi cunoștințe de grafică și mai ales tehnici de animație, depășind pe
alocuri modelul oferit de profesor , ceea ce arată că intenția mea a avut efectul scontat.
Anexez două aplicații informatice din două proiecte ale elevilor (Anexa 2 și Anexa
3).
În anii de lucru cu elevii, mi -am dat seama că imaginația și creativitatea sunt fără
margini; sub o atentă îndrumare, copiii pot oferi rezultate neașteptate, sur prinzătoare, care
deseori depășesc profesorul, spre bucuria acestuia.

148 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

ANEXE
1.Soft I .A.C.

149 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

150 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

151 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

Listing -ul programului demonstrativ:
program conexitate_grafuri_orientate;
uses crt,graph;
type
vector=array[1..100] of integer;
var
gd,gm:integer;
nr,n:integer;
viz,c:vector;
a,d:array [1..10,1..10] of integer;
ch:char;

procedure initgr;
begin
gd:=detect;
initgraph(gd,gm,'D: \bp\bgi');
end;

procedure citire;
var
i,j,x,y,m:integer;
begin
write('Numarul de varfuri din graf:');
readln(n);
write('Numarul de arce din graf:');
readln(m);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
a[i,j]:=0;
writeln('Intro duceti extremitatile arcelor');
for i:=1 to m do
begin
write('Extremitatile arcului ',i,' sunt: ');
readln(x,y);
a[x,y]:=1;
end;

152 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end;

procedure desen2;
var i:integer;
begin
initgr;
cleardevice;
setlinestyle(0,0,3);
settextstyle(1,0,2);
setcolor(12);
circle(100,70,15);
delay(400);
outtextxy(95,57,'1');
delay(400);
if (n>=2) then
begin
circle(440,70,15);
delay(400);
outtextxy(435,57,'2');
delay(400);
end;
if (n>=3) then
begin
circle(270,150,15);
delay(400);
outtextxy(265,138,'3');
delay(4 00);
end;
if (n>=4) then
begin
circle(100,400,15);
delay(400);
outtextxy(95,387,'4');
delay(400);
end;
if (n=5) then
begin

153 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

circle(440,400,15);
delay(400);
outtextxy(435,387,'5');
delay(400);
end;

if (a[1,4]=1) then
begin
line(95,85,95,384);
line(90,370,95,384);
line(100,370,95,384);
delay(400);
end;

if (a[4,1]=1) then
begin
line(105,85,105,384);
line(100,100,105,85);
line(110,100,105,85);
delay(400);
end;

if (a[2,5]=1) then
begin
line(431,85,431,384);
line(426,370,431,384);
line(436,370,431,384);
delay(400);
end;

if (a[5,2]=1) then
begin
line(443,85,443,384);
line(438,100,443,85);
line(448,100,443,85);
delay(400);
end;

154 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

if (a[1,3]=1) then
begin
line(110,80,255,146);
line(240,146,255,146);
line(250,135,255,146);
delay(400);
end;

if (a[3,1]=1) then
begin
line(115,70,270,136);
line(120,80,115,70);
line(125,70,115,70);
delay(400);
end;

if (a[2,3]=1) then
begin
line(427,75,280,145);
line(290,135,280,145);
line(295,145,280,145);
delay(400);
end;

if (a[3,2]=1) then
begin
line(423,65,272,131);
line(410,63,423,65);
line(415,75,423,65);
delay(400);
end;

if (a[3,4]=1) then
begin
line(110,385,255,153);
line(120,385,110,385);

155 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

line(110,370,110,385);
delay(400);
end;

if (a[4,3]=1) then
begin
line(115,400,270,167);
line(260,167,270,167);
line(270,177,270,167);
delay(400);
end;

if (a[3,5]=1) then
begin
line(425,400,270,167);
line(425,385,425,400);
line(415,400,425,400);
delay(400);
end;

if (a[5,3]=1) then
begin
line(433,385,285,150);
line(285,165,285,150);
line(295, 150,285,150);
delay(400);
end;

if (a[1,2]=1) then
begin
line(115,70,425,70);
line(415,65,425,70);
line(415,75,425,70);
delay(400);
end;

if (a[2,1]=1) then

156 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

begin
line(110,85,430,85);
line(120,80,110,85);
line(120,90,110,85);
delay(400);
end;

if (a[1,5]=1) then
begin
line(115,70,425,400);
line(410,400,425,400);
line(415,385,425,400);
delay(400);
end;

if (a[5,1]=1) then
begin
line(120,60,425,390);
line(130,60,120,60);
line(120,70,120,60);
delay(400);
end;

if (a[2,4]=1) then
begin
line(425,70,115,390);
line(115,380,115,390);
line(125,390,115,390);
delay(400);
end;

if (a[4,2]=1) then
begin
line(435,90,110,415);
line(425,90,435,90);
line(435,100,435,90);
delay(400);

157 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end;

if (a[4,5]=1) then
begin
line(115,400,425,400);
line(410,405,425,400);
line(410,395,425,400);
end;

if (a[5,4]=1) then
begin
line(115,410,425,410);
line(130,415,115,410);
line(130,405,115,410);
end;

outtextxy(480,70,'Evidentierea ');
outtextxy(480,130,'componentelor');
outtextxy(480,190,'tare conexe');
end;

procedure desen3(q:vector;w:integer);
var i:integer;
begin
if(nr=1)then
setcolor(green)
else
if(nr=2)then
setcolor(yellow)
else
if(nr=3)then
setcolor(blue)
else
if(nr=4)then
setcolor(brown)
else

158 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

if(nr=5)then
setcolor(23);

for i:=1 to w do
begin
case q[i] of
1:begin
circle(100,70,15);
delay(400);
outtextxy(95,57,'1');
end;
2:begin
circle(440,70,15);
delay(400);
outtextxy(435,57,'2');
end;
3:begin
circle(270,150,15);
delay (400);
outtextxy(265,138,'3');
end;
4:begin
circle(100,400,15);
delay(400);
outtextxy(95,387,'4');
end;
5:begin
circle(440,400,15);
delay(400);
outtextxy(435,387,'5');
end;
end;
end;
end;

procedure tare_conex;
var

159 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

sw,k,cont,pstart,pi,ps,i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
c[i]:=0;
viz[i]:=0;
end;
d:=a;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (d[i,j]=0) and (k<>i) and (k<> j) then
d[i,j]:=d[i,k]*d[k,j];
pstart:=1;
cont:=0;
repeat
sw:=0;
pi:=1;
ps:=1;
c[pi]:=pstart;
viz[pstart]:=1;
while ps<=pi do
begin
for i:=1 to n do
if (viz[i]=0) and ((d[c[ps],i]=1) and (d[i,c[ps]]=1)) then
begin
inc(pi);
c[pi]:=i;
viz[i]:=1;
end;
inc(ps);
end;
if (pi=n) then
writeln('Graful este tare conex')
else
begin
textcolor(white);

160 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

cont:=cont+1;
writeln('*************************');
writeln('a ',cont,' -a componenta tare conexa');
textcolor(45);
for i:=1 to pi do
write(c[i],' ');
textcolor(white);
writeln;
writeln('*************************');
end;
i:=0;
repeat
inc(i);
until (viz[i]=0) or (i=n+1);
if i<n+1 then
pstart:=i;
until i=n+1;
end;

procedure tare_conex1;
var
sw,k,cont,pstart,pi,ps,i,j:intege r;
begin
nr:=0;
for i:=1 to n do
begin
c[i]:=0;
viz[i]:=0;
end;
d:=a;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (d[i,j]=0) and (k<>i) and (k<>j) then
d[i,j]:=d[i,k]*d[k,j];
pstart:=1;

161 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

cont:=0;
repeat
sw:=0;
pi:=1;
ps:=1;
c[pi]:=pstart;
viz[pstart]:=1;
while ps<=pi do
begin
for i:=1 to n do
if (viz[i]=0) and ((d[c[ps],i]=1) and (d[i,c[ps]]=1)) then
begin
inc(pi);
c[pi]:=i;
viz[i]:=1;
end;
inc(ps);
end;
if (pi=n) then
begin
nr:=1;
desen2;
desen3(c,pi);
readkey;
closegraph;
end
else
begin
nr:=nr+1;
if (nr=1) then
begin
desen2;
desen3(c,pi);
end
else
desen3(c,pi);
readkey;

162 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end;
i:=0;
repeat
inc(i);
until (viz[i]=0) or (i=n+1);
if i<n+1 th en
pstart:=i;
until i=n+1;
closegraph;
end;

procedure prezentare;
begin
initgr;
settextstyle(1,0,2);
setcolor(15);
outtextxy(10,10,'COLEGIUL NATIONAL "SPIRU HARET"');
outtextxy(20,40,'TECUCI');
setcolor(red);
settextstyle(1,0,4);
outtextxy(200,150,'TEMA LUCRARII');
settextstyle(1,0,2);
setcolor(green);
outtextxy(100,250,' CONEXITATE ');
outtextxy(100,290,' IN GRAFURI ORIENTATE ');
outtextxy(10,400,' Prof. Gheorghiu Bogdan');
readkey;
closegraph;
end;

procedure meniu;
begin
initgr;
settextstyle(1,0,2);

163 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

setbkcolor(2);
outtextxy(120,70,'MENIU PRINCIPAL');
outtextxy(100,140,'1 -Citire date intrare');
outtextxy(100,180,'2 -Tare conexitate in graf -rezolvare mod text');
outtextxy(100,220,'3 -Tare conexitate in graf -rezolvare mod grafic');
outtextxy(100,260,'4 -Parasire program');
ch:=readkey;
closegraph;
end;

begin
prezentare;
repeat
meniu;
case ch of
'1':begin
clrscr;
citire;
end;
'2':begin
tare_conex;
readkey;
end;
'3':begin
tare_conex1;
readln;
end;
end;
until ch='4';
end.

2.Program ul proiectului drumuri minime și maxime în grafuri orientate
program dr_min_si_max;
uses crt,graph;

164 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

const
nmax=15;
inf=maxint div 2;
inf1= -(maxint div 2);
type
multime=set of 1..nmax;
var
gd,gm:integer;
ch,ch1:char;
c:array[1..nmax,1..nmax] of integer;
lg,k,i,j,arc,m,n,x,y,z,xp:integer;
s,d,prec:array[1..nmax] of integer;
g:boolean;
d1:array[1..nmax, 1..nmax] of multime;
dr:array[1..nmax] of 1..nmax;

procedure initgr;
begin
gd:=detect;
initgraph(gd,gm,'d: \bp\bgi');
end;

procedure meniu;
begin
initgr;
settextstyle(1,0,2);
setbkcolor(2);
outtextxy(120,10,'MENIU PRINCIPAL');
outtextxy(70,80,'1 -Drumuri minime');
outtextxy(70,110,'2 -Drumuri maxime');
outtextxy(70,140,'3 -Parasire program');
ch:=readkey;
closegraph;
end;

165 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

procedure meniu1;
begin
initgr;
settextstyle(1,0,2);
setbkcolor(2);
outtextxy(70,80,'1 -Algoritmul lui Dijkstra');
outtextxy(70,110,'2 -Algoritmul lui Roy -Floyd');
outtextxy(70,140,'3 -Revenire meniu principal ');
ch1:=readkey;
closegraph;
end;

procedure prezentare;
begin
initgr;
settextstyle(1,0,2);
setcolor(15);
outtextxy(10,10,' COLEGIUL NATIONAL "SPIRU HARET"');
outtextxy(20,40,'TECUCI');
setcolor(red);
settextstyle(1,0,4);
outtextxy(200,150,'TEMA LUCRARII');
settextstyle(1,0,2);
setcolor(green);
outtextxy(100,210,' DRUMURI MINIME SI MAXIME');
outtextxy(100,250,' IN GRAFURI ORIENT ATE ');
outtextxy(10,400,'Elev i : Prof. Gheorghiu Bogdan');
readkey;
closegraph;
end;

166 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

procedure teoretic1;
begin
initgr;
settextstyle(0,0,1);
setcolor(red);
setbkcolor(lightgreen);
outtextxy(50,10,'Fiind_dat_un_graf_orientat_G_si');
outtextxy(50,30,'un_nod_xi0_sa_se_determine_pentru_toate_nodurile_xi_pentru');
outtextxy(50,50,'care_exista_drum_de_la_xi0_la_xi_lungimea_celui_mai_scurt');
outtextxy(50,70,'drum_precum_si_unul_dintre_dru murile_minime_de_la_xi0_la_xi.');
outtextxy(50,90,'Algoritmul_utilizeaza_metoda_Greedy_generand_drumurile_minime ');
outtextxy(50,110,'in_ordinea_crescatoare_a_lungimilor');
readkey;
closegraph;
end;

procedure teoretic2;
begin
initgr;
settextstyle(0,0,1) ;
setcolor(red);
setbkcolor(lightgreen);
outtextxy(50,10,'Fiind dat un graf G(X,U) cu X={x1,…,xn} si o functie l:U ->R+');
outtextxy(50,30,'sa se determine pentru fiecare pereche de noduri xi,xj (i<>j)');
outtextxy(50,50,'lungimea minima a drumurilor de la xi la xj precum si aceste ');
outtextxy(50,70,'drumuri(in caz ca exista drum de la xi la xj).');
outtextxy(50,90,'Algoritmul Roy -Floyd determina lungimile minime ale drumurilor');
outtextxy(50,110,'intre oricare doua noduri ale grafului intr -o matrice C =(cij)nxn.');
outtextxy(50,130,'Determinarea matricii C este asemanatoare algoritmului Roy -');
outtextxy(50,150,'Warshall pentru obtinerea matricii drumurilor.(initial construita corespunzator)');
readkey;
closegraph;
end;

167 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

procedure teoretic3;
begin
initgr;
settextstyle(0,0,1);
setcolor(red);
setbkcolor(lightgreen);
outtextxy(50,10,'Fiind dat un graf G(X,U) cu X={x1,…,xn} si o functie l:U ->R+');
outtextxy(50,30,'sa se determine pentru fiecare pereche de noduri xi,xj (i<>j)');
outtextxy(50,50,'lungimea maxima a drumurilor de la xi la xj precum si aceste ');
outtextxy(50,70,'drumuri(in caz ca exista drum de la xi la xj).');
outtextxy(50,90,'Algoritmul Roy -Floyd determina lungimile maxime ale drumurilor');
outtextxy(50,110,'intre oricare doua noduri ale gr afului intr -o matrice C=(cij)nxn.');
outtextxy(50,130,'Determinarea matricii C este asemanatoare algoritmului Roy -');
outtextxy(50,150,'Warshall pentru obtinerea matricii drumurilor.(forma initiala corespunzatoare)');
readkey;
closegraph;
end;

procedure min(var k:integer);
var
m,i:integer;
begin
m:=inf*2;
for i:=1 to n do
if (s[i]=0) and (d[i]<m) then
begin
m:=d[i];
k:=i;
end;
end;

procedure drum(i:integer);
begin
if i<>0 then
begin

168 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

drum(prec[i]);
write(i);
end
else
writeln;
end;

procedure exec1;
begin
write('Dati numarul de noduri');
readln(n);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
c[i,j]:=inf;
for i:=1 to n do
c[i,i]:=0;
write('ati numarul de arce');
readln(arc);
for i:=1 to arc do
begin
write('dati arcul ',i,' si lungimea/costul sau');
readln(x,y,z);
c[x,y]:=z;
end;
write('Nodul de pornire xp=');
readln(xp);
for i:=1 to n do
begin
d[i]:=c[xp,i];
s[i]:=0;
if c[xp,i]<inf then
prec[i]:=xp
else
prec[i]:=0;
end;
s[xp]:=1;

169 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

prec[xp]:=0;
g:=true;
x:=0;
repeat
min(k);
inc(x);
if (d[k]=inf) or (x=n) then
g:=false
else
begin
s[k]:=1;
for j:=1 to n do
if (s[j]=0) and (d[j]>d[k]+c[k,j]) then
begin
d[j]:=d[k]+c[k,j];
prec[j]:=k;
end;
end;
until (not g);
for i:=1 to n do
if i<>xp then
if d[i]=inf then
begin
write('Nu exista drum de la ',xp,' la',i);
writeln;
end
else
begin
writeln('Drum minim de la ',xp,' la',i);
drum(i);
writeln;
end;
end;

procedure initc;
var

170 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

i,j,x,y,z:integer;
begin
write('Dati numarul de noduri');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
c[i,j]:=inf;
c[i,i]:=0;
end;
write('Dati numarul de arce');
readln(m);
for i:=1 to m do
begin
write('Extremitatile si lungimea arcului ',i);
readln(x,y,z);
c[x,y]:=z;
end;
end;

procedure initd;
var
i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,j]<inf) and (i<>j) t hen
d1[i,j]:=[i]
else
d1[i,j]:=[];
end;

procedure drum1(i,j:integer);
var
k:integer;

171 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

begin
if i<>j then
begin
for k:=1 to n do
if k in d1[i,j] then
begin
inc(lg);
dr[lg]:=k;
drum1(i,k);
dec(lg);
end;
end
else
begin
writeln;
for k:=lg downto 1 do
write(dr[k]:4);
end;
end;

procedure afisare;
var
i,j:integer;
begin
writeln('Matricea costurilor este:');
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(c[i,j],' ');
writeln;
end;
readln;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin

172 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

writeln;
if c[i,j]=inf then
begin
writeln('Nu exista drum intre ',i,' si ',j);
readln;
end
else
begin
writeln('Lungimea drumurilor minime de la ',i,' la ',j,' este ',c[i,j]);
if i<>j then
begin
lg:=1;
dr[1]:=j;
drum1(i,j);
readln;
end;
end;
end;
end;

procedure exec2;
begin
initc;
initd;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if c[i,j]>c[i,k]+c[k,j] then
begin
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j];
d1[i,j]:=d1[k,j];
end
else
if c[i,j]=c[i,k]+c[k,j] then
d1[i,j]:=d1[i,j]+d1[k,j];

173 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

afisare;
end;

procedure initc1;
var
i,j,x,y,z:integer;
begin
write('Dati numarul de noduri');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
c[i,j]:=inf1;
c[i,i]:=0;
end;
write('Dati numarul de arce');
readln(m);
for i:=1 to m do
begin
write('Extremitatile si lungimea arcului ',i);
readln(x,y,z);
c[x,y]:=z;
end;
end;

procedure initd1;
var
i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,j]>inf1) and (i<>j) then
d1[i,j]:=[i]
else
d1[i,j]:=[];

174 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end;

procedure drum2(i,j:integer);
var
k:integer;
begin
if i<>j then
begin
for k:=1 to n do
if k in d1[i,j] then
begin
inc(lg);
dr[lg]:=k;
drum2(i,k);
dec(lg);
end;
end
else
begin
writeln;
for k:=lg downto 1 do
write(dr[k]:4);
end;
end;

procedure afisare1;
var
i,j:integer;
begin
writeln('Matricea costurilor este:');
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(c[i,j],' ');

175 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

writeln;
end;
readln;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
begin
writeln;
if c[i,j]=inf1 then
begin
writeln('Nu exista drum intre ',i,' si ',j);
readln;
end
else
begin
writeln('Lungimea drumurilor maxime de la ',i,' la ',j,' este ',c[i,j]);
if i<>j then
begin
lg:=1;
dr[1]:=j;
drum2(i,j);
readln;
end;
end;
end;
end;

procedure exec3;
begin
initc1;
initd1;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if (c[i,k]<>inf1) and (c[k,j]<>inf1) then
if c[i,j]<c[i,k]+c[k,j] then

176 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

begin
c[i,j]:=c[i,k]+c[k,j];
d1[i,j]:=d1[k,j];
end
else
if c[i,j]=c[i,k]+c[k,j] then
d1[i,j]:=d1[i,j]+d1[k,j];
afisare1;
end;

begin
prezentare;
repeat
meniu;
case ch of
'1':begin
repeat
meniu1;
case ch1 of
'1':begin
teoretic1;
readkey;
exec1;
readkey;
end;
'2':begin
teoretic2;
readkey;
exec2;
readkey;
end;
end;
until ch1='3';
end;
'2':begin

177 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

teoretic3;
readkey;
exec3;
readkey;
end;
end;
until ch='3';
end.

3.Program ul proiectului generarea tuturor lanțurilor elementare într -un graf orientat:

program nr;
uses c rt,graph;
var
gd,gm:integer;
ch:char;
n:integer;
st:array[1..30] of integer;
a:array[1..10,1..10] of integer;
procedure citire;
var x,y,i,j,m:integer;
begin
write('Numarul de varfuri din graf:');
readln(n);
write('Numarul de arce din graf:');
readln(m);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
a[i,j]:=0;
writeln('Introduceti extremitatile arcelor');
for i:=1 to m do
begin
write('Extremitatile arcului ',i,' sunt: ');
readln(x,y);
a[x,y]:=1;
end;

178 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

end;

proced ure init;
var i2:integer;
begin
for i2:=1 to n+2 do
st[i2]:=0;
end;
procedure tipar(p:integer);
var i3:integer;
begin
for i3:=1 to p do
write(st[i3],' ');
writeln;
end;

function valid(p:integer):boolean;
var ok:boolean;
i4:integer;
begin
ok:=true;
if p>1 then
if (a[st[p -1],st[p]]=0) and (a[st[p],st[p -1]]=0) then
ok:=false;
if (p>1) and (ok) then
for i4:=1 to p -1 do
if st[i4]=st[p] then
ok:=false;
valid:=ok;
end;

procedure back(p:integer);
var val:int eger;

begin
begin
for val:=1 to n do

179 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

begin
st[p]:=val;
if valid(p) then
begin
if p>1 then
tipar(p);

if p<n+2 then
back(p+1);
end;
end;
end;
end;

procedure initgr;
begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'d: \bp\bgi');
end;

procedure meniu;
begin
initgr;
setbkcolor(7);
settextstyle(2,0,7);
setcolor(blue);
outtextxy(230,70,'MENIU PRINCIPAL');
line(230,90,400,90);
settextstyle(7,0,1);
setcolor(blue);

outtextxy(50,140,'1 -');
outtextxy(50,180,'2 -');
outtextxy(50,220,'3 -');
outtextxy(50,260,'4 -');
setcolor(white);
outtextxy(50,140,' Generarea lanturilor elementare in grafuri orientate');
outtextxy(50,180,' Schema logica a programului pascal');

180 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

outtextxy(50,220,' Caz particular');
outtextxy(50,260,' Parasire program');
ch:=readkey;
closegraph;
end;

procedure exemplu;
begin
initgr;
setbkcolor(7);
settextstyle(1,0,1);
setcolor(blue);
outtextxy(205,20,'EXEMPLU GENERALIZAT');
circle(450,70,10);
circle(550,70,10);
circle(450,120,10);
circle(550,120,10);
setcolor(11);
settextstyle(2,0,6);
outtextxy(447,61,'1');
outtextxy(547,61,'2');
outtextxy(447,111,'3');
outtextxy(547,111,'4');
setcolor(blue);
settextstyle(6,0,1);
outtextxy(50, 100,'Pentru a intelege mai bine rezolvarea problemei');
outtextxy(20,150,'am ales sa prezint un caz particular care sper sa va rezolve toate nelamuririle');
outtextxy(480,124,'Fig.1');
outtextxy(50,170,'Pentru a ceasta am ales un graf orientat cu 4 noduri. Dupa ce am citit');
outtextxy(20,190,'numarul de noduri,citim numarul de arce si extremitatile lor.');
outtextxy(20,210,' Matricea de adiacenta va arata astfel:');
setcolor(yellow);
outtextxy(200,230,'0 1 0 0');
outtextxy(200,250,'0 0 1 1');
outtextxy(200,270,'0 0 0 1');
outtextxy(200,290,'0 0 0 0');
setcolor(blue);

181 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

outtextxy(50,310,'In urma crearii matricii de adiacenta rezultatele vor fi urmatoarele:');
setcolor(yellow);
outtextxy(80,330,'1 2 3 2 3 4 3 4 2 4 3 2 2 3 3 4');
outtextxy(80,350,'1 2 3 4 2 4 3 3 4 2 1 4 3 2 1 3 2 4 3');
outtextxy(80,370,'1 2 4 3 2 1 4 2 1 1 2 2 4');
outtextxy(8 0,390,'1 2 4 3 3 2 4 4 2 3 2 1 4 2');
setcolor(blue);
line(550,80,550,110);
line(545,100,550,110);
line(555,100,550,110);
line(460,70,540,70);
line(530,65,540,70);
line(530,75,540,70);
line(460,120,540,120);
line(530,115,540,120);
line(530,125,540,120);
line(540,75,460,115);
line(460,115,465,105);
line(460,115,470,117);

readkey;
closegraph;
end;
procedure prezentare;
begin
initgr;
setbkcolor(7);
settextstyle(1,0,1);
setcolor(blue);
outtextx y(150,10,' COLEGIUL NATIONAL "SPIRU HARET"');
outtextxy(260,40,'TECUCI');
setcolor(white);
settextstyle(1,0,2);
settextstyle(2,0,7);
setcolor(5);
line(80,200,545,200);
line(177,240,410,240);

182 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

outtextxy(80,180,'GENERAREA TUTUROR LANTURILOR ELEMENTARE ');
outtextxy(70,220,' IN GRAFURI ORIENTATE ');
settextstyle(7,0,1);
setcolor(blue);
outtextxy(30,370,'Elev i: Prof.:');
setcolor(white);
outtextxy(30,370,' Gheorghiu Bogdan');
settextstyle(1,0,1);
setcolor(blue);
readkey;
closegraph;
end;

procedure schema;
begin
initgr;
setbkcolor(7);
settextstyle(2,0,0);
setcolor(blue);
circle(300,20,20);
setcolor(white);
outtextxy(285,17,'START');
setcolor(blue);
line(300,40,300,60);
circle(300,80,20);
setcolor(white);
outtextxy(288,75,'PREZ');
setcolor(blue);
line(300,100,300,120);
circle(300,140,20);
setcolor(white);
outtextxy(286,135,'MENIU');
setcolor(blue);
line(280,140,220,140);
line(320,140,380,140);
line(300,160,300,180);
line(220,140,220,180);

183 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

line(380,140,380,180);
circle(380,205,25);
setcolor(white);
outtextxy(357,193,'PARASIRE');
outtextxy(359,207, 'PROGRAM');
setcolor(blue);
line(380,230,380,450);
line(380,450,320,450);
circle(300,450,20);
setcolor(white);
outtextxy(290,445,'STOP');
setcolor(blue);
circle(300,200,20);
setcolor(white);
outtextxy(283,193,'SCHEMA');
setcolor(blue);
circle(220,200,20);
setcolor(white);
outtextxy(204,193,'CITIRE');
setcolor(blue);
line(220,220,220,240);
circle(220,260,20);
setcolor(white);
outtextxy(210,253,'INIT');
setcolor(blue);
line(220,280,220,300);
circle(220,320,20);
setcolor(white);
outtextxy(210,313,'BACK');
setcolor(blue);
line(220,340,190,360);
circle(190,380,20);
setcolor(white);
outtextxy(175,373,'VALID');
setcolor(blue);
line(220,340,250,360);
circle(250,380,20);

184 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

setcolor(white);
outtextxy(237,373,'TIPAR');
setcolor (blue);
line(190,400,190,415);
line(250,400,250,415);
line(250,415,140,415);
line(140,415,140,320);
line(140,320,200,320);
readkey;
closegraph;
end;

begin
prezentare;
repeat
meniu;
case ch of
'1':begin
clrscr;
citire;
init;
back(1);
readln;
end;
'2': begin
schema;
end;

'3':begin
exemplu;
end;
end;
until ch='4';
end.

185 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

BIBLIOGRAFIE

1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald R. Rivest, Introducere în algoritmi,
Editura Computer Libris Agora 1996;
2. Ioan Tomescu,Data Structures, Bucharest University Press, Bucharest 2004
3. Knuth, D.E., Tratat de programarea calculatoarelor, Editura Teora, București 2000
4. Tudor Sorin, Tehnici de programare, Editura L&S Infomat 2000
5. Mariana Miloșescu, Informatica C++, Editura Didactică și pedagogică, București
2002.
6. Cristian Udrea, Claudia Elena Udrea, Dan Cristian Țacu, Diana Nicoleta Udrea,
Pascal.Teo rie și Aplicații, Editura Arves 2003.
7. Ioan Tomescu, Introducere în Combinatorică, Editura Tehnică București 1972.
8. Ioan Tomescu, Probleme de combinatorică și teoria grafurilor, Editura didactică și
pedagogică, București 1984.
9. Ioan Tomescu, Grafuri și progr amare liniară, Editura didactică și pedagogică
București, 1975.
10. Ioan Tomescu, Combinatorică și teoria grafurilor, Tipografia Universității din
București, 1978.
11. Daniela Oprescu, Liana Bejan Ienulescu, Viorica Pătrașcu, Informatica, manual
pentru clasa a XI -a, Editura Niculescu, București 2001.
12. Emanuela Cerchez, Marinel Șerban, Programarea în limbajul C++, Editura Polirom,
Iași 2005.
13. Mihaela Runceanu, Carmen Negrea, Culegere de probleme de informatică, Editura
Donaris, Sibiu 2003.
14. Georgie Daniel Vlad, Daniel a Marcu, Culegere de probleme de informatică, Editura
Didactică și pedagogică, București 2003.
15. Severin Bumbaru, Structuri de date, algoritmi și tehnici de programare cu aplicații
Java, Universitatea Dunărea de Jos Galați
16. Doina Logofătu, Bazele programării în C. Aplicații, Editura Polirom, Iași 2006.
17. Carmen Petre, Ștefania Crăciunoiu, Daniela Popa, Camelia Iliescu, Metodica predării
informaticii și tehnologiei informației, Editura Arves, 2002.
18. Andrei Barna, Georgeta Antohe, Curs de pedagogie, Editura Sinteze , Galați 2003.

186 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

19. Andonie R., Garbacea I. – Algoritmi fundamentali. O perspectivă C++. Editura Libris,
Cluj-Napoca, 1995.
20. Curs Intel® Teach – Instruirea în societatea cunoașterii (proiect implementat de
MECTS în parteneriat cu Siveco -România).
21. http://vega.unitbv.ro/~andonie/Cartea_WEB/toc.htm
22. http://ebooks.unibuc.ro/informatica/carabianu/CARA_STR.pdf
23. http://www.campion.edu.ro/arhiva/arhiva_2009/papers/papers30.pdf (Heap -uri, articol
de Emanuela Cerchez).
24. http://www.ginfo.ro/revista/147/ focus.pdf (heap -uri binomiale, articol scris de Mihai
Scorța).
25. http://www.infobits.ro/materiale -on-line pentru profesori (arbori de
intervale(segments -tres), articol Dana Lica.)
26. http://www.scribd.com/doc/151635192/Curs -de-Structuri -de-Date -Florian -Moraru
27. George Daniel Mateescu, Pavel Florin Moraru – Informatica pentru liceu și
bacalaureat. Editura Donaris, Sibiu, 2006.
28. http://instruireaasistatadecalculator.blogspot.ro/ , (Chira Elena)
29. Cornelia Ivașc, Mona Prună – Bazele Informaticii, Editura Petrion, București, 1995
30. Cocan Cornelia – Psihologia educației școlare, Editura Universității
„Transilvania”,Brașov, 2007
31. http://infoscience.3x.ro/c++/Parcurgerea_grafuri_o_adancime.htm
32. https://www.scribd.com/document/154321240/Curs -6-7-Metodica -predarii –
informaticii -Metode -tehnici -procedee -didactice -1 (Cristina Glisă)

187 Grafuri orientate -metode moderne de predare – învățare

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE A
LUCRĂRII METODICO – ȘTIINȚIFICE
DE GRAD DIDACTIC I

Subsemnatul_________________________________________________________________
legitimat cu __________ seria _________ nr. __________ _ CNP_______________________
telefon _____________________ autorul lucrării_ ______ _____________________________
______ __________________________________________________ __________________
elaborată în vederea susținerii examenului de grad didactic I in anul universitar 2016 – 2017
organizat de către Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic din cadrul
Universității “Transilvania” din Brașov, pentru seria 2015 – 2017, luând în considerare
Metodologia formării continue a personalului didactic din învățământul preuniversitar aprobată
prin O.M. nr. 5720/20.10.2009, respectiv Ordinul MECTS nr. 5561/07.10.2011 cu adaugiri,
declar pe proprie răspundere că această lucrare a fo st elaborată în întregime de către mine, nu
au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date
sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată
sursa preluăr ii, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale mele și că lucrarea nu
a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.
Declar, de asemenea, că în lucrare nu există idei, tabele, grafic e, hărți sau alte
surse folosite fără respectarea legii române și a convențiilor internaționale privind drepturile
de autor.
Brașov,

Data Semnătura
______________ _________________