GEOMETRIA TRIUNGHIULUI. ASPECTE METODICE Coordonator  stiint i c: Lect. univ. dr. Laurent iu Deaconu Absolvent a: Maria- Luciana Voican { 2017 {… [608178]

UNIVERSITATEA DIN PITES TI
FACULTATEA DE MATEMATIC A-INFORMATIC A
LUCRARE DE DIZERTAT  IE
GEOMETRIA TRIUNGHIULUI. ASPECTE
METODICE
Coordonator  stiint ic:
Lect. univ. dr. Laurent iu Deaconu
Absolvent a:
Maria- Luciana Voican
{ 2017 {

2

Cuprins
1 Aspecte teoretice privind geometria triunghiului 5
1.1 Aspecte teoretice privind geometria triunghiului . . . . . . . . 5
1.2 Liniile importante ^ n triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 ^In alt imile triunghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Medianele triunghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Bisectoarele unghiurilor unui triunghi . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Mediatoarele laturilor unui triunghi . . . . . . . . . . . 13
1.3 Propriet at ile triunghiului isoscel . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Teoreme referitoare la unghiurile al aturate bazei . . . . 13
1.3.2 Teoreme referitoare la bisectoare  si ^ n alt ime . . . . . . 14
1.3.3 Teoreme referitoare la bisectoare  si median a . . . . . . 14
1.3.4 Teoreme referitoare la ^ n alt imee  si median a . . . . . . . 14
1.3.5 Teorema referitoare la mediatoarea bazei . . . . . . . . 15
1.4 Propriet at ile triunghiului dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Propriet at ile triunghiului echilateral . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 M asura unghiurilor unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Suma m asurilor unui triunghi . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.2 M asura unghiului exterior unui unghi . . . . . . . . . . 20
1.7 Congruent a triunghiurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1 Propriet at ile relat iei de congruent  a . . . . . . . . . . . 21
1.7.2 Cazurile de congruent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Metoda triunghiurilor congruente . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Relat ii ^ ntre laturi  si unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10 Asem anarea triunghiurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10.1 Raportul a dou a segmente . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10.2 Teorema lui Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10.3 Linia mijlocie ^ n tiunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.4 Triunghiuri asemenea. Teorema fundamental a a asem an arii 27
1.10.5 Criterii de asem anare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.11 Relat ii metrice ^ n triunghiul dreptunghic . . . . . . . . . . . . 29
3

4 CUPRINS
1.11.1 Proiect ii ortogonale pe o dreapt a. Teorema ^ n alt imii . . 29
1.11.2 Teorema catetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11.3 Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora 31
1.11.4 Not iuni de trigonometrie ^ n triunghiul dreptunghic . . 32

Capitolul 1
Aspecte teoretice privind
geometria triunghiului
1.1 Aspecte teoretice privind geometria tri-
unghiului
S a consider am trei puncte necoliniare A; B; C . Dou a c^ ate dou a,aceste puncte
determin a segmentele [ AB];[BC];[CA]:
Denit ia 1.1.1. Se nume ste triunghi o gur a geometric a ce rezult a dintr-o
reuniune ca [ AB][[BC][[CA], unde A; B; C sunt puncte necoliniare.
^In gura 1 este desenat un triunghi, notat ABC .
S-a convenit ca semnul " △" s a e citit "triunghi". Deci, notat ia " △ABC "
se cite ste "triunghiul ABC".
5

6CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Denit ia 1.1.2. Elementele "cele mai importante" ata sate unui triunghi
ABC sunt segmentele [ AB];[BC];[CA], care se numesc laturile triungiu-
lui si unghiurile BAC; ABC; ACB (numite pe scurt  si ^A;^B;^C), care se
numesc unghiurile triunghiului .
Observat ia 1.1.3. Spre deosebire de laturile unui unghi care sunt semidrepte,
laturile unui triunghi sunt segmente, deci cuv^ antul "latur a ", luat izolat, n-
are niciun sens ^ n geometrie.
Despre un punct care apart ine interiorului ec aruia dintre unghiurile unui
triunghi spunem c a este ^ n "interiorul" triunghiului. ^In gura , punctul M
este ^ n interiorul triunghiului ABC .
Un punct este^ n "exteriorul" triunghiului dac a apart ine planului acestuia,
dar nu este nici ^ n "interiorul" lui  si nici nu apart ine vreuneia dintre laturile
sale. ^In acee si gur a 2, punctul P este ^ n exteriorul triunghiului ABC , iar
punctul R apart ine laturii [ AB], deci triunghiul ABC .
Spunem c a ^ABC "se opune" laturii [ AC]  si invers: latura [ AC] "se
opune" ^ABC : : : etc.
Denit ia 1.1.4. O latur a a unui triunghi se nume ste al aturat a unghiurilor
ale c aror v^ arfuri sunt ^ n capetele sale.
^In gura 2 de mai sus, latura [ BC] este al aturat a unghiurilor B  si C.
Despre un unghi al unui triunghi se spune c a este cuprins ^ ntre acele
laturi ale triunghiului care, ca segmente, sunt incluse ^ n laturile unghiului.
De exemplu, ^ n gura 2 de mai sus, unghiul C este cuprins ^ ntre laturile [ CB]
 si [CA].
Oric arui triunghi ^ i corespund deci  sase elemente, care uneori sunt expri-
mate ^ n numere(lungimile laturilor sale  si m asurile unghiurilor sale).

1.1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI 7
Pentru lungimile laturilor unui triunghi s-a mai convenit  si urm atoarea
notat ie: latura [ BC], care se opune unghiului A, s a se noteze cu "a", latura
[CA], care se opune unghiului B, s a se noteze cu "b"  si latura [ AB], care se
opune unghiului C s a se noteze cu "c".
Denit ia 1.1.5. Suma lungimilor laturilor triunghiului ABC , adic a BC+
CA+AB=a+b+cse nume ste perimetrul triunghiului ABC .
Observat ia 1.1.6. Obi snuim s a not am perimetrul  si astfel: 2 p=a+b+c,
decipeste semiperimetrul :p=a+b+c
2.
Triunghiurile pot  clasicate dup a m asurile unghiurilor lor, astfel:
a)
Denit ia 1.1.7. Dac a un triunghi are toate unghiurile ascut ite(cu
m asurile mai mici de 90◦), el se nume ste triunghi ascut itunghic .
^Il desen am, de exemplu, ca ^ n prin gura 3-a de mai jos ,  si scriem:
m(^A)<90◦; m(^B)<90◦; m(^C)<90◦:
b)
Denit ia 1.1.8. Dac a un triunghi are un unghi drept- cu m asura de
90◦- (el nu mai poate avea ^ nc a un unghi drept sau un unghi obtuz) se
nume ste triunghi dreptunghic .
^Il desen am, de exemplu, ca ^ n gura 3-b de mai jos,  si scriem:
m(^A′) = 90◦:

8CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Observat ia 1.1.9. Latura care se opune unghiului drept se nume ste
ipotenuz a , iar celelalte dou a se numesc catete .
c)
Denit ia 1.1.10. Dac a un triunghi are un unghi obtuz(el nu m ai
poate avea ^ nc a un unghi obtuz sau un unghi drept) se nume ste triunghi
obtuzunghic .
De exemplu cel din gura 3-c de mai jos,  si scriem:
m(^N)>90◦:
Triunghiurile mai pot purta  si alte denumiri, dup a lungimile comparative
ale laturilor lor, f ar a ca aceasta s a constituie un criteriu de clasicare.
a)
Denit ia 1.1.11. Dac a un triunghi are laturile de lungimi diferite, se
nume ste triunghi oarecare sautriunghi scalen .
^Il desen am ca ^ n gura 4; dac a dorim, marc am cu un num ar diferit de
liniut e laturile lui, deoarece acestea nu sunt congruente  si scriem:
[AB]̸[BC];[BC]̸[CA]  si [CA]̸[AB]:

1.1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI 9
b)
Denit ia 1.1.12. Dac a un triunghi are dou a laturi congruente(cu
aceeac si lungime), el se nume ste triunghi isoscel .
^Il desen am ca ^ n gura 5  si, dac a dorim, marc am cu acela si num ar de
liniut e laturile congruente  si scriem:
[AB][AC]  si respectiv [ MN ][MP]:
S-a convenit ca latura necongruent a ([ BC], respectiv [ NP]) s a se nu-
measc a baza triunghiului isoscel , iar v^ arful unghiului opus bazei s a se
numeasc a v^ arful triunghiului isoscel (punctul A, respectiv M).
c)
Denit ia 1.1.13. Dac a un triunghi are toate laturile congruente(cu
aceea si lungime) el se nume ste triunghi echilateral .

10CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
^Il desen am ca ^ n gura 6,  si, de asemenea, dac a dorim, marc am cu
acela si num ar de liniut e laturile sale  si scriem:
[AB][BC][CA]:
Observ am c a triunghiul echilateral este un "triunghi isoscel particular",
deci mult imea triunghiurilor echilaterale este inclus a ^ n mult imea triunghi-
urilor isoscele.
1.2 Liniile importante ^ n triunghi
1.2.1 ^In alt imile triunghiului
Denit ia 1.2.1. Perpendiculara construit a din v^ arful triunghiului pe latura
opusa se nume ste ^ n alt ime.
ADeste ^ n alt ime ^ n △ABC rezult a c a AD?BC
^In funct ie de context, prin^ n alt ime, ^ nt elegem segmentul determinat de un
v^ arf al triunghiului  si piciorul perpendicularei duse din acel v^ arf pe dreapta
care cont ine latura opus a v^ arfului. Punctul Dse nume ste piciorul ^ n alt imii

1.2. LINIILE IMPORTANTE ^IN TRIUNGHI 11
dinA, iar [ BC] se mai nume ste baza triunghiului. Mai folosim exprimarea:
[AD] este ^ n alt imea corespunz atoare laturii [ BC] ^ n△ABC .
Observat ie: Orice triunghi are trei ^ n alt imi.
Teorema 1.2.2. Dreptele care cont in ^ n alt imile oric arui triunghi sunt con-
curente ^ ntr-un punct numit ortocentrul triunghiului, notat cu H.
AD; BE; CF sunt ^ n alt imi ^ n △ABC rezult a c a exist a H;astfel ^ nc^ at,
AD\BE\CF=fHg
1.^In orice triunghi ascut it unghic ortocentrul este interior triunghiul.
Scriem H2Int(△ABC ):
2.^In orice triunghi dreptunghic ortocentrul coincide cu v^ arful drept al
triunghiului. Scriem H2 △ABC:
3.^In orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se a
 a ^ n exteriorul triunghi-
ului. Scriem H2Ext(△ABC ):
1.2.2 Medianele triunghiului
Denit ia 1.2.3. Segmentul cu extremit at ile ^ n v^ arful triunghiului  si, respec-
tiv, mijlocul laturii opuse se nume ste median a .
AM este median a ^ n △ABC rezult a c a
Meste mijlocul laturii [ BC]
Observat ie: Orice triunghi are mediane.
Teorema 1.2.4. ^In orice triunghi medianele sunt concurente ^ ntr-un punct
G, numit centru de greutate al triunghiului care este situat pe ecare dintre
mediane la dou a treimi de v^ arf  si o treime de baz a.

12CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Demonstrat ie. FieM; N; P mijloacele laturilor [ BC];[AC], respectiv [ AB]
ale△ABC . Dac a AM  siBN ar  paralele, atunci, din ^BAM  si^ABN
interne de aceea si parte a secantei AB, ar rezulta c a ^BAM  si^ABN
sunt suplementare, ceea ce este imposibil, venind ^ n contradict ie cu suma
m asurilor unghiurilor unui triunghi. Deci, medianele [ AM]  si [BN] sunt
concurente. Atunci, exist a G, astfel ^ nc^ at, AM\BN =fGg:
FieRmijlocul [ GC].^In triunghiul AGC , [NR] este linie mijlocie, rezult a
c aNR este paralel a cu AM,NR =1
2AG. Din NR∥GM  siMR∥GN
rezult a c a [ NR] = [GM]  si cum NR=1
2AGrezult a c a
GM =1
3AM  siAG=2
3AM (1.2.1)
Analog se arat a c a exist a G′, astfel ^ nc^ at, AM\CP =fG′g, iarG′2
(AM), cu
G′M=1
3AM (1.2.2)
Din relat iile 1.2.1  si 1.2.2 rezult a c a G=G′. 
1.2.3 Bisectoarele unghiurilor unui triunghi
Denit ia 1.2.5. Bisectoarea unui unghi este o semidreapt a interioar a
unghiului, care determin a cu laturile unghiului dou a unghiuri congruente.
Teorema 1.2.6. Un punct interior unui unghi apart ine bisectoarei unghiului
dac a  si numai dac a este egal dep artat de laturile unghiului
Teorema 1.2.7. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente ^ ntr-
un punct egal dep artat de laturile triunghiului.
Punctul de intersect ie al bisectoarelor unui triunghi se noteaz a cu I si
este centru unui cerc numit cercul ^ nscris ^ n triunghi .
d(I; AB ) =d(I; BC ) =d(I; AC ) = raza cercului ^ nscris ^ n triunghi.

1.3. PROPRIET AT ILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL 13
1.2.4 Mediatoarele laturilor unui triunghi
Denit ia 1.2.8. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendicular a
pe segment ^ n mijlocul acestuia.
Teorema 1.2.9. Un punct apart ine mediatoarei unui segment dac a  si numai
dac a este egal dep artat de capetele segmentului.
Teorema 1.2.10. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente ^ ntr-
un punct egal dep artat de v^ arfurile triunghiului.
Punctul de intersect ie al mediatoarelor laturilor unui triunghi se noteaz a
cuO si este centrul unui cerc c aruia ^ i apart in v^ arfurile triunghiului: acest
cerc se nume ste cercul circumscris triunghiului .
OA=OB=OC= raza cercului circumscris triunghiului
1.3 Propriet at ile triunghiului isoscel
1.3.1 Teoreme referitoare la unghiurile al aturate bazei
Teorema 1.3.1. Teorem a direct a Dac a un triunghi este isoscel, atuni
unghiurile al aturate bazei sunt congruente.
△ABC este isoscel de baz a [BC])^B,^C
Teorema 1.3.2. Teorem a reciproc a Dac a un triunghi are dou a unghiuri
congruente atunci tiunghiului este isoscel.
^B,^C, △ABC este isoscel de baz a [BC]

14CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
1.3.2 Teoreme referitoare la bisectoare  si ^ n alt ime
Teorema 1.3.3. ^Intr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului format de la-
turile congruente este inclus a ^ n ^ n alt imea triunghiului.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [ BC], iar [ AD este bisectoare, atunci
ADeste ^ n alt ime.
Teorema 1.3.4. Teoreme reciproce
RT1:^Intr-un triunghi isoscel ^ n alt imea construit a din v^ arful opus bazei
cont ine  si bisectoarea unghiului.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [BC] siAD este ^ n alt ime, atunci [AD
este bisectoare.
RT2: Dac a ^ ntr-un triunghi o bisectoare a unui unghi este  si ^ n alt ime,
atunci triunghiul este isoscel.
Dac a ADeste ^ n alt ime ^ n △ABC  si[ADeste bisectoare ^ n △ABC atunci
△ABC este isoscel de baz a [BC].
1.3.3 Teoreme referitoare la bisectoare  si median a
Teorema 1.3.5. ^Intr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului format de la-
turile congruente cont ine mediana corespunz atoare bazei triunghiului.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [ BC]  si [AD este bisectoare, atunci
[AD] este median a.
Teorema 1.3.6. Teoreme reciproce
RT1:^Intr-un triunghi isoscel mediana corespunz atoare bazei trunghiului
este inclus a ^ n bisectoarea unghiului opus bazei.
Dac a△ABC este isoscel de baz a [BC] si[AD]este median a, atunci [AD
este bisectoare.
RT2: Dac a ^ ntr-un triunghi o bisectoare a unui triunghi este  si mediana
corespunz atoare laturii opuse, atunci triunghiul este isoscel.
Dac a [AD este bisectoare ^ n △ABC  si[AD]este median a ^ n △ABC ,
atunci △ABC este isoscel de baz a [BC].
1.3.4 Teoreme referitoare la ^ n alt imee  si median a
Teorema 1.3.7. ^Intr-un triunghi isoscel ^ n alt imea cobor^ at a din v^ arful opus
bazei cont ine mediana corespunz atoare acesteia.
Dac a△ABC este isoscel de baz a [ BC]  si [ADeste ^ n alt ime, atunci [ AD]
este median a.

1.4. PROPRIET AT ILE TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC 15
Teorema 1.3.8. Teoreme reciproce
RT1:^Intr-un triunghi isoscel mediana corespunz atoare bazei triunghiului
este inclus a ^ n ^ n alt imea cobor^ at a din v^ arful opus bazei.
Dac a△ABC este isoscel de baz a [BC] si[AD]este median a, atunci [AD
este ^ n alt ime.
RT2: Dac a ^ ntr-un triunghi o bisectoare a unui unghi este  si ^ n alt ime
corespunz atoare laturii opuse unghiului, atunci triunghiul este isoscel.
Dac a [AD este bisectoare ^ n △ABC  si[AD este median a ^ n △ABC ,
atunci △ABC este isoscel de baz a [BC]:
1.3.5 Teorema referitoare la mediatoarea bazei
Teorema 1.3.9. ^Intr-un triunghi isoscel medoiatoarea bazei trece prin v^ arful
opus bazei.
Consecint  a. ^In acest caz mediatoarea cont ine bisectoarea unghiului format
de laturile congruente. Evident c a ea cont ine  si ^ n alt imea  si mediana.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [ BC]  siAD este mediatoare, atunci
[AD] este bisectoare.
Teorema 1.3.10. Teoreme reciproce
RT1:^Intr-un triunghi isoscel mediana corespunz atoare bazei triunghiului
este inclus a ^ n mediatoarea corespunz atoare bazei.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [BC] si[AD]este median a, atunci AD
este mediatoare.
RT2:^Intr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului opus bazei este inclus a
^ n mediatoarea corespunz atoare bazei.
Dac a△ABC este isoscel de baz a [BC] si[AD]este bisectoare, atunci AD
este mediatoare.
RT3:^Intr-un triunghi isoscel ^ n alt imea cobor^ at a din v^ arful opus bazei este
mediatoarea corespunz atoare bazei.
Dac a △ABC este isoscel de baz a [BC] si[AD este ^ n alt ime, atunci AD
este mediatoare.
1.4 Propriet at ile triunghiului dreptunghic
Denit ia 1.4.1. Triunghiul cu un unghi drept, se nume ste triunghi drep-
tunghic.

16CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Dac a ^ n △ABC ,m(^A) = 90◦, atunci △ABC este dreptunghic ^ n A.
Latura opus a unghiului drept se nume ste ipotenuz a , iar laturile care
formeaz a unghiul drept se numesc catete.
Denit ia 1.4.2. Triunghiul ^ n care catetele sunt congruente se nume ste tri-
unghi dreptunghic isoscel.
Dac a ^ n △ABC dreptunghic ^ n A, [AB][AC], atunci △ABC este
dreptunghic isoscel.
Teorema 1.4.3. ^Intr-un triunghi dreptunghic unghiurile ascut ite sunt com-
plementare.
Dac a ^ n △ABC ,m(^A) = 90◦, atunci ^B si^Csunt complementare.
Consecint  a. ^Intr-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile ascut ite au m asura
de 45◦.
Teorema 1.4.4. Teorem a reciproc a
RT1:Dac a ^ ntr-un triunghi unghiurile ascut ite sunt complementare, atunci
triunghiul este dreptunghic.

1.4. PROPRIET AT ILE TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC 17
Fie^B si^Cunghiuri complementare. Atunci △ABC este dreptunghic
^ nA.
Teorema 1.4.5. Dac a un triunghi dreptunghic are un unghi ascut it cu m asura
de30◦, atunci lungimea catetei opuse acestui unghi este egal a cu jum atate
din lungimea ipotenuzei.
Dac a ^ n △ABC dreptunghic ^ n A,m(^C) = 30◦, atunci AB=1
2BC.
Teorema 1.4.6. Teorem a reciproc a
RT1:Dac a ^ ntr-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este jum atate
din lungimea ipotenuzei atunci m asura unghiului opus acelei catete este de
30◦.
Dac a ^ n △ABC dreptunghic ^ n A,AB=1
2BCatunci m(^C) = 30◦.
Demonstrat ie. Prelungim , dincolo de A,ca ^ n gura de mai jos, cu
[AB][AD]: (1.4.3)
△ABC este dreptunghic ^ n A, echivalent cu CA?BD, rezult a △ABC
este dreptunghic ^ n A, dar  si △ADC este dreptunghic ^ n A.
Evident, [ AC][AC].
Din cele de mai sus, datorit a cazului de congruent  a C.C., avem △ACB 
△ACD , rezult a [ CB][CD].

18CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Din ipotez a,
AB=1
2BC)BC= 2AB: (1.4.4)
Din ecuat ia (1.4.3), rezult a BD= 2AB.
DeciBC=BD)[BC][BD].
[BC] = [BD] si [CB][CD], rezult a △BCD este echilateral cu m(^BCD ) =
60◦:
Din faptul c a △ACB  △ACD , obt inem ^ACB ^ACD , deci m(^ACB ) =
1
2m(^BCD ) = 30◦: 
Teorema 1.4.7. Teorem a referitoare la mediana corespunz atoare
ipotenuzei. ^In orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz atoare
ipotenuzei este egal a cu jum atate din lungimea ipotenuzei.
Dac a^ n △ABC dreptunghic^ n A, [AD] este median a, atunci AD=1
2BC:
Teorema 1.4.8. Teorem a reciproc a
RT1:Dac a mediana unui triunghi are lungimea egal a cu jum atate din
lungimea laturii corespunz atoare, atunci triunghiul este dreptunghic, unghiul
drept ind cel opus laturii c areia i s-a considerat mediana.
Dac a [ AD] este median a  si AD=1
2BC, atunci △ABC este dreptunghic
^ nA.
Demonstrat ie. DinAD=DBrezult a triunghiul ADB isoscel cu ^B ^BAD:
Analog AD=DC rezult a triunghiul DAC isoscel cu ^C ^CAD:
^In triunghiul ABC avem m(^B) +m(^C) +m(^BAD ) +m(^CAD ) = 180◦i.e.
2[m(^BAD ) +m(^CAD )] = 180◦i.e.m(^A) = 90◦, adic a triunghiul ABC este
dreptunghic ^ n A. 
1.5 Propriet at ile triunghiului echilateral
Denit ia 1.5.1. Triunghiul cu toate laturile congruente se nume ste triunghi
echilateral.

1.6. M ASURA UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI 19
[AB][AC][BC] este echivalent cu △ABC este echilateral
Teoreme directe
Teorema 1.5.2. Triunghiul echilateral are toate unghiurile congrunte.
△ABC este echilateral ^A^B^C
Consecint  a.
m(^A) =m(^B) =m(^C) = 60◦
Observat ia 1.5.3. Triunghiul echilateral, ind ^ n acela si timp  si triunghi
isoscel, rezult a c a are toate propriet at ile triunghiului isoscel.
Teorema 1.5.4. ^Intr-un triunghi echilateral, mediana, ^ n alt imea  si media-
toarea ec arei laturi, precum  si bisectoarea unghiului opus laturii, coincid.
Dreapta suport ale acestora este ax a de simetrie pentru un triunghi.
Teorema 1.5.5 (Teoreme reciproce ).R:T 1:Dac a un triunghi are toate
unghiurile congruente atunci el este echilateral.
^A^B^Crezult a c a triunghiul ABC este echilateral :
R:T 2:Triunghiul isoscel cu un unghi cu m asura de 60◦este echilateral.
Dac a triunghiul ABC este isoscel  si m(^A) = 60◦, rezult a c a triunghiul
ABC este echilateral.
1.6 M asura unghiurilor unui triunghi
1.6.1 Suma m asurilor unui triunghi
^In△ABC , prelungim latura [ BC], dincolo de B, cu [ BD]  si ducem BE
paralel a cu AC. Avem\DBE bCca unghiuri corespondente  si [EBA bAca
unghiuri alterne interne. Din m(\DBE ) +m([EBA ) = 180◦rezult a m(bC) +
m(bA) +m([ABC ) = 180◦. Aceast a demonstrat ie ne permite s a formul am
urm atoarea teorem a:
Teorema 1.6.1. ^In orice triunghi suma m asurilor unghiurilor este egal a cu
180◦.

20CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Consecint a 1.6.2. 1.^Intr-un triunghi dreptunghic unghiurile ascut ite sunt
complementare.
2.Toate unghiurile triunghiurilor echilaterale au m asura de 60◦.
1.6.2 M asura unghiului exterior unui unghi
^In demonstrat ia de mai sus, \ABD este un unghi exterior triunghiului(adic a
format de o latur a a triunghiului cu prelungirea altei laturi a acestuia)  si a
rezultat m(\ABD ) =m([ABE ) +m(\EBD ) =m(bA) +m(bC).
Teorema 1.6.3 (Teorema unghiului exterior:) .M asura unui unghi exterior
unui triunghi este egal a cu suma m asurilor unghiurilor triunghiurilor neadi-
acente lui.
Redactare cu simboluri: ^ABD este un unghi exterior △ luiABC
rezult a c a m(^ABD ) =m(^A) +m(^C).

1.7. CONGRUENT A TRIUNGHIURILOR 21
1.7 Congruent a triunghiurilor
^In general, se spune despre dou a guri geometrice plane, c a sunt congruente,
dac a prin suprapunere ele coincid. Acela si lucru se poate spune  si despre
dou a triunghiuri: dac a putem a seza unul din cele dou a triunghiuri pe cel alalt,
astfel ^ nc^ at s a coincid a, vom spune c a cele dou a triunghiuri sunt congruente.
Denit ia 1.7.1. Triunghiurile care au elementele corespunz atoare, congru-
ente dou a c^ ate dou a, se numesc triunghiuri congruente.
△ABC  △A′B′C′,[AB][A′B′]; [BC][B′C′]; [AC][A′C′];
^A^A′;^B^B′;^C^C′
Observat ii: Elementele care se corespund se mai numesc  si elemente
omoloage.
Este important a ordinea literelor ^ n notat ia triunghiurilor congruente!!!
1.7.1 Propriet at ile relat iei de congruent  a
1.Re
exivitatea: Oricare ar  △ABC avem △ABC  △ABC .
2.Simetria: Dac a△ABC  △MNP , atunci △MNP  △ABC .
3.Tranzitivitatea: Dac a △ABC  △MNP  si△MNP  △DEF ,
atunci △ABC  △DEF .
1.7.2 Cazurile de congruent  a
Pentru a ar ata c a dou a triunghiuri date sunt congruente este sucient s a
veric am trei congruent e, dintre care cel put in o congruent  a de laturi.
1.Congruent a latur a- unghi- latur a (L.U.L.)
Dou a triunghiuri care au dou a laturi  si unghiul determinat de ele, re-
spectiv, congruente, sunt congruente.
Dac a [ AB][MN ],^A^M si [AC][MP], rezult a c a △ABC 
△MNP:

22CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
2.Congruent a unghi- latur a – unghi (U.L.U.)
Dou a triunghiuri care au o latur a  si unghiurile al aturate ei, respectiv,
congruente sunt congruente.
Dac a^A^M, [AB][MN ]  si^B^N, rezult a c a △ABC 
△MNP:
3.Congruent a latur a- unghi- latur a (L.U.L)
Dou a triunghiuri care au laturile, respectiv, congruente sunt congru-
ente.
Dac a [ AB][MN ], [BC][NP]  si [AC][MP], rezult a c a △ABC 
△MNP:
1.8 Metoda triunghiurilor congruente
Metoda triunghiurilor congruente este o metod a prin care domnstr am congruent a
a dou a triunghiuri  si, conform denit iei triunghiurilor congruente, g asim alte
perechi de elemente congruente. Acestea se aleg astfel:
Dac a dou a triunghiuri sunt congruente, atunci la laturi congruente se opun
unghiuri congruente  si reciproc.
Exemplu: Segmentele [ AB]  si [CN] au acela si mijloc, punctul O. G asit i
cele  sase perechi de elemente congruente din △AOB  si△MON:
Demonstrat ie. Din ipotez a Oeste mijlocul segmentului [ AM], rezult a c a
[AD][DB] (1.8.5)
^AOB  si^MON sunt unghiuri opuse la v^ arf
^AOB ^MON (1.8.6)
Din ipotez a Oeste mijlocul segmentului [ BN] rezult a c a
[OB][ON] (1.8.7)

1.9. RELAT II ^INTRE LATURI S I UNGHIURI 23
Din 1.8.5, 1.8.6  si 1.8.7 rezult a prin cazul latur a- unghi- latur a c a △AOB 
△MON , rezult a c a [ AB][MN ];^OAB ^OMN  si^ABO ^MNO:

Observat ia 1.8.1. Dup a ce am demonstrat c a △AOB  △MON , conform
denit iei, cele dou a triunghiuri au toate elementele corespunz atoare congru-
ente, dou a c^ ate dou a  si am ales trei perechi de congruent e, astfel:
1.La unghiurile opuse la v^ arf, congruent e, ^AOB  si^MON , se opun, ^ n
cele dou a triunghiuri congruente, laturile [ AB]  si. respectiv [ MN ];
2.La laturile congruente, [ OB]  si [ON] se opun, ^ n cele dou a triunghiuri
congruente, unghiurile ^OAB  si, respectiv, ^OMN ;
3.La laturile congruente, [ AO]  si [MO] se opun, ^ n cele dou a triunghiuri
congruente, unghiurile ^ABO ,  si respectiv ^NMO:
1.9 Relat ii ^ ntre laturi  si unghiuri
Teorema 1.9.1. ^In orice triunghi cu laturi necongruente, laturii mai mare
i se opune unghiul mai mare.
Reciproc a: ^In orice triunghi cu unghiuri necongruente, la unghiul mai
mare opune latur a mai mare.
Consecint  a: ^In triunghiul dreptunghic ipotenuza este mai mare dec^ at
oricare dintre catete.
Teorema 1.9.2. ^In orice triunghi lungimea oric arei laturi este mai mic a
dec at suma lungimilor celorlalte dou a  si mai mare dec^ at modulul diferent ei
celorlalte dou a.
jPMNMj< NP < PM +NM
jNPNMj< PM < NP +NM
jNPMPj< NM < NP +MP

24CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
1.10 Asem anarea triunghiurilor
1.10.1 Raportul a dou a segmente
Denit ia 1.10.1 (Segmente proport ionale ).Raportul a dou a segmente
este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceea si unitate de m asur a.
Denit ia 1.10.2 (Segmente proport ionale ).Patru segmente se numesc
proport ionale dac a se poate forma o proport ie cu lungimile acestora.
Teorema 1.10.3 (Teorema paralelelor echidistante ).Dac a mai multe
drepte paralele determin a pe o secant a segmente congruente, atunci ele de-
termin a pe orice alt a secant a segmente congruente.
^In gura de mai jos, din
d1∥d2∥d3: : :  siA1A2=A2A3=A3A4=: : :
rezult a c a:
B1B2=B2B3=B3B4=: : :
1.10.2 Teorema lui Thales
Teorema 1.10.4 (Teorema lui Thales ).O paralel a dus a la una dintre
laturile unui triunghi determin a pe celelalte dou a laturi sau pe prelungirile
acestora, segmente proport ionale.

1.10. ASEM ANAREA TRIUNGHIURILOR 25
Pentru gurile de mai sus din DE paralel a cu BC, aplic^ and teorema lui
Thales, rezult a c a:
AD
DB=AE
ECsauAB
DB=AC
CEsauAD
AB=AE
AC:
Teorema 1.10.5 (Reciproca teoremei lui Thales ).Fie triunghiul ABC
 si punctele D2AB,E2AC, a
ate ^ n acela si semiplan determinat de
paralela prin AlaBC.
Dac aAD
AB=AE
AC;atunci DE paralel a cu BC:
Observat ia 1.10.6. ^In condit iile de mai sus, dac aAD
AB̸=AE
AC, atunci DE nu
este paralel a cu BC.
Aplicat ii ale teoremei lui Thales

26CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Teorema 1.10.7 (Teorema paralelelor neechidistante ).Mai multe drepte
paralele determin a pe dou a secante oarecare segmente proport ionale. Pentru
gura de mai sus, dac a d1∥d2∥d3: : : sid; gsunt dou a secante, atunci:
A1A2
B1B2=A2A3
B2B3=A3A4
B3B4=: : :
Teorema 1.10.8 (Teorema bisectoarei ).^Intr-un triunghi, bisectoarea unui
unghi determin a pe latura opus a dou a segmente proport ionale cu celelalte
dou a laturi.
^In gura din st^ anga avemBD
DC=AB
AC, iar ^ n dreaptaBE
CE=AB
AC, unde [ AE]
este bisectoarea unghiului exterior unghiului BAC ^ ntr-un triunghi ^ n care
AB̸=AC.
1.10.3 Linia mijlocie ^ n tiunghi
Denit ia 1.10.9. Segmentul determinat de mijloacele a dou a laturi ale unui
triunghi se nume ste linie mijlocie ^ n triunghi.

1.10. ASEM ANAREA TRIUNGHIURILOR 27
Teorema 1.10.10. Linia mijlocie a unui triunghi determinat a de mijloacele
a dou a laturi ale triunghiului este paralel a cu cea de-a treia latur a  si are
lungimea egal a cu jum atate din lungimea acesteia.
[MN ] linie mijlocie, rezult a c a MN∥BC; MN =1
2BC
1.10.4 Triunghiuri asemenea. Teorema fundamental a
a asem an arii
Denit ia 1.10.11. Dou a triunghiuri se numesc asemenea dac a au unghiurile
corespondente congruente  si laturile corespondente proport ionale.
△ABC  △DEF ,^A^D;^B^E;^C^F siAB
DE=AC
DF=BC
EF=k;
unde kse nume ste raport de asem anare.
Teorema 1.10.12 (Teorema fundamental a a asem an arii ).O paralel a
dus a la una din laturile unui triunghi formeaz a cu celelalte dou a laturi(sau
cu prelungirile acestora) un triunghi asemenea cu cel dat.

28CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Din gurile de mai sus avem:
DE∥BC) △ADE  △ABC
Observat ia 1.10.13. Ipoteza teoremi fundamentale a asem an arii este acee si
cu cea a teoremei lui Thales. Concluzia este ins a mai cuprinz atoare.
1.10.5 Criterii de asem anare
Teorema 1. (Criteriul U.U.) Dou a triunghiuri sunt asemenea dac a au dou a perechi
de unghiuri corespondente congruente.
Teorema 2. (Criteriul L.U.L.) Dou a triunghiuri sunt asemenea dac a au dou a perechi
de laturi corespondente proport ionale  si unghiurile dintre ele congru-
ente.
Teorema 3. (Criteriul L.L.L.) Dou a triunghiuri sunt asemenea dac a au laturile core-
spondente proport ionale.
Observat ia 1.10.14. 1.Raportul^ n alt imilor, medianelor  si bisectoarelor
ce pornesc din v^ arfurile corespondente a dou a triunghiuri asemenea este
egal cu raportul de asem anare al celor dou a triunghiuri.
2.Raportul ariilor a dou a triunghiuri asemenea este egal cu p atratul ra-
portului de asem anare.

1.11. RELAT II METRICE ^IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 29
1.11 Relat ii metrice^ n triunghiul dreptunghic
1.11.1 Proiect ii ortogonale pe o dreapt a. Teorema^ n alt imii
Proiect ia ortogonal a a unui punct pe o dreapt a este piciorul perpendicularei
duse din acel punct pe dreapt a.
^In gura de mai sus avem:
prdM=M′; M̸2d siprdN′; N2d
Teorema 1.11.1. Proiec tia unui segment pe o dreapt a este un segment sau
un punct.
Observat ia 1.11.2. Dac a proiect ia segmentului [ AB] pe dreapta deste seg-
mentul [ A′B′], atunci proiect ia mijlocului segmentului [ AB] este mijlocul
segmentului [ A′B′].
Teorema 1.11.3 (Teorema^ n alt imii ).^Intr-un triunghi dreptunghic lungimea
^ n alt imii corespunz atoare ipotenuzei este media geometric a a lungimilor proiect iilor
catetelor pe ipotenuz a.

30CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
Cu notat iile din gur a, avem:
AD2=BD
DC
Lungimea ^ n alt imii corespunz atoare ipotenuzei este raportul dintre produsul
lungimilor catetelor  si lungimea ipotenuzei:
AD=AB
AC
BC
Teorema 1.11.4 (Reciproca teoremei ^ n alt imii ).Fie triunghiul ABC  si
D2(BC), astfel ^ nc^ at ADperpendicular pe BC siAD2=DC
DB. Atunci
m asura unghiului BAC este egal a cu 90◦.
Demonstrat ie. DinAD2=DC
DB, rezult aAD
DC=DB
AD si, cum ^BAD 
^ADB , rezult a △ADC  △BDA , deci^BAD ^DCA . Dar, m(^BAD )+
m(^ABD ) = 90◦, de unde rezult a c a m(^DCA ) +m(^ABD ) = 90◦, adic a
m asura unghiului BAC este egal a cu 90◦. 
1.11.2 Teorema catetei
Teorema 1.11.5 (Teorema catetei ).^Intr-un triunghi drptunghic lungimea
ec arei catete este media geometric a a lungimii ipotenuzei  si lungimii proiect iei
ei pe ipotenuz a.
Cu notat iile din gura de mai sus, avem:
AB2=BC
BD  siAC2=BC
CD
Teorema 1.11.6 (Reciproce ale teoremei catetei ).R1:^In triunghiul
ABC , dac a AD?BC; D 2(BC) si are loc una din egalit at iile AB2=
BC
BD sauAC2=BC
CD, atunci m asura unghiului BAC este de 90◦.
R2:^In triunghiul ABC , dac a D2(BC)este un punct astfel ^ nc^ at AB2=
BC
BD  siAC2=BC
CD, atunci m asura unghiului BAC este de 90◦.

1.11. RELAT II METRICE ^IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 31
1.11.3 Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui
Pitagora
Teorema 1.11.7 (Teorema lui Pitagora ).^Intr-un triunghi dreptunghic,
suma p atratelor lungimilor catetelor este egal a cu p atratul lungimii ipotenuzei.
Pentru gura de mai sus avem:
AB2+AC2=BC2
Teorema 1.11.8 (Reciproca teoremei lui Pitagora ).Dac a ^ ntr-un tri-
unghi suma p atratelor lungimilor a dou a laturi este egal a cu p atratul lungimii
laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Observat ia 1.11.9. Dac a ^ n triunghiul ABC avem AB2+AC2< BC2,
atunci m asura unghiului Aeste mai mare dec^ at 90◦, iar dac a AB2+AC2>
BC2, atunci m asura unghiului Aeste mai mic a dec^ at 90◦.
Teorema 1.11.10 (Teorema lui Pitagora generalizat a ).
Fie triunghiului ABC  siD=prBCA.
Dac a m(^C)<90◦, atunci AB2=AC2+BC22
BC
CD.
Dac a m(^C)>90◦, atunci AB2=AC2+BC2+ 2
BC
CD.
Demonstrat ie. Dac a m(^C)<90◦, atunci BD=jBCCDj.
^In triunghiul ADB , m asura unghiul Deste de 90◦, avem AB2=AD2+
BD2=AD2+jBCCDj2. Rezult a c a AB2=AD2+CD2+BC22
BC

CD si deoarece AD2+CD2=AC2rezult a AB2=AC2+BC22
BC
CD.
Dac a m(^C)>90◦, atunci AB2=AD2+BD2=AD2+ (BC+CD)2, de
unde rezult a AB2=AC2+BC2+ 2
BC
CD.
Se observ a c a dac a m(^C) = 90◦, atunci C=D, adic a 2
BC
CD= 0, adic a
se obt ine teorema lui Pitagora: AB2=AC2+BC2. 

32CAPITOLUL 1. ASPECTE TEORETICE PRIVIND GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
1.11.4 Not iuni de trigonometrie^ n triunghiul dreptunghic
Pentru orice triunghi dreptunghic se denesc rapoartele sinus, cosinus, tan-
gent a  si cotangent a, numite funct ii trigonometrice.
Pentru gura de mai sus acestea se scriu:
sinx◦=BC
AC;cosx◦=BC
AC
tg x◦=BC
AB; ctg x◦=AB
BC
Se observ a c a:
tg x◦=sinx◦
cosx◦;ctg x◦=cosx◦
sinx◦; sin2x◦+ cos2x◦= 1:
Relat ii^ ntre func tiile trigonometrice ale unghiurilor complementare
sin(90◦x◦) = cos x◦
cos(90◦x◦) = sin x◦
tg(90◦x◦) =ctg x◦
Valorile func tiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30◦;45◦;60◦

1.11. RELAT II METRICE ^IN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 33
Teorema cosinusului
Teorema 1.11.11 (Teorema cosinusului ).
Fie triunghiul ABC , cum(^C)<90◦ siD=prBCA.
Conform teoremei lui Pitagora generalizat a, avem:
AB2=BC2+AC22
BC
CD:
Din triunghiul dreptunghic ACD rezult a CD=ACcosC, deci are loc relat ia
AB2=BC2+AC22BC
AC
cosC (1.11.8)
^In mod asem an ator, dac a m(^C)>90◦, se demonstreaz a c a:
AB2=BC2+AC22BC
AC
cos(180◦C) (1.11.9)
Egalit at ile 1.11.8 respectiv 1.11.9 sunt cunoscute drept teorema cosinusu-
lui.