Geometria Poliedrelor. Aspecte Metodice

GEOMETRIA POLIEDRELOR. ASPECTE METODICE

CUPRINS

ARGUMENT

Geometria euclidiană, cea care se studiază în școala generală și în ciclul inferior al liceului, este în această formă din antichitate cu mici adăugiri cantitative de-alungul perioadelor următoare. Dacă vechii egipteni au reușit să pună în practică multele cunoștințe de geometrie pe care le aveau și să construiască lucruri care uimesc și astăzi comunitatea științifică și nu numai, iar vechii grecii au transformat geometria într-o artă plecând de la nevoia lor de frumos, satisfăcându-și aceste trebuințe observând proprietățile estetice ale figurilor și corpurilor geometrice și ajungând să îmbogățească acest domeniu prin munca asiduă și cercetările unor oameni deosebiți ca Apoloniu, Arhimede sau Euclid, de ce elevii din aceste timpuri nu mai văd frumusețea geometriei?

Lumea actuală trăiește într-o continuă mișcare, tinerii educabili explorează acum cunoașterea într-un mediu complex, inter și transdisciplinar, universul informatic este atotcuprinzător și atotcunoscător. Și totuși, de ce având toate aceste informații, metode și mijloace de informare la îndemână elevii, sau o parte a lor nu reușesc să înțeleagă și să pătrundă tainele geometriei? Unde este problema, la ei, la noi, profesorii lor, sau în altă parte?

Din dorința de a găsi câteva răspunsuri la toate aceste întrebări și, eventual câteva soluții am ales această temă pentru a studia și de ce nu, pentru a oferi celor interesați o lucrare în care să se regăsească atât cei care sunt la începutul studiului geometric dar și cei care au cunoștințe solide de geometrie, o lucrare atractivă și în același timp riguros fundamentată stiințific, de abordare a geometriei poliedrelor.

Lucrarea este structurată în patru capitole: I. Elevul-rezolvitor de probleme. Aspecte psihopedagogice;II. Poliedre – aspecte științifice;III. Rezolvarea de probleme-proces superior de învățare;IV. Cercetare aplicativă. Poiect de optimizare a strategiilor de predare-învățare a unității de învățare “POLIEDRE “a căror conținut este prezentat succint mai jos.

Capitolul I este axat pe aspectele psiho-pedagogice ale elevului din învățământul gimnazial și liceal și elemente de didactică a matematicii, corelate cu stadiile de dezvoltare.

Capitolul II prezintă unghiurile poliedre și poliedrele, cu referire la poliedrele studiate în școală, se enunță apoi teorema lui Euler pentru poliedre, cu câteva consecințe ale ei. Se extinde în spațiu noțiunea de poligon regulat, definindu-se și determinându-se poliedrele convexe regulate. Pentru toate poliedrele studiate voi da construcția geometrică în spațiu, desfășurarea plană și câteva proprietăți semnificative.

Capitolul III este dedicat metodicii matematice și anume rezolvării de probleme. Sunt prezentate diferite tipuri de probleme abordate din punct de vedere metodic, cu grade diferite de dificultate, folosind strategii didactice și metode diverse.

Capitolul IV cuprinde cercetarea pedagogică. Scopul cercetării este optimizarea strategiilor de predare –învățare ale unității de învățare “POLIEDRE “. Ipoteza cercetării: Dacă strategiile de predare-învățare sunt în concordanță cu nevoile și nivelul clasei atunci randamentul elevilor va marca o creștere consistentă. Obiectivul cercetării: dovedirea eficienței softului educațional în orele de matematică și în general a calculatorului.

Concluziile acestei lucrări subliniază faptul că folosirea metodelor moderne, interactive de predare –învățare, sporește gradul de implicare al elevilor în activitățile de învățare, ducând la o ridicare a calității procesului instructiv educativ. În aceeași ordine de idei, pentru disciplina matematică, interactivitatea poate deveni o componentă esențială a actului instruirii, dacă se înțelege calculatorul ca un mijloc cu multiple valențe de utilizare în predare, învățare și evaluare.

CAPITOLUL I

I.1 Aspecte psihopedagogice ale elevului din ciclul gimnazial și ciclul inferior al liceului

În literatura psiho-pedagogică românească sunt considerați ca factori ai ontogenezei ereditatea, mediul și educația.

Ereditatea este însușirea fundamentală a materiei vii de a transmite, de la o generație la alta informații despre specie, grup, individ sub forma codului genetic. Cu toate că cercetările privind ereditatea umană sunt abia la început, câteva idei se pot impune:

Moștenirea ereditară apare ca un complex de predispoziții și potențialități, nu ca transmitere a însuțirilor înaintașilor.

Diversitatea psihopedagogică umană este urmarea unor anumite caracteristici ereditare (constituție, biotip, etc).

Rolul eredității în dezvoltarea psihică a unui individ este mai mult de a oferi o șansă (ereditate normală) sau o neșansă (ereditate tarată), cea dintâi putând fi valorificată sau nu, iar cea de a doua putând fi compensată sau nu.

Mediul ca factor al ontogenezei, este format din multitudinea de elemente cu care individual interacționează voit sau involuntar pe tot parcursul vieții.

Ceea ce este important pentru lucrarea de față, este influența mediului asupra elevului. Acțiunea mediului poate fi direct – alimentație, climă sau indirect – grad de cultură și civilizație, nivel de trai. Aceste influențe vin din imediată apropiere a elevului- obiecte, persoane, situații zilnice- după cum subliniază Emile Planchard. Factorii de mediu care influențează dezvoltarea psihică a elevului se concretizează la nivel fizic prin persoanele și obiectele cu care acesta intră în contact și la nivel psihic prin relațiile și semnificațiile pe care le au. Dacă un factor de mediu este prezent dar nu are nici o importanță pentru elev, ne producând nici o schimbare asupra acestuia, nu va avea nici o importanță sau relevanță pentru dezvoltarea lui. Condiția dezvoltării este, conform principiului acțiunii și reacțiunii, ca elevul să reacționeze. Dar fără o abordare riguroasă și specializată, oferită de educație, această interacțiune este ineficientă. Astfel, dacă i se prezintă unui elev o noțiune, sau un concept pe care acesta nu-l înțelege și care nu-i trezește interesul prin nimic, nu numai că nu va avea nici un impact asupra dezvoltării lui cognitive dar îl va face să se îndepărteze de materia respectivă. În schimb dacă același concept va fi prezentat într-o manieră mai apropiată de capacitatea elevului de a înțelege și într-un mod care să-l facă mai atractiv, de exemplu folosind calculatorul, factorul respectiv va avea o anumită influență în dezvoltarea acestuia.

Educația este un alt factor al ontogenezei.,, Ea poate fi definită ca fiind activitatea specializată, specific umană, care mijlocește și diversifică raportul dintre om și mediul său (societate) favorizând dezvoltarea omului prin intermediul societății și a societății prin intermediul omului’’ conform lui Cezar Bârzea. Astfel, educația apare ca legătura dintre potențialul oferit de ereditatea fiecărui om în parte și factorii de mediu care-l influențează.

Pentru profesori este foarte important să cunoască și să armonizeze etapele educației cu stadiile de dezvoltare psihică ale unui copil:

De la naștere până la 1 an- stadiul copilului mic;

De la 1 la 3 ani – stadiul copilului antepreșcolar;

De la 3 la 6 / 7 ani – stadiul copilului preșcolar;

De la 6 / 7 ani la 10 / 11 ani – stadiul școlarului mic;

De la 10 / 11 ani la 14 / 15 ani – stadiul școlarului preadolescent;

De la 14 /15 ani la 18 / 19 ani – stadiul școlarului adolescent;

( Conform Ursula Șchiopu și Verzea Emil).

De interes pentru această lucrare este stadiul școlarului preadolescent precum și cel al școlarului adolescent, deoarece aceste stadii nu sunt foarte bine delimitate chiar având o ușoară diferență de la un autor la altul. Preadolescența este perioada din viață în care corpul se transformă de la cel al unui copil la cel al unui adult. Dacă biologic maturizarea este accentuată, intelectual și afectiv copilul mai are multe etape de parcurs. Din punct de vedere cognitiv, adolescența aduce posibilitatea de a gândi abstract și general. În comparație cu copilul, care acționează ca un observator, adolescentul capătă treptat abilitatea de a reflecta, adică capacitatea de a face un raționament.Preadolescentul gândește concret, punctual, în concordanță cu realitatea imediată pe care școala sau ambientul i-l propune. Dacă în perioada anterioară percepția devenea organizată, transformându-se în observație, acum percepțiile și observațiile preadolescentului se accentuează, se aprofundează, aceștia observă pentru a ajunge la esența lucrurilor.Cunoștințele acestuia, deși concrete, nu ating nivelul principiilor, teoriilor. În schimb, adolescentul va merge mai departe în dezvoltarea sa cognitivă, ajungând sub o îndrumare atentă, la raționamente caracterizate de următoarele dimensiuni:

Dimensiunea ipotetico-deductivă, adică adolescentul poate formula, pe baza experiențelor sale, ipoteze pe care le poate verifica, nelimitându-se doar la cazurile favorabile ci urmărind și contra-exemple.

Dimensiunea combinatorie, adică adolescentul poate să distingă între toate variabilele și modalitățile lor de asociere. Operațiile mentale care apar acum sunt generalizări ale operațiilor constituite la nivelul gândirii logice concrete.

Dimensiunea logicii propoziționale, unde gândirea adolescentului coordonează operațiile fundamentale ale logicii clasice și anume negația, disjuncția și conjuncția. Deci, elevii ajung să folosească corect operația de implicare, adică a condiționalelor de genul,, dacă- atunci’’ și astfel pot să observe și să opereze cu noțiuni de genul necesar sau suficient.

Memoria devine voluntară, elevul vrea să învețe, să-și depășească nivelul său intrând într-o competiție cu sine dar și cu cei de lângă el. Pasul spre memoria logică a fost determinant la sfârșitul etapei de dezvoltare anterioară, acum elevul operând cu noțiuni și concepte din ce în ce mai generale, mai profunde, cu scheme logice și algoritmi care îi ordonează și sistematizează informațiile și cunoștințele cu care acesta interacționeză sau relaționează.

În toată această etapă de dezvoltare, datorită trebuințelor pe plan intelectul din ce în ce mai mari, ale fiecăruia, gândirea devine mai specializată, mai aprofundată, elevii ajungând să dezvolte o gândire matematică, putând astfel să înțeleagă legăturile dintre noțiuni și concepte, putând trece de la concret la general, o parte dintre ei ajungând să facă judecăți riguroase bazate pe o analiză critică suficient de dezvoltată și complexă.

Ca urmare a cantității foarte mari de informații, limbajul se diversifică, ajungând la o adevărată specializare, iar acest fapt este benefic și chiar este încurajat de profesorii de științe și în special de cel care predă matematică, ținând cont că matematica folosește un limbaj extreme de specializat. Elevii deprind abilități de exprimare corectă a unor noțiuni, concepte, idei.

O altă caracteristică a acestei etape este dezvoltarea imaginației. Elevii reușesc să depășească nivelul imaginației reproductive, cea care îi ajută în procesul de însușire a cunoștințelor predate în timpul orelor de curs și ajung la o imaginație creativă, acesta din urmă având un rol esențial în înțelegerea și rezolvarea unor probleme de geometrie.

Față de etapele anterioare de dezvoltare și voința elevilor se modifică, fiind puternic influențată de evaluările primite și ierarhizările făcute sub diferite forme de către profesori, respectiv ierarhizările pe cale și le fac elevii cu privire la diferitele materii, respectiv domenii de interes. În condițiile unor examene de finalizare ale unor cicluri de școlarizare este normal ca motivația actului voluțional să fie puternic specializată, adică interesul spre studiul materiilor care fac obiectul examenelor finale să fie mai mare.

Toate aceste achiziții se pot explica prin aceea că în plan cognitiv, la vârsta adolescenței se produce stabilizarea dublei reversibilități a operațiilor mentale.Această structură se realizează prin înțelegerea și învățarea noțiunilor de matematică, fizică etc. Raționamentul bazat pe dubla reversibilitate odată însușit, permite reconstrucția și construcția unor noi categorii. În acest mod, logica adolescentului se lărgește dincolo de observarea și acțiunea directă, ajungând să înțeleagă și să reașeze totul pe alte coordonate, astfel realul devine posibil, sigur devine probabil, concretul este generalizat la abstract.

Pentru a valorifica acest factor al ontogenezei, educația, profesorii trebuie să cunoască fiecare stadiu al dezvoltării cognitive adaptând astfel metodele și strategiile pe care le va folosi în lucrul cu elevii. Dacă în gimnaziu, elevii sunt doritori de explicații, care trebuie să combine rigoare științifică cu modul atractiv de prezentare, pentru a le ține trează atenția și interesul, în liceu, odată cu vârsta adolescenței, explicația devine complexă, pentru înțelegerea acesteia adolescentul trebuind să facă raționamente abstracte, să utilizeze și să-și dezvolte alte capacități cognitive. Astfel, cunoscând specificul fiecărei etape de dezvoltare în parte, se constată nevoia acută de continuitate între etapele de școlarizare și nu numai, pentru a putea asigura o dezvoltare armonioasă, atât fizică cât și psihică a elevilor asigurând astfel și un învățământ de calitate.

Generațiile actuale de elevi se caracterizează printr-o dinamică mentală diferită față de generațiile anilor ’90. Elevii au acces la informații multiple și variate de la o vârstă fragedă, datorită calculatorului și a internetului, iar acestea îi transformă în mod profund. Dacă unui elev din generația anilor ’90 îi era suficient, de exemplu, să-i deseneze profesorul pe tablă un corp geometric sau să-l construiască din bețișoare, eleviii generațiilor actuale au nevoie să-l vadă pe calculator, în secțiune, animat și cu cât mai multe detalii. Aici, intervine măiestria profesorului, posibilitatea de adaptare a acestuia la noile condiții, modalitatea în care își alege strategiile și metodele pentru a asigura succesul școlar al elevilor săi. În practică s-a observat că personalitatea profesorului, precum și dăruirea cu care acesta își face meseria, pe lângă strategiile și metodele pe care le folosește, influențează succesul sau insuccesul elevilor săi.

I. 2 Aspecte psihopedagogice ale etapelor rezolvării unei probleme.

Conform cercetărilor asupra activității rezolutive, Paul Popescu Neveanu stabilește următoarele etape:

,, Confruntarea cu problema presupune punerea problemei și înțelegerea ei, respectiv definirea variabilelor posibile de combinare a datelor.

Căutarea soluției presupune formularea de ipoteze asupra soluției cât și asupra procedeelor de rezolvare și se constituie modelul rezolutiv.

Găsirea soluției presupune soluționarea problemei, verificarea veridicității modelului rezolutiv.’’

G.Polya propune următoarele etape în rezolvarea de probleme:

,, Înțelegerea problemei: ,,Care sunt datele problemei?’’, ,,Care este necunoscuta?’’

Întocmirea planului: se găsește calea de la necunoscută la datele problemei, considerând, eventual probleme intermediare (această etapă fiind corespondența Analizei), se realizează ideea soluției (echivalentă Sintezei), realizarea planului.

Privire retrospectivă: se verifică rezultatul și se apreciază critic (etapă ce corespunde Evaluării).’’

Toate aceste etape de rezolvare ale problemelor sunt în strânsă concordanță cu stadiile de dezvoltare intelectuală ale elevilor. Prin dezvoltare se înțelege o trecere de la un anumit nivel de cunoaștere la unul superior prin diverse aciziții de natură cantitativă dar și calitativă, acestea aflându-se într-o relație de interdependență. Dezvoltarea fiecărui individ, inclusiv a elevului, este rezultanta confilctului care se naște la un anumit moment între cunoștințele, trăirile, trebuințele, nevoile și capacitățile individuale, respectiv cerințele tot mai complexe ale mediului, relevate de realitățile materiale și socio-culturale cu care individul este confruntat în devenirea sa. În aceste condiții individul, respectiv elevul, acționează pentru satisfacerea acestora și în acest mod achiziționează cunoștințe care rezolvă vechile,, probleme’’ făcând loc altora noi și astfel elevul este obligat să se dezvolte continuu. Dar rezolvarea acestor probleme se face printr-un efort individual permanent, continuu și sistematic, adecvat fiecărei etapă din dezvoltarea intelectuală a elevilor.

Conform lui P.Golu ,, dezvoltarea psiho-individuală este un proces dinamic și constructiv, de la acțiune la gândire, de la prelogic la logic, de la empiric la științific, proces realizat prin învățare sub influența mediului socio-cultural’’.

Dezvoltarea psihică a fiecărui individ se realizează în stadii și substadii. După cum a stabilit psihologul elvețian, J.Piget stadiile dezvoltării cognitive ale copilului sunt:

,,Stadiul senzorio-motor sau stadiul inteligenței preverbale (0-18/24 luni);

Stadiul preoperațional, care pregătește și pune în act operațiile concrete (18/24 luni-11/12 ani);

Stadiul operațiilor formale (11/12 -16/17 ani)’’.

Alți psihologi propun alte variante cu patru stadii:

Stadiul inteligenței senzorio-motorii (0-2 ani).

Stadiul inteligenței preoperatorii (2-7ani).

Stadiul operațiilor concrete (6/7-11/12 ani).

Stadiul operațiilor propoziționale (11/12-14/15 ani).

Din perspectiva determinării și parcurgerii etapelor de rezolvare a problemelor, stadiile care prezintă interes sunt stadiul operațional sau a operațiilor concrete cât și stadiul operațiilor propoziționale.

Dacă în stadiul preoperațional se poate vorbi de o intuiție articulată, în stadiul operațiilor concrete copilul își formează o logică concretă. El reușește să-și interiorizeze trăirile și acțiunile externe, care duc în plan mental la formarea conceptelor, însă structurile psihice nu se creează decât prin activități concrete, exercitate asupra unor obiecte cu care copilul, acum ajuns elev, este familiar. Deși punctul de plecare al oricărui act de cunoaștere este percepția, școlarul mic nu se poate rupe de aceasta, de aceea el are nevoie de o reprezentare materială adică bețișoare, abac, pentru a înțelege, analiza și eventual a generaliza diferite probleme.De aceea etapele rezolvării problemelor, în acest stadiu de dezvoltare sunt legate în primul rând de reprezentări materiale. De exemplu în ultima clasă din ciclul primar, elevilor li se introduce noțiunea de spațiu tridimensional prin reflectarea și interpretarea obiectelor ce îi înconjuară: catedra – paralelipiped dreptunghic, mingea – sfera, piramidele egiptene-piramide etc.

În stadiul operațiilor propoziționale, elevul începe să gândească și asupra enunțurilor verbale, iar spre sfârșitul perioadei, acesta poate gândi abstract, construind raționamente complexe. Memoria operează cu noțiuni și reprezentări, care devin din ce în ce mai variate și mai organizate.Gândirea capătă profunzime iar volumul mare de cunoștințe conduc la gândirea diferențiată: gândire matematică, gândire fizică, etc. Din această cauză etapele retolvării de probleme sunt mai detaliate și anume:

stabilirea datelor problemei sau ceea ce se cunoaște în problemă; stabilirea necunoscutei sau ceea ce se cere în problemă;

stabilirea drumului de parcurs sau identificarea legăturilor dintre datele problemei și necunoscută (etapă ce coresponde analizei și sintezei );

găsirea soluției, verificarea acesteia și stabilirea dacă aceasta este cea mai bună.

I. 2 Strategii de ghidare a rezolvării de probleme.

Învățarea strategiilor de urmat, în rezolvarea de probleme este un lucru destul de dificil, cu care se confruntă toți profesorii de matematică. Pentru că elevii trebuie să ajungă să dețină practic niște strategii de autoghidaj, participând practic la procesul de rezolvare a problemelor. Elevii nu sunt niște mici ,, biblioteci vii’’( Bruner) ci ,, a instrui pe cineva într-o disciplină înseamnă a-l face să gândească el însuși matematic, să privească într-o manieră ierarhică învățarea’’( Bruner). Trebuie să li se asigure, în funcție de etapa de dezvoltare psihică și intelectuală în care se află, condițiile interne utile rezolvării de probleme.Conform lui F. Cîrjan acestea sunt:

Contiguitatea (alăturarea) regulilor care urmează să fie combinate pentru a ajunge la soluție;

Actualizarea regulilor aferente, prin îndrumări verbale sub forma unor întrebări cu rol de a stimuli această actualizare;

Dirijarea gândirii pe anumite direcții, atât prin îndrumări verbale furnizate din exterior, cât și prin auto instrucțiuni.

În aceste condiții, se vede că îndrumările verbale ale profesorului sunt foarte importante acestea având rol de îndrumare dar și de control asupra etapelor ce urmează a fi parcurse, precum și faptul că determină la elevi obișnuința de a-și adresa singuri întrebări, astfel ajungând la o formă de autoghidare în alegerea strategiilor ce urmează să le folosească în rezolvarea de probleme.

Întrebările profesorului au menirea de a atrage atenția, de a stimula elevii să cerceteze, să-i îndrume pe aceștia spre descoperirea relațiilor ce conduc la rezolvarea problemelor. Dar și la aprecierea cantitativă și calitativă a soluției găsite, adică să formuleze și o analiză critică asupra strategiilor folosite în rezolvare.

O întrebare formulată și pusă într-un anumit fel poate declanșa procesele pshice afectiv-motivaționale-volitive ale celor care rezolvă probleme. De exemplu:,, Cunoașteți o problemă asemănătoare?’’ sau ,, Am mai întâlnit o problemă înrudită?’’, întrebări menite să declanșeze un proces de readucere aminte, de reactualizare a cunoștințelor, de reinterpretare a acestora astfel încât elevii să aleagă corect și conștient strategiile ce conduc la rezolvarea problemelor.

Într-o altă ordine de idei, o formulare diferită a întrebării ar trebui să declanșeze alte operații la nivelul proceselor de gândire, adică,, Vă puteți imagina o problemă asemănătoare?’’ sau,, Am putea generaliza rezultatul obținut pentru a-l folosi și la alte probleme?’’, dar aceste întrebări nu se pot adresa oricărei clase de elevi, iarăși trebuie ținut cont de nivelul de dezvoltare psihică precum și de nivelul intelectual al elevilor cărora li se adresează întrebările.

În toate aceste întrebări, că se adresează unor elevi mai bine pregătiți sau mai slab pregătiți, ori aflați pe nivele diferite de dezvoltare psihică, trebuie să fie un echilibru între cele de actualizare a cunoștințelor sau cele de verificare a memoriei și acelea de stimulare a gândirii. Pe de o parte pentru a capta atenția, a nu plictisi și obosi elevii cu aceleași întrebări de tip reproductiv gen,, Ce este?’’, ,, Care este?’’ etc dar și pentru a declanșa acele operații mentale care să determine comportamentul dorit, adică stimularea gândirii ,, De ce?’’, ,, Cum?’’. De exemplu: ,,Ce ne spune teorema celor trei perpendiculare?’’, ,,La ce ne este utilă această teoremă?’’ sau ,,Cum o aplicăm în probleme?’’. Tipurile de întrebări vor trebui să fie folosite în funcție de finalitățile urmărite, adică tipul de gândire care se urmărește a fi dezvoltat în corelație cu conținutul învățării precum și cu tipurile de învățare.

Pe de altă parte, mai sunt o altă varietate de strategii de care trebuie să se țină cont în activitatea de învățare și anume:

Strategii pentru starea de pregătire (atenția, motivația, inteligența).

Strategii de stocare și reconstruire.

Strategii de elaborare a ipotezelor.

În conformitate cu nivelul de dezvoltare al elevilor cărora li se adresează, profesorul poate folosi strategii bazate pe o abordare intuitivă, pentru elevii mai mari, datorită capacității acestora de a gândi abstract iar pentru cei mai mici, poate folosi stategii bazate pe observații directe.

Dar orice strategii ar folosi profesorul, nu trebuie uitat că finalitatea lui este determinarea apariției la elevi a acestor strategii care-l vor ghida în rezolvarea de probleme, acestea fiind extrem de importante. Din acest motiv profesorul trebuie să dea dovadă de multă răbdare, lăsându-i elevului timpul necesar reflectării, enunțării soluției apoi să-și exprime părerea, eventual corectând afirmațiile elaborate de elevi, respectiv strategiile alese de aceștia. Pentru a putea exprima o opinie, respectiv a face o rezolvare a unei probleme, elevii trebuie să cunoască și să înțeleagă noțiunile matematice cu care se confruntă, fără acest fapt nu se poate vorbi despre strategii de ghidare în rezolvarea de probleme.

I3. Finalitățile acțiunii de rezolvare de probleme

Rezolvarea de probleme este importantă atât pe parcursul desfășurării ei, ca activitatea de construcție mintală având implicații deosebite în dezvoltarea gândirii, ca mecanism cognitiv superior, a capacităților intelectuale cât și după consumarea acesteia, prin rezultatele obținute în plan cognitiv și afectiv.

Ținând cont de categoriile de probleme despre care voi vorbi în capitolul următor se disting următoarele finalități conform lui F. Cîrjan:

,, Problemele reproductive-noncreative formează și exersează algoritmi, scheme cognitive și operatorii.

Problemele demostrativ-explicative duc la descoperirea de noi proprietăți, la definirea de noi concepte, procedee și tehnici de rezolvare.

Problemele de tip reproiectare-creativă duc la redescoperirea unor proprietăți, redefinirea unor concepte și scheme, căi de rezolvare, construirea de contra-exemple; reevaluarea unor raționamente, demonstrații, căi de rezolvare’’.

Din punct de vedere instructiv, rezolvarea de probleme presupune consolidarea unor cunoștințe anterioare și dobândirea de noi cunoștințe. Toate acestea duc la formarea de scheme logico-cognitive sau la consolidarea acestora, la exersarea de algoritmi, la dobândirea de procedee operatorii și rezolutive, la definirea de noi concepte, la elaborarea de noi procedee și tehnici de rezolvare, la formarea de strategii cognitive de rezolvare a unor probleme, la redescoperirea unor proprietăți, cât și la evaluarea anumitor raționamente utilizate .

Din punct de vedere formativ, rezolvarea de probleme determină și stimulează dezvoltarea capacităților intelectuale, de cunoaștere și înțelegere, aplicare, analiză, sinteză și evaluare; antrenează și dezvoltă memoria de lungă durată; dezvoltă gândirea reproductivă, productivă sau critică; atenția distributivă cât și spiritul critic și autocritic, stimulând evaluarea și autoevaluarea. În funcție de problemă, este dezvoltată creativitatea și educată atenția și anume concentrarea, stabilitatea, flexibilitatea, distributivitatea.

Din punct de vedere afectiv, rezolvarea de probleme determină dezvoltarea unui spirit critic și autocritic, dezvoltă atenția, concentrarea, stabilitatea, perseverența în a găsi soluția cea mai bună, întărește motivația învățării.

Pe când, nerezolvarea în mod repetat a unor probleme atrage în timp ajungerea la finalități opuse celor de mai sus, ducând la lipsa încrederii în propiile forțe, ajungând până la refuzul învățării matematicii. De aceea, elaborarea unor strategii de instruire adecvate nivelului de dezvoltare psiho-cognitive ale elevilor, în scopul dezvoltării capacităților de rezolvare ale acestora, este una din principalele probleme cu care se confruntă profesorii de matematică și nu numai, în general toți profesorii din învățământul de stat.

CAPITOLUL II Poliedre –aspecte științifice

II.1 Unghiuri poliedre

Def: Se numește unghi poliedru figura formată dintr-un punct V, din semidrepte care pleacă din V: VA, VB, VC,…, VF (în această ordine) și din regiunile interioare unghiurilor lor plane AVB, BVC,…, FVA.

Obs: 1. Vârful unghiului poliedru este puctul V, muchiile lui sunt semidreptele VA, VB,…, VF. Unghiurile plane sunt AVB, BVC, …, FVA. Fețele sale sunt regiunile interioare acestor unghiuri.

2. Numărul minim de fețe ale unui unghi poliedru este de 3, în acest caz el se numește unghi triedru (exemplu: triedrul cu vârful în B și muchii BA, BV, BC). Dacă unghiul poliedru are 4 muchii se numește unghi tetraedru; cu 5 muchii se numește unghi pentaedru

etc .

Def: Un unghi poliedru este convex dacă, prelungind planul oricăreia dintre fețele sale, unghiul poliedru este situat în totalitate de aceeași parte a planului.

Teorema 1: În orice unghi poliedru, un unghi plan oarecare este mai mic decât suma tuturor celorlalte.

Dem:

Etapa I

Fie unghiul triedru VABC, în care și . Construim astfel încât . Pe (VB și (VD se iau VB=VD. Prin D se duce o dreaptă care intersectează muchiile VA și VC în A și C și se construiesc dreptele BA și BC.

Dar

În

.

Etapa II.

Pentru a demonstra teorema în cazul unui unghi poliedru, se construiesc planurile diagonale care trec prin muchia VA și muchiile opuse VC, VD și se aplică rezultatul precedent, pe rând, unghiurilor triede VAED, VADC, VABC, unghiul plan fiind mai mare decât fiecare din celelalte unghiuri plane ale unghiului poliedru.

Teorema 2: Suma unghiurilor plane ale unui unghi poliedru convex este mai mică de .

Dem:

Fie un plan care intersectează toate muchiile poliedrului, determinând un poligon convex, ABCDE. Aplicând teorema 1 unghiurilor triedre cu vârfurile în A, B, C, D, E obținem:

.

Dar suma unghiurilor interioare și exterioare ale poligonului de bază este egală cu suma tuturor unghiurilor fețelor laterale triunghiulare și cum suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex este de , atunci suma unghiurilor de la vârful fețelor laterale, adică suma unghiurilor plane ale unghiului poliedru este mai mică de . Deci teorema este demonstrată

II 2.Poliedre

Def: Poliedrul este un corp mărginit de o suprafață poliedrală închisă. Poligoanele care alcătuiesc suprafața poliedrală reprezintă fețele poliedrului, laturile lor muchiile poliedrului, iar vârfurile lor vârfurile poliedrului.

Def: Un poliedru este convex dacă este situat în întregime de o singură parte a planului oricăreia dintre fețele sale, în caz contrar se numește poliedru concav.

Obs: Noțiunile de congruență și asemănare a două mulțimi de puncte din plan se extind în spațiu păstrând aceleași proprietăți.

Def: Mulțimile, unde cu S se notează spațiul, se numesc congruente dacă există o funcție bijectivă pentru care. În acest caz funcția se numește izometrie.

Def: Mulțimile se numesc asemenea dacă există o funcție bijectivă și o constant, astfel încât. În acest caz funcția se numește asemănare.

Obs: Dacă [M] și [N] sunt două suprafețe poligonale incluse în planele și atunci ariilor lor sunt egale, iar dacă [M] și [N] sunt asemenea , fiind raportul de asemănare, atunci .

Poliedru convex Poliedru concav

II.2.1 Prisma

Def: Fie S o suprafață poligonală cu frontiera poligon, inclusă într-un plan , d o dreaptă care nu este paralelă cu planul și nici conținută în acesta și un plan paralel cu planul . Pentru fiecare punct se consideră dreapta care trece prin M, paralelă cu dreapta d și care intersectează planul într-un punct . Mulțimea formată din reuniunea tuturor segmentelor se numește prismă.

d

Teoremă 3: Locul geometric al punctelor din definiția precedentă este o suprafață poligonală și .

Dem: Fie paralelogram, taie planele paralele după drepte paralele .

Obs:

1. Dacă și atunci din demonstrația precedentă , , , și ,.

2. Suprafețele poligonale , se numesc fețele prismei, segmentele se numesc muchiile prismei, iar punctele se numesc vârfurile prismei.

3. Suprafețele poligonale sunt baze pentru prismă, celelalte suprafețe poligonale sunt fețe laterale și anume paralelograme, iar muchiile se numesc muchii laterale.

Def: Distanța dintre planele bazelor unei prisme se numește înălțimea prismei.

Obs: Reuniunea fețelor unei prisme formează suprafața sau frontiera prismei. Mulțimea punctelor care nu aparțin suprafeței sale formează interiorul prismei.

Prismele se clasifică în:

prisme drepte atunci când muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor.

prisme oblice în caz contrar.

Def: O prismă dreaptă cu baza un poligon regulat se numește prismă regulată.

După numărul laturilor poligonului de bază, acestea se clasifică în: prismă triunghiulară, prismă patrulateră, pentagonală, hexagonală etc.

În particular distingem:

-prismă triunghiulară regulată

-prismă patrulateră regulată

-prismă hexagonală regulată.

prismă triunghiulară regulată prismă patrulateră regulată prismă hexagonală regulată

II.2.1.1Prismă triunghiulară regulată

Def: O prismă dreaptă cu baza un triunghi echilateral se numește prismă triunghiulară regulată.

Def: Suma ariilor fețelor laterale ale unei prisme se numește arie lateral ( notată ). Suma dintre aria laterală și ariile bazelor se numește arie totală ( notată ).

, unde cu s-a notat aria unei baze, perimetrul bazei, înălțimea prismei.

Obs: Două prisme care au același volum se numesc prisme echivalente.

Obs: Una din desfășurările posibile este:

II.2.1.2 Prismă patrulateră regulată

Def: O prismă dreaptă cu baza un patrulater regulat se numește prismă patrulateră regulată.

Def: Suma ariilor fețelor laterale ale unei prisme se numește arie lateral (notată ). Suma dintre aria laterală și ariile bazelor se numește arie totală (notată ).

unde cu s-a notat aria unei baze, perimetrul bazei, înălțimea prismei.

Obs:

1. Prisma cu bazele paralelograme se numește paralelipiped. Paralelipipedul drept, cu baza un dreptunghi se numește paralelipiped dreptunghic.Dacă toate fețele sunt pătrate atunci prisma se numește cub.

2. Se numește diagonală a prismei segmentul determinat de vârfuri ale prismei care nu aparțin aceleiași fețe laterale.

, unde cu d s-a notat diagonala prismei patrulatere regulate.

Obs: Una din desfășurările plane, posibile pentru cub este:

II.2.1.3 Prismă hexagonală regulată

Def: O prismă dreaptă cu baza un hexagon regulat se numește prismă hexagonală regulată.

Def: Suma ariilor fețelor laterale ale unei prisme se numește arie laterală (notată ). Suma dintre aria laterală și ariile bazelor se numește arie totală (notată ).

unde cu s-a notat aria unei baze, perimetrul bazei, înălțimea prismei.

Obs: Una din desfășurările plane, posibile pentru prisma hexagonală regulată este:

II.2.1.4 Secțiuni în prismă

Fie o prismă și un plan Dacă intersecția dintre prismă și plan nu este vidă, atunci mulțimea se numește secțiunea prismei prin planul (figura 1). Dintre diversele secțiuni, în cele ce urmează se vor studia secțiunile paralele cu bazele.

Fie o prismă P de baze și înălțime I. Un plan paralel cu bazele, la distanța de baza S, și situat în același semispațiu cu baza față de S , secționează prisma P. Această secțiune se numește secțiunea prismei printr-un plan situat la distanța de baza S.

figura 1

Teorema 4: Secțiunea unei prisme de înălțime h printr-un plan paralel cu bazele situate la distanța de una din baze este o suprafață poligonală congruentă cu bazele prismei.

Dem : se aplică teorema 3 în care planul se înlocuiește prin planul .

Obs: Prin secțiunea unei prisme printr-un plan paralel cu planele bazelor se obțin două prisme care au o bază comună, interioarele disjuncte și reuniunea lor formând prisma P.

II.2.2 Piramida

Def: Fie o suprafață poligonală cu frontiera un poligon aparținând unui plan și un punct Se numește piramidă de vârf V și bază S reuniunea tuturor segmentelor [VA] , unde (figura 2).

Obs: Se notează cu piramida de vârf V și bază S.

figura 2

Obs:

1. Suprafețele triunghiulare se numesc fețele piramidei și ele formează fețele latrale. Suprafața poligonală S este față a piramidei și se numeste bază a piramidei.Segmentele se numesc muchii laterale, se numesc muchii ale bazei.

2. Distanța de la vârful piramidei la baza acesteia se numește înălțimea piramidei.

Înălțimea unei piramide poate să cadă

în interiorul într-un vârf al pe o latură a în exteriorul bazei

său al bazei bazei

3. După numărul laturilor poligonului de bază, piramida se clasifică în: triunghiulară, patrulateră, hexagonal, etc.

Def: Dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar înălțimea coborâtă din vârful piramidei trece prin centrul bazei, piramida se numește regulată.

Obs: Într-o piramidă regulată, înălțimea unei fețe se numește apotema piramidei. Ea este ipotenuză într-un triunghi dreptunghic în care catete sunt înălțimea piramidei și apotema bazei.

Unde cu m s-a notat muchia laterală iar cu R raza cercului circumscris bazei.

Aria laterală a unei piramide este suma ariilor fețelor laterale:

și .

Dacă piramida este regulată, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele și

Obs: Dacă piramidele au același volume ele sunt piramide echivalente.

II.2.2.1Piramida triunghiulară regulată

Def: Se numește piramidă triunghiulară regulată, o piramidă regulată cu baza un triunghi echilateral.

II.2.2.2 Piramida patrulateră regulată

Def: Se numește piramidă patrulateră regulată, o piramidă regulată cu baza un patrulater regulat.

II.2.2.3 Piramida hexagonală regulată

Def: Se numește piramidă hexagonală regulată, o piramidă regulată cu baza un hexagon regulat.

II.2.2.4 Secțiuni în piramidă

Fie o piramidă și un plan. Dacă intersecția dintre piramidă și plan nu este vidă, atunci mulțimea se numește secțiunea piramidei prin planul. Mă opresc tot la secțiunile prin plane paralele cu baza.

Teorema 5: Dacă înălțimea unei piramide P este I, atunci un plan paralel cu baza, situat în același semispațiu cu vârful V față de planul bazei, la distanța de vârf, , secționează piramida după o suprafață poligonală asemenea cu baza, raportul de asemănare fiind .

Dem: Determinăm pe înălțimea punctul a.î. .

Atunci și punctele V, O sunt de o parte și de alta a planului. Fie S baza piramidei P și. Dacă M este un punct oarecare a lui S, V și M fiind de o parte și de alta a lui, segmentul intersectează planul într-un punct și . Arăt că funcția este o asemănare de raport . Funcția f este injectivă și din definiția lui rezultă că e și surjectivă, adică este bijectivă.

Fie avem și .

Așadar și f este o asemănare.

Se observă că mulțimea punctelor piramidei P situată în același semispațiu cu V față de planul, reunită cu , determină o piramidă de vârf V și bază .

Dacă atunci intersecția dintre planul și piramida P este un punct, vârful V. Dacă, atunci intersecția este chiar baza S.

II.2.3 Trunchiul de piramidă

Def: Corpul geometric, obținut prin secționarea unei piramide P cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici rezultate se numește trunchi de piramidă.

Obs:

1. Suprafețele poligonale asemenea S și se numesc bazele trunchiului de piramidă, mai exact baza mare și baza mică.

2. Suprafețele poligonale se numesc fețe laterale ale trunchiului de piramidă, muchiile se numesc muchii laterale.

3. Reuniunea fețelor unui trunchi de piramidă formează frontiera trunchiului de piramidă. Mulțimea punctelor ce nu aparțin suprafeței unui trunchi de piramidă formează interiorul său.

În funcție de natura piramidei din care provine trunchiul avem: trunchi de piramidă triunghiulară, patrulateră, hexagonală, etc. Dacă trunchiul provine dintr-o piramidă regulată, atunci va fi regulat.

Def: Suma ariilor fețelor unui trunchi de piramidă se numește arie totală (notată ), iar suma ariilor fețelor laterale se numește arie lateral (notată ).

și .

Obs:

1. Aria laterală a unui trunchi de piramidă regulată este:

unde L este latura bazei mari, l latura bazei mici, apotema trunchiului.

2. Înălțimea unui trunchi de piramidă este distanța dintre planele bazelor sau segmentul determinat de baze pe perpendiculara comună acestora.

3. Înălțimea unei fețe laterale a unui trunchi de piramidă regulată se numește apotema trunchiului de piramidă (notată).

Teorema 6: Raportul volumelor a două piramide asemenea este egal cu cubul raportului de asemănare.

Dem: Notăm cu k raportul de asemănare, atunci

dar , unde h este înălțimea piramidei inițiale, este înălțimea piramidei mici.

Teorema 7: Volumul trunchiului de piramidă este egal cu o treime din înălțime înmulțită cu suma dintre aria bazei mari, aria bazei mici și rădăcina pătrată din produsul ariilor celor două baze.

.

Dem:

Fie notațiile: h=VO este înălțimea piramidei inițiale, este înălțimea piramidei mici, S aria bazei mari, s aria bazei mici, volum piramidei mari, volumul piramidei mici.

Deci,

Dar .

II.3.Teorema lui Euler

Proprietățile geometrice ale poliedrelor sunt proprietăți metrice, adică proprietăți legate de lungimile muchiilor, de măsurile unghiurilor plane, diedre și poliedre, de ariile fețelor, de volume etc.; respectiv proprietăți topologice ce se referă la proprietăți ce rămân invariante dacă poliedrul se înlocuiește cu unul izomorf.

Def: Două poliedre se numesc izomorfe dacă între fețele, muchiile, vârfurile lor se poate stabili o corespondență biunivocă, iar fețele corespunzătoare au același număr de vârfuri; la două fețe care au o muchie comună corespund fețe având de asemenea o muchie comună; la două muchii cu un vârf comun corespund muchii având de asemenea un vârf comun.

Def: Un poliedru este de genul zero dacă orice linie frântă închisă, desenată pe suprafața sa îl împarte în două suprafețe separate.

Obs:

1. Îndepărtând o față a unui asemenea poliedru rezultă o suprafață poliedrală numită simplu convexă.

2. Ca exemplu: poliedrele convexe, unele prisme cu baza un poligon concav.

3. Un poliedru este de gen n dacă n este numărul maxim de linii frânte închise care nu se intersectează între ele și care pot fi desenate pe suprafața poliedrului fară a o împărți în suprafețe separate.

Teorema lui Euler:

Oricare poliedru de gen zero are caracteristica euleriană egală cu 2.

,

unde cu M s-a notat numărul de muchii, V numărul de vârfuri, F numărul de fețe.

Dem: Detașând o față a poliedrului, obținem o suprafață simplu convexă, cu același număr de vârfuri V și același număr M muchii, iar numărul de fețe . Rămâne de demonstrat că:

(1)

Demonstrația se face prin inducție completă, în raport cu numărul F al fețelor. Pentru , relația este evident pentru că V=M într-un poligon.

Presupunem că relația( 1) a fost demonstrată pentru toate suprafețele poliedrice cu mai puține fețe decât .

Fie o suprafață poliedrală cu fețe în care se face o secțiune care unește două puncte de pe frontiera suprafeței, de-a lungul a m muchii ale suprafeței, unind deci m+1 vârfuri ale ei. Cele două suprafețe rezultate au , fețe; , vârfuri; muchii.

–––––––––––––––-

Dar,

Exemple:

Generalizări ale teoremei lui Euler:

1. Pentru un poliedru de gen n, caracteristica euleriană este 2-2n.

V-M+F=2-2n.

Dem: Se desenează pe suprafața sa o linie frântă închisă, format din m muchii ale poliedrului și care nu-l împart în suprafețe separate, simplu convexe. De-a lungul acestei secțiuni se închide suprafața poliedrală, adăugând două fețe. Astfel se obține un poliedru de gen n-1, unde V și M au crescut cu câte m unități, iar F cu 2 unități , de unde caracteristica euleriană a crescut cu 2 unități. Dacă linia frântă închisă desenată pe poliedru nu este plană, ci un poligon strâmb, se adaugă 2p fețe, p fiind numărul planelor în care este situat poligonul. În acest caz V a crescut cu m unități, M a crescut cu m+2(p-1) unități, iar F cu 2p unități. Deci caracteristica euleriană a crescut cu m-[m+2(p-1)] +2p=2.

Se repetă procedeul până genul suprafeței a scăzut la zero, caracteristica sa euleriană este 2 și reprezintă caracteristica euleriană a poliedrului inițial, mărită cu 2 unități. De unde

V-M+F=2-2n.

2. O altă generalizare a teoremei lui Euer a fost dată de Poincare, pentru spațiul n-dimensional.

În spațiul n-dimensional (spațiul abstract în care fiecare punct are n coordonate liniar independente) figura geometrică corespunzătoare poliedrului este politopul, care are drept cazuri particulare: segmentul, în spațiul 0-dimensional, poligonul în spațiul 2-dimensional și poliedrul în spațiul 3-dimensional.

Teorema lui Euler-Poincare:

În spațiul n dimensional, formula lui Euler-Poincare pentru un politop convex este:

unde s-a notat cu numărul vârfurilor unui politop, cu numărul muchiilor lui, cu numărul fețelor sale, cu numărul elementelor sale tridimensionale etc.

Obs: Caracteristica euleriană a unui politop convex are valuarea zero în spațiile cu un număr par de dimensiuni și valoarea 2 în spațiile cu un număr impar de dimensiuni.

II.4 Consecințe ale teoremei lui Euler

1. În orice poliedru de gen zero au loc relațiile:

Dem:

Din (1) și (2) rezultă că inegalitățile sunt complet demonstrate.

2. Într-un poliedru de gen zero, suma dintre numărul fețelor triunghiulare și numărul unghiurilor triedre este de cel puțin 8.

Dem:

(3)

(4)

Adunând termen cu termen egalitățile (3) și (4) rezultă:

Egalitatea ultimă demonstrează afirmația.

Obs: Această egalitate demonstrează și că nici o față a unui poliedru de gen zero nu are mai mult de 4 laturi și nici un unghi poliedru al său nu are mai mult de 4 muchii, adică .

Este cazul tetraedrului (fig.1) sau al piramidei cu baza un patrulater, unde, al pentraedrului (fig.2) cu al hexaedrului (fig.3) cu sau al octaedrului (fig.4) cu.

Figura 1 (exemplu de tetraedru) Figura 2 (exemplu de pentaedru)

Figura 3 (exemplu de hexaedru) Figura 4 (exemplu de octaedru)

3. Suma unghiurilor tuturor fețelor unui poliedru de gen zero este dublul sumei unghiurilor interioare ale unui poligon convex având același număr de vârfuri.

Dem: Notez cu S suma unghiurilor fețelor poliedrului.

, adică ce trebuia demonstrat.

4. O altă consecință a teoremei lui Euler se referă la poliedre tolologic regulate.

Def: Un poliedru de gen zero se numește topologic regulat, dacă fețele sale sunt poligoane având același număr de laturi, iar unghiurile sale poliedre au același număr de muchii.

Teorema 8: Nu există decât 5 poliedre topologic regulate, neizomorfe între ele.

Dem: Fie l numărul de laturi și m numărul de muchii. Atunci:

Relația arată că l și m nu pot fi simultan mai mari de 3. Dacă ceea ce contrazice relația

Dacă l=3, în relația

Pentru (un poliedru izomorf cu tetraedru) fig.1.

Pentru (un poliedru izomorf cu octaedru) fig.4.

Pentru (un poliedru izomorf cu icosaedru—poliedrul cu 20 fețe triunghiulare). fig.6

Dacă m=3 în relația

Pentru (un poliedru izomorf cu tetraedru);

Pentru (un poliedru izomorf cu hexaedru, sau un cub) fig.3

Pentru (un poliedru izomorf cu dodecaedrul—poliedrul cu 12 fețe pentagonale). fig.5

Figura 5 (exemplu de dodecaedru pentagonal) Figura 6(exemplu de icosaedru regulat)

Concluzie: Cele 5 poliedre topologic regulate, neizomorfe între ele sunt:

tetraedrul are 4 fețe triunghiulare

hexaedrul are 6 fețe patrulatere

octaedrul are 8 fețe triunghiulare

icosaedrul are 20 de fețe triunghiulare

dodecaedrul are 12 fețe pentagonale.

II.5 Poliedre convexe regulate

Def: Poliedrele convexe sunt acele poliedre care au proprietatea că nici un plan al unei fețe nu intersectează corpul.

Def: Se numește poliedru regulat un poliedru cu fețele poligoane regulate egale, iar unghiurile poliedre regulate și egale.

Teorema 9: Există numai cinci poliedre regulate, neizomorfe între ele.

Dem: Deoarece poliedrele regulate sunt convexe, iar acestea sunt de gen zero, rezultă că poliedrele regulate convexe sunt topologic regulate și se poate aplica teorema 8. Deci există cinci tipuri de poliedre regulate convexe, caracterizate prin:

Pentru ca demonstrația să fie completă, trebuie arătat că aceste 5 clase de poliedre regulate există, indicând modul lor de construcție în spațiu și că toate poliedrele regulate care aparțin aceleiași clase sunt asemenea.

Construcția poliedrelor convexe regulate

Construcția geomerică a tetraedrului regulat de muchie dată a.

Înăltimea AO a tetraedrului regulat cade în centru bazei BCD, OD este raza cercului circumscris bazei.

Dar DE este și mediană pentru triunghiul BCD, atunci:

Construcția căutată este: în centrul O al unui triunghi echilateral ABC de latură a se ridică o perpendiculară OA pe planul său, de lungime . A, B, C, D sunt vârfurile tetraedrului regulat de muchie a.

Construcția geometric a cubului, de muchie dată a.

În vârful A al unui pătrat ABCD de latură a se ridică și în se duce un plan Q paralel cu planul pătratului ABCD. Prin B, C, D se duc paralele cu care intersectează planul Q în .Cubul căutat este hexaedrul .

Costrucția geometrică a octaedrului regulat, de muchie dată a.

Se presupune, în figura de mai jos, că construcția căutată este efectuată. Fie ABCD – pătrat, iar fețele cu vârfurile în E și sunt triunghiuri echilaterale.

În

De unde rezultă construcția: în centrul O, al unui pătrat ABCD de latură a, se ridică o perpendiculară pe planul său. De o parte și de alta a punctului O, se iau pe această perpendicular .Bipiramida cu vârfurile E, E’ și baza comună ABCD satisface cerințele. Adică muchiile care pornesc din E și E’ au de asemenea lungimea a, după cum rezultă din și .

Desfășurarea plană a octaedrului regulat:

Construcția geometrică a dodecaedrului regulat de muchie dată a.

Se consideră 3 pentagoane regulate, de latură a. Față de primul dintre ele, ABCDE, celelalte 2 se așează astfel încât să aibă câte o latură comună cu primul și una comună între ele: ABHGF și BCJIH. S-au format astfel 2 unghiuri triedre egale, unul cu vârful în A, de muchii AE, AF, AB și altul cu vârful în B, de muchii BA, BH, BC. Se continuă construcția, considerând încă 3 pentagoane regulate de latură a, obținându-se încă 3 unghiuri triedre cu vârfurile în C, D, E egale cu cele din A și B. S-a construit o suprafață poliedrică deschisă, formată din 6 pentagoane regulate, egale și limitate de FGHIJKLMNO. Se continuă, analog, construcția obținându-se o a doua suprafață poliedrică deschisă, formată din 6 pentagoane regulate, egale. Cele două suprafețe poliedrice se reunesc, când pentagoanele de bază ABCDE și PQRST (fig 4.1) sunt situate în plane paralele și rotite unul față de altul cu , față de o axă ce trece prin centrele celor 2 pentagoane de bază.

Figura 4.1

Desfășurarea plană a dodecaedrului regulat:

Construcția geometrică a icosaedrului regulat de muchie dată a.

Se consideră un pentagon regulat de latură a, ABCDE (fig 5.1).

Figura5.1

În centrul I se ridică În se construiește Calculăm:

Dar .În

În aceste condiții, deci construcția este posibilă. Piramida pentagonală are toate laturile egale cu și unghiurile triedre din A, B, C, D, E egale între ele.

Se consideră încă 2 piramide pentagonale, egale cu precedenta și se așează astfel încât vârful celei de-a doua piramide să fie în A și pentagonul de bază în BFEKG, iar vârful celei de-a treia piramide în B și pentagonul de bază CFAGH. Se obține astfel în total o suprafață poliedrică format din 10 triunghiuri echilaterale egale, limitate de hexagonul CDEKGH.

(fig 5.2)

Figura 5.2

Se construiește o a doua suprafață poliedrică egală cu cea anterioară și se formează un poliedru prin reuniunea lor, așezând în plane paralele hexagoanele limită, dar rotite cu față de axa ce unește centrele lor, astfel că în G, de exemplu, va fi situat un unghi triedru al celei de-a doua suprafețe poliedrice, iar în H un unghi tetraedru al aceleiași suprafețe, icosaedrul rezultat este regulat având unghiurile pentaedre din C, D, E, K, G, H egale între ele și egale cu unghiul pentaedru din F.

Desfășurare plană a icosaedrului regulat:

II.6 Aplicații

1. Să se arate că pentru orice poliedru sunt valabile relațiile:

Soluție:

Aplicând una din teoremele prezentate anterior avem

dacă poliedrul are toate fețele triunghiulare atunci . (1)

Dacă poliedrul are și fețe cu mai mult de trei laturi atunci (2).

Din (1) și (2) avem .

conform aceleiași teoreme dacă toate unghiurile poliedre sunt triedre atunci . (3)

Dacă există și unghiuri poliedre cu mai mult de trei muchii atunci . (4)

Din (3) și (4) avem .

2. Arătați că în orice poliedru de gen zero au loc relațiile:

Soluție:

Conform unei consecințe a lui Euler în orice poliedru de gen zero au loc relațiile:

(1)

(2)

Din problema anterioară avem iar din teorema lui Euler

.

Înlocuind în relația(1) avem .

.

.

3. Un poliedru de gen zero are cel puțin o față triunghiulară.

Soluție:

Presupunem prin reducere la absurd că în relația

. Deci presupunerea este falsă și într-un poliedru de gen zero există cel puțin o față triunghiulară.

4. Într-un poliedru de gen zero este imposibil ca fiecare față să aibă mai mult de cinci laturi sau ca fiecare unghi poliedru să aibă mai mult de cinci muchii.

Soluție:

Dacă fiecare față ar avea mai mult de cinci laturi, atunci și (conform problemei 2)

(F) deci

Dacă fiecare unghi poliedru ar avea mai mult de cinci muchii, atunci

5. Care poliedre de gen zero au cel puțin zece muchii?

Soluție:

Poliedru cu număr minim de muchii este tetraedrul: M=6.

Poliedrul este o piramidă cu baza un patrulater sau orice poliedru izomorf cu ea.

Dacă

Dacă

.

Deci un poliedru cu M=10, V=6, F=6 corespunde unui poliedru izomorf cu o piramidă pentagonală.

6. Dacă un poliedru de genul zero nu are fețe triunghiulare și patrulatere, atunci el are cel puțin douăzeci de unghiuri triedre; iar dacă nu are unghiuri triedre și tetraedre, atunci el are cel puțin douăzeci de fețe triunghiulare.

Soluție:

Analog

Dacă

În mod analog obținem

Dacă

7. Să se arate că, unind centrele fețelor unui cub, se obține un octaedru regulat, iar unind centrele fețelor unui octaedru regulat, se obține un cub.

Soluție:

Fie un cub de muchie . Unim O’ cu și obținem O’ în mod analog unim O’ cu centrele fețelor laterale și obținem unde dar

Analog unind cu centrele fețelor laterale obținem

Din rezultă

Unind între ele centrele fețelor alăturate ale octaedrului regulat, se arată că se obțin șase pătrate, fețele unui cub.

8. Să se arate că, unind centrele fețelor unui dodecaedru regulat, se obține un icosaedru regulat, iar unind centrele fețelor unui icosaedru regulat, se obține un dodecaedru regulat.

Soluție:

Fie un dodecaedru regulat de latură a. Se unește centrul unei fețe pentagonale cu centrele celor cinci fețe alăturate și se obține un unghi pentaedru regulat. Repetând operația în centrul fiecărei fețe, se obțin doisprezece unghiuri pentaedre regulate egale. Fiecărui vârf al dodecaedrului îi corespunde câte o față a noului poliedru, care va avea 20 de fețe, triunghiuri echilaterale.

În mod analog, se unesc centrele fețelor unui icosaedru regulat și se obțin 12 pentagoane regulate, egale între ele pentru că sunt asemenea cu pentagoanele interne ale icosaedrului de tipul BCDEF, ABGHD, etc.

Dodecaedru regulat Icosaedru regulat

9. Într-un cub se pot înscrie două tetraedre regulate: A’C’BD și ACB’D’. Să se arate că aceste două tetraedre admit același grup de rotații, care este un subgrup al grupului rotațiilor cubului.

Soluție:

Fie muchia cubului a. Tetraedrul A’C’BD este regulat deoarece toate muchiile sale sunt diagonale ale fețelor cubului.

În .

Construind axele rotațiilor care transformă fiecare tetraedru în el însuși, observăm că ele sunt aceleași și coincid cu axele rotațiilor care transformă cubul în el însuși. AO’ este axa de rotație care transformă tetraedrele în ele însele. Se verifică că grupul rotațiilor unui tetraedru este format din jumătate din elementele grupului rotațiilor cubului.Printr-o transformare din grupul rotațiilor cubului, tetraedrul A’C’BD se transformă în el însuși sau în ACB’D’.Însă rotațiile admise de aceste două tetraedre coincid.

10. Să se calculeze unghiurile diedre ale poliedrelor regulate convexe.

Soluție:

a) Fie tetraedrul regulat ABCD și O centrul de greutate al

b) Fie octaedrul regulat de muchie a.

.

c) Fie dodecaedru regulat de muchie a.

Prelungim muchiile FA, HB, JC, LD, NE dincolo de (ABCDE) astfel încât ele să se întâlnească într-un punct V. Acestea sunt concurente, deoarece sunt egal înclinate față de (ABCDE) și formează o piramidă pentagonală regulată VABCDE. Unghiul diedru căutat este ZUW, suplementul unghiului VUW.

În .

În .

În

.

.

Din

d) Fie icosaedrul regulat de muchie a.

Notând cu P mijlocul lui CD, unghiul diedru căutat este

Capitolul III. Poliedre-aspecte metodice

III.1.Probleme și rezolvarea de probleme

III.1.1Problemă și situație problemă

Problema reprezintă o provocare la căutarea, la descoperirea soluțiilor, fiind rezultatul elaborării prin gîndire și nu a aplicării standard a unui algoritm. După P. P. Neveanu,, problema apare ca un obstacol cognitiv în relațiile dintre subiect și lumea sa, iar asumarea sarcinii de a depăși obstacolul, precum și demersurile cognitive și tehnicile întreprinse în acest scop, conturează domeniul rezolvării problemelor’’.

Din punct de vedere fiziologic, rezolvarea de probleme se bazează,, pe actualizarea legăturilor nervoase, temporar elaborate anterior și pe conectarea unor noi legături’’ , conform lui Pavlov.

Din punct de vedere didactic, pentru a rezolva o problemă, elevii trebuie să-și aducă aminte acele noțiuni, reguli, proprietăți, învățate anterior pe care să și-le reactualizeze și să le utilizeze după un anumit algoritm, schemă logică sau să le combine pentru ca la final să ajungă la rezolvarea problemei propuse. În momentul în care elevul este conștient de activitatea pe care o realizează, urmând anumite trasee și reguli construite împreună cu profesorul său și ajunge să soluționeze, să depășescă dificultățile teoretice sau practice întâmpinate în rezolvarea problemelor, abia atunci elevul dobândește cunoștințe durabile și capătă deprinderi și tehnici de rezolvare pe care nu le va uita.

În matematică termenul de problemă este utilizat și pentru unele exerciții. Privind taxonomic, noțiunea de exercițiu este diferită de cea de problemă, pentru că implică, în rezolvare, operații de cunoaștere, extrapolare, simplă aplicare a unor proprietăți, iar la rezolvarea de probleme se utilizează operații de analiză, sinteză și evaluare. Această diferențiere este însă subiectivă, din punctul meu de vedere, deoarece unui elev bine pregătit, o problemă i se poate părea mai mult un exercițiu de aplicare a unor cunoștințe, deprinderi, tehnici pe care el le are, iar altuia, un simplu exercițiu de aplicare a unui algoritm banal să i se pară o problemă de nerezolvat.

Pentru elev,, noțiunea de situație problemă desemnează o situație conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități (una cognitivă și una motivațională) incompatibile între ele; pe de o parte experiența anterioară, iar pe de altă parte noutatea care deschide calea spre descoperire. Se spune că o întrebare devine situație-problemă dacă generează o stare psihică de curiozitate, de uimire, de incertitudine. Subiectul trăiește această situație din experiența proprie și noutatea care nu se mai potrivește acestora cere o altă explicație, pe care caută să o rezolve prin căutarea și găsirea de soluții adecvate’’ după cum spunea I.Cerghit.

O problemă poate fi formulată pornindu-se de la organizarea unei situații-problemă ca în următoarele exemple.

Exemplul 1:

Să se construiască poligonul obținut prin secționarea cubului cu planul determinat de vârful C’și mijloacele segmentelor [A’D’] și [BC].

Soluție:

Fie M mijlocul [BC] și N mijlocul [A’D’].. În .Secțiunea căutată este [ANC’M].

Organizând situația problemă vom ajunge la o altă problemă, analizând și construind M mijlocul [BC] și N mijlocul lui [A’D’] și observând că prelungind BB’ obținem punctul Q, în același mod obținem punctul P. Intersectând cubul cu planul de secțiune [QMC’NA] obținem secțiunea [ANC’M].

În acest mod problema este: Poligonul obținut prin secționarea cubului cu planul [AMC’N], unde M este mijlocul [BC] iar N mijlocul [A’D’] este un romb.

Vom demonstra acest lucru.

Dem: [AN] linie mijlocie în paralelogram.

Exemplul 2:

Fie toate triunghiurile din spațiu care se proiectează pe un plan după același triunghi.Aflați locul geometric al centrelor lor de greutate.

Soluție:

Vârfurile triunghiurilor din spațiu care se proiectează pe un plan după același , trebuie să se situeze pe perpendicularele în A, B, C pe planul.

Organizăm situația problemă analizând câteva poziții particulare ale proiecției punctului G, intuim că locul geometric al centrelor de greutate se află pe prependiculara în centrul de greutate al pe planul .

Formulăm problema: Locul geometric căutat este pe perpendiculara în centrul de greutate al

.

Fie P mijlocul [AC], . Proiecția lui P pe este P’, . Mediana BP se proiectează tot ca mediană. Fie și G’ proiecția pe planul a lui G atunci unde G și G’sunt centrele de greutate ale și . De unde rezultă că locul geometric căutat se află pe perpendiculara în centrul de greutate al pe planul .

III.1.2 Problematizarea și rezolvarea de probleme

Problematizarea este o metodă activ-participativă care antrenează elevul în învățare, prin punere și rezolvare de probleme. Profesorul nu comunică cunoștințe prin metode expositive, ci îi pune pe elevi în situația de a rezolva probleme, adică de a obține prin combinarea unor reguli anterior cunoscute, o nouă achiziție în cunoaștere. În predarea prin problematizare, profesorul folosește mai mult întrebări de forma:,, ce ar fi dacă…?’’, ,, cum ar arăta formula dacă…?’’, învățând prin problematizare, elevii vor fi abilitați cu o serie de deprinderi și îndemânări care să le permită, pe viitor, rezolvarea unor probleme asemănătoare.

Eugen Rusu spunea că,, o teoremă dată poate da naștere, în procesul problematizării, la mai multe probleme, iar profesorul alege dintre ele și programează una în funcție de scopurile educative și de posibilități ‘’.

Exemplul 1:

Etapa (1): -profesorul propune elevilor determinarea unei formule analoage ariei totale a unei piramide triunghiulare regulată, pentru un tetraedru regulat de latură a .

Etapa (2):-elevii emit ipoteze în legătură cu formula pe care o au de găsit și modalitatea de a ajunge la ea. Aceștia pleacă de la formula pe care o cunosc și anume:

Etapa (3):-elevii determină, cu ajutorul profesorului formulele care calculează și :

pentru că este echilateral și

Etapa (4):-sunt sistematizate toate rezultatele găsite și anume:

și sunt fixate prin observația, că nu importă ce față a tetraedrului este considerată bază.

Exemplul 2:

Etapa (1):-profesorul propune elevilor determinarea unei secțiuni într-un tetraedru regulat:,, Fie tetraedrul ABCD, regulat și punctele M, N, P pe muchiile sale astfel încât Desenați secțiunea determinată în tetraedru de planul ce trece prin punctele M, N, P.’’

Etapa (2):-elevii desenează un tetraedru regulat ABCD și punctele M, N, P. Unesc M cu P și M cu N (acestea fiind în aceleași plane, respectiv (ABD) și (ABC));

Etapa (3):-elevii ajung într-un impas privind trecerea în planul bazei (BCD), din care ies cu ajutorul profesorului, acesta sugerându-le să prelungească MN până intersectează (BC) și găsesc punctul Unind Q cu P se găsește punctual . Deci secțiunea este poligonul NMPT cu interiorul său.

Etapa (4):-constă în sistematizarea modului de găsire a secțiunii cunoscându-se diferite puncte ce aparțin secțiunii.

III.1.3 Învățarea prin descoperire și rezolvarea de probleme

Învățarea prin descoperire este o metodă activă de instruire prin care elevii asimilează cunoștințe și informații; se formează,, drumuri optime’’ care facilitează o înțelegere profundă a noțiunilor, achizițiile acestea fixându-se mai ușor în memoria de lungă durată, putând fi reactualizate rapid dacă sunt necesare în rezolvarea de probleme.

Exemplul 1:

Demonstrați formula:.

Construim și aplicăm teorema lui Pitagora în

.

Figura 1 Figura 2

Analog repetăm raționamentul pentru ( figura 2). Prelungim AC astfel încât și aplicăm teorema lui Pitagora în și

Această învățare prin descoperire are avantajul că formează sau orientează modul de gândire al elevilor asigurând achiziții durabile dar în același timp și o satisfacție individuală, contribuind astfel la amplificarea motivației de învățare.

În concluzie, rezolvarea de probleme este un proces complex în care este greu de spus sau de făcut o delimitare strictă în ceea ce privește metodele utilizate. Important, din punctul meu de vedere, este corelarea metodelor folosite de profesor cu nivelul intelectual și de pregătire al elevilor.

III.2 Categorii de probleme

Potrivit lui Rietman, avem o împărțire a problemelor în cinci categorii:

Probleme reproductive-noncreative: adică cele care necesită o gândire reproductivă, urmărindu-se algoritmi bine precizați. De exemplu: calcularea de distanțe și unghiuri, arii și volume, sau aplicarea directă a unor teoreme și definiții.

Probleme demonstrative-explicative: adică acele probleme în care se cere demonstrarea unui anumit lucru. Acestea fiind majoritatea problemelor din geometria făcută în școală.

Probleme inventive-creative: acestea sunt întâlnite în școală ca probleme de loc geometric și probleme de construcții geometrice. Având un grad înalt de dificultate, ele se întâlnesc în învățământul actual la nivel de olimpiade și concursuri școlare.

Probleme euristic-creative: acestea necesită un grad înalt de dezvoltare cognitiv-euristic-creativă, rezolvarea lor însemnând explorare, investigație, invenție, inspirație. Rezolvarea lor duce la obținerea de noi proprietăți, punându-se în evidență relații, fiind practic probleme de cercetere.

Probleme de reporiectare-creativă: sunt acele probleme în care se caută mai multe soluții pentru a obține un drum ameliorat, optimizat.

Exemple de probleme reproductive-noncreative:

Completează spațiile punctuate astfel încât să obții afirmații adevărate:

Fețele unui cub sunt ………..congruente.

Diagonala unui paralelipiped dreptunghic unește două………………… care nu sunt pe aceeași față.

Pentru piramida triunghiulară regulată din figura alăturată, asociază elementele din coloana A cu cele din coloana B, pentru a obține propoziții adevărate.

O piramidă triunghiulară regulată are înălțimea de 3cm și apotema bazei de cm.

Calculați apotema piramidei.

Calculați o muchie lateral.

Soluție:

,

Exemple de probleme demonstrative-explicative:

O piramidă patrulateră regulată are aria lateral de și aria totală de . Calculați volumul piramidei.

Soluție:

=

.

Lungimea muchiei bazei unei prisme haxagonale regulate este a, iar înălțimea este 2a. Calculați lungimea diagonalei și măsurile unghiurilor pe care le formează acestea cu baza.

Soluție:

În :

În

.

Exemple de probleme de reproiectare creativă:

O grămadă de nisip are drept bază două dreptunghiuri situate în plane paralele și fețele laterale trapeze. Determinați volumul grămezii cunoscând dimensiunile a, b ale bazei mari, a’, b’ ale bazei mici și distanța dintre cele două baze.

Soluția 1:

Poliedrul ABCDA’B’C’D’ se descompune în șase piramide triunghiulare: BADA’, C’BDC, BB’A’D’, BD’B’C’, BDA’D’, BDD’C’.

Din

În mod analog .

Soluția 2:

Avem un poliedru ale cărei baze sunt situate în plane paralele, iar fețele laterale sunt trapeze, deci putem aplica formula lui Simson: unde h—lungimea înălțimii, S—aria bazei mari, s—aria bazei mici, S’—aria unde sunt mijloacela muchiilor.

, dreptunghi

și atunci

Exemple de probleme inventive-creative:

Baza unei prisme este un triunghi echilateral cu latura a. Muchiile laterale formează cu planul bazei un unghi cu măsura de. Unul din vârfurile bazei se proiectează pe cealaltă bază în centrul cercului circumscris acesteia. Determinați înălțimea prismei și aria totală.

Soluție:

Fie O centrul cercului circumscris el este și centrul de greutate al triunghiului.

Din

.

Capitolul IV. Cercetare aplicativă. Proiect de optimizare a strategiilor de predare-învățare a unității de învățare,, Poliedre’’.

IV.1 Scopul și Obiectivele cercetării

Învățarea prin metode bazate pe acțiune, este benefică pentru că asigură formarea unei gândiri flexibile și coerente, facilitând o învățare activă la elevi, deoarece aceștia trebuie să opereze cu anumite programe și implicit să dobândească o serie de achiziții prin efort personal, astfel ei își dezvoltă capacități de analiză și sinteză, de generalizare și abstractizare, toate acestea ducând la evoluția cognitivă a lor și implicit la implicarea deplină a elevilor în procesul instructiv-educativ.

Obiectivele cercetării pe tema,, Poliedre-aspecte ‘’ au fost grupate pe următoarele nivele:

Constatarea și stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor.

Integrarea și adaptarea metodelor de predare-învățare-evaluare la nevoile elevilor.

Evaluarea inițială.

Evaluarea finală.

Analiza comparativă a datelor obținute din teste.

Formularea unor propuneri destinate să contribuie la optimizarea modului în care elevii de gimnaziu își însușesc, utilizează noțiunile legate de poliedre.

IV. 2 Ipoteza și Variabilele cercetării.

Implementarea și utilizarea metodelor de instruire programată în activitatea didactică conduc la eficientizarea învățării noțiunilor matematice legate de poliedre și prin aceasta la creșterea randamentului școlar al elevilor.

Variabilele cercetării sunt independente și dependente .

Variabilele independente:

Implementarea metodelor de instruire programată/ asistată de calculator;

Utilizarea acestor metode.

Variabilele dependente:

Eficientizarea învătării;

Creșterea randamentului școlar.

IV. 3 Organizarea cercetării.

Eșantionul de participanți: Cercetarea a fost organizată în anul școlar 2014-2015 pe un eșantion de 20 elevi din clasa a–VIII-a, 11 fete și 9 băieți, aceștia fiind omogeni ca vârstă și nivel de școlarizare.

Metode și tehnici de cercetare utilizate:

– metoda observației sistematice;

– metoda analizei produselor activității;

– metoda experimentului psihopedagogic desfășurat în trei etape:

preexperimentală, experimentală respectiv postexperimentală.

Etapele deșfășurării cercetării:

Etapa preexperimentală ce a constat în aplicarea unui test prin care am urmărit determinarea punctului de plecare în activitatea de cercetare, acesta având rol constatativ; testul de evaluare inițială l-am alcătuit în funcție de programa școlară și obiectivele avute în vedere.

Etapa experimentală sau etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în stimularea proceselor psihice și a personalitații elevilor a constat în utilizarea efectivă a metodelor active, mai precis: problematizarea / metoda exercițiului și instruirea programată / instruirea asistată de calculator (am folosit softul educațional-Corpuri geometrice-).  

Etapa postexperimentală a constat în aplicarea unui test de evaluare în scopul comparării rezultatelor obținute după folosirea metodelor amintite mai sus cu rezultatele obținute la testul inițial. Eficiența procedeelor experimentale a fost măsurată prin analiza logico-comparativă a rezultatelor obținute de elevi. Pentru prelucrarea și interpretarea datelor cercetării am folosit elemente specifice statisticii matematice.

IV. 4 Desfășurarea cercetării.

Etapele cercetării:

etapa preexperimentală, constatativă s-a desfășurat în perioada evaluărilor inițiale:

16-30 septembrie 2014. Rezultatele obținute la testul inițial, au oferit informații despre nivelul la care se află elevii la început de an școlar.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

Clasa: a VIII-a

Disciplina: Matematică

Anul școlar: 2014 – 2015

Subiectul I

Încercuiți litera care corespunde unui răspuns corect.

Subiectul II

Redactați rezolvarea completă a problemelor.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.Timp de lucru 50 min.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Subiectul I (35 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

Subiectul II (55 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.

Matricea de specificații

Competențe de evaluat asociate testului de evaluare inițială, pentru clasa a VIII-a:

C1. Deducerea relațiilor metrice într-un triunghi dreptunghic.

C2. Exprimarea prin reprezentări geometrice ale noțiunilor referitoare la patrulatere.

C3. Interpretarea asemănării triunghiurilor,în corelație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic.

C4. Interpretarea informațiilor conținute în probleme practice legate de cerc și de poligoane regulate.

C5. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor probleme de geometrie.

BORDEROU DE CORECTARE ȘI NOTARE

ANALIZA STATISTICĂ SINTETICĂ A REZULTATELOR TESTULUI

REPARTIȚIA NOTELOR

Considerând șirul notelor, un șir de date statistice se pot calcula: media aritmetică, media aritmetică ponderată, frecvențele relative, frecvența absolută, mediana, amplitudinea și dispersia; toți acești parametri de poziție oferind informații despre nivelul competențelor atinse de elevii clasei ajutându-mă în alegerea strategiilor, metodelor și tehnicilor folosite pe parcursul anului școlar.

Def: Se numește medie aritmetică a șirului de date statistice numărul

.

Pentru șirul notelor obținute la test, media aritmetică este: .

În condițiile folosirii mediei aritmetice ponderate, dată de formula sau frecvențele relative vom avea:

Def: Se numește modul sau dominanta unei serii statistice valoarea caracteristicii pentru care frecvența absolută este maximă, aceasta se notează cu .

Obs: Pentru o variabilă continuuă, modulul este abscisa vârfului poligonului frecvențelor cu ordonata cea mai mare.

POLIGONUL FRECVENȚELOR

Def: Se numește amplitudinea unei serii statistice cantitative, diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare a caracteristicii.

În cazul seriei notelor obținute de elevi la testul inițial amplitudinea seriei este 9-2=7.

Def: Dispersia sau variația selecției este .

Pentru seria statistică desemnată de notele de la testul inițial, am obținut dispersia:

2,54.

Histograma notelor obținute la testul inițial de evaluare:

După înregistrarea datelor din testul inițial am constatat că 86% dintre elevi au noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic, relații metrice și de rezolvare a triunghiului dreptunghic, de calcul a ariilor și perimetrelor figurilor plane studiate, noțiuni elementare despre cerc, poligoane regulate; 72% reușesc să rezolve aplicații relativ simple, iar 11 elevi nu reușesc să analizeze asemănare triunghiurilor pentru a găsi elementele ce duc la finalizarea ultimei probleme.

Prin testarea inițială am verificat pregătirea elevilor în scop de diagnoză și de reglare a activității didactice viitoare pentru a asigura un echilibru între obiectivele propuse, conținuturile impuse de programa școlară și nivelul de cunoștințe acumulate sau dobândite de aceștia în anii anteriori.

Cunoscând în prealabil elevii și știindu-le potențialul, chiar dacă testul a fost dat la începutul semestrului I, după vacanța mare, acesta nu a fost tocmai ușor și din acest punct de vedere comparând rezultatele cu obiectivele cadru ale disciplinei, acestea sunt mulțumitoare, fiind loc de mai bine.

În consecință,pe parcursul anului școlar se vor reactualiza cunoștințele din anii anteriori, rezolvându-se exerciții care să-i ajute pe elevi în înțelegerea noțiunilor, respectiv a cerințelor fiecărei probleme.

Etapa experimentală s-a desfășurat în perioada octombrie 2014- aprilie 2015.

În urma centralizării și interpretării datelor furnizate de testul inițial, s-au proiectat o serie de activități bazate pe metode active, mai precis: problematizarea / metoda exercițiului și instruirea programată / instruirea asistată de calculator iar ca metode de cercetare pedagogică fiind folosite metoda observației și metoda analizei produselor activității, în această perioadă fiind administrate teste de parcurs.

Observând nivelul elevilor în urma etapei preexperimentale, mi-am propus îmbinarea și utilizarea metodelor activ-participative în activitatea didactică, lucru materializat printr-o serie de activități și fișe didactice.

Una dintre metodele folosite a fost metoda exercițiului. Practica a arătat că crearea abilităților motorii și a celor intelectuale nu se face doar prin tehnici expositive de aceea elevul are nevoie să încerce, să facă, să greșească, să reia până ce reușește să-și însușească o noțiune, operație, concept, etc. În sens etimologic, metoda învățării prin exercițiu, conform lui Ioan Cerghit, înseamnă,, repetiția execuției unei mișcări, acțiuni, forme comportamentale până la stăpânirea automată a aceastora, până la formarea unor deprinderi ca reacții sau răspunsuri automatizate unei situații bine definite’’.

De ce am folosit această metodă, pentru că pe lângă formarea deprinderilor, ea ajută la aprofundarea înțelegerii noțiunilor și regulilor, acest lucru ducând la consolidarea cunoștințelor, la dezvoltarea operațiilor mentale astfel încât să scadă probabilitatea de uitare a noțiunilor învățate dar și să determine la elevi o atitudine de atragere spre matematică și nu de respingere.

Exercițiile propuse elevilor au fost însoțite de fiecare dată de o analiză legată de potențialul pedagogic al acestora dar și de înțelegerea că eficacitatea lor este legată de atitudinea elevilor și de interesul acestora, în acest sens utilizând softul educațional. Pentru că elevii au nivele diferite, respectiv capacități particulare de învățare, am utilizat un sistem de fișe cu exerciții de grade diferite de dificultate, care au fost rezolvate individual sau în grupuri omogene, variația exercițiilor prevenind monotonia, apariția oboselii și a plictiselii, menținând atenția și interesul elevilor la cote maxime.

O altă metodă folosită a fost problematizarea. W. Okon arată că,, metoda constă în crearea unor dificultăți practice sau teoretice, a căror rezolvare trebuie să fie rezultatul activității proprii de cercetare, efectuată de subiect; este o predare și o însușire pe baza unor structuri cu date insuficiente. O situație – problemă desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități: experiența anterioară (cognitiv-emoțională) și elementul de noutate și de surpriză, necunoscutul cu care se confruntă subiectul. Acest conflict incită la căutare și descoperire, la intuirea unor soluții noi, a unor relații aparent absente între antecedent și consecvent.’’ Ținând cont de specificul metodei, am încercat să nu comunic direct cunoștințe gata elaborate ci să-i pun pe elevi în situația de căutare și de descoperire. Dar pentru că această metodă nu se pretează a fi folosită oricând, am folosit-o atunci când lecția mi-a permis-o.

În etapa experimentală am administrat două teste, unul după ce am parcurs unitatea ,, Aria lateral, aria totală și volumul prismei regulate’’, unde am folosit expunerea, conversația, demonstrația și problematizarea și al doilea după ce am parcurs unitatea,, Aria lateral, aria totală și volumul piramidei regulate’’, unde am folosit aceleași metode de predare-învățare la care am adăugat și softul educațional,, Corpuri Geometrice’’

TEST DE PARCURS I

Clasa: a VIII-a

Disciplina: Matematică

Anul școlar: 2014 – 2015

Subiect I

Subiectul II

Redactați rezolvarea completă a problemelor.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Subiectul I (35 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

Subiectul II (55 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.Timp de lucru 50 min.

Matricea de specificație

Competențe de evaluat asociate testului de parcurs, pentru clasa a VIII-a:

C1. Operarea cu terminologia specifică prismei.

C2. Exprimarea prin reprezentări geometrice pentru noțiunilor legate de prismă.

C3. Determinarea de arii și volume pentru prismă.

C4. Interpretarea perpendicularității în corelație cu elemente ale prismei.

C5. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea problemelor de geometrie.

BORDEROU DE CORECTARE ȘI NOTARE

ANALIZA STATISTICĂ SINTETICĂ A REZULTATELOR TESTULUI

REPARTIȚIA NOTELOR

Considerând șirul notelor, un șir de date statistice, se pot calcula: media aritmetică, media aritmetică ponderată, frecvențele relative, frecvența absolută, mediana, amplitudinea și dispersia; toți acești parametri de poziție oferind informații despre nivelul competențelor atinse de elevii clasei ajutându-mă în alegerea strategiilor, metodelor și tehnicilor folosite pe parcursul anului școlar.

Def: Se numește medie aritmetică a șirului de date statistice numărul

.

Pentru șirul notelor obținute la test media aritmetică este: .

În condițiile folosirii mediei aritmetice ponderte, dată de formula sau frecvențele relative vom avea:

Def: Se numește modul sau dominanta unei serii statistice valoarea caracteristicii pentru care frecvența absolută este maximă, aceasta se notează cu .

Poligonul frecvențelor

Grafic comparativ cu rezultatele la testul inițial și cel de parcurs.

Obs: Note T.I- note la testul inițial;

Note T.P-note la testul de parcurs;

În urma analizei rezultatelor comparative ale celor două teste se observă că: un elev a reușit să ajungă la nota de promovare, 5, urcând de la 4, unul a urcat de la 6 la nota 7, iar unul dintre elevi a reușit atingerea notei 10.

Analizând rezultatele slabe obținute de cei 6 elevii în această perioadă, s-a dedus că acestea se datorează mai multor motive, printre care:

lacune acumulate în pregătirea anterioară a elevilor;

elevii au ritmul propiu de învățare și nu pot face față unui ritm alert de predare-învățare.

O altă metodă pe care am utilizat-o este instruirea programată / instruirea asistată de calculator.

Instruirea programată este, în opinia mea, una din soluțiile actuale la mult mediatizata problemă a eficientizării educației. Inspirată din cibernetică, instruirea programată pornește de la premisa că într-o situație de învățare există un flux continuu de informații, în același timp un anumit tip de comandă (mai mult de dirijare a învățării) și de control, care are rolul de a supraveghea și regla învățarea, prin intermediul feedbackului. Deci procesul de învățare este în același timp un proces de autoreglare. În această etapă a experimentului pedagogic am folosit softul educațional, ca mijloc dar în același timp și ca metodă în sine. Softul educațional este un curs înregistrat pe suport electromagnetic, fiind folosit în instruirea asistată de calculator ca suport informațional.

Softul educațional ,, Corpuri geometrice’’, l-am făcut în colaborare cu un elev de clasa a XI-a, Conache Cristian, elev la profilul matematică – informatică, el asigurând partea de informatică a softului. Acest soft a venit tocmai ca răspuns la problema elevilor de clasa a VIII, legată de înțelegerea corpurilor geometrice și a problemelor legate de acestea. Softul a fost creat după:

Structurarea informației de predat după principiul pașilor mici și al progresului gradat, ceea ce a determinat fracționarea materiei de învățat în mici unități didactice: prisma, piramida, trunchi de piramidă. Fiecare dintre aceste unități didactice având în componență o parte teoretică (definiție, componente și una dintre desfășurările posibile, formulele specifice) dar și o parte aplicativă alcătuită din trei aplicații structurate gradual de la itemi de asociere la itemi de tip rezolvare de probleme.

Principiul participării active, adică elevul poate să lucreze cu fiecare componentă în parte, poate vizualiza noțiunile teoretice dar și aplicațiile în care nu poate înainta fără a alege / elabora un răspuns, care este validat pe loc, dacă este corect elevul trece mai departe, dacă este greșit i se arată unde a greșit.

Principiul verificării și întăririi imediate și directe a corectitudinii răspunsului. Cum am prezentat și mai sus, softul prin aplicțiile pe care le are îi oferă elevului posibilitatea evaluării imediate, astfel el este informat imediat de progresele sale. ,, O astfel de întărire continuuă, în cursul procesului de învățare, echivalează cu o formă de autocontrol și vine să modeleze în mod eficace comportamentul elevului, să stimuleze și să mențină viguarea activității sale în continuare, să întrețină motivația învățării’’, după cum spunea Ioan Cerghit.

Softul este structurat în patru meniuri: Noțiuni introductive, Poliedre, Evaluare și Notițe. Fiecare dintre aceste meniuri are în componență câteva submeniuri, fiecare având rolul său în unitatea logică a softului.

În meniul Noțiuni introductive sunt prezentate câteva noțiuni importante în studiul poliedrelor: proiecții ortogonale, unghiul unei drepte cu un plan, unghiul diedru, unghiul a două plane, cu definiții și proprietăți semnificative.

Meniul Poliedre este format din două submeniuri: Poliedre convexe și Poliedre concave.

Submeniul Poliedre convexe este alcătuit din cele trei tipuri de poliedre convexe regulate studiate în școală: prisma, piramida, trunchiul de piramidă. Fiecare tip de corp este reprezentat în spațiu fiind caracterizat prin rotație, desfășurare plană și identificarea prin culoare a elementelor caracteristice corpului studiat adică fețe, vârfuri, muchii, oferind posibilitatea studierii în detaliu a acestora.

Fiecare corp este însoțit de o parte teoretică: definiții și formule de calcul pentru arii (arii ale bazelor, arii laterale, arii totale), volume și o aplicație structurată pe trei itemi (itemi obiectivi de tip alegere duală, pereche și alegere multiplă, itemi semiobiectivi de completare și itemi subiectivi de tipul rezolvare de probleme).

În plus, la fiecare aplicație, ultimul item este o problemă practică ispirată din viața de zi cu zi, ce este animată după cum se vede și din imagini.

Fiecare aplicație este astfel construită încât nu se poate trece la o alta dacă nu se răspunde și apoi nu se trece prin etapa de verificare și așa elevul putându-se evalua imediat.

În orice moment al lecție se poate accesa aplicația,, Desenează’’, unde atât profesorul dar mai ales elevul poate să deseneze, în timp real, folosind instrumentele din bara orizontală, iar apoi desenul poate fi scos la imprimantă dacă este nevoie.

Meniul Evaluare cuprinde un submeniu împărțit în teste și aplicația “Adăugare / Rezolvare”. Testele sunt structurate pe itemi obiectivi de tip alegere duală, pereche și alegere multiplă, itemi semiobiectivi de completare, formulați astfel încât elevul să nu privească evaluarea cu teamă și să învețe din ea prin metoda jocului.

Aplicația “Adăugare/Rezolvare” oferă posibilitate profesorului de a adăuga noi teste cu alegere multiplă.

Meniul Notițe poate fi accesat în orice moment al lecției și poate fi folosit în timp real pentru redactarea de notițe, calcule, desene. Softul poate fi rulat pe tabla interactivă, fără a mai dechide alte pagini ale tablei sau pe PC-uri , fără a mai deschide alte ferestre.

Meniul Dicționar cuprinde noțiuni legate de tema prezentată, cu definiții sau explicații și unde este necesar, imagini.

Utilizatorul poate contribui la elaborarea aplicației prin adăugarea de noi termeni, cu explicații și imagini caracteristice.

În urma folosirii softului, am dat al doilea test de ameliorare din unitatea de învățare: ,,Aria laterală, aria totală și volumul piramidei regulate’’.

TEST DE PARCURS II

Clasa: a VIII-a

Disciplina: Matematică

Anul școlar: 2014 – 2015

Subiectul I

Subiectul II

Redactați rezolvarea completă a problemelor.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10.Timp de lucru 50 min.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Subiectul I (35 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

Subiectul II (55 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.

Matricea de specificații

Competențe de evaluat asociate testului de parcurs, pentru clasa a VIII-a:

C1. Operarea cu terminologia specifică piramidei.

C2. Exprimarea, prin reprezentări geometrice, a noțiunilor legate de piramidă.

C3. Determinarea de arii și volume pentru piramidă.

C4. Interpretarea raportului de asemănare în corelație cu elemente ale piramidei.

C5.Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor probleme de geometrie.

BORDEROU DE CORECTARE ȘI NOTARE

ANALIZA STATISTICĂ SINTETICĂ A REZULTATELOR TESTULUI

REPARTIȚIA NOTELOR

Considerând șirul notelor, un șir de date statistice, se pot calcula: media aritmetică, media aritmetică ponderată, frecvențele relative, frecvența absolută, mediana, amplitudinea și dispersia; toți acești parametri de poziție oferind informații despre nivelul competențelor atinse de elevii clasei, ajutându-mă în alegerea și adaptarea strategiilor, metodelor și tehnicilor folosite cu rezultatele observate.

Def: Se numește medie aritmetică a șirului de date statistice numărul

.

Pentru șirul notelor obținute la test media aritmetică este: .

În condițiile folosirii mediei aritmetice ponderte, dată de formula sau frecvențele relative vom avea:

Poligonul frecvențelor

Grafic comparativ cu rezultatele la testul inițial și cele de parcurs.

Obs: Note T.I- note la testul inițial;

Note T.P.I-note la testul de parcurs I;

Note T.P.I-note la testul de parcurs II;

În urma analizei rezultatelor comparative ale celor trei teste se observă că: toți elevii au reușit să ajungă la nota de promovare 5, în jurul notei 7 a fost cea mai mare creștere, iar trei dintre elevi au reușit atingerea notei 10.

Analizând rezultatele obținute se observă o creștere de treizeci și cinci de sutimi în urma folosirii softului educațional.

Etapa postexperimentală a constat într-un test sumativ, din unitatea de învățare ,, Calcul de arii și volume’’, susținut în luna aprilie.

TEST SUMATIV

Clasa: a VIII-a

Disciplina: Matematică

Anul școlar: 2014 – 2015

Subiectul I

Subiectul II

Redactați rezolvarea completă a problemelor.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la10.Timp de lucru 50min.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

Subiectul I (35 de puncte)

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

Subiectul II (55 de puncte)

Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat de barem.

Competențe de evaluat asociate testului de parcurs, pentru clasa a VIII-a:

C1. Operarea cu terminologia specifică corpurilor geometrice.

C2. Exprimarea prin reprezentări geometrice a noțiunilor legate de corpurile geometrice.

C3. Determinarea de arii și volume pentru corpurile geometrice.

C4. Utilizarea operațiilor cu numere reale și a proprietăților acestora în rezolvarea unor probleme de geometrie.

BORDEROU DE CORECTARE ȘI NOTARE

ANALIZA STATISTICĂ SINTETICĂ A REZULTATELOR TESTULUI

REPARTIȚIA NOTELOR

Considerând șirul notelor, un șir de date statistice, se pot calcula: media aritmetică, media aritmetică ponderată, frecvențele relative, frecvența absolută, mediana, amplitudinea și dispersia; toți acești parametri de poziție oferind informații despre nivelul competențelor atinse de elevii clasei.

Def: Se numește medie aritmetică a șirului de date statistice numărul

.

Pentru șirul notelor obținute la test, media aritmetică este: .

În condițiile folosirii mediei aritmetice ponderate, dată de formula sau frecvențele relative vom avea:

Poligonul frecvențelor

Grafic comparativ cu rezultatele pe teste.

Obs: Note T.P.II-note la testul de parcurs II;

Note T.F- note la testul sumativ;

IV. 6 Analiza și interpretarea rezultatelor cercetării.

Scopul experimentului pedagogic desfășurat a fost acela de a cerceta dacă folosirea metodelor și mijloacelor moderne de predare-învățare, bazate pe acțiune, este benefică elevilor de gimnaziu, asigurându-le formarea unei gândiri flexibile și coerente, facilitând o învățare activă, aceștia trebuind să opereze cu anumite programe și implicit să dobândească o serie de achiziții prin efort personal.

În continuare se vor compara variabilele dependente, performanțele obținute de elevi, ( randamentul școlar) cu variabila independentă, factorul experimental, adică softul educațional, cu alte cuvinte nivelul de la care s-a plecat în acest demers didactic și nivelul la care s-a ajuns.

În urma testului inițial media pe clasă a fost de 6, 55, o medie corespondentă unor performanțe de nivel mediu, dar nu trebuie uitat că elevii se întorceau după o perioadă relativ lungă în care nu mai lucraseră susținut.

La primul testul de parcurs elevii au obținut o medie de 6, 80, constatându-se o ușoară creștere de douăzeci și cinci de sutimi, în condițiile folosirii metodei exercițiului și a problematizării, combinate cu celelalte metode folosite în practica curentă. Am folosit aceste metode pentru a imprima elevilor un anumit mod de a raționa, de a gândi o problemă de matematică și în special una de geometrie. Elevii au nevoie de exercițiu pentru a dobândi abilități motorii și intelectuale, au nevoie de încercări, de greșeli și de reușite pentru a ajunge să stăpânească anumite tehnici și procedee.

La al doilea test de parcurs elevii au obținut o medie de 7,15, constatându-se o ușoară creștere față de testul precedent iar față de cel inițial de șaizeci de sutimi, în condițiile folosirii acelorași metode ca și până în acel moment dar introducându-se și factorul de progres, softul educațional ,, Corpuri Geometrice’’.

Comparând mediile obținute de elevi în urma primului test se observă o creștere de

6, 47 % față de cel inițial. La al doilea test se constată o creștere de 9, 16 % față de testul inițial, în condițiile introducerii softului ca factor de progres. Acest rezultat nu este de neglijat în condițiile speciale ale acestei clase, adică o clasă bună. Se observă din tabel, în urma celui de al doilea test că nici un elev nu a mai luat nota 4, trei elevi au luat nota 5, iar trei au reușit atingerea notei 10.

În urma testului final media pe clasă a juns la 7, 40, realizându-se o creștere de 11,45% față de testul inițial, observându-se o apreciere fină a notelor, dacă inițial patru elevi au luat nota 4, la final nici un elev nu a mai luat această notă, inițial nici un elev nu a luat nota 10, în final patru elevi au luat această notă.

În condițiile specifice fiecărui sfârșit de an, oboseala acumulată de elevi plus stresul primului examen din viața lor, examenul de capacitate, procentul de creștere este foarte bun.

ScopSssssssssssssulS Grafic comparativ cu rezultatele la teste.

Obs: Note T.I- note la testul inițial;

Note T.P.I-note la testul de parcurs I;

Note T.P.I-note la testul de parcurs II;

Note T.F- note la testul sumativ;

Poligonul frecvențelor

Concluzii

Conform datelor obținute în urma cercetării efectuate în condițiile menționate și a studierii, respectiv interpretării acestora, concluzionez că ipoteza cercetării:,, Implementarea și utilizarea metodelor de instruire programată în activitatea didactică duc la eficientizarea învățării noțiunilor matematice legate de poliedre și prin aceasta la creșterea randamentului școlar al elevilor’’ a fost verificată și confirmată. Drept pentru care susțin că această metodă trebuie integrată în activitatea curentă, la clasă a fiecărui profesor de matematică, fiind un real sprijin atât pentru elevi cât și pentru profesori.

ANEXA 1

PROIECT DIDACTIC

Data:

Clasa: a VIII-a

Profesor: Gavril Daniela

Unitatea de invatamant:Liceul teoretic Ioan Slavici, Panciu

Unitatea de învățare: Calcularea de arii și volume

Tema lecției: Paralelipipedul dreptunghic, cubul: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum.

Tipul lecției: Lecție de predare / învățare a unor noi cunoștințe

COMPETENTE GENERALE:

CG1.Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

CG2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ,calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțurile matematice.

CG3.Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

CG4.Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

CG5.Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.

COMPETENȚE SPECIFICE:

CS1: Recunoașterea și descriereaunor proprietăți ale unor corpuri geometrice date sau pe desfășurări ale acestora;

CS2: Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configurații geometrice spațiale date;

CS3: Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice;

CS4: Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese

CS5: Exprimarea proprietăților figurilor și corpurilor geometrice în limbaj matematic .

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să deseneze paralelipipedul dreptunghic și cubul ;

O2: să descrie paralelipipedul dreptunghic și cubul;

O3: să desfășoare paralelipipedul dreptunghic și cubul;

O4: să calculeze arii și volume;

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice: Principiul participării și învățării active, Principiul asigurării progresului gradat al performanței, Principiul explicativ-demonstrativ(conversația și exercițiul), Principiul conexiunii inverse (feed-back)

Metode de învățare/instruire: conversația euristică, explicația, exercițiul, învățarea prin descoperire, instruirea programată.

Forme de organizare a clasei: frontală, individuală.

Forme de evaluare: observația, lucru individual.

Resurse materiale:Materiale didactice: fișe de lucru, culegere de probleme, proiect didactic, calculator. Mijloace de învățământ: tabla, creta;

Resurse procedurale:

– Investigația științifică

– Observarea sistematică a elevului

– Rezolvarea de probleme/ situații problemă

Resurse psihologice: Capacitatea de învățare de care dispune clasa: elevii posedă cunoștințe despre paralelipipedul dreptunghic și cubul.

Etapele activității didactice:

Moment organizatoric : Notarea absențelor în catalog, asigurarea condițiilor ergonomice necesare lecției, verificarea materialului didactic necesar.

Anunțarea competențelor și a obiectivelor.

Prezentarea noilor cunoștințe.

Tema pentru acasă.

SCENARIU DIDACTIC

Fișă de lucru

1. a) Desenați paralelipipedul dreptunghic și cubul .

b) Scrieți pentru fiecare corp numărul fețelor laterale și numărul muchiilor.

2. Pe o față a unui paralelipiped dreptunghic se duce o deaptă oarecare. Câte muchii ale paralelipipedului sunt perpendiculare pe dreapta dată ?

3. Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic care are lungimile muchiilor de 3 cm, 4 cm și 12 cm este………. .

4. Calculați lungimea diagonalei unui cub cu muchia de 4 cm.

5. Fie un cub. Scrieți toate perechile de plane perpendiculare care includ fețe ale cubului.

6.Fie cubul ABCDA’B’C’D’. Asociați fiecărei litere din coloana A cifra din coloana B astfel încât să obțineți enunțuri matematice adevărate.

A B

Măsura unghiului dintre:

a) dreptele AB și C’D’ este egală cu……. 1) .

b) dreata AB și planul ( BCC’) este egală cu……. 2) .

c) dreptele A’D și BC’ este egală cu ………… 3) .

d) dreptele AD’ și D’C este egală cu ……….. 4) .

e) dreapta BC și planul (ADD’) este egală cu……

7. Într-un paralelipiped dreptunghic se notează latura bazei cu a, înălțimea cu h, aria lateral cu , aria totală cu , volumul cu V și diagonala cu d. Completați tabelul:

8. Să se afle aria și volumul unui cub știind că aria și volumul sunt exprimate prin același număr.

9. Se dau două cuburi. Muchia unuia este cât diagonala celuilalt.Determinați raportul volumelor lor.

10. Un bazin de înot are lungimea de 18 m și lățimea de 6 m. Din cauza evaporării, nivelul apei scade cu 12 cm. Câți hectolitri de apă s-au evaporat?

11. Să se afle aria totală și volumul unui paralelipiped dreptunghic având secțiunea diagonală un pătrat de arie 841 și una dintre laturile bazei de 20 cm.

Notă: Problemele sunt alese din Culegerea de probleme de matematică-Artur Bălăucă; editura Taida

ANEXA 2

PROIECT DIDACTIC

Data: 23 aprilie 2015

Clasa: a VIII-a

Profil: 4 ore /săptămână

Profesor: Gavril Daniela

Unitatea de învățământ: Liceul Teoretic Ioan Slavici, Panciu

Unitatea de învățare: Calcul de arii și volume.

Tema lecției: Trunchiul de piramidă patrulateră regulată: aria laterală, aria totală,volum .

Tipul lecției: Lecție de aprofundare/ remediere a cunoștințelor

COMPETENȚE GENERALE:

CG1.Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

CG2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțurile matematice.

CG3.Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

CG4.Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

CG5.Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.

COMPETENȚE SPECIFICE:

CS1: Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale unor corpuri geometrice;

CS2: Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configurații geometrice spațiale date;

CS3: Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea, prin desen, în plan, a corpurilor geometrice;

CS4: Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice anumite cerințe

CS5: Exprimarea proprietăților figurilor și corpurilor geometrice în limbaj matematic .

CS6: Transpunerea unor situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să deseneze și descrie trunchiul de piramidă patrulateră regulată;

O2: să calculeze arii și volume;

O3: să folosească raportul de asemănare specific;

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice: Principiul participării și învățării active, Principiul asigurării progresului gradat al performanței, Principiul explicativ-demonstrativ(conversația și exercițiul), Principiul conexiunii inverse (feed-back)

Metode de învățare/instruire: conversația euristică, explicația, exercițiul, problematizarea, instruirea programată.

Forme de organizare a clasei: frontală, individuală.

Forme de evaluare: observația, lucru individual.

Resurse materiale: Materiale didactice: fișe de lucru, culegere de probleme, proiect didactic, calculator. Mijloace de învățământ: tabla, creta.

Resurse procedurale:

– Investigația științifică

– Observarea sistematică a elevului

– Rezolvarea de probleme/ situații problemă

Resurse psihologice: Capacitatea de învățare de care dispune clasa: elevii posedă cunoștințe despre paralelipipedul dreptunghic și cubul.

Etapele activității didactice:

Moment organizatoric : Notarea absențelor în catalog, asigurarea condițiilor ergonomice necesare lecției, verificarea materialului didactic necesar.

Anunțarea competențelor și a obiectivelor.

Prezentarea noilor cunoștințe.

Tema pentru acasă.

SCENARIU DIDACTIC

Fișă de lucru

1. Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată se cunosc latura bazei mari de 28 cm, latura bazei mici de 20 cm, înălțimea trunchiului de 3 cm. Calculați apotema trunchiului, muchia laterală, aria laterală și volumul trunchiului de piramidă.

2. Dacă într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată se cunosc lungimea laturii mari de 10 cm, lungimea laturii mici de 6 cm și aria laterală de 96 calculați înălțimea trunchiului, apotema trunchiului, muchia laterală și volumul.

3. Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată se cunosc apotema de 5 cm, latura bazei mici de 8 cm și aria laterală de 240 . Determinați lungimea laturii mari, înălțimea trunchiului, muchia laterală și volumul.

4. Într-un trunchi de piramidă patrulateră regulată latura bazei mari este de 16 cm, latura bazei mici de 10 cm și muchia face cu planul bazei un unghi de . Să se determine:

aria laterală și volumul trunchiului;

aria laterală și volumul piramidei din care provine trunchiul;

distanța de la centrul bazei mari la o față laterală;

5. Aria secțiunii diagonale a unui trunchi de piramidă patrulateră regulată, este media aritmetică a bazelor. Dacă latura bazei mari este de 12 cm și latura bazei mici este de 4 cm, determinți aria laterală și volumul trunchiului.

6. O piramidă patrulateră regulată are aria bazei de 450 , iar muchia laterală din înălțime. La din înălțime față de vârf se face o secțiune paralelă cu baza.

Aflați volumul piramidei.

Cât la sută din volumul piramidei reprezintă volumul trunchiului?

Notă: Problemele sunt alese din Culegerea de probleme de matematică-Artur Bălăucă; editura Taida.

BIBLIOGRAFIE

A.C.Albu, V.O.Bădeanu, I.P.Popescu – Geometrie pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, 1983.

A.Bălăucă – Culegere de probleme de matematică, Editura Taida,2010.

D.Brânzei, S. Aniță, C.Cocea – Planul și Spațiul Euclidian, Editura Academiei, București, 1980.

I.Cerghit – Metode de Învățământ, Editura Polirom, 2006.

M.Chiriță, D.Gheorghiu – Aplicații ale calculului vectorial în matematica de liceu, Editura Sigma, 2003.

F.Cîrjan – Didactica matematicii, Editura Corint, București, 2002.

V.Cojocariu – Fundamentele pedagogiei. Teoria și metodologia curriculum-ului, Editura V©I Integral, București, 2002.

A.Cosmovici, T.Cozma, C.Cucoș, C.Crețu, I.Dafinoiu. I.Grigoraș,M.Ianăș, C.Nemțeanu, A. Neculau, T.Rudică,L.Stan – Psihopedagogie, Editura Spiru Haret, Iași, 1995.

A.Dragu, S. Cristea – Psihologie și Pedagogie Școlară, Ovidius Univresity Press, Constanța, 2002.

C.Dumitriu – Metodologia cercetării pedagogice, Editura Alma Mater, Bacău, 2011.

M.Ganga – Probleme Elementare de Matematică, Editura Mathpress, Ploiești, 2003.

C.Lupu – Didactica Predării Matematicii, Editura Alma Mater, Bacău, 2011.

E.Moise – Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1980.

L.Niculescu, V.Boskoff – Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990.

J.Piaget – Epistemologia genetică, Editura Dacia, 1973.

T.Roman – Probleme actuale de matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.

DECLARAȚIE DE AUTENTICITATE

privind elaborarea lucrării metodico-științifice pentru gradul didactic I

Subsemnata, Argiroiu (Gavril) N. Vasilica-Daniela declar pe propria răspundere că

lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;

nu au fost folosite alte surse decât cele menționate în bibliografie;

nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale mele;

lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Data, Semnătura,

F 394.10/Ed. 01