Geometria intrinseca [620854]

Capitolul 3
Geometria intrinseca

3.1.Definiț ie
Proprietățile intrinsece ale suprafeței sunt proprietățile unei suprafeț e care depind numai
de coeficienț ii primei forme fundamenatale și de derivatele parț iale ale acestora.

3.2.Lungimea unui arc de curbă pe o suprafață

3.2.1.Definiți e
Fie f :U →
3E o suprafață parametrizată .
Fie c:I →
3E o curbă parametriz ată pe suprafaț a f.
Fie a,b
 I,a<b.
Lungimea arcului de curbă c, între a și b este dat de urmatoarea formulă :
c(t) =
22( ) 2 ( )bb
ij
aag dudv E du Fdudv G dv   dt (3.1)
Datorită acestei ecuații, mulț i matematicieni vorb esc despre “elem entul” lungimii arcului
de curbă ds al suprafeței f și se exprimă astfel: ds
2 = E du
2 +2Fdudv + G dv
2 , adică dacă
c(t) = f(u(t), v(t)) este o curbă pe suprafața f și s = s(t) este lungimea arcului curbei, atunci
avem:
2 2 2( ) ( ) 2 ( )ds du du dv dvE F Gdt dt dt dt dt  

3.2.2.Aplicați e
Fie sfera parametrizată de: f(u,v) = (cos u sin v,sin u sin v, cos v), unde u
 [0,2
 ) și
v
[0,
).
Coeficienț ii primei forme fundamentale sunt:
E = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( – sin u sin v,cos u sin v,0),( – sin u sin v,cos u sin v,0)>
E = sin
2 v.

F = < f
u(u,v),f
v(u,v)>
F = <( – sin u sin v,cos u sin v,0),(cos u cos v,sin u cos v, -sin v)
F = 0

G = < f
v(u,v), f
v(u,v)>
G = <(cos u cos v,sin u cos v, -sin v),(cos u cos v,sin u cos v, -sin v)>
G = 1
Ecuatorul unei sfere este o curbă parametrizată dată de (u(t),v(t) ) = (t,
2 ), unde t variază
între 0 ș i 2
.
Lungimea acestei curbe este dată de :
2
22
0( ) ( )E du Fdudv F dv dt

=
2
0sinv
 dt =
2 sin v =
2

3.3.Unghiul a doua curbe pe suprafaț a

3.3.1.Definiț ie
Fie f : U →
3E o suprafață parametrizată
Fie c: I →
3E ,
c
:
I
→
3E două curbe parametrizate pe suprafaț a f.
Fie t
0
 I,
0t

I

Unghiul celor două curbe î n punctul c(t
0 ) =
c
(
0t) este unghiul f orma t de tangentele la cele
două curbe în punctul lor comun ș i este dat de formula:
cos
 =
,uv
uvff
ff
=
F
EG (3.2)

3.4.Aria unei porțiuni de suprafață

3.3.1.Definiț ii
Numim domeniu a l unei suprafețe o submulțime deschisă și conexă a suprafeț ei, astfel
încât frontiera sa este imaginea unui cerc printr -un home omorfism care este regulat(adică
diferenț ialele sale su nt diferite de 0) cu excepția unui numă r finit de puncte.
Numim regiun e a suprafeț ei f reuniunea unui domeniu cu frontie ra sa. O regiune a unei
suprafeț e din
3
este marginită dacă este continută într -o anumită bilă din
3
.

3.3.2.Definiț ie
Fie U o mulțime deschisă î n
2
.
Fie f : U →
3E o suprafață parametrizată regulată .
Fie E,F,G coeficienț ii prim ei forme fundamentale a suprafeț ei f.
Considerăm o regiune mărginită R conținută î n f(U).
Se numeș te aria regiu nii R, numă rul pozitiv:
A(R) =
uvQff
du dv =
det( )ijQg du dv =
2
QEG F du dv, unde Q = f
1 (R),
Q
U (3.3)

3.3.3.Aplicaț ie
Vrem sa ca lculă m aria torului.
Consideră m parametrizarea:
f(u,v) = ((a+b cos u) cos v,(a+b cos u) sin v,b sin u), unde 0<u,v<2
 ,a>b>0.
Calculă m f
u ,f
v:
f
u(u,v) = (-b sin u cos v, -b sin u sin v,b cos u)
f
v(u,v) = ( -(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0)
Acum putem calcula coeficienț ii primei forme fundamentale:E,F,G
E = g
11 = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u),( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u)
E = b
2 sin
2u cos
2 v + b
2 sin
2u sin
2 v + b
2 cos
2 u
E = b
2 sin
2u(cos
2 v +sin
2 v) + b
2cos
2 u = b
2
F = g
12 = < f
u(u,v), f
v(u,v)>

F= <( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u),( -(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0)>
F = b( a+b cos u)sin u cos v sin v – b(a+b cos u)sin u cos v sin v =0
G = g
22 = < f
v(u,v), f
v(u,v)>
G = <( -(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0), (-(a+b cos u)sin v,(a+b cos u) cos v,0)>
G= (a+b cos u)
2 sin
2v +(a+b cos u)
2 cos
2 =(a+b cos u)
2

Deci: det(g
ij ) = EG – F
2 = b
2 (a+b cos u)
2
Consideră m acum regiunea R, reprezentâ nd imaginea prin f a regiunii Q
 ,
>0:
Q
= {(u,v)

2
0+

 u,v
 2
-
}
Atunci avem:
A(R
 ) =
2
QEG F dudv
 =
22( cos )
Qb a b u dudv

A(R
 ) =
( cos )
Qb a b u dudv

A(R
 ) =
22
2
00( cos )b u ba du dv   


A(R
 ) = (
2b
2
0cosu

 du +
ba
2
0du

 ) (
2 – 0 –
)

A(R
 ) = {
2b [ sin(
2 ) – sin
 ]+
(2 2 )ba }(
22 )

A(R
 ) =
2(2 2 )b [sin(
2 ) – sin
 ]+
ba
2(2 2 )

3.5.Simbolurile lui Chris toffel

3.5.1.Definiț ie
Fie f:U
3E o suprafață .
Fie {f
u (u,v),f
v (u,v),N(u,v)} reperul Gauss in punctul f(u,v).
Fie g
ij coeficien ții primei forme fundamentale.
In cap itolul anterior am vazut ca acești coeficienți sunt daț i de formula:
g
ij(u,v) = <f
u (u,v),f
v (u,v)>
E = g
11 F = g
12 = g
21 G = g
22
Fie g
ij :U →
funcțiile definite de relaț ia g
ij(u,v) g
ij(u,v) =
i
k
Funcț iile
,ij s : U →
definie prin :
,ij k =
1
2(
jk
ig
x
 +
ik
jg
x
 –
ij
kg
x
 ) (3.4) se numesc
coeficienț ii lui Cristoffel de prima speta.
Acești coeficienț i sunt dați ș i de formula:
,ij k = <f
ij ,f
k> =
,ji k (3.5)

3.5.2.Propoziț ie
Coeficienții Christoffel de primă speță se exprimă in funcție de coeficienț ii primei forme
fundamentale astfel:

11,1 =
1
2uE
11 , 2
=
1
2uvFE
12,1
=
21,1 =
1
2vE
12, 2
=
21, 2 =
1
2uG
22,1
=
1
2vuFG
22, 2
=
1
2vG

3.5.3.Definiț ie
Fie f:U
3E o suprafa ță Fie {f
u (u,v),f
v (u,v),N(u,v)} reperul Gauss î n punctual
f(u,v).
Fie g
ij coeficienț ii primei forme fun damentale.
Funcț iile
k
ij :U

definite prin:
k
ij
= g
ks
,ij s (3.5)
k
ij
= g
ks
1
2 (
jk
ig
x
 +
ik
jg
x
 –
ij
kg
x
 ) (3.5’)
se numesc coeficienț ii Christoffel de speta a doua.

3.5.4.Propoziț ie
Au loc următoarele relații între coeficienții Christoffel și coeficienț ii primei forme
fundamentale:
12
11 111, 2 ,2uu u u u u u E F f f f f E      
12
11 111, , ,2uu v u v u u uv u v F G f f f f f f F E       

12
12 121, 2 ,2uv u u u v v E F f f f f E      

12
12 121
2u F G G  

12
22 221, , ,2vv u u v v uv v v u E F f f f f f f F G       

12
22 221, 2 ,2vv v v v v v F G f f f f G      

12
11 12  

2ln( ) EG F
u

2
12
12 22ln( ) EG F
v  

3.5.5.Propoziț ie
Coeficienț ii Ch ristoffel pot fi exprimați numai în funcție de prima formă fundamentală .
Demonstraț ie:
Scriem ecuaț iile de ma i sus sub formă matriceală ș i obținem:
EF
FG

1
11
2
11

=
1
2
1
2u
uvE
FE



EF
FG

1
12
2
12

=
1
2
1
2v
uE
G



EF
FG

1
22
2
22

=
1
2
1
2vu
vFG
G


Dar, c um EG – F > 0, rezulta:
1
11
=
22
2( )u u vGE FF FE
EG F

2
11
=
22
2( )u v uEF EE FE
EG F

1
12
=
22( )vuGE FG
EG F
 =
1
21
2
12
=
22( )uvEG FE
EG F
 =
2
21
1
22
=
22
2( )v u vGF GG FG
EG F

2
22
=
22
2( )v v uEG FF FG
EG F


3.5.6.Aplicaț ie
Calculă m simbolurile Christoffel de a doua și de prima speța pentru o suprafață de
rotație parametrizată de:
f(u,v) = (
 (v) cos u,
(v) sin u,
 (v)),
 (v)
 0
f
u(u,v) = ( –
(v) sin u,
 (v) cos u,0)
f
v (u,v) = (

v (v) cos u ,

v(v) sin u,

v (v))
Calculăm coeficienț ii primei forme fundamentale:
E = g
11 (u,v) = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( –
(v) sin u,
(v) cos u,0), (-
(v) sin u,
(v) cos u,0) >
E =

2 (v)
2sinu +

2 (v)cos
2 u =

2 (v)(
2sinu + cos
2 u)
E =

2 (v)
F = g
12 (u,v) = < f
u(u,v), f
v (u,v)>
F = <( –
(v) sin u,
(v) cos u,0), (

v(v) cos u,

v (v) sin u,

v (v))>

F = –
(v)

v(v)
sinu cos u +
 (v)

v(v) cos u sin u
F = 0.
G = g
22 (u,v) = < f
v (u,v), f
v (u,v) >
G = <(

v (v)cos u,

v (v)sin u,

v (v)), (

v(v)cos u,

v (v)sin u,

v (v)>
G =

2
v (v) cos
2 u +

2
v (v)
2sinu +
2
v(v)
G =

2
v (v) +
2
v (v)
Calculăm :
E
u =
( , )E u v
u
 =
2()v
u
 = 0
E
v =
( , )E u v
v
 =
2()v
v
 = 2
 (v)

v(v)
F
u = F
v = 0
G
u =
( , )G u v
u
 =
22[ ( ) ( )]vvvv
u
 = 0
G
v =
( , )G u v
v
 =
22[ ( ) ( )]vvvv
v
 = 2

v (v)

vv (v) +2

v (v)

vv (v)
De aici, rezultă :

11,1 =
1
2uE = 0

11 , 2 =
1
2uvFE = 0 –
1
22
(v)

v(v) = –
(v)

v(v)

12,1 =
21,1 =
1
2vE =
1
2 2
(v)

v(v) =
 (v)

v(v)
12, 2
=
21, 2 =
1
2uG = 0
22,1
=
1
2vuFG = 0
22, 2
=
1
2vG =
(v)

v(v)+
(v)

v(v)
1
11
=
22
2( )u u vGE FF FE
EG F
 = 0
1
12
=
22( )vuGE FG
EG F
 =
1
21 =
22
2 2 2 2[ ( ) ( )]2 (v) ( ) (v) ( )
2 ( )[ ( ) ( )] ( )v v v v
v v vv v v v
v v v v     
   

1
22
=
22
2( )v u vGF GG FG
EG F
 = 0
2
11
=
22
2( )u v uEF EE FE
EG F
 =
2
2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )vv
v v v vv v v v v
v v v v v    
    
2
12
=
22( )uvEG FE
EG F
 =
2
21 = 0
2
22
=
22
2( )v v uEG FF FG
EG F
 =
22( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )v vv v vv
vvv v v v
vv   



3.6.Simbolurile lui Riemann

3.6.1.Definiț ie
Fie f:U
3E o suprafață și f ie g
ij coeficienț ii primei forme fundamentale.
Fie
k
ij = g
ks
,ij s simbo lurile lui Christoffel de speț a a doua.
Funcț iile
i
jklR :U→
definite prin:
i
jklR =
i
jl
kx
 –
i
jk
lx
 +
i s i s
sk jl sl jk    , se n umesc
simbolurile lui Riemann de speț a a doua. (3.6)

3.6.2.Definiț ie
Funcț iile
ijklR :U→
definite prin:
ijklR = g
is
s
jklR , se numes c simbolurile lui Riemann de
prima speta. (3.7)

3.6.3.Observaț ii
Simbolurile Riemann de prima speța ale unei sup rafețe sunt toate nule, în afară de
R
1212 = -R
2112 = -R
1221 = R
2121 , lucru ce se constată folosind urmă toarele formule:
R
ijkl+R
ijlk = 0
R
ijkl+R
jikl = 0
R
ijkl- R
klij = 0
R
ijkl+R
iklj +R
iljk = 0

3.7.Geodezice

3.7.1.Definiți e
Fie f:U
3E o suprafață ș i fie
 :I
3E o curbă pe suprafaț a f.
Fie w un camp de vectori de -a lungul curbei
 adică w(
(t))
 T
()t f..
Avem: w(t) = w
i (t) f
i (u(t),v(t)) , unde w
i sunt funcții diferenț iabile.
In general, derivata î n raport cu t a unui camp vectorial nu mai est e un vector tangent la
suprafață .
Avem:
dw
dt =
i
idwfdt + w
i
(j i j
ik
ij i ij k ijdu dw duf f w f h Ndt dt dt    )
Partea tangenta a lui
dw
dt se numeste derivata covarianta a lui w de -a lungul curbei
 si se
noteaza
w
dt . Este un camp vectorial de -a lungul curbei
 .
Avem:
()kj
ik
ij kw dw duwfdt dt dt   (3.8)
Derivata covariantă este o proprietate intrinsecă .

3.7.2.Definiț ie
Fie f:U
3E o suprafață ș i fie
 :I
3E o curbă pe suprafață f.

Fie w un camp de vectori de -a lungul curbei
 .
Campul de vectori w se numeș te paralel de -a lungul curbei
 dacă deriv ata sa covariantă
este nulă .

()kj
ik
ij kw dw duwfdt dt dt   = 0 (3.9)

3.7.3.Definiț ie
Fie f:U
3E o suprafață ș i fie
 :I
3E o curbă pe suprafață f.
Curba
 se numește geodezica suprafeței f dacă , câmpul vectorial tangent la curba

' (t)
este paralel, deci dacă :
'2
2()k i j
k
ij kd u du dufdt dt dt dt   = 0 (3.10)
Geodezi ca este o proprietate intrinsecă .

3.7.4.Observaț ie
Faptul că

'(t) = u
' (t)f
u +v
'(t)f
v este paralel este echivalent cu sistemul de ecu ații
diferenț iale (3.10):
u
'' +
1 ' 2
11()u + 2
1 ' '
12uv +
1 ' 2
22( ) 0v (3.10)
v
'' +
2 ' 2
11()u +
2 ' '
122uv +
2 ' 2
22( ) 0v

3.7.5.Aplicaț ie
Geodezicele unei suprafețe de rotaț ie cu parametrizarea:
f(u,v) = (
 (v) cos u,
(v) sin u,
 (v)),
 (v)
 0
În aplicaț ia 3.5.5 am determinat coeficienț ii Christoffel:
1
11
= 0
1
12 =
2(v) ( )
()vv
v

1
22 = 0
2
11
=
22( ) ( )
( ) ( )v
vvvv
vv


2
12 = 0
2
22 =
22( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )v vv v vv
vvv v v v
vv   


Înlocuim ace ste valori în sistemul de ecuații anterior și obț inem:
u
'' +
22v

''uv = 0
v
'' –
22v
vv

'2()u +
22v vv v vv
vv 


'2( ) 0v
Din acest sistem rezultă urmă toarele: meridianele u = constant ș i v = v(s) parametrizate
prin l ungimea arcului s sunt geodezice.
A doua ecuaț ie a sistemului devine: v
'' +
22v vv v vv
vv 


'2( ) 0v
Datorită faptului ca de -a lungul meridianelor u = co nstant, v = v(s) satisface relaț ia
(
22
vv )
'2( ) 1v atunci
'2()v
221
vv ,pe care o derivăm și obț inem:
' ''2vv
= –
'
2 2 22[ ]
[]v vv v vv
vvv 

 = –
'3
222[ ( ) ]()v vv v vv
vvvv  

 , adică :
''v = –
'2
22()()v vv v vv
vvvv  



Astfel, a m obținut că meridianele sunt de fapt geodezice.

Pentru ca paralele v = c onstant si u= u(s) parametrizata de lungimea arcului s, să fie
geodezice este necesar ca
'u 0.
Din prima ecuaț ie a sistemului reiese
'u = constant iar cea de -a doua devine:
'2
22()v vv
vvu

= 0
Deoarece
22
vv
 0 și

 0,atunci reiese din ecuația anterioră ca
v = 0.

3.7.6.Definiț ie
Fie f : U
3E o suprafață ș i fie
 :I
3E o curbă pe suprafață f,
'()t
,

(t) =(f (u,),f(v))
Numim curbura geodezică , funcț ia K
g :I

,definită de :
K
g=
2EG F
2 ' 3 1 ' 3 2 1 ' 2 '
11 22 12 11[ ( ) ( ) (2 )( ) u v u v     +
1 2 ' ' 2 '' ' '' '
12 22(2 ) ( ) ] u v u v v u   
(3.11)

k
ij sunt simboluril e lui Christoffel de tipul doi iar E,F,G sunt co eficienț ii primei forme
fundamentale