Geometria intrinseca [620853]

Capitolul 3
Geometria intrinseca

3.1.Definitie
Proprietatile intrinsece ale suprafetei sunt proprietatile unei suprafete care depind numai
de coeficientii primei forme fundamenatale si de derivatele partiale ale acestora.

3.2.Lungimea unui arc de curba pe o suprafata

3.2.1.Definitie
Fie f :U →
3E o suprafata parametrizata.
Fie c:I →
3E o curba para metrizata pe suprafata f.
Fie a,b
 I,a<b.
Lungimea arcului de curba c, intre a si b este de dat de formula urmatoare:
c(t) =
22( ) 2 ( )bb
ij
aag dudv E du Fdudv G dv   dt (3.1)
Datorita acestei ecuatii, multi matematicieni vorbesc despre “elementul” lungimii arcului
de curba ds al suprafetei f si se exprima astfel: ds
2 = E du
2 +2Fdudv + G dv
2 , adica daca
c(t) = f(u(t), v(t)) este o curba pe suprafata f si s = s(t) este lungimea arcului curbei, atunci
avem:
2 2 2( ) ( ) 2 ( )ds du du dv dvE F Gdt dt dt dt dt  

3.2.2.Aplicatie
Fie sfera parametrizata de: f(u,v) = (cos u sin v,sin u sin v, cos v), unde u
 [0,2
 ) si
v
[0,
).
Coeficientii primei forme fundamentale sunt:
E = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( – sin u sin v,cos u sin v,0),( – sin u sin v,cos u sin v,0)>
E = sin
2 v.

F = < f
u(u,v),f
v(u,v)>
F = <( – sin u sin v,cos u sin v,0),(cos u cos v,sin u cos v, -sin v)
F = 0

G = < f
v(u,v), f
v(u,v)>
G = <(cos u cos v,sin u cos v, -sin v),(cos u cos v,sin u cos v, -sin v)>
G = 1
Ecuatorul unei sfere este o curba parametrizata data de (u(t),v(t) ) = (t,
2 ), unde t variaza
intre 0 si 2
.
Lungimea acestei curbe este data de :
2
22
0( ) ( )E du Fdudv F dv dt

=
2
0sinv
 dt =
2 sin v =
2

3.3.Unghiul a doua curbe pe suprafata

3.3.1.Definitie
Fie f : U →
3E o suprafata parametrizata
Fie c: I →
3E ,
c
:
I
→
3E doua curbe parametrizate pe suprafata f.
Fie t
0
 I,
0t

I

Unghiul celor doua curbe in punctul c(t
0 ) =
c
(
0t) este unghiul format de tangentele la cele
doua curbe in punctul lor comun si este dat de formula:
cos
 =
,uv
uvff
ff
=
F
EG (3.2)

3.4.Aria unei portiuni de suprafata

3.3.1.Definitii
Se numeste domeniu al unei suprafete o submultime deschisa si conexa a suprafetei,astfel
incat frontiera sa este imaginea unui cerc printr -un homeomorfism care este regulat(adica
diferentialele sal e sunt diferite de 0) cu exceptia unui numar finit de puncte.
Se numeste regiune a suprafetei f reuniunea unui domeniu cu frontiera sa. O regiune a unei
suprafete din
3
este marginita daca este continuta intr -o anumita bila din
3
.

3.3.2.Definitie
Fie U o multime deschisa in
2
.
Fie f : U →
3E o suprafata parametrizata regulata.
Fie E,F,G coeficientii primei forme fundamentale a suprafetei f.
Consideram o regiune marginita R continuta in f(U).
Se numeste aria regiunii R,numarul pozitiv:
A(R) =
uvQff
du dv =
det( )ijQg du dv =
2
QEG F du dv, unde Q = f
1 (R),
Q
U (3.3)

3.3.3.Aplicatie
Vrem sa calculam aria torului.
Consideram parametrizarea:
f(u,v) = ((a+b cos u) cos v,(a+b cos u) sin v,b sin u), unde 0<u,v<2
 ,a>b>0.
Calculam f
u ,f
v:
f
u(u,v) = ( -b sin u cos v, -b sin u sin v,b cos u)
f
v(u,v) = ( -(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0)
Acum putem calcula coeficientii primei forme fund amentale:E,F,G
E = g
11 = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u),( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u)
E = b
2 sin
2u cos
2 v + b
2 sin
2u sin
2 v + b
2 cos
2 u
E = b
2 sin
2u(cos
2 v +sin
2 v) + b
2cos
2 u = b
2
F = g
12 = < f
u(u,v), f
v(u,v)>

F= <( -bsin u cos v, -bsin u sin v,bcos u),( -(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0)>
F = b(a+b cos u)sin u cos v sin v – b(a+b cos u)sin u cos v sin v =0
G = g
22 = < f
v(u,v), f
v(u,v)>
G = <(-(a+b cos u)sin v,(a+b cos u)cos v,0), (-(a+b cos u)sin v,(a+b cos u) cos v,0)>
G= (a+b cos u)
2 sin
2v +(a+b cos u)
2 cos
2 =(a+b cos u)
2

Deci: det(g
ij ) = EG – F
2 = b
2 (a+b cos u)
2
Consideram acum regiunea R,reprezentand imaginea prin f regiunii Q
 ,
>0:
Q
= {(u,v)

2
0+

 u,v
 2
-
}
Atunci avem:
A(R
 ) =
2
QEG F dudv
 =
22( cos )
Qb a b u dudv

A(R
 ) =
( cos )
Qb a b u dudv

A(R
 ) =
22
2
00( cos )b u ba du dv   


A(R
 ) = (
2b
2
0cosu

 du +
ba
2
0du

 ) (
2 – 0 –
)

A(R
 ) = {
2b [ sin(
2 ) – sin
 ]+
(2 2 )ba }(
22 )

A(R
 ) =
2(2 2 )b [sin(
2 ) – sin
 ]+
ba
2(2 2 )

3.5.Simbolurile lui Christoffel

3.5.1.Definitie
Fie f:U
3E o suprafata.
Fie {f
u (u,v),f
v (u,v),N(u,v)} reperul Gauss in punctul f(u,v).
Fie g
ij coeficientii primei forme fundamentale.
In capitolul anterior am vazut ca acesti co eficienti sunt dati de formula:
g
ij(u,v) = <f
u (u,v),f
v (u,v)>
E = g
11 F = g
12 = g
21 G = g
22
Fie g
ij :U →
functiile definite de relatia g
ij(u,v) g
ij(u,v) =
i
k
Functiile
,ij s : U →
definie prin :
,ij k =
1
2(
jk
ig
x
 +
ik
jg
x
 –
ij
kg
x
 ) (3.4) se numesc
coeficientii lui Cristoffel de prima speta.
Acesti coeficientii sunt dati si de formula:
,ij k = <f
ij ,f
k> =
,ji k (3.5)

3.5.2.Propozitie
Coeficientii Christoffel de prima speta se exprima in functie de coeficientii primei forme
fundamentale astfel:

11,1 =
1
2uE
11 , 2
=
1
2uvFE
12,1
=
21,1 =
1
2vE
12, 2
=
21, 2 =
1
2uG
22,1
=
1
2vuFG
22, 2
=
1
2vG

3.5.3.Definitie
Fie f:U
3E o suprafata.
Fie {f
u (u,v),f
v (u,v),N(u,v)} reperul Gauss in punctual f(u,v).
Fie g
ij coeficientii primei forme fundamentale.
Functiile
k
ij :U

definite prin:
k
ij
= g
ks
,ij s (3.5)
k
ij
= g
ks
1
2 (
jk
ig
x
 +
ik
jg
x
 –
ij
kg
x
 ) (3.5’)
se numesc coeficientii Christoffel de speta a doua.

3.5.4.Propozitie
Au loc urmatoarele relatii intre coeficientii Christoffel si coeficientii primei forme
fundamentale:
12
11 111, 2 ,2uu u u u u u E F f f f f E      
12
11 111, , ,2uu v u v u u uv u v F G f f f f f f F E       

12
12 121, 2 ,2uv u u u v v E F f f f f E      

12
12 121
2u F G G  

12
22 221, , ,2vv u u v v uv v v u E F f f f f f f F G       

12
22 221, 2 ,2vv v v v v v F G f f f f G      

12
11 12  

2ln( ) EG F
u

2
12
12 22ln( ) EG F
v  

3.5.5 .Propozitie
Coeficientii Christoffel se pot exprima numai in functie de prima forma fundamentala.
Demonstratie:
Scriem ecuatiile de mai sus sub forma matriceala si se obtine:
EF
FG

1
11
2
11

=
1
2
1
2u
uvE
FE



EF
FG

1
12
2
12

=
1
2
1
2v
uE
G



EF
FG

1
22
2
22

=
1
2
1
2vu
vFG
G


Cum EG – F > 0, rezulta:
1
11
=
22
2( )u u vGE FF FE
EG F

2
11
=
22
2( )u v uEF EE FE
EG F

1
12
=
22( )vuGE FG
EG F
 =
1
21
2
12
=
22( )uvEG FE
EG F
 =
2
21
1
22
=
22
2( )v u vGF GG FG
EG F

2
22
=
22
2( )v v uEG FF FG
EG F


3.5.6 .Aplicatie
Calculam simbolurile Christoffel de prima si doua speta pentru o suprafata de rotatie,
parametrizata de:
f(u,v) = (
 (v) cos u,
(v) sin u,
 (v)),
 (v)
 0
f
u(u,v) = ( –
(v) sin u,
 (v) cos u,0)
f
v (u,v) = (

v (v) cos u,

v (v) sin u,

v (v))
Calculam coeficientii primei forme fundamentale:
E = g
11 (u,v) = < f
u(u,v), f
u(u,v)>
E = <( –
(v) sin u,
(v) cos u,0), (-
(v) sin u,
(v) cos u,0) >
E =

2 (v)
2sinu +

2 (v)cos
2 u =

2 (v)(
2sinu + cos
2 u)
E =

2 (v)
F = g
12 (u,v) = < f
u(u,v), f
v (u,v)>
F = <( –
(v) sin u,
(v) cos u,0), (

v(v) cos u,

v (v) sin u,

v (v))>

F = –
(v)

v(v)
sinu cos u +
 (v)

v(v) cos u sin u
F = 0.
G = g
22 (u,v) = < f
v (u,v), f
v (u,v) >
G = <(

v (v)cos u,

v (v)sin u,

v (v)), (

v(v)cos u,

v (v)sin u,

v (v)>
G =

2
v (v) cos
2 u +

2
v (v)
2sinu +
2
v(v)
G =

2
v (v) +
2
v (v)
Calculam acum:
E
u =
( , )E u v
u
 =
2()v
u
 = 0
E
v =
( , )E u v
v
 =
2()v
v
 = 2
 (v)

v(v)
F
u = F
v = 0
G
u =
( , )G u v
u
 =
22[ ( ) ( )]vvvv
u
 = 0
G
v =
( , )G u v
v
 =
22[ ( ) ( )]vvvv
v
 = 2

v (v)

vv (v) +2

v (v)

vv (v)
Rezulta:

11,1 =
1
2uE = 0

11 , 2 =
1
2uvFE = 0 –
1
22
(v)

v(v) = –
(v)

v(v)

12,1 =
21,1 =
1
2vE =
1
2 2
(v)

v(v) =
 (v)

v(v)
12, 2
=
21, 2 =
1
2uG = 0
22,1
=
1
2vuFG = 0
22, 2
=
1
2vG =
(v)

v(v)+
(v)

v(v)
1
11
=
22
2( )u u vGE FF FE
EG F
 = 0
1
12
=
22( )vuGE FG
EG F
 =
1
21 =
22
2 2 2 2[ ( ) ( )]2 (v) ( ) (v) ( )
2 ( )[ ( ) ( )] ( )v v v v
v v vv v v v
v v v v     
   

1
22
=
22
2( )v u vGF GG FG
EG F
 = 0
2
11
=
22
2( )u v uEF EE FE
EG F
 =
2
2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )vv
v v v vv v v v v
v v v v v    
    
2
12
=
22( )uvEG FE
EG F
 =
2
21 = 0
2
22
=
22
2( )v v uEG FF FG
EG F
 =
22( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )v vv v vv
vvv v v v
vv   



3.6.Simbolurile lui Riemann

3.6.1.Definitie
Fie f:U
3E o suprafata.
Fie g
ij coeficientii primei forme fundamentale.
Fie
k
ij = g
ks
,ij s simbo lurile lui Christoffel de speta a doua.
Functiile
i
jklR :U→
definite prin:
i
jklR =
i
jl
kx
 –
i
jk
lx
 +
i s i s
sk jl sl jk    , se numesc
simbolurile lui Riemann de speta a doua. (3.6)

3.6.2.Definitie
Functiile
ijklR :U→
definite prin:
ijklR = g
is
s
jklR , se numesc simbolurile lui Riemann de
prima speta. (3.7)

3.6.3.Observatii
Simbolurile Riemann de prima speta ale unei suprafete sunt toate nule, in afara de
R
1212 = -R
2112 = -R
1221 = R
2121 .
Acest lucru se constata folosind urmatoarele formule:
R
ijkl+R
ijlk = 0
R
ijkl+R
jikl = 0
R
ijkl- R
klij = 0
R
ijkl+R
iklj +R
iljk = 0

3.7.Geodezice

3.7.1.Definitie
Fie f:U
3E o suprafata si fie
 :I
3E o curba pe suprafata f.
Fie w un camp de vectori de -a lungul curbei
 adica w(
 (t))
 T
()t f..
Avem: w(t) = w
i (t) f
i (u(t),v(t)) , unde w
i sunt functii diferentiabile.
In general,derivata in raport cu t a unui camp vectorial nu mai este un vector tangent la
suprafata.
Avem:
dw
dt =
i
idwfdt + w
i
(j i j
ik
ij i ij k ijdu dw duf f w f h Ndt dt dt    )
Partea tangenta a lui
dw
dt se numeste derivata covarianta a lui w de -a lungul curbei
 si se
noteaza
w
dt . Este un camp vectorial de -a lungul curbei
 .
Avem:
()kj
ik
ij kw dw duwfdt dt dt   (3.8)
Derivata covarianta este o proprietate intrinseca.

3.7.2.Definitie

Fie f:U
3E o suprafata si fie
 :I
3E o curba pe suprafata f.
Fie w un camp de vectori de -a lungul curbei
 .
Campul de vectori w se numeste paralel de -a lungul curbei
 daca derivata sa covarianta
este nula.

()kj
ik
ij kw dw duwfdt dt dt   = 0 (3.9)

3.7.3.Definitie
Fie f:U
3E o suprafata si fie
 :I
3E o curba pe suprafata f.
Curba
 se numeste geodezica suprafetei f daca campul vectorial tangent la curba

' (t)
este paralel,deci daca :
'2
2()k i j
k
ij kd u du dufdt dt dt dt   = 0 (3.10)
Geodezica este o proprietate intrinseca.

3.7.4.Observatie
Faptul ca

' (t) = u
' (t)f
u +v
'(t)f
v este paralel este echivalent cu sistemul de ecuatii
diferentiale (3.10):
u
'' +
1 ' 2
11()u + 2
1 ' '
12uv +
1 ' 2
22( ) 0v (3.10)
v
'' +
2 ' 2
11()u +
2 ' '
122uv +
2 ' 2
22( ) 0v

3.7.5 .Aplicatie
Geodezicele unei suprafete de rotatie cu parametrizarea:
f(u,v) = (
 (v) cos u,
(v) sin u,
 (v)),
 (v)
 0
In aplicatia 3.5.5 am determinat coefi cientii Christoffel:
1
11
= 0
1
12 =
2(v) ( )
()vv
v

1
22 = 0
2
11
=
22( ) ( )
( ) ( )v
vvvv
vv


2
12 = 0
2
22 =
22( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )v vv v vv
vvv v v v
vv   


Inlocuim aceste valori in sistemul de ecuatii anterior si obtinem:
u
'' +
22v

''uv = 0
v
'' –
22v
vv

'2()u +
22v vv v vv
vv 


'2( ) 0v
Din acest sistem rezulta urmatoarele: meridianele u = constant si v = v(s) parametrizate
prin lungimea arcului s sunt geodezice.
A doua ecuatie a sistemului devine: v
'' +
22v vv v vv
vv 


'2( ) 0v
Datorita faptului ca de -a lungul meridianelor u = constant, v = v(s) satisface relatia
(
22
vv )
'2( ) 1v atunci
'2()v
221
vv ,pe care o derivam si obtinem:
' ''2vv
= –
'
2 2 22[ ]
[]v vv v vv
vvv 

 = –
'3
222[ ( ) ]()v vv v vv
vvvv  

 , adica :
''v = –
'2
22()()v vv v vv
vvvv  



Am obtinut ca meridianele de fapt sunt geodezice.

Pentru ca paralele v = constant si u= u(s) parametrizata de lungimea arcului s, sa fie
geodezice este necesar ca
'u 0.
Din prima ecuatie a sistemului reiese
'u = constant iar cea de -a doua devine:
'2
22()v vv
vvu

= 0
Deoarece
22
vv
 0 si

 0,atunci din ecuatia anteriora reiese ca
v = 0.
Aceata inseamna ca o conditie pentru ca o paralela a unei suprafete de rotatie
Sa fie geodezica este ca o asemenea paralela sa fie generate de rotatia unui punct al curbei
tangenta este paralela cu axa de rotatie.

3.7.6.Definitie
Fie f : U
3E o suprafata si fie
 :I
3E o curba pe suprafata f,
'()t
,

(t) =(f(u,),f(v))
Se numeste curbura geodezica,functia K
g :I

,definita de :
K
g=
2EG F
2 ' 3 1 ' 3 2 1 ' 2 '
11 22 12 11[ ( ) ( ) (2 )( ) u v u v     +
1 2 ' ' 2 '' ' '' '
12 22(2 ) ( ) ] u v u v v u   
(3.11)

E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale,iar
k
ij sunt simbolurile lui Christoffel
de tipul doi.