Geometria Fractala In Arhitectura

GEOMETRIA FRACTALĂ ÎN ARHITECTURĂ

LUCRARE DE DISERTAȚIE –

CUPRINS:

1.INTRODUCERE……………………………………………………………………………………………………………….3

2.MODELE FRACTALE ÎN PROIECTE ARHITECTURALE………………………………………………..6

3.ORAȘELE FRACTALE……………………………………………………………………………………………………13

4.FRACTALII ÎN PROIECTAREA COMPUTERIZATĂ……………………………………………………….16

5.CONCLUZII……………………………………………………………………………………………………………………20

6.BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………………………………………21

7.ILUSTRAȚII……………………………………………………………………………………………………………………22

GEOMETRIA FRACTALĂ ÎN ARHITECTURĂ

1. INTRODUCERE

Fractalii sunt forme geometrice care pot fi împarțite în seturi, fiecare dintre ele fiind o copie la scară redusă a întregului. Acest lucru înseamnă că ele repetă modelele la o scară infinit de mică. Un tipar cu o dimensiune fractală mai mare este mult mai complicat (sau neregulat) decât unul cu o dimensiune mai mică, și umple mai mult spațiu.

Termenul de fractal a fost introdus de matematicianul francez Benoît B.Mandelbrot și este derivat din latinescul „fractus”, însemnând spart sau fracturat. Acest termen a fost creat pentru a diferenția formele geometrice pure de alte tipuri de figuri care sfidează o astfel clasificare simplă.

Pentru început, în timp ce geometria fractală datează din 1975, este important de știut că un număr mare de forme considerate acum fractale au fost cunoscute de foarte mult timp. Dar, în mod surprinzător puține au fost trasate efectiv înainte de era calculatoarelor. În arhitectură este obișnuită cautarea unor forme geometrice sau care au o bază matematică. De exemplu, geometria euclidiană, raportul de aur, șirul lui Fibonacci, și simetria. Putem observa, de asemenea, arhitectura folosind o alta perspectivă pentru a găsi unele componente complexe sau fractale care sunt prezente în clădiri sau în planificarea urbană.

O discuție pe tema geometriei fractale aplicate în arhitectură poate duce la un teren ambiguu. „Este important de menționat faptul că un element arhitectural este doar aproximativ fractal, din moment ce acesta nu poate avea detalii care sunt infinit de mici; astfel, este de preferat să nu vorbim despre arhitectura fractală, ci mai degrabă de arhitectură cu componente fractale."

Fig1 – Triunghi Sierpinski, fractal sub forma unui triunghi echilateral, divizat în triunghiuri mai mici

Chris Yessios și Peter Eisenman au fost printre primii care au scris despre utilizarea fractalilor și geometria fractală în arhitectură. Yessios a descris o metodă prin care calculatoarele pot fi introduse în proiectarea arhitecturală ca mijloc de explorare și generare de forme arhitecturale. El a folosit geometria fractală, arabescurile și procesele biologice ADN/ARN ca generatoare. A fost dezvoltat un program de fractali care i-a permis să utilizeze mai multe generatoare pe aceeași bază și să avanseze mai multe trepte în procesul de iterare (repetiție), și de asemenea, în sens invers.

Analiza fractală poate fi împărțită astfel:

analiza la scară mică (determinarea componentelor fractale la o clădire);

analiza la scară mare (studierea organizării urbane).

În analiza la scară mică se observă:

autosimilaritate a clădirii (o componentă a clădirii care se repetă la diferite scări),

sistemele funcționale iterative, IFS, (procese fractale iterative prezente în arhitectură).

În analiza la scară mare se observă:

autosimilaritate în arhitectura așezărilor umane,

componente fractale prezente în țesutul urban.

Autosimilaritatea este o proprietate prin care un obiect conține copii mai mici de sine la scări arbitrare. Un obiect fractal este autosimilar în cazul în care a trecut printr-o transformare prin care dimensiunile structurii au fost toate modificate de același factor de scalare. Noua formă poate fi mai mică, mai mare, translatată și/sau rotită. Similar înseamnă că proporțiile relative ale laturilor formelor și unghiurilor interne rămân aceleași. Așa cum a descris Mandelbrot, această proprietate este omniprezentă în lumea naturală .

Fig 2 – Feriga, fractal autosimilar întâlnit în natură

„Atunci când vorbim despre prezența autosimilarității în arhitectură, ne referim la aceeași formă repetată la diferite scări, mai mult de patru ori”. Aceasta poate fi clasificată astfel:

neintenționată, atunci când calitatea fractală a fost aleasă pentru simțul estetic ;

intenționată, atunci când componenta fractală este, în orice caz, rezultatul unui act specific și conștient de proiectare (în arhitectura modernă).

Este interesant de analizat autosimilaritatea în diferite culturi și diferite stiluri arhitecturale.

Fig3 – Model fractal, satul Ba-ila, Africa

2. MODELE FRACTALE ÎN PROIECTE ARHITECTURALE

În arhitectura occidentală putem găsi cel mai vechi obiect fractal fabricat manual în Catedrala din Anagni (Italia). In interiorul catedralei, construită în anul 1104, pardoseala este împodobită cu zeci de mozaicuri, fiecare sub forma unui fractal Sierpinski.

Fig4 – Pardoseala catedralei din Anagni – se observă prezența elementelor fractale

Componentele fractale sunt prezente la diferite clădiri gotice, în Veneția, în catedralele gotice și în bisericile baroce, de exemplu, în biserica San Carlo alle Quattro Fontane (Roma), concepută de arhitectul elvețian Francesco Borromini .

În aceste exemple, componentele fractale sunt neintenționate, dar unii arhitecți celebri ai secolului XX, au studiat o autosimilaritate intenționată; de exemplu Frank Lloyd Wright (1867-1959), în lucrarea sa târzie "Palmer house" a utilizat triunghiuri echilaterale autosimilare în plan. Un fel de forme fractale de tip cuib pot fi observate în două locuri din casa Palmer: la intrare și la șemineu. În aceste locuri, se întâlnesc nu numai triunghiuri reale, dar și triunghiuri trunchiate. La intrare, nu există numai triunghiuri care compun ornamentul ceramic, ci și un dispozitiv de fixare triunghiular pentru lumină în partea de sus a stâlpului triunghiular. Vatra șemineului este o cavitate triunghiulară încadrată între stâlpi triunghiulari. În casa Palmer, calitatea fractală este în orice caz rezultatul unui act de proiectare conștient și specific.

Fig5 – Planul Palmer House – Arhitect Frank Lloyd Wright

Casele lui Frank Lloyd Wright oferă un exemplu al evoluției detaliului de la mare la mic. El se referă adesea la ideea centrală, care a coordonat proiectarea, iar această idee vine din natură.

Fig6 – Prezentare schematică a evoluției planului Palmer House

Unele clădiri contemporane se apropie de ideea de arhitectură fractală prin reintroducerea atât a curbelor cât și a subdiviziunilor la diferite scări, sau a unei structuri autosimilare a aceluiași motiv, producând astfel complexitate și varietate formală. În acest fel, există structuri care nu prezintă o repetiție autosimilară a unui modul, ci doar o variație subtilă, la fel ca petalele unei ferigi sau ale unui fulg de zăpadă.

Un exemplu elocvent este Muzeul Guggenheim din Bilbao de Frank Gehry, unde 26 de petale autosimilare ale unei flori metalice sunt desfăcute, răsucite și curbate, generând o geometrie formală și spațială.

Fig7 – Schiță a muzeului Guggenheim, Arhitect Frank Gehry

Fig3 – Schița muzeului Guggenheim – Arhitect Frank Gehry

Fig8 – Muzeul Guggenheim, Bilbao – Arhitect Frank Gehry

Un alt exemplu concludent este proiectul Federation Square al Lab and Bates Smart Architecture Studio, unde „fațada se bazează pe geometria unei grile triunghiulare tip morișcă”, care formează un panou autosimilar de cinci triunghiuri separate. Acest sistem modular se repetă la două scări.

Fig9 – Federation Square – Lab and Bates Smart Architecture Studio

Alt aspect este inspirația formelor din natură și biologie ca surse de creativitate în design, care este de asemenea legat de noțiunea fractalilor în arhitectură. De exemplu, lucrarea lui Gaudi provine din dezvoltarea organică a arhitecturii contemporane, și exprimă o nouă formă sculpturală constând din modele autosimilare continue inspirate din natură.

Timp de multe secole, o varietate de forme, care, în multe cazuri, prezintă geometria fractala în aspectul lor structural, cum ar fi copaci, celule, cristale etc., au fost utilizate în mod creativ de arhitecți și ingineri la proiecte, cum ar fi structurile de tip coajă, structuri ușoare, arcuri, corturi, rețele și poduri.

Fig10 – Simulare 3D a interiorului Catedralei Sagrada Familia, A.Gaudi – fractalitate

Proiectul Arm Storey Hall din Melbourne este un exemplu în care tiparul metalic al fațadei este în același timp organizat și haotic, atât în spațiul intern cât și în exterior. Formele fractale din fațadă sunt organizate după modelul de placare Penrose într-o ordine care face legătura între podea, pereți și plafon. Rezultatul este un sistem ornamental singular ce conferă unicitate și caracter proiectului.

Fig11 – Fațada Arm Storey Hall – ARM Architecture

Fig12 – Modelul Penrose

Generarea designului geometric al British Museum Great Court este un exemplu contemporan de utilizare a unui nou algoritm bazat pe funcții. Această structura de tip coajă nu conține souă bare sau ochiuri care să fie exact la fel. Structura a fost realizată cu ajutorul calculatoarelor de înaltă performanță și software-ului specializat.

Fig13 – Acoperirea British Museum Great Court – structură generată pe baza fractalilor

Fig14 – Evoluția grilei structurale

3. ORAȘELE FRACTALE

Orașele sunt în primul rând vehicule care aduc oamenii împreună pentru a se angaja în schimbul de idei și de bunuri materiale. Mărimea orașului depinde de nivelul la care acesta există în întreaga ierarhie de dimensiuni de la cele mai mici cătune la orașul cel mai universal. Dar orașele mari se dezvoltă pornind de la cele mai mici nuclee iar natura producției economice și consumul care sunt legate între ele în piață se bazează direct pe nivelul populației pe care o poate suporta piața și vice-versa. Poate că pare incredibil, dar modul în care piețele sunt organizate în întreaga gamă de scări spațiale este practic identic.

Atunci când consumatorii achiziționează bunuri în centre de desfacere, aceleași structuri și mecanisme sunt folosite la orice nivel al ierarhiei acestor tranzacții. Astfel de structuri care se repetă la diferite niveluri ale ierarhiei și care, la rândul lor, sunt asociate cu diferite scări și dimensiuni se spune că sunt autosimilare.

Orașele antice au evoluat de-a lungul secolelor pentru a satisface o varietate de nevoi zilnice ale oamenilor. Toată lumea trebuie să mănânce, să doarmă undeva, să facă cumpărături, să se joace, să muncească. Acestea au evoluat astfel încât să permită oamenilor să aibă toate nevoile în imediata apropiere, la o distanță de mers pe jos. Structura fractală la mai multe scări pe care orașele antice o arată, permite acestora să fie mai prietenoase cu pietonii și orientate la scară umană.

Fig15 – Fractal Koch Fig16 – Orașul ideal în perioada Renașterii

Orașele moderne au fost în măsură să evolueze în modul în care o fac, datorită disponibilității mijlocului de transport personal facil și accesibil: automobilul. Acest fapt permite existența zonelor rezidențiale departe de zonele comerciale sau industriale.

Rețelele stradale sunt exemple excelente ale modului în care orașele se dezvoltă de jos în sus, pentru că acestea reprezintă structura scheletului pe care toți ceilalți din oraș se sprijină. După cum se poate observa din modul în care orașele se dezvoltă, transportul și utilizarea terenurilor sunt strâns legate între ele.

Fig17 – Evoluția fractală a orașului Londra, Anglia

Multe orașe moderne au reguli diferite de guvernare a dezvoltării lor, care nu promovează modele organice, fractale. Orașele moderne tind să aibă reguli de zonificare "prescriptive", care prevăd ce activități să se desfășoare în diverse zone. De exemplu, o zonă poate fi desemnată industrială, rezidențială sau comercială, iar acestea sunt singurele activități permise în zonele specificate. Acest tip de sistem de reguli urbane duce la orașe non-fractale ale căror modele de bază sunt dictate de la nivel înalt, de conducerea orașului.

Chiar dacă este clar că sunt probleme considerabile în definirea a ceea ce constituie dezvoltarea urbană, există un acord unanim că orașele nu ocupă spațiul în care acestea se află într-un mod compact. În realitate, cele mai multe orașe se întind în plan și abia ating cea de-a treia dimensiune. Acestea sunt presărate cu terenuri nedezvoltate, nu numai ca rezultat al unor constrângeri fizice asupra a ceea ce se poate sau nu se poate construi, dar cauzate chiar de procesele de dezvoltare la nivel micro, care au loc încet și treptat, cu puțină coordonare la această scară de bază în ceea ce privește vecinătatea fizică.

Fig18 – Beijing, evoluția orașului în perioada 1984-1999

4. FRACTALII ÎN PROIECTAREA COMPUTERIZATĂ

Mandelbrot, nu numai că a fost pionier în aplicarea geometriei fractale în natură, dar a și sugerat că ar putea fi utilă în înțelegerea proprietăților creației umane, cum ar fi arta si arhitectura. Mandelbrot spune despre geometria fractală că "descrie multe dintre modelele neregulate și fragmentate din jurul nostru". În acest sens, clădirile pot fi considerate drept "modele neregulate și fragmentate", așa cum cele mai multe forme construite sau amplasări urbane produc forme repetate la diferite scări. Potrivit lui Bovill, experimentăm arhitectura prin observarea de la distanță a profilului global al unei clădiri; pe măsură ce ne apropiem, modelele de ferestre și pereți laterali ne atrag atenția; pe masură ce ne apropiem mai mult, detaliile tocurilor ușilor și ferestrelor ne atrag atenția, până la detalii despre butonul de la clanța ușii. Procesul continuă apoi în interiorul clădirii. Caracteristica fractală a unei compoziții arhitecturale se prezintă în această progresie de detaliu interesant pe măsură ce se apropie cineva, intră și locuiește în clădire.

La o scară mai mică, lucrarea din 1996 a lui Bovill, “Geometria fractala în Arhitectură și Design”, a fost prima explorare majoră a relației dintre geometria fractala și artă, muzică, design și arhitectură. În special, în această lucrare, Bovill demonstrează o modalitate matematică de măsurare și comparare a dimensiunii fractale a mai multor clădiri istorice importante. Bovill a calculat dimensiunea fractală a acestor clădiri folosind o aplicație a tehnicii de numărare a cuburilor (box-counting) a lui Mandelbrot, pentru a determina dimensiunea fractală aproximativă, sau complexitatea vizuală caracteristică, a planurilor arhitecturale și elevațiilor. Metoda de numărare a cuburilor a lui Bovill a fost de atunci folosită pentru a calcula dimensiunea fractală a unei serii de clădiri antice, inclusiv a piramidelor mesoamericane, precum și dimensiunile fractale ale ordinelor doric, corintic și compozit din arhitectură. Sala reproduce lucrarea lui Bovill pe casa Robie a lui Frank Lloyd Wright, fără nici o interpretare suplimentară și Gozubuyuk, Cagdas și Ediz utilizează metoda de numărare a cuburilor pentru a analiza aspectul urban și clădirile tipice din cele două cartiere istorice ale orașelor turcești Istanbul și Mardin. Scopul analizei a fost acela de a utiliza metode de proiectare digitale pentru a crea o clădire nouă, care ar putea răspunde la "limbajele" arhitecturale existente ale cartierelor.

Alți oameni de știință au sugerat că metoda de numărare a cuburilor ar putea fi utilizată pentru a determina dacă clădirile cu dimensiuni fractale similare cu locurile naturale vor fi preferate din punct de vedere estetic de populație și de asemenea vor reduce stresul acesteia.

Metoda de numărare a cuburilor poate fi aplicată atât reprezentărilor bidimensionale în arhitectură cât și peisajelor, vegetației și altor forme naturale. Această metodă este, așadar, utilă pentru măsurători comparative între arhitectură și amplasamentul acesteia. În procesul de numărare a cuburilor, orice obiect natural sau arhitectural implică conversia subiectului într-o imagine liniară, cum ar fi ridicarea unei clădiri sau trasarea unui munte. O grilă este plasată peste această imagine și se notează numărul de pătrate care conțin o parte a imaginii. Această grilă este apoi înlocuită cu o alta cu intervale mai mici, iar numărul de pătrate sunt numărate din nou. Această secvență se desfășoară pentru un anumit număr de iterații. Dimensiunea descrescătoare a grilei permite nivele de detaliu în imaginea la diferite scări ce urmează să fie descoperite. Un obiect cu o dimensiune mai mare a fractalului menține de obicei o reprezentare foarte detaliată de-a lungul mai multor niveluri de observare. Prin reprezentarea grafică a comparației dimensiunii grilei cu numărul de cuburi numărate pe un grafic log-log, panta graficului care rezultă oferă dimensiunea fractală, în cazul unei imagini, un număr cuprins între 1,0 și 2,0. Cu cât acest număr este mai mare (adică, cu cât numărul este mai aproape de 2,0) cu atât mai aproape imaginea va apărea ca un obiect bidimensional și, astfel, complexitatea vizuală a obiectului original va fi mai mare.

Fig19 – Analiză realizată prin metoda de numărare a cuburilor

Procesul de numărare a cuburilor a fost automatizat și rafinat în programe de calculator, cum ar fi Benoit (software-ul Trusoft pentru analiza dimensiunii fractale a imaginilor) și Archimage (un program dezvoltat de Universitatea din Newcastle special pentru analiza dimensiunii fractale a arhitecturii). Imaginea liniei este încărcată în programe, care apoi selectează automat poziționarea imaginii în grilă, transformă linia originală în grosimi de un pixel și numără cuburile detaliate pe parcursul mai multor iterații. Imaginile analizate pentru această lucrare au fost prelucrate de către Benoit și Archimage, iar rezultatul mediu de la ambele programe oferă o dimensiune fractală finală pentru imagine. Folosind o variație de calcul se permite o analiza rapidă și o gamă mai mare de scări pentru analiză; cu toate acestea, s-au observat deficiențe ale metodei, incluzând problemele asociate cu grosimea liniei, poziționarea imaginii originale și cu liniile semnificative selectate pentru analiză.

Fig20 – Analiza grafică a unei dimensiuni fractale în programul Benoit

Conceptul de utilizare a fractalilior, ca o tehnică de investigare, poate fi util în momentul în care aceștia au legatură cu elementele arhitecturale, cum ar fi axele, anumite scheme funcționale sau estetica fațadelor. Având în vedere dezvoltarea tehnologiilor recente în proiectare și construcția de clădiri, precum și introducerea de noi forme complexe în designul arhitectural, se generează un nou mod de exprimare arhitectural.

Deși există mai multe modalități de asociere a conceptelor fractale cu arhitectura, această idee conduce la întrebarea cum ar putea oferi informații de fabricație formele complicate din proiectare folosind avantajele tehnicii de calcul contemporane. În general, în cazul construirii unei incinte ca o structură non-liniară, cu linii curbe, există trei modalități pentru geometria care urmează să fie aleasă:

sculpturalul, o abordare bazată pe forma sculpturală artistică liberă,

fizică, o metodă bazată pe un proces de modelare fizică, cum ar fi agățarea cablurilor sau foilor

o abordare procedurală, generativă, bazată pe o compoziție de funcții matematice.

„ Această nouă morfologie este produsă digital, în funcție de potențialul algoritmic al programelor software, performanța structurală a materialelor de construcție, sistemele de suport și cererea utilizatorilor. Aplicațiile acestei metode sunt nelimitate, având în vedere capacitățile enorme ale tehnicii de calcul, precum și posibilitățile de generare a formelor care se întind mult dincolo de limitele tehnicilor în întregime manuale”. Ele sunt variabile, din moment ce acestea sunt utilizate fie pentru întreaga proiectare a clădirilor, fie pentru părți ale construcției, de exemplu plafonul sau profilul unei aripi, acoperișurile atriilor, placarea unei fațade, sau instalații spațiale, cum ar fi pavilioanele, adăposturile, corturile, domurile, și în planificarea la scară mare, cum ar fi proiectarea unei piațete sau la scară mica, de exemplu proiectul unui pavaj.

5. CONCLUZII

În domeniul arhitecturii, geometria fractală este utilizată în mai multe moduri: în mod neintenționat și în mod intenționat. În proiectarea arhitecturală este important să se asigure armonia între vechi și nou. Geometria fractală poate fi utilizată în procesul de susținere a creativității, în modul de gândire a formelor noi și pentru testarea armoniei arhitecturale. Ea contribuie la definirea de noi modele arhitecturale și o estetică care a stat mereu sub semnul schimbării ideilor artistice din diferite perioade, școli și culturi.

Fractalii au o bogație vizuală mare, dar în ciuda acestui fapt, ei nu pot contribui la simularea formelor arhitecturale cu excepția momentului în care au o semnnificație asociată cu componentele arhitecturale utilizate.

Geometria fractală oferă mai multe căi de explorare pentru arhitecții care sunt interesați de impactul pe care știința și matematica îl au asupra modului în care privim lumea. Această relație între știință și arhitectură cere mai mult efort, și o înțelegere deplina a modului în care matematica poate influența arta.

„Înțelegând cum să generăm viață în structurile construite, putem îmbunatăți modul în care clădirile și orașele relaționează cu oamenii. Din păcate complexitatea universului este ignorată și suprimată de canoanele designului contemporan care cauta o puritate și simplitate falsă ”.

6. BIBLIOGRAFIE:

BATTY Michael, LONGLEY Paul – Fractal Cities, A Geometry of Form and Function, Ed. Academic Press, Bath, Anglia, 1994

BOVILL Carl – Fractal Geometry as Design Aid, School of Architecture, University of Maryland College Park, Statele Unite, 1996

LU Xiaoshu, CLEMENTS-CROOME Derek, VILJANEN Martti – Fractal Geometry And Architecture Design: Case Study, Department of Civil and Structural Engineering, Aalto Univeristy, Espoo, Finlanda, 2012

SALA Nicoletta – Fractal geometry and architecture: some interesting connections, Accademia di Arhitettura, Universita della Svizzera italiana, Mendrisio, Elveția, 2006

SALA Nicoletta – Fractal Geometry and Self-Similarity In Architecture: An Overview Across The Centuries, Accademia di Arhitettura, Universita della Svizzera italiana, Mendrisio, Elveția

VYZANTIADOU M.A., AVDELAS A.V., ZAFIROPOULOS S. – The application of fractal geometry to the design of grid or reticulated shell structures, Department of Architecture, Aristotle Univerity, Salonic, Grecia, 2006

7. ILUSTRAȚII:

Fig1 – https://www.mathsisfun.com/images/sierpinski-triangle-evolution.gif

Fig2 – http://images.math.cnrs.fr/IMG/png/fern.png

Fig3 – http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/afractal/2.3.2.gif

Fig4 – http://www.westminster-abbey.org/__data/assets/thumbnail/0008/58868/cosmatiwork.jpg

Fig5 – http://www.emis.de/journals/NNJ/conferences/images/98-eaton.jpg

Fig6 – https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRe2YkEj9m4geCmJWrZ63Hu4Xz7TlGDcmZERHXc9Mp9Ea_dsN3B

Fig7 – http://www.imamuseum.org/blog/wp-content/uploads/2013/07/gehry-bilbao-sketch.jpg

Fig8 – http://interfacedesignspace.com/wp- content/uploads/2015/07/guggenheim_museum_bilbao_ebe310108_1.jpg

Fig9 – http://www.architravel.com/architravel_wp/wp-content/uploads/2013/01/Federation-Square_2-630×418.jpg

Fig10 – https://cerebrovortex.files.wordpress.com/2013/03/gaudi-line-drawing-nau-trams-interior_vector.jpg

Fig11 – http://www.uncubemagazine.com/sixcms/media.php/1323/03.%20ARM_Storey%20Hall_01.jpg

Fig12 – https://usercontent1.hubstatic.com/8688838_f520.jpg

Fig13 – http://www.fosterandpartners.com/media/1705123/img4.jpg

Fig14 – http://design.epfl.ch/piraeus/wp-content/uploads/2010/04/british-museum-1024×983.jpg

Fig15 – https://sdm.scad.edu/faculty/mkesson/vsfx705/wip/best/winter15/ali_rizvi/assets/koch_snowflake.jpg

Fig16 – https://quadralectics.files.wordpress.com/2013/10/650.jpg

Fig17 – http://d10k7sivr61qqr.cloudfront.net/content/royinterface/12/111/20150763/F5.large.jpg

Fig18 – https://www.researchgate.net/profile/Shiguo_Jiang/publication/262392407/figure/fig2/AS:296663248850946@1447741438372/Figure-2-Maps-of-Beijing-City-a-ring-and-radial-road-system-26-ring-roads-b.png

Fig19 – https://cybergeo.revues.org/docannexe/image/26829/img-5-small580.jpg

Fig20 – http://www.trusoft-international.com/img/popup/ruler_dimension.gif