Geogebra Software Educațional

Introducere

În această lucrare, se va descrie în detaliu un software de matematică dinamică numit GeoGebra, vom descrie pas cu pas utilizarea programului, pașii de instalare, ce resurse avem nevoie pentru a rula software-ul propriu-zis și modul în care putem crea materiale educaționale cu ajutorul acestui program. Vom încerca să discutăm probleme matematice, teoreme, dovezi și soluțiile lor.

Această lucrare prezintă o metodă de predare învățare, precum și criterii pentru stabilirea și evaluarea lucrărilor studenților. Argumentăm că studenții, printr-o abordare matematică riguroasă specificată de sistem să dobândească cunoștințe, aptitudini și abilități care sunt utile în toate cursurile curriculum-ului, cât și în viața lor profesională ca și Informaticieni.

Studenții pot obține mai mult dintr-un curs interactiv decât dintr-un curs pasiv, deoarece au timp de gândire. Acest timp le permite să determine dacă înțeleg un concept și de a pune întrebări, această înțelegere este crucială atunci când conceptele se construiesc unul peste celălalt.

GeoGebra software-ul de matematică este un loc de joacă pentru copii, ușor de utilizat și foarte plăcut, un mediu excelent pentru a învăța.

Grupele de vârstă ale copiilor ce pot utiliza acest program software:

6 – 10 ani – adunarea numerelor întregi;

11 – 14 ani – multiplicarea fracțiunile;

15 – 16 ani – geometrie si algebră;

17 – 18 ani – afișare de parametrii;

Peste 18 ani – funcții și numărare.

Geogebra se mai poate folosi în:

Statistică

Științe: Geografie, Muzică, Chimie și Fizică.

Metodele formale fac referință la varietatea de tehnici de modelare în matematică, care ar putea fi utilizate pentru a specifica și modela comportamentul unui sistem informatic și pentru a verifica dacă proiectarea și implementarea sistemului satisface proprietăți funcționale de sistem și de siguranță. Specificațiile și verificările sunt efectuate folosind o varietate de tehnici cu diferite grade de rigoare.

Specificația formală este utilizarea notațiilor derivate în principal din logica formală, în scopul de a descrie ipoteze despre lume în care un sistem se va modela, cerințele pe care sistemul ar trebui să realizeze și un model care să permită atingerea acestor cerințe.

GeoGebra – Software Educațional

GeoGebra este un software de geometrie interactiv și gratuit, destinat tuturor formelor de învățământ pentru a face cât mai ușor predarea și învățarea atât pentru profesor cât și pentru student. GeoGebra este scris în Java și prin urmare este disponibil pentru mai multe platforme.

GeoGebra este dinamic, se pot face construcții geometrice cu ajutorul punctelor, vectorilor, segmente, liniilor, poligoanelor, secțiuni conice și funcții. Elementele sunt introduse și modificate direct pe ecran, sau prin introdcerea în linia de comandă.

GeoGebra are capacitatea de a folosi variabile pentru numere, vectori și puncte, aflarea derivatelor și integralelor funcțiilor, are o gamă completă de comenzi cum ar fi Root sau Extremum.

GeoGebra este userfriendly dovedit printr-un sondaj realizat de către douăsprezece elevi de paisprezece ani, elevii de clasa a opta în care rezultatele arată ușurința de utilizare. Ce separă acest instrument de geometrie de alte programe este legătura sa dinamică prin reprezentarea algebrică a datelor, precum și a modul în care este prezentată această interconectivitate. Maniera programului este simplă, directă și în nici un caz nu este copleșitoare, GeoGebra a oferit o legătură perfectă între diferitele științe matematice: geometrie, algebra si calcul. GeoGebra este un program gratuit, făcându-l complet accesibil studenților, pe un calculator cu acces la internet. Este captivant ceea ce determină sporirea studiul geometriei cu integrarea adecvată în curricula tradițional. GeoGebra face învățarea geometriei distractivă și promovează studiul matematicii și tehnologiei în rândul elevilor din liceu, folosind o abordare constructivistă a învățării și încurajează explorarea, creativitatea și învățarea prin practică. Profesorii pot folosi GeoGebra pentru a face presupuneri și să dovedească teoreme geometrice.

Utilizatorii au trei opțiuni în crearea de fișiere GeoGebra: opțiuni de meniu, pictograme cu instrumente sau introducerea manuală în caseta de introducere a textului afișat în partea din stânga jos a ecranului. Opțiunile de meniu includ comenzi, cum ar fi schimbarea setărilor și proprietăților, cum ar fi stilul punctului, limbaj, axe, stilul de unghi drept și coordonate; personalizare bara de instrumente ceea ce înseamnă că utilizatorul poate modifica sau elimina pictogramele; și caracteristici suplimentare, cum ar fi crearea de instrumente personalizate, salvarea fișierelor și pre-vizualizare pentru imprimare. Pictogramele din bara de instrumente diferă de opțiunile de meniu în care aceasta se concentrează exclusiv pe construcția de obiecte, cum ar fi puncte, linii, vectori și poligoane.

Despre GeoGebra

Geogebra este o aplicație de matematică gratuită pe mai multe platforme pentru toate nivelurile de educație, care îmbină geometria, algebra, tabele, grafice, statistici și calcule într-un singur pachet ușor de utilizat.

GeoGebra susține construcții cu puncte, linii și toate secțiunile conice, acesta oferă de asemenea, caracteristici tipice pentru un sistem de algebră, cum ar fi găsirea puncte importante de funcții (rădăcini, puncte locale extreme și de inflexiune ale funcțiilor), intrare directă de ecuații și coordonate, găsirea derivatelor și integralelor funcțiilor introduse. Acesta este motivul pentru care GeoGebra este o alegere bună pentru prezentări multiple ale obiectelor matematice.

Ideea de bază a interfeței GeoGebra este de a oferi două prezentări în două ferestre diferite ale fiecărui obiect, adică matematic în algebră și afișarea grafică în geometrie. În cazul în care modificați un obiect într-una dintre aceste ferestre, prezentarea acestuia în cealaltă va fi actualizat imediat. Sisteme de calcul în algebră cum ar fi Mathematical, Maple și software-ul de geometrie dinamică cum ar fi Geometer's Sketchpad, Cabri Geometry, sunt instrumente tehnologice puternice pentru predarea matematicii. Numeroase rezultate de cercetare sugerează că aceste pachete software pot fi folosite pentru a încuraja descoperirea, experimentarea și vizualizare în predarea tradițională a matematicii.

Prin urmare, soluția propusă pentru aplicarea tehnologiei în predarea matematicii este pachetul de software GeoGebra, avantajele folosirii lui fiind:

În comparație cu un calculator grafic, GeoGebra este mult mai userfriendly, GeoGebra oferă o interfață ușor de utilizat, meniuri multilingve și comenzi de ajutor.

GeoGebra încurajează studenții cu proiectele în matematică, prezentări multiple și învățare experimentală cu ghidare în descoperiri.

Studenții își pot personaliza propriile lor creații, prin adaptarea interfeței de exemplu, dimensiunea fontului, limba, calitatea grafică, culoare, coordonate, grosime de linie, stilul de linie și alte caracteristici.

GeoGebra a fost creat pentru a ajuta studenții să dobândească o mai bună înțelegere a matematicii, manipulând cu ușurință variabile prin glisarea obiectelor "libere" in jurul planului de desen, sau prin utilizarea cursoarelor. Studenții pot genera schimbări folosind o tehnică de manipulare a obiectelor libere, iar apoi ei pot afla cum sunt afectate obiectele dependente. În acest fel, studenții au posibilitatea de a rezolva problemele prin investigarea relațiilor matematice în mod dinamic.

Avantajele aplicației matematice GeoGebra:

Grafica, algebra și tabelele sunt interconectate și complet dinamice;

Interfață ușor de utilizat și multe funcții puternice;

Instrument de autor pentru crearea materialelor de învățare interactivă ca pagină web;

Disponibil în mai multe limbi;

Gratuit și open source;

De la școală primară până la nivel universitar;

În timp ce alte software-ul interactive se concentrează pe manipularea dinamică a obiectelor geometrice, ideea din spatele GeoGebra este de a conecta geometria de reprezentare algebrică și numerică într-un mod interactiv.

Putem face puncte de construcție, vectori, linii, secțiuni conice și funcții care se pot schimba în mod dinamic, mai mult decât atât, GeoGebra vă permite în mod direct să manipulați ecuațiile și coordonatele lor.

GeoGebra oferă trei puncte de vedere diferite ale obiectelor matematice:

Fereastră vizualizare grafică;

Fereastră vizualizare algebră;

Fereastră vizualizare foaie de lucru.

Acestea vă permit să afișați obiecte matematice în reprezentări diferite:

Grafic (puncte, grafice de funcții)

Algebric (cord)

Noi funcții și noi instrumente:

Noi instrumente:

Best Fit Line – Linie de regresie – selectează mai multe puncte utilizând dreptunghi de selecție;

Compass – Compas – segment sau două puncte pentru raza, iar centrul punct;

Ellipse through three points – Elipsă prin trei puncte – două focare și un punct;

Hyperbola by three points – Hiperbolă prin trei puncte – două focare și un punct;

Mirror point at circle – Reflectare obiect relativ la un cerc;

Parabola by focus and directrix – Parabola focus și directrix;

Record to Spreadsheet – Înregistrare in foaia de lucru.

Noi funcții:

Etichetă pentru toate obiectele;

Force Reflex Angle – Forțare unghi reflex – forțează unghiurile sa fie între 180 și 360 de grade;

Apăsând <Enter> comută focalizarea între bara de intrare și vizualizarea grafică;

Îmbunătățirile aduse lucrărilor de translație;

Culori dinamice – ce setează o funcție cu interval de [0,1] pentru fiecare componentă de culoare (roșu, verde, albastru);

Opțiunea pentru grilă să fie îngroșată;

Operații cu matrice;

Operații cu liste;

Parametrii pentru applet nou(<param name="enableLabelDrags" value= "false" / >,<paramname="enableChooserPopups" value="false"/>);

Argumente linie nouă de comandă (–enableUndo , –antiAliasing , –font Size , –showSplash);

Javascript nou;

Primii pași în instalareaGeoGebra

GeoGebra este compatibil cu orice sistem de operare pentru desktop: Windows, Linux, Mac OSX și dispozitive mobile precum ar fi Apple iOS și Google Android, acestea fiind ușor de instalat și nu necesită alte resurse. Pentru a descărca aplicația, accesăm următorul link: www.geogebra.org/download

În continuare vom face referire la aplicația GeoGebra pentru varianta desktop.

Pentru instalarea si rularea software-ul matematic GeoGebraavem nevoie de un minim de resurse hardware:

Sistem de operare sa fie: Windows Xp, Vista, 7, Linux, Mac OS X;

Procesor cu o frecvență de 1500 MHz;

Memorie de 256 MB RAM;

Procesor grafic de 128 MB.

Acum că avem descărcat software-ul de instalare GeoGebra pe computer, trebuie doar să faceți clic pe fișierul executabil. În această lucrare se va folosi GeoGebra pentru Windows Desktop PC versiunea 5.0.1.

Figură 1 Geogebra.exe

Figură 2 Instalare GeoGebra – selecția limbii.

În figura 2 observam prima fereastră care apare după porninrea instalării aplicației GeoGebra, fereastra de interogare a limbii, în care selectăm limba dorită înainte de a continua, limba pe care o selectăm este limba Engleză, limba de baza în aplicația GeoGebra.

Figură 3 Instalare GeoGebra – accord de licență.

Figura 3 afișează acordul de licență putem citi termenii de acordare a licenței după care facem clic pe butonul I Agree tradus din limba engleză în Eu accept.

Figură 4 Instalare GeoGebra – două tipuri de instalare.

Aici avem cele două tipuri de instalare pentru programul GeoGebra:

Standard – aceasta este o instalare recomandată pentru majoritatea utilizatorilor și toate principalele caracteristici vor fi instalate.

Custom (Personalizat) – aici putem alege caracteristicile de program pe care dorim să instalăm și unde vor fi instalate acestea, acest tip de instalare fiind recomandat pentru utilizatorii avansați.

Figură 5 Instalare GeoGebra – instalarea propriu-zisă.

Acum așteptăm programul pentru a efectua instalarea, acest lucru durând doar câteva de minute!

Figură 6 Instalare GeoGebra – programul a fost instalat pe calculator și este gata de rulare.

GeoGebra este instalat pe computer, trebuie doar să faceți clic pe butonul "Finish" pentru finalizarea instalării și putem să rulăm aplicația.

Figură 7 Interfața GeoGebra – programul rulează

În figura de mai sus putem observa interfața software-ului GeoGebra în care se află afișat meniul, instrumentele, fereastra de algebră „Algebra”, fereastra de grafică „Graphics” și jos bara „Input” în care se poate introduce date in linie de comandă.

Descrierea meniului și butoanelor din GeoGebra

În următorul etapă se va face o descrierea a meniurilor și butoane din aplicația GeoGebra.

Figură 8 GeoGebra – bara cu instrumente.

Un meniu afișează o listă de comenzi. Unele din aceste comenzi au lângă ele imagini, astfel încât să poată fi asociată rapid o comandă cu imaginea ei. Majoritatea meniurilor sunt amplasate în bară de meniuri, care este bara de instrumente din partea superioară a ecranului. Barele de instrumente pot să conțină butoane, meniuri sau o combinație a acestora.

Figură 9 GeoGebra – meniul „File”

Meniul „File” este folosit pentru a crea o fereastră nouă, foaie de lucru nouă, deschide un proiect existent, pentru salvarea lucrărilor, funcția „Share”export de fișier, imprimare și pentru a închide programul.

Figură 10 GeoGebra – GeoGebra – meniul „Edit”

Meniul „Edit” este folosit pentru funcțiile de editare, grafica si exercițiile numerice de pe fereastra din dreapta sub instrumente.

Figură 11 GeoGebra – meniu „View”

Meniu „View” este pentru vizualizarea ferestrei de algebră, foile de lucru, tabele, fereastra grafica, vizualizare bara de intrare, lista de comandă și altele.

Figură 12 GeoGebra – meniu „Options”

Meniul „Options” este folosit la alegerea diferitelor setări din programul GeoGebra in care se poate configura etichetarea punctelor din blocul de desen, marimea caracterelor, limbă și se pot accesa setări avansate favorizând un mediu cât mai personalizat de lucru.

Figură 13 GeoGebra – meniu „Tools”

Meniul "Tools" conține butoane pentru personalizare instrumente, crea noi instrumente și de administrarea celor existente.

Figură 14 GeoGebra – meniu „Window”

Meniul „Window” este dedicat creării unei noi ferestre in care putem face alte exerciții.

Figură 15 GeoGebra – meniu „Help”

Meniul „Help” este pentru a ne ajuta să știm cum să lucrăm cu programul, aici avem acces la tutoriale, site-ul web GeoGebra , forum-urile comunității online a programul, acces la GeoGebraWiki și termenii de licență.

Materiale didactice

Putem crea materiale didactice cu aplicația GeoGebra existând două moduri de a folosi GeoGebra ca program de predare:

Instrument pentru studenți: în care pot crea materiale noi.

Instrument pentru profesori: în care pot face demonstrații dinamice; și creare de materiale didactice pentru studenți.

Pentru creare de materiale didactice avem nevoie:

Materiale statice: Imagini statice (.png, .eps) și protocol de construcție (html).

Materiale dinamice: Fișiere de construcție (.ggb) și foi de lucru dinamice (html).

Putem să afișăm sau să ascundem obiectele din vizualizarea grafică în diferite moduri.

Este posibil să utilizăm instrumentul „Show/Hide Object” pentru a afișa sau a ascunde obiecte.

Deschidem meniul contextual și selectați elementul „Show Object” pentru a schimba starea de vizibilitate a obiectului selectat.

În fereastra de algebră „Algebra” arată starea curentă de vizibilitate a fiecărui obiect, afișată sau ascunsă. Faceți clic direct pe bulină, în scopul de a schimba starea de vizibilitate a unui obiect.

De asemenea, puteți utiliza caseta de bifat pentru a afișa/ascunde obiecte pentru a afișa sau a ascunde unul sau mai multe obiecte.

Pentru ajustarea partea vizibilă a suportului de desen în fereastra grafică, aveți posibilitatea să glisați blocul de desen utilizând instrumentul „MoveDrawing Pad” și de a folosi următoarele moduri de zoom-ului:

Se poate utiliza instrumentele „zoom in” și „zoom out” în scopul de a mări sau micșora fereastra de grafică;

Se poate utiliza rotița de scrol a mouse-ul pentru a mări/micșora fereastra de grafică;

Se poate utiliza comenzi rapide de la tastatură pentru a mări prin „Ctrl și +” și pentru a micșora cu „Ctrl și –”;

Se poate da clic dreapta (Mac OS X: Ctrl-clic) pe un loc liber de pe blocul de desen, după care apare un meniu contextual care vă permite să măriți/micșorați.

Puteți să specificați un dreptunghi mărit făcând clic dreapta (Mac OS X: Ctrl-clic) pe un loc gol în blocul de desen în vizualizarea grafică și trăgând mouse-ul la colțul opus până se obține mărirea dorită. Eliberați butonul mouse-ului pentru a termina mărirea, care apoi se va ajusta în mod automat pentru a umple tot spațiul în fereastra grafică.

Axele de coordonate și grila pot fi personalizate folosind dialogul proprietății ale vizualizării grafice. După un clic dreapta (Mac OS: Ctrl-clic) pe blocul de desen, puteți deschide fereastra de dialog selectând „Properties” din meniul contextual care apare din fereastra grafică.

Pe fila (eng. tab) axelor, puteți schimba stilul de linie și unitățile axelor de coordonate și să setați distanța dintre marcajele la o anumită valoare. Rețineți că puteți personaliza ambele axe în mod individual, făcând clic pe fila cu axa x sau axa y. Mai mult decât atât puteți modifica, raportul dintre axele și pentru a ascunde sau a afișa axele în mod individual.

În fila (tab) grilă, puteți schimba culoarea și stilul de linie al grilei de coordonate și setați distanța pentru liniile de grilă la o anumită valoare, de asemenea setați grila să fie Izometrică.

Meniul contextual oferă o modalitate rapidă de a schimba comportamentul sau proprietățile avansate ale unui obiect. Clic dreapta (Mac OS X: Ctrl-clic) pe un obiect pentru a deschide meniul contextual. De exemplu, vă permite să schimbați notația algebrică a obiectului, de exemplu coordonate polare sau carteziene, ecuația implicită sau explicită și de a avea acces direct la caracteristici cum ar fi redenumire, ștergere, urmărire rută, animație sau copiere în bara de intrare.

Dacă deschideți meniul contextual pentru un punct în fereastra grafică, aceasta vă oferă opțiunea de a urmări ruta foii de lucru (eng. speradsheet), numai în cazul în care vizualizare foii de lucru este activă. O dată selectată, această caracteristică vă permite să înregistrați coordonatele punctului în vizualizarea foii de lucru în cazul în care acesta este mutat.

Selectarea „Properties” afișează meniul contextual care deschide un dialog cu proprietăți, unde puteți modifica proprietățile tuturor obiectelor utilizate.

Construcții folosind mouse-ul

Selectați modul Polygon din bara de instrumente, după care se face clic pe blocul de desen de trei ori pentru a crea punctele A, B și C. Se închide triunghiul făcând clic din nou pe punctul A.

În continuare, alegem modul Line bisector și construim două linii bisectoare făcând clic pe două laturi ale triunghiului.

În modul Intersect two objects facem clic pe intersecția ambelor linii bisectoare pentru a obține centrul circumscris al triunghiului. Pentru a-l denumi "M", facem clic dreapta al mouse-ului (Mac OS X: ctrl-clic) și selectăm „Rename” din meniul contextual.

Pentru a termina construcția, va trebui să alegem modul de Circle with center through point și să facem clic mai întâi la centru, apoi la orice vârf al triunghiului. Acum, alegem modul de Move și de a folosi mouse-ul pentru a schimba poziția oricăruia dintre noduri – acum înțelegem sensul "geometriei dinamice.

Construcții folosind câmpul de introducere a textului

Acum o să facem aceeași construcție ca mai sus, utilizând câmpul de introducere a textului (eng. Input bar), astfel încât veți avea nevoie de un nou desen din meniul „File – New”. Apoi tastați următoarele comenzi în câmpul de introducere a textului din partea de jos a ecranului și apăsați tasta <Enter> după fiecare linie.

A = (2, 1)

B = (12, 5)

C = (8, 11)

Polygon[A, B, C]

l_a = LineBisector[a]

l_b = LineBisector[b]

M = Intersect[l_a, l_b]

Circle[M, A]

Figură 16 GeoGebra–Polygon-Line bisector – Intersect – Circle.

Este foarte ușor de a construi cu bara de intrare, pentru că este o metodă bună de a învăța cum să folosim programul GeoGebra, în continuare avem un exemplu alteoremei lui Thales:

Figură 17 GeoGebra – triunghiul Thales cu unghiuri.

Aspecte matematice

În subcâmpul matematic al analizei numerice, interpolarea este o metodă de construire a unor noi puncte de date în intervalul unui set discret de puncte de date cunoscute.

În inginerie și știință de multe ori aflăm un număr de puncte de date, astfel obținute prin eșantionare sau experimentare și se încearcă să se construiască o funcție care se potrivește îndeaproape acestor puncte de date. Aceasta se numește concordanță a curbelor sau analiză regresivă. Interpolarea este un caz specific de concordanță a curbelor, în care funcția trebuie să meargă prin punctele exacte de date.

O altă problemă care este strâns legată de interpolare, este aproximarea unei funcții complicate printr-o funcție simplă. Să presupunem că știm funcția, dar este prea complexă pentru a o evalua în mod eficient. Apoi am putea alege câteva puncte de date cunoscute din funcția complicată, creând un tabel de căutare și să se încerce interpolarea punctelor de date pentru a construi o funcție mai simplă. Desigur atunci când se utilizează o funcție simplă pentru a calcula puncte noi de date, observăm că nu avem același rezultat ca și atunci când se utilizează funcția originală, dar în funcție de domeniul problemei și metoda de interpolare utilizată prin simplitatea sa se poate compensa eroarea.

Cea mai simplă metodă de interpolare este de a localiza cea mai apropiată valoare de date și i-se atribuie aceeași valoare. Într-o singură dimensiune, există motive rareori bune pentru a alege aceasta peste interpolare liniară, care este aproape la fel, dar în mai multe variații dimensionale mai mari, interpolarea poate fi o alegere favorabilă pentru viteză și simplitate.

Una dintre cele mai simple metode este de interpolarea liniară, uneori cunoscut sub numele de lerp. Luăm în considerare următorul exemplul de determinare f(2,5), pe când 2,5 este la jumătatea distanței dintre 2 și 3 este rezonabil să se ia f(2,5)la jumătatea lui f(2)=0,9093 și f(3)=0,1411, care rezultă 0,5252.

În general, interpolarea liniară ia două puncte de date, să spunem (,) și (, ), iar funcția de interpolare este dată de:

Pentru funcția problema de aproximare, sa pus un polinom, când este dificil de evaluat f sau nu se știe expresia analitică a lui f dar numai valorile sale în anumite puncte în general, obținută în urma măsurătorilor și prezentate într-un tabel. Set de puncte , cu proprietatea , notăm și vom numi o diviziune intervalului . Punctele sunt numite noduri de divizare.

Alegerea unui polinom pentru a aproxima funcția f este justificată prin simpla metoda de estimare a valorii polinomului computerizat într-un punct.

Având în vedere o bază arbitrară stabilirea unui criteriu pentru alegerea polinomul P pentru a aproxima funcția dată, avem nevoie de un instrument matematic pentru măsurarea distanței dintre cele două funcții, care necesită o locație într-un spațiu complet vectorial normal și prin stabilirea unor criterii pentru alegerea polinomul P pentru a aproxima funcția f avem metode de aproximare a funcțiilor prin polinoame:

Aproximare prin interpolare;

Aproximare prin medie pătrată.

Aproximare prin interpolare

Interpolarea polinomială este o generalizare a interpolare liniară. Rețineți că interpolarea liniară este o funcție liniară. Acum înlocuim această interpolare printr-un polinom de grad mai mare.

Fie și diviziunea . Funcția f are valori cunoscute în nodurile divizate și derivația unor ordini ai funcției f în aceste noduri. Problema determinării unui polinom P, care are aceleași valori ca f la nodurile și derivați ai unor ordini de noduri f și P coincid. Polinomul P va apela funcția de interpolare polinomială atașat lui f și diviziunea .

Interpolare polinomială Lagrange

Polinoame sunt folosite ca mijloc de bază de aproximare în aproape toate domeniile de analiză numerică. Ele sunt utilizate în soluția de ecuații și în apropierea funcțiilor, a integralelor și a derivaților, a soluțiilor de ecuații diferențiale și integrale. Polinomul datorează această popularitate structurii lor simple, ceea ce îl face ușor de a construi aproximări eficiente și apoi face uz de ele.

Din acest motiv reprezentarea și evaluarea polinoamelor reprezintă un subiect de bază în analiza numerică. Vom discuta acest subiect în prezentul capitol în contextul polinomului de interpolare, cea mai simplă și cu siguranță tehnica cea mai des utilizat pentru obținerea aproximări polinomiale. Metode mai avansate pentru a obține o buna aproximare prin polinoame și alte aproximări.

Chiar și în cazul a și astfel sunt distincte. Să presupunem că știm valorile funcției f în nodurile , . Problema determinării polinomul P, astfel încât

Teroria

Există doar un polinom de grad astfel încât

Demonstrație:

Dacă P și Q două polinoame de grad ce rezultă pentru atunci polinomul este de cel mult gradul , și , deoarece polinomul R este anulat cel puțin ori și gradul cu cel mult n rezultă R este identic zero polinomial, este

Dovediți existența polinomul P, polinomul P răspunde la condițiile reale de construcție pentru . Pentru a găsi un polinom în spațiu vectorial, polinoame de grad care să nu depășească , notat ca pentru și .

Acest polinomial este anulat de ori pentru . Prin urmare .

Deoarece rezultă

Polinomialele sunt spații vectoriali liniari independenți de polinoame de gradul , să fie într-adevăr o combinație de zero liniară:

Pentru avem

prin urmare pentru .

Polinomialele aceasta formând baza vectorului spațiul de dimensiuni . Polinoamele P căutate sunt obținute ca o combinație liniară de polinoame , polinoame Lagrange, care este dat de formula:

Într-adevăr, , . Pentru calcularea polinomului de interpolare Lagrange la un punct, se folosește relația: , algoritmul fiind definit după cum urmează:

Algoritm:

Intrări:

n = gradul de interpolare polinomială

a = valoarea argumentului polinominal

x = îndepartare puncte de interpolare a imaginii

y = puncte de interpolare ordonată de imagine

Ieșiri:

-1 = valoarea interpolării polinomială în a

{

pentru

{

pentru

dacă atunci

}

}.

Complexitatea metodei este , mai precis avem operațiuni, adică , adunare înmulțiri și împărțire.

Totuși, avem un alt mod de a scrie polinomului Lagrange.

Fie polinom de gradul definit cu:

Atunci

Prin urmare

Schimbând prin expresia sa în formula Lagrange, obținem:

În cazul în care pentru fiecare k avem in relația . În măsură ce

obținem formula baricentrică.

În acest caz, numărul de operații este de ordinul , care are o evaluare suplimentară a lui, în cazul în care păstrează valorile , nu va solicita operații.

Interpolarea prin funcții spline

Studiu de interpolare polinomială conduce la două observații. În primul rând este costul calculelor, care devine ridicat în cazul în care gradul polinomului este mare, iar al doilea este efectul secundar rău, ce apare dacă intervalul de interpolare este mare.

O altă aproximare este locală, adică ceea ce face interpolare subintervale prin funcții spline.

Fie puncte de interpolare. Pe fiecare subinterval pentru a găsi o interpolare polinomială astfel încât să fie îndeplinite condițiile de interpolare:

În plus, este nevoie la clasa . De asemenea, pentru : , continuitatea primilor derivați, , continuitatea derivaților secunzi.

Condițiile și clasa interpolarării au fost obligate să caute de gradul trei.

În plus exprimat în termeni de și care sunt momentan necunoscuți.

Prin interpolare liniară avem, :

În care și sunt constante de integrare, care poate fi calculate luând în considerare

și , adică și , unde și .

Substituind și în expresie și obținem:

Am asigurat că derivatul este o funcție continuă pe intervalul dat.

Avem

, echivalent cu:

sau :

Am obținut sistemul de ecuații liniare cu necunoscute.

Specificând valorile lui și sistem liniar tridiagonal poate fi rezolvat.

Exemplu:

Intervalul [-5, 5] sunt funcții f și g definite de și . Pentru a face interpolare prin funcții spline cu 3, 5 și 9 puncte echidistante și pentru a se obține valori ale derivaților la capete.

Soluție:

Se pare că cele nouă puncte avem un foarte bun efect de aproximare de interpolare sau efect de margine.

Construcția Applet-ului Java

Java este un limbaj de programare, care oferă utilizatorului instrumentele necesare pentru dezvoltare, aplicații de sine stătătoare și aplicații distribuite indiferent de platformă.

Limbajele structurate au fost baza pentru proiectarea metodelor procedurale utilizate în dezvoltarea de software, acestea sunt caracterizate prin:

Dezvoltarea de programe bazate pe algoritmi care transformă datele inițiale ale rezultatului problemei;

Algoritmii sunt structurați în datele subprogramului, care oferă parametri de acces la date printr-un nivel global partajat.

Java este proiectat pentru a respecta principiile programării orientate pe obiecte, folosind clase de organizare logică a codului, o clasă este unitatea de bază în proiectarea programelor.

Java Applet este un tip special de program Java care ruleaza într-o altă aplicație, în mod tipic se găsește în browser-ul web. Applet-ul gestionează o arie de vizualizare largă poate fi inclusă într-o pagină web. Între applet-uri si aplicatii independente (stand-alone) există câteva diferențe:

Applet-ul are nevoie de un document HTML care este inclus cu o anumită etichetă(tag);

Applet-ul nu are nici o metoda de „main()”, applet-ul implementează un model de operare diferit.

Un applet este o colecție de clase Java care se execută prin interpretarea codului mașină al obiectului virtual din browser-ul web.

Clasa principală trebuie să se extindă întotdeauna o clasa speciala numita applet.

Etape de dezvoltare și execuție a aplicațiilor Java independente sunt:

Scrierea codului;

Compilare;

Interpretarea și pornire.

Un applet este un tip special de program Java care poate fi rulat într-un browser activat cu tehnologia Java, aceasta se poate descărca de pe internet, în cazul in care nu este instalat în calculator. Un applet este încorporat în mod obișnuit în interiorul unei pagini web și rulează în contextul unui browser. Un applet trebuie sa fie o subclasă a clasei „java.applet.Applet”. Clasa Applet ofera interfata standard intre applet și mediul browser-ului.

Swing oferă o subclasă specială a clasei Applet numit „javax.swing.Japplet”. Clasa JApplet ar trebui sa fie utilizat pentru toate applet-uri care folosesc componente Swing pentru a construi interfețele grafice cu utilizatorul GUI.

Plugin-ul Java al browser-ului gestionează ciclul de viață al unui applet, fiind utilizat pentru a furniza caracteristici interactive pentru aplicatii web care nu pot fi furnizate de către HTML singur. Ele pot capta intrarea mouse-ul cum ar fi rotirea obiectelor 3D și un sistem de control, cum ar fi butoane sau casetele. Ca răspuns la acțiunea de utilizator, un applet poate schimba conținutul grafic furnizat. Un applet poate fi, doar o zonă de text oferind de exemplu, o platformă transversală interfață tip linie de comandă pentru un anumit sistem la distanță, dacă este necesar, un applet poate părăsi zona dedicată și poate rula în altă fereastră separată.

Paginile HTML pot încorpora parametrii care sunt transferți către applet. Prin urmare, același applet poate apărea în mod diferit în funcție de parametrii care au fost trimiși. Primele implementari implicau descărcarea de applet, clasă cu clasă. În timp ce clasele sunt fișiere mici, acestea în mod frecvent existând în număr mare, așa că applet-urile au o reputație ca și componente de încărcare mai lente. Cu toate acestea, din moment ce au fost introduse „.jar-urile”, un applet este de obicei livrat ca un singur fișier care are o dimensiune a imaginii mai mare.

Următorul exemplu este realizat suficient de simplu pentru a ilustra utilizarea esențială a applet-uri Java prin pachetul său java.applet. De asemenea, utilizează clase din Java Abstract Window Toolkit (AWT) pentru producerea output-ului, în acest caz un mesaj "Bună ziua, lume!". După compilarea programului sursă AppletUnu.java și crearea de fișier bytecode cu numele AppletUnu.class, se ajunge la editarea fișierului AppletUnu.html, fișierul care este în același directoriu,fișier AppletUnu.class conține:

Import java.applet.Applet;

Import java.awt.*;

// Exemplul codul sursa applet-ului "Bună ziua, lume!".

// Acesta trebuie salvat intr-un fișier numit ca "BunaZiuaLume.java".

public classBunaZiuaLumeextendsApplet {

// Această metodă este obligatorie, dar poate fi goală, adică sa nu avem nici un cod.

public voidinit() { }

// Această metodă este obligatorie, dar poate fi goală.

public void stop() { }

// Afișare mesaj pe ecran (x=20, y=10).

public voidpaint(Graphics g) {

g.drawString("Bună ziua, lume!", 20,10);

Pentru compilare, acest cod este salvat pe un fișier simplu ASCII cu același nume ca și clasa și extensia .java, adică BunaZiuaLume.java. Applet-ul rezultat BunaZiuaLume.class ar trebui să fie instalat pe serverul web și este invocat într-o pagină HTML folosind un tag-ul <APPLET> sau <OBJECT>.

De exemplu:

<! DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">

<HTML>

<HEAD>

<TITLE>BunaZiuaLume_exemplu.html</TITLE>

</HEAD>

<BODY>

<H1>Un exemplu de applet Java</H1>

<P>Aici găsești: <APPLET code="BunaZiuaLume.class" WIDTH="200" HEIGHT="40">Aici este locul în careBunaZiuaLume.class rulează.</APPLET></P>

</BODY>

</HTML>

Contactul Java este prin tag-ul <APPLET>, execuția applet-ului se face prin comanda „appletvieweror” încercând AppletUnu.html sau pagina WWW folosind un browser compatibil Java (Chrome, MozillaFirefox sau Internet Explorer).

„Java Foundation Classes” (JFC) oferă două soluții pentru aplicații în construcții cu interfață grafică pentru utilizator (GUI – GraphicalUserInterface):

Abstract WindowToolkit – pachet care se bazează pe un sistem Windows oferit de această platformă pentru componentele GUI;

Swing – pachet care pune în aplicare un nou set de componente scrise în Java, GUI nu depinde de platforma Java care rulează.

Pachetul java.awt conține clase necesare pentru crearea de interfață grafică pentru utilizator oferind:

Gestionare a părților componente în container;

Suport pentru manipularea evenimentelor – esențiale pentru interacțiunea cu utilizatorul;

Desenarea componentelor GUI folosind culori, seturi de caractere, imagini, poligoane, etc.

Avantaje

Un applet Java poate avea oricare sau toate dintre următoarele avantaje:

Este simplă realizarea funcționării pe Linux, Microsoft Windows și Mac OS X, adică să funcționeze pe mai multe platforme, applet-urile fiind susținute de majoritatea browser-elor web;

Același applet poate lucra la toate versiunile instalate de Java, în același timp, numai fiind necesară ca mai recentăversiune de plugin. Cu toate acestea, în cazul în care un applet necesită o versiune ulterioară a Java Runtime Environment (JRE), clientul va fi nevoit să aștepte în timpul descărcării.

Cele mai multe browsere web fac „cache” la applet-uri, astfel va fi mai rapidă încărcarea atunci când se întoarce la pagină web respectivă. Applet-urile, se îmbunătățesc cu utilizarea: după un prim applet este rulat, JVM deja rulează și începe rapid (JVM va trebui repornit de fiecare dată când browserul începe din nou).

Se poate deplasa „munca” de la server la client, ceea ce face o solutie web mai scalabilă, indiferent de numărul de utilizatori/clienți;

Dacă un program independent (cum ar fi Google Earth) comunică cu un server de web, serverul care în mod normal, trebuie să susțină toate versiunile anterioare, în cazul în care un utilizator nu are cele mai recente update-uri la zi. În schimb, un browser configurat corespunzător încarcă și face „cache” la cea mai recentă versiune de applet, deci nu este nevoie de a sprijini versiuni mai vechi.

Applet-ul sprijină in mod natural starea de utilizare în schimbare, cum ar fi poziții de figura de pe tabla de șah.

Dezvoltatorii pot crea și depana un applet pur și simplu prin crearea unei rutine main (fie în clasa applet-ul sau într-o clasă separată) și făcând apel la init() si start() al applet-ului, permițând astfel dezvoltarea în mediul Java SE. Tot ce trebuie să facă după aceea este re-testarea applet-în programul appletviewer sau un browser web pentru a se asigura că se conformează restricțiilor de securitate, să fie trusted adică de încredere.

Un applet untrusted nu are acces la mașina local și doar server-ul de la care a venit. Acest lucru face ca un astfel de applet mult mai sigur pentru a rula decât un executabil independent. Cu toate acestea, un applet semnat poate avea acces deplin la mașina în care se execută în cazul în care utilizatorul este de acord.

Dezavantaje

Un applet Java poate avea oricare dintre următoarele dezavantaje:

Necesitatea plug-inul Java

Unele organizații permit rularea doar software-ului instalat de către administratorii. Ca urmare unii utilizatori pot vizualiza doar applet-uri care sunt suficient de importante pentru a justifica contactarea administratorului de a solicita instalarea plug-in Java.

Ca și în cazul oricărui script ce ruleaza pe partea clientului, restricțiile de securitate pot face dificilă atingerea obiectivele dorite sau chiar imposibilă pentru un applet încredințat.

Unele applet-uri necesită un anumit JRE, acest lucru fiind descurajat.

Dacă un applet necesită o versiune JRE mai nouă decât cea disponibilă pe sistem sau un anumit JRE, utilizatorul care execută acel applet pentru prima dată, va trebui să aștepte descărcarea ultimei versiune JRE pentru a rula acel applet.

Instalarea automată sau actualizarea de Java poate eșua în cazul în care un server proxy este utilizat pentru a accesa web-ul. Acest lucru face ca applet-ul, cu cerințe specifice imposibil de rulat decât dacă Java este actualizat manual. Updater-ul automat Java care face parte dintr-o instalare Java poate fi complex, el trebuie să fie configurat în cazul în care trebuie să funcționeze printr-un proxy.

Spre deosebire de tag-urile applet-elor mai vechi, tag-ul obiect (<OBJECT>) are nevoie de o soluție pentru a scrie un document HTML multiplatformă.

Căutare interpolară

Căutare interpolarea uneori denumită și căutare extrapolară este un algoritm pentru căutarea unei valori-cheie dată într-o matrice care a fost ordonată de valorile cheii. Este asemanator modul în care oamenii caută printr-o carte de telefon un anumit nume aceasta fiind valoarea cheii prin care sunt ordonate intrările în carte. În fiecare etapă de căutare, calculează în spațiul de căutare rămas elementul căutat să fie, pe baza valorilor cheie la limitele spațiului de căutare și valoarea cheii căutate, de obicei printr-o interpolare liniară. Valoarea cheii găsită la această poziție estimată este apoi comparată cu valoarea cheii căutate, dacă nu este egală, atunci în funcție de comparație, spațiul de căutare rămas este redus înainte sau după poziția estimată. Numai în cazul în care calculele privind mărimea diferențelor dintre valorile cheie sunt sensibile, atunci această metodă va funcționa.

Prin comparație, căutarea binară alege întotdeauna mijlocul spațiului de căutare rămas, înlăturând o jumătate sau cealaltă, din nou în funcție de comparația dintre valoarea cheie găsită la poziția estimată și valoarea cheie solicitată.Spațiul de căutare rămas este redus la o parte, înainte sau după poziția estimată. Căutarea liniară utilizează numai egalitatea deoarece compară elementele unul câte unul de la bun început, ignorând orice sortare.

În medie, căutarea de interpolare face aproximativ log(log (n)) comparații, în cazul în care elementele sunt uniform distribuite, unde n este numărul de elemente care trebuie căutate. În cel mai rău caz, cazul în care valorile numerice ale cheilor cresc exponențialse poate face până la O(n) comparații.

În căutarea interpolare secvențială, interpolare este utilizată pentru a găsi un element în apropierea celui fiind căutat, iar apoi este utilizat pentru căutare liniară pentru a găsi elementul exact.

Performanță

Folosind notația O, performanța algoritmului de interpolare poate fi dovedit a fi O(log log N).

Performanța practică de căutare interpolare depinde de numărul redus de măsuri este compensat de calcule mai complicate necesare pentru fiecare masură. Acesta poate fi utilă pentru localizarea unei înregistrări dintr-un fișier de sortare mare pe disc, în cazul în care fiecare masură implică o căutare pe disc și este mult mai lent decât aritmetica de interpolare.

Structuri de index, cum ar fi arbori de tip B reduc numărul de accese la disc și sunt mai des folosite pentru indexarea datelor de pe disc, deoarece acestea pot indexa mai multe tipuri de date și pot fi actualizate online. Cu toate acestea, căutare de interpolare poate fi utilă atunci când căutarea este forțată să caute anumite seturi de date, dar care nu sunt necesare de pe disc.

Adaptarea la diferite seturi de date

Atunci când cheile de sortare pentru un set de date sunt numere uniform distribuite, interpolarea liniară este simplă pentru a pune în aplicare și va găsi un indice foarte aproape de valoarea solicitată.

Pe de altă parte, pentru o carte de telefon sortată după nume, nu se aplică abordarea simplă pentru căutarea interpolare. Același principiide nivel înalt se pot aplica în continuare, deși se poate estima poziția unui nume în agenda telefonică utilizând frecvența relativă ale literelor în nume și o putem utiliza ca locație de măsură.

Unele căutări de interpolare implementate s-ar poate să nu funcționeze conform așteptărilor, atunci când există mai multe valori-cheie egale. Cea mai simplă implementare a căutării de interpolare nu va selecta în mod necesar primul sau ultimul element din care se ruleze. Calculul de interpolare, de asemenea trebuie să fie scris pentru a evita împărțirea la zero.

Exemplu de implementare

Următorul exemplu de cod pentru limbajul de programare Java fiind o implementare simplă. La fiecare etapă, se calculează o poziție de măsură apoi cu o căutare binară, se deplasează fie o poziție superioară sau inferioară definită pe un interval mai mic care conține valoarea solicitată. Spre deosebire de căutare binară care garantează o reducere la jumătate a mărimii intervalului cu fiecare etapă, o interpolare eronată poate reduce sau creste mijlocul indicelui cu o unitate, rezultând astfel o eficiență scăzută a lui O(n).

publicIntinterpolationSearch(int[] sortedArray, inttoFind){

// Întoarce indexul căutării în matricea sortată, sau -1 dacă nu este găsit.

intlow = 0;

inthigh = sortedArray.length – 1;

intmid;

while (sortedArray[low] <= toFind&&sortedArray[high] >= toFind) {

mid=low + ((toFind – sortedArray[low]) * (high – low))/(sortedArray[high] – sortedArray[low]);

if (sortedArray[mid] <toFind)

low = mid + 1;

elseif (sortedArray[mid] >toFind)

// Repetiția codului de comparație este forțată de limitările de sintaxă.

high = mid – 1;

else

returnmid;

}

if (sortedArray[low] == toFind)

returnlow;

else

return -1; // Nu este găsit.

}

Observați că au cercetat lista la indexul mediu, din motive de administrare a loop-ului de control, acest cod stabilește fie mare sau mic să nu fie mediu, ci un indice adiacent, în care este apoi sondată locația în timpul următoarei iterație. Deoarece o valoare de intrări adiacente nu vor fi cu mult diferit, calculul de interpolare nu este mult îmbunătățită prin această ajustare într-un pas, la costul unei referințe suplimentare la distanță de memorie, cum ar fi de disc.

Fiecare iterație a codului de mai sus necesită între cinci și șase comparații (pașii suplimentari se datorează repetiției necesare pentru a distinge cele trei stări al lui <, > și = prin comparații binare în absența unei comparații cu cele trei căi) plus aritmetica dezordonată, în timp ce algoritmul de căutare binar poate fi scris cu o singură comparație per iterație și folosește doar aritmetică număr întreg. Aceasta ar căuta astfel o matrice de un milion de elemente cu nu mai mult de douăzeci de comparații, care implică căi de acces memoriei lente în cazul în care sunt stocate elementele de matrice; căutarea de interpolare scrise mai sus ar fi nu mai mult de trei iterații permise.

Mulți oameni folosesc programul Java și cu acest program, putem face programe, aplicații pentru site-uri și telefoane mobile, forme geometrice și construirea de jocuri.

Instrucțiuni ramificate de programare – instrucțiuni permise asistate de calculator, caracteristici generale, avantaje și dezavantaje

Principii de instrucțiuni programate au fost aplicate intr-o metoda de formare numita sistem de învățare personalizat.

Aceasta este o metodă de formare, studentul învață în ritm propriu, materialul educațional este împărțit în secvențe mici de studiu, urmate de chestionare după care instructorul observă imediat evoluția procesului de formare. Utilizarea calculatoarelor în educație se dovedește a fi o necesitate în ceea ce privește dezvoltarea accelerată în domeniul tehnologiei informației. Pentru noile generații de studenți, conceptul a devenit o cerință de a asista procesul de predare pe calculator, în ceea ce privește avalanșă de informații multimedia.

Conceptul de asistare a procesului de învățământ cu calculatorul include:

Lecții de predare prin comunicarea cunoștințelor;

Introducerea, consolidarea și sistematizarea de noi cunoștințe;

Vizualizare lecții automate sau se alătură unui grup de lecții.

Numită „cea mai importantă inovație tehnologică a pedagogiei moderne”, instruire asistată de calculator, contribuie la eficacitatea de formare care este un rezultat al introducerii treptate a informatizării în domeniul educației. Educația poate utiliza calculatorul în procesul de predare și de învățare între profesor și studenți.

Planificarea programului educațional permite două moduri:

Programare liniară

Pogramare ramificată

În "Dicționarul de pedagogie contemporană" se încadrează următoarele principii care stau la baza programării instrucțiuniilor:

Principiul participării active și studentului independent;

Principiul pașilor mici;

Principiul progresului treptat;

Principiul consolidării imediate a răspunsului;

Principiul pas individual de studiu;

Principiul răspunsurilor corecte;

Principiul repetitiei.

Programul de formare prin metode dezvoltă principii proprii aplicabile la nivel strategic în orice variantă de organizare a învățării cibernetice, cum ar fi o structură liniară sau ramificată:

Principiul pașilor mici – se referă la împărțirea materiei în unități de conținut, care oferă studenților șansa de succes și de continuitate în predare – învățare – evaluare.

Acțiuni principale – vizează direcționarea efortului depus de student, înțelegerea și aplicarea informațiilor necesare pentru a face un răspuns corect;

Principiul de evaluarea imediată a răspunsului – consolidare pozitivă sau negativă înseamnă comportamentul studenților în funcție de succesul sau eșecul în îndeplinirea sarcinii de învățare pentru fiecare "pas".

Acest program are ca scop nu numai prevenirea erorilor cum este în varianta liniara dar tratamentul lor în moduri diferite de evitare a consolidării negative, trecerea în activitățile studențești în vederea recuperării, reinterpretării informațiilor necesare pentru a naviga prin reaplicarea „pasului” respectiv.

Secvența de instruire proiectată pentru instruire ramificată are următoarea structură organizatorică:

Informații pentru student;

Prezentarea sarcinii didactice;

Alocarea de spațiu și timp pentru răspuns;

Consolidarea pozitivă în cazul în care răspunsul este corect, furnizând informații necesare pentru trecerea la secvența următoare, în cazul în care alegerile conțin un răspuns incorect, studentul care este ghidat într-un „curriculum secundar” fiindu-i necesar un răspuns corect pentru a participa la următoarea secvență.

Confirmarea răspunsului, corect sau incorect în versiunea de consolidare pozitivă și anume consolidare negativă;

Informații în secvența următoare.

Avantajele și dezavantajele instrucțiunilor asistate de calculator

Această metodă depinde nu numai de calitatea calculatorului, ci de programele educaționale furnizate, concepute și desfășurate pentru:

Conștientizare interactivă a valorii informațiilor selectate;

Colecționează o cantitate mare de informații rapide;

Difuzarea informațiilor esențiale solicitate de către un număr mare de participanți la actul didactic;

Individualizarea învățării, se potrivește fiecărui student cu tutoriale potrivite;

Stimularea capacității cadrelor didactice, a devenit un ghid educator, evaluator și formator în special preocupat de cultivarea atitudinilor cu o manifestare superioară;

Valoarea instruirii programate este organizarea de învățare, principii didactice de însușirea conștientă și activă, sistematizarea și continuitatea, accesibilitate și cunoaștere temeinică a cunoștințelor și să coopereze în fiecare moment al programului în activitatea studenților, stimulând formarea și dezvoltarea capacităților, a aptitudinilor intelectuale pentru muncă independentă. De asemenea, reduce semnificativ redundanța necesară de timp în procesul de cunoaștere și de transmitere a informațiilor de la profesor sau manualul studentului.

Pe langa multe avantaje, această formă modernă și eficientă a învățării are unele limitări:

Individualizare excesivă a învățării duce la negarea dialogului student-profesor și este învățat să acționeze în mod izolat, în contextul său psihosocial;

Prea mult material de segmentat și procesat pentru a învăța;

Duce prea multă tutelă, pas dirijor pentru activitatea mentală a subiectului și prin urmare, împiedică să dezvolte abilități creative.

Cu toate acestea, programul de formare nu poate acoperi întregul proces educațional și nu constituie o metodă generală și universală de predare, în primul rând din cauza modelului cibernetic al procesului educațional pe care se bazează. Numai anumite puncte de vedere acoperă toate răspunsurile studenților la întrebări, dar de asemenea, pentru că nu toate obiectele de disciplină educațională sau științifică poate fi programate în care se poate pune accentul vocal, fără a dezvolta suficientă intuiție, deoarece elevul a conturat imaginea obiectului în ansamblu și nelămuririle sunt fragmentate, formarea limitată de motivație, spiritul critic și gândirea independentă. In plus formarea planificată, din cauza formalizării procesului de învățare, precum și pericolul formalismului și standardizarea cunoștințelor.

Cu toate acestea, integrarea tehnologiilor noi depinde de abilitatea tutorialelor pe calculator cu structura specifică metodei de predare prin oferirea studentului o activitate reactivă și proactivă în natură, în ceea ce privește informațiile difuzate cu învățarea în timp real, oferă valoare formativă a cunoștințelor dobândite.

Metode de predare și învățare cu ajutorul calculatorului

Calculatorul oferă oportunități reale de a individualiza instrucțiuni. El nu este doar un mijloc de transmitere a informațiilor, dar poate furniza programe de învățare personalizate și cunoștințe de conduită pentru student.

Realizarea de metodologii eficiente pentru a sprijini procesul educațional cu instrumente de utilizare a calculatorului, numite psihopedagogie.

Conceptul de asistare a procesului de învățământ cu calculatorul include:

Predarea lecțiilor de comunicare a noilor cunoștințe;

Aplicare, consolidare, sistematiza de noi cunoștințe;

Verificarea automată a lecției sau lecțiilor de grup;

Verificarea automată a unui subiect sau al unui anumit program educațional.

Utilizarea calculatoarelor în educație devine din ce în ce mai important, chiar esențial deoarece:

A fost o informatizarea a societății;

Mediu de instruire bazat pe calculator oferă un potențial educațional imens.

Calculatorul, instrument de predare

Din acest punct de vedere mai multe modalități de a introduce calculatoarele în abordarea privind metodele de predare:

Folosind calculatorului pentru publicarea documentelor educaționale, cum ar fi cele care reprezintă rezultatele de proiectare, de predare la nivel micro și anume: planificarea, proiect de învățare pe unități, proiecte de clasă, precum și completare de documente, cum ar fi prezența legate de școală în predare sau evaluarea progresului studenților în activitățile de verificare și evaluare a cunoștințelor;

Utilizarea calculatoarelor ca și predarea în comunicarea din clasă de noi cunoștințe, pentru a recapitula sau preda în cazul în care computerul poate fi suport pentru rezumate, imagini, figuri care pot fi proiectate pentru a transmite cunoștințe. În acest fel, studenții pot viziona o declarație specifică și clară a teoremelor, pot vizualiza o simulare a fenomenelor pe ecran și procesele de pe calculator;

Punerea în aplicare a calculelor numerice, mai mult sau mai puțin complicate pentru competențe informatice de formare sau eliberare în faza de rezolvare a problemelor pe calculator, de prelucrare a datelor;

Punerea în aplicare a bazelor de date, adică stocarea informațiilor în orice domeniu într-un mod care să permită recuperarea ulterioară a informațiilor de anumite criterii;

Învățarea unei limbi de programare;

Punerea în aplicare a unui laborator asistat de calculator.

Informația a devenit un element din infrastructură și aceasta a dus la apariția unui fenomen important: ordinea socială a societății necesită mai mult decât dobândirea unei mari culturi generale de informație. Adică, luând în considerare nevoile de automatizare, robotică, procese care rezultă necesitatea de familiarizare, chiar și de la școală la locul de muncă modul în care facilitează echipamente de automatizare.

Se distinge mai multe niveluri de asimilare a calculatoarelor în educație:

Inițiere și nivelul de acomodare (primar și secundar);

Aprofundare și practică (liceu);

Nivelul de dezvoltare a aplicațiilor extrem de complexe (cursuri postuniversitare).

Există două moduri distincte nu neapărat exclusive prin intervenția computerului în formare:

Direct – atunci când computerul îndeplinește sarcina principală a profesorului;

Indirect – calculatorul acționează în calitate de conducător al formării.

Intervenția directă a calculatorului se poate face printr-un set de software-uri educaționale și instrucțiuni asistate de calculator (IAC).

Intervenție indirectă prin utilizarea computerul pentru controlul și planificarea instruirii acestuia ca să preia o parte din sarcinile profesorului:

Prevede obiective studențești realizate și părți ale cursului;

Instrucțiuni asistate de calculator (IAC) pentru secvențe atribuite diferitelor teme;

Teste pentru a determina progresul studenților împotriva directivelor predeterminate;

Înregistrare și raportul testelor rezultatelor către student sau profesor;

Prescrie, in functie de rezultatele de la un test de diagnostic care va investiga în continuare evoluția unui student.

Oportunități media bazate pe calculator pentru tratarea, înregistrarea și recuperarea informațiilor vor determina situațiile practice de predare, acolo unde studentul va dobândi cunoștințe și abilități în mod independent, în conformitate cu interesele și aspirațiile lor prin intermediul instrumentelor Tehnologiei Informației și Comunicării (TIC).

Program de autoinstruire

Aceste programe software educaționale disponibile în literatura studentului începător, să fie fragmentate în mici module de aproximativ 1-2 pagini pe ecran.

Prezentarea materialului informativ conține definiții, teoreme, cu exemple de aplicații a acestor probleme. Folosind calculatorul, afișarea grafică însoțitoare a materialului de orientare sugestivă și temă elocventă prietenoasă.

Fiecare modul presupune alocarea a informațiilor de către student, a conceptelor acestora și noțiuni pentru folosirea rezolvărilor în probleme complexe.

Pentru a asigura cunoștințele fiecăruia, crearea de abilități pentru utilizarea lor în rezolvarea problemelor noi și permite studenților să facă feedback ca principiu esențial de autoreglementare, adică evaluarea nivelului dobândirii de cunoștințe de software educațional, disponibil la modulele de auto-evaluare a studenților. Aceste teste vor include mai multe întrebări de tip grilă, completare, raspunsul numeric, da sau nu, problemă adevărată sau falsă, un răspuns scurt.

Prin rezolvarea auto-evaluării, testele sunt oferite în două tipuri de confirmare de la studenți:

Indicații privind calitatea răspunsului (corect sau incorect) și explicații suplimentare acolo unde răspunsurile sunt incorecte;

Programele din aceste module includ, auto-evaluare și referințele la modulele de informații a căror parcurgere este destinată să clarifice cunoștințele necesare pentru a obține răspunsuri corecte.

Prin urmare, programele de auto-cunoaștere pot fi definite ca serii de module și informații de auto-evaluare pentru a oferi parcurgerea, dobândirea, stabilirea și evaluarea acumulării de cunoștințe într-o disciplină.

Sistemul de învățământ expert

Un nivel mai ridicat în utilizarea calculatorului electronic în procesul de instruire sunt sistemele inteligente de sprijin în învățare. Ele sunt capabile de un comportament similar al profesorului, care prezintă o mare flexibilitate în procesul de implementare a sinelui.

Sistemul de educație expert este capabil nu numai să prezinte un conținut ca atare, ci să se auto organizeze activități, ținând cont de o serie de indicatori pedagogici și se stabilește cum ar fi pași persoanelor instruite în mod specific, numărul de erori comise în sarcini de rezolvare a problemelor, viteza de reactie, gradul de dificultate cerut de utilizator sau de sistem.

Ideea de a oferi calculatoare cu instruire dedicată, au fost implementate în calitate de sisteme expert și prin urmare pe lângă componentele stabilite ale unui sistem de calculator electronic, cum ar fi hardware-ul sau software-ul și a apărut un altul, anume „courseware”, acesta din urmă fiind în curs de dezvoltare care vizează lecții de asistare de calculator. Sunt folosite cu succes ca sisteme expert în limbaj matematic, utilizate în rezolvarea problemelor ce pot fi urmărite de un rezolvator uman, pas cu pas se copiază și se compară cu o rezolvare optimă, fiind capabilă de a avertiza utilizatorul acolo unde soluția sa cea mai bună este o "paralelă ".

Un sistem expert educațional presupune existența a patru module distincte, și anume șapte de informații element constitutiv:

Modulul Interfață – care asigură relația de intermediere dintre student și sistem expert;

Modulul Expert – care include aspecte legate de specialitatea instructajului aplicat, aceasta fiind principala metodă de rezolvare a problemelor și este stocată, indicând setul de reguli pentru fiecare fază de soluționare. Pentru fiecare problemă posibilă generată, modulul expert conține o ramificare a metodei pentru a rezolva problema în cel mai bun mod. Modalitatea aleasă de rezolvare a problemei instruirii este copiată pas cu pas și se compară cu cea din memoria calculatorului. Identificarea  regulilor care au apărut în rezolvarea problemei și să ofere informații necesare rezolvatorului pentru a înlocui această regulă cu una optimă. Programul de asistență nu oferă soluții gata făcute, dar problemele ajutătoare au un conținut de suport intermediar, în acest fel, instruirea este ghidată în rezolvarea problemei.

Modulul rofilul de student care conține un număr de informații legate de pasi ca numarul de reguli utilizate nu sunt optime în rezolvarea problemelor.

Modulul de predare include o colecție de metodologii de predare care selectează muncă de predare, predarea în sine, teoria învățării, acestea fiind utilizate de către sistemul expert în timpul instructajului.

Definiția instruirii asistate de calculator ca alternativă la informație didactică

Instruire asistată de calculator și instruire automată se referă la utilizarea calculatoarelor în educație, pentru învățământ;

Introducând computerul, el include o predare bine definită, cu orientare educațională, formarea cadrelor didactice psihologice și metodologice de care au nevoie.

Condiții pentru difuzarea instruirii asistate de calculator în școli:

Adaptarea educației la nevoile actuale și viitoare ale societății;

Îmbogățirea și modernizarea continuă a metodelor sistemului de învățământ;

Progresul în domeniul informaticii, a calculatoarelor și a tehnologiei de comunicație.

Nevoia unui program de instruire:

Predarea este rezultatul programării educaționale;

Programul de instruire care urmează să fie implementat într-un program de calculator, care este un program de calculator;

Produse de informare care sunt produse intelectuale sunt numite software;

Electronica este numită hardware;

Dezvoltarea de lecții și alte forme de organizare a muncii este numită courseware.

Direcțiile de activitate în legătură cu instruirea asistată de calculator:

Instruire pe calculator;

Conținutul de programe educaționale, materiale de studiu și munca studenților în legătură cu acel conținut;

Dezvoltarea de programe pentru calculator;

Abordarea și rezolvarea problemelor legate de hardware.

Importanța introducerii calculatorului în școli:

Munca este o strategie în care profesorii și studenții interacționeză, formând un nou mod de proiectare în formare și învățare;

Se introduce în cadrul orelor de laboratoare și cursuri;

Simulare procese și fenomene complexe, în care nu există alte mijloace pe care profesorii să poată explica atât de bine studenților;

Construiește contexte pentru aplicarea conceptelor, oferind celor care studiază limbajul cu care pot descrie propria lor muncă.

Aplicații

Exemplul nr 1:

Găsi o formulă de interpolare pentru având în vedere acest set de valori cunoscute:

Bazele polinoamele sunt:

Astfel, polinomul interpolarea atunci este

Figură 18 GeoGebra Interpolare cu rezultat polinominal

Exemplul nr 2:

Ne dorim să interpolăm peste intervalul 1 ≤ x ≤ 3, având în vedere aceste trei puncte:

Polinomul de interpolarea este:

Figură 19 GeoGebra Interpolare cu rezultat polinominal

Exemplul nr 3:

Dorim să interpolăm ƒ (x) = x3 peste intervalul 1 ≤ x ≤ 3, având în vedere aceste 3 puncte:

Polinomul de interpolarea este:

Figură 20 GeoGebra Interpolare cu rezultat polinominal

Forma Lagrange a polinomului de interpolare arată caracterul liniar al polinomului de interpolare și unicitatea polinomului interpolat. De aceea, este de preferat în dovezi și argumente teoretice. Unicitatea poate fi, de asemenea, văzută din inevitabilitatea matricei mondeVander, din cauza non-dispariția a determinantului Vandermonde.

Cu toate acestea, după cum se poate observa din construcție, de fiecare dată când un nod XK este modificat, toate bazele Lagrange polinoamele trebuie să fie recalculate. O formă mai bună a polinomului interpolarea în scopuri practice sau de calcul este forma centrică bare de interpolare Lagrange sau polinoame Newton.

Lagrange și alte interpolări la puncte echidistante, la fel ca în exemplul de mai sus, obținându-se un polinom oscilant deasupra și dedesubtul funcției adevărate. Acest comportament tinde să crească cu numărul de puncte, ceea ce duce la o divergență cunoscută ca fenomen lui Runge; problema ar putea fi eliminată prin alegerea punctelor de interpolare la nodurile Chebyshev.

Baza Lagrange, polinoamele pot fi utilizat în procesul de integrare numerică pentru a deriva formulele Newton-Cotes.

Dovada nr 1:

Să presupunem că interpolate prin puncte de date cu cel mult grade polinomil ,avem nevoie de cel puțin puncte de date sau altfel polinomul nu poate fi rezolvat pe deplin. Să presupunem, de asemenea un alt polinom există, de asemenea, de grad cel mult care interpolează de asemenea puncte, îl numim .

Să considerăm r(x)=p(x)-q(x). Noi stim,

r(x) este un polinom

r(x) are gradul cel mult n, dat fiind că p(x) și q(x) nu sunt mai mari decât aceasta, iar noi doar îi scădem.

La punctele de n+1 de date, r(xi)=p(xi)-q(xi)=yi-yi=0. Prin urmare, r(x) are n+1 rădăcini.

Totuși, r(x) este un polinom de grad n (sau mai puțin)! Are mai multe rădăcini. În cazul în care r(x) este orice non-zero polinominal, acesta trebuie să fie scris ca r(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn). Prin distribuire n+1 al lui x, înmulțim împreună pentru a face xn+1, adică cu un grad mai mare decât maximul ce am stabilit. Deci, singura modalitate r(x) poate exista dacă este r(x)=0.

Prin urmare q(x), care poate fi orice polinom, atâta timp cât interpolează punctele, este identic cu p(x) și p(x) este unic.

Dovada nr 2:

Având în vedere matricea de Vandermonde utilizată de mai sus pentru a construi interpolantul, putem configura sistemul Va=y.

Vrem să dovedească faptul că V este nesingular

Având în vedere, deoarece n+1 puncte sunt distincte, factorul determinant nu pot fi zero, deoarece xi-xj nu este niciodată la zero, deci B este nesingular, iar sistemul are o soluție unică.

Oricum ar fi, această înseamnă că indiferent de ce metodă folosim pentru a face interpolarea noastră: directă, spline, LaGrange etc, presupunând că putem face toate calculele noastre perfect, vom obține întotdeauna același polinom.

Avantajele tutorialelor

Un tutorial este o metodă de transfer de cunoștințe și pot fi utilizat ca parte a învățării, mai interactiv și mai precis decât o carte sau un curs, un tutorial caută să învețe și să furnizeze informațiile pentru a finaliza o anumită sarcină. În funcție de context, un tutorial poate lua una dintre mai multe forme, variind de la un set de instrucțiuni pentru a finaliza o sarcină până la o sesiune de rezolvare a problemelor interactive.

Tutorialele de calculator pe internet poate lua forma unui ecran de înregistrare, un document scris, fie online, fie poate fi descărcat, sau un fișier audio, acolo unde o persoană va da instrucțiuni sistematice cu privire la modul în care se va executa ceva.

Tutoriale au de obicei următoarele caracteristici:

prezentare a conținutului, de obicei, cu un exemplu sau exemple, de multe ori împărțite în module discrete sau secțiuni.

Unele metode de revizuire care consolidează sau testează înțelegerea conținutului în modul sau secțiunea asociată.

tranziție la module sau secțiuni suplimentare, care se bazează pe instrucțiunile deja furnizate, ele pot fi liniare sau ramificare.

În timp ce mulți scriitori se referă la o simplă listă de instrucțiuni sau sfaturi ca un tutorial, această utilizare poate fi înșelătoare.

În educația bazată pe calculator, un tutorial este un program de calculator al cărui scop este de a ajuta utilizatorii în a învăța cum să folosească un produs software, cum ar fi o suită de office sau orice altă aplicație, interfața sistemului de operare, instrument de programare, sau un joc . Există două tipuri de tutoriale software: tutoriale de film pe care le urmăriți și tutoriale interactive acolo unde urmați instrucțiunile de pe ecran și în unele cazuri, vizionare filme cu instrucțiuni scurte, după care faci exerciții tutoriale și pentru a obține feedback-ul în funcție de acțiunile tale. Unele tutoriale bazate pe calculator pot fi, de asemenea, puse pe web.

A vorbi despre tutoriale este vorba despre „eLearning”. Prin urmare, avantajele și dezavantajele e-Learning-ului sunt importante și se ia în considerare atunci când luarea deciziilor de instruire și învățare. Multe organizații și instituții oferă diferite forme de pregătire și instruire a angajaților sau a studenților lor. De obicei, acestea furnizează forme necesare prin trimiterea de oameni la școală, cursuri de formare interne, sau furnizarea de manuale și ghiduri de auto-studiu. În unele situații, este avantajos pentru ei să folosească e-learning-ului sau a altor forme de e-learning în locul formării tradiționale, alte ori este dezavantajos. Ca și în orice caz, există beneficii și limitări, precum argumente pro și contra. Există mai multe avantaje față de învățare online și cele bazate pe calculator, în comparație cursurile și prelegeri tradiționale față-în-față. Există câteva dezavantaje, de asemenea.

Avantajele eLearning-ului

Lucrul în clasă poate fi programat în jurul valorii de muncă personale și profesionale;

Reducerea costurilor de călătorie și de timp la și de la școală;

Studenții pot avea opțiunea de a selecta materialele de învățare care îndeplinește nivelul de cunoștințe și de interes;

Studenții pot studia oriunde au acces la un calculator și internet;

Module de învățare prin auto-ritm permit studenților să lucreze în ritmul lor propriu;

Flexibilitatea de a participa la discuțiile din buletinul de bord, la orice oră sau vizitarea colegilor de clasă și instructori de la distanță în camere de chat;

Diferite stiluri de învățare sunt abordate și facilitarea învățării are loc prin activități variate;

Dezvoltarea abilităților de calculator și Internet, care sunt transferabile altor aspecte ale vieții celor care învață;

Finalizarea cu succes cursuri on-line sau pe bază de calculator, construiește auto-cunoaștere și încrederea în sine și încurajează elevii să își asume responsabilitatea pentru procesul de învățare;

Dezavantaje eLearning:

Studenți nemotivați sau cu obiceiurile de studiu slab ar putea rămâne în urmă;

Lipsa structurii familiale și de rutină poate dura mai mult timp pentru a se obișnui;

Studenții se pot simți izolați sau să ducă lipsă de interacțiunii sociale;

Instructorul poate să nu fie întotdeauna disponibile la cerere;

Conexiunea lentă la internet sau lipsa acesteia poate crea frustrări;

Gestionarea software-ului de învățare poate implica o curbă de învățare;

Unele cursuri, cum ar fi cele tradiționale pot fi dificile prin simulare;

Știind avantajele și dezavantajele e-learning-ului ajută la selecțiea software-lui de învățare, precum și structura programelor de învățământ la distanță on-line. Este important să se cunoască avantajele și dezavantajele oferite de e-learning pentru a lua o decizie.

Concluzii

În opinia mea, utilizările programului GeoGebra în școli este o implementare foarte bună pentru profesori și studenți. Este foarte ușor de utilizat și de instalat, nu are nevoie de multe resurse pentru calculator să poată fi rulat.

Cadrele didactice pot crea materiale didactice foarte ușor și pot dovedi orice teorema, urmând să experimenteze o imagine grafică frumoasă și etapele fiecărui calcul.

Motivul pentru utilizarea GeoGebra deoarece programul este foarte complex, cu aspectele matematice si putem schimba, crea și modifica aspectele matematice din sectorul algebric.

Pentru predare este foarte util, pentru că putem crea totul în matematică și aspectele geometrice și pentru copii vor fi foarte ușor de învățat matematica în pași mici. Pentru inceput este cel mai important de citit meniul de ajutor pentru a înțelege modul corect de funcționare al programul însuși și să cunoască pașii simpli, cum să creăm un punct, un segment, o linie si tot ce ai nevoie pentru o problemă geometrică, algebrică sau aplicație.

Bibliografie

ElementaryNumericalAnalysis an AlgorithmApproach – Samuel D. Conte / Carl de Boor;

Lagrangian – Interpolation “Simulation of a Method”;

GeoGebra – www.geogebra.org;

GeoGebra„Help” – AboutTeachingMaterials;

GeoGebra „Tutorials” – https://www.geogebra.org/manual/en/Tutorials;

Aproximarea funcțiilor prin polinoame – www.geogebra.org/help;

GeoGebra – „Manual” – http://www.geogebra.org/manual/en/Manual;