Fundamente de Matlab
CUPRINS
CAP. 1. PREZENTARE GENERALĂ 1
CAP. 2. FUNDAMENTELE PROGRAMĂRII ÎN MATLAB 5
2.1. Expresii fundamentale 5
2.2. Help on-line, formatul datelor, opțiuni de salvare 8
2.3. Crearea fișierelor MATLAB (.m files) 12
2.4. Matrici, vectori și polinoame 17
2.5. Operațiuni elementare cu matrici și funcții 23
CAP. 3. MEDIUL DE LUCRU MATLAB 25
3.1. Startul și terminarea sesiunilor de lucru 25
3.2. Fereastra de comandă (fereastra principală) 27
3.2.1. Editarea liniilor de comandă în fereastra principală 27
3.2.2. Descrierea ferestrei de comandă 29
3.2.3. Spațiul de lucru al MATLAB-ului (workspace) 32
3.2.4. Căi de căutare 34
3.3. Fereastra grafică (figure) 36
3.4. Importul și exportul de date 38
3.5. Utilizarea memoriei 42
CAP. 4. EDITORUL/DEBUGGER-UL ȘI PROFILER-UL MATLAB 43
4.1. Editorul/Debugger-ul MATLAB 43
4.2. Profiler-ul MATLAB 51
CAP. 5. MATRICI, ALGEBRĂ LINIARĂ, POLINOAME,
TEHNICI DE INTERPOLARE 56
5.1. Matricile în MATLAB 56
5.2. Rezolvarea ecuațiilor liniare 58
5.3. Inverse și determinanți 60
5.4. Funcții de matrice. Valori proprii 61
5.5. Reprezentarea polinoamelor. Interpolarea 63
CAP. 6. REPREZENTAREA FUNCȚIILOR. ECUAȚII DIFERENȚIALE 69
6.1. Reprezentarea și plotarea funcțiilor matematice 69
6.2. Minimizarea funcțiilor și găsirea zerourilor 71
6.3. Integrarea numerică 73
6.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale 75
CAP. 7. PROGRAMAREA ÎN LIMBAJUL MATLAB 78
7.1. Fișiere MATLAB 78
7.2. Tipuri de date și operatori 80
7.3. Instrucțiuni de salt și bucle 84
7.4. Evaluarea datelor de tip caracter 85
7.5. Reprezentarea și manipularea informațiilor despre dată și timp 86
7.6. Intrări utilizator 86
CAP. 8. GRAFICE ȘI INTERFEȚE GRAFICE ÎN MATLAB 87
8.1. Tehnici de plotare 87
8.1.1. Plotări 2 D elementare 88
8.1.2. Grafice 2 D specializate 96
8.1.3. Plotări tridimensionale (3 D) 101
8.2. Handle Graphics și Interfețe Grafice în MATLAB (GUI) 105
8.2.1. Graficele privite ca obiecte. Ierarhia obiectelor 105
8.2.2. Proprietățile obiectelor grafice 109
8.2.3. Funcții de generare a obiectelor grafice 110
CAP. 9. PREZENTAREA TOOLBOX-URILOR MATLAB 112
9.1. Toolbox-ul Comunicații (Communications Toolbox) 112
9.2. Toolbox-ul pentru Sisteme de Conducere Automată
(Control System) 112
9.3. Toolbox-ul pentru Baze de Date (Database Toolbox) 113
9.4. Toolbox-ul de Procesare a Semnalelor
(Signal Processing Toolbox) 113
9.5. Toolbox-ul DSP Blockset 113
9.6. Toolbox-ul Finanțe (Financial Toolbox) 114
9.7. Toolbox-ul de Procesare a Imaginilor
(Image Processing Toolbox) 114
9.8. Toolbox-ul Optimizare (Optimization Toolbox) 114
9.9. Toolbox-ul pentru Sisteme de Putere (Power System Blockset) 115
9.10. Toolbox-ul Stateflow (Diagrame de stare) 115
9.11. Toolbox-ul de Statistică (Statistics Toolbox) 116
9.12. Toolbox-ul pentru Calcul Simbolic (Symbolic Math Toolbox) 116
CAP. 10. PACHETUL DE MODELARE ȘI SIMULARE SIMULINK 117
10.1. Rularea unui model SIMULINK demonstrativ 117
10.2. Crearea modelelor SIMULINK 120
10.3. Rularea simulărilor în SIMULINK 125
10.4. Modul de lucru al unui program SIMULINK 127
BIBLIOGRAFIE 97
97 pagini
=== Fundamente de Matlab-1 ===
APLICAȚII MATLAB
PREZENTARE GENERALĂ
MATLAB® = Limbaj de înaltă performanță pentru proiectarea asistată de calculator
MATLAB este în același timp un limbaj de programare și un sistem de dezvoltare care integrează calculul, vizualizarea și programarea într-un mediu ușor de utilizat (easy-to-use), problemele și soluțiile acestor probleme fiind exprimate într-un limbaj matematic accesibil.
Domenii de utilizare:
Matematică și calcul numeric
Dezvoltarea algoritmilor
Modelare, simulare și testarea prototipurilor
Analiza și vizualizarea datelor
Grafica inginerească și din științele aplicate
Dezvoltarea de aplicații, inclusiv GUI
MATLAB = sistem interactiv care are ca element de bază tabloul, matricea, ceea ce permite rezolvarea problemelor de calcul numeric, în special cele care necesită prelucrarea de vectori sau matrici.
Numele MATLAB provine de la Matrix laboratory
Firma producătoare este The MathWorks, Inc., SUA
MATLAB-ul a evoluat:
în mediul universitar unde este pachetul standard pentru cursurile introductive și avansate de matematică, inginerie și științe
în industrie, unde este utilizat pentru cercetarea de înalt randament, dezvoltare și producție
MATLAB permite dezvoltarea unei familii de aplicații sub forma toolbox-urilor. Aceste toolbox-uri permit învățarea și aplicarea tehnologiilor specializate din diverse domenii. Sunt disponibile toolbox-uri pentru domenii cum ar fi: procesarea numerică a semnalelor, sisteme de conducere automată, rețele neurale, logică fuzzy, wavelet, simulare (SIMULINK), identificare etc.
Sistemul MATLAB constă în cinci părți principale:
Limbajul MATLAB
Mediul de lucru MATLAB
Handle Graphics®
Biblioteca de funcții matematice a MATLAB-ului
Interfața de aplicații program a MATLAB-ului (API)
Limbajul MATLAB: Reprezintă un limbaj de nivel înalt de tip matrice/tablou cu instrucțiuni de control al salturilor, funcții, structuri de date, intrări/ieșiri și cu proprietăți de programare orientată pe obiecte. Facilitățile de programare sunt organizate pe 6 directoare:
Mediul de lucru MATLAB: Reprezintă un set de facilități care permit manevrarea variabilelor în spațiul de lucru, importul și exportul de date, dezvoltarea, manipularea, editarea și depanarea fișierelor MATLAB (.m) și a aplicațiilor MATLAB. Aceste facilități sunt organizate în directorul:
Handle Graphics®: Reprezintă sistemul grafic al MATLAB-ului. Cuprinde comenzi de înalt nivel pentru vizualizarea datelor bi și tri-dimensionale, procesarea imaginilor, animație, prezentări de grafice. Permite de asemenea utilizarea unor comenzi de nivel scăzut pentru crearea unor interfețe grafice GUI. Funcțiile grafice sunt organizate în 5 directoare:
Biblioteca de funcții matematice a MATLAB-ului: Reprezintă o colecție complexă de algoritmi de calcul pornind de la funcții elementare (sinus, cosinus etc.) până la funcții sofisticate (inversarea de matrice, valori proprii, funcții Bessel, FFT etc.). Funcțiile matematice sunt organizate în 8 directoare:
Interfața de aplicații program a MATLAB-ului (API) este o bibliotecă care permite scrierea de programe în C sau Fortran care interacționează cu MATLAB-ul. Include facilități pentru apelarea rutinelor din MATLAB, apelarea MATLAB-ului ca mașină de calcul, scrierea și citirea fișierelor de tip .MAT .
Pachetul SIMULINK
SIMULINK® este un pachet software atașat MATLAB-ului și reprezintă un sistem interactiv pentru simularea dinamicii sistemelor neliniare (bineînțeles și a celor liniare). Este conceput sub forma unei interfețe grafice care permite crearea unui model prin “trasarea” schemei bloc a sistemului și apoi simularea dinamicii sistemului.
SIMULINK poate lucra cu sisteme liniare, neliniare, continue, discrete, multivariabile etc.
SIMULINK bebeficiază de așa-numitele Blockset-uri care sunt de fapt biblioteci suplimentare care conțin aplicații specializate din domenii cum ar fi: comunicații, procesarea semnalelor etc.
Real-time Workshop® este un program foarte important care permite generarea unui cod C pentru schemele bloc create în SIMULINK și prin urmare permite rularea de aplicații în timp real de o mare diversitate.
Toolbox-urile MATLAB
Toolbox-urile reprezintă o familie de aplicații care permit învățarea și aplicarea tehnologiilor specializate din diverse domenii. Aceste toolbox-uri sunt colecții de funcții MATLAB (functions) (M-files) care extind mediul MATLAB pentru rezolvarea unor clase particulare de probleme. Câteva din cele mai utilizate aplicații sunt prezentate în figura următoare.
FUNDAMENTELE PROGRAMĂRII ÎN MATLAB
Expresii fundamentale
MATLAB-ul lucrează cu expresii matematice ca și celelalte limbaje de programare, dar spre deosebire de majoritatea acestor limbaje, aceste expresii implică la scară largă lucrul cu matrici.
Expresiile sunt alcătuite cu ajutorul următoarelor tipuri:
Variabile
Numere
Operatori
Funcții
Variabile
MATLAB-ul nu necesită declararea dimensiunii variabilelor, deoarece la întâlnirea unui nou nume de variabilă generează automat variabila respectivă și alocă spațiul necesar de memorie.
Numele unei variabile este o literă, urmată de un număr oricât de mare de litere, cifre sau simboluri. Din acest număr “oricât de mare” sunt oprite primele 31 de caractere.
MATLAB-ul este case sensitive – face distincție între literele mici și cele mari.
Exemplu:
» a = 30
creează o matrice 1 x 1 cu numele a și stochează valoarea acesteia 30 într-o singură locație corespunzătoare singurului element al matricei.
Numere
MATLAB-ul utilizează notația zecimală, cu punct zecimal opțional și cu semn + sau -. Se utilizează și notația științifică cu litera e pentru a specifica o putere a lui 10. Reprezentarea numerelor imaginare este realizată cu litera i sau j ca sufix.
Exemple:
3 -99 0.0001
9.6397238 1.60210e-20 6.02252e23
1i -3.14159j 3e5i
Toate numerele sunt stocate intern utilizând formatul long specificat de standardul IEEE în virgulă mobilă (precizie de 16 zecimale semnificative în domeniul 10-308 la 10+308).
Operatori
Expresiile utilizează operatori aritmetici uzuali:
Funcții
MATLAB-ul furnizează un mare număr de funcții matematice elementare standard (abs, sqrt, exp, sin …).
Există și funcții matematice avansate (funcții Bessel, gama etc.), multe dintre acestea acceptând argumente complexe.
Pentru vizualizarea funcțiilor elementare se poate tasta:
» help elfun
Pentru a vedea lista funcțiilor avansate se poate tasta:
» help specfun
» help elmat
O parte din funcții (cum ar fi sqrt, sin)sunt de tip built-in, adică sunt o parte a nucleului MATLAB, au o mare eficiență, dar detaliile constructive nu sunt accesibile utilizatorului.
Alte funcții sunt implementate ca fișiere MATLAB (M-files) și pot fi chiar modificate.
Câteva funcții furnizează valorile unor constante universale:
Numele funcțiilor nu sunt rezervate și deci este posibilă suprascrierea lor.
Exemplu:
eps = 1.e-6
Funcția originală este reconstituită prin comanda:
» clear eps
Expresii
Exemple de expresii și rezultatele corespunzătoare ale evaluării acestor expresii:
» rho = (1+sqrt(5))/2
rho =
1.6180
» a = abs(3+4i)
a =
5
» z = sqrt(besselk(4/3,rho-i))
z =
0.3730+ 0.3214i
» huge = exp(log(realmax))
huge =
1.7977e+308
» toobig = pi*huge
toobig =
Inf
Help on-line, formatul datelor, opțiuni de salvare
Help on-line
Pentru rularea MATLAB pe un PC trebuie pur și simplu executat un dublu click cu mouse-ul pe icon-ul MATLAB. Dacă sistemul de operare nu este de tip Windows (este de tip UNIX) trebuie tastat matlab după prompter-ul sistemului de operare.
Limbajul MATLAB este mult mai simplu de învățat dacă se renunță la inspectarea aridă a listelor cu variabile, funcții și operatori și se utilizează în schimb comenzile help, helpdesk, demo tastate direct de la prompterul MATLAB.
Pentru aflarea tuturor informațiilor utile despre o comandă sau o funcție se tastează help urmat de numele comenzii sau funcției respective.
Pachetul MATLAB dispune de asemenea de informații complete despre utilizare sub forma unei documentații tip .pdf.
În cazuri particulare se poate apela la INTERNET, existând o legătură la pagina Web a firmei producătoare.
Alte comenzi utile pentru aflarea de informații sunt: helpwin, lookfor, help help.
Exemple sugestive de utilizare a comenzii help:
» help sin
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
Overloaded methods
help sym/sin.m
» help exp
EXP Exponential.
EXP(X) is the exponential of the elements of X, e
to the X.
For complex Z=X+i*Y, EXP(Z) =
EXP(X)*(COS(Y)+i*SIN(Y)).
See also LOG, LOG10, EXPM, EXPINT.
Overloaded methods
help sym/exp.m
help demtseries/exp.m
» help plot
PLOT Linear plot.
PLOT(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is a matrix, then the vector is plotted versus the rows or columns of the matrix, whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, length(Y) disconnected points are plotted.
PLOT(Y) plots the columns of Y versus their index. If Y is complex, PLOT(Y) is equivalent to PLOT(real(Y),imag(Y)). In all other uses of PLOT, the imaginary part is ignored.
Various line types, plot symbols and colors may be obtained with PLOT(X,Y,S) where S is a character string made from one element from any or all the following 3 colunms:
y yellow . point – solid
m magenta o circle : dotted
c cyan x x-mark -. dashdot
r red + plus – dashed
g green * star
b blue s square
w white d diamond
k black v triangle (down)
^ triangle (up)
< triangle (left)
> triangle (right)
p pentagram
h hexagram
For example, PLOT(X,Y,'c+:') plots a cyan dotted line with a plus at each data point; PLOT(X,Y,'bd') plots blue diamond at each data point but does not draw any line.
PLOT(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,X3,Y3,S3,…) combines the plots defined by the (X,Y,S) triples, where the X's and Y's are vectors or matrices and the S's are strings.
For example, PLOT(X,Y,'y-',X,Y,'go') plots the data twice, with a solid yellow line interpolating green circles at the data points.
The PLOT command, if no color is specified, makes automatic use of the colors specified by the axes ColorOrder property. The default ColorOrder is listed in the table above for color systems where the default is yellow for one line, and for multiple lines, to cycle through the first six colors in the table. For monochrome systems, PLOT cycles over the axes LineStyleOrder property.
PLOT returns a column vector of handles to LINE objects, one handle per line.
The X,Y pairs, or X,Y,S triples, can be followed by parameter/value pairs to specify additional properties of the lines.
See also SEMILOGX, SEMILOGY, LOGLOG, GRID, CLF, CLC, TITLE, XLABEL, YLABEL, AXIS, AXES, HOLD, COLORDEF, LEGEND, and SUBPLOT.
Formatul datelor
MATLAB-ul afișează numerele cu 5 zecimale (setare implicită). Această setare se poate modifica cu ajutorul comenzii format:
FORMAT Set output format.
All computations in MATLAB are done in double precision.
FORMAT may be used to switch between different output
display formats as follows:
FORMAT Default. Same as SHORT.
FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits.
FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits.
FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits.
FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits.
FORMAT SHORT G Best of fixed or floating point format with
5 digits.
FORMAT LONG G Best of fixed or floating point format with
15 digits.
FORMAT HEX Hexadecimal format.
FORMAT + The symbols +, – and blank are printed
for positive, negative and zero elements.
Imaginary parts are ignored.
FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents.
FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers.
Spacing:
FORMAT COMPACT Suppress extra line-feeds.
FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in.
Exemple:
» c=1.333456789233
c =
1.3335
» format long
» c
c =
1.33345678923300
» format short e
» c
c =
1.3335e+000
» format long e
» c
c =
1.333456789233000e+000
» format
» c
c =
1.3335
Opțiuni de salvare
Pentru salvarea variabilelor curente cu care se lucrează în MATLAB la încheierea unei sesiuni de lucru se poate utiliza comanda save.
Această comandă va salva toate variabilele curente generate de către utilizator într-un fișier numit matlab.mat . Dacă se dorește se poate da un nume fișierului de date în care se salvează variabilele.
Exemplu:
» save date c determ A
realizează salvarea datelor c, determ și A într-un fișier date.mat .
Pentru restituirea variabilelor într-o sesiune de lucru ulterioară se folosește comanda load. Exemplu:
» load date
Dacă se dorește aflarea variabilelor curente se pot utiliza comenzile who,whos:
» who
Your variables are:
A c determ
» whos
Name Size Bytes Class
A 2×2 32 double array
c 1×1 8 double array
determ 1×1 8 double array
Grand total is 6 elements using 48 bytes
Pentru ștergerea tuturor variabilelor curente din memoria de lucru se poate utiliza comanda clear.
Crearea fișierelor MATLAB (.m files)
Deoarece este mult mai comod și util decât introducerea comenzilor linie după linie la prompterul MATLAB, se lucrează cu fișiere text care conțin aceste linii program cu comenzile necesare.
Aceste fișiere conțin cod în limbajul MATLAB și sunt denumite .m files (sau M-files). Fișierele se creează utilizând un editor de text și apoi se utilizează ca o comandă MATLAB obișnuită.
Sunt două tipuri de fișiere .m:
Fișiere Script, care nu acceptă argumente de intrare și nu returnează argumente de ieșire. Aceste fișiere operează cu datele din spațiul de lucru.
Rutine (funcții), care acceptă argumente de intrare și returnează argumente de ieșire. Variabilele utilizate sunt variabile locale (interne) ale funcției.
Pentru a vedea conținutul unui fișier MATLAB, de exemplu evolutie_studii.m, se folosește comanda:
» type evolutie_studii
Fișiere Script
Atunci când se apelează la un fișier script, MATLAB-ul execută comenzile găsite în fișierul respectiv. Fișierele script pot lucra cu date din spațiul de lucru (workspace) sau pot crea date noi cu care operează. Script-urile nu furnizează argumente de ieșire, iar variabilele create rămân în workspace, pentru a fi eventual folosite în calculele ulterioare.
Fișierele script pot furniza ieșiri grafice folosind funcții cum ar fi plot,bar.
Exemplu de fișier script: magicrank.m, cu următoarele comenzi MATLAB:
% Investigate the rank of magic squares
r = zeros(1,32);
for n = 3:32
r(n) = rank(magic(n));
end
r
bar(r)
La tastarea numelui fișierului script (fără extensia .m):
» magicrank
MATLAB-ul execută comenzile, calculează rangul unor matrici (matricile magice), și trasează graficul cu rezultatele calculului. După ce se termină execuția fișierului, variabilele n și r rămân în spațiul de lucru.
Graficul rezultat este prezentat în continuare:
Funcții (rutine)
Aceste fișiere acceptă argumente de intrare și furnizează argumente de ieșire. Numele fișierului MATLAB (M-file) și cel al funcției (subrutinei) respective trebuie să fie identice. Funcțiile (subrutinele) lucrează cu variabile proprii separate de spațiul de lucru uzual al MATLAB-ului.
Exemplu: funcția rank. Fișierul M-file rank.m este disponibil în directorul
toolbox/matlab/matfun
Se poate vizualiza fișierul cu comanda:
» type rank
function r = rank(A,tol)
% RANK Matrix rank.
% RANK(A) provides an estimate of the number of
% linearly independent rows or columns of a matrix A
% RANK(A,tol) is the number of singular values of A
% that are larger than tol.
% RANK(A) uses the default
% tol = max(size(A)) * norm(A) * eps.
s = svd(A);
if nargin==1
tol = max(size(A)) * max(s) * eps;
end
r = sum(s > tol);
Prima linie a unei funcții M-file începe cu cuvântul cheie function. Această linie dă numele funcției, ordinea și numărul argumentelor.
Liniile următoare (care încep cu caracterul %) sunt linii de comentariu, care de fapt sunt și liniile afișate atunci când se apelează la comanda
» help rank
Restul liniilor sunt executabile. Variabila s, ca și r, A, tol sunt variabile locale ale funcției și sunt separate de variabilele din workspace.
Funcția rank poate fi utilizată în diferite moduri:
» rank(A)
» r = rank(A)
» r = rank(A,1.e-6)
Variabile globale
Dacă se dorește ca mai multe astfel de subrutine să utilizeze o anume variabilă comună, se declară variabila respectivă ca globală utilizând comanda global în toate funcțiile respective.
Exemplu: fișierul falling.m:
function h = falling(t)
global GRAVITY
h = 1/2*GRAVITY*t.^2;
Se introduc apoi în mod interactiv liniile:
» global GRAVITY
» GRAVITY = 32;
» y = falling((0:.1:5)');
Funcția eval
Funcția eval lucrează cu variabilă text pentru implementarea unei facilități puternice de tip macro text.
Expresia
eval(s)
folosește interpreter-ul MATLAB pentru evaluarea expresiei sau execuția declarației din șirul de caractere s.
Vectorizarea
Pentru a obține o viteză de calcul mare, este foarte importantă așa-numita vectorizare a algoritmilor în fișierele MATLAB. Acolo unde alte limbaje folosesc bucle de tip for sau DO, MATLAB-ul poate utiliza operații matriceale sau vectoriale.
Un exemplu simplu este următorul:
x = 0;
for k = 1:1001
y(k) = log10(x);
x = x + .01;
end
Versiunea vectorizată a aceluiași program este
x = 0:.01:10;
y = log10(x);
Programatorii MATLAB spun uneori:
"Viața este prea scurtă pentru a ți-o petrece scriind bucle!"
Atunci când nu se poate elimina complet folosirea unei bucle se utilizează procedura de prealocare.
Funcții de funcții
În MATLAB există o clasă de funcții care lucrează cu funcții neliniare ca argument. Funcțiile de funcții includ:
Găsirea zerourilor
Optimizare
Integrare numerică
Ecuații diferențiale ordinare
MATLAB-ul reprezintă funcția neliniară ca o funcție M-file care poate fi ulterior utilizată ca argument de alte funcții MATLAB.
Exemplu:
Următorul fișier creează o funcție neliniară:
function y = humps(x)
y = 1./((x-.3).^2 + .01) + 1./((x-.9).^2 + .04) – 6;
Această funcție poate fi evaluată pentru un set de puncte în intervalul 0 x 1 cu programul:
x = 0:.002:1;
y = humps(x);
și apoi se poate reprezenta grafic funcția cu comanda
plot(x,y)
Graficul arată că funcția are un minim local la aproximativ x = 0.6. Dacă de exemplu utilizăm funcția fmins putem găsi imediat valoarea exactă a lui x . Primul argument al funcției fmins este chiar numele funcției pentru care calculăm minimul (al doilea parametru este o aproximare grosieră a localizării minimului).
» p = fmins('humps',.5)
p =
0.6370
Se poate acum evalua valoarea funcției în punctul de minim local:
» humps(p)
ans =
11.2528
Matrici, vectori și polinoame
Pentru a lucra ușor și bine cu limbajul MATLAB trebuie în primul rând să se învețe manipularea matricilor. În MATLAB, o matrice este un tablou dreptunghiular de numere. Scalarii de exemplu sunt matrici 1 x 1, iar matricile cu o singură linie sau coloană sunt de fapt vectori.
Un exemplu celebru de matrice apare în gravura renascentistă Melancholia realizată de marele artist și matematician amator Albrecht Dürer. Gravura este încărcată de simbolism matematic și la o atentă observare a acesteia se poate distinge în colțul din dreapta sus o matrice.
Matricea respectivă este cunoscută sub numele de pătrat magic și în timpul lui Dürer se considera că are proprietăți magice.
Introducerea matricilor
Matricile se pot introduce în mai multe moduri.
Introducerea unei liste explicite cu elementele matricei.
Încărcarea unor date din fișere externe de date.
Generarea de matrici utilizând funcții built-in.
Crearea de matrici în fișierele M-files.
Vom introduce matricea lui Dürer mai întâi ca o listă de elemente.
Trebuie respectate câteva convenții simple:
Elementele unei linii sunt separate prin virgule sau spații.
Sfârșitul unei linii se marchează cu punct și virgulă.
Lista de elemente care formează matricea se delimitează cu paranteze drepte:
[ ]
Pentru introducerea matricii lui Dürer tastăm:
» A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
MATLAB-ul va afișa matricea:
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
O dată introdusă, matricea este memorată în workspace și poate fi apelată simplu, ca A.
Să vedem acum: de ce este magică?
sum, transpose, diag
Caracterul magic derivă din faptul că prin efectuarea unor operații asupra elementelor matrici rezultă numere interesante și surprinzătoare.
Dacă de exemplu însumăm elementele pe orice linie sau coloană sau de pe cele două diagonale, vom obține același număr.
Să verificăm acest lucru cu MATLAB-ul. Suma elementelor de pe cele 4 coloane se calculează rapid cu:
» sum(A)
ans =
34 34 34 34
Pentru calcularea sumelor pe linii, efectuăm întâi transpunerea matricii și apoi aplică din nou comanda sum.
Transpusa se calculează cu:
» A'
ans =
16 5 9 4
3 10 6 15
2 11 7 14
13 8 12 1
și apoi
» sum(A')'
ans =
34
34
34
34
Suma elementelor de pe diagonală se calculează cu tot cu funcția sum, dar după ce în prealabil vom sorta cu funcția diag elementele de pe diagonala principală:
» diag(A)
ans =
16
10
7
1
» sum(diag(A))
ans =
34
Un anume element al matricii, de exemplu elementul din linia i coloana j se notează A(i,j).
Prin urmare o altă cale (mai puțin rapidă) de a calcula suma de pe patra coloană de exemplu este următoarea:
» A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)
ans =
34
Dacă specificăm un element care nu există în matrice, primim un mesaj de eroare:
» t = A(4,5)
Index exceeds matrix dimensions.
Operatorul :
Operatorul : este foarte important. De exemplu, expresia
» 1:10
este un vector linie
ans =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Alte exemple:
» 100:-7:50
ans =
100 93 86 79 72 65 58 51
» 0:pi/4:pi
ans =
0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416
Expresia
A(1:k,j)
Se referă la primele k elemente ale coloanei j a lui A.
Dacă este utilizat în paranteze operatorul : atunci înseamnă că ne referim la toate elementele unei linii sau coloane
» sum(A(:,3))
calculează suma elementelor din coloana a treia a lui A:
ans =
34
O altă proprietate interesantă a pătratului magic este că suma magică 34 este obținută și prin însumarea elementelor matricii și prin împărțirea la dimensiunea matricii (4):
» sum(1:16)/4
ans =
34
Observație: suma magică pentru orice pătrat magic n x n este (n3 + n)/2 (se poate calcula cu ajutorul Symbolic Math Toolbox).
Funcția magic
MATLAB-ul are o funcție built-in care creează pătrate magice de orice dimensiune (funcție pe care deja am utilizat-o):
» B = magic(4)
B =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
Această matrice este aproape identică cu matricea lui Dürer singura diferență fiind că cele două coloane din mijloc sunt schimbate între ele. Pentru obținerea din B a matricii lui Dürer se poate utiliza următoarea comandă MATLAB:
» A = B(:,[1 3 2 4])
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Polinoame
Polinoamele sunt descrise în MATLAB prin vectori linie ale căror elemente sunt de fapt coeficienții polinoamelor în ordinea descrescătoare a puterilor.
Exemplu: polinomul p(x)=x3+5x+6 este reprezentat în MATLAB astfel:
p = [1 0 5 6]
Un polinom poate fi evaluat pentru o valoare a lui x cu ajutorul funcției polyval:
» polyval(p,1)
ans=
12
În exemplul de mai sus este evaluat polinomul p în punctul x =1.
Se pot afla cu ușurință rădăcinile polinomului folosind funcția roots:
» r=roots(p)
r =
0.5000 + 2.3979i
0.5000 – 2.3979i
-1.0000
Există numeroase alte funcții și comenzi care se ocupă cu operații asupra polinoamelor, funcții care vor fi abordate într-un capitol special. Dintre acestea amintim comanda care permite înmulțirea a două polinoame, și anume conv:
» p1=[1 3 5]
p1 =
1 3 5
» p2=[2 0 1 0 5]
p2 =
2 0 1 0 5
» p3=conv(p1,p2)
p3 =
2 6 11 3 10 15 25
Operațiuni elementare cu matrici și funcții
MATLAB-ul operează cu matricile cu aceeași ușurință cu care lucrează cu scalarii. Pentru adunarea a două matrici de exemplu se folosește pur și simplu semnul + ca la o adunare obișnuită. Bineînțeles că matricile trebuie să aibă aceleași dimensiuni pentru a putea fi adunate.
Exemplu:
» A=[2 3;15 -3]
A =
2 3
15 -3
» B=[11 -21; 12 4]
B =
11 -21
12 4
» C=A+B
C =
13 -18
1
Pentru înmulțirea a două matrici se folosește operatorul * , valabil de altfel și pentru operațiile cu scalari. Exemplu:
» D=A*B
D =
58 -30
-327
Dacă dimensiunile matricilor care se înmulțesc nu sunt corespunzătoare, atunci va fi furnizat un mesaj de eroare:
» E=[1 23; -12 2;1 2]
E =
1 23
-12 2
1 2
» F=A*E
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
Pentru “depanarea” programului în cazul unor astfel de greșeli se poate utiliza comanda size care ne dă informații despre dimensiunile matricilor respective și permite corectarea erorilor:
» size(A)
ans =
2 2
» size(E)
ans =
2
MATLAB-ul include multe alte funcții care operează cu matrici și care vor fi descrise și utilizate intensiv în capitolele următoare. Amintim aici câteva: det, inv, rank, eig etc.
O facilitate interesantă a MATLAB-ului este aceea că lucrează cu matricile cu operatori logici și relaționali într-un mod asemănător acestor operații efectuate cu scalari.
De exemplu, pentru operațiunea scalară
» r=17>55
r =
0
MATLAB-ul răspunde cu r = 0, adică fals. Dacă dorim de exemplu să comparăm fiecare element al matricii A cu elementul corespunzător din matricea B, procedăm asemănător:
» L=A<=B
L =
1 0
1
Operatorii logici, adică & pentru ȘI (AND), | pentru SAU (OR), ~ pentru NU (NOT), vor returna valoarea 1 pentru ADEVĂRAT și 0 pentru FALS. Exemplu:
» A&B
ans =
1 1
1 1
» ~A
ans =
0 0
0 0
MEDIUL DE LUCRU MATLAB
MATLAB este, după cum s-a afirmat deja, atât un limbaj cât și un mediu de programare. Ca mediu de lucru, MATLAB include facilități pentru manipularea variabilelor în spațiul de lucru, pentru importul și exportul datelor, precum și instrumente pentru dezvoltarea și manipularea fișierelor (M-files) și a aplicațiilor MATLAB.
Mediul de programare este utilizat în mod diferit în funcție de platforma pe care rulează MATLAB-ul (este vorba de sistemul de operare care poate fi de tip Windows sau Unix).
Startul și terminarea sesiunilor de lucru
Pe platformele de tip Windows, programul de instalare creează un “shortcut” la programul executabil, shortcut care poate fi plasat pe desktop (pe display-ul de lucru al calculatorului). Prin efectuarea unui dublu click pe icon-ul care reprezintă acest shortcut se startează MATLAB-ul.
Pentru startarea MATLAB-ului pe un sistem UNIX trebuie tastat matlab la prompterul sistemului de operare.
Fișiere de pornire (Startup Files)
La pornire, MATLAB-ul execută automat fișierul master matlabrc.m și, dacă există, fișierul startup.m.
Fișierul matlabrc.m este rezervat pentru administratorul de sistem (rețea), în timp ce fișierul startup.m este destinat utilizatorilor. De aici se pot seta căile de acces, se pot defini setările implicite pentru instrumentele Handle Graphics și se pot predefini variabile în spațiul de lucru.
De exemplu, dacă în startup.m se introduce linia
addpath /home/me/mytools
se adaugă un director de instrumente proprii pentru calea implicită de căutare.
Pe platformele Windows, fișierul startup.m se plasează în directorul local din directorul toolbox.
Opțiuni de pornire
Se pot specifica opțiuni de pornire, aceste opțiuni fiind adăugate pe calea shortcut-ului MATLAB.
În continuare sunt prezentate câteva posibile opțiuni.
De exemplu, pentru a porni MATALB-ul și a rula imediat în mod automat un fișier cum ar fi de exemplu rezultate.m, se poate utiliza următoarea cale pentru shortcut:
D:\bin\nt\matlab.exe /r rezultate
Terminarea unei sesiuni de lucru
Pentru a părăsi mediul MATLAB, se tastează quit la prompterul MATLAB.
În cazul platformelor Windows, se poate termina sesiunea prin selectarea opțiunii exit din meniul File sau se poate utiliza butonul close vizibil în colțul din dreapta sus al ferestrei de comandă MATLAB.
Comanda quit rulează fișierul finish.m, dacă acesta există în căile de căutare ale MATLAB-ului. Se pot include comenzi de tipul save în acest fișier, pentru a salva automat variabilele din spațiul de lucru la încheierea sesiunii. O altă opțiune este de a cere afișarea unei casete de dialog pentru confirmarea terminării sesiunii. Aceste două tipuri de opțiuni se pot găsi în directorul /toolbox/local:
finishsav.m: permite salvarea variabilelor curente
finishdlg.m: afișează o casetă de dialog pentru confirmarea opririi
Fereastra de comandă (fereastra principală)
Fereastra de comandă este fereastra principală prin intermediul căreia se poate comunica cu MATLAB-ul.
Pe platformele Windows, MATLAB-ul furnizează o fereastră specială, cu facilități de tip Windows.
Pe sistemele UNIX, fereastra de comandă este fereastra terminal din care este lansat MATLAB-ul.
Interpreterul MATLAB afișează un prompter (>>) indicând faptul că este gata să accepte comenzile utilizatorului. De exemplu, pentru introducerea unei matrici 3 x 3 se poate tasta:
» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]
și la apăsarea tastelor Enter sau Return, MATLAB-ul răspunde cu:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 10
3.2.1. Editarea liniilor de comandă în fereastra principală
Tastele de tip săgeată și tasta Ctrl permit apelarea, editarea și eventual reutilizarea comenzilor editate anterior. De exemplu:
» rho = (1+ sqt(5))/2
Undefined function or variable 'sqt'.
Pentru eliminarea greșelii de editare a numelui funcției radical (sqrt) nu se mai editează din nou toată linia, ci se folosește tasta , apare din nou linia de comandă greșită și apoi cu tasta se deplasează cursorul pe linie și se repară greșeala.
Lista completă a săgeților și tastelor care permit controlul asupra operațiunilor cu linia de comandă este prezentată în tabelul următor:
Ștergerea ferestrei de comandă
Pentru ștergerea conținutului (afișajul) ferestrei principale se poate folosi comanda clc, care însă nu are ca efect ștergerea variabilelor curente din spațiul de lucru.
Controlul afișării paginilor ecran în fereastra de comandă
Pentru a controla afișarea paginilor în fereastra de comandă se utilizează comanda more. Setarea implicită este more off. Atunci când setăm more on, o pagină ecran este afișată. Apoi se poate utiliza:
Întreruperea unui program care rulează
Se poate întrerupe un program care rulează prin apăsarea pe tastele Ctrl-c.
Pe sistemele Windows se va aștepta terminarea execuției funcțiilor de tip built-in sau a fișierelor de tip MEX-file.
Pe sistemele UNIX, execuția programului se va încheia imediat.
Comanda format
Comanda format controlează formatul numeric al valorilor afișate pe ecran și a fost deja discutată într-un paragraf anterior. Comanda are efect asupra afișării numerelor, și nu asupra modului intern de reprezentare a acestora.
Pe sistemele Windows, se poate schimba setarea implicită a formatului prin selectarea meniului Preferences din meniul File și selectarea formatului dorit din General.
Suprimarea afișării rezultatelor unei linii comandă
Deoarece la apăsarea tastelor Return sau Enter MATLAB-ul afișează automat rezultatele pe ecran, dacă încheiem linia de comandă cu punct și virgulă, va fi realizat calculul, dar nu va mai fi afișat. Această facilitate este importantă atunci când avem de lucrat cu matrici mari sau cu multe date. Exemplu:
A = magic(100);
Linii de comandă lungi
Dacă o declarație nu încape într-o linie de comandă, se pot utiliza trei puncte urmate de Return sau Enter pentru a indica faptul că expresia continuă pe linia următoare. Exemplu:
s = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 …
– 1/8 + 1/9 – 1/10 + 1/11 – 1/12;
Spațiile albe din jurul semnelor =, +, – sunt opționale și pot îmbunătăți citirea liniilor. Maximul numărului de caractere pe o singură linie este de 4096.
3.2.2. Descrierea ferestrei de comandă
Fereastra de comandă permite rularea comenzilor MATLAB, lansarea unor instrumente cum ar fi Editor/Debugger și permite startarea toolbox-urilor.
Toolbar (bara de instrumente)
Toolbar-ul din fereastra de comandă permite accesul la operații simple:
Meniuri
Meniurile fereastrei de comandă furnizează accesul la operații care nu sunt accesibile din toolbar.
Preferințe
Sunt utilizate pentru controlarea operațiilor și a modului de prezentare din fereastra de comandă. Pentru aceasta se selectează Preferences din meniul File, iar după apariția casetei de dialog Preferences se pot seta preferințele pentru General, Command Window Font și Copying Options.
General Preferences:
Numeric Format – Specifică formatul numeric implicit.
Editor Preference – Permite folosirea editorului MATLAB sau specificarea altui editor.
Help Directory – Specifică directorul în care se află fișierele de tip help.
Echo On – Setează facilitatea de afișare a liniilor program în timp ce un program MATLAB este rulat.
Show Toolbar – Arată sau ascunde toolbar-ul.
Enable Graphical Debugging – Permite depanarea (Debugger) în mod automat la fiecare breakpoint.
Command Window Font:
Specifică caracteristicile fontului pentru textul afișat în fereastra de comandă.
Copying Options:
Specifică opțiunile utilizate la copierea unor obiecte din MATLAB în clipboard pentru rescrierea în alte aplicații.
Spațiul de lucru al MATLAB-ului (workspace)
Spațiul de lucru conține un set de variabie (numite tablouri sau matrice) care pot fi manevrate din linia de comandă. Se pot folosi comenzile who și whos (deja prezentate) pentru a vedea care sunt variabilele curente din workspace. Pentru ștergerea variabilelor din workspace se utilizează comanda clear.
Încărcarea și salvarea din workspace
Comenzile save și load descrise într-un subcapitol anterior au rolul de a salva variabilele din spațiul de lucru și respectiv de a le reîncărca într-o sesiune ulterioară. Aceste comenzi se pot folosi și pentru a importa și exporta date.
Pe platformele Windows, operațiile save, load sunt disponibile și prin selectarea opțiunilor Save Workspace As, respectiv Load Workspace din meniul File.
Citirea sau scrierea unor fișiere .mat din programe externe în C sau Fortran se poate face cu Interfața de Aplicații Program (API).
Formatul în care comanda save stochează datele poate fi controlat prin adăugarea unor flag-uri în lista de nume de fișiere sau variabile:
Observație: atunci când se salvează conținutul spațiului de lucru în format ASCII trebuie salvată câte o variabilă pentru a permite reconstituirea ulterioară a acesteia.
Încărcarea unor fișiere cu date ASCII
Comanda load permite importul de fișiere de date ASCII. Exemplu:
» load diverse.dat
creează o variabilă cu numele diverse în workspace. Dacă datele ASCII au m linii cu n valori pe fiecare linie, rezultatul va fi o matrice numerică m x n.
Nume de fișiere ca șiruri de caractere
Dacă numele fișierelor sau variabilelor cu care se lucrează sunt stocate în variabile de tip șir de caractere, se poate folosi dualitatea comandă/funcție pentru a apela load și save ca funcții. De exemplu
» save('myfile','VAR1','VAR2')
» A = 'myfile';
» load(A)
au același efect ca
» save myfile VAR1 VAR2
» load myfile
Pentru încărcarea sau salvarea mai multor fișiere cu același prefix și cu sufixe numere întregi succesive se poate utiliza o buclă. Exemplu:
file = 'data';
for i = 1:10
j = i.^2;
save([file int2str(i)],'j');
end
Wildcards
Comenzile load și save permit specificarea unui caracter special de tip wildcard (*). Exemplu:
» save rundata x*
salvează toate variabilele din workspace care încep cu x în fișierul rundata.mat.
Browser-ul Workspace
Browser-ul Workspace permite vizualizarea conținutului spațiului de lucru curent (este de fapt varianta grafică a comenzii whos). Pentru a deschide acest instrument, se selectează Show Workspace din meniul File și apoi se face click din mouse pe tasta Workspace Browser din toolbar.
Căi de căutare
MATLAB-ul utilizează o cale de căutare (search path) pentru a găsi fișierele .m . Aceste fișiere sunt organizate în directoare, din care unele sunt furnizate de MATLAB și altele sunt disponibile separat ca toolbox-uri.
Dacă de exemplu tastăm numele fis la prompterul MATLAB, interpreterul MATLAB va face următoarea căutare:
Caută pe fis ca pe o variabilă.
Verifică dacă fis este o funcție tip buit-in.
Caută în directorul curent fișierul numit fis.m.
Caută în directoarele aflate în calea de căutare fișierul fis.m.
Schimbarea căii de căutare
Calea de căutare poate fi afișată sau schimbată folosind funcțiile path, addpath, rmpath:
Path determină reîntoarcerea la calea curentă.
path(s), unde s este un șir de caractere, setează calea la s.
addpath /home/lib și path(path,'/home/lib') adaugă noi directoare la calea de căutare.
rmpath /home/lib șterge calea /home/lib.
Calea de căutare implicită este definită în fișierul pathdef.m în directorul local.
Fișiere pe calea de căutare
Pentru a afișa calea de căutare se poate folosi path. Dacă dorim să vedem ce fișiere MATLAB sunt într-un director se utilizează comanda what. Exemplu:
» what matlab/elfun
Pentru a vedea conținutul unui fișier se folosește comanda type (deja descrisă într-un paragraf anterior). Exemplu:
» type rank
Pentru editarea unui fișier M-file se poate utiliza edit. Exemplu:
» edit rank
Path Browser
MATLAB-ul furnizează și un browser al căii de căutare (Path Browser) cu o interfață grafică pentru vizualizarea și schimbarea căii de căutare. Pentru startarea acestui browser se utilizează pathtool, sau se selectează Set Path din meniul File, sau se face click pe butonul Path Browser din toolbar.
Meniurile din Path Browser pot fi folosite pentru:
Adăugarea unui director pe calea de căutare.
Ștergerea (îndepărtarea) unui director din cale.
Salvarea setărilor în fișierul pathdef.m.
Restabilirea setărilor implicite.
Directorul curent
MATLAB-ul menține un director curent pentru lucrul cu fișiere de tip .m și .mat.
Pe platformele Windows, directorul curent inițial este specificat în shortcut-ul utilizat pentru pornirea MATLAB-ului.
Pentru schimbarea setărilor implicite se poate face click cu butonul din dreapta al mouse-ului și se selectează meniul Properties.
Deschiderea fișierelor în MATLAB
Se pot deschide fișiere în funcție de extensiile lor prin folosirea funcției open, care este o funcție extensibilă de către utilizator. Se pot include și alte tipuri de fișiere în afara fișierelor MATLAB standard:
Fereastra grafică (figure)
MATLAB-ul direcționează ieșirile grafice spre o fereastră distinctă de fereastra de comandă. Această fereastră grafică este denumită figură (figure).
Funcțiile grafice creează în mod automat o nouă fereastră grafică dacă nu există una curentă. Dacă există o astfel de fereastră, MATLAB-ul o va utiliza.
Dacă există mai multe ferestre de tip figură, atunci una dintre ele este asignată ca fiind fereastra curentă (în general este ultima fereastră figură utilizată).
Funcția figure generează ferestre grafice. De exemplu,
figure
generează o nouă fereastră și o face fereastra curentă.
O funcție grafică, cum ar fi funcția plot, generează un grafic în fereastra de tip figură. De exemplu,
t = 0:pi/100:2*pi;
y = sin(t);
plot(t,y)
trasează graficul funcției sinus de la 0 la 2 în fereastra curentă de tip figură, dacă aceasta există, iar dacă nu într-una nou creată.
Prelucrarea graficelor cu Plot Editor
După generarea unui grafic (plot), se pot face schimbări și prelucrări ale graficului cu interfața grafică Plot Editor. Figura următoare ilustrează principalele facilități ale ferestrei grafice și ale interfeței Plot Editor.
Pentru salvarea unei figuri se selectează Save din meniul File. Pentru salvarea într-un format diferit, cum ar fi TIFF, necesar utilizării în alte aplicații se selectează Export din meniul File.
Importul și exportul de date
Sunt multe posibilități de a realiza importul și exportul de date între MATLAB și alte aplicații. În majoritatea cazurilor se pot utiliza facilitățile MATLAB de a citi sau scrie fișiere (pentru aplicații complicate trebuie scrise programe în C sau Fortran).
Importul de date
În tabelul următor sunt prezentate câteva metode de import date:
Exportul datelor
În tabelul următor sunt prezentate câteva metode de export date:
Fișiere de tip text cu delimitatori
Funcțiile dlmread și dlmwrite amintite mai sus permit citirea și scrierea unor valori separate prin delimitatori înt-un fișier de date ASCII. Un delimitator este orice caracter care separă valorile.
Exemplu: considerăm un fișier fiz.dat ale cărui componente sunt separate prin punct și virgulă:
7.2;8.5;6.2;6.6
5.4;9.2;8.1;7.2
Citirea și transcrierea componentelor într-un tablou (matrice) A se face astfel:
A = dlmread('fiz.dat', ';');
În mod similar se folosește dlmwrite pentru scrierea unui text cu delimitatori într-un fișier extern:
A =
1 2 3
4 5 6
dlmwrite('myfile',A,';')
myfile va conține:
1;2;3
4;5;6
Citirea fișierelor cu format uniform
Funcția textread citește date de tip caracter sau numerice dintr-un fișier și le transcrie în variabile MATLAB folosind specificatorii de conversie care definesc lungimea câmpului de date și formatul acestora. Funcția textread este utilă pentru fișiere cu format uniform și cunoscut (de exemplu cu delimitatori de tip virgulă sau tab).
Exemplu: fie fișierul mydata.dat :
Sally Type1 12.34 45 Yes
Pentru citirea fișierului mydata.dat ca fișier cu format liber se folosește formatul de conversie %:
[names,types,x,y,answer]=textread('mydata.dat','%s %s %f %d %s',1)
unde %s citește un șir de caractere separat prin spații albe, %f citește o valoare tip floating point, și %d citește un întreg cu semn.
MATLAB va răspunde:
names =
'Sally'
types =
'Type1'
x =
12.34000000000000
y =
45
answer =
'Yes'
Schimbarea de date între platforme (sisteme de operare)
În unele situații este necesar transferul de date și programe între utilizatori care lucrează cu sisteme de operare diferite. Aplicațiile MATLAB constau în fișiere .m cu funcții și script-uri și fișiere tip .mat cu date binare. Ambele tipuri de fișiere pot fi transportate direct între diferite computere:
Fișierele .m conțin text simplu și sunt independente de “mașină”.
Fișierele .mat sunt binare și dependente de “mașină” dar pot fi transportate între computere deoarece conțin semnătura de “mașină” în antetul fișierului.
Pentru utilizarea și transportul aplicațiilor MATLAB pe diverse computere (sisteme de operare) trebuie să ne asigurăm că fișierele .mat se transmit în binary file mode și fișierele .m în ASCII file mode.
Comanda diary
Comanda diary generează o copie a sesiunii de lucru MATLAB într-un fișier disc (fără grafice). Se poate vizauliza și edita textul rezultat cu orice procesor de texte.
De exemplu, pentru crearea unui fișier cu numele octomb26.out care conține comenzile și ieșirile (răspunsurile) MATLAB corespunzătoare, trebuie tastat:
diary octomb26.out
Pentru oprirea înregistrării sesiunii se folosește:
diary off
Utilizarea memoriei
MATLAB-ul necesită o zonă continuă de memorie pentru stocarea datelor din fiecare matrice.
De asemenea, imaginile și filmele (animația) cer o mare cantitate de memorie.
În plus, harta de pixeli (pixmap) folosită pentru imagini cere o cantitate de memorie proporțională cu suprafața imaginii de pe ecran. O imagine color de 500×500 pixeli cere 1 Mb de memorie. Pentru limitarea memoriei necesare trebuie limitată dimensiunea imaginilor de pe ecran.
Rezolvarea erorilor de memorie
Dacă nu există memorie suficientă, în cazul unor matrici de dimensiuni mari este posibilă apariția unei erori de memorie de tip “out of memory”. Se poate încerca o defragmentare a memoriei cu comanda pack.
Dacă astfel de erori “out of memory” sunt dese se pot încerca și alte metode:
În cazul sistemelor Windows se crește memoria virtuală folosind System Properties pentru Performance, instrument accesibil din Control Panel.
Pentru sisteme UNIX trebuie cerut administratorului de sistem să crească spațiul swap.
Administrarea memoriei MATLAB
MATLAB-ul utilizează funcțiile C standard malloc și free pentru alocarea memoriei dinamice. Aceste rutine mențin de regulă o rată relativ lentă de utilizare a memoriei alocată de sistemul de operare. Pentru MATLAB, malloc și free alocă memoria într-un ritm mai rapid. Pe măsură ce MATLAB-ul nu mai are nevoie de memorie, malloc și free nu returnează memoria adițională sistemului de operare (rutinele presupun că dacă a fost nevoie de o cantitate mare de memorie o dată, atunci este posibil să mai fie nevoie încă o dată).
Din acest motiv este posibil ca alte aplicații care rulează să nu poată dispune de memorie, chiar dacă MATLAB-ul nu mai are nevoie. Pentru a diponibiliza cantitatea de memorie trebuie terminată sesiunea MATLAB.
EDITORUL/DEBUGGER-UL ȘI PROFILER-UL MATLAB
4.1. Editorul/Debugger-ul MATLAB
MATLAB-ul dispune de un editor propriu, editor care este asociat și cu un program de depanare (debugger). Editorul/debugger-ul oferă posibilitatea de a efectua operațiunile de editare de bază precum și accesul la instrumente de depanare a fișierelor .m .
Pachetul Editor/Debugger oferă și o interfață grafică ușor de utilizat. Pentru lansarea editorului se tastează la prompterul MATLAB comanda edit. Se pot folosi și butoanele/meniurile accesibile din fereastra de comandă.
Setarea implicită a Editorului
Facilitățile de editare și depanare sunt setate să fie active în mod implicit atunci când MATLAB-ul este instalat.
Dacă se dorește instalarea altui editor sau nu se dorește apelarea la depanarea în regim grafic se pot dezactiva aceste facilități prin setarea corespunzătoare. De exemplu (în UNIX) se modifică ~home/.Xdefaults file:
matlab*builtInEditor: Off
matlab*graphicalDebugger: Off
Trebuie rulat
xrdb -merge ~home/.Xdefaults
înainte de pornirea MATLAB-ului.
Debugger-ul MATLAB. Exemple de depanare a fișierelor MATLAB
Debugger-ul permite identificarea erorilor de programare. Prin folosirea debugger-ului se poate vizualiza conținutul workspace-ului în orice moment în timpul execuției unei funcții și se poate executa programul (codul) MATLAB linie cu linie.
Pentru folosirea acestui instrument de depanare se poate utiliza interfața grafică a debugger-ului sau se pot folosi linii de comandă.
Depanarea permite corectarea a două tipuri de erori:
Erori de sintaxă, cum ar fi scrierea incorectă a numelui unei funcții sau omiterea unor paranteze. MATLAB-ul detectează majoritatea acestor erori și afișează un mesaj de eroare care descrie natura erorii și numărul liniei din programul .m în care a apărut eroarea respectivă.
Erori de rulare (de calcul), care sunt mai mult de natură algoritmică. De exemplu este posibil să modificăm o altă variabilă decât trebuie sau să efectuăm un calcul incorect. Aceste erori sunt observate atunci când fișierul rulat furnizează rezultate necorespunzătoare.
În timp ce erorile de sintaxă se corectează realtiv ușor pe baza mesajelor de eroare, erorile de rulare sunt mai greu de depanat. Se pot utiliza în acest caz mai multe tehnici de depanare:
Se îndepărtează delimitatorii de tip punct și virgulă de la sfârșitul liniilor program. Astfel la rularea programului vor fi afișate și rezultatele intermediare corespunzătoare fiecărei linii.
Se adaugă comanda keyboard în fișierele .m care sunt depanate. Această comandă oprește execuția programului respectiv, dă controlul la tastatură și dă posibilitatea examinării și schimbării unor funcții sau variabile. Acest mod de lucru este indicat printr-un prompter special: "K>>." Pentru a continua execuția, se tastează return și se apasă apoi tasta Return.
Se folosește Debugger-ul MATLAB.
Debugger-ul este util deoarece permite accesul la funcțiile din workspace, examinarea și eventual modificarea conținutului acestora.
Debugger-ul permite setarea sau ștergerea unor puncte de oprire: breakpoints, care sunt linii speciale în programul MATLAB la întâlnirea cărora execuția se oprește și sunt posibile operații de schimbare și de execuție a liniilor de comandă una câte una.
Exemplu de depanare
Pentru a ilustra procedurile de depanare disponibile (îndeosebi pentru cazul erorilor de rulare) vom folosi un exemplu preluat din MATLAB User Guide. Vom scrie un fișier denumit variance.m care este o funcție având ca intrare un vector și ca ieșire un scalar. Fișierul apelează la o altă funcție, numită sqsum, care calculează o sumă medie pătratică a vectorului de intrare.
function y = variance(x)
mu = sum(x)/length(x);
tot = sqsum(x,mu);
y = tot/(length(x)-1);
În fișierul sqsum.m se strecoară intenționat o eroare.
function tot = sqsum(x,mu)
tot = 0;
for i = 1:length(mu)
tot = tot + ((x(i)-mu).^2);
end
Pentru verificarea corectitudinii calculelor, folosim funcția MATLAB std (calculează deviația standard) care permite efectuarea unui calcul echivalent.
Se introduce mai întâi un vector de intrare de test:
» v = [1 2 3 4 5];
apoi se utilizează funcția std:
» var1 = std(v).^2
var1 =
2.5000
Încercăm funcția variance care apelează funcția sqsum (scrisă eronat):
» myvar1 = variance(v)
myvar1 =
1
Răspunsul este greșit. Vom încerca cu debugger-ul să găsim și să corectăm greșeala.
Depanarea cu ajutorul interfeței grafice a Debugger-ului
A. Pentru startarea procedurii de depanare:
Dacă fișierul .m (adică variance.m) a fost creat cu editorul MATLAB și suntem în fereastra Editor/Debugger, se continuă din acest punct.
Dacă fișierul a fost creat cu un editor extern, se startează Editor/Debugger-ul și apoi se face click pe butonul Open M-file din toolbar.
Toolbar-ul Editor/Debugger conține o serie butoane descrise în continuare:
Prin apăsarea butonului din dreapta al mouse-ului în fereastra editorului se poate obține un meniu cu toate aceste opțiuni.
B. Setarea Breakpoint-urilor
Punctele de oprire (breakpoint-uri) determină oprirea execuției fișierului la linia specificată și permit evaluarea și schimbarea variabilelor din workspace înainte de reluarea execuției. Breakpoint-ul este indicat printr-un semn roșu de stop () înainte de linia respectivă.
Pentru exemplul considerat, la începutul depanării nu se știe unde ar putea fi eroarea, însă un loc logic de amplasare a unui breakpoint pentru a face verificări este în linia 4 a funcției variance.m:
y = tot/(length(x)-1);
Pentru setarea breakpointului se poziționează cursorul pe linia 4 și se face click pe butonul din toolbar sau se alege Set Breakpoint din meniul Debug.
C. Examinarea variabilelor
Pentru verificarea variabilelor, se execută mai întâi funcția din fereastra de comandă:
variance(v)
Atunci când execuția programului ajunge la breakpoint, o săgeată galbenă orizontală () arată următoarea linie care va fi executată. Dacă săgeata galbenă este verticală () atunci aceasta indică o pauză la sfârșitul unui script sau a unei funcții și permite examinarea variabilelor înainte de reîntoarcerea la funcția principală.
Acum putem verifica valorile variabilelor mu și tot. Se selectează textul care conține variabilele și se face click din butonul drept al mouse-ului după care se alege din meniu Evaluate Selection.
În fereastra de comandă va fi afișat atât textul selectat cât și rezultatul:
K>> mu
mu =
3
K>> tot
tot =
4
Din analiza acestor valori se observă că eroarea se află în sqsum.
D. Schimbarea contextului spațiului de lucru
Se poate folosi meniul Stack pentru schimbarea contextului spațiului de lucru, adică pentru ieșirea din funcția variance și vizualizarea conținutului workspace-ului, prin selectarea din meniu a opțiunii Base Workspace:
Prin utilizarea comenzii whos sau a Browserului Workspace se vor vizualiza variabilele v și myvar1, ca de altfel și celelalte variabile create. Pentru întoarcerea la contextul spațiului de lucru local al funcției variance se selectează Variance din meniu.
E. Executarea pas cu pas a programului și continuarea execuției
Se șterge breakpoint-ul din linia 4 din variance.m prin plasarea cursorului pe linie și selectarea opțiunii Clear Breakpoint din meniul Debug. Se continuă execuția programului cu Continue din meniul Debug.
Se deschide sqsum.m și se setează un breakpoint la linia 4 pentru verificarea buclei și a calculelor. Se rulează din nou variance. Execuția se va opri acum la linia 4 din sqsum.
Se poate acum evalua indicele buclei i:
K>> i
i =
1
după care prin selectarea opțiunii Single Step din meniul Debug se execută linia următoare. Se evaluează variabila tot:
K>> tot
tot =
4
Se selectează din nou Single Step:
for i = 1:length(mu)
Se observă că bucla este iterată numai până la lungimea lui mu, care este scalar, și nu până la lungimea lui x, vectorul de intrare (aceasta este de fapt greșeala).
O dată eroarea găsită se selectează Quit Debugging și se termină execuția programului. Se șterge breakpoint din sqsum și se pune un breakpoint la linia 4 din variance.m, după care rulăm din nou:
variance(v)
La oprirea execuției se setează valoarea lui tot la valoarea corectă (10):
K>> tot = 10
tot =
10
Selectăm Continue Execution și obținem rezultzatul corect.
F. Terminarea sesiunii de depanare
Se selectează Exit Editor/Debugger din meniul File și se termină sesiunea de depanare.
Pentru corectarea definitivă a erorii se folosește editorul și se rulează din nou programul pentru o ultimă verificare.
Depanarea din linia de comandă
Folosirea facilităților de depanare se poate realiza și direct din linia de comandă, prin intermediul unui set de comenzi. Aceste comenzi sunt prezentate în forma lor generală în tabelul următor.
Pentru informații suplimentare privind utilizarea acestor funcții se poate apela la comanda help urmată de numele comenzii respective.
Exemplul de depanare a unui fișier cu erori prezentat anterior poate fi reluat, utilizându-se în locul interfeței grafice a debugger-ului comenzi corespunzătoare în linia de comandă.
4.2. Profiler-ul MATLAB
Pentru îmbunătățirea performanțelor fișierelor MATLAB se utilizează un instrument MATLAB numit Profiler. Acest instrument furnizează informații utile privitoare la timpul alocat calculelor efectuate de fiecare linie program.
Cu ajutorul Profiler-ului se măsoară modul în care programul consumă timp, și o măsură este evident mai bună decât ghicitul rutinelor sau funcțiilor care consumă mult timp de calcul.
Programarea eficientă presupune folosirea Profiler-ului pentru determinarea “strangulărilor” din programul creat și apoi modificarea programului pentru optimizarea timpului de calcul.
Programele MATLAB au în general o structură multistrat generată de faptul că funcțiile utilizate apelează deseori alte funcții și așa mai departe. De aceea este important să fie identificate acele funcții consumatoare de timp și înlocuite dacă este posibil.
Profiler-ul permite:
Evitarea calculelor inutile.
Schimbarea algoritmilor pentru evitarea folosirii unor funcții consumatoare de timp.
Evitarea recalculărilor prin stocarea unor rezultate ce pot fi utilizate ulterior.
Comanda profile
Pentru a crea un profil al programului (fișierului) MATLAB se folosește comanda profile pentru a genera și vizualiza statisticile despre programul respectiv. În tabelul următor sunt prezentate formele posibile ale acestei comenzi.
Exemplu de utilizare a Profiler-ului
Se startează profiler-ul:
profile on -detail builtin -history
Opțiunea -detail builtin determină profilerul să întocmească statistici și pentru funcțiile built-in.
Se execută un fișier .m . În exemplu este preluat programul care rulează modelul Lotka-Volterra pentru populații tip prădător-pradă (lotkademo pentru demo).
[t,y] = ode23('lotka',[0 2],[20;20]);
Se generează un raport și se salvează rezultatele în fișierul lotkaprof.
profile report lotkaprof
Se restartează profiler-ul fără ștergerea statisticilor existente.
profile resume
Se oprește profiler-ul.
profile off
Vizualizarea rezultatelor
A. Rapoarte
Pentru afișarea unui raport cu rezultatele statistice obținute se tastează
profile report
Raportul care rezultă apare în fereastra browserului Web și începe cu un rezumat al raportului din care se pot accesa un raport detaliat și un raport al apelărilor de funcții (o cronică).
Raportul rezumat. În figura următoare este prezentat raporul rezumat pentru exemplul Lotka-Volterra.
Raportul detaliat. Acest raport furnizează detalii despre funcțiile de tip “părinte” și “copil” ale unei funcții. Este prezentat raportul detaliat pentru funcția lotka din exemplul considerat.
Raportul apelărilor de funcții. Acest raport afișează secvența exactă a funcțiilor apelate. Pentru a vizualiza acest raport, trebuie startat profiler-ul cu opțiunea -history.
profile on -history
Este prezentat un exemplu de astfel de raport.
B. Reprezentarea grafică a rezultatelor Profiler-ului
Pentru a obține o reprezentare grafică trebuie să tastăm:
profile plot
În fereastra grafică va apare un grafic de forma din figura următoare:
5. MATRICI, ALGEBRĂ LINIARĂ, POLINOAME, TEHNICI DE INTERPOLARE
5.1. Matricile în MATLAB
Prin matrice înțelegem un tablou bi-dimensional de numere reale sau complexe. În capitolul de Fundamente ale programării în MATLAB a fost prezentat modul de introducere a matricilor și au fost analizate câteva operații simple cu matrici.
MATLAB-ul lucrează direct cu multe operații matriceale: aritmetica matricilor, ecuații liniare, valori proprii, factorizări etc.
Funcțiile de algebră liniară sunt localizate în directorul matfun. În continuare sunt prezentate câteva din funcțiile care lucrează cu matrici.
Operațiunile elementare cu matrici au fost deja prezentate (adunarea matricilor, înmulțirea acestora, transpusa unei matrice, funcțiile sum, diag etc.).
În continuare sunt prezentate câteva matrici speciale utile în toate tipurile de reprezentări matematice:
Matricea identitate (unitate)
Este o matrice cu elementele de pe diagonala principală egale cu 1 iar restul elementelor sunt nule. Notația matematică I provine de la denumirea matricii și nu este folosită în MATLAB, pentru evitarea unor confuzii. Se utilizează sintaxa:
eye(m,n)
Această funcție returnează o matrice identitate mxn. Dacă se folosește:
eye(n)
atunci este vorba de o matrice identitate pătratică nxn.
– Matricea ones
Este o matrice care are toate elementele egale cu 1. Forme posibile:
ones(n) este o matrice nxn cu elemente de 1
ones(m,n) sau ones([m,n]) sunt matrici mxn cu elemente de 1.
ones(size(A)) are aceeași dimensiune cu o matrice A și are elemente de 1
– Matricea zeros
Este o matrice care are toate elementele egale cu 0. Forme posibile:
zeros(n) este o matrice nxn de zerouri
zeros(m,n) sau zeros([m,n]) sunt matrici mxn de 0
zeros(size(A))are aceeași dimensiune cu o matrice A și are elemente de 0
5.2. Rezolvarea ecuațiilor liniare
Una din cele mai importante probleme ale calculului din domeniul tehnic este soluționarea sistemelor de ecuații liniare.
Definirea problemei este pe scurt următoarea:
Dacă se dau două matrici A și B, există o matrice unică X astfel încât
AX = B sau XA = B ?
MATLAB utilizează notația din cazul scalar și pentru descrierea soluției unui sistem de ecuații liniare. Cele două simboluri utilizate în cazul scalar al diviziunii (împărțirii) și anume slash, /, și backslash, \, sunt folosite pentru definirea soluției:
X = A\B este soluția ecuației matriceale AX = B.
X = B/A este soluția ecuației matriceale XA = B.
În practică, ecuațiile liniare de forma AX = B sunt mai des întâlnite.
Deoarece matricea A, care conține de fapt coeficienții sistemului, poate să nu fie pătratică ci de tipul general mxn, există trei cazuri posibile:
În multe cazuri MATLAB-ul dă un diagnostic (o soluție) automat prin examinarea coeficienților matricelor. Câteva din aceste cazuri:
Permutarea matricilor triunghiulare
Matrici simetrice, pozitiv definite
Matrici pătratice nesingulare
Sisteme rectangulare supradeterminate
Sisteme rectangulare nedeterminate
Sisteme pătratice
Cel mai simplu caz este cel corespunzător unei matrice pătratice A și a unui vector coloană b. Soluția x = A\b are aceeași dimensiune ca b.
Dacă A și B sunt pătratice de aceleași dimensiuni atunci soluția X = A\B are aceeași dimensiune ca A sau B.
Observație: Dacă matricea A este singulară (determinant nul) atunci soluția ecuației AX = B nu există sau nu este unică.
Sisteme supradeterminate (incompatibile)
Aceste tipuri de sisteme sunt des întâlnite în diverse situații, cum ar fi de exemplu aproximarea unor curbe din date experimentale.
Sisteme nedeterminate
Sistemele liniare nedeterminate au mai multe necunoscute decât ecuații. Dacă există și constrângeri (restricții) suplimentare, atunci este vorba de o problemă de programare liniară.
Operatorul backslash din MATLAB permite căutarea soluției în cazul fără restricții. Soluția nu este niciodată unică. MATLAB-ul găsește o soluție de bază (care are cel mult m componente nenule). Găsirea soluției particulare se bazează pe factorizarea QR (decompoziția ortogonal-triunghiulară).
Vom prezenta un exemplu (care utilizează funcția matriceală random – rand).
» R = fix(10*rand(2,4))
R =
6 8 7 3
3 5 4 1
» b = fix(10*rand(2,1))
b =
1
2
Sistemul liniar Rx = b implică două ecuații cu 4 necunoscute. Soluția se poate afișa în format rațional (coeficienții sunt numere întregi). Soluția particulară se obține astfel:
» format rat
» p = R\b
p =
0
5/7
0
-11/7
Soluția completă a sistemului nedeterminat se obține prin adăugarea unui vector arbitrar din spațiul nul folosind funcția null:
» Z = null(R,'r')
Z =
-1/2 -7/6
-1/2 1/2
1 0
0 1
Orice vector de forma x=p+Z*q pentru q vector arbitrar satisface R*x=b.
5.3. Inverse și determinanți
Dacă matricea A este pătratică și nesingulară, ecuațiile AX = I și XA = I au aceeași soluție X. Această soluție este chiar inversa lui A, notată matematic prin A-1, și poate fi calculată cu funcția inv.
Determinantul unei matrice se poate calcula cu funcția det (trebuie acordată atenție problemelor de scalare și rotunjire care apar în calcule).
Exemple:
» A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6];
» d = det(A)
d =
1
» X = inv(A)
X =
3 -3 1
-3 5 -2
1 -2 1
Pseudoinverse
Matricile dreptunghiulare (rectangulare) nu au inverse sau determinanți. Atunci cel puțin una din ecuațiile AX = I sau XA = I nu are soluție. Se poate utiliza în acest caz o pseudoinversă care poate fi calculată cu funcția pinv:
» A1=[A;[1 3 5]]
A1 =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
1 3 5
» X=pinv(A1)
X =
1.5000 -0.0000 1.0000 -1.5000
-0.8333 0.6667 -2.0000 2.1667
0.1667 -0.3333 1.0000 -0.8333
5.4. Funcții de matrice. Valori proprii
Puteri de matrice
Dacă A este o matrice pătratică și p este un număr întreg pozitiv, atunci A^p multiplică pe A cu ea însăși de p ori.
» X = A^2
X =
3 6 10
6 14 25
10 25 46
Dacă A este pătratică și nesingulară, atunci A^(-p) multiplică pe inv(A) cu ea însăși de p ori.
» Y=A^(-2)
Y =
19.0000 -26.0000 10.0000
-26.0000 38.0000 -15.0000
10.0000 -15.0000 6.0000
Ridicarea la putere element cu element se face utilizând operatorul (funcția) .^. De exemplu:
» X = A.^2
A =
1 1 1
1 4 9
1 9 36
Rădăcina pătrată de matrice
Funcția sqrtm(A) permite calculul lui A^(1/2) printr-un algoritm mai precis decât utilizarea puterii de matrice.
Exponențiala de matrice
Un sistem de ecuații diferențiale ordinare cu coeficienți constanți poate fi scris:
unde x = x(t) este un vector de funcții de timp și A este o matrice independentă de timp.
Soluția sistemului poate fi scrisă prin intermediul exponențialei de matrice
Funcția expm(A)permite calculul exponențialei de matrice.
Valori proprii
O valoare proprie și un vector propriu ale unei matrice pătratice A sunt un scalar și un vector v care satisfac egalitatea
Cu valorile proprii pe diagonala unei matrice de tip diagonal și cu vectorii proprii corespunzători care formează coloanele unei matrice V vom avea
Dacă V este nesingulară obținem decompoziția (descompunerea) pe baza valorilor proprii:
Exemplu:
» A=[-1 -3 1;2 -2 -1;0 1 -3]
A =
-1 -3 1
2 -2 -1
0 1 -3
» lambda=eig(A)
lambda =
-1.7593 + 2.4847i
-1.7593 – 2.4847i
-2.4814
Lambda va fi un vector care conține valorile proprii ale matricei.
Dacă funcția eig este utilizată cu două argumente de ieșire vom obține vectorii proprii și valorile proprii (acestea sub forma diagonală):
» [V,D]=eig(A)
V =
0.2233 + 0.6835i 0.2233 – 0.6835i 0.3160
0.6481 – 0.0862i 0.6481 + 0.0862i 0.4368
0.0765 – 0.2227i 0.0765 + 0.2227i 0.8422
D =
-1.7593 + 2.4847i 0 0
0 -1.7593 – 2.4847i 0
0 0 -2.4814
Observație: Toolbox-ul Symbolic Math extinde capacitatea MATLAB-ului prin conectarea la Maple, care este un sistem de calcul algebric performant. Una din funcțiile toolbox-ului permite calculul formei canonice Jordan.
» [X,J]=jordan(A)
X =
0.1121 0.4440 + 0.1691i 0.4440 – 0.1691i
0.1549 -0.0775 + 0.4250i -0.0775 – 0.4250i
0.2987 -0.1494 + 0.0434i -0.1494 – 0.0434i
J =
-2.4814 0 0
0 -1.7593 – 2.4847i 0
0 0 -1.7593 + 2.4847i
Forma canonică Jordan este un concept teoretic important, dar nu este indicată folosirea în cazul matricilor mari sau pentru matricile cu elemente afectate de erori de rotunjire sau de alte incertitudini. MATLAB-ul poate folosi în astfel de cazuri descompunerea Schur (funcția schur).
5.5. Reprezentarea polinoamelor. Interpolarea
Polinoame
MATLAB-ul furnizează funcții pentru operații polinomiale standard cum ar fi calculul rădăcinilor, evaluarea polinoamelor, derivarea etc. O parte din aceste operații precum și modul de reprezentare a polinoamelor ca vectori au fost descrise în capitolul de Fundamente de programare.
Funcțiile polinomiale se află în directorul polyfun:
După cum s-a precizat deja, MATLAB-ul reprezintă polinoamele ca vectori linie care conțin coeficienții polinoamelor în ordinea descrescătoare a puterilor.
Funcțiile uzuale care operează cu polinoame au fost prezentate (de exemplu roots). În continuare sunt parcurse alte câteva exemple utile.
Funcția poly returnează coeficienții unui polinom dacă dispunem de rădăcinile acestuia (este o funcție inversă față de roots):
» p=[1 -1 2 4 1];
» r=roots(p)
r =
1.0529 + 1.7248i
1.0529 – 1.7248i
-0.7995
-0.3063
» coef=poly(r)
coef =
1.0000 -1.0000 2.0000 4.0000 1.0000
O altă utilizare a funcției poly este aceea de calculare a coeficienților polinomului caracteristic al unei matrice:
» A
A =
-1 -3 1
2 -2 -1
0 1 -3
» poly(A)
ans =
1 6 18 23
Rădăcinile acestui polinom sunt chiar valorile proprii ale matricii A.
Funcția polyval evaluează un polinom pentru o valoare specificată a argumentului.
Funcția polyvalm permite evaluarea unui polinom în sens matriceal. În acest caz polinomul p din exemplul anterior: p(x) = x4 – x3 + 2×2 + 4x + 1 devine p(X) = X4 – X3 + 2X2 + 4X + I, unde X este o matrice pătratică și I matricea unitate.
Exemplu:
» C=polyvalm(p,A)
C =
-75 -61 81
58 -130 75
52 -23 49
Funcțiile conv și deconv implementează operațiile de înmulțire și împărțire a polinoamelor.
Exemple:
Fie a(x) = x2 + 2x +3 și b(x) = 4×2 + 5x + 6.
» a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
» c = conv(a,b)
c =
4 13 28 27 18
» [q,r] = deconv(c,a)
q =
4 5 6
r =
0 0 0 0 0
Funcția polyder permite calculul derivatei unui polinom.
Exemplu:
» p=[1 -1 2 4 1];
» pderivat=polyder(p)
pderivat =
4 -3 4 4
Funcția polyfit găsește coeficienții unui polinom (o curbă) care aproximează un set de date în sensul algoritmului celor mai mici pătrate:
p = polyfit(x,y,n)
x și y sunt vectorii care conțin setul de date iar n este ordinul polinomului ai cărui coeficienți vor fi furnizați la apelarea funcției.
Exemplu:
» x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];
» p = polyfit(x,y,3)
p =
-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400
Pentru plotarea rezultatului se utilizează mai întâi funcția polyval pentru o trasare cât mai exactă a graficului polinomului și apoi se plotează estimarea versus datele reale pentru comparații.
» x2 = 1:.1:5;
» y2 = polyval(p,x2);
» plot(x,y,'o',x2,y2)
Funcția residue se utilizează pentru descompunerea în fracții simple.
Se aplică în cazul raportului a două polinoame b și a,
unde r este un vector coloană, p tot un vector coloană care conține polii iar k un vector linie cu termenii direcți.
Exemplu:
» b = [-4 8];
» a = [1 6 8];
» [r,p,k] = residue(b,a)
r =
-12
8
p =
-4
-2
k =
[]
Dacă se folosesc trei argumente de intrare (r, p, și k), funcția residue asigură conversia înapoi în forma polinomială:
» [b2,a2] = residue(r,p,k)
b2 =
-4 8
a2 =
1 6 8
Interpolarea
Interpolarea este un proces de estimare a valorilor dintre date (puncte) cunoscute. Aplicațiile interpolării sunt numeroase în domenii cum ar fi procesarea numerică a semnalelor și imaginilor.
MATLAB-ul dispune de mai multe tehnici de interpolare, alegerea unei metode sau alteia făcându-se în funcție de acuratețea necesară, de viteza de execuție și de gradul de utilizare a memoriei.
Funcțiile de interpolare se află în directorul polyfun.
Compararea unor metode de interpolare bi-dimensională
În continuare este preluat și prezentat (informativ) un exemplu de folosire a unor metode de interpolare bi-dimensională pentru o matrice de date 7 x 7.
Generarea funcției peaks (cu rezoluție mică):
[x,y] = meshgrid(-3:1:3);
z = peaks(x,y);
surf(x,y,z)
Generarea unei suprafețe mesh fine pentru interpolare:
[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);
Interpolarea cu metoda celei mai apropiate vecinătăți:
zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
Interpolarea cu metoda biliniară:
zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');
Interpolarea cu metoda bicubică:
zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');
Compararea graficelor corespunzătoare diferitelor metode de interpolare:
Compararea contururilor suprafețelor în cazul diferitelor metode de interpolare:
Se observă că metoda bicubică produce cele mai netede contururi. O metodă cum ar fi cea a celor mai apropiate vecinătăți este preferată însă în anumite aplicații, cum ar fi cele medicale unde nu trebuie generate date noi.
6. REPREZENTAREA FUNCȚIILOR. ECUAȚII DIFERENȚIALE
6.1. Reprezentarea și plotarea funcțiilor matematice
Reprezentarea funcțiilor matematice
Funcțiile matematice uzuale sunt furnizate de MATLAB ca funcții buit-in (cum ar fi sin, cos, log10, log, atan etc.).
Pentru reprezentarea altor funcții matematice se utilizează exprimarea în fișiere tip .m .
De exemplu, o funcție cum este următoarea:
poate fi creată într-un fișier MATLAB de tip function și poate fi utilizată ulterior ca intrare în alte funcții (așa-numitele funcții de funcții – a se vedea paragraful 2.3).
Fișierul care descrie această funcție a mai fost prezentat în paragraful 2.3:
function y = humps(x)
y = 1./((x-0.3).^2+0.01)+1./((x-0.9).^2+0.04)-6;
O altă posibilitate este crearea la nivelul liniei de comandă a unui obiect inline prin folosirea unei expresii tip șir de caractere:
» f=inline(`1./((x-.3).^2+.01)+1./((x-.9).^2+.04)-6');
Pentru a evalua această funcție f în 2.0 tastăm simplu:
» f(2.0)
ans =
-4.8552
Alt exemplu:
» f = inline('y*sin(x)+x*cos(y)','x','y')
» f(pi,2*pi)
ans =
3.1416
Plotarea funcțiilor
Pentru reprezentarea grafică a funcțiilor se poate utiliza funcția fplot. Se pot controla limitele axelor de reprezentare grafică.
Exemplu: trasarea graficului funcției humps pentru limitele [-5 5] ale axei x:
fplot('humps',[-5 5])
Dacă dorim și precizarea limitelor de reprezentare pe axa y (realizarea unui zoom) folosim comanda:
fplot('humps',[-5 5 -10 25])
Un alt exemplu de folosire directă a funcției fplot:
fplot('2*sin(x+3)',[-1 1])
Se poate realiza și reprezentarea mai multor funcții pe același grafic:
fplot('[2*sin(x+3), humps(x)]',[-1 1])
6.2. Minimizarea funcțiilor și găsirea zerourilor
MATLAB-ul furnizează o serie de funcții de nivel înalt care realizează sarcini de optimizare a funcțiilor. Aceste funcții sunt grupate în principal pe următoarele domenii:
Minimizarea funcțiilor de o variabilă
Minimizarea funcțiilor de mai multe variabile
Setarea opțiunilor de minimizare
Găsirea zerourilor unor funcții
Pentru exemplificare vom considera minimizarea unei funcții de o singură variabilă și găsirea zerourilor pentru această funcție.
Minimizarea unei funcții
Pentru găsirea unui minim local al unei funcții scrise într-un fișier function, se utilizează funcția fminbnd.
Reluăm aici exemplul din paragraful 2.3: pentru găsirea minimului funcției humps în intervalul (0.3, 1) folosim instrucțiunea:
» x = fminbnd('humps',0.3,1)
x =
0.6370
Dacă dorim o afișare detaliată a pașilor făcuți de prodedura de minimizare se utilizează următoarea sintaxă:
» x = fminbnd('humps',0.3,1,optimset('Display','iter'))
Func-count x f(x) Procedure
1 0.567376 12.9098 initial
2 0.732624 13.7746 golden
3 0.465248 25.1714 golden
4 0.644416 11.2693 parabolic
5 0.6413 11.2583 parabolic
6 0.637618 11.2529 parabolic
7 0.636985 11.2528 parabolic
8 0.637019 11.2528 parabolic
9 0.637052 11.2528 parabolic
x =
0.6370
Găsirea zerourilor
Funcția fzero permite găsirea zerourilor unei funcții (este vorba de fapt de o ecuație cu o singură necunoscută).
Dacă se dă un punct de plecare x0 pentru procedura de căutare, fzero va căuta un interval în jurul acestui punct în care funcția schimbă semnul. Dacă un astfel de interval este găsit, fzero returnează valoarea pentru care funcția schimbă semnul (adică zeroul), iar dacă un astfel de interval nu este găsit returnează NaN.
Altă variantă permite căutarea într-un interval specificat de utilizator.
Exemplu: găsirea unui zerou al funcției humps în apropiere de -0.2:
» a = fzero('humps',-0.2)
a =
-0.1316
Pentru verificare evaluăm funcția în punctul -0.1316 și găsim într-adevăr o valoare foarte aproape de zero:
» humps(a)
ans =
8.8818e -16
Se poate folosi și varianta cu interval de căutare precizat de utilizator. În continuare este prezentată această variantă plus folosirea unor opțiuni suplimentare pentru afișarea detaliată a informațiilor despre procedură și a pașilor:
» options = optimset('Display','iter');
» a = fzero('humps',[-1 1],options)
Func-count x f(x) Procedure
1 -1 -5.13779 initial
2 1 16 initial
3 -0.513876 -4.02235 interpolation
4 0.243062 71.6382 bisection
5 -0.473635 -3.83767 interpolation
6 -0.115287 0.414441 bisection
7 -0.150214 -0.423446 interpolation
8 -0.132562 -0.0226907 interpolation
9 -0.131666 -0.0011492 interpolation
10 -0.131618 1.88371e-007 interpolation
11 -0.131618 -2.7935e-011 interpolation
12 -0.131618 8.88178e-016 interpolation
13 -0.131618 -9.76996e-015 interpolation
Zero found in the interval: [-1, 1].
a =
-0.1316
6.3. Integrarea numerică
Aria subgraficului unei funcții F(x) poate fi determinată prin integrarea numerică, proces care se numește quadratură (quadrature).
Pentru rezolvarea integrării numerice în cazul monodimensional există două funcții MATLAB:
quad, care folosește un algoritm de tip Simpson
quad8, care utilizează un algoritm de tip Newton
Exemplu: pentru integrarea funcției humps între 0 și 1 folosim comanda
» q = quad('humps',0,1)
q =
29.8583
Funcțiile quad sau quad8 permit și alte argumente de intrare care specifică eroarea tolerată pentru integrare și alte opțiuni (a se vedea cu help).
Exemplu de integrare numerică: calculul lungimii unei curbe
Vom considera o curbă dată de ecuațiile:
cu
O plotare tri-dimensională a acestei curbe poate fi obținută cu
» t = 0:0.1:3*pi;
» plot3(sin(2*t),cos(t),t)
Lungimea acestei curbe este dată de formula următoare:
Pentru calculul lungimii trebuie integrată numeric integrala de mai sus. Pentru aceasta se creează mai întâi o funcție MATLAB care descrie integrandul pe care o numim fcurba:
function f = fcurba(t)
f = sqrt(4*cos(2*t).^2 + sin(t).^2 + 1);
și apoi se integrează cu ajutorul funcției quad:
lungime = quad('fcurba',0,3*pi)
lungime =
1.7222e+01
6.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale
MATLAB-ul dispune de metode și funcții care pot rezolva problema condițiilor inițiale (Cauchy) ale sistemelor de ecuații diferențiale ordinare (ODE – Ordinary Differential Equations).
În tabelul următor sunt prezentate succint câteva din aceste funcții.
Observație: La ecuațiile diferențiale ordinare de tip stiff (rigide) soluțiile pot avea variații foarte rapide în timp în raport cu intervalul de timp de integrare și este necesară folosirea unor pași de integrare foarte mici, ceea ce nu mai este indicat la ecuațiile nonstiff.
Exemplu de rezolvare: ecuația van der Pol
Ecuația van der Pol este un exemplu clasic de ecuație diferențială:
unde µ > 0 este un parametru scalar.
Pentru implementarea algoritmului de rezolvare este necesară rescrierea ecuației de ordinul 2 ca un sistem de două ecuații diferențiale de ordinul 1. Pentru aceasta se introduce variabila y2 care este derivata în raport cu timpul a variabilei y1 . Vom avea
Pentru a reprezenta în MATLAB acest sistem de ODE în scopul găsirii soluțiilor, trebuie scris în primul rând un fișier care descrie sistemul (un fișier de tip function). Un fișier ODE acceptă cel puțin două argumente, t și y.
Pentru ecuația van der Pol cu µ = 1, fișierul este următorul (y1 și y2 devin y(1) și y(2)):
function dy = vdp1(t,y)
dy = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
La pasul următor, după ce sistemul de ecuații a fost scris, se poate utiliza una din metodele de rezolvare prezentate în tabelul anterior. Trebuie furnizat un interval de timp pentru care se dorește calculul soluțiilor și bineînțeles condițiile inițiale.
Pentru exemplul van der Pol, se poate apela la ode45. Dacă intervalul de timp este [0 20] iar condițiile inițiale y(1)=2 și y(2)=0 vom avea
[t,y] = ode45('vdp1',[0 20],[2; 0]);
Ieșirea [t,y] este un vector coloană care conține vectorul timp t și soluția de tip tablou y. Fiecare linie din y corespunde unui element (moment) din vectorul timp.
Pentru trasarea graficului cu soluția se folosește comanda plot:
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'- -')
title('Solution of van der Pol Equation, mu = 1');
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y1','y2')
Se obține următorul grafic care conține evoluțiile celor două componente ale soluției în timp:
Dacă se dorește și trasarea planului fazelor se pot folosi liniile de comandă:
options=odeset('OutputFcn','odephas2');
[t,y] = ode45('vdp1',[0 20],[2; 0],options);
și obținem planul fazelor (este vorba de trasarea componentei y(1) versus componenta y(2)):
7. PROGRAMAREA ÎN LIMBAJUL MATLAB
7.1. Fișiere MATLAB
Fișierele care conțin cod MATLAB sunt numite M-files sau fișiere .m . După cum s-a precizat în capitolul de Fundamente ale programării în MATLAB, aceste fișiere pot fi funcții (functions) care acceptă argumente de intrare și furnizează ieșiri, sau pot fi fișiere script care execută o serie de instrucțiuni MATLAB. Pentru ca MATLAB-ul să recunoască un fișier ca fișier M-file trebuie ca numele acestuia să se termine cu extensia .m.
Fișierul .m poate fi creat cu un editor de text și apoi poate fi folosit ca orice funcție sau comandă MATLAB:
Caracteristicile celor două tipuri de fișiere sunt prezentate în tabelul următor:
Script-uri
Fișierele script sunt cele mai simple fișiere MATLAB, nu au argumente de intrare sau de ieșire și sunt utile pentru executarea secvențială a unor calcule care altfel ar trebui executate în mod repetat de la linia de comandă. Script-urile operează cu datele din workspace sau pot crea date noi. Aceste date sunt disponibile după terminarea execuției fișierului.
Părțile componente ale unui fișier de tip function
O funcție .m are următoarele părți componente:
Linia de definire a funcției
Linia de prim help H1
Textul Help-ului
Corpul funcției
Comentarii
Linia de definire
Această linie informează MATLAB-ul că fișierul conține o funcție și specifică argumentele. Exemplu:
Linia H1
Linia H1 este o linie de comentariu care începe cu semnul "%" și furnizează prima linie text atunci când utilizatorul tastează help function_name la prompterul MATLAB.
Textul Help-ului
Se poate crea un help online prin introducerea uneia sau mai multor linii de comentariu după linia H1, fiecare linie începând cu "%".
Corpul funcției
Corpul funcției conține toate instrucțiunile în cod MATLAB care permit efectuarea calculelor și asignează valori argumentelor de ieșire. Declarațiile din corp pot conține apelări de funcții, instrucțiuni de salt, intrări/ieșiri interactive, calcule etc.
Comentarii
O linie de comentariu începe după cum s-a precizat cu semnul "%" și poate fi plasată oriunde într-un fișier.
Pot fi adăugate linii albe oriunde în fișier, acestea fiind ignorate.
7.2. Tipuri de date și operatori
Tipuri de date
MATLAB-ul are șase tipuri fundamentale de date (sau clase), fiecare putând fi considerată ca tablou multidimensional. Cele șase clase sunt: double, char, sparse, storage, cell și struct. Versiunile bi-dimensionale ale acestor tablouri sunt numite matrici și de aici provine și numele de MATLAB.
În tabelul următor sunt prezentate detaliat tipurile de date:
Operatori
Operatorii MATLAB pot fi clasificați în trei categorii:
Operatori aritmetici
Operatori relaționali care compară operanzii cantitativ
Operatori logici
Operatori aritmetici
Cu excepția unor operatori matriceali, operatorii aritmetici lucrează cu elementele corespondente ale unor tablouri de dimensiuni egale. Pentru vectori și tablouri dreptunghiulare ambii operanzi trebuie să aibă aceeași dimensiune, cu excepția situației în care unul dintre ei este scalar. În acest caz MATLAB-ul aplică scalarul fiecărui element al celuilalt operand (proprietatea de expansiune scalară).
Operatori relaționali
Operatorii relaționali compară elementele corespondente ale unor tablouri de dimensiune egală.
Operatorii relaționali lucrează totdeauna element cu element. Exemplu:
» A = [2 7 6;9 0 5;3 0.5 6];
» B = [8 7 0;3 2 5;4 -1 7];
» A == B
ans =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Operatori logici
O expresie care utilizează operatorul & este adevărată dacă ambii operanzi sunt adevărați. În termeni numerici, expresia este adevărată dacă ambii operanzi sunt nenuli. Exemplu:
» u = [1 0 2 3 0 5];
» v = [5 6 1 0 0 7];
» u & v
ans =
1 0 1 0 0 1
O expresie care utilizează operatorul | este adevărată dacă unul dintre operanzi este logic adevărat sau dacă ambii operanzi sunt adevărați. În termeni numerici, expresia este falsă dacă ambii operanzi sunt nuli. Exemplu:
» u | v
ans =
1 1 1 1 0 1
O expresie care utilizează operatorul NOT, ~, neagă operandul. În termeni numerici, orice operand nenul devine nul și orice operand nul devine unu. Exemplu:
» ~u
ans =
0 1 0 0 1 0
Operatorii logici lucrează cu elementele corespondente ale unor tablouri de dimensiuni egale. Pentru vectori și tablouri dreptunghiulare ambii operanzi trebuie să aibă aceeași dimensiune, cu excepția situației în care unul dintre ei este scalar. În acest caz, ca și la operatorii aritmetici, MATLAB-ul aplică scalarul fiecărui element al celuilalt operand.
Funcții logice
În plus față de operatorii logici MATLAB-ul furnizează și funcții logice:
Alte funcții: isnan, isinf, find (a se folosi help pentru detalii).
Prioritatea operatorilor
Deoarece se pot construi expresii cu diverse tipuri de operatori, nivelurile de prioritate determină ordinea în care sunt evaluate expresiile. În cadrul fiecărui nivel, operatorii au prioritate egală și sunt evaluați de la stânga la dreapta.
Regulile de prioritate sunt prezentate în continuare, de la nivelul de prioritate cel mai mare spre cel mai mic.
7.3. Instrucțiuni de salt și bucle
În MATLAB există mai multe tipuri de instrucțiuni de control al buclelor:
if, împreună cu else și elseif execută un grup de instrucțiuni pe baza unei condiții logice.
switch, case și otherwise execută diverse grupuri de instrucțiuni în funcție de valoarea unei anumite condiții logice.
while execută un grup de instrucțiuni de un număr nedefinit de ori, pe baza unei condiții logice.
for execută un grup de instrucțiuni de un număr fixat de ori.
break termină execuția pentru o buclă for sau while.
try…catch schimbă controlul buclei dacă o eroare este detectată în timpul execuției.
return provoacă întoarcerea la funcția care a apelat prcedura.
Toate instrucțiunile de salt folosesc comanda end pentru a indica sfârșitul blocului respectiv.
Exemple de utilizare a unor instrucțiuni de salt:
Instrucțiunile if și elseif:
if n < 0 % Daca n este negativ afiseaza un mesaj de eroare.
disp('Intrarea trebuie sa fie pozitiva');
elseif rem(n,2)= =0 %Daca n este pozitiv si par, imparte-l la 2.
A = n/2;
else
A = (n+1)/2; %Daca n este pozitiv si impar incrementeaza si imparte la 2
end
Instrucțiunea for:
for i = 1:m
for j = 1:n
A(i,j) = 1/(i + j – 1);
end
end
7.4. Evaluarea datelor de tip caracter
Evaluarea datelor de tip caracter asigură putere și flexibilitate limbajului MATLAB.
Funcția eval
Funcția eval evaluează un șir de caractere care conține o expresie, o declarație sau un apel de funcție. În cea mai simplă formă, sintaxa este următoarea:
eval('string')
Exemplu: evaluarea unei expresii folosite la generarea unei matrice Hilbert de ordinul n:
t = '1/(i+j-1)';
for i = 1:n
for j = 1:n
a(i,j) = eval(t);
end
end
Alt exemplu de utilizare a funcției eval pentru o declarație:
eval('t = clock')
Funcția feval
Funcția feval diferă de eval prin faptul că execută o funcție a cărui nume este într-un șir de caractere. Se poate folosi feval și funcția input pentru a alege din mai multe sarcini definite de fișiere .m . Exemplu:
fun = ['sin'; 'cos'; 'log'];
k = input('Choose function number: ');
x = input('Enter value: ');
feval(fun(k,:),x)
Este indicată folosirea funcției feval în locul funcției eval, deoarece execuția este mai rapidă.
Construirea șirurilor de caractere pentru evaluare
Se pot concatena șirurile de caractere pentru a crea expresii de intrare necesare funcției eval. În continuare este prezentat un exemplu în care funcția eval creează 10 variabile numite P1, P2, …P10, și setează fiecare variabilă la o anumită valoare:
for i=1:10
eval(['P',int2str(i),'= i.^2'])
end
7.5. Reprezentarea și manipularea informațiilor despre dată și timp
MATLAB-ul furnizează funcții pentru manipularea informațiilor despre dată și timp, funcții grupate în directorul timefun.
7.6. Intrări utilizator
Pentru a obține o intrare de la utilizator în timpul execuției unui fișier există următoarele posibilități:
Afișarea unui prompter prin intermediul unei funcții tip input și introducerea unor date de la tastatură.
Oprirea execuției cu o comandă pause (reluarea execuției la apăsarea unei taste).
Construirea unei interfețe grafice GUI completă.
Funcția input asigură afișarea unui prompter și așteaptă un răspuns de la utilizator. Sintaxa este:
n = input('prompt_string')
Funcția determină afișarea șirului de caractere prompt_string, așteaptă o intrare de la tastatură și returnează valoarea introdusă de la tastatură. Funcția este utilă pentru implementarea aplicațiilor de tip meniu. Această funcție poate să returneze intrarea de la utilizator sub formă de caracter. Exemplu:
name = input('Enter address: ','s');
Comanda pause, fără argumente, oprește execuția până la apăsarea unei taste. Pentru a avea o pauză de n secunde se folosește comanda:
pause(n)
8. GRAFICE ȘI INTERFEȚE GRAFICE ÎN MATLAB
8.1. Tehnici de plotare
În general, pentru a realiza o reprezentare grafică, trebuie parcurse etapele următoare:
Funcțiile de bază folosite la plotare sunt prezentate în tabelul următor:
8.1.1. Plotări 2 D elementare
Generarea graficelor
Funcția plot are diferite forme în funcție de argumentele de intrare.
Dacă de exemplu y este un vector, plot(y) produce un grafic liniar al elementelor lui y versus indexul elementelor sale.
Dacă se specifică doi vectori ca argumente, plot(x,y) produce graficul lui y versus x.
Exemplu: t = 0:pi/100:2*pi;
y = sin(t);
plot(t,y)
grid on
Se pot realiza grafice multiple utilizând un singur apel al funcției plot. MATLAB-ul realizează automat o reprezentare cu culori diferite pentru a permite distingerea graficelor. Exemplu:
y2 = sin(t-0.25);
y3 = sin(t-0.5);
plot(t,y,t,y2,t,y3)
Specificarea stilului de linie
Se pot crea diferite tipuri de linii pentru fiecare set de date prin folosirea unor identificatori de tip string în funcția plot. Exemplu:
t = 0:pi/100:2*pi;
y = sin(t);
y2 = sin(t-0.25);
y3 = sin(t-0.5);
plot(t,y,'-',t,y2,'–',t,y3,':')
Funcțiile de plotare acceptă deci argumente de tip caracter care specifică stilul liniei, simbolurile utilizate pentru marker, culoarea etc. Forma generală este:
plot(x,y,'linestyle_marker_color')
unde linestyle_marker_color este un șir de caractere construit din:
Un stil de linie (de exemplu linie punctată, plină etc.)
Un tip de marker (de exemplu x, *, o, etc.)
Un specificator de culoare (c, m, y, k, r, g, b, w)
Se poate folosi un specificator sau mai mulți, în orice ordine. De exemplu,
'go–'
definește o linie întreruptă, cu markere circulare, ambele colorate în verde.
Specificarea culorii și dimensiunii liniilor
Caracteristicile liniilor se pot controla prin specificarea unor valori pentru proprietățile linilor:
LineWidth – specifică lățimea unei linii.
MarkerEdgeColor – setează culoarea markerului sau culoarea marginilor markerului în cazul anumitor forme (cerc, pătrat etc.)
MarkerFaceColor – setează culoarea interiorului markerelor.
MarkerSize – specifică dimensiunea markerului.
Exemplu:
x = -pi:pi/10:pi;
y = tan(sin(x)) – sin(tan(x));
plot(x,y,'–rs','LineWidth',2,…
'MarkerEdgeColor','k',…
'MarkerFaceColor','g',…
'MarkerSize',10)
Suprapunerea unor grafice peste un grafic existent
Se pot adăuga grafice peste unul existent cu comanda hold. Dacă se setează hold on, MATLAB-ul nu înlătură graficul existent, ci suprapune noul grafic în aceeași fereastră grafică.
Exemplu:
semilogx(1:100,'+')
hold on
plot(1:3:300,1:100,'–')
hold off
Plotarea simultană a markerelor și liniilor
Pentru plotarea markerelor (care indică punctele corespunzătoare datelor) și a liniilor (care unesc aceste date) se specifică atât tipul markerului cât și stilul liniei. Exemplu:
x = 0:pi/15:4*pi;
y = exp(2*cos(x));
plot(x,y,'-r',x,y,'ok')
Plotarea datelor din matrici
Atunci când funcția plot este utilizată cu un singur argument de tip matrice:
plot(Y)
va fi realizat un grafic pentru fiecare coloană a matricii, cu axa x reprezentând indexul de linie 1:m, cu m numărul liniilor din Y.
Exemplu: cu instrucțiunea Z = peaks; este creată o matrice 49×49 obținută printr-o evaluare de funcție. Dacă plotăm matricea cu plot(Z)vom avea un grafic cu 49 de linii.
Plotarea cu axa Y dublă
Comanda plotyy permite crearea unor grafice pentru două seturi de date și cu reprezentare dublă a axei Y, pe partea stângă și pe partea dreaptă.
Exemplu:
t = 0:pi/20:2*pi;
y = exp(sin(t));
plotyy(t,y,t,y,'plot','stem')
Setarea parametrilor axelor
MATLAB-ul setează automat limitele axelor și gradarea acestora. Se pot însă folosi și setările utilizatorului, cu comenzile:
axis – setează axele pentru fereastra grafică curentă.
axes – creează axe noi cu caracteristici specificate.
get și set – permit obținerea și setarea unor proprietăți ale axelor.
gca – returnează identificatorul axelor curente.
Se pot parcurge în detaliu aceste comenzi prin apelarea la help.
Ferestre de tip figură
MATLAB-ul direcționează ieșirile grafice spre o fereastră distinctă de fereastra de comandă. Această fereastră grafică este denumită figură (figure). (a se vedea paragraful 3.3).
Funcția figure generează ferestre grafice. De exemplu,
figure
generează o nouă fereastră și o face fereastra curentă.
Afișarea unor grafice multiple în aceeași fereastră grafică
Se poate realiza o afișare a mai multor grafice în aceeași fereastră prin intermediul funcției subplot.
Funcția subplot(m,n,i) desparte fereastra de tip figură într-o matrice m x n de mici subploturi (subgrafice) și selectează subplotul i ca grafic curent. Exemplu:
t = 0:pi/20:2*pi;
[x,y] = meshgrid(t);
subplot(2,2,1)
plot(sin(t),cos(t))
axis equal
subplot(2,2,2)
z = sin(x)+cos(y);
plot(t,z)
axis([0 2*pi -2 2])
subplot(2,2,3)
z = sin(x).*cos(y);
plot(t,z)
axis([0 2*pi -1 1])
subplot(2,2,4)
z = (sin(x).^2)-(cos(y).^2);
plot(t,z)
axis([0 2*pi -1 1])
Comenzi de marcare, etichetare și gradare a graficelor
MATLAB-ul furnizează comenzi de etichetare a fiecărei axe și de plasare a unui text în orice loc din grafic. Comenzile sunt prezentate în tabelul următor.
Etichetarea axelor
Se pot adăuga etichete pe axe cu comenzile xlabel, ylabel, zlabel.
Exemplu:
xlabel('t = 0 to 2\pi','FontSize',16)
ylabel('sin(t)','FontSize',16)
title('\it{Value of the Sine from Zero to Two
Pi}','FontSize',16)
MATLAB-ul interpretează caracterele care urmează după backslash "\" ca și comenzi TeX. Aceste comenzi permit reprezentarea unor simboluri cum ar fi literele grecești sau săgețile.
Adăugarea textelor
Prin utilizarea funcției text se poate plasa un text (șir de caractere) oriunde pe grafic. Exemplu:
text(3*pi/4,sin(3*pi/4),…
'\leftarrowsin(t) = .707',…
'FontSize',16)
text(pi,sin(pi),'\leftarrowsin(t) = 0',…
'FontSize',16)
text(5*pi/4,sin(5*pi/4),'sin(t)=-.707\rightarrow',…
'HorizontalAlignment','right',…
'FontSize',16)
Plasarea textului în mod interactiv
Dacă utilizăm funcția gtext se poate plasa un text în mod interactiv, cu mouse-ul, oriunde pe grafic. Această funcție acceptă ca argument un șir de caractere și așteaptă până când utilizatorul selectează un loc pe grafic cu ajutorul mouse-ului.
Se poate utiliza și Plot Editor pentru plasarea textului (a se vedea paragraful 3.3).
8.1.2. Grafice 2 D specializate
MATLAB-ul permite lucrul cu o mare varietate de tipuri de grafice, astfel încât informațiile să poată fi prezentate eficient.
Tipul de grafic selectat depinde în mod esențial de natura datelor prelucrate.
Graficele de tip bare sau arie (bar, area) sunt utile pentru vizualizarea unor rezultate, compararea lor și afișarea unei contribuții individuale din total.
Graficele de tip statistic (pie charts) indică contribuțiile individuale dintr-un total.
Histogramele (histogram) sunt utile pentru a indica distribuția valorilor datelor.
Graficele de tip stem și stairstep sunt utile pentru date discrete.
Graficele compass, feather, quiver sunt utile pentru plotarea vectorilor de tip direcție și viteză.
Graficele de tip contur (contour) sunt utile la reprezentarea unor regiuni de valori egale ale datelor.
Plotările interactive (interactive) permit selectarea unor puncte de plotare în mod interactiv.
Graficele de tip animație (animations) adaugă date la grafice consecutive și creează o animație.
Grafice de tip Bar și Area
Grafice Bar grupate
Ca setare implicită, un grafic cu bare reprezintă fiecare element dintr-o matrice cu o singură bară. În cazul unui grafic 2-D, barele create cu funcția bar sunt distribuite de-a lungul axei x, cu fiecare element dintr-o coloană desenat la altă locație. Toate elementele dintr-o linie sunt reprezentate grupat la aceeași locație pe axa x.
Exemplu:
Y = [5 2 1
8 7 3
9 8 6
5 5 5
4 3 2];
bar(Y)
Grafice Bar 3-D separate
Funcția bar3, în cea mai simplă formă, trasează fiecare element ca un bloc separat de tip 3-D, cu elementele fiecărei coloane distribuite de-a lungul axei y. Barele care reprezintă elementele din prima coloană a unei matrice sunt centrate la 1 pe axa x ș.a.m.d. Barele care reprezintă elementele din ultima coloană sunt centrate la valoarea size(Y,2) de pe axa x. Exemplu: bar3(Y).
Grafice Bar 3-D grupate
Pentru a realiza un grafic de bare grupate 3 D se specifică argumentul 'group':
bar3(Y,'group')
Grafice statistice – pie charts
Graficele pie afișează procentul cu care fiecare element al unui vector sau matrice contribuie la suma tuturor elementelor. Funcțiile pie și pie3 creează grafice 2-D și 3-D.
În continuare prezentăm un exemplu de vizualizare a ponderii a trei produse din totalul vânzărilor. Se consideră o matrice X, pentru care fiecare coloană reprezintă vânzările anuale pentru câte un produs, pe o perioadă de înregistrări de 5 ani:
X = [19.3 22.1 51.6;
34.2 70.3 82.4;
61.4 82.9 90.8;
50.5 54.9 59.1;
29.4 36.3 47.0];
Se pot calcula vânzările pentru fiecare produs în cei 5 ani cu ajutorul funcției:
x = sum(X);
Dacă utilizăm argumentul de intrare explode putem reprezenta într-un mod explodat care dintre produse a avut o contribuție mai mare la vânzări (de exemplu). Programul are următoarea formă:
explode = zeros(size(x));
[c,offset] = max(x);
explode(offset) = 1;
h = pie(x,explode); colormap summer
Crearea de grafice tip contur
Funcțiile contour și contour3 afișează contururi 2-D și 3-D. Funcțiile cer un singur argument, și anume o matrice, ale cărei date sunt interpretate ca înălțimi față de un plan.
Pentru a seta numărul de niveluri de contur (implicit se realizează automat pe baza valorilor minime și maxime) se folosește un argument suplimentar opțional. De exemplu,
[X,Y,Z] = peaks;
contour(X,Y,Z,20)
afișează 20 de contururi ale funcției peaks într-o vedere bidimensională.
Dacă dorim o reprezentare 3 D putem folosi comenzile:
[X,Y,Z] = peaks;
contour3(X,Y,Z,20)
h = findobj(`Type','patch');
set(h,'LineWidth',2)
title('Twenty Contours of the peaks Function')
Animație
Se pot crea secvențe animate în MATLAB pe două căi:
Salvarea unui număr de imagini și rularea lor ca pe un film.
Ștergerea continuă și redesenarea unor obiecte pe ecran, făcând schimbări în mod incremental la fiecare redesenare.
Filme
Se parcurg trei etape:
Se folosește moviein pentru inițializarea memoriei pentru o matrice suficient de mare.
Se utilizează getframe pentru a genera fiecare cadru de film, care este returnat ca un vector coloană cu care se poate construi o matrice de tip film.
Se folosește movie pentru rularea “filmului” de un număr specificat de ori cu o viteză specificată.
Ștergere și redesenare
Pot fi create diferite efecte prin selectarea unor moduri de ștergere. Pentru crearea unei animații sunt utile trei moduri de ștergere:
none – MATLAB nu șterge obiectele.
background – MATLAB șterge obiectul și îl redesenează în background. Acest mod șterge obiectul și tot ce este sub el (linii de grid etc.).
xor – Acest mod șterge doar obiectul și este cel mai folosit la animație.
Pentru vizualizarea unor efecte de animație și construirea unor exemple proprii este indicată utilizarea facilității demo a MATLAB-ului.
8.1.3. Plotări tridimensionale (3 D)
Pașii tipici care trebuie parcurși pentru trasarea unor grafice tridimensionale sunt prezentați în continuare.
Reprezentarea unei matrice ca o suprafață
MATLAB-ul definește o suprafață prin coordonatele z ale punctelor de deasupra unui caroiaj dreptunghiular în planul x-y. Graficul este format prin unirea punctelor adiacente cu linii drepte. Plotările de suprafețe sunt utile pentru vizualizarea matricilor care sunt prea mari pentru a fi afișate în formă numerică și pentru trasarea graficelor funcțiilor de două variabile.
MATLAB-ul poate crea diferite forme de trasare a suprafețelor:
Grafice realizate cu mesh și surf
Comenzile mesh și surf generează suprafețe 3-D din datele provenite de la matrici. Dacă Z este o matrice pentru elementele căreia Z(i,j) se definește înălțimea unei suprafețe peste un caroiaj (i,j) atunci
mesh(Z)
generează o imagine colorată, caroiată a suprafeței și o afișează în vedere 3-D.
Similar,
surf(Z)
generează o imagine colorată, continuă a suprafeței și o afișează în vedere 3-D.
În cazul comenzii mesh se pot folosi comenzi de tipul shading pentru eliminarea liniilor de tip mesh (shading flat) sau pentru interpolarea umbririlor de-a lungul fațetelor suprafeței (shading interp).
Vizualizarea funcțiilor de două variabile
Primul pas care trebuie parcurs pentru trasarea graficului unei funcții de două variabile, z = f(x,y), este de a genera matricile X și Y care definesc domeniul în care va fi vizualizată funcția. Apoi se utilizează aceste matrici pentru evaluare și trasarea graficului funcției.
Funcția meshgrid transformă domeniul specificat prin doi vectori, x și y, în matricile X și Y. Liniile matricei X sunt copii ale vectorului x și coloanele matricei Y sunt copii ale vectorului y.
Pentru a vedea cum se folosește meshgrid, vom considera funcția sin(r)/r (numită funcția sinc). Pentru a evalua funcția între -8 și 8 și pentru x și pentru y, este necesar doar un argument de tip vector pentru meshgrid, care va fi utilizat în ambele direcții:
[X,Y] = meshgrid(-8:.5:8);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;
Matricea R conține distanțele de la centru (originea), iar eps este adăugat pentru a evita împărțirea la zero.
Acum se poate forma funcția sinc și se poate realiza plotarea cu mesh.
Z = sin(R)./R;
mesh(Z)
Se poate realiza o îmbunătățire a reprezentării grafice în condițiile utilizării acelorași date, prin folosirea unor facilități de iluminare și ajustare a imaginii (daspect, axis, camlight, view).
Exemplu:
surf(X,Y,Z,'FaceColor','interp','EdgeColor','none',…
'FaceLighting','phong')
daspect([5 5 1]);axis tight;view(-50,30);camlight left
Harta culorilor
Fiecare fereastră grafică MATLAB are asociată o hartă a culorilor (colormap), care este o matrice cu trei coloane a căror lungime este egală cu numărul de culori definite. Fiecare linie a matricii definește o culoare particulară prin specificarea a trei valori în domeniul 0 – 1. Aceste valori definesc componentele RGB (red, green, blue) (adică intensitățile componentelor video roșu, verde și albastru). Funcția colormap fără argumente returnează harta figurii curente.
Funcția colorbar afișează în fereastra grafică harta curentă a culorilor, sub forma unei bare așezate lângă grafic. Exemplu:
[x,y] = meshgrid([-2:.2:2]);Z = x.*exp(-x.^2-y.^2);
surf(x,y,Z,gradient(Z));colorbar
8.2. Handle Graphics și Interfețe Grafice în MATLAB (GUI)
Crearea și manipularea graficelor în MATLAB se realizează cu ajutorul unui sistem de grafică orientată pe obiecte denumit Handle Graphics. Acest sistem furnizează componentele necesare generării unor grafice: comenzi de trasare a liniilor, textelor, grafice 3-D, poligoane etc. precum și instrumente interactive de tipul meniurilor, butoanelor, ferestre de dialog etc.
Cu Handle Graphics se pot manipula direct elementele grafice (așa cum o fac funcțiile MATLAB de nivel înalt descrise în paragraful anterior) pe două căi: fie de la linia de comandă MATLAB fie cu ajutorul unor fișiere MATLAB create special.
8.2.1. Graficele privite ca obiecte. Ierarhia obiectelor
Obiectele grafice sunt de fapt elementele grafice de bază utilizate de MATLAB pentru afișarea datelor și pentru crearea Interfețelor Grafice Utilizator (Graphical User Interfaces – GUI). Fiecare stare a unui obiect este asociată unui identificator unic numit handle, care poate fi folosit pentru manipularea caracteristicilor obiectului respectiv (caracteristici care sunt numite proprietățile obiectului).
Obiectele grafice sunt structurate într-o ierarhie pe trei nivele:
Ierarhia este bazată pe interdependențele dintre diferitele obiecte grafice. De exemplu, pentru trasarea unui obiect linie, MATLAB utilizează un obiect de tip axe pentru orientarea și furnizarea unui sistem de referință liniei. Obiectul de tip axe are nevoie la rândul său de o fereastră grafică pentru afișarea liniei.
Obiectele grafice sunt interdependente și prin urmare un ecran grafic conține o mare varietate de obiecte care împreună furnizează o imagine sau un grafic care are o semnificație clară. Pentru exemplificare se poate analiza următoarea fereastră grafică, fereastră care conține mai multe obiecte grafice.
Fiecare tip de obiect grafic are o funcție generatoare corespunzătoare, funcție care este utilizată pentru crearea unui obiect din clasa respectivă de obiecte. Funcțiile de generare a obiectelor au aceleași nume ca și obiectele pe care le creează (funcția text pentru obiecte de tip text, funcția figure pentru obiecte de tip figură etc.).
Tipurile de obiecte grafice sunt descrise pe scurt în continuare.
Rădăcina (Root)
În fruntea ierarhiei este obiectul rădăcină, care corespunde cu ecranul calculatorului. Acest obiect nu trebuie creat, el există, este unic și toate celelalte obiecte sunt descendenții acestuia. Se pot modifica anumite proprietăți ale obiectului rădăcină.
Obiectele figură (Figure)
Obiectele de tip figură sunt ferestre individuale pe ecranul rădăcină pe care MATLAB-ul afișează graficele. Nu există limită pentru numărul de ferestre grafice (decât cele datorate limitelor calculatorului). Toate obiectele figură sunt “copii” ai rădăcinii și celelalte obiecte grafice sunt descendenți ai figurilor.
Obiectele de tip Uicontrol
Obiectele Uicontrol sunt elemente de control ale interfeței utilizator care execută subrutine de apel atunci când utilizatorul activează un obiect. Există mai multe stiluri de control cum ar fi butoane, liste etc. Fiecare astfel de instrument este proiectat să accepte un anumit tip de informație de la utilizator. De exemplu, listele sunt de obicei folosite pentru pentru furnizarea unei liste de nume, din care utilizatorul poate selecta unul sau mai multe articole.
Obiectele Uicontrol pot fi utilizate în diferite combinații pentru construirea unor ecrane de control și a unor ferestre de dialog. În exemplul următor sunt prezentate astfel de combinații: meniuri “pop-up”, ferestre de tip text editabile, ferestre de verificare (check boxes), butoane, text static, cadre etc.
Obiectele Uicontrol sunt copiii obiectelor de tip figură și sunt independente de obiectele de tip axe.
Obiectele de tip Uimenu
Obiectele Uimenu sunt meniuri “pull-down” care execută rutine de apelare atunci când utilizatorul selectează un articol individual dintr-un meniu. MATLAB-ul plasează obiectele Uimenu pe bara de meniuri a ferestrei grafice, la dreapta meniurilor existente definite de sistem.
Imaginea următoare arată partea de sus a unei figuri MS-Windows care are definite trei meniuri de top Uimenu (intitulate Workspace, Figure, și Axes). Două niveluri de submeniuri sunt vizibile în meniul Workspace.
Obiectele Uimenu sunt descendente directe ale obiectelor de tip figură și deci sunt independente de axe.
Obiectele de tip axe (Axes)
Obiectele de tip axe definesc o regiune într-o fereastră de tip figură și orientează descendenții lor spre această regiune. Obiectele de tip axe sunt copiii obiectelor de tip figură și sunt părinții obiectelor de tip imagine, luminozitate, linie, patch, suprafață și text.
Toate funcțiile care trasează grafice (plot, surf, mesh, bar etc.) creează un obiect de tip axe dacă nu există deja unul.
Uicontrol și Uimenu nu sunt descendenți ai obiectelor de tip axe.
Obiectele de tip Imagine (Image)
O imagine în MATLAB constă într-o matrice de date și o hartă a culorilor. Există trei tipuri de bază de imagini care diferă în funcție de modul în care elementele matricii de date sunt interpretate ca pixeli color – indexați, intensitate și “truecolor”.
Obiectele de tip lumină (luminozitate) (Light)
Aceste obiecte definesc surse de lumină care influențează toate obiectele de tip patch și suprafață dintre axe. Se pot seta proprietățile care determină tipul sursei de lumină, culoarea, localizarea și altele.
Obiectele de tip linie (Line)
Obiectele de tip linie sunt elemente grafice de bază care sunt folosite pentru a genera cele mai multe plotări 2-D și unele 3-D. Funcțiile de nivel înalt plot, plot3, loglog etc. generează obiecte de tip linie. Sistemul de coordonate al obiectului părinte – obiectul de tip axe – poziționează și orientează linia.
Obiectele de tip Patch
Aceste obiecte sunt contururi poligonale cu muchii (laturi), umplute. Un singur obiect patch poate conține mai multe fețe, fiecare colorată independent. Funcțiile fill, fill3, contour3 creează obiecte patch. Ca și în cazul liniei, sistemul de coordonate al obiectului părinte (axele) poziționează și orientează obiectul patch.
Obiectele de tip dreptunghi (Rectangle)
Aceste obiecte sunt arii 2-D umplute, cu o formă care poate varia de la un dreptunghi la o elipsă.
Obiectele de tip suprafață (Surface)
Obiectele de tip Surface sunt reprezentări 3-D ale matricilor de date create prin plotarea fiecărui element al matricii ca o înălțime deasupra planului x-y. MATLAB-ul poate trasa suprafețe pline, colorate sau doar o rețea de linii (mesh) care conectează punctele respective. Sistemul de coordonate al axelor poziționează și orientează obiectul de tip suprafață. Funcțiile de nivel înalt pcolor, surf, mesh generează obiecte de tip suprafață.
Obiectele de tip Text
Obiectele de tip text sunt de fapt șiruri de caractere. Sistemul de coordonate al axelor poziționează textul. Funcțiile de nivel înalt title, xlabel, ylabel, zlabel, gtext generează obiecte de tip text.
8.2.2. Proprietățile obiectelor grafice
Proprietățile obiectelor grafice determină aspectul și comportamentul acestora. Proprietățile includ informații generale (tipul obiectului, părinte, copii, dacă obiectul este vizibil etc.) și informații specifice unei anumite clase particulare de obiecte.
MATLAB-ul organizează informațiile într-o ierarhie și salvează aceste informații în proprietăți ale obiectelor. De exemplu, proprietățile rădăcinii conțin identificatorul (handle) figurii curente și locația curentă a pointerului (cursorului), proprietățile figurii conțin liste cu descendenții și evenimentele din fereastră, proprietățile axelor conțin informații despre cum fiecare din obiectele copil folosește harta culorilor etc.
Valoarea curentă a oricărei proprietăți poate fi aflată, iar unele valori pot fi modificate. Valoarea unei proprietăți este aplicată numai unui obiect particular și nu întregii clase de obiecte. Se pot seta valori implicite care să fie valabile pentru toate obiectele create ulterior.
Anumite proprietăți sunt comune tuturor obiectelor grafice:
8.2.3. Funcții de generare a obiectelor grafice
Fiecare obiect grafic, mai puțin rădăcina, are o funcție de generare corespondentă:
Toate funcțiile de generare a obiectelor au un format similar
:
handle=function('propertyname',propertyvalue,…)
Exemplu de generare a obiectelor grafice
În exemplul următor este evaluată o funcție matematică și sunt create trei obiecte grafice folosind valorile proprietăților specificate ca argumente ale comenzilor figure, axes și surface, celelalte proprietăți având valori implicite.
[x,y] = meshgrid([-2:.4:2]);
Z = x.*exp(-x.^2-y.^2);
fh=figure('Position',[350 275 400 300],'Color','w');
ah=axes('Color',[.8 .8 .8],'XTick',[-2 -1 0 1 2],…
'YTick',[-2 -1 0 1 2]);
sh = surface('XData',x,'YData',y,'ZData',Z,…
'FaceColor',get(ah,'Color')+.1,…
'EdgeColor','k','Marker','o',…
'MarkerFaceColor',[.5 1 .85]);
Funcția surface nu folosește o vedere 3-D ca funcția de nivel înalt surf. Se poate schimba vederea într-una 3-D cu camera commands sau cu comanda view:
view(3)
9. PREZENTAREA TOOLBOX-URILOR MATLAB
MATLAB permite dezvoltarea unei familii de aplicații sub forma toolbox-urilor. Aceste toolbox-uri permit învățarea și aplicarea tehnologiilor specializate din diverse domenii. Sunt disponibile toolbox-uri pentru domenii cum ar fi: procesarea numerică a semnalelor, sisteme de conducere automată, rețele neurale, logică fuzzy, wavelet, simulare (SIMULINK), identificare, statistică, crearea de hărți, procesarea imaginilor, etc. În continuare sunt prezentate pe scurt facilitățile oferite de câteva din aceste toolbox-uri.
9.1. Toolbox-ul Comunicații (Communications Toolbox)
Communications Toolbox este o colecție de funcții de calcul și blocuri de simulare pentru cercetare, dezvoltare, proiectarea de sisteme și simulare în domeniul comunicațiilor. Toolboxul este proiectat atât pentru experți cât și pentru începători în domeniu, și se bazează pe MATLAB și Simulink.
Funcții disponibile:
• Surse de date
• Surse codare/decodare
• Controlul erorilor de codificare
• Modulare/demodulare
• Filtre transmisie/recepție
• Canale de transmisie
• Acces multiplu
• Sincronizare
• Utilitare
9.2. Toolbox-ul pentru Sisteme de Conducere Automată (Control System)
MATLAB-ul dispune de o colecție bogată de funcții utile atât inginerului automatist practician cât și teoreticianului din domeniul teoriei sistemelor. Printre facilitățile oferite enumerăm: aritmetică complexă, valori proprii, găsirea rădăcinilor, inversări de matrici, Transformarea Fourier Rapidă etc.
Toolbox-ul Control System folosește structurile matriceale ale MATLAB și reprezintă fundația MATLAB. Toolbox-ul este o colecție de algoritmi (în principal sub forma fișierelor .m), care implementează proiectarea sistemelor de conducere, precum și tehnici de analiză și modelare.
Sistemele pot fi modelate în MATLAB ca funcții de transfer, sub forma poli-zerouri sau prin reprezentarea de stare, ceea ce permite aplicarea tehnicilor clasice și a celor moderne. Se poate lucra cu sisteme continue și cu sisteme discrete și pot fi efectuate conversii între diversele tipuri de modele. Toolbox-ul permite calculul și trasarea răspunsurilor în domeniul timp și domeniul frecvență, precum și a locului rădăcinilor. De asemenea, se pot realiza alocări de poli, se pot implementa conducerea optimală și estimatoare etc.
9.3. Toolbox-ul pentru Baze de Date (Database Toolbox)
Toolbox-ul Baze de Date permite importul și exportul de date între MATLAB și cele mai răspândite programe de baze de date. Cu acest toolbox se pot importa date din exterior, se utilizează capacitățile mari de calcul și prelucrare analitică ale MATLAB, și se exportă rezultatele înapoi în baza de date sau în altă bază de date.
Realizarea acestor operațiuni se face astfel: toolbox-ul Database conectează MATLAB la o bază de date utilizând funcțiile MATLAB; datele sunt preluate de la baza de date ca și caractere, sunt transformate în tipuri de date corespunzătoare și sunt stocate în tablouri de tip celulă. În acest moment se pot folosi instrumentele MATLAB de lucru cu date. Se pot include funcțiile toolbox-ului în fișiere M-files. Pentru exportul datelor se utilizează în final funcțiile specializate MATLAB.
Toolbox-ul Database este furnizat împreună cu interfața grafică Visual Query Builder (VQB).
9.4. Toolbox-ul de Procesare a Semnalelor (Signal Processing Toolbox)
Toolbox-ul de Procesare a Semnalelor este o colecție de instrumente construită în mediul de calcul numeric MATLAB. Toolbox-ul permite o mare varietate de operații de prelucrare a semnalelor, de la forme de undă la proiectarea filtrelor, modelare parametrică și la analiza spectrală. Toolbox-ul furnizează două categorii de instrumente:
• Funcții de prelucrare a semnalelor de la linia de comandă
• Intefețe grafice utilizator pentru:
– Proiectarea interactivă a filtrelor
– Trasarea și analiza semnalelor
– Analiză spectrală
– Aplicarea de filtre semnalelor
– Analiza filtrelor
9.5. Toolbox-ul DSP Blockset
Setul de blocuri de procesare numerică a semnalelor (DSP Blockset) este o colecție de biblioteci de blocuri care se utilizează cu pachetul Simulink.
Bibliotecile DSP Blockset sunt proiectate special pentru prelucrarea numerică a semnalelor și includ facilități cum ar fi filtrarea clasică, adaptivă, manipulări de matrici, algebră liniară, statistică, etc.
DSP Blockset extinde mediul Simulink prin furnizarea de componente și algoritmi pentru sistemele DSP. Facilități:
• Operațiuni bazate pe cadre
• Suport matriceal
• Filtrare adaptivă și cu eșantionare multiplă
• Operațiuni statistice
• Algebră liniară
• Estimarea parametrilor
• Facilități de timp real
9.6. Toolbox-ul Finanțe (Financial Toolbox)
MATLAB-ul împreună cu toolbox-ul de Finanțe furnizează un mediu de calcul integrat și complet pentru analiză și inginerie financiară. Toolbox-ul dispune de instrumente de analiză matematică și statistică a datelor financiare și instrumente de prezentare grafică a rezultatelor obținute.
Facilități:
• Calcul și analiză de preț și de producție
• Realizează analize venituri, prețuri etc. compatibile SIA (Securities Industry Association)
• Analiza și managementul portofoliilor
• Proiectarea și evaluarea de strategii financiare
• Identificarea, măsurarea și controlul riscului
• Analiza și calculul fluxului de cash
• Analiza și predicția activității economice
• Crearea de instrumente financiare structurate
• Cercetare academică
9.7. Toolbox-ul de Procesare a Imaginilor (Image Processing Toolbox)
Toolbox-ul Image Processing este o colecție de funcții care extind posibilitățile MATLAB din domeniul prelucrării imaginilor. Toolbox-ul dispune de o mare varietate de operațiuni de prelucrare a imaginilor, cum ar fi:
• Operații geometrice
• Operații de tip vecinătate
• Filtrare liniară și proiectarea filtrelor
• Transformate
• Analiza și îmbunătățirea imaginilor
• Operații binare
• Operații asupra regiunii de interes
Multe dintre funcțiile toolbox-ului sunt fișiere M-files care constau în instrucțiuni MATLAB care implementează algoritmi specializați de prelucrare a imaginilor. Aceste instrucțiuni pot fi vizualizate cu comanda cunoscută:
type function_name
Posibilitățile toolbox-ului pot fi extinse prin crearea de fișiere proprii prin utilizarea funcțiilor disponibile în combinație cu alte toolbox-uri cum ar fi Signal Processing Toolbox și Wavelet Toolbox.
9.8. Toolbox-ul Optimizare (Optimization Toolbox)
Acest toolbox este o colecție de funcții care includ rutine pentru o mare diversitate de optimizări:
• Minimizare neliniară fără constrângeri
• Minimizare neliniară cu constrângeri, inclusiv probleme de tip minimax și probleme de minimizare semi-infinită
• Programare liniară și pătratică
• Algoritmi neliniari de tipul celor mai mici pătrate
• Rezolvarea de sisteme de ecuații neliniare
Sunt disponibili și algoritmi specializați pentru sisteme mari (large-scale problems). Funcțiile toolbox-ului pot fi utilizate în combinație cu alte toolbox-uri sau cu Simulink.
9.9. Toolbox-ul pentru Sisteme de Putere (Power System Blockset)
Sistemele electrice de putere sunt combinații de circuite electrice și de aparate electro-mecanice cum ar fi motoarele și generatoarele. Inginerii care lucrează în acest domeniu trebuie să îmbunătățească performanțele sistemelor de putere. Cerințele de creștere drastică a eficienței au determinat proiectanții să folosească aparatură electronică și sisteme sofisticate de conducere care necesită instrumente de analiză și proiectare corespunzătoare, fiind absolut necesară înțelegerea fenomenelor (neliniare) prin simulare.
Power System Blockset a fost proiectat pentru furnizarea unor instrumente de proiectare care permit inginerilor să construiască rapid și ușor modele care simulează sistemele de putere. Blocurile utilizează mediul Simulink și permit construirea unui model cu proceduri simple de tip click and drag. Se poate trasa rapid topologia circuitelor electrice și de asemenea se poate face o analiză a circuitelor care include interacțiunile cu sistemele mecanice, termice, de control.
Bibliotecile conțin modele ale aparaturii tipice pentru sistemele de putere, cum ar fi transformatoare, linii electrice, motoare, electronică de putere etc. Posibilitățile toolbox-ului pot fi testate prin rularea fișierelor demonstrative.
9.10. Toolbox-ul Stateflow (Diagrame de stare)
Stateflow este un produs multiplatformă, care poate rula pe sisteme Microsoft Windows 95, Windows NT și UNIX, și care necesită MATLAB + Simulink.
Stateflow este un instrument grafic de proiectare și dezvoltare pentru sisteme de conducere complexe și pentru sisteme logice de supervizare. Cu ajutorul acestui toolbox se pot genera modele sub forma unor diagrame de stare dinamice ale unui sistem. Generarea de cod pentru elementele Simulink ale unui model Stateflow necesită pachetul suplimentar al Simulink-ului Real-Time Workshop.
9.11. Toolbox-ul de Statistică (Statistics Toolbox)
Toolbox-ul de Statistică dispune de instrumente care permit executarea de sarcini statistice uzuale, de la generarea de numere aleatoare până la proiectarea de experimente statistice și controlul proceselor statistice.
Există două categorii de instrumente:
• Construcția de funcții statistice și probabilistice
• Instrumente grafice interactive
Prima categorie constă în funcții care pot fi apelate din linia de comandă sau din aplicații proprii.
A doua categorie constă în instrumente interactive care permit accesul la funcții prin intermediul unei interfețe grafice utilizator (GUI), care furnizează un mediu adecvat pentru funcții de predicție, interpolare, probabilistice etc.
9.12. Toolbox-ul pentru Calcul Simbolic (Symbolic Math Toolbox)
Acest toolbox completează facilitățile grafice și numerice ale MATLAB-ului cu diverse alte tipuri de facilități matematice, care permit efectuarea de calcule simbolice.
Mașina de calcul utilizată este nucleul de la Maple. Există de fapt două toolbox-uri: unul de bază, care este o colecție de peste o sută de funcții MATLAB care permit accesul la Maple, și un toolbox extins care permite accesul extins la multiple pachete Maple (non-grafice, facilități de programare, proceduri utilizator etc.)
Facilități:
Calcul matematic: Diferențieri, integrări, limite, sume, serii Taylor
Algebră liniară: Inverse, determinanți, valori proprii, forme canonice
ale matricilor
Simplificări: Metode de simplificare a expresiilor algebrice
Soluționarea ecuațiilor: Soluții simbolice și numerice ale ecuațiilor algebrice și diferențiale
Aritmetică cu precizie
variabilă: Evaluarea numerică a expresiilor matematice cu precizie specificată
Transformări: Fourier, Laplace, Transformarea z și inversele lor
Funcții matematice
speciale: Funcții speciale ale matematicilor aplicate clasice
10. PACHETUL DE MODELARE ȘI SIMULARE SIMULINK
SIMULINK este un pachet software pentru modelarea, simularea și analiza sistemelor dinamice. Pot fi modelate sisteme liniare și neliniare, continue, discrete, hibride, cu mai multe perioade de eșantionare.
SIMULINK furnizează o interfață grafică utilizator (GUI) pentru crearea modelelor sub forma unor diagrame construite din blocuri, pe baza unor tehnici de tip click-and-drag realizate cu mouse-ul. Astfel, trasarea diagramelor este simplă și intuitivă, aproape la fel de simplă ca trasarea acestor diagrame direct pe hârtie. În plus, se evită formularea matematică laborioasă (sistemele dinamice sunt de regulă descrise de ecuații diferențiale sau cu diferențe).
SIMULINK dispune de o bibliotecă vastă de surse, receptoare, componente liniare și neliniare, conectori etc. pe baza cărora se pot trasa diagrame și construi blocuri proprii.
Modelele realizate în SIMULINK sunt ierarhice. Se poate vizualiza modelul de nivel înalt, iar la efectuarea unui dublu click pe blocul respectiv se coboară nivel după nivel astfel încât se pot observa toate detaliile de construcție și de organizare ale modelului.
După crearea unui model se pot realiza simulări apelând la diverse metode de integrare din meniurile SIMULINK și/sau utilizând comenzi MATLAB. Prin utilizarea unor blocuri de tip osciloscop sau diverse dispozitive de afișare se pot observa rezultatele chiar în timpul simulării. De asemenea se pot schimba valorile unor parametri și se poate observa imediat efectul acestor modificări. Rezultatele obținute se pot transporta în workspace-ul MATLAB pentru prelucrări și vizualizări ulterioare.
10.1. Rularea unui model SIMULINK demonstrativ
Rularea modelului
Pentru a analiza modul de lucru cu SIMULINK se poate apela la rularea unor programe (modele) demonstrative.
Unul din programele demo este modelul termodinamic al unei case. Pentru rularea programului, trebuie parcurși următorii pași:
1. Se startează MATLAB.
2. Se rulează demonstrația tastând thermo în fereastra de comandă MATLAB sau se tastează comanda demo și se alege programul demonstrativ din meniul care apare. Aceste comenzi startează SIMULINK și creează o fereastră model care conține modelul respectiv.
La deschiderea modelului (extensiile fișierelor SIMULINK sunt .mdl) SIMULINK-ul deschide un bloc de tip osciloscop cu două ecrane (temperatură interioară/exterioară – Indoor vs. Outdoor Temp. și costul încălzirii – Heat Cost ($)).
3. Pentru startarea simulării se activează meniul Simulation și se alege comanda Start command (sau se activează direct butonul Start din bara de instrumente). O dată cu startarea simulării sunt plotate evoluțiile temperaturii interioare și exterioare, ca și costul cumulat al încălzirii.
4. Pentru oprirea simulării se alege comanda Stop din meniul Simulation (sau butonul Pause din bara de instrumente).
5. Atunci când se dorește terminarea rulării programului se închide modelul alegând Close din meniul File.
Descrierea modelului
Programul modelează sistemul termodinamic al unei case folosind o reprezentare simplă. Temperatura de referință este setată la 70 grade Fahrenheit (aprox. 21 grade Celsius). Temperatura din casă este influențată de temperatura exterioară, care poate fi variată sub formă sinusoidală (amplitudine 15 grade F, temperatura de bază 50 grade F), variație care simulează fluctuațiile temperaturii din exterior din timpul zilei.
Sunt utilizate subsisteme care fac modelul simplu și configurabil (un subsistem este un bloc alcătuit dintr-un grup de blocuri conectate). Modelul conține 5 subsisteme: Thermostat, House și trei Convertoare de temperatură (Temp Convert), din care 2 convertesc Fahrenheit în Celsius și unul Celsius în Fahrenheit.
Efectuarea unui dublu click pe blocul House permite vizualizarea blocurilor componente ale subsistemului.
Subsistemul Thermostat este de tip releu și determină pornirea sau oprirea sistemului de încălzire. Se pot vedea blocurile componente la efectuarea unui dublu click pe subsistem.
Subsistemele de conversie a temperaturii au o structură asemănătoare:
Alte demonstrații
Din fereastra bibliotecilor SIMULINK pot fi rulate și alte demonstrații care pun în evidență diverse concepte și tehnici de modelare din diverse domenii. Pentru rularea din fereastra bibliotecilor SIMULINK se procedează astfel:
1. Se tastează simulink3 în fereastra de comandă MATLAB; va apare fereastra bibliotecilor SIMULINK.
Se execută dublu click pe icon-ul Demos. Va apare fereastra demo a MATLAB-ului, care conține câteva modele SIMULINK interesante.
10.2. Crearea modelelor SIMULINK
Tehnica de creare a unor modele SIMULINK poate fi ilustrată cel mai bine prin exemple.
Modelul prezentat în continuare integrează un sinus și afișează atât rezultatul cât și unda sinusoidală de la intrare. Schema bloc a modelului este următoarea:
Pentru a genera modelul se tastează mai întâi simulink în fereastra de comandă MATLAB. Pe sistemele de operare de tip Windows va apare Browser-ul bibliotecilor SIMULINK.
Pe sistemele UNIX, va apare fereastra bibliotecilor SIMULINK.
Pentru a genera un model nou pe sisteme UNIX se selectează Model din submeniul New al meniului File. Pe sisteme Windows se selectează butonul New Model din bara de instrumente a Browser-ului de Biblioteci.
Simulink va deschide o fereastră pentru un model nou.
Pentru construcția modelului vor fi necesare blocuri din următoarele biblioteci Simulink:
Biblioteca de surse (blocul Sine Wave)
Biblioteca de receptoare (blocul Scope)
Biblioteca de sisteme continue (blocul Integrator)
Biblioteca Signals & Systems (blocul Mux)
Pentru copierea blocului Sine Wave se utilizează Browser-ul de bibiloteci: întâi se expandează arborele de biblioteci (prin click pe nodul Simulink și apoi click pe nodul surse) astfel încât să fie afișate blocurile din biblioteca de surse. Apoi se selectează blocul Sine Wave (click).
Fereastra Browser-ului de biblioteci va arăta astfel:
La pasul următor se trage (ținând apăsat butonul din stânga al mouse-ului) blocul Sine Wave din browser și i se dă drumul în fereastra modelului. Simulink va face o copie a blocului Sine Wave în punctul indicat.
Se poate proceda asemănător pentru copierea blocului Sine Wave din biblioteca de surse deschisă din fereastra de biblioteci Simulink (pe sisteme Windows se poate deschide fereastra de biblioteci din Browser prin click din butonul drept al mouse-ului și apoi click pe Open Library).
Ca și în cazul utilizării browser-ului se trage blocul Sine Wave din biblioteca de surse în fereastra modelului (drag and drop):
Se procedează în mod asemănător și cu copierea celorlalte blocuri din bibliotecile corespunzătoare în fereastra modelului. Se poate deplasa cu ușurință orice bloc prin tragerea cu mouse-ul sau prin selectare și deplasare cu tastele săgeți.
După copierea tuturor blocurilor necesare în fereastra de lucru, modelul trebuie să arate ca în figura următoare:
La o examinare atentă a simbolurilor de reprezentare a blocurilor se vor observa săgeți care indică intrările sau ieșirile din blocuri: dacă simbolul > este orientat spre ieșirea blocului atunci este un port de ieșire (output port) iar dacă simbolul este îndreptat spre bloc este un port de intrare (input port). Un semnal circulă de la un port de ieșire al unui bloc spre un port de intrare al altui bloc printr-o linie de conectare, Atunci când blocurile sunt conectate, simbolurile porturilor dispar.
Pentru conectarea blocurilor se trece întâi la conectarea blocului Sine Wave la prima intrare (de sus) a blocului Mux. Pentru aceasta se poziționează pointerul mouse-ului deasupra portului de ieșire al blocului Sine Wave. În acest moment forma pointerului se schimbă și devine de tip cruce (cursor).
Se ține apăsat butonul stânga al mouse-ului și se deplasează cursorul până la intrarea de sus a blocului Mux.
Urmează eliberarea butonului mouse-ului și se observă cum blocurile au fost conectate.
În afara liniilor care conectează ieșirile unor blocuri la intrările altora există și linii de branșare a unor linii la intrările unor blocuri (se poate observa în modelul prezentat inițial). O astfel de linie este utilizată pentru conectarea ieșirii din blocul Sine Wave și la blocul Integrator (există deja conexiunea la blocul Mux).
Pentru a efectua această conexiune se procedează astfel:
1. Se poziționează pointerul pe linia dintre blocurile Sine Wave și Mux.
2. Se apasă și se ține apăsată tasta Ctrl. Se apasă butonul mouse-ului și apoi se trage până la intrarea în blocul Integrator sau până deasupra acestui bloc.
3. Se eliberează butonul mouse-ului și se observă cum apare o linie de branșare până la portul de intrare în blocul Integrator.
Se procedează conform indicațiilor și se efectuează toate conectările necesare. Modelul va trebui să arate în final astfel:
10.3. Rularea simulărilor în SIMULINK
După încheierea procedurii de construcție a modelului, trebuie rulată o simulare pentru aprecierea corectitudinii modelului și pentru obținerea rezultatelor cerute.
Pentru aceasta se deschide mai întâi blocul osciloscopului (Scope), pentru a vizualiza evoluția mărimilor modelului. Păstrând fereastra osciloscopului deschisă se va seta Simulink pentru rularea unei simulări timp de 10 secunde. Pentru aceasta, parcurgem următorii pași:
1. Setăm parametrii simulării prin alegerea submeniului Parameters din meniul Simulation. În fereastra de dialog care apare vom seta parametrul Stop time la 10.0 (valoare implicită).
2. Închidem fereastra de dialog Simulation Parameters prin click pe butonul Ok. Simulink va aplica parametrii și va închide fereastra de dialog.
3. Se selectează Start din meniul Simulation și se observă curbele afișate în fereastra osciloscopului.
4. Simularea se va opri atunci când se ajunge la finalul timpului de rulare indicat în fereastra de dialog Simulation Parameters sau la selectarea opțiunii Stop din meniul Simulation (sau din bara de instrumente).
Pentru salvarea modelului se alege Save din meniul File și se introduce un nume de fișier și se alege directorul unde dorim să salvăm modelul (fișierul va avea automat extensia .mdl).
Pentru încheierea lucrului se selectează Exit MATLAB sau se tastează quit în fereastra de comandă a MATLAB-ului.
10.4. Modul de lucru al unui program SIMULINK
Fiecare bloc dintr-un model Simulink are următoarele caracteristici generale: un vector de intrare, u, un vector de ieșire, y, și un vector de stare, x:
Vectorul de stare poate consta din stări continue, stări discrete sau combinații ale acestora. Relațiile matematice dintre aceste mărimi (intrări, ieșiri, stări) sunt exprimate prin ecuații de tipul:
Simularea constă în două faze: inițializare și simulare propriu-zisă.
Faza de inițializare înseamnă parcurgerea următoarelor etape:
1. Blocul parametrilor este trecut în MATLAB pentru evaluare. Valorile numerice rezultate sunt folosite ca parametri actuali (curenți).
2. Este parcursă ierarhia modelului. Fiecare subsistem care nu este un subsistem executat condiționat este înlocuit prin blocurile componente.
3. Blocurile sunt sortate în ordinea în care este necesară actualizarea lor. Algoritmul de sortare întocmește o listă astfel încât orice bloc nu este actualizat până când blocurile care furnizează intrările acestuia nu sunt actualizate. În timpul derulării acestei etape sunt detectate buclele algebrice.
4. Conexiunile dintre blocuri sunt verificate pentru asigurarea compatibilității ieșire-intrare.
Urmează faza de simulare propriu-zisă. Modelul este simulat prin integrare numerică. Calculul derivatelor se face în doi pași. Prima dată ieșirea fiecărui bloc este calculată în ordinea determinată de algoritmul de sortare. La al doilea pas, pentru fiecare bloc se calculează derivatele în funcție de timp, intrări și stări. Vectorul derivatelor rezultat este returnat algoritmului de rezolvare de tip ODE, care îl utilizează pentru calculul noului vector de stare pentru momentul de timp următor. O dată ce noul vector de stare este calculat, blocurile sunt actualizate.
BIBLIOGRAFIE
Ionete C., Selișteanu D., Petrișor A. – Proiectarea sistemică asistată de calculator în MATLAB, Reprografia Universității din Craiova, 1995.
Leonard N.E., Levine W.S – Using MATLAB to analyze and design Control Systems, Addison-Wesley Publ., SUA, 1995.
Marchand P. – Graphics and GUIs with MATLAB, CRC Press, SUA, 1999.
*** – MATLAB User’s Guide, The Mathworks Inc., SUA, 2000.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Fundamente de Matlab (ID: 149323)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.