. Functii Reale de Mai Multe Variabile. Interpretari Economice ale Studiului Functiilor de Mai M

CAPITOLUL I

FUNCȚII REALE DE MAI MULTE VARIABILE

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. LIMITĂ. CONTINUITATE

1.1 Mulțimi și puncte din Rn

Definiția 1. Mulțimea Rn = se numește spațiu real n-dimensional.

Observația 1. și s-a arătat că Rn se poate organiza ca un spațiu liniar (vectorial) față de adunarea a două elemente din Rn și înmulțirea elementelor din Rn cu scalari.

Definiția 2. Numim interval n-dimensional, produsul cartezian:

unde

.

Definiția 3. Fie x0 Rn, rR, r>0, numim sferă deschisă cu centrul în x0 și de rază r mulțimea:

d(x,x0) este distanța dintre x și x0.

Definiția 4. Se numește vecinătate a unui punct x0 Rn orice multime V Rn care conține o sfeă deschisă cu centrul în x0, deci Sr(x0), astfel încât

x0 Sr(x0)V.

Definiția 5. x0 Rn se numește punct interior al mulțimii A Rn, dacă există o vecinătate V a lui x0, inclusă în A, deci x0VA.

O mulțime A care conține numai puncte interioare se numește mulțime deschisă și avem că A = int.A, unde int.A este mulțimea punctelor interioare ale lui A.

Definiția 6. x0 Rn se numește punct exterior al mulțimii A, dacă x0 este punct exterior al complementarei lui A (notată CA).

Definiția 7. x0 Rn se numește punct aderent al mulțimii A, dacă orice vecinătate V a lui x0, conține cel puțin un punct din A, adică VA .

Definiția 8. x0 Rn se numește punct frontieră al mulțimii A, dacă orice vecinătate V a lui x0 conține puncte din A cât și din CA.

Mulțimea punctelor frontieră a mulțimii A se notează Fr(A) și se numește frontiera lui A.

Definiția 9. x0 Rn se numește punct de acumulare al mulțimii A, dacă orice vecinătate V a lui x0, conține cel puțin un punct din A, diferit de x0, adică

(V \{x0}) A .

Observația 2.Punctul x0 de acumulare poate să aparțină sau nu mulțimii A, și orice punct de acumulare este punct aderent, reciproca nu este adevărată.

Definiția 10. punctele lui A care nu sunt puncte de acumulare ale lui A se numesc puncte izolate, deci x0 A, este izolat dacă există o vecinătate x0 care nu conține nici un punct din A în afară de x0.

Definiția 11. O mulțime A Rn este mărginită dacă există o sferă deschisă cu centrul în origine, de rază r>0 care conține pe A, sau oricare ar fi x A, r>0, astfel încât .

1.2 Limita unei funcții de mai multe variabile.

Definiția 12. Fie A Rn, și variabila vectorială x = (x1,x2,…,xn) A, atunci funcția :A R se numește funcție reală de n – variabile, valoarea ei în punctul x = (x1,x2,…,xn) A se notează (x) = (x1,x2,…,xn).

Observația 3. Dacă pentru o funcție se fixează (n-1) – variabile din cele n variabile ale funcției, se obține o funcție de o variabilă, denumită funcție parțială a lui , analog când se fixează un grup oarecare de s variabile (s < n).

Observația 4. Graficul unei funcții de n – variabile :A R, A⊂Rⁿ este:

și reprezintă o hipersuprafață din Rn+1.

Fie A Rn, :A R și a = (a1,a2,…,an) Rn, punct de acumulare pentru A, atunci următoarele definiții ale limitei sunt echivalente:

Definiția 13. (cu vecinătăți).

Spunem că l R este limită a funcției în punctul a, dacă:

VV (l) UV (a) a.î. xAU, xa (x) V și scriem , unde V (l) și V (a) sunt familii de vecinătăți pentru l respectiv a.

Definiția 14. (cu și ).

a.î. xA, cu .

Definiția 15. (cu șiruri).

șirul din Rn cu xk a, pentru k, să rezulte că (xk) l.

Observația 5. Pentru șirul vectorial cu limita a = (a1,a2,…,an), scrierea xka este echivalentă cu scrierile xki ai, , când k, ceea ce permite:

și se înțelege că avem limita funcției când x1,x2,…,xn tind independent și simultan către a1,a2,…,an.

Observația 6. Dacă se calculează atunci rezultatul depinde de celălalte (n-1) variabile și continuând putem obține limitele:

și

fiecare dintre ele depinzând de celelalte (n-2)variabile, astfel de limite sunt numite iterate.

Exemplu. Pentru funcții de două variabile avem limitele iterate:

și ,

care în general nu sunt egale, așa cum se arată în exemplele următoare:

, dar

.

Legătura dintre limita unei funcții într-un punct și limitele iterate este dată de teorema 1.

Teorema 1. Dacă există limita funcției într-un punct și una din limitele iterate în acest punct, atunci aceste limite sunt egale, deci limita funcției dacă există este unică.

Observația 7. Operațiile cu limite de funcții de mai multe variabile sunt aceleași ca pentru funcțiile cu o singură variabilă.

1.3 Continuitatea funcțiilor de mai multe variabile.

Definiția 16. (cu vecinătăți).

Spunem că funcția :A R este continuă în punctul aA Rn, dacă:

V V ((a)) UV (a) a.î. xUA (x)V și scriem .

Definiția 17. (cu și ).

a.î.xA cu <

Definiția 18. (cu șiruri)

șirul Rn cu xka pentru k să rezulte (xk)(a).

Definiția 19. Funcția :AR, A⊂Rⁿ este uniform continuă pe A, dacă:

.

Observația 8. Continuitatea în x=a înseamnă continuitatea globală. Fixând (n-1)variabile din cele n-variabile obținem funcția parțială (de o singură variabilă), care dacă este continuă în punctul xi = ai atunci se spune că funcția este continuă parțial în raport cu variabila xi.

Teorema 2. Dacă funcția :AR, A⊂Rⁿ este continuă global (sau în raport cu ansamblul variabilelor) în punctul a, atunci este continuă în acest punct în raport cu oricare variabilă (reciproca nu este, în general, adevărată).

Demonstrație.

continuă în a, atunci a.î. xA cu <, adică din

În particular, x1 =a1, x2=a2,…,xi-1=ai-1, xi+1=ai+1,…, xn=an, și atunci obținem:

deci funcția f este continuă în raport cu variabila xi în punctul a = (a1,a2,…,an).

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIABILITATEA FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Derivate parțiale. Gradient. Matricea Hessiană.

În studiul funcțiilor de o variabilă reală :R R, o serie de proprietăți precum: monotonia, convexitatea, existența extremelor locale (minime și maxime) etc. au fost cercetate cu ajutorul derivatei de ordinul I și II.

Aceste metode se pot extinde și la funcțiile de variabilă vectorială: :AR, A⊂Rⁿ.

Derivate parțiale de ordinul I. Gradientul funcției.

Definiția 21. Funcția :AR este derivabilă parțial în raport cu xi în punctul interior a = (a1,a2,…,an) A dacă există limita:

și este finită.

Derivata parțială de ordinul I, în raport cu xi în punctul a se notează cu sau cu .

Dacă admite derivatele parțiale în raport cu fiecare variabilă x1, x2,…,xn în punctul aA, vectorul derivatelor parțiale se numește gradientul funcției în punctul a, care se mai notează și cu grad f; (a) se mai citește “nabla ”.

Dacă este continuă și are derivate parțiale continue spunem că este de clasă C1 și scriem C1.

Calculul derivatelor parțiale se face în mod obișnuit considerând constante celelalte variabile cu excepția celei în raport cu care se calculează derivata parțială..

Dacă funcția reală (x1,…,xn) este derivabilă parțial în raport cu xi în punctul a = (a1,a2,…,an), atunci este continuă parțial în raport cu variabila xi în punctul a.

Într-adevăr funcția de o variabilă fiind derivabilă în raport cu xi în punctul a este continuă în raport cu xi în punctul a, ca proprietate cunoscută a funcțiilor reale de o variabilă reală.

Derivate parțiale de ordinul II. Matricea hessiană.

Definiția 22. Fie :AR, A⊂Rⁿ o funcție care admite derivate parțiale de ordinul I, și dacă acestea la rândul lor admit derivate parțiale în raport cu xi, adică , spunem că admite derivate parțiale de ordinul II și se notează cu sau . Pentru .

Definiție 23. Derivatele parțiale de ordinul II sunt în număr n2 și se pot ordona într-o matrice matrice hessiană notată H(x), unde:

Teorema 3. (criteriul Schwarz)

Dacă pentru o funcție :AR există și pe o vecinătate V a punctului x0A și sunt continue în x0, atunci sunt egale în x0, adică =(x0).

Observația 9. Dacă este continuă și admite derivate parțiale de ordinul I și II continue, spunem că este de clasă C2 și scriemC2.

Din criteriul lui Schwarz deducem că dacă C2 matricea hessiană H(x) este o matrice simetrică adică, dacă .

Derivate de ordin superior

Pentru funcția (x1,x2,…,xn)derivata parțială de ordin k, când se derivează de 1 – ori în raport cu x1, de 2 – ori în raport cu x2, ș.a.m.d., de de n – ori în raport cu xn, cu proprietatea că 1 +1+…+n =k, iN se scrie:

și dacă funcția împreună cu toate derivatele până la ordinul k sunt continue, ordinea de derivare parțială nu influențează rezultatul.

Exemplu: Fie funcția :R2 R, (x,y) = x2+2xy și a = (1,2)t. Să se determine (a) și H(a).

Diferențiabilitatea funcțiilor de mai multe variabile

Notație. Se notează cu Å – mulțimea punctelor interioare ale mulțimii A. Dacă Å = A, atunci A este mulțime deschisă.

Definiția 23. Fie :AR, A⊂Rⁿ o funcție de n – variabile reale, vom spune că funcția este diferențiabilă în punctul interior aA, dacă există funcția liniară L: RnR astfel încât :

(1.2. )

Am notat h = (h1,…,hn) Rn astfel încât a+h = (a1+h1,…,an+hn)Å.

Deoarece L este liniară rezultă L(h)= D1h1+D2h2…+Dnhn, unde semnificația constantelor Di, va fi prezentată mai jos.

Teorema 4. Dacă funcția :AR, A⊂Rⁿ este diferențiabilă în punctul aA, atunci există o singură funcție L astfel încât:

.

Demonstrație.

Presupunem că ar exista o funcție L*: RnR, L(h)= D*1h1+D*2h2…+D*nhn, astfel încât .

Notând d(h) = (a+h) – (a) obținem:

Rezultă că

Pentru a stabili semnificația constantelor Di, ,fie h = (0,0…,0,hi,0,…0) A și o funcție diferențiabilă în punctul aA. Pentru un asemenea vector h putem scrie că:

unde și sau

Deci Di este derivata parțială a funcției în raport cu variabila xi în punctul a, care se știe că se notează și cu sau , rezultă că .

Scriind matriceal această relație obținem:

, unde cu am notat matricea .

Definiția 24. Notând , numim diferențiala funcției în punctul a, funcția liniară de n variabile:

(1.2. )

Observația 10. Notând creșterile arbitrare h1,…, h2 date argumentelor a1, …, a2 cu dx1,…,dxn, obținem că expresia diferențialei funcției în punctul a are forma:

(1.2. )

care se numește diferențiala totală a funcției .

Funcția este diferențiabilă pe mulțimea A, dacă este diferențiabilă în orice punct al mulțimii A.

Definiția 25. Se numește diferențială parțială a funcției în raport cu variabila independentă xi, produsul , dintre derivata parțială și diferențiala dxi a variabilei independente xi.

Definiția 26. Aplicația:

se numește operator de diferențiere în n-variabile, iar în cazul a două variabile x și y expresia lui este:

(1.2. )

astfel expresia (1.2.3) devine:

(1.2. )

respectiv:

(1.2. )

Dăm fără demonstrație următoarea teoremă.

Teorema 5. Dacă :AR, A⊂Rⁿ admite derivate parțiale și într-o vecinătate a punctului (a,b) și dacă aceste derivate parțiale sunt continue în (a,b) atunci funcția este diferențiabilă în (a,b).

Diferențiale de ordin superior

Definiția 27. Fie :AR, A⊂Rⁿ o funcție de n – variabile, derivabilă parțial de două ori pe un interval deschis A Rn cu toate derivatele parțiale de ordinul I și II continue pe A, pentru orice punct aA spunem că forma pătratică :

q = d2(a): RnR,

se numește diferențiala de ordinul II a funcției .

Matricea pătratică :

(1.2.8)

este simetrică (teorema 3.) și este denumită hessiana lui în punctul a (după numele matematicianului german O. Hesse (1881-1974)).

Se observă că diferențiala a doua a lui este diferențiala lui df considerată în funcție de (x1, x2,…,xn) pentru dx1,…,dxn considerați ca dați d(dxi)=0, , astfel avem :

Deci , ceea ce poate fi scris simbolic sub forma:

(1.2.9)

unde (2) indică ridicarea la puterea simbolica 2.

În mod asemănător, dacă pentru funcția (x1, x2,…,xn):AR, A⊂Rⁿ presupunem că are în A toate derivatele parțiale de ordinul n continue, definim diferențiala de ordin n ca fiind:

(1.2.10)

Particularizând pentru o funcție de două variabile (x,y), diferențiala de ordinul II are forma:

(1.2.11)

iar diferențiala de ordin n, se scrie:

(1.2.12)

Exemplu. Fie funcția definită pe:

.

Să se calculenul II are forma:

(1.2.11)

iar diferențiala de ordin n, se scrie:

(1.2.12)

Exemplu. Fie funcția definită pe:

.

Să se calculeze și .

Soluție:

rezultă că :

De asemenea:atunci obținem :

DERIVATELE ȘI DIFERENȚIALELE FUNCȚIILOR COMPUSE

Teorema 6. Dacă funcțiile u(x), v(x):XR, X⊂R au derivate continue pe X și anume: , iar funcția (u,v):AR, A⊆Rⁿ are derivate parțiale continue în (u(x),v(x))A, xX, atunci derivata funcției compuse F(x)=(u(x),v(x)) este dată de relația:

(1.3.1)

iar diferențiala funcției compuse F(x) este:

(1.3.2)

Asemănător se calculează și derivatele respectiv diferențialele de ordin superior pentru funcția F(x)=(u(x),v(x)):

(1.3.3)

iar

(1.3.4)

Observația 11. Pentru funcțiile compuse ce depind de mai multe funcții de o singură variabilă: avem următoarea regulă de derivare:

(1.3.5)

și de diferențiere:

(1.3.6)

Dacă funcțiile u(x,y), v(x,y):XR, X⊆Rⁿ au derivatele parțiale continue pe X și funcția (u(x,y),v(x,y)) are derivate parțiale continue în u(x,y),v(x,y)A, (x,y)X, atunci funcția compusă F(x,y)= (u(x,y),v(x,y)) are derivatele parțiale continue date de relațiile:

(1.3.7)

iar diferențiala este dată de:

(1.3.8)

unde

Derivatele parțiale și diferențiale de ordin superior se calculează în mod analog astfel:

(1.3.9)

iar:

(1.2.10)

Evident există situații când dependența factorilor economici este cercetată în funcție de mai multe variabile. Astfel, fie factorii u1(x),…,um(x) unde x =(x1, x2,…,xn) Rn, u(x)=(u1(x),…,um(x)). Dacă funcția F(x) = (u(x)); : RmR este diferențiabilă pe Rm și funcțiile uj: RnR, sunt diferențiabile pe Rn, atunci funcția compusă F: RnR, este diferențiabilă și are diferențiala :

(1.3.11)

Într-adevăr și .

Se obține derivata parțială a funcției compuse în raport cu variabila xk:

(1.3.12)

FORMULA LUI TAYLOR PENTRU FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Fie funcția (x1, x2,…,xn):AR, A⊂Rⁿ derivabilă de (n+1) ori în raport cu toate argumentele cu derivatele mixte în A și a = un punct interior al lui A.

Considerăm funcția:

cu t[0,1], pentru care .

Aplicăm funcției F(t) formula lui Mac-Laurin , pentru t=1 și a=0 și avem:

(1.4.1)

cu restul .

Deoarece avem

, unde , iar:

sau :

astfel încât pentru t = 0 se obține:

Cu acest rezultat formula lui Taylor pentru funcția (x1, x2,…,xn) se scrie:

(1.4.2)

cu

Se poate arăta că :

Observația 12. Dacă în formula lui Taylor facem m = 0, obținem:

care reprezintă formula lui Lagrange (formula creșterilor finite) pentru o funcție cu mai multe variabile.

5. EXTREMELE FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE ȘI METODA MULTIPLICATORILOR LUI LAGRANGE

Extremele funcțiilor de mai multe variabile

Definiția 28. Funcția :AR, A⊆Rⁿ admite un maxim local (respectiv minim local) în punctul a = A, dacă există vecinătatea V a lui a, astfel ca oricare ar fi să avem:

respectiv .

Maximele și minimele astfel definite se numesc extremele relative ale funcției .

Definiția 29. Punctele în care se anulează sistemul:

se numesc puncte staționare ale funcției .

Teorema 7. Dacă funcția :AR, A⊆Rⁿ are derivate parțiale într-un punct de extrem “a” – interior lui A, atunci acestea se anulează, deci

Demonstrație.

Fie funcțiile parțiale:

funcții de o variabilă, care sunt derivabile în punctul xi = ai și au în acest punct un extrem, deci conform teoremei lui Fermat .

Dar , deci . Q.e.d.

Reciproca teoremei 7. (care este o generealizare a teoremei lui Fermat) nu este în general adevărată, însă deducem că punctele extreme ale unei funcții se găsesc printre punctele staționare ale ei. De aici întrebarea: care dintre punctele staționare ale unei funcții sunt puncte de extrem și ce fel de puncte? Răspunsul la această întrebare îl dă următoarea teoremă.

Teorema 8. (condiția suficientă pentru existența extremului).

Fie C2 (adică admite derivate parțiale de ordinul doi continue); a un punct staționar pentru ;

matricea hessiană a diferențialei de ordinul II:

atunci:

a este punct de minim local dacă H(x) este pozitiv definită;

a este punct de maxim local dacă H(x) este negativ definită;

Demonstrație:

Dacă a = este un punct staționar rezultă că și folosind formula lui Taylor (dezvoltată în jurul lui a până la ordinul II) obținem:

pentru x a.

Astfel semnul diferenței într-o vecinătate mai mică a lui a este dat de forma pătratică , unde am notat .

Pentru a stabili în ce caz d2(x) este pozitiv definită aplicăm teorema lui Sylvester referitoare la formele pătratice și anume dacă determinanții matricii hessiene H(x):

sunt pozitivi, atunci d2(x) > 0, deci : ,

adică a = (a1,a2,…,an) este un punct de minim.

În cazul în care semnele determinanților I sunt alternante începând cu semnul minus, deci (-1)k k > 0, , obținem d2(a) < 0 (pentru toți ), deci :,atunci a = (a1,a2,…,an) este un punct de maxim.

Observația 13. Dacă determinanți i sunt nenuli, dar semnele lor variază după o altă regulă, atunci funcționala pătratică d2(a) este nedifinită și a nu este punct de extrem pentru și se mai spune că este punct “șa”. Dacă d2(a)=0 sau dacă cel puțin unul dintre determinanții i se anulează atunci se apelează la termenii de ordinul superior în formula Taylor.

Exemplu.

Să se determine punctele de extrem dacă există ale funcției :R2 R

Rezolvăm mai întâi sistemul:

cu soluțiile și care sunt puncte staționare.

Apoi calculăm de unde matricea hessiană: , devine respectiv .

Cum 2 = -9 < 0 și 1 = 0 rezultă că a1 nu este punct de extrem.

Dar pentru Hf(a2), avem 1 = 6 > 0 și 2 = 27 > 0, deci deducem conform teoriei expuse că este punct de minim și (a2) = -1.

Extreme condiționate – Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

Fie :AR, A⊆Rⁿ și un sistem de m<n ecuații de condiții (de legătură) de tip egalitate:

(1.5.1)

unde funcțiile reale Fi sunt definite tot pe A și în plus sunt independente.

Funcțiile sunt independente dacă rangul așa numitei matrici Jacobi:

este egal cu m.

Definiția 30. Extremele funcției relative la mulțimea soluțiilor A0 a sistemului (1.5.1) se numesc extreme legate sau extremele funcției condiționate de sistemul (1.5.1).

De asemenea punctele staționare ale lui când parcurge mulțimea A0 a soluțiilor sistemului (1.5.1) se numesc puncte staționare legate sau condiționate ale funcției .

Prezentăm în continuare fără demonstrație metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentru determinarea extremelor funcției condiționate de sistemul (1.5.1) care constă în următoarele etape:

Construim funcția Lagrange (sau lagrangeanul) problemei date ca o funcție ajutătoare de n+m variabile, de forma:

unde 1,2,…,m sunt parametrii reali care poartă denumirea de multiplicatorii lui Lagrange.

Se determină punctele staționare ale funcției lui Lagrange, din anularea celor (n+m) derivate parțiale ale lui L în raport cu ,1,2,…,m, adică:

(1.5.2)

Fie soluția sistemului, deci punct staționar pentru funcția L, atunci a = este un punct staționar condiționat pentru .

Pentru a stabili care din punctele staționare condiționate sunt puncte de extrem condiționat, trebuie studiat într-o vecinătate mică a lui a semnul diferenței:

obținută prin înlocuirea lui 1,2,…,n în L cu R și ținând seama de legăturile F1 = 0, F2 = 0, …, Fn = 0.

Presupunând că funcțiile , F1, F2,…,Fm au derivate parțiale de ordinul II pe A și aplicând formula lui Taylor funcției în punctul a = , ținând seama de primele n – relații ale sistemului (1.5.2) rezultă că:

cu pentru x a, se arată că semnul lui E este dat de semnul diferențialei:

Diferențiind sistemul de legături F1 = 0, F2 = 0, …, Fn = 0 obținem:

care este un sistem a cărui matrice are rangul m (deoarece F1, F2,…,Fm au fost considerate independente), deci putem exprima m – diferențiale dxi în funcție de celelalte (n-m), care introduse în d2L dau că:

, unde .

Deci,

– dacă determinanții :

cu s = n-m sunt pozitivi, atunci punctul este un punct de minim condiționat.

– dacă (-1)k k > 0, , atunci punctul este un punct de maxim condiționat.

CAPITOLUL II

INTERPRETĂRI ECONOMICE ALE STUDIULUI FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

1. Tipuri de funcții economice

Activitățile din spațiul economic, pentru agenții economici individuali sau pentru un ansamblu de agenți economici ce se constituie într-o ramură sau subramură de activitate, sau pentru totalitatea lor, la nivelul spațiului economic național, pot fi analizate, urmărite și optimizate numai prin aplicarea unor metode si tehnici moderne, într-o concepție de abordare sistematică, în care instrumentul matematic joacă un rol foarte important.

Orice agent economic acționează într-un spațiu bine delimitat, intrând în interacțiune cu ceilalți agenți economici printr-o mulțime de legături de natură economică și socială, respectând cadrul juridic legislativ-normativ. Aceste legături constituie conexiunile agentului economic cu mediul economico-social și pot fi:

conexiuni de intrare ( I/ )

conexiuni de ieșire ( /E)

Conexiunile de I/ sunt constituite din totalitatea intrărilor în sistemul respectiv, intrări ce pot fi de natură:

materială (materii prime, materiale)

energetică (energie electrică, combustibili)

forță de muncă (pe categorii: muncitori, ingineri, economiști etc.)

fluxuri bănești

informații

Conexiunile de /E sunt reflectate prin totalitatea fluxurilor ce pornesc de la agentul economic către mediul său ambiant (totalitatea celorlalți agenți economici).

Deci, într-o abordare sistematică, putem reprezenta abstract un agent economic sau a unui grup de agenți economici, (de exemplu: producătorii unui anumit produs, consumatorii etc.) prin diagrama intrări-ieșiri (din fig. l .a.):

fig. 1.a.

iar activitățile acestuia printr-o funcție F care reflectă modalitatea prin care agentul economic transformă fluxurile de I/ în fluxuri de ieșire. Astfel considerând un agent producător al unui produs (o firmă), având ca intrări: forța de muncă (L) și capitalul (K) și ca ieșiri volumul producție (Y) se obține reprezentarea intrări-ieșiri din fig. l .b:

fig. 1.b.

în care funcția Y := F(K,L) se numește funcție de producție și cuantifică transfomarea în cadrul firmei a celor doi factori de producție (K) și (L) în rezultate ale activității firmei, comensurate în volumul activității Y (producție fizică-dacă firma realizează un singur tip de produs, sau producție marfă evaluată la prețurile de desfacere pe segmentul de piață la care firma are acces).

Ansamblul intrărilor și ieșirilor se constituie ca spațiu al intrărilor, și respectiv al ieșirilor, abordare necesară formalizării matematice. Sub aspect economic, spațiul intrărilor reflectă nomenclatorul intrărilor de materii prime, materiale, energie, combustibili etc., adică "lista" acestora. Matematic, aceasta se reprezintă ca un vector, u = (u1, u2 ,…,u3 ), având drept componente intrările, la un moment, din factorii ce constituie nomenclatorul intrărilor.

Analog, un punct din spațiul ieșirilor se prezintă ca un vector y = (y1,…,yn) prin care se înregistreazã, la un moment dat cantitãtile ce constituie rezultatele activității agentului economic. Evident, ținând seama de cele cinci componente ale fluxurilor de intrare și ieșire, spațiul intrărilor respectiv cel al ieșirilor se descompune în 5 subspații corespunzător celor cinci categorii de intrări și ieșiri:

• subspațiul intrărilor de natură materială

• subspațiul intrărilor de natură energetică

• subspațiul intrărilor de forță de muncă

• subspațiul intrărilor de fluxuri bănești

• subspațiul intrărilor de fluxuri informaționale

Similar, pentru ieșiri se identifică: subspațiul ieșirilor de natură materială (YM), energetică (YE), de fluxuri bănești (YB), de fluxuri informaționale (YI), și când este cazul și de fluxuri de forță de muncă(YL), de exemplu, când sistemul analizat este componenta a unui sistem de educație și de pregătire a cadrelor, în general: sistem de învățământ profesional, universități sau individual, în cadrul firmei, este vorba de compartimentul învățământ și pregătirea forței de muncă.

Fluxurile din cele cinci categorii de intrări si ieșiri corespund legăturilor stabilite de agentul economic pe cele trei piețe: piața produselor, piață banilor si piața forței de muncă. Evident nu există, în sensul propriu al cuvântului piață a informațiilor, acestea regăsindu-se în cadrul celor trei piețe; astfel, informațiile privind prețul pieții unui produs apar ca rezultat al mecanismului cererei și ofertei pe piața bunurilor; informațiile privind rata de piață a dobânzii sunt rezultatul interacțiunii dintre cele două piețe: cea a bunurilor (sub aspectul cererii) si cea a banilor.

De asemenea fluxurile de natură materială și cele de natură energetică, atât sub aspectul intrărilor cât si sub aspectul ieșirilor se agregă într-o singură categorie-cea a bunurilor (produselor).

În raport cu cele trei piețe, agentul economic se situează pe una din cele două forme de manifestare a mecanismului cererei și ofertei: intrările – se constituie ca fluxuri de cerere și ieșirile-ca fluxuri de ofertă.

Spațiile intrărilor și ieșirilor se pot organiza ca structuri matematice având o serie de proprietăți de natură matematică invariante în raport cu specificul activităților agenților economici și de volumul acestor activități. Aceste activități sunt de natură algebrică topologică și fac posibilã cercetarea acestor spații – ca spații vectoriale, respectiv ca spații topologice.

În modelarea activităților economice, cvasitotalitatea acestora este reprezentată prin funcții de mai multe variabile f: D —> R, unde DRn este domeniul valorilor variabilelor x1, …, xn care cuantifică acțiunile agenților conomici. Comensurarea rezultatelor sau eforturilor se face cu funcția f prin valorile reale atașate nivelului activității: f(x1, …, x1) = y.

În general, procesele economice au prin natura lor inerțială, o continuitate intrinsecă, salturile (discontinuitățile) fiind excepții de la regulă. Dar aceste "salturi" există, generând dicontinuități de speța I salturi finite, cunoașterea lor fiind necesară atât ca fenomen intrinsec, dar lai ales prin efectele propagate, întrucât este știut că perturbații mici, prin amplificare prin procese succesive pot conduce la efecte mari, câteodată catrastrofale. în ultimul deceniu s-au extins în această direcție o serie de cercetări constituind așa – numita "teoria catrastrofelor" – inițiată de Réne Thom.

Interpretări economice ale derivatelor parțiale

Definiția 31. Fie :A RnR o funcție de n – variabile care admite derivate parțiale de ordinul întâi pe A, , atunci numim:

viteza de variație a lui în raport cu xi sau valoarea marginală a lui în raport cu variabila xi în punctul (x1, …, x1), expresia:

ritmul de variație a lui în raport cu variabila xi expresia:

.

elasticitatea funcției în raport cu variabila xi expresia:

Pentru o ilustrare a acestor indicatori economici considerăm următorul exemplu:

Un număr n – mărfuri se vând pe piață, în concurență, la prețurile , piața constă dintr-un număr dat de consumatori cu gusturi și venituri date. În acest caz cantitatea yi din marfa xi cerută pe piață este funcție de prețurile tuturor mărfurilor pe piață, adică:

funcție pe care o presupunem derivabilă parțial în raport cu toate variabilele.

Derivatele parțiale ale acestor funcții arată variațiile cererii când unul din prețuri variază, celelalte rămânând constante.

Derivata parțială , care în cazul cererii normale trebuie să fie negativă, arată viteza cu care scade cererea, pentru marfa xi, când prețul său crește.

Elasticitatea parțială a cererii pentru marfa xi în raport cu prețul său pi, adică :

reprezintă viteza descreșterii relative a cererii pentru o creștere relativă a prețului.

Deoarece, este o funcție nu numai de pi ci și de celelalte prețuri, valoarea ei variază când variază fiecare dintre prețuri. Pe de altă parte derivata parțială , reprezintă viteza de variație a cererii pentru marfa xi când prețul altei mărfi xr crește, o interpretare analoagă are și derivata parțială .

Dacă analizăm în corelație aceste derivate parțiale, avem următoarele situații:

Dacă și sunt pozitive cererea pentru marfa xi crește odată cu creșterea prețului pr și analog cererea pentru marfa xr crește odată cu creșterea prețului pi ; spunem în acest caz că mărfurile sunt concurente.

Dacă și sunt negative, atunci cererea pentru una dintre mărfuri variază invers proporțional cu prețul celeilalte mărfi, caz în care spunem că mărfurile sunt complementare.

De cele mai multe ori este util să se folosească elasticitățile parțiale ale cererii pentru o marfă în raport cu prețul celeilalte și anume:

Considerăm o firmă pentru care s-a identificat funcția de producție de tip Cobb – Douglas : unde K = volumul capitalului fix (mil. lei); L = volumul forței de muncă (mii persoane), y = volumul producției (mil. lei); se obțin derivatele parțiale în raport cu cele două variabile: ; .

Interpretarea economică. Derivata parțială în raport cu xj arată variația funcției la o creștere foarte mică a variabilei xj.

Pentru funcțiile de producție , unde sunt factori utilizați, derivatele parțiale comensurează eficiența utilizării unei unități suplimentare din factorul xj (când ceilalți factori rămân neschimbați) și se numesc randamente marginale. Astfel pentru funcția de producție de tip Cobb – Douglas, randamentele marginale sunt: și .

Evident în analiza fenomenelor economice cea mai mare pondere în calcule o au derivatele de ordin 1 și 2. Este însă necesar calculul derivatelor parțiale de ordin mai mare, când se aproximează funcția prin polinomul Taylor atașat ei.

Pentru un produs xj rata de variație a consumului din bunul respectiv în funcție de variația prețului său poate fi descompusă în două efecte:

Efectul de „substituire”, măsurat prin (unde U = utilitatea marginală), deci rata de variație în funcție de variația prețului pentru un nivel neschimbat al utilității.

Efectul de „venit” dat prin (V = venitul consumatorului), deci rata de variație în funcție de variația venitului, când situația prețurilor rămâne constantă.

Suma celor două efecte este :

relație denumită ecuația Slutsky.

3. Modele de programare matematică

Problemele de determinare a extremelor unei funcții atunci când variabilele sunt supuse unor legături, constituie de fapt obiectul unei ramuri de matematică modernă în plină dezvoltare: Programarea matematică.

Problema generală a "Programării matematice" poate fi formulată astfel:

Să se determine valorile variabilelor (x1, x2,…,xn) supuse condițiilor:

și care maximizează sau minimizează o funcție F(x1,x2,…,xn) numită funcție obiectiv.

Numeroase probleme economice și tehnice conduc la asemenea modele, exemplu: determinarea planului optim al unei întreprinderi care trebuie să se supună unor condiții de forma: consumul de metal să fie limitat superior, consumul de energie electrică limitat superior, valoarea producției la un anumit produs să fie limitată inferior.

– În cazul în care funcția F și restricțiile sunt funcții liniare problema enunțată devine o problemă de programare liniară (problema matematică generală a programării liniare a fost dată de Danzig în 1947).

– Dacă F este o funcție neliniară se obține o problemă de programare neliniară.

– Dacă coeficienții ce apar în funcția F sau în restricții nu sunt constante ci variază după o anumită lege determinată, problema de programare este parametrică.

– Dacă coeficienții din F sau din restricții variază aleator atunci problema este de programare stochastică.

– Dacă soluțiile care ne interesează sunt numere întregi problema este de programare discretă.

Pentru fiecare din aceste tipuri de probleme există metode specifice ce conduc la algoritmi cu ajutorul cărora se poate folosi calculatorul.

– În optimizarea deciziei economice, problema cea mai des întâlnită este aceea a optimizării sub restricții de tip inegalități, deoarece aceste restricții, în principiu, corespund cerințelor ca resursele materiale, financiare, energetice, de forță de muncă ș. a. să nu fie depășite de consumuri; cerințele desfacerii pe piața internă sau externă impun condițiile de limitare la nivelul maxim de absorbție al segmentelor de piață respective etc.

4. Indicatori medii și marginali, indicatori de elasticitate și indicatorii de substituire

Funcțiile de mai multe variabile descriu comportamentul agenților economici și cele mai importante funcții sunt: funcțiile de producție și cele de consum – pentru producători respectiv pentru consumatori și funcțiile de ofertă respectiv de cerere pentru trei piețe: piața bunurilor, piața forței de muncă și piața banilor.

Evident în fiecare caz funcțiile respective au caracteristici care reflectă specificul procesului economic analizat și le diferențiază de altele; surprindem prin indicatori cantitativi anumite caracteristici ale acestor curbe. O importanță mare în studiul proceselor economice îl au indicatorii medii, cei marginali, indicatorii de elasticitate și substituție.

Fie : RnR, y = (y1, y2,…,yn), o funcție în care x1, x2,…,xn sunt variabile factoriale și y este variabilă rezultativă. Astfel:

Dacă x1, x2,…,xn sunt factori luați în calcul ca determinanți ai producției, atunci y este producția bunului analizat.

Dacă x1, x2,…,xn sunt cantități consumate din bunurile atunci y este utilitatea consumului reprezentat prin funcția de utilitate;

Dacă sunt factori care determină cererea de bunul I, atunci y este cantitatea cerută din acest bun, iar este o funcție de cerere etc.

Indicatorii medii și marginali, pentru factorul i, se determină prin relațiile:

(2.4.1.) respectiv

Pentru funcția de producție , și i reprezintă eficiența medie respectiv marginală a factorului I – forță de muncă, și I reprezintă productivitatea medie, respectiv productivitatea marginală; pentru factorul I – capital fix și I reprezintă eficiența medie respectiv marginală a capitalului.

Pentru funcția de utilitate a consumului , și reprezintă utilitatea medie, respectiv marginală, a consumului bunului i.

Pentru funcția cererii din produsul Yi, forma funcției , pi este prețul bunului (al serviciului) yi și pj (ji) sunt prețurile bunurilor de substituire, iar R este nivelul veniturilor consumatorului și este o variabilă care exprimă efectul unor factori exogeni care acționează asupra comportamentului consumatorului relativ la bunul yi (condiții de creditare, reclama pentru produsul yi, tradiții zonale sau familii consumatoare ale acestui produs etc); se calculează apoi indicatorul mediu care se numește înclinația medie spre consum, pentru produsul (serviciul) yi.

Indicatorii marginali sunt necesari atât pentru informația intrinsecă ce o aduc în analiza economică, dar mai ales pentru calculul celorlalți indicatori – de elasticitate și de substituție.

În acest caz reflectă variația cererii bunului yi în funcție de variația pe piață a prețului propriu pj, sau a prețurilor de substituție pi (ij); – reflectă variația cererii produsului yi când cresc sau scad veniturile consumatorului și se numește propesiunea marginală a consumului bunului yi.

Indicatori de elasticitate. Dacă reflectă o anumită activitate, având rezultatul y, funcție de factorii , definim elasticitatea nivelului activității în raport cu un factor xi.

(2.4.2) sau

unde y este variația (creșterea sau descreșterea) nivelului activității y pe seama variației xi a factorului xi, ceilalți factori rămânând constanți; cu aceste notații, elasticitatea reprezintă creșterea (descreșterea) procentuală a nivelului activității la o variație (creșterea, descreșterea) de 1% a factorului xi (deci ), ceilalți factori rămânând neschimbați.

Dacă este o funcție de clasă C1, atunci indicatorul definit de (2.4.2) poate fi scris astfel:

(2.4.2’)

Se constată că elasticitatea este raportul dintre indicatorul marginal și cel mediu corespunzător factorului xi, deci .

Interpretare :

dacă este o funcție de producție, atunci reprezintă elasticitatea producției în raport cu factorul xi; de pildă, dacă factorul xi este forța de muncă folosită de agentul economic, atunci este elasticitatea producției în raport cu forța de muncă și arată cu câte procente crește producția dacă forța de muncă ar crește cu 1%.

Dacă funcția y reprezintă utilitatea a consumurilor bunurilor atunci , reflectă creșterea gradului de satisfacție (utilitate) a consumatorului la creșterea cu 1% a consumului din produsul i.

Dacă este funcție de cerere din bunul sau serviciul Yi atunci – se numește elasticitate cerere – venit și deci este raportul dintre propesiunea marginală și cea medie pentru produsul (serviciul) yi.

Similar, indicatorii – defininesc indicatorii preț – cerere la produsul yi, al cărui preț este pi, iar pj (ij) sunt prețurile bunurilor de substituție. În acest caz, – definește elasticitatea directă preț – cerere la bunul (serviciul) i, iar cu ij sunt elasticitățile încrucișate preț – cerere care comensurează variațiile relative (%) ale cererii din bunul (serviciul I) consecutive variației relative (%) ale prețurilor bunurilor de substituire.

Indicatori de substituire – se calculează de-a lungul curbelor de indiferență, adică nivelul constant al variabilei rezultative și arată gradul în care fiecărui xi poate substitui alt factor xj fără modificarea nivelului variabilei rezultative.

Astfel, dacă – este o funcție de producție, atunci este o izocuantă și reprezintă o hipersuprafață în spațiul factorilor Rn pe care, oricum ar fi combinația factorilor, nivelul producției rămâne același y0. Pentru doi factori x1 și x2 o familie de izocuante are reprezentarea din figura 2 și variația factorilor pe o izocuantă (y0) este reprezentată în figura 3 :

fig. 2. fig. 3.

Vom detalia pentru înțelegere, în cazul n = 2 factori (x1,x2), pe figura 3. Se constată că o creștere a factorului x1 cu x1, conduce la o scădere a factorului x2 cu x2, producția rămânând aceeași la nivelul y0, combinația factorilor fiind reprezentată pe izocuantă, prin punctele A0 și A1.

Se numește rată de substituire a factorilor, raportul , iar raportul – se numește rată marginală de substituire (semnul (-) arată că o creștere (descreștere) a factorului xi este consecutivă unei descreșteri (creșteri) a factorului x2).

Pentru determinarea expresiei analitice a ratei marginale de substituire (RMS), se diferențiază funcția de-a lungul izocuantei y0. Se obține pentru n = 2:

(2.4.3)

Relația (2.4.3) arată că RMS este raportul între indicatorii marginali ai celor două produse:

(2.4.3’)

Se poate generaliza relația (2.4.3) pentru cazul a n factori , RMS a factorului i prin factorul j.

(2.4.3”)

și se deduce diferențiind funcția pe izocuanta y0, când factorii xk, ki, j rămân la același nivel (deci dxk = 0).

Dacă se face studiul utilității consumului produselor , atunci curba pentru y = y0 – constant, se numește curbă de indiferență a consumului și este loc geometric al tuturor combinațiilor de consum care nu schimbă gradul de satisfacție (utilitate) al consumatorului figurile 4 și 5.

fig. 4. fig. 5.

Și în acest caz se definește indicatorul RMS pentru două bunuri (servicii) xi, xj, celelalte rămânând constante, printr-o relație similară cu (2.4.3), (2.4.3’) pentru 2 bunuri și ((2.4.3”) – pentru n bunuri).

Deci RMS pentru 2 bunuri, este inversul rapoartelor utilităților marginale:

(2.4.3’’’)

Indicatorul elasticitatea de substituție ( ) – măsoară pe o izocuantă modul cum un factor poate fi substituit cu altul. Se definește ca variație relativă (%) a intensității de utilizare a factorilor, consecutive variației relative (%) a ratei marginale de substituire a factorilor:

(2.4.4) sau

adică inversul elasticității ratei de substituire r.

Astfel, pentru o funcție de producție cu doi factori K, L, raportul reprezintă înzestrarea tehnică a muncii și deci

(2.4.4’)

Se găsește expresia analitică:

, unde , deci:

Se fac simplificările și se înlocuiește .

In general, – măsoară sensibilitatea structurii tehnice la modificarea structurii costurilor relative p1 si p2, ale factorilor x1 și x2, deoarece, în condiții de optim, se știe că , deci rata de substituție se mai scrie în punctul optim.

Acest indicator dă posibilitatea consiliului de conducere al firmei să decidă asupra celei mai convenabile combinații a factorilor când prețul acestora variază.

Pentru funcția de utilitate interpretarea este similară, dar reflectă decizia consumatorului asupra combinației de bunuri pe care trebuie să le cumpere, când prețul acestora variază.

Importanța indicatorilor de substituție este deosebită, prin aceea că permit realizarea unei tipologii a bunurilor după gradul lor de substituibilitate; astfel, pentru bunurile de consum se identifică:

substituibilitate imperfectă (de ex., ceai – cafea);

substituibilitate perfectă (cazul în care consumatorul alege între 2 mărci ale aceluiași produs, cu aceleași caracteristici).

În cazul a) când curba de indiferență este convexă, este, în modul, descrescătoare o dată cu creșterea lui x1.

când curba de indiferență este concavă (fig. 6.a), atunci r crește, în modul, odată cu creșterea lui x1.

fig. 6.a fig. 6.b

Un caz specific este cel în care două produse nu sunt deloc substituibile. Se numesc produse complementare (fig. 6.b); în acest caz curbele de indiferență ale cazului substituibilității imperfecte degenerând în curbe formate din două ramuri rectangulare, paralele cu axele (dacă dx1 > 0 dx2 = 0 și reciproc, pentru dx2 < 0 dx1 = 0).

O importanță deosebită în fundamentarea deciziei optime la consumator este determinarea legității ce descrie comportamentul consumatorului. Se obține problema:

(2.4.5)

unde V este venitul consumatorului, ce trebuie împărțit între cele n – bunuri și servicii.

Se obține legitatea:

Utilitatea consumatorului este maximă, dacă utilitățile marginale în raport cu fiecare bun j, sunt proporționale cu prețurile bunurilor:

(2.4.5’)

și valoarea lor comună este egală cu multiplicatorul lui Lagrange, atașat restricției la buget, pentru care se găsește valoarea , adică suplimentul de utilitate obținut de consumator când venitul său crește cu o unitate.

Determinarea funcției de cerere a bunului xj de către un consumator (sau grup de consumatori, cu caracteristici de omogenitate a preferințelor și veniturilor) a cărui funcție de utilitate se face ținând cont de comportamentul optimal, sub restricția bugetară , unde pj sunt prețurile de piață și V venitul consumatorului. Din condițiile (2.4.5’) se obțin (n-1) ecuații din care se determină nivelele de consum xi în funcție de xj și înlocuind în ecuația bugetului se determină funcția cererii . Astfel de exemplu, funcția de utilitate este , sub restricția bugetară se obține condiția de optim , unde , deci, , . Din ecuația bugetului se obține , deci, – funcția cererii pentru x1.

Analog funcția de cerere pentru x2 este : .

Observăm că este o funcție normală, deoarece:

Pentru cazul general, cu n produse, considerând funcția de utilitate – multiplicativ – separabilă, adică , se obține și din condiția de optim (2.4.5’), deducem: , adică și înlocuind în ecuația bugetului se obține: , deci funcția de cerere:

O importanță aparte prezintă în teoria economică a comportamentului consumatorului, cercetarea efectelor generate de modificarea diverșilor factori care definesc funcția cererii. Cel mai puternic efect îl are modificarea prețurilor și a venitului.

Pentru un produs xj, rata de variație a consumului din bunul respectiv în funcție de variația prețului său poate fi descompusă în două efecte:

efectul de “substituire”, măsurat prin , deci rata de variație în funcție de variația prețului pentru un nivel neschimbat al utilității;

efectul de “venit”, dat prin , – deci rata de variație în funcție de variația venitului, când situația prețurilor rămâne constantă.

Suma celor două efecte este:

(2.4.6)

CAPITOLUL III

OPTIMIZAREA ECONOMICĂ A FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

Optimizarea funcțiilor fără restricții

O importanță deosebită prezintă cercetarea condițiilor de natură matematică de optimizare a deciziilor agenților economici, de maximizare a rezultatelor activităților sau de minimizare a costurilor generate de aceste activități.

Definiția 32. Spunem că funcția :ER,E⊆Rⁿ are un punct de maxim (minim) local a = (a1,a2,…,an) E, dacă (respective ) oricare ar fi x din vecinătatea Va a punctului a, Va E.

Definiția 33. Punctul a = (a1,a2,…,an) E este maxim (minim) global pentru funcția :ER, E⊆Rⁿ dacă (respective ) oricare ar fi xE.

Ca și în cazul funcțiilor de o variabilă reală pentru care teorema lui Fermat dă condițiile necesare pentru existența punctelor de extrem, se poate demonstra:

Teorema 9. (Condiția necesară de optim CNO): Dacă o funcție :ER E⊆Rⁿ are derivate parțiale într-un punct de extrem ( maxim sau minim), a E, atunci , sau:

(3.1. )

Deci într-un punct de extrem derivatele parțiale se anulează.

Un punct în care derivatele parțiale se anulează se numește punct staționar.

Așadar, orice punct de maxim sau minim este un punct staționar, dar reciproca nu este adevărată, deoarece există puncte staționare care nu sunt nici puncte de minim, nici puncte de maxim. Alegerea punctelor de extrem din mulțimea puncte staționare se face cu o nouă teoremă care dă condiția suficientă de optim (CSO), care este enunțată astfel.

Demonstrație (CNO):

Dacă a = (a1,a2,…,an) este un punct de extrem local, atunci păstrează semn constant pe vecinătatea Va E (semnul ` – ` pentru maxim și `+` pentru minim).

Putem scrie: – vector oarecare; atunci este o funcție de variabilă t, pentru a E și v Rn oarecare. Notăm și cercetarea condițiilor în care are semn constant revine la cercetarea semnului funcției de variabilă reală .

Evident dacă = const. atunci punctul t = 0 este punct de extrem pentru funcția g(t). Confrom teoremei lui Fermat, condiția necesară de optim este . Din teorema derivatei funcțiilor compuse rezultă:

;

deoarece condiția devine . Cum este oarecare, rezultă .

Teorema 10. (Condiția suficientă de optim CSO): Punctul staționar a E al funcției :ER, E⊆Rⁿ este punct de maxim (respectiv de minim) local în vecinătatea V E dacă forma pătratică d2f(x) este negativ (respectiv pozitiv) definită.

Demonstrație: Dezvoltăm în serie Taylor în jurul punctului a E, în vecinătatea Va = V, până la ordinul II, deci

(3.1. )

Dar df(a) = 0, deoarece a = (a1,a2,…,an) este un punct staționar și cum prin definiție .

Atunci funcția

, deoarece , când x0.

Dacă < 0 în vecinătatea Va, atunci și deci a = (a1,a2,…,an) este punct de maxim local.

Dacă > 0 în vecinătatea Va, atunci și deci a = (a1,a2,…,an) este punct de minim local.

Observația 14. Dacă forma pătratică poate fi și pozitivă, dar și negativă în Va atunci punctul a nu este nici punct de maxim, nici de minim (este un punct șa).

Ținând seama de definiția matricii hessiene și de constatarea că diferențiala se scrie ca o formă pătratică, având ca matrice, matricea H(x), obținem;

Din teorema CSO și din teorema Jacobi – de aducere a unei forme pătratice la o formă canonică se deduce:

Teorema 11. Punctul a E Rn care este punct staționar al funcției :ER,E⊆Rⁿ funcție de clasă C2 în vecinătatea Va, este un punct de maxim (respectiv minim local), dacă matricea hessiană H(a1,a2,…,an)Mn(R)este negativ (respectiv pozitiv) definită pe Va; dacă este nedefinită – punctul staționar este un punct șa.

Observația 15. Dacă H(a) este seminegativ (semipozitiv) definită, nu putem preciza natura punctului a prin această metodă ci folosim teorema 3.2., cercetând semnul formei pătratice.

Corolar 1. Pentru funcția : R2R, (x1,x2) = y, punctul staționar a = (a1,a2) este un punct de maxim dacă matricea

este negativ definită, adică

și

Punctul a = (a1,a2) este punct de minim 1>0, 2>0.

Deci a = (a1,a2) este un punct de extrem numai dacă 2>0.

Dacă 2<0 punctul a este un punct șa.

Dacă 2=0, nu putem preciza natura lui a = (a1,a2) prin această metodă ci folosim teorema 2, cercetând semnul formei pătratice în vecinătatea lui a .

Corolar 2. Punctul a = (a1,a2,…,an) E Rn pentru care (a), este punct maxim al funcției :ER, E⊆Rⁿ C2, dacă matricea hessiană simetrică este negativ definită, deci

are 1<0, 2>0, 3<0, …,

Punctul a = (a1,a2,…,an) este un punct de minim, dacă 1>0, 2>0, 3>0, …, , unde j este minorul principal de ordin j, deci determinantul submatricei formate din primele j linii și coloane din H(a).

Observația 16 :

Deoarece cercetarea punctelor de optim ale unei funcții : RnR are două etape: CNO și CSO care folosesc ca instrumente gradientul și matricea hessiană H, ele se numesc condițiile de ordinul 1 (pentru CNO) și de ordin 2 (pentru CSO).

Condițiile de ordin 2 precizează că dacă este convexă (sau concavă) în vecinătatea lui Va; dacă H(a) este pozitiv definită atunci este convexă, deci a este punct de minim (fig. 7.a); dacă H(a) este negativ definită atunci este concavă in vecinătatea lui a și dacă a = (a1,a2,…,an) este punct de maxim (fig. 7.b).

fig. 7.a fig. 7.b fig. 7.c

Etape de determinare a punctului de optim:

1°. Se determină punctele staționare din sistemul de n ecuații și n necunoscute (a).

Fie a = (a1,a2,…,an) și b= (b1,b2,…,bn) etc. – aceste puncte din ERn.

2°. Să se calculeze matricea hessiană .

Verificăm dacă a este punct optim:

Calculăm H(a) și cercetăm semnul determinanților 1, 2, …

Daca toți j > 0 ()j = , a este un punct de minim.

Dacă toți j > 0 (j = par) a este un punct de maxim și j < 0 (j = impar) a este un punct de minim

Dacă n = 2 și 2 < 0 atunci a = (a1,a2) este punct șa (fig. 7.c).

3°. Se reiau calculele de la pasul 2° pentru celelalte puncte staționare – dacă există.

Exemplu: Pentru o firmă s-a identificat funcția de cost.

Fie (x1 > 0, x2 < 0).

Să se determine punctele de optim dacă există.

Soluție:

Etapa 1°: Rezolvăm sistemul (x)=0.

x1 =0 sau x2 = 0 sau .

Punctul pentru care x1 = 0 sau x2 = 0 nu convine deoarece domeniul de definiție este .

Pentru se obține ; aplicăm schema lui Horner, căutând . Se constată că x1 = 2 ecuația , care nu are rădăcini pozitive.

Deci singurul punct staționar din E R2 este a = (2, 5).

Etapa 2° : Calculăm H(x) și H(a).

Avem

(cum C2, ), deci

H(a) este pozitiv definită deci a = (2,5) este un punct de minim local.

2. Optimizarea funcțiilor prin restricții de tip egalitate

Se pune problema determinării punctelor de optim (maxim sau minim) pentru funcția : RnR, y = (x), când vectorul xRn este al unor restricții de tip egalitate .

Se obține problema de extrem condiționat:

(3.2. ) (P.I)

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange,dacă și sunt de clasă C2. Metoda constă în următoarele etape:

I. 1°) Construim funcția lui Lagrange (sau lagrangeanul) problemei date ca o combinație liniară între funcția de optimizat (x) și restricțiile acestea fiind introduse cu coeficienții j R:

(3.2. )

unde j se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

2°) Se determină punctele staționare ale funcției lagrangean, L:Rn+pR. Se obține sistemul algebric cu (n+p) ecuații și (n+p) necunoscute:

(3.2. )

Fie soluția sistemului.

3°) Înlocuim multiplicatorii în funcția lui Lagrange și calculăm matricea hessiană pentru funcția :

(3.2. )

4°) Calculăm matricea hessiană în punctul staționar x0, H(x0).

Dacă H(x0) este negativ definită atunci, x0 este punct de maxim. Dacă H(x0) este pozitiv definită, atunci x0 este un punct de minim. Dacă H(x0) este semipozitiv sau seminegativ atunci trecem la etapa II.

II. 1°) Calculăm diferențiala de ordin 2 a funcției , în punctul x0 și se găsește:

(3.2. )

2°) Se calculează diferențiala restricțiilor în punctul x0 și se obține sistemul de (p) ecuații în necunoscutele dx1,…,dx2:

(3.2. ) sau

sistem liniar omogen în necunoscutele (dxj)

3°) Se rezolvă sistemul (3.2.6) și se găsesc soluțiile nebanale unde r este rangul matricii sistemului (3.2.6), . Fie , iI1, aceste soluții, unde , care depind de celelalte n-r necunoscute , pe care le vom nota și vectorial .

4°) Cu aceste notații, diferențiala de ordin 2 a funcției Lagrange în punctul (x0,0) față de (3.2.5) devine, după reordonarea liniilor și coloanelor matricei hessiene:

(3.2. )

unde și , găsite din sistemul (3.2.6)

Din (3.2.7) se obține forma pătratică d2(), cu numai (n-r) necunoscute.

5°) Se studiază natura formei pătratice:

– dacă d2()>0, atunci x0 este un punct de minim;

– dacă d2()<0, atunci x0 este un punct de maxim;

În caz contrar punctul nu este optim.

Optimizarea funcțiilor sub restricții de tip inegalități – metoda multiplicatorilor Kuhn – Tucker

Este problema cel mai des întâlnită în optimizarea deciziei economice, fiindcă restricțiile, în principiu, corespondențelor ca resurse materiale, financiare, energetice, de forță de muncă ș.a., să nu fie depășite de consumuri; cerințele desfacerii de piață internă sau externă impun condițiile de limitare la nivelul maxim de absorbție al segmentelor de piață respective.

Pentru simplificare considerăm cazul unei funcții de două variabile și o restricție:

(3.3. ) (PII)

Se transformă (PII) într-o problemă (PI) prin scăderea variabilei auxiliare z2 (s-a notat cu z2, pentru a ilustra că scădem o variabilă pozitivă):

(3.3. )

Aplicăm metoda multiplicatorilor lui Lagrange și obținem;

(3.3. )

(3.3. )

Primele trei condiții sunt similare cu cele din problema (P.I), dar condiția a patra va da fie = 0, fie z = 0.

Dacă z = 0 atunci condiția a treia devine și deci ultima cerință se scrie .

Corespunzător relațiilor (3.3.4.1 – 2) se obține dacă problema este de maxim, atunci 0; dacă este de minim, atunci 0. Astfel se obțin condițiile Kuhn –Tucker:

și

Cazul general. Fie : RnR și gj: RnR, , funcții de clasă C1 liniare. Se pune problema:

(3.3. ) P.II-G

Prin adăugarea variabilelor se obține o problemă de optimizare cu condiții de tip egalitate, pentru care se pot scrie (CNO). Se obțin condițiile Kuhn – Tucker:

(3.3.6. )

(3.3.6. )

(3.3.6. )

(3.3.6. )

Multiplicatorii i se numesc în acest caz multiplicatori Kuhn – Tucker și au aceeași semnificație economică demonstrată pentru multiplicatorii Lagrange cu observația că din cerința (3.3.6.2) se deduce că: atunci când o restricție este satisfăcută cu „>”, multiplicatorul atașat este nul. De exemplu dacă în punctul avem atunci k = 0.

Dacă restricția este satisfăcută cu „=” atunci multiplicatorul este pozitiv – problema este de „maxim”, deci pentru restricția , se obține k 0 și este negativ (k 0) dacă problema este de „minim”.

CAPITOLUL IV

APLICAȚII ÎN TEORIA ECONOMICĂ A FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE

1. Fundamentarea deciziei la producător – studiu de caz

Indicatori marginali, de elasticitate și de substituție

Pentru o firmă producătoare de tricotaje s-a identificat funcția de producție:

[în mild. Lei]

unde K = volumul capitalului fix, K0 = 2 [mild. Lei]

L = volumul forței de muncă, L0 = 10 [sute de persoane]

Dacă în anul de bază, t = 0, cifra de afaceri a firmei a fost y0 = 5 [mild lei], determinați parametrul știind că = 1.

Determinați, pentru și găsiți la a), volumul cifrei de afaceri pentru anul t =1, știind că se are în vedere o creștere cu 10% a capitalului și cu 5% a forței de muncă.

Determinați expresiile analitice ale indicatoriilor medii și marginali, de elasticitate și de substituție și corelațiile dintre ei și interpretați economic rezultatele. Determinările numerice se vor efectua pentru datele din anul t = 0 și t = 1 (găsite la punctul b).

-Cercetați în funcție de și gradul de omogenitate a funcției de producție.

SOLUȚIE:

Pentru anul t = 0 se găsește:

Deci funcția de producție este:

Volumul factorilor în anul următor (t = 0) va fi:

K1 = 1.10K0 = 2.2 [mild. Lei] și L1 = 1.05L0 = 10.5 [sute persoane]. Se obține:

c1) Indicatori marginali sunt și adică productivitatea marginală a muncii și randamentul marginal al capitalului și arată creșterea producției indusă de creșterea cu o unitate a forței de muncă respectiv a capitalului firmei.

Avem: și analog:

Se pot obține două expresii analitice:

1°) În raport cu nivelul producției y: observăm că putem scrie:

Dar – productivitatea medie și – randamentul mediu al capitalului. Deci:

și

Interpretarea economică: productivitățile marginale ale factorilor sunt proporționale cu pătratul productivității medii a factorilor la această firmă. Mai mult, știm că în condiții de optim, pe piața concurenței perfecte L și K sunt proporționale cu salariul nominal real respectiv cu costul real unitar al capitalului, coeficientul de proporționalitate fiind multiplicatorul Lagrange .

2°) A doua formă de exprimare analitică se poate face în raport cu indicatorul înzestrare tehnică a muncii (). Se obține:

Cu datele numerice, obținem: și .

În anul de bază găsim:

înzestrarea tehnică: (în zeci de milioane lei/persoană), deci k0 = 2 milioane lei și deci are tendința să crească la nivelul maxim .

Analog, (milioane lei)

c ) Indicatori de elasticitate

Definiția 34 : Elasticitatea unei activități în raport cu un factor determinant al ei se comensurează prin raportul între creșterea procentuală (relativă) a nivelului activității, indusă de creșterea (sau descreșterea) relativă (procentuală) a factorului, deci la noi:

– elasticitatea producției în raport cu factorul L este: sau trecând la variații infinitizimale .

Analog, .

Ținând seama și de indicatorii marginali și medii, găsim:

și .

Dacă oricare ar fi expresia funcției de producție, elasticitățile reflectă raportul dintre randamentele marginale ale factorilor și randamentele lor medii.

Ținând seama că în condiții de optim L și K sunt proporționale cu salariul nominal, respectiv costul de oportunitate al capitalului (costul unitar), elasticitățile comensurează, în plus, la optim, raportul între aceste costuri și randamentele medii, deci EL = raportul intre salariul nominal real și productivitatea medie a muncii, iar EK = raportul între costul de oportuniatte al unității de capital și randamentul mediu al acestei unități, dacă este achiziționată de firmă, în condiții de activitate optimă.

Numeric, găsim:

deci elasticitățile producției în raport cu cei doi factori sunt proporționale, pentru firma cercetată, cu randamentele medii ale acestor factori.

Observație. În analiza economică este utilă și exprimarea acestor elasticități în raport cu înzestrarea tehnică (k).

Cum productivitatea medie are expresia:

și randamentul mediu al capitalului are expresia:

obținem ținând cont de rezultatele precedente:

Interpretare: cu cât k crește cu atât se obține o elasticitate cât mai ridicată a producției în raport cu munca, adică angajarea unei persoane va aduce o creștere procentuală a producției mai ridicată. Exact în sens opus are loc variația odată cu achiziționarea unei noi unități de capital fix (dacă înzestrarea tehnică este mare, apare o „saturație” a dotării cu capital fix).

Ilustrare numerică: Pentru datele de la punctul b), avem:

Astfel în anul de bază (k0 = 0.2) și EK = 0.5, deci o creștere a forței de muncă cu 1% (deci cu 10 muncitori), va induce un spor relativ procentual y (%) = EL L(%), deci sporul absolut așteptat va fi , deci 25 milioane lei.

Indicatori de substituire reflectă gradul de substituire a muncii prin capital, deci procesul de modernizare, mecanizare, automatizare, robotizare a muncii, în limitele posibile.

1°) Rata marginală de substituire (RMS) reflectă câte unități de capital sunt necesare (K), pentru a substitui o unitate de muncă (L). Ținând cont de această definiție, prin diferențierea funcției de producție se obține:

sau .

Deci rata marginală de substituire se determină ca raport între randamentele marginale: cu cât productivitatea marginală este mai mare cu atât rata marginală este mai ridicată. Pe de altă parte, RMS este raportul, în condiții de optim, a costurilor cu factorii; deci raportul între salariul nominal real și costul de oportunitate al capitalului (fixate pe piață) determină rata marginală de substituire (fixată la nivelul firmei, prin deciziile conducerii acesteia).

Numeric, avem pentru funcția de producție dată:

sau în raport cu înzestrarea tehnică:

deci, RMS este proporțională cu pătratul înzestrării tehnice a muncii.

2°) Coeficientul de elasticitate a ratei de substituire, este inversul elasticității ratei de substituire:

Obserație: Deoarece și se mai pot scrie și , în numeroasele lucrări se găsesc expresiile respective sub forma:

și deci

Cum – comensurează variația relativă (%) a intensității utilizării factorilor, deoarece , se constată că comensurează această variație relativă, consecutivă variației relative (%) a ratei marginale de substituire a factorilor. Mai mult, deoarece această rată marginală, , în condiții de optim, se obține , unde s = salariul nominal real și ck = costul de oportunitate al capitalului. Sub acest aspect, – comensurează sensibilitatea structurii tehnice () la modificarea structurii costurilor relative date pe piață ().

Numeric, pentru cazul nostru, cum se obține:

În consecință, , deci la o variație relativă a structurii costurilor pe piață, deci a raportului între salariul nominal și costul capitalului, cu 1% se va înregistra la firmă o variație a intensității utilizării factorilor, deci raportul , cu 0.5%.

d) este omogenă de grad , dacă , deci la o creștere a volumului factorilor de ori se obține o cifră de afaceri de ori.

Avem , oricare ar fi gradul de omogenitate este = 1.

2. Optimizarea deciziei la producător

2.1 Problema maximizării cifrei de afaceri

Pentru o firmă s-a identificat funcția de producție în care K = capitalul fix al firmei [mil. Lei] și cu = 0.1 și = 0.2, L = volumul forței de muncă (număr de persoane angajate).

Să se determine nivelul optim de folosire a factorilor, L*, K* și nivelul optim al producției y*, știind că firma dispune pentru anul următor de un buget B pentru acoperirea costurilor cu factorii. Se cunoaște salariul nominal lunar mediu sL și un cost mediu anual al capitalului c (măsurat în % din K).

Aplicație numerică: sl = 40 mii lei; B = 800 milioane lei; c = 0.1; Variantă: B1 = 1 miliard lei.

SOLUȚIE:

Modelul matematic de fundamentare a deciziei optime la producător în acest caz:

Fiind o problemă de maximizare sub restricții de tip egalitate se aplică metoda lagrangeanului:

L =

(deci la funcția obiectiv se adaugă restricția înmulțită cu multiplicatorul lui Lagrange, ). Condițiile necesare de optim (CNO) sunt:

sistem cu trei necunoscute: K, L și .

Deci primele două ecuații arată că la optim, randamentele marginale sunt proporționale cu costurile factorilor, deci salariul nominal (s) și costul de oportunitate al capitalului (c). Din ele se obține cerința:

, adică RMS este egală cu raportul costurilor factorilor.

Din această expresie se scoate L în funcție de K (sau invers) și se introduce în ecuația a 3-a, obținându-se în acest mod soluții optime.

Concret, pentru – dată, , cum K și L au fost calculate la aplicația 1, obținem:

sau . Din ecuația bugetului avem:

și multiplicatorul Lagrange, , unde , deci .

Numeric, pentru funcția , costurile c = 0.1; = 1240 mii = 0.48 milioane lei salariul nominal real anual și B = 800 milioane lei, obținem milioane lei/persoană – înzestrare tehnică optimă:

Deci în varianta că firma dispune de capitalul lichid B = 800 [milioane lei] pentru acoperirea cheltuielilor cu factorii K și L în anul următor, atunci decizia optimă este:

Să achiziționeze utilaje și alte active fixe în valoare de K* = 3.134929 miliarde lei (în costul de oportunitate c = 10%, unde intră și dobânda la creditele făcute pentru această investiție).

Să angajeze L* = 1014 angajați.

Atunci producția obținută este y* = 6.157 (miliarde lei).

Să cercetăm dacă optimul găsit este de maxim. Studiem în punctul(K*, L*) natura matricii hessiene a funcției obținută din funcția Lagrange, în care am înlocuit multiplicatorul cu * = 7.71.

Găsim:

și matricea hessiană .

Deci în punctul matricea hessiană este:

Numeric, pentru = 0.1; = 0.2; L* = 1014; K* = 3134.93 milioane lei găsim: .

Din se deduce:

Minorii principali de ordin I sunt negativi, deoarece

și pentru , < 0.

Minorul principal de ordinul 2 (singurul) este 2 = det H =0, deci H este seminegativ definită. Nu putem fi siguri că punctul găsit este de maxim sau punct de șa (de minim nu poate fi, deoarece ar trebui ca 2 > 0).

Trecem la etapa a 2-a:

Calculăm diferențiala de ordin 2 a funcției în punctul și obținem :

Calculăm diferențiala restricțiilor în punctul; avem:

Înlocuind în , deci .

Se constată ușor că d2, deoarece și .

Prin urmare funcția este negativ definită deci punctul este de maxim.

2.2 Problema minimizării costurilor

Pentru o firmă se cunoaște funcția de producție dată la aplicația precedentă. Se pune însă problema realizării unei producții date y = yo cu cheltuieli minime. Date numerice: costurile cu salariile și capitalul, aceleași de la aplicația precedentă și y0 = 5 miliarde lei. Variantă y1 = 7 miliarde de lei.

SOLUȚIE:

Modelul matematic este:

Lagrangeanul problemei este:

L =

Condițiile necesare de optim (CNO):

deci se regăsesc legitățile fundamentale de comportament optimal al producătorului , adică acesta va acționa așa încât randamentele marginale ale factorilor ( ) sau adică raporturile între randamentele marginale și costurile factorilor respective trebuie să fie același, indiferent de factorii de producție.

Din primele două ecuații ale (CNO) se obține , adică în cazul funcției se găsește:

Înlocuind în cerința a 3-a obținem:

Numeric, pentru = 0.1; = 0.2; y0 = 5000 milioane lei găsim:

angajați;

miliarde lei capital;

Costurile minime sunt:

Verificăm dacă rezultatele găsite corespund într-adevăr unui minim.

Procedăm ca la problema precedentă.

Calculă, funcția și matricea hessiană corespunzătoare:

Ținând cont de rezultatele de la problema precedentă, găsim că minorii principali de ordinul 1 sunt pozitivi:

și

2.3 Problema maximizării producției

Pentru o firmă se cunoaște funcția de producție , cu aceleași date = 0.1; = 0.2 și costuri cu factori c = 0.1 – costul de oportunitate a capitalului (deci c = 10% din K) și salariul nominal real anual, s = 0.48 (milioane lei). Să se fundamenteze decizia optimă privind nivelul de folosire a factorilor la firma astfel încât să se înregistreze un profit brut maxim.

SOLUȚIE:

Modelul matematic este: , deci problema de maxim fără restricții, unde .

Condițiile necesare de optim sau adică producătorul trebuie să-și organizeze de așa natură activitatea, pentru a fi în condiții de optim, astfel încât randamentele marginale ale factorilor, realizate în cadrul firmei, să egaleze costurile fixate pe piață ale acestor factori. Obținem sistemul pentru funcția ;

, deci , adică proporția utilizării factorilor este: .

Atunci, pentru L = L0 – fixat , producția va fi: și profitul: =.

Condiția de optim este .

Numeric, obținem k = 3.093 milioane/persoană -, deci k = 3.093L – proporția optimă de utilizare a factorilor și profitul este = 5.2837 L (milioane lei) cu producția y = 6.073L (milioane lei).

3. Decizia optimă la consumator

Aplicația 1: Indicatori marginali, de elasticitate și de substituire. Decizia optimă.

Considerăm un consumator având funcția de utilitate U=U(x1,x2), de forma , unde x1 și x2 sunt cantitățile din cele două bunuri luate în considerare. Presupunem că =0.5; = 0.5.

Determinați curbele de indiferență, corespunzătoare valorilor U = 1, U = 2.

Determinați indicatorii marginali de elasticitate și substituție și precizați natura substituibilităților în acest caz. Interpretări economice.

Formulați modelul matematic de maximizare a utilității, sub restricție bugetară, venitul consumatorului V și prețurile celor două bunuri p1 și p2. Scrieți condițiile necesare de optim și verificați condițiile de ordin 2. Discuție după și .

Aplicație numerică: V = 1 milion; p1 = 2 (mii lei), p2 = 5 (mii lei).

SOLUȚIE:

Curba de indiferența pentru U = U0 are ecuația . Pentru = = 0.5, găsim: , deci o hiperbolă. Pentru U0 = 1 .

Pentru U0 = 2 .

Graficele se trasează imediat :

b) Indicatori:

b1) Indicatorii marginali sunt :

Ei reflectă creșterea utilității la consumator la un spor din volumul achiziționat din x1 și x2 cu o unitate

Indicatori de elasticitate. și și reflectă creșterea relativă (%) a utilității (satisfacției) consumatorului la o creștere de 1% a bunurilor achiziționate (x1 și x2).

Cum și sunt utilități marginale și medii, avem:

și .

Numeric obținem:

deci E1 = 0.5; E2 = 0.5, adică o creștere cu 1% a cantității cumpărate din bunul xj asigură o creștere de 0.5% a utilității de consumator.

Indicatori de substituire.

RMS – rata marginală de substituire a bunurilor se obține pe izocuanta U = U0 și arată cu cât trebuie să crească volumul achiziționat din x2, (dx2), pentru a compensa o descreștere a cumpărării din bunul x1 cu (dx1), deci . Dar pe izocuanta U(x1,x2) = U0, diferențiind, se obține de unde găsim – adică RMS = raportul utilităților marginale.

Numeric, avem – deci RMS se modifică în același sens și în aceeași măsură cu variația structurii relative de achiziționare a celor două bunuri.

– coeficientul elasticității de substituire: comensurează sensibilitatea structurii de achiziționare a bunurilor (variația relativă a acesteia (%)), consecutivă unei variații relative a RMS de 1%.

Cu observația făcută la aplicația 1, se mai poate scrie sub formă logaritmică :.

În cazul datelor numerice, avem , deci coeficientul elasticității de substituire este constant.

Natura substituibilității – se deduce din expresia lui r și se constată că este imperfectă deoarece curba de indiferență este convexă, se observă că pe măsură ce x1 crește, la aceeași unitate dx1 = 1 de descreștere a achiziției din x1 se constată descreșterea cantității suplimentare dx2 ce trebuie cumpărată din x2, deci r descrește.

Decizia optimă la consumator: modelul matematic este:

sub restricția

Scriem lagrangeanul .

Condițiile necesare de optim:

Primele două cerințe arată proporționalitatea utilităților marginale la consumator cu prețurile bunurilor pe piață; mai mult, raportul între utilitățile marginale și prețuri trebuie să fie același, pentru orice bun achiziționat. O altă proprietate se deduce: RMS este egală cu raportul prețurilor bunurilor.

Soluția sistemului (CNO): în cazul numeric dat avem și ținând cont de b3) găsim: , deci din ecuația bugetului obținem: soluțiile optime.

Numeric, pentru V = 1000 (mii lei), p1 = 2 și p2 = 5 (mii lei), avem:

și utilitatea maximă va fi:

Cercetăm dacă punctul găsit este într-adevăr de maxim; studiem natura matricii hessiene a funcției:

unde .

Numeric

Cum

și

Deci,

matricea hessiană este:

, deci calculată în (). Natura ei este:

Minorii principali de ordin 1 sunt : și sunt negativi (ca un corolar, minorii principali de ordin 1 sunt pozitivi , caz care nu convine, deoarece pentru problema de maxim, H trebuie să fie negativ definită.

Minorii principali de ordin 2 (singurul în cazul nostru):

trebuie să fie pozitiv, deci rezultă condiția adică (am ținut cont că >0, condiție găsită mai sus).

Concluzie. Dacă și + < 1, atunci punctul staționar determinat (CNO) este un punct de maxim; dacă și + >1 deci punctul va fi un punct șa.

În cazul numeric dat, când = 0.5, = 0.5, găsim:

cu 1 < 0 și 2 = 0 deci nu se poate preciza natura punctului .

Trecem la etapa 2 de analiză.

Calculăm diferențiala de ordin 2 a funcției în punctul

Diferențiem restricția de buget:

și înlocuind în d2.

deci d2 < 0 funcția este negativ definită și prin urmare punctul de optim găsit este un punct de maxim.