Functii Integrabile

CUPRINS

INTEGRALA RIEMANN SI APLICATII

1 Scurt isoric. Probleme care au condus la notiunea de integrala

2 Functii integrabile. Criterii de integrabilitate.

3Aplicatii

Scurt istoric. Probleme care au condus la noțiunea de integrală

Calculul diferențial și integral oferă fizicianului si inginerului mijloacele de a determina pentru o traiectorie dată, viteza instantanee. Aceasta variație instantanee a unei mărimi fizice se măsoara experimental. Astfel, calculul diferențial, servește la analiza proceselor fizice, descrise cu ajutorul unei funcții.

In fizică, experimental se ridică însă problema determinării proprietăților unei funcții, când din experiment rezultă valori ale derivatei acestei funcții. A apărut astfel conceptul de integrală.

După cum calculul diferențial a apărut în legatură cu problema tangentelor, așa și calculul integral a apărut legat de problema de cvadratură, adică problema determinării ariei unei figuri când se cunoaște curba care o mărginește. Denumirea de cvadratură este legată de presupunerea pe care au făcut-o grecii, că se pot calcula numai ariile acelor figuri ce se pot transforma într-un pătrat.

In secolul al 3-lea î.Hr, Arhimede scrie tratatul de geometrie “Cuadratura Parabolei”. Lucrarea este scrisă sub formă de scrisoare adresată prietenului său Dositheus și cuprinde 24 de propozitii despre parabolă, culminând cu demonstrația că aria segmentului parabolic (aria dintre parabolă si dreapta secantă) este egală cu 4/3 din aria unui anumit triunghi înscris.

Arhimede rezolvă problema ariei regiunii mărginite de un arc de parabolă și o coardă, numit si segment de parabolă (vezi figura 1).

Figura 1. Aria mărginită de o parabolă și o coardă

Ideea demostrației este aceea de a descompune segmentul de parabolă într-o infinitate de triunghiuri. Demonstrația folosește metoda epuizării, care constă în a “ghicii“ un rezultat plauzibil, se demonstrează că rezultatul corect nu putea fi nici mai mare și nici mai mic, folosind construcții geometrice care permiteau aproximări prin lipsă și prin adaos. Arhimede împarte aria într-o infinitate de triunghiuri a căror arie formează o progresie geometrică. El calculează suma seriei și dovedeste că rezultatul reprezintă aria segmentului parabolic. Acest lucru reprezintă cea mai sofisticată folosire a metodei epuizării din antichitate și a rămas neîntrecută până la dezvoltarea calculului integral  în secolul al XVII-lea, fiind urmată de formula cuadraturii a lui Cavalieri.

Teorema principală

Un segment parabolic este regiunea delimitată de parabolă și dreapta secantă care o taie. Pentru a afla aria unui segment parabolic, Arhimede a considerat un anumit triunghi înscris. Baza acestui triunghi este dată de coarda parabolei, iar cel de al treilea vârf al triunghiului este ales în așa fel încât cele trei drepte verticale care trec prin vârfuri să fie egal depărtate si paralele cu axa parabolei.

Figura 2. Segment parabolic

Teorema afirmă că aria segmentului parabolic este 4/3 din aria triunghiului înscris.

Arhimede a dat două demonstratii ale teoremei principale. Prima demonstratie folosește mecanica abstractă, cu care Arhimede argumentează că greutatea segmentului va echilibra greutatea triunghiului când sunt așezate pe o pârghie.

Cea de-a doua, faimoasă datorită folosirii geometriei pure, folosește metoda epuizării.

Din cele 24 de propozitii, primele trei sunt citate fără demonstrație după lucrarea lui Euclid Elementele Conicelor (lucrare azi pierdută). Propozițiile patru și cinci stabilesc proprietătile elementare ale parabolei; propozițiile de la șase la șaptesprezece dau demonstrația mecanică a teoremei, iar propozițiile de la optsprezece la douăzeci și patru dau demonstrația geometrică. În figura 3, se pot observa pagini din lucrarea lui Arhimede asupra cuadraturii parabolei.

Figura 3. Pagini din lucrarea lui Arhimede asupra cuadraturii parabolei

Demonstrația geometrică. Împărțirea segmentului parabolic.

Ideea principală a demonstrației constă în împărtirea segmentului parabolic într-o infinitate de triunghiuri, după cum se arată în figura 4. Fiecare dintre aceste triunghiuri sunt înscrise în propriile lor segmente parabolice, în același mod în care triunghiul albastru a fost înscris în segmentul cel mare.

Figura 4. Împărtirea segmentului parabolic

Aria triunghiurilor

În propozitiile de la optsprezece la douăzeci și unu, Arhimede demonstrează că aria fiecărui triunghi verde este 1/8 din aria triunghiului albastru. Din punct de vedere al calcului modern, acest lucru este adevărat deoarece triunghiul verde are prin construcție baza egală cu jumătate din lungimea triunghiului albastru, iar înăltimea egală cu 1/4. Afirmația despre înălțime se datorează proprietăților parabolei și poate fi ușor dovedită folosind calculul modern al geometriei analitice.

Figura 5.

Prin extensie, fiecare triunghi galben are aria egală cu 1/8 din aria triunghiului verde, cel roșu 1/8 din cel galben și tot așa. Folosind metoda epuizării, urmează că aria totală a segmentului parabolic este dată de:

unde  T  reprezintă aria triunghiului albastru, al doilea termen aria totală a celor două triunghiuri verzi, al treilea aria totală a triunghiurilor galbene și tot așa. Simplificând, obținem:

Suma seriei este o serie geometrică, iar suma ei este

Arhimede a evaluat suma folosind metoda geometrică, ilustrată în figura 6 , care arată un pătrat unitate care a fost împărtit într-o infinitate de pătrate mai mici. Fiecare pătrat mov are aria 1/4 din aria pătratului anterior, iar

aria tuturor pătratelor mov fiind egală cu suma:

Figura 6. Pătrat unitate împărtit în pătrate mai mici

Pătratele mov sunt congruente cu cele galbene, astfel că acoperă 1/3 din aria pătratului unitate, arătând că seria este egală cu 1/3. Strict vorbind, Arhimede a evaluat suma partială a progresiei și a folosit proprietatea lui Arhimede pentru a argumenta că suma se apropie arbitrar de mult de valoarea 4/3. Acest lucru este echivalent cu ideea modernă de însumare a unei serii infinite.

Johannes Kepler a obținut prin descompunerea suprafețelor și corpurilor în foarte multe părți, foarte mici, reguli pentru calculul volumelor butoaielor. Și principiul lui Cavalieri are la bază aceleași considerații. Aproape toți matematicienii foarte apreciați, din secolele XVII și XVIII s-au ocupat cu acest gen de probleme și au rezolvat unele probleme speciale cu ajutorul unor artificii.

Este însă meritul lui Issac Newton și al lui Gottfried Wilhem von Leibnitz de a recunoaște că dintr-un anumit punct de vedere, derivarea și integrarea sunt operații inverse. In acest mod a apărut ideea de integrală nedefinită care constituie punctul de pornire în studiul funcțiilor integrabile. În deceniile și secolele următoare s-a dezvoltat noțiunea precisă de integrală, iar calculul integral a fost fundamentat în mod riguros. S-a putut dovedi că un calcul integral nu este numai un procedeu potrivit pentru calculul ariilor ci și pentru rezolvarea diverselor probleme geometrice ca de exemplu, calculul lungimii arcelor, al volumelor sau al suprafețelor ce mărginesc corpuri rotunde; de asemenea, calculul integral servește la formularea matematică a multor noțiuni din fizică ca centru de greutate, momentul forței, lucru mecanic potențial. Calculul integral a condus și la lărgirea domeniului funcțiilor cunoscute; astfel s-au găsit unele funcții reprezentate prin integrale ce nu se pot exprima prin funcții elementare. Pornind de la problema cvadraturii, integrala definită reprezintă intuitiv aria a suprafeței mărginite de segmentul ab al axei de dreptele x = a și x = b și de porțiunea din curba definită de funcția y = f (x) cuprinsă între punctele (a,f (a)) și (b, f (b)) . Se presupune că această curbă este continuă, fără salturi și că ia numai valori pozitive.

Figura 7. Porțiune din curba definită de funcția y = f (x)

Aria apare ca sumă a unui număr mare de fâșii mărginite de o porțiune foarte mică, a axei Ox, Ax, de paralele la axa Oy duse prin extremitățile acestui segment și de porțiunea corespunzătoare a curbei y =f(x). Semnul (se citește integrală de la a la b din f(x) dx) folosit pentru aria a fost sugerat de litera S ca inițială a cuvântului sumă. Integrala nu trebuie însă, privită ca o sumă infinită, de părți deoarece în realitate ea se definește ca o limită.

Arii . Definiția noțiunii de arie. Proprietatea de aditivitate.

Vom numi domeniu poligonal sau, mai pe scurt, poligon, o figură plană arbitrara finită sau neconvexă, mărginită de una sau mai multe linii frânte închise. Considerăm acum o figură oarecare (P) într-un plan, figură ce reprezintă un domeniu mărginit și închis. Ne vom închipui limitele sau conturul figurii în formă de curbă închisă sau multe curbe închise. Vom considera ariile tuturor poligoanele posibile (A) conținute în întregime în (P) și ariile tuturor poligoanele (B), care conțin în întregime pe (P).

Figura 8. Figură oarecare (P) într-un plan

Dacă A si B înseamnă ariile lor respective, întotdeauna . Mulțimea de numere {A} mărginită superior de un B oarecare are o margine superioară P*, însă P* <B. Tot așa, mulțimea de numere {B}, mărginită inferior de numărul P*, are o margine inferioară, si P* > P*.Prima dintre aceste margini s-ar putea numi aria interioară, iar a doua aria exterioară a figurii (P). Când vorbim despre o curbă, vom avea in vedere ca curbă continuă simplă, poate fi reprezentată parametric. Jordan a demonstrat că, o curbă închisă de acest tip împarte totdeauna planul în două domenii, unul interior și altul exterior, curba fiind limita dintre ele.

Dacă cele două limite P* =sup {A} și P*= inf {B}, coincid, valoarea lor comună P se numește aria figurii (P). În acest caz, se spune că figura (P) este cuadrabilă.

După cum se poate ușor vedea, pentru ca o arie să existe, este necesar și suficient ca pentru orice să se găsească două poligoane (A) și (B) în așa fel încât

Necesitatea acestei condiții decurge din proprietățile fundamentale ale marginii.

Dacă există o arie P, se va găsi un Și un Suficiența rezultă imediat din inegalitățile .

Să presupunem acum că figura (P) este descompusă în două figuri (P1) și (P2), ne putem închipui, de exemplu, că acest lucru s-a făcut cu ajutorul unei curbe care unește două puncte de pe conturul său care se găsește în întregime în interiorul lui (P) , ca în figura 9.

Vom demonstra că, dacă două dintre aceste trei figuri (P), (P1) și (P2) au arie, înseamnă că și a treia are întotdeauna arie.

P = P1 + P2, adică aria are proprietatea de aditivitate.

Presupunem, că figurile (P1) și (P2) au arii. Considerăm poligoanele incluse și cele care nu sunt incluse (A1) , (B1) si (A2) , (B2) care le corespund.

Din poligoanele (A1) , si (A2) care nu se suprapun reciproc, se alcătuiește domeniul poligonal (A) cu aria A=A1+A2 care este cuprins în întregime domeniul (P). Dintre poligoanele (B1) si (B2) eventual chiar suprapuse reciproc, se alcătuiește domeniul (B) cu aria BB1 + B2, care conține domeniul (P). Evident că A1+A2=ABB1+B2.

Deoarece, B1 poate diferi oricât de puțin, de A1 și B2 de A2, acest lucru este valabil și în ceea ce privește pe B și A, de unde rezultă că și domeniul (P) are arie. Pe de altă parte, avem în același timp

A1+A2=APBB1+B2 si A1+A2 P1+P2B1+B2

Așa că numerele P și P1+ P2 sunt cuprinse între aceleași limite oricât de apropiate, A1+ A2 și B1+ B2 și , prin urmare, aceste sume sunt egale, ceea ce era de demonstrat.

Reiese, în particular, de aici rezultă că P1<P, adică o parte din figura are o arie mai mică decât toată aria figurii.

Figura 9.

Capitolul 2. Funcții integrabile. Criterii de integrabilitate

INTEGRALA RIEMANN

Integrala definită. Aria unei suprafețe mărginită de o curbă.

Fie y=f(x) o funcție continuă, pozitivă și crescătoare în intervalul (a,b). Graficul acestei funcții este un arc de curbă situate deasupra axei Ox. (figura……)

Figura………………….

Ne propunem să calculăm aria trapezului mixtiliniu ABB‘A‘. În acest scop vom construe un șir de poligoane exterioare și un șir de polinoame interioare de o anumită formă, care ne vor duce la rezultat.

Împărțim intervalul A‘B‘, în n subintervale, prin punctele , iar prin aceste puncte ducem paralele care taie arcul AB în punctele , astfel încât trapezul mixtiliuniu ABB‘A‘ apare ca o reuniune a n trapeze mixtilinii

.

Dacă notăm , atunci aria totală A este suma ariilor elementare

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între aria dreptunghiului exterior

și a dreptunghiului interior . Dacă notăm cu și aceste două arii , rezultă că avem inegalitățile

Însumând în raport cu k obținem s<A<S, unde

Sumele s și S se numesc sumele lui Darboux. Observăm că S este aria poligonuui exterior, obținut ca reiniunea dreptunghiurilor exterioare, iar s este aria poligonului interior obținut ca reuniunea dreptunghiurilor interioare, corespunzător diviziunii .

2.1. Integrale definite. Integrala Riemann

Vom defini noțiunea de diviziune a intervalelor mărginite din ℝ

Fie Iℝ, un interval mărginit, inclus în mulțimea numerelor reale. Diviziunea intervalului I este o mulțime de puncte, care este în general finită, și care sunt situate în intervalul acesta. Dacă în diviziune vom include și capetele extreme ale intervalului, o asemenea diviziune de n+1 puncte, ne va da un număr de n subintervale, pe intervalul I, astfel:

Iℝ (1)

Subintervalele menționate anterior, sunt determinate de mulțimea de puncte prezentată.

(2)

Două intervale vecine au în comun un singur punct: , deci putem spune că subintervalele Ik ale diviziunii sunt “aproape disjuncte”.

Un interval Ik dintre două puncte xk și xk+1 are lungimea:

(3)

O diviziune este arbitrară dacă nu se impune nici o condiție asupra punctelor sau subintervalelor sale, sau poate fi una aleasă în caz particular.

Diviziunea echidistantă a intervalului , are punctele situate unele față de altele la distanțe egale. Pentru o astfel de diviziune, distanța dintre două puncte succesive, este exact a n-a parte din lungimea intervalului, respectiv:

(4)

Norma unei diviziuni de forma (1) reprezintă lungimea celui mai mare interval.

Definiția formală și notația specifică sunt:

(5)

Pentru cazul particular, când diviziunea este echidistantă, norma acesteia coincide cu lungimea comună a tuturor intervalelor. Tot pentru această diviziune particulară, poate fi precizată expresia unui punct curent al diviziunii.

(6)

Funcții integrabile

Fie ℝ, o funcție reală, mărginită pe un interval Iℝ și o diviziune arbitrară a intervalului, cu intervalele definite anterior.

Notăm

Atunci sumele Darboux, inferioară respectiv superioară, asociate funcției f și diviziunii sunt

și (7)

Comentarii

Pentru orice funcție mărginită pe intervalul Iℝ și pentru orice diviziune a intervalului, este evident că există aceste două sume Darboux, deoarece marginile funcției există și sunt finite pe orice subinterval .

Dacă marginile globale, pe întregul interval, ale funcției sunt:

m = inf f și M = sup f (8)

atunci pentru orice diviziune putem scrie:

(9)

Această inegalitate dublă sau triplă a sumelor Darboux, este o consecință imediată a definiției celor două margini ale unei mulțimi de numere reale, aplicată funcției pe întrg intervalul I, respectiv pe oricare subinterval .

m =inf f(I) și M=sup f(I)

IkI => f(I) => (10)

Inegalitățile din (10) se pot scrie împreună, incluzând și mulțimea valorilor funcției pe subintervalul de rang k:

(11)

Inegalitățile (11), fără f(Ik) , pot fi înmulțite cu lungimea intervalului Ik și apoi însumate pe

Din (11), rezultă: => =>

=>

(12)

Inegalitatea (12) exprimă o relație de ordine între cele două sume Darboux dar și două bariere, una inferioară și cealaltă superioară pentru acestea. Acestea sunt și bariere pentru valoarea integralei din f pe intervalul .

Prin DEFINIȚIE, (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [287]),

O funcție mărginită , se spune că este integrabilă Riemann dacă pentru orice șir de diviziuni () cu norma , când , șirurile sumelor Darboux și au o limită comună finită I, și se notează .

De obicei se scrie și și se numesc, respectiv, integrala inferioară Darboux și integrala superioară Darboux.

Criteriu de integrabilitate al lui Darboux (Universitatea București, Analiză matematică, volumul I, Ediția a –V-a, E.D.P. București [379]), O funcție mărginită , este integrabilă pe dacă și numai dacă, pentru orice număr , există un număr , astfel încât oricare ar fi diviziunea cu să avem

Clase funcții integrabile

Propoziții (Universitatea București, Analiză matematică, volumul I, Ediția a –V-a, E.D.P. București [380, 381])

Orice funcție f monotonă pe este integrabilă pe .

Orice funcție f continuă pe este integrabilă pe .

Pentru cele două clase de funcții integrabile, funcțiile continue și funcțiile monotone, mulțimea punctelor de discontinuitate este –într-un anumit sens- excepțională: vidă la funcțiile continue și cel mult numărabilă, la funcțiile monotone. Criteriul lui Lebesgue, arată că mulțimea punctelor de continuitate caracterizează complet funcțiile integrabile ăn sensul lui Riemann. Spre deosebire de celelalte criterii de integrabilitate, care folosesc sumele integrale, criteriul lui Lebesgue caracterizează funcțiile integrabile numai prin structura acestor funcții.

Teorema lui Lebesgue. (Universitatea București, Analiză matematică, volumul I, Ediția a –V-a, E.D.P. București [384])

O funcție , este integrabilă Riemann, dacă și numai dacă este mărginită și mulțimea punctelor în care f este discontinuă este neglijabilă (de măsură Lebesgue nulă).

Criteriul lui Lebesgue, se poate enunța astfel: (Universitatea București, Analiză matematică, volumul I, Ediția a –V-a, E.D.P. București [384])

O funcție , este integrabilă, dacă și numai dacă este mărginită și continuă aproape peste tot pe .

Observații

Se spune că o proprietate punctual definită pentru punctele dintr-o mulțime are loc aproape peste tot pe E dacă mulțimea punctelor din E în care nu are loc este neglijabilă. Cu această denumire, o funcție este continuă aproape peste tot, dacă mulțimea punctelor sale de discontinuitate este neglijabilă.

Din criteriul lui Lebesgue, rezultă imediat că funcțiile continue și funcțiile monotone sunt integrabile, deoarece la funcțiile continue mulțimea punctelor de discontinuitate este vidă, deci neglijabilă, iar la funcșiile monotone mulțimea punctelor de discontinuitate este cel mult numărabilă deci de asemenea neglijabilă.

Integrale duble. Integrale de suprafață.

Fie f(x,y) o funcție definită și mărginită pe un domeniu plan D,

(13)

Domeniul D îl vom considera închis și mărginit, deci interior unui interval bidimensional

(figura….)

Figura …..

Frontiera domeniului D este format dintr-o curbă închisă, alcatuită dintr-un număr finit de arce netede. Presupunem că f(x,y) este și pozitivă pe D, deci pentru orice . În această situație graficul funcției z=f(x,y) , reprezintă o suprafață S situată deasupra planului xOy având ca proiecție pe planul xOy domeniul D.

Vom calcula volumul corpului mărginit de suprafața S, planul xOy și cilindrul cu generatoarele paralele cu axa Oz și a cărui curbă directoare în planul xOy este curba .

Pentru aceasta vom defini următoarele noțiuni:

Fie diviziunile ale intervalelor respectiv:

Paralelele la axa Oy, prin punctele diviziunii și la axa Ox, prin punctele diviziunii , impart intervalul I în nxm subintervale I ij figura ……

.

figura…..

Dintre aceste subintervale numai o parte sunt conținute în întregime în domeniul D și vomnota mulțimea lor cu M

O parte din subintervalele conțin și puncte ale domeniului D și ale diferenței I-D. Notăm mulțimea lor cu M ‘.Există și subintervale exterioare intervalului D, mulțimea lor o notăm cu M “

Prin DEFINIȚIE, (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [427]), vom numi o diviziune a domeniului D, mulțimea subintervalelor Iij dată de și vom nota , ordinea de numerotare a subintervalelor fiind indiferentă.

Din definiția anterioară rezultă și pentru orice

Vom numi norma unei diviziuni și vom nota , numărul pozitiv

Deci

Considerăm diviziunile ’ și ale intervalelor respectiv, mai fine decât și , deci; diviziunilor ’ și le corespunde o diviziune a domeniului D, mai fină decât diviziunea , și dacă notăm cu norma diviziunii avem , deoarece , și .

c) Considerăm o diviziune a domeniului D în care funcția f(x,y) este definită și mărginită. Fie interval bidimensional ale diviziunii, numerotate într-o ordine oarecare și ariile corespunzătoare ale acestor interval. Să notăm cu marginile inferioară și superioară ale funcției f(x,y) în

și să formăm sumele Darboux

(suma inferioară Darboux),

(suma superioară Darboux),

avem evident ,

unde:

aria intervalelor ce aparțin lui M

aria celor ce aparțin lui MM ‘,

m marginea inferioară a lui f în D

M marginea superioară a lui f în D.

Integralele duble au următoarele proprietăți:

Dacă ’ este o diviziune a domeniului D mai fină decât , atunci

Oricare ar fi diviziunile ’ și ’’ avem

Dacă * este mulțimea tuturor diviziunilor domeniului D, atunci

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

Dacă () este un punct oarecare al intervalului și suma

, atunci . Sumele se numesc sume Riemann relative la diviziunea .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni avem următoarele relații

și

d) Interpretarea geometrică a sumelor.

Considerăm un interval care aparține diviziunii și Sk partea din suprafața S care se proiectează pe planul xOy în . Dacă Mk și mk sunt marginile superioară și inferioară ale funcției în , produsele și reprezintă respective volumele paralelipipedelor de bază și înălțimile Mk și mk. (figura …….)

Figura ……..

Observăm că volumul Vk este mărginit de partea de suprafață Sk, de intervalul și de cilindrul proiectant (format din fețe plane) al conturului lui Sk pe conturul lui este cuprins între cele două volume , prin urmare însumând în raport cu k=1,2,3…..p , avem . Produsul unde reprezintă volumul unui paralelipiped de bază și înălțime . Avem , deci și prin însumare rezultă . Toate proprietățile enumerate mai sus sunt adevărate pentru funcția f, definită și mărginită de D. Faptul că funcția este și pozitivă în D, am putut da o semnificație geometric sumelor .

Putem enunța următoarele definiții: (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [429]),

DefinițIa 1: Fie f o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit . Se spune că f este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice șir de diviziuni ale domeniului D cu când , șirurile sumelor lui Darboux și , au o limită comună finită V.

Limita însăși se numește integral dublă a funcției f din domeniul D și se notează V=.

Dacă f(x,y) este și pozitivă în D atunci V reprezintă volumul corpului mărginit de suprafața z=f(x,y) care se proiectează în planul xOy în domeniul D, de planul xOy și de cilindrul proiectant al conturului lui S pe conturul lui D.

Definiția 2: Spunem că o funcție f(x,y) definită și mărginită pe domeniul închis și mărginit, este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma

când , și pentru orice alegere a punctelor , șirurile Riemann corespunzătoare au o limită comună, finită V.

Criteriu de integrabilitate (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [430]),

Criteriul lui Darboux. Fie f(x,y) o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit D. Funcția f(x,y) este integrabilă pe D, dacă pentru orice număr , există un număr , astfel încât pentru orice diviziune a domeniului D cu , să avem

Demonstrație.

Condiția este necesară. Presupunem că f este integrabilă pe D. Fie un șir de diviziuni ale domeniului D, ordonate după finețe. Avem și

cu .

Dacă notăm V=, funcția f fiind integrabilă, pentru orice număr există un număr, astfel încât pentru orice avem , ,deci,

Condiția este suficientă. Fie un șir de diviziuni (arbitrar) ale domeniului D cu norma când . Pentru orice număr , există , astfel încât pentru orice avem .

Dacă , avem neegalitățile , deci și cum e oarecare iar , sunt fixe, rezultă că = , deci f este integrabilă Riemann pe D.

Integrale triple

Fie V un domeniu închis și mărginit în spațiul cu trei dimensiuni R3, interior unui interval tridimensional. Figura……

Figura……

.

Frontiera domeniului V este o suprafață închisă S format dintr-un număr finit de părți netede. Să presupunem că volumul V reprezintă un corp K, neomogen, de densitate f(x,y,z)>0 , variabilă, funcția f fiind definită și mărginită în V. Ne propunem să găsim masa totală a corpului K. În continuare considerăm funcția f ca fiind numai definită și mărginită în V. Când vom reveni la semnificația fizică a rezultatelor obținute, vom adăuga și condiția suplimentară de a fi pozitivă în V.

Pentru aceasta vom defini următoarele noțiuni:

Fie diviziunile ale intervalelor respectiv:

Planele paralele cu planul yOz, prin punctele diviziunii , planele paralele cu planul zOx, prin punctele diviziunii , și planele paralele cu planul xOy, prin punctele diviziunii , împart intervalul I în mnp subintervale I ijk .

.

Dintre aceste subintervale numai o parte sunt conținute în întregime în volumul V și vom nota mulțimea lor cu M

O parte din subintervalele conțin și puncte ale lui V și ale diferenței I-V. Notăm mulțimea lor cu M ‘.Există și subintervale exterioare lui V, mulțimea lor o notăm cu M “

DEFINIȚII (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [475])

Vom numi o diviziune a volumului V, mulțimea subintervalelor Iijk dată de și vom nota , ordinea de numerotare a subintervalelor fiind indiferentă.

Vom numi norma unei diviziuni și vom nota , numărul pozitiv

cu

Considerăm diviziunile ale intervalelor respectiv mai fine decât deci

Diviziunilor le corespunde o diviziune a volumului V despre care vom spune că este mai fină decât diviziunea și vom scrie . Dacă notăm cu norma diviziunii avem , deoarece: , ,

și

b) Considerăm acum o diviziune a volumului V în care funcția f(x,y,z) este definită și mărginită. Notăm cu subintervalele tridimensionale ale diviziunii, numerotate într-o ordine oarecare și volumele corespunzătoare acestor subintervale. Să notăm cu marginile inferioară și superioară ale funcției f(x,y,z) în

și să formăm sumele lui Darboux

(suma inferioară Darboux),

(suma superioară Darboux).

Avem evident , unde am notat cu m și M marginile inferioară și superioară a lui f în V, cu volumul diviziunilor cuprinse în M și cu volumul subintervalelor din MM ‘.

Integralele trible au următoarele proprietăți:

Dacă ’ este o diviziune a volumului V mai fină decât , deci , atunci

Oricare ar fi diviziunile ’ și ’’ ale volumului V avem

Dacă * este mulțimea tuturor diviziunilor volumului V, atunci

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

Dacă () este un punct oarecare al intervalului și suma

, atunci . Sumele se numesc sume Riemann relative la diviziunea .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni avem următoarele relații

și , (

c) Interpretarea geometrică a sumelor.

Dacă f(x,y,z) este și pozitivă in V , suma reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mase, respectiv ; Suma S reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mase, respectiv ; Suma reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mase, respectiv

Putem enunța acum următoarele definiție: (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [477]),

Definiție: Fie f o funcție definită și mărginită pe un volum. Se spune că f este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice șir de diviziuni ale volumului V cu

când , șirurile sumelor lui Darboux și , au o limită comună finită M

Limita însăși se numește integrală triblă a funcției f întinsă la volumul V și se notează

M =.

Dacă f(x,y,z) este și pozitivă în V atunci M reprezintă masa corpului K, de volum V, neomogen, de densitate

Definiția dată este echivalentă cu M, unde este mulțimea tuturor diviziunilor lui V.

Volumul V se numește domeniul de integrale al integralei triple.

Dacă este o sumă Riemann oarecare relativă la diviziunea a volumului V,avem deci, dacă f e integrabilă pe V, rezultă că = M, adică și sumele Riemann sunt convergente către limita comună a celor două șiruri și. Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevărată astfel încât avem următoarea definiție a integrabilității:

Definiție: (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [477]),

Spunem că o funcție f(x,y,z) definită și mărginită pe domeniul închis și mărginit , este integrabilă Riemann pe V, dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma când , și pentru orice alegere a punctelor , șirurile Riemann corespunzătoare au o limită comună, finită M,

Criteriu de integrabilitate al lui Darboux (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [477]).

Fie f(x,y,z) o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit V. Funcția f(x,y,z) este integrabilă pe V, dacă pentru orice număr , există un număr , astfel încât pentru orice diviziune a domeniului V cu , să avem

Teoreme (Marcel Roșculeț, Analiză matematică, E.D.P. București [477]).

Funcțiile continue pe un domeniu închis și mărginit V sunt integrabile pe V.

Dacă mulțimea T a punctelor de discontinuitate a unei funcții mărginite f definită pe un domeniu închis și mărginit , este format dintr-un număr finit de suprafețe netede, atunci funcția f este integrabilă Riemann pe V.

Aplicatii ale calculului integral

Există un concept matematic conform căruia orice mărime geometrică sau fizică care are proprietatea de "aditivitate fata de multime (interval)" se poate exprima printr-o integrală definită. Astfel notiunile de "arie" si "volum" pentru figuri geometrice din plan si corpuri din spatiu se pot defini în mod riguros din punct de vedere matematic. Această afirmație nu este o teoremă, dar circumscrie gama de aplicații ale integralelor. Vom prezenta fara demonstratie unele aplicatii ale integralei definite.

I. Aria unui domeniu din plan

1. Aria multimii din plan DR2 marginita de dreptele x = a, x = b,   y = 0 si graficul functiei f : [a, b] R pozitiva si continua se calculeaza prin formula:

2. In cazul f : [a, b]  R continua si de semn oarecare, avem:

.

3. Aria multimii din plan marginită de dreptele  x = a,  x = b si graficele functiilor f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula:

.

II. Lungimea unui arc de curbă

Considerăm o funcție continuă  f : [a, b] R. Daca  f are derivata continuă (sau numai funcție integrabilă) pe [a, b], lungimea curbei  se calculează după formula:

.

III. Volumul unui corp de rotație

Fie f : [a, b] R o funcție continuă, atunci corpul K din spațiu obținut prin rotirea graficului lui f , în jurul axei Ox, are volumul calculat prin formula:

IV. Suprafata unui corp de rotatie

Fie f : [a, b] R o functie derivabila pe [a, b] si cu f' continuă, atunci suprafata S a corpului K obținut prin rotirea graficului lui f  în jurul axei Ox se calculează prin formula:

Aplicații geometrice și fizice ale integralelor multiple

Vom prezenta fara demonstratie unele aplicatii ale integralei definite.

Fie o mulțime măsurabilă (mărginită). Volumul lui M este dat prin .

De exemplu pentru n=2 se obține aria mulțimilor plane măsurabile mărgnite, anume

iar pentru n=3 se obține volumul .

Fie o funcție continuă și pozitivă. În cele ce urmează, vom numi M =”corp” și =“densitate specifică” a lui M.

Masa lui M este numărul real dat de

Centrul de greutate al lui M, este punctul , de coordinate

, , ………, . Dacă este o funcție constant, se spune că M este un corp omogen.

Pentru o placă plană omogenă , coordonatele centrului de greutate sunt:

,

Pentru un corp omogen , coordonatele centrului de greutate sunt:

, ,

Momentul de inerție al lui M în raport cu orice punct fixat , este numărul:

Momentul de inerție al lui M în raport cu F , este numărul real:

unde este o mulțime închisă și d(x) este distanța de la punctul curent la F,

2.1. Aplicațiile integralelor duble și de suprafață

Integralele duble au multiple aplicații, precum:

Calculul ariei unui domeniu plan

Calculul ariei unei suprafețe în spațiu

Determinarea volumului corpurilor

Determinarea entrelor de greutate

Determinarea momentelor de inerție

Aria unui domeniu plan , închis și mărginit este dată de integral dublă după cum rezultă din definiția integralei duble.

Aria unei suprafețe în spațiu . Aria A a unei suprafețe S, definită de ecuațiile parametrice , cu f, g,h continue cu derivate parțiale de ordinal întâi continue în D, este dată de

Exemplu Să se determine aria suprafeței . Avem , deci

Cu , avem

, deci

Volumul unui corp mărginit de suprafața S definită de z=f(x,y), , de cilindrul proiectant al suprafeței S pe planul xOy (cu generatoarele paralele cu axa Oz) și de planul xOy este dat de , dacă și de dacă f(x,y) nu păstrează un semn constant în D.

Exemplu Volumul corpului . ,

cu , avem:

3.1. Aplicații ale integralelor triple

Integralele triple au multiple aplicații, precum calculul:

Volumului corpurilor

Masei corpurilor

Centrelor de greutate

Momentelor de inerție

3.1.1. Volumul corpurilor. Cunoaștem că volumul unui corp V este dat de integrala triplă

Exemplu. Să se găsească volumul elipsoidului

O reprezentare parametrică a elipsoidului este , , , cu

Avem I

3.1.2. Masa corpurilor. Masa unui corp K de densitate și volum V este dat de integrala triplă

Exemplu. Să se calculeze masa corpului mărginit de suprafețele , , , de densitate proporțională cu z,

Avem

O reprezentare parametrică a lui V este , , , , cu

Avem

Alte aplicații ale calculului integral în domeniul MECANICII, sunt calculele legate de determinarea centrelor de greutate și a momentelor de inerție ale unor corpuri geometrice.

Determinarea centrelor de greutate

Centrul de greutate al unei bare neomogene.

Considerațiile privind centrul de greutate al unui sistem discret de puncte materiale pot fi extinse și la cazul sistemelor material continue care ocupă un segment de dreaptă,un arc de curbă sau un domeniu plan sau tridimensional. Ele stau la baza calculului integral.

În acest caz, se consideră o bară materială ce poate fi asimilată cu un segment AB de pe axa Ox. Fie a și b abscisele punctelor A și B. Pentru elementul material cuprins între punctele de abscise x și x+dx, unde dx este sufficient de mic, greutatea se exprimă proporțional cu lungimea dx prin relația , unde este o funcție definită și continuă pe , care este pozitivă. Ea se mai numește greutate specifică. Densitatea a barei cu punctual de abscisă x este definită prin unde g este accelerația gravitațională.

Dacă considerăm o împărțire I(n) a intervalului , (a<b) prin punctele de abscise crescătoare a, , , ……, ,……, b , în pn interval, norma l(n) a diviziunii fiind l(n) = , unde , , putem privi în mod aproximativ bara ca format din pn puncte material de abscise și de greutăți

p()(-), asimilând fiecare interval al diviziunii I(n) , cu câte un punct material de abscisă aparține intervalului

Formula centrului de greutate, definit prin:

(14)

în care figurează numai masele punctelor Ai și vectorii lor de poziție O Ai față de originea O. Această expresie este remarcabilă și pune în evidență pe G ca centru de greutate al maselor sistemului (S), așa cum apare el potrivit legilor fundamantale ale mecanicii.

Ca urmare a formulei (14), central de greutate al acestor puncte are abscisa , unde , ordonata sa fiind egală cu zero.

Dacă și , avem

Astfel, considerăm prin definiție că centrul de greutate G al barei AB are abscisa

= (15)

Bara este omogenă dacă, unde este densitatea barei cu punctul de abscisă x, definită prin , g fiind accelerația gravitațională. În acest caz,

(16)

și centrul de greutate se află la mijlocul lui AB.

Centrul de greutate al unei plăci omogene, având forma unui trapez curbiliniu.

În acest caz, placa plană este omogenă, deci greutatea oricărei porțiuni a ei este egală cu produsul dintre o constant pozitivă , numită greutate specifică și suprafața ei.

Considerăm o placă omogenă, situată în planul Oxy și limitată de arcele de curbă A1B1 și A2B2 având respectiv ecuațiile

(A1B1) y=f1(x) , (A2B2) y=f2(x), (17)

și de segmentele A1A2 și B1B2 , pentru care x=a sau x=b (figura……)

Figura ……..

Funcțiile f1(x) și f2(x) sunt funcții integrabile, cu un număr finit de puncte de discontinuitate de prima speță (adică în care aceste funcții au limite laterale finite și diferite între ele ), care sunt definite pe intervalul cu a<b și astfel că

Considerăm o diviziune I(n) a intervalului , (a<b) prin punctele

a, , , …, ,……, b.

Cu ajutorul ei placa este împărțită în pn fâșii, care pot fi assimilate cu bare materiale.

Bara care se asociază intervalului are ordonatele cuprinse între

și , unde . Centrul ei de greutate are coordonatele

,

iar greutatea barei aplicată în acest centru este

Centrul de greutate G(n) al greutăților plasate în punctele , i= 1,2,3……pn, are coordonatele

și (18)

Dar dacă pentru și , rezultă

Astfel (19)

Prin definiție, punctul G este centrul de greutate al trapezului curbiliniu considerat.

Aria plăcii este dată de:

Exemplu – Determinăm centrul de greutate al semidiscului circular cu raza R, cu centrul în originea O a axelor și cu diametrul pe axa Ox.

În acest caz, R fiind raza discului, avem

a = -R și b =R

. Se găsește și

Volumul corpului geometric generat prin rotirea planului în jurul axei Ox, a trapezului curbiliniu.

Acesta se poate calcula cu teorema lui Guldin.

Presupunem că . Volumul corpului de rotație generat prin rotirea trapezului curbiliniu aA2 B2 b în jurul axei absciselor este

La fel, volumul corpului de rotație generat de trapezul curbiliniu aA1 B1 b este

Prin urmare, volumul corpului generat prin rotirea în jurul Ox a trapezului curbiliniu

A1 A2 B1 B2 este:

Teoremă: Volumul corpului geometric generat de rotirea trapezului curbiliniu A1A2B1B2 prin rotație în jurul axei Ox, este egal cu aria acestui trapez înmulțită cu lungimea L a circumferinței descrisă de central de greutate G al trapezului, considerat omogen în această rotație.

Centrul de greutate al corpului solid omogen de rotație

Pentru a găsi central de greutate Gr al solidului omogen care se obține prin rotație completă a trapezului curbiliniu A1B1B2 A2 pentru care în jurul axei Ox, se va observa că din motive de simetrie, central de greutate Gr se va găsi pe axa de rotație. Deci, este suficient să calculăm abscisa a acestui punct.

Calculul acestei abscise se va face printr-un procedeu de trecere la limită. Considerăm un șir de subdiviziuni I(n) (n=1,2,3…….) ale intervalului respective în pn intervale consecutive, cu ajutorul punctelor de subdiviziune a, , , …, ,……, b.

Fie norma acestei subdiviziuni I(n) . Fie apoi .

Punctului de abscisă îi corespund pe arcele A1B1 și A2B 2 punctele de ordonate

Asimilând solidul generat prin rotația trapezului curbiliniu limitat de porțiunile arcelor A1B1 și A2B 2 pentru care cu cilindrul de rotație având ca bază coarda circular de raze și și înălțimea

Acest cilindru are o masă egală cu

unde este masa specifică constantă a corpului. El are centrul de greutate situat pe axa Ox într-un punct al intervalului care poate fi considerat chiar punctul de abscisă prin alegerea convenabilă a lui

Centrul de greutate al cilindrilor de rotație obținuți pentru i=1,2,3…..p n coincide cu acela al punctelor material de mase și de abscise .

El are abscisa

Prin urmare, se obține:

( 20)

Centrul de greutate G r al solidului de rotație va avea abscisa definită prin , atunci când .

Din relația (20) avem:

(21)

în timp ce masa solidului este dată de

(22)

Relația (21) definește poziția centrului de greutate pe axa de rotație a solidului.

Cazul solidelor omogene care admit axa Ox ca axă de simetrie dreaptă atunci când se cunoaște aria unei secțiuni oarecare normale la corp ca funcție de abscisă.

Fie un plan (P) normal la axa Ox care taie solidul după o porțiune de suprafață plană Dx a cărei arie este S(x). Punctul de intersecție al planului cu axa Ox are abscisa x. El este prin ipoteză central de simetrie al acestei porțiuni de suprafață, deci central de greutate al acestei plăci omogene (figura……….)

Figura…………

Considerând un șir de subdiviziuni I(n) ale intervalului între capetele căruia poate varia x, corpul solid va fi împărțit în corpuri geometrice elementare asimibilabile cu cilindri de bază și de volum , unde

Putem lua pe ca abscisă a centrului de greutate al cilindrului corespunzător, a cărui masă este , unde este masa specific a corpului. Ca și la punctual anterior, rezultă că centrul de greutate al solidului va avea abscisa definită prin

Prin urmare

(23)

Masa solidului considerat este (24)

Cazul solidului de rotație se regăsește în particular, avem în această ipoteză

Cazul solidului omogen care admite axa Ox ca axă de simetrie oblică, față de plan, atunci când se cunoaște aria unei secțiunilor paralele cu acel plan în funcție de abscisa x.

În cazul precedent secțiunile în corp erau normale la axa Ox. Acum, se presupune că există un plan (P) astfel că intersecțiile D x ale solidului cu planele paralele la (P) posedă ca centre de simetrie punctele în care acestea taie pe Ox. Astfel, la orice punct m al corpului corespunde un punct m‘ așa că segmentul m m‘ , este paralel cu planul (P) și are mijlocul pe Ox. În general axa Ox nu este normal la planul (P). Se zice că avem în acest caz o axă de simetrie oblică.

Fie α unghiul pe care îl face normala la planul (P) cu axa Ox. (figura ……..

Figura………………

Reluînd considerațiile de la punctul e) se constată că central de greutate al cilindrului cuprins între planele paralele cu (P), duse prin punctul de abscise , , se găsește pe axa Ox. Masa cilindrului este . Întrucăt apare și la numărătorul și la numitorul expresiei a cărei ne dă pe , rezultă că formula (23) rămâne valabilă.

Avem deci (25)

și masa (26)

În APLICAȚIILE următoare, vom ilustra rezultatele de mai sus prin câteva exemple.

Centrul de greutate al unui segment de parabolă.

Considerăm o placă omogenă reprezentată prin segmental de parabolă limitat de curbele de ecuații y=f1(x)=0 și y=f2(x)= h-kx2 >0, unde h și k sunt numere pozitive. Figura 113

Figura

În cazul de față h definește “săgeata” segmentului, și avem și . Din

motive de simetrie . Valoarea lui este dată de

, unde a și b se vor înlocui prin expresiile lor date anterior.

Rezultă =(2/5)h. Deci, central de greutate al segmentului de parabolă considerat se află pe axa de simetrie dreaptă Oy la o distanță de bază egală cu 2/5 din săgeată.

2) Centrul de greutate al unui con de rotație.

Notăm prin h înălțimea conului și prin r raza cercului de bază. (Figura…..)

În acest caz avem și , cu

figura………

Prin urmare abscisa centrului de greutate G al conului omogen este dată de

Deci centrul de greutate se află la o distanță de bază egală cu o pătrime din înălțimea conului.

Masa conului este egală cu (27)

3) Centrul de greutate al unei emisfere omogene.

În acest caz, notând raza sferei prin r (figura……..) avem și , cu .

Figura……..

Se obține .

Deci centrul de greutate al emisferei se află la o distanță de baza ei egală cu trei optimi din rază.

4) Centrul de greutate al solidului omogen obținut scoțând dintr-un semielipsoid de rotație un solid limitat de un con circular cu aceeași axă de simetrie și de deschidere dată α

Figura…….

Fie elipsa de ecuație , pentru , care generează elipsoidul prin rotația ei în jurul axei Ox.

În acest caz avem și , cu

Abscisa a centrului de greutate este

(28)

Deci,

Masa solidului considerat este egală cu

unde este masa specifică constantă.

Pentru , găsim abscisa , a centrului de greutate a semielipsoidului de rotație în jurul axei Ox.

Avem , a fiind înălțimea sau “săgeata” semielipsoidului.

Masa acestuia este: (29)

Centrul de greutate al piramidei omogene care admite axa Ox ca axă de simetrie dreaptă.

Alegând originea în vârful piramidei avem unde S1 este aria bazei iar h1 este înălțimea. Aplicăm formula pentru calculul centrului de greutate al solidului care va avea abscisa definită prin

Prin urmare, în acest caz

Masa solidului considerat se determină cu relația , deci .

Centrul de greutate al piramidei care admite axa Ox ca o axă de simetrie oblică în raport cu planul (P), al bazei.

Considerăm o piramidă având ca bază un poligon regulat A1 A2 A3……….An și vârful în punctul O (figura……..). Fie C centrul de simetrie al bazei, care se aflăîn planul (P). Axa Ox este axa de simetrie oblică care unește pe O cu C. O secțiune printr-un plan paralel cu planul (P) taie piramida după un poligon asemenea cu cel de bază. El are aria S(x), x fiind abscisa punctului de intersecție al planului cu axa Ox. Acest punct este evident centrul de simetrie al secțiunii. Avem relația , unde S1 este aria bazei, h este înălțimea piramidei cu baza B1 B2 B3……….Bn, iar h1 înălțimea piramidei cu baza A1 A2 A3……….An.

Avem evident deci . Aplicăm formula pentru calculul centrului de greutate al solidului care va avea abscisa definită prin

Se observă că în acest caz , deci

Masa solidului considerat se determină cu relația , deci .

Deci, centrul de greutate se află pe axa de simetrie la intersecția ei cu planul paralel cu baza, dus la o distanță de bază egală cu o pătrime din înălțimea piramidei.

Calculul momentelor de inerție ale anumitor corpuri față de o axă.

La fel ca și pentru determinarea centrelor de greutate, calculul momentelor de inerție ale corpurilor geometrice cu repartiție continuă de masă conduce la interesante aplicații ale calculului integral. Vom prezenta în continuare, cazuri în care momentele de inerție se exprimă numai prin integrale simple.

Momentul de inerție al unei bare rectilinii neomogene

Vom relua cazul barei AB considerate la punctul a) la determinarea centrelor de greutate.

În lungul barei , iar densitatea barei în punctul x fiind , masa porțiunii de bare cuprinse între și , va fi considerată a fi Această porțiune de bară este asimilată cu un punct material, momentul de inerție față de O al punctelor material la care conduce diviziunea este S-a format astfel o sumă integrală relativă la funcția . Prin definiție momentul de inerție al barei față de punctul O va fi:

(a<b) (30)

Masa barei AB fiind . (31)

În cazul barei omogene avem unde este o constantă pozitivă. Deci, în acest caz, și

În consecință (32)

Momentul de inerție al unei plăci plane omogene, de forma unui trapez curbiliniu față de axa ox situată în planul său.

Fie densitatea superficială constantă a plăcii. Masa unei porțiuni a ei este produsul dintre și aria corespunzătoare. Reluând considerațiile de la punctul b) al calcului centrelor de greutate, porțiunea de bară pentru care și

Conduce la un moment de inerție dat, conform formulei (32), de ,

Unde are expresia ,

fiind aria acestei porțiuni.

Pentru toate barele corespunzătoare diviziunii considerate a lui se formează astfel suma integrală .

Momentul de inerție al unei plăci de forma unei coronae circulare față de axa Ox, perpendicular pe planul ei dusă prin centrul O al plăcii.

Fie R1 și R3 razele coroanei circulare (figura…….)

Figura………..

Se împarte intervalul unde prin punctele de subdiviziune Se formează astfel plăcile- fâșii circulare de raze . Fie . Masa fiecărei fâșii de grosime poate fi luată .

Pe de altă parte fiecare fâșie poate fi împărțită în n părți prin razele ce trec prin O și fac

între ele unghiurile Acestea pot fi asimilate cu puncte material aflate la distanța de axa Ox. În consecință momentul de inerție al fâșiei față de axa Ox va putea fi luat ca egal cu

iar .

Prin definiție momentul de inerție al plăcii inelare considerate va fi egal cu

Masa plăcii va fi . (33)

În consecință , (34)

și . (35)

Momentul de inerție față de axa Ox, al solidului omogen generat prin rotația unui trapez curbiliniu în jurul acestei axe.

Vom presupunne iarăși la fel ca la pct. d) anterior că .

Împărțind intervalul în părți, corpul solid de rotație va fi împărțit în pn corpuri cilindrice, de mase , iar momentele de inerție ale acestora față de axa de rotație Ox vor fi

Prin însumare se vor obține deci sumele integrale

Prin definiție se va avea deci (36)

Expresia masei totale fiind cea deja dată de relația (22).

Observație: Raportul dintre momentul de inerție și densitatea constant se mai numește moment geometric de inerție al corpului.

Cazul solidelor omogene pentru care se cunoaște momentul geometric de inerție al fiecărei secțiuni normale la axa Ox față de această axă.

În acest caz, procedăm ca la punctul e) figura ….. ???????????????

Momentul geometric al plăcii Dx fiind notat prin J(x), rezultă că momentul de inerție al cilindrului elementar a cărui bază se află în planul iar a cărui înălțime este egală cu va fi dat de . Astfel, momentul de inerție al solidului considerat față de axa Ox va fi definit prin (37)

Exemplul 1. În cazul în care solidul rigid admite axa Ox ca axă de simetrie de rotație, deci dacă Dx este o placă circular de arie S(x), de rază y dată de atunci momentul geometric de inerție este dat de în conformitate cu în care se ia

Prin urmare

Dacă solidul este generat de trapezul curbiliniu A1B1A2B2 figura 109 prin rotație în jurul axei Ox, avem, conform relației (19)

și prin urmare relația (37) conduce la (38)

Se regăsește formula (36).

Exemplul 2. Calculul momentului de inerție al unei plăci omogene, de forma unui trapez curbiliniu , figura……..

Figura……

În cazul trapezului curbiliniu de mai sus, arcele și fiind definite respectiv prin , pentru , având . În acest caz, momentul de inerție al plăcii față de axa Oy va fid at de .

Masa are expresia .

Pentru axele paralele cu Oy, momentul de inerție al plăcii va fi dat de , unde înseamnă axa paralelă cu Oy care trece prin G.