Functii Elementare Si Aplicatii

MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI

În viața de zi cu zi, în activitatea cotidiană, noțiunea, sau cel puțin cuvântul funcție, este destul de des întâlnită, pentru a pune în evidență interdependența dintre două mărimi, noțiuni, fenomene etc. De exemplu, premianții clasei se stabilesc în funcție de mediile lor generale, spațiul parcurs de un autoturism într-o oră depinde ( este în funcție ) de viteza de deplasare, prețul unui produs crește sau descrește în funcție de cursul leului față de principalele valute etc.

Fiind profesor la nivel liceal, alegerea temei m-a motivat și prin faptul că în programa de matematică dependențele funcționale, relațiile și funcțiile ocupă mai mult de 50%. Conceptul de funcție guvernează o mare parte din matematica de liceu. Domeniul teoretic vast al funcțiilor se suprapune convenabil cu un domeniu vast real – fizic în care găsim aplicații. Nu de puține ori am observat, la concursuri școlare și evaluări naționale, că exercițiile cele mai multe sunt legate de noțiunea de funcție.

Am ales această temă având în vedere că, prin studiul efectuat pentru pregătirea ei și colaborat cu experiența la clasă, să-mi îmbogățesc nivelul de pregătire profesională, să găsesc cele mai adecvate metode și procedee pentru a-i face pe elevii cu care lucrez să-și însușească temeinic și conștient noțiunile legate de funcții, în special de funcții elementare.

Tema aleasă a fost tratată astfel încât să acopere atât explicarea noțiunilor de bază, cât și înțelegerea și fixarea lor prin exerciții și probleme adecvate, cu grade diferite de dificultate (de la ușor la mediu, spre maxim), eliminându-se elementele monotone și care nu aduc nimic nou, prezentându-le astfel încât să antreneze interesul și fantezia elevilor.

Se știe că nu se poate înțelege, învăța și consolida matematica numai prin însușirea unor cunoștințe teoretice, fără aplicații ale acestora. Teoria se fixează și se aprofundează numai prin rezolvarea unui număr cât mai mare de exerciții și probleme. Aprofundarea cunoștințelor de matematică presupune și demonstrații, folosirea teoremelor învățate în soluționarea unor probleme cu caracter practic.

Studiul matematicii în liceu urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe menite să asigure o integrare profesională optimă.

O importanță deosebită o au activitățile matematice în dezvoltarea gândirii copilului ca formă a deprinderii de a gândi cu eficiență si creativitate.

Experiența demonstrează că activitatea gândirii este stimulată si aplicată în mare măsură de matematică, de aici trăgând concluzia că matematica înseamnă gândirea organizată, prelungită în ultimul timp prin calculatoare.

INTRODUCERE

Lucrarea “FUNCȚII ELEMENTARE ȘI APLICAȚII” este structurată în cinci capitole și își propune să dezbată, într-o formă unitară, aspectele teoretice și practice legate de funcțiile elementare.

În capitolul I “Noțiuni generale despre funcții” – se prezintă noțiuni legate de definiția unei funcții, egalitatea a două funcții și graficul unei funcții. În partea a doua a capitolului sunt prezentate proprietățile funcțiilor, ca noțiuni preliminare celor ce urmează în celelalte capitole. Fiecare noțiune teoretică este insoțită de exemple.

Capitolul II “Funcții elementare”– sunt prezentate toate funcțiile elementare și câteva funcții speciale. Pentru fiecare funcție în parte este prezentată definiția și proprietățile ei. O atenție deosebită este acordată graficului fiecărei funcții, fiind exemplificate aici mai multe grafice pentru fiecare funcție.

Capitolul III “Aplicații” – este un capitol de aplicații în care sunt rezolvate exerciții și probleme prin diferite metode prezentate în capitolele anteriore. Sunt, în general, probleme date la olimpiade și concursuri școlare, dar și probleme propuse pentru examenul de bacalaureat 2015.

Capitolul IV “Proiectarea activității de instruire la matematică” – sunt amintite și clasificate metodele de învățământ, mijloacele de învățământ, metodele de evaluare, tipurile de itemi, tipuri și variante de lecții, cele folosite în activitatea didactică. Pentru fiecare tip de item au fost prezentate exemple, avantaje și dezavantaje. Noțiunile prezentate aici au fost folosite în activitatea de cercetare.

Capitolul V “Proiectarea, desfășurarea și prezentare rezultatelor cercetării pedagogice”– este capitolul în care am realizat cercetarea pedagogică. După aplicarea testului final au fost prezentate avantajele metodelor activ-participative și mai ales ale problematizării față de cele clasice. Aici sunt prezentate rezultatele și concluziile cercetării.

Pentru sprijinul și recomandările primite în realizarea acestei lucrări, aduc mulțumirile mele domnului profesor universitar doctor Vicențiu Rădulescu (Universitatea din Craiova, Facultatea de Matematică – Informatică).

REPERE ISTORICE

Cele mai multe noțiuni din matematică au avut o evoluție îndelungată. La început ele apăreau ca generalizare a unor reprezentări intuitive ale experințelor de toate zilele. Prin eliminarea a tot ce era particular și întâmplător, treptat, din aceste reprezentări, s-au cristalizat definiții matematice precise. În evoluția ei, noțiunea de funcție a parcurs un drum lung și complicat. La această evoluție au contribuit semnificativ babilonienii, cu tabelele lor numerice necesare în astronomie, Arhimede ( 287 – 212 î. Hr. ), Ptolemeu (128 – 168 d. Hr. ) și Abul ` Wafa ( 940 – 998 ).

În pofida faptului că ideea dependenței dintre unele mărimi s-a ivit, pare-se, încă din știința Greciei antice ( în aceea vreme, mărimile aveau numai o natură geometrică ), că funcțiile trigonometrice, definite ca segmente orientate legate de cercul trigonometric, au fost cunoscute din Antichitate (Ptolemeu a alcătuit prima tabelă a sinusului ), că matematicienii indieni cunoșteau formula „ sin x + cos x=1 “ ( Aryabhata secolul al V – lea), iar Thomas Bradwardine ( 1290 – 1349 ) a introdus noțiunea de „ funcție putere” și Nicole Oresme (1325 – 1382 ) a dezvoltat regulile de calcul pentru funcția putere, lipsea noțiunea generală, o definiție care să înglobeze toate cazurile cunoscute.

Chiar dacă noțiunea de funcție a fost utilizată de Decartes ( 1596 – 1650 ) și Fermat (1601 – 1665 ), termenul de funcție a apărut abia în anul 1693, în lucrările savantului G. W. Leibnitz ( 1646 – 1716 ). Totuși, avea un sens îngust și se referea doar la anumite segmente care depindeau de poziția punctelor de pe o curbă: ordonată, subtangentă și subnormală, rază de curbură etc. În anul 1718, Jean Bernoulli ( 1667 – 1748 ) a definit funcția fără a folosi reprezentările geometrice ( „Se numește funcție de o mărime variabilă o cantitate formată într-un mod oarecare din aceea mărime variabilă și constantă „) și a introdus notația f(x).

În anul 1748, L. Euler ( 1701 – 1783 ) a făcut următorul pas în dezvoltarea noțiunii de funcție dând următoarea definiție: „ Se obișnuiește să se numească funcții mărimile dependente de altele în așa fel, încât, ca urmare a variației ultimelor, se schimbă și cele dintâi.” Totuși, la Euler și la ceilalți matematicieni din vremea sa, noțiunea de funcție era legată de posibilitatea de a exprima funcțiile prin formule.

De exemplu, scrierea , după matematicienii secolului al XVIII – lea, definea două funcții, nu una.

Problema de a exprima această dependență printr-o formulă a fost rezolvată abia în secolul al XIX – lea, când J. Fourier ( 1768 – 1830 ) a arătat că suma unei serii infinite compuse din funcții trigonometrice poate fi exprimată pe porțiuni prin formule diferite. Apoi a dat o nouă definiție a funcției, subliniind că principalul este indicarea valorilor funcției; această indicare a valorilor se face printr-o singură formulă sau nu este neesențial.

O formă apropiată a definiției funcției de ceea care se utilizează astăzi a fost dată de Dirichlet (1805 – 1859 ): „ O mărime variabilă y se numește funcție de mărime variabilă x dacă fiecărei valori a lui x îi corespunde o singură valoare determinată a lui y.” Apoi, la cuvintele „ fiecărei valori a lui x” s-au adăugat și „aparținând unei mulțimi”. În această definiție nu se preciza dacă funcția trebuie să fie dată de una și aceeași formulă pe întreg intervalul pe care este definită, această funcție era prea generală. Mai mult o funcție putea să nu fie deloc dată prin vreo formulă, ci putea fi definită prin cuvinte. De exemplu, Dirichlet însuși a considerat o funcție de felul:

f (x) =

În anul 1909, M. Frechet (1878 – 1973 ) a definit noțiunea de funcție în forma care este folosită astăzi. Această definiție a fost permisă datorită apariției teoriei mulțimilor, creată de G. Cantor ( 1875 – 1919 ). Dezvoltarea ulterioară a constat în studierea funcțiilor date de mulțimi arbitrare și care iau valori de asemenea pe mulțimi oarecare. Într-o formulare mai generală, noțiunea de funcție se leagă de noțiunile de corespondență, de aplicație, de transformare.

CAPITOLUL I

NOȚIUNI GENERALE DESPRE FUNCȚII

Definiție. Moduri de a define o funcție

Definiția 1. Fie A și B două mulțimi nevide. Spunem că am definit o funcție pe mulțimea A cu valori în B dacă printr-un procedeu oarecare (relație) facem ca fiecărui element x A să-i corespundă un singur element y B.

Notație: O funcție definită pe A cu valori în B se notează f : A B (citim “f definită pe A cu valori în B”). Uneori o funcție se notează simbolic A B, x y = f(x) (citim: “f de x”), unde y este imaginea elementului x din A prin funcția f sau valoarea funcției f în x. Elementul x se numește argument al funcției sau variabilă independentă. Mulțimea A se numește domeniul de definiție al funcției f, iar B se numește mulțimea în care funcția ia valori sau codomeniul funcției f.

Dacă f este o funcție de la A la B, atunci se mai spune că f este o aplicație de la A la B.

De obicei funcțiile se notează cu litere mici f, g, h, …, f1, f2, f3,…, sau alte simboluri, iar mulțimea tuturor funcțiilor definite pe mulțimea A cu valori în mulțimea B se notează cu f(A, B).

În concluzie o corectă definire a unei funcții presupune existența a trei elemente:

A = domeniul de definiție al funcției

B = codomeniul funcției sau domeniul de valori

f = legea de corespondență ce leagă cele două mulțimi.

Observația 1.

1.1. Deși în definiția unei functii A B apar în mod necesar trei elemente, totuși, uneori pentru simplificarea limbajului, se spune că ,,f este o funcție “, urmând ca celelalte două elemente să rezulte din context.

1.2. Relativ la legea de corespondență, notată simbolic printr-o literă, de exemplu prin f, accentuez asupra faptului că această literă nu reprezintă întotdeauna o expresie algebrică, ea simbolizând, în general, toate acțiunile pe care trebuie să le efectuăm, astfel încât pornind de la un element arbitrar x A să obținem în final elementul corespunzător lui, y B.

1.3. Dacă A și B sunt două multimi oarecare, atunci, în general, există mai multe funcții definite pe A cu valori în B.

1.4. Dacă A⊂ℝ și B⊂ℝ atunci vom spune că f se numeste funcție reală de variabilă reală.

Exemplul 1.

1.1. Fie A mulțimea țărilor de pe glob, iar B mulțimea tuturor orașelor de pe glob.

Definim funcția f : A B după legea: fiecărei țări i se asociază capitala sa.

Vom avea f(România) = București

f(Italia) = Roma etc.

1.2. Fie ℤ mulțimea numerelor întregi.

Definim funcția f : ℤ ℤ după legea: lui a Є ℤ i se asociază pătratul său, adică f(a)=a2.

1.3. Dependența dintre latura unui pătrat și perimetrul său definește o funcție

f : {1, 2, 5, 8, 10. 15} {4, 8, 20, 32, 40, 60} cu ajutorul următoarei reguli: 1→4, 2→8, 5→20, 8→32, 10→40,15→60.

Această regulă poate fi exprimată cu ajutorul unei formule care permite determinarea elementului f(x) când se cunoaște x, anume: f(x)=4x

Exemplul 2 (corespondențe care nu sunt funcții).

2.1. Fie A multimea orașelor din România, B mulțimea cetățenilor țării și corespondența da la A la B: ,,x este orașul natal al lui y “

Această corespondență nu este o funcție deoarece un oraș x este locul de naștere al mai multor cetățeni.

Așadar, unui element din mulțimea A îi corespunde cel puțin două elemente din mulțimea B, ceea ce contrazice definiția funcției.

2.2. Fie A mulțimea cuvintelor care reprezintă nume de familie (Georgescu, Ionescu,…) și B mulțimea oamenilor cu aceste nume.

Corespondența definită de la A la B prin care fiecărui nume îi corespunde omul care poartă acest nume nu definește o funcție pentru că există nume de familie purtat de cel puțin două persoane. Așadar, nu este respectat criteriul imaginii unice.

2.3. Se dau mulțimile A = {1, 2, 3}, B = {1, 8, 9, 10, 11} și corespondența x→x3.

Această corespondență de la A la B nu definește o funcție deoarece nu oricărui element din A îi corespunde un element din B.

Observăm că elementului x = 1 îi corespunde în B elementul 1, elementului x = 2 îi corespunde în B elementul 8 și elementului x = 3 ar trebui să-i corespundă în B elemental 27, dar 27 nu se găsește în B.

Observația 2. Chiar dacă se dau două mulțimi nevide nu orice relație stabilită între elementele acestora definește o funcție.

Moduri de definire a unei funcții.

Indiferent de modul în care este definită o funcție trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizează: domeniul de definiție, codomeniul și legea de corespondență.

Definiția funcției nu precizează nimic în legătură cu mijlocul prin care se face corespondența, ceea ce înseamnă că și din acest punct de vedere putem avea mai multe moduri de a defini o funcție. Putem defini o funcție în mai multe moduri; esențial este să existe mijlocul ca fiecărui x A să îi corespundă un y B.

Există în principal două moduri fundamentale de definire a funcțiilor: sintetic și respectiv analitic.

I. Funcțiile definite sintetic corespund acelor funcții f : A B pentru care se indică fiecărui element x din A elementul y = f(x) din B sau altfel spus corespondența este precizată “element cu element”

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu săgeți, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou. Acest mod de a defini o funcție se utilizează când A=domeniul de definiție este o mulțime finită.

Diagramele cu săgeți. Este una din modalitățile frecvent utilizate pentru înțelegerea conceptului de corespondență ce reprezintă o funcție. Domeniul de definiție, respectiv codomeniul funcției sunt reprezentate grafic prin figuri geometrice cum ar fi cerc, pătrat, dreptunghi, oval, curbe închise etc., elementele mulțimilor fiind precizate în interiorul acestora, iar legea de corespondență este dată prin săgeți.

Figura 1.

Sau

Figura 2.

Tabloul de valori. Pentru reprezentarea unei funcții se poate folosi și tabelul de valori astfel pe rândul de sus se trec elementele domeniului de definiție, iar pe rândul de jos se trec elementele domeniului valorilor.

Tabelul 1. Tabelul de valori al unei funcții

Exemplu 3. Fie f : {1, 2, 3} {a,b,c} definită prin f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c.

În diagrama cu săgeți sunt reprezentate mulțimile prin diagrame, iar legea de corespondență prin săgeți. Faptul că fiecărui element x din A îi corespunde un unic element y = f(x) din B înseamnă pentru diagrama cu săgeți că din fiecare element din A pleacă o singură săgeată. Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigență înseamnă că într-un astfel de element pot ajunge una, mai multe săgeți sau chiar niciuna.

Figura 3.

Figura 4.

Observația 3. Nu orice tabel de valori sau diagramă cu săgeți definește o funcție

Contraexemple:

1. Un contraexemplu de lege de corespondență ce nu reprezintă o funcție (ci doar o relație) este reprezentat în diagrama de mai jos:

Figura 5.

Elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element din B.

2. Acest contraexemplu specifică o altă situație în care elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu pornește nici o săgeată înspre un element din B și elementului 1 A îi corespund două elemente din B, f(1)=2 și f(1)=4.

Figura 6.

Aceleași funcții definite la exemplul 3 le putem descrie și utilizând tabelele de valori, acestea fiind formate din două linii, în prima linie se trec elementele mulțimii pe care este definită funcția (domeniul de definiție al funcției), iar pe linia a doua valorile funcției în aceste elemente.

Tabelul 2. Tabelul de valori al funcției f : {1, 2, 3} {a,b,c}

Exemplul 4. Funcția f : {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} definită prin f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 4, f(4) = 2 poate fi reprezentată sub forma unui tablou unde în prima linie avem domeniul de definiție, iar în linia a doua sunt valorile funcției în punctele domeniului (3 este valoarea lui f în x = 1, 1 este valoarea lui f în x = 2, etc.). O astfel de funcție se numește permutare de gradul patru. O astfel de reprezentare este f =

Observația 4. Tabelele de valori mai pot fi folosite și la tabele cu pătratele numerelor, tabele cu multiplii numărului , tabele cu valorile funcțiilor trigonometrice, etc.

II. Funcții definite analitic.

Când domeniul de definiție A este o mulțime cu un număr mare de elemente sau este infinită, legea de corespondență este dată indicând o regulă de asociere sau o formulă prin care pentru orice x Є A se precizează f(x) Є B.

Dacă A și B sunt submulțimi ale lui ℝ , atunci legea de corespondență poate fi dată printr-o formulă sau mai multe formule.

Funcțiile f : A B (unde A, B ℝ) definite cu ajutorul unei (sau a unor) formule, sau a unor proprietăți sunt funcții definite analitic. Corespondența f leagă între ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa y = f(x).

Exemplul 5.

5.1. Fie funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x3+4. Această funcție asociază fiecărui număr real x numărul real x3+4.

5.2. Funcția f : ℤ ℤ,

este exemplu de funcție definită prin două formule.

Funcțiile definite prin mai multe formule se numesc funcții multiforme.

Observația 5. În cazul funcțiilor multiforme, fiecare formulă este valabilă pe o anumită submulțime a lui A și deci două formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginii unuia și aceluiași element.

5.3. Fie funcția f : [-2, 2] ℝ, f.

Această funcție asociază fiecărui număr x [-2, 2] numărul real .

Observația 6. Corespondența de la ℝ la ℝ nu definește o funcție, deoarece pentru expresia nu există în ℝ. Așadar, numărului real 4 nu-i corespunde nici un element în ℝ.

Cea mai frecventă reprezentare a unei funcții în matematică este printr-o formulă. În acest caz, elementele domeniului de definiție și ale domeniului valorilor nu pot fi decât numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reguli de calcul corespunzătoare. De exemplu: y = f(x) = 4x – 2, f : ℝ ℝ.

Observația 7.

7.1. Când asupra domeniului de definiție nu s-au făcut ipoteze speciale, se consideră ca făcând parte din acesta toate numerele reale, cărora din formula respectivă li se pune în corespondență o anumită valoare.

De exemplu în cazul funcției y = 4x – 2, domeniul de definiție este alcătuit din mulțimea numerelor reale.

7.2. Unei expresii sau formule i se pot asocia mai multe funcții.

Exemplul 6. Funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x2+1 și funcția g : ℤ ℤ, g(x) = x2+1

Funcțiile f și g sunt diferite deoarece domeniul de definiție al lui f este ℝ, iar al lui g este ℤ.

Observația 8. Când se definește o funcție prin mai multe formule trebuie ca mulțimile menționate pentru acestea să fie mulțimi disjuncte, iar reuniunea lor să fie egală cu domeniul de definiție al funcție.

Exemplul 7 (corespondențe definite cu mai multe formule care nu sunt funcții).

7.1. Fie funcția . Pe intervalul acționează ambele formule.

Astfel , respectiv. Așadar corespondența f nu este funcție.

7.2. Fie funcția , . Corespondența g nu este funcție, deoarece este definit numai pentru .

1.2. Egalitatea funcțiilor

Două funcții f : A → B și g : C →D se numesc funcții egale dacă sunt verificate simultan condițiile:

a) A = C ( au același domeniu de definiție)

b) B = D ( au același codomeniu)

c)

Exemplul 8.

8.1. Fie , dată prin tabelul

Tabelul 3.

și , dată prin .

Se observă că funcțiile f și g au același domeniu de definiție, mulțimea , au același codomeniu, mulțimea și , , , adică f(x) = g(x), oricare ar fi x din domeniul de definiție.

8.2. Fie funcțiile ℝ, și ℝ,.

Domeniul de definiție al funcțiilor f și g este mulțimea și codomeniul este ℝ. Avem avem f(x) = g(x), oricare ar fi x din domeniul de definiție.

Observația 9. Două funcții f și g nu sunt egale și se scrie dacă cel puțin una din condițiile a), b), c) din definiție nu este indeplinită.

Exemplul 9.

9.1. Fie funcțiile f : ℝℝ, prin și g : ℝℝ, . Evident , pentru că și .

9.2. Fie funcțiile f : ℝℝ, prin și g: ℚℝ, prin . În acest cazpentru că au domeniile de definiție diferite.

9.3. Fie funcțiile f : ℝℝ, prin și g : ℝ[0, ∞) , prin . În acest cazpentru că au codomeniile diferite.

1.3. Graficul unei funcții

O funcție atașează fiecărei valori x din domeniul de definiție, câte o valoare y din domeniul valorilor, deci determină perechi de numere reale de forma (x, y). O astfel de pereche, de numere reale, poate fi reprezentată în plan printr-un punct, ale cărui coordonate sunt cele două numere (în ordinea precizată). Totalitatea punctelor din plan, care reprezintă perechile de acest fel, determinate de o funcție f(x), formează graficul acelei funcții. Graficul unei funcții poate fi format dintr-un număr finit de puncte, după cum domeniul de definiție cuprinde un număr finit sau infinit de numere reale.

Definiția 2. Fie o funcție f : A B. Se numește graficul funcției f mulțimea de cupluri Gf = {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y = f(x)}.

Exemplul 10.

Fie funcția definită de diagrama de mai jos

Figura 7.

Atunci graficul său este mulțimea Gf = {(x, f(x)) x A} = {(x, y) x A, y = f(x)} = {(1,a), (2,b), (3,c)}.

10.2. În funcția f : {-1, 0, 1, 2} {-2, 0, 2, 3} definită cu ajutorul tabelului de valori de mai jos:

Tabelul 4

În acest caz, graficul lui f este mulțimea Gf = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}.

Dacă funcția f : A B este o funcție numerică (A,B ℝ), atunci la produsul cartezian A x B ℝ x ℝ, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia în planul în care se consideră un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M având coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulțimea ℝ x ℝ se reprezintă geometric prin planul cartezian, se poate deduce că: graficul funcției numerice se reprezintă geometric printr-o anumită submulțime a planului.

Această submulțime a planului se numește reprezentarea geometrică a graficului funcției. Reprezentarea grafică a unei funcții f : A B este, în general, o curbă, numită curba reprezentativă a funcției f și notată Gf = {M (x, y) x A, y = f(x)}.

Prin abuz de limbaj, în loc de reprezentarea geometrică a unei funcții vom spune simplu graficul funcției f.

Exemplul 11. Funcția f : {-1, 0, 1} ℝ, f(x) = 2x are graficul Gf = {( -1, -2), (0, 0), (1, 2)}, iar reprezentarea grafică este formată din trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).

Exemplul 12. Funcția g : ℝ ℝ, g(x) = 2x are graficul Gf reprezentat de o dreaptă iar reprezentarea sa grafică trece prin cele trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2) amintite mai sus.

y=g(x)=2x

Figura 8.

Exemplul 13. Fie funcția f : ℝℝ, , mℝ. Să se determine m știind că

Din condiția se obține relația , adică și .

Intersecția graficului cu axele de coordonate

Fie funcția f : AB și Gf curba reprezentativă a graficului Gf al funcției.

a)Intersecția curbei Gf cu axa Ox

Axa Ox este caracterizată de egalitatea Ox = {M(x, y) / xA și y = 0} = {M(x, 0) / xA}.

Intersecția dintre axa Ox si curba Gf poate fi Ø sau poate fi o mulțime formată din mai multe puncte.

Dacă intersecția este nevidă, fie M(x, y) un punct al acesteia. Rezultă că M(x, y)Ox, adică y = 0 și M(x, y)Gf adică y = f(x). Astfel valorile lui x sunt date de soluțiile ecuației f(x) = 0, xA.

În concluzie, Gf Ox = {M(x, 0) / f(x) = 0, xA}.

b) Intersecția curbei Gf cu axa Oy

Axa Oy este caracterizată de egalitatea Oy = {N(x, y) / x = 0, yB} = {N(0, y) / yB}

Intersecția dintre axa Oy si curba Gf poate fi Ø, dacă 0A sau mulțimea formată punctul N(0, f(0)).

Exemplul 14. Fie funcția f : RR, f(x) = x2 – 6x + 8. Să se determine punctele comune curbei Gf și axelor de coordonate.

Gf Ox = {M(x, 0) / f(x) = 0}. Abscisele punctelor de intersecție se află rezolvând ecuația f(x) = 0. Rezultă ecuația x2 – 6x + 8 = 0 cu soluțiile x1 = 2, x2 = 4.

Așadar Gf Ox = {M1(2, 0), M2(4, 0)}

Gf Oy = {N(0, f(0))} = {N(0, 8)}.

1.4. Proprietăți ale funcțiilor

1.4.1. Funcții pare, impare.

Definiția 3. Despre mulțimea D ℝ spunem că se numește mulțime simetrică dacă și numai dacă : x D -x D

Exemplul 15 (mulțimi simetrice).

[-1, 1], (-2, 2), (-,3) (3, +), [-2, -1] [1, 2], ℝ, ℤ, etc.

Mulțimile (-1, 1], (-4, 6), ℕ și altele nu sunt mulțimi simetrice.

Definiția 4. Fie f : D ℝ, D simetrică. Despre funcția f spunem că este:

funcție pară dacă și numai dacă: x D f(-x) = f(x) (nu-și schimbă valoarea atunci când se schimbă semnul argumentului)

funcție impară dacă și numai dacă: x D f(-x) = – f(x) (prin schimbarea semnului argumentului ea își schimbă semnul, fără a-și modifica valoarea sa absolută).

Propoziția 1. Dacă funcția f : D R, (D simetrică) este:

funcție pară atunci Gf este simetric față de axa Oy

funcție impară atunci Gf este simetric față de O (originea axelor de coordonate).

Demonstrație

a) Într-adevăr, din egalitatea f(-x) = f(x), x D, rezultă că punctele M(x, f(x))Gf,

M’(-x, f(x))Gf și totodată punctele M și M’ sunt simetrice față de axa Ox.

b) Într-adevăr, dacă M(x, f(x))Gf, din egalitatea f(-x) = -f(x), x D, rezultă că și punctul M’(-x, f(x))Gf. Dar punctele M, O, M’ sunt coliniare, iar O este mijlocul segmentului [MM’]. Așadar, O este centrul de simetrie pentru Gf.

Exemplul 16.

Y1=x2

Y2=x3

Figura 9. Figura 10.

Exemplul 17 (funcții pare).

17.1. f : ℝ → ℝ,

17.2. f : (-1, 1) → ℝ,

17.3. f : (-2, 2) → ℝ,

17.4. f : ℝ → ℝ

Exemplul 18 (funcții impare).

18.1. f : ℝ → ℝ,

18.2. f : ℝ ⃥{0} → ℝ ,

18.3. f : ℝ ⃥{-1, 1} → ℝ

Observația 10.

Pentru o funcție f : DR pară (impară) este suficient a trasa graficul său pe submulțimea punctelor , deoarece prin simetrie față de axa Oy (respectiv prin simetrie față de O(0,0) ) acesta se completează și pe submulțimea punctelor

1.4.2.Funcții monotone

Fie f : A ℝ, o funcție de variabilă reală și I A.

Definiția 5. Despre funcția f spunem că este:

strict crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) < f(x2).

strict descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) > f(x2).

crescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

descrescătoare pe I A dacă: () x1, x2 I cu x1 < x2 f(x1) f(x2).

Observația 11. O funcție f crescătoare pe I sau descrescătoare pe I se numește monotonă pe I. Dacă f este strict monotonă (sau monotonă) pe A (pe tot domeniul de definiție ) spunem simplu că funcția f este strict monotonă (sau monotonă) fără a mai indica mulțimea. A studia monotonia unei funcții f : A ℝ revine la a preciza submulțimile lui A pe care f este strict crescătoare (crescătoare) și submulțimile lui A pe care f este strict descrescătoare (descrescătoare).

Intervalele din domeniul de definiție pe care o funcție este monotonă se numesc intervale de monotonie ale funcției.

Exemplul 19. Fie funcția f : AB cu f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 5, f(4) = 6.

Avem 1 < 2 < 3 < 4 și f(1) < f(2) < f(3) < f(4), funcția f este strict crescătoare.

Observația 12. Pentru studiul monotoniei unei funcții numerice f : A ℝ, se utilizează raportul: cu x1, x2 A și x1 x2 numit raportul de variație asociat funcției f și numerelor x1, x2.

Diferența (x2 – x1) se numește variația argumentului, iar diferența (f(x2) – f(x1)) se numește variația funcției. Prin urmare raportul de variație asociat lui f și numerelor x1, x2 este raportul dintre variația funcției și variația argumentului.

Dacă , atunci funcția f este strict crescătoare.

Dacă , atunci funcția f este crescătoare.

Dacă , atunci funcția f este strict descrescătoare.

Dacă , atunci funcția f este descrescătoare.

Exemplul 20.Să se studieze monotonia funcției f : ℝℝ, f(x) = x3 + 4x + 4

Vom stabili monotonia funcției f folosind semnul raportului de variație ℝ.

Fie x1, x2 ℝ, x1x2, .

Așadar funcția f este strict crescătoare pe ℝ.

Observația 13.

Variația funcției f se sintetizează într-un tabel, numit tabel de variație pe care se pun săgeți de tipul „↗” dacă funcția este strict crescătoare, „↘” dacă funcția este strict descrescătoare și „” dacă funcția f este constantă.

Exemplul 21.Fie funcția f : ℝℝ a cărei curbă reprezentativă este Gf.

Din tabel se observă că funcția f este strict descrescătoare pe intervalul (-,-2), este funcție constantă pe [-2, 2] și este funcție strict crescătoare pe intervalul [2, +). Aceste informații se găsesc rezumate în următorul tabel de variație

Teoremă: Fie f : Iℝ, o funcție derivabilă pe intervalul I . Avem:

f ’ 0 dacă si numai dacă f este crescătoare.

f ’ 0 dacă si numai dacă f este descrescătoare.

Dacă f ’ 0, atunci f este stict crescătoare.

Dacă f ’ 0, atunci f este descrescătoare.

Exemplul 22. Funcția f : ℝℝ, f(x) = arctg x – x este monotonă.

, deci funcția este descrescătoare pe ℝ.

Observația 14 Reciprocele proprietăților c) și d) nu sunt adevărate, adică dacă funcția este strict monotonă, nu rezultă că inegalitățiile verificate de derivată nu sunt stricte.

Exemplul 23. Funcția f : ℝℝ, f(x) = x3 este strict crescătoare pe ℝ, dar f ’ se anulează în 0.

1.4.3. Funcții mărginite.

Definiția 6. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) se numeste mărginită inferior dacă există numărul real m astfel încât m f(x), xA.

Definiția 7. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) se numeste mărginită superior dacă există numărul real M astfel încât f(x) M, xA.

Definiția 8. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) se numeste mărginită dacă există două numere reale m, M astfel încât m f(x) M, xA (mulțimea valorilor ei este inclusă într-un interval marginit de numere reale ).

Observația 15. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) este o funcție marginită dacă și numai dacă imaginea funcției f este o mulțime mărginită.

Exemplul 24. Funcția sin x: ℝ [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.

y=sin x

Figura 11.

Exemplul 25. Funcția cos x: ℝ [-1,1] al cărei grafic este reprezentat mai jos.

y=cos x

Figura 12.

Semnificația geometrică a unei funcții mărgintite este aceea că graficul funcției este cuprins între dreptele orizontale y = m, y = M, după cum se observă și din graficele celor două funcții prezentate în exemplele de funcții sin x și cos x unde M = 1 și m = -1.

O definiție echivalentă ar fi și următoarea:

Definiția 9. O funcție numerică f: A ℝ (A ℝ) se numeste marginită dacă există numărul real M astfel încât |f(x)| M, xA.

Observația16.

16.1. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) este nemărginită inferior dacă ()mℝ,

()xA astfel încât f(x) < m, deci f poate lua valori oricât de mici.

16.2. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) este nemărginită superior dacă ()Mℝ,

()xA astfel încât f(x) > M, deci f poate lua valori oricât de mari.

16.3. O funcție numerică f : A ℝ (A ℝ) este nemărginită dacă f este nemărginită inferior sau f este nemărginită superior.

Exemplul 26. Se dă funcția f : (0, +)ℝ,

a) Să se arate că f este funcție nemărginită.

b) Să se asocieze funcției f o restricție care să fie funcție mărginită.

Soluție:

a) Funcția f este nemărginită dacă ()M > 0, () x0(0, +) astfel încât .

Fie M > 0. Dacă rezultă că , deci . Alegând rezultă că f(x0) = 2M > M și astfel rezultă că f este funcție nemărginită.

b) Fie funcția g : [a, +)ℝ, a > 0, g(x) = f(x) restricție a funcției f la intervalul

[a, +)(0, +).

Pentru oricare x[a, +) rezultă x a și . Așadar, , ()x[a, +), deci g este o restricție mărginită a funcției f.

1.4.4. Funcții injective.

Definiția 10. O funcție f : A → B se numeste funcție injectivă ( sau simplu injecție) dacă: x1, x2 A cu x1 ≠ x2 f(x1 ) ≠ f( x2).

Faptul că f este injectivă se mai exprimă și astfel: x1, x2 A cu proprietatea f(x1) = f(x2) x1 = x2.

Exemplul 27.

27.1. Funcția f : ℝ → ℝ, a cărei lege de corespondență este dată prin formula f(x) = 3x, este o funcție injectivă, deoarece pentru orice două valori reale, x1 ≠ x2, avem 3×1 ≠ 3×2, adică cu f(x1) ≠ f(x2).

27.2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x3 + x + 1

Fie x1 , x2 ℝ. Din f(x1 ) = f( x2) rezultă x13 + x1 + 1 = x23 + x2 + 1, adică

(x1 – x2)(x12 + x1x2 + x22 + 1) =0

Ecuația x12 + x1x2 + x22 + 1 = 0 în necunoscuta x1 ℝ, are discriminantul = x22 – 4(x22 + 1) = – 3×22 – 4 < 0. Deci, ecuația nu are soluții. Rămâne x1 – x2 = 0, adică x1 = x2.

Prin urmare, f este injectivă.

Altfel spus: O funcție f : A → B se numeste funcție injectivă ( sau simplu injecție) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel mult unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul ca pentru orice y B ecuația f (x) = y are cel mult o solutie x A.

Interpretare grafică: Funcția f este injectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.

Exemplul 28.

y=x5

Figura 13.

Exemplul 29.

Tabelul 3

Exemplul 30. Funcția definită sintetic prin diagrama de mai jos este o funcție injectivă.

Figura 14.

Un contraexemplu de funcție ce nu este injectivă este prezent în graficul de mai jos:

y = x4-16x

Figura 15.

Observăm că orice dreaptă y || Ox intersectează graficul funcției în două puncte.

Ținând seama de regulile de negație putem afirma că: o funcție f : A → B nu este o funcție injectivă dacă x1 , x2 A cu x1 ≠ x2 astfel încât f(x1) = f(x2).

Exemplul 31.

31.1. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 + 2x

Cum x2 + 2x = x(x + 2), deducem că f(0) = f(2) = 0. Prin urmare, există x1 = 0 și x2 = 2,

x1 ≠ x2 astfel încât f(x1) = f(x2). Rezultă f nu este injectivă.

31.2. Considerând funcția definită pe mulțimea poligoanelor plane, ce atașează fiecărui poligon un număr real și pozitiv, ce reprezintă aria sa în cm2, putem spune că această funcție nu este injectivă, deoarece există poligoane diferite ca formă, ce au arii egale (poligoane echivalente). Dacă considerăm însă restricția acestei funcții, definită pe mulțimea pătratelor, aceasta este o funcție injectivă, deoarece orice două pătrate diferite, au arii diferite.

1.4.5. Funcții surjective.

Definiția 11. O funcție f : A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție) y B, x A astfel incat f(x) = y.

Este valabilă și următoarea definiție echivalentă cu prima.

Definiția 12. O funcție f : A → B se numeste funcție surjectivă ( sau simplu surjecție) dacă orice element din B este imaginea prin f a cel puțin unui element din A, ceea ce-i echivalent cu faptul că pentru orice y B ecuația f (x) = y are cel puțin o soluție x A.

Sau f : A → B este surjectivă f (A) = B, adică Im f = B.

Funcția surjectivă f se mai numeste și aplicație a mulțimii A pe mulțimea B, această denumire scoțând în evidență faptul că nu rămân elemente ale mulțimii B care să nu corespundă la elemente din mulțimea A.

Pe diagrama cu săgeți o funcție este surjectivă dacă la fiecare element din B ajunge cel puțin o săgeată.

Exemplul 32.

32.1. Funcția, care atașează fiecărui dreptunghi numărul real și pozitiv, egal numeric cu aria sa, reprezintă o surjecție, sau o aplicație a mulțimii dreptunghiurilor pe mulțimea numerelor reale și pozitive. Într-adevăr, fiind dat orice număr real pozitiv, se poate construi cel puțin un dreptunghi care să aibă o arie numeric egală cu acest număr.

Evident, această funcție nu este injectivă, deoarece prin ea unui număr real și pozitiv îi corespund o infinitate de dreptunghiuri (dreptunghiuri echivalente).

32.2. Funcția f : ℝ → ℝ, definită prin formula f(x) = 2x + 3, este o surjecție.

Într-adevăr, considerând un număr real oarecare, y0, lui îi corespunde o valoare a argumentului, pe care o notăm cu x0, astfel încât f(x0) = 2×0 + 3 = y0.

Deci, .

Deoarece, în această formulă operațiile pot fi efectuate oricare ar fi y0ℝ rezultă că f este o surjecție.

32.3. Să se afle aℝ astfel încât funcția f : ℝ → ℝ, să fie surjectivă.

Observăm că f((-, 1]) = (-, -3], iar f((1, +)) = (a + 1, +).

Pentru ca funcția să fie surjectivă, trebuie îndeplinită condiția f(ℝ) = ℝ, adică

(-, -3] (a + 1, +) = ℝ.

Această egalitate are loc dacă și numai dacă a + 1-3, adică a(-, -4].

Interpretare grafică:

Graficul unei funcții poate preciza dacă funcția este surjectivă. Altfel spus, dacă orice pange cel putin o sageata._______________________ralelă la Ox dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel putin un punct atunci funcția f este surjectivă.

Exemplul 33. Funcția ex : ℝ → (0, )

y=ex

Figura 16.

Observația 17.

Ținând seama de regulile de negație putem afirma că: o funcție f : A → B nu este surjectivă dacă există y B astfel încât x A, f (x) ≠ y.

Exemplul 34.

34.1. Un astfel de exemplu poate fi definit în diagrama de mai jos.

Figura 17.

Elementului c B nu-i corespunde nici o contraimagine din A.

34.2. Funcția f : ℝ → ℝ, definită prin formula f(x) = x2 + x +1, nu este surjectivă.

Ecuația x2 + x +1-y = 0 are soluții reale numai dacă sau -3 + 4y 0. Deci,

Rezultă că existăpentru care ecuația f(x) = y nu are nici o soluție reală.

Rezultă că funcția f nu este surjectivă.

1.4.6. Funcții bijective

Definiția 13. O funcție f : A → B se numeste funcție bijectivă ( sau simplu bijecție), dacă este atât injectivă cât și surjectivă. Altfel spus funcția f : A → B este funcție bijectivă y B, ! x A astfel încât f(x) = y. Simbolul ! înseamnă “există în mod unic”.

Observația 18. Pe diagrama cu săgeti o funcție este bijectivă dacă în fiecare element al codomeniului ajunge exact o săgeată. Se mai spune despre funcția bijectivă că este o corespondență “one to one” (“unu la unu”) sau corespondență biunivocă.

Exemplul 35.

35.1. Fie A = {xℝ / x0}. Definim funcția g : AA prin formula g(x) = x2.

Pentru a arăta că funcția g este bijectivă trebuie să arătăm că este injectivă și surjectivă.

Arătăm că funcția g este injectivă: fie x1, x2 A astfel încât g(x1) = g(x2)x12 = x22

x12 – x22 = 0, atunci (x1 – x2)( x1 + x2) = 0

Deci, x1 – x2 = 0 sau x1 + x2 = 0.

Dacă x1 – x2 = 0, avem x1 = x2; dacă x1 + x2 = 0, avem x1 = – x2 și cum x1 , x2 sunt numere reale pozitive, trebuie ca x1 = x2 = 0.

Deci, din egalitatea g(x1) = g(x2) x1 = x2 funcția g este injectivă.

Arătăm că funcția g este surjectivă: Fie yA. Cum y0, atunci are sens . Cum , atunci .Se vede că și deci g este surjectivă.

35.2. Funcția f : [2, 4][0, 6], f(x) = 3x – 6 este bijectivă.

Pentru orice y[0, 6], ecuația f(x) = y, adică 3x – 6 = y are soluția unică

Deci, f este bijectivă.

Interpretare grafică:

O funcție numerică dată prin graficul său este bijectivă dacă orice paralelă la axa Ox dusă printr-un punct al codomeniului intersectează graficul în exact un punct.

Exemplul 36. Funcția f: ℝ→ ℝ unde f(x) = x3 +1 este bijectivă (fiind de altfel o funcție strict monotonă).

y= x3 +1

Figura 18.

1.4.7. Funcții inversabile

Definiția 14. O funcție f : A → B este inversabilă dacă există funcția g : B → A astfel încât g ⃘ f = 1A și f ⃘ g = 1B.

Notație: Spunem că g este inversa funcției f, g este unică și pentru funcția g utilizăm notația f-1 (citim “f la minus unu”).

Observația 19. Dacă g este inversa funcției f, atunci f este inversa funcției f. Cu alte cuvinte, f și g sunt inverse una alteia.

O funcție f care are inversă se spune ca este inversabilă.

Funcția f se numeste funcție directă, iar f-1 funcție inversă a lui f.

Teorema 1. O funcție f : A → B este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Demonstrație.

„” Presupunem că f este inversabilă și vom arăta că f este injectivă și f este surjectivă. Din f este inversabilă ⇒ ∃f-1 : B → A, astfel încât:

f-1 ⃘ f = 1A și (1)

f ⃘ f-1 = 1B (2)

Fie x1, x2 Є A și presupunem că f(x1) = f(x2) ⇒ (f-1 ⃘ f)(x1) = (f-1 ⃘ f)(x2) și din relația (1) ⇒ x1 = x2 ⇒ f este injectivă. Fie y B și din relația (2) ⇒ y = 1B(y) = (f ⃘ f-1)(y) = f (f-1((y). Deci ∃x Є A, x = f-1(y) astfel încât f(x) = y. Rezultă că funcția f este surjectivă.

„⇐” Presupunem că f este bijectivă. Rezultă că y B x A unic astfel încât f(x) = y. Putem defini o funcție g : B → A, y = f(x), x A.

Vom atăta că g ⃘ f = 1A și f ⃘ g = 1B.

Fie x A și f(x) = y B, rezultă din definiția lui g că g(y) = x ⇒ g(f(x)) = x, x A ⇒ g ⃘ f = 1A.

Fie yB ⇒ g(y) = x, unde f(x) = y ⇒ f(g(y)) = f(x) = y ⇒ (f ⃘ g)(y) = y, y B ⇒ f ⃘ g = 1B. Deci funcția g este inversa funcției f. Rezultă că teorema este demonstrată.

Observația 20. Din demonstrația acestei teoreme rezultă că dacă f : A → B este o funcție bijectivă, atunci funcția sa inversă f-1 : B → A se defineste după următorul procedeu: dacă bB, atunci f-1(b) este unicul element a A astfel încât f(a) = b.

Exemplul 37.

37.1.Funcția f : ℝ ⃥ {3} → ℝ ⃥ {2}, este inversabilă.

Arătăm că funcția f este bijectivă. Pentru orice y ℝ ⃥ {2}, ecuația f(x) = y, adică , are soluție unică. Obținem (deoarece ecuația nu are soluție).Deci, f este o funcție bijectivă.

Inversa sa este funcția f-1 : ℝ ⃥ {2} → ℝ ⃥ {3},.

Revenind la notația generică pentru variabila independentă, putem scrie

f-1 : ℝ ⃥ {2} → ℝ ⃥ {3},.

37.2. Funcția f : ℝ → ℝ, este inversabilă.

Vom arăta că f este bijectivă.

Mai întâi arătăm că f este injectivă. Pentru aceasta, fie x1, x2

Vom avea următoarele cazuri:

x1, x2 3. Dacă f(x1) = f(x2), atunci x1 – 2 = x2 – 2 ⇒ x1 = x2.

x1, x2 3. Dacă f(x1) = f(x2), atunci 2×1 – 5 = 2×2 – 5 ⇒ x1 = x2.

x1 3, x2 3. Avem x1x2, iar f(x1)x1 – 21și f(x2) = 2×2 – 5 1, de unde f(x1) f(x2)

Deci f este funcție injectivă.

Arătăm că f este surjectivă. Pentru aceasta, fie y ℝ.

Vom avea următoarele cazuri:

y 1. Dacă f(x) = y, atunci x – 2 = y, de unde x = y + 2 3.

y 1. Dacă f(x) = y, atunci 2x – 5 = y, de unde .

Deci oricare ar fi y ℝ există x ℝ astfel încât y = f(x): dacă y 1, atunci x = y + 2, iar dacă y 1, atunci .

Deci f este funcție surjectivă. Rezultă că f este bijectivă, deci este inversabilă.

Atunci inversa funcției f este f-1 : ℝ → ℝ,

Interpretare geometrică: Fie o funcție f : A → B inversabilă și f-1 : B → A inversa funcției f, atunci graficele funcțiilor f și f-1 sunt simetrice față de prima bisectoare.

Exemplul 38. Pentru funcția f : R → R descrisă de forma analitică f(x)=2x+1 admite ca funcție inversă f-1 (x) = .

Din punct de vedere grafic cele două drepte sunt simetrice față de dreapta de ecuație

y = x (ecuația primei bisectoare), după cum se observă în graficul comparativ de mai jos.

Figura 19.

1.4.8. Funcții convexe, concave.

Definiția 15. Considerăm funcția f : I ℝ unde I ⊂ ℝ un interval.

1) Funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă: x1, x2I și [0, 1] este satisfăcută inegalitatea: f((1- t) x1+ t x2) ≤ (1-t) f(x1) + tf(x2). (1)

2) Funcția f spunem că este concavă pe intervalul I dacă: x1, x2I , și [0, 1] este satisfăcută inegalitatea: f((1- t) x1+ t x2) (1-t) f(x1) + tf(x2). (2)

Observația 21. Dacă în inegalitățile (1) și (2) avem inegalitate strictă se spune că funcția f este strict convexă respectiv strict concavă.

Teorema 2 (criteriu de convexitate).

Fie I ⊂ ℝ un interval și f : I ℝ o funcție de două ori derivabilă pe I.

Funcția f se numește convexă pe I dacă și numai dacă f ”(x) 0.

Funcția f se numește concavă pe I dacă și numai dacă f ”(x) 0.

Observația 22.

Noțiunea de funcție convexă respectiv concavă a fost introdusă J. Jensen care a pornit de la o relație mai particulară decât (1) și(2), anume:

despre funcția f spunem că este convexă pe intervalul I dacă: x1, x2I , x1≠x2 ;

despre funcția f spunem că este convcavă pe intervalul I dacă: x1, x2I , x1≠x2

Demonstrație:

Pentru orice x1, x2 I, avem .

Deoarece f este convexă pe I și pentru t = deducem că

Pentru orice x1, x2 I, avem .

Deoarece f este concavă pe I și pentru t = deducem că

Interpretare grafică:

1)Graficul unei funcții convexe f se deschide în sus sau, mai neriguros, dar sugestiv, este ca un vas care ține apă.

2) Graficul unei funcții concave f se deschide în jos sau, mai neriguros, dar sugestiv, este ca un vas care nu ține apă.

Exemplul 39.

39.1.Funcția f : ℝ ℝ, f(x) = x2 este o funcție convexă.

Din punct de vedere grafic pentru o funcție concavă avem:

Figura 20.

. Funcția f: R R f(x) = – x2 este o funcție concavă.

Figura 21.

Observația 23. Funcția de gradul al II-lea de forma f(x) = ax2+bx+c unde f : ℝ ℝ este:

convexă pe ℝ dacă a > 0;

concavă pe ℝ dacă a < 0.

1.4.9 Funcții periodice.

Definiția 16. Fie T ℝ* și f : D , unde D ℝ o mulțime cu proprietateax D x+T D și x -T D. Despre f : D ℝ spunem că este periodică de perioada T dacă f(x+T)= f(x). (1)

Cel mai mic întreg pozitiv T pentru care este îndeplinită relația (1) se numește perioada principală a lui f.

Exemplul 40.

40.1. Funcția f : ℕ* → ℕ, f(n) = u(2n) (ultima cifră a numărului 2n) este periodică.

Avem: f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 6, f(5) = 2, f(6) = 4, f(7) = 8, f(8) = 6,…

Se observă că valorile funcției se repetă din 4 în 4. Într-adevăr avem:

f(4k) = u(24k) = u(16k) = 6;

f(4k + 1) = u(24k + 1) = u(216k) = 2;

f(4k + 2) = u(24k + 2) = u(416k) = 4;

f(4k + 3) = u(24k +3) = u(816k) = 8;

Așadar, f(n + 4) = f(n), n ℕ* și T = 4

2. Funcțiile trigonometrice sinx, cosx sunt periodice de perioada principală 2

3. Funcția lui Dirichlet : f(x)= este periodică având ca perioada orice număr rațional.

Observația 24. Dacă funcția f : D este o funcție periodică cu perioada T, pentru trasarea curbei Gf se va efectua trasarea acesteia pe un interval de lungime T, de exemplu [0, T], după care curba obșinută se repetă pe intervalele [T(k), T(k +1)], kℤ.

CAPITOLUL II

FUNCȚII ELEMENTARE

2.1. Funcția polinomiala

Definiția 1. Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+……+ a1x1+ a0x0 se numește funcție polinomială de gradul n de coeficienți ai ℝ, n N, an0 și variabilă x.

Numerele a0, a1, …, an se numesc coeficienții funcției polinomiale, an se numeste coeficientul dominant, iar anxn se numește termenul dominant.

În funcție de gradul polinomul asociat, funcția are proprietăți de monotonie, convexitate și concavitate, bijectivitate și continuitate diferite, de aceea în prezenta lucrare, la această secțiune voi prezenta cazul funcțiiilor de gradul I , II și funcția putere cu exponent natural ca și cazuri particulare a funcției polinomiale.

2.1.1. Funcția liniară sau funcția de gradul I.

Definiția 2. Funcția f : ℝ → ℝ , f(x) = ax+b se numește funcție afină de coeficienți

a, b ℝ.

Funcția afină f : ℝ → ℝ, f(x) = ax+b, a 0, a, b ℝ se numește funcție de gradul I.

Dacă a 0, b 0 funcția de gradul I, f : ℝ → ℝ, f(x) = ax se numește funcție liniară.

Funcția afină f : ℝ → ℝ, f(x) = b, b ℝ se numește funcție constantă.

Observația 1. Pentru funcția de gradul I, ax se numește termenul de gradul întâi, iar b, termenul liber al funcției.

Exemplul 1.

f : ℝ → ℝ, f(x) = -3x + 5 – funcție de gradul I;

f : ℝ → ℝ, f(x) = -3x – funcție de gradul I liniara;

1.3. f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 – funcție constantă.

Tabelul 1. Proprietățile funcției de gradul I

Graficul funcției de gradul I este o mulțime Gf {(x, f(x)) x ℝ} = {(x, ax+b) x ℝ}

Exemplul 2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 4

GfOx = { A(2, 0) } și GfOy = { B(0, -4) }

Figura 1.

Dacă b = 0 graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax este o dreaptă care trece prin origine.

Exemplul 3. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x.

Figura 2.

Dacă a = 0 graficul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = b este o dreaptă care trece prin punctul P(0, b) și este paralelă cu axa Ox.

Exemplul 4. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2

Figira 3.

Graficul funcției f(x) = 2 este o dreaptă care trece prin punctul (0, 2) si este paralelă cu axa Ox.

Exemplul 5. Să se alcătuiască tabelul de monotonie și tabelul de semn al funcției

f : ℝ → ℝ, f(x) = -3x+9

Monotonia funcției: a = – 3 < 0 ⇒ funcția f este strict descrescătoare pe ℝ.

Semnul funcției: f(x) = 0 are soluția x = 3.

2.1.2.Funcția de gradul al doilea

Definiția 3. Funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax2+bx+c se numește funcție de gradul II de coeficienți a,b,c R. cu a ≠ 0.

Exemplul 6. (funcții de gradul al doilea).

6.1. f : ℝ → ℝ, f(x) = 2×2 + 3x – 4, a = 2, b = 3, c = -4;

6.2. f : ℝ → ℝ, f(x) = -x2 + x , a = -, b = 1, c = 0;

6.3. f : ℝ → ℝ, f(x) = -x2 + , a = -1, b = 0, c = ;

6.4. f : ℝ → ℝ, f(x) = 3×2, a = 3, b = 0, c = 0;

Observația 2.

Funcția de gradul al doilea este o funcție numerică deoarece domeniul și codomeniul este ℝ.

Condiția a ≠ 0 asigură faptul că nu este o funcție afină.

Funcția de gradul al doilea este bine determinată când se cunosc coeficienții a, b, c

(a ≠ 0) din legea de corespondență.

Forma canonică a funcției de gradul al doilea

Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x)= ax2+bx+c, a,b,c R. cu a ≠ 0.

Expresia legii de corespondența a funcției se poate scrie astfel:

= , unde s–a notat

= b2 – 4ac discriminantul sau realizantul ecuației ax2+bx+c = 0 asociată funcției f.

Așadar, formulă numită forma canonică a funcției de gradul al doilea.

Exemplul 7. f : ℝ → ℝ, f(x) = -2×2 + x + 3, a = -2, b = 1, c = 3

= b2 – 4ac = 25

Forma canonică a funcției f este: =

Tabelul 2. Proprietățile funcției de gradul al doilea

Exemplul 8. Reprezentați grafic funcțiile:

f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 5x + 4

minim

Figura 4.

g : ℝ → ℝ, g(x)= – x2 4x – 4

maxim

Figura 5.

Exemplul 9. Stabiliți semnul funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 3x + 2

Cum atunci ecuația x2 – 3x + 2 = 0 are rădăcini reale distincte.

Acestea sunt

Tabelul semnului funcției este următorul:

Relațiile lui Viéte

Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației ax2+bx+c=0, atunci notăm cu S = x1 + x2 = ‒ și

P = x1∙ x2 =

Exemplul 10. Să se determine m ∈ R, știind că soluțiile x1, x2 ale ecuației x2-(2m+1)x+3m =0 verifică relația x1+x2+x1·x2=11.

Din relațiile lui Viéte avem

⇒ 2m 1 3m 11 ⇒ 5m 10 ⇒ m 2.

2.1.3. Funcția putere cu exponent natural

Definiția 4. Fie n un număr natural nenul. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = xn se numește funcție putere cu exponent natural.

Observația 3.

3.1. Funcția putere este o funcție numerică.

3.2. Pentru n 1 se obține funcția de gradul întâi f(x) = x, iar pentru n = 2 se obține funcția de gradul al doilea f(x) = x2.

Exemplul 11.

11.1. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x5, este funcție putere cu exponent 5 (impar).

11.2. Funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x6, este funcție putere cu exponent 6 (par).

Tabelul 3. Proprietățile funcției putere cu exponent natural

Exemplul 12. Reprezentați grafic funcțiile:

f : ℝ → ℝ, f(x) = x4

Figura 6.

f : ℝ → ℝ, f(x) = x3

Figura 7.

Observația 4. Graficul funcției f(x)=x2k are o comportare asemănătoare cu graficul funcției f(x) = x4 și graficul funcției f(x)=x2k+1 are are o comportare asemănătoare cu graficul funcției f(x) = x3.

2.2. Funcția putere cu exponent număr întreg negativ.

Definiția 5. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=x-n cu n ℕ* se numește funcție putere cu exponent număr întreg negativ.

Tabelul 4. Proprietățile funcției putere cu exponent număr întreg negativ

Exemplul 13. Reprezentați grafic funcțiile:

f : ℝ* → ℝ, f (x) = x-1

Figura 8.

Acest grafic se numește hiperbolă. El este construit din două ramuri simetrice față de originea axelor (deoarece funcția f (x) = x-1 este o funcție impară).

f : ℝ* → ℝ, f (x) = x-2

Figura 9.

Acest grafic este construit din două ramuri simertice față de axa Oy (deoarece funcția f (x) = x-2 este o funcție pară) situate deasupra axei Ox.

2.3. Funcția radical de ordinul n.

Definiția 6.

a) Funcția f: [0,+) → [0,+), f(x) = nℕ*, se numește funcția radical de ordin par.

b) Funcția f: ℝ → ℝ, f(x)= , nℕ*, se numește funcția radical de ordin impar.

Observația 5.

Nu se definește pentru xdeoarece x2n, Astfel, are sens numai pentru x 0.

Deși 22 = 4 și (-2)2 = 4, avem = 2. A scrie = -2 este o greșeală!

are sens pentu orice .

Exemplul 14.

14.1. Funcția f: [0,+) → [0,+), f(x) = , se numește funcție radical de ordin par.

14.2. Funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = se numește funcție radical de ordin impar.

Tabelul 5. Proprietățile funcției radical de ordinul n

Exemplul 15. Reprezentați grafic funcțiile:

f: [0,+) → [0,+), f(x) =

Figura 10.

f: ℝ → ℝ, f(x) =

Figura 11.

Observația 6. Graficul funcției radical și graficul funcției putere cu exponent natural (inversa sa) sunt simetrice față de prima bisectoare.

Figura12. Figura 13.

2.4. Funcția putere cu exponent rațional.

Definiția 7. Funcția f : (0, +) → (0, +), f(x) = unde m ℤ, n ℕ* cu n ≥ 2, se numește funcția putere cu exponent rațional.

Observația 7.

7.1. Dacă m, n ≥ 2 atunci are sens x > 0, în acest caz proprietăți asemănătoare cu a funcției putere cu exponent natural.

7.2. Dacă m = 1 atunci se obține funcția radical de ordinul n.

7.3. Dacă m < 0 în acest caz funcția manifestă proprietăți asemănătoare cu a funcției cu exponent întreg negativ.

7.4. Funcția f este inversabilă, inversa sa fiind f-1 : (0, +) → (0, +), f(x) = .

Exemplul 16. Reprezentați grafic funcțiile:

f : (0, +) → (0, +), f(x) =

Figura 14.

f : (0, +) → (0, +), f(x) =

Figura 15

Concluzie: Dacă este pozitiv, atunci funcția f este strict crescătoare și dacă este negativ, atunci funcția f este strict descrescătoare.

2.5. Funcția exponențială.

Fie a > 0. Fiecărui număr real x i se asociază un unic număr ax (0, ).

Definiția 8. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcția f: ℝ → (0, +),definită prin formula f(x) = ax, se numește funcție exponențială de bază a.

Observația 8. Cazul a = 1 conduce la o funcție constantă.

De aceea de regulă presupunem a 1.

Exemplul 17.

17.1. Funcția f: ℝ → (0, +), f(x) = 3x este funcție exponențială de bază supraunitară 3.

17.2. Funcția f: ℝ → (0, +), f(x) = este funcție exponențială de bază subunitară .

Studiul funcției se face pentru două cazuri, în funcție de baza a.

Tabelul 6. Proprietățile funcției exponențiale

Exemplul 18. Reprezentați grafic funcțiile:

18.1. Funcția f: ℝ → (0, +), f(x) = 2x

Figura 16.

În general, dacă a > 0, graficul funcției exponențiale cu baza a este similar celui f(x) = 2x.

18.2. Funcția f: ℝ → (0, +), f(x) =

Figura 17

În general, dacă 0 <a < 1, graficul funcției exponențiale cu baza a este similar celui f(x) = .

Observația 9. Graficul funcției exponențiale este din ce în ce mai “apropiat” de axele Ox și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 0, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1.

2.6. Funcția logaritmică.

Fie a > 0. Noțiunea de logaritm. Noțiune de logaritm ne permite să asociem fiecărui număr real strict pozitiv x numărul real unic loga x.

Definiția 9. Fie a > 0, a ≠ 1. Funcția f : (0, +) → ℝ definită prin formula f(x) = loga x, se numește funcție logaritmică în baza a.

Exemplul 19.

19.1. Funcția f: (0, +) → ℝ, f(x) = log3 x, este funcție logaritmică de bază supraunitară 3.

19.2. Funcția f : (0, +) → ℝ, f(x) =, este funcție logaritmică de bază subunitară .

Tabelul 7. Proprietățile funcției logaritmice

Observația 10. Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale și graficul funcției logaritmice este simetricul față de prima bisectoare al graficului funcției exponențiale.

Figura 18. Figura 19.

Exemplul 20. Reprezentați grafic funcțiile:

Funcția f : (0, +) → ℝ, f(x) = log2 x.

Figura 20.

În general, dacă a > 0, graficul funcției logaritmice cu baza a este similar celui f(x) = log2 x.

Funcția f : (0, +) → ℝ, f(x) =

Figura 21.

În general, dacă 0 < a < 1, graficul funcției logaritmice cu baza a este similar celui f(x) =.

Observația 11. Graficul funcției logaritmice este din ce în ce mai “apropiat” de axele Ox și Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 0, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1.

2.7. Funcții trigonometrice directe.

2.7.1. Funcția sinus.

Definiția 10. Funcția f: ℝ → [-1;1] desrisă de forma analitică f(x)=sin x se numește funcția sinus. Asociază oricărui număr x numărul sin x .

Tabelul 8. Proprietățile funcției sinus

Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă.

Figura 22.

2.7.2. Funcția cosinus.

Definiția 11. Funcția f : ℝ → [-1;1] desrisă de forma analitică f(x) = cos x se numește funcția cosinus. Asociază oricărui număr x numărul cos x .

Tabelul 9. Proprietățile funcției cosinus

Graficul funcției cosinus este:

Figura 23.

2.7.3. Funcția tangentă.

Definiție 12. Funcția f : ℝ- ℝ, descrisă de f(x) = se numește funcția tangentă.

Asociază oricărui număr x numărul tg x .

Tabelul 10. Proprietățile funcției tangentă

Graficul funcției tangentă este:

Figura 24.

2.7.4. Funcția cotangentă.

Definiția 13. Funcția f:ℝ- R, descrisă de f(x)= se numește funcția cotangentă. Asociază oricărui număr x numărul ctg x .

Tabelul 11. Proprietățile funcției cotangentă

Graficul funcției cotangentă este:

Figura 25.

2.8. Funcții trigonometrice inverse

2.8.1. Funcția arcsinus.

Fie funcția f :, definită prin f(x) = sin x.

Deoarece f[-1, 1] atunci f este surjectivă și, în plus, funcția f este strict crescătoare; în consecință f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.

Definiția 14. Inversa funcție sin x : se numește arcsinus și se notează arcsin.

arcsin x :

sin x = y x = arcsin y, x

sin(arcsin x) = x, , x [-1, 1]

arcsin(sin x) = x, x

Tabelul 12. Proprietățile funcției arcsinus

Graficul funcției arcsinus este:

Figura 26.

Observația 12. Graficele funcțiilor arcsin x și sin x sunt simetrice față de prima bisectoare.

2.8.2. Funcția arccosinus.

Fie funcția f :, definită prin f(x) = cos x.

Deoarece f[-1, 1] atunci f este surjectivă și, în plus, funcția f este strict descrescătoare; în consecință f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.

Definiția 15. Inversa funcție cos x : se numește arccosinus și se notează arccos.

arccos x:

cos x = y x = arccos y, x

cos(arccos x) = x, , x [-1, 1]

arccos(cos x) = x, x

Tabelul 13. Proprietățile funcției arccosinus

Graficul funcției arccosinus este:

Figura 27.

Observația 13. Graficele funcțiilor arccosx și cosx sunt simetrice față de prima bisectoare.

2.8.3. Funcția arctangentă.

Fie funcția f:ℝ, definită prin f(x) = tg x.

Deoarece = ℝ atunci f este surjectivă și, în plus, funcția f este strict crescătoare; în consecință f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.

Definiția 16. Inversa funcție tg x :ℝ se numește arctangentă și se notează arctg.

arctg x : ℝ

tg x = y x = arctg y, x

tg(arctg x) = x, , x ℝ

arctg(tg x) = x, x

Tabelul 14. Proprietățile funcției arctangentă

Graficul funcției arctangentă este:

Figura 28.

Observația 14. Graficele funcțiilor arctg x și tg x sunt simetrice față de prima bisectoare.

2.8.4. Funcția arccotangentă.

Fie funcția f :ℝ, definită prin f(x) = ctg x.

Deoarece = ℝ atunci f este surjectivă și, în plus, funcția f este strict descrescătoare; în consecință f este o funcție bijectivă, deci inversabilă.

Definiția 17. Inversa funcție ctg:ℝ se numește arccotangentă și se notează arcctg.

arcctg x : ℝ

ctg x = y x = arcctg y, x

ctg(arcctg x) = x, , x ℝ

arcctg(ctg x) = x, x

Tabelul 15. Proprietățile funcției arccotangentă

Graficul funcției arccotangentă este:

Figura 29.

Observația 15. Graficele funcțiilor arcctgx și ctgx sunt simetrice față de prima bisectoare.

2.9. Funcții speciale.

2.9.1. Funcția modul sau valoare absolută

Definiția 18. Fie x ℝ. Numărul real notat , egal cu se numește modulul numărului real x sau valoarea absolută a numărului real x.

Exemplul 21.

21.1. = 9;

21.2. = -(-9);

21.3. = 0.

Definiția 19. Funcția f : ℝ descrisă de f(x) = se numește funcție modul sau funcție valoare absolută.

Exemplul 22. f(x) =

Proprietăți:

1. x ℝ;

2. = 0 x=0;

3. = , x ℝ

4. Dacă x, y ℝ atunci ;

5 Dacă x, y ℝ atunci ;.

6. Dacă x,y ℝ atunci ;

7. Dacă x,y ℝ atunci pentru

Graficul funcției modul f(x) =este:

Figura 30.

Observația 16. Deoarece funcția modul este o funcție pară, ramura graficului pentru x 0este simetrică celei pentru x 0 în raport cu axa Oy.

Exemplul 23. Graficul funcției modul f(x) =este:

Figura 31.

2.9.2. Funcția caracteristică a unei mulțimi.

Definiția 20. Funcția f : A {0,1} descrisă de = se numește funcție caracteristică mulțimii A.

Proprietăti:

A B ⇔ ;

;

– ;

;

Amintim aici funcția lui Dirichlet f(x)= este periodică având ca perioada orice număr rațional (sau funcția caracteristică a mulțimii Q care este o funcție pară, mărginită, surjectivă).

2.9.3. Funcția parte întreagă, funcția parte fracționară.

Definiția 21. Se numește funcție parte întreagă funcția f: ℝ ℤ, care asociază orcărui număr real x pe cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x.

Funcție parte întreagă f: ℝ ℤ este dată prin relația f(x)=[x] unde [x] se citeste parte întreagă a lui x.

Definiția 22. Funcția f: ℝ [0, 1) dată de legea f(x)= x- [x] unde [x] reprezintă cel mai mare întreg mai mic decât x, se numește funcție parte fracționară și se notează {x}.

Proprietăți ale funcției parte întreagă:

1. [x] x < [x] + 1, x ℝ;

2. x = [x] + {x}, x ℝ;

3. {x} [0, 1), x ℝ;

4. [x + n] = [x] + n, x ℝ, n ℤ;

5. {x + n} = {x}, x ℝ, n ℤ;

6. [x + y] [x] + [y], x ℝ

7. [2x] – [x], x ℝ;

Exemplul 24.

24.1. [1,998] = 1; {1,998} = 1,998 – [1,998] = 0,998.

24.2. [-2,576] = -3; {-2,576} = -2,576 – [2,576] = – 2,576 + 3 = 0,424.

2.9.4. Funcția signum.

Definiția 23. Funcția f : ℝ {-1,0,1} descrisă de sgn x = se numește funcție signum (indicator de semn).

Proprietăți:

1. Funcția signum este surjectivă dar nu este injectivă;

2. Funcția signum impară: sgn(-x) = -1 = – sgn(x);

3. Pentru orice (x, y ) ℝ ⨯ ℝ avem: sgn(xy)=sgn(x)⦁sgn(y).

2.9.5. Funcția max {x, y} și funcția min {x,y}

Definiția 24. Funcția f : ℝ ⨯ ℝ → ℝ, definită prin f(x, y) = se numește funcție maximum dintre x și y și se notează f(x, y) = max{x,y}.

Altfel spus, funcția max se mai scrie f(x, y) =.

Definiția 25. Funcția f : ℝ ⨯ ℝ → ℝ, definită prin f(x, y) = se numește funcție minimum dintre x și y și se notează f(x, y) = min{x,y}.

Observația 17.

Funcțiile max și min nu sunt injective.

Exemplul 25. max {2, 3} = max{1, 3} dar {1, 3} {2, 3}.

Funcțiile max și min sunt surjective.

Exemplul 26. Pentru orice a ℝ luăm a –, >0 și avem max{(a – , a)} = a.

De asemenea, min{(a + , a)} = a.

CAPITOLUL III

APLICAȚII

3.1. Aplicații date la olimpiade și concursuri școlare

1.Să se arate ca funcțiile f(x) + , dacă x1

g(x) =

sunt egale.

Rezolvare:Vom scrie funcția f astfel f(x) + =

= + = + .

Dacă atunci = ⇒ f(x) = 2 ⇒ f(x) = g(x).

Dacă atunci = ⇒ f(x) = ⇒ f(x) = g(x).

Deci, funcțiile f și g sunt egale.

2. Să se determine funcțiile f și g stiind că: 2f(x + 6) + 4g(2x +15) = x +2 (1)

+ g(x + 5) = x + 4. (2)

(G.M. 16592)

Rezolvare: Vom nota = a ⇒ x = 2a – 2.

Avem x + 5 = 2a + 3, x + 4 = 2a + 2, x + 6 = 2a + 4, 2x + 15 = 4a + 11.

Ecuația (2) devine: f(a) + g(2a + 3) = 2a + 2. (3)

Vom nota a = x + 6 și obținem x = a – 6 ⇒ 2x + 15 = 2a +3.

Ecuația (1) din enunț devine: f(a) + 2g(2a + 3) = . (4)

Scădem ecuațiile (4) – (3) ⇒ g(2a + 3) = – 2a – 2 = .

Vom nota din nou x = 2a + 3 ⇒ a = ⇒ = = = ⇒ g(x) =.

Deci, f(x) = .

Verificarea ecuației (1): 2f(x + 6) + 4g(2x + 15) = 7(x + 6) + 12 + [-3(2x +15) – 7] =

x + 42 +12 – 45 -7 =x + 2.

Verificarea ecuației (2):

=

=

=

= x + 4.

3. Se consider ecuația x2 + 3x + 3 = 0, cu rădacinile x1, x2. Să se arate că:

a) x13 + x23 = 0;

b) x16 = x26 = 27;

c) x16n+3 + x26n+2 = 0;

d) 3(x15 + x25) = x17 + x27 = 81.

(G. M. B. 9064)

Rezolvare: Conform relațiilor între rădăcini și coeficienți avem:

x1 + x2 = 3 și x1 x2 = 3.

a) x13 + x23 = (x1 + x2) [( x1 + x2 )2 3 x1 x2 ] = (x1 + x2)(9 – 9) = 0.

b) x16 – x26 = (x13 – x23) (x13 + x23) = (x13 – x23) 0 = 0

x16 + x26 = (x13 + x23)2 – 2 (x1 + x2)3 = 0 -227 = -54 ⇒ x16 = x26 = 27.

c) x16n+3 + x26n+2 = (x16)n x13 + (x26)n x23 = (-27)n (x13 + x23)= 0.

d) Avem: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 2×1 x2 = 9 – 2 3 = 3;

x13 + x23 = 0;

x14 + x24 = – 3 (x13 + x23) – 3(x12 + x22) = -9;

x15+ x25 = – 3 (x14 + x24) – 3(x13 + x23) = (- 3)- 9) = 27;

x16+ x26 = – 54;

x17+ x27 = – 3 (x16 + x26) – 3(x15 + x25) =(- 3) (- 54) – 3 27 = 81;

Deci, 3(x15 + x25) = x17 + x27 = 81.

4. a) Să se discute rădăcinile ecuației x2 – mx +2m – 3 = 0, unde m este un parametru real;

b) Să se exprime minimul V al trinomului f(x) = x2 + mx +2m – 3 în funcție de m;

c) Să se afle valoarea lui m penrtu care care f(x) 0 oricare ar fi x real.

(G. M. B. 5852)

Rezolvare:

a) Calculăm discriminantul = m2 – 4(2m -3) = m2 – 8m + 12.

= 0 ⇒ m = 2 și m = 6

Pentru m < 2 și m > 6, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are rădăcini reale.

Pentru 2 < m < 6, discriminantul este negativ, deci ecuația are rădăcini imaginare.

Pe intervalul în care ecuația are rădăcini reale se poate discuta semnul semnul rădăcinilor.

Calculăm suma S = m și produsul P = 2m – 3.

Deci, m < 0, rădăcinile sunt de semne contrare, cea negativă mai mare în valoare absolută;

Pentru m = 0 rădăcinile sunt egale în valoare absolută și de semne contrare;

Pentru 0 < m < , rădăcinile sunt de semne contrare , cea pozitivă mai mare în valoare absolută;

Pentru m = , o rădăcină este nulă;

Pentru < m < 2 rădăcinile sunt pozitive;

Pentru m = 2 rădăcinile sunt confundate;

Pentru 2 < m < 6 avem rădăcini imaginare;

Pentru m = 6 rădăcinile sunt confundate;

Pentru m > 6 avem rădăcini pozitive.

b) Minimul trinomului are loc pentru x = ⇒ x = .

Avem V =

c) Deoarece coeficientul lui x este pozitiv rezultă că discriminantul trebuie să fie negativ pentru ca f(x) 0 penru orice x real. Deci, aceasta se întampă pentru 2 < m < 6.

5. Să se rezolve ecuația: ,

unde este parte întreagă a lui a.

Rezolvare: Notăm = y⇒ x = și ecuația devine

+

⇒.

Deoarece , oricare ar fi y ecuația devine = .

Notăm=k ⇒ y = și vom obține ecuația : , unde k ℤ. Ținând seama de definiția părții întregi a unui număr real avem k sau 5k 5k + 5 adică -3 < k 2 deci k {-2, -1, 0, 1, 2}.

Ținând seama că x = obținem x.

6. a) Să se determine funcția de gradul I al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu prima bisectoare, care trece prin punctul A(1, 3).

b) Fie funcția g = + 2x + 4. Să se determine inversa funcției g.

(G. M. 16098)

Rezolvare:

a) O funcție f are graficul paralel cu prima bisectoareI dacă f(x) este de forma f(x) = x + k, k ℝ. Graficul ei trece prin punctual A(1, 3) dacă f(1) = 3 sau 1 + k = 3 ⇒ k = 2 ⇒

f (x) = x + 2.

b) Avem g(x) = + 2(x + 2) =

Pentru avem y 0 și y = x + 2 sau x = y – 2.

Pentru avem y 0 și = x + 2 sau x = – 2.

Deci g-1(x) =

7. Să se afle perioada funcției f(x) = 3sin x + sin 2x.

Rezolvare: Fie T perioada.

Vom avea 3sin (x + T) + sin 2(x + T) = 3sin x + sin 2x.

Pentru x = 0 obținem 3sin T + sin 2T = 0 3sin T + 2sinT cosT = 0 ⇒ sin T(3 + 2cos T) = 0.

Deoarece 3 + 2cos T 0 ⇒ sin T = 0 ⇒ T = k.

Pentru x = obținem f = 3 sin + sin = 3.

f = 3 sin + sin = -3

Deoarece f f(x) ⇒ k 1. Pentru k = 2 adică T = 2 avem 3 sin + sin = 3sin x + sin 2x. Deci k = 2 adică T = 2.

8. Rezolvați ecuația: x + 3x + x = 31.

Rezolvare: Considerăm funcțiile: g : ℝ → ℝ, g(x) = x

h : ℝ → (0, ∞), h(x) = 3x

k : (0, ∞) → ℝ, k(x) =.

Funcțiile g, h, k sunt monoton crescătoare.

Deci și funcția f : (0, ∞) → ℝ, f(x) = g(x) + h(x) + k(x) este monoton crescătoare, deci injectivă.

Rezultă că ecuația f(x) = 31, dacă are soluție, atunci această soluție este unică.

Deci x = 3este acea soluție unică.

9. Să se rezolve inecuația (34x – 32x + 1 +3) 27.

(Concurs de admitere – Facultatea de Științe Economice, 15 iulie 1983)

Rezolvare: Știm că 9 = 2 ⇒ 27 = 7 = 7.

Inecuația devine (34x – 32x + 1 +3) 7

⇒ 34x – 32x + 1 + 3 7

⇒34x – 32x + 1 – 4 0.

Notăm 32x = y și vom obține y2 – y – 4 0

= 1 + 24 = 25

y1 = -1

y2 = 4.

Rezultă y (-1, 4), deci 32x (-1, 4) ⇒ 32x (0, 4).

Atunci 32x (-∞,4), deci x (-∞,2).

10. Fie funcția f : ℝ → ℝ, definită prin f(x) =. Să se studieze dacă funcția f este surjectivă.

(Concurs de admitere – Facultatea de Matematică, 1 septembrie 1983)

Rezolvare: Funcția f este surjectivă dacă pentru orice y ℝ, există x ℝ astfel încât f(x) = y.

Din egalitatea f(x) = y ⇒ = y

⇒ = y ()

⇒ (1 – y)x2 – x + 1 – y = 0.

Avem o ecuație de gradul doi în x.

Calculăm = 1 – 4(1 – y)2 0 ⇒ ecuația(1 – y)x2 – x + 1 – y = 0 nu are soluție reală pentru orice valoare a lui y.

Rezultă că funcția f nu este surjectivă.

11. Să se arate că dacă f : ℝ → ℝ este o funcție polinomială de grad n, n 2, atunci funcția g : ℝ → ℝ, g(x) = f(x + 2) – 2f(x + 1) + f(x) este o funcție polinomială de grad n – 2. Să se determine coeficienții polinimului f în cazul particular cînd g(x) = 6x + 24, f(0) = 5, f(1) = 23.

(Concurs de admitere – Facultatea de Fizică și Facultățile de Mecanică, Construcții și Electrotehnică, 15 iulie 1985)

Rezolvare: Fie f(x) = anxn + an-1xn–1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + …+ a0, an 0.

Atunci f(x+1) = an(x+1)n + an-1(x+1)n–1 + an-2(x+1)n-2 + an-3(x+1)n-3 + …+ a0

f(x+2) = an(x+2)n + an-1(x+2)n–1 + an-2(x+2)n-2 + an-3(x+2)n-3 + …+ a0.

Astfel g(x) = f(x + 2) – 2f(x + 1) + f(x)

= an(x+2)n + an-1(x+2)n–1 + an-2(x+2)n-2 + an-3(x+2)n-3 + …+ a0 – 2[an(x+1)n + an-1(x+1)n–1 +

+ an-2(x+1)n-2 + an-3(x+1)n-3 + …+ a0] + anxn + an-1xn–1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + …+ a0

= an(xn + 2xn–1 +4xn–2 + 8xn–3 + … + 2n) + an-1(xn-1 + 2xn–2 +2xn–3 + + … + 2n-1) + an-2(xn-2 + 2xn–3 + … + 2n-2) + an-3(xn-3 +… + 2n-3)+ …+ a0 –

– 2an(xn + xn–1 + xn–2 + xn–3 + … + 1) -2an-1(xn-1 + xn–2 + xn–3 + + … + 1) – 2an-2(xn-2 + xn–3 + … + 1) – 2an-3(xn-3 +… + 1) – … -2a0 + anxn + an-1xn–1 +

an-2xn-2 + an-3xn-3 + …+a0

= 2anxn–2 + (6an + 2an-1) xn-3 +….

Deoarece an 0, funcția polinomială g este de grad n – 2.

În cazul particular dat, cum grad g = n – 2 = 1 ⇒ grad f = n = 3.

Deci avem f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Astfel 2a3 = 6, 6a3 + 2a2 = 24, de unde a3 = 1 și a2 = 9.

Deoarece f(0) = 5, f(1) = 23 obținem a0 = 5 și a1 = 8.

Funcția polinomială este f(x) = x3 + 9×2 + 8x + 5.

12. Fie a un număr real strict pozitiv și diferit de 1. Să se demonstreze că pentru orice număr real pozitiv și pentru ℕ*.

(Concurs de admitere – Facultatea de matematică – informatică, Craoiva, septembrie 1992)

Rezolvare: Notăm S = =

= =

= =

= = = .

3.2. Aplicații propuse pentru examenul de bacalaureat 2015

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = , unde reprezintă partea fracționară a lui x.

a) Arătați că , oricare ar fi x real.

b) Demonstrați că f(x) = , .

c) Arătați că f este o funcție periodică, admițând pe 1 ca perioadă.

d) Calculați .

Rezolvare:

a) Folosim următoarea proprietate a funcției parte întreagă, parte fracționară {x}

[0, 1), x ℝ și proprietatea de monotonie a puterilor

“Dacă 0 < x < 1, atunci m < n ⇔ xm > xn ”.

Avem 0 {x} < 1 și 1 < 2, rezultă că , oricare ar fi x real.

b) Dacă , atunci {x} = x. Deci f(x) = , .

c) Calculăm f(x + 1) = .

Folosid următoarea proprietate a funcției parte întreagă, parte fracționară {x + n} = {x}, x ℝ, n ℤ ⇒ {x + 1} = {x}.

Deci f(x + 1) = = f(x), oricare ar fi x real ⇒1 este perioadă a funcției f.

d) Ținând cont de punctul c) avem

…………………………

.

Rezultă că.

Deci suma .

Se consideră funcția f : (3, +∞) → ℝ, f(x) =.

Arătați că funcția este strict descrescătoare și determinaț-i imaginea.

Rezolvare: Pentru a arăta că funcția este strict descrescătoare vom calcula raportul

.

Rezultă că f este strict descrescătoare.

Avem că y Im f dacă și numai dacă ecuația = y are soluția x.

Deci de unde , adică y. În final, Im f = .

Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) = , mℝ \ {-1}.

a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.

b) Determinați m știind că A(1, 0).

c) Determinați m știind că fm(1) > fm(2).

d) Determinați m știind că fm(1) = fm(2).

Rezolvare:

a) Funcția fm este strict crescătoare dacă > 0.

Deci .

b) Știm că A(1, 0)⇔f(1) = 0. Vom avea = 0 ⇒ = -3

m -1 = -3(2m +2) ⇒ m+6m = -6 +1 ⇒ 7m = -5 ⇒ m = .

c) Pe intrevalul (1, 2) funcția f este descrescătoare ⇒ fm(1) > fm(2) ⇒

⇒ ⇒ < 0.

Din tebelul de la punctua a) ⇒

d) Avem ⇒= 0⇒ m – 1 = 0 ⇒ m=1, deci funcția f este constantă.

4. Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) = mx2 + 2(m +1)x +m + 2, unde mℝ*

a) Demonstrați că vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta

d: y = x+1.

b) Dacă A și B sunt punctele de intersecție a unei parabole cu Ox, iar F este proiecția vârfului V al acelei parabole pe Ox, arătați că AB = 2 FV.

c) Arătați că toate parabolele familiei trec printr-un punct fix.

Rezolvare:

a) Vârful parabolei este V.

Deci

.

Observăm că ⇒ vârfurile parabolelor asociate acestor funcții se găsesc pe dreapta d: y = x+1.

b) Punctele de intersecție a unei parabole cu Ox se determină rezolvând ecuația f(x) = 0.

mx2 + 2(m +1)x +m + 2 =0

∆ = [2(m +1)]2 – 4m(m+2) = 4m2 + 8m + 4 – 4m2 – 8m = 4

Rezultă că avem A(-1, 0), B și F.

AB =

2FV=.

Deci AB = 2 FV

c) Fie M(a, b) punctul fix. Rezultă fm(a) = b, mℝ*⇒ ma2 + 2(m +1)a +m + 2 = b

⇒ (a2 +2a + 1)m + (2a +2) = b⇒

⇒ a2 +2a + 1 = 0 ⇒ (a + 1)2 = 0 ⇒ a = -1

⇒ 2a +2 = b ⇒ b = 0.

Deci toate parabolele familiei trec printr-un punct fix M(-1, 0).

a) Fie f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = lg x.

Demonstrați că .

b) Fie f : ℝ → ℝ, f(x) = ax, a > 0, a 0.

Demonstrați că ℝ.

Rezolvare:

a) Inegalitatea este echivalentă cu lg

⇒ 2lg⇒ lg⇒ ⇒

⇒ ⇒ Adevărat.

⇒ Inegalitatea este adevărată .

b) Inegalitatea este echivalentă cu

⇒ ⇒ ⇒ Adevărat.

⇒ Inegalitatea este adevărată .

Fie f : A → B și g : B → A. Demonstrați că:

a) dacă gf : A → C este injectivă, atunci f este injectivă;

b) dacă gf : A → C este surjectivă, atunci g este surjectivă.

Rezolvare:

a) Presupunem prin absurd că f nu este injectivă. Atunci există x1, x2 A, x1 x2 astfel încât f(x1) = f(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) ⇒ (gf)(x1) = (gf)(x2) ⇒ gf nu este injectivă, ceea ce contrazice ipoteza. Deci f este injectivă.

b) Presupunem prin absurd că g nu este surjectivă. Rezultă că există z C, astfel încât y B, y = f(x), g(y) z. Dar x A, f(x) B, deci g(f(x))z ⇒ x A, (gf)(x)z ⇒ gf nu este surjectivă, ceea ce contrazice ipoteza. Deci g este sujectivă.

Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 – 2x – 7. Notăm x1, x2 ℝ soluțiile

ecuației f(x) = 0 ți cu Sn = x1n + x2n, n ℕ.

a) Determinați x1 și x2.

b) Arătați Sn+2 = 2Sn+1 +7Sn, n ℕ.

c) Calculați S5.

Rezolvare:

a) Rezolvăm ecuației f(x) = 0, deci x2 – 2x – 7 = 0.

Calculăm ∆ = (-2)2 – 41(-7) = 4 + 28 = 32.

Determinăm soluțiile x1 =

x2 = .

b) Avem x1 soluție a ecuației x2 – 2x – 7 = 0 ⇒ x12 – 2×1 – 7 = 0

⇒ x1n+2 – 2x1n+1 – 7x1n = 0 (1)

Și x2 soluție a ecuației x2 – 2x – 7 = 0 ⇒ x22 – 2×2 – 7 = 0

⇒ x2n+2 – 2x2n+1 – 7x2n = 0 (2)

Adunăm cele două relații (1) + (2) și avem x1n+2 + x2n+2 -2(x1n+1 + x2n+1) – 7(x1n + x2n) = 0

⇒ Sn+2 – 2Sn+1 – 7Sn =0 ⇒ Sn+2 = 2Sn+1 +7Sn, n ℕ.

c) Calculăm S0 = x10 + x20 =1 +1 = 2 și S1 = x11 + x21 = + = 2.

Deci S2 = 2S1 +7S0 = 22 + 72 = 18;

S3 = 2S2 +7S1 = 218 + 72 = 50;

S4 = 2S3 +7S2 = 250 + 718 = 226;

S5 = 2S4 +7S3 = 2226 + 750 = 802;

Calculați suma:

S =

Rezolvare:

S =

=

=

=

=

= 1.

Dacă și sin x = , calculați cos x și tg x.

Rezolvare: Aplicăm formula fundamentală a trigonometriei sin2x + cos2x = 1

⇒ + cos2x = 1 ⇒ cos2x = 1 – ⇒ cos2x = ⇒ cos2x =

⇒ cos x = ⇒ cos x = .

Dar în cadranul III cos x < 0 ⇒ cos x = .

Avem .

CAPITOLUL IV

PROIECTAREA ACTIVITĂȚII DE INSTRUIRE

LA MATEMATICĂ

PROCESUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT reprezintă activitatea intenționată, conștientă și organizată de predare-învățare-evaluare, realizată într-un spațiu educațional instituționalizat, cu o tehnologie didactică determinată, cu anumite rezultate anticipate și realizate.

Laturile procesului de învățământ sunt : PREDAREA, ÎNVĂȚAREA, EVALUAREA.

PREDAREA este latura procesului de învățământ intenționată, programată, organizată de transmitere de către profesor a cunoștințelor teoretice și practice care stau la baza învățării.

ÎNVĂȚAREA este latura procesului de învățământ intenționată, programată și organizată de dobândire și asimilare a cunoștințelor teoretice și practice de către elev pe baza predării și a studiului individual.

EVALUAREA reprezintă o succesiune de operații de apreciere, măsurare și control a cunoștințelor teoretice și practice prin care se raportează obiectivele educației la rezultatele obținute.

Eficiența procesului de învățământ este dată de interacțiunea dinamică între predare învățare și evaluare. Fiecare dintre cele trei laturi ale procesului de învățământ se raportează una la cealaltă, pentru a intra într-o interacțiune reală și eficientă. Profesorul operaționalizează obiectivele didactice în funcție de vârsta elevilor, selectează conținuturile în funcție de profilul clasei, alege și îmbină metodele, mijloacele și formele de organizare a lecției în funcție de particularitățile subiecților educaționali. Elevul se raportează la intențiile profesorului, își reglează posibilitățile de învățare în funcție de cerințele formulate explicit, recepționează, prelucrează și redă cunoștințele predate într-o modalitate personală în funcție de aptitudinile. capacitățile, interesele și aspirațiile sale. Evaluarea tinde să devină o latură din ce în ce mai integrată a procesului educațional, fiind prezentă pe întreg parcursul acestuia.

În ultimii ani, învățământul în țara noastră a cunoscut o serie de prefaceri menite să îmbunătățească procesul de instruire și educare a tineretului școlar.

Printre sarcinile mai importante se înscriu și modernizarea metodelor de învățământ în sensul valorificării noului conținut al învățământului, punându-se accent mai mare pe munca independentă a elevilor, pe formele de pregătire diferențiată a acestora, pe activitățile desfășurate în laborator. Principala cale de sporire a randamentului școlar este tehnologia didactică. Prin tehnologie didactică se înțelege ansamblul de forme, mijloace tehnice și relații, metode cu ajutorul cărora se vehiculeză conținuturi, în vederea atingerii obiectivelor.

Tehnologia didactică presupune proiectarea realizării și evaluarea activității didactice, operații care în final, trebuie să concure la îmbunătățirea acestei activități.

Proiectarea didactică este o acțiune continuă, permanentă, care precede demersurile instructiv-educative, indiferent de dimensiunea, complexitatea sau durata acestora.

În proiectarea didactică se pornește de la un conținut fixat prin programele școlare, care cuprind obiectivele generale ale învățământului, obiectivele-cadru și obiectivele de referință care sunt unice la nivel național. Se finalizează cu elaborarea unor instrumente de lucru utile cadrului didactic: planului tematic și a proiectelor de activitate didactică/lecție, până la secvența elementară de instruire.

Etapele principale ale activității de proiectare didactică sunt:

încadrarea lecției sau a activității didactice în sistemul de lecții sau în planul tematic;

stabilirea obiectivelor operaționale;

prelucrarea și structurarea conținutului științific;

elaborarea strategiei didactice;

stabilirea structurii procesuale a lecției/activității didactice;

– cunoașterea și evaluarea randamentului școlar:

a. stabilirea modalităților de control și evaluare folosite de profesor

b. stabilirea modalităților de autocontrol și autoevaluare folosite de elevi.

“Metodele de învățământ sunt căi sau modalități de lucru folosite de profesori și elevi pentru informarea și formarea elevilor, pentru verificarea și aprecierea randamentului școlar” . Metoda se aplică printr-o suită de operații concrete numite procedee. Procedeul didactic reprezintă o componentă a metodei.

Eficiența și valoarea unei metode este condiționată de calitatea, alegerea corectă si corelarea procedeelor din care este compusă.

Metodele pot fi clasificate după mai multe criterii:

– din punct de vedere istoric:

a. tradiționale (expunerea, conversația, exercițiul);

b. moderne (algoritmizarea, problematizarea, instruirea programată, brainstorming-ul).

– din punct de vedere al extensivității sferei de aplicabilitate:

a. generale – expunerea, conversația euristică, prelegerea;

b. particulare.

– prin modalitatea de prezentare:

a. verbale;

b. intuitiv-senzoriale.

– după gradul de angajare al elevilor:

a. active;

b. pasive.

– după funcția didactică preponderentă:

a. predare si comunicare;

b. fixare si consolidare;

c. verificare si evaluare.

– din punctul de vedere al abordării problemelor:

a. algoritmice, bazate pe secvențe operaționale, stabile;

b. euristice, bazate pe descoperirea proprie și rezolvarea de probleme.

– după organizarea muncii profesorului:

a. individuale;

b. pe grupuri;

c. frontale.

– din punctul de vedere al învățării (mecanică, prin receptare conștientă, prin descoperire):

a. metode bazate pe învățarea prin receptare (expunerea, demonstrația cu caracter expoziv);

b. metode care aparțin preponderent descoperirii dirijate (conversația euristică, observația dirijată, instruirea programată);

c. metode de descoperire propriu-zisă (observarea independentă, exercițiul euristic, descoperirea, rezolvarea de probleme, brainstorming-ul).

În procesul de predare – învățare a matematicii în școală se folosesc frecvent următoarele metode didactice: observația, conversația, demonstrația, problematizarea, algoritmizarea, modelarea, învățarea prin descoperire, rezolvarea de exerciții și probleme, folosirea manualului și a literaturii suplimentare (culegeri de exerciții și probleme, seturi de exerciții și probleme propuse și rezolvate, reviste de matematică), activitatea în grup, învățământul programat și altele.

Din multitudinea metodelor de învățământ existente fiecare cadru didactic alege și folosește anumite metode în funcție de următoarele criterii:

obiectivul fundamental al lecției respective;

conținutul lecției;

particularitățile de vârstă ale elevilor.

În marea majoritate a cazurilor metodele de învățământ nu sunt folosite izolate, ci îmbinate cu alte metode, pentru a obține cele mai bune rezultate în activitatea instructivă.

Metodele de învățământ folosite trebuie să stimuleze spiritul de observație și gândire logică a elevilor, să asigure o participare activă a elevilor în procesul instructiv-educativ, să contribuie la formarea deprinderilor de a se instrui prin muncă independentă.

Deoarece în activitatea instructiv-educativă accentul trebuie să cadă pe latura formativă a acesteia, conducerea problematizată a lecțiilor se impune ca o cerință categorică. Elevii trebuie să fie permanent stimulați prin întrebări, să primească sarcini mai complicate spre rezolvare, pentru a descoperi prin efort propriu laturile noi ale cunoștințelor, să fie puși în situația de a utiliza cunoștințele dobândite în rezolvarea unor exerciții și probleme cunoscute, în explicarea diferitelor discipline de învâțământ.

Sub acest aspect, problematizarea poate fi considerată ca o variantă a conversației euristice. În același timp ea constituie, poate, cea mai importantă modalitate de învățare prin descoperire, alcătuind punctul de plecare pentru toate celelalte forme ale acestui mod de instruire.

Învățarea prin descoperire presupune participarea activă, directă a elevilor (sub îndrumarea profesorului) la stabilirea noțiunilor ce urmează a fi însușite. Baza acestui proces de învățare o formeză următoarele constatări:

participarea la descoperirea unui adevăr având ca urmare o mai deplină înțelegere a acestuia;

– situațiile problematice, de incertitudine parțială și de conflicte trezesc în mod deosebit interesul elevilor.

Prin utilizarea acestei metode elevul învață să recunoască problemele și să adune informațiile necesare pentru a le depăși; cunoștiințele astfel însușite se fixează mult mai bine; se dezvoltă încrederea în sine a elevului, convingerea că poate rezolva problemele cu care se confruntă.

Realizarea unui învățământ modern, care să-și exercite funcția principală de instruire și educație a tinerei generații este indisolubil legată de existența în școală a unui sistem de mijloace de învățământ ca, componentă esențială pentru obținerea unei calități sporite a întregului proces instructiv-educativ.

Mijloacele de învățămant se pot grupa în două mari categorii:

• ce cuprind mesaj didactic (manuale, culegeri, reviste de matematică, modele, planșe, tabele cu formule, scheme structurale, seturi de teste, truse, folii);

• care facilitează transmiterea mesajelor didactice (computerul, internetul, filme didactice, emisiuni TV, aparate, instrumente de măsură).

Mijloacele de învățământ au evoluat de la materialul intuitiv confecționat pentru demonstrație, la mijloace moderne din zilele noastre pe măsura dezvoltării științei și tehnicii și în funcție de cerințele procesului de învățământ în diferite etape. Mijloacele de învățământ nu pot înlocui actul predării, în care rolul principal îl joacă profesorul. Rezultatele care se obțin cu ajutorul acestor mijloace depind mai mult de cadrul didactic care le utilizează decât de calitatea instrumentelor.

Având în vedere scopul principal urmărit în învățarea matematicii și anume formarea priceperilor și deprinderilor de rezolvare a exercițiilor și problemelor, principala preocupare a profesorului de matematică în domeniul realizării mijloacelor de învățământ rămâne algerea celor mai potrivite exerciții și probleme din manuale, din culegeri și reviste de matematică, alcătuirea de teste și seturi de exerciții și probleme propuse și rezolvate model, care să fie folosite de elevi.

Aspectele procesului de învățământ legate de verificarea și aprecierea cunoștințelor sunt încadrate în docimologie – știință pedagogică care are ca obiect studierea sistematică a examenelor, în special a sistemelor de notare, a comportării examinatorilor și examinaților. Docimologia trebuie să ofere totodată posibilitatea de a cunoaște interesul real al elevului pentru obiect, suportul motivațional al rezultatelor obținute, factorii care au contribuit la obținerea rezultatelor, posibilitatea de apreciere a resurselor unui elev, de urmărire a evoluției acestuia.

Se observă astfel tendința de trecere de la o apreciere mai mult cantitativă a cunoștințelor elevilor, la aprecierea calitativă a unui ansamblu de aspecte, urmărite prin însăși obiectivele învățământului. O evaluare corectă poate fi făcută numai în condițiile unor obiective bine precizate, din care să se desprindă exact ceea ce trebuie să facă un elev pentru a dovedi realizarea lor.

Sub acest aspect deosebim mai multe categorii de obiective:

finalitățile sau scopurile generale ale educației, sintetice, globale, fixate prin decizii;

obiective intermediare – obiectivele specifice învățământului într-o etapă dată, obiectivele specifice fiecărei trepte de învățământ și obiectivele specifice diferitelor discipline și teme;

obiective educativ-operaționale

Operaționalizarea obiectivelor se face pentru a realiza mai ușor și totodată pentru a evidenția progresul elevilor la sfârșitul unei etape de instruire și constă în specificarea performanțelor și comportamentelor la care trebuie să ajungă elevii la sfârșitul etapei respective. Pentru formularea obiectivelor operaționale se folosesc verbe de acțiune, acțiunile raportându-se la elevi.

Concomitent cu precizarea comportamentelor specifice, operaționalizarea trebuie să precizeze condițiile în care urmeză să se manifeste acestea și performanțele minime acceptate.

Performanțele minime se stabilesc specificându-se numărul de răspunsuri corecte – cunoștințe teoretice și aplicative – pe care trebuie să le dea elevul pentru a considera că posedă cunoștințele elementare cu privire la tema respectivă.

În mod obișnuit, pentru stabilirea gradului de atingere al unor obiective se recurge la diferite metode sau procedee cum sunt: observarea curentă a elevilor, verificarea acestora prin întrebări, prin lucrări scrise de diferite tipuri, prin teste etc., care permit măsurarea și aprecierea activității.

Ele se pot clasifica in:

metode tradiționale: probe orale, scrise, practice;

metode complementare: observarea sistematică a elevilor, investigația, proiectul, portofoliul, tema pentru acasă, tema de lucru în clasă, autoevaluarea.

Deși prezintă și unele inconveniente, avantajele atribuite testelor în raport cu metodele obișnuite de apereciere a cunoștințelor elevilor, le impun ca procedee de mare valoare pentru evaluarea randamentului școlar. Valoarea lor derivă dintr-o serie de caracteristici ale acestora, printre care:

eliminarea hazardului și subiectivității din notare, prin stabilirea unui punctaj de notare, prin condițiile egale pe care le creează în privința conținutului de rezolvare;

oferirea posibilităților de urmărire sistematică a evoluției unei clase, a unui grup de elevi sau a unui anumit elev, în perioade determinate de timp, cu privire la nivelul de cunoștințe, la formarea priceperilor, la dezvoltarea aptitudinilor etc.

După scopul urmărit, principalele categorii de teste folosite în învățământ sunt: testele de inteligență, testele de aptitudini și testele de performanță. Dintre acestea, testele de performanță sunt acelea care măsoară gradul de realizare a obiectivelor imediate și a celor îndepărtate ale învățământului și conțin volumul informațiilor necesare pentru evaluarea activității elevului și implicit a profesorului.

Alcătuirea testelor reclamă o tehnică specială, un volum mare de muncă și respectarea unor condiții ca:

utilizarea întregii materii supuse verificării;

stabilirea obiectivelor de realizat;

reducerea materiei la teme elementare (stabilirea obiectivelor operaționale) și formularea unui număr corespunzător de cerințe;

prezentarea cerințelor într-un mod adecvat elevilor;

stabilirea întrebărilor la care trebuie să se răspundă obligatoriu pentru a se obține nota de trecere (performanța minimă acceptată);

folosirea unor întrebări de tipuri diferite sau în contexte diferite, pentru a dezvălui capacitatea elevului de a transfera cunoștințele sau de a le organiza;

revizuirea conținutului întrebărilor de către specialiști în materie (standardizarea și validarea testelor);

După momentul în care se aplică testele pot fi: inițiale, de progres (formative) și finale.

Testele inițale se folosesc pentru a informa profesorul asupra cunoștințelor de care dispun elevii în vederea parcurgerii unei noi etape instructiv-educative. Rezultatele nesatisfăcătoare obținute la aceste teste impun organizarea unor activități de completare a lipsurilor observate.

Testele de progres informează profesorul cu privire la posibilitățile elevilor de a atinge obiectivele urmărite și dificultățile pe care le întâmpină în atingerea acestora. Testele de progres pot fi integrate în orice moment al unei lecții și pot fi folosite pe parcursul întregului an școlar.

Testele finale se utilizează la încheierea unei teme, capitol sau an de studiu, în scopul de a evidenția măsura realizării obiectivelor particulare ale unei teme, a obiectivelor specifice unui capitol sau an de studiu. Evaluarea care se realizează cu ajutorul acestor teste constată rezultatele muncii elevului, mijloacele prin care s-au atins, calitatea muncii profesorului, permițând îmbunătățirea acestora.

Testele se elaborează pe baza obiectivelor particulare ale temei considerate și stabilind pentru fiecare obiectiv o sarcină de lucru, un item, pe care elevul trebuie să o rezolve.

Un item se poate prezenta sub forma unei întrebări, a unui exercițiu sau problemă, deci o sarcină care corespunde unui obiectiv precis formulat. Indicele de eficiență al unui test se stabileste pornind de la măsura în care itemii permit stabilirea unei ordonări valorice a elevilor.

Clasificarea itemilor realizată de Serviciul Național de Evaluare și Examinare este:

Itemi obiectivi, care măsoară rezultatele invățării situate la nivelurile cognitive inferioare (cunostințe, priceperi si capacități de bază).

Astfel de itemi pot fi: de tip alegere duală, de tip pereche sau împerechere, de tip alegere multiplă. Caracteristica principală a itemilor obiectivi este gradul ridicat de obiectivitate în măsurarea și aprecierea rezultatelor învățării. Folosind acest tip de itemi, se testează un număr mare de elemente de conținut, într-un timp scurt, se asigură obținerea de informații sigure privind nivelul de însușire a noțiunilor de bază.

Itemi semiobiectivi, care cuprind întrebări și cerințe care presupun elaborarea răspunsurilor de către elevi.

Ei pot fi folosiți pentru toate etapele de evaluare. Din această categorie fac parte itemii de tip

răspuns scurt, cei de completare, de întrebări structurate. În acest caz, elevul nu trebuie să aleagă un răspuns, ci trebuie să-l construiască. Se măsoară astfel o gamă mai largă de capacități intelectuale, cu nivel de dificultate variabil. Pentru astfel de itemi este necesară o schemă de notare detaliată (barem), punctajul acordandu-se parțial sau integral.

Itemi subiectivi sau cu răspuns deschis, care testează capacitatea de tratare coerentă, în mod personal, a unui subiect, cât și originalitatea, creativitatea.

Acești itemi dezvoltă capacitatea elevului de a formula, a descrie, a prezenta sau explica diferite concepte, argumente, metode le lucru. Din această categorie fac parte itemii de tip rezolvare de probleme, investigația, proiectul, portofoliul. Trăsătura dominantă a acestor itemi este aceea de a putea testa niveluri cognitive ridicate (aplicare, analiză, sinteză, evaluare). Și în acest caz este necesar să se realizeze un barem amănunțit după care să se facă notarea.

Exemple de itemi:

Itemi cu alegere duală

Citește cu atenție afirmația/ afirmațiile de mai jos iar în cazul în care apreciezi că este adevărată încercuiește litera A, în caz contrar încercuiește litera F.

A F f (x) = x2 − 5x + 8 > 0,∀x∈ R Răspuns: A

A F Numărul 3 este soluție a ecuației 4×2-3x-5=0; Răspuns: F.

Avantajele utilizării itemilor cu alegere duală:

permite evaluarea unui volum mare de cunoștințe într-un timp scurt;

probabilitatea intuirii răspunsului corect este foarte mare.

Dezavantaje:

nivelul de complexitate al itemilor este redus, cel mult mediu;

identificarea unui enunț ca fiind F(fals), nu implică în mod necesar cunoașterea de către elev a enunțului corect .

Recomandări în proiectarea itemilor cu alegere duală:

– se vor evita enunțurile cu caracter foarte general;

– se vor evita enunțurile nerelevante din punct de vedere matematic;

– se vor evita enunțurile a căror structură poate genera ambiguități sau dificultăți de înțelegere;

– se vor evita enunțurile lungi, complexe cu date inutile;

– se vor evita introducerea a două sau mai multe idei într-un enunț (cu excepția situațiilor în care se urmărește cunoașterea sau înțelegerea unor relații cauză-efect).

– Itemi cu alegere multiplă

1. Soluția ecuației ln(x+1) = 2x este……….

a) -1; b) 0; c) 1; d) 2; e) e; Răspuns: b)

2. Rezultatul calculului ( − 5)(3 + 5) este…………..

a) -5; b) 3; c) 9; d)2; e) 3 ; Răspuns d)

Avantajele utilizării itemilor de tip alegere multiplă:

– permite măsurarea unei game largi de cunoștințe de la nivelul simplu și până la cel complex;

– construcția itemilor cu patru sau mai multe variante de răspuns indică o mai mare fidelitate;

– timpul de evaluare este redus conducând la o cuantificare rapidă.

Dezavantaje:

– construcția itemilor necesită un timp mai mare;

– testează cu precădere, nivelele cognitive inferioare;

– permite în unele situații ghicirea răspunsului;

– nu este indicată folosirea constantă a acestor tipuri de itemi întrucât modifică modul de învățare al elevilor.

Recomandări în proiectarea itemilor de tip alegere multiplă:

– se recomandă ca enunțurile să fie clar formulate pentru a nu duce la ambiguități;

– limbajul folosit trebuie să corespundă nivelului de vârstă a elevilor cărora se adresează;

– enunțul trebuie să măsoare numai obiectivul propus;

– enunțul trebuie formulat în așa fel încât să nu sugereze alegerea uneia din variante;

– distractorii trebuie să fie plauzibili și paraleli; variantele de răspuns nu trebuie să fie sinonime sau opuse ca înțeles.

– Itemi de tip pereche/ de asociere

Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care indică punctual care aparține graficului funcției din coloana A.

A B

……… 1. f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1 a. A(2; -2)

………..2. f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 1 b. B(-1; 3)

………..3. f : ℝ → ℝ, f(x) = -0.5x + 1 c. C(3; )

………..4. f : ℝ → ℝ, f(x) = 7 d. D(2; 3)

e. E(1; 7)

f. F(0; -1)

Răspuns: 1→d, 2→f, 3→c, 4→e

Avantajele utilizării itemilor de tip pereche:

– permite evaluarea unui volum mare de cunoștințe într-un timp scurt;

– nu necesită timp mult pentru evaluarea itemilor;

– construcția itemilor este relativ ușoară.

Dezavantaje:

– nu permite construirea unor itemi care să abordeze rezultate complexe ale învățării;

– este relativ dificilă construirea unor liste de premise sau de răspunsuri omogene.

Recomandări în proiectarea itemilor de tip pereche:

– se recomandă ca aceștia să conțină un număr inegal de răspunsuri și premise, lista de răspunsuri să conțină și distractori adică răspunsuri care nu trebuie asociate cu nicio premisă, iar elevii să fie informați că fiecare răspuns poate fi folosit o dată, de mai multe ori sau niciodată.

– toate răspunsurile și premisele unui item să fie plasate pe aceeași pagină;

– răspunsurile să fie aranjate într-o ordine logică (alfabetică/crescătoare), care să nu conducă elevul spre „ghicirea” răspunsului corect.

Itemi cu răspuns scurt/de completare

Completează spațiile punctate astfel încât să se obțină o afirmație adevărată.

O funcție este inversabilă dacă……………………………

Se numește funcție logaritmică …………….

Avantajele utilizării itemilor cu răspuns de completare:

– permite evaluarea unui număr relativ mare de cunoștințe;

– măsoară rezultatele învățării la un nivel cognitiv mai ridicat decât simpla recunoaștere și memorare;

– solicită ca răspunsul dat să fie coerent;

– elaborarea itemilor nu necesită mult timp;

– evaluarea itemilor se face relativ ușor și obiectiv.

Dezavantaje:

– nu se recomandă a fi folosită pentru a măsura capacități intelectuale superioare (rezolvarea de probleme, analiză, sinteză).

– itemii care cer elaborarea unui răspuns foarte scurt pot determina în timp subdezvoltarea capacităților de exprimare complexă;

– este necesară construirea unui număr mare de itemi pentru a acoperi conținuturile.

Recomandări în proiectarea itemilor cu răspuns scurt/ de completare:

– întrebările trebuie formulate clar pentru a nu genera confuzii;

– spațiul liber furnizat trebuie să sugereze dacă răspunsul conține un cuvânt sau mai multe; a se evita folosirea mai multor spații libere pentru o întrebare;

– se va evita ca răspunsul să fie un text foarte lung pentru a nu încuraja memorarea mecanică;

– unitățile de măsură din textul întrebării vor fi puse și la sfârșitul spațiului liber.

Itemi cu întrebări structurate

Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) = , mℝ \ {-1}.

a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.

b) Determinați m știind că A(1, 0).

c) Determinați m știind că fm(1) > fm(2).

d) Determinați m știind că fm(1) = fm(2).

Avantajele utilizării itemilor de tip întrebări structurate:

– permite transformarea unui item complex într-o suită de itemi obiectivi sau semiobiectivi permițând evaluarea unor comportamente corespunzătoare unor niveluri taxonomice înalte;

– poate testa o gamă largă de cunoștințe;

– permite construirea progresivă a dificultății și complexității itemului;

– se pot utiliza materiale auxiliare (diagrame, hărți,grafice, etc.), care le face astfel mai atractive pentru elevi;

Dezavantaje:

– răspunsul la o subîntrebare depinde, uneori de răspunsul la subîntrebările precedente;

– construcția acestor tipuri de itemi necesită mai mult timp de elaborare.

– implică costuri mai ridicate în ceea ce privește proiectarea lor;

– pot ridica probleme legate de acuratețea și claritatea imaginilor și a graficelor, etc.

– necesită o schemă de notare elaborată;

Recomandări în proiectarea itemilor cu întrebări structurate:

– întrebarea trebuie să ceară răspunsuri la început și să crească dificultatea acestora spre sfârșit. Gradul de dificultate poate fi, în general, asociat cu lungimea itemului;

– fiecare subîntrebare nu va da răspunsul corect la subîntrebarea precedentă;

– subîntrebările trebuie să fie independente și în concordanță cu materialele;

– fiecare subîntrebare testează unul sau mai multe obiective.

Itemi de tip rezolvare de probleme

Calculați suma:

S =

Avantajele utilizării itemilor de tip rezolvare de probleme:

– modalitatea de elaborare a acestor itemi stimulează gândirea creativă a elevilor favorizând transferul de metode de rezolvare a unor probleme cu caracter interdisciplinar;

– permite o analiză comparativă a metodelor de rezolvare a unei probleme facilitând alegerea celei mai potrivite;

Dezavantaje:

– proiectarea acestor itemi presupune un timp mai mare de concepere decât în cazul celorlalți itemi;

– elaborarea baremului de corectare și notare este mai dificilă lăsând loc uneori interpretărilor din partea evaluatorilor;

– timpul de administrare și corectare este mai mare decât în cazul celorlalți itemi.

Recomandări în proiectarea itemilor de tip rezolvare de probleme:

– se recomandă ca sarcinile de lucru să permită evaluarea mai multor elemente de conținut;

– sarcinile de lucru să corespundă obiectivelor de evaluare vizate de itemi;

– baremele de corectare trebuie elaborate în așa fel, încât să elimine și cele mai mici acțiuni subiective ale evaluatorilor.

În România, o reorganizare pe clase și lecții a fost introdusă prin „Legea Instrucțiunii publice” din anul 1864. Acest mod de organizare se caracterizează prin:

– gruparea elevilor pe clase în funcție de vârstă și nivelul de pregătire;

– trecerea dintr-o clasă în alta în fiecare an pe baza promovării;

– stabilirea unei durate de școlarizare;

– existența unui început și sfârșit de an școlar; acesta era împărțit în unități de lucru: trimestre/semestre, urmate de vacanță;

– ziua școlară se derulează după un orar în care disciplinele se succed în unități de timp egale (de obicei 50 minute), alternând cu recreațiile;

Lecția rămâne principala formă de organizare a activităților didactice. Etimologia cuvântului „lecție” se află în termenul latin „lactio –onis”, care înseamnă „a citi cu glas tare, a audia, a lectura, a medita”. Prin lecții se realizează concomitent informare și formare, instruire și educare în cadrul unei comunicări profesor – elev, subordonată competențelor generale și specifice ale procesului de învățământ, operaționalizate la nivelul colectivului de elevi. Structura lecției este rezultatul asamblării complexe a mai multor componente, precum și a relațiilor dintre acestea. Componenetele unei lecții sunt reprezentate de următoarele resurse:

– umane (profesor, elev);

– materiale (mijloacele de învățământ, cabinetul de matematică, sala de clasă);

– temporale (ora)

– informaționale (conținutul lecției);

– procedurale (strategia didactică de predare – învățare –evaluare);

Prin interacțiunile dintre componentele menționate se produce învățarea concretizată în rezultatele obținute de elevi și profesor (cunoștințe, competențe, atitudini, valori). În actualul context educațional, rolul celor doi factori ai procesului de educație, profesorul și elevul, are în vedere din partea profesorului: facilitarea învățăturii, încurajarea elevilor pentru a formula puncte de vedere personale, colaborarea cu elevii în realizarea demersului didactic, iar pentru elev, noul rol are în vedere învățarea prin cooperare, învățătura în contexte formale și nonformale, transferul învățăturii.

Categorii/tipuri și variante de lecții

Lecțiile pot fi grupate în mai multe categorii (numite în mod tradițional tipuri), fiecare având anumite particularități didactice. Categoria (tipul) unei lecții este dată de modul de organizare și desfășurare a activității de predare – învățare – evaluare, de obiectivul didactic fundamental. În funcție de obiectivul didactic fundamental, la disciplina matematică, putem identifica următoarele categorii de lecții:

– lecția de dobândire de noi cunoștințe;

– lecția mixtă sau combinată;

– lecția de formare a priceperilor și deprinderilor;

– lecția de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor (de consolidare);

– lecția de verificare și apreciere;

Frecvența lecțiilor crește atunci când în interiorul fiecărei categorii se utilizează mai multe variante de lecții.

Abaterile de la forma clasică de organizare a lecțiilor este o urmare firească a noilor procedee de lucru și a noilor mijloace de activizare a elevilor folosite de profesor la lecție.

Schema tradițională a lecției, axată pe asimilare în vederea reproducerii celor învățate, nu mai este respectată întotdeauna și întrutotul: se apelează la acele variante care antrenează capacitățile de investigare, de anticipare, de soluționare teoretică sau practică a unor probleme de către elevi. Verificarea este de multe ori inclusă în însuși activitatea elevului, pe tot parcursul desfășurării lecției; temele și indicațiile de lucru se dau uneori pe fișe, alteori se scriu pe tablă sau se comunică oral.

Oricare ar fi tipul de lecție și varianta la care se recurge, organizarea acesteia reclamă respectarea unor cerințe și anume:

stabilirea exactă a scopului instructiv și educațional urmărit (pe baza cunoașterii conținutului temei de predare, al nivelului de dezvoltare intelectuală a elevilor și a direcțiilor în care trebuie formată și dezvoltată personalitatea acestora;)

alegerea materialului (vechi și nou) care poate contribui în cea mai mare măsură în realizarea scupului propus;

stabilirea planului după care se va desfășura lecția, în așa fel încât să se asigure o succesiune judicioasă a materiei, o verificare maximă a timpului și un randament maxim de la fiecare elev; să se ajungă la stabilirea unor relații active profesori-elevi, elevi-documentație, elevi-elevi;

alegerea unor metode și procedee de lucru capabile să transforme munca elevilor într-o acțiune de cucerire a cunoștințelor sub dirijarea profesorului, într-o activitate directă a acestora, care să răspundă cerințelor sociale de integrare a învățământului cu cercetarea și producția.

Principalii indicatori de reușită a unei lecții sunt:

gradul de participare, implicare a clasei în desfășurarea lecției;

reacția elevilor pe parcursul derulării activității;

antrenarea tuturor elevilor în secvențele de învățare, fixare;

calitatea activității independente desfășurate de elevi;

transferul cunoștințelor, abilităților în contexte noi;

Impunând obligativitatea adoptării strategiilor de lucru la caracteristicile temei, la particularitățile colectivului de elevi, la condițiile locale și la alți parametri, lecția a fost și rămâne un act de creație al profesorului; acest act trebuie să asocieze atracția cu eficacitatea, datele solide și precise cu întrebările care vor motiva lecțiile următoare, cunoștințele noi cu formarea spiritului.

O lecție bună provoacă activitatea elevului și introduce o colaborare, un dialog între profesor și elevi.

Procesul de învățare a matematicii, ca și a oricărei alte discipline din planul de învățământ, cuprinde următoarele etape:

proiectarea activității de instruire;

desfășurarea instruirii;

activitatea de învățare de către elevi;

evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii.

Obiectivul de bază al predării matematicii în gimnaziu și liceu este formarea la elevi a conceptelor (abstracte) matematice, deprinderea de către aceștia a metodelor specifice matematicii, a raționamentului inductiv și deductiv, a capacității de a supune unor operații logice conceptele matematice însușite.

Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții vom formula obiectivele predării ei prin derivare de la obiectivele generale ale predării matematicii. Pe lângă aceste obiective, care arată în ce măsură tema respectivă contribuie la realizarea obiectivelor predării matematicii este necesar să ne formulăm și obiective oeraționale, prin care să precizăm ce anume capacități intelectuale și deprinderi practice trebuie să posede elevii la sfârșitul unei secvențe de instruire.

Proiectarea lecțiilor de matematică trebuie astfel concepută, încât fiecare activitate concretă să conducă spre realizarea unor obiective operaționale clar formulate.

Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate este necesar ca să se prevadă realizarea conexiunii inverse, atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale instruirii.

Proiect de lecție

Profesor: Poață Iulieta

Clasa: a IX-a A

Obiectul: Matematică

Subiectul lecției: Funcția de gradul al II-lea: aplicații

Tipul lecției: fixarea și consolidarea cunoștințelor

Obiective operaționale: În cadrul lecției elevii trebuie:

O1: să recunoască o funcție de gradul al II –lea

O2: să reprezinte grafic funcție de gradul al II-lea

O3: să scrie coordonatele vârfului parabolei asociate funcției de gradul al II-lea;

O4: să discute în funcție de a și forma graficului funcției și intersecțiile acestuia cu axele;

O5: să aplice relațiile lui Viete pentru o ecuație de gradul al II-lea;

O6: să formeze ecuația de gradul al doilea atunci când se cunosc soluțiile;

O7: să aplice semnul funcției de gradul al II-lea în exerciții și probleme;

O8: să stabilească minimul și maximul unei funcții de gradul al II-lea.

Metode și procedee:

conversația,

explicația,

exercițiul,

munca independentă,

Mijloace didactice:

Manual clasa a IX –a (Mircea Ganga),

Culegere de exerciții și probleme

Fișe de lucru

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Fișă de lucru

Funcția de gradul al II-lea

Se consideră f : RR, f(x)=x2-3x+2. Să se calculeze :

f(0) ∙ f(1) ∙…∙ f(2009)

f(f(0)) – f(2)

Să se determine parametrul real nenul m, astfel încât graficul funcției f : RR,

f(x)=mx2 +x+1 să conțină punctul A(2;3).

Se consideră funcția f : RR, f(x) = x2+mx+m, m – nr. real. Să se determine numărul real m astfel încât minimul funcției să fie egal cu 1.

Să se determine valorile reale ale lui m, astfel încât reprezentarea grafică a funcției

f : RR, f(x)=x2 – (m+1)x + m să fie tangentă la axa Ox.

Să se determine coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : RR,

f(x)=4×2 +12x+9.

Sa se arate ca vârful parabolei asociate funcției f : RR, f(x)=x2 – 2x-3 se află pe dreapta de cuație x + y + 3=0.

Să se arate că oricare ar fi mR, parabola asociată funcției f : RR,

f(x)=x2 -mx+m2+1 este situată deasupra axei Ox.

Fie funcția f:RR, f(x)=x2+6x+5. Să se determine distanța dintre punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox.

Să se determine ecuația de gradul al II-lea care admite rădăcinile: x1= 4 și x2= -1.

Se consideră funcțiile f, g :RR, f(x)=4×2-4x+1 și g(x)=2x-1. Să se rezolve ecuația f(x)+2g(x) = 5.

CAPITOLUL V

PROIECTAREA, DESFĂȘURAREA ȘI PREZENTAREA

REZULTATELOR CERCETĂRII PEDAGOGICE

5.1. Ipoteza și scopul cercetării

Ipoteza de bază a cercetării de față a fost formulată astfel:

Utilizarea preponderentă a problematizării în sisteme metodologice activizante determină creșterea randamentului școlar, respectiv facilitarea asimilării și aplicării noțiunilor matematice în liceu.

În cercetarea pedagogică pe care am desfășurat-o am plecat de la ideea că finalitatea întergului proces prin care se învață matematica în liceu se măsoară, mai mult sau mai puțin, prin rezultatele obținute la examenul de bacalaureat. Numărul insuficient de ore de matematică comparativ cu dimensiunea mare a conținuturilor face ca, de multe ori lucrurile să scape de sub control și să fie insuficient de bine stăpânită materia de predat. Astfel este necesară o regândire atât a strategiilor didactice de urmat, cât și o regândire a propriilor noastre atitudini vis-a-vis de abilitățile și competențele ce sunt necesare a le forma elevilor pentru ca ei să fie capabili a se descurca în orice situație matematică. Pentru că una dintre sarcinile importante ale profesorului de matematică este aceea de a diminua dificultățile de învățare ale elevilor, el va fi nevoit să aleagă acele metode activ-participative care să se potrivească cel mai bine atât lecției de matematică, cât și nivelului clasei respective.

Scopul cercetării a fost acela de a observa dacă prin aplicarea diverselor metode de rezolvare de probleme, în alternanță cu metoda clasică, precum și a combinării tipurilor de itemi, elevii claselor a IX – a pot obține rezultate mai bune la evaluări formative sau examene naționale și pot înțelege mult mai bine noțiuna de funcție elementară.

5.2. Obiectivele cercetarii

Obiective generale:

Conștientizarea de către partenerii actului educațional a dificultăților întâmpinate de elevilor la exigențele specifice mediului școlar;

Stabilirea măsurii în care sunt folosite metodele de predare, învățare și evaluare;

Stabilirea nivelului de cunoștințe ale elevilor înainte de începerea cercetării.

Obiective specifice:

Trecerea în revistă, selectarea metodelor și a instrumentelor de cercetare;

Alcătuirea eșantioanelor de subiecți;

Alcătuirea eșantionului de conținut;

Stabilirea programului experimentului, a conținutului testelor și a baremului de corectare;

Înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor IX A și IX B în diversele etape ale cercetării și formularea de concluzii.

Înregistrarea și selectarea opiniilor elevilor, profesorilor și părinților cu privire la modalitățile de predare și învățare a matematicii în liceu.

Obiective operaționale:

Elevii vor fi capabili:

O1: să manifeste preocupare, interes și motivație pozitivă față de activitatea școlară;

O2: să utilizeze tehnici și strategii adecvate propriului stil de învățare, în vederea creșterii eficienței învățării;

O3: să demonstreze comportamente de cooperare, colaborare, asumându-și roluri și responsabilități în cadrul muncii în grup;

O5: să rezolve diverse tipuri de probleme din conținutul ales ;

5.3. Eșantionul de subiecți

Ca eșantion de subiecți folosiți în cercetarea pedagogică am ales două clase de a IX – a. Prima clasă, denumită IX A, în anul școlar 2013 – 2014, iar a doua clasă, denumită IX B, în anul școlar 2014 – 2015. Alegerea făcută a fost motivată de următoarele aspecte:

cunosc foarte bine elevii din cele două clase, fiind singurul profesor de matematică în liceu;

clasele au un număr apropiat de elevi (în IX A sunt 27 elevi, iar în IX B sunt 25 elevi);

nucleul de elevi capabili de performanță la matematică este aproximativ egal ( IX A are 5 – 6 elevi, IX B are 4 – 5 elevi care pot obține rezultate bune la olimpiade și concursuri școlare);

mediile de admitere la liceu sunt apropiate, ceea ce denotă faptul că nu diferă mult nivelul de pregătire.

5.4 Eșantionul de conținut

Eșantionul de conținut care din care s-a realizat cercetarea pedagogică a fost format din opt lecții (conținuturi) ce fac parte din capitolul ”Funcția de gradul al II-lea” – semestrul al II-lea. Acestea sunt:

Reprezentarea grafică a funcției de gradul al II-lea;

Intersecția graficului cu axa de coordonate;

Ecuația f(x) = 0;

Relațiile lui Viete;

Rezolvarea sistemelor de forma ;

Monotonia funcției de gradul al II-lea;

Semnul funcției de gradul al II-lea;

Inecuații de gradul al II-lea;

Am ales aceste conținuturi deoarece am observat, din experiența anilor trecuți, că majoritate a elevilor reușesc cu greu să înțeleagă și să aplice noțiunile prezentate aici; să realizeze corect grafice de funcții, să identifice elemente de pe grafic precum și să aplice diverse formule pentru rezolvarea problemelor legate de noțiunile prezentate.

5.5. Locului și duratei cercetării

Cercetarea s-a desfășurat în județul Gorj, localitatea Tismana, în al doilea semestru al anului școlar 2013 – 2014 și 2014 – 2015, în cadrul Liceului Tehnologic Tismana, acolo unde sunt profesor din anul 2011. Cercetarea s-a realizat la nivelul claselor a IX-a. Din cele opt clase care funcționau în acel an școlar în unitatea de învățământ amintită, conform schemei de cercetare, s-au constituit cele două eșantioane necesare desfășurării cercetării, astfel: două clase de a IX-a, constituite din 53 de subiecți. Menționez că cele două eșantioane respectă criteriile omogeniății, din punct de vedere al rezultatelor școlare, și al reprezentativității, neoperându-se nici un fel de selecție în constituirea claselor incluse în investigație.

Programul școlar se realizează în două schimburi. Ciclul liceal învață de la 800 – 1350 iar ciclul gimnazial de la 1250 – 1850.

Durata cercetării: februarie 2013 – iunie 2015.

5.6. Etapele cercetării

Etapele cercetării:

Metode de cercetare folosite:

5.7. Organizarea și desfășurarea cercetării pedagogice

După finalizarea capitolului ”Funcția de gradul I” din algebra de clasa a IX – a și rezultatele relativ slabe obținute la testul de evaluare formativă de la finalul capitolului am aplicat elevilor clasei IX A, respectiv IX B un chestionar de identificare a dificultăților întâlnite în rezolvarea de probleme.

Pentru o analiză obiectivă a noțiunilor însușite de elevi am aplicat același test de evaluare celor două clase. Pentru clasa IX A testul a fost aplicat în data de 19.03.2014, iar pentru clasa IX B testul a fost aplicat în data de 24.03.2015. Testul de evaluare a cuprins probleme din următoarele conținuturi:

Definiția funcției de gradul I;

Reprezentarea grafică a funcției de gradul I;

Intersecția graficului cu axele de coordonate;

Rezolvarea ecuației f(x) = 0;

Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul I: monotonie, semn;

Inecuații de forma ax + b > 0 (<, ) studiate pe ℝ;

Poziția relativă a două drepte. Sisteme de tipul a, b, c, m, n, p numere reale.

Test de evaluare

Clasa a IX-a

1.Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x – 10.

(1p) a) Să se calculeze f(-10) ⦁f(-9) ⦁f(-8) ⦁…⦁f(8⦁)f(9) ⦁f(10).

(1p) b) Să se reprezinte grafic funcția f.

(1p) c) Să se determine punctele de intersecție ale graficului funcțieie f cu axele de coordonate.

(1p) d) Să se studieze semnul funcției f.

(1p) e) Să se rezolve inecuația în ℝ, f(x) > -5

2. Se consideră funcțiile fm : ℝ → ℝ, fm(x) = , mℝ \ {2}.

(1p) a) Să se determine m știind că fm este strict crescătoare.

(1p) b) Determinați m știind că A(1, 0).

(1p) c) Determinați m știind că fm(1) > fm(2).

(1p) d) Determinați m știind că fm(1) = fm(2).

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.

Se acordă 1 punct din oficiu.

Timp de lucru efectiv de 50 de minute.

Rezultate obținute la testul de evaluare din capitolul ”Funcția de gradul I”

Clasa IX A

Data: 19.03.2014

Nr. elevi testați – 25

Media ponderată – 7,04% (șapte 4%)

Clasa IX B

Data: 24.03.2015

Nr. elevi testați – 24

Media ponderată – 7,12% (șapte 12%)

Chestionar de identificare a dificultăților în rezolvarea problemelor

legate de funcția de gradul I

Chestionar aplicat elevilor ( în data de 21.03.2014 respectiv 26.03.2015) la finalul capitolului ”Funcția de gradul I”

Care considerați că este principala dificultate pe care ați întâlnit-o în rezolvarea problemelor din tema de acasă sau din evaluarea formativă?

(Încercuiți o singură variantă)

R1: Înțelegerea noțiunilor din teorie;

R2: Construcția corectă a graficului unei funcții și identificarea unor elemente de pe grafic (determinarea punctelor, reprezentarea în sistemul de axe, trasarea graficului unei funcții, identificarea punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate);

R3: Studierea monotoniei unei funcții respective, determinarea unei necunoscute folosind condiția ca o funcție de gradul I să fie monotonă ;

R4: Determinarea semnului unei unei funcții;

R5: Rezolvarea de ecuații și inecuații de gradul I;

R6: Alte dificultăți.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………….

Notă: Timpul de lucru este de 10 min.

Nu scrieți numele sau prenumele pe chestionar.

Răspunsuri pentru clasa IX A:

Răspunsuri pentru clasa IX B:

În urma administrării acestui chestionar ambelor clase am constatat că elevii au dificultații la aplicarea noțiunilor teoretice, în special la construcția unui grafic precum si la identificarea unor elemente de pe grafic. Am remarcat că elevii au probleme și la studierea monotoniei, dar și la determinarea semnului unei funcții.

Ținând cont de dificultățile întâmpinate de elevi la capitolul ”Funcția de gradul I”, chiar dacă o parte din conținuturi s-au studiat și în clasa a VIII-a, pentrul următorul capitol ”Funcția de gradul al II-lea”, în activitatea didactică, la una din clase, am realizat unele modificări.

În anul școlar 2013 – 2014, la clasa IX A, la capitolul ”Funcția de gradul al II-lea” metodele de predare, învățare și evaluare precum și forma de organizare a clasei au fost cele clasice. Au fost implicați activ câți mai mulți elevi, atât la predarea noului conținut cât și la rezolvarea problemelor. Cu ajutorul întrebărilor adresate frontal clasei, dar și cu indicații din partea profesorului, am reușit să aplicăm noțiunile teoretice prezentate și să rezolvăm cât mai multe probleme . Activitatea a fost centrată, în general, pe profesor.

În anul școlar 2014 – 2015, la clasa IX B, la capitolul ”Funcția de gradul al II-lea” în activitatea didactică am folosit strategii, metode, procedee atent proiectate și aplicate și am realizat următoarele modificări:

Am folosit metode activ-participative și mai ales problematizarea;

Am combinat diverse metode de predare – învățare a noțiunilor și am mărit numărul de ore pentru unele conținuturi;

În planificarea calendaristică, am mărit numărul de ore pentru rezolvarea de probleme de la finalul capitolului și am elabort fișe lucru;

În fișă am introdus probleme de la simplu la complex și am utilizat diferite tipuri de itemi;

Am utilizat diferite metode de evaluare pentru a obține rezultatele dorite;

Întreaga activitate didactică a fost centrată pe elev.

Problematizarea constă în:

Problematizarea sau predarea prin rezolvare de probleme este o metodă didactică ce constă în punerea în fată a elevului a unor dificultăți create în mod deliberat.

Predarea și învățarea prin problematizare și descoperire presupune utilizarea unor astfel de tehnici care să producă în mintea elevului conștientizarea conflictului dintre informația existentă și o nouă informație, între diferite niveluri de cunoaștere și lichidarea acestui conflict să ducă la descoperirea a noi proprietăți ale obiectului studiat.

Conceptul de problemă stă la baza problematizării, mai exact conceperea, construirea și rezolvarea unei probleme asigură esența acestei metode, ea presupune existența unui obstacol cognitiv, care te împiedică să avansezi în cunoaștere sau devine sursă a unor idei controversate, a unui conflict cognitiv determinat de raportul dintre cunoscut și necunoscut; care generează contradicții, dificultăți, incertitudini.

În funcție de modalitatea în care este realizată problematizarea, se construiesc situațiile de instruire problematizată, respectiv situațiile-problemă, situația-problemă fiind o sintagmă care reunește situațiile de instruire.

Este important să facem diferența dintre conceptul de problemă, utilizat în sens clasic și cel de problemă didactică, acesta din urmă fiind legat de situația-problemă și deci, specific problematizării.

Important de menționat că nu orice problemă poate să constituie pretext de problematizare și nu orice întrebare care pretinde o explicație se poate transforma într-o problemă didactică, specifică problematizării.

Pentru că problema didactică reprezintă noțiunea de bază utilizată în contextul problematizării, problemele sau situațiile problematice se pot clasifica din punct de vedere al dificultăților de ordin cognitiv pe care le întâmpină elevii, astfel:

– Situații în care elevul nu cunoaște formula de rezolvare a problemei de matematică cerută.

– Situații în care elevul știe formulele, dar nu poate decide care dintre ele îi sunt utile în problema de matematică cerută.

– Situații în care elevul nu poate continua rezolvarea de la un anumit nivel/stadiu al rezolvării.

– Situații, cu precădere la problemele de geometrie, în care elevul nu știe să realizeze un desen corect, deci nu poate demara rezolvarea.

– Situații în care, problema de matematică cerută având componente din două sau mai multe subramuri matematice, elevul are nevoie de o reactualizare și mobilizare a anumitor cunoștințe.

O situație-problemă poate fi definită ca o situație contradictorie, conflictuală, ce rezidă din trăirea simultană a două realități și anume una cognitiv-emoțională (anterioară) și una de noutate și surpriză, pe care o oferă necunoscutul cu care se confruntă subiectul.

Aplicarea acestei metode presupune parcurgerea a trei etape:

momentul pregătitor sau declanșator care constă în enunțarea problemei;

un moment tensional, de încordare care apare datorită contradicției dintre sarcina de îndeplinit și cunoștințele insuficiente ale elevilor;

momentul rezolutiv care constă în descoperirea soluției și confirmarea ei de către professor.

În lecțiile în care se aplică această metodă profesorul alege problemele, le formulează, dirijează învățarea, controlează și apreciază munca depusă de elev în toate etapele activității.

În funcție de modul în care este creată și rezolvată problema există patru variante:

Profesorul pune problema și tot el sugerează soluția prin explicațiile sale;

Profesorul pune problema pe care elevii trebuie să o rezolve. Profesorul îi ajută cu întrebări, precizări și informații suplimentare;

Profesorul pune problema, iar elevii o rezolvă independent.

Pe baza sugerațiilor profesorului, elevii formulează problema și tot ei o rezolvă.

Problematizarea poate fi utilizată cu success numai dacă elevii dispun de cunoștințele și deprinderile care le permit găsirea soluției. Problemele care depășesc cu mult posibilitățile elevilor au efecte contrare celor dorite, ele demoralizează și inhibă elevii.

În cazul în care elevii dispun de cunoștințele și deprinderile necesare, problematizarea solicită elevul să gândească, îi pune la încercare voința, îi dezvoltă imaginația și-i îmbogățeste experiența de rezolvare de diverse probleme.

Capitolul ”Funcția de gradul al II-lea” și metode activ-participative folosite:

Exemple de situații în care se folosește problematizarea pentu rezolvarea unor probleme:

După finalizarea capitolului ”Funcția de gradul al II-lea” am aplicat elevilor un test de evaluare. Testul de evaluare a fost același pentru ambele clase (clasa IX A în data de 12.05.2014, clasa IX B în data de 15.05.2015)

Test de evaluare

(Clasa a IX – a)

Valoarea lui m pentru care valoarea minimă a funcției f : ℝ → ℝ,este egală cu 1 este:

a)-1; b) 4; c) 7; d) 0; (1p)

2. Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care indică ecuația de gradul al doilea care are soluțiile din coloana A.

A B

…………1. x1 = -2, x2 = 2 a. x2-3x+2 = 0

…………2. b.

…………3. x1 = x2 = c.

………..4. x1 = 1, x2 = 2 d. (2p)

Completează spațiile punctate astfel încât să se obțină o afirmație adevărată.

a)O ecuație de gradul al doilea are două rădăcini reale diferite dacă……………………………

b)O graficul unei funcție de gradul al doilea este tangent axei Ox dacă…………. (1p)

4. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ,

. (1p)

Se consideră ecuația cu soluțiile . Se notează cu pentru .

a)Să se rezolve ecuația.

b)Să se scrie relațiile lui Viète și să se calculeze .

c) Să se calculeze expresia . (2,25p)

6. Se consideră funcția unde .

a) Pentru m =2 determinați intersecția graficului cu axa Ox.

b) Să se determine știind că . (1,75p)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 1 punct din oficiu.Timp de lucru efectiv de 50 de minute

Testul a cuprins următoarele tipuri de itemi:

Subiectul 1 face parte din categoria itemilor obiectivi de alegere multiplă. Prin folosirea acestui tip de item elevii au putut să-și dezvolte capacitatea de a alege răspunsul corect din mai multe variante de răspuns.

Subiectul 2 face parte din categoria itemilor obiectivi de asociere. Acest tip de item solicită elevilor stabilirea unei corespondențe între cuvinte, propoziții, fraze, date sau alte categorii de simboluri distribuite pe două coloane. Itemii de asociere se limitează la măsurarea informațiilor factuale, bazându-se pe asociații, pe abilitatea de a identifica relația existentă între două noțiuni.

Subiectul 3 face parte din categoria itemilor semiobiectivi cu răspuns scurt/de completare. Avantajul formulării acestui tip de item a constat în faptul că permite evaluarea unui număr relativ mare de cunoștințe și măsoară rezultatele învățării la un nivel cognitiv mai ridicat decât simpla recunoaștere și memorare, permițând să-și dezvolte capacitatea de a identifica și selecta răspunsul corect.

Subiectele 4, 5, 6 fac parte din categoria semiobiectivi. Elevii au întâmpinat greutăți la unele cerințe. Prin folosirea acestor tipuri de itemi s-a putut testa niveluri cognitive ridicate (aplicare, analiză, sinteză, evaluare).

Rezultate obținute la testul de evaluare din capitolul ”Funcția de gradul al II-lea”

Clasa IX A

Data: 12.05.2014

Nr. elevi testați – 25

Media ponderată – 7,16% (șapte 16%)

Ilustrarea rezultatelor de la test la clasa a IX-a A a fost făcută în diagrama de mai jos:

Clasa IX B

Data: 15.05.2015

Nr. elevi testați – 25

Media ponderată – 7,44% (șapte 44%)

Ilustrarea rezultatelor de la test la clasa a IX-a A a fost făcută în diagrama de mai jos:

5.8.Rezultate la testul de evaluare

După aplicarea testului de evaluare din capitolului ”Funcția de gradul al II-lea” am observat că:

elevii clasei IX A, acolo unde metodele de predare, învățare și evaluare precum și forma de organizare a clasei a fost cea clasică, au obținut rezultate mai slabe la evaluarea sumativă.

elevii clasei IX B, acolo unde am folosit metode activ-participative și mai ales problematizarea, au obținut rezultate mai bune la evaluarea sumativă.

Se observă o creștere a randamentului școlar, respectiv facilitarea asimilării și aplicării noțiunilor matematice.

Concluziile acestei cercetării au pus în evidență că activitățile de predare și învățare a matematicii în liceu sunt activități complexe, care implică strategii, metode, procedee atent proiectate și aplicate. Specificul învățării matematicii presupune formarea și dezvoltarea de multiple competențe ale elevilor: cele de stăpânire și folosire corectă a formulelor de calcul, cele de valorificare a noțiunilor teoretice, de rezolvare a exercițiilor și problemelor etc. Ori, formarea acestor competențe necesită timp ceva mai mult decât cel stabilit în momentul de față. Pentru că, din păcate numărul de ore este mic și pentru că activitatea de învățare este un proces anticipat, proiectat, oganizat, coordonat și dirijat de profesor, iar această activitate are ca principal scop obținerea unor achiziții, profesorul este obligat să îi formeze elevului un stil de muncă și tehnici de activitate intelectuală, care să contribuie la realizarea obiectivelor propuse. Dacă în predarea lecțiilor de matematică se vor folosi metode activ-participative și mai ales problematizarea, dacă elevii vor fi învățați să stăpânească și să folosească la maximum această metodă, să rezolve situații problematizate, rezultatele vor fi superioare.

BIBILIOGRAFIE

1. Bușneag Dumitru, Leonte Alexandru, Vladimirescu Ion, Culegere de probleme, Editura Sitech, Craiova, 1993;

2. Chiriță Marcel, Grigorescu Daniel, Funcții. Proprietăți și aplicații, Editura Humanitas Educațional, București, 2003;

3. Dăncilă Ioan, Algebra examenenlor, Editura All, București,

4. Ionescu – Țiu C., Mușat I. Șt., Exerciții și probleme de matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1978;

5. Mureșan S. Anton, Mureșan Viorica, Probleme de algebră și analiză. Concursuri de admitere în învățământul superior 1981 – 1990, Editura Tehnică, București, 1991;

6. Rizescu Gheorghe, Rizescu Eugenia, Teme pentru cercurile de matematică din licee, Editura Didactică și Pedagpgică, București, 1977;

7. Sirețchi Gheorghe, Calcul diferențial și integral, vol. I, Editura Știinșifică și Enciclopedică, București, 1985;

8. Bocsa Eva, Teoria și metodologia instruirii și teoria și metodologia evaluării,

9. Rus Ileana, Varna Doina, Metodica predării matematicii, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983;

10. Suciu Adrian Valeriu, Funcții elementare în matematica de gimnaziu și liceu, Zalău 2008;

11. Stan Adrian, Metode și tehnici în asigurarea calității evaluării la matematică în gimnaziu și liceu, Editura Rafet, Râmnicul Sărat, 2009;

12. Dan Christina-Theresia, Chiosa Sabina-Tatiana, Didactica matematicii, Editura Universitaria Craiova 2008;

13. Brânzei Dan, Brânei Roxana, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2007;

14. ”http://ro.wikipedia.org/wiki/Pagina_principal%C4%83” – WIKIPEDIA – enciclopedie liberă;

15. *** Manualele de matematică pentru liceu, Editura Cardinal, Editura Carminis, Editura Didactică și pedagocică, Editura Fair Partners,

16. *** Ghidurile de matematică pentru bacalaureat 2015, Editura Art, Editura Paralela 45, Editura Niculescu, Editura Sigma;

17. Schneider V., Schneider C și colectiv, Exerciții și probleme pentru clasa a IX-a, Editura Valeriu, Craiova 2007;

18. Ciungu P., Pătrășcoiu E. și colectiv, Ghidul elevului de clasa a X – a, Editura Comenius, 2001;

19. Năstăsescu C., Niță C. și colectiv, Culugere de probleme pentru liceu, Editura Rotech Pro, 1996;

Anexa nr.3

Declarație de autenticitate

Declarație de autenticitate

Subsemnatul(a)…………………………………………………………………având funcția didactică…………………………..la unitatea școlară…………………………………………….declar pe propria răspundere că lucrarea cu titlul……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..având coordonator științific……………………………………………………………………….a fost elaborată personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului.

Data

Semnătura candidatului