FUNCTII DER IVABILE .TEORIE SI APLICATII [631019]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE STIINTE
DEPARTAMENTUL MATEMATICA
CONVERSIE PROFESIONALA A CADRELOR DIDACTICE DIN
INVATAMANTUL PREUNIVERSITAR
SPECIALIZAREA MATEMATICA

LUCRARE DE ABSOLVIRE

COO RDONATOR: ABSOLVENT: [anonimizat]. UNIV.DR. . IONEL ROVENTA MITRACHE VALENTINA

-2020

2

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE STIINTE
DEPARTAMENTUL MATEMATICA
CONVERSIE PROFESIONALA A CADRELOR DIDACTICE DIN
INVATAMANTUL PREUNIVERSITAR
SPECIALIZAREA MATEMATICA

TEMA:
FUNCTII DER IVABILE .TEORIE SI APLICATII

3
Motivul pentru care m- am oprit asupra aceastei teme, este rolul deosebit de important pe
care il au functiile derivabile si teoremele de medie in aprofundarea notiunilor de baza ale
analizei matematice si pentru aplicatiile acestora in alte domenii de activitate.
Una din notiunile fundamentale ale analizei matematicesi in fond a intregii stiinte, este cea
de derivate,atributa lui G. Leibniz(1646 -1716) si I. Newton (1642 -1727).
Ea a aparut din probleme precum tangenta la o curba, viteza unui mobil, evolutia unei
populatii si exprima sugestiv variatia (evolutia sau involutia) unor fenomene modelate matematic
prin functii reale.
La originea notiunii de derivata stau doua probleme. Prima problema este de fizica si se
refera la viteza instantanee a unui mobil (Isaac Newton). A doua este de geometrie si se refera la
tangenta la o curba plana.
Aceasta notiune care modeleaza ceea ce s-ar numi viteza de variatie a unei functii, permite
studiul local si global al functiilor si in acelasi timp sta la baza formularii matemetice a numeroase
legi ale fizicii. In acelasi timp si in alte stiinte (economice, chimie, sociale) , derivatele sunt
folosite pentru descrierea vitezelor de variatie a unor marimi.
O formula importanta, utila in special in aproximarea contrololabila a functiilor reale
pentru polinoame, formula lui Taylor , permite calcule aproximative ale numerelor ira tionale
exprimate prin radicali, ale functiilor logaritmice sau trigonometrice, calculul limetelor, etc.
Lucrare este structurata pe patru capitole:
-In primul capitol se prezinta aspecte teoretice ale functiilor derivabile precum si
interpretarea geometrica a derivatei.
-In Capitolul II, se continua cu operații cu funcții derivabile si d erivatele unor funcții
uzuale .
-Capitolul III continua cu studiul rezultatelor celor mai importante teoreme de medie
din calculul diferential (teoremele lui Rolle, Lagrange, Cauchy , Fermat, Taylor ) .
Prin teoremele Fermat, Rolle si Lagrange, derivata transforma studiul unor proprietati
functionale (de extrem, monotonie) in proprietati algebrice (zerourile si semnul derivatei).

4
Teorema lui Lagrange reprezinta o generalizare a teoremei lui Rolle. Aceasta teorema are o
importanta deosebita in momentul in care este nevoie sa se decida daca o functie este derivabila
intr-un punct (in anumite conditii date), precum si in analiza monotoniei unei functii derivabile.
Teoremele de medie au consecinte in evaluari numerice oferind exemple de modelare a
unor fenomene fizice, chimice,
economice. De exemplu, o aplicatie a calculului diferential in fizica este:” Daca un cilindru are
dimensiunile r=5cm si h=10cm, sa se gaseasca o aproximare a cresterii in volum cand r creste cu
0,2 cm si h descreste cu 0,1 cm” .
Mai mult, se pun anumite intrebari legate de existenta unor exemple care sa indeplineasca
anumite conditii din teoreme, dar nu toate conditiile.
Aplicatiile rezultatelor teoretice din calculul diferential sunt imediate in teoria sirurilor
precum si in stabilirea unor inegalitati utile in evaluari ale unor functii importante. De exemplu:
1) < ln(n+1) ± ln n < , n N*;
3) e> x + 1;
– In Capitolul IV se prezinta aplicatii ale teoriei functiilor derivabile si anume punctele de
inflexiune si rezolvarea ecuatiilor prin metodele tangentei si cea a lui Newton.

5
CUPRINS

Capitolul I.Aspecte teoretice ale functiilor derivabile …………………………..6
I.1 Definiția derivatei unei funcții într -un punct …………………………………6
I.2 Interpretarea geometrică a derivatei …………………………………………8
Capitolul II. Operații cu funcții derivabile. Derivatele unor funcții uzuale ……10
II.1 Derivatele câtorva funcții uzuale …………………………………………….10
II.2 Reguli de derivare ……………………………………………………………10
II.3 Derivarea unei funcții compuse și a inversei unei funcții …………………12
II.4 Derivatele funcțiilor uzuale și a regulilor de derivare ……………………13
Capitolul III. Teoreme de medie pentru functii derivabile ……………………..17
III.1. Puncte de extrem. Teorema lui Fermat ………………………………….17
III.2 Teorema lui Rolle ……………………………………………………………….. 21
III.3 Teorema lui Lagrange și teorema lui Cauchy ……………………………23
III.4 Teorema lui Taylor …………………………………………………………29
III.4 .1 Polinomul Taylor asociat unei functii ………………………………….29
III.4.2 Formula lui Taylor pentru functii de o variabila reala. …………………….. 30
III.4.3 Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii
elementare ……………………………… …………………………………………35
III.4.4 Serii Taylor ……………………………………………………………………….. 39
Capitolul IV. Aplicatii ale teoriei functiilor derivabile …… …………………..41
IV. 1 Puncte de inflexiune …………………………………………………………42
IV.2 Metoda tangentei; metoda Newton… …………………………………………. 42
BIBLIOGRAFIE

6
Capitolul I.Aspecte teoretice ale functiilor derivabile

Au existat două probleme, una fizică – modelarea matematică a noțiunii intuitive de viteză
a unui mobil – și alta geometrică – tangenta la o curbă plană -, care au condus la descoperirea
noțiunii de derivată. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom
putea da definiția matematică a acestui concept.

I.1 Definiția derivatei unei funcții într -un punct

Fie o funcție ƒ : E → R (E
 R) și
0x , x0 punct de acumulare al mulțimii E. Reținem
că ƒ este definită in x0.

DEFINITIA 1:
1) Se spune că ƒ are derivată în punctul x 0, dacă există ( în
R )
,( )(lim
0)0
0 xxxf xf
xx

notată cu ƒ’(x 0);
2) Dacă derivata ƒ’(x 0) există și este finită se spune că funcția ƒ este derivabilă în
x0.

Observații. 1. Se poate întâmpla ca ƒ’(x 0) să existe și să fie
 sau .
2.Trebuie remarcat că problema existenței derivatei sau a derivabilității
nu se pune în punctele izolate ale mulțimii E (dacă E are astfel de puncte!).
Presupunem că ƒ’(x 0) există; făcând translația x – x0 = h, atunci din relația de definiție rezultă că
.)( ) (lim )('0 0
00
0 hxf hxf
hxf
xh



DEFINITIA 2:
Dacă o funcție ƒ: E → R este derivabilă în orice punct al unei submulțimi F
E, atunci se spune
că ƒ este derivabilă pe mulțimea F. In acest caz, funcția F → R , x → ƒ’(x) se numește derivata lui
ƒ pe mulțimea F și se notează cu ƒ’. Operația prin care ƒ’ se obține din ƒ se numește derivarea lui
ƒ.

7
TEOREMA 1 . Orice funcție derivabilă într -un punct este continuă în acel punct.
Demonstrația este simplă : Presupunem că ƒ: E → R este derivabilă în punctul x
0E, deci limita
din definiția 1 există și este finită.

  
. in x continua este )( )( lim 00)(' lim)( )(lim ( )( lim ); ()( )()( )(
0 0xx0 0
00
)0
00 0 0 0 0
00
0
f xf xfxf xxxxxf xfxf xfxxxxxxxf xfxf xf
xx xn xx
  
  
În general reciproca teoremei este falsă. Un exemplu este funcția modul în origine.
În studiul existenței limitei unei funcții într -un punct un criteriu util l -a constituit egalitatea
limitelor laterale. Adaptăm acest criteriu la studiul derivabilității u nei funcții într -un punct, ținând
cont că existența derivatei implică în fond existența unei anumite limite.

DEFINITIA 3.
Fie E
R și x 0
E un punct de acumulare pentru E
)x,(-0 . Dacă limita
00
0)( )(lim)('
00 xxxf xfxf
xxxx


există (în R barat ), atunci această limită se numește derivata la stânga a funcției ƒ în punctul
x0.Dacă , în plus, această limită există și este finită, atunci se spune că ƒ este derivabilă la stânga
în punctul x 0.
În mod similar se definesc derivata
)(0'xfd la dreapta și noțiunea de funcție derivabilă la
dreapta în x 0.

TEOREMA 2 . Dacă ƒ: E → R este derivabilă în punctul x0
E, atunci ƒ este derivabilă
la stânga și la dreapta în x0 și
).( )(' )(0'
0 0'xf xf xfs d 
Reciproc, dacă ƒ este derivabilă la stânga și la dreapta în x0 și dacă
)( )(0'
0'xf xfs d , atunci ƒ
este derivabilă în x0 și
).( )('0'
0 xf xfs

8
Dacă E=[ a, b] , faptul că ƒ este derivabilă în a (respectiv b) revine la aceea că ƒ este
derivabilă la dreapta în punctul a (respectiv la stânga în b).
Exemplu : Pentru ƒ : R→R, ƒ(x) =| x | , avem
1||lim0)0( )(lim)0(
00
00'

 xx
xf xff
xx
xxs

Similar se obține că:

1)0('df ,
regăsim că ƒ nu este derivabilă în punctul x = 0 .

I.2 Interpretarea geometrică a derivatei

Dacă ƒ: (a, b)→ R este o funcție derivabilă într -un punct x0
 (a, b) , atunci conform
relațiilor
) ( )()( )(lim
0 000
0
xxm xfyxxxf xfm
xx



graficul lui ƒ are tangentă în x0 (sau mai corect în punctul (x0, ƒ(x 0)), anume dreapta de ecuație
).(' unde ), ( )(0 0 0 xf m xxm xfy  

Așadar ƒ’(x 0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, în punctul (x0,ƒ(x 0)). Dacă
ƒ’(x 0)=
 -sau (în sensul că limita din definiție este infinită), atunci tangenta în (x0, ƒ(x 0)) este
paralelă cu axa Oy. (fig.1)

9

Fig.1.

Fără nici o dificultate , se poate vorbi de semitangentă la dreapta sau la stânga într -un punct la un
grafic, în legătură cu derivatele laterale respective în acel punct. Geometric, pentru o funcție
derivabilă într -un punct, direcțiile semitangentelor la dreapta și stânga la grafic în acel punct
coincid.
Dacă într -un punct x0, ƒ este continuă și avem
  )( si )(0'
s 0'xf xfd (sau invers), atunci
punctul x0 se numește punct de întoarcere al graficului lui ƒ. (fig.2).

Fig.2.
Dacă o funcție ƒ: E → R (E
R) este continuă într -un punct x 0
E, dacă există
ambele derivate laterale, cel puțin una dintre ele fiind finită, dar funcția nu este derivabilă în x 0,
atunci se spune că x 0 este punct unghiular al graficului lui ƒ (fig.3 .). Intr -un punct unghiular cele
două semitangente, la stânga și la dreapta, formează un unghi α
). ,0(

10

Fig.3
Exemple :
Pentru funcția ƒ(x) =
x , scriem ecuația tangentei în punctul x0 = 1.
Avem
21
11lim1)1( )(lim)1(' si 11 )1(
1 1 
  xx
xf xff f
x x și ecuația cerută este
121 1211  x y x y

11
In realiz area acestui capitol am folosit ca surse de ins piratie urmatoarele lucrari:
[1] Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1980;
[2] Gheorghiu N., Precupanu T. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1979;

3]Ganga M.- Matematica, manual pentru clasa a XI-a, Elemente de analiza matematica – Ed.
Mathpress,2009;
[4]Ganga M.-Matematica, manual pentru clasa a XII-a, Elemente de analiza matematica -Ed.
Mathpress,2009.
Scribd. com/document/functii -derivabile .

12
Capitolul II. Operații cu funcții derivabile. Derivatele unor funcții uzuale

Am întâlnit deja exemple de funcții derivabile. Este utilă o sinteză a derivatelor funcțiilor uzuale și
se impune stabilirea uno r reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de
funcții derivabile.

II.1 Derivatele câtorva funcții uzuale

Orice funcție constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă

0'c
(1).

Funcția putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real și x > 0 ) este derivabilă pe R și ƒ ’(x)=nxn-1.

Rx nx xn n , )'(1
(2).

Funcția logaritmică ƒ: (0,
 ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de
definiție și are derivata

 Rxxx ,1)'(ln (3).

Funcțiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R și pentru
orice x
R avem
(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x

Demonstrațiile tuturor acestor derivate se fac ușor folosind definiția derivatei.

(4).

13
II.2 Reguli de derivare

In continuare arătăm că pentru funcții ca ƒ, g : E→R derivabile, E
 R, funcțiile ƒ + g, ƒ -g, fg etc.
au aceeași proprietate.

TEOREMA 3 . Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x 0
E și
 o constantă.
Atunci :
(a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 și

)()(' )()' (0 0 0 xg xf xgf 
(b) λƒ este derivabilă în x0 și

)(' )()' (0 0 xf xf  
(c) produsul ƒ g este o funcție, derivabilă în x0 și

)(')( )()(' )()'(0 0 0 0 0 xgxf xgxf xfg  

Demonstrația se face de asemenea ușor folosind definitia derivatei.
Generalizând se obține următorul

COROLAR. Dacă ƒ 1, ƒ2,…ƒ k sunt funcții derivabile în punctul x0, atnuci suma ƒ 1 + ƒ 2 + …
+ƒk, respectiv produsul ƒ 1ƒ2…ƒ k sunt derivabile în x0 și, în plus:

  )( …)( )( ' …' '
2 1 2 1 xf xfxf f ffkk
k 
și

).()( )…()( …)( )…()( )( )…()( )(' …
0'
0 1 0 2 0 10 0'
2 0 1 0 0 2 0'
1 0
xfxf xfxfxf xfxf xf xfxf xfff
k kk k k kk
   

TEOREMA 4 . Presupunem că ƒ și g sunt derivabile în x0 și că
.0)(0xg . Atunci funcția – cât
gf
este derivabilă în x0 și, în plus :

14

020 0 0 0
0')()(')()(')(
xgxfxg xgxfxgf 




II.3 Derivarea unei funcții compuse și a inversei unei funcții

Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere și
inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcțiilor c ompuse. In acest sens, are
loc
TEOREMA 5. Fie I, J intervale și
R J Ig f două funcții. Dacă ƒ este derivabilă în
punctul x0
I, și g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x 0), atunci funcția compusă G= g
 ƒ este
derivabilă în x0 și G’(x 0) = g’(y 0)f’(x 0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J,
atunci g
f este derivabilă pe I și are loc formula :

' ' ' ffg fg 

Demonstrație. Avem de arătat că
).('))(())(( ))((lim0 0'
00
0xf xfgxxxfg xfg
xx 


Considerăm funcția ajutătoare F:I→R , definită prin





. ),('y ,)()(
)(
0 00
00
yy dacaygy dacayyygyg
yF

Funcția F este continua în punctul y0 deoarece
)( )(')()(lim)( lim0 0
00
0 0yF ygyyygygyF
yy yy
 

Pe de altă parte, pentru orice x
x0 avem

15

00
00 )( )())(())(( ))((
xxxfxfxfFxxxfg xfg
 
Intr-adevăr dacă f(x) = ƒ(x 0), atunci ambii termeni sunt nuli, iar dacă ƒ(x)
ƒ(x 0), atunci ƒ(x)
y0
și, conform funcției ajutătoare , deci relația precedentă este dovedita în ambele cazuri. Observând
că F(f(x))→F(f(x 0)=F(y 0)=g’(y 0) și trecând la limită ( x→x 0) relația precedentă rezultă că
).(')(')( )(lim)('))(( ))((lim)('0 0
00
0
00
0
0 0xf ygxxxfxfygxxxfg xfgxG
xx xx
 

TEOREMA 6 . Fie ƒ: I →J o funcție continuă și bijectivă între două intervale. Presupunem că
ƒ este derivabilă într -un punct x0
I și ƒ’(x 0)
0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în
punctul y0=f(x 0) și, în plus,
.)('1)('
00xfyg

Demonstrație. Mai întâi trebuie să punem condiția pentru că limita
00)()(lim
0 yyygyg
yy
 ; y
y0. Din
faptul că y
y0 rezultă că x
x0 și, în plus,
00 00
00
00
)( )(1
)( )( )( )())(()(( )()(
xxxfxf xfxfxx
xfxfxfgxfg
yyygyg

.
Trecând la limită când y→y 0, rezultă că g(y)→g(y0) adică x→x 0 și ultimul raport tinde către
)('1
0xf
. Primul raport din relația de mai sus va avea limită, deci funcția g este derivabilă în
punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat.

Această teoremă se folosește la aflarea derivatelor unor inverse de funcții. Cum ar fii arcsin x,
arccos x, arctg x, arcctg x.

II.4 Derivatele funcțiilor uzuale și a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.
 ;' ,''' 'f f gf gf  

16
2.
 ;' ''fggf fg 
3.
;' '
2'
gfggf
gf 



4.
;
'1 ;' ''11
 
fffffg fg
II. Tabloul de derivare al funcțiilor elementare
Funcția
Derivata Domeniul de derivabilitate
c(constantă) 0 R
x 1 R
xn nxn-1 R
xr, r real rxr-1 cel puțin
0,
x

x21
0,
ln x
x1
0,
ex ex R
ax axln a R
sin x cos x R
cos x -sin x R
tg x
x2cos1 cos x
0
ctg x
x2sin1 sin x
0
arcsin x
211
x (-1, 1)
arccos x
211
x (-1, 1)
arctg x
211
x R

17
arcctg x
211
x R

Toate aceste derivate se demonstrează ușor folosind definiția derivatei și teorema 6. Teorema de
derivare a funcțiilor compuse împreună cu tabloul anterior permite obținerea următoarelor formule
utilizate (unde u = u(x) este o funcție derivabilă).

Tabloul de derivare al funcțiilor compuse

Funcția Derivata Domeniul de definiție
u u’
un nun-1u’
ur rur-1u’ u>0
u

uu
2' u>0
ln u
uu' u>0
eu euu’
au au(ln a) u’
sin u u’cos u
cos u -u’sin u
tg u
uu
2cos' cos u
0
ctg u
uu
2sin' sin u
0
arcsin u
21'
uu
 u2<1
arccos u
21'
uu
 u2<1

18
arctg u
21'
uu

arcctg u
21'
uu


Adăugăm că dacă u, v sunt funcții derivabile și u > 0 , atunci funcția uv = evlnu are derivata
 ,'ln''ln'ln'

 

 uuvuvuuuvuv e uv uv v

formulă care rezultă aplicând teorema de derivare a funcțiilor compuse funcției evlnu și ținând cont
că
 .'ln''lnuuvuvuv 

19
In realiz area acestui capitol am folosit ca surse de ins piratie urmatoarele lucrari:
[1] Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1980;
[2] Gheorghiu N., Precupanu T. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1979;

3]Ganga M.- Matematica, manual pentru clasa a XI-a, Elemente de analiza matematica – Ed.
Mathpress,2009;
[4]Ganga M.-Matematica, manual pentru clasa a XII-a, Elemente de analiza matematica -Ed.
Mathpress,2009.

[5] Teoreme de medie -Universitatea Ovidius Constanta , Facultatea de mate matica

20
CAPITOLUL III. Teoreme de medie pentru functii derivabile

In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim și minim, a intervalelor
de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei funcții, în care rolul derivatelor este
esențial.
Unele din teoremele care urmează sunt intuitiv evidente (folosind de regulă interpretare geometrică
a derivatei) și demonstrațiile pot fi la început omise, insistând pe înțelegerea enunțurilor.

III.1 Puncte de extrem. Teorema lui Fermat
Pierre Fermat(1601 -1665), mathematician francez((autodidact).Creator al geometriei
analitice ,ca si Descartes si al calculului probabilitatilor ,alaturi de Pascal. A enuntat in 1637
formula celebra :ecuatia nu are solutii intregi pentru (cunoscuta sub numele de
“Marea Teorema a lui Fermat). Demonstratia acestei teoreme a fost data in 1995 de
matemeticianul englez Andrew Wiles, profesor la Universitatea din Prin ceton.

Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, și bineînțeles matema tice, este important
de știut care sunt maximele și minimele anumitor mărimi variabile. După ce problemele capătă o
formulare matematică, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor
funcții. Sunt necesare în prealabil câteva defi niții precise.

DEFINITIA 4:
Fixăm o funcție ƒ : A→R (A
R). Un punct x0
A se numește punct de maxim relativ
(respectiv de minim relativ ) al lui ƒ dacă există o vecinătate U a punctului x0 astfel încât pentru
orice x
U
A să avem

)(xf
)(0xf (respectiv
)( )(0xf xf ).

In acest caz valoarea ƒ(x 0) se numește un maxim (respectiv un minim ) relativ al lui ƒ.

21
Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ . Dacă
inegalitățile din definiție sunt stricte se spune că x0 este un punct de extrem strict. Valorile funcției
în punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale funcției.
Observații.
1) Funcția considerată trebuie să fie neapărat cu valori reale.
2) Trebuie ținut cont de faptul că o funcție poate să aibă mai multe puncte de maxim și de minim
relativ, iar un minim să fie mai mare decât un maxim, ceea ce justifică faptul că punctele de
maxim și de minim sunt „relative” (fig. 3, c).Valorile
)( inf ),( sup xf xf
AxAx calculate
_
R se mai
numesc extremele globale ale lui ƒ pe A..
Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extrem local , deoarece inegalitățile de
tipul celor din definiție sunt verifica te nu neapărat pe întreg domeniul de definiție al funcției ƒ ci
numai un jurul lui x0.
3) Dacă marginea M=
)( sup xf
Ax este atinsă pe mulțimea A, atunci orice punct x astfel încât
ƒ(x 0)=M va fi un punct de maxim (nu neapărat strict). O situație analoagă (cu sensul inegalității
schimbat) are loc pentru marginea inferioară și pentru punctele de minim.
Dacă marginea superioară nu este atinsă pe mulțimea A, atunci se poate spune că funcția nu
are puncte de maxim (fig. 4).

22

Teorema 7 . (teorema lui P. Fermat, 1601 – 1665). Fie I un interval deschis și x 0
I un punct de
extrem (relativ) al unei funcții ƒ: I R. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x 0, atunci ƒ ’(x0)=0.
Demonstrație. Presupunem că x 0 este un punct de maxim (cazul minimului se tratează la fel
sau se reduce la cazul precedent considerând funcția –ƒ). Atunci există o vecinătate U a lui x 0 (și
putem presupune că U
 I) astfel încât
)( )(0xf xf
pentru orice
Ux .
Cum ƒ este derivabilă în x0, atunci f’(x 0)=
00
0' )( )(lim)(
00 xxxfxfxf
xxxxd
 și ƒ’(x 0)=
.)( )(lim)(
00
0'
00 xxxfxfxf
xxxxs

Conform ultimei inegalități de pe pagina alăturată raportul
00)( )(
xxxfxf

este  0 (respectiv  0) pentru x
U, x > x 0 (respectiv pentru x
U, x < x 0), deci
f’(x 0)  0, f’(x 0)  0, de unde f’(x 0) = 0.
Observații. 1) Dacă nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I=[a, b] și x0=a (sau x0=b),
atunci teorema nu ar fi fost adevărată pentru că ƒ (x) nu ar fi fost definită pentru x< a , respectiv
pentru x > b (fig. 5 a).
2) Reciproca teoremei lui Fermat este în general falsă: din faptul că ƒ este derivabilă într -un punct
x0 și ƒ’(x 0)=0 nu rezultă că x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru funcția ƒ(x)=x3 avem

23
ƒ’(0)=0 , dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru că ƒ este strict crescătoare (fig. 5
b). Se mai spune că teorema lui Fermat dă condiții necesare de extrem, dar n u și suficiente.

y y y
ƒ
ƒ
y=x3

0
0 a b x x 0 x

a. b c.

Fig 5.
Observatii:
*Teorema lui Fermat are o interpretare geometrică evidentă : în condițiile enunțului, într -un
punct de extrem, tangenta la grafic este paralelă cu axa Ox ( fig. 5 c).
*Dacă ƒ : IR este o funcție derivabilă pe un interval deschis I, atunci zerourile derivatei
ƒ’ pe I sunt numite și puncte critice ale lui ƒ pe I; teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem
local sunt printre punctele critice. In practică, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei
funcții ƒ derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolvă mai
întâi ecuația ƒ(x)=0 .
* Dacă un punct de extrem este situat la un capăt al inter valului I, nu rezultă neapărat că
derivata în acel punct este nulă.
Exemple:
Pentru funcția strict crescătoare minimul se atinge
în 2 iar maximul în 5, dar derivata nu se anulează în nici un punct.

24
Punctele și sunt puncte de extrem ale graficului dar tangentele la grafic
în aceste puncte nu sunt orizontale.
* Pot exista puncte de extrem în care funcția nu este derivabilă.
Exemplu:
Pentru funcția originea este punct de minim, dar f nu este
derivabilă în origine.

III.2 Teorema lui Rolle

Michel Rolle ,1652 -1719, a fost un matematician francez cu contribuții importante la istoria
calculului diferențial și integral . Este cel mai cunoscut pentru Teorema lui Rolle (1691) și co –
inventator al algoritmului lui Gauss (1690).

O funcție ƒ: [a, b] R (a< b) se numește funcție Rolle dacă este continuă pe intervalul
compact [a, b] și derivabilă pe intervalul deschis (a, b) .
Teorema care urmează este o consecință a rezultatelor privind funcțiile și a te oremei lui
Fermat, foarte utilă în aplicații.
Teorema 8. (teorema lui M. Rolle, 1652 – 1719) . Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcție Rolle astfel încât
ƒ(a)= ƒ(b) , atunci există cel puțin un punct c
(a, b) astfel încât ƒ’(c)=0 .
Demonstrație. Funcția ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită și își
atinge marginile în [a, b] . Fie m=
),( inf
] ,[xf
bax M=
)( sup
] ,[xf
bax .
Apar trei cazuri :
M> ƒ(a) . Există un punct c
 [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) și, evident, c
 a, a
b
(dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b) , absurd); așadar, c
 (a, b) și cum c este
maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
m< ƒ(a). Similar.
m= M . Atunci funcția ƒ este constantă pe [a, b] , deci ƒ’(c)=0 pentru orice c
 (a, b).

25
COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcții derivabile pe un interval se află cel puțin un
zerou al derivatei.
Demonstrație. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I și a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci
ƒ(a)=0=ƒ(b) și putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].
Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă segmentul determinat
de punctele (a, ƒ(a)) , (b, ƒ(b)) este paralel cu axa O x, atunci există cel puțin un punct între a și b în
care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa O x (fig. 6).
Observații. Toate condițiile din enunțul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s -ar
renunța la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.
Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b) , exemplul funcției

0 daca ,1]1,0( daca ,)(xx xxf
arată că ƒ ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deși ƒ(0)=ƒ(1) . (fig. 7).
Dacă ƒ(a)
ƒ(b), este suficient să considerăm funcția ƒ (x)= x pe [0, 1] (fig 8).
c) Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b) , concluzia teoremei ar fi falsă, așa
cum arată exemplul funcției ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].

Consecințe
Fie f:I→R, o funcție derivabilă pe un interval I.
Două rădăcini ale funcției (adică ale ecuației f(x)) sunt numite rădăcini consecutive , dacă între ele
nu se află nicio altă rădăcină.
Consecința 1 . Între două rădăcini ale funcției există cel puțin o rădăcină a derivatei.
Consecința 2 . Între două rădăcini consecutive ale derivatei există cel mult o rădăcină a funcției.
Exemple
1) Demonstrați că în intervalul se găsește o singură rădăcină a ecuației:

Soluție
Notăm Cum și folosind
proprietatea valorilor intermediare, rezultă că între 0 și 1 există cel puțin o rădăcină.
Dar are rădăcinile 0 și 1 și aplicând a doua consecință a teoremei lui
Rolle, rezultă unicitatea.

26
2) Dacă
aflați valorile lui m, n, p astfel încât funcția să îndeplinească condițiile teoremei lui Rolle. Aflați
valoarea punctului intermediar.
Soluție
Din condiția ca f să fie continuă, găsim iar din condiția ca f să fie
derivabilă, Relația implică Punctul intermediar este c.
3) Fie funcția Aflați punctele de extrem.
Soluție :
Deoarece f este derivabilă pe căutăm punctele de extrem printre punctele critice.
f'(x) = 3( x2 − 1) deci punctele critice sunt 1 și -1.
Cercetăm cu ajutorul definiției, dacă acestea sunt puncte de extrem.
Avem de unde rezultă că pentru
orice x din vecinătatea a lui 1are loc relația adică 1 este punct de minim
relativ.
Analog, din f(x) − f( − 1) = x3 − 3x − 2 = ( x − 2)( x + 1)2, rezultă că pentru orice x din
vecinătatea alui -1avem deci -1 este punct de maxim relativ.

III.3 Teorema lui Lagrange și teorema lui Cauchy.

Joseph -Louis Lagrange a fost un matematician și astronom francez de origine italiană, care
a adus numeroase contribuții în matematică și mecanică, fiind considerat cel mai mare
matematician al secolului al XVIII -lea. Napoleon l -a supranumit „piramida grandioasă a științelor
matematice”.
Augustin Louis Cauchy a fost unul dintre cei mai importanți matematicieni francezi. A
demarat un proiect important de reformulare și demonstrare riguroasă a teoremelor de alg ebră, a
fost unul dintre pionierii analizei matematice și a adus o serie de contribuții și în domeniul fizicii.

27
TEORAMA 9. (teorema lui J. Lagrange, 1736 – 1813 , a creșterilor finite ). Fie ƒ o funcție Rolle pe
un interval compact [a, b]. Atunci c
 (a, b) astfel încât
ƒ(b)- ƒ(a)= (b – a)ƒ’(c)
Demonstrație. Vom considera funcția auxiliară F(x)=ƒ(x)+kx, x
 [a, b] , cu k o constantă reală , pe
care o vom determina din condiția F(a)= F(b) . Așadar avem că,

y y y

ƒ 1 1

y= x y= x
ƒ(a)=ƒ(b)
0 a c b x 0 1 x 0 1 x
Fig 6. Fig 7. Fig 8.

ƒ(a)+ ka= ƒ(b)+ kb , deci k=
baaf bf
 )( )( . Pentru acest k, funcția F verifică condițiile teoremei lui
Rolle și, ca atare, există un punct c
 (a, b) în care F’(c)=0 . Pe de altă parte , F’(x)=ƒ’(x)+k, x
 (a,
b), deci ƒ’(c)+ k= 0, ƒ’(c)+
baaf bf
 )( )( = 0 și se obține relația din enunț.
Observații. 1) Relația din enunț se mai numește formula creșterilor finite sau
formula de medie pentru derivabilitate ). y
Notând =
,abac
 rezultă 0< < 1 și
c= a+ (b- a)ƒ’(a+ (b- a)), cu 0< < 1.
0
2) Ca și în cazul teoremei lui Rolle, a c b x
punctul c nu este unic. Interpretarea Fig 9 .
geometrică a teoremei lui Lagrange rezultă

28
din interpretarea geometrică a derivatei și este următoarea: există cel puțin un punct
c(a, b) pentru care tangenta la graficul lui ƒ in (c, ƒ(c)) este paralelă cu „coarda” determinată
de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) (fig 9).
3) Putem aplica teorema lui Lagrange restricției lui ƒ la orice subinterval [a, x]
 [a, b], unde a<
x b. Atunci ƒ(x)- ƒ(a)= (x -a)ƒ’(c) cu a
 (a, x) nu neapărat unic, depinzând de x; uneori se scrie
c= c x, ca atare, ƒ(x)- ƒ(a)= x – a)ƒ’(c x). Este important de remarcat că dacă x a, atunci cx a.

Iată acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util în a decide derivabilitatea
unei funcții într -un punct.
COROLAR. Fie ƒ o funcție definită într -o vecinătate V a punctului x 0, derivabilă pe V \{x0}
și continuă în x 0. Dacă există limita

0lim
xx , atunci ƒ’(x 0) există și ƒ’(x 0)=. Dacă limita este
finită, atunci ƒ este derivabilă în x 0.

Demonstrație. Aplicând teorema lui Lagrange funcției ƒ pe un interval [x, x 0]
V, x< x 0, rezultă
00)( )(
xxxf xf

=ƒ’(c x) cu x< c x< x 0,, deci
 

)(' lim)( )(lim)(
00
0000 '
x
xxxx
xxxxs cfxxxfxfxf (căci cxx0,
dacă xx0, x<x 0). In mod similar,
)(0'xfd există și este egală cu , deci ƒ are derivată în x0 și
ƒ’(x 0)=.

Trecem acum la demonstrarea unei alte proprietăți fundamentale legate de derivabilitate .
Fie două funcții ƒ, g:[a, b] R verificând condițiile teoremei lui Lagrange și presupunem că
g’(x)
0, x
 (a, b). Ne interesează raportul
)()()( )(
agbgaf bf
 . Aplicând separat funcțiilor ƒ și g
teorema lui Lagrange, rezultă că există puncte c, c’ din (a, b) astfel încât
)(')('
)(') ()(') (
)()()( )(
cgcf
cgabcfab
agbgaf bf
. Nu există nici un motiv să considerăm aici că avem c= c’ ;
totuși se poate demonstra.

29
Consecințe

1. Dacă derivata unei funcții este nulă pe un interval, atunci funcția este constantă pe acel
interval.
Demonstrație . Fie o funcție derivabilă cu pe intervalul I. Fixăm un
punct și considerăm un punct arbitrar Aplicăm teorema lui Lagrange pe
intervalul sau Există un c cuprins între a și x astfel
încât și, deoarece rezultă Cum x este
arbitrar în I, deducem că feste constantă.
2. Dacă două funcții au derivatele egale pe un interval, atunci diferența celor două funcții este
constantă pe acel interval.
Demonstrație . Fie g și h derivabile cu pe I. Aplicăm prima consecință pentru
funcția
Corolar (calculul derivatei unei funcții într -un punct)
1. Dacă o funcție este continuă pe derivabilă pe și
există atunci

2. Dacă o funcție este continuă pe derivabilă pe și
există atunci
3. Dacă o funcție este derivabilă pe (unde ), este continuă în și
există atunci
Demonstrație
1. Avem: și din teorema lui Lagrange pe
intervalul există (care depinde de x), cu
Rezultă

30
Afirmația 2 se demonstrează anal og, iar 3 rezultă din 1 și 2.
Astfel, teorema lui Lagrange furnizează o metodă de studiu al derivabilității unei funcții
într-un punct, în situația în care un calcul direct prin aplicarea regulilor de derivare nu este
posibil.
Exemplu:

Funcția este derivabilă pe și

Studiul derivabilității în 1 și -1 folosind definiția este laborios.

TEOREMA 10. Teorema lui Cauchy, a doua teoremă a creșterilor finite sau a doua teoremă
de medie .
Fie ƒ, g două funcții Rolle pe intervalul compact [a, b] , a< b, astfel încât g’(x)
0, x
(a, b);
atunci există un punct c
 (a, b) astfel încât

.)(')('
)( )()( )(
cgcf
agbgaf bf
Demonstrație. Condiția g’(x)
0 pentru orice x
 (a, b) implică faptul că g(a)
g(b);
într-adevăr, dacă g(a)=g(b) , aplicând teorema lui
Rolle , ar rezulta că există c
 (a, b) astfel ca g’(c)=0 , ceea ce contravine ipotezei.
Considerăm funcția ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x) , k
R și determinăm k astfel ca F(a)=F(b) , deci
k=
)( )()( )(
bgagaf bf
 . Aplicând teorema lui Rolle funcției F cu k astfel determinat, există c
 (a, b)
astfel încât F’(c)=0 . Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x) , x
 (a, b) , deci ƒ’(c)+kg’(c)=0 , -k=
)(')('
cgcf , de unde
se obține relația ce trebuia demonstrată.
Observație. Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy și apoi, pentru g(x)=x ,
am fi demonstrat teorema lui Lagrange ..

31
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcțiilor care admit primitive, deci
care sunt derivate ale altor funcții.

TEOREMA 11. (teorema lui Darboux). Dacă ƒ: IR este o funcție derivabilă pe un interval
I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux (adică nu poate trece de la o valoare
la alta fără a trece prin toate valorile intermediare).

Demonstrație. Fie a<b două puncte din I astfel încât f’(a)=ƒ’(b) . Pentru a fixa ideile, să
presupunem că ƒ’(a)<ƒ’(b). Fie 
 (ƒ’(a),
ƒ’(b)). Trebuie arătat că există un punct c
 (a, b) astfel încăt ƒ’(c)=. Pentru aceasta vom
considera funcția auxiliară F(x)=ƒ(x) -x; evident, F’(a)=ƒ’(a) -<0 și F’(b)=ƒ’(b) ->0.
Funcția F este derivabilă, deci continuă în intervalul [a, b] și, ca atare, marginea inferioară m=
],[inf
bax
F(x) este atinsă, într -un punct c
 [a, b] . Vom arăta că de fapt m nu poate fi atins nici în a,
nici în b. Așadar, c
 (a, b) și din teorema lui Fermat se obține F’(c)=0 . Dar aceasta arată că
f’(c)-=0, adică ƒ’(c)=, tocmai ce trebuia verificat.
Pentru a arăta că punctul c aparține intervalului (a, b) , vom proceda astfel: alegem >0 astfel
încât | F’(a)|> și F’(b)>. Din definiția derivatei lui F în punctele a și b, există >0 depinzând
de  astfel încât din faptul că |x- a|> (respectiv |x- b|> ) să rezulte că

. )(')( )()(' respectiv)(')( )()('


  
bFbxbFxFbFaFaxaFxFaF
Deoarece F’(a)+<0, raportul va fi strict negativ, pentru orice x> a, x-a<. Deci F(x)-(a)<0 ,
adică F(x)<F(a) . In mod analog, din inegalitatea F’(b) ->0, rezultă că F(x)<F(b) pentru x< b , x-
b<.

Aceste inegalități arată că marginea inferioară a funcției F nu este atinsă nici în a, nici în b.

32
COROLAR . Fie ƒ: IR o funcție derivabilă pe un interval I. Dacă derivata ƒ ’ nu se
anulează pe I, atunci ƒ ’ are semn constant pe I.

Intr-adevăr, dacă ƒ ’ nu ar avea semn constant pe I, atunci ƒ ’ ar lua valori pozitive și valori
negative pe I, deci, conform teoremei lui Darboux, ar lua valoarea zero, ceea ce contravine
ipotezei că ƒ ’ nu se anulează pe I.

III.4 Teorema lui Taylor
Brook Taylor ( 1685 -1731) matemetician englez, membru al Royal Society din Londra.In
lucrarea “Methodus incrementorum directa et inversa (1715), expune metoda dezvoltarii in serie
a unei functii. A pus , pentru prima data , problema coardei vibrante, de la care , ulterior, Fourier
a ajuns la seriile trigonometrice.Co lin Mac Laurin (1698 -1746), a fost un matematician scotia al
carui nume este legat de calculul infinitesimal si in special de dezvoltarea functiilor in serii de
puteri.
Giuseppe Peano(1858 -1932), logician si matematician italian, profesor la Academia
regala de artilerie si geniu si la Universitatea din Torino.In lucrarile sale a dat o prezentare
axiomatica si deductiva a aritmeticii, geometriei proiective, teoriei multimilor, etc.Considera
primul exemplu de curba continua , in sensul lui Jordan, care trece prin toate punctele interioare
unui patrat.
III.4 .1 Polinomul Taylor asociat unei functii
Consideram functia si , oarecare fixat. Presupunem ca functia este
de clasa intr-o vecinatate .Atunci polinomul (functia polinomiala)

Advertisemen t: 0(1(:06

33
(1) Se numeste polinomul Taylor de grad n asociat functie f in punctual a.
De exemplu daca p este polinom de grad m si este
functia polinomiala asociata,atunci polinomul Taylor asociat functiei are
gradul si reprezinta dezvoltarea functiei dupa puterile lui .
Avem
. (2)
Vom observa ca si .
Formula lui Taylor in care dezvoltarea se face dupa puterile lui ( ), este
, (3)
si este numita formula lui MacLaurin.
Exercitiu : Consideram polinomul .Se cere sa se dezvolte dupa puterile lui
.Fie , ,functia polinomiala asociata lui f. Avem :
;

Polinomul Taylor de gradul al treilea asociat functiei polinomiale f(x) are
.

34
III.4 .2 Formula lui Taylor pentru functii de o variabila reala.
Fie un interval inchis ,nedegenerat din si functia care verifica
conditiile:
1). (exista derivatele pana la ordinul n, inclusive si acestea sunt functii
continue pe I)
Exista (derivate de ordinal a lui ) finite sau infinita, in orice punct
din ;
Atunci exista astfel incat
, (5)
unde reprezinta restul care se obtine in punctual x cand inlocuim valoarea f(x) cu
valoarea a polinomului Taylor de grad n asociat lui f.
Mai mult, restul poate fi scris sub una din formele:
a)restul sub forma lui Lagrange ,
. (6)
b)restul sub forma lui Cauchy ,
(7)
c)restul sub forma integrala ,
. (8)

35
Demonstratie : Alegem restul sub forma , unde este o constanta care
depinde de alegerea lui x iar oarecare. Atunci problema se reduce la determinarea
constantei
.
Consideram functia , definite pentru orice prin relatia
.
Vom observa ca functia g este continua pe deoarece functia initiala f a fost
presupusa de clasa pe . In plus , pentru din formula ()
obtinem si pentru deducem . Functia este derivabila
pe intervalul pe intervalul deschis deoarece a fost presupusa de clasa pe .
In consecinta, functia satisfice conditiile teoremei lui Rolle pe intervalul .
Asadar , exista un punct , a.i. . Alegem cu .
Avem:

Dupa reducerea termenilor asemenea , rezulta

Deoarece , din ultima relatie, pentru ,obtinem

36
Deci , si atunci gasim urmatoarea expresie
a restului:
, cu . (9)
Vom observa ca restul obtinut depinde de p,unde p este un numar natural oarecare.
Daca alegem atunci din ultima relatie , obtinem restul sub forma Lagrange (6), iar
pentru p=1 obtinem restul lui forma lui Cauchy (7).
Observatia 1 ..Presupunand ca , atunci restul sub forma lui Lagrange devine

Unde
, cand
.
Aici am folosit faptul ca este functie continua pe si atunci
, cand .
In consecinta , daca atunci
,cand . (10)
Formula (10) este cunoscuta sub numele de formula lui Taylor corespunzatoare functiei f in
punctul cu restul sub forma lui Peano.
In continuare vom arata ca restul formulei lui Taylor poate fi scris sub forma integral (8),
adica are loc formula

37
.
Pentru aceasta folosim inductia matematica dupa n natural.
Pentru putem scrie relatia , care evident arata ca formula lui
Taylor
Presupunem ca formula este adevarata pentru , atunci putem scrie
.
Integrand prin parti expresia restului, obtinem

Asadar avem
,
De unde deducem ca formula ramane adevarata si pentru pasul n, deci relatia este adevarata
pentru orice .
Observatia 2. Formula lui Taylor ramane adevarata daca , un interval
nedegenerat si este de derivabila intr -un punct deoarece prin aceasta
conditie intelegem ca este derivabila intr -o vecinatate a punctului a si
si exista derivate de ordinal a lui in.
Observatia 3. Formula lui Taylor cu restul sub forma integrala are numeroase aplicatii. De
exemplu , in cazul functiilor suficient de netede, aceasta formula serveste la evaluarea restului in
formulele de integrare numerica.

38
III.4 .3 Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii
elementare.
Fie .Deoarece , putem scrie

Unde .
In consecinta ,formula lui Taylor scrisa dupa puterile lui x (dezvoltarea are loc in jurul
punctului a=0), corespunzatoare functiei , cu restul Lagrange se scrie
, (11)
Unde , restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (12)
Mai mult , au loc estimarile:
a)pentru orice , avem .
b) pentu orice , avem .
Fie , . In acest caz si avem si
,
In consecinta ,formula lui Taylor dupa puterile lui x (in polinomul Taylor apar numai puterile
pare ale lui x) poate fi scrisa astfel:

39
, (13)
Unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (14)
Putem scrie exprimarea .
Fie , . Atunci si avem
,
Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui x (in dezvoltare apar numai puterile
impare ale lui x)
, (15)
Unde , restul sub formula lui Lagrange are expresia
. (16)
Din formula (16) de ducem evaluarea .
Fie . Atunci si pentru orice , avem

Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui x devine

40
, (17)
Unde restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (18)
Daca din formula (18) obtinem . Daca atunci nu
putem trage concluzii despre modul cum restul tinde catre zero deoarece alegerea
lui depinde atat de x cat si de n . Folosind restul sub forma lui Cauchy,
, (19)
Pe baza inegalitatilor , respective , putem scrie evaluarea
.
Daca , atunci formula lui Taylor poate fi scrisda dar restul nu tinde catre zero
cand .
Observatie. Dacain formula (17)schimbam cu si cerem ca , atunci obtinem
dezvoltarea functiei ln x dupa puterile lui x -1
, (17’)
Fie function .
a) Analizam cazul cand . Atunci functia este bine definita
pentru orice

41
si admite derivate de orice ordin pe . Cum derivata de ordinul a lui este
identic nula, deducem ca si avem

a)Atunci pentru dezvoltarea functiei f folosim binomul lui Newton
,pentru orice , (20)
Unde , reprezinta combinari de m elemente luate cate k, .
b) Pentru cazul cand nu este numar natural , atunci functia este bine
definite impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin pentru orice . Asadar
pentru putem scrie formulelel

Si formula lui Taylor , scrisa in jurul punctului , devine
, (21)
Unde restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (22)
Daca si atunci restul tinde la zero cand .In cazul cand ,
folosind restul sub forma lui Cauchy, avem
, (23)

42
Deduce ca restul tinde la zero cand . Pentru restul nu tinde catre zero cand .
III.4.4 Serii Taylor
Fie functia si , oarecare fixat . Presupunem ca functia este
indefinite derivabila intr -o vecinatate (adica functia f admite derivate de orice ordin intr -o
vecinatate a punctului a). Atunci putem scrie formal seria Tylor asociata functiei f in punctul a
, . (1)
sau seria de puteri a lui dupa puterile lui . Pentru valori fixate ale lui si seria
poate fi convergenta sau divergenta. In cazul cand seria Taylor asociata functiei f este
convergenta atunci suma seriei este egala cu .
Seria Taylor este convergenta catre functia daca si numai daca restul , al
formulei lui Taylor
, , (2)
tinde la zero cand . Altfel spus daca , atunci din (2) rezulta ca sirul
sumelor partiale
(3)
converge uniform catre pentru orice si reciproc .
In acest caz vom spune ca seria Taylor este convergenta avand suma egala cu si scriem
. (4)
Observatie .Toate functiile analizate in exemplele (1) -(5) sunt dezvoltabile in serie Taylor
dupa puterile lui x (dezvoltabile in serie de put eri in jurul punctului ) si avem:
. (5)

43
.(6)
. (7)
. (8)
,
. (9)
Exercitiul 1.
Sa se dezvolte in serie Taylor in jurul punctului x=0 functia .
Fie .Pentru calculul derivatei de ordin superior ale lui f se poate folosi
identitatea: . Deducem ca
si ,
In consecinta , obtinem seria Taylor

Observatie . Formula lui Taylor poate fi utilizata la calculul unor limite de functii , in
cazurile de nedeterminare de tipul etc.
Exemple:
.

44
.
.

45

In realiz area acestui capitol am folosit ca surse de ins piratie urmatoarele lucrari:
[1] Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1980;
[2] Gheorghiu N., Precupanu T. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1979;
[3]Ganga M.- Matematica, manual pentru clasa a XI-a, Elemente de analiza matematica – Ed.
Mathpress,2009;
[4]Ganga M.-Matematica, manual pentru clasa a XII-a, Elemente de analiza matematica -Ed.
Mathpress,2009.
[5]scribd.com /document/Formula – lui- Taylor -si-Aplicatii

46
Capitolul IV. Aplicatii ale teoriei functiilor derivabile
IV. 1Puncte de inflexiune

Functiile derivabile ne ajuta la determinarea punctelor de inflexiune ale functiilor.
Avem astfel:

Teorema :Fie Fie si un punct din interiorul intervalului I ,astfel incat:
a)f este de doua ori derivabila in vecinatatea V a lui
b)exista punctele , astfel incat
c)
d) si sau
invers si .
Atunci este un punct de inflexiune al functiei f.
Observatie:
Conditia nu implica intotdeauna ca este punct de inflexiune
Exemplu:
Sa se determine punctele de inflexiune ale functiei definite prin:

calculam mai intai domeniul de definitie, astfel punem conditia ca

Deci functia
Calculam

Calculam

47

Astfel functia f este concave pe intervalul si convexa pe intervalul , astfel
ca punctul este punct de inflexiune .

IV.2. Metoda tangentei ; metoda Newton
Metoda tangentei se foloseste pentru determinarea unei rădăcini a ecuației f(x) = 0.
Presupunem că f este derivabilă și că derivata nu se anuleaz ă. Solutia ecuației este
determinată ca limita unui șir. Se pleacă de la un punct x0 dat. Presupunând că s-a construit
termenul xn-1, termenul xn se determină ca fiind abscisa intersecției dintre tangenta la graficul
funcției în xn- 1 și axa Ox.

Fig.10
Ecuația tangentei în xn-1 este:
y – f(xn-1) = f’(x n-1)(x – xn-1)
Deci intersecția cu axa Ox se află rezolvând sistemul
y – f(xn-1) = f’(x n-1)(x – xn-1)
y=0

În consecin ță
Convergența șirului este determinată de termenul inițial x0 așa cum
rezultă din următoarele două exemple:

48

Exemplul 1:

X2 x1 x0

Fig. 11

Exemplul 2.
x0 x2 x4 x3 x1 Fig.12 xn = xn-1–f(xn-1)/f’(x n-1)

49

Următoarea teoremă stabilește condiții suficiente pentru convergența
metodei tangentei.
Teoremă (Metoda tangentei). Fie f : [a, b] → R o aplicație de două
ori derivabilă cu f’(x)≠0, f”(x) ≠ 0 oricare ar fi x∈[a, b] și f(a)f(b)<0. Atunci
ecuația f(x) = 0 are o unică soluție x*. x* poate fi obținută ca limită a șirului
(xn)n definit prin:
xn = xn-1 –f(xn-1)/f’(x n-1), n≥1
unde x0∈ [a, b] este ales astfel încât f(x0)f”(x 0) > 0. În plus, oricare ar fi n >
1 au loc urm ătoarele inegalități:

|x* – xn| ≤ /2 *(xn -xn- 1 )2
unde m1 = inf f '(x) și M2 = sup f"(x) .
x∈[a,b] x∈[a,b]

Semnificație geometrică. Deoarece f’ și f” nu se anulează pe [a, b],
rezultă că sunt fie strict pozitive fie strict negative.
Cazul 1. f” > 0 (f strict convexă)
1.1 f’ > 0 (f strict crescătoare)
1.2 f’ < 0 (f strict descrescătoare)
Cazul 2. f” < 0 (f strict concavă)
2.1. f’ > 0 (f strict crescătoare)
2.2. f’ < 0 (f strict descrescătoare

1.1. f” > 0, f’ > 0

50

a x0 x1 b
Fig. 13
1.2. f” > 0, f’ < 0

a x0 x1 b
Fig. 14
2.1. f” < 0, f’ > 01.2. f” > 0, f’ < 0
a x0 x1 Fig.15

51

2.2. f” < 0, f’ < 0
Fig.16
Se observa ca pentru aplicarea metodei tangentei în rezolvarea ecuației f(x) = 0 trebuie
stabilite m a i i n t a i intervalele de monotonie și intervalele de convexitate/concavitate
ale funcției f. Dacă a și b sunt capetele unui astfel de interval și dacă f(a)f(b)<0, atunci se
alege în intervalul [a, b] un punct x0 astfel încât f(x0)f”(x 0)>0. Șirul construit rin metoda
tangentei, având termenul inițial x0 converge la unica ră dăcină a ecuației f(x) = 0, situată în
intervalul [a, b].

52
Metoda Newton – cazul m -dimensional
Metoda Newton este o generalizare a metodei tangentei care a fost prezentat ă anterior .
Este o metodă iterativă de rezolvare a unor ecuații de forma f(x) = 0, unde f : G → Rm, G ⊂
Rm.
Metoda Newton este o metodă frecvent folosită deoarece este foarte rapid convergentă.
Se noteaza cu x1, x2,…, xn,… un șir de elemente din Rm. Rezerv ăm indicii inferiori pentru
a desemna componentele unui element x = (x1, x2,…,x m) din Rm.
Dacă f : G → Rm este o funcție diferențiabilă pe G, vom identifica diferențiala de
ordinul I a lui f în x, f’(x), cu matricea

(x)

1<i,j≤m, numită jacobianul lui f în x.
Metoda Newton constă în aproximarea soluției ecuației considerate
cu xn, unde
= – * f( )
iar aproximația inițială x0∈G este suficient de apropiată de soluția ecuației.

53
In realiz area acestui capitol am folosit ca surse de ins piratie urmatoarele lucrari:
[1] Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1980;
[2] Gheorghiu N., Precupanu T. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1979;
[3] Nicolescu C. ± Analiza matematica. Aplicatii – Ed. Albatros 1987;
[4] Barza I.- Introducere elementare de calcul integral ± Bucuresti 1984 ;

54
BIBLIOGRAFIE

[1] Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1980;
[2] Gheorghiu N., Precupanu T. ± Analiza matematica, EDP Bucuresti 1979;
[3] Precupanu T ± Bazele analizei matematice ±Ed . Universitatii ³ Al. I. Cuza ³ Iasi, 1993;
[4] Sburlan S. ± Principiile fundamentale ale matematicii moderne . Lectii de analiza matematica –
Ed. Academiei Romane, Bucuresti, 1991;
[5] Siretchi S. ± Calculul diferential si integral ± Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti 1985;
[6] Colojoara I. ± Analiza matematica, Bucuresti, 1983;
[7] Stanasila O. – Analiza matematica, Ed. Didactica si pedagogica, Bucuresti, 1981;
[8] Teodorescu N, Olariu V. ± Ecuatii diferentiale;
[9] Haimovici A. ± Ecuatii diferentiale si integrale ± EDP Bucuresti 1965;
[10]Popa C., Hiris V., Megan M. ± Introducere in analiza matematica prin exercitii si probleme;
[11]Arsinte I. ± Introducere elementara in analiza matematica ± Bucuresti 1984 ;
[12]Nicolescu C. ± Analiza matematica. Aplicatii – Ed. Albatros 1987;
[13]Barza I.- Introducere elementare de calcul integral ± Bucuresti 1984 ;
[14]Donciu N., Flondor D. ± Analiza matematica, culegere de probleme – Ed. All 1993;

55