Functii Convexe

LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ

pentru obținerea gradului didactic I

FUNCȚII CONVEXE.

APLICAȚII INTERDISCIPLINARE ALE ACESTORA

Cuprins

Partea I

Capitolul I

I.1 Introducere

I.2 Mulțimi Convexe

Capitolul II

Funcții convexe

II.1. Funcții Convexe. Definiții, exemple.

II.2. Funcții derivabile și convexitate.

II.3 Funcții integrabile și convexitate

Capitolul III

Aplicații ale funcțiilor convexe

III.1 Aplicații ale funcțiilor convexe în matematică

III.2 Aplicații ale funcțiilor convexe în economie

III.3 Aplicații ale convexității în fizică

III.4 Aplicații ale convexității în aviație

III.5 Aplicații ale convexității în electronică

Partea a II – a

Capitolul IV

IV. 1. Aspecte metodice privind predarea – învățarea temei

IV.2. Legea educației naționale, repere în instruirea diferențiată

IV.3. Locul și rolul temei în programa școlară

IV.4. Competențe și obiective vizate

IV.5. Metodica predării funcțiilor convexe

IV.6. Metode, mijloace, materiale ce pot fi utilizate în predarea-învățarea temei

IV.7. Proiectarea și evaluarea

Bibliografie

Partea I

Capitolul I

I.1 Introducere

În procesul instructiv-educativ ce se desfășoară la nivel preuniversitar un rol fundamental îl ocupă predarea matematicii. Lecțiile de matematică au un rol informativ, în sensul că înarmează elevii cu cunoștințe de bază din domeniul matematicii, necesare în problema cunoașterii și a posibilității abordării altor științe cum ar fi fizica, chimia, economia etc. și un rol formativ în sensul că deprinde elevii cu modele de raționamente logice. Învățământul are misiunea de a asigura însușirea de către tinerele generații a cunoștințelor științifice, tehnice și culturale, a deprinderilor necesare exercitării unor profesii utile societății. Caracterul metodelor trebuie să imprime tineretului studios conștiința însușită cu convingere și interes că matematica este cu atât mai utilă societății cu cât este asimilată într-un cadru mai corespunzător, unde calitățile estetice ale raționamentelor se îmbină armonios cu eficiența lor.

Matematica zilelor noastre evoluează dinamic sub raport cantitativ și, mai ales, calitativ. Cercetări și descoperiri contemporane redimensionează permanent domeniile ei și impun exigențe deosebite fundamentelor sale. Învățământul nu poate rămâne în afara acestor frământări; el are de rezolvat probleme noi referitoare la expunerea în școală a bazelor unor științe în continuă transformare.

Funcții convexe joacă un rol important în aproape toate ramurile matematicii, precum și în alte domenii ale științei și ingineriei.

Noțiunea de funcție convexă este la fel de fundamentală, ca și cea de funcție pozitivă sau de creștere a funcției. Din acest motiv noțiunea are locul său aparte în teoria funcțiilor reale.

Teoria funcțiilor convexe face parte din obiectul general al convexității. Convexitatea este o noțiune, care poate fi găsită încă de pe vremea lui Arhimede ( circa 250 î.Hr. ), în legătură cu celebra sa estimare a valorii lui π ( folosind poligoane regulate înscrise și circumscrise).

Analiza grafică este unul dintre primele subiecte în matematică care impune conceptul de convexitate. Aceasta are generalizare pentru cazul de mai multe variabile, caz utilizat în unele probleme de optimizare și în teoria controlului.

Unul, dar nu primul, dintre matematicienii care s-au ocupat de studiul convexității a fost
J. L. Jensen. Printre alți s-au numărat și Ch. Hermite, Hadamard, O. Holder, Cebâsev și Stolz. De-a lungul secolului al XX- lea s-au formulat rezultate remarcabile din acest punct de vedere, cu aplicații în analiza funcțională, analiza convexă, optimizarea nonliniară. Un rol de largă popularizare a teoriei funcțiilor convexe a avut-o cartea scrisă de G. H. Hardy,
J. E. Littlewood și G. Polya Inequalities, Cambridge Mathematical Library, 2nd Edition, 1952,.

Lucrarea de față își propune să trateze aspecte teoretice ale noțiunii de convexitate dar și aplicațiile funcțiilor convexe în diferite domenii.

Întreaga lucrare urmărește realizarea unei abordări teoretice alături de cea practică aplicativă, respectiv construirea unei situații de învățare care să angajeze elevii în activități de investigare, cercetare, descoperire, formându-le deprinderile necesare unei corecte și logice abordări ulterioare a tuturor noțiunilor noi întâlnite și nu numai.

Profesorul de matematică trebuie să găsească strategiile potrivite pentru a dezvolta gândirea logică și creativă a elevilor, să formeze la elevi motivația necesară învățării și autoeducării în condițiile unei societăți aflate într-o continuă schimbare, dezvoltând acestora capacitățile de adaptare la schimbări; să ajute elevii să-și descopere disponibilitățile pentru a le putea valorifica în favoarea lor și a societății, prin furnizarea bagajului de cunoștințe necesar pentru ca aceștia să contribuie la evoluția civilizației.

Mulțumesc pe această cale domnului Prof. Univ. Dr. Marin Marin pentru încrederea și sprijinul acordat în elaborarea acestei lucrări.

I.2 Mulțimi Convexe

Studiul noțiunilor de funcție convexă respectiv funcție concavă impune studiul conceptului de mulțime convexă din plan.

Fig. I.1

În plan considerăm un sistem ortogonal de coordonate carteziene xOy și notăm cu P(x,y) un punct curent.

Punctele și , determină o dreaptă din plan (d) care conține segmentul AB.

Pentru orice punct , după teorema lui Thales avem și în plus

, (I.1)

Astfel pentru oricare A, B puncte din plan, avem un punct PAB dacă și numai dacă coordonatele sale verifică relațiile (I.1).

Definiția I.1. Un segment din plan de capete , notat AB este format din mulțimea punctelor P(x,y) care verifică:

,

Definiția I.2. O mulțime M din plan (P) se numește mulțime convexă dacă , segmentul PQ este conținut în M.

Intuitiv, noțiunea de mulțime convexă este reprezentată în figura I.2.

Fig. I.2

Teorema I.3. (de caracterizare a mulțimilor convexe) Fie , . Următoarele afirmații sunt echivalente:

M mulțime convexă în plan;

avem

cu avem

Capitolul II

Funcții convexe

II.1. Funcții Convexe. Definiții, exemple.

O funcție poate fi strict crescătoare pe un interval în două moduri, după cum oricare ar fi două puncte distincte graficul funcției f, cuprins între punctele și se află deasupra sau sub segmentul de dreaptă cu extremitățile în punctele și

De asemenea, funcția poate fi strict descrescătoare pe intervalul în două moduri, după cum oricare a fi două puncte distincte , graficul funcției f, cuprins între punctele și se află deasupra sau sub segmentul de dreaptă cu extremitățile în punctele și

Definiția II.4: Fie , o funcție și un interval. Funcția f se numește convexă pe I dacă , și .

Definiția II.5: Fie , o funcție și un interval. Funcția f se numește strict convexă pe I dacă , și .

Observația II.6: Funcția f este concavă dacă funcția (-f) este convexă.

Observația II.7: Funcția f este strict concavă dacă funcția (-f) este strict convexă.

Observația II.8: Geometric o funcție f este convexă pe un interval dacă oricare a fi două puncte distincte , graficul funcției f cuprins între și se află sub segmentul de dreaptă cu extremitățile în punctele și .

Într-adevăr, dacă , , atunci pentru orice punctul
aparține segmentului (din I) cu extremitățile în și . Dreapta care trece prin punctele și are ecuația: .

Ordonata punctului de abscisă z= de pe această dreaptă este

.

Atunci condiția din definiția funcției convexe se scrie ceea ce justifică afirmația de mai sus.

Fie graficul funcției f și A, B, M cu date prin și , și . Cum , iar M și au abscisele egale cu x, cu ajutorul ordonatelor acestor puncte: vom caracteriza funcțiile convexe.

Fig. II.1

Observație:

Funcția cu graficul este o funcție convexă dacă și numai dacă oricare a fi A, B restricția graficului lui f la se află sub segmentul AB.

Altfel spus graficul funcției convexe este situat sub orice coardă dacă unim două puncte situate pe graficul funcției.

Geometric, o funcție f este concavă pe un interval dacă oricare a fi două puncte distincte , graficul funcției f cuprins între și se află deasupra segmentului de dreaptă cu extremitățile în punctele și . Altfel spus graficul funcției concave este situat deasupra oricărei coarde dacă unim două puncte situate pe graficul funcției.

O funcție f este strict convexă (respectiv strict concavă) pe intervalul I dacă oricare ar fi două puncte distincte , graficul funcției f, cuprins strict între și se află strict sub (respectiv strict deasupra) segmentului de dreaptă cu extremitățile în punctele și .

Observația II.9: O funcție este convexă și concavă în același timp dacă și numai dacă graficul ei este un segment neparalel la axa . Prin urmare, singurele funcții convexe și concave în același timp sunt cele de forma

adică funcția polinomială de gradul I.

Funcția este convexă dacă și numai dacă oricare ar fi cu , punctul se află sub sau pe segmentul determinat de și , ca în figura de mai jos.

fig. II.2

Se observă că aceasta are loc dacă și numai dacă între pante avem relația

.

Ținând seama de expresia pantei în funcție de coordonatele punctelor, obținem: (II.1.)

Pe de altă parte, observăm că este convexă dacă și numai dacă, în condițiile precizate asupra punctelor , triunghiul este orientat pozitiv, ceea ce după cum se știe din geometrie revine la

. (II.2.)

Se poate arăta și direct prin calcule folosind proprietățile determinanților că (II.1.) și (II.2.) sunt echivalente, fiecare caracterizând proprietatea de convexitate a funcției .

Din aceleași considerente geometrice, inegalitatea (II.1.) este echivalentă cu fiecare din inegalitățile:

(II..)

(II..)

Lema II.10: Fie f o funcție convexă definită pe un interval I. Dacă a, b și c și , atunci: .

Teorema II.11: Dacă f este o funcție convexă definită pe un interval , atunci f este continuă pe .

Demonstrație: presupunem că f este funcție convexă pe , și fie . Alegem un punct și astfel încât .

Dacă cu , din Lema II.10 avem:

și

adică mulțimea este mărginită de M0.

Avem . Având în vedere că intervalul ales a fost arbitrar ales rezultă că funcția f este continuă pe .

Graficul funcției convexe este situat deasupra oricărei tangente duse într-un punct al graficului.

Exemple II.12:

Fie funcția , .

și

=

Deoarece adică f este strict convexă.

Fie funcția , . Funcția este strict concavă.

Funcția , este convexă dar nu strict convexă.

și

= f nu este strict convexă deoarece OM este pe graficul lui f.

fig. II.3

Funcția , nu este nici convexă nici concavă.

fig. II.4

Segmentul AB cu , nu este în întregime situat deasupra sau dedesubtul graficului funcției . Funcția f este strict convexă pe și strict concavă pe .

Funcția , nu este nici convexă nici concavă.

fig.II.5

Segmentul AB de capete cu , nu este în întregime situat deasupra sau dedesubtul graficului funcției .

Un alt mod de a demonstra că o funcție este convexă este următoarea teoremă.

Teorema II.13: Dacă f este o funcție continuă pe și

,

pentru orice , atunci funcția f este convexă.

Demonstrație: în Definiția I.4 înlocuim

Observația II.14: Rezultatul din Teorema II.12 se poate extinde .

Teorema II.15. 1. Funcția este convexă dacă și numai dacă și avem .

2. Funcția este concavă dacă și numai dacă și
avem .

Demonstrație: este directă din (iii) a teoremei de caracterizare a mulților convexe.

Observația II.16: Rezultatul din Teorema II.15. se poate extinde pentru orice n puncte

Teorema II.17: Funcția este convexă dacă și numai dacă

și cu avem

(II.16)

Demonstrație:

(=>) Demonstrația proprietății II.16 o vom face Funcția f este strict convexă pe și strict concavă pe .

Funcția , nu este nici convexă nici concavă.

fig.II.5

Segmentul AB de capete cu , nu este în întregime situat deasupra sau dedesubtul graficului funcției .

Un alt mod de a demonstra că o funcție este convexă este următoarea teoremă.

Teorema II.13: Dacă f este o funcție continuă pe și

,

pentru orice , atunci funcția f este convexă.

Demonstrație: în Definiția I.4 înlocuim

Observația II.14: Rezultatul din Teorema II.12 se poate extinde .

Teorema II.15. 1. Funcția este convexă dacă și numai dacă și avem .

2. Funcția este concavă dacă și numai dacă și
avem .

Demonstrație: este directă din (iii) a teoremei de caracterizare a mulților convexe.

Observația II.16: Rezultatul din Teorema II.15. se poate extinde pentru orice n puncte

Teorema II.17: Funcția este convexă dacă și numai dacă

și cu avem

(II.16)

Demonstrație:

(=>) Demonstrația proprietății II.16 o vom face prin inducție în raport cu n. Fie

P(n)=

P(2) este adevărată conform definiției funcției convexe

Presupunem P(n) adevărată și vom arătă că P(n+1) are loc.

Fie astfel încât

Cum nu pot fi toți coeficienții de valoare unitară putem presupune (eventual renumerotând-i) că . Considerând următorii n coeficienți , care sunt pozitivi și au suma 1. Deoarece P(n) este adevărată obținem:

Pe de altă parte poate fi scrisă

De unde știind că P(2) este adevărată rezultă:

Folosind (*) obținem că P(n+1) este adevărată ceea ce încheie demonstrația.

(<=) Este evidentă. Se alege n=2 obținându-se definiția funcției convexe.

Teorema II.17 mai este cunoscută ca și Inegalitatea lui Jensen.

II.2. Funcții derivabile și convexitate.

Teorema II.18: Fie I un interval din și o funcție derivabilă în . Dacă funcția f este convexă pe I atunci

Demonstrație: Fie . Atunci din faptul că funcția f este convexă pentru fiecare avem:

de unde rezultă că: .

De aici obținem

oricare a fi . Funcția f fiind derivabilă în punctul , deducem că există

Dacă înlocuim în (*) obținem

Observația II.19 Geometric Teorema II.18 afirmă că tangenta la graficul funcției f în punctul se află sub graficul funcției f. Într-adevăr, tangenta la graficul funcției f în punctul are ecuația . Fie x un punct din I. atunci ordonata punctului de abscisă x de pe tangentă este și deci condiția din Teorema II.18 se scrie ceea ce justifică afirmația de mai sus.

Teorema care urmează prezintă o caracterizare a convexității unei funcții cu ajutorul derivatei funcției f.

Teorema II.20: Fie I un interval din și o funcție derivabilă pe I. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Funcția f este convexă.

Pentru orice are loc inegalitatea

Derivata a funcției f este crescătoare pe I.

Demonstrație: implicația 1 2 este evidentă din Teorema II.18.

Arătăm acum 2 1. Fie x, și . Atunci și din

deducem

,

Înmulțind prima inegalitate cu , a doua cu t și apoi adunând inegalitățile obținute, avem:

, prin urmare funcția f este convexă.

Pentru a demonstra 2 3 să considerăm două puncte x, cu x. În baza afirmației 2 au loc inegalitățile:

, .

Adunând aceste două inegalități obținem:

De unde deducem că . Prin urmare funcția este crescătoare pe I.

Pentru a dovedi 3 2, fie x, cu x. Atunci în baza Teoremei lui Lagrange, există un punct astfel încât . Deoarece derivata este crescătoare, avem că .

Atunci . Prin urmare dacă afirmația 3 este adevărată, atunci afirmația 2 este adevărată.

Teorema este astfel demonstrată.

Teorema II.21: Fie o funcție derivabilă pe I. Funcția f este convexă pe I, dacă și numai dacă tangenta dusă în orice punct al graficului lui f se află sub grafic (cu excepția punctului de tangență)

Demonstrație: Ipoteza f derivabilă pe I graficul lui f are tangentă în orice punct din I. Fie , ecuația tangentei la graficul lui f în este:

și conform punctului 2 din teorema II.20 avem:

și are loc afirmația din teoremă deoarece 2 1 f convexă pe I.

Teorema II.22: Fie I un interval din și o funcție derivabilă în punctul . Dacă funcția f este strict convexă pe I atunci pentru orice avem:

Demonstrație: Fie . Deoarece și deoarece , în baza observației că orice funcție strict convexă este convexă și a Teoremei II.18 putem scrie

.

Așadar

și teorema este demonstrată.

Teorema II.23: Fie I un interval din și o funcție derivabilă pe I. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Funcția f este strict convexă.

Pentru orice are loc inegalitatea

Derivata a funcției f este strict crescătoare pe I.

Demonstrație: Este analogă teoremei II.20

Teorema II.24: Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori în . Dacă funcția f este convexă pe I, atunci .

Demonstrație: Din faptul că funcția f este derivabilă de două ori în , deducem că există un număr real astfel încât f este derivabilă pe . Atunci în baza teoremei II.20, derivata este crescătoare pe și deci

(*)

oricare a fi .

Funcția f fiind derivabilă de două ori în există

.

În baza relației (*) deducem .

Dacă în teorema de mai sus înlocuim f cu (-f) obținem următoarea teoremă.

Teorema II.26: Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori în . Dacă funcția f este concavă pe I, atunci .

Afirmațiile următoare ne dau criterii utile de convexitate.

Teorema II.27: Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori pe I. Funcția f este convexă pe I, dacă și numai dacă oricare a fi .

Demonstrație: Necesitatea rezultă din Teorema II.25.

Suficiența: din oricare a fi , deducem că funcția este crescătoare pe I. În baza teoremei II.20, 3 1 funcția este convexă.

Dacă în teorema de mai sus înlocuim f cu (-f) obținem următoarea teoremă.

Teorema II.28: Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori pe I. Funcția f este concavă pe I, dacă și numai dacă oricare a fi .

Teorema II.29: Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori pe I. Dacă (respectiv ) oricare a fi atunci funcția f este strict convexă (respectiv stric concavă) pe I.

Demonstrație: Din oricare ar fi , deducem că funcția este strict crescătoare pe I. În baza teoremei II.24, 3 1 funcția este strict convexă.

Dacă oricare a fi , demonstrația este analoagă.

Observația II.30: Reciproca Teoremei II.29 nu are loc. Există funcții derivabile de două ori pe intervalul I și strict convexe pe I pentru care

oricare a fi . De exemplu funcția oricare a fi , este de două ori derivabilă, strict convexă pe și totuși .

Definiția II.31: Fie I un interval din și o funcție continuă pe I și de două ori derivabilă într-o vecinătate a lui . Punctul este punct de inflexiune al funcției f dacă există punctele a, b I, cu astfel încât funcția f să fie convexă pe și concavă pe sau invers.

Fig. II.6

Exemplul II.32: Funcția oricare a fi , este de două ori derivabilă pe , și oricare a fi . Pentru avem iar pentru avem . În baza teoremei II.29, funcția f este strict concavă pe și strict convexă pe . Numărul real x=0 este punct de inflexiune al funcției f.

În continuare vom enunța câteva proprietăți ale funcțiilor convexe

Dacă f este o funcție convexă și c o constantă, atunci funcția cf este convexă.

Dacă f și g este o pereche de funcții convexe atunci funcția f+g este convexă.

Dacă este o funcție convexă și crescătoare și funcția este convexă atunci compusa este convexă.

Demonstrație:

Dacă f(x) este funcție convexă pe , f nu este constantă, atunci f nu poate avea un maxim în .

Demonstrație: Presupunem că este un maxim local. Atunci există o pereche de puncte astfel încât , altfel , . Mai mult , , cu cel puțin una din aceste inegalități fiind strictă. Înmulțind prima inegalitate cu și a doua inegalitate cu t adunând obținem:

contradicție cu convexitatea funcției f.

II.3 Funcții integrabile și convexitate

Voi prezenta în continuare câteva rezultate, cunoscute ca teoreme care leagă cele două noțiuni.

Teorema II.33: Fie o funcție integrabilă și o funcție convexă și continuă pe Atunci avem:

Demonstrație: Funcția f este integrabilă φ continuă, deci φ ◦ f este integrabilă și avem:

Din convexitatea lui φ deducem:

Trecând la limită și ținând cont că funcția φ este continuă avem:

De unde avem concluzia.

Teorema II.34: Fie două intervale, o funcție local integrabilă, în particular f continuă, și o funcție convexă continuă. Atunci oricare ar fi , avem:

Teorema II.35: Fie două intervale, o funcție local integrabilă, în particular f continuă, și o funcție de două ori derivabilă cu ( respectiv ). Atunci oricare ar fi , avem:

respectiv

Consecința II.36: Fie I un interval din și integrabilă, strict pozitivă. Atunci pentru oricare cu avem:

Demonstrație: se deduce din concavitatea funcției logaritmice.

Teorema II.37: Fie I un interval din și o funcție monotonă și convexă. Atunci pentru avem:

Demonstrație: Fixând , și cum f este convexă pe deci integrabilă (continuă pe (a,b)), f este mărginită. Putem presupune f(x)0 (în caz contrar înlocuim funcția f cu ales convenabil).

Fie punctele și iar unde . Din convexitatea funcției f deducem că este un punct situat sub segmentul .

Fig. II.7

Astfel avem:

Pe de altă parte respectiv deci are loc concluzia.

Observația II.38: Dacă f este concavă atunci avem:

Toate inegalitățile sunt stricte dacă funcția f este strict convexă sau stric concavă.

Teorema II.39: Fie f o funcție crescătoare pe intervalul și funcția definită prin

Funcția este convexă pe .

Demonstrație: Funcția este continuă pe intervalul . Fie și . Vom arăta că care este echivalentă cu

Deoarece f este o funcție crescătore numărul este margine pentru f pe intervalele și . Ținem cont de faptul că atunci avem:

De aici avem:

Deci în baza Teoremei II.12 funcția este convexă pe

Teorema II.40. Fie un șir de funcții convexe definit pe un interval I. Dacă converge pe I la o funcție f atunci f este o funcție convexă.

Demonstrație: Presupunem că este un șir de funcții definit pe I care converge pe I la o funcție f . Aceasta înseamnă că pentru orice avem:

Ceea ce înseamnă că funcția f este convexă pe I.

Capitolul III

Aplicații ale funcțiilor convexe

III.1 Aplicații ale funcțiilor convexe în matematică

Pentru a demonstra, pornind de la definiție, că o funcție este convexă va fi nevoie de numeroase calcule și demonstrații destul de lungi. Având în vedere rezultatele stabilite în capitolele anterioare prezentăm, o modalitate mai ușoară, de stabilirea a convexității unei funcții , unde I este o reuniune de intervale.

Determinăm mulțimea pe care f este de două ori derivabilă și calculăm pe .

Determinăm rădăcinile ecuației ,

Descompunem în intervale disjuncte astfel încât pe oricare din aceste intervale nu se anulează.

Determinăm semnul derivatei a doua pe fiecare din intervalele stabilite la pasul precedent.

Stabilim convexitatea funcției f.

Rezultatele obținute le putem sintetiza într-un tabel.

Exemplu:

Stabiliți intervalele de convexitate ale funcției , cu

Funcția f este derivabilă pe tot domeniul de definiție. Avem și , și ecuația are rădăcina .

Deci f este strict concavă pe și strict convexă pe iar punctul este punct de inflexiune al graficului funcției.

Stabiliți intervalele de convexitate ale funcției , cu , unde D este domeniul maxim de definiție al funcției.

Domeniul de definiție al funcției f este . Avem și , . Semnul funcției este dat de semnul expresiei .

Deci funcția f este strict convexă pe intervalele și și strict concavă pe . Punctul este punct de inflexiune al graficului.

Să studiem convexitatea funcției .

Avem , deci

Așadar este convexă pe intervalul și concavă pe intervalul , iar este punct de inflexiune. Observăm că diferența a două funcții convexe nu este în general tot o funcție convexă, deoarece pe intervalul funcțiile și sunt ambele convexe.

Aplicația 1. Fie f o funcție continuă pe și , pentru . Vom extinde numărul de termeni din Teorema II.12. de la doi la patru.

Aplicația 2. Dacă f este o funcție definită pe intervalul și pentru orice , atunci pentru orice , avem:

Pentru a demonstra inegalitatea (*) vom folosi principiul inducției matematice.

Pentru n=1 inegalitatea este adevărată.

Presupunem că inegalitatea este adevărată pentru un număr întreg k pozitiv. Atunci avem:

Deci inegalitatea este valabilă pentru un număr întreg k+1. Astfel conform principiului inducției matematice inegalitatea:

este adevărată pentru orice întreg pozitiv.

Dacă în teorema II.16 alegem obținem:

Dacă f este convexă atunci

Dacă f este concavă atunci

Inegalitatea lui Holder:

Fie iar cu

Atunci avem inegalitatea

Demonstrație:

Fie , . Atunci și pentru orice . Deci f este concavă pe . Astfel putem scrie:

Observații: 1. Dacă atunci obținem:

Dacă , și reprezentând media aritmetică, media geometrică respectiv media armonică a numerelor . Atunci pentru orice natural și pentru orice numere reale , are loc inegalitatea

adică inegalitatea mediilor.

O variantă generalizată a inegalității lui Holder este următoarea:

unde iar .

Inegalitatea lui Tiberiu Popovici

Aplicația 3. Dacă este convexă, atunci pentru orice avem:

.

Având simetrie în cele trei variabile, putem presupune a < b < c.

Vom deosebi cazurile:

.

În primul caz avem ordonările:

și

și avem combinațiile convexe

,

de unde obținem:

,

de unde

.

Din convexitatea lui avem:

,

care prin adunare conduc la

,

de unde prin înmulțire cu se obține rezultatul cerut. Analog cazul ii.

Aplicația 4. Pentru orice , convexă, următoarele afirmații sunt echivalente:

;

avem ;

avem .

i. , deoarece avem .

ii. și cum =>

.

iii. ,

deci => .

Aplicația 5. Dacă este convexă, atunci există .

Notăm

, ,

pentru orice , exista un așa încât , de unde și deducem

Din definiția marginii inferioare cu proprietatea

și rezultă că

,

deci, .

Analog pentru .

Aplicația 6. Fie o funcție convexă și un șir de numere reale pentru care:

.

Să se arate că :

Fie funcția , cu , atunci și funcția , pentru

care

care este evidentă.

Atunci avem:

,

,

deci

Aplicația 7. Fie un interval și o funcție strict convexă. Dacă , și atunci este strict crescătoare pe

Funcțiile convexe, sunt continue pe interiorul intervalului și admit derivate laterale monoton crescătoare în punctele interioare lui I.

Dacă

și din interiorul lui , adică monoton crescătoare pe .

Fie fixați și să presupunem că , adică fiind monotonă pe este constantă. Însă

,

adică nu ar fi convexă. Nu poate avea loc

,

deci funcția f este strict crescătoare pe .

Aplicația 8. Fie derivabilă de două ori pe cu
. Dacă , demonstrați că:

Funcția este derivabilă pe deci și pe Fie o diviziune echidistantă a intervalului de normă .

Atunci avem:

Din faptul că f este convexă avem:

și deci

În continuare voi prezenta noțiunea de convexitate, respectiv funcție convexă și în alte domenii cum apare ea în anumite situații.

III.2 Aplicații ale funcțiilor convexe în economie

Pentru orice obligațiune, un grafic al relației dintre preț și randament este convex. Acest lucru înseamnă că graficul formează o curbă și nu o linie dreaptă. Gradul în care graficul este curbat, arată cât de multe schimbări are randamentul de obligațiuni, ca răspuns la o schimbare în preț. În această secțiune vom arunca o privire la ceea ce afectează convexitatea și modul în care investitorii se pot folosi pentru a compara obligațiuni

Termenul de randament este aparent simplu, poate fi destul de confuz pentru investitori. De exemplu, dacă iți cumperi un stoc de 30 dolari (bază de cost) și prețul actual și dividende anuale de 33 dolari și 1 dolar, respectiv, "randamentul de cost", va fi de 3,3% ($ 1/$30) și "randamentul curent" va fi de 3% (1 $ /$ 33). Obligațiunile au patru randamente: cupon (rata dobânzii obligațiunilor fixată la emitere), curent (rata dobânzii de obligațiuni ca un procent din prețul actual de obligațiuni), și randamentul la scadență (o estimare a ceea ce un investitor va primi în cazul în care obligațiunea are loc la data de maturitate). Obligațiunile municipale neimpozabile vor avea un randament de impozitare echivalent determinată de categoria de impozitare.

În economie convexitatea este o măsură în relația dintre prețurile de obligațiuni și randamentele obligațiunilor care demonstrează modul în care durata unei obligațiuni se schimbă în funcție de evoluția ratei dobânzii. Convexitatea este folosită ca un instrument de gestionare a riscurilor, și ajută pentru a măsura și de a gestiona cantitatea de risc de piață la care un portofoliu de obligațiuni este expus.

Fig. III.1 Grafic preț/randament

În exemplul de mai sus, Bond A are o convexitate mai mare decât Bond B, ceea ce înseamnă că toate celelalte fiind egale, Bond A va avea întotdeauna un preț mai mare decât Bond B. Convexitatea este de asemenea folositoare pentru compararea obligațiunilor. În cazul în care două obligațiuni nu oferă aceeași durată și randament, ci una prezintă o mai mare convexitate, modificări ale ratelor dobânzilor vor afecta fiecare obligațiune în mod diferit. Obligațiunile cu o mai mare convexitate sunt mai puțin afectate de ratele dobânzii decât obligațiunile al căror grafic au mai puțină convexitate. De asemenea, obligațiuni cu o mai mare convexitate vor avea un preț mai mare decât obligațiunile cu o convexitate mai scăzută, indiferent dacă rata dobânzii crește sau scade. Pe măsură ce convexitatea crește, riscul sistemic la care portofoliul este expus crește. Dacă convexitatea scade, expunerea la ratele dobânzii de pe piață scad și portofoliul de obligațiuni poate fi considerat acoperit. În general, cu cât mai mare rata cuponului, cu atât mai mică convexitatea (sau riscul de piață). Acest lucru se datorează faptului că ratele de pe piață ar trebui să crească foarte mult pentru a depăși cuponul pe obligațiuni, adică există un risc mai mic al investitorului.

III.3 Aplicații ale convexității în fizică

Convexitatea în optică

Fiind o știința practică, optica trebuie să se bazeze pe un număr cât mai mare de instrumente și aparate care să satisfacă necesitățile date. Aceste instrumente și aparate sunt alcătuite din componente optice, care, în raport cu tipul respectiv, îndeplinesc anumite funcții bine determinate.

Una dintre aceste componente optice o reprezintă oglinzile. În raport cu forma suprafețelor reflectate, oglinzile pot fi oglinzi plane sau oglinzi sferice, acestea din urma fiind convexe sau concave. Ori de câte ori o suprafața plană se caracterizează printr-un coeficient de reflexie mare, aceasta poate fi considerată, din punct de vedere optic, o oglinda plană.

Fig. III. 2. Imaginea virtuală dată de o oglindă plană

Imaginile obiectelor luminoase, formate de oglinzile plane, sunt imagini virtuale, asemănătoare cu obiectul și situate la distanta egală, în spatele oglinzii. De reținut este faptul că imaginea unui obiect orientat dreapta va fi orientat stânga.

Imaginile luminoase, formate de oglinzile sferice, depind de condiția dacă oglinda este concavă sau convexă și de distanța de la obiect la oglindă. Imaginea dată de o oglindă sferică este, din anumite puncte de vedere, superioară imaginii date de o lentilă, în special dacă nu se iau în vedere efectele cromatice.

Fig. III. 3. Reflectarea unui fascicul de lumina de o oglindă concavă și de către o oglinda convexă

Telescoape:

Există trei tipuri principale de telescoape optice în funcție de tipul obiectivului colector de lumină: refractoare (dioptrii) care folosește lentile, reflectoare (catoptrii) care folosește oglinzi și sistemul care combină lentile cu oglinzi (cadioptrii). Schema de baza este ca primul element care captează lumina, obiectivul (lentila (1) sau oglinda concavă), focalizează lumina unui obiect aflat la depărtare (4) pe un plan focal unde formează o imagine reala (5). Această imagine poate fi înregistrată, sau văzută printr-un ocular care se comporta ca o lupă. Ochiul (3) vede o imagine virtuală mărită (6) la o distanță mare.

Fig. III. 4 Schema de bază a unui telescop

Telescoapele care folosesc două lentile convexe fac ca imaginea să apară răsturnată.

Telescoape refractoare

Telescopul refractor, cunoscut și sub numele de lunetă, este primul model de telescop apărut (în Olanda în 1608).

Fig. III.5 Schema de bază a unui telescop Refractor

Telescopul refractor este un tip de telescop optic care refractă lumina. Lentila este convexă iar puterea de a aduna razele de lumină a unui astfel de telescop este proporțională cu mărimea obiectivului.

Interferența în lame subțiri de grosime variabila. Franje de egală grosime.

În figura de mai jos se consideră două lame de sticlă ce fac un unghi între ele realizând o pană de aer. Pentru fiecare grosime a lamei corespunzătoare se obține o franja de interferență. Franjele sunt localizate pe fetele penei sau în spațiu cu ajutorul unei lentile convergente L.

Fig III.6

Astfel de franje se întâlnesc des în practică. Un caz particular de franje de interferență de egală grosime îl constituie inelele lui Newton. Aceasta se realizează ca o pană de aer delimitată de o placă cu fețele plan-paralele și o lentilă plan convexă așezată pe ea.

III.4 Aplicații ale convexității în aviație

Forma convexă a secțiunii aripilor avionului generează la o viteză suficient de mare o forță de ascensiune care face posibil zborul avionului.

Fig. III.7 Aripa unui avion (secțiune)

Conform teoremei lui Bernoulli referitoare la scurgerea laminară presiunea statică este mai mică decât presiunea atmosferică

.

Această diferență de presiune statică acționând pe suprafața inferioară a aripilor determină apariția forței de ascensiune . Evident când este mai mare decât greutatea corpului (avionului) atunci acesta începe să se ridice.

Pentru a mări greutatea aparentă (aderența la asfalt) se folosește aripa invers poziționată pe mașinile de curse.

III.5 Aplicații ale convexității în electronică

Nivelul de presiune sonoră (termenul corect pentru intensitatea sunetului perceput de către urechea noastră ) – “volumul”, cum impropriu i se mai spune, se mișcă tot după graficul unei funcții convexe. Urechea, ca și restul senzorilor biologici (ochii, simțul olfactiv, ș.a.m.d.), are un răspuns logaritmic la sunet.

Fig.III.8 Graficul funcției logaritm

Toate curbele din grafic, în afară de cea albastră, reprezintă niște funcții logaritmice de diferite baze. Cea albastră este funcția f(x)=x (care are ca și grafic o dreaptă); restul funcțiilor sunt de forma y=log(x). O dată cu creșterea variabilei x, funcția de culoare albastra crește la fel de repede ca și x-ul, după cum se vede și din grafic, iar funcțiile logaritmice urcă repede la început, dar mult mai lent de la un punct încolo. Urechea umană este ca și funcțiile logaritmice: de la un punct încolo, este necesară o mult mai puternica vibrație a aerului (ceea ce ea percepe ca și sunet) decât pană la acel punct pentru a excita mai departe acest senzor uman.

Caracteristica amplitudine-frecventă a etajului amplificator EC arată astfel:

Fig. III.9 Caracteristica amplitudine-frecventa a etajului EC

De exemplu, când rotești de potențiometrul analogic al unui amplificator pentru a crește volumul, practic se crește tensiunea aplicată difuzoarelor, și ele se mișcă mai amplu, vibrează mai puternic aerul, iar urechea recepționează această modificare ca și o creștere a nivelului de presiune sonoră. Ai zice ca pentru a da de două ori mai tare, e nevoie de două ori mai mulți volți (unitatea de măsura a tensiunii)… Din păcate, este greșit – tensiunea aplicată difuzoarelor pentru a obține o dublare a nivelului de presiune sonoră este considerabil mai mare decât dublu tensiunii de pornire. Asta datorita răspunsului logaritmic al urechii – are nevoie de un stimul din ce în ce mai puternic, pentru a putea simți o creștere de volum. Alt exemplu: la mare parte din chitarei electrice, potențiometrul de volum nu este foarte util, pentru ca nu oferă o creștere liniară (din punctul de vedere al urechii) a volumului; la început, crește mult, si după aceea, aproape insesizabil – practic, nu prea poți avea un control fin asupra volumului. Motivul acestui fapt – potențiometrul respectiv este liniar, și controlează în mod liniar tensiunea de ieșire a chitarei, implicit și pe cea a amplificatorului și a tensiunii de pe difuzoare. Urechea umană nu este liniară, și nu apreciază liniaritatea, ea vrea din ce în ce mai mult. Prin urmare, pentru a se putea apropia din punct de vedere matematic de percepția urechii umane, s-a adoptat scara decibelilor (dB). Decibelul este de fapt exprimarea unui raport, și nu are unitate de măsură cum ar fi volt-ul, metrul sau altele. Este doar un număr, care semnifica modalitatea de raportare a unui semnal măsurat la unul de referință.

Partea a II – a

Capitolul IV

În acest capitol vor fi abordate aspectele metodice privind predarea și învățarea temei cum ar fi: locul și rolul temei în programa școlară, competențele și obiectivele vizate, metodele, mijloacele și materialele care pot fi utilizate în predarea-învățarea temei, mini-culegere de probleme cu soluții sau indicații de rezolvare.

IV. 1. Aspecte metodice privind predarea – învățarea temei

Educația membrilor unei societăți este o problemă vitală pentru evoluția acesteia. O serie de caracteristici ale activității educaționale, anvergura deosebită, implicațiile sociale, fac din organizarea acesteia o activitate deosebit de importantă. Ea cuprinde diverse forme, iar atenția maximă a factorilor responsabili este evident orientată pe activitățile de formare a tinerei generații.

Un rol deosebit în acest sens îi revine învățământului, a cărei principală sarcină este de a forma și a perfecționa forța de muncă necesară pentru toate domeniile social-economice. Introducerea progresului tehnic, amplificarea și diversificarea performanțelor societății trebuie să fie susținute de ridicarea nivelului de pregătire a forței de muncă.

Procesul de învățământ atât ca proces de comunicare cât și ca proces de cunoaștere dirijată presupune interacțiunea a doi factori: unul care comunică – profesorul și unul care receptează – elevul. Profesorul are misiunea de a realiza procesul de comunicare a noilor cunoștințe, dar și obligația de a asigura accesibilitatea și receptarea acestora de elev. Elevul este factorul căreia îi este consacrat întregul proces de învățământ, fiind în permanență studiat de acesta sub raport psihopedagogic și este supus acțiunilor educative în mod gradat, deci este obiect al educației. Dar educația modernă impune ca elevul să participe în procesul devenirii sale și ca subiect, adică el însuși să stabilească și să desfășoare acțiuni formative care să-i perfecționeze personalitatea.

Un obiectiv important în predarea matematicii este stimularea creativității. Creativitatea este capacitatea de a realiza ceva nou. În acest scop de folosesc date sau produse existente, dar intervine ca element esențial atitudinea, dispoziția intelectului de a elabora ceva original: model, idei, teorii etc. Prezența creativității este atestată de anumite elemente cum ar fi: originalitatea, ingeniozitate, flexibilitate și fluență.

Creativitatea este un proces ce se desfășoară în timp. Etapele procesului creator sunt: definirea problemelor, adunarea materialului și activitatea efectivă de creație. Procesul creativității se finalizează prin elaborarea unui produs, cu cel puțin două însușiri definitorii: originalitate și utilitate socială.

Dezvoltarea creativității individuale și în grup este facilitată de adoptarea unor metode de învățământ adecvate. Stimularea creativității nu se poate realiza eficient decât pe baze științifice, în urma elaborării unui plan sau program care cuprinde mai multe etape de aplicare: etapa orientativă, etapa explorativ-investigatorie și etapa antrenamentului creator.

Inovația reprezintă o schimbare cu caracter de noutate, care poate fi o modificare sau o restructurare creatoare, sau o investiție aplicată. Scopul urmărit este îmbunătățirea muncii, rezolvarea unei probleme printr-o metodă nouă, ingenioasă, creșterea eficienței.

IV.2. Legea educației naționale, repere în instruirea diferențiată

În contextul legislativ actual, instruirea diferențiată ocupă un loc important. Cele două forme de organizare ale acesteia, învățământul special și special integrat și învățământul pentru copiii și tinerii capabili de performanțe înalte, sunt descrise în secțiunile 13, respectiv 14 ale Legii educației naționale nr.1, publicată în Monitorul oficial din 10.01.2011. Fiecare dintre aceste două forme sunt detaliate prin legislația secundară: OM 5573/ 07.11.2011 Regulamentul de organizare și funcționare a învățământului special și special integrat, OM 5575/ 07.11.2011 Metodologia privind organizarea serviciilor de sprijin educațional pentru copiii, elevii și tinerii cu cerințe educaționale speciale integrați în învățământul de masă, respectiv OM 5577/ 07.11.2011 Metodologia de organizare și funcționare a centrelor de excelență.

Secțiunea a 13-a a Legii educației naționale, articolele 48-56 conturează principiile instruirii diferențiate pentru elevii cu cerințe educative speciale, din învățământul special și special integrat. Articolul 50 al legii pune din nou împreună resursele școlii și ale instituțiilor specializate în evaluarea, asistența psihoeducațională, orientarea școlară și orientarea profesională a elevilor cu cerințe educaționale speciale: centrele județene de resurse și de asistență educațională CJRAE/ CMBRAE, precum și serviciilor de evaluare și de orientare școlară și profesională. Desigur, o atenție deosebită se acordă învățământului special integrat. Instruirea diferențiată a elevilor cu cerințe educaționale speciale se realizează cu ajutorul cadrelor didactice de sprijin, prin școlarizare la domiciliu, prin înființarea de clase sau grupe în cadrul spitalelor.

Articolul 8 din OM 5573/ 07.11.2011 Regulamentul de organizare și funcționare a învățământului special și special integrat cuprinde principiile de organizare a acestor două tipuri de învățământ: „învățământul special și special integrat se realizează pe baza principiilor învățământului democratic, a accesului tuturor copiilor la orice formă de educație, a dreptului la educație diferențiată și la pluralism educațional, a dreptului la educație la toate nivelurile, indiferent de condiția socială sau materială, de sex, rasă, naționalitate, apartenență politică ori religioasă sau vreo altă îngrădire ce ar putea constitui o discriminare”.

Din seria de termeni definiți în regulament, îi amintim pe aceia care conturează filosofia instruirii diferențiate pentru elevii cu deficiențe educaționale:

Adaptare curriculară: adaptarea conținuturilor componentelor curriculumului național cu posibilitățile copilului cu CES, din perspectiva finalităților procesului de adaptare și de integrare școlară și socială a acestuia;

Plan de servicii personalizat – modalitatea de programare și coordonare coerentă a resurselor și serviciilor individualizate pentru copiii/ elevii/ tinerii cu CES integrați în unități de învățământ de masă, focalizată pe nevoile de dezvoltare ale acestora;

Program de intervenție personalizat – un instrument de proiectare și implementare a activităților educațional-terapeutice utilizat pentru eficientizarea activităților de intervenție și atingerea finalităților prevăzute în planul de servicii personalizat;

Organizarea și funcționarea învățământului special au la bază următoarele obiective, prevăzute în articolul 20 al regulamentului:

prevenirea sau depistarea precoce a deficiențelor, incapacităților și a handicapurilor;

intervenția educațională timpurie;

abordarea globală și individualizată a copilului cu CES sau alte tipuri de cerințe educaționale; acest aspect se referă la identificarea, valorificarea și stimularea tuturor capacităților și disponibilităților cognitive, de limbaj, psihomotorii, afectiv-relaționale și social-adaptativ existente sau potențiale;

accesul la educație al tuturor copiilor cu CES sau alte tipuri de cerințe educaționale;

egalizarea șanselor;

asigurarea educației de calitate similară celei oferite copiilor de aceeași vârstă din școlile de masă;

asigurarea educației de calitate specializată, adecvată particularităților specifice tipului și gradului de deficiență ale fiecărei persoane și în concordanță cu planurile-cadru și cu programele școlare aprobate de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului;

asigurarea serviciilor și a structurilor de sprijin necesare în funcție de amploarea, intensitatea și specificul CES ale fiecărui copil;

cooperarea și parteneriatul în educația specială și specială integrată;

cooperarea și parteneriatul dintre instituțiile care oferă servicii de educație specială și autoritățile locale.

OM 5575/ 07.11.2011 Metodologia privind organizarea serviciilor de sprijin educațional pentru copiii, elevii și tinerii cu cerințe educaționale speciale integrați în învățământul de masă definește organizarea serviciilor educaționale de sprijin, rolurile CJRAE/ CMBRAE, ale profesorilor de sprijin și ale profesorilor itineranți.

Legea educației naționale stabilește, pentru copiii și tinerii cu performanțe educative înalte, activități atât în unitățile de învățământ de masă, cât și în centrele de excelență de la nivelul fiecărui județ/ al municipiului București. Coordonatorul acestor activități de performanță este Centrul Național de Instruire Diferențiată. Principalele forme de instruire diferențiată în vederea performanței sunt olimpiade și concursuri, tabere de profil, simpozioane etc. Principiul acestora este respectarea particularităților de învățare și orientarea către performanță.

OM 5577/ 07.11.2011 Metodologia de organizare și funcționare a centrelor de excelență definește atribuțiile și competențele Centrului de excelență, ca instituție care vine în sprijinul elevilor cu performanțe școlare înalte pentru care este necesară o instruire diferențiată:

În scopul asigurării accesului la educație diferențiată al copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte:

elaborează strategii de identificare și de selecție a copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte în vederea constituirii unor grupe de performanță pe discipline, arii curriculare sau domenii științifice, artistice, tehnice;

inițiază acțiuni de identificare și promovare a copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte.

În scopul asigurării pregătirii diferențiate a copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte:

elaborează programe de educație diferențiată, în colaborare cu specialiști din învățământul universitar și preuniversitar, pe discipline, arii curriculare sau domenii științifice, artistice, tehnice, și le propune spre avizare Centrului Național de Instruire Diferențiată;

asigură anual constituirea și funcționarea grupelor de excelență;

asigură încadrarea cu personal didactic pentru grupele de excelență;

asigură organizarea și funcționarea bibliotecii proprii;

elaborează programe și proiecte în vederea asigurării resurselor materiale, curriculare, informaționale și financiare necesare desfășurării activității și asigură implementarea acestora;

elaborează și asigură implementarea unor programe de parteneriat cu diverse instituții din țară și din străinătate, cu organizații neguvernamentale, cu comunitatea locală, în scopul îmbunătățirii condițiilor și resurselor necesare educării diferențiate a copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte;

dezvoltă programe proprii de cercetare didactică și organizează conferințe care au ca temă activitățile specifice centrului de excelență;

organizează anual tabere naționale de pregătire a copiilor și tinerilor capabili de performanțe înalte, pe discipline.

În ceea ce privește activitatea fiecărui cadru didactic de a instrui diferențiat în cadrul lecțiilor, al activităților curriculare, capitolul următor va investiga traseul parcurs, de la identificarea particularităților individuale și de grup, proiectarea și implementarea scenariului didactic la evaluarea elevilor din perspectiva instruirii diferențiate.

IV.3. Locul și rolul temei în programa școlară

Programa școlară este parte componentă a curriculumului național. Aceasta reprezintă documentul școlar de tip reglator – instrument de lucru al profesorului – care stabilește, pentru fiecare disciplină, oferta educațională care urmează să fie realizată în perioada de timp alocată pentru un parcurs școlar determinat.

Noțiunile principale studiate în matematica predată în clasele I – X au fost: numerele, seturile de numere (perechi, triplete de numere, polinoame etc.), funcțiile, configurațiile geometrice, transformările geometrice etc.

Progresul extraordinar al ideilor și al metodelor matematice, manifestat atât pe linia dezvoltării teoriilor clasice cât și prin apariția unor domenii de interes nemijlocit prin cunoaștere, a determinat pe cercetători și profesori să caute drumuri noi pentru a-i îndruma pe elevi spre comorile gândirii matematice.

Obiectul de studiu al analizei matematice îl constituie în principal numerele reale și funcțiile reale. Dar spre deosebire de utilizarea acestora în algebră, se întâlnesc aici tipuri noi de raționament, tipuri noi de calcul, bazate prin excelență pe noțiunea de limită, pe noțiunea de funcție continuă, funcție derivabilă ori funcție care admite primitive. De altfel, în clasele anterioare elevii au avut ocazia să întâlnească multe probleme, unele având o sursă practică – fiind oferite de fizică, economie, tehnologie – a căror rezolvare nu era posibilă în cazul algebrei sau geometriei elementare.

În noua structură a învățământului obligatoriu, nivelul ridicat de complexitate al finalităților este determinat de necesitatea asigurării deopotrivă a educației de bază pentru toți cetățenii – prin dezvoltarea echilibrată a tuturor competențelor cheie și prin formarea pentru învățarea pe parcursul întregii vieți – și a inițierii în trasee de formare specializate.

Studiul analizei matematice în ciclul superior al liceului urmărește: să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra acesteia, în funcție de propriile nevoi și dorințe; să formuleze și să rezolve probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii; să înzestreze absolventul de liceu cu un set de competențe, valori și atitudini, pentru a favoriza o integrare profesională optimă.

În elaborarea programei școlare se au în vedere schimbările intervenite în structura învățământului preuniversitar și modificarea structurii liceului prin noile planuri-cadru de învățământ. Astfel, planurile-cadru pentru clasele a XI-a și a XII-a, ciclul superior al liceului, păstrează structura celor din ciclul inferior al liceului și sunt structurate pe trei componente: trunchi comun (TC); curriculum diferențiat (CD); curriculum la decizia școlii (CDȘ) – la filierele teoretică și vocațională, respectiv curriculum de dezvoltare locală (CDL) – la filiera tehnologică.

Curriculumul de Matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică, în contexte variate, a competențelor dobândite prin învățare.

În mod concret, se urmărește:

esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative;

compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia;

continuitatea, coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într-o formă accesibilă, în scopul de a stimula motivația pentru studiul matematicii;

asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.

Programa școlară este parte componentă a curriculumului național. Aceasta reprezintă documentul școlar de tip reglator – instrument de lucru al profesorului – care stabilește, pentru fiecare disciplină, oferta educațională care urmează să fie realizată în perioada de timp alocată pentru un parcurs școlar determinat.

Programele școlare de Matematică pentru ciclul superior al liceului sunt structurate pe formarea de competențe. Înțelese ca ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, competențele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii de acțiune în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.

Predarea și învățarea noțiunii de funcție convexă se face în clasa a IX – a la capitolul funcții și se reia la un nivel avansat în clasa a XI-a, la analiză matematică, după parcurgerea noțiunilor de: limite de funcții, funcții continue și funcții derivabile. Noțiunea de funcție convexă are un rol deosebit de important în aprofundarea noțiunilor de bază ale analizei matematice și în aplicațiile acestora în alte domenii de activitate. Această noțiune are rezultate importante în mai multe domenii cum ar fi: economie, fizică, chimie rezultate care au un suport matematic solid în teoremele clasice ale analizei matematice.

Dacă inițial se punea problema aprofundării noțiunilor teoretice prin aplicații imediate și destul de abstracte pentru nivelul elevilor, mai nou, motivația elevilor este crescută dacă sunt prezentate extinderi ale noțiunilor abstracte în alte domenii ( de exemplu economie, fizică, chimie, etc.).

IV.4. Competențe și obiective vizate

Studiul matematicii în ciclul superior al liceului urmărește: să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra acesteia, în funcție de propriile nevoi și dorințe; să formuleze și să rezolve probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii; să înzestreze absolventul de liceu cu un set de competențe, valori și atitudini, pentru a favoriza o integrare profesională optimă.

Ca și competențe generale vizate, studiul matematicii urmărește:

Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme

Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei problem

Analiza de situații-problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor

Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor.

Curriculumul școlar pentru Matematică are în vedere formarea la elevi a următoarelor valori și atitudini:

manifestarea curiozității și a imaginației în crearea și rezolvarea de probleme

manifestarea tenacității, a perseverenței și a capacității de concentrare

dezvoltarea unei gândiri deschise, creative și a unui spirit de obiectivitate și imparțialitate

dezvoltarea independenței în gândire și acțiune

manifestarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate

dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice

formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.

Formulez fără o ierarhie strictă câteva obiective instructiv-educative sau operaționale care trebuie atinse în cazul predării noțiunilor de funcție convexă, jalonând etapele necesare în gândirea elevilor.

Elevii trebuie să dobândească un sistem de cunoștințe științifice relativ la: noțiunea de funcție, noțiunea de convexitate/concavitate, graficul unei funcții, interpretarea geometrică a convexității/concavității,, inegalități celebre și aplicațiile acestora.

Dezvoltarea gândirii elevilor, a capacității lor de analiză și sinteză, a intuiției și conducerii raționamentelor și a calculelor.

Consider că acest obiectiv este atins dacă la sfârșitul studierii elementelor de analiză matematică din liceu elevii:

au asimilat noțiunile de bază ale analizei și au o privire de ansamblu asupra corelării logice în înlănțuirea acestora;

conduc calcule ”exacte” de analiză dar și calcule ”aproximative”, în spiritul utilizării calculatoarelor;

operează cu noțiunile de bază, pot să încadreze diversele probleme în clasa corespunzătoare, având o atitudine activă: înțeleg problema, întocmesc planul de rezolvare, realizează acest plan, au o privire retrospectivă asupra soluției obținute, inclusiv o verificare a verosimilității rezultatului și o interpretare a acestuia, găsirea unor soluții mai simple, mai clare, eventual o reconsiderare a modului de redactare a rezolvării.

Formarea unor trăsături ale personalității elevilor.

Înțelegerea analizei matematice, incluzând istoria evoluției ideilor ei principale, ca și nevoia de a folosi metode de analiză matematică creează la elev perseverență, tenacitate, voință, răbdare, putere de sinteză, intuiție superioară și spirit de inventivitate.

Ca și alte discipline, analiza matematică contribuie mult la aspectul formativ, stimulând subiectul să participe la observație, comparare, clasificare, experiență, inducție, deducție, analogie, simț al realității, capacitate de modelare, de stimulare, obișnuința de a nu gândi doar prin fragmente și înțelegerea faptului că orice fragment este o parte dintr-un tot.

IV.5. Metodica predării funcțiilor convexe

Capitolul, fiind conținut de programa clasei a X-a, în Capitolul funcții și ecuații adresează elevilor din ciclul inferior al liceului care studiază TRUNCHI COMUN ȘI CURRICULUM DIFERENȚIAT cât și în ciclul superior al liceului la clasa a XI –a în Capitolul Funcții derivabile. Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor. Acest curriculum are drept obiectiv crearea condițiilor favorabile fiecărui elev de a-și forma și dezvolta competențele într-un ritm individual, de a-și transfera cunoștințele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta. Demonstrarea proprietăților pe grafic a devenit, putem spune, în clasa a X-a obicei, iar elevii au deprins în oarecare măsură și tehnica demonstrațiilor. În acest capitol pe lângă însușirea cunoștințelor prevăzute în programă, profesorul poate urmări deplina și conștienta însușire a regulilor care trebuie respectate în rezolvarea unei probleme, precum și formarea deprinderii de a o scrie concis și ordonat.

Lecțiile consacrate funcțiilor, la începutul clasei a X – a, urmăresc ca elevii să-și însușească definiția funcțiilor (când între două mulțimi putem stabili o corespondență care mai apoi să arătăm că este funcție), să cunoască elementele sale (domeniul maxim de definiție al funcției, codomeniul de definiție și legea care leagă cele două mulțimi), proprietățile funcțiilor (funcții crescătore, descrescătoare, injective, surjective, bijective, funcții convexe, concave), operațiile cu funcții (adunarea, compunerea etc) și să formeze deprinderi pentru a construi funcții.

Definiția noțiunii de funcție se introduce prin diagrame (se arată intuitiv când o corespondență între două mulțimi formează o funcție) apoi se introduce definiția concretă în care se stabilesc elementele care definesc o funcție (domeniu de definiție, codomeniu și legea care leagă cele două mulțimi).

La predarea Claselor de funcții se introduc definițiile funcțiilor injective, surjective și bijective cu exemple. Este bine ca aceste proprietăți să fie ilustrate cu ajutorul unor exemple adecvate.

Tema cea mai dificilă din capitolul Funcții este noțiunea de funcție convexă. Celelalte proprietăți nu prezintă prea mari dificultăți de înțelegere. Din această cauză, și ținând seama de experiența matematică pe care elevii au dobândit-o, proprietatea de convexitate respectiv concavitate se prezintă atât sub forma definiției tradiționale cât și ce înseamnă funcție convexă analizând reprezentarea grafică. Putem anticipa noțiunea de continuitate (fără a demonstra acest lucru demonstrația făcându-se în clasa a XI – a la analiză matematică) pentru funcțiile elementare.

După definirea funcțiilor convexe respectiv concave se introduc exemple sugestive pentru a ilustra proprietatea.

Utilizarea definiției I.4. este destul de dificilă. De aceea introducem o definiție echivalentă aplicabilă doar funcțiilor continue. Noțiunea de funcție continuă se va studia în clasa a XI –a. Considerăm faptul că funcțiile elementare studiate până acum (funcția polinom, funcția radical, funcția rațională, funcțiile trigonometrice etc) sunt continue pe domeniul maxim de definiție.

Dacă în Definiția I.4 înlocuim obținem:

Dacă f este o funcție continuă pe și , pentru orice , atunci funcția f este convexă.

Geometric o funcție f este convexă pe un interval dacă oricare a fi două puncte distincte , graficul funcției f cuprins între și se află sub segmentul de dreaptă cu extremitățile în punctele și .

Funcția cu graficul este o funcție convexă dacă și numai dacă oricare a fi A, B atunci restricția graficului lui f la se află sub segmentul AB.

Altfel spus graficul funcției convexe este situat sub orice coardă dacă unim două puncte situate pe graficul funcției. Cu alte cuvinte convexitatea caracterizează din punct de vedere geometric alura unei funcții. Astfel despre graficul unei funcții convexe se spune că ”ține apă” iar despre graficul unei funcții concave că ”nu ține apă”.

Pentru următoarele funcții determinăm intervalele de monotonie și intervalele de convexitate respectiv concavitate.

Funcția de gradul al doilea , .

Fie și respectiv raportul

Dacă atunci adică funcția este strict descrescătoare pe

Dacă atunci adică funcția este strict crescătoare pe

Funcția este convexă pe deoarece

avem

Funcția , .

.

Observăm că pentru , atunci și dacă atunci . Astfel f este strict descrescătoare pe și f este strict descrescătoare pe

Pentru , f este concavă

Pentru f este convexă .

Funcția , .

pentru oricare și . Astfel f este strict crescătoare pe . Pentru studiul convexității aflăm semnul diferenței

Observăm că pentru , deci f este concavă pe . Dacă , deci f este convexă pe.

fig. II.4

Pentru clasa a XI – a noțiunea de funcție convexă pe lângă definiția tradițională se introduce și cu ajutorul derivatei a doua. După introducerea noțiunii de funcție continuă se prezintă noțiunea de derivată. Un rol major în studiul unei funcții îl are noțiunea de derivată. Derivata a doua a unei funcții (dacă există este cea care exprimă convexitatea respectiv concavitatea unei funcții.

Fie I un interval din și o funcție derivabilă de două ori în . Dacă funcția f este convexă pe I, atunci .

Pentru a stabili intervalele de convexitate este mult mai comod să folosim derivata a doua.

Funcția de gradul al doilea , .

deci funcția este convexă pe

Funcția ,

După semnul derivatei a doua avem: f este convexă f este concavă

Funcția ,

Atunci avem: f este concavă pe și f este convexă pe .

Tot în clasa a XI – a reprezentarea grafică a funcțiilor este strâns legată de noțiune de funcție convexă adică de derivata a doua a funcțiilor.

Tehnica Trasării graficului unei se bazează în mare parte și pe studiul convexității unei funcții.

În vederea reprezentării grafice a unei funcții se parcurg următoarele etape:

Stabilirea domeniului de definiție

În cazul în care domeniul nu este indicat în enunț subînțelegem că funcția este dată pe domeniul ei maxim e definiție . Se recomandă sriere domeniului ca reuniune de intervale

Studiul eventualelor simetrii (paritatea sau imparitatea funcției)

Dacă domeniul de definiție este o mulțime simetrică adică verificăm dacă funcția este pară sau impară. În caz afirmativ se va studia funcția doar pe mulțimea domeniul de lucru. După trasarea graficului pe această mulțime se va prelungii graficul pe construindu-l simetric față de pentru funcții pare respectiv simetric față de origine pentru funcții impare.

Intersecțiile cu axele

Cu axa – se rezolvă ecuația . Soluțiile acestei ecuații reprezită abscisele punctelor în care graficul taie axa

Cu axa – dacă atunci este punctual în care graficul taie

Asimptotele

Se studiază comportarea funcțiilor în extremitățile fiecărui interval ce intră în componența lui stabilindu-se asimptotele (verticale, orizontale și oblice) pe care le are graficul.

Derivata întâi

Calculăm determinăm domeniul acesteia și rădăcinile ecuației . Astfel studiem monotonia și punctele de extreme ale lui .

Calculăm derivata a doua.

Calculăm determinăm domeniul acesteia și rădăcinile ecuației . Astfel studiem convexitatea și punctele de inflexiune ale lui .

Tabloul de variație

Va conține 4 linii: linia lui (se indică toate valorile particulare ale lui stabilite în etapele anterioare), liniile lui și ( se indică semnul acestor expresii) și linia lui (se indică prin săgeți alura graficului).

Dacă între două punte ale graficului avem:

– crește convex;

– crește concav;

– descrește convex;

– descrește concav;

atunci săgeata graficului va avea respectiv una din formele:

Trasarea graficului – în reperul se trasează asimptotele și apoi graficul pe baza datelor din tabelui de variație.

La nivelul clasei a XII –a noțiunea de funcție convexă nu mai apare însă se pot formula probleme de calcul integral care să se rezolve folosind pe noțiunea de funcție convexă.

În continuare propun o mini culegere de probleme pentru toate nivelurile în care se studiază noțiunea de funcție convexă.

Mini culegere de probleme

Dacă este convexă și derivabilă de două ori cu: atunci:

.

Ținem cont că .

Fie o funcție convexă, atunci pentru orice și funcția cu , g este convexă.

Fie și cu atunci

Dacă este o funcție convexă și , atunci funcția , este convexă și reciproc.

Fie și cu . Atunci avem:

Reciproc dacă și cu atunci adică funcția este convexă.

Fie . Să se arate că f este funcție convexă.

Din reprezentarea grafică a funcției este evidentă convexitatea acesteia.

Fie . Să se arate că f este funcție convexă.

, adică funcția f este convexă.

Dacă; cu atunci.

Considerând funcția ln: care este concavă. Aplicând inegalitatea lui Jensen avem:

Adică .

Fie f o funcție integrabilă și convexă astfel încât . Să se arate că .

Șirul

este convergent la . Pe de altă parte din inegalitatea lui Jensen avem:

și deci

Presupunem că ar exista , pentru care și considerând , pentru care avem și f convexă, de unde . Dar

contradicție cu

Fie o funcție convexă și continuă pentru care . Atunci ecuația are o singură soluție. (Extindere pentru teorema lui Darboux)

Presupunem , iar cu . Dacă și fie . Pentru atunci cu și din convexitate deducem:

și , adică este situat deasupra segmentului , absurd, adică cel mult într-un punct se poate anula. Existența este asigurată de continuitatea lui f.

Fie un interval și o funcție concavă și monoton crescătoare. Atunci oricare ar fi care sunt în progresie aritmetică crescătoare, avem:

Fie în progresie, adică și analog care prin adunare conduc la .

Fie un interval și o funcție nenegativă și de două ori derivabilă cu

și atunci:

Din inegalitatea mediilor , de unde

.

Dar din concavitate avem:

adică cerința.

Să se arate că:

Fie

adică și avem

Fie , cu și din convexitatea lui f avem:

Adică cerința.

Fie cu atunci avem:

Considerăm funcția , care este convexă. Deoarece

adică

ceea ce reprezintă cerința

Dacă și atunci .

Funcția este convexă. Avem

de unde inegalitatea cerută.

Dacă și atunci .

Funcția este convexă. Avem

Dacă funcția este convexă și inversabilă atunci:

este convavă, deci avem:

Cum f este funcție convexă avem:

Dacă nu sunt toate nule, să se arate că:

Inegalitatea este echivalentă cu:

Fie funcția pentru care care este negativă. Cum f este concavă, aplicăm proprietatea de concavitate pentru

Se consideră funcția dată prin . Să se arate că:

Deducem . Avem inegalitățile:

pentru monoton crescătoare, integrabilă și convexă.

Dacă

Să se arate că dacă atunci:

Putem scrie:

Conform inegalității mediilor pentru avem:

<=>

astfel obținem:

Există două funcții convexe(concave) al căror grafic se intersectează în mai mult de 2 puncte.

Răspunsul este afirmativ există două funcții convexe(concave) al căror grafic se intersectează în mai mult de două puncte.

Funcția și funcția g.

Funcțiile f și g se intersectează în punctele 2, 4 și un punct negativ după cum arată și reprezentarea lor grafică.

Fie un interval iar funcții concave, . Să se demonstreze că funcția este de asemenea concavă.

Fie . Prin ipoteză avem:

Unde a doua sumă conține termeni corespunzători posibilităților de a alege submulțimile ale lui

Din inegalitatea mediilor avem:

Deci

adică ceea ce trebuia demonstrat.

IV.6. Metode, mijloace, materiale ce pot fi utilizate în predarea-învățarea temei

Predarea părții teoretice a analizei matematice trebuie însoțită permanent de rezolvarea problemelor care contribuie la însușirea mai temeinică a cunoștințelor de analiză și la adâncirea lor. În același timp, cu ajutorul problemelor se arată elevilor importanța cunoștințelor din analiza matematică. Se mai pot da probleme și înainte de a studia o teoremă, cu scopul de a face pe elevi să înțeleagă conținutul teoremei respective.

Am putea deci face din acest punct de vedere – următoarea clasificare a problemelor de analiză:

a) Probleme care se dau înainte de a studia o teoremă, cu scopul de a face pe elevi să înțeleagă conținutul teoremei-respective sau să arate necesitatea studierii unei anumite proprietăți.

b) Probleme care se dau după ce s-a studiat o teoremă, cu scopul de a realiza o însușire temeinică a acestei teoreme, de a cerceta toate cazurile particulare care se pot prezenta.

c) Probleme care să arate elevilor importanța practică a analizei matematice, care să contribuie la legarea teoriei de practică.

d) Problemele de recapitulare a unui capitol sau de recapitulare finală.

e) Probleme de calcul

În accepțiunea modernă, metodele de învățământ reprezintă modalități de acțiune, instrumente cu ajutorul cărora elevii, sub îndrumarea profesorului sau în mod independent, își însușesc cunoștințe, își formează și dezvoltă priceperi și deprinderi intelectuale și practice, aptitudini, atitudini.

Înțeleasă ca plan de acțiune, metoda didactică reprezintă o succesiune de operații realizate în vederea atingerii unui scop, un instrument de lucru în activitatea de cunoaștere, de formare și dezvoltare a abilităților.

Procesul de predare – învățare – evaluare înseamnă mai mult decât un set de metode. A preda bine înseamnă că obiectivele de învățare sunt atinse de către un anumit grup de elevi, la un moment al anului școlar, cu anumite resurse, într-un anume interval de timp, într-o anume școală dintr-o anumită comunitate. Aceasta înseamnă de fapt găsirea unui echilibru între intervenția directă a profesorului și orchestrarea de activități individuale și de grup pentru elevi. Adică, în timp ce se dezvoltă competențele elevilor și strategiile de învățare, elevii învață și conținutul curriculumului.

Un profesor cu vocație abordează predarea matematicii ca pe o cale de cunoaștere și nu ca pe transmiterea unui set de cunoștințe statice sau idei inerte. Căile de cunoaștere – gândirea matematică – înseamnă stăpânirea de către elevi a unor concepte și a unor strategii de a(-și) adresa întrebări și de a construi cunoașterea. A gândi transdisciplinar înseamnă a identifica probleme, a formula întrebările potrivite, a aduce cunoștințele necesare pentru soluționare, a identifica soluțiile potrivite și a aplica măsurile potrivite pentru rezolvarea problemelor cu succes.

Deși procesul de predare – învățare – evaluare înseamnă mai mult decât o mulțime de strategii de învățare, există câteva metode care ar trebui să facă parte din repertoriul fiecărui profesor. Câteva dintre aceste metode pot sta la baza unei lecții întregi. Altele pot fi combinate în așa fel încât să constituie o lecție coerentă care permite atingerea obiectivelor de învățare.

Selectarea metodelor și a procedeelor celor mai adecvate poate contribui decisiv la accentuarea caracterului formativ, activ și conștient al dobândirii cunoștințelor. Un punct central în aplicarea oricărei metode didactice este urmărirea unui grad cât mai înalt de participare activă a elevilor. Astfel se disting metode tradiționale, metode moderne, metode de învățare activa, metode de dezvoltare a creativității. Desigur ca în cadrul diferitelor tipuri de lecții se realizează o combinare a metodelor tradiționale cu cele moderne și se recomandă alternarea lor cu metodele active de învățare, respectiv cu metodele de dezvoltare a creativității elevilor.

Metode tradiționale

Metodele tradiționale, expozitive ori frontale lasă impresia că nu ar mai fi în conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului. Acestea pot însă dobândi o valoare deosebită în condițiile unui auditoriu numeros, având un nivel cultural care să-i asigure accesul la mesajul informațional transmis raportat la unitatea de timp.

Metodele tradiționale au următoarele caracteristici:

pun accentul pe însușirea conținutului, vizând, în principal, latura informativă a educației;

sunt centrate pe activitatea de predare a profesorului, elevul fiind văzut ca un obiect al instruirii, așadar comunicarea este unidirecțională;

sunt predominant comunicative,;

sunt orientate, în principal, spre produsul final, evaluarea fiind de fapt o reproducere a cunoștințelor;

au un caracter formal și stimulează competiția;

stimulează motivația extrinsecă pentru învățare;

relația profesor-elev este autocratică, disciplina școlară fiind impusă. Aceste metode generează pasivitatea în rândul elevilor.

Dintre metodele de lucru tradiționale enumerăm: metoda exercițiului, demonstrația matematică, conversația, expunerea sistematică a cunoștințelor.

Expunerea sistematică a cunoștințelor

Este metoda care se prezintă în mai multe variante: povestii și explicația, aceasta din urmă fiind cel mai des întâlnită. Povestirea mai puțin folosită chiar și în clasele foarte mici. Pentru clasele de liceu și numai la anumite teme se poate folosi prelegerea.

Povestirea constă în descrierea unor fapte, evenimente, personaje. Prin povestire, la matematică, se transmit date de studiul unei discipline noi sau în prima lecție din cadrul unității de învățare, se prezintă importanța temei respectiv anumit autorii descoperirilor teoriei matematice respective. Pentru a înlătura monotonia, în cadrul unor ore, putem propune elevilor povestiri cu subiect dat. în acest sens alegem un conținut tematic oarecare (și să creăm o povestire în care personajul principal este conceptul ales, iar alte personaje sunt “rudele” acestuia). În acest fel, elevii ajung în mod natural la caracterizarea unei noi noțiuni prin sesizarea asemănărilor și deosebirilor dintre și altele studiate anterior.

Prelegerea constă în prezentarea de către profesor a matematic în mod neîntrerupt. Se prezintă definiții, proprietăți, teoreme, demonstrații fără ca elevului să i se adreseze o întrebare.

Explicația constă în transmiterea unor cunoștințe într-un timp relativ scurt de către profesor, în situații când elevul pe baza cunoștințelor anterior dobândite nu le poate descoperi singur.

Conversația

Conversația este una din metodele de bază în dialogul necesar dintre profesor și elev.

Elevul este activat dacă este antrenat la un schimb de informații, în funcție de tipul lecției se pot folosi conversația euristică și cea de consolidare, de sistematizare și verificare a cunoștințelor de analiză matematică. Conversația euristică ca o activitate comună de gândire, căutare, cercetare și aflare a adevărului poate conduce cu succes la evitarea „transmiterii" de noi cunoștințe într-un singur sens, spre elev. Valoarea formativă a conversației, eficiența ei sunt condiționate de structura întrebărilor. Întrebările profesorului trebuie să fie cât mai variate și să fie enunțate astfel încât dificultățile să fie eșalonate gradat, dozând timpul între întrebare și răspuns, fără descurajări pentru elev. Chiar dacă o metodă de rezolvare a unei probleme propusă de un elev este mai anevoioasă, ea nu trebuie reprimată, ci substituită prin alta căreia îi subliniem prin comparație avantajele. Profesorul va acorda importanța cuvenită răspunsurilor elevilor, corectitudinii formulării lor, clarității în exprimare.

Demonstrația matematică.

Demonstrația matematică este o metodă care implică mai multe procedee și tehnici de învățare constând într-un șir de raționamente prin care se verifică un anumit adevăr, exprimat prin propoziții, dominând întreaga activitate matematică. Folosirea metodei demonstrației matematice de către profesor are marele avantaj al stimulării gândirii elevilor, putând antrena un număr foarte mare de elevi în desfășurarea lecție. Demonstrația matematică este metoda specifică de justificare a teoremelor ș constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic. În orice demonstrație ne putem baza numai pe axiome/ teoreme demonstrate anterior.

Există mai multe tipuri de demonstrație: prin analiza și sinteza, prin metoda reducerii la absurd, metoda inducției matematice.

Metoda exercițiului.

Metoda exercițiului este una din cele mai utilizate metode, neexistând aproape nici o lecție în care această metodă să nu-și aibă aplicabilitate. Exercițiile sunt efectuate în mod conștient și repetat cu scopul dobândirii unor priceperi și deprinderi sau chiar a unor cunoștințe noi pentru a ușura unele activități și a contribui la dezvoltarea unor aptitudini, la dezvoltarea unui raționament flexibil și operant, oferind posibilitatea unei independențe: o discuție asupra diverselor metode și soluții îi învață pe elevi să aprecieze metoda cea mai bună de lucru. Aplicarea metodei exercițiului presupune o metodică a rezolvării exercițiilor care trebuie să țină seama de următoarele etape:

analiza inițială a exercițiului, în vederea întocmirii unui plan de rezolvare a

exercițiului, care să permită clasei să lucreze independent

rezolvarea propriu-zi să, unde primează calea cea mai rațională, însă nu trebuie oprite multiplele căi de rezolvare a exercițiilor, propuse de elevi, analizându-se toate căile,

comparându-le și evidențiindu-le

verificarea, care va permite elevilor să-și dea seama dacă au lucrat bine sau nu.

O formă a metodei exercițiului foarte des utilizată este munca independentă. Una din căile de muncă independentă este exercițiul comentat, care constă în rezolvarea exercițiilor de către elevii clasei pe caiete, apoi mai mulți elevi pot explica modul de rezolvare.

Metode moderne

Metodele moderne se caracterizează prin următoarele note:

acordă prioritate dezvoltării personalității elevilor, vizând latura formativă a educației; sunt centrate pe activitatea de învățare a elevului, acesta devenind subiect al procesului educațional;

sunt centrate pe acțiune, pe învățarea prin descoperire;

sunt orientate spre proces;

sunt flexibile, încurajează învățarea prin cooperare și capacitatea de autoevaluare la elevi, evaluarea fiind una formativa;

stimulează motivația intrinsecă;

relația profesor-elev este democratică, bazată pe respect și colaborare, iar disciplina derivă din modul de organizare a lecției.

Prin metodele moderne se încurajează participarea elevilor, inițiativa și creativitatea. Unele metode moderne folosite de profesori sunt: problematizarea,învățarea prin descoperire, instruirea programată, modelarea, algoritmizarea.

Problematizarea

Ca modalitate metodologica, problematizarea îi conduce pe elevi la rezolvarea unor „situații-problemă", la depășirea unor stări conflictuale care apar între nevoia găsirii de către elev a soluției unei probleme și experiența redusă sau priceperea nesatisfăcătoare a elevului. Astfel de stări sunt favorabile învățării active, stimulării gândirii elevului. O întrebare devine de fapt problemă dacă trezește în mintea elevilor o tensiune, o emoție pozitivă care să le stârnească interesul, ambiția și să-i determine să ia o atitudine activă până la găsirea soluției.

Misiunea profesorului este aici dificilă pentru că el trebuie să descopere, să inventeze, să genereze „situații-problemă" care să solicite gândirea elevilor. Totodată el trebuie să clarifice datele, să regrupeze cunoștințele deschizând căile de rezolvare a situațiilor date. Pentru ca problematizarea să fie eficientă, este necesar ca profesorul să respecte unele condiții în formularea situațiilor-problemă:

să asigure elevilor un bagaj minim de informații cerute de problemă;

să organizeze informațiile, astfel încât întrebare-problemă să fie însoțită de direcționarea spre rezolvare a gândirii elevilor;

să se raporteze la cunoștințele dobândite anterior de elevi.

Învățarea prin descoperire

Învățarea prin descoperire este o metodă de învățământ prin care elevii sunt îndemnați să-și apropie virtuți ale muncii de cercetare, reconstituind în căutarea adevărului drumul elaborării cunoștințelor, printr-o activitate proprie. În cadrul învățării prin descoperire, elevului nu i se prezintă doar produsul cunoașterii, ci mai ales căile prin care se ajunge la acest produs, mijloacele de investigare, ceea ce sporește mult eficiența învățării. Aplicarea la clasă a acestei metode nu este simplă, trebuie să țină seama de nivelul de dezvoltare intelectuală a elevilor, de complexitatea problemelor, de posibilitățile conducerii unor activități diferențiate cu elevii din clasă. Rezultatele obținute de elevi în mod individual sau pe grupe mici trebuie să fie analizate și sistematizate cu întreaga clasă.

Modelarea matematică

Modelarea ca metodă pedagogică este modul de lucru prin care gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului, folosind descoperirea prin analogie cu ajutorul unui model. Prin utilizarea modelului se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de analiză, creativitatea, modele ideale funcțional accesibile tuturor elevilor, fapt ce face ca utilizarea modelelor să fie posibilă în toate clasele.

Instruirea programată

Această metodă în momentul actual este folosită foarte puțin, datorită lipsei dotării materiale. Perspectivele aplicării instruirii programate la matematică se îndreaptă spre matematică.

Esențialul în educația informatică îl constituie formarea gândirii și dobândirea deprinderii de bază în ceea ce privește comunicarea om-mașină și integrarea informaticii în predarea matematicii, în dobândirea unor cunoștințe matematice. Este clar că, de fapt nu calculatorul rezolvă problemele, el doar aplică metodele generale elaborate de om pentru datele numerice concrete.

Omului îi revine partea de concepție, iar calculatorului partea de calcul.

Metode de învățare active

Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientată spre formarea de competențe, adică a acelor ansambluri structurale de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.

Toate situațiile și nu numai metodele active propriu zise în care elevii sunt puși și care îi scot pe aceștia din ipostaza de obiect și-i transformă în subiecți activi, coparticipanți la propria formare prezintă forme de învățare activă.

La matematică, metodele de învățare active necesită o pregătire atentă, ele nu sunt eficiente decât în condițiile respectării „regulilor jocului”.

În acest context se recomandă să țineți seama de următoarele aspecte:

dacă folosiți pentru prima dată o anumită metodă, aplicarea acesteia de către elevi, respectiv, gestionarea timpului de către profesor pot cauza o concentrare mai mică asupra problemei esențiale la care vrem să-i facem pe elevi să se gândească

pentru a evita situația prezentată anterior, este de preferat să prezentați metoda la o temă mai simplă, înainte de a o folosi la o tema mai complexă;

folosiți o anumită metodă de cel puțin trei ori într-un an școlar, notați de fiecare dată constatările și recitiți-le înainte de a aplica din nou metoda.

Printre metodele de învățare active se numără: brainstormingul, mozaicul, investigația, proiectul, experimentul.

Braistormingul (metoda “a saltului de idei”)

Este o metodă interactivă inițiată de Alex Osborne. Acesta i-a descoperit și valorizat funcția distinctă, aceea de a înlesni căutarea și găsirea celei mai adecvate soluții a unei probleme de rezolvat, printr-o intensă mobilizare a ideilor tuturor participanților la discuție. Metoda “saltului de idei” are drept scop emiterea unui număr cât mai mare de soluții privind modul de rezolvare a unei probleme, într-un grup coordonat de un moderator ce îndeplinește rolul de animator și de mediator al discuției.

Metoda Piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă

Presupune acumularea treptată a opiniilor individuale ale participanților. Are ca principiu de bază împletirea activității individuale cu cea de grup. Profesorul expune elevilor datele problemei în cauză. Elevii o rezolvă mai întâi individual, în aproximativ 5 minute. Elevii formează apoi grupuri, pentru a discuta rezultatele la care a ajuns fiecare. Se vor forma 2 grupe mari, egale ca număr, în care se dialoghează asupra soluțiilor pentru care s-a optat. Întreaga clasă, reunită, discută sarcina de lucru aleasă de profesor, analizează atât soluțiile la care au ajuns până în această etapă, cât și problemele la care trebuie găsite răspunsuri. Se optează pentru soluția cea mai bună și se stabilesc concluziile întregului colectiv.

Tehnica “acvariului” (fishbowl)

Presupune o anumită așezare a scaunelor din cabinetul de literatură, ceea ce justifică și denumirea ei: ele sunt dispuse în două cercuri concentrice, unul din cercuri incluzându-l pe celălalt. Elevii așezați în cercul interior primesc un timp de 8 – 10 minute pentru a discuta o problemă controversată, anunțată dinainte. În acest timp, cei așezați în cercul exterior fac observații privind felul în care se relaționează în primul cerc, tipurile de strategii folosite de participanții la dialog pentru a-și susține poziția, reacțiile lor și contribuția fiecăruia la reușita dezbaterii. Urmează expunerea observațiilor de către cei din cercul exterior, apoi schimbarea locurilor: cei din cercul interior trec în cel exterior și invers. Dezbaterea continuă cu un alt subiect controversat, pe care îl analizează acum cei care în prima fază au fost observatori, urmând ca la final să se concluzioneze asupra activității.

Metoda mozaicului (jig saw)

Este bazată pe conceptual de team learning, deci pe învățarea în echipă – deloc întâmplător, este denumită și metoda grupurilor independente. Presupune împărțirea clasei de elevi în grupe de lucru, în cadrul cărora fiecare membru primește o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert, în așa fel încât ulterior să își inițieze și colegii cu privire la subiectul respectiv.

Etapele acestei metode sunt: pregătirea materialului de lucru, organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi, constituirea grupurilor de experți, reîntoarcerea în echipa inițială de învățare și evaluarea.

Metode de dezvoltare a creativității

În sens larg, creativitatea este un concept care se referă la potențialul de care dispune o persoană pentru a desfășura o activitate creatoare.

Creativitatea este strâns legată de modul flexibil și inventiv de găsire a soluțiilor pentru diferite probleme și de aplicare a lor, de originalitate a soluțiilor noi și neobișnuite, de modul de abordare a problemelor din puncte de vedere diferite.

Rolul cadrului didactic este acela de a stârni în permanență interesul copilului și de a-i menține dorința de descoperire și de învățare.

Câteva dintre metodele de dezvoltare a creativității care se pot folosi în cadrul orelor de matematică sunt: metoda cubului, turul galeriei, ciorchinele, știu/ vreau să știu/ am învățat, metoda INSERT.

Metoda cubului

Este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe și integratoare.

Etapele metodei:

Realizați un cub pe ale cărui fețe notați cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează; 

Anunțați tema/subiectul pus în discuție; 

Împărțiți grupul în 6 părți, fiecare urmând să examineze tema aleasă din perspectiva cerinței de pe una din “fețele” cubului.

Metoda poate fi adaptată pentru clasele mici, și pe cele 6 fețe ale cubului pot fi scrise și alte sarcini.

Avantaje

Elevii, prin efort propriu (dirijat) investighează, descoperă, își dezvoltă abilitățile de explorare și apoi de comunicare a celor constatate către colegi și educatoare

Își folosesc reprezentările, cunoștințele anterioare, capacitățile cognitive, pentru o cunoaștere constructivistă a realității

Se realizează conexiuni între mediul înconjurător și propria persoană

Se efectuează asocieri, comparații, sinteze

Se sistematizează cunoștințele și exprimarea lor verbală într-un mod cât mai expresiv

Își exersează calități alea gândirii: fluență, flexibilitate, originalitate

Caracterul convergent al metodei determină copiii să coopereze, să alăture informațiile pentru a realiza tabloul final

Dezavantaje

Atunci când efectivul de copii este împărțit în cele 6 subgrupuri pot fi copii în subgrupurile respective care nu participă și ei la îndeplinirea cerinței ce le revine de pe una din fețele cubului

Sunt aleși de fiecare dată aceiași copii

Se produce indisciplina

Metoda ciorchinele

"Ciorchinele" este o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.

"Ciorchinele" este un "brainstorming" necesar, prin care se stimulează evidențierea legăturilor dintre idei; o modalitate de a construi sau realiza asociații noi de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor.

"Ciorchinele" este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumita temă, un anumit conținut.

Etapele realizării "ciorchinelui"

Scrieți un cuvânt sau o propoziție nucleu în mijlocul tablei.

Scrieți cuvinte sau sintagme în legătură cu tema pusă în discuție.

Legați cuvintele sau ideile produse de cuvântul sau propoziția nucleu prin linii care evidențiază conexiunile între idei.

Scrieți ideile în legătură cu tema propusă realizând o structura în formă de ciorchine.

Reguli pentru utilizarea acestei tehnici:

Scrieți tot ceea considerați necesar legat de tema respectiva.

Nu judecați ideile expuse, doar luați act de acestea.

Nu va opriți până nu epuizați toate ideile pe care le aveți legate de tema dată.

Dintr-o idee dată pot apărea alte idei, astfel puteți construi „sateliți” ai ideii respective.

Lăsa – ți să apară cât mai multe și mai variate legături între idei. Nu limitați numărul de idei, nici fluxul de legături dintre ele.

Avantaje:

Prin această tehnică se fixează mai bine ideile și se structurează informațiile facilizându-se reținerea și înțelegerea acestora.

Tehnica "ciorchinelui" poate fi aplicată atât individual (chiar și la evaluare), cât și la nivelul întregii clase pentru sistematizarea și consolidarea cunoștințelor.

În etapa de reflecție elevii pot fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.

Procedeul Phillips 6 / 6

Presupune împărțirea clasei în grupe de 6 persoane care dezbat o problemă timp de 6 minute.

Etapele Procedeului PHILLIPS 6 / 6

Constituirea grupelor și desemnarea unui conducător;

Anunțarea temei discuției și dezbaterea să în grupe;

Prezentarea de către conducătorul fiecărei grupe a concluziilor, soluțiilor la care s-a ajuns;

Discutarea concluziilor și soluțiilor cu participarea clasei de elevi pentru a armoniza punctele de vedere;

Stabilirea de către cadrul didactic a soluției optime și argumentarea respingerii celorlalte variante.

Avantaje

Implică pe toți membrii colectivului în analiza și soluționarea unei probleme;

Oferă fiecărui elev posibilitatea să-și valorifice experiența proprie;

Prezentarea și argumentarea punctelor de vedere și a opiniilor.

Mijloacele de învățământ reprezintă ansamblul de obiecte, dispozitive, aparate care contribuie la desfășurarea eficientă a activității didactice. Ele sunt resurse materiale ale procesului de învățământ, selecționate din realitate, modificate sau confecționate în vederea atingerii unor obiective pedagogice.

Mijloacele de învățământ reprezintă materiale auxiliare care beneficiază de un anumit potențial pedagogic valorificabil în procesul de învățământ. Acest potențial se poate manifesta ca :

sprijin acordat elevilor pentru învățarea obiectivelor pedagogice ( potențial pentru comunicarea de informații, formare de noțiuni, concepte, deprinderi, atitudini, asigurarea participării elevilor în activitatea de învățare);

sprijin acordat elevilor și profesorului pentru raționalizarea activității desfășurate și prevenirea apariției premature a oboselii.

În procesul de învățământ se folosesc atât resursele materiale realizate intenționat pentru această activitate, cât și resurse produse în alte domenii și prelucrate de învățământ pentru scopurile sale. Prin aplicarea concomitentă a criteriilor de clasificare (după potențialul deținut și după intenționalitatea realizării), rezultă mai multe tipuri de resurse materiale și anume:

mijloace de învățământ concepute și realizate intenționat instruire/ învățare/ evaluare

( planșe, diapozitive, truse didactice,

mijloace de învățământ preluate din alte domenii (aparate, instrumente, imprimate)

echipamente tehnice preluate din alte domenii având potențial tehnic și ergonomic pentru procesul de învățământ ( retroproiectoare, video-proiectoare, calculatoare, etc.);

medii de instruire care pot fi realizate intenționat pentru învățământ ( săli de clasă, laboratoare, ferme școlare, ateliere , lotul școlar, grădina, mini-parcul,etc.).

Procesul de informatizare al școlilor a adus beneficii multiple procesului de învățământ, făcând posibilă existența unor echipamente tehnice în dotarea școlii, precum:

calculatoare electronice;

televizor;

video-proiector multimedia;

camere foto digitale;

cameră video;

calculatoare de buzunar;

dispozitive de instruire, etc.

IV.7. Proiectarea și evaluarea

Proiectarea și evaluarea sunt două aspecte esențiale în realizarea unei lecții.

Una dintre premisele unei lecții de calitate este proiectarea riguroasă a acesteia. Proiectarea didactică este procesul de anticipare a pașilor ce urmează a fi parcurși în realizarea lecției. Este un demers anticipativ, ce permite desfășurarea eficientă a activității didactice. în cadrul proiectării se anticipează obiectivele, conținuturile, metodele și resursele de învățare, instrumentele de evaluare și relațiile ce se stabilesc între toate aceste elemente în contextul unei lecții.

Rezultatul proiectării lecției poate fi un document scris, care poartă (în funcție de anumite particularități ale sale) una din denumirile: proiect didactic, proiect de lecție, plan de lecție, schiță de lecție, scenariu didactic etc. Rezultatul complet al activității de proiectare este în mintea profesorului, forma scrisă conține doar reperele esențiale ale acestui rezultat. Desfășurarea lecției nu este neapărat o reprezentare fidelă a activității proiectate, anumite momente sau secvențe putând fi modificate de către profesor chiar în timpul predării.

Evaluarea nu mai este privită ca o fază distinctă în procesul de predare – învățare – evaluare. „Atâta timp cât evaluarea este văzută ca fiind realizată „după” ce predarea și învățarea s-au încheiat, nu vom reuși să îmbunătățim performanța elevului, ci vom putea doar stabili cât de mult sau cât de puțin a învățat elevul.” – afirmă Grant Wiggins, pedagog ce a publicat numeroase lucrări despre evaluare.

Astfel că evaluarea se realizează pe tot parcursul demersului didactic pentru ca toți factorii implicați: cadrul didactic, elev, părinți să cunoască stadiul progresului școlar, având în vedere obiectivele învățării și așteptările factorilor interesați.

În cadrul acestui capitol vom trata proiectarea lecției și evaluarea în subcapitole distincte, deși ele sunt într-o strânsă interdependență. Această interdependență este pusă în evidență de următoarele aspecte:

evaluăm ceea ce ne propunem să realizăm în cadrul unei lecții,

evaluarea trebuie la rândul ei proiectată în momentul proiectării lecției,

în proiectarea lecției trebuie să avem în vedere cum vom știi dacă am realizat ceea ce ne-am propus.

Cercetările tematice din lumea reală deseori arată astfel: oamenii împart o problemă în părțile sale componente, obțin astfel informații din diferite domenii și conlucrează pentru a găsi o soluție. Pregătind elevii pentru a deveni cetățeni valoroși în lumea reală, profesorii împart învățarea în unități tematice.

Unitățile tematice/ proiectele sunt de obicei lecții extinse sau o serie de lecții care abordează o temă din diferite perspective. Acestea, în general, reflectă cadrul uneia sau mai multor discipline. Unitățile tematice depășesc prelegerile și cărțile și recurg la o diversitate bogata de resurse de învățare. Acestea pot solicita elevilor să cerceteze mai multe aspecte ale temei în același timp și în mod cert oferă opțiuni elevilor referitor la ce anume vor învăța și la modul în care vor proceda pentru a învăța.

O unitate tematică este definita de un cadru interdisciplinar de organizare a învățării pe durata mai multor zile sau săptămâni, care presupune parcurgerea unei serii de lecții interconectate. Componentele unei unități tematice includ îndeobște.

Scopuri și obiective – Care sunt rezultatele dezirabile?

Activități – Ce activități și strategii vor conduce la învățarea cu succes a materiei?

Materiale și resurse didactice – De ce este nevoie pentru a parcurge unitatea?

Evaluare – Cum va evalua profesorul eficiența parcurgerii unității?

Unitățile tematice oferă o oportunitate pentru cadrele didactice care predau diverse discipline să integreze lectura și scrierea în abordare transcurriculară. Unitatea poate încorpora informații din domeniul științelor socio-umane, științele naturii, literatură, tematică și alte discipline. Profesorii pot suplimenta textul din manual cu texte din diverse publicații, texte preluate de pe Internet, din reviste și din ziare. Alte surse de informație includ observările, experimentarea, impresii culese în cursul unor ieșiri în natura și alte experiențe directe atât în sala de clasă, cât și în afara ei.

Profesorii care predau diferite discipline pot alcătui o echipă și pot proiecta și prezenta împreună o unitate tematică. Un cadru didactic care predă științe socio-umane poate oferi elevilor informațiile legate de tema abordată din perspectiva științelor socio-umane. Profesorul de literatură poate aborda tema din perspectiva unui roman sau a unei povestiri care reflectă tema. Câteodată, și elevii pot fi implicați în proiectarea unității tematice sub îndrumarea unuia sau mai multor profesori de diferite discipline.

Strategia didactică desemnează un anumit mod de a concepe activitatea de predare și învățare, combinând metodele, mijloacele de învățământ și formele de organizare a activității elevilor în vederea atingerii obiectivelor urmărite.

După Ioan Cerghit, strategiile didactice se pot clasifica:

1. în funcție de caracterul determinant al învățării: a) strategii prescrise, bazate pe dirijarea riguroasă a învățării: imitative (imitarea modelelor); explicativ-reproductive (elevii ascultă și reproduc ce au învățat); demonstrative; algoritmice (învățarea dirijată pas cu pas); b) strategii neprescrise, de învățare prin efort propriu, prin activitate independentă: euristice, bazate pe descoperire; învățarea problematizată; experimentare, cercetare; creative; c) mixte (euristice–algoritmice);

2. în funcție de logica gândirii: a) strategii inductive: de trecere de la particular, concret la general, abstract (de la exemple la teorie); b) strategii deductive: de trecere de la general la particular, de la teorie la fapte concrete; c) mixte ( inductive–deductive).

Alegerea strategiilor se face în funcție de: obiective; natura conținutului; particularitățile elevilor; competențele cadrului didactic; condiții de dotare; timpul disponibil.

Opțiunea pentru un anumit tip de strategie presupune precizarea metodelor, mijloacelor de învățământ și formelor de organizare a activității elevilor.

În cadrul lecției, formele de organizare a activității elevilor (de grupare a elevilor) pot fi:

1. frontală: cadrul didactic îndrumă în același timp activitatea tuturor elevilor din clasă (expune, demonstrează cu toată clasa);

2. pe grupe: clasa este împărțită în grupe de 3-5 elevi (fiecare grupă își desfășoară independent activitatea, prin cooperarea dintre membrii săi: observă, experimentează, efectuează un proiect, confecționează un obiect etc.). Grupele pot fi: omogene (elevii au același nivel de pregătire); eterogene (elevii au nivele de pregătire diferite). Grupele pot executa o sarcină: comună, identică pentru toate grupele; diferențiată, de la o grupă la alta;

3. individuală: fiecare elev realizează sarcini școlare independent de colegii săi (rezolvă exerciții, probleme, studiază un text, lucrează la calculator, efectuează un experiment sau o lucrare practică, etc.). Sarcinile de lucru pot fi: comune pentru toți elevii clasei; diferențiate pe categorii de elevi; individualizate.

Învățarea fiecărei capacități presupune parcurgerea unor etape specifice, de a căror respectare depinde atingerea obiectivelor lecției.

Aceste evenimente, numite evenimente ale instruirii se parcurg în următoarea ordine:

Indiferent de capacitatea care se învață, într-o activitate de învățare se organizează o serie de evenimente care acționează asupra elevilor ajutându-i să atingă obiectivul propus.

Ca profesorul să fie pregătit pentru a evalua învățarea în mai multe modalități, învățarea va fi mult mai bogată decât ceea ce poate fi verificat printr-un test scris.

Proiect dIDACTIC 1

numele profesorului: Șerb Paul Alecu

Data:

Clasa: a X-a

Obiectul: Matematică (M2);

Unitatea de învățare: Funcții

Titlul lecției:Funcții monotone. Funcții convexe. Funcții concave;

Tipul lecției: Lecție de transmitere și însușire de noi cunoștințe

Timp: 50 min

Locul de desfășurare: sala de clasă

Competențe generale:

CG1 – Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare;

CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

CG3 – Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate;

CG4 – Exprimarea și redactarea corectă și coerentă în limbaj formal sau cotidian a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;

CG5 – Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei.

Competențe specifice

CS1 – Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme;

CS2 – Studierea unor funcții din punct de vedere calitativ utilizând diverse procedee;

CS3 – Explorarea unor proprietăți cu caracter local / global ale funcțiilor utilizând continuitatea și derivabilitatea;

Obiective operaționale:

a) cognitive

OC1 – elevii să enunțe corect definiția funcțiilor monotone, convexe și concave;

OC2 – să aplice noțiunile de funcții monotone, convexe și concave corect în probleme;

OC3 – să identifice problemele care se rezolvă utilizând acest rezultat;

b) afective

OA1 – elevii să fie atenți;

OA2 – elevii să participe cu interes la lecție;

OA3 – elevii să își dezvolte simțul critic, spiritul de observație și atenția;

c) psiho – motorii

OP1 – elevii să noteze pe caiete și / sau pe tablă conținutul lecției;

Strategia didactică: mixtă (expozitiv – euristică, algoritmică);

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, învățarea prin descoperire, demonstrația;

Resurse materiale: manualul, fișă de lucru.

Forme de organizare a clasei: frontal, individual

Forme de evaluare: observația, notarea elevilor, încurajarea, lauda

Desfășurarea activității:

Proiect dIDACTIC 2

numele profesorului: Șerb Paul Alecu

Data:

Clasa: a XI-a

Obiectul: Matematică/Analiză matematică (M1);

Unitatea de învățare: Derivabilitate

Titlul lecției: Rolul derivatei a II-a în studiul funcțiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune. Aplicații

Tipul lecției: Lecție de fixare și consolidare a cunoștințelor

Timp: 50 min

Locul de desfășurare: sala de clasă

Competențe generale:

CG1 – Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare;

CG2 – Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

CG3 – Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate;

CG4 – Exprimarea și redactarea corectă și coerentă în limbaj formal sau cotidian a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme;

CG5 – Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei.

Competențe specifice:

CS1 – Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme;

CS2 – Studierea unor funcții din punct de vedere calitativ utilizând diverse procedee;

CS3 – Explorarea unor proprietăți cu caracter local / global ale funcțiilor utilizând continuitatea și derivabilitatea;

Obiective operaționale:

a) cognitive

OC1 – elevii să enunțe corect formulele pentru derivarea

OC2 – să aplice corect formulele pentru derivarea

OC3 – să rezolve probleme utilizând formulele pentru derivarea funcțiilor

b) afective

OA1 – elevii să fie atenți;

OA2 – elevii să participe cu interes la lecție;

OA3 – elevii să își dezvolte simțul critic, spiritul de observație și atenția;

c) psiho – motorii

OP1 – elevii să noteze pe caiete și / sau pe tablă conținutul lecției;

Strategia didactică: mixtă (expozitiv – euristică, algoritmică);

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, învățarea prin descoperire, problematizarea,algoritmizarea;

Resurse materiale: manualul, fișă de lucru.

Forme de organizare a clasei: frontal, individual și diferențiat

Forme de evaluare: observația, notarea elevilor, încurajarea, lauda (individuală și frontală)

Desfășurarea activității:

Evaluarea

Alături de predare și învățare, evaluarea este o componentă esențială a procesului de învățământ care furnizează informații despre calitatea și funcționalitatea acestuia.

Evaluarea este procesul prin care se stabilește daca obiectivele sistemului sau procesului de învățământ sunt realizate.

Reprezintă un proces continuu și de durata putându-se face la începutul procesului de instruire, pe parcursul acestuia sau la finalul său. Focalizată pe unitatea de învățare, evaluarea ar trebui să asigure evidențierea procesului înregistrat de elev în raport cu sine însuși în vederea atingerii obiectivelor realizării competentelor prevăzute în programa.

Este important să fie evaluată nu numai cantitatea de informație de care dispune elevul ci, mai ales, ceea ce poate el să facă utilizând ceea ce știe sau ceea ce intuiește.

Evaluarea în contextul dezvoltării gândirii critice și a învățării active

Lecțiile care se desfășoară prin metode care promovează învățarea activă și gândirea critică sunt foarte plăcute și antrenante atât pentru profesor, cât și pentru elevi. Dar pe parcursul unei lecții, profesorul trebuie să realizeze și evaluarea. Atunci când lecția se desfășoară în manieră tradițională, profesorul invită 2-3 elevi pe rând la tablă, le dă un exercițiu sau o problemă spre rezolvare, le adresează probabil una sau două întrebări din teorie (oare ce fac ceilalți elevi în acest răstimp?) sau dă un test scris întregii clase și în felul acesta se realizează evaluarea și chiar și notarea. Dar cum ar trebui să procedeze profesorul atunci când dorește să evalueze atât conținutul învățat de elevi, cât și abilitatea elevilor de a lucra în cooperare sau abilitatea de a formula răspunsuri logice și originale la probleme? Cum evaluează profesorii care utilizează metode ce promovează învățarea activă și gândirea critică?

În clasele în care profesorii promovează învățarea activă și gândirea critică, aceștia evaluează și gradul în care elevii stăpânesc conținutul lecției și acest lucru poate fi făcut prin tradiționalele teste scrise, probe orale și/ sau prin observarea elevilor pe parcursul discuțiilor referitoare la tema studiată organizate în clasă. Dar pe lângă aceasta, profesorii evaluează și procesul de învățare parcurs de fiecare elev. Ei observă cu atenție modul în care fiecare elev îndeplinește sarcinile de lucru și modul în care fiecare elev identifică modalități de a-și îmbunătăți învățarea. De asemenea, cadrele didactice evaluează și calitatea gândirii elevilor.

Având în vedere complexitatea scopurilor evaluării conținuturilor învățate și abilităților dobândite în cadrul lecțiilor profesorul utilizează metode de învățare active și strategii care dezvoltă gândirea critică. Produsele scrise de elevi sunt importante în realizarea unei evaluări reale a progresului elevului în învățarea matematicii. Standardele și descriptorii de performanță pot fi utilizați la o mare varietate de lecții și la diferite clase.

Fiind un proces multidimensional, se pot identifica, în funcție de criteriile alese, mai multe strategii/tipuri de evaluare:

1. Din punct de vedere al situațiilor de evaluare, putem identifica două strategii:

evaluare realizată în circumstanțe obișnuite, bazată pe observarea activității elevilor;

evaluare specifică, realizată în condiții special create ce presupune elaborarea și aplicarea unor probe.

2. După funcția dominantă îndeplinită, putem identifica două strategii:

evaluare diagnostică (se realizează o diagnoză descriptivă ce constă în localizarea lacunelor și erorilor în cunoștințe și abilități dar și a “punctelor forte)

evaluare predictivă prin care se urmărește prognozarea gradului în care elevii vor putea să răspundă pe viitor unui program de instruire;

3.După modul în care se integrează în desfășurarea procesului didactic:

evaluare inițială, realizată la începutul demersurilor instructiv-educative, pentru a stabili nivelul la care se situează elevii;

evaluare formativă, care însoțește întregul parcurs didactic,

evaluarea sumativă, care se realizează de obicei, la sfârșitul unei perioade mai lungi de instruire;

În evaluarea actuală, indiferent de tipul ei folosim itemii. Itemul reprezintă cea mai mică componentă identificabilă ca atare a unui test/probă scrisă. Itemii reprezintă enunțuri, întrebări simple sau structurate, exerciții de orice tip, probleme etc. Din punct de vedere al obiectivității în notare, itemii se clasifică în:

Itemi obiectivi

Itemi semiobiectivi

Itemi subiectivi

Itemii obiectivi reprezintă componente ale testelor de progres, în special ale celor standardizate. Itemii obiectivi se clasifică la rândul lor în:

Itemi cu alegere duală: da/nu, adevărat/fals, corect/greșit, bine/rău.

Itemi cu alegere multiplă: elevul trebuie să aleagă varianta corectă din cele enumerate

Itemi de tip pereche: solicită recunoașterea unor corespondențe, unor asocieri între elementele a două coloane astfel încât să se obțină afirmații adevărate

Itemi de completare: permit verificarea însușirii unor definiții, axiome, formule, prin completarea în spațiul liber a părții omise.

Itemi cu răspuns scurt: se formulează ca întrebare directă și răspunsul este sub forma unei propoziții, cuvânt, număr, simbol, etc.

Itemii semiobiectivi presupun ca răspunsul elevului să fie limitat ca spațiu, formă, conținut, prin structura enunțului sau întrebării.

Itemii subiectivi sunt cei mai frecvent utilizați în sistemul de evaluare tradițional fiind relativ ușor de construit și testează obiective care vizează originalitatea și caracterul personal al răspunsului. Itemii subiectivi se prezintă sub forma unor întrebări cu răspuns structurat, elevul își orientează răspunsul în funcție de întrebările și sub întrebările puse de profesor. Funcție de felul răspunsurilor la întrebări testele pot fi cu răspunsuri deschise sau cu răspunsuri închise. Itemii cu răspunsuri deschise lasă libertatea elevului de a redacta propria rezolvare originală și stipulează competiția și creativitatea. Itemii cu răspunsuri închise fac apel la propoziții scurte care solicită răspunsul elevilor sau propoziții din care lipsesc cuvinte care trebuie precizate de către cel care este evaluat.

Proiectarea evaluării – cele mai frecvente întrebări, utile în proiectarea probelor de evaluare, sunt următoarele:

Care sunt performanțele minime, medii și superioare pe care le pot atinge elevii, pentru a demonstra ca au atins competențele specifice din curriculum?

Care este specificul colectivului de elevi pentru care îmi propun evaluarea?

Când și în ce scop evaluez?

Pentru ce tipuri de evaluare optez?

Cu ce instrumente voi realiza evaluarea?

Cum voi proceda pentru ca fiecare elev să fie evaluat prin tipuri de probe cât mai variate, astfel încât evaluarea să fie cât mai obiectivă?

Cum voi folosi datele oferite de instrumentele de evaluare administrate, pentru a elimina eventualele blocaje în formarea elevilor și pentru a asigura progresul școlar?

Calitățile unui instrument de evaluare:

Aplicabilitate – testul poate fi administrat și interpretat ușor

Fidelitate – dacă este repetat, testul produce rezultate constante

Obiectivitate – concordanța între aprecierile făcute de evaluatori independenți

Validitate – testul măsoară ceea ce este destinat să măsoare

Validitate de aspect – măsura în care testul este relevant/important pentru elevi

Validitate de conținut – măsura în care testul acoperă, în mod uniform, elementele de conținut pe care își propune să le testeze.

Test de evaluare

Clasa a XI-a

Tema cuprinde următoarele conținuturi:

Recunoașterea funcțiilor convexe și concave

Rolul derivatei întâi și a derivatei a doua

Stabilirea intervalelor de convexitate al funcțiilor

Subiectul I (Pe foaia de test se trec numai rezultatele)

1. Daca apreciați ca afirmația este adevărată, scrieți pe foaia de test litera A, în caz contrar scrieți litera F.

a) (10p) Dacă o funcție este convexă atunci derivata a doua este pozitivă.

b) (10p) Diferența a două funcții convexe este întotdeauna convexă.

2. Scrieți pe foaia de test răspunsul corect. O singură variantă este corectă.

a) (5p) Fie funcția , . Funcția f este:

A. convexă B. concavă C. f nu este nici convexă nici concavă

b) (5p) Fie funcția , . Funcția f este:

A. convexă B. concavă C. f nu este nici convexă nici concavă

Subiectul II (Pe foaia de test scrieți rezolvarea completă)

(10p) Demonstrați că produsul dintre o funcție convexă și o funcție constantă pozitivă este tot o funcție convexă.

(50p) Stabiliți intervalele de convexitate/concavitate pentru funcția , , unde reprezintă domeniul maxim de definiție al funcției.

NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timp de lucru 50 minute.

Barem de corectare și notare

Subiectul II

Fie funcția care este o funcție convexă. Pornind de la definiție avem:

=

și . (10p)

Se stabilește domeniul maxim de definiție al funcției.

(5p)

Se verifică intersecția cu axele Ox respectiv Oy. Se găsește punctul (5p)

Se calculează derivata întâi a funcției (15p)

Se calculează derivata a doua a funcției (15p)

Se stabilesc intervalele de convexitate și concavitate (15p)

Obiective de referință:

Să recunoască funcțiile convexe diverse configurații;

Să recunoască o funcție convexă după graficul ei;

Să investigheze valoarea de adevăr a unor enunțuri; să selecteze informații relevante, în mulțimea datelor de care dispune, să formuleze cât mai multe consecințe posibile, care decurg dintr-un set de ipoteze date

Să utilizeze instrumente pentru a construi graficul unei funcții convexe

Să determine, folosind metode adecvate când o funcție este convexă sau concavă

Să prezinte în mod coerent soluția unei probleme, utilizând modalități variate de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, construcții diverse)

Să identifice utilizări ale unor concepte și metode matematice studiate, în rezolvarea unor situații – problemă sau probleme practice

Obiective de evaluare

Să demonstreze că o funcție este convexe

Să calculeze punctele de extrem/inflexiune

Să rezolve probleme care implica proprietățile funcțiilor convexe

Să identifice rezultatul plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile

Să verifice validitatea unor afirmații pe cazuri particulare

Să utilizeze instrumentele geometrice pentru a reprezenta prin desen grafice de funcții

Să efectueze exerciții pentru a demonstra că o funcție este convexă

Matricea de specificație

Bibliografie

[1] D. Andrica, D. Duca , I. Purdea – “Matematica de bază”, Ed. Studium, Cluj-Napoca, 2000.

[2] H. Banea – “Metodica predării matematicii”, Ed. Paralela 45, Pitești, 1998.

[3] M. Bocoș – “Instruire interactivă”, Presa Universitară Clujeana, Cluj-Napoca, 2002.

[4] M. Bocoș – “Teoria și practica cercetării pedagogice”, Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca, 2003.

[5]F. Cîrjan – “Didactica matematicii”, Ed. Corint, București, 2002.

[6] C. Cucoș – “Pedagogie”, Ed. Polirom, 2002.

[7] N. Gheorghiu, T. Precupanu – „Analiză matematică”, Editura didactică și pedagogică, București, 1979.

[8] R. Gologan – “Matematica olimpiadelor și concursurilor școlare 2011”, Editura Paralela 45, 2011.

[9] P. Jackel – ”The Future is Convex” Wilmott, pages 2-13, February 2005

[10] M. Liedtke – ”Convex functions”, New York: Addison-Wesley 2012.

[11] M. Marin, H. Arabnia – “Problems on Algebra and Mathemtatical Analysis”, Editura Elliott & Fitzpatrick, USA 2010.

[12] C. Meghea, I. Meghea – „Tratat de calcul diferențial și calcul integral ”, Editura Tehnică, București, 1997.

[13] M. Megan, I. Purdea, D. Duca, O. Pop – “Manual de Matematică (Clasa a XII – a)”, Editura Gil, 2003.

[14] I. Nicola – “Pedagogie”, E.D.P., București, 1994.

[15] M. Nicolescu – „Analiză matematică” (Vol.I), Editura Didactică și pedagogică, București, 1966.

[16] L. E. Person – ”Convex functions and their applications”, Springer 2004

[17] A. Precupanu – “Bazele analizei matematice”, Editura Polirom, 1999.

[18] D. Popov – “Elemente de fizică generală”, Editura Politehnică, Timișoara, 2001

[19] G. Rizescu, F. Rizescu – “Teme pentru cercurile de matematică din licee”, E.D.P., București, 1977.

[20] M. Roșculeț – „Analiză matematică”, Editura didactică și pedagogică, București, 1978.

[21] G. A. Schneider – “Culegere de probleme de analiză matematică pentru clasele XI-XII”, Editura Hyperion, București, 2010.

[22] C. Udriște, E. Tănăsescu –„Minime și maxime ale funcțiilor reale de variabile reale”, Editura Tehnică, București, 1980.

Bibliografie

[1] D. Andrica, D. Duca , I. Purdea – “Matematica de bază”, Ed. Studium, Cluj-Napoca, 2000.

[2] H. Banea – “Metodica predării matematicii”, Ed. Paralela 45, Pitești, 1998.

[3] M. Bocoș – “Instruire interactivă”, Presa Universitară Clujeana, Cluj-Napoca, 2002.

[4] M. Bocoș – “Teoria și practica cercetării pedagogice”, Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca, 2003.

[5]F. Cîrjan – “Didactica matematicii”, Ed. Corint, București, 2002.

[6] C. Cucoș – “Pedagogie”, Ed. Polirom, 2002.

[7] N. Gheorghiu, T. Precupanu – „Analiză matematică”, Editura didactică și pedagogică, București, 1979.

[8] R. Gologan – “Matematica olimpiadelor și concursurilor școlare 2011”, Editura Paralela 45, 2011.

[9] P. Jackel – ”The Future is Convex” Wilmott, pages 2-13, February 2005

[10] M. Liedtke – ”Convex functions”, New York: Addison-Wesley 2012.

[11] M. Marin, H. Arabnia – “Problems on Algebra and Mathemtatical Analysis”, Editura Elliott & Fitzpatrick, USA 2010.

[12] C. Meghea, I. Meghea – „Tratat de calcul diferențial și calcul integral ”, Editura Tehnică, București, 1997.

[13] M. Megan, I. Purdea, D. Duca, O. Pop – “Manual de Matematică (Clasa a XII – a)”, Editura Gil, 2003.

[14] I. Nicola – “Pedagogie”, E.D.P., București, 1994.

[15] M. Nicolescu – „Analiză matematică” (Vol.I), Editura Didactică și pedagogică, București, 1966.

[16] L. E. Person – ”Convex functions and their applications”, Springer 2004

[17] A. Precupanu – “Bazele analizei matematice”, Editura Polirom, 1999.

[18] D. Popov – “Elemente de fizică generală”, Editura Politehnică, Timișoara, 2001

[19] G. Rizescu, F. Rizescu – “Teme pentru cercurile de matematică din licee”, E.D.P., București, 1977.

[20] M. Roșculeț – „Analiză matematică”, Editura didactică și pedagogică, București, 1978.

[21] G. A. Schneider – “Culegere de probleme de analiză matematică pentru clasele XI-XII”, Editura Hyperion, București, 2010.

[22] C. Udriște, E. Tănăsescu –„Minime și maxime ale funcțiilor reale de variabile reale”, Editura Tehnică, București, 1980.