Funct ,ii omogra ce s ,i transform ari conforme [614668]

Funct ,ii omograce s ,i transform ari conforme
speciale ^ n planul complex
14 decembrie 2020

ii

Cuprins
1 1
1.1 Rezultate s ,i not ,iuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Rezultate generale despre funct ,ii olomorfe . . . . . . . 1
1.1.2 Exemple de funct ,ii ^ ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Rezultate fundamentale despre funct ,ii olomorfe . . . . 2
iii

iv CUPRINS

Capitolul 1
^In acest capitol principalele surse bibliograce sunt [3] s ,i [4].
1.1 Rezultate s ,i not ,iuni generale
1.1.1 Rezultate generale despre funct ,ii olomorfe
Denit ,ia 1.1.1 Consider am funct ,iad:
!C. Spunem c a deste derivabil a
^ n punctul x02
dac a exist a s ,i este nit a limita
lim
x!x0f(x)f(x0)
xx0
Atunci c^ and exist a, limita precedent a se noteaz a cu f0(x0) s,i se numes ,te
derivata funct ,iei f ^ nx0.
Funct ,iadeste olomorf a pe
dac a este derivabil a ^ n orice punct din
.
Mult ,imea tuturor funct ,iilor olomorfe pe Cse noteaz a cuH(C).
O funct ,ie olomorf a pe Cse numes ,tefunct ,ie ^ ntreag a .
Funct ,iadse numes ,teR-diferent ,iabil a ^ nx=x0+iy02
dac a funct ,iile
u= Refs,iv= Imfsunt diferent ,iabile ^ n (x0;y0).
Funct ,ia d se numes ,teC-diferent ,iabil a ^ nx02
dac a exist a un num ar
complexBsi o functie b:
rfx0g!Castfel ^ nc^ at lim x!x0b(x) = 0 s ,i
b(x) =b(x0) +B(xx0) +b(x)(xx0),x2
rfx0g.
De asemenea, s ,tim c adeste derivabil a ^ n x0dac a s ,i numai dac a deste
C-diferent ,iabil a ^ nx0.
Teorema 1.1.2 (Cauchy-Riemann): O funct ,ied=u+iv:
!C(
este
deschis a ^ n C) este derivabil a ^ n x2
dac a s ,i numai dac a funct ,iadeste
R-diferent ,iabil a ^ nx2
s,i derivatele part ,iale ale funct ,iilor realeus,ivde
variabilelex1s,iy1satisfacsistemulCauchyRiemann ^ nx:
1

2 CAPITOLUL 1.
(
@u
@x1(x0;y0) =@v
@y1(x0;y0)
@u
@y1(x0;y0) =@v
@x1(x0;y0)(1.1.1)
Pentru ca sistemul (1.1.1) s a e echivalent cu@d
@x2(x) = 0, unde x=
x0+iy0,x2=x1+iy1trebuie s a introducem operatorii diferent ,iali@
@x2=
1
2
@
@x1i@
@y1
,@
@x2=1
2
@
@x1+i@
@y1
1.1.2 Exemple de funct ,ii ^ ntregi
ˆFunct ,ia exponent ,ial a
Funct ,iad:C!Cdenit a prin d(x) =exse numes ,te funct ,ia exponent ,ial a
complex a. Preciz am c a ex=ex0(cosy0+isiny0),x=x0+iy02C.
Se poate folosi s ,i notat ,iaexp, deciexp(x) =ex; x2C.
ˆFunct ,ia putere
Fie2C. Funct ,ia multivoc a D:C!P (C) denit a prin D(x) =x,
undex=elogx,x2Cse numes ,te funct ,ia putere.
ˆFunct ,iile trigonometrice sins,icosde variabil a complex a
Funct ,iile trigonometrice sins,icosde variabil a complex a se denesc cu
ajutorul funct ,iei exponent ,iale:
cosx=eix+eix
2s,isinx=eixeix
2i;x2C
1.1.3 Rezultate fundamentale despre funct ,ii olomorfe
Teorema 1.1.3 (maximului modulului): Consider am
un domeniu din C
s,id:
!Co funct ,ie olomorf a. Dac a exist a un punct x2

Bibliograe
[1] M.Beck, G.Marchesi, D.Pixton, L.Sabalka, A First Course in Complex
Analysis , Version 1.54
[2] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable II , Springer-Verlag,
New York, 1995
[3] P.Hamburg, P.Mocanu, N.Negoescu, Analiz a Matematic a (Funct ,ii Com-
plexe) , Editura Didactic a s ,i Pedagogic a, Bucures ,ti, 1982
[4] G.Kohr, P.Mocanu, Capitole Speciale de Analiz a Complex a , Presa Univer-
sitar a Clujean a, Cluj-Napoca, 2005
[5] Z.Nehari, Conformal Mapping , McGraw-Hill, New York, 1952
[6] E.Popa, Introducere ^ n Teoria Funct ,iilor de o Variabil a Complex a.
Exercit ,ii s ,i Probleme , Editura Univ.Alexandru Ioan Cuza, Ias ,i, 2001
[7] W.Rudin, Real and Complex Analysis III , McGraw-Hill, 1987
3