Formel e fundamentale ale unei suprafeț e [620850]

Capitolul 2
Formel e fundamentale ale unei suprafeț e

Începând cu acest capitol, suprafețele vor fi studiate ș i din punct de vedere metric .
Prima și a doua formă fundamentală ale unei suprafeț e, determină suprafața modulo o
izometrie a spaț iului ambiant.

2.1.Prima forma fundamentală a unei suprafeț e

2.1.1. Noțiuni de algebră liniară
Fie V un spaț iu vectorial.
O formă biliniară simetrică V este o funcție B:V
 V→
ce satisface urmatoarele condiții :
1)B(X,Y) = B(X, Y) ,
 X,Y
 V.
2) B(aX + bY,Z) = aB(X,Z) + bB(Y,Z),
 X,Y,Z
 V și a,b


Forma biliniară simetrică B e pozitiv definită dacă B(X,X)
 0,cu egalitate dacă ș i
numai dacă X=0.
Numim produs scalar pe spațiul vectorial V o formă biliniară <,>:V
 V→

care es te sime trică și pozitiv definită :
1)pozitiv definită : <X,X>
 0 ,
X
V;
2)biliniară : liniară în fiecare punct;
3)simetrică : <X,Y> = <Y,X> ,
 X,Y
 V.

2.1.2. Definiț ie

Fie f:U →
3 o suprafață parametrizată ș i p=(u,v)
 U.
Prima formă fundamentală a suprafeței f este forma biliniară simetrică :
g:T
p f →

g(X,Y) = <X,Y>,
X,Y
 T
pf. (2.1)

Prima formă fundamentală g este restricț ia produsului scalar Euclidian la fiecare spațiu tangent al
suprafeț ei f. Spunem ca g este indusă pe produsul scalar Euclidian . Din punct de ve dere geometric, așa
cum vom vedea ulterior, prima formă fundamentală ne permite sa facem măsurări în suprafață : unghiul
vectorilor tangenti, lungimea curbelor , aria unor regiuni, fără a se face referire la spaț iul ambiant
3
în
care se află suprafata.

2.1.3.Defin iție
Funcțiile diferenț iabile g
ij :U →
, 1
i,j
2 , definite de g
ij=g(X ,Y ) se numesc coeficie nții primei
forme fundamentale. (2.2)

2.1.4.Observaț ii
i)Notaț iile clasice -Gauss pentru prima formă fundamentală a unei suprafeț e sunt:

g
11 = E
g
12 = g
21 = F

g
22 = G.

ii) O parametrizare pentru care g
12 = 0 se numeste parametrizare ortogonală. În jurul oricărui punct există
parametriză ri ortogonale.
iii)Coeficienț ii primei forme fundamen tale definesc matricea simetrică :
(g
ij)
1 , 2ij =
EF
FG
 , iar det ( (g
ij)
1 , 2ij ) = EG – F
2 > 0.

2.1.5.Propoziți e
Prima formă fundamentală se poate scrie sub urmatoare a formă :
ds
2= g
ij du dv = E (du)
2 + 2F du dv + G (dv)
2 (2.3)
Motivul pentru care folosim notaț ia ds
2 este acela ca radacina pătrată a primei
forme fundamentale se poate folosi pentru a calcula lungimea unor curb e de p e supraf ață.

2.1.6.Propoziț ie
Fie f:U →
3 o suprafață parametrizată ș i fie
f = f

o reparametrizare a lui f.
Fie
ijg coeficienț ii primei forme fundamentale a suprafeț ei
f și fie g
ij coeficienț ii prim ei forme
fundamentale a suprafeț ei f.
Atunci avem:
ijg =
klg
k
iu
u

l
ju
u
 , unde d
 =
i
ju
u
 .
Prima formă fundamentală este invarianta la o schimbare de parametru.
Propoziția anterioară ne arată cum se schimbă coeficienț ii primei forme fundamental e la o
reparametrizare.

2.1.7.Teoremă
Două suprafețe S ș i S’ sunt local izometrice dacă si numai dacă pentru orice punct p
 S exista
parametriză rile f si f’ astfel încat în orice punct din U coeficienț ii primelor forme fundamentale sa fie egali:
g
ij(u,v) = g
'
ij (u,v)
Planul
2
cu structura euclidiană canonică și cilindrul sunt două suprafeț e local i zometrice.
Considerăm parametriză rile standard pentru plan, respectiv cilindru:
f(u,v) = (u,v,0)
f’(u,v) = (cos u,sin u,v)
Parametrizările au aceeasi formă fundamentală
ij ijg .
Izometria locală dintre cele dou ă suprafețe este urmă toarea: F(u,v,0) = (cos u,sin u,v)

2.1.8 .Aplicaț ie-Planul
Fie P
3
un plan ce trece prin punctul p
0 = (x
0 ,y
0,z
0).
Planul P conț ine vectori ortonormali : w
1 = (a
1 ,a
2,a
3), w
2 = (b
1 ,b
2,b
3).
Avem parametrizarea: f(u,v) = p
0 + u w
1 + v w
2
Vrem sa calculăm coeficienț ii primei forme fundamentale.
Mai întâi calculă m: f
u (u,v) = w
1
f
v(u,v) = w
2

Datorită faptului că w
1, w
2 sunt vectori unitari ortogonali, coeficienț ii primei forme
fundamentale: E,F,G sunt constanț i:
E = < f
u(u,v), f
u(u,v)> = < w
1, w
1> = 1
F = < f
u(u,v), f
v(u,v)> = < w
1, w
2> = 0
G = < f
v(u,v), f
v(u,v)> = < w
2, w
2> = 1
In acest caz, prima formă fundamentală este teorema lui Pitagora in planul P, adică
pătratul lungimii unui vector w ale că rui coordonate sunt a, b în baza { f
u, f
v} este a
22b .

2.1.9.Aplicaț ie -Sfera
Fie suprafaț a f:
3 ( , )22E  

f(u,v) = (r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u), r>0.
Imaginea aplicaț iei f este sfera S
2 din care sunt scoși polul nord ș i polul sud.
Coeficienț ii primei forme fundamentale sunt urmat orii:

E = g
11 (u,v)=<f
u (u,v), f
u(u,v)>
E = <(-r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u),( – r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u)>
E = (-r sin u cos v)
2 + (-r sin u sin v)
2 + (r cos u)
2
E = r
2sin
2u cos
2 v + r
2 sin
2u sin
2 v + r
2cos
2 u
E = r
2sin
2u (cos
2 v + sin
2 v ) + r
2 cos
2 u
E = r
2sin
2u
1 + r
2 cos
2 u= r
2 ( sin
2u + cos
2 u) = r
2

F = g
12 = g
21 =< f
u (u,v),f
v(u,v)>
F = <(-r sin u cos v, -r sin u sin v,r cos u),( -r cos u sin v, r cos u cos v,0)>
F = r
2sin u cos v cos u sin v + r
2 sin u sin v cos u cos v + 0 = 0

G = g
22 (x) =< f
v (u,v), f
v(u,v)>
G = <(-r cos u sin v, r cos u cos v,0),( -r cos u sin v, r cos u cos v,0)>
G = r
2cos
2 u sin
2 v + r
2 cos
2 u cos
2 v + 0 = r
2cos
2 u (sin
2 v + cos
2 v )
G = r
2cos
2 u
Am obț inut: ( g
ij)
1 , 2ij =
2
220
0 cosr
ru



2.2.A doua formă fundamentală a unei suprafeț e

Fie U o mulțime deschisă in
2
și p = (u,v)
 U.
Fie f:U→E
3 o suprafață . Fie aplicaț ia Gauss N:U →S
2.
Considerăm reperul Gauss î n punctul f(p): {f
u ,f
v,N}.
Consideră m derivatele de ordinul 2, f
ij și derivatele de ordinul întâ i N
i.
N este unitar, deci <N
i ,N> = 0,deci N
i sunt vectori tangenț i.

2.2.1.Definiț ie
A două formă fundamentală a suprafeței f este o for mă biliniară simetrică h, definită pe
fiecare spaț iu tangent T
p f, astfel:
h(X,Y) = -<dN
p X ,df
p X> (2.4)

2.2.2.Observaț ii
i)Funcțiile diferenț iabile h
ij :U

, 1
i,j
2, definite de h
ij = <f
ij ,N> (2.5) , se numesc
coeficienț ii cele de -a doua forme fundamentale.
ii)Pentru coeficienții formei a doua avem următoarele notaț ii clasice :
h
11 = e h
12 = h
21 = f h
22 = g,
Aceste a definesc matricea simetrică :
(h
ij) =
ef
fg

iii)Da că w = w
i f
i și v= v
i f
i aparțin spaț iului tangent T
p f, atunci: h(v,w) = h
ij v
i w
i

2.2.3 .Definiț ie
Fie f:U
3
o suprafață regulată .
Se numeste operatorul lui Weingarten sau operatorul formă , aplicația liniară
L:T
( , )f u v f→ T
( , )f u v f reprezentând derivata negativă a vectorului unitar normal N al
suprafeț ei f.
L(f
u ) = -N
u (2.6)
L(f
v) = -N
v (2.7)

2.2.4.Propoziț ie
Operatorul lui Weingarten il putem exprima în funcț ie de f
u și f
v astfel:
-L(f
u ) = N
u =
2fF eG
EG F
 f
u+
2eF fE
EG F
 f
v (2.8)
-L(f
v) = N
v =
22 uvgF fG fF gEffEG F EG F   (2.9)

Știm ca E,F,G sunt coeficienț ii primei forme fundamentale, iar e,f,g sunt coeficienț ii
formei a doua fundamentale.

2.2.5 .Corolar
Fie (h
i
j )
1 , 2ij matricea operatorului Weingarten.
Avem formula urmă toare :
h
ij = h
k
i g
kj, unde h
j
ieste componenta lui N
i pe f
j (2.10)

2.2.6.Propoziț ie
Coeficienț ii celei de -a doua forme fundamentale sunt dați de urmă toarele formule:

e = -<N
u ,f
u> = <N,f
uu > (2.11)

f = -<N
vf
u> = -<N
u ,f
v> = <N,f
uv > = <N,f
vu > (2.12)

g = -<N
v,f
v> = <N,f
vv > (2.13)

Forma a doua fundamentală se poate scrie și astfel:

h = edu
2 +2f du dv + gdv
2 (2.14)

2.2.7.Propoziț ie
Fie f:U
3E o suprafață .
Fie {f
u,f
v,N} reperul Gauss î ntr-un punct oarecare f(p) al suprafeț ei,p=(u,v).
Fie h
ij coeficienț ii celei de -a doua forme fundamentale ș i fie h
i
j elementele matricei
operatorului Weingarten.
Atunci avem formula lui Gauss: f
ij =
k
ij f
k + h
ij N (2.15)
Avem de asemea si formula Weingarten : N
i = -h
j
i f
j (2.16)

Demonstraț ie:
Exprimă m f
ij (u,v) î n fieca re punct p = (u,v) ca o combinație liniară de vectorii reperului
Gauss astfel: f
ij =
k
ij i ija f a N , unde
,k
ij ijaa sunt funcții diferenț iabile. (2.17)
Inmulțim scalar relația (2.17) cu N si rezultă : a
ij = <N, f
ij> = h
ij
Inlocuim a
ij în relația (2.17) ș i aceasta devine f
ij =
k
ij k ija f h N (2.17’)
Inmulțim din nou scalar relaț ia (2.17’) cu f
s și obținem:
< f
ij, f
s> = <
k
ij kjag ,
k
ija> = a
k
ji (2.18)
Derivăm î n raport cu p
j , p=(u,v) relaț ia : g
,is i s ff  și obținem:
,,is
ij s i sj jgf f f fp  
(2.19)
Din ultimele două relații rezultă :
kk is
ij ks sj ki jga g a gp (2.20)
Dacă permută m circular indicii i,s,j obținem relațiile analoage:
sj kk
si kj ji ks iga g a gp
(2.20 ’)

ji kk
js ki is kj sga g a gp
(2.20’’)
Din ultimele trei relații obț inem :
sj
ig
p
 +
ji
sg
p
 –
is
jg
p
 = 2a
k
is kjg sau
2
,is j = 2a a
k
is kjg (2.20’’’)

Înmulțim relaț ia (2.20’’’) cu g
jr și sumă m. De aici rezultă : a
rr
is is
Înlocuim ultima relație în relația (2.17’) ș i obținem formulele lui Gauss.
Vectorul N
i aparține spaț iului tangent pentru orice punct din mulț ime, deci avem:
N
i = b
j
ijf (2.21)
Înmulț im scalar cu f
s și obț inem: -h
is = b
j
i jsg sau <N
i , f
s> = b
j
i jsg
Înmulț im cu g
sr și sumă m.
Obținem: b
r sr
i sigh .
Adică : -b
rr
iih , elementele matricei operatorului Weingarten.

2.2.8. Propoziț ie
Fie f :
2
3E
o suprafaț a .
Fie {f
u,f
v,N} reperul Gauss î ntr-un punct oarecare f(p) al suprafeț ei,p=(u,v).
Fie
 (t) = f(u(t),v(t)) o curbă regulată ș i fie {e
1 ,e
2,e
3} reperul Frenet asociat curbei
 .
Fie K curbură a curbei
 și fie
 unghiul dintre vectorul un itar normal al suprafeței f și
normala principală e
2 a curbei
 .Vectorii N si e
2 sunt unitari:
Atunci avem formula lui Meusnier: K cos
 =
''
''( , )
( , )h
g
 , unde h,g sunt prima respectiv a
doua formă fundamentală . (2.22)
Kcos
 se numește curbura normală a curbei
 .

2.2.9 .Defini ție
Un vector w al spaț iului tangent T
p f se numește direcție asimptotică dacă w
0 și
h(w,w) = 0.
O curbă regulată
 pe suprafață :
2
3E
se numește linie asimptotică dacă vectorul

'
este direcție asimptotică , deci dacă și numai dacă h(
'', ) = 0 sau curbura normală K = 0.

2.3.A treia formă fundamentală a unei suprafeț e
Fie U o mulțime deschisă î n
2
și x=(u,v)
 U.
Fie f:U→E
3 o suprafață și fie aplicaț ia Gauss N:U →S
2.
Considerăm reperul Gauss î n punctul f(x): {f
u ,f
v,N}.

2.3.1.Definiț ie

A treia formă fundamentală a unei suprafețe este o formă biliniară simetrică, definită pe
fiecare spaț iu tangent, dată de relaț ia: III(X,Y) = <dN
p X,dN
p Y> (2.23)

2.3.2.Definiț ie

Funcțiile diferenț iabile e
ij : U→
definite de relaț ia: e
ij (u,v) = g
rs (u,v) h
ri (u,v) h
sj (u,v)
se numesc coeficienț ii formei a treia fundamentale.

2.3.3 .Propoziț ie

A treia formă fundamentală poate fi exprima tă în funcț ie de prima si cea de -a doua formă
fundamentală : g respectiv h, astfel: I II – 2 H h + K g = 0, unde K, H sunt curbura Gauss a
unei suprafețe , respectiv curbura medie , noțiuni ce vor fi studiate î ntr-un capitol ulterior.