FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE [618937]

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

29 CAPITOLUL 2
FORME LINIARE. FORME BILINIARE.
FORME PĂTRATICE

Obiectivul capitolului
Însușirea unor noțiuni și rezultate fundamentale, tehnici de calcul și algoritmi din
teoria algebrei liniare .

Cuvinte cheie: formă liniară, formă biliniară , formă pătrati că, forma canonică a unei
forme pătratice, formă pătratică pozitiv def inită, formă pătratică negativ def inită, formă
pătratică nedefinită

2.1. Forme liniare

Fie V un spațiu vectorial real.
Definiție. Se numește formă liniară pe spațiul vectorial V, o funcție
RV:
care îndeplinește următoarele condiții:
1)
 Vyxy x yx  ,, (
 este aditivă);
2)
 Vx x x  , , R (
 este omogenă).
Observație. Condițiile 1) și 2) sunt echivalente c u condiția
3)
 Vyx y x yx  ,, ,, R .
În cele ce urmează presupunem că spațiul vectorial real V este n – dimensional .
Dacă
RV: este o formă liniară,
 nv vv B ,…,,21 este o bază în V și

n
iiivx x
1
este un vector oarecare din V, atunci
 



 n
ii in
iii vx vx x
1 1
.

CAPITO LUL 2
30 Notând
 n iv ai i ,1, obținem

n
iiixa x
1 . Această relație se numește
expresia analitică a formei liniare
 față de baza considerată B, iar scalarii
 n iv ai i ,1,
se numesc coeficienții lui
 relativ la baza B.
Matricea
  )(,1 2 1 Rn na aaA M   se numește matricea formei liniare

în raport cu baza B.
Dacă introducem matricea coloană
R1,21
n
nxxx
X M




 form ată cu coordonatele
vectorului x, atunci expresia formei liniare
 poate fi scrisă sub forma matriceală
AXx)(
.
Notație. Mulțimea formelor liniare pe V se notează cu
*V .
Teoremă. Fie V un spa țiu vectorial real și
*
21, V . Atunci
1)
*
2 1 V ;
2)
R  ,*
1V .
Demonstrație. Într-adevăr,
Vyx ,, , R avem



y xy y x xy x y xy x y x y x
2 1 2 12 1 2 12 2 1 12 1 2 1
] [] [


și

  

.1 11 11 11 1
y xy xy xy x y x


Prin verificarea condițiilor din definiția spațiului vectorial se demonstrează
următoarea

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

31 Teoremă.
*V este un R – spațiu vectorial în raport cu adunarea formelor
liniare și cu înmulțirea formelor liniare cu scalari.

*V se numește spațiul dua l (sau conjugat) al spațiului vectorial V.
Observație.
V V dim dim* .

2.2. Forme biliniare. Forme pătratice

Fie V un spațiu vectorial real .
Definiție. Se numește formă biliniară sau tensor covariant de ordinul doi pe
spațiul vectorial V, o func ție
R VV: care îndeplinește următoarele condiții:
1)
zy zx zyx , , ,  ,
Vzyx ,, ;
2)
zx yx zyx , , ,  ,
Vzyx ,, ;
3)
yx yx , , ,
R ,
Vyx, ;
4)
yx yx , , ,
R ,
Vyx, .
Observație. Condițiile 1), 2), 3 ) și 4) sunt echivalente cu condițiile:
5)
 Vzyx zy zx zyx  ,,, ,,, , , R ;
6)
 Vzyx zx yx zyx  ,,, ,,, , , R .
Definiție . Forma biliniară
 se numește simetrică dacă
 Vyxxy yx  ,,, ,
.
Forma biliniară
 se numește antisimetrică dacă
 Vyxxy yx  ,,, ,
.
Teoremă. O formă biliniară
R VV: este antisimetrică dacă și numai
dacă
Vx xx  ,0),( .
Demonstrație.
Fie
 o formă biliniară antisimetrică. Conform definiției
 Vyxxy yx  ,,, ,
.

CAPITO LUL 2
32 Pentru
xy , avem
xx xx , , , deci
0 ,2xx , deci
Vx xx  ,0),(
.
Reciproc, f ie
 o formă biliniară cu
Vx xx  ,0),( . Atunci pentru vectorul
y x
cu
0 , avem
0) , (  yxyx

sau
0),( )],(),([),(2 yy xy yx xx
.
Cum
0),(xx și
0),( yy , avem
0)],(),([  xy yx
,
adică
 Vyxxy yx  ,,, ,
.
Teoremă. Orice formă biliniară
R VV: este o sumă de două forme
biliniare, una simetrică și alta an tisimetrică.
Demonstrație. Fie
R VV: o formă biliniară pe V. Notăm cu
)].,(),([21),()],,(),([21),(
21
xy yx yxxy yx yx


Se constată că
1 este formă biliniară simetrică și
2 este formă biliniară
antisimetrică, iar
),( ),( ),( 2 1 yx yx yx 
.
Într-adevăr,
    
  
),,( ),(),(),(21),(),((21),(),( ),(),(21)],( ),( ),( ),([21)] ,(), ([21), (
1 11
zy zxyz zy xz zxyz zy xz zxyz xz zy zxy xz zy x zy x





FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

33
    
  
),,( ),(),(),(21),(),((21),(),( ),(),(21)],( ),( ),( ),([21)], () ,([21) ,(
1 11
zx yxxz zx xy yxxz zx xy yxxz xy zx yxxz y z yz z yx




adică
1 este formă biliniară.
Deoarece
Vyxxy yx  ,),,( ),( 1 1 rezultă că
1 este formă biliniară
simetrică .
Analog se demonstrează că
2 este formă biliniară antisimetrică.
Evident,
),( )],(),([21)],(),([21),( ),( 2 1 yx xy yx xy yx yx yx 
.
În cele ce urmează presupunem că spațiul vectorial V este n – dimensional.
Dacă
R VV: este o formă biliniară,
} ,…,,{21 ne ee B este o bază în V și

n
iiiex x
1
,

n
jjjey y
1 sunt doi vectori oarecare din V, atunci
   




 n
in
jji jin
jjjn
iii eeyx ey ex yx
11 1 1, , ,
.
Notând
 n jiee aji ij ,1,,,  , obținem

n
in
jjiijyxa yx
11,
.
Această relație se numește expresia analitică a formei biliniare
 față de baz a
considera tă B, iar scalarii
 n jiee aji ij ,1,,,  se numesc coeficienții lui
 relativ
la baz a B.
Matricea
 R n njiijaA M ,1, se numește matricea formei biliniare
 în
raport cu baz a B.

CAPITO LUL 2
34 Notație. Matricea formei biliniare
 în raport cu baza B se notează cu
BA
.
Observație. Dacă introducem matricele coloană
R1,21
21
,n
n n yyy
Y
xxx
X M









 
formate cu coordonatele vectorilor x și y, atunci
expresia analitică a formei biliniare
 poate fi scrisă sub forma matriceală
XAYt
,
unde
Xt este transpusa matricei X.
Notație. Mulțimea formelor bilin iare pe V se notează cu
R,VB .
Observație. Adunarea formelor bilini are și înmulțirea acestora cu scalari pot
fi definite ca în cazul funcțiilor, determinând pe
R,VB o structură de spațiu vectorial
peste corpul R.
Observație. Aplicația care asociază fiecărei forme biliniare
Rn nVV:
matric ea ei în raport cu o bază dată a spațiului vectorial
nV este un izomorfism între
spațiul vectorial
R,nVB și spațiul vectorial
RnM , deci
2)( dim),( dim n VBn n   R R M
.
Se poate demonstra următoarea
Teor emă. O formă biliniară
R,nVB este simetrică dacă și numai dacă
matricea formei în raport cu o bază arbitrară fixată a spațiului
nV este simetrică .
O formă biliniară
R,nVB este antisimetrică dacă ș i numai dacă matricea
formei în raport cu o bază arbitrară fixată a spațiului
nV este antisimetrică .
Definiție. Fie
R,nVB și
B A ][ matricea formei biliniare
 relativ la o
bază B a spațiului vectorial
nV .
Dacă A este nesingulară , atunci form a biliniară
 se numește nedegenerată.
Dacă A este singulară, atunci form a biliniară
 se numește degenerată.

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

35 Definiție. Fie
R,nVB o formă biliniară simetrică. Mulțimea
} ,0),(| {n n Vy yx Vx Ker 

se numește nucleul formei biliniare
 .
Definiție. Fie V un spațiu vectorial și
R,VB o formă biliniară
simetrică. Funcția
 determină unic funcția
Vx xx xf  ),,( )(

care se numește forma pătratică1 asociată formei biliniare
 .
Observație. Cunoașterea formei pătratice f permite recuperarea formei biliniare
simetrice
.
Într-adevăr,
yy xy yx xx yxyx yxf , , , , , 

și cum
 Vyxxy yx  ,,, ,

rezultă că
yy yx xx yxf , ,2 , 

sau
yyfyx xxf yxf , ,2 , 
,
de unde
   Vyx yfxfyxf yx  ,,21,
.
Definiție. Forma biliniară simetrică
 asociată formei pătr atice f se
numește forma polară sau forma dedublată a formei pătratice f.

CAPITO LUL 2
36 2.3. Forma canonică a unei forme pătratice

Fie
nV un spațiu vectorial real, n dimensional,
),(RVBn o formă biliniară
simetrică și f forma păt ratică asociată.
Dacă
} ,…,,{21 ne ee B este o bază în
nV , atunci pentru orice vector
nn
iii Vex x 
1
forma pătratică f are expresia analitică
   




  n
in
jjiijn
in
jji jin
jjjn
iii xxa eexx ex ex xx xf
11 11 1 1, , ),(
,
unde
ji ij ee a , ,
n ji ,1, .
Observație. Expresia analitică a formei pătratice f poate fi scrisă și sub forma
matriceală
XAXxft)(
,
unde





nxxx
X21 ,
njiija A,1,)( , iar
Xt este transpusa matricei X.
A aduce la forma canonică forma pătratică f înseamnă a găsi o bază (numită
bază canonică) astfel încât în această bază forma pătratică să se scrie ca o sumă
algebrică de pătrate.
Sunt mai multe metode de reducere a unei forme pătratice la forma canonică:
 metoda lui Gauss2,
 metoda lui Jacobi3,
 metoda valorilor proprii.

1 Formele pătratice apar în diverse domenii ale matematicii ca geometria și topologia diferențială, teoria
numerelor, etc.
2 Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), mate matician, fizician și astronom german

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

37 Metoda lui Gauss
Teoremă. Dacă
RnVf: este o formă pătratică, atunci există o bază în
nV
relativ la care f are o expresie canonică .
Demonstrație. Să presupunem că forma pătra tică f are relativ la baza
} ,…,,{21 ne ee B
expresia analitică
) … … (2 … )(1 1 11 21122 2
111
11n nnn n n nnnn
in
jjiij xx a xxa xxa xa xa xxa xf
   
.
Cazul I. Să presupunem că în expresia analitică există cel puțin un
coeficient
n i aii ,1,0 . Fără a restrânge generalitatea, fie acesta
11a .
Expresia analitică a formei pătratice f se poate scrie sub forma
  2
22 32232
222 1 21212
111 2 2 2nnn n n nn xa xxa xxa xa xa xax xaxf       
.
Notăm cu
nnxa xa1 212  , scoatem în factor
111
a din toți termenii ce
conțin pe
1x, adunăm și scădem te rmenii necesari astfel încât cu termenii ce conțin pe
1x
să construim un pătrat perfect și obținem
2
22 32232
2222
112
111
112 21 1
nnn n n xa xxa xxa xaaxaaxf      

sau
 n nn x xg xa xaxaaxf ,,1
22
1 212 111
11    
,
unde g este o formă pătratică în ( n – 1) coordonate
nx x ,,2 .
Efectuând schimbarea de coordonate




,… ……….2 21 212 111 1
n nnn
x yx yxa xaxa y 

expresia analitică a lui f devine
 ny yg yaxf ,,1
22
1
11
.

3 Karl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851), matematician german

CAPITO LUL 2
38 În continuare, algoritmul constă în repetarea raționamentului pentru forma
pătratică în ( n – 1) variabile, nou obținută.
Cazul al II-lea. Dacă în expresia analitică
n i aii ,1,0 iar
 nu este
identic nulă, atunci există cel puțin un coeficient
0ija cu
ji . În acest caz
efectuând schimbarea de coordonate

obținem o form ă pătratică de tipul celei di n cazul I.
Observați e.
1) Metoda lui Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma
canonică, dar nu furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza
căreia se determină noua bază.
2) O formă pătratică poate fi adusă la dife rite forme canonice.

Metoda lui Jacobi
Teoremă . Fie
nV un spațiu vectorial real n – dimensional,
RnVf: o
formă pătratică pe
nV și
)( )(,1,Rn njiija A M  matricea formei relativ la o bază
 ne ee B ,,,21
a lui
nV . Dacă determinanții
nn n nnn
n
a a aa a aa a aa aa aa

2 12 22 211 12 1122 2112 11
211 1
,,


sunt toți nenuli, atunci există o bază
 ne ee B ',,',''21 a lui
nV față de care forma
pătrati că f are forma canonică

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

39
21 2
2
21 2
1
1' …' '1)(n
nnx x x xf,
unde
nx xx ',…,','2 1 sunt coordonatele vectorului x în baza
'B .
Demonstrație. Căutăm vectorii
ne ee ',…,','21 de forma
nnn n n n ec ecec eecec eec e

… '''
22 11222 121 2111 1


așa încât să avem
,,1,1),'(, 1,0),'(
n i eenij ee
iiji


unde
 este polara formei pătratice f.
Scrise dezvoltat, aceste relații devin
1 … ),'(0 … ) ,'(0 … ),'(0 … ),'(
22 111 12 2 11 1 12 222 211 21 122 111 1
   
   
iiii ii ii iiiiii ii ii iiiii i i iiii i i i
ac ac ac eeac ac ac eeac ac ac eeac ac ac ee


(am ținut cont că forma
 este simetrică, adică
ji ija a ).
Pentru
},…,2,1{ n i fixat, sistemul liniar neomogen obținut constă din i ecuații
cu i necunoscute
} ,…,,{21 ii ii c cc . Acest sistem are soluție unică, deoarece prin ipoteză
determinantul sistemului este chiar
0i .
Regula lui Cramer4 condu ce la
ii
iii i iii i iii
iia a aa a aa a aa a a
c  
1 1 2 111 12 1112 22 2111 12 11
1000


deci baza
 ne ee B ',,',''21 este perfect determinată.

4 Gabriel Cramer (1704 – 1752), matematician și fizician elvețian

CAPITO LUL 2
40 Să determinăm expresia formei pătratice f în această bază. Matricea lui f în baza
 ne ee ',,','21
este matricea
'A de elemente
.,1,),,'( …),'( ),'() … ,'( )','( '
2 2 1 122 11
n jiee c ee c ee cec ecece ee a
ji jj i j i jjjj j ji j i ij
   

Dar, prin construcție
0),'( jiee pentru
ij , deci
0'ija pentru
ij .
Din proprietatea de simetrie a formei biliniare
 rezultă că
0'ija și pentru
ij
. Deci
0'ija pentru
ji .
Dacă
ij , atunci
.,1,),'( …),'( ),'() … ,'( )','( '
12 2 1 122 11
n i cee c ee c ee cec ecece ee a
ii
iiii ii i i i iiii i ii ii ii
  


În baza
 ne ee B ',,',''21 avem
21 2
2
21 2
1
1 121
1,' …' '1' ''' )(n
nnn
ii
iin
jijiij x x x x xxa xf  



(am notat
10 ).
Observație. Metoda lui Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a
formei canonice (de exemplu în aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcții
reale), fără a fi interesați și de baza corespunzătoare.
Metoda are dezavantajul că presupune neanularea tuturor determinanților
n ii ,1,
.

Signatura unei form e pătratice
Definiție.
O formă pătratică
RnVf: se numește pozitiv semidefinită dacă
0xf ,
nVx
și există
nVy ,
0y pentru care
0)(yf .

O formă pătratică
RnVf: se numește negativ semidefinită dacă
0xf ,
nVx
și există
nVy ,
0y pentru care
0)(yf .

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

41
O formă pătratică
RnVf: se numește pozitiv definită dacă
0xf ,
0nVx
.

O formă pătratică
RnVf: se numește negativ defini tă dacă
0xf ,
0nVx
.

O formă pătratică
RnVf: se numește nedefinită dacă
nVyx, astfel
încât
0xf și
0yf .

Fie

n
iiixa xf
12 o form ă canonică a formei pătratice
RnVf: .
Se numește signatura formei pătratice f tripletul de numere reale
dqp,,
, în care:
p este numărul de coeficienți din setul
 na aa ,,,21 strict pozitivi ( p se
numește indicele pozitiv de inerție al lui f);
q este numărul de coeficienți din setul
 na aa ,,,21 strict negativi ( q se
numește indicele negativ de inerție al lui f);

qpnd (număru l de coeficienți nuli).
Teoremă (legea de inerție a lui Sylvester5). Signatura unei forme pătratice f
este aceeași în orice formă canonică a lui f.

2.4. Probleme rezolvate

1) Fie aplicația
R R R3 3: definită prin
33 12 21 3 2 2),( yx yx yx yx 
,
3
321 321 ),,( ),,,( R   yyy yxxxx
.
a) Să se arate că
 este o formă biliniară.

5 James Joseph Sylvester (1814 – 1897), matematician și avocat englez

CAPITO LUL 2
42 b) Este forma biliniară
 simetrică ?
Soluție.
a) Fie
R, și
3
321 321 321 ),,( ),,,( ),,,( R    zzzzyyy yxxxx .
Avem
) , , (), ,() , ,(),,(),,(
3 3 2 2 1 13 2 1 3 2 1321 321
y x y xy xy yy x xxyyy xxx y x
 

și
),,( ),() 3 2 2() 3 2 2() (3 ) (2 ) (2), (
33 12 21 33 12 2133 3 12 2 21 1
zy zxzy zy zy zx zx zxzy x zy x zy x zy x


deci
 este liniară în primul argument.
Analog se arată că
),( ),( ) ,( zx yx zyx 
,
deci
 este liniară și în al doilea argument.
Rezultă că
 este formă biliniară.
b) Deoarece
),,( 3 2 23 2 2),(
33 12 2133 12 21
xy xy xy xyyx yx yx yx


3
321 321 ),,( ),,,( R   yyy yxxxx
, forma biliniară
 este simetrică.

2) Se consideră forma biliniară simetrică
R R R3 3: care are în raport cu
baza canonică din
3R expresia
, 5 5 6 6 4 6 9),(23 32 13 31 12 21 33 22 11 yx yxyx yx yx yx yx yx yx yx 

3
321 321 ),,( ),,,( R   yyy yxxxx
.
Să se scrie forma pătratică asociată formei biliniare simetrice
 .
Soluție.
Forma pătratică asociată formei biliniare simetrice
 este
R R3:f definită
prin

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

43
),( )( xx xf,
3Rx .
Avem
. 2 10 12 4 6 95 5 6 6 4 6 9)(
32 31 212
32
22
123 32 13 31 12 212
32
22
1
xx xx xx x x xxx xxxx xx xx xx x x x xf


3) Se consideră forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică
din
3R expresia
, 19 4 9 8 2)(2
3 312
2 212
1 x xx x xx x xf 

3
321 ),,( R  xxxx
.
Să se scrie forma polară asociată formei pătratice f.
Soluție.
Forma polară asociată formei pătratice este
R R R3 3: definită prin
)]( )( ) ([21),( yf xf yxf yx 
,
3, Ryx .
Avem
)}. 19 4 9 8 2() 19 4 9 8 2(]) (19) )( (4) (9) )( (8) (2{[21),(
2
3 312
2 212
12
3 312
2 212
12
3 3 3 3 1 12
2 2 2 2 1 12
1 1
y yy y yy yx xx x xx x y x y xy xy x y xy x y x yx
 

Efectuând calculele, obținem
33 13 31 22 12 21 11 19 2 2 9 4 4 2),( yx yx yx yx yx yx yx yx 
.

4) Fie forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică din
3R
expresia
3
321 32 212
32
22
1 ),,( , 4 4 5 4 3 R    xxxxxx xx x x x xf
.
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gaus s.
Soluție.
Avem

CAPITO LUL 2
44


. 4 538)2 3(314 5 4]4 )2 3[(314 5 4 12 9314 5 4 4 3
322
32
22
2 1322
32
22
22
2 1322
32
2 212
1322
32
2 212
1
xx x x x xxx x x x x xxx x x xx xxx x x xx x f

Efectuând schimbarea de coordonate


,2 3
3 32 22 1 1
x yx yx x y

obținem
.27238
83
315 4 238
83
315332
964
83
315 438
314 538
31
2
32
3 22
12
32
32
3 22
12
3 322
22
12
3 322
22
1322
32
22
1
y y y yy y y y yy yy y yy yy y yyy y y y f









 

 



Efectuând schimbarea de coordonate




3 33 2 21 1
238
y zy y zy z

obținem
2
32
22
127
83
31z z z f 
.

5) Fie forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică din
3R
expresia
32 31 21 3 2 )( xx xx xxxf 
,
3
321 ),,( R  xxxx .
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gaus s.
Soluție. Cum
0 12a , se efectuează schimbarea de coordonate

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

45


3 32 1 22 1 1
y xy y xy y x
și obținem

. 53 2
32 312
22
132 1 32 1 2 1 2 1
yy yy y yyy y yy y y yy y f


Se continuă ca în exemplul precedent.
Astfel,
.425
25) 5 (
322
22
32
3 1322
2 312
1
yy y y y yyy y yy y f




Efectuând schimbarea de coordonate




,25
3 32 23 1 1
y zy zy y z

obținem
.621425
41
21425) (425
2
32
3 22
12
32
32
3 22
12
3 322
22
1322
32
22
1
z z z zz z z z zz zz z zzz z z zf






Efectuând schimbarea de coordonate




,21
3 33 2 21 1
z uz z uz u

obținem pentru forma pătratică
f forma canonică

CAPITO LUL 2
46
2
32
22
1 6u u uf .

6) Fie forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică din
3R
expresia
, 4 4 4 6 5)(31 212
32
22
1 xx xx x x x xf 

3
321 ),,( R  xxxx .
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Jacobi și apoi
să se determine baza în raport cu care f are forma canonică respectivă.
Soluție. Matricea formei pătratice f relativ la baza canonică a spațiului
3R este






4 020 622 2 5
A
.
Avem
51
,
26622 5
2  și
80
4 020 622 2 5
3 

 .
Forma canonică a formei pătratice f este
,'4013'265'51'8026'265'51)(
2
32
22
12
32
22
1
x x xx x x xf


unde
33 22 11 '''''' exexexx 
,
iar
}',','{'3 21 eee B este baza în care se realizează aceasta.

Conform teoriei
} ', ', '{'333 232 131 3222 121 2111 1 ececec eecec eec e B   

iar coeficienții
33 32 31 22 21 11 ,,,,, cccccc se determină astfel:
a.
11c se determină din condiția
1),'( 11 ee
.

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

47 b.
21c ,
22c se determină din condițiile

 
1),'(0),'(
2212
eeee

c.
33 32 31 ,, ccc se determină din condițiile

 
,1),'(0),'(0),'(
332313
eeeeee

unde
 este forma polară a foemi pătratice f.
Avem
5 ),( ), ( ),'( 11 1111 11 11 1111 11   c ac ee c eec ee
.
Deci,
1 511c , adică
51
11c ceea ce implică
1 151' e e .
Avem
)2( 5 ),( ),( ), ( ),'( 22 21 12 22 11 21 1222 121 12   c c ee c ee c eecec ee

și
6 )2( ),( ),( ), ( ),'( 22 21 22 22 21 21 2222 121 22   c c ee c ee c eecec ee
.
Rezolvând sistemul


1 6 20 2 5
22 2122 21
c cc c

obținem
265,131
22 21  c c
,
deci
2 1 2265
131' e e e 
.
Avem

CAPITO LUL 2
48
),2( )2( 5),( ),( ),(), ( ),'(
33 32 3113 33 12 32 11 311333 232 131 13

c c cee c ee c ee ceec ecec ee
0 6 )2(),( ),( ),(), ( ),'(
33 32 3123 33 22 32 21 312333 232 131 23

c c cee c ee c ee ceec ecec ee

și
.4 0 )2(),( ),( ),(), ( ),'(
33 32 3133 33 32 32 31 313333 232 131 33

c c cee c ee c ee ceec ecec ee

Rezolvând sistemul

  
1 4 20 6 20 2 2 5
33 3132 3133 32 31
c cc cc c c

obținem
4013,201,203
33 32 31  c c c
,
deci
3 2 1 34013
201
203' e e e e 
.
În final obținem

  3 2 1 3 2 1 2 1 14013
201
203',265
131',51' ' e e e ee e ee e B
.

2.5. Probleme propuse

1. Fie aplicația
R R R3 3: definită prin
23 32 13 31 12 21),( yx yxyx yxyx yxyx 
,
3
321 321 ),,( ),,,( R   yyy yxxxx
.
a) Să se arate că
 este o formă biliniară.

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

49 b) Este forma biliniară
 simetrică ?

2. Se consideră forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică
din
3R expresia
, 2 4 2 8)(32 212
32
22
1 xx xx x x x xf 

3
321 ),,( R  xxxx
.
Să se scrie forma polară asociată formei pătratice f.

3. Fie forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică din
3R
expresia
3
321 32 31 212
32
22
1 ),,( , 4 3 4 2 R    xxxxxx xx xx x x x xf
.
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gaus s.

4. Fie forma pătratică
R R3:f care are în r aport cu baza canonică din
3R
expresia
32 31 21 3 )( xx xx xxxf 
,
3
321 ),,( R  xxxx .
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gaus s.

5. Fie forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică din
3R
expresia
, 8 6 2 4 2)(32 31 212
32
22
1 xx xx xx x x x xf 

3
321 ),,( R  xxxx .
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Jacobi și apoi
să se determine baza în raport cu care f are forma canonică respectivă.
6. Se con sideră forma pătratică
R R3:f care are în raport cu baza canonică
din
3R expresia
, 16 12 8 3 2)(32 31 212
32
22
1 xx xx xx x x x xf 

3
321 ),,( R  xxxx .
Să se aducă forma pătratică la forma canonică folosind metoda lui Gauss și
metoda lui Jacobi și apoi să se verifice legea de inerție a lui Sylvester.

CAPITO LUL 2
50