Formarea Conceptului de Numar Natural In Ciclul Primar

I. IMPORTANȚA ȘI SARCINILE PREDĂRII MATEMATICII LA CICLUL PRIMAR

Modernizarea și ridicarea calității învățământului românesc la nivelul standardelor educaționale europene, mereu reînnoite și ele, fac necesară o examinare atentă și actualizată a transformărilor prioritare și progreselor ce marchează evoluția sistemelor de învățământ din celelalte state, în deosebi ale Comunității Europene.

In contextul preocupărilor pentru modernizarea învățământului, pentru racordarea lui la cerințele epocii contemporane, cele destinate ridicării calității învățământului matematic ocupă un rol prioritar.

Matematica joacă azi un rol din ce în ce mai influent in viața societății contemporane când se impune matematicizarea domeniilor economico – sociale. Tocmai de aceea, însușirea matematicii de către elevi a devenit o necesitate stringentă, căreia trebuie să-i acordăm atenția cuvenită, începând cu învățământul primar, când studiul matematicii devine o disciplină de învățământ științific organizată. La acest nivel se pun bazele însușirii conștiente a numerației, a operațiilor cu numere întregi, fracționare, zecimale etc. Pe baza noțiunilor elementare se fundamentează construcțiile dificile ale matematicii, dar pentru aceasta e nevoie de multă muncă colectivă și independentă, căci: „O adevărată matematică constă în a promova o muncă intelectuală permanentă care se sprijină, la fiece treaptă a evoluției, pe o schemă din ce în ce mai solidă, pe care o reprezintă cunoștințele și automatismele” ¹/.

Însușirea matematicii prezintă o serie de dificultăți pentru școlarul mic, ceea ce impune tot atâtea strategii, modalități care să-l ajute să înțeleagă și să depășească pragul care-i blochează dezvoltarea intelectuală, înțelegerea și stăpânirea noțiunilor matematice.

_____________________________________

1. Robert Dottrens și colaboratorii- „ A educa și instrui”, Editura Didactică și Pedagogică, 1970, pag. 199

Introducerea , încă de la baza învățământului, a unor concepte de mare generalitate, concepte unificatoare pe tot parcursul învățării matematicii, nu presupune doar achiziționarea acestora ca entități independente, ce cultivă o nouă posibilitate de a gândi și de a înțelege matematica prin: cunoașterea modurilor fundamentale de organizare a entităților matematice, sesizarea relațiilor fundamentale și a proprietăților acestora, cunoașterea dinamicii relațiilor și a clasificărilor matematice.

Obiectivele învățământului matematic, în etapa actuală, derivă din sarcinile generale ale școlii, ca subsistem social unic, precum și din locul matematicii, ca disciplină fundamentală, în desfășurarea actualei revoluții științifico – tehnice.

In învățământul matematic, un pas important îl constituie inocularea convingerii că această disciplină este una a realității că ea are aplicabilitate practică directă sau mediată.

Ciclul primar este acela în care se fac achiziții inițiale ca elemente indispensabile pentru instrucția din ciclurile școlare următoare.

Matematica are o deosebită valoare formativă în structurarea deprinderilor de activitate intelectuală, în dezvoltarea gândirii, memoriei și imaginației, în formarea unor trăsături de personalitate (voință centrată pe scopuri precise, simțul ordinii, al disciplinei în muncă, etc), indispensabile integrării în ciclurile școlare următoare, în viața activă în general.

Prin predarea matematicii, copiii își însușesc un limbaj matematic, caracterizat prin coeziune, claritate și exactitate, își formează deprinderi și tehnici de rezolvare a problemelor, înarmându-se cu procedee de calcul corect și rapid la care se adaugă priceperea de a învinge dificultățile, dezvoltarea spiritului de inventivitate și

creativitate.

Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate și de complexitate. În calitatea lor de dominante disciplinare, ele se referă la formarea unor capacități și atitudini specifice disciplinei și sunt urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu.

1. cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

2. dezvoltarea capacităților de explorare/ investigare și rezolvare de probleme;

3. formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic;

4. dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiu și aplicarea matematicii în contexte variate.

Obiectivele de referință specifică rezultatele așteptate ale învățării pe fiecare an de studiu și urmăresc progresia în achiziția de competențe și de cunoștințe de la un an de studiu la altul.

Clasa I.

1.1. să înțeleagă sistemul pozițional de formare a numerelor din zeci și unități, utilizând obiecte pentru justificări;

1.2. să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la 100;

1.3. să efectueze operații de adunare și de scădere;

1.4. să recunoască forme plane și forme spațiale, să sorteze și că clasifice după formă, obiecte date;

1.5. să stabilească poziții relative ale obiectelor în spațiu;

1.6. să măsoare și să compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unități de măsură nestandard, aflate la îndemâna copiilor; să recunoască orele fixe pe ceas;

2.1. să exploreze modalități de a descompune numere mai ca 20 în sumă sau diferență;

2.2. să sesizeze asocierea dintre elementele a două categorii de obiecte, desene sau numere mai mici ca 20 pe baza unor criterii date; să continue modele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici decât 10;

2.3. să estimeze numărul de obiecte dintr-o mulțime și să verifice prin numărare estimarea făcută;

2.4. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate;

2.5. să compună oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 20;

3.1. să verbalizeze în mod constant modalități de calcul folosite în rezolvarea exercițiilor;

4.1. să manifeste disponibilitate și plăcere în a utiliza numerele.

Clasa a II-a

1.1. să înțeleagă sistemul pozițional de formare a numerelor din sute, zeci și unități, utilizând obiecte pentru justificări;

1.2. să scrie, să citească numerele naturale de la o la 1000 și să compare numerele naturale mai mici decât 1000, utilizând simbolurile: <,>,=,;

1.3. să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere naturale de la 0 la 100 fără și cu trecere peste ordin;

1.4. să efectueze: operații de înmulțire până la 100 prin adunare repetată sau utilizând tabla înmulțirii până la 50; operații de împărțire cu numere mai mici decât 50 prin scădere repetată sau ca probă a înmulțirii;

1.5. să recunoască forme plane și forme spațiale și să clasifice obiecte date după forma lor,

1.6. să stabilească poziții relative ale obiectelor în spațiu;

1.7. să măsoare și să compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unități de măsură nestandard adecvate, precum și următoarele unități de măsură standard: metrul , centimetrul, litrul;

1.8. să utilizeze unități de măsură pentru timp și unități monetare;

2.1. să exploreze modalități variate de a descompune numere mai mici ca 100;

2.2. să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unei operații pentru a limita erorile de calcul;

2.3. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate;

2.4. să compună oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 100 care se rezolvă printr-o singură operație;

2.5. să sesizeze asocierea dintre elementele a două categorii de obiecte (șiruri, numere mai mici ca 100) pe baza unor reguli date; să continue modele repetitive reprezentate prin obiecte sau numere mai mici decât 100;

2.6. să extragă informații din tabele și liste, să colecteze date prin observarea pe o anumită temă, să reprezinte datele în tabele;

3.1. să exprime oral sau în scris in cuvinte proprii etape ale rezolvării unor probleme;

4.1. să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme;

Clasa a III- a

1.1. să cunoască și să utilizeze semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural mai mic decât 1000;

1.2. să scrie, să citească, să compare, să ordoneze numerele naturale până la 1000000;

1.3. să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 1000;

1.4. să efectueze înmulțiri în conceptul 0 – 1000 , utilizând tabla înmulțirii, sau utilizând proprietăți ale înmulțirii;

1.5. să efectueze împărțirea unui număr mai mic decât 100 la un număr de o cifră;

1.6. să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, în scopul depistării greșelilor;

1.7. să sorteze și să clasifice obiecte și desene după forma lor, să remarce proprietăți simple de simetrie ale unor desene;

1.8. să cunoască unitățile de măsură standard pentru lungime, capacitate, masă, timp și unitățile monetare și să exprime legătura dintre unitatea principală de măsură și multiplii, respectiv submultiplii ei uzuali;

2.1. să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000 utilizând oricare dintre operațiile învățate;

2.2. să efectueze împărțirea cu rest la un număr de o cifră și să o coreleze cu formula d=î x c + r, r<î prin scădere repetată, sau prin cuprindere , pe baza tablei înmulțirii;

2.3. să descopere, să recunoască și să utilizeze corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date;
2.4. să folosească simboluri pentru a pune în evidentă numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

2.5. să rezolve și să compună probleme de tipul:

a ± b = x

a ± b ± c = x

a x b = x

a : b = x, b =/ 0

unde a, b, c, sunt numere naturale date mai mici decât 1000, iar x este necunoscută;

2.6. să colecteze date, să le sorteze și clasifice pe baza unor criterii simple, să le organizeze în tabele;

3.1. să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme;

4.1. să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme;

4.2. să manifeste un comportament adecvat în relațiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme;

Clasa a IV – a

1.1. să cunoască și să utilizeze semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural până la ordinul miliardelor, inclusiv;

1.2. să scrie, să citească, să compare, să ordoneze numere naturale;

1.3. să utilizeze fracții pentru a exprima subdiviziuni ale întregului;

1.4. să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu rest a numerelor naturale;

1.5. să înțeleagă semnificația adunării și scăderii numerelor fracționare, să efectueze adunări și scăderi cu aceste numere;

1.6. să estimeze ordinul de mărime al rezultatului uni exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, în scopul depistării greșelilor;

1.7. să recunoască forme plane și forme spațiale, să identifice și să descrie proprietăți simple ale unor figuri geometrice;

1.8. să cunoască unitățile de măsură standard pentru lungime, capacitate, masă, suprafață, timp și unitățile monetare și să exprime prin transformări pe baza operațiilor învățate, legăturile dintre unitățile de măsură ele aceleiași mărimi;

2.1. să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000 utilizând oricare dintre operațiile învățate sau combinații ale lor;

2.2. să aprecieze valoarea de adevăr a unei afirmații și să cunoască sensul implicației „dacă – atunci” pentru exemple simple, eventual din cotidian;

2.3. să descopere, să recunoască și să utilizeze corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date;

2.4. să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

2.5. să rezolve și să compună probleme cu text;

2.6. să colecteze date, să se sorteze și clasifice pe baza unor criterii simple, să le reprezinte în tabele;

3.1. să expriclasifice pe baza unor criterii simple, să le organizeze în tabele;

3.1. să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme;

4.1. să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme;

4.2. să manifeste un comportament adecvat în relațiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme;

Clasa a IV – a

1.1. să cunoască și să utilizeze semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural până la ordinul miliardelor, inclusiv;

1.2. să scrie, să citească, să compare, să ordoneze numere naturale;

1.3. să utilizeze fracții pentru a exprima subdiviziuni ale întregului;

1.4. să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea cu rest a numerelor naturale;

1.5. să înțeleagă semnificația adunării și scăderii numerelor fracționare, să efectueze adunări și scăderi cu aceste numere;

1.6. să estimeze ordinul de mărime al rezultatului uni exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, în scopul depistării greșelilor;

1.7. să recunoască forme plane și forme spațiale, să identifice și să descrie proprietăți simple ale unor figuri geometrice;

1.8. să cunoască unitățile de măsură standard pentru lungime, capacitate, masă, suprafață, timp și unitățile monetare și să exprime prin transformări pe baza operațiilor învățate, legăturile dintre unitățile de măsură ele aceleiași mărimi;

2.1. să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000 utilizând oricare dintre operațiile învățate sau combinații ale lor;

2.2. să aprecieze valoarea de adevăr a unei afirmații și să cunoască sensul implicației „dacă – atunci” pentru exemple simple, eventual din cotidian;

2.3. să descopere, să recunoască și să utilizeze corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date;

2.4. să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme;

2.5. să rezolve și să compună probleme cu text;

2.6. să colecteze date, să se sorteze și clasifice pe baza unor criterii simple, să le reprezinte în tabele;

3.1. să exprime pe baza unui plan simplu de idei, oral sau scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;

4.1. să manifeste interes pentru analiza și rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice;

4.2. să depășească blocaje în rezolvarea de probleme, să caute prin încercare – eroare noi căi de rezolvare;

4.3. să manifeste disponibilitate pentru a învăța de la alții și a-i ajuta pe ceilalți în rezolvarea de probleme:

II. PREMISELE PSIHOLOGICE ALE INSTRUIRII

CORECTE ȘI TEMEINICE A CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL

Copilul, candidat la umanitate, trebuie înțeles ca univers în dezvoltare, dar o dezvoltare care are etapele ei, potențialul ei, forța ei interioară și, nu în ultimul rând, echilibrul necesar. Sunt situații când, odată depășită defectuos/incomplet o etapă, s-a pierdut o șansă , chiar șansa acelui copil de a-și dezvolta superior anume posibilități psihice.

Copilul este un întreg. El vine în ființă cu o anume dotare informațională ereditar – predispozițională, în principiu pe toate direcțiile și în toate sensurile prin care, la maturitate, putem defini personalitatea.

În procesul de învățământ, toate disciplinele au menirea de a forma logic și progresiv în structurile mentale ale elevilor un sistem de cunoștințe științifice care să se apropie de logica disciplinei respective.

Matematica este știința conceptelor celor mai abstracte cu un grad mare de generalitate. Ca „abstracțiuni” acestea se construiesc la diferite trepte prin inducție, deducție , transducție.

„Logica didactică a învățământului matematic are drept temei logica internă a științei matematice, dar se construiește ținând seama și de particularitățile psihice ale celor care învață matematica”¹/.

Gândirea copilului de vârstă școlară mică este caracterizată printr-o proprietate esențială, aceea de a fi concret – intuitivă . Copilul se găsește la stadiul operațiilor concrete, fiind capabil să înțeleagă, intuitiv, principiile de

____________________________

1. Metodica predării matematicii la clasele I – IV, 1988, pag. ,23

bază ale matematicii. Dar el realizează aceasta prin operații concrete.

Psihologia genetică (J. Piaget) a demonstrat că elementul fundamental al gândirii nu sunt imaginile – cum considera psihologia clasică – , ci schemele mintale,

structurile operaționale. Formarea noțiunilor nu constă într-o simplă imprimare a imaginilor în mintea elevilor, ci în operații executate mai întâi pe plan concret (operații cu obiectele) și apoi pe plan mintal.

După opinia psihologiei acționare (Piaget, Bruner, Galperin), „izvorul și mediul inteligenței îl constituie acțiunea, „ dar „acțiunea adevărată”, concretă. Trăsătura esențială a gândirii logice este de a fi operativă, adică de a prelungi acțiunea interiorizând-o. „Operațiile nu sunt altceva, spune J. Piaget, decât produsul interiorizării și al coordonărilor acțiunilor, în așa fel încât fără activitate nu ar putea exista o înțelegere autentică” ¹/.

Gândirea este dominantă de concret, percepția lucrurilor este globală, văzul lor se oprește asupra întregului încă nedescompus (H.Wallon), comparația se realizează și reușește mai ales pe contraste mari, nesesizându-se stările intermediare, domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale, apare reversibilitatea sub forma inversiunii și a compensării, puterea de deducție imediată arată că se pot efectua raționamente de tipul „dacă …, atunci” cu condiția să se sprijine pe obiecte concrete sau exemple, intelectualul are o singură pistă (I.S.Bruner) nu întrevede alternative posibile.

Gândirea logică la elevii claselor mici nu se poate dispensa de intuiție, de operațiile concrete cu mulțimi de obiecte, impunându-se o bază bogată intuitivă, însă fără a „îneca” gândirea în intuiție. Potrivit acestora, procesul de predare învățare a numerelor naturale la clasele I – IV trebuie să pornească mai întâi de la efectuarea unor acțiuni concrete, imaginea constituind suportul gândirii, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv,

___________________________________

1. După H. AEBLI; Didactica psihologică ( trad. ) București, Editura Didactică și Pedagogică 1973, pag. 6

către clasa a IV- a, operații logice , abstracte.

Formarea noțiunii de număr natural se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, la niveluri succesive. În acest proces trebuie valorificate diverse surse de intuiție, căutându-se forma adecvată nivelului respectiv: Valorificarea experienței empirice a copilului, sesizează adevărurile matematice în realitatea

înconjurătoare („matematizarea” realității), operații cu mulțimi concrete de obiecte, limbajul grafic. Astfel, se pot ilustra noțiunile de mulțime, incluziune, apartenență, cu obiectele reale (caiete, bețișoare, cărți, bănci) și cu obiecte cunoscute de elevi (fructe – mere, pere; ciupercuțe, flori , mașini).

Copii intuiesc însușirea caracteristică obiectelor ce aparțin mulțimii respective, sesizată prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificarea obiectelor care au însușirea ce caracterizează mulțimea respectivă și aparțin acesteia.

Când vine la școală, copilul are o reprezentare, cât de vagă, despre număr, cunoaște denumirea numerelor și o bună parte din șirul numerelor naturale. Sarcina școlii ar fi să completeze și să organizeze reprezentările copilului despre număr și să umple cu conținut „cuvintele – număr” prin înțelegerea esenței conceptului de număr natural.

Pentru a compara mulțimile prin procedeul formării perechilor „unu la unu” se poate face apel la caiete – cărți, scaune – elevi ; pentru mulțimi cu „ tot atâtea elemente” se pot compara mulțimi ca: ghiozdane – elevi, elevi – hăinuțe.

Concluzia este, așa cum teoretizează Jean Piaget, că nu obiectele în sine poartă principiile matematice, ci operațiile cu mulțimi concrete.

Înainte de a cunoaște numerele naturale și operațiile aritmetice cu numere naturale, copilul trebuie pus în situația de a descoperi proprietățile caracteristice ale acestora în cadrul unor operații efectuate cu mulțimi de obiecte. Operațiile logice trebuie cunoscute, descoperite mai întâi în acțiunile concrete cu obiectele și apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii. De aceea, elevul este pus în situația de a efectua operații logice cu mulțimi de obiecte (formarea mulțimii după un criteriu dat, demonstrarea aparenței sau neaparenței unui obiect la mulțimea dată, etc) care poartă în ele legitățile matematice (riglete, bețișoare, bile).

Materialul didactic cel mai propriu pentru a demonstra cu multă exactitate și precizie mulțimile, relațiile dintre mulțimi, ca bază a formării noțiunii de număr natural, și operațiile cu mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere naturale este constituit din truse (blocurile logice ale lui Z.P.Dienes, jocul mulțimilor, Logi II). Prin faptul că atributul după care se constituie mulțimile cu figuri geometrice sau piesele trusei „Logi II”este precis determinat (formă, culoare, mărime, grosime), structurile logice se pot demonstra cu acestea în mod riguros matematic.

Este important de reținut că, în utilizarea acestui material cu mari valențe de simbolizare, să cere să se insiste asupra esențialului.

Reprezentările grafice, limbajul grafic este foarte apropiat de cel noțional, face legătura între concret și logic, între reprezentare – care este prin excelență senzorială – și concept care este idee și anume, ideea despre esențialul unei categorii de obiecte sau fenomene, între ele interacțiunea fiind continuă.

Imaginile mintale – ceea ce reținem în gândire într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă și mult apropiată operației intelectuale despre obiectele , procesele și evenimentele realității formează sursa principală a activității gândirii și imaginației.

Reprezentarea prin semne grafice a mulțimii, a relațiilor dintre mulțimi, a operațiilor dintre mulțimi formează în mintea elevului suportul concret, încărcat de logic, care nu sugerează simple imagini ale obiectelor ( imagini senzoriale, iconice), ci imagini constructe mintale pe care le obține în urma acțiunii cu obiectele și care pot reflecta aspectul operativ, dinamic, tendința spre ajustare și organizare a informațiilor existente în contextul constructului mintal dat.

Operația de generalizare se produce atunci când elevul este capabil să exprime prin semne grafice simple ( puncte, linii, cerculețe, figuri geometrice) ideea generală care se desprinde în urma operațiilor efectuate cu mulțimile concrete de obiecte. Semnul grafic evocă obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii.

Nivelurile de construcție nu se succed linear în formarea conceptelor matematice. La fiecare nivel, prin care ne apropiem de concept, există o îmbinare complexă între concretul cel mai concret și imagini, între senzorial și logic.

Formarea noțiunii, conceptului de număr natural, se impune să se facă cu ajutorul clasei de echivalență a mulțimilor echivalente.

Dezvoltarea gândirii este strâns legată de îmbogățirea experienței cognitive, legată direct de practică pe de o parte, și de dezvoltarea limbajului, care este instrumentul ei de lucru, pe de altă parte.

III. UNITATE ȘI CONTINUITATE ÎN FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL DE LA GRĂDINIȚĂ LA ȘCOALĂ – PUNCTE, ELEMENTE DE PLECARE ȘI DE SPRIJIN ÎN PREDAREA ȘI ÎNSUȘIREA ACESTUIA LA CLASA I

Învățământul preșcolar, prima verigă a sistemului nostru de învățământ, are menirea de a asigura pregătirea copiilor pentru activitatea școlară. Acesta presupune stimularea dezvoltării generale a copiilor, pregătirea psihologică a acestora pentru activitatea de tip școlar, pentru o mai ușoară și reală integrare în activitatea școlară.

Ultimii ani au adus serioase schimbări structurale în predare – învățarea matematicii în școala românească. După cum se știe, începând cu anul 1983 – 1984

s-a trecut atât la învățământul preșcolar cât și învățământul primar la aplicarea unei noi programe de matematică care a impus serioase căutări personale și colective creatoare în vederea accesibilizării cunoștințelor, a schimbului permanent de opinii, de experiență în comisiile metodice, în colectivele catedrelor, în cercurile pedagogice.

Anul școlar 1991 – 1992 a marcat o nouă modificare în predarea – învățarea matematicii atât în învățământul preșcolar cât și primar adoptându-se o programă variabilă în perioada de tranziție. Se speră să se producă o serie de ameliorări în ansamblul predării – învățării matematicii.

Obiectivele generale operaționale ale învățământului preșcolar vizează cu precădere aspectele formative ale învățământului. Se pune accent pe dezvoltarea proceselor psihice, a capacităților intelectuale, în special a operațiilor gândirii specifice activității de învățare, pe formarea capacităților de cunoaștere și de exprimare, pe formarea unor deprinderi elementare de muncă și de comportare civilizată, pregătirea copiilor pentru adaptarea intelectuală, afectivă, comportamentală la regimul activității școlare.

Copiii au posibilitatea de a asimila matematica în manieră modernă, acest fapt înscriindu -se pe linia cerințelor generale cărora este chemat să răspundă învățământul la nivelul ciclului primar, de a da elevilor cunoștințe elementare, într-o ținută științifică.

Noțiunile, inclusiv cele matematice, trebuie introduse cât mai devreme posibil într-o ținută științifică.

Introducerea la clasa I a unor elemente de matematică modernă urmărește dezvoltarea gândirii logice a copiilor prin jocuri logice dezvăluindu-se esența conceptelor matematice, punându-i în situația să înțeleagă de la început, aceste concepte, în definiția lor științifică.

Noțiune de ,,mulțime”, care constituie una din premisele continuității învățământului matematic, întrucât pe baza ei se elaborează alte noțiuni matematice

( număr natural – funcție, număr real, cerc, ș.a.) trebuie introdusă de timpuriu. Pe baza cunoștințelor noțiunii multiple ( elementele mulțimii, proprietățile principale ale elementelor dintr-o mulțime, apartenența elementelor la una sau mai multe mulțimi ) se poate ajunge la studierea și înțelegerea noțiunii de număr natural ca proprietate a mulțimilor echivalente.

Această modalitate de cunoaștere și interpretare a conceptelor matematice încă de la primul contact ale copilului cu ele asigură caracterul științific al învățământului matematic și, totodată și continuitatea lui în sensul că se introduce de la început gândirea matematică logică care apoi se dezvoltă treptat prin completarea și adâncirea noțiunilor matematice, pe tot parcursul școlarității.

Pregătirea matematică a copilului preșcolar pentru școală se asigură prin perfecționarea relației de continuitate între cele două niveluri de învățământ.

În grădiniță copiii nu dobândesc cunoștințe matematice de bază ( număr, numărare, calcul ), ci se pregătesc pentru a înțelege cu ușurință aceste noțiuni în ținuta lor științifică.

În grădiniță, copilul stabilește contacte nemijlocite cu mulțimile de obiecte, le descoperă proprietățile caracteristice, stabilește relații între ele, efectuează diverse operații din care rezultă noi mulțimi și noi proprietăți caracteristice.

Toate acestea constituie componente ale formării noțiunii de număr natural pe baza mulțimilor. ,,Înțelegerea noțiunii de număr se poate realiza prin cunoașterea lumii obiectelor, apoi a lumii mulțimilor – aceasta fiind intermediară între prima și lumea numerelor”¹/.

În formarea conceptului de număr, Piaget consideră ca fundamentală experiența bazată pe acțiuni concrete cu obiecte, pe lângă experiența logico – matematică care dă naștere operațiilor formale.

În grădiniță, copilul dobândește pregătirea necesară pentru a se putea ridica la însușirea conceptului de număr natural prin exerciții de clasificare și ordonare a mulțimilor de obiecte.

Exercițiile de comparare a mulțimilor de obiecte îi ajută pe copii să stabilească, fără a utiliza numerele, relația dintre mulțimi care pot avea mai multe elemente decât mulțimea cu care se compară, mai puține sau tot atâtea elemente, cunoștințe pe care copilul le descoperă manipulând obiecte și care conduc la esența noțiunii de număr.

Exercițiile de ordonare a elementelor mulțimii, ca și cele de ordonare a mulțimilor, conduc la pregătirea copiilor pentru compararea numerelor și pentru înțelegerea șirului crescător și descrescător al numerelor naturale.

Cunoașterea poziției relative a obiectelor în spațiu, ca și exercițiile de măsurare și însemnarea lor cu simboluri grafice (liniuțe, cerculețe) conduc pe copii la înțelegerea conceptului de număr natural prin măsurare și la stabilirea corespondenței între elementele mulțimii concrete ( numărul unităților de măsură) și cel al elementelor mulțimii reprezentate grafic.

Trebuie să se pună accent pe activitățile pregătitoare pentru înțelegerea numărului natural în clasa I prin exersarea operațiilor gândirii, punând accent pe manipularea de către copii a mulțimilor de obiecte, cu scopul de a realiza o serie de operații motorii în cadrul jocurilor logico – matematice, iar în a doua parte să pună accent mai mult pe exercițiile cu diferite tipuri de fișe și cu caiete „ Ne jucăm, desenăm, matematică – nvățăm” astfel încât să faciliteze dezvoltarea gândirii logice a copilului.

In cadrul activităților matematice din grădiniță trebuie să predomine exercițiile de stimulare a spiritului de observație și de dezvoltare a gândirii logice (analiza, comparația, sinteza, clasificare, ordonare).

Învățământul matematic, atât la nivelul grădiniței – realizat prin activități matematice cât și la nivelul clase I trebuie să respecte specificul gândirii copilului la aceste perioade de vârstă privind etapa pregătitoare (la grădiniță) și etapa operațiilor concrete (la clasa I).

Copilul de clasa I care învață matematică în manieră modernă trebuie să dispună de capacitatea de a observa obiectele și fenomenele sub aspect logic (constituire de mulțimi, relații între mulțimi, comparații etc.) și de a sesiza fenomenele matematice în realitatea înconjurătoare, de a „matematiza” această realitate. Aceasta presupune numeroase exerciții în acest sens realizate în grădiniță, exersarea gândirii pe concret, cu reținerea esențialului .

În grădiniță copii trebuie familiarizați cu raționamentul inductiv, pe care îl vor utiliza cu precădere în clasa I, fiind ajutați să se ridice de la operații concrete cu obiecte la imagini ale acestora și în final, la simboluri, nu simboluri numerice (cifre), ci simboluri grafice (puncte, liniuțe, cerculețe etc) prin care copiii notează elementele mulțimii intuite.

În activitățile matematice din grădiniță, accentul trebuie să cadă pe activitatea directă a copilului cu obiectele.

La activitățile matematice din grădiniță este vorba de achiziționarea unor cunoștințe care stau la baza studierii numerelor naturale și a operațiilor cu aceste numere și mai ales de exersarea intelectuală a copiilor, de formarea capacităților intelectuale la nivelul cerut de învățământul modern al matematicii.

Pregătirea matematică a copilului preșcolar pentru învățarea matematicii în ciclul primat trebuie să vizeze nu numai acest domeniu al educației copiilor, proiectat ca un fascicul, în perspectiva învățământului matematic pe tot traiectul școlarității. Obiectivele învățământului matematic trebuie racordate la obiectivele generale ale treptei respective a învățământului.

Obiectivele clare ale locului și sarcinilor activităților matematice racordate la obiectivele generale ale învățământului preșcolar conștientizate de fiecare educatoare pot conduce la realizarea rațională și eficientă a pregătirii copilului preșcolar pentru integrarea cu ușurință în activitatea școlară.

De asemenea, cunoscând toate acestea, învățătorul poate să-și ordoneze și să-și planifice predarea noțiunilor în funcție de ele, să nu dovedească grabă, deci superficialitate, ci o temeinică studiere și predare a numerației.

IV. OBIECTIVE GENERALE ALE TEMEI

La alegerea temei „Formarea conceptului de număr natural” am avut în vedere importanța acestui concept ca bază și punct de plecare în însușirea temeinică a tuturor cunoștințelor prevăzute de programa școlară la obiectul matematică în ciclul primar.

În prezenta lucrare voi avea în vedere următoarele obiective generale:

să prezint metodologia de predare – învățare privind formarea conceptului de număr natural, ca proprietate a mulțimilor finite echivalente sau folosind axioma lui Peano;

să aplic procedee metodice de învățare a numerelor naturale de orice mărime, pe concentre date, ținând seama de caracterul pozițional al sistemului de numerație zecimal;

să dirijez procesul de predare -. Învățare pentru însușirea eforturilor de compunere și descompunere a numerelor și de stabilire a relației de ordine între acestea;

să folosească metode și strategii în măsură să stimuleze capacitățile intelectuale ale elevilor, a aptitudinilor și interesului lor pentru matematică;

să conducă elevii în așa fel încât să distingă în descrierea numerelor naturale aspecte legate de semnul grafic (corespunzător cifrei), denumirea numărului în plan lingvistic și noțiunea propriu – zisă de număr;

În prezenta lucrare mă voi axa pe două puncte de vedere sau două perspective asupra formării conceptului de număr natural: primul având ca punct de plecare noțiunea de corespondență între mulțimi finite, iar cel de-al doilea noțiunea de succesiune.

A fi învățător, a lucra cu copii de 6 – 10 ani, a le preda primele noțiuni de matematică este o sarcină pe care ne-am asumat-o și trebuie să avem atât deplina conștiință a unei răspunderi greu de asumat, cât și talentul incomparabil de a ne putea face înțeleși de copiii care au ajuns în dezvoltarea lor intelectuală și psihologică în etapa însușirii și folosirii raționamentului logic – educativ specific construcției matematicii.

V. CONCEPTUL DE NUMĂR NATURAL

V.1 Numărul natural și mulțimea

Numărul natural reprezintă cea mai cunoscută și utilizată entitate matematică, pe care copilul o întâlnește încă din perioada preșcolarității.

Noțiunea de număr natural este fundamentală nu numai în cunoașterea științifică sau în învățământul de orice formă și de orice grad, dar înainte de orice în viața de toate zilele, în raporturile dintre oameni ca membrii ai societății umane.

Numerele naturale sunt noțiuni abstracte care au o existență concretă, ele fiind proprietăți relative ale mulțimilor de obiecte, deci noțiunea de număr este absolut legată de cea de mulțime, care este, de asemenea, fundamentală în așa măsură, încât stă la baza noțiunii de număr natural.

Numărul natural a fost introdus în matematică din cele mai vechi timpuri, sub formă intuitivă este apanajul prestigios al omului primitiv care a avut printre ideile geniale ce trebuie atribuite speciei umane, aceea de a folosi degetele de la mâini pentru a identifica numerele naturale de bază si pentru a număra. Suntem conduși să admitem și calitatea mai înaltă de a aduna și scădea pe degete, poate chiar de a obține prin scădere și numărul zero.

Noțiunea de mulțime se găsește, desigur, și intuitiv la baza celei de număr natural, ca și aceea de corespondență biunivocă sau bijecție.

Încercând să ne imaginăm cum putea omul primitiv identifica numerele naturale, chiar primele de la 1 la 5, suntem obligați să admitem că el reușește să desprindă cardinalul unei mulțimi ca proprietate esențială și abstractă a tuturor mulțimilor cu același număr de elemente. Aceasta implică însă stabilitatea unei corespondențe biunivoce între acestea sau cel puțin între multe dintre acestea, care îi cădeau sub simțuri, fiind capabil de a face abstracție de proprietățile specifice ale elementelor acestor mulțimi.

Această calitate a fost câștigată însă cu prețul unui număr enorm de experiențe , și implicit o calitate generală a cunoștinței umane, aceea de comunicare, fără de care nu s-ar fi format niciodată noțiunea de număr natural.

Omul a trăit totdeauna în lumea mulțimilor, le-a folosit în cele mai variate moduri, dar a ajuns să discearnă noțiunea însăși de mulțime și cu atât mai puțin s-o modeleze matematic, decât spre sfârșitul secolului al XIX – lea de către Gerg Cantor. Insă nici ea nu a fost înțeleasă ca atare, n-a fost însușită, n-a fost asimilată și cu atât mai mult n-a fost folosită ca noțiune matematică decât după 30 -40 de ani, dar și atunci cu multe fenomene de respingere, cu critici.

Bertrand Rusell făcea observația profundă că „ ceea ce este evident este greu de dovedit și adesea greșit”.

Ca model concret, mulțimea este universală, evidentă și durabilă cât lumea, dar ca noțiune abstractă implică, tocmai prin universalitatea ei, un efort de înțelegere care decurge din ea.

V.2. Număr natural în școala primară

Noțiunea de cardinal este o proprietate a mulțimii, iar numărul natural poate fi cardinal sau ordinal, acest caz implicând însă noțiunea de ordine asociată elementelor mulțimii.

După reforma de modernizare a învățământului matematic, aplicată începând cu anul școlar 1978 – 1979, s-a trecut la concretizarea însușirii cunoștințelor aritmetice pe baza noțiunii de mulțime, completată cu aceea de relație, urmărindu-se astfel să se asigure baza științifică a conceptului de număr natural și a operațiilor cu numere naturale.

Se pune accent pe unul din obiective, acela de „adâncire a caracterului intuitiv dar și de abstractizare în procesul predării „ ¹/.

V.3. Numerele naturale ca numere cardinale

Conceptul de număr natural are la bază noțiunea de mulțime și de relație.

Considerăm două mulțimi A și B. Între ele există relația de echipotență dacă există o bijecție „f” a mulțimii A pe mulțimea B. Acest lucru se scrie astfel: A ~ B – (citind A este echipotent cu B).

Dacă A = {a1; a2; a3;} și rezultă că cele două mulțimi sunt

B = {b1; b2; b3;} echipotente.

A B

a1 b1

a2 b2

a3 b3

Relația de echipotență „ ~ „ are următoarele proprietăți:

1. Relația de echipotență „~ „ este reflexivă, adică A ~ A;

2. Relația de echipotență „~ „ este simetrică , adică dacă A ~ B =› B ~ A;

3. Relația de echipotență „ ~ „ este tranzitivă , adică dacă A ~ B si B ~ A =› A ~C.

Deoarece relația de echipotență este reflexivă, simetrică și tranzitivă, rezultă că este o relație de echivalență. Înseamnă că mulțimile sunt împărțite de relația de echipotență în clase disjuncte, numite clase de echipotență.

Cardinalele sunt clase de echipotență determinate de relația de echipotență „~”. Clasa de echipotență căreia îi aparține mulțimea A se numește cardinalul mulțimii A, ceea ce se notează ca A sau card.A.

Rezultă deci că:

= =

A = B ‹ = › A ~ B.

Se observă că definiția noțiunii de număr cardinal este foarte abstractă și că nu poate fi introdusă astfel de copiii mici.

Pentru a ușura școlarilor mici înțelegerea acestor noțiuni necesar este că învățătorul să înțeleagă foarte bine semnificația noțiunii de aspect cardinal, ca bază a noțiunii de număr cardinal.

Să luăm în considerație o mulțime „M” și apoi mulțimea părților ei. O asemenea mulțime poate fi formată din mulțimea vidă, mulțimi cu câte un element, mulțimi cu câte două elemente, mulțimi cu câte trei elemente ș.a.m.d.

Desenând o astfel de mulțime, ar arăta astfel:

În mulțimea „M” sunt submulțimi vide, submulțimi cu câte un element, submulțimi cu câte trei elemente, submulțimi cu câte patru elemente.

Pe această mulțime putem defini relația de echipotență astfel:

mulțimea care are un pătrat este echipotentă cu mulțimea care are un triunghi sau cu mulțimea care are un dreptunghi;

mulțimea care are două cerculețe, este echipotentă cu mulțimea care are două triunghiuri, cu cea care are două steluțe, cu cea care are două pătrate, ș.a.m.d.

Relația de echipotență se referă deci, la toate mulțimile care au aceeași proprietate, anume aceea de a avea un singur element, două elemente, etc. într-o clasă de echipotență.

Această clasă o numim numărul cardinal unu și o notăm cu 1, numărul cardinal doi și o notăm cu 2, numărul cardinal trei și o notăm cu 3 ‚ ș.a.m.d.

Mulțimea vidă, va determina clasa căreia îi zicem zero și pe care o notăm cu semnul 0.

Procedăm în același mod pentru toate numerele cardinale până la 10.

Trebuie să ajungem să-i facem pe elevi să înțeleagă faptul că numărul, oricare ar fi el, este proprietatea comună a tuturor mulțimilor formată din același număr de elemente.

„Numărul natural este cardinalul unei mulțimi”.

Deci cardinalele construite în exemplele anterioare sunt numere naturale.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu „N” și este formată din următoarele elemente:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ……………………,n,……………………}

Cu mulțimea numerelor naturale lucrează școlarul mic.

V.4. Axioma lui Peano

Pentru a opera cu numerele naturale ar fi foarte incomod să se facă mereu apel la clasele de mulțimi.

Există și alte posibilități de introducere a numărului natural, una din ele fiind aceea care prezintă numărul natural definit prin axiomele lui Peano (cale inaccesibilă școlarului mic).

Giuseppe Peano a arătat, in anul 1891, că toate proprietățile numerelor naturale rezultă din următoarele cinci axiome care-i poartă numele:1

0 este un număr natural, (0N);

orice număr natural „n” are un singur succesor n';

orice număr natural are un predecesor cu excepția lui 0;

două numere distincte au succesori distincți;

mulțimea numerelor naturale este cea mai „mică” mulțime cu proprietățile:

– îl conține pe 0,

– odată cu orice număr n, conține și orice succesor n'.

În învățământul clasic, formarea noțiunii de număr natural s-a făcut aproape exclusiv pa baza conceptului de succesiune, pe bază de succesiune.

V.5. Aspectul cardinal al numărului natural

Încă din cele mai vechi timpuri omul a fost pus în situația să compare diferite mulțimi de obiecte (săgeți, pietre, câini, etc) pentru a vedea care dintre mulțimi conține mai multe obiecte.

Aceasta se face acum prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultate ale numărării, ceea ce presupune că se cunosc deja numerele și se cunoaște procesul numărării.

Acestei necesități școlarul mic face față prin realizarea ordonării în perechi a elementelor mulțimilor ce se compară, adică realizarea corespondenței „unu la unu”.

Atunci când ordonarea se poate realiza, înseamnă că cele două mulțimi au „tot atâtea” elemente sau cele două mulțimi sunt echipotente, adică au aceeași putere.

Dacă, însă, toate elementele primei mulțimi sunt puse în corespondență numai cu o parte a elementelor celei de-a doua mulțimi atunci spunem că prima mulțime are „ mai puține” elemente decât a doua sau că a doua mulțime are „mai multe” elemente decât prima.

Toate mulțimile care se pot ordona complet au proprietatea comună că au același număr de elemente.

În acest fel se formează noțiunea de număr cardinal.

V.6. Aspectul ordinal al numărului natural

Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi a condus la aspectul ordinal al numărului natural. După un anumit criteriu, de exemplu rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul la învățătură, cine este al doilea, al treilea, ș.a.m.d.

Numărul de ordine atașat într-o asemenea succesiune se numește număr ordinal.

Există o strânsă legătură între aspectul cardinal și ordinal, s-au dezvoltat într-o legătură permanentă și ș formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

Într-o mulțime relația de ordine se stabilește dacă sunt satisfăcute următoarele proprietăți: reflexibilitatea, antisimetria, tranzitivitatea.

Potrivit axiomei 2) a lui Peano, orice număr natural are un succesor. Înseamnă că în șirul numerelor naturale nu există un număr despre care se poate spune că, este ultimul. Deci șirul este infinit.

Axioma 3) spune că 0 nu este succesorul nuci unui număr natural. Cum oricare număr natural are un predecesor, înseamnă că 0 este primul număr al șirului de numere naturale.

Pentru oricare două numere naturale n1 și n2 există una din cele trei relații:

– n1 este mai mic decât n2 n1< n2 (ex. 4< 8 );

– n2 este egal cu n2 n1 = n2 (2 = 2 );

– n1 este mai mare decât n2 n1 > n2 ( 6 > 2 ).

Prin relația de succesiune s-a introdus o relație între două elemente vecine, relația notată cu „>” și anume n' > n.

Pentru două numere naturale oarecare „a” și „b” se poate introduce o relație notată cu „ > „ în felul următor: dacă există un număr C 0 astfel încât a = b + c, atunci se spune că „a” este mai mare decât „b”, sau „b” este mai mic decât „a” și se scrie a > b, respectiv b < a, dovedindu–se că relația aceasta este o relație de ordine totală, adică N este total ordonată. Pe lângă proprietățile obișnuite ale unei relații de ordine ea se mai bucură și de proprietăți speciale ale relației de ordine dintre numerele naturale și anume:

Tricotomie – conform căreia două numere naturale „a” și „b” sunt neapărat în una din relațiile a >b sau b> a, sau a = b.

Monotonia adunării și înmulțirii

Dacă a < b sunt două numere oarecare, atunci a + c < b + c și a.d. < b.d, oricare ar fi „c”și „d” numere naturale (d 0).

Axioma lui Arhimede

Pentru două numere naturale oarecare „a” și „b”, a > 0, există un număr natural „n” astfel încât a.n > b.

Ținând seama de aceste proprietăți se zice că mulțimea numerelor naturale este total ordonată.

VI. SISTEME DE NUMERAȚIE

(Baze, Sistem auditiv. Sistemul pozițional)

VI. 1. BAZE

Numărul este o noțiune abstractă. Numerele cardinale și ordinale se reprezintă oral și scris prin diverse cuvinte și simboluri.

Astfel, pentru mulțimi echipotente cu șase elemente s-a adoptat pentru scrierea cardinalului corespunzător, simbolul „6”, iar pentru citirea lui cuvântul, numeralul „șase” ș.a.m.d.

Simbolurile folosite pentru a reprezenta numerele au fost diferite în antichitate de la un popor la altul. Mai multe popoare au folosit liniile pentru a reprezenta numerele.

I II III IIII IIIII ș.a.m.d.

1 2 3 4 5

sau grupări ale acestor linii pentru a recunoaște numerele de la 1 la 9 (egiptenii)

I, II, III, IIII, III II, III III, III IIII,

Uneori se foloseau și șiruri de pietricele. Pentru notația grupării de 10 elemente, egiptenii au folosit simbolul , babilonienii au folosit simbolul <, iar romanii au folosit simbolul X. Acest sistem primitiv de numerotație devine din ce în ce mai incomod, mai greoi, pe măsură ce mulțimile ce trebuie reprezentate aveau un număr mare de elemente. Pentru asemenea mulțimi se foloseau o singură denumire: „multe”.

Când numerele erau suficient de mari, sistemul primitiv nu mai putea reprezenta rapid o privire de ansamblu asupra numărului și a fost necesară o grupare a semnelor existente. Cu timpul, a fost nevoie să se aleagă noi numere (cuvinte) și noi simboluri pentru reprezentarea orală și scrisă a acestor grupări.

Deoarece este neeconomic și practic imposibil să se utilizeze un simbol și un cuvânt pentru orice număr nou, se impune stabilirea unui anumit număr de simboluri și cuvinte care să se combine în diferite moduri.

Luând în considerație modul de grupare și ordonare a semnelor, se deosebesc două sisteme de numerație: – sistemul aditiv;

– sistemul pozițional.

VI. 2 Sistemul de numerotație auditiv

Cel mai cunoscut sistem de numerotație aditiv este sistemul roman, care folosește numai șapte simboluri (numite cifre romane) corespunzătoare anumitor numere după cum urmează:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Pentru scrierea tuturor celorlalte numere se scriu alăturând semnele de bază începând cu cel mai mare. Se va ține cont că nu pot să apară mai mult de trei semne consecutive de același fel.

De aceea, următoarele numere se scriu cu două semne, primul reprezentând un număr care se scade din al doilea:

IV IX XL XC CD CM

4 9 40 90 400 900

Potrivit acestor norme, numărul 89 se scrie: LXXXIX,

numărul 3478 se scrie : MMMCDLXXVIII,

numărul 2002 se scrie : MMII.

A fost necesar ca pentru numere mai mari de patru mii să se facă o convenție și anume ca grupul de cifre ce reprezintă clasa miilor să se scrie cu o bară deasupra, cel ce exprimă clasa milioanelor cu două bare deasupra ș.a.m.d.

========= _______

Exemplu: 377.493.125. = CCCXXVII CDXCIII CXXV

Cu toate acestea se observă că totuși se scriu foarte greu numerele mari în cadrul acestui sistem, iar atunci când va trebui să se opereze cu ele sunt posibile complicații destul de mari.

În cadrul unui număr scris în sistemul roman o cifră are aceeași valoare, indiferent de poziția pe care o ocupă în cadrul numărului. De aceea sistemul roman de numerație este un sistem nepozițional.

VI.3 Sistemul pozițional

Sistemul de numerație roman (nepozițional) are multe neajunsuri: numere forte lungi, de necuprins cu privirea, operațiile extrem de anevoioase, ș.a., neajunsuri ce au determinat conceperea unui sistem de numerație mari rațional numit sistemul pozițional.

Acest sistem de numerație pozițional care se folosește astăzi a fost inventat de indieni și preluat de europeni prin intermediul arabilor.

În sistemul de scriere zecimal se folosesc zece simboluri, numite cifre arabe : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Ele sunt semne grafice sau simbolurile primelor zece numere naturale. Orice număr natural se scrie cu ajutorul unor combinații de cifre după reguli bine stabilite.

Sistemul zecimal, deci în baza 10, își are originea în faptul că oamenii au învățat întâi să numere pe degete.

Sistemul zecimal folosește procedeul formării de grupe (submulțimi) având fiecare câte zece elemente.

Zece unități formează o grupă nouă căreia îi spunem „zece” și pe care o scriem cu două cifre, „10”; zece grupe de câte zece formează o nouă grupă, căreia îi zicem „o sută” și pe care o scriem cu trei cifre, „100”; zece sute formează o grupă de ordin superior, căreia îi zicem „ o mie” și pe care o scriem cu patru cifre „1000”, ș.a.m.d.

Generalizând, putem spune că zece grupe de un ordin inferior formează o unitate de ordin superior.

Pentru scrierea grupelor nou formate nu se vor folosi noi simboluri, noi semne ca la sistemul roman, ci ele se vor deosebi numai datorită poziției pe care o au în cadrul numărului respectiv.

În sistemul de numerație roman scrierea folosită pentru numărul treizeci XXX conține trei semne identice, fiecare având valoarea zece, indiferent de poziția ocupată în cadrul numărului , la rezultat ajungându-se prin însumarea valorilor fiecărui semn.

În scrierea pozițională numărul 555 folosit pentru a reprezenta cinci sute cincizeci și cinci, fiecare cifră are aceeași valoare, cinci, dar după poziția pe care o ocupă în cadrul numărului reprezintă felul unităților de un anumit ordin (unități, zeci sute) de la dreapta la stânga.

În cadrul unui număr scris într-un sistem pozițional, fiecare cifră are două semnificații:

a) prin locul unde este scrisă arată ce fel de grupă numără;

b) prin valoarea ei arată câte grupe de acest fel sunt.

Așadar, sistemul de numerație în care o cifră, prin locul pe care-l ocupă în cadrul numărului, arată ce fel de grupă numără, este sistemul pozițional.

Dacă se face gruparea unităților câte 10, a zecilor tot câte 10, a sutelor tot câte 10 ș.a.m.d. spunem că sistemul de numerație are la bază 10 (sistem zecimal).

În cadrul acestui sistem locurile ocupate de cifre se numerotează de la dreapta la stânga și se numesc ordine. Oricare ordin este de 10 ori mai mare decât ordinul precedent.

Pentru a arăta absența unităților de un ordin oarecare se folosește cifra zero „0”. Aceasta a început să fie folosită abia prin secolul al II-lea în India.

Există și sisteme de numerație în diverse alte baze: 2, 8, 12, 60, atunci când obiectele ce trebuie numărate se grupează câte 2, câte 8, câte 12, câte 60.

În informatică, la calculatoarele numerice se întrebuințează scrierea în sistemul în baza 2, numit sistem „binar” sau „dual” și folosește doar două cifre: 0 și 1.

De la sistemul în bază 12, ne-a rămas „duzina” pentru o grupă de 12 unități și termenul de „gross” pentru 12 duzini; de la sistemul în bază 60, sistem sexagesimal, folosit în cadrul unităților de măsurare a acelor de cerc și a timpului, sistem rămas de la babilonieni.

In ciclul primar, sistemul sexagesimal este întâlnit la predarea intervalelor de timp mai mici decât o zi, începând cu clasa a II – a și continuând concentric până la clasa a IV – a.

În limba franceză numărul 80 este denumit quatre vingts, ceea ce înseamnă „4 de 20”. La originea acestei denumiri este folosirea bazei 20, care se explică prin faptul că s-a folosit ca numărătoare mulțimea tuturor degetelor.

VI. 4 Scrierea sistematică a unui număr într-o bază oarecare

În sistemul zecimal valorile de poziție reprezintă puteri ale lui zece.

Potrivit acesteia, numărul 5276 se scrie:

5276 = 5 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 6,

iar numărul 2070 se scrie:

2070 = 2 · 103 + 0 · 102 + 7 · 10 + 0.

Scrierea unui număr în acest mod se cere explicat de către elevi în manualele de matematică pentru clasele I, a II – a și a III – a.

Exemple:

Scrierea numerelor ca o sumă formată din zeci și unități (Matematică cls. I p.95 – 96/1991);

„Scrieți ca o sumă de termeni, fiecare termen conținând fie numai sute, fie numai zeci fie numai unități:352; 786; 670; 503; 140; 208; 37. (Matematică, clasa a II – a p. 62 – ediție 1991).

„Scrieți următoarele numere naturale ca sumă a unor adunări, la care fiecare termen conține unități de un singur ordin: 7503; 8059; 3040; 8001; 38; 538; 300; 5240; (Matematică, clasa a III – a p.105 ed. 1991).

Pentru a scrie un număr în baza 8 se folosesc opt semne ( cifre ) care pot fi : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Cum se poate citi și scrie un număr în baza 8?

De exemplu: 53405(8), unde indicele inferior arată baza sistemului în care este scris, se citește : cinci trei patru zero cinci în baza opt, deoarece fiecare cifră reprezintă o grupă căreia nu i s-a dat o denumire specială.

Sistematic se va scrie:

53405(8) = 5 · 84 + 3 · 83 + 4 · 82 + 0 · 8 + 5

În sistemul binar sau dual (cu baza 2) pozițiile reprezintă puterile numărului 2.

Astfel, numărul 111011(2) se scrie sistematic:

111011(2) = 1· 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2 + 1.

În sistemul cu baza 12 gruparea unităților și a grupelor se face câte 12, avem nevoie de o cifră pentru (10) și o alta pentru (11) unități folosim un semn oarecare, de exemplu (10) ca cifră, sau X = 10, B = 11.

Numărul 902 (10) + 5 (11) = 9 · 125 + 2 · 123 + (10) · 122 + 5 · 12 + 11

Așadar, într-o bază oarecare, un număr se scrie sistematic astfel: prima cifră înmulțită cu baza care figurează la un exponent egal cu numărul cifrelor care urmează, plus a doua cifră înmulțită cu baza la exponent egal cu numărul cifrelor care urmează ș.a.m.d.

Concluzionând, într-un sistem cu baza oarecare B , avem nevoie de B cifre, de la 1 la B – 1 și cifra 0. Gruparea se face câte B unități. B unități de un ordin formează o unitate de ordin superior.

Deci un număr poate fi scris în mai multe moduri, după sistemul de numerotație adoptat.

VI. 5 Trecerea unui număr dintr-o bază oarecare în baza 10.

Regulă: Pentru trecerea unui număr dintr-o oarecare bază în baza 10, se scrie sistematic numărul în baza respectivă și se efectuează calculele în baza 10.

Exemplu:

3248(5) = 3 · 53 + 2 · 52 + 4 · 5 + 8

= 3 · 125 + 2 · 25 + 4 · 5 + 8

= 375 + 50 + 20 + 8

= 453

1101101(2) = 26 + 25 +23 +22 + 1

= 64 + 32 + 8 + 1

= 105

VI. 6 Trecerea unui număr din baza 10 într-o bază oarecare

Se ia în considerație un anumit număr, de exemplu : 476, în baza 10, pe care îl trecem în baza 8. Trebuie să grupăm unitățile lui câte 8.

Știm că împărțirea este o scădere repetată, câtul ne arată de câte ori putem scădea împărțitorul din deîmpărțit. Formăm grupe de câte 8, deci scădem în mod repetat pe 8; dacă rămân mai puțin de 8 unități, cu care nu mai putem forma încă o grupă, numărul lor va reprezenta unitățile simple ale numărului (sau unitățile de ordinul întâi).

476 : 8 = 59 rest 4

Înseamnă că putem face 59 de grupe de câte 8 și ne rămân 4 unități negrupate (4 va fi cifra unităților în noua scriere). Cele 59 de grupe de câte 8 le grupăm și pe le câte 8 într-o grupă mai mare de 82.

59 : 8 = 7 rest 3

Se formează 7 astfel de grupe, adică 7 · 8 și rămân 3 grupe de câte 8. Avem deci:

476 = 734 (8)

Proba o facem trecând de la 734 (8) la numărul corespunzător în baza 10.

Exemplu:

1. 734 (8) = 7 · 82 + 3 · 8 + 4 proba:

= 7 · 64 + 24 + 4 476 / 8

= 448 + 24 + 4 40 / 59 / 8

= 476 = 76 56/ 7

72 =3

=4

2. 5234 = x (7) x (7) = 21155 (7)

5234 /__ 7_____

49 / 747 / ___7___

=33 7__ 106 / 7

28 =47 7 / 15 / 7

=54 42 36 14 / 2

49 =5 35___

= 5 = 1 =1

VII. PRINCIPALELE ETAPE CE SE PARCURG ]N PROCESUL DE INSTRUIRE A ACESTUI CONCEPT

CARACTERISTICI, OBIECTIVE ȘI IMPORTANȚA FIECĂREI ETAPE

La conceptul de număr, elevul ajunge progresiv, după perioada pregătitoare prezentată anterior, perioadă in care elevul este inițiat în activități de compunere și punere în corespondență a mulțimilor, pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi care au același număr de elemente, de constituire, după anumite criterii, de submulțimi de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri , a unei mulțimi.

Introducerea simbolului sau semnului grafic al numărului, reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare, copilul dobândind noțiuni cu grad mai mare de generalizare, devenind capabil mai profund relația dintre obiecte și fenomene.

În însușirea conceptului de număr natural se întâlnesc mai multe etape, fiecare având, în funcție de gradul sporit de abstractizare, caracteristicile ei, fiecare având importanța cuvenită, în raport cu cunoștințele ce urmează a fi dobândite.

Aceste etape sunt cuprinse în programa școlară în mod distinct, fiecăruia revenindu-i un număr de lecții considerate necesare pentru îndeplinirea anumitor obiective după cum urmează:

CLASA I

1. Numere naturale de la 0 la 10.

2. Numere naturale de la 10 la 20.

3. Numere naturale de la 20 la 100.

a). numere naturale mai mici sau egale cu 100, formate din zeci;

b). numere naturale mai mari decât 20 și mai mici sau egale cu 100 formate din zeci și unități; compararea lor.

CLASA a II – a

1. Numere naturale de la 0 la 20: formare , scriere, citire, comparare, ordonare, rotunjire;

2. Numere naturale de la 0 la 100: formare, scriere, citire, ordonare, rotunjire;

3. Numere naturale mai mari decât 100 și mai mici decât 1000: formare, scriere, citire, comparare, ordonare, rotunjire.

CLASA a III – a

1. Numere naturale de la 0 la 100: formare , scriere, citire, comparare, ordonare, rotunjire;

2. Numere naturale de la 0 la 1000: formare, scriere, citire,comparare, ordonare, rotunjire;

3. Numere naturale de la 0 la 1000000: formare, scriere, citire, comparare, ordonare, rotunjire.

CLASA a IV – a

1. Numere naturale: formare , clase (unități, mii, milioane, miliarde), ordine, scriere, citire, comparare, ordonare, rotunjire;

2. Caracteristicile sistemului de numerație pe care îl folosim: zecimal și pozițional;

3. Scrierea cu cifre romane.

VII.1. SPECIFICUL PROCESULUI DE PREDARE – ÎNVĂȚARE A NUMERELOR 0 – 10

Însușirea conștientă a noțiunii de număr se bazează pe îndeplinirea următoarelor obiective:

înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

înțelegerea locului fiecărui număr în sirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numerelor);

înțelegerea semnificației reale de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare sau mai mic);

cunoașterea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Numărul și cifra 1

Obiective:

să înțeleagă semnificația lui 1, ca număr corespunzător mulțimilor cu un element;

să cunoască semnul grafic corespunzător numărului 1;

să scrie corect cifra 1, să citească și să o recunoască;

Se intuiește prima imagine din manual: o mulțime cu un caiet (cu un singur element).

A doua imagine conține mulțimi cu tot atâtea elemente: mulțimea soarelui, mulțimea lunii, mulțimea globului pământesc (conțin un element).

Se precizează de către învățător că unei mulțimi cu un singur element îi corespunde numărul unu. Numărul unu arată câte elemente are fiecare dintre aceste mulțimi.

Pentru scrierea numărului unu folosim semnul „1”, care se numește cifra unu.

Se cere elevilor să stabilească corespondența între mulțimea pisicilor și mulțimea șoriceilor, între mulțimea florilor și mulțimea fluturilor, între mulțimea pătratelor și mulțimea triunghiurilor și vor constata că mulțimea pisicilor, fluturilor și pătratelor are tot atâtea elemente cât are mulțimea șoriceilor, a florilor și a triunghiurilor.

Învățătorul și elevii vor dă exemple de alte mulțimi care au tot atâtea elemente cât mulțimea pisicilor și mulțimea șoriceilor

Apoi învățătorul va scrie ca model pe tablă cifra 1, iar elevilor li se va cere să o scrie pe caiete, după modelul indicat de învățător pe caietul fiecărui elev. Se vor face sub forma de joc exerciții de recunoaștere a cifrei 1.

Numărul și cifra 2

Obiective:

să înțeleagă semnificația lui 2 ca număr corespunzător mulțimilor cu câte două elemente, precum și semnul grafic corespunzător acestui număr;

să scrie corect semnul grafic al numărului 2;

să citească cifra 2 și să o recunoască.

Se precizează de învățător că unei mulțimi cu două elemente îi corespunde numărul doi. Numărul doi arată câte elemente are fiecare din aceste mulțimi. Pentru scrierea numărului doi folosim semnul „2” care se numește cifra doi.

Se intuiește planșa model.

Se cere elevilor să stabilească corespondența între mulțimea maimuțelor desenate în manual și mulțimea bananelor și se constată că nu sunt mulțimi cu tot atâtea elemente, și anume, sunt: 1 maimuță și 2 banane. Apoi, se stabilește corespondența între mulțimea pastelor de dinți, mulțimea cercurilor roșii și mulțimea periuțelor, mulțimea dreptunghiurilor. Se constată de fiecare dată că sunt mulțimi cu tot atâtea elemente (adică două).

Elevii vor da exemple de alte mulțimi cu două elemente.

Se va scrie ca model pe tablă cifra „2” apoi elevii vor scrie pe caiete după modelul scris anterior de către învățător. Vor fi supravegheați, îndrumați și corectați când este nevoie.

Se vor face exerciții de recunoaștere a cifrei 2 și a cifrei 1, folosind „Jocul numerelor”.

Obiective:

să înțeleagă relația de ordine pe mulțimea numerelor (1,2) folosind corespondența element cu element a mulțimilor;

să cunoască și să folosească corect semnul relațiilor „mai mic”, „mai mare” între numerele naturale;

să scrie corect semnele corespunzătoare relațiilor „mai mic” (< ), „mai mare” (> ).

Pentru a pune în evidență relațiile „mai mic” și „mai mare”, se vor construi la tabla magnetică mulțimi și se va stabili corespondența între elementele mulțimilor.

Prima secvență din al II –lea șir, ne prezintă o mulțime cu un element (un pătrat albastru) căruia îi corespunde numărul și cifra 1, o mulțime cu două elemente (două cercuri galbene), căreia îi corespunde numărul și cifra 2 . Deci, 1 < 2. Secvență a două din primul șir ne prezintă o mulțime cu un element ) o lună) căreia îi corespunde cifra 1, o mulțime cu două elemente (două flori) căreia îi corespunde numărul și cifra 2. Deci 2 > 1.

Se scrie apoi cele două numere în ordine crescătoare, folosind semnul relației de ordine : 1 < 2 și în ordine descrescătoare, folosind semnul relației de ordine corespunzător 2 > 1.

Elevii vor scrie pe caiete după modelul scris anterior de învățător.

Numărul și cifra 0

Obiective:

să înțeleagă semnificația lui zero ca număr corespunzător mulțimilor fără nici un element și apoi pe „0” ca simbol al acestui număr;

să scrie corect, semnul grafic al numărului zero;

să citească cifra zero și să o recunoască.

Se precizează de către învățător că acvariul fără nici un peștișor este o mulțime vidă, deci orice mulțime fără nici un element este o mulțime vidă. Mulțimile fără nici un element se reprezintă printr-un cerc în interiorul căreia nu se desenează nici un obiect.

Se dau exemple de mulțimi vide: mulțimea elefanților din clasă, mulțimea elevilor din clasă care au călătorit în cosmos.

Ca activitate independentă se cere elevilor să deseneze mulțimi cu mai multe elemente și o mulțime care nu are nici un element, spunem că are zero elemente.

Numărul zero ne arată că într-o mulțime nu avem nici un element. Pentru a scrie numărul 0 vom folosi semnul „0” care se numește cifra zero. Se prezintă planșa cu cifra.

Se scrie pe tablă cifra 0 (zero), care este semnul scris al numărului zero.

Elevii vor scrie pe caiete, după modelul scris de învățător , cifra zero (0), sub directa îndrumare și supraveghere a acestuia.

Ca activitate în completare se va folosi „Jocul numerelor” pentru recunoașterea cifrei.

Predarea numerelor naturale 3 – 10 precum și a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale 3-10

Lecțiile care urmăresc introducere conceptelor numerice în concentrul 3 – 10, precum și a relației de ordine corespunzătoare, sunt asemănătoare cu lecțiile precedente, ținând seama însă de următoarele etape:

Construim o mulțime care are tot atâtea elemente câte indică numărul învățat anterior și o mulțime cu un element (obiectual și apoi grafic ) scriind și numărul corespunzător mulțimilor.

Se reunesc cele două mulțimi, obținându-se o nouă mulțimi;

Se construiesc mulțimi cu tot atâtea elemente câte are mulțimea nou formată, folosind corespondența element cu element (sau formarea de perechi)

Se desprinde concluzia că, mulțimea care are , de exemplu 6 elemente și încă un element are șapte elemente;

Se arată numărul și cifra corespunzătoare mulțimii nou formate;

Se scrie cifra ca model pe tablă de către învățător, iar elevii o scriu în caiete.

Relația de ordine se realizează în mod asemănător privitoare la ordonarea numerelor 1,2.

VII.2. Numerele naturale mai mici sau egale cu 100

VII.2. a). Numerele naturale mai mici sau egale cu 100, formate numai din zeci; compararea

Obiective:

Elevii să înțeleagă pe zece ca unitate de ordin superior pentru citirea și scrierea numerelor de la 10 la 100, iar suta ca ordin imediat superior față de zeci;

Să înțeleagă semnificația diferită a cifrei în raport cu poziția ei în scrierea numerelor;

Să înțeleagă și să-și însușească ideea că o mulțimea poate și este considerată ca element al unei noi mulțimi.

Ca material didactic se va folosi: manualul , bețișoare, abacul cu teri ordine: unități (U), zeci (Z), sute (S), creioane colorate, numărătorul cu bile, planșe, jetoane, trusa magnetică.

Pentru început elevii vor avea pe bancă, o mulțime de bețișoare. Acestea vor fi legate în grupe (mănunchiuri)de câte 10 bețișoare.

Se prezintă numărătorul cu bile, acestea fiind grupate câte zece pe fiecare sârmă.

Elevii vor fi puși să deseneze mulțimi (grupe) de câte 10 elemente ( triunghiuri, pătrate,cercuri).

Învățătorul va concluziona cele observate, spunând că orice ar fi: bețișoare, bile , triunghiuri etc, zece elemente grupate la un loc formează o zece.

Pentru a-i conștientiza pe elevi și a-i pregăti în vederea numerelor mai mici decât 100, învățătorul va folosi abacul (mai întâi cu primele trei ordine). Fiecare elev va avea un astfel de abac confecționat.

Se atrage atenția că în spațiul din dreapta se vor forma mulțimi de unități, de aceea deasupra este scrisă litera „U” , care înseamnă unități.

Se cere elevilor să ia de pe bancă un pătrățel (bețișor) care reprezintă o unitate și să o așeze în spațiul unităților. Pentru că s-a format o mulțime cu un singur element, în căsuța de jos se va pune cu creionul un punct și se va scrie dedesubt cifra 1.

Se va cere elevilor să așeze la unități încă un pătrățel . S-a format o mulțime cu două elemente, deci se va desena un punct și se va scrie în locul cifrei 1, cifra 2. Se procedează astfel până se ajunge la mulțimea cu 9 elemente.

Învățătorul atrage atenția elevilor că dacă mai pune un pătrățel (bețișor) se obțin zece pătrățele (bețișoare). Cele zece pătrățele vor fi înlocuite cu un pătrățel care reprezintă o zece. Explică elevilor că mulțimea zecilor se formează în al II- lea spațiu, spre stânga. Litera „Z” scrisă deasupra, arată că acesta este spațiul zecilor . De aceea zecea o așezăm în spațiul zecilor. Am format o altă mulțime cu un singur element (o zece). Vom pune în coloana unităților cifra 0, iar pe coloane zecilor cifra 1. Privind cele două cifre, se citește numărul 10 (zece) , cifra 1 scrisă în partea stângă, arată pentru Y o mulțime cu un singur element )o zece), iar cifra zero scrisă la dreapta arată o mulțime fără nici un element (lipsa unităților).

În continuare, se prezintă elevilor următorul desen:

Se completează cu cifrele 1 și 0 spațiile libere din tabel și se citește „zece” ( 10 ).

Celor zece cărămizi li se vor adăuga încă zece și se va completa cu cifre spațiile libere din tabel și se citește „douăzeci” (20)

Se procedează așa până se ajunge la numărul 90, cu observația că numerele formate succesiv se vor citi de către elevi: „treizeci”, „patruzeci”, „cincizeci” etc.

Se atrage atenția elevilor că dacă se pune încă o grupă de zece cărămizi, obținem zece zeci de cărămizi, adică o sută de pătrățele. Deci, zece zeci formează o sută.

Se explică elevilor că mulțimea sutelor, se formează în al III – lea spațiu, spre stânga, litera „S „ scrisă deasupra arată că acesta este spațiul sutelor. De aceea o sută o așezăm în spațiul sutelor . S-a format o altă mulțime cu un singur element ( o sută). Se pune în coloana unităților și zecilor cifra zero, iar pe coloana sutelor cifra 1. Privind cele trei cifre, se citește numărul 100 ( o sută), cifra scrisă în partea stângă arată pe S o mulțime cu un singur element ( o sută ), iar cifrele 0 scrise la dreapta arată mulțimi fără nici un element (lipsa zecilor și unităților).

Învățătorul va avea un ritm lent de lucru care va permite elevilor să lucreze, să intuiască și să înțeleagă corect esența formării, scrierii și citirii numerelor naturale din zece în zece până la 100, în sistemul zecimal de numerație. În această lecție este suficient să se efectueze lucrările indicate mai sus fără să se facă exerciții de scriere pe caiete a numerelor învățate.

Ca exercițiu de consolidare, învățătorul poate cere elevilor să citească numerele scrise pe tablă de către el, la rând și pe sărite 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

În lecția a doua se intuiesc imaginile care ilustrează formarea numerelor din zece în zece până la 100, cu ajutorul numărătoarei cu bile. Pe riglă se poate observa că numerele din 10 în 10 de la 0 la 100 sunt așezate la distanțe egale între ele. Făcând citirea numerelor scrise pe riglă cu ajutorul degetului arătător de la mâna dreaptă, în timp ce degetul arătător de la mână stângă rămâne nemișcat în punctul indicat prin cifra zero, elevii vor observa că distanța dintre cele două degete va crește de la un număr la altul în mod egal, deci se poate deduce de aici relația de ordine și invers:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Pe fișa de muncă independentă elevii vor completa semnul potrivit (< sau >) pentru a compara două numere date, sau numeralul care lipsește pentru a face adevărata relație exprimată.

30 40 10 80 50 40 70 40

50 60 20 60 90 80 100 1 0

70 80 30 100 30 20 90 30

10 20 60 90 10 0 30 0

50 < 60 >

90 < 20 >

70 < 0 >

VII.2.b). Numere naturale mai mari decât 10 și mai mici sau egale cu 20

Predarea – învățarea numerelor naturale până la 20 formate din zeci și unități, se face prin procedee similare cu cele utilizate în concentrul 0 -10.

Studiul numerelor mai mici decât 20 ajută pe elevi să-și consolideze cunoștințele și deprinderile de calcul cu numere în concentrul 0 -10, să-și lărgească și să-și îmbogățească în mod continuu gândirea cu metode , tehnici și procedee noi, să-și reactualizeze și să transfere cunoștințele mai vechi.

Trecerea de la numărul 10 (clasa mulțimilor cu câte zece elemente ) la numărul 11 (clasa mulțimilor formate din zece elemente și încă un element) se poate face în mod analog cu predarea numerelor 1 – 10, procedura metodică fiind următoarea:

a). se formează o mulțime de 10 elemente;

b). se formează o mulțime cu un element;

c). se reunesc cele două mulțimi și se obține o mulțime formată din zece elemente și încă un element;

d). se explică elevilor că despre o astfel de mulțime spunem că are unsprezece elemente și semnul grafic sau simbolul numărului unsprezece este „11”

În mod asemănător se procedează și în continuare, considerând o mulțime cu 10 elemente și o mulțime cu două elemente, care se reunesc și se obține o mulțime cu 12 elemente. Clasa mulțimilor cu doisprezece elemente este numărul natural doisprezece, care se scrie „12”.

Se procedează în mod asemănător la introducerea tuturor numerelor mai mici decât 20 și mai mari decât 10, dându-se denumirea corespunzătoare.

Pentru consolidare, folosim abacul prezentat la formarea numerelor din zeci întregi până la 100.

Pe coloana zecilor vom avea 10 unități ( o zece), iar pe coloana unităților vom porni de la zero.

Vom adăuga apoi, rând pe rând, pe coloana unităților câte o cărămidă formând numerele : 11, 12, 13, etc.

Elevii vor lucra concomitent cu învățătorul.

Explicațiile le pot face și cu ajutorul bețișoarelor astfel: învățătorul va avea în mână stângă o zece de bețișoare, iar în mâna dreaptă se i-a un bețișor pe care îl apropie de zecea din mână stângă , spunând : „unu vine spre zece” sau pe scurt „unu spre zece” se formează numărul „unsprezece” căruia îi corespunde cifra „11”.

Se ia apoi în mâna dreaptă încă un bețișor și se spune „două bețișoare vin spre zece” sau pe scurt „doi spre zece” și formăm deci numărul doisprezece , căruia îi corespunde cifra „12”

Așa se procedează până la numărul și cifra 19.

Adăugând în mâna dreaptă încă un bețișor la cele două existente, se formează și în această mână încă o zece. Deci, o zece din mâna dreaptă și cu o zece din mâna stângă formează împreună „două zeci”,deci numărul douăzeci, căruia îi corespunde cifra 20

Pentru consolidare se fac exerciții de numărare în ordine crescătoare.

Pe caiete se vor scrie cifrele de la 10 la 20 în ordine crescătoare.

Pentru consolidare, se fac exerciții de numărare de la 10 la 20 în ordine crescătoare și descrescătoare.

În secvența următoare elevii vor observa rigla cu numere de la 0 la 20, așezate la distanțe egale între ele.

Elevii vor completa cu semnul „<” sau/și „>” șirul numerelor de la 0 la 10 și de la 10 la 20.

Se fac exerciții de comparare:

10 < 11< 12< 13 < ……………….. < 20 ;

20 > 19 > 18 >17 > ……………….. > 10;

10 < 11 20 >19 dar și 11 =11

11 < 12 19 > 18 dar și 19 =19

12 <13 18 > 17 dar și 13 =13

……. …… ……. …….

19 <20 11 > 10 dar și 15 =15

VII.2. c). Numere mai mari decât 20 și mai mici sau egale cu 100; compararea lor

De modul cum a fost înțeles procesul de formare a numerelor mai mari decât 10 și mai mici decât 20, depinde procesul de formarea a numerelor mai mari decât 100 și scrierea lor pozițională.

Obiectivele urmărite sunt:

elevii să învețe cum se scriu și cum se citesc numerele naturale de la 20 la 100, formate din zeci și unități, precum și semnificația fiecărei cifre în raport cu poziția ei.

Ca material didactic se vor folosi: trusa magnetică, abacul, cu ajutorul căruia se indică nu numai numărul unităților și zecilor, ci si poziția cifrelor cu care se scrie numărul.

Lecția poate porni de la reuniunea unor mulțimi formate din zeci întregi, cu mulțimi formate numai din unități. Prima secvență pornește de la mulțimi concrete: o mulțime de 50 de bile grupate câte 10, se reunește cu o mulțime de patru bile și formează o mulțime de cincizeci și patru de bile, căreia îi corespunde numărul și cifra 54, unde cifra 5 reprezintă zecile și cifra 4 reprezintă unitățile.

Următoarele secvențe se parcurg la fel, prin reuniunea mulțimilor formate din zeci întregi și mulțimi formate din unități. De fiecare dată se precizează cifra care reprezintă zecile și cifra care reprezintă unitățile.

Se prezintă formarea unor numere cu ajutorul numărătoarei cu bile. Se ia ca exemplu numerele: 30, 31, 32, 39, 40, 41, 45, 49, 50.

La sfârșit se prezintă formarea numerelor 99 și 100 . Se formează numărul 100 din zece sârme de câte zece bile (unități), de unde se deduce regula : zece zeci formează o sută.

Pentru consolidarea cunoștințelor se va folosi ca procedeu de formare a numerelor, abacul cu trei ordine: U, Z, S.

Pentru ușurare vom folosi ca simboluri:

– reprezintă o unitate

– reprezintă o zece;

– reprezintă o sută.

Pe abac se va forma numărul 20 ca punct de plecare:

Se punea apoi în spațiul unităților o unitate ( o bulină neagră), dedesubt se scriu cifrele corespunzătoare 2 pentru zeci și 1 pentru unități , învățătorul explică elevilor că pentru a citi numărul format citim mai întâi cifra zecilor și apoi cifra unităților ( douăzeci și unu). Se mai pune o bulină neagră în spațiul unităților, se pune cifra corespunzătoare dedesubt și se citește numărul format ( douăzeci și doi). Aici elevii întâlnesc și cazul când aceeași cifră capătă semnificații diferite ( cifra 2 scrisă în dreapta arată câte unități sunt, iar cifra doi scrisă în stânga arată câte zeci sunt). Deci, elevii își pot da seama că o cifră poate avea valoare diferită în funcție de locul pe care îl ocupă în scrierea aceluiași număr.

În spațiul unităților se pun 9 bile negre. Se formează și se citește numărul 29.

Învățătorul explică elevilor că, dacă la cele 9 unități se mai adaugă o unitate, se obține o mulțime de zece unități, deci o două zece. Locul zecilor fiind în spațiul al doilea spre stânga, dacă lângă cele două zeci mai punem o zece, vor fi trei zeci. Se pun cifrele corespunzătoare dedesubt și se citește numărul format numai din zeci ( teri zeci). La fel se vor forma și alte numere: 72, 86, 99, 100.

În lecția a doua se vor scrie numerele naturale de la o la 100 în ordine crescătoare și descrescătoare; se vor face exerciții de numărare pe intervale date, în ordine crescătoare sau descrescătoare: 41 – 38; 79 – 85; 87 – 100; 100 – 85.

Se vor completa vecinii numerelor date:

12, 13, 30, 29, 48,

59, 60, 50, 40, 91,

70, 80, 72, 71, 55,

42, 43, 44 67, 68, 69 56, , 58

58, , 60 , 56, , 69,

79, ,81 , 79, , 90,

În lecția a treia se vor face exerciții de numărare din 10 în 10; de la 0 la 100, din 5 în cinci de la 0 la 100 în ordine crescătoare și descrescătoare.

Se vor face comparări de numere care să aibă aceeași cifră la ordinul zecilor (elevii trebuind să compare numerele în funcție doar de cifra unităților):

37 >35 67 < 69

29 >28 55 < 58

82 >81 43 < 44

99 >95 81 < 82

Lecția a patra va fi o lecție de testare și evaluare a cunoștințelor despre numerele naturale învățate până în prezent.

VII. 3. Numere naturale mai mici sau egale cu 1000; compararea lor

Predare – învățarea numerelor mai mici sau egale cu 1000 se face în clasa a II – a și are următoarele obiective :

separarea mulțimilor ce au între 100 și 1000 elemente în submulțimi disjuncte a câte 10 elemente;

considerarea mulțimii având ca elemente toate zecile obținute aplicând același procedeu, numind fiecare mulțime de 10 zeci, o sută (sutele sunt unități de ordinul al treilea);

considerarea mulțimii având ca elemente toate sutele obținute numind fiecare mulțime de 10 sute, o mie (miile sunt unități de ordinul patru);

să numească numărul elementelor mulțimii inițiale, enunțând câte sute, câte zeci și câte unități sunt în fiecare din cele trei mulțimi formate după procedeul de mai sus;

să scrie orice număr de forma: 874, 307, 230, 500;

să înțeleagă că fiecare mulțime ce formează o unitate de un anumit ordin este formată din zece elemente ce sunt mulțimi reprezentând un ordin imediat mai mic, cu excepția unităților de ordinul unu;

să scrie și să citească toate numerele de la 100 la 200, să numere de la 100 la 200, în ordine crescătoare și descrescătoare, să numere din cinci în cinci, din zece în zece de la 100 la 200 în ordine crescătoare și descrescătoare;

analog să procedeze cu celelalte numere din sută în sută până la 1000, fără a insista asupra enunțării tuturor numerelor și asupra principiului formării, numirii și scrierii lor;

Voi sublinia în continuare, cunoștințele și deprinderile cu care trebuie să rămână elevii la sfârșitul acestui capitol:

– ideea organizării ca structură numerică zecimală a unei mulțimi, având numărul elementelor între 100 și 1000;

– folosirea structurii numerice zecimale pentru numirea și scrierea numerelor de la 100 la 1000;

– unități de ordinul unu, doi, trei și patru și locul lor în scrierea numărului;

– figura numerică corespunzătoare unui număr scris cu trei cifre, ca mulțime model pentru acel număr;

– cum putem obține toate numerele naturale de la 100 la 1000 în ordine crescătoare;

– reguli pentru compararea acestor numere.

Pentru predare temelor din acest capitol, se va folosi o tehnologie didactică asemănătoare cu cea de capitolul „ Numere naturale până la 100”, adaptată însă noilor cerințe care decurg din conținutul materialului.

Ca exemplu de mulțimi cu peste o sută de elemente și de organizare a acestora cu structura numerică zecimală, se vor folosi mulțimi de bețișoare. Ele pot fi aduse gata legate în mănunchiuri de câte zece, și încă câteva alte bețișoare, Legarea zecilor în mănunchiuri de câte o sută, trebuie să aibă loc în fața elevilor. Sutele, zecile și unitățile vor fi apoi puse pe un panou prevăzut în timp cu cuișoarele necesare.

În partea de jos a panoului sutele sunt indicate prin semnul „ „, zecile prin semnul „

și unitățile prin semnul „ „

În funcție de condițiile concrete ale clasei, se va aprecia dacă este sau nu necesar ca elevii să aibă bețișoare pregătite ca și învățătorul, cu care să lucreze independent la formarea unor numere.

Se va folosi însă abacul din plastic pentru elevi, ca și numărătoarea cu discuri care înlocuiește cu succes tradiționala numărătoare cu bile care se găsește în dotarea fiecărei școli.

Se va acorda toată atenția intuirii figurilor din manual, pentru perceperea vizuală a zecii, sutei și miei, comparativ una cu alta. Elevii vor explica ceea ce redau figurile, insistându –se asupra cazurilor când lipsesc unități de un anumit ordin.

Pentru compararea numerelor scrise cu trei cifre, se va porni de la exemple concrete și generalizând se vor deduce definițiile după cum urmează:

a). Dintre două numere, fiecare scrisă cu trei cifre, este mai mare acela la care cifra sutelor arată un număr mai mare.

478 < 532 sau 532 > 478, deoarece 4 < 5 sau 5 > 4;

b). Dacă numerele au aceeași cifră a sutelor, este mai mare acela la care cifra zecilor arată un număr mai mare:

473 < 718 sau 718 > 473, deoarece 7 = 7, dar 4 > 1 sau 1< 4;

c). Dacă numerele au aceeași cifră a sutelor și aceeași cifră a zecilor, este mai mare acela la care cifra unităților arată un număr mai mare

312 < 319 sau 319 >312, deoarece 3 = 3, 1 = 1, dar 2 < 9 sau 9 > 2.

VII.4. Numerele naturale mai mari decât 1000 și mai mici decăt 1000000

Predare învățarea numerelor de mai multe cifre se face în clasa a III- a, după ce elevii și-au însușit numerația orală și scrisă până la o mie, precum și operațiile aritmetice în cadrul acestui concentru.

Obiectivele prevăzute sunt:

numirea, scrierea și citirea a cestor numere după principiul sugerat de trecere peste zece și peste o sută cu zece unități de un anumit ordin se formează o unitate de ordin imediat superior; mia ca unitate de ordinul patru; unități de ordinul cinci sau „zeci de mii”; unități de ordinul șase sau „ sute de mii”; unități de ordinul șapte sau „milioane”; unități de ordinul nouă sau „sute de milioane”.

clasa unităților, clasa miilor, clasa milioanelor; unitățile , zecile si sutele fiecărei clase;

tehnica scrierii și citirii numărului cunoscând scrierea și citirea numerelor de trei cifre și numele claselor în ordinea descrescătoare;

compararea numerelor, cu folosirea semnelor<, = , > și cu deducerea unor reguli practice prin cercetarea cifrelor începând cu ordinul cel mai mare.

Această nouă etapă prezintă următoarele caracteristici:

se extinde considerabil sistemul zecimal de numerație cu noi unități de calcul, asigurându –se sistematizarea și aprofundarea studiului numerelor naturale;

se introduc noțiuni de ordin și clasă;

se completează și se consolidează înțelegerea conceptului de sistem pozițional de numerație;

se îmbogățește considerabil limbajul matematic;

se diminuează, acolo unde este posibil, apelul de intuiție, trecându – se progresiv la abstractizări, procesul gândirii și operativitatea ei având acum rol preponderent.

VII.4.a). Ordine și clase. Numere scrise cu patru cifre

Deoarece elevii cunosc baza zecimală, adică zece unități simple formează o zece, zece zeci formează o sută, zece sute formează o mie, se va spune că în general, zece unități oarecare formează o unitate imediat superioară.

Dacă presupunem că avem mai multe obiecte, iar numărul format este mai mic de o mie, știm să numim , să scriem acest număr.

Procedeul poate fi extins și dacă numărul obiectelor este mai mare decât o mie, astfel:

a). Separăm din acestea grupe de câte zece obiecte, atât cât este posibil. Grupele de câte zece le numim „zeci” sau „unități de ordinul doi”.

Presupunem că rămân șase obiecte, cu care nu mai putem completa o zece. Numărul de obiecte rămase îl numim „unități de ordinul unu” sau „unități simple” sau numai „unități”.

b). Formăm grupe de câte zece zeci, pe care le numim „sute” sau „unități de ordinul trei”.

Presupunem că rămân cinci zeci, cu care nu mai putem completa o sută.

c).Formăm grupe de câte zece sute. O astfel de grupă o numim „mie” sau „unitate de ordinul patru”.

Presupunem că obținem două mii și rămân patru sute cu care nu mai putem completa o mie.

Numărul format îl putem sugera astfel:

Numere scrise cu mai multe cifre

În vederea însușirii numerației cu numere de orice mărime, cel mai adecvat material didactic este numărătoarea cu discuri .(fig1) Avantajul ei constă în faptul că sârmele sunt dispuse vertical de la dreapta la stânga, fiecare sârmă sugerând, după poziția pe care o ocupă, diversele ordine zecimale din cadrul unui număr.

Pe fiecare sârmă se găsesc câte zece discuri. Discurile de pe sârma din dreapta numără unitățile numărului. Se face convenția ca zece discuri de pe prima sârmă să se înlocuiască cu un disc de pe sârma a doua, pe care vom număra zecile; zece discuri de pe sârma a doua se vor înlocui cu un disc de pe sârma a treia, pe care vom număra sutele. Cu această convenție se pot forma, scrie și citi orice numere de trei cifre, adică formate din sute zeci și unități.

Discurile de pe aceste trei sârme se colorează la fel, ele constituind clasa unităților.

Pentru predarea învățarea numerelor de mai multe cifre, se extinde convenția, care de fapt se bazează pe componenta zecimală a numărului, indicându-se faptul că zece discuri de pe sârma a treia, adică zece sute se înlocuiesc cu un disc de pe sârma a patra pe care se vor număra unitățile de mii.

Zece mii, adică zece discuri de pe sârma a patra, se vor numi o zece de mii și se vor înlocui cu un disc de pe sârma a cincea, unde se vor număra tecile de mii; zece discuri de pe sârma a cincea, adică zece zeci de mii, se vor înlocui cu un disc de pe sârma a șasea, care se va numi o sută de mii, deci discurile de pe sârma a șasea vor număra sutele de mii.

Numărul de ordine al sârmei corespunde noțiunii de „ordin” în cadrul numărului și el va fi notat cu cifre arabe în dreptul fiecărei sârme în partea de jos a numărătoarei cu discuri. Prin urmare, ordinul unei unități de calcul arată locul pe care îl ocupă acea unitate în succesiunea unităților de calcul din sistemul zecimal, care corespunde în locul pe care îl ocupă o cifră în cadrul unui număr scris în acest sistem.

Continuând procedeul vom arăta că zece sute de mii sau zece unități de ordinul al șaselea, formează un milion, care este o unitate de ordinul al VII –lea, zece milioane sau zece unități de ordinul al VII –lea, formează o zece de milioane sau o unitate de ordinul al VIII –lea; zece zeci de milioane formează o sută de milioane, adică o unitate de ordinul al IX –lea.

Pe măsură ce se însușesc ordinele, elevii constată sau sunt îndrumați să constate că grupuri de trei ordine consecutive începând cu primul, conțin unități care se numesc la fel, adică unități , mii, milioane etc.

Deci trei ordine consecutive începând cu primul, formează o clasă.

Ordinele 1, 2, 3, adică ordinul unităților , zecilor și sutelor formează clasa unităților; ordinele 4, 5, 6, adică a unităților de mii, a zecilor de mii și a sutelor de mii formează clasa miilor; ordinul 7, 8, 9, adică ordinul unităților, zecilor și sutelor de milioane.

Deci, numele unităților unei clase este aceeași cu numele clasei. Numele zecilor și sutelor unei clase se obțin spunând din ce clasă sunt acele zeci sau sute.

Exemplu: zeci de mii, sute de milioane (excepție fac zecile și sutele clasei unităților, la cere nu spunem din ce clasă sunt).

În felul acesta putem spune numele fiecărui ordin, până la ordinul al IX –lea.

Putem continua și pentru ordine mai mari (desigur facultativ), dacă cunoaștem în ordine crescătoare, numele claselor mai mari: miliarde, trilioane, cuadrilioane, cvitilioane, sextiloane, septilioane, octilioane, nomilioane, decilioane etc (1015 se numește biliard).

După un asemenea comentariu se impune o sistematizare a noțiunilor învățate. Este necesar să se scrie următorul tabel (el poate fi alcătuit și în timpul predării învățării, adică pe măsură ce elevii iau cunoștință de diverse ordine și clase):

10 unități simple formează 1 zece

10 zeci formează 1 sută

10 sute formează 1 mie

10 mii formează 1 zece de mii

10 zeci de mii formează 1 sută de mii

10 sute de mii formează 1 milion

10 milioane formează 1 zece de milioane

10 zeci de milioane formează 1 sută de milioane

10 sute de milioane formează 1 miliard

10 miliarde formează 1 zece de miliarde

10 zeci de miliarde formează 1 sută de miliarde

În continuare, se trece la numerotarea unităților de calcul în succesiunea învățării lor, consolidându-se astfel noțiunea de ordin, după cum urmează:

1. Unități simple: pe locul unde se află unitățile simple care sunt unități de ordinul 1;

2. Zeci: pe locul doi se află zecile care sunt unități de ordinul 2;

3. Sute: pe locul trei se află sutele, care sunt unități de ordinul 3;

4. Unitățile de mii: pe locul patru se află miile sau unitățile de mii, care sunt unități de ordinul 4;

5. Zecile de mii: pe locul 5 se află zecile de mii, care sunt unități de ordinul 5;

6. Sute de mii: pe locul 6 se află sutele de mii, care sunt unități de ordinul 6;

7. Unități de milioane: pe locul 7 se află milioanele, care sunt unități de ordinul 7;

8. Zeci de milioane: pe locul 8 se află zecile de milioane, care sunt unități de ordinul 8;

9. Sute de milioane: pe locul 9 se află sutele de milioane care sunt unități de ordinul 9;

Numerele scrise în fața fiecărei unități de numerotare din tabelul de mai

sus , reprezintă locul unităților respective în scrierea numerelor, iar numărul care arată locul fiecărei unități se numește ORDIN.

Noțiunea de ordin se introduce și în vorbire, iar diversele ordine și semnificația lor se consolidează prin exerciții:

a). –sutele sunt unități de ordinul 3; zecile de milioane sunt unități de ordinul 8;

b). –unitățile de ordinul 5 se numesc zeci de mii, unitățile se ordinul 9 se numesc sute de milioane.

Întrebările de acest fel se pun mai întâi în ordinea tabelului, apoi pe sărite.

Pentru însușirea noțiunii de clasă se arată că primul grup de trei ordine este format din unități simple și el se numește clasa unităților, următorul grup de trei ordine este format din mii și se numește clasa miilor, al treilea grup de trei ordine este format din milioane și se numește clasa milioanelor, al patrulea grup de trei ordine este format din miliarde și se numește clasa miliardelor etc.

Deci, CLASA este un grup de 3 ordine consecutive începând cu primul ordin. Clasa se numerotează cu numere romane și ele primesc denumirea felului unităților de care sunt constituite.

I – Clasa unităților formată din ordinele 1,2,3;

II – Clasa miilor formată din ordinele 4,5,6;

III – Clasa milioanelor formată din ordinele 7,8,9;

IV – Clasa miliardelor formată din ordinele 10,11,12;

V – Clasa trilioanelor formată din ordinele 13,14,15.

VII.4.b). Scrierea, numirea și citirea numerelor de mai multe cifre

După însușirea ordinelor și claselor se trece la formarea scrierii și citirii numerelor de mai multe cifre.

Pentru aceasta, învățătorul scrie pe tablă, iar elevii pe caiete un tabel în care se evidențiază ordinele și clasele.

În acest tabel, numerotarea ordinelor și claselor se face de la dreapta la stânga și coincide cu poziția cifrelor în cadrul unui număr.

Utilizarea acestui tabel este următoarea:

a). – se formează numere la calculatorul cu bile;

b). – se scrie numărul format în tabel începând cu clasele și ordinele cele mai mari;

c). – se citește numărul scris în tabel.

Se recomandă scrierea mai întâi a numerelor formate din cifre semnificative: 2 384, 45 639, 586 921, 23 325 869 etc.

Se scriu apoi numere care au zerouri în cadrul lor, fie în interior, fie la sfârșit: 5 607, 209 310, 8 607 003, 52 065 003 etc.

După ce elevii deprind tehnica scrierii numerelor în tabelul cu clase și ordine se trece la scrierea și citirea numerelor fără a folosi tabelul.

Pentru aceasta, se atrage atenția ca evidențierea (marcarea) claselor ce alcătuiesc numerele se face lăsând între acestea (între clase) un spațiu liber. Clasele nu se despart prin punct (.) deoarece acest semn este consacrat operației de înmulțire. Scriem 6 532 189 și nu 6.532.189.

O mare importanță în scrierea unui număr trebuie dată cifrei zero (0), care semnifica absența unităților de un anumit ordin. La citirea unui număr în alcătuirea căruia apar zerouri, acestea nu se rostesc.

605 027 se citește: sase sute cinci mii douăzeci și șapte și nu șase sute de mii zero zeci de mii cinci mii zero sute douăzeci și șapte.

Numerele clasei unităților nu se pronunță și nici numerele claselor din care nu avem nici o unitate.

Acum este potrivit să reamintim elevilor semnificația unei cifre după poziția (locul) pe care o ocupă în scrierea numărului.

Astfel, în scrierea numărului 325 433 – cifra trei apare de trei ori, dar în diverse poziții, în raport de care ea are altă valoare. Primul 3 de la dreapta numărului ne arată că sunt trei unirăți simple, al doilea numărul zecilor, deci 3 zeci, iar a treia cifra de 3 situată pe poziția (locul) a șasea, ne spune că ea numără sutele de mii, deci trei sute de mii.

Atât scrierea și citirea numărului de mai multe cifre, cât și noțiunile de ordin și clasă sunt cunoștințe care cer mult exercițiu, pentru ca elevii să-și formeze deprinderile și automatismele necesare.

Neînțelegerea lor face aproape imposibilă etapa însușirii operațiilor cu numere de mai multe cifre.

VII.5 Compararea numerelor naturale

După modul în care am format unitățile de ordin se vede că dintre două numere naturale, este mai mare:

a). – acela care este scris cu mai multe cifre;

65 347< 215 310; 37 920 125 > 8 976 599;

b). – dacă sunt scrise cu același număr de cifre, privim cifrele reprezentând același ordin de la stânga la dreapta.

Ne oprim la primul ordin întâlnit, scris cu cifre diferite în cele două numere. Va fi mai mare acel număr la care cifra respectivă arată numărul mai mare.

340 165 < 340 234; 671 543 > 670 987.

Dacă nu găsim o astfel de pereche de cifre, numerele sunt egale:

5 201 = 5 201.

VII.6. Numere naturale

Acest capitol completează cunoștințele dobândite de elevi despre numerele naturale și încheie ciclul primar și are ca obiective generale:

Obiective

formarea capacității de a înțelege noțiunea de număr natural, citirea, scrierea, compararea și estimarea numerelor naturale;

cunoașterea scrierii cu cifre romane pentru a da posibilitatea elevilor să înțeleagă textele care le cuprind și de a folosi această scriere în mod corect.

VII.6.a). Numărarea, numere pare, numere impare

Obiective:

sistematizarea cunoștințelor despre mulțimea numerelor;

aflarea numerelor de elemente ale unei mulțimi;

însușirea numărării și diverselor modalități de numărare;

cunoașterea numerelor pare și a celor impare.

Se știe că șirul numerelor naturale începe cu 0 și se continuă în ordine crescătoare , fără a „sări” peste nici unul dintre ele. Vom urmări să demonstrăm necesitatea de a număra elementele pe care le conține o mulțime dată.

Învățătorul va folosi mai multe mulțimi care să continue un număr diferit de : cărți, caiete, creioane etc.

Se vor număra elementele, luându-le câte 1, câte2, câte 3, câte 5, câte 6, elemente și se va trage concluzia că obișnuindu-ne să recunoaștem din priviri numerele 2, 3, 4, 5… elemente putem număra cu economie de timp. Explicațiile se pot face pe următorul exercițiu:

3, 6, 9… 6, 12, 18

Elevii sunt invitați apoi să privească cu atenție la colegii din clasa lor. Dacă fiecare elev are un coleg de bancă, vor fi invitați să afle câți elevi sunt în clasă. Învățătorul le spune că numărul obținut este un număr par.

Dacă un singur elev nu are coleg de bancă, elevii nu pot fi grupați câte 2; numărul obținut este impar. Se spune elevilor că:

– numerele 2, 4, 6, 8, 10, ……20, 22, ……… sunt numere pare;

– numerele 1, 3, 5, 7, 9,………19, 21,……… sunt numere impare.

Sunt invitați apoi să împartă numerele pare: 8, 16, 20, la 2 și se observă ce fel de împărțiri sunt acestea. Se deduce definiția:

Numerele care se împart exact la 2 sunt numere pare (cu soț), iar cele care prin împărțirea la 2 dau rest, se numesc impare (fără soț).

Se dau mai multe numere: 8520, 25234, 2004, 1022, 2009, 12200, 12201. Se cere elevilor să facă împărțirile la 2 și să observe rezultatele împărțirii și în același timp ultima cifră a numărului care a fost împărțit.

În felul acesta se deduce că : „dacă ultima cifră reprezintă un număr par, atunci numărul este par”.

Pentru consolidare, se fac exerciții de recunoaștere a numerelor pare și impare, observând ultima cifră a fiecărui număr.

VII.6.b). Citirea și scrierea numerelor naturale

Scopul acestei teme este înțelegerea sistemului zecimal de organizare și scriere a numerelor naturale, pentru ca elevii să poată citi, scrie, compara și calcula conștient cu aceste numere.

Un prim pas pentru înțelegerea organizării numerelor naturale în sistemul zecimal a fost predarea „zeci” în clasa I, apoi predarea „sutei” a „miei” etc.

Se preiau aceste cunoștințe pe o treaptă superioară de înțelegere, exemplificând modul de obținere a fiecărui ordin (U, Z, S) din fiecare clasă, apoi semnificația și numele claselor „clasa unităților, a miilor, a milioanelor, a miliardelor etc.”

De asemenea, se impune explicarea scrierii poziționale, cifrele având diferite valori după locul pe care îl ocupă în scrierea numărului.

Pentru scrierea numerelor naturale în acest sistem se folosește scrierea zecimală.

Astfel, numărul „doi” este notat cu 2, dar poate fi notat cu două bare „II”, numărul „patru” este notat cu 4, dar poate fi notat cu patru bare „IIII”.

Notarea numerelor naturale cu bare verticale ar fi devenit destul de greoaie pentru notarea numerelor mari.

Această greutate este înlăturată în scrierea zecimală a numerelor naturale, prin folosirea a zece semne numite cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . Aceste cifre se numesc cifre, deci scrierea acestora este o scriere cu cifre arabe.

Cifrele reprezintă diferite valori, în funcție de pozițiile pe care le ocupă în scrierea numerelor, de aceea scrierea se numește pozițională.

CITIREA ȘI SCRIEREA NUMERELOR NATURALE ÎN SISTEM ZECIMAL se face așa cum elevii au învățat în clasa a III-a, reamintindu-se regulile:

– „Se citesc sutele, zecile și unitățile fiecărei clase, apoi numele clasei respective. Citirea se face de la stânga la dreapta.”

După fiecare clasă, în scris, se lasă un spațiu mai mare decât cel dintre cifrele fiecărui ordin.

SCRIEREA NUMERELOR NATURALE SUB FORMA UNEI SUME este un punct important, unde se cere elevilor să scrie numerele naturale sub forma unei sume în care se pune în evidență sistemul de scriere zecimal:

27 = 2 x 10 + 7

23 524 = 2 x 10 000 + 3 x 1 000 + 5 x 100 + 2 x 10 + 4

Această scriere se va folosi și în continuare pentru înțelegerea unor reguli de calcul cu numere naturale.

Compararea numerelor naturale

A compara două numere naturale înseamnă a stabili dacă sunt egale sau nu sunt egale. În cazul în care nu sunt egale, trebuie precizat care dintre ele este mai mare sau mai mic.

1. Compararea numerelor naturale formate din același număr de cifre

Luându-se perechile de numere:

23 și 23; 315 și 315; 4520 și 4520, observăm că cifrele corespund fiecărui ordin, reprezentând același număr. Deci:

23 = 23; 315 = 315; 4520 = 4520.

Dacă luăm numerele 23 și 21, comparăm cifrele corespunzătoare celui mai mare ordin; când aceste reprezintă numere egale (2=2) comparăm cifrele ordinului care urmează. Cifra unităților 3 este mai mare decât 1, deci 23 > 21.

În cazul numerelor 429 și 431, comparăm întâi cifra sutelor (4=4), apoi cifra zecilor (2<3), deci 429<431.

2. Compararea numerelor naturale care nu au același număr de cifre se face comparând ordinele cele mai mari din fiecare număr.

În cazul numerelor 112 și 35, numărul 112 conține sute, ordin superior ordinului zecilor din al doilea număr 35, deci numărul format din mai multe cifre este mai mare 112 > 35.

3. Compararea a trei numere naturale

Luând numerele 359; 20501; 8956, ordonarea lor crescătoare este:

395 < 8956 , 20501.

Alt mod de a compara numerele este dat de semnificația matematică a expresiilor „cu atât mai mare (mic)”; „cu atât mai mult (puțin)”; „de atâtea ori mai mare (mic)”; „de atâtea ori mai mult (puțin)” pe care le învățăm din probleme.

Compararea numerelor din aceeași problemă se realizează prin scădere, când se cere „cu cât” este mai mare sau mai mic un număr față de celălalt, sau prin împărțire, când se cere să se stabilească „de câte ori” este mai mare sau mai mic un număr față de celălalt.

VII. 6. c). Cifrele romane

Tema are ca obiective să facă cunoscute elevilor aceste cifre, pentru a le folosi corect în scrierea și citirea numerelor care, obișnuit, se scriu cu astfel de cifre: date istorice, număr de ordine etc.

Pentru predare trebuie să se folosească material didactic din care elevii să vadă diverse situații în care sau folosit și se mai folosesc cifrele romane: fotografii, filme, diafilme, ce conțin inscripții de pe monumente istorice, ceasuri cu cadrane mari în care orele sunt scrise cu cifre romane etc.

Elevii folosesc cifrele romane în mod curent pentru scrierea lunilor anului, a claselor.

În scrierea cu cifre romane, cifrele au aceeași valoare, indiferent de locul pe care îl ocupă în număr, deci nu e o scriere pozițională.

Pentru aflarea numărului, de obicei, se face însumarea cifrelor. Cum însă o cifră reprezintă un număr mai mic decât cel reprezentat, de cifra care-i urmează, atunci acest număr se scade din numărul prezentat de cifra următoare.

De exemplu, IV cifra I reprezintă numărul unu, iar cifra V reprezintă numărul cinci; IV nu arată 1+5, ci 5-1 =4;

IX – reprezintă 10-1 =9

XL – reprezintă 50-10=40

XC – reprezintă 100-10=90

CD – reprezintă 500-100 =400

CM – reprezintă 1 000 – 100 = 900.

Exemple de numere scrise cu cifre romane și scrierea lor cu cifre arabe: MCMLXXX = 1000 + (1000 – 100 ) + 50 + 10 + 10 + 10 = 1980;

CXIX = 100 + 10 + (10 – 1) = 119

Astăzi cifrele romane se mai folosesc pentru exprimarea și scrierea numerelor de ordine: „Premiul I”, „Capitolul IV”, „Secolul XXI”.

VIII. MODALITĂȚI EFICIENTE UTILIZATE ÎN SCOPUL

FORMĂRII ȘI CONSOLIDARII CONCEPTULUI

DE NUMĂR NATURAL

(exerciții, jocuri, teste)

1. Jocuri didactice matematice

În condițiile școlarizării copiilor de la vârsta de 7 ani, se impune o atenție sporită la dozarea ritmică a predării cunoștințelor de matematică.

Ținând seama de puterea lor de concentrare, de nevoi de variație și de mișcare în activitatea școlară, lecția de matematică trebuie intercalată sau completată cu jocuri didactice cu conținut matematic , cu suficiente elemente de joc. Acestea, în afara faptului că uneori se pot introduce pur și simplu jocuri de mișcare, de cântec, de recreere.

În general , un exercițiu sau o problemă de matematică poate deveni joc didactic matematic, dacă îndeplinește unele condiții:

realizează un scop sau o sarcină didactică din punct de vedere matematic;

folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse (întrecere individuală sau pe grupe; recompensa rezultatelor bune sau penalizarea greșelilor comise);

este prezentat accesibil, atractiv și recreativ, fie prin forma de desfășurare, fie prin materialul didactic sau mijloacele folosite;

pentru stabilirea rezultatelor competitive folosește reguli de joc care se fac cunoscute elevilor de către învățător.

Voi da în continuare exemplu de o problemă care poate fi transformată în joc didactic matematic:

„La o serbare, elevii au înălțat 5 baloane roșii și cinci baloane albastre. Din toate baloanele s-au spart 5.

Câte baloane pot fi roșii și câte albastre printre cele 5 sparte ?”

Obiective:

aprofundarea cunoștințelor despre numărul natural 5;

dezvoltarea flexibilității gândirii și a atenției în găsirea soluțiilor.

Sarcina didactică

verificarea cunoștințelor despre descompunerea unui număr într-o sumă de doi termeni (simetria relației de egalitate).

Elemente de joc

întrecerea și recompensa, individual și pe rânduri de bănci.

Material didactic

o planșă cu 5 baloane roșii și 5 baloane albastre, sau

cretă colorată pentru a desena pe tablă;

câte o foaie de hârtie pentru fiecare elev.

Regula jocului

elevii scriu soluțiile posibile pe foaie, iar învățătorul strânge foile după un timp stabilit. Cele șase soluții vor fi prezentate astfel:

Baloanele sparte pot fi:

roșii albastre

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

5 0

Pentru fiecare soluție bună se acordă câte un punct. Se clasifică elevii:

pe locul I cei cu 6 soluții

pe locul II cei cu 5 soluții

pe locul III cei cu 4 soluții.

Cu timpul, jocul poate deveni un simplu exercițiu de descompunere a unui număr de tipul:

6 6 6 6

0 6 1 5 2 4 3 3

6 6 6

4 2 5 1 6 0

Pentru clasa I sunt specifice și jocurile didactice matematice prin care elevii desenează sau colorează.

În funcție de obiectivul și sarcina didactică urmărită, jocurile didactice matematice se pot clasifica:

a). După momentul în care se folosește în cadrul lecției:

jocuri didactice matematice în completarea lecției folosite în diferite momente ale acesteia;

jocuri didactice matematice folosită ca lecție completă;

b). După conținutul capitolelor de însușit în cadrul matematicii ( la clasa I):

jocuri didactice matematice pentru însușirea cunoștințelor despre culori, orientare spațială și de geometrie;

jocuri logico – matematice pentru însușirea șirului numerelor naturale;

jocuri didactice matematice pentru însușirea adunării și scăderii numerelor naturale.

Prin folosirea jocurilor didactice matematice se realizează și sarcini formativ – educative ale procesului de învățământ.

Astfel, prin activitatea jocurilor didactice se realizează si sarcini formativ – educative ale procesului de învățământ.

Se antrenează operațiile gândirii elevilor: analiza, sinteza și comparația;

Se dezvoltă spiritul de inițiativă și independența în muncă, precum și cel de echipă;

Se dezvoltă spiritul creator și de observație, atenția disciplina și ordinea în desfășurarea unei activități;

Se formează deprinderi de a munci (lucra) corect și rapid.

Prin folosirea jocurilor didactice matematice în predarea matematicii în școala primară , în general, și în clasa I, în special, se aduce o contribuție de bază la însușirea mai rapidă, mai temeinică, mai accesibilă și mai plăcută a unor cunoștințe relativ greoaie pentru această vârstă.

Voi prezenta jocuri didactice matematice în legătură cu însușirea numerelor naturale.

a). Jocuri în legătură cu învățarea numerației (orală sau scrisă)

Jocul „Cine știe să numere mai departe”

Participă toți elevii clasei sau echipe, iar cei care vor greși la preluat sau la numărat, vor trebui să stea în picioare, până când dacă vor fi atenți vor corecta greșeala altor colegi. Se stabilește de către învățător până la ce număr se va număra și cum: „crescător”, „descrescător”, „din 2 în doi”, „din cinci în cinci”, „din 10 în 10”.

Primul elev începe numărătoarea până ce este oprit de învățător (printr-o bătaie din palme sau prin „stop”). Elevul se oprește, se așează dacă n-a greșit, iar următorul continuă s.a.m.d.

Se poate relua numărarea. Se declară echipa câștigătoare aceea care are mai puțini copii în picioare.

Un element de joc se poate introduce, punând o condiție de felul următor: în timpul numărării, când se va ajunge la un număr cu soț,sau în altă variantă, la multiplu de 5 nu se va pronunța acest număr ci se va rosti un cuvânt, de exemplu „stop”, „sare”, „peste”, „liber”, „loc”.

Astfel se sporește caracterul amuzant și recreativ al jocului.

Jocurile:

„Ce numere lipsesc?” (*), „Caută vecinii!” (**), „Caută vecinul!”(***)

Prin aceste jocuri se urmărește consolidarea cunoștințelor despre ordonarea numerelor naturale. Ele se pot organiza oral cu ajutorul întrebărilor de către învățător și prin ridicarea jetoanelor corespunzătoare cerute, sau prin completarea unor fise de către elevi în felul următor:

*

** ***

6 2 4

13 25 27

60 30 50

– Tot la numerație, în cazul tratării numărului și cifrei (7) (clasa I), pregătirea conținutului lecției se realizează sugestiv și plăcut dacă se începe cu jocul „Puișorul fără cuib”. Este vorba aici de grupări de câte trei elevi la care se adaugă încă un elev: grupări de câte 3 elevi ținându-se de mână formează cuiburile, iar un elev este puiul care se mută de la un grup la altul la comanda învățătorului.

– Tot la capitolul numerație, precum și la operațiile de adunare și scădere cu numere 1- 10 , se poate organiza jocul „buchetele”.

Copiii sunt așezați în cerc sau pe două rânduri față în față. Ei cântă un cântec din repertoriul cunoscut, mișcându-se în ritmul cântecului. Prin surprindere, conducătorul spune un număr învățat (de ex, 5). Copii trebuie să înceteze cântecul și să se grupeze câte 5 formând „buchetul”. Se reia cântecul și se procedează la fel pentru alt număr.

În altă variantă jocul se poate folosi și la numerația cu zeci, grupele, de zeci fiind arătate, după formarea „buchetelor” prin ridicarea în sus a ambelor mâini apropiate de degetele desfăcute.

Jocul se organizează în ambele variante pentru a pune elevii în situația de a face distincție între zeci și unități.

– La capitolul 1 – 100 se folosește jocul de atenție „Portocalele”. Pe tablă se scriu atâtea numere câți elevi sunt în clasă. Numerele pot fi scrise nu numai în ordine crescătoare , ci și pe sărite sau în ordine descrescătoare. Fiecărui elev i se atribuie un număr de pe tablă.

Conducătorul spune: „Aș mânca … 3 portocale!” Elevul cu numele respectiv răspunde „De ce 3 și nu 8?” Elevul ce-și aude numărul procedează la fel: „De ce 8 și nu 6?” Elevul căruia i s-a rostit numărul și nu răspunde imediat, i se taie numărul și este scos din joc; aceeași sancțiune se aplică dacă un elev rostește un număr tăiat. Câștigă ultimii 3 elevi ale căror numere rămân netăiate. – Pentru a stabili locul unui număr în șirul numerelor naturale se organizează jocul: „Al câtelea brăduț lipsește?”:

Se așează în fața clasei 10 brăduți decupați. Copiii închid ochii, timp în care învățătorul dă la o parte un brăduț. La semnalul stabilit, copiii deschid ochii și spun al câtelea brăduț lipsește. Se pot da la o parte și doi brăduți din locuri diferite.

– În același sens se poate stabili locul „Cine are un număr mai mare (mai mic)?”

Copiii au 10 cartonașe cu numere 1 – 10 scrise pe o parte și numere 10 – 100 (din 10 în 10) pe cealaltă parte. Învățătorul scrie pe tablă un număr și cere elevilor ca să arate un număr mai mare sau mai mic. Jocul se poate folosi și pentru operațiile de adunare și scădere, cerându-le elevilor, în acest caz să arate numărul mai mare cu (2 – 20), sau mai mic cu (3 – 30) etc.

Aceste jocuri se pot introduce la începutul orei ca exemplu pentru consolidarea cunoștințelor, fie în fixarea cunoștințelor însoțite de mișcări în ultima parte a orei, după ce s-a predat tema.

2. Exercițiul matematic

Locul jocului este luat, treptat, de exercițiu, creându-se o atmosferă de joc prin caracterul competitiv al acestora.

Exerciții pentru clasa a II-a:

„Scrieți toate numerele de trei cifre care au cifra sutelor 7 și cifra unităților 2”

„Scrieți numerele: 452, 208, 760, 901, 602, ca o sumă de termeni continuând fie numai sute, fie numai zeci, fie numai unități.”

Exerciții pentru clasa a III-a:

„Scrieți cel mai mic, apoi cel mai mare număr natural de : 4 cifre, 6 cifre, 7 cifre, 8 cifre. Citiți aceste numere”.

„Care este cel mai mare număr natural de 5 cifre care are cifra sutelor 5” Dar cel mai mic?”

„Care este cel mai mare număr natural de 4 cifre care poate fi scris doar cu cifra 0 și 7 folosind:

_ numai una din cifrele 0 și 7 sau,

– amândouă cifrele 0 și 7.

„Folosind de fiecare dată cifrele 1, 3, 5, 8, 9 câte o singură dată , scrieți: – cel mai mic număr natural posibil;

– cal mai mare număr natural posibil;

– toate numerele naturale care conțin fiecare, toate aceste cifre, câte o singură dată, iar ultimele două cifre sunt 98”.

„Care este cel mai mare număr natural de 6 cifre, la care cifra miilor reprezintă cel mai mic, iar a zecilor cal mai mare număr posibil? Dar cel mai mic?”

Exerciții pentru clasa a IV –a

„Scrieți sub forma unei sume numerele: 305, 4500, 10071, 45309, 14008, 203024”.

„Scrieți numerele corespunzătoare fiecărei sume;

2 x 100000 + 5 x 10000 + 3 x 10;

7 x 1000 + 3 x 100 + 7;

8 x 10000 + 3 x 1000 + 9”

„Stabilește cu cât este mai mare (mic) primul număr față de al doilea din următoarele perechi de numere:

39525 și 27709; 12520 și 38496; 690926 și 603214.”

„Stabilește de câte ori este mai mic (mare) primul număr față de cel de-al doilea, din următoarele perechi de numere:

360 și 90; 960 și 6; 7 și 147; 450 și 90; 3 și 696; 16 și 160.

3. Testul matematic

Obiectivele de referință specifice fiecărei lecții sau capitol, derivate din obiectivele cadru ale învățării matematicii, trebui să cuprindă o cunoaștere clară a performanțelor concrete realizate de elevi în cadrul fiecărei lecții (capitol) mai ales la clasa I.

Această cunoaștere se poate realiza prin „probe de control” sau „fișe de răspuns”, date pe foi speciale, proiectate fie de învățător, fie de autorul manualului.

Distingem trei modalități de evaluare a obiectivelor:

Probe curente de verificare a cunoștințelor și deprinderilor și aplicațiilor în rezolvarea exercițiilor și problemelor, alcătuite de învățător la sfârșitul unei lecții sau după un anumit număr de lecții.

Folosirea testelor de cunoștințe sau testelor pentru evaluarea programului global de instrucție.

Teste pentru aptitudini speciale la matematică.

Voi exemplifica două tipuri de fișe pentru verificarea cunoștințelor referitoare la numere naturale, la clasa I:

A – Proba de control pentru verificarea cunoștințelor despre primele 10 numere naturale:

1. Scrie în paralel numărul corespunzător fiecăreia dintre mulțimile desenate:

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

2. Desenează mulțimi care au atâtea elemente care indică numărul:

2 8 1 7 5

3. Completează numerele care lipsesc:

0 – – 3 – – – – – – 10

– 9 8 – – – – – – 2 – –

Descompune numărul 8, găsind toate soluțiile:

8 8 8 8 8 8 8 8 8

Să efectueze adunarea:

X X X X X

5 3

X X X

5 + 3 =

3 + 5 =

6. Să se efectueze scăderea:

x x x x x x x

7 – 3 =

7 – 4 =

7. Scrie semnul <, = sau > între rezultatele operațiilor:

a). 6 + 2 și 3 + 7 b). 9 – 4 și 8 – 1

8 10 5 4

c). 6 + 3 și 9 – 2 d). 0 + 5 și 10 – 6

e). 2 + 6 și 6 – 2 f). 8 – 5 și 2 + 8

B – Proba de control pentru recapitularea finală:

1. Stabilește corespondența figurilor care au aceeași formă:

2. Desenați o curbă astfel ca în interiorul ei să existe mulțimea pătratelor, iar în exteriorul ei mulțimea figurilor care sunt pătrate.

3. Avem atâtea pătrate câte cercuri ? Stabiliți corespondența. Comparați numărul corespondent fiecărei mulțimi.

4. Desenează o mulțime care are tot atâtea pătrate câte triunghiuri. Stabilește corespondența. Compară numărul corespunzător fiecărei mulțimi.

5. Desenează mulțimi care au tot atâtea elemente câte indică numărul corespondent:

8 5

6. Completează pătratele cu numerele care lipsesc, astfel încât să fie adevărate:

+ =

9 = +

7. Folosește unul din semnele <, =, > și scrie –l în pătrățel, astfel încât rezultatul să fie adevărat:

a). 50 + 40 – 30 20

b). 30 + 40 + 20 100

c). 40 + 60 – 20 80

8. Ce numere pot fi puse în locul literelor astfel încât să fie adevărată relația:

a + 2 < 9;

3 + b < 7.

IX. IMPORTANȚA ÎNSUȘIRII TEMEINICE A

ACESTUI CONCEPT CE CONSTITUIE

BAZA ÎNSUȘIRII CELORLALTE CUNOȘTINȚE,

PRICEPERI ȘI DEPRINDERI SPECIFICE

MATEMATICII

(observații, recomandări, sugestii)

În școala primară, elevul nu a atins încă pragul dezvoltării psiho-intelectuale ale însușirii raționamentului logico-deductiv. El este încă în etapa operațional-concretă, unde este nevoit să folosească din plin intuiția, dar călăuzită de experiența eforturilor de înălțare treptată spre abstracție.

De aceea, însușirea numerelor naturale și a operațiilor aritmetice se deranjează adesea de noțiunea de mulțime și este normal să se petreacă această deprindere acolo unde algoritmul este însușit și stabilizat. Astfel s-ar pierde un timp incalculabil pentru a raporta conștient și deliberat operațiile de mulțimi. O astfel de raportare ar însemna de fapt, folosirea unui model semiconcret pentru operații care se fac cu simboluri, deci cu modele abstracte. În felul acesta, elevul care a deprins pe cale ansamblistă rostul numerelor naturale și a operațiilor elementare cu acesta, poate și trebuie să treacă la un mod de lucru algoritmic, care este de fapt impus chiar de linia modernizării în scopul „sporirii rolului formativ al matematicii, cum ar fi: proprietățile operațiilor și aplicarea lor în practică, substituirea numerelor cu litere, ecuații simple rezolvate pe baza înțelegerii conținutului operațiilor”.

Modernizarea matematicii a produs însă modificări în programa școlară, modificări prin care se urmărește ca efortul și ritmul de muncă impuse copiilor să nu depășească puterea lor de rezistență.

O primă problemă o constituie ritmul de muncă în primele luni de școală, când se predă numerația. Se impune ca ea să stea în grija cadrului didactic, deoarece de modul în care se transmit și se însușesc primele noțiuni aritmetice depinde în bună măsură randamentul muncii ulterioare din punct de vedere al înțelegerii matematicii și atitudinii copiilor față de această disciplină.

Este nevoie ca în această perioadă de început, introducerea în conținutul matematicii să se facă pe îndelete, cu răbdare; pașii să fie bine gândiți și parcurgerea lor să se sprijine pe interesul elevilor pentru activitate. De aceea, trebuie să i se ofere mereu noutăți la intervale scurte. Este bine ca revenirea asupra unor elemente cu conținut să se facă sub forme variate, cu exemplificări ce necesită alt material decât cel folosit anterior, în așa fel ca noul să fie mereu prezent sub ochii curioși ai micului școlar.

O a doua grijă trebuie acordată distribuirii riguroase a materiei pe capitole și în cadrul capitolelor timpului afectat diferitelor teme în funcție de specificul acestora și de nivelul clasei.

Datorită faptului că unii copii și-au însușit numerația în mod empiric, cadrul didactic trebuie să acorde suficientă atenție predării capitolului despre numerație și concomitent cu aceasta a operațiilor aritmetice. Lipsa de noutate plictisește pe copii sau îi duce la o înțelegere mecanică a numerației, fapt ce constituie baza formalismului în învățarea matematicii.

O a treia problemă este necesitatea ca însușirea cunoștințelor despre numere să pornească de la experiența de viață a copiilor, de la realitatea materială a lumii înconjurătoare. De modul cum este îmbogățită, corectată și dirijată această experiență, depinde într-o mare măsură succesul în predarea matematicii la școlarul mic. Înțelegerea noțiunilor matematice în conținutul lor general abstract nu se poate realiza decât pe o bază concretă a observării și manipulării directe de către elevi a materialului intuitiv specific acestui obiectiv.

În acest scop, materialul intuitiv trebuie să fie cât mai bogat, cât mai variat, cât mai ușor de mânuit de către elevii și mai ales cât mai adecvat conținutului matematic care trebuie realizat în lecție. În practica școlară, uneori acest material este folosit la întâmplare, sporadic și mai mult pentru demonstrație.

În alegerea materialului intuitiv se va avea în vedere faptul că el trebuie să constituie modele concludente a numerelor și operațiilor cu numere.

Așa de pildă, în perioada primelor două săptămâni de școală, pornindu-se de la ideea că elevul la această vârstă manifestă o vădită tendință pentru mișcare, pentru acțiuni este indicat să se organizeze activități în care levii să observe, să identifice , să compare, să grupeze, să separeu, să rânduiască într-o anumită succesiune, după anumite însușiri fizice, diferite obiecte(bile, bețișoare, cuburi, jetoane). Se trece apoi la observarea formelor unor corpuri regulate și în mod deosebit la observarea fețelor acestora și desenarea lor.

Această activitate în perioada de aclimatizare cu școala necesită multă grijă din partea învățătorului, deoarece în această etapă se clarifică și sistematizează primele reprezentări globale cu care se operează ulterior în procesul însușirii noțiunilor matematice. Activitatea desfășurată acum permite învățătorului să-și cunoască elevilor sub raportul individualității, al experienței de viață, al ritmului de muncă, în vederea organizării muncii lui ulterioare.

Însușirea conținutului ca număr cardinal implica parcurgerea etapelor necesare înțelegerii celor trei componente ale lui: procesul de formare prin adăugarea unei unități, valoarea cantitativă a numărului, locul fiecărui număr în șirul fiecărui număr în șirul natural al numerelor.

O altă problemă care se referă tot la conținut, este formarea noțiunii de zece, ca unitate de sine stătătoare.

Trecerea de la unitățile de ordinul I la unitățile de ordinul al II-lea, constituie un salt oarecum brusc și destul de dificil. Aici este vorba de două aspecte de conținut și anume: Înțelegerea de către elevi că zecea este obiectual o unitate și această unitate are o valoare cantitativă cât zece unități de celălalt ordin.

Acest fel de înțelegere a noțiunii de zece stă la baza operațiilor cu numere în componența cărora între zeci, unități, precum și a însușirii celorlalte ordine în numerație.

Practica școlară mi-a dovedit că, cel mai potrivit material în acest sens este mănunchiul de 10 bețișoare, legate la un loc.

Trecerea de la șirul numerelor 0 -10 la șirul numerelor 0 – 100 format din zeci se realizează de asemenea cu unele dificultăți. Formarea șirului numerelor de la 10 la 100 trebuie să aibă în vedere trei aspecte și anume:

a).- formarea șirului numerelor prin adăugirea unei unități;

b).- componenta numerelor din zeci și unități;

c).- corespondența între conținut și denumire.

În vederea depășirii tuturor problemelor elevii trebuie deprinși să lucreze în mod ordonat și disciplinat, să se concentreze la activitate desfășurată în clasă, să urmărească și să execute cerințe învățătorului, să respecte activitatea colegilor, să-și adapteze ritmul personal de muncă la ritmul colectiv al clasei.

Un rol deosebit revine învățătorului care este cel care îi ajută pe elevi să-și însușească nu numai informații, ci și operațiile implicate în procesul învățării, să dobândească tehnicile muncii intelectuale și practice, modele de investigare a realității, îi învață cum să învețe.

În același timp, învățătorul are rolul de a crea în mod intenționat și permanent condiții care să trezească și să susțină interesul elevilor pentru cunoaștere, să le dezvolte o motivație autentică și stabilă pentru învățătură, să-i activeze în procesul învățării, să-i determine să lucreze cât mai mult în mod independent – fie individual, fie în grup.

În acest scop, este necesar să folosim cu precădere acele metode și procedee care favorizează în cel mai înalt grad participarea efectivă și conștientă a elevilor la însușirea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor, care solicită procesele gândirii, raționamentul, capacitatea creatoare care asigură operaționalizarea cunoștințelor, cum ar fi: observația și experiențele, lucrările practice, exercițiile cu caracter creator, rezolvarea și alcătuirea unor probleme.

O altă observație și recomandare ar fi aceea a utilizării modelelor.

Utilizarea modelelor în procesul de învățământ oferă o cunoaștere intuitivă și în același timp riguros științifică, îi obișnuiește pe elevi cu procedee și tehnici de investigare a realității, ușurează dobândirea de noi cunoștințe. Cunoștințele achiziționate prin trecerea de la necunoscut la cunoscut, de la simplu la complex, de la particular la general și invers prin efortul propriu al elevilor, sunt asimilate temeinic și dobândesc o mare valoare aplicativă.

Astfel, se creează o punte de trecere de la gândirea concretă la cea abstractă, contribuie în mare măsură la dezvoltarea gândirii elevilor în special a subtilității și flexibilității acesteia, calități deosebit de necesare însușirii noțiunii de concept de număr.

Se desprinde, de asemenea, concluzia că există moduri de gândire caracteristice fiecărui stadiu de dezvoltare. Ideile matematice pot fi prezentate într-o formă grafică (figurativă) sau cu ajutorul simbolurilor matematice, așa cum am demonstrat în lucrare.

Aș mai concluziona ideea, că după de copiii se familiarizează cu conceptele de bază: număr, numărare, operații aritmetice, ei trebuie să fie în stare numai să opereze independent cu aceste concepte în cadrul unui lung șir de exerciții fără legătura directă cu date din realitate, ci și să stabilească și să găsească soluții de rezolvare a unor probleme desprinse din sfera lor de preocupare și de activitate.

Numai astfel, cunoștințele de matematică sunt însușite temeinic și dobândesc o valoare instrumentală, cu puternice valențe formative.

X. MODELE DE ACTIVITATE DIDACTICĂ

PLAN DE LECȚIE

DATA:

CLASA: I

OBIECTUL:Matematica

SUBIECTUL: Numărul și cifra 8

TIPUL LECȚIEI: mixtă

SCOPUL:- consolidarea cunoștințelor despre numărul și cifra 7;

– consolidarea numerației 0 -7;

– familiarizarea elevilor cu numărul și cifra 8;

– formarea deprinderii de a scrie cifra 8.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

La sfârșitul lecției elevii trebuie:

O1. să înțeleagă numărul 8 ca simbol al mulțimii care are 8 elemente;

O2. să deprindă de a număra crescător și descrescător până la 7; locul lui 8 în șirul natural al numerelor;

O3. să-și formeze deprinderi de a recunoaște și a scrie corect cifra 8;

O4. să-și dezvolte deprinderi de muncă independentă;

O5. să-și dezvolte operațiile gândirii (analiza, sinteza, generalizarea, abstractizarea) și a calităților acesteia (rapiditatea, mobilitatea, flexibilitatea);

O6. să-și dezvolte memoria și atenția voluntară.

METODE ȘI PROCEDEE:

– exercițiul, problematizarea, conversația, explicația, demonstrația;

MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT:

– pentru elevi:”Jocul numerelor”; fișe de muncă independentă;

– pentru învățător: tabla magnetică și figuri cu fixare magnetică, planșa.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

MOMENT ORGANIZATORIC

Se pregătesc cele necesare începerii orei de matematică;

Se asigură liniștea necesară.

VERIFICAREA LECȚIEI ANTERIOARE

Exerciții de consolidare a cunoașterii cifrelor

Elevii folosesc jetoane cu cifre di „Jocul numerelor”

– Arătați cifra 4! Arătați cifra 7! ș.a.m.d.

– Ce cifră este scrisă pe jeton? (se arată mai multe jetoane cu cifre învățate)

– Ce cifră corespunde mulțimii de elemente prezentate de învățător.

Exerciții de consolidare a succesiunii numerelor 0 -7.

– Elevii numără în ordine crescătoare de la 0 la 7, apoi descrescătoare de la 7-0.

– Se trece la numărarea din doi în doi crescător pornind de la 0, apoi de la 1 și descrescător de la 7, apoi de la6;

– Să numere în ordine crescătoare (descrescătoare) cu „stop” (număr interzis) pe unul sau mai multe numere convenite.

Exerciții de stabilire a locului pe care îl ocupă numerele învățate în șirul 0-7 („Jocul numerelor”);

– Vecinii lui 5

– Vecinul cel mare al lui 6;

– Vecinul cel mic al lui 2;

– Ce număr se află între 5 și 7?

– Ce număr este mai mare ce 1 decât 0?

– Ce număr este mai mic cu 1 decât 3?

Evaluare frontală

Alege cartonașul care conține cifra corespunzătoare.

Muncă independentă pe fișe individuale:

– Exerciții de comparare a două numere date:

– Să completeze spațiile goale cu semnele , sau cifra corespunzătoare:

3 ; 5; 6 ; 4 5; 7 6

– Exerciții de compunere și descompunere a numerelor învățate

7 7 7

– Verificarea fișelor

Evaluare frontală

Completează spațiile goale.

CAPTAREA ATENȚIEI

Se face cu o ghicitoare

„Cloșca mea cea gălbioară

Și-a scos pui în ulicioară

Șapte sunt mici, unul mare

Socotiți voi, câți pui are?”

ANUNȚAREA OBIECTIVELOR OPERAȚIONALE

Sunt anunțați că vor învăța numărul și cifra 8. La sfârșitul lecției vor putea sa numere crescător de la o la 8 și descrescător de la 8 la 0, să recunoască și să scrie cifra 8.

DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII

– Numărul 8 se introduce plecând de la ilustrația din manual: lângă cei șapte ursuleți care muncesc în grădină vine un urs cu coșul încărcat cu merinde. Se constată ca numărul urșilor s-a mărit cu unu. Se afirmă că 7 urși și încă un urs fac în total 8 urși.

– Se intuiește imaginea cu numărul și cifra 8 din manual, elevii fiind învățați să arate pe degete acest număr.

– Se intuiește pe planșă și în „Jocul numerelor” o mulțime cu 8 elemente căreia îi corespunde numărul și cifra 8.

– Se demonstrează de către învățător, cu ajutorul figurilor fixate pe tabla magnetică că o mulțime cu șapte elemente (mere) împreună cu o mulțime cu un element (un măr) formează o mulțime cu 8 elemente (mere).

Elevii formează în caiete mulțimi de câte 8 elemente (pătrate, triunghiuri, mere)

Evaluare frontală

Desenează mulțimi.

– Exerciții de numărare până la 8 crescător și descrescător folosind bețișoare.

– Exerciții de aranjare a jetoanelor, cu cifre în ordine crescătoare și descrescătoare la stelaj, în același timp elevii lucrează în bănci cu jetoane din „Jocul numerelor”.

Evaluare frontală

Aranjează jetoanele

– Elevii numără până la 8 în ordine crescătoare și descrescătoare din 1 în 1, din 2 în 2, din 3 în 3.

Evaluare frontală

Elevii numără.

– Învățătorul recită poezia „cifrei 8”, intuind în același timp, prin prezentarea planșei cu cifra 8, elementele componente ale cifrei 8.

– Se repetă cu copiii, de câteva ori, versurile poeziei.

– Folosind metoda demonstrației, voi scrie cifra 8 model pe tablă. Scrierea se face pe fragmente, verbalizându-se modelul de scriere.

– Se fac împreună cu elevii exerciții pentru încălzirea mușchilor de la mâini.

– Se scrie cifra 8 în aer, în palmă pe bancă folosindu-se de stiloul închis.

– Activitatea independentă: elevii vor scrie pe caiete două rânduri cu cifra 8, după modelul început pe caiet „Aricel Voinicel” timp în care voi supraveghe elevii, voi îndruma, corecta și ajuta pe cei care greșesc.

Evaluare frontală

Scriu cifra 8

OBȚINEREA PERFORMANȚEI

Fișă de evaluare (aceeași de la 2.)

Așezați în căsuță cifra corespunzătoare numărului de elemente.

2. Completați numărul de elemente existent în fiecare grupă, astfel încât, numărul lor să corespundă cifrei scrisă în căsuță.

7 5 0 8

Se verifică fișele

Evaluare frontală

Completează mulțimile și căsuțele libere

ÎNCHEIREA ACTIVITĂȚII

– Se fac aprecieri asupra lecției și se notează anumiți elevi.

– Se dă tema.

PLAN DE LECȚIE

DATA:

CLASA: a II- a

OBIECTUL: Matematica

SUBIECTUL: Numere naturale până la mie

Exerciții – pagină

TIPUL LECȚIEI: Recapitularea și sistematizare a cunoștințelor

SCOPUL: – consolidarea numerelor naturale până la 1000;

– formarea deprinderii de a citi și scrie numere naturale mai mari decât 100;

– formarea deprinderii de număra.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1. – să considere zecea ca mulțime de zece unități, suta ca mulțime de zece zeci și mia ca mulțime de zece sute.

O2. – să înțeleagă că fiecare mulțime ce formează o unitate de un anumit ordin este formată din zece elemente ce sunt mulțimi reprezentând un ordin imediat mai mic (cu excepția unităților de ordinul unu).

O3. – să numească și scrie numere naturale până la o mie.

O4. – să numere crescător și descrescător până la 1000, din sută în sută, din zece în zece, din cinci în cinci.

O5. – să așeze mai multe numere date în ordine crescătoare sau descrescătoare.

O6. – să compare două numere date.

METODE ȘI PROCEDEE:

– exercițiul, problematizarea, conversația, activitatea independentă.

MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT:

– pentru elevi: abac din plastic, fișe de muncă independentă;

– pentru învățător: abac, numărătoare cu discuri.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

MOMENT ORGANIZATORIC

– pregătirea elevilor pentru lecție

2. VERIFICAREA ȘI REACTUALIZAREA CUNOȘTINȚELOR ANTERIOARE

Repetarea cunoștințelor teoretice

– ce formează zece unități? (o zece)

– ce formează zece zeci? (o sută)

– ce formează zece sute? (o mie)

– ce formează zece unități de un anumit ordin? (o unitate de ordin imediat superior)

Numărarea și scrierea numerelor până la 1000

– formați la abac numerele: 578, 375;

– citiți numerele formate de mine la abac (444, 257, 202, 999, 360, 880);

– formați la numărătoarea cu discuri numerele : 472, 333, 303, 990, 111, 707;

– citiți numerele scrise de mine pe tablă: 743, 347, 276, 762, 859, 589, 606, 696;

– citiți și scrieți în ordine crescătoare numerele cuprinse între: 100 și 121, 145 și 156, 170 și 183, 189 și 200;

– numiți și scrieți în ordine descrescătoare numerele cuprinse între: 300 și 290, 785 și 775, 158 și 144, 133 și 124;

– numiți și scrieți numerele naturale de la 100 la 200:

din 10 în 10

din 5 în 5;

– spuneți și scrieți numerele naturale în ordine crescătoare, apoi în ordine descrescătoare:

din 100 în 100 până la 1000;

din 5 în 5 de la 700 la 800;

din 10 în 10 de la 500 la 600;

Exercițiile de comparare a numerelor naturale până la 1000.

– subliniați numărul mai mare din fiecare pereche de numere:

500 600

241 348

701 666

354 454;

– subliniați numărul mai mic din fiecare pereche de numere:

723 716

561 509

934 991

384 392;

– comparați perechile de numere folosind semnul < sau >:

824 821

564 567

328 326

404 408;

– așezați în ordine crescătoare următoarele numere: 187, 162, 117, 142, 125, 164, 140, 183, 100, 199;

– așezați în ordine descrescătoare următoarele numere: 540, 930, 7, 700, 600, 731, 570, 842, 98;

3. OBȚINEREA PERFORMANȚEI

– scrieți după dictare numerele: 101, 111, 110, 323, 222, 404, 909, 999, 567, 1000;

– scrieți în ordine crescătoare numerele cuprinse între: 700 și 721, 435 și 446, 860 și 873, 688 și 700.

– scrieți în ordine descrescătoare numerele cuprinse între: 300 și 290, 586 și 575, 758 și 744, 933 și 924.

– așezați în ordine crescătoare următoarele numere: 295, 247,113, 421, 300, 318, 463, 708, 721, 430.

– așezați în ordine descrescătoare următoarele numere: 100, 240, 356, 404, 309, 201, 117, 89, 5.

4. EXERCIȚII DE AGERIME

Voi crea o atmosferă de întrecere pentru a trezi interesul elevilor:

– care este cel mai mic număr natural scris cu trei cifre? (100)

– dar cu două cifre? (10);

– care este cel mai mare număr natural scris cu trei cifre? (999);

– dar cu două cifre? (99);

– care este cel mai mic număr natural scris cu patru cifre ? (1000);

– găsiți toate numerele de trei cifre care au cifra sutelor 8 și cifra unităților 1 (801, 811, 821, 831, … 891);

5. ÎNCHEIEREA ACTIVITĂȚII

– se fac aprecieri asupra lecției și se notează anumiți elevi;

– se dă tema.

PROBE DE EVALUARE

CLASA I

Capacitate: Înțelegerea numărului și a notației acestuia;

Subcapacitate: Cunoașterea, citirea, scriere, compararea și ordonarea numerelor <10;

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

ITEMI

Scrie șirul numerelor de la 0 la 10 în ordine crescătoare și apoi în ordine descrescătoare.

––––––––––––––––––––––

–––––––––––––––––––––-

Comparați folosind semnele:

3 4 5 6 9 8 7 6

4 7 7 6 5 5 9 6

Completați șirul numerelor:

0 1 3 5 9 10

10 9 7 3 0

4. Completați:

10 10 10 10 10

10 10 10 10 10

5.Numărați din 2 în 2 și din 3 în 3 în ordine crescătoare și descrescătoare

………………………………………………………………….

………………………………………………………………….

PLAN DE LECȚIE

DATA:

CLASA: a II- a

OBIECTUL: Matematică

SUBIECTUL: Jocul zecilor

TIPUL LECȚIEI: Mixtă

SCOPUL: cunoașterea numerelor naturale de la 0 la 100;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1 – să înțeleagă modul de funcționare a scrierii numerelor în baza 10;

O2 – să se familiarizeze cu lucrul în echipă.

MATERIALE NECESARE:

La fiecare bancă:

– cartonașe decupate reprezentând soldați și căpitani;

– un test care va fi rezolvat pe grupe.

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Captarea atenției și orientarea activității.

Se stabilește liniștea și ordinea în clasă și se cere elevilor să aibă pe bancă cele necesare pentru lecție.

Anunțarea temei și a obiectivelor

Se împarte clasa în trei grupe corespunzătoare celor trei rânduri de bănci. Se numesc câte doi șefi de rând dintre elevii care au dovedit ușurință în a face calcule și transpuneri, Ei se vor ocupa, pe lângă rezolvarea testului în cadrul grupei din care fac parte și cu totalizarea rezultatelor rândului respectiv. Doi elevi dintre cei mai slabi ai clasei se așează la catedră. Ei se vor ocupa cu distribuirea punctelor. Activitatea lor începe prin a aduna toate cartonașele decupate de elevii clasei.

Reactualizarea cunoștințelor

Se primește un test spre rezolvare în care fiecare exercițiu este notat cu un anumit punctaj. Elevii fiecărei grupe lucrează împreună la rezolvarea exercițiilor. După ce au discutat soluția, unul dintre copii o scrie pe caiet.

Îndată ce o grupă a terminat un exercițiu, copiii solicită verificarea de către învățător. După ce a verificat rezolvarea exercițiului, învățătorul dă grupei atâția soldați câte puncte valorează soluția respectivă.

Dirijarea învățării

În momentul în care o grupă are zece soldați, ea îi dă unuia dintre copii de la catedră și primesc în schimb un căpitan. Momentul schimbului (un căpitan pentru zece soldați) este extrem de important, El reprezintă o transpunere materială a conceptului de numere în baza zece. De aceea, învățătorul va supraveghe îndeaproape acest moment, verificând corectitudinea numărării și subliniind cu glas tare condițiile schimbului.

Fixarea cunoștințelor

La terminarea testului, se solicită elevilor să verifice dacă totalul de puncte obținut în cadrul grupei, este același cu numărul de soldați și căpitani pe care i-au primit. Apoi, toți căpitanii și soldații de strâng la șefii de rând. Aceștia, împreună cu învățătorul, totalizează numărul de soldați și căpitani. Dacă s-au adunat peste zece soldați, se face schimbul ca și mai înainte: pentru fiecare 10 soldați, rândul primește un căpitan.

Concluzii și aprecieri

În final se notează pe tablă câți căpitani și câți soldați s-au câștigat pe fiecare rând. Se completează rezultatele. Se verifică dacă s- a făcut corect compararea transformând numărul de căpitani în numărul de soldați și totalizând punctajul obținut de fiecare rând.

Se felicită rândul câștigător.

FIȘĂ DE EVALUARE

(nivelul cunoștințelor de bază)

I1 – Suma a trei numere este 560000. Al doilea număr este cu 20000 mai mare decât primul, iar al treilea cu 40000 mai mare decât al doilea. Să se afle cele trei numere.

I2 – Să se afle două numere știind că diferența lor este egală cu cel mai mare număr natural de trei cifre, iar câtul lor este 10.

I3 – Din localitatea A pornește spre localitatea B un biciclist care merge cu viteza de 25 Km/h. După 2 ore pornește din același loc și în aceeași direcție un camion care are viteza de 50 km/h. La ce distanță de localitatea A camionul ajunge biciclistul.

I4 – Compuneți o problemă după următorul grafic:

I _ _ _ _ _ _ _

II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

23

III _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Punctajul acordat:

I1 = 2,50 puncte (0,25 p. pentru grafic; 0,75p. pentru aflarea fiecărui număr)

I2 = 1,75 puncte (0,25p. pentru grafic; 075 p. pentru aflarea fiecărui număr)

I3 = 3,25 puncte (o,25p. pentru grafic; 0,75p. pentru fiecare întrebare și operație din planul de rezolvare)

I4 = 1,50 puncte (0,25 p. pentru fiecare condiție din textul problemei; 0,50 p. pentru întrebare)

Din oficiu = 1 punct

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Total = 10 puncte

FIȘĂ DE DEZVOLTARE

I1 – În ciclul primar al unei școlii învață 1050 elevi. În clasele a IV- a cu 50 mai mulți decât în clasele I și cu 70 de elevi mai puțini decât în clasele a III- a. În clasele a II- a sunt cu 30 elevi mai mult decât în clasele a IV- a. Câți elevi sunt în clasa I, în clasa a II- a, în clasa a III- a și în clasa a IV- a?

I2 – Din școala noastră au plecat elevi la mare, iar de 20 mai mulți elevi au plecat la munte. În excursie au plecat de 3 ori mai mulți elevi la munte. În total au plecat 270 de elevi. Câți elevi au plecat la mare? Dar la munte? Dar în excursie?

I3 – Un automobilist a parcurs distanța de 189 km dintre localitățile A și B în 3 ore. Aceeași distanță a fost parcursă de un biciclist în 9 ore. Biciclistul pornește din localitatea A spre localitatea B cu două ore înaintea automobilistului. După câți kilometri de localitatea A automobilul ajunge biciclistul?

I4 – Distanța dintre București și Oradea este de 544 km. Din cele două localități pornesc simultan, unul spre celălalt, două autoturisme, cu vitezele de 64 km/h și respectiv 72 km/h.

a). După cât timp se întâlnesc cele două autoturisme?

b). La ce distanță de București are loc întâlnirea, știind că autoturismul care pleacă din Oradea are viteza de 73 km/h?

I5 – Compuneți o problemă după următorul grafic:

I _ _ _ _ _ _ _ _

II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

III _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . . .

Punctajul acordat:

I1. = 2,50 puncte (0,50 p. pentru grafic; 0,50 p. pentru aflarea numărului de elevi din cele 4 clase)

I2 = 2 puncte (0,50p. pentru grafic; 0,50 p. pentru fiecare răspuns corect)

I3 = 1,50 puncte (0,25 p. pentru fiecare întrebare și operație din planul de rezolvare)

I4 = 2 puncte (1 punct pentru fiecare întrebare)

I5 = 1 punct (0,45 p. pentru fiecare condiție din textul problemei; 0,10 p. pentru întrebare)

Din oficiu = 1 punct

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Total = 10 puncte

XI. CONCLUZII GENERALE

Lucrarea de față reprezintă o sinteză a activității mele de cercetare și documentare, precum și a preocupărilor pe care le—am avut pentru cunoașterea psihologică a elevilor și a activităților de învățare a acestora pentru însușirea numerelor naturale precum și a operațiilor cu numere naturale.

Însușirea corectă, conștientă și temeinică a numerației cu accent pe procesul formării oricărui număr din șirul numerelor naturale, strâns legat de operațiile aritmetice, constituie fără discuție temelia învățământului matematic.

În primele clase se formează noțiunile matematice de bază cu care elevii vor opera pe tot parcursul vieții.

Orice nouă noțiune matematică are la bază achizițiile precedente, trecerea de la un stadiu la altul superior, făcându-se printr-o reconstrucție continuă.

Are loc deci o restructurare a achizițiilor noi pe fondul celor deja asimilate, și de aici necesitatea ca toți copiii să fie solicitați conform posibilităților lor intelectuale și tratați corespunzător.

Noile condiții de viață influențează puternic experiența copilului, experiență care trebuie valorificată cu mai multă încredere, cu mai multă îndrăzneală, și mai mult spirit de creativitate în lecțiile de matematică.

Matematica joacă un rol de seamă în dezvoltarea gândirii elevului, precum și în formarea deprinderilor de muncă intelectuală.

În lecțiile de matematică, alături de materialul informațional ce se comunică elevului, se activizează, se concretizează și se îmbogățește limbajul, se formează reprezentări și noțiuni noi din diferite domenii.

Studiul matematicii contribuie la trezirea și dezvoltarea interesului elevilor față de învățătură și față de școală, la dezvoltarea încrederii lor în forțele proprii, la dezvoltarea spiritului de ordine, la cultivarea dragostei de muncă și a perseverenței în lupta cu greutățile.

În societatea noastră necesitatea culturii matematice pentru om devine tot mai acută, în sensul că nu se poate trăi fără matematică, cultura matematică făcând parte integrantă din cultura generală, ocupând în cadrul ei un rol important. Gândirea matematică devine gândirea omului de azi, o gândire creatoare, cu operații de analiză și sinteză, abstractizare și generalizare, inducție și deducție. Creativitate o putem ușor educa dacă se antrenează gândirea creatoare dacă elevul devine conștient de conținutul activității pe care o desfășoară.

Elevul întâmpină greutăți dacă nu se pornește de la concret la abstract, de la ușor la greu, de la simplu la complex. Copiii lucrează cu entuziasm, sunt bucuroși când reușesc, dar nemulțumiți când dau greș.

Astfel, în matematică se formează nivele de gândire foarte variate, uneori specifice fiecărui individ.

Învățarea matematicii presupune un efort continuu, susținut și bine gradat, al gândirii elevilor. Elevul trebuie stimulat și ajutat. El depune efort personal prin frământări prin care să descopere adevăruri matematice necesare rezolvării exercițiilor și problemelor.

Factorul principal, de care depinde succesul în predarea matematicii, rămâne în orice condiții personalitatea învățătorului prin atitudinea lui față de munca și dragostea pentru copil, prin modul cum știe să stârnească curiozitatea și interesul elevului, să-l transforme prin exemplul lui, din spectator pasiv în participant activ, să facă din lecție rezultatul activității comune a învățătorului și elevului.

CUPRINS

CAP.I. Importanța și sarcinile predării matematicii în ciclul primar

CAP. II. Premisele psihologice ale instruirii corecte și temeinice a conceptului de număr natural

CAP. III. Unitate și continuitate în formarea conceptului de număr natural de la grădiniță la școală – puncte, elemente de plecare și de sprijin în predarea și însușirea acestuia la clasa I

CAP. IV. Obiective generale ale temei

CAP. V. Conceptul de număr natural

V.1. Numărul natural și mulțimea

V.2. Numărul natural în școala primară

V.3. Numerele naturale ca numere cardinale

V.4. Axioma lui Peano

V.5. Aspectul cardinal al numărului natural

V.6. Aspectul ordinal al numărului natural

CAP. VI. Sisteme de numerație

VI:1. Baze

VI.2. Sistemul de numerotație auditiv

VI.3. Sistemul pozițional

VI.4. Scrierea sistematică a unui număr într-o bază oarecare

VI.5. Trecerea unui număr dintr-o bază oarecare în baza 10

VI.6. Trecerea unui număr din baza zece într-o bază oarecare

CAP. VII. Principalele etape ce se parcurg în procesul de instruire a acestui concept caracteristici, obiective și importanța fiecărei etape

VII.1. Specificul procesului de predare – învățare a numerelor 0 – 10

VII.2. Numerele naturale mai mici sau egale cu 100

VII.2 a) Numerele naturale mai mici sau egale cu 100 formate numai din zeci; compararea

VII.2. b) Numere naturale mai mari decât 10 și mai mici sau egale cu 20

VII.2. c) Numere mai mari decât 20 și mai mici sau egale cu 100; compararea lor

VII.3. Numere naturale mai mici sau egale ci 1000; compararea lor

VII.4. Numerele naturale mai mari decât 1000 și mai mici decât 1000000

VII.4. a) Ordine și clase. Numere scrise cu patru cifre

VII.4. b) Scrierea numirea și citirea numerelor de mai multe cifre

VII.5. Compararea numerelor naturale

VII.6. Numere naturale

VII.6. a) Numărarea, numere pare, numere impare

VII.6.b) Citirea și scrierea numerelor naturale

VII.6. c) Cifrele romane

CAP.VIII. Modalități eficiente utilizate în scopul formării și consolidării conceptului de număr natural

CAP. IX. Importanța însușirii temeinice a acestui concept ce constituie baza însușirii celorlalte cunoștințe, priceperi și deprinderi specifice matematicii

CAP. X. Modele de activitate didactică

CAP.XI. Concluzii generale

BIBLIOGRAFIE

Aurelia Catană, Daniela Catană – Aritmetica și teoria numerelor – vol. I – Editura Gimnasium 2000;

Robert Dottrens – A educa și instrui – E.D.P. București 1970;

Ion Aron, Gheorghe I. Herescu, Alexandru Dumitru, Eremia Georgescu Buzșu, Nicolae Matei, L. Neacșu (coordonator) – Metodica predării matematicii în clasele I – IV- E.D.P. București 1988; Exerciții de teoria mulțimilor – E.D.P., București 1969;

Constantin Popovici – Aritmetica și teoria numerelor – E.D.P. București, 1963;

Dumitru Săvulescu și colectiv – Aritmetica pentru învățători și elevii școlilor normale – Editura Paralela 45, 1997;

Mihail Roșu, Magdalena Roman – Matematica pentru perfecționarea învățătorilor – ALL, 1996;

Programele școlare pentru învățământul primar – E.D.P. 1993

N. Oprescu – Modernizarea învățământului matrematic în ciclul primar – E.D.P., București 1974;

M. Gârboveanu – Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ – Editura București, 1981;

BIBLIOGRAFIE

Aurelia Catană, Daniela Catană – Aritmetica și teoria numerelor – vol. I – Editura Gimnasium 2000;

Robert Dottrens – A educa și instrui – E.D.P. București 1970;

Ion Aron, Gheorghe I. Herescu, Alexandru Dumitru, Eremia Georgescu Buzșu, Nicolae Matei, L. Neacșu (coordonator) – Metodica predării matematicii în clasele I – IV- E.D.P. București 1988; Exerciții de teoria mulțimilor – E.D.P., București 1969;

Constantin Popovici – Aritmetica și teoria numerelor – E.D.P. București, 1963;

Dumitru Săvulescu și colectiv – Aritmetica pentru învățători și elevii școlilor normale – Editura Paralela 45, 1997;

Mihail Roșu, Magdalena Roman – Matematica pentru perfecționarea învățătorilor – ALL, 1996;

Programele școlare pentru învățământul primar – E.D.P. 1993

N. Oprescu – Modernizarea învățământului matrematic în ciclul primar – E.D.P., București 1974;

M. Gârboveanu – Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ – Editura București, 1981;