Formarea Conceptului de Numar Natural

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ

PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL

CUPRINS

INTRODUCERE

NUMERELE NATURALE- CONSIDERENTE ISTORICE

1.1.Primele reprezentări ale numerelor

1.2.Numerația la diferite popoare

a) Numerația la egipteni

b) Numerația la sumerieni

c) Numerația la grecii antici

d) Numerația la popoarele slave

e) Numerația la romani

f) Numerația la chinezi

g) Cifre hinduse, arabe și europene

h) Ceva despre ”nimic”

II. CONCEPTUL DE NUMĂR NATURAL

2.1. Numerele naturale ca numere cardinale

a) Aspectul cardinal al numărului natural

b) Aspectul ordinal al numărului natural

c) Axiomatica lui Peano

d) Relația de ordine în N

e) Ordonarea numerelor naturale

2.2. Numerația a) Numerația vorbită

b) Numerația scrisă

c) Citirea numerelor

2.3. Sisteme de numerație

a) Sistemul de numerație aditiv

b) Sistemul de numerație pozițional

2.4. De la ”Arithmetiki” la Teoria numerelor

III. FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL-

ASPECTE METODICE

3.1.Formarea conceptului de număr natural între tradiție și modernitate

3.2. Obiectivele predării numerelor naturale

Numerele naturale de la 0 la 10. Specificul procesului de predare – învățare

Numerele naturale de la 0 la 20. Specificul procesului de predare – învățare

Numerele naturale mai mici sau egale cu 100. Specificul procesului de

predare-învățare

Numerele naturale mai mici sau egale cu 1000. Specificul procesului de

predare – învățare

Numerele naturale mai mici sau egale cu 1 000 000. Specificul procesului de predare – învățare

3.3. Cunoștințe matematice necesare elevilor de clasa I în perioada pregătitoare formării noțiunii de număr natural. Forme ale activității de învățare și exerciții practic-aplicative

3.4.Stimuli motivaționali în lecțiile de predare-învățare a numerelor naturale

la clasele I-IV

3.5.Deficiențe înregistrate în etapa formării conceptului de număr natural

3.6.Jocul didactic – metodă eficientă pentru învățarea matematicii la ciclul primar

IV. CERCETAREA EXPERIMENTALĂ

4.1.Ipoteza, obiectivele cercetării și stabilirea eșantioanelor

4.2. Metodica cercetării

4.3.Desfășurarea cercetării și interpretarea datelor

4.4. Concluzii

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

INTRODUCERE

Apariția matematicii în cele mai diverse științe, de la astronomie, chimie, la medicină, face ca orientarea tineretului către matematică să fie un proces obiectiv. Astăzi se afirmă cu tot mai multă convingere că fundamentul culturii moderne îl constituie matematica.

Profesorul universitar Ștefan Bârsănescu spunea pe drept cuvânt că ”intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii”. Matematica înseamnă gândire, gândire organizată. E disciplina care, prin însăși esența ei, poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apropiere de cunoștințe noi și în general o apropiere de necunoscut printr-un adevărat stil de cercetare.

În orice domeniu ar activa, omul zilelor noastre trebuie să posede o bună pregătire matematică, pentru a putea soluționa multiplele și diversele probleme ale vieții sociale și profesionale. Această cerință impune numeroase pretenții cu privire la formarea personalității. Accentul cade în primul rând pe gândire datorită faptului că gândirea a stat întotdeauna la baza progresului constituind imboldul dinamicii sociale, ori o gândire critică și inovatoare, originală și creatoare, matematica o formează.

Principalul obiectiv pe care îl urmărește învățământul matematic nu are în vedere doar latura informativă, ci prin predarea acestei discipline se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară a noțiunilor, de adaptare creatoare la cerințele actuale.

Gândirea matematică se manifestă printr-o mare diversitate de activități intelectuale legate de memorie și imaginație și anume: raționare, judecare, înțelegere, explicare, invenție, deducție, inducție, analogie, abstractizare, generalizare, comparație, concretizare, clasificare, diviziune, rezolvare de situații-problemă, etc.

Printr-o muncă de milenii, pornind de la adevărul simplu, a fost construită matematica modernă. Ea a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe, datorită specificului ei. Este știința probei formale și a demonstrației logice care întruchipează într-un grad înalt idealul de rigoare și de construcție logică.

Raționamentul matematic și gândirea riguros științifică creează elevului posibilitatea de înțelegere a celorlalte discipline cât și de pătrundere a problemelor privitoare la natură, viață, societate. De asemenea, contribuie la formarea și dezvoltarea capacității de a munci organizat și ritmic, a perspicacității, a spiritului de investigație.

În primii ani ai școlarității se formează noțiunile matematice elementare, cele pe care copilul le va utiliza pe tot parcursul traiectului școlar, dar și pe tot parcursul vieții, și cu care clădește întregul sistem de noțiuni matematice. O asemenea noțiune fundamentală este noțiunea de număr natural, la fel de veche precum însăși civilizația umana, care i-a fascinat în aceeași măsură pe filosofii antichității ca și pe matematicienii din secolul vitezei și, fără de care, evoluția matematicii ca știință n-ar fi fost posibilă.

Pe acest concept se clădește, piatră cu piatră, întregul sistem de noțiuni matematice, de priceperi și deprinderi pe care elevul le dobândește în clasele primare, în cadrul acestei discipline școlare. Formarea conceptului de număr natural face posibilă însușirea operațiilor cu numere, a fracțiilor ordinare, a celor zecimale, chiar a primelor elemente de geometrie și noțiuni de măsurare.

Aceste motive, la care se adaugă noile tendințe în educație – de centrare a conținuturilor și învățării, în general, pe nevoile și posibilitățile educabililor – reprezintă motivul pentru care am ales tratarea formării conceptului de număr natural în această lucrare. Formarea conceptului de număr natural și însușirea numerației pun la încercare, în cel mai înalt grad, capacităților intelectuale ale elevilor, le solicită toate disponibilitățile psihice și în mod special inteligența. Tema aleasă are menirea de a aborda, pe baza documentării teoretice și a experienței dobândite, diferite modalități de atingere a obiectivelor pe care le urmărește predarea matematicii, cât și dezvoltarea gândirii elevilor.

CAPITOLUL I

NUMERELE NATURALE- CONSIDERENTE ISTORICE

1.1.Primele reprezentări ale numerelor

Suntem învățați din fragedă pruncie să folosim numerele, să indicăm prin două, trei degete ridicate victorios câți ani avem spre mândria părinților și încântarea bunicilor. Apoi aflăm cum să operăm cu ele, calcule din ce în ce mai complicate, mai elaborate. Atât de firești, atât de obișnuite aceste numere… câți dintre noi își mai pun azi întrebări referitoare la apariția, la semnificația lor?

Numerele sunt prezente în viața noastră zi de zi , fie că învățăm, muncim sau pur și simplu mergem pe stradă. Istoria lor este însă mult mai îndepărtată decât ne-am putea imagina. Număratul, util încă de la începutul vieții pe pământ, le-a dat mare bătaie de cap strămoșilor noștrii îndepărtați.

S-ar putea crede că omul a știut să numere de când există. Pare să nu fie chiar așa. Un lucru însă este adevărat: știința numerelor este foarte veche și ea stă la baza matematicii. Fără matematică nici nu vedem cum s-ar fi putut dezvolta toate celelalte ramuri ale științei și tehnicii. Fără matematică nu ar fi putut progresa nici fizică și nici chimia, nici astronomia și nici geografia. Cele mai vechi documente științifice cunoscute ne dovedesc că într-o epocă destul de îndepărtată a existat la unele popoare – cum au fost sumerienii, egiptenii și chinezii antici – un nivel relativ ridicat de cunoștințe matematice. Astfel, de la sumerieni (locuitorii Babilonului antic) ne-a rămas un text de matematică scris acum 4.000 de ani pe 44 de tăblițe de argilă uscată. Pentru epoca în care a fost scris, acest text constituie o adevărată enciclopedie matematică.

În vechile cronici chinezești și hinduse se întâlnesc probleme care dovedesc că aceste popoare stăpîneau cunoștințe profunde de matematică. Nivelul ridicat al cunoștințelor matematice la greci apare de abia cu 500 de ani î.e.n. La acea epocă ei au preluat o știință avansată a numerelor de la babilonieni, egipteni, chinezi, hinduși, fenicieni și alte popoare mai vechi. Despre modul cum numărau oamenii înainte de descoperirea scrierii nu avem date precise. Se știe numai că egiptenii efectuau recensăminte încă acum 6.000 de ani. Dar de când a început omul să numere și până la inventarea modului celui mai rudimentar de însemnare în scris a rezultatului unei numărări, au trecut mii și mii de ani. Un lucru este sigur. Oamenii s-au folosit de numere din timpurile cele mai îndepărtate, și anume cam de pe la sfârșitul perioadei comunei primitive. Oamenii care au trăit la începutul acestei perioade aproape că nu aveau de ce să numere. Felul lor de viață nu le punea probleme a căror rezolvare să ceară folosirea unor numere, și cu atât mai puțin cunoașterea noțiunii de număr, ci doar de nume prin care desemnau mulțimea de obiecte din jurul lor. De aceea, pe atunci nici nu și-au creat cuvinte anume pentru numere, ci au folosit pentru numere chiar cuvintele obiectelor care au trezit în mintea lor ideea de număr. Astfel, ei spuneau: “doi ochi”, “două aripi”, “două picioare” etc. Dar dacă ar fi vrut careva să spună “numărul doi”, nu ar fi putut-o face, fiindcă “doi” nu însemna nimic. S-au scurs mii de ani “până când au făcut legătura cu faptul că o zi și o noapte la un loc, urmată de altă zi și altă noapte, formeză două zile și două nopți și, deci, că reprezintă același număr ca și cel al aripilor unei pasări.

Există informații despre triburi care numără doar până la doi; au cuvinte care desemnează doar aceste numere, iar numerele următoare se formează prin alcătuirea acestor două cuvinte sau prin repetarea lor(sistem binar). Daca voiau să spună ca au o grămadă de mai mult de două obiecte, atunci pronunțau cuvântul “atâta” însoțit de smulgerea unei tufe de iarbă, de arătatul unui pumn de nisip, a părului de pe cap, a unei grămezi de frunze. De-abia când oamenii dintr-un trib au început să facă schimb de mărfuri cu cei din alte triburi, s-au străduit să precizeze câte obiecte aveau. Acesta este unul din motivele care i-au determinat pe strămoșii noștri “să treacă de la o vagă apreciere a unei mulțimi la numărul obiectelor care o compun.”

La început, schimburile comerciale între triburi s-au făcut bazându-se pe corespondența unu la unu sau în variantele unu la doi, unu la trei dacă factorii schimbului aveau valori diferite. Ei împerecheau obiectele din grămada de numărat cu alte obiecte dintr-o gramadă care le era la îndemână: pietricele, scoici, grăunțe, degete.Dacă mulțimea obiectelor era mai mare decât cea a degetelor de la mâini se foloseau și degetele de la picioare sau încheieturile degetelor, pumnul, cotul, umerii etc.

Oamenii erau capabili să stabilească foarte repede, mintal, corespondențe între numărul obiectelor dintr-o mulțime și numărul respectiv de degete, însă nu știau să le numere.Au descoperit numărul și au învățat să-l folosească cu mult înainte de a fi stabilit operația de numărare.

”Considerând degetele de la mâini într-o anumită ordine, acestă ordine s-a reflectat și în concepția de număr, care putea fi privit acum și ca ceva ce stabilea un anumit rang, o anumită poziție într-un șir de obiecte ce se succedau într-o ordine determinată.Astfel apare și un alt aspect sub care putea fi conceput numărul, ca număr ordinal, spre deosebire de primul, în care se recunoaște numărul cardinal.E foarte probabil că omul primitiv a cunoscut amândouă aspecte ale noțiuniide număr: imagine globală (a mulțimii de obiecte) și rang sau poziție (într-un șir ordonat).”

ca și cel al aripilor unei pasări.

Există informații despre triburi care numără doar până la doi; au cuvinte care desemnează doar aceste numere, iar numerele următoare se formează prin alcătuirea acestor două cuvinte sau prin repetarea lor(sistem binar). Daca voiau să spună ca au o grămadă de mai mult de două obiecte, atunci pronunțau cuvântul “atâta” însoțit de smulgerea unei tufe de iarbă, de arătatul unui pumn de nisip, a părului de pe cap, a unei grămezi de frunze. De-abia când oamenii dintr-un trib au început să facă schimb de mărfuri cu cei din alte triburi, s-au străduit să precizeze câte obiecte aveau. Acesta este unul din motivele care i-au determinat pe strămoșii noștri “să treacă de la o vagă apreciere a unei mulțimi la numărul obiectelor care o compun.”

La început, schimburile comerciale între triburi s-au făcut bazându-se pe corespondența unu la unu sau în variantele unu la doi, unu la trei dacă factorii schimbului aveau valori diferite. Ei împerecheau obiectele din grămada de numărat cu alte obiecte dintr-o gramadă care le era la îndemână: pietricele, scoici, grăunțe, degete.Dacă mulțimea obiectelor era mai mare decât cea a degetelor de la mâini se foloseau și degetele de la picioare sau încheieturile degetelor, pumnul, cotul, umerii etc.

Oamenii erau capabili să stabilească foarte repede, mintal, corespondențe între numărul obiectelor dintr-o mulțime și numărul respectiv de degete, însă nu știau să le numere.Au descoperit numărul și au învățat să-l folosească cu mult înainte de a fi stabilit operația de numărare.

”Considerând degetele de la mâini într-o anumită ordine, acestă ordine s-a reflectat și în concepția de număr, care putea fi privit acum și ca ceva ce stabilea un anumit rang, o anumită poziție într-un șir de obiecte ce se succedau într-o ordine determinată.Astfel apare și un alt aspect sub care putea fi conceput numărul, ca număr ordinal, spre deosebire de primul, în care se recunoaște numărul cardinal.E foarte probabil că omul primitiv a cunoscut amândouă aspecte ale noțiuniide număr: imagine globală (a mulțimii de obiecte) și rang sau poziție (într-un șir ordonat).”

Simion Stoilov(1887- 1961)

Unele triburi însemnau numărul obiectelor prin nodurile făcute pe o frânghie sau prin linii paralele crestate pe oasele de animale, pe coarnele de vită, pe bețele de bambus, ori pe scândură. Oamenii mai însemnau numărul obiectelor pe răboj. Acesta era de fapt o scândura încrestată – “condică de socoteli” din trecut. Răbojul a fost folosi și de ciobanii care nu știau să-și numere zilele de muncă. Săpăturile arheologilor au arătat că răbojul în forme variate a fost folosit de oamenii care au trăit cu zeci sau chiar sute de mii de ani în urmă.

Un alt mijloc de a reprezenta numerele îl amintesc pe cel al romanilor. Ei spuneau că strămoșii lor, etruscii, serbau întâmplările deosebite din viață bătând în fiecare an câte un cui într-un anume copac. Cuiele bătute arătau câți ani au trecut de la acel eveniment: un cui și încă unul, și încă unul însemna un an și încă un an și încă unul. Urmele acestui mod de a nota numerele prin repetarea unității s-au păstrat până în zilele noastre : la ceasurile cu pendul (el indică ora, repetând de atâtea ori o bătaie, câte ore sunt), la zaruri, la pietrele de domino.

Numerele sunt fără sfârșit. N-am putea să le ținem minte denumirile dacă fiecare număr ar fi determinat printr-un cuvânt aparte. Dacă ar trebui să folosim câte o denumire aparte pentru fiecare număr nu s-ar putea găsi atâtea cuvinte câte ne-ar trebui ca să putem număra. Numărul cuvintelor compuse din sunetele alfabetelor uzuale s-ar epuiza mult înainte de a ajunge la un număr mai mare decât oricare număr am vrea să ni-l închipuim noi. Fără să facă aceste socoteli (de altfel nici nu le cunoșteau), oamenii din cele mai vechi timpuri au găsit mijloace practice pentru exprimarea numerelor. Ei au rezolvat problema numărării socotind nu cu unități separate, ci cu grupe de unități. Pentru fiecare grupă de unități au găsit un cuvânt separat: unu, doi, trei, patru, …, zece, și așa mai departe până la un anumit număr. Apoi, adunând grupele, una cu alta, cum ar fi un-spre-zece, doi-spre-zece etc, sau multiplicându-le (de exemplu: treizeci, patruzeci etc), au obținut numere noi. În acest mod, cu ajutorul unei cantități reduse de cuvinte au izbutit să facă diferite numărări, necesare și convenabile în activitatea lor zilnică. Se poate ușor calcula de câte cuvinte, din orice limbă, are nevoie omul pentru denumirea tuturor numerelor care trebuie exprimate la numărarea până la un anumit număr. Să luăm de exemplu limba română. La numărarea până la zece ne trebuie 10 cuvinte. De la unsprezece până la douăzeci, dacă excludem conjuncția spre (vorbim numai de numere), mai intervin încă 2 cuvinte noi: paisprezece și șaisprezece, care și ele s-au născut din compunerea și deformarea unor cuvinte dintre primele zece. De la douăzeci și unu până la o sută ne mai trebuie încă 2 cuvinte noi: șaizeci și sută . La numărarea până la o mie apare un singur cuvânt nou: mie. Deci pentru a număra până la o mie avem nevoie, în limba română, de 15 cuvinte diferite pe care le compunem așa cum ne cere sistemul nostru de numărare. Până la un milion vom avea nevoie de 16 cuvinte diferite, iar până la un miliard de 17 cuvinte diferite și așa mai departe, pentru fiecare clasă nouă, un cuvânt nou.

Toate popoarele au rezolvat din vremuri îndepărtate problema numărătorii orale, socotind nu cu unități separate, ci cu grupe, determinate prin aceleași cuvinte ca și lucrurile separate: unu, doi, trei și așa mai departe. Drept grupă de numărat poate fi luat orice număr. Marea majoritate a popoarelor au ales numărul 10, deoarece cele zece degete serveau drept mijloc natural pentru numărat, prin urmare cel mai răspândit sistem de numerație este cel zecimal.

Deoarece toate civilizațiile, până la noi, s-au dezvoltat treptat, în acest sistem de numerație zecimal, datorită faptului că mâinile omului au zece degete, se naște în mod firesc întrebarea: cum ar fi arătat civilizația noastră, dacă numărul degetelor de la mâinile omului ar fi fost mai mic sau mai mare?

Totuși, la diverse popoare și în diferite epoci au existat sisteme de numerație și cu alte grupe. Mai sunt și astăzi în Africa de Nord și în Africa Centrală popoare care socotesc cu grupe de doisprezece sau cu ”duzina”. Aceasta este numărătoarea duodecimală. Numărătoarea duodecimală a fost întrebuințată multă vreme de popoarele germane și se mai folosește și astăzi în unele ramuri comerciale în care mărfurile se livrează cu „duzina”. Se numără: una, două,…, unsprezece duzini, iar douăsprezece duzini fac un „gross” (mare, în limba germană).

Până la instaurarea regimului sovietic, popoarele din nord-estul Siberiei, care nu cunoșteau nici măcar un alfabet ca să-și traducă gândurile în scris, nu știau să numere decât până la 20. De altfel ce nevoie aveau acești oameni de numere mai mari? Nimeni nu vâna mai mult de 20 de foci sau 20 de morse, nimeni nu poseda mai mult de 20 de piei și nici un păstor din tundră nu avea mai mult de 20 de reni. Pe ici, pe colo, răsărea însă câte un bogătaș care reușea să strângă mai multe piei sau să-și mărească numărul renilor din cireada. Dar și atunci când renii dintr-o cireada atingeau un număr mai mare, se număra tot în grupe de câte 20.

În cartea sa „Alitet pleacă în munți” scriitorul sovietic T.Semiușkin, care a trăit mulți ani în mijlocul vânătorilor și păstorilor Ciucci, vorbind despre averea unui bogătaș, spune în limbajul locului:

„Cirezile de reni ale lui Eceavto sunt uriașe. Bogăția lui nu se poate socoti. Pe unde trec cirezile lui, trei veri calde nu mai apucă să crească iarba. Renii sunt împărțiți în zece cirezi: în fiecare cireada sunt douăzeci înmulțit cu douăzeci încă o dată , și încă o dată două zeci înmulțit cu douăzeci”. Deci o cireada a lui Eceavto avea 3 x 20 x 20 = 1200 de capete. Iar atunci când bogătașul Eceavto face negoț cu celălalt bogătaș, Alitet, el îi spune: „Pentru douăzeci de toporașe îți dau reni de zece ori câte douăzeci”.

Vechii babilonieni numărau cu grupe de șaizeci, sau după sistemul sexagezimal, folosit și azi în astronomie și în geometrie (la numărarea timpului, a unghiurilor sau a arcelor de cerc).

De-a lungul timpului, cuvântul pronunțat a reușit să se substituie imaginii pe care o reprezintă, devenind, el însuși, un nou model al grămezii martor, adică un model verbal. Acest cuvânt care reprezintă o grămadă de obiecte, nu mai avea nimic material în el, era o abstracție care evoca o mulțime concretă bine definită.

Deoarece vorbele cereau o materializare, ca să poată rezista peste timp, s-a trecut de la numărarea vorbită la cea scrisă.

Primele reprezentări au fost cele de pe oasele striate, semnele de pe răboj, bețele și tăblițele crestate. Strămoșii romanilor, etruscii înseamau întâmplările deosebite din viața lor bătând în fiecare an câte un cui într-un anume copac. Cuiele bătute arătau câți ani au trecut de la evenimentul respectiv. De la egipteni, sumerienii și urmașii lor, babilonienii, s-au păstrat primele documente. Egiptenii folosea foile de papirus; ele s-au conservat bine în clima uscată de pe malurile Nilului. Sumerienii scriau pe plăci de argilă arsă care se puteau sfărâma. Au mai existat și alte popoare cu o civilizație așa de veche și de avansată, ca de pildă hindușii, chinezii, mayașii, dar materialele pe care au scris nu au rezistat timpului scurs de atunci și până acum.

1.2.Numerația la diferite popoare

Numerația la egipteni

Egiptul a fost probabil prima civilizatie în care interesul pentru științe a fost major. Au excelat în medicină și matematici aplicate, dar și în astronomie, mecanică, chimie, fizică, administratie.

Egiptenii aveau pus la punct sistemul de scriere hieroglific. Sistemul de numerație folosit nu era foarte bun pentru realizarea calculelor aritmetice. Operațiile aritmetice, așa cum le cunoaștem azi, erau foarte greu de realizat: adunarea și scăderea se puteau efectua relativ ușor; înmulțirea și împărțirea erau de-a dreptul imposibil de efectuat. Totuși, egiptenii au dezvoltat metode remarcabile pentru a trece peste acest neajuns.

În cele mai vechi documente care s-au putut găsi, se vede că egiptenii foloseau pentru scrierea numerelor, în urmă cu 6.000 de ani, desene similare cu acelea cu care reprezentau orice gând al lor. Este scrisul cunoscut sub numele de pictografie. Ulterior, nevoia de a deosebi numerele de celelalte cuvinte i-a îndemnat să găsească caractere speciale pentru scrierea cifrelor. Astfel apar la egipteni, încă din sec. al XXXV-lea î.e.n., numere scrise cu hieroglife (scriere sfântă). Cu timpul, aceste hieroglife au evoluat ajungându-se la o simplificare a semnelor.

Cum scriau vechii egipteni numerele: (a) hieroglife vechi de 55 secole; (b) hieroglife simplificate; (c) scrierea hieratică (rapidă )

Scrierea cu hieroglife era greoaie. Un număr se obținea prin alăturarea succesivă a semnelor. Hieroglifele ne spun însă ceva bun. Din timpuri foarte îndepărtate egiptenii foloseau numerația zecimală. O dată cu dezvoltarea economică și propășirea științei și culturii, s-a simțit nevoia unei reprezentări mai simple a numerelor și a unei scrieri mai rapide. S-a trecut astfel la scrierea hieratică (rapidă) a cifrelor. Unele semne trebuiau repetate mai puțin acum, dar prin aceasta egiptenii nu au reușit încă să creeze un sistem de scriere a numerelor oricât de mari. Probabil că nici nu și-au pus măcar problema continuării la nesfârșit a operației de numărare.

Numerația la sumerieni

Sumerienii și-au pus însă această problemă și au rezolvat-o parțial încă acum șaizeci de secole. Ei au introdus în scrierea numerelor un principiu, pe cât de simplu, pe atât de genial.

Potrivit acestui principiu, orice cifră poate avea o valoare sau alta, după poziția pe care o ocupă în scrierea unui număr format din două sau mai multe cifre. Este de fapt principiul pe care noi îl folosim în mod curent la scrierea numerelor. Astfel, într-un număr oarecare scris de noi, de exemplu 85, observăm că cifra 5 reprezintă unități, deoarece ocupă, în numărul dat, prima poziție de la dreapta, iar cifra 8 indică zecile pentru, că ocupă al doilea loc. Deci cifra 8, datorită poziției pe care o ocupă, are o valoare de zece ori mai mare decât aceea pe care o are când e singură. Dacă schimbăm cifrele între ele, obținem numărul 58, care are cu totul altă valoare. Acest fel de a scrie numerele se numește sistem de poziții și ne dă posibilitatea să scriem practic numere oricât de mari sau oricât de mici am voi noi. Sumerienii, care foloseau numerația zecimală, aplicau și sistemul pozițional, la exprimarea grafică a numerelor. Semnele scrisului lor aveau forma de cuie, de unde și numele de scriere cuneiformă.

Pe la sfârșitul mileniului al III-lea î.Hr. a fost introdus sistemul de numerație sexagesimal pozițional. Acesta a ușurat foarte mult efectuarea calculelor, numai că el era folosit exclusiv la efectuarea calculelor. Rezultatele obținute erau apoi transformate în vechile sisteme metrologice.

Numerația la grecii antici

Grecii au scris numerele cu cuvinte întregi până în veacul al III –lea î. Hr. Numai pentru numerele 5, 10, 100 și 1000 foloseau inițialele acestor cuvinte. Mai târziu, spre sfârșitul acelui veac ei au imaginat un sistem zecimal de scriere a numerelor, și anume, pentru primele nouă numere au folosit primele litere ale alfabetului, pentru primele nouă zeci următoarele nouă litere și apoi pentru sute ultimele. Deoarece alfabetul lor avea numai douăzeci și patru de litere, ei au intercalat încă trei litere împrumutate probabil de la fenicieni. Cu ajutorul lor grecii puteau scrie toate numerele de la 1 la 1000 prin alăturarea literelor corespunzătoare sutelor, zecilor și unităților care formau acel număr. Așa de exemplu, 832 se scria wμB caci w=800, μ=30 și B=2.

În secolele V-VI î.Hr., când matematicienii greci au pus bazele științei despre numere, știința pe care tot ei au numit-o aritmetica (în grecește “arithmos” înseamnă număr și “tehne” înseamnă artă), numărul 1 a fost indepărtat din familia numerelor. În lucrarea rămasă celebră Elementele, scrisă de Euclid prin secolul al III –lea î.e.n. se găsesc următoarele definiții despre unitate și pentru număr: “unitatea este aceea potrivit căreia fiecare lucru se numește unu. Iar numărul este o mulțime compusă din unitate”. Deci, grecii nu priveau unitatea ca pe un număr, ci originea și baza numerelor. De la greci, această idee a fost luată de arabi și așa a ajuns în Europa.

Problema “numărului 1” a putut fi rezolvată definitiv de abia la sfârșitul veacului al XIX-lea, când unu a redevenit număr. Putem spune că cel mai bătrân dintre numere este totodată și cel mai tânăr.

Numerația la popoarele slave

Și la vechile popoare slave găsim un sistem asemănător pentru scrierea numerelor. Un semn numit „titlo” așezat deasupra unei litere o făcea să devină număr.Iată și un exemplu:

Cu cele 27 de litere ale alfabetului se puteau scrie astfel numere până la 999. Miile erau reprezentate de aceleași litere, la care se adăuga, la stânga jos, un semn special. Pentru numere mai mari se întrebuința un sistem original: se încadra litera respectivă cu un anumit desen. Acest sistem de scriere a numerelor a fost folosit și la noi, atunci când s-au adoptat literele slave pentru scrierea în limba română.

Numerația la romani

Mai mult de zece secole cifrele romane au ocupat un loc important în scrierea numerelor. Cifrele romane își au originea în numărătoarea pe degete. Întregul sistem roman are doar șapte cifre distincte: I, V, X, L, C, D și M. Acestea par a fi litere. Dar numai două din ele, C și M, sunt litere. O parte din ele își au originea în numărarea pe degete.

Cifrele I, II, III reprezintă tot atâtea degete. V nu este decât o mână cu degetele întinse, iar X două mâini încrucișate. Litera C este inițiala cuvântului latin centum (o sută). Pentru că la început această literă se scria cu unghiuri drepte (L), jumătatea ei L s-a folosit pentru notarea numărului 50. Litera M corespunde cuvântului latin miile (o mie). La început acest număr se scria cu un semn special: un cerc tăiat de un diametru vertical Φ. Pentru 500 s-a adoptat atunci jumătatea din dreapta a acestui semn, adică D. Cu cifrele romane se pot scrie numere și mai mari; folosind liniuțe așezate în jurul cifrelor cunoscuse. Această convenție a intervenit destul de târziu. La forma definitivă a cifrelor romane s-a ajuns de abia în anul 140 î.e.n.

Numerația la chinezi

Până acum vreo 600 de ani, chinezii se foloseau pentru calcule de niște bastonașe scurte, din bambus sau fildeș, pe care le dispuneau vertical sau orizontal. Originea acestui fel de reprezentare a numerelor trebuie căutată tot în numărarea pe degete. Bastonașele nu erau decât o transpunere a degetelor în piese ușor manipulabile la calcul. Pentru simplificare cifra 4 se construia și din două bastonașe încrucișate.

Acest mod de figurare a cifrelor a fost utilizat apoi și în scris. Înfățișarea cifrelor a suferit însă atunci când, pentru scrierea lor rapidă, s-a adoptat metoda de a se ridica cât mai puțin instrumentul de scris de pe pergament, pânză sau hârtie. Astfel s-au născut cifrele de mână chinezești. Așadar la chinezi apar pentru prima oară semne distincte pentru fiecare cifră de la 1 până la 9. Mai există însă câte un semn special pentru 10, 100, 1.000 etc.

Dacă privim cu atenție aceste semne observăm că unele din ele se aseamănă mult cu cifrele noastre care sunt universale.

Cifre hinduse, arabe și europene

Hindușii au fost aceia care au reușit să facă adevăratul salt calitativ în ceea ce privește numerația scrisă, în sec. III e.n., ei au adoptat numai zece semne distincte pentru scrierea numerelor. în același timp au perfecționat sistemul de poziții inventat de sumerieni. Al zecelea semn folosit de popoarele Indiei era un punct, care așezat deasupra unei cifre, o făcea de zece ori mai mare. Lipsa unui ordin oarecare era indicată printr-un gol între cifre. Mai târziu, prin sec. al VIII-lea e.n. hindușii au introdus cifra zero, în forma pe care noi o cunoaștem astăzi, cu scopul de a multiplica de zece, o sută sau o mie de ori un număr, sau de a ține locul cifrei de un ordin oarecare, când aceasta lipsește. Lărgirea șirului de numere naturale prin introducerea lui zero constituie cea mai importantă reformă pe care au introdus-o popoarele Indiei în numerația scrisă. Fără zero nici nu vedem cum am fi putut să ajungem la așa o dezvoltare și o simplificare a calculului aritmetic.

Numerația scrisă hindusă a fost preluată de arabi prin sec. al VIII-lea și introdusă apoi în Europa sub denumirea de „sistem-arab”. Pentru aceasta arabii s-au folosit la început de cartea savantului uzbec Muhamed al Horezmi, intitulată „Aritmetica cu cifre hinduse”, scrisă prin secolul al IX-lea. După ce această carte a fost tradusă în limba latină – limba științifică din Evul Mediu – savanții europeni au luat cunoștință de numerația zecimală pozițională. Traducerea începe cu cuvintele: „Al-Horezmi despre socoteala hindusă”. De aceea, la început aritmetica expusă cu sistemul hindus s-a numit „ al-horism” și apoi „ algorism”. De la algorism s-a ajuns la termenul algoritm, care în prezent are cu totul alt înțeles în matematică (algoritm – succesiunea de calcule necesare pentru rezolvarea unui anumit gen de probleme). Astfel, toate operațiile necesare pentru rezolvarea unei ecuații de gradul I cu o singură necunoscută constituie un algoritm. Succesiunea de calcule necesare pentru extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr este tot un algoritm.

Deocamdată însă, noul sistem a rămas cunoscut numai de cercul strâmt al savanților. Comercianții europeni din sec. al Xll-lea și al XIII-lea care au învățat aritmetica în universitățile arabe, au putut și ei constata superioritatea noului sistem față de cel roman.

Renumitul matematician Fibonacci a fost fiul unui comerciant italian, care fiind trimis de tatăl lui în interes de afaceri în Orient, a umblat și pe la universitățile arabe. La întoarcerea sa în patrie a scris în anul 1202 celebra carte de aritmetică și algebră „Liber abacei” care a ajutat la popularizarea în Europa a sistemului indo-arab.

Cifrele romane, singurele răspândite până atunci în Europa, nu dădeau nici o posibilitate de calcul. Ele erau bune doar pentru însemnarea numerelor sau a rezultatului unui calcul făcut prin abace sau diverse alte metode greoaie. Totuși la introducerea sistemului indo-arab s-a întâmpinat multă rezistență. Biserica catolică considera folosirea cifrelor „arabe” drept o erezie, iar autoritățile feudale dădeau edicte speciale pentru interzicerea folosirii noului sistem. Sistemul de numărare indo-arab s-a introdus definitiv în Europa de abia în sec. al XVI-lea, o dată cu slăbirea puterii feudale și întărirea burgheziei. Burghezia din vremea aceea era interesată în propășirea științei. Cifrele folosite de noi astăzi diferă, în parte, ca formă, de cele hinduse sau arabe. Ele au suferit diverse modificări atât datorită influenței unor cifre existente în unele regiuni cât și fanteziei scribilor și „caligrafilor” care copiau textele. Definitivarea și unificarea formei cifrelor s-a făcut, ca și în cazul literelor, o dată cu răspândirea tiparului.

Despre zero

La început, hindușii indicau printr-un gol lipsa unui ordin oarecare dintr-un număr. Apoi au trecut la un punct, după aceea la un pătrat mic, pentru ca la urmă să utilizeze un cerculeț care se poate scrie foarte simplu. Pentru că hindușii foloseau cuvântul „sunia”, care înseamnă „gol”, atunci când aveau de indicat o lipsă în cuprinsul unui număr, arabii au tradus acest cuvânt în termenul corespunzător din limba lor. În arabă „gol” se traduce prin „țifr”.

De aceea, când s-a introdus sistemul indo-arab care, față de modul cunoscut de scriere a numerelor, se caracteriza prin prezența lui „zero”, s-a luat obiceiul de a se numi numerele scrise după acest sistem, „numere cu țifre”. Cuvântul țifră sau cifră a devenit apoi comun în limba multor popoare, încât astăzi semnele folosite pentru scrierea unui număr se numit cifre. Când rostim uneori „nul” în loc de zero, nu facem decât să pronunțăm cuvântul italienesc „nulla”, care înseamnă tot „nimic”.

Și această nulă, acest nimic, are rolul cel mai important în actuala numerație scrisă pe care noi o considerăm cea mai bună. Deși este „nimic”, această cifră apare ca un ins care spune: „Eu nu sunt nimic, însă atunci când sunt introdus între cifre, pot să țin locul oricărei din ele și în același timp să le fac pe toate care se află în stânga mea de zece ori mai mari. Când sunt așezat o dată la dreapta unui număr îl fac și pe acesta de zece ori mai mare, iar când sunt așezat de mai multe ori îl măresc de o sută, o mie, zece mii de ori…”

Diferite tipuri de scriere a numerelor:

La început, cifrele arabe semănau foarte puțin cu cifrele pe care le folosim astăzi. Din secolul al XVI –lea au primit forma pe care o cunoaștem acum. Iată și un tabel care prezintă evoluția cifrelor din anul 976 până în 1525:

II.CONCEPTUL DE NUMĂR NATURAL

2.1. Numerele naturale ca numere cardinale

Pentru a contura conceptul de număr natural, vom porni de la noțiunile de mulțime și de relație.

Fie A și B două mulțimi. Vom spune că cele două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție f a mulțimii A pe mulțimea B. Acest fapt îl scriem astfel:

“A~B” și citim: mulțimea A este echipotentă cu mulțimea B.

De exemplu, mulțimile A={a1, a2, a3} și B = {b1, b2, b3} sunt echipotente – lucru care rezultă din diagrama alăturată:

Relația de echipotență “~” are următoarele proprietăți:

Relația de echipotență “~” este reflexivă, adica A~A;

Este simetrică, adică A~B =>B~A;

Este tranzitivă, adică, dacă A~B si B~C =>A~C.

Acestea se verifică imediat:

A~A, oricare ar fi mulțimea A, pentru ca funcția f:A->A, f(x)=x este o bijecție.

A~B =>A~B, căci dacă există o bijecție f:A->B, atunci există funcția inversă

f-1:B->A care este tot o bijecție.

A~b și B~C => A~C, deoarece dacă există funcția bijectivă f:A->B și g:B->C, atunci funcția compusă g o f:A->C este tot o bijecție.

Relația de echipotență fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă este o relație de echivalență. Înseamnă că mulțimile sunt împărțite de relația de echipotență “~”, în clase disjuncte, pe care le vom numi clase de echipotență.

Definiție: Se numesc cardinale, clasele de echipotență determinate de relația “~”. Clasa de echipotenență căreia îi aparține mulțimea A se numește cardinalul mulțimii A și se notează A sau card A.

Din definiție rezultă că A=B<=> A~B.

După cum se observă, definiția noțiunii de număr cardinal este abstractă și este clar că, în nici un caz, ea nu poate fi introdusă astfel la copiii mici. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii școlari. Se impune ca învățătorul să înțeleagă foarte bine semnificația noțiunii de aspect cardinal care stă la baza noțiunii de număr natural. Relația de echipotență definită pe mulțimea părților unei mulțimi o împarte în clase disjuncte, numite clase de echipotență.

Să considerăm o mulțime M și să considerăm apoi mulțime a părților ei. O asemenea mulțime ar fi formată din mulțimea vidă, din mulțimi cu câte un element, din multimi cu câte două elemente ș.a.m.d. Nu interesează natura elementelor acestor mulțimi. Prin desen o asemenea mulțime ar arăta astfel (Fig. 1).

În această mulțime M avem submulțimi vide, submulțimi cu câte un element, cu câte două elemente, cu câte trei elemente etc.

Prin această mulțime definim relația de echipotență”~”. Cum?

Mulțimea care are un triunghi este echipotentă cu mulțimea care are o steluță sau cu mulțimea formată dintr-un dreptunghi ș.a.m.d. Deci relația de echipotență “strânge” toate mulțimile care au această proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasă de echipotență.

Această clasă o numim numărul cardinal unu și o notăm cu semnul 1.

La fel , toate submulțimile cu câte două elemente sunt echipotente și ele formează o nouă clasă pe care o numim numărul cardinal doi și o notăm cu simbolul 2 . Această clasă nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte.

Procedând în același mod, relația de echipotență adună într-o nouă clasă toate submulțimile cu câte trei elemente, obținând astfel clasa numită numărul cardinal trei pe care o notăm cu semnul 3.

Mulțimea vidă va determina clasa căreia îi zicem zero.

Construim progresiv toate clasele de echipotență, deci toate numerele cardinale.

Ce trebuie înțeles, așadar, prin numărul cardinal 5? Vom înțelege clasa tuturor mulțimilor cu cinci elemente indiferent de natura elementelor lor. Reținem numai proprietatea comună de a avea cinci elemente. Trebuie să ajungem ca elevul să înțeleagă faptul că numărul doi, de pildă, este propietatea comună a tuturor mulțimilor formate cu două elemente.

Precizam că încă nu am ajuns la noțiunea de număr natural, dar dacă aceste lucruri sunt conștientizate nu mai avem decât un pas.

Se numește număr natural cardinalul mulțimilor finite, echipotente între ele. Deci, cardinalele pe care le-am construit pe această cale în exemplul de mai sus sunt numerele naturale.

Mulțimea numerelor naturale este mulțimea pe care o notăm cu N și este format din următoarele elemente: N={0, 1, 2, 3,…}

Mulțimea numerelor naturale este “materia primă” cu care lucrează școlarul mic.

Aspectul cardinal al numărului natural

Încă din cele mai vechi timpuri, omul a trebuit să compare diferite mulțimi de obiecte (pietre, săgeți etc) pentru a vedea care mulțime conține mai multe obiecte. Astăzi acest lucru se face prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultat al numărării. Aceasta presupune că se cunosc deja numerele și că se știe a se număra. Micul școlar realizează o ordonare în perechi a elementelor mulțimilor ce se compară, adică realizează ceea ce numim “corespondența unu la unu”. Dacă această ordonare se poate realiza, atunci cele două mulțimi au “tot atâtea” elemente sau cele două mulțimi, diferite prin natura elementelor lor, sunt echipotente, adică au aceeași putere.

Dacă, însă, toate elementele primei mulțimi sunt puse în corespondență numai cu o parte a elementelor celei de a doua mulțimi, atunci se spune ca prima mulțime are “mai puține” elemente decât a doua sau că a doua mulțime are “mai multe” elemente decât prima. O reprezentare grafică a acestor lucruri se prezintă în Fig II.

A B C D

Fig. II a Fig. II b

În primul caz, Fig II a, mulțimile A și B au “tot atâtea” elemente. Ele sunt de aceeași putere. În cazul al doilea, Fig II b, mulțimea C are “mai puține” elemente decât mulțimea D sau mulțimea D are “mai multe” elemente decât mulțimea C.

Toate mulțimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o propietate comună, anume aceea că au același număr de elemente. Astfel se formează noțiunea de număr cardinal.

Aspectul ordinal al numărului natural

Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi a condus la aspectul ordinal al numărului. După un anumit criteriu, de exemplu rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor. Într-o clasă stabilind cine este primul la învățătură, cine este al doilea, al treilea ș.a.m.d. ( la o disciplină sau ca medie generală etc.)

Numărul de ordine atașat într-o asemenea succesiune se numește număr ordinal. Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanentă unele cu altele și formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

Axiomatica lui Peano

Pentru cercetarea proprietăților numerelor naturale ar fi foarte incomod să se facă mereu apel la clasele de mulțimi, adică la definiția numerelor naturale.

Giuseppe Peano (1858 – 1932) a arătat (în anul 1891) că toate proprietățile numerelor naturale rezultă din urmatoarele cinci axiome care-i poartă numele.

Axiomele lui Peano sunt:

0 este un număr natural;

orice număr natural n are un singur succesor n’;

zero nu este succesorul nici unui număr;

două numere distincte au succesori distincți;

mulțimea numerelor naturale este cea mai “mică” mulțime cu proprietățile:

– îl conține pe zero;

– odată cu orice număr n conține și succesorul n’.

În învățământul clasic formarea noțiunii de număr narural s-a făcut aproape exclusiv

pe baza conceptului de succesiune.

Relația de ordine în N

Fie A o mulțime și R o relație definită pe această mulțime. Spunem că relația R este de ordine dacă sunt satisfăcute următoarele proprietăți:

Reflexivitatea

Antisimetria

Tranzitivitatea

Ordonarea numerelor naturale

Axioma 2) a lui Peano spune că orice număr natural dat are un succesor. Aceasta înseamnă că în șirul numerelor naturale nu există un număr despre care să spunem că este ultimul. Înseamnă că acest șir este infinit.

Axioma 3) a lui Peano spune că 0 nu este succesorul nici unui număr natural. Cum oricare alt număr are un predecesor, înseamnă că 0 este primul număr din acest șir.

Pentru oricare din numerele naturale n1 și n2 există una din cele trei relații :

n1 este mai mic decât n2 ; n1 <n2 (exemplu 5<9);

n1 este egal cu n2; n1=n2 (exemplu 3=3);

n1 este mai mare decât n2 ; n1>n2 (exemplu 7>4).

Mai precis spus, din relația de succesiune s-a introdus o relație între cele două elemente vecine, relația notată cu “>” si anume n’ > n.

Pentru două numere naturale oarecare a și b se introduce o relație notată tot cu “>” în felul următor: dacă există un număr c= 0 astfel încât a = b+c, atunci se spune că a este mai mare decât b, sau b este mai mic decât a si se scrie a>b, respective b<a.

Se verifică astfel faptul că această relație este o relație de ordin totală, adică N este total ordonată. Pe lângă proprietățile obișnuite ale unei relații de ordine ea se mai bucură de proprietăți speciale ale relației de ordine dintre numerele naturale și anume proprietatea de

Trichotomie: Două numere naturale, a și b, sunt neapărat în una din relațiile a > b, sau b > a, sau a =b.

Monotonia adunării și înmulțirii:

Dacă a și b sunt două numere naturale oarecare, iar a + c < b +c și a x b < b x d, oricare ar fi c și d numere naturale (d = dif 0).

Axioma lui Arhimede. Pentru două numere naturale oarecare a și b, a> 0, există un număr natural n astfel încât a x n>b.Ținînd seama de aceste proprietăți se zice că mulțimea numerelor naturale este total ordonată.

2.2. Numerația

Numerația vorbită

Reprezentarea numerelor prin cuvinte constituie un prim obiectiv al aritmeticii.

Trebuie încă de la început realizat faptul că dacă am da denumiri distincte fiecărui număr din șirul numerelor naturale, ar fi imposibil ca memoria să le rețină și că numind în mod arbitrar unul din numerele șirului n-am fi capabili să-i determinăm mărimea și nici să- i indicăm locul în șirul numerelor naturale.

Așadar, utilizând un minim de cuvinte combinate între ele după principii simple, putem numi numerele utilizate în activități curente, oricât de mari ar fi aceste numere.

În primul rând trebuie precizată noțiunea de unitate.Această noțiune e sugerată de experiență și oferă posibilitatea de a cunoaște și de a izola un obiect de altul într-o mulțime dată.vederea unui singur obiect dintr-o grămadă, ori a unui element oarecare dintr-o mulțime, creează în mintea noastră o reprezentare, care printr-un proces de abstractizare ne dă ideea de unitate.

Să luăm în considerare o mulțime ”bogată” de elemente.Luând apoi elementele unul câte unul s-au dat primelor numere cardinale denumirile: unu, doi, trei, patru, cinci, șase, sapte, opt, nouă.

Numărul următor numit zece, joacă un rol important în numerație- el formează o unitate nouă, care se numește unitate de ordinul al doilea sau zece, spre deosebire de unitățile din care e formată zecea și care poartă numele de unități simple sau unități de ordinul întâi sau unități simple.

Cu elementele acestea (zecea și unitățile simple) continuăm numărarea, până ce formăm o nouă zece, spunând: unsprezece, doisprezece, treisprezece, paisprezece,…. nouăsprezece, douăzeci.

Se formează deci o nouă zece și repetând operația, până ce avem zece zeci, creăm o denumire nouă- sută sau unitate de ordinul al treilea.

Dacă în mulțimea dată avem mai mult de zece sute de elemente, numim aceste zece sute- mie sau unitate de ordinul al patrulea și așa mai departe.

Urmărind mersul acestei operații de numărare, putem fixa principiul pe care se stabilește crearea unei noi unități, a unui nou ordin, deci a unui nou nume.

Principiul de formare a ordinelor de numere: zece unități de ordin oarecare formează o unitate de ordin imediat superior.

În acest fel putem crea ordine la nesfârșit, însă în mod frecvent se utilizează aproximativ până la cincisprezece ordine.

O altă ”economie” de cuvinte se face introducând clasele de numere și aranjând în fiecare clasă trei ordine.Prima clasă este formată din unități simple și conține unități, zeci și sute, a doua clasă este cea a miilor și conține unități de mii, zeci de mii și sute de mii.După clasa miilor, urmează cea a milioanelor ce conține și ea unități de milioane, zeci de milioane, sute de milioane și așa mai departe.

Așadar, numărul zece constituie ”osatura” numerației vorbite, motiv pentru care numerația a fost numită zecimală, iar numărul zece se numește bază sau, mai precis, baza sistemului de numerație zecimală.

Originea sistemului de numerație zecimală se găsește, probabil, în faptul că omul are zece degete, însă uimitor este cum acest sistem ne permite să numim numerele, până la sute de trilioane, spre exemplu, utilizând doar cincisprezece cuvinte distincte.

Numerația scrisă

Primele nouă numere din șirul numerelor naturale se reprezintă grafic prin semnele: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, numite cifre semnificative, iar pentru numărul zero avem semnul 0, numit cifră nesemnificativă.Aceste zece cifre sunt suficiente pentru scrierea oricărui număr, oricât de mare ar fi el.

Scrierea numerelor șirului natural are la bază următorul principiu:

Orice cifră scrisă la stânga alteia reprezintă unitățile de zece ori mai mari decât cea situată imediat la dreapta ei și orice cifră scrisă la dreapta alteia reprezintă unități de zece ori mai mici decât cea situată imediat la stânga ei.

De exemplu dacă dorim să scriem numărul CINCI zeci și PATRU de mii, DOUĂ sute ȘAPTE zeci și UNU, înlocuim cuvintele care arată cifre cu instrumentele corespunzătoare:

5 zeci și 4 de mii 2 sute 7 zeci și 1

Cifrele, de la dreapta la stânga, reprezintă unități de ordinul întâi, doi, trei, patru, cinci, așa că putem scrie numărul: 54 271.

Când dintr-un număr dat lipsesc unitățile de un ordin oarecare, trebuie să observăm că numărul acelor unități este zero.

De exemplu, numărul PATRU milioane CINCI sute DOUĂ mii TREI zeci și ȘAPTE se poate scrie:

4 milioane 5 sute 0 zeci de mii 2 mii 0 sute 3 zeci și 7 și, în fine: 4 502 037.

Deci, pentru a reprezenta în scris un număr oarecare, scriem succesiv, de la stânga la dreapta, cifrele care reprezintă sutele, zecile și unitățile fiecărei clase, începând cu clasa mai mare, având grijă să punem cifra zero în locul ordinelor care lipsesc.

Astfel, în corpul unui număr, o cifră are valoare relativă, adică dată de locul pe care îl ocupă, spre deosebire de valoarea absolută, dată de numărul pe care îl reprezintă atunci când e scrisă singură.

Fie numărul 4 502 037, cifra 2 are valoare absolută de trei unități atunci când e scrisă singură, dar luată în corpul numărului de mai sus are valoarea relativă de două mii. Cifra 0 are și valoare absolută ăi valoare relativă zero, oricare ar fi locul pe care îl ocupă.

Începând cu secolul al XII- lea, acest sistem zecimal de numerație pătrunde în Europa iar superioritatea sa pune în umbră procedeele de scriere și calcul prin litere ale grecilor, romanilor, slavilor și, treptat, le ia locul.

Citirea numerelor

Fie un număr scris cu mai multe cifre, așezate unele după altele, în linie orizontală: 35401027. Pentru a fi citit, trebuie stăpânită numerația vorbită, adică succesiunea claselor și locul ordinelor în clase.

Deci, numărul se desparte în grupe de câte trei cifre diferite, de la dreapta la stânga: 35 401 027 și se citește 35 milioane, 401 mii, 27.

Dacă avem numărul 4000002007, acesta se scrie mai întâi pe grupe de trei cifre

4 000 002 007, apoi se citește 4 miliarde, 2 mii, 7.

Concluzie: Împărțim numărul în grupe de trei cifre, luate de la stânga la dreapta, corespunzător fiecărei clase, apoi citim numărul de la stânga la dreapta, spunând ordinele și numele fiecărei clase. Dacă într-o clasă lipsesc toate ordinele, nu o pronunțăm.

Citirea oricărui număr se bazează pe citirea numerelor de trei cifre și pe cunoașterea ordinei claselor de numere.

2.3. Sisteme de numerație

Se numește sistem de numerație ansamblul de reguli de grupare a elementelor unei mulțimi în scopul numărării lor și de reprezentare simbolică a numărului obținut.

După modul de grupare și ordonare a semnelor, se deosebesc două sisteme de numerație: sistemul aditiv și sistemul pozițional.

Sistemul de numerație aditiv

În aceste sisteme există semne distincte (cifre) pentru fiecare grup de obiecte folosit în procesul numărării. Sistemul de numerație egiptean este un astfel de sistem. Valoarea unui număr se obține prin adunarea cifrelor după anumite reguli.

Cel mai cunoscut sistem de numerație aditiv este sistemul roman (prezentat în capitolul anterior). În acest sistem, o cifră a unui număr are aceeași valoare indiferent de poziția pe care o ocupă în cadrul numărului, deci putem spune că este un sistem de numerație nepozițional.

În zilele noastre acest sistem are doar o utilizare practică restrânsă, cifrele romane fiind folosite doar în scrierea numeralelor ordinale (numerotarea capitolelor unei cărți, prezentarea secolelor, numerotarea claselor unei școli, când se vorbește de monarhi ce poartă același nume).

Sistemul de numerație pozițional

Întrucât prin utilizarea sistemului aditiv atât numerația cât și calculul ei se făceau deosebit de anevoios, au apărut numeroase neajunsuri care au determinat conceperea unui sistem de numerație mai rațional, numit sistem pozițional.

Simbolurile grafice cu ajutorul cărora se reprezintă unitățile de ordine diferite se numesc cifre.

Numărul care arată câte unități de un anumit ordin formează o unitate de un ordin imediat superior se numește baza sistemului de numerație.Ca bază a unui sistem de numerație se poate alege orice număr k € N*, k≠1. Diferitele sisteme de numerație se denumesc după bazele pe care le au: sistem binar sau dual, cu baza 2, sistem duodecimal, cu baza 12, sistem octal, cu baza 8, sistemul zecimal, cu baza 10, sistem sexagesimal, cu baza 60 etc.

Principiile care stau la baza sistemului de numerație zecimală se aplică oricărui alt sistem, fiind suficientă înlocuirea bazei 10 cu noua bază adoptată.

Dacă însemnăm, în mod general, cu k noua bază, principiile fundamentale ale numerației primesc următoarea formulare:

– k unități de un ordin oarecare formează o unitate de ordin imediat superior;

– oricare cifră scrisă la stânga alteia reprezintă unități de k ori mai mici.

În scrierea numerelor este indispensabilă cifra 0, iar numărul de cifre este k- 1, pentru orice sistem. Astfel, în baza 2 folosim 0 și 1, în baza 3 folosim 0, 1 și 2, în baza 5 folosim 0, 1, 2, 3 și 4.Dacă baza e superioară lui 10, trebuie adoptate noi caractere. De exemplu: în baza 12 folosim 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β.

Sistemul cu cea mai largă răspândire este cel zecimal, dar în dezvoltarea istorică a aritmeticii anumite civilizații au utilizat și alte semne. În ultimele decenii au fost frecvent utilizate sistemele binar și cel în baza 16 la calculatoarele electronice, cel sexagesimal în măsurarea arcelor și a timpului.

2.4. De la ”Arithmetiki” la Teoria numerelor

Până în secolul al VII- lea î.Hr., puțini gânditori și-au îndreptat atenția asupra numerelor privite altfel decât un mijloc sigur și precis de a exprima în mod cantitativ valorile diverselor mărimi rezultând din problemele puse de viața de toate zilele, în comerț, transportul pe apă sau pe uscat, construcții, războaie. Matematicienii greci au considerat numerele și din alt punct de vedere, anume le-au privit ca pe niște obiecte matematice, demne da a fi cercetate și s-au străduit să le găsească proprietăți caracteristice. Ei au creat astfel o știință nouă pe care au numit-o Arithmetiki, având drept obiect de studiu numărul, denumit arithmos. Prin arithmos grecii înțelegeau mai întâi toate numerele naturale începând cu 2, 3, 4……. . Unu nu era arithmos deoarece el era unitatea din care se formau toate numerele. Arithmos mai avea încă un înțeles filozofic, implicând noțiunea de ordine și armonie, noțiune ce s-a transcris prin cuvântul ritm. Arithmos este al doilea nume al numerelor, alături de acela de logos, cu înțeles de mărime numerică rezultând din calculele practice. Astfel, în Arithmetiki nu mai aveau ce căuta metodele tehnice care arătau cum se efectuează cele patru operații aritmetice.Acestea au fost separate într-o știință a calculului, numită Logistiki.

În Grecia Antică, Logistica, Adică aritmetica practică, era predată copiilor din școlile elementare. Spre deosebire de Logistică, Aritmetica nu era un obiect la îndemâna oricui, ea fiind studiată de un grup restrâns de oameni. Ocupându-se cu cercetarea proprietăților numerelor naturale era domeniul prefrerat atât de matematicieni cât și de filosofi.

Se spune că bazele ei au fost puse de Thales din Milet (635- 543 î. Hr.), care înainte de a fi matematician și filozof, a fost negustor. Această ocupație l-a făcut să călătorească în Egipt și să se familiarizeze cu metodele de calcul folosite de scribii de acolo. Nu a fost prea încântat de modul mecanic în care aceștia își îndeplineau funcția lor. La fiecare întrebare pusă în legătură cu justificarea unui mod de a executa un calcul, primea un singur răspuns:”așa se face”, nici un scrib nu și-a pus întrebarea ”de ce se face așa?”. Thales a hotărât să pună raționamentul la baza învățământului matematic, să folosească gândirea logică pentru a stabili adevărurile proprietăților legate de numere.

Pitagora (580- 500 î. Hr.) a fost mai puțin interesat de calculul în sine și rezultatul său, el a privit numerele în toată generalizarea lor și a căutat să le stabilească anumite însușiri prin care să le lege sau să le deosebească. A studiat numerele pare și impare și a introdus și un adevăr general, pe care l-a denumit teoremă: ”Orice număr N se poate descompune în mod unic, într-o sumă de puteri a lui 2, la care se adaugă unu, dacă numărul este impar.”

Într-unul din dialoguri intitulate Harmide sau Despre înțelepciune Platon îi atribuie lui Socrate următoarea definiție a Aritmeticii: ”Aritmetica este știința despre ceea ce este par și impar, despre deosebirile dintre numere și despre relațiile dintre ele.”.Tot Platon ne informează că: ” lucrurile sunt numere, iar numerele sunt adevărata esență a lucrurilor”.

În cartea sa Elementele, Euclid studia și el numerele pare și impare și a precizat noțiunea de număr prim. El a și demonstrat, prin metoda reducerii la absurd, o teoremă care enunță că numărul numerelor prime este infinit. Euclid s-a ocupat mai mult de numerele naturale și mai puțin de tehnicile de calcul.

Arhimede (287- 212 î. Hr.) tratează în studiile lui numerele gigantice. El reușește să creeze o punte de legătură între aritmetică și logistică, iar cei care i-au urmat au continuat pe aceeași cale.

Cel care ridică nivelul aritmeticii abstracte este Diophantes ( sec. al III-lea î. Hr.), ale cărui opere au exercitat cea mai fascinantă influență asupra celui mai de seamă geniu al aritmeticii- Pierre Fermat.

Din secolul al XIV- lea, termenul de Aritmetică este folosit pentru a desemna domeniul ce se ocupă de calculul numeric. Vechea aritmetică, cea care se ocupa de proprietățile numerelor abstracte și a relațiilor dintre ele a fost dată uitării, până prin 1621, când Bachet de Mezeirac descoperă frumusețea problemelor despre numere ale lui Diophantes. Aceste probleme au atras atenția și altor matematicieni: Pierre Fermat (1601-1665), John Wallis (1616- 1703) și alții. Ca să evite o confuzie între aceste cercetări și acelea cuprinse în noile aritmetici, a fost inventat un nou termen, Teoria numerelor. Cu acest titlu apare în 1797 celebra carte a matematicianului francez A. Marie Legendre. Din acel moment se înrădăcinează această denumire pentru știința care se ocupă cu studiul numerelor abstracte. Încercarea lui C. Friedrich Gauss (1777- 1855) de a redeveni la denumire de Aritmetică, creată odinioară de pitagoreici, n-a mai fost posibilă. Noțiunea de număr la care se referă teoria modernă nu era nici pe departe aceeași cu cea de număr natural, așa cum era ea considerată de grecii din antichitate. Problemele puse în Teoria numerelor au acum un orizont nebănuit de larg, față de cel descris de matematicienii din antichitate.

III.FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMĂR NATURAL-

ASPECTE METODICE

3.1.Formarea conceptului de număr natural între tradiție și modernitate

Realizarea noilor programe și a manualelor alternative de matematică reprezintă rodul valorificării atât a experienței pe plan mondial, cât și a cercetărilor teoretice și experimentale desfășurate în țara noastră.

Cercetările experimentale axate pe domeniul predării – învățării matematicii au ajuns la concluzia că cele trei structuri fundamentale ale științei matematice (algebrice, de ordine, topologice), corespund structurilor elementare ale inteligenței și, în consecință, didactica învățământului matematic ar trebui să se bazeze tocmai pe organizarea progresivă a acestor structuri operatorii.

Această exersare treptată, în funcție de vârsta elevului, a structurilor logice se va face astfel încât, în aceste operații să se reflecte actualele puncte de vedere cu privire la formarea noțiunilor de număr, de operații cu numere etc., fără a utiliza și limbajul structurat la clasele mici. Astfel, se evită supraîncărcarea elevilor cu termeni dificili, dar se respectă corectitudinea structurii raționamentului care va duce mai târziu la posibilitatea dezvoltării științifice a ideilor matematice.

Conceptul de număr natural a fost obiectul principal al unor numeroase cercetări din pedagogia matematică.

Jean Piaget consideră că numărul natural este o sinteză suis – generis care presupune conservarea mulțimilor și punerea lor în ordine. În formarea conceptului de număr, Piaget consideră fundamentale operațiile de clasificare și scriere. Clasificarea obiectelor în grupe omogene și neomogene, compararea grupelor de obiecte, stabilirea corespondențelor și a deosebirilor, permit ajungerea la conceptul de număr conform structurilor, relațiilor și proprietăților pe care le relevă teoria mulțimilor.

Înscrierea obiectelor de același fel în ordinea de la mic la mare, după dimensiunile lor, creează posibilitatea desprinderii numărului ca rezultat al unei măsurători. Luându–se dimensiunea mai mică drept bază, se urmăreste de câte ori este cuprinsă în dimensiunea mai mică drept bază, se urmărește de câte ori este cuprinsă în dimensiunile mai mari, măsurarea efectuându-se practic sau mental.

Pe acest temei psiho – pedagogic și în aceste două direcții s-au orientat majoritatea cercetărilor: introducerea numărului natural pe baza mulțimilor sau pe baza măsurării.

Spre cea de-a doua direcție se îndreaptă, spre exemplu școala rusă (I.P.Galperiu, L.P.Gheorghiev, V.V. Davîdov), care, pornind de la ipoteza că numărul nu este altceva decât raportul dintre parte și întreg, au experimentat formarea numărului prin măsurare. Programa experimentală rusă a fost alcătuită pe principiul mișcării de la general la particular, pe baza acțiunilor obiectuale, formându-se acțiuni mentale. Concluziile arată că posibilitățile intelectuale ale școlarilor mici permit și algebrizarea matematicii la această vârstă: însușirea notației algebrice și exprimarea, cu ajutorul ei, a relațiilor cantitative.

Cercetări experimentale care s-au bazat pe o fundamentare teoretică și care au cea mai largă aplicare în practica educațională sunt cele ale lui Georges Cuisenaire și Gattegno, precum și ale lui Z.P.Dienes, in colaborare cu Jerome Bruner.

În Australia, SUA și alte state s-au efectuat experimente pe baza conceptiei lui Z.P.Dienes. Au fost inițiate exerciții de logică sub formă de joc, cu preșcolari și scolarii mici, utilizându-se o trusă de piese (figuri geometrice) cu atribute ușor sesizabile de către copii. Această trusă conține “blocuri logice multibazice”, de fapt piese (confecționate din carton, lemn, material plastic) care au atribute precise ce permit înțelegerea de către copii a unor relații logice. Aceste caracteristici ale pieselor sunt grupate după 4 variabile, fiecare variabilă având 2 – 4 valori distincte:

mărime, cu două valori: mare, mic;

culoare, cu trei valori: roșu, galben, albastru;

formă, cu patru valori: cerc, pătrat, dreptunghi, triunghi;

grosime, cu două valori: gros, subțire.

Sunt, în total, 48 de piese, cu care se pot organiza o multitudine de jocuri pentru cunoașterea unor noțiuni de logică (conjuncția, disjuncția, negația, implicarea, echivalența), precum și a unor noțiuni legate de mulțimi și operații cu mulțimi.

În Franța, Belgia, Elveția și alte țări s-a aplicat experimentul Cuisenaire – Gattegno, numit și metode “numerelor în culori”. Acestea reprezintă un sistem de învățare activă a matematicii, cu ajutorul unui material didactic special – truse de riglete de culori și mărimi diferite. Rigletele sunt “bețișoare” paralelipipedice confecționate din lemn, având secțiunea de 1 cm și lungimea variind între 1 cm și 10 cm. Ele simbolizează câte un număr natural de la 1 la 10, în funcție de lungimea și culoarea fiecăruia (exemplu: rigleta roșie cu lungimea de 2 cm simbolizează numărul 2; rigleta galbenă cu lungimea de 5 cm simbolizează numărul 5 și așa mai departe). Activitatea cu riglete se bazează pe asocierea culorii cu lungimea și apoi a culorii și lungimii numărului, ceea ce înseamnă că rigletele sunt fondate aprioric pe ideea de număr, precum materialul didactic tradițional.

Experimente de tipul celor prezentate, ca și experimentele teoretico – metodologice, au fost efectuate și la noi. Autorii acestora au experimentat formarea conceptului de număr, atât pe baza mulțimilor echivalente, cât și pe baza măsurării, dar au considerat mai eficientă și mai ușor de efectuat operarea cu mulțimi de obiecte, decât analiza și sinteza dimensiunilor unui singur obiect.

Metoda Cuisenaire a fost experimentată în câteva școli din țara noastră. În prezent s-a păstrat doar ideea folosirii rigletelor în scopul asocierii ei cu simbolul de număr. O rigletă este formată din tot atâtea unități ca și mulțimile de aceeași putere, iar culoarea facilitează asocierea rigletei unui anumit număr natural.

Utilizat ca material didactic și nu ca metodă, rigletele îi ajută pe elevi să înțeleagă mai bine trecerea de la mulțimi de obiecte la numărul natural, descompunerea numărului într-o sumă de alte numere naturale, operații cu numere naturale, formarea șirurilor de numere. Utilizarea lor permite însușirea noțiunii de număr, atât sub aspect cardinal, cât și sub aspect cardinal, reduc timpul de lucru, asigură autocontrolul și creează o ambianță plăcută.

În experimentele efectuate în ultimii ani, în țara noastră, în legătură cu modernizarea predării matematicii în ciclul primar, s-a pus accent deosebit pe activitatea proprie a elevilor în însușirea noțiunii de număr natural și a operațiilor cu numere.

Noțiunea de număr natural face parte din acele noțiuni evident clare, care sunt indispensabile gândirii matematice, chiar sub forma specifică în care ele se prezintă. Noțiunea de număr este, însă, legată de multe noțiuni preliminare ei: echivalență, putere, operație etc. Numărul, în construcția generală a matematicilor, nu este nici primul și nici de bază. Datorită cercetărilor întreprinse în lume s-a putut cunoaște calea psihologică și logică prin care copilul dobândește această noțiune. Noțiunea de număr derivă din noțiunea generală de ordine și cantitate care trebuie să fie dezvoltate la copil independent și înaintea noțiunii de număr. Înțelegerea, de către copii, a conceptului de mulțime, este determinată, sub aspect psihologic, pentru înțelegerea conștientă a noțiunii de număr. Numărul este o proprietate a mulțimilor echivalente: proprietatea numerică a mulțimilor cu un element este numărul 1, a mulțimilor cu două elemente este numărul 2 și așa mai departe.

Deoarece noțiunea de număr se dezvoltă la copilul de vârstă școlară mică atât sub aspect cardinal, cât și sub aspect ordinal, este necesar ca , prin operații efective cu mulțimi de obiecte, copilul să descopere relații dintre numerele pe care, mai târziu, le va folosi în exerciții și probleme.

Dacă în învățământul clasic formarea noțiunii de număr s-a făcut pe baza conceptului de succesiune, astăzi numărul natural este evidențiat în două moduri:

luând ca noțiune fundamentală mulțimea, numărul natural fiind cardinalul clasei mulțimilor finite de aceeași putere;

după axiomatica lui Peano, ce conține drept noțiune fundamentală – succesiunea.

Într-o disciplină construită axiomatic există două feluri de noțiuni: noțiuni fundamentale (primare), care nu se definesc și noțiuni care se construiesc cu ajutorul noțiunilor fundamentale. Noțiunea de număr se definește cu ajutorul noțiunii de mulțime și aceasta din urmă este o noțiune fundamentală a matematicii.

Ideea de mulțime este foarte obișnuită. Chiar dacă nu folosim termenul de “mulțime” ( o “mulțime de elemente” ), cu diverse nuanțe, ideea de mulțime este evocată atunci când spunem: o clasă de obiecte, o colecție de lucruri, echipă, grup, familie, școală, colectivitate, societate. Noțiunea de mulțime este una dintre cele mai generale și mai importante noțiuni, deoarece joacă un rol unificator al conceptelor matematice.

În predarea – învățarea numerelor naturale se parcurge o etapă de conștientizare (conceptul de număr natural pe baza mulțimilor, ideea de sistem zecimal de numerație, scrierea pozițională, noțiunile de ordine și clase, compararea numerelor și ordonarea lor), o etapă învățare – interiorizare, cu finalitate operatorie automatizată (numărare) și o etapă de generalizare – aplicare și transfer matematic. Aceste etape nu sunt distincte, ci se împletesc pe parcursul învățării.

3.2. Obiectivele predării numerelor naturale

Învățământul primar vizează realizarea unor funcții specifice pe trei planuri: instrumental, formativ și informativ.

Finalitățile procesului instructiv – educativ din clasele I – IV sunt mai complexe decât informațiile, fiind concretizate în capacități și deprinderi.

Învățământul primar asigură elemente fundamentale ale cunoașterii. Îndeplinind un rol decisiv pentru reușita tuturor elevilor în asimilarea cunoștințelor de bază, pentru continuarea cu succes a învățământului gimnazial și pentru propria dezvoltare.

Criteriile de evaluare a orizontului cognitiv al individului nu mai rezidă în aspecte cantitative cât mai multă informație deține într-un domeniu sau altul – ci în cele de ordin funcțional – instrumental – cât de multe lucruri poate să facă el cu un volum cât de mic de informație.

Conștientizarea de către elev a faptului că unul și același fenomen poate fi abordat din unghiuri și sub aspecte diferite și că noțiunile dobândite în cadrul diferitelor discipline școlare nu se exclud, ci se întregesc și se susțin reciproc prin acea libertate interioară, care conferă încredere în propriile capacitați intelectuale și independență în abordarea sarcinilor de învățare.

Funcția principală a învățământului primar a fost dintotdeauna funcția instrumentală, aceea de a dota copiii cu instrumentele elementare de muncă intelectuală: citit, scris, socotit. Cu timpul, la acestea s-au mai adăugat și alte capacități (după cum am menționat mai sus) : de a observa, a analiza, a sesiza esențialul etc.

Dacă în învățământul tradițional, clasic, se consideră că dascălul îl învață pe elev, el (învățătorul) fiind agentul principal al actului instruirii și învățării, în învățământul modern, elevul este agentul principal al actului instruirii și învățării el învățând sub îndrumarea și cu sprijinul educatorului.

Dacă pornim de la considerentul că procesul de învățământ este un sistem care dispune de o structură proprie cu componente care interacționează pentru a-i da funcționalitate, nu putem considera obiectivele pedagogice în afara acestui sistem. Obiectivele se conjugă cu conținuturile. Observăm care este materialul informativ pe care-l vom vehicula în lecție pentru a stabili ce modificări vom putea produce în personalitatea elevilor și, apoi, vom folosi acest material, pentru a-l investi cu cât mai bogate valențe formative.

În „Programa de matematică pentru învățământul primar” ce se aplică începând cu anul școlar 1998, obiectivele cadru ale predării – învățării matematicii sunt:

Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

Dezvoltarea capacităților de explorare / investigare și dezvoltare de probleme;

Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic;

Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate.

Obiectivele de referință sunt asociate cu conținuturile incluse în programă. Pe lângă domeniul de conținut, ele sunt însoțite de exemple de activități de învățare.

În predarea – învățarea noțiunii de număr natural, conținuturile enunțate în programă sunt organizate concentric, începând cu numerele naturale 0- 10 și continuând cu numerele naturale 0- 20, 0- 100, lărgind apoi concentrul până la numerele naturale mai mici decât 1000, pentru ca în final, să se studieze numerele naturale mai mari decât 1000. Procesele psihice asociate acestor conținuturi sunt concretizate în înțelegerea numărului și a noțiunii de număr, ordonarea, numerotarea și utilizarea șirurilor, compararea etc.

Pornind de la obiectivele de referință se stabilesc obiectivele operaționale realizabile în situații specifice de învățare. Conținutul fiecărui obiectiv trebuie să prefigureze rezultatul așteptat la sfârșitul unei perioade de desfășurare a activităților instructiv – educative.

Astfel, cu formularea obiectivelor, începe planificarea și programarea parcurgerii unităților de conținut privind conceptul de număr natural, iar apoi, tot în funcție de acestea, proiectarea lecțiilor, pe conținuturile date, cu strategiile didactice optime și practicile de evaluare cele mai eficiente. Nerealizarea unui obiectiv presupune efectuarea de către învățător a unei analize retrospective ce implică modificări și egalări ale tuturor componentelor procesului de învățământ: proiectare, implementare și evaluare.

Numerele naturale de la 0 la 10. Specificul procesului de predare – învățare.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului și, de aceea, trebuie să i se acorde o atenție deosebită. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor, pentru scrierea lor.

La conceptul de număr elevul ajunge progresiv, după o anumită perioadă premergătoare, după cum am arătat în capitolul precedent. În această perioadă este inițiat în activități de compunere și punere în corespondență a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi cu același număr de elemente, de constituire, după anumite criterii, de submulțimi date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri a unei mulțimi.

Numărarea pe care o știu elevii mici când vin la școală este mecanică, lipsită de conținut. Numărul este văzut de copii nu ca o proprietate a unei mulțimi, ci văd în număr obiectul numărat.

Elevii ajung să înțeleagă faptul că față de un criteriu ales pentru alcătuirea unei mulțimi, un element poate face parte din mulțime sau nu.

Cu elevii din clasa I, în cadrul orelor de matematică se realizează operații cu mulțimi printr-o serie de jocuri recapitulative din programa grădinițelor.

Activitățile de stabilire a corespondenței, element cu element, a mulțimilor urmăresc să dezvolte la copii înțelegerea conținutului esențial al noțiunii de număr, clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată..

Elevii construiesc mulțimi echivalente cu o mulțime dată și în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietăți numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu “ tot atâtea elemente“ se detașează, progresiv, noțiunea de număr ca o clasă de echivalență.

Procesul construcției șirului numerelor până la zece se face progresiv. Din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2 – 3 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Esențial este ca elevii să înțeleagă faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model.

Fig.III

Elevii trebuie însă să observe că nu orice corespondență între mulțimi este biunivocă. De exemplu, dacă sunt mai puține cercuri decât pătrate, atunci fiecărui cerc îi corespunde un pătrat, dar nu-i corespunde fiecărui pătrat un cerc.

Fig.IV

Se pot efectua exerciții de punere în corespondență biunivocă a elementelor a două mulțimi disjuncte.

Exemple:

Am adus în clasă mai multe cărți ”ABC” și i-am rugat pe elevi să vină, pe rând, și să-și ia fiecare câte o carte. Elevii au constatat că au mai rămas două cărți, ceea ce a însemnat că au fost mai multe cărți decât elevi.

Am solicitat ca elevii să facă perechi de buline, după ce în prealabil le-am împărțit pe bănci buline de două culori, egale ca număr.

Am prezentat elevilor planșe cu fluturi care se așează pe flori. Ei au observat că fiecărui fluture îi corespunde o floare.

Am dat elevilor, spre exemplu, sarcina de a desena trei cercuri și tot atâtea triunghiuri, iar apoi să le unească două câte două, ca să constate că sunt tot atâtea.

În exerciții de acest gen pe care le-am efectuat în clasă am căutat să dau posibilitatea elevilor de a compara elemente ale unor mulțimi care se găsesc în relații asemănătoare în realitate (fluturi – flori, veverițe – alune), pentru ca relațiile de echivalență să fie sesizate în situații naturale din realitatea înconjurătoare.

Pentru că definiția noțiunii de număr cardinal este foarte abstractă (se numesc “cardinale” , clasele de echipotență determinate de relația “~” ), ea nu poate fi introdusă astfel la copii.

Introducerea noțiunii de număr natural se bazează pe conceptul de mulțimi echivalente.

Fig.V

Relația de echivalență grupează mulțimile în clase de echivalență ( o clasă cuprinde mulțimile cu același număr de elemente).

O clasă de echivalență este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor mulțimilor ce-i aparțin: proprietatea de a conține același număr de elemente.

Relația de echivalență determină într-o mulțime o partiție (o împărțire în clase de echivalență). Această proprietate este reprezentată printr-un număr numit număr natural. ”Asfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul 0, deci este un număr natural datorită faptului că el caracterizează clasa de echivalență a mulțimilor ce nu au nici un element. Proprietatea caracteristică mulțimilor cu un singur element este reprezentată prin numărul 1, cea a mulțimilor cu un element și încă unul reprezentată prin numărul 2, prin urmare 0, 1, 2, …, n caracterizează mulțimile echivalente formate respectiv din 0, 1, 2, …., n elemente și se numesc naturale. ”

Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime “A” se numește cardinalul mulțimii “A”, notat card (A) rezultă că numărul natural este cardinalul mulțimilor finite de aceeași putere.

Important este să se facă o delimitare conceptuală clară între numărul cardinal care arată câte obiecte sunt într-o mulțime dată, câte elemente cuprinde mulțimea respectivă (sau puterea ei ) și numărul ordinal sau numărul de ordine care arată ordinea sau al câtelea este obiectul respectiv într-un șir de obiecte, al câtelea este numărul respectiv în șirul numerelor naturale.

A număra deci elementele unei mulțimi înseamnă a pune în corespondență biunivocă aceste elemente cu numerele dintr-o secțiune a șirului natural restrâns, adică a atribui fiecărui element un număr astfel încât nici un element să nu rămână fără număr oarecare din șir să nu fie atribuit decât unui singur element. Spre exemplu, pentru a număra băncile din clasă se atribuie fiecărei bănci un număr (se poate scrie chiar acest număr pe bancă așa cum sunt scrise numerele pe scaunele din sălile de spectacole), astfel ca nici o bancă să nu rămână fără număr, numărul să fie atribuit unei singure bănci. În felul acesta spunem că am numerotat băncile din clasă, operația respectivă numindu-se numerotare. Dacă numerotarea elementelor unei mulțimi se poate termina, înseamnă că mulțimea respectivă este finită; în caz contrar, mulțimea este infinită.

Elevii din clasă sunt înscriși în catalog într-o anumită ordine, după alfabet. Numărul pe care îl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog reprezintă numărul ordinal. Numărul pe care îl are ultimul elev este și el ordinal, fiindcă arată al câtelea elev în ordine alfabetică este acesta, dar în același timp este numărul cardinal, fiindcă indică numărul total al elevilor din clasă.

Pentru a stabili numărul cardinal, numărarea se face într-o ordine oarecare, arbitrar aleasă. Astfel, numărul elevilor din clasă poate fi stabilit prin numărarea în ordine alfabetică, în ordinea în care sunt așezați în bănci, în ordinea în care se prezintă dimineața la școală, în ordinea în care ies în recreație, în ordinea mediilor obținute la finele anului sau după alte criterii, obținându-se de fiecare dată același rezultat. Înțelegând lucrurile în acest fel, se poate enunța și accepta fără rezerve axioma numărării: “Rezultatul numărării elementelor unei mulțimi nu depinde de ordinea de numărare.”

Numărarea se face, în prima etapă, cu câte o unitate, în sens crescător sau descrescător.De aceea, primele exerciții de adunare și scădere pe care le învață copiii sunt cele în care la un număr se adaugă o singură unitate, întrucât prin acestea se reia, sub formă de operații aritmetice, numărarea ascendentă sau descendentă pe baza principiului de formare a numerelor naturale. De îndată ce elevii își însușesc în mod conștient numărarea cu câte o unitate, se poate trece la numărarea cu două, cu trei sau cu mai multe unități, scoțându-se în relief faptul că adunarea unei unități la un număr, ori a două sau mai multe unități, constituie o numărare în sens ascendent cu una sau mai multe unități și analog, scăderea este o numărare în sens descendent.

Deosebită atenție trebuie să se acorde numărării cu două unități, întâi începând cu numărul 0: 0, 2, 4, 6,… , apoi începând cu numărul 1: 1, 3, 5, …., deoarece prin această numărare se realizează succesiunea numerelor pare (cu soț), respectiv a numerelor impare (fără soț).

Elevii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțime a numerelor naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile „mai mic” sau „mai mare” care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor: „mai puțin”sau „mai mult” între mulțimile ce reprezintă numere date.

Coroborând ideea caracterului stadial al dezvoltării intelectuale ( după Jean Piaget) cu modalitățile principale de reprezentare a realității în învățare – acțional, iconic și simbolic (după Jerome Bruner ) putem, încă din clasa I, pe baza teoriei mulțimilor, a compunerii și descompunerii numerelor, să trecem într-un mod rațional și eficient de la gândirea reproductivă la cea probabilistică, de la formele operatorii mentale concrete la cele abstracte, chiar dacă la această vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective.

Deosebirea dintre numărul cardinal și numărul ordinal este cunoscută ca „ deosebirea între număr și numărare”.

Citând după Greco, R. Dottrens arată că nu este cazul să predăm copiilor construcția separată a celor două aspecte ale numărului, ordinal și cardinal, deoarece numărul cu care operează cei mici provine concomitent din grupări logice de clasă și constituie prin aceasta o structură originală.

Dacă numărul se tratează ca o proprietate a mulțimii, atunci relația de ordine între numere apare ca ceva natural și necesar pentru copil, din nevoia de a exprima rezultatul propriei sale activități cu obiecte concrete.

Însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului);

înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic );

cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

În însușirea noțiunii de număr se potrivește de la cunoașterea concretă a mulțimilor de obiecte. Noțiunea de număr se clădește pe baza reprezentărilor numerice.

Lucrând cu materialul didactic pe baza indicațiilor date de învățător, elevul observă de data aceasta nu forma, culoarea, mărimea creioanelor, a bilelor, a bețișoarelor, ci atenția lui se concentrează asupra mulțimii de obiecte, el ajungând apoi să compare mulțimea de obiecte din grupa respectivă cu o altă grupă de obiecte.

Din observarea mai multor grupe de obiecte, el va înțelege că poate face abstracție de mărimea, forma și culoarea obiectelor, că esențialul în aceste grupe de obiecte este puterea mulțimii care rămâne constantă pentru un număr determinat, indiferent de aspectele exterioare ale grupei de obiecte pe care o reprezintă. De exemplu, grupe de cinci obiecte ce au aceeași valoare cantitativă reprezintă mulțimi echivalente, indiferent dacă este vorba de cinci creioane roșii, cinci crete albe, cinci bile maro etc.

Desprinderea puterii mulțimii – chiar și în acest stadiu concret de observare și mânuire a materialului didactic – presupune o practică activă a gândirii, fără de care nu se poate ajunge la sesizarea generalului și a esențialului.

Noțiunea de număr nu apare dintr-o dată în gândirea elevilor, ci se elaborează și se prelucrează conștient pe baza experienței lor cu mulțimile concrete, prin desprinderea puterii mulțimilor echivalente din perceperea grupelor de obiecte, prin transpunerea acestei experiențe pe planul reprezentărilor și prin generalizarea ei.

Noțiunea de număr se consolidează și se adâncește în sensul că elevul își reprezintă din ce în ce mai exact mărimea numărului prin compararea mulțimilor corespunzătoare, prin compunerea și descompunerea fiecărui număr.

Desigur că odată formată noțiunea de număr abstract nu rămâne ruptă de baza intuitivă pe care a fost construită, ci păstrează legătura cu o anumită imagine intuitivă, cu reprezentarea generalizată a grupării corespunzătoare de obiecte, cu figura numerică respectivă.

Însușirea numerației orale în concentrul 0 – 10 presupune:

formarea numerelor de la 0 la 10 cu ajutorul mulțimilor și a reuniunilor;

Cunoașterea fiecărui număr începe cu formarea lui pe baza succesiunii, din numărul precedent, la care se adaugă o unitate.

Elevul observă cum învățătorul adaugă la patru bile (bețișoare, cuburi ) încă o bilă și formează grupa de cinci bile. De fiecare dată, după formarea grupei se pune întrebarea: ”Câte bile, bețișoare, cuburi sunt acum?”

În felul acesta elevul va putea să facă abstracție la proprietățile particulare ale fiecărui material didactic cu care lucrează și să facă abstracție de proprietățile particulare ale fiecărui material didactic cu care lucrează și să sesizeze că toate mulțimile concrete ce i s-au prezentat au aceeași putere, același număr de elemente.

Observarea grupelor naturale de obiecte reprezintă un grad mai înalt de generalizare. Acum copilul nu mai are în mână obiecte cu care să formeze numărul respectiv, ci el este condus să observe în realitatea înconjurătoare o grupă de obiecte pe care să le poată denumi cu numărul respectiv: 5 degete la o mână, 4 picioare ale scaunului, 2 ochi etc. Se poate ajunge la o generalizare la un nivel superior atunci când copilul spune, de exemplu, 4 referindu-se nu numai la puterea mulțimii de 4 obiecte pe care le-a perceput în clasă, ci apelează și la reprezentări mai vechi pe care le integrează în această generalizare.

cunoașterea succesiunii numerelor;

Numărarea în ordine crescătoare și în ordine descrescătoare înseamnă o primă activitate cu numerele. Această numărare se face mai întâi cu obiecte și apoi abstract. Prin aceste exerciții de numărare se întărește stereotipul verbal, succesiunea denumirii numerelor și se adâncește cunoașterea ordinii numerelor

cunoașterea denumirii numerelor de la 0 la 10 și utilizarea corectă a acestor denumiri;

Mulți copii știu deja să numere în momentul trecerii de la grădiniță la școală. Uneori, însă, această numărare este mecanică, lipsită de conținut, iar pronunțarea numerelor este defectuoasă și trebuie corectată.

cunoașterea locului pe care-l ocupă un număr în șirul numerelor naturale;

Se precizează locul fiecărui număr în șirul numerelor naturale (4 se află între 3 și 5; 4 urmează după 3; 4 precede pe 5).

Elevii ajung la determinarea locului numerelor nu numai după succesiunea denumirii lor, ci și după puterea mulțimii de obiecte pe care o reprezintă.

cunoașterea componenței numărului

Cunoașterea componenței numărului reprezintă un proces de analiză și sinteză, care precizează în mintea elevului mărimea numărului prin demonstrarea posibilităților de compunere și descompunere a lui.

De exemplu (fig. 6 ) numărul 8 este format din:

2;2;2;2 3;3;2

4;4 6;2

5;3 7;1

Fig.VI

Prin exerciții de compunere și descompunere se realizează înțelegerea componenței numărului, dar se și pregătesc copiii pentru însușirea operațiilor cu numere naturale – adunarea și scăderea.

Cifra reprezintă semnul grafic al numărului, așa cum litera reprezintă semnul grafic al sunetului. Este important să se prevină confuzia între forma numărului și conținutul său, adică între cifră și număr, altfel, această confuzie duce și la confundarea noțiunii de număr cu denumirea sa.

În însușirea numerației scrise se parcurg următoarele etape

a) prezentarea cifrei de tipar și de mână corespunzătoare unui număr dat

b) evidențierea asemănării prin compararea cifrelor de tipar și de mână corespunzătoare unui număr;

c) recompunerea cifrei de mână din elemente componente și scrierea ei pe tablă;

d) parcurgerea conturului în aer a cifrei respective de către elevi;

e) scrierea cifrei și corectarea greșelilor de către învățător.

Învățătorul va scrie 1 -2 cifre model pe caietul fiecărui elev, urmând ca elevii să scrie mai multe rânduri cu cifra respectivă.

Etapele în predarea numerelor naturale de la 0 la 10 sunt:

construirea unei mulțimi echivalente cu mulțimile a căror putere corespunde ultimului număr învățat;

construirea altei mulțimi echivalente cu cea construită anterior;

adăugarea la mulțimea constituită a doua oară a încă unui element( sau reuniunea acestei mulțimi cu mulțimea cu un element); se constată că elementul adăugat nu mai poate fi pus în corespondență, mulțimea construită având cu un element mai mult decât mulțimea construită inițial;

construirea altor mulțimi cu un singur element;

alegerea semnului corespunzător (cifra) pentru a indica proprietatea mulțimilor cu tot atâtea elemente (prezentarea și intuirea cifrei).

Pentru introducerea unui număr natural (0 – 10 ) sunt rezervate două lecții:

numărul ca obiect abstract asociat acestei proprietăți;

relația “<” (mai mic) și corespondența cu lungimile rigletelor corespunzătoare acestor mulțimi (“mai lung”, “mai scurt”);

6) aflarea rigletelor corespunzătoare mulțimilor construite;

7) corespondența element cu element a celor două mulțimi și transcrierea simbolică a rezultatului cu semnul “<”;

8) stabilirea între rigletele corespunzătoare acestor mulțimi a legăturii cu relațiile “mai lung”și “mai scurt”.

În cadrul lecțiilor, activitățile independente cuprind următoarele tipuri de exerciții:

exerciții de aflare a simbolului numeric corespunzător unei mulțimi date;

exerciții prin care se cere elevilor să construiască sau să deseneze mulțimea, dacă este indicat cardinalul;

exerciții de scriere a numerelor naturale în ordinea crescătoare sau descrescătoare, pe baza ilustrațiilor;

exerciții de comparare a două numere:

exerciții de aflare a rigletei corespunzătoare unui număr dat.

Înțelegerea numărului și a notației pentru -să utilizeze corect denumirea fiecărui număr;

număr -să numere,să citească,să ordoneze numerele

mai mici decât 10;

-să știe că numărul de elemente al unei

multimi este dat de ultimul număr din,

succesiunea 1,2,….,x;

-să înțeleagă ideea de conservare a numărului

(numărul de obiecte dintr-o mulțime nu

depinde de natura obiectelor,de așezarea lor

și de ordinea în care se face numărarea

obiectelor);

-să justifice când o mulțime are mai multe sau

mai puține elemente decât alta folosind

diferite metode(încercuirea părților comune,

așezarea elementelor unele sub altele,

corespondenșa element cu element);

-să reprezinte mulțimi de numere prin

simboluri neconvenționale;

Estimarea și verificarea rezultatelor -să dea o estimare rezonabilă a numărului de

obiecte dintr-o mulțime fizică sau dintr-o

mulțime sau dintr-un desen;

-să indice modalități de a face verificări

(numărare efectivă,verificarea cu obiecte a

operațiilor mentale);

Recunoașterea și folosirea relațiilor de -să cunoască locul pe care îl ocupă un număr

ordine în șirul numerelor naturale

-să utilizeze corect simbolurile”<” ’’>’’ ’’=’’;

-să utilizeze simbolurile neconvenționale

pentru a reprezenta elementele unei mulțimi;

-să folosească simboluri pentru a identifica

numere necunoscute;

-să exploreze modalități de a descompune

numere mai mici;

Recunoasterea și folosirea șirurilor -să copieze,să continuie,să inventeze modele

repetitive reprezentante prin obiecte;

-să copieze,să continuie,să inventeze modele

repetitive implicând șiruri de numere de o

cifra;

-să numere cu start și pași dați.

Numerele naturale de la 0 la 20. Specificul procesului de predare – învățare.

În predarea matematicii trebuie să formăm la elevi, printre altele, trei categorii de noțiuni principale: noțiunea de număr, noțiunea de sistem zecimal al numerației, noțiunea de operații matematice fundamentale.

Noțiunea de număr natural, precum și cea de operație matematică le formăm începând cu primele zece numere și le dezvoltăm treptat cu fiecare cerc de numere pe care le învață elevii.

Noțiunea de sistem zecimal al numerației (sistematizarea numerelor în ordine și clase zecimale) o întâlnește elevul pentru prima dată atunci când a terminat de studiat primele zece numere și când „zecea” devine baza sistemului zecimal.

Trecerea peste prima zece provoacă o schimbare importantă în dezvoltarea reprezentărilor copilului despre număr. Reprezentarea fiecărui număr își lărgește conținutul în sensul că depășește limitele raportării ei directe la o mulțime de obiecte, devenind o reprezentare mijlocită. De aceea, în formarea numerelor noi, începe să se afirme mai mult ideea de succesiune și se apelează mai puțin la considerarea unor mulțimi concrete. Deci, însușirea numerelor mai mari de 10 se face pe un plan superior de abstractizare față de însușirea primelor zece numere, prin faptul că ele se raportează la „zecea”, care este o noțiune abstractă.

În felul acesta se dau primele noțiuni privitoare la sistemul de numerație zecimal. Fiecare număr apare acum în raportul său cu zece. De acum, copilul nu mai are de-a face numai cu mulțimea ordonată a numerelor 0-10, ci numerele încep să fie legate într-un sistem, pe baza raportării lor la 10, în sistemul zecimal.

De asemenea, pentru prima dată, elevul întâlnește în scrierea numerelor o nouă semnificație a cifrelor după locul pe care-l ocupă. Se prezintă semnificația poziției cifrei în număr și se dau primele noțiuni de sistem de numerație pozițional – locul cifrei în număr indică numărul de unități de un anumit ordin.

Aceleași cifre, ocupând locuri diferite, capătă o semnificație diferită și, astfel, prin combinarea cifrelor, se poate exprima orice număr, de exemplu : 12 și 21. Faptul că aceeași cifră capătă o semnificație diferită după locul pe care-l ocupă, înseamnă că însăși cifra devine o noțiune complexă și mai abstractă (În numărul 12 cifra 2 indică două unități de ordinul I – unități simple; în numărul 21, cifra 2 indică două unități de ordinul II – adică 20 de unități de ordinul I ș.a.m.d.)

Inexistența unităților de un anumit ordin se indică prin ocuparea locului respectiv cu cifra 0 (zero).

În predarea numerației orale până la 20, o atenție trebuie să se acorde formării noțiunii de zece.

Pentru aceasta folosim material didactic bogat și variat existent în școală ( numărătoare cu bile, abac, trusă de riglete, cuburi, tablă magnetică), material confecționat de învățătoare în perioada de pregătire a lecțiilor (planșe, jetoane, desene) sau procurat de elevi (creioane, bețișoare, pietricele).

În ultimul timp, cele mai des folosite sunt trusa magnetică, abacul din plastic și trusa de riglete, cu ajutorul cărora se indică nu numai numărul unităților și zecilor, ci și poziția cifrelor cu care se scrie numărul.

Cum se poate folosi trusa de riglete? Se liniază pe o hârtie două coloane: cea a unităților și respectiv cea a zecilor. O mulțime formată din 10 elemente o vom asocia unei riglete unitate pe care este marcat un triunghi ( deci acesta este semnul distinctiv al zecilor) în timp ce pe rigleta unitate este marcat un disc (fig. VII).

Fig.VII

O mulțime de 20 de elemente o vom marca cu rigleta formată din două riglete – unitate de zeci.

Exemplu: Numărul 26 ( douăzeci și șase) se reprezintă pe cele două coloane prin două riglete: rigleta doi pentru zeci și rigleta patru pentru unități (vezi fig. VIII)

Z U

2 6

Fig.VIII

Procesul de reprezentare a numerelor cu ajutorul rigletelor poate fi reversibil, în sensul următor : dacă se dă o anumită configurație pe tăbliță cu coloane, formată din zeci și unități, se poate cere elevilor să scrie numărul corespunzător.

De fapt, se folosesc o mare parte din materialele didactice întâlnite în predarea primelor zece numere, dar de data aceasta ele folosesc în așa fel încât să ușureze însușirea noțiunii de zece (10 bețișoare legate mănunchi, 10 bile pe o sârmă, 10 cerculețe pe prima coloană).

Întrucât numerele de la 10 până la 20 se bazează pe legătura dintre primele zece numere cunoscute și zecea ca bază a sistemului de numerație, aceste numere nu se mai predau separat în câte o lecție, ci se predau toate într-o singură lecție.

Predarea numerelor până la 20 se realizează prin următoarele etape metodice:

se consolidează și se precizează noțiunea de unitate simplă;

În cadrul numerelor până la 10, obiectele se numără unul câte unul, formându-se mulțimi de câte 3, 4, 5 …..10 obiecte, fiecare mulțime fiind reprezentată de un număr. În această etapă, numărul 10 reprezintă un număr oarecare – un număr care desemnează mulțimea de 10 obiecte luate unul câte unul. De aceea, în scrierea numărului 10 nu se insistă, de la început, asupra semnificației sau locului cifrei 0 sau a cifrei 1, ci se consideră suficient a se arăta că, spre deosebire de numerele 1- 9, care se scriu cu câte un singur semn grafic fiecare, numărul 10 se scrie cu două cifre. Pentru a pregăti trecerea la numerația cu numere mai mari decât 10, este necesară precizarea, sistematizarea și ridicarea pe câte o treaptă mai înaltă a cunoștințelor dobândite în primul concentru:

– numerele de la 1 la 10 sunt formate din grupe de obiecte numărate unul câte unul;

– orice obiect luat singur se numește unitate;

– numerele de la 1 la 10 sunt formate din unități simple.

Prin formularea acestor concluzii se urmărește formarea noțiunii abstracte de unitate, ca reprezentând prima etapă în procesul de abstractizare a noțiunilor aritmetice care stau la baza sistemului zecimal de numerație.

se formează noțiunea de zece ca unitate de calcul;

După ce lucrează cu bețișoare pe care le leagă în mănunchi și se stabilește că în loc de zece bețișoare vom spune “o zece”( de bețișoare) se lucrează apoi la numărătoarea cu bile și se desprinde “o zece”( de bile) pe o sârmă și se ajunge la concluzia că orice am lua, grupul de 10 obiecte formează “o zece”. Comparativ cu această grupare, când obiectele se numără câte unul, fiecare dintre ele se numește “unitate”. Apoi, copiii sunt puși să-și amintească obiecte care se numără câte 10 sau se vând câte 10.În felul acesta, ei ajung la reprezentări mai bogate în legătură cu : noțiunea de zece, mintea copilului este supusă la noi eforturi pentru ridicarea pe o treaptă abstractă.

De exemplu, numărul 14 (paisprezece) nu trebuie văzut numai ca simbolul unei mulțimi, ci 14 elemente și ca semn grafic care reprezintă numărul corespunzător unei mulțimi formată dintr-o submulțime de 10 elemente și o submulțime formată din 4 elemente (fig. IX)

Fig. IX

Noțiunea de zece nu se formează într-o singură lecție matematică, ci în prin insistențe și reveniri repetate asupra ei, în toate etapele următoare ale studiului numerelor. Noțiunea de zece se poate considera pe deplin formată abia după ce s-a ajuns la numere formate din mai multe zeci ți la cea de-a treia unitate de calcul (al treilea ordin)- suta, căreia i se subordonează. Dar, bazele înțelegerii matematice a acestei noțiuni se pun concomitent cu studierea numerelor naturale cuprinse între 10 și 20.

3) se formează numerele de la 11 la 20 și se insistă asupra pronunțării corecte a acestora;

Trecerea de la numărul 10 (clasa mulțimilor cu câte 10 elemente) la numărul 11 (clasa mulțimilor formate din 10 elemente și încă un element) se poate face în mod analog cu trecerea de la numărul 4, de exemplu, la numărul 5. Procedura metodică este următoarea:

se formează o mulțime de zece elemente;

se formează o mulțime cu un element;

se reunesc cele două mulțimi și se obține o mulțime formată din zece elemente și încă un element (fig. X);

se explică elevilor că despre o astfel de mulțime spunem că are unsprezece elemente și semnul grafic sau simbolul numărului unsprezece este “11”.

Fig.X

În mod asemănător se procedează și în continuare, considerând o mulțime cu 10 elemente și o mulțime cu două elemente după care se reunesc și se obține o mulțime de 12 elemente ș.a.m.d. Celălalt procedeu diferă prin alcătuirea mulțimii din 12 elemente reunind o mulțime cu 11 elemente cu o mulțime cu un element. Acest procedeu ușurează înțelegerea succesiunii numerelor în șirul natural.

Elementele mulțimilor formate se numără deoarece nu s-a introdus adunarea în concentrul 0 – 20.

Trebuie să se acorde atenție și pronunțării corecte a denumirii numerelor respective, astfel încât să se scoată în evidență componența lor. Pentru numerele paisprezece, șaisprezece, optsprezece trebuie să se insiste ca pronunția să fie cea corectă, stabilită conform normelor cuprinse în DOOM- ul elaborat de Academia Română.

4) se stabilește și se memorează succesiunea numerelor de la 11 la 20;

Se numără, la început, cu obiecte concrete, crescător, apoi descrescător și se ajunge la numărare abstractă.

5) se stabilește locul pe care-l ocupă fiecare număr în șirul numerelor naturale;

Elevii își însușesc aspectul ordinal al numerelor prin exerciții diverse de tipul: “Care sunt vecinii numărului 15? Dar vecinii acestuia?”

6) se stabilește componența numerelor de la 11 la 20;

De fiecare dată se analizează componența numărului, apoi pe figura numerică se stabilește coloana zecilor, care se notează cu 1 (în acest concentru), și coloana unităților, care crește treptat și se notează cu cifre de la 0 la 9. Pe măsură ce se scrie fiecare număr se desprinde faptul că unitățile se scriu pe primul loc din dreapta, iar zecile pe al doilea loc (fig XI).

Fig.XI Fig.XI

O mare atenție trebuie să se acorde confecționării figurii numerice a numărului 20 (fig XII). Cele două coloane de câte 10 cerculețe trebuie încadrate în partea zecilor, lăsând loc gol în dreptul unităților. Cu această ocazie se revine asupra explicării rolului lui zero care s-a făcut după predarea primelor zece numere.

După ce elevii au văzut în cadrul numerelor studiate, unitățile de la 1 până la 9, acum pot să înțeleagă mai bine că atunci când lipsesc unitățile punem zero.

Au apărut pe tablă numerele de la 10 la 20 pe care elevii le-au studiat, le-au analizat și le-au scris pe caietele lor. Se analizează apoi 2-3 din aceste numere pentru a le reține elementele esențiale ale scrierii lor și a se ajunge la regulă.

De exemplu:

“Din ce este format numărul 13?”( o zece și trei unități)

“Cu ce cifre am scris acest număr?” ( 1 și 3)

“Ce reprezintă 1?” (avem o zece)

“Dar 3?”(avem trei unități).

Se arată copiilor că atunci când vorbim de locul unde am scris unitățile ne uităm întotdeauna de la dreapta la stânga și vedem în al câtelea loc din dreapta le –am scris (am scris 3 unități în primul loc din dreapta).

“Dar zecile unde le-am scris?”(în al doilea loc din dreapta)

“Ce număr se obține din o zece și patru unitățile simple?” (14)

“Ce număr se obține din 5 unități simple și o zece?” (15)

“Din câte zeci și unități este format numărul 17?”( o zece și 7 unități )

“Descompuneți numărul 16 în zeci și unități?” (o zece și 6 unități )

În concluzie se enunță regula : “Unitățile se scriu pe primul loc din dreapta iar zecile în al doilea loc. Când lipsesc unitățile punem zero”.

Aceasta regulă se consolidează apoi cu aplicarea ei în practică, prin diferite exerciții. Se dau copiilor cifre decupate să le pună la locul cuvenit pentru a forma diferite numere. De asemenea, se fac exerciții de scriere a numerelor de la 1 la 20.

Ordonarea numerelor cuprinse între 0 și 20

Pornind de la modul de formare a numerelor cuprinse între 10 și 20, utilizând principiul succesiunii (11= 10+ 1; 12= 11+ 1; 13=12+ 1 ș. a. m. d), se completează axa numerelor, apoi se fac exerciții de numărare, crescător și descrescător, la început cu obiecte concrete, după care se trece la numărarea abstractă din 1 în 1. Utilizând obiectele concrete în paralel cu numărarea se poate face numerotarea acestora, scoțându-se în evidență și aspectul ordinal al numărului.

Tot pe calea trecerii de la concret la abstract se poate realiza compararea numerelor până la 20 și se pot efectua exerciții de alcătuire de șiruri cu start și pași dați. Pentru a stabili cu mai multă exactitate locul pe care îl ocupă un număr în cadrul șirului numerelor naturale, se stabilesc succesorul și predecesorul sau ambii vecini ai numărului respectiv.

Numărând obiecte două câte două se introduce noțiunea de numere cu soț sau cu pereche (pare). Numărând din 2 în 2 pornind de la 1 și nu de la 0, se numesc alte numere- numere fără soț, fără pereche (impare). După repetarea succesivă a șirului numerelor pare și impare, utilizând materialul intuitiv se trece la numărarea abstractă.

Procesul de predare învățare a numerelor și numerație în concentrul 0- 20 se subordonează următoarelor obiective:

Înțelegerea numărului și a notației -să numere,să citească,să ordoneze numerele

pentru număr mai mici decât 20;

-să stabilească locul pe care-l ocupă fiecare

număr din sirul numerelor naturale

(aspectul ordinal al numărului);

-să înțelegă ideea conservării numărului;

-să înțeleagă faptul că cifra zecilor indică

numărul de grupe de câte 10 (numărul de

zeci) și să înțeleagă semnificația unor

termeni ca:”cifra zecilor” și”cifra unităților”

și a relațiilor dintre acestea

Estimarea și aproximarea numerelor –să dea o estimare rezonabilă a numărului de

obiecte dintr-o mulțime fizică sau dintr-un

desen;

-să identifice faptul că prima cifra e cea mai

importantă în indicarea mărimii unui număr

Recunoașterea și folosirea relațiilor – să folosească simboluri pentru a identifica

de ordine și numere necunoscute;

-să utilizeze corect simbolurile:”<”,”>”,”=”;

-să exploreze modalități de a descompune

numerele de la 10 la 20;

Recunoașterea și folosirea șirurilor -să continue șiruri de numere date prin

obiecte sau desene care se repetă;

-să găsească regulile implicate în repetarea

unui șir de numere dat prin obiecte sau

desene;

-să numere cu start și pași dați;

-să explice regula de formare a unui șir de

numere și să anticipeze subșirurile

adecvate;

-să găsească reguli pentru descopuneri

echivalente ale unui număr de două cifre și

să le folosească pentru calcule mentale.

Numerele naturale mai mici sau egale cu 100. Specificul procesului de predare – învățare.

Odată ce elevii au înțeles procesul de formare a numerelor de la 10 la 20, se poate trece cu ușurință la formarea numerelor mai mici sau egale cu 100.

Cercul numerelor până la 100 lărgește orizontul matematic al elevilor, făcându-i să pătrundă mai adânc în esența numărului natural.

În ceea ce privește numerația, până acum elevii au cunoscut numerele până la 20, sesizând că zecea are un rol deosebit. Acum se lărgește sistemul zecimal al numerației, ei având posibilitatea să vadă că 10 zeci formează o sută.

În însușirea acestor cunoștințe de către elevi, intuiția continuă să joace un rol important. Se folosește material didactic: numărătoarea cu discuri, numărătoarea (cu toate cele 10 sârme), bețișoare(10 mănunchiuri de câte 10 bețișoare), abacul, cartonașe cu cerculețe aplicate sau desenate, cifre decupate, tabele de numerație ș.a.

Numărătoarea cu cele 10 rânduri de bile se folosește în predarea numerelor până la 100, dar distribuirea bilelor pe cele 10 sârme rămân stabile, neputând fi înmănunchiate, apropiate sau depărtate, nu dă posibilitatea elevilor să vadă suta ca un tot. De aceea, este mai proprie folosirea numărătorii cu discuri (sau sârme verticale), unde elevii pot vedea clar locul sutei, al zecilor și al unităților și tabelul în care se prezintă ordinele (sute, zeci, unități), care se poate realiza ușor chiar prin desen la tablă.

Acum elevilor li se întărește convingerea că toate zecile sunt la fel de mari, fiind alcătuite din câte 10 unități. Pe de altă parte, ei învață lucruri noi despre componența zecimală a sutei, învață să încadreze zecile într-un ordin superior „suta”. În mintea lor se lărgește noțiunea de sistem zecimal al numerației (sută, zeci, unități). Elevii întrevăd noțiunea de ordin.

Așadar, problema de bază ce se pune în predarea numerelor până la 10 este ca elevii să cunoască suta alcătuită din 10 zeci, să știe că succesiunea zecilor este aceeași ca și succesiunea unităților, să numere cu zecile până la 100, iar apoi să pătrundă în conținutul fiecăreia din zecile sutei, să cunoască atât succesiunea unităților cât și a zecilor (să știe să numere până la 100), să cunoască și componența numerelor formate din zeci și unități. Aceste sarcini se pot realiza în două lecții prin parcurgerea următoarelor etape:

cunoașterea „zecii” ca bază a sistemului de numerație și cunoașterea componenței zecimale a sutei

Cunoașterea „zecii” ca bază a sistemului de numerație și a componentei zecimale a sutei se realizează cu ajutorul materialului didactic, printr-o intuiție activă. Învățătorul îndrumă elevii să numere 10 bețișoare și să le lege în mănunchiuri.

De fiecare dată trebuie accentuat că s-a format un mănunchi de 10 bețișoare, adică „o zece”; astfel elevii leagă mănunchiuri de câte 10 bețișoare și numără:

1 zece, 2 zeci, 3 zeci, 4 zeci, 5 zeci, 6 zeci, 7 zeci, 8 zeci, 9 zeci, 10 zeci.

Învățătorul precizează că în loc de 10 zeci noi spunem o sută, că o sută este formată din 10 zeci. Pentru a întări acestă generalizare, învățătorul alătură cele 10 mănunchiuri de câte 10 bețișoare și le leagă. Elevii văd cum cele 10 zeci se constituie într-o nouă înmănunchiere, în sută, văd suta ca un tot unitar.

Dat fiind volumul mare de activitate pe care trebuie să o desfășoare cu elevii (să numere și să formeze grupuri de câte 10 ), se recomandă ca elevii să lucreze de la început și până la terminarea constituirii sutei cu același material didactic.

Se pot face exerciții de recunoaștere a numerelor formate din zeci de tipul:

„Puneți pe bancă 3 zeci de bețișoare. Numărați câte sunt!” (1 zece, 2 zeci, 3 zeci )

„Arătați bețișoarele cu care putem forma numărul 5 zeci!”

„Câte zeci sunt în numerele 70, 40, 80?”

numărarea în ordine crescătoare și descrescătoare;

Lucrul nou pe care-l învață acum este să îmbine succesiunea unităților cu cea a zecilor, adică să numere 10 unități și pe măsură ce construiesc o nouă zece să-i pună denumirea.

Se numără cu întreaga clasă de la 1 la 100, în ordine crescătoare și descrescătoare, după aceea se numără pe „fragmente”, vizându-se mai ales punctele unde se trece de la o zece la altă zece (numărați de la 38 până la 45; numărați de la 74 până la 67). Se pun întrebări de sondaj pentru a vedea dacă elevii cunosc bine locul fiecărui număr în șirul numerelor naturale (ce număr este înaintea numărului 47, dar înaintea numărului 60; ce număr urmează după 90, dar după 59; între ce numere se află numărul 40 etc.).

compunerea și descompunerea numerelor până la 100 în zeci și unități;

Este etapa în care are loc analiza și sinteza acestor numere.

Elevii și-au mai compus și descompus numerele până la 20 și au văzut că sunt formate dintr-o zece și un număr de unități. Același lucru îl face și de data acesta, însă cu referire la toate zecile din cadrul sutei și al unităților care se pot adăuga fiecăreia din aceste zeci.

Ei sunt conduși să analizeze fiecare număr, să cunoască structura sa zecimală și să înțeleagă mărimea numărului nu numai prin locul pe care-l ocupă în succesiunea numerelor, ci și prin puterea mulțimii pe care o simbolizează.

Este indicat să se facă mai multe exerciții cu numere în care numărul zecilor și al unităților este egal (22; 33; 44), pentru ca elevii să înțeleagă și mai bine rolul zecilor și al unităților.

După ce se fac mai multe exerciții de acest gen cu ajutorul materialului didactic, se poate trece la compunerea și descompunerea numerelor pe plan mental, abstract ( „Ce număr putem forma din 3 zeci și 4 unități? Câte zeci și câte unități sunt în numărul 75?”)

Aceste discuții trebuie să-i facă pe elevi conștienți de ordonarea numerelor. Ei trebuie să ajungă să compare numerele, motivând de ce un număr este mai mare decât altul(numărul 43 este mai mare decât numărul 32 pentru că are mai multe zeci; numărul 65 este mai mare decât numărul 63 pentru că are mai multe unități decât acesta).

În cazul numerației scrise trebuie să se extindă valabilitatea regulii (pe care elevii o cunosc) pentru scrierea numerelor până la 20. Aceasta se poate realiza pe baza cunoașterii componenței numerelor.

Se poate lucra cu materialul didactic (bețișoare, numărătoare cu sârme verticale etc), cu ajutorul căruia compunem și descompunem un anumit număr, de exemplu 34. Aici elevul nu mai vede zecile constituite din câte 10 unități, ci faptul că trei discuri, de pildă, așezate pe locul zecilor fac ca ele să reprezinte trei zeci.

Folosirea abacului (fig XIII) duce și mai departe cunoașterea de către elevi a locului zecilor și al unităților, de data aceasta atât zecile, cât ți unitățile fiind reprezentate prin desen (cerculețe).

Fig.XIII

După ce se procedează astfel cu câteva numere, elevii sunt puși să descompună fără material didactic numerele și să le scrie direct în tabel(fig XIV).

Fig XIV

De asemenea sunt puși să scrie diferite cifre în coloana zecilor și a unităților și să citească numărul pe care l-au scris.

Analizând câteva din numerele scrise (în ce loc am scris unitățile, în ce loc zecile), se desprinde din nou regula: unitățile pe primul loc din dreapta, zecile în al doilea loc, iar când se arată scrierea sutei se precizează că ea ocupă cel de-al treilea loc.

Se analizează cazul numerelor formate numai din zeci, când în dreptul unităților se scrie zero, precum și cazul sutei, când în dreptul zecilor și al sutelor se pune zero. Se trece la aplicarea regulii scrierii numerelor până la 100 la cazuri cât mai variate.

Înțelegerea numărului și a notației pentru -să numere,să citească,să ordoneze

număr numere mai mici decât 100;

– să știe numărul din succesiunea 1,

2,…,X

-să înțeleagă ideea de conservare a

numărului;

-să cunoască sensul grupării zecilor;

-să înțeleagă sensul lui „jumătate”

’’dublu” ’’un sfert”,etc.

Estimarea și verificarea rezultatului -să se dea o estimare a numărului de

obiecte dintr-o mulțime fizică;

Recunoașterea folosirea relațiilor de -să recunoască importanța în indicarea

ordine mărimii unui număr;

-să aproximeze numere date la numere

formate din zeci întregi;

Recunoașterea și folosirea șirurilor -să utilizeze simboluri pentru a pune în

evidență numere necunoscute;

-să utilizeze corect simbolurile”<”,”>”,

’’=”;

-să copieze,să continue să inventeze

modele repetitive reprezentate prin

obiecte;

-să copieze,să continue, să inventeze

modele repetitive implicând numere de

o cifra;

-să completeze șiruri de numere și să

explice regula lor de formare;

-să distingă numerele pare de cele

impare;

Numerele naturale mai mici sau egale cu 1000. Specificul procesului de predare – învățare

Numerația până la 1000 se predă respectând același principiu metodic folosit la studierea numerelor mai mici sau egale cu 100. Aici este important să se arate elevilor formarea miei din 10 sute, considerarea sutei ca element de calcul în cadrul miei, precum și compunerea și descompunerea numerelor formate din 3 cifre.

Pentru formarea, scrierea și citirea numerelor până la 1000 elevii folosesc diverse materiale, cum sunt : mănunchi de bețișoare, riglete, abacul cu orificii și fișe, numărătoarea cu discuri etc.

Se parcurg următoarele etape:

se formează noțiunea de sută ca unitate de calcul;

Pentru formarea justă a noțiunilor matematice de ”unitate”, ”sută”, ”mie” se utilizează material concret, cele mai la îndemână și ușor de manevrat fiind bețișoarele. Acestea se grupează câte 10, prin numărare unitate cu unitate, apoi zecile se grupează în mănunchiuri de câte 100. Acestea se numără: 1(o) sută, 2 (două) sute, 3 sute, 4 sute, 5 sute,…….9 sute, 10 sute.

Li se atrage atenția elevilor că zece sute se grupează într-o nouă unitate, numită mie. Se stabilește următoarea concluzie:

zece sute formează o mie;

Important este ca elevii să vadă că sutele se numără ca și unitățile, ca și zecile, și că suta este element de calcul cu numere până la 1000.

Se pot efectua exerciții de numărare a sutelor utilizând figuri – simbol: pătratul roșu de la tabla magnetică, unde zece pătrate roșii se înlocuiesc cu un alt simbol (romb galben), corespunzător miei, sau numărătoarea cu discuri de plastic, unde zece discuri de pe sârma corespunzătoare sutelor se înlocuiesc cu un disc de pe sârma următoare, cea care corespunde miilor. După numărarea concretă și cea cu simboluri se trece la numărarea abstractă a sutelor, atât crescător cât și descrescător. Cunoscându-se bine numărarea unităților simple și cea a zecilor, elevii vor efectua cu ușurință numărarea sutelor.

b) formarea numerelor mai mici sau egale cu 1000 și scrierea lor. Compunerea și descompunerea numerelor naturale până la 1000.

Pentru formarea numerelor până la 1000 se urmează procedeul șirurilor compunerii lor. Se ilustrează anumite numere la tabla magnetică, utilizându-se simbolurile corespunzătoare. Aceleași numere se figurează utilizând numărătoarea cu bile. Rezultatul numărării diferitelor unități de calcul se trece în tabelele numerice, care dau în final simbolul numeric al numărului.

Pentru a ușura însușirea numerelor până la 1000, în paralel cu scrierea în tabel a cifrelor ce corespund fiecărui ordin, se poate reprezenta numărul corespunzător fiecărei unități cu ajutorul unui abac cu cifre. Acest abac poate fi confecționat de către elevi în cadrul lecțiilor de abilități practice/ educație tehnologică.

Se vor alege numere formate din sute, zeci și unități, numere formate numai din sute și zeci, numere formate numai din sute, numere formate numai din sute și unități.

De exemplu:

3 sute 2 zeci și 4 unități formează numărul trei sute, douăzeci și patru, scris 324

3 sute 2 zeci formează numărul trei sute douăzeci, scris 320

3 sute, formează numărul trei sute, scris 300

3 sute și 4 unități formează numărul trei sute patru, scris 304.

Din aceste exemple se desprind concluziile privind numerația scrisă:

numerele de la 100 la 1000 sunt formate din 3 unități de calcul (sute, zeci și unități simple), deci se scriu cu trei cifre;

numerele se scriu de la stânga la dreapta;

absența unităților de un anumit ordin (zeci sau unități) se notează cu cifra zero.

Compunerea numerelor mai mici sau egale cu 1000 se face identificând numărul după numărul de unități din fiecare ordin:

8 sute 7 zeci și 3 unități formează numărul 873.

Descompunerea numerelor presupune identificarea numărului de unități de fiecare ordin:

548= 5sute, 4 zeci și 8 unități sau 548= 500+ 40+8

c) se compară numerele în concentrul 0 – 1000;

Elevii fac exerciții de comparare a numerelor, exerciții de stabilire a locului unor numere în șirul numerelor naturale, ca și în cercul sutei, numărări în ordine crescătoare și descrescătoare.

Se compară mai întâi numerele pornind de la cifra sutelor: este mai mare numărul care are mai multe sute (sau cifra sutelor este mai mare). Numerele care au tot atâtea sute se compară după cifra zecilor. Dacă au și cifra zecilor egală se compară după cifra unităților. Este mai mare numărul care are cifra zecilor, respectiv a unităților mai mare:

285> 185 285> 275 285> 284

Sunt egale numerele care au cifrele sutelor, zecilor și unităților egale: 134= 134.

Însușirea comparării numerelor permite ordonarea corectă, crescător sau descrescător.

Se oferă de asemenea o bază pentru estimarea numerelor. Estimarea se poate face fie la cifra zecilor, fie la cifra sutelor prin adaos sau lipsă. Pentru o estimare corectă se utilizează, la primele exerciții, figurarea numărului pe axa numerelor.

Spre exemplu: 313 ~ 310 (prin lipsă)

477 ~ 480 (prin adaos)

477 ~ 500 (prin adaos)

812 ~ 800 (prin lipsă)

Numerația scrisă cu numere până la 1000 o învață elevii pe baza experienței pe care o au de la scrierea numerelor până la 100. Se începe cu formarea numerelor pe numărătoarea verticală sau pe abac, de pildă.

Se fac exerciții de formare a numerelor și de citire a lor cu ajutorul bilelor.

Se scriu mai întâi încadrate în tabelul care are rubrici pentru S, Z, U (fig XV) și apoi se scriu în mod liber. Se reamintește că atunci când lipsesc unitățile, zecile sau sutele se scrie zero.

Fig . XV

Formarea deprinderilor de scriere corectă a numerelor până la 1000 se realizează prin exerciții variate, care obligă elevii să gândească în timpul efectuării lor. De exemplu, exercițiile didactice: să se scrie numărul 509; 624; 956; să se scrie numărul “șapte sute trei”; să se numere în scris de la 788 la 805; să se scrie numerele mai mari sau egale cu 936 și mai mici decât 945.

Asemenea exerciții pot fi folosite în fixarea cunoștințelor, ca temă independentă în clasă, sau ca temă pentru acasă.

Întelegerea numărului și a notației -să numere,să citească,să ordoneze

pentru număr numere mai mici sau egale cu 1000;

-să stabilească locul pe care-l ocupă

fiecare numar în sirul numerelor naturale

(aspectul ordinal al numărului);

-să se stabilească ideea conservării

numărului;

-să cunoască semnificația unor termeni noi

ca:”cifra sutelor”,”cifra miilor” și a

relațiilor dintre acestea;

-să înțeleagă semnificația poziției cifrei

într-un număr(locul cifrei în număr indică

numărul de unități de un anumit ordin);

-să cunoasca semnificația cifrei zero în

număr(absența unităților de un anumit

ordin);

-să determine numere ce îndeplinesc

condiții date;

Estimarea și verificarea rezultatului -să dea o estimare rezonabilă a numărului

de obiecte dintr-o mulțime fizică;

-să recunoască faptul că prima cifra este

cea mai importantă în indicarea mărimii

unui număr;

-să aproximeze un număr natural de trei

cifre prin lipsă sau prin adaos printr-un

număr format numai din sute sau din sute

și zeci;

Recunoașterea și folosirea relațiilor -să compare numere naturale date;

de ordine -să utilizeze corect simbolurile:”<,>”,”=”;

Recunoașterea și folosirea șirurilor -să formeze secvențe ale șirului numerelor

naturale pornind de la un numărdat cu

„pași”dați;

-să completeze șiruri de numere și să

explice regula de formare a lor.

Numerele naturale mai mici sau egale cu 1 000 000. Specificul procesului de predare – învățare

Predarea – învățarea numerelor de mai multe cifre se face în clasa a III –a

conform sistemului concentric de repartiție a materiei, după ce elevii și-au însușit numerația orală și scrisă până la 1000. Această nouă etapă prezintă următoarele caracteristici:

se extinde considerabil sistemul zecimal de numerație cu noi unități de calcul, asigurându-se astfel sistematizarea și aprofundarea studiului numerelor naturale;

se introduc noțiunile de ordin și clasă;

se completează și se consolidează înțelegerea conceptului de sistem pozițional de numerație având la dispoziție incomparabil mai multe exemple decât până acum;

se îmbogățește limbajul matematic;

se diminuează, acolo unde este posibil, apelul la intuiție, trecându-se progresiv, dar hotărât, la abstractizări, procesul gândirii și operativitatea ei specifică având un rol preponderent; aceasta nu înseamnă însă renunțarea la principiul unității dintre concret (intuitiv) și abstract în formarea noțiunii matematice.

Înțelegerea numărului și a notației pentru –să numească,să scrie și să citească

număr numere prin concentrul dat,folosind

cifre și litere;

-să identifice ordinele și clasele pentru

un număr dat;

-să precizeze valoarea fiecărei cifre în

scrierea numărului;

-să determine cel mai mare (mic)

număr precizând cifre care reprezintă

unități de un anumit ordin;

Estimarea și verificarea rezultatului -să recunoască faptul ca prima cifra este

cea mai importantă în indicarea mărimii

unui număr;

-să aproximeze numere date,prin lipsă

sau prin adaos,un număr mai mare decât

1000 printr-un număr format din mii;

Recunoașterea și folosirea relațiilor de -să compare și să ordoneze numere

ordine naturale cunoscând algoritmul de

comparare;

-să determine numere naturale”X”,

astfel încât a< x <b;a< x <b;

Recunoașterea și folosirea șirurilor -să numere cu start și’’pași”dați;

-să descompună un număr într-o sumă de

produse în care unul din factori este 10,

100,1000,ș.a.m.d.

Specificul procesului de predare – învățare a numerelor scrise cu mai multe cifre.

Acest capitol pregătește și asigură înțelegerea unor probleme de baza în învățarea matematicii, ridicând pe o treaptă nouă noțiunea de număr natural. Acum elevii învață noțiunile de ordin și clasă.

Pentru predarea-învățarea numerelor de mai multe cifre se extinde convenția care de fapt se bazează pe componența zecimală a numerelor,indicându-se faptul că zece discuri de pe sârma a treia a numărătorii,adică 10 sute,se înlocuiesc cu un disc de pe sârma a patra pe care se vor număra unitățile de mii.

Zece mii,adică zece discuri de pe sârma a patra,se vor numi o zece de mii și se vor înlocui cu un disc de pe sârma a cincea,unde se vor număra zecile de mii;zece discuri de pe sârma a cincea,adică 10 zeci de mii,se vor înlocui cu un disc de pe sârma a șasea,care se vor numi o sută de mii,deci discurile de pe sârma a șasea vor număra sute de mii. Numărul de ordine al sârmei corespunde noțiunii de ”ordin” în cadrul numărului și el va fi notat cu cifre arabe în dreptul fiecărei sârme în partea de jos a numărătoarei cu discuri. Prin urmare,ordinul unei unități de calcul arată locul pe care îl ocupă acea unitate în succesiunea unităților de calcul din sistemul zecimal,care corespunde cu locul pe care îl ocupă o cifra în cadrul unui număr scris în acest sistem(fig.XVI)

Fig.XVI

Se stabilește în felul acesta locul fiecărui ordin: pe primul loc din dreapta se găsesc unitățile(U), pe al doilea zecile(Z),….., pe al nouălea sutele de milioane (S.MIL).

Procedeul de formare a numerelor folosind sârmele verticale prezintă mai multe avantaje: permite citirea numărului pe baza imaginilor vizuale, odată cu formarea lui și pregătește scrierea acestor numere; sugerează noțiunea de ordin și clasă.

Pe măsură ce se însușesc ordinele,elevii constată sau, daca nu, le va spune învățătorul, că grupuri de 3 ordine consecutive începând cu primul conțin unități care se numesc la fel, adică unități, mii ,milioane,….,etc.

Deci,trei ordine consecutive începând cu primul formează o clasă.

Numerele scrise în fața fiecărei unități de numerotație din tabelul de mai sus reprezintă locul unității respective în scrierea numerelor, iar numărul care arată locul unității se numește ”ordin”.Noțiunea de ordin se introduce și în vorbire, iar diversele ordine și semnificația lor se consolidează prin exerciții de forma:’’Ce sunt sutele?’’(unități de ordinul 3);’’Ce sunt zecile de mii?’’(unități de ordinul 5);’’Cum se numesc unitățile de ordinul 7?”(unități de milioane).

Pentru însușirea noțiunii de clasă se arată că primul grup de 3 ordine este format din unități simple și el se numește clasa unităților, următorul grup de 3 ordine este format din mii și se numește clasa miilor al treilea grup de 3 ordine este format din milioane și se numește clasa milioanelor etc.

Deci:se numește ”clasă” un grup de 3 ordine consecutive începând cu primul ordin.

După însușirea ordinelor și claselor se trece la formarea, scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre.

Pentru aceasta învățătorul scrie pe tabla și elevii pe caiete un tabel în care se evidențiază ordinele și clasele.

În acest tabel numerotarea ordinelor și a claselor se face de la dreapta la stânga și ea coincide cu poziția cifrelor în cadrul unui număr.

Procedura utilizării acestui tabel este următoarea:

-se formează numărul (la mașina cu bile, la abac, la tabla magnetică);

-se scrie numărul format în tabel începând cu clasele și ordinele cele mai mari

-se citește numărul scris în tabel.

Se recomandă scrierea mai întâi a numerelor formate din cifre semnificative.

De exemplu:2 584; 49 637; 586921 etc

Se scriu mai apoi numere care au zerouri în cadrul lor, fie în interior, fie la sfârșit. De exemplu: 5 709; 207 410; 3 709005; 1 000000 etc.

După ce elevii deprind tehnica scrierii numerelor în tabelul cu clase și ordine, se trece la scrierea și citirea numerelor fără a folosi tabelul. Pentru aceasta se atrage atenția că evidențierea (marcarea) claselor ce alcătuiesc numărul se face lăsând între acestea (între clase) un spațiu liber.

Clasele nu se despart prin punct (.) deoarece acesta este consacrat operației de înmulțire.

Exemplu: scriem: 7 534 829 și nu 7.534.829

O deosebită importanță în scrierea unui număr trebuie acordata cifrei (0),care semnifică absența unităților de ordin. În citirea unui număr în alcătuirea căruia apar zerouri, acestea nu se rostesc.

Exemplu: 809 026 se citește ”opt sute nouă mii douăzeci și șase” și nu ”opt sute de mii zero zeci de mii nouă mii zero sute douăzeci și șase”.

Este potrivit acum prilejul de a reaminti elevilor semnificația unei cifre după poziția (locul) pe care o ocupă în scrierea numărului.

Exemplu:620 466. În scrierea acestui număr,cifra 6 apare de 3 ori,dar în diverse poziții, în raport cu ea având altă valoare. Primul 6 de la dreapta numărului arată ca sunt 6 unități simple, al doilea numără zecile, deci 6 zeci ,iar a treia cifra de 6 situată pe poziția 6 ne spune ca ea numără sutele de mii, deci 6 sute de mii.

Atât scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre,cât și noțiunile de ordin și de clasă sunt chestiuni care cer mult exercițiu, pentru ca în cele din urmă elevii să-și formeze deprinderile și automatismele necesare.

Cunoașterea și utilizarea conceptelor -să înțeleagă și să utilizeze sistemul pozițional

specifice matematicii de formare a numerelor naturale;

-să scrie, să citească, să compare,să estimeze și

să ordoneze numere naturale

-să numere cu start și pași dați,crescător și

descrescător,cu și fără sprijin în obiecte și

desene;

-să grupeze și să regrupeze obiecte sau

desene în funcție de pasul numărării;

-să scrie un număr ca o sumă de produse în

care unul din factori este 10,100,1000,

100000 ș.a.m.d.

Reprezentarea și ordonarea numerelor cu -să scrie,să citească,să compare,să ordoneze mai multe cifre utilizând modele semnificative numerele naturale formate din mai multe

cifre.

3.3 Cunoștințe matematice necesare elevilor de clasa I în perioada pregătitoare formării noțiunii de număr natural. Forme ale activității de învățare și exerciții practic-aplicative

Copiii de vârsta școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață îndeosebi prin intuiție și manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă.

Deci, la această vârstă,prin activități dirijate, elevii pot fi conduși la:

a) identificarea formelor plane (triunghi,pătrat,dreptunghi,linia curbă,linia dreaptă,linia frântă,cerc)și a formelor spațiale(cub,paralelipiped,con,piramidă,cilindru);

b) recunoașterea formei obiectelor din mediul înconjurător;

c) sortarea formelor geometrice după anumite criterii;

d) precizarea criteriilor folosite pentru sortare;

e) descrierea verbală a figurilor geometrice întâlnite;

f) identificarea interiorului și exteriorului unei figuri;

g) sesizarea poziției unui obiect față de alt obiect și aprecierea distanței între ele, folosind cuvintele’’ mai aproape”,’’ mai departe”,’’ cel mai îndepărtat”,’’ cel mai apropiat”, etc;

h) plasarea în spațiu a obiectelor folosind expresiile corespunzătoare (dreapta, stânga, sus, jos, deasupra, sub, interior, exterior);

i) compararea grupurilor de obiecte (bile, bețișoare, puncte, etc) prin metode diferite:

figurarea unele sub altele, încercuirea părților comune ale grupurilor, punerea în corespondență a elementelor grupurilor.

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare:conjuncția, disjuncția logica și negația.

Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor cultivă și dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime cu ajutorul elementelor de relație:’’sau” corespunzător disjuncției (pătrat sau triunghi),’’și”-corespunzător conjuncției a două proprietăți (pătrat și roșu) și ‚’nu” – pentru negația unei proprietăți (nu este pătrat). În același timp tot prin activități practice și folosind disjuncția,

conjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.

În activitățile cu mulțimi de obiecte, învățătorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis pe înțelesul și nivelul de pregătire a copiilor. Când afirmațiile copiilor conțin idei concrete, dar formulate într-un limbaj nesigur, aprecierea învățătorului trebuie să fie pozitivă,

subliniindu-se partea corecta a răspunsului dat de elevi și ajutându-i să-și corecteze modul de a se exprima matematic.

Una din premisele psiho-pedagogice esențiale ale formării conceptului de număr natural la copil este apariția, la această vârstă (6-7 ani), a primelor reprezentări asupra invariației cantității. Copiii sunt capabili să stabilească corespondența între elementele a două mulțimi și să exprime rezultatul acestei activități prin cuvintele:’’mai mult”,’’mai puțin”sau’’tot atât”.

Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor,elevii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element)a două mulțimi- suportul constituindu-l numeroase situații de viață. Introducerea conceptului de număr natural impune,ca o etapa premergătoare, familiarizarea elevilor cu noțiunea de relație de echivalență a mulțimilor, de clasa de echivalență,de funcție bijective, folosindu-se expresiile:’’tot atât”,’’mai puțin”.

La început e bine să se folosească o serie de jocuri sau scurte istorioare care să-l plaseze pe copil în universul lui (preferințe, mediu obiectual) pentru a-i utiliza, propria sa experiența de viață. Activitățile de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se pot desfășura în două direcții principale:

–stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea corespondenței element cu element;

–construirea unei mulțimi echivalente cu o mulțime dată.

Atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul mijloacelor materiale și de comunicare

utilizate, formulării concluziilor,manipulării (în timp și spațiu) obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile, folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu,în loc de expresia ”funcția bijectivă”se va folosi ”corespondența ca element”sau’’1 la 1”,iar în loc de ”mulțimi cu tot atâtea elemente”.

Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element din prima mulțime cu un element din cea de-a doua mulțime sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime(vezi fig.1,2 si 3)

Fig.I

Mulțimea de obiecte din stânga are tot atâtea elemente ca și cea din dreapta.

Fig.II

Mulțimea de obiecte din stânga are mai multe obiecte decât cea din dreapta.

Fig. III

Mulțimea de obiecte din stânga are mai puține obiecte decât cea din dreapta

Se va insista asupra faptului că elementele unei mulțimi trebuie să fie în mod obligatoriu de aceeași natura .Criteriul pe care îl alegem pentru a alcătui o mulțime nu trebuie să dea naștere la îndoieli asupra următorului aspect: dacă un anumit element aparține sau nu mulțimii respective.

În parcurgerea diferitelor momente ale lecției este necesar să ținem seama de cele trei etape ale formării noțiunii abstracte:

Etapa ”activităților cu obiecte” denumită și ” concret-obiectuala”- când copilul operează cu materialul concret, obiectul (piese, figuri geometrice, cerculețe, riglete etc.; exemplu: activități cu trusele Z.P. Dienes, cu jocul LOGI II);

Etapa ’’ reprezentărilor intuitive grafice”, sau a ’’ activităților cu imagini grafice ale obiectelor”, etapa în care elevii construiesc curbe și desenează în interiorul lor figuri geometrice sau folosesc fișe pe care sunt reprezentate – prin diagrame – mulțimi:

Etapa ”traducerii simbolice”,când se introduc simbolurile (‚’+”, ’’-’’ ,’’>”. ’’<’’ sau ’’=”) și conceptele matematice. Această etapa este ’”formal-conceptuala” sau II logic-deductivă”.

Prima etapa are caracter concret. Copiii operează cu materialul obiectual și descoperă, prin activitățile dirijate, o mulțime de posibilități.

Cea de-a doua etapă este destinată manipulării imaginilor care înlocuiesc obiectele reale.

Cea de-a treia etapă constă în elaborarea materialului semiconcret prezentat sub forma unor scheme grafice, urmată de introducerea simbolurilor matematice, cum ar fi, de exemplu, simbolul de număr natural.

Folosirea rigletelor oferă învățătorului posibilitatea să efectueze cu elevii corespondențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din ”riglete unități” dispuse in linie, dau posibilitatea micilor școlari să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi (prin punerea in funcție bijectivă)(vezi fig.IV).

Fig.IV

Familiarizarea elevilor cu riglete se realizează, la început,sub atenta supraveghere a învățătorului. Se recomandă ca ei sa fie încurajați ”să se joace”, efectuând exerciții de folosire a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete, copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă cu o lungime mai mare.

Pentru egalizarea lungimii unei riglete vor forma mai multe modele, vor compara lungimile, utilizând termenii ”mai mare”,’’mai mic”,”tot atât de mare”,sau ‚”egal”, vor forma din riglete”scări”crescătoare sau descrescătoare,etc.

Pe măsura ce elevii dobândesc o experiență matematică, se reduce treptat etapa operațiilor cu mulțimi concrete de obiecte, ajungând să se înceapă cu operații cu reprezentări grafice ale unor obiecte sau chiar cu simboluri ale acestora.

Important este ca tot ceea ce se realizează în munca la clasă cu elevii să fie în limitele care permit dezvoltarea ulterioară corectă a noțiunilor și operațiilor matematice.

3.4.Stimuli motivaționali în lecțiile de predare-învățare a numerelor naturale la clasele I-IV

Este unanim acceptata ideea ca un om motivat pentru ceea ce face, realizează acțiunea respectiva la maximul capacităților sale sau foarte aproape de maxim. Motivația reprezintă modalitatea fundamentală de mobilizare, activare, dobândire, cauze interne ale conduitei umane.

În raport cu acțiunea ce trebuie îndeplinită, motivația poate fi intrinseca (cu motive interne acțiunii) sau extrinsecă (cu motive exterioare acțiunii respective).

Un loc deosebit de important revine motivației cognitive, exprimată într-un comportament explorator, care depinde de noutate,schimbare și complexitate,reflectându-se într-un conflict ce rezultă fie din confruntarea dintre starea de așteptare și stimulii prezenți,fie din apariția neobisnuită a stimulilor.

Asupra motivației umane acționează trei tipuri de factori:trebuințele,relațiile afective,atitudinile fața de diversele aspecte ale mediului și față de propria persoana,ce conduc la diverse stări emoționale-obiectele și împrejurările imediate sau imaginare,ce dobândesc funcție de scopuri.

În concluzie, condiția necesară succesului școlar este motivarea acțiunilor elevilor.

Deoarece,la începutul școlarității,elevii învață din motive colaterale obiectului de studiu, am încercat să-i determin, prin diverse modalități, să învețe din plăcere, din interes cognitiv pentru conținutul obiectului.

Lecțiile de matematică, caracterizate printr-un grad sporit de abstractizare și generalizare,ce poate conduce la o aparența rupere de realitate și la ieșirea din sfera de preocupării impun, în mod deosebit, acțiuni didactice care să-i motiveze pe elevi pentru învățare.

Voi prezenta în continuare câteva modalități prin care am încercat să captez atenția elevilor,să le trezesc și să le mențin interesul pentru lecția de matematică, să sporesc activitatea acesteia, în vederea unei motivații pozitive, de angajare și activizare.

informații despre scrierea numerelor de-a lungul timpului;

În cadrul învățării numerației, se urmărește, alături de alte aspecte, conștientizarea de către elevi a faptului că sistemul nostru de numerație este un sistem zecimal pozițional (10 unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior, cifrele reprezentând diferite valori, în funcție de pozițiile pe care le ocupă în scrierea numărului).

La clasa a IV-a, se arată elevilor un alt mod de scriere a numerelor, prin folosirea cifrelor romane. Pe această linie, pentru trezirea interesului elevilor și formarea unei motivații pozitive am utilizat ( chiar și la clasa a III-a) o parte din informațiile prezentate pe larg în capitolul doi al lucrării de față (vezi cap.1) și anume caracteristicile numerației la o serie de popoare: egiptenii antici, maiașii sumerienii și babilonienii, băștinași din Australia, grecii, romanii. De asemenea, le-am dat o serie de informații referitoare la instrumentele folosite de-a lungul timpului în numărare-pietricele, abacuri, le-am explicat împrejurările apariției sistemului pozițional de scriere a numerelor și le-am furnizat date referitoare la semnificația cuvântului”cifră”, în secolul trecut.

corelații interdisciplinare;

Ilustrarea și conștientizarea necesității de a utiliza numerele în diverse contexte, pot deveni elemente motivaționale pentru elevi, în învățarea numerației.

Astfel, în clasa I, le-am solicitat elevilor să găsească, într-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit număr de litere sau de câte ori apare o anumită litera.

În clasele a III-a și a IV-a am încercat să le trezesc elevilor interesul pentru învățarea numerelor mari și la alte obiecte de învățământ precum: geografia, științele naturii. Le trezeam curiozitatea prin întrebări de tipul: ”Vreți să știți cum se scriu și se citesc numerele care arată câte fire de nisip sunt pe o plajă, câte kilograme are Pământul, ce distanță străbate o navă cosmica?”.Consolidarea priceperilor vizând numerația în aceste cazuri am realizat-o solicitandu-le elevilor să citească ( să scrie) texte în care apar astfel de numere, exprimând distanțe astronomice, diametre de planete, mase ale corpurilor cerești, temperaturi stelare ș.a.m.d.

La orele de lucru manual am realizat, cu fiecare elev, un material didactic individual, destinat „scrierii” și citirii unui număr, de tipul”numărătorii”sau abacului.Un astfel de „aparat” am construit dintr-un cub cilindric pe care se pot roti liber (ruleaza) inele, formate din benzi de hârtie pe care sunt scrise cifrele. Fiecare dintre inelele alăturate de hârtie va reprezenta un ordin al unei clase, în funcție de poziția pe care o ocupă pe suport. Pentru „scrierea”unui număr dat de mine, elevii aliniază cifrele necesare, prin rotirea inelelor corespunzătoare. Evident, acest”aparat” a putut fi utilizat ulterior în multiple moduri la lecția de matematică (element de joc, învățare, consolidare, verificare).

3.5.Deficiențe înregistrate în etapa formării conceptului de număr natural

Copiii își însușesc denumirea numerelor încă de la grădiniță. Când vin la școală, unii dintre ei știu să spună cuvântul număr în succesiunea numerelor naturale. Lipsește conținutul noțiunii de număr din cauza insuficienței capacității de sinteză, precum și a caracterului preponderent concret al gândirii lor.

Pentru micul școlar începător, numărul nu este o simplă însușire a obiectului pe care îl desemnează în procesul numărării. ”Unu” , ”doi” , ”trei” sunt pentru el niște însușiri ale obiectelor respective, așa cum cuvintele ”casă”, ”bancă”, ”creion” denumesc obiecte. El consideră numărul o însușire a obiectului numărat și nu o mulțime de obiecte. În acest caz nu poate fi vorba de sesizarea trăsăturii esențiale a noțiunii de număr natural, deoarece esența acesteia o constituie tocmai ideea de echivalență care caracterizează mulțimile de obiecte. Elevul trebuie să- și reprezinte mărimea numărului, valoarea lui după elementele care compun mulțimile respective, ce pot fi puse în concordanță biunivocă, să vadă în spatele numărului mulțimea obiectelor pe care le reprezintă, să fie conștient de grupele mici din care se poate alcătui sau în care se poate descompune numărul respectiv, să vadă în ce număr o proprietate obiectivă a unei mulțimi, proprietate pe care mulțimea o păstrează indiferent dacă noi o exprimăm sau nu printr-un cuvânt sau dacă i-am acordat ori nu un nume sau simbol.

Școlarul începător prezintă dificultăți și în numărarea concretă a unei mulțimi de obiecte. Numărarea unui grup de obiecte reprezintă o sarcină mult mai grea decât reproducerea mecanică a șirului numerelor naturale, care constituie un automatism verbal, la început lipsit de semnificația reală. Numărarea efectivă a unui grup de obiecte implică nu numai declanșarea unor asociații verbale automatizate, ci și posibilitatea de atribuire a unui conținut adecvat cuvintelor.

Copilul își formează deprinderea de a număra, dar în realitate încă nu posedă conceptul de număr. Acesta necesită dezvoltarea raporturilor reversibile și sinteza șirului numeric. „Dificultatea constă în aceea că inițial numărul nu e cardinal, ci ordinal, fiind termen al unei serii de la mic la mare, deci reper al unei succesiuni de cantități”. Elevul trebuie să înțeleagă că ordinea numerelor nu este dată de ordinea denumirii lor (ordine care de multe ori se învață pe de rost), ci este dată de mulțimile a căror putere o simbolizează.

De aceea, însușirea conștientă a numărului nu se rezumă la un simplu efort al memoriei, ci presupune activitatea și efortul gândirii, cu ajutorul căreia – prin analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare – se ajunge la desprinderea și generalizarea trăsăturii esențiale ce caracterizează noțiunea de număr.

Elevii trebuie să sesizeze că cifra nu este același lucru cu numărul pe care aceasta îl reprezintă, tot așa cum numele unei persoane, scris pe foaia de hârtie, nu este același lucru cu persoana însăși. Cifra nu este decât un simbol grafic ce reprezintă numărul. Numărul rămâne distinct de simbolul său.

Totuși, în situațiile în care anumite semne sunt folosite exclusiv pentru scrierea numerelor, aceste semne își pierd orice altă importanță. Privind, de exemplu, numărul 5, noi nu ne gândim la nimic în legătură cu acest semn (nici la mărime,nici la formă), ci doar la numărul care îl reprezintă. De aceea, în mod obișnuit semnele cu care sunt scrise numerele nu sunt privite ca fiind distincte de numerele însele. Spunem, de exemplu, că 5 este un număr și nu că 5 reprezintă un număr (deși sensul concret este acesta din urmă).

Anumite dificultăți pot apărea în scrierea numerelor din două sau mai multe cifre și sunt legate de locul pe care îl ocupă cifrele în scrierea pozițională a numărului.

Aceste dificultăți se pot înlătura prin exercițiu sistematic și îndelungat.

3.6.Jocul didactic – metodă eficientă pentru învățarea matematicii la ciclul primar

A se juca și a învăța sunt activități care se îmbină perfect. Ideea folosirii jocului în activitățile educative nu este nouă. Și Platon în Republica recomanda: 

“ Faceți în așa fel încât copiii să se instruiască jucându-se. Veți avea prilejul de a cunoaște înclinațiile fiecăruia.”

Învățarea este o activitate serioasă ce solicită efort voluntar pentru punerea în acțiune a disponibilităților psihicului. Efortul este mai ușor declanșat și susținut mai eficient când se folosesc resursele jocului, când între joc și învățare se întind punți de legătură.

Jocurile didactice sunt antrenate pentru toți elevii și acționează favorabil și la elevii cu rezultate slabe la învățătură, crescându-le performanțele și căpătând încredere în capacitățile lor, siguranță și promptitudine în răspunsuri, deblocând astfel potențialul creator al acestora.

Orice exercițiu sau problemă poate deveni joc, dacă:

Realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic;

Folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse;

Utilizează reguli de joc, respectate de elevi.

În cadrul activităților cu clasa de elevi învățătorul urmărește să folosească jocuri matematice sau logice deoarece, paralel cu destinderea, buna dispoziție și bucuria participanților se completează cunoștințele. Se pot organiza întreceri, se pot prezenta curiozități matematice etc.

Dacă în concentrul 0 – 10, consolidarea cunoștințelor și priceperilor vizând numerația se poate realiza și prin numărarea efectivă, lărgirea treptată a concentrului conduce la imposibilitatea utilizării acestui procedeu. În acest caz, o soluție alternantă este oferită de solicitarea de a găsi numere care să îndeplinească anumite condiții. Gradul de antrenare a elevilor la lecție este sporit dacă sarcina admite mai multe soluții.

Exemple:

aflarea tuturor numerelor mai mici decât 100 care au cifra unităților 1;

aflarea numerelor mai mici decât 100 în care cifra zecilor să fie cel puțin 18, iar a unităților cel mult 2;

folosind numai cifrele 2, 4 și 6, să se scrie toate numerele cuprinse între 100 și 1000 ce se pot forma;

dintre toate numerele mai mari decât 1000, să se afle cel mai mare / mic;

care este cel mai mare și care este cel mai mic număr scris cu patru cifre, folosind:

– 4 cifre diferite;

– 3 cifre diferite;

– 2 cifre diferite;

– o singură cifră diferită.

6)așezarea numerelor date în ordine crescătoare;

I Rezolvare

”Cine formează cât mai multe numere ?”

Scopul jocului: – consolidarea deprinderilor de formare a numerelor naturale;

– dezvoltarea gândirii logice;

Sarcina didactică: – să scrieți numerele formate din sute, zeci, unități;

Regula jocului:

Elevii, într-un timp dat, trebuie să scrie cât mai multe numere formate din sute, zeci și unități pe care le pot descoperi folosind cifrele indicate.

”Așează corect”

Sarcina didactică: să ordoneze în șiruri crescătoare/descrescătoare numere.

Desfășurarea jocului: la semnalul profesorului elevii așează în ordine crescătoare cartonașele pe care sunt scrise numere întregi. Apoi, se dă semnalul pentru așezarea în ordine descrescătoare. Exemplu: Compararea numerelor întregi.

”Care număr „s-a rătăcit”?”

Scopul: intuirea ideii de șir al numerelor naturale.

Sarcina didactică: să descopere numărul care nu respectă regula șirului.

Material didactic: fișe cu șiruri numerice pentru fiecare elev.

243, 234, 432, 456, 324, 423, 342

101, 202, 303, 404, 536, 505, 606, 707, 808

Desfășurarea jocului: Fiecare elev va primi fișa cu cele două șiruri de numere după o anumită regulă. Elevii trebuie să descopere regula și numărul care nu respectă acea regulă. Elevul care termină primul și corect este declarat câștigător.

Broscuța s-a rătăcit.

Ajutați broscuța să ajungă la școală, știind că trebuie să treacă numai peste pietrele care sunt mai mari decât 26:

Introdus inteligent în structura lecției, jocul didactic matematic poate să satisfacă nevoia de joc a copilului, dar poate în același timp să ușureze înțelegerea, asimilarea cunoștințelor matematice și formarea unor deprinderi de calcul matematic, realizând o îmbinare între învățare și joc sau cum spunea Blaise Pascal: “Obiectul matematicii este atât de serios, încât este util să nu pierdem ocazia pentru a-l face puțin mai distractiv.”

IV. CERCETAREA EXPERIMENTALĂ

Matematicianul Dumitru Săvulescu este de părere că studiul matematicii în învățământul primar are ca scop „să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și la înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o cultură generală optimă.”

În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacitățile de explorare-investigare de exerciții și probleme, interesul și motivația pentru studiul și aplicarea matematicii în diverse contexte. „Învățarea matematicii în școală urmărește conștientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacități, cunoștințe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strâns legată de viața cotidiană, de rolul ei în științele naturii, în tehnologii și în științele sociale” (Lupu C.).

Predarea matematicii la clasele I-IV are în vedere trei planuri: instructiv, educativ și practic. Elevii își însușesc noțiuni elementare cu care operează pe tot parcursul vieții. Orice nouă achiziție matematică are la bază achizițiile anterioare, trecerea de la un stadiu inferior la altul superior făcându-se printr-o reconstrucție a sistemului noțional și operativ.

La clasele I – IV se pun bazele însușirii întregului sistem de cunoștințe matematice prin transmiterea noțiunilor fundamentale ale acestei științe.

Numărul natural este cea mai utilizată noțiune matematică, pe care copilul o întâlnește încă din perioada preșcolarității. Cunoștințele dobândite la această vârstă, se vor lărgi treptat, generalizator, în sensul formării conceptului de număr natural, în clasele I-IV. Având în vedere că pe acest concept se clădește întregul sistem de noțiuni matematice, m-am gândit că poate constitui obiectul cercetării pedagogice pentru lucrarea de față.

Succesul în dobândirea cunoștințelor privind formarea conceptului de număr natural depinde în mod semnificativ de învățător , de felul în care acesta reușește să conducă procesul predării – învățării și evaluării, de felul în care sunt orientați elevii să poată conștientiza, descoperi și aplica prin transfer cunoștințele, priceperile și deprinderile. În acest sens I.T. Radu subliniază că învățământul ”este chemat să ia în considerare interesele și aptitudinile elevilor și să le îndrume în sensul dezvoltării lor firești. În acest fel, instruirea de bază, unică, reprezintă o îmbinare a două principii generale de structurare a sistemului școlar, cel al instruirii comune și cel al diferențierii în raport cu posibilitățile și aptitudinile elevilor.”

          În procesul de învățare la nivelul ciclului primar trebuie să se folosească metode care îi oferă elevului posibilitatea de a transforma cunoștințele pasive în cunoștințe active și de a facilita descoperirea unor noi cunoștințe, dar și aplicarea acestora în activitatea practică.

Ipoteza, obiectivele cercetării și stabilirea eșantioanelor

Obiectivul principal al învățământului românesc are în vedere asigurarea reușitei tuturor în pregătire. Ținând cont de faptul că fiecare elev este unic, că fiecare elev își folosește în mod diferit capacitățile de învățare, iar conținutul învățământului materializat în planuri și programe este comun și obligatoriu m-am întrebat dacă voi asigura reușita tuturor în pregătire, dacă vor reuși toți elevii să utilizeze conceptele specifice matematicii, dacă își vor dezvolta capacitățile de explorare/investigare și rezolvarea de probleme, dacă își vor forma și dezvolta capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic, dacă își vor dezvolta interesul și motivația pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate?

În această lucrare am ținut să realizez o cercetare experimentală spre a îmbunătăți procesul metodologic de stimulare a învățării utilizând mijloace prin care să obțin un nivel optim de pregătire pentru toți elevii clasei, având în vedere elevii clasei mele și elevii altei clase paralele. Ipoteza de lucru ar fi că dacă învățătorul realizează o învățare creativă, deprinderile de rezolvări și compuneri de probleme vor fi însușite într-un mod plăcut și atractiv și vor conduce la dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii.

Pentru a reduce la minim dificultățile pe care elevii le întâmpină în însușirea formării conceptului de număr natural la ciclul primar, am utilizat unele strategii moderne, precum și jocul didactic în cadrul orelor de matematică.

În cadrul acestei cercetări experimentale am stabilit următoarele obiective:

Cunoașterea nivelului de pregătire al elevilor și a particularităților individuale privind însușirea noțiunilor matematice;

Identificarea lacunelor și a noțiunilor ce sunt însușite cu dificultate de către elevi;

Măsurarea și aprecierea progreselor;

Utilizarea unor metode și mijloace cât mai variate pentru a motiva și stimula procesul instructiv- educativ;

Dezvoltarea unei gândiri matematice creatoare.

Cercetarea a fost organizată în anul școlar 2012- 2013. Am avut în vedere două clase a III-a de la Liceul Pedagogic ”C. D. Loga” din Caransebeș, clasa a III- a B (clasa mea) – clasa experimentală (eșantionul de progres), respectiv clasa a III- a A – clasa martor (eșantionul de control). Clasa a III- a B- clasa experimentală, pe care o voi numi C.E este compusă din 24 de elevi, iar clasa a III- a A – clasa martor – pe care o voi numi C. M este compusă din 25 de elevi.

Conținuturile învățării în perioada desfășurării intervenției experimentale:

Numerele naturale de la 0 la 1000

Formarea, citirea și scrierea numerelor naturale de la 0 la 1000;

Compararea, ordonarea și rotunjirea numerelor naturale de la 0 la 1000.

4.2. Metodica cercetării

 Experimentul pedagogic presupune crearea unor situații noi , prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale cu scopul verificării ipotezei care a declanșat această cercetare, prin urmare pot spune că a fost principala metoda de investigație a fost experimentul.

          Alături de experiment am folosit și observația. Această metodă am utilizat-o atât în perioada premergătoare cât și în timpul desfășurării experimentale. Observația a fost destul de utilă permițând stabilirea eficienței mijloacelor și metodelor folosite. Am urmărit, de asemenea, modul în care se adaptează și sunt acceptate aceste metode de către elevii cu ritmuri diferite de lucru.

          Probele de evaluare le-am folosit pentru a verifica și măsura cât mai exact cunoștințele înainte, în timpul si după efectuarea experimentării.

          Testul final a avut un caracter mixt, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunoștințe cât și nivelul de dezvoltare  a capacităților de analiză și sinteză, de aplicare a cunoștințelor în noi situații.

4.3.Desfășurarea cercetării și interpretarea datelor

Primele teste au fost cele de evaluare inițială , în acord cu remarca lui D. Ausubel care spunea: ”Daca aș vrea să reduc toată psihologia la un singur principiu, eu spun: ceea ce contează cel mai mult în învățare sunt consecințele pe care le posedă elevul la plecare. Asigurați-vă de ceea ce știe și instruiți-l în consecință”.

         Principala  metodă utilizată a fost experimentul psihopedagogic de tip experimental- ameliorativ.

          Cercetarea a cuprins trei etape:

Etapa inițială cu caracter constatativ.

Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în stimularea proceselor psihice și a personalității elevilor.

Etapa evaluării ce a avut un caracter comparativ , cu privire la rezultatele obținute în urma demersului experimental.

a) Etapa inițială

Scopul evaluării inițiale a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental. Testul a fost conceput pentru capitolul ”Numerele naturale de la 0 la 1000” în funcție de programa școlară de la clasa a III-a și a obiectivelor operaționale vizate în lecție.

  Testul de evaluare inițială are o funcție constatativă și reflectă volumul și calitatea cunoștințelor, deprinderilor si priceperilor dobândite de elevilor , constituind un punct de plecare în demersul formativ educativ.

Testul a fost aplicat ambelor eșantioane.

În funcție de aceste teste de evaluare voi adopta soluția corespunzătoare: organizarea învățării noului conținut prin folosirea strategiilor didactice moderne.

Conținutul testului a fost următorul:

Subiectul: Numerele naturale de la 0 la 1000

Completează calculatorul cu bile pentru a reprezenta numerele date:

2. Descompune în sute , zeci și unități numerele:

532 = 500 + 30 + 2 599 =

610 = 413=

709 = 200 =

3. Completează șirurile de numere:

a) 202, 204, 206,……….., …………, …………., …………., ………;

b) 420, 430, 440,……….., …………, …………., …………., ………;

c) 362, 360, 358,……….., ………….,………….., …………, ……….;

d) 350, 400, 450,……….., …………., …………., …………, ………. .

4. Ordonează următoarele numere: 821, 120, 925, 481, 712, 230.

a) crescător……………………………………………………………………………

b) descrescător………………………………………………………………………

5. Încercuiește cu roșu numerele pare și cu verde numerele impare din următorul șir de numere:

103, 600, 850, 287, 301, 333, 908.

6. Compară perechile de numere:

207…….109 123……..123 387…….386

435……..636 706……..607 942…….932

410……..401 825……..845 123…….132

826……..862 608……..628 896……..895

7. Completează:

a) Cel mai mic număr de trei cifre este: …………

b) Cel mai mare număr de trei cifre este: ………

c) Cel mai mic număr par de trei cifre diferite este: ………

d) Cel mai mare număr impar scris cu trei cifre identice este: ………

e) Răsturnatul lui 169 este: ……..

f) Trei numere consecutive care urmează după 235, ………., ……….., …………

g) Numerele care au cifra sutelor 4 și a unităților 2: ……………………………………………………………………………………………………………….

Evaluarea testelor s-a realizat pe baza descriptorilor de performanță enunțați mai jos:

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Am corectat testele și am analizat comparativ rezultatele. Situația calificativelor este următoarea:

Reprezentarea grafică este următoarea:

Clasa a III-a experimentală Clasa a III- a martor

Eșantionul experimental și eșantionul de control dupa testul inițial în procente.

   Clasa a III-a experimentală Clasa a III- a martor

Eșantionul experimental și eșantionul de control – procentaj de promovabilitate după testul inițial

Din analiza comparativă a rezultatelor obținute de cele două eșantioane la testul inițial s-a constatat că rezultatele pe clase sunt apropiate (83% esantionul experimental si 88  % eșantionul de control – procentajul de promovabilitate). Din punct de vedere a rezultatelor pe calificetive ,s-a constatat ca eșantionul de control a obținut un procentaj de 40% la "Foarte bine" ( 10 elevi), decât esantionul experimental care a obținut un procentaj de 37% (9 elevi); la "Bine" eșantionul de control a obținut un procentaj de 32% (8 elevi) decât cel experimental – 25%(6 elevi); la "Suficient" eșantionul de control  a obținut un procentaj de 16% (4 elevi), iar cel experimental a obținut procentajul de 21% (5 elevi), iar la ”Insuficient” eșantionul de control a obținut un procentaj de 12% (3 elevi), față de eșantionul experimental care a obținut procentajul de 17% echivalentul a 4 elevi.

Pornind de la această analiză mi-am propus ca în etapa de intervenție să proiectez activitățile matematice în așa fel încât să fie implicați toți elevii, în special cei care au obținut rezultate mai puțin bune. Am urmărit cu precădere asigurarea continuității procesului de învățare, accelerarea ritmului de lucru, sporirea cantității de muncă independentă și diferențiată, încurajarea colaborării între elevi pentru stimularea celor cu rezultate mai slabe.

La eșantionul de control/martor, lecțiile de matematica s-au desfășurat folosindu-se cu precădere metodele tradiționale.

b) Etapa intervenției experimentale

În etapa intervenției experimentale voi acționa numai asupra clasei experimentale.

Primul pas în reorganizarea instruirii l-a constituit aplicarea unor metode active, folosirea unor exerciții și jocuri cu un grad mai mare de complexitate, precum și efectuarea unui număr sporit de exerciții și probleme ce vizează numerația, care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitatea rezolvării cu ușurință a acestora.

Toate activitățile matematice propuse au avut ca scop atingerea obiectivelor de referință prevăzute în programa școlară pentru fiecare unitate de învățare.

Pentru a ușura înțelegerea și asimilarea cunoștințelor matematice, la lecția ”Citirea, compararea și ordonarea numerelor naturale de la 0 la 1000”, am plecat de la o poveste: Ne aflăm într-o pădure și ne-am cam rătăcit, dar prietenii noștri, animalele pădurii, ne vor ajuta să ajungem cu bine acasă.

Colectivul de elevi a fost împărțit în trei grupe egale, urmând a primi atât sarcini individuale cât și colective. Fiecare elev are în față câte o fișă pe care este desenat un traseu. Această fișă, dar de dimensiuni mai mari se află în și fața clasei. Elevii vor trasa drumul prin pădure , spre casă unind punctele corespunzătoare numerelor naturale de la 0 la 1000, în ordine crescătoare. Când vor ajunge la o sarcină a unui animăluț, aceasta va fi citită de un reprezentant al grupei și rezolvată la tablă și pe fișă.

Exemplu: ”Rița- Veverița, jucăușă din fire, sare mereu din două în două crengi. Știind că ea se află pe creanga 130, pe ce creangă se va afla după alte 5 salturi.

Elevii vor număra crescător din doi în doi, pentru a nota răspunsurile corecte în spațiile indicate. Ei vor preciza că aceste numere sunt numere pare.

Atât la matematică cât și la alte obiecte am folosit fișe cu conținut comun și sarcini unice, lasându-i pe elevi rezolve o parte sau toate exercițiile de pe fișă, potrivit nivelului de cunoștințe sau ritmului propriu de muncă, acest lucru oferindu-mi informații despre nivelul de pregătire al elevilor și despre lacunele pe care le au. Pentru cei cu lacune am folosit fișe de recuperare și ameliorare, iar pentru cei ce au rezolvat rapid și corect sarcinile de lucru, fișe de dezvoltare.

Am aplicat și fișe de lucru cu conținut și grad de dificultate diferit, acestea având rolul de a înlătura unele lacune existente în cunoștințele copiilor precum și antrenarea fiecăruia în rezolvarea sarcinilor pe măsura posibilităților intelectuale. Am realizat fișele în corelație cu obiectivele operaționale propuse.

Evaluarea pe baza unor fișe mi-a dat posibilitatea să acord asistență pe loc, sau să intervin cu un nou tip de ajutor.

Prin folosirea diverselor strategii și mijloace de învățământ i-am ajutate pe elevi să- și însușească volumul de cunoștințe necesar, potrivit particularităților de vârstă și individuale, iar prin evaluări permanente am ameliorat rămânerea în urmă la învățătură.

Am căutat să formulez cât mai variat sarcinile de lucru. În cadrul lecției ”Numere naturale de la 0 la 1000”, un model de fișă de lucru aplicată ar fi:

Citiți numerele: 359, 261, 503, 801, 710.

Scrieți cu cifre : trei sute cinci-

cinci nouăzeci și opt-

două cincizeci și unu-

Așezați în ordine crescătoare numerele:120, 650, 314, 201, 540, 206.

Stabiliți vecinii numerelor: 239, 450;

Comparați numerele:

202 222 306 369

501 501 125 152

Numărați de la 997 până la 899.

Matematica, prin excelență, fiind o știință a exercițiilor, am căutat ca exercițiile să fie diversificate și nu m-am limitat doar la cele din manual. Prin individualizarea și diferențierea activității, prin încurajări permanente am căutat să le sădesc elevilor în suflet bucuria succesului.

Am utilizat o varietate de forme de lucru și modalități de organizare activității de învățare (am alternat activitatea frontală cu cea independentă, pe grupe și individuală). Ținând cont de particularitățile fiecărui elev și de cerințele unice ale programei școlare, am formulat cerințe ce implică niveluri de efort diferite, cum ar fi: recunoaștere, reproducere, integrare, transfer, creativitate.

Pe parcursul lecțiilor susținute am urmărit:

comunicarea obiectivelor;

dialogul cu elevii;

feed- back-ul;

aprecierea și autoaprecierea;

învățarea regulilor, procedeelor, definițiilor;

exerciții aplicative de fixare.

Această etapă a cercetării și anume a intervenției ameliorative a avut un puternic caracter formativ. La sfârșitul ei am aplicat ambelor clase un test de evaluare.

Conținutul testului a fost următorul:

Subiectul: Numerele naturale de la 0 la 1000

a) Ordonează crescător numerele : 804 , 160 , 345 , 900 , 354 ;

………. , ………. , ………. , ………. , ………. ;

Ordonează descrescător numerele : 209 , 916 , 290 , 472 , 300 ;

………. , ………. , ………. , ………. , ………. ;

Scrie numerele:

a ) de la 597 până la 602 ;

………………………………………………………………..

b) cuprinse între 432 și 426 ;

……………………………………………………………….

c) pare ( cu soț) cuprinse între 873 și 885 ;

……………………………………………………………

Compară numerele , folosind unul din semnele > , < , =

236 235 728 316

560 650 499 499

920 300 400

Scrie cu litere numerele :

700 – ………………………………………………………

204 – ………………………………………………………

530 – ………………………………………………………

– ………………………………………………………

Continuă fiecare șir cu câte trei numere care respectă regula dată :

621 , 623 , 625 , …….. , …….. , ……..

850 , 840 , 830 , …….. , …….. , ……..

150 , 200 , 250 , …….. , …….. , ……..

Scrie numerele formate din sute, zeci și unități folosind cifrele 4 , 1 și 7 ,

scrise o singură dată ( trei cifre diferite).

…………………………………………………………………………………….

Găsește numerele scrise cu trei cifre în care :

numărul zecilor este cu 3 mai mare decât numărul sutelor ;

cifra unităților este 9 ;

……………………………………………………………………………………..

Evaluarea testelor s-a realizat pe baza descriptorilor de performanță enunțați mai jos:

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Reprezentarea grafică după testul de ameliorare este următoarea:

Clasa a III-a experimentală Clasa a III-a martor

Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul de ameliorare în procente.

Rezultatele comparative între cele două clase după al doilea test

În evaluarea făcută după cel de- al doilea test se observă o evoluție mai mare pentru clasa experimentală și o evoluție mai redusă pentru clasa martor. Astfel, rezultatele sunt:

pentru ”Foarte bine”, clasa experimentală a obținut un procentaj de 46% (11 elevi), iar clasa martor, un procentaj de 44% (11 elevi);

pentru ”Bine”, clasa experimentală a avut un procentaj de 29%, reprezentând 7 elevi, iar clasa martor a obținut 32%, echivalentul a 8 elevi;

pentru ”Suficient”, s-a obținut un procentaj de 17% ( 4 elevi) pentru clasa experimentală, iar pentru clasa martor – 16% sau 4 elevi;

pentru ”Insuficient”, clasa experimentală și clasa martor au avut câte 2 elevi s-au 8% fiecare.

Din datele de mai sus se pot trage următoarele concluzii: evoluția la clasa

experimentală se observă la calificativul ”Foarte bine” unde creșterea este de 11 procente față de testul inițial, dar cea mai vizibilă modificare se găsețte la calificativul ”Insuficient”, unde numărul elevilor s- a înjumătățit de la 4 la 2, existând astfel o creștere de 50% față de testul inițial. Așa cum se observă după al doilea test cele două clase au devenit foarte apropiat ca nivel al rezultatelor obținute.

Aceast lucru nu semnifică doar un progres în cunoștințele elevilor , ci și în capacitățile lor psiho-intelectuale, dat fiind și aportul metodelor didactice folosite și al abordării diferențiate.

Etapa evaluării

Această etapă constă în aplicarea unor teste de evaluare finală cu scopul de a compara rezultatele obținute după proiectarea și desfășurarea lecțiilor cu ajutorul metodelor activ- participative și a abordării diferențiate, cu rezultatele de la testele inițiale.

 În lecțiile dinaintea testului final s-a acordat o importanță deosebită eliminării lacunelor existente în pregătirea elevilor la matematică prin:

– continuarea aplicării metodelor activ participative și a abordării diferențiate ;

– stimularea motivației și crearea suportului afectiv necesar participării active la lecții;

– stimulări, aprecieri pozitive și recompense în calificative, diplome în caz de reușită;

– jocuri variate și concursuri pe echipe cu sarcini antrenante pentru toți menbrii echipei;

Cele enumerate mai sus au fost folosite pentru eșantionul experimental, în timp ce pentru eșantionul de control(martor) s-au repetat cu elevii noțiunile matematice pe care le rețin mai greu, folosindu-se mai des aceste noțiuni în exerciții și probleme la clasă și acasă.

 La testul de evaluare finală mi-am propus să urmăresc obiective asemănătoare cu cele de la testul inițial, cuprinzând însă și sarcini de mai mare dificultate.

Conținutul testului a fost următorul:

Subiectul: Numerele naturale de la 0 la 1000

1. Scrie cu cifre:

cinci sute treizeci și nouă;

patru sute opt;

opt sute douăzeci.

2. Scrie cu litere:

136 ________________________________ 117 __________________________

837 ________________________________ 305 __________________________

580 ________________________________ 1000 __________________________

3. Descompune și compune numerele:

4. Scrie în tabel numerele indicate prin săgeți:

5. Numără:

a) din 1 în 1;

438 _____ _____ _____ _____ 443 _____ _____ ;

703 _____ _____ _____ _____ 698 _____ _____ ;

b) din 2 în 2;

286 _____ _____ _____ _____ 296 _____ _____ ;

574 _____ _____ _____ 566 _____ _____ _____ ;

c) din 5 în 5;

885 _____ _____ _____ 905 _____ _____ _____ ;

410 _____ _____ _____ 390 _____ _____ _____ ;

d) din 10 în 10;

270 280 _____ _____ _____ _____ _____ _____ ;

440 430 _____ _____ _____ _____ _____ _____ .

6. Scrie în casete semnele: < ; > ; = ;

7. Încercuiește numărul la care se face rotunjirea:

a) la zeci;

b) la sute;

8. Ordonează crescător numerele:

829; 547; 88; 366; 579; 16; 940; 203; 154; 790.

_____; _____; _____; _____; _____; _____; _____; _____; _____; _____.

9. Barează numărul care nu respectă regula:

a) 111; 222; 333; 456; 555; 666; 777;

b) 326; 623; 236; 632; 362; 468; 263;

c) 112; 223; 334; 445; 567; 667; 778.

10. Încercuiește, apoi scrie numerele care sunt consecutive, din șirul de mai jos:

176; 235; 148; 177; 325; 648; 178; 195; 179; 132; 548; 729; 180; 905; 748; 181.

11. Scrie șase numere de trei cifre la care suma cifrelor să fie 9:

Evaluarea testelor s-a realizat pe baza descriptorilor de performanță enunțați mai jos:

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Am corectat testele și am analizat comparativ rezultatele. Situația calificativelor este următoarea:

Reprezentarea grafică după ultimul test este următoarea:

Clasa a III-a experimentală Clasa a III-a martor

Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul final, în procente

Analizând rezultatele înregistrate de mai sus e ușor de remarcat că numărul elevilor care au obținut rezultate foarte bune (54%) și bune (38%) a crescut semnificativ (13,respective 9 elevi). De asemenea absența rezultatelor nesatisfăcătoare dovedesc că elevii și-au însușit bine cunoștințele de la acest capitol , înțeleg și aplică regulile de bază ale sistemului zecimal, identifică ordinele și clasele unui număr dat, compară numerele formate din sute, zeci și unități, utilizând semnele <, >, =, ordonează crescător și descrescător numere date, scriu și citesc numere naturale mai mici sau egale cu 1000 folosind litere și cifre, rezolvă exerciții de rotunjire prin lipsă sau prin adaos. Cei 9 elevi care au obtinut calificativul "Bine" (38%) dovedesc același lucru, ei greșind din grabă și neatenție. Unele lacune le prezintă cei 2 elevi care au obtinut calificativul "Suficient"(8%). Ei dovedesc nesiguranță la rezolvarea exercițiilor și nu stăpânesc bine limbajul matematic.

Lipsa elevilor cu calificativul insuficient arată că scopul a fost atins, clasa având promovabilitate de 100%.

Pentru a putea interpreta mai bine datele obținute la testul final, voi reprezenta grafic, în paralel, rezultatele obținute de cele două eșantioane, eșantionul experimental, respectiv eșantionul de control ( martor).

Rezultatele comparative între cele două clase după testul final

Observând graficele ce reprezintă comparativ cele două eșantioane, după testul final, se constată că rezultatele pozitive obținute de primul eșantion sunt deasupra celor obținute de al doilea cu 5%. Aplicarea reguluilor de bază a sistemului zecimal al numerelor naturale și transpunerea limbajului din exerciții și probleme au fost bine însușite acolo unde tehnica de învățare a fost sprijinită de folosirea metodelor activ- participative și a abordării diferențiate.

4.4 Concluzii

Evaluarea a constituit o modalitate de analiză atât cantitativă cât și calitativă a rezultatelor învățării pe parcursul întregii etape experimentale .

În urma cercetării experimentale efectuate aș putea spune că utilizarea metodelor activ-participative și abordarea diferențiată satisface cerințele unui învățământ formativ, pentru că implică majoritatea elevilor, sporește gradul de motivație a învățării prin satisfacțiile pe care elevii le obțin prin rezultatele pozitive ale muncii lor.

          Progresul elevilor este scos în evidență de creșterea gradului de realizare a obiectivelor urmărite, creștere concretizată în mărimea valorii calificativelor pentru nivelul de cunoștinte și deprinderi atins. Convingătoare în acest sens este reprezentarea grafică.

          La orele de matematică și nu numai, am proiectat și realizat lecții la care elevii să participe cu plăcere și să-și însușească cunoștințele în funcție de posibilitățile lor intelectuale.

          Prin varietatea metodelor pe care le-am utilizat am reușit să realizez sarcina învățării, și anume: însușirea de cunoștinte matematice necesare etapelor următoare ale învățării matematicii.

          Prin testele aplicate am încercat să subliniez importanța metodelor activ-participative la orele de matematică și faptul că elevii rezolvă cu mai multă plăcere și interes exerciții și probleme care le sunt prezentate sub altă formă.

          Lecțiile care au avut în structura lor și un joc didactic matematic au asigurat participarea activă a elevilor la dobândirea și consolidarea cunoștințelor, formându-le elevilor deprinderi practice, intelectuale, atitudini, structuri de personalitate.        

  Din experiența didactică acumulată de-a lungul anilor, din experimentul realizat și din bibliografia studiată, pot spune că predarea-învățarea numerelor naturale are următoarele valențe:

          – formează deprinderi de muncă independentă și dezvoltă gândirea prin diversitatea situațiilor cărora trebuie să le facă față;

– favorizează dezvoltarea unei gândiri matematice creatoare ( gândire flexibilă, rapidă);

         – stimulează încrederea în forțele proprii, inițiativa, curajul;

         – formează priceperi și deprinderi practice. 

Pentru a încuraja potențialului creativ al elevilor, învățătorul trebuie să susțină evoluția acestuia, să intervină conștient și activ pentru îndepărtarea blocajelor obiective și subiective ale creativității elevilor, să preia și să dezvolte în mod organizat potențialul creativ al fiecărui copil.

          Este necesar ca învățătorul să cunoască cât mai bine potențialului psihologic de care dispune fiecare elev în parte. Măsurarea prin diferite probe și modalități a potențialului creativ al copiilor este utilă și necesară, iar aceste probe să aibă trei faze: inițială, intermediară (cu caracter ameliorativ) și finală – în intervalul de timp dintre ele lucrându-se intens cu elevii. Rezultatele intermediare, dar mai ales finale vor reda progresul elevilor în ceea ce privește însușirea cunoștințelor, dar și în ceea ce privește dezvoltarea capacităților creatoare. Aceste probe se pot aplica la început și la sfârșit de capitol, semestru sau an școlar.

          Rezultatele obținute, în special la probele inițiale și intermediare oferă informații care necesare la elaborarea măsurilor ameliorative pentru elevi. Școlarii cu capacități reduse de înțelegere și asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel reproductive și de cunoaștere pentru a-i ajuta să realizeze obiectivele programei, iar celor cu potențial creativ, li se vor crea condiții propice, în care să li se poată dezvolta capacitățile creative.

          Prin probele de evaluare se realizează un feed-back eficient. Învățătorul cunoaște despre fiecare elev ce știe și ce nu  știe din unitatea de învățare respectivă, iar elevii devin conștienți de ceea ce au realizat.

Un rol important în însușirea cunoștințelor îl are munca independentă. În activitatea independentă din clasă, trebuie avută în vedere și susținută învățarea în ritm propriu, deoarece într-o clasă există deosebiri individuale în ceea ce privește gândirea și ritmul de lucru.

Participarea conștientă și activă a elevilor în procesul de instruire este unul din cele mai importante principii ale didacticii și exprimă esența procesului învățării în accepția modernă, având cea mai mare pondere la realizarea eficienței formative a învățământului. Însușirea conștientă a cunoștințelor asigură durabilitatea lor, iar însușirea activă, prin efort propriu, duce la dezvoltarea intelectuală, a spiritului de independență, de investigație, de creativitate. A-i învăța pe elevi cum să învețe a fost și este un obiectiv major al școlii, de aceea un loc important în formarea și dezvoltarea la elevi a capacităților creatoare îl ocupă învățarea prin descoperire.

 Din experiența mea am ajuns la concluzia că matematica făcută doar cu ”creionul și hârtia”, cu ”tabla și creta” este mai puțin eficientă, dar prin utilizarea strategiilor didactice adecvate, capabile să trezească conștiința că există probleme matematice atrăgătoare, pentru înțelegerea cărora nu este nevoie de un talent special, micuții ”cercetași” descoperă adevăruri fascinante, incitante și atrăgătoare. Copiii sunt mai entuziasmați de aceste activități, au o colaborare bună între ei în rezolvarea sarcinilor, s-a dezvoltat spiritul de cooperare și întrajutorare.

Consider că scopul propus a fost confirmat și că predarea-învatarea numerației în concentrul 0- 1000 se datorează în mare parte atât capacităților intelectuale ale elevilor cât și însușirii corecte a metodelor diverse de predare a acestor cunoștinte.

Pe de altă parte, abordând în acest fel antrenarea elevilor în activitățile matematice am simțit o îmbunătățire a evoluției profesionale, dovedind că activitățile matematice standard trebuie să lase locul celor cu conținut și organizare variate.

BIBLIOGRAFIE

Aron, I., Metodica predării aritmeticii în clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, E.D.P., București, 1997

Aron, I., Herescu, I., Ghe., Aritmetica pentru învățători, E.D.P., București,1997

Aron, I., Herescu, I, Ghe. Dumitru, A., Matematica pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996

Ausubel, D.P. ; Robinson , F.G. – Învățarea școlară , o introducere în psihologia pedagogică, Editura Didactica si Pedagogica București 1981.

Bădescu, A., Iaurum, G., Să deslușim tainele matematicii, Editura Aramis, București, 2002

Câmpan, T. F., Vechi și nou în matematică, Editura Ion Creangă, București, 1987

Cerghit, I, Perfecționarea lecției în școala modernă, E.D.P., București. 1983

Cerghit, I, Radu, I, I, Popescu, E, Vlăsceanu, L, Didactica, manual pentru clasa

a X –a , școli normale. E.D.P., București, 1994

Chiran, R., Matematica prin joc, Editura Aramis, București, 2002

Consiliul Național pentru Curriculum, (2001) Curriculum Național, Programe școlare pentru învățământul primar, Timișoara

Cucoș, Constantintin și colaboratorii, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare în învățământ și grade didactice, Editura Polirom, Iași,1998

Drăgan, I., Nicola, I., Cercetare psihopedagogică, Editura Tipomur , Târgu Mureș, 1993

Dumitriu, Constanta , Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactica și Pedagogică, București 2004

Dumitru, A., Herescu Ghe., Matematică. Caietul elevului. Clasa I, Editura Didactică și Pedagogică, 1997

Dumitru, A., Dumitru, V., Activități transdisciplinare pentru grădiniță și învățământul primar, Editura Paralela 45, Pitești,2005

Dumitru, A., Herescu, Ghe., Matematică – Ghidul învățătorului, clasa I, E.D.P., București,1997

Dumitru, I. Al., Educație și învățare, Editura Eurostampa, Timișoara, 2001

Jinga, I., Istrate, E. Manual de pedagogie, Editura All Educational, București, 1998

Lupu, C, Săvulescu, D, Metodica predării matematicii, vol.I, Aritmetica și elemente de teoria numerelor, Litografia învățătorului, Timișoara, 1955

Molan, V., Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar, Editura Steaua Procion, București, 1997

Muster, D., Metodologia cercetării în educație și învățământ, Editura Litera, București, 1985

Neacșu, I. și colaboratorii, Metodica predării matematicii la clasele I- IV, manual pentru liceele pedagogice, clasele XI – XII, E.D.P., București, 1988

Neacșu, I, Metode și tehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, Bucureșt,i 1990

Oprescu, M.,Cocoșul albastru – caiet de matematică, clasa I, Editura Hieropolis, Timișoara, 2006

Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematică, Editura EURISTICA, Iași, 2002

Peti, A., Rădulescu, M., Stan, F., Ștefănescu, V., Matematica în ciclul primar, contribuții metodice, Pitești, 1997

Radu, I.T.- Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului, Editura Didactică și Pedagogică, București ,1981

Roșu M., Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din București, Editura CREDIS. 2004;

Strungă, C., Evaluarea școlară, Editura de Vest, Timișoara, 1999

Ungureanu, D. Copii cu dificultăți de învățare, E.D.P., București, 1998

Vodă, Ș., Joacă-te cu mine, Editura Aramis, București, 2002

www.editituraedu.ro

www.internet-at-work.com/hos_mcgrane/ancient_numbers/maths_menu.html

www.historyforkids.org/learn/greeks/science/math/numbers.htm-16k

www.didactic.ro

ANEXE

NUMĂRUL NATURAL

APLICAȚII

Exerciții și probleme utilizate în perioada numerației

Exerciții pregătitoare pentru formarea conceptului de număr natural

Adaugă tot atâtea elemente în mulțime câte îți arată bulinele din cadranul de mai jos:

Taie dacă ai mai multe elemente în mulțime decât îți arată numărul bulinelor:

Realizează corespondențe între cele două mulțimi:

Formează mulțimi de frunze

de aceeași culoare: b) de același fel: c) de aceeași mărime:

Numără elementele fiecărei mulțimi. Desenează atâtea buline în chenar câte elemente are fiecare mulțime

Colorează prima frunză, taie ultima frunză, încercuiește a treia frunză:

Numește mulțimile pe care le observi și, dacă știi, numărul de elemente al fiecăreia:

Numerele naturale 0-10

Adaugă sau elimină elemente:

Numerele naturale 0-10

Adaugă sau elimină elemente:

Scrie câte bile sunt în fiecare șir. Colorează-le!

Observă numărul frunzelor albe și gri apoi completează corect căsuțele:

Scrie vecinii numerelor:

Formează mulțimi de elemente. Unește fiecare mulțime cu cifra care corespunde numărului de elemente:

Colorează, pe fiecare coloană, atâtea elemente câte indică cifra din capul coloanei:

Scrie în casetele colorate vecinii numerelor:

Unește punctele în ordinea crescătoare a numerelor. Scrie numerele în ordine descrescătoare.

Scrie în ordine crescǎtoare numerele : 4 ; 2 ; 5 ; 0 ; 9 ; 7 ; 3 .

Scrie în ordine descrescǎtoare numerele : 4 ; 1; 6; 5; 9; 8; 2

Completează casetele cu numerele potrivite:

9 9 9 9 9 9

Colorează cu verde cercul în care este scris numărulul degetelor cu pereche si cu albastru pe cel în care este scris numărul celor fără pereche.

Formează perechi de pantofi si mănusi colorând diferit fiecare pereche. Scrie în căsuțe cu verde numărulul obiectelor cu pereche si cu albastru numărul celor fără pereche.

Numără fructele si scrie cifra în căsută: cu verde numerele cu pereche (pare) si cu albastru pe cele fără pereche (impare). Colorează numai imaginile în care sunt un număr par de fructe (cu pereche) mai mic decât 4.

Scrie numărul potrivit:

Numerele naturale 0-20

Scrie numerele cuprinse între 10 și 20 formate cu cifrele 0, 5, 3, 1, 7, 9.

Scrie „vecinii” numerelor:

14 16 11 17

13 11 19 14

Scrie numerele de pe oamenii de zăpadă în ordine crescătoare apoi în ordine descrescătoare:

Ordonați crescător numerele : 17 , 13 , 20 , 11 , 16 , 19 .

………………………………………………………………………………………..

Ordonați descrescător numerele : 10, 18 , 14 , 12, 9 , 15 .

………………………………………………………………………………………..

Încercuiește numărul mai mic:

17 , 18 13 , 12 16 , 12

15 , 14 18 , 19 15 , 19

13 , 11 14 , 10 18 , 18

Stabiliți vecinii numerelor :

… 14 … … 16 … … 19 …

… 11 … … 18 … … 13 …

… 16 … … 17 … … 12 …

Descompuneți numerele după modelul : 15 = 10 + 5

13= ………….. 12= ……………

14= ………….. 18 = …………..

19= …………. 17= ……………

Formează numerele de la 10 la 20 cu ajutorul rigletelor din trusă, apoi observă imaginile . Coloreză rigletele folosind culorile rigletelor din trusă. Completează casetele pentru a scrie numărul format.

Pune numerele date în ordine crescătoare / descrescătoare:

Numerele naturale 0-100

Descompune și compune, după caz:

37 82

30

60 4

Încercuiește numărul mai mic: Încercuiește numărul mai mare:

a) 72 27 42 a) 95 98 18

b) 82 87 28 b) 54 45 25

Numără de la 47 la 54:

Numără de la 83 la 75:

Numără din 5 în 5 de la 40 la 75:

Numără din 2 în 2 de la 52 la 64:

Scrie toate numerele de două cifre cu cifra zecilor 8:

Ordonează crescător, apoi descrescător numerele:

42, 37, 18, 24, 73

Colorează cu galben cifra zecilor și cu albastru cifra unităților, următoarelor numere:

42, 90, 87, 99, 31, 75, 84, 62

Scrie toate numerele naturale de două cifre care au :

a) cifra zecilor 8 ; ___________________________________________________________

b) cifra unităților 0 ; ___________________________________________________________

c ) cifra zecilor identică cu cifra unităților . ______________________________________________

Scrie toate numerele de două cifre care se pot forma cu cifrele 7 , 4

Cine stă pe frunza de nufăr?(unește punctele în ordine crescătoare

Comparați numerele, utilizând semnele <, >, =

27 72 13 31 47 47 21 12

15 51 50 50 18 81 16 15

36 37 70 50 91 19 82 28

Subliniază numerele:

pare: 23, 42, 54, 61, 35, 58, 66, 59, 22, 84, 96, 100,50, 64,20;

impare: 24, 51, 67, 25, 34, 59, 31, 68, 75, 71, 17, 100, 30, 33, 29;

Compune numerele:

20 și 8_____ 60 și 7 ______ 6 și 50_____

9 și 90_____ 50 și 9 ______ 8 și 70_____

7 și 80_____ 40 și 6 ______ 30 și 9_____

Descompune numerele:

37 41 88 65 27

Continuă șirul:

10, 20 ___, 40, ___, ____, ____, 80, ____, 100

100, ___, ___, ____, ___, 50, ___, ___, ___, 10

Scrie toate numerele formate numai din zeci până la 100:

Scrie în ordine crescătoare numerele:

80; 20; 60; 40; 50; 30.

Numerele naturale 0-1000

Scrie și citește numerele reprezentate pe numărătoare.

Colorează cu roșu bilele care indică sutele, cu verde zecile și cu albastru unitățile!

Scrie cu cifre numerele date:

Încercuiește:

a) cifra care arată numărul zecilor:

b) cifra care arată numărul sutelor:

cifra care arată numărul unităților:

Scrie toate numerele care se pot forma folosind, o singură dată, cu fiecare dintre cifrele 2, 8 și 5.

285 = două sute optzeci și cinci ……..=…………………………………..

…… = ……………………………… ……=…………………………

……=……………………………….. ……=…………………………

Numără crescător / descrescător:

103,_____,_____,_____,_____,_____,_____,_____,____,112,____,_____,_____,116

350,_____,_____,_____,_____,_____,_____,_____,358,_____,_____,_____,_____363

900,_____,_____,_____,_____,_____,906,_____,_____,_____,_____,_____,_____,913

459,_____,_____,_____,455,_____,_____,_____,_____,450

Compară numerele: >,<,=

459 859 631 631 421 124 899 898

333 222 859 436

254 638 256

Descompune după modelul dat:

431 = 4 sute 3 zeci și 1 unități

684 =

542=

555=

897=

432=

Colorați cu galben căsuța cu numărul scris corect :

Numerele naturale 0-1 000 000

Citiți cele 10 numere din tabel și apoi scrieți și voi 10 exemple.

Scrieți ordinul și clasa fiecărei cifre din următoarele exemple :

35 842 – 2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

8 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

5 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

– ordinul ………………… , clasa ………………. ;

b) 842 508 – 8 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

5 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

– ordinul ………………… , clasa ………………. ;

b) 906 240 – 0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

6 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

9 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

În numărul 175 029 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile – … .

În numărul 908 301 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – .… ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile- ……;

În numărul 101 300 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile – … ;

În numărul 580 410 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile- …..;

Citește,apoi precizează ce reprezintă fiecare cifră a numerelor :

a) 50 107 ; b) 3 450 ; c) 803 270 .

Ce reprezintă cifra 2 în scrierea numerelor :

a) 12 345 ; b) 14 425 ; c) 21 345 .

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

Observă tebelul , apoi stabilește :

zecile de mii ale numărului care reprezintă scrisorile expediate în 1 995 ;

unitățile de mii ale numărului care reprezintă scrisorile expediate în fiecare an

Care sunt numerele mai mici cu o unitate ; respectiv mai mari cu o unitate decât :

10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000 ; 100 000 ; 1 000 000 .

………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………..

Scrie numerele potrivite pentru ca fiecare relație să fie adevărată :

83 589 a3 589 ; 47 387 47 a87 ; 38 772 38 7a2 ;

………………………………………………………………………………………………………………..

3b 839 37 839 ; ab 845 45 847 ; 232 569 23b 569.

…………………………………………………………………………………………………………………

Scrie în ordine crescătoare , apoi descrescătoare numerele :

a) 1 000 ; 100 000 ; 100 ; 10 ; 10 000 ; 1 000 000 ;

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

b) 397 ; 39 797 ; 97 397 ; 739 ; 397 973 ; 739 397 .

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

Completează pe caiet tabelul !

Stabilește care propoziții sunt adevărate și care unt false.Explică fiecare caz !

Aproximând la zeci numărul 237 se obține 240 .

…………………………………………………………………………………………………….

Numărul 38 267 aproximat la mii ne dă 38 000.

……………………………………………………………………………………………………

Prin 2 740 se aproximează la zeci numărul 2 737.

……………………………………………………………………………………………………

Aproximând la sute numărul 37 429 se găsește 37 500.

……………………………………………………………………………………………………

Numărul 10 098 se aproximează prin 10 000.

……………………………………………………………………………………………………

Alege aproximarea corectă ! Explică fiecare caz !

a) 3 206 : 3 200 , 3 306 ; b) 50 552 : 50 600 , 50 500 ;

c) 428 400 : 428 000 , 429 000 ; c) 475 403 : 470 000 , 470 400.

Scrierea cu cifre romane

Scrieți cu cifre romane numerele:

26 57 450 1200

38 99 137 2012

Transformă după model următoarele numere romane:

Exemplu : MCMLXXI =1971

MCMLXI = DLV=

MMXI = XCIV=

MCML = DCII=

Realizează corespondența:

12

47

130

569

1600

2000

Completează orele ceasului cu numere romane.

În fiecare rând eliminați un singur chibrit pentru a face exercițiile corecte.

Ordonează crescător numerele: XX, L, XIX, XXXIX, XVIII, XCVIII, C, MCC, CMCCCLI, DC, III, I, VIII, XX.

____________________________________________________________________

Ștefan cel Mare a domnit in Moldova, între anii MCDLVII și MDIV, iar Mircea cel Batrân, în Țara Românească, între anii MCCCLXXXVI și MCDXVIII.

Care dintre domnitori a domnit mai mult și cu cât?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

Nr. naturale de la 0 la 10

Scrie după dictare:

Scrie numerele dictate în ordine crescătoare, apoi în ordine descrescătoare:

Încercuiește cifra care se potrivește:

Completează cu atâtea elemente câte îți indică cifra:

Colorează cu roșu numărul mai mic, cu albastru numărul mai mare și cu verde numerele egale:

Compune și descompune numerele date:

Scrie în casete numerele corespunzătoare:

Încercuiește numerele:

a) mai mari decât 6: 5; 8; 6; 9; 3; 0; 10;

b) mai mici decât 4: 7; 2; 4; 5; 3; 0; 1.

Colorează cu roșu merele cu numere pare și cu galben merele cu numere impare:

10.Câte sunt din fiecare fel? Completează tabelul, apoi colorează.

Ajută-l pe Alex să ajungă la cadouri!

Capacitatea: 1. Numerele naturale de la 0 la 10

Obiective operaționale:

O1: – să scrie corect numere de la 0 la 10, după dictare;

O2: – să ordoneze crescător și descrescător numerele dictate;

O3: – să asocieze numărul corect unei mulțimi de obiecte;

O4: – să completeze mulțimi cu numărul de elemente indicat de cifră;

O5: – să stabilească corect relațiile „mai mic”, „mai mare”, „egal”;

O6: – să compună și să descompună numere date;

O7: – să completeze șiruri date cu numerele care lipsesc;

O8: – să identifice numere mai mari sau mai mici raportate la un număr dat;

O9: – să selecteze numere pare și impare folosind culoarea indicată;

O10: – să completeze un tabel cu numărul de elemente de același fel.

Descriptori de performanță :

Realizarea obiectivelor

Aprecierea cu calificative;

Greșeli frecvente:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Măsuri ameliorative:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIE

Aron, I., Metodica predării aritmeticii în clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, E.D.P., București, 1997

Aron, I., Herescu, I., Ghe., Aritmetica pentru învățători, E.D.P., București,1997

Aron, I., Herescu, I, Ghe. Dumitru, A., Matematica pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996

Ausubel, D.P. ; Robinson , F.G. – Învățarea școlară , o introducere în psihologia pedagogică, Editura Didactica si Pedagogica București 1981.

Bădescu, A., Iaurum, G., Să deslușim tainele matematicii, Editura Aramis, București, 2002

Câmpan, T. F., Vechi și nou în matematică, Editura Ion Creangă, București, 1987

Cerghit, I, Perfecționarea lecției în școala modernă, E.D.P., București. 1983

Cerghit, I, Radu, I, I, Popescu, E, Vlăsceanu, L, Didactica, manual pentru clasa

a X –a , școli normale. E.D.P., București, 1994

Chiran, R., Matematica prin joc, Editura Aramis, București, 2002

Consiliul Național pentru Curriculum, (2001) Curriculum Național, Programe școlare pentru învățământul primar, Timișoara

Cucoș, Constantintin și colaboratorii, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare în învățământ și grade didactice, Editura Polirom, Iași,1998

Drăgan, I., Nicola, I., Cercetare psihopedagogică, Editura Tipomur , Târgu Mureș, 1993

Dumitriu, Constanta , Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactica și Pedagogică, București 2004

Dumitru, A., Herescu Ghe., Matematică. Caietul elevului. Clasa I, Editura Didactică și Pedagogică, 1997

Dumitru, A., Dumitru, V., Activități transdisciplinare pentru grădiniță și învățământul primar, Editura Paralela 45, Pitești,2005

Dumitru, A., Herescu, Ghe., Matematică – Ghidul învățătorului, clasa I, E.D.P., București,1997

Dumitru, I. Al., Educație și învățare, Editura Eurostampa, Timișoara, 2001

Jinga, I., Istrate, E. Manual de pedagogie, Editura All Educational, București, 1998

Lupu, C, Săvulescu, D, Metodica predării matematicii, vol.I, Aritmetica și elemente de teoria numerelor, Litografia învățătorului, Timișoara, 1955

Molan, V., Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar, Editura Steaua Procion, București, 1997

Muster, D., Metodologia cercetării în educație și învățământ, Editura Litera, București, 1985

Neacșu, I. și colaboratorii, Metodica predării matematicii la clasele I- IV, manual pentru liceele pedagogice, clasele XI – XII, E.D.P., București, 1988

Neacșu, I, Metode și tehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, Bucureșt,i 1990

Oprescu, M.,Cocoșul albastru – caiet de matematică, clasa I, Editura Hieropolis, Timișoara, 2006

Pârâială, V., Pârâială, C., Pârâială, D., Matematică, Editura EURISTICA, Iași, 2002

Peti, A., Rădulescu, M., Stan, F., Ștefănescu, V., Matematica în ciclul primar, contribuții metodice, Pitești, 1997

Radu, I.T.- Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului, Editura Didactică și Pedagogică, București ,1981

Roșu M., Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din București, Editura CREDIS. 2004;

Strungă, C., Evaluarea școlară, Editura de Vest, Timișoara, 1999

Ungureanu, D. Copii cu dificultăți de învățare, E.D.P., București, 1998

Vodă, Ș., Joacă-te cu mine, Editura Aramis, București, 2002

www.editituraedu.ro

www.internet-at-work.com/hos_mcgrane/ancient_numbers/maths_menu.html

www.historyforkids.org/learn/greeks/science/math/numbers.htm-16k

www.didactic.ro

ANEXE

NUMĂRUL NATURAL

APLICAȚII

Exerciții și probleme utilizate în perioada numerației

Exerciții pregătitoare pentru formarea conceptului de număr natural

Adaugă tot atâtea elemente în mulțime câte îți arată bulinele din cadranul de mai jos:

Taie dacă ai mai multe elemente în mulțime decât îți arată numărul bulinelor:

Realizează corespondențe între cele două mulțimi:

Formează mulțimi de frunze

de aceeași culoare: b) de același fel: c) de aceeași mărime:

Numără elementele fiecărei mulțimi. Desenează atâtea buline în chenar câte elemente are fiecare mulțime

Colorează prima frunză, taie ultima frunză, încercuiește a treia frunză:

Numește mulțimile pe care le observi și, dacă știi, numărul de elemente al fiecăreia:

Numerele naturale 0-10

Adaugă sau elimină elemente:

Numerele naturale 0-10

Adaugă sau elimină elemente:

Scrie câte bile sunt în fiecare șir. Colorează-le!

Observă numărul frunzelor albe și gri apoi completează corect căsuțele:

Scrie vecinii numerelor:

Formează mulțimi de elemente. Unește fiecare mulțime cu cifra care corespunde numărului de elemente:

Colorează, pe fiecare coloană, atâtea elemente câte indică cifra din capul coloanei:

Scrie în casetele colorate vecinii numerelor:

Unește punctele în ordinea crescătoare a numerelor. Scrie numerele în ordine descrescătoare.

Scrie în ordine crescǎtoare numerele : 4 ; 2 ; 5 ; 0 ; 9 ; 7 ; 3 .

Scrie în ordine descrescǎtoare numerele : 4 ; 1; 6; 5; 9; 8; 2

Completează casetele cu numerele potrivite:

9 9 9 9 9 9

Colorează cu verde cercul în care este scris numărulul degetelor cu pereche si cu albastru pe cel în care este scris numărul celor fără pereche.

Formează perechi de pantofi si mănusi colorând diferit fiecare pereche. Scrie în căsuțe cu verde numărulul obiectelor cu pereche si cu albastru numărul celor fără pereche.

Numără fructele si scrie cifra în căsută: cu verde numerele cu pereche (pare) si cu albastru pe cele fără pereche (impare). Colorează numai imaginile în care sunt un număr par de fructe (cu pereche) mai mic decât 4.

Scrie numărul potrivit:

Numerele naturale 0-20

Scrie numerele cuprinse între 10 și 20 formate cu cifrele 0, 5, 3, 1, 7, 9.

Scrie „vecinii” numerelor:

14 16 11 17

13 11 19 14

Scrie numerele de pe oamenii de zăpadă în ordine crescătoare apoi în ordine descrescătoare:

Ordonați crescător numerele : 17 , 13 , 20 , 11 , 16 , 19 .

………………………………………………………………………………………..

Ordonați descrescător numerele : 10, 18 , 14 , 12, 9 , 15 .

………………………………………………………………………………………..

Încercuiește numărul mai mic:

17 , 18 13 , 12 16 , 12

15 , 14 18 , 19 15 , 19

13 , 11 14 , 10 18 , 18

Stabiliți vecinii numerelor :

… 14 … … 16 … … 19 …

… 11 … … 18 … … 13 …

… 16 … … 17 … … 12 …

Descompuneți numerele după modelul : 15 = 10 + 5

13= ………….. 12= ……………

14= ………….. 18 = …………..

19= …………. 17= ……………

Formează numerele de la 10 la 20 cu ajutorul rigletelor din trusă, apoi observă imaginile . Coloreză rigletele folosind culorile rigletelor din trusă. Completează casetele pentru a scrie numărul format.

Pune numerele date în ordine crescătoare / descrescătoare:

Numerele naturale 0-100

Descompune și compune, după caz:

37 82

30

60 4

Încercuiește numărul mai mic: Încercuiește numărul mai mare:

a) 72 27 42 a) 95 98 18

b) 82 87 28 b) 54 45 25

Numără de la 47 la 54:

Numără de la 83 la 75:

Numără din 5 în 5 de la 40 la 75:

Numără din 2 în 2 de la 52 la 64:

Scrie toate numerele de două cifre cu cifra zecilor 8:

Ordonează crescător, apoi descrescător numerele:

42, 37, 18, 24, 73

Colorează cu galben cifra zecilor și cu albastru cifra unităților, următoarelor numere:

42, 90, 87, 99, 31, 75, 84, 62

Scrie toate numerele naturale de două cifre care au :

a) cifra zecilor 8 ; ___________________________________________________________

b) cifra unităților 0 ; ___________________________________________________________

c ) cifra zecilor identică cu cifra unităților . ______________________________________________

Scrie toate numerele de două cifre care se pot forma cu cifrele 7 , 4

Cine stă pe frunza de nufăr?(unește punctele în ordine crescătoare

Comparați numerele, utilizând semnele <, >, =

27 72 13 31 47 47 21 12

15 51 50 50 18 81 16 15

36 37 70 50 91 19 82 28

Subliniază numerele:

pare: 23, 42, 54, 61, 35, 58, 66, 59, 22, 84, 96, 100,50, 64,20;

impare: 24, 51, 67, 25, 34, 59, 31, 68, 75, 71, 17, 100, 30, 33, 29;

Compune numerele:

20 și 8_____ 60 și 7 ______ 6 și 50_____

9 și 90_____ 50 și 9 ______ 8 și 70_____

7 și 80_____ 40 și 6 ______ 30 și 9_____

Descompune numerele:

37 41 88 65 27

Continuă șirul:

10, 20 ___, 40, ___, ____, ____, 80, ____, 100

100, ___, ___, ____, ___, 50, ___, ___, ___, 10

Scrie toate numerele formate numai din zeci până la 100:

Scrie în ordine crescătoare numerele:

80; 20; 60; 40; 50; 30.

Numerele naturale 0-1000

Scrie și citește numerele reprezentate pe numărătoare.

Colorează cu roșu bilele care indică sutele, cu verde zecile și cu albastru unitățile!

Scrie cu cifre numerele date:

Încercuiește:

a) cifra care arată numărul zecilor:

b) cifra care arată numărul sutelor:

cifra care arată numărul unităților:

Scrie toate numerele care se pot forma folosind, o singură dată, cu fiecare dintre cifrele 2, 8 și 5.

285 = două sute optzeci și cinci ……..=…………………………………..

…… = ……………………………… ……=…………………………

……=……………………………….. ……=…………………………

Numără crescător / descrescător:

103,_____,_____,_____,_____,_____,_____,_____,____,112,____,_____,_____,116

350,_____,_____,_____,_____,_____,_____,_____,358,_____,_____,_____,_____363

900,_____,_____,_____,_____,_____,906,_____,_____,_____,_____,_____,_____,913

459,_____,_____,_____,455,_____,_____,_____,_____,450

Compară numerele: >,<,=

459 859 631 631 421 124 899 898

333 222 859 436

254 638 256

Descompune după modelul dat:

431 = 4 sute 3 zeci și 1 unități

684 =

542=

555=

897=

432=

Colorați cu galben căsuța cu numărul scris corect :

Numerele naturale 0-1 000 000

Citiți cele 10 numere din tabel și apoi scrieți și voi 10 exemple.

Scrieți ordinul și clasa fiecărei cifre din următoarele exemple :

35 842 – 2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

8 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

5 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

– ordinul ………………… , clasa ………………. ;

b) 842 508 – 8 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

5 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

– ordinul ………………… , clasa ………………. ;

b) 906 240 – 0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

4 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

2 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

6 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

0 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

9 – ordinul ………………… , clasa ………………. ;

În numărul 175 029 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile – … .

În numărul 908 301 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – .… ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile- ……;

În numărul 101 300 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile – … ;

În numărul 580 410 specificați care este cifra care reprezintă :

a ) zecile de mii – … ; b ) unitățile de mii – … ; c ) sutele – … ;

d ) unitățile – …; e ) sutele de mii – … ; f ) zecile- …..;

Citește,apoi precizează ce reprezintă fiecare cifră a numerelor :

a) 50 107 ; b) 3 450 ; c) 803 270 .

Ce reprezintă cifra 2 în scrierea numerelor :

a) 12 345 ; b) 14 425 ; c) 21 345 .

……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

Observă tebelul , apoi stabilește :

zecile de mii ale numărului care reprezintă scrisorile expediate în 1 995 ;

unitățile de mii ale numărului care reprezintă scrisorile expediate în fiecare an

Care sunt numerele mai mici cu o unitate ; respectiv mai mari cu o unitate decât :

10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000 ; 100 000 ; 1 000 000 .

………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………..

Scrie numerele potrivite pentru ca fiecare relație să fie adevărată :

83 589 a3 589 ; 47 387 47 a87 ; 38 772 38 7a2 ;

………………………………………………………………………………………………………………..

3b 839 37 839 ; ab 845 45 847 ; 232 569 23b 569.

…………………………………………………………………………………………………………………

Scrie în ordine crescătoare , apoi descrescătoare numerele :

a) 1 000 ; 100 000 ; 100 ; 10 ; 10 000 ; 1 000 000 ;

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

b) 397 ; 39 797 ; 97 397 ; 739 ; 397 973 ; 739 397 .

……………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………..

Completează pe caiet tabelul !

Stabilește care propoziții sunt adevărate și care unt false.Explică fiecare caz !

Aproximând la zeci numărul 237 se obține 240 .

…………………………………………………………………………………………………….

Numărul 38 267 aproximat la mii ne dă 38 000.

……………………………………………………………………………………………………

Prin 2 740 se aproximează la zeci numărul 2 737.

……………………………………………………………………………………………………

Aproximând la sute numărul 37 429 se găsește 37 500.

……………………………………………………………………………………………………

Numărul 10 098 se aproximează prin 10 000.

……………………………………………………………………………………………………

Alege aproximarea corectă ! Explică fiecare caz !

a) 3 206 : 3 200 , 3 306 ; b) 50 552 : 50 600 , 50 500 ;

c) 428 400 : 428 000 , 429 000 ; c) 475 403 : 470 000 , 470 400.

Scrierea cu cifre romane

Scrieți cu cifre romane numerele:

26 57 450 1200

38 99 137 2012

Transformă după model următoarele numere romane:

Exemplu : MCMLXXI =1971

MCMLXI = DLV=

MMXI = XCIV=

MCML = DCII=

Realizează corespondența:

12

47

130

569

1600

2000

Completează orele ceasului cu numere romane.

În fiecare rând eliminați un singur chibrit pentru a face exercițiile corecte.

Ordonează crescător numerele: XX, L, XIX, XXXIX, XVIII, XCVIII, C, MCC, CMCCCLI, DC, III, I, VIII, XX.

____________________________________________________________________

Ștefan cel Mare a domnit in Moldova, între anii MCDLVII și MDIV, iar Mircea cel Batrân, în Țara Românească, între anii MCCCLXXXVI și MCDXVIII.

Care dintre domnitori a domnit mai mult și cu cât?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

Nr. naturale de la 0 la 10

Scrie după dictare:

Scrie numerele dictate în ordine crescătoare, apoi în ordine descrescătoare:

Încercuiește cifra care se potrivește:

Completează cu atâtea elemente câte îți indică cifra:

Colorează cu roșu numărul mai mic, cu albastru numărul mai mare și cu verde numerele egale:

Compune și descompune numerele date:

Scrie în casete numerele corespunzătoare:

Încercuiește numerele:

a) mai mari decât 6: 5; 8; 6; 9; 3; 0; 10;

b) mai mici decât 4: 7; 2; 4; 5; 3; 0; 1.

Colorează cu roșu merele cu numere pare și cu galben merele cu numere impare:

10.Câte sunt din fiecare fel? Completează tabelul, apoi colorează.

Ajută-l pe Alex să ajungă la cadouri!

Capacitatea: 1. Numerele naturale de la 0 la 10

Obiective operaționale:

O1: – să scrie corect numere de la 0 la 10, după dictare;

O2: – să ordoneze crescător și descrescător numerele dictate;

O3: – să asocieze numărul corect unei mulțimi de obiecte;

O4: – să completeze mulțimi cu numărul de elemente indicat de cifră;

O5: – să stabilească corect relațiile „mai mic”, „mai mare”, „egal”;

O6: – să compună și să descompună numere date;

O7: – să completeze șiruri date cu numerele care lipsesc;

O8: – să identifice numere mai mari sau mai mici raportate la un număr dat;

O9: – să selecteze numere pare și impare folosind culoarea indicată;

O10: – să completeze un tabel cu numărul de elemente de același fel.

Descriptori de performanță :

Realizarea obiectivelor

Aprecierea cu calificative;

Greșeli frecvente:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Măsuri ameliorative:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________