Folosirea integralei [310826]

Folosirea integralei

în determinarea ariilor și volumelor

CUPRINS

Introducere………………………………………………… 5

Cap.I. Integrala nedefinită și integrala definită.

Proprietăți………………………….……… 9

Cap.II. Arii și volume.Măsura Jordan………… 41

BIBLIOGRAFIE……………………………………….. 55

Introducere

Lucrarea noastra își propune să trateze pe larg cele mai importante arii si volume în geometria euclidiană.

[anonimizat], care are proprietatea de “aditivitate față de mulțime” se poate exprima printr-o integrală; acestă afirmație nu este o teoremă, dar va fi testată prin introducerea noțiunilor de: arie a [anonimizat]. Noțiunile de "arie" și "volum" se pot defini în mod riguros cu ajutorul integralelor.

[anonimizat] o generalizare a [anonimizat], volum și sumă. Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea de

primitivă a funcție F a cărei derivată este funcția dată f. [anonimizat]. [anonimizat]. Prin teorema fundamentală a [anonimizat]-o [anonimizat], iar integrala definită a unei funcții poate fi ușor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. [anonimizat].

[anonimizat]:

În Capitolul I se face o prezentare a integralei nedefinite și a integralei definite precum si proprietățile lor.

Capitolul II prezintă o prezentare mai generală a ariilor și volumelor precum și măsura Jordan.

Introduction

This research’s goal is to analyze the most important areas and volumes found in Euclidean geometry. [anonimizat], which has the property of "additively to the crowd" can be expressed by using an integral. This statement is not a theorem, but will be tested by using introducing concepts such as: the area of a [anonimizat] a body that revolves in space. The notion of ’’ area’’ and "volume “[anonimizat], in a [anonimizat]. In mathematical analysis an full’s function is a [anonimizat], volume and amount. The term "full" may also refer to the basic notion of a function F, whose derivative is the given function f. [anonimizat]. The Integration principles were laid down by Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz in the late seventeenth century. [anonimizat], full is related to the derivative and definite integral of a function that can be easily calculated once the individual has a basic knowledge of her. [anonimizat]. [anonimizat]: Chapter I is an presentation of both the integral and the indefinite integral defined by their properties. Chapter II presents a more general presentation of areas and volumes and Jordan’s measurements.

Cap.I. Integrala nedefinită

și integrala definită. Proprietăți

Integrala nedefinită

Acest capitol introduce idea de bază despre două feluri de integrale.  În această secțiune, și în alte locuri, uneori ne referim la “ funcția ” sau la “ funcția care are valorile ” în locul funcției f care, pentru fiecare x din unele intervale, are valoarea .  Este foarte adevărat că de multe ori este dată o funcție și ne interesează sau y sau pentru care:

Unde x aparține unui interval.Înainte de a discuta această situație, introducem notarea care este universală folosită.În cazul lui sau y este o funcție pentru care avem simbolul din formula:

.

Semnul integralei f este un S alungit, f (x) se numește integrand, și ne spune că instrumentele derivate în raport cu x sunt implicate. Această chestiune se dovedește a fi atât de importantă încât trebuie să ne amintim continu definiția care urmează.

Definiția 1. Integrala nedefinita din formula

este o funcție care derivată in funcție de x este derivata integralei f(x); cu alte cuvinte, formula:

.

De exemplu ,

Ne reamintim că derivata lui este 2x. Poate fi demonstrata fiind data o funcție y va sadisface formula de mai sus daca si numai daca exista o constanta c pentru care

.

Astfel ca:

Teorema 1. Dacă două funcții si au aceeași derivată pe un interval, atunci ele diferă printr-o constanta:

Considerăm ca informația este cuprinsă în această formulă:

În care este una dintre funcțiile particulare a cărui derivată in funcție de x pe un interval este integrala din funcția Asta ne spune că pentru orice valoare a lui c, , există o funcție y care derivată în funcție de x este integrala din .

În cazul în care și a,b sunt constante formula diferențialei arată astfel:

și

Aceste integrale ne spun că ” integrala sumelor este suma integralelor ” și constantele pot fi mutate înfața integralei.

În continuare vom scrie câte două versiuni pentru fiecare dintre cele mai simple cinci integrale dar și cele mai folosite:

În formulele din coloana a doua, este presupus a fii o funcție diferțiabila a lui x.

Pentru a ințelege mai bine urmărim câteva exemple particulare:

Pentru a obține formula:

Este nevoie să integram în partea stângă folosind formula 5) astfel:

,

Deci

Integralele apar în multe situații practice. Să considerăm un bazin. Dacă este dreptunghiular, atunci din lungimea, lățimea și adâncimea lui se poate determina cu ușurință volumul de apă pe care-l poate conține, suprafața lui, și lungimea muchiei. Dar dacă bazinul este oval și are și fundul rotunjit, calculul acestor cantități necesită integrale. Aproximările practice pot fi la început suficiente dar în cele din urmă sunt necesare soluții riguroase ale acestor probleme.

Fig. 1.1

Aproximări ale integralei funcției de la 0 la 1, cu 5 probe (sus) și  12 probe (jos)

Pentru început, să considerăm curba între și , cu Întrebarea este:

Care este aria de sub graficul lui, pe intervalul de la 0 la 1?

să numim această arie integrala lui f. Notația pentru această integrală este .

Într-o primă aproximare, ne uităm la pătratul unitar dat de laturile la și și. Aria sa este exact 1. Se pare că valoarea reală a integralei trebuie să fie puțin mai mică. Scăzând lungimea dreptunghiurilor de aproximare se obține un rezultat mai bun; deci dacă împărțim intervalul în cinci pași, folosind punctele de aproximare ,și tot așa până la 1.

Dacă construim pentru fiecare pas câte un dreptunghi cu înălțimea egală cu valoarea la capătul din dreapta al bucății de curbă corespunzător, respectiv , și tot așa până la . Însumând ariile acestor dreptunghiuri, se obține o aproximare mai bună a integralei, și anume

Se observă că luăm o sumă de un număr finit de valori ale funcției f, înmulțite cu diferența dintre două puncte consecutive de aproximare. Se vede ușor că aproximarea este încă prea largă. Folosirea mai multor pași produce o aproximare mai bună, dar nu vom fi niciodată exacți: înlocuind cele cinci subintervale cu douăsprezece subintervale, se obține o valoare aproximativă pentru arie de 0,6203, care este prea mică. Ideea esențială este tranziția de la a aduna un număr finit de distanțe dintre puncte de aproximare înmulțite cu valori corespunzătoare ale funcției la folosirea unor pași infinit de fini, sau infinitezimali. Notația definește integrala ca o sumă ponderată (notată cu "S"-ul alungit), cu valorile funcției (cum ar fi înălțimile, ) înmulțite cu lungimi de pași infinitezimali, așa-numitele diferențiale (notate cu dx).

În ce privește calculul efectiv al integralelor, teorema fundamentală a calculului integral, dezvoltată de Newton și Leibniz, este legătura fundamentală între operațiile de derivare și integrare. În condiții potrivite, valoarea unei integrale pe o regiune poate fi determinată privind doar limitele regiunii. Aplicată curbei rădăcinei pătrate, considerăm funcția , și se calculează , unde 0 și 1 sunt limitele intervalului .

În istorie, după eșecul primelor eforturi de a defini riguros cantitățile infinitezimale, Riemann a definit formal integralele ca limite ale unor sume ponderate ordinare, astfel încât dx sugera limita unei diferențe (și anume mărimea intervalului). Defectele dependenței lui Riemann de intervale și continuitate au motivat noi definiții, mai ales integrala Lebesgue, bazată pe abilitatea de a extinde ideea de "măsură" în moduri mult mai flexibile. Astfel, notația

se referă la o sumă ponderată în care valorile funcțiilor sunt împărțite, cu μ o pondere ce se asociază fiecărei valori. (Aici se notează cu A domeniul de integrare.) Geometria diferențială dă notația familiară fără altă interpretare.

Acum și devin o formă diferențială, apare un nou operator diferențial d, cunoscut ca diferențiala, iar teorema fundamentală devine o teoremă mai generală, teorema lui Stokes,

de unde derivă teorema lui Green, teorema de divergență, și teorema fundamentală a calculului integral.

Deși există diferențe între aceste concepte de integrală, ele se suprapun considerabil. Astfel, aria suprafeței bazinului oval poate fi tratată ca o elipsă, o sumă de infinitezimali, o integrală Riemann, o integrală Lebesgue, sau un spațiu euclidian cu o formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același.

Probleme:

1.Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente pentru x restricționat:

a)

b)

c)

d)

2. Calculați urmatoarele integrale:

a) b)

c) d)

e) f)

Rezolvare:

1.2 Intregrala definită

1.2.1 Diviziuniale unui interval

Fie un interval de numere reale, închis și mărginit(compact).

Definiția 2. Se numește diviziune a intervalului un sistem finit de puncte astfel încât Punctele se numesc puncte de diviziune sau nodurile diviziunii , iar intervalele se numesc intervale de diviziune. Sistemul de puncte se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii

Exemplu: Se consideră intervalul . Sistemele finite de puncte:

sunt diviziuni ale intervalului . Sistemele și sunt sisteme de puncte intermediare asociate diviziunilor ,respectiv

Definiția 3. Fie o diviziune a intervalului . Se numește norma diviziunii cea mai mare dintre lungimile intervalelor de diviziune .Se notează Pentru diviziunile din exemplul anterior avem:

Se observa că prin trecere la o diviziune mai fină, norma diviziunii se micsorează.

Definiția 4. Diviziunea a intervalului se numește diviziune echidistantă dacă toate intervalelede diviziune au aceeași lungime. În acest caz,

Exemplu: Sistemul de puncte este diviziune echidistantă intervalului cu norma 1.

Diviziunile sunt

diviziuni echidistante ale intervalului cu și

1.2.2 Sume Riemann

Fie un interval închis și mărginitși următoarele obiecte matematice:

funcția

diviziunea a intervalului

sistemul de puncte intermediare asociat diviziunii .

Definiția 5. Se numește sumă Riemann sau sumă integrală asociată funcției , diviziunii și sistemului de puncte intermediare , numărul real

.

Exemplu:

1.Dacă atunci orice sumă Riemann asociată este

egală cu

2. Fie , și

Atunci

Interpretarea geometrică a sumei Riemann

Fie funcția continuă o diviziune a intervalului , iar un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii .

y

O

Fig. 1.2

Mulțimea de puncte din plan delimitate de curba, axa si dreptele se numește subgraficul funcției f si se noteaza :

Se observă că suma Riemann asociată funcției f, diviziunii sistemului de puncte intermediare reprezintă suma ariilor suprafețelor dreptunghiulare cu baza și înaltimea fig.1.2. Asadar , realizează o aproximare a ariei subgraficului al functiei f.

De asemenea , se poate observa intuitiv că dacă diviziunea este mai fină , atunci aproximarea ariei subgraficului este ,,mai bună’’.

Integrabilitatea unei funcții pe un interval

Fie și a b.

Definiția 6. Funcția se numeste funcție integrabilă Riemann pe intervalul sau funcție integrabilă pe intervalul dacă există un număr real I astfel încât orice șir () de diviziuni ale intervalului , cu si orice șir de puncte intermediare Numarul I se numeste integrala definită sau integrala funcției f pe intervalul se notează cu și se citește ,, integrală de la a la b din ” .

Simbolul semnul de integrare sau semnul integralei.

Numerele a si b se numesc limite sau capete de integrare: a este limita de inegrare inferioară, iar a si b este limita de integrare superioară.

Intervalul se numește intervalul de integrare .

Funcția se numeste funcția de integrare , iar x se numește variabila de intergrare.

Variabila de integrare poate fi notate cu orice litera.

Astfel .

Variabila de integrare este independentă de capetele de integrare.

Este incorrect sa se scrie

Observații:

Numarul este unic determinat , limita unui șir convergent de numere reale fiind unica.

Integrarea definită a unei functii integrabile pe un interval este un numar real , in timp ce integrala nedefinită a funcției f pe intervalul este o mulțime de funcții (mulțimea primitivelor funcției f pe intervalul ).

Daca este o functie integrabilă, atunci prin definiție

și .

Orice funcție integrabilă pe intervalul este marginită.Așadar, există astfel Încât m f(x)M, .

În consecință, dacă funcția nu este marginită, atunci nu este integrabilă pe .

1.3 Proprietățile integralelor

Toate integralele care poartă limitele de integrare sunt integrale Riemann.Ele sunt limitele sumelor Riemann și ar putea fi de așteptat ca, cu excepția cazurilor în care integranții sunt funcții în scara, obținerea valorilor exacte să fie imposibil și obținerea rezonabilă a unei bune aproximari pentru ele să fie dificilă.Se dovedește că acolo este un calcul, o invențive a lui Newton și a lui Leibniz, prin care valorile exacte ale celor mai multe integrale pot fi calculate foarte ușor. Dicționarele ne spun că o analiza a calculelor matematice este ”o metodă de calcule”. Calculele matematice particulare care apar la sfarșitul acestei secțiuni sau dovedit a fii atât de copleșitor de importante că au ajuns să fie cunoscute sub numele de “Analiză matematică”. Această analiză ne dă posibilitatea, de exemplu, să evaluăm integralele în formula:

Sensurile cuvintelor au evoluat în așa fel incât le putem considera “analiză” sau “analiză matematică” ca un nume atribuit pentru o parte din matematică care implică derivate și integrale. Pentru efectuarea unor calcule cu integrale, de multe ori avem nevoie de rezultatele stabilite în următoarele teoreme. Dovezi ale acestor teoreme pot fi omise; aceste teoreme sunt mai degraba simple consecinte ale teoremei 4.26 si proprietățile sumei Riemann cu limitele ei.

Liniaritatea

Mulțimea de funcții integrabile Riemann pe un interval închis [a, b] formează un spațiu vectorial împreună cu operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar, și operația de integrare

este o funcțională liniară pe acest spațiu vectorial. Astfel, în primul rând, mulțimea funcțiilor integrabile este închisă în raport cu combinația liniară; și, în al doilea rând, integrala unei combinatii liniare este combinația liniară a integralelor:

Similar, mulțimea funcțiilor integrabile Lebesgue cu valori reale pe un spațiu E cu măsura μ este închis în raport cu combinația liniară și astfel formează un spațiu vectorial. Integrala Lebesgue

este o funcțională liniară pe acest spațiu, astfel încât

Mai general, se consideră spațiul vectorial al tuturor funcțiilor măsurabile pe un spațiu cu măsură , cu valori într-un spațiu vectorial topologic complet local compact V peste un grup topologic local compact K, Atunci se poate defini o funcție de integrare abstractă care atașează fiecărei funcții f un element din V sau simbolul ,

,

compatibilă cu combinațiile liniare. În această situație liniaritatea se menține pentru subspațiul funcțiilor a căror integrală este un element din V (adică este "finită"). Cele mai importante cazuri speciale apar atunci când K este , C, sau o extensie finită a grupului al numerelor p-adice, iar V este un spațiu vectorial de dimensiune finită peste K, iar când K = C iar V este un spațiu Hilbert complex.

Liniaritatea, împreună cu unele proprietăți naturale de continuitate și normalizare pentru o anume clasă de funcții "simple", se poate folosi pentru a da o definiție alternativă a integralei. Aceasta este abordarea lui Daniell pentru cazul functiilor cu valori reale pe o mulțime X, generalizate de Bourbaki la funcții cu valori într-un spațiu vectorial topologic local compact.

Teorema 2. Daca f este o funcție integrabila pe intervalul care conține punctele a,b si c,

atunci:

Teorema 3. Daca f si g sunt integrabile pe a ≤ x ≤ b si A si B sunt conținute în interval, atunci

Unde x1 si x2 sunt din intervalul a ≤ x ≤ b.

Teorema 4. Daca a < b, si f1,f2,f3 sunt integrabile pe a ≤ x ≤ b, și dacă

f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x)

atunci:

Istoricii care pretind că Arhimede știa analiza nu indică întotdeauna faptul că cunoștințele post-mortene au fost atinse atunci când intelesul cuvantului ” analiza” s-a schimbat. O completă neînțelegere a acestei probleme poate servi ca bază pentru argumentul absurd că Newton și Leibniz au redescoperit doar invenții ale lui Archimede.

Teorema 5. a) Dacă k este o constantă, atunci

b)Dacă a < b, si f este integrabilă pe a ≤ x ≤ b, și dacă m ≤ f(x) ≤ M

atunci și .

c) Dacă f este integrabilă pe a ≤ x ≤ b, atunci functia are valori pozitive si , unde x1 si x2 sunt în intervalul [a,b].

Teorema următoare nu este atât de evidentă,dar este atât de importantă încât trebuie discutată și demonstrată.Multe din teorii și aplicații ale analizei implică legaturi între derivate si integrale.Teoremele care conțin informații despre integralele derivatelor și derivatele integraleleor se numesc teoreme fundamentale ale analizei. Urmatoarea teoremă este cea mai importantă de acest fel.Această teoremă are foarte multe aplicații, printre altele , daca f este continua pe a ≤ x ≤ b, atunci exista o funcție F pentru care F’(x)=f(x),

unde a ≤ x ≤ b.

De fapt , este arătat ca f este continuă, atunci atunci integrala Riemann din urmatoarea teoremă este o integrală nederminată al lui f.

Teorama 6. Dacă f este integrabilă pe a ≤ x ≤ b, atunci funcția F definită astfel:

Este continua pe a ≤ x ≤ b si F’(x)=f(x) pentru fiecare x pentru care f este continuă.

Demonstrație:

Pentru a începe demonstrația , observăm că dacă și sunt conținute în interval atunci:

Pentru a demonstra continuitatea lui F, folosim o teoremă prezentată mai sus, iar pentru a vedea că f trebuie să fie marginită și prin uramare este o constantă pozitivă M pentru care

sau Prin urmare

Teorema implică apoi faptul că: si deci F este continuă in x.

Pentru a demonstra b) , considerăm x punctul în care f este continua. Din cele doua formule:

obținem

Fie Alegem un număr astfel incât , unde

Atunci când putem folosi teorema 1.5 c) si a) pentru a obține:

Prin urmare și 1.6 b) reiese din definitia lui F’(x)

Presupunând că f este continuă pe arătăm cum teorema 4.35 poate fi folosită pentru a obtine evaluarea integralei Rieman. Punând in 4.35 a) arătăm că F(a)=0. Punând in 1.6 a) și atunci schimbând variabila de integrare de la t la x dă:

.

Prin urmare,

Când problemele sunt rezolvate este intotdeauna convenabil de a folosi simbolul paranteză dreaptă în formula:

Acest simbol poate fii citit ”luat intre a si b”. Acest simbol semnifică exact ceea ce formula indica;pentru a obține valorile scriem valuarea functiei F(x) când x are valoarea cea mai ridicată b si scădem valoarea funcției F(x), și când x are valoarea cea mai scazută a .De exemplu:

Este ușor să vedem că valoarea funcției este neschimbată dacă adăugăm o constantă.

Deasemenea

Prin urmare putem scrie formula astfel:

, unde c este 0 sau orice altă constantă.

Din moment ce am presupus că f este continua pe a ≤ x ≤ b, aceasta fiind o consecință a teoremei 1.6 și anume când a ≤ x ≤ b. Deoarece fiecare funcție a cărei derivată în raport cu x este f (x) trebuie să aibă forma F (x) + c, rezultatul de mai sus poate fi pus în formularul de mai jos.

Teorema 7. Dacă f este continuă pe a ≤ x ≤ b și dacă , unde a ≤ x ≤ b, atunci

În mod substanțial toate aplicațiile din această teoremă, notația de integrare nedeterminată sunt folosite. În astfel de cazuri următoarea versiune a Teoremei 1.7

oferă exact informațiile pe care le utilizăm efectiv pentru a evalua integralele.

Teorema 8. Formula este corectă dacă f este

continuă pe a ≤ x ≤ b si , unde a ≤ x ≤ b.

Exemplu:

Probleme:

1.Folosind tabelul de integrale arătatii că:

2.Verificați formula: ,

pentru unele perechi de numere întregi nenegative mici

p și q.

Observație: Oricine dorește pentru a-și spori corpus său de informații științifice ar trebui să fie informat că această formulă este una faimoasă si importantă.  Formula este corectă doar atunci când p și q sunt numere reale sau complexe nenegative. Când extensiile Cauchy a integralelor Riemann au fost definite și sunt utilizate, se poate dovedi că formula este corectă atunci când p și q sunt numere complexe mai mari decât .

3. Cele două integrale sunt egale când s ia valoarea 1.

Asta inseamnă că:

Fie , cum avem că

Prin urmare:

Funcția este definită astfel:

Cap.II. Arii și volume.

Măsura Jordan

2.1. Arii și volume

În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.

Fig.2.1

2.1.1 Integrala definită ca aria graficului unei funcții

În mod intuitiv, integrala unei funcții continue, pozitive, de variabilă reală și luând valori reale, între două puncte a și b, reprezintă valoarea ariei mărginite de segmentele , axa x și graficul funcției . Formal, considerând

atunci integrala funcției f între a și b este măsura lui S.

Termenul "integrală" se poate referi și la noțiunea de primitivă o funcție F a cărei derivată este funcția dată f. În acest caz, se numește integrală nedefinită, pe când integralele discutate în acest articol sunt numite integrale definite.

Principiile integrării au fost enunțate de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Prin teorema fundamentală a calculului integral, pe care au dezvoltat-o independent unul de altul, integrarea este legată de derivare, iar integrala definită a unei funcții poate fi ușor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. Integralele și derivatele au devenit uneltele de bază ale analizei matematice, cu numeroase aplicații în știință și inginerie.

O definiție riguroasă a integralei a fost dată de Bernhard Riemann. Ea este bazata pe o trecere la limită prin care se aproximează aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale subțiri. Din secolul al XIX-lea, au înceut să apară tipuri de integrale mai sofisticate, în care atât tipul funcției cât și domeniul peste care se face integrarea au început să fie generalizate. O integrală curbilinie este definită pentru funcții de două sau trei variabile, iar intervalul de integrare [a,b] este înlocuit de o anumită curbă care leagă două puncte din plan sau din spațiu. Într-o integrală de suprafață, curba este înlocuită de o bucată de suprafață din spațiul tridimensional.

Integralele formelor diferențiale joacă un rol fundamental în geometria diferențială modernă. Aceste generalizări ale integralelor au apărut datorită necesităților din fizică, și joacă un rol important în formularea multor legi din fizică, în principal a celor din electrodinamică. Conceptele moderne ale integrării se bazează pe teoria matematică abstractă numită integrală Lebesgue, dezvoltată de Henri Lebesgue.

2.1.2 Terminologie și notație

Dacă o funcție are integrală, ea se numește integrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numește integrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se numește domeniu de integrare. În general, integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață, un volum, o regiune de dimensiune superioară sau un spațiu abstract care nu are o structură geometrică în sensul obișnuit.

Simbolul ∫ un "S" alungit, reprezintă integrarea; a și b sunt limita inferioară și limita superioară de integrare, definind domeniul de integrare; f este integrandul, de evaluat în raport cu variația lui x în intervalul [a,b] iar dx poate avea diferite interpretări în funcție de

teoria folosită. De exemplu, poate fi văzut doar ca un indicator al faptului că x este 'variabila de integrare', ca o reflecție a ponderilor din suma Riemann, o măsură (în integralele Lebesgue și extensiile acestora), o cantitate matematică infinitezimală (în analiza nestandard) sau independentă: o formă diferențială. Cazurile mai complicate pot varia cumva notația.

2.2 Integrala Riemann

Fig. 2.2

Integrală abordată ca sumă Riemann pe o diviziune, cu poziții și lățimi de eșantionare neregulate (lățimea maximă cu roșu). Valoarea reală este 3.76; cea estimată este 3.648.

Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie [a,b] un interval închis de pe dreapta reală; atunci o diviziune cu puncte intermediare a lui [a,b] este o secvență finită

Fig. 2.3

Sume Riemann care converg odată cu înjumătățirea intervalului de diviziune, eșantionate la dreapta,  minim,  maxim, sau la stânga.

Aceasta împarte intervalul [a,b] în n sub-intervale , fiecare având un punct ales . Fie lățimea sub-intervalului i; atunci norma unei astfel de diviziuni este lățimea celui mai mare subinterval format de diviziune, O sumă Riemann a unei funcții f în raport cu o astfel de diviziune este:

astfel fiecare termen al sumei este aria dreptunghiului cu înălțimea egală cu valoarea funcției în punctul ales al subintervalului dat, și cu lățimea egală cu lățimea subintervalului. Integrala Riemann a unei funcții f pe intervalul [a,b] este egală cu S dacă oricare ar fi există astfel încât, oricare ar fi o partiție [a,b] cu norma mai mică decât , avem:

Când valorile intermediare alese sunt valoarea maximă (respectiv, minimă) a funcției pe fiecare interval, suma Riemann devine o sumă Darboux superioară (respectiv, inferioară), sugerând legătura strânsă între integrala Riemann și integrala Darboux.

2.3 Integrala Lebesgue

Integrala Riemann nu este definită pentru o gamă largă de funcții și situații cu importanță în aplicații (și de interes în teorie). De exemplu, integrala Riemann poate fi folosită pentru a integra densitatea și a găsi astfel masa unei bare de oțel, dar nu poate trata cazul unei bile de oțel care stă pe aceasta. Din această cauza au apărut și alte definiții, care permit unei game mai largi de funcții să fie integrabile. În particular, integrala Lebesgue aduce o mare flexibilitate atrăgând atenția asupra ponderilor din sumă.

Astfel, definiția integralei Lebesgue începe cu o măsură . În cazul cel mai simplu, măsura Lebesgue a unui interval este lățimea sa, , astfel încât integrala Lebesgue este echivalentă cu integrala Riemann proprie atunci când există amândouă. În cazuri mai complicate, mulțimile măsurate pot fi foarte fragmentate, fără vreo continuitate sau vreo asemănare cu intervalele.

Pentru a exploata această flexibilitate, integralele Lebesgue inversează abordarea sumei ponderate. "Pentru a calcula integrala Riemann a lui f, se împarte domeniul în subintervale", pe când la integrala Lebesgue, "se împarte de fapt domeniul de valori al lui f".

O abordare comună definește întâi integrala funcției indicator a unei mulțimi măsurabile A drept: .

Aceasta se extinde prin liniaritate la o funcție simplă măsurabilă s, care poate lua un număr finit n, de valori distincte nenegative:

.

(unde imaginea lui sub funcția simplă s este o valoare constantă ). Astfel dacă E este o mulțime măsurabilă, se definește

Apoi pentru orice funcție măsurabilă nenegativă f se definește:

adică, integrala lui f este supremum al tuturor integralelor de funcții simple mai mici sau egale cu f. O funcție măsurabilă generală f, este împărțită între valorile sale pozitive și negative definind:

În final, f este integrabilă Lebesgue dacă:

și integrala este definită de

Dacă spațiul pe care sunt definite funcțiile este spațiu topologic local compact (ca în cazul numerelor reale R), pot fi definite diferit măsuri compatibile cu topologia (Măsuri Radon, din care face parte și măsura Lebesgue) și integrale în raport cu acestea, începând de la integralele de funcții continue cu suport compact. Mai exact, funcțiile cu suport compact formează un spațiu vectorial cu o topologie naturală, și se poate defini o măsură Radon ca orice funcțională liniară continuă pe acest spațiu; valoarea unei măsuri la o funcție cu suport compact este prin definiție integrala funcției. Apoi se extinde măsura (și deci integrala) l aunele funcții mai generale prin continuitate, și se definește măsura unei mulțimi ca integrala funcției sale indicator. Aceasta este o abordare folosită de unii autori.

2.4 Alte integrale

Deși integralele Riemann și Lebesgue sunt cele mai importante definiții ale integralei, există și altele, printre care:

Integrala Riemann-Stieltjes, o extensie a integralei Riemann.

Integrala Lebesgue-Stieltjes, dezvoltată mai târziu de Johann Radon, care generalizează integralele Riemann-Stieltjes și Lebesgue.

Integrala Daniell, care subsumează integrala Lebesgue și integrala Lebesgue-Stieltjes fără să depindă de măsuri.

Integrala Henstock-Kurzweil, definită diferit de Arnaud Denjoy, Oskar Perron,

2.5 Măsura Jordan

În teoria măsurilor, o măsură (măsură = mărime) a unui ansamblu (ansamblu = mulțime) este un mod sistematic de atribuire la fiecare subansamblu corespunzător unei valoari numerice, interpretată intuitiv prin probabilități ca mărimea acelui subansamplu. Această generalizare nu are o semnificație fizică imediată, dar are multe aplicații în analiza matematică și în teoria probabilităților.

În acest sens, Măsura este un concept din matematica superioară care generalizează noțiunile de lungime, arie, volum și aceasta în cazul mulțimilor. Există mai multe tipuri de măsuri: măsura Jordan, măsura Borel, măsura Lebesgne etc. Un exemplu particular important este Măsura Lebesgue pe un spațiu euclidian, care atribuie convențional lungimea, aria, volumul din Geometria Euclideană la mulțimi de subansamble corespunzătoare cu , ca de exemplu, măsura Lebesgue al intervalului în mulțimea numelor reale este valoarea sa în înțeles corect, în special 1.

Pentru a defini măsura avem nevoie de o funcție care atribuie un număr real pozitiv sau care tinde la  pe subansamblul unui ansablu sau pe o mulțime de subansable (fie o sumă algebrică ; unde este un câmp de evenimente sau un clan, și care are anumite proprietăți sau condiții; măsura matematică este o funcție unde ).

Definiția 7. Fie Σ o sumă algebrică σ-algebrică a unui ansamblu X. O funcție μ definită pe Σ unde σ-algebrică Σ → R este numită măsură dacă sunt satisfăcute proprietățile:

Număr real pozitiv: pentru toate

Mulțimea vidă are măsura nulă:

σ-aditivitate: Dacă   este un șir de mulțimi disjuncte și măsurabile din iar  ,atunci:

Definiția 8. Fie A ⊂ R o mulțime de numere reale.

a) Mulțimea A se numește neglijabilă sau de măsură Lebesque nulă

(de L măsură nulă) dacă (∀) ε > 0 , există un șir intervale

de numere reale, astfel încât:

b) Mulțimea A se numește mulțime de măsură Jordan nulă (mulțime

de J măsură nulă) dacă (∀)ε > 0 , există o mulțime

intervale de numere reale cu proprietatea că:

Bibliografie

Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (ed. 2nd). Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1

Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer Verlag. ISBN 3-540-41129-1 . În mod deosebit, capitolele III și IV

Ralph Palmer Agnew (1962) .Analytical Geometry and Calculus, with Vectors by McGraw-Hill Book CompanyNew York

Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (ed. 6th). McGraw-Hill. p. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5

Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. pp. 247–252. ISBN 978-0-486-67766-8.

Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (ed. 1st).