Fms C4 Modele De Fabilitate Determinarea Fiabilitatii Sistemelor [610812]

1

4. MODELE DE FIABILITATE .
FIABILITATEA SISTEMELOR

Obiective:
 identificarea și utilizarea modelelor de fiabilitate;
 determinarea fiabilității sistemelor;
 înțelegerea și utilizarea necesității elementelor redundante .

4.1. Modele de fiabilitate

Pentru modelarea matematică a fiabilitătii produselor, se folosesc diferite modele ale
funcției densitate de probabilitate. Această funcție statistică de tip densitate de probabilitate
descrie defectarea produsului, adică încetarea bunei funcționări a acest uia.
Modelele de fiabilitate se referă, de fapt, la modelele matematice ale funcției densitate
de probabilitate. Deși produsele sunt de foarte multe feluri și ieșirea lor din funcționare se
produce diferențiat, există căteva modele matematice de funcții d ensitate de probabilitate care
sunt folosite mai frecvent. Aceste modele sunt:
 modelu l repartiției exponențiale (foarte des folosit, când λ ≈ const.) ;
 modelul repatiției normale (folosit mai rar) ;
 modelul repartiției Weibull (folosit când λ  const. ) .

Alegerea modelului de fiabilitate – operație extrem de dificilă, dar foarte importantă –
se face pe baza unor informații obiective, culese sistematic.

a) Modelul repartiției exponențiale
O variabilă aleatoare continuă X urmează repartiția exponențială da că repartiția sa de
probabilitate este definită prin:

0 , când
0x ;
xf
(4.1)

ex , când x > 0 .

2 f(x1)
Funcția de repartiție F(x) a variabilei aleatoare continu e care urmează repartiția
exponențială, respectiv probabilitatea ca un eveniment (următor) să apară în intervalul de timp
(0,t) este:

0 , când x
0
dxxf xF
R
= , (4.2)

ex1 , când x>0
Probabilitatea:
 

txe dxxf xF tXP1
, (4.3)
reprezintă probabilitatea ca evenimentul dat să nu se producă în intervalul de timp (0,t); ea
exprimă fiabilitatea unui produs, respectiv probabilitatea ca aceasta să funcționeze fără
defecte în interv alul de timp (0,t), dat, adică R(x)=P(X).
Câteva reprezentări specifice modelului exponențial de fiabilitate sunt prezentate în
figura 4.1.

λ(x)

f(x)

f(x)

0 x1 x(ore)

Fig. 4.1 – Modelul repartiției exponențiale

λ(x 1)
R(x 1)

.
11
1constRf
xxx 

3 Modelul repartiției exponențiale se aplică mai ales produselor de natură mecanică sau
electromecanică, pentru care intensitatea de defectare este aproximativ constantă (λ ≈ const.).
În figura 4.2 se prezintă evoluția intensității de defectare (λ) și a uzurii (u) în funcție
de timp.

Fig. 4.2 – Evoluția intensității de defectare ( λ sau z) și uzurii (u) în timp
În cazul produselor de natură mecanică, majoritatea defectărilo r survin din cauza
uzurii elementelor componente. Figura 4.2 arată o strânsă corelație între evoluția în timp a
uzurii u(t) și a intensității de defectare λ(t) sau z(t). Pe domeniul uzurii de rodaj (0, t 1) și pe cel
al uzurii catastrofale (t>t 2) intensitat ea de defectare este variabilă, însă pe domeniul uzurii
normale (t1, t2) – care este domeniul cel mai mare – intensitatea de defectare este aproape
constantă. În consecință, pe acest domeniu se poate aplica modelul exponențial.
Curba care descrie evoluția în timp a intensității de defectare (fig. 4.2) se mai numește
și curba „cadă de baie”.

b) Modelul repartiției Weibull
Este necesar deoarece în realitate nu toate produsele au o intensitate de defectare
constantă. Unele produse prezintă o intensitate de defectare variabilă (   const .). În acest
caz, cele mai bune rezultate se obțin prin utilizarea modelului repartiției Weibull. Acesat
model de repartiție se întâlnește sub două forme: modelul biparam etric al repertiției Weibul și
modelul triparametric al repertiției Weibul. Repartiția Weibul se bucură de o mare
flexibilitate, cea de tip triparametric având gradul cel mai mare de universalitate.
timpul (t), z(t)
u(t)
t1
t2 (t), z(t)
u(t)
0

4 ș Repartiția Weibull biparametrică – asigură legătura cu repartiția
exponențială, fiind considerată chiar o gene ralizare a acesteia.

Densitatea de probabilitate a legii Weibull , sub formă biparametrică, are forma:
0 , dacă
0t
,,tf
(4.4)

ett1 dacă t>0
unde:
,0 ,0 ; t- variabila de timp.

Cei doi parametri ai acestei repartiții sunt: β – care reprezintă un parametru de formă și
 – care este tocmai intensitatea de defectare. Prin modificarea parametrului de formă se
modifică și alura funcției densitate de probabilitate; ea putând astfel descrie ieșirea din
funcționare a unei grupe mai mari de produse (fig. 4.3)

f(t, β) β>>1

β>1
β=1

β<1
0 t

Fig. 4.3 – Repartiția Weibull biparametrică

Se fac următoarele observații ( a se vedea și fig. 4.3):
– dacă
1 , repartiția Weibull biparametrică de vine o repartiție exponențială ;
– dacă
1 , curba repartiției este concavă și cu cât
 este mai mare, graficul
funcției are o formă tot mai pronu nțată de clopot ;
– dacă
1 curba repartiției este descrescătoare, convexitatea ei accentuându -se
cu cât
 este mai mic.

5 Funcția de repartiție pentru legea Weibull este:

=0 , dacă
0t
dt tf tFT

  ,, ,,
(4.5)
=
et1 , dacă t>0.

și exprimă probabilitatea ca evenimentul următor (defecțiunea un ui produs ) să apară în
intervalul (0,t).
Ca și pentru legea exponențială, și în cazul legii Weibull se defi nește rata (intensitatea)
de defectare:

ttPtPtz1|
,,,, 
, (4.6)
care în teoria fiabilității exprimă rata defecțiunilor.
Intensitatea de defectare, pentru diverse valori ale parametrului de formă β, este
reprezentată în figura 4.4.

z(t)
β>2
1<β<2

β<1

0 t

Fig. 4.4 – Intensitatea de defectare în cazul modelului Weibull biparametric

Relația:
et tF tR   ,, 1 ,,
, (4.7)
exprimă probabilitatea ca evenimentul să se producă în intervalul de timp (0,t) sau este
probabi litatea funcționării fără defecțiuni a produsului până la momentul t.

6 Media timpului de bună funcționare, în cazul repartiției Weibull, de tip biparametric,
se calculează astfel:


1
0111




 
dt et t MTFB
. (4.8)

ș Repartiția Weibull triparametrică – reprezintă varianta completă a acestei
legi de repartiție, având gradul de generalitate cel mai înalt .

Probabilitatea supraviețuirii, sau funcția de fiabilitate, este conform acestei legi:
et
tR 






,,,
, (4.9)
unde: –
 este parametrul de formă – definește alura curbei;
–
 este parametrul de scară (parametrul vieții caracteristice);
–
 este parametrul de poziție (locație sau inițializare).
În cazul în care parametrul
1 , expresia probabilității de supraviețuire devine:
et
tR 





1
,,,
. (4.10)
Dacă în acest caz ținem cont că :

MTBF1 1 , (4.11)
iar inițializarea se face la momentul zero :
0 , atunci relația de mai sus a fiabilității se
transformă în :
 e eetRt 
1
, (4.12)
relație care este chiar funcția fiabilității în modelul exponențial.

Ecuația densității de probabilitate este:

7
 et ttf 









1
,,, . (4.13)

Parametrii
 și
 se exprimă în aceleași unități de măsură ca și t, dar pentru
simplificarea procedurilor de lucru în general se consideră
 =1 și
 =1.

Rata de defectare z(t) se calculează astfel:

 
t tz1
. (4.14)
Modelul Weibull triparametric poate descrie fiabilitatea oricărui produs real, cu
mențiunea că este mai laborios decât modelul exponențial care presupune cel mai simplu
demers. În ciuda faptului că este mai greu de utilizat în practică, modelul Weibull este un
model matematic indispensabil în anumite cazuri.

4.2. Fiabilitatea sistemelor

Majoritatea produselor prezintă o asociere de elemente componente, un ansamblu, un
sistem de elemente grupate în tr-un anumit mod. Pentru determinarea fiabilității previzionale a
unui produs este necesar să se cunoască legătura funcțională dintre elementele componente
(reflectată de schema de conexiuni funcționale) și fiabilitatea elementelor ce intra în structura
sistemului.

a) Fiabilitatea produselor cu structură în serie (figura 4.5), formate din n elemente
componente, de fiabilități R(t) 1…R(t) n, este redusă datorită faptului că defectarea oricărui
element component duce la scoaterea din funcționare a produsului.

R(t) 1 R(t) 2 R(t) n

Fig. 4.5 – Produs cu structură în serie
elem. 1 elem.2 elem.n

8 Fiabilitatea unui astfel de produs este dată de relația:

R RRR R in
in S  
12 1…
, (4.15)

în care Rs = R(t) S este probabilitatea funcționării fără defecțiuni a produsului (sistemului)
pentru un anumit timp t, Ri = R(t) i este probabilitatea funcționării fără defecțiuni a
elementului i în același timp t și n reprezintă numărul de elemente ale produsului.

Dacă pentru fiabilitate se admite modelul exponențial și dacă component ele sistemului
au ratele defectărilor λ 1, λ2, …,λ n, rezultă ca fiabilitatea produsului va fi:

 e e e tRt t itn
isin
ii   
11
, (4.16)

unde:

n
ii n s
12 1 …  (4.17)
reprezintă rata defectărilor produsului.

În cazul elementelor identice λ1= λ 2=…= λ n , fiabilitatea produsului devine:

 ,tR e etRn tn t
ss   (4.18)

iar rata defectărilor este: λ s=nλ.

Pentru componente diferite, media timpului de bună funcționare a produsului (MTBF)
este:


idte MTBF
sst
 1 1
0
, (4.19)

iar pentru componente identice este:
nMTBF 1
. (4.20)

9
b) Fiabilitatea produselor (sistemelor) cu structură în paralel (în derivație) , figura
4.6, este superioară celor cu structură în serie.

R(t) 1

R(t) 2

R(t) n

Fig. 4.6 – Produs cu structură în paralel

Nonfiabilitatea unui produs caracterizat de o schemă de conexiuni funcționale în
paralel ( în derivație) este calculabilă cu relația:
.
12 1 tF tF tFtFtF in
in s
(4.21)

Deoarece defectarea sistemului are loc doar în cazul defectării concomitente a tuturor
elementelor puse în derivație, fiabilitatea sistemului se obține cu relația:
tF tR s s1
, (4.22)
iar rata defectărilor produsului în derivație se obține cu relația:


dttRd
tRs
ss1 . (4.23)

Media timpilor de bună funcționare, în acest caz va fi:

dttR MTFBs
0 . (4.24) elem. 1
elem. 2
elem. n

10 Dacă toate elementele au același nivel de fiabilitate, atunci fiabilitatea produsului va
fi:

 tRi tRn
s 11 (4.25)

și, dacă se admite o lege de supraviețuire de tip exponențial, se poate scrie:

 etet tRn n
s  11 (4.26)

În aceste condiții, timpul mediu de bună funcționare este dat de relația:


 n
isidttR MTFB
1 011
 .
(4.27)

Fiabilitatea sistemelor cu conexiune mixtă se determină pe baza relațiilor folosite
pentru conexiunile în serie și în paralel. Orice schemă mixtă de conexiuni poate fi
descompusă în ramuri (secvențe) de componente înseriate sau în grupuri de elemente
conectate în paralel. Apoi, prin aplicarea relațiilor de calcul anterior prezentate, devin posibile
calculele de fiabilitate pentru orice produs cu o astfel de conexiune.

Câteva cazuri de sisteme mixte au utilitate practică și anume:

 Sisteme serie – paralel (fig. 4.7)

Fig. 4.7 – Schemă de conexiuni funcționale de tip serie -paralel Elem.
11 Elem.
12 Elem.
1j Elem.
1n
Elem.
21 Elem.
22 Elem.
2j Elem.
2n
Elem.
m1 Elem.
m2 Elem.
mj Elem.
mn

11 Fiabilitatea unei ramuri este:
R R jin
ij1
, (4.28)

iar fiabilitatea sistemului va fi:


 n
ijim
jjm
js R R R
11 11 1 1 1
. (4.29)

 Sisteme paralel –serie (fig. 4.8)

Fig. 4.8 – Schemă de conexiuni funcționale de tip paralel -serie

Fiabilitatea unui grup în paralel este:

R R ijm
ji
1 1
1
, (4.30)

iar fiabilitatea sistemului:



  R R R ijm
jn
iin
is 1 1
1 1 1 . (4.31)
Elem.
11 Elem.
i1 Elem.
n1
Elem.
12 Elem.
i2 Elem.
n2
Elem.
1j Elem.
ij Elem.
nj
Elem.
1m Elem.
im Elem.
nm

12 Majoritatea produselor prezintă scheme de conexiuni mixte. Relațiile funcționale
dintre componentele produsului sunt dictate de utilitatea produsului . În practică este
predominantă legătura serie, deși cea de tip derivatie este mai avantajoasă.
Pornind de la observația că legătura de tip derivație (paralel) conduce la o fiabilitate
crescută a ansamblului (sistemului) s -a ajuns la legarea voită, în par alel, a unor elemente
suplimemtare, denumite elemente redundante . La acestea se apelează în cazul în care un
element din structura unui sistem prezintă fiabilitate scăzută.

Să considerăm o secvență de elemente conectate în serie : R i-1, Ri și R i+1, așa cum se
arată în figura 4.9. Dacă elementul de fiabilitate mică R i prezintă o potențială sursă de
defectate a produsului, atunci putem dubla sau tripla elementul cu probleme. În figura 4.9 s-au
mai adăugat încă două elemente de același fel: R i’ și R i”, momt ate în paralel cu elementul R i
tocmai pentru a obține o creștere considerabilă a fiabilității produsului. Este adevărat că astfel
se scumpește produsul sau i se mărește gabaritul, însă căștigul de fiabilitate merită efortul.
Dacă ne gândim că secvența de elemente considerate face parte dintr -un avion cu care
tocmai călătorim, ne -am simți mai în siguranță să știm că există elemente redundante care să
preia funcția elementului care se poate defecta cu o probabilitate relativ mare. Elementele R i’
și R i” se nu mesc elemente redundante active, deoarece ele sunt conectate activ în schema de
conexiuni, respectiv ele vor funcționa ori de câte ori funcționează produsul, respectiv
elemntul pe care îl dublează.

Fig. 3.11 – Redundanța activ ă

Elementele redundante se pot conecta și într -o altă manieră, așa cum se arată în figura
4.10. Ri-1 Ri Ri+1
Ri’
Ri”

13
Fig. 4.10 – Redundanța pasivă (de comutație)

În acest caz elementul R i’ este un element redundant pasiv. El este legat în parale l cu
elemtul R i, dar este activat prin comutarea legăturii în așa fel încât elementul care se
defectează iese din schemă și intră în activitate elentul redundant. Această schemă permite
înlocuirea mai ușoară a elementului defectat, fară să fie nevoie de în treruperea funcționării
produsului.
Utilizarea elementelor redundante se face cu discernământ, numai după o analiză
comparativă a beneficiilor și costurilor aferente.

Ri-1 Ri
Ri+1
Ri’