Fizica Farmaceutica Biofizica Vol 1 Decembrie 2016 Final [301913]

Fizică farmaceutică și biofizică
Volumul 1.
Concepte fundamentale. Mecanica, [anonimizat]
2016
Editura Universității „Titu Maiorescu”
Editura Hamangiu

CUPRINS
1 Noțiuni fundamentale 3
1.1 Concepte 3
1.1.1 FIZICA, știința naturii 3
1.1.1.1 Obiectul fizicii 3
1.1.2 Metode și limbaj 4
1.2 Mărimi fizice și măsurarea lor 5
1.2.1 Mărimi fizice 5
1.3 Sisteme de unități 6
1.3.1 Unitățile de măsură 6
1.4 Calculul erorilor 9
1.4.1. Eroare de măsură 9
1.4.2 Abatere de măsură 10
1.4.3 Propagarea erorilor 14
1.5 Mărimi scalare și vectoriale. Operații vectoriale 15
1.5.1 Introducere. Mărimi scalare și vectoriale 15
1.5.2 Operații cu vectori 16
1.5.3 Reprezentarea vectorilor 21
2. Reprezentarea mișcării. Noțiuni de cinematică 24
2.1 Introducere 24
2.2 Mișcarea rectilinie. 24
2.2.1 Mișcarea rectilinie uniformă 25
2.2.2 Mișcarea rectilinie uniform variată 26
2.2.3 Reprezentări grafice ale ecuațiilor mișcării rectilinii 28
2.3 Mișcarea circulară 30
2.3.1 Mișcare circulară și uniformă 30
2.3.2 Mișcarea circulară și uniform variată 33
2.4 Mișcarea oscilatorie armonică. 34
3 Forța – Echilibrul, static și dinamic 38
3.1 Bazele dinamicii 38
3.1.1 Principiile dinamicii 38
3.1.1.1 Principiul I al dinamicii 38
3.1.1.2 Principiul II al dinamicii 39
3.2 [anonimizat] 44
3.2.1 Momentul unei forțe față de un punct 44
3.3 Dinamica mișcării de translație 46
3.3.1 Cantitatea de mișcare: Impulsul 46
3.4 [anonimizat] 48
3.4.1 Momentul cinetic 48
3.5 Dinamica mișcării circulare 49
3.5.1 Legile dinamicii pentru mișcarea circulară 49
3.5.2 Solid rigid 50
4 Interacțiunea și energia 53
4.1 Interacțiunea la distanță 53
4.1.1 Interacțiunea dintre sarcini 53
4.2 Alte tipuri de forțe 54
4.2.1. Forța centripetă și centrifugă 54
4.3. Transmiterea interacțiunilor. Considerații generale. 55
4.4 Noțiuni de teoria relativității 56
4.5 Energia și lucrul mecanic 57
4.5.1. Lucrul mecanic 58
4.5.2 Tipuri de lucrului mecanic 60
4.5.3. Putere mecanică 61
4.5.4. Energie mecanică 62
4.5.5 Legi de conservare 66
4.6 [anonimizat] 67
4.6.1 Câmpul 67
4.6.2 Liniile de câmp 68
4.6.3 Potențial 68
4.6.4 Suprafață echipotențială 70
5 Unde și particule 75
5.1 Propagarea perturbației. Noțiunea de undă 75
5.2 Unde electromagnetice 79
5.2.1 Ecuațiile Maxwell pentru medii omogene și izotrope 79
5.2.2 Ecuația undelor electromagnetice. 81
5.3. Proprietăți ale undelor 82
5.3.1. Reflexia și refracția undelor 82
5.4.1. Compunerea undelor 83
5.5 Particule ca unde. Noțiuni de fizica cuantică 86
5.5.1 Modelul corpului negru 86
5.5.2 Constanta lui Plank 87
5.5.3 Impulsul particulelor asociate undei 88
5.5.4 Efectul fotoelectric 88
5.5. Natura ondulatorie a particulelor – noțiuni de fizică cuantică 88
5.5.1. Ipoteza lui de Broglie. Unda asociată 88
6 Pulberi. 93
6.1. Proprietățile pulberilor 93
6.1.1 Forțe între particule și reprezentările lor grafice 93
6.2. Curgerea pulberilor. 94
6.2.1. Forța de forfecare și tracțiune 94
6.2.2. Forțele de stimulare și frânare a curgerii 95
6.3. Densitatea pulberii 96
6.3.1. Măsurători ale densității patului pulberii: 97
6.3.2. Aparatul pentru determinarea densității pulberilor 97
6.3.3. Compresibilitatea procentuală a pulberii 98
6.3.4. Determinarea timpului de curgere al pulberilor 98
7 [anonimizat] 99
7.1 Starea lichidă 99
7.1.1 Densitatea 99
7.1.2 Presiunea hidrostatică 100
7.1.3 Forța Arhimedică 103
7.2 Fenomene moleculare în lichide. 104
7.2.1 Tensiunea superficială. 104
7.2.2 Meniscuri sferice. Legea Laplace. 106
7.2.3 Tensiunea interfacială, Forțe la contactul solid – lichid 107
8 Dinamica fluidelor 109
8.1 Curgerea fluidelor 109
8.1.1 Clasificarea curgerii fluidelor 109
8.1.2 Debitul masic și volumic 110
8.1.3 Presiunea hidrodinamică. Legea lui Bernoulli 112
8.2 Dinamica lichidelor vâscoase. 113
8.2.1 Conceptul de vâscozitate 113
8.2.2 Coeficient de vâscozitate 113
8.3 Curgerea prin tuburi capilare, curgerea printr-un mediu poros 115
8.3.1 Curgerea prin tuburi capilare. Legea Hagen Poiseuille 115
8.3.2 Legea Hagen – Poiseuille 116
8.3.3 Curgerea prin medii poroase. Legea lui Darcy: 116
8.4 Rezistența la înaintare a corpurilor în fluid 118
8.4.1 Legea lui Stokes. 118
8.4.2 Rezistența dinamică 119
8.5 Curentul electric 120
8.5.1 Mărimi caracteristice curentului electric 120
8.5.2 Ecuația de continuitate 121
8.5.3 Conducția electrică. Conceptul de rezistență 122
8.5.4 Circuit electric/circuit fluidic. Rezistență electrică, rezistivitate (conductivitate) 123
8.5.4.3 Legile lui Kirchhoff 125
9 Particule în interacțiune – Fizica moleculară și căldură 127
9.1 Starea gazoasă: gazul ideal 127
9.2 Mărimi și unități caracteristice 127
9.2.1 Cantitatea de substanță 127
9.2.2 Masa atomică, masa moleculară 128
9.3 Teoria cinetico-moleculară și noțiuni de termodinamică 128
9.3.1 Mărimi fundamentale – presiunea 128
9.4 Noțiuni fundamentale de termodinamică 132
9.4.1 Clasificare sistemelor termodinamice 133
9.4.2 Starea unui sistem termodinamic 134
9.4.3 Starea de echilibru și starea staționară 135
9.5 Legile gazelor (transformarea izobară, izocoră, izotermă). Ecuația termică de stare 137
9.5.1 Transformarea izotermă. Legea lui Boyle-Mariotte 137
9.5.2 Transformarea izobară. Legea lui Gay-Lussac 138
9.5.3 Transformarea izocoră. Legea lui Charles 138
9.5.4 Transformarea generală a gazelor perfecte. Legea Clapeyron – Mendeleev. Ecuația de stare a gazului ideal 139
9.5.5 Legea lui Dalton 140
9.6 Calculul unor parametri de proces 141
9.6.1 Lucrul mecanic în transformările gazului ideal 141
9.6.2 Lucrul mecanic în transformarea izocoră 141
9.6.3 Lucru mecanic în transformarea izobară. 142
9.6.4 Lucru mecanic în transformarea izotermă. 142
10 Principiile termodinamicii 144
10.1 Principiul Zero al termodinamicii. Postulatele termodinamicii 144
10.2 Termometrie: scări de temperatură. 144
10.2.1 Scările de temperatură relative 145
10.3 Principiul I al termodinamicii. 146
10.3.1 Mașini termice. 146
10.3.2 Ciclul Carnot 147
10.4 Principiul II al termodinamicii 148
10.5. Semnificația moleculară a temperaturii 150
10.5.1. Energia medie pe grade de libertate. 150
10.5.2 Constanta lui Boltzmann. 150
10.6. Semnificația moleculară a entropiei 154
10.6.1 Distribuția vitezelor 154
10.6.2 Stări de energie. Distribuția Boltzmann 154
11 Aplicații ale termodinamicii 158
11.1 Generalizarea noțiunilor din termodinamică. Potențiale termodinamice. 158
11.1 Potențialele termodinamice. 158
11.2 Schimbul de căldură. 160
11.2.1 Cantitatea de căldură 160
11.2.2 Căldură latentă 160
11.2.3 Noțiuni de calorimetrie 161
11.3. Energia de reacție Gibbs (G): 164
11.4 Gazul real. 165
11.4.1 Izotermele lui Andrews 166
11.4.2 Ecuația van der Waals 167
11.4.3 Tranziții de fază 169
11.4.3 Punctul triplu 171
11.4.4 Temperatura absolută 171
11.4.5 Aerosoli farmaceutici 172
11.5 Suspensii de particule 172
11.5.1 Sedimentarea. Viteză de sedimentare 173
11.5.2 Mișcarea Browniană 174
11.5.3 Filtre de aer 174
Bibliografie 176

Cuvânt înainte
Volumul de față descrie concepte de bază ale fizicii pe care se bazează metode de studiu legate de tehnica și cercetarea farmaceutică. Ele sunt sintetizate folosind noțiuni matematice avansate, aceasta făcându-se ca exemplificare fără a avea pretenția că după parcurgerea unui astfel de curs, relațiile să poată fi folosite direct. Sensul acestei prezentări este de a înțelege metodologia, de a înțelege relațiile acolo unde vor fi întâlnite și de a crea o bază solidă pentru noțiuni avansate de biofizică. Prezentul volum se restrânge la câteva capitole esențiale din fizica (mecanică, teorie cinetico-moleculară și căldură precum și termodinamică) introducând totuși, din alte domenii precum electricitatea, unde sau optică, acele elemente care au un formalism matematic asemănător, pentru a ușura înțelegerea și a dezvolta capacitatea de sinteză celui care parcurge un astfel de manual. El conține atât elemente avansate cât și fundamentale încercând să dea suficiente informații celor care au o bază solidă de fizică dar și să fie un ghid pentru cei care nu au studiat fizica de nivel liceal. Pentru a-l parcurge, accentul trebuie pus pe înțelegerea fenomenelor, a modului în care sunt construite conceptele și formalismele matematice și nu pe memorarea lor.

1 Noțiuni fundamentale
1.1 Concepte
1.1.1 FIZICA, știința naturii
Cuvântul FIZICA pleacă de la natură. În limba greacă physis înseamnă natură.
Ca urmare, este o știință a naturii. În încercarea de înțelegere a naturii, fizica devine o știință experimentală. Ea folosește observația și experimentul ca surse de bază pentru informații, creează modelul matematic iar apoi se întoarce la natura ca test final/verificare a oricărei ipoteze sau teorii. Concordanța între teorie și experiment este baza dezvoltării modelelor din fizică.
1.1.1.1 Obiectul fizicii
Fizica descrie lumea înconjurătoare. Conceptul de la care pleacă constă în studiul unui ansamblu sau sistem, de la “micro” – microsistem pana la “macro” – macrosistem. Microsisteme pot fi particule elementare, particule subatomice, atomi, molecule, nano-particule iar macrosistemele pot fi ansambluri de corpuri, ansamblul de corpuri cerești, galaxii sau întreg universul. Ca urmare, fizica trebuie sa aibă metodologii care să modeleze (sau, în limbajul curent, să înțeleagă) comportarea particulelor foarte mici și metodologii care să modeleze comportarea particulelor sau ansamblurilor foarte mari.
Ce studiază fizica După cum precizam anterior, dezvoltarea fizicii a urmat observația. Primele observații s-au referit la mișcarea corpurilor și la cauzele care o produc. Mecanica este acea parte a fizicii ce studiază mișcarea corpurilor și cauzele care o produc. Capitolele mecanicii sunt: cinematica, dinamica și statica.
Cinematica este o parte a mecanicii care studiază mișcarea în spațiu și timp făcând abstracție de cauzele mișcării. Folosește noțiuni ca: traiectorie, viteză, accelerație, ecuație de mișcare.
Dinamica ia în considerare forțele care acționează asupra corpurilor și studiază efectul forțelor asupra mișcării corpurilor. Se definesc noțiunile de forță, impuls, energie, moment al forței, moment cinetic și legi de conservare.
Statica studiază echilibrul corpurilor sub acțiunea diferitelor tipuri de forțe.
Mecanica este doar un bun exemplu. Accentul pus pe mecanică are considerente istorice legate de dezvoltarea fizicii. Avantajul studierii ei constă în faptul că „ceea ce vezi este ceea ce înțelegi”, adică necesită un nivel scăzut de abstractizare.
Mecanica studiază mișcarea corpurilor ținând cont inclusiv de dimensiunea particulelor studiate.
Dacă particulele sunt mari, se studiază mișcarea în spațiu și timp folosind noțiuni ca: traiectorie, viteză, accelerație, ecuație de mișcare, acestea putând fi ușor definite. Suntem în condițiile mecanicii clasice.
Dacă particulele sunt foarte mici nu se poate studia mișcarea simultan în spațiu și timp pentru că ceea ce aduce informația la noi, cum ar fi o rază de lumină, schimbă starea sistemului. Noțiunile ca: traiectorie, viteză, accelerație, ecuație de mișcare nu mai pot fi ușor definite. Definim mai degrabă probabilitatea ca o particulă să fie într-o regiune, să aibă o anumita traiectorie. Suntem în condițiile mecanicii cuantice.
Dacă particulele sunt foarte mari (corpuri cerești) nu este definit clar spațiul și timpul pentru că ceea ce aduce informația la noi, cum ar fi o rază de lumină, este modificată de sistem. Ca urmare spațiul se „curbează” și noțiunile ca: traiectorie, viteză, accelerație, ecuație de mișcare nu mai pot fi ușor definite. Definim aceste noțiuni într-un complex multidimensional spațiu-timp. Suntem în condițiile teoriei relativității generale.
1.1.2 Metode și limbaj
1.1.2.1 Metoda fizicii
Metoda fizicii constă în modul de descriere a fenomenelor, descriere ce se face după un procedeu caracteristic acestei discipline. În primul rând, fizica se bazează pe instrumentul matematic. Acest instrument este particularizat la obiectul de studiat cat și la subiectul ce studiază. Adică instrumentul matematic evoluează în dezvoltarea fizicii ca știință cât și în învățarea fizicii la nivel de individ.
Spre exemplu, studiul fizicii în clasele primare necesită doar operații elementare acestea fiind suficiente pentru înțelegerea unor lucruri foarte simple. Cu un bagaj suplimentar matematic pot fi descrise lucruri mai deosebite și create modele mai avansate. În clasele mai mari se studiază algebra și analiza matematică suficient de evoluată (calcul integral și diferențial), pentru o nouă viziune asupra fizicii.

1.1.2.2 Limbajul fizicii
Fizica se ocupă de măsurători. Unele dintre aceste măsurători sunt directe cum ar fi măsurarea lungimii cu un metru. Un alt exemplu este măsurarea timpului cu un ceas sau un cronometru. În alte cazuri este folosită matematica pentru a descrie relațiile dintre rezultatele diferitelor măsurători (de ex: măsurând spațiul străbătut de un corp, timpul în care străbate acest spațiu, se poate afla viteza corpului folosind ecuația v = s/t).
Abstracțiunea matematică presupune asocierea unei mărimi cu o valoare. Astfel, mărimi uzuale pot fi introduse în formulă și, ca urmare, prelucrate (adunate, scăzute, înmulțite, împărțite, etc.).
Odată introduse în ecuațiile matematice, acestea nu mai sunt mărimi uzuale ci devin mărimi fizice.
1.2 Mărimi fizice și măsurarea lor
1.2.1 Mărimi fizice
1.2.1.1 FIZICA, știință a măsurii
Această asociere se bazează pe “metoda științifică” în încercarea ei de a cuantifica fenomenele pe care le studiază. Fizica este o știință experimentală pentru că noțiunea de mărime fizică are sens de cantitate, adică ceva ce poate fi măsurat și exprimat printr-un număr (valoarea numerică a mărimii fizice respective).
Se scrie:
MF = Valoare * UM (1.2.1)
unde prin “MF” am indicat mărimea fizică iar “Valoarea” este valoarea numerică a acesteia măsurată cu unitatea de măsură UM.
Notația este [MF] = UM , de observat că parantezele pătratice se referă nu la unitatea de măsură în sine ci la tipul de dimensiune. Astfel, dacă mărimea fizică este de exemplu lungimea sau spațiul, acestea se măsoară, după cum știm din viața de toate zilele, în unități de lungime. Dacă notăm spațiul cu litera s, acest lucru se scrie:
[s] = L
Avantajul scrierii respective este cel de uniformizare: astfel, dacă de exemplu notăm spațiul cu l, formula de mai sus devine:
[l] = L adică sunt tot unități de lungime.
La fel, dacă notăm timpul cu litera t mic, faptul că timpul se măsoară în unități specifice de timp se scrie:
[t] = T
Pentru măsurarea efectivă a unei mărimi se alege o mărime de același fel cu ea care se consideră etalon și, de aceea, se numește unitate de măsură. A măsura o mărime înseamnă a o compara cu unitatea de măsură aleasă (cu etalonul) și a vedea de câte ori unitatea de măsură se cuprinde în mărimea de măsurat.
1.2.1.2 Măsurarea mărimilor fizice
Limbajul comun – noțiunile de bază sunt parte a limbajului comun, așa cum reiese din definițiile din dicționarul explicativ al limbii romane.
Pentru mărimi:
𝑀Ă𝑅Í𝑀𝐸 ~𝑖 𝑓.
Valoarea dimensională a unui obiect – ceea ce se poate măsura sau calcula. DEX ’98 (1998). Mărimea este o noțiune care pate fi asociată unei categorii largi de obiecte – obiecte măsurabile. Această categorie de obiecte în sine reprezintă o noțiune primară, adică o noțiune care nu poate fi definită și ca urmare lasă loc uneori la ambiguități.
Pentru măsurare:
MĂSURÁRE, măsurări, s. f.
Acțiunea de a (se) măsura; determinare a valorii unei mărimi; măsură (I, 1), măsurătoare, măsurat 1. – V. Măsura. MĂSURÁ, măsór, vb. I. I. Tranz. 1. A determina cu instrumente sau cu aparate de măsură, etaloane etc., valoarea unei mărimi (lungime, masă, greutate, tensiune electrică etc.); a lua măsura; spec. a cântări. ….– Lat. Mensurare. DEX ’98 (1998) Măsurarea reprezintă compararea unei mărimi cu un etalon.
1.2.1.3 Tipuri de mărimi fizice:
Fundamentale → se definesc fără ajutorul altora [lungimea (l), masa (m), timpul (t), temperatura (T), intensitatea curentului electric (I), intensitatea luminoasă (I), cantitatea de substanță (ν)]
Derivate → se obțin prin relații matematice din combinarea celor fundamentale [ex. viteza, forța, lucrul mecanic – combinații ale masei, lungimii și timpului].
1.3 Sisteme de unități
1.3.1 Unitățile de măsură
Conform definirii mărimilor, etaloanele care sunt folosite pentru măsură sunt numite unități de măsură. Față de unitățile generice de care am vorbit în paragrafele anterioare acestea sunt unități fizice, reprezintă ceva palpabil. Un exemplu istoric este măsurarea materialului cu cotul. Din asta a derivat o mărime care se cheamă „cot-coți”. Ca urmare, era destul de relativă măsurătoarea unui material care urma a fi vândut. Un vânzător mai mic care avea un cot mai mic evident ar fi câștigat pentru că ar fi vândut clienților săi mai puțin material. Aceasta a dus la necesarul de standardizare ceea ce a condus la conceptul de unități etalon. Astfel vânzătorul nostru nu și-ar putea folosi cotul propriu ci o măsură comparată cu a celorlalți vânzători. Pentru asta trebuie să existe unități la care toată lumea sa facă referință. Acestea se numesc unități etalon. Evident că progresul și internaționalizarea au dus la dezvoltarea unor unități etalon, sistemul de asemenea unități se numește sistemul internațional de unități de măsură.
1.3.1.1 Unități fundamentale
Sistem Internațional de unități de măsură (SI) → ansamblu coerent de unități fundamentale și derivate. Există șapte mărimi, respectiv șapte unități fundamentale: metrul, kilogramul, secunda, kelvinul, candela, amperul, numărul de moli.
Unitățile fundamentale pentru mărimile fundamentale s-au adoptat pe plan internațional în 1960 la cea de-a XI-a Conferință Generală de Măsuri și Greutăți: metrul (pentru lungime), kilogramul (pentru masă), secunda (pentru timp), kelvinul (pentru temperatură), amperul (pentru intensitatea curentului electric), candela (pentru intensitatea luminoasă), molul (pentru cantitatea de substanță).
Grupul de unități fundamentale stabilite și toate unitățile derivate din unitățile fundamentale constituie un sistem de unități de măsură.
Exista un sistem tolerat de unități care este sistemul C.G.S. (centimetru, gram, secundă) a cărui folosire se face în funcție de necesități. De asemenea există sisteme de măsură regionale cum ar fi sistemul imperial britanic. Sistemul cu adaptările de țară este folosit în Statele Unite și Marea Britanie în paralel cu cel internațional.
1.3.1.2 Mărimi și unități fundamentale
Definirea mărimilor din sistemul internațional și crearea unităților etalon s-a făcut în urma primei conferințe internaționale de măsuri și greutăți (Conférence Générale des Poids et Mesures) ținută în 1889 unde au fost definite primele prototipuri de unități standard pentru metru și kilogram și depozitate la noul creat „Bureau Internațional des Poids et Mesures”, într-o frumoasă clădire istorică Pavillon de Breteuil aflată în Sèvres Franța. Această entitate este acum o organizație internațională care se ocupă cu standardizarea măsurătorilor.
Exista șapte unități fundamentale care se măsoară direct. Definițiile lor sunt:
Metrul este lungimea traseului parcurs de lumină în vid într-un interval de timp de 1/299 792 458 dintr-o secundă. Metrul se notează cu m iar formula pentru lungime în sistem internațional se scrie <l>SI = m.
Kilogramul este unitate de masă; este egal cu masa prototipului internațional al kilogramului. Kilogramul se notează cu kg iar formula pentru lungime în sistem internațional se scrie <m>SI= kg.
Secunda este durata de 9 192 631 770 perioade a radiației corespunzătoare tranziției între cele două niveluri hiperfine ale stării fundamentale a atomului de cesiu 133. Secunda se notează cu s iar formula pentru lungime în sistem internațional se scrie < t >SI= s.
Amperul este curentul constant care, în cazul în care este menținut în două conductoare paralele, rectilinii, de lungime infinită, cu secțiune circulară neglijabilă și așezat în vid, ar produce între aceste conductoare o forță egală cu 2×10−7 newtoni pe metru.
Kelvinul, unitate de temperatură termodinamică, este fracțiunea 1/273.16 din temperatura termodinamică a punctului triplu al apei. Kelvinul se notează cu 0K iar în sistemul internațional se scrie, pentru temperatură, < T >SI= 0K.
Molul este cantitatea de substanță a unui sistem care conține atâtea entități elementare câți atomi există în 0.012 kilograme de carbon 12.
Candela este intensitatea luminoasă emisă într-o anumită direcție, a unei surse care emite o radiație monocromatică de frecvență 540×1012 hertzi și care are o intensitate radiantă în acea direcție de 1/683 watt pe steradian.

1.3.1.3 Unități derivate
Unitățile derivate sunt cele corespunzătoare mărimilor derivate. Exemplu:
viteza
<𝑣>
𝑆𝐼
=

<𝑠>
𝑆𝐼

<𝑡>
𝑆𝐼

=
𝑚
𝑠

forța
<𝐹>
𝑆𝐼
=<
𝑚>
𝑆𝐼
∗
<𝑎>
𝑆𝐼
=
𝑘𝑔∗𝑚

𝑠
2

lucrul mecanic
<𝐿>
𝑆𝐼
=
<𝐹>
𝑆𝐼
∗
<𝑠>
𝑆𝐼
=
𝑘𝑔∗
𝑚
2

𝑠
2

Unitățile fundamentale și derivate permit scrierea unor formule dimensionale.
viteza
𝑣
=

𝑠

𝑡

=
𝑆
𝑇

forța
𝐹
=
𝑚
∗
𝑎
=
𝑀∗𝐿

𝑇
2

lucrul mecanic
𝐿
=
𝐹
∗
𝑠
=
𝑀∗
𝐿
2

𝑇
2

1.3.1.4 Multipli și submultipli
Dacă particulele sunt foarte mari, mărimile uzuale nu sunt adecvate pentru caracterizarea lor. Din acest motiv se definesc multipli ai unităților de măsură care caracterizează mărimile foarte mari. Multiplii înmulțesc valoarea unităților de măsură cu valoarea indicată de prefix.
Prefix
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zetta
yotta

Simbol
d
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y

Factor
10+1
10+2
10+3
10+6
10+9
10+12
10+15
10+18
10+21
10+24


Tabelul 1.3.1: Multiplii unei unități de măsură multiplică valoarea unităților de măsură cu valoarea indicată de prefix.

Dacă particulele sunt foarte mici mărimile uzuale nu sunt nici în acest caz adecvate pentru caracterizarea lor. Din acest motiv se definesc submultipli care caracterizează mărimile foarte mici. Submultiplii divid valoarea unităților de măsură cu valoarea indicată de prefix. De fapt prefixul folosește deja puterea negativă ceea ce face ca în aceste condiții să se folosească de fapt înmulțirea ca operație matematică standard.

Prefix
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto

Simbol
d
c
n
M
n
p
f
a
z
y

Factor
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24


Tabela 1.3.2: Submultiplii unei unități de măsură divid valoarea unităților de măsură cu valoarea indicată de prefix.

1.4 Calculul erorilor
1.4.1. Eroare de măsură
Măsurare – eroarea de măsură După cum precizam anterior, măsurarea reprezintă compararea unei mărimi cu un etalon. Evident că aproape niciodată rigla etalon nu se potrivește cu obiectul de măsurat. Ca urmare, aceasta este gradată în submultipli astfel încât măsurarea să se poată realiza cu o oarecare precizie.
/
Figura 1.4.1: Măsurare – eroarea de măsură
Totuși măsurarea nu este precisă. În funcție de sistemul de măsura (riglă în acest caz) există o eroare de măsură. Nu este posibil să se estimeze o mărime cu o precizie mai bună decât gradația riglei. Aceasta face ca măsurătoarea să se facă cu o anumită eroare de măsură care reprezintă o unitate a gradației riglei. Ca urmare mărimea rezultată se notează cu 𝑥±𝛥𝑥.
De exemplu dacă măsurăm cu rigla gradată în decimetri obiecte care au aproximativ jumătate de metru nu vom putea aprecia dacă obiectul are 5, 4 sau 6 decimetri. Dacă măsurăm cu riglă gradată în centimetri, nu vom aprecia corect dacă are 50, 49 sau 51 de centimetri iar dacă măsurăm cu o riglă gradată în milimetri atunci nu vom putea aprecia corect dacă are 500, 499 sau 501 milimetri.
În primul caz vom scrie x=5±1 dm, în al doilea caz vom scrie x=50±1 cm iar în cel de al treilea vom scrie x=500±1 mm. În mod evident a treia măsurătoare va fi cea mai precisă dar toate cele trei prezentate sunt corecte. În momentul când măsurăm ceva este important ca rezultatul să fie reprezentat corect cu precizia (clasa de precizie) determinată experimental. Este greșit sa căutăm să facem doar ceva cât mai precis fără a menționa gradul de precizie pentru că un rezultat care conține și eroarea de măsură permite luarea unei decizii în cunoștință de cauză. La urma urmei, nu se poate măsura ceva oricât de precis (infinit de precis). Notația erorii de măsură este ± 𝛥𝑥.
1.4.2 Abatere de măsură
1.4.2.1 Distribuții de probabilitate
Există totuși situații în care dorim sa măsurăm ceva cu o precizie foarte mare. Pentru aceasta putem face o riglă cu atât de multe diviziuni încât să măsuram oricât de precis. Totuși cu greu vom putea vedea aceste gradații. În această situație nu precizia riglei contează ci șansa de a potrivi rigla corect peste obiectul de măsurat pentru că limitările simțurilor fac această măsurătoare să se desfășoare cu dificultate. Un exemplu uzual este cel de măsurare a timpului cu un cronometru, în care între momentul deciziei apăsării și cel al apăsării efective trece un timp greu de estimat. Ca urmare, într-o astfel de situație nu putem estima eroarea de măsură ci probabilitatea cu care ne putem situa într-un anumit interval. Vorbim în acest caz de șanse și de valoarea cea mai probabilă iar experimentul este cel ce determină abaterea. Dacă experimentul se repetă în condiții identice putem să facem media rezultatelor iar statistica va îmbunătăți rezultatul calculând abaterea mediei rezultate, definită ca abaterea mediei aritmetice.
/
Figura 1.4.2: Distribuții de probabilitate. Exemplu de experiment
În teoria probabilităților și statistică, o distribuție de probabilitate atribuie o probabilitate pentru fiecare dintre rezultatele posibile ale unui experiment ca eveniment aleator. Exemple pot fi date pentru experimente al căror rezultat nu este numeric. În fizică ne interesează doar cazul în care variabilele sunt numerice, caz în care distribuția este o funcție de probabilitate al cărei rezultat este identificat prin variabile aleatoare continue.
În urma unui experiment, nici o mărime nu este definită univoc existând o oarecare probabilitate ca această mărime să ia o anumită valoare. Existența unei asemenea probabilități maxime pentru anumite valori (cele mai probabile) și minime pentru celelalte (mai puțin probabile) definește o distribuție de probabilitate.
Distribuția de probabilitate este datorată variațiilor aleatoare ale mărimilor luate în calcul. Aceasta este intrinsecă unei anumite situații și nu poate fi prezisă sau estimată decât în urma unui experiment.

Distribuția normală Funcția de probabilitate este:
𝑓
𝑥
=
1
𝜎
2𝜋

exp

−

𝑥−𝜇

2

2
𝜎
2

unde µ este valoarea medie iar σ2 varianța mărime care arată dispersia valorilor.

/
Figura 1.4.3: Distribuții de probabilitate. Exemplu distribuție
unde µ (miu) este valoarea medie iar σ (sigma) este deviația standard.
Această distribuție este reprezentată printr-o funcție simetrică centrată în jurul valorii mediei, funcție care este cu atât mai largă cu cât abaterea este mai largă. Valoarea cea mai probabilă în acest caz este valoarea medie egală cu µ iar varianța cu σ2. Ca urmare coeficientul de variație este σµ.
Graficul acestui tip de distribuție arată ca forma unui clopot numit clopotul lui Gauss. Cu cât acesta este mai larg cu atât datele sunt mai puțin precise iar cu cât este mai îngust, datele sunt mai precise.
/
Figura 1.4.4: Clopotul lui Gauss – Principalul model pentru distribuția de probabilitate normală.

1.4.2.2 Interval de încredere
Există o mărime care arată gradul de precizie a determinărilor noastre, acesta se numește interval de încredere sau confidență, determinând simbolic calitatea măsurătorilor.
Un interval de încredere (confidență) pentru o mărime este un interval construit pe baza datelor experimentale așa fel încât posibilitatea ca valoarea reală a mărimii să fie în acel interval are o anumită probabilitate.
Probabilitatea este pragul (nivelul) de încredere al intervalului sau incertitudine notat în mod uzual cu α iar nivelul de încredere stabilește limitele intervalului ales.
Probabilitatea de eroare luată uzual în calcul pentru a defini intervalul de încredere este de 5% ceea ce înseamnă ca toate valorile măsurate trebuie găsite în restul intervalului de 95%. Uzual, valoarea acestui interval este apropiată de 2σ. De altfel, în funcție de nivelul de probabilitate dorit se pot stabili diverse intervale de încredere. Un interval de încredere mai mare implică valori mai largi pentru parametrii statistici doriți. Astfel, într-un interval de 6σ sunt situate aproape toate valorile posibile.
/
Figura 1.4.5: Interval de încredere
Aceste noțiuni sumare de statistică au drept rol să arate că nimic nu se poate măsura cu o precizie absolută. Pentru toate măsurătorile există acest interval care arată precizia unei măsurători. Un interval mare înseamnă o precizie mică, iar un interval mai mic înseamnă o precizie mare. În mod evident dorința este de a măsura cu precizie cât mai mare cu putință. Am văzut că acest lucru nu poate fi făcut printr-o singură determinare. Probabilitatea ca determinarea să fie corectă depinde de condițiile experimentale. Dacă se fac mai multe determinări atunci, conform teoremei limitei centrale, eroarea care se face în aprecierea mediei aritmetice scade cu rădăcina pătrată a numărului de determinări. Condiția este să considerăm că determinările reprezintă aceeași mărime iar fiecare determinare se desfășoară în condiții identice. În acest caz precizia este dată de abaterea standard a mediei aritmetice care se notează cu litera sigma dar pentru a arăta că este vorba de media aritmetică se adaugă indicele n.

𝜎
𝑛
=
𝜎

𝑛

(1.4.1)

Este important de remarcat că abaterea standard a mediei aritmetice se referă la măsurători făcute în condiții identice. Dacă, de exemplu, urmărim alte lucruri precum efectul unui medicament asupra unui lot de pacienți, noțiunea nu este aplicabilă, abaterea standard fiind cea folosită în această situație pentru a descrie lotul de subiecți. În schimb, dacă facem o determinare asupra unei probe de la același subiect repetând determinarea de un număr de ori vom folosi abaterea standard a mediei aritmetice.
Trebuie făcută precizarea că noțiunile prezentate nu se referă la corectitudinea măsurătorii adică la cât de aproape este valoarea obținută de valoarea reală. O măsurătoare care se face corect (adică este cat mai apropiată de valoarea ei reală), este o măsurătoare făcută cu acuratețe iar mărimea care indică apropierea de valoarea ei reală este definită ca acuratețea măsurătorii.
/
Figura 1.4.6: Interval de încredere – detalii
Ca urmare, există două noțiuni care se referă la modul cum sunt determinate mărimile: acuratețea descrisă anterior și precizia care arată cat de puțin neglijent este făcută măsurătoarea. Măsurătorile făcute cu precizie mare dau, la repetare, valori apropiate iar cele făcute cu precizie mică duc la valori foarte dispersate. Fiecare dintre cele două noțiuni pot fi determinate, precizia fiind determinată prin metode statistice iar acuratețea prin referirea la o valoare etalon.

1.4.3 Propagarea erorilor
1.4.3.1 Propagarea erorilor, reguli de bază
Să presupunem că două cantități măsurate 𝑋 și 𝑌 au incertitudinile ∆𝑋 și ∆𝑌 și sunt definite ca 𝑋 ± ∆𝑋 și 𝑌 ± ∆𝑌. Din cantitățile măsurate se calculează o nouă mărime derivată, 𝑍, pe baza unor relații matematice. Care este incertitudinea 𝛥𝑍 ? Analiza adecvată este cea statistică. Principiul călăuzitor în toate cazurile este să se ia în considerare situația cea mai pesimistă. Modul de calcul rezultă din măsurare dar și din modul de propagare a erorilor. În mod evident, acesta depinde de relația matematică prin care se obține mărimea derivată 𝑍. Câteva exemple sunt date în paragrafele următoare:
1.4.3.2 Adunare și scădere:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 sau 𝑧 = 𝑥 − 𝑦
Să presupunem că incertitudinile sunt aranjate în așa fel încât să ducă Z cat mai departe de adevărata ei valoare. Pentru că valoarea erorilor poate fi negativă sau pozitivă chiar dacă se adaugă sau se scad numere, incertitudinile vor continua să se adauge. Ca urmare, nu este suma sau diferența incertitudinilor ci suma modulelor lor.
∆Z = |∆X| + |∆Y | + ….
1.4.3.3 Înmulțire și împărțire:
𝑧 = 𝑥 · 𝑦 sau 𝑧=
𝑥
𝑦

Z + ∆Z = (X ± ∆X) · (Y ± ∆Y ) = XY + X∆Y + Y ∆X + ∆X∆Y.
Uzual ∆𝑋≪𝑋 și ∆𝑌≪𝑌 și atunci ∆X*∆Y ≈ 0
Ultimul termen ∆X*∆Y este mult mai mic decât celelalte condiții și poate fi neglijat.
Deoarece Z = X · Y , ∆Z = X∆Y + Y ∆X
Se poate folosi eroarea relativă, care este raportul ∆Z/Z

∆Z
Z
=
∆X
X
+
∆Y
Y
+…

1.4.3.4 Pentru combinații:
Se aplică aceeași regulă și anume se adaugă toate erorile relative pentru a obține eroarea relativă în rezultat.

1.4.3.5 Valoarea unei măsurători
În final, valoarea unei mărimi se poate scrie:
x=
x
±(
σ

n

+∆x)

unde:
σ este abaterea standard,
∆𝑥 eroarea de măsurare,

𝜎

𝑛

este eroarea standard a mediei aritmetice iar
n numărul de măsurători.

1.5 Mărimi scalare și vectoriale. Operații vectoriale
1.5.1 Introducere. Mărimi scalare și vectoriale
Mărimi scalare și vectoriale
/
Figura 1.5.1: Descrierea unui vector
În fizică, forța, viteza, accelerația, intensitatea câmpului electric, etc. sunt MĂRIMI FIZICE VECTORIALE: trebuie să le specificăm mărimea, direcția și sensul pentru a le caracteriza complet.
Masa, energia, densitatea, presiunea, sunt MĂRIMI FIZICE SCALARE: le caracterizăm doar prin mărime (număr).

Vectori
Un vector este un segment de dreaptă orientat.
El este reprezentat grafic printr-o săgeată.
Pentru descrierea unui vector avem nevoie de MĂRIME, DIRECȚIE și SENS.
MĂRIMEA vectorului este lungimea segmentului de dreaptă.
– DIRECȚIA este dată de dreapta suport a vectorului. Pe o direcție putem avea două sensuri. Fiecare vector indică o direcție și un sens pe acea direcție.
SENSUL (pe direcția respectivă) este indicat de vârful săgeții.

1.5.2 Operații cu vectori
Vectorii nu sunt mărimi obișnuite. Ca urmare, operațiile făcute cu aceste mărimi au reguli diferite care vor fi prezentate în paragrafele următoare. Operațiile posibile sunt:
Înmulțirea unui vector cu un scalar;
Împărțirea unui vector cu un scalar;
Adunarea vectorilor;
Scăderea vectorilor;
Descompunerea vectorilor;
Produsul scalar al doi vectori;
Produsul vectorial al doi vectori.
1.5.2.1 Înmulțirea unui vector cu un scalar (număr).
/
Figura 1.5.2: Înmulțirea unui vector cu un scalar
Rezultatul este un vector.
Fie vectorul
𝑐
;
𝑐
=
𝑎
∗b
Mărime: c = a b. Mărimea lui c este de b ori mărimea lui a .
dacă b > 1 mărimea vectorului
𝑐
este mai mare decât mărimea vectorului
𝑎
;
dacă b < 1 mărimea vectorului
𝑐
este mai mică decât mărimea vectorului
𝑎
.
Direcție:
𝑐
are aceeași direcție cu vectorul
𝑎
,
Sens:
𝑐
are același sens cu
𝑎
dacă b > 0, sens opus lui
𝑎
dacă b < 0.
1.5.2.2 Împărțirea unui vector cu un scalar (număr)
Rezultatul este un vector.
Fie vectorul
𝑐
;
𝑐
=

𝑎

𝑏

Mărime: c = a/b. Mărimea lui c este de 1/b ori mărimea lui a.
dacă b > 1, mărimea vectorului
𝑐
este mai mică decât mărimea vectorului
𝑎
;
dacă b < 1, mărimea vectorului
𝑐
este mai mare decât mărimea vectorului
𝑎
.
Direcție:
𝑐
are aceeași direcție cu vectorul
𝑎

Sens:
𝑐
are același sens cu
𝑎
dacă b > 0, sens opus lui
𝑎
dacă b < 0.
/
Figura 1.5.3: Împărțirea unui vector cu un scalar
1.5.2.3 Adunarea (compunerea) vectorilor.
Rezultatul este un vector.
Fie vectorul
𝑐
;
𝑐
=
𝑎
+
𝑏

Mărime: c2 = a2 + b2 + 2abcosα
Direcție: conform regulii paralelogramului.
Sens: conform regulii paralelogramului.
Regula paralelogramului
Cei doi vectori se reprezintă astfel încât să aibă originea comună. Se desenează un paralelogram, ducând câte o paralelă la fiecare din vectori, care să treacă prin vârful celuilalt vector. Vectorul sumă este diagonala paralelogramului care unește originea comună a vectorilor cu vârful opus. Dacă avem de adunat mai mulți vectori, efectuăm aceeași operație de mai multe ori.

1.5.2.4 Scăderea (compunerea) vectorilor.
Rezultatul este un vector.
Fie vectorul
𝑐
;
𝑐
=
𝑎
−
𝑏

Mărime: c2 = a2 + b2 − 2abcosα
Direcție: conform regulii paralelogramului sau al triunghiului.
Sens: conform regulii paralelogramului sau al triunghiului.

/
Figura 1.5.4: Regula paralelogramului
/
Figura 1.5.5: Scăderea vectorilor – exemple
Regula paralelogramului
Se construiește vectorul negativ, cu sens invers. Cei doi vectori se reprezintă astfel încât să aibă originea comună. Se desenează un paralelogram, ducând câte o paralelă la fiecare din vectori care să treacă prin vârful celuilalt vector. Vectorul deferență este diagonala paralelogramului care unește originea comună a vectorilor cu vârful opus.
1.5.2.5 Produsul vectorial a doi vectori Rezultatul este un vector.
Fie vectorul
𝑐
;
𝑐
=
𝑎
×
𝑏

Mărime: c = ab sinα
Direcție: perpendiculară pe cei doi vectori,
𝑎
și
𝑏
.
Sens: conform regulii mâinii drepte sau a burghiului drept.

/
Figura 1.5.6: Regula mâinii drepte.

Regula mâinii drepte
Orientăm palma mâinii drepte cu degetele întinse de-a lungul vectorului
𝑎
(degetul mare orientat perpendicular pe celelalte degete) iar apoi îndoim degetul mijlociu înspre vectorul
𝑏
, pe drumul cel mai scurt. Degetul arătător va fi pe direcția lui
𝑎
iar cel mare dă direcția și sensul vectorului
𝑐
.
1.5.2.6 Produsul scalar a doi vectori.
Rezultatul este un scalar
Fie acesta
𝑐
;
𝑐
=
𝑎
.
𝑏

Mărime: c = ab cosα
În particular, doi vectori perpendiculari au produsul scalar nul.

/
Figura 1.5.7: Produsul vectorial a doi vectori – exemplu
Proiecția unui vector pe o axă
Proiecția unui vector
𝑏
pe o axă este un scalar, care se obține ducând perpendiculare din originea și vârful vectorului, pe acea axă (proiecția ortogonală). Dacă notăm cu α unghiul dintre vector și axa respectivă, atunci mărimea proiecției este 𝑏⋅
cos
𝛼
.
1.5.3 Reprezentarea vectorilor
1.5.3.1 Vectori unitate (versori).
Vectorul unitate (versor) este un vector cu modul 1, care se obține împărțind un vector la modulul său. Acesta conține toate informațiile despre direcție și sens.
Fie
1
;
1
=

𝑎

𝑎

În mod evident :
𝑎
=𝑎∙
1

Acești versori definesc sistemul de coordonate x,y,z. Într-un sistem de coordonate (necoplanare) x,y,z, versorii direcțiilor descrise de cele trei axe sunt notați de obicei cu i pentru direcția x, j pentru direcția y și cu k pentru direcția z.
Dacă un vector
𝑎
este orientat de-a lungul direcției x (de exemplu) poate fi scris ca:
𝑎
=𝑎∙
𝑖
și similar pentru vectorii care sunt orientați de-a lungul celorlalte axe.
1.5.3.2 Descompunerea vectorilor în sisteme de coordonate.
Un vector descrie o mărime experimentală. Un exemplu de asemenea mărime poate fi deplasarea dintr-un un loc în altul.
A devenit un obicei sa analizăm deplasarea pe hărți cum ar fi, mai nou, cele electronice. Pe aceste hărți există coordonate cum sunt coordonatele de poziție geografice așa numitele GPS care sunt coordonatele verticale și orizontale. În situația în care harta este a pământului vorbim de coordonate nord/sud – axa verticală și est/vest – axa orizontală. O mărime orientată este caracterizată de deplasarea de la un punct definit de două coordonate la un punct definit de alte două coordonate.
/
Figura 1.5.8: Descompunerea vectorilor în sisteme de coordonate
Generalizând pentru spațiu tridimensional, putem considera coordonatele orizontale ca fiind definite de axa X, cele verticale definite pe axa Y iar deplasarea sus-jos care să fie orientată pe axa Z.
Fie
𝒂
un vector și x, y, z trei direcții (axe) din spațiu.
Atunci
𝑎
=
𝑎
𝑥

𝑖
+
𝑎
𝑦

𝑗
+
𝑎
𝑧

𝑘

În cazul în care cunoaștem proiecțiile vectorului pe axele de coordonate putem folosi o formă simplificată de scriere:

𝑎
=(
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
,
𝑎
𝑧
),
expresie care se citește: vector
𝑎
de coordonate
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
și
𝑎
𝑧
.
Această formă simplificată pentru descrierea operațiilor cu vectori este foarte folosită în fizică.
1.5.3.3 Operații cu vectori în sisteme de coordonate carteziene.
Operațiile cu vectori definite anterior pot lua o forma simplificată.
Înmulțirea unui vector cu un scalar: Fie vectorul
𝑎
=(
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
,
𝑎
𝑧
) și scalarul b.
Rezultatul produsului
𝑎
∙𝑏 este un vector,

𝑐
=(
𝑎
𝑥
∙𝑏 ,
𝑎
𝑦
∙𝑏 ,
𝑎
𝑧
∙𝑏) .
Produsul scalar a doi vectori: Fie vectorii
𝑎
=(
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
,
𝑎
𝑧
) și
𝑏
=(
𝑏
𝑥
,
𝑏
𝑦
,
𝑏
𝑧
).
Produsul scalar a celor doi vectori este:
𝑐=
(𝑎
𝑥
∙
𝑏
𝑥
+
𝑎
𝑦
∙
𝑏
𝑦
+
𝑎
𝑧
∙
𝑏
𝑧
).
Adunarea vectorilor: Fie vectorii
𝑎
=(
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
,
𝑎
𝑧
) și
𝑏
=(
𝑏
𝑥
,
𝑏
𝑦
,
𝑏
𝑧
).
Vectorul sumă
𝑐
se poate scrie:

𝑐
=(
𝑎
𝑥
+
𝑏
𝑥
,
𝑎
𝑦
+
𝑏
𝑦
,
𝑎
𝑧
+
𝑏
𝑧
).

Produsul vectorial a doi vectori: fie vectorii
𝑎
=(
𝑎
𝑥
,
𝑎
𝑦
,
𝑎
𝑧
) și
𝑏
=(
𝑏
𝑥
,
𝑏
𝑦
,
𝑏
𝑧
).
Produsul vectorial
𝑐
=
𝑎
×
𝑏
este:

𝑐
=(
𝑎
𝑦

𝑏
𝑧
−
𝑎
𝑧

𝑏
𝑦
,
𝑎
𝑧

𝑏
𝑥
−
𝑎
𝑥

𝑏
𝑧
,
𝑎
𝑥

𝑏
𝑦
−
𝑎
𝑦

𝑏
𝑥
)

2. Reprezentarea mișcării. Noțiuni de cinematică
2.1 Introducere
Reprezentarea grafică a mișcării. Mișcarea reprezintă rezultatul deplasării unui obiect. Aceasta nu lasă în general urme dar poate fi totuși înregistrată printr-o reprezentare grafică. Un exemplu elocvent actual este deplasarea pe o hartă cum ar fi cea disponibilă în telefoanele mobile actuale unde traseul mișcării este reprezentat printr-o linie. Evident, mișcarea este, în realitate, mai complexă.
Transcrierea mișcării în limbaj vectorial. Ceea ce se vede în urma mișcării este un traseu. Traseul reprezintă istoria mișcării. În capitolul anterior am vorbit despre reprezentarea vectorilor în două dimensiuni. În același mod și mișcarea care este reprezentată printr-o curbă pe o hartă (într-un plan în 2 dimensiuni) poate fi reprezentată și vectorial. Ea poate fi transcrisă în limbaj vectorial în 2 dimensiuni într-un plan (hartă) sau chiar în trei dimensiuni ca o mișcare în spațiu.
Transcrierea mișcării în ecuații de mișcare. Ceea ce am prezentat pană acum reprezintă doar în parte mișcarea. Traseul despre care vorbeam este de fapt istoria deplasării între două puncte și nu caracterizează mișcarea în sine. Pentru a caracteriza mișcarea cu adevărat trebuie să știm ceea ce se întâmplă în fiecare moment. Ca urmare, putem spune că mișcarea este o deplasare în timp.
După cum am discutat în primul capitol, unul din instrumentele principale ale fizicii este transpunerea informațiilor obținute din studiul naturii în limbaj matematic. În modul cel mai simplu cu putință, o transpunere în limbaj matematic a celor prezentate mai sus ar fi:
= v · t
Adică spațiul parcurs este egal cu viteza cu care ne deplasăm înmulțită cu durata deplasării. Ecuația prezentată este o ecuație foarte generală dar ea nu caracterizează nicidecum o mișcare complexă. Pentru a înțelege modul de transpunere în ecuație trebuie să luam câteva exemple mult mai simple.
2.2 Mișcarea rectilinie.
Mișcarea rectilinie este o variantă foarte simplă de mișcare ce se desfășoară în linie dreaptă. Ea este abstracțiune ce ne ajută să înțelegem cum se poate face un model al mișcării. O mișcare mai complexă este și rezultatul a două tipuri de mișcări după direcții diferite, de exemplu pe direcțiile nord-sud versus est-vest. Cazul cel mai simplu este o mișcare în linie dreaptă adică rectilinie și cu viteză constantă. Acest tip de mișcare se numește mișcare rectilinie și uniformă.
2.2.1 Mișcarea rectilinie uniformă
2.2.1.1 Caracteristicile mișcării rectilinii și uniforme
/
Figura 2.2.1: Mișcarea rectilinie și uniformă
traiectorie rectilinie,
se parcurg spații egale în intervale de timp egale.
Facem următoarele notații:
𝑠= spațiul măsurat de-a lungul traiectoriei

𝑠
0
= spațiul inițial, adică spațiul la începutul mișcării.
Notația de spațiu inițial este importantă pentru că nu totdeauna plecăm dintr-un loc care se poate considera punctul zero. De exemplu dacă plecăm din centrul Bucureștiului de la kilometrul 0 spațial, so nu este relevant dar dacă plecam dintr-un cartier din București, de la kilometrul zero până în cartierul respectiv există o anumită distanță care trebuie luată în calcul și transformată în ecuație.
Notăm:

s

𝑡=0

=s
0

2.2.1.2 Ecuațiile mișcării rectilinii și uniforme
Pentru a defini mișcarea plecăm de la informația că viteza este constantă, adică:
𝑣=
𝑣
0
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 (2.2.1)
În mod normal vom scrie, în aceste condiții, că spațiul parcurs este produsul dintre viteză și timp adică:
𝑠=𝑣∙𝑡
Dacă vrem să considerăm că nu plecăm din punctul 0 și nu la miezul nopții (t=0), corect ar fi să scriem:
𝑠−
𝑠
0
=𝑣∙(𝑡−
𝑡
0
)
sau
𝑠 =
𝑠
0
− 𝑣 · (𝑡 −
𝑡
0
).
Aceasta ar fi scrierea corectă a mișcării dar care nu ne ajută deloc să generalizăm noțiunile viitoare. Ideal ar fi să plecăm de la o noțiune generală și, printr-un calcul matematic, să obținem o formulă care să fie valabilă și pentru această simplificare.
Pentru aceasta, definim viteza ca viteză instantanee, adică:
𝑣=

lim
∆𝑡→0

∆𝑠
∆𝑡

=
𝑑𝑠
𝑑𝑡

Formula de mai sus este corectă pentru că este definită pe un interval de timp suficient de mic pentru care viteza poate fi considerată constantă. Ea se traduce în cuvinte – viteza este raportul între variația spațiului și intervalul de timp în care este acesta este parcurs, atunci când intervalul de timp este foarte mic.
Noțiunea matematică pentru această operație este noțiunea de derivată. Din clasele superioare ale liceului am învățat ca operația inversă derivării este integrarea. Ca urmare, dacă viteza este
𝑑𝑠
𝑑𝑡
spațiul parcurs în timpul mișcării 𝑑𝑠=
𝑣
0
∙𝑑𝑡 iar s va fi integrala produsului
𝑣
0
∙𝑑𝑡. Operație: integrare

𝑠
0

𝑠
𝑑𝑠
=
𝑣
0
∙

𝑡
0

𝑡
𝑑𝑡

sau
𝑠−
𝑠
0
=
𝑣
0
∙(𝑡−
𝑡
0
) (2.2.2)
Particularizând, se obține ecuația spațiului cu spațiu inițial ca:
𝑠=
𝑠
0
+
𝑣
𝑜
∙𝑡 (2.2.3)
și ecuația spațiului fără spațiu inițial, dacă la 𝑡 = 0 și 𝑠=
𝑠
0
=0:
𝑠 =
𝑣
0
∙𝑡
2.2.2 Mișcarea rectilinie uniform variată
Mișcarea rectilinie și uniformă este o mișcare foarte simplă dar aplicațiile ei practice sunt foarte rare. Este ca și cum am merge cu mașina fără să putem frâna sau accelera. Dacă trebuie să frânăm sau să accelerăm mișcarea nu mai este uniformă pentru că viteza nu este constantă, mișcarea putând fi accelerată sau încetinită. Dacă este accelerată sau încetinită, spunem că este o mișcare variată iar dacă gradul de accelerare sau încetinire este constant, spunem că este uniform variată. Mărimea care arată variația vitezei în timp se numește accelerație.
Caracteristicile acestei mișcării sunt:
Traiectorie rectilinie;
Viteza variabilă → accelerația

𝑎

=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡≠0
𝑎>0 mișcare uniform accelerată,
𝑎<0 mișcare uniform încetinită.

Ecuația vitezei în mișcarea rectilinie cu accelerație constantă:
𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (direcție și modul) →𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡≠0
Ecuația vitezei din definiția accelerației 𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
→𝑑𝑣=𝑎∙𝑑𝑡

𝑣
0

𝑣
𝑑𝑣=𝑎

𝑡
𝑜

𝑡
𝑑𝑡

dacă
𝑡
𝑜
=0→𝑣−
𝑣
0
=𝑎∙𝑡,
dacă avem condițiile inițiale :
𝑡
0
= 0 ;
𝑣
0
= 0;
din 𝑣=
𝑣
0
+𝑎∙𝑡 →𝑣=𝑎∙𝑡

/
Figura 2.2.2: Mișcarea rectilinie și uniform variată (accelerată, respectiv, încetinită).
Ecuația spațiului: 𝑣=

lim
∆𝑡→0

∆𝑠
∆𝑡

=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
→𝑑𝑠=
𝑣
0
∙𝑑𝑡
Integrând obținem:

𝑡
0

𝑡
𝑑𝑠=

𝑡
0

𝑡
𝑣𝑑𝑡=

𝑡
0

𝑡

𝑣
0
+𝑎∙𝑡
𝑑𝑡=

𝑡
0

𝑡

𝑣
0
𝑑𝑡+

𝑎

𝑡
0

𝑡
𝑡𝑑𝑡

cu
𝑡
0
=0→𝑠−
𝑠
0
=
𝑣
0
𝑡+𝑎

𝑡
2

2

sau
𝑠=
𝑠
0
+
𝑣
0
𝑡+𝑎

𝑡
2

2
(2.2.4)
Dacă:

𝑠
0
=0 atunci 𝑠=
𝑣
0
𝑡+𝑎

𝑡
2

2

𝑣
0
=0 atunci 𝑠=
𝑠
0
+𝑎

𝑡
2

2

𝑠
0
=0 și
𝑣
0
=0 atunci 𝑠=𝑎

𝑡
2

2
mobilul pornește din repaus.
2.2.3 Reprezentări grafice ale ecuațiilor mișcării rectilinii
Pentru a avea o reprezentare sugestivă a ecuațiilor mișcării, folosim o reprezentare grafică. Reprezentarea grafică a mișcării se bazează pe noțiunea de grafic al unei funcții.

/
Figura 2.2.3: Viteza în mișcarea rectilinie și uniformă.

/
Figura 2.2.4: Viteza în mișcarea rectilinie și uniform variată
2.2.3.1 Viteza
De exemplu viteza 𝑣=𝑓
𝑡
se reprezintă ca o linie dreaptă, paralelă cu axa timpului, în mișcarea uniformă.
În mișcarea rectilinie și uniform variată va fi o linie înclinată, în sus, dacă viteza crește (mișcare accelerată) și în jos, dacă viteza scade (mișcare încetinită).
2.2.3.2 Spațiul
În același mod se reprezintă spațiul. Funcția ce definește spațiul în mișcarea rectilinie este ecuația unei drepte, 𝑠=𝑓
𝑡
, unde:

tan
𝛼
=
𝑣
0
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡

În mișcarea rectilinie și uniform variată, ecuația 𝑠=𝑓
𝑡
este ecuația unei parabole.
Observație: mișcarea rectilinie uniform variată prezintă drept caz particular mișcarea rectilinie uniformă
𝑎=0
→𝑠=
𝑣
0
𝑡
/
Figura 2.2.5: Spațiu în mișcarea rectilinie și uniformă
/
Figura 2.2.6: Spațiul în mișcarea rectilinie și uniform variată, ecuație de gradul 2 (parabolă)

2.3 Mișcarea circulară
2.3.1 Mișcare circulară și uniformă
Un alt tip de mișcare particulară care reprezintă simplificarea unei mișcări în două dimensiuni este mișcarea circulară și uniformă. În această mișcare traiectoria corpului este un cerc de rază R iar mișcarea este uniformă pentru că obiectul parcurge arce de cerc egale în intervale de timp egale. Referindu-ne din nou la vectori, putem spune că viteza este constantă în modul dar nu în direcție adică este un vector care are aceeași lungime (modul) ce își schimbă doar orientarea (direcție) și locul în care este desenat (punctul de aplicație).
Traiectoria punctului material – cerc de rază R.
Uniformă – se parcurg arce egale în intervale de timp egale.
Viteza lineară, 𝑣, variază ca direcție:

𝑣
𝐴

≠

𝑣
𝐵

Viteza lineară, 𝑣, nu variază ca modul: 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 →
𝑣
𝐴
=
𝑣
𝐵

/
Figura 2.3.1: Mișcarea circulară și uniformă
/
Figura 2.3.2: Viteza în mișcarea circulară și uniformă

Legile de mișcare sunt caracterizate de:
arcul străbătut de mobil de-a lungul traiectoriei 𝑆=𝑓
𝑡

unghiul la centru "măturat" de raza vectoare ∆𝛼=𝑓
𝑡

Pentru unghiuri mici avem relația: ∆𝑆=𝑅∆𝛼→
∆𝑆
∆𝑡
=𝑅
∆𝛼
∆𝑡

unde
∆𝑆
∆𝑡
este modulul vitezei liniare, R este raza vectoare a traiectoriei circulare.
Viteza lineară medie are expresia:
𝑣
𝑚
=
∆𝑆
∆𝑡
.
Viteza unghiulară medie are expresia:
𝜔
𝑚
=
∆𝛼
∆𝑡
.
Relația de legătură între viteza lineară medie și cea unghiulară medie este:
𝑣
𝑚
=
𝜔
𝑚
∙𝑅
Atunci când 𝑡→0 viteza medie devine viteză momentană și este reprezentată printr-un vector tangent la traiectorie ce are expresia:
𝑣=

lim
∆𝑡→0

𝑣
𝑚

=

lim
∆𝑡→0

∆𝑆
∆𝑡

=
𝑑𝑆
𝑑𝑡
→
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=𝑣
Viteza unghiulară momentană este definită ca unghiul la centru măturat de raza vectoare în unitatea de timp.
𝜔=

lim
∆𝑡→0

𝜔
𝑚

=

lim
∆𝑡→0

∆𝛼
∆𝑡

=
𝑑𝛼
𝑑𝑡
→
𝑑𝛼
𝑑𝑡
=𝜔
Unități de măsură

𝜔
=

𝛼

𝑡

=
𝑇
−1
→ 𝑢.𝑚.
𝜔
=
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑠𝑒𝑐
; radian este unghiul corespunzător unui arc de cerc egal în lungime cu raza (57,3 grade).
Ecuația vitezei unghiulare: 𝜔=
𝜔
0
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
Ecuația deplasării unghiulare:
cu deplasare inițială 𝛼 =
𝛼
0
+ 𝜔 · 𝑡
fără deplasare inițială 𝛼 = 𝜔 · 𝑡

𝑣
– vectorul viteză liniară este tangent la cerc și are sensul de viteză tangențială.

𝑅
– vectorul rază vectoare.

𝜔
– vectorul viteză unghiulară, este perpendicular pe planul mișcării. Vectorul viteză unghiulară trebuie să caracterizeze unghiul măturat așa că va fi reprezentat printr-un vector perpendicular pe planul de mișcare. Cei trei vectori fiind perpendiculari între ei, reprezentarea lor va fi dată de produsul vectorial.

v
=
ω
×
R

/
Figura 2.3.3: Viteza unghiulară
Mărimi caracteristice mișcării circulare sunt:
• T (perioada) reprezintă timpul necesar efectuării unei rotații complete.

[𝑇]
𝑆𝐼
= 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑ă
• ν (frecvența) reprezintă numărul de rotații efectuat într-o secundă.
𝜈=
1
𝑇
;

𝜈

𝑆𝐼
=
𝑛𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑡𝑖𝑖
𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎
=𝐻𝑧

Relația de legătură:
𝑣=
𝑆
𝑇
=
2𝜋𝑅
𝑇
→𝜈=2𝜋𝑅𝜈 dar 𝜈=𝑅𝜔→𝑣=2𝜋𝑅𝜈=𝑅𝜔
𝜔=2𝜋𝜗=
2𝜋
𝑇
și 𝑣=
2𝜋𝑅
𝑇
=2𝜋𝑅𝜗
Accelerația se obține prin înlocuirea în expresie: 𝑣=2𝜋𝑅𝜗

𝑎
𝑛
=

𝑣
2

𝑅
=

𝑅
2

𝜔
2

𝑅
=
𝜔
2
𝑅
Se obține:

𝑎
𝑛
=
𝜔
2
𝑅
unde
𝒂
𝒏
este vectorul accelerație perpendicular pe vectorul viteză unghiulară.
2.3.2 Mișcarea circulară și uniform variată
Mișcarea circulară uniform variată este similară mișcării circulare și uniforme doar că viteza nu mai este constantă în modul.
Dacă modulul vitezei liniare 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 → mișcarea este circulară și uniformă;
variază doar orientarea (direcția) vitezei liniare, 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.
modulul accelerației normale (centripete) are expresia:

𝑎
𝑛
=
𝜔
2
𝑅=

𝑣
2

𝑅

𝛾 = 0, unde 𝛾 este accelerația unghiulară (variația vitezei unghiulare în unitatea de timp (medie)).
Dacă modulul vitezei liniare 𝑛𝑢 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑣=𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙
→ mișcarea este circulară variată.
accelerația unghiulară (𝛾) = variația vitezei unghiulare în unitatea de timp (medie):

𝛾
𝑚
=
∆𝜔
∆𝑡

accelerația unghiulară momentană are expresia:

𝛾
𝑚
=

lim
∆𝑡→0

∆𝜔
∆𝑡

=
𝑑𝜔
𝑑𝑡

Relația de legătură între accelerația liniară și accelerația unghiulară, este:

𝑎
=
𝛾
×
𝑅

Ecuația vitezei unghiulare, cu viteză inițială, este:
𝑑𝜔=𝛾𝑑𝑡→

𝑡
0

𝑡
𝑑𝜔
=𝛾

𝑡
0

𝑡
𝑑𝑡
→𝜔=
𝜔
0
+𝛾𝑡
Ecuația vitezei unghiulare, fără viteză inițială, este:
𝜔=𝛾𝑡

În final ecuația spațiului este:
𝑠=
𝛼
0
+𝜔𝑡+𝛾

𝑡
2

2

2.4 Mișcarea oscilatorie armonică.
Mișcarea oscilatorie este o mișcare care se desfășoară periodic de o parte și de alta a unei poziții centrale numită poziție de echilibru. O variantă simplificată a acestei mișcări care poate fi pusă ușor în ecuație este mișcarea oscilatorie armonică.
Caracteristicile mișcării oscilatorie armonică sunt:
Oscilație: reprezintă mișcarea unui punct material, de o parte și de alta a unei poziții de echilibru.
Periodică: după intervale egale de timp mobilul trece prin poziția fixă, de echilibru.
Armonică: mărimile caracteristice – s(x,y) , v, a, variază sinusoidal.
Mișcarea oscilatorie armonică poate fi privită ca proiecția unei mișcări circulare.
Elementele mișcării oscilatorii armonice sunt:
Elongația – X sau Y
Amplitudinea – A
Pulsația – ω
Faza – φ
Perioada – T
Frecvența – ν
/
Figura 2.4.1: Mișcarea oscilatorie armonică
Elongația – spațiul străbătut de mobil la un moment dat (deplasarea corpului la un moment dat de poziția de echilibru) se noteaza de obicei cu X sau Y.
Amplitudinea – elongația maximă, ( A = R ).
Pulsația – ω – viteza de variație a fazei (similar vitezei unghiulare din mișcarea circularăș are ca unitate de măsură: [ω]SI = s−1 sau [ω] = radian/sec
Faza – φ ( unghi măsurat în radiani); φ = (ωt ± ϕ)ș Faza la momentul inițial ϕ se numește faza inițială.
Perioada – T – timpul necesar efectuării unei oscilații complete 𝑇=
2𝜋
𝜔
.
Frecvența – 𝜈 – numărul de oscilații complete sau numărul de perioade din unitatea de timp
𝜗=
1
𝑇
→𝜗=
𝜔
2𝜋

Legile mișcării oscilatorii armonice. Pentru a determina legile de mișcare, considerăm un punct material care se mișcă uniform pe o traiectorie circulară din punctul A la momentul t0 până ajunge în punctul B după un interval de timp t. Raza vectoare R "mătură" la centru unghiul 𝛼 = 𝜔𝑡. Din considerente geometrice, se studiază mișcarea circulară ca proiecție pe 2 diametre:
Proiecția mișcării circulare pe diametrul Ox va fi X1 ( pe desen OD = X1)
Proiecția ei pe diametrul Oy va fi Y1 ( pe desen OC = Y1)
Se observă că:

sin
𝛼
=
𝑥
𝑅
dar 𝑅 = 𝐴 și atunci 𝛼 = 𝜔𝑡 → 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 =
𝑥
𝐴

cos
𝛼
=
𝑦
𝑅
dar 𝑅 = 𝐴 și atunci 𝛼 = 𝜔𝑡 →
cos
𝜔𝑡
=
𝑦
𝐴

Ca urmare, se obține ecuația elongației:
Ecuațiile elongației fără fază inițială:
𝑥=𝐴∙𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 și 𝑦=𝐴∙
cos
𝜔𝑡

Ecuațiile elongației cu fază inițială:
𝑥=𝐴∙𝑠𝑖𝑛
𝜔𝑡+𝜑
și 𝑦=𝐴∙
cos

𝜔𝑡+𝜑

/
Figura 2.4.2: Viteza în mișcarea oscilatorie armonică
Viteza în mișcarea oscilatorie armonică
Vectorul viteză liniară tangențială se poate descompune după două direcții perpendiculare ale căror proiecții pe diametru dau viteza mișcării oscilatorii a punctului A.

𝑣
𝑥
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
;
𝑣
𝑦
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
unde 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡; 𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
Ecuația vitezei fără fază inițială se va obține ca:

𝑣
𝑥
= 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 →
𝑣
𝑦
= − 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
Ecuația vitezei cu fază inițială se obține ca:

𝑣
𝑥
= 𝐴𝜔𝑠𝑖𝑛
sin

𝑤𝑡±𝜑

→
𝑣
𝑦
= −𝐴𝜔
cos

𝜔𝑡±𝜑

Accelerația în mișcarea oscilatorie armonică
Accelerația este orientată spre centrul cercului.
Componenta ei după axa Ox este:

𝑎
𝑥
=
𝑑
𝑣
𝑥

𝑑𝑡
dar
𝑣
𝑥
= 𝐴𝜔 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 →
𝑎
𝑥
= −𝐴
𝜔
2
𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡.
Aceasta se obține prin derivarea vitezei.

𝑣
𝑥
= 𝐴𝜔 𝑐𝑜𝑠
𝜔𝑡+𝜑
→
𝑎
𝑥
= −𝐴
𝑤
2
𝑐𝑜𝑠
𝜔𝑡+𝜑

Ecuațiile accelerației cu și fără fază inițială:
Ecuațiile accelerației fără fază inițială sunt:

𝑎
𝑥
= −
𝜔
2

𝑋
1

𝑎
𝑦
= −
𝜔
2

𝑌
1

Ecuațiile accelerației cu fază inițială sunt:

𝑎
𝑥
= −𝐴
𝜔
2
𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝑎
𝑦
= −𝐴
𝜔
2
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙)
/
Figura 2.4.3: Accelerația în mișcarea oscilatorie armonică
Accelerația este direct proporțională cu elongația iar semnul minus ne arată că accelerația și elongația au fazele opuse. Valoarea mărimilor fizice la anumite momente de timp este determinată de valoarea pe care o are funcția trigonometrică respectivă în acel moment:
t = 0

𝑇
4


𝑇
2


3𝑇
4

T

X = 0
A
0
−A
0

vx = Aω
0
-Aω
0
Aω

ax = 0
Aω2
0
−Aω2
0

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠
2𝜋
𝑇
𝑡

𝑣
𝑥
= 𝐴𝜔
sin

2𝜋
𝑇
𝑡

𝑎
𝑥
= −𝐴
𝜔
2
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
𝑇
𝑡
Observații:
Când elongația este maximă în fiecare sens (A) viteza este 0 – viteza trebuie să-și schimbe sensul iar accelerația are valoare maximă, dar este îndreptată în sens opus față de elongație.
Invers, când elongația este 0, viteza este maximă și accelerația este 0 (la trecerea prin poziția de echilibru).
Exemple ale mișcării oscilatorii armonice:
Sistem neamortizat resort elastic – masă suspendată.
Pendul. 3 Forța – Echilibrul, static și dinamic
3.1 Bazele dinamicii
3.1.1 Principiile dinamicii
În capitolele anterioare ne-am referit la mișcare fără a analiza de ce se produce aceasta. Mișcarea ca atare este un fenomen complex. În natură, corpurile în mișcare își schimbă continuu traiectoria, viteza și accelerația. De exemplu, la o mașină motorul și sistemul de frânare sunt cele care fac acest lucru. Mărimea care caracterizează această influență asupra mișcării o vom defini pe parcursul acestui capitol ca forță.
Definiție: Dinamica este o ramură a mecanicii clasice care se ocupă cu studiul efectelor forțelor asupra mișcării.
Obiectul ei de studiu este cauza mișcării unui obiect și folosește:
sistemul de coordonate care are rolul de a facilita transformarea unei stări fizice într-un model matematic.
sistemul inerțial care are proprietatea că obiectul căruia îi este atașat acest sistem de referință se află în repaus sau se deplasează cu viteză constantă.
Aceste noțiuni vor fi explicate în cele ce urmează.
3.1.1.1 Principiul I al dinamicii
Trăim într-un spațiu în care corpurile sunt în continuă mișcare. Ele sunt în legătură unele cu altele atât prin contact cât și la distanță, fiind foarte greu să evaluăm care dintre interacțiuni sunt importante și cât sunt ele de importante în modificarea mișcării unui corp.
Să luăm un exemplu: dacă pe o masă aruncăm o bilă, ea se va mișca până se va opri. Lustruim masa și bila se va mișcă mai mult. Dacă după lustruire adăugăm și lubrefiant, bila se va mișca și mai mult. Asta ne duce la ideea că în cazul în care am putea lustrui perfect masa, bila se va mișca oricât de mult. Ca urmare, pentru a putea generaliza, este mult mai ușor să ne imaginăm un sistem care este complet izolat de mediu exterior. În aceste condiții, acest sistem se va mișca la infinit. Dacă mișcarea nu are loc într-un sistem izolat, modificarea mișcării (schimbarea stării de mișcare) va avea loc sub acțiunea interacțiunilor cu mediul exterior și atât.
Sunt două precizări de făcut: niciodată nu putem ști dacă un sistem este perfect izolat sau dacă diversele interacțiuni asupra sistemului se anulează reciproc; nu sesizăm prin simțurile noastre sau prin intermediul aparatelor de măsură pe care le avem decât schimbarea stării de mișcare – cel mai bun exemplu este întrebarea pe care și-o pun călătorii unui tren care pleacă lent văzând mișcându-se trenul vecin: “noi sau trenul de alături a plecat?”. Ca urmare, putem spune că mișcarea sau repaosul sunt niște noțiuni relative adică nu știm niciodată dacă suntem în mișcare sau repaus la modul absolut. Putem fi, de exemplu, în repaus față de Pământ dar nu față de Soare. Generalizarea acestor noțiuni de bun simț a fost făcută de Newton prin principiul I al dinamicii.
Principiul I al dinamicii (Principiul inerției): Un corp își menține starea de repaus relativ sau de mișcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu se manifestă nici o interacțiune sau suma interacțiunilor care se exercită este nulă.
Iar formularea principiului de către Newton este:
Lex I: Corpus omne perseverare în statu suo quiescendi vel movendi uniformiter în directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.
În momentul în care discutam descompunerea unui vector, introduceam noțiunea de sistem de coordonate. Acest sistem ne permitea să măsuram poziția unui punct. Am folosit ulterior aceste coordonate în caracterizarea mișcării.
Dacă mai departe vrem să caracterizăm această mișcare și cauzele ei, folosim noțiunea de sistem de referință extinzând acel sistem de axe și coordonate și la caracterizarea interacțiunilor. Spunem astfel că starea de repaus sau mișcare se raportează la un sistem de referință.
Definim un sistem de referință inerțial prin următoarele:
Un sistem de referință față de care este valabilă legea I a lui Newton se numește sistem de referință inerțial.
Față de un sistem de referință inerțial, orice alt sistem care se mișcă cu viteză constantă față de el este un sistem de referință inerțial.
Un exemplu este senzația unui pasager într-un autobuz care se mișcă. Dacă autobuzul se mișcă uniform, sistemul de referință care are coordonatele plasate în autobuz este un sistem de referință inerțial și nu simțim dacă autobuzul se mișcă sau nu în situația în care avem, să zicem, ochii închiși. Dacă autobuzul frânează sau accelerează (viteza se modifică în modul) sau virează (viteza se modifică în direcție) simțim acest lucru și, ca urmare, sistemul de referință (care este autobuzul) nu este inerțial.
3.1.1.2 Principiul II al dinamicii
Primul principiu al dinamicii ne spune că schimbarea stării de mișcare se datorează interacțiunii dar nu ne spune și cu cât. Al doilea principiu este cel care precizează acest lucru.
Principiul II al dinamicii (Principiul acțiunii): Accelerația unui corp este proporțională și are aceeași direcție și sens cu forța aplicată.
Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Practic, acest principiu este principiul proporționalității dintre forță și accelerație.
Principiul proporționalității dintre forță și accelerație.
Experimental, se observă că accelerațiile căpătate de un corp sunt proporționale cu forțele aplicate:

𝐹
1

𝐹
2

=

𝑎
1

𝑎
2

ceea ce se poate scrie ca

𝐹
1

𝑎
1

=

𝐹
2

𝑎
2

=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.
Generalizând, se poate scrie:

𝐹
1

𝑎
1

=

𝐹
2

𝑎
2

=…=

𝐹
𝑛

𝑎
𝑛

=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Masa este măsura inerției corpurilor.
Masa inertă se definește ca:

𝐹
𝑎
=𝑚
Raportul constant între forța aplicată și accelerația căpătată de un corp nu depinde de natura forței aplicate, nici de starea de mișcare. Accelerația unui corp este proporțională și are aceeași direcție și sens cu forța aplicată. 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 → Legea fundamentală a dinamicii.
Forța definește variația cantității de mișcare.
Prin derivare se obține:
𝐹 = 𝑚 · 𝑎=𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑚𝑣

𝑑𝑡

Principiul lui Mach: Masa unui corp se datorează interacțiunii corpului cu toate corpurile din univers. Pentru viteze mari, apropiate de cea a luminii, masa nu e constantă și atunci se aplică mecanica relativistă.
Principiul al doilea permite compararea maselor inerte ale corpurilor după accelerațiile imprimate corpurilor de forțe egale:
𝐹=
𝑚
1
·
𝑎
1
și 𝐹=
𝑚
2
·
𝑎
2
𝑠𝑎𝑢, 𝑎𝑙𝑡𝑓𝑒𝑙 𝑠𝑐𝑟𝑖𝑠,
𝐹
𝐹
=

𝑚
1

𝑎
1

𝑚
2

𝑎
2

=1 →
𝑚
1

𝑎
1
=
𝑚
2

𝑎
2

Ecuația dimensională și unitatea de măsură

𝐹

𝑆𝐼
=𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛=𝑁 ; 1𝑁 = 1𝑘𝑔·𝑚 ·
𝑠
−2
;

𝐹

𝑆𝐼
=
𝑀𝐿𝑇
−2
;

𝐹

𝐶𝐺𝑆
=𝑑𝑦𝑛𝑒; 1𝑁 =
10
5
𝑑𝑦𝑛𝑒

3.1.1.3 Principiul III al dinamicii
Al doilea principiu trebuie și el completat pentru că în momentul în care vorbim despre interacțiuni, trebuie să luăm în considerare conceptul de interacțiuni mutuale, reciproce. Dacă tragem un corp greu cu mâna, mișcăm corpul dar simțim durerea în mână. Ca urmare, atunci când noi acționăm asupra unui corp, corpul reacționează asupra noastră.
Principiul III al dinamicii (Principiul acțiunii și reacțiunii): Oricărei acțiuni îi corespunde o reacțiune de aceeași mărime, dar de sens contrar.
Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones în se mutuo semper esse æquales et în partes contrarias dirigi.
"Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o anumită forță, al doilea corp va acționa asupra primului corp cu o forță egală și de sens contrar“

𝐹
1

=−

𝐹
2

→

𝐹
1

+

𝐹
2

=0
Generalizând,

𝑖=1
𝑛

𝐹
𝑖

=0
3.1.1.4 Principiul IV al dinamicii
Ultima generalizare ne permite să adunăm interacțiuni. Dacă mai mulți oameni trag de un corp, este o considerație de bun simț că, contribuția fiecăruia este independentă, acțiunea rezultată fiind suma contribuțiilor lor. Acesta este esența principiului independenței acțiunilor.
Principiul IV al dinamicii (Principiul independenței acțiunilor): Diferitele forțe care acționează asupra unui punct material acționează independent.
Principiile dinamicii definesc în final noțiunea de forță. Există mai multe tipuri de forțe, considerate în funcție de modul lor de acțiune.
Forțe active sunt acele forțe care asigură mișcarea, și, forțe reactive, acele forțe care se opun primelor, conform principiului III.
Forțele disipative sunt forțe care se opun mișcării, un exemplu fiind forța de frecare.
Se poate face o clasificare inforțe care se manifestă prin contact și forțe care se manifestă la distanță.
/
Figura 3.1.1: Echilibru pe plan înclinat
Forțele pot fi reprezentate prin vectori care au ca modul mărimea interacțiunilor, ca direcție, orientarea lor, iar ca punct de aplicație, locul în care acestea acționează. Totalitatea forțelor aplicate poate fi analizată prin diagrama forțelor.
Un exemplu este al unui corp care este lansat pe o suprafață plană orizontală cu viteză inițială
𝑣
0
. Asupra lui acționează forța de greutate, fiind atras de pământ. Această forță este o forță activă. Corpul nu cade pentru că suprafața plană îl împinge cu o forță egală și de sens contrar greutății. Această forță este o forță reactivă. Această forță este perpendiculară pe plan și se numește reacțiunea normală (N). Ea nu are o valoare definită. Este suficient de mare încât să prevină căderea corpului de pe plan. Mișcarea pe plan va fi o mișcare încetinită, în final, corpul oprindu-se. Încetinirea se datorează unei forțe care este forța de frecare. Cu privire la direcția forței de frecare, aceasta opunându-se mișcării, are aceeași direcție cu mișcarea și sens invers. Forța de frecare este numită forță disipativă pentru că toată energia mișcării este consumată de ea. În particular, pentru exemplul dat, forța de frecare depinde de cât de tare apasă corpul asupra suprafeței și implicit de mărimea reacțiunii normale. Există însă forțe disipative care depind de mărimea vitezei corpului, cum ar fi cea de vâscozitate.
Cu privire la punctul de aplicație, greutatea este figurată în centrul corpului pentru că acolo se face suma tuturor forțelor care acționează asupra lui, punctul respectiv numindu-se centru de greutate. Reacțiunea normală este figurată în zona de contact dintre corp și plan, la jumătatea acesteia, pentru a lua în calcul toate interacțiunile. Similar, în zona de contact dintre corp și plan este figurată și forța de frecare. Noțiunea de centru de greutate sugerează că toate corpurile pot fi privite în mod simplificat ca un punct în care e concentrată toată masă corpului respectiv – noțiunea definită ca punct material. În aceste condiții, toate punctele de aplicație ale forțelor vor coincide.
Un alt exemplu este un corp aflat pe un plan înclinat. Corpul poate avea o formă pătrată (A) sau o formă rotundă (B). În situația în care corpul are o formă pătrată, diagrama forțelor este similară celei din exemplul precedent, al suprafeței orizontale, cu deosebirea că greutatea nu mai acționează perpendicular pe plan ci formează un anumit unghi cu această suprafață. În acest caz, în diagrama forțelor, greutatea se descompune după o direcție paralele cu suprafață planului (tangențială) și o direcție perpendiculară pe suprafață planului (normală). Reacțiunea normală va compensa doar această din urmă forță, cea tangențială trăgând corpul la vale. Dacă forța de frecare este egală sau mai mare decât greutatea tangențială, corpul nu se va mișcă. În analiză, se consideră că forța de frecare este egală cu greutatea tangențială astfel încât rezultanta tuturor forțelor este 0. Spunem atunci că acest corp se află în echilibru, forța de frecare fiind o forță care se opune mișcării este considerată doar în raport cu aceasta. Forța de frecare, nefiind o forță activă, chiar în cazul în care e mai mare decât greutatea tangențială, nu va produce mișcare și astfel, în analiză echilibrului, se consideră egală cu greutatea tangențială.
În diagrama ce se referă la corpul rotund (B), lucrurile sunt puțin mai complicate. Vedem că forțele aplicate sunt identice cu cele din exemplul anterior dar cele două forțe tangențiale (greutatea tangențială și forța de frecare) se aplică în puncte diferite. Ca urmare, chiar dacă corpul nu se poate deplasa tangențial datorită existenței frecării el poate totuși să se rotească și, în acest fel, să se deplaseze de-a lungul planului. Vedem astfel că sunt 2 tipuri de echilibru, cel din primul caz – echilibru de translație, și cel din al doilea caz – echilibru de rotație.
O observație în cazul corpului pătrat (A) ar fi legată de mărimea forței de frecare: asumarea egalității ei cu greutatea tangențială înseamnă absența mișcării. În aceste condiții vorbim de echilibru static. În situația în care corpul se mișcă este important să precizăm și mărimea reală a forțelor disipative. Dacă în cursul mișcării se realizează echilibrul, acest echilibru este numit echilibru dinamic. În cazul echilibrului de rotație, nu doar forța aplicată contează ci și distanța între locul în care se aplică (punctul de aplicație) și punctul de contact al corpului cu suprafață.
Echilibrul de translație este deci caracterizat de forță în timp ce în echilibrul de rotație trebuie să ținem cont nu doar de forțe ci și de locul în care acestea se aplică.

3.2 Echilibrul de rotație – Mărimi caracteristice
3.2.1 Momentul unei forțe față de un punct
/
Figura 3.2.1: Momentul forței

𝑀
𝐹
(Momentul unei forțe aplicate unui corp) este mărimea care caracterizează rotația corpului în jurul unui punct fix, când forța este aplicată la distanță față de punctul fix.
Definim
𝑟
ca vectorul de poziție al punctului de aplicație a forței față de punctul fix.

𝑀
𝐹
= moment al forței în raport cu punctul fix este dat de produsul vectorial între vectorul
𝑟
(de poziție) și vectorul forță
𝐹
:

𝑀
𝐹

=
𝑟
𝑥
𝐹

Modulul lui

𝑀
𝐹

este
𝑀
𝐹
= 𝑟 · 𝐹 · 𝑠𝑖𝑛𝛼
Direcția lui

𝑀
𝐹

este perpendiculară pe planul determinat de forță și vectorul de poziție (

𝑀
𝐹

⊥

𝑟
,
𝐹

).
Sensul lui

𝑀
𝐹

este dat de regula burghiului.
Ecuația dimensională este:
[
𝑀
𝐹
]
𝑆𝐼
= [𝐹][𝑟] = 𝑀
𝐿
2
𝑇

−2

u.m.

𝑀
𝐹

𝑆𝐼
=
𝐹

𝑟
= 𝑁∙𝑚

În cazul acțiunii mai multor forțe:
Momentele se adună vectorial astfel că momentul rezultant este suma momentelor individuale:

𝑖=1
𝑛

𝑟
𝑖

𝑋

𝐹
𝑖

=
𝑖=1
𝑛

𝑀
𝑖

=

𝑀

𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡

Când suma forțelor este 0, corpul va rămâne în echilibru de translație:

𝑖=1
𝑛

𝐹
𝑖

=
0;
Dar dacă suma momentelor forțelor este diferită de 0, corpul se va roti:

i=1
n

r
i

×

F
i

=
i=1
n

M
i

/
Figura 3.2.2: Momentul cuplului
3.2.2 Cuplu de forțe.
O situație particulară este cea în care se aplică două forțe identice și de semn contrar. În aceste condiții, efectul celor două forțe este cumulativ și vorbim de un cuplu de forțe, nu doar de o forță. Trebuie făcută precizarea că cele două forțe fiind egale și de semn contrar, se creează echilibrul de translație dar nu și cel de rotație.
3.2.2.1 Cuplu de forțe. Momentul cuplului (Mc)
Expresia acestuia se poate demonstra ușor în cazul particular în care cele două forțe care acționează asupra unui corp sunt egale ca modul, paralele și de sens opus:

𝐹
1

=

𝐹
2

și

𝐹
1

=−

𝐹
2

; deci

𝐹
1

+

𝐹
2

=0

Dacă rezultanta cuplului este nulă, mișcarea este doar de rotație.
Perpendiculara la cele două forțe reprezintă brațul cuplului
(𝑟
1
+
𝑟
2
= 𝑑). Sensul de rotație este cel al cuplului iar direcția este perpendiculară pe planul forțelor

𝐹
1

și

𝐹
2

:

𝑀
𝐹

⊥

𝐹
1

,

𝐹
2

𝑀

𝐶
=

𝑀

𝐹
1

+

𝑀

𝐹
2

Modulul momentului cuplului este egal cu:

𝑀
𝐶
=
𝑀

𝐹
1

+
𝑀

𝐹
2

=
𝑑
1

∙𝐹
1
+
𝑑
2
∙
𝐹
2

dar
𝐹
1
=
𝐹
2
= 𝐹 și
𝑑
1
+
𝑑
2
= 𝑑
Deci, momentul cuplului este egal cu:
𝑀
𝐶
=𝑑∙𝐹
cu situația particulară:

𝑀
𝐶
=0 când 𝑑=0
Efectul de rotație al unui cuplu de forțe va fi cu atât mai mare cu cât forțele sunt mai mari și cu cât brațul cuplului este mai mare.

3.3 Dinamica mișcării de translație
Am văzut, din principiul I, că un corp își păstrează starea de mișcare iar din principiul II că masa este cea care face dificilă schimbarea acestei stări. Ca urmare, dacă vrem să considerăm mișcarea în ansamblul ei din punct de vedere al dificultății de a schimba parametrii, sunt de luat în calcul 2 mărimi fizice: masa (ca măsură a inerției) și viteza (ca indicator la schimbării poziției). În mod evident, mărimea fizică ce ar trebui să ia în considerare ambele mărimi, este produsul lor. Această mărime se numește impuls.

3.3.1 Cantitatea de mișcare: Impulsul
Impulsul este o mărime vectorială egală cu:

𝑝
=𝑚∙
𝑣

Ecuația dimensională este:
[p] = M · L · T–1
iar unitatea de măsură este:

< 𝑝 >
𝑆𝐼
= 𝑘𝑔 ·
𝑚
𝑠

Pentru 𝑚=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ă , conform principiului al II –lea,

𝐹
=𝑚∙
𝑎
=
𝑑
𝑚
𝑣

𝑑𝑡
=𝑑

𝑚
𝑣

𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑣

,
variația cantității de mișcare în unitatea de timp este egală cu forța aplicată.
Ca urmare, impulsul elementar este 𝐹𝑑𝑡 care, conform legii a 2-a a dinamicii :
𝐹
𝑑𝑡=𝑚𝑑
𝑣

Variația totală a impulsului va fi:

𝑡
1

𝑡
2

𝐹
𝑑𝑡
=𝑚

𝑣
1

𝑣
2

𝑑
𝑣
=𝑚

𝑣
1

−𝑚

𝑣
2

Dacă forța este constantă (𝐹=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡):

𝐹
𝑑𝑡=∆
𝑚
𝑣

→
𝐹
∆𝑡=𝑚

𝑣
2

−𝑚

𝑣
1

→𝑚

𝑣
2

=
𝐹
∆𝑡+𝑚

𝑣
1

𝑚

𝑣

2
= noua cantitate de mișcare
𝑚

𝑣

1
= vechea cantitate de mișcare

𝐹
∆𝑡 = impulsul primit
𝑚

𝑣
2

=
𝐹
∆𝑡+𝑚

𝑣
1

Exprimat în cuvinte, noua cantitate de mișcare este egală cu impulsul primit + vechea cantitate de mișcare.
În cazul particular în care 𝐹 = 0 sau
𝐹
= 0 avem
𝑚

𝑣
2

=𝑚

𝑣
1

Impulsul este o mărime vectorială care are direcția forței care îl produce.

3.4 Dinamica mișcării de rotație – Mărimi caracteristice
Am observat, când am discutat despre rotație și echilibru de rotație și l-am comparat cu cel de translație, că noțiunile fizice în cadrul rotației sunt foarte diferite de cele aplicate în cadrul translației. În mișcarea de rotație, noțiunea de punct material nu poate fi folosită în multe cazuri. Pentru a estima contribuția forței în mișcare de rotație, am definit momentul forței. În același mod, pentru a defini o mărime similară cantității de mișcare din mișcarea de translație, definim momentul cinetic.
3.4.1 Momentul cinetic
Momentul cinetic se notează cu L și reprezintă momentul cantității de mișcare:
Considerăm un punct material de masă m care se mișcă cu viteza liniară
𝑣
pe o traiectorie circulară de rază r (origine în centrul de rotație O).
Definim:

𝐿
=
𝑟
×
𝑝
=
𝑟
× 𝑚
𝑣
→𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠 𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖𝑢𝑙𝑎𝑟
Modulul 𝐿 = 𝑟 · 𝑚 · 𝑣 · 𝑠𝑖𝑛𝛼 dacă α = 900 , sin900 =1 ceea ce conduce la: 𝐿 = 𝑟𝑚𝑉
Direcția lui
𝐿
este perpendiculară pe planul vectorilor
𝑟
și
𝑣
:
𝐿
⊥

𝑟
,
𝑣

/
Figura 3.4.1: Momentul cinetic
Sensul este dat de regula burghiului (sensul de rotație).
Ecuația dimensională este: [L] = [r][m][v] = ML2T −1
iar unitatea de măsură este:

L

SI
= 𝑘𝑔
𝑚

𝑠
2

3.5 Dinamica mișcării circulare
Legile dinamicii sunt deduse din principiile dinamicii. Ele sunt scrise pentru un caz general. Acestea pot fi rescrise și pentru mișcarea de rotație.
3.5.1 Legile dinamicii pentru mișcarea circulară
Principiul II exprimă relația dintre forță și accelerație. Am văzut că generalizarea acestuia permite legarea forței de impuls. În același mod, pentru mișcarea de rotație, ar trebui legat momentul forței de momentul cinetic. De asemenea, în caracterizarea mișcării circulare se folosește viteza unghiulară, iar pentru caracterizarea variației acesteia se folosește accelerația unghiulară. Descrierea relațiilor matematice este prezentată în ceea ce urmează.
Am văzut, din principiul al II-lea al dinamicii, că:
𝐹
=𝑚
𝑎
=𝑚
𝑑
𝑣

𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑣

Din relația de definiție a momentului forței :
𝑀
=
𝑟
×
𝐹

𝑀
=
𝑟
×
𝐹
=
𝑟
× 𝑚
𝑎
=
𝑟
×
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑣

, deci
𝑀
=
𝑟
×
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑣

Dar,
𝐿
=
𝑟
× 𝑚
𝑣
, de unde rezultă
𝑀
=
𝑑
𝐿

𝑑𝑡

Ca urmare, legea a II–a dinamicii pentru mișcarea de rotație arată că variația momentului cinetic este produsă de momentul forței.
În cazul unei interacțiuni, momentul cinetic al unui corp în mișcare circulară se modifică în timp:

𝑑
𝐿

𝑑𝑡
≠0
Similar legii inerției, în cazul unui corp aflat în mișcare circulară, în lipsa interacțiunilor exterioare (
𝑀

𝐹
𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑎𝑟𝑒

= 0), momentul cinetic este constant (se conservă). Se poate scrie:

𝑀
𝐹

=0→
𝑑
𝐿

𝑑𝑡
=0
Derivata funcției fiind nulă, funcția respectivă este constantă.
Mișcarea de rotație este caracterizată cu ușurință nu printr-un sistem de coordonate rectiliniu, tridimensional, ci printr-un sistem de coordonate aflate în rotație așa cum a fost descris în capitolul ce studiază cinematica.
Ca urmare, mărimile luate în calcul sunt viteza unghiulară și accelerația unghiulară.
Introducând viteza unghiulară 𝜔:
𝑣 = 𝑟𝜔 dar 𝐿 = 𝑟∙𝑚𝑣 rezultă 𝐿 = 𝐼𝜔
Unde am notat cu 𝐼 momentul de inerție, mărime similară masei pentru mișcarea de rotație.
Vedem din relația de mai sus că pentru o accelerație unghiulară, rolul masei este preluat de produsul masa înmulțită cu raza și ne așteptăm ca variația vitezei unghiulare să fie făcută datorită momentului forței. În acest caz mărimea respectivă are rol de mărime care descrie inerția în mișcarea de rotație.
Accelerația unghiulară 𝛾 cu formula
𝛾
=
𝑑
𝜔

𝑑𝑡
sau 𝑑
𝜔
=
𝛾
𝑑𝑡
și, introducând expresia în formula momentului cinetic, obținem:

𝐿
= 𝐼
𝜔
,

𝑀
𝐹

=
𝑑
𝐿

𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝐼
𝜔
=𝐼
𝑑
𝜔

𝑑𝑡

𝑀
𝐹

=𝐼
𝛾
ceea ce reprezinta forma principiului II al dinamicii pentru mișcarea circulară.
În mișcarea circulară raza este constantă astfel că viteza liniară pe circumferință rămâne constantă ca urmare a faptului că vectorul 𝐿 este constant.

3.5.2 Solid rigid
Solidul rigid este un sistem de puncte materiale care se rotește în jurul unei axe și care-și păstrează distanțele dintre acele puncte materiale. Ca urmare, fiecare dintre corpurile aflate în rotație contribuie la mișcarea globală iar momentul de inerție calculat trebuie să țină cont de suma momentelor de inerție individuale.
3.5.2.1 Mișcarea de rotație a solidului rigid
Pentru rotația unui punct material i, momentul cinetic
𝐿
𝑖
este:

𝐿

𝑖
=

𝑟

𝑖

×(𝑚
𝑖

𝑣

𝑖)

𝐿
𝑖
=
𝑟
𝑖

∙𝑚
𝑖
∙
𝑣
𝑖

Dacă introducem viteza liniară în relația momentului cinetic obținem:
𝐿 = 𝑚
∙𝑟
2
∙𝜔
Momentul cinetic al punctului de masă
𝑚
𝑖
fiind
𝐿
𝑖
, momentul cinetic total va fi:

𝐿=
𝑖=1
𝑛

𝐿
𝑖

=
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2
𝜔=𝜔
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

Unde termenul
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

reprezintă inerția solidului și se numește moment de inerție.
3.5.2.2 Momentul de inerție
Momentul de inerție reprezintă inerția pe care o opune un corp aflat în rotație.
Unitatea de măsură a momentului de inerție 𝐼 este:

[𝐼]
𝑆.𝐼.
= 𝐾𝑔 ·
𝑚
2

Momentul de inerție al solidului se exprimă ca: 𝐼=
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

Momentul cinetic total al solidului este:
𝐿
=𝐼
𝜔

Caracteristici ale momentului de inerție sunt:
arată distribuția masei corpului în raport cu axa de rotație;
poate avea valori diferite funcție de axa de rotație față de care este calculat;
în rotație liberă, corpurile caută să obțină poziția pentru care 𝐼 are valoarea cea mai mare.
dependent de forma geometrică a corpului.

Mișcarea de translație
Mișcarea de rotație

Spațiul 𝑆
Unghiul la centru 𝛼

Viteza liniară 𝑣
Viteza unghiulară 𝜔

Accelerația 𝑎
Accelerația unghiulară 𝛾

Masa 𝑚
Moment de inerție 𝐼

Forța F = ma
Momentul forței
𝑀
𝐹
= 𝐼𝜔

Cantitate de mișcare 𝑝
Moment cinetic 𝐿 = 𝐼𝜔

Energia cinetică
𝐸
𝐶
=
𝑚
𝑣
2

2

Energia cinetică
𝐸
𝐶
=
𝐼
𝜔
2

2


Tabelul 3.5.1: Echivalență între mărimile care caracterizează mișcarea de translație și cea de rotație.

3.5.2.3 Dinamica mișcării de rotație a solidului rigid
Mărimea caracteristică în studiul mișcării de rotație a solidului rigid este momentul cinetic
𝐿
=𝐼
𝜔
.

Echivalentul Principiului II pentru mișcarea de rotație se exprimă astfel: într-o interacțiune, variația în timp a momentului cinetic este dată de momentul unei forțe:

𝑀
𝐹

=
𝑑
𝐿

𝑑𝑡

/
Figura 3.6.1: Forța centrifugă
Legile dinamicii pentru corpul punctiform și pentru corpul solid
Există o echivalență între mărimile care caracterizează mișcarea liniară și circulară prezentate în tabelul următor.
LEGEA
Punctul material
Punctul material
Solidul


Mișc. Rectilinie
Mișc. Circulară
Mișc. de rotație

Impulsului

𝑝
=𝑚
𝑣


𝐿
=
𝑟
×
𝑝


𝐿
=𝐼
𝜔


cons. imp.

𝑝
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝐿
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝐿
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

forței (MF)

𝐹
=𝑚
𝑎


𝑀
=
𝑟
×
𝐹



𝑀
𝐹

=𝐼
𝛾




𝐹
=
𝑑
𝑝

𝑑𝑡



𝑀
𝐹

=
𝑑
𝐽

𝑑𝑡



𝑀
𝐹

=
𝑑
𝐿

𝑑𝑡


Tabelul 1.3.2: Echivalență între mărimile care caracterizează mișcarea rectilinie, circulară (a punctului material) și cea de rotație (a solidului rigid).

4 Interacțiunea și energia
4.1 Interacțiunea la distanță
Forțele aplicate corpurilor presupun contactul direct dintre corpuri dar sunt și forțe care se aplică asupra corpurilor, de la distanță. De exemplu, faptul că Pământul ne atrage nu presupune că trebuie să fim în contact direct cu Pământul ci putem să fim oriunde, în spațiul cosmic, în avion etc. Majoritatea cazurilor de exercitare a forțelor se bazează pe interacțiuni transmise la distanță. Un exemplu uzual pentru acest tip de forță este cea care apare între două sarcini electrice aflate în repaus. Vom porni de la acest caz pentru descrierea detaliata a situației.
4.1.1 Interacțiunea dintre sarcini
Sarcina electrică este o mărime fizică scalară care măsoară starea de electrizare a unui corp. Ea se transferă de la un corp la altul modificând starea de electrizare. Există două tipuri de sarcini electrice, cea pozitivă, respectiv cea negativă. De fapt sarcina electrică Q cu care se încarcă un corp satisface condiția:
𝑄 = 𝑛∙𝑒 (4.1.1)
unde n este un număr întreg, e fiind cantitatea cea mai mică de sarcină electrică (e=1,6 x 10-19C, cu C notând-se unitatea de măsură a cantității de electricitate – coulomb-ul).
Legea lui Coulomb afirmă că forța ce măsoară interacțiunea dintre două sarcini punctiforme ce acționează de-a lungul dreptei ce unește cele două sarcini este direct proporțională cu produsul sarcinilor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Forța columbiană este de atracție dacă sarcinile sunt de semne contrare și de respingere dacă sarcinile sunt de același fel.
În cazul a doua sarcini electrice punctiforme, 𝑄1 și 𝑄2, aflate la distanța 𝑟 una de cealaltă, forța coulombiana dintre cele două sarcini electrice se scrie, pe baza afirmațiilor de mai sus:

𝐹
𝑒

=
1
4𝜋
𝜖
0

𝑄
1

𝑄
2

𝑟
2

𝑟

𝑟
(4.1.2)

/
Figura 4.1.1: Două sarcini electrice punctiforme, Q1 și Q2, aflate la distanța r una de cealaltă.
unde ε0 = 8,854×10−19C2/Nm2 este o constantă numită permitivitatea electrică a vidului. În sistemul internațional sarcina electrică se măsoară în coulombi (C).
Relația este similară celei a atracției universale, măsurată prin forța gravitațională:

𝐹
𝑔

=𝑘

𝑀
1

𝑀
2

𝑟
2

𝑟

𝑟
(4.1.3)
unde
𝑀
1
și
𝑀
1
reprezentă masele celor două corpuri (asumate a fi egale cu sarcina gravifică) iar k = 6.674 × 10−11N · m2/kg2 este constanta atracției universale. Raportul

𝑟

𝑟
este un versor care indică direcția, sensul fiind dat de semnul sarcinii electrice. Este interesant de remarcat ca 4𝜋
𝑟
2
descrie suprafața unei sfere, ca și cum „interacțiunea posibilă” s-ar distribui pe suprafața acesteia.
4.2 Alte tipuri de forțe
4.2.1. Forța centripetă și centrifugă
Forța centripetă este forța care menține mobilul pe traiectoria circulară. Ea este orientată mereu spre centrul de rotație. Forței centripete în corespunde o accelerație având aceeași direcție cu forța numită accelerație centripetă.

𝑎
𝑛
=
𝑎
𝑐𝑝
=𝜔𝑅
Legea a II-a a dinamicii: relația între viteza liniară 𝑣 și viteza unghiulară 𝜔: 𝑣 = 𝜔𝑅

𝐹
𝑐𝑝
= 𝑚
𝑎
𝑐𝑝
= 𝑚
𝜔
2
𝑅 =
𝑚
𝑣
2

2

𝐹
𝑐𝑝
=𝑚𝜔𝜔𝑅 = 𝑚𝜔𝑣

𝐹
𝑐𝑝

=𝑚

𝜔
×
𝑣

Orice forță (gravitațională, electromagnetică, etc) poate determina o accelerație centripetă. Forța centripetă acționează asupra corpului pentru a-l menține în rotație. Este de exemplu forța care face ca un autobuz să vireze, adică să se înscrie pe o traiectorie circulară. În schimb un individ care se afla într-un autobuz ce virează, adică într-un sistem de referință neinerțial, va simți o forță inversă, deoarece el tinde să-și păstreze starea de mișcare rectilinie și uniformă. Acesta forță este o forță de inerție.
Forța centrifugă este forță de inerție, adică o forță ce apare în sistem de referință neinerțial.

𝐹
𝑐𝑓

=−

𝐹
𝑐𝑝

𝐹
𝑐𝑓

+

𝐹
𝑐𝑝

=0

𝐹
𝑐𝑓
=−𝐹
𝑐𝑝
= −𝑚
𝑎
𝑐𝑝
=− 𝑚
𝜔
2
𝑅 = −𝑚𝜔𝑣

𝐹
𝑐𝑓

=−𝑚

𝜔
×
𝑣

Forța centripetă acționează asupra corpului în centrul său de greutate.
Un alt tip de forță care se aplică în multe cazuri este forța elastică. Definirea ei este de multe ori una generică, de forță a cărei mărime este proporțională cu deplasarea față de un punct central numit punct de echilibru, și care, în esență tinde să aducă corpul înapoi:
𝐹 = −𝑘 · 𝑥
unde 𝑥 este deviația față de punctul de echilibru.
Exemplul clasic este cel al unui corp legat de un resort. Dacă resortul se comprimă, forța elastică va face ca acel corp să fie împins înapoi spre poziția de echilibru iar dacă resortul este extins, forță elastică va trage corpul înapoi spre poziția de echilibru.
Un alt exemplu este perturbarea mișcării unui electron pe orbită. Faptul că orbita de rotație este constantă face ca modul în care se face analiza unei perturbări a orbitei să fie ales cel al unei forțe elastice. Această forță e considerată o forță elastică chiar dacă ea este de fapt o forță columbiană.
Un alt tip de forță este forța de vâscozitate. Apare la curgerea fluidelor prin conducte dar și la deplasarea corpurilor printr-un fluid. Aceasta se datorează opoziției exercitate de moleculele mici ce compun mediile precum aer, lichid etc. la mișcarea unui alt corp printre ele. Interacțiunea dintre acestea face ca un corp aflat în mișcare printr-un asemenea mediu cum ar fi aerul să fie frânat în mod proporțional cu viteza lui, probabilitatea de a ciocni cât mai multe molecule ale mediului fiind cu atât mai mare cu cât viteza corpului este mai mare. Un exemplu este rezistența aerodinamică:
𝐹 = −𝑏 · 𝑣
unde 𝑏 este coeficientul aerodinamic.
4.3. Transmiterea interacțiunilor. Considerații generale.
Am văzut că interacțiunile pot fi considerate ca fiind fie transmise la distanță fie realizate prin contact direct sau datorate contactului probabilistic dintre un corp în mișcare și corpurile invizibile cu ochiul liber (exemplu dat anterior – vâscozitate, rezistență la înaintare în aer).
Conceptul de perturbație care se transmite se modelează ca forță de tip elastic ce se transmite într-un mediu static care, la mișcarea particulelor, se dilată și contractă succesiv transmițând interacțiunea. Generalizarea acestor noțiuni a făcut fizicienii să-și pună tot timpul problema modului în care se transmit Interacțiunile, mod care ar putea folosi mediul înconjurător ca transmițător de informații, acesta fiind constituit din particule foarte mici, greu de pus în evidență pe care-l definiseră ca fiind un mediu eteric. Ideile au apărut chiar din timpul lui Isaac Newton care-și punea problema cum se transmite lumina, fiind urmate de studiul propagării fenomenelor electrice (Maxwell) care a fost sintetizat de către Lorentz ca o teorie a eterului electronic ce transmite forțele electromagnetice. În mod similar, s-au dezvoltat teorii pentru eterul ce transmite interacțiuni gravitaționale.
În dezvoltarea fizicii a existat dorința de a unifica conceptul de interacțiune și de a considera propagarea acesteia. Ca urmare, sinteza conceptelor revenea la vechiul concept filozofic grecesc al unui material care umple mediul din jurul nostru definit ca „eter” sau chintesență”, considerat ca mediu de propagare a interacțiunilor.
Cu toate că teoria eterului nu s-a păstrat, interesante au rămas conceptul de propagare a interacțiunii cu o viteză limită, viteză care este egală cu viteza luminii. Tot în dezvoltarea științei fizicii, interesantă este competiția între două modele: modelul de eter ca transmițător și idee de simplă acțiune la distanță care presupune transmiterea interacțiunii cu o viteză limită dar fără existența unui mediator. În sine, noțiunea de eter a fost importantă din două motive. Primul dintre ele este faptul că prin teoriile lui Lorentz, pentru corpurile ce se deplasează cu viteze mari prin eter, lungimea lor reală ar fi fost mai mică cu o mărime dependentă de raportul dintre viteza lor și viteza luminii, fizicienii folosind conceptul contracției imaginat de Lorentz (contracția lui Lorentz) sau modificarea locală a timpului local imaginată de Poincaré.
Al doilea concept interesant a fost legat de mișcarea unui corp cu o anumită masă prin eter care face că valoarea măsurată pentru masă, atunci când viteza corpului se apropie de viteza luminii, să difere de valoarea statică sau determinată la viteze mici, fiind elaborate, în decursul timpului, mai multe concepte și teorii de creștere a masei cu viteza.
Nu ne vom opri la aceste teorii care, cu toate că au suscitat multe discuții la sfârșitul secolului 19 și începutul secolului 20 au fost tranșate de către Einstein care a exclus definitiv eterul folosind conceptul de viteză de propagare a interacțiunii pe care a extins-o asupra tuturor tipurilor de interacțiuni.
4.4 Noțiuni de teoria relativității
Aceste concepte au stat la baza teoriei cunoscute ca teoria relativității. Această teorie nu mai consideră sistemele inerțiale ca fiind identice între ele pentru că în acest caz viteza de deplasare contează și, ca urmare, în fiecare sistem, timpul și spațiul devin noțiuni relative și nu absolute ca în mecanică clasică. În teoria relativității speciale vorbim separat de timp și spațiu, concluzii interesante fiind cele de relativitate a timpului care se scurtează în sistemele care se deplasează cu viteză mai mare. Fără a intră în detalii, o concluzie interesantă a teoriei respective a fost conceptul de unitate a timpului și spațiului în 4 dimensiuni în care interacțiunea este inclusă în curbura spațiului, definind astfel teoria relativității generale. Un lucru important a fost păstrarea conceptului de variație a masei în raport cu mișcarea, care capătă un formalism clar existând o masă de repaus și o masă de mișcare care crește cu atât mai mult cu cât viteza de deplasare crește. În concepția lui Einstein, tranșarea diverselor interpretări ale mediului de propagare a interacțiunii a fost făcută prin adoptarea a 2 principii simple. Primul dintre ele afirmă că legile fizicii sunt aceleași pentru orice sistem de referință inerțial iar al doilea afirmă că viteza luminii este constantă în orice sistem de referință. Primul dintre principii este o considerație de bun simț care nu face decât să reafirme principiile mecanicii clasice iar al doilea consideră că dacă interacțiunea se transmite cu o anumită viteză nu avem nici o șansă s-o depășim în vreun fel. Prin aceasta Einstein trimite noțiunea de eter în istorie vorbind strict despre propagarea interacțiunii fără a analiza în același timp și cauzele ei. Este încă o dovadă a puterii de sinteză și abstracțiune a fizicii. Există mai multe concluzii care derivă din aceste teorii. Prima dintre aceste concluzii se referă la relativitatea simultaneității-două evenimente simultane văzute dintr-un sistem de referință nu mai sunt simultane văzute din alt sistem de referință. A doua concluzie este relativitatea timpului – durata unui proces într-un sistem de referință nu e aceeași într-un alt sistem de referință, dacă aceste sisteme de referință se deplasează cu viteze foarte diferite.
∆
𝑡
′
=∆𝑡
1−

𝑣
2

𝑐
2

Notă: prezentarea spectaculară a acestei concluzii este făcută prin paradoxul gemenilor: unul dintre ei care călătorește în cosmos și înapoi cu o viteză apropiată de viteza luminii se va întoarce mai tânăr decât cel care a rămas pe pământ. Evident, așa cum timpul se dilată, distanțele se contractă cu același raport
1−

𝑣
2

𝑐
2

Una dintre cele mai importante concluzii derivate din teoria relativității este variația masei, ea modificându-se cu același factor
1−

𝑣
2

𝑐
2

, deci:
𝑚=

𝑚
0

1−

𝑣
2

𝑐
2

unde
𝑚
0
este masa estimată într-un sistem aflat în repaus.

4.5 Energia și lucrul mecanic
În studiul dinamicii sunt analizați parametrii ce caracterizează schimbările momentane ale corpurilor aflate în mișcare. Există multe situații în care nu ne interesează doar un moment anume ci ne interesează ceea ce s-a întâmplat în decursul istoriei mișcării. De exemplu, dacă transportăm o valiză de la parter la etajul 10, esențial este că am transportat valiza și nu timpul în care s-a întâmplat acest lucru. Dacă facem simpla afirmație – valiza a fost dusă la etajul 10 – afirmația nu conține informația că asta s-a făcut într-o zi, într-o oră sau într-un minut. Contează mărimea forței, pentru că asupra valizei acționează forța de greutate și mărimea deplasării, pentru că am plecat de jos și am ajuns sus. Efectul global se poate analiza înmulțind cele 2 mărimi fizice implicate (forță și deplasarea) iar rezultatul va fi lucrul făcut. Fiind în contextul mecanicii, ne vom referi la acest lucru folosind noțiunea de lucru mecanic.

4.5.1. Lucrul mecanic
Noțiunea de lucru mecanic pleacă de la premisa că deplasările corpurilor au loc sub acțiunea forțelor astfel că lucrul mecanic reprezintă o caracteristică a acțiunii forțelor care determină deplasarea corpurilor.
𝐿=
𝐹
∙
𝑠

Unde am notat cu 𝐹 forta și cu 𝑠 deplasarea.

/
Figura 4.5.1: Lucrul mecanic
Definiție: Lucrul mecanic este egal cu produsul scalar între forță și deplasare. Pentru o deplasare infinitezimal de mică (deplasare pentru care forța se poate considera constantă), lucrul mecanic are expresia:
𝑑𝐿=
𝐹
∙𝑑
𝑠
=𝐹𝑑𝑠
cos
𝛼

Relația arată că lucrul mecanic pate fi negativ sau pozitiv, depinzând de unchiul dintre forță și deplasare.
𝛼 = 0 → 𝐿 = 𝐹 · 𝑠
𝛼 = 𝜋/2 → 𝐿 = 0
𝛼 < 𝜋/2 → 𝐿 > 0
𝛼 > 𝜋/2 → 𝐿 < 0
𝛼 = 𝜋 → 𝐿 = −𝐹 · 𝑠
În sinteză, convenția de semn pentru lucrul mecanic (dată de orientarea forței față de direcția deplasării) stabilește tipul acestuia:
𝛼 < 𝜋/2 pentru care forța are aceeași orientare cu deplasarea, L > 0 : lucru mecanic motor (sistemul dă lucru mecanic mediului) Sistem → Mediu
𝛼 > 𝜋/2 pentru care forța are orientare inversă deplasării, L < 0 : lucru mecanic rezistent (mediul dă lucru mecanic sistemului ) Mediu → Sistem.
Ecuația dimensională este:
[L] = [F][S] = ML2 · T–2
[L]SI = N · m = Joule(J)

4.5.1.1 Reprezentarea grafică a lucrului mecanic
Am văzut că reprezentarea grafică a unei formule fizice se face în sistemul de coordonate ales pe baza parametrilor din respectiva formulă. În cazul lucrului mecanic, fiind vorba despre produsul dintre forță și deplasare, reprezentarea grafică se va face în coordonate F,s. Cel mai simplu exemplu este prezentat în graficul următor. Valoarea lucrului mecanic este practic reprezentat de aria hașurată delimitata de linia dreaptă sau curbă ce descrie variația forței, limitată de intervalul de deplasare.
Dacă forța este variabilă, graficul arată diferit dar sensul rămâne același, lucrul mecanic este aria cuprinsă sub curba ce reprezintă forța, mărginită de valorile intervalului deplasării. Matematica superioară ne spune că această arie cuprinsă sub o curbă este reprezentată prin integrală.
/
Figura 4.5.2: Lucrul mecanic – Reprezentare grafică în cazul unei forțe constante.
/
Figura 4.5.3: Lucrul mecanic – reprezentări grafice: forța variabilă
4.5.2 Tipuri de lucrului mecanic
4.5.2.1. Lucru mecanic al forței elastice
Forța elastică se exprimă ca:
𝐹 = −𝑘𝑥
fiind cunoscută și ca legea lui Hooke, 𝑘 fiind constanta de elasticitate a sistemului iar 𝑥, deplasarea față de poziția de echilibru.

/
Figura 4.5.4: Lucrul mecanic produs de o forță elastică – resort fixat la unul din capete
Lucrul mecanic elementar efectuat de această forță pentru o deplasare infinit de mică notată cu dx este:
D𝐿 =
𝐹

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑘∙𝑥𝑑𝑥
Integrând, obținem:

𝐿
12
=

𝑥
1

𝑥
2

𝐹
𝑥

𝑑𝑥=

𝑥
1

𝑥
2

𝑘∙𝑥
𝑑𝑥=𝑘

𝑥
1

𝑥
2

𝑥
𝑑𝑥=
𝑘

𝑥
1
2
−
𝑥
2
2

2

𝑥
1
=0, rezultă 𝐿=𝑘

𝑥
2
2

2

expresie ce reprezintă lucrul total al forței elastice.
4.5.2.2 Lucru mecanic al forței gravitaționale
Forța de greutate este datorată atracției pământului, conform legii atracției universale. Am văzut că această forță scade cu pătratul distanței. Totuși, pentru distanțe mici, modificările sunt într-atât de mici încât se poate consideră că forța gravitațională depinde doar de masa corpului și de accelerația cu care pământul face ca aceste corpuri să cadă pe el.
F = G = mg
Pentru a calcula lucrul mecanic produs de forța gravitațională considerăm un corp a cărui poziție pe verticală se modifică cu înălțimea (h). Conform relației – forța înmulțită cu deplasarea – lucrul mecanic al forței gravitaționale este:
𝐿 = 𝐹 · 𝑑 = 𝐺 · ℎ = 𝑚𝑔·ℎ
Vedem că și aici sunt două situații distincte din punct de vedere al convenției de semn:
cea în care corpul este ridicat, forța având sens contrar deplasării iar lucrul mecanic este negativ, fiind primit de către sistem de la mediu (există o forță de tracțiune care este inversă greutății).
cea în care corpul coboară sub acțiunea forței gravitaționale, situație în care lucrul mecanic este cedat de către corp mediului.

4.5.2.3 Lucru mecanic al forței electrostatice
Pentru a calcula lucrul mecanic considerăm câmpul electric generat de o sarcină 𝑄. În acest câmp se deplasează o sarcină 𝑞, de același semn cu sarcina 𝑄, de-a lungul unui drum oarecare, de la punctul 1 la punctul 2. Lucrul mecanic efectuat de câmp asupra sarcinii 𝑞 în timpul deplasării de la punctul 1 la 2 se calculează cu formula cunoscută din mecanică în care forța care produce lucrul mecanic este o forță columbiană:
𝐿=

𝑟
1

𝑟
2

𝑞
𝐸

∙𝑑
𝑟
=

𝑟
1

𝑟
2

𝑞𝑄
4𝜋
𝜀
0

𝑟
2

𝑑𝑟=
𝑞𝑄
4𝜋
𝜀
0

𝑟
1

𝑟
2

𝑑𝑟

𝑟
2

=
𝑞𝑄
4𝜋
𝜀
0

1

𝑟
2

−
1

𝑟
1

(4.5.1 )
unde
𝑟
1
,
𝑟
2
sunt modulele vectorilor de poziție în punctele 1 și 2.

4.5.3. Putere mecanică
Dacă ne interesează totuși și timpul în care a fost făcut un anumit efort, mărimea adecvată este puterea mecanică. Pentru a exprimă efortul în timp, puterea mecanică se poate defini, tot conform regulilor de baza ale formării mărimilor fizice, ca raportul celor două.
Puterea mecanică este egală cu lucrul mecanic efectuat de o forță în unitate de timp.
Putere medie va fi:
𝑃
𝑚
=
∆𝐿
∆𝑡

Puterea instantanee se definește prin:

P=lim
𝑡→0

𝑃
𝑚

=

lim
𝑡→0

∆𝐿
∆𝑡

=
𝑑𝐿
𝑑𝑡
adică 𝑃=
𝑑𝐿
𝑑𝑡

Unitatea de măsură este:
[P] = ML2T −3 [P]SI = J⁄s = watt = W
Wattul reprezintă puterea care efectuează în mod uniform un lucru mecanic de 1 joule pe secundă.
Unitate tolerată este 1 CP = 736watt, (CP – cal putere)
4.5.4. Energie mecanică
Când am vorbit despre lucru mecanic, am plecat de la antiteza acestei mărimi cu cea a cantității de mișcare. Când vorbim despre efort este nevoie de o mărime care să definească efortul făcut ce a fost înmagazinat sau capacitatea de a face un nou efort. Mărimea ar trebui să transfere în formule matematice noțiunea de cantitate de efort.
Energia mecanică reprezintă capacitatea unui corp de a primi sau efectua lucru mecanic datorită unor factori mecanici (viteză, schimbarea poziției într-un câmp de forțe, deformații).
Tipuri de energie:
energie cinetică (energie de mișcare);
energie potențială (energie de poziție, de deformare).

4.5.4.1 Energia cinetică
Avem nevoie de o cantitate de efort pentru a schimba starea de mișcare a unui corp. Acest efort – lucrul manual – va fi înmagazinat astfel în mișcarea corpului. Respectiva energie înmagazinata de corp se numește energie cinetică. Deci, energia cinetică este lucrul mecanic necesar pentru a scoate un corp din repaus și a-l aduce în stare de mișcare. Pentru a o calcula considerăm că un corp primește energie, asupra sa efectuându-se un lucru mecanic, el plecând de la de la viteza v1 și ajungând la viteza
𝑣
2
.
∆
𝐸
𝐶
= 𝐿
Dacă în formula lucrului mecanic considerăm generic forța ca produsul dintre masă și accelerație, lucrul mecanic se va scrie:
𝐿=

𝑠
1

𝑠
2

𝐹∙𝑑𝑠
=

𝑠
1

𝑠
2

𝑚𝑎∙𝑑𝑠
=

𝑠
1

𝑠
2

𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑠
=

𝑠
1

𝑠
2

𝑚∙𝑑𝑣∙
𝑑𝑠
𝑑𝑡

=

𝑣
1

𝑣
2

𝑚𝑣∙𝑑𝑣=
𝑚
𝑣
2
2

2
−
𝑚
𝑣
1
2

2

În consecință, energia cinetică este:

𝐸
𝐶
=
𝑚
𝑣
2

2
(4.5.2)
Energia cinetică are formula dimensională [Ec]SI = ML2T −2 și se măsoară în [Ec]SI = J (Joule)
Între energia cinetică a unui corp și impulsul acestuia exista relația:

𝐸
𝐶
=

𝑝
2

2𝑚
(4.5.3)
Energia cinetică în mișcarea de rotație
Energia cinetică a punctului de masă este egală cu:
𝐸

𝐶
𝑖

=

𝑚
𝑖

𝑣
𝑖
2

2
=

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

𝜔
2

2

Energia cinetică a solidului în mișcare de rotație este:

𝐸
𝐶
=
𝑖=1
𝑛

𝐸

𝐶
𝑖

=
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

𝜔
2

2

=

𝜔
2

2

𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

dar termenul
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

este chiar momentul de inerție adică 𝐼=
𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑟
𝑖
2

și rezultă:
𝐸
𝐶
=

𝐼𝜔
2

2
similar energiei cinetice în mișcarea de translație,
𝐸
𝐶
=

𝑚𝜔
2

2

4.5.4.2 Energia potențială
Energia potențială (numită și energie de poziție),
𝐸
𝑃
, este energia înmagazinată de corp care nu se poate manifesta atât timp cât corpul se află în repaus (energie latentă).
Tipurile de energie potențială sunt energia gravitațională și energia potențială elastică.
Energia potențială gravitațională este energia acumulată prin ridicare pe verticală sau cedată prin cădere liberă.
Ea este egală cu lucrul mecanic al forțelor gravitaționale. Astfel, la deplasarea în sus între două puncte, de exemplu 1 și 2, lucrul mecanic este primit de corp din exterior și acumulat ca variație a energiei potențiale.
∆
𝐸
𝑃
= −
𝐿
𝐴𝐵

ținând cont de formula lucrului mecanic al forțelor gravitaționale, aceasta se scrie:
∆
𝐸
𝑃
= −
𝐿
𝐴𝐵
= 𝑚𝑔 ∆ ℎ = 𝑚𝑔 · (
ℎ
0
− ℎ) = 𝑚𝑔
ℎ
0
− 𝑚𝑔ℎ

/
Figura 4.5.5: Lucrul mecanic produs de o forță elastică – resort fixat la unul din capete.
care este diferența energiilor potențiale gravitaționale dintre cele două puncte. Generalizând, vom scrie:

𝐸
𝑃
= 𝑚𝑔ℎ (4.5.4)

Energia potențială elastică este înmagazinată ca rezultat al unei deformări a unui corp elastic (de exemplu, un resort), lucrul efectuat pentru întinderea sau comprimarea resortului fiind calculat anterior. Ca urmare
𝐿
𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
= −∆
𝐸
𝑃 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
, de unde:

𝐸
𝑃𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
=
𝑘
𝑥
2

2
(4.5.5)

4.5.4.3 Energia în teoria relativității
Am văzut că în teoria relativității masa nu mai este o mărime absolută. Ea se modifică cu viteza.
Când am definit cantitatea de mișcare am constatat că variația cantității de mișcare în unitatea de timp este egală cu forța aplicată. Am văzut, în definirea impulsului, că din punct de vedere al dificultății de a-i schimba valoarea, sunt de luat în calcul 2 mărimi fizice: masa (ca măsură a inerției) și viteza (ca indicator al schimbării poziției). În acest mod am definit impulsul ca fiind produsul dintre masă și viteză dar ulterior, când am calculat variații, am scos masa în fața ecuației pentru ca am considerat-o constantă.
De fapt, ecuația:

𝐹
=
𝑑
𝑚
𝑣

𝑑𝑡
=𝑚𝑑

𝑣

𝑑𝑡
=𝑚
𝑎
=
𝑑
𝑚
𝑣

𝑑𝑡
=𝑑

𝑚
𝑣

𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑣

se scrie corect, dacă și masa variază:
𝐹=
𝑑
𝑚𝑣

𝑑𝑡
=𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+𝑣
𝑑𝑚
𝑑𝑡

Ca urmare, relația în baza căreia am calculat energia cinetică:
∆
𝐸
𝐶
=𝐿=

𝑠
1

𝑠
2

𝐹∙𝑑𝑠=

𝑠
1

𝑠
2

𝑚𝑎∙
𝑑𝑠

ar trebui scrisă:
∆
𝐸
𝐶
=𝐿=

𝑠
1

𝑠
2

𝐹∙𝑑𝑠
=

𝑠
1

𝑠
2

𝑑
𝑚𝑣

𝑑𝑡
∙𝑑𝑠
=

𝑣
1

𝑣
2

𝑑
𝑚𝑣

𝑑𝑠
𝑑𝑡

=

𝑚𝑣

1

𝑚𝑣

2

𝑣∙𝑑
𝑚𝑣

unde 𝑚𝑣=

𝑚
0
𝑣

1−

𝑣
2

𝑐
2

Demonstrația presupune o matematică mai complicată, una dintre variabile fiind complexă și presupune un artificiu matematic care se numește integrarea prin părți. În plus, relațiile fiind complicate, considerăm că acel corp pleacă din repaus (
𝑣
1
= 0).
∆
𝐸
𝐶
=
0

𝑚𝑣

𝑣∙𝑑
𝑚𝑣
=𝑚
𝑣
2
−
0
𝑣
𝑚𝑣∙𝑑𝑣
=

𝑚
0

𝑣
2

1−

𝑣
2

𝑐
2

+
𝑚
𝑜

0
𝑣

𝑚
0
𝑣𝑑𝑣

1−

𝑣
2

𝑐
2

După un set de calcule mai complicate obținem:
∆
𝐸
𝐶
=𝐸−
𝐸
0
=𝑚
𝑐
2
−
𝑚
0

𝑐
2

Forma ecuației nu sugerează ca viteza să intervină în relație. Totuși ea este conținută în expresia masei corpului aflat în mișcare m. Ca urmare, există o energie totală a corpului aflat în mișcare și o energie totală a corpului aflat în repaus
𝐸
0
=
𝑚
0

𝑐
2
, variația energiei cinetice fiind diferența celor două.
Energia totală pe care o are corpul este:
𝐸= 𝑚
𝑐
2
(4.5.6)
Ecuația reprezintă celebra relație dintre masă și energie a lui Einstein.
Legătura dintre impuls și energie poate fi scrisă în aceste condiții ca:
𝑝𝑐=

𝐸
2
−
𝑚
0
2

𝑐
4

(4.5.7)
La viteză mare, mult apropiată de cea a luminii, energia de repaus este neglijabilă față de cea de mișcare așa că se poate neglija.
În consecință: 𝑝𝑐 ≈ 𝐸.
La viteza luminii: 𝑝𝑐 = 𝐸 sau 𝑝=
𝐸
𝑐
(4.5.8)

4.5.5 Legi de conservare
După cum am văzut, interacțiunile modifică starea de mișcare a corpurilor caracterizată prin diverse mărimi fizice. Dintre acestea, impulsul și energia sunt mărimi globale care variază în urma aplicării unei interacțiuni (prin contact sau la distanță). După încetarea acestor interacțiuni, ambele mărimi își mențin valoarea. Spunem că ele se conservă.
4.5.5.1 Legeile conservării impulsului și momentului cinetic
Justificarea legii conservării impulsului are la bază Principiul III. Dacă două corpuri se ciocnesc și o masă primește un impuls, cealaltă masă capătă din partea primei un impuls egal și de semn contrar.

𝐹
1

=−

𝐹
2

,

𝐹
1

∆𝑡=−

𝐹
2

∆𝑡, dar

𝐹
1

∆𝑡=
𝑚
1

𝑣
1

și

𝐹
2

∆𝑡=
𝑚
2

𝑣
2

rezultă
𝑚
1

𝑣
1

=−
𝑚
2

𝑣
2

, deci
𝑚
1

𝑣
1

+
𝑚
2

𝑣
2

=0
Dacă un sistem de puncte materiale este izolat, între componente se exercită forțe care nu sunt exterioare ci interioare. Forțele interioare se supun principiului III al dinamicii astfel că dau două câte două,

F
1

+

𝐹
2

= 0 adică suma tuturor forțelor interioare din sistem este nulă.
Generalizând se poate scrie:
𝑖=1
𝑛

𝐹
𝑖

=0 unde
𝐹
𝑖
=
𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑖

𝑣
𝑖

și, ca urmare,

𝑖=1
𝑛

𝐹
𝑖

=
𝑖=1
𝑛

𝑑
𝑑𝑡

𝑚
𝑖

𝑣
𝑖

=
𝑑
𝑑𝑡

𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑣
𝑖

Adică în cuvinte, derivata fiind nulă, suma impulsului va fi o constantă.

𝑖=1
𝑛

𝑚
𝑖

𝑣
𝑖

=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 (4.5.9)
Pentru orice sistem izolat, cantitatea de mișcare totală se conservă.
Pentru mmișcarea circulară legea conservării momentului cinetic se exprimă prin:

𝐿
1

+

𝐿
2

=

𝐿
1
′

+

𝐿
2
′

𝐼
1

𝜔
1

+
𝐼
2

𝜔
2

=
𝐼
1

𝜔
1
′

+
𝐼
2

𝜔
2
′

, sau
𝐼
1

𝜔
1

+
𝐼
2

𝜔
2

=𝐼
𝜔

Legea inerției
𝐿
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, 𝐼
𝜔
=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, deci 𝜔=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 rezultă 𝛾 = 0 (accelerația unghiulară este egală cu 0).
În lipsa unei interacțiuni, viteza unghiulară de rotație a unui corp trebuie să se modifice astfel încât momentul cinetic (𝐼𝜔) să rămână constant.
4.5.5.2 Legea conservării energiei mecanice
Legea conservării energiei mecanice spune că, într-un sistem izolat, energia totală se conservă (suma între energia cinetică și potențială) este constantă.

𝐸
𝑇
=
𝐸
𝐶
+
𝐸
𝑃
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝐸
𝐶
+

𝐸
𝑃
=

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
Să considerăm un corp de masă 𝑚, în punctul inițial situat la înălțime 𝐻:

𝐸
𝐶
= 0,
𝐸
𝑃
= 𝑚𝑔𝐻,
𝐸
𝑇
=
𝐸
𝐶
+
𝐸
𝑃
= 𝑚𝑔𝐻.
Într-un punct de pe parcurs situat la înălțime ℎ corpul va avea o energie cinetică
𝐸
𝐶
=
𝑚
𝑣
2

2
și o energie potențială
𝐸
𝑃
= 𝑚𝑔ℎ. Creșterea energiei cinetice se face pe seama energiei potențiale,
𝐸
𝐶
= ∆
𝐸
𝑃
= 𝑚𝑔(𝐻 − ℎ) și ca urmare energia totală este
𝐸
𝑇
= 𝑚𝑔𝐻 . În momentul în care corpul ajunge jos,
𝐸
𝐶
=
𝑚
𝑣
2

2
,
𝐸
𝑃
= 0 , dar
𝐸
𝑇
= 𝑚𝑔𝐻, adică toată energia potențială s-a transformat în energie cinetică.
Exemplul dat poate fi generalizat pentru orice forma de energie. Legea conservării energiei este una dintre cele mai importante legi ale fizicii. Ipoteza respectării ei a fost foarte importantă în cursul dezvoltării cunoștințelor din fizică. Ori de câte ori datele experimente au părut că o contrazic, impunerea respectării ei a dus la o nouă descoperire.
4.6 Forța la distanță – noțiunea de câmp
4.6.1 Câmpul
Câmp este starea materiei generată în jurul unei sarcini (electrice sau gravifice) care se manifestă prin acțiunea unor forțe (de natură electrică sau gravifică) asupra oricărei sarcini (electrice, respectiv, gravifice) introduse în el. Cea mai clară exemplificare a noțiunii de câmp este câmpul creat în jurul sarcinilor electrice. Pentru descrierea câmpului electric se utilizează două mărimi fizice importante, intensitatea câmpului și potențialul câmpului.
Intensitatea câmpului electric este o mărime fizică vectorială definită cu ajutorul relației:

𝐸
=

𝐹

𝑞
(4.6.1)
unde
𝐹
este forța cu care câmpul electric acționează asupra sarcinii electrice 𝑞 introduse în câmp.
De exemplu, pentru câmpul electrostatic generat de sarcina electrică 𝑄 în care se introduce sarcina electrică de probă 𝑞, intensitatea câmpului în punctul unde este plasată sarcina de probă are expresia:

𝐸
=

𝐹

𝑞
=
1
4𝜋
𝜀
0

𝑄

𝑟
2

𝑟

𝑟
(4.6.2)
unde
𝐹
este forța columbiană dintre sarcinile 𝑄 și 𝑞 iar 𝑟 este distanța dintre cele doua sarcini electrice.
Reprezentarea grafică a câmpurilor electrice se face utilizând liniile de câmp.
4.6.2 Liniile de câmp
Liniile de câmp, ca reprezentare geometrică, sunt curbele la care vectorul intensitatea câmpului electric este tangent în fiecare punct; sensul unei linii de câmp este acela al vectorului intensitate a câmpului.
Pentru sarcinile punctiforme, atât liniile de câmp cât și vectorii intensitate a câmpului au o orientare radială centrată pe sarcină. În cazul câmpului electric, unde sarcinile pot fi fie pozitive fie negative, liniile de câmp au o orientare radială cu sensul spre exterior dacă sarcinile electrice sunt pozitive, respectiv spre interior (spre sarcină) dacă sarcinile electrice sunt negative.
/
Figura 4.6.1: Descrierea câmpul electric cu ajutorul liniilor de câmp – câmpul electric generat de sarcină electrică punctiformă negativă și pozitivă
Dacă sunt două sarcini electrice de semn contrar, liniile de câmp ce descriu câmpul creat de o sarcină electrică pozitivă și una negativă sunt îndreptate de la sarcina pozitivă spre cea negativă.
4.6.3 Potențial
Potențialul este o mărime scalară ce caracterizează câmpul. Acesta este definit similar energiei potențiale, cu ajutorul lucrului mecanic. Lucrul mecanic efectuat de câmp asupra sarcinii q care se deplasează de-a lungul unei curbe în acest câmp poate fi exprimat ca:
/
Figura 4.6.2: Descrierea câmpul electric cu ajutorul liniilor de câmp – câmpul electric generat de un dipol electric.
𝐿=

𝑟
1

𝑟
2

𝐹
∙𝑑
𝑟

=

𝑟
1

𝑟
2

𝑞
𝐸
∙𝑑
𝑟

=𝑞

𝑟
1

𝑟
2

𝐸
∙𝑑
𝑟

Diferența de potențial între două puncte ale unui câmp este lucrul mecanic efectuat de câmp asupra unității de sarcină electrică de probă 𝑞 pentru deplasarea acesteia între cele două puncte, adică:
∆𝑉=
𝑉
2
−
𝑉
1
=
𝐿
𝑞
=

𝑟
1

𝑟
2

𝐸
∙𝑑
𝑟

De exemplu pentru câmpul electric acesta este:
∆𝑉=
𝑉
2
−
𝑉
1
=
𝐿
𝑞
=

𝑟
1

𝑟
2

𝐸
∙𝑑
𝑟

=

𝑟
1

𝑟
2

𝑄
4𝜋
𝜀
0

𝑟
2

∙𝑑𝑟
=
𝑄
4𝜋
𝜀
0

𝑟
1

𝑟
2

𝑑𝑟

𝑟
2

=

𝑄
4𝜋
𝜀
0

1

𝑟
2

−
1

𝑟
1

Potențialul câmpului într-un punct al acestuia este o mărime fizică scalară definită ca lucrul mecanic necesar deplasării unității de sarcină de probă din acel punct până la infinit. Astfel, de exemplu, pentru câmpul electric, dacă în ecuația sa presupunem că punctul 2 este plasat la infinit,
𝑟
2
→∞ ,
1

𝑟
2

→0 și potențialul său este
V
2
→0, rezultă: 𝑉=
𝑄
4𝜋
𝜀
0
𝑟
, relație ce exprimă potențialul câmpului electric în punctul 1. Deoarece punctul 1 este un punct oarecare al câmpului electric putem renunța la scrierea indicelui la potențial și la vectorul de poziție. Relația permite aflarea valorii potențialului electric al câmpului generat de sarcina punctiformă 𝑄 într-un punct aflat la distanța r de sarcina 𝑄 .
Unitatea de măsură pentru potențialul electric este voltul (1 V = 1 J/1 C).
/
Figura 4.6.3: Descrierea câmpul electric cu ajutorul liniilor de câmp – câmpul electric generat de un quadrupol electric.
4.6.4 Suprafață echipotențială
Dacă în relația potențialului considerăm punctul 2 (unde se află plasată sarcina ce produce câmpul) un punct oarecare al câmpului electric și punctul 1 un punct aflat la mare distanță de 2 (
𝑉
2
→0), expresia potențialului electric devine:
𝑉 = −𝐸 · 𝑑
de unde, intensitatea câmpului electric se poate scrie sub forma: 𝐸 =−
𝑉
𝑑

4.6.4.1 Gradient de câmp
O noțiune interesantă ce derivă din potențialul câmpului este suprafața echipotențială definită ca locul geometric al punctelor aflate la același potențial. Deplasarea pe această suprafață nu presupune efectuarea de lucru mecanic. Pe orice altă direcție, această mărime variază. În calculul vectorial, gradientul reprezintă operația matematică ce definește variația unei mărimi. Astfel, atunci când o mărime variază, de exemplu după o direcție, putem asocia vectori acestui câmp scalar. Modul în care acesta variază definește un câmp vectorial.
/
Figura 4.6.4: Relația matematică a gradientului are următoarea reprezentare grafică.
Gradientul unui câmp definit printr-un scalar este o mărime vectorială ce caracterizează câmpul, ai cărui vectori sunt îndreptați, în fiecare punct, în direcția celei mai mari rate de variație a câmpului scalar și al cărui modul este egal, local, cu cea mai mare rată de schimbare a câmpului. Ca urmare, operația redefinește mărimea de intensitate a câmpului astfel:

𝐸
=−
𝑑𝑉
𝑑
𝑟

=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉=−∇𝑉
Notația
𝑑
𝑑
𝑟

este simbolică dar nu este în întregime corectă din punct de vedere matematic. De fapt, variația de-a lungul vectorului de poziție se traduce prin variații pe fiecare axă, variații parțiale, noțiunea matematică asociată fiind de derivată parțială. Noțiunea de derivată parțială poate fi înțeleasă dacă o mărime (A) este reprezentată ca o funcție de 2 coordonate, A = f(x,y). Variația acesteia va fi dată atât de variația de-a lungul mărimii x cât și de-a lungul mărimii y. De altfel, pentru a o calcula, se consideră variația de-a lungul lui x atunci când y este constant și variația de-a lungul lui y atunci când x este constant. În final, variația mărimii A ia în considerare cele două, după cum este evidențiat în relația:
dA=
𝜕𝐴
𝜕𝑥
∙𝑑𝑥+
𝜕𝐴
𝜕𝑦
∙𝑑𝑦
Scrierea simbolică reprezintă derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile; ea este derivata în raport cu una din acele variabile, în condițiile în care celelalte variabile sunt ținute constante. Derivata parțială a unei funcții 𝑓 în raport cu variabila 𝑥 este scrisă ca
𝜕𝑓
𝜕𝑥
. Simbolul derivatei parțiale, 𝜕, este o literă rotunjită, deosebindu-se de simbolul 𝑑 drept cu care se notează derivata totală
𝑑𝑓
𝑑𝑥
. În cazul funcțiilor cu mai multe variabile, unele dintre aceste variabile pot fi legate unele de celelalte și ar putea fi necesar să se specifice explicit care variabile sunt considerate constante. Derivata parțială a lui 𝑓 în raport cu 𝑥, când 𝑦 și 𝑧 sunt constante, este:

𝜕𝑓
𝜕𝑥

𝑦,𝑧

Ecuațiile care implică derivatele parțiale ale unei funcții necunoscute se numesc ecuații diferențiale cu derivate parțiale și sunt întâlnite în fizică, inginerie și alte științe și discipline aplicate.
Prin definiție, gradientul de câmp este o mărime vectorială 𝑓 ale cărei componente sunt derivatele parțiale ale lui 𝑓. Gradientul unei funcții scalare 𝑓(𝑥) în raport cu o variabilă vectorială este notat cu ∇𝑓 sau
∇
𝑓 unde ∇ este vectorul operator diferențial nabla, adică:
∇𝑓=

𝜕𝑓
𝜕
𝑥
1

,
𝜕𝑓
𝜕
𝑥
2

,…,
𝜕𝑓
𝜕
𝑥
𝑛

sau, altfel scris:
∇𝑉=

𝜕𝑉
𝜕𝑥

𝑖
+

𝜕𝑉
𝜕𝑦

𝑗
+

𝜕𝑉
𝜕𝑧

𝑘
=
𝐸

Notația 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) în acest caz, 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑉), este și ea folosită pentru gradient. Noțiunea de gradient este importantă în fizică, atunci când analizăm variația direcției unei mărimi vectoriale.

4.6.4.2 Fluxul câmpului. Legea lui Gauss
O mărime importantă în studiul câmpului este fluxul câmpului electric. Acesta definește densitatea liniilor de câmp ce străbat o suprafață. Opus gradientului, el analizează global o mărime vectorială. Noțiunea matematică ce va caracteriza fluxul câmpului electric va fi produsul scalar.
/
Figura 4.6.5: Fluxul câmpului electric uniform printr-o suprafață S.
Considerăm un câmp electric uniform de intensitate E ce străbate o suprafață plană 𝑆; vectorul normal la suprafață, 𝑛, este paralel cu 𝐸 sau face un anumit unghi 𝛼 . În acest caz, fluxul câmpului prin suprafața 𝑆 va fi:
𝛷 =
𝐸
·
𝑆
=
𝐸
·
𝑛
𝑆 = 𝐸 · 𝑆
cos
𝛼
(4.6.3)
Produsul 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝛼 reprezintă proiecția suprafeței 𝑆 în planul normal la liniile câmpului electric. Astfel, definiția se poate scrie prin utilizarea produsului scalar între vectorii 𝐸 și 𝑆 ce asigură scrierea ecuației matematice a fluxului.
În cazul unui câmp electric neuniform și al unei suprafețe de formă și orientare arbitrară față de liniile câmpului electric, se consideră fluxul liniilor câmpului electric printr-o suprafață elementară
𝑑
𝑆 suficient de mică pentru a folosi rezultatul obținut în cazul precedent. Aria elementului de suprafață trebuie să fie atât de mică încât să fie respectată cerința ca, câmpul să poată fi considerat uniform. Atunci fluxul care trece prin această suprafață va fi:
𝑑𝛷 =
𝐸
·
𝑑
𝑆=
𝐸
·
𝑛
𝑑𝑆 = 𝐸 · 𝑑𝑆
cos
𝛼

Fluxul prin suprafața macroscopică 𝑆 se obține însumând (integrând) fluxurile prin toate elementele de suprafață infinit mici,
𝑑
𝑆 , ce alcătuiesc suprafața 𝑆.
Un caz particular de calcul este fluxul produs de o sarcină electrică punctiformă plasată în centrul unei sfere. Modulul intensității câmpului electric pentru orice punct de pe suprafață de raza 𝑅 a sferei este:
𝐸=
𝑞
4𝜋
𝜀
0

𝑅
2

iar fluxul câmpului prin suprafață sferei va fi:
∅=
𝑆

𝐸
∙
𝑑
𝑆
=
𝑆

𝐸
∙
𝑛
𝑑𝑆
=
𝑆

𝐸∙
𝑑𝑆
unde am ținut cont că vectorul 𝐸, fiind radial, este perpendicular în fiecare punct la suprafața sferei. Mai departe, ținând cont că 𝐸 = constant pe suprafața sferei, avem:
∅=
𝑆

𝐸∙
𝑑𝑆=
𝑞
4𝜋
𝜀
0

𝑅
2

𝑆

𝑑𝑆
=
𝑞
4𝜋
𝜀
0

𝑅
2

4𝜋
𝑅
2
=
𝑞

𝜀
0

Gauss a fost cel care a observat că acest rezultat poate fi generalizat pentru o suprafață închisă de formă oarecare și a formulat legea lui Gauss care afirmă că fluxul liniilor câmpului electric printr-o suprafață închisă de formă oarecare este egal cu raportul dintre sarcina electrică din interiorul suprafeței și permitivitatea electrică a mediului.
∅=
𝑆

𝐸
∙

𝑑
𝑆=

𝑞
𝑖

𝜀
0

(4.6.4)
Ecuația scrisă definește liniile care străbat o singura dată o suprafață închisă. Dacă suprafața este străbătută de două ori, cum este cazul unei sarcini aflate în exteriorul sferei fluxul este nul pentru că liniile care intră și cele care ies au semne diferite. De fapt, ceea ce urmărim alegând o suprafață este să vedem cât de divergente sunt liniile de câmp ceea ce ne spune că există undeva o sarcină ca sursă a câmpului. Formal, putem alege o suprafață într-o zona oricât de mică, ceea ce s-ar scrie:
∇
𝐸
=

lim
𝑉→0

𝑆

𝐸
∙
𝑑
𝑆

𝑉

Noțiunea matematică ce arată divergența liniilor de câmp se numește chiar divergența:

𝜕𝐸
𝜕𝑥

𝑖
+

𝜕𝐸
𝜕𝑦

𝑗
+

𝜕𝐸
𝜕𝑧

𝑘
=∇
𝐸

Noțiunea de divergență este importantă în fizică, atunci când analizăm variația direcției unei mărimi vectoriale.
Astfel, legea lui Gauss se scrie ∇
𝐸
=

𝑞
𝑖

𝜀
0

.
5 Unde și particule
5.1 Propagarea perturbației. Noțiunea de undă
Într-un mediu omogen, dacă creăm o perturbație, mediul respectiv încearcă să o compenseze. Ca urmare, mediul ocupă spațiul respectiv lăsând un alt gol, care este la rândul lui umplut. Ca urmare, perturbația se propagă dintr-un loc în altul.
De exemplu o piatră aruncată în apă și valurile produse ca rezultat, reprezintă un bun exemplu pentru aceasta. Valurile produse reprezintă transferarea (propagarea) perturbației. Important de remarcat este faptul că nu se propagă decât energia care a produs perturbația și nu se transmite nimic din materie.
Un model folosit pentru a înțelege propagarea interacțiunii este un resort lung. Resortul are o constantă de elasticitate 𝑘 și o masă distribuite uniform. Cum un model de mediu uniform este greu de folosit, putem considera o serie de arcuri de lungime ∆𝑥. Constanta de elasticitate va fi proporțională cu lungimea 𝑘=𝐸∆𝑥 unde 𝐸 =
𝐾
𝐿
este elasticitatea pe unitate de lungime (modulul lui Young). Aceste resorturi conectează corpuri mici de masă 𝑚 =
𝑀
𝐿
∆𝑥 unde
𝑀
𝐿
este masa pe unitate de lungime. Modelul matematic devine, simplificat, unidimensional iar estimarea interacțiunii se bazează pe Legea lui Hooke.
/
Figura 5.1.1: Model pentru înțelegerea propagării undelor. a) O serie de comprimări si extinderi. b) Modelul resorturilor pentru comprimările și extinderile de mai sus.
Variabila ce măsoară amploarea deviației față de poziția de echilibru care se deplasează (propagă) într-un material elastic depinde de poziție și de timp, pentru că deviația se deplasează în spațiu și timp. Ca urmare, mărimea ce măsoară deviația este funcție de două variabile 𝑢
𝑥,𝑡
. Este relativ greu de înțeles conceptul de funcție de două variabile și calcul aferent și ca urmare vom face o simplificare. In primă faza vom analiza ce se întâmpla într-un singur punct, la o anumită valoare a lui x. Funcția de două variabile 𝑢
𝑥,𝑡
va putea fi scrisă ca o funcție obișnuită de o singură variabilă 𝑢
𝑡
.
Forțele exercitate asupra masei 𝑚 în poziția 𝑥 sunt exprimate conform principiului al doilea al dinamicii:
𝐹=𝑚∙𝑎=𝑚∙

𝑑
2
𝑢
𝑡

𝑑
𝑡
2

și cea elastică:

𝐹
𝑒
=−𝑘∙𝑢
𝑡

Egalând cele două expresii vom obține o ecuație diferențială care să reflecte variația în timp a poziției corpului ales simbolic:
𝑚∙

𝑑
2
𝑢
𝑡

𝑑
𝑡
2

=−𝑘∙𝑢
𝑡
sau

𝑑
2
𝑢
𝑡

𝑑
𝑡
2

=−
𝑘
𝑚
∙𝑢
𝑡

Ecuația diferențială astfel obținută poate fi rezolvată prin metodologia clasică de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. O soluție poate fi obținută fără cunoștințe speciale, observând faptul că prin derivare de două ori obținem funcția inițială înmulțită cu o constată. Acesta este o caracteristică a funcțiilor trigonometrice. Astfel:

𝑑
2

sin
𝜔𝑡

𝑑
𝑡
2

=
𝑑
𝑑𝑡

𝑑
sin
𝜔𝑡

𝑑𝑡

=
𝑑
𝑑𝑡

𝜔∙
cos
𝜔𝑡

=−
𝜔
2
∙
sin
𝜔𝑡

Ca urmare, soluția ecuației va fi 𝑢
𝑡
= 𝑢
0

sin
𝜔
𝑡−
𝑡
0

sau obișnuita formă a mișcării oscilatorii armonice:
𝑢
𝑡
= 𝐴
sin
(𝜔𝑡−𝜑)
unde 𝜔=

𝑘
𝑚

Pentru analiza o undă ne interesează ca formularea mărimilor să țină cont atât de timp cât și de poziție. Ca urmare, forțele exercitate asupra masei 𝑚 în poziția 𝑥 sunt exprimate conform principiului al doilea a dinamicii:

𝐹=𝑚∙𝑎=𝑚∙

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝑀
𝐿
∆𝑥

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

Scrierea simbolică reprezintă derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, este noțiunea cu care ne-am întâlnit deja la definirea gradientului câmpului.
Forțele elastice exercitate asupra masei m în poziția x sunt:

𝐹
𝑒
=
𝐹
𝑥+∆𝑥
−
𝐹
𝑥−∆𝑥
= 𝑘 [𝑢(𝑥 + ∆𝑥,𝑡) − 𝑢(𝑥,𝑡)] − 𝑘[𝑢(𝑥,𝑡) − 𝑢(𝑥 − ∆𝑥,𝑡)]
Ca urmare, ecuația de mișcare pentru masa situată în poziția 𝑥 este dată de egalitatea celor două forțe menționate:

𝑀
𝐿
∆𝑥

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝐾𝐿
∆𝑥
∆
𝑢
2
sau

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝐾
𝐿
2

𝑀

∆
𝑢
2

∆
𝑥
2

La limită, pentru ∆𝑥 → 0 și se obține:

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝐾
𝐿
2

𝑀

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑥
2

sau

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝐸
𝐿
3

𝑀

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑥
2

și în final

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝐸
𝜌

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑥
2

unde 𝜌 este densitatea mediului.
Este ușor de scris propagarea sub forma unor oscilații. Într-un punct s-ar scrie:
𝑢
𝑡
=𝐴
sin
𝜔𝑡

Dacă vrem să considerăm propagarea trebuie să înlocuim t cu o mărime care să țină loc de poziție:

𝑡
,
=𝑡−
𝑥
𝑣

ce reprezintă oscilația în timp și spațiu. Vom avea:
𝑢
𝑥,𝑡
=𝐴
sin
𝜔
𝑡−
𝑥
𝑣
𝑡

Aceasta este ecuația ce indică o propagare a perturbației în spațiu și timp. Introducerea ei în ecuația de mișcare se face prin derivare în spațiu și timp și vom avea:

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=
𝜔
2
𝐴
sin
𝜔
𝑡−
𝑥
𝑣
𝑡

și

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑡
2

=

𝜔
2

𝑣
2

𝐴
sin
𝜔
𝑡−
𝑥
𝑣
𝑡

Ecuația obținută este ecuația unei unde. Forma ei are derivare parțială spațială de ordin 2 într-un membru si derivare parțială temporală în celălalt, indicând un fenomen de propagare.

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑡

𝜕
𝑥
2

−
1

𝑣
2

𝜕
2
𝑢(𝑥,𝑡)
𝜕
𝑡
2

=0
Pentru a se considera o perturbație pe poate direcțiile, ecuația precedentă se poate scrie ca (

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑦,𝑧,𝑡

𝜕
𝑥
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑦,𝑧,𝑡

𝜕
𝑦
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑦,𝑧,𝑡

𝜕
𝑧
2

)−
1

𝑣
2

𝜕
2
𝑢
𝑥,𝑦,𝑧,𝑡

𝜕
𝑡
2

=0 sau mai succint ca (

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑥
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑦
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑧
2

)−
1

𝑣
2

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑡
2

=0 unde r este vectorul de poziție

𝑟
=𝑥⋅
𝑖
+𝑦⋅
𝑗
+𝑧⋅
𝑘

.
Simbolic, o derivată de ordinul doi de acest tip se scrie și ea sub forma unui operator Laplace notat cu litera greacă delta (△).
△𝑢
𝑟,𝑡
=

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑥
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑦
2

+

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑧
2

Ceea ce permite o scriere mult mai succintă:
∆𝑢
𝑟,𝑡
−
1

𝑣
2

𝜕
2
𝑢
𝑟,𝑡

𝜕
𝑡
2

=0
În final forma generală a ecuației de propagare a undelor este:
∆𝜓−
1

𝑣
2

𝜕
2
𝜓
𝜕
𝑡
2

=0 (5.1.1)
unde 𝜓(𝑟, 𝑡) se numește funcție de undă iar 𝑣 reprezintă viteza de propagare a undelor în mediul respectiv.
Undele pot fi produse în diferite moduri. În natură orice tip de perturbație produce aceste unde. La distanța 𝑥 de sursă, pentru unde plane ce se propagă (progresive), ecuația de propagare va fi:
𝜓
𝑥,𝑡
=𝐴
sin
𝜔
𝑡−
𝑥
𝑣

unde 𝐴, amplitudinea, reprezintă valoarea maxima a deviației, 𝜔 reprezintă pulsația sursei,
𝑥
𝑣
fiind timpul necesar ca unda să ajungă în punctul respectiv iar 𝑐 viteza de deplasare a luminii.
O oscilație este un fenomen care se repetă în timp. Timpul după care se repetă o oscilație este perioada, T. Dacă vorbim de o undă există și un spațiu de desfașurare după care valoarea măsurată se repetă. Această mărime este o lungime care caracterizează unda și ca urmare se numește lungime de undă notată cu 𝜆, 𝜆 = 𝑣𝑇 . Dacă se ține cont că pulsația este 𝜔=
2𝜋
𝑇
lungimea de undă se exprimă prin relația 𝜆 =
2𝜋𝑣
𝜔
iar pentru ecuația undei se obține: 𝜓
𝑥,𝑡
=𝐴
sin

𝜔𝑡−
2𝜋
𝜆
𝑥

. Acest lucru permite definirea vectorul de undă ca,
𝑘
=
2𝜋
𝜆

𝑠
, unde 𝑠 reprezintă versorul direcție de propagare a undei electromagnetice iar modul 𝑘=
2𝜋
𝜆
este mărimea legată de periodicitatea spațială.
𝜓

𝑟
,𝑡
=𝐴
sin

𝜔𝑡−
𝑘
∙
𝑟

Această ecuație exprimă variația undei în timp și spațiu.
Uzual, ecuațiile trigonometrice sunt scrise sub formă exponențială folosind relația lui Euler 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑒
𝑖𝑥
și ecuație undei poate fi exprimată matematic ca:
𝛹(𝑟,𝑡) = 𝐴
𝑒
𝑖(𝜔𝑡−
𝑘
·
𝑟
)
(5.1.2)
Dacă direcția de propagare a undei electromagnetice este de-a lungul axei
𝑂
𝑧
(
𝑠
∥
𝑂
𝑧
) atunci el vor fi:
𝛹
𝑧,𝑡
= 𝐴
𝑒
𝑖
𝜔𝑡−𝑘∙𝑧

În urma calculării derivatei spațiale și respectiv a celei temporale de ordin doi se va obține:
(
𝑘
2
−
𝜔
2
𝜀µ)𝛹 = 0
de unde rezultă:

𝑘
2
=

𝜔
2

𝑣
2

→𝑘=
𝜔
𝑣
→𝑣=
𝜔
𝑘
(5.1.3)
unde 𝑣 reprezintă viteza de fază a undelor electromagnetice care este egală cu viteza de propagare.
Într-un anumit punct r1 funcția de undă s-ar scrie
𝜓

𝑟
1

,𝑡
=𝐴
sin

𝜔𝑡−
𝑘
∙

𝑟
1

=𝐴
sin

𝑤𝑡−
𝜑
1

adică o oscilație cu faza inițială, adică în punctul respectiv câmpul electric crește și scade periodic. Faza
𝜑
1
arată defazajul în timp față de punctul producerii, pentru punctul aflat la distanța
𝑟
1
.
Într-un anumit moment
𝑡
1
s-ar scrie:

𝛹
(𝑟,
𝑡
1
) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔
𝑡
1
−
𝑘
·
𝑟
) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(
𝜑
1
−
𝑘
·
𝑟
)
formula reprezentând o succesiune de maxime și minime ale funcției de undă

5.2 Unde electromagnetice
5.2.1 Ecuațiile Maxwell pentru medii omogene și izotrope
Pentru descrierea clasică a fenomenelor electromagnetice, Maxwell a generalizat legile experimentale ale fenomenelor electrice și magnetice, alcătuind un sistem de ecuații care exprimă legile câmpului electromagnetic. Una dintre legi a fost prezentată în capitolul anterior, fiind legea lui Gauss:
∇
𝐸
=
𝜌
𝜀
(5.2.1)
care arată că sarcinile electrice reprezintă sursele câmpului electric de intensitate 𝐸.
În situația în care sarcinile lipsesc :
∇
𝐸
=0 (5.2.2)
În același mod există o lege a lui Gauss pentru câmpul magnetic:
∇
𝐵
=0 (5.2.3)
O a treia lege este legea inducției electromagnetice cunoscută ca legea lui Faraday care spune, practic, că variația unui câmp magnetic produce energie electrică, adică, contrar situației câmpului static putem mișca o sarcină electrică pe un circuit închis, lucrul mecanic fiind diferit de 0. La un câmp conservativ, lucrul mecanic folosit pentru a trece de la punctul A la punctul B pe orice cale, este același. De exemplu, în cazul deplasării pe un râu, se poate merge în aval primind energie dar apoi trebuie cedată pentru a ajunge înapoi la punctul de pornire. Ca urmare, după întoarcerea în același punct, lucrul mecanic global ar trebui sa fie nul ceea în cazul rotației nu se întâmplă. Faptul că există variație a lucrului mecanic într-o rotație (circulație, răsucire) înseamnă că în această situație câmpul nu mai este conservativ. Într-un vârtej, se obține energie în direcția de răsucire. Pentru deplasare în orice altă direcție va trebui să fie utilizată energie.
Pentru a scrie acest lucru avem nevoie de un alt formalism matematic. Să presupunem că un câmp vectorial descrie vitezele de curgere ale unui fluid și o minge mică este situată în interiorul fluidului. În cazul în care mingea are o suprafață rugoasă, lichidul care curge pe lângă minge o va roti. Axa de rotație este în direcția curburii de câmp iar viteza unghiulară de rotație depinde de mărimea curburii în acest punct. Un alt exemplu este o bărcuță de hârtie într-un vârtej, circulația fiind lucrul mecanic al forțelor care au dirijat-o de-a lungul cercului. Circulația unei forței pe un contur este măsura forței care împinge un obiect de-a lungul unui drum închis cum ar fi un cerc și este definită matematic ca rotor („curl” în engleză). Acesta este pur și simplu circulația pe unitatea de suprafață, densitatea de circulație sau rata de rotație (cantitatea de răsucire într-un singur punct). Imaginați-vă că vârtejul anterior devine din ce în ce mai mic având o circulație constantă. Atunci va avea o putere mai mare într-o zonă mică. Ca urmare, rotorul va fi definit ca fiind cantitatea de răsucire într-un singur punct.
Matematic, contribuția pe direcția 𝑥 este dată de variația câmpului pe direcțiile 𝑦 și 𝑧 :

𝜕
𝐸
𝑧

𝜕𝑦
−
𝜕
𝐸
𝑦

𝜕𝑧

Pe toate direcțiile se va scrie:
∇
𝑋
𝐸
=

𝜕
𝐸
𝑧

𝜕𝑦
−
𝜕
𝐸
𝑦

𝜕𝑧

𝑖
+

𝜕
𝐸
𝑥

𝜕𝑧
−
𝜕
𝐸
𝑧

𝜕𝑥

𝑗
+

𝜕
𝐸
𝑦

𝜕𝑥
−
𝜕
𝐸
𝑥

𝜕𝑦

𝑘

sau

𝜕
𝐸
𝑧

𝜕𝑦
−
𝜕
𝐸
𝑦

𝜕𝑧

𝑖
+

𝜕
𝐸
𝑥

𝜕𝑧
−
𝜕
𝐸
𝑧

𝜕𝑥

𝑗
+

𝜕
𝐸
𝑦

𝜕𝑥
−
𝜕
𝐸
𝑥

𝜕𝑦

𝑘
=
∇
×
𝐸

Simbolic se folosește operatorul diferențial nabla ca produs vectorial, iar operația matematică se numește și ea rotor. Jocul de curl, ce se bazează pe același principiu, este un bun mnemonic.
Legii lui Faraday pate fi scrisă:

∇
×
𝐸
=−
𝜕
𝐵

𝜕𝑡
(5.2.4)
A patra ecuație este legea Ampere-Maxwell, simplificată în absența sarcinilor:

∇
×
𝐵
=𝜀𝜇
𝜕
𝐸

𝜕𝑡
(5.2.5)

5.2.2 Ecuația undelor electromagnetice.
Pentru a obține ecuația undelor electromagnetice în cazul mediilor omogene și izotrope cum ar fi vidul, aerul, apa, sticla plecăm de la ecuațiile lui Maxwell care se modifică. Pentru a vedea cum prelucrăm ambii membrii ai ecuației, aplicăm operatorul diferențial gradient:

∇
×

∇
×
𝐵

=
∇
×
−𝜇𝜀
𝜕
𝐸

𝜕𝑡

=−𝜇𝜀
𝜕
𝜕𝑡

∇
×
𝐸

dar

𝜕
𝜕𝑡

∇
×
𝐸

=
𝜕
𝜕𝑡

𝜕
𝐵

𝜕𝑡

=𝜀𝜇

𝜕
2

𝐵

𝜕
𝑡
2

pe de altă parte, matematic se poate arăta că:

∇
×

∇
×
𝐵

=
∇

∇
B

−∆
𝐵

unde ∆=

𝜕
2

𝜕
𝑥
2

+

𝜕
2

𝜕
𝑦
2

+

𝜕
2

𝜕
𝑧
2

este derivarea parțială spațială de ordin 2 – operatorul lui Laplace.
Și, ținând cont de ecuația 5.2.3, se obține:

∇
×

∇
×
𝐵

=
∇

∇
B

−∆
𝐵
=−∆
𝐵

Ecuația undelor electromagnetice devine:
∆
𝐵
=𝜀𝜇

𝜕
2

𝐵

𝜕
𝑡
2

sau ∆
𝐵
−𝜀𝜇

𝜕
2

𝐵

𝜕
𝑡
2

=0
pentru medii dielectrice omogene, izotrope și caracterizate prin permitivitatea electrică 𝜀 și respectiv prin permeabilitatea magnetică µ.
Ecuația undelor electromagnetice se poate scrie și cu ajutorul vectorului 𝐸 dacă se aplică același algoritm.
∆
𝐸
=𝜀𝜇

𝜕
2

𝐸

𝜕
𝑡
2

sau ∆
𝐸
−𝜀𝜇

𝜕
2

𝐸

𝜕
𝑡
2

=0 (5.2.6)
Comparând relația obținută din ecuațiile lui Maxwell cu ecuația undei plane se obține, pentru viteza de propagare a undelor electromagnetice, următoarea expresie:
𝑣=

1
𝜀𝜇

(5.2.7)
pentru vid, se obține:
𝑐=

1

𝜀
0

𝜇
0

(5.2.8)
Ea este viteza de propagare a undelor electromagnetice în vid și este egală cu 3 · 108 m/s, valoare ce reprezintă chiar viteza de propagare a luminii în vid determinată experimental de către fizicianul francez Fizeau. Concluzia imediată a lui Maxwell a fost că lumina este de natură electromagnetică.
Pentru medii dielectrice
𝜇
𝑟
= 1 iar viteza de propagare a undelor electromagnetice devine 𝑣=
𝑐

𝜀
𝑟

. Se definește indicele de refracție al mediului dielectric ca 𝑛=

𝜀
𝑟

, deci viteza de propagare într-un mediu dielectric se va scrie în funcție de viteza de propagare în vid și indicele de refracție al mediului: 𝑣=
𝑐
𝑛
. Pentru vid
𝜀
𝑟
= 1, deci 𝑛 = 1 iar viteza de propagare a undelor electromagnetice este 𝑣 = 𝑐. Pentru alte medii dielectrice omogene
𝜀
𝑟
> 1, deci 𝑛 < 1 iar viteza de propagare a undelor electromagnetice este 𝑣 < 𝑐.
5.3. Proprietăți ale undelor
5.3.1. Reflexia și refracția undelor
/
Figura 5.3.1: Refracția
Huygens a propus ca pentru modelarea fenomenului, fiecare punct al undei să fie considerat o sursă secundară de unde sferice. Suma acestor unde secundare determină forma undei în orice moment ulterior.
În cazul a două medii, vitezele de propagare ale undelor prin cele două medii pot fi diferite, v1 și v2, depinzând de parametrii mediului, elastici, electromagnetici, ș.am.d.
unda care se propagă spre suprafața de separare se numește undă incidentă;
unda care se întoarce din mediul din care a venit atunci când întâlnește suprafața de separare se numește undă reflectată;
unda care trece în mediul al doilea se numește undă refractată.
/
Figura 5.3.2: Reflexia și refracția unei raze la suprafața de separare dintre două medii.

Pentru unde sunt valabile legile reflexiei și refracției:
Direcțiile de propagare ale undelor reflectate și refractate, la suprafața de separare dintre două medii transparente, se află în planul de incidență (planul ce conține unda incidentă și normala la suprafața de separare).
frecvența undei refractate este egală cu frecvența undei reflectate și egală cu frecvența undei incidente:
𝛾
2
=
𝛾
1
= 𝛾
unghiul de incidență (unghiul sub care cade raza incidentă față de normala la suprafață) este egal cu unghiul de reflexie.
fenomenul de refracție este caracterizat de legea Snell-Descartes:

𝑣
1

sin
𝑖
=
𝑣
2

sin
𝑟
(5.3.1)
Unde 𝑟 este unghiul dintre raza refractată și normala la suprafață. Aceasta relație care se mai poate exprima și cu ajutorul lungimilor de undă din cele două medii și respectiv cu ajutorul indicilor de refracție prin cele două medii.

5.4.1. Compunerea undelor
5.4.1.1. Interferența undelor
Fenomenul de interferență se obține atunci când se compun unde de lungimi de undă care se suprapun într-un domeniu din spațiu producând maxime și minime de intensitate. Undele care prin compunerea lor produc fenomenul de interferență se numesc coerente. Fie două surse cu aceeași frecvență de oscilație, S1 și S2, și valorile lor caracteristice într-un punct de interferență ce au expresia:

𝜓
1
=
𝐴
1

cos

𝜔𝑡−2
𝜋
𝜆

𝑟
1

,
𝜓
2
=
𝐴
2

cos

𝜔𝑡−2
𝜋
𝜆

𝑟
2

Unda rezultanta în punctul P va fi: 𝜓=
𝜓
1
+
𝜓
2

Se poate măsura intensitatea care este media intensităților pe un interval de timp 𝜏. Dacă ridicăm la pătrat relația și o mediem pe intervalul 𝜏, vom obține o relație între intensitățile undelor electromagnetice ce interferă, ținând cont de definiția intensității undelor electromagnetice precum și de medierea temporală a funcției cosinus:

𝜓
2
=
𝐴
1
2
+
𝐴
2
2
+2
𝜓
1

𝜓
2

cos

2
𝜋
𝜆

𝑟
2
−
𝑟
1

+𝜑

sau
𝐼=
𝐼
1
+
𝐼
2
+2

𝐼
1

𝐼
2

cos

2
𝜋
𝜆

𝑟
2
−
𝑟
1

+𝜑

(5.4.1)
Cu I notând intensitatea undei. Dacă defazajul 𝜙 dintre cele două unde monocromatice este o funcție aleatoare de timp, atunci media temporală din relație va fi nulă. În acest caz, termenul al treilea devine zero iar intensitatea totală în punctul P va fi 𝐼 =
𝐼
1
+
𝐼
2
, adică undele sunt necoerente și prin suprapunerea lor nu se produce interferența.
Dacă diferența de fază ϕ este constantă în timp, cele două surse emit unde coerente (sunt corelate în fază), iar prin suprapunerea lor se produce fenomenul de interferență.
Relația interferenței arată o repetabilitate a intensității după o funcție periodică cu perioada 2
𝜋
𝜆
.
În cazul în care
cos

2
𝜋
𝜆

𝑟
2
−
𝑟
1

= +1 atunci când

𝑟
2
−
𝑟
1

=2𝑚
𝜆
2
, intensitatea undelor în punctul P este maximă:
𝐼=
𝐼
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚
=
𝐼
1
+
𝐼
2
+2

𝐼
1

𝐼
2

=

𝐼
1

+

𝐼
2

2

/
Figura 5.4.1: Interferența undelor
În cazul în care
cos

2
𝜋
𝜆

𝑟
2
−
𝑟
1

= −1 atunci când

𝑟
2
−
𝑟
1

=
2𝑚−1

𝜆
2
, intensitatea undelor în punctul P este minimă:
𝐼=
𝐼
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚
=
𝐼
1
+
𝐼
2
−2

𝐼
1

𝐼
2

=

𝐼
1

−

𝐼
2

2

Locul geometric al punctelor din spațiu în care intensitatea undei rezultante este maximă sau minimă, reprezintă franje de interferență. În general, locul geometric al franjelor de interferență este dat de relația:
𝑟
2
−
𝑟
1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
Pentru cazul în care
𝐼
1
=
𝐼
2
=
𝐼
0
vom obține
𝐼
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚
= 4 ·
𝐼
0
𝑠𝑖
𝐼
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚
= 0.

5.4.2 Difracția undelor
Difracția reprezintă un proces optic care apare la propagarea undelor prin medii ce conțin obstacole cu dimensiuni de același ordin de mărime cu lungimea de undă prin care lumina intră în „umbra geometrică” a obstacolului. La baza explicării fenomenului de difracție precum și a reflexiei și refracției stă principiul Huygens-Fresnel. Conform acestui principiu, fiecare punct al unui front de undă poate fi considerat ca un centru secundar care produce unde sferice secundare coerente, frontul de undă în fiecare moment fiind înfășurătoarea fronturilor de unde secundare.
De fapt, după trecerea de fantă, radiațiile se compun într-un mod similar celui discutat la interferență.
/
Figura 5.4.2: Pătrunderea undei în "umbra geometrică".
5.5 Particule ca unde. Noțiuni de fizica cuantică
5.5.1 Modelul corpului negru
Undele transferă energie. Energia se transferă de la sursă la receptor care devine sursă, conform principiului lui Huygens. Undele re-emise se pot compune, obținându-se o mulțime de variante. Un model pentru sistemele care primesc și radiază energie este corpul negru.
Prin definiție, un corp absolut negru este un corp care absoarbe integral radiația, fără să reflecte sau să transmită nicio fracțiune din energia radiației incidente. El însă poate emite radiație.
/
Figura 5.5.1: Modelul corpului negru
Dacă radiația de corp negru este dispersată într-o serie de valori atunci cantitatea de energie radiată variază de la zero urcând către un vârf pentru frecvența asociată condițiilor obiectului radiant revenind apoi iar la zero. În 1900, Max Planck a elaborat o ecuație empirică care poate descrie curba de energie observată dar pe care nu a reușit să o pună în concordanță cu teoria clasică. El a concluzionat că legile fizicii clasice nu sunt aplicabile la nivel atomic așa cum a presupus inițial. Pe baza conceptelor din fizica clasică, radiațiile unui corp negru se pot compune rezultând în final o energie infinită, dar acest fenomen nu a fost observat niciodată.
Ca urmare, Planck nu a impus nici o restricție asupra frecvențelor sau asupra lungimii de undă a energiei radiate. Conform teoriei lui Planck, energia emisă de un oscilator este strict proporțională cu frecvența sa. Cu cât frecvența e mai ridicată, cu atât energia este mai mare. Pentru a ajunge la această concluzie teoretică, el a postulat că un corp radiant este constituit dintr-un număr enorm de oscilatoare elementare, unele vibrând la o anumită frecvență iar altele la altă frecvență acoperind toate frecvențele de la zero la infinit.
5.5.2 Constanta lui Plank
Plank a emis ipoteza că energia 𝐸 a oricărui oscilator individual nu poate lua orice valoare arbitrară, ci este proporțională cu un multiplu întreg al frecvenței 𝛾 a oscilatorului. Adică,
𝐸 = 𝑛 · ℎ · 𝜈
unde 𝑛 =1, 2, 3,…
Constanta de proporționalitate ℎ este numită Constanta lui Planck și are valoarea:
ℎ = 6.62606957(29) × 1
0
−34
𝑗 · 𝑠
Energia unei unde este descrisă în acest mod ca fiind transportată în pachete mici. Aceste pachete de energie transportate de undă au fost numite cuante de către Planck. Mecanica cuantică a apărut odată cu descoperirea faptului că energia unei unde este transportată în pachete a căror mărime depinde de frecvența tuturor undelor electromagnetice ce o compun. Aceste pachete care transportă energie sunt mai degrabă particule decât unde. Ele au primit denumirea de fotoni. Plecând de la cuantificarea energiei radiației termice, în 1905, Einstein extinde ipoteza lui Planck și asupra undelor luminoase (electromagnetice): undele electromagnetice au și ele caracter corpuscular, adică reprezintă un flux de microparticule numite fotoni de energie 𝜀 = ℎ𝜈.

Existența fotonilor a fost prezisă doar teoretic. Se pune întrebarea de ce nu au fost totuși remarcați. Pe baza formulei lui Plank se poate calcula energia fotonilor. De exemplu, dacă un fascicul de lumină corespunzătoare culorii verzi cade asupra unei ținte iar frecvența sa este de 5,45 × 1014 herți, atunci energia fiecărui foton va fi ℎ×5,45× 1014 jouli. Asta înseamnă că fotonii dintr-un fascicol de lumină au o energie de aproximativ 3.6 × 10−19 jouli. Această energie foarte mică nu poate fi observată în procesele curente ci doar în cele la scara microscopică. Ca urmare, observațiile fizicii clasice, făcute în mod direct pe baza observației și generalizate, sunt valabile la scara macroscopică dar, de cele mai multe ori, nu și la scară macroscopică.
5.5.3 Impulsul particulelor asociate undei
Existența dualismului undă-corpuscul necesită dezvoltarea de instrumente matematice de analiză. Dacă acesta există atunci fotonii trebuie să aibă proprietăți mecanice așa cum au electronii. Ca urmare trebuie incluse in formalismul mecanicii definind mărimi pentru aceștia. Plecând de la relația lui Einstein:
𝐸 = 𝑚 ·
𝑐
2

se obține:
𝐸 = ℎ𝜈 = 𝑚𝑐 · 𝑐 = 𝑝 · 𝑐
De unde 𝑝 =
ℎ𝑣
𝑐
.
În practică este mai ușor de folosit numărul de undă (𝑘) legat de pulsație prin relația: 𝜔 = 𝑘𝑐. În acest caz constanta redusă a lui Planck (ℎ/2𝜋) permite scrierea impulsului ca 𝑝 =ℎ𝑘 și deoarece numărul de undă permite exprimarea vectorială, se poate scrie:
𝑝
=ℎ
𝑘
.
5.5.4 Efectul fotoelectric
Teoria lui Einstein a fost verificată permițând explicare efectul fotoelectric extern, fenomen descoperit experimental în 1887 de către Hertz. Einstein a considerat că efectul fotoelectric constă în absorbția unui foton de către electronii din metal.
Pe baza acestei ipoteze se obține legea conservării energiei:

𝑚
𝑣
𝑚𝑎𝑥
2

2
=ℎ𝑣−
𝐸
𝑒𝑥𝑡𝑟

unde Eextr reprezintă energia de extracție – energia minimă pentru ca electronii să fie scoși din metal.

5.5. Natura ondulatorie a particulelor – noțiuni de fizică cuantică
5.5.1. Ipoteza lui de Broglie. Unda asociată
Ipoteza lui Planck conform căreia radiațiile termice au un caracter dual undă-corpuscul a fost extinsă de către Einstein la toate undele luminoase, corpusculul de lumină fiind fotonul.
Fizicianul francez de Broglie extinde această idee de caracter dual asupra particulelor materiale în general (electron, proton, moleculă, etc,) particulei fiindu-i asociată o undă numită unda asociată, cu lungimea de undă: 𝜆=
ℎ
𝑝
=
ℎ
𝑚𝑣
și cu vectorul de undă
𝑘
=

𝑝

ℎ
.
Conform acestei ipoteze, primul postulat al lui Bohr rezultă din faptul că pot exista numai acele orbite staționare pentru care unda asociată electronului este o undă staționară, adică:
2𝜋𝑟=𝑛𝜆=𝑛
ℎ
𝑚𝑣
=𝑛 →𝑚𝑣𝑟=𝑛ℎ
Relația apare ca o consecință a proprietăților ondulatorii ale electronului.
Global, caracterul dual al microparticulelor este exprimat sub forma:
𝑝
=ℎ
𝑘
și 𝐸=ℎ𝜔 .
Pentru generalizare, în teoria relativității mărimile sunt cuadri-vectori pentru care, componentelor spațiale li se adaugă și cele temporale. Impulsul și vectorul de undă se scriu:

𝑃
𝜇
:

𝑝
,
𝑖𝐸
𝑐

,
𝐾
𝜇
:

𝑘
,
𝑖𝜔
𝑐

, 𝜇=1, 2, 3, 4
iar conform ipotezei lui de Broglie, relația:

𝑃
𝜇
=ℎ
𝐾
𝜇

este o lege universală a naturii și se numește legea Einstein-de Broglie.
Din teoria dualismului undă-corpuscul rezultă că fiecare element, fie el foton sau electron, este o entitate. Se poate spune un unicat. Prin generalizarea caracteristicilor inițiale, acestora li se pot asocia proprietăți cuantice (discrete) adică li se pot asocia numere și energii pentru orice proprietate. De exemplu, o energie de orientare în câmpul magnetic al pământului este discretă adică nu poate lua orice valoare. În acest caz, numărul se numește număr cuantic magnetic iar proprietatea legată de numărul cuantic magnetic se numește spin (rotire, în engleză).
Teoria se poate generaliza și la electroni și la alte particule.
5.5.2.2 Caracterul probabilistic al undelor de Broglie
Pentru a determina semnificația fizică a undelor de Broglie s-a considerat un proces de difracție a unui fascicul de electroni care apoi cade pe un ecran fluorescent.
/
Figura 5.6.1: Difracția unui fascicul de electroni – imaginea pe ecran.
Conform concepției clasice, dacă se utilizează un fascicul luminos (concepția clasică a caracterului ondulatoriu al luminii) pe ecranul 1, datorită difracției pe fantele A și B și apoi a interferenței, se va obține o figură de interferență caracterizată prin maxime și minime după cum sunt îndeplinite condițiile:
∆𝑥=
𝑟
2
−
𝑟
1
=2𝑚
𝜆
2
(maxime)
sau
∆𝑥=
𝑟
2
−
𝑟
1
=
2𝑚+1

𝜆
2
(minime).
Utilizându-se fascicule de electroni, imaginea depinde de timpul cât durează acțiunea fasciculului de electroni. Pentru timpi de expunere mici se obține o imagine dispersă iar pentru durate îndelungate se observă apariția unor franje de interferență evidente dar cu o structură granulară. Figura de interferență obținută rezultă din acțiunea unui număr mare de electroni, deci, legătura dintre caracterul corpuscular și cel ondulatoriu al particulelor poate fi făcută doar pe baza unui studiu statistic.
Pentru cazul unei franje luminoase din figura de interferență, conform caracterului corpuscular, în regiunea respectivă există un număr maxim de electroni, în timp ce, din punct de vedere ondulatoriu, dacă intensitatea luminoasă este maximă înseamnă că pătratul amplitudinii undei (asociate electronului) este maxim.
În concluzie, se poate afirma că pătratul amplitudinii undei asociate unei microparticule este proporțional cu numărul de electroni din regiunea respectivă.
Din punct de vedere statistic, dacă se aplică această concluzie unui singur electron, rezultă că amplitudinea undei asociate electronului într-un anumit loc în spațiu reprezintă densitatea de probabilitate de a localiza electronul în locul respectiv.
5.6.2.3 Relațiile de nedeterminare Heisenberg
Localizarea microparticulelor cu caracter ondulatoriu se deosebește principial de cea a punctelor materiale clasice. Orice undă, indiferent de natura ei, se caracterizează prin funcția de undă
𝛹
𝐵
(𝑥,𝑡) (unda de Broglie).
Pentru o undă armonică plană, funcția de undă are expresia:

𝛹
𝐵

𝑥,𝑡
=𝐴
𝑒
−𝑖
𝜔𝑡−𝑘𝑥

=𝐴
𝑒
−𝑖
𝜔𝑡−2
𝜋
𝜆
𝑥

=𝐴
𝑒
−
𝑖
ℎ

𝐸𝑡−𝑝𝑥

(5.6.1)
unde 𝐸 și
𝑝
𝑥
sunt caracteristici ale particulelor (caracterul corpuscular).
Pentru a descrie o entitate este definit un pachet (sau tren) de unde, o "anvelopă" a unui grup de unde ce se mișcă, ca o unitate. Un pachet de unde poate fi descris matematic ca un set infinit de componente sinusoidale de diferite numere de undă, cu faze și amplitudini, astfel încât acestea să interfereze în mod constructiv numai pe o mică regiune din spațiu, și distructiv în toate celelalte regiuni. Mecanica cuantică atribuie o semnificație specială pachetului de undă: el este interpretat ca o „undă de probabilitate" care descrie probabilitatea ca o particulă să aibă o anumită poziție sau un anumit impuls.
/
Figura 5.6.2: Pachet de unde
Dacă o astfel de undă care definește un ansamblu continuu de evenimente umple tot spațiul iar impulsul asocia
𝑝
𝑥
=
ℎ
𝜆
este perfect determinat, unda plană asociată unei microparticule este caracterizată de relațiile: Δ𝑥→∞ , ∆
𝑝
𝑥
→0 deci impulsul microparticulei este bine determinat (imprecizia ∆
𝑝
𝑥
→0 dar particula nu este localizată în spațiu Δ𝑥→∞ ).
Dacă avem un pachet de unde (suprapunere de unde de diferite lungimi de undă ce definesc o entitate) care poate fi localizat în spațiu Δ𝑥→0 dar impulsul pachetului nu va fi bine determinat, Δ
𝑝
𝑥
→∞:
∆
𝑝
𝑥
=∆

ℎ
𝜆

=
ℎ

𝜆
2

∆𝜆→∞
În concluzie se poate spune că, datorită naturii ondulatorii a microparticulelor cuantice, acestea nu pot fi caracterizate simultan printr-o coordonată 𝑥 și un impuls
𝑝
𝑥
bine determinate.
Relațiile de nedeterminare pentru poziție și impuls au fost analizate de către Werner Heisenberg (1927) care a arătat că, pentru o microparticulă, poziția 𝑥 și impulsul
𝑝
𝑥
nu se pot determina simultan cu o precizie oricât de bună, ci ele respectă anumite inegalități, cunoscute sub numele de relațiile de incertitudine Heisenberg:
∆𝑥∆
𝑝
𝑥
≥
ℎ
2
, ∆𝑦∆
𝑝
𝑦
≥
ℎ
2
, ∆𝑧∆
𝑝
𝑧
≥
ℎ
2
(5.6.2)
Relațiile de nedeterminare au un caracter fundamental în mecanica cuantică exprimând deosebirea calitativă dintre particulele cuantice și cele clasice. Ele au un caracter universal pentru că se referă la orice tip de microparticulă și de interacțiuni. De asemenea reflectă particularitățile particulelor cuantice condiționate de natura lor duală. Din aceste relații rezultă că traiectoria unei particule cuantice este o noțiune aproximativă (nu are sens) chiar dacă se cunoaște foarte bine poziția 𝑥 la momentul 𝑡, datorită nedeterminării impulsului
𝑝
𝑥
, poziția la momentul 𝑡 + 𝑑𝑡 nu va fi univoc determinată.
Relația de nedeterminare stă la baza unui concept des întâlnit, norul electronic. Un calcul simplu evidențiază acest concept. Fie un electron căruia să presupunem că i se asociază un pachet de unde caracterizat prin impreciziile:
∆
𝑝
𝑥
=0,01𝑝 , ∆𝑥=
ℎ
∆
𝑝
𝑥

=100
ℎ
𝑝
=100𝜆
Dacă viteza electronului este v = 106m/s, atunci lungimea de undă asociată este:
𝜆=
ℎ

𝑚
0
𝑣
=
6,63×
10
−34

9,1×
10
−31
×
10
6

≃
10
−9
𝑚
Nedeterminarea poziției va avea valoarea:
∆𝑥 = 100𝜆 =
10
−7
𝑚
Asta însemnă că nedeterminarea coordonatei 𝑥 este mult mai mare decât dimensiunile atomului (10−10m ).
Vorbim astfel doar despre probabilitatea ca un electron să se afle într-o anumită poziție și definim pe această bază noțiunea de nor electronic.
6 Pulberi.
Pulberile sunt amestecuri de particule solide cu diametru mic, putând ajunge la 100 µm sau chiar mai mic. În tehnica farmaceutică pulberile se folosesc la prepararea unor forme farmaceutice (comprimate sau capsule). Ele sunt puțin utilizate ca formă farmaceutică de sine stătătoare.
Proprietățile importante pentru prepararea corectă a pulberilor sunt legate de: amestecare, curgere, comprimare.
Curgerea liberă a pulberilor este importantă pentru tehnica farmaceutică. De asemenea, stabilitatea comprimatelor este importantă pentru tehnica farmaceutică.

6.1. Proprietățile pulberilor
Aspectele importante din punct de vedere fizic sunt:
proprietățile particulelor – adeziunea și coeziunea care se pot caracteriza prin:
forța de forfecare,
forța de tracțiune,
unghiul de repaus.
densitatea pulberii; măsurători ale densității patului pulberii.
timpul de curgere al pulberilor.

6.1.1 Forțe între particule și reprezentările lor grafice
6.1.1.1 Adeziunea și coeziunea
Adeziunea (între două suprafețe diferite), de exemplu, între particulă și peretele coșului de alimentare cu pulbere al mașinii de comprimat.
Coeziunea (între suprafețele de același fel), de exemplu, între particulele componente ale patului de pulbere.
Natura forțelor de coeziune este diferită:
Natura forțelor poate fi determinată de forțele van der Waals (care cresc cu micșorarea mărimii particulelor); de asemenea, se modifică în funcție de umiditatea prezentă în material apărând forțe tensionale de suprafață între straturile de lichid absorbit pe suprafața particulelor. Importante sunt și forțele electrostatice care apar în urma frecării dintre particule.
Toate acestea acționează în sensul împiedicării curgerii libere a pulberii. La echilibru, suma forțelor de promovare a curgerii devine egală cu suma forțelor de frânare a ei.
6.2. Curgerea pulberilor.
6.2.1. Forța de forfecare și tracțiune
Forța de forfecare este necesară pentru aprecierea coeziunii în patul unei pulberi și este exprimată ca forța pe unitatea de suprafață. Ea reprezintă un criteriu pentru determinarea rezistenței la curgere produsă de coeziune sau frecare. Se poate măsura cu ajutorul unei celule de forfecare (dispozitiv destinat măsurării forței de forfecare 𝜎, la diferite valori ale apăsării sau sarcinii normale (𝛿)).
Forța de tracțiune este și ea o caracteristică a frecării interne sau a coeziunii dintre particule. Deferența fata de forța de frecare este aceea că patul de pulbere este obligat să cedeze la o tensiune prin "îndepărtare" (separare) nu prin alunecare (ca în cazul aplicării forței de forfecare).
O valoare mare a forței de tracțiune arată o coeziune mare a patului pulberii.
Unghiul de repaus
Particulele unei pulberi vor începe să alunece când unghiul de înclinare este destul de mare pentru a depăși forțele de coeziune.
Dacă particulele sunt în mișcare, alunecarea se va opri când unghiul de înclinare este sub cel necesar să depășească coeziunea.
Acest echilibru face ca pulberea turnată dintr-un recipient pe o suprafață orizontală să formeze o grămadă. Marginile grămezii formate în acest fel formează un unghi cu orizontala numit unghi de repaus.
Dacă valoarea unghiului de repaus este mare atunci pulberea are capacitate de coeziune mare (curgere dificilă).
Dacă unghiul de repaus este mic atunci pulberea nu are coeziune sau prezintă curgere liberă.

/
Figura 6.3.2: Unghiul de repaus la curgere

6.2.2. Forțele de stimulare și frânare a curgerii
Forțele de stimulare (promovare) a curgerii depind de:
gravitație;
masa particulelor;
unghiul de înclinație al patului de pulbere;
forța mecanică.
Forțele care frânează curgerea pot fi:
forțe de adeziune;
forțe de coeziune;
întrepătrunderi între particule.
Particulele cu dimensiuni mai mici de 250 µ𝑚 au o curgere liberă, dar pe măsură ce mărimea devine mai mică de 100 µ𝑚, coeziunea crește; în consecință, apar probleme la curgere.
Particulele cu dimensiuni mai mici de 10 µ𝑚 au o coeziune mare, rezistă forței gravitației și pot forma aglomerări.
Pentru determinarea acestor forțe se folosește celula de forfecare. Acesta este un dispozitiv unde patul de pulbere este compactat în mod diferit, cu diferite grade, în interiorul unui tub cu pereți laterali, apoi aceștia sunt îndepărtați iar forțele de cedare pentru variante diferite pot fi calculate.
/
Figura 6.3.2: Forțe de forfecare

𝜎 se află împărțind sarcina normală la aria secțiunii patului de pulbere (aria celulei). Formula pentru calculul forței de forfecare medie este : 𝜎=
𝐹
𝐴
; 𝐹 = forța aplicată; 𝐴 = secțiunea materialului unde se aplică forța.
/
Figura 6.3.3: Semicercurile Mohr
Relația acestor forțe se poate aplica cu ajutorul unei diagrame Mohr, corespunzător diferitelor perechi de forțe de forfecare.
𝑟=

𝜎
1
+
𝜎
2

2

Se trage o linie care unește toate semicercurile Mohr care definește combinațiile critice ale forței de forfecare și sarcinii normale la care se manifestă cedarea – linie de cedare caracteristică a pulberii în condițiile date.
Unghiul dintre linia de cedare extrapolată la ordonată cu axa forței de forfecare măsoară unghiul intern de frecare
𝜗
. Un unghi mic indică o coeziune mare între particule și dificultatea menținerii unei curgeri cu volum constant. Tangenta lui θ sau panta liniei de cedare măsoară coeficientul de frecare și este o măsură indirectă a capacității de curgere a pulberii.
Forța de tracțiune caracteristică a frecării interne sau a coeziunii dintre particule – patul de pulbere este obligat să cedeze la o tensiune prin "îndepărtare" (separare) nu prin alunecare (ca în cazul aplicării forței de forfecare).
Forța de tracțiune este dată de relația:
𝜎
𝑡
=

𝑀
sin
𝜃

𝐴

10
5
𝑃𝑎
unde:
𝑀 – masa jumătății mobile a cadrului împreună cu pulberea din el;
𝜃- unghiul de înclinare a mesei cu orizontala în momentul cedării;
𝐴- suprafața patului de pulbere.
O valoare mare a forței de tracțiune indică o coeziune mare a patului pulberii.

6.3. Densitatea pulberii
Densitatea pulberii este o caracteristică a pulberii și nu a particulelor individuale.
Este dată de masa pulberii ( 𝑀 ) care ocupă un volum dat ( 𝑉 ):

𝜌
𝑝
=
𝑀
𝑉
(𝑘𝑔/
𝑚
3
)
Este întotdeauna mai mică decât densitatea particulelor componente, deoarece pulberea conține pori între particule sau spații goale dar densitatea patului pulberii este direct proporțională cu densitatea particulelor.
𝐾 = fracția de împachetare sau conținutul fracțional solid
𝐾=
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑝𝑢𝑙𝑏𝑒𝑟𝑖𝑖
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑣ă𝑟𝑎𝑡ă 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑒𝑖

6.3.1. Măsurători ale densității patului pulberii:
Densitatea patului pulberii depinde de împachetarea particulelor, o pulbere consolidată are o rezistență mai mare și curge greu.
Pentru determinarea densității patului de pulbere se folosește un dispozitiv de tasare mecanică, un cilindru gradat în care este introdus un volum de pulbere supus apoi unui număr de loviri prin care să se determine consolidarea masei pulberii.
Indicele Haussner (𝑯) este egal cu raportul densității finale
∆
𝐹
față de
∆
0
densitatea inițială:
∆
𝐹
/
Δ
𝑂
. Valori ale indicelui Haussner pot fi:
~ 1,2, corespunzând unei curgeri ușoare;
1,6, corespunzândunei curgeri dificile (coeziune mare).
Indicele Carr (𝑪) este o măsură a compresibilității pulberii. Acest indice se definește prin relația:
𝐶=𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒
%
=

∆
𝐹
−
∆
0

∆
𝐹

∙100
Legătura între cele două mărimi este: 𝐻 = 100/(100 − 𝐶).
6.3.2. Aparatul pentru determinarea densității pulberilor
Modul de determinare a densității pulberilor: Se cântăresc 100 g pulbere și se introduc în cilindrul gradat. Se citește volumul pulberii din cilindrul gradat. Se fixează cilindrul gradat și se prinde cu bolțuri de centrare pe placa de lucru. Cu ajutorul tastelor se setează 1250 de tasări și se pornește aparatul.
Se calculează densitatea pulberii înainte de tasare și după tasare 𝜌=
𝑚

𝑉
1250

.
6.3.3. Compresibilitatea procentuală a pulberii
Compresibilitatea procentuală a pulberii este în strânsă corelație cu, capacitatea de curgere a pulberii.

Compresibilitatea %
Curgerea

5 – 15
Excelentă (curgerea liberă a granulelor )

12 -16
Bună ( curgere liberă a granulelor pulverulente )

18 – 21
Medie ( granule pulverizate )

23 – 28
Slabă ( pulberi foarte fluide )

28 – 35
Slabă ( pulberi coezive fluide )

35 – 38
Foarte slabă ( pulberi coezive fluide )

>40
Extrem de slabă ( pulberi coezive )


6.3.4. Determinarea timpului de curgere al pulberilor
Aparatul măsoară timpul în care volumul de 100 cm3 de pulbere se scurge din cupa aparatului printr-un orificiu. După ce întreaga cantitate de pulbere a parcurs tubul prevăzut cu senzor în infraroșu (IR) și cu numărător de impulsuri, timpul de curgere este afișat pe display. Aparatul este descris în European Pharmacopoeia Chapter 2.9.36 and US Pharmacopoeia Chapter <1174> on Powder Flow.
Factorul de curgere
Relația factorului de curgere este folosită pentru caracterizarea proprietăților de curgere ale pulberii.
Valoarea factorului de curgere
Descrierea curgerii

> 10
Curgere liberă

4 – 10
Curgere ușoară

1,6 – 4
Curgere coezivă

1,6
Curgere foarte coezivă

7 Particule mici și medii dense – Fluide
7.1 Starea lichidă
În natură, corpurile sunt făcute din entități individuale, componente ce se numesc molecule. Molecule sunt cele mai mici particule de substanță care încă mai păstrează compoziția și proprietățile chimice ale substanței. Prezența acestora face ca materia să se afle în diferite stări de agregare:
Starea solidă este caracterizată de faptul că acele corpuri aflate în această stare de agregare au volum propriu și formă proprie, adică, în cazul idealizat, nu se comprimă și nu se deformează.
Starea lichidă este caracterizată de faptul că acele corpuri aflate în starea lichidă au volum propriu dar nu și formă proprie, adică, în cazul idealizat, nu se comprimă dar curg.
Starea gazoasă se caracterizează prin lipsa volumului și a formei proprie, gazele putându-se comprima.
Lichidele sunt foarte puțin compresibile deoarece particulele componente se mișcă unele față de altele. În unele cazuri există ordine moleculară dar ea este locală, pe o distanță de câteva raze moleculare. Ca urmare, caracterizarea stării lichide pleacă de la necesitatea adoptării unui formalism care să caracterizeze curgerea.
7.1.1 Densitatea
Datorită faptului că lichidele curg este util, în caracterizarea acestora, a nu se folosi distribuția de masă a lichidului. Astfel, dacă exista un volum definit, îl vom putea regăsi după curgere având aceeași masă. Ca urmare, mărimea ideală în studiul lichidelor este masa raportată la unitatea de volum, noțiune ce definește densitatea.
Definiție: Densitatea absolută este raportul dintre masa și volumul său:
𝜌=
𝑚
𝑉

Unde 𝑚 este masa unui corp omogen, iar 𝑉 este volumul său. Pentru 𝑉=1, avem 𝜌=𝑚, adică densitatea unui corp este numeric egală cu masa unității de volum.
Densitatea se exprimă în funcție de mărimile fundamentale:

𝜌

𝑆𝐼
=
𝑚

𝐿
3

=𝑀
𝐿
−3

Unitatea de măsură pentru densitate va fi reprezentată în sistemul internațional (𝑆𝐼) prin relația:

𝜌

𝑆𝐼
=
𝑘𝑔

𝑚
3

=𝑘𝑔∙
𝑚
−3

În practică este util să comparăm densitatea unui corp cu densitatea altuia, considerat etalon. Definim astfel densitatea relativă.
Definiție: Densitatea relativă se definește ca fiind raportul dintre densitatea absolută a unui corp (𝜌) și densitatea absolută a unui corp luat ca referință

𝜌
0

:
𝑑=
𝜌

𝜌
0

Pentru lichide, corpul de referință este apa distilată, a cărei densitate la 4oC este 1000
𝑘𝑔

𝑚
3

.
Pentru gaze, corpul de referință este aerul la 0oC și la presiunea de 760 mm Hg.
7.1.2 Presiunea hidrostatică
Tot datorită faptului că lichidele curg este util ca, în caracterizarea acestora, să nu folosim forțe precum greutatea pentru apăsare ci distribuția lor pe suprafață. Această mărime definește presiunea.
/
Figura 7.1.1: Definiția presiunii.

Definiție: Presiunea (𝑝) reprezintă raportul dintre valoarea forței ce apasă normal pe o suprafață și valoarea ariei suprafeței respective:
𝑝=

𝐹
𝑛

𝑆
=
𝐹∙
cos
𝛼

𝑆

Dacă 𝛼 = 0, atunci 𝑝=
𝐹
𝑆
.
Presiunea se exprimă în funcție de mărimile fundamentale:

𝑝
=

𝐹

𝑆

=
𝑀∙𝐿∙
𝑇
−2

𝐿
2

=𝑀∙
𝐿
−1
∙
𝑇
−2

Iar unitatea de măsură în S.I. este:

𝑝

𝑆𝐼
=

𝐹

𝑆𝐼

𝑆

𝑆𝐼

=
𝑁

𝑚
2

=𝑃𝑎
𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙

Unitatea de măsură în CGS este:
[𝑝] = 𝑑𝑦𝑛/
𝑐𝑚
2
= 𝑏𝑎𝑟𝑦𝑒 (𝐵𝑎), 1 𝐵𝑎 = 0,1 𝑁/
𝑚
2

Alte unități de măsură tolerate, folosite în practică, sunt:
Barul (bar) : 1𝑏𝑎𝑟 =
10
5
𝑁/
𝑚
2
=
10
6
𝐵𝑎 (𝑑𝑦𝑛/
𝑐𝑚
2
).
Torrul (sau 𝑚𝑚𝐻𝑔) este egal cu presiunea exercitată de o coloană de mercur înaltă de 1𝑚𝑚 la 0oC și în câmp gravitațional normal (standard, accelerația gravitațională g = 9,8 m/s2).
1 Torr =1 mm Hg = 133,322 N/m2
Atmosfera fizică este egală cu 760 Torr:
1𝑎𝑡𝑚 = 760𝑇𝑜𝑟𝑟 = 760 · 133,322
𝑁

𝑚
2

=101325
𝑁

𝑚
2

≈1,013∙
10
5

𝑁

𝑚
2

≈
10
5

𝑁

𝑚
2

=1 𝑏𝑎𝑟

Se mai poate defini presiunea privită ca apăsarea unei livre de lichid pe o suprafață de 1 inch pătrat (pound/square inch) se notează cu psi.
1 psi = 6894,75729 Pa
Straturile unui lichid aflat în repaus apasă unele asupra celorlalte ceea ce dă naștere presiunii hidrostatice. Ca urmare, factorii de care depinde presiunea hidrostatică sunt adâncimea și densitatea.
7.1.2.1 Legea fundamentală a hidrostaticii
Presiunea într-un lichid – presiunea hidrostatică – este definită ca apăsarea unei coloane de lichid de o anumită lungime care poate fi imaginată ca apăsarea unui cilindru de lichid ce apasă pe suprafața bazei.
Considerăm, în interiorul unui lichid, două puncte A (h1) și B (h2). În punctul A acționează forța F1 , iar în punctul B acționează forța F2. Între planele orizontale în care se află punctele delimităm imaginar un corp de greutate G .
În condiții statice:

𝐹
1

+

𝐹
2

+
𝐺
=0
/
Figura 7.1.2: Presiunea hidrostatică
ENUNȚ: Diferența de presiune dintre două puncte din interiorul unui lichid între ale căror straturi distanța pe verticală este ℎ, este:

𝑝
1
−
𝑝
2
= 𝜌 · 𝑔 · ℎ
În concluzie, la o anumită adâncime ℎ, într-un lichid de densitate 𝜌, presiunea hidrostatică este egală cu produsul dintre densitate, adâncime și accelerația gravitațională.
𝑝 = 𝜌 · 𝑔 · ℎ
Este important de remarcat că:
Presiunea hidrostatică în lichide crește cu adâncimea la care ne găsim în lichid.
Presiunea hidrostatică este aceeași în toate punctele unui plan orizontal.
Presiunea hidrostatică crește cu densitatea lichidului.
În orice punct din lichid presiunea hidrostatică este aceeași în toate direcțiile.
Acesta ultimă afirmație sugerează transmiterea presiunii. Legea care definește acest lucru se numește legea lui Pascal.

Legea lui Pascal
Enunț: Presiunea exercitată pe o suprafață oarecare a unui lichid aflat în repaus se transmite în toate direcțiile, cu aceeași intensitate în tot lichidul.
Presa hidraulică este o aplicație directă a principiului lui Pascal.
Când asupra pistonului de arie
𝑆
1
se apasă cu forța
𝐹
1
, sub piston apare presiunea
𝑃
1
=

𝐹
1

𝑆
1

care se transmite conform principiului lui Pascal integral la pistonul al doilea, cu aria
𝑆
2
.
Deoarece
𝑃
1
=
𝑃
2
, rezultă că:

𝐹
1

𝑆
1

=

𝐹
2

𝑆
2

sau
𝐹
2
=

𝑆
2

𝑆
1

𝐹
1

CONCLUZIE: Forța de apăsare asupra pistonului 2 este mai mare decât forța de apăsare a pistonului 1 de atâtea ori de câte ori este mai mare aria pistonului 2 față de aria pistonului 1.
/
Figura 7.1.3: Presa hidraulică
7.1.3 Forța Arhimedică
Faptul că presiunea se transmite în toate direcțiile atât de jos înseamnă că lichidul poate acționa și de jos în sus. Mărimea acestei acțiuni este definită de forța arhimedică.
Considerăm un corp cu înălțimea ℎ și aria bazelor 𝑆, cufundat într-un vas cu lichid de densitate 𝜌. Acesta înlocuiește o cantitate de lichid și, ca urmare, lichidul respectiv este considerat în calcul. Acesta se numește lichid dezlocuit. Asupra suprafeței inferioare va acționa forța:

𝐹
2
=
𝑝
2
· 𝑆
Iar asupra suprafeței superioare,

𝐹
1
=
𝑝
1
· 𝑆 unde, în mod evident,
p
2
>
p
1
.

/
Figura 7.1.4: Forța Arhimedică
Rezultanta forțelor de presiune care acționează asupra corpului este:

𝐹
𝑎
=
𝐹
2
−
𝐹
1
= (
𝑝
2
−
𝑝
1
) · 𝑆 =
𝜌
𝑙
· 𝑔 · ℎ · 𝑆 =
𝜌
𝑙
· 𝑉 · 𝑔 =
𝑚
𝑙
· 𝑔 =
𝐺
𝑙

unde
𝐺
𝑙
este greutatea lichidului dezlocuit iar
𝑚
𝑙
este masa lichidului dezlocuit.

𝐹
𝑎𝑟ℎ𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎
=
𝐺
𝑙𝑖𝑐ℎ𝑖𝑑𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑧𝑙𝑜𝑐𝑢𝑖𝑡

ENUNȚ: Orice corp cufundat într-un fluid este împins de jos în sus cu o forță verticală egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp.

7.2 Fenomene moleculare în lichide.
7.2.1 Tensiunea superficială.
Tensiunea superficială este cauzată de atracția dintre moleculele lichidului prin intermediul forțelor intermoleculare. În interiorul masei lichidului, fiecare moleculă este atrasă în egală măsură în toate direcțiile de către moleculele învecinate, ceea ce are ca rezultantă o forță nulă.
La suprafața lichidului, moleculele sunt atrase înspre interior de alte molecule aflate în adâncimea lichidului și foarte puțin de moleculele din mediul învecinat, de deasupra.
/
Figura 7.2.1: Tensiunea superficială este cauzată de atracția dintre moleculele lichidului.
Ca urmare, suprafața unui lichid se aseamănă cu o membrană elastică ce asigură o presiune suplimentară asupra lichidului. Lichidul se aranjează astfel încât să aibă cea mai mică suprafață posibilă.
Ca rezultat al minimizării ariei, suprafața unui lichid va prelua forma cea mai uniformă pe care o poate avea. Cum orice curbură a formei suprafeței duce la mărirea ariei, va rezulta și o energie mai mare. În consecință, suprafața va nivela o curbură în același fel în care o minge ridicată la înălțime va acționa cu un răspuns pentru a-și minimiza energia potențială gravitațională. Dintre toate corpurile geometrice, forma sferică posedă, la un volum determinat, cea mai mică arie.
/
Figura 7.2.2: Tensiunea superficială
Pentru a defini tensiunea superficială, pentru simplitate, vom considera o suprafață aflată pe un cadru dreptunghiular extins datorită unei forțe 𝐹.
Această forță este direct proporțională cu lungimea 2𝑙 a marginii membranei de lichid (membrana are două laturi) și cu un coeficient de proporționalitate, numit coeficientul de tensiune superficială, reprezentat prin simbolul 𝜎 și care depinde de natura lichidului.
Coeficientul este definit de formula: 𝜎=
𝐹
2𝑙

Prin întinderea membranei de lichid suprafața crește cu ∆𝑆 pentru care se efectuează un lucru mecanic, egal cu variația energiei potențiale.
Definiție: Coeficientul de tensiune superficială este lucrul mecanic efectuat pe unitatea de suprafață.
Unitatea de măsură pentru coeficientul de tensiune superficială este N/m sau J/m2.
7.2.2 Meniscuri sferice. Legea Laplace.
Am văzut că pentru a crește aria suprafeței libere a unei mase de lichid cu o cantitate ∆𝑆, este necesară o cantitate de lucru mecanic 𝜎∆𝑆. Acest lucru mecanic se transformă în energie potențială. Cum sistemele mecanice izolate încearcă să găsească o stare de energie potențială minimă, potrivit principiului minimei acțiuni, o picătură liberă de lichid preia în mod natural o formă sferică, formă de suprafață minimă pentru un volum dat. Datorită tensiunii superficiale la nivelul unei suprafețe libere curbate apare o forță care se traduce într-o diferență de presiune.
O suprafață liberă curbată: Sunt reprezentate dimensiunile suprafeței și forțele care acționează pe fiecare latură:
𝑅
𝑥
și
𝑅
𝑦
sunt razele de curbură după fiecare axă paralelă cu suprafața. În cazul unei pelicule sferice cele două raze sunt egale.
Legea lui Laplace Datorită tensiunii superficiale, la nivelul unei suprafețe libere curbate apare o diferență de presiune:

/
Figura 7.2.3: Suprafață liberă curbată.
∆𝑝=𝜎

1

𝑅
𝑥

+
1

𝑅
𝑦

unde
𝑅
𝑥
și
𝑅
𝑦
sunt razele de curbură după fiecare axă paralelă cu suprafața.
În cazul unei pelicule sferice cele două raze sunt egale ∆𝑝=
2𝜎
𝑅
.
7.2.3 Tensiunea interfacială, Forțe la contactul solid – lichid
Suprafața oricărui lichid este o interfață între acel lichid și un alt mediu.
/
Figura 7.2.4: Forțele în punctul de contact solid-lichid.
În aceste condiții, tensiunea superficială nu este doar o proprietate a lichidului, ci o proprietate a interfeței lichidului cu un alt mediu. Dacă un lichid se află într-un recipient, atunci în plus față de interfeța lichid/aer la suprafața superioară, există și o interfață între lichid și pereții recipientului. Tensiunea superficială între lichid și aer este de regulă mai mare decât tensiunea superficială de la contactul cu pereții recipientului iar geometria lor trebuie să fie în așa fel încât toate forțele să fie în echilibru. Când cele două suprafețe se întâlnesc, ele formează un unghi de racordare 𝜃, care este unghiul pe care tangenta la suprafață îl face cu suprafața solidă.
Forțele de tensiune sunt prezentate pentru interfața lichid-aer, interfața lichid-solid și interfața solid-aer. În exemplul din figura de mai sus (stânga) diferența dintre tensiunile superficiale lichid-solid și solid-aer,
𝜎
𝑙𝑠
−
𝜎
𝑠𝑎
, este mai mică decât tensiunea superficială lichid aer,
𝜎
𝑙𝑎
, dar totuși pozitivă în timp ce în exemplul din dreapta diferența dintre tensiunile superficiale lichid-solid și solid-aer,
𝜎
𝑙𝑠
−
𝜎
𝑠𝑎
este negativă. Sunt figurate forțele în punctul de contact pentru un unghi de contact mai mare de 90° (stânga) și mai mic de 90° (dreapta).
În diagramă, atât forțele verticale cât și cele orizontale trebuie să se anuleze exact în punctul de contact. Componenta orizontală a lui
𝑓
𝑙𝑎
este anulată de forța de adeziune
𝑓
𝐴
, iar componenta verticală trebuie să anuleze
𝑓
𝑠𝑎
−
𝑓
𝑙𝑠
. Unghiul de racordare are câteva cazuri particulare: dacă e mai mic de 90° atunci spunem că lichidul udă pereții vasului, iar dacă este mai mare decât 90° spunem că lichidul nu udă pereții vasului. Un caz deosebit este interfața apă-argint unde unghiul este exact 90° deci diferența de tensiune superficială lichid-solid/solid-aer este exact zero.
Definiție: Dacă lichidul este apa, termenul folosit este hidrofil în cazul lichidelor care udă pereții vasului și hidrofob în cazul în care apa nu udă pereții vasului.
Înălțimea la care urcă (coboară) lichidul în tubul capilar este dată de legea lui Jurin:
ℎ=
2𝜎
cos
𝛼

𝜌𝑔𝑟

/
Figura 7.2.5: Fenomenul de capilaritate în tuburi subțiri (capilare)
/
Figura 7.2.6: Legea lui Jurin

8 Dinamica fluidelor
8.1 Curgerea fluidelor
În condiții statice, este suficientă cunoașterea adâncimii ℎ și a densității 𝜌 pentru a caracteriza starea fluidului.
În condiții dinamice, pe lângă aceste două mărimi este necesar să cunoaștem în fiecare punct și în fiecare moment și viteza fluidului. Fiecare moleculă a fluidului se deplasează descriind un traseu. Acest traseu este, de fapt, linia de curent. Linia de curent este linia tangentă în fiecare punct la viteza unei particule de fluid în mișcarea sa. Este, practic, traiectoria particulei în mișcarea sa.
Noțiunea de reprezentare a unei mărimi fizice în mod geometric, cum este cazul liniilor de curent, nu este nouă. Am discutat în capitolele anterioare despre linii de câmp. Este de precizat că formalismul pe care îl folosim în cazul liniilor de câmp este același ca și formalismul care se poate aplica în analiza liniilor de curent.
Liniile de curent definesc și tipul de curgere.
/
Figura 8.1.1: Liniile de fluid
8.1.1 Clasificarea curgerii fluidelor
După viteza liniilor de curent
Curgere staționară (în regim permanent) – are loc atunci când viteza particulelor de fluid depinde de poziția lor descrisă de vectorul de poziție și nu depinde de timp.
Curgere nestaționară (în regim nepermanent sau tranzitoriu) – are loc atunci când viteza lor depinde atât de poziția lor cât și de timp.
După geometria liniilor de curent.
Curgere nerotațională (fără vârtejuri) – are loc atunci când mișcarea particulelor de fluid este doar translațională (nu se rostogolesc).
Curgere rotațională (cu vârtejuri) – are loc atunci când particulele de fluid participă simultan la o mișcare de translație și una de rotație.
După paralelismul liniilor de curent.
Turbulentă (are loc la viteze mari de curgere), în acest caz liniile de curent se intersectează.
Laminară (are loc la viteze mici de curgere), în acest caz când liniile de curent sunt paralele între ele (exemplu, curgerea în vase capilare în care viteza sângelui este foarte redusă)

8.1.2 Debitul masic și volumic
În momentul în care vorbim despre curgere, mărimea pe care trebuie să o definim este cantitatea de lichid care a curs. Plecând de la exemplul unui robinet, ceea ce măsurăm este cantitatea de apă care iese din robinet într-o secundă (unitatea de timp) sau cea care traversează secțiunea robinetului în unitate de timp.
Definiție: Debitul este o mărime fizică scalară egală cu raportul dintre cantitatea de fluid ce trece printr-o secțiune transversală a unei conducte într-un interval de timp și mărimea acelui interval.
Observație: În cazul lichidelor, în funcție de mărimea adoptată pentru a măsura cantitatea de fluid, se poate defini debitul volumic și cel masic.
Debitul volumic.

𝑄
𝑣
=
∆𝑉
∆𝑡
=
𝑆∆𝑙
∆𝑡
=𝑆
∆𝑙
∆𝑡
=𝑆∙𝑣
unde 𝑣 reprezintă viteza de curgere, iar 𝑆 secțiunea transversală.
/
/
Figura 8.1.2: Ecuația de continuitate
În mod similar se poate defini debitul masic:
Debitul masic.

𝑄
𝑚
=
Δ𝑚
Δ𝑡
= 𝜌
Δ𝑣
Δ𝑡
= 𝜌·
𝑄
𝑣
= 𝜌·𝑆 ·𝑣
unde 𝜌 reprezintă densitatea iar 𝑣 viteza de curgere. Produsul 𝜌 · 𝑣 reprezintă rata masică de curgere.

Ecuația de continuitate
În curgere lichidul nu se pierde. Cantitatea de lichid care trece printr-o secțiune a unei conducte la un moment dat trebuie să o regăsim într-o altă secțiune a conductei la un moment ulterior. În mod evident, această afirmație presupune că acea conductă este continuă și ca urmare ecuația fizicii care transpune aceste afirmații se numește ecuația de continuitate.
Considerăm un fluid în curgere staționară. Fie trei secțiuni transversale
𝑆
1
,
𝑆
2
,
𝑆
3
prin care fluidul curge cu vitezele
𝑣
1
,
𝑣
2
, respectiv
𝑣
3
. Debitele volumice prin cele trei secțiuni sunt:

𝑄

𝑉
1

=
𝑆
1
·
𝑣
1

𝑄

𝑉
2

=
𝑆
2
·
𝑣
2

𝑄

𝑉
3

=
𝑆
3
·
𝑣
3

Fluidul este incompresibil deci prin orice secțiune a conductei trebuie să treacă aceeași cantitate de fluid în același interval de timp:

𝑄

𝑉
1

=
𝑄

𝑉
2

=
𝑄

𝑉
3

𝑆
1
·
𝑣
1
=
𝑆
2
·
𝑣
2
=
𝑆
3
·
𝑣
3

Observație: Viteza fluidului care curge staționar printr-o conductă cu secțiune variabilă este mai mare unde secțiunea este mai mică și invers.

8.1.3 Presiunea hidrodinamică. Legea lui Bernoulli
În demonstrarea presiunii hidrostatice am plecat de la definiția presiunii ca forță împărțită la suprafață. Relația obținută este foarte asemănătoare cu cea a energiei potențiale. Ea are caracteristicile unui potențial și anume a celui de curgere. Totuși, făcând referire la o acțiune statică, mărimea se numește presiune hidrostatică. Pentru a defini ceea ce se întâmplă în cursul mișcării unui fluid ne trebuie o altă noțiune care să caracterizeze mișcarea tot din punct de vedere al presiunii și pe care să o definim ca presiune hidrodinamică. Evident că toate afirmațiile anterioare și anume faptul că presiunea se transmite în mod egal în toate direcțiile fluidului sunt adevărate și pentru acest nou tip de presiune introdusă. Ecuația de continuitate prezentată anterior vorbește de conservarea materiei. În aceste condiții și energia se conservă iar transpunerea acestei legi pentru fluide staționare poartă numele de legea lui Bernoulli. Ea se referă la presiunile exercitate de un lichid la curgere staționară printr-un tub de secțiune variabilă.

/
Figura 8.1.3: Legea lui Bernoulli
Enunț: În orice secțiune a unui tub înclinat (cu secțiune variabilă) prin care curge un lichid, suma dintre presiunea hidrostatică (𝑝), presiunea hidrodinamică (
𝜌
𝑣
2

2
) și presiunea de nivel (𝜌𝑔ℎ) este constantă.
𝑝 +
𝜌
𝑣
2

2
+ 𝜌𝑔ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
8.1.3.1 Tubul Venturi
În cazul unui tub orizontal, legea lui Bernoulli devine: 𝑝 +
𝜌
𝑣
2

2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
La viteză mare, presiunea hidrostatică este mică – acest fenomen este cunoscut ca fenomenul Venturi iar tubul în care se produce acest tip de curgere se numește tub Venturi.

/
Figura 8.2.1: Vâscozitatea straturilor de fluid – o similaritate sugestivă este cea a unui top de hârtie din care extragem o foaie de hârtie.
8.2 Dinamica lichidelor vâscoase.
8.2.1 Conceptul de vâscozitate
Am discutat până acum despre fluide ideale, acestea nu opun rezistență la curgere.
Fluidele reale manifestă și forțe de rezistență datorită forțelor interne care apar la curgerea fluidului. Mărimea fizică ce caracterizează forțele de frecare internă într-un fluid se numește vâscozitate. Vâscozitatea unui fluid este dată de frecarea dintre straturile de fluid.
Cel mai corect spus este vorba de transferul de impuls de la un strat la altul, transfer ce are loc transversal (perpendicular) pe strat.
O similaritate sugestivă este cea a unui top de hârtie din care extragem o foaie de hârtie. Foaia extrasă antrenează pe cele adiacente care le antrenează pe următoarele și așa mai departe.
Definiție: Vâscozitatea reprezintă proprietatea unui fluid de a se opune mișcării relative a particulelor constituente.

8.2.2 Coeficient de vâscozitate
Legea lui Newton Pentru a introduce matematic relațiile ce descriu vâscozitatea, presupunem că avem două plăci între care se află lichid. Cea inferioară este fixă iar cea superioară se deplasează orizontal cu viteza 𝑣. Pentru deplasarea plăcii superioare cu viteză constantă este necesar să acționăm cu o forță constantă. Forța se datorează frecării dintre placă și lichidul cu care se află în contact.
Forța de rezistență datorată vâscozității e proporțională cu suprafața de contact dintre cele două straturi, 𝑆, și cu gradientul vitezei (cât de rapid se modifică viteza de la un strat la altul), 𝑑𝑣/𝑑𝑧. Relația care descrie fenomenul este:

𝐹
𝑟
= 𝜂𝑆 ·
𝑑𝑣
𝑑𝑧

unde 𝜂 este coeficientul de vâscozitate dinamică al fluidului. Lichidele pentru care este valabilă legea lui Newton se numesc fluide newtoniene. Coeficientul de vâscozitate astfel definit poartă numele de coeficient de vâscozitate dinamică pentru că derivă din mișcarea straturilor de fluid unul față de celălalt.
Unități de măsură pentru vâscozitate:
În sistem internațional vâscozitatea se măsoară în:
[η]SI = N · s/m2 = kg/(m · s). Unitatea se numește și Poiseuille.
În sistemul CGS, unitatea de măsură este:
[η]CGS = dyne · s/cm2 = g/(cm · s). Unitatea se numește Poise este foarte folosit centiPoise.

Exemple de coeficienți de vâscozitate:
vâscozitatea gazelor crește ușor cu creșterea temperaturii:

𝜂
𝑎𝑒𝑟
= 1,81·
10
−5
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 20◦C și

𝜂
𝑎𝑒𝑟
= 2,18·
10
−5
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 100◦C
vâscozitatea lichidelor scade mult cu creșterea temperaturii:

𝜂
𝑎𝑝𝑎
= 1,002·
10
−3
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 20◦C și

𝜂
𝑎𝑝𝑎
= 0,283·
10
−3
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 100◦C

𝜂
𝑒𝑡𝑖𝑙𝑒𝑛𝑔𝑙𝑖𝑐𝑜𝑙
= 1,𝑒2·
10
−2
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 20◦C , și

𝜂
𝑒𝑡𝑖𝑙𝑒𝑛𝑔𝑙𝑖𝑐𝑜𝑙
= 1,7·
10
−2
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 100◦C

𝜂
𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎
= 9,5·
10
−1
𝑘𝑔/(𝑚·𝑠) la 25◦C

Dependența de temperatură a coeficientului de vâscozitate
În cazul lichidelor, coeficientul de vâscozitate este determinat de forțele de coeziune dintre moleculele de lichid. Forțele de coeziune dintre moleculele de lichid scad odată cu creșterea temperaturii. Micșorarea forțelor de coeziune dintre moleculele de lichid va determina scăderea coeficientului de vâscozitate.

8.3 Curgerea prin tuburi capilare, curgerea printr-un mediu poros
Exemplul straturilor de lichid este foarte util pentru a înțelege noțiunea de vâscozitate. În practică, situațiile în care un lichid curge liber sunt foarte limitate. Ceea ce ne interesează de obicei în practică este curgerea prin conducte cu secțiune rotundă sau pătrată și chiar curgerea prin diverse orificii mici ale unui material definit ca mediu poros. Vom prezenta în ceea ce urmează câteva noțiuni de curgere prin conducte sau prin medii poroase.
8.3.1 Curgerea prin tuburi capilare. Legea Hagen Poiseuille
Analiza curgerii prin tuburi este disciplina care are utilitate în foarte multe domenii cum ar fi furnizarea apei în fiecare casă, circulația aerului prin conductele de ventilație ale fabricilor de medicamente sau curgerea prin vase de sânge incluzând cele într-atât de subțiri încât sunt similare dimensiunii firului de păr (vase capilare).
Ceea ce se poate calcula este pierderea de energie datorată frecării dintre straturile de fluid din interiorul tubului; pentru a asigura circulația unui fluid, energia pierdută trebuie compensată. După cum am văzut din ecuația lui Bernoulli, mărimea care este global folosită pentru a descrie bilanțurile energetice în cazul fluidelor este chiar presiunea. În consecință, circulația unui lichid printr-o conductă presupune existența unei diferențe de presiune pozitivă iar pentru a realiza acest lucru, ceea ce ne interesează este legătura între aceasta și debitul volumic în raport cu caracteristicile conductei și ale fluidului.
Fie un tub de rază 𝑅 și lungime 𝐿. Pentru curgerea prin acest tub putem defini straturi succesive de curgere cu formă cilindrică, conform figurii de mai jos. Forța de frecare în interiorul tubului într-un cilindru de rază r este:

𝐹
𝑟
= 𝜂 · 𝑆 ·
𝑑𝑣
𝑑𝑧
= 𝜂 · 2 · 𝜋 · 𝑟 · 𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑧

Unde 𝑟 este raza cilindrului iar 𝐿 lungimea sa.
Diferența de presiune dintre capetele tubului creează o forță ce o învinge pe cea de frecare:
𝜋 ·
𝑟
2
· ∆𝑝 = −𝜂·2·𝜋·𝑟·𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑧

din care, aranjând termenii, ecuația devine:
𝑑𝑣
𝑑𝑧
=
∆𝑝
2𝜂∙𝐿
𝑟 unde 𝑧 poate lua valori de la 𝑟 curent la valoarea maximă 𝑅.
Integrând după 𝑟 relația devine:
𝑟
𝑅
𝑑𝑣
=−
∆𝑝
2𝜂𝐿

𝑟
𝑅
𝑧∙𝑑𝑧
=
∆𝑝
4𝜂𝐿

𝑅
2
−
𝑟
2

Astfel, în final se poate scrie: 𝑣 =
𝑣
𝑚𝑎𝑥
(1 −

𝑟
2

𝑅
2

) unde
𝑣
𝑚𝑎𝑥
=
∆𝑝
4𝜂·𝐿

𝑅
2
ceea ce este expresia matematică a unei parabole.
Concluzie: În interiorul unui tub viteza variază după un profil parabolic.
8.3.2 Legea Hagen – Poiseuille
Debitul volumic (Qv) va fi dat de legea Hagen-Poiseuille:

𝑄
𝑣
=
0
𝑅
𝑣𝑑𝑆
=
0
𝑅

𝑣
𝑚𝑎𝑥

1−

𝑟
2

𝑅
2

2𝜋𝑟𝑑𝑟
=
0
𝑅

𝜋∆𝑝
2𝜂∙𝐿

𝑅
2
−
𝑟
2

𝜋𝑟𝑑𝑟
=
𝜋∆𝑝
8𝜂∙𝐿

𝑅
4

De data aceasta se pornește calculul nu de la întreaga secțiune ci de la o secțiune infinitezimală a unei „felii” de cilindru, 2𝜋𝑟𝑑𝑟.
/
Figura 8.3.1: Construcție pentru legea Poiseuille
Se poate defini o "rezistență fluidică" a unui tub, similară celei din electricitate, ca raportul între căderea de presiune ∆𝑝 și debitul 𝑄:
𝑅
𝑓
=
∆𝑝
𝑄
=
8𝜂𝐿
𝜋
𝑅
4

Rezistența la curgere este invers proporțională cu raza conductei la puterea a 4-a. La o diminuare de două ori a razei rezistența va crește de 16 ori!
Rezistența la curgere crește cu vâscozitatea și cu lungimea tubului. Ca urmare, lichidul va trece foarte greu prin capilare.
8.3.3 Curgerea prin medii poroase. Legea lui Darcy:
Un mediu poros este un sistem foarte complicat de capilare având o geometrie absolut arbitrară, care permite trecerea unui fluid. Relația ce descrie legătura între debitul volumic și variația presiunii este:

𝑄
𝑣
=𝑘
∆𝑝∙𝑆
𝜂∙𝐿

unde 𝑘 poartă numele de permeabilitate intrinsecă a mediului; ecuația poarta numele de Legea lui Darcy.
Descrierea mișcării prin acest sistem foarte complicat de capilare este practic imposibil de abordat printr-o matematică elementară. O simplificare matematică folosește înlocuirea comportării locale sau microscopice a fluidului cu o comportare globală sau macroscopică.
De exemplu, pentru un capilar vorbim de rezistența depusă la curgere printr-un capilar ca
𝑅
𝑓
=
Δ𝑝
𝑄
, cu
𝑄
𝑣
=
𝜋Δ𝑝
8𝜂∙𝐿

𝑅
4
=
𝜋
𝑅
4

8

Δ𝑝
𝜂∙𝐿
.
Debitul pentru un sistem de capilare este egal cu cel prin totalitatea capilarelor. Numărul total de capilare este dat de numărul spațiilor de trecere a fluidului dintr-un volum dat adică raportul dintre volumul golurilor
𝑉
𝑔
și volumul total 𝑉, adică 𝜑 =

𝑉
𝑔

𝑉
.
/
Figura 8.3.2: Un mediu poros este un sistem foarte complicat de capilare având o geometrie absolut arbitrară, care permite trecerea unui fluid.
Putem introduce și noțiunea de porozitate superficială 𝜑 ca fiind raportul dintre aria golurilor
𝑆
𝑔
și aria totală a unei suprafețe 𝑆, adică 𝜑=

𝑆
𝑔

𝑆
iar numărul mediu de capilare ar fi: 𝑛=

𝑆
𝑔

𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢
2

=
𝜑𝑆
𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢
2

Debitul total ar fi în aceste condiții:

𝑄
𝑣
=𝑛
𝑄
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
=
𝜑𝑆
𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑
2

𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑
4

8

Δ𝑝
𝜂∙𝐿
=
𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑
2
𝜑
8

Δ𝑝∙𝑆
𝜂∙𝐿
=𝑘
Δ𝑝∙𝑆
𝜂∙𝐿

unde am notat cu k:
𝑘=
𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑
2
𝜑
8

In relația debitului total,
𝑄
𝑣
se observă că se păstrează proporționalitatea cu raza capilarului ceea ce înseamnă că rezistența va crește foarte mult dacă porii sunt mici. Rezistența la curgere crește cu vâscozitatea și cu lungimea medului poros.
Expresia:
𝑘=
𝜋
𝑅
𝑚𝑒𝑑
2
𝜑
8

cu toate că nu este foarte riguroasă, permite înțelegerea fenomenelor. Din relație, vedem că permeabilitatea intrinsecă a mediului are dimensiunea unei suprafețe, fiind un fel de suprafață disponibilă la curgere. Nu doar suprafața este importantă ci și dimensiunea porilor este importantă pentru că pori mai mici determină o curgere mai dificilă.
8.4 Rezistența la înaintare a corpurilor în fluid
Am discutat până acum despre mișcarea straturilor de fluid unul față de celălalt. Vâscozitatea astfel definită pleacă de la considerația că mișcarea straturilor de fluid este laminară. În practică există multe cazuri când aceste simplificări nu duc la definirea de modele utilizabile. Una din aceste situații este deplasarea unui corp în interiorul unui fluid. La acest tip de deplasare fenomenul este similar cu cel al vâscozității dinamice dar, datorită faptului că profilul de curgere este mult mai complicat, coeficientul de vâscozitate este diferit. Curgerea unui fluid în jurul unui corp, plecând de la mișcarea acestuia, este uneori mult mai complicată. În mișcarea sa, acest corp trebuie să compenseze frecarea straturilor de fluid dar și rezistența inerțială datorată schimbării stării de mișcare a fluidului.

/
Figura 8.4.1: Forța de rezistență dinamică
8.4.1 Legea lui Stokes.
Legea lui Stokes se referă la forța exercitată de un fluid, datorită vâscozității, asupra unui corp aflat în mișcare (rezistență la înaintare datorată vâscozității), ținând cont exclusiv de vâscozitate.

𝐹
𝑣
= 3 ·
𝜋

1
2

·
𝑆

1
2

· 𝜂 · 𝑣
unde 𝑆 este suprafața corpului, 𝜂 este coeficientul de vâscozitate iar v este viteza corpului.
Pentru o sferă în mișcare în fluid vâscos, deoarece 𝑆 = 4𝜋
𝑟
2
, relația devine:

𝐹
𝑣
= 6 · 𝜋 · 𝜂 · 𝑟 · 𝑣
unde 𝑟 este raza corpului, 𝜂 este coeficientul de vâscozitate iar 𝑣 este viteza corpului.
În situații practice, raza corpului este definită experimental din formulă. Pentru suprafețe neregulate este definită prin omologie cu o rază Stokes care ar putea să nu fie egală cu cea geometrică (exemplu, o bilă de burete care se udă nu se comportă ca o bilă de oțel netedă).

8.4.2 Rezistența dinamică
Acest tip de rezistență inerțială este datorată schimbării stării de mișcare a fluidului și are importanță la viteze mari. Ea se referă la forța exercitată de un fluid datorită depresiunii formate în spatele unui corp în mișcare (rezistență la înaintare datorată presiunii dinamice).
Forța se datorează presiunii dinamice 𝜌

𝑣
2

2
și are expresia
𝐹
𝑑
=
𝐶
𝑑
·𝑆∙𝜌

𝑣
2

2
unde
𝐶
𝑑
este coeficientul aerodinamic iar 𝑆 este suprafața corpului.
Sensul coeficientului aerodinamic este dat de faptul că, de exemplu, la corpurile ascuțite, nu toată secțiunea corpului dezlocuiește fluidul în aceeași măsură. Ca urmare, coeficientul aerodinamic Cd este determinat de forma corpurilor. De exemplu, pentru un cilindru, în funcție de raportul 𝐿/𝑟= 1, 2 sau 4, Cd este 0,91, 0,85 respectiv 0,87. Pentru un disc circular Cd este de 1,11, pentru o semisferă convexă este 0,41 iar pentru o semisferă concavă este 1,35.
Numărul lui Reynolds Numărul lui Reynolds este un coeficient adimensional ce estimează, în cazul unui fluid, predominanța unuia dintre cele două tipuri de rezistență, de vâscozitate sau dinamică.
Forța totală de rezistență totală din partea fluidului este:

𝐹
𝑟
=
𝐹
𝑣
+
𝐹
𝑑
= 6 · 𝜋 · 𝜂 · 𝑟 · 𝑣 +
𝐶
𝑑
·𝑆·𝜌·

𝑣
2

2

Raportul

𝐹
𝑑

𝐹
𝑣

ce arată ce forțe contează într-un anumit moment este definit de un număr adimensional, numărul Reynolds:
𝑅
𝑒
=
𝜌∙𝑣∙𝑟
𝜂
=
𝑣∙𝑟
𝜈

Informație: Valoarea numărului Reynolds determină tipul de curgere. În general, curgerea este laminară la valori ale numărului Reynolds
𝑅
𝑒
<100, iar pentru
𝑅
𝑒
>1000 curgerea este turbulentă.
8.5 Curentul electric
În materialele conductoare sarcinile electrice se mișcă liber, se comportă ca particulele de fluid. În consecință, o parte dintre modelele aplicate curentului electric sunt similare celor aplicate fluidelor și, de aceea, în secțiunea de dinamică a fluidelor vom vorbi și despre curentul electric. Curentul electric este o deplasare ordonată de particule încărcate cu sarcină electrică, la fel ca la curgerea lichidelor. Mișcarea se desfășoară sub acțiunea câmpului electric.
8.5.1 Mărimi caracteristice curentului electric
8.5.1.1 Intensitatea curentului electric.
Intensitatea curentului electric este o mărime fizică scalară ce reprezintă sarcina electrică netă care traversează secțiunea transversală a unui conductor, în unitatea de timp:
𝐼=
Δ𝑄
Δ𝑡
(8.5.1)
În SI, intensitatea este considerată o mărime fizică fundamentală, unitatea sa de măsură fiind amperul (A). Amperul este curentul electric care, menținut în două conductoare paralele și rectilinii de lungime infinită și secțiune circulară neglijabilă aflate în vid la distanța de 1m unul de altul, produce o forță între conductoare de 2 · 10 −7N/m .
Noțiunea de intensitate a curentului electric este foarte similară cu cea de debit. Față de masa de lichid care trece printr-o secțiune în unitatea de timp, aici vorbim de cantitatea de electricitate.

8.5.1.2 Densitatea de curent.
Noțiunea de densitate de curent apare datorită necesității de a defini o mărime locală.
Pentru a o defini densitatea de curent, considerăm o porțiune de conductor a cărui secțiune transversală este 𝑆 și în interiorul căreia există n purtători de sarcină electrică pe unitatea de volum care se mișcă sub acțiunea câmpului electric 𝐸. În intervalul de timp ∆𝑡, numărul purtătorilor de sarcină electrică ce vor fi deplasați prin suprafața 𝑆 va fi conținută în cilindrul cu aria bazei 𝑆 și generatoarea 𝑣∆𝑡 , adică:
𝑁 = 𝑛𝑆𝑣∆𝑡
iar cantitatea de sarcină electrică transportată de aceștia prin suprafața 𝑆 este:
∆𝑄 = 𝑞𝑁 = 𝑛𝑆𝑣𝑞∆𝑡
În acest caz, intensitatea curentului este: 𝐼=
𝛥𝑄
𝛥𝑡
=𝑛𝑣𝑞𝑆
/
Figura 8.5.1: Conductor parcurs de curent electric.

Densitatea de curent se definește ca fiind cantitatea de sarcină electrică ce trece în unitatea de timp prin unitatea de suprafață. Produsul 𝑛𝑞 are semnificația de densitate de sarcină.
𝑗=
𝐼
𝑆
=𝑛𝑞𝑣=
𝜌
𝑒
𝑣
sau, ținând cont de caracterul vectorial al acestei mărimi fizice:

𝑗
=𝑛𝑞
𝑣
=
𝜌
𝑒

𝑣
(8.5.2)
Similar, această mărime, ca densitate de curent, se poate defini și în cazul lichidelor și apare în analiza vâscozității.
8.5.2 Ecuația de continuitate
Ecuația de continuitate arată, ca și în cazul fluidelor, că dacă materia nu se pierde, deplasarea sarcinilor se face in regim constant. Diferența constă în faptul că lichidele sunt fluide incompresibile iar densitatea este constantă. La fluidele electronice sarcinile pot apărea pe parcurs și, ca urmare, ecuația de continuitate trebuie să țină cont de acest lucru.
Matematic, continuitatea se va exprima prin faptul că variația densității de curent în spațiu și variația densității de sarcină în timp este 0:
∇
𝑗
+
𝜕𝜌
𝜕𝑡
=0 (8.5.3)
Această relație poartă denumirea de ecuația de continuitate. În regim staționar, densitatea volumică de sarcină nu depinde de timp și ecuația de continuitate conduce la ∇
𝑗
=0.

8.5.3 Conducția electrică. Conceptul de rezistență
La baza teoriei clasice a conducției electrice în metale stă ipoteza existenței electronilor liberi care se pot deplasa în interiorul unui metal pe distanțe relativ mari. Conform acestei teorii, în absența câmpului electric, electronii se mișcă haotic în toate direcțiile, ciocnindu-se termic cu nodurile rețelei.
Când se aplică un câmp electric, electronii liberi sunt supuși unei forțe
F
= 𝑞
𝐸
care le imprimă o mișcare direcționată cu accelerația 𝑎 =
𝐹
𝑚
=
𝑞𝐸
𝑚
.
Dacă ar fi vorba de un fluid, energia s-ar pierde continuu prin frecare. În cazul electronilor din metal, aceștia își pierd energia prin ciocniri cu ionii rețelei cristaline. Se consideră ca ipoteză simplificatoare că la fiecare ciocnire electronul pierde energia acumulată între două ciocniri succesive. În final, viteza de transport este limitată și, ca urmare, și densitatea de curent este limitată.

/
Figura 8.5.2: Diagrama creșterii vitezelor la ciocnire, la diverse momente egale cu unul, două, trei sau mai multe intervale medii de ciocnire.

𝑗
=𝜎
𝐸
unde 𝜎 reprezintă conductivitatea, adică capacitatea de a deplasa sarcini.
Mărimea inversă conductivității este 𝜌: 𝜎=
1
𝜌
, deci 𝜎 este inversul rezistivității electrice și este o constantă de material.
Dacă ne referim la curentul electric, intensitatea acestuia se scrie 𝐼 = 𝜎𝐸𝑆. Dacă ar fi vorba de un fluid, energia s-ar pierde continuu prin frecare. În cazul electronilor din metal, aceștia își pierd energia prin ciocniri cu ionii rețelei cristaline. Conform ipotezei simplificatoare că la fiecare ciocnire electronul pierde energia acumulată între două ciocniri succesive și, în final, viteza de transport este limitatăașa că și densitatea de curent va fi limitată. Relația poartă numele de legea lui Ohm.
Pentru un conductor de lungime 𝑙 se definește potențialul la capetele lui. Dacă la capetele conductorului este menținută o tensiune 𝑈, câmpul electric în interiorul conductorul va fi 𝐸 =
𝑈
𝑙
iar curentul devine:
𝐼=
𝑈
𝑅
(8.5.4)
ceea ce reprezintă forma locală a legii lui Ohm macroscopice unde rezistența electrică a conductorului este:
𝑅=
𝑙
𝜎𝑆
(8.5.5)
Forma legii lui Ohm este asemănătoare cu cea a lui Poiseuille unde I este echivalentul debitului, U este echivalentul diferenței de presiune iar R este echivalentul rezistenței hidrodinamice.

8.5.4 Circuit electric/circuit fluidic. Rezistență electrică, rezistivitate (conductivitate)
Legea lui Ohm se aplică în studiul circuitelor electrice. Cel mai simplu circuit este format dintr-o sursă și o rezistență.
/
Figura 8.5.3: Un exemplu de circuit electric.

8.5.4.1 Tensiunea electromotoare
Pentru menținerea curentului electric în circuit este necesar ca purtătorii de sarcină să fie acționați de forțe care să le asigure deplasarea.
Lucrul mecanic efectuat de sursă asupra sarcinii electrice de probă 𝑞 scris ca integrala de contur, este:
𝐿=

𝐹

𝑑
𝑙=
𝑞
𝐸

𝑑
𝑙

=𝑞

𝐸

𝑑
𝑙

Prin definiție, tensiunea electromotoare a unei surse (t.e.m.) este lucrul mecanic efectuat de sursa de curent asupra unității de sarcină electrică de probă pentru a produce deplasarea acesteia de-a lungul întregului circuitului adică:
𝜀=
𝐿
𝑞
=

𝐸

𝑑
𝑙

8.5.4.2 Pompe de fluid. Circuit fluidic.
Există, după cum s-a menționat anterior, o analogie între un circuit electric și unul fluidic. Traseele electrice conductoare sunt analoge cu conductele prin care trec fluidele. Elementele care opun rezistență, fie ele tuburi capilare sau medii poroase, sunt analoge cu rezistențele electrice. Pentru a trece un fluid printr-o conductă îngustă sau o suprafață poroasă este necesar să existe o diferența de presiune. Pentru a trece un fluid electronic (curent) printr-o rezistență este necesară o diferență de potențial. Ambele mărimi au semnificații energetice așa că analogia se păstrează. Pentru a merge mai departe, este necesară o analogie între tensiunea electromotoare și un element dintr-un circuit fluidic. Această piesă care pune un fluid în mișcare, fluidul pe un circuit închis, este o pompă. Pompa poate fi o pompă de lichid sau de aer.
Un exemplu de circuit fluidic este modelul circulației sanguine. Inima este pompa, echivalentul sursei de tensiune, arterele și venele sunt echivalentul traseelor de circuit iar faptul că sângele pierde energie prin vase capilare este figurat ca o rezistență.
Evident, este o prezentare simplificată, sângele intrând în categoria fluidelor newtoniene pentru care metodele de studiu necesită mai multă atenție. Vom dedica un spațiu special ulterior acestui subiect.
/
Figura 8.5.5: Exemplu de circuit fluidic.
8.5.4.3 Legile lui Kirchhoff
Legile lui Kirchhoff sunt utile atunci când există ramificații. Acestea sunt generalizări ale ecuației de continuitate.
Prima lege a lui Kirchhoff (sau „legea nodurilor”) este o expresie a conservării sarcinii electrice într-un nod al unei rețele electrice. Conform acestei legi, suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților care ies din același nod.

/
Figura 8.5.4: Ramificație de circuit electric.
Sarcina electrică totală ce intră într-un nod de rețea trebuie să fie egală cu sarcina electrică ce iese din acel nod. Pentru mișcarea sarcinilor electrice ce intră și ies se poate scrie:

𝑖
1
+
𝑖
4
=
𝑖
2
+
𝑖
3

adică: suma intensităților curenților care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților (de curent continuu) care ies din același nod, sau, altfel spus:

𝑖
1
+
𝑖
4
−
𝑖
2
−
𝑖
3
=0
adică: suma algebrică a intensităților curenților electrici care se întâlnesc într-un nod de rețea este egală cu zero.

𝑖
𝑘

=0 (8.5.6)

Legile lui Kirchhoff sunt utile nu doar pentru analiza circuitelor electrice. Ele sunt folosite și în analiza circuitelor fluidice atunci când există ramificații. Acest lucru este normal fiind amândouă generalizări ale ecuației de continuitate. 9 Particule în interacțiune – Fizica moleculară și căldură
9.1 Starea gazoasă: gazul ideal
Starea gazoasă este o stare de agregare a materiei care necesită modele particulare. Gazul este format din entități, molecule care sunt situate la distanță suficient de mare una față de cealaltă. Ca urmare, gazul poate fi comprimat iar după comprimare se destinde. În analiza stării lichide am considerat că particulele sunt în contact unele cu altele și se mișcă unele față de altele în straturi. Energia lor este cedată prin frecare fără a se defini foarte bine ce se întâmplă cu ea. Și în cazul gazelor există transfer de energie dar acesta are loc prin ciocniri.
Revenind la starea gazoasă, modificările de stare care pot apărea presupun, în cele mai multe cazuri, scăderea sau creșterea temperaturii și, ca urmare, necesită modele speciale. Teoria cinetico-moleculară încearcă să realizeze acest lucru. Metoda de lucru este cea obișnuită în studiul fizicii. Mai întâi, simplificăm foarte mult lucrurile iar din modelul ales putem trage concluzii fără un calcul matematic foarte elaborat. Ulterior, complicăm lucrurile adăugând mărimi și interacțiuni suplimentare. Modelul simplificat se numește modelul gazului ideal.
Definiție: Gazul ideal sau gazul perfect este un gaz format din molecule care nu interacționează între ele și al căror volum este neglijabil față de volumul gazului.
Aproximație: Un gaz ideal este un model pentru gaze care au densitate mică.
9.2 Mărimi și unități caracteristice
Modelul gazului ideal se referă la particule de mici dimensiuni. Important pentru a le caracteriza este să estimăm care este numărul acelor particule, ca molecule individuale. Estimatul numărului de molecule reprezintă cantitatea de substanță. Pe lângă aceasta, este important să calculăm densitatea moleculelor. De fapt, nu vorbim de densitate ci de mărimea inversă care este volumul mediu disponibil.
9.2.1 Cantitatea de substanță
Cantitatea de substanță este măsurată prin moli. Un mol este masa moleculară a unei substanțe măsurate în grame.
9.2.2 Masa atomică, masa moleculară
Unitatea atomică de masă – prin acord internațional, elementul de referință ales este tipul cel mai abundent de carbon, numit carbon-12, iar masa sa atomică este definită a fi exact douăsprezece unități atomice de masă sau 12 u.
1u = 1,6605 · 10−27kg
Masa a unei molecule este suma maselor atomice ale atomilor săi. De exemplu, hidrogenul și oxigenul au mase atomice de 1.00794 u și, respectiv, 15.9994 u. Ca urmare, masa moleculară a unei molecule de apă (H2O) este: 2 · 1,00794 u + 15,9994 u = 18.0153 u.
Cantitatea de substanţă, numeric egală cu masa moleculară a acesteia, exprimată în grame, se numeşte mol. Un mol conține
𝑁
𝐴
(numărul lui Avogadro) molecule, indiferent de substanță.
Numărul de moli conținuți în orice probă este numărul de particule 𝑁 din probă împărțit la numărul de particule per mol: 𝑛 =
𝑁

𝑁
𝐴

(
Numărul lui Avogadro Numărul de atomi dintr-un mol este cunoscut ca numărul lui Avogadro
𝑁
𝐴
denumit în onoarea italianului Amedeo Avogadro (1776-1856):
NA = 6,022 · 1023molecule/mol
9.3 Teoria cinetico-moleculară și noțiuni de termodinamică
9.3.1 Mărimi fundamentale – presiunea
Am discutat anterior despre presiunea hidrostatică. Ea se datora apăsării straturilor succesive de lichid. Există însă și alte moduri de a transfera interacțiunea și aceasta este ciocnirea.
Moleculele sau atomii gazului prezenți într-o incintă, în mișcarea lor dezordonată, lovesc pereții incintei cărora le transferă impuls. Ciocnirile sunt numeroase (aproximativ 109 ciocniri/secundă) iar vitezele moleculelor variază continuu în mărime și direcție. Efectul mediu al acestui transfer este presiunea ce se exercită pe pereții incintei sau presiunea gazului.
/
Figura 9.3.1: Agitație moleculară.
/
Figura 9.3.2: Presiunea ca transfer de impuls.
Presupunând ciocnirea moleculelor cu pereții incintei perfect elastică și cunoscând viteza medie a moleculelor, din variația impulsului moleculelor care ciocnesc peretele în unitatea de timp, se poate calcula presiunea gazului ideal.
Presupunem o moleculă oarecare ce se deplasează spre peretele incintei cu viteza 𝑣. Mai presupunem că ciocnirea este elastică și după ciocnire particula se întoarce. Astfel, impulsul inițial 𝑚
𝑣
trece în −𝑚
𝑣
. În urma ciocnirii cu peretele variația impulsului este: ∆𝑝 = −2𝑚𝑣 .
Pentru 𝑁 molecule ce ciocnesc în unitatea de timp peretele, variația totală a impulsului este ∆𝑝 = −2𝑁𝑚𝑣 rezultând o forță ce acționează asupra porțiunii de perete 𝑆 egală și de semn opus variației impusului în unitatea de suprafață:
𝐹=
Δ
mv

Δ𝑡

Considerând că 𝑣 este viteza medie cu care s-au deplasat moleculele gazului, în unitatea de timp vor ajunge la perete numai acele molecule ce se află la distanța 𝐿 de suprafața 𝑆, adică toate moleculele 𝑁 care în virtutea ipotezei simplificatoare asupra unicității valorii vitezei 𝑣, se află în volumul cubului cu latura 𝐿.
Intervalul de timp mediu este ∆𝑡=
2𝐿
𝑣
și forța devine 𝐹=
Δmv
Δ𝑡
=
𝑚𝑁
𝑣
2

𝐿

Presiunea este definită ca efortul unitar pe suprafață:
𝑝=
Δ𝐹
Δ𝑆
=
𝑚
𝑣
2

𝐿∙
𝐿
2

=
𝑚
𝑣
2

𝐿
3

=
𝑚𝑁
𝑣
2

𝑉
=𝑚𝑛
𝑣
2

Pentru o particulă ce este notată cu 𝑖, relatia de mai sus se scrie:
𝑝=
𝑚
𝑣
𝑖
2

𝑉
𝑖

=𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖
2

Unde
𝑛
𝑖
=
1

𝑉
𝑖

reprezintă numărul de particule din unitatea de volum.

Viteza medie pătratică:
Rămâne să estimăm contribuția medie reală a moleculelor la stabilirea presiunii ținând seama de faptul că, în realitate, nu toate moleculele au aceeași componentă normală a vitezei în raport cu peretele recipientului, dat fiind că moleculele au viteze diferite atât ca modul cât și ca direcție. În acest sens, vom admite că din cele n molecule din unitatea de volum,
𝑛
𝑖
molecule se mișcă cu viteza
𝑣
𝑖
.
𝑛=
𝑖=1
𝑛

𝑛
𝑖

/
Figura 9.3.3: Viteza medie pe grade de libertate
Considerăm un sistem de referință ortogonal în raport cu care vitezele
𝑣
𝑖
ale moleculelor au componentele definite de axele 𝑥𝑦𝑧 iar pozițiile secțiunilor 𝛥
𝑆
𝑥
, 𝛥
𝑆
𝑦
, 𝛥
𝑆
𝑧
le vom presupune normale pe axele de coordonate.

Presiunile moleculelor pe suprafețele 𝛥𝑆 se vor scrie:

𝑝
𝑥
=𝑚
𝑛
1

𝑣
1𝑥
2
+ 𝑚
𝑛
2

𝑣
2𝑥
2
+…+𝑚
𝑛
𝑛

𝑣
𝑛𝑥
2
=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑥
2

𝑝
𝑦
=𝑚
𝑛
1

𝑣
1𝑦
2
+ 𝑚
𝑛
2

𝑣
2𝑦
2
+…+𝑚
𝑛
𝑛

𝑣
𝑛𝑦
2
=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑦
2

𝑝
𝑧
=𝑚
𝑛
1

𝑣
1𝑧
2
+ 𝑚
𝑛
2

𝑣
2𝑧
2
+…+𝑚
𝑛
𝑛

𝑣
𝑛𝑧
2
=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑧
2

Direcțiile fiind independente, mișcarea moleculelor perfect haotică și numărul lor foarte mare, aceste presiuni vor fi egale deoarece d.p.d.v. statistic moleculele vor lovi în orice direcție pereții vasului cu probabilități egale, indiferent cum este ales sistemul:

𝑝
𝑥
=
𝑝
𝑦
=
𝑝
𝑧
=𝑝
În final, presiunea moleculelor pe suprafețe se va scrie:
3𝑝=
𝑝
𝑥
+
𝑝
𝑦
+
𝑝
𝑧
=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑥
2

+
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑦
2

+
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑧
2

sau
3𝑝=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖𝑥
2
+
𝑣
𝑖𝑦
2
+
𝑣
𝑖𝑧
2

=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑛
𝑖

𝑣
𝑖
2

Se poate considera că moleculele aduc o contribuție de ansamblu la stabilirea presiunii, aceasta însemnând introducerea prin definiție a unei valori medii a pătratului vitezei denumită viteză pătratică medie:

𝑣
2

=

𝑖=1
𝑛

𝑛
𝑖

𝑣
𝑖
2

𝑖=1
𝑛

𝑛
𝑖

=

𝑖=1
𝑛

𝑛
𝑖

𝑣
𝑖
2

𝑛
, ceea ce înseamnă 𝑝=
1
3
𝑛𝑚

𝑣
2

Concluzii:
1. presiunea gazului ideal este egală cu două treimi din energia cinetică medie de translație a moleculelor din unitatea de volum:
𝑝=
1
3
𝑛𝑚

𝑣
2

=
2
3
𝑛

𝑚

𝑣
2

2

2. relația între presiune, viteza medie și densitatea gazului ideal este:
𝑝 =
1
3
𝜌
𝑣
2
deoarece 𝜌 =
𝑁𝑚
𝑉

Vedem din formula presiunii că presiunea aplicată asupra unui perete depinde de viteza medie a moleculelor și de densitatea gazului. Știm, în schimb, din experiență, că există o relație și între presiune și temperatură. Exemple sunt cele ale unui gaz care se destinde cum ar fi o butelie de gaz sub presiune ce produce temperaturi scăzute iar comprimarea unui gaz cum ar fi de exemplu umflarea cauciucurile cu pompa de la bicicleta produce căldură. Ca urmare, simpla privire mecanicistă nu este suficientă pentru a înțelege un sistem atât de complex. Pentru aceasta trebuie să introducem parametri noi care țin de starea de încălzire. Temperatura este parametrul de excelență ce descrie fenomenele termice și echilibrul dintre acestea. Pentru a înțelege aceste noțiuni vom discuta în cele ce urmează câteva noțiuni de termodinamică.
9.4 Noțiuni fundamentale de termodinamică
Termodinamica este un domeniu al fizicii similar dinamicii din mecanică ce se referă la fenomene termice. Termodinamica studiază legile fenomenelor termice fără a ține cont de mișcările la scară microscopică.
O noțiune de bază folosită în termodinamică este cea de sistem termodinamic, acesta fiind o abstracțiune utilă în analiză. Sistemul termodinamic este o parte din Univers aleasă convenabil în interiorul căreia pot avea loc fenomene care se produc cu schimb de căldură.
Noțiunea de sistem termodinamic este similară unui sistem mecanic cu deosebire că parametrii folosiți sunt diferiți.
Diferența majoră este că acest sistem analizează transferul de căldură și ca urmare parametri aleși nu sunt, așa cum ne-am obișnuit, doar cei de poziție.

/
Figura 9.4.1: Sistem termodinamic
In exemplul din figura 9.4.1, ca parametru ales pentru caracterizare, poziția pe înălțime este înlocuită cu temperatura.
Ca urmare, acest sistem poate caracteriza nu doar poziția sus/jos sau mărimea – volum mare/volum mic ci va introduce un nou parametru pentru a caracteriza starea de încălzire sau, cum spunem în limbajul comun, noțiunea de cald sau rece. Acest nou parametru nu mai este vizibil, așa cum ne-am obișnuit din mecanică, dar poate fi estimat prin alte simțuri sau măsurat cu ajutorul aparatelor.
Situația este descrisă în figura 9.4.2 unde parametrul ales h pentru sistemul mecanic, care caracterizează poziția pe înălțime este înlocuită cu un nou parametru T, temperatura pentru sistemul termodinamic, care caracterizează starea de încălzire – sistem termodinamic cald/sistem termodinamic rece.

/
Figura 9.4.2: Sistem termodinamic/sistem mecanic
Ceea ce este important de remarcat este că noii parametri care sunt mai puțin intuitivi trebuie să beneficieze în definirea lor de un formalism teoretic mult mai bine elaborat. Ca urmare, pentru sisteme termodinamice trebuie dezvoltat un ansamblu de definiții și clasificări atât pentru sistemul în ansamblu cât și pentru parametrii acestuia.

9.4.1 Clasificare sistemelor termodinamice
Sistemele termodinamice sunt clasificate funcție de:
Schimburile cu mediul:
Sistem deschis – acel sistem care are schimb de energie și substanță cu mediul.
Sistem închis – acel sistem care are schimb de energie cu mediul.
Sistem izolat – acel sistem care nu are nici un fel de schimb cu sistemul.
Definiție. Sistemul adiabatic este acel sistem care nu schimbă energie termică cu exteriorul.
Explicație. Sistemul adiabatic este o abstracțiune utilă în analiza sistemelor termodinamice. Termenul de abstracțiune înseamnă că modul în care el este construit nu are importanță. Poate fi imaginat ca un sistem care evoluează foarte repede sau izolat termic.
Structura internă a sistemului:
Omogen – sistem care are proprietăți identice în orice punct al lui sau care se modifică continuu, fără discontinuități (variații mari de la un punct la altul).
Eterogen – sistem pentru care proprietățile prezintă discontinuități.
Definiție. Sistemele omogene se numesc monofazice iar cele eterogene, polifazice.
După modificarea proprietăților sistemului cu direcția:
Izotrop – coeficienții ce caracterizează mărimile fizice sunt aceiași în orice direcție.
Anizotrop – valorile coeficienților se schimbă odată cu modificarea direcției.
Cauzele anizotropiei pot fi, de exemplu, așezarea ordonată a unor molecule asimetrice, alungite (în timpul curgerii, introducerea moleculelor polare în câmp electric, etc.).
Natura schimburilor energetice ale sistemului cu exteriorul:
Simplu – realizează cu exteriorul schimb de căldură iar lucrul mecanic este datorat exclusiv forțelor de expansiune (dilatare). Interacțiunile cu mediul sunt termomecanice.
Complex – schimbă cu exteriorul căldură, lucru mecanic fiind datorat forțelor de expansiune și forțelor nemecanice (ex. potențiale chimice), interacționând complex cu mediul.
9.4.2 Starea unui sistem termodinamic
Starea unui sistem termodinamic este determinată de mărimi fizice măsurabile care determină starea unui sistem la un moment dat.
Observație: Proprietățile sistemului sunt particularizate prin ansamblul de mărimi fizice măsurabile care determină starea unui sistem la un moment dat.

/
Figura 9.4.3: Sistem termodinamic/sistem mecanic – parametri de stare.
In figura 9.4.3 sunt evidențiate mărimile fizice măsurabile care determină starea unui sistem la un moment dat – temperatura, care caracterizează starea de încălzire, volumul care caracterizează dimensiunea, și presiunea.
Mărimile fizice ce caracterizează starea unui sistem se clasifică funcție de:
I. Istoria sistemului:
De stare – mărimile nu depind de istoria sistemului (au aceeași valoare, indiferent de calea prin care sistemul atinge o stare).
De proces – mărimile depind de calea prin care sistemul atinge valoarea (𝑄, 𝐿).
II. Natura lor:
Extensive – mărimile depind de dimensiunea și geometria sistemului ( 𝑚, 𝑉, 𝑁, 𝑒𝑡𝑐.)
Intensive – mărimile sunt independente de dimensiunea și geometria sistemului (𝑇, 𝑝, 𝜌, 𝑒𝑡𝑐.)
9.4.3 Starea de echilibru și starea staționară
Starea de echilibru
Definiție: Orice sistem izolat atinge după un timp o stare de echilibru pe care nu o mai părăsește fără intervenție din exterior.
Observație: Un sistem aflat în stare de echilibru nu va ceda energie în exterior (energia este minimă la echilibru).
Starea staționară
Definiție: Este o stare în care valorile parametrilor rămân constante în timp, pe toată perioada în care sistemul își menține starea.
Observație: Menținerea stării necesită, de regulă, o anumită energie.
Forța termodinamică : Caracterizează echilibrul și starea staționară, fiind generată de existența unui gradient.
Observație: La echilibru:
𝐹
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐ă
= 0
În starea staționară, forța termodinamică este constantă:

𝐹
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐ă
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ≠0
În starea staționară există procese de transport pentru a menține constante mărimile de stare.
Transportul poate fi:
Activ – cu aport de energie? din exterior.
Pasiv – fără aport din exterior.
Proces termodinamic – trecerea unui sistem termodinamic dintr-o stare în alta se numește proces termodinamic (transformare de stare).
9.4.3.1 Clasificarea proceselor termodinamice
Se poate face o clasificare a proceselor termodinamice, funcție de:
Parametrul de stare care rămâne constant în timp:
Procese termodinamice izoterme ( 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.)
Procese termodinamice izocore ( 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑢𝑙=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. )
Procese termodinamice izobare ( 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑢𝑛𝑒𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. )
Procese termodinamice adiabatice (𝑓ă𝑟ă 𝑠𝑐ℎ𝑖𝑚𝑏 𝑑𝑒 𝑐ă𝑙𝑑𝑢𝑟ă 𝑐𝑢 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢𝑙 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑡 )

Natura stărilor intermediare dintre starea inițială (1) și cea finală (2):
Procese termodinamice cvasistatice – cele în care stările intermediare sunt stări de echilibru și pot fi reprezentate printr-o curbă continuă.
Procese termodinamice necvasistatice (de neechilibru) – cele în care stările intermediare nu sunt stări de echilibru și nu pot fi reprezentate printr-o curbă continuă.
Procese termodinamice cvasistatice reversibile.
Raportul dintre starea finală (2) și starea inițială (1):
Procese închise (ciclice).
Procese deschise (neciclice).

/
Figura 9.4.4: Sistem termodinamic – procese termodinamice
În figura 9.4.4. sunt evidențiate mărimile fizice măsurabile care determină transformările din starea unui sistem la un moment dat (1) în starea unui sistem la un moment ulterior (2) – temperatura, presiunea și volumul.

9.5 Legile gazelor (transformarea izobară, izocoră, izotermă). Ecuația termică de stare
Am văzut că în teoria cinetico-moleculară presiunea este dată de ciocnirea continuă a moleculelor cu pereții incintei. Noțiunile fundamentale de termodinamică definesc o stare de încălzire caracterizată prin mărimea fizică numită temperatură. Modul în care temperatura este legată de structura și proprietățile materiei este, în schimb, mai greu de imaginat. Ca urmare, modalitatea în care informațiile au fost obținute s-a bazat pe experiment iar parametrii de stare au fost modificați menținând toți parametrii constanți cu excepția a 2 dintre ei. Aceasta a permis obținerea unor informații care, sintetizate, definesc legătura dintre toți aceștia.

9.5.1 Transformarea izotermă. Legea lui Boyle-Mariotte
Se consideră o masă de gaz (𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) care este comprimată sau destinsă la temperatură constantă (𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡).
/
Figura 9.5.1: Transformarea izotermă: reprezentarea grafică
Dacă parametrii, în stare inițială, sunt
𝑝
1
,
𝑉
1
, 𝑇 iar în stare finală sunt
𝑝
2
,
𝑉
2
, 𝑇 legea acestei transformări este:

𝑝
1
·
𝑉
1
=
𝑝
2
·
𝑉
2
sau 𝑝 · 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
În coordonatele (𝑝, 𝑉) acest tip de transformare se reprezintă printr-o hiperbolă, numită izotermă.
9.5.2 Transformarea izobară. Legea lui Gay-Lussac
Variația volumului unei mase constante de gaz (𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) în funcție de temperatură, la o presiune constantă (𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) este:

∆𝑉

𝑉
0

=𝛼∆𝑡
unde
∆𝑉

𝑉
0

este variația relativă a volumului, 𝛼 este coeficientul de dilatare izobară , 𝛼 =
1

𝑇
0

𝐾
−1
,
𝑇
0
= 273,15 𝐾, iar ∆𝑡 este variația de temperatură.

𝑉
0

𝑇
0

=
𝑉
𝑇
sau
𝑉
𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

9.5.3 Transformarea izocoră. Legea lui Charles
Variația presiunii unei mase constante de gaz în funcție de temperatură, atunci când volumul se menține constant (𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.).

∆𝑃

𝑃
0

=𝛽∆𝑡
∆𝑃 = 𝑃 −
𝑃
0
, adică
𝑃
0
este presiunea inițială, iar 𝑃 este presiunea finală, 𝛽≈𝛼 =
1

𝑇
0

𝐾
−1
este coeficientul de dilatare al gazului la volum constant, ∆𝑡 este variația de temperatură în °𝐶 sau 𝐾, ∆𝑡 = 𝑇 −
𝑇
0

𝑃
0

𝑇
0

=
𝑃
𝑇
sau
𝑃
𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

/
Figura 9.5.2: Transformarea izobară: reprezentarea grafică

/

Figura 9.5.3: Transformarea izocoră: reprezentarea grafică
9.5.4 Transformarea generală a gazelor perfecte. Legea Clapeyron – Mendeleev. Ecuația de stare a gazului ideal
Transformarea generală este acea transformare în care variază toți cei trei parametri de stare ai unui gaz. Plecând de la ecuațiile de transformare,

𝑃
0

𝑇
0

=
𝑃
𝑇
, Transformarea izocoră. Legea lui Charles;

𝑃
0

𝑉
0
= 𝑃𝑉 , Transformarea izoterma. Legea Boyle- Mariotte;

𝑉
0

𝑇
0

=
𝑉
𝑇
, Transformarea izobară. Legea lui Gay-Lussac.
din aceste egalități, ajungem la legea transformării generale:

𝑃
0

𝑉
0

𝑇
0

=
𝑃𝑉
𝑇

Vedem că termenul drept este o mărime constantă. Această constantă o definim pentru un mol de gaz aflat în condiții normale de presiune și temperatură. Parametrii sunt:

𝑃
0
= 101325 𝑃𝑎 (1 𝑎𝑡𝑚),

𝑇
0
= 273,15 𝐾
volumul molar
𝑉
0
=22,41
𝑚
3
/𝑘𝑚𝑜𝑙
introducând toate valorile în membrul stâng obținem constanta ce caracterizează orice mol de gaz:

101325∙22,41
273,15
∙
𝑁

𝑚
2

∙

𝑚
3

𝑘
∙
1
𝑘𝑚𝑜𝑙
=8310
𝐽
𝑘𝑚𝑜𝑙∙𝐾
= 𝑅
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙ă 𝑎 𝑔𝑎𝑧𝑒𝑙𝑜𝑟
.
R poartă numele de constanta universală a gazelor si caracterizează un mol de gaz ideal.
Pentru 1 mol de gaz ideal ecuația devine:
𝑃 · 𝑉 = 𝑅 · 𝑇
Pentru 𝜈 moli de gaz ideal, considerăm că forma anterioară este scrisă pentru un singur mol (𝜈 = 1 𝑚𝑜𝑙) și atunci forma generală este:
𝑃 ·
𝑉
µ
= 𝑅 · 𝑇; 𝜈 ≥ 1𝑚𝑜𝑙,
𝑉
µ
=
𝑉
𝜈
, relația de mai sus devine: 𝑃
· 𝑉
µ
= 𝜈 · 𝑅 · 𝑇
𝑃 · 𝑉 = 𝜈 · 𝑅 · 𝑇
și se numește ecuația de stare a gazului ideal în forma generală sau ecuația Mendeleev – Clapeyron.
9.5.5 Legea lui Dalton
Ecuațiile scrise sunt valabile pentru orice număr de molecule. Ca urmare, dacă avem amestecuri de substanțe vom aduna ecuațiile pentru fiecare mol și vom obține:
𝑃 · 𝑉 = (
𝜈
1
+
𝜈
2
+…..) · 𝑅 ·𝑇 sau, împărțind cu 𝑉: 𝑃 =

𝜈
1
𝑅𝑇
𝑉
+

𝜈
2
𝑅𝑇
𝑉
+…
dar
𝑃
1
=

𝜈
1
𝑅𝑇
𝑉
,
𝑃
2
=

𝜈
2
𝑅𝑇
𝑉
și atunci
𝑃=
𝑃
1
+
𝑃
2
+…
Legea lui Dalton: Presiunea unui amestec de gaze ideale este egală cu suma presiunilor parțiale ale gazelor componente.
9.6 Calculul unor parametri de proces
Dintre parametrii de proces, lucrul mecanic poate fi definit și calculat plecând de la transformările gazului ideal.
9.6.1 Lucrul mecanic în transformările gazului ideal
Lucrul mecanic este definit ca produsul dintre forță și deplasare. Deplasarea se face ca lucru al forțelor de presiune ceea ce se scrie:
𝐹 = 𝑝 · 𝑆
dacă deplasarea este ∆𝑙 atunci 𝐿 = 𝐹 ∆𝑙 = 𝑝 · 𝑆∙∆𝑙 = 𝑝 · ∆𝑉
9.6.2 Lucrul mecanic în transformarea izocoră
Reprezentarea grafică:
/
Figura 9.7.1: Lucrul mecanic în transformarea izocoră: reprezentarea grafică – „suprafața” de sub linia care definește transformarea este egală cu 0.
Variația presiunii unei mase constante de gaz în funcție de temperatură, atunci când volumul se menține constant (𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.).
Dacă volumul este constant înseamnă ca deplasarea este 0 deci 𝐿= 0. În graficul din figura 9.7.1 se vede că „suprafața” de sub linia care definește transformarea este egală cu 0 (indiferent de temperatură).

9.6.3 Lucru mecanic în transformarea izobară.
Variația volumului unei mase constante de gaz (𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) în funcție de temperatură, la o presiune constantă (𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡).
În aceste condiții 𝐹 este constant și:
𝐿 = 𝐹 ∆𝑙 = 𝑝 · 𝑆∆𝑙 = 𝑝 · ∆𝑉 =𝑝 · (
𝑉
2
−
𝑉
1
)
/
Figura 9.7.2: Lucru mecanic în transformarea izobară: reprezentarea grafică – „suprafața” de sub linia care definește transformarea este diferită de 0, are forma unui dreptunghi și este mai mare cu cât presiunea este mai mare.
În graficul din figura 9.7.2 se vede că „suprafața” de sub linia care definește transformarea este diferită de 0, are forma unui dreptunghi și este mai mare cu cât presiunea este mai mare.
9.6.4 Lucru mecanic în transformarea izotermă.
Se consideră o masă de gaz (𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) care este comprimată sau destinsă la temperatură constantă (𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡).
Dacă parametrii în stare inițială sunt
𝑝
1
,
𝑉
1
, 𝑇 iar în stare finală sunt
𝑝
2
,
𝑉
2
, 𝑇, legea acestei transformări este:

𝑝
1
·
𝑉
1
=
𝑝
2
·
𝑉
2

sau 𝑝 · 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
În aceste condiții 𝐹 este variabilă și:
𝐿=
𝑝
𝑑𝑉=

𝜗𝑅𝑇
𝑉

𝑑𝑉=𝜗𝑅𝑇𝑙𝑛

𝑉
2

𝑉
1

/
Figura 9.7.3: Lucru mecanic în transformarea izotermă: reprezentare grafică. Exemplul dat este pentru temperatura T2.

10 Principiile termodinamicii
Termodinamica studiază legile fenomenelor termice fără a ține cont de mișcările la scară microscopică. Conceptele care se utilizează în termodinamică sunt generalizări ale informațiilor experimentale. Ca urmare, nefiind demonstrabile, acestea sunt adoptate ca principii. Principiile stau la baza construcțiilor teoretice utilizate în studiul termodinamicii.
10.1 Principiul Zero al termodinamicii. Postulatele termodinamicii
Un sistem izolat ajunge totdeauna, după un interval de timp, în starea de echilibru termodinamic.
Legea zero a termodinamicii e reprezentată de observația că există o mărime numită temperatură ce caracterizează echilibrul termic și un sistem definit ca termometru pentru a măsura și compara temperaturile (Postulatul 1).
Această comparație se bazează pe conceptul de tranzitivitate: în cazul în care două sisteme sunt separate de un al treilea, dacă două dintre ele se află în echilibru termic atunci toate se găsesc în echilibru între ele (Postulatul 2).
Pe baza acestor postulate se introduce mărimea numită temperatură.
Definiție: Parametrul care definește echilibrul termic se numește temperatură empirică.
10.2 Termometrie: scări de temperatură.
Experimental se constată că dacă două sisteme termodinamice 𝐴 și 𝐵 sunt puse în contact termic (între ele este posibil un schimb de căldură), atunci sistemele ori rămân mai departe în starea de echilibru termodinamic inițial ori stările de echilibru ale sistemelor sunt perturbate, iar după un anumit timp, în urma schimbului de căldură, se stabilește o altă stare de echilibru termodinamic pentru sistemele 𝐴 și 𝐵. Dacă punem apoi sistemul compus (𝐴+𝐵) în contact termic cu un al treilea sistem 𝐶, echilibrul stabilit între sistemele 𝐴 și 𝐵 se modifică și se stabilește un nou echilibru termic.
/
Figura 10.2.1: Tranzitivitatea echilibrului termic
Temperatura empirică la echilibru este aceeași pentru toate sistemele aflate în contact termic și rămâne neschimbată după întreruperea contactului termic. Proprietatea de tranzitivitate a echilibrului termic permite compararea valorilor parametrului T pentru diferite sisteme folosind un alt corp ca intermediar. Prin urmare, dacă două sisteme puse în contact nu-și schimbă stările termodinamice inițiale, cele două sisteme sunt caracterizate de aceeași temperatură empirică T, iar dacă stările inițiale se schimbă, atunci cele două corpuri au temperaturi empirice diferite.
Scările de temperatură pot fi relative, definite pe baza echilibrului dintre corpuri aflate la diverse temperaturi, și una absolută.
Sistemul internațional folosește scara absolută. Unitatea de măsură este kelvinul (K) si se bazează pe punctul triplu al apei. Temperatura 0K este cea numită zero absolut și este punctul în care moleculele și atomii au cea mai mică energie termică.
10.2.1 Scările de temperatură relative
Dintre scările relative, se folosesc uzual două scări de temperatură: scara Celsius, cu precădere în țările europene și scara Fahrenheit, în Statele Unite.
Scara Celsius a fost definită prin 0°C ca punctul de topire al gheții și prin 100°C ca punctul de fierbere a apei la presiune normală;
Fahrenheit a luat ca punct 0°F al scalei lui temperatura la care se topește un amestec echivalent masic de gheață și sare și 100°F ca temperatura corpului uman.
Definiție: Un grad Celsius reprezintă a 1/273,16-a parte din intervalul cuprins între punctul triplu al apei (0,01 °C) și punctul de zero absolut (-273,16 °C), la presiune normală.

Formule de conversie:
T(°C)=T(°K) – 273,15
T(°F) = 9/5 T(°K) – 459,67

Conversie din
Conversie în
Formula

Celsius
Fahrenheit
°F = °C × 1,8 + 32

Fahrenheit
Celsius
°C = (°F – 32) / 1,8

Celsius
Kelvin
K = °C + 273,15

Kelvin
Celsius
°C =° K – 273,15

Fahrenheit
Kelvin
°F = 9/5 T(K) – 459,67

Kelvin
Fahrenheit
K = (°F – 32)/1.8 – 273,15


10.3 Principiul I al termodinamicii.
Principiul întâi al termodinamicii este practic legea conservării energiei, aplicată în cazul sistemelor termodinamice.
El a fost formulat în 1842 de către Julius Robert von Mayer.
Principiul I indică posibilitatea transformării energiei dintr-o formă în alta, fără pierderea ei.
Enunț: Într-un sistem izolat, energia se conservă indiferent de transformările care au loc în interior.
Mărimi ce caracterizează formele de energie: Acestea sunt caracterizate de mărimi fizice de stare sau proces.
Definiție: Energia internă (𝑈) este o mărime de stare care reprezintă energia termică a unui corp într-o stare termodinamică oarecare.
Definiție: Lucrul mecanic (𝐿) reprezintă energia schimbată între sistem și mediul exterior în cursul unei interacțiuni mecanice
Definiție: Cantitatea de căldură (𝑄) reprezintă schimbul de energie, pus în evidență prin modificarea temperaturii sistemului.
Principiul I se scrie: ∆𝑈 = 𝑄 − 𝐿
10.3.1 Mașini termice.
Mașini termice sunt sisteme care transformă energia termică în energie mecanică.
Aceste mașini se bazează pe transformări ciclice în care căldura primită este transformată secvențial în lucru mecanic.
În termodinamică, acest tip de transformări ciclice în care căldura primită este transformată secvențial în lucru mecanic se numește ciclu. Acesta este bazat pe două surse de căldură de temperaturi diferite („sursa caldă” și „sursa rece”). El se bazează pe patru transformări:
Aport de căldură către gaz la temperatura sursei calde cu sau fără mărire de volum (destindere).
Destindere în care aportul de căldură se transformă în lucru mecanic.
Cedare de căldură la temperatura sursei reci cu sau fără micșorare de volum (comprimare) a gazului, pentru a aduce termic sistemul la temperatura inițială.
Comprimare a gazului la temperatura sursei reci cu pierdere de lucru mecanic pentru a aduce mecanic sistemul în starea inițială.
Aceste transformări sunt evidențiate în figura 10.3.1.
/
Figura 10.3.1: Energia poate fi transformată în energie mecanică printr-o succesiune de transformări aducând de fiecare dată sistemul în stare inițială.
10.3.2 Ciclul Carnot
In scopul comparării randamentului termic al mașinilor termice, Nicolas Léonard Sadi Carnot a propus un ciclu teoretic, ciclul Carnot. Este un ciclu reversibil bazat tot pe două surse de căldură de temperaturi diferite („sursa caldă” și „sursa rece”). Ciclul care definește o „mașină Carnot” se bazează pe patru transformări:
Destindere izotermă reversibilă a gazului la temperatura sursei calde,
Destindere adiabatică reversibilă (izentropică) a gazului,
Comprimare izotermă reversibilă a gazului la temperatura sursei reci,
Comprimare adiabatică reversibilă (izentropică) a gazului.

/
Figura 10.3.2: Ciclul Carnot
Folosirea transformărilor adiabatice face ca pierderea de căldură pe ciclu sa fie minimă și ca urmare eficienta să fie maximă.
În cazul unei mașini termice Carnot care produce lucru mecanic, datorită transformărilor ciclice de stare ale unui fluid ce trece de la o temperatură mai ridicată
(𝑇
1
) la una mai scăzută
(𝑇
2
), randamentul depinde doar de cele două temperaturi și nu depinde de natura fluidului, după relația:
𝜂 = 1−

𝑇
2

𝑇
1

În situația în care 𝜂 < 1, nu e posibil ca întreaga cantitate de căldură preluată de la sursa caldă să fie transformată integral în lucru mecanic, ci o parte din ea va trece la corpurile înconjurătoare.
Ciclul Carnot demonstrează că, într-o transformare ciclică, căldura nu poate fi transformată integral în lucru mecanic.
10.4 Principiul II al termodinamicii
Randamentul de transformare a căldurii în lucru mecanic este subunitar
Dacă un sistem efectuează lucru mecanic pe seama scăderii energiei interne, lucrul mecanic efectuat este mai mic decât energia internă deoarece o parte din ea trece în căldură.
Această energie este egală cu produsul dintre temperatura sistemului și 𝛥𝑆 unde 𝑆 reprezintă o nouă mărime fizică ce este totodată o funcție de stare și se numește entropie:
𝑄 = 𝑇 · ∆𝑆
Definiție: Entropia este o de funcție de stare a cărei variație este egală cu căldura schimbată cu exteriorul la o anumită temperatură.

Demonstrarea randamentului termic al ciclului Carnot – Cât din căldură poate fi transformată în lucru mecanic?
Noțiunea de entropie permite demonstrarea elegantă a randamentului ciclului Carnot. Se pornește de la diagrama temperatură – entropie (𝑇−𝑆).
Expresiile căldurilor schimbate cu sursele de căldură
𝑇
𝐶
pentru cea caldă și
𝑇
𝑅
pentru cea rece sunt:
𝑄 =
𝑇
𝐶
(
𝑆
2
−
𝑆
1
) ; |
𝑄
0
| =
|𝑇
𝑅
(
𝑆
1
−
𝑆
2
)|
Deoarece (
𝑆
2
−
𝑆
1
) = |(
𝑆
1
−
𝑆
2
)| = ∆𝑆 , expresiile căldurilor schimbate devin:
𝑄 =
𝑇
𝐶
∆𝑆 ; |
𝑄
0
| =
𝑇
𝑅
∆𝑆
/
Figura 10.4.1: Diagrama temperatură – entropie
𝑇−𝑆
.
Fie 𝐿 suma lucrurilor mecanice, cu semnul lor, efectuate în cursul celor patru transformări ale ciclului, adică lucrul mecanic al ciclului. Din primul principiu al termodinamicii rezultă:
𝐿 = 𝑄 − |
𝑄
0
|
Randamentul termic al ciclului este, prin definiție:

𝜂
𝑡
=
𝐿
𝑄

Înlocuind expresiile căldurilor și a lucrului mecanic se obține:

𝜂
𝑡
=
𝑄−

𝑄
0

𝑄
=1−

𝑄
0

𝑄
=1−

𝑇
𝑅
Δ𝑆

𝑇
𝐶
Δ𝑆
=1−

𝑇
𝑅

𝑇
𝐶

Observație: Cu cât entropia este mai mare cu atât mai puțină energie internă poate fi transformată în lucru mecanic.
10.5. Semnificația moleculară a temperaturii
10.5.1. Energia medie pe grade de libertate.
10.5.1.1. Viteza medie și relația ei cu temperatura.
În demonstrarea formulei presiunii în teoria cinetico-moleculară a gazelor, am introdus termenul de viteză medie. Aceasta este definită pe baza mediei aritmetice a pătratelor vitezelor tuturor moleculelor:

𝑣
=

𝑖=1
𝑛

𝑣
𝑖
2

𝑛

unde 𝑛 este numărul de molecule.
Se poate demonstra că:

𝑣
=

3𝑅𝑇
𝑀

adică mărimea vitezei depinde de agitația termică.
Pentru demonstrație se pleacă de la expresia presiunii în funcție de viteza medie pătratică:
𝑝=
1
3
𝑛𝑚

𝑣
2

Aceasta se poate scrie, pentru un mol, ținând cont că 𝑛=

𝑁
𝐴

𝑉
:
𝑝𝑉=
1
3
𝑀

𝑣
2

sau, folosind ecuația termică de stare pentru un mol:
𝑅𝑇=
1
3
𝑀

𝑣
2

din care se deduce formula vitezei medii de mai sus.

10.5.2 Constanta lui Boltzmann.
Din formula fundamentală a gazului ideal am demonstrat că presiunea gazului ideal este egală cu două treimi din energia cinetică medie de translație a moleculelor din unitatea de volum:
𝑝=
1
3
𝑛𝑚

𝑣
2

=
2
3
𝑛

𝑚

𝑣
2

2

=
2
3
𝑛
𝜀
𝑐

unde
𝜀
𝑐
este energia cinetică medie care revine unei molecule. Ecuația de stare a gazelor am definit-o pentru un număr mare de molecule (mol sau număr de moli). Energia cinetică o definim pentru o singură moleculă. Dacă vrem să translăm informația ce privește un număr de molecule către una singură, va trebui să obținem o ecuație echivalentă scrisă pentru o singură moleculă; aceasta va fi o moleculă reprezentativă – “moleculă medie”.
Din ecuația de stare 𝑝𝑉 = 𝜈𝑅𝑇, dacă exprimăm constanta gazelor pentru o moleculă, practic, definim o nouă mărime numită constanta lui Boltzmann:
𝑘=
𝑅

𝑁
𝐴

Formula ecuației de stare devine:
𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝑇
sau, în funcție de numărul 𝑛 de particule din unitatea de volum:
𝑝 = 𝑛𝑘𝑇
Din toate aceste relații se obține:

𝜀
𝑐

=
3
2
𝑘𝑇
adică energia medie pe moleculă depinde de temperatură.
Să ne aducem aminte că în demonstrarea formulei presiunii gazului ideal am considerat cele 3 mișcări posibile ale moleculei, pe axele 𝑥, 𝑦 și 𝑧. Dacă molecula este considerată punctuală, doar aceste 3 tipuri de mișcări vor fi posibile. Dar dacă molecula nu este punctuală, rotația moleculei trebuie luată și ea în considerare în bilanțul energetic. De exemplu, pentru mișcarea de rotație există 3 axe posibile de rotație și, ca urmare, în loc de factorul 3 care definea 3 mișcări posibile, va trebui să considerăm 6. Generalizând considerațiile anterioare, vedem că în formula energiei cinetice, fiecărui tip de mișcare posibilă sau tip energetic îi va corespunde
3
2
𝑘𝑇. Aceasta o definim ca energia medie pe grad de libertate, gradul de libertate reprezentând un tip de mișcare sau distribuție energetică posibilă. De exemplu, pentru 3 mișcări de tip translații pe axele 𝑥, 𝑦 și 𝑧, scriem relația:

𝜀
𝑐

=
3
2
𝑘𝑇 iar dacă avem 2 molecule legate între ele, acestea pot avea 3 mișcări de translație și două mișcări de rotație iar energia cinetică va fi

𝜀
𝑐

=
5
2
𝑘𝑇. Mișcarea de rotație care nu are sens energetic este mișcarea de rotație în jurul axei ce unește cele 2 molecule, dimensiunea lor fiind mult mai mică decât distanța dintre ele.
În final putem spune ca energia cinetică medie este

𝜀
𝑐

=
5𝑖
2
𝑘𝑇, unde 𝑖 este numărul de grade de libertate.

Am văzut pană acum că semnificația moleculară a presiunii este cea de transfer molecular a cantității de mișcare, adică a impulsului. Presiunea gazului ideal este egală cu două treimi din energia cinetică medie de translație a moleculelor din unitatea de volum:
𝑝=
1
3
𝑛𝑚

𝑣
2

=
2
3
𝑛

𝑚

𝑣
2

2

=
2
3
𝑛
𝜀
𝑐

unde
𝜀
𝑐
este energia cinetică medie care revine unei molecule, iar 𝑛 este numărul de molecule din unitatea de volum.
Relația între presiune, viteza medie și densitatea gazului ideal este: 𝑝=
1
3
𝜌

𝑣
2

deoarece 𝜌=
𝑁𝑚
𝑉

Expresia moleculară a legăturii între temperatură și energia cinetică medie este dată de relația

𝜀
𝑐

=
3
2
𝑘𝑇 iar viteza depinde de temperatură după relația:

𝑣
=

3𝑅𝑇
𝑀

Pe baza acestei legături este definită noțiunea de agitație termică. De exemplu rece, în baza expresiei moleculare a temperaturii, un corp rece arată că ansamblul de molecule se mișcă încet.
/
Figura 10.6.1: Corp rece
Tot în baza expresiei moleculare a temperaturii un corp cald ar avea molecule care se mișcă repede.
/
Figura 10.6.2: Corp cald
În final, transferul termic reprezintă trecerea energiei de la un corp la altul (fără transfer de substanță). Procesul are loc până când se realizează echilibrul termic adică până la încetarea trecerii energiei de la un corp la altul.

/
Figura 10.6.3: Transfer termic – temperaturi diferite
/
Figura 10.6.4: Transfer termic – echilibru
10.6. Semnificația moleculară a entropiei
10.6.1 Distribuția vitezelor
Într-un corp, vitezele moleculelor nu au aceeași valoare. Există o distribuție continuă a vitezelor. În funcție de temperatură, există o largă distribuție a vitezelor, definită probabilistic, existând viteze foarte mari, foarte mici și viteze cu valori intermediare. Aceste viteze intermediare sunt caracteristice celor mai multe dintre molecule și, ca urmare, în teoria probabilităților și statistică, sunt definite ca fiind cele mai probabile. Mărimea probabilității este dată de statistica Maxwell–Boltzmann.

10.6.2 Stări de energie. Distribuția Boltzmann
Statistica Maxwell–Boltzmann pleacă de la noțiunea de stări de energie legate de agitația moleculară. Stările de energie termică reprezintă configurația tuturor valorilor energetice. La zero absolut există o singură stare energetică.
În mecanica statistică și matematică se folosește ca instrument de lucru distribuția de probabilitate. Distribuția Boltzmann nu face excepție de la această regulă. Frecvența pentru diverse stări posibile ale unui sistem are expresia:
𝑓
𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒
∼
𝑒
−
𝐸
𝑘𝑇

unde 𝐸 este energia stării respective și 𝑘𝑇 este produsul dintre temperatură și constanta lui Boltzmann. Maximul funcției de stare reprezintă viteza cea mai probabilă, adică viteza pe care o au cele mai multe molecule. Raportul dintre două funcții de stare este cunoscut ca factor Boltzmann și depinde de diferența de energie a celor două stări.

𝑓

𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒
1

𝑓

𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒
2

=
𝑒
−

𝐸
2
−
𝐸
1

𝑘𝑇

Ca urmare, probabilitatea ca o moleculă să fie într-o anumită stare energetică este:

𝑝
𝑖
=

𝑒
−

𝜀
𝑖

𝑘𝑇

𝑖=0
𝑛

𝑒
−

𝜀
𝑖

𝑘𝑇

/
Figura 10.7.1: Distribuția vitezelor – explicație grafică
Distribuția Boltzmann poartă numele lui Ludwig Boltzmann care a imaginat-o pentru prima dată în 1868. Ea stă la baza multor modele, unul dintre ele fiind cel al entropiei care se poate defini și statistic, bazat pe statistica Maxwell – Boltzmann – ansamblul de particule aflate în diferite stări energetice în echilibru termic. Pentru aceasta, trebuie calculat numărul de stări energetice posibile. Se plecă de la numărul estimat de particule cu energie
𝜀
𝑖
ce depinde de distribuția de probabilitate:

𝑁
𝑖
=𝑁

𝑔
𝑖

𝑒

𝜀
𝑖

𝑘𝑇

𝑔
𝑖

𝑒

𝜀
𝑖

𝑘𝑇

unde:

𝜀
𝑖
este energia în starea 𝑖;

𝑔
𝑖
este degenerarea de nivel de energie 𝑖 (adică numărul de entități cu aceeași stare energetică). Termenul
𝑔
𝑖
este necesar pentru a nu lua în considerare de fiecare dată stările identice. Numărul total de stări se calculează prin analiza factorială considerând toate permutările posibile și este:
𝑊=𝑁!∏

𝑔
𝑖

𝑁
𝑖

𝑁
𝑖
!

/
Figura 10.7.2: Starea de energie fundamentală și una de energie crescută
𝑊=𝑁!∏

𝑔
𝑖

𝑁
𝑖

𝑁
𝑖
!

După cum vedem, practic, numărul de stări este ca forma unui produs de probabilități. Acesta este numărul de stări microscopice. Pentru a defini numărul de stări macroscopice – a aduna toate probabilitățile, trebuie transformat produsul în sumă, prin logaritmare. În aceste condiții entropia se poate scrie ca:
𝑆 = 𝑘 · 𝑙𝑜𝑔𝑊
Potențialul ecuației nu a fost înțeles în timpul vieții lui Boltzmann. Ulterior, după moartea acestuia, ca recunoaștere, această relație a fost gravată pe piatra lui de mormânt.

/
Figura 10.7.3: Ecuația de pe piatra funerara a lui Boltzmann
Echilibrul termic este ireversibil
Noțiunea de ireversibilitate poate fi privită ca o consecință a teoriei statistice Boltzmaniene. Ea se referă la echilibrul termic. Odată instaurat, acesta nu poate fi reinversat fără aport de energie, altfel spus, este ireversibil.
Pentru a reversa echilibrul, căldura trebuie să treacă de la un corp rece la un corp cald. Pentru aceasta, vitezele ar trebui separate între ele în cele două corpuri. Pentru a sugera intuitiv aceasta, James Clark Maxwell a imaginat un model bazat pe prezența unui “demon” care ar putea separa vitezele mari de cele mici transferând energia de la un corp rece la unul cald. Cum “demon” nu există, absurditatea a fost relevată.
/
Figura 10.7.4 Demonul lui Maxwell.
Pe baza considerațiilor anterioare este clar că în orice proces spontan entropia crește. Ca urmare, sunt posibile numai acele procese termodinamice pentru care variația entropiei este pozitivă. Inegalitatea 𝛥𝑆 ≥ 0 poartă numele de inegalitatea lui Clausius.
Concluzie: Potrivit principiului al II-lea al termodinamicii, prin orice proces care are loc într-un sistem izolat, energia liberă scade și entropia sistemului crește. Singura soluție de scădere a entropiei ar fi transferul de căldură de la un corp mai rece la un corp mai cald. Din acest motiv formularea lui Clausius pentru Principiul al II-lea este: “Nici un proces al cărui unic rezultat este transferul de căldură de la un corp mai rece la un corp mai cald nu este posibil”.

10.7.4 Principiul III al termodinamicii
Principiul al treilea al termodinamicii (legea lui Nernst) afirmă că entropia unui sistem la echilibru tinde la 0 atunci când temperatura se apropie de zero absolut, sau, la sistemele în echilibru care tind la zero absolut prin procese cvasistatice izoterme, variația energiei libere nu mai depinde de temperatură. Consecința este că la zero absolut, căldurile masice ale corpurilor sunt nule, indiferent de procesul pe care acestea îl parcurg.
Ca urmare, temperatura de zero absolut nu poate fi atinsă. Aceasta este formularea principiului al treilea al termodinamicii. 11 Aplicații ale termodinamicii
11.1 Generalizarea noțiunilor din termodinamică. Potențiale termodinamice.
Energia liberă este o noțiune care arată cât din energia internă a unui sistem aflat la temperatura T poate fi transformată în lucru mecanic. Aceasta se poate demonstra plecând de la primul principiu al termodinamicii.
∆𝑈 = 𝑄 − 𝐿
Ținând cont de expresia cantității de căldură și de cea a lucrului mecanic relația se poate scrie: ∆𝑈 = 𝑇∆𝑆− 𝑝∆𝑉 sau, infinitezimal, 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆− 𝑝𝑑𝑉 ceea ce înseamnă că se poate scrie că variația energiei interne se poate descrie prin variația entropiei la temperatură constantă și variația volumului la presiune constantă.
Din formularea alternativă a principiului II am aflat că ireversibilitatea înseamnă creșterea entropiei. Ca urmare, este necesar un mod de scriere a principiului I cu menținerea constantă a entropiei și variația temperaturii pentru a estima transferul de căldură.
Dacă ne referim la variația unui produs de două mărimi variabile 𝑇 și 𝑆, atunci se poate scrie:
𝑑(𝑇 · 𝑆) = 𝑇𝑑𝑆 + 𝑆𝑑𝑇
adică variația produsului se poate scrie ca suma a două variații la care alternativ se menține una din mărimi constantă iar cealaltă variază.
Pe această bază putem face schimbarea de variabilă 𝑇𝑑𝑆 = 𝑑(𝑇 · 𝑆)−𝑆𝑑𝑇 înlocuind și grupând termenii se obține: 𝑑𝑈−𝑑
𝑇·𝑆
= 𝑆𝑑𝑇−𝑝𝑑𝑉 sau 𝑑
𝑈−𝑇·𝑆
= 𝑆𝑑𝑇− 𝑝𝑑𝑉 .
Ca urmare, din energia internă a unui sistem aflat la temperatura 𝑇 poate fi transformată în lucru mecanic doar o parte și aceea se numește energie liberă (𝐹):
𝐹 = 𝑈−𝑇 · 𝑆
Observație: Cu cât entropia este mai mare cu atât mai puțină energie internă poate fi transformată în lucru mecanic.
11.1 Potențialele termodinamice.
Ideea de introducere a unei noi mărimi așa cum a fost ea explicată în cazul energiei libere poate fi generalizată, generalizarea ei permițând introducerea noțiunii de potențial termodinamic.
În matematică, schimbarea simultană de variabile independente este numită transformare Legendre. Efectuând o transformare Legendre asupra perechilor de variabile (𝑇↔𝑆) sau/și (𝑋↔𝑥), se rearanjează o ecuație diferențială. Expresia generalizată a energiei interne este
𝑈
𝑖
=
𝑋
𝑖
(𝑇,
𝑥
1
,…,
𝑥
𝑛
), 𝑖 = 1,…,𝑛 sau, și mai general,
𝑋
𝑖
=
𝑋
𝑖
(𝑇,
𝑥
1
,…,
𝑥
𝑛
), 𝑖 = 1,…,𝑛 ceea ce permite luarea în considerare a oricăror mărimi. Sunt câteva potențiale termodinamice care au o importanță mai mare și vor fi descrise în ceea ce urmează.
Entalpia (H): este o măsură a energiei totale a unui sistem termodinamic. Aceasta include energia internă cât și cantitatea de energie necesară pentru extinderea sau comprimarea acestuia, energie ce depinde de volum și presiune:
𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉
Entalpia are rol de potențial termodinamic. Entalpia este preferată în studiul schimburilor de energie în multe măsurători chimice și biologice deoarece aceasta simplifică descrierea transferului de energie. Acest lucru se datorează faptului că entalpia ține cont de energia transferată către mediu prin expansiunea sistemului luat în studiu. Ținând cont de primul principiu al termodinamicii variația entalpiei poate fi scrisă sub forma:
∆𝐻(𝑝,𝑆) = 𝑇∆𝑆 + 𝑉 ∆𝑝 sau ∆𝐻 = 𝑄 la presiune constantă.
Având în vedere că procesele de măsurare a căldurii în biologie și chimie sunt analizate la presiune constantă, putem înțelegem utilitatea entalpiei.
Energia liberă Gibbs (G): sau entalpia liberă 𝐺 = 𝑈 + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆 reprezintă lucrul "util" ce poate fi obținut de la un sistem termodinamic la o temperatură și presiune constante:
∆𝐺(𝑝,𝑇) = 𝑆∆𝑇 + 𝑉∆𝑝.
Energia Gibbs este, de asemenea, potențialul chimic care este minim atunci când un sistem atinge echilibrul la presiune și temperatură constante. Derivata sa în raport cu parametrii de reacție este zero la punctul de echilibru. Ca atare, este o mărime convenabilă pentru descrierea proceselor chimice și biochimice.
Variația potențialelor termodinamice poate fi descrisă cu ajutorul ecuațiilor cu derivate parțiale. De exemplu:
Energie internă – 𝑈(𝑆,𝑉 ) ; 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 .
Entalpie – 𝐻(𝑆,𝑝) ; 𝑑𝐻 = 𝑇 𝑑𝑆 + 𝑉 𝑑𝑝.
Energie liberă – 𝐹(𝑇,𝑉 ) ; 𝑑𝐹 = −𝑆 𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑉 .
Entalpie liberă – 𝐺(𝑇,𝑝) ; 𝑑𝐺 = −𝑆 𝑑𝑇 + 𝑉 𝑑𝑝.

Potențialele termodinamice pot fi exprimate pentru a obține informații prin derivare parțială:
Pentru energie internă 𝑈
𝑆,𝑉
variția ei este 𝑑𝑈=𝑇𝑑𝑠−𝑝𝑑𝑉 𝑢𝑛𝑑𝑒

𝜕𝑈
𝜕𝑆

𝑉
=𝑇 ,

𝜕𝑈
𝜕𝑉

𝑆
=−𝑝.
Pentru entalpie 𝐻(𝑆,𝑝) variția ei este 𝑑𝐻=𝑇𝑑𝑆+𝑉𝑑𝑝 𝑢𝑛𝑑𝑒

𝜕𝐻
𝜕𝑆

𝑝
=𝑇 ,

𝜕𝐻
𝜕𝑝

𝑆
=𝑉
Pentru Energie liberă 𝐹
𝑇,𝑉
variția ei este 𝑑𝐹=−𝑆𝑑𝑇+𝑝𝑑𝑉 𝑢𝑛𝑑𝑒

𝜕𝐹
𝜕𝑇

𝑉
=−𝑆 ,

𝜕𝐹
𝜕𝑉

𝑇
=−𝑝
În final, entalpia liberă 𝐺(𝑇,𝑝), variația ei fiind 𝑑𝐺=−𝑆𝑑𝑇+𝑉𝑑𝑝 𝑢𝑛𝑑𝑒

𝜕𝐺
𝜕𝑇

𝑝
=−𝑆 ,

𝜕𝐺
𝜕𝑝

𝑇
=𝑉.

11.2 Schimbul de căldură.
Schimb de căldură. Cantitățile de căldură schimbate într-o transformare elementară reversibilă definesc proprietăți ale sistemului. Ele se determină prin metode calorimetrice și sunt importante în aplicațiile practice.
11.2.1 Cantitatea de căldură
Cantitatea de căldură reprezintă schimbul de energie, pus în evidență prin modificarea temperaturii sistemului. Pe baze experimentale s-a constatat că energia schimbată pe cale termică este proporțională cu masa sistemului și cu variația temperaturii sale.
Căldura schimbată de un corp cu mediul exterior, într-un proces termodinamic elementar, în cursul căruia temperatura sistemului suferă o variație infinitezimală (infinit mică) are relația: 𝑑𝑄 = 𝐶 · 𝑑𝑇 = 𝑚 · 𝑐 · 𝑑𝑇
unde:
𝐶 – capacitatea calorică, [j/K];
𝑚 – masa corpului, [Kg];
𝑑𝑇 – variația elementară a temperaturii, [K];
𝑐 – căldura specifică, [j/kg K]
Definiție: Capacitatea calorică reprezintă cantitatea de căldură necesară unui corp pentru a-și modifică temperatura cu un grad.
Definiție: Căldura specifică reprezintă cantitatea de căldură necesară unității de masă (kg) dintr-un corp pentru a-și modifica temperatura cu un grad.
11.2.2 Căldură latentă
Căldura latentă este o expresie care se referă la cantitatea de energie eliberată sau absorbită de către o substanță în timpul unei transformări de fază fără schimbare de temperatură, cum ar fi topirea zăpezii sau fierberea apei. Termenul a fost introdus în jurul anului 1750 de Joseph Black, pe baza cuvântului din latină latere (latent, potențial, ascuns).
Căldura latentă este cantitatea de căldură primită sau cedată de un corp sau de un sistem de corpuri într-o transformare termodinamică de fază.
Corespunzător transformărilor de fază posibile, se definesc călduri latente numite și capacități termice latente :
Căldură latentă de vaporizare
Căldură latentă de condensare
Căldură latentă de sublimare
Căldură latentă de desublimare
Căldură latentă de topire
Căldură latentă de solidificare
11.2.3 Noțiuni de calorimetrie
Calorimetrul este dispozitivul care măsoară cantitatea de căldură pusă în evidență prin modificarea temperaturii. Cele două tipuri de căldură (capacitatea calorică și căldura latentă) se pot măsura cu ajutorul acestui dispozitiv.
Acesta este un dispozitiv care la exterior este izolat de mediu ceea ce permite măsurarea transferului la interior. De exemplu, pentru încălzirea apei, calorimetrul cu apă este cel prezentat în figura 11.3.1. O rezistență de încălzire transferă constant o anumită cantitate de căldura apei din vas.
/
Figura 11.3.1: Calorimetrul cu apă

Prin măsurarea temperaturii se poate estima cantitatea de căldură transferată și calcula parametrii calorici ai corpurilor din interior. Graficul variației temperaturii cu cantitatea de căldură absorbită pentru apă este prezentat în figura 11.3.2.

/
Figura 11.3.2: Calorimetrul evidențiază o creștere a temperaturii apei la încălzire.

Tot prin măsurări calorimetrice se poate demonstra existența unei călduri latente. Ca exemplu, în figura 11.3.3 este prezentat calorimetrul cu gheață. Observăm că dacă în cazul apei temperatura creștea pe măsura aportului de căldură, în cazul calorimetrului cu gheață lucrurile arată diferit. După cum se observă în figura 11.3.4, dacă se pleacă de la o temperatură negativă, vom constata că aceasta crește. În momentul în care se ajunge la 0 grade Celsius, chiar dacă se furnizează căldură, temperatura nu mai crește, căldura respectivă fiind folosită pentru topirea gheții. Căldura respectivă este căldura latentă de topire. După topirea completă, dacă se continuă cu furnizarea căldurii, temperatura crește din nou.

/
Figura 11.3.3: Calorimetrul cu gheață
/
Figura 11.3.4: Calorimetrul reliefează o creștere a temperaturii apei la încălzire care stagnează în timpul topirii.

Cantitatea de căldură poate fi scrisă în funcție de capacitățile calorice măsurate pentru parametrii constanți și căldurile latente
(𝐶
𝑥
):
𝑑𝑄=
𝐶
𝑥

𝑇,𝑥
𝑑𝑇+
𝑖=1
𝑛

𝜆
𝑖

𝑑
𝑚
𝑖
,
𝐶
𝑥
=

𝜕𝑈
𝜕𝑇

𝑥
>0 ,
la volum constant aceasta este:
𝑑𝑄=
𝐶
𝑉

𝑇,𝑉
𝑑𝑇+
𝑖=1
𝑛

𝜆
𝑖

𝑑
𝑚
𝑖
,
𝐶
𝑉
=

𝜕𝑈
𝜕𝑇

𝑉
>0
iar la presiune constantă este:
𝑑𝑄=
𝐶
𝑃

𝑇,𝑋
𝑑𝑇+
𝑖=1
𝑛

𝜆
𝑖

𝑑
𝑚
𝑖
,
𝐶
𝑃
=

𝜕𝐻
𝜕𝑇

𝑃
>0

11.4 Potențialele termodinamice – energia de reacție.
Schimb de substanță. Există transformări în care, pe lângă schimb de căldură și lucru mecanic, are loc un schimb de substanță. Noțiunea de sistem termodinamic poate fi lărgită pentru a include fenomene în care masele componentelor sistemului se modifică.
Fie un sistem cu o serie de componente care este caracterizat prin variabilele de stare. Alegând ca potențial termodinamic entalpia liberă, aceasta va fi o funcție 𝐺(𝑇,
𝑋
1
,…,
𝑋
𝑛
,
𝑁
1
,…,
𝑁
𝑚
) unde
𝑋
𝑖
sunt parametri de stare iar
𝑁
𝑖
numărul de particule din fiecare component.
Relațiile generale trebuie completate pentru a ține cont de noile variabile:
𝑑𝐺 = −𝑆 𝑑𝑇 −
𝑖=1
𝑛

𝑥
𝑖
𝑑
𝑋
𝑖

+
𝑘=1
𝑐

𝜇
𝑘
𝑑
𝑁
𝑘

,
sau, particularizând parametrii cu presiunea si volumul:
𝑑𝐺 = −𝑆 𝑑𝑇 −
𝑖=1
𝑛

𝑉
𝑖
𝑑
𝑝
𝑖

+
𝑘=1
𝑐

𝜇
𝑘
𝑑
𝑁
𝑘

unde
𝜕𝐺
𝜕𝑇
=−𝑆 ,
𝜕𝐺
𝜕
𝑝
𝑖

=−
𝑉
𝑖
,
𝜕𝐺
𝜕
𝑀
𝑘

=
𝜇
𝑘
.
Funcțiile µ=(
µ
1
,…,
µ
𝑚
) definite se numesc potențiale chimice ale componentelor respective. În acest formalism numărul de molecule sau masele componentelor apar ca variabile de poziție, potențialele chimice asociate apar ca variabile de tip forță termodinamică iar contribuția schimbului de substanță
𝑘=1
𝑐

𝜇
𝑘

𝑑
𝑁
𝑘
, are aspectul unui lucru mecanic.
Aplicațiile sunt în termodinamica chimică și chimia fizică, la procese ca tranziții de fază sau reacții chimice.

11.3. Energia de reacție Gibbs (G):
Pentru a obține ecuația energiei libere Gibbs pentru un sistem izolat, fie
𝑆
𝑡𝑜𝑡
entropia totală a sistemului izolat. Dacă un sistem nu poate face schimb de căldură sau de masă cu exteriorul, conform principiului II termodinamicii: ∆
𝑆
𝑡𝑜𝑡
≥ 0 și ∆
𝑆
𝑡𝑜𝑡
=0 dacă procesul este reversibil.
Cantitatea de căldură transferată 𝑄 este 0 pentru un sistem adiabatic.
Orice proces adiabatic care este și reversibil este isentropic
𝑄
𝑇
= ∆𝑆 = 0.
Fie un sistem cu entropie internă
𝑆
𝑖𝑛𝑡
. Un astfel de sistem este conectat termic la exterior care are entropia
𝑆
𝑒𝑥𝑡
. Cele două sisteme, conectate, definesc un nou sistem închis.
Conform legii a doua a termodinamicii pentru sistem închis, entropia totală va crește: ∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
+ ∆
𝑆
𝑒𝑥𝑡
≥ 0.
Dacă 𝑄 este căldura transferată din exterior către sistemul inițial, cu semnul negativ, atunci: ∆
𝑆
𝑒𝑥𝑡
= −
𝑄
𝑇
, corespunde transferului de entropie din exterior.
Pe baza considerațiilor anterioare vom obține:
∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
−
𝑄
𝑇
≥ 0,
care se mai poate scrie: 𝑇∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
− 𝑄 ≥ 0,
Daca 𝑄 este căldura transferată către sistem, în situația simplificată a unui proces izobar:

𝑄
𝑝
= ∆𝐻: 𝑇∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
− ∆𝐻 ≥ 0,
unde ∆𝐻 este variația entalpiei de reacție (pentru o reacție chimică la presiune constantă).
Atunci: ∆𝐻 − 𝑇∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
≤ 0, pentru un proces iar variația energiei libere Gibbs ∆𝐺 poate fi definită ca: ∆𝐺 = ∆𝐻 − 𝑇∆
𝑆
𝑖𝑛𝑡
,
Atunci, a doua lege a termodinamicii descrie, de asemenea, spontaneitatea reacției chimice:
∆𝐺 < 0, reacție favorizată (spontan)
∆𝐺 = 0, reacție nefavorizată (echilibru)
∆𝐺 > 0, reacție defavorizată (nespontan).

11.4 Gazul real.
Este o noțiune prin care, în termodinamică, se precizează explicit că modelul matematic se referă la gaze a căror comportare nu poate fi descrisă satisfăcător de legile gazului ideal. Abaterea de la idealitate se datorează acțiunii forțelor intermoleculare și volumului propriu al moleculelor, elemente neglijate sau presupuse neglijabile de modelul gazului ideal. Abaterea de la comportamentul gazului ideal se poate exprima cantitativ prin coeficientul denumit factor de compresibilitate.
Modelele matematice (ecuațiile de stare) ale acestor gaze iau în considerare, de la caz la caz, fenomenele de compresibilitate;
variația capacităților termice masice cu parametrii sistemului termodinamic;
forțele van der Waals; transformările termodinamice în condiții de neechilibru termodinamic;
aspecte ale disocierii moleculare și ale echilibrului reacțiilor chimice.

/
Figura 11.4.1: Izotermele lui Andrews. Model.

11.4.1 Izotermele lui Andrews
Scăderea temperaturii însoțită de creșterea presiunii deasupra unui lichid favorizează transformarea din gaz în lichid. De exemplu, pentru S2O3, o simplă răcire la o presiune egală cu presiunea atmosferică, la temperatura de −8oC, sau o comprimare la temperatură mai mare, de 10oC dar la presiune peste presiunea atmosferică și anume p = 3,24 atm, realizează conversia din gaz în lichid.
Pentru determinări mai extinse, Thomas Andrews a imaginat un dispozitiv de comprimare izotermă.
El a comprimat izoterm dioxid de carbon. A constatat că variația presiunii la comprimare nu respectă legea Boyle-Mariotte. Variația presiunii în funcție de volum are o inflexiune la o anumită temperatură iar sub aceasta, o valoare constantă (palier). Explicația menținerii presiunii rezidă în faptul că numărul de molecule de gaz scade, o parte din gaz transformându-se în lichid.
Peste o anumită temperatură gazul respectă legea Boyle-Mariotte (pV = const.) dar la o anumită temperatură curba are o ușoară inflexiune definind izoterma critică. Sub această temperatură, izotermele nu mai au o formă clasică ci conțin palierul corespunzător transformării.
Izoterma critică definește două comportări distincte ale gazului:
deasupra izotermei critice poate fi numai gaz.
sub izoterma critică, gazul poate fi lichefiat prin mărirea presiunii.
Raportat la izoterma critică, gazele pot fi considerate:
gaze ideale, dacă sunt departe de izoterma critică;
gaze reale, dacă sunt aproape de izoterma critică.

11.4.2 Ecuația van der Waals
Ecuația van der Waals este o ecuație de stare pentru un fluid compus din particule care au un volum diferit de zero și o forță de atracție inter-particule (cum ar fi forța van der Waals).
Acest model a fost propusă în 1873 de Johannes Diderik van der Waals care a primit premiul Nobel în 1910. Ecuația este o modificare a legilor gazului ideal și aproximează comportamentul fluidelor reale, ținând cont de dimensiunea diferită de zero a moleculelor și de atracția dintre ele.
Considerăm mai întâi un mol de gaz care se compune din particule punctiforme ce nu interacționează, care satisfac legea gazului ideal:
𝑝=
𝑅𝑇

𝑉
𝑚

Dacă vrem să luăm în considerare volumul particulelor putem presupune că toate particulele sunt sfere rigide de aceeași rază finită r (rază van der Waals). Efectul volumului particulelor este de a reduce spațiul gol disponibil în care particulele sunt libere să se miște.
Trebuie să se facă o distincție atentă între volumul disponibil pentru o particulă și volumul unei particule. În prima ecuație 𝑣 se referă la spațiul mediu disponibil pe particulă. Simbolul 𝑣 reprezintă volumul 𝑉 al rezervorului împărțit la numărul total (𝑛·
𝑁
𝐴
) al particulelor. Parametrul 𝑏’ este proporțional cu volumul corespunzător unei particule, volumul delimitat de raza atomică, iar 𝑏 reprezintă volumul ocupat de un mol de particule. Acest volum trebuie să fie scăzut din 𝑣, fiind ocupat de particule.
Ca urmare, trebuie să se înlocuiască 𝑉 cu 𝑉 − 𝑏 , unde 𝑏 este numit volum de excludere molară. Ecuația corectată devine:
𝑝=
𝑅𝑇

𝑉
𝑚
−𝑏

Volumul 𝑏 este de fapt de patru ori mai mare decât volumul particulelor. Se poate considera că o particulă este înconjurată de o sferă de rază 𝑟 = 2 𝑅 (de două ori raza particulei) care este interzisă pentru alte particule deoarece și ele au un volum. Ca urmare, distanța dintre centrele a două particule lor raza 𝑅 nu poate sa fie mai mică de 2 𝑅.

/
Figura 11.4.2: Perechi de particule
𝑏’=
4𝜋
𝑑
3

3
=
4𝜋
𝑟
3

3
→𝑏’=4
4𝜋
𝑟
3

3

Deci, 𝑏’ este de patru ori volumul corespunzător particulelor. Acest parametru reprezintă o limită superioară și consideră moleculele ca sfere rigide. Valorile empirice (experimentale) pentru 𝑏’ sunt de obicei mai mici pentru că moleculele nu sunt incompresibile.
Vom introduce o forță de atracție între perechi de particule. Johannes Diderik van der Waals a presupus că forța de atracție este atât de mică încât marea majoritatea particulelor nu simt decât atracția de la vecinul din apropierea lor. Presupunând că fluidul este omogen, cea mai mare parte a particulelor sunt atrase proporțional cu numărul de particule din vecinătate adică cu concentrația.
Aceasta este:
𝐶=

𝑁
𝐴

𝑉
𝑚

Pentru o particulă aflată în lichid, rezultanta forțelor este nulă, particulele fiind trase spre stânga, dreapta, jos sau sus. Acest lucru este diferit pentru particulele din straturile de pe suprafață sau direct adiacente pereților. Ele simt o forță netă de la particulele de sub ele/laterala lor trăgând-le în interiorul recipientului, deoarece această forță nu este compensată.
Forțe care acționează în gazul real.
Numărul de particule din straturile de suprafață este, de asemenea, proporțional cu densitatea. În total, forța este proporțională cu pătratul densității iar presiunea (forța pe unitatea de suprafață) se corectează cu:

𝑎
′

𝐶
2
=
𝑎
′

𝑁
𝐴

𝑉
𝑚

2
=
𝑎

𝑉
𝑚
2

astfel încât :
𝑝+
𝑎

𝑉
𝑚
2

=
𝑅𝑇

𝑉
𝑚
−𝑏
→
𝑝+
𝑎

𝑉
𝑚
2

𝑉
𝑚
−𝑏
=𝑅𝑇
/
Figura 11.4.3: Forțe care acționează în gazul real
Ecuația poate fi scrisă și luând în considerare numărul de moli:
(𝑝 +

𝜈
2
𝑎

𝑉
2

)(𝑉 − 𝜈𝑏) = 𝜈𝑅𝑇
unde 𝑎 =
𝑁
𝐴
·
𝑎
′
este o măsură a atracției dintre particulele unui mol de substanță, iar
𝑏 =
𝑁
𝐴
·
𝑏
′
este volumul de excluziune al unui mol de particule.
Deasupra temperaturii critice, ecuația van der Waals este similară legii gazelor ideale și, pentru temperaturi mai mici, ecuația modelează suficient de bine starea gazoasă și transformarea în stare lichidă.
11.4.3 Tranziții de fază
O tranziție de fază este o transformare a unui sistem termodinamic dintr-o fază sau stare de agregare într-o alta, ca urmare a modificării unui parametru extern. În timpul tranziției, faza lichidă și faza gazoasă sunt în echilibru.
La temperatură constantă, într-un sistem închis parțial umplut cu lichid se realizează în mod spontan o stare de echilibru între faza lichidă și cea gazoasă.
/
Figura 11.4.3: Presiunea de vapori.
În starea de echilibru, numărul de molecule ce se vaporizează este egal cu numărul de molecule ce se lichefiază. Vaporii aflați în echilibru de fază cu lichidul se numesc vapori saturați.
Presiunea vaporilor atinge în acest caz valoarea sa maximă
𝑃
𝑚
, numită presiune de saturație a vaporilor.
La o anumită temperatură constantă, presiunea de saturație a vaporilor este constantă. Dacă volumul se mărește, o parte din lichid se evaporă și presiunea de vapori nu se modifică atâta timp cât mai există lichid.
Când lichidul trece în totalitate în fază gazoasă, atunci nu se mai măsoară presiunea de vapori, ci presiunea gazului. La o anumită temperatură, presiunea de saturație a vaporilor crește. Dacă temperatură se mărește, o parte din lichid se evaporă și presiunea de vapori crește pe baza creșterii numărului de molecule, atâta timp cât mai există lichid.
O aplicație este sterilizarea. Sterilizarea se referă la orice proces care elimină toate formele de viață, bacterii, virusuri, forme de spori etc. prezente pe o suprafață, conținute într-un fluid, în produse medicamentoase sau alte lichide cum ar fi medii de cultură biologice. O metodă larg utilizată pentru sterilizare este căldura umedă, în autoclav. Autoclavele sunt aparate utilizate pentru încălzire cu abur, în mod uzual în domeniul de temperatură de la 121 °C la 134 °C.
Pentru a realiza sterilizarea sunt necesare cel puțin 20 minute la 121 ° C la 2 atm (200 kPa), 10 minute la 126 ° C la 2,5 atm (250 kPa) sau 5 minute la 134 ° C la 3 atm (300 kPa) . Diferența de presiune este dată de presiunea vaporilor. Vaporii (aburul) trebuie sa fie în contact cu obiectul de sterilizat. Un timp suplimentar de sterilizare este ca urmare necesar pentru instrumente ambalate în straturi de pânză, deoarece poate dura mai mult pentru accesul aburului. De cele mai multe ori acesta se realizează prin cicluri de vidare.
11.4.3 Punctul triplu
Ideea de echilibru gaz-lichid din punctul de inflexiune a izotermei Andrews poate fi extinsă și pentru echilibrul lichid-solid. În final există o situație (stare) în care toate stările de agregare, gaz, lichid și solid sunt în echilibru. Aceasta se definește în coordonate 𝑝,𝑇, ca un punct triplu. Punctul triplu este un punct în coordonate (𝑝,𝑇) în care materia se află în echilibru pentru cele 3 faze: solid, lichid și gaz. Materia poate trece direct din gaz în solid și invers. Trecerea din faza solidă în fază gazoasă se numește sublimare. Trecerea din fază gazoasă în fază solidă se numește desublimare.
/
Figura 11.4.4: Punct triplu
11.4.4 Temperatura absolută
Caracteristic pentru această diagramă este faptul că cele 3 curbe de echilibru delimitează cele 3 faze posibile ale sistemului solid-lichid-vapori. Echilibrele dintre cele 3 faze sunt redate prin curbele din figură.
Pentru fiecare presiune dată, sistemul este în echilibru numai la o anumită temperatură. De exemplu, pentru presiunea de atmosferică, temperatura de echilibru este 00C, iar temperatura de echilibru apă-vapori este de 1000C.
Din diagramă se observă că, la diferite presiuni și temperaturi, pot exista câte două faze în echilibru: solid-lichid, lichid-vapori sau solid-vapori.
Există un singur punct, punctul triplu, în care pot coexista cele 3 faze: gheață, apă și vapori. La apă, punctul triplu este de 0,010C și 611.66 Pa. Deci, pentru apă,
𝑇
𝑇𝑅
𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 273,16 𝐾, de aici și definiția lui 0 grade Kelvin: Kelvinul se definește ca 273,16 din temperatura corespunzătoare stării triple a apei.
11.4.5 Aerosoli farmaceutici
O aplicație a gazelor reale sunt aerosolii farmaceutici. Aceștia sunt forme de dozare presurizate care conțin una sau mai multe ingrediente active care, prin acționare, emit o dispersie fină a materialelor lichide și/sau solide într-un mediu gazos. Ei sunt formați dintr-un container, ansamblul supapei și un gaz propulsor (propeler) – pentru livrarea fizică a medicamentului în forma dorită. Este stabilit rapid un echilibru între acea parte din gazul propulsor care rămâne lichefiat și cea care se vaporizează. Faza de vapori exercită o presiune în toate direcțiile, pe pereții recipientului, pe ansamblul supapă și pe suprafața fazei lichide. Această presiune, la acționarea supapei, forțează faza lichidă în afara orificiului, în atmosferă.
În contact cu aerul, gazul propulsor se evaporă imediat datorită scăderii presiunii, fiind concentrat sub formă de picături sau particule uscate, în funcție de compoziție. După ce o parte din lichid este îndepărtat din container, echilibrul între partea rămasă lichefiată și cea care în stare de vapori este restabilită.
/
Figura 11.5.1: Viteza în suspensii de particule
11.5 Suspensii de particule
Suspensia se definește ca un amestec eterogen dintre un fluid și particule solide care sunt suficient de mari pentru a sedimenta. Tipic, dimensiunea lor este mai mare de 1 mm.
Faza internă (solid) este dispersată în faza externă (fluid) prin agitare mecanică utilizând substanțe numite agenți de suspendare. Un exemplu este nisipul în apă.
Particulele suspendate sunt vizibile la microscop și se depun după o perioadă de timp dacă nu sunt agitate:
coloizi – particulele suspendate sunt mai mici și nu sedimentează.
soluții – substanțele dizolvate nu există sub formă solidă și sunt amestecate omogen cu solventul. Suspensia de particule lichide sau particule solide de dimensiuni foarte mici se clasifică în funcție de faza dispersată și de mediul de dispersie.
11.5.1 Sedimentarea. Viteză de sedimentare
Sedimentarea descrie mișcarea moleculelor în soluții sau a particulelor în suspensie ca răspuns la acțiunea unei forțe exterioare: gravitațională, forța centrifugă sau forțe electrice (electroforeză). Termenul de sedimentare se aplică corpurilor de dimensiuni diferite, având ca ordin de mărime de la cel al suspensiilor de praf sau polen (1µ𝑚) până la suspensiile de celule sau soluții moleculare de tipul proteinelor și peptidelor. Moleculele mici pot fi sedimentate chiar dacă este necesară o forță relativ mare pentru a produce sedimentarea.
Într-o suspensie, există tendința particulelor care au densitatea mai mare decât a mediului de dispersie să se sedimenteze sub acțiunea forței de gravitație 𝐺.
Forțele care se opun "căderii” sunt:
forța arhimedică
𝐹
𝐴

forța de frecare între particule și mediu
𝐹
𝑓
.
Dacă particula are formă sferică de rază 𝑟 și notăm volumul cu 𝑉 avem:
𝐺 = 𝑚𝑔 =
𝜌
𝑠
𝑉 𝑔 ,
𝐹
𝐴
=
𝜌
𝑙
𝑉 𝑔 =
𝜌
𝑙
𝑉 𝑔
pentru viteze mici, forța de frecare este proporțională cu viteza deplasării (relația lui Stokes):

𝐹
𝑓
=
𝐹
𝑆
= 6𝜋𝜂𝑟𝑣
Inițial
𝐹
𝑓
= 0, 𝑣 foarte mică. Ulterior viteza crește și crește și
𝐹
𝑓
. La un moment ulterior, ∆𝑡:𝑣=
𝑣
𝑐
iar mișcarea rectilinie și uniform accelerată devine mișcarea rectilinie și uniformă.
𝐺−
𝐹
𝐴
−6𝜋𝜂𝑟𝑣=0 →
𝑣
𝑐
=
2
𝑟
2

𝜌
𝑠
−
𝜌
𝑙

𝑔
9𝜂

Viteza de sedimentare poate fi scăzută prin:
reducerea mărimii particulelor,
creșterea densității mediului lichid, pentru a se apropia ca valoare de cea a particulelor solide,
creșterea vâscozității mediului de dispersie.
11.5.2 Mișcarea Browniană
Datorită agitației termice suspensiile de particule de mici dimensiuni nu se depun. Acestea primesc impuls de la particulele din jurul lor având o mișcare continuă haotică – mișcarea browniană.
Această mișcare haotică, mișcarea Browniană (după botanistul Robert Brown care a descoperit-o când a încercat să studieze particule de polen în câmp microscopic) este o mișcare spontană, dependentă de temperatura mediului, a unor particule aflate într-o suspensie coloidală sau dispersie gazoasă.
Modelul ei a fost realizat de Einstein care a formulat o ecuație de difuzie pentru particule browniene, în care coeficientul de difuzie este imaginat ca deplasarea medie pătratică a unei particule browniene. În plus, datele sunt legate de cantități măsurabile. Prin asta Einstein a reușit să determine dimensiunea particulelor asimilate ca sferice,
𝐷 =

𝑘
𝐵
𝑇
6𝜋𝜂𝑟
= ecuația Stokes-Einstein, pentru difuzia de particule sferice prin lichid (exprimând forța din legea lui Stokes).

unde:
D este constanta de difuzie;
µ este "mobilitatea", sau raportul dintre viteza particulei și forța aplicată, µ = v/F;
k este constanta lui Boltzmann;
T este temperatura absolută.
11.5.3 Filtre de aer
Suspensiile de particule sunt mici și sunt înlăturate de filtre speciale. De exemplu, un filtru de aer este un dispozitiv compus din materiale fibroase care înlătură particule solide cum ar fi praful, polenul și bacteriile din aer. Filtrele sunt compuse din fibre dispuse aleatoriu. Materialul ales este de obicei fibră de sticlă cu diametre între 0,5 și 2,0 micrometri. Spațiul dintre fibrele unui filtru este mult mai mare decât particulele reținute, aceasta făcându-se prin combinația a trei mecanisme.
Intercepție, în care particulele aflate în fluxul de aer intră în raza unei fibre și aderă la aceasta.
Ciocnire, în care particulele mai mari nu reușesc să evite fibrele urmând fluxul de aer și sunt forțate să lovească direct una dintre ele. Mecanismul devine dominant la viteze de curgere a aerului mari.
Difuzia, un mecanism care este rezultatul ciocnirii cu moleculele de gaz a particulelor foarte mici, în special cele sub 0,1 microni în diametru, care sunt astfel întârziate în calea lor prin filtru. Mecanismul devine dominant la viteze de curgere a aerului mai mici.
Este important de remarcat faptul că, urmare a filtrării, aerul întâmpină o rezistență la curgere. Legea lui Darcy,
𝑄
𝑣
= 𝑘
∆𝑝·𝑆
𝜂·𝐿
arată că aceasta se face cu aport de lucru mecanic pentru a învinge rezistența la curgere. Având în vedere principiul 1 acesta se face cu degajare de căldură. Acesta este un bun exemplu de integrare a noțiunilor de mecanică și termodinamică aplicate în activitatea tehnologiei farmaceutice – spațiile curate industriale necesită filtrarea unor volume mari de aer care se face cu degajare de căldură. Bilanțul energetic este foarte important de analizat pentru a menține condițiile de temperatură adecvate unei activități de producție. Nu este singurul exemplu pentru că aceeași degajare de căldură se petrece și la procesele de filtrare care trebuie gândite în așa fel încât căldura să fie diminuată sau înlăturată prin schimbătoare de căldură, asta pentru a nu încălzi suplimentar materialul de lucru și prin aceasta să fie menținută o calitate adecvată a produselor.

Bibliografie

2012 U.S. Pharmacopoeia-National Formulary [USP 35 NF 30]. Volume 1. Rockville, Md: United States Pharmacopeial Convention, Inc; 2012. [1174] Powder flow; p. 801-804.
Blundell, S., Concepts in Thermal Physics. Oxford University Press, Oxford ; New York, 2006.
Brenneke R. şi Schuster G., Fizica – Manual pentru cursul superior al liceului, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973.
Brown, B. H., eds., Medical Physics and Biomedical Engineering. Medical Science Series.; Philadelphia: Institute of Physics Pub, Bristol, 1999.
Cotterill R., Biophysics: An Introduction, 1-st edition, Wiley, Chichester West Sussex ; New York:, 2002.
Crawford F. S., Unde – Cursul de fizică Berkeley. Volumul 3, Ed. Didactică si Pedagogică, București, 1983.
Davidovits Pl., Physics in Biology and Medicine. 3rd ed. Complementary Science Series. Elsevier/Academic Press, Amsterdam ; Boston, 2008.
Detlaf A., Yavorsky B., Handbook of Physics, Mir Publishers, Moscow 1968.
Dima I., Dicționar de fizică, Editura Enciclopedică Română, București 1972.
Dugdale, J. S. Entropy and Its Physical Meaning. London ; Bristol, PA: Taylor & Francis, 1996.
Feynman R. P., Fizică modernă, Vol. 1, 2 și 3, Editura tehnică, 1969-1970.
Gamov G. Biografia fizicii, Editura științifică, București 1970.
Georgescu C, si colab., Fizică Farmaceutică (vol.I) – Mecanica. Ed.Tehnoplast Comp., Bucureşti, 2008,
Georgescu C. si colab., Fizică Farmaceutică (vol.III) – Electricitate, optică şi fizică nucleară – Ed.Tehnoplast Comp., București, 2009
Georgescu C, si colab., Fizică Farmaceutică (vol.II) – Fizică moleculară, termodinamică și căldură – Ed.Tehnoplast Comp., București, 2009,
Glaser, R. Biophysics., 5th ed. Springer, Berlin, New York, 2001.
Goldfarb, D. Biophysics Demystified. McGraw-Hill, Maidenhead, 2011.
Haber- Schaim U. si colab., "Fizica PSSC – Îndrumar de laborator si teste", Ed. Didactica si Pedagogica, București, 1975.
Haber- Schaim U. si colab., "Fizica PSSC – Supliment de teme avansate", Editura didactică și pedagogică, 1975.
Schaim U. si colab., "Fizica PSSC – Textul elevului", Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Schaim U. si colab., "Fizica PSSC – Textul profesorului", Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Halliday D,, Resnick R., Fizică, Vol. 1 și 2, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Halliday D., Resnick R., and J. Walker, Fundamentals of physics. Wiley, New York; Chichester, 2004.
Hobbie R. K., Intermediate physics for medicine and biology, 4th ed. Springer, New York, 2007.
Halliday D., Resnick R. – Fizica, vol. I si II, Editura didactică și pedagogică, București, 1975
Hristev A. – Mecanica si acustica – Editura didactică și pedagogică, București, 1982
Ivanov B.P. – Fundamentals of Physics – Editura Mir Moscow, 1989
Kikoin A. – Molecular Physics – Edit. Mir, Moscow, 1978
Kittel C., Knight W. D. și Ruderman M. A., Mecanica Cursul de fizică Berkeley. Volumul 1, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981.
Landau L. D., Lifsit E. M., Mecanica, Editura Tehnică, București, 1996.
Lide D. R., CRC handbook of chemistry and physics. CRC press, 2004.
Luca E. , Zett Gh.- Fizica generala – Editura didactică și pedagogică, București, 1981
Martin A. N., Sinko P. J., Singh Y., Eds., Martin’s physical pharmacy and pharmaceutical sciences: physical chemical and biopharmaceutical principles in the pharmaceutical sciences, 6th ed., 50th anniversary ed., Lippincott Williams & Wilkins, Baltimore, MD, 2011.
Maury J.-P. – Petite histoire de la physique, Broché, 1992.
Nölting, B. Methods in Modern Biophysics. Springer, 2006.
Oncescu M. A., Fizica (nivel postliceal), Vol.1 și 2, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Oncescu M. A., Fizica (nivel postliceal), Vol.1 şi 2, Editura didactică și pedagogică, București, 1975.
Pattabhi V. and Gautham N., Biophysics. Boston; Delhi: Kluwer Academic Publishers ; Narosa Pub. House, 2002.
Purcell E. M., Electricitate și magnetism, Cursul de fizica Berkeley. Volumul 2, Editura didactica si pedagogica, București, 1982.
Reif F., Fizica statistica – Cursul de fizica Berkeley. Volumul 5, Ed. Didactica si Pedagogica, București, 1983.
Roberts, G. C. K., ed. Encyclopedia of Biophysics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2013.
Scheck F., Mechanics – From Newton's Laws to Deterministic Chaos, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
Sears F.W., Zemansky M.W., Young H.D., Fizică, Editura didactică și pedagogică, 1983.
Sharma, S, K. Biophysics in Nursing. New Delhi; St. Louis: Jaypee Brothers Medical Publishers, 2011.
Ţiteica R., I Popescu.I.- Fizica generala – Editura Tehnica, București 1971
Vos K. Biophysics for dummies, Wiley Publisher, 2014
Yavorsky B.M., Pinsky A.A. – Fundamentals of Physics, Mir Publishers, Moscow, 1975 .
Yeremin, E. N. Fundamentals of Chemical Thermodynamics, Mir Publishers, Moscow 1978, english translation 1981.