Filtru Trece Banda de Tip Butterworth

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

Facultatea de Electronică, Telecomunicații și Tehnologia Informației

Filtru Trece Banda de tip Butterworth

Profesor, Student masterand, SL.dr.ing. Botond Kirei Natanael-Mihai MIH

Filtru Trece Banda de tip Butterworth realizat cu biquazi AO-RC

Introducere

Proiectarea unui FTB de tip Butterworth cu următoarele caracteristici:

– Frecvența de tăiere inferioară în banda de trecere: 2.2 kHz;

– Frecvența de tăiere superioară în banda de trecere: 3 kHz;

– Frecvența de tăiere inferioară în banda de oprire: 1.8 kHz;

– Frecvența de tăiere superioară în banda de oprire: 3.6 kHz;

– Atenuarea în banda de trecere: 3dB;

– Atenuarea în banda de oprire: 10dB;

Se realizeze cu biquazi AO-RC (celule Sallen key);

Filtrele sunt rețele electrice selective, care schimbă caracteristicile de amplitudine și/sau fază ale semnalelor în raport cu frecvența. Filtrele active se caracterizează prin prezența elementelor de amplificare, care asigură amplificarea semnalelor, și elementele pasive, care asigură selectivitatea filtrului. Circuitele cu mod de lucru in curent au o acuratețe funcțională superioară și o bandă mai largă decât circuitele similare cu mod de lucru în tensiune.

Calculul ordinului

Calculul polilor

Fig. n Reprezentarea polului în Matlab

Calculul funcției prototip

Denormarea

Identificarea topologiei

Fig. n Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key

Funcția de transfer în tensiune a acestui filtru este:

Forma standard a funcției de transfer pentru un filtru trece bandă de ordinal doi este dată de expresia:

Factorul de amplificare k, este dat de relația :

În urma efectuării calculelor s-au obținut următoarele valori pentru componentele cu ajutorul cărora se dimensionează circuitul:

C1=C2=0.198uF ;

R1=R2=194 ohm;

R3=3kohm;

R4=1kohm ;

R5=1kohm;

Fig. n Circuitul de test simulat in Orcad

Implementarea practică a filtrului s-a făcut pe o placă prototip:

Fig. n Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key

Rezultate experimentale:

Cu ajutorul aplicației “Network Analyzer” s-au obținut formele de undă din figura de mai jos:

Fig. n Caracteristica Filtrului trece banda

Calculul senzitivității pentru componentele circuitului FTB de tip Butterworth

Topologia circuitului

Fig. n Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key;

Funcția de transfer în tensiune a acestui filtru este:

Forma standard a funcției de transfer pentru un filtru trece bandă de ordinal doi este dată de expresia:

Ecuatiile caracteristice:

Factorul de amplificare k, este dat de relația:

Expresia matematică a senzitivității:

Unde ‘x’ este componenta care variază iar ‘y’ este caracteristica filtrului.

Calculul senzitivității pentru componentele circuitului

Senzitivitatea în funcție de ω0:

*

= (*)

Dacă , atunci ;

Dacă , atunci ;

Verificarea calculelor prin simulări Monte Carlo

Fig. n Circuitul simulat in Orcad;

Varierea rezistenței R1 între 190 ohm si 210 ohm:

Fig. n Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R1;

Varierea rezistenței R3 între 2.85 Kohm si 3.15 Kohm:

Fig n Modificarea câștigului prin varierea rezistenței R3;

Filtru Trece Banda de tip Butterworth implementat cu transconductanțe

Introducere

Filtrele Gm−C au fost folosite comercial destul de devreme folosind tehnologia bipolară. Elementul de bază a unui filtru Gm−C este un integrator care conține un transconductor și un condensator sau o pereche de condensatoare. Transconductorul furnizează în ieșire curenți de valoare Io=Gm⋅2Vin. Conectarea condensatoarelor evită capacitatea parazită datorată efectului de armrătură inferioară (back-plate) și poate fi folosită pentru a compensa bucla de mod comun.

Un transconductor este o sursă de curent controlată în tensiune pentru care se cere să prelucreze liniar semnale mari și a cărei transconductanță este o valoare de primă importanță deoarece frecvența de cîștig unitar a integratorului este proporțională cu aceasta. Așadar un transconductor este destul de diferit de un OTA (operational transconductance amplifier = amplificator operațional transconductanță) care este practic un amplificator operațional căruia îi lipsește etajul de ieșire de joasă impedanță, funcționînd în mod ideal cu scurt-circuit virtual la intrare (adică cu semnale foarte mici pe intrare) și a cărui transconductanță este irelevantă atît timp cît cîștigul său în tensiune este mare. Un exemplu de filtru Gm−C de ordinul doi este arătat în figura 1. El oferă atît ieșire trece-jos cît și trece-bandă pentru aceeași intrare.

Fig. n a)

Fig. n b)

Pentru proiectarea așa-numitelor filtre girator-C se pot implementa giratoare ca două transconductoare conectate într-o buclă. Se poate arăta că un condensator C1 conectat la un port al giratorului este văzut ca o bobină la celălalt port. Conectînd un condensator C2 la ultimul se obține un comportament de tip circuit LC paralel. În acest moment putem privi întreaga structură ca două integratoare conectate într-o buclă; din acest motiv filtrele Gm−C pot include circuitele girator-C fără ca acestea să fie considerate o categorie aparte.

Fig. n

Transconductoarele (sau alte elemente active) utilizate în filtre trebuie să fie liniare în gama de variație prevăzută a semnalului. Dacă nu se întîmplă așa vor apărea două probleme. Pentru a vedea acest lucru să considerăm un transconductor la intrarea căruia se aplică un semnal sinusoidal. Dacă transconductorul nu este liniar curentul său de ieșire nu va fi sinusoidal, dar răspunsul său în regim permanent va fi periodic și așadar poate fi exprimat printr-o serie Fourier. Termenii de ordin mare ai acestei serii vor produce distorsiuni armonice (sau, dacă sînt prezente mai multe semnale de intrare, distorsiuni de intermodulație), ceea ce este evident. Totuși, o problemă suplimentară, mai rar menționată, va fi că fundamentala, presupusă proporțională cu semnalul de intrare, va conține de fapt o „constantă” de proporționalitate care va depinde de caracteristicile neliniarității dar și de amplitudinea semnalului de intrare. Prin urmare frecvența de cîștig unitar efectivă devine dependentă de semnal și variază de la integrator la integrator în cadrul aceluiași filtru. Aceasta produce dereglări și distorsiuni în forma răspunsului în frecvență a filtrului.

Fig. n a)

Fig. n b)

De-a lungul anilor schemele au evoluat în încercarea de a crește liniaritatea transconductoarelor. Exemple folosind tehnologia CMOS sînt arătate în figura 3; V Q este o tensiune de punct static, iar Vc și Ic reprezintă tensiunea și curentul de control utilizate în reglarea automată. Exemple de transconductoare în tehnologie bipolară sînt prezentate în figura 4. Rezistența finită de intrare a tranzistoarelor poate fi crescută utilizînd un simplu etaj tampon format dintr-un repetor pe emitor; el poate fi utilizat de asemenea pentru deplasarea nivelului; răspunsul în frecvență a transconductorului este puțin afectat de introducerea acestui etaj. Transconductoarele bipolare oferă un domeniu mare de reglare a transconductanței (cîteva ordine de mărime) deoarece curentul de colector poate fi variat mult fără ca tensiunea bază-emitor să se modifice semnificativ; aceasta oferă, de fapt, posibilitatea funcționării la tensiuni reduse de alimentare. În contrast cu acesta, transconductorul bazat pe tranzistoare MOS poate fi reglat prin modificarea tensiunilor de polarizare (direct sau prin modificarea curenților de polarizare) semnificativ, astfel că se poate ajunge rapid la limitele impuse de sursele de alimentare; așadar transconductoarele MOS au un domeniu de reglare limitat (practic doar cît pentru a elimina efectul toleranței elementelor și a variației temperaturii) și sînt mult mai dificil de implementat în condiții de tensiuni de alimentare reduse.

Un transconductor BiCMOS poate fi proiectat să funcționeze în bandă largă dar are un domeniu de reglare redus, ca și transconductoarele CMOS. Totuși, în tehnologia BiCMOS există opțiunea de a utiliza tranzistoare bipolare pentru a fixa transconductanța astfel că problema reglării dispare.

Drenele sau colectoarele trebuie conectate la circuite care oferă o cale pentru curenții de polarizare și care stabilesc tensiunea de mod comun din ieșire. Aceasta poate fi făcut așa cum este arătat în figura 4 (a), unde surse de curent sînt utilizate într-o buclă de reacția negativă pe mod comun. Astfel de circuite de control al modului comun pot uneori să deterioreze liniaritatea și răspunsul la înaltă frecvență, iar în unele cazuri să aibă un consum mare de putere și arie. Bucla de control a modului comun poate fi eliminată prin utilizarea sarcinilor rezistive care au o cădere de tensiune de punct static bine definită. Pentru a realiza o conductanță de sarcină relativ redusă se poate utiliza un circuit cu conductanță negativă pus în paralel cu sarcina rezistivă, așa cum este arătat în figura 4 (b). Cîștigul de joasă-frecvență obținut în acest mod este limitat la cîteva sute daca este să fie previzibil; aceasta este suficient pentru anumite aplicații.

Fig. n a)

Fig. n b)

Transconductoarele dintr-un filtru Gm−C, nu trebuie să comande rezistențe și deci nu au nevoie de etaje de ieșire de impedanță joasă (în opoziție cu amplificatoarele operaționale uzuale). Ele pot astfel fi proiectate pentru funcționare de bandă largă.

Problema principală în proiectarea filtrelor Gm−C de înaltă frecvență ține de capacitățile parazite. Acestea apar în paralel cu capacitățile integratorului și conțin capacități parazite pe armătura superioară (și uneori și cea inferioară), capacități ale traseelor, capacitățile de intrare în etajul următor (care pot include un termen semnificativ de tip Miller în unele circuite) și capacitățile proprii de ieșire a transconductorului, care includ capacități de joncțiune. Pentru a depăși aceste probleme s-au dezvoltat mai multe tehnici. De exemplu în cazul integratorului condensatorul poate fi împărțit în două părți, conectate în paralel dar de polaritate opusă, astfel că jumătate din capacitatea parazită apare la fiecare nod de ieșire. În acest fel se păstrează simetria, necesară pentru reducerea interferenței și creșterea liniarității. Teoretic capacitățile parazite pot fi incluse în valoarea capacității de integrare, însă aceasta prezintă mai multe probleme.

– Elementele parazite nu sînt cunoscute cu precizie. În unele proiecte de înaltă frecvență realizate la limită capacitățile parazite reprezintă o parte semnificativă a capacității totale de integrare și aceasta conduce la o incertitudine crescută în cunoașterea valorii capacității de integrare. Deși vor fi bineînțeles utilizate tehnici de reglare automată a frecvenței, este dificil de proiectat integratoare cu eroare de fază redusă în întreg domeniul de împrăștiere. Aceasta este deoarece rețelele de corectare a fazei, utilizate pentru a anula erorile de fază datorate efectelor de ordin superior, funcționează de obicei doar în centrul acestui domeniu, iar eroarea rămasă crește cu cît ne abatem mai mult de la acest centru. Rezultatul este că apar erori în factorul de calitate (Q) al răspunsului filtrului.

– Prezența capacităților parazite poate înrăutăți precizia împerecherii capacităților și aceasta conduce la neîmperecheri crescute de la integrator la integrator. Pentru cea mai bună împerechere trebuie să ne asigurăm că fracțiunea cu care contribuie fiecare tip de capacitate parazită (de oxid, de joncțiune, de trasee) este aceeași pentru toate integratoarele. Acest lucru nu este întotdeauna simplu de realizat. Uneori în acest scop se folosesc integratoare suplimentare redundante.

– Capacitățile parazite nu urmăresc bine capacitățile principale în prezența variațiilor procesului de fabricare.

– Capacitățile parazite sînt, în general, neliniare. Aceasta conduce la distorsiuni crescute ca și la dependența de amplitudinea semnalului a răspunsului în frecvență.

– Problemele devin mai acute atunci cînd se proiectează filtre pentru frecvențe mai mari. Un argument simplu care ne arată de ce este așa este următorul: dacă includem efectul capacității parazite totale Cp, frecvența de cîștig unitar a integratorului, dată în cazul ideal de:

– Pentru a crește w0 putem să încercăm să reducem C sau să creștem Gm; cel de-al doilea caz, pe lîngă creșterea consumului de putere, implică adeseori și o creștere a dimensiunilor dispozitivelor și deci o creștere a lui Cp. În ambele situații raportul Cp/C crește, ceea ce înseamnă două lucruri:

1) împerecherea dintre integratoare se înrăutățește;

2) efectele neliniare ale capacităților devin mai pregnante și astfel distorsiunile și dependența lui w0 de nivelul semnalului cresc.

Fig. n

Problemele de mai sus pot fi ținute sub control printr-o proiectare atentă. Probleme similare se întîlnesc în încercarea de a reduce consumul de putere și/sau aria ocupată pe chip. Aceasta poate să implice descreșterea lui Gm. Neîmperecherile și distorsiunile cresc iarăși și offset-ul transconductorului poate să crescă. (Offset-ul are tendința să fie ridicat în integratoarele Gm−C deoarece etajele de intrare ale transconductoarelor au, în contrast cu etajele de intrare ale amplificatoarelor operaționale, au transconductanța redusă. Offset-urile pot afecta simetria și nivelul de distorsiuni și pot fi problematice în cazul proiectelor cu tensiune de alimentare redusă). De asemenea reducerea lui Gm poate conduce la scăderea cîștigului la frecvență joasă și astfel la erori de avans de fază datorită polului de la frecvența w0/ADC, unde ADC este cîștigul de joasă frecvență. Apar și erori de întîrziere de fază datorită existenței nodurilor interne dar și a variației fazei în interiorul dispozitivelor, totuși este improbabil ca erorile de avans și de întîrziere să poată fi anulate într-o manieră sigură. Erorile de întîrziere de fază pot fi compensate prin introducerea de zerouri, create cu ajutorul unor rezistențe mici introduse în serie cu condensatoarele de integrare; o metodă legată de această soluție este de a împărți condensatoarele de integrare în două condensatoare legate în paralel și de a introduce în serie cu unul dintre ele o rezistență mică.

Proiectarea unui FTB de tip Butterworth cu următoarele caracteristici:

– Frecvența de tăiere inferioară în banda de trecere: 2.2 kHz;

– Frecvența de tăiere superioară în banda de trecere: 3 kHz;

– Frecvența de tăiere inferioară în banda de oprire: 1.8 kHz;

– Frecvența de tăiere superioară în banda de oprire: 3.6 kHz;

– Atenuarea în banda de trecere: 3dB;

– Atenuarea în banda de oprire: 10dB;

Se realizează cu transconductante LM13700;

Filtrele sunt rețele electrice selective, care schimbă caracteristicile de amplitudine și/sau fază ale semnalelor în raport cu frecvența. Filtrele active se caracterizează prin prezența elementelor de amplificare, care asigură amplificarea semnalelor, și elementele pasive, care asigură selectivitatea filtrului. Circuitele cu mod de lucru in curent au o acuratețe funcțională superioară și o bandă mai largă decât circuitele similare cu mod de lucru în tensiune.

Calculul ordinului

Calculul polilor

Fig. n Reprezentarea polului în Matlab

Calculul funcției prototip

Denormarea

Identificarea topologiei

Fig. n Filtru trece banda de ordinul doi de tip Sallen-Key implementat cu transconductanță

Funcția de transfer în tensiune a acestui filtru este:

Fig. n

Forma standard a funcției de transfer pentru un filtru trece bandă de ordinal doi este dată de expresiile:

Se alege:

Ra = 10k;

Rb = 141k;

Gm = 13 mS;

= 2π f0;

În urma efectuării calculelor s-au obținut următoarele valori pentru componentele cu ajutorul cărora se dimensionează circuitul:

C1=C2=34nF ;

R1=R3=R6=R7=1 k ohm;

R2=10 kohm;

R4=R8=5.1 kohm ;

R5=20 kohm;

R9=15 kohm;

Fig.n Circuitul de test simulat in Orcad

Rezultate experimentale:

In urma simulării s-au obținut caracteristicile de mai jos:

-caracteristica Laplace a acestui filtru este reprezentată prin culoarea roșie;

-caracteristica filtrului real este reprezentată prin culoarea verde;

-se poate observa că frecvența de taiere a acestui filtru este la aproximativ 2.6 KHz așa cum s-a precizat din specificații;

Fig. n Caracteristica Filtrului trece banda

Bibliografie:

[-] http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=127337

[-] http://www.hindawi.com/journals/apec/2014/587932/

[-] http://vahe.people.uic.edu/spring2016/ece412/OTA-structures2.pdf

[-] http://nopr.niscair.res.in/bitstream/123456789/8858/1/IJPAP%2043(9)%20714-719.pdf

[-] http://www.ijirset.com/upload/2014/may/76_AStudyofButterworth_Filter.pdf

[-] http://research.microsoft.com/pubs/205394/Malvar_IEEE_TCAS_82.pdf

[-] http://www.mathworks.com/help/physmod/elec/examples/low-pass-filter-using-operational-transconductance-amplifiers.html?requestedDomain=www.mathworks.com

[-] Sallen, R.P. and Key, E.L., “A Practical Method of Designing Active Filters,” IRE Transactions on Circuit

Theory, vol. CT-2, pp.74-85, March 1955

[-] Huelsman, L.P. and Allen, P.E., Introduction to the Theory and Design of Active Filters, McGraw-Hill, New York, 1980

[-] Budak, Aram, Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Houghton Mifflin company, Boston, 1974

[-] Ghausi, M.S. and Laker, K.R., Modern Filter Design: Active RC and Switched Capacitor, Prentice-Hall,

Englewood Cliffs, N.J., 1981

[-] http://stackoverflow.com/questions/12093594/how-to-implement-band-pass-butterworth-filter-with-scipy-signal-butter

[-] http://wigo.ro/wp-content/uploads/Lab3.pdf

[-] http://radioamator.ro/articole/print.php?id=994

[-] http://www.radio-electronics.com/info/rf-technology-design/rf-filters/butterworth-rf- filter-calculations-formulae-equations.php

[-] http://www.siversima.com/rf-calculator/bandpass-filter-designer/

[-] http://msp.ucsd.edu/techniques/v0.11/book-html/node147.html

[-] http://www.utm.md/meridian/2012/MI_3_2012/1.%20Art.%20Filtrenumumerice.pdf