Filtrari Si Modele Multiperiodice

CAPITOLUL 1

MODELE DE TITLURI DE VALOARE CU O SINGURĂ PERIOADĂ

Abordarea fară arbitraj este una dintre pietrele de temelie ale teoriei de stabilire a prețurilor financiare. Într-un limbaj simplu, arbitrajul se referă la posibilitatea de a face o investiție – câștig cu nici o șansă de pierdere (definiția riguroasă de arbitraj va fi dată mai târziu). Aceasta de obicei presupune că nu există oportunități de arbitraj în piețele financiare competitive și funcționabile.

În această secțiune, vom discuta diferite concepte de economie financiară în cadrul modelelor de active tranzacționabile ( numite și titluri de valoare ) cu o singură perioadă. Deciziile de investiții cu privire la o mulțime finită de titluri sunt realizate la momentul inițial t = 0, iar plata este realizată la timpul terminal t = 1.

Deși modelele cu o singură perioadă nu pot reflecta destul de mult reprezentarea realistă a lumii complexe de activități de investiții, o mulțime de concepte fundamentale în economia financiară pot fi dezvăluite din analiza modelelor de titluri cu o singură perioadă.

De asemenea, modele de investiții cu o singură perioadă aproximează destul de bine strategiile de investiții care cumpară si pastrează.

Strategii de comerț dominante si măsuri liniare de determinare a prețurilor

Într-un model de titluri cu o singură perioadă, prețurile inițiale a M titluri riscante, notate cu S1 (0), · · ·, SM (0), sunt scalari pozitivi, care sunt cunoscuți la t = 0. Cu toate acestea, valorile lor la t = 1 sunt variabile aleatoare definite în raport cu un spațiu al probelor Ω ={ω1, ω2, · · ·, ωK} de K posibile state ale lumii. La t = 0, investitorii cunosc lista tuturor rezultatelor posibile ale prețurilor activelor la t = 1, dar al cărui rezultat se întâmplă este decoperit numai la sfârșitul perioadei de investiție. Mai mult este definită pe Ω , o măsură P care satisface P (ω)> 0, pentru orice ω ∈ Ω, este definită pe Ω. Noi folosim S pentru a desemna procesul preț {S (t): t = 0, 1} unde S (t) este vectorul linie S (t) = (S1 (t) S2 (t) · · · SM (t)). Valorile posibile ale procesului prețurilor activelor la t = 1 sunt enumerate în următoarea matrice K M

S(1; (1.1)

Deoarece activele sunt titluri cu obligații limitate ,intrările în S(1;Ω) sunt scalare nonnegative . Ne asumăm de asemenea existența unui titlu de valoare strict pozitiv sau un cont în piața monetară a cărui valoare este notată cu S0. Fără a pierde generalitată vom lua S0(0) = 1 și valoarea la momentul 1 va fi S0(1) = 1 + r, unde r ≥ 0 este rata dobânzii determinate pe o perioadă. Reciproca din S0(1) este numită factorul de reducere la sfârșitul perioadei. Definim procesul de preț redus prin

S(t) = S(t)S0(t), t = 0, 1.

Folosim titlul de valoare fără risc ca numerarul sau unitatea de contabilitate. În consecință matricea de plată a procesului de preț redus a activelor cu risc M , și titlurilor de valoare fără risc pot fi exprimate sub forma

(1; (1.2)

Prima coloană în (1;) ( toate intrările sunt egale cu 1) reprezintă câștigul redus al titlului de valoare fără risc în toate statele lumii. De asemenea definim un vectornal proceselor prețului redus asociat cu titlul fără risc și M titluri riscante prin

(t) = (1 (t) (t)), t = 0, 1.

Un investitor adoptă o strategie de tranzacționare selectând un portofoliu al activelor la momentul 0 . Numărul unităților din m titluri active ținut în portofoliu de la t 0 la t 1 este notat cu hm m = 0,1,…,M . Scalarii hm pot fi pozitivi ( lungă durată ) ,negativi (vânzare scurtă) sau zero (fără nici un profit).

Fie V = {Vt: t = 0, 1} procesul valorii care reprezintă valoarea totală a portofoliului în timp. E văzut ca:

Vt = h0S0(t) + mSm(t), t= 0, 1. (1.3)

Câștigul investiției în cele m titluri de valoare riscante este dat de hm[Sm(1)−Sm(0)] = hmΔSm. Luăm G variabila aleatoare care denotă câștigul total generat prin investirea în portofoliu. Atunci avem:

G = h0r + mSm (1.4)

Dacă nu există nici o retragere sau adăugare de fonduri în cadrul orizontului de investiții atunci :

V1 = V0 + G. (1.5)

Vom defini procesul de valoare redusă prin = Vt/S0(t) și câștigul redus cu G* = . Este văzut ca:

= h0 + m(t), t = 0, 1; (1.6a)

G = – = m (1.6b)

Strategii dominante de tranzacționare

denotă strategia de tranzacționare care implică alegerea numărului unităților activelor deținute în portofoliu. Strategia de tranzacționare este declarată a fi dominantă în cazul în care există o altă strategie de tranzacționare astfel încât:

V0 = 0 și V1() 1 () pentru orice . (1.7)

Aici, 0și 1denotă valoarea portofoliului din la t 0 și respectiv t 1. Financiar vorbind ambele strategii și încep cu aceeași valoare a investiției inițiale dar strategia dominant duce la un câștig mai mare în toate statele lumii.

Presupunem că domină , definim o nouă strategie de tranzacție . Fie 0 și1 denotă valoarea portofoliului din la t 0 respectiv t 1. Din (1.7), atunci avem0 0 și1() 0 pentru orice ω ∈Ω. Această strategie este dominantă deoarece domină strategia care a început de la valoarea zero și nu mai investește.

Un model de titluri de valoare care permit existența unei stategii de tranzacție dominante nu este realistă deoarece nu garantează că un investitor care începe fară nici un ban nu poate încheia încheie cu rezultate pozitive adoptând o stategie particulară de tranzacționare. Echivalent se poate arăta că o strategie de tranzacționare dominantă e una care poate să transforme averea strict negativă la t 0 în avere non-negativă la t 1. Mai târziu, vom arăta cum nonexistența unei stategii de tranzacționare dominante este echivalentă cu existența unei măsuri liniare de stabilire a prețurilor liniare.

Intervalul activelor, legea prețului unic si legea prețului normativ.

Se consideră următorul exemplu numeric în care numărul stărilor posibile este trei. În primul rând se iau în considerare două titluri de valoare riscante ai căror vectori de plată reduși sunt S1*(1) = și S2*(1) =. Vectorii de plată sunt folosiți pentru a forma matricea de plată S*(1) =. Prețurile curente cu discount o să fie reprezentate de vectorul liniar

S*(0) = (1 2). Notăm cu h vectorul coloană ale cărui intrări sunt ponderile titlurilor din portofoliu. Valoarea redusă a portofoliului actualizat și plata redusă a portofoliului sunt date de S*(0)h și respectiv S*(1)h. Dacă S0*(0) = 1, valoarea actuală a portofoliului si valoarea redusă a portofoliului sunt aceleași.

Mulțimea tuturor cu toate plăților portofoliului obținute prin deținerea diferitelor titluri de valoare poartă numele de interval de active S. Intervalul activelor este văzut ca fiind reprezentat de coloana spațiu a matricei de plata S*(1). În acest exemplu intervalul activelor constă în toți vectorii de forma h1 + h1 unde h1 și h2 sunt vectori scalari.

La aceste două titluri de valoare am mai putea adăuga un al treilea titlu sau chiar mai multe. Noile titluri adăugate pot să se integreze sau nu în intervalul activelor. Dacă titlurile adăugate se regăsesc în S atunci plata lor poate fi exprimată ca o combinație liniară a lui S1*(1) și S2*(1). În acest caz se spune că este un titlu de valoare redundant. Din moment ce există doar 3 stări posibile, dimensiunea intervalului de active nu poate fi mai mare de trei, adică numărul maxim de titluri de valoare care nu sunt redundante este trei. Să presupunem că adăugăm cel de-al treilea titlu de valoare a cărui plată redusă este S3*(1) =, poate fi ușor verificat faptul că titlul de valoare nu este redundant. Noul interval activ, care este subspațiul în R3 generat de S1*(1) ,S2*(1) si S3*(1) este tot R3 .

Orice titlu de valoare adăugat ulterior trebuie sa fie redundant din moment ce vectorul plații sale reduse trebuie să fie în interiorul noului interval al activului. Un model de titlu de valoare se numește complet dacă orice vector de plată se găsește în interiorul intervalului activului. Acest lucru se intamplă dacă si numai dacă dimensiunea intervalului activului este egală cu numărul de stări posibile. În acest caz orice titlu de valoare adăugat la modelul titlurilor de valoare trebuie să fie un titlu de valoare redundant.

Legea prețului unic afirmă că toate portofoliile cu aceieași plată au același preț. Se iau în considerare două portofolii cu valori ale portofoliilor diferite h si h’. Să presupunem că aceste două portofolii au aceeași plată redusă, adică S* (1)h = S*(1)h’, atunci legea prețului unic implică S*(0)h = S*(0)h’. Este destul de simplu să arătam faptul că o condiție suficientă pentru ca legea prețului unic să funcționeze este aceea ca portofoliul cu plata zero trebuie sa aibă un preț zero. Acest lucru se întamplă dacă dimensiunea spațiului nul din matricea de plată S*(1) este zero. De asemenea, dacă legea prețului unicnu este valabilă, atunci este posibil să avem două strategii de tranzacționare h si h’ astfel încât S*(1)h = S*(1)h’ dar S*(0)h > S*(0)h’. Fie G*(ω) și G*’(ω) câștigul redus corespunzător strategiilor de tranzacționare h si h’. Astfel avem G*’(ω) > G*(ω) pentru toate ω ∈ Ω , astfel că există o strategie de tranzacționare dominantă. Prin urmare lipsa unei strategii de tranzacționare dominante implică existența legii prețului unic. Însă, reciproca acestei afirmații nu este adevărată .

Dat fiind un portofoliu redus care plătește x ce se găsește în interiorul intervalului activului, plata poate fi generată de o combinație liniară a titlurilor de valoare din modelul titlurilor de valoare. Vom avea x = S*(1)h pentru h ∈ RM. Valoarea actuală redusă a portofoliului este S*(0)h, în care S*(0) este vectorul prețului redus. Putem considera S*(0)h ca fiind o funcție F(x) de plata x. Dacă legea prețului unic funcționează, atunci funcția de stabilire a prețurilor are o singură valoare. Mai departe, se poate arăta că este o funcție liniară adică,

F(α1×1 + α2×2) = α1F(x1) + α2F(x2) (1.8)

pentru orice scalar α1 și α2 și plați x1 și x2.

Fie ek vectorul de coordonaței k în spațiul vectorial RK, unde ek are valoarea 1 la intrarea k și valoarea zero la toate celelalte intrări. Vectorul ek poate fi considerat ca vectorul de plată redusă al unui titlu de valoare și este denumit ca titlu de valoare țintă a stării k. Titlul de valoare țintă are o plată unitară când apare starea k și o plată zero în celelalte cazuri. Să presupunem că modelul titlurilor de valoare este complet si legea prețului unic funcționează, atunci funcția de stabilire a prețurilor F atribuie o valoare unică fiecarui titlu de valoare țintă . Notăm cu sk = F(ek) , și îl numim prețul de stat al stării k.

Se consideră titlul de valoare de risc cu plata redusă la momentul t = 1 ca fiind reprezentat de

S*(1) = ,

Atunci prețul actual al titlului de valoare de risc este dat de

S*(0) = F(S*(1)) = F = .

Măsura liniară de stabilire a prețurilor liniare

Se consideră modele de titluri de valoare cu includerea titlului de valoare fară risc. Un vector liniar non-negativ q = (q(ω1) … q(ωK)) se numește măsură liniară de stabilire a prețurilor dacă pentru fiecare strategie de trazacționare, valorile asociate reduse ale protofoliului la momentele t = 0 și t = 1 îndeplinesc

V0* = . (1.9)

Măsura liniară de stabilire a prețurilor are urmatoarele caracteristici. În primul rând, să presupunem că valoarea deținută din fiecare titlu de valoare de risc este zero, prin urmare h1 = h2 = … = hM = 0. Numai cu activul fară risc din portofoliu vom avea

V0* = h0 =

astfel încât

= 1. (1.10)

Din moment ce am luat q(ωk) ≥ 0 , k = 1, … , K, și suma lor este unu, am putea interpreta q(ωk) ca fiind o măsura de probabilitate pe spațiul eșantion Ω. Mai departe, dacă presupunem că ponderile portofoliului sunt egale cu zero, excepție titlul de valoare m, avem

Sm* = Sm*(1;), m = 1, …, M . (1.11a)

Prețul redus actual al titlului de valoare este dat de media costului redus al titlului de valoare o perioadă mai târziu în raport cu măsura liniară de stabilire a prețului q(ωk). Rețineți faptul că q(ωk) nu are legatură cu probabilitatea actuală a apariției stării k. În formă de matrice (1.11a) poate fi exprimat astfel

(0) = q(1; Ω), q ≥ 0. (1.11b)

Ca exemplu numeric considerăm un model al titlurilor de valoare cu două titluri de valoare de risc și titlul de valoare fară risc și astfel avem trei stări posibile. Vectorul actual de preț redus Ŝ*(0) este (1 4 2) iar matricea pentru plata redusă la momentul t =1 este(1) = . Aici legea prețului unic funcționează din moment ce singura soluție la Ŝ*(1)h = 0 este h = 0. Acest lucru se întamplă deoarece coloanele lui Ŝ*(1) sunt independente deci dimensiunea spațiului nul al lui Ŝ*(1) este zero. Am dori să vedem dacă masura liniară de stabilire a prețurilor există pentru modelul dat de titluri de valoare. În virtutea lui 1.10 și 1.11a , probabilitățile liniare de stabilire a prețurilor q(ω1) q(ω2), și q(ω3), dacă există ar trebui să îndeplinească urmatorul sistem de ecuații liniare:

1 = q(ω1) + q(ω2) + q(ω3)

4 = 4q(ω1) + 3q(ω2) + 2q(ω3)

2 = 3q(ω1) + 2q(ω2) + 4q(ω3).

Prin rezolvarea ecuațiilor de mai sus vom obține q(ω1) = q(ω2)= 2/3 și q(ω3) = – 1/3. Din moment ce nu toate probabilitățile de stabilire a prețurilor sunt nonnegative, măsura liniară de stabilire a prețurilor nu există pentru acest model de titluri de valoare.

Există strategii de tranzacționare dominante pentru modelul titlurilor de valoare de mai sus? Adică putem găsi o strategie de tranzacționare ( h1 h2) astfel încât V0* = 4h1 + 2h2 = 0 dar V1*(ωk) > 0, k = 1, 2, 3? Acest lucru este echivalent cu a întreba dacă există h1 și h2 astfel încât 4h1 +2h2 = 0 și

4h1 + 3h2 > 0

3h1 + 2h2 > 0

2h1 + 4h2 > 0. (1.12)

În figura 1.1 vom indica regiunea ce conține mulțimea de puncte în planul (h1, h2) care îndeplinește inegalitățile (2.12). Această regiune se găsește în părțile din dreapta sus deasupra celor două linii boldate: (i) 3h1 + 2h2 =0, h1 < 0 și (ii) 2h1 + 4h2 = 0, h1 >0. Se poate vedea că toate punctele de pe linia jumătate punctată: 4h1 + 2h2 = 0, h1 < 0 reprezintă strategiile de tranzacționare dominante care încep cu valoarea zero a averii, dar care se termină, cu siguranță, cu o valoare pozitivă a averii. Să presupunem că vectorul inițial de preț redus se schimbă de la (1 4 2) la (1 3 3), noua mulțime de probabilități liniare de stabilire a prețurilor va fi determinat prin rezolvarea

1 = q(ω1) + q(ω2) + q(ω3)

3 = 4q(ω1) + 3q(ω2) + 2q(ω3)

3 = 3q(ω1) + 2q(ω2) + 4q(ω3)

care are ca soluție : q(ω1) = q(ω2) = q(ω3) = 1/3. Acum toate probabilitățile de stabilire a prețurilor au valori nonnegative, și vectorul liniar q = (1/3 1/3 1/3) reprezintă o masură liniară de stabilire a prețurilor. Referitor la figura 1.1, observăm că linia 3h1 + 3h2 = 0 se află întotdeauna în afara regiunii, deasupra celor două linii boldate.

Prin urmare, cu privire la acest nou model de titluri de valoare, nu putem găsi (h1 h2) astfel încât 3h1 + 3h2 = 0 împreună cu h1 și h2 care să îndeplinească inegalitățile (1.12). Din moment ce există o măsură liniară de stabilire a prețului, în virtutea lui (1.11a), ne așteptăm ca vectorul inițial al prețului celor două titluri de valoare riscante: (3 3) poate fi exprimat ca o combinație liniară a celor trei

Figura 1.1. Regiunea în planul (h1 – h2) deasupra de cele două linii boldate reprezintă strategii de tranzacționare care îndeplinesc inegalitățile (1.12). Strategiile de tranzacționare care se găsesc pe linia punctată: 4h1 + 2h2 = 0, h1 < 0 sunt strategiile dominante de tranzacționare.

vectori: (4 3), (3 2) și (2 4) cu poinderi non-negative. De fapt, avem

(3 3 ) = (4 3) + (3 2) +(2 4)

unde ponderile sunt probabilitățile liniare de stabilire a prețului.

Relația dintre existența unei măsuri liniare de stabilire a prețului și inexistența unor strategii dominante de tranzacționare este exprimată în teorema următoare.

Teorema 1.1. Există o masură liniară de stabilire a prețului dacă și numai dacă nu există strategii dominante de tranzacționare.

Teorema măsurii liniare de stabilire a prețului de mai sus poate fi văzută ca fiind o consecință directă a lui Farkas Lemma.

Farkas Lemma. Nu există h ∈ M+1 astfel încât

Ŝ*(1; Ω)h > 0 si Ŝ*(0)h = 0

dacă și numai dacă există q ∈ K astfel încât

Ŝ*(0) = qŜ*(1; Ω) și q ≥ 0.

Ca o remarcă, soluția sistemului liniar (1.11b) există dacă și numai dacă Ŝ*(0) se găsește în spațiul liniar al lui Ŝ*(1; Ω). Totuși, soluția vectorului q s-ar putea să nu îndeplinească proprietatea non-negativității: q ≥ 0. Strategiile dominante de tranzacționare nu există dacă și numai dacă q ≥ 0. Când vectorii liniari ai lui Ŝ*(1; Ω) sunt independenți, dacă există o soluție q, aceasta trebuie să fie unică.

1.2. Oportunități de arbitraj și măsuri de probabilitate cu risc neutru

Să presupunem că S*(0) din modelul titlurilor de valoare de mai sus este modificat la (3 2) și se consideră strategia de tranzacționare: h1 = – 2 si h2 = 3. Observăm că V0* = 0 și posibilele plăți reduse la momentul t = 1 sunt V1*(ω1) = 1, V1*(ω2) = 0 și V1*(ω3) = 8. Aceasta reprezintă o strategie de tranzacționare care începe cu averea zero, garantează că nu va fi vreo pierdere și se termină cu o valoare strict pozitivă a averii în unele stări (nu neaparat în toate stările). Apariția unei astfel de oportunități de investiție este denumită oportunitate de arbitraj.

În mod formal, definim oportunitatea de abitraj ca fiind o strategie de tranzacționare care are urmatoarele proprietăți: (i) V0* = 0, (ii) V1*(ω) ≥ 0 si E[V1*(ω)] > 0, unde E reprezintă media în raport cu actuala măsură de probabilitate P, P(ω) > 0. Notăm diferența dintre o strategie dominantă și o oportunitate de arbitraj. Reamintim faptul că o strategie dominantă de tranzacționare există atunci când un portofoliu cu valoarea inițială a averii zero se termină cu o valoare strict pozitivă a averii în toate stările. Prin urmare, existența unei strategii dominante de tranzacționare implică existența unei oportunități de arbitraj, dar reciproca nu este neaparat adevărat. Cu alte cuvinte, absența arbitrajului implică inexistența unei strategii dominante de tranzacționare și la rândul său implică ca legea prețului unic să funcționeze.

Existența oportunităților de arbitraj este nerezonabilă din punct de vedere economic. Intrebarea de rigoare: care ar fi condiția necesară și suficientă pentru inexistența oportunităților de arbitraj? Răspunsul este legat de existența unei măsuri de stabilire a prețurilor numită măsura de probabilitate cu risc neutru. În piețele financiare ce nu au oportunități de arbitraj, vom arăta că fiecare investitor ar trebui să folosească o astfel de măsură ( deși nu este neaparat unică) pentru a găsi valoarea corectă a titlului de valoare sau a portofoliului indiferent de preferința de risc a ivestitorului. Adică, valoarea corectă este independentă de valorile probabilității atribuite apariției statelor lumii de către un investitor individual.

Măsura probabilității cu risc neutru.

Exemplul ce tocmai a fost menționat mai sus reprezintă prezența unei oportunități de arbitraj dar lipsa unei strategii dominante de tranzacționare [ din moment ce V1*(ω) = 0 pentru unii ω]. Vectorul măsurii liniare de stabilire a prețurilor este (0 1 0), unde două dintre probabilitățile liniare de stabilire a prețurilor sunt zero. Pentru a exclude oportunitățile de arbitraj, avem nevoie de o condiție puțin mai puternică în ceea ce privește probabilitățile de stabilire a prețurilor, adică, probabilitățile trebuie să fie strict pozitive.

O măsură de probabilitate Q pe Ω se numește a fi o masură de probabilitate cu risc neutru dacă îndeplinește

Q(ω) > 0 petru toate ω ∈ Ω, și

EQ[ΔSm*] = 0, m = 1, …, M,

unde EQ reprezintă media în raport cu Q. Reținem că EQ[ΔSm*] = 0 este echivalent cu

Sm*(0) = () Sm*()

care ia o formă asemănătoare ca în (1.11a). Într-adevăr, o măsură liniară de stabilire a prețurilor devine o măsură de probabilitate cu risc neutru dacă masele probabilității sunt toate pozitive. Proprietatea strict pozitivă a măsurii de probabilitate cu risc neutru Q(ω) este mult mai dorită din moment ce Q(ω) este văzut ca fiind “echivalent”: cu măsura de probabilitate actuală P(ω), unde P(ω) > 0. Adică P și Q nu vor fi la fel în ceea ce privește valorile probabilității pe evenimente individuale, dar vor fi întotdeauna la fel când va fi vorba dacă evenimentele sunt posibile sau imposibile. Noțiunea de “măsuri echivalente de probabilitate” va fi discutată pe larg în capitolul 2.1.

Teorema fundamentală de stabilire a prețurilor activelor ( modelele cu o singură perioadă)

Existența unei măsuri de risc neutru este legată direct de excluderea oportunităților de arbitraj cum se menționează în urmatoarea teoremă.

Teorema 1.2 Nu există o oportunitate de arbitraj dacă și numai dacă există o măsura de probabilitate cu risc neutru Q.

Demonstrația teoremei 1.2. necesită teorema separării hiperplanului. O intuiție geometrică a teoremei este redată aici. În primul rând, prezentăm definițiile hiperplanului și mulțimii convexe într-un spațiu vectorial. Fie f un vector în n. Hiperplanul H [f, α] în n este definit ca fiind o colecție a acelor vectori x în n ale căror proiecții în f au magnitudinea α. De exemplu, colecția de vectori ce îndeplinește x1 + 2×2 + 3×3 = 2 este un hiperplan în 3, unde f = și α =2. O mulțime C în n se numește convexă dacă pentru orice pereche de vectori x și y în C, toate combinațiile convexe ale lui x și y reprezentate de forma λx + (1 – λ)y, 0 ≤ λ ≤ 1, de asemenea se găsește în C. De exemplu, mulțimea C = { : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0} este o mulțime convexă în 3. Hiperplanul [f, α] separă mulțimile A și B în n dacă există α astfel încât f · x ≥ α pentru toate x ∈ A și f · y < α pentru toate y ∈ B. De exemplu, hiperplanul [, 0 ] separă cele două mulțimi convexe disjuncte A = { : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0} și B = {: x1 < 0, x2 < 0, x3 < 0} în planul 3.

Teorema separării hiperplanului afirmă că dacă A și B sunt două mulțimi convexe disjuncte nevide într-un spațiu vectorial V, atunci ele pot fi separate de un hiperplan. O reprezentare grafică a teoremei separării hiperplanului pentru spațiul vectorial 2 este redată în figura 1.2.

Demonstrația teoremei 2.2. “⇐”. Să presupunem că există o măsura de probabilitate cu risc neutru Q, adică Ŝ*(0) = π Ŝ*(1; Ω), unde π = (Q(ω1) … Q(ωk)). Se consideră o strategie de tranzacționare h = (h0, h1 … hM)T ∈ M+1 astfel încât Ŝ*(1; Ω)h ≥ 0 în orice ω ∈ Ω și cu o inegalitate strictă în unele situații. Acum se consideră Ŝ*(0)h = πŜ*(1; Ω)h, putem să avem doar Ŝ*(0)h > 0 din moment ce toate intrările in π sunt strict pozitive și intrările în Ŝ*(1; Ω)h sunt fie zero, fie strict pozitive. Prin urmare, nu există nicio oportunitate de arbitraj.

“⇒”. În primul rând, definim submulțimea U în K+1 care constă în vectori de forma ,, unde Ŝ*(1; ωk) este cea de-a k linie în Ŝ*(1; Ω) și h ∈ M+1 reprezintă o strategie de tranzacționare.

Figura 1.2. Hiperplanul ( reprezentat de o linie în 2) separă cele două mulțimi convexe A și B în 2.

Dacă suma oricăror două strategii de tranzacționare este o strategie de tranzacționare și orice multiplu scalar al unei strategii de tranzacționare este, de asemenea, o strategie de tranzacționare, subsetul U este văzut ca un subspațiu în mulțimea K+1. Reținem că U conține vectorul zero în mulțimea K+1 și de asemenea U este totodata convex. Fie o altă submulțime +K+1 definită de

+K+1 = {(x0 x1 … xK)T ∈ K+1 : xi ≥ 0 pentru 0 ≤ i ≤ K},

care este o mulțime convexă în K+1. Afirmăm că inexistența unei oportunități de arbitraj implică faptul că U și +K+1 pot avea doar vectorul zero în comun.

Dacă presupunem contrariul, să spunem că există un vector non-zero x ∈ U ∩ +K+1. Din moment ce există un vector de strategie de tranzaționare h asociat cu fiecare vector din U, este îndeajuns să demonstrăm că strategia de tranzacționare h asociată cu x reprezintă întotdeauna o oportunitate de arbitraj. Se consideră urmatoarele două cazuri :- Ŝ*(0)h = 0 sau- Ŝ*(0)h > 0.

Când Ŝ*(0)h = 0, dacă x ≠ 0 si x ∈ +K+1, atunci intrările Ŝ( 1; ωk)h, k = 1, 2, … , K trebuie să fie mai mari sau egale cu zero , cu cel puțin o inegalitate strictă. În acest caz h este considerat că reprezintă o oportunitate de arbitraj.

Când Ŝ*(0)h < 0 , toate intrările Ŝ(1; ωk)h, k = 1, 2, … , K trebuie să fie non-negative. Prin urmare, h reprezintă o strategie de tranzacționare dominantă și în schimb h este o oportunitate de arbitraj.

Dacă U ∩ +K+1 = {0}, U și +K+1 \ {0} sunt submulțimi convexe disjuncte în mulțimea

K+1. Conform teoremei de separare a hiperplanului, există un hiperplan ce separă aceste două mulțimi convexe disjuncte nevide. Fie f ∈ K+1 normală la acest hiperplan, atunci avem f · x > f · y , unde x ∈ +K+1 \ {0} și y ∈ U.

Observatie: putem avea f · x > f · y, în funcție de orientarea normalei. Oricum, concluzia finală rămâne neschimbată.

Daca U este un subspațiu liniar astfel încât un multiplu negativ al lui y ∈ U sa aparțină, de asemenea, lui U, condiția f · x > f · y are loc doar dacă f · y = 0 pentru toți y ∈ U. atunci vom avea f · x > 0 pentru toți x din +K+1 \ {0}. Acest lucru cere ca toate intrările în f să fie strict pozitive. În caz contrar, să presupunem că elementul numărul i al lui f este non-pozitivă, atunci că alegem ca x să fie vectorul coordonată cu a i-a componentă egală cu unu, în timp ce toate celelalte componente sunt egale cu zero. Acest lucru duce la contradicția ca f·x > 0 pentru toți x. De asemnea, din f · y = 0, avem

-f0 Ŝ*(0)h + k Ŝ*(1;k) h= 0

pentru toți h M+1, unde fj , j= 0,1,…, K sunt intrările lui f. Vom deduce ca

Ŝ*(0) = (k)Ŝ*(1;k) unde Q(k) = fk / f0 (1.13a)

La final, luăm în considerare prima componentă în vectorii din ambii membrii ale ecuației de mai sus. Amândoi corespund cu prețul actual și cu plata redusă a titlului de valoare fară risc și sunt toți egali cu unu. Astfel obținem

1 = (k) .

Aici, vom obține probabilitățile de risc neutru Q(ωk), k = 1, … , K, a căror sumă este egală cu unu și toate sunt strict pozitive deoarece fj > 0, j =0, 1, … , K.

Observații.

Corespunzătoare fiecărui activ de risc, (1.13a) spune că

Sm(0) = (0) = (k)(1; k) , m = 1, 2,… ,M. (1.13b)

Prin urmare prețul actual al oricărui titlu cu risc este dat de media plații reduse în raport cu măsura de risc neutru Q.

Probabilitățile de risc neutru Q(ωk) sunt legate de componentele normalei la hiperplanul de separare. Existența lui Q provine din existența hiperplanului ( care nu este neaparat unic). Deoarece f0 și alte componente ale lui f au întotdeauna același semn, rezultă pozitivitatea lui Q(ωk) ( independent de alegerea orientării normalei până la hiperplan).

Mulțimea de măsuri cu risc neutru

Se consideră modelul titlurilor anterioare cu titlul fară risc și doar un titlu de risc, în care Ŝ(1; Ω) = și Ŝ(0) = (1 3). Măsura probabilității de risc neutru π = (Q(ω1) Q(ω2) Q(ω3)), dacă există, este determinată de urmatorul sistem de ecuații

(Q(ω1) Q(ω2) Q(ω3)) = (1 3). (1.14)

Din moment ce există mai multe necuoscute decât numărul ecuațiilor, Soluția nu este unică. Soluția găsită este π = (λ 1 – 2λ λ), în care λ este un parametru liber. Pentru că toate probabilitățile de risc neutru sunt strict pozitive, trebuie să avem 0 < λ < ½.

Să presupunem că vom adăuga un alt titlu de risc cu plata redusă S2*(1) = și valoarea curentă redusă S2*(0) = 3. Cu această nouă completare, modelul titlurilor devine complet (intervalul de active ale celor două titluri de risc și al titlului fără risc este întreg spațiul 3). Cu noua ecuație 3Q(ω1) + 2Q(ω2) + 4Q(ω3) = 3 adăugată sistemului (1.14), acest nou model de titluri este văzut ca având unică masură de risc neutru (1/3 1/3 1/3). Unicitatea acestei măsuri de risc neutru provine din caracterul complet al modelului titlurilor de valoare.

Fie W un subspațiu în mulțimea K care constă în câștiguri reduse corespunzătoare unor strategii de tranzacționare h. în modelul titlurilor de mai sus, câștigurile reduse ale primului și celui de-al doilea titlu de risc sunt – = și respectiv, – = .

Prin urmare, subspațiul corespunzător câștigului redus este dat de

{W = h1 + h2 , în care h1 și h2 sunt scalari}.

Pentru orice măsură de probabilitate cu risc neutru Q avem,

EQG* = (k) [m(k) (1.15)

= mEQ[] = 0 ,

în care ΔSm*(ωk) este câștigul redus la al m-lea titlul de risc, când apare situația ωk. Prin urmare, vectorul probabilității cu risc neutru π trebuie să se găsească în mulțimea ortogonală W┴. Deoarece suma probabilităților cu risc neutru trebuie să fie unu și toate valorile probabilitații trebuie să fie pozitive, vectorul probabilității cu risc neutru π trebuie să fie în următorea submulțime.

P+ = {y ∈ RK : y1 + y2 + … + yK = 1 si yk > 0, k = 1, … K}.

Fie R mulțimea tuturor măsurilor cu risc neutru. Combinând rezultatele de mai sus, observăm că

R = P+ ∩ W┴. (1.16)

În exemplul numeric de mai sus, W┴ este linia prin originea în R3 care este perpendiculară pe (1 0 – 1)T și (0 – 1 1)T. Linia ar trebui să ia forma λ ( 1 1 1)T pentru un scalar λ. Împreună cu constrângerile, suma componentelor egală cu unu și fiecare componentă pozitivă, obținem vectorul probabilității cu risc neutru π = ( 1/3 1/3 1/3).

1.3. Evaluarea eventualelor creanțe

O eventuală creanță poate fi considerată ca o variabilă aleatorie Y care reprezintă plata de sfârșit a cărei valori depinde de apariția unei situații anume ωk, unde ωk ∈ Ω. Să presupunem că deținătorului unei eventuale creanțe i-a fost promis să primească plata prestabilită: cât de mult ar trebui să valoreze creanța la t = 0 ca vânzând eventuala creanța prețul să fie corect pentru ambele parți?

Fie modelul de titluri de valoare fără risc ale căror valori la t = 0 și t = 1 sunt S0(0) = 1 și respectiv, S0(1) = 1.1, și un titlu cu risc S1(0) = 3 și S1(1) = Mulțimea de plăți la mometul t = 1 care poate fi generată de o strategie de tranzacționare este dată de h0 + h1 pentru scalarii h0 și h1.

De exemplu, o eventuală creanță poate fi generată de strategia de tranzacționare: h0 = 1 și h1 = 1, în timp ce cealaltă eventuală creanță nu poate fi generată de orice strategie de tranzacționare asociată cu modelul dat al titlurilor. O creanță de contingent Y se numește accesibilă dacă există o strategie de tranzacționare h pentru construcția unei replici a portofoliului astfel încât valoarea portofoliului V1 este egală cu Y pentru toate situațiile posibile ce apar la t = 1.

Care ar trebui să fie prețul la t = 0 pentru o eventuală creanță accesibilă ? Se poate propune ca prețul la t = 0 al portofoliului de replicare să fie dat de V0 = h0S0(0) + h1S1(0) = 1 x 1 + 1 x 3 =4. Cum s-a discutat in subcapitolul 1.2, să presupunem că nu există oportunități de arbitraj (echivalent cu existența unei măsuri de probabilitate cu risc neutru), atunci legea prețului unic se aplică și astfel V0 este unic. Prețul la t = 0 al eventualei creanței Y este pur și simplu V0, adică prețul care este sugerat de către teoria stabilirii prețului fără arbitraj. În caz contrar, să presupunem că prețul p al cererii eventuale la t = 0 este mai mare decât V0, o persoană care arbitrează poate închide cu un profit fără risc în p – V0 prin vânzarea scurtă a cererii și cumpărarea portofoliului de replicare.

Strategia de arbitraj este inversată dacă p < V0. În acest model de titluri, am arătat mai înainte că măsurile de probabilitate cu risc neutru există ( cu toate ca nu sunt unice). Oricum, prețul inițial al cererii contingente este unic și este V0 = 4.

Principiul evaluării cu risc neutru

Dat fiind o cerere contingent accesibilă Y care poate fi generată de o anumită strategie de tranzacționare, câștigul asociat redus G* al strategiei de tranzacționare este dat de G* = mΔSm*. Presupunând că există o măsură de probabilitate cu risc neutru Q asociată cu modelul titlurilor și folosind relațiile V0* = V1* – G*, EQ[G*] = 0 și V1* = Y / S0(1), obținem

V0 = EQV0* = EQ[V1* – G*] = EQ[Y/ S0(1)]. (1.17)

Reamintim faptul că existența unei măsuri de probabilitate cu risc neutru implică legea prețului unic. Oare EQ[Y/S0(1) are aceeași valoare pentru fiecare măsură de probabilitate cu risc neutru Q? Acest lucru trebuie să fie adevărat în virtutea legii prețului unic din moment ce nu putem avea două valori diferite pentru V0 corespunzătoare aceleiași cereri contingente Y. Principiul evaluării cu risc neutru poate fi enunțat astfel : Prețul la t = 0 al unei cereri accesibile Y este dat de media în raport cu orice măsură cu risc neutru Q al valorii reduse a cererii contingente.

De fapt se poate arăta un rezultat mai puternic: dacă EQ[Y/S0(1) are aceeiași valoare pentru fiecare măsură cu risc neutru Q, atunci cererea contingentă Y este accesibilă [pentru demonstrație, vezi Pliska(1997)].

Cititorilor le reamintim că dacă legea prețului unic nu se aplică pentru un anumit model de titluri, nu putem defini un preț unic pentru o cerere contingentă accesibilă.

Prețurile de stat

Se consideră valoarea redusă a cererii contingente Y* = Y/ S0(1), care este egală cu unu dacă ω = ωk pentru unii ωk ∈ Ω și zero dacă nu. Acesta este titlul țintă ek corespunzător situației ωk. Atunci vom avea,

EQ[Y/S0(1)] = πek = Q(ωk). (1.18)

Prețul titlului țintă cu plata redusă ek este denumit preț de stat pentru situația ωk ∈ Ω. Rezultatul de mai sus arată ca prețul de stat pentru ωk este egal cu probabilitatea cu risc neutru pentru aceeași stare.

Orice cerere contingentă Y poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor titluri de bază țintă. Să presupunem Y* = Y/ S0(1) = kek, atunci prețul la t = 0 al cererii contingente este egal cu k Q(ωk). De exemplu, să presupunem

Y* = și Ŝ*(1; Ω) = ,

am văzut că probabilitatea cu risc neutru este dată de

π = (λ 1 – 2λ λ) , unde 0 < λ < ½.

Prețul la t =0 al cererii contingente este dat de

V0 = πY* = 5λ + 4(1 – 2λ) + 3λ = 4,

care este independent de λ. Acest lucru verifică cererea anterioară că EQ[Y/S0(1)] are aceeași valoare pentru orice măsură cu risc neutru Q.

Piețe complete

Să ne reamintim că un model de titluri de valoare este complet dacă fiecare cerere contingentă Y se găsește în intervalul de active, adică, Y poate fi reprodus de un portofoliu generat folosind o strategie de tranzacționare. Se consideră matricea terminală crescută de plată de dimensiunea K x (M + 1)

Ŝ(1; Ω) =

dacă coloanele lui Ŝ(1; Ω) generează întreaga mulțime RK, atunci Y se găsește întotdeauna în intervalul activului. Din moment ce dimensiunea coloanei lui Ŝ(1; Ω) nu poate fi mai mare de M + 1, o condiție necesară pentru completarea pieței este dată de M + 1 ≥ K. În condițiile completării pieței, dacă mulțimea măsurilor de probabilitate cu risc neutru este nevidă, atunci trebuie să conțină un singur element. Mai mult, când Ŝ(1; Ω) are coloane independente și intervalul activului este întreaga mulțime RK, atunci M + 1 = K. În acest caz, toate cererile contingente sunt accesibile și strategia de tranzacționare care generează Y trebuie să fie unică deoarece nu există titluri redundante. Prin urmare, avem un preț unic pentru orice cerere contingentă. Pe de altă parte, când intervalul activului este întreaga mulțime RK dar unele titluri sunt redundante, strategia de tranzacționare care generează Y nu este unică.

Presupunând că există o măsură cu risc neutru, prețul la t = 0 al cererii contingente trebuie să fie unic în condițiile stabilirii prețului fără arbitraj, independent de strategia de tranzacționare aleasă. Aceasta reprezintă o consecință a legii prețului unic, care este implicată de existența măsurii cu risc neutru. Aceste rezultate ilustrează că inexistența titlurilor redundant este o condiție suficientă dar nu și necesară pentru legea prețului unic.

Ca exemplu numeric, se consideră modelul titlurilor definit de

Ŝ*(0) = (1 3) si Ŝ*(1; Ω) = .

Din moment ce nu avem nici un titlu redundant, legea prețului unic se aplică. Să presupunem că modelul titlurilor este modificat prin adăugarea unui alt titlu de risc astfel încât

Ŝ*(0) = (1 3 4) și Ŝ*(1; Ω) = .

Ultimul titlu de risc este văzut ca fiind redundant( cea de-a treia coloană este suma primelor două coloane). Oricum, legea prețului unic înca se aplică din moment ce

S2*(1) = S0*(1) + S1*(1) pe cand S2(0) = S0(0) + S1(0).

De fapt, se poate observa că Ŝ*(0) se găsește în spațiul linie al lui Ŝ*(1; Ω).

Când dimensiunea spațiului coloanei Ŝ(1; Ω) este mai mică decât K, atunci înseamnă că nu toate cererile contingente pot fi accesibile. În acest caz o cerere contingentă non-accesibilă nu poate fi valorificată folosind teoria stabilirii prețului fără arbitraj. Însă, putem specifica un interval (V_(Y), V+(Y)) în care ar trebui să se găsească un preț rezonabil la t = 0 al cererii contingente. Limitele superioare și inferioare sunt date de

V_(Y) = sup{EQ[Ỹ/ S0(1)] : Ỹ ≤ Y si Ỹ este accesibil} (1.19a)

V+(Y) = inf{EQ[Ỹ/S0(1)] : Ỹ ≥ Y si Ỹ este accesibil} (1.19b)

Aici, V+(Y) este valoarea minimă dintre toate prețurile cererilor contingente accesibile care domină cererea non-accesibilă Y, în timp ce V_(Y) este valoarea maximă dintre toate prețurile cererilor contingente accesibile dominate de Y. Sa presupunem că V(y) > V+(Y), un arbitraj poate închide cu un profit fără risc prin vânzarea cererii contingente pentru a primi V(Y) și a folosi V+(y) pentru a construi un portofoliu reprodus care generează Ỹ accesibil precum s-a menționat în (1.19b). Câștigul pozitiv în avans este V(Y) – V+(Y). la t = 1, plata de la portofoliul reprodus va domina întotdeauna cea de la Y astfel încat nicio pierdere la expirare să fie de asemenea asigurată. În mod asemănător, un arbitraj poate închide cu un profit fără risc V(Y) < V_(Y) prin cumpărarea cererii contingente și o deținere scurtă a potofoliului reprodus care generează pe Y accesibil așa cum este definit în (1.19a).

Concluzii

Relațiile dintre legea prețului unic, absența unei strategii de tranzacționare dominante și absența oportunităților de arbitraj sunt:

absența oportunităților de arbitraj

⇒ absența strategiilor de tranzacționare dominante

⇒ legea prețului unic

pe cand

legea prețului unic

⇔ o singură valoare a funcției liniare a prețurilor de stabilire

Teoremele 2.1 și 2.2 arată că

Absența oportunităților de arbitraj ⇔ existența unei măsuri de risc neutru

Absența strategiilor de tranzacționare dominante ⇔ existența unei măsuri liniare de stabilire a prețurilor.

Prețurile de stat sunt non-negative când există o măsură liniară de stabilire a prețurilor și ele devin strict pozitive când există o măsură cu risc neutru.

În condițiile absenței oportunităților de arbitraj, principiul evaluării cu risc neutru poate fi pus în aplicare pentru a afla prețul corect al cererii contingente.

1.4. Principiile modelului binomial de evaluare a opțiunilor

Am dori să ilustrăm principiul evaluării cu risc neutru pentru a determina prețul unei anumite opțiuni de cumpărare folosind binecunoscutul model binomial de evaluare a opțiunilor. În modelul binomial mișcarea prețului activului este simulată de un model binomial de mers aleatoriu. Vom arăta ca prețul opțiunii de cumpărare obținut din modelul biomial depinde numai de rata dobânzii fără risc, dar este independent de rata medie actuală de intoarcere a prețului activului.

Formularea portofoliului reprodus

Urmărim derivarea modelului binomial discret prezentat de Cox, Ross și Rubinstein (1979). Aceștia au arătat că prin cumpărarea activului și imprumutarea de bani( sub forma unui cont fără risc pe piața monetară) în proporții potrivite, o persoană poate reproduce poziția unei opțiuni de cumpărare.

Fie S prețul actual al activului. Potrivit modelului binomial de mers aleatoriu, prețul activului după o perioadă Δt va fi fie uS sau dS cu probabilitatea q și respectiv, 1 – q (vezi figura 1.3). Presupunem că u > 1 > d astfel încât uS și dS reprezintă mișcarea superioară și, respectiv, inferioară a prețului activului. Parametrii proporționali de salt u și d sunt legați de dinamicile prețului activului.

Fig. 1.3 Evoluția prețului activului S și contul de pe piața monetară M după o perioadă de timp în cadrul modelului binomial. Valoarea activului de risc fie va crește la uS fie va scădea la dS, în timp ce contul fără risc de pe piața monetară M va crește la RM.

Fie R factorul de creștere al contului de pe piața monetară într-o perioadă astfel încât 1$ investit în contul fără risc al pieței monetare va crește la R$ după o perioadă. Pentru a asigura absența oportunităților de arbitraj, trebuie să avem u > R > d .

Să presupunem că formăm un portofoliu care constă într-un număr de α unități ale activului și o sumă de bani M sub forma unui cont fără risc pe piața monetară. După o perioadă de timp Δt valoarea portofoliului devine (vezi fig. 1.3)

.

Portofoliul este folosit pentru a reproduce poziția ”long” a opțiunii de cumpărare într-un activ de plată non-divident. Din moment ce există două posibile stări ale lumii: prețul activului urcă sau coboară, opțiunea de cumpărare este deci, o cerere contingentă. Să presupunem că momentul actual este doar cu o perioadă Δt anterior expirării cererii. Fie c prețul actual al opțiunii de cumpărare, și cu, cd prețul opțiunii de cumpărare după o perioadă ( care este momentul la care expiră cererea) corespunzătoare mișcării ascendente și respectiv, descedente a prețului activului. Fie X prețul de exercitare al opțiunii. Plata opțiunii la data expirării este dată de

Portofoliul de mai sus ce conține activul de risc și contul de pe piața monetară se presupune a reproduce poziția "long" a opțiunii de cumpărare dacă și numai dacă valorile portofoliului și opțiunea de cumpărare se potrivesc pentru fiecare rezultat posibil, adică,

αuS + RM = cu si αdS + RM = cd.

În sistemul liniar de ecuații de mai sus, necunoscutele sunt α și M. Se pare că numărul de necunoscute (referitor la numărul de unități ale activului și sumei în numerar) și numărul de ecuații (două stări posibile ale lumii în condițiile modelului binomial) sunt egale. Rezolvând ecuațiile, obținem

α = ≥ 0 , M = ≤ 0. (1.20)

Este ușor de stabilit

u max(dS – X, 0) – d max(uS – X, 0) ≤ 0,

astfel încât M este întotdeauna non-pozitiv. Portofoliul reprodus implică cumpărarea activului și împrumutarea de bani în proporții date de (1.20). numărul de unități al activului deținut este văzut ca fiind raportul dintre diferența valorilor opțiunii de cumpărare cu – cd și diferența valorilor activului uS – dS.

În condițiile modelului binomial cu o perioadă a dinamicii prețului activului,observăm că opțiunea de cumpărare poate fi reprodusă de un portofoliu cu titluri de bază: activ riscant și cont fără risc pe piața monetară.

Formula binomială de evaluare a opțiunilor

Prin principiul non-arbitrajului, valoarea actuală a opțiunii de cumpărare trebuie să fie aceeași cu cea a portofoliului reprodus. Ce se întamplă dacă lucrurile stau altfel? Să presupunem că valoarea actuală a opțiunii este mai mică decât valoarea portofoliului, atunci am putea realiza un profit fără risc prin cumpărarea celei mai ieftine opțiuni și vânzarea celui mai scump portofoliu. Câștigul net din cele două tranzacții de mai sus este securizat din moment ce valoarea portofoliului și valoarea opțiunii se anulează reciproc într-o perioadă ulterioară. Argumentul poate fi inversat dacă opțiunea este mai valoroasă decât portofoliul. Prin urmare valoarea actuală a opțiunii este dată de valoarea actuală a portofoliului, adică,

c = S + M = = , (1.21)

unde p =. Să reținem că probabilitatea q, care reprezintă probabilitatea subiectivă în ceea ce privește mișcarea crescătoare sau descrescătoare a prețului activului nu apare în formula valorii opțiunii (1.21). Parametrul p poate fi arătat ca fiind 0 < p <1 deoarece u > R > d, deci p poate fi interpretat ca fiind o probabilitate. Mai mult din relația

puS + (1 – p)dS =uS + = RS (1.22)

se poate interpreta rezultatul după cum urmează: dobânda așteptată a câștigului pe activ cu p ca probabilitatea mișcării crescătoare este intocmai egală cu rata dobânzii fără risc. Fie SΔt variabila aleatorie care indică prețul activului la o perioadă ulterioară. Putem exprima (1.22) ca

S = E*[ SΔt | S] (1.23)

unde E* este media în raport cu măsura de probabilitate potrivit definiției date în subcapitolul 1.2 ( vezi 1.13b), am putea vedea p ca fiind probabilitatea cu risc neutru. În mod asemănător, formula binomială (2.1.21) pentru valoarea opțiunii de cumpărare poate fi exprimată ca

c = E*[ cΔt | S] (1.24)

unde c indică valoarea opțiunii la momentul actual și cΔt indică variabila aleatoare reprezentând valoarea opțiunii de cumpărare într-o perioadă ulterioară.

Ca o concluzie , atunci când opțiunea de cumpărare poate fi reprodusă de către existența unor active comercializate, valoarea sa actuală este dată de media plății terminale reduse în raport cu măsura cu risc neutru. În conformitate cu cadrul de stabilire a prețurilor fără arbitraj presupunând existența valorii probabilității cu risc neutru Q(ωu) și Q(ωd) corespunzătoare stării superioare ωu și stării inferioare ωd , aceste valori ale probabilității pot fi găsite prin rezolvarea [vezi (1.23)]

S = Q(u) + Q(d) și Q(u) + Q(d) = 1

Aceasta oferă

Q(u) = 1 – Q(d) = = p.

Valoarea actuală a opțiunii de cumpărare este astfel obținută prin formula corespunzătoare a mediei reduse

c = Q(u) Q(d) =

oferind același rezultat ca și în (1.21).

Pe lângă aplicarea principiului replicării cererii contingente, formula binomială a evaluării prețurilor opțiunilor poate fi de asemenea derivată folosind principiul fără risc de protecție sau prin conceptul prețurilor de stat.

CAPITOLUL 2

FILTRĂRI. MARTINGALE

ȘI MODELE MULTIPERIODICE

În această secțiune , vom extinde discuția noastră de la modele de titluri cu o perioadă la modele de titluri cu valori multiple, unde există T+1 perioade de comerț t = 0,1,…, T,T > 1. Asemănător cu modelul cu o perioadă , avem un spațiu finit al probelor de elemente din K, {ω1, ω1, …ωK}, care reprezintă situațiile posibile ale lumii. Există o măsură de probabilitate P definită pe spațiul probelor cu P(ω) 0 pentru toate ω. Modelul de titluri de valoare constă în M titluri de valoare ,riscante ale căror procese de preț sunt procese stochastice nenegative, notate cu Sm {Sm(t); t= 0,1, …, T}, m = 1, … , M. În plus, există un titlu fără risc al cărui proces de preț, S0(t) este determinat cu S0(t) strict pozitiv și eventual nedescrescător în t. Am putea lua în considerare S0(t) ca fiind un cont din piața monetară și cantitatea rt= , t = 1, … , T, este vizualizată ca rata dobânzii pe intervalul de timp ( t-1, t ).

În această secțiune arătăm că noțiunile de oportunitate de arbitraj și evaluare cu risc neutru pot fi transportate de la modelele cu o singură perioadă la modelele multiperiodice. Cu toate acestea, este necesar să se specifice modul în care investitorii află mai multe despre adevărata stare a lumii din datele comerciale intermediare într-un model multiperiodic.

În consecință vom construi o structură de informare care modelează felul în care informația este dezvaluită investitorilor în ceea ce privește submulțimiile spațiului probelor .

Vom arăta modul în care structura informației poate fi descrisă printr-o filtrare și vom înțelege modul în care procesele de preț ale titlurilor de valoari pot fi adaptate la o filtrare dată. Apoi vom prezenta martingalele, care sunt procese stochastice adaptate, inspirate din „jocurile echitabile” în raport cu o anumită filtare și măsura de probabilitate.

De asemenea, vom discuta noțiunile de reguli de oprire, timpul de oprire și procesul de oprire. Renumita Teoremă de oprire în timp optimal a lui Doob afirmă că o martingală oprită rămâne o martingală. Punctul culminant al acestei secțiuni este versiunea cu perioadă multiplă a Teoremei Fundamentale de evaluare a activelor. Ultima parte a acestei secțiuni este dedicată modelelor binomiale cu perioadă multiplă pentru stabilirea prețurilor opțiunilor .

2.1. Structuri de informații și Filtrări

Luând în considerare spațiul probelor Ω = {ω1, ω2, · · · , ω10} cu 10 elemente. Putem construi partiții diferite ale mulțimii Ω. O partiție de Ω este o colecție ={B1,B2, · · ·Bn} astfel încât Bj, j = 1, · · · , n, sunt submulțimi ale lui Ω și Bi∩ Bj= , i j, și Ω. Fiecare dintre aceste mulțimi B1, · · ·,Bneste numită atom al partiției. De exemplu, am putea forma partițiile lui Ω ca :

0 = {Ω}

1 = {{ω1, ω2, ω3, ω4}, {ω5, ω6, ω7, ω8, ω9, ω10}}

2 = {{ω1, ω2}, {ω3, ω4}, {ω5, ω6}, {ω7, ω8, ω9}, {ω10}}

3 = {{ω1}, {ω2}, {ω3}, {ω4}, {ω5}, {ω6}, {ω7}, {ω8}, {ω9}, {ω10}}.

Am definit un șir finit de partiții ale lui Ω cu proprietatea că acestea sunt grupate cu rafinamente succesive una față de alta. Fiecare mulțime care aparține lui k se împarte în mulțimi mai mici care sunt atomi ai lui k+1.

Considerând un model de titluri de valoare cu 3 perioade care constă din șirul de mai sus de partiții succesive mai fin {k: k = 0, 1, 2, 3}. Perechea ( Ω,k ) se numește spațiu filtrat, care constă într-un spațiu al probelor Ω și un șir de partiții k ale lui Ω. Spațiul filtrat este folosit pentru a modela desfășurarea de informații în timp. La momentul t 0, investitorii știu doar mulțimea tuturor situațiilor posibile ale lumii astfel0 = {Ω}. La momentul t 1, investitorii obțin un pic mai multe informații : situația actuală ω este fie în {ω1, ω2, ω3, ω4} sau {ω5, ω5, ω7, ω8, ω9, ω10}. La următoarea dată de tranzacționare t 2, mai multe informații sunt relevate, să zicem ω este în mulțimea {ω7, ω8, ω9}. La ultima dată t 3, avem 3 = {{ωi}, i = 1, · · · , 10}. Fiecare din 3 constă într-un singur element din Ω, astfel încât investitorii să aibă informații complete cu privire la ce situație particulară a avut loc. Informațiile submodelului al acestui model de titluri de valori cu trei perioade pot fi reprezentate în arborele de informații prezentat în Fig. 1.4.

Algebra

Fie Ω o mulțime finită și fie ℱo familie de submulțimi Ω . Familia ℱ este o algebră pe Ω dacă

(i) Ω ∈ℱ

(ii) B ∈ℱ⇒Bc∈ℱ

(iii) B1șiB2 ∈ℱ⇒B1∪B2∈ℱ.

Fig.1.4. Arbore de informații al unui model de titluri de valori de 3 perioade cu 10 stări posibile. Partițiile formează un șir de partiții succesive mai fine.

Fiind dată o algebră ℱ pe Ω, se poate găsi întotdeauna o familie unică de submulțimi disjuncte astfel încât Bn ℱ și reuniunea tuturor acestor submulțimi dă Ω .

Algebra ℱ generată de o partiție {B1, · · ·,Bn} este o mulțime de submulțimi din . De fapt când este un spațiu al probelor finit, există o corespondență bijectivă între partițiile lui și algebrele de pe . Structura informațiilor definită printr-un șir de partiții poate fi vizualizata ca un șir de alegebre. Definim o filtrare = {ℱk; k = 0, 1, · · · , T } ca fiind un șir grupat de algebre astfel încât ℱk⊆ℱk+1.

Ca un exemplu, fie algebra ℱ= {, {ω1}, {ω2, ω3}, {ω4}, {ω1, ω2, ω3},{ω2, ω3, ω4}, {ω1, ω4}, {ω1, ω2, ω3, ω4}}, partiția corespunzătoare se dovedește a fi {{ω1}, {ω2, ω3}, {ω4}}. Atomii lui sunt B1= {ω1},B2= {ω2, ω3}și B3 = {ω4}.

Un eveniment nevid a cărui apariție arătată prin revelația lui P, ar fi o reuniune de atomi din P. Să luăm evenimentul A = {ω1, ω2, ω3}, care este reuniunea lui B1 și B2. Având în vedere că B2 = {ω2, ω3} din s-a produs putem decide dacă A sau complementul său Ac s-a produs. Cu toate acestea , pentru un alt eveniment = {ω1, ω2}, chiar dacă știm că B2 a avut loc nu putem determina dacă sau c a avut loc.

În continuare definim o măsură de probabilitate P definită pe o algebră ℱ. Măsura de probabilitate P este o funcție

P : ℱ→ [0, 1]

astfel încât

1. P(Ω) = 1.

2. Dacă B1,B2, · · · sunt mulțimi disjuncte două câte două care aparțin lui ℱ, atunci

P(B1∪B2∪ · · ·) = P(B1) + P(B2)+· · · .

Echipate cu o măsură de probabilitate , elementele lui ℱ sunt numite evenimente măsurabile. Fie spațiul probelor , o algebră ℱ și o măsură de probabilitate P defenite pe , tripletul ( ,ℱ,P ) împreună cu filtrarea se numește un spațiu de probabilitate filtrat.

Măsuri echivalente

Date fiind două măsuri de probabilitate P și P definite pe același spațiu măsurabil ( ,ℱ ) presupunem că P(ω) >0 ⇐⇒P(ω) >0, pentru toate ω ∈ Ω,

Atunci P și P se spun că sunt măsuri echivalente . Cu alte cuvinte, deși cele două măsuri echivalente nu pot conveni cu privire la atribuirea valorilor de probabilitate a evenimentelor, totuși ele sunt întotdeauna de acord cu privire la evenimentele care sunt posibile sau imposibile.

Măsurabilitatea variabilelor aleatoare

Considerăm o algebră ℱ generată de o partiție = {B1, · · · ,Bn}, o variabilă aleatoare X se spune că este măsurabilă în raport cu ℱ (notat X ℱ) dacă X() este constant pentru toate ∈ Bi,Bi este orice atom din. De exemplu, fie algebra ℱ1 generata de 1= ={{ω1, ω2, ω3, ω4}, {ω5, ω6, ω7, ω8, ω9, ω10}}. Dacă X(ω1) = 3 și X(ω4) = 5, atunci X nu este măsurabil în raport cu F1 deoarece 1 și 4 aparțin aceluiași atom dar X(ω1) și X(ω4) au valori diiferite.

Considerăm un exemplu unde = {{ω1, ω2}, {ω3, ω4}, {ω5}} și X este măsurabil în raport cu algebra ℱ generată de. Fie X(1)= X(ω2) = 3,X(ω3) =X(ω4) = 5 și X(ω5) = 7. Să presupunem că experimentul aleatoriu asociat cu variabila aleatoare X este efectuat, dând X= =5. Acesta ne informează că a avut loc evenimentul {ω3, ω4}. În acest sens , informația rezultatului de la experimentul aleatoriu este relevată prin variabila aleatoare X. Spunem că ℱ este generat de X.

Un proces stochastic Sm= {Sm(t); t= 0, 1, · · · , T } se spune că este adaptat la filtrarea =

= {ℱt; t = 0, 1, · · · , T } dacă variabila aleatoare Sm(t) este ℱt – măsurabilă pentru orice t = 0, 1, · · · , T . Pentru procesul contului de pe piața monetară S0(t), rata dobânzii este în mod normal cunoscută de la începutul perioadei, astfel încât S0(t) este ℱt-1 – măsurabilă, t = 1, · · · , T. În acest caz spunem că procesul S0(t) este predictibil.

2.2. Medii condiționate și martingale

Considerăm spațiul de probabilitate filtrat definit de tripletul (Ω,ℱ, P) împreună cu filtrarea . Ne reamintim faptul că o variabilă aleatoare este o aplicație ω → X(ω), care atribuie un număr real X(ω) pentru fiecare ω ∈ Ω. O variabilă aleatoare se spune că este simplă dacă X poate fi descompusă în forma

X() () (2.1)

unde {B1, · · · ,Bn}este o partiție finită a lui Ω cu fiecare Bj ℱ și indicatorul de Bj este definit prin:

()

Media lui X în raport cu măsura de probabilitate P este definită de

E[X] =()] = ) , (2.2)

unde P(Bj) este probabilitatea ca o stare conținută în Bj să aibă loc. Media condițională a lui X având în vedere că evenimentul B a avut loc este definită a fi

E[X|B] =

=

=

(2.3)

Ca un exemplu numeric, considerăm spațiul Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} și algebra este generată de partiția = {{ω1, ω2}, {ω3, ω4}}.Probabilitațile de apariție a stărilor sunt date de P(ω1) = 0.2, P(ω2) = 0.3, P(ω3) = 0.35și P(ω4) = 0.15. Considerăm procesul de preț S de două perioade ale cărei valori sunt date de

S(1; ω1) = 3, S(1; ω2) = 3, S(1; ω3) = 5, S(1; ω4) = 5,

S(2; ω1) = 4, S(2; ω2) = 2, S(2; ω3) = 4, S(2; ω4) = 6.

Reprezentarea arborelui corespunzător este prezent în Fig. 1.5.

Mediile condiționate

E[S(2)|S(1)= 3] șiE[S(2)|S(1)= 5]

sunt calculate folosind (2.3) după cum urmează:

E[S(2)|S(1) = 3] =

= (4 × 0.2 + 2 × 0.3)/0.5 = 2.8;

E[S(2)|S(1) = 5]=

=(4 × 0.35 + 6 × 0.15)/0.5 = 4.6.

Fig. 1.5. Reprezentarea arborelui a unui proces de preț la active într-un model de titluri de valoare cu două perioade.

Interpretarea E[X|ℱ] Este destul de des faptul că ne-am dorit să luăm în considerare toate mediile condiționate de forma E[X|B] unde evenimentul B trece prin algebra ℱ. Fie Bj, j = 1, 2, · · · , n, atomii algebrei ℱ. Definim cantitatea E[X|ℱ] prin

E[X|ℱ](2.4)

Vedem căE[X|ℱ] este de fapt o variabilă aleatoare care este măsurabilă în raport cu algebra ℱ. În exemplul numeric de mai sus avem ℱ1= {φ, {ω1, ω2},{ω3, ω4},Ω}, și atomii lui ℱ1 sunt B1 = {ω1, ω2} și B2= {ω3, ω4}. Fiindcă avem

E[S(2)|S(1) = 3] = 2.8 andE[S(2)|S(1) = 5] = 4.6,

deducem că

E[S(2)|ℱ1] = 2.81B1+ 4.61B2.

Proprietatea turnului:

Deoarece E[X|ℱ] este o variabilă aleatoare, putem calcula media ei. Constatăm că

E[E[X|ℱ]] =

(2.5)

Rezultatul de mai sus poate fi generalizat după cum urmează. Dacă ℱ1ℱ2 , atunci

E[E[X|ℱ2]|ℱ1] = E[X|ℱ1] . (2.6)

Dacă condiționăm în primul rând în raport cu informațiile ℱ2 și mai târziu după informațiile ℱ1 la un moment anterior, atunci este același lucru ca și condiționarea inițială pe ℱ1. Aceasta se numește proprietatea turnului a mediilor condiționate.

Să presupunem că variabila aleatoare X este ℱ- măsurabilă , ne-am dori să arătăm că E[XY|ℱ] = XE[Y|ℱ] pentru orice variabilă aleatoare Y. Folosind (2.1), putem scrie X =unde este partiția corespunzătoare algebrei ℱ. Din (2.4), obținem

E[XY|ℱ] ==

== XE[Y|ℱ]. (2.7)

Atunci când luăm media condiționată în raport cu filtrarea ℱ, putem să tratăm pe X ca și constantă dacă X este cunoscut cu privire la informațiile furnizate de către ℱ. Demonstrațiile altor proprietăți ale mediilor condiționate sunt încorporate ca exerciții.

Martingale

Termenul martingale își are originea în jocurile de noroc. Acesta se referă la tactica jocurilor de noroc de a dubla miza atunci când pierzi cu scopul de a te recompensa. În studiile de procese stochastice, martingalele sunt definite în raport cu un proces stochastic adaptat.

Fie un spațiu de probabilitate filtrat cu filtrarea Un proces stochastic adaptat S = {S(t); t= 0, 1 · · · , T } spunem că este martingală dacă respectă

E[S(u)|t] = S(t) pentru 0 ≤ t ≤ u ≤ T. (2.8)

Vom defini un proces stochastic adaptat S ca fiind supermartingală dacă

E[S(u)|t] ≤ S(t) pentru0≤ t ≤ u ≤ T ; (2.9a)

și submartingală dacă

E[S(u)|t] ≥ S(t) for 0 ≤ t ≤ u ≤ T. (2.9b)

Este simplu să deducem următoarele proprietăți:

Toate martingalele sunt supermartingale, dar nu reciproc. Aceeași observație este aplicată submartingalelor.

Un proces stochastic adaptat S este o submartingală dacă și numai dacă – S este o supermartingală; S este o martingală dacă și numai dacă este atât o supermartingală și o submartingală.

Martingalele au legătură cu modelele de jocuri de noroc echitabile. De exemplu, dacă Xn reprezintă suma de bani pe care un jucător o posedă în stadiul n al jocului. Prin proprietatea martingalei se înțelege că suma estimată pe care jucătorul ar avea-o la etapa n+1 dat fiind faptul că Xn= αn,este egală cu αn , indiferent de norocul său din trecut. O supermartingală (submartingală)poate fi folosită pentru a modela un joc nefavorabil (favorabil) deoarece jucătorul este mult mai probabil să piardă decât să câștige (să câștige decât să piardă).

Trebuie subliniat faptul că o martingală este definită în raport cu o filtrare ( o multime de informatii) și o măsură de probabilitate. Abordarea evaluării cu risc neutru în teoria de stabilire a prețului unei optiuni este strâns legată de teoria martingalelor. În secțiunea 2.4 arătăm că o condiție necesară și suficientă pentru excluderea oportunităților de arbitraj într-un model de titluri de valori este existența unei măsuri de tarifare cu risc neutru construită din proprietatea martingalelor a proceselor prețurilor la active.

Transformările martingalelor

Să presupunem că S este o martingală și H este un proces predictibil în raport cu filtrarea

definim procesul

Gt = (2.10)

unde Su Su-Su-1. De aici deducem faptul că GuGu-Gu-1HuSu . Dacă S și H reprezintă procesele prețurilor la active respectiv strategia de tranzacționare , atunci G poate fi vizualizat ca procesul de câștig. Observăm că strategia de tranzacționare H este un proces previzibil, adică Ht este t-1 – măsurabilă. Acest lucru se datorează faptului că numărul de unități deținute de fiecare titluri de valori este determinat la începutul perioadei de comercializare, luând în considerare toate informațiile disponibile până la acel moment.

Numim G ca fiind transformarea martingalei S prin H, astfel că G însăși este o martingală. Pentru a susține afirmația, este suficient să se arate că E[Gt+s |t] = Gt, t ≥ 0, s ≥ 0. Considerăm

E[Gt+s |t] = E[Gt+s − Gt+ Gt|t]

= E[Ht+1ΔSt+1 +· · ·+Ht+sΔSt+s|t] + E[Gt|t]

= E[Ht+1ΔSt+1|t]+· · ·+E[Ht+sΔSt+s |t] + Gt .

Luăm în considerare termenul tipic E[Ht+uΔSt+u|t], din proprietatea turnului a mediilor condiționate, putem exprima asta ca E[E[Ht+uΔSt+u|t+u−1]|t]. Mai mult, deoarece Ht+u estet+u−1– măsurabilă și S este o martingală datorită (2.7) – (2.8), am avea

E[Ht+uΔSt+u|t+u−1] = Ht+u E[ΔSt+u|t+u−1] = 0.

Adunând toate calculele , obținem rezultatul dorit.

2.3. Timpi de oprire și procese de oprire

Având un spațiu de probabilitate filtrat (Ω,, P) și un proces adaptat Xt, considerăm un joc în care jucătorul are opțiunea fie de a continua jocul, fie de a renunța să primească recompensa Xt. O regulă de oprire este definită astfel încât jucătorul știe la fiecare timp t dacă să continue sau să renunțe la joc, având în vedere informațiile disponibile la momentul respectiv. Un timp de oprire este o variabilă aleatoare : Ω → {0, 1, · · · , T } astfel încât

{τ = t} = {τ(ω) = t ; ω ∈Ω} ∈t. (2.11)

Adică este condiționată de informația t la momentul t , se poate determina dacă evenimentul {τ = t} a avut loc sau nu. Se poate demonstra că τ este un timp de oprire dacă și numai dacă {τ ≤ t} ∈t.

De exemplu, considerăm procesul adaptat St definit în modelul cu două perioade în Fig. 1.5. Definim τ a fi prima dată când St ia valoarea 3. Acesta este,

τ = inf{t ≥ 0 : St= 3}.

Acesta este considerat a fi un timp de oprire din moment ce se poate stabili dacă evenimentul {τ = t} apare condiționat de tt = 0, 1, 2. Pe de altă parte, timpul aleatoriu definit

τ = sup{t ≥ 0 : St= 3}

nu este un timp de oprire, deoarece acest timp aleator depinde de cunoștiințe cu privire la viitor.

Procese de oprire

Fie un proces adaptat St, procesul de oprire (ω) cu referire la timpul de oprire τ este definit de

(ω)(2.12)

În conformitate cu modelul cu perioadă multiplă (ω) poate fi exprimat ca

(ω)1{τ≥t}St +

Deoarece 1{τ≥t}St și 1{τ=u}Su,u = 0, 1, · · · , t –1 sunt t – măsurabile procesul de oprire(ω) este de asemenea adaptat . Mai interesant este că dacă oprim o martingală cu o regulă de oprire, procesul de oprire rămâne o martingală. Adică să presupunem că Mt este o martingală atunci

E[] =Mt , s = 1,2, … . (2.13)

Acest rezultat este cunoscut sub numele de Teorema Doob a timpului opțional de oprire . De fapt, teorema rămâne valabilă chiar dacă înlocuim martingalele cu supermatingalele sau submartingalele.

Pentru a demonstra, este mai ușor să se demonstreze validitatea teoremei pentru submartingale sau supermartingale. Odată ce rezultatele pentru submartingale și supermartingale au fost stabilite și observând că o martingală este atât o submartingală cât și o supermartingală, rezultatul pentru martingale se păstrează.

Fie Xt o submartingală și să se observe că { = s } , s = 0,1, … t , și sunt t – măsurabile astfel încât

E[1{}Xs|t] = 1{}Xs , s = 0,1,… , t .

Conform proprietății submartingalei avem

E[1{}Xt+1|t] = 1{}E[Xt+1|t] ≥ 1{}Xt .

În continuare considerăm

E[] = E[1{}Xt+1|t] +

≥ [1{}Xt + Xs = ,

asfel că submartingala oprită rămâne o submartingală. Prin urmare rezultatul unei submartingale este stabilit. O demonstrație similară poate fi extinsă la supermartingale.

Valoarea terminală a procesului de oprire este considerată a fi () , Ω. O regulă optimă de oprire este definită a fi alegerea optimă a timpului de oprire astfel că valoarea terminală așteptată este maximizată. În consecință un timp de oprire * este declarat a fi optim dacă

E[S*] = (2.14)

2.4. Modele de titluri de valoare multiperiodice

Acum suntem echipați cu cunoștiințe despre filtrări, procese stochastice adaptate și martingale. În continuare vom discuta despre fundamentele economiei financiare ale modelelor de titluri de valori multiperiodice. În special, considerăm relația dintre lipsa oportunităților de arbitraj și existența măsurii martingale (măsura de probabilitate cu risc neutru).

Vom începe cu prescrierea unui model discret de titluri de valori n-periodic cu M titluri de valori riscante. Ca și modelul discret cu o singură perioadă, există un spațiu Ω = {1, 2, … , K} de K stări posibile ale lumii. Procesul de preț activ este vectorul linie S(t) = (S1(t) S2(t) … SM(t)) ale cărui componente sunt prețurile titlului, t = 0,1, … , n. De asemenea, există un proces de cont de pe piața monetară S0(t) a cărui valoare este dată de

S0(t) = (1+r1)(1+r2) … (1+rt),

unde ru este rata dobânzii aplicată pe o perioadă de timp (u-1 , u) , u = 1, … , t. Este general asumat că rt este cunoscut la începutul perioadei (t-1 , t) astfel încât rt este t-1 – măsurabil.

O strategie de tranzacționare este regula adoptată de către un investitor care specifică poziția investitorului pentru fiecare titlu, la fiecare moment și în fiecare poziție din lume, pe baza informațiilor disponibile în modul stabilit de filtrare. Prin urmare se poate vizualiza o strategie de tranzacționare ca un proces stochastic adaptat. Prescriem o strategie de tranzacționare printr-un proces stochastic vector h(t) = (h0(t) h1(t) h2(t) … hM(t))T, t = 1,2, … , n ( reprezentat ca un vector coloană) unde h0(t)este numărul de unități deținute în portofoliul pentru cel de-al m-lea titlu de la momentul t – 1 la momentul t . Astfel, hm(t) este t-1 – măsurabil, m = 0,1, … , M .

Valoarea portofoliului este un proces stochastic dat de

V(t) = h0(t)S0(t) + , t = 1,2, … , n . (2.15)

care dă valoarea a portofoliului în momentul imediat după ce prețurile activelor sunt observate, dar înainte de a schimba ponderea portofoliului .

Scriem Sm(t) = Sm(t) – Sm(t-1) ca fiind modificare a valorii unei unități din cel de-al m-lea titlu dintre momentele t-1 și t . Câștigul cumulat asociat cu investirea în din cel de-al m-lea titlu de la momentul zero la momentul t este dat de

Definim procesul de câștig al portofoliului G(t) ca fiind câștigul total cumulat din deținerea portofoliului format din cele M titluri de valoare riscante și contul de pe piața monetară până la momentul t. Valoarea G(t) se dovedește a fi

G(t) = 0(u)S0(u) + m(u)Sm(u) , t = 1,2, … , n.

Dacă definim procesul prețului redus (t) prin

(t) = Sm(t)/S0(t) , t = 0,1, … , n și m = 1,2, … , M,

și scriem (t) = (t) – (t-1) , apoi procesul valorii reduse V*(t) și procesul câștigului redus G*(t) sunt date de

V*(t) = h0(t) + m(t)(t) , t = 1,2, … n , (2.16a)

G*(t) = m(u)(u), t = 1,2, … n , (2.16b)

Odată ce prețurile activelor , Sm(t), m = 1,2, … , M, sunt descoperite investitorului, el își schimbă strategia de tranzacționare de la h(t) la h(t+1) ca răspuns la sosirea noilor informații. Să considerăm că t+ indică momentul imediat următor după reechilibrarea portofoliului la momentul t. Deoarece deținerea portofoliului de active se schimbă de la h(t) la h(t+1), noua valoare a portofoliului la momentul t+ devine

V(t+) = h0(t+1)S0(t) + m(t+1)Sm(t) (2.17)

Să presupunem că vom adopta strategia de tranzacționare de auto-finanțare, astfel încât achiziționarea de unități suplimentare ale unui anumit titlu de valoare este finanțată de către vânzările altor titluri de valoare din portofoliu, atunci V(t) = V(t+), deoarece nu există nici un adaos sau retragere de fonduri din portofoliu. Combinând (2.15) și (2.17) , reechilibrarea portofoliului de la h(t) la h(t+1) , în raport cu condiția de autofinanțare trebuie să respecte

[h0(t+1) – h0(t) ]S0(t) + m(t+1) – hm(t) ]Sm(t) = 0 (2.18)

Dacă nu au existat adaosuri sau retrageri de fonduri în orice moment de tranzacționare, atunci modificarea cumulată a valorii portofoliului V(t) – V(0) trebuie să fie egală cu câștigul G(t) asociat cu modificările de preț ale titlurilor de valori la toate datele de tranzacționare. Prin urmare, o strategie H este autofinanțată dacă și numai dacă

V(t) = V(0) + G(t)

= V(0) + 0(u)S0(u) + m(u)Sm(u). (2.19a)

În mod similar, putem folosi (2.16a,b) pentru a arăta că H este autofinanțat dacă și numai dacă

V*(t) = V*(0) + G*(t) (2.19b)

Principiul nearbitrajului

Definiția unei oportunități de arbitraj pentru modelul titlurilor de valori cu o singură perioadă este extinsă la modele multiperiodice . O strategie de tranzacționare H reprezintă o oportunitate de arbitraj dacă și numai dacă procesul valorii V(t) și H satisfac următoarele proprietăți:

V(0) = 0

V(T) ≥ 0 și E[V(T)] > 0, și

H este autofinanțat

Aici, E este media în raport cu măsura de probabilitate actuală. Echivalent, strategia de tranzacționare de autofinanțare H este o oportunitate de arbitraj dacă și numai dacă (i) G*(T) ≥ 0 și (ii) E[G*(T)] > 0. Ca și în modelele cu o singură perioadă ne așteptăm ca o oportunitate de arbitraj să nu existe dacă și numai dacă există o măsură de probabilitate cu risc neutru. În modelele multiperiodice, probabilitățile cu risc neutru sunt definite în termeni de martingale.

Măsura martingalei

Măsura Q se numește masura martingalei ( sau este numită o măsură de probabilitate cu risc neutru), în cazul în care aceasta are următoarele proprietăți:

Q() > 0 pentru toți Q

Fiecare proces de preț redus în modelul de titluri este o martingală în raport cu Q , m = 1,2, … , M, adică,

EQ[t] = (t) pentru 0 ≤ t ≤ u ≤ T.

Numim procesul de preț redus (t) o Q – martingală.

Calculele valorilor de probabilitate a martingalelor

Ca un exemplu numeric, vom determina măsura martingalei Q acociată cu modelul titlurilor de valoare cu două perioade prezentat în Fig. 1.5. Să considerăm r ≥ 0 ca fiind rata constantă a dobânzii fără risc pe o perioadă și să scriem Q(j) ca măsură martingalei asociată cu starea j , j = 1,2,3,4. Prin invocarea proprietății martingalelor pentru St , obținem următoarele ecuații pentru Q(1), … , Q(4) :

t = 0 și u = 1

4 = [Q(1) + Q(2)] + [Q(3) + Q(4)] . (2.20a)

t = 0 și u = 2

4 = Q(1) + Q(2) + Q(3) + Q(4) (2.20b)

t = 1 și u = 2

3 = + (2.20c)

5 = + (2.20d)

Ar putea fi destul de obositor să rezolvăm ecuațiile de mai sus simultan. Procedura de calcul poate fi simplificată observând că Q(j) este dată de produsul probabilităților condiționate de-a lungul drumului de la nodul t = 0 la nodul j la t = 2. În primul rând, vom începe cu probabilitatea condiționată p asociată cu ramura superioară {1 , 2} . Probabilitatea condiționată corespunzătoare p este dată de

4 = p + (1 – p)

astfel încât p = . În mod similar, probabilitatea condiționată p' asociată cu ramura {1} de la nodul {12} este dat de

3 = p’ + (1 – p’)

dând p’ = . Într-o manieră similară, probabilitatea condiționată p'' asociată cu {3} de la{34} se dovedește a fi . Probabilitățile martingalelor sunt:

Q{1} = pp’ =

Q{2} = p(1 – p’) =

Q{3} = (1 – p)p” =

Q{4} = (1 – p)(1 – p”) = (2.21)

Aceste probabilități ale martingalelor satisface (2.20a-d) . Pentru ca probabilitățile martingalelor să rămână pozitive, trebuie să impunem restricția: r < 0.2. Se poate arăta că există o oportunitate de arbitraj pentru modelul de titluri de valoare atunci când r > 0.

Ca o observație, o oportunitate de arbitraj în orice perioadă unică de bază ar conduce la o oportunitate de arbitaj în modelul general multiperiodic. Acest lucru se datorează faptului că se poate urmări strategia de tranzacționare de arbitraj în acea perioadă special unică și nu se poate face nimic în toate celelalte perioade, astfel arbitajul apare în modelul multiperiodic.

Proprietatea martingalei proceselor de valoare

Să presupunem ca H este o strategie de tranzacționare de auto-finanțare și Q este o măsură martingală în raport cu o filtrare , atunci procesul valorii V(t) este Q-martingală. Pentru a arăta afirmația, deoarece H este auto-finanțarea, aplicăm (2.19b) pentru a obține

V*(t+1) – V*(t) = G*(t+1) – G*(t)

= [S*(t+1) – S*(t)]h(t+1)

Cum H este un proces predictibil, V*(t) este tranformarea martingalei a Q-martingalei S*(t). Prin urmare, V*(t) este tot o Q-martingală.

Teorema fundamentală a stabilirii prețurilor activelor( Modele multiperiodice)

Rezultatul de mai sus poate fi aplicat pentru a arăta că existența măsurii martingalei Q implică inexistența oportunităților de arbitraj.

Pentru a dovedi afirmația, să presupunem că H este o strategie de tranzacționare de auto-finanțare cu V*(T) ≥ 0 și E[V*(T)] > 0. Aici, E este media în raport cu măsura de probabilitate P reală, cu P() > 0.Adică , V*(T) este strict pozitiv pentru unele state ale lumii. Cum Q() > 0, astfel avem EQ[V*(T)] > 0. Cu toate acestea, deoarece V*(T) este o Q-martingală astfel încât V*(0) = EQ[V*(T)], și în temeiul lui EQ[V*(T)] > 0, întotdeauna avem V*(0) > 0. Asfel este imposibil să avem V*(T) ≥ 0 și E[V*(T)] > 0 în timp ce V*(0) = 0. Prin urmare, strategia de auto-finanțare H nu poate fi o oportunitate de arbitraj.

Reciproca afirmației de mai sus rămâne valabilă deoarece inexistența oportunităților de arbitraj presupune existeța unei măsuri martingală. Intuiția din spatele demonstrației poate fi prezentată după cum urmează. Dacă nu există oportunități de arbitraj în modelul multiperiodic, atunci nu vor fi oportunități de arbitraj în nici o perioadă. Din moment ce fiecare perioadă unică nu admite oportunități de arbitraj se pot construi probabilități condiționate de o perioadă cu risc neutru. Măsura de probabilitate a martingalei Q este apoi obținută prin înmulțirea tuturor probabilităților condiționate cu risc neutru de-a lungul drumului de la nodul t = 0 la nodul terminal (T,) . Construirea unei demonstrații riguroase pe baza argumentelor de mai sus este destul de tehnică, detaliile pot fi găsite în Harrison și Kreps(1970) și Bingham și Kiesel (2004).

Putem rezuma rezultatele de mai sus în următoarea teoremă.

Teorema 1.3. Un model de titluri de valori multiperiodic este lipsit de arbitraj dacă și numai dacă există o măsură de probabilitate Q astfel încât procesele de stabilire a prețului redus la active sunt Q-martingale.

Evaluarea de creanțe contingente

Cele mai multe dintre rezultatele referitoare la evaluarea de creanțe contingente în modelele cu o singură perioadă pot fi extinse la modelele multiperiodice. În primul rând, măsura martingalei este unică dacă și numai dacă modelul de titluri de valori multiperiodice este complet. Aici completitudinea implică faptul că toate cererile contingente(variabile aleatoare T – măsurabile ) pot fi reproduse de către o strategie de tranzacționare de auto-finanțare.

Într-o piață lipsită complet de arbitraj, prețul de arbitraj al unei cereri contingent realizabil este dat de media redusă în raport cu măsura martingalei a valoarii portofoliului care reproduce cererea. Să considerăm că Y denotă cererea contingent la scadența T și V(t) indică prețul de arbitraj contingent la momentul t, t < T. Folosind proprietatea Q-martingalei, avem

V*(t) = EQ[V*(T)|t] = EQ[Y*|t]

Presupunând ratele dobânzilor deterministe, obținem

V(t) = EQ[Y|t], (2.22)

unde S0(t) este prețul la momentul t al activului fără risc și raportul S0(t) / S0(T) este factorul de reducere pe parcursul perioadei de la t la T.

Modele binomiale multiperiodice

Extindem modelul binomial cu o perioadă la versiunea multiperiodică. Vom începe cu modelul binomial cu două perioade. Dinamicile corespunzătoare ale procesului binomial pentru prețul activelor și prețul de apel sunt prezentate în Fig. 1.6. Salturile prețului activului, u și d, sunt luate pentru a avea aceeași valoare pentru toate etapele binomiale.

Să considerăm că Cuu indică valoarea de apel a două perioade dinaintea momentului curent cu două mișcări ascendente consecutive ale prețului activelor și interpretare notațională similară pentru cud și cdd. Pe baza unor relații asemănător cu (1.21), valorile apelului cu și cd sunt legate de cuu, cud și cdd după cum urmează:

cu = și cd = ,

unde p = și R = . Ulterior, prin substituirea rezultatelor de mai sus în (1.21), valoarea de apel în momentul actual, care este de două perioade la expirare , se dovedește a fi

c =

unde valorile corespunzătoare profitului sunt date de

cuu = max(u2S – X,0), cud = max(udS – X,0), cdd = max(d2S – X,0).

Observăm că , coeficienții p2, 2p(1 – p) și (1 – p)2 reprezintă probabilitatea cu risc neutru de a avea până la două salturi în sus, un salt și o cobărâre și două cobărâri în procesul binomial de stabilire a prețurilor activelor.

Fig. 1.6. Dinamica prețului activelor și prețului de apel într-un model binomial cu două perioade.

Extinderea modelului binomial la cazul n- perioadic ar trebui să fie destul de simplu. Cu n etape binomiale, probabilitatea cu risc neutru de a avea j salturi și n – j cobărâri este dată de

, unde = este numărul de opțiuni de a alege j salturi din n etape binomiale. Profitul net corespunzător atunci când j salturi și n – j cobărâri au loc, este considerat a fi max(ujdn-jS – X, 0). Valoarea de apel obținută din modelul binomial cu n- perioade este dată de

(2.23)

Definim k ca fiind cel mai mic număr întreg nenegativ astfel încât ukdn-kS ≥ X, k ≥ . În consecință avem

max(ujdn-jS – X, 0) = (2.24)

Numărul întreg k indică numărul minim de mișcări ascendente necesare pentru prețul activului financiar în procesul binomial multiplicativ astfel încât apelul expiră în bani. Formula de apel în (2.23) poate fi simplificată ca

c = S – (2.25)

Ultimul termen din ecuația de mai sus poate fi interpretat ca valoare medie în raport cu risc neutru a plății efectuate de către titular la expirarea redusă cu factorul R-n și este considerată a fi probabilitatea cu risc neutru ca apelul să expire în bani. Valoarea probabilității de mai sus este legată de funcția complementară de repartiție binomială definită de

(n,k,p) = . (2.26)

Observăm că (n,k,p) dă probabilitatea de a avea cel puțin k succese în n încercări ale unui experiment binomial unde p este probabilitatea de reușită în fiecare încercare. Mai mult, dacă vom scrie p’ = astfel încât 1 – p’ = , atunci formula de preț de apel pentru modelul binomial cu n-perioade, poate fi exprimată ca

c = S(n,k,p’) – XR-n(n,k,p) (2.27)

Primul termen dă media redusă a prețului activului la expirare având în vedere că apelul expiră în bani și al doilea termen dă valoarea prezentă a costului așteptat, suportat de exercitarea apelului , unde media este luată în raport cu măsura cu risc neutru.

Folosind argumentul de medie redus a profitului net al unei creanțe contingente în raport cu măsura cu risc neutru , prețul de apel pentru modelul binomial cu n-perioadă, poate fi exprimat în următoarea formă canonică

c = E*[C=cT] = E*[max(ST – X, 0)], T = t + nt, (2.28)

unde cT este profitul net, așa cum este definit prin max(ST – X, 0), a apelului la timpul de expirare T și este factorul de reducere pe n perioade. Aici operatorul medie E* este luat în raport cu măsura cu risc neutru, mai degrabă decât cu adevărata măsură de probabilitate asociată cu actualul (subiectiv) proces de preț al activelor.

Implementarea numerică

Modelul binomial de n-perioadă poate fi reprezentat schematic printr-o structură arborescentă cu n- etape (vezi Fig. 1.7 pentru un arbore în trei etape). Arborele binomial va fi simetric în raport cu S dacă ud = 1, oblic în sus dacă ud > 1 și înclinat în jos dacă ud < 1. La nivel de timp, adică la m momente de la momentul curent în arborele binomial, există m + 1 noduri. Prețul activului la nodul obținut prin j se mișcă în sus și m – j când se mișcă in jos este egal cu Sujdm-j , j = 0,1, … ,m. Valorile posibile ale opțiunii la expirare sunt cunoscute deoarece funcția profitului net la expirare este definită în contractul opțiunii. Mai degrabă decât folosind formula binomului multiplicativ (2.25), următoarea procedură de inducție inversă în trepte este mai eficientă în implementarea numerică. În primul rând, calculăm valorile opțiunilor la nodurile care sunt cu un pas de timp în expirare, folosind formula binomului (1.21). Odată ce valorile opțiunilor la un pas de timpi de expirare sunt cunoscute, procedăm la doi pași de timp de la expirare și repetăm aceeași procedură numerică. După efectuarea a n pași înapoi în arbore ajungem la nodul de pornire (vârful arborelui), la care se obține valoarea opțiunii.

Ca exemplu numeric, presupunem că am ales următoarele valori pentru parametrii binomiali: u = 1.25, d = 0.8, și factorul de reducere pentru o perioadă = 1/R =0.95. În conformitate cu (1.21), avem

p = = / (1.25 – 0.8) = 0.5614

Prețul de exercitare al apelului este considerat a fi 70 și prețul activului S la momentul actual este de 120. Arborele binomial cu trei perioade de timp este ilustrat în Fig. 1.7. Cifrele superioare și inferioare de la noduri denotă prețurile activelor și valorile de opțiuni. De exemplu valorile opțiunii în nodurile P și Q sunt, respectiv , max(150 – 70.0) = 80 și max(96 – 70.0) = 26. Valoarea opțiunii în nodul Y este calculată prin

= [pcp + (1 -p)cQ]

= 0.95(0.561480 +0.438626)

= 53.50( 2 zecimale )

Lucrând trei pași înapoi de la momentul expirării la ora actuală, valoarea opțiunii curente la S = 120 se dovedește a fi 60.61(vezi Fig. 1.7).

Fig. 1.7. Ilustrarea calculelor binomiale cu trei perioade de timp pentru un apel European cu prețul de exercitare X = 70.

Variabile aleatoare, Distribuții și Medii

Un experiment aleator generează, în general, date numerice. Aceasta dă naștere la conceptul de variabilă aleatoare.

Definiția 2.6.1. Fie (Ω, P) un spațiu de probabilitate finit. O variabilă aleatoare este o funcție definită pe Ω cu valori reale. Uneori permitem ca variabila aleatoare să ia valorile +∞ si −∞.

Exemplul 2.6.2. (Prețurile stocului) Reamintim spațiul Ω a trei aruncări ale monedei independente ,definim prețurile stocului prin formulele

S0(ω1ω2ω3) = 4, pentru orice ω1ω2ω3 ∈ Ω,
S1(ω1ω2ω3) =

S2(ω1ω2ω3) =

S3(ω1ω2ω3) = .

Am scris argumentele lui S0, S1, S2 si S3 ca ω1ω2ω3, chiar dacă unele din aceste variabile nu depind de toate aruncările monedei. În particular, S0 nu este de fapt variabilă deoarece ia valoarea 4, indiferent de rezultatul aruncării monedei; o astfel de variabilă se numește variabilă aleatoare degenerată.

Este uzual sa scriem argumentul variabilelor aleatoare ca ω, chiar dacă ω este un șir ω = ω1ω2ω3 .

Vom folosi aceste două notații. Este chiar mai comun să scriem variabilele aleatoare fără nici un argument; vom folosi această practică, scriind de exemplu S3, în loc de S3(ω1ω2ω3) sau S3(ω).

Conform definiției, o variabilă aleatoare este o funcție care aplică un spațiu Ω pe mulțimea numerelor reale. Distribuția unei variabile aleatoare este o specificare a probabilităților cu care variabila aleatoare ia diferite valori. O variabilă aleatoare nu este o distribuție și o distribuție nu este o variabilă aleatoare. Acesta va fi un punct important când vom schimba măsura, deoarece măsura va schimba distribuțiile variabilelor aleatoare dar nu și variabilele aleatoare . Facem clară această distincție cu urmatorul exemplu.
Exemplul 2.6.3. Aruncăm o monedă de trei ori, deci mulțimea rezultatelor posibile este

Ω = {HHH, HHT, HT H, HT T, T HH, T HT, T T H, T T T } .

Definim variabilele aleatoare
X = Numarul total de H, Y = Numarul total de T.

Cu simboluri,

X(HHH) = 3,

X(HHT) = X(HT H) = X(T HH) = 2,

X(HT T) = X(T HT) = X(T T H) = 1,

X(T T T) = 0,

Y (T T T) = 3,

Y (T T H) = Y (T HT) = Y (HT T) = 2

Y (T HH) = Y (HT H) = Y (HHT) = 1

Y (HHH) = 0.

Nu este necesar să cunoaștem probabilitățile diferitelor rezultate pentru a specifica aceste variabile aleatoare. Totuși, dacă am specificat o măsură de probabilitate pe Ω, putem determina distribuțiile lui X și Y . De exemplu, dacă specificăm măsura de probabilitate pentru care probabilitatea să rezulte H la fiecare aruncare este și probabilitatea fiecărui element din Ω este , atunci

= {} = {TTT} =

= {} = {HTT; THT; TTH} = ,

= {} = {HHT;HTH; THH} = ,

= {} = {HHH} = .

Simplicăm notația = {} la notația = {X = j}. Este folositor să reamintim totuși că notația = {X = j} se referă la probabilitatea unei submulțimi a lui , multimea elementelor pentru care X() = j. Prin , probabilitățile ca X să ia cele patru valori 0,1,2 și 3 sunt

= {X = 0} = , = {X = 1} =

= {X = 2} = , = {X = 3} = .

Acest tabel de probabilități unde X ia toate valorile ei reprezintă distribuția lui X prin .

Variabila aleatoare Y este diferită de X deoarece numără pe T și nu pe H. Totuși, prin , distribuția lui Y este aceeași cu distribuția lui X:

= {Y = 0} = , = {Y = 1} =

= {Y = 2} = , = {Y = 3} = .

Ideea este ca variabila aleatoare este o funcție definită pe , în timp ce distribuția sa este un tabel de probabilități cu care variabila aleatoare ia diferite valori. O variabilă aleatoare nu este o distribuție.

Exemplul 2.6.4. Presupunem, mai mult, că alegem o măsură de probabilitate P pentru care corespunde la probabilitatea să rezulte H la fiecare aruncare și probabilitatea să rezulte T. Atunci

P = {Y = 0} = , P = {Y = 1} =

P = {Y = 2} = , P = {Y = 3} = .

Variabila aleatoare X are o distribuție prin P diferită de cea prin . Este aceeași variabilă aleatoare, care determină numărul total de H, indiferent de măsura de probabilitate folosită pentru a determina distribuția sa. Aceasta este situatia pe care o intalnim mai tarziu cand considerăm prețul unui activ în cazul măsurii de probabilitate reală și al măsurii de probabilitate cu risc neutru. Deși întamplător au aceeași distribuție prin , variabilele aleatoare X și Y au diferite distribuții prin P. Într-adevăr,

P = {Y = 0} = , P = {Y = 1} =

P = {Y = 2} = , P = {Y = 3} = .

Definiția 2.6.5. Fie X o variabilă aleatore definită pe un spațiu de probabilitate finit ( P). Media ( sau media așteptată) a lui X este prin definiție

EX =

Când calculăm media folosind măsura de probabilitate cu risc neutru ,folosim notația

=

Variația lui X este

Var(X) = E.

Din definiție rezultă că media este liniară: dacă X și Y sunt variabile aleatoare și c1 și c2 sunt constante, atunci :

E(c1X + c2Y ) = c1EX + c2EY

În particular, dacă l(x) = ax + b este o funcție liniară de o variabilă x ( a și b constante),atunci E [l(X)] = l(EX): Pentru funcții convexe rezultă urmatoarea inegalitate.

Teorema 2.6.6. ( Inegalitatea lui Jensen). Fie X o variabilă aleatoare pe un spațiu de probabilitate finit și fie (x) o funcție convexă de o variabilă x. Atunci

E [(X)] ≤ (EX)

Demonstrăm mai întâi ca o funcție convexă este maximul tuturor funcțiilor liniare care se

afla sub ea; adică pentru orice x , (x) = max {l(x); l este liniară și l(y) ≤(y) pentru orice y }.

Deoarece considerăm numai funcții liniare care se află sub , este clar că

(x) ≥ max {l(x); l este liniară și l(y) ≤(y) pentru orice y }.

Pentru a demonstra inegalitatea opusă, fie x un punct arbitrar din R. Deoarece este convexă, există o funcție liniară l care se află sub și pentru care (x) = l(x) ( l este tangentă în punctul x la graficul functiei ). Funcția l se numește linia suport a lui în x . Deci

(x) ≤ max {l(x); l este liniară și l(y) ≤(y) pentru orice y }.

Fie l o functie liniara care se afla sub . Atunci

E [(X)] ≥E[l(X)] = l(EX):

Deoarece inegalitatea este adevărata pentru orice funcție liniară l care se află sub , în membrul drept al inegalității putem lua maximul peste toate aceste funcții de tip l și obținem

E [(X)] ≥ max {l(EX); l este liniară și l(y) ≤ (y) pentru orice y R} = (EX).

O consecință a inegalității lui Jensen este că

E[X2] ≥ (EX)2.

Putem obține această consecință a inegalității lui Jensen din formula

0 ≤ E[(X-EX)2] = E[X2 – 2XEX + (EX)2] = E[X2] – (EX)2

Medii condiționate.

În modelul binomial din Capitolul I, alegem probabilitățile cu risc neutru conform formulei

= și =

Este usor de verificat ca aceste probabilități satisfac ecuația

= 1 .

În consecință, în fiecare moment n și pentru orice șir de aruncări 12 … n, obținem

Sn12 … n) = 12 … nH) + 12 … nT)

( adică, prețul stocului la momentul n este media ponderată cu discount a celor două prețuri posibile de la momentul n + 1, unde și sunt ponderile folosite). Pentru a simplifica notația, definim

n[Sn+1]12 … n) = nSn+112 … nH) + nSn+112 … nT)

deci putem scrie că

Sn = n[Sn+1]

și numim n[Sn+1] media condiționată a lui Sn+1 bazată pe informația de la momentul n. Media conditionată poate fi privită ca o estimare a valorii lui Sn+1 bazată pe cunoașterea primelor n aruncări ale monedei.

De exemplu, folosind probabilitățile cu risc neutru , avem 1[S2](H) = 10 și 1[S2](T) = 2.50. Când scriem simplu 1[S2] fără să specificăm dacă rezultatul la prima aruncare este H sau T, avem o cantitate a cărei valoare, necunoscută la momentul zero, va fi determinată prin experimentul aleator al aruncării monedei.

Conform definitiei, o astfel de cantitate este o variabilă aleatoare. Mai general, dacă X este o variabilă aleatoare care depinde de primele N aruncări ale monedei, putem estima pe X în funcție de informația disponibilă la un moment anterior n ≤ N. Urmatoarea definiție generalizează.

Definitia 2.7.1. Fie n astfel încât 1 ≤ n ≤ N și 12 … n date, fixate. Există 2N-n continuări posibile n+1N ale șirului fixat 12 … n . Notăm cu #H n+1N) numarul de H din continuarea n+1N și cu #T n+1N) numărul de T. Definim

n[X]12 … n) = X(1nn+1 … N)

și numim n[X] media condiționată a lui X bazată pe informația de la momentul n.

Media condiționată n[X], bazată pe ceea ce știm la momentul zero, este o variabilă aleatoare în sensul că valoarea sa depinde de primele n aruncări ale monedei, pe care nu le știm până la momentul n. De exemplu, folosind = = obținem

1[S3](H) = 12.50 și 1[S3](T) = 3.125 ,

deci 1[S3] este o variabilă aleatoare.

Definiția 2.7.2. Cele două cazuri extreme de condiționare sunt 0[X], media condiționată a lui X bazată pe nici o informație, pe care o definim prin

0[X] = EX

și N[X] media condiționată a lui X bazată pe cunoașterea a toate cele N aruncări ale monedei, definită prin

N [X] = X

Mediile condiționate de mai sus au fost calculate folosind probabilitățile cu risc neutru și . Aceasta este indicat prin folosirea ~ în notația n. Desigur, mediile condiționate pot fi calculate folosind probabilitățile reale p și q și acestea vor fi notate cu En.

Privite ca variabile aleatoare, mediile condiționate au cinci proprietăți fundamentale. Acestea sunt date în urmatoarea teoremă. Le enunțăm pentru mediile condiționate calculate pentru probabilitățile reale și rezultatele analoage sunt valabile pentru mediile condiționate calculate pentru probabilitățile cu risc neutru.

Teorema 2.7.3. ( Proprietăți fundamentale ale mediilor condiționate). Fie N un numar întreg pozitiv, X și Y variabile aleatoare care depind de primele N aruncări ale monedei. Fie 0 ≤ n ≤ N. Urmatoarele proprietăți sunt adevărate.

Liniaritatea mediilor condiționate. Pentru orice constante c1 și c2,

En[c1X + c2X] = c1En[X] + c2En[X].

Se dă afară ceea ce este cunoscut. Dacă X depinde numai de primele n aruncări ale monedei, atunci

En[XY] = XEn[Y].

Condiționare iterată. Dacă 0 ≤ n ≤ m ≤ N, atunci

En[Em[X]] = En[X].

Independenta. Dacă X depinde numai de aruncările de la n + 1 la N, atunci

En[X] = EX.

Inegalitatea lui Jensen condiționată. Dacă (x) este o funcție convexă de variabilă x, atunci

En[ (X)] ≥ (En[X]).

Demonstrația Teoremei 2.7.3 este în appendix. Ilustrăm cele patru proprietăți ale teoremei cu exemple folosind probabilitățile p = , q = . A cincea proprietate, inegalitatea lui Jensen condiționată, rezultă din liniaritatea mediilor condiționate la fel cum rezultă inegalitatea lui Jensen pentru medii din liniaritatea mediilor.

Exemplul 2.7.4. ( Liniaritatea mediilor condiționate). Dacă p = și q = , atunci

E1[S2](H) = ∙16 + ∙4 = 12

E1[S3](H) = ∙32 + ∙8 + ∙2 = 18.

și, în consecință E1[S2](H)+E1[S3](H) = 12+18 = 30: Dar de asemenea

E1[S2 + S3](H) = (16+32) + (16+8) + (4+2) = 30.

Un calcul similar arată că

E1[S2 + S3](T) = 7.50 = E1[S2](T) + E1[S3](T)

În concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncări a monedei,

E1[S2 + S3] = E1[S2] + E1[S3].

Exemplul 2.7.5. ( Se da afară ceea ce este cunoscut). Reamintim din Exemplul 2.7.4 că

E1[S2](H) = ∙ 16 +∙ 4

Dacă vrem să estimăm produsul S1S2 bazat pe informația de la momentul unu, putem da afară factorul S1, cum se vede din următorul calcul:

E1[S1S2](H) = ∙128 + ∙32 = 96 = 8∙12 = S1(H)E1[S2](H)

Un calcul similar arată că

E1[S1S2](T) = 6 = S1(T)E1[S2](T).

În concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncări a monedei,

E1[S1S2] = 6 = S1E1[S2].

Exemplul 2.7.6. (Condiționare iterată). Mai întâi estimăm pe S3 bazat pe informația de la momentul doi:

E2[S3](HH) = ∙32 + ∙ 8 = 32

E2[S3](HT) = ∙ 8 + ∙ 2 = 6

E2[S3](TH) = ∙ 8 + ∙ 2 = 6

E2[S3](TT) = ∙ 2 + = 1.50.

Bazată pe informația de la momentul unu, deducem că

E1[E2[S3]](H) = E2[S3](HH) + E2[S3](HT) = ∙ 24 + ∙ 6 = 18,

E1[E2[S3]](T) = E2[S3](TH) + E2[S3](TT) = ∙ 6 + ∙ 1.50 = 4.50.

Exprimând direct pe S3 bazat pe informația de la momentul unu obținem:

E1[S3](H) = 32 + 8 +8 + = 18.

E1[S3](T) = 9 + 2 +2 + ∙= 4.50.

În concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncări a monedei, obținem

E1[E2[S3]] = E1[S3].

Exemplul 2.7.7. ( Independența). Raportul ia valorile 2 sau ,dacă rezultatul celei de a doua aruncări a monedei este H, respectiv T. În particular, nu depinde de prima aruncare a monedei. Calculăm

E1(H) = + = = .

E1(T) = + = = .

Observăm că E1 nu depinde de prima aruncare a monedei ( deci nu este aleatoare) și de fapt este egală cu

E1 = = .

Martingale

În modelul binomial din Capitolul 1, alegem probabilitățile cu risc neutru și astfel încât în orice moment n și pentru orice șir de aruncări ale monedei 1 … n este adevărată (2.3.3). În funcție de notația, introdusă în Secțiunea 2.3, pentru media condiționată, acest fapt poate fi scris ca (2.3.5). Daca împarțim ambii membri din (2.3.5) prin (1 + r)n, obținem ecuația

= n

În acest model, nu contează dacă scriem termenul în interiorul sau exteriorul mediei condiționate deoarece este constant. În modelele cu dobândă variabilă, ar conta cum scriem termenul , vom folosi practica scrierii acestui termen în interiorul mediei condiționate deoarece acesta este modul în care ar fi scris în modelele cu dobândă variabilă. Ecuația exprimă cheia faptului că în cazul măsurii cu risc neutru, pentru un stoc care nu plătește dividente, cea mai bună estimare, bazată pe informația de la momentul n , a valorii prețului stocului cu discount la momentul n + 1, este prețul stocului cu discount la momentul n. Probabilitățile cu risc neutru sunt alese pentru a accentua acest fapt. Procesele care satisfac această condiție se numesc martingale. Dăm o definiție formală a martingalei în cazul probabilităților reale p si q, definiția martingalei în cazul probabilităților cu risc neutru și este obținută înlocuind En cun .

Definiția 2.8.1. Considerăm modelul binomial de determinare a prețului unui activ. Fie M0,M1 … MN un șir de variabile aleatoare, cu fiecare Mn depinzând numai de primele n aruncări ale monedei ( și M0 constant). Un astfel de șir de variabile aleatoare se numește proces stochastic adaptat.

Dacă

Mn = En[Mn+1], n = 0, 1, … ,N – 1,

spunem că acest proces este o martingală.

Dacă

Mn ≤ En[Mn+1], n = 0, 1, … ,N – 1,

spunem că procesul este o submartingală ( chiar dacă poate avea o tendință de

creștere);

Dacă

Mn ≥ En[Mn+1], n = 0, 1, … ,N – 1,

spunem că procesul este o supermartingală ( chiar dacă poate avea o tendință de

descreștere).

Observația 2.8.2. Proprietatea martingalei este o condiție "un pas înainte". Totuși, ea implică o condiție similară pentru orice număr de pași. Într-adevar, dacă M0,M1, …, MN este o martingală și n ≤ N – 2, atunci proprietatea martingalei implică

Mn+1 = En+1[Mn+2].

Aplicând, în ambii membri, media condiționată bazată pe informația de la momentul n și folosind proprietatea condiționării iterate (iii) din Teorema 2.7.3, obținem

En[Mn+1] = En[En+1[Mn+2]] = En[Mn+2].

Membrul stâng este Mn, din proprietatea martingalei și astfel avem proprietatea "doi pași înainte"

Mn = En[Mn+2].

Repetând acest argument, putem arăta că pentru 0 ≤ n ≤ m ≤ N,

Mn = En[Mm].

O putem numi versiunea " pași multipli înainte" a proprietății martingalei.

Observația 2.8.3. Media unei martingale este constantă în timp, adică dacă M0,M1,…,MN este o martingală, atunci

M0 = EMn, n = 0, 1, … ,N.

Într-adevăr, dacă M0,M1, … ,MN este o martingală, putem aplica media ambilor membri din (2.7.2), folosind Teorema 2.7.3 (iii) și obținem EMn = E[Mn+1] pentru orice n. Rezultă că

EM0 = EM1 = EM2 = … = EMN-1 = EMN.

Dar M0 nu este aleatoare, deci M0 = EM0 și rezultă (2.4.4).

Pentru o martingală, egalitatea trebuie sa fie adevărată pentru toate șirurile posibile de aruncări ale monedei. Procesul prețului stocului ar fi o martingală dacă probabilitatea unei creșteri ar fi = și probabilitatea unei scăderi ar fi = , deoarece in fiecare nod al copacului, prețul stocului ar fi atunci media ponderată, cu ponderile și , a celor două prețuri posibile ale stocului. De exemplu,

S1(T) = 2 = S2(TH) + S2(TT).

O ecuație similară ar fi verificată în toate celelalte noduri ale copacului și deci procesul stocului este o martingală pentru aceste probabilități. O martingală nu are tendința să crească sau să scadă deoarece media valorilor sale din perioada urmatoare este întotdeauna valoarea la momentul curent. Prețurile stocului au o tendință de creștere și într-adevăr ar trebui să crească în medie mai mult decât piața monetară în scopul de a compensa investitorul pentru riscul asimilat. Alegerile mai realiste p și q sunt p = și q =. Cu aceste alegeri, obținem

En[Sn+1] = Sn

în fiecare nod al copacului ( adică, în medie, prețul stocului în perioada următoare este cu 50% mai mare decât prețul curent al stocului). Această rata de creștere excede dobânda de 25% pe care am folosit-o în acest model. În particular, cu p = , q = și r = , obținem = = astfel că prețul cu discount al stocului la momentul n este Sn. Calculăm

En = En[Sn+1] = ∙ ∙ ≥ ∙

Prețul cu discount al stocului în cazul probabilităților actuale p = și q = este o submartingală. Acesta este cazul tipic în piețele reale. Pe de alta parte, probabilitățile cu risc neutru, sunt alese să facă prețul cu discount al stocului să fie o martingală. Cu = = se poate verifica că ecuația martingalei

n =

este adevărată în fiecare nod.

CAPITOLUL 3

APLICAȚII FINANCIARE

Problema 3.1. Să presupunem că în modelul binomial cu o perioadă atât H cât și T au probabilitatea pozitivă de a apărea. Vom arăta că această condiție

0 < d < 1 + r < u

exclude arbitrajul. Cu alte cuvinte, vom arăta că dacă X0 = 0 și

X1 = Δ0S1 + (1 + r)(X0 – Δ0S0)

atunci nu putem avea X1 strict pozitiv cu probabilitate pozitivă decat în cazul în care X1 este strict negativ cu probabilitate pozitivă, de asemenea, și acesta este cazul indiferent de alegerea lui 0.

Soluție. Folosind ipotezele modelului binomial și X0 = 0 putem arăta că

X1(H) = Δ0S0( u – (1+r))

și

X1(T) = Δ0S0 (d – (1+r)).

Prin urmare,

X1 =

Prin urmare, dacă S0 > 0, u – (1 + r) > 0 și d – (1 + r) < 0 prin ipoteză, putem observa că independent de valoarea lui Δ0, X1 are întotdeauna probabilitatea pozitivă de a fi atât pozitiv cât și negativ. ( Semnul lui Δ0 determină care dintre ele este pozitivă sau negativă.) Prin urmare, dacă am început cu X0 = 0 nu este posibil să construim un arbitraj.

Problema 3.2. Se consideră prețul S3 al unui stoc la timpul t = 3 într-un model binomial cu N + 3, S0 = 4 , u = 2, d = și r =

Care este repartiția lui S3 sub măsura probabilității dată de probabilitățile de risc neutru și ) ?

Calculam [S1], [S2] și [S3]. Care este rata medie a creșterii prețului stocului sub .

Răspundeți la partea (a) și (b) când măsura probabilității este P dată de p = și q = . Ce putem spune despre diferența dintre cele două rate de creștere?

Calculăm 2 [S3]. Aceasta este o variabilă aleatoare: care este repartiția sa? Calculăm 2 [2 [S3]]. Ce putem spune despre acest rezultat?

Soluție. (a) Probabilitățile cu risc neutru în acest caz sunt date de p = q = . Prin urmare spațiul probabilității pentru acel experiment este dat de spațiul eșantion

Ω = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

și măsura probabilității care atribuie o probabilitate de fiecăruia din elementele Ω. Atunci

S3(ω) =

Folosind măsura probabilității, putem observa că

{ S3 = s} =

Aceasta este repartiția variabilei aleatorii S3 sub . Mai putem scrie acest lucru și astfel

(b) Pentru S3, putem folosi repartiția obținută în (a). Avem

[S3] = 32 ∙ + 8 ∙ + 2∙ + 0.5 ∙ = = 7.8125

Repartiția lui S2 este dată de

Prin urmare,

[S2] = 16∙ + 4∙ = 6.25

În sfârșit, repartiția lui S1 este dată de

Prin urmare,

[S1] = 2∙

Rata medie a creșterii stocului sub este astfel dată de

= .

Aceasta rată a creșterii este aceeași ca și cea de pe piața monetară. Intr-adevăr probabilitățile de risc neutru sunt alese astfel încât aceasta să poată funcționa.

În condițiile măsurii de probabilitate actuală p = 1 – q = , spațiul eșantion Ω este același, dar atunci,

ℙ{ω} = .

Obținem

Prin urmare,

[S3] = 32∙ + 2∙ 0.5 13.5

Repartiția lui S2 este dată de

Prin urmare,

[S2] =16 ∙ .

În sfârșit, repartiția lui S1 este dată de

Prin urmare,

[S2] = 2

Rata medie a creșterii stocului sub este astfel dată de

=

Putem observa că rata medie a creșterii în condițiile probabilităților actuale este mai mare decât cea de sub probabilitățile cu risc neutru. Acesta trebuie să fie cazul, din moment ce stocul ar trebui să ofere o rată mai mare de schimb decât piața monetară ( ca un echivalent la riscul asumat) dacă dorim ca modelul să fie consistent.

Prin definiție, variabila aleatoare 2[S3] va depinde doar de ω1 și de ω2. Este dată de

2[S3](ω1ω2) = S3(ω1ω2H) + S3(ω1ω2T).

Dacă aplicăm această formulă pentru toate rezultatele posibile ω1, ω2 obținem

Prin urmare, repartiția variabilei aleataorii 2[S3] este dată de

In sfarsit,

[2[S3]] = 20 = 7.8125

Putem observa că acest rezultat este același cu calculul direct al [S3]. Acesta se potrivește cu proprietatea (c) din teorema proprietăților probabilității condiționate.

Problema 3.3. Să presupunem că dăm cu banul în mod repetat, și pentru fiecare aruncare, probabilitatea de a nimeri cap, respectiv pajură, este de . Definim variabilele aleatorii (Xj)j = =0,1,2… după cum urmează

Xj =

Apoi definim procesul stochastic (Mn)n=0,1,2… prin

Mn = .

Acest proces stochastic se numește mersul simetric aleatoriu. Cu fiecare cap ce urcă cu unu și cu fiecare pajura ce coboară cu unu.

Folosind proprietățile probabilității condiționate, se arată că procesul stochastic (Mn) este o martingală.

Fie σ o constantă pozitivă se arată că procesul () este o submartingală.

Acum pentru n ≥ 0, definim

Sn =

Adaugăm factorul pentru a reduce submartingala în (b). Arătăm că procesul (Sn) este o martingală.

Soluție.

Prima dată verificăm că prin definiția sa, procesul să fie adaptat. Apoi dacă Mn+1 = Mn + Xn+1, avem, prin intermediul proprietăților probabilității condiționate,

𝔼n[Mn+1] = 𝔼n[Mn + Xn+1

= 𝔼n[Mn] + 𝔼n[ Xn+1] (prin liniaritate)

= Mn + 𝔼n[Xn+1] (prin eliminarea a ceea ce este cunoscut)

= Mn + [Xn+1] (prin independenta deoarece Xn+1 depinde doar de ωn+1)

= Mn,

ca fiind

[Xn+1] =

Procesul (Mn) este o martingală.

În acest caz, vom numi Yn =. Procesul (Yn) este adaptat precum (Mn). Mai mult, avem

Yn+1 = = = = Yn.

Apoi, potrivit proprietăților probabilității condiționate,

𝔼n[Yn+1] = 𝔼n[Yn]

= Yn𝔼n[] (prin eliminarea a ceea ce este cunoscut)

= Yn[] (prin independenta deoarece Xn+1 depinde doar de ωn+1

= n

≥ Yn,

ca,

[] = eσ + -σ = ≥ 1.

Ca o consecință, (Yn) este o submartingală.

În acest caz, se consideră Zn = n care este încă adaptat. Atunci

𝔼n[Sn+1] = (prin liniaritate)

= n ( prin (b))

= n = Sn

Și procesul (Sn) este o martingală.

Bibliografie

Halmos, P., Measure Theory, Springer -Verlag New-York, 1971

Heunis, A., Notes on Stochastic Calculus, University of Waterloo, 2008.

Hunt, P. , Kennedy,J., Financial Derivatives in Theory and Practice, Wiley, 2004

Kessler, P., Roșiu, M., Introducere în teoria mǎsurii, Ed. Universitaria, Craiova, 2002

Kessler, P., Roșiu, M., Exerciții și probleme de teoria mǎsurii, Ed. Universitaria, Craiova, 2003

Pliska, S.R., Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models, Blackwell, 1997

Shreve, S.E., Stochastic calculus and Finance I: Binomial Model, Springer, 2004

Williams, D., Probability with Martingales, Cambridge university Press, 1991.

Bibliografie

Halmos, P., Measure Theory, Springer -Verlag New-York, 1971

Heunis, A., Notes on Stochastic Calculus, University of Waterloo, 2008.

Hunt, P. , Kennedy,J., Financial Derivatives in Theory and Practice, Wiley, 2004

Kessler, P., Roșiu, M., Introducere în teoria mǎsurii, Ed. Universitaria, Craiova, 2002

Kessler, P., Roșiu, M., Exerciții și probleme de teoria mǎsurii, Ed. Universitaria, Craiova, 2003

Pliska, S.R., Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models, Blackwell, 1997

Shreve, S.E., Stochastic calculus and Finance I: Binomial Model, Springer, 2004

Williams, D., Probability with Martingales, Cambridge university Press, 1991.