Filtrarea Wiener

CAPITOLUL 4

FILTRAREA WIENER

4.1 Introducere

În procesul de transmisie a unui semnal de la sursă la receptor, semnalul este distorsionat de multipli factori perturbativi. Pe de-o parte este vorba despre efectul canalului de transmisie, fie acesta sârmă de cupru, mediu radio sau fibră optică. [1] Pe de altă parte semnalul este afectat de zgomotul aditiv din canal. În figura 4.1 este prezentată schema bloc a unui sistem de transmisie.

Figura 4.1 Schema bloc a unui sistem de transmisie

Să presupunem o sursă care emite un semnal purtător de informație x(t). Canalul de transmisie poate fi modelat ca un filtru, descris de răspunsul la impuls h(t). Efectul canalului de transmisie asupra semnalului este atunci descris de produsul de convoluție dintre semnal și răspunsul la impuls al canalului. Obținem varianta distorsionată a semnalului:

v(t)=x(t) כ g(t) (4.1)

Zgomotul aditiv din canal este modelat ca un semnal n(t), provenit de la o sursă de zgomot, care se adună peste semnalul deja distorsionat. Semnalul recepționat va fi descris de ecuația:

y(t)= x(t) כ g(t) + n(t) (4.2)

Receptorul va trebui sa extragă semnalul purtător de informație din semnalul recepționat. Aceasta presupune o operație de filtrare cu scopul de-a elimina efectele canalului și a zgomotului aditiv din canal. Deci soluția ar presupune proiectarea unui filtru adaptiv optimal,

la intrarea căruia daca se aplică semnalul recepționat y(t) va produce un semnal ݔො(t), cât mai apropiat de semnalul original x(t) care a fost emis.

Problema cu care ne confruntăm, anume extragerea semnalului util de pe un fundal zgomotos, nu este una ușor de rezolvat. Spectrul zgomotului se suprapune peste spectrul semnalului util, astfel încât trebuie găsită metoda eficientă de-a le separa. O metodă care ar fi potrivităa unei situații ar putea fi dezastruoasă în altele. Filtrarea optimală, o tehnică inovatoare de filtrare a semnalelor zgomotoase, presupune aplicabilitate universală. Vom analiza 3 metode de filtrare care se pot utiliza spre soluționarea problemei prezentate prezentând avantajele și dezavantajele fiecărei metode în parte. [2]

4.1.1 Moving Average Filter (filtru cu fereastră glisantă)

Filtrul cu fereastră glisantă este utilizat în reducerea zgomotului, în timp ce raspunsul la impuls rămâne bine definit și determinat. Acest filtru este aplicabil semnalelor în domeniu timp, obținând rezultate satisfăcătoare. În domeniul frecventa însă filtrul cu fereastra glisantă este cea mai proastă alegere deoarece nu are posibilitatea de-a discrimina o bandă de frecvență față de alta. Avantajul acestui filtru constă în faptul că nu este adaptiv și este ușor modificabil pentru a fi pretabil aplicației. Tot intre avantaje se numără și simplitatea implementării.

4.1.2 Matched Filter

Matched filter folosește funcția de corelație pentru filtrarea zgomotului din semnale. Din punct de vedere a raportului semnal zgomot, aceasta metoda de filtrare este net superioară altor metode. Inconvenientul major îl constituie faptul că semnalul “curat”, neafectat de zgomot, trebuie să fie cunoscut apriori, ceea ce este imposibil într-un sistem de transmisie.

4.1.3 Wiener Filter

Filtrul Wiener (denumirea provine de la Norbert Wiener) separă semnalul util de zgomot pe baza spectrului de frecvență. Se pornește de la premisa ca unele componente spectrale conțin mai multă informație utilă, în timp ce altele conțin mai mult zgomot. Deci componentele spectrale cu zgomot sunt cele care vor trebui blocate. Mai mult, câștigul filtrului pe fiecare frecvență se determină din raportul de informație utilă și zgomot conținut în componenta spectrală respectivă. Dezavantajul acestui filtru este că, în ciuda eleganței matematice, în

practică rezultatele nu sunt în totdeauna satisfăcătoare. La aceasta se adaugă complexitatea ridicată implementării și timpul mare de procesare.

Fiecare din cele trei filtre prezentate sunt potrivite anumitor situații întâlnite în practică, dar nu oferă o soluție general valabilă problemei de filtrare a zgomotului. De exemplu, filtrul Wiener mărește raportul semnal-zgomot al unui semnal, dar în același timp produce și o distorsiune a semnalului.

4.2 Fundamentare teoretică a filtrării Wiener

Teoria filtrării pe baza erorii pătratice minime (least square error) formulează fundamentele filtrării liniare adaptive. Aplicațiile acestor tipuri de filtre sunt diverse cum ar fi: predicția liniară, anularea ecoului, netezirea semnalelor, egalizarea canalului sau identificarea sistemului.

Teoria filtrării pe baza erorii pătratice minime a fost formulată de către Andrei Kolmogorov (1941) și independent de către Norbert Wiener (1949). Metoda lui Kolmogorov era bazată pe analiza în domeniul timp, în timp ce metoda lui Wiener se baza pe analiza în domeniul frecvență.

Filtrul Wiener poate să fie de tip răspuns infinit la impuls (IIR), sau răspuns finit la impuls (FIR). În prezentarea fundamentării teoretice vor fi analizate filtrele Wiener de tip FIR deoarece calculele sunt mai simple iar filtrele obținute sunt stabile și mult mai practice. Principalul dezavantaj al filtrelor FIR în comparație cu filtrele IIR este numărul mare de coeficienți necesar pentru a estima un răspuns dorit.

Înainte de descrierea fundamentelor teoretice trebuie definiți termenii care vor fi utilizați:

− Semnal dorit = semnalul neafectat de zgomot. În cazul unui sistem de transmisie, semnalul dorit este cel care a fost emis și se dorește a fi recepționat.

− Intrarea în filtru = semnalul care se pune pe poarta de intrare a filtrului. În cazul sistemului de transmisie este vorba de semnalul recepționat.

− Semnalul de ieșire din filtru = semnalul obținut în urma procesului de filtrare. Acesta reprezintă o aproximare cat mai exactă a semnalului dorit.

4.2.1 Determinarea ecuațiilor de filtrare Wiener

In figura 4.2 este prezentat un filtru Wiener caracterizat prin vectorul de coeficienți w. Ca intrare în filtru avem semnalul y(n), care este de fapt o varianta distorsionata a semnalului dorit x(n). La ieșirea filtrului obținem un semnal ݔොሺ݊ሻ, care este calculat astfel încât eroarea medie pătratică dintre acesta și semnalul dorit sa fie minimă. Relația intrare-ieșire a filtrului

este dată de relația:

௉ିଵ

ݔොሺ݉ሻ ൌ ෍ ݓ௞ ݕሺ݉ െ ݇ሻ ൌ ݓ ் ݕ ሺ4.3ሻ

௞ୀ଴

Figura 4.2. Schema bloc a unui filtru Wiener de tip FIR.

unde, n reprezintă variabila în domeniul discret, vectorul yt=[y(n), y(n-1), … , y(n-P-1)] reprezintă semnalul de intrare în filtru, ݔොሺ݊ሻ este semnalul de iesire din filtru, iar vectorul wT reprezintă coeficienții Wiener. Formula (4.3) exprimă operația de filtrare în două moduri, anume ca sumă de convoluție și ca produs vectorial.

Se va defini semnalul eroare, e(n), ca fiind diferența dintre semnalul dorit x(n) și semnalul estimat ݔොሺ݊ሻ:

݁ሺ݊ሻ ൌ ݔሺ݊ሻ െ ݔොሺ݊ሻ ൌ ݔሺ݊ሻ െ ݓ ் ݕ ሺ4.4ሻ

In relația (4.4), pentru o secvență y(n) și un semnal dorit x(n) date, semnalul eroare va depinde doar de coeficienții Wiener.

Pentru a vedea relația dintre vectorul de coeficienți Wiener w, și semnalul eroare e(n), vom rescrie ecuația (4.4) de N ori. Pentru o fereastră de analiză a semnalului de intrare de N eșantioane obținem:

݁ሺ0ሻ

݁ሺ1ሻ

…

ݔሺ0ሻ

݁ሺܰ െ 1ሻ

ݕሺ0ሻ ݕሺെ1ሻ ݕሺെ2ሻ … ݕሺ1 െ ܲሻ ݓ଴

ቌ ݔሺ1ሻ

ቍ െ ቌ

ݕሺ1ሻ ݕሺ0ሻ ݕሺെ1ሻ … ݕሺ2 െ ܲሻ ቍቌ ݓଵ

ቍ (4.5)

…

ݔሺܰ െ 1ሻ

…

ݕሺܰ െ 1ሻ

…

ݕሺܰ െ 1ሻ

…

ݕሺܰ െ 3ሻ

… …

… ݕሺܰ െ ܲሻ

…

ݓ௉ିଵ

Intr-o notație vectorială, relația (4.5) se rescrie:

݁ ൌ ݔ െ ܻݓ ሺ4.6ሻ

unde e este vectorul eroare, x este vectorul semnal dorit și Yw= ݔො este semnalul filtrat. Se presupune că filtrul se afla fie în condiții inițiale nule, fie în condiții inițiale cunoscute: [y(-1)

… y(-P-1)].

Ne interesează dependența soluției ecuației (3.3) de numărul eșantioanelor de intrare. Distingem 3 cazuri distincte:

− N=P, în cazul acesta avem N ecuații cu N necunoscute ceea ce ne conduce la un sistem determinat cu soluție unica w, și eroare de estimare nulă;

− N<P, în acest caz avem un sistem sub-determinat, o infinitate de soluții w;

− N>P, în acest caz avem un sistem supra-determinat, o soluție unica, dar eroare de estimare nenula.

In practică ne confruntam cu două situații:

− Semnalul dorit x(n) nu este disponibil

− numărul eșantioanelor de intrare depășește numărul de coeficienți ai filtrului, ceea ce corespunde celui de-al treilea caz descris mai sus.

Astfel, coeficienții filtrului Wiener vor fi calculați pentru a minimiza eroarea medie, respectiv eroarea medie pătratică E[e2(n)], unde prin E[.] s-a notat operatorul de expectanță, în acest caz medierea. Rezultă de-aici că optimizarea algoritmului de calcul a coeficienților Wiener depinde foarte mult de alegerea corespunzătoare a funcției eroare.

În teoria Wiener, criteriul de calcul al semnalului eroare este eroarea medie pătratică minimă (Least Mean Square Error LSE) între semnalul de ieșire al filtrului și semnalul dorit. Criteriul erorii pătratice minime este optimal în cazul semnalelor cu distribuție spectrală Gaussiană. Se va arăta că pentru filtrele FIR, criteriul LSE conduce la o soluție liniară de tip closed-form. Coeficienții Wiener sunt obținuți prin minimizarea unei funcții a erorii medii pătratice ܧሾ݁ଶ ሺ݊ሻሿ. Din ecuația (4.4), estimarea erorii medii pătratice e dată de:

ܧሾ݁ଶ ሺ݊ሻሿ ൌ ܧሾሺݔሺ݊ሻ െ ݓ ் ݕሻଶ ሿ

ൌ ܧሾݔଶ ሺ݊ሻሿ െ 2ݓ ் ܧሾݕ · ݔሺ݊ሻሿ ൅ ݓ ் ܧሾݕ · ݕ் ሿݓ ൌ ݎ௫௫ ሺ0ሻ െ 2ݓ ் ݎ௬௫ ൅ ݓ ் ܴ௬௬ ݓ (4.7)

unde, Ryy=E[y(n)·yT(n)] este matricea de autocorelație a semnalului de intrare în filtru iar

ryx=E[y(n)·x(n)] este vectorul de intercorelație a semnalului de intrare în filtru și a semnalului dorit. Dacă dezvoltăm ecuația (4.7) obținem:

ܧሾ݁ଶ ሺ݊ሻሿ ൌ ݎ௫௫ ሺ0ሻ െ 2 ∑௉ିଵ ݓ௞ ݎ௬௫ ሺ݇ሻ ൅ ∑௉ିଵ ݓ௞ ∑௉ିଵ ݓ௝ ݎ௬௬ ሺ݇ െ ݆ሻ ሺ4.8ሻ

௞ୀ଴

௞ୀ଴

௝ୀ଴

Unde, ryy(k) și ryx(k) sunt elemente din matricea de autocorelație Ryy, respectiv din vectorul de intercorelație ryx.

Din ecuația (3.5) reiese că eroarea medie pătratică a unui filtru FIR este o funcție de gradul 2 cu variabilă vectorul de coeficienți w. Funcția are un singur punct de minim care corespunde punctului în care puterea semnalului eroare e minimă. În acest punct funcția eroare are

gradientul de valoare nul, astfel din (4.7) aplicând funcția gradient obținem:

߲

ܧሾ݁ଶ ሺ݊ሻሿ ൌ െ2ܧሾݕሺ݊ሻ · ݔሺ݊ሻሿ ൅ 2ݓ ் ܧሾݕሺ݊ሻ · ݕ் ሺ݊ሻሿ

߲ݓ

ൌ െ2ݎ௬௫ ൅ 2ݓ ் ܴ௬௬ (4.9)

unde, vectorul gradient se definește:

డ ൌ ቂ డ , డ , డ ,…, డ ቃ

(4.10)

డ௪ డ௪బ

డ௪భ

డ௪మ

డ௪ುషభ

Filtrul Wiener de eroare medie pătratică minimă se obține egalând ecuația (4.9) cu 0. Obținem atunci:

ܴ௬௬ ݓ ൌ ݎ௬௫ (4.11)

Înmulțim la stânga ambii membri cu Ryy-1 și obținem vectorul de coeficienți ai filtrului

Wiener:

ݓ ൌ ܴ௬௬ ିଵݎ௬௫ (4.12) Într-o formă dezvoltată, ecuația (4.12) devine:

ݓ଴

ቌ ݓଵ

ቍ ൌ ൮

ݎ௬௬ ሺ0ሻ ݎ௬௬ ሺ1ሻ ݎ௬௬ ሺ2ሻ … ݎ௬௬ ሺܲ െ 1ሻ

ݎ௬௬ ሺെ1ሻ ݎ௬௬ ሺ0ሻ ݎ௬௬ ሺ1ሻ … ݎ௬௬ ሺܲ െ 2ሻ൲ ൮

ݎ௬௫ ሺ0ሻ

ݎ௬௫ ሺ1ሻ

൲ (4.13)

…

ݓ௉ିଵ

…

ݎ௬௬ ሺܲ െ 1ሻ

…

ݎ௬௬ ሺܲ െ 2ሻ

…

ݎ௬௬ ሺܲ െ 3ሻ

… …

… ݎ௬௬ ሺ0ሻ

…

ݎ௬௫ ሺܲ െ 1ሻ

4.2.2 Ecuațiile de filtrare Wiener în domeniul frecvență

In domeniul frecventa, semnalul de ieșire din filtrul Wiener, ܺ෠ሺ݂ሻ, este produsul dintre semnalul de intrare Y(f) și răspunsul la frecvență al filtrului H(f):

ܺ෠ ሺ݂ሻ ൌ ܻሺ݂ሻ · ܹሺ݂ሻ (4.14)

Semnalul eroare de estimare, E(f), se definește ca diferența dintre semnalul dorit, X(f), și semnalul obținut în urma filtrării, ܺ෠ሺ݂ሻ:

ܧሺ݂ሻ ൌ ܺሺ݂ሻ െ ܺ෠ ሺ݂ሻ

ൌ ܺሺ݂ሻ െ ܻሺ݂ሻ · ܹሺ݂ሻ (4.15) Eroarea medie pătratică la o frecvență f va fi dată de:

ܧሾ|ܧሺ݂ሻ|ଶ ሿ ൌ ܧሾሺܺሺ݂ሻ െ ܻሺ݂ሻ · ܹሺ݂ሻሻ כ ሺܺሺ݂ሻ െ ܻሺ݂ሻ · ܹሺ݂ሻሻሿ (4.16)

unde E[.] reprezintă operatorul de expectanță, iar * reprezintă produsul complex conjugat. Pentru a obține filtrul de eroare medie pătratică minimă trebuie să egalăm cu zero derivata

ecuației lui ܧሾ|ܧሺ݂ሻ|ଶ ሿ în raport cu W(f):

డாൣ|ாሺ௙ሻ|మ൧ ൌ 2 · ܹሺ݂ሻ · ܲ

ሺ݂ሻ െ 2 · ܲ

ሺ݂ሻ ൌ 0 (4.17)

డௐሺ௙ሻ

௬௬ ௫௬

unde ܲ௬௬ ሺ݂ሻ ൌ ܧሾܻሺ݂ሻܻכ ሺ݂ሻሿ și ܲ௫௬ ሺ݂ሻ ൌ ܧሾܺሺ݂ሻܻכ ሺ݂ሻሿ reprezintă spectrul de putere al lui

Y(f), respectiv cross-power spectrum al Y(f) și X(f) . Se obține ecuația pentru filtrul Wiener:

ܹሺ݂ሻ ൌ

௉ೣ೤ሺ௙ሻ

௉೤೤ ሺ௙ሻ

(4.18)

Aceeași ecuație s-ar obține dacă am aplica transformata Fourier relației (4.11):

∑ ∑௉ିଵ ݓ௞ ݎ௬௬ ሺ݊ െ ݇ሻ݁ ି௝ఠ௡ ൌ ∑ ݎ

ሺ݊ሻ݁ି௝ఠ௡ (4.19)

௠ ௞ୀ଴

௠ ௬௫

ceea ce arată că funcția de corelație, respectiv funcția densitate spectrală de putere sunt perechi Fourier.

4.2.3 Filtrarea Wiener în reducerea zgomotului aditiv

Fie un semnal util x(n) afectat de un zgomot alb aditiv n(n), ceea ce ne dă:

ݕሺ݊ሻ ൌ ݔሺ݊ሻ ൅ ݊ሺ݊ሻ (4.20)

Presupunând că semnalul util și zgomotul sunt necorelate, anume rxn(n)=0, ceea ce conduce la exprimarea matricii de autocorelație a semnalului zgomotos ca fiind suma matricilor de autocorelație a semnalului util și a zgomotului:

ܴ௬௬ ൌ ܴ௫௫ ൅ ܴ௡௡ (4.21) Această dependență mai poate fi scrisă:

ݎ௫௬ ൌ ݎ௫௫ (4.22)

Substituind ecuațiile (3.19) și (3.20) în ecuația filtrului Wiener (4.12) obținem:

ݓ ൌ ሺܴ௫௫ ൅ ܴ௡௡ ሻିଵ · ݎ௫௫ (4.23)

Ecuația (3.21) descrie filtrul liniar optimal de eliminare a zgomotului aditiv.

În continuare se studiază răspunsul la frecvență a filtrului Wiener. În domeniul frecvență

semnalul zgomotos este dat de relația:

ܻሺ݂ሻ ൌ ܺሺ݂ሻ ൅ ܰሺ݂ሻ (4.24)

unde X(f) și N(f) semnifică spectrul semnalului util, respectiv spectrul zgomotului. În cazul zgomotului aditiv aleator, filtrul Wiener în domeniul frecvență se scrie:

ܹሺ݂ሻ ൌ ௉ೣೣ ሺ௙ሻ (4.25)

௉ೣೣሺ௙ሻା௉೙೙ሺ௙ሻ

unde Pxx(f) și Pnn(f) semnifică spectrul de putere al semnalului util, respectiv al zgomotului. Împărțind atât numărătorul cât și numitorul ecuației (4.25) cu spectrul de putere al zgomotului Pnn(f) obținem:

ܹሺ݂ሻ ൌ ௌேோሺ௙ሻ (4.26)

ௌேோሺ௙ሻାଵ

unde SNR este o măsură a raportului semnal zgomot. De remarcat este faptul că funcția variabilă SNR(f) este exprimată în termeni de raport de puteri spectrale, și nu în accepțiunea uzuală de logaritm zecimal al raportului de puteri exprimat în dB. Astfel, SNR(f)=0 corespunde unui semnal nul, adică 10lg(0)=-∞ dB, SNR(f)=1 corespunde unui semnal a cărui nivel este egal cu nivelul de zgomot, adică 10lg(1)=0 dB, iar SNR(f)=0.5 corespunde la

10lg(0.5)=-3 dB. Figura 4.3 arată variația răspunsului la frecvență a filtrului Wiener W(f) cu raportul semnal zgomot SNR(f).

Figura 4.3. Variația răspunsului la frecvență a filtrului Wiener W(f) cu raportul semnal zgomot SNR(f).