Filosofia matematicii, logicii și fundamentele matematicii [607256]

Filosofia matematicii, logicii și fundamentele matematicii

Pe de o parte, filozofia matematicii este preocupată de probleme care sunt strâns legate de
problemele centrale ale metafizicii și epistemologiei. La prima fardare, matematica pare să
studieze entitățile abstracte. Aceasta ne face să ne întrebăm în ce con stă natura entităților
matematice și cum putem avea cunoștințe despre entitățile matematice. Dacă aceste probleme
sunt considerate ca fiind nepracticabile, atunci se poate încerca să vedem dacă obiectele
matematice pot fi cumva aparținând lumii concrete.Pe de altă parte, s -a dovedit că într -o oarecare
măsură este posibil să aducem metode matematice care să poată pune întrebări filozofice
referitoare la matematică. Cadrul în care s -a făcut acest lucru este cel al logicii matematice atunci
când este conceput în general ca cuprinzând teoria probelor, teoria modelelor, teoria seturilor și
teoria computabilității subcomandă. Astfel, secolul al XX -lea a fost martor la investigarea
matematică a consecințelor a teoriilor filosofice referitoare la natura matematicii.
Când matematicienii profesioniști sunt preocupați de bazele subiectului lor, li se spune că sunt
angajați în cercetări fundamentale. Când filozofii profesioniști investighează întrebări filozofice
referitoare la matematică, se spune că contribuie la filo zofia matematicii. Desigur, distincția
dintre filosofia matematicii și fundamentele matematicii este vagă, iar între interacțiunea dintre
filosofi și matematicieni este mai multă interacțiune care se ocupă de natura matematicii, cu atât
mai bine.
Cele patr u mari școli de filozofie matematică

Perspectivele filosofice și științifice generale din secolul al XIX -lea tindeau spre empiric:
aspectele platonice ale teoriilor raționaliste ale matematicii pierdeau rapid sprijin. În special
facultatea de intuiție ra țională a ideilor, cândva foarte lăudată, era privită cu suspiciune. Astfel, a
devenit o provocare să formulăm o teorie filozofică a matematicii care nu avea elemente
platoniste. În primele decenii ale secolului al XX -lea, s -au dezvoltat trei relatări non -platoniste
ale matematicii: logica, formalismul și intuiționismul. La începutul secolului XX a apărut și un
al patrulea program: predicativism. Din cauza circumstanțelor istorice contingente, potențialul
său real nu a fost pus în practică decât în anii '60. Cu toate acestea, merită un loc pe lângă cele
trei școli tradiționale care sunt discutate în majoritatea introducerilor standard contemporane la
filozofia matematicii, cum ar fi (Shapiro 2000) și (Linnebo 2017).

In orice caz, in acest eseu a m intentia de a discuta doua dintre cele patru scoli: Intuiționismul ,
si desigur, Formalismul . De ce acestea doua in mod special? Din punctul meu de vendere,
acestea formeaza o mare parte din construcționsimul matematic, care este foarte practic in zilele
noastre, in multe din aspecte.
Intuitionismul a fost introdus de matematicianul olandez L.E.J. Brouwer. Acesta susține că
obiectele principale ale matematicii sunt construcții mentale guvernate de legi evidente de la
sine. Intuționismul a contestat multe dintre principiile matematicii ca fiind neconstructive și, prin
urmare, lipsite de semnificație din punct de vedere matematic.
Formalismul a fost introdus de matematicianul german David Hilbert și consideră că toată
matematica poate fi redusă la reguli pentru manipularea formulelor fără nicio referire la
semnificațiile formulelor. Astfel, conform formalismului, simbolurile matematice în sine și nu
orice semnificație care i -ar putea fi atribuite sunt obiectele de bază ale matematicii.

Intuț ionismul își are originea în activitatea matematicianului L.E.J. Brouwer (van Atten 2004)
și se inspiră din părerile kantiene despre ceea ce sunt obiectele (Parsons 2008, capitolul 1).
Potrivit intuiționismului, matematica este în esență o activitate de construcție. Numerele naturale
sunt construcții mentale, numerele reale sunt construcții mentale, dovezi și teoreme sunt
construcții mentale, semnificația matematică este o construcție mentală … Construcțiile
matematice sunt produse de matematicianul ide al, adică abstracția este făcută din limitările
contingente, fizice ale realului matematician de viață. Dar chiar și matematicianul ideal rămâne o
ființă finită. Ea nu poate încheia niciodată o construcție infinită, chiar dacă poate completa părțile
iniția le finite mari ale acesteia. Aceasta implică faptul că intuiționismul respinge hotărât
existența infinitului real (sau completat); numai colecțiile potențial infinite sunt date în
activitatea de construcție. Un exemplu de bază este construcția succesivă în timp a numerelor
naturale individuale.
Din aceste considerente generale despre natura matematicii, bazată pe condiția minții umane
(Moore 2001), intuiționiștii deduc o poziție revizionistă în logică și matematică. Ei găsesc dovezi
de existență non -constr uctive inacceptabile.

Dovezile existenței non -constructive sunt dovezi care au scopul de a demonstra existența unei
entități matematice care are o anumită proprietate, fără a conține implicit o metodă de generare a
unui exemplu de astfel de entitate. Intuționismul respinge dovezile existenței non -constructive
drept „teologice” și „metafizice”. Caracteristica caracteristicilor existenței non -constructive este
aceea că acestea folosesc esențial principiul terții excluse
φ∨¬φ
,sau unul dintre echivalenții săi, cum ar fi principiul dublei negații
¬¬φ → φ
În logica clasică, aceste principii sunt valabile. Logica matematicii intuiționiste este obținută
prin îndepărtarea principiului excluderii tertului (și a echivalenților acest uia) din logica clasică.
Acest lucru duce desigur la o revizuire a cunoștințelor matematice. De exemplu, teoria clasică a
aritmeticii elementare, nu mai poate fi acceptată. În schimb, se propune o teorie intuitivistă a
aritmeticii (denumită Heyting Arithme tic) care nu conține principiul excluderii tertului.

Deși aritmetica elementară intuiționalistă este mai slabă decât aritmetica elementară clasică,
diferența nu este chiar atât de mare. Există o traducere sintactică simplă, care traduce toate
teoremele clasice ale aritmeticii în teoreme care sunt intuițional probabile.
În primele decenii ale secolului XX, părți ale comunității matematice simpatizau cu critica
intuiționalistă a matematicii clasice și cu alternativa pe care o propunea. Această situație s -a
schimbat atunci când a devenit clar că în matematica superioară, alternativa intuițională diferă
destul de drastic de teoria clasică. De exemplu, analiza matematică intuiționalistă este o teorie
destul de complicată și este foarte diferită de analiza mat ematică clasică. Acest lucru a înmuiat
entuziasmul comunității matematice pentru proiectul intuițional. Cu toate acestea, adepții lui
Brouwer au continuat să dezvolte matematica intuițională până în zilele noastre (Troelstra și van
Dalen, 1988).
David Hi lbert a fost de acord cu intuiționiștii că există un sens în care numerele naturale sunt de
bază în matematică. Dar spre deosebire de intuiționiști, Hilbert nu a luat numerele naturale
pentru a fi construcții mentale. În schimb, el a susținut că numerele n aturale pot fi considerate
simboluri. Simbolurile sunt strict obiecte abstracte.

Cu toate acestea, este esențial ca simbolurile să poată fi întruchipate de obiecte concrete, deci le
putem numi obiecte cvasi -concrete (Parsons 2008, capitolul 1). Poate c ă entitățile fizice ar putea
juca rolul numerelor naturale. De exemplu, putem lua o urmă de cerneală concretă a formularului
– a fi numărul 0, o urmă de cerneală realizată concret să fie numărul 1 și așa mai departe.
Hilbert a considerat că este îndoiel nic că matematica superioară poate fi interpretată direct într -o
manieră la fel de simplă și poate chiar concretă. Spre deosebire de intuiționiști, Hilbert mu era
pregătit să ia o poziție revizionistă față de corpul existent de cunoștințe matematice. În sc himb, el
a adoptat o poziție instrumentistă în ceea ce privește matematica superioară. El a crezut că
matematica superioară nu este mai mult decât un joc formal. Enunțurile matematicii de ordin
superior sunt șiruri de simboluri neinterpretate. Dovada unor astfel de afirmații nu este altceva
decât un joc în care simbolurile sunt manipulate conform regulilor fixe. Punctul „jocului
matematicii superioare” constă, în opinia lui Hilbert, în dovedirea afirmațiilor aritmeticii
elementare, care au o interpretare di rectă (Hilbert 1925). Hilbert a considerat că nu poate exista
niciun dubiu rezonabil cu privire la soliditatea aritmeticii clasice – sau cel puțin la temeinicia
unui subsistem al acesteia care se numește aritmetica recurentă primitivă (Primitive Recursive
Arithmetic). Și a crezut că fiecare afirmație aritmetică care poate fi dovedită făcând un ocol prin
matematica superioară, poate fi dovedită și direct în aritmetica clasica. De fapt, a bănuit cu tărie
că fiecare problemă a aritmeticii elementare poate fi decisă din axiomele aritmeticii lui Peano .

Desigur, rezolvarea problemelor aritmetice în aritmetică este practic imposibilă. Istoria
matematicii a arătat că realizarea unui „ocol” prin matematica superioară poate duce uneori la o
dovadă a unei afirmații aritmetice mult mai scurte și care oferă mai multă înțelegere decât orice
dovadă pur aritmetică a aceleiași afirmații.

Hilbert și -a dat seama, deși oarecum slab, că unele dintre convingerile sale pot fi considerate de
fapt conjecturi matematic e. Pentru o dovadă într -un sistem formal de matematică superioară sau
de aritmetică elementară este un obiect combinat finit care poate fi considerat, prin codare
modulo, a fi un număr natural. Dar în anii 1920 detaliile codificării dovezilor ca numere nat urale
încă nu erau înțelese complet. Din punct de vedere formalist, o cerință minimă a sistemelor
formale de matematică superioară este ca acestea să fie cel puțin consecvente. În caz contrar,
fiecare afirmație despre aritmetica elementară poate fi dovedit ă în ele. De asemenea, Hilbert a
văzut (din nou, slab) că consistența unui sistem de matematică superioară implică faptul că acest
sistem este cel puțin parțial aritmetic solid. Așadar, Hilbert și studenții săi și -au propus să
demonstreze enunțuri precum c onsistența postulatelor standard ale analizei matematice.

Desigur, astfel de afirmații ar trebui să fie dovedite într -o parte „sigură” a matematicii, cum ar fi
aritmetica elementară. Altfel, dovada nu ne crește convingerea în consecvența analizei
matematice. Și, din fericire, a părut posibil, în principiu, să facem acest lucru, căci în ultima
analiză, afirmațiile de consecvență sunt, din nou, codarea moduloasă, enunțuri aritmetice.

Așadar, pentru a fi mai precis, Hilbert și studenții săi și -au propus să demonstreze consistența,
de exemplu, axiomelor analizei matematice în aritmetica clasică. Acest proiect a fost cunoscut
sub numele de programul lui Hilbert. S -a dovedit a fi mai dificil decât se așteptaseră. De fapt,
nici nu au reușit să dovedeasc ă consistența axiomelor aritmeticii clasice, si aritmetica lui Peano.

Toate acestea nu produc sfârșitul formalismului. Chiar și în fața teoremelor incompletitudinii,
este coerent să susținem că matematica este știința sistemelor formale. O versiune a ac estei
opinii a fost propusă de Curry (Curry 1958). Din acest punct de vedere, matematica constă într -o
colecție de sisteme formale care nu au nici o interpretare sau subiect. (Curry aici face o excepție
pentru metamatematică.) În legătură cu un sistem form al, se poate spune că o afirmație este
adevărată dacă și numai dacă este derivabilă în sistem. Dar la un nivel fundamental, toate
sistemele matematice sunt la egalitate. Pot fi cel mult motive pragmatice pentru a prefera un
sistem față de altul. Sistemele inconsistente pot dovedi toate afirmațiile și, prin urmare, sunt
destul de inutile. Deci, atunci când un sistem este inconsecvent, acesta trebuie modificat. Este
pur și simplu o lecție din teoremele de incompletitudine ale lui Gödel că un sistem suficient de
puternic nu poate dovedi propria consistență. Există o obiecție canonică împotriva poziției
formaliste a lui Curry. Matematicienii nu tratează de fapt toate sistemele formale aparent
consistente ca fiind la egalitate. Majoritatea dintre ei nu doresc să admită că preferința sistemelor
aritmetice în care propoziția aritmetică care exprimă consistența aritmeticii Peano este derivabilă
față de cele în care negația sa este derivabilă, de exemplu, poate fi în cele din urmă explicată în
termeni pur pragmatici. Mulți matematicieni doresc să susțină că corectitudinea percepută
(incorectă) a anumitor sisteme formale trebuie în cele din urmă explicată prin faptul că acestea
descriu corect (incorect) anumite subiecte. Detlefsen a subliniat că teoremele incompletitudi nii
nu împiedică ca coerența unor părți ale matematicii superioare care sunt utilizate în practică
pentru rezolvarea problemelor aritmetice de care sunt interesați matematicienii să poată fi
aritmetică stabilită (Detlefsen 1986). În acest sens, poate fi sa lvat ceva din flăcări, chiar dacă
poziția instrumentistă a lui Hilbert față de toate matematicile superioare este în cele din urmă de
neatins.

BIBLIOGRAFIE

van Atten, M., 2004. On Brouwer, London: Wadsworth.

Parsons, 2008. Mathematical Thought and its Objects. Cambridge Univ.
Press.

Moore, A., 2001. The Infinite, second edition, New York: Routledge.

Troelstra, A. & van Dalen, D., 1988. Constructivism in Mathematics: An
Introduction (Volumes I and II)

Hilber t, David; 1925. "On the infinite," 367 –392

Curry, H., 1958. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics,
Amsterdam: North -Holland.

Detlefsen, M., 1986. Hilbert’s Program, Dordrecht: Reidel.