Fie 𝐸⊂ℝ o mulțime oarecare și 𝑓o funcție, 𝑓:𝐸→ℝ. Pentru orice 𝑠∈ℝ se consideră mulțimea 𝐸𝑠= 𝑥 𝑓 𝑥 >𝑠,𝑥∈𝐸}. Definiția 2.1.1 : Dacă mulțimea 𝐸 este mă… [628526]

15
CAPITOLUL 2
FUNCȚII MĂSURABILE

2.1 FUNCȚII MĂSURABILE ( 𝑳)
Fie 𝐸⊂ℝ o mulțime oarecare și 𝑓o funcție, 𝑓:𝐸→ℝ. Pentru orice 𝑠∈ℝ se
consideră mulțimea 𝐸𝑠= 𝑥 𝑓 𝑥 >𝑠,𝑥∈𝐸}.

Definiția 2.1.1 : Dacă mulțimea 𝐸 este mă surabilă și dacă mulțimea 𝐸𝑠 este măsurabilă
pentru orice 𝑠∈ℝ , atunci se spune că 𝑓este măsurabilă.
Observaț ie: O funcție constantă este o funcție măsurabilă ( 𝐸𝑠=𝐸 sau 𝐸𝑠=∅, unde 𝐸și ∅
sunt măsurabile).

Teorema 2.1.1 : Dacă 𝑓este măsurabilă atunci oricare din mulțimile
a) 𝐸𝑠∗={𝑥|𝑓(𝑥)≥𝑠,𝑥∈𝐸},
b) 𝐸𝑠 ={𝑥|𝑓 𝑥 <𝑠,𝑥∈𝐸},
c) 𝐸𝑠∗ ={𝑥|𝑓(𝑥)≤𝑠,𝑥∈𝐸},
este măsurabilă și reciproc.
Demonstrație:
a) Se observă că avem 𝐸𝑠∗= 𝐸𝑠−1
𝑛∞
𝑛=1 .
Dacă 𝑓este măsurabilă, mulțimile 𝐸𝑠−1
𝑛 sunt măsurabile, deci și intersecția lor, care este
mulțimea 𝐸𝑠∗, este măsurabilă. Reciproc din relația 𝐸𝑠= 𝐸𝑠+1
𝑛∗ ,∞
𝑛=1 deducem că dacă
mulțimile 𝐸𝑠∗ sunt măsurabile (pentru orice s) reuniunea lor , care este m ulțimea 𝐸𝑠este
măsurabilă , deci 𝑓este măsurabilă.
b) Avem 𝐸𝑠 =𝐶𝐸𝑠∗, deci dacă 𝑓 este măsurabilă, conform lui a) 𝐸𝑠∗ este
măsurabilă , deci și complementara ei, care este mulțimea 𝐸𝑠 este măsurabilă.
Reciproca funcționează în mod asemănător deoarece 𝐸𝑠∗=𝐶𝐸𝑠 .
c) Se observă că 𝐸𝑠∗ =𝐶𝐸𝑠 și 𝐸𝑠=𝐶𝐸𝑠∗ .
Această teoremă arată că în definiția funcțiilor măsurabile mulțimea 𝐸𝑠 poate fi
înlocuită cu oricare din mulțimile 𝐸𝑠∗, 𝐸𝑠 , 𝐸𝑠∗ .

16
Teorema 2.1.2 : Dacă funcția 𝑓este măsurabilă atunci oricare din mulțimile
a) 𝐸𝑟𝑠= 𝑥 𝑟<𝑓 𝑥 ≤𝑠,𝑥∈𝐸 ,
b) 𝐸𝑟𝑠 = 𝑥 𝑟≤𝑓 𝑥 <𝑠,𝑥∈𝐸 ,
c) Ers∗= x r≤f x ≤s,x∈E ,
d) Ers∗ = x r<𝑓 x <𝑠,𝑥∈𝐸 ,
este măsurabilă și reciproc.
Teorema 2.1.3 : Fie 𝑓 și 𝑔 sunt două funcții definite și măsurabile pe mulțimea 𝐸.
Mulțimile
a) 𝑀1= 𝑥 𝑓 𝑥 >𝑔 𝑥 ,𝑥∈𝐸 ,
b) 𝑀2= 𝑥 𝑓 𝑥 ≥𝑔 𝑥 ,𝑥∈𝐸 ,
c) 𝑀3= 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥 ,𝑥∈𝐸 ,
sunt măsurabile.
Teorema 2.1.4 : Dacă 𝑓și 𝑔 sunt măsurabile pe 𝐸, funcția
𝜑 𝑥 =𝑎𝑓 𝑥 +𝑏𝑔 𝑥 ,𝑎,𝑏∈ℝ este măsurabilă pe E.
Teorema 2.1.5 :
Dacă 𝑓și 𝑔 sunt măsurabile pe 𝐸, atunci funcțiile:
a) 𝑓(𝑥) 𝑝,𝑝∈(0,∞)
b) 𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 sunt măsurabile .
c) Dacă 𝑔 𝑥 ≠0,1
𝑔(𝑥) este măsurabilă.
Teorema 2.1.6 : Fie 𝑓𝑛(𝑥)un șir de funcții definite pe 𝐸, măsurabile pe 𝐸 și presupunem că
există 𝐻(𝑥)=𝑠𝑢𝑝𝑛𝑓𝑛 𝑥 ,𝑕 𝑥 =𝑖𝑛𝑓𝑛𝑓𝑛 𝑥 .
a) Funcțiile 𝐻(𝑥) și 𝑕(𝑥) sunt măsurabile.
b) Dacă există 𝑓 𝑥 =𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑓𝑛 𝑥 ,
atunci 𝑓 𝑥 este măsurabilă.

2.2. STRUCTURA FUNCȚIILOR MĂSURABILE
Definiție 2.2.1 :
Fie𝑓o funcție definită pe o mulțime 𝐸 și un număr finit de numere 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑝.
Dacă există o partiție 𝐸1,𝐸2,…,𝐸𝑝 a mulțimii 𝐸 cu 𝐸𝑖∩𝐸𝑗=∅ ș𝑖 ∪𝐸𝑖=𝐸, astfel încât
𝑓 𝑥 =𝑐𝑖 dacă 𝑥∈𝐸𝑖 se spune că 𝑓este o funcție scară.

17
Teorema 2.2.1 : Fie 𝑓(𝑥) o funcție măsurabilă, nenegativă, definită pe 𝐸⊂ℝ. Există un șir
{𝑓𝑛(𝑥)} de funcții în scară definite pe 𝐸 astfel încât 𝑓 𝑥 =lim𝑛→∞𝑓𝑛 𝑥 .
Teorema 2.2.2 : Fie {𝑓𝑛(𝑥)} un șir de funcții, definite și măsurabile pe mulțimea
măsurabilă 𝐸,care converge, aproape peste tot pe 𝐸, către funcția 𝑓(𝑥). Funcția 𝑓(𝑥)
este măsurabilă.
Demonstrație:
Fie 𝐸0⊂𝐸 pentru care lim
𝑛→∞𝑓𝑛 𝑥 =𝑓 𝑥 ,𝑥∈𝐸0. Funcția 𝑓(𝑥) este măsurabilă pe 𝐸0.
Avem 𝑚 𝐶𝐸𝐸0 =0, deci 𝑓(𝑥) este măsurabilă pe 𝐶𝐸𝐸0. Rezultă că 𝑓(𝑥) este măsurabilă
pe mulțimea 𝐸.
Teorema 2.2.3
Fie {𝑓𝑛 𝑥 } un șir de funcții, definite și măsurabile pe mulțimea măsurabilă 𝐸, care
converge, aproape peste tot pe E, către funcția măsurabilă 𝑓(𝑥). La orice 𝜀>0 există
𝐹⊂𝐸,𝑚(𝐹)<𝜀, astfel încât șirul {𝑓𝑛(𝑥)} converge uniform către 𝑓(𝑥) pe 𝐶𝐸𝐹.
Exemplul 2.2.1:
Orice mulțime cel mult numărabilă este neglijabilă.
Într-adevăr, dacă 𝐸= 𝑦𝑛 𝑛∈ℕ⊂ℝ, atunci pentru 𝜀>0 să considerăm șirurile
𝑎𝑛=𝑦𝑛−𝜀
2𝑛+1 ,𝑏𝑛=𝑦𝑛+𝜀
2𝑛+1 ,𝑛∈ℕ.
Avem 𝐸⊂ 𝑎𝑛,𝑏𝑛 ∞
𝑛=1 și 𝑏𝑛−𝑎𝑛 ≤𝜀∞
𝑛=1 .
Prin urmare mulțimea E este neglijabilă. Mai mult, se poate demonstra că o
submulțime a unei mulțimi neglijabile este de asemenea neglijabilă, iar o reuniune cel
mult numărabilă de mulțimi neglijabile este neglijabilă .

Exemplul 2.2.2:
Revenind la afirmația făcută în capitolul anterior, vom arăta că mulțimea lui Cantor, deși
nenumărabilă, este neglijabilă.

Demonstrație:

18
Considerăm funcțiile 𝑓,𝑔:ℝ→ℝ, definite prin
𝑓 𝑥 =𝑥
3,𝑔 𝑥 =2
3+𝑓 𝑥 ;∀𝑥∈ℝ.
Deoarece 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑦 = 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑦 =1
3 𝑥−𝑦 ;∀𝑥,𝑦∈ℝ, funcțiile 𝑓 și 𝑔 sunt
contracții pe ℝ, ∙ .
Definim funcția 𝐹:℘ ℝ →℘ ℝ prin
𝐹 𝐴 =𝑓 𝐴 ∪𝑔 𝐴 ,∀𝐴∈℘ ℝ .
Din definiția lui 𝑔 obținem că
𝐹 𝐴 =𝑓 𝐴 ∪ 2
3+𝑓 𝐴 .
De asemenea, dacă 𝐴⊆𝐵, atunci 𝑓 𝐴 ⊆𝑓 𝐵 , de unde rezultă că 𝐹este monoton
crescătoare, adică 𝐴⊆𝐵 𝐹 𝐴 ⊆𝐹 𝐵 .
Definim șirul 𝐶𝑛 𝑛∈ℕ prin:
𝐶0= 0,1 și 𝐶𝑛=𝐹 𝐶𝑛−1 ,∀𝑛∈ℕ∗.
Atunci avem:
𝐶0= 0,1 și este reuniunea a 20 intervale compacte de lungime 1
30.
𝐶1=𝐹 𝐶0 =𝑓 0,1 ∪ 𝑓 0,1 = 0,1
3 ∪ 2
3,3
3 și este reuniunea a 21 intervale
compacte disjuncte de lungime 1
31.
𝐶2=𝐹 𝐶1 =𝑓 𝐶1 ∪ 2
3+𝑓 𝐶1 =𝑓 0,1
3 ∪ 2
3,1 ∪ 2
3+𝑓 0,1
3 ∪ 2
3,1 =
0,1
32 ∪ 2
32,1
3 ∪ 2
3,7
32 ∪ 8
32,1 = 0,1
32 ∪ 2
32,3
32 ∪ 6
32,7
32 ∪ 8
32,9
32
și este reuniunea a 22 intervale compacte disjuncte de lungime 1
32. ș.a.m.d.
În general, 𝐶𝑛 este reuniunea a 2𝑛 intevale compacte disjuncte de lungime 1
3𝑛.
Deoarece 𝐶1⊆𝐶0 și 𝐹 este monoton crescătoare, obținem:
𝐶2=𝐹 𝐶1 ⊆𝐹 𝐶0 =𝐶1 𝐶3=𝐹 𝐶2 ⊆𝐹 𝐶1 =𝐶2….

19
Prin urmare 𝐶𝑛 𝑛∈ℕ este un șir descendent.
Definiția 2.2.2:
Limita șirului 𝐶𝑛 se numește mulțimea lui Cantor și se notează cu 𝐶. Deci
𝐶=lim𝐶𝑛= 𝐶𝑛.
𝑛∈ℕ
Observații :
a) O proprietate punctuală definită pentru punctele unei mulțimi 𝑬⊂ℝ spunem că
are loc aproape peste tot (a.p.t.) pe 𝑬 dacă mulțimea punctelor din 𝑬 în care
aceasta nu are loc este neglijabilă .
b) De exemplu, vom spune că o funcție este continuă a.p.t. dacă mulțimea punctelor
sale de discontinuitate este neglijabilă .

2.3 FUNCȚII DE MULȚIMI
Definiția 2.3.1 :
O funcție, a cărei mulțime de definiție reprezintă o anumită clasă de mulțimi, se
numește funcție de mulțime.
Fie 𝑋 un spațiu oarecare și 𝐶 o familie de părți ale lui 𝑋.

Definiția 2.3.2 :
Funcția de mulțime 𝜑:𝐶→ℝ , care evită una din valorile +∞,−∞, se numește finit
aditivă dacă pentru orice familie finită 𝐴1,𝐴2,…𝐴𝑛 de mulțimi din 𝐶, disjuncte două câte
două, pentru care 𝐴𝑖∈𝐶𝑛
𝑖=1 , are loc
𝜑 𝐴𝑖𝑛
𝑖=1 = 𝜑 𝐴𝑖 𝑛
𝑖=1.
Definiția 2.3.3 :
Fie 𝐶 o famile de părți ale lui 𝑋. Funcția de mulțime 𝜑:𝐶→ℝ , care evită una din
valorile +∞ sau −∞, se numește numărabil aditivă sau 𝜎-aditivă dacă pentru orice șir 𝐴𝑛
de elemente din 𝐶, disjuncte două câte două, cu proprietatea 𝐴𝑛∈𝐶∞
𝑛=1 , atunci
𝜑 𝐴𝑛∞
𝑛=1 = 𝜑 𝐴𝑛 .∞
𝑛=1

20
Definiția 2.3.4 (măsura unei funcții):
Fie 𝐶 un inel de părți ale lui 𝑋. Funcția de mulțime 𝜇:𝐶→ℝ + se numește măsură
dacă îndeplinește următoarele condiții:
i) 𝜇 este numărabil aditivă;
ii) există o mulțime 𝐴∈𝐶 astfel încât 𝜇 𝐴 <+∞.
Definiția 2.3.5:
Spunem că măsura 𝜇 definită pe inelul 𝐶 este:
I) finită, dacă 𝜇(𝐴)<∞, oricare ar fi 𝐴∈𝐶;
II) total finită, dacă 𝐶 este algebră pe 𝑋 și 𝜇(𝑋)<∞;
III) 𝜎-finită, dacă oricare ar fi 𝐴∈𝐶, există un șir 𝐴𝑛 ⊂𝐶, astfel încât
𝐴= 𝐴𝑛; 𝜇 𝐴𝑛 <∞,∀𝑛∈ℕ∗;∞
𝑛=1
IV) total 𝜎-finită, dacă 𝑋∈𝐶 și există un șir 𝑋𝑛 𝑛∈ℕ∗⊂𝐶, astfel încât
𝑋= 𝑋𝑛∞
𝑛=1;𝜇 𝑋𝑛 <∞,∀𝑛∈ℕ∗;
V) completă, dacă pentru orice 𝐴∈𝐶 cu 𝜇 𝐴 =0 și pentru orice 𝐵⊂𝐴, rezultă
𝐵∈𝐶;
VI) o probabilitate sau o măsură probabilistică, dacă 𝑋∈𝐶, adică 𝐶 este o
algebră, iar 𝜇 𝑋 =1.
Exemplul 2.3.1:
a) Fie 𝑋 o mulțime infinită oarecare. Funcția 𝜇:𝑃(𝑋)→ℝ + definită prin 𝜇(𝐴)= numărul
elementelor mulțimii 𝐴, pentru orice 𝐴⊂𝑋, adică dacă 𝐴 este finită și are 𝑛 elemente
𝑛∈ℕ∗ , atunci 𝜇 𝐴 =𝑛, iar dacă 𝐴 este o mulțime infinită, atunci 𝜇 𝐴 =∞, este o măsură
pe 𝑋, numită măsură de numărare.
b) Fie 𝑋 o mulțime cel mult numărabilă 𝑋= 𝑥1,𝑥2,… și fie 𝑝1,𝑝2,… un șir de numere din
ℝ+. Dacă 𝐴⊂𝑋 și notăm ℕ𝐴= 𝑖∈ℕ∗;𝑥𝑖∈𝐴 .
𝜇 𝐴 = 𝑝𝑖, ∀𝐴∈𝑃 𝑋 ,
𝑖∈ℕ𝐴

21
este o măsură pe 𝑃(𝑋), numită măsură discretă. Se observă că pentru orice mulțime punctuală
𝑥𝑖 avem 𝜇 𝑥𝑖 =𝑝𝑖,𝑖∈ℕ∗.
Dacă, în plus, 𝑝𝑖=1 𝑖=ℕ∗ , atunci 𝜇 este o măsură probabilistică.
Dacă 𝑝𝑖=1 pentru orice 𝑖, atunci 𝜇 este o măsură de numărare.
c) Fie 𝑋 o mulțime oarecare și 𝑥0∈𝑋. Să definim funcția de mulțime 𝜇 pe 𝑃(𝑋) prin
𝜇 𝐴 = 1, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥0∈𝐴,
0, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥0≠𝐴,
pentru orice 𝐴⊂𝑋,𝜇 este o măsură numită măsura Dirac sau masa unitate concentrată în
punctul 𝑥0. Această măsură se notează cu 𝛿𝑥0. Evident, 𝑥0 este o probabilitate.

Definiția 2.3.6 :
Fie 𝑋 o mulțime oarecare și 𝑃(𝑋) familia tuturor părților sale.
O funcție de mulțime 𝜇∗:𝑃(𝑋)→ℝ + se numește măsură exterioară dacă îndeplinește
următoarele condiții:
i) Oricare ar fi șirul 𝐴𝑛 ⊂𝑃(𝑋),
𝜇∗ 𝐴𝑛∞
𝑛=1 ≤ 𝜇∗ 𝐴𝑛 ;∞
𝑛=1
ii) Dacă 𝐴⊂𝐵 rezultă 𝜇∗ 𝐴 ≤𝜇∗ 𝐵 (𝜇∗ este monotonă);
iii) 𝜇∗ ∅ =0.

Exemplul 2.3.2:
1) Fie 𝑋∈ℝ𝑛. Vom nota prin 𝑥= 𝑥1,𝑥2…𝑥𝑛 un punct din ℝ𝑛.
Un interval 𝐼⊂ℝ𝑛 este prin definiție o mulțime de forma
𝐼= 𝑎𝑖,𝑏𝑖 ,𝑛
𝑖=1
unde 𝑎𝑖,𝑏𝑖 sunt intervale deschise și mărginite din ℝ.
Se numește măsură în sens geometric a intervalului 𝐼 numărul pozitiv

22
𝜇 𝐼 = 𝑏1−𝑎1 𝑏2−𝑎2 … 𝑏𝑚−𝑎𝑚 .
Se observă că pentru 𝑛=1,𝜇 𝐼 este lungimea unui interval 𝐼 din ℝ de forma 𝑎,𝑏 .
Notăm prin 𝐼∗familia formată din ∅ și intervalele deschise 𝑛-dimensionale.
Pentru orice 𝐴∈𝑃 ℝ𝑛 se notează prin
𝜇∗ 𝐴 =𝑖𝑛𝑓 𝜇 𝐼𝑛 ∞
𝑛=1; 𝐼𝑛⊃𝐴,𝐼𝑛∈𝐼∗∞
𝑛=1 ,
unde 𝜇 𝐼𝑛 este măsura în sens geometric a intervalului 𝐼𝑛.
Funcția de mulțime 𝜇∗ 𝐴 este o măsură exterioară, numită măsură exterioară Lebesgue.
2) Fie 𝑋=ℝ,𝐹:ℝ→ℝ o funcție strict crescătoare și continuă pe ℝ, iar 𝐼∗ familia formată din
∅ și intervalele 1-dimensionale.
Notăm prin 𝜆 𝑎,𝑏 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎) și definim 𝜆∗:𝑃(ℝ)→ℝ + prin
𝜆∗ 𝐴 =𝑖𝑛𝑓 𝜆 𝐼𝑛 ; 𝐼𝑛⊃𝐴,𝐼𝑛∈𝐼∗∞
𝑛=1∞
𝑛=1 ,∀𝐴∈𝑃 ℝ .
Funcția de mulțime 𝜆∗ este o măsură exterioară numită măsură exterioară Lebesgue –
Stieltjes asociată funcției 𝐹. Se observă că pentru 𝐹 𝑥 =𝑥 ∀𝑥∈ℝ se obține măsura
exterioară Lebesgue.