Fenomenul de Levitatie

Cercetare științifică I

Masterand: Bogdan-Cristian GHEORGHIȚĂ

Forma de învățământ: Master – promoția 2016

Titlul temei:

Senzori și traductoare cu levitație electromagnetică

Datele inițiale:

[se menționează datele inițiale care au fost considerate în momentul stabilirii temei proiectului de diplomă și care reprezintă puncte de plecare în realizarea temei propuse]

Conținutul proiectului:

Generalități, scheme bloc, simulări.

Data eliberării temei: [data la care a fost eliberată tema proiectului de diplomă de către conducătorul științific]

Cuprins

Capitolul I. Considerații generale 3

1.1. Introducere 3

1.2. Exemple de aplicații 4

1.3. Principiul levitației magneților paraleli 5

1.3. Principiul levitației magneților antiparaleli 8

1.4. Modelul analitic 11

1.5. Condițiile de echilibru static 11

1.6. Evaluarea forțelor diamagnetice și a cuplului 15

Capitolul II. Rezultate proprii obținute 19

2.1. Model de experimentare 19

2.2. Magnetul cubic 20

2.3. Magnetul paralelipipedic 22

Capitolul III. Observații și concluzii 23

Bibliografie 24

Capitolul I. Considerații generale

Introducere

De-a lungul istoriei, fenomenul de levitație a atras atenția atat oamenilor de știință cât și filosofilor dar și al scriitorilor de opere literare. În opera satirică “Călătoriile lui Gulliver”, scriitorul englez Johnatan Swift descria insula Laputa capabilă de un fenomen al levitației de câțiva kilometri înălțime. [1]

În 1842, cercetătorul și clericul Samuel Earnshaw a oferit o dovadă asupra limitării levitației magnetice: nu poate exista stabilitate între doi magneți fără a avea un contact de suport. Partea levitată ar fi fost instabilă și ar fi apărut o deplasare a unui magnet în cel puțin o direcție. Mai târziu, în luna martie a anului 1912, inventatorul american de origine franceză Emile Bachelet a oferit o demonstrație publică în orașul New York a unui tren maglev la dimeniuni reduse, cu speranța de a atrage investiții în domeniul transportului de mare viteză. Patentul a fost numit “Aparatul de transmitere a levitației”.

Ultimele descoperiri, mai ales în domeniul electronicii de putere și al materialelor magnetice, au fost axate mai ales pe suspensia electromagnetică și tehnici de levitație pentru transportul în comun.

Dintre metodele de levitație, voi reaminti o parte din ele, dintre care:

Respingerea între doi magneți de aceeași structură feromagnetică

Levitație utilizând forțele de respingere și materiale diamagnetice

Levitație utilizând magneți din material superconductoare

Levitație utilizând forțele de respingere apărute datorită curenților turbionari de pe o suprafață conductoare sau corp conductor

Levitație utilizând forța care acționează asupra unui curent liniar într-un câmp magnetic

Suspensia utilizând un circuit R, L, C și forța de atracție electrostatică (între două plăci)

Suspensia utilizând un circuit R, L, C și forța de atracție magnetică (între un electromagnet și un corp feromagnetic)

Suspensia utilzând electromagneți de curent continuu și forța de atracție între două corpuri magnetizate

Metodele enumerate mai sus au fost supuse unor entuziasmate cercetări la un moment dat sau altul.

Termenul “maglev” provine din derivația termenilor MAGnetic LEVitation (eng. Levitație magnetică). Este o tehnologie foarte avansată, mult utilizată în cadrul tehnologiilor nepoluante, de viitor. [1]

Exemple de aplicații

Levitația magnetică este o metodă prin care un obiect este menținut la o anumită înălțime în aer fără alt sprijin în afară de un câmp magnetic. Câmpul magnetic are efectul de a anula accelerația gravitațională și alte forțe de atracție. În cadrul maglev-ului nu există forțe de frecare iar eficiența este mai mare decât în alte situații. Principiul maglev-ului este cunoscut de peste 100 de ani, datorită cercetătorilor Robert Goddard și Emile Bachelet; tehnologia maglev nu este limitată doar la transportul feroviar ci și în alte domenii, cum ar fi:

Inginerie aerospațială (navă spațială, rachetă de propulsie etc)

Ingineria armamentului militar (rachetă balistică, arme etc)

Ingineria nucleară (partea centrifugală)

Inginerie civilă și construcții (lift, ventilație, pompă de gaz etc)

Inginerie biomedicală (pompă cardiacă)

Inginerie chimică (analiza alimentelor și a băuturilor)

Inginerie electrică (magneți)

Electrocasnice (veioză, scaun, mașină de spălat, canapea etc) [1]

1.3. Principiul levitației magneților paraleli

A fost conceput un experiment atât teoretic cât și practic pentru studierea levitației magneților plasați într-o poziție verticală. Doi magneți de neodim sunt plasati într-o configurație verticală. Practic, un magnet de ridicare mai puternic poate să atragă un magnet mai mic ca dimensiune compensând prin masă. Punctul de echilibru este asigurat de o placă diamagnetică de grafit pirolitic, plasată dedesubt sau deasupra magnetului levitat. Comparativ cu alte situații clasice ale levitației materialelor diamagnetice, momentele magnetice din cadrul acestui studiu de caz sunt antiparalele. [1]

Prima demonstrație de levitație diamagnetică al unui magnet de dimensiuni mici într-o pozitie verticală a fost efectuată de către cercetătorul Boerdijk în jurul anului 1956. O soluție pentru stabilitatea levitației magneților permanenți, la temperatura camerei, este să fie plasate diverse piese oarecare în proximitatea magnetului levitat. De fapt, forțele rezultate de către respectivele piese diamagnetice acționează asupra magnetului levitat ca forțe de aducere la punctul de echilibru al acestuia.

Un diferit tip de levitație este conceput de catre materialele diamagnetice proprii. Prima idee științifică a aparținut cercetătorului britanic William Thomson în 1847, demonstrat însă mai târziu de către fizicianul german Werner Braunbeck în 1939. Acesta din urmă a demonstrat că levitația materialelor diamagnetice este caracterizată prin faptul că masa respectivului corp levitat este echilibrată de o forță proporțională cu neomogenitatea câmpului magnetic înconjurător. Stabilitatea în acest caz este intrinsecă. [1]

Fig. 1.3.1. Principiile de levitație pentru doi magneți permanenți [2].

În figura 1.3.1 am prezentat doi magneți permanenți, diamagnetici, stabilizați verticali, având momentele magnetice coliniare (mf paralel cu ml). Două piese diamagnetice stabilizează levitația. Partea din stânga conține momente magnetice orientate în sus, iar partea dreapta conține momentele magnetice orientate în jos.

Un magnet de ridicare de dimenisiuni mai mari atrage un magnet permanent de dimenisiuni mai mici (magnetul levitat) și compensează prin masă. Cele două plăci diamagnetice mențin magnetul mai mic precum într-un sandviș, urmând ca levitația să fie stabilizată.

Dacă oricare din cele două piese stabilizatoare este eliminată din experiment, se va observa o foarte mică deviere a magnetului levitat, datorită unei singure forțe diamagnetice. Balanța forțelor este modificată în comparație cu configurația inițială, unde forțele diamagnetice se anulau una pe cealaltă [2].

Direcțiile magnetizațiilor magneților sunt perpendiculare pe axa OZ, coliniare și în mod similar pe aceeași direcție. În acest caz, este posibilă crearea unei levitații magnetice stabile fără bucle de feedback cu energie înmagazinată sau cu superconductoare [2].

Fig. 1.3.2. Levitație pe verticală cu direcții de magnetizare antiparalele [2]

În figura 1.3.2 am prezentat schema prin care doi magneți pot interacționa având direcții antiparalele de magnetizare. La fel ca în schema precedentă de la figura 1.3.1, avem două plăci diamagnetice care cuprind magnetul de dimensiuni mai mici. Ca în cazul precedent, dacă eliminăm una din cele două plăci diamagnetice, magnetul de sub sau deasupra celeilalte plăci are o anumită deviație de la axa OX. [2]

Principiul levitației magneților antiparaleli

Avem un montaj format din doi magneți paralelipipedici, având momentele magnetice antiparalele și o placă de grafit pirolitic plasat fie deasupra magnetului levitat fie dedesubt, așa cum este afișat în poza din figura 2.3 [2]:

Fig. 1.4.1. Schema magneților levitați verticali [2]

Pentru schema (a), se aplică formula [2]

(1),

iar pentru (b)

(2).

Fig. 1.4.2. Levitația magneților [3]

În figura 1.4.1 am prezentat o schemă de magneți permanenți în levitație, în figura 1.4.2.a ne indică faptul că momentele magnetice sunt coliniare, în aceeași direcție și sens. Acest tip de structură a permis unor oameni de știință ca Simon, Heflinger și Geim să investigheze mai mult levitația verticală a magneților permanenți stabilizați diamagnetic [3].

Studiile actuale sunt orientate în special pe fenomentul de levitație verticală antiparalelă asociată cu stabilizarea diamagnetică. Au fost emise estimări cu privire la poziția punctului de echilibru, pe axa OX, dar estimarea a fost valabilă doar pentru fig. 1.4.2.b. În realitate, însă, pentru toate modelele fizice realizate folosind diferiți magneți de ridicare, s-a constatat că magnetul levitat suferă o deviație față de axa OY, așa cum se observă în figura 1.4.2.c.

În toate ansamblurile din figura 1.4.2 s-a constat că eliminarea uneia din cele două plăci diamagnetice, numite piese de stabilizare, duce la modificarea poziției punctului de echilibru către placa rămasă în schemă. În oricare situație există o forță diamagnetică prezentă, balanța forțelor fiind alterată față de configurația inițială, când forțele diamagnetice se anulau unele pe celelalte. În plus, pentru cazul magnetului deviat, efectul de cuplu exercitat de placa diagmagnetică de asemenea trebuie estimat. Explicația pentru această deviație față de axa de simetrie constă în existența unei forțe rezultante, de opoziție, OZ sau/și a unei componente de cuplu pe axa OY care acționează asupra magnetului levitat care este generată în cadrul magnetului levitat, fără nicio intervenție din exterior. [3]

S-au ținut cont de următoarele variabile: eroare unghiului de magnetizație, în special pentru magnetul de ridicare (unghiul Θ), cuplul diamagnetic rezultat de placa stabilizatoare și eroare de verticalitate (unghiul de înclinație) care afectează magnetul de ridicare (unghiul δ, care în schema din figura 1.4.2 și figura 1.4.3. este echivalent literal cu unghiul d).

Investigația inițial experimentală și apoi teoretică a fost dificilă datorită unei valori ale unghiului de înclinație δ mai mică de 1 grad, imposibil de sesizat la o inspecție vizuală asupra instalației experimentale. [3]

Fig. 1.4.3. Levitație magnetică permanentă cvasiverticală [3]

În figura 1.4.3 am ilustrat două cazuri pentru poziția plăcii de grafic în ansamblu: la punctual a) deasupra magnetului levitat iar la punctul b) dedesubtul magnetului. Distanța între cele două puncte de echilibru ale magneților am notat-o cu x0 respectiv x’0.

Distanța între centrul de echilibru al magnetului levitat este notată cu z0 respectiv z’0 pentru cele două cazuri [3].

Modelul analitic

Modelele propuse pentru simulare sunt doi magneți paralelipipedici și doi cubici de material NeFeB fără erori ale unghiului de magnetizare, adică Θ=0 (magneți ideali) și o singură placă stabilizatoare de grafit pirolitic plasat dedesubt sau deasupra magnetului levitat, așa cum se observă în figura 1.4.3. [3]

De altfel, magnetizațiile celor doi magneți trebuie să fie uniforme și rigide pe de-a-ntregul structurii lor volumice. Parametrul d este distanța dintre placa de grafic și centrul de greutate al magnetului levitat. Obiectivul acestui experiment este acela de a rezolva problema magnetostatică, pentru a determina coordonatele punctului de echilibru x0 și z0 dar și unghiul α0 creat de magnetul levitat cu axa OX [3].

Condițiile de echilibru static

Pentru a putea obține starea de levitație, forța rezultantă care acționează asupra magnetului suspendat trebuie să fie zero, așa cum se observă în următoarea formulă [3]:

(3),

unde Fm este este forța de atracție exercitată de magnetul de levitație, Fd este forța de stabilizare aplicată de către placa diamagnetică și W (eng. Weight=masă) este masa magnetului levitat. Datorită proprietăților de simetrie menționate anterior, toate forțele sunt considerate a acționa în planul XZ.

Fig.1.6.1. Balanța forțelor care acționează asupra magnetului levitate [3]

În partea din stânga a figurii 1.6.1 placa de grafit se află între cei doi magneți, în timp ce în partea dreaptă se află dedesubtul magnetului levitate.

A doua condiție de echilibru static, aplicată de-a lungul axey OY, este definită prin rezultanta nulă a forțelor de cuplu, prin formula [3]:

(4),

unde τm și τd sunt momentele de cuplu realizate de către magnetul de levitație respectiv placa diamagnetică. De notat că τd are aceeași orientare în cazul a) cât și în cazul b).

Putem considera, deci, în cazul în care Fd=0, că magnetul levitat este un dipol al momentului magnetic, prin formula [3]:

unde Bf,OP este inducția magnetică a magnetului flotant, V este volumul iar µ0 este permeabilitatea vidului. Forța de levitație magnetică devine [3]:

unde este densitatea de flux magnetic asociată cu magnetul levitant, , i și k sunt vectorii unitate ai axelor x respectiv y [3].

Cuplul magnetic produs de către magnetul mai mare este dată de formula [3]:

(7),

unde j este vectorul pe axa OY. Pentru o distanță dată d, forțele diamagnetice și cele de cuplu depind numai de variabila α. Unghiul de înclinație al magnetului levitat cu axa OX este aplicat în formula [3]:

(9)

Așadar, se poate formula un sistem de trei ecuații cu derivate parțiale nonliniare, având necunoscutele x, y și α, rezultând [3]:

Fig. 1.6.2. Încărcarea uniformizată a blocurilor magnetice [3]

În cadrul figurii 1.6.2 am ilustrat cei doi magneți din experiment, cel de la a) este magnetul care creează levitația iar la b) avem magnetul levitat. Părțile laterale ale magneților prezintă părți încărcate electric în câmp magnetic, la un nivel uniformizat.

Am notat dimensiunile magnetului din figura 1.6.2.a cu w, t și l, ceea ce reprezintă lățimeaș grosimea respectiv lungimea, analog în figura 1.6.2.b. avem wf, tf și lf. Br,l și Br,f reprezintă valorile de inducții remanență ale magneților. De regulă, astfel de informații dimensionale și fizice pot fi consultate dintr-o foaie de catalog.

Pentru cei doi magneți, sarcinile echivalente de pe cele două suprafețe egal distribuite sunt τm,l=Bl,OP și τm,f=Bf,OP. În consecință, câmpul magnetic este rezultatul analitic al integralelor culombiene de suprafață aplicate pe polii suprafețelor magneților.

Componentele de inducție electromagnetică se calculează din următoarele formule, în funcție de tipul magneticului: de ridicare sau levitate. [3]

Pentru magnetul de ridicare, voi considera vectorii a=(-t/2, t/2), b=(-w/2, w/2) și c=(-l/2, l/2). Folosind acești vectori, definesc cantitățile xm=x-am, yn=y-bn și zk=z-ck având m, n și k valorile de indecși 1 și 2.

Componentele pe x- și z- devin, așadar [3]:

Pentru magnetul levitate, aplicăm o procedură similară respectând axele carteziene (X,Y,Z) așa cum se observă în figura 1.6.2.b: a’=(-tf/2, tf/2), b’=(-wf/2, wf/2) și c’=(-lf/2, lf/2). Cantitățile sunt definite ca: Xm=-am’, Yn=Y-bn’ și Zk=Z-ck’, având m, n și k=1, 2.

Obținem următoarele formule [3]:

Evaluarea forțelor diamagnetice și a cuplului

Forțele de stabilizare diamagnetice pot fi create cu ajutorul metodei imaginilor. Magnetul levitat și imaginea sa sunt reduse la mici dipoli aflați la o distanță 2d.

Ecuația (10) ne sugerează faptul că este nevoie de o abordare în care să disociem efectele diamagnetice de problema magnetostatică în cadrul sistemului cartezian (x,y,z) aplicată magenetului de ridicare.

Notăm cu s distanța de separare între punctul de joasă extremitate al magnetului levitat și placa diamagnetică. În practică, distanța s este puțin mai mică de 1 mm, pentru toate valorile posibile ale lui α. Prin urmare, o constantă s a fost utilizată în toate calculele care au avut ca rezultat distanța d funcție de o singură variabilă, α, prin formula următoare [3]:

d(α)=0.5*(tf*cosα+lf*sinα)+s (15),

în care 0≤α≤π/2. În final, obținem forța diamagnetică Fd și cea de cuplu τd ca funcții ale unghiului de înclinare α. În figura 1.7.1 am ilustrat numai magnetul levitat, în care am translatat cadrul (x,y,z) către un nou punct de origine așa cum este ilustrat pe desen. Translația efectuată nu afectează calculele principale, având în vedere că respectivele componente ale forței diamagnetice și ale cuplului rămân identice.

Se observă, așadar, că W, T și L reprezintă lățimea, grosimea respectiv lungimea plăcii de grafit pirolitic.

Fig. 1.7.1. Magnetul levitat aflat în aproprierea plăcii de grafit pirolitic [3]

Mai întâi voi calcula forța Fp și cuplul τd exercitate de către magnetul levitat asupra plăcii de grafit. Avem următoarea formulă:

unde Mp este magnetizația interioară în placa diamagnetică și Vplacă este volumul.

Pentru o evaluare corectă a integralelor de volum (16), (17), formulele (13) și (14) trebuie să fie exprimate în funcție de sistemul de coordinate (x,y,z); sistemul de coordonate (X,Y,Z) reprezintă combinația de translație și rotație a sistemului (x,y,z). Se observă următoarele dependențe [3]:

(18),

unde eX, eY și eZ reprezintă vectorii sistemului (X,Y,Z). Înlocuind pe X, Y și Z în ecuațiile (13) respectiv (14), componentele de câmp ale inducției Bf devin [3]:

Magnetizația Mp se calculează ținându-se cont de caracteristica anizotropică a plăcii de grafit pirolitic, formula devine [3]:

unde și reprezintă suspeptibilitățile magnetice perpendicular respective paralele.

Înlocuind formulele (13), (14), (19) și (20) în formulele (16) respective (17), ținând cont de avantajul simetriei planului xz- prezentat în structura din figura 3.4.1, voi obține următoarele [3]:

De asemenea, obținem că Fp,y=0 și τp,x=τp,z=0.

Pentru magnetul levitat și placa pirolitică utilizate în Capitolul II, avem αє[0, π/2] și s=0,9 mm, am rezolvat numeric ecuațiile (21), (22) și (23) utilizând un program specializat, Maple 18.

Forțele Fp,x și Fp,z sunt de ordinul 10-4N respectiv 10-9N, conform programului. Similar, componenta y a forței de cuplu τp,y are valori cuprinse între 10-12 și 10-11 [N*m]. În consecință, ultimele două componente pot fi neglijate în calculele viitoare. [3]

În formula (10) se consideră că Fd,x(α)=-Fp,x(α), iar în formulele 21-22 avem că Fd,z(α)=-Fp,x(α)≈0 respectiv ≈0 din ecuațiile (23). Ne este impusă utilizarea interpolărilor polinomiale ale valorilor discrete ale lui Fd,x(α), așa cum este afișat în figura 1.7.1, pentru a obține funcții analitice convenabile în ecuațiile (23).

Fig. 1.7.1. Caracteristica forței diamagnetice funcție de unghiul α [3]

În figura 1.7.1 a fost ilustrată caracteristica forței diamagnetice pe componenta X- și unghiul α. Punctele de pe grafic reprezintă variațiile discrete, iar pe linia continuă avem funcția interpolată polinomială.

Așa cum era de așteptat, partea de jos a plăcii diamagnetice împinge magnetul levitat pe o direcție verticală, Fd,x(α)<0. [3]

Capitolul II. Rezultate obținute

2.1. Model de experimentare

Cu ajutorul programului de calcul MAPLE 18 am realizat simulări pentru magneti de dimensiuni cubice dar și paralelipipedice. Obiectivul principal al simulărilor este acela de a rezolva ecuațiile (23) și de a reprezenta grafic soluțiile acestora.

Mai întâi a fost simulat un magnet de ridicare tip N52, având forma unui paralelipiped cu dimensiunile 90 x 40 x 30 [mm], reprezentând grosimea, lățimea respectiv lungimea. Inducția este Bf,OP=1.4257 T. Magnetul levitat are dimensiuni evident mai mici, adică de 5x5x2 [mm], iar inducția Bf,OP=1.446 T. Stabilitatea este asigurată de o placă de grafit pirolitic de grosime 5 mm, având susceptibilități perpendiculare și paralele respectiv Cei doi magneți sunt magnetizați pe lungime (l și lf). S-a stabilit o distanță între placa de grafit și magnetul levitat de s=0.9 mm. Voi defini sensibilitatea ca fiind ; aceasta măsoară sensibilitatea la înclinarea magnetului levitat.

Am realizat iterații pentru fiecare soluție în parte a ecuațiilor (23), modificând δ în formula următoare:

unde n ia următoarele valori: 0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.5, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 și 15. Soluțiile celor 3 ecuații (23) sunt introduse în program după fiecare iterație de calcul și în figura 2.1 e ilustrat graficul care rezultă din aceste iterații.

Fig. 2.1. Graficul sensibilităților celor doi magneți

Influența forței diamagnetice aflate de-a lungul axei X- a fost estimată și ulterior adăugată la funcția de stabilitate corespunzătoare care, în mod așteptat, a oferit un rezultat pozitiv, dovedind că stabilitatea a fost realizată cu succes.

Modelul prezentat va fi folosit pentru comparații cu alți doi magneți care au fost modelați matematic în acest program software și anume: magnet cubic respectiv magnet paralelipipedic.

2.2. Magnetul cubic

În cadrul acestui experiment am introdus următoarele date ale problemei, similare cu cele prezentate în subcapitolul 2.1. A fost utilizat un de magnet de ridicare tip N52, având inducția Brn=1.195 T, dimensiunile de 20x20x20 [mm], inducția Brl=1.44 T.

Magnetul levitat, tot de tip N52, având masa m=0.379 g, are următoarele dimensiuni: 20x50x50 [mm], densitatea acestuia ρ=7580 kg/m3, inducția de remanență Brf=1.446T, volumul V=5*10-8m3; susceptibilitățile rămân identice ca în cazul precedent.

Din nou, am aplicat aceleași proceduri de iterație, rezultând următoarea caracteristică:

Fig. 2.2.1. Caracteristica obținută a sensibilității

2.3. Magnetul paralelipipedic

Am introdus alt magnet de ridicare în formă de paralelipiped, de data aceasta având dimensiuni mai mici decât modelul prezentat la 2.1, având următoarele dimensiuni: 60x30x20 [mm], inducția Brl=1.44 T. Magnetul levitat are aceleași dimensiuni ca în cazurile precedente, la fel inducția respectiv volumul acestuia. Caracteristica rezultată este următoarea:

Fig. 2.3.1. Caracteristica obținută a sensibilității

Capitolul III. Observații și concluzii

Graficul din figura 2.1 ne indică un unghi de înclinație de până la 150. Valorile lui |z0(α)| ne indică valori neașteptat de mari pentru unghiuri mici de înclinație, rezultând o sensibilitate foarte mare atunci când δ=0, caracteristica are o traiectorie aproape verticală la începutul acesteia. Cu cât înclinația este mai mică, cu atât sensibilitatea senzorului/traductorului devine mai mare. Caracteristica albastră din figura 2.1 este |z0(α)| [mm] pentru magnetul levitat (aflat jos), iar caracteristica neagra este atribuită magnetului de ridicare (aflat sus). Se observă o ușoară superioritate a valorilor calculate pentru magnetul levitat. Se observă o ușoară superioritate a valorilor calculate pentru magnetul levitat.

Am observat o asemănare între caracteristicile obținute la cei doi paralelipipezi, însă magnetul utilizat inițial a obținut rezultate mai bune ale sensibilității decât magnetul cubic.

De asemenea, s-a constatat o deviație de 14 mm de la axa verticală în ambele cazuri. O cauza posibilă ar fi eroarea (sau toleranța) unghiului de magnetizație fie ale magnetului de ridicare fie ale ambilor magneți, eroare apărută în urma procesului de fabricație.

Coordonatele punctului de echilibru au fost următoarele: x0=164 mm și x’0=166 mm. Implementarea acestor experimente în programul Maple 18 ne-a dezvăluit punctele de echilibru ca fiind aproximativ aceleași ca în cazul precedent și anume: x0=165.40 mm respectiv x’0=170.22 mm. Aceste valori sunt aprobate de cele teoretice, dar cu erori relative de -0.85% respectiv -2.54%.

Am fost nevoit să realizez caracteristica magnetului cubic cu un punc în minus, deoarece programul nu a reușit obținerea soluțiilor ecuațiilor polinomiale, drept urmare am modificat α și z cu valori apropriate de cele inițiale pentru a obține caracteristica liniară a acestora.

Bibliografie

Hamid Yaghoubi, Practical Applications of Magnetic Levitation Technology, pp.2-5, Septembrie 2012

Gerald Küstler, Iosif Vasile Nemoianu, Theoretical and Experimental Evaluation on a Counterintuitive Diamagnetically Stabilized Levitation Setup With Permanent Magnets , pag. 1-4, Mai 2013.

Iosif Vasile Nemoianu, Emil Cazacu, Quasi-vertical permanent magnet levitation – analytical model and characterization , pag. 1-12, Octombrie 2013