Fenomenul de Concentrare a Tensiunilor

Generalități

1.1.Fenomenul de concentrare a tensiunilor

Tensiunile reale din secțiunile transversale ale unei figura solicitate axial, nu sunt în mod strict uniform distribuite datorită efectelor produse în material de diferitele executări tehnologice aplicate piesei respective.

Astfel, în zonele din jurul unor perforări transversale, filete, canale de pană, danturi, sau chiar schimbări neașteptate de dimensiuni între două secțiuni alăturate, se produc dezvoltări locale (concentrări) ale valorilor tensiunii.

Astfel, elementele constructive citate mai sus se numesc concentratori de tensiuni, iar existenta lor trebuie luată în considerare în calculele de rezistență.

Se consideră o parte demontabilă a unei mașini de formă prismatică, supusă la tracțiune prin forțele concentrate F (fig. 1.1). Se propune a fi analizată distribuirea tensiunilor pe lățimea secțiunii transversale notată cu (x) care este “slăbită” prin prelucrarea degajărilor semi-circulare de rază (r).

Fig. 1.1. Exemplu de concentrare a tensiunilor.

Pentru calculul valorii teoretice (nominală) a tensiunilor, distribuite uniform pe secțiune, se folosește relația:

Valoarea lor maximă poate fi exprimată sub următoarea forma:

relație în care notația (ak) reprezintă un număr supraunitar, numit “coeficient de concentrare a tensiunilor”. Mărimea lui nu depinde de materialul piesei calculate, ci doar de forma și dimensiunile relative ale concentratorilor din secțiunea respectivă.

Pentru o anumită situație de proiectare, valorile coeficienților de concentrare a tensiunilor se aleg, în funcție de natura concentratorilor vizați, îndrumare de proiectare, din tabele și grafice cuprinse în manuale, sau alte cărți de specialitate.

Trebuie precizat că acest fenomen este specific solicitărilor în regim elastic, iar efectele sale sunt diferite, după natura materialelor folosite, după cum urmează:

Pentru un material tenace, după depășirea limitei de curgere (sc) se produce uniformizarea tensiunilor în secțiunile cu concentratori, astfel că nu se poate depăși limita de rupere, în piesele calculate (cu respectarea principiilor generale de proiectare) fără luarea în considerare a concentrării tensiunilor.

Pentru un material fragil, fenomenul se produce până la limita de rupere, astfel că este foarte periculos.

Dacă se privesc global aceste aspecte, rezultă cu claritate două precizări:

1. În etapa de proiectare a pieselor de mașini, este important să se reducă la minimul necesar prezența concentratorilor de tensiuni.

2. Pentru piesele la care nu pot fi evitați concentratorii puternici este recomandabil să se folosească materiale de tip tenace.

1.2. Identificarea solicitărilor dintr-un corp. Stabilirea tensiunilor.

Într-un sistem triortogonal de axe principal central cu originea în G (centrul de greutate al secțiunii transversale) în care axa Ox coincide cu axa geometrică a corpului componentele eforturilor după cele trei axe sunt sunt prezentate figura 1.2.

Fig.1.2

Componente:

componenta N, normală la secțiune, se numește forță axială și apare în cazul solicitărilor de tracțiune sau compresiune (solicitări axiale);

componentele Ty și Tz sunt în planul secțiunii și se numesc forțe tăietoare;

componenta Mx este normală pe secțiune, apare la torsiunea (răsucirea) barelor și se numește moment de torsiune;

componentele Mz și My sunt în planul secțiunii, se numesc momente de încovoiere (momente încovoietoare) și apar la solicitarea de încovoierea.

Într-o secțiune a corpului cele șase componente ale eforturilor se pot determina după cum urmează:

forța axială N este egală cu suma algebrică a tuturor proiecțiilor forțelor exterioare pe axa Ox (axa barei);

forțele tăietoare Ty și Tz sunt egale cu suma algebrică a proiecțiilor tuturor forțelor exterioare pe axa Oy și respectiv Oz;

momentul de torsiune Mx este egal cu suma algebrică a tuturor cuplurilor exterioare dirijate după axa Ox;

momentele încovoietoare Mz și My sunt egale cu suma algebrică a tuturor momentelor exterioare față de axa Oy și respectiv Oz.

Eforturile au, de obicei, intensități diferite în diferite secțiuni ale corpului solicitat. Determinarea acestora constituie una dintre problemele principale in practica inginereasca.

Dacă se cunosc valorile eforturilor atunci se poate stabili care sunt cele mai solicitate puncte ale corpului și pe această bază se poate aprecia dacă corpul rezistă sau nu sarcinilor aplicate sau se pot calcula dimensiunile corpului astfel încât rezistența acestuia să fie asigurată.

Utilizând aceste definiții se pot stabili eforturile în orice secțiune a corpului și se pot trasa curbele lor de variație, numite diagrame de eforturi.

Pentru trasarea acestor diagrame se folosesc următoarele reguli de semne (figura 1.3). Prin urmare:

forța axială este considerată pozitivă atunci când produce o solicitare de întindere în secțiunea considerată și negativă atunci când produce o solicitare de compresiune;

forța tăietoare este considerată pozitivă atunci când acționează de jos în sus în stânga secțiunii sau de sus în jos în dreapta secțiunii;

momentul încovoietor este considerat pozitiv când grinda este deformată încât concavitatea curbei este orientată în sus; în situație contrară momentul încovoietor este negativ.

Aceste reguli de semne sunt obligatorii.

Fig. 1.3

– pe direcția normalei în componenta σx, numită tensiune normală (orientată de direcția axei Ox);

– pe planul secțiunii în componenta τ, numită tensiune tangențială.

Tensiunile care apar intr-un corp ca urmare a solicitărilor exterioare se pot descompune în două componente (fig. 1.4)

– pe direcția normalei în componenta σx, numită tensiune normală (orientată de direcția axei Ox);

– pe planul secțiunii în componenta τ, numită tensiune tangențială.

Cele mai simple cazuri întâlnite în practică sunt cele în care pe secțiunea corpului apare o singură componentă a eforturilor și respectiv tensiunilor. Acestea se numesc solicitări simple.

Există patru solicitări simple: solicitările axiale (tracțiune sau compresiune), forfecare, torsiune și încovoiere (tabelul 1).

Tracțiunea și compresiunea se numesc solicitări axiale deoarece suporturile forțelor sunt dirijate tangent la axa geometrica a barei. La acestea diferă între ele numai semnul eforturilor, tensiunilor și alungirilor specifice: pozitive pentru tracțiune și negative pentru compresiune.

La comprimarea barelor zvelte (lungi în raport cu dimensiunea secțiunii transversale), peste anumite valori ale forței bara părăsește forma rectilinie și apare fenomenul de flambaj (pierderea stabilității). Flambajul nu este o solicitare.

Forfecarea este produsă de două forțe egale și de sens contrar ce acționează pe un suport perpendicular pe axa geometrică a corpului.

Tabelul 1

Solicitarea de torsiune este produsă de cupluri de forțe conținute în plane perpendiculare pe axa geometrică a corpului.

Solicitarea de încovoiere poate fi încovoiere pură și încovoiere simplă. Prin încovoiere pură se înțelege deformarea unei grinzi produsă de un sistem de forțe static echivalente care produc în secțiunea transversală un moment încovoietor, la cărui vector este dirijat după una din axele principale ale secțiunii transversale.

În cazul solicitării de încovoiere simplă în secțiunea transversală a grinzii apare pe lângă un moment încovoietor și o forță tăietoare.

2. Clasificări/Tipuri de tensiuni

Solicitări simple

Un corp este solicitat la tracțiune simplă (uniaxială) sau la compresiune atunci când este solicitat doar de forțe exterioare având direcția axei.

În cazul în care suportul forțelor exterioare nu coincide cu axa barei, dar este paralel cu ea, bara va fi supusă, în afara solicitării de întindere sau compresiune și la încovoiere.

În ceea ce privește solicitarea de compresiune a barelor de lungime mare, trebuie făcută precizarea că este posibil să apară fenomenul de flambaj longitudinal (pierderea stabilității înainte ca tensiunea de compresiune să atingă vreo stare limită). Regula care trebuie reținută este aceea că nu se calculează la compresiune barele a căror lungime întrece de cinci ori dimensiunea cea mai mică a secțiunii transversale.

Pentru o bară confecționată dintr-un material liniar-elastic, supusă la solicitări axiale, relația de calcul pentru tensiune este:

unde: σx – tensiunea normală într-o secțiune curentă a barei;

N – forța axială în secțiunea respectivă;

A – aria secțiunii transversale a barei.

Forța axială poate fi constantă sau variabilă în lungul barei. Dacă forța axială este variabilă în lungul axei barei, atunci este necesar, pentru studiul solicitării barei, să se reprezinte diagrama forțelor axiale. Într-o secțiune curentă a barei forța axială N este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe axa Ox (axa barei) a tuturor forțelor exterioare situate la stânga sau la dreapta secțiunii considerate.

Forța axială este considerată pozitivă atunci când produce o solicitare de întindere în secțiunea considerată (dacă pleacă din secțiune) și negativă atunci când produce o solicitare de compresiune (dacă intră în secțiune).

2.1.1. Întinderea și compresiunea monoaxială

În cazul în care torsorul forțelor interioare se reduce la o singură forță axială, spunem că avem de-a face cu o solicitare de întindere sau compresiune monoaxială, după cum este orientată forța axială.

Pentru solicitarea de întindere sau compresiune monoaxială dorim să cunoaștem modul de repartiție pe secțiunea transversală a tensiunii σ și care sunt relațiile de calcul pentru tensiunile σ și deformațiile ce se produc în urma acestei solicitări.

Se consideră o bară dreaptă de lungime l , arie A, modul de elasticitate E. Pe această bară se trasează un caroiaj de linii transversale pe întreg perimetrul, paralele între ele, situate la distanțe egale “a”.

Fig.2.1 Schema de deformare și distribuție a tensiunilor și deformațiilor specifice la întinderea monoaxială

a) Bara în starea neîncărcată; b) Bara în stare deformată; c) Bara secționată transversal la distanță x; d)Digrama forței axiale; e) Distribuția deformației specifice ε de-a lungul barei; f) Distribuția tensiunii normale σ de-a lungul barei;

În cazul în care această bară se încarcă cu o forță F, bara se va lungi cu Δl ,dea lungul barei iar distanțele a se vor mări cu Δa, Fig. 2.b). Pe direcție transversală se constată că bara se contractă uniform cu Δd. Se constată că liniile paralele și perpendiculare pe axa barei rămân paralele și perpendiculare pe axa barei și după deformare. În acest fel se verifică în mod experimental ipoteza secțiunilor plane și normale a lui Bernoulli.

Tragem concluzia importantă că deformațiile specifice ε înregistrate pentru întreaga bară sunt constante, ε = ct.

2.1.2.Calculul barelor la întindere și compresiune ținând cont și de greutatea proprie a materialului

În considerațiile precedente nu am luat în considerare greutatea proprie a materialului. Sunt multe situații în care se impune luarea în considerație și a greutății proprii, datorită lungimii mari a unor elemente de rezistență.

În Fig. 2.2, este prezentată o bară solicitată la tracțiune, la care se ia în considerare și greutatea proprie.

Fig. 2.2 Bara solicitată la tracțiune luând în considerație și greutatea proprie

Bara este de lungime l , cu aria A, greutatea specifică γ = ρ g , solicitată de o forță F, pe care o vom secționa la distanța x de capătul liber, (unde ρ reprezintă densitatea iar g accelerația gravitațională.)

2.1.3. Bare de egală rezistență la întindere și compresiune. Dimensionare în trepte

Se constată din paragraful precedent, că singura secțiune solicitată rațional este secțiunea din încastrare, unde 1 max a σ = σ = σ .

Restul secțiunilor sunt solicitate mult sub limita admisibilă, deci materialul este folosit neeconomic. Dorim să realizăm o bară supusă la tracțiune, pentru care ct max a σ = σ = . numită bară de egală rezistență la tracțiune sau compresiune.

Prin urmare dorim să stabilim legea de variație a secțiunii transversale, funcție de argumentul x, Ax = Ax(x). Considerăm o astfel de bară, Fig. 2.3.

Fig. 2.3. Bara de egală rezistență la tracțiune

2.1.4. Lucrul mecanic de deformație pentru solicitarea de tracțiune sau compresiune

Considerăm o bară de secțiune constantă A și lungime l supusă la tracțiune de o forță F. De asemenea se cunoaște curba caracteristică σ = f (ε).

Sub acțiunea forței F bara se va lungi astfel că lucrul mecanic exterior L produs de forța F se transformă în energie potențială de deformație acumulată în materialul barei și în energie cinetică a maselor în mișcare.

Dacă vom considera bara supusă la o solicitare statică prin care forța variază de la 0 la valoarea F într-un timp suficient de mare, prin urmare cu viteză de încărcare foarte mică, lucrul mecanic exterior se acumulează în bară sub formă de energie internă de deformație, Fig. 2.4.

Vom considera treptat procesul de încărcare a barei, pentru care forța F la un moment dat va avea valoarea F1, căreia îi va corespunde lungimea

L1=L(1+E1)

.Pentru o creștere a forței cu Δ F , vom avea:

F2= F1+ Δ F 2 1 = + Δ și ( L2) =L(1+ E2).

Fig. 2.4.

Pentru trasarea diagramei aplicam următoarele etape :

figurarea și calculul reacțiunilor;

împărțirea barei în regiuni și secționarea barei;

se scrie în fiecare secțiune expresia forței axiale ținând cont de definiția acesteia și de convenția de semne precizate anterior;

se studiază variația forței axiale, se trasează diagrama de variație si se verifica diagrama.

2.2.Solicitarea de torsiune (răsucire)

O bară dreaptă este solicitată la torsiune (răsucire) dacă efortul din secțiunea transversală este un moment Mx care, în reprezentare vectorială, este dirijat după axa Ox (aleasă convențional pe direcția axei barei).

Practic are loc deformarea barei sub acțiunea unor cupluri de forțe cuprinse în plane perpendiculare pe axa geometrică a acesteia, iar suporturile forțelor nu intersectează axa.

Tensiunea tangențiala pentru cazul barelor drepte de secțiune circulară si circulara inelara supuse la torsiune (răsucire) se calculează cu relația:

Pe conturul barei, pentru r = R, se poate scrie:

Tensiunea tangențială maximă se calculează cu relația:

unde: Mx = Mt.- momentul de torsiune;

Ip – momentul de inerție polar

Wp – modulul de rezistență polar

Reacțiunea care apare în încastrare este tot un moment de torsiune, aceasta putând fi determinată din ecuația de echilibru (pentru barele în consolă etapa figurării și determinării reacțiunilor este opțională. La aceste bare calculul reacțiunilor poate fi evitat dacă, după secționare, se reține mereu porțiunea de bară dinspre capătul liber al barei).

Pentru trasarea diagramei momentului de torsiune aplicam următoarele etape :

determinarea reacțiunilor

împărțirea corpului în regiuni și efectuarea secțiunilor în fiecare regiune

se scrie în fiecare secțiune expresia momentului de torsiune ținând cont de definiția acesteia (la scrierea expresiei momentului de torsiune nu se impune o anumita convenție de semne);

se studiază variația momentului de torsiune, se trasează diagrama de variație si se verifica diagrama.

În secțiunea în care asupra corpului acționează un moment concentrat (sarcină sau reacțiune), în diagrama Mx apare un salt, egal în modul cu acel moment. Această observație permite o verificare rapidă a diagramei.

2.3. Solicitarea de încovoiere

Solicitarea de încovoiere apare atunci când toate încărcările acționează într-un plan de simetrie longitudinal al grinzii sau în lipsa acestuia într-un plan ce conține una din axele centrale principale de inerție.

Solicitarea de încovoiere poate fi încovoiere pură și încovoiere simplă. Prin încovoiere pură se înțelege deformarea unei grinzi produsă de un sistem de forțe static echivalente care produc în secțiunea transversală un moment încovoietor, la cărui vector este dirijat după una din axele principale ale secțiunii transversale.

În cazul solicitării de încovoiere simplă în secțiunea transversală a grinzii apare pe lângă un moment încovoietor și o forță tăietoare.

Corespunzător celor doua eforturi la solicitarea de încovoiere simplă apar doua tensiuni: o tensiune normala data de formula lui Navier si o tensiune tangențiala data de formula lui Juravski.

Pentru un corp solicitat de efortul Mz orientat după axa Oz (axă centrala si principală de inerție a secțiunii transversale) relația lui Navier are următoarea forma:

unde: Iz – momentul de inerție al întregii figuri, față de axa Oz.

Relația pentru calculul tensiunilor tangențiale poarta numele de formula lui Juravski, si are armatoarea forma (în orice punct al secțiunii, tensiunile tangențiale sunt paralele cu forța tăietoare):

Fig. 2.5.Diagrama de variație a tensiunii tangențiale pe secțiune circulara

unde:

Ty – forța tăietoare din secțiunea x ( se ia din diagrama de forte tăietoare)

Sz(y) – momentul static al suprafeței aflată deasupra sau sub secțiunea y, fata de axa Oz (care trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale);

b(y) – lățimea fibrei în secțiunea în care se calculează tensiunea tangențiala

Iz – momentul de inerție al întregii figuri, față de axa Oz.

Trasarea diagramelor de eforturi implică parcurgerea următoarelor etape:

Figurarea și calculul reacțiunilor

Împărțirea grinzii în secțiuni și figurarea secțiunilor (câte o secțiune prin fiecare regiune)

Scrierea expresiilor analitice ale secțiunilor în regiunilor fixate și studierea variației acestora

Trasarea diagramelor de eforturi și verificarea acestora

2.4. Solicitarea de forfecare

O secțiune transversală a unei bare este supusă la solicitarea de forfecare dacă efectul rezultant al forțelor de pe fetele exterioare se va reduce la un singur efort, forța tăietoare T.

Se consideră bară din figura 2.6, solicitată de către două forțe transversale egale, se sens contrar și foarte apropiate una de alta.

Fig. 2.6

Tendința de deformare este cea de lunecare a celor două porțiuni de bara, în cadrul planului de separație al forțelor transversale (bară lucrează la forfecare/tăiere)

Tensiunea T din planul secțiunii este rezultatul forței tăietoare; în cazul pieselor transversale de mărime mică se admite ipoteza distribuției uniforme a tensiunii tangențiale T pe întreaga suprafață a secțiunii.

Astfel,valoarea tensiunii T este determinată cu ajutorul formulei:

Formula pentru calcul simplificat la forfecare.

3.Tipuri de reazeme

În tabelul 2 se prezintă tipurile de reazeme, reprezentările schematizate și reacțiunile care apar în fiecare tip de reazem. Pentru fiecare tip le reprezentări schematizate.

Rezemarea simplă suprimă un grad de libertate (translația pe direcția verticală) și permite translația pe direcția orizontală și rotirea.

Practic această rezemare se poate realiza prin lagăre, prin intermediul unor role.

Articulația cilindrică sau articulația simplă suprimă două grade de libertate(translația pe direcția verticală și pe direcția orizontală ) și permite rotirea. Practic această rezemare se poate realiza prin lagăre de alunecare sau rostogolire.

Tab 2. Tipuri de reazeme

Încastrarea suprimă translația pe două direcții și rotirea deci preia toate gradele de libertate. Barele încastrate la un capăt și libere la celălalt se numesc bare în consolă. O grindă fixată în zid, o bară sudată de un corp masiv fix sunt considerate bare încastrate.

Calculul analitic ala reacțiunilor se efectuează cu respectarea următoarelor etape:

schematizarea formei corpului

schematizarea modului de rezemare (stabilirea tipului de reazem și figurarea reacțiunilor corespunzătoare);

schematizarea modului de încărcare (stabilirea forțelor și a cuplurilor)

scrierea ecuațiilor de echilibru cu alegerea arbitrară a convențiilor de semne;

rezolvarea sistemului de ecuații, determinarea și verificarea reacțiunilor

4. Concentratori de tensiune. Coeficientul teoretic de concentrare al tensiunilor

În construcția de mașini sunt foarte frecvente exemplele de piese care prezintă variații ale secțiunilor, racordări datorită modificării formei, ajustaje de strângere etc., care au ca efect modificarea distribuției tensiunilor pe secțiunea transversală în raport cu distribuțiile teoretice stabilite analitic.

În aceste zone se înregistrează niște vârfuri de tensiune mai mari decât tensiunile nominale stabilite prin calcule.

Acest fenomen se numește fenomenul de concentrare al tensiunilor iar cauzele care le produc sunt cunoscute sub denumirea de concentratori.

Fenomenele de concentrare ale tensiunilor, în cazul prezenței orificiilor străpunse cu forme circulare, eliptice sau alte forme, în cazurile de tracțiune – compresiune, poate fi exprimat prin două expresii ale coeficienților de concentrare după cum urmează:

a. Coeficientul teoretic de concentrare global,Kσg :

b. Coeficientul teoretic de concentrare net, Kσn :

Unde :

σn = tensiunea nominală netă

B = lățimea plăcii

d = diametrul orificiului, sau cota orificiului pe direcția lățimii B a plăcii.

Din acestea rezulta coeficientul teoretic de concentrare global, Kσg:

Este important de reținut că efectul de concentrare al tensiunilor se produce numai în domeniul elastic al materialului. În cazul materialelor ductile, la depășirea limitei de elasticitate și intrarea în domeniul curgerii are loc uniformizarea tensiunilor la valoarea maximă a tensiunii de curgere.

Tabelul 3. Variația coeficientului teoretic net pentru o placă cu o gaură străpunsă

În cazul prezenței concentratorilor de tensiune, fenomenul de concentrare a tensiunilor trebuie luat în considerare în mod obligatoriu în cazul materialelor fragile care au o comportare elastică până la rupere.

În cazul materialelor ductile fenomenul de concentrare a tensiunilor are un comportament diferit și consecințe diferite față de materialele fragile. Pentru materialele ductile este necesar să definim coeficientul efectiv de concentrare pentru solicitarea statică, ks:

unde:

σrk este rezistența la rupere nominală, a unei bare cu concentrator

σr este rezistența la rupere convențională a unei bare netede din același material

În cazul unei bare de secțiune circulară realizată dintr-un material cu comportament ductil, având un concentrator de tensiune sub forma unei renuri inelare, Fig. 3 forța de rupere la întindere este superioară celei obținută în cazul unei bare cu aceleași dimensiuni dar fără concentrator de tensiune.

Prin urmare în acest caz, coeficientul efectiv de concentrare, este subunitar, ks<1. Acest lucru se explică prin contribuția a doi factori principali.

Primul factor așa cum este prezentat în Fig. 4 se datorează unui fenomen de redistribuire prin uniformizarea tensiunii în zona de concentrare după atingerea limitei de curgere. Pe măsură ce încărcare crește apare uniformizarea tensiunii de curgere pe întreaga secțiune, la valoarea limitei ce curgere a tensiunii, σc. Fenomenul de uniformizare pus în evidență prin distribuțiile date de stadiile 2 și 3, Fig. 4, se încheie în cazul în care se ajunge la stadiul 4. Stadiile 2 și 3 reprezintă cazuri de comportament elasto-plastic al materialului.

Fig. 4

Curba caracteristică este schematizată cu un palier de curgere pronunțat până la apariția fenomenului de ecruisare. Creșterea forței de tracțiune F se produce atât în timpul procesului de uniformizare a tensiunilor cât și după aceea datorită ecruisării materialului, stadiul 5.

Un alt doilea factor principal care conduce la creșterea forței de rupere în cazul prezenței concentratorului de tensiune pentru un material ductil, este dat de fenomenul de frânare al ruperilor prin lunecările care apar în zona concentratorului.

Concentratorul de tensiune creează o stare locală de tensiune triaxială, în care tensiunea tangențială maximă care este factorul determinant în producerea ruperilor prin lunecare, este mai mică decât în cazul barei netede fără concentrator, cu aceeași secțiune transversală, solicitată cu aceeași forță de tracțiune F.

Remarcăm faptul că în cazul în care ductibilitatea materialului este moderată iar curba caracteristică nu are prag de curgere coeficientul ks, poate fi supraunitar sau subunitar. De asemenea menționăm faptul că în cazul solicitărilor variabile, atât în cazul materialelor ductile cât și în cazul materialelor fragile, prezența concentratorilor de tensiune conduc la o diminuare considerabilă a rezistenței la oboseală.