Fa.scc.scu.scl.sct.sca.sct.sce.sca.sc d.sce.sc Ma.sct.sce.scm.sca.sct.sci.scc.scabreve.sc [606369]

U/n.sc/i.sc/v.sc/e.sc/r.sc/s.sc/i.sc/t.sc/a.sc/t.sc/e.sc/a.sc „A/l.sc/e.sc/x.sc/a.sc/n.sc/d.sc/r.sc/u.sc I/o.sc/a.sc/n.sc C/u.sc/z.sc/a.sc” /d.sc/i.sc/n.sc I/a.sc/scedilla.sc/i.sc
F/a.sc/c.sc/u.sc/l.sc/t.sc/a.sc/t.sc/e.sc/a.sc /d.sc/e.sc M/a.sc/t.sc/e.sc/m.sc/a.sc/t.sc/i.sc/c.sc/abreve.sc
CALCULUL EFEMERIDELOR
Lucrare de licență
Conducător științific:
Conf. dr. G/a.sc/l.sc/e.sc/scedilla.sc C/abreve.sc/t.sc/abreve.sc/l.sc/i.sc/n.sc
Candidat: [anonimizat], 2019
Iași

Cuprins
1 Sfera cerească. Sisteme de coordonate 2
1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sistemul de coordonate ecuatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Data Iuliană . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Formulele lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Transformări de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale în coordonate ecuatoriale . . . . . . . 8
1.5.2 Transformarea coordonatelor ecuatoriale în coordonate ecliptice . . . . . . . . . 9
2 Problema celor n corpuri 10
2.1 Problema celor două corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Soluția . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Problema celor n corpuri. Ecuațiile planetare ale lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Introducere în „Problema celor n corpuri" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Ecuațiile planetare ale lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Funcții perturbatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Calculul efemeridelor 20
3.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Determinarea poziției planetei în planul orbitei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Calculul coordonatelor rectangulare geocentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 Calculul poziției aparente a planetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Program de calcul al efemeridelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2

Rezumat
Prezenta lucrare descrie procedeul de determinare a direcției unui corp ceresc atunci când sunt
cunoscute elementele sale orbitale. Acestea coincid cu șase mărimi denumite pe rând înclinația ( i),
longitudinea nodului ascendent (
), argumentul periheliului ( !), excentricitatea ( e), semiaxa mare
(a),respectivmomentultreceriilaperiheliu( t0),carereprezintăparametriiorbiteielipticekepleriene
și definesc poziția orbitei în spațiul inerțial, orientarea orbitei în planul său, forma orbitei, precum
și poziția satelitului pe orbită. Elementele orbitale se obțin în urma integrării ecuațiilor de mișcare
aleunuicorpcerescînjurulcorpuluicentral,presupusfix. Deaici,deosebimcazul„Problemeicelor
douăcorpuri"neperturbate,încareelementeleorbiteisuntconstante,decazul„Problemeicelordouă
corpuri" perturbate, în care acestea variază în timp. Mai departe, cunoscând elementele unei orbite,
se pot calcula coordonatele ,ale planetei pentru un moment oarecare t, adică efemerida acesteia.
Calcululefemerideiunuicorpcerescimplicăelaborareaunortabeleîncadrulcărorasuntcuprinse
pozițiileunorcorpuricerești,cuscopuldeafacilitagăsireaacestorapecer. Labazaelaborariiacestor
tabelestaupatruetape: determinareapozițieiplaneteiînplanulorbital,alcoordonatelorrectangulare
heliocentricealeplanetei,alcoordonatelorrectangularegeocentriceecuatoriale,precumșialcelorge-
ocentriceecuatorialesfericealeplanetei. Acestcalculestenecesarpentruurmărireaunuicorpceresc,
compararea pozițiilor observate cu cele calculate, dar și pentru corectarea orbitei corespunzătoare.
Structura lucrării cuprinde trei capitole care tratează subiectul propus atât din perspectiva teore-
tică,câtșidintr-operspectivăpractică,relevândprincipaleleenunțurialeproblemeistudiate,precum
și rezultatele exacte ale unui program de calcul aferent.
În Capitolul 1 sunt prezentate noțiunile introductive referitoare la elementele sferei cerești și a
sistemelor de coordonate determinate de acestea, un rol esențial avându-l sistemul de coordonate
ecuatorialedatoritainvariatieisaleinraportcutimpulsiloculobservatiei. Alaturidecadruluispațial
al problemei este descris și cadrul temporal reprezentat de sistemul calendaristic iulian, data iuliană
și algoritmul de calcul al lui Montenbruck. În același capitol vor mai fi amintite formulele lui Gauss,
utilizateîndeterminareapozițiilorunorcorpuricerești,precumșiformuleledetransformarealecoo-
donatelorcereștiprincaresepoatetrecedelaunsistemlocalsausemilocallacelabsolut,ecuatorial.
Capitolul2incepecuenuntarea„Problemeicelordouacorpuri"sienumerareaunorrezultatepre-
cum Legile de miscare ale lui Newton si Legea atractiei universale, folosite in rezolvarea problemei
amintite. „Problema celor doua corpuri" consta in determinarea pozitiei si vitezei unui corp ceresc
in orice moment, stiind pozitia si viteza acestuia la un anumit moment initial. In rezolvarea acestei
problemeseurmareste,asadar,scriereaecuatiilorvectorialecorespunzatoarecelordouacorpuri,apli-
candLegileluiNewton,precumsiceaaatractieiUniversale. Dinacestsistemdeecuatiiseobtindoua
integraleprime: integralaprimaaariilorsiintegralaprimaaenergiei. Primaintegralasugereazafap-
tulcamiscareaunuicorpinjurulunuicentralesteplana,iaradouaintegralaasigurafaptulcaenergia
mecanica a sistemului se conserva. Integrand sistemul format din cele doua integrale in coordonate
polare vom deduce ecuatia traiectoriei miscarii in coordonate polare care reprezinta ecuatia unei co-
nice exprimata in functie de parametrii orbitali. Acestia, la randul lor, vor fi definiti si caractarizati,
precizandu-serolullorindescriereamiscariiunuicorpceresc,precumsimoduldecalculalfiecaruia
dintreei. InacelasicapitolsevorfacecunoscuteecuațiileplanetarealeluiLagrangecuajutorulcărora
sunt cuantificate variațiile orbitale ale unui astru, formulele de aproximare ale elementelor orbitale,
utileinprecizareaunordatecatmaiexacte,precumsirezultatelevalabilepentruoperioadadetimp.
Capitolul 3 este dedicat prezentării aspectelor teoretice privind calculul efemeridelor, precum și
testării unui program prin inserarea unor date concrete.

Capitolul 1
Sfera cerească. Sisteme de coordonate
1.1 Introducere
Considerateîncădinantichitatecafiindprincipalelereperetemporaleșispațiale,corpurilecerești
au fost observate îndelung de omul primitiv, păstor sau agricultor, în vederea imbunatatirii nivelu-
lui sau de trai. Deplasarile turmelor prin stepe, a caravanelor prin pustiuri si a corabiilor pe ape
implicau cunoasterea pozitiilor corpurilor ceresti, iar dezvoltarea agriculturii, mai tarziu, a necesitat
cunoasterea succesiunii anotimpurilor. Toate acestea, l-au indemnat pe om sa caute si sa gaseasca in
regularitatea fenomenelor ceresti un sistem de referinta al studierii orbitelor unor planete si sateliti,
relevând datele obținute în lucrări numite efemeride .
Efemerideleconțininformațiicuprivirelapozițiașivitezaunuicorpcerescînfuncțiedetimp. Da-
telecuprinseînasemenealucrăriseobținprinrezolvareaecuațiilordemișcarealecorpului,rezultate
în urma aplicării legilor fundamentale ale mișcării postulate de Kepler și Newton. Primele calcule
de efemeridă au fost efectuate de Karl Friedrichn Gauss și publicate în luna noiembrie 1801. Aceste
calcule au permis reidentificarea lui Ceres pe sfera cerească după o perioadă cu condiții meteorolo-
giceimpropriiobservațiilor. Calcululefemerideloresteimportantpentrumăsurareacâtmaiexactăa
timpului, anticiparea diferitelor fenomene astronomice precum, eclipsele, fazele lunii, determinarea
pozițiilorpunctelordepesuprafațaPământuluisauaunorcorpuricerești,studiulrelațiilordintrefe-
nomenelesolareșiceleterestreetc. Pentruarealizaunastfeldecalculesteesentialaconstruireaunui
reper spatial si temporal, in cadrul caruia sa se poata proiecta traiectoria miscarii unui corp ceresc si
in care sa se poata determina momentului corespunzator pozitionarii sale pe cer. Un astfel de reper
este sfera cereasca, definita drept o sferă auxiliară de rază arbitrară, cu centrul într-un punct arbitrar
din spațiu, pe suprafața căreia sunt proiectate corpurile cerești la un anumit moment. Aceasta poate
fi perceputa privind cerul instelat, asemanator unei bolte sferice pe suprafata careia toate stelele se
afla la aceeasi distanta, impresie gresita, deoarece corpurile ceresti se afla la distante diferite. În ace-
lași timp, urmărind o stea, vedem că ea se ridică deasupra orizontului, culminează, apoi dispare sub
orizont. De aici rezultă a doua aparență, cea a mișcării de rotație a cerului, numită mișcare diurnă .
Alaturi de identificarea pozitiei unui astru pe sfera cereasca, la fel de importanta este si determi-
narea momentuluicorespunzator acesteiaparitii. In acest demersavem nevoiesa utilizam unsistem
calendaristic in care zilele sale sa cuprinda intregul interval de timp dintre apusul Soarelui si rasari-
tul sau, pe o durata de 24 de ore. Tinand cont de aceasta necesitate, calendarul iulian se dovedeste a
fi un instrument indispensabil in datarea fenomenelor astronomice, datorita si modului sau simplu
de utilizare. Data iuliana presupune numararea zilelor iuliene care au trecut incepand cu data de 1
Ianuarie4713i.e.n.,delaora12,farasasetinacontdeluna,anietc. Astfel,alegereaoriginiilaamiaza
zilei se datoreaza faptului ca data iuliana a fost introdusa pentru uzul astronomilor, cele mai multe
observatii astronomice efectuandu-se noaptea.
In continuare, ne propunem sa descriem cadrul de lucru pe care il vom utiliza in determinarea
efemeridelorunorcorpuriceresti,precizandpentruinceput,elementelecomponentealesfereiceresti,
modulprincareacesteapotfideduse,precumsiprincipalelesistemedecoordonateceresticunoscute.
2

Dupa centrul ales al sferei ceresti, deosebim: sfera topocentrica, cu centrul situat in locul de ob-
servatie,sferageocentrica,cucentrulreprezentatdeplanetaPamant,darsisferaheliocentrica,avand
centrul reprezentat de Soare. Astfel, raza sferei ceresti, fiind oricat de mare, in numeroase probleme
dimensiunile corpului studiat devin neglijabile.
Figura 1.1
Raza sferei cerești, fiind oricât de mare, în numeroase probleme dimensiunile corpului studiat
devinneglijabile,iarînfuncțiedecentrulacesteia,putemdeosebisferageocentrică,heliocentricăetc.
ElementelesfereicereșticuprindperechidepunctediametralopuseprecumZenitul-Nadirul,Polul
Nord ceresc – Polul Sud ceresc, dreptele determinate de acestea, verticalul locului, axa lumii, dar
și planurile perpendiculare corespunzătoare dreptelor amintite – planul orizontal, respectiv planul
ecuatorial – care intersectează sfera în cercuri precum orizontul matematic și ecuatorul. Alături de
acestea mai deosebim planul meridian al locului, determinat de verticala locului și axa lumii, dar și
planulorar,determinatdepoliisfereicereștișipozițiaastrului. Pozițiaunuipunctpeosferăsepoate
determina cu ajutorul a două unghiuri, unul situat într-un plan care trece prin centrul sferei numit
plan fundamental , iar al doilea într-un plan dus prin punctul dat și prin centrul sferei, perpendicular
pecelfundamental. Valorileacestordouăunghiurisenumesc coordonatelepunctuluidat . Similarseva
proceda și în cazul determinării poziției unui punct de pe suprafața Pământului.
În continuare, se vor enumera principalele tipuri de coordonate cerești, menționând modul prin
care acestea pot fi determinate, sensul de parcurgere al unghiurilor componente, precum și relațiile
care se stabilesc între ele.
3

Tipul de
coordonate cereștiPlanul
fundamentalAxa
fundamentalăCoordonate Definiție
Orizontale Orizontul Verticalul locului Înălțimea (h)unghiul format de raza
vectoare a astrului cu planul
orizontului;
Azimutul (A)unghiul format de planul
vertical al astrului cu planul
meridianului locului;
Orare Ecuatorul Axa lumii Declinația ()unghiul format de raza
vectoare a astrului cu planul
ecuatorului;
Unghiul orar (H)unghiul format de planul orar
cuplanulmeridianuluilocului
Ecuatoriale Ecuatorul Axa lumii Declinația ()unghiul format de raza
vectoare a astrului cu planul
ecuatorului;
Ascensia dreapta
()unghiul format de planul orar
al astrului cu planul orar al
punctului vernal
Ecliptice EclipticaAxa polilor
eclipticiLatitudinea
ecliptică ()unghiul format de raza
vectoare a astrului cu planul
eclipticii
Longitudinea
ecliptică ()unghiul format de planul
meridian ecliptic al astrului cu
planul meridian ecliptic al
punctului vernal
Tabela 1.1: Descrierea coordonatelor cerești
Înălțimea (h)se mai numește distanță zenitală (z)și este unghiul dintre raza vectoare a astrului cu
verticala locului. Totodată, înălțimea (h)se măsoara pe verticalul astrului, parcurgând sensul de la
planul orizontului spre Zenit, respectiv Nadir, în timp ce distanța zenitală (z)se măsoară pe același
vertical al astrului, parcurgând sensul de la Zenit, la raza vectoare.
Uneori,înloculdeclinației ()semaiutilizează distanțapolară (p)careesteunghiulformatderaza
vectoareasteleicuaxalumii. Declinația ()semăsoarăpecerculorar,parcurgândsensuldelaecuator
spre cei doi poli, în timp ce distanța polară (p)se măsoară pe același cerc orar, parcurgând sensul de
la Polul Nord ceresc spre ecuator.
Azimutul (A)se măsoarâ pe orizontul matematic, în sens retrograd. În același sens se măsoară și
unghiul orar (H), însă pe planul ecuatorial. Ascensia dreaptă ()se măsoară pe același plan ecuato-
rial, dar în sens trigonometric direct.
4

1.2 Sistemul de coordonate ecuatoriale
Pe parcursul orbitării Pământului în jurul Soarelui, direcția axei sale de rotație rămâne aproape
constantă, proprietate valabilă și în cazul planului ecuatorial perpendicular la această axă. Prin ur-
mare,planulecuatorialesteunplandereferințăadecvatpentruunsistemdecoordonatecaretrebuie
să fie independent de timp și de poziția observatorului. Astfel, tocmai datorită acestor proprietăți,
coordonatele ecuatoriale sunt caracteristice corpurilor cerești, fiind numite și coodonate locale .
Urmărind un astru pe sfera cerească, se poate observa că acesta parcurge un cerc mic, paralel cu
ecuatorulceresc. Unastfeldecercestenumit paraleldedeclin șineoferăunadintreceledouăcoordo-
nateînsistemulecuatorial. Declinațiaaunuicorpcerescestedistanțaunghiularădelaecuator,de-a
lungul cercului orar, până la rază vectoare a lui. Se măsoară la nord și la sud de ecuator și ia valori
cuprinse între 0și90, pozitive în emisfera nordică și negative în cea sudică.
Pentru a defini a doua coordonată, trebuie din nou să cădem de acord asupra unei direcții fixe,
neinfluențată de rotația Pământului, iar în acest demers, avem nevoie de un punct cu aceeași inva-
rianță față de reperele temporale și spațiale. Acest punct se numește punct vernal și este notat cu
,
făcândpartedinconstelațiaBerbec. Acumputemdefiniadouacoordonatăcafiind ascensiadreaptă ,
măsurată în sens direct de la planul orar al punctului vernal, la planul orar al astrului.
Prinurmare,cumdeclinațiașiascensiadreaptăsuntindependentedetimp,pozițiaobservatorului
șidemișcărilePământului,acesteapotfifolositeînhărțișicataloagestelare,fiindutileîndeterminarea
precisă a poziționărilor corpurilor cerești.
Figura 1.2
Determinareacoordonatelorecuatorialesefacecuajutorulluneteimeridiane. Aceastasecompune
dintr-o lunetă care se poate roti numai în planul meridian al locului, în jurul unei axe orizontale. În
planul focal al lunetei se află un fir perpendicular atât pe axa de rotație, cât și pe axa de simetrie a
obiectivului, numit fir orar. În orice poziție s-ar afla luneta, acest fir rămâne în planul meridian al
locului,materializându-lpentruochiulobservatorului. Totînplanulfocalsemaiaflăunfirorizontal,
numit firul de declinație, care trece prin axa de simetrie a obiectivului și este perpendicular pe firul
orar, deci paralel cu axul de rotație.
Dacă rotim luneta astfelîncât să captăm în obiectiv ostea, vom sesiza că aceasta trece dela vest la
est, adică invers mișcării diurne, obiectivul lunetei inversând imaginea. Mai departe, cunoscând ora
dată de o pendulâ sideralâ în momentul trecerii imaginii stelei prin axa de simetrie, din relația =t
putem determina ascensia dreaptă a stelei. Astfel, cu ajutorul lunetei meridiane putem determina
momentul în care o stea trece pe sfera cerească, observând tranzitul ei pe firul orar și notând timpul
indicat de o pendulă siderală. De asemenea, pe cercul divizat aflat în componență tehnică a lunetei,
se poate citi distanța zenitală.
Înplus,dacălaintrareasteleiîncâmpcorectămpozițialunetei,astfelîncâtimagineaacesteiasăse
deplasezechiarpefirulorizontal,șicitimîndreptulindiceluifixcerculdivizat,obținemdeclinația a
astruluiurmărit. Înacestcaz,indiceletrebuiesăaratediviziunea0 °,iarliniadevizaresăfieîndreptată
spre intersecția meridianului cu ecuatorul ceresc.
5

1.3 Data Iuliană
În determinarea poziției unui corp ceresc la un anumit moment este necesar să se utilizeze un
sistem calendaristic bazat pe o zi fixă, precum e ziua iuliană, care constă în 86,400 s. Un astfel de
calendar este calendarul iulian care are un an obișnuit de 365,25 de zile, împărțit în 12 luni, cu un an
bisect adăugat la fiecare 4 ani. În schimb, secolul iulian are 36,525 de zile iuliene.
Data iuliană se stabilește numărând zilele iuliene care au trecut, începând cu data de 1 Ianuarie
4713i.e.n.,delaora12,fărăsăseținacontdeluni,anietc. Alegereaoriginiilaamiazazileisedatorează
faptuluicădataiulianăafostintrodusăpentruuzulastronomilor,iarcelemaimulteobservațiiastro-
nomiceseefectueazănoaptea,astfelîncâtschimbareadateiîncursulunorseriicontinuedeobservații
erademulteoriincomodă. Înplus,dataiulianăpoateficalculatăpentruoricealtădatăcalendaristică,
utilizând algoritmul dat de Montenbruck (1989).
Astfel, dacă Y,M,DșiUTreprezintă anul, luna, ziua, respectiv Timpul Universal, atunci se vor
putea defini cantitățile auxiliare y și m, utilizând
y=Y1sim=M+ 12dacăM2
y=Ysim=M dacăM > 2
precum și cantitatea B folosind
B=2 pana și incluziv la 15 Octombrie 1582
B= [y=400][y=100] de și incluziv la 15 Octombrie 1582
unde B reprezintă numărul zilelor pierdute în luna Octombrie 1582, când calendarul gregorian a
înlocuit calendarul iulian în Europa, având rolul de a introduce o zi omisă în sistemul calendaristic
adoptat. Pe baza acestor variabile data iuliană, JD, se poate obține din următoarea relație:
JD= [365:25y] + [30:6001(m+ 1)] +B+ 1720996:5 +D+UT=24
Data iuliană se incrementează în fiecare zi, la prânz. De asemenea, anul astronomic -4712 cores-
punde anului 4713 i.e.n. iar anul 0 corespunde anului 1 i.e.n.
În cazul calculului unei date calendaristice pornind de la cea iuliana, se va aplica urmatorul algo-
ritm, astfel: dacă definim următoarele cantități,
a= [JD+ 5]
c=a+ 1524 dacăa<2299161
b= [(a1867216:25)=36524:25]dacăa2299161
c=a+b[b=4] + 1525 dacăa2299161
d= (c122:1)=365:25
e= [365:25d];
f= [(ce)=30:6001];
atunci data căutată va fi determinată de
D=ce[30:6001f] +JD+ 0:5
M=f112[f=14]
Y=d4715[(7 +M)=10]
DateleorbitalepentrusatelițiiartificialiaiPământuluisuntadeseamenționateînepocileexprimate
prin data iuliană modificată în care punctul zero în acest sistem este 17 ·0 Noiembrie, 1858. De aici,
data iuliana modificată =data iuliană2400000
5zile.
6

1.4 Formulele lui Gauss
ConsiderămacumuntriunghisfericABC,situatpesferaderază rsicentruO.FieO xyzunsistem
directdeaxerectangulare,cuorigineaîncentrulsferei,cuaxaOztrecândprinvârfulAaltriunghiului
sferic și cu planul yOz conținând latura AB=ca triunghiului sferic. Fie, de asemenea, O x’y’z’un al
doileasistemdirectdeaxerectangulare,avândaceeașiorigine,lacareaxaO x’coincidecuaxaO x,iar
axa Oz’trece prin vârful B al triunghiului sferic.
Figura 1.3: Triunghiul sferic
Dinfigura(1.2)seobservăcă: ^xOC0=A90,^zOC =b,^x0OC00= 90Bsi^z0OC=a. Deci
coordonatelevârfuluiCaltriunghiuluisferic,fațădeceledouăsistemedecoordonatevorfirespectiv:
8
><
>:x=rsin(b)sin(A)
y=rsin(b)cos(A)
z=rcos(b);8
><
>:x0=rsin(a)sin(B)
y0=rsin(a)cos(B)
z0=rcos(a);
Dinfigurasemaiobservăcădelaunsistemdeaxelacelălaltputemtreceprintr-orotațiedeunghi
c. Deci între coordonatele x0;y0;z0șix;y;zavem relațiile ce rezultă din ecuația matriceală
0
@x0
y0
z01
A=0
@1 0 0
0cos(c)sin(c)
0sin(c)cos(c)1
A0
@x
y
z1
A (1.1)
Obținem astfel
8
<
:rsin(a)sin(B) =rsin(b)sin(A)
rsin(a)cos(B) =rsin(b)cos(c) +rcos(b)sin(c)
rcos(a) = rsin(b)sin(c)cos(A) +rcos(b)cos(c)
Deoarece raza sferei este arbitrară, (r6= 0), de aici rezultă
cos(a) =cos(b)cos(c) +sin(b)sin(c)cos(A)
sin(a)cos(B) =cos(b)sin(c)sin(b)cos(c)cos(A)
sin(a)sin(B) =sin(b)sin(A)9
>=
>;(1.2)
Formulele (1.2) sunt formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, numite și formulele lui Ga-
uss. Ele stabilesc relații între laturile și unghiurile triunghiului sferic.
Prima formulă exprimă teorema cosinusurilor pentru triunghiul sferic, a doua formulă este cunos-
cută sub numele de formula celor cinci elemente , iar ultima – teorema sinusurilor .
Prin permutari circulare se pot obține, din relațiile (1.2), alte două grupe de formule analoage.
Apoi,printransformărialgebriceșitrigonometricesepotobținemultealteformuleutileînAstrome-
trie.
7

1.5 Transformări de coordonate
Încazultreceriidelaunsistemdecoordonatelaaltul,estenecesarsăaplicămformuleleluiGauss
într-un anumit triunghi sferic, numit triunghi paralactic sau de poziție al astrului observat.
1.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale în coordonate ecuatoriale
Construim triunghiul paralactic PZ, având ca vârfuri astrul , zenitulZ, polul ceresc P, și ca
laturi colatitudinea locului PZ= 90', complementul declinației P= 90, distanța zenitală
a astruluiZ= 90h=z.
Figura 1.4
Pentruaobținecoordonateleecuatorialeporninddelacoordonateleorizontale,sevorfacetransfor-
mările (A;h)7!(H;)7!(;). Încazulprimeitransformări (A;h)7!(H;),cuajutorultriunghiului
paralacticPZ, înlocuim în formulele lui Gauss a90șiBHpentru a obține
sin= coszsin'sinzcos'cosA
coscosH= coszsin'+ sinzsin'cosA
cossinH= sinzsinA9
>=
>;(1.3)
Din aceste relații se pot determină coordonatele orare (H;), dar uneori (mai ales pentru calculul
cu ajutorul tabelelor de logaritmi) este convenabil sa se pună mai întâi aceste relații sub altă formă.
Astfel putem scrie:
sin= sinzcosA(sin'cotz
cosAcos')
coscosH= sinzcosA(cos'cotz
cosA+ sin')
cossinH= sinzsin9
>>>>=
>>>>;
Făcând substituția
tanM= tanzcosA (1.4)
relațiile devin
sin= sinzcosA(sin'sin('M)
sinMcos')
coscosH= sinzcosA(cos'cos('M)
sinM+ sin')
cossinH= sinzsin9
>>>>=
>>>>;
de unde rezultă
tanH= tanAsinM
cos('M)(1.5)
tan= tan('M) cosH (1.6)
8

AvândunghiulajutătorM,dinformula(1.4),cuformulele(1.5)și(1.6)sepotdeterminaunghiulorar
Hși declinația . Pentru controlul calculelor se poate utiliza formula
coscosHsinM= sinzcosAcos(M) (1.7)
Mai departe, pentru a doua transformare, (H;)7!(;)aplicam relația dintre H,și momentul
siderals, adică
s=+H (1.8)
Transformareacoordonatelorecuatorialeînceleorizontalerespectăprocedeulinversceluimențio-
nat anterior: (;)7!(H;)7!(A;z). Prin urmare, în cazul transformării coordonatelor ecuatoriale
în coordonate orare vom utiliza formula (1.8), iar pentru transformarea coordonatelor orare în coor-
donate orizontale, înlocuim în formulele lui Gauss az,B180Apentru a obține formulele
(1.4) – (1.7).
Dacă punem H=s, formulele de transformare a coordonatelor orizontale, în coordonate
ecuatoriale, pot fi scrise și sub forma matriceală
0
@coscos
cossin
sin1
A=0
@sin'cosssinscos'coss
sin'sinscoss cos'sins
cos' 0 sin '1
A0
@sinzcosA
sinzsinA
cosz1
A (1.9)
Forma (1.9) a ecuațiilor de transformare este convenabilă atunci când calculele se efectuează cu
ajutorul unui calculator electronic.
1.5.2 Transformarea coordonatelor ecuatoriale în coordonate ecliptice
Pentru transformarea (;)7!(;), ca și pentru transformarea inversă (;)7!(;)se pot
obține formulele analoage cu cele de mai sus, utilizând triunghiul sferic P.
După calculele analoage cu cele precedente obținem
tanM=tan
sin(1.10)
tan= tancos(M)
cosM(1.11)
tan= tan(M) sin (1.12)
Forma matriceală a ecuațiilor de transformare este următoarea:
0
@coscos
cossin
sin1
A=0
@1 0 0
0 cos"sin"
0sin"cos"1
A0
@coscos
cossin
sin1
A (1.13)
Figura 1.5: Triunghiul P
9

Capitolul 2
Problema celor n corpuri
2.1 Problema celor două corpuri
2.1.1 Preliminarii
„Problema celor două corpuri", afirmată și rezolvată inițial de Isaac Newton (n. 1643 – d. 1727),
este enunțată astfel: „Având în orice moment pozițiile și vitezele a două corpuri care se deplasează
sub forțele lor gravitaționale reciproce, cu masele, de asemenea, cunoscute, să se calculeze poziția și
viteza pentru orice alt moment.“
CeletreilegidemișcarealeluiNewtonaupusbazeleștiințeidinamicii,iaracesteapotfiformulate
în următoarea formă:
(i) Un punct material tinde să-și mențină starea de repaus relativ sau de mișcare rectilinie și uni-
formă, atât timp cât nu se află sub acțiunea unor forțe exterioare.
(ii) Ratadevariațieîntimpaimpulsuluiunuipunctmaterialesteegalăcuforțarezultantăceacțio-
nează asupra acestuia.
(iii) Când un corp acționează asupra altui corp cu o forță (numită forță de acțiune), cel de-al doilea
corpacționeazășielasupraprimuluicuoforță(numităforțădereacțiune)deaceeașimărimeși
de aceeași direcție, dar de sens contrar.
Într-unsistemdereferințăinerțial (O;X;Y;Z )cuorigineaînO,notamcur,v,a,vectoruldepoziție,
viteza, respectiv accelerația unei mase mastfel încât
v=dr
dtși a=dv
dt=d2r
dt2: (2.1)
Prinurmare,impulsulliniaralmaseieste mv,iarimpulsulsăuunghiulareste mrv=mr_r. În
notație vectorială, relația
F=d(mv)
dt(2.2)
rezumălegile(i)și(ii),unde vestevitezacorpului, mestemasaacestuia,iar Festeforțaexterioară.
Prin urmare,
F=md2(r)
dt2(2.3)
unde se presupune că masa corpului este constantă. În cazul în care mai multe astfel de forțe acțio-
nează, ecuația de mai sus poate fi generalizată astfel
kX
i=1Fi=md2r
dt2(2.4)
10

unde celekforțe implicate sunt adăugate vectorial.
Alături de cele trei principii newtoniene enunțate anterior, Legea atracției universale a oferit nume-
roase rezolvări ale unor ecuații și probleme fundamentale în domeniul mecanicii cerești. Aceasta
afirma că fiecare particulă de materie din univers atrage orice altă particulă cu o forță direct propor-
țională cu produsul maselor și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele.
Prin urmare, pentru două particule separate de distanța r, avem relația
F=Gm1m2
r2(2.5)
undeFeste forța de atracție, m1șim2sunt masele celor două corpuri, reste distanța dintre acestea,
iarG= 6:67260
1011Nm2kg2este constanta gravitațională universală.
2.1.2 Soluția
În figura (2.1), forța de atracție F1a maseim1este direcționată de-alungul vectorului rspre masa
m2în timp ce forța F2care acționează asupra lui m1este orientată în direcția opusă.
AplicândlegeaatreiaaluiNewtonșilegeaatracțieiuniversale,forțelegravitaționalecorespunză-
toare celor două corpuri sunt
F1=Gm1m2
r2r
_r; respectiv F2=Gm1m2
r2r
_r: (2.6)
Acum, fie vectorii r1sir2fixați în originea Oși orientați către punctele de masă m1, respectivm2.
Ținândcontdeecuațiile(2.2)și(2.6),ecuațiilemișcăriicelordouăparticuleaflate,reciproc,subforțele
gravitaționale de atracție sunt date de
m1d2r1
dt2=Gm1m2
r2r
r(2.7)
m2d2r2
dt2=Gm1m2
r2r
r: (2.8)
CumF1=F2, din ecuațiile (2.6) și (2.7) obținem
m1dr1
dt2+m2d2r2
dt2= 0 (2.9)
de unde obținem integralele
m1dr1
dt+m2dr2
dt=a (2.10)
m1r1+m2r2=at+b (2.11)
cuasibsunt vectori constanți.
Figura 2.1
Dar dacaReste vectorul de pozitie al lui O0, centrul de greutate (baricentrul) al celor doua mase
m1sim2, atunciReste definit ca
MR =m1r1+m2r2
11

undeM=m1+m2reprezintă masa totală.
Prin urmare, din ecuațiile (2.10) și (2.11),
MdR
dt=a; iar MR =at+b:
Aceste relații arată faptul că centrul de greutate al sistemului se deplasează cu viteză constantă.
Împărțind ecuațiile (2.6) și prin m1, respectiv prin m2, obținem
d2r1
dt=Gm2r
r3(2.12)
d2r2
dt=Gm1r
r3(2.13)
Scăzând ecuația (2.13) din ecuația (2.12) obținem
d2
dt2(r1r2) =G(m1+m2)r
r3:
Dar
r1r2=r
și prin urmare
d2r
dt2+r
r3= 0 (2.14)
unde
=G(m1+m2):
Considerând produsul vectorial al lui rcu ecuația (2.14) obținem
rd2r
dt2= 0:
Integrând, avem
rdr
dt=h (2.15)
undeheste un vector numit momentul impulsului . Astfel, am obținut integrala energiei . Întrucâtheste
oconstantă,avândaceeașidirecțiepentruorice t,mițcareaunuicorpfațadecelălaltrămâneînplanul
definit de direcâia lui h.
Dacăluămcoordonatelepolare rșiînacelașiplancaînfigura(2.2),componentelevitezeisituate
perpendicular pe raza vectoare care unește m1m2sunt _rsir, unde prin " :" înțelegem d=dt.
Atunci,
_r=I_r+Jr_ (2.16)
undeIșiJsunt versorii perpendiculari pe raza vectoare. Prin urmare, din ecuațiile (2.15) și (2.16),
Ir(I_r+Jr_) =r2_K=h
unde K este vectorul unitate perpendicular pe planul orbitei. Mai putem scrie
r2_=h (2.17)
undeconstantahesteprivităcafiinddedouăorimăsuradescrisădeariarazeivectoare. Aceastaeste
forma matematică a legii a doua a lui Kepler.
Ointerpretarefizicaasaarficaariavitezeideparcurgereavectoruluirazaesteconstanta. Inacest
caz, vom evalua aria Amaturata de vectorul r(t)la momentul tsi vectorul r(t+t)la momentul
t+t:
12

A=1
2r(t)r(t+t) sin
undeeste unghiul de parcurgere de la r(t)lar(t+t). Variatia luiAin raport cu timpul este
data de
A
t=1
2r(t)r(t+t)sin

t
de unde trecand la limita cu t!0obtinem
_A=1
2r2_
Dacă avem produsul scalar al lui _rcu ecuația (2.14), obținem
_r
d2r
dt2+_r
r
r3= 0
care poate fi integrată imediat obținând:
1
2_r
_r
r=C
undeCeste o constantă. De aici,
1
2v2
r=C: (2.18)
Aceastaeste ecuațiaconservăriienergieisistemului . CantitateaCnuesteenergiatotală;1
2v2estelegată
de energia cinetică, iar 
rde energia potențială a sistemului. Referindu-ne, din nou, la figura (2.2)
s,i amintindu-ne componentele accelerației punctului masic m2perpendiculare pe vectorul de rază,
I(rr_) +J1
rd
dt(r2_)
+
r3Ir= 0
rr_2=
r2(2.19)
1
rd
dt(r2_) = 0 (2.20)
Figura2.2: Miscarealui m2fatadem1defineșteunplanorbital,deoarece r_resteunvectorconstant,
h, vectorul impulsului unghiular, iar acesta este întotdeauna perpendicular pe planul orbitei
Din integrarea celei de-a doua din ecuațiile de mai sus va rezulta integrala energică
r2_=h: (2.21)
13

Făcând substituția u= 1=rși eliminând timpul dintre ecuațiile (2.19) și (2.21) obținem ecuația
d2u
d2+u=
h2
Soluția generlă a ecuației este
u=
h2+Acos (+!) (2.22)
undeAși!sunt două constante ale integrării.
Reintroducându-l pe r, ecuația (2.22) devine
r=h2=
1 + (Ah2=)cos(!):
Ecuația polarâ a secțiunii conice se mai poate scrie
r=p
1 +ecos(!)(2.23)
cu,
p=h2=
e=Ah2=:
Soluția problemei celor două corpuri, secțiunea conicii , include prima lege a lui Kepler ca un caz
special. Defapt,orbitaunuicorpfațădecelălaltesteclasificatădupăvalorileexcentricității e. Așadar,
notând cuasemiaxa mare a conicei, cele patru orbite posibile sunt:
cerc: e= 0, p=a;
elipsă: 0<e< 1,p=a(1e2);
parabolă: e= 1, p= 2q;
hiperbolă: e>1, p=a(e21),
2.2 Elemente orbitale
Pentruagăsiformageometricăaorbitei,derivămecuațiaorbitei. Deoareceeesteunvectorconstant
situatînplanorbital,îlalegemcadirecțiedereferință. Denumimunghiuldintrevectorulderază rși
e prin f. Unghiul f se numește anomalie adevărată .
Pentrucamișcareauneiplanetesăfiecompletcunoscutăestenecesarsăsedeterminevalorileunor
constante caracteristice acesteia. Urmatoarele șase mărimi se numesc elemente orbitale :
– înclinația i,
– longitudinea nodului ascendnet
,
– argumentul !,
– excentricitatea e,
– semiaxa mare a,
– momentul trecerii planetei prin periheliu t0.
a) CerculmareMQdupăcareplanulorbiteialunuiastruintersecteazăsferacereascănuvacoincide
cucerculmarealeclipticii(figura2.3),civaformacuacestaununghi. Acestunghisenoteazăcu i
și se numește înclinația planului orbitei față de ecliptică sau mai simplu, inclinația orbitei i.
14

b) Celedouăpuncteîncareplanulorbiteitaieeclipticasenumescnodurileorbitei. Dreptelementulal
doileaorbiteiseia longitudineanoduluiascendent ,adicălongitudineanoduluipecare-ltraversează
planeta când trece din emisfera ecliptică sudică – în cea nordică. Se notează cu
.
Se poate observa că elementele, iși
, determină poziția planului orbitei i ¸n spațiu.
c) Poziția elipsei descrise de planetă în acest plan este dată de longitudinea periheliului (arcul frânt

Nconsideratînpartepeeclipticășiînpartepecerculmare,dupăcareplanulorbiteitaiesfera).
Uneori în locul lui se iadistanța unghiulară !dintre nodul ascendent Nși periheliul . Avem
relația=
+!.
d)Excenticitatea determină forma elipsei și este dată de e=p
a2b2
a, unde a si b sunt semiaxele
elipsei.
e)Semiaxa mare ,a, determină dimensiunile elipsei (uneori în locul lui a se poate folosi parametrul
p=a(1e)2). Din semiaxa mare se poate determina perioada de revoluție siderală a planetei T.
f)Momentul trecerii planetei prin periheliu ,t0, este un element de natură cinematică ce fixează poziția
planetei la un moment dat.
Figura 2.3: Mișcarea orbitală cu respectarea planului de referință în spațiul 3-dimensional
Cunoscând cele 6 elemente, i,
,!,e,a,t0, putem găsi pentru fiecare monent t, nu numai poziția
planeteipeorbită,cișipozițiasageocentrică. Determinareapozițiilorgeocentricepentrumomentele
(de obicei echidistante) considerateate poartă denumirea de calculul efemeridelor .
2.3 Problema celor n corpuri. Ecuațiile planetare ale lui Lagrange
2.3.1 Introducere în „Problema celor n corpuri"
„Problemacelorncorpuri"afostformulatămaiîntâidecătreNewton,iarîncazulîncareobiectele
implicate sunt puncte masice, aceasta se poate preciza după cum urmează: „Fiind cunoscute în po-
zițiileșivitezeleatreisauamaimultorcorpuricaresemișcăsubforțelelorgravitaționalereciproce,
cu masele, de asemenea, cunoscute, să se calculeze pozițiile și vitezele pentru orice alt moment".
Pentru probleme concrete soluția se construiește prin metode aproximative. Pentru „Problema
celor trei corpuri" nu s-a găsit încă soluția generală, valabilă pentru orice condiții inițiale.
Considerămunsistemdereferințainerțialcuoriginea Oșimișcareaa ncorpuricaresepotasimila
prin puncte materiale, de masă m1,m2,:::,m3a căror vectori de poziție sunt Ri, în timp ce vectorii
de poziție reciproci sunt ri, unde
rij=RjRi (2.24)
15

.
Din legile de mișcare a lui Newton și din legea atracției gravitaționale, avem
miRi=GnX
j=im1mmj
r3
ijrij (j6=i;i= 1;2;:::n) (2.25)
.
Deaicisepoatededucecă rijimplicăfaptulcăvectoruldintre mișimjestedirecționatdela mila
mj. Atunci
rij=rji (2.26)
.
Setul de ecuații (2.25) cuprinde ecuațiile mișcării, Gfiind constanta gravitațională.
Sumând ecuațiile (2.25) și (2.26) vom obține
nX
i=1miRi= 0:
Integrând de două ori
nX
i=1mi_Ri=a (2.27)
și
nX
i=1miRi=at+b: (2.28)
Acum, prin definiție, centrul de masă al sistemului are un vector de poziție Runde
MR =nX
i=1=miRi
iar
M=nX
i=1mi:
Prin urmare, din ecuațiile (2.27) și (2.28),
R= (at+b)=M (2.29)
și
_R=a=M: (2.30)
Relațiile (2.29) și (2.30) exprimă faptul că centrul de masă al sistemului se deplasează prin spațiu
cu viteză constantă. Cum (2.29) și (2.30) sunt rezolvate în raport cu cele trei axe neaccelerate ale
sistemului rectangular, vom obține șase constante de integrare az,ay,az,bx,byșibz.
Luând produsul vectorial dintre RișiRipentru fiecare set (5.25) și sumând vom obține
nX
i=1miRiRi=GnX
i=1nX
j=1mimj
r3
ijRirijj6=i (2.31)
Acum
Ririj=Ri(RjRi) =RiRj
De asemenea,
Rjrji=RjRi=RiRj
16

De asemenea, membrul drept al ecuației (2.31) se reduce la zero, dând pe rând
nX
i=1miRiRi= 0
integrând obținem
nX
i=1miRi_Ri=C (2.32)
Ecuația (2.32) sugerează faptul că suma momentelor impulsului unghiular al maselor din sistem
este o constantă. Constanta Cdefinește planul numit planul invariabil al lui Laplace . În cazul în care
relația (2.32) se rezolvă în raport cu setul de axe rectangulare neaccelerate, se obțin următoarele trei
integrale ale ariei :
nX
i=1=mi(xi_yiyi_xi) =C1
nX
i=1=mi(yi_zizi_yi) =C2
nX
i=1=mi(zi_xixi_zi) =C3
unde
C2=C2
1+C2
2+C2
3
obținându-sealtetreiconstantedeintegrare, C1,C2,C3,pecareleadaugamlacelelalte6dejaobtinute.
Astfel, sumele impulsului unghiular al celor nmase raportate la axele de referinta sunt constante.
A zecea constantă este obținută luând produsul scalar dintre Ricu ecuația (2.25) în iși sumând
peste tot cu i. Atunci
nX
i=1mi
Ri=GnX
i=1nX
i=1mimj
r3
ij_Ri
rij (j6=i): (2.33)
Acum
_Ri
rij=_Ri
(RjRi) (2.34)
în timp ce
_Rj
rji=_Rj
(RiRj): (2.35)
Adunând (2.34) cu (2.35) avem
_Ri
rij+_Rj
rji=(RiRj)
(RjRi):
Prin urmare, folosind ecuația (2.24) și integrând ecuația (2.33) obținem
1
2nX
i=1mi_Ri
_Ri1
2GnX
i=1nX
j=1mimj
rij=E (j6=i) (2.36)
Acum viteza pentru a i-a masă este Vi, unde
V2
i=_Ri
_Ri
. De asemenea, notând
U=1
2GnX
i=1nX
j=1mimj
rij
17

ecuația (2.36) devine
TU=E (2.37)
unde
T=1
2nX
i=1miV2
i
.
În ecuația (2.37), T, esteenergia cinetică a sistemului, în timp ce Uesteenergia potențială . Așadar,
ecuația(2.37)sugereazăfaptulcăenergiatotalăasistemuluicelornparticuleesteconstanta E,azecea
constantă de integrare.
2.3.2 Ecuațiile planetare ale lui Lagrange
Extinderea funcției perturbatoare ne dă dependența potențialului de perturbație al elementelor
orbitale. Acum trebuie să cuantificăm variația orbitală rezultată a corpului perturbat. Pentru a face
acest lucru vom folosi ecuațiile planetare ale lui Lagrange .
UtilizareaecuațiilorplanetarealeluiLagrangenecesitaintroducereaunuiunghisuplimentar. Dacă
scriem
=M+!=n(t) +!=nt+e (2.38)
undeestelongitudineamedie, Mesteanomaliamedie, !estelongitudineapericentrului, testetim-
pul,este timpul trecerii prin pericentru, iar noul unghi, , reprezintă longitudinea medie a epocii care
estelongitudineamedieamasei mdinmomentulîncaretimpulestemăsurat. EcuațiileluiLagrange
pentru variațiile orbitale sunt:
da
dt=2
na@R
@(2.39)
de
dt=p
1e2
na2e(1p
1e2)@R
@p
1e2
na2e@R
@!(2.40)
d
dt=2
na@R
@a+p
1e2(1p
1e2)
na2e@R
@e+tan1
2i
na2p
1e2@R
@i(2.41)
d
dt=1
na2p
1e2sini@R
@i(2.42)
d
dt=p
1e2
na2e@R
@e+tan1
2i
na2p
1e2@R
@i(2.43)
di
dt=tan1
2i
na2p
1e2(@R
@+@R
@!)1
na2p
1e2sini@R
@
(2.44)
undeRreprezintă funcția perturbatoare rezultată ca potențial dintr-o altă masă secundară.
18

2.4 Funcții perturbatoare
Elementeleorbitalealeplanetelorseschimbăodatăcutrecereatimpuluidatorităperturbațiilorau
loc reciproc. Tabelele de mai jos redau elementele orbitale ale planetelor precum și variațiile care
apar, raportate la epoca J2000 și cu respectarea eclipticii medii și echinocțiul său. Pentru a calcula
aproximarea elementelor la diferite momente se pot utiliza urmatoarele formule:
a=a0+ _at AU;
e=e0+ _et;
i=i0+ (i=3600)t grade;
!=!0+ (!=3600)t grade;

=
0+ (
=3600)t grade;
=0+ (_=3600 + 360N)t grade;
undetestetimpulînsecoleiuliane. Acesteasuntformuleledeaproximareintrucâtprezintămaximul
de erori, 600 arcsecunde, la un interval de 18002050.
Planeta a0AU e0i0!0
00
Mercur 0.38709893 0.20563069 7.00487 77.45645 48.33167 252.25084
Venus 0.72333199 0.00677323 3.39471 131.53298 76.68069 181.97973
Pamant 1.00000011 0.01671022 0.00005 102.94719 348.73936 100.46435
Marte 1.52366231 0.09341233 1.85061 336.04084 49.57854 355.45332
Jupiter 5.20336301 0.04839266 1.30530 14.75385 100.55651 34.40438
Saturn 9.53707032 0.05415060 2.48446 92.43194 113.71504 49.94432
Uranus 19.19126393 0.04716771 0.76986 170.96424 74.22988 313.23218
Neptun 30.06896348 0.00858587 1.76917 44.97135 131.72169 304.88003
Pluto 39.48168677 0.24880766 17.14175 224.06676 110.30347 238.92881
Tabela 2.1: Elementele orbitale planetare ale epocii J200 în raport cu cliptica medie și echinocțiul din
J200. Constantele a0,e0,i0,!0,
0și0semnifică, pe rând, semiaxa mare (în AU), excentricitatea,
înclinația, longitudinea periheliului, longitudinea nodului ascendent, longitudinea medie, respectiv
măsura unghiului în grade. Data pentru Pamant este actualizată pentru baricentrul Pamant-Lună.
Planeta _a0 _e0_i0 _!0_
0_0Nr
Mercur 66 2527 -23.51 573.57 -446.30 261628.29 415
Venus 92 -4938 -2.86 -108.80 -996.89 712136.06 162
Pamant -5 -3804 -46.94 1198.28 -18228.25 1293740.63 99
Marte -7221 11902 -25.47 1560.78 -1020.19 217103.78 53
Jupiter 60737 -12880 -4.15 83.93 1217.17 557078.35 8
Saturn -301530 -36762 6.11 -1948.89 -1591.05 513052.95 3
Uranus 152025 -19150 -2.09 1312.56 246547.79 246547.79 1
Neptun -125196 2514 -3.64 -844.43 -151.25 786449.21 0
Pluto -76912 6465 11.07 -132.25 -37.33 522747.90 0
Tabela2.2: RataschimbăriielementelororbitaleplanetaredinepocaJ2000înraportcueclipticamedie
și echinocțiul din J2000. Marimile _a0,_e0,_i0,_!0,_
0,_0siNrreprezintă schimbarea apărută în fiecare
secolasemiaxeimari( 108),excentricitatea( 108),înclinația,longitudineaperiheliului,longitudinea
nodului ascendnet, longitudinea medie, respectiv unde rata unghiulara a măsurii în arcsecunde la
fiecare secol ( 1)=3.600 arcsecond. Mărimea Nreste folosită în tereminarea longitudinii medii. Data
Pământului este pentru baricentrul Pamant-Lună.
19

Capitolul 3
Calculul efemeridelor
3.1 Teorie
Calculul de efermeridă este necesar pentru studiul direcției a unui corp ceresc (planetă, satelit
etc.), pentru compararea pozițiilor observate cu cele calculate, dar și pentru ameliorarea orbitei co-
respunzătoare. Oastfeldeproblemăsepoateenunțaastfel: cunoscândceleșaseelementeorbitaleale
planetei,a,e,i,!,
sit0(valabile incepând cu o anumită epocă ), să se determine poziția aparentă
a planetei pe sfera cerească (coordonatele ecuatoriale si) la un moment dat t.
În rezolvarea unei astfel de probleme, vom urmări trei etape:
– determinarea poziției planetei în planul orbitei
– calculul coordonatelor rectangulare geocentrice
– calculul poziției aparente a planetei (calculul coordonatelor sale ecuatoriale ,)
3.1.1 Determinarea poziției planetei în planul orbitei
Pentrufiecaremomentdinșirul t1;t2;:::;t nsecalculeazăanomaliilemediicorespunzâtoare M1;M 2;:::;M n
prin rela ˆtia de definiție a anomaliei medii:
Mi= 2(tit0)=T (i= 1;2:::;n ): (3.1)
Observatia 3.1.1 În virtutea legii a III-a a lui Kepler, perioada de revoluție siderală Tse obține din semiaxa
marea. Astfel, putem scrie:
T2:a3=T2
1:a3
1 (3.2)
dacăalegemcaunitatedetimpanulsideralșicaunitatededistanță-unitateaastronomică,iar T1șia1sereferă
la Pamânt, atunci (3.2) devine
T=a3=2:
După calculul anomaliilor medii Mise formează ecuațiile lui Kapler:
Mi=uiesinui (i= 1;2;:::;n ) (3.3)
șiserezolvă,fiecareînparte,obținându-seanomaliileexcentrice uicoresponzândmomentelor ti. Cu
ajutorul valorilor uise calculează apoi razele vectoare riși anomaliile adevărate vi, fie cu ajutorul
formulelor:
ri=a(l2 cosui)
vi= 2 arctan r
1 +e
1etanui
2!
;(3.4)
20

fie folosind dezvoltarile
ri=a(lecosMi+e2sin2Mi+:::)
vi=Mi+ 2esinMi+5
4e2sin 2Mi+:::(3.5)
undei= 1;2;:::;n, iarrisivi, coordonatele polare ale planetei, determină, pentru fiecare moment
ti, poziția planetei în orbită.
3.1.2 Calculul coordonatelor rectangulare geocentrice
Din figura (2.3) a capitolul precedent, fie PP0- cercul de latitudine eliptică a planetei și N-nodul
ascendent al orbitei. Din triunghiul sferic dreptunghic NPP0avem:
cos(i
) cosi= cos(vi+$);
sin(i
) cosi= sin(vi+$) cosi; i =1;n
sini= sin(vi+$) sini:(3.6)
Din relațiile (3.6) se calculează coroodonatele eliptice heliocentrice ișii.
Se trece apoi la calculul coordonatelor rectangulare heliocentrice față de un sistem cu originea în
centrul Soarelui, axa Oxîndreptată spre punctul vernal, axa Oyastfel încât longitudinea punctului
în careOyînțeapă sfera cerească să fie egal cu +90, axaOz- spre polul nord al eclipticii. Se vede că
notând coordonatele planetei față de acest sistem, pentru momentul ticuxi,yi,zi, avem relațiile:
xi=ricosicosi;
yi=ricosisin i; i =1;n
zi=risini:(3.7)
3.1.3 Calculul poziției aparente a planetei
Facem acum o translație a axelor precedente, astfel încât originea noului sistem să fie în centrul
Pământului. Notând cu ,,coordonatele planetei față de noul sistem și cu X,Y,Z- coordonatele
centrului Soarelui față de același sistem (aceste coordonate se iau din efemerida Soarelui; observăm
că Z este, în general, diferit de zero, din cauza perturbațiilor exercitate de celelalte planete asupra
mișcării Pământului; Z este ânsă întotdeauna foarte mic), avem:
i=xi+Xi
i=yi+Yi; i =1;n
i=zi+Zi:(3.8)
Acum, analog cu formulele (3.7) putem scrie:
i=icos0
icos0
i;
i=icos0
isin0
ii=1;n;
i=isin0
i(3.9)
undeieste distanța Pământ – planetă, iar 0
i,0
i- coordonatele ecliptice geocentrice ale planetei.
Sistemele (9) ne furnizează cele trei necunoscute i,0
i,0
ipentru fiecare ti.
Astfel, prin formulele cunoscute de trecere de la sistemul ecliptic la cel ecuatorial de coordonate
din(0
i;0
i)seobțin (i;i)căutate,pentrufiecare ti-cuaceastaluândsfârșitcalcululefemerideiunei
planete pentru care se cunosc cele 6 elemente ale orbitei.
21

3.2 Program de calcul al efemeridelor
3.3 Concluzii
În sinteza celor de mai sus, calculul efemeridelor presupune rezolvarea unei probleme complexe
acăreisoluțieoconstituiepozițiaunuicorpceresclaunmomentdat. Determinareaacesteiaimplică,
la rândul ei, rezolvarea „Problemei celor două corpuri" în care se cunosc masele punctelor materiale și
moduldeacțiunealforțelorreciproce. Aplicândlegeadeatracțieuniversalășiținândcontdelegilede
mișcarealeluiKeplerșiNewtonobținemecuațiilefundamentalealemișcăriiși,înceledinurmă,tipul
orbitei parcurse de astru. În același timp, o generalizare a acestor aspecte n-au dus către „Problema
celorncorpuri" întratareacăreiasuntdate npunctematerialecu nmaseșinforțereciprocecunoscute.
O altă etapă în determinarea direcției unui corp ceresc a constituit-o calculul coordonatelor rec-
tangulare geocentrice, fapt pentru care s-au introdus noțiuni precum elementele orbitale, triunghiul
sfericșiformuleleluiGausscucareamdeterminatcoordonateleelipticeheliocentrice. Aflândcoordo-
nateleelipticeheliocentrice,încadrulunuisistemrectangularheliocentric,s-auobținutcoorodnatele
planetei la momentul t.
Încontinuare,pentruadeterminapozițiaaparentăacorpuluicerescamconsideratunnousistem
de coordonate cu originea în centrul Pământului. Ținând cont de coordonatele planetei în raport cu
vechiulreperșidecoordonateleSoareluiînraportcunoulreper,amobținutcoordonateleplaneteifață
de reperul prezent. Ulterior, în urma determinării distanței Pământ – corp ceresc și a coordonatelor
eclipticegeocentricealeacestuia,amaflatcoordonateleecuatorialecăutate,pentrufiecaremoment t.
Înscopuldeaoferișioîntrebuințarepracticăateorieiexpuse,s-arealizatunprogramdecalculal
efemeridelor planetare, prin intermediul căruia se pot stabili data iuliană a observației, iar în funcție
de aceasta, coordonatele caracteristice ale planetei selectate. O primă utilitate a sa ar face referire la
modul facil de calcul al poziției unui corp ceresc, pentru un anumit moment. Totodată, în vederea
furnizăriiunordatecâtmaiprecise,contextulteoreticprezintășiaspectereferitoarelaecuațiileplane-
tarealeluiLagrange,acesteaavândrolîncuantificareaperturbațiilorcaresepotpropagaîncalculele
efectuate.
Astfel, prin structura sa și modul de tratare al subiectului propus, lucrarea intitulată „Calculul
efemeridelor" surprinde primii pași către noile tehnici de explorare a direcției unui corp ceresc.
22