FACULTA TEA de MATEMATICĂ și INFORMATICĂ [611932]
UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI
FACULTA TEA de MATEMATICĂ și INFORMATICĂ
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
pentru ACORDAREA GRADULUI DACTIC I
Coordonator științific:
Conf.dr. Niculescu Cristian
Autor:
Chiperescu Sorina (Căsătorită Nagy)
Colegiul Tehnic, Loc. Câmpulung, Jud. Argeș
2014
2
UNIVERSITATEA din BUCUREȘTI
FACULTATEA de MATEMATICĂ și INFORMATICĂ
DETERMINANȚI
APLICAȚII
Coordonator știi nțific:
Conf.dr. Niculescu Cristian
Autor:
Chiperescu Sorina (Căsătorită N agy)
Colegiul Tehnic, Loc. Câmpulung, Jud. Argeș
3
CUPRINS
INTRODUCERE ………………………………………… ……… ………………………….. …… 6
CAPITOLUL I. METODE DE CALCUL ALE DETERMINANȚI LOR.. PROPRIETĂȚI…. 10
1.1 Scurt istoric al matricelor și determinanți………….. .…………… …… ……….. 10
1.2. Matrice………………………………… …… ………………………….. ………….. 15
1.2.1. Tipuri de matrice……… …………… ……..………….. ……………. 16
1.2.2. Operații cu matrice… ……………… ……………………. ……………. 18
1.3.Determinanți ………………………………………… …………………………………. 19
1.3.1. Determinanț i de ordinal 2 și 3……………………… …………….. 19
1.3.2. Determinanți de ordinul n…………………… …………………. 21
1.3.3. Proprietățile determinanților……… ……………… .…..……… . 22
1.4. Calculul inversei unei matric e………………………… ……… …………………… 28
1.5. Polinom caracteristic al unei matrice……………………………… ..……… …… 29
1.6.Teorema lui Cayley -Hamilton………………………………… .………………… 33
CAPITOLUL II. DETERMINANȚI PARTICULARI……………………… .……..…………. 36
2.1. Determinant Vande rmonde……………………… …… ……… …..………… .. 36
2.2. Determinant Vandermonde lacunar………………… …………… ……….…… 37
2.3. Determinant polinomial…………………… ……. ……….…….……………. .. 38
2.4. Det erminant circular……………………………. …………… …….. ……………… 40
2.5. D eterminant Cauchy…………………………….. ………… .……..………….. 42
CAPITOLUL III. APLICAȚII ALE DETERMINANȚILOR ÎN ALGEBRĂ……. …………. 43
3.1. Sisteme de ecuații liniare…………………………. …………………..………. 43
3.2. Metode de rezol vare a sistemelor……………………………….. ……… ….. 45
3.3. Rangul unei matrice…………………………………………… ……………….. 48
3.4. Rezolvarea sistemelor de m ecuații cu n nec unoscute folosind determinanți…. 50
CAPITOLUL IV. APLICAȚII ALE DETERMINANȚILOR ÎN GEOMETRIE………. …….. 55
4.1. Repere în plan și spațiu…… …………………… …..……………………… . 55
4
4.2. Drepte în plan……… …………………………… ….……………… …..…….. 56
4.3. Plane în spațiul tridimensional……………………………… ….…… ……. …. 58
4.4. Determinarea dr eptelor în spațiu………………………………………..….. . 59
4.5. Aria unui triunghi……………………………… ……..…. …………………. 60
4.6. Calculul de volume. Probl eme de coplanaritate…………………… ………… .. 60
4.7. Produsul vectorial a doi vectori……………………………… ….……………….. 61
4.8. Produsul mixt a trei vectori……………………………… ..……………….…. 63
4.9. Locuri geometrice………………… ..….. ………………………………………… …. 65
CAPITOLUL V. METODE MODERNE DE ÎNVĂȚARE ȘI EVALUARE…… .………….. 70
5.1. Metode moderne de învățare………… ……… ..……… ……. …………………. 73
5.1.1. Me tode de comunicare orală ………………… ………………….. 78
5.1.2. Metode de comunicare scrisă……………… ………….. …….. ………… 81
5.1.3. Metode de explorare a realității……… ….……… ….……………… 83
5.1.4. Metode de învățare prin acțiune practică…… …………… ……….. 84
5.1.5. Metode de raționalizare a învățării și predării…………… ….…….. 86
5.1.6. M etode interactive de grup……………… ……… .……… …….… 91
5.2. Metode moderne de evaluare………………… …….……………..……..……… 98
5.2.1. Tipuri de evaluare…………….… …..…………..……… ….……… 98
5.2.2. Evaluare standardizată……………………………… ………..……. 100
5.2.3. Tema p entru acasă ……………………………………………. …….. 108
5.2.4. Activitate suplimentară ………………………………… …………. 109
5.2.5. Metode alternative de evaluare……………………… ….…………. 110
CAPITOLUL VI. APLICAȚII…………… ………………. …………………… ……..…… 116
6.1. Subiecte date la examene și concursuri……….…………… ………… .………. 116
6.2. Metode non standard în rezolvarea determinanților…………………… .………… 126
6.3. Aplicații practice…………………………… ….…………………………………. 128
Anexa1: Proiect didactic…………………………… ..………………………………………………. 133
5
Anexa 2: Proiect didactic…………………………… …… ………………..…………………. 146
CONCLUZII…………………………………………………………………..…..…. ……… 150
BIBLIOGRAFIE…………………………………… ……………………….……………….. 151
6
INTRODUCERE
Ca urmare a gradului înalt de abstracție atins de matematică în secolul n ostru, există o
tendință în fiecare dintre noi de a căuta să abordăm cu predilecție noțiunile cele mai subtile cu
metodele cele mai formalizate. Este o consecință a revoluției structurale suferită de matematică,
revoluție ce a pus pe baze axiomatice struct urile fundamentale, pe care le numim astăzi
algebrice, de ordine și topologice și a formalizat într -o mare măsură metodele și instrumentele
matematicii moderne. Un lucru este clar: nu ne putem întoarce la formele anterioare și nu putem
nega necesitatea def inițiilor și demonstrațiilor riguroase. În același timp apare necesitatea de a nu
elimina intuiția din raționamentele folosite în demonstrarea unor teoreme stabilite și încorporate
în disciplinele matematice, cât și în cele destinate învățământului de toat e gradele.
De ce determinanți ? Determinanții la început sunt extrem de simpli, dar își găsesc aplicabilitate
în diverse ramuri ale matematicii dar și pentru alte discipline. Alegerea temei ”Determinanți.
Aplicații’’ este justificată de necesitatea dezvol tării studiului determinanților, a utilizării acestora
în algebră și geometrie precum și stimularea folosirii de către elevi a proprietăților
determinanților și a celor particulari în special . Importanța studierii determinanților și a
metodelor de calcul a le acestora reiese din aplicarea lor atât în algebră cât și în geometrie.
Determinanții sunt cu precădere folosiți la rezolvarea sistemelor liniare cu trei ecuații și trei
necunoscute dar și cu m ecuații și n necunoscute, la ecuații ale dreptei, planului, condiții de
coliniaritate și de conciclicitate. Sistemele de ecuații sunt o piatră de încercare pentru elevi la
orele de curs, la olimpiadele școlare, la examenul de admitere în liceu, la bacalaureat și nu în
ultimul rând la problemele apărute în viața de zi cu zi. Dacă vorbim de ponderea sistemelor de
ecuații în alte discipline din învățământul gimnazial și liceal, atunci ne referim la aplicațiile
matematicii în fizică, chimie, biologie, economie, informatică. Referitor la admiterea la liceu și
olimpiad ele de matematică, putem spune că sistemele de ecuații au fost nelipsite din subiectele
propuse. Este vorba de sisteme de ecuații elementare, dar și de probleme complexe care se
rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații. Analiza erorilor apărute în rezolva rea acestor probleme
a dus la necesitatea prezentării unor strategii de lucru eficiente adaptate diferitelor tipuri de elevi,
la rezolvarea unor probleme prin mai multe metode, la transmiterea unui mesaj optimist în
abordarea de către elevi a sistemelor de ecuații. Rezolvarea prin metode care utilizează
determinanții este folosită mai ales de către elevii claselor a XII -a la examenul de Bacalaureat,
fapt confirmat de lucrul cu aceste clase pe parcursul anilor de predare. Deși la clasă nu se pot
folosi toat e aceste noțiuni, este necesar studiul lor pentru o înțelegere mai bună a metodelor de
rezolvare a sistemelor de ecuații, utilizarea determinanților particulari în calculul celor de
ordin mai mare decât patru fiind necesară. Mai des folosiți sunt deter minanții de forma
7
triunghiulară și cei Vandermonde, cei de tip circular și cei Cauchy se pot folosi mai ales pentru
grupele de performanță, dar și ei pot fi folosiți la clasă utilizând predarea diferențiată în funcție
de nivelul de înțelegere al elevilor .
Matematica, prin esența sa logic deductivă, poate contribui într -o măsură eficientă la
formarea spiritului aplicativ și educarea gândirii practice a elevilor.
Structurată în șase capitole și susținută de o bogată bibliografie lucrarea este concepută
într-o manieră sintetică dar cuprinzătoare . Lucrarea ‘’ DETERMINANȚI. APLICAȚII’’
cuprinde șase capitole organizate sistematic, teoria fiind grupată după conținut astfel :
Capitolul I: Metode de calcul ale determinanților, proprietăți,
Capitolul II: Det erminanți particulari,
Capitolul III: Aplicații ale determinanților în algebra,
Capitolul IV: Aplicații ale determinanților în geometrie,
Capitolul V: Metode moderne de învățare și evaluare.
Capitolul VI: Exerciții și probleme date la diverse concur suri/examene
Capitolele abordate vor prezenta oportunități pentru crearea și dezvoltarea la elevi a
capacității de lucru cu determinanții, cu proprietățile acestora, a respectului pentru produsele
muncii proprii și muncii altora, urmărește dezvoltarea ope rațiilor gândirii, stimularea creativității
creatoare.
Capitolul I conține câteva aprecieri cu privire la matrice, aceste noțiuni fiind necesare
definirii determinanților. Definirea matricelor va fi urmată de definiții ale determinanților, atât
cei de ordinul doi cât și cei de ordinul trei, precizându -se astfel importanța acestora în studiul
matematicii mai ales pentru rezolvarea sistemelor de ecuații cu mai multe necunoscute. Metodele
de calcul ale determinanților prezentate în acest capitol sunt regu la lui Sarrus, metoda
triunghiului utilizate la determinanții de ordinul trei și regula minorilor folosită mai ales pentru
calculul determinanților de ordin n prin recurență cu ajutorul determinanților de ordin n -1. Deși
la clasă se utilizează mai ales cei de ordin doi, trei sau patru voi prezenta câțiva de ordin mai
mare astfel încât să folosesc proprietățile determinanților, acestea fiind foarte utilizate pentru a
micșora volumul de lucru, eficientizându -se astfel modul de lucru al elevilor. Tot în acest capitol
este necesară introducerea matricelor inversabile, a modului de calcul a cestora.
Capitolul II conține determinanți particulari, utilizați mai ales în calculul determinanților
de ordin mai mare decât patru. În funcție de nivelul clasei se pot f olosi determinanții de forma
triunghiulară, determinanții Vandermonde, determinanții Vandermonde lacunar, determinanții
Cauchy, determinanții circulari sau cei polinomiali. Aceștia sunt cei mai importanți determinanți
particulari, dintre aceștia utilizaț i frecvent sunt cei de forma triunghiulară și cei Vandermonde,
ceilalți fiind folosiți la cercurile matematice și pentru grupele de performanță. Determinanții de
8
forma triunghiulară chiar dacă nu se observă pot f i găsiți utilizând proprietățile determinanț ilor
astfel observăm încă o dată importanța acestor proprietăți. Determinanții Vandermonde i -am
întâlnit inclusiv în subiectele de la examenul de Bacalaureat precum și la concursurile școlare.
Capitolul III conține aplicații ale determinanților în algebră și anume metode de
rezolvare a sistemelor. Este importantă cunoașterea tuturor metodelor de rezolvare a sistemelor ,
inclusiv metoda lui Cramer, metoda lui Gauss sau metoda matriceală. Pentru aplicarea acestor
metode este important de știut și rangul unei matrice . Deși cea mai des utilizată de către elevi
este metoda lui Cramer , o importanță aparte o are și metoda lui Gauss. Metoda lui Gauss de
rezolvare a unui sistem de ecuații liniare transformă un sistem de ecuații liniare într -un sistem
echivalent în care ultima ecuație conține o necunoscută, penultima ecuație conține două
necunoscute … etc. Metoda lui Gauss se aplică atât la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, la
calculul determinanților dar și la calcularea inversei unei matric e.
Rezolvarea si stemelor liniare de m ecuații și n necunoscute folosind determinanții
presupune cunoașterea rangului unei matrice, noțiune prezentată la începutul capitolul. Este
necesară cunoașterea și însușirea teoremei lui Kronecker – Capelli, teoremei lui Rouche pent ru
stabilirea compatibilității precum și a noțiunilor de determinant principal și determinant
caracteristic. La fel de importante mi se par și sistemele liniare omogene cu soluția unică nulă
sau cele cu soluții multiple.
Capitolul IV cuprinde aplicații ale determinanților în geometrie, voi prezenta
utilizarea determinanților în geometria analitică precum și importanța acestora efectuând o
paralelă între noțiunile claselor a IX -a, a X -a si a XI -a. Am observat în decursul anilor că elevii
folosesc cu prec ădere formulele de calcul care utilizează determinanții în defavoarea celor
studiate în clasele a -IX-a, a X -a. O explicație fiind aceea că acestea sunt asimilate ultimele și de
ce să nu recunoaștem mai ușor de reținut . Am observat că programa școlară dife rențiază
utilizarea determinanților de către elevi, aceștia folosind metode diferite în funcție de profilul
fiecărei clase. Deși calcului vectorial este mai puțin utilizat de elevii liceelor cu profil tehnologic
amintesc în capitolul IV utilizarea determin anților în ca lculul expresiei analitice a produsului
vectorial a doi vectori precum și expresia analitică a produsului mixt a trei vectori.
În capitolul V vor fi prezentate câteva noțiuni de metodica predării matematicii pe care
le uti lizez în predarea c apitolului ” Determinanți’’. A include eseul, referatul, proiectul de
cercetare sau portofoliul în categoria instrumentelor de evaluare a elevilor are o dublă
însemnătate, în primul rând, este dovada certă a modernizării metodelor de învățământ prin
multipl icare cantitativă și calitativă. Pe de altă parte aceste metode transformă educația statică
într-un proces dinamic.
9
Deoarece unul dintre motivele alegerii prezentei teme a fost ponderea determinanților,
aplicații care implică aplicarea determinanților, î n subiectele pentru examenele naționale și alte
concursuri , în finalul lucrării am prezentat câteva aplicații cu determinanți care s -au dat la
diverse concursuri naționale.
10
CAPITOLUL I
METODE DE CALCUL ALE DETERMINANȚILOR . PROPRIETĂȚI
În acest capitol, după un scurt istoric al matricelor și determinanților, voi prezenta
conceptul de matrice si anumite operații algebrice cu matrice. De asemenea, sunt introduse
matricele ca noțiuni în care se pot stoca date și prelucra date. Operațiilor de adunare și în mulțire
pe mulțimea numerelor complexe li se asociază operații similare pentru adunarea matricelor,
respectiv înmulțirea cu scalari a matricelor. Conceptul matematic care a generat noțiunea de
matrice și a perfectat operațiile cu matrice este cel de aplica ție liniară. Se definește pentru
matricea pătratică, determinatul ei, care este un număr. Sunt prezentate principalele proprietăți
ale determinanților, care vin să faciliteze calculul acestora
1.1. SCURT ISTORIC AL MATRICELOR ȘI DETERMINANȚILOR
Începuturile m atricelor și determinanților se întâlnesc în secolul 2 î.e.n. deși urmele se pot
vedea încă din secolul 4 i.e.n..Cu toate acestea ei nu au existat până spre sfârșitul secolului 17
când ideea reapare și se dezvoltă.
Nu surprinde pe nimeni că începuturile m atricelor și determinanților apar datorită
studiului sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au studiat probleme care anticipează
sistemele de ecuații liniare și câteva dintre acestea sunt păstrate până azi pe tăblițe de lut. De
exemplu o plăcuță datân d din anul 300 î.e.n. conține următoarea problemă:
“ Două terenuri care au împreună 1800 yard2 sunt cultivate cu grâu. De pe primul teren s –
au recoltat 2/3 dintr -un bușel (aproximativ 36 l) pe yard2 în timp ce de pe al doilea teren se
recoltează ½ bușel pe yard2 . Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care este mărimea fiecărui
teren?”
Și în manuscrise chinezești cuprinse între 200 -100 î.e.n. s -au găsit informații despre
matrice. Primul exemplu în acest sens este documentul “9 Capito le din Arta Matematicii” scris în
timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată ca și în
exemplul babilonian:
“Avem 3 tipuri de cereale, dintre care trei grăm ezi din primul tip de cereale, două din al
doilea și una di n al treilea tip și cântăresc împreună 39 măsuri. Două grămezi din primul tip, trei
din al doilea și o grămadă din al treilea au împreună 34 măsuri. Una din primul tip, două din al
11
doilea și trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măsuri din fiecare tip d e cereale conține fiecare
grămadă?”
În continuare autorul a făcut ceva cu adevărat remarcabil. El a aranjat coeficienții sistemului de 3
ecuații liniare cu trei necunoscute într -un tablou:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Ceea ce este remarcab il este că autorul, cu 200 ani î. e.n. instruia cititorul că poate înmulți
coloana din mijloc cu 3 și apoi o scădem pe cea din dreapta de câte ori este posibil, apoi
înmulțim prima coloană cu 3 și o scădem pe ultima de câte ori e posibil. Obț inem astfel:
0 0 3
4 5 2
8 1 1
39 24 39.
Apoi prima coloană este înmulțită cu 5 și a doua se scade din prima de câte ori e posibil,
obținând astfel:
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
.
Această metodă cunos cută acum ca metoda de eliminare a lui Gauss, nu devine foarte
cunoscută până în secolul al XIX -lea.
Apoi în “Ars Magna” (1545) Cardan dă o regulă pentru rezolvarea unui sistem de două
ecuații cu două necunoscute pe care el o numește “regula de modo”. Ace astă regulă stă la baza
regulii lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute, ea nu a fost
finalizată, nu s -a ajuns la definiția determinantului dar e un pas important pentru obținerea
acestei definiții.
Multe rezultate standard de teoria elementară a matricelor au apărut cu mult înainte ca
matricele să devină subiect de investigație. De exemplu, de Witt în “Elements of curves” a
publicat o parte a comentariilor din versiunea latină a geometriei lui Descartes ( apărută în 1660)
care arată cum printr -o transformare a axelor putem reduce ecuația unei conice date la forma ei
12
canonică. Aceste raționamente făcute de Witt sunt echivalente de fapt cu reducerea unei matrice
simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gândit niciodată în acești termeni.
Ideea de determinant a apărut în Japonia și E uropa cam în același timp. Seki
(matematician japonez care a trăit intre 1642 -1708) a fost totuși cel care a publicat mai întâi în
1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conți n metode matriceale scrise în
tabele în același mod ca și metodele chinezești descrise mai înainte. Fără a avea un cuvânt care
să corespundă “determinantului”, Seki a introdus determinanții și a dat metode generale pentru
calcularea lor bazate pe exemple. Seki a fost pregătit să găsească determinanți de ordin 2,3,4,5 și
i-a aplicat în rezolvarea ecuațiilor dar nu a sistemelor de ecuații liniare.
În același an, 1683, au apărut determinanții și în Europa și tot atunci Leibniz
(matematician german care a trăit intre 1646 -1716) îi scria lui L’ Hopital că sistemul de ecuații
10+11x+12y=0
20+21x+22y=0
30+31x+32y=0
are soluție pentru că 10·21·32+11·22·30+20·31·12=10·22·31+11·20·32+12·21·30 care este
condiția ca matricea coeficienților să aibă determinantul 0.
De notat este faptul că Leibniz nu a folosit coeficienți numerici dar a folosit două
caractere,adică indici dubli pentru marcarea coeficienților, unul care să indice cărei ecuații îi
aparține necunoscuta., deci 21 indică ceea ce noi spunem azi a 21.Leibniz era convins că o bună
notație era cheia progresului deci el a experimentat diverse notații pentru coeficienții sistemului.
Manuscrisele sale nepublicate conțin mai mult de 50 metode diferite de scriere a
coeficienților sistemului cu care el a lucrat începân d cu anul 1678.
Doar două publicații (1700 sau 1710) conțin rezultate în legătură cu coeficienții unui
sistem și el utilizează același notații care au fost menționate în scrisoarea către L’ Hopital
Leibniz a folosit cuvântul rezultantă pentru anumite sume combinatorii de termeni ai unui
determinant. El a demonstrat rezultate diverse, incluzând ceea ce este în esență regula lui
Cramer. El a știut că un determinant poate fi dezvoltat după orice coloană, ceea ce azi se cheamă
dezvoltarea lui Laplace.
Pe lâng ă studierea coeficienților sistemelor de ecuații care l -au condus la determinanți,
Leibniz a studiat coeficienții sistemelor de ecuații de gradul al II -lea (sau forme pătratice) care îl
conduc natural la teoria matricelor.
În 1730 Mac Laurin a scris un tra tat de algebră care n -a fost publicat decât în 1748, la
doi ani după moartea sa. El conține primele rezultate publicate despre determinanții proveniți din
regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuații cu 2 necunoscute , 3 ecuații cu 3 necunoscute și a
indicat cum putem lucra pentru sisteme de 4 ecuații cu 4 necunoscute.
13
Cramer a indicat metoda generală pentru sistemele de n ecuații cu n necunoscute în
articolul “Introducere în analiza curbelor algebrice”.El și -a pus problema găsirii ecuației unei
curbe pla ne care trece printr -un număr dat de puncte. Regula apare în Appendix -ul acestui articol
dar nu e dovedit acest lucru. Tot Gabriel Cramer a formulat în 1750 regula de rezolvare a
sistemului linear
a1x+b 1y+c 1z=l 1
a2x+b 2y+c 2z=l 2
a2x+b 2y+c 2z=l 3
ca un cât de d eterminanți
y xzD DDx , y ,zD D D
D fiind determinantul coeficienților sistemului, D x determinantul obținut din D, înlocuind
coloana coeficienților lui x prin temenii liberi. Tot Cramer a observat că un determinant este o
funcție lineară omogenă de el ementele fiecărei linii și a fiecărei coloane.
Apoi lucrările despre determinanți au început să apară regulat. În 1764 Bezout a mai dat
metode de calcul ale determinanților asemănătoare cu ale lui Vandermonde în 1771. În 1772
Theophile Vandermonde a intr odus determinantul care -i poartă numele.
2221 1 1
V a b c a b b c c a .
a b c
În 1772 Laplace ( matematician francez care a trăit intre 1749 -1827) a pretins că metodele
prezentate de Cramer și Bezout ( matematician francez care a trăit intre 1730 -1783) nu sunt
practice și într -un referat unde el a studiat teoria perturbărilor planetare a folosit determinanții. În
acest referat el a introdus și ecuația seculară
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nna s a … a
a a s … a0. . … .
a a … a s
despre care a arătat că are toate rădăcinile reale.
Destul de surprinzător este faptul că Laplace a folosit cuvântul “rezultant” pentru ceea ce
noi numim azi determinant. El a introdus noțiunea de determinant de ordin general și a observat
că dacă schimbăm două linii între ele , determinantul își schimbă s emnul și ca o consecință, un
determinant a arătat că dacă un determinant are două linii identice, atunci el este nul.
14
El a enunțat următoarea teoremă:Un determinant de ordinul n este egal cu suma celor
n
mC
produse pe care le obținem înmulțind minorii de ordin m extrași dintr -o matrice arbitrară
formată cu m linii ale determinantului prin complementele lor algebrice respective.
Lagrange (matematician francez care a trăit intre 1736 -1813), într -un articol din 1773 a
studiat complet de terminanții de ordinul al treilea și identități cu aceștia. Acest articol de
mecanică conține pentru prima dată interpretarea volumului ca determinant. Lagrange a arătat că
tetraedrul care are vârfurile în O(0,0,0), M(x,y,z), M’(x’,y’,z’), M”(x”,y”,z”) are volumul
1.2. 1.
1z(x'y" y'x") z'(yx" xy") z"(xy' yx')6 .
Tot el a introdus noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al
treilea, format înlocuind fiecare element prin complementul său și a arătat că un determinant
reciproc este pătratul determinantului dat.
Leonhard Euler a studiat, începând din 1771, determinanții ortogonali, în legătură cu
problema deplasărilor. Numim determinant ortogonal, un determinant
111
222
333a b c
a b c
a b c
pentru care avem următoarele relații pătrate între elemente:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3a b c a b c a b c 1 ,
a a b b c c a a b b c c a a b b c c 0.
Analog definim determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrate pentru n=3,
că orice element al unui determinant ortogonal este egal cu complementarul său, iar Joseph
Lagrange a arătat că determinantul ortogonal are valoarea
1.
Din problemele legate de teoria generală a conicelor și a cuadricilor , a fost inițiată în
secolul al 18 -lea și teoria formelor pătratice. Joseph Lagrange a introdus, în 1773, forma binară
f(x,y)=
22
11 12 22a x 2a xy a y și forma ternară
f(x,y,z)=
2 2 2
11 12 22 13 23 33a x 2a xy a y 2a xz 2a yz a z .
El a arătat, pentru n=2, că dacă efectuăm o transformare liniară
11 12 21 22 x x y ,y x y
atunci pentru noua formă
22
11 12 22 f x ,y a x 2a x y a y
avem relația dintre discriminanții formelor și ai transformării
2
11 12 11 12 11 12
12 22 21 22 12 22a a a a
a a a a .
Euler a observat că un determinant de ordinul 3 conține numai trei parametri
independenți, iar unul de ordinul 4 conține 6 parametri și a exprimat sub forma rațională celelalte
15
elemente în funcție de acești par ametri, în cazurile n=3,4 menționate. Anume Euler a dat regula
următoare. Considerăm un determinant nenul B=
ijb de ordin n, ale cărui elemente ale cărui
elemente de pe diagonala principală au valoarea 1, iar celelalte sunt strâmb sim etrice (
ij ji iib b 0, b 1
).Dacă
ijB este complementul algebric al lui
ijb punem
ij ii 1
ii ij2B 2Ba , a i j;BB
atunci determinantul
ija este ortogonal.
Termenul “determinant” a fost introdus pentru prima oară în “Discuții aritmetice” de
Gauss ( matematician german care a trăit intre 1777 -1855) în timp ce se studiau formele
pătratice. Totuși acest concept nu este același cu determinantul pe care îl știm noi astăzi. În
aceeași lucrare Gauss a aranjat coeficienții formelor pătratice într -un sistem de axe rectangulare.
El a descris înmulțirea matricelor și a descris și construcția inversei unei matrice.
Metoda eliminării a lui Gauss ( a cărei idee a apărut prima oară în textul “9 Capitol e din
Arta Matematicii” scris în anul 200 î.e.n., dar despre care Gaus s nu știa nimic), a fost utilizată de
Gauss în lucrarea sa care studia orbitele asteroidului Pallas. Utilizând observațiile asupra
asteroidului Pallas făcute între 1803 și 1809, Gauss a obținut un sistem de 6 ecuații liniare cu 6
necunoscute. Gauss a dat sistematic metode pentru rezolvarea acestor ecuații care precizează
eliminarea Gaussiană a coeficienților matricelor.
În 1812 Cauchy ( matematician francez care a trăit intre 1789 -1875) a utilizat
determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre
determinanți. El condamna rezultatele anterioare și a obținut noi rezultate despre minori.
1.2. MATRICE
Poate nici un capitol din matematica studiată în liceu nu ben eficiază de atât de multe
aplicații în cele mai diverse domenii ale vieții sociale. Multe probleme practice se rezolvă
utilizând operații aritmetice asupra unor date asociate problemelor. Folosim matrice atunci când
vorbim de elemente care au două caracter istici. Printr -o organizare adecvată a datelor în blocuri
de numere, putem utiliza aceste operații aritmetice într -o manieră eficientă.
Exemplu: vânzările în leasing (pe 5 ani) a următoarelor mărci de autoturisme BMW,
MERCEDES, TOYOTA, FORD, RENAULT în ce le patru trimestre ale unui an sunt sintetizate
în tabelul următor:
16
Trimestrul
Marca I II III IV
BMW 164 191 201 205
MERCEDES 125 115 116 200
FORD 87 99 123 140
TOYOTA 67 89 89 98
RENAULT 198 234 185 257
În acest tabel pe linii se citesc mărcile de autoturisme, pe coloane numărul de exemplare
vândute în leasing , în cursul unui trimestru. Datele din acest tabel le putem sintetiza într -o formă
restrânsă. Observăm că datele sunt ordonate pe 5 linii corespunzătoare celor 5 mărci de
autoturisme și pe 4 coloane ce reprezintă numărul de trimestre. Un astfel de tabel în care datele
sunt așezate pe linii și coloane îl numim tabel de tip matriceal. Tabelele de tip matriceal stau la
baza noțiunii de matrice.
Definiție : Fie M={ } și N={ } m,n mulțimea primelor m, respectiv
n numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul ( m,n) cu elemente din E o funcție
A:M×N→E. Daca notăm A(i,j)= E, i M; j N, vom nota A sub forma
A=(
)
adică un tablou cu m linii și n coloane ce cuprinde valorile funcției A. Numerele se
numesc elementele matricei A și vom nota această matrice astfel A=
. Mulțimea
tuturor matricilor de tipul ( m,n) cu elemente din E se notează .
Mulțimea matricelor de tip (m,n) cu elemente complexe o notăm . În mod analog
notăm , , , pentru mulțimile de matrice de tip (m,n) cu
element e numere reale, raționale, întregi respectiv naturale.
1.2. 1. TIPURI DE MATRICE
1) Matrice coloană
Dacă n=1, o matrice de tipul ( m,1) se numește matrice coloană și este de forma
A=
(
)
17
2) Matrice linie
Dacă m=1 o matrice de tipul ( 1,n) se numește matrice linie și este de forma
A=
3) O matrice de tipul ( m,n) se numește nulă dacă are toate elementele 0 și se notează cu
4) Matrice pătratică
Dacă m=n o matrice de tipul ( m,n) se numește matrice pătratică de ordin ul n.
A=(
)
Dacă A este o matrice pătratică de ordinul n atunci sistemul ordonat se
numește diagonală principală a matricii A, suma acestor elemente se nume ște urma matricei A și
se notează cu tr(A)=∑
, iar sistemul ordonat se numește diagonală
secundară. Mulțimea tuturor matricelor pătratice de ordinul n cu elemente din mulțimea E se
notează
5) Matricea pătratică cu elementele situate pe diagonala principală egale cu 1 și restul
elementelor 0 se numește matrice unitate de ordinul n, și se notează cu .
6) Matricea pătratică A se numește triunghilară dacă are una din formele
A=
(
) , A=
(
)
7) Dacă A atunci prin transpusa matricei înțelegem matricea notată
care se obține din matricea A prin transformarea liniilor în coloane.
Notăm cu mulțimea tuturor matricelor de tipul ( m,n) cu elemente numere
complexe. În această mulțime distingem câteva submulțimi importante și anume
, .
Vom avea următoarea incluziune:
Egalitatea matricelor
Fie A, B . Cum A și B sunt funcții A:M×N→ și B:M×N→ matricele A și B
sunt egale dacă ș i numai dacă sunt egale ca funcții. Matricele A=
și B=
se
numesc egale dacă { } și { }.
18
1.2. 2. OPERAȚII CU MATRICE
1) Adunarea matricelor
2) Definiție : Fie matricele A, B A=
și B=
, se numește
suma matricelor A și B matricea C=
unde { } și
{ }. Matricea sumă se notează C=A+B.
Proprietățile adunării matricelor :
a) Adunarea este comutativă:
A,B atunci A+B=B+A
b) Adunarea este asociativă
A,B atunci (A+B)+C=A+(B+C)
c) Matricea nulă de tipul ( m,n) notat este element neutru față de adunarea
matricelor
A avem A+ = +A=A
d) Orice matrice are un opus, adică A , A astfel încât
A+(-A)=( -A)+A=
e) Dacă A,B atunci =
3) Înmulțirea cu scalar a matricelor
Definiție : Fie A ; A=
și . Se numește produsul dintre numărul
λ și matricea A, matricea B=
; B , unde , { }
și { }
Proprietățile înmulțirii cu scalar :
a) Dacă A atunci A=1 A
b) Dacă A și a,b atunci ( a+b) A= a A+b A
c) Dacă A și a,b atunci (a b) A= a (b A)
d) Dacă A,B și a atunci a A+B)= a A+a B
e) Dacă A , B și a atunci a A B)= (a A) B=A (a B)
f) Dacă A și a atunci =
19
4) Înmulțirea matricelor
Definiție: Fie A , A=
și B B=
. Produsul
matricelor A și B este matricea C C=
unde ∑
{ } și { } matricea produs C=A B.
Proprietățile înmulțirii matricelor :
a) Înmulțirea este asociativa
Dacă A , B și C atunci are loc egalitatea
(A B) C=A (B C)
b) Înmulțirea este distributivă la stânga față de ad unare
Dacă A și B,C atunci are loc egalitatea A (B C)=(A B +(A C)
c) Înmulțirea este distributivă la dreapta față de adunare
Dacă A, B și C atunci are loc egalitatea (A B C=(A C +(B C)
d) Matricea un itate este element neutru față de înmulțirea matricelor
A = A=A
e) Dacă A și B atunci
=
1.3. DETERMINANȚI
Noțiunea de determinant este strâns legată de cea de matrice, am bele fiind concepte
fundamentale în algebră. Familia determinanților este atașată familiei matricelor pătratice,
fiecărei astfel de matrice putându -i atașa un determinant. Dacă A este o matrice pătratică,
determinantul atașat ei, notat cu detA este un elem ent unic determinat, corespondența fiind de
forma A→detA.
1.3.1. DETERMINANȚI 2 ȘI 3
Fie A= o matrice pătratică. Voi asocia acestei matrice un număr notat
det(A) numit determinantul matricei A. Realizez acest lucru prin recurență.
Defin iție: Dacă A=( ) este o matrice patratică de ordinul întâi, atunci det
(A)= .
Definiție: Determinantul matricei A=(
) este numărul
det (A)= =|
| și se numește determinant de ordin 2. Termenii
se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.
20
Definiție: Determinantul matricei A=(
) este numărul
det(A)
și se numește determinant de ordin 3.
Termenii care
apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului. Numărul de mai sus det(A) are
6 termeni dintre care trei sunt semnul plus si ceilalți trei cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
det(A)= |
| |
| |
| (1)
= |
| |
| |
| (2)
Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi,
iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi. Ace ste
formule sunt relații de recurență, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor
determinanți de ordin inferior.
Pentru calculul determinantului de ordinul trei se utilizează d ouă tehnici. Prima este dată
de:
a) Regula lui Sarrus
Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos. În care se scrie
sub determinant primele două linii
|
|
Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală
descendentă este cu semnul de plus. Avem trei astfel de produse:
Produsul elementelor pe o diagonală ascendentă este cu
semnul minus. Avem trei astfel de produse: . Suma celor
șase produse dă valoarea determinantului de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numește ’’
regula lui Sarrus’’.
b) Regula triunghiului: |
| : |
| : |
|
21
Determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa șase termeni, trei cu semnul de plus și
alți trei cu semnul de minus. Primul termen cu plus se găsește înmulțind elementele de pe
diagonala principală, iar ceilalți doi, înmulțind elemente le situate în vârfurile celor două
triunghiuri care au o latură paralelă cu diagonala principală. După aceeași regulă, referitoare la
diagonala secundară, se obțin termenii cu minus. Acest procedeu de determinare a termenilor
determinantului de ordinul 3 s e numește „regula triunghiului” .
1.3.2. DETERMINANȚI DE ORDIN n
Fie mulțimea { } a primelor n numere naturale. Se numește permutare de
gradul n orice funcție bijectivă . Permutarea se notează astfel:
(
). Mulțimea tuturor permutărilor de grad n se notează cu
Sn. Permutarea identică se notează cu (
). Numărul tuturor permutărilor de grad
n este n!.
Notăm cu M= { } . Perechea ordonată se numește
inversiun e a permutării dacă și . Notăm cu m( numărul tuturor
inversiunilor permutării . Avem m(
Numărul se numește
signatura permutării .
Fie matricea pătratică de ordinul n
A=(
); A
Voi forma toate produsele posibile de n elemente aparținând la linii și coloane distincte.
Un astfel de produs este de forma : , unde , k { } eventual în altă
ordine. Înseamnă că putem considera permutarea de grad n
(
) și deci produsul de mai sus se poate scrie:
= .
Numărul total al produselor de această formă este egal cu numărul tuturor permutărilor de
grad n deci n!. Produsul trebuie să aibă semnul (+) sau ( -) după cum
permutarea are signatura +1 sau -1.
Definiție: Numărul det(A)= ∑ , unde este mulțimea tuturor
permutărilor de grad n și este signatura permutării se numește determinantul matricei A
sau mai simplu determinant de ordin n. Produsul se numește termen al
determinantului de ordinul n.
22
Observații:
1) Noțiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentru matrice pătratice. Este
o deosebire între o matrice și determinantul său: matricea este o funcție, iar determinantul este un
element al inelului R.
2) În formula determinantului unei matrice există n! termeni din care
termeni au
semnul (+) și
termeni au semnul ( – ).
3) Definiția det erminantului de aplică și matricelor de ordin 1. În acest caz ( A=(a 11) ),
detA=a 11..
4) Aplicarea acestei formule este laborioasă . De exemplu, pentru n=10 avem de calculat
3628800 termeni. De aceea sun necesare proprietăți ale determinanților care să simplif ice
calculul acestora.
1.3.3. PROPRIETĂȚILE DETERMINANȚILOR
Formula determinantului de ordinul 2 este simplă; formula de calcul a determinantului de
ordin 3 devine mai complicată. Aici avem avantajul existenței unei reguli simple, regula lui
Sarrus, care ne per mite să calculăm destul de ușor un determinant de ordin 3. Dacă în schimb
avem de determinat valoarea unui determinant de ordin mai mare sau egal cu 4, formula prin
care este definit determinantul de ordin n, în general este aproape imposibil de aplicat d atorită
calculelor laborioase care apar. De exemplu, pentru un determinant de ordin 4 avem 4!=24
termeni in formula de calcul, pentru n=5 avem 5!=120 termeni de calculat. Din aceste motive se
scot în evidență o serie de proprietăți ale determinanților de o rdin n care simplifică modul de
calcul al acestora.
Proprietatea 1.
Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Adică dacă
A atunci det(A)=det( ).
Demonstrație: Fie A= și = matricea transpusă a matricii A.
Deci = , unde { }. Avem:
det(A)= ∑ (3)
det ( )= ∑ =∑ (4)
Dacă notez = , atunci atunci
( ) … …
Deoarece și cum numerele sunt numerele 1,2,…,n ev entual
în altă ordine, iar înmulțirea numerelor este comutativă, atunci
23
= … și orice termen din suma
(3) se regăsește ca termen în suma (4) și invers. Deci det(A)=det( ).
Proprietatea 2.
Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr -o matrice sunt nule, atunci determinantul
matricei este nul.
Demonstrație: Să presupunem că toate elementele de pe linia i sunt nule. Cum fiecare
termen a l determinantului este un produs de elemente printre care se găsește și un element de pe
linia i, atunci acest termen este zero. Deci determinantul este nul.
Proprietatea 3.
Dacă într -o matrice schimbăm două linii (coloane) între ele obținem o matrice care are
determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
Demonstrație:
Fie matricea A=
(
)
(1) prin schimbarea liniilor i și j între ele obținem
matricea
=
(
)
Avem det( )= ∑ . Să considerăm
transpoziția , deci dacă k . Atunci
det( )= ∑
∑
cum , avem
det( )= ∑ .
Când parcurge toate permutările lui atunci și parcurge toate permutările lui ;
deci dacă notăm avem
det( )= ∑ și deci det (A’)= -det(A).
24
Proprietatea 4
Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul său este nul.
Demonstrație: Fie A= o matrice pătratică de ordinul n în care l iniile i și j sunt
identice. Aceasta înseamnă că , pentru { }. Dacă schimbăm liniile i și j
între ele obținem o matrice A’ egală cu A. Aplicând proprietatea 3, avem det(A’)= -det(A). Cum
A=A’ avem det(A’)=det(A) și atunci det(A )=-det(A); deci det(A)=0
Proprietatea 5.
Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice sunt înmulțite cu un număr
obținem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulțit cu determinantul matricei inițiale.
Demonstrație: Fie A= și matricea A’= matricea care se obține
din A prin înmulțirea liniei i cu numărul . Deci avem pentru și { }
și oricare { }. Deci
det( )= ∑ = ∑
= ∑ = det(A).
Deci det(A’)= det (A).
Proprietatea 6.
Dacă elementele a două linii(coloane) ale unei matrice sunt proporționale, atunci
determinantul matricei este nul.
Demonstrație: Fie matricea A= în care liniile și col oanele i și j sunt
proporționale, adică există un număr astfel încât = oricare { }. Aplicând
proprietatea 5 rezultă că det(A) este produsul dintre numărul și determinantul unei matrice care
are două linii egale. Aplicând pr oprietatea 4 rezultă că det(A) este nul.
Proprietatea 7.
Fie A= o matrice pătratică de ordinul n. Presupunem că elementele liniei i
sunt de forma oricare { }. Dacă A’, respectiv A’’, este matricea care
se obține din A înlocuind elementele de pe linia i cu elementele (respectiv ),
{ }, atunci : det(A)=det(A’)+det(A’’).
Demonstrație:
Fie
det(A)= ∑ =
25
∑ =∑ +
∑ = det(A’)+det(A’’).
Fie A= o matrice pătratică. Voi spune ca linia i a matricei A este o combinație
liniară de celelalte linii, dacă există numerele { } astfel încat
oricare { }.
Asupra numerelor nu se pune nici o condiție, în sensul ca unele din ele pot fi zero. Analog se
poate defini ce înseamnă că o coloană j a matricei A este combinație liniară de celelalte coloane.
Proprietatea 8.
Dacă o linie (coloană) a unei matrice pătratică este o combinație liniară de celelalte linii
(coloane), atunci determinantul matricei este zero.
Demonstrație: Presup un că linia i a matricei A este o combinație liniară de celelalte linii.
Utilizând proprietatea 7, determinantul matricei A este o sumă de determinanți care au două linii
proporționale, deci, după proprietatea 6, sunt toți zero. Prin urmare și determinantu l matricei A
este zero.
Proprietatea 9.
Dacă la o linie (coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (coloane) înmulțite cu
același număr, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.
Demonstrație: Presupun că A= și că la linia i adunăm elementele liniei j
înmulțite cu un număr . Obțin astfel o matrice A’ care are aceleași linii ca matricea A, în afară
de linia i, ale cărei elemente sunt { }. Folosind proprietatea 7,
determinantul matricei A’ este suma a doi determinanți dintre care unul este determinantul
matricei A și al doilea determinant este determinantul unei matrice care are două linii
proporționale. Conform proprietății 6 acest al doilea determinant este nul. P rin urmare
det(A’)=det(A).
Proprietatea 10.
det( )=1.
Demonstrație. Se aplică definiția determinantului de ordin n.
Proprietatea 11.
det( )= , A .
Demonstrație. Se aplică proprietatea cu numărul 5.
Proprietatea 12.
Dacă A= este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci
26
. (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor
de pe diagonala principală).
Proprietatea 13 .
Dacă A,B , atunci .
(Determinantul produsului a două matrice pătratice este egal cu produsul determinanților
acelor matrice).
În particular .
Voi prezenta un procedeu prin care cal culul unui determinant de ordin n se reduce la
calculul unui anumit număr de determinanți de ordinul n-1.
Fie d=|
| un determinant de ordin n. Determinantu l de ordinul n-1 care
se obține suprimând linia i și coloana j din determinantul d se numește minorul elementului
și se notează . Numărul se numește complement algebric al
elementului în dete rminantul d. Evident, unui determinant de ordin n i se pot asocia minori
de ordinul n-1 și respectiv complemenți algebrici.
Teorema 1. Fie determinatul de ordinul n, d=| | . Atunci pentru orice ,
are loc egalitat ea: .
Această egalitate poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i.
Demonstrație: Voi nota cu S suma
S= .
Se consideră term enul din suma S. Să presupunem mai întâi că
i=j=1 . În acest caz un termen oarecare din dezvoltarea determinantului de ordinul n-1 este de
forma unde sunt numerele 2,3,…,n, eventual în altă ordine. Rezultă
că termenul este un termen al determinantului d. Semnul termenului
provenit din dezvoltarea determ inantului este egal cu unde l este
numărul de inversiuni al permutării (
). Deci semnul
termenului provenit din produsul este .
Pe de altă parte semnul termenului în dezvoltarea determinantului d
este egal cu unde r este numărul de inversiuni al permutării (
). Cum
, , …, , permutările și au același număr de inversiuni; deci r=l. Prin
27
urmare termenul , provenit din produsul , are același semn cu cel
provenit din dezvoltarea determina ntului d.
Trecând la cazul general. Voi proceda în modul următor: voi schimba liniile și coloanele
în așa fel încât elementul să vină în locul elementului și minorul să ramână
neschimbat. În acest fel linia i și coloana j devin linia 1 și coloana 1; linia 1 devine linia 2, linia 2
devine linia 3,…, linia i-1devine linia i; coloana 1 devin e coloa na 2, coloana 2 devine coloana
3,…, coloana j-1 devine coloana j. Determinantul obținut prin aceste schimbări îl voi nota cu d’.
Aplicând proprietatea 3 a determinanților am . În plus . Dacă
este un termen oarecare din dezvoltarea determinantului ,
și ținând seama de prima parte a demonstrției, rezultă că semnul termenului
provenit din produsul este același cu cel dat
de dezvoltarea determinantului d.
În conc luzie, fiecare termen din produsul luat cu semnul său este un termen cu
același semn, al determinantului d. Cum produsul conține (n-1)! termeni, atunci toți
termenii care apar în suma S sunt în număr de (n-1)!n=n! . Deci în suma S se găsesc toți termenii
(inclusiv semnul) determinantului d. Deci are loc egalitatea d=S.
Consecință: Fie , d=| | un determinant de ordinul n. Pentru orice are loc
egalitatea =0
Demonstrație: Consider determinantul
d’=
||
||
care s -a obținut din d prin înlocuirea liniei j cu linia i . Cum d’
are două linii egale, aplicând proprietatea 4 a determinanților, voi găsi d’=0. Dezvoltând
determinantul d’ după linia j obțin egalitatea căutată.
Teorema 2 . Fie determinatul de or dinul n, d=| | . Atunci pentru orice ,
are loc egalitatea: .
Această egalitate poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j.
Consecință: Fie , d=| | un determinant de ordin ul n. Pentru orice are loc
egalitatea =0.
28
1.4. CALCULUL INVERSEI UNEI MATRICE
Definiție. Fie A . Matricea A se numește inversabilă dacă există matricea
B cu proprietatea , fiind matricea unitate.
Teoremă. Inversa unei matrice pătratică, dacă există, este unică.
Demonstrație. Fie A o matrice pătratică de ordin n. Să presupunem că B și B’ sunt două
matrice de ordin n, astfel încât
AB=BA= și AB’=B’ A= .
Folosind asociativitatea produsului de matrice , avem:
B’=B’ =B’(AB)=(B’A)B= B=B; deci B=B’.
Matricea B din definiție se numește inversa matricei A și se notează . Deci
= deci . Matricea A este de asemenea inversa matricei B.
Fie C o matrice inversabilă. Dacă CA=CB sau AC=BC atunci A=B.
Teoremă. Matricea A este inversabilă dacă și numai dacă O astfel
de matrice se numește matrice nesingulară.
Demonstrație. F ie A o matrice inversabilă de ordin n; atunci există astfel încât
= . Luând determinantul în această egalitate și utilizând proprietățile 13 și 10 rezultă
=1. Deci .
Reciproc, dacă d= ≠0 (deci A este nesingulară) atunci să arătăm că A este
inversabilă. Vom face acest lucru găsind inversa . Construcția lui presupune următorii
pași.
Fie matricea pătratică de ordinul n
A=(
); A
Calculăm . Dacă ≠0, atunci A este inversabilă.
Scriem matricea transpusă a matricei A, notată , schimbând în matricea A liniile cu
coloanele.
=(
).
Scriem matricea reciprocă a lui A, notată , înlocuind fiecare element al matricei
transpuse cu complementul său algebric, not at , , obținut astfel:
, , unde este minorul elementului din matricea (determinantul
obținut din prin eliminarea liniei i și a coloanei j).
29
=(
).
Vom calcula produsele și folosind formula de dezvoltare a unui determinant
după elementele uneia dintre linii (sau coloane), cât și faptul că s uma produselor dintre
elementele unei linii (sau coloane) a unui determinant și complemenții algebrici ai elementelor
corespunzătoare altei linii (sau coloane) este nulă, obținem:
= (
)
unde d este determinantul matric ei A. Împărțind prin d egalitatea de mai sus, se obține:
(
) (
)
(
) (
).
Așadar, (
) (
) și deci A este inversabilă.
Atunci
.
Deci inversa unei matrice nesingulare A se obține împărțind elementele matricei adjuncte
prin d=detA .
Observații.
1) Dacă A este o matrice nesingulară, deci inversabilă, atu nci este, de asemenea,
inversabilă și deci nesingulară.
2) Dacă A este o matrice nesingulară, atunci matricea sa adjunctă este nesingulară.
Intr-adevăr, dacă A este o matrice de ordin n, nesingulară, avem relația
= (
).
Astfel = , rezultă , deci este
nesingulară.
1.5. POLINOM CARACTERISTIC AL UNEI MATRICE PATRATICE
Fie o matrice pătratică de ordin .
Definiție: a) Matricea , se numește matrice caracteristică
a matricei A;
30
b) Polinomul [ ], se numește polinom caracteristic al
matricei A;
c) Ecuaț ia polinomială , se numește ecuația caracteristică a matricei A.
Teoremă. Un număr este valoare proprie pentru matricea dacă și numai
dacă .
Demonstrație: Relația se poate scrie , ,
care poate fi privită ca un sistem de n ecuații cu n necunoscute și condiția
, cere ca el să admită soluția nebanală. Aceasta este echivalentă cu condiția ca
determinantul ma tricei coeficienților sistemului să fie egal cu zero, adică .
Teoremă . Dacă , atunci
, unde
este suma tutu ror minorilor diagonali de ordin k din matricea A (un minor diagonal este format
cu linii și coloane de aceeași indici).
Demonstrație: Fie matricea , matricea caracteristică va fi
(
). Determinantul acestei matrice se
descompune în sumă de determinanți de forma în care coloana k este form ată cu
elementele coloanei k a matricei A sau matricei B.
Grupăm în această sumă de determinanți, cei ce conțin același număr de coloane din
matricea B, determinanți ce conțin k coloane din , apoi se dă factor comun de
pe cele k coloane și dezvoltând acest determinant pe rând după fiecare din cele k coloane,
obținem un minor de ordin (n-k) din matricea A. Se obține:
∑||
||
∑
||
||
+…+
∑|
|
=
31
= =
= , unde
Printre coeficienții polinomului caracteristic remarcăm:
∑
, numit și urma matricii A (suma minorilor diagonali de ordinul I), ur ma
matricei A se notează cu tr(A) ;
∑|
| ∑ (suma minorilor diagonali de
ordinul doi); , singurul minor de ordin n.
Ecuația carac teristică a matricei , este:
, care este o
ecuație algebrică de ordinul n și are în mulțimea numerelor complexe n rădăcini, care sunt
valorile pro prii ale matricei.
Dacă sunt cele n valori proprii, atunci descompunerea polinomului în
factori ireductibili în (de gradul I) este:
care dezvoltat este de forma
, unde
∑
,
∑
………………………
∏
, sunt relațiile lui Viete ale valorilor proprii
Identificând în cele două exprimări ale polinomului , obținem:
În particular, sau tr(A)= ∑
, adică
(suma valorilor proprii este egală cu urma
matricei A).
, atunci ∑ ∑ .
, (determinantul unei matrice pătratice este egal cu
produsul valorilor proprii ale ei).
O matrice este inversabilă dacă și numai dacă toate valorile proprii sunt
nenule.
Pentru matricea de ordinul doi, , (
), avem următoarea ecuație
caracteristică:
;
32
Pentru matricea de ordinul trei , , (
), avem următorul
rezultat:
∑
∑
, unde este minorul corespunzător
elementului (obținut din matricea A prin eliminarea liniei i și coloana i ) sau
; unde este reciproca matricii A .
Definiție. Matric ele sunt asemenea dacă există , C matrice
nesingulară, astfel încât . Se notează
Proprietate . Două matrice asemenea au același polinom caracteristic.
Demonstrație:
Dacă sunt matrice asemenea atunci există o matrice nesingulară C astfel
încât .
Rezultă:
Proprietate . Dacă A, B sunt matrice pătratice, atunci polinoamele caracteristice ale
matricelor produs AB și BA coincid.
Demonstrație:
Dacă un a dintre matricele pătratice este inversabilă, atunci matricele produs AB și BA sunt
asemenea, conform relației sau , deci ele au același polinom
caracteristic .
Considerăm matricea . Dacă a nu este valoare proprie pentru matricea A,
atunci A(a) este inversabilă, deci pentru orice { }, avem
sau , astfel încât
, egalitate care are loc pentru orice x și
pentru orice { }.
Cei doi membri ai egalității fiind polinoame de atât în a cât și în x, condiția de
a fi egale în mai mult de n valori ale lui a, revine la identitatea lor, deci
pentru orice , inclusiv pentru a=0, astfel obținându -se relația
, .
Proprietate . Dac ă matric ele , nu sunt pătratice ,
atunci ele nu au polinom caracteristic. În schimb, matricile și sunt
pătratice.
Proprietate . Dacă , , atunci între p olinoamele caracteristice ale
matricilor produs există relația:
33
.
1.6. TEOREMA LUI CAYLEY -HAMILTON
Vom demonstra în continuare următoarea proprietate:
Fie matrice fixate, și fun cția ,
. Dacă oricare , atunci are loc
următoarea relație: .
Demonstrație:
Efectuând înmulțirile cu scalari, apoi adunările, obținem , unde
are ca elemente polinoamele cu coeficienți din corpul de grad cel mult n.
Deoarece aceste polinoame sunt identic nule, rezultă că toți coeficienții acestora, adică
toate elementele matricelor sunt nule, ceea ce demonstrează pro prietatea de mai
sus.
Teorema lui Cayley -Hamilton .
Orice matrice pătratică din este rădăcină a polinomului său caracteristic.
Demonstrație:
Fie , și
|
|
, este polinomul
caracteristic al matric ei A, unde .
Vom arăta că: .
Putem scrie că: .
Elementele matricei reciproce sunt polinoame cu coeficienți din de grad cel
mult n-1, deci putem scrie că:
, unde și nu depind de
X. În consecință, avem:
,
Efectuând înmulțirile și ordonând convenabil, egalitatea de mai sus devin:
,
34
Astfel că:
…………………………..
Înmulțind la stânga relațiile precedente respectiv cu , apoi adunându -le
obținem:
, ceea ce
demonstrează teorema lui Cayley -Hamilton.
Aplicații
1) Inversa unei matrice
Fie A o matrice pătratică de ordinul n, inversabilă, atunci conform teoremei lui Cayley –
Hamilton ea verifică ecuația sa caracteristică, deci:
.
Înmulțind ambii membri ai relației cu , rezultă
,
, pentru că A este inversabilă, astfel că putem obține următorul rezultat:
.
2) Calculul puterilor unei matrice prin recurență
Folosind teorema lui Cayley -Hamilton, putem calcula și , prin
recurență.
Într-adevăr, cum , înmulțind cu , obținem
, .
Deci, trebuie calculate primele puteri, după care se deduc celelalte recursiv.
3) Puterile matricelor de ordinul trei
Fie ,
După cum știm ecuația caracteristică a matricei A se poate scrie sub forma:
|
|=0 sau (*) ,
unde
|
| |
| |
| , iar .
Ținând seama de teorema lui Cayley -Hamilton, se obține relația:
35
4) Dacă , atunci .
Pentru acest rezultat este adevărat adică
Pentru acest rezultat este adevărat adică .
Pentru , ținând seama de ecuația caracteristică, avem
Presupunem că este adevărată pentru . Atunci avem:
și
notăm {
, astfel încât , deci proprietatea este
adevărată .
Din sistemul de mai sus rezultă relația de recurență:
, , căreia i se asociază e cuația caracteristică
care este tot una cu ecuația caracteristică (*). Dacă ecuația are rădăcinile
reale distincte atunci:
.
CAPITOLUL II
DETERMINANȚI SPECIALI
Arthur Cayley. a adus contribuții importante la dezvoltarea geometriei descriptive ,
algebrei , teoriei funcțiilor și teoriei invaria nților, teoriei matricelor și a determinanților . Astfel, în
1841 a introdus notaț ia modernă a determinanților, iar în 1844 a introdus determinanții speciali,
noțiunile de determinanți strâmbi și strâmb simetrici, dându -le aplicații în algebră , geometrie și
analiză matematică .
Determinanți Vandermonde sunt omniprezenți în matematică. În afară de importa nța sa în
matematică, descompunerea determinantului Vandermonde ne ajută să înțelegem efectul cuantic
Hall. În ceea ce urmează, nu vom explora problema din punctul de vedere al fizicii, ci vom
investiga mai multe proprietăți combinatorii ale coeficiențil or din descompunerea
determinanților.
2.1. DETERMINANT VANDERMONDE
Determinantul Vandermonde se notează cu și este definit astfel:
|
| , unde și .
Valoarea determinantului se poate calcula prin două metode.Metoda I. Efectuând
obținem:
||
||
=|
|=
= , care reprezintă o relație de
recurență.
Astfel
Reluând raționamentul obținem:
37
…………..
.
Efectuând produsul, se obține:
∏( )
Metoda a II -a. Fie polinomul de gradul n-1.
Observăm că (am exclus cazul banal în care două
dintre numerele sunt egale). Deducem că polinomul P este de forma:
∏
Dezvoltând determinantul , după ultima coloană , a fiind coeficientul
lui , deducem a= , deci
∏
Pentru , obținem:
∏
și ținând cont de această relație de recurență și de egalitatea
, obținem ∏( )
Exemplu:
Să se calculeze determinanții de tip Vandermonde:
|
|
Dacă , atunci |
| . Analog pentru sau
și .
Presupunem că , atunci scoatem factor comun pe fiecare linie sau ,
obținându -se un determinant Vandermonde
||
||
=
2.2. DETERMINANT VANDERMONDE LACUNAR
Fie , { }.
Se numește determinant Vandermonde lacun ar, și se notează cu ,
determinantul
38
||
||
Pentru calculul lui, considerăm egalitățile
= ∏
=
= ), unde
este suma Viete de ordinul k.
Dezvoltând determinantul după ultima coloană, obținem
Identificând c oeficienții celor două forme ale polinomului obținem:
∏
, .
2.3. DETERMINA NT POLINOMIAL
Fie [ ] polinom de grad cel mult n-1, și fie , .
Determinantul
( ( )) |
|
se nu mește determinant polinomial.
Dacă
…………….. …………………………………….
și notăm matricea coeficienților polinoamelor
observând egalitatea ( ( )) , deducem că:
( ( )) .
Funcții polinomiale de tip determinant
Teorema: Fie x un număr real și A ,B două matrice pătratice din . Funcția
este o func ție polinomială de grad cel mult n având termenul liber egal cu
detA și coeficientul lui xn egal cu detB.
39
Demonstrație: Din dezvoltarea lui det(A+ xB) obținută prin aplicarea definiției
determinatului rezultă că f este o funcție polinomială de grad cel mul t n, unde termenul liber este
f(0)=detA. Coeficientul lui xn poate fi determinat de
(
)
Exemplu : Dacă A și B atunci det(A+B)+det(A -B)=2(detA+detB).
Rezolvare: =detA+a x+detB .
Pentru obținem =detA+a+detB și
=detA -a+detB.
Însumând aceste două relații obținem det(A+B) + det(A -B)=2(detA+detB), ce ea ce
trebuia demonstrat.
Derivata unui determinant
Fie funcții derivabile pe R, { } iar cu
f(x)=|
|. Funcția este derivabilă și
∑||
||
Derivabilitatea funcție f pe R deducem din derivata produsului a n funcții derivabile.
Dacă g1, g2,…, g sunt funcții derivabile pe R atunci (g1 g2…… )’=∑
.
Cum f(x)= ∑ atunci
∑∑
,tocmai relația ce
trebuia demons trată.
Exemplu: Să se demonstreze că
|
| |
|
.
Rezolvare:
Fie f(x) |
|. Funcția este derivabilă pe R și
40
|
|
|
|
|
|=0. Acest lucru înseamnă că funcția f este
constantă.
În consecință avem f(x)= f(0)= |
|și relația este demonstrată.
2.4. DETERMINANT CIRCULAR
Fie . Se numește determinant circular al numerelor și se
notează cu determinantul
||
|| .
Pentru calculul lui, considerăm ecuația binomă , , ale c ărei rădăcini sunt
numite rădăcini de ordinul n ale unității și construim un determinant Vandermonde
de forma:
|
|
Efectuând produsul , obținem:
=
||
||
Considerăm polinomul astfel că produsul precedent se
scrie:
41
||
||
= ||
||.
Ultima linie se poate aduce pe prima linie prin n-1 schimbări. Procedând analog cu
celelalte linii, obținem:
=
.
Astfel că simplificând cu , obținem:
.
Unde , iar este o rădăcină a ecuației
Aplicații .
1) Fie matricea
(
) atunci
.
Din proprietățile determinantului circular rezultă că:
∏
, unde sunt rădăcini de ordinul n
ale unității. Pe de altă parte, observăm că, dacă atunci :
.
Astfel obținem că: ∏
.
2) Fie matricea
(
) .
Să se calculeze .
42
Deoarece matricea A este de forma
(
)
folosind exercițiul anterior pentru x=i, obținem: .
3) Să se c alculeze valoarea determinantului circular: C(1,2,3,…,n).
Avem
∏
, unde sunt rădăcini de
ordinul n ale unității, iar
,
.
, ,
, deci
∏
.
Fie , căutăm polinomul cu rădăcinile . Avem
și polinomul în rădăcinile , este
, prin urmare
deci ∏
și rezultă
2.5. DETERMINANT CAUCHY
Fie . Se numește determinantul Cauchy al numerelor ,
determinantul
||
|| .
Pentru calculul său scădem ultima linie din celelalte linii, dăm factori pe linie și coloane
apoi scădem ultima coloană din celelalte coloan e și dăm din nou factori.
Se obține relația de recurență:
∏
, de unde
∏
.
43
CAPITOLUL III
APLICAȚII ALE DETERMINANȚILOR ÎN ALGEBRĂ
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare a stat la baza introducerii noțiunii de determinant.
Laplace numea determinantul "rezultant", denumire care a fost păstrata si de Cauchy in Exercises
d'analyse et de physique mathématique, vol ii p. 161 (1841). In cursul sau de analiza algebrica
însa Cauchy ii denumea funcții alternate. Gauss a fost cel care a introdus de numirea de
determinant. Germenii teoriei determinanților se găsesc in scrierile lui Leibnitz (Gottfried
Leibnitz (1646 -1716)). A fost nevoie sa treacă o jumătate de secol pentru ca matematicienii sa
înceapă sa se intereseze de aceste noțiuni, iar primele r ezultate importante au apărut doar un
secol mai târziu. Reînvierea metodei se datorează lui Cramer, cel care a dat regula de calcul a
determinanților, intr -o nota la Analyse des lignes courbes algébrique (publicata la Geneva in
1750). Cramer a fost urmat d e Bezout, Laplace, Lagrange si Vandermonde.
In 1801 a apărut Disquisitiones Arithmeticae a lui Gauss, iar in 1807 acesta lucrare a fost
tradusa si in franceza de către M. Poullet -Delisle. Originalitatea acestei lucrări a deschis noi
drumuri in studiul dete rminanților. Printre altele, lui Gauss i se datorează si teorema referitoare
la determinantul produsul ui a doua matrice care este egal cu produsul determinaților celor doua
matrice. Binet, Cauchy si alți matematicieni au dezvoltat teoria lui Gauss si au gă sit aplicații ale
acesteia in geometrie. In 1826 Jacobi a început sa publice o serie de articole de popularizare a
acestui subiect, serie care a continuat timp de aproape 20 de ani. In acest timp Jacobi a expus
teoreme noi si importante, numele sau fiind i ndisolubil legat de dezvoltarea acestei ramuri a
algebrei.
3.1. SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
În acest capitol mă voi ocupa de sisteme de ecuații de gradul întâi cu mai multe
necunoscute sau, așa cum li se mai spune de obicei, sisteme de ecuații liniare.
Definiți e: O ecuație liniară este o ecuație de forma
, unde ,
Definiție: Orice n-uplu care verifică egalitatea
se numește soluție a ecuației liniare.
A rezolva o ecuație înseamnă a -i determina toate soluțiile. Mulțimea tuturor soluțiilor
unei ecuații liniare se numește soluția generală a acestei ecuații.
44
Definiție: O mulțime finită de ecuații liniare se numește siste m de ecuații liniare sau
simplu sistem.
Fie sistemul de m ecuații cu n necunoscute, unde necunoscutele sunt notate cu
, iar coeficientul cu care apare necunoscuta din ecuația i este notat cu , iar
membrul al doilea (numit termen liber) din ecuația i este notat cu . Cu aceste notații, sistemul
de ecuații liniare se scrie sub forma generală:
{
Acest sistem se mai poate scrie: ∑
, .
Coeficienții necunoscutelor formează o matrice cu m linii și n coloane:
(
)
numită matricea coeficienților sistemului sau, matricea sistemului.
Matricea cu m linii și n+1 coloane:
̅ (
)
care se obține adăugând la coloanele matricei A coloana termenilor liberi , se
numește matricea extinsă a sistemului.
Sistemul se numește omogen dacă toți termenii liberi sun t egali cu zero =0, .
Un sistem de numere se numește soluție a sistemului dacă înlocuind
necunoscutele respectiv prin aceste numere, toate ecuațiile sistemului sunt
verificate, adică: ∑
, .
Un sistem de ecuații care nu are soluții se numește sistem incompatibil.
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește compatibil. Un sistem
compatibil se numește compatibil determinat dacă are o sin gură soluție, și se numește compatibil
nedeterminat dacă are mai mult de o soluție.
Două sisteme de ecuații sunt echivalente dacă sunt amândouă incompatibile sau
amândouă compatibile și au aceleași soluții.
45
3.2. METODE DE REZOLVARE A SISTEMELOR
1) Metoda matricea lă de rezolvare a sistemelor de n ecuații cu n necunoscute:
Fie sistemul:
{
unde și , sunt numere complexe.
Făcând notațiile următoare : (
), (
), (
)
Sistemul devine: .
Dacă matricea A este inversabilă ( detA ), înmulțim la stanga cu și obținem:
, adică , deci
2) Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de n ecuații cu n necunoscute.
Folosind notațiile de mai sus, unde A este matricea asociată sistemului , X matricea
necunoscutelor și B matricea termenilor liberi, sistemul se poate scrie sub forma unei ecuații
matriceale: .
Fie d=detA determinantul sistemului și , , determinantul care se obține din d
prin înlocuirea coloanei j prin coloana termenilor liberi.
De exemplu:
|
| , |
|
Teoremă:
Cu notațiile de mai sus, dacă d=detA≠0 , atunci sistemul are o soluție unică, anume:
,
, …,
.
Demonstrație:
După cum am mai spus sistemul poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale:
.
Cum A este nesingulară există inversa ; înmulțim la stânga ambii membri ai ecuației
matriceale cu și obținem
46
Dar
(
)
și cu notațiile precedente obțin: (
)
(
) (
)
(
∑
∑
∑
)
De unde deducem că
∑
, .
Dar, avem ∑
și deci
, .
În concluzie, un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute, al cărui determinant este
nenul, e ste compatibil determinant, iar soluția sa este dată de formulele de mai sus numite
formulele lui Cramer.
Un sistem liniar care poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer se numește de tip Cramer.
3) Metoda lui Gauss a căpătat o importanță mai mare în ultimul t imp pentru că se
utilizează în programele de calculator.
Ideea acestei metode este următoarea: sistemul liniar de m ecuații cu n necunoscute se
transformă într -un alt sistem liniar echivalent în care una din necunoscute, de exemplu , apare
intr-o sin gură ecuație. Spunem că a fost eliminat din celelalte m-1 ecuații. Prin aceeași metodă
cele m-1 ecuații fără necunoscuta , se transformă astfel încât o altă necunoscută, de exemplu
, apare numai în una din aceste ecuații. Repetând proced eul, vom obține un sistem de forma:
{
În acest sistem avem
,
Se poate întâmpla ca și atunci ecuațiile de forma nu vor fi prezente în
sistemul de mai sus. Voi spune că sistemul se prezintă în formă de scară (sau formă trapezoidală
sau cvasitriunghiulară).
Teoremă. Orice sistem liniar es te echivalent cu un sistem de formă cvasitriunghiulară.
De multe ori este mai comod să aplicăm transformările elementare nu sistemului însuși, ci
matricei extinse. Așadar:
47
Teoremă. Orice matrice se poate reduce cu ajutorul transformărilor elementare la for ma
cvasitriunghiulară.
Dacă sistemul conține o ecuație de forma
cu
, acest sistem este
incompatibil, deoarece egalitatea
nu poate fi satisfăcută oricare ar fi valorile date
necunoscutelor.
Fie
, pentru . Necunoscutele care apar la începutul primei
ecuații, celei de -a doua, celei de -a treia,…, și respectiv celei cu numărul r se vor numi
necunoscute principale, în timp ce necunoscutele (dacă există) sunt necunoscute
secundare. Necunoscutelor secundare li se va atribui valori arbitrare și le introducem în ecuațiile
sistemului. Se obține pentru necunoscuta (din ecuația a r-a) o ecuație de forma , cu
, cu soluție un ică. Valoarea găsită pentru se introduce în celelalte r-1 ecuații și se
continuă din aproape în aproape spre primele ecuații din sistem. Se vor obține, prin urmare, că
valorile necunoscutelor principale sunt definite unic funcție de valorile necuno scutelor
secundare. Așadar am obținut:
Teoremă. Pentru ca un sistem liniar să fie compatibil, este necesar și suficient ca după
reducerea la forma cvasitriunghiulară să nu conțină ecuații de forma
, cu
. Dacă
această condiție este satisfăcută, se pot da necunoscutelor secundare valori arbitrare;
necunoscutele principale se definesc univoc în funcție de valorile date necunoscutelor secundare.
În cazul în care sistemul nu conține nici o necunoscută secundară și toate necunoscutele
sunt principale, sistemul este compatibil determinat, căci aceste necunoscute se exprimă în mod
unic. Absența necunoscutelor secundare se exprimă prin condiția r=n .
Teoremă. Un sistem liniar este compatibil determinat dacă și numai dacă forma sa
cvasitriung hiulară verifică egalitatea r=n.
Pentru m=n , un sistem redus la forma cvasitriunghiulară poate fi pus sub formă
triunghiulară.
{
unde nu toți .
Corolar . În cazul m=n , sistemul liniar este compatibil determinat dacă și numai dacă
forma sa este triunghiulară cu
.
Corolar. În cazul m=n , sistemul este compatibil determinat dacă și numai dacă sistemul
omogen asociat nu posedă decât soluția banală.
48
Corolar. Dacă , sistemul compatibil este nedeterminat. În partic ular, sistemul liniar
omogen are întotdeauna o soluție nenulă .
Metoda lui Gauss poate fi adaptată și pentru determinarea inversei unei matrice
inversabile; în acest scop se utilizează o schemă de calcul cu două coloane; la prima iterație, pe
prima coloană se află matricea inițială A, iar pe coloana a doua matricea unitate. Cu ajutorul
transformărilor elementare se urmărește să se obțină matricea unitate pe prima coloană. În
momentul când se va realiza acest lucru, pe coloana a doua se va obține matricea
1A .
Astfel, dacă A
RnM este o matrice inversabilă, schema de calcul utilizată pentru
determinarea matricei
1A este:
A
nI
……………………………….………………………………
transformări elementare
…………. …………………………………………………..
nI
1A
Această metodă se numește metoda Gauss -Jordan sau metoda eliminării com plete; ea
permite și rezolvarea ecuațiilor matriceale de forma:
1.2. 3. AX=B
unde matricea A este inversabilă. Schema de calcul este:
A
nI B
………………………………………………………………………….
transformări elementare
….….………………………………… ……………………………….
nI
1A X=
1A B
3.3. RANGUL UNEI MATRICE
Fie acum | |, , un determinant, iar matricea .
Teoremă. Dacă | |, , este un determinant de ordin k-1, nenul, iar
determinantul | |, , care se obține prin adăugarea unei linii și a u nei coloane (a
49
k-a) la d este nul, atunci ultima (a k-a), adică cea adăugată, coloană (respectiv linie) a lui D este o
combinație liniară de celelalte coloane (respectiv linii).
Demonstrație. Se consideră sistemul de ecuații liniare:
{
de k-1 ecuații cu k-1 necunoscute. Deoarece determinantul sistemului, care este tocmai d,
este nenul, rezultă că sistemul este compatibil determinat. Există astfel încât:
{
(1).
Scădem din ultima coloană a lui D combinație liniară a primelor k-1 coloane cu
coeficienții și rezultă:
||
∑
|| =0.
Dezvoltăm determinantul după elementele ultimei coloane și obținem:
∑
=0.
Cum d , rezultă: ∑
.
Această relație, împreună cu relațiile (1) exprimă faptul că ultima coloană din D este o
combinație liniară a celorlalte k-1 coloane ale lui D, cu coeficienții: .
Operația prin care adăugăm unui determinant o linie și o coloană se numește, de obicei,
bordarea determinantului.
Teorema precedentă ne arată că este adevărată și afirmația reciprocă.
Consecinț a. Un determinant este nul dacă și numai dacă una dintre coloanele (respectiv
liniile) sale este combinație liniară de celelalte coloane (respectiv linii).
Fie matricea , și , { }. Determinantul de ordin
r format cu elementele matricei A situate la intersecția a r linii și r coloane se numește minor de
ordinul r.
Definiție. Matricea nulă are rangul 0. Dacă matricea nu este nulă, există un
număr natural { }, , astfel încât cel puțin un determinant de ordinul r este
50
nenul, iar toți determinanții de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli. Acest număr r se
numește rangul matricei .
Astfel, rangul unei matrice se poate calcula în modul următor.
Fiind dată o matrice nenulă, a ceasta are neapărat un minor de ordinul întâi nenul (putem
lua orice element nenul al matricei). Dacă am găsit un minor de ordinul k nenul, îl bordăm pe
rând cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile și uneia dintre coloanele rămase,
obținând astfel toți minorii de ordinul k+1 care-l conțin. Dacă toți acești minori sunt nuli, rangul
matricei este r=k. Dacă însă cel puțin unul dintre aceștia (de ordinul k+1) este nenul, atunci
reținem unul dintre ei și continuăm procedeul.
Într-o matrice oarecar e, , cu m linii și n coloane se pot forma minori
de ordinul r.
Observații
Rangul unei matrice rămâne neschimbat, dacă:
– multiplul unei linii (coloane) se adună la o altă linie (coloană);
– liniile (coloanele) se schimbă î ntre ele.
Folosind aceste reguli (numite și transformări elementare), o matrice poate fi adusă la o
formă în care numai elementele { } sunt diferite de zero. Rangul matricei A
este egal cu numărul elementelor diferite de zero. Pentru o matrice pătratică este suficient să
fie transformată într -o formă triunghiulară în care toate elementele aflate sub diagonala
principală (sau deasupra ei) sunt nule. Dacă diagonala principală conține maximul posibil de
elemente nenule, atun ci numărul acestora este rangul matricei.
3.4. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE m ECUAȚII CU n NECUNOSCUTE
FOLOSIND DETERMINANȚII.
Fie sistemul cu m ecuații liniare și n necunoscute:
{
Voi discuta compatibilitatea sistemului. Pentru aceasta, voi analiza matricea A a
coeficienților sistemelor și matricea extinsă ̅, care se obțin e din A completând coloanele sale cu
coloana termenilor liberi ai sistemului,
51
(
), ̅ (
).
Este evident că rang( A)≤rang( ̅), deoarece minorii matricei A se găsesc printre minorii
matricei ̅.
Teorema lui Kronecker -Capelli. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și
numa i dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Demonstrație. Să presupunem că sistemul de ecuații liniare este compatibil.
Fie o soluție a sa. Deci avem relațiile:
∑
= , .
Dacă rangA=r, am observat mai înainte că r≤rang( ̅). Pentru a demonstra că avem
egalitatea rangurilor, este suficient să arătăm că orice minor ̅ , de ordin r+1, al matricei ̅
este nul. Dacă ̅ nu conține coloana termenilor lib eri, atunci este un minor al matricei A și
prin urmare este nul, deoarece rangA=r. Dacă , însă, ̅ conține coloana termenilor liberi,
atunci este de forma:
̅ |
| .
Astfel obținem următoarea relație: ∑
= ,
Înlocuind pe , , în ̅ se observă că ̅ se poate scrie ca o sumă de
n minori de forma:
|
| =|
| .
Dar acești min ori de ordin r+1 ai lui A sunt toți nuli, deoarece rangA=r , și deci suma lor
este zero, adică ̅ .
Reciproc, fie rang( A)=rang( ̅)=r. Există deci un minor de rang r, nenul, al matricei A
astfel încât toți minorii de rang r+1 sunt nuli. Putem pr esupune că aceasta este la intersecția
primelor r linii și primelor r coloane ale matricei A, adică
|
| ≠0
(această situație este înto tdeauna realizabilă, deoarece putem renumerota convenabil
ecuațiile și necunoscutele )
52
Deoarece rang( A)=r, rezultă că orice minor de ordin r+1 care se obține din acesta prin
bordarea sa cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi și cele a le uneia dintre
liniile rămase este nul. Procedând ca la calculul rangului unei matrice, rezultă că există
astfel încât coloana termenilor liberi a matricei ̅ să fie combinație liniară de
coloanele matricei corespunzătoare minorul ui ales, cu coeficienții . Deci au loc
relațiile: ∑
= , . Aceste relații arata că , 0, …, 0 este o soluție a
sistemului, adică sistemul este compatibil.
Astfel că pentru a utiliza această teoremă trebuie calculat rangul matricei A. Pentru
aceasta trebuie identificat un minor nenul al lui A, notat cu d, astfel încât toți minorii care conțin
pe d să fie nuli. Orice minor de acest fel se numește minor principal. Apoi, este sufi cient să
verificăm că orice minor al matricei ̅, care -l conține pe d și care nu este minor al lui A, este de
asemenea nul. Orice astfel de minor de ordin r+1, obținut prin bordarea unui minor principal cu
elementele corespunzătoare coloanei termenilor l iberi, precum și cu cele ale uneia dintre liniile
rămase, se numește minor caracteristic.
Astfel, teorema lui Kronecker -Capelli se poate enunța și sub forma următoare:
Teorema lui Rouche. Un sistem de ecuații este compatibil dacă și numai dacă toți
minorii caracteristici sunt nuli.
Pentru un sistem de m ecuații cu n necunoscute, cu matricea sistemului de rang r, există
minori caracteristici numai dacă , iar numărul lor este egal cu .
Să presupunem acum că sistemul de ecuații este compatibil. Teore ma lui Kronecker –
Capelli ne permite să decidem dacă sistemul este compatibil sau nu, dar nu ne dă un mijloc
practic de aflare a tuturor soluțiilor sistemului dat.
Fie deci un sistem de ecuații liniare compatibil. Să presupunem că rang( A)=rang( ̅)=r și
că un minor principal al sistemului se găsește la intersecția primelor r linii și a primelor r
coloane, adică
|
| ≠0.
După cum am observat orice lini e a matricelor A și ̅ este combinație liniară de primele r
linii. De aici rezultă că orice ecuație a sistemului este o combinație liniară ale primelor r ecuații
ale sistemului, cu anumiți coeficienți. De aceea, orice soluție a primelor r ecuații satisfa ce toate
ecuațiile sistemului. Este suficient deci să rezolvăm sistemul
{
(*)
53
care este echivalent cu sistemul inițial.
Matricea coeficienților sistemului are un singur minor nenul de ordin r (format din
primele r coloane) și deci are rangul egal cu r, unde r≤n. Se vor distinge astfel două cazuri:
1. Dacă r=n, sistemul ar e același număr de ecuații și de necunoscute, iar determinantul
său este nenul. În acest caz, acest sistem are o unică soluție, pe care o putem calcula cu formulele
lui Cramer. Aceasta este și soluția sistemului.
2. Fie r<n, minorul format din coeficienții pr imelor r necunoscute este nenul, adică este
minor principal. Necunoscutele se numesc necunoscute principale. Trecem în
membrul drept al ecuațiilor sistemului de mai sus toți termenii care conțin necunoscutele
secundare: ; atribuindu -le valori arbitrare, respectiv .
Obținem un sistem de r ecuații și r necunoscute: .
{
Se rezolvă acest sistem cu formulele lui Cramer; el are o soluție unică .
Numerele formează o soluție a sistemului (*) , care este și
soluție a sistemului inițial. Cum valorile ale necunoscutelo r secundare
sunt alese arbitrar, obținem în acest mod o infinitate de soluții distincte ale
sistemului (*), care constituie mulțimea soluțiilor sistemului inițial.
Pașii de rezolvare al sistemului de ecuații liniare sunt urmă torii:
– Studiem dacă sistemul este compatibil. Pentru această găsim un minor principal al
matricei A a sistemului, apoi calculăm minorii caracteristici.
1) Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil.
2) Dacă toți minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil.
– Pentru găsirea soluțiilor unui sistem compatibil, procedăm astfel:
Păstrăm din sistem ecuațiile care corespund liniilor minorului principal. În aceste ecuații,
trecem în membrul drept termenii car e conțin necunoscutele secundare, în membrul stâng
păstrând numai termenii care conțin necunoscutele principale. Atribuim necunoscutelor
secundare valori arbitrare, apoi calculăm cu ajutorul formulelor lui Cramer valorile
necunoscutelor principale, obținân d astfel toate soluțiile sistemului.
Pentru ca sistemul compatibil să aibă soluție unică, este necesar și suficient ca rangul
matricei sistemului să fie egal cu numărul necunoscutelor.
54
Sisteme de ecuații liniare omogene. Un sistem de ecuații liniare se num ește omogen dacă
termenul liber al fiecărei ecuații este nul. Așadar, forma generală a unui sistem omogen de
ecuații liniare este
{
Un sistem omogen este întotdeauna compatibil. Într -adevăr, termenii liberi fiind nuli,
rezultă că adăugând la coloanele matricei sistemului coloana termenilor liberi rangul nu se
schimbă. Deci, conform teoreme i Kronecker -Capelli, sistemul este compatibil.
De altfel, acesta se vede direct, întrucât un astfel de sistem admite soluția nulă: 0, 0,…, 0.
Presupunem că matricea A a coeficienților este de rang r.
Dacă r=n (numărul necunoscutelor), atunci soluția nulă este singura soluție a sistemului.
Dacă r<n (numărul necunoscutelor), atunci sistemul are și soluții nenule. Pentru a găsi
soluțiile, se utilizează același procedeu ca în cazul sistemelor arbitrare.
Observăm ca un sistem de n ecuații liniare omogene cu n necunoscute are soluții nenule
dacă și numai dacă determinantul său este nul.
Dacă un sistem de ecuații liniare omogene are numărul ecuațiilor mai mic decât cel al
necunoscutelor, sistemul are soluții nenule.
55
CAPITOLUL IV
APLICAȚII ALE DETERMINANȚILOR Î N GEOMETRIE
Algebra liniară s -a dezvoltat și prin analogie cu studiul vectorilor în plan și în spațiu. De
aceea, ea este utilizată în rezolvarea unor probleme de geometrie . Proprietățile figurilor
geometrice pot fi cercetate cu ajutorul calcului algebric, raportând figura la un sistem de
referință, numit reper cartezian și făcând să -i corespundă unui punct unul, două sau trei numere
reale, după cum ne aflăm pe dreaptă, în plan sau în spațiu. În felul acesta proprietățile geometrice
se traduc prin ecuații, iar rezolvarea se face folosind metode algebrice. Această ramură a
matematicii se numește geometri analitică și este o creație a timpurilor moderne, considerându -se
ca dată a apariției anul 1637, cân d filozoful, matematicianul și fizicianul francez Rene De cartes a
publicat lucrarea La Geometrie . Denumirea de geometri analitică a fost dată de S.F.Lacroix în
1789, iar prima carte didactică cu acest titlu este a lui J. G. Garnier Elemente de geometrie
analitică în 1801. În acest capitol voi prezenta utilitate a determinanților în această ramură a
matematicii.
4.1. REPERE ÎN PLAN ȘI SPAȚIU
Definiție. Se numește axă de coordonate o dreaptă pe care sunt fixate: un punct O (numit
origine), un segment OM a cărui lungime este egală cu unitatea și un sens pozitiv.
Definiț ie. Se numește reper cartezian în plan un sistem format din două axe Ox și Oy cu
originea O. Un reper cartezian format din axele Ox și Oy îl notăm xOy. Dacă axele Ox și Oy
sunt perpendiculare, reperul xOy se numește reper ortogonal.
Teoremă. Într-un reper cartezian, oricărui punct M din plan îi corespunde o singură
pereche (a,b) ce reprezintă coordonatele sale și, reciproc, pentru orice pereche (a,b) ,
există un unic punct M(a,b). Numerele a și b se numesc abscisa, respectiv ordonata punctului M.
Teoremă. Formula distanței dintre două puncte , este
AB=√ .
Definiție. Trei axe Ox, Oy, Oz, cu aceeași origine O, perpendiculare două câte două,
formează un reper ortogonal Oxyz în spațiu.
Teoremă. Într-un reper Oxyz, fiecărui triplet (x,y,z) i se asociază un unic punct
M(x,y,z). Reciproc, dacă M este un punct oarecare din spațiu și x, y, z sunt coordonatele
proiecțiilor lui pe axele Ox, Oy, Oz, punctului M îi corespunde tripl etul (x,y,z).
56
Teoremă. Distanța dintre două puncte în spațiu.
Într-un reper ortogonal considerăm punctele , . Distanța dintre
punctele A și B este: AB=√
4.2. DREPTE ÎN PLAN
Fie xOy un sistem ortogonal fixat în plan, d o dreaptă oblică în plan, adică o dreaptă care
face cu axa Ox un unghi
.
Teoremă.
1) Dacă dreapta d trece prin O și are unghiul
cu axa Ox, atunci: d={ |
}.
2) Dacă dreapta d trece prin punctul și face cu axa Ox unghiul
, atunci
d={ | }.
3) Dacă dreapta d este perpendiculară pe Ox și trece prin punctul de coordonate
, atunci d={ | }.
Definiție. Ecuația y=mx+n , m,n se numește ecuația dreptei de pantă m. Panta m este
tangenta unghiului pe care îl face cu direcția pozitivă a axei Ox.
Dreapta cu panta m (m ) care trece prin punctul de c oordonate are ecuația:
.
Definiție. Ecuația generală a unei drepte în plan este de forma Ax+By+C=0 , unde
A,B,C , A≠0 sau B≠0.
Observații.
– Ecuația dreptei de pantă m, y=mx+n , m,n , se poate scrie sub forma general ă mx-
y+n=0.
– Axa Ox are ecuația generală y=0, unde A=C=0 și B=1.
– Axa Oy are ecuația x=0.
– Dacă în ecuația generală Ax+By+C=0, B≠0 împărțim prin B și obținem
,
aceasta fiind o ecuație a aceleiași drepte cu panta
.
Pentru a găsi ecuația dreptei care trece prin 2 puncte , putem rezolva
sistemul
{
, unde A,B,C sunt necunoscute .
Soluția acestui sistem este dată în următoarea teoremă.
57
Teoremă. Ecuația dreptei determinată de două puncte , poate fi pusă
sub formă de determinant
|
| =0 (*).
Într-adevăr ecuația
, dacă , sau
, dacă
și poate fi scrisă sub formă de determinant
|
| =0.
Acest determinant se obține din determinantul (*). Se scade lini a a doua din prima și a
treia linie și se dezvoltă determinantul după coloana a treia.
Astfel se obține ușor condiția de coliniaritate a trei puncte , , .
Se scrie ecuația dreptei determinată de punctele A, B:
(AB): |
| =0
și se impune condiția ca punctul C să se afle pe dreapta ( AB), adică coordonatele lui C să
verifice ecuația dreptei ( AB) când se obține:
|
| =0. Deci :
Punctele , , sunt coliniare dacă și numai dacă
|
| =0
Teoremă. Ecuația dreptei prin tăieturi.
Dreapta d care intersectează axele Ox și Oy în punctele A(a,0), B(0,b), a≠0 , are ecuația
. Această ecuație se mai poate scrie sub forma
.
Teoremă.
Fie dreptele d: Ax+By+C=0 și d’: A’x+B’y+C’=0.
1) Dacă AB’≠A’B (
), atunci d și d’ sunt concurente.
2) Dacă A, B, C și A’, B’, C’ sunt proporționali (
), atunci d=d’ (A și A’, B și
B’ sau C și C’ pot fi simultan nule).
3) Dacă A, B, și A’, B’, sunt proporționali, dar A, B, C și A’, B’, C’ nu sunt
proporționali (
), atunci d‖ .
Demonstrație.
58
Sistemul format din ecuațiile dreptelor d și d’
{
poate fi:
1) Determinat dacă |
| , adică AB’≠A’B,
.
2) Nedeterminat dacă |
| |
| , adică sistemul are toți coeficienții
proporționali. În acest caz, orice soluție a primei ecuații o verifică și pe a doua.
3) Incompatibil, dacă |
| și |
| . În acest caz sistemul nu are soluții
și atunci cele două drepte coplanare sunt paralele, deoarece nu se intersectează.
Voi discuta următoarea aplicație. Unghiul a două drepte
Fie dreptele și .
a) Dacă , unghiul dintre dreptele și are tangenta
.
Demonstrație. Fie unghiul pe care îl face dreapta cu axa Ox și cu unghiul pe
care îl face dreapta cu axa Ox. Atunci
b) Dacă , dreptele sunt perpendiculare.
c) Dacă , dreptele sunt paralele și au unghiul 0
4.3. PLANE ÎN SPAȚIUL TRIDIMENSIONAL
Considerăm în punctele M(A,B,C ) și X(x,y,z). Triunghiul MOX este dreptunghic în O,
dacă și numai dacă .
Teoremă. Fie M( A,B,C ) , A, B, C nu toate nule.
1) Planul care trece prin origine și este perpendicular pe OM este {
| }. Ecuația planului este .
2) Pentru orice A, B, C, D , A, B, C nu toate nule, ecuația
definește un plan perpendicular pe dreapta OM, cu M(A,B,C ) .
Definiții. Fie A, B, C nu toate nule.
se numește ecuația generală a planului.
Ecuația se numește ecuația planului care trece
prin punctul .
Considerăm ecuația generală a planului , ; atunci
. Notăm
și obținem (planul
determinat de trei parametri: B’, C’, D’ ). Ecuația planului are trei coeficienți esențiali, ceea ce
corespunde cu cele trei condiții geometrice care determină planul.
59
Pentru a determina ecuația planului care trece prin 3 punc te date , ,
putem rezolva sistemul
{
, unde A, B, C, sunt necunoscute.
Soluția acestui si stem este dată în următoarea teoremă.
Teoremă.
Punctele A , B , C sunt necoliniare dacă și numai dacă
|
| ≠0. Ecuația plan ului cere trece prin punctele necoliniare A, B, C este
|
| =0.
Demonstrație. Descompunem determinantul după prima linia și obținem:
|
| |
| |
| |
|=0.
Din condiția de necoliniaritate, rezultă că nu toți coefic ienții necunoscutelor x, y, z sunt
nuli. Deoarece un determinant este nul doar când are două linii egale, rezultă că ,
, verifică ecuația planului.
Teoremă. Ecuația planului prin tăieturi.
Ecuația planului care intersectează Ox, Oy, Oz în punctele M(a,0,0), N(0,b,0), P(0,0,c),
a,b,c , este
.
4.4. DETERMINAREA DREPTELOR ÎN SPAȚIU
Teoremă. Fie planele și . Dacă
AB’≠A’B sau BC’≠B’C sau AC’≠A’C, atunci planele și se intersectează după o dreaptă.
Demonstrație. Intersecția celor două plane se rezumă la rezolvarea sistemului:
{
Matricea sistemului se observă că are rangul 2 prin urmare sistemul are o infinitate de
soluții care se pot exprima în funcție de una dintre necunoscute.
Teoremă. Ecuațiile dreptei care trece prin două puncte.
Fie A , B , , , .
Dreapta
trece prin punctele A și B.
60
Demonstrație. Dreapta d din spațiu este suficient definită de sistemul
{
, scris și astfel {
Rangul mat ricei sistemului (
) este 2, deci sistemul determină în
spațiu o dreaptă.
4.5. ARIA UNUI TRIUNGHI
Distanța de la un punct la o dreaptă
Fie dreapta d de ecuație și . Distanța de la
punctul M la dreapta d se notează și | |
√ .
Fie , , și dreapta ( AB): |
| =0 și vom nota
|
|.
Atunci | |
√ | |
și, în consecință, aria triunghiului ABC este
| |.
4.6. CALCULUL DE VOLUME. PROBLE ME CE COPLANARITATE.
Teoremă. Distanța de la punctul la planul determinat de punctele
A , B , C este | |
√ , unde sunt
coeficienții ecuației |
| , adică
|
|, |
|, |
|, |
|
Planele de ecuație și au
cosinusurile unghi urilor date de formula
√ √ .
Unghiul dintre planul care trece prin punctele A, B, C , de ecuație
61
și planul xOy , d e ecuație z=0, are | |
√ .
Teoremă. Aria unui triunghi din spațiu determinat de punctele A ,
B , C este
, unde |
|,
|
|, |
|.
Demonstrație. Fie A B , C , proie cțiile punctelor A, B, C
pe planul xOy;
, unde este unghiul dintre planul ( ABC ) și xOy. În xOy avem
| |,
| |
| |
√
√ .
Teoremă. Volumul tetraedrului cu vârfurile în punctele A ,
B , C este
|||
||| (
din modulul determinantului).
Demonstrație.
, unde | |
√ este distanța de la punctul M la
planul (ABC) și
, deci
| |
|||
|||.
Consecință. Punctele , sunt coplanare dacă și numai dacă
|
| =0
4.7. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
Amintim că aria paralelogramului ABCD de laturi AB=c, AC= b este egală cu
. Pentru reperul cartezian în spațiu Oxyz spunem că este satisfăcută regula
’’burghiului’’ dacă rotind burghiul pe planul xOy în sens pozitiv (trigonometric) de suprapunere
62
a axei Ox peste Oy (pe drum ul cel mai scurt), atunci sensul de înaintare a burghiului este sensul
pozitiv al axei Oz.
Definiție. ( Produsul vectorial a doi vectori). Produsul vectorial a doi vectori ̅ și ̅ este
un vector ̅ cu proprietățile:
1) este perpendicular pe planul dete rminat de vectorii ̅ și ̅;
2) sensul vectorului ̅ este dat de regula ’’burghiului’’;
3) modulul vectorului ̅ este egal cu | ̅|| ̅| , unde este unghiul format de vectorii
̅ și ̅.
Produsul vectorial al vectorilor ̅ și ̅ (în ac eastă ordine) este vectorul ̅ notat ̅ ̅ ̅.
Deci ̅ | ̅|| ̅| ̅̅̅, unde este versorul normal pe planul vectorilor ̅ și ̅.
Produsul vectorial a doi vectori nenuli, necoliniari ̅, ̅ (în această ordine) este vect orul
̅ ̅ ̅ care are sensul dat de sensul de înaintare a burghiului pe planul format de acești
vectori, de a suprapune pe ̅ peste ̅ (pe drumul cel mai scurt).
Teoremă.
1) Produsul vectorial a doi vectori paraleli este vectorul nul. În particular ̅ ̅ ̅,
̅ ̅ ̅ ̅ ̅.
2) ̅ ̅ ̅ ̅ (anticomutativitatea produsului vectorial)
Produsul vectorial își schimbă sensul dacă schimbăm ordinea factorilor.
3) ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ , .
4) ̅ ( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Produsul vectorial este distributiv în raport cu adunarea vectorilor.
5) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ sunt coliniari.
Utilizând definiția dată produsului vectorial a doi vectori în reperul cartezian Oxyz , pentru
versorii ̅ ̅ ̅ ai axelor Ox, Oy, Oz avem produsele vectoriale:
1) ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅;
2) ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅;
3) ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅; ̅ ̅ ̅.
Fie ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅. Atunci are loc următoarea teoremă
Teoremă. Expresia analitică a produsului vectorial a vectorilor ̅ ̅ este dată de relația:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅.
Demonstrație. Ținând seama de faptul că produsul vectorial este distributiv în raport cu
adunarea vectorilor și de valorile produselor vectoriale ale vectorilor ̅ ̅ ̅ de mai sus, se obține
imediat rezultatul.
63
Expresia analitică a produsului ve ctorial a doi vectori poate fi scrisă sub forma unui
determinant astfel:
̅ ̅ | ̅ ̅ ̅
|
a cărui primă linie este formată din versorii ̅ ̅ ̅, iar celelalte două linii au ca elemente
componen tele lui ̅ (a primului vectori din produsul vectorial) linia a doua și componentele lui ̅
(al doilea vector al produsului vectorial) linia a treia.
Dezvoltarea acestui determinant se face numai după elementele primei linii ca și când
̅ ̅ ̅ ar fi numere. Coordonatele vectorului ̅ ̅ sunt complemenții algebrici ai elementelor
̅ ̅ ̅, adică
̅ ̅= |
| |
| |
| .
Coliniaritatea a doi vector i
Teoremă. Vectorii ̅ ̅ sunt coliniari ̅ ̅ ̅.
Demonstrație. ’’ ’’ În cazul în care unul din vectorii ̅ ̅ este nul, atunci acesta este
coliniar cu celălalt și evident ̅ ̅ ̅ (deoarece toți determinanții de ordin doi care defines c
componentele lui ̅ ̅ au o linie egală cu zero și deci sunt nuli). Dacă ̅ ̅, ̅ ̅ doi vectori
coliniari. Deci există astfel încât ̅ ̅ sau
, , . Aceasta înseamnă că toți
determinanții de ordin doi prin care sunt definite componentele vectorului ̅ ̅, sunt nuli având
liniile proporționale.
’’ ’’ Fie ̅ ̅ ̅, adică , , și
̅ ̅. Deci există, să spunem , din se obține
, unde notând
avem . Din se deduce
. În final
, , , ceea ce înseamnă ̅ ̅, adică vectorii sunt coliniari.
4.8. PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI
Definiție. Produsul mixt a trei vectori. Fie ̅ ̅ ̅ trei vectori liberi . Numărul ( ̅ ̅ ̅) ̅
̅ ̅ se numește produsul mixt al vectorilor ̅ ̅ ̅.
Produsul mixt a trei vectori ̅ ̅ ̅ se obține efectuînd următoarele operații:
1) Înmulțind doi dintre ei vectorial ̅ ̅, când rezultă vectorul ̅ ̅ ̅;
2) Produsul vectorial al celor doi vectori ̅ ̅ , ̅, îl înmulțim scalar cu ̅
64
Expresia analitică a produsului mixt
Fie reperul cartezian Oxyz , în care cei trei vectori au exprimările ̅ ̅
, ̅ , atunci are loc următoarea exprimare:
Teoremă. Produsul mixt al vectorilor ̅ ̅ ̅ are expresia analitică:
( ̅ ̅ ̅) |
| .
Demonstrați e. Într -adevăr avem: ̅ ̅ și
̅ ( ̅ ̅)
.
Acești șase termeni sunt exact termenii rezultați din dezvoltarea determinantului de ordin
3 format cu componentele celor trei vectori.
Permutând circular lini ile determinantului, valoarea lui rămâne aceeași, adică avem: ̅
( ̅ ̅) ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅).
Schimbând două linii ale unui determinant între ele, i se schimbă semnul. Două astfel de
schimbări de linii între ele dau aceeași valoare a de terminantului.
Produsul mixt în care se repetă doi factori este nul, deoarece determinantul care -l
definește are două linii egale. De exemplu ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅) ̅.
Din punct de vedere geometric, valoarea absolută a produsului mixt a trei v ectori
reprezintă volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori ̅ ̅ ̅.
Teoremă. Fie paralelipipedul construit pe vectorii ̅ ̅ ̅ de volum . Atunci:
| ̅ ̅ ̅ |.
Demonstrație: Pe vectorii ̅̅̅̅ ̅, ̅̅̅̅ ̅, ̅̅̅̅ ̅ cu originea comună in O, construim
paralelipipedul oblic care are acești vectori ca muchii. Produsul vectorial ̅ ̅ este vectorul ̅
perpendicular pe planul bazei OBDC mărimea lui ̅ este egală cu aria paralelogramului OBDC ,
| ̅| | ̅ ̅|= . Fie . Atunci reprezintă înălțimea
paralelipipedului oblic.
Volumul unui tetraedru.
Teoremă. Volumul tetraedrului construit pe vectorii ̅̅̅̅ ̅, ̅̅̅̅ ̅, ̅̅̅̅ ̅, are
expresia
| ̅ ̅ ̅ |.
1) Se poate stabili ușor calculul lungimii înălțimii dusă din unul din vârfurile
tetraedrului pe fața opusă. Dacă este lungimea înălțimii dusă din A pe baza OBC , atunci avem
egalitatea :
| ̅ ̅ ̅ |.
65
Dar
| ̅ ̅|. Din cele două relații rezultă ca | ̅ ̅ ̅ |
| ̅ ̅|.
2) Dacă , , sunt patru puncte necoplanare în spațiu, atunci pentru
a calcula volumul tetraedr ului se consideră vectorii ̅̅̅̅̅̅̅
, ̅̅̅̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅̅̅ .
Volumul V al tetraedrului are expresia
| ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ |
sau sub formă de determinant, volumul V al tetraedrului este egal cu valoarea
absolută a determinantului
|
|
Cu ajutorul produselor de vectori definite anterior, putem determina si pe cale vectorial a
regula lui Cramer pentru rezolv area unui sistem compatibil determinat de trei ecuații cu trei
necunoscute. Fie sistemul:
3 33 32 312 23 22 211 13 12 11
bzayaxabzayaxabzayaxa
, cu
0 det__
3,1,
jiija .
Prin înmulțirea ecuațiilor sistemului cu ̅ ̅, respectiv ̅ și sumarea relațiilor găsite
obținem ecuația : ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅, unde:
{ ̅̅̅ ̅ ̅ ̅
̅̅̅ ̅ ̅ ̅
̅̅̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅.
Prin înmulțirea scalară a ecuaț iei găsită anterior cu produsul vectorial ̅̅̅̅ ̅̅̅, găsim:
̅ ̅̅̅ ̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ și analog rezultă y și z.
4.9. LOCURI GEOMETRICE
Definiție. Fie . Numim curbă plană mulțimea { |
}, iar este numită ecuația implicită a curbei plane .
Definiție. Fie D și astfel încât { | }. Ecuația
se numește ecuația explicită a curbei plane
Definiție. Fie D și astfel încât { | }. Ecuațiile
se numesc ecuațiile parametrice ale curbei plane
66
Cercul
Definiție. Cercul este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix,
numit centru. Distanța de la centru la punctele cercului s e numește rază.
Fie un punct fixat și fixat. Cu notăm cercul de centru
și rază r.
Teoremă. Punctul dacă și numai dacă
(ecuația implicită a cercului).
Demonstrație. Sunt echivalente următoarele propoziții: , ,
√ , ridicând relația la pătrat obținem .
Definiție. Ecuațiile √ , [ ] se numesc
ecuațiile explicite ale cercului .
Ecuația implicită a cercului, este echivalentă cu ecuația
. Aceasta ne conduce la studiul curbei plane
{ | }, unde
, , este numită ecuația
generală a cercului.
Ecuația implicită a curbei plane , este echivalentă cu
. Astfel putem scrie următoarea teoremă:
Teoremă. Fie curba definită de ecuația .
Distingem următoarele situații:
– ,
| |√ , (
) .
– , { (
)}.
– ,
Definiție. Fie , , .
Mulțimile int( )= { | } și ext( )= { | }
se numesc interiorul, respectiv exteriorul cercului.
int( ext( .
int( ext( este mulțimea tuturor punctelor din plan.
Intersecția dreptei cu cercul .
Fie dreapta și cercul .
Intersecția este caracterizată de soluțiile sistemului:
{
67
Substituim y în doua ecuație și obținem: [ ]
.
Discriminantul ecuației este
[ (
√ )
] [ ].
Astfel am regăsit poziția unei drepte față de un cerc și anume:
– , dacă și numai dacă există și sunt unice ,
soluții ale sistemului; { } (dreapta este
secantă).
– , dacă ș i numai dacă sistemul nu are soluții reale;
(dreapta este exterioară cercului).
– , dacă și numai dacă există și este unic , soluție a
sistemului; { } (dreapta este tangentă la cerc).
Fie . Ecuația tangentei la cercul în punctul este
+
Teoremă.
Fie , , trei puncte necoliniare și
, ||
||. Notăm cu |
|,
|
|, |
| și cu |
|. Ecuația cercului
circumscris triunghiului ABC este: .
Demonstrație.
Dacă punctele A, B, C sunt necoliniare, atunci ; în plus, =
=0, deci mulți mea { | } are cel puțin două elemente.
Consecință. Punctele , sunt conciclice dacă și numai dacă
||
|| =0.
Aplicații:
1. Coliniaritatea a trei puncte.
68
Fie ABC un triunghi dreptunghic oarecare. Să se arate că ortocentrul H , centru G și
cerntrul O a cercului circumscris triunghiului ABC sunt coliniare.
Rezolvare :
Considerăm reperul ortogonal xOy unde dreapta O x va fi a AB, iar dreapta Oy va fi
Înălțimea CD. Atunci vom avea A(a,0), B(b,0), C(0,c). punctul H este intersecția înălțimilor. Dar
CD are ecuație x=0. Cum ⃗⃗⃗⃗⃗ este un vector normala înăl țimea din B, rezultă că
ecuația înălțimii din B este:
de unde vom obține ax -cy-ab=0. Din {
{
. Deci ortocentrul va avea coordonatele H(0,
. Știm că centrul de greutate are
coordonatele G(
,
. Centrul cercului circumscris unui punctul de intersecție al
mediatoarelor. Fie O punctul de intersecție al mediatoarelor OM, ON ale laturilor [ ], respectic
[ ]. Deoarece M(
și OM deducem OM Ox. De aici vom a vea OM: x=
.
folosindu -ne de faptul că ⃗⃗⃗⃗⃗ este vector norma drepte ON și N(
vom obține ecuația dreptei
ON:
. Rezolvând sistemul format de ecuațiile dreptelor OM și
ON ob ținem coordonatele punctului O(
. Deoarece||
|| punctele M,
G, O sunt coliniare.
2. Fie ABC un triunghi, punctele D și numerele reale
astfel încât ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ E = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ se demonstreze că punctele D, E, F sunt coliniare
dacă și numai dacă ( teorema lui Menelaos)
Rezolvare:
Fixăm un reper cartezian (O, ⃗ Atunci A(a, ,B(b, C(c, . Dacă notăm cu D( x
din ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ obținem
, de unde D(
În mod analog vom obține
E(
(
. Punctele D, E, F sunt coliniare dacă și numai dacă determinatul
||
|| . De aici obținem |
| Considerând
prima linie ca suma algebrică desfacem determinantul în sumă se determinanți
69
|
| |
|. Calculând separat fiecare
determinant obținem |
| |
| |
| și
|
| |
| |
|. De
aici obținem d= unde |
|. Deoarece
| |, avem , deci
d=0 dacă și numai dacă
70
CAPITOLUL V
METODE MODERNE DE ÎNVĂȚARE ȘI EVALUARE
Denumirea actual ă de metodica matematicii a fost propusa de către F. A. Di esterveg în
anul 1836, într -o perioada când pedagogia era în plin avânt . Dar , preoc upări despre modul în
care cunoștințele matematice trebuiesc transmise mai departe au coexistat probabil cu formarea
primelor concepte matematice. Acestea au fost de natura aritmetic ă si geometric ă.
Exist ă câteva papirusuri egiptene în care sunt grupate după conținut probleme aplicative
de aritmetic ă, de calculul ariilor si volumelor. Descrierea soluțiilor sugerează mai mult un
rețetar , o instruire de pași algoritmici ce duc la rezolvarea problemelor enunțate . Nu sunt formule
generale , ci se tratează doar situații particulare. Sunt si câteva exerciții de antrenament, unele
chiar amuzante (se pare c ă egiptenii cunoșteau importan ța motivației în procesul de învățare).
Dovezi ale matematicii babiloniene sunt si cele aproximativ 20000 de tablete de lut,
conținâ nd scrieri cuneiforme, ce atestă existen ța unei case a tăblițelor , unde elevii făceau calcule
aritmetice .
În matematica hindus ă existau manuale conținând strofe scurte ce ajutau la memorarea
regulilor de calcul, dar si figuri geometrice având, în loc de id ei, de demonstrație, sfatul”
privește!”.
În Grecia Antic ă, Socrate punea bazele dialogului euristic. Exista pe atunci o colecție
vastă de raționamente logice, sofisme, paradoxuri, rezultate empirice, procedee si formule care, o
dată cu introducerea demons trației , au căpătat calitatea de științ ă. Un alt document de valoare
este opera ”Elementele” ce aparține lui Euclid. Expunerea euclidian ă a fost atât de apreciat ă de
oamenii de științ ă, încât a servit drept model de prezentare pentru științele raționale .
”Elementele” reprezintă cartea esențial ă pentru studiul geometriei p ână la sfârșitul secolului
XVIII.
Studiile arheologice arat ă că, pe teritoriul Daciei, în vechile colonii grecești , funcționau
gimnazii, deci un sistem educativ similar celui grecesc.
În secolul V , în Europa , apar si se dezvolt ă școlile mănăstirești , unde se studia limba
latină, gramatică, retorică, dialectică, aritmetică , geometri e, astronomi e si muzic ă. Metoda de
instruire era mai ales expunerea. Apoi au apărut școlile parohiale, episcopi ile, catedrale. Carol
cel Mare a inițiat școala palatină p e lângă curtea imperial ă.
În răsărit , puterea laic ă predomina celei bisericești . În secolul V se deschide la
Constantinopol o academie unde apar ca obiecte de studiu si medicina, matematica , astron omia.
71
Arabii aveau școli elementare î n care se învață cititul si se memorau texte din Coran si
școli de nivel mai înalt, unde se preda teologia musulman ă, fizica, algebra , astronomie,
medicina.
In secolul XI -XIV, in Europa apar școli de gramatic ă, scoli latine si universității . Predarea
in limba național ă începe sa se impună , datorit ă presiunii breslelor meșteșugărești și a ghildelor
negustorești .
În timpul Renașterii , umanismul schimba sistemul educativ. Conținutul abstract, formal,
este criticat, învăță mântul fiind centrat pe respectul fa ță de om, pe încrederea în posibilitățile sale
de dezvolt are. Centrul de greutate se mută spre capacitatea de a utiliza informațiile si nu
înmagazinarea lor. (Rab elais, Montaigne, Erasmus, Thomas Morus) Thomaso Campanell a
pledează pentru învățământul de stat, pentru toți copiii, cu predare in limba matern ă si în care s ă
se învețe si o meserie.
Pe teritoriul Principatelor Romane, in secolele XV -XVI I se fac simțite efectele reformei
si contra reformei religioase. Școlile se diversific ă. Învățământul în limba rom âna este atestat de
scrisoarea din 1521 a boierului Neacșu din Câmpulung Muscel către judele Brașovului . Prima
opera literar ă original ă româneasc ă este considerat ă Învățăturile lui Neagoe Basarab către fiul
sau Theod osie. În ea se regăsește idealul educației din acea vreme: atingerea înțelepciunii ,
călăuzirea de rațiune ,spiritul de dreptate.
Secolele XVI -XVI I se caracterizează printr -un avânt economic important, care duce la o
extindere a scolii si a pedagogiei:
Jan Amos Comenius pune bazele principiului conformității educației cu natura
exterioar ă si uman ă, delimitează obiectele de învățământ de științe . Gândește un învățământ
treptat, gradat, concentric, organizat după planuri si programe. Introduce in pedagogie cat egoria
de principiu si enunța principii ce sunt si astăzi actuale. Ca metode didactice distinge intuiția ,
exercițiul , explicația .
Francois Fenelon teoretizează si realizează educația pentru fete.
John Locke teoretizează sistemul recompense -pedepse (necorp orale) si metoda
conversației raționale . Consider ă că activitatea educativ ă trebuie s ă înceapă ca un joc ce
pregătește munca.
Dimitrie Cantemir sintetizează scopul educației : obținerea înțelepciunii , condiționat ă de
respectarea unor principii morale. Idea lul educației este virtutea, iar metodele utile î n atingerea ei
sunt exemplul, exercițiul , lectura, dojana, rugăciunea . Îl precede p e J. J. Rousseau în acțiunea de
a periodiza viața uman ă: pruncia, copilăria , tinerețea , voinicia, bărbăția , căruntețea si bă trânețea .
Secolul XVII I e guvernat de spiritul iluminist . O oper ă pedagogic ă fundamental ă este cea
a lui J. J. Rousseau, ”Emil sau despre educație ”. In aceast ă perioad ă și învățământul românesc se
72
extinde si se stabilizează . In 1766 apare ”Epitropia școli lor” cu rolul de organizator a
învățământului .
Școala Ardelean ă (Samuil Micu, Gheorghe Șincai, Petru Maior) intro duce ideile
iluminismul in spiritul rom ânesc, adăugând ideea emancipării naționale .
În prima jumătate a secolului XIX numărul scoșilor din Eu ropa creste simțitor . Statul
încep e să-și asume îndatorirea educării tinerilor. O parte din școala devine obligatorie si gratuita
. Tot in aceasta perioada se constituie ca științ ă pedagogia.
Elvețianul J.H. Pestallozi militează pentru o educație formativ ă si nu una informativ ă.
Consider ă metoda ca esenț ă a învățământului și intuiția ca esența a metodei. El observă că
elementele intuiției sunt numărul , forma si numele . De aceea educația trebuie sa includă
aritmetica, geometria , desenul, scrisul, lucrul m anual, limba materna, cititul, geografia, științele
naturii.
Germanul J. F. Herbart este primul pedagog ce elaborează o teorie a interesului
multilateral văzut ca scop:
Interesul empiric: contactul cu natura
Interesul speculativ: meditarea asupra lumii
Interesul estetic: contemplarea lucrurilor
Interesul simpatic: conviețuirea cu cei apropiați
Interesul social: reflecțiile asupra relațiilor sociale
Interesul religios: contemplarea so cietății si a sortii.
Specific ă psihologiei sale este noțiunea de apercepți e, însemnând integrarea noilor
reprezentări in sistemul celor vechi. Astfel el elaborează teoria lecției si accentuează importan ța
pregătirii aperceptive:
Reactualizarea la începutul fiecărei lecții a vechilor cunoștințe , utile în predarea celor noi.
F. W. Froeb el elaborează teoria educației preșcolare si creează grădinițele .
F.A.W. Diesterweg propune ca principiu suprem al psihopedagogiei conformitatea
educației cu natura si cultura. Așa cum am mai precizat, el este cel ce a introdus denumirea
Metodica predării matematicii.
Primul text rom înesc având conținut metodologic se găsește in instrucțiunile
Regulamentului Organic (1831) si aparține , probabil , lui Gheorghe Asachi. Împreuna cu
Gheorghe Lazar, el organizează învățământul romanesc in limba rom ână. Apa r referiri asupra
unor principii psihopedagogie pe baza cărora trebuie clădit învățământul . La Iași se înființează in
1835 Academia Mihăileanu iar in toata tara scoli cu orientare practica si artistica.
O influenta majora in reorganizarea învățământului secundar si superior il are
73
Constantin Dimitrescu -Iași, profesor de filosofie si pedagogie la Universit ățile din Iași si
București (in preajma anului 1900).
Cititorul învățământului modern rom ânesc este Spiru Haret, matematician, mecanician si
astronom. In 1905 înființează ”Revista general ă a învățământului ”. Împreun ă cu Constantin
Dimitrescu -Iași elaborează mai multe legi prin care acord ă ponderea cuvenit ă disciplinelor
științifice , introducere împărțirea liceului in secții reală, modern ă si clasic ă (1898). Spiru Haret e
cel ce introduce în programa liceal ă geometria analitica si calculul diferențial .
Al. Myller, D. Pompeiu si Gh. Tițeica perfecționează programele de matematica liceale.
Sa nu uitam de celebrele culegeri ale lui Gh. Tițeica : ”Culegere de prob leme de geometrie”
(1904) si T. Lalescu : ”Geometria triunghiului”, reeditate de multe ori p âna în prezent. După
1948 Gazeta Matematica se împarte în doua serii, una pentru profesori, conținând articole
metodice si una pentru elevi. În 1974, din motive eco nomice, prima serie își încetează apariția ,
dar este reluat ă în 1980 cu subtitlul perfecționare metodic ă si metodologic ă în matematic ă si
informatic ă.
5.1. METODE MODERNE DE ÎNVĂȚARE
Metodica predării matematicii se situează la granița între psihologie, pedag ogie, didactica
si matematica. Ea studiază conținutul învățământului matematic elementar, structura acestuia si
metodele adecvate de predare – învățare -evaluare. Pe scurt metodica predării matematicii,
încearcă sa ofere un răspuns la întrebările:
Ce? C ât? Cum?
Un termen din ce in ce mai des utilizat este cel de didactica matematicii, care include, pe lângă
metodic ă, și aspecte privind organizarea învățământului matematic. Având in vedere afinitatea
cu pedagogia generala, metodica trebuie s ă indice cum să se organiz eze predarea – învățarea –
evaluarea fiecărei discipline: aritmetica, algebra, geometria, analiza matematica,etc.
Conținutul
Metodica predării matematicii selectează din matematica -știința conceptele, rezultatele si
ideile fundamentale care vor fi predate elevilor. Aceasta selecție se face in funcție de stadiul de
dezvoltare a matematicii si perspectivele ei, de comenzile sociale pe termen scurt si lung, de
legile învățării, stabilite de psihologie. Matematica predat ă în școal ă, numit ă și elemen tară,
trebuie corelată cu celelalte discipline studiate în școal ă, care folosesc elemente de matematic ă:
fizica, chimia, geografia, desenul tehnic, arta (geometria proiectiva).
Metodele
74
Metodele de predare sunt variate, iar alegerea uneia sau alteia dintre ele depinde de
inspirația , dar și de cultura metodic ă a profesorului. De preferat ar fi o combinație a mai multor
metode didactice, deoarece modul în care învață elevii nu este uniform. Sumar exprimat,
metodele dezvoltă capacitatea de abstractizare, gene ralizare, dar folosesc și intuiția. Ele sporesc
creativitatea, educa perseverenta si voința elevului.
Structura
Învățarea matematicii se face în spiral ă, noțiunile introduse se reiau periodic, dar li se
studiază proprietăți noi, crescând gradul de dificult ate sau schimbând metoda de predare. După
ce elevii ating un anumit grad de maturitate cognitiv ă, se folosește si învățarea liniară, ca in cazul
structurilor algebrice si a analizei matematice
În continuare voi prezenta câteva noțiuni de metodica predării matematicii pe care le -am
utilizat în predarea capitolului ”Determinanți ”. Voi încerca să răspund pe rând la întrebările :
ce?, cât?, cum? – cu alte cuvinte voi avea în vedere următoarele aspecte: conținutul, structura,
metodele.
Am folosit definiții, te oreme cât și proprietăți. Definiția unei noțiuni reprezintă
desfășurarea conținutului unei noțiuni. Pentru a realiza o definiție corectă pentru o noțiune,
trebuie să se stabilească în prealabil însușirile generale și esențiale ale conținutului noțiunii, ca re
pe de o parte o caracterizează iar pe de alta o deosebesc de altele. Pentru realizarea unei definiții
bune trebuie să se respecte următoarele cerințe:
– definiția trebuie să fie caracteristică, adică să corespundă noțiunii respective și numai ei.
Acest lu cru se realizează dacă în expresia sa cuprinde doar noțiunea de definit și noțiunea care
definește astfel încât sferele celor două noțiuni să fie identice. Deosebirea constă în faptul că
sfera noțiunii care definește este cunoscută pe când a celei definite era necunoscută până în
momentul definirii;
– evitarea cercului vicios, adică definirea noțiunii A prin noțiunea B și a noțiunii B prin
noțiunea A sau a unei noțiuni prin ea însăși;
– enunțul definiției, de obicei, nu trebuie să aibă formă negativă;
– minimalit atea enunțului este tot o cerință de estetic ă formulării. Se cunoaște tendința
elevului de a enumera în cadrul definițiilor toate proprietățile găsite ulterior.
Teoremele reprezintă scheletul științific al matematicii ca știință și ca obiect de
învățământ. O teoremă este o afirmație care se demonstrează. Schematic I C unde I este ipoteza
și C este concluzia, iar semnul reprezintă raționamentul, metoda de demonstrație. Ipoteza este
formată din două componente: una explicită cuprinsă în enunțul teoremei și a lta implicită
constând în adevărurile acceptate sau demonstrate anterior și care vor interveni în demonstrarea
teoremei. Aceste teorema mai poartă și alte denumiri care pun în evidență rolul lor în cadrul
75
teoriei, astfel cele mai multe enunțuri ale ’’ proprietăților’’ unei noțiuni sunt tot teoreme. De
exemplu , proprietăți le determinanților sunt prezentate sub formă de proprietăți deși sunt teoreme
care au fost demonstrate.
Procesul de învățământ este principalul subsistem al sistemului de învățământ, în cad rul
căruia se realizează instruirea si învățarea elevilor prin intermediul activităților proiectate,
organizate si dirijate de către profesori în conformitate cu anumite norme si principii didactice,
într-un context metodic adecvat, apelând la resurse mate riale si didactice adecvate, în vederea
atingerii dezideratelor educației.
Schematic relația funcțional ă dintre sistemul de educație, sistemul de învățământ,
procesul de învățământ se reprezintă astfel:
Sistemul de educație cuprinde si educația permanenta, instituții/organizații economice,
politice, culturale; educație de tip formal, nonformal, informal;
Sistemul de învățământ cuprinde si i nstituții de educație nonformală (cluburi, tabere,
centre de pregătire profesionala);
Sistemul școlar cuprinde învățămâ ntul primar, secundar, postliceal, superior si special;
educație formala;
Procesul de învățământ cuprinde activitățile didactice/educative; Procesul de învățământ
funcționează ca o unitate, prin îmbinarea fireasca si necesara a trei funcții si componente
fundamentale: predarea, învățarea si evaluarea.
A preda nu înseamnă ca profesorul sa transmită informații, iar elevii sa le reproducă. A
preda înseamnă a organiza si dirija experiențele de învățare școlara (Chis 2001). Mai putem
spune ca predarea este activ itatea profesorului de organizare si conducere a ofertelor de învățare,
care au drept scop facilitarea si stimularea învățării eficiente la elevi.
În procesul de predare -învățare, profesorul combina diferite mijloace de comunicare
(verbale, nonverbale si p araverbale, grafice, scheme realizate pe tabla sau slide -uri puse la
retroproiector etc.).
Doi cercetători americani (A. Mehrabian si M. Weiner, Decoding of inconsistent
communication ) au constatat, pe la mijlocul anilor '70, ca,în comunicarea orala impact ul cel mai
mare îl dețin nu cuvintele, ci elementele asociate vizual sau sonor cu anumite mesaje orale.
Astfel:
• mijloacele vizuale (cuprind atât elemente nonverbale ale comunicării
– mimica, gesturi, privire, poziție -, cât si modalitățile de reprezentar e vizuala a celor
prezentate – scheme, grafice, folii, slid -uri etc.) au un impact de 55% asupra ascultătorilor;
• mijloacele vocale (ritmul vorbirii, volum, intonația si inflexiunile vocii) au un impact de
38%;
76
• mijloacele verbale (cuvintele rostite) – au un impact de doar 7%.
Chiar daca aceste procente reflecta doar o medie a felului în care oamenii percep mesajele
orale, este important pentru un profesor sa folosească mijloace vizuale si vocale care sa susțină si
sa întărească, în folosul elevilor, cel e comunicate.
Mijloacele de comunicare vizuala ce stau la îndemâna profesorului sunt:
tabla neagra tradițională si, mai modern, cea alba, planșele din hârtie sau carton,
videoproiectorul etc. Avantajele folosirii acestor mijloace este ca permit o mai buna punere în
evidenta a mesajului:
• mesajul este vizualizat mai simplu;
• informația este expusa permanent;
• conturează mesajul verbal, accentuând punctele importante ale temei discutate.
Subsumate vizualului, mijloacele nonverbale ale comunicării au un imp act deosebit în
relațiile ce se creează între conlocutori. Între acestea contactul vizual cu auditoriul (în cazul unei
prelegeri) sau cu partenerul de comunicare (în cazul dialogului) are un rol deosebit. E important
sa privești spre cel/cei căruia/cărora te adresezi, nu sa eviți contactul vizual cu aceștia, plecând
ochii în pământ sau ținându -ti privirea spre un punct oarecare. De asemenea, gestica si mimica
trebuie controlate, pentru a nu induce auditoriului anumite stări emoționale pe care le încearcă
vorbitorul (un profesor care frământa un creion, o carte toata ora distrage fără sa vrea atenția
elevilor asupra stării sale proprii de iritare, emoție, neliniște, nesiguranța etc.; de asemenea, un
profesor care nu -si poate controla reacțiile mimice fata de răspunsurile greșite ale elevilor poate
crea inhibiții; de asemenea, ticurile de expresie pot genera distragerea atenției de la tema si chiar
enervarea si amuzamentul elevilor).
Între elementele vocale/ paraverbale, sunt importante ritmul /viteza vorbirii (un ritm prea
rapid poate crea dificultăți în receptarea mesajului, de asemenea un ritm prea lent poate genera
plictiseala si neatenție; aproximativ 125 de cuvinte pe minut este ritmul eficient); accentuarea
trebuie sa vizeze punctarea cuvintelor important e ale comunicării (accentuarea poate schimba
uneori sensul comunicării); tonalitatea nu trebuie sa fie ridicata, ci medie (uneori pentru a
înțelege zumzetul clasei, se folosește chiar tonalitatea șoptita, care impune atenția clasei).
Întrebările – deschide rea dialogului cu elevii
Gânditorul chinez Confucius (551 -479 î.C.), preocupat de educație, formula câteva
precepte care ar putea constitui o concluzie la cele prezentate mai sus si o introducere pentru
rolul pe care -l are dialogul în învățare:
• Spune -le si vor uita!
• Arata -le si își vor aminti!
• Pune -i sa facă si vor înțelege!
77
,,Pune -i sa facă” se refera desigur la implicarea elevilor în propria învățare. Pentru a -i
determina pe elevi sa gândească, sa rezolve probleme, sa găsească soluții, profesorul trebuie sa
găsească strategii de a -i implica pe elevi în învățare si de a gesti ona în mod adecvat astfel de
situații didactice.
Metodologia didactică vizează metodele și procedeele utilizate în procesul de învățământ
și are ca obiect de studiu regulile de aplicare ale acestora. Metoda desemnează un proces
complex care are ca finalita te concretizarea obiectivelor operaționale. Metodele sunt modalități
de realizare a acțiunilor complexe, planificate și repetabile, căi de soluționare a problemelor
confirmate de experiență. Centrate pe colaborarea profesor -elev, ele sunt selectate de cadr ul
didactic și aplicate în activitatea școlară sau extrașcolară.
Metodele se compun din procedee de operare standardizate care pot fi selectate,
combinate și folosite în funcție de nivelul și interesele elevilor. Succesul aplicării unei metode
depinde de mijloacele de învățământ, de competența și de experiența didactică a profesorului.
Ele permit accesul la cunoaștere, contribuie la formarea deprinderilor intelectuale și cognitive,
facilitează atingerea obiectivelor educaționale și clarifică acțiunile care conduc la aceste
rezultate.
Problema clasificării metodelor este încă deschisă dialogului și cercetării de specialitate.
Câteva criterii după care s -au luat în calcul pentru realizarea unui tablou al metodelor sunt:
– criteriu istoric: face distincția dint re metodele tradiționale și cele moderne
– criteriul generalității: face distincția dintre metodele generale și metode speciale
– criteriul organizării muncii: face distincția dintre metodele de muncă individuală și
cele realizate în grup;
– criteriul funcției îndeplinite în mod fundamental de metodă: sunt metode de
transmitere și asimilare a cunoștințelor, de consolidare, de verificare, de aplicare;
– după modul de determinare a activității mentale: metode algoritmice, semialgoritmice,
nealgoritmice.
Iată un exe mplu de clasificare a metodelor:
metode de comunicare orală
– metode expozive :
– expunerea cu oponent
– prelegerea dezbatere(discuție)
metode interogative
metoda discuțiilor și dezbaterilor
metoda problematizării
metode bazate pe limbajul intern. Reflecția perso nală
78
metode de comunicare scrisă. Tehnica lecturii
metode de explorare a realității
– metode de explorare nemijlocită a realității:
– observația sistematică
– experimentul
– învățarea prin cercetarea documentelor
– metode de explorare mijlocită a realității
– metode demonstrative
– metode de modelare
metode bazate pe acțiune
– metode bazate pe acțiune reală
– metoda exercițiului
– metoda studiului de caz
– metoda proiectului sau tema de cercetare prin acțiune
– metoda lucrărilor practice
– metode de simulare
– metoda jocurilor
– metoda dramatizării
– învățarea pe simulatoare
metode de raționalizare a predării și învățării
– metoda învățării cu fișe de lucru
– metode algoritmice de instruire
– instruire asistată de calculator
În continuare prezenta câteva metode de predare a determinanților util izate la clasă.
5.1.1. METODE DE COMUNICARE ORALĂ
Metodele de comunicare orală deși au un caracter unidirecțional, de la profesor la elev,
profesorul fiind factorul activ iar elevul cel pasiv, sunt preponderente prezentând și unele calități
ce nu pot fi înlocuite de nici un robot sau mașină de învățare. Acestea permit posibilitatea de a
adapta ritmul și conținutul lecției în forma de transmitere orală, în funcție de nivelul clasei, de
puterea elevilor de a recepta aceste noțiuni. Predarea matematicii a făcut ca în totdeauna
prezentarea orală să fie însoțită de utilizarea tablei, de câte o întrebare, astfel încât monotonia
producătoare de pasivitate este întreruptă de momente care, teoretic cel puțin, revigorau atenția
elevilor.
O primă metodă orală ar fi expunerea e xplicativă, în care domină caracterul expozitiv sau
cel explicativ. Prima oră în care introducem capitolul ” Determinanți ” trebuie consacrată
79
motivației introducerii lui. Această oră trebuie bine realizată, pregătește psihologic elevii pentru
a afla răspuns ul la întrebările sugerate care au servit la motivație.
A doua categorie de metode orale o constituie metodele interogative pe care le vom
cuprinde sub termenul general conversație. Rolurile sunt egale, la întrebarea cadrului didactic
răspunde elevul. Astă zi tot mai des se folosește conversația euristică, metoda socratică de
descoperire a adevărului de către elevul bine dirijat de către profesor prin întrebări. Un rol
important îl are conversația în lecțiile în care nu se comunică noi cunoștințe ci se aplic ă cele
cunoscute, adică atunci când se aplică metoda exercițiului.
Problema importantă a perfecționării dialogului didactic este reprezentată de formularea
întrebărilor și de structurarea acestora, cât și de răspunsurile lor. Întrebările anticipează, în p lanul
gândirii, operațiile efectuate, mijlocesc, trecerea de la o operație la alta, schimbă direcția
gândirii, fac trecerea de la o cunoaștere imprecisă și limitată, la o cunoaștere precisă și completă.
Întrebarea este o invitație la acțiune, este un ferme nt al activității mintale, un instrument de
obținere a informației. Lucrul cel mai important este ca profesorul să cunoască ’’logica nașterii
întrebărilor’’, să stăpânească arta formulării acestora și să posede, cum spunea Piaget ’’unele
calități ale lui S ocrate’’, imaginație și o bogată cultură. Stimularea conversației,
intercomunicarea în timpul lecției, se cuvine a fi privită ca o școală a vorbirii, ca un exercițiu de
cultivare a elocinței, a aptitudinii de a comunica inteligent.
Întrebările pot fi front ale, adresate tuturor elevilor, de exemplu: care este cauza?, de ce?;
pot fi întrebări directe, adresate unui anume elev: ce te face pe tine să susții că?; întrebări
inversate, primite de la elevi de către profesor și returnată acestuia: ce se întâmpla dac ă? și
returnată elevului: tu ce părere ai?; întrebări de releu și comunicare, o întrebare pe care un elev o
adresează cadrului didactic, iar acesta o returnează unui alt elev sau când răspunsul este
completat de alți elevi; de revenire, întrebarea este pus ă reluând o observație, o idee, o părere
emisă anterior de către unul dintre elevi; întrebări imperative, se formulează, de fapt, o cerere
categorică și necondiționată; de controversă, presupune răspunsuri contradictorii în chestiuni
principale.
Este de do rit ca elevul să fie lăsat liber să -și exprime gândurile sale, tolerându -i-se și
anumite greșeli de exprimare, de lipsă de coerență, fără a întrerupe brusc ceea ce el intenționează
să spună, altfel, există riscul să se intimideze, să nu mai fie în stare să continue discuția, să piardă
firul gândirii.
Prin învățământul problematizat nu trebui să se înțeleagă doar învățarea prin rezolvare de
probleme pentru că în orice formă s -a predat matematica în decursul timpului, totdeauna ea a fost
însoțită de rezolvări de probleme. Noțiunea care aduce specificul acestui învățământ este situația –
problemă. Situația -problemă este o noțiune care premerge însăși problema. Este o stare vagă,
80
amorfă din care se va identifica problema. Nu sunt conturate nici ipoteza, nici cerin ța, deci
profesorul nu trebuie sa pună întrebarea ’’Cum credeți că se va rezolva…?’’ ci ’’Cum crede că se
pune problema?’’. Etapizând aplicarea învățământului problematizat în desfășurarea unei lecții,
putem distinge fazele:
– realizarea situației -problem ă;
– formularea problemei;
– prezentarea încercărilor de rezolvare;
– rezolvarea problemei;
– verificarea.
Voi prezenta o astfel de situație -problemă care să conducă spre introducerea capitolului
’’Sisteme de ecuații liniare’’. Un rezervor poate fi umplut de apa d e la un robinet de apă caldă și
unul de apă rece. Dacă robinetul de apă caldă este deschis trei minute și cel de apă rece un minut,
atunci în rezervor vor fi 50 l. Dacă apa caldă curge un minut și apa rece două minute, atunci în
rezervor vor fi 40 l. Câți litri de apă curg într -un minut din fiecare robinet?
Elevii intuiesc formarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute, vor rezolva
acest sistem prin metodele cunoscute de ei și vor presupune că mai există și alte metode care îi
ajută să rezolve ma i ușor sisteme cu mai multe ecuații și mai multe necunoscute.
În multe exemple distanța dintre situația -problemă și problema formulată este foarte mică;
totuși prima solicită doar avansarea unei păreri, pe când cea de -a doua este formalizată în limbaj
matematic. Se va apela la elevi și în etapa formulării problemelor, îmbunătățind succesiv
enunțurile propuse până se ajunge la forma optimă.
Metoda cubului este utilizată atunci când se urmărește explorarea unui subiect sau a unei
atitudini din mai multe pe rspective. Etapele desfășurării ei sunt: anunțarea temei, parcurgerea
unității de conținut propusă (texte, materiale auxiliare, articole); împărțirea clasei de elevi în șase
echipe; fiecare echipă își alege un lider, ca purtător de cuvânt al acesteia; conf ecționarea unui
cub de hârtie (carton, placaj sau material plastic); înscrierea, de către profesor, pe fiecare dintre
fețele cubului, a câte o sarcină de lucru: analizează, descrie, compară, asociază, aplică,
argumentează pro și contra; fiecare echipă urme ază să efectueze tema propusă din perspectiva
cerinței înscrise pe una dintre fețele cubului; apoi liderul grupului prezintă întregii clase
rezultatele obținute, toți elevii iau notițe; după ce toate echipele și -au expus rezultatele,
profesorul are obligaț ia de a integra cele șase perspective într -o expunere succintă; apoi
profesorul poate prezenta alte șase perspective pe aceeași temă; în final se poate aplica o probă
cu șase itemi, astfel că se poate verifica gradul de înțelegere și de însușire al proble mei puse în
discuție.
81
Urmează metoda descoperirii unde elevul încearcă să rezolve o problemă dată înainte de a
avea formulele și recomandările care vor fi motivate chiar de respectiva problemă. Și la
rezolvarea problemelor aplicative este bine să cerem și să sondăm părerile elevilor, deci cu atât
mai mult în această situație în care elevul, pe un caz particular, trebuie să se descurce cu mijloace
proprii. Tatonările, încercările, rezolvările parțiale toate trebuie valorificate prin comentarii și
aprecieri. De exemplu, dacă înainte de predarea proprietăților determinanților, rezolvându -se
câțiva, elevii vor observa aceste proprietăți le vom accepta și apoi le vom demonstra.
5.1.2. METODE DE COMUNICARE SCRISĂ
Metodele de comunicare scrisă pot fi: metoda studiului in dividual, lucrul cu manualul,
descoperirea prin analogie și învățământul programat.
Metoda studiului individual este indispensabilă în pregătirea lecțiilor, lucrărilor scrise,
proiectelor, examenelor, concursurilor; în activitățile de perfecționare, de spe cializare; în
satisfacerea dorințelor proprii de cultivare ori de educare a anumitor calități spirituale. Această
modalitate de lucru se bazează pe autonomia sau independența celui care învață și în același
timp, dezvoltă autonomia, oferindu -i posibilitate a să-și etaleze stilul personal, gusturile proprii și
capacitățile psihice personale. Dezvoltă capacitatea de planificare și organizare, spiritul de
inițiativă și încrederea în forțele proprii, încredere ce crește mai ales odată cu trecerea la vârsta
adole scenței, când se accentuează procesul autocunoașterii , dar și cel al unor preocupări de
reflecție , de însemnări după cele citite, de consemnare a unor întâmplări. Este vârsta la care
munca independentă capătă o mai mare însemnătate în ochii elevilor, și ar e un caracter creativ.
Utilizarea manualului ca temă pentru acasă este considerată benefică pentru completarea
și analiza materiei deja predate de către profesor. În expunerea profesorului pot apărea divagații,
trimiteri, se pun întrebări, pot să apară și alte incidente nelegate de conținutul propriu zis cum ar
fi: se șterge tabla, se aduce creta. Textul manualului este obiectiv, rigoarea este asigurată, mai
apare câte o îngroșare, câte o încadrare, câte un exemplu rezolvat. Studiul manualului acasă
trebuie să completeze ceea ce s -a învățat în clasă, adică notațiile din maculator. Se pot organiza
ore de învățare din manual, în colectiv, sub supravegherea și cu unele comentarii ale
profesorului. De exemplu, astfel de ore se pot organiza spre finalul capitolul ui în care textul
capitolului cuprinde mai mult aspecte concluzive, observații și mai puțin teoreme și demonstrații
noi. La sfârșitul capitolului ” Aplica ții ale determina nților în geometrie’’ temele: ” Aria unui
triunghi; coliniaritatea a trei puncte’’( se beneficiază de faptul că materia a mai fost predată in
clasa a X -a) .
Descoperirea prin analogie este forma cea mai simplă a euristicii, întrucât se bazează pe
indicația implicită sau explicită a profesorului. Voi prezenta un exemplu care ilustrează aceast ă
82
metodă: la clasa a XI -a la capitolul ’’Sisteme m de ecuații cu n necunoscute’’ profesorul induce
și rezolvă sisteme de două ecuații cu două necunoscute prin metoda lui Cramer, acesta poate cere
elevilor să rezolve prin analogie sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute sub atenta sa
supraveghere.
Metodele de comunicare scrisă sunt influențate în mod decisiv de manualele utilizate.
Aceste manuale trebuie alese cu grijă și atenție astfel încât să ajute elevul în demersul învățării
matematicii. Este recom andat să alegem manualele în cadrul catedrei de matematică, unde se vor
discuta avantajele și dezavantajele utilizării lor, în funcție de nivelul fiecărei clasa.
Învățământul programat a apărut în anii ’50 considerându -se ca autor al celui liniar, B. F.
Skinner iar al celui ramificat N.A. Crowder. Important în ambele variante este programul adică
un text prelucrat într -un anumit mod care să permită utilizarea calculatoarelor. Realizarea unui
program liniar trebuie să țină seama de următoarele cerințe: mater ia se împarte în doze mici pe
care elevii le asimilează succesiv; întrebările de la sfârșitul fiecărui pas sau completările pe care
elevul este solicitat să le facă reprezintă sarcini ușoare; elevii urmăresc imediat confirmarea sau
infirmarea răspunsului d at, textul trebuie parcurs în întregime de fiecare elev în ritmul său
propriu, indicațiile care ușurează alegerea răspunsurilor corecte devin tot mai puține odată cu
avansul în temă.
Programul ramificat contează pe recunoașterea de către elev a răspunsului corect din
căteva variante oferite la alegere. Crowder afirmă că recunoașterea răspunsului corect solicită din
partea elevilor un efort intelectual mai mare decât în cazul reamintirii informației solicitate în
programele liniare. Răspunsurile sunt confirm ate sau infirmate în secvența următoare. Întrebările
cuprinse în secvențe servesc la următoarele scopuri: să verifice dacă elevul recunoaște materialul
cuprins în secvența dată, în cazul în care răspunsul este greșit să -l trimită pe acesta la secvențele
care corectează răspunsul și îl argumentează, să permită fixarea informațiilor principale cu
ajutorul exercițiilor, să sporească efortul elevului și să lichideze învățarea mecanică, prin
reluarea informațiilor, să formeze motivarea învățării.
De exemplu, put em folosi programul ramificat pentru calculul inversei unei matrice:
– după cum știm elevii vor calcula determinantul acestei matrice , dacă au obținut
răspunsul corect trec la pasul următor, dacă în schimb au obținut un răspuns eronat este trimis să
revadă metodele de calcul ale determinanților, apoi vor calcula încă odată acest determinant;
– elevii vor scrie transpusa matricei , dacă rezultatul este cel corect trec la pasul următor,
dacă nu sunt invitați să revadă modul de scriere al transpusei, fiind nevoiți să reia scrierea acestei
matrice ;
– vor calcula adjuncta matricei , după obținerea rezultatului corect trec la ultimul pas, dacă
nu vor fi trimiși la metodele de calcul al adjunctei, calculând matricea adjunctă;
83
– și ultimul pas este acela de a scrie inversa matricei .
În timp ce programul liniar tinde spre preîntâmpinarea greșelilor, programul ramificat nu
evită apariția acestora pe care apoi le utilizează pentru corectarea și completarea cunoștințelor.
Învățământul programat este util în lecțiile de instruire, cele care prin conținutul și structura lor
sunt mai algoritmice.
5.1.3. METODE DE EXPLORARE A REALITĂȚII
Intuiția nu trebuie să lipsească de la nici o metodă de predare dintre cele prezentate deja.
A demonstra înseamnă a prezenta elevilor obiecte și fenomene re ale sau substitute ale acestora în
vederea asigurări unei baze perceptive sugestive activității de predare -învățare, a confirmării
consistenței unor adevăruri ori a facilității execuției corecte a unor acțiuni și a formării
deprinderilor și comportamentelo r corespunzătoare.
Metoda experimentului nu este tipică matematicii, este întâlnită cu predilecție la fizică,
chimie, biologie. Totuși s-a lansat ideea organizării ” laboratorului de matematică’’, astfel sunt
enumerate câteva tipuri de experimente: cu carac ter de cercetare, de descoperire (realizat de către
elevi); demonstrativ (realizat de profesor); de aplicare (realizat de elevi); destinat formării
abilităților, experimentul mintal combinat cu cel scris. La toate acestea vom adăuga și variantele
specifice matematicii: experimentul mintal combinat cu cel scris. Metoda experimentului în
predarea matematicii lasă un spațiu larg de inițiativă și acțiune pentru profesor. Acesta trebuie să
selecteze și să prelucreze exemplele pe care le întâlnește în bibliografi e și să găsească locul
potrivit și metodologia desfășurării unor astfel de ore.
Învățarea prin experimentare stimulează dezvoltarea gândirii , dezvoltă spiritul de
observație și raționamentul inductiv, suscită curiozitatea științifică și stimulează imagina ția
creatoare, cultivă interesul pentru intuiție și experiență personală, capacitatea de explorare,
apropie organizarea procesului de învățământ de caracteristicile cercetării științifice.
Modelul este o reprezentare sau o construcție substanțială sau mint ală, artificială, bazată
pe raționamente de analogie, pe un efort de gândire deductivă. Modelul este analog cu originalul,
dar nu pentru totalitatea caracterelor sale ci numai pentru acelea esențiale efortului mintal de
conceptualizare, de elaborare a noți unilor respective. Folosindu -ne de modele putem determina
elevul să execute o formă de activitate externă, materială sau materializată, practică care se
transformă într -o acțiune mintală. Dacă de exemplu o să ilustrăm un reper ortogonal, panta unei
drepte sau unghiul format de două drepte, acestea fiind o parte din noțiunile prezentate, înseamnă
ca materializăm relațiile și legăturile respective, iar acțiunea cu ele capătă o formă materială.
Aspectele formale, cantitative, ale diferitelor obiecte și fenomen e pot fi, în principiu, modelate,
transpuse sau exprimate prin anumite ecuații, formule sau scheme matematice, ori logico –
84
matematice. Modelul matematic este o abstracție care pune în evidență fenomenul sau procesul
sub o formă pură, exprimă un raport, o le gitate, printr -o formulă; exprimă o reacție printr -o
simplă ecuație. Modelele matematice se caracterizează printr -un mare grad de generalitate, în
sensul că ele descriu fenomene analoage, indiferent de forma de mișcare a materiei care se
manifestă în ele,
Studiul de caz s -a născut din necesitatea găsirii unor căi de apropiere a instruirii de
modelul vieții reale. Acesta oferă cazuri fictive, imaginate de profesor, sugerate în manuale,
elaborate la masa de lucru și, drept urmare, artificiale. Lărgește câmpul cunoașterii, pentru că un
caz invocat poate servi ca suport al cunoașterii inductive, care trece de la premise particulare la
dezvăluirea generalului, la formarea unor concluzii generalizatoare. Această metodă are
avantajul că formează abilitatea de argum entare și analiză; contribuie la dezvoltarea capacității
intelectuale; pregătește elevii pentru a lua decizii eficiente.
Cazul poate fi prezentat sub formă de descriere completă, elevii primesc informațiile de
care au nevoie pentru soluționarea problemei; descriere parțială; enunțarea cazului sub forma
unor sarcini concrete de rezolvat. Sub aspect organizatoric, aplicarea efectivă a metodei
cazurilor în procesul de învățământ se poate realiza astfel: cazul este dat în cercetare întregii
clase și toți parc urg același drum care conduce la soluționarea acestuia și învață să lucreze după
această metodă; profesorul alcătuiește o grupă care preia discuția cazului iar ceilalți elevi
urmăresc evoluția acestuia și fac observații critice la final; sau fiecare elev p rimește sarcina de a
studia cazul, având dreptul să -și prezinte hotărârea pe care a adoptat -o iar profesorul invită doar
câțiva să prezinte hotărârea sau elevii pot să primească diferite cazuri spre cercetare.
Rolul profesorului este să prezinte cazul, să organizeze și să conducă întregul proces de
analiză multilaterală a acestuia, să dirijeze cu abilitate, discreție și competență dezbaterile care au
loc, să stăpânească situația care s -ar putea ivi în timpul discuțiilor. Joacă un rol de animator care
impuls ionează discuțiile, imprimându -le un curs vioi și fructuos, menținute pe un făgaș corect și
la obiect.
5.1.4. METODE DE ÎNVĂȚARE PRIN ACȚIUNE PRACTICĂ
Metoda exercițiului face parte din cele bazate pe acțiune. Această metodă este realizată în
practică mai ales p rin rezolvări de probleme și exerciții. Exercițiul presupune efectuarea
conștientă și repetată a unor operații sau acțiuni motrice sau mentale. Astfel că se vor parcurge
următoarele etape: înțelegere, reținere și aplicarea cunoștințelor. Prima etapă se rea lizează prin
acțiunea directă a profesorului, prin explicații clare, sugestive. Dar înțelegerea pașilor unei
demonstrații nu înseamnă și înțelegerea întregului. Repetarea creează deprinderi și priceperi.
85
Exercițiile de reținere se utilizează în mod frecven t prin cerința de repetare a definițiilor, a
formulelor, a enunțurilor teoremelor.
Astfel, după funcțiile îndeplinite exercițiile pot fi: exerciții introductive, de bază, de
creație, de operaționalizare , de dezvoltare, aplicative, extensive, paralele, op eratorii, structurale,
de evaluare, corective, etc. Sau pot fi: individuale, de echipă, colective, frontale, orale, scrise,
practice și combinate; la fel se vorbește de exerciții în întregime dirijate, semidirijate, autodirijate
sau libere sau despre exerc iții ce prezintă grade de complexitate sau alte genuri.
Metoda proiectului a fost încă de la început fundamentată pe principiul potrivit căruia
”viața este o acțiune, și nu o muncă la comandă și că școala, făcând parte din viață, trebuie să -i
adopte caract eristicile’’. Proiectul este înțeles ca o temă de acțiune -cercetare, orientată spre
atingerea unui scop bine precizat, urmează a fi realizată, pe cât posibil, prin îmbinarea
cunoștințelor teoretice cu acțiunea practică. Astfel că elevii primesc o temă de cercetare, pe care
o realizează în variate forme de studiu, de investigație și de activitate practică, fie individual, fie
prin efort colectiv, în echipă. Astfel că proiectul devine și o temă de cercetare precum și o
acțiune practică. Realizarea proiectulu i se realizează în patru etape: alegerea proiectului (temei),
programarea etapelor de acțiune (planificarea), realizarea propriu -zisă a etapelor de lucru și
aprecierea activităților desfășurate și a rezultatelor precum și a modului de participare a grupulu i.
Această metodă se aplică mai ales la liceu, dă acestora încredere deplină în capacitatea lor
de a lucra independent, de a -și pune în valoare capacitățile creative; cultivă gândirea proiectivă și
acțiunea bazată pe prevedere și calcul. Profesorul are rol ul de a fi mereu prezent. Totuși, nu
trebuie să îndrume pas cu pas demersul elevilor; nu este nevoit să -și facă cunoscute toate
punctele de vedere. Are grijă să asigure discutarea în prealabil a proiectului, analiza mijloacelor
de realizare a acestuia, să atragă atenția asupra dificultăților care pot fi întâmpinate, să determine
modul în care se va încheia activitatea.
Metoda lucrărilor practice constă în executarea de către elevi a diferitelor sarcini practice
în scopul aplicării cunoștințelor la soluționa rea unor probleme practice, tehnice ori al dobândirii
unor deprinderi motorii, practice și tehnice, necesare pentru viață. Lucrările practice îi ajută pe
elevi să -și dea seama de valoarea operațională a teoriei, să trateze cunoștințele științifice ca
instrumente puse în slujba practicii, să conștientizeze că datorită cunoștințelor dobândite
acțiunile noastre sunt eficace, utile și economice, și invers că practica este indispensabilă
asimilării de noi cunoștințe.
Jocul poate avea semnificația unei activități de profundă seriozitate, atât prin scopul
urmărit, cât și prin desfășurarea lui. Jocurile de simulare (metoda jocului de rol) sunt concepute
și recomandate ca metode de explorare și de formație, de percepere a relațiilor dinamice într -un
sistem. Este vorb a despre simularea unei situații care, în raport cu tema dată, circumscriind
86
cadrul cognitiv de acțiune, determină participanții să interpreteze anumite roluri, funcții sau
ansambluri de comportamente, uneori foarte bine precizate, alteori mai confuze, și în aceste
condiții să ajungă la realizarea obiectivelor prestabilite. Participanții îndeplinesc de fapt anumite
operații, funcții și atribuții -roluri; iau atitudine, își asumă răspunderi, propun alternative, iau
decizii pe baza unei strategii proprii fiecă rui jucător.
Jocul de competiție: la acesta iau parte adversarii A și B fiecare câștigând ce pierde
celalalt. Astfel, acțiunea poate lua forma unui ” duel’’, în care se confruntă două voințe, în funcție
de interese contradictorii. Jucătorii sunt puși să al eagă strategii diferite, să determine soluții
optimale , respectând regulile jocului care presupun respectarea unor norme sociale.
Exemplu: jocul de competiție se poate aplica și în cazul însușirii proprietăților, se vor
forma două echipe și se vor prezen ta cinci determinanți care se pot calcula foarte ușor folosind
aceste proprietăți. Cei care rezolvă corect determinantul primesc câte zece puncte, dacă greșesc
cealaltă echipă primește cele zece puncte.
Jocul de arbitraj urmărește soluționarea conflictului dintre două persoane sau grupuri și
presupune; părți aflate în conflict; arbitri; experți; profesorul având rolul de conducător al
simulării.
Jocul de decizie simulează o confruntare cu o situație decizională foarte importantă.
Elevii primesc funcții și propun soluții și adoptă decizii. Aceștia sunt în situația de a se comporta
adecvat poziției de șef sau de subaltern, îi ajută să înțeleagă responsabilitatea unei funcții de
conducere și obediența subalternilor.
Jocul constituie o admirabilă modalitate de activizare; elevul se află în situația de actor,
de protagonist și nu de spectator. Metoda jocurilor valorifică avantajele dinamicii de grup.
Interdependențele și spiritul de cooperare, participarea efectivă și totală la joc, angajează atât
elevii timizi c ât și pe cei mai slabi, stimulează curentul de influențe reciproce, ceea ce duce la
creșterea gradului de coeziune în colectivul clasei, precum și la întărirea unor calități morale cum
ar fi: răbdare, tenacitate, respect pentru alțiii, stăpânire de sine, c instea, autocontrolul. Această
metodă cultivă activismul, spiritul critic, aptitudinea de a face față unor situații conflictuale,
inițiativa și spiritul de răspundere.
5.1.5. METODE DE RAȚIONALIZARE A ÎNVĂȚĂRII ȘI PREDĂRII
Metode de raționalizare a învățării și predării ar fi: activitatea individuală cu ajutorul
fișelor; metode algoritmice de instruire; instruirea programată; instruirea bazată pe calculator și
învățarea electronică.
Învățământul pe bază de fișe reprezintă o primă formă de programare a învățării.
Învățarea cu ajutorul fișelor a fost utilizată în vederea individualizării învățării, în perspectiva
87
adaptării acestor fișe fiecărui individ, ajutându -i pe elevi să progreseze folosind fiecare la
maximum eforturile sale personale. Aceste fișe pot fi: fișe de cunoștințe, care pot deveni, fișe de
autoinstruire; fișe de exerciții cu grad progresiv de dificultate, destinate aplicării și consolidării
noțiunilor, a deprinderilor; fișe de recuperare, destinate să umple lacunele, să remedieze
deficiențele, să corec teze greșelile altora; fișe de control, utilizate în etapa revederii sau
regrupării cunoștințelor asimilate; fișe de dezvoltare, utilizate de către elevii care nu au comis
greșeli, în vederea perfecționări cunoștințelor și îmbogățirii culturii lor, propun ându -le probleme
mai dificile și mai extinse.
Fișele pot fi folosite în momente diferite și în perspective diferite, pe baza lor se pot
urmări progresele înregistrate de fiecare elev în parte.
Un algoritm este definit ca un sistem de operații fundamentale, nereductibile la altele mai
simple, a căror aplicare într -o succesiune determinantă este necesară pentru rezolvarea unor
probleme -tip, de ordin practic sau teoretic. Putem spune că un algoritm reprezintă o suită sau un
șir finit ori un sistem de operații structurate și efectuate într -o anumită succesiune logică
obligatorie, întotdeauna aceeași, utilizată pentru rezolvarea aceleiași clase de probleme și care
conduce întotdeauna la același rezultat pentru toți subiecții angajați în rezolvarea aceluiași tip d e
probleme. I se asociază o serie de instrucțiuni, indicații, reguli, comenzi în vederea îndeplinirii
operațiilor determinate.
Algoritmul este o construcție conștientă care anticipează un program de acțiune viitoare.
Se distinge prin precizie, măsură, gen eralitate și rezolubilitate. Cunoscând în mod explicit traseul
de urmat, elevii au obligația de a înainta potrivit structurii impuse. O abatere sau o eroare apărute
la un moment dat au șansa să se amplifice pe parcurs, cu fiecare nouă secvență, îndepărtând tot
mai mult rezultatul obținut de cel așteptat. Este un tip de învățare orientat în primul rând spre
formarea operațiilor mintale care duc pe calea cea mai scurtă la rezolvarea sarcinilor didactice.
Este important să punem la îndemâna elevilor anumiți al goritmi de învățare a matematicii,
dar privind lucrurile într -o perspectivă mai largă este și mai important a -i deprinde să
construiască ei înșiși anumiți algoritmi sau semialgoritmi, să -i învățăm să analizeze problemele,
să recurgă la argumente cognitive superioare în rezolvarea acestora.
Instruirea bazată pe calculator este o modalitate integrată organic în sistemul de
predare/învățare obișnuit. Constă în faptul că oferă inserții de secvențe, lecții, fragmente
demonstrative prin calculator, concepute în s tiluri de prezentare variate, de la material tip text de
lecturat până la materiale de simulare și vizualizare integrate organic în programul obișnuit de
lucru al școlii. Elevii au posibilitatea de a lucra fie în grup, fie individual, în ritmul propriu și
independent de ceilalți. Integrarea optimă a instruirii asistată de calculator este condiționată de
dotarea cu calculatoare a școlii, instalare și integrare, gestiune și întreținere continuă, asistență
88
tehnică, asigurarea de programe educaționale, de înreg istrări multimedia destinate învățarii
diferitelor conținuturi, cunoașterea multiplelor limbaje, cunoașterea potențialului informativ și
formativ al instruirii asistate de calculator, de adoptarea unor norme organizatorice și
metodologice vizând un modus o perandi integrator și eficient.
Instruirea asistată de calculator se dovedește a fi o metodologie ideală de prezentare a
noilor cunoștințe într -o manieră interactivă, apelând la o interogație inteligentă, care lansează
diverse tipuri de întrebări celor car e învață. Receptează diverse întrebări și răspunsuri, folosindu –
se de avantajele feedback -ului imediat în valorificarea acestora. Reușește să întrețină un dialog
intens calculator -elev, elev -calculator, astfel încât achiziția unor noțiuni noi șă apară ca u n
produs interactiv bine încheiat
Învățarea electronică este un concept nou care desemnează o metodologie nouă de lucru.
E-learning este un concept nou care desemnează o învățare prin intermediul mijloacelor
electronice. Descrie învățarea realizată cu ajut orul calculatorului conectat la Internet, ceea ce
oferă elevilor un nou prilej de a învăța aproape oricând și oriunde. Învățarea electronică este o
sinteză care rezultă din utilizarea electronică împreună a instruirii asistată de calculator cu
instruirea p rin Internet.
Internetul prezintă câteva avantaje care îi conferă un excepțional potențial pedagogic.
Folosind Internetul profesorul cât și elevii au posibilitatea de a se documenta, de a obține
informații specifice ’’la zi’’, de a explora o lume reală da r și una virtuală, de a -și îmbogăți
vocabularul specific domeniului care interesează, de a -și exersa abilități de comunicare, de a -și
dezvolta strategii de procesare a informației. Internetul oferă atât elevilor cât și profesorului o
gamă largă de facilită ți cum ar fi: poșta electronică (e -mail) ce permite elevilor să trimită mesaje
sau să primească , să realizeze un schimb asincron de mesaje textuale, însoțite de informații
multimedia; navigarea pe internet; participarea celor interesați la grupuri de infor mații care oferă
posibilitatea de a se face schimburi reciproce de mesaje, de a purta unele discuții; construirea
unui website, dar acest lucru pretinde, pe lângă serioase cunoștințe de limbă străină și abilități
creatoare, imaginație, capacitate de utiliz are largă a potențialelor multimedia; utilizarea
modalității Internet Relay Chat, ca posibilitate de a conversa, pe ecran, de a purta un dialog scris
cu vorbitorii de altă limbă.
Un alt criteriu de clasificare a metodelor este cel istoric care pune în evi dența metodele
tradiționale si metodele moderne de predare.
La metodele tradiționale centrul acțiunii este pus pe profesor: centrate pe
activitate(exercițiul, instruirea programata, algoritmizarea) sau centrate pe conținutul învățării
(prelegerea, explicaț ia , povestirea).
89
La metodele moderne, centrul acțiunii este pus pe elev: centrate pe activitate(lucrări
practice, învățare prin descoperire, învățare prin experiment, jocuri didactice, simulare) sau
centrate pe conținutul învățării (dezbatere, conversație , dialog).
Noile programe analitice încurajează utilizarea metodelor moderne, dar nu trebuie lăsate
deoparte nici metodele tradiționale. Este recomandat îmbinarea celor doua metode.
În cele ce urmează vom detalia câteva metode didactice pe care le consider de o
importanta deosebita în procesul educațional, datorita faptului ca elevii le îndrăgesc si înțeleg
mai bine noțiunile predate astfel.
Instruirea asistata de calculator (IAC ) reprezintă o metoda didactica ce folosește, ca
principal material didactic, c alculatorul si soft -ul educațional.
În ultima perioada toate școlile au fost dotate cu laboratoare informatice, dotate cu
platforma AeL (Advance eLearning).
AeL este un pachet de programe educaționale creat de firma SIVECO si oferă suport
pentru predare si învățare, testare si evaluare, administrarea conținutului si monitorizarea
întregului proces educațional. AeL este o soluție moderna de eLearning oferind facilitați de
gestionare si prezentare de diferite tipuri de conținut educațional precum si materiale interactive
tip multimedia.
Aproape fiecare disciplina are pachete de lecții în biblioteca virtuala. Periodic acestea
sunt actualizate, îmbunătățite de către SIVECO, iar în absenta lor, ele pot fi create de către
profesorii care au un minim de cunoștințe în domeniul html sau Office .
,,Vrem sa îi oferim profesorului o unealta în plus pentru a o utiliza alături de tabla si o
bucata de creta.’’ – Stefan Morcov, AeL product Manager.
Lecțiile în AeL se desfășoară astfel:
– Elevii si profesorul deschid calculato arele si intra în programul AeL cu user -ul si parola
pe care au primit -o anterior;
– Din meniul: Clasa Virtuala, profesorul alege lecția creata anterior pe care dorește sa o
predea, după care transmite momentele lecției;
– Elevii accesează meniul Clasa Vir tuala si vor primi momentele lecției.
Momentele lecției pot fi materiale interactive, documente Word, solide -uri PowerPoint,
filmulețe educative, teste etc.
Avantajul acestei metode, consta în faptul ca elevii nu pot trece la un nou moment pana ce
nu au re zolvat corect cerințele momentului respectiv, iar la rezolvarea unui test primesc
rezultatul pe loc.
Dezavantajul consta ca elevii nu rămân cu multe notițe si de aceea este recomandat a se
utiliza aceasta metoda pentru fixarea cunoștințelor .
90
De asemenea, calculatorul poate fi folosit concomitent cu videoproiectorul. Astfel se
poate crea lecția în PowerPoint si apoi se prezintă elevilor. Ei pot primi fise cu momente din
lecția respectiva, economisindu -se timp important. Astfel noțiunile si figurile sunt mul t mai clare
decât pe tabla si elevii sunt mult mai atenți.
Programele Matlab si Maple sunt folosite mai mult în matematicile superioare, dar mai
pot fi utilizate si în rezolvarea unor exerciții si probleme de liceu. Se pot folosi pentru trasarea
graficelor unor funcții, pentru calcul matriceal, pentru rezolvarea unor ecuații si sisteme de
ecuații etc.
Internetul este o sursa foarte importanta de informații pentru elevi si profesori.
Informatizarea școlilor si conectarea acestora la internetul de viteza este un vis realizat într -o
procent destul de mare. Chiar si școlile din mediul rural au laboratoare cu calculatoare legate la
internet.
De pe internet cadrele didactice pot sa se informeze si sa se documenteze. Pot comunica
cu colegi din alte scoli, din alte tari pe teme de interes comun. Pot descărca materiale interesante,
pe care le pot utiliza ulterior la clasa. Pot de asemenea sa pună la dispoziția altora diferite
materiale proprii. Totuși exista si câteva dezavantaje: informațiile de pe internet sunt
neve rificate, de multe ori neprofesioniste, elevii au uneori tendința sa descarce materialele
(referate) si sa le predea profesorului ca si cum ar fi creația lor (uneori chiar fără a le fi citit), dar
un profesor bun poate rezolva toate aceste probleme cu dest ula ușurința. În concluzie
calculatorul este un mijloc foarte util, de noi depinde cât de eficient îl folosim.
Interdisciplinaritate
În mod tradițional, conținutul disciplinelor școlare a fost conceput cu o accentuata
independenta a unor discipline fata de altele, adică fiecare disciplina de învățământ sa fie de sine
stătătoare. Astfel, cunoștințele pe care elevii le acumulează, reprezintă cel mai adesea un
ansamblu de elemente izolate, ducând la o cunoaștere statica a lumii. În unele cazuri la unele
materi i sunt necesare noțiuni teoretice de la alte materii, iar aceste noțiuni teoretice sunt predate
mai târziu . În alte cazuri aceleași noțiuni teoretice sunt predate la materii diferite, pierzând astfel
timp prețios. Conținutul unui învățământ interdisciplin ar poate fi promovat la nivelul planului de
învățământ, la nivelul programelor școlare (prin urmărirea legăturilor între obiecte si prin
formularea unor obiective instructiv -educative comune), la nivelul manualelor școlare si prin
conținutul lecțiilor.
Din păcate manualele școlare nu reflecta caracterul interdisciplinar al învățământului. Se
impune o corelare mai buna a programelor disciplinelor tehnice cu programa de matematica. De
cele mai multe ori, matematica devansează teoretic celelalte științe, desch izând drumuri,
construind modele. Matematica oferă suport teoretic pentru multe discip line : fizica, chimie,
91
biologie . O ecuație matematica poate fi o lege in chimie sau fizica. Proporțiile, funcțiile
trigonometrice, ca si alte abstractizări ale matematici i se întâlnesc în fizica si chimie la orice pas
pentru descifrarea tainelor naturii.
Pentru a utiliza ac easta metoda , profesorul trebuie sa cunoască bine si alta disciplina decât
cea pe care o preda, sa cunoască programele școlare corespunzătoare disciplin elor respective si
sa găsească aplicații interesante ce utilizează noțiuni de la mai multe materii.
Multe noțiuni matematice pot fi mai bine înțelese daca sunt integrate în alte științe. De
exemplu matematica si fizica pot fi predate foarte bine interdis ciplinar. Legătura dintre cele doua
materii este foarte veche, totuși pentru elevi exista unele probleme în înțelegerea acestor
discipline:
– mulți elevi, unii destul de buni la matematica, nu le place totuși fizica si, pe care, daca o
învață o fac dintr -o obligație ;
– alți elevi nu înțeleg la ce le folosesc multe noțiuni teoretice din matematica ;
Este foarte important sa știm sa punem cunoștințele de fizica în strânsa legătura cu
matematica, în viața de zi cu zi, sa privim evoluția acestora prin prisma a plicațiilor lor si a vieții
oamenilor.
5.1.6. METODE INTERACTIVE DE GRUP
Învățarea în grup exersează capacitatea de decizie si de inițiativa, da o nota mai personala
muncii, dar si o complementaritate mai mare aptitudinilor si talentelor, ceea ce asigura o
participare mai vie, mai activa, susținuta de foarte multe elemente de emulație, de stimulare
reciproca, de cooperare fructuoasa.” (Ioan Cerghit) Specific metodelor interactive de grup este
faptul ca ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor,
ducând la o învățare mai activa si cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determina
,,identificarea subiectului cu situația de învățare în care aceste este antrenat”, ceea ce duce la
trans -formarea elevului în stăpâ nul propriei transformări si formari. Interactivitatea presupune
atât competiția – definita drept ,,forma motivaționala a afirmării de sine, incluzând activitatea de
avansare proprie, în care individul rivalizează cu ceilalți pentru dobândirea unei situați i sociale
sau a superiorității” – cât si cooperarea care este o ,,activitate orientata social, în cadrul căreia
individul colaborează cu ceilalți pentru atingerea unui tel comun”(Ausubel, 1981). Ele nu sunt
antitetice; ambele implica un anumit grad de inte racțiune, în opoziție cu comportamentul
individual.
Avantajele interacțiunii:
– în condițiile îndeplinirii unor sarcini simple, activitatea de grup este stimulativa,
generând un comportament contagios si o strădanie competitiva; în rezolvarea sarcinilor
92
complexe, rezolvarea unei probleme, obținerea soluției corecte e facilitata de emiterea de ipoteze
multiple si variate; (D. Ausubel, 1981)
– stimulează efortul si productivitatea individului;
– este importanta pentru autodescoperirea propriilor capacitați si limite, pentru
autoevaluare;
– exista o dinamica intergrupala cu influente favorabile în planul personalității; subiecții
care lucrează în echipa sunt capabili sa aplice si sa sintetizeze cunoștințele în moduri variate si
complexe, învățând în același tim p mai temeinic decât în cazul lucrului individual;
– dezvolta capacitățile elevilor de a lucra împreuna – componenta importanta pentru viața
si pentru activitatea lor profesionala viitoare.(Johnson si Johnson,1983);
– dezvolta inteligentele multiple, capac itați specifice inteligentei lingvistice (ce implica
sensibilitatea de a vorbi si de a scrie; include abilitatea de a folosi efectiv limba pentru a se
exprima retoric,poetic si pentru a -si aminti informațiile), inteligentei logice matematice (ce
consta în capacitatea de a analiza logic problemele, de a realiza operații matematice si de a
investiga științific sarcinile, de a face deducții), inteligenta spațiala (care se refera la capacitatea,
potențialul de a recunoaște si a folosi pa ternurile spațiului; cap acitatea de a crea reprezentări nu
doar vizuale), inteligenta interpersonala (capacitatea de a înțelege intențiile, motivațiile,
dorințele celorlalți, creând oportunități în munca colectiva), inteligenta intrapersonală
(capacitatea de autoînțelegere, autoa preciere corecta a propriilor sentimente, motivații, temeri),
inteligenta naturalista (care face omul capabil sa recunoască, sa clasifice si sa se inspire din
mediul înconjurător), inteligenta morala (preocupata de reguli,comportament, atitudini) –
Gardner H. – 1993;
– stimulează si dezvolta capacitați cognitive complexe (gândirea divergenta, gândirea
critica, gândirea laterala – capacitatea de a privi si a cerceta lucrurile în alt mod, de a relaxa
controlul gândirii);
– munca în grup permite împărțirea sar cinilor si responsabilităților în părți mult mai ușor
de realizat;
– timpul de soluționare a problemelor este de cele mai multe ori mai scurt în cazul lucrului
în grup decât atunci când se încearcă găsirea rezolvărilor pe cont propriu;
– cu o dirijare adec vata, învățarea prin cooperare dezvolta si diversifica priceperile,
capacitățile si deprinderile sociale ale elevilor;
– interrelațiile dintre membrii grupului, emulația, sporește interesul pentru o tema sau o
sarcina data, motivând elevii pentru învățare;
– lucrul în echipa oferă elevilor posibilitatea de a -si împărtăși părerile, experiența, ideile,
strategiile personale de lucru, informațiile;
93
– se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității;
– grupul da un sentiment de încredere, de s iguranța, antrenare reciproca a membrilor ce
duce la dispariția fricii de eșec si curajul de a -si asuma riscul;
– interacțiunea colectiva are ca efect si “educarea stăpânirii de sine si a unui
comportament tolerant fata de opiniile celorlalți, înfrângerea subiectivismului si acceptarea
gândirii colective” ( Crenguța L. Oprea, 2000, p. 47)
Clasificarea metodelor si tehnicilor interactive de grup:
După funcția didactica principala putem clasifica metodele si tehnicile interactive de grup
astfel:
1.Metode de pr edare -învățare interactiva în grup:
– Metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);
– Metoda Jigsaw (Mozaicul);
– STAD (Student Teams Achievement Division) – Metoda învățării pe
grupe mici;
– Știu / vreau sa știu / am învățat;
– Metoda schimbării perechii (Share -Pair Circles);
– Metoda piramidei;
– Învățarea dramatizata;
2.Metode de fixare si sistematizare a cunoștințelor si de verificare
interactiva în grup:
– Harta cognitiva sau harta conceptuala (Cognitive map, Conceptual map);
– Matricele;
– Lanțurile cognitive;
– Fishbone maps (scheletul de peste);
– Diagrama cauzelor si a efectului;
– Pânza de păianjen ( Spider map – Webs);
– Tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
– Metoda R.A.I. ;
– Cartonașele luminoase;
3.Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității:
– Brainstorming;
– Starbursting (Explozia stelara);
– Metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);
– Caruselul;
– Multi -voting;
94
– Masa rotunda;
– Interviul de grup;
– Studiul de caz;
– Incidentul critic;
4.Metode de cercetare în grup:
– Tema sau proiectul de cercetare în grup;
– Experimentul pe echipe;
– Portofoliul de grup.
În cele ce urmează , vom detalia câteva din aceste metode (pe care le consider mai
importante) si cum le -am apl icat la clasa.
1. Metoda predării/Învățării reciproce
Prin aceasta metoda, elevii sunt puși în situația de a fi ei profesori, de a explica colegilor
rezolvarea unor probleme.
Am utilizat aceasta metoda astfel: la clasa a XI -a la sfârșitul unității de învăț are:
,,Matrice”, elevii au primit un test de evaluare. În funcție de rezultatele acestui test, am împărțit
clasa în doua părți: elevii care au obținut rezultate bune si cei care nu au obținut rezultate bune la
acest test. În urma unei trageri la sorti s -au format grupe de câte doi elevi, câte un elev din
fiecare parte. Elevul -profesor are sarcina de a -l învață pe elevul celalalt toate noțiunile pe care
acesta nu le -a stăpânit. După o perioada s -a trecut la verificarea elevilor -elevi si în funcție de
rezulta tele acestora, au fost notați. Am constatat în urma verificărilor ca aproape toți elevii si -au
însușit noțiunile respective. Elevii au lucrat împreuna si acasă , ceea ce în mod obișnuit nu o fac.
Chiar si elevii din prima grupa mi -au mărturisit ca au înțel es aceste noțiuni mult mai bine.
Dezavantajul consta în faptul ca nu toți elevii sunt interesați de aceasta metoda , mai ales
cei din a doua grupa.
2. Metoda mozaicului (Jigsaw)
Fiecare elev are o sarcina de studiu în care trebuie sa devina expert. Profeso rul stabilește
o tema ce poate fi împărțită în 4 -5 sub -teme. Se organizează clasa în echipe de câte 4 -5 elevi,
fiecare dintre aceștia primind câte o fisa de învățare numerotata de la 1 la 4. Fisele cuprind părți
ale unui material, ce urmează a fi înțeles s i discutat de către elevi. Se prezintă succint subiectul
de tratat si se explica sarcinile de lucru si modul în care se va desfășura activitatea.
Fiecare elev studiază sub -tema lui, acest lucru poate fi efectuat în clasa sau poate constitui
o tema de casa. După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu același număr se
reunesc, constituind grupuri de experți. Elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au
studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor si a materialelor avute la di spoziție, se
adăuga elemente noi si se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise si
95
celorlalți membrii din echipa inițiala. Experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la rândul
lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor , experți în alte sub -teme.
Grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata sa
demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori
poate da spre rezolvare fiecărui elev o fisa de ev aluare. Metoda mozaicului are avantajul ca
implica toți elevii în activitate si ca fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria
învățare, cât si pentru invitarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utila în motivarea elevilor
cu rămâneri î n urma: faptul ca se transforma, pentru scurt timp, în ,,profesori” le conferă un
ascendent moral asupra colegilor.
3. Metoda lotus -floarea de nufăr
Se da problema sau tema centrala care se va scrie in mijlocul tablei/planșei. Se cere
copiilor sa se gândea scă la ideile sau aplicațiile legate de tema centrala; Ideile copiilor se trec în
cele 8 “petale”,de la A la H,in sensul acelor de ceasornic. Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme
centrale pentru alte cate 8”petale”;
4. Metoda Brainstorming
Grupul este fo rmat dintr -un număr de elevi care au percepția apartenenței la colectivitate,
identitate colectivă, obiective comune și ierarhii concretizate. Grupurile pot fi permanente (clasa)
sau temporare (grupuri în cadrul clasei), informale (constituite ad -hoc) sau formale (echipe
constituite pe baza unor criterii), omogene sau eterogene. Pentru a se asigura o bună participare
numărul optim este de cinci -șapte membri pentru fiecare echipă. În fiecare echipă trebuie să
existe un coordonator, care are abilități de comu nicare, este echilibrat, disciplinat, cu mare putere
de analiză; stimulatorul, secondează coordonatorul și îl reprezintă când acesta lipsește;
generatorul de idei, introvertit dar dominant intelectual, imaginativ și inteligent, este sursa ideilor
și propun erilor originale; evaluatorul, are inteligență analitică, are abilitatea de a depista erori în
argumente; exploratorul, extrovertit, sociabil și relaxat, are abilități de diplomat, asigură contacte
cu persoanele din afara grupului; organizatorul, concretiz ează ideile în sarcini care se pot
îndeplini, are calități metodice; liantul echipei, armonizează și încurajează echipa, este lipsit de
spirit competitiv; finalizatorul, verifică detaliile și sistematizează rezultatele.
Brainstorming -ul a fost sistematizat , de profesorul de la Universitatea din Buffalo (SUA),
Alexander Osborn. Această metodă este cunoscută sub mai multe denumiri: furtună în creier,
metoda Osborn, asalt de idei, cascada ideilor, filosofia marelui Da sau evaluare amânată. Tehnica
asaltului de idei se poate aplica în două variante: varianta deschisă în care se prezintă elevilor
tema discuției și li se solicită părerea în legătură cu rezolvările posibile, membrii grupului pot
comunica; varianta închisă în care elevii nu vor comunica între ei, vo r căuta soluții personale și
le prezintă în scris coordonatorului grupului.
96
Pentru alcătuirea grupului brainstorming este necesar să respectăm următoarele condiții:
prezentarea prealabilă a temei pentru ca elevii să se poată implica în cunoștință de cauză, selecția
grupului se face cu acordul elevilor vizați; între elevi trebuie să existe relații amicale astfel încât
grupul să nu fie marcat de tensiuni interne. Grupul brainstorming este alcătuit dintr -un lider care
este de obicei profesorul, unul sau doi se cretari și trei -zece membri. Liderul grupului are rolul de
a organiza strategia asaltului de idei. Dacă grupul este format dintr -o clasă de elevi atunci se
impune mărirea numărului de secretari.
Profesorul stabilește data și locul ședinței; selectează mem brii grupului; propune subiectul
care va fi supus tehnicii asaltului de idei; formulează o listă personală de sugestii; prezintă tema
discuției și ideile proprii cu cel puțin trei zile înainte; coordonează ședința; scoate grupul din
impas prin formularea u nor sugestii personale; stimulează implicarea tuturor membrilor grupului
și face cunoscut modul în care au fost utilizate ideile propuse. Durata optimă a ședinței este de
30-50 minute. Apoi ideile sunt organizate și prezentate de către secretari profesorul ui. Acesta
examinează ideile și le grupează pe categorii logice.
Această metodă încurajează creativitatea și spontaneitatea; stimulează imaginația; oferă
libertate de exprimare; formează spiritul de echipă; problemele primesc soluții multiple, sunt
notați elevii care au formulat cele mai pertinente idei, ameliorează efectul inhibitor al relațiilor
dintre elevi și profesor sau chiar dintre elevi.
De exemplu: le propunem elevilor să demonstreze că punctele A(1,3), B(2, -3), C(6,0),
D(5,6) sunt vârfurile unui paralelogram. Le prezentăm câteva idei: să folosească metode analitice
de calculare a lungimilor laturilor, să folosească proprietățile paralelogramului. Elevii vor
prezenta toate ideile găsite de ei, vor nota ideile găsite de colegii lor, iar dacă nu le g ăsesc pe
toate le putem sugera noi. Apoi vom stabili care este cea mai simplă metodă de folosit.
Avantajul acestei metode consta în faptul ca toți elevii sunt implicați în sarcina de lucru si
se obțin ușor ideile noi si soluțiile rezolvitoare.
Dezavantajel e brainstormingului constau în faptul ca oferă doar soluții posibile si nu
realizarea efectiva, uneori poate fi prea obositor sau prea solicitant pentru unii participanți.
5. Metoda știu/vreau sa știu/am învățat
Cu grupuri mici sau cu întreaga clasa se tr ece în revista ceea ce elevii știu deja despre o
anumita tema si apoi se formulează întrebări le care se aștepta găsirea răspunsului în lecție.
Pentru început li se cere elevilor sa facă o lista cu tot ce știu despre tema ce urmează a fi
discutata, iar pro fesorul construiește pe tabla un tabel cu următoarele coloane: știu/vreau sa
știu/am învățat, cum este cel de mai jos:
STIU
(Ce credem ca știm)
97
VREAU SA STIU
(Ce vrem sa știm)
AM ÎNVATAT
(Ce am învățat)
Profesorul cere perechilor sa spună ce au scris si no tează în coloana din stânga
informațiile cu care tot grupul este de acord. Folosind aceeași metoda elevii vor elabora o lista de
întrebări. Profesorul notează în a doua coloana a tabelului întrebările. Aceste întrebări vor
evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legătura cu tema abordata. Elevii citesc textul
individual sau cu un coleg sau profesorul îl citește elevilor. După lectura textului, se revine
asupra întrebărilor formulate în a doua coloana, se constata la care s -au găsit răspunsurile în tex t
si se trec în coloana “Am învățat”.
Elevii vor face comparație între ceea ce ei cunoșteau deja despre tema abordata, tipul si
conținutul întrebărilor pe care le -au formulat si ceea ce ei au învățat prin lecturarea textelor.
Elevii vor discuta care din în trebările lor au găsit răspuns prin informațiile furnizate de
text si care dintre ele încă necesita un răspuns. Profesorul discuta cu elevii unde ar putea căuta
respectivele informații.
6. Prelegerea – din perspectiva moderna
Prelegerea este fora îndoiala cea mai frecventa alegere într -o abordare tradiționala.
Aceasta abordare este de obicei Putin eficienta pentru învățare. Cu putina ,sare si piper”
prelegerea poate fi recondiționata însa, si introdusa într -un demers didactic modern, centrat pe
achizițiile elevului. Din aceasta perspectiva, profesorul trebuie sa se ocupe de:
• stimularea interesului elevilor prin :
– intrarea în prelegere prin intermediul unei poante, povesti, imagini captivante si în
deplina relație cu ceea ce urmează sa fie predat prin int ermediul prelegerii;
– prezentarea unei probleme/studiu de caz pe care se focalizează prezentarea;
– lansarea unei întrebări incitante (astfel încât elevii sa fie atenți la prelegere pentru a afla
răspunsul).
• aprofundarea înțelegerii elevilor prin :
– folosirea de exemple si analogii pe parcursul prezentării;
– dublarea verbalului cu alte coduri (oferirea de imagini, prezentarea cu ajutorul
videoproiectorului)
• implicarea elevilor pe parcursul prelegerii prin întreruperea prelegerii
– pentru a incita ele vii se vor oferii exemple, analogii, experiențe personale
– pentru a da răspunsuri la diferite întrebări
• evitarea unui punct final la final !
98
– încheierea prelegerii prin intermediul unei probleme/aplicații care urmează sa fie
rezolvate de elevi
– solici tarea elevilor pentru a rezuma cele prezentate sau pentru a concluziona.
7. Metoda Delphi
Metoda Delphi presupune întocmirea unui chestionar pe o anumită temă; chestionarul este
distribuit și se cere completarea lui într -o anumită perioadă de timp determin ată de amploarea
întrebărilor; primirea răspunsurilor și analiza lor; participanții sunt solicitați să completeze
același chestionar, după o perioadă de timp, în condițiile în care li se înmânează toate
răspunsurile, primite anterior. Obiectivul este unifo rmizarea răspunsurilor finale, cunoașterea
răspunsurilor celorlalți participanți duce la modificarea punctelor de vedere inițiale. Se parcurg
următoarele etape: fixarea temei; întocmirea chestionarului; desemnarea participanților prin
eșantioane aleatoare sau după anumite criterii; aplicarea chestionarului; prezentarea și analiza
necritică a informațiilor obținute; proiectarea actului didactic.
5.2. METODE DE EVALUARE
Se cunoaște că procesul educațional are trei componente: predare -învățare -evaluare,
primele do uă depinzând , în mare măsură, de modul cum este proiectată evaluarea.
Evaluarea în procesul de învățământ este o activitate de colectare, organizare și
interpretare a datelor privind efectele directe ale relației profesor -elev cu scopul de a eficientiza
funcționarea întregului sistem educațional. Evaluarea are în primul rând rol de feedback pentru
elevi, profesori, părinți și factorii de decizie. Rezultatele evaluării constituie elemente de sprijin
în luarea de decizii privind modificările curriculumului, efectuării de prognoze și anticipării
costurilor economice ale educației. Deci s copul major al evaluării este să ofere datele necesare
care să permită luarea celor mai bune decizii educaționale.
Evaluarea rezultatelor școlare urmărește să determine modul în care obiectivele stabilite
se realizează n învățare. Evaluarea reprezintă un proces continuu și de durată, putându -se face la
începutul programului de instruire, pe parcursul acestuia sau la finalul său.
5.2.1. TIPURI DE EVALUARE
După modul de integrare în p rocesul de învățământ evaluarea este predictivă (inițială),
formativă (continuă -curentă, periodică) și sumativă (finală, cumulativă).
Evaluarea predictivă sau inițială este folosită pentru cunoașterea capacității de învățare și
a nivelului cognitiv al ele vilor, la începutul activității didactice anuale. Este aplicată în special la
99
clasele nou formate, aflate la început de ciclu, compuse din elevi proveniți din instituții de
învățământ diferite.
Evaluarea formativă sau continuă presupune verificarea siste matică a elevilor pe
parcursul procesului didactic, de obicei la sfârșitul unei secvențe de învățare. Se urmărește
prestația elevilor în cadrul unei lecții, participarea spontană, gradul de implicare în aplicații
practice, corectitudinea răspunsurilor. Act ele de evaluare formativă trebuie să aibă ritmicitate,
frecvența lor fiind stabilită de evaluator în funcție de obiectivele propuse. Datele astfel obținute
permit ameliorarea procesului instructiv -educativ prin adaptarea lui la nivelul elevilor.
Evaluarea sumativă se programează la sfârșitul unei perioade lungi de învățare și se
concretizează în sondarea materiei parcurse, în finalizarea și susținerea eseurilor, referatelor,
proiectelor de cercetare, portofoliilor. Rezultatele obținute vor fi comparate cu obiectivele
urmărite și cu nivelul clasei, constatat prin evaluare.
Evaluarea orală poate avea valoare predictivă, formativă și sumativă. Dialogul cu elevii la
început de an școlar, sub forma unei recapitulări sau a unei conversații, poate oferi unui prof esor
abil informații despre nivelul clasei. Evaluarea orala formativă este motivată de necesitatea de a
realiza un control al cunoștințelor și abilităților elevilor după fiecare lecție, având rolul de a
măsura eficacitatea lecțiilor și de a determina adec varea procesului didactic la capacitățile și
nivelul elevilor. Evaluarea orală sumativă are avantajul de a permite parcurgerea rapidă a
unităților de conținut dezbătute în cadrul procesului instructiv/educativ.
Evaluarea orală se poate face individual, fro ntal sau combinat. Profesorul determină
precis tema, formulează întrebarea, oferă timp de gândire și desemnează elevul care va răspunde
la întrebare și poate interveni cu întrebări suplimentare în cazul unor greșeli sau abateri de la
subiect. Este necesar ca întrebările să depășească cerința simplă de reproducere, solicitând
interpretarea și prelucrarea lor, capacitatea de a opera cu ele, de a le aplica. Această metodă
oferă un feedback rapid și dezvoltă abilitatea de comunicare. Dar are și dezavantaje, pe ntru că
folosirea acesteia determină și neglijarea clasei, se realizează prin sondaj și nu permite
cunoașterea măsurii în care elevii au cunoștințe și abilități.
Evaluarea scrisă face posibilă verificarea unei arii extinse de cunoștințe și capacități,
perm ite raportarea rezultatelor la criterii de validare prestabilite, încurajează munca individuală ,
dar feedback -ul este mai slab, iar erorile nu pot fi eliminate imediat. Această evaluare se poate
face prin lucrări de control, extemporale, lucrări scrise sem estriale sau eseuri, referate, proiecte
de cercetare.
Prin autoevaluarea elevii devin subiecți activi ai acțiunii didactice și înțeleg valoarea
eforturilor pentru atingerea obiectivelor educaționale. Prin rezolvarea diverșilor itemi, elaborarea
de proiecte sau referate și realizarea de portofoliu elevul își poate aprecia propria activitate.
100
Promovează motivația învățării și responsabilitatea față de munca proprie , elevul devine
conștient de efortul depus. Autoevaluarea constituie un mijloc de formare a elev ilor, obligându -i
să-și însușească norme raționale de autoapreciere în funcție de obiectivele de evaluare clar și
corect formulate de cadrul didactic, presupune înțelegerea criteriilor de apreciere utilizate de
profesor și a semnificației notelor acordate.
Tehnici frecvente folosite pentru educarea aptitudinii de autoevaluare sunt: autonotarea
controlată, adică nota dată de elev este ulterior discutată cu profesorul și sunt consultați și ceilalți
elevi; notarea reciprocă, elevii își apreciază reciproc contr ibuția la rezolvarea unei sarcini;
autocorectarea, elevii primesc criterii de evaluare și baremele de corectare și pe baza lor
apreciază calitatea extemporalului, eseului, referatului; corectarea reciprocă, aprecierea lucrărilor
colegilor pe baza unui bare m.
5.2.2. EVALUAREA STANDARDIZATĂ
Subiectivismul în notare este generat de obicei de: efectul halo, extinderea unor calități și
performanțe secvențiale la întreaga activitate, notare influențată de iradierea unor atitudini și
impresii dinspre alte discipline și p rofesori; efectul oedipian, aprecierea este subordonată
prejudecăților; efectul de contrast, evaluarea este făcută prin compararea și ierarhizarea elevilor;
eroare logică, evaluarea se realizează prin înlocuirea obiectivelor cu scopuri secundare: rigoarea
expunerii, conștiinciozitatea, politețea, disciplina; efectul de ordine, tendința de a nota identic
lucrări consecutive.
Subiectivismul evaluării determină erori care descurajează efortul de învățare și
blochează continuarea performanței. Ecuația personal ă a examinatorului, bazată pe criterii
proprii de apreciere, se cere înlocuită, cel puțin la nivelul examenelor, cu un sistem de evaluare
bazat pe descriptori de performanță. Elaborarea lor presupune parcurgerea următoarelor etape:
formularea unei competen țe sau a unei subcompetențe deduse din obiectivele cadru sau de
referință; stabilirea criteriilor de notare a competențelor individuale.
Testele pedagogice pot fi educaționale și docimologice (utilizate la examene, concursuri).
Cele educaționale vizează t ransformările produse de învățare la nivel cognitiv, sunt cunoscute și
sub numele de teste de cunoștințe. Pot avea valoare docimologică dacă sunt urmate de
cuantificare și notare.
Testele de sondaj inițial se folosesc la debutul anului școlar pentru verif icarea
cunoștințelor elevilor. Au rolul de a asigura cunoașterea nivelului clasei. Se ține seama de
materia parcursă anul trecut și de modul în care aceasta se reflectă în cunoștințele care urmează
să fie acumulate.
101
De exemplu la începutul anului școlar aplicăm elevilor teste de evaluare inițială care să
cuprindă exerciții de calcul algebric, exerciții calcul aritmetic, probleme de geometrie elementare
precum și trigonometrie prin care să verificăm dacă aceștia stăpânesc aceste noțiuni elementare
necesare în noul an de studiu. Voi prezenta un astfel de te st susținut de elevii clasei a XI-a.
Testul propus este realizat după modelul propus de M.E.C.T. și este structurat în două părți.
Partea I cuprinde itemi obiectivi cu alegere multiplă și itemi semiobiect ivi de tip răspuns
scurt/de completare, iar Partea a II -a cuprinde itemi semiobiectivi de tip rezolvare de probleme.
Timpul de lucru efectiv este 50 de minute, iar punctajul maxim acordat este de 90 de puncte, la
care se adaugă 10 puncte din oficiu.
Instru mentul care conferă validitatea testului este matricea de specificații. Aceasta
realizează corespondența dintre competențele de evaluat(corespunzătoare nivelurilor taxonomice)
și unitățile de învățare /conceptele -cheie/conținuturile/temele specifice progra mei școlare de
matematică pentru clasa a XI -a. Competențele de evaluat se stabilesc prin derivare din
competențele generale și/sau din competențele specifice programei școlare.
Matricea de specificații
liniile matricei precizează conținuturile abordate;
coloanele matricei conțin competențele de evaluat.
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială la clasa a
XI-a M2 este următoarea:
Competențe de
evaluat
Conținuturi
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Total
Mulțimea numerelor
reale;
Ecuații iraționale
I.1 (5p)
II.1a (5p)
I.6(5p) 1
5p
Funcția de gradul întâi,
funcția de gradul al doilea,ecuații I.2 (5p) II.1 b (4p)
II.1 c (4p) II.1 b (4p)
I.4 (5p) II.1c(6 p) II. 1b (2p) 3
0p
Funcția exponențială,
funcția logaritmică, ecuații
I.3 (5p)
I.5 (5p) 1
0p
Reper cartezian în plan,
coordonate carteziene în plan,
ecuația dreptei
I.7(5p)
II 2 a (3p)
II 2 a (2p)
I.8(5p) 1
5p
Condiții de paralelism
și de perpendicu laritate
II 2 b (6p)
II 2 b (4p)
II 2 c (10p) 2
0p
Total
11p
14p
21p
14p
13p
17p 9
10p
102
COMPETENȚELE DE EVALUARE ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE
INIȚIALÃ PENTRU CLASA a XI -a M2
C1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de
scriere a unui număr real în contexte specifice
C2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor
proprietăți ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn etc.)
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului algebric sau geometriei pentru
rezolvarea de ecuații și inecuații
C4.Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice
C5. Studierea unor situații -problemă din punct de vedere cantitativ sau calitativ utilizând
proprietățile algebrice sau de ordine ale mulțimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații –problemă prin alegerea unor
strategii și metode adecvate.
TEST DE EVALUARE INIȚIALÃ
Clasa a XI -a M2
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute
Partea I. (35p) Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect
5p 1. Ordonați crescător numerele
9log3a ,
364b ,
2
23
c
A)
cba B)
bca C)
acb D)
bac
5p 2. Fie
R Rf: ,
6 2x xf . Valoarea
1ff este egală cu:
A) 20 B)
22 C) 22 D) 24
5p 3. Soluția ecuației
28 2 23 x x este:
A)
2 B) 3 C)
3 D) 2
5p 4. Funcția
R Rf: ,
2xxf este:
A) crescătoare B) descrescătoare C) constantă D) periodică
5p 5. Domeniul de definiție al funcției
R Df: ,
34 log2
3 x x xf este:
A) R B)
,3 C)
,3 1, D)
,3 1,
5p 6. Numărul soluțiilor reale ale ecuației
222x x este egal cu:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
5p 7. Fie
R Rf: ,
4 42 x xxf . Imag inea funcției f este mulțimea:
A)
2, B)
,0 C)
,0 D)
,3
Partea a II -a (55p) La următoarele probleme se cer rezolvări complete
103
1. Fie
R Rf*: ,
2 ln xx xf
10p. a) Studiați monotonia funcției
10p b) Determinați coordonatele punctului de intersecție al reprezentării grafice a funcției
f cu dreapta de ecuație
3xy
2. Se consideră punctele
3,2A ,
5,1B ,
2,4C
5p a) Determinați ecuația dreptei AB
10p b) Calculați distanța de la punctul C la mijlocul segmentului AB
10p c) Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB
3. Fie
,3 ,0:f ,
32x xf
5p a) Arătați că funcția f este bijectivă
5p b) Determinați inversa funcției f
Menționez că testul a fost aplicat la un liceu tehnologic. Notele obținute de elevii clasei
au fost: 3 note de 10, 3 note de 9, 3 note de 8, 6 note de 7, 7 note de 6, 4 note de 5, 2 note de 4 și
1 note de 3. Media clasei fiind de 6,7 2. Deși testul a fost foarte simplu și am vrut să verific
nivelul lor, elevii au luat note mici. Acest lucru se datorează și tratării cu superficialitate a
cerințelor datorită fa ptului că nota nu este trecută în catalog, dar și a noțiunilor teoretice
insuficient asimilate de elevi . Cu ajutorul acestui test am putut identifi ca câteva din lacunele
elevilor care au stat la baza proiectării lecțiilor următoare dar , și impunerea unor ore
suplimentare de recapitulare și de recuperare a noțiunilor necesare. .
Testele pe capitole pot avea valoare de teste docimologice sau simple teste de cunoștințe.
Acest tip de test poate fi apl icat la sfârșitul capitolului ” Determinanți’’ pentru a vedea nivelul de
însușire a acestor noțiuni. Voi prezenta un astfel de test.
Test de evaluare
1) Se dă expresia
|
| |
| | |
Valoarea expresiei este: a) -2; b)2; c)20; d) -36.
2) Rezolvați ecuațiile:
02 42 3xx
și
0
3 13 11 3
xxx .
3) Se dau punctele A(6;2), B(4;3), C(2;4) D(2;2). Se cere:
a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare.
b) Să se calculeze aria triunghiului ABD.
c) Să se scrie ecuația dreptei AB.
4) Punctele sunt coliniare dacă m=…..
104
5) Folosind proprietățile determinanților calculați
c b aab ca bcc b a
2 2 2
Acest test a fost aplicat la un liceu cu profil tehnologic, iar notele obținute de cei 25 de
elevi au fost: 3 note de zece, 5 note d e nouă, 8 note de opt, 4 note de șapte, 3 note de șase,o notă
de cinci, o notă de patru, media clasei fiind: 7, 76. Prin aplicarea acestui test am observat că elevii
și-au însușit noțiunile prezentate în acest capitol, sunt capabili să calculeze un determin ant, să
verifice coliniaritatea a trei puncte. Totuși nu toți elevii au reușit sa -și însușească toate metodele
de calcul ale determinanților, ce a mai folosite fiind metoda lui Sarrus . La subiectul 5 doar 25%
dintre elevi au reușit să aplice proprietățile determinanților . La subiectul 4, 80% au știut condiția
de coliniaritate a trei puncte dar doar 40% au și terminat de rezolvat exercițiul complet.
Testele de sinteză, la sfârșitul semestrului sau al anului școlar, sunt un indicator al
pregătirii calitativ -cantitative a elevilor. Un astfel de test a fost aplicat la finalul clasei a XI -a,
astfel încât am putut verifica nivelul de noțiuni însușite ale elevilor la finalul anului școlar, iar
elevii s -au putut familiariza cu modelul subiectelor de la bacalaureat.
TEST DE EVALUARE
1) Se consideră matricea
243)(xxA , unde
Rx .
a) Să se verifice egalitatea
2 22)122( )2( OI x A x A .
b) Să se determine numărul real x astfel încât
A A 82 .
2) Să se determine numărul real x astfel în cât
A A 82 .În reperul cartezian xOy se consideră
punctele O(0,0) și , .
a) Să se determine ecuația dreptei .
b) Să se calculeze aria triunghiului .
c) Să se arate că toate punctele , sunt coliniare.
3) Se consideră sistemul de ecuații {
, unde .
a) Să se determine astfel încat (2,1, -1)sa fie o soluție a sistemului.
b) Să se rezolve ecuația|
| , unde .
c) Pentr u m = -5 sã se rezolve sistemul de ecuații
105
Testul a fost aplicat la clasa a XI -a, la o clasă cu un număr de 26 de elevi. Notele obținute
de aceștia au fost: 3 note de zece, 4 note de nouă, 7 note de opt, 5 note de șapte, 4 note de șase, 2
notă de cinci, o notă de patru media clasei fiind de 7, 5.
La primul subiect am observat că elevii au rezolvat a doua cerință, la prima reg ăsindu -se
câteva greșeli de calcul dator ate neatenție la semne .
La subiectul doi am observat că elevii pentru a calcula ecuația drept ei au folosit metoda
determinantului, probabil le -a fost mult mai ușor sau noțiunile sunt mult mai recente decât
metoda analitică. La fel au procedat și la calcularea ariei triunghiului. La punctul c ) majoritatea
nu au folosit proprietățile determinanților și nu au putut calcula ușor acest determinant,
încurcându -se în necunoscute.
Subiectul trei nu a creat probleme deosebite la punctele a și b, elevii rezolvând sistemul
prin metoda lui Cramer.
Elevii au primit acest test spre rezolvare acasă, sugerându -le câteva idei de rezolvare a
exercițiilor.
Testele mai pot fi integrative și punctuale. Primele testează un complex de cunoștințe și
abilități cognitive, în timp ce testele punctuale abordează un aspect izolat din domeniul supus
investigației. Testele pot fi obiective și subiective. Itemii testului obiectiv sunt cotați prin
compararea răspunsului cu un barem, astfel sunt eliminate judecățile subiective bazate pe
comparația între lucrări. Testul subiectiv este compus din itemi care sunt cotați pe baza
judecă ților evaluative curente, neprecizate anterior și este folosit atunci când răspunsurile
presupun interpretare și variază în funcție de nivelul cognitiv al celui testat.
Testele se împart , după scopul evaluării , în teste de diagnostic, teste de succes
educațional, de plasament și capacitate. Primul tip de teste se aplică la sfârșitul unei activități
didactice de lungă durată și sunt formate din itemi pliați pe obiectivele operaționale, oferă indicii
despre eficiența procesului instructiv/educativ și nivelu l de asimilare a cunoștințelor, permite
identificarea lacunelor și corectarea erorilor.
Testele de succes educațional se susțin la sfârșit de an sau ciclu școlar din materia
parcursă, la una sau mai multe materii și este folosit mai ales la evaluarea pri n examen și este
compus din itemi concepuți de specialiști.
Testele de plasament sunt scurte, compuse din itemi obiectivi și urmăresc clarificarea
criteriilor de repartizare a elevilor în grupe cu un grad ridicat de omogenitate.
Testele de capacitate cupr ind cerințe esențiale pentru activitatea viitoare. Astfel că
proiectantul testului întocmește itemii în funcție de cunoștințele și capacitățile necesare
specializării care va fi urmată.
106
Elaborarea testelor se realizează respectând următoarele etape: delim itarea problemei,
precizarea obiectului de predare și a clasei care urmează să susțină testul; stabilirea scopului
testului, pentru sondarea nivelului clasei, pentru notare, pentru orientarea proiectării didactice;
elaborarea propriu -zisă, stabilirea forme i testului, a itemilor și a modului în care elevii vor
concepe răspunsurile.
Testele cu întrebări sau enunțuri închise sunt aplicate pentru a testa priceperea, înțelegerea
și modul de utilizare a cunoștințelor dobândite. Acești itemi obligă elevul să alea gă unul sau mai
multe dintre răspunsurile date de evaluator și asigură consecvența notării. Întrebările pot fi
alternative, de discriminare multiplă, de asociere și clasificare -ordonare. Enunțurile alternative
cuprind afirmații pe care elevul trebuie să le aprecieze ca adevărate sau false, întrebările
alternative presupun răspunsurile de tipul da -nu. Au și dezavantaje care constau în faptul că ei
verifică memoria verbală, poate să ghicească răspunsul corect.
Exemplu: Dacă apreciezi că relația este adevărat ă încercuiește litera A, în caz contrar
încercuiește litera F .
Fie A,B,C,D,E verifică egalitățile:
, , , .
A F 1.
A F 2. Nu există 5 matrice A,B,C,D,E diferite care să verifice simultan condițiile din
ipoteză.
(obiectivul este ca elevul să determine relații între matrice)
Itemii de alegere multiplă sunt întrebări sau enunțuri urmate de un număr oarecare de
răspunsuri din care elevul tre bui să -l aleagă pe cel corect. Se pot folosi întrebări -capcană în care
variantele propuse să fie corecte sau incorecte în totalitate.
Exemplu: Citiți cu atenție enunțurile și încercuiți varianta de răspuns corectă:
Valoarea determinantului |
| este:
a) 0
b) -10
c) 1
Itemii de asociere constau în două coloane formate din elemente aranjate aleator, elevul
având sarcina de a găsi corespondentul unui element din prima coloană în a doua. De regulă una
dintre coloane are un număr mai mare de elemente de cât cealaltă. Elementele care nu au
corespondent le numim neutre, acestea sunt necesare pentru sporirea gradului de dificultate a
testelor. Avantajul folosirii acestui tip de itemi este că pot măsura tipuri variate de la simple
107
cunoștințe până la rezult ate complexe, se cuantifică rapid și cu ușurință. utilizarea abuzivă a
acestor itemi conduce la familiarizarea elevilor cu această tehnică de testare, având repercusiuni
asupra modului de învățare, permit în unele circumstanțe ghicirea răspunsului.
Exemplu : Găsiți corespondența dintre elementele din cele două coloane:
Într-un sistem de axe de coordonate fie punctele A(2;0),B(−1;2),C(0;−2)
a) Ecuația dreptei AB 1) 3x+2y -4=0
b) Ecuația dreptei AC 2) x -y=0
c) Ecuația dreptei AC 3) 4x+y+2=0
4) x-y-2=0
Itemii de coordonare se prezintă sub forma unor elemente înșiruite aleator pe care elevul
trebuie să le ordoneze logic. Realizarea testelor presupune enumerarea performanțelor cerute
elevilor, stabilirea întrebărilor și a răspunsu rilor și distribuirea punctelor care vor fi acordate.
Itemii subiectivi (cu răspuns deschis) sunt cei mai utilizați în sistemul de evaluare
tradițional, fiind ușor de construit și permițând o mai mare libertate de răspuns din partea
elevilor. Testează obie ctive esențiale cum ar fi capacitatea de prelucrare a informației și operare
cu ea, raportarea critică, reflexivă sau reproductivă la text sau informație, creativitatea,
originalitatea, logica argumentației, caracterul personal al răspunsului.
Exemplu:
Fie matricea (
) calculați determinantul acesteia.
Testele cu întrebări sau enunțuri deschise trebuie să conțină directive care să ghideze
elevul către performanța cerută. După lungimea răspunsului solicitat, există întrebări descriptive
și înt rebări cu răspunsuri scurte. Aceste enunțuri permit evaluarea spiritului critic, a judecății, a
creativității și a exprimării. Unii elevi vor reuși să atingă performanța cerută într -un mod concis,
alții vor detalia.
Întrebările deschise care solicită ele vilor un răspuns scurt, liber ca formă și conținut, dar
limitat cifric permit un control rapid, facil și obiectiv, diminuează problemele legate de
exprimarea liberă dar nu încurajează progresul gândirii și antrenează ignorarea gradelor
taxonomice. În acest caz este bine să se evite precizarea numărului de cuvinte pe care elevul
trebuie să le folosească pentru a nu -l obliga să se concentreze mai mult către numărarea lor decât
spre conceperea răspunsului.
Exemplu:
Completează spațiile punctate astfel încât s ă obții relații adevărate:
1. Fie A,B atunci are loc relația det(A B)=………..
2. Fie A B=O 2, atunci afirmația A= O 2 sau B= O 2 este………
108
(elevul va fi capabil să aplice formula produsului a doi determinanți de ordinul 2 cu
elemente reale)
Textul lacunar, în forma itemilor de completare a unor propoziții sau fraze neterminate
sau a două sau mai multe lacune înlănțuite logic, poate fi inclus în categoria întrebărilor cu
răspunsuri deschise, limitate. Este necesar ca fiecare lacună să presupună un singur răsp uns
acceptabil, spațiile libere să fie egale pentru a nu sugera cuvântul, frazele folosite să nu
reproducă identic informația din manual. Pentru notarea corectă profesorul trebuie să precizeze
performanțele pe care intenționează să le aprecieze și punctele acordate.
Exemplu:
a) inversa unei matrice, dacă există,………………
b) un sistem de ecuații liniare este……………….. dacă și numai dacă rangul matricei
sistemului este egal cu ……………….. matricei extinse.
5.2.3. TEMA PENTRU ACASĂ
Tema pentru acasă reprezintă partea componentă a procesului instructiv -educativ. Deși
realizarea ei este o sarcină aparentă numai a elevului, el având răspunderea efectuării ei corecte
și recepționând aprecierile pozitive sau suportând consecințele negative.
Profesorul alege judicios problemele, ajutat de alegerea anterioară făcută de către autorii
manualelor sau ai culegerilor de probleme; verifică rezolvarea, frontală, individuală, cercetarea
caietelor; comentează, anterior și respectiv ulterior rezolvării; apreciază prin notă, sau în alt mod.
Rolul elevului este acela de a rezolva, dacă poate; copiază rezolvarea însușindu -și-o într -o
măsură mai mare sau mai mică; corectează ulterior observațiilor profesorului.
Tema poate fi de mai multe feluri:
– tema care să lase o mai mare libertate de mișcare a răspunsului; un exemplu ar fi:
Calculează aria triunghiului ABC determinat de punctele A( -2,2), B( -3,-1), C( -2,-3) prin mai
multe metode. Elevul are libertatea de a găsi cât mai multe metodele posibile. Nu toți vor fo losi
mai multe metode, probabil vor fi câțiva care se vor apropia, în general vor căuta să găsească
măcar două.
– tema de analiză, comparare, apreciere, selecționare a unor fapte matematice (teoreme,
noțiuni) cunoscute; compararea metodelor de rezolvare a ac eleiași probleme de geometrie prin
soluția sintetică sau analitică, sau rezolvarea sistemelor liniare prin diverse metode;
– teme de redactare a unor noțiuni teoretice, cum ar fi liste de sinteză cu titlul ca
’’paralelism’’ în care elevii vor căuta toate teo remele legate de paralelism predate pe parcursul
capitolului;
109
– teme de cultură matematică, astfel de referate se pot da elevilor pasionați de matematică
care vor să știe mai mult din istoricul matematicii;
– teme de aprofundare a unor chestiuni, se concretize ază în 3 -4 pagini de colecționare a
unor rezultate din manual, dintr -o bibliografie accesibilă și mai ales din aplicații, câțiva elevi
pasionați de matematică ar putea fi îndrumați să recunoască și să calculeze determinanții
particulari, acest tip de temă nu se poate aplica la toată clase de elevi;
– activități matematice conexe, putem considera realizarea unor planșe, confecționarea
unor materiale didactice dar și întocmirea unor fișe și fișiere de probleme;
– teme la propria alegere a elevului, acesta poate a lege din materialele gata scrise
(manuale, culegeri de probleme) până la construirea temei cu mici elemente de originalitate, dar
aceste libertăți nu pot fi mai mari de 1 -2 pe an.
5.2.4. ACTIVITATEA SUPLIMENTARĂ
Activitatea suplimentară se poate împărți în cea a jutătoare, de recuperare, și cea adresată
elevilor dotați. Activitatea de recuperare se referă la elevii ale căror cunoștințe sunt sub nivelul
clasei din care fac parte, cauzele fiind multiple și de cele mai multe ori sunt de natură social –
economică, și nu pot fi rezolvate de către profesorul de matematică. Prin utilitatea testelor
inițiale la clasa a IX -a se stabilește nivelul elevilor care încep ciclul liceal, se stabilește nivelul
cunoștințelor acestora raportat la nivelul exigențelor proprii. Ca și solu ții: în cadrul orelor de curs
, profesorul va acorda o atenție sporită acestor elevi, vor fi încadrați în grupe eterogene, vor fi
solicitați mai des la răspunsuri și nu în ultimul rând îmbunătățirea climatului psihologic în care
este situat, prin încredinț area unor sarcini școlare cum ar fi strângerea lucrărilor, se va
’’exagera’’ aprecierile verbale pozitive.
Se va acorda un timp special consultațiilor, meditațiile, întrevederilor cu familia,
organizarea întrajutorării colegiale. Consultațiile sunt individ uale, sunt acordate la cererea
elevului sau dacă acesta nu îndrăznește i se va sugera acest lucru, se acordă după orele de curs
astfel încât sa nu fie perturbat procesul instructiv/educativ. Meditațiile sunt colective, cu clasa,
se realizează pe parcursu l unei ore, iar scopul lor este de a facilita însușirea materiei curente dar
nu exclude remedierile deficiențelor mai vechi. Un motiv al situației grele la învățătură este o
situație grea materială sau familială, profesorul sugerând aparținătorilor sa veri fice dacă elevul
și-a efectuat tema, dacă a studiat tot ce i s -a dat.
Petru ceilalți elevi care sunt atrași de matematică este mult mai ușor realizarea acestor
consultații, acestea sunt cerute de ei, participă la întâlnirile cercurilor de matematică, concu rsuri
școlare, nu este nevoie să fie rugați.
110
Utilizarea metodelor de învățământ bazate pe cercetare și creativitate individuală sau de
grup transformă educația statică într -un proces dinamic. Elevii devin parte activă a actului
didactic, iar nivelul coin teresării crește. Dacă aplicăm metode moderne de învățare -evaluare la
matematică nu înseamnă că renunțăm la predarea sistematică a cunoștințelor.
Metodele de stimulare și evaluare a creativității grupurilor creează situații noi, dinamice,
neprevăzute, care determină elevii să înceapă explorarea în urma căreia se naște noul. Aceste
metode facilitează cuantificarea și notarea în condițiile exprimării personalității și originalității.
5.2.5. METODE ALTERNATIVE DE EVALUARE
În ultimul timp se urmărește înlocuire metodel or tradiționale cu metode alternative numite
și metode complementare de evaluare. Metodele alternative de evaluare au ca scop
personalizarea activității de evaluare educațională în funcție de personalitatea fiecărui elev.
Aceste metode alternative de evalu are pun în prim plan aspectul creativității, gândirii critice,
manifestării individuale, rezultatul final vizat fiind formarea la nivelul individului de aptitudini,
competențe, priceperi și deprinderi necesare integrării sociale a acestuia. Metodele altern ative de
evaluare sunt: portofoliul, investigația,proiectul, hărți conceptuale observarea sistematică a
activității și comportamentului elevilor și autoevaluarea.
Portofoliul este o modalitate de evaluare cu spectru larg, permițând strângerea unui
material bogat și variat despre progresul școlar al elevului, utilizându -se o varietate de metode și
tehnici de evaluare. Acesta favorizează participarea elevilor la procesul evaluării, ei putându -și
singuri cuantifica progresul. Portofoliile devin instrumente educ aționale, care permit elevilor să –
și asume responsabilitatea și îi încurajează să -și controleze creațiile. Scopurile precizate inițial și
conținutul portofoliului pot fi modificate la sfârșitul semestrului sau al anului școlar, elevul
având posibilitatea d e a păstra tot ceea ce este ilustrativ pentru activitatea sa.
Portofoliul se poate prezenta sub forma unei mape sau dosar care cuprinde: scopurile,
intențiile, motivele realizării, materialele propriu -zise, sistematizate în funcție de obiectivele
precizat e, judecăți de valoare despre conținut, formulate prin precizarea standardelor avute în
vedere, concluzii personale despre subiect și conținut.
Conținutul portofoliului realizat la matematică depinde de scopul urmărit, vârsta elevilor,
nivelul lor intelect ual, metode și tehnici de evaluare folosite de profesor. Acesta poate conține:
rezultatele aplicării metodelor tradiționale de evaluare: extemporale, lucrări de control, teme
pentru acasă, probe practice; comentariile profesorului în legătură cu activitate a sau cu fișa de
observare; răspunsuri la chestionare care surprind atitudinea față de obiectul de studiu; recenzia
unui articol sau a unei cărți cu subiect matematic; bibliografiile unor matematicieni; proiecte sau
111
investigații individuale sau realizate î n grup; soluții la probleme deosebite; probleme compuse de
elevi.
Fiecare elev al clasei trebuie să aibă un astfel de portofoliu, pentru a putea observa
progresul lui la matematică. Acest portofoliu ar trebui să conțină extemporale dar și rezolvări
corect e ale acestora, teme pentru acasă și mai ales referate din care să reiasă parcurgerea în
totalitate a materiei. Utilitatea acestor referate se observă cu precădere la pregătirea examenului
de bacalaureat când elevii au nevoie de toată materia studiată. Avâ nd aceste referate este mult
mai ușor recapitularea acesteia iar rezolvarea exercițiilor este mai ușoară având un model.
Evaluarea unui astfel de portofoliu va avea în vedere progresul înregistrat în înțelegerea
matematicii, motivația învățării, perseveren ța, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea
raționamentului matematic adaptat la conținuturi și situații precum și abilitatea de a rezolva
situațiile -problemă.
Pentru a se evalua corect un portofoliu elevul trebuie să cunoască încă de la început tema
impus ă sau libertatea de a alege subiectul; modalitatea de prezentare; structura cerută;
necesitatea sistematizării materialelor, evidențierea titlurilor și subtitlurilor, realizarea legendelor
pentru tabele, scheme, grafice, indicarea provenienței documentelor , imaginilor; tipuri de
interviu, suportul pe care să se prezinte: hârtie, CD -uri, casete audio sau video. Portofoliul are
avantajul de a oferi informații despre creatorul său într -o măsură imposibil de atins prin metodele
tradiționale. El reprezintă o ade vărată carte de vizită a elevului, având avantajul de a elimina
tensiunea care însoțește alte metode de evaluare tradiționale.
Proiectul este o metodă alternativă de evaluare care constă în:
– Prezentarea teme de cercetat de către profesor la clasă și eventu al chiar începerea
rezolvării proiectului în clasă
– Rezolvarea proiectului de către elev într -o perioadă bine stabilită
– Prezentarea proiectului de către elev în fața colegilor și a profesorului
De exemplu, la matematică un proiect poate fi redactarea unei g azete de perete care să
cuprindă probleme interesante rezolvate, probleme propuse de elevi, rubrica”Știați că…”. Pentru
realizarea acestor rubrici elevii se por documenta la bibliotecă, pe internet.
Investigația este o metodă de lucru ce constă în căutare a de informații pe o temă dată, în
descoperirea a ceva nou sau în folosirea competențelor în situații noi. Aceasta evaluează mai
mult procesul decât produsul, desfășurându -se individul sau în grup. Ca timp, poate fi de lungă
durată, dar se poate manifesta și într -o oră de curs, iar produsul se poate concretiza într -un raport
privind rezultatele investigației. Înscrisă între obiectivele -cadru ale disciplinei limba și literatura
română, investigația dezvoltă capacitatea elevului de e cerceta, în special textu l literar, la diverse
niveluri (structură, elemente de naratologie, de prozodie, de stilistică etc.). De asemenea, oferă
112
posibilitatea de a aplica, în mod creativ, cunoștințe dobândite în aprofundarea unor componente
ale limbii (fonetica, lexicul, morfolo gia, sintaxa propoziției), a unor categorii semantice
(sinonime, antonime, omonime, etc.).
Prin această metodă, elevul va fi încurajat:
• să exerseze tehnicile de muncă intelectuală și metoda învățării prin descoperire;
• să coroboreze și să interpreteze d iferite informații ;
• să-și cultive interesul pentru cercetare;
• să-și exprime o opinie sau o judecată de valoare asupra elementelor investigate ;
• să-și restructureze permanent sistemul noțional propriu, prin integrarea informației nou
obținute;
• să-și dezvolte spiritul de inițiativă;
• să-și cunoască limitele.
Pentru buna desfășurare, profesorul trebuie să țină cont dacă sunt respectate etapele
esențiale ale unui proces investigativ: definirea problemei, alegerea metodelor adecvate,
identificarea soluți ilor. Acestea pot fi detaliate după cum urmează:
1. planificarea investigației;
2. selectarea și utilizarea eficientă a diver selor tehnici și materiale (cărți, pliante,
dicționare etc.);
3. colectarea datelor;
4. formularea și testarea unor ipoteze de lucr u;
4. prelucrarea datelor;
5. formularea concluziilor;
6. comunicarea rezultatelor obținute într -un raport, reflecții.
Hărțile conceptuale („conceptual maps”) sau hărțile cognitive („cognitive maps”) pot fi
definite drept oglinzi ale modului de gândire, s imțire și înțelegere ale celui/celor care le
elaborează. Reprezintă un mod diagramatic de expresie, constituindu -se ca un important
instrument pentru predare, învățare, cercetare și evaluare la toate nivelurile și la toate
disciplinele.
Hărțile conceptuale oglindesc rețelele cognitive și emoționale formate în cursul vieții cu
privire la anumite noțiuni . Ele sunt imaginile noastre despre lume, arată modul nostru de a
percepe și interpreta realitatea. Hărțile nu indică doar cunoașterea, ci și non -cunoașterea.
Deși sunt utilizate mai mult în procesul instruirii, hărțile conceptuale (introduse și
descrise de J. Novak, în 1977) reprezintă și instrumente care îi permit cadrului didactic să
evalueze nu atât cunoștințele pe care le dețin elevii, ci, mult mai importa nt, relațiile pe care
aceștia le stabilesc între diverse concepte, informațiile internalizate în procesul învățării, modul
113
în care își construiesc structurile cognitive, asociind și integrând cunoștințele noi în experiențele
cognitive anterioare.
Harta cog nitivă ia forma unei reprezentări grafice care permite vizualizarea organizării
procesărilor mentale a informațiilor legate de o problemă de conținut sau concept. Poate fi
integrată atât în activitățile de grup, cât și în cele individuale.
În practica edu cațională, se pot utiliza următoarele tipuri de hărți conceptuale,
diferențiate prin forma de reprezentare a informațiilor:
a. Hărți conceptuale tip “pânză de păianjen”
Se plasează în centrul hărții conceptul nodal (tema centrală), iar de la acesta, prin să geți,
sunt marcate legăturile cu noțiunile secundare.
b. Hartă conceptuală ierarhică
Presupune reprezentarea grafică a informațiilor, în funcție de importanța acestora,
stabilindu -se relații de supraordonare/subordonare și coordonare. Se obține o clasific are a
conceptelor, redată astfel:
c. Harta conceptuală lineară
Specificul acestui tip de hartă rezidă în prezentarea lineară a informațiilor.
d. Sisteme de hărți conceptuale
Se diferențiază de celelalte tipuri de hărți conceptuale prin adăugarea inputs și outputs
(intrări și ieșiri).
Realizarea unei hărți conceptuale impune respectarea următoarelor etape :
1. Elaborarea listei de concepte (idei) și identificarea exemplelor.
2. Transcrierea fiecărui concept/idee și fiecărui exemplu pe o foaie de hârtie (pot f i
utilizate coli de culori diferite pentru concepte și exemple).
3. Se plasează pe o coală de flip -chart mai întâi conceptele, organizându -le adecvat în
funcție de tipul de hartă conceptuală ce va fi realizată.
4. Dacă este cazul, se pot identifica și adăuga și alte concepte ce au rolul de a facilita
înțelegerea sau de a dezvolta rețelele de relații interconceptuale.
5. Se marchează prin săgeți/linii relațiile de supraordonare/ subordonare/ derivare/
coordonare stabilite între concepte /idei. Dispunerea acestora se poate modifica în timpul
realizării hărții conceptuale.
6. Se notează pe săgețile/liniile de interconectare un cuvânt sau mai multe care explică
relația dintre concepte.
7. Se plasează pe hartă și exemplele identificate, sub conceptele pe care le ilustrează,
marcându -se această conexiune printr -un cuvânt de genul: exemplu .
114
8. Se copiază harta conceptuală obținută pe o foaie de hârtie, plasând conceptele și
exemplele aferente acestora în interiorul unei figuri geometrice (se aleg figuri geometrice diferite
pentru concepte și exemple.
Principalele avantaje ale utilizării hărților conceptuale :
facilitează evaluarea structurilor cognitive ale elevilor, cu accent pe relațiile stabilite
între concepte, idei etc.;
determină elevii să practice o învățare activă, logică;
permit profesorului să emită aprecieri referitoare la eficiența stilului de învățare al
elevilor și să îi ajute să -și regleze anumite componente ale acestuia;
asigură „vizualizarea” relației dintre componenta teoretică și practică a pregăti rii
elevilor;
facilitează surprinderea modului în care gândesc elevii, a modului în care își
construiesc demersul cognitiv, permițând ulterior diferențierea și individualizarea instruirii;
pot fi integrate cu succes în orice strategie de evaluare;
pot ser vi ca premise pentru elaborarea unor programe eficiente de ameliorare,
recuperare, accelerare sau în construcția unor probe de evaluare.
permit evaluarea nivelului de realizare a obiectivelor cognitive propuse, dar pot
evidenția și elemente de ordin afect iv . O hartă cognitivă conține atât cunoștințe abstracte, cât și
empirice, și totodată logici afective, cum ar fi entuziasmul sau respingerea.
subsumate demersului de evaluare formativă, evidențiază progresul în învățare al
elevilor;
pot fi valorificate î n secvențele următoare de instruire etc..
În sfera dezavantajelor includem:
consum mare de timp;
risc crescut de subiectivitate în apreciere, în absența unor criterii de evaluare clare;
efort intelectual și voluntar intens din partea elevilor, care treb uie să respecte anumite
standarde și rigori impuse de specificul acestei metode.
Autoevaluarea este o formă de organizare și apreciere reprezentând expresia unei
motivații lăuntrice față de învățare. Ea are efect formativ și se raportează la diferi te capacități ale
elevului în funcție de progresul realizat și de dificultățile pe care le are a depăși.
Elevul are nevoie să se autocunoască, fapt cu multiple implicații în plan motivațional.
El să aibă un program propriu de învățare, să -și autoaprec ieze și valoreze și să -și pună în valoare
propriile atitudini . Sarcina cadrului didactic este de a pregăti elevii pentru autoevaluare, de a -i
face să înțeleagă criteriile după care își apreciază propria activitate. Informațiile obținute în urma
115
autoevaluăr ii pot fi folosite pentru a le compara cu cele ale colegilor, pentru a le prezenta
periodic părinților și pentru a -și completa portofoliul său .
O modalitate de evaluare cu largi valențe formative o constituie autoevaluarea elevilor.
Autoevaluarea po ate să pornească de la autoaprecierea verbală și autonotarea supravegheată
eventual de învățător. Pentru perfecționarea practicilor de evaluare, urmează o centrare pe
obiective mult mai bine determinate. Trecerea de la evaluarea produsului la evaluarea p rocesului
modifică înseși funcțiile evaluării. Evaluarea procesului devine un moment central și permite un
demers circular sau în formă de spirală, prin care se asigură ameliorarea din interior a întregului
sistem. În timp ce evaluarea tradițională, menită a garanta obiectivitatea, este pusă în situația de
exterioritate în raport cu ceea ce urmează a fi evaluat, demersul sistemic se bazează pe
autoevaluare, ea însăși asociată unei deschideri. La limită se poate ajunge la o evaluare fără
judecare, fondată nu mai pe constatări. Altfel spus, obiectivul evaluării nu constă în a raporta o
acțiune educativă la un ansamblu de valori, mai mult sau mai puțin absolute, în vederea unei
condamnări sau aprobări, ci de a ajunge la o deschidere suficient de sistematică pent ru a putea
percepe legăturile între diferite elemente și, în caz de necesitate, de a acționa asupra unora dintre
ele pentru a le modifica pe altele.
Efectele implicării elevilor în autoevaluare
Profesorul obține confirmarea aprecierilor sale în opinia el evilor, referitoare la
rezultatele constatate;
Elevul exercită rolul de subiect al acțiunii pedagogice, de participant la propria sa
formare;
Permit elevilor să aprecieze rezultatele obținute și să înțeleagă eforturile necesare pentru
atingerea obiectivelo r stabilite;
Cultivă motivația interioară față de învățătură și atitudinea pozitivă, responsabilă, față
de propria activitate.
Prin noile metode de evaluare se urmărește diversificarea controlului activității școlare
având ca finalitate formarea unor compe tențe și capacități operaționale în mai multe domenii.
Evaluarea trebuie să stimuleze elevii pentru a -și ameliora rezultatele, să evidențieze
progresul și nu incapacitatea lor de a realiza anumite cerințe școlare.
Finalitatea evaluării trebuie să ofere „o oglindă” a nivelului de pregătire a elevului de -a
lungul unei perioade de școlaritate.
116
CAPITOLUL VI
APLICAȚII
6.1. EXERCIȚII DATE LA EXAMEN E ȘI CONCURSURI
1. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A 1(a1;0), B 1(b1; 0), C 1(c1;0),
A2(a2;pa2) B 2(b2;pb 2), C 2(c2;pc2 )unde 0 <a 1<b1<c1 și 0 <a 2<b2<c2, p R*. Notăm cu M punctul
de intersecție a dreptelor A 1B2 și A 2B1, cu N punctul de intersecție a dreptelor A 1C2 și A 2C1 și cu
P punctul de intersecție a dreptelor B 1C2 și B2C1.
a) Să se verifice că punctele A 1, B1, C1 sunt coliniare.
b) Să se verifice că punctele A 2, B2, C2 sunt coliniare.
c) Câte drepte trec prin cel puțin 2 puncte din mulțimea {A1, B1, C1, A2, B2, C2 }
d) Să se verifice că punctele A 1 și B 2 se găsesc pe dreapta y(b 2-b1)-xpb 2+a1pb2=0
e) Să se determine coord onatele punctului M
f) Să se demonstreze că punctele M, N și P sunt coliniare
Examen titularizare 2004
Rezolvare:
a) Punctele A 1, B 1, C 1sunt coliniare dacă și numai dacă
determinantul |
|este nul. Înlocuind coordonatele punctelor obținem |
|=0
deoarece coloana doi are toate elementele nule. Deci punctele A1, B1, C1sunt coliniare.
b) Punctele A 1, B 1, C 1sunt coliniare dacă și numai dacă
determinantul |
|este nul.Înlocuind coordonatele punctelor obținem |
|
|
| deoarece coloanele 1 și 2 sunt identice.
c) Folosind și rezultatele de la punctele anterioare deducem că numărul de drepte este
9+2=11.
d) Se observă foarte ușor că coordonatele ambelor puncte verifică ecuația dreptei date:
0(b 2-b1)-a1pb2+a1pb2=0 A1(a1;0) aparține dreptei
pb2 (b2-b1)- b2pb2+a1pb2=0 B2(b2;pb 2) aparține dreptei
117
e) Se determină foarte ușor ecuațiile dreptelor A1B2 și A 2B1. Coordonatele punctului M
se determină rezolvând sistemul de ecuații: {
și obținem
și
f) Punctele M, N și P sunt coliniare daca |
| . Folosindu -ne de punctul
anterior determinăm coordonatele celor trei puncte și le înlocuim în determinant. Astfel obținem
||
|| folosind proprietățile determinanților,
înmulțind prima linie cu respectiv a treia linie cu
scoatem p factor de pe coloana 2 și aplicând proprietățile egalității obținem
|
|
Aplicam in continuare proprietățile determinanților obținem
||
|| evident, deoarece suma elementelor
de pe fiecare linie este nula.
2. În planul α se consideră punctele O1,O2 ,…, O100 , oricare trei necoliniare si
mulțimea M = {O1,O2 ,…,O100}. Se notează cu i C cercul de centru Oi si rază 1, Ci α ,
i {1,2,3,…,100} . Se știe că pentru orice i, j, k {1,2,3,…,100} , există o dreaptă care
intersectează cercurile C i , C j si C k .
a) Arătați că într -un triunghi ABC cu AB ≤ AC , distanța de la B la AC este mai mică sa u
egală decât distanța de la C la AB .
b) Determinați numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în mulțimea M .
c) Arătați că triunghiul O1O2O3 are o înălțime de lungime cel mult 2. d) Pentru fiecare
i {1,2,3,…,100} se notează cu Di cercul de centru Oi si rază 2, Di α . Arătați că există o dreaptă
care intersectează toate cercurile D1 , D2 ,… , D100.
118
Examen titularizare 2010
Rezolvare :
a)
de unde obținem
Știm că AB ≤ AC. Vom avea ≤ . Folosindu -ne de prima
egalitate obținem ≤ de unde deducem că ≤
b) Cum oricare trei puncte sunt necoliniare numărul triunghiurilor cu vârfuri în
mulțimea M este egal cu numărul submulțimilor cu trei elemente Ale mulțimii M. Deci numărul
triunghiurilor cu vârfurile în mulțimea M este
c) Fie d dreapta care taie cercurile C 1, C2, C3. Alegem reperul cartezian în care dreapta d
va fi axa absciselo r. Centrele cercurilor date vor avea coordonatele O 1(x1,y1), O 2(x2,y2) respectiv
O3(x3,y3). Cum distanța de la O i, ̅̅̅̅, la dreapta d este cel mult egală cu 1, atunci vom avea
| | , ̅̅̅̅. Fără a afecta rezultatul final putem presupune . Știm că
| |, unde |
| .
De aici obținem | | | | | |
| | | |
√
)
| |
d) Fie sistanța maximă, unde ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Considerăm că
atunci pentru fiecare ̅̅̅̅̅̅̅̅ avem . Cu alte cuvinte înălțimea
din Oi este cea mai mică înălțime a triunghiului . La punctul anterior am demonstrat că
înălțimea unui astfel de triunghi este mai mică sau egală cu 2. Atunci putem scrie
. Cum raza ce rcurilor Di este egala cu 2, dreapta intersectează cercurile Di, ̅̅̅̅̅̅̅̅.
Dreapta intersectează și cercurile D1 și D2.
3. Fie numerele întregi a,b,c, matricea A= (
) și funcția ,
. Se noteză cu soluțiile ecuație -5=0
a) ă sedetermine
b) Fie (
) Să se arate că (
)
119
c) Să se arate că det A =
d) Să se demonstreze că dacă det A =0, atunci a=b=c=0.
Examen titularizare 2008
Rezolvare :
a) Folosind formu la de calcul prescurta obținem
-5=x √ + √ √ =0 de unde obținem soluțiile √
√ √ √
.
b) (
) (
)=
(
), cum obținem
(
)
(
)
(
).
c) |
| |
|
.
Știm că det A B= detA det B . Folosind rezultatul de la punctul anterior obținem
det A B=|
| |
| . De
aici rezultă că detA det B= det B. Cum det B găsim egalitatea
detA=
d) Dacă det A =0, atunci
La punctul a) am calculat rădăcinile polinomului g=X3-5. Polinomul g este ireduct ibil în
mulțimea polinoamelor cu coeficienți raționali. Rădăcinile polinomului g sunt din mulțimea C\Q.
Fie polinomul F=a+bX+cX2cu coeficienți în mulțimea numerelor raționale și polinomul
120
d=(g,F) [ ]. Avem F( F( F( = f( f( f( =0. De aici deducem că există
{ }pentru care F( . Atunci d( . Cum g rezultă că
d . Polinoamele d și g sunt asociate în divizibilitate, deci g|F. Dar grad
F . Acest lucru conduce la F=0, de unde ob ținem a=b=c=0.
4. Se consideră sistemul {–
, unde a .
a) Arătaț că determinantul matricei asociate sistemului este egal cu
b) Determinați valorile reale a le lui a pentru care sistemul este compatibil determinat
c) Pentru a = -2 rezolvați sistemul
Examen bacalaureat matematică M 1-2012
Rezolvare:
a) Matricea asociată sistemului este (
). Atunci
|
|=|
|
|
| |
|
b) Sistemul este compatibil determinat daca și numai dacă determinantul matricei
asociate sistemului este nenul. Deci, det A , de unde rezultă că .
De aici vom obține că { }.
c) Conform rezultatului de la punctul b) pentru a = -2 sistemul este compatibil
determinat. În acest caz siste mul devine {–
, (
).și (
)
|
| |
| |
|
|
| ,
de unde vom obține soluțiile
121
5. Se notează cu D(a,b,c) determinatul matricei A= (
)
a) Calculați D(0,1, -1)
b) Determinați numerele reale x pentru care matricea A(0,1 ,x) are rangul 2
c) Arătați că dacă a,b,c sunt laturile unui triunghi și D(a,b,c)=0, atunci triunghiul este
isoscel .
Subiect rezervă bacalaureat matematică M 12012
Rezolvare:
a) D(0,1, -1)=|
| |
|
b) Vom avea A(0,1,x)= (
). Observăm minorul |
| . Deci
rangA Dacă rang A=2 atunci D(0,1, x)=0, de unde vom obține D (0,1,x)=|
|
|
|=6 . Atunci pentru x=0 sau x=1 rang A va fi 2.
c) Folosind propr ietățile determinanților calculăm D( a,b,c )= |
|
|
| |
|
|
| . Dacă D( a,b,c )=0, atunci cel puțin
unul dintre factorii produsului obținut la calculul determinantului este nul. De aici vom avea
sau sau egalități care conduc la a=b sau b=c sau a=c . Cum
a,b,c reprezintă lungimile l aturilor unui triunghi, atunci acesta este isoscel.
6. Se consideră punctele , unde
a) Scrieți ecuația dreptei
b) Demonstrați că punctele nu sunt coliniare.
c) Determinați numărul natural n pentru care aria triunghiului este egală cu
216
Examen bacalaureat matematică M 2-2011
Rezolvare:
a) Ecuația dreptei o vom calcula folosind relația:
122
|
|=0. Coordonatele punctelor sunt: .
Înlocuind în determinant obținem |
| .
Prin calcul obținem |
| Deci
ecuația dreptei este .
b) Dacă punctele nu sunt colin iare, atunci determinatul |
|
unde , , sunt coordonatele punctelor .
Știm că . Calculăm |
| . Deoarece
rezultatul determinatului este nenul, punctele sunt necoliniare.
c) Pentru calcularea ariei triunghiului folosim formula
| | unde |
|. Înlocuind coordonatele punctelor
obținem |
| |
| . De aici vom avea
ce conduce către , deci n=3.
7. Se adu numerele reale a,b,c și funcția și determinanții
A=|
| și |
|
a) Să se arate că A= (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
b) Să se demonstreze că A=B
c) Să se arate că pentru orice trei puncte distincte cu coordonatele naturale de pe
graficul funcției f, aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr divizibil cu 3 .
Concursul de matematică aplicat ă Adolf Haimovici 2010
Rezolvare:
123
a) A=|
|=|
| = |
|
|
|
.
b) |
| |
|
|
| |
| |
| |
| deoarece ultimii doi
determinanți sunt nuli conform proprietăților determinanților.
c) Fie A (a,f(a) ), B( b,f(b) ), C( c,f(c) ), a,b, c numere naturale. Aria triunghiului va fi
| |‖
‖
| |
| |
| |+
Dacă două dintre numerele a ,b,c dau același rest prin împărțirea la 3, atunci
Dacă a,b,c dau resturi diferite prin împărțirea la 3, atunci . Deci | |
este divizibil cu 3. Cum este divizibil cu 2 , există astfel
încât| | . Atunci
| |
8. Fie ecuația cu rădăcinile
a) Să se calculez e
b) Să se calculeze
c) Să se calculeze determinantul |
|
Subiecte admitere Facultatea Matematică -informatică , București 2007
Rezolvare.
Obser văm că toate cerințele implică relații între rădăcinile ecuației. De aceea, pentru
început vom scrie relațiile lui Viète:
124
a) Din formula de calcul prescurtat deducem relația
b) Procedând în mod asemănător ca la punctul a) obținem:
(
Astfel obținem
c) Pentru calculul determinantului vom folosi descompunerea după prima linie
|
| |
| |
| |
| (
9. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul: {
. Dicutați după
a
Subiect admitere Facultate Matematic ă Informatică, ClujNapoca,2013
Rezolvare:
Pentru început vom scrie matricea asociată sistemului și matricea extinsă
A=(
) ̅ (
)
detA =|
| . Sistemul este c ompatibil determinat dacă detA
Deci pentru —{ } sistemul poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer. Astfel vom
obține:
|
| , |
| ,
|
| . Soluția sistemului este {
}
125
Dacă a=-2 sistemul devine: {
. Matricea sistemului este
A=(
), iar matricea extinsă este ̅ (
). Avem rang A=2 , iar
minorul |
| este minorul principal. Avem un singur minor caracteristic
|
| . Deducem că sistemul este compatibil simplu nedeterminat.
Necunoscutele principale sunt x,y iar z este necunoscuta secundară. Păstrând ecuațiile principale
și notând necunoscuta secundară obținem sistemul: {
cu soluțiile
. Prin urmare mulțimea soluțiilor sistemului este {
}.
Dacă a=1 sistemul d evine {
. Se observă ca primele două ecuații ale
sistemului sunt incompatibile. Deci sistemul, în acest caz, este incompatibil.
10. Să se rezolve ecuația: |
|
Subiect admitere Facultatea de Matem atică,Iași, 2013
Rezolvare:
Pentru calculatrea determinantului vom folosi proprietățile determinanților.
|
| |
| |
|
|
| |
| .
Deci soluțiile ecuației vor fi , √ √ .
126
6.2. METODE NONSTANDARD ÎN CALCULAREA UNOR
DETERMINANȚI
1. Să se calculeze determinantul al matricei (
).
Rezolvare: La prima vedere pare complicat să aplicăm proprietățile determinanților
pentru a calcula acest determinant. Putem folosi det (AB)=detAdetB pentru a calcula
Știm că detA=detAT= . Prin calcul obținem
(
)(
) . De aici obținem
că . Pentru a stabili semnul rezultatului final observăm ca produsul
elementelor de pe diagonala principala este ceea ce ne conduce către rezultatul
.
2. Să se calculeze unde este determinantul maticei A= (
) și
sunt soluțiile ecuației: .
Rezolvare:
Folosim aceeași metodă ca și la exercițiul anterior și calculăm pentru început .
Vom obține (
).
În continuare vom folosi relațiile lui Viète:
.
Notăm și prin calcul vom găsi -6 și =2. Se va
obține =|
|.
3. Să se calculeze determinantul |
|.
127
Rezolvare:
Adăugăm o linie și o coloană determinantului astfel încât să obține m un determinant egal cu cel
dat: ||
||. Din elementele coloanei doi scădem elementele primei
coloane înmulțite cu a, din elementele coloanei trei scădem elementele coloanei unu înmulțite cu
b, din elementele coloanei patru scădem elementele coloanei unu înmulțite cu c, din elementele
coloanei cinci scădem elementele coloanei unu înmulțite cu d. La final obținem:
||
||.
Dezvoltând după coloana 2 vom obține |
| |
|
|
| |
|
4. Să se rezolve ecuația |
| a,b și c sunt numere
reale.
Rezolvare:
Ecuația se poate rezolva și calcul ând determinantul folosind regula triunghiului. Mai siplu
putem folosi metoda de la exercițiul anterior construind
determinantul |
| . Din
obținem soluțiile √
128
6.3. APLICAȚII PRACTICE
1. În figura de mai jos este indicat traficul dintr -o anumită zonă a unui oraș.
Săgețile indică direcția de deplasare a mașinilor. Numerele indicate pe figură
reprezintă numărul de mașini care intră sau ies din intersecție. La fiecare din cele patru intersecții
se află semafoare care dirijează circulația. Pentru a evita blocajele , toa te mașinile care intră într –
o intersecție trebuie să o părăsească.
a) Să se determine
1x ,
2x,
3x,
4x
b) Pentru
4x =300, determinați
1x ,
2x,
3x.
Soluție:
a) Deoarece toate mașinile care intră într -o intersecție trebuie să o și părăsească,
pentru fiecare intersecție obținem următoarele ecuații:
b-dul A
b-dul C : 300+1200=
1x +
4x
b-dul A
b-dul D :
1x +
2x=500+800
b-dul B
b-dul C :
3x +
4x=1300+700
b-dul B
b-dul D : 1400+400=
2x +
3x 1200 300
1x
x1
4x
1300
700
3x
2x 500
800
1400
400 b-dul C b-dul D
b-dul A
b-dul B
129
Sistemul pe care îl avem de rezolvat este:
1800200013001500
3 24 32 14 1
x xx xx xx x , un sistem de
patru ecuații liniare și patru necunoscute.
Matricea sistemului și matricea extinsă a sis temului sunt
A=
0110110000111001 și
18000110200011001300001115001001
A Cum
011011001 0110001
0110110000111001
=0, rang(A )=3.
Fie determinantul principal
1
100011001
p , deoarece determinantul caracteristic
0
18001102000100200 0101500001
1800110200010013000111500001
c
, înseamnă că sistemul este compatib il simplu
nedeterminat cu necunoscuta secundară
4x .(Teorema lui Rouche) . Luând sistemul format din
ecuațiile principale avem:
200013001500
32 11
xxxx , unde
4x =
, ,
Soluția sistemului este: S={(1500 –
,
-200,2000 –
),
}.
b)
4x=300, obținem soluția S={(1200, 100,1700,300)}.
2. Un teatru cu o capacitate de 300 de locuri a vândut la un spectacol toate biletele. Un
bilet pentru copii costă 2 €, pentru studenți 3 €, iar pentru adulți 4 €. Se știe că numărul adulților
a fost jumătate din numărul copiilor și studenților, iar la acea reprezentație s -au încasat 900 € .
Determinați numărul de spectatori din fiecare categorie.
Soluție Notăm cu x – numărul de copii, cu y – numărul de studenți și cu z – numărul
de adulți. Cu aceste notații, capacitatea de 300 de locuri a sălii de teatru, matematic se scrie :
x+y+z= 300 , suma încasată de 900 €, 2x+ 3y+4z= 900, iar relația dintre diferitele
categorii de spectatori: x+y=2z.
Așadar sistemul ce trebuie rezolvat este următorul:
130
0 2900 4 3 2300
z yxz y xzyx, cu soluția unică x=y=z=100.
3. O fabrică de mobilă produce două tipuri de mese A și B. Fiecare masă trece prin două
etape: asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru asamblare este de 195 ore și
pentru finisare de 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt necesare 4 ore la asamblare și 3 ore la
finisare, iar pentru masa B o oră la asamblare și 2 or e la finisare. Determinați numărul de mese
de fiecare tip care pot fi produse utilizând la maxim capacitatea fabricii.
Soluție Notând cu x numărul de mese tip A și cu y numărul de mese de tip B, cele
195 de ore destinate asamblării sunt descrise de ecuația: 4x+y= 195,
iar cele 165 de ore utilizate la finisaj de ecuația: 3x+2y=165. Deci sistemul ce trebuie
rezolvat este:
165 2 3195 4
y xyx cu soluția x= 45 și y=15
Problema 4 . Benzenul lichid arde în atmosferă. Dacă un obiec t rece este pus peste
benzen, atunci apa va condensa pe obiect și se va depozita pe el negru de fum (carbon). Ecuația
chimică pentru reacție este de forma:
OHxCx Ox HCx2 4 3 22 6 61 . Determinați
1x ,
2x,
3x,
4x
pentru a obține balanța ecuației.
Soluție : Pentru a obține echilibrul (balanța) ecuației trebuie să alegem
1x ,
2x,
3x,
4x astfel
încât numărul de a tomi de carbon, hidrogen și oxigen din cei doi membri să fie același.
Deoarece benzenul conține șase atomi de carbon, iar negru de fum un atom, atunci
pentru egalizarea numărului de atomi de carbon trebuie să avem 6
1x =
3x. Analog, pentru atomii
de hidrogen și oxigen obținem ecuațiile:6
1x =2
4x , 2
2x =
4x. Cele trei ecuații conduc la
sistemul:
4 24 13 1
22 66
x xx xx x . Soluția sis temului este
1x =
0 , ,2 ,2,34 3 2 x x x . Pentru
3
se obține soluția particulară
1x =1,
2x =
23,
3x=6,
4x =3.
131
Problema 5. Determinați intensitățile curenților electrici din rețeaua de mai jos, dacă se
cunosc E=16V,
23 2 1 R R R .
Soluție:
Observăm că rețeaua are două noduri (un nod este punctul de întâlnire a cel puțin
trei laturi, iar o latură este porți unea de circuit dintre două noduri ), notate cu A și B, cu trei laturi
și două ochiuri. Pentru curenții din cele trei laturi și pentru parcurgerea ochiurilor se aleg
sensurile indicate în figură.
Aplicând prima teoremă a lui Kirchoff: “Suma alge brică a intensităților curenților
din laturile legate într -un nod al unei rețele este nulă”, adică
0kI ,unde
kI este intensitatea
curentului din latura k, considerată cu semnul “+” dacă sensul curentului este orientat dinspre
nod și cu semnul “ -” dacă sensul curentului este orientat spre nod, obținem în nodul A ecuația : –
1I
+
2I-
3I=0, iar în nodul B:
1I –
2I+
3I=0.
Aplicând a doua teoremă a lui Kirchoff: “Suma algebrică a tensiunilor
electromotoare (imprimate) dintr -un ochi al unei rețele este egală cu suma căderilor de tensiune
din laturile ochiului ”, adică
kk k IR E ,(căderea de ten siune într -o latură se consideră
pozitivă dacă sensul de parcurgere al unei laturi coincide cu cel ales pentru curentul respectiv ,
regulă valabilă și pentru tensiunea electromotoare ), obținem în nodurile A, respectiv B,
ecuațiile:
16 2 22 1I I , respectiv
0 2 23 2I I .
E
A
B
132
Ca atare sistemul propus spre rezolvare este:
0 2 216 2 20
3 22 13 2 1
I II IIII .Soluția sistemului este:
1I
=
A316 ,
2I=
A38 ,
3I=
A38 , deoarece se consideră valorile absolute (sensul lui
3I fiind
invers celui reprezentat în schemă se obține pentru
3I o valoare negativă ).
133
PROIECT DE LECȚIE
Aria curriculară : Matematică și științe ale naturii
Disciplina : Matematică. Algebră.
Unitatea de învățare : Sisteme de ecuații liniare
Titlul lecției : Metode de rezolvare a sistemelor liniare. Metoda lui Cramer
Tipul lecției : Lecție de comunicare / însușire de noi cunoștințe
Clasa : a XI – a Tehnologic
Obiectivul fundamental al lecției :
O.F. Însușirea de către elevi a metodei lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuații
liniare cu cel mult trei necunoscute.
Competențe generale și specifice :
C.G.1 Identificarea unor date și relații matemati ce și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite.
C.S. 4 Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici.
C.S. 5 Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de re zolvare a acestora.
C.G.2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în
enunțuri matematice.
C.S. 4 Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici.
C.S. 5 Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibi litate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.
Obiectivele operaționale ale lecției: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției fiecare
elev va fi capabil:
O.O.1 Să rezolve prin metoda matriceală un sistem de ecua ții liniare cu cel mult trei
necunoscute.
O.O.2 Să stabilească dacă un sistem de ecuații liniare este de tip Cramer.
O.O.3 Să verifice soluțiile unui sistem de ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute.
O.O.4 Să aplice metoda lui Cramer în rezolvări de si steme de ecuații liniare.
O.O.5 Să înțeleagă un text matematic, să analizeze datele unei probleme referitoare la un
sistem de ecuații liniare și să le transpună în alt context,
de particularizare sau de generalizare, respectiv, să rezolve prin discuții du pă parametru
sisteme de ecuații liniare.
O.O.6 Să-și dezvolte capacitatea de a se autoevalua, prin autoevaluarea performanțelor.
Obiective cognitive :Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției elevii vor fi capabili:
134
O.C.1 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sistem de ecuații liniare cu cel mult trei
necunoscute;
O.C.2 Să redea din memorie enunțul noțiunii de soluție a unui sistem de ecuații liniare cu
cel mult trei necunoscute;
O.C.3 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sistem compatibil de ec uații liniare;
O.C.4 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sistem compatibil determinat de ecuații
liniare;
O.C.5 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sistem compatibil nedeterminat de
ecuații liniare
O.C.6 Să redea din memorie enunțul noțiunii de s istem incompatibil de ecuații liniare;
O.C.7 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sisteme echivalente de ecuații liniare cu
cel mult trei necunoscute;
O.C.8 Să redea din memorie enunțul noțiunii de sistem de tip Cramer;
O.C.9 Să redea din memorie enunț ul teoremei ,,Regula lui Cramer”.
Obiective afective: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
O.A.1 Să conștientizeze prezența unor exigențe referitoare la noțiunile teoretice
referitoare la sistemele de ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute.
O.A.2 Să-și perfecționeze automatismele de lucru, conducerea raționamentelor și a
calculelor, formate în mod voluntar, prin participarea lor activă la lecție.
O.A.3 Să-și conceptualizeze și să -și sedimenteze cunoștințele învățate , atât prin efort
individual, cât și prin colaborarea cu colegii, la rezolvări de sisteme de
ecuații liniare cu cel mult trei necunoscute.
O.A.4 Să-și dezvolte capacitatea de reflecție și de formulare a concluziilor referitoare la
sensul lecției desfășurate.
Obiective psihomotorii: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, fiecare elev va fi
capabil:
O.P.1 Să facă unele completări la sistemele de ecuații liniare propuse în fișa de lucru .
O.P.2 Să utilizeze corect notațiile, conven țiile de reprezentare și denumirile specifice
limbajului matematic științific, la rezolvarea sistemelor de ecuații
liniare cu cel mult trei necunoscute.
O.P.3 Să-și dezvolte capacitățile rezolutive, perseverența, capacitatea de modelare,
atenția, gândirea logică independentă și rapidă, imaginația, intuiția
superioară, spiritul de observație și de comparare, capacitatea de reflecție, capacitatea de
deducție, de inducție și de analogie, capacitatea de analiză
și de sinteză, modul de exprimare orală și scrisă.
135
Obiective educative: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, fiecare elev va fi
capabil:
O.Edu.1 Să-și formeze unele deprinderi de muncă intelectuală.
O.Edu.2 Să-și dezvolte gândirea critică, dobândirea de experiență și simțul r ealității.
O.Edu.3 Să-și dezvolte deprinderile de comunicare.
O.Edu.4 Să-și dezvolte interacțiunea în cadrul binomului de lucru și în cadrul grupului
clasei.
Strategia didactică:
Metode: conversația, expunerea, explicația, observația, exercițiul, demonstraț ia, munca
elevilor cu manualul și cu alte surse de informare și de învățare,
brainstorming, problematizarea, descoperirea, metoda activității pe bază de fișe, S -V-A,
G.L.C., algoritmizarea,analiza, sinteza, reflecția.
Mijloace de învățământ:
a) Resurse mate riale de informare și documentare :
1. Burtea, M., Burtea, G. – Matematică. Manual pentru clasa a XI -a M1, Editura Carminis, Pitești,
2006;
2. Cohal, T., Iurea, Gh. – Probleme de matematică pentru clasa a XI -a, Ediția a IV -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2012;
3. Ganga, M. – Matematică. Manual pentru clasa a XI -a: TC + CD (3 ore), Editura Mathpress,
Ploiești, 2006;
4. Monea, M. Și col. – Bacalaureat 2014. Matematică. M_ șt. – nat, M_tehnologic. Teme
recapitulative, 50 de teste după modelul M.E.N.,
Editura Paralela 45 , Pitești, 2013.
b) Fișa de lucru de tip S -V-A, pentru aplicarea metodei / tehnicii ,,Știu – Vreau să știu – Am
învățat”; Anexa 1.1
c) Tabla, creta albă și colorată.
d) Portofoliile elevilor.
e) Portofoliul profesorului.
f) Calculatorul electronic.
Forme de organizare: frontală, în perechi și individuală.
Obiective de evaluare: Pe tot parcursul lecției, prin procesul de evaluare formativă se
apreciază ,,Cât de bine” și ,,Cum”:
O.E.1 Știu elevii să stabilească dacă un sistem de ecuații liniare este de tip Cramer.
O.E.2 Știu elevii să verifice dacă au aflat soluția unui sistem de ecuații liniare.
136
O.E.3 Știu elevii să aplice metoda lui Cramer în rezolvări de sisteme de ecuații liniare.
O.E.4 Înțeleg un text matematic, analizează datele unei probleme referitoare la un sistem
de ecuații liniare și le transpun în alt context,
de particularizare sau de generalizare, respectiv, să rezolve prin discuții după
parametru sisteme de ecuații liniare.
O.E.5 Își dezvoltă capacitatea de interevaluare și de a se autoevalua, prin au toevaluarea
performanțelor proprii.
Forme și metode de evaluare:
a) Evaluare formativă la începutul activității prin: metoda chestionării orale, observarea
corectitudinii rezultatelor obținute de către elevi la tema
pentru acasă și la munca independentă, ve rificarea portofoliilor elevilor, autoevaluarea elevilor,
interevaluare între colegi, referatul, proiectul.
b) Evaluare formativă pe tot parcursul activității, prin: metoda chestionării orale, metoda
exercițiului, observarea sistematică a activității individu ale/
din cadrul grupelor/frontală, observarea și verificarea rezultatelor obținute la rezolvările de
exerciții și probleme la temele de lucru în clasă,
verificarea și notarea răspunsurilor formulate la întrebările adresate, evaluarea portofoliilor
elevilo r ( caiete, fișe de lucru etc.), autoevaluarea și interevaluarea elevilor, reflecții.
137
138
Secvența
Eveniment
ele
Lecției și
durata
acestora
Obiective
operaționa
le Activități în lecție pentru realizarea obiectivelor,
desfășurate de:
Resurse
materiale
Resurse
metodolog
ice
Resurse
procedura
le Evaluarea
Profesor Elevi
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 Moment
organi –
organi
zatoric
(2-3m (1 -2
min) in) O.Edu.2
O.Edu.3
* Organizează clasa pentru
lecție și captează atenți
elevilor
Prin aranjarea mate –
rialelo r;
*Verifică prezența elevilor
la ora de curs. * Se pregătesc pentru lecție, pentru
a lucra într -o atmosferă destinsă,
în care toți elevii sunt ,,tratați la
fel”. Portofolii Conversaț
ia Activitate
Frontal și
individuală Evaluarea
formativă:
-metoda
chest ionării
orale;
2 Verificarea
temei pentru
acasă (3min)
C.G.1
C.S.4,
C.S.5
C.G.2
C.S.4,
C.S.5
O.Edu.1
O.Edu.2
O.Edu.3
O.Edu.4
O.O:1,3
,5
O.C:1,2
,3
O.A:1,2
,3
O.P:2.3
O.E:2,4,
5 *Verifică frontal temele;
*Verifică rezultatele
obținute de către elevi.
*Ver ifică frontal munca
independentă;
*Verifică rezultatele
obținute de către elevi.
* Prezintă temele pentru acasă la
control și verifică rezultatele
obținute:
ex. E1(a, d), pag.73.
*Prezintă munca independentă la
control și verifică rezultatele
obținute.
Portofolii
Manualul
[1]
Manualul
[3] Conversaț
ia
GLC
Observați
a
Analiza
Exercițiul
Sinteza Activitate
frontală,
în perechi
și
individuală Evaluarea
formativă:
-metoda
chestionării
orale;
-observarea
co-rectitudinii
rezul –
tatelor,sistemat
ic;
-verificarea
portofoliilor,
autoevaluarea
elevilor,
interevaluarea;
139
3 Informarea
Elevilor
asupra
obiective -lor
propuse
(2min) O.F.
O.O:1,2
,3,4,5
O.C:1,2
,3,4,5,6,
7,8,9
O.A:1,2
,3,4
O.P:1,2,
3
O.Edu:1
,2,
3,4
O.E:1,2,
3,4,5 * Scrie pe tablă titlul
lecției:
,,Metode de rezolvare a
sistemelor liniare.
Metoda lui Cramer”
* Enunță obiectivul
fundamental al lecției;
*Prezintă succint celelalte
obiective propuse. * Ascultă expunerea profesorului
și notează titlul lecției.
* Împart fișele de lucru S – V – A
De sistematizare a cunoștințelor
din conținutul lecției. Tabla
Creta albă
și colorată
Caietele
elevilor
Fișe de
lucru
S-V-A –
Anexa 1
Expunere
a
Conversaț
ia
Sinteza
Activitate
frontală,
în grupe și
individuală Observarea
sistematică.
4 Captarea
atenți ei
(2min) O.P.1,2,
3
O.Edu:1
,2,
3,4
O.E:1,2,
3,4,5 * Profesorul prezintă
câteva observații
referitoare la modul de
completare a fișelor de
lucru. *Ascultă explicația profesorului și
observă conținutul fișelor de lucru. Fișe de
lucru
S-V-A –
Anexa 1 Expunere
a
Explicația
Observați
a Activitate
Frontală și
individuală Observarea
sistematică.
5 Actuali –
zarea
cunoș –
tințelor
(5min)
O.O:2,4
,5
O.C:1,2
,3,4,5,6,
7
* Adresează întrebări
elevilor:
Î1: Ce semnifică noțiunea
de sistem de ecuațiiliniare
cu cel mult trei
necunoscute ?
Î2:Ce semnifică noțiunea
de soluție a unu isistem
(S) de ecuații liniare cu cel
mult trei necunoscute?
Î3: Ce înțelegem prin
noțiunea de sistem
compatibil de ecuații * Răspund la întrebări:
R1: Un sistem în care fiecare
ecuație are gradul I și cel mult 3
necunoscute se numește sistem de
ecuații liniare.
R2: Se numește soluție a
sistemului (S) orice n -uplu
,3, ,…,1 nCn
n
care este soluție pentru fiecare
ecuație a sistemului (S). Portofolii
Fișe de
lucru
S-V-A –
Anexa 1
Manualul
[1]
Manualul
[3] Conversaț
ia
Brainstor –
ming
Expunere
a
ObservațiActivitate
Frontală și
individuală Evaluarea
formativă:
– metoda
chestionării
orale;
– observarea
sistematică a
activității
elevilor;
140
O.A:1,2
,3,4
O.P:2,3
O.Edu.1
,2,
3,4
O.E:2,4,
5
liniare?
Î4: Ce înțelegem prin
noțiunea de sistem
compatibil determinat de
ecuații liniare?
Î5:Ce înțelegem prin
noțiunea de sistem
compatibil nedetermi -nat
de ecuații liniare?
Î6: Ce înțelegem prin
noțiunea de sistem
incompatibil de ecuații
liniare?
Î7:Ce înțelegem prin
noțiunea de sisteme
echivalente de ecuații
liniare cu cel mult trei
necunoscute?
R3: Un sistem de ecuații liniare se
numește compatibil dacă are cel
puțin o soluție.
R4:Un sistem de ecuații liniare se
numește compatibil deter minat
dacă are soluție unică.
R5: Un sistem de ecuații liniare se
numește compatibil nedeterminat
dacă admite mai multe soluții.
R6: Un sistem de ecuații liniare se
numește incompatibil dacă nu ar
esoluție.
R7: Se numesc sisteme
echivalente sistemele cu același tip
de compatibilitate, care au aceeași
mulțime a soluțiilor. a
Exercițiul
Munca
elevilor
cu
manualul
și cu alte
surse de
infor –
mare și
de
învățare.
Sinteza
Reflecția
– evaluarea
corectitudinii
răspunsurilor
formulate de
Către el evi;
– autoevaluarea
elevilor;
– interevaluarea
– metoda
exercițiului;
6 Captareaate
nției
(8 min) C.G.1
C.S.4,
C.S.5
C.G.2
C.S.4,
C.S.5
O.Edu.1 *Definește noțiunea de
sistem de ecuații liniare cu
cel mult trei necu -noscute
de tip Cramer ;
* Enunță teorema cu
regula lui Cramer;
*Prezintă la tablă metoda
lui Cramer și facilitează
învățarea : * Ascultă expunerea profesorului,
observă detaliile conținutului
teoretic al lecției, a nalizează și
sintetizează, coordonați de către
profesor, metoda lui Cramer de
rezolvare a sistemelor de ecuații
liniare cu cel mult trei
necunoscute;
*Notează explicațiile de la tablă,
referitoare la aplicarea metodei lui
Fișa de
lucru
S-V-A –
Anexa 1
Tabla și
creta albă Expunere
a
Modelare
a
Observați
a
Analiza Activitate
Frontală și
individuală Evaluarea
formativă:
– metoda
chestionării
orale;
– observarea
sistematică;
141
O.Edu.2
O.Edu.3
O.Edu.4
O.O:1,2
,3,4,5
O.C:1,2
,34,5,6,
7,8,9
O.A:1,2
,3,4
O.P:1,2,
3
O.E:1,2,
3,4 1) (S
1 )
;3 2 37 2
y xy x
;2 32 1)2
A
;082 32 1)3
Ce observăm?
4) Calculăm
2 32 7
x
3 371
y
5)Verificăm soluția;
6)Scriem mulțimea S a
soluțiilor.
Cramer pentru rezolvare
asistemul ui 1 din fișa de lucru;
*Observă că
)(0 S
Este compatibil determinat;
*Aplică formulele lui Cramer, trei
elevi, îndrumați de profesor,
pentru a afla soluția sistemului 1
din fișa de lucru:
-elevul 1:
;1;88;;8 6 142 32 7
x x xxx
-elevul 2:
;3 ;824;;24 2133 371
y y yyy
-elevul 3:
;)(3 3213)(7321)(1
AAS
S = {(1, 3)}
Caietele
elevilor
Fișa de
lucru
S-V-A-
Anexa 1
Tabla și
creta albă
Sinteza
Exerciț iul
Explicația
Problema
ti-zarea
Metoda
activității
pe bază
de fișe
Algoritmi
-zarea
Reflecția
– aprecierea
corectitudinii
răspunsurilor ;
– verificarea
Caietelor
elevilor;
– verificarea
activității
elevilor cu fișele
de lucru;
– verificarea
corectitudinii
Calculelor și a
rezultatelor;
–
autoevaluarea
elevilor;
142
7 Intensi –
ficarea
retenției,
asigura – rea
tran-
sferului și
obținerea de
perfor –
manță
(15min)
O.F.
C.G.1
C.S.4,
C.S.5
C.G.2
C.S.4,
C.S.5
O.Edu.1
O.Edu.2
O.Edu.3
* Antrenează elevii în
rezolvarea problemei de la
rubrica
,,Am învăța t”, propusă în
variantele de la Exa -menul
de Bacalaureat din anul
2009;
* Îndrumă, coordo –
neazăîn mod diferen -țiat
activitatea;
*Adresează întrebări
ajutătoare elevilor;
* Rezolvă problema propusă pe
fișele de lucru și în caiete, în mod
independent, după explicația
profesorului, pentru:
-înțelegerea datelor problemei:
S = {(1, 2, – 3)} este soluția unică
a sistemului (S)
0
;2 5
32112 511
m
mm
5202 5 0 m m
-aplicare și exersare:
;20 8
32 212 2113
22
mm
x
;34 5 143 2 11 2 513
2 32
m m mmm m
y
;28 12 22 212 2 52 1
2 32
m mmm m
z
-aprofundare și performanță:Caietele
elevilor
Culegerea
[4]
Portofolii
Fișa de
lucru
S-V-A-
Anexa 1
Caietele
elevilor
Exercițiul
Observați
a
Problema
-tizarea
Învățarea
prin des –
coperire
Explicația
Observați
a
Exercițiul
Activitate
Frontală și
individuală Evaluarea
formativă:
– metoda
exercițiului;
– metoda
chestionării
orale;
– observarea
sistematică;
-autoevaluar ea
elevilor;
143
O.Edu.4
O.O:1,2
,3,4,5,
O.C:1,2
,3
O.A:1,2
,3
O.P:2.3
O.E:2,4,
5
*Observă și evaluează
activitatea elevilor.
; 2,811;0 22 5 812 520 8
1
122
S mm mmm
xxx
* Participă la desfășurarea
activității.
;274 6,2;0 38 5 1422 534 5 14
2
22 32 3
S mm m mmm m m
yyy
. 2;230 8,2;0 34 15 12 212 528 12 2
1
3 2 132 33
R m S S SmS mm m mmm m
xzz
Fișa de
lucru
S-V-A-
Anexa 1
Tabla și
creta albă
Metoda
activități
pe bază
de fișe
Algoritmi
-zarea
Reflecția
-verificarea
corectitudinii
rezultatelor;
-metoda
chestionării
orale;
-observarea
sistematică;
-autoevaluarea
elevilor;
-verificarea
corectitudinii
rezultatelor;
8 Intensi –
ficarea
retenției și a
trans -ferului
(8 min) O.F.
C.G.1
C.S.4,
C.S.5
C.G.2
C.S.4,
C.S.5
O.Edu.1 * Propune spre
rezolvare sistemul 2 din
fișa de lucru S -V-A, de la
rubrica ,,Vreau Să Știu”:
;4 2 35 2)(
y xyxS
* Rezolvă problema propusă pe
fișele de lucru și în caiete, în mod
independent, după explicația
profesorului, pentru:
)( 072 312S
Compatibil determinat;
Manualul
[3]
Fișa de
lucru
S-V-A-
Anexa 1 Exercițiul
;
Observați
a
Metoda
activității
Activitate
frontală, în
grupe și
individuală
-chestionarea
orală ;
-observarea
sistematică;
144
O.Edu.2
O.Edu.3
O.Edu.4
O.O:1,2
,3,4,5
O.C:1,2
,34,5,6,
7,8,9
O.A:1,2
,3,4
O.P:1,2,
3
O.E:1,2,
3,4
;2 142 415 xx
;1 74352 yy
Verificarea soluției:
.1,2 ;)(41223)(5122)(
SAAS
Caietele
elevilor
Tabla și
creta albă
pe bază
de fișe
Algoritmi
-zarea
Reflecția -verificarea
rezultatelor;
-munca
independentă;
– autoevaluarea
elevilor;
9 Asigurarea
conexiunii
inverse
(2min)
O.E.1,2,
3,4 * Cere elevilor să facă o
analiză a erorilor, dacă
este cazul .
* Solicită elevilor să
rezolve și să compună
probleme asemănătoare,
ca muncă independentă .
* Prezintă și analizează erorile
frecvente, cu obiectivitate.
* Rețin recomandarea
profesorului.
Caietele
elevilor
Portofolii
Tabla și
creta albă Expunere
a
Conversaț
ia
Observați
a
Analiza
Sintaza
Învățarea
Prin
desco –
perire Activitate
Frontală și
individuală -chestionarea
orală;
-observarea
sistematică;
-verificarea
rezultatelor și
a portofoliilor
elevilor;
-reflecția;
–
interevaluarea;
10 Asigurarea
Retenției și
a
transferului
de
cunoșt ințe
(2min) O.A.3,4
O.P.3
O.E.1,2,
3,4
* Muncă independent
pentru vacanță:exerciții și
problem, la alegere pentru
fixarea și aprofundarea
cunoștințelor.
* Notează munca independent
propusă pentru perioada vacanței. Portofolii
Manualul
[1] Expunere
a
Conversaț
ia
ObservațiActivitate
Frontală și
individuală -metoda
chestionării
orale;
-observarea
sistematică.
145
a
11 Finalizarea
activității
(1min) O.E.3,4 * Încheie activitatea * Încheie activitatea Portofolii Conversaț
ia
finală Activitate
Frontală și
individuală
146
Proiectarea unității de învățare: Sisteme de ecuații liniare
Detalieri
de conținut
(lecții) Durata
Săptămâna
Durata
Compe tențe Activități de învățare Resurse Observații
asupra
demersului
didactic Forme
și metode
de evaluar e Mijloace Metode Forme de
organizare
Sisteme
liniare cu cel
mult 3
necunoscute;
forma
matriceală a
unui sistem
liniar
1 oră
C.G.1
C.S.1
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.2
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.3
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.4
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.6
C.S.1
C.S.2
C.S.6 *Scrierea în formă generală
a unui sistem de ecuații
liniare cu cel mult trei
necunoscute;
*Definiția noțiunii de sistem
omogen;
*Definiția noțiunilor de
matrice a coeficienților
sistemului, matricea
termenilor liberi ai
sistemului, *Recu noașterea
necunoscutelor sistemului și
scrierea matricei
necunoscutelor;
*Definiția noțiunii de soluție
a unui sistem de ecuații
liniare cu cel mult trei
necunoscute;
+Definirea noțiunilor de
sistem: compatibil,
incompatibil, compatibil
determinat, compati bil
nedeterminat;
*Defiția noțiunii de sisteme
echivalente;
*Scrierea în formă
matriceală a unui sistem de
ecuații liniare cu cel mult
trei necunoscute;
*Rezolvarea sistemelor de
ecuații liniare cu cel mult
trei necunoscute prin metoda
matriceală, folosind inversa
unei matrice. Tabla, creta
albă și
colorată;
Manualul de
referință;
Auxiliare
didactice:
– manuale
alternative;
– culegeri de
exerciții și
probleme;
-fișe de
cunoștințe;
– fișe de
lucru;
postere;
–
portofolii.
Expunerea
Observația
Conver sația
Demonstrația
Modelarea
Lectura
S-V-A
Brainstorming
Problemati –
zarea
Descoperirea
Algoritmiza -rea
Exercițiul
G.L.C.
Proiectul
Portofoliul
Reflecția Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
Activități
diferențiat e:
frontale,
individuale
și în grupe.
*Analiza
rezultatelor de la
testul sumativ.
* Verificarea temei
pentru acasă.
* Verificarea
activităților:
frontale, din grupele
de lucru, de studiu
individual și a
muncii
independente.
*Sistematizar ea
cunoștințelor.
*Realizarea de
portofolii.
*Aplicare și
exersare
direcționată.
:
*Evaluare frontală
și individuală,
inițială,
cu rol de
diagnostic.
*Evaluare
formativă:
– observația;
– verificarea temei
pentru acasă;
– verificarea
muncii
independente ;
autoevaluarea
interevaluarea
– chestionare;
– lucrări
practice;
-fișe de lucru;
– portofolii;
-proiectul;
-reflecții.
147
Metode de
rezolvare a
sistemelor
liniare: metoda
lui Cramer
2 ore
C.G.1
C.S.4,
C.S.5
C.G.2
C.S.4,
C.S.5
*Definirea n oțiunii de sistem de tip
Cramer;
*Enunțarea teoremei ( Regula lui
Cramer);
*Rezolvarea sistemelor de două
ecuații liniare cu două necunoscute
prin metoda lui Cramer;
* Rezolvarea sistemelor de trei
ecuații liniare cu trei necunoscute
prin metoda lui Cra mer;
*Aplicarea metodei lui Cramer la
rezolvarea sistemelor de ecuații
liniare cu cel mult trei necunoscute
pentru determinarea valorilor unor
parametri reali;
Tabla, creta
albă și colorată;
Manualul de
referință;
Auxiliare
didactice:
– manuale
alternat ive
– culegeri de
exerciții și
probleme;
– fișe de
cunoștințe;
– fișe de lucru;
– postere;
– portofolii.
Expunerea
Observația
Conversația
Demonstrația
Modelarea
Lectura
S-V-A
Brainstorming
Problemati –
zarea
Descoperirea
Algoritmiza –
rea
Exercițiul
G.L.C.
Cubul
Mozaicul
Proiectul
Portofoliul
Reflecția
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
* Verificarea temei
pentru acasă.
* Verificarea
activităților:
frontale, din grupele de
lucru, de studiu
individual și a muncii
independente .
*Sistematizarea
cunoștințelor.
*Realizarea de
portofolii.
*Aplicare și exersare
direcționată.
*Evaluare
formativă:
-observația;
– verificarea
temei pentru
acasă;
-verificarea
muncii
independente;
autoevaluarea;
interevaluarea;
– chestionare;
– lucrări
practice;
-fișe de lucru;
– portofolii;
– reflecții.
Metode de
rezolvare a
sistemelor
liniare: metoda
lui Gauss
2 ore
C.G.1
C.S.1
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.2
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.3
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.4
C.S.3
C.S.4
C.S.6 *Prezentarea metodei lui Gauss
numită și metoda eliminării parțiale
de rezolvare a sistemelor de ecuații
liniare cu cel mult trei necunoscute,
fără a utiliza determinanți;
*Definirea noțiun ilor: sisteme
echivalente, transformare elementară
de tipul1, transfor -mare elementară
de tipul 2;
*Prezentarea metodei eliminării
totale (Gauss -Jordan) de rezolvare a
sistemelor de ecuații liniare cu cel
mult trei necunoscute;
*Rezolvarea sistemelor de do uă
ecuații liniare cu două și cu trei
necunoscute prin metoda lui Gauss;
* Rezolvarea sistemelor de trei Manualul de
referință;
Auxiliare
didactice:
– manuale
alternative;
– culegeri de
exerciții și
probleme;
– fișe de lucru;
– postere;
– portofolii. Expunerea
Observația
Conversația
Demonstrația
imaginilor
Modelarea
Lectura
S-V-A
Brainstorming
Problemati –
zarea
Descoperirea
Algoritmiza –
rea;
G.L.C.
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
Activități
diferențiate:
frontale, *Verificarea temei
pentru acasă.
*Verificarea activități –
lor de studiu individual
și a muncii
independente.
*Sistematizarea
cunoștințelor.
*Realizarea de
portofolii.
*Aplicare și exersare
direcționată, pentru
integrarea și transferul
cunoștințelor, în
contexte aplicativ –
rezolutive variate.
*Evaluare
formativă:
-observația;
– verificarea
temei pent ru
acasă;
autoevaluarea;
interevaluarea;
– chestionare;
– lucrări
practice;
-fișe de lucru;
148
C.G.6
C.S.1
C.S.2
C.S.6 ecuații liniare cu trei necunoscute
prin metoda lui Gauss.
Calculatorul
electronic Exercițiul
Proiectul
Portofoliul
Reflecția
individuale
și în grupe.
– portofolii;
– reflecții.
Ore la dispoziția
profesorului.
Aplicații.
Probă de
evaluare orală
2 ore
C.G.1
C.S.1
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.2
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.3
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.4
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.6
C.S.1
C.S.2
C.S.6
*Rezolvarea sistemelor de ecuații
liniare prin metodele echivalente
învățate: metoda matriceală, metoda
lui Cramer, metoda lui Gauss,
metoda lui Gauss -Jordan;
*Verificarea sistem ului de cunoștințe
asimilate de către elevi și stabilirea
nivelului de competențe dobândite:
înțelegere, aplicare și exersare,
aprofundare și performanță, prin
rezolvare de exerciții și probleme
grupate după criteriile de notare, pe
fișe pentru teste de cu noștințe. Tabla, creta
albă și colorată;
Manualul de
referință;
Auxiliare
didactice:
– manuale
alternative;
– culegeri de
exerciții și
probleme;
– fișe pentru
teste de
cunoștințe
diferențiate,
pentru probă
orală, pentru
două grupe de
elelvi:
R.1, R,2.
Expunerea
Conversația
Observația
Modelarea
Problemati –
zarea
Descoperirea
Exercițiul
.
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
*Verificarea temei
pentru acasă ;
* Verificarea
activităților de studiu
individual și a muncii
independente.
* Teste de evaluare
orală, sumativă, pe
două grupe, cu
bilete cu itemi variați
obiectivi și
semiobiectivi, stabiliți
după criteriile de
notare.
*Evaluare
formativă:
-observa ția;
– verificarea
temei pentru
acasă;
autoevaluarea;
interevaluarea;
– portofolii;
– verificarea
activităților de
studiu individual
și a muncii
independente;
* Evaluare
sumativă:
– teste
pedagogice.
Evaluare
sumativă 1 oră
C.G.1
C.S.1
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.2
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.3
C.S.3
C.S.4
* Verificarea modului în care
și-au însușit elevii metodele de
rezolvare ale sistemelor de ecuații;
*Verificarea sistemului de cunoștințe
asimilate de că tre elevi și stabilirea
nivelului de competențe dobândite:
înțelegere, aplicare și exersare,
aprofundare și performanță, prin
rezolvare de exerciții și probleme Tabla, creta
albă și col orată;
Manualul de
referință;
Auxiliare
didactice:
– manuale
alternative;
– culegeri de
exerciții și
probleme;
– fișe pentru
Conversația
Observația
Modelarea
Problemati –
zarea
Descoperirea
Activități
diferențiate:
frontale,
individuale
și în grupe.
* Teste de evaluare
sumativă, pentru două
grupe de elevi, cu
bilete cu itemi variați
obiectivi și
semiobiectivi, stabiliți
după criteriile de
notare.
*Evaluare
formativă:
-observația;
– verificarea
temei pentru
acasă;
autoevaluarea;
interevaluarea;
– portofolii;
– verificarea
activităților de
studiu individual
149
C.S.6
C.G.4
C.S.3
C.S.4
C.S.6
C.G.6
C.S.1
C.S.2
C.S.6 grupate după criteriile de notare, pe
fișe pentru teste de cunoștințe. teste de
cunoștințe
diferențiate,
pentru probă
scrisă, pentru
două grupe de
elelvi:
R.1, R,2. Exercițiul
și a muncii
independente;
* Evaluare
sumativă:
– teste
pedagogice.
150
CONCLUZII
Pentru elevii clasei a XI -a determinanții și aplicațiile determinațiilor nu sunt noțiuni greu
de înțeles, dacă sunt tratate cu seriozitate și implicare. Însușirea cunoștințelor este cu atât mai
eficientă, cu cât se sprijină pe activitatea prop rie a elevului, care trebuie pus in fata unor întrebări,
fiind antrenat continuu in găsirea de noi legături, in stabilirea unor concluzii, in “descoperirea”
unor noi adevăruri. Munca în grup favorizează asimilarea conștientă a cunoștințelor de
matematica de către toți elevii, deoarece obligă la o gândire activă a tuturor in cadrul cooperării si
întrajutorării cu prilejul rezolvării problemelor atât la clasă cât si acasă. De altfel este foarte
important ca profesorul să capteze întreaga atenție a elevilor în cadrul orelor, să -și proiecteze
lecțiile în funcție de particularitățile grupului, să adapteze conținuturile în funcție de necesitățile
elevilor. Ceea ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunoștințele pe care elevul le posedă la
plecare. De obic ei, rezultatele școlarității sunt evaluate doar în raport cu performanțele la
examene sau concursuri școlare. Există însă, și alte componente ale succesului școlar, care nu pot
fi măsurate cu precizie, dar care sunt la fel de importante. Una dintre acestea este motivația pentru
învățare. Motivația cea mai bună provine din interesul elevului pentru tematica de care se ocupă .
De aceea, este util să dăm o mai mare atenție alegerii, formulării și prezentării problemelor pe care
le propunem. Pentru a deveni int eresantă, o problemă trebuie să fie relevantă, din punctul de
vedere al elevului. Ea trebuie să fie legată de activitatea cotidiană , să pornească de la un fapt
cunoscut, familiar, sau să aibă utilitate practică.
151
BIBLIOGRAFIE
H. Banea, Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești, 1998.
D. Brânzei, R. Brânzei, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2000 .
O. Bretscher, Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, 2005.
W. Brown, Matrices and vector spaces , M. Dekker, 1991.
G. Constantinescu, C. Chiteș, B. Singer, R. Ilie, Matematică, manual pentru clasa a XI -a,
Editura Sigma, București, 2005
Mircea Ganga, Matematică, manual pentru clasa a XI -a, Editura Mathpress, Ploiești,
2002.
W.H. Greub, Linear algebra , Graduate Texts in Mathematics, Springer -Verlag, 1975.
R. Horn, C. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press, 1985
C. Udriște, Algebră liniară, geometrie analitică , Geometry Balkan Press, București, 2005
C. Năstăsescu, C. Niță, I. Stănescu, Mate matică, manual pentru clasa a XI -a, Editura
Didactică Și Pedagogică, București, 1988.
Geo Petty , Profesorul azi, Metode moderne de predare , Ed. Atelier Didactic, Bucuresti, 2007
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol I, Editura Academiei, 1986
V. Bălan, Algebră liniară, geometrie analitică , ed. Fair Partners, București, 1999.
Mariana Pintilie, Metode moderne de învățare -evaluare , Editura Eurodidact, Cluj –
Napoca, 2003.
V. Pop, A. Magdaș, I. Diaconu, Matematică pentru grupurile de performanț ă, Editura
Dacia Educațional, Cluj -Napoca, 2005.
Radu, I. T. Evaluarea în procesul didactic, București, Editura Didactică și Pedagogică,
2000
1.2. 4. http://www -history.mc s.st-and.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: FACULTA TEA de MATEMATICĂ și INFORMATICĂ [611932] (ID: 611932)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.