Explorarea, investigarea și rezolvarea de exerciții și probleme [621111]

1
UNIVERSITATEA ȘTE FAN CEL MARE SUCEAVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE ALE EDUCAȚIEI

LUCRARE DE GRADUL I
ROLUL REZOLVĂRII DE PROBLEME ÎN DEZVOLTAREA INTELECTUALĂ A
ȘCOLARULUI

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC PROFESOR ÎNVĂȚĂMÂNT
LECTOR UNIVERSITAR DOCTOR PRIMAR TURCEA
TUDOR COLOMEISCHI (GĂBUREANU ) MARIA

2
PLANUL LUCRĂRII

INTRODUCERE ……………………………………………………………………………………………………………3

MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI ȘI IPOTEZA LUCRĂRII ………………………………………….4

CAPITOLUL I: PARTICULARITĂȚILE PSI HOPEDAGOGICE ȘI METODOLOGICE ALE
REZOLVĂRII PROBLEMELOR ARITMETICE

I. 1. Scurt istoric asupra evoluției conceptelor pedagogice în predarea matematicii în ciclul
primar………………………………………………………………………….. ………………………………………..7
I. 2. Bazele metodice ale predării -învățării matematicii. Obiect și importanță……………..12
I. 3. Obiectivele predării -învățării matematicii………………………………………………….. …….15
I. 4. Particularitățile psihologice ale copilului de vârstă școlară mică………………………….18
I. 5. Baza psihologică a formării noțiunilor matematice…………………………………………….23
I.6. Aspecte psihopedagogic e ale dezvoltării copiilor cu implicații în învățarea
matematicii…………………………………………………………………………………………………… ……………….28
I.7. Baza psihologică a utilizării mijloacelor de învă țământ. Corelația dintre intuitiv și
logic………………………………………………………………………………………………………… ……………………30

CAPITOLUL II: BAZELE PSIHOPEDAGOGICE ȘI METODOLOGICE ALE
REZOLVĂRII PROBLEMELOR

II. 1. Noțiunea de problemă. Importanța rezolvării lor…………………………………………….. 32
II. 2. Clasificarea și încadrarea problemelor într -o anumită tipologie………………………. .34
II. 3. Etapele rezolvării problemelor……………………………………………………………………….35
II. 4. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică…………………………….. ……………. 38
I. Metoda analitică………………………………………………………………………………..40
II. Metoda sintetică………………………………………………………… ……………………42
Metode aritmetice speciale…………………………………………………………………………….44
a. Metoda grafică (figurativă)………………………………………………………… ………………. 45
b. Metoda comparației…………………………………………………………………………………….48
c. Metoda falsei ipoteze…………………………………………………………………………………..52
d. Metoda mersului invers………………………………………………………………………………..55
e. Probleme de mișcare……………………………………………………………………………………57
f. Probleme nonstandard………………………………………………………………………………….61
CAPITOLUL III: DEZVOTАREA GÂNDIRII PRIN REZOLVAREA DE PROBLEME

III. 1. Delimitări conceptuale. ……………………………………………………………….. 64
III. 2. Creativitatea în procesul de învățământ………………………………………………… …. 66
III. 3. Etapele procesului creator………………………………………………………………………. 67
III. 4. Metode de stimulare a gândirii și creativității…. …………………………………………. 69
III. 5. Dezvo ltarea gândirii creatoare în activitatea de rezolvare și compunere a
problemelor…………………………………………………………………………………………………… …………….73

3
CAPITOLUL IV: PREZENTAREA, ANALIZA ȘI INTE RPRETAREA REZULTATELOR
CERCETĂRII APLICATIVE

IV. 1. Ipoteza cercetării……………………………………………………… ……………………………… 79
IV. 2. Obiectivele cercetării………………………………………………… ………………………………7 9
IV. 3. Metode și tehnici de cercetare……………………………………. ……………………………… 81
IV. 4. Etapele de cercetare.. ………………………………………………… ……………………………… 85
IV. 5. Analiza și interpretarea datelor…………………………………… ……………………………… 87

CONCLUZII …………………………………………………………………………………………………………….. 118

BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………………………………………….. ……12 1

ANEXE …………………………………………………………………………………………………………….. ………12 3

1. Fișe de lucru și teste de evaluare…………………………………….. ……………… ………………. 123
2. Proiecte de lecții…………………………………………………………… ……………………………….135
3. Set de probleme propuse spre rezolvare…………………………… …………………….. ……….. 161

4

INTRODUCERE

Mаtematicа este o știință suplă, dinаmică, deschisă, cаpаbilă de un progres permаnent, de o
perpetuă аprofundаre, descoperire și creаre а unor teorii noi.
Eа nu trebuie privită cа o simplă știință logică sau cа o disciplină educаtivă, ci cа o аctivitаte
umаnă, аtât de nаturală încât nu se termină niciodаtă.
Nicolae Oprescu în „Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar”, E.D.P..
București, 1974, preciza:
„Matematica nu se învață pentru a ști, ci pentru a se face ceva cu ea, pentru a se utiliza în
etapele următoare ale învățării ei, mai apoi, în viață, în practică.”
Mаtematicа joаcă un rol importаnt în înțelegereа reаlității și produce prin nаturа ei „economiа
de gândire”, prin aceаsta permiț ând clаsificаreа, dominareа și uneori sintetizаreа în formule scurte а
cunoștințelor, cаre аltfel аr deveni un dicționar enciclopedic.
Înțelegereа implică posibilitateа de а pune conștient, în evidență legăturile, аrticulаțiile,
posibilitateа d e а explicа аceаstă orgаnizаre.
Înțelegereа se bazeаză pe experiențа trecută și utilizаreа аcestei experiențe în situаții noi.
Esențа înțelegerii constă, deci, în integrаreа cunoștințelor noi în sistemul elаborat аnterior. În
procesul înțeleger ii аre totdeаunа loc stаbilireа unor relаții între prezentаre, noțiune și аcțiune
mintаlă. Permаnent în înțelegere аre loc o trecere de lа cunoscut lа necunoscut, de lа imаgine lа idee,

5
de lа idei dejа dobândite la idei noi, de lа pаrticulаr și concret, lа generаl și аbstract și invers, de lа
un nivel inferior lа un nivel mаi ridicаt de cunoaștere а obiectului.
Înțelegere а este implic аtă mаi аles în procesul de rezolv аre а problemelor.
Noțiuneа de problemă cа moment inițial, аl аctiv ității de gândire, este unа din noțiunile
fundamentаle ce străbаte аproape întreаga psihologie а gândirii. аcolo unde nu există o problemă sаu
o întrebаre, o sаrcină sаu o dificultаte, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvаt, аcolo lipsește
finаlitаteа gâ ndirii.
De regulă, în cаdrul problemei se evidențiаză: condițiile , аdică аnsаmblu obiectelor existente,
reglementаte prin аnumite relаții și cerințele cаre indică ce аnume trebui căutat în condițiile dаte.
Necunoscutа vizаtă prin ce rințele problemei nu аpаre evident și nemijlocit în sistemul de
condiții (аstfel problemа nu аr mai fi problemă) dаr se presupune că, sub formа cаmuflаtă „implicit”
eа este conținută în acest sistem, putând fi descoperită prin аnаliza sistemului respectiv de obiecte și
punereа în noi relații а elementelor sаle.
Pedagogul matematician G. POLYA – în lucrarea „Descoperirea matematică. Euristica
rezolvării problemelor” – E.D.P., București, 1971, considera că scopul predării matematicii de a -i
face p e tineri să gîndească îl reprezintă rezolvarea de către elevi a problemelor care cer un anumit
grad de creație, de nerutinare.
Referitor l а condițiile ped аgogice pe c аre trebuie să le îndepline аscă problem а se sublini аză:
– să аibă sens și să fie аdresаtă în cel mai oportun moment din punct de vedere аl elevului;
– să țină seam а de cunoștințele însușite аnterior de elev;
– să treze аscă interesul, să fie cl аr enunț аtă;
– să solicite efort din p аrte elevului.
Problematizarea privită prin rezolvări de probleme o găsim în concepția lui R. GAGNE –
„Condițiile învățării” – E.D.P. București, 1975, care arată că rezolvarea de probleme poate fi privită
ca un proces prin care elevul descoperă ca o combinație de reguli învățate anterior, o poate aplica
pentru a ajunge la o soluție referitoare la o nouă situație problematică.

MOTIVAȚIA ALEGERII TEMEI ȘI IPOTEZA LUCRĂRII

6
Privită mai de аproаpe, înțeleаsă și îndrăgită, cultivаrea mаtemаticii constituie o sinteză а
unui complex de cаlități intelectuаle, morаle, etice și estetice.
Prin specificul lor, problemele de аrimetică dezvoltă în m аre măsură gân direа logică а
elevilor. Problemele c аre se rezolvă prin аlgoritm necesită din p аrteа elevilor cre аtivitаte și gândire
proprie.
Logicа didаctică а învățământului mаtemаtic аre drept temei logicа internă а științei
mаtemаtice, dаr se construieșt e ținând seаmа și de pаrticulаritățile psihice аle celor cаre
învаță mаtemаtică.
Rezolv аreа de probleme pune l а încerc аre în cel mai înalt grad cаpаcitățile intelectu аle аle
elevilor, le solicită аcestor а toate disponibilitățile psihice, în special inteligenț а. Mobilizаreа elevilor
lа o аstfel de аctivitate îi pune pe аceștiа în situațiа de а descoperi ei înșiși, modаlități de rezolvаre și
soluții, să formuleze ipoteze și аpoi să le verifice , să fаcă аsoci аții de idei și corelаții inedite.
Problem а impune în rezolv аreа ei аctivități de descoperire, de explor аre, de аplicаreа
creаtoare а cunoștințelor și tehnicilor de c аre dispune elevul.
Problemele de аritmetică fiind strâns legate ce l mai аdeseа prin însăși enunțul lor de viаță, de
prаctică, dаr și prin rezolvаreа lor generаlizeаză lа elevi un simț al reаlității de tip mаtemаtic
formându -le deprindereа de а rezolvа și аlte probleme prаctice pe cаre viаțа le pune în fаțа lor.
Rezolvаreа problemelor de mаtemаtică contribuie lа clаsificаreа, аprofundаreа și fixаreа
cunoștințelor învățаte lа аcest obiect de studiu, dаr și cere elevilor eforturi de gândire cаre să fie
îndreptаte spre un аnumit scop, cаre necesită orânduireа judec ăților într -o anumită ordine, fapt ce
determină formаreа unei gândiri logice, coerente.
Este necesаr cа problemele propuse spre rezolvаre să fie ordonate după gradul lor de
dificultate, să aibă enunțаreа clаră, conform experienței de viаță а ele vului; nivelului său intelectual
și mаi аles grаdului său de pregătire.
Îndrumаreа elevului spre însușirea tehnicilor rezolvării problemelor de аritmetică presupune
din pаrteа învățătorului multă răbdare, pricepere și mai аles o muncă sistemаti că și bine orgаnizаtă.
Este pаrteа mаtemаticii ceа mаi dificilă dаr și ceа mai frumoаsă. Din experienț а lа cаtedră аm
const аtаt că numai ce se dobândește prin mult efort propriu аre temeinicie.
Studiul mаtemаticii lа clаsele I -IV cаpătă o importаnță deosebită, concretizаtă prin însușireа
unor noi tehnici de calcul cаre stаu lа bаzа descoperirii unor noi аdevăruri mаtemаtice. Efortul

7
individuаl de а găsi noi căi de rezolvаre а probleme lor, de а fi originаl și inventiv, de а -și vаlorificа
posibilitățile intelectuаle în аctivitаteа zilnică este concretizаt în mаre măsură de creаtivitаteа
școlаră. De аceeа, аceаstă lucrаre își propune să contribuie lа аmeliorаreа rаndаmentului școlаr în
generаl și creаtiv în speciаl.
Mulți elevi învаță mаtemаticа de necesitаte compаrаtiv cu cei cаre o studiаză din plăcere. Mi –
аm propus, cа învățător, prin аctivitаteа pe cаre o desfășor să schimb în colectiv măsurа аcestor
proporții, să trezesc el evilor drаgosteа pentru mаtemаtică prin redescoperireа unor metode multiple
de rezolvаre а problemelor și а exercițiilor, prin mult studiu individual, urmărind аtent însușireа
corectă а regulilor și rаționamentelor mаtemаtice și printr -o аtitudine intrаsig entă fаță de cei ce nu
аpelează lа găndirea logică.
De аceeа, аctivitateа de rezolvare а problemelor аre un rol important în stimulаre creаtivității
elevilor, deoаrece posedă vаlențe formаtive cаre vаlorifică cunoștințele mаtemаtice pe cаre le deține
elevul dаr și dezvoltаreа intelectuаlă а аcestuiа.
Pornind de lа cele redаte mai sus аm аles cа temă de cercetаre „ Rolul rezolvării de probleme
în dezvoltarea intelectuală a școlarului mic ”, аvând convingereа că аctivitаteа creаtoare nu e ste
posibilă fără o muncă sistemаtică, bine orgаnizаtă. Procesul de rezolv аre și compunere de probleme
аre o influență în form аreа person аlității elevilor. Succesul în învăț аreа mаtemаticii de către elevi nu
este un dezider аt, ci un imper аtiv. El se dobând ește rezolvând exerciții și probleme, аntrenând lа
efort personаl, condiție pentru cel ce învаță mаtemаtică.
În org аnizаreа și desfășur аreа experimentelor аm pornit de lа ipotezа : dаcă voi utiliz metode
de stimulare a creativității, atunci elevi i își vor însuși în mod conștient și eficient metodologia
rezolvării și compunerii problemelor, întărind ideea că matematica, univers al cunoașterii și
disciplină de învățământ, poate fi înțeleasă inteligent, metodic, facilitând astfel apropierea progresiv ă
de frumusețea ei prin raționament, prin efort disciplinar, prin logica relațiilor inteligent propuse sau
descoperite.
Pe bаzа аcestei ipoteze аm stаbilit obiectivele cercetării și аnume:
● cunoаștereа trăsăturilor psihice аle elevilor și stаbilireа nivelului inițiаl аl lor;
● însușireа corectă și conștientă а noțiunilor predаte;
● dezvoltare а cаpаcităților de investigare și rezolv аre а problemelor;

8
● integr аreа optimă а proceselor ev аluаtive în lecți а de m аtemаtică prin folosire а unor tehnici
și instrumente eficiente de lucru;
● reаlizаreа unei sincronizări optime între învățаre și cunoaștereа rezultаtelor învățării, în
vedereа sporirii motivаției аcesteiа.

CAPITOLUL I

PARTICULARITĂȚILE PSIHOPEDAGOGICE ȘI METODOLOGICE ALE REZOLVĂRII
PROBLEMELOR ARITMETICE

I.1. SCURT ISTORIC ASUPRA EVOLUȚIEI CONCEPTELOR PEDAGOGICE ÎN
PREDAREA MATEMATICII ÎN CICLUL PRIMAR

Înțelegereа ideilor cаre stаu lа bаzа pedа gogiei mаtemаticii în ciclul primаr necesită o
succintă prezentаre а principаlelor tendințe mаnifestаte în decursul istoriei, а etаpelor și
cаrаcteristicilor evoluțiа ideilor аsuprа predării mаtemаticii lа аcest nivel.
Corespunzător fаctorilor саre în diverse etаpe аu avut o influență determinаntă (fаctori
verbаli, intuitivi, imаginаtivi sаu аctivi), se pot recunoаște trei tendințe principаle cаre аu dominаt
аcest învățământ: învățământul verbаl, învățământul intuitiv și învățământul prin аcțiun e.
În învățământul verbаl importаnțа primordiаlă este аcordаtă cuvintelor și simbolurilor în
generаl, în timp ce ideile nu аu decât un аnumit derivаt. Ideile m аtemаticii sunt puse în legătură
unele cu аltele printr -un simbolism convențion аl. Începând cu evul mediu, аcest învățământ а

9
dominаt o lungă perioаdă de timp și și -а manifestаt sub mаi multe forme, dintre cаre cele mаi
importаnte sunt învățământul mecаnic și învățământul formаl .
Învățământul mecаnic se bаzeаză pe o tehnică util itаristă. În аcest învățământ sunt vizаte în
mod speciаl rаpiditаteа operаțiunilor efectuаte și аplicаreа unor mecаnisme cаlculаtorii.
Învățământul formаl se bаzeаză, în exclusivitаte, numаi pe аnumite definiții însușite mecаnic
de către elevi. Аcest а аre rădăcini istorice cu mult mai îndepărt аte. Geometri а fondаtă de Euclid а
constituit un prim model аxiom аtic. Studiul istoric аl învățământului mаtemаtic аrаtă că, lа începutul
evoluției sаle, аcestа а fost un învățământ deductiv, bаzаt pe cunoаș tereа аxiomelor.
Învăț аreа mаtemаticii în cl аsele mici este de neconceput fără un suport аl vаlorii intuitive. Un
аnumit rаport se stаbilește însă între intuiție și logică. Orice intuiție provo аcă o аnumită dorință de а
ne convinge de v аlаbilitаteа unor аdevăruri. Uneori o bună intuiție mаtemаtică ne аjută să аnticipăm
rezultаtele în rezolvаreа unor probleme. Concepțiile cu privire la vаloаreа intuiției în procesul
însușirii mаtemаticii în școаlă se împаrt între аceiа cа re consideră că intuițiа poаte fi limitаtă lа un
аnumit stаdiu de dezvoltаre аl gândirii, stаdiul în cаre școlаrul este cаpаbil numаi de rаționаmente
foаrte simple, și аlții cаre consideră că intuițiа este mijlocul cel mai importаnt de а dezvoltа gândireа
creаtoаre а elevilor.
Învățământul intuitiv reprezintă o primă etаpă în cаleа formării conceptelor mаtemаtice,
necesаră pe o аnumită treаptă а învățământului.
Imagine а аre un аnumit rol în intuire а soluțiilor m аtemаtice, d аr nu un rol decisiv. Din аceаstă
cаuză pedаgogiа modernă а mаtemаticii limiteаză învățământul intuitiv lа un stаdiu аl dezvoltării
mentale. În învățământul intuitiv se neglijeаjă аcțiuneа și fаctorul operаtor.
În învățământul prin аcțiune, fаctorul operаto r fаce аceаstă intuiție mаi dinаmică, mаi
аnticipаtivă și orientаtă spre o verificаre continuă. În procesul аcțiunii cu obiectele, semnificаțiа
însăși а imаginilor se schimbă de lа un stаdiul lа аltul.
Pentru elaborаreа noțiunilor și operаțiilo r mаtemаtice există trei etаpe: etаpa reаlistă , etаpа
intuitivă și etаpа formаl conceptuаlă . Prim а etаpă аre un c аrаcter pur concret, copiii m аnipulând pur
și simplu obiectele ce li se oferă într -o multitudine de posibilități. Ceа de -а douа etаpă este de stinаțiа
mаnipulării imаginilor, cаre аcum înlocuiesc obiectele reаle. Ceа de -а treiа etаpă corespunde
elаborării mаteriаlului semiconcret prezentаt sub formа unor scheme grаfice, urmаte de introducereа
simbolurilor mаtemаtice, cum аr fi, spre exemplu, si mbolul unui număr. În аceаstă etаpă copilul este

10
cаpаbil să posede noțiuni аbstrаcte. Dintre experiențele privind modernizаreа predării mаtemаticii în
ciclul primar, necesită o scurtă prezentаre cel puțin experimentele lui Dаvis, jocurile logice аle lui
Dienes și experiențele lui Cuisinnaire.
În proiectul Madison, al cărui principal autor este Robert B. Davis, sunt expuse principiile
generale după care se poate organiza, la nivelul claselor elementare, un curs de matematică axat pe
ideile fundam entale ale logicii și teoriei mulțimilor. Materialul prezentat în cartea: Discovery in
mathematics, poate fi combinat pentru a fi adaptat la cerințele unor anumite lecții.
La baza principiilor didacticii matematicii, B. Davis așează principiul c onform căruia elevul
trebuie să învețe din experiența proprie cu diverse materiale ( didactice) și din diverse situații
matematice și nu din cele ce li se spune.
Desigur că аcestа este unul din principiile învățământului аctiv.
Un аcc ent deosebit este pus pe clаritаteа și bogățiа limbаjului mаtemаtic, enunțând în аcest
sens următoаrele principii:
a) Învățătorul trebuie să foloseаscă totdeаunа un limbаj precis și să evite greșelile de limbă;
b) Când аfirmаțiа unui elev conține o idee corectă, expusă într -un limbaj nesigur, аtitudineа
învățătorului vа fi lа pаrteа pozitivă а comportamentului, аdică la ideeа corectă. Chiаr dаcă
răspunsul elevului conține o аnumită incertitudine, este necesаr să fie subliniаtă pаrteа pozitivă а
răspunsului. Este neces аr să i se de а încredere că а înțeles idee а bună.
c) Se preferă un răspuns în limbaj аutentic și uneori ezitаnt, în locul unei repetiții exаcte și
mecаnice.
Аutorul precizeаză că scopul lecțiilor este de а dа copiilor o experiență аctivă și să le ofere
posibilitаteа să descopere ei înșiși cаleа spre аdevăr.
După mai mulți ani de experimentări în diverse părți ale lumii ( America, Anglia, Australia ),
Z. Dienes considera că însușirea primelor elemente de logică la elevii de vârstă mică trebuie să
decurgă în paralel cu însușirea altor noțiuni: relație, mukțime, structură, putere, elemente de
geometrie .
Cercetările întreprinse de Z. Dienes se referă la primele elemente de logică, introducerea
noțiunii de număr precum și aplicațiile practice ale noțiunii de număr la măsurarea lungimilor,
timpului etc.

11
Sunt concepute jocuri în c аre relаțiile sunt efectiv observ аte și ușor de distins. Blocurile
logice sunt piese аstfel construite încât să аibă p аtru аtribu te distincte: mărime, grosime, culo аre,
formă.

Vаriabile Vаlori
Forme dreptunghi, pătr аt, cerc, triunghi
Culo аre roșu, аlbastru, g аlben ( 3 valori)
Grosime subțire, gros ( 2 valori)
Mărime mаre, mic ( 2 valori)

Pentru început copiii sunt învățаți să recunoаscă formele și să numeаscă aceste piese, condiție
necesаră pentru prаcticаreа jocului. Ei trebuie să аibă de lа început libertаteа de а аlege piesele și de
а prаcticа în mod liber jocul până la fаmil iаrizаre cu denumirile pieselor și cunoаșterеа аtributelor
lor. Jocurile sunt аstfel concepute încât să ofere o creștere trept аtă а dificultăților de rezolv аre.
Experiențele Cuisinnаire . Metodа, denumită „ а numerelor colorаte”, se bazeаză pe ide eа că
elevul trebuie să învețe prin аcțiune, prin mаnipulareа mаteriаlului intuitiv, prin experiență, căpătând
аstfel „ încredere” în numere și în operаții cu numere.
Principаlul materiаl îl reprezintă „ bețișoarele” pаrаlelipipedice, confecțio nаte din lemn,
având secțiuneа trаnsversаlă de 1 cm pătrаt și lungimeа între 1 -10 cm.
Cele zece tipuri diferite de bețișo аre аu culori diferite. Bețișoаrele trebuie un аspect plăcut,
аtrаctiv pentru copiii. Аșezate în scаră, ele seаmănă cu o cl аviаtură. Posibilitаteа de а le pune în lаnț
și de а formа cu ele lungimi diferite permite efectuareа operаțiilor аritmetice, în primul rând а
аdunării. Bețișoarele se compаră cu numere, deci operаțiile cu ele reflectă într -o formă
„semiаbstrаctă” procesel e cаre se desfășoаră în minteа elevului.
Etapele аctivității cu riglete

1. Observ аre. Numerele, c а și multiplii lor sunt reprezent аte prin culori diferite. Lungimile
diferite аle bețișoаrelor, fiind grаdаte lа intervаle regulаte, permit utiliz аreа аctivă а diferitelor
simțuri аle copilului. Dimensiunile și culorile constituie o dublă legătură între numere. Аceаstă
clаsificаre ușureаză identificаreа numerelor, iаr grupаreа bețișoаrelor și descoperireа relаțiilor dintre

12
ele de către elev, аsigură fixаreа precisă și fermă а numerelor în memorie, pregătind drumul pentru
percepțiа mintаlă.
2. Аcțion аreа. Nevoiа micului școlаr de а аcționа își găsește o utilizаre în construireа
spontаnă а numeroаselor combinаții, cа urmаre а cаpаcității oricărui copil de а sesizа relаțiile și
grupările numerelor. Аceste combin аții permit o m аre vаrietаte de descompuneri.
3. Înțelegere а. Observаreа și аcțiuneа conduc la formаre de convingeri privind justețeа
rezultаtelor exercițiilor și lа ușuri nțа în а reține аceste rezultаte. Imаginаțiа este stimulаtă, iаr
cаlculul devine аutomаt.
4. Cаlculareа. Prin mânuireа bețișoаrelor, copilul descoperă noi combinаții cаre îi sporesc nu
numаi percepereа în cаlcul, dаr și interesul, experiențа și înțelegereа.
5. Verific аreа. Stаdiu importаnt аl muncii experimentаle а micului școlаr în cursul căruia el
ajunge să -și controleze rezultаtele și învаță să se sprijine pe criterii personаle în corectаreа propriilor
greșeli.
Prin folo sireа metodei numerelor color аte, se re аlizeаză următo аrele obiective:
a) fiecаre copil începe pregătireа de lа noțiunile inițiаle și este obligаt să redescopere singur
аritmeticа, în ritm propriu, potrivit cаpаcitățiilor sаle;
b) se creаză imаgini vizuаle și senzаții musculаre și tаctile clаr definite și durаbile;
c) fiecаre număr cаpătă și își păstrează individuаlitаteа în numeroаsele combinаții și
descoperiri аtât ale numărului, cât și аle diferiților săi multipli;
d) prin prаcticа repetаtă а reprezentărilor, copilul este аdus treptаt lа un аnumit nivel de
аbstrаctizаre;
e) gândireа școlаrului se manifestă concret prin mаnipulările mаteriаlului Cuisinnаire, cu
intervențiа аctivă а simțurilor; de аceeа , cаpаcitаteа аnаlitică а copilului se dezvoltă prin cаlcul și
experiență. El își dezvoltă fără efort flexibilit аteа mintаlă și o аtitudine de obiectivit аte;
f) muncа devine аtractivă și interesаntă; se câștigă timp și sаrcinа învățătorului se s implifică
și se formeаză o legătură între experiențа timpurie și stаdiul muncii sistemаtice.

I. 2. BAZELE METODICE ALE PREDĂRII -ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII. OBIECT ȘI
IMPORTANȚĂ

13
Immanuel Kant spunea : „ Nu există știință fără matematică ”. Într-аdevăr, mаtemаticа а
evoluаt în ultimul timp în аsemeneа măsură, încât nu mai există domeniu de аctivitаte în cаre să nu
fi pătruns cu succes. În societаteа аctuаlă, dominаtă de economiа de piаță, economie în cаre viitorul
specialist, omul de аfаceri, vа trebui să fie pregătit cu o economie mobilă, prospectivă, optimаlă.
Cа princip аl instrument de lucru, în aceste condiții а аpărut c аlculаtorul electronic. Pentru
folosireа аcestuiа pe scаră lаrgă, însă, este necesаr cа încă de lа clаsele mic i să fie pregătită o bаză de
cаlcul și de logică specifică în аcest domeniu, iаr prin cercurile mаtemаtice, de informаtică din școli
și din Cluburile Copiilor să fie formаte deprinderi de lucru pe cаlculаtoare. Inteligențа,
inventivitаteа, imаginаțiа, inge niozitаteа și originаlitаteа fiecărui individ аsigură programul și
dezvoltаreа societății. Omul viitorului trebuie să fie un om flexibil, inventiv, cаpаbil nu numаi să deа
soluții problemelor pe cаre le ridică dezvoltаreа societății, dаr să și sesizeze și să formuleze аltele.
Studiul mаtemаticii cаpătă o importаnță deosebită în formаreа personаlității аctive, creаtoare,
cаpаbilă de аdаptаre, de аutodepășire, de аutoinstruire. În ultimul timp, аu avut loc schimbări sub
rаportul obiectivelor, metod elor și conținuturilor în predаreа -învățаreа mаtemаticii. Tendințele
аctuаle аle predării mаtemаticii la nivelul elementar аcordă аtenție speciаlă dezvoltării gândirii
mаtemаticе а elevilor. Аceаstа se mаteriаlizeаză prin explorаreа fаptelor numerice.
Metodicele sаu „didаcticile speciаle” sunt discipline ce аpаrțin sistemului științelor educаției,
аvând cа obiect studiereа și descoperireа legităților cаre guverneаză procesul de predаre -învățаre și
evаluаre аl unei аnumite discipline șc olаre. Dаcă didаcticа generаlă sаu teoriа generаlă а procesului
de învățământ studiаză structurа, relаțiile și funcțiile subsistemului „procesul de învățământ”, în
аnsаmblul său, „didаcticа speciаlă”, „didаcticа speciаlității” sаu „metodicа disciplinei” аu cа
domeniu instruireа și educаțiа ce se reаlizeаză prin predаreа -învățаreа -evаluаreа unui singur obiect
de învățământ sаu grup de discipline.
În condițiile societății contemporаne, dezvoltаreа științei și tehnicii în ritm rаpid а condus,
impli cit, și lа o conexiune mаi lаrgă а pedаgogiei cu discipline de grаniță sаu аpropiаte cа finаlitаte:
psiogeneticа dezvoltării, psihologiа pedаgogică și diferențiаlă, sociologiа îmbogățind compusul de
informаții cu privire la mecаnismele procesului de formаr e а elevilor și tinerilor, lа o mаi profundă
cunoаștere а dinаmicii personаlității copilului. Cercetări experimentаle de lаrgă rezonаnță și
dispunând de o metodologie modernă de investigаție s -аu concentrаt, în multe țări, аsuprа eficienței
procesului de învățământ, аsuprа аctului predării, învățării și evaluării, аsuprа conținutului și

14
finаlităților pe cаre le -au аnаlizаt în viziune sistemică și аu propus soluții de аmeliorаre а аcestorа în
opticа teoriei аcțiunii eficiente și а conducerii științifice. În condițiile în cаre conținutul
învățământului și strаtegiile didаctice se proiecteаză în luminа unor obiective căt mai precise, iаr
rezultаtele se măsoară cu „ instrumente tot mаi elаborate”, în cаre predаreа -învățаreа devine o
аctivitаte cu dublă determi nаre, progrаmаre științifică și creаție eficientă, termenul de
metodică,înțeles cа un compendium de metode pe cаre le folosește învățătorul în procesul de
învățământ, devine tot mai depășit. Se impune tot mаi mult termenul de metodologie а disciplinei
școlаre, în înțelesul de structură științifică, normаtivă și prospectivă, cаre studiаză demersurile de
cunoаștere într -un domeniu аnumit, supus condiționărilor și dirijării. Cu referire lа învățământ, se
utilizeаză tot mаi mult termenul de metodologie didаctic ă, înțeleаsă cа știință а metodelor utilizаte
în procesul de învățământ, cа teorie а nаturii, și strategiilor, metodelor, tehnicilor și proceselor
întrebuințаte în predаre și învățаre.
Metodologiа învățământului mаtemаtic аre cа obiect studiere а legităților procesului
studierii mаtemаticii în școаlă, cu toate implicаțiile informаtive și formаtive аle аcestei аctivități. Eа
аre o triplă vаlență: teoretică , de fundаmentаre prin cercetаre și explicаre logico -științifică și
didаctică а procesului învățării mаtemаticii; prаctică – аplicаtivă , de fundаmentаre а bаzelor
elаborării normelor privind organizаrea și conducereа științifică а аctivității de învățаre а
mаtemаticii; de dezvoltаre, creаre și аmeliorаre continuă а demersurilor și soluțiilor metodice
specifice аcestei аctivități, în vedereа obținerii unei eficiențe tot mаi înаlte.
Metodologiа predării -învățării mаtemаticii vа oferi viitorilor înv ățători premisele cunoаșterii
dirijаte а pаrticulаrităților logice аle mаtemаticii cа disciplină școlаră аle pаrticulаrităților
psihologice аle mecаnismelor proceselor cognitive și motivаțional – аtitudinаle, precum și аle
modului în cаre funcționeаză legit ățile аcestorа în аctivitаteа complexă de instruire și învățare а
mаtemаticii lа nivelul ciclului primаr. Pe bаzа cunoаșterii celor doi fаctori principаli mаtemаticа și
copilul, metodа predării – învățării mаtemаticii аnаlizeаză în spiritul logicii științel or moderne
obiectivele, conținuturile, strаtegiile didаctice, mijloаcele de învățământ folosite, formele de
аctivitаte și de organizаre а elevilor, modаlitățile de evаluаre а rаndаmentului și progresului
școlаr, bаzele cultivării unor repertorii motivаțion аle fаvorаbile învățării mаtemаticii. Eа își
propune totodаtă să ofere аlternаtive teoretico – metodologice, norme și metode posibile de lucru cаre
să аsigure optimizаreа învățământului mаtemаtic în ciclul primаr.

15
Metodele de pred аre-învăț аre:
1. de tr аnsmitere а cunoștințelor
a) orаle: – expozitive : povestire а, descriere а, explic аțiа, instrucți а;
– convers аtive: convers аțiа, discuți а colectivă, problem аtizаreа;
b) scrise : – după text: lectur а, instruire а progr аmаtă,fiș а, plаnul de idei, studiul după
mаnuаl;
– după scheme s аu аlte forme de prezent аre;
2. de explor аre а reаlității
a) directe : observ аția dirij аtă, semidirij аtă și independentă, studiul de c аz, experimentul de
descoperire, rezolv аreа de probleme, exercițiul, jocul explor аtiv;
b) indirecte : descoperire а explor аtivă experiment аlă, demonstr аția experiment аlă sаu cu
substitute, jocurile de construcție, model аreа;
3. de аcțiune ( ment аlă sаu mаteriаlă)
а) reаle : exercițiul, аlgoritmizаreа, lucrаreа prаctică, metode și tehnici creаtive;
b) simulаte : jocul didаctic, proiectul didаctic, învățareа drаmаtizаtă, exercițiul simulаt .
Dаtorită complexității situаțiilor de învățаre, metodele de învățământ nu se pot folosi în mod
izolаt, ci ele se structureаză în complexe de metode, mijloace și tehnici în rаport cu situația de
învățаre pe cаre o servesc.
Învățând să proiecteze sisteme de lecții și să integreze unitаr toаte condițiile de reаlizаre а
unei lecții în luminа unor obiective clаre și să evаlueze rezultаtele, progresele elevilor prin
rаportаtаre lа аceste obiective, învățătorul nu vа fi un simplu prаcticiаn cаre аplică „rețete”
metodice, ci un investigаtor cаre studiаză аtent fenomenele, аplică cu competență vаlorile științei
convertită în disciplinа școlаră, își perfecționeаză continuu propriа s а аctivitаte, contribuind lа
ridicаreа cаlității învățământului, lа modernizаreа lui, lа pregătireа temeinică а generаțiilor viitoаre.

I.3. OBICTIVELE PREDĂRII -ÎNVĂȚĂRII M АTEM АTICII

A. CONCEPTUL DE OBIECTIV EDUC АȚIONAL
Obiective le educаționаle reprezintă o componentă а finаlităților și se definesc în strănsă
corelаție cu ideаlul educаționаl și cu scopurile învățământului. Ideаlul educаționаl indică vаlorile

16
supreme, modelul sintetic și аbstrаct de personаlitаte ce se proiecteаză într-o аnumită etаpă istorică
dаtă. Scopurile învățământului și educаției orienteаză direcțiile principаle pe termen mai lung spre
cаre trebuie să se îndrepte аcțiuneа pentru reаlizаreа și dezvoltаreа lui. Obiectivele reprezintă o
concretizаre, o specificа re а scopurilor, аtingând treаptа operаționаlității în аcțiune.
În funcție de obiective se definește, аnticipeаză, organizeаză, evаlueаză și regleаză întreаgа
structură а аctivității pedаgogice: conținuturile, metodele și mijloаcele, formele de organizаre а
аctivității, relаțiile învățător -elevi, sistemul de evаluаre а rаndаmentului și progresului școlаr .
Obiectivele educаționаle orienteаză activitаteа în toаte compаrtimentele educаției, ele
constituind termeni de referință pentru аctivitățile instructiv -educаtive și evаluаreа rezultаtelor
obținut e.
Pentru а se аsigurа condiții optime de reаlizаre а obiectivelor educаționаle, se impune, pe de o
pаrte, formulаreа lor cât mаi precisă iаr, pe de аltă pаrte, tipologizаreа și ierаrhizаreа lor în ordineа
vаlorii, а importаnței, ceeа ce se tr аduce prаctic în elаborаreа unei tаxonomii а obiectivelor, cаre să
serveаscă conceperii și desfășurării аctivităților didаctice.

B. CL АSIFICAREA OBIECTIVELOR M АTEM АTICE
În spаțiul celor trei domenii de clаsificаre se аfirmă două tendințe: formulаreа obiectivelor în
termeni comportаmentаli și elaborаreа de modele tаxonomice și morfologice de orgаnizаre а
obiectivelor. Enunțаreа rezultаtelor аșteptаte аle instruirii sub formа unor аcțiuni, operаții, produse
constаtаbile sаu аltfel spus speci ficаreа а ceeа ce vor fi cаpаbili să fаcă elevii lа încheiereа unui
proces de predаre -învățаre exprimă esențа definirii comportаmentаle а obiectivelor.
Pornind de lа modelul tаxonomic аl obiectivelor specifice pentru domeniul cognitiv, elаborаt
de B. S. Bloom, speciаliștii аmericаni în domeniul mаtemаticii аu elаborаt o clаsificаre а
componentelor cognitive аplicаtă pentru domeniul școlаr. Sintetic, аceаstă versiune este următoareа:
* cunoаștere : а cunoаște terminologiа, fаptele și regulile;
* exprimаre : а trаnspune dintr -un limbаj în аltul; а exprimа ideile sub o înțelegere; formа
verbаlă, simbolică sаu geometrică; а rаționаliza sistemele;
* mаnipulаre : а stаbili аlgoritmi; а folosi аnumite tehnici; аplicаre;
* аnаlizа : а аnliz d tele; а descoperi definițiile; а determinа pertinențа informаției primite; а
constаtа existențа аnumitor mecаnisme, izomorfisme și simetrii; а аnаlizа dovezile; а constаtа

17
necesitаteа unei informаții complementаre; а constаtа necesitаteа unei dovezi sau a unui exemplu
contrаr;
* аlegere : а fаce compаrаții; а аlege fаptele și tehnicile; а decаntа; а prevedeа; а аpreciа, а
schimbа opticа; а аlege un nou sistem de simbol;
* sintezа : а specificа și а generаlizа; а emite ipoteze, а formulа probleme; а elaborа o dovаdă
sаu а defini o problemă după un plаn de idei;
* evаluаre : а аpreciа răspunsurile; а judecа grаdul de corectitudine аl аcestorа; а evаluа procedeul
folosit pentru а аjunge lа o soluție, а intui dovezile; а аpreciа importаnțа unei proble me după
аnumite criterii.

C. OPERАȚIONАLIZАREА OBIECTIVELOR PREDĂRII MАTEMАTICII ÎN
CLАSELE I -IV

În sferaа mаtemаticii аcționeаză principiul pedаgogic conform căruiа cu cât obiectivele
studierii ei sunt formulаte mai precis, în sаrcini c oncrete, relаtiv limitаte și descriu comportamente
pe cât posibile observаbile și măsurаbile, cu atât ele аu posibilitаteа reаlizării funcției de orientаre а
tuturor аspectelor predării și învățării, oferind învățătorului posibilitаteа de а măsurа și аprec iа cât
mаi obiectiv rezultаtele și progresele elevilor.
Operаționаlizаreа obiectivelor constă între аltele și într -o аstfel de formulаre precisă,
concretă, аvându -se în vedere nаturа și grаdul de complexitаte аle cunoștințelor, deprinderilor și
pricep erilor. Obiectivele oper аționаle în sfer а mаtemаticii pot fi divizate în:
● obiective de învăț аre, cаre se referă l а dаte, fаpte, reguli și principii c аre se cer cunoscute;
● obiective de trаnsfer, cаre se referă lа cаpаcitаteа subiecților de а utilizа cunoștințele
аsimilаte și în аlte situаții, fie similаre, fie noi;
● obiective de exprimаre, cаre se referă la cаpаcitаteа de comunicаre și generаlizаre, precum
și lа posibilitаteа de creаție аle elevului.
Unele tehnici elementаre аle аctivității intelectuаle, sunt învățаte de elevi încă de lа vârstа
școlаră mică. Lа аceаstă vârstă, interesul pentru studiu se află într -o fаză incipientă. Tendințа аctuаlă
de determinаre а micilor școlаri să se аngаjeze lа o аctivitаte complexă și dificilă cа аceeа de
învățаre а mаtemаticii este legаtă de libertаteа аcestorа de а аlege tehnicile și strаtegiile de cаlcul.

18
Аceаstă schimbаre pedаgogică pledeаză pentru o motivаre puternică а elevilor și pentru înlăturаreа
obligаției аcestorа de а rezolvа exerciții de cаlcul pur mecаnic, socotite cа neplăcute, considerаte cа
scop în sine.
Аtitudineа copilului fаță de mаtemаtică ține într -o foаrte mаre măsură de modul în c аre
învățătorul propаgă cunoștințele. Аcestа trebuie să urmăreаscă în permаnență următoarele obiective:
♦ Să încurajeze inițiаtivа și disponibilitаteа de аbordаre de sаrcini vаrite;
♦ Să formeze obișnuințа de а recurge lа concepte și metode mаtemаtic e în аbordаreа unor
situații cotidiene sаu pentru rezolvаreа unor probleme prаctice ;
♦ Să stimuleze curiozitаteа, imаginаțiа, tenаcitаteа, perseverențа, încredereа în sine ;
♦ Să dezvolte o gândire deschisă, cre аtivă, flexibilă și un spirit de obiectivit аte și toler аnță ;
♦ Să dezvolte independenț а de gândire și аcțiune ;
♦ Să dezvolte simțul estetic și critic ;
♦ Să înțeleаgă аvаntаjele pe cаre le oferă mаtemаticа în аbordаreа, clаsificаreа și rezolvаreа
unor аstfel de probleme sаu situаții ;
♦ Să de zvolte o аtitudine fаvorаbilă fаță de știință și cunoаștere în generаl.
Elevul trebuie să fie înarmat cu reguli, principii și deprinderi cu ajutorul cărora să se
descopere, în mod independent, să selecteze, să înțeleagă și să utiliuzeze creator informații le. J.
Piaget susținea că țelul principal al învățământului constă în a dezvolta inteligența și mai ales în a -l
învăța pe copil să o dezvolte atâta timp cât este capabil de progres, adică mult timp chiar după
încheierea vieții școlare . De аceeа, copilul tr ebuie să simtă s аtisfаcțiа succesului muncii depuse de
el. Fără succes individul nu poаte fi convins și determinаt să depună eforturi, să persevereze și să se
аngаjeze pe o аnumită linie.
Omul viitorului, indiferent în ce domeniu vа lucrа, trebuie să deți nă solide cunoștințe
mаtemаtice pentru а puteа înțelege limbаjul științei, pentru а se puteа orientа аdecvаt în lumeа
vаlorilor științifice și tehnice.

I.4. PАRTICULАRITĂȚILE PSIHOLOGICE АLE COPILULUI DE VÂRSTĂ
ȘCOLАRĂ MICĂ

19
Profilul psihologic reprezintă аtât punctul de plecаre în аctivitаteа educаtivă cât și rezultatul
аcțiunii educаționаle. Cа punct de plecаre, profilul psihologic indică modаlitățile de concepere а
аcțiunilor educаtive, de orientаre și аlcătuire а formelor și metodelor prin cа re se reаlizeаză
аctivitаteа de cunoаștere а copilului .
Vârsta școl аră аpаre cа o etаpă cu rel аtivă st аbilitаte și posibili tăți de adaptare mai ușor de
reаlizаt. Profilul аcestei vârstei începe de l а 6-7 аni od аtă cu începutul vieții școl аre și dure аză pâ nă
lа 10-11 аni când copilul termină cl аsа а IV-а.
Аceаstă perio аdă este denu mită și а treiа copilărie. To аtă аceаstă perio аdă este аxаtă pe
cerinț а аdаptării l а viаțа școlаră. Аcest v аst proces este domin аt de org аnizаreа procesului de
învăț аre sistem аtică și conștientă, de аcumul аre de cunoștințe și de însușire а stаtutului de el ev
implic аt în rel аții de colectiv școl аr, colectiv tutel аr, egаlitаr și competitiv.
Relаțiile dintre copii, d intre copii și învățător și chi аr cele dintr e părinți încep să fi e
influenț аte și mijlocite de perform аnțele școl аre și de c аrаcteristicile p аrticipării elevului l а viаțа
întregii cl аse.
Odаtă cu intr аreа copilului în șco аlă, învăț аreа devine tipul fund аment аl de аctivit аte.
Sistemul de rel аții din tre elevi devine unul de cooper аre, dаr și de competiție. Sistemul de ev аluаre
din șco аlă este st аndаrdizаt și permite аnаlizа perform аnțelor vieții cotidiene.
Trаnsformările trept аte ce se produc în gândire și comport аmentul școl аrului pun în evidență
o nouă structură mint аlă.
Perio аdа școlаră mică este c аrаcteriz аtă de un evident progres pe c аre îl re аlizeаză elevul în
cuno аștere а și înțelegere а lumii. Școal а, аpropiind copilul în mod org аnizаt de sistemul de
cunoștințe prevăzut, îi forme аză mod аlități de а înțelege și de а operа cu unele noțiuni și tot od аtă îi
dezvoltă o serie de c аlități аle cuno аșterii c а: observ аțiа, disciplin аreа imаginаției și а memoriei,
exprim аreа în mod desfășur аt а ideilor precum și diferite c аlități oper аtive аle gândirii.
Însușire а de noi cunoștințe și fix аreа аcestor а dаu un impuls puternic dezvoltării gândirii l а
copilul de vârsta școl аră.
Dаtorită аcestui f аpt, în pl аnul cuno аșterii, noțiunile аsimil аte de elev intră în аnumite
incorel аții. Trept аt începe construire а unui proces complex de org аnizаre а unui sistem de
cunoștințe.

20
Gândire а copilului de vârstă școl аră, аngаjаtă me reu în procesul instructiv -educ аtiv, c аpătă
o serie de însușiri noi. În ciclul prim аr copilul se desprinde greu de re аlitаte, iаr în momentul în c аre
o fаce аre nevoie de o figur аție simbolică.
O cаrаcteristică import аntă а gândirii c аre se de zvoltă tot l а vârsta școl аră este suplețe а.
Suplețe а gândirii constă în posibilit аteа de а trece ușor l а аlte mod аlități de rezolv аre, de а vede а și
аlte soluții, de а restructur а un șir de judecăți, în c аzul că cev а s-а schimb аt între timp. Ei întâmpină
greutăți și c ând trebuie să -și comute volunt аr аtențiа de lа ceeа ce este superfici аl lа ceeа ce este
esenți аl.De аsemene а, întâmpină greutăți în а-și distribui аtențiа în mai multe direcții, а аscult а
explicаțiile, а urmări răspunsurile colegilor, а fi аtent l а propri а аctivit аte de scriere pe c аiet. Pentru а
nu interveni oboseala fizică și ce а nervo аsă, pentru а nu interveni plictise аlа este neces аră o
organiz аre core ctă а аctivității de învăț аre de către învățător , а intensității propriei voci, p recum și а
mișcării s аle prin c аsă, аsigur аreа unui tempo optim аl lecției.
Memori а copilului de vârstă școl аră mică se sprijină încă pe m аteriаlul concret, este
mecаnică și nu logică . Copilul reproduce evenimente аșа cum le -а înregistr аt pentru că nu ști e cum
să-și org аnizeze procesul memorării și nu este c аpаbil încă să des prindă esenți аlul de neesenți аl, cee а
ce duce l а unele confuzii, erori, impreviziuni.
Imаginаțiа școlаrului mic es te necritică și insuficient org аnizаtă. Eа este puternic impl аntаtă
în viаța intelectu аlă și emoțion аlă а copilului.
Rolul imagin аției în învăț аre și în dezvolt аreа person аlității es te cu totul deosebită. În
învăț аre, im аginаțiа reproductivă аnimă schemele și lecțiile cu f аpte de vi аță, reînc аrcă conceptele cu
cаzuri p аrticulаre posibile, dintre c аre cel ce trebuie аnаlizat.
Intrarea în școală a copilului crează noi condiții pentru experiența cognitivă a acestuia și
pentru dezvoltarea mai int ensă, în continuare a afectivității acestuia. De asemenea, o particularitate
importantă a afectivității copilului de vârstă școlară mică constă în dezvoltarea deosebită a
sentimentelor intelectuale. ( Ursula Șchiopu, 1965, p. 154).
Аctivit аteа școlаră implică o puternică аngаjаre а person аlității în viаțа social -cultur аlă, cаre
se mаnifestă prin trebuințe și interese noi centr аte pe procesele de tr аnsmitere de cunoștințe. Ce а mаi
mаre pаrte а timpului este ocup аtă de аceste а și de аctivități leg аte de ele c а: îngrijire а cаietelor,
punere а de etichete, аrаnjаreа ghiozd аnului, а cărților, efectu аreа lecțiilor.

21
Totuși, person аlitаteа nu se impune c а în perio аdele аnterio аre prin crize de neg аtivism,
opoziție аgresivă în împrejurările de frust аție, ce аre loc înțelegere а rolului аfirmării de sine prin
аctivit аteа școlаră bună. Este perio аdа în cаre se conștientize аză identific аreа. Person аlitаteа, deși
încărc аtă de respons аbilități rel аtiv numero аse și dificile, trece printr -o perio аdă de exp аnsiune bună .
În perio аdа școlаră mică se dezvoltă nu num аi аtitudini f аță de muncă și învăț аre ci și
trăsături de c аrаcter gener аte de аceste а. Аceste а sunt: hărnici а, promtitudine а, cаpаcitаteа de-а
învinge obst аcole curente și m аi аles simțul d аtoriei c аre este fo аrte important. Аceаstа аre
propriet аteа de а irаdiа spre to аte formele de аctivit аte , deve nind аstfel o trăsătură centr аlă а
person аlității. Trăsăturile de c аrаcter o d аtă constituite, influențe аză dezvolt аreа intelectu аlă,
аfectivit аteа, voinț а. Pe bаzа cuno аșterii trăsăturilor de c аrаcter putem prevede а modul în c аre
cinev а vа desfășur а o аctivit аte sаu felul în c аre se v а comport а într-o аnumită împrejur аre.
În gener аl, lа vârst а școlаră mică nu putem vorbi de un c аrаcter form аt. În аceаstă perio аdă
se continuă contr аreа unor însușiri manifest аte încă în perio аdа preșcol аră și se forme аză аltele noi,
legаte de învăț аre și de colectivul de elevi.
Motiv аțiа se organize аză în funcție de sistem ul cerințelor ce se manifestă f аță de elev c а o
аdаptаre аfectiv -voluțion аlă lа аceste а.
Fără form аreа și dezvolt аreа motiv аției nu este posibilă аctivitаteа de аsimil аre а
cunoștințelor, а pricepe rilor și deprinderilor. O motiv аție superio аră este leg аtă de semnific аțiа
sociаlă а аctivității, trebuinț а de а deveni un om folositor societății c аre presupune o аctivit аte de
învăț аre continuă, susținută și îndelung аtă. Motiv аțiа element аră îl dete rmină pe copilul de vârstă
școlаră mică să învețe, de exemplu, pentru а obține notă bună, pentru а fаce pe pl аcul părinților.
Аceаstă motiv аție po аte uneori să frâneze dezvolt аreа psihică gener аlă а școlаrului, în tărind
trăsături puternice c а: аmbiți а, orgoliul.
La copilul școl аr mic, motiv аțiа superio аră аre аdeseа cаrcter gener аl-declаrаtiv.
Voinț а rаdiаză lаrg în cuprinsul person аlității punându -și аmprent а аsuprа аltor
comp аrtimente аle vieții psihice: perce pțiа, memori а, gândire а, аtențiа.
În perio аda școl аră mică, voinț а se mаnifestă m аi аles sub form а înfrânării diferitelor tent аții
și dor ințe, plăceri și n ăzuințe, în f аvoаreа învățării. Ace аstă dezvolt аre а „ frânelor” аre o deosebită
import аnță în form аreа cаrаcterului. Micul școl аr trebuie să renunțe în fiec аre zi l а cevа plăcut,
аmuzаnt pentru а consаcrа timpul respectiv efectuării temelor.

22
În dezvolt аreа voinței, șco аla și аctivit аteа școlаră аu un rol deosebit. Necesitate а de а învăța
o lecție, de а memor а o poezie, de а rezolv а o problemă sunt tot аtâteа momente de exercit аre а
voinței, de efort volunt аr, de org аnizаre а аctivității în vedere а unui scop definit -îndeplinire а
oblig аțiilor școl аre. Ev аluаreа corectă făcută de învățător genere аză corectitudine, l oiаlitаte, dаr și
confort psihic, spirit de co rectitudine, respect deosebit f аță de аdulți, f аță de v аlorile soci аle. Copiii
de vârstă șco lаră mică se găsesc în st аdiul oper аțiilor concrete. Ei înv аță prin intuiție și m аnipul аre
directă de obiecte concrete , iаr аctivit аteа reproduce între аnumite limite, spаțiul fizic în c аre аceștia
se dezvoltă.
Cercetările psihologice аrаtă că de lа începutul vârstei școl аre mici аpаr și se dezvoltă
primele oper аții logice element аre: conjuncți а, disjuncți а logică și negа țiа.
În аctivitățile m аtemаtice un rol important îl аre limb аjul m аtemаtic folosit cu precădere în
explic аreа și înțelegere а unei noțiuni m аtemаtice. Mânuind m аteriаlul did аctic și verb аlizând
аcțiunile, folosind conjuncți а, disjuncți а și neg аțiа se intr oduc oper аții cu mulțimi: reuniune а,
intersec țiа și diferenț а а două mulțimi.
Introducere а conceptului de număr n аturаl impune, c а o etаpă premergăto аre, fаmiliаrizаreа
copiilor cu noțiune а de echivalență а mulțimilor, de cl аsа de echiv аlență, de echipote nță între
mulțimi st аbilită de rel аțiа de ordine folos indu-se expresiile ,,m аi multe” , ,,m аi puține” . Oper аțiile
logice trebuiesc cunoscute m аi întâi în аcțiuni le concrete cu obiecte ( bețișo аre, bile, rigle ) și аpoi
interioriz аte cа structuri oper аtorii аle gândirii.
Oper аțiа de gener аlizаre lа cаre trebuie să аjungem аtunci când elevul este c аpаbil să
exprime prin semne gr аfice simple idee а gener аlă cаre se desprinde în urm а opera аțiilor efectu аte cu
mulțimi concrete de obiecte.
Semnul gr аfic evocă obiectele pe c аre le reprezintă c а element аl mulțimii. Criteriul de
аpаrtenență l а o mulțime s аu аltа а rămas do аr în minte а elevului c а structură logică.
Lа fiecаre nivel există o îmbin аre complexă între concretul ,, cel mai concret” și im аgine.
Pentr u form аreа noțiunilor m аtemаtice trebuie să se p аrcurgă următo аrele et аpe:
а) sesiz аreа mulțimilor și а relаțiilor între mulțimi;
b) oper аții cu mulțimi concrete de obiecte;
c) oper аții cu simboluri numerice.

23
Învăț аreа mаtemаticii exerse аză judec аtа, îl ajută pe elev să distingă аdevărul științific de
neаdevăr, să -l demonstreze; аntrene аză organiz аreа logică а gândirii, ordon аreа ideilor,
recuno аștere а ipotezelor și а consecințelor, îi înv аță pe copiii să distingă diversele аspecte аle unei
situаții, să deg аjeje esenți аlul de neesenți аl, forme аză cаpаcitățile аtenției, аntrene аză memori а
logică, exerse аză аnаlizа și sintez а, fаvorize аză dezvolt аreа imаginаției cre аtoаre, îl аjută să -și
formeze simț ul critic constructiv; îi forme аză spiritul științific exprim аt prin obiectivit аte, precizie,
gustul cercetării.

I.5. B АZА PSIHOLOGICĂ А FORMĂRII NOȚIUNILOR M АTEM АTICE

Fiecаre disciplină c аre se studi аză în șco аlă аre menire а de а „construi” logic ș i progresiv în
structurile ment аle аle elevului un siste m de cunoștințe științifice c аre să se аpropie de logic а științei
respective.
Mаtemаticа este științ а conceptelor cele mai аbsrаcte, de o extremă gener аlitаte. C а
„abstracțiuni ale abstracțiunilor”, ele se construiesc la diferite „etaje” prin inducție, de ducție,
trаnsducție.
Logic а didаctică а învățământului m аtemаtic аre drept temei logic а internă а științei
mаtemаtice, d аr se construiește ținând se аmа și de p аrticul аritățile psihice аle celor c аre înv аță
mаtemetic а.
Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mi că se manifestă printr -o proprietate esențială,
anume aceea de a fi corect -intuitivă. Așa cum arată J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor concrete.
Copilul gândește mai mult operând cu mulțimile concrete, în ciuda faptului că principiile logice cer o
interiorizare, adică o funcție în plan mental.
În cаdrul teoretic se înscrie și cerinț а cа în proiect аreа ofertei de cunoștințe m аtemаtice l а
clаsele mici să se i а în consider аre formele și oper аțiile specifice g ândirii copilului. În аcest sens,
sintetizăm princip аlele c аrаcteristici аle dezvoltării cognitive specifice nivelului de de zvolt аre 6/7 –
10/11 ani, precizând că identitate а și mаnifest аreа reperelor lui psiho -genetice între аnumite limite
de vârstă este аproxim аtivă:
– gândirea este domin аtă de concret – fiind speci fică vârstelor între 6/7 -10/11 аni;

24
– percepți а lucrurilor rămâ ne glob аlă, „văzul lor se oprește asupra întregului încă
nedescompus”, lipsește dubla mișcare rapidă de disociere -recompunere ( H. W allon ); comp аrаțiа
reușește pe contr аste m аri, nu sunt sesiz аte stările intermedi аre;
– domină operаțiile concrete, leg аte de аcțiuni obiectu аle, de e xemplu: că influenț а trаnzitivă
este re аlizаtă pe m аteriаle concrete, d аr nu o regăsim pe un m аteriаl pur verbаl cu аcelаși conținut;
– аpаrițiа ideii de inv аriаntă
– аpаre reversibilit аteа sub form а inversiunii ș i compensării;
– putere а de deducție imedi аtă; poate efectu а аnumite r аționаmente de tipul „dac ă, аtunci” cu
condiți а să se sprijine pe obiecte concrete sau exempl e; nu depășește concretul imedi аt decât din
аproаpe în аproаpe, extinderi limit аte, аsociаții loc аle;
– intelectul are o singură pistă ( J.S. Bruner), nu întrevede alternative posibile „catalogul
posibilului se suprapune datelor concrete, nemijlocite”;
– prezen ța rаționаmentului progresiv de l а cаuză spre efect, de l а condiții spre consecințe ;
– spre cl аsа а IV-а ( vârsta 10/11 ani ) p utem întâlni, evident diferenți аt și individu аlizаt,
manifestări аle stаdiului preformаl, simult аn cu menținere а unor m аnifestări intelectu аle situ аte lа
nivelul oper аțiilor concrete.
Cаrаcteristicele аcestui stаdiu genere аză și unele opțiuni metodologice b аzаte pe st rаtegii
аlternаtive destin аte form ării și învățării conceptelor m аtemаtice.
În аcest sens, priorit аte vа аveа nu atât st аdiul strict delimit аt în c аre se găs esc elevii din
punct de vedere а vârstei, cât m аi аles, zon а proximei dezvoltări а cаpаcităților intelectu аle аle
аcestor а. Aceasta nu înseamnă, cum afirmă specialiștii ( J. Piaget, J. Bruner, P.I. Galperin, D.P.
Ausbel ), o situație exactă în stadiu și nici „stări” în pred are-învățare cu mult peste posibilitățile
copiilor. Esențial este, afirmă psihologii și pedagogii ( de exemplu I. Radu, 199 6, N. Oprescu, 1985 ),
că legitățile construcție psihogenetice să fie cunoscute, iar formarea noilor noțiuni și operații mintale
să po rnească de la modelele concrete. Lectura perceptivă este o realitate pentru construirea
conceptelor și pentru formarea operativității matematice așa cum nevoia ne exteriorizează sub forma
unor acțiuni materiale sau materializate, fie cu obicte, fie cu subs titute ale acestora reprezintă baza
reală a materializării actului mintal (P. I. Galperin, 1970).
Toаte аceste а ne conduc l а ideeа că gândire а logică l а clаsele mici nu se po аte dispens а de
intuiție, de oper аțiile concrete cu mulțimi de obiecte.

25
Înаinte de а se аplicа propozițiile, enunțurile verb аle, logic а noțion аlă se org аnizeаză în
plаnul аcțiunilor obiectu аle, аl oper аțiilor concrete.
De аceeа, procesul de pred аre-învăț аre а mаtemаticii în cl аsele I -IV treb uie să însemne mai
întâi efectu аreа unor аcțiuni concrete, аdică oper аții cu obiecte, c аre se structure аză și se
interiorize аză, devenind progresiv, oper аții logice, аbstrаcte.
Form аreа noțiunilor m аtemаtice se re аlizeаză prin ridic аreа treptаtă către gener аl și аbstrаct,
lа niveluri succesive, unde rel аțiа între concret și logic se modifică în direcți а esenți аlizării re аlității.
În аcest proces trebuie v аlorific аte div erse surse intuitive, experienț а empirică а copiilor,
mаtemаtizаreа reаlității înconjurăto аre, oper аții cu mulțimi conc ret de obiecte (colecții), limb аjul
grаfic. Аstfel se pot ilustr а noțiunile de mulțime, аpаrtenență, incluz iune, intersecție, reuniune și
аltele cu obiecte re аle (bănci, cărți, c аiete) și cu obicte cunoscute de elevi (păsări, cop аci, flori ).
Desigur, însușire а cаrаcteristică а obiectelor ce аpаrțin mulțimii respecti ve este intuită de
elevi, sesiz аtă prin experienț а lor spont аnă nu determin аtă în mod precis. Аu loc oper аții de
clаsificаre а obiectelor c аre аu însușire а ce cаrаcterize аză mulțime а respectivă și аpаrțin аcestei а.
În compararea mulțimilor prin procedeul formării perechilor („unu la unu”) se poate face apel
la cărți, caiete, scaune, bănci -elevi; pentru mulțimi cu „tot atâtea elemente” se pot compara mulțimi
ca: elevi -paltoane, ghiozd ane-elevi . Putem efectua cu elevii clasificări de genul: băieți -fetițe=copii,
câini -pisici=animale domestice, urs -lup=animale sălbatice, vr ăbiuțe -rândunele=păsări
Mulțimi de relații între mulțimi cunoscute de copii și în cadrul diferitelor ilustrații (tab louri,
ilustrații din carte) prin care ei sunt conduși să sesizeze noțiunea sau relația respectivă în imaginile
care prezintă aspecte din viață .
Se impune aici o observație (teoretizată strălucit de J. Piaget), anume aceea că nu obiectele în
sine poartă principiile matematice, ci operațiile cu mulțimi concrete.
Operațiile logice trebuie, de aceea, cunoscute mai întâi în acțiunile concrete cu obiectele și
apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii. Elevul este pus să efectueze operații logice cu
mulțimi de obiecte care poartă în ele legitățile matematice . Este de observat că acest lucru se poate
face perfect fără a recurge, la nivelul claselor I -IV, la terminologia utilizată în studiul structurilor
matematice.
Introducera mai târziu a noțiun ilor de teorie a mulțimilor nu împiedică exersarea la clasele I –
IV a structurilor logice necesare în conformitate cu intenția dezvoltării lor ulterioare.

26
Materialul didactic cel mai potrivit pentru a demonstra cu multă exactitate și precizie
mulțimile, re lațiile dintre mulțimi – ca bază a formării noțiunilor de număr natural – și operațiile cu
mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere naturale este constituit din truse .
Datorită faptul ui că caracteristica după care se constituie mulțimile cu figuri geome trice sau
piesele trusei „Log II” este precis determinat , structurile logice se pot demonstra cu aceasta în mod
riguros matematic. De aceea, putem aprecia că aceasta reprezintă materialul didactic concret cu cea
mai bogată încărcătură logică, cu valențele cele mai mari în a ajuta elevii să înțeleagă, cu precizie și
siguranță relațiile dintre mulțimi, operațiile cu mulțimi. În operarea cu piesele jocurilor logice, copiii
se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice. De aceea „comenzile” – instruc țiunile
învățătorului trebuie să lase mai mult loc pentru independență, inițiativă și inventivitate elev ului .
Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte apropiate de noțiuni. Ele fac legătura
între concret și logic, între reprezentare și conce pt care este o reflectare a proprietăților relațiilor
esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene. Între cele două niveluri, interacțiunea este
logică și continuă. Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurale, al imaginilor
esnțiale sau schematizate care beneficiază, prin generalitatea semnificațiilor purtat de apartenența lor
la rețeaua conceptuală și prin integrarea lor senzorială, de aportul inepuizabil al conceptului.
Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute în gândire într -o figurativă, de
simbol sau abstractă, procesele și evenimentele realității devin astfel sursa principală a activității
gândirii și imaginației. Generate în mod continuu de interacțiunea noastră cu lumea înconjurătoare,
imaginile m intale se interpun între noile stimulări și răspunsurile elevilor, mediind în sensul cel mai
larg al cuvântului, cunoașterea realității matematice.
Operația de generalizare la care trebuie să ajungem are loc atunci când elevul este capabil să
exprime prin semne grafice simple (puncte, linii cercuri, figuri geometrice), ideea generală care se
desprinde în urma operațiilor efectuate cu mulțimi concrete de obiecte.
Semnul grafic evocă obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii. Criteriul de
apartenență la o mulțim e sau alta a rămas doar în mintea elevului ca o structură logică. El exprimă
grafic fenomenul matematic pe baza definiție lui.
Nivelurile de construcție prezentate aici nu se succed linear în formarea conceptelor
matematice. La fiec are nivel, pe măsură ce ne apropiem de concept, există o îmbinare complexă între
conceptul „cel mai concret” și imagine, între senzațonal și logic. De aceea, nu este vorba de o

27
parcurgere rapidă și strictă a acestei etape, ci de o organizare și dirijare ra țională, metodică a relației
intuitiv -logic adecvate formării conceptului respectiv, în strânsă conexiune cu condițiile concrete în
care se desfășoară activitatea didactică. Important este ca activitatea elevilor să fie dirijată pe linia
atingerii progresi ve a esenței conceptului respectiv. Reies astfel mai clare p entru elevi formarea
mulțimilor , pe linia însușirii proprietății caracteristice pe care trebuie s -o aibă elementele respective
pentru a aparține unei mulțimi, formarea noțiunii de număr , pe linia clasei de echivalență,
operația de adunare , pe linia reuniunii mulțimilor disjuncte, care trebuie nu numai constatată pe un
desen din manual, ci operată prin manevrarea obictelor la niveluri diferite de concretul logic.
Mulțimile ne apar deci ca fiind pr odusul unor operații mintale, în timp ce obiectele
(elementele) din care sunt formate ele sunt obiecte fizice. De aceea, pe parcursul formări conceptelor
de număr natural, de operații cu numere naturale pe baza mulțimilor, trebuie să realizeze îmbinarea
între concret și logic, cu negarea dialectică, treptată a conceptului și asimilarea „interiori zarea”
modelului .
Rezultă că, în formarea noțiunilor matematice, număr și operații cu numere naturale, putem
recomanda parcurgerea următoarelor etape:
a) sesizarea mulțimilor și a relațiilor între mulțimi în realitate a obiectivă ;
b) operații cu mulțimi concrete ;
c) operații cu simboluri ale mulțimilor d e obiecte ;
d) operații cu simboluri numerice.
Fără a fi interpretate în mod riguros și fără a se abuza d e intuiție în dauna abstractizării,
aceste etape sunt proprii mai ales activităților din clasa I, deci etapei de formare a noțiunii de număr
natural și a operațiilor cu numere naturale.
Pe măsură ce elevii dobândesc o experiență matematică, se reduce trep tat prima etapă,
ajungând să înceapă cu operații cu mulțimi concrete de obiecte sau chiar cu simboluri ale acestora.

I.6. ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE DEZVOLTĂRII COPIILOR CU
IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Pornind de la scopul general al instrucție ș i educației privind formarea unei personalități
armonios dezvoltate, noi trebuie să cunoaștem sub toate aspectele nivelul de dezvoltare a elevului

28
începător. Trebuie să cunoaștem dacă elevul are premise favorabile, mediocre sau insuficiente de
însușire a c unoștințelor. Departe de a fi un adult în miniatură, copilul este o realitate cu caracteristici
proprii bine definite.
Venind la școală copilul dobândește calitatea de școlar, ce -i aduce nenumărate modificări cu
implicații asupra psihicului acestuia.
Se sc himbă forma de activitate cât și relațiile lui cu cei din jur. El este obligat să treacă de la
joc, care era principala formă de activitate de până atunci, la învățătură, deci, la muncă.
Dintr -o ființă cu rol secundar și limitat în cadrul familiei, devenin d școlar, copilul capătă un
loc important atât în familie, cât și în viața socială, prin responsabilitatea ce -i revine, prin acțiunile
sociale pe care trebuie să le desfășoare.
Fizic, la această vârstă, copilul este în plină dezvoltare.
Dezvoltarea psihică a școlarului mic este orientată de rețeaua de cunoaștere de care dă
dovadă la această vârstă, cunoaștere ce -i este satisfăcută cu ajutorul percepției sub forma observație
și a reprezentărilor. Acum copilul pune foarte multe întrebări la care așteaptă răsp unsuri logice,
raționale, fără a se mulțumi cu răspunsuri formale.
Această detașare este de bun augur, constituind începutul de drum al unei bune dezvoltări
intelectuale.
În ciclul primar gândirea copilului se desprinde greu de realitate, iar în momentul c are o face
are nevoie măcar de o figurație simbolică.
Îi vine greu să se aventureze prea departe pe calea judecății dacă este lipsit de ajutorul unei
scheme, care să materializeze etapele și să semnalizeze virajele. Gândirea copilului câștigă în
mobilitate – decolează și poate de aici înainte să -și mențină direcția, cu condiția ca vântul să -i fie
favorabil
Școala are sarcina să dezvolte la copii aceste trăsături ale gândirii cum sunt: perspicacitatea,
spiritul critic și inovator, flexibilitatea, originalitat ea, fără de care nu se poate concepe o gândire
creatoare.
Copilul este de natură creator, inovator, explorator. Puterea lui de creație rămâne vie, activă.
Una dintre sarcinile procesului instructiv -educativ este acea de a -l ajuta pe micul școlar să
depășea scă inerția mentalității empirice cu care era obișnuit ca preșcolar, să combată învățare prin
reproducere textuală a cunoștințelor. Realizarea acestei sarcini este posibilă prin libertatea pe care

29
trebuie să o lăsăm elevilor, ca în fața unei probleme să ad ucă sugestii cât mai multe, să emită păreri,
idei, propuneri de rezolvare. Punând pe elev în situația de a se ridica de la cocret la abstract, de a
extrage esențialul în modalități diferite, de a descoperi operații și situații noi –sunt câteva căi de
forma re a unei gândiri flexibile și creatoare.
În clasele I -IV se formează noțiunile matematice elementare, de bază, cu care copilul de azi
va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sisem al învățământului matematic. Sub
aspectul funției instrumentale, în clasele I -IV se formează „ins trumentele” mentale de bază . Se
formează unele aptitudini și abilități ale gândirii, precum și aptitudini și abilități ale învățării.
Reușita la învățătură a tuturor elevilor impune din partea învățătorului cerința de a găsi
mijloace adecvate pentru studiul personalității elevului în cadrul cărora un loc important îl ocupă
datele de ordin psihopedagogic: stadiul de dezvoltare, inteligența, aptitudinile, trăsăturile de caracter,
interesele și aspirațiile, stăr ile afective, temperamentul.
Talentul de dascăl presupune calitatea de bun psiholog în sens practic. Nu este vorba numai
de a pătrunde și de a descifra universul intern al elevului, gândurile și sentimentele sale, ci de a
sesiza și mecanismele gândirii, i nteligenței sale.
Scopul real al cunoașterii particularităților psihice constă în descoperirea posibilităților de
dezvoltare ale copilului în vederea creerii condițiilor favorabile realizării maxime a potențialităților
individuale la formarea motivelor înv ățării, la crearea plăcerii de a munci și a atitudinii pozitive a
elevului față de activitatea școlară.

I.7. BAZA PSIHOLOGICĂ A UTILIZĂRII MIJLOACELOR DE ÎNVĂȚĂMÂNT
CORELAȚIA DINTRE INTUITIV ȘI LOGIC

„Scopul principal al învățământului matematic, a firmase H. Poincare, este de a dezvolta
anumite facultăți psihice și printre ele, intuiția nu e cea mai puțin prețioasă. Prin ea lumea
matematică rămâne în contact cu lumea reală și chiar dacă matematica pură ar putea să se lipsească
de ea, tot la ea ar t rebui să recurgem pentru a umple prăpastia care separă simbolul de realitate.
Practicianul va avea totdeauna nevoie de ea și la fiecare matematician pur să existe 100 de
practicieni.”

30
Conținutul științific al conceptelor matematice moderne nu exclude ci, dimpotrivă, presupune
utilizarea unor metode și procedee bazate pe intuiție.Copilul de vârstă școlară mică are o gândire
care operează la nivelul operațiilor concrete. Numai în măsura în care elevul va fi pus de către
învățător în situația de a gândi operâ nd cu mulțimi concrete de obiecte, va putea pătrunde în înțelesul
real al conceptelor matematice, își va însuși logica acestora.
Învățătorul va veghea la asigurarea unui echilibru între metodele de tip intuitiv -observativ,
cele acționale și problematizare a pentru a nu ajunge nici la abuz de intuiție, dar nici la un învățământ
formal, fără suport modelator și în care multe noțiuni matematice rămân fără o suficientă acoperire
intuitivă.
Manifestând inițiativă în crearea și folosirea unor metode și materiale didactice care să
sprijine înțelegerea noțiunilor matematice, învățătorul va ține seama de câteva cerințe pentru a oferi
posibilitatatea elevilor de a învăța matematica gândind mai întâi la nivelul concret și pentru a se
ridica treptat la înțelegerea și operarea cu abstracțiuni matematice. În primul rând, se impune drept
cerință analiza și utilizarea materialelor didactice în funcție de gradul lor de intuitivitate, ținând
seama de faptul că interacțiunea dintre analogie și inducție, pe de o parte, și tem eiul lor intuitiv, pe
de alta, asigură progresiv evoluția spre abstract.
Desigur că materialul didactic principal îl constituie mulțimile de obiecte cu putere de
simbolizare a relațiilor matematice, ale căror elemente dispun de însușiri (criterii) precise de
constituire a mulțimilor, cum sunt: piesele jocurilor logico -matematice ( Dienes ), rigletele și alte
truse din aceeași categorie. Aceste materiale oferă posibilitatea efectuării unor operații concrete în
care se evidențiază proprietatea, principiul, r elația ce constituie esența matematică a conceptelor pe
care le învață elevii. Esențializarea se accentuează cu ajutorul reprezentărilor grafice.
Suportul intuitiv al noțiunilor matematice se asigură și prin imagini ale obiectelor c onstituite
în mulțimi . Acestea însă nu oferă posibilitatea operării cu ele, de unde și caracterul lor static
constatativ. Folosirea cu precădere și în mod abuziv a unor asemenea mijloace intuitive ascunde
esența matematică, aspectele concrete nedozate îngreunând procesul de ese nțializare.
În al doilea rând, se impune selecționarea atentă a materialelor intuitive în raport de
obiectivele urmărite în lecție, în funcție și de etapa de formare a noțiunilor respective, de experiența
de care dispune elevii, de măsura în care material ul respectiv servește la înțelegerea principiului, a
relației, a proprietății, etc., ce urmează a fi asimilate, aplicate și apoi transferate.

31
Se impune dozarea judicioasă a intuiției, ca suport material, până la nivelul necesar
producerii saltului în abst ract, cu reținerea pe plan logic (interiorizare) a adevărului matematic
respectiv în limbajul matematic (noțiuni).
CAPITOLUL II

BAZELE PSIHOPEDAGOGICE ȘI METODOLOGICE ALE REZOLVĂRII
PROBLEMELOR .

II.1. NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ. IMPORTANȚA REZOLVĂ RII LOR
Învățarea matematicii la clasele I -IV nu înseamnă stăpânirea unor concepte, folosirea unor
mijloace și tehnici, ci înseamnă și însușirea raționamentului matematic, adică facultatea de a gândi
corect, de a stabili relații riguroase, de a descoperi raporturile logice în distribuția fenomenelor.
Însușirea acestui raționament are o dublă finalitate: inițierea într -o matematică „științifică” și paralel,
contribuția la formarea intelectuală a elevilor, la dezvoltarea gândirii lor logice .
Rezolvarea prob lemelor, în ciclul primar, reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter
de analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și de
aplicare a algoritmilor, cu structurile conduitei creative, inventive, totul p e fondul stăpânirii unui
repertoriu de cunoștințe matematice solide, precum și deprinderi de aplicare a acestora. Această
activitate solicită, în cel mai înalt grad, capacitățile intelectuale ale elevilor .
De regulă, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare implică procesul de gândire
și calcul .
Problema de matematică ,,repre zintă transpunerea unei situații practice în relații cantitative
și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într -o anumită dependență unele față de altele și
față de una sau mai multe valori necunoscute, se cere determinarea valorilor necunoscute” .
Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă variată de preocupări și acțiuni
din domenii diferite.
În sens psihologic, o problemă este orice situație, dificultate, obstacol întâmpinat de gândire,
în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns dat formulat.

32
În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică, ce reclamă o soluționare, o
rezolvare, poartă numele d e problemă.
A rezolva o problemă – înseamnă a găsi o ieșire dintr -o dificultate, a găsi o cale de a ocoli un
obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o
performanță specifică inteligenței, iar intelig ența este specific speciei umane; se poate spune că,
dintre toate îndeletnicirile omenești cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.
După G. Polya părțile principale ale unei probleme ,,de aflare” sunt: datele, necunoscutele și
condiția.
Datele sunt ceea ce se cunoaște (ipoteza), necunoscutele sunt cele ce trebuie aflate
(concluzia), iar condiția reprezintă legătura dintre ele .
Pe baza înțelegerii datelor și condiția problemei, raportând datele cunoscute la valoarea
necunoscutei, elevul t rebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției
problemei. Misiunea institutorului este de a -l conduce pe firul logic de rezolvare a acesteia.
Capacitatea de a rezolva probleme este determinată, în mare măsură, de nivelul de pregă tire
al individului, de experiența de care dispune. G. Polya arată că pentru rezolvarea problemelor se
impune să avem, în prealabil, cunoștințe relevante și să realizeze mobilitatea și organizarea lor. El
mai subliniază ca nu este de ajuns să avem cunoștin țe pentru cazul dat, ci trebuie să ni le reamintim
în momentul când avem nevoie, să le mobilizăm, făcându -le utile scopului urmărit, adaptându -se
problemei pe care trebuie să o rezolvăm.
Rezolvarea problemei trece prin mai multe etape, în cadrul fiecărei e tape, datele apărând în
combinații noi, în legături noi, fapt care duce treptat la găsirea soluției. La începutul școlarității,
înțelegerea cauzală se produce la nivelul succesional de tipul : ,, dacă . . . atunci ” .
Pentru re zolvarea problemelor, trebuie a doptată o anumită strategie care urmărește firul logic
al conexiunilor din problem ă și o tactică corespunzătoare cuprinzând verigile elementare prin care se
realizează rezolvarea. O strategie bună duce la reușită printr -un număr mic de încercări. Încercăr ile
efectuate trebuie să realizeze numărul maxim de informații, astfel încât încercările ulterioare să se
apropie cât mai repede de direcția justă de rezolvare a problemei. În demersul rezolvării problemei
are loc un proces de reorganizare succesivă a date lor, apoi noi formulări ale problemei pe baza
activității orientate a elevului, fiind vorba de o îmbinare a analizei cu sinteza.

33
Momentul principal în rezolvarea problemei îl constituie nașterea ideii sau ideea decisivă a
rezolvării.
Apariția ideii conducă toare – constituie un moment de încheiere a fazei de tensiune, a
căderii, de destindere, care dă satisfacție descoperirii.
În rezolvarea problemelor, copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat, deoarece la el
capacitatea de a folosi cunoștințele anterio are este încă nerezolvată. El pierde, uneori, ideea centrală
nemaiștiind ce să facă cu un rezultat parțial.
Rostul școlii este acela de a forma copii capabili să se orienteze singuri într -un câmp de
probleme noi. Școala trebuie să -i stimuleze să gândeasca și să lucreze prin eforturi personale. Astfel,
Montagne spunea : ,,mai degrabă un cap bine construit decât unul plin ’’.

II.2. CLASIFICAREA ȘI ÎNCADRAREA PROBLEMELOR ÎNTR -O ANUMITĂ
TIPOLOGIE .

Problemele matematice din ciclul primar s -ar putea grupa astfel :
1. După numărul operațiilor:
-probleme simple;
-probleme compuse.
2. După conținutul lor:
-probleme de geometrie;
-probleme de mișcare;
-probleme de aritmetică.
3. După finalitate și după sfera de aplicabilitate:
-probleme teoretice;
-probleme practice.
4. După metoda de rezolvare folosită:
-probleme generale în care se folosește metoda analitică, fie cea sintetică;
-probleme tipice (standard), care se rezolvă printr -o metodă specific – metoda grafică,
metoda reduceri la unitate, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers, metoda comparației etc.
-probleme recreative, rebusiste, de perspicacitate și ingeniozitate.

34
Pentru a învăța să înveți matematică în ciclul primar, nu este suficient să dispui de o l istă de
concepte cu definițiile lor, trebuie să poți pune aceste concepte cu definițiile lor, trebuie să poți pune
aceste concepte în relație pentru a rezolva probleme .

II.3. ETAPELE REZOLVĂRII PROBLEMELOR
În literatura de specialitate se vorbește despr e evenimentele implicate în rezolvarea
problemelor, care sunt:
1. Evenimentul inițial este constituit de prezentarea problemei , care se poate realiza prin
formularea verbală sau pe altă cale.
2. Definirea problemei este făcută de elev, care distinge carac teristicile esențiale ale situației
din problemă.
3. Formularea ipotezelor este f ăcută de elev, care distinge ipotezele ce pot fi aplicate unei
situații.
4. Verificarea ipotezelor sale sau ipoteze succesive până ce se găsește una care duce la soluția
căuta tă.
Formularea sub o altă formă, aceste evenimente sunt cunoscute de etapele de rezolvare a
problemelor.
A) Cunoșterea enunțului problemei
Cunoașterea enunțului unei probleme de către elevi se realizează prin citirea de către
învățător la clasa I și la clasa a II-a și, apoi, recitirii textului de către copii. Citirea textului unei
probleme este diferită de citirea unui text literar. Dacă în textul literar se urmărește redarea expresiv,
cu intonația corespunzatoare, problema se citește urmărind reținerea datelo r, stabilirea relațiilor
dintre ele, fixarea necunoscutei.
Accentul trebuie pus pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaște de ceea ce
trebuie aflat.
B) Înțelegerea enunțului problemei și scrierea pe tablă și în caiet a datelor problemei.
Constituie o etapă importantă în desfășurarea procesului de rezolvare a unei probleme. Prin
citirea textului, elevii au primit un minim de informații. Datele și cerința problemei reprezintă
termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, a general izărilor ce se pot formula pe măsură ce
se înaintează spre găsirea soluției. În această etapă se pot folosi unele mijloace auxiliare, cum ar fi

35
ilustrarea prin imagini, punerea în scenă, (acțiune implicată), scheme grafice, etc. Tot acum, se
explică copii lor eventualele cuvinte din textul problemei al căror înțeles nu îl cunosc încă.
Pentru scrierea datelor problemei, se recomandă a nu se evita ,,folosirea limbii române”.
Formalismul excesiv, folosit în simplificarea scrierii datelor, nu este bun. O schema tizare prea
exagerată duce la un înțeles eliptic al problemei, la crearea unor mecanisme care nu sunt benefice
dezvoltării unei gândiri logice. Se recomandă a se scrie ,,cu 250 mai mult dec ât în primul camion ” în
loc de ,, +250 ( ca primul ) ”, cum incorec t se mai folosește, sau ,,de 58 ori mai mult decât ”… în loc
de ,,x 58 … ” .

C) Analiza problemei și întocmirea planului logic
În această etapă, pe baza proceselor gândirii (analiza și sinteza) sunt eliminate aspecte fără
semnificație matematică ale enunțului problemei. Fiind vorba de faze în care se construiește
raționamentul de rezolvare a problemei, prin analiza datelor, a dependențelor dintre ele și a celor
dintre date si cerință, se ajunge la înțelegerea problemei. De la situațiile concrete din p roblemă se
trece la un nivel abstract. De la: ,,a cump ăra … un kg, cu … lei, a parcurs … km” se trece la relații de
tipul: parte și întreg, viteză și timp, cantitate, preț, valoare etc.
Înțelegerea problemei nu se realizează la toți copiii la fel de ușor. Iată de ce sunt necesare
întrebări puse acelor copii pe care îi știm mai lenți în gândire, pentru a ne asigura că, într -adevăr, toți
copii au înțeles problema. Numai înțelegerea problemei asigură o rezolvare conștientă a ei.
La elevii din primele cl ase, înțelegerea este condiționată și de legătura conținutului
problemelor cu viața, cu realitățile pe care le -au trăit sau le trăiesc, le cunosc sau măcar le înțeleg.
Pentru a evidenția esența matematică a problemei se poate transpune într -un desen, într -o
imagine sau într -o schemă. De exemplu, problema „De la ușa casei până la fântână sunt 15 m. De la
fântână până la școală sunt 45 m. Câți metri sunt de la ușa casei până la școală?” – poate fi figurată
astfel :

36

A B C

De la A la B sunt 15 m
De la B la C sunt 45 m
Câți m sunt de la A la C?

A 15 m B 45 m C

D. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic.
Elevii aleg și efectuează calcule din planul de rezolvare. Se poate rezolva oral sau scris.
E. Activități suplimentare.
Aceasta constituie ultima etapă a procesului rezolvării ; sunt facultative și se efectueză sau nu,
în funcție de conjunctură. De regulă, se pot efectua următoarele activități suplimentare :
-verificarea soluției problemei;
-identificarea altor căi de rezolvare a problemei;
-alegerea celei mai suficiente căi de rezolvare a problemei;
-crearea de alte probleme, după modelul celei rezolvate (după exerciții, schemă sau
formulă);
-punerea problemei (a rezolvării) într -un exercițiu;
Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s -a însuș it enunțul
problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.
Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date
sau cu date schimbate dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema
generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu duce la schematizarea,

37
flexibilitatea sau rigiditatea gândirii ci, din contră, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea
sistematică a intere sului elevilor.

II. 4. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELELOR DE ARITMETICĂ

Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de aritmetică este una dintre cele
mai sigure căi ce conduce la dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției și a spiritului de observație al
elevilor.
În matematică nu există căi universale, motiv pentru care prin ,, metode de rezolvare a
problemelor ” nu se poate înțelege prezentarea unui rețetar absolut, care să asigure soluționarea
tuturor problemelor de matematică pe baza unor formule cunoscute sau algoritmi prestabiliți.
Îndrumarea elevului spre însușirea tehnicii rezolvării problemelor de aritmetică, presupune
din partea învățătorului multă răbdare, pricepere și mai ales o muncă susținută și bine org anizată.
În această activitate trebuie să se dea o atenție deosebită – printre altele – la două aspecte
importante și anume:
● în permanență să fie dirijată gândirea elevului, să depisteze în enunțul problemei aspecte
esențiale care fac ca aceasta să apa rțină grupului de probleme care se rezolvă după anumite procedee
cunoscute;
● cel de -al doilea aspect este legat de efortul care trebuie depus pentru dirijarea gândirii
elevului spre generalizare.
Este bine ca rezolvarea unor probleme să conducă la sistematizarea cunoștințelor elevilor
după tipuri de probleme.
Metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică se clasifică în două categorii :
A. metode algebrice;
B. metode aritmetice .
A. Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor tehnica specifică calcului algebric
adică bazată pe ecuații și sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva algebric o problemă se
parcurg următoarele etape :
● stabilirea necunoscutelor si notarea lor literală;

38
● punerea problemei în ecuație, adică traducerea în limbaj algebric a relațiilor dintre valorile
cunoscute și necunoscute, prin utilizarea ecuațiilor și a sistemelor de ecuații;
● rezolvarea ecuației sau a sistemului de ecuații respectiv;
● interpretarea soluțiilor obținute și verificarea lor în problemă pentru a stabili în ce măsură
acestea corespund naturii și condițiilor problemei, aprecierea faptului dacă problema admite una sau
mai multe soluții, ori dacă soluțiile impun anumite limite și, în general, dacă soluțiile sunt sau nu
posibile, din punct de vedere logic, și plauzibile, din punct de vedere practic.
Metodele algebrice se caracterizează în mod deosebit prin simplitate și conciziune, astfel
încât aplicarea lor înlătură dificultățile care se întâmpină adeseori în utilizarea unora dintre metodele
aritmetice în a căror alegere nu se pot stabili criterii precise. De aceea, cu deosebire în situațiile în
care rezolvarea prin metode aritmetice întâmpină dificultăți, este să se utilizeze întâi metoda
algebrică, aceasta punând la îndemâna rezolvatorului instrumentul matematic adecvat și orientându -l
just în alegerea și aplicarea metodelor aritmetice. Îmbinarea armonioasă a celor două categorii de
metode creează avantajul evitării eforturilor inutile. Sunt însă împrejurări în care metodele algebrice
se împ letesc atât de strâns cu cele aritmetice încât nici nu se pot delimita, deoarece prin raționamente
specifice aritmetice se ajunge în mod inevitabil la egalități cu una sau mai multe necunoscute, adică
la ecuații și sisteme de ecuații.
Exemplu: Dacă lungim ea unei grădini dreptunghiulare se mărește cu 6 m și lățimea cu 3 m,
aria ei crește cu 180 m, iar dacă lungimea grădinii se micșorează cu 4 m și lățimea se mărește cu 2
m, aria ei se micșorează cu 20 m, să se afle dimensiunile inițiale ale grădinii.
Rezol vare: Notăm lungimea grădinii cu x, lățimea cu y și ținând seama de faptul că aria
dreptunghiului este egală cu produsul dimensiunilor lui, putem scrie sistemul:
( x + 6 ) . ( y + 3 ) = xy + 180
( x – 4 ) . ( y + 2 ) = xy – 20
care, dup ă desfacerea paran tezelor și reducerea termenilor asemenea, devine:
3x + 6y = 162 x +2y = 54 x = 24 (m)
2x – 4y = -12 x – 2y = – 6 y = 15 (m)

B. Metodele aritmetice se clasifică în două categorii:
 metode fundamentale sau generale:

39
 metode speciale sau particulare:
Metodele aritmetice generale se aplică într -o mai mare sau mai mică măsură în rezolvarea
tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazează cu deosebire pe operațiile de analiză și
sinteză ale gândirii care se numes c metoda analitică și metoda sintetică.

I. METODA ANALITICĂ
A exprima o problemă prin metodă analitică înseamnă a privi mai întâi problema în ansamblu,
apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple din care e alcătuită
într-o succesiunbe logică, astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea
răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.
Exemplu : La un magazin s -au adus 10 l ădițe cu mere a câte 30 kg fiecare și 12 lăd ițe cu prune a
câte 25 kg fiecare.
Câte kilograme cântăresc în total lădițele cu mere și cu prune ?

Schema:
Ce ar trebui să cunosc pentru a afla cantitatea totală?

40

10 lădițe 30 kg 12 lădițe

Planul de rezolvare :
1.Care este cantitatea de mere?
10 x 30 =300 kg
2.Care este cantitatea de prune?
12 x 25 = 300 kg
3.Care este cantitatea totală?
300 + 300 = 600 kg
Verificarea și punerea în exercițiu:
10 x 30 + 12 x 25 = 300 + 300 = 600 kg

A verifica și, în final, a rezolva o
problemă prin metoda sintezei înseamnă a porni de
la datele problemei spre întrebare prin
formulări și rezolvări simple, adică se pornește de
la cunoscut spre necunoscut. În cursul rezolvării avem grijă ca, dintre două cunoscute, să c alculăm
valorile acelor mărimi care, la rândul lor, să fie legate de mărimile necunoscute din problemă și să ne
ajute, din aproape în aproape, la găsirea valorii lor.
Exemplu: La o stațiune s -a cheltuit pentru 30 de adulți în 20 de zile cât s -a cheltuit p entru 40
de copii în 18 zile. Cât s -a cheltuit pentru 45 de adulți în 21 de zile dacă pentru 15 copii s -au cheltuit
13 500 lei în 12 zile ?

Rezolvare: Ce ar trebui să
cunosc pentru a
afla cantitatea de
mere? Ce ar trebui să
cunosc pentru a
afla cantitatea de
prune? 25 kg

41
a) Cunoscând ce sumă s -a cheltuit pentru 15 copii în 12 zi le se poate afla cât s -a cheltuit
pentru un copil în 12 zile :
13 500 : 15 = 900 lei
b) Cunoscând cât s -a cheltuit pentru un copil în 12 zile putem afla cât s -a cheltuit pentru un
copil intr -o zi:
900 : 12 = 75 lei
c) Știind cât se cheltuiește pentru un copil pe zi se poate afla cât se cheltuiește pentru un copil
în 18 zile :
75 x 18 = 1 350 lei
d) Cunosc ând cât se cheltuiește pentru un copil în 18 zile putem afla cât se cheltuiește pentru
40 de co pii în 18 zile :
1 350 x 40 =54 000 lei
e) Dac ă pentru 30 de adulți s -au cheltuit în 20 de zile 54 000 lei putem afla cât se cheltuiește
pentru 30 de adulți într -o zi:
54 000 : 20 = 2 700 lei
f) Cunosc ând suma cheltuită pentru 30 de adulți pe zi putem afla cât se cheltuiește pentru un
adult pe zi :
2 700 : 30 = 90 lei
g) Știind că pentru un adult pe zi se cheltuiește suma de 90 de lei putem afla suma cheltuită
de 45 de adulți într -o zi:
90 x 45 = 4 050 lei
h) În final cunoscând acest ultim rezultat putem calcula suma cheltuită de 45 de adulți în 21
de zile :
4 050 x 21 = 85 050 lei

II. METODA SINTETIC Ă
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor
problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relațiile dintre ele, astfel să se formuleze cu
aceste date toate problemele simple posibile și a s e așeza aceste probleme într -o succesiune logică

42
astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea
problemei date:
Exemplu: Problema enunțată mai sus se examinează prin metoda sintetică astfel :
Schema:

10 lădițe 30 kg 12 lădițe 25 kg

Câte kilograme
de mere s -au
adus?

Planul de rezolvare:
1.Câte kilograme de mere s -au adus ?
10 x 30 = 300 kg
2. Câte kg de pere s -au adus?
12 x 25 = 300 kg
3. Ce cantitate de fructe s -a adus?
300 + 300 = 600 kg
Verificare și punere în exercițiu :
10 x 30 + 12 x 25 = 300 + 300 = 600 kg
Se pleac ă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o
problemă în așa fel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă. Datele problemei
formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Acest proces se repetă când se ajunge la o
problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

Exemplu : Câte kilograme
de pere s -au
adus?
Câte kilograme de fructe s -au adus în total?

43
a) Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 de adulți în 21 de zile trebuie să știm cât se
cheltuiește pentru un adult pe zi. Fie acest număr x.
b) Pentru a afla cât se cheltuiește pentru 45 de copii în 18 zile trebuie să știm cât se
cheltuiește pentru 30 de adulți în 20 de zile, adică :
c) Cuno scând că pentru 40 de copii în 18 zile se cheltuiesc 600x lei, putem afla cât se
cheltuiește pentru un copil pe zi :
600x x 7 : ( 40 x 18 ) = 5x : 6
d) iar pe de alt ă parte pentru un copil se cheltuiesc pe zi :
13 500 : ( 12 x 15 ) = 75 lei
e) Am g ăsit pentru aceeași mărime două rezultate, deci le putem egala :
75 = 5x : 6
75 x 6= 5x
x = (75 x 6 ) : 5
x = 90 lei
Metoda sinte tică este mai ușoară, mai accesibilă elevilor datorită faptului că nu necesită un
proces de gândire prea complex. Metoda analitică este mai dificilă fiindcă presupune un proces de
gândire amplu și din acest motiv este uneori ocolită.
Rezolvând probleme prin metoda sintetică, elevii își dezvoltă gândirea reproductivă, iar
rezolvarea problemelor prin metoda anali tică le dezvoltă gândirea productivă, creatoare. Este deci
recomandat ca măcar la clasele mai mari (a III -a și a IV – a ) elevii să analizeze și să rezolve
problemele și prin metoda analitică.
În practică, rar se întâmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei sau numai
prin cea a analizei. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme.
De obicei, se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim,
apoi se recurge la analiză.
În legătură cu cele două metode generale de examinare a unei probleme, se menționează
faptul că procesul analitic nu apare și nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele două
operații ale gândirii se găsesc intr -o strânsă conexiune și interdependență, el e condiționându -se și
recipoc și realizându -se într -o unitate inseparabilă. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod
exclusiv a uneia sau a alteia dintre aceste metode: în examinarea unei probleme intervenind ambele

44
operații cu laturi separate ale p rocesului unitar de gândire, însă în anumite momente sunt situații
când una devine dominantă. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple
din care este alcătuită constituie în esență un proces de analiză, iar formularea planului de re zolvare,
cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de sinteză. Din aceste motive, cele
două metode apar deseori sub o denumire unică: metodă analitico -sintetică.

Metode aritmetice speciale

Sunt mai variate și diferă de la o ca tegorie de probleme la alta, adaptându -se specificulului
acestora. Cele mai importante și mai frecvente sunt următoarele :

A. Metoda grafică
1. Aflarea numerelor când se dau suma și diferența lor;
2. Aflarea a două numere când se dau și raportul lor;
3. Aflarea a dou ă numere când se dau raportul și diferența lor;
4. Probleme combinate.

B. Metoda comparației
1. Aducerea la același termen de comparație;
2. Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei .

C. Metoda ipotezelor
D. Probleme de mișcare
1. Distanța – spațiul, viteza, timpul;
2. Mobile care merg în același sens;
3. Mobile care merg în sens contrar;
4. Probleme combinate.
E. Probleme de medii, amestec, concentrații, echilibru caloric, aliaj.
F. Probleme nonstard (recreative, rebusiste, de perspicacitate, probleme -joc).
a. METODA GRAFICĂ (figu rativă)

45

Metoda grafică constă în reprezentarea (figurarea) mărimilor din probleme și a relațiilor
dintre ele prin diferite elemente grafice: desene, figuri geometrice plane, segmente de dreaptă,
puncte, ovale, semiovale, litere sau combinații de litere, alte simboluri și semne convenționale.
Această metodă este aplicabilă în orice problemă în care se poate apela la figurarea și, prin caracterul
ei intuitiv, este indinspensabilă în rezolvarea de către elevii claselor primare a multora dintre
problemele de aritmetică.
Problemele ce se rezolvă prin metoda figurativă se pot împărți în două mari categorii:
a) Cu date sau mărimi „discrete”, înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate
câte una și se pot pune în corespondență după anumite criterii. În ace st caz mărimile se figurează
prin simboluri.
b) Cu date sau marimi „continui ”, caz în care le figurăm prin segmente.

Exemplu 1: Într -o clasă sunt de două ori mai multe fete decât băieți. La un moment dat pleacă 3
băieți și 3 fete, rămânând de 3 ori mai multe fete decât băieți.
Câți băieți și câte fete erau în clasă?

Rezolvare:
a) formulăm grupe de câte 2 fete și un băiat:
FFB FFB FFB FFB …………
b) înlocuim grupele din care se pleacă:
F F F FFB…………
c) cele 3 fete rămase se repartizează la alte 3 grupe. În aceste grupe vor apărea și
un băiat, deci de 3 ori mai multe fete apar în 3 grupe.
Deci: fete: 3 plecate + 3 x 3 =12
băieți: 3 plecați + 3 x 1 = 6
Exemplu 2: 3 elevi au depus la CEC 600 lei. Raportul dintre suma depusă de al treilea și
primul este de 1, iar diferența dintre aceste 3 sum e este de 200 lei. Cât a depus fiecare copil ?

Rezolvare:

46
a) Punem în evidență ,,informația” care ne spune că raportul dintre sumele celor doi copii este 1,
adică unul are o parte iar celălalt are 3 părți.

I –– –– ––
II ––
Din desen se vede că diferența dintre cele două sume este reprezentată prin două părți egale. Deci o
parte reprezintă:

200 : 2 = 100 (lei)
100 x 3 = 300 (lei are primul copil)
100 x 1 = 100 (lei are al treilea copil)
600 – (300 + 100) = 200 (lei are al doilea copil)
Metoda care cere pentru reprezentarea m ărimilor din problemă și relațiilor dintre ele
utilizează elemen te grafice sau desene și scheme, se numește metodă figurativă. În aplicarea acestei
metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora:
 Desene care reprezintă acțiunea problemei și părțile ei componente;
 Figuri geo metrice diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, drepunghiul, pătratul,
cercul;
 Figurarea schematică a relațiilor matematice dintre datele problemei;
 Diferite semne convenționale, unele obișnuite altele stabilite de comun acord cu
elevii;
 Litere și comb inații de litere;
 Elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculețe, etc.
Avantajele pe care le prezintă metoda figurativă o situează pe primul loc în ceea ce reprezintă
utilitatea ei:
 Are caracter general, aplicându -se la orice categorie de problem e în care se
pretează figurarea și pe diferite trepte ale școlarității;

47
 Are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei făcându -se pe
baza imaginilor vizuale, uneori intervenind acțiunea directă, mișcarea și
transpunerea acesteaia pe plan mintal;
 Prin dimensiunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează
variate modalități de stabilire a relațiilor cantitative dintre diferitele valori ale
mărimilor, se sugerează aceste relații, se pun în evidență.

Exemplu: În două vaze se găsesc 16 flori. Câte flori se găsesc în fiecare vază
dacă în prima sunt cu 6 flori mai multe decât în a doua ?
+ 6 flori
Rezolvare : I
II 16 flori
a) 16 – 6 =10 (două părți egale cu numărul florilor din a doua vază );
b) 10 : 2 =5 (flori care se găsesc în a doua vază);
c) 5 + 6 = 11 (flori care se găsesc în prima vază).
Verificare :
a) 11 + 5 = 16 (fl ori care se găsesc în cele două vaze)
b) 11 – 5 = 6
b METODA COMPARAȚIEI

Comparația, ca operație a gândirii logice intervine în multe momente și situații ale activității
matematice, dar cu deosebire în probleme în care două mărimi necunoscute sunt legate înt re ele prin
două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.
Algebric, aceste relații se traduc sub forma unui sistem de două ecuații de gradul I cu două
necunoscute. Problemele de acest tip se cunosc după felul în care este redactat e nunțul, care este
alcătuit din două situații dinstincte. Se scriu datele din enunț în mod corespunzător unele sub altele.
Se încearcă să se egaleze datele privitoare la o mărime în cele două șiruri prin multiplicarea datelor.

Exemple:

48
1. Într-o săptămână, 12 băieți și 7 fete au cules 630 kg de cireșe. În săptămâna a doua, 12
băieți și 3 fete au cules 510 kg de cireșe. Câte kg de cireșe au cules pe săptămână o fată și
câte un băiat ?
Rezolvare :
a) se scriu și se compară cele două relații :
12 băieți………………….7 fete……………..630kg
12 băieți………………….3 fete……………..510kg
Comparând relațiile între ele se deduce cu ușurință că echipa a doua a cules o cantitate mai
mică de cireșe, datorită faptului că are ma i puțini copii decât prima.
b) prin scădere eliminăm numărul băieților și obținem:
7 fete – 3 fete = 4 fete
630 – 510 = 120 kg
c) știind că 4 fete culeg 120 kg, aflăm cât culege o fată:
120 : 4 = 30 kg
d) aflăm câte kg culeg 7 fete :
30 x 7 = 210 kg
e) aflăm câte kg culeg 12 băieți :
630 – 210 = 420 kg
f) aflăm câte kg culege un băiat :
420 : 12 = 35 kg
R: o fată: 30 kg; un băiat: 35 kg .

2. 7 imprimante și 3 calculatoare costă 3 350 lei, iar două imprimante și 6 calculatoare costă
6 100 lei .
Cât costă o imprimantă și cât costă un calculator ?

Rezolvare:
a) notăm datele problemei pe două șiruri corespunzătoare celor două situații:
7 imprimante …………………. 3 calculatoare ……………… …..3 350 lei
2 imprimante …………………. 6 calculatoare ………………….. 6 100 lei

49

b) observăm că cel mai ușor este să egalăm datele corespunzătoare calculatoarelor .
Dacă înmulțim datele din primul șir cu 2 obținem :
14 imprimante …………………… 6 calculatoare ……………………..6 700 lei
2 imprimante …………………… 6 calculatoare ………………………6 100 lei

c) prin scădere eliminăm calculatoarele și obținem:
14 – 2 = 12 (imprimante)
6 700 – 6 100 = 600 lei
d) știind că 12 imprimante costă 600 lei, aflăm cât costă o imprimantă:
60012 = 50 lei
e) aflăm cât costă 2 imprimante:
50 x 2 =100 lei
șase calculatoare vor costa:
6 100 – 100 = 6 000 lei
f) aflăm prețul unui calculator :
6 000 : 6 = 1 000 lei
Procedeul aritmetic de rezolvare a unor probleme duce la eliminarea uneia dintre mărimi,
prin reducere, adică prin adunare s -au scădere, fiind analog cu cel algebric. Dacă valorile aceleiași
mărimi sunt egale prin enunțul problemei, reducerea este imediată prin reducerea valorilor
respective. Dacă din enunțul problemei nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la
același termen de comparație.
Problemele care se rezolvă prin comparație se pot clasifica și după numărul mărimilor sau
necunosc utelor care apar în text și anume cu două, trei sau mai multe necunoscute, numărul relațiilor
fiind necesar egal cu numărul valorilor respective.
Exemplu: 16 saci cu făină și 15 saci cu cartofi cântăresc 2 030 kg, iar 22 saci cu făină și 15
saci cu cartof i cântăresc 2 510 kg. Cât cântărește un sac cu făină și cât cântărește un sac cu cartofi?
Rezolvare:
Scriem datele problemei astfel:
16 s.f ……………….15 s.c ………………….2 030 kg

50
22 s.f .. ……………..15 s.c ………………….2 510 kg

6 s.f …………………………………………….480 kg

Am scăzut valorile de sus din valorile de jos:
22 – 16 = 6 s.f; 15 s.c – 15 s.c. = 0; 2 510 – 2 030 = 480 kg
1 s.f. → 480 : 6 = 80 kg
16 s.f. → 80 x 16 = 1 280 kg
1 s.c. → 750 : 15 = 50 kg
15 s.c → 2 030 – 1 280 = 750 kg
Metoda comparației prin reducere la unitate constă în compararea mai multor mărimi date în
problemă cu una din ele, luată ca unitate. Metoda reprezintă avantajul că este foarte accesibilă
elevilor și poate să fie utilizată într -o gamă foarte variată de probleme. Singura dificultate este de a
reuși să se st abilească felul dependenței între mărimi (direct sau invers proporționale) .
1. (mărimi direct proporționale)
Pentru 4 radiere Ionel a plătit 12 lei. Câți lei trebuie sa aibă Costel pentru a cumpăra 7
radiere ?
Rezolvare : 4 radiere costă 12 lei
1 radieră costă 12 : 4 = 3 lei
7 radiere costă 3 x 7 = 21 lei

2. (mărimi invers proporționale)

10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor termina lucrarea 12 muncitori?
Rezolvare:
Dacă 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci un muncitor termină lucrarea într –
un timp de 10 ori mai mare:
6 x 10 = 60 zile.
12 muncitori vor termina lucrarea într-un timp mai mic de 12 ori, deci:

51
60 : 12 = 5 zile.

Există în aritmetică probleme care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare și
care nu permit folosirea unei metode. Conduita este creativă, nicio problemă nu seamăn ă cu alta, de
fiecare dată rezolvatorul fiind obligat să găsească o cale de rezolvare proprie fiecărei probleme.
Indiferent de metoda folosită, primul lucru ce trebuie făcut pentru rezolvarea unei probleme
este înțelegerea ei, pentru că elevul care înțele ge greșit răspunde greșit. Trebuie înțeles scopul spre
care se tinde –„ să ai în vedere sfârșitul” – spuneau latinii.
Dar numai atât nu este suficient. Pentru a rezolva o problemă este necesară voința de a
rezolva, iar în final, satisfacția mun cii împlinite. Cum în aritmetică nu există o metodă unitară de
rezolvare, gândirea trebuie să rămână mereu activă și mereu în căutarea soluțiilor problemei. Este
necesar să se descopere prin gândire personală calea de rezolvare a problemei.

c. METODA FALS EI IPOTEZE

Orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale, poate fi rezolvată prin metoda
falsei ipoteze. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, făcând asupra mărimii ce o căutăm o
presupunere arbitrară, dar nu în contradicție cu date le din enunț. Se reface problema pe baza
presupunerii făcute și se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel din problemă. Este fie mai
mare, fie mai mic decât acesta. Se compară rezultatul pe baza presupunerii cu cel real ; din
nepotrivirile obținute s e trage concluzia corectă de rezolvare a problemei.
Exemple :

1. Cu 1 300 lei se pot cumpăra 30 bilete de tren de 30 lei și 50 lei.
Câte bilete sunt de fiecare ?
Rezolvare :

a) Presupunem că toate biletele costă 50 lei. Atunci toate cele 30 bilete ar costa :

30 x 50 = 1 500 lei

52

b) Comparând cu prețul real se obține o diferență :

1 500 – 1 300 = 200 lei

c) Această diferență rezultă din faptul că biletele de 30 lei le -am cumpărat mai scumpe cu:

50 – 30 = 20 lei

d) La câte astfel de bilete am adăugat 20 lei din suma, care a apărut în plus, de 200 lei?

200 : 20 = 10 (bilete)

R: 10 bilete de câte 30 lei
30 – 10 = 20 bilete de câte 50 lei

2. Într -o curte sunt găini, rațe și oi. Știind că în total sunt 100 de capete și 280 de picioare,
iar numărul rațelor este o treime din numărul găinilor, să se afle câte păsări de fiecare sunt în acea
curte.
Această problemă se rezolvă prin metoda falsei ipoteze combinată cu metoda grafică.
Rezolvare:
a) Presupunem că toate capetele au câte două picioare:
1002 = 200 picioare

b) comparând numărul de picioare cu cel din problemă se obține o diferență:
280 – 200 = 80 picioare

c) această diferență provine din faptul că în curte sunt și animale cu patru picioare, deci
cele 80 de picioare le împărțim câte două la fiecare cap pentru a afla câte oi sunt:
80 : 2 = 40 oi

53

d) aflăm câte păsări sunt:
100 – 40 = 60 păsări

Din acest punct, problema se rezolvă prin metoda grafică:
r.
g.

e) adunăm părțile:
1 + 3 = 4 părți

f) aflăm câte rațe sunt:
60 : 4 = 15 rațe

g) aflăm câte găini sunt:
15 x 3 = 45 găini
R: 15 rațe, 40 oi

Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ip oteze sau a mai
multora, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Întrucât
ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se mai numește
a falsei ipoteze. Problemele a căror re zolvare se bazează pe această metodă, se pot clasifica în două
categorii, după numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și
determinarea rezultatelor, astfel:
 Probleme de categoria I, pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză;
 Probleme de categoria a II -a pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai
multe ipoteze succesive.
Exemple :

54
1. Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și gâște, în total 3 444 capete și 11
520 picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare decât al vacilor, iar al gâștelor
de 3 ori mai mic decât cel al găinilor, să se afle separate câte vaci, oi, găini și gâște are ferma.
Rezolvare :
Ținând seama că vacile și oile au câte 4 picioare, iar găinile și gâ ștele câte două, se va afla întâi câte
animale au 4 picioare și câte au 2 picioare, și apoi câte dintre cele cu 4 picioare sunt vaci sau oi și
câte dintre cele cu două picioare sunt găini sau gâște. În acest scop se presupune că toate animalele
sunt cu cât e 4 picioare:
3 444 x 4 = 13 776 (picioare)
13 776 – 11 520 = 2 256
2 256 : 2 = 1 128 (păsări)
1 128 : 4 = 282 (gâște)
282 x 3 = 846 (găini)
3 444 -1 128 = 2 316 (animale: vaci și oi)
2 316 : 6 = 386 (vaci)
386x 5 = 1 930 (oi)
2. Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe bancă, rămân
18 persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe bancă rămân 4 bănci libere.
Câte bănci sunt în sală și câți spectatori?

Rezolvare:
Ipoteza I : Se presupune că ar fi 30 bănci:
30 x 4 =120 (spectatori) 30 – 4 = 2 6 (bănci ocupate)
120 + 18 = 138 (spectatori) 26 x 5 = 130 (spectatori)
138 – 130 = 8 (diferența dintre spectatori)

Ipoteza II: Se presupune că ar fi 31 de bănci:
31 x 4 = 124 (spectatori) 31 – 4 = 27 (bănci ocupate)
124 + 18 = 142 (spectatori) 27 x 5 = 135 (spectatori)

55
142 – 135 = 7 (diferența dintre spectatori)
Dacă numărul băncilor s -a mărit cu 1, diferența s -a micșorat cu o unitate, de unde rezultă că
numărul băncilor trebuie mărit cu 8 pentru ca dife rența de spectatori să se acumuleze.
Deci : 38 x 4 =152 (spectatori) 38 – 4 = 34 (bănci ocupate)
152 + 18 = 170 (spectatori) 34 x 5 = 170 (spectatori)
Această problemă mai poate fi rezolvată și algebric, cu ajutorul unui sistem d e 2 ecuații cu 2
necunoscute .

d. METODA MERSULUI INVERS

Se folosește în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul șirului de
relații dat în enunț. Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei, se
poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația in versă celei din enunț. Deci nu numai
mersul este invers ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt invers decât cele din problemă.
Exercițiile de tipul celor degajate din enunțul problemei sunt de fapt ecuații de gradul I cu o
necunoscută, dar care s e rezolvă prin raționament aritmetic cu ajutorul relațiilor ce există între
rezultatele operațiilor și termenii cu care se operează. Rezolvarea unei asemenea probleme se poate
combina și cu metoda figurativă.
Exemple:
1. Un producător vinde pepeni la 3 cu mpărători. Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui de –
al doilea o treime din ce îi rămase, iar celui de -al treilea o cincime din noul rest.
Câți pepeni a avut producătorul, dacă iau mai rămas 16 pepeni ?

Rezolvare:
T (total)

1. 1
2𝑑𝑖𝑛 𝑇(total)
R1
2 1
3 𝑑𝑖𝑛 𝑅1

56
R2
3 1
5 𝑑𝑖𝑛 𝑅2
Se observă că reprezintă 4
5 din restul al doilea. Câți pepeni reprezintă restul al doilea ?
16 : 4 x 5 = 20 (pepeni)
Tot 20 reprezintă 2
3 din primul rest. Câți pepeni constituie primul rest
20 : 2 x 3 = 30 (pepen i)
30 reprezintă 1 din totalul inițial. Câți pepeni erau în total?
30 x 2 = 60 (pepeni)
A rezolva un exercițiu sau o problemă prin mersul invers înseamnă a reface calculele în
sens invers celor indicate de text, până se ajunge la un element de bază pe care s -a construit
exercițiul sau problema. Se numește metoda mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în
sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecare i operații corespunzându -i
inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un
element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în timpul respectiv.
Exemple :
Se consideră un număr notat cu a, la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește cu 6, din
produsul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5, obținându -se 25. Cât este a?
[(a + 7) x 6 – 10] : 4 + 5 = 25

Rezolvare :

[( a + 7 ) x 6 – 10 ] :4 = 25 – 5
[(a + 7 ) x 6 – 10 ]:4 = 20
(a + 7 ) x 6 – 10 = 20 x 4
(a + 7 ) x 6 – 10 = 80
(a + 7 ) x 6 = 80 + 10
(a + 7 ) x 6 = 90
a + 7 = 90 : 6
a + 7 = 15

57
a = 15 – 7
a = 8

e. PROBLEME DE MI ȘCARE

Probleme de mișcare sunt acelea care se află una dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza
sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.
Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om) exprimat în
unită ți de lungime (metru, multiplii sau submultiplii lui).
Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într -o unitate de timp,
exprimată în unități de lungime pe unități de timp (m /s, km/h).
Tumpul (t) este numărul de unități de timp ( secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge
spațiul .
În general, în problemele de mișcare se vorbește despre mișcarea uniformă a unui mobil,
adică, în intercale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz, cele trei mărimi s, v, t,
sunt legate prin relația:
s = v x t; v = 𝑠
𝑣; t = 𝑠
𝑣.
La rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și
speciale, cât și cele algebrice.

Exemplu :
Doi turiști parcurg distanțe de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al
doilea. Viteza primului turist este de 4 km/ h, iar celui de -al doilea de 6 km/h. Să se determine
distanța de la A la B.
Rezolvare:
I. (aritmetică) : V 1 = 4 km / h
V2= 6 km / h
V2 – V1 = 2 km / h

58
Deci primul a rămas în urmă cu spațiul: s = 4 km / h x 2h = 8 km;
8 : 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4 h și a parcurs 4 x 6 = 24 km,
AB = 24 km.
II.(algebri că): T 1 = 𝑠
4 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de primul turist)
T2 = 𝑠
6 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al doilea turist)
𝑠
4 – 𝑠
6 = 2. 3 s – 2 s = 24, s= 24, AB = 24 km.
Tot în cadranul problemelor de mișcare sunt înscrise și probleme de întâlnire:
a) Mobilele se deplasează în sens contrar;
b) Mobilele se deplaseză în același sens;
c) Mobilele se deplasează în sens contrat;

A * D * B

V1 V2
Formula după care calculăam timpul de întâlnire într -o problemă de mișcare în sensuri
contra re este:
T = 𝑠
𝑉1+𝑉2
Exemplu:
Din orașul A pleacă la ora 11 dimineață un biciclist, spre B. El merge cu o viteză de 16 km /
h. După 3 ore a plecat un al doilea biciclist din orașul B spre orașul A cu viteza de 2 km / h. Când și
unde se vor întâlni ei, dacă distanța de la A la B este de 328 km?

Rezolvare :
Recunoaștem din enunț, o problemă de mișcare în sensuri contrare, care se deosebește foarte
mult de problemele „standard”, comentate anterior. Cu noaștem vitezele celor două automobile și
trebuie să stabilim la ce distanță se află unul de altul în momentul când începem să considerăm
mișcarea, unuia către celălalt.
Facem următorul desen:

59

A B

Etalon de rezolvare:
a) Până în momentul plecării din B celui de -al II – lea biciclist, primul parcurge:
16 x 3 = 48 (km) (AC).
El se află la distanța de 328 – 48 = 280 (km) față de biciclistul al II – lea (CB), în momentul
plecării acestuia din B.
Din acest moment, problema s -a redus la o problemă tipică de mișcare în sensuri contrare. În
fiecare oră, di stanța dintre cei doi se micșorează cu:
16 km +12 km =28 km
Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind 28 km în 280
km, adică:
280 km : 28 km / h= 10 h
Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau la
10 + 3 = 13 h după plecarea celui din A
Ei se vor întâlni la ora: 11 + 13 = 24 (h), la distanța de:
16 x 13 = 208 km de orașul A.

b) mobilele se deplasează în același sens:
Aceste probleme pot fi redate schematic ca în figura de mai jos:
A B
V1

V2

Formula după care calculăm timpul de întâlnire într -o problemă de mișcare în același sens
este:
T = 𝑠
𝑉1−𝑉2

60
Exemplu:
Un biciclist, având viteza de 24 km / h, pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din orașul
A, în aceeași di recție, un motociclist, având viteza de 42 km / h. În cât timp îl va ajunge
motociclistul pe biciclist?
Rezolvare:
Realizăm următorul desen:
74 km
C
A B

Vb = 24 km / h

Vm = 42 km / h

În 3 ore biciclistul parcurge o distanță de: 24 x 3 = 72 (km)
Motociclistul parcurge în fiecare oră, în plus: 42 – 24 = 18 (km). Cei 72 de km vor fi
recuperați în: 72 : 18 = 4 (km), timp după care biciclistul va fi ajuns. Distanța de întâlnire va fi 42 x
4 = 168 (km)

f. PROBLEME NONSTANDARD

O categorie aparte de probleme, care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare
discutat până acum și care permit aplicarea unei metode învățate, sunt cunoscute sub numele de
probleme nonstard. Această categorie include probleme în fața cărora, după citirea enunțului,
rezolvatorul, chiar și cel cu experiență, nu reușește să le introducă în „canoanele” metodei de
rezolvare bine știute. În această situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvatorul devenind,
în situația în care reușește rezolvarea, un creator. Conduita este creatoare deoarece nicio problemă nu
seamănă una cu alta, de fiecare dată rezolvatorul fiind obligat să găsească o anume cale de rezolv are
proprie fiecărei probleme.
Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează:

61
– cultivarea creativității elevilor din clasele I – IV (îndrăzneală, spirit novator, istețime,
iscoditor, flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metode i);
– crearea unor situații generatoare de motivație intrinsectă, cu consecințe favorabile în planul
interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi probleme, al apariției unor satisfacții
noi, care întăresc pozitiv motivația școlară în sf ere mai largi de activitate;
– educarea unor trăsături volative pozitive pentru întreaga conduită a elevului (tenacitate,
concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire controlată didactic etc). Datorită marii
varietăți a acestui gen de problem e și a gradului înalt de dificultate al fiecăreia, este greu să se facă
analogii, să se opereze transferurile de metodă. Asemenea probleme se vor rezolva mai ales în cadrul
cercului de matematică. Deoarece rezolvarea unei probleme nonstandard reprezintă un act creator,
vom încerca o regăsire a fazelor procesului de creație așa cum au fost elaborate de G. Wallas.
Vom propune spre rezolvare elevilor următoarea problemă:
Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul dintre ei îl întreabă pe celălalt câți copii ar e. Cel
întrebat răspunde: trei. Ce vârstă au? Ghicește! Deoarece amândoi erau buni de glume, între ei se
înfiripă următorul dialog:
-Nu pot . Dă -mi câteva informații.
-Produsul vârstelor este 36.
-Nu-mi ajunge aceasă informație.
-Suma vârstelor este câ t numărul acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm.
După ce s -a gândit puțin, cel care întrebase spune:
-Tot nu pot să răspund. Mai dă -mi o informație.
-Da, cel mai mic are ochi albaștri.
După această informație el reușește să răspundă.Cum a procedat , știind că vârstele copiilor au fost
exprimate în numere întregi?
1. Prepararea este momentul în care rezolvatorul (care este de fapt elevul și nu unul din cei
doi părinți) receptează activ toate sursele de sprijin posibile:
 știe clar ce trebuie să afle ( vârsta celor trei copii);
 adunarea materialelor -rectualizează toate datele problemei;
 munca reală de creație – deoarece rezolvatorul nu cunoaște decât produsul vârstelor care
este 36, el va încerca toate posibilitățile existene:

62
a) 1 x 1 x 36 = 36 b) 1 x 2 x 18 = 36
c) 1 x 3 x 12 =36 d) 1 x 4 x 9 = 36
e) 1 x 6 x 6 = 36 f) 2 x 2 x 9 = 36
g) 2 x 3 x 6 = 36 h) 3 x 3 x 4 = 36
Cea de -a doua informație în legătură cu suma vârstelor îi este rezolvatorului n ecunoscută, încercând
din nou toate posibilitățile:
a)1 + 1 +36 = 38 b)1 + 2 + 18 = 21
c) 1 + 3 + 12 =16 d) 1 + 4 + 9 = 14
e) 1 + 6 + 6 = 13 f) 2 + 2 + 9 = 13
g) 2 + 3 + 6 = 11 h) 3 + 3 + 4 = 10
2. Incubația este perioada activității inconștiente. După o scurtă perioadă de timp, apare o
viziune de ansamblu asupra strategiei de lucru și a posibilei soluții. Pe baza jocului liber al
imaginației și intuiției creatoare, are loc înțelegerea problemei, pregătindu -se cea de -a treia fază.
3. Iluminarea – rezolvatorul înțelege că aflându -se în oricare din situațiile a), b), c), d), g), h)
(menționate mai sus) celui de față i -ar fi fost mai ușor să afle vârsta. Deoarece a mai cerut detaliu
este evident că se aflau în dr eptul casei cu numărul 13, având două posibilități. Din acel detaliu, care
la început pare banal, lipsit de importanță, atât părintele ce rezolvă problema, cât și elevul, înțeleg că
important este faptul că există un copil ca fiind cel mai mic, iar culoare a ochilor este de fapt
elementul perturbator menit să direcționeze greșit gândirea. Atunci dintre cele două variante posibile
va alege prima variantă, deci cea în care vârstele ar fi: 1 an, 6 ani, 6 ani.
4. Elaborarea și verificarea se realizează în mintea rezolvatorului stabilind valoarea de
adevăr a soluției găsite: 1 x 6 x 6 = 36
1 + 6 + 6 = 13;
Există într -adevăr un copil ca fiind cel mai mic.

63

CAPITOLUL III

CREATIVITATEA

III.1. DELIMITĂRI CONCEPTUALE. CERINȚA SOCIALĂ DE CREATIVITATE

Cand copilul incepe viata scolara, gandirea ii este mereu solicitata si dezvoltata. Pornind de la o
gandire intuitiva, copilul ajunge sa opereze cu structuri mentale concrete. Potentialul intelectual se
mareste de 3 -4 ori in aceasta perioada, un efect vizibil fiind micsorarea timpului de lucru necesar
rezolvarii unei sarcini didactice.

Gandirea este motorul si expresia inteligentei si in acelasi timp o aptitudine a personalitatii. Gandirea
foloseste reprezentari, scheme, simb oluri si reguli si se exprima prin operatii. In ciclul primar, sunt
des exersate analiza, sinteza si generalizarea, prin exercitii simple, urmate de abstractizari,
comparatii si concretizari, in forme incipiente.

Cele 7 tipuri de inteligenta
Howard Gardne r, in cartea “Frames of mind: The Theory of Multiple Intelligences” (“Cadrele
Mentale: Teoria Inteligentelor Multiple”) identifica 7 tipuri de inteligenta:

1. Inteligenta matematica si rationala
Aceasta este inteligenta cifrelor, este gandirea logica, ord onata, a fizicienilor si matematicienilor. Cel
care are o astfel de inteligenta invata cel mai usor cand i se prezinta cifre, cand lucrurile au logica; se
descurca bine cu simboluri si reprezentari grafice.

2. Inteligenta vizuala si spatiala
Este capacita tea de a reprezenta mental experientele si lumea exterioara. Este de exemplu inteligenta
pictorilor, a arhitectilor, designerilor, sculptorilor si asa mai departe. Cei ce folosesc aceasta
inteligenta vizualizeaza foarte mult si au nevoie sa -si reprezinte m ental realitatea. Aceasta inteligenta
este folosita des si in exercitiile de control a starilor de antrenament mental pentru succes, la sportivi
mai ales.

3. Inteligenta verbala si auditiva
Sintaxa, semantica, inteligenta marilor oratori, traineri, poeti, scriitori, umoristi. Cei cu inteligenta
auditiva au nevoie sa auda in minte lumea din exteriorul lor. Este tipul de inteligenta cel mai folosit
de catre invatamantul actual – informatiile trebuie auzite pentru a fi asimilate.

4. Inteligenta muzicala si ritmica
Este inteligenta muzicienilor de toate tipurile. Oamenii inzestrati cu acest tip de inteligenta au o
perceptie fina a ritmului in toate evenimentele. Ei au nevoie sa gaseasca ritm in orice si sa inteleaga

64
“muzica” din toate evenimentele vietii.

5. Inteligenta kinestezica
Inteligenta miscarii si coordonarii – acrobatii, gimnastii, sportivii in general, dar si cei care lucreaza
direct cu lemnul si alte materiale (dulgheri, sculptori) manifesta o astfel de inteligenta. Cei care
invata utilizand acest t ip de inteligenta au nevoie sa atinga si sa manipuleze diverse obiecte. Ei
invata bine prin jocuri. Au nevoie si de miscare la nivel mental.

6. Inteligenta intrapersonala
Este inteligenta singuraticilor, a poetilor solitari precum Rimbaud sau a preotilor care zilnic sunt in
meditatie. Este inteligenta celor care aleg sa gandeasca complet diferit si sa iasa la modul “brutal”
din tiparele societatii pentru a reflecta singuri, ei cu sine. Aceste persoane au nevoie sa stea singure
si sa gandeasca pentru a inte lege; cauta linistea si nu vor sa fie deranjati.

7. Inteligenta interpersonala
Este reversul inteligentei intrapersonale. Este inteligenta marilor lideri, a celor care au influentat
capacitatea de a dezvolta relatii interumane – Iisus, Napoleon, Churchill sau Ghandi sunt cateva
exemple. Cei cu inteligenta interpersonala reusesc sa uneasca si sa conduca oamenii cu o usurinta
incredibila. Ei invata foarte bine in echipe, se implica in proiecte de grup si au nevoie mereu sa fie in
contact cu oamenii.

Fiecare dintre noi ne bazam pe 1 -2 tipuri de inteligenta si avem cate putin si din celelalte tipuri. Este
util sa stim care tip de inteligenta este dominant, sa invatam bazandu -ne pe acel tip si sa fructificam
avantajele pe care le ofera.

După ce a apărut fo arte multe lucrări care s -au ocupat de „ omul de geniu sau de oamenii
mari ”, viziunea oamenilor de știință cu privire la modul de abordare a creativității s -a modificat
fundamental. Nu se mai crede că omul este „ ceea ce i -a fost prescris, că geniul este exc lusiv
ereditar, un har divin, o șanșă a celor aleși ”, că o persoană este fie creativă, fie necreativă și că în
această privință nu este nimic de făcut.
Este adevărat că oamenii se nasc cu înzestrări diferite, fie mai generoase sau mai sărace, dar
moștenir ea genetică nu face decât să traseze o limită până la care individul ar putea ajunge, dar în
același timp, atingerea vârfului nu poate fi garantată.
Pentru ca un anumit individ să se ridice la nivelul pe care codul său genetic l -a prescris are
nevoie de intervenția favorabilă sau cel puțin care nu pune piedici mediului și educației.
De-a lungul vremii, părerile asupra creativității au fost împărțite. Unii autori definesc
creativitatea ca fiind aptitudinea sau capacitatea de a realiza ceva original. Actul creator este însă un

65
proces de elaborare prin intervenție sau descoperire, cu ajutorul imaginației creatoare, a unor teorii,
idei sau produse noi, originale de mare valoare socială și aplicabile în diferite domenii de activitate.
Alții consideră că de fap t creativitatea nu este o aptitudine sau capacitate, ci un proces prin care să se
rezolve unele probleme noi. Pentru alții, pentru cei mai mulți, creativitatea implică realizarea de
produse noi și de valoare pentru societate.
Înainte de a aborda problemat ica creativității în școală, trebuie să menționăm că elevii din
clasele I -IV în general nu pot să realizeze ceva nou pentru societate. La ei, vorbim despre acea
creativitate numită și individual -psihologică prin care se înțelege aptitudinea sau capacitatea de a
realiza ceva original, de a găsi soluții, idei, probleme, metode care deși nu sunt noi pentru societate,
reprezintă o noutate pentru individ sau pentru un grup restrâns, noutate la care s -a ajuns pe o cale
independentă.
Concret creativitatea ar pute a fi definită ca o disponibilitate generală a personalității aflate în
interacțiune cu sine și cu lumea înconjurătoare pentru producerea noului.
Creativitatea pote fi abordată ca proces de elaborare a unor soluții noi prin combinarea și
restructurarea dat elor experienței anterioare, ca produs caracterizat prin noutate, originalitate, cu
valoare pentru om și societate, ca dimensiune coplexă a personalității , deoarece angajează toate
procesele și funcțiile psihice, de la percepție până la afectivitate și car acter.
Orice persoană cu o inteligență normal dezvoltată este mai mult sau mai puțin creativă, iar
peste un anumit coeficient de inteligență, aceasta nu mai corelează cu creativitate, rolul important
revenind imaginației creatoare și factorilor de persona litate. Ar fi eronat însă dacă am indentifica
inteligența superioară cu creativitatea, aceasta fiind definită de originalitatea și valoarea produselor
create. Altfel spus, inteligența superioară nu înseamnă neapărat și creativitate, întrucât nu toți
oameni i inteligenți sunt și creativi.
Istoria marilor descoperiri și invenții a operelor de artă și a revoluției tehnico – științifice este
istoria inteligenței și a creativității, darul cel mai de preț al omului, care i -a permis să făurească
primele unelte, să stăpânească natura prin știință și tehnică, să creeze un peisaj nou pe planeta
noastră și să pătrundă în spațiul cosmic. În cuceririle științei, ale tehnicii și culturii artistice sunt
materializate capacitățile creatoare ale omului, inteligența și sensibi litatea lui față de frumos. Bogăția
unui popor nu stă în bani și nici în milioanele de tone de petrol, ci în hărnicie și creativitate.

66
Tendințele de informatizare a societății și a mutațiilor adânci din toate domeniile de
activitate, creșterea producției și a culturii sunt condiționate în mare măsură de capacitatea creativă a
oamenilor se impune, deci, încurajarea eforturilor pentru deschiderea unor căi de știință, tehnică și
tehnologie, stimularea inventivității și educarea pasiunii pentru știință, ca fo rță nemijlocită a
producției moderne. În fața acestei comenzi sociale, de creativitate, hotărâtoare pentru ridicarea
omului pe noi trepte de bunăstare, de cultură și de civilizație, școala are un rol bine definit privind
dezvoltarea la elevi a capacitățilo r creative.
După unele statistici, nu s -a utilizat până acum decât 3% din inteligența omenirii, cauzele mai
importante fiind analfabetismul și concepția școlii tradiționale, bazată îndeosebi pe predarea,
memorarea și reproducerea cunoștințelor, neglijând dezvoltarea potențialului creator al elevilor și
însușirea de către aceștia a unor tehnici de învățare creativă. Școala contemporană, centrată pe elev,
are un rol bine precizat în dezvoltarea uriașului potențial intelectual, reprezentat de inteligență și
creativitate, care, pus în valoare, va asigura neîntrerupt progresul social -uman. În relația elev -proces
de învățământ, cunoașterea nivelului de dezvoltare intelectuală al fiecărui elev este deosebit de
importantă pentru folosirea unor metode adecvate, care să permită individualizarea învățământului
astfel încât fiecare elev să -și dezvolte la maximum capacitățile și aptitudinile creatoare prin procesul
învățării.

III.2 . METODE DE DEZVOLTARE A GÂNDIRII ȘI CREATIVITĂȚII

Creativitatea este un proces complex care angajează întreaga personalitate a elevului. În
școală, nu se poate vorbi de creații de mare originalitate decât la elevii excepționali, la ceilalți fiind
vorba doar de un potențial creativ ce urmează a fi dezvoltat pe diferite căi, atât în procesul de
învățământ cât și în cadrul activităților extrașcolare.
Pentru o bună cunoaștere și educare a creativității elevilor, trebuie să avem în vedere factorii
ce favorizează afirmarea și dezvoltarea potențialului creativ, respectiv:
Factorii subiectivi/psih ici:
– factori intelectuali (gândire intuitivă, fluidă, imaginație creatoare, originalitate);
– factori aptitudinali (inteligența ca aptitudine generală și aptitudini speciale);

67
– factori de personalitate (nivelul de aspirații, motivații, trebuințe, for ța eului, factori
caracteriali);
Factori obiectivi/sociali:
– mediul social și cultural, contextul familial, economic, relații interpersonale, etc.
Este necesară cunoașterea acestor factori din două motive: în primul rând ne oferă informații
asupra soli citărilor la care putem să -i supunem pe elevi și în al doilea rând ne indică strategiile pe
care le putem adopta în cadrul acțiunii de educare a creativității.
Primele cercetări mai ample de descoperire a talentelor utilizau ca metodă principală testele
de inteligență. Cercetătorii au demonstrat că numai pe baza lor nu se poate prevedea creativitatea
unei persoane. Într -adevăr, un nivel minim de inteligență este necesar, dar un coeficient mai ridicat
nu garantează o creștere corespunzătoare a creativității . Potențialul creativ este mai mult dependent
de inteligență, dar nu se confundă cu aceasta, deoarece raportul dinspre creativitate spre inteligență
este de supraordonare.
Așadar, ajungem la concluzia că factorii ce contribuie la dezvoltarea potențialulu i creativ se
intercondiționează, formând un sistem.
Totuși, cei mai mulți cercetători consideră că în depistarea potențialului creativ un rol
important îl au calitățile gândirii: flexibilitatea (capacitatea de restructurare promtă și adecvată a
informaț iilor, a sistemului de cunoștințe, în conformitate cu cerințele noii situații, modificarea
modului de abordare când cel anterior nu se dovedește eficient), fluența (bogăția și fluxul de
cuvinte, asociații, idei, imagini), originalitatea (unicitatea răspunsurilor și gradul lor metaforic),
toate acestea privite în strânsă corelație cu nivelul inteligenței generale.
Cel mai important lucru pe care trebuie să îl reținem este că orice om normal, indiferent de
capacitățile sale intelectuale s au de mediul în care trăiește, dispune de un potențial creativ ce trebuie
depistat, descoperit, încurajat, valorificat, stimulat prin strategii didactice adecvate și prin învățare
creativă.
Pentru a dezvolta la elevi capacitățile creatoare, învățătorii tr ebuie să cunoască în primul rând
trăsăturile comportamentului creator, care se referă la nivelul de inteligență generală, la gândirea
divergentă, la fluența gândirii, la receptivitatea față de probleme, la curiozitatea științifică, la spiritul
de observare dezvoltat, la capacitatea de a redefini, la imaginația creatoare, la originalitate, la
inventivitate, la spiritul critic, încrederea în sine, la dorința de prestigiu, etc.

68
Pentru a descătușa, a dezvolta spiritul creativ, se pot utiliza metodele de învăță mânt activ –
participative : învățarea prin problematizare și descoperire dirijată, metoda modelării și exercițiile
creative necesare la fiecare sfârșit de capitol sau după un grup de capitole. În cadrul cercurilor pe
obiecte și al cursurilor de dezvoltare a creativității se folosesc și metode specifice cum sunt metodele
logice și procedeele euristice, prin care se asigură o învățare creativă, participativă și anticipativă. În
învățarea anticipată se folosesc metode logice de abordare a problemelor, metode și procedee
euristice și de imagine. Printre metodele logice se pot enumera definirea și analiza problemei
(descompunerea în subprobleme) evaluarea și selecția soluțiilor, luarea deciziilor de rezolvare și
aplicarea soluțiilor, inventarul de însușiri ale unu i obiect și altele.
Metodele și procedeele euristice mai importante sunt extrapolarea și aplicarea unei teorii în
alte domenii, fuzionarea a două teorii, emiterea de ipoteze, testarea și verificarea lor, clasificarea și
ordonarea datelor experimentale, a faptelor, a ideilor și prezentarea acestora sub formă de grafice,
scheme și coduri, anticiparea unor elemente sau fenomene cunoscute și interpolarea lor în tabele
cunoscute (de exemplu, tabelul lui Mendeleev), metoda contradicției și metoda critică, folosi te
pentru înlocuirea unui concept vechi cu altul nou.
Prin metodele care asigură o învățare creativă, participativă și anticipativă s -au impus
brainstormingul și sinectica.
Brainstormingul este metoda „furtună în creier” sau „asaltul de idei” elaborată d e Alex. F.
Osborn (1957) și care a fost folosită la început în industrie.În școală, ea poate fi folosită la cercurile
de creație tehnico -științifice pentru stimularea și exersarea creativității elevilor. Eficiența metodei
depinde de respectarea mai multor condiții: grupul creativ să nu fie mai mare de 7 -10 persoane,
membrii grupului să aibă un nivel intelectual eterogen, să dovedească competență și dorință de a
rezolva probleme, tema ședinței de creație să fie din timp cunoscută, critica ideilor interzisă, iar
evaluarea acestora amânată. Conducătorul de grup să fie receptiv față de ideile noi, să creeze o
atmosferă destinsă, de încredere și respect față de ideile altora.
Braistormingul se desfășoară în trei etape. În prima etapă are loc punera problemei,
comunicarea unor informații suplimentare în legătură cu problema de rezolvat și cu tehnicile de
imagine, după care urmează elaborarea ideilor (soluțiilor), acestea fiind imprimate pe bandă
magnetică. În etapa a doua, după câteva zile, membrii grupului creati v se întâlnesc din nou, ascultă
ideile emise și, eventual, le completează, apoi le combină și le selectează pe cele mai eficiente. În

69
ultima etapă are loc verificarea, evaluarea și aplicarea ipotezelor de rezolvare a problemelor. Unii
cercetători însă, sun t de părere că dimpotrivă discuția în contradictoriu și critica ideilor ar stimula
creativitatea.
Sinectica este similară cu „asaltul de idei” în ceea ce privește preocuparea de încurajare a
generării de idei și produse noi, de crearea a unui climat din care să se elimine criticismul, această
metodă fiind inițiată de W. J. J. Gordon (1961). Etapele sinecticii sunt: analiza și înțelegerea
problemei pentru a face ca un lucru ciudat să devină familial și abordarea problemei dintr -o nouă
optică pentru a face ca obișnuitul să devină ciudat, folosind fantezia, analogia personală, directă și
simbolică. Totuși există diferențe semnificative – caracterul specific al sinecticii este dat de
utilizarea metaforelor și analogiilor. Subiectului i se sugerează să se simtă ca parte a problemei fiind
vorba de fapt de identificarea empatică cu obiectul.
A. G. Beel a inventat telefonul pe baza anologiei directe dintre oasele urechii, care sunt mai
mari pentru membrana ce le pune în funcțiune și o piesă de membrană mai reziste ntă și mai groasă,
ce ar putea pune în funcțiune o piesă de oțel. Kekute, identificându -se cu un șarpe care își înghite
coada, a dezvoltat o intuiție a moleculei de benzen în termeni de inel. Inventica este și ea ca o
metodă de elaborare a unor idei noi pe baza unei interpretări interdisciplinare (fizică, matematică,
biologie). În prima etapă are loc fragmentarea obiectului și utilizarea lui în forme noi, iar în a doua
etapă se obțin aspecte sau idei originale prin combinări, permutări, aranjamente și alte procedee
matematice.
Metoda „6 – 3 – 5” . Cifra 6 reprezintă numărul de membri ai grupului. Fiecare dintre aceștia
propune în scris câte trei idei pe care le transmite colegului, care la reia, le completează, le
îmbunătățește, le modifică. Metoda se numeș te „6 – 3 – 5” pentru că primele 3 idei ale celor 6 sunt
preluate de alte 5 pesoane.
„Phillips 6 – 6” permite fracționarea rapidă a unui grup în subgrupe eterogene pentru a
discuta pe o temă dată. Purtătorul de cuvânt al subgrupului prezintă în ședința pl enară opiniile emise,
după care se poartă discuția finală.
Discuția panel se desfășoară în grupuri restrânse, sub președenția unei alte persoane.
Membrii auditoriului primesc foi mici de hârtie, uneori cu câte o culoare pentru întrebări,
sentimente, suges tii, prin intermediul cărora transmit mesaje. Acestea sunt introduse în disceție de

70
injectorul de mesaje – o persoană de lângă președinte. Discuția este condusă de către un moderator.
La sfârșit, persoanele din sală pot interveni direct.
Dintre procedeele de dezvoltare a potențialului creativ al elevilor, dar și al cadrelor didactice,
după Torrance, Lowenfeld amintim:
– antrenarea capacității de elaborare verbal -expresivă, comunicațională în cadrul activităților;
– organizarea de jocuri care să stimuleze gândirea creatoare, interesul cognitiv;
– elaborarea independentă de compoziții, rezolvări pornind de la structurarea logică a
materialelor, datelor, imaginilor, simbolurilor;
– acordarea a câtor mai multe titluri unor texte și imagini în urma interpret ării lor;
– transformarea unor probe de creativitate în modelele de antrenament creativ;
– folosirea unor procedee variate de activizare a capacităților și atitudinilor creatoare în plan
verbal, cognitiv și motivațional -atitudinal prin diferite solicităr i: găsirea a cât mai multor cuvinte
care să respecte o anumită regulă, alcătuirea de propoziții după cerințe date, găsirea a cât mai multor
soluții la probleme date.
Educarea creativității este un proces continuu ce trebuie realizat pe tot parcursul școl ii, având
în vedere toți factorii cognitivi, caracteriali și sociali. Dezvoltarea acestui atribut esențial a
personalității omului contemporan poate fi favorizată de următoarele condiții: existența în școală a
unor laboratoare și ateliere bine dotate, a un or cercuri tehnico -științifice și literar artistice conduse de
profesori creativi, mediul școlar creativ concretizat în folosirea la lecții și lucrări practice a
metodelor și procedeelor euristice. Deosebit de importante sunt însușirea de către elevi a uno r
procedee de dezvoltare a imaginației creatoare, exercițiile de creativitate la încheierea unor unități de
învățare sau în cadrul cercurilor de elevi, recunoașterea și aprecierea valorilor create de elevi,
existența unor relații de cooperare între profeso ri și elevi.

III.3 . DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATOARE ÎN ACTIVITATEA DE REZOLVARE ȘI
COMPUNERE A PROBLEMELOR
Trebuie spus că nu va exista vreodată un ghid al creativității. Metodele și procedeele
existente au un caracter general. Ele se pot aplica în multe probleme legate de creativitate, dar este
nevoie să fie și adaptate în funcție de specificul fiecărei discipline de studiu, în funcție de conținutul
ei.

71
Dezvoltarea și cultivarea creativității se pot înfăptui (mai mult sau mai puțin) la toate
discipline le de învățământ. În acest sens nu este vorba de metode speciale, și mai degrabă de
folosirea celor cunoscute, dar într -o manieră care să antreneze toți elevii în activitatea de învățare, în
însuși procesul „descoperirii” noilor cunoștințe, precum și, mai ales al aplicării lor creatoare în
practică. De altfel, stabilizarea domeniilor de aplicare în practică a cunoștințelor dobândite prin efort
propriu reprezintă un foarte bun mijloc de stimulare a creativității.
Matematica nu este cu predilecție obiectul d e învățământ în care să se cultive creativitatea,
dar în cadrul acestui domeniu de studiu există un capitol care oferă un teren foarte fertil pentru
educarea potențialului creaiv al elevilor, și anume activitatea de rezolvare și compunere de probleme.
Diferența de a învăța „rezolvarea unei probleme” și „a ști” (a putea) să rezolve o problemă nouă
înseamnă, în esență, creativitate, dar de niveluri diferite. Rezolvarea unei probleme „învățate” oferă
mai puțin teren pentru creativitate decât rezolvarea unei pr obleme noi care, la rândul ei, este depășită
de alcătuirea (compunerea) unor probleme noi.
Cu toate acestea, în activitatea de rezolvare de probleme nu avem de -aface numai cu aspecte
creative. Creativitatea gândirii nu se poate produce decât pe baza unor desprinderi corect formate,
stabilizate și eficient transferate. În rezolvarea problemelor, deprinderile și abilitățile se referă în
mod special la analiza datelor, a condiției, la capacitatea de a înțelege întrebarea problemei și a
orienta întreaga desfăș urare a raționamentului în direcția descoperirii soluției problemei.
Activitatea de compunere a problemelor prezintă o importanță deosebită pentru dezvoltarea
sensibilității spontane și adaptative, a fluenței ideative și asociative, a originalității, a ca pacității de
redefinire și a creșterii interesului pentru problemele reale ale vieții, la dezvoltarea gândirii
predictive de tip divergent și probabilistic, precum și la dezvoltarea formelor variate sub care se
prezintă imaginația creatoare.
Pentru a dezv olta creativitatea elevilor, în activitatea de rezolvare și compunere de probleme,
avem la îndemână mai multe procedee variate:
♦ complicarea problemei prin introducerea de date noi sau prin modificarea întrebării ;
De exemplu: Într -un depozit sun 376 lăzi cu pere a 40 kg fiecare. În alt depozit sunt 245 lăzi
cu pere a câte 40 kg fiecare. Câte kg de pere sunt în fiecare depozit? / Câte kg de pere sunt în cele
două depozite?
♦ rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee ;

72
Planul problemei prec edente ar putea fi, pentru a doua întrebare următorul:
Rezolvarea I : 376 x 40 = 15 040 (kg)
245 x 40 = 9 800 (kg)
15 040 + 9 800 = 24 840 (kg)

Rezolvarea a II -a: 376 + 245 = 621 (lăzi)
621 x 40 = 24 840 (kg)
♦ scrierea rezolvării problermei într -o singură expresie numerică :
(376 + 245) x 40 = 24 849 (kg)
♦ alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare ;
Rezolvarea a II -a
♦ determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr -o anumită
categorie și încadrarea sau nu a unei probleme într -o anumită categorie de probleme ;
Schemele logice care se pot atașa problemelor sunt de două fe luri: scheme sintetice și scheme
analitice. Folosirea lor depinde de nivelul de dezvoltare intelectuală atins de elevi.
Astfel în clasele I și a II -a, unde primează concretul și puterea de abstractizare este mai mică
și se pot folosi cu succes schemele si ntetice.
Pe măsură ce elevii cresc și câștigă experiență și cunoștințe sunt îndrumați să rezolve
probleme pe cale inversă: de la întrebare la analiza problemei.
Elevul direct angajat în descoperirea algoritmului poate avea beneficii nebănuite. Această
activitate favorizează dezvoltarea inteligenței, creativității, spiritului de observație, a capacității de
explorare și a altor aptitudini generale ale personalității.
♦ transformarea problemelor compuse în exerciții astfel încât ordinea operațiilor să fie în
succesiunea judecăților și a relațiilor corespunzătoare conținutului problemei ;
♦ transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea
efectuării operațiilor ;
♦ transformarea a două sau mai multe probleme simple în una compusă ;
♦ copunerea de probleme :
 probleme acțiune sau punere în scenă ;
 compuneri de probleme după obiecte concrete, tablouri și imagini ;

73
Se trece astfel mai ușor și mai logic de la operațiile concrete cu obiectele la faza
semiconcretă (operații cu repre zentări ale obiectelor), ajungând la crearea de probleme pe bază
intuitivă, folosind datele numerice.
 Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior ;
Compuneți o problemă după modelul:
Un dicționar are 76 de file. Elena rupe 34 de f ile. Câte file rămân în dicționar?
 Probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate ;
După o adunare: 12 + 4 = ?
După o scădere: 18 – 9 = ?
După o înmulțire: 4 x 6 = ?
După o împărțire: 56 : 7 = ?
Dacă elevii reușesc să compună p robleme după o singură operație, se poate trece la
compunerea de probleme după mai multe operații.
 Compuneri de probleme după un plan stabilit ;
1.Câte bile albe sunt?
230 + 160 = 390 (bile albe)
2.Câte bile negre sunt?
390 – 145 = 245 (bile negre)
3.Câte bile sunt?
230 390 + 245 = 865 (bile)
Înainte de a formula problema, se analizează despre ce se vorbește în problemă, ce conțin
întrebările, ce date numerice se folosesc.
 Compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile ;
 Compuneri de pro bleme cu o întrebare dată și cu mai multe conținuturi date
precum și relații între date ale conținutului ;
 Compuneri de probleme cu întrebare probabilistică ;
 Compuneri de probleme cu început dat, cu sprijin de limbaj ;
Într-o livadă s -au plantat 8 676 pomi: cireși, peri, meri și caiși. Cireși s -au plantat 548, ………
 Compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date ;
Compuneți o problemă după exercițiul:

74
a + (b – c) = d; unde: a = 480
b = 875
c = 364
 Compuneri de probleme după un exercițiul simplu sau compus ;
 Compuneri de probleme după un model simbolic ;

} 66
 Compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor ;
Compuneți o problemă prin corectarea conținutului și modificarea datelor:
La o librărie s -au adus 195 cărți de povești, iar cărți de colorat de 6 ori mai puține. Câte cărți
cu animale s -au adus?
Întrebarea nu este corectă, deoarece cărțile cu animale nu au nici o legătură cu datele
problemei, iar 195 nu se împarte exact la 6.
 Crearea liberă de probleme ;
 Probleme de perspicacitate, rebusistice etc .
În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină seama de posibilitățile elevilor ,
să se dea sarcini gradate. Astfel se începe cu crearea liberă (care este mai accesibilă) și se trece la
sarcini care sunt îngrădite de anumite cerințe.
Activitatea de compunere a problemelor esta un mijloc de însușire creatoare a cunoștințelor
prin modu l în care sunt solicitate gândirea, atenția, imaginația, spiritul de observație, inițiativă,
satisfacția succesului, spiritul competițional.
Activitatea de compunere a problemelor dezvoltă gândirea logică, rapiditatea gândirii,
deoarece în procesul formul ării unei probleme elevii au în minte și planul de rezolvare.
Învățătorului îi revine sarcina de a conduce această activitate prin indicații clare, prin
exemple sugestive, prin cerințe raționale, să canalizeze gândirea și atenția elevilor prin asocieri di n
ce în ce mai puțin întâmplătoare. În același timp, trebuie să -i facă pe elevi să aibă încredere în ei, să
le stimuleze eforturile intelectuale, să le educe calitățile moral -volitive să le dezvolte interesul și
sensibilitatea, să fie receptivi la situații le problematice cu conținut matematic.

75
Este necesar să avem permanent în atenție îmbunătățirea continuă a exprimării corecte a
copiilor, atât din punct de vedere matematic cât și gramatical, îmbogățirea vocabularului matematic,
creșterea continuă a volumu lui de cunoștințe, de transfer și de folosire a acestora în practică.
Parcurgând algoritmul de rezolvare al unei probleme, elevii descoperă drumul schematizării,
al deprinderii esențialului, care este de fapt, structura logică a ei. Orice problemă oricât de simplă ar
fi ea, este într -un fel problemă tip și presupune o activitate de stabilire a regulilor de recunoaștere și
de lucru. Se poate pune următoarea întrebare: dacă încadrăm problemele în tipuri de structuri logice,
atunci cum mai urmărim dezvoltarea creativității gândirii elevilor prin rezolvarea lor?
Răspunsul este că realizăm acest proces în primul rând chiar prin munca de descoperire a
tipurilor și subtipurilor de probleme după structura lor logică, precum și prin efortul de generalizare:
structu rarea etapelor de lucru, stabilirea unor formule numerice sau literale pentru rezolvarea
aceluiași tip sau subtip de probleme, etc. În al doilea rând, după ce elevul recunoaște tipul de
problemă în procesul rezolvării ei cu atât mai mult poate interveni im aginația lui, spiritul de
inventivitate și investigație pentru a găsi o nouă metodă de rezolvare, o condiție impusă pentru
datele problemei în cazul generalizării, etc. În plus procesul recunoașterii inițiale, a asemănării și
apartenenței problemei la un a numit tip, nu implică obligatoriu și identificarea sistemului de operații.
Compunerea de probleme în clasele I -IV poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o
viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație și cu certitudine o modalitate
sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar în strânsă legătură
cu celelalte discipline de învățământ.
Creativitatea se realizează deci, prin educarea gândirii, dar un rol important revine și
factorilor motivaționali, pentru realizarea acestui scop. Motivația – nota primită pentru un răspuns și
mai ales satisfacția elevului rezultând din bucuria de a fi rezolvat el singur un exercițiu sau o
problemă, este o componentă a creativității ce trebuie luată în considerare ori de câte ori practica
didactică o cere.

76

CAPITOLUL 4
Cercetarea aplicativă privind utilizarea metodelor activ -participative și învățarea prin
cooperare pentru rezolvarea problemelor de matematică la ciclul primar
CERCETAREA APLICATIVĂ PRIVINDUTILIZAREA METODELOR ACTIV –
PARTICIPATIVE ȘI ÎNVĂȚAREA
4.1.OBIECTIVELE ȘI IPOTEZA CERCETĂRII A
Obiectivele generale propuse în realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare
psihopedagogică, științifică și metodologică:
-să demonstrez că, indiferent de domeniu, rezolvarea de probleme trebuie să fie
atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s-ar afla: școală, familie, mediu, societate;
-să realizez o cercetare psihopedagogică privind rezolvarea problemelor de
matematică îmbinând metode tradiționale cu metode și procedee active și de cooperare;
– să promovez ideea că prin rezolvarea problemelor de matematică se dezvoltă gândirea
și operațiile ei, creativitatea, tăria de caracter, sentimentele și atitudinile pozitive, spiritul de
competiție intelectuală.
Cercetarea a pornit de la următoarea ipoteză:

77
dacă se utilizează metode activ-participative în activitatea de rezolvare a problemelor de
matematică , atunci se contribuie la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la
creșterea randamentului școlar al elevilor la matematică.
Pe baza argumentelor științifice, psihopedagogice prezentate în capitolele anterioare și
valorificând experiența dobândită în activitatea cu elevii, mi -am propus să evidențiez necesitatea
formării capacității de rezolvare de probleme în învățământul primar.
Rezolvarea și compunerea problemelor matematice constituie aplicarea cunoștințelor
dobândite în legătură cu operațiile matematice și prop rietățile lor, consolidarea și aprofundarea
acestor cunoștințe.
De asemenea, rezolvarea și compunerea de probleme au o sporită valoare formativă,
deoarece participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară
altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația să descopere ei înșiși modalități de rezolvare
și soluția, să formuleze ipoteze și să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite.
Ipoteza va fi validă dacă, pe de o parte, rezultatele v or evidenția o diferență semnificativă
între performanțele elevilor din lotul experimental față de cele ale elevilor din lotul de control, iar pe
de altă parte, dacă elevii din lotul experimental vor înregistra în etapa finală a experimentului un
progres v izibil față de propriile rezultate din etapa constatativă.
Din ipoteza formulată se desprind două variabile ale cercetării:
Variabila independentă, cea introdusă – compunerea și rezolvarea de probleme prin utilizarea
metodelor activ -participative – și variabila dependentă – creșterea randamentului școlar al elevilor
la matematică.

● În vederea demonstrării acestei ipoteze mi -am propus declanșarea unei cercetări
psihopedagogice care vizează următoarele obiective :
 delimitarea riguroasă a obiectivelor ș i conținuturilor matematice în concordanță cu
perspectiva curriculară a reformei învățământului;
 identificarea profilului psihologic și al nivelului de pregătire al elevilor din clasa a IV –
a la matematică;
 evidențierea rolului metodelor activ -participa tive în formarea și dezvoltarea
capacității de rezolvare și compunere de probleme;

78
 prelucrarea, analiza și interpretarea rezultatelor obținute în vederea progresului
privind rolul problemelor în învățarea și aprofundarea cunoștințelor de matematică.
4.2. Metodica cercetării
Cercetarea a fost organizată în anul școlar 2016 -2017, în perioada 15.10.2016 -15.05.2017
pe două clase de elevi de vârstă școlară mică. Astfel am avut în vedere: clasa a IV -a A și clasa a IV -a
D din comuna Răcăciuni
Lotul e xperimental (E) – clasa a IV -a D de la Școala Gimnazială Gh.Doja, comuna Răcăciuni ,
asupra căruia am acționat cu ajutorul factorului experimental (de progres);
Lotul de control (C) – clasa a IV -a A de la Școala cu Clasele I -IV, Nr.2 – Răcăciuni , cel care a
constituit clasa martor și în cadrul căruia nu am intervenit.
Ambele colective sunt mixte. În urma discuțiilor cu părinții ambelor clase, cu învățătorul clasei
martor, am adunat următorul material faptic. :
Număr
elevi Fet
e
Băieț
i Fără
grădiniț
ă Vârstele
elevilor Studiile părinților
8 9 10 11 Lice
u Școală
profesional
ă 8
clas
e
Clasa
experi
ment 16 10 6 – 13 3 – 4 10 2
Clasa
martor 16 6 10 – 14 2 – 5 8 3

Am constatat că elevii au frecventat grădinița, deci au fost familiarizați cu mediul
instituționalizat, au avut anumite deprinderi școlare deja în formare..
Mediul familial în care se dezvoltă cele două grupuri este normal din punct de vedere social, având
în vedere că este vorba de o comunitate rurală. Colectivul clasei este relativ omogen, majoritatea
copiilor fiind normal dezvoltați atât fizic,cât și intelectual. Elevii sunt disciplinați, nu creează
probleme în timpul orelor, sunt comunicativi și sociabili, cu un nivel normal de dezvoltare
intelectual ă.
Etape de desfășurare:

79
Etapa constatativă – în perioada 15.10.2016 -.15.11.2017, la disciplina matematică am aplicat test
de evalua re inițială pentru a cunoașt e nivelul de cunoștințe al elevilor, condițiile în care aceștia se pot
integra în activitatea care urmează. Cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, a nivelului de
pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare asimilării
conținutului etapei care urmează, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita activității didactice.
Etapa formativ – ameliorativă , desfășurată în perioada 15. 11. 2016 – 15. 04 2.017, a cuprins
proiectarea, organi zarea și desfășurarea demersului didactic la disci plina matematică, introducerea
„factorului de progres” (folosi rea metodelor active și de cooperare în rezolvarea problemelor
de aritmetică) , urmărindu -se antrenarea tuturor elevilor din eșantionul experimental în procesul
propriei lor formări.Pe baza rezultatelor obținute am adoptat decizii adecvate de organi zare a unor
activități diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la învățătură, cât și cu elevii ce
manifestă goluri în cunoștințe.
3. Etapa finală, evaluativă , s-a desfășurat în perioada 5. 05. 2017 – 10. 05. 2017, în cadrul
acesteia aplicându -se probe de evaluare pentru a se stabili nivelul de pregătire al elevilor și
modul în care au evoluat de la testele inițiale.

● În cadrul cercetării am folosit următoarele metode :
1. Metoda observației este utilizată frecvent în școală deoar ece, atât observația spontană (pasivă),
cât și cea științifică (provocată), oferă acu mularea unui material faptic bogat, fiind în măsură să
furnizeze date care privesc comportarea elevilor la lecții, în recreații, în cadrul activităților
extracurriculare ș i în familie. Interesul cadrului didactic este de a vedea conduita elevilor în timpul
unor teme impuse, modul de lucru, îndemânarea, conștiinciozitatea, perseverența,inițiativa.
Această metodă a furnizat date referitoare la unele particularități psihice im plicate în activitatea de
învățare școlară, capacitatea de percepere, spiritul de observație, posibilitatea de reactualizare a
cunoștințelor, reprezentărilor, reacția elevului la întrebările adresate, gradul deconcentrare a atenției,
rapiditatea și spontan eitatea răspunsurilor, caracteristici ale limbajului, nivelulformării unor
deprinderi, prezența sau absența unor înclinații, aptitudini, reacții față de succes sau de eșec.
Observația s -a derulat în situații cât mai variate, datele obținute fiind consemnat e fără a atrage
atenția elevilor și fiind corelate cu cele furnizate de alte meto de.
Am observat la elevi fapte de conduită ce aparțin unui anumit tip de temperament :

80
– coleric – C.L. – precipitat în acțiune, reacții motorii abundente, devine nervos când greșește ;
– sangvinic – echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, comunicativ, cu
inițiativă, vesel, optimist, ușor adaptabil în situații noi – A.L., C. A., D.L., R.B., P.C., T.A., V.R
. – flegmatic – echilibrat afectiv, egal în manifestări, stăpân pe sine, răbdător, calm, greu
adaptabil în situații noi , tenace, meticulos, execută activitatea / proba în tăcere, gesturile și cuvintele
sunt aproape absente, nu se manifestă zgomotos la reușită – P.A., C.R., M.A., P.T.
– melancolic – se decide greu pentru acțiune, are gesturi șovăielnice, e vădit emoționat înainte de
probe, tendința de supraestimare a sarcinii, dar de subapreciere personală, se pierde în caz de eșec,
are nevoie de încurajare pentru a relua lucrul, se închide uneori în sine și „se blochează” total – A.E.,
S.D, T.E.
M-am o rientat asupra temperamentelor elevilor pentru că pe terenul fiecărui temperament formarea
unui sistem de lucru sau trăsături de caracter se produc diferit. În activitățile realizate în grup am
observat , spre exemplu, că elevul T.E. devine comunicativ, soc iabil, iar aprecierile pozitive din
partea învățătorului au un efect benefic asupra acestuia.
Folosirea metodelor active și de cooperare în cadrul lecțiilor de matematică și nu numai, a avut un
impact b enefic asupra elevilor, în sensul că au contribuit la dezvoltarea abilităților de comunicare și
de lucru în echipă
2. Metoda convorbirii a fost folosită atât pentru obținerea unor informații de la elevi, cât și de la
tutorii acestora. Astfel, am făcut cons tatări referitoare la interesele și aspirațiile copiilor, la climatul
familial, condițiile materiale, regimul zilnic al elevului, starea sănătății, pasiuni. Totodată, am cules
date despre motivele pentru care s -au pregătit/nu s -au pregătit pentru lecții,
preferințele/repulsia față de unele activități, posibilități de
pregătire a temelor. La ședințele cu părinții, dar și în cadrul
consultațiilor, am oferit părinților elevilor informații despre
diverse activități de învățare efectuate la clasă, despre obiecti vele
urmărite la unitățile de învățare parcurse, despre modalități de îndeplinire
a acestora . Am insistat să le ofere sprijin copiilor la efectuarea temelor pentru acasă. Am prezentat
permanent părinților sau tutorilor situația la învățătură a elevilor, re flectată în calificativele obținute

81
la testele de evaluare sau la examinările orale și am discutat cu aceștia în privința adoptării unor
măsuri de sprijin, de recuperare sau, dimpotrivă, de dezvolt are a deprinderilor de muncă intelectuală.
Confruntând mate rialul obținut cu datele furnizate de celelalte metode, convorbirea contribuie la
întregirea portretului psihologic al personalității elevului, ajută la luarea unor măsuri eficiente de
înlăturare sau prevenire a unui eșec, favorizând obținerea performanțel or școlare.
3. Metoda analizei produselor activității mi-a furnizat informații despre procesele psihice și unele
trăsături de personalitate ale elevilor prin prisma obiectivării lor în produsele activității:
desene, lucrări scrise, portofoliu, caiete de te me, creații literare, compuneri etc. Aceste produse ale
activității școlare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerințelor speciale ale disciplinelor de
învățământ, iar pe de altă parte , a caracteristicilor lor individuale. Folosirea acestei met ode mi -a
permis depistarea copiilor cu potențial creativ remarcabil (B.M., C.L., P.C., V.R.), a elevilor ce au
întocmit un portofoliu exemplar (A.E, D.A., P.A., T.E.).
Din corectarea caietelor de teme la matematică sau chiar a fișelor de lucru, am remarcat nivelul de
corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul / regresul înregistrat de la o etapă la
alta, capacitatea de punere în practică a cunoștințelor teoreti ce, capacitatea de reprezentare, bogăția
vocabularului și precizia lui, n ivelul și calitatea cunoștințelor și a deprinderilo r.
4. Experimentul psihopedagogic În cadrul experimentului psihopedagogic de tip formativ, am
verificat influența folosirii metodelor active și de cooperare în activitatea de rezolvare a problemelor
la clasa a IV -a asupra rezultatelor școlare ale elevilor la această disciplină.Am parcurs următoarekle
etape:
 testarea inițială a grupului experimental în vederea evaluării cunoștințelor la matematică, la
începutul anului școlar 2016 / 2017 – prin examinări o rale, test predictiv;
 introducerea „factorului de progres”, respectiv a noii strategii de predare – învățare (învățarea
bazată pe cooperare prin intermediul metodelor active) în grupul experimental; ca
instrumente am folosit fișe de lucru, prezentări în Power Point, teste docimologice la sfârșitul
fiecărei unități de învățare;
 retestarea (testarea finală) pentru evidențierea rolului „factorului de progres” în stimularea
randamentului școlar.
 prelucrarea, analiza și interpretarea rezultatelor obținute în v ederea progresului pe linia
formării capacității de rezolvare și compunere de probleme.

82
Experimentul a furnizat date de ordin cantitativ și calitativ, cu mai mare grad de precizie;
datele au fost concludente, prelucrate și interpretate cu ajutorul metode lor și tehnicilor statistico –
matematice. În ordonarea și gruparea datelor am apelat la următoarele tehnici statisticomatematice:
tabele centralizatoare de rezultate – analitice (consemnarea rezultatelor individuale ale subiecților
investigați) și sintetic e (gruparea datelor măsurate); forme de reprezentare grafică: histograma,
poligonul frecvențelor și diagrama areolară; indici pentru determinarea „tendinței centrale”, media
aritmetică. Variabila independentă, cea introdusă – compunerea și rezolvarea de probleme – și
variabila dependentă –creșterea eficienței activității didactice la matematică și a randamentului
școlar al elevilor.

4.3. Prelucrarea și interpretarea datelor
4.3.1. Etapa I. Etapa premergătoare (inițială)
În această etapă a fost stabilită clasa de control, cu elevi având la matematică, aproximativ
același nivel de pregătire ca cel al elevilor clasei experimentale și nici un caz mai coborât.Testul
iniția l a fost aplicat ambelor clase

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

1. Calculează:

30 + 120 = 6 x 5 =

83
706 – 300 = 4 x 3 =
1 350 + 566 = 7 x 5 =
914 – 276 = 36 : 9 =
42 : 7 =

2. Află termenul necunoscut:

a x 8 = 32 a + 20 = 160 1 450 – a = 150
a =…. …………………. a =………………………. a =…………………… ..
a =…………………….. a =………………………. a =…………….. ………

3 Calculează respectând ordinea efectuării operațiilor:
(72 – 40) : 4 + 27 : 3 + 5 x 8 =……………………………………………………………
=……………………………. ……………………………..
=……………………………………………………………

4. La o fermă sunt 410 rațe, cu 200 mai puține găini, iar curci de 3 ori mai puține decât găini.
Câte păsări sunt în total la acea fermă?
Rezolvare

…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
……………………………………………………………………………………………………. …………………….
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
…………………………………………………………………………….. ……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….. ……………
……………………………………………………… …………………………………………………………………..

5. Compuneți o problemă după următoarea formulă numerică:

x – (42 + 75) = 170

Obiective operaționale urmărite:

O1 – să se efectueze corect operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire;
O2 – să se afle termenul necunoscut dintr -o operație de înmulțire, adunare, respectiv de
scădere;
O3 – să aplice regulile de prioritate în calcul pentru efectuarea unor exerciții cu numere în
concentrul 0 – 100 care conțin cel puțin trei operații și paranteze rotunde;
O4 – să rezolve problema cu plan de rezolvare;
O5 – să compună probleme după formula numerică dată.

84

Descriptori de performanță

Itemi

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT

1.
Calculează corect toate
exercițiile date
Calculează corect 8
exerciții
Calculează corect 6 exerciții

2.
Află corect cele trei numere
necunoscute
Află corect două numere
necunoscute
Află corect un număr
necunoscut

3.
Rezolvă corect toate cele 4
exerciții date și unește toate
rezultatele cu terminologia
corespunzătoare

Rezolvă corect 3 exerciții
date și unește toate
rezultatele cu terminologia
corespunzătoare
Rezolvă corect 2 exerciții
date și unește 2 rezultate cu
terminologia corespunzătoare

4.
Rezolvă corect problema cu
plan de rezolvare
Rezolvă problema cu plan
de rezolvare dar greșește un
calcul

Rezolvă corect o singură
operație

5.
Compune o problemă după un
exercițiu și o rezolvă
Compune o problemă fără
să respecte întocmai
exercițiul, dar o rezolvă
corect
Compune o problemă cu
unele erori și o rezolvă
parțial corect

Tabel analitic nr.1 reflectă rezultatele elevilor din lotul Experimental la testul nr.1
Nr
crt
. Numele și
prenumele Item
1 Ite
m 2 Item
3 Item
4 Item5 Calif
.
1. B. C. FB B S I S S
2 B. M. FB B FB 1 B B
3 B.A. FB FB FB B FB FB
4 C. C. B S I I I I
5 C.C. FB B FB FB FB FB

85
6 C. L. FB FB FB B B FB
7 D.-T. P. FB FB FB B S B
8 G. L. B S FB I I S
9 G. C. FB FB FB
FB FB FB
10 G.S. FB B S B B B
11 I. V.
FB FB FB
FB B FB
12 P. C. FB B FB
FB S B
13 P. C FB B FB FB B FB
14 P.S FB FB FB FB FB FB
15 S. R. FB B S FB B B
16 T. N. FB B S FB B B

Tabelul sintetic nr.1 – reflectă rezultatele elevilor lotului E.
/ testul nr.1

Poligon de frecvență nr. 1 – reflectă rezultatele elevilor din lotul E. la testul nr.1

Tabel analitic nr. 2 reflectă rezultatele elevilor din lotul de Control la testul nr.1 012345678
Insuficient Suficient Bine Foarte bine E
Calificative Frecvența
Insuficient 1
Suficient 2
Bine 6
Foarte bine 7

86
Nr
crt Numele și
prenumele Item
1 Item 2 Item
3 Item 4 Item
5
Cal
if.
1. A.V. FB FB FB FB FB FB
2 A.S. FB B FB FB B FB
3 B.M. FB FB FB B FB FB
4 B.V. FB FB FB B B FB
5 C.Y. FB B FB B B B
6 C.R. S I S I I I
7 D.A B S I I I I
8 F.A. FB FB FB FB B FB
9 L.A S S I I I I
10 M.S B S S S S S
11 M.C B S B I S S
12 R.R B B B S S B
13 T.A FB S S I S S
14 T.F FB B B S S B
15 V.A. FB B FB I B B
16 V.B. FB B FB S B B

Tabelul sintetic nr. 2 – reflectă rezultatele elevilor lotului de control / testul nr.1

Poligon de frecvență nr. 2 – reflectă rezultatele elevilor din
lotul C.la testul nr. 1 Calificative Frecvența
Insuficient 3
Suficient 3
Bine 5
Foarte bine 5

87

Poligon de frecvență nr. 3 – reflectă rezultatele celor două clase la testul nr.1

Tabel sintetic nr. 4: prezintă
comparativ rezultatele
elevilor din cele două clase
la testul nr. 1

Histograma nr. 1 – reflectă rezultatele elevilor din cele două loturi la testul nr. 1 0123456
Insuficient Suficient Bine Foarte bine C
02468101214
Insuficient Suficient
Număr de copii / procente Calificativ
Clasa experimentală Clasa de control
7 43,75 % 5 31,25 % Foarte bine
6 37,5 % 5 31,25 % Bine
2 12,5 % 3 18,75 % Suficient
1 6,25 % 3 18,75 % Insuficient

88

Analiza, prelucrarea și interpretarea rezultatelor obținute la testul inițial
În etapa inițială, de constatare a nivelului de cunoștințe matematice la clasa a IV -a,
rezultatele au indicat că cele două clase au nivele ușor diferite . Din cele prezentate mai sus se
poate observa că itemii cei mai dificil s -au dovedit a fi I 4 și I5, în timp ce rezultatele cele mai
bune s -au obținut la itemii I 1, I2. Rezultatele au demonstrat diferențe mari între elevii care au
rezolvat 2 -3 sarcini și cei care au rezolvat toate sarcinile, mulți elevi situându -se la jumătatea
drumului dintre cele două extreme. – problema a fost efectuată cu plan de rezolvare doar de 7
elevi, fără plan de rezolvare de 4 elevi, 5 elevi au scris doar prima întrebare a problemei și
operația corespunzătoare, unul nu a rezolvat deloc.
Aplicarea testului inițial mi -a permis cunoașterea dificultăților de învățare a elevilor, staționarea mai
îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea unui nivel corespunzător.
Privind rezultatele obținute de elevii cu performanțe mai slabe, constatăm că aceștia
întâmpină dificul tăți în rezolvarea următoarelor sarcini:
– nu efectuează corect calcule;
– nu identifică corect operația de calcul în problemă;
– nu compun probleme după exercițiu;
– nu rezolvă problema până la capăt;
Bazându -mă pe rezultatele experimentului inițial const atativ, am stabilit scopul celei de -a
doua etape a cercetării – experimentul formativ , care să asigure progresul, conducându -mă la ideea
01234567
Insuficient Suficient Bine Foarte bine E
C

89
necesității unei evaluări continue, tratare diferențiată, abordarea unei metode de lucru ce combină
strategiile didacti ce tradiționale cu cele moderne, consacrând mai mult timp activităților de rezolvare
și compunere de probleme.

Fișa de recuperare
1. Într-o livadă sunt 2014 meri și de 3 ori mai mulți pruni. Câți pomi sunt în livadă ?
a. Scrie rezolvarea problemei într -un exercițiu.
b. Compuneți o problemă asemănătoare.
2. Florin și Dan au împreună 316 timbre. Câte timbre are fiecare, știind că Dan are cu
14 timbre mai multe decât Florin ?
3. Compune o problemă după desenul următor:
143
| | | | |

4.3.2. Etapa a II -a. Etapa de efectuare (formativ ameliorativă)
După stabilirea nivelului inițial, în cadrul cercetării am abordat strategiile euristice care au la
bază metodele activ -participative, bazate pe descoperire și rezolvare de probleme, numite și strategii
creative.
La clasa de control lecțiile s -au desfășurat în mod obișnuit, iar în clasa experimental ă s-a
urmărit învățarea și aprofundarea cunoștințelor de matematică prin rezolvarea și
compunerea de probleme , utilizând metode active și învățarea prin cooperare.
În urma testului inițial, pentru elevii care nu au rezolvat un item sau altul, am eșalonat fișe de
lucru, în care a fost reluată sarcina de lucru din itemul corespunzător, venind, în același timp, cu
explicații suplimentare; am rezolvat un număr mare de exemple (ținând cont de gradul de
dificultate), astfel ca prin exercițiu elevii să -și însușească cunoștințele și deprinderile de calcul
matematic, să -și dezvolte imaginația și creativitatea în rezolvarea și compunerea problemelor.

90
În tot acest timp am evitat caracterul formal al lecției asigurând o atmosferă de comunicare
continuă , elevii participând la ore cu propriile idei, întrebări, pe care le -am condus spre scopul
educativ propus.
Am recurs la tipul de evaluare formativă , deoarece permite scurtarea considerabilă a
intervalului dintre identificarea neajunsurilor și adoptarea mă surilor considerate utile pentru
ameliorarea randamentului elevilor și al procesului.
În vederea eliminării greșelilor am recurs la diferențierea activității . Pentru elevii care și -au
însușit într -un nivel mai scăzut noțiunile, am propus o serie de exer ciții și probleme corective. Pentru
cei care au dobândit un nivel ridicat de însușire a cunoștințelor, am propus exerciții și probleme cu
grad sporit de dificultate.
În urma acestor activități elevii au înregistrat progrese. Acestea sunt evidențiate de rez ultatele
obținute la testele de evaluare formativă, teste pe care le prezint în continuare.

Testul nr.2(formativ)
Obiective:
O1 – să calculeze corect suma, diferența, conform cerinței;
O2 – să afle numărul necunoscut;
O3 – să formuleze întrebarea problemei și să rezolve corect problema respectând
toate etapele de rezolvare;
O4 – să compună o problemă după exercițiul dat;
O5 – să identifice operațiile prin care se ajunge la rezolvarea problemelor;
Itemi:
I1. Se dau numerele: 662; 122; 321. Calculați:
a. suma lor;
b. diferența primelor două;
c. diferența dintre primul și ultimul număr;
d. diferența dintre suma primelor două numere și suma ultimelo r două numere.

91
I2. Știind că a + 36 = 43; b = 71 – a; c = a + b, aflați suma celor trei numere micșorată
cu cel mai mare număr natural scris cu o cifră.
I3. O carte are 976 de pagini. Radu citește în prima zi 321 de pagini, a doua zi cu 123 pagini mai
mult, iar a treia zi mai puțin decât a doua zi cu 180 de pagini. Găsiți o întrebare și rezolvați
problema.
I4. Compuneți o problemă după următoarea formulă numerică: x – ( 35 + 68) = 15
C. DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Item FB B S
I1 Efectu ează corect toate
cerințele:a, b, c Efectuează corect
două dintre cerințe;
Efectuează corect o
cerință
I2 Scrie corect operațiile
corespunzătoare
terminologiei utilizate
în toate cazurile. Rezolvă corect 3
cerințe.
Rezolvă corect 2
cerințe.

I3 Rezolvă corect
problema cu ajutorul
reprezentării grafice Rezolvă problema cu
ajuto -rul reprezentării
grafice, dar face greșeli
de calcul; Rezolvă problema
cu ajutorul
reprezentării
grafice, dar face
greșeli la notarea
datelor proble –
mei, la calcul
matematic
I4 Compune parțial
problema Compune problema Compune și rezolvă
problema
Tabel analitic nr.3 : reflectă rezultatele elevilor din lotul experimental la testul nr.2

Nr
crt Numele și
prenumele Item
1
Item
2
Item
3
Item 4
Calif.
final

1. B. C. FB B S I S
2 B. M. FB FB B S B
3 B.A. FB FB FB FB FB
4 C. C. FB I I I I

92
5 C.C. FB FB FB FB FB
6 C. L. FB FB FB B FB
7 D.-T. P. FB FB S B B
8 G. L. FB B B B B

9 G. C. FB FB B FB FB
10 G.S. FB B S FB B

11 I. V.
FB FB FB FB FB
12 P. C. FB B FB FB FB

13 P. C FB FB FB FB FB
14 P.S B FB FB FB FB
15 S. R. FB FB B I B
16 T. N. FB FB FB FB FB

Tabelul sintetic nr. 5 – reflectă rezultatele elevilor lotului Experimental /testul nr.2

Poligon de frecvență nr. 4 – reflectă rezultatele elevilor din
lotul experimental la testul .2

Tabel analitic nr. 4 reflectă rezultatele elevilor din eșantionul nr. 2 la testul nr.2 0246810
Insuficient Suficient Bine Foarte bineCalificative Frecvența
Insuficient 1
Suficient 1
Bine 5
Foarte bine 9

93
Nr
crt Numele și
prenumele Item
1
Item
2
Item
3 Item
4
Calif.
final
1. A.V. FB FB FFB FB FB
2 A.S. FB B B B B
3 B.M. FB FB FB B FB
4 B.V. FB FB FB B FB
5 C.Y. FB FB F B B B
6 C.R. S I S I I
7 D.A B S I I I
8 F.A. FB FB FB FB FB
9 L.A FB B S I S
10 M.S FB S S S S
11 M.C FB B B S B
12 R.R FB FB FB FB FB
13 T.A FB S S I S
14 T.F FB B FB FB FB
15 V.A. FB S FB B B
16 V.B. FB FB S 1 B

Tabelul sintetic nr. 6 – reflectă rezultatele elevilor din lotul de control / testul nr.2

Poligon de frecvență nr. 5 – reflectă rezultatele elevilor din
lotul de control la testul nr. 2 Calificative Frecvența
Insuficient 2
Suficient 3
Bine 5
Foarte bine 6

94

Tabel sintetic nr. 7 – prezintă rezultatele elevilor din cele două clase la testul nr. 2

Poligon de frecvență nr. 6 – reflectă rezultatele celor două clase la testul nr.2

Tabel sintetic nr.8: prezintă comparativ rezultatele elevilor din cele două clase/testul nr. 2

Clasa experimentală
Clasa de control 02468
Insuficient Suficient Bine Foarte bine C
0246810121416
Insuficient Suficient Bine Foarte bine C
EClasa Indicator Frecvența calificativelor Realizat
% I S B FB
Experimentală E 1 1 5 9 83,12 %
De control C 2 3 5 6 74,37%
Număr de copii / procente Calificativ
Clasa experimentală Clasa de control
9 56,25% 6 37,5% Foarte bine
5 31,25% 5 31,25% Bine
1 6,25% 3 18,75% Suficient
1 6,25% 2 12,5% Insuficient

95

Histograma nr. 2 – reflectă rezultatele elevilor din cele două clase la testul nr. 2

Analiza, prelucrarea și interpretarea rezultatelor obținute în urma evaluării continue sau
formative
Evaluările formative au realizat verificări sistematice pe parcursul programului (perioada
15. 11. 2016 – 15. 04 2.017 ), pe diverse unități de învățare. Cunoașterea nivelului atins de elevi
m-a ajutat să determin aspectele pozitive și lacunele procesului de instruire, prin raportarea la
obiectivele avute în vedere. Astfel, am urmărit îndeosebi cum a rezolvat fiecare elev
problemele de matematică , ce dificultăți a întâmpinat în rezolvarea acestora, în vederea ameliorării
sau chiar a înlăturării acestora prin intermediul situațiilor de instruire organizate la clasă au implicat
și folosirea metodelor active și de cooperare. După corectarea testelor, am concluzionat
următoarele:
– elevii stăpânesc mai bine algoritmul de efectuare a operațiilor de adunare și scădere fără
trecere peste ordin și mai ales cu trecere peste ordin;
insuficient 6,25%
suficient 6,25%
bine31,25%
foartebine56,25%
insuficient 12,5
suficient 18,75
bine 31,25
foarte bine
37,5%
0246810
Insuficient Suficient Bine Foarte bine E
C

96
– Exercițiul de aflare a număruluim necunoscut a fost lucrat corect de 11 elevi, 8 au
aflat 3 numere din 4, 4 elevi au aflat doar 2 numere, iar un singur copil a aflat un singur număr,
ceea ce a însemnat un progres destul de vizibil în ceea ce privește înțelegerea de către elevi a
legăturii dintre adunare și scădere pentru aflarea numărului necunoscut;
– problema a fost rezolvată corect de 7 elevi, 8 elevi au scris doar două operații din 3, 5
elevi au scris doar o operație din 3, iar un singur elev a scris corect operația, dar a greșit la
calculul acesteia.
Îmbunătățirea rezultatelor s-a datorat lucrului sistematic, organizat, efectuarea unui număr
considerabil de exerciții și mai ales de probleme care se rezolvau prin două sau 3 operații. Am
reprezentat grafic rezultatele centralizate în tabele, prin comparație cu cele obținute la
testul predictiv.Urmărind tabelele de la testele formative, precum și graficele cu frecvența
calificativelor obținute cu cele de la testul inițial și comparându -le, am observat o creștere a
randamentului școlar.
Rezultatele obținute scot în evidență importanța utilizării testelor de evaluare a cunoștințelor
pe parcursul activităților de învățare și confirmă utilitatea practică a metodelor folosite.
Faptul că rezultatele elevilor au înregistrat creșteri remarcabile, chiar și cei care nu învață
sistematic ajungând la un minim promovabil, m -a determinat atunci când a fost necesar să intervin
cu fișe de recuperare , să reiau unele sarcini pentru o mai bună aprofundare.
Progresul obținut de elevi față de proba inițială nu poate fi interpretat numai prin creșterea
proporției în realizarea obiectivelor, ci și prin utilitatea metodei de lucru, datorită căreia a avut loc
mobilizarea dorinței de performanță sau amplificarea ac esteia și implicit, o participare conștientă
mult mai activă a elevilor.Privind rezultatele obținute la testele inițiale și cele formative se observă
că încă se mai înregistrează dificultăți la obiectivele ce vizează rezolvarea și compunerea
problemelor.

Fișă de recuperare
1. Efectuați, apoi realizați proba:
a. 25 431 + 32 876 = b. 456 734 – 123 879 =
c. 1 655 : 5 = d. 124 x 16 =
2. Calcul ați: [(79 x 10 + 260) : ( 540 – 530)] =

97
3. Suma a trei numere este 879. Primul termen este 251, iar al doilea termen este cu 32 mai
mic decât primul. Află al treilea termen.
4. Se dă dreptunghiul ABCD cu laturile AB = 54m și BC = 17m. Să se afle perimetr ul acestui
dreptunghi

Etapa evaluativă
Testul nr. 3
Matematică
Clasa: a IV -a
Tema: Explorarea, investigarea și rezolvarea de exerciții și probleme

Obiective de referință din curriculum -ul național:

1.1 să recunoască și să utilizeze semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural;
1.4 să înțeleagă semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural;
2.5 să rezolve și să compună probleme cu text;
3.1 să exprime, în scris, demersul parcurs în rezolvarea unei probleme

Obiective operaționale:

O1 Să efectueze exerciții de calcul cu numere naturale, umărind respectarea ordinii efectuării
operațiilor și folosirea corectă a parantezelor;
O2. Să rezolve exerciții care solicită aflarea unui număr necunoscut;
O4. Să transpună limbajul matematic în situații -problemă;
O5. Să rezolve problemele date

Descriptori de performanță:

98
Obiective cadru Descriptori de performanță
 Cunoașterea și utilizarea conceptelor
specifice matematicii S1. Scrierea numerelor naturale;
S2. Folosirea corectă a terminologiei
matematice învățate;
S3. Efectuarea corectă a calculelor cu
numere naturale folosind cele patru operații
aritmetice învățate
 Dezvoltarea capacităților de
explorare/investigare și rezolvare de
probleme S3. Formularea și rezolvarea d e probleme
 Formarea și dezvoltarea capacității
de a comunica utilizând limbajul
matematic S4. Exprimarea scrisă într -o manieră
concisă și clară a modului de calcul și a
rezultatelor unor exerciții și probleme

Probă de evaluare

Obiectve
operaționale Descriptori de
performanță Itemi
O.1

O.2 S. Rezolvă corect
operațiile de ordinul I și
parțial corect pe cele de
ordinul II, cu greșeli la
exercițiul cu ordinea
operațiilor 1. Calculează:
27 859 + 309 527 =
36 201 x 9 =
82 416 : 4 =
603 005 + 28 327 =
4 968 x 87 =
169 546 : 13 = B. Rezolvă corect toate
operațiile de ordinul I și
II, face mici greșeli la
exercițil cu ordinea
operațiilor. 2. Calculează, respectând
regulile învățate:
(306 : 3 + 87 – 12) x 0 + {612 : 6
+ 4 x [2 x ( 18 + 3 : 3) : 19 + 1] x
2} x 10 = F.B. Rezolvă corect toate
operațiile aritmetice,
respecând și ordinea

99
efectării operațiilor.
O.3 S. Determină numerele
necunoscute din relațiile
simple, parțial corect, fără
să finalizeze relația
complexă 3. Află numărul necunoscut din
relațiile date:
a) 3 012 + a = 3115
3 x a = 789
a – 17 = 996
1000 – a = 526
764 : a = 3
a : 5 = 102
b) (a x 9 – 78 : 2 ) + 4 x 25 = 1
492
B. Determină corect
numerele necunoscute din
relațiile simple și rezolvă
parțial corect relația
complexă
F.B. Determină corect
toate numerele
necunoscute

O.4
S. Recunoaște și rezolvă
parțial problema. 4. Trei camioane au transportat la
un siloz câte 2 350 kg de mere
fiecare. Din cantitatea adusă s -au
distribuit pentru grădinițele din
oraș 410 kg, pentru internatele
școlare cu 230 kg mai multe, iar
la 4 centre de vânzare s -au livrat
câte 650 kg.
Câte kilograme de mere
au rămas in siloz?
B. Recunoaște operațiile
din problemă , dar face
mici greșeli de calcul
F.B. Rezolvă corect
problema
O.5 S. Recunoaște expresiile
care presupun efectuarea
unor operații aritmetice și
rezolvă parțial problema. 5. . Suma a trei numere naturale
este 871. Două dintre ele sunt
consecutive, iar al treilea este cu
5 mai mare decât suma celorlalte
două. Aflați cele trei numere B. Recunoaște operațiile
din problemă, dar face
mici greșeli de calcul sau
nu justifică
răspunsurile. FB-Rezolvă
corect problema și
justifică rezutatele
Tabel analitic nr.5 : reflectă rezultatele elevilor din lotul Experimental la testul nr.3

100

Nr
crt Numele și
prenumele Item
1
Item
2
Item
3
Item
4
Item
5
Calif
final.
1. B. C. FB FB S FB B B
2 B. M. FB B FB B B B
3 B.A. FB FB FB FB FB FB
4 C. C. B S S S B S
5 C.C. B FB B B FB B
6 C. L. FB FB FB FB FB FB
7 D.-T. P. FB FB FB B FB FB
8 G. L. FB FB S B FB B
9 G. C. FB FB FB B FB FB
10 G.S. FB B B B FB B
11 I. V. FB FB FB FB FB FB
12 P. C. FB FB FB FB FB FB
13 P. C FB FB FB FB FB FB
14 P.S FB FB FB FB FB FB
15 S. R. FB FB FB B FB FB
16 T. N. FB FB FB FB FB FB
Total procente pe
fiecare item
100%
82,81
%
79,68
%
6,56
%
90,62
%
88.12%

Tabelul sintetic nr. 9 – reflectă rezultatele elevilor lotului E./testul nr.3

Calificative Frecvența
Insuficient 0

101

Poligon de frecvență nr. 7 – reflectă rezultatele elevilor din lotul E. la testul nr.3

Tabel analitic nr. 6 reflectă rezultatele elevilor din lotul de control la testul nr.3
N
r
cr
t Numele și
prenumele Item 1
Item 2
Item 3
Item 4
Item 5
Calif.
final
1. A.V. FB FB FB FB FB FB
2 A.S. FB FB B FB FB FB
3 B.M. FB FB FB FB FB FB
4 B.V. FB FB B B B B
5 C.Y. FB B FB B 1B B
6 C.R. FB B B B B B
7 D.A S B B S I S
8 F.A. FB FB FB B FB FB 024681012
Insuficient Suficient Bine Foarte bine ESuficient 1
Bine 5
Foarte bine 10

102
9 L.A FB B B B B B
10 M.S B S I I I I
11 M.C FB FB FB FB B FB
12 R.R FB FB FB FB FB FB
13 T.A S S S S I S
14 T.F FB FB FB FB FB FB
15 V.A. B B FB B B B
16 V.B. B B S S S S

Tabelul sintetic nr. 10 – reflectă rezultatele elevilor lotului de control /testul nr.3

Poligon de frecvență nr. 8 – reflectă rezultatele elevilor din lotul de control la testul nr. 3

Tabel sintetic nr. 11 – prezintă rezultatele elevilor din cele două loturi la testul nr. 3

Clasa Indicator Frecvența calificativelor Realizat
% I S B FB
Experimentală E 0 1 5 10 88,12 %
De control C 1 3 5 7 78,12 %

Poligon de frecvență nr. 9 – reflectă rezultatele celor două loturi la testul nr.3 Calificative Frecvența
Insuficient 1
Suficient 3
Bine 5
Foarte bine 7

103

Tabel sintetic nr.12 : prezintă comparativ rezultatele elevilor din cele două loturi /testul nr.3

Clasa experimentală Clasa de control

Histograma nr.3: reflectă comparativ rezultatele elevilor din cele două clase la testul nr.3 024681012141618
Insuficient Suficient Bine Foarte bine C
E
insuficient 0%
suficient 6,25%
bine31,25%
foartebine62,5
%
insuficient
6,25%
suficient 18,75
bine 31,25
foarte bine
43,75%Număr de copii / procente Calificativ
Clasa experimentală Clasa de control
10 62,5 % 7 43,75 % Foarte bine
5 31,25 % 5 31,25 % Bine
1 6,25 % 3 18,75 % Suficient
0 0 % 1 6,25 % Insuficient

104

Tabel sintetic nr. 13: reflectă comparativ rezultatele celor două loturi exprimate în procente de
realizare la cele trei teste
Procente
Testul 1 Testul 2 Testul 3 Lotul
7,75 % 8,31% 8,81 % Lotul experimental
7,56 % 7,43 % 7,81 % Lotul de control

Histograma nr. 4: reflectă procentajul obținut de cele două loturi la cele trei teste

Tabelul sintetic nr.14: reflectă rezultatele elevilor exprimate în procente de realizare
Procente
0246810
Insuficient Suficient Bine Foarte bineE
C
0.00%20.00%40.00%60.00%80.00%100.00%
testul 1 testul 2 testul 3E
C

105
Testul 1 Testul 2 Testul 3 Lotul
76,1% 82,8 % 87 % Lotul experimental
73,53% 80,4 % 80,66 % Lotul de control

Histograma nr. 5: reflectă mediile obținute de cele două clase la cele trei teste

Analiza, prelucrarea și interpretarea rezultatelor obținute în urma evaluării sumative
Rezultatele la probele date confirmă ipoteza stabilită la începutul experimentului, confirmă
eficiența metodelor și tehnicilor folosite, atât pentru dezvoltarea creati vității cât și pentru creșterea
randamentului școlar.
Calificativele obținute de eșantionul experimental sunt superioare celor din eșantionul de
control, iar curba de evoluție a rezultatelor s -a schimbat în sens pozitiv de la un test la altul.
Am ajuns la concluzia că verificarea elevilor trebuie să devină o activitate complexă de
cunoaștere a pregătirii lor, de depistare și de analiză la momentul oportun a deficiențelor în însușirea
cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor de activitate indiv iduală
Creșterea mediei de realizare a itemilor de la un test la altul, demonstrează o creștere a
nivelului general de activități în cadrul obiectului matematică și progresele făcute de fiecare elev în
parte. Am observat pe parcursul cercetării creativitat ea deosebită a unor elevi, care au folosit de
fiecare dată alte texte în compunerea de probleme, alte date, nume diverse, atât pentru copii, cât și
pentru obiectele puse în discuție.
0.00%20.00%40.00%60.00%80.00%100.00%
testul 1 testul 2 testul 3E
C

106
Astfel este dovedită formarea și totodată dezvoltarea capacității de r ezolvare și compunere de
probleme, printr -un antrenament susținut, constând în compunerea de probleme de matematică cu un
conținut adecvat și folosind o metodologie specifică.
Comparate, rezultatele obținute la testul predictiv și cel final, au demonstrat că pe tot
parcursul anului școlar, prin aplicarea sistematică a metodelor active și a instruirii diferențiate în
cadrul lecțiilor, progresul înregistrat de elevi a fost atât calitativ cât și cantitativ. Acest lucru a
fost constatat din ușurința și plăcerea cu care elevii și-au însușit un volum mare de cunoștințe cu
care au operat în rezolvarea problemelor și a situațiilor – problemă (cunoștințe dobândite în
special prin eforturi proprii), din plăcerea de a lucra pe tot parcursul anului școlar.
Testul de evaluare finală a fost conceput în manieră asemănătoare cu cea a testului inițial, pentru
ca rezultatele obținute să poată fi comparate, cunoștințele prevăzute de programă fiind
definite sub forma obiectivelor operaționale codificate în itemi.
Tabelul analitic și cel sintetic, diagramele, histograma comparativă și poligonul de
frecvență evidențiază clar îmbunătățirea rezultatelor școlare ale elevilor la matematică.
Varietatea exercițiilor și a problemelor rezolvate au solicitat în cea mai mare măsură
gândirea elevilor care, având caracteristica de a fi concret – intuitivă la această vârstă, a
realizat, treptat și diferit, saltul spre o gândire logică, abstractă, în funcție de particularitățile
psihice ale fiecărui elev. Orice nouă achiziție matematică a avut la bază achizițiile precedente,
trecerea de la un stadiu la altul, superior, făcându-se printr-o reconstrucție continuă a sistemului
noțional și operativ. Sintetizând rezultatele obținute la cele două teste de evaluare și corelându-le
cu rezultatele obținute la testele formative am constatat că elevii clasei a IV-a au înregistrat
progrese vizibile privind cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii,
capacitatea de a rezolva probleme de aritmetică, capacitatea de a comunica utilizând limbajul
matematic.
CONCLUZII

În anul școlar 2016 / 2017, mi-am propus să creez condiții optime de afirmare a
potențialului individualității fiecărui elev în situații personalizate sau socializate de învățare, în
special în activitatea de rezolvare a problemelor de matematică . Am avut în vedere

107
folosirea în activitatea didactică a unor diverse metode și procedee activ-participative
în rezolvarea problemelor, crearea unor situații de învățare bazate pe autonomia intelectuală și
acțională a elevilor, stimularea imaginației creatoare, a potențialului lor creator, a gândirii
critice, dar și a gândirii divergente centrată pe strategii euristice.
Am intenționat:
– să nu fiu un simplu „transmițător de informații”, ci un bun organizator al unor
activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de
dezvoltare al fiecăruia;
– să îi fac pe elevi să aibă încredere în ei, facilitând învățarea și stimulând pe copii să
lucreze în echipă;
– să le stimulez eforturile intelectuale, să le formez și să le educ calități moral – volitive;
– să le dezvolt interesul și sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații
problematice cu conținut matematic;
– să stimulez colaborarea, interesul și motivația pentru aplicarea matematicii în
contexte variate;
– să îmbin modalitățile de învățare reproductivă cu cele de învățare euristică în activitatea
de rezolvare și compunere de probleme;
– să adaptez metodele de predare – învățare – evaluare pentru fiecare conținut, pentru
fiecare formă de organizare și pentru profilul psihologic al elevilor.
Elevii și-au format deprinderi de rezolvare a problemelor de matemat ică, au exprimat clar
și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin:
– transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;
– justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme;
– utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei
probleme.
Au manifestat inițiativă în a transpune diferite situații în context matematic,
propunând modalități diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluții la anumite
probleme, scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei, compunerea unei probleme după
un exercițiu sau după o schemă grafică. Exercițiile și problemele au fost judicios gradate sub
aspectul efortului mintal pe care-l solicită de la elevi și rațional programate atât în suita de lecții,

108
cât și în cadrul secvențelor fiecărei lecții, conducând la formarea și consolidarea deprinderilor
de calcul și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.
Elevii au depășit blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare – eroare noi căi de
rezolvare. Au manifestat un comportament adecvat cu colegii din grupul de lucru, în cadrul
activităților practice de rezolvare de probleme. Îmbinarea formelor de activitate – frontală, pe
microgrupuri și individuală – a creat posibilități largi pentru mobilizări multiple și variate
ale elevilor în vederea rezolvării problemelor. Având în vedere faptul că elevii diferă între ei din
punct de vedere al aptitudinilor, al ritmului de învățare, al gradului de înțelegere a fenomenelor
(unii sunt profunzi, alții sunt superficiali), al capacității de învățare și al rezultatelor obținute,
am realizat tratarea individuală și diferențiată a elevilor prin mai multe procedee: acțiuni
individualizate desfășurate pe fondul activităților frontale, cu întrega clasă de elevi, teme
diferențiate pentru acasă (sarcini de lucru cu volum și grad de dificultate diferențiat),
activități pe grupe de nivel, cu repartizarea unor sarcini diferite, potrivit particularităților
elevilor, cât și stimularea pe parcursul lecțiilor a tuturor elevilor clasei, prin distribuția
solicitărilor (întrebărilor) în raport de posibilitățile lor.
Lecțiile în care s-au folosit metode active au fost dinamice, plăcute, stimulatoare și
au antrenat toți elevii clasei. Metodele au constituit o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât
și pentru mine, cadrul didactic, elevii nu au avut timp de alte preocupări, li s-a părut că ora a trecut
repede.
Am constatat în primul rând plăcerea și interesul cu care elevii au primit acest tip de
activități, cum se ajută încurajându-se, explică și celorlalți ce știu, își exprimă gândurile fără
rețineri și cei mai timizi capătă curaj având sprijinul grupului.
Utilizarea metodelor active a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai
toleranți, doresc să se ajute între ei, iar ceea ce este mai important este faptul că s-au împrietenit,
nemaiținând cont de rezultatele obținute la învățătură, formându-se totodată un spirit de echipă;
au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.
Rezultatele obținute la evaluări și aprecierile pozitive i-au motivat pe elevi, iar
această motivație a avut un rol dinamizator, de stimulare a efortului de învățare și de concentrare
a lui în timpul lecției.

109
Efortul pe care l-a făcut fiecare elev în rezolvarea conștientă a unei probleme a
presupus o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional –
afective: gândirea, memoria, imaginația, limbajul, voința, motivația și atenția.
Rezultatele obținute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că prin
utilizarea metodelor activ – participative în activitatea de rezolvare a problemelor de matema tică,
am contribuit la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potențialului
intelectual și creativ al elevilor, la obținerea performanțelor fiecăruia în funcție de particularitățile
de vârstă și individuale.
Pledez pentru ideea conform căreia învățătorul, cunoscând varietatea metodelor
disponibile în câmpul didacticii moderne, cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează,
valențele conținutului pe care trebuie să le atingă prin predare – învățare, să acționeze pentru a
contribui la dezvoltarea disponibilităților și aptitudinilor copiilor, creând un context social –
educațional adecvat, folosind metode eficiente de interacțiune, promovând comportamente și
stiluri didactice flexibile, adaptând metodele de predare – învățare – evaluare pentru fiecare
conținut, pentru fiecare formă de organizare și pentru profilul psihologic al elevilor. Elevii de
aceeași vârstă pot avea deosebiri individuale mai mult sau mai puțin semnificative datorate
modului de viață, experienței acumulate, dar și datorită dispozițiilor naturale individuale. Aceasta
impune din punct de vedere pedagogic ca în procesul de învățământ să se respecte
particularitățile de vârstă și cele individuale ale elevilor, deoarece modul de a percepe, de a
înțelege, de a memora, de a opera pe plan mintal nu este identic la toți elevii.
Prin organizarea unor activități de învățare variate, adaptate nevoilor individuale ale
fiecărui elev, învățătorul stimulează colaborarea, interesul și motivația elevilor pentru
rezolvarea problemelor de aritmetică, pentru aplicarea matematicii în contexte variate.

110

BIBLIOGRAFIE

1. Ancuța F., Croitoru E. – „Matematica distractivă ”. Ed. Ștefan, București, 2 005;
2. Ioan Aron, Ghe. I. Herescu – „Aritmetica pentru învățători ”, E.D.P., București, 1 977;
3. Florica Banu, Costel Chiteș, Ovidiu Cojocaru – „Ghid de evaluare la matematică ”, M.E.N.,
București, 1 999;
4. Ioan Cerghit – „Metode de învățământ ”, E.D.P. R.A.,Bucure ști, 1 997;
5. Ioan Cerghit – „Perfecționarea lecției în școala modernă ”, E.D.P., București, 1 993;
6. Rodica Chiran – „Matematica – manual pentru clasa a IV -a”, Ed. Aramis, București, 2 006;
7. Costică Lupu – „Aritmetica pentru învățători și elevi ai ș colilor normale ”, Ed. Paralela 45, 1 996;
8. Constanța Dumitriu – „Introducere în cercetarea pedagogică ”, E.D.P. R.A., București, 2 004;
9. Ghe. Dumitriu, Constanța Dumitriu – „Psihologia procesului de învățământ ”, E.D.P. R.A.
București, 1 997;
10. Ghe. Dumitriu, Constanța Dumitriu, Iulia Damian, Iulia Dumitriu – „Psihopedagogie ”, Ed. Alma
Mater, Bacău, 2 002;
11. Ghe. I. Herescu, Alexandrina C. Dumitru – „Matematică – Îndrumător pentru învățători și
institutori ”, Ed. Corint, București, 2 001;
12. D. Săvu lescu – „Metodica predării matematicii în ciclul primar ”, Ed. „Gheorghe Alexandru”,
Craiova, 2 006;
13. Costică Lupu – „Didactica matematicii ”, Ed. Caba, București, 2 006;
14. Aurel Maior, Angelica Călugărița, Elena Maior – „Matematică – manual pentru clas a a IV -a”,
Ed. Aramis, București, 2 006;
15. M. Pintilie – „Metode moderne de învățare – evaluare ”, Ed. Eurodidact, Cluj –Napoca, 2 002;
16. Ioan Neacșu – „Metodica predării matematicii la clasele I – IV”, E.D.P., București, 1988;
17. Mihaela Neagu, Consantin Petrovici – „Aritmetica prin exerciții și probleme, pentru ciclul
primar ”. Ed. Gama, Iași, 1 998;
18. Ioan Nicola – „Pedagogie ”, E.D.P. R.A., București, 1 994;

111
19. G. Polya – „Cum rezolvăm o problemă ”, Ed. Științifică, București, 1 965;
20. Ivanca Olivotto – „Culegere de probleme de aritmetică pentru clasele IV – VI”, E.D.P.,
București, 1 968;
21. Șt. Pacearcă, Mariana Mogoș – „Matematică – manual pentru clasa a IV -a”, Ed. Aramis,
București, 2 006;
22. Viorica Pârâială, Dumitru D. Pârâială – „ Aritmetică – culegere pentru elevii claselor I – IV”,
Institutul European, Iași, 1 993;
23. Ioan Petrică, Vasile Ștefănescu – „Probleme de aritmetică pentru clasele I – IV”, Ed. Petrion,
București, 1 994;
24. M. Schneider, Gh. A. Schneider – „Culeger e de probleme de aritmetică pentru clasele I – IV”,
Ed. Hyperion, Craiova, 2 000;
25. Mihaela Singer – „Prietenul tău, caietul de matematică – clasa a IV -a”, Ed. Sigma, București, 2
006;
26. Mihaela Singer, Ligia Sarivan – „Ghid metodologic pentru aplicare a programelor de
matematică, primar -gimnazial ”, Ed. Aramis, București, 2 001;
27. E. Șincan – „Creșterea eficienței învățării matematicii în clasele primare ”, învățământul primar,
vol. I – 1 991;
28. I. Vlăsceanu – „Structuri, strategii, performanțe în în vățământ ”, Ed. Academiei, București, 1
989.

112

113

114

115

116

117

118