Experiment aleator. Evenimente [632218]

3/13/2018
1

Experiment aleator. Evenimente

Un experiment aleator este o acțiune care, efectuată ori de
câte ori se dorește, în aceleași condiții, are un rezultat aleator.

Acțiunea se caracterizează prin faptul că se cunoaște
ansamblul rezultatelor posibile dar nu se poate face o predicție certă
asupra rezultatului care se va produce în momentul realizării sale.
Exemple de experimente aleatoare și rezultatele lor posibile:
•aruncarea unei monede: cap si pajură;
•aruncarea unui zar: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
•aruncarea unui zar: număr par, număr impar;
•solicitarea preferinței unui consumator pentru produsul A sau
produsul B: prefer produsul A, prefer produsul B, îmi este
indiferent;
•observarea modificării prețului la bursă al acțiunilor unei companii
în decurs de o săptămână: cresc, scad, nu se modifică.
•testarea conformității procedurilor unei entități auditate:
corespund sau nu corespund criteriilor prestabilite.

Experiment aleator. Evenimente

Mulțimea rezultatelor (spațiu de selecție), notată cu S este
ansamblul rezultatelor posibile ale unui experiment aleator.
Pentru calculul probabilităților este important să distingem dacă
mulțimea rezultatelor este fundamentală sau nu.
Un spațiu de selecție este numit fundamental dacă fiecare dintre
rezultatele sale posibile are aceleași șanse de apariție ca și celelalte.
Exemplu: mulțimea rezultatelor posibile la aruncarea unui zar: S =
{1,2,3,4,5,6}.
•Orice rezultat posibil al unui experiment aleator se numește eveniment
elementar. Un astfel de eveniment nu poate fi descompus în alte
evenimente simple.
•Un eveniment este orice colecție de evenimente elementare; el este un
subansamblu al mulțimii S.
Exemple:
•evenimentul observarea unui număr par la aruncarea unui zar este A =
{2,4,6}.
•un test privind corectitudinea soldurilor unui cont este un eveniment
format din următoarele evenimente elementare {soldul este corect, soldul
este supraevaluat sau soldul este subevaluat} ; evenimentul soldul nu este
corect nu este elementar, deoarece poate fi descompus în două
evenimente elementare {supraevaluare și subevaluare}.

3/13/2018
2

Definirea probabilității

Definiția clasică: În general, dacă un experiment are n posibile
rezultate, fiecare fiind egal probabile, probabilitatea apariției oricărui rezultat
particular este 1/n.
O astfel de probabilitate o numim teoretică (apriori), deoarece este
calculată fără efectuarea experimentului.
Definiția empirică: presupune exprimarea probabilității unui
rezultat ca o măsură a frecvenței relative de apariție. Presupunem că un
experiment aleator este repetat de n ori (n fiind un număr mare). Dacă x
reprezintă numărul de cazuri în care un rezultat particular a apărut în cele n
încercări (probe), raportul x/n constituie o bună estimare pentru
probabilitatea cu care acest rezultat particular va apărea.
Exemplu: dacă 295 dintre cele 300 de facturi verificate printr-o
procedură de audit sunt corecte, putem presupune că probabilitatea ca
facturile firmei să fie corect întocmite este de 295 / 300 = 0,98 (98%). Cu cât n
este mai mare, cu atât va fi mai bună estimarea probabilității dorite.
Probabilitatea determinată folosind rezultatele unui experiment
efecuat de un anumit număr de ori, se numește probabilitate empirică, sau
frecvență relativă.

Definirea probabilității

•Fiecărui eveniment elementar Ei dintr-un spațiu de
selecție fundamental îi atașăm un număr P(Ei), numit
probabilitatea lui Ei , care să reprezinte probabilitatea
obținerii acestui rezultat particular; ea se calculează
după formula:
ܲܧ௜=ݎܽ݉ݑ݊ ݁݀ ݅ݎݑݖܽܿ ݈ܾ݁݅ܽݎ݋ݒ݂ܽ ݅ݑ݈ ܧ௜
ݎܽ݉ݑ݊ ݁݀ ݅ݎݑݖܽܿ ݈ܾ݁݅݅ݏ݋݌
•Pentru orice spațiu de selecție S = {E1,E2,…,En},
probabilitățile asociate evenimentelor elementare Ei
trebuie să îndeplinească următoarele cerințe de bază:
1. 0 ≤ P(Ei) ≤ 1, pentru fiecare i
2. ∑ܲܧ௜௡
௜ୀଵ =1

3/13/2018
3

Definirea probabilității

•Probabilitatea unui eveniment A este egală cu suma probabilităților asociate
evenimentelor elementare conținute în A:
ܲ(ܣ) = ݀ݎܽܿܣ
݀ݎܽܿܵ
Exemple:
•la aruncarea unui zar, probabilitatea de a obține un număr impar este :
ܲ(ݎܽ݌݉݅) = ݀ݎܽܿ1,3,5
݀ݎܽܿ1,2,3,4,5,6 =3
6 =1
2

Card {1,3,5} – cardinalul mulțimii {1,3,5}, adică numărul de elemente pe care le
conține. În acest caz Card {1,3,5} = 3

•la extragerea unei cărți dintr-un pachet de 52 de cărți de joc, probabilitatea de a
extrage un as este:
ܲ(ݏܽ) = 4
52 =1
13
•la extragerea unei bile dintr-o urnă care conține 200 de bile colorate, dintre care
15 sunt de culoare roșie, probabilitatea de a extrage o bilă roșie este :
ܲ(݋ݎșݑ) =15
200

Regulile probabilităților
Reuniune
(A sau B)
Regula adunării Evenimente
incompatibile P(AB)=P(A)+P(B)
Evenimente
compatibile P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Intersecție
(A și B)
Regula multiplicării Evenimente
independente P(AB)=P(A) . P(B)
Evenimente
dependente P(AB)=P(A/B) . P(B)=P(B|A) . P(A)

Complement
(nu A) Eveniment
independent
Regula probabilităților
condiționate
(A dacă B) Evenimente
independente P(A|B)=P(A)
P(B|A)=P(B)
Evenimente
dependente

3/13/2018
4
Arbori de probabilitate
O metodă foarte utilă pentru calculul probabilităților este
arborele de probabilitate, în care diferitele evenimente posibile ale
unui experiment sunt reprezentate prin linii sau ramuri ale acestuia.
Exemplu: Considerăm experimentul aruncării de două ori a unei
monede (rezultate posibile Cap și Pajură); spațiul de selecție este:
S = { CC, CP, PC, PP }.
C
P C
C P
P
Prima
aruncare A doua
aruncare Rezultat final
(evenimente
simple) CC
CP
PC
PP
Probabilitate P(CC)=1/4
P(CP)=1/4
P(PC)=1/4
P(PP)=1/4
Variabila aleatoare
Să presupunem că în cadrul experimentului
anterior ne interesează de câte ori apare pajura .
Dacă notăm cu X numărul total de apariții ale
pajurei, valoarea lui X va varia aleator de la o probă
la alta a experimentului.
X este numită variabilă aleatoare, sau
variabilă supusă hazardului.
De fapt, X este o funcție care asociază o
valoare numerică fiecărui eveniment elementar din
spațiul de selecție:
S = { CC, CP, PC, PP }
Valorile posibile ale lui X sunt 0,1 sau 2.

3/13/2018
5
Variabila aleatoare
S={CC,CP,PC,PP}

Variabila aleatoare
O variabilă aleatoare este o funcție care
asociază o valoare numerică fiecărui eveniment
elementar dintr-un spațiu de selecție.
În mod uzual, variabilele aleatoare sunt notate
cu majuscule de la sfârșitul alfabetului (X, Y, W,…) iar
valorile acestora cu litere mici (x,y,w,…).
În funcție de numărul de valori posibile pe
care și le pot asuma, variabilele aleatoare sunt de
două tipuri:
•discrete
• continue.

3/13/2018
6
Variabila aleatoare discretă
O variabilă aleatoare discretă poate lua o mulțime numărabilă de valori.
O variabilă aleatoare este discretă dacă putem identifica prima valoare, a
doua valoare etc.
Exemple:
•numărul de produse defecte dintr-un lot
• numărul de apeluri telefonice primite într-o anumită oră la o centrală telefonică
• numărul de cumpărători, observați într-o perioadă, care preferă un anumit
produs.
•numărul de erori monetare depistate printr-o procedură de audit în situațiile
financiare ale unei firme.

Observație. O mulțime numărabilă de valori posibile nu înseamnă în mod
necesar o mulțime finită.

Exemplu: numărul de aruncări ale unei monede până la prima apariție a pajurei: 1
(dacă la prima aruncare apare pajura ), 2 (dacă la prima aruncare apare capul și la a
doua apare pajura) și așa mai departe.
O astfel de variabilă nu are limită superioară a valorii sale, dar, fiind numărabilă, ea
este discretă.

Variabila aleatoare discretă
Un tabel, matrice, formulă sau grafic ce conține toate valorile
posibile ale unei variabile aleatoare discrete împreună cu probabilitățile
asociate acestora poartă denumirea de distribuție a variabilei aleatoare
discrete.
Fie X, o variabilă aleatoare discretă asociată unui anumit experiment
aleator.
Funcția de densitate (masă) de probabilitate (fdp) a lui X este
funcția p, definită astfel:
p: R → [0,1]
x ↦ p(x) = P( X = x ),
unde P( X = x ) este probabilitatea ca variabila X să ia valoarea particulară x în
momentul realizării experimentului.
Altfel spus, P( X = x ) reprezintă suma proabilităților asociate evenimentelor
elementare pentru care X ia valoarea x.
O funcție de densitate de probabilitate a unei variabilei aleatoare
discrete trebuie să satisfacă următoarele condiții :
1.0 ≤ p(xi) ≤ 1, pentru toate valorile xi
2.∑ܲܺ=ݔ௜ ௫೔∈೉=∑݌ݔ௜ ௫೔∈೉=1

3/13/2018
7
Variabila aleatoare discretă
Utilizând experimentul aruncării de două ori a unei monede în care variabila X reprezintă
numărul de apariții ale pajurei:
Evenimente simple X Probabilități
CC 0 ¼
CP 1 ¼
PC 1 ¼
PP 2 ¼
Distribuția variabilei x poate fi prezentată astfel:

݌ݔ=1
4,ܿܽ݀ă ݔ=0 ݑܽݏ ݔ=2
1
2,ܿܽ݀ă ݔ=1
x p(x)
0 ¼
1 ½
2 ¼
0 1 2 1/2
1/4 p(x)
x
Variabila aleatoare discretă
Variabila aleatoare discretă
Pe lângă funcția de probabilitate simplă,
putem asocia unei variabile aleatoare discrete și
o funcție de probabilitate cumulată, numită
funcție de distribuție de probabilitate
cumulativă (fdpc).
Dacă X este o variabilă aleatoare discretă,
atunci funcția sa de distribuție de probabilitate
cumulativă este definită astfel:
•F: R → [0,1]
•x ↦ F(x) = P (X ≤ x) = ∑݌ݔ௜ ௫೔∈೉

3/13/2018
8
Indicatorii numerici ai unei variabile aleatoare discrete sunt:
1. speranța matematică ( media) ࡱࢄ
2. vܖ܉ܑܚ܉ț܉ ܉ܑܛܚ܍ܘܛܑ܌ࢂࢄ
3. abaterea standard (࣌)
4. momentul de ordinul k (Mk)
5. momentul centrat de ordinul k (ࣆ࢑)

Speranța matematică
Pentru o variabilă aleatoare discretă X cu xi valori posibile care apar cu probabilitățile p(xi) ,
se definește astfel:
ܧܺ=෍ݔ௜∙݌ݔ௜
௫೔∈௑=ߤ
Dispersia
ܸܺ=∑ݔ௜−ߤଶ∙݌ݔ௜ ௫೔∈௑ =ߪଶ

Formula de calcul simplificat este:
ܸܺ=∑ݔ௜ଶ
௫೔∈௑∙݌ݔ௜ – ߤଶ
Abaterea standard
ߪ=ܸܺ

Variabila aleatoare discretă
Momentul de ordinul k
ܯ௞=ܧܺ௞=∑ݔ௜௞
௫೔∈௑∙݌ݔ௜; ݇∈ܰ
Momentul centrat de ordinul k
ߤ௞ܺ=ܯ௞ܺ−ߤ =ܧݔ௜−ߤ௞; ݇∈ܰ
unde ܧܺ=ߤ

Observație:
•Momentul de ordinul întâi al variabilei aleatoare X este media acesteia.
•Momentul centrat de ordinul doi este dispersia variabilei aleatoare X
Proprietăți
Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci ∀ ܽ,ܾ ∈܀, Y = a.X+b este și
ea o variabilă aleatoare discretă ai cărei indicatori numerici sunt:
•Speranța matematică: E(Y) = a.E(X) + b
•Dispersia: V(Y) = a2 . V(X)

Variabila aleatoare discretă

3/13/2018
9
Continuous random variable
O variabilă aleatoare este continuă dacă ansamblul valorilor
sale posibile corespunde celor dintr-un interval dat, finit sau infinit.

Principalele deosebiri
Variabile discrete Variabile continue
– pot lua un număr finit sau infinit
numărabil de valori posibile – pot lua un număr infinit nenumărabil de
valori posibile
– le este specific procesul de numărare – le este specific procesul de măsurare a
unor atribute, cum ar fi: lungimea,
greutatea, timpul, temperatura etc.
– probabilitatea să ia o valoare
particulară are sens deoarece putem
enumera toate valorile posibile – probabilitatea să ia o valoare particulară
nu are sens deoarece nu putem enumera
toate valorile posibile, dar are semnificație
probabilitatea să ia o valoare cuprinsă într-
un anumit interval de valori.
– probabilitatea pentru o variabilă X să ia
o valoare particulară x este p(x) – probabilitatea pentru o variabilă X să ia o
valoare particulară x este 0.

Variabila aleatoare continuă

Exemplu
Un experiment aleator poate fi considerat observarea duratei
convorbirilor telefonice pentru un eșantion reprezentativ de angajați ai unei
companii într-o zi de lucru.
Considerăm variabila X = durata convorbirilor în minute.
Deoarece angajații au fost selectați întâmplător iar ansamblul valorilor
posibile corespunde unui interval de timp, atunci X este o variabilă aleatoare
continuă.

Variabila aleatoare continuă

3/13/2018
10

Variabila aleatoare continuă

00.050.10.150.20.250.3
2 5 8 11 14 17
durata convorbirilor (minute) 2 5 8 11 14 17 20 frecvențe relative
Funcția de densitate de probabilitate (fpd) a unei variabile
aleatoare continue X este funcția pozitivă:
݂∶܀→0,∞
݂ݔ≥0
ܲܽ≤ܺ≤ܾ=න݂ݔ௕
௔ݔ݀
නࢌ࢞࢞ࢊ=૚ାஶ
ିஶ
Funcția de densitate de probabilitate cumulativă (fpdc) a unei
variabile aleatoare continue X este definită astfel:
ܨ:܀→0,1
ܨݔ=ܲܺ<ݔ =∫݂ݔ௫
ିஶ݀ݔ

Variabila aleatoare continuă

3/13/2018
11
Observație: f(x) nu este o probabilitate: ݂ݔ≠ܲܺ=ݔ ,deoarece
probabilitatea ca X să ia o anumită valoare specifică este zero: ܲܺ=ݔ=0.

Probabilitatea ca X să ia o valoare x[a, b] este egală cu aria delimitată de curba
funcției de densitate de probabilitate și de segmentul axei orizontale delimitat
de valorile a și b.

Variabila aleatoare continuă

a b x f(x)
P(a<x<b)
Indicatorii numerici ai variabilei aleatoare continue
•valoarea așteptată:
ܧܺ=∫ݔ∙݂ݔݔ݀ஶ
ିஶ=ߤ
•varianța:
ܸܺ=නݔ−ܧܺଶஶ
ିஶ∙݂ݔݔ݀
•abaterea standard:
ߪ=ܸܺ=ߪଶ.

Variabila aleatoare continuă

3/13/2018
12
•momentul de ordinul k (k ∈N):
ܯ௞ܺ=නݔ௞ஶ
ିஶ∙݂ݔݔ݀

•momentul centrat de ordinul k(k ∈N):
ߤ௞ܺ=නݔ−ߤ௞ஶ
ିஶ∙݂ݔݔ݀

Variabila aleatoare continuă