Exerciții de fixare a modalităților de rezolvare a ecuațiilor cu coeficienți complecși) [306518]
[anonimizat]. [anonimizat], a matematicii a [anonimizat] o materie cu necontestate valențe formative. În același timp a sporit responsabilitatea celor chemați să facă matematica înțeleasă și apreciată.
Matematica este considerată de multe ori de către elevi o [anonimizat], neplăcută. Acest lucru se datorează în mare măsură strategiilor tradiționale. [anonimizat], al dascălilor este de a [anonimizat].
[anonimizat], [anonimizat] – formative, [anonimizat], afectiv-[anonimizat]-l definesc din punct de vedere profesional și personal
Această lucrare încearcă să ofere o [anonimizat], concretă, se găsește într-o [anonimizat], să certifice inepuizabilitatea direcțiilor de dezvoltare ale geometriei elementare și trigonometriei. [anonimizat], deoarece bogatul conținut de exemple poate oferi o bază de lucru consistentă.
[anonimizat] (clasa a X-a), [anonimizat] a acestor genuri de probleme la olimpiadele și concursurile școlare. [anonimizat], au contribuit la alegerea acestei teme în vederea obținerii gradului didactic I în învățământ.
Capitolul 1 – STRATEGII DIDACTICE
Termenul de strategie își are originea „într-un cuvânt grecesc cu semnificația de generalitate și până de curând a avut un înțeles strict militar: arta planificării și conducerii războiului.”
The American Heritage Dictionary of the English Language (1969) scoate în evidență faptul că folosirea strategiilor în educație implică măiestrie și artă sau „o capacitate (abilitate, pricepere) în folosirea lor” și sugerează că „profesorii trebuie să învețe această artă”.
[anonimizat] „[anonimizat]:
pe termen lung: [anonimizat], ele implicând în mod clar evoluția viitoare;
multidimensionale: [anonimizat], mijloace și constrângeri;
interactive: deciziile sunt luate încercând să se anticipeze inițiativele și reacțiile” participanților la activitate (ale elevilor și studenților). (Bernard Gazier, 2003, p. 9)
[anonimizat]-[anonimizat], deprinderile, aptitudinile, sentimentele și emoțiile. Ea se constituie dintr-un ansamblu complex și circular de metode, tehnici, mijloace de învățământ și forme de organizare a activității, complementare, pe baza cărora profesorul elaborează un plan de lucru cu elevii, în vederea realizării cu eficiență a învățării.
STRATEGIA DIDACTICĂ reprezintă modalitatea de alegere, îmbinare și aplicare a metodelor, tehnicilor, procedeelor didactice în moduri de organizare diferite ale procesului educațional în funcție de situațiile diferite de învățare, de particularitățile de vârstă și individuale ale subiecților educaționali.
Cele mai eficiente strategii didactice sunt cele diferențiate și personalizate în funcție de nivelul școlar, de tipul de școală, de forma de specializare, de clasă, de profesorii și elevii care vor pune în practică aceste strategii.
Conceptul de strategie se referă la un set de acțiuni orientate intenționat către atingerea unor finalități specifice. Procesul de învățământ nu se produce la întâmplare, în mod haotic, ci în baza unei abordări strategice. Predarea implică gândire strategică, ceea ce face posibilă stăpânirea cu succes a situațiilor de instruire (Cucoș, 2001).
Strategiile didactice sunt ansambluri de metode, mijloace și procedee didactice subordonate obiectivelor, pentru realizarea situației de învățare specifice unui anumit demers didactic. Operaționalizarea unei strategii didactice se constituie ca un exercițiu de rezolvare creativă a unei situații-problemă ce implică abordări și soluții metodologice complexe din partea profesorului.
Raportul dintre strategia didactică și metoda didactică evidențiază diferențele existente la nivelul timpului pedagogic angajat în proiectarea și realizarea activităților de instruire/educație. Astfel, “metoda didactică reprezintă o acțiune care vizează eficientizarea învățării în termenii unor rezultate imediate, evidente la nivelul unei anumite activități de predare-învățare-evaluare, aplicarea lor în încercarea de a atinge obiectivele pedagogice specifice. În elaborarea unei strategii didactice exista următoarele variabile pe care le poate alege profesorul:
Tipul de demers/raționament (inductiv, deductiv, dialectic și analogic);
Metodele (expozitive, interogative, active etc.);
Tehnicile:
de animare, întrebare, sintetizare, reformulare, încurajare stimulare, revenire;
de experimentare, expozitive;
exerciții aplicative;
de declanșare;
de instruire programată;
Mijloacele și materiale didactice;
Modul de organizare a colectivului: frontal, grupal, individual;
Nivelul de performanță atins de elevi;
Combinând aceste elemente se pot concepe diferite strategii. Alegerea strategiei didactice se va face în funcție de obiectivele specifice prioritare, ponderea unei variabile din cele enunțate, situația (contextul pedagogic) și stilurile didactice.
O strategie didactică presupune identificarea unei combinații eficiente între intenții, resurse, modalități de activare a acestora, metode de activare a proceselor cognitive în simbioză cu susținerea motivării și interesului pentru învățare/studiu. Alegerea strategiei de învățare reflectă finalizarea căutării condițiilor specifice în conceperea situației de învățare, sub forma unui program de acțiune, de dirijare, de îmbinare a metodelor și mijloacelor, a comunicării. Găsirea strategiei adecvate presupune formularea de variante inițiale, prin raportare la diverși factori, interni și externi, ai situației de învățare analizați în prealabil.
Imperativul calității în educație obligă la o reconsiderare a demersului educațional al profesorului, astfel încât strategiile didactice elaborate să fie centrate pe învățare și, respectiv, pe cel care învață.
Centrarea pe elev devine atât o condiție de calitate și eficiență a procesului formativ cât și una dintre cele mai la îndemâna căi de rezolvare a numeroaselor dificultăți pe care le cunoaște și amplifică învatamântul contemporan: diminuarea motivației pentru învățătură, lipsa de atractivitate a programului școlar pentru elevi, scăderea gradului de implicare a acestora în activitatea de învățare, diminuarea importanței acordate imaginației, creativității și afectivității elevilor în favoarea prețuirii exagerate a gândirii și memoriei acestora, favorizarea abordărilor mecanice și reproductive în învațare în defavoarea celor euristice, accentuarea pronunțată a abordării pasive de către profesor/elev a activității didactice, rutină și monotonie în procesul de învățământ, tratarea frontală nediferențiată a întregii clase de elevi de către profesori, scăderea performanțelor școlare.
Direcțiile în care ar urma să se manifeste responsabilitatea elevului sunt:
să se exprime pe sine (sincer, deschis, cu încredere în valoarea sa autentică dincolo de inerentele limitări, în polivalența personalității sale și autenticitatea acesteia, în drepturile și libertățile sale, pe baza respectului acordat celorlalți, în frumusețea și atractivitatea diversității lor);
să comunice (adecvat, empatic, asertiv, valorificând limbajul proactiv, autentic, curajos, coerent, tolerant, cu răbdare față de interlocutor și cu atenție față de punctul său de vedere);
să participe activ la instruire/autoinstruire, respectiv, dezvoltare/autodezvoltare (renunțând treptat la ipostaza de comoditate și confort induse de cunoscut, la atitudinea pasivă sau de relativă „neputință”, la solicitarea repetată și nejustificată a sprijinului din partea profesorului sau a unor „algoritmi ai succesului”, verificați într-o perioadă precedentă în practica școlară. Să caute soluții, să colaboreze cu ceilalți, să valorifice experiențe diferite, să continue procesul de instruire și dezvoltare permanent, în afara cadrului instituționalizat, să extindă și valorifice achizițile realizate, indiferent de tipurile și timpurile activității);
să acorde timp pentru instruire și autoinstruire (din multitudinea opțiunilor de petrecere a timpului să aloce timp pe care să-l folosească productiv și creativ în scopul instruirii și autoinstruirii, în mod conștient, prin decizie proprie nu prin constrângere, obligativitate sau sancțiune, fără a necesita control din partea adulților);
să fie activ în relația cu profesorii săi (prin dezvăluirea sinelui și implicare deschisă în sarcină; prin eliminarea falselor obstacole de tip cognitiv sau afectiv; prin formulare de întrebări și soluții lipsit de complexe și de frica greșelii; prin consolidarea unor relații echilibrate, de implicare și valorizare a colegilor și a celorlalți participanți la procesul formativ) ;
să ia decizii în ceea ce-l privește, să aleagă (prin implicare în proces în cunoștință de cauză; prin relativa analiză și identificare a efectelor; prin acceptarea posibilității de a greși și a obține rezultate atât așteptate cât și, mai ales, neașteptate, posibil neplăcute; prin angajamentul de a suporta demn consecințele negative ale propriilor decizii).
Câștigul final îl reprezintă raportarea mai adecvată la realitate din perspectiva dimensiunii trăirii și manifestării libertății personale spre deosebire de paradigma tradițională, care îngrădește accesul la libertate și manifestarea acesteia.
Se observă că tot mai des tindem către o școală în care elevii să devină capabili să își asume responsabilitatea dobândirii competențelor, profesorul devenind un organizator al experientelor de învățare. În acest sens, el își asumă sarcini suplimentare în generarea unui climat de încredere în posibilitățile elevilor, în diminuarea complexului de inferioritate al multora dintre ei și, de asemenea, în combaterea algoritmilor de uniformizare a condițiilor de învățare și dezvoltare pentru elevii capabili de performanțe superioare. Stimularea creativității acestora, încurajarea lor permanentă, teme variate la nivelul conținuturilor și metodologiei, crearea unui context favorabil gândirii independente, asocierii libere a ideilor, dezvoltarea capacității de argumentare, motivare pentru alegerile făcute, sunt câteva direcții importante de acțiune.
Unul dintre obiectivele principale ale procesului educațional este de a le dezvolta elevilor abilitatea de a se confrunta cu situațiile problematice apărute în activitatea pe care o desfășoară, deci de a rezolva probleme. „Problema” sau „situația problematică” reprezintă stimulul autentic al oricărui proces veritabil de gândire. Surmontarea obstacolelor, ieșirea din impasuri, găsirea răspunsurilor la numeroasele întrebări „de ce?” și „cum?”, reclamă trecerea la o activitate mentală care necesită organizarea, optimizarea și eficientizarea datelor cu care lucrăm. În cursul rezolvării problemei se acumulează cunoștințele, secvențele deja parcurse se stochează în memorie, se planifică construirea soluției în termeni generali și se elaborează detaliile necesare. Rezolvarea de probleme este, așadar, o rezultantă a funcționării interactive a tuturor mecanismelor cognitive.
Pentru desfășurarea cu succes a activității în domeniul matematicii, elevii trebuie să dobândească aptitudinea de a generaliza și abstractiza cunoștințele din acest domeniu, capacitatea de problematizare, cunoașterea unor metode specifice de cercetare a procesului rezolutiv, precum și posibilitatea de a analiza critic acest proces prin formularea de raționamente.
O clasificare a principalelor procese rezolutive cu care elevii trebuie obișnuiți este, în concepția lui M. Zlate (2006), următoarea:
identificarea situației problemă;
definirea și reprezentarea problemei;
elaborarea strategiei;
organizarea informațiilor și alegerea resurselor;
monitorizarea ;
evaluarea rezultatelor.
În funcție de caracterul determinant al învățării, Cerghit deosebește două clase de strategii:
prescrise (de dirijare riguroasă a învățării): imitative, explicativ-reproductive (expozitive), explicativ-intuitive (demonstrative), algoritmice, programate, computerizate.
neprescrise/participative (de activizare a elevilor):
euristice: explicativ-investigative (descoperire semidirijată), investigativ-explicative, de explorare observativă, de explorare experimentală, de descoperire (independentă, dirijată, semidirijată), bazate pe conversația euristică, problematizante, bazate pe elaborare de proiecte, bazate pe cercetarea în echipă s. a.;
creative (bazate pe originalitatea elevilor);
mixte: algoritmico-euristice, euristico-algoritmice.
În instrucția școlară are loc de fapt un proces care se poate numi învățare prin descoperire dirijată. Este vorba de îndrumarea de către profesor a procesului de descoperire efectuat de elevi, sub forma unor sugestii sau precizări. De aceea vom avea tipuri diferite de descoperiri:
1. Descoperirea inductivă este bazată pe raționamentul inductiv. Ea cuprinde analiza, clasificarea, ordonarea și ierarhizarea unor date, unor cunoștințe. În acest context elevul reușește ca pe bază de lectură, de date materiale, fapte, să ajungă la noțiuni, reguli, definiții, generalizări, principii sau legi.
2. Descoperirea deductivă este bazată pe raționamentul deductiv. Ea constă din trecerea de la general la particular, de la concretul logic la concretul sensibil și are drept scop obișnuirea elevilor de a opera cu noțiuni științifice și filozofice abstracte.
3. Descoperirea transductivă sau prin analogie. Aceasta se bazează pe stabilirea de relații între diverse serii de date. Această formă de descoperire se folosește în special la clarificarea unor noțiuni nou însușite prin intermediul cunoștințelor anterioare ale elevilor.
Învățarea prin descoperire trebuie utilizată cu atenție pentru a constitui un sistem sigur de dobândire a informațiilor.
Matematica studiată în școală țintește două aspecte importante cu privire la finalitățile urmărite și anume:
Cuprinderea unor noțiuni de bază necesare aprofundării unei matematici superioare, respectiv noțiuni necesare studiului celorlaltor științe;
Formarea unor capacități intelectuale și abilități specifice, cum ar fi logica în gândire, aprecierea adevărului, respect pentru corectitudine etc.
Conținutul învățământului matematic, văzut ca un sistem, promovează următoarele valori:
cunoștințe;
priceperi și deprinderi (abilități) intelectuale și practice;
capacități intelectuale și practice;
competențe intelectuale și practice;
atitudini;
aptitudini;
comportamente;
conduite etc.
Scopul principal al metodelor didactice este orientarea proceselor de predare – învățare (autoînvățare) – evaluare (autoevaluare), rămânând subordonate acestor procese. Metodele însoțesc acțiunea educativă, dar nu se identifică cu aceasta. Eficiente în predarea-învățarea matematicii sunt metodele activizante, cele care le pretind elevilor să desfășoare o activitate continuă, atât în planul gândirii, al logicii, cât și în planul practic, al acțiunii.
Utilitatea metodelor active în lecțiile de matematică are ca scop demonstrarea faptului că ele semnifică o cerință de bază, cu diverse valențe formative pentru cunoașterea și aprofundarea operațiilor gândirii, ducând astfel la o ascensiune a randamentului școlar.
1.1. Descrierea principalelor metode didactice
Operaționalizarea unei strategii didactice necesită o pregătire temeinică și în primul rând selectarea celor mai potrivite metode centrate pe elev pentru abordarea activității instructiv-educative. În calitate de elemente factice, metodele sunt cosubstanțiale strategiilor. Ca demersuri teoretico-acționale, ele desemnează anumite modalități de execuție a operațiilor implicate în realizarea sarcinilor de predare și învățare. Calitatea procesului instructiv-educativ depinde și de metodele folosite, dezvoltarea personalității elevului fiind condiționată nu numai de conținuturile vehiculate, ci și de maniera în care acestea îi sunt aduse la cunoștință.
Plasarea elevului într-o situație de învățare presupune o anumită modalitate de a proceda la realizarea sarcinii, o metodă prin care să se dobândească ceea ce este prefigurat în obiective.
Ca modalități de acțiune, unele metode îl solicită mai mult pe profesor (prelegerea, expunerea), altele mai mult pe elev (exercițiul, lectura individuală sau colectivă), iar altele presupun acțiuni didactice care antrenează deopotrivă profesorul și elevii (problematizarea, abordarea euristică).
Metodele dialogate (conversative) – constau în stabilirea unui dialog între profesor și elevi, în care profesorul nu trebuie să apară în rolul unui examinator permanent, ci în rolul unui partener care pune întrebări pentru: a stimula gândirea elevilor, a asigura însușirea cunoștințelor, a fixa cunoștintele nou predate.
Există mai multe criterii care pot sta la baza clasificării formelor de conversație, astfel:
După numărul de persoane cărora li se adresează întrebarea:
Individuală (profesor-elev)
Frontală (profesor – colectivul clasei)
După obiectivele urmărite în diversele variante de lecții:
introductivă
de comunicare a materialului nou
de repetare și sistematizare
conversația de fixare și consolidare
conversația de verificare și apreciere
conversația finală
De asemenea, conversația este clasificată în:
Euristică
catehetică
Conversația poate lua forma discuțiilor individuale sau a discuțiilor colective (dezbaterile). Scopurile metodelor conversative (dialogate):
stimularea gândirii logice a elevilor, formarea raționamentului matematic
aprofundarea cunoștințelor, găsire a unor noi soluțiii de rezolvare a problemelor
formarea și dezvoltarea limbajului matematic al elevilor,
deprinderea elevilor de a rezolva singuri o problemă indiferent de natura acesteia..
Indiferent de forma conversației purtate, profesorul trebuie să aibă în vedere formularea cu abilitate a unor întrebări, în alternanță cu răspunsuri de la elevi, destinate descoperirii de noi date, informații.
Întrebarile pot fi spontane sau premeditate, determinându–l pe elev să învingă dificultățile inerente cunoașterii.
Tipurile de întrebări trebuie să îndeplinească anumite condiții:
să fie clare, precise, să nu vizeze decât un singur răspuns;
să nu conțină răspunsul sau să ceară un răspuns de tipul”da” sau „nu”
să fie instructive.
O clasificare în funcție de diverse criterii se poate prezenta astfel:
După nivelul și modul de adresare – frontale, directe, nedirijate, de completare, de reluare, imperativă, de controvesrsă;
După obiective urmarite – de definire, factuale, de interpretare, de comparare, de opinie, de justificare ;
După efortul intelectual solicitat elevului- reproductive, reproductiv-cognitive, productiv – cognitive, anticipative , de evaluare, sugestive.
1.1.1. Problematizarea (metoda rezolvării de probleme)
Problematizarea este considerată una dintre cele mai valoroase metode deoarece orientează gândirea școlarilor spre rezolvarea independentă de probleme.
Utilizând metoda în discuție, profesorul pune pe elev în situația de a căuta un răspuns pertinent, o soluție pentru problema cu care se confruntă. Problematizarea și învățarea prin descoperire realizează o înlănțuire logică între cunoștințele vechi și noile cunoștințe; unitățile didactice nu sunt secvențe separate, ele se intercondiționează în cadrul unei situații de instruire contribuind la o mai bună înțelegere a acestora, întrucât valorifică și activează experiența anterioară de cunoaștere a elevilor.
Procesul prin care elevii își construiesc noile cunoștințe, prin efort propriu, pe baza celor dobândite anterior, este un proces ciclic, cu durata unei activități de învățare. Modificările evolutive ale cunoștințelor sunt rezultatul fenomenului inductiv între problematizare și descoperire. Acest fenomen de inducție mutuală se produce între achizițiile dobândite prin problematizare și cele dobândite prin descoperire.
Crearea situației – problemă, constituie o dificultate cognitivă, o situație conflictuală între mijloace și scopuri, între posibilități și cerințe, cu alte cuvinte între repertoriul de cunoștințe de care dispune elevul și elementele de noutate cu care se confruntă.
Pentru a reprezenta o situație – problemă, o experiență de cunoaștere trebuie să cumuleze urmatoarele caracteristici:
să se contureze ca dificultate cognitivă pentru elev, pentru rezolvarea acesteia fiind necesar un efort real de gândire
să suscite interesul elevului
să dirijeze activitatea elevului spre activarea cunoștințelor și experiențelor dobândite anterior în scopul construirii răspunului așteptat.
Problematizarea presupune patru momente fundamentale:
punerea problemei și perceperea ei de către elevi (inclusiv primii indici orientativi pentru rezolvare).
studierea aprofundată și restructurarea datelor problemei
căutarea soluțiilor posibile la problema pusă
analizează atent și cu discernământ materialul faptic
formuleaza ipoteze privind soluționarea problemei și le verifică pe fiecare în parte.
obținerea rezultatului final și evaluarea acestuia– elevul compară rezultatele obținute prin rezolvarea fiecărei ipoteze.
Metoda are un pronunțat caracter formativ deoarece:
antrenează întreaga personalitate a elevului (intelectul, calitățile volitive, afectivitatea), captând atenția și mobilizând la efort
cultivă autonomia acțională
formează un stil activ de muncă
asigură susținerea motivației învățării
oferă încrederea în sine.
1.1.2. Metoda asaltului de idei (Brainstorming – ul)
Este o tehnică de creativitate colectivă, având la bază ideea că soluția optimă în rezolvarea unei probleme nu se obține prin eliminări succesive ci, dimpotrivă, prin căutarea unui număr cât mai mare de soluții. Cracteristici:
Se poate organiza cu tot colectivul clasei sau doar cu un grup selecționat în acest scop.
În cadrul discuției libere se avansează un număr cât mai mare de idei privind rezolvarea situației-problemă propuse, la sfârsitul lectiei având loc evaluarea acestora.
Metoda este stimulativă pentru elevi, oferindu-le acestora posibilitatea de a-și exersa capacitatea de imaginație, de a-și cultiva motivația și atitudinea creativă, de a se exprima în mod liber, contribuind la formarea și dezvoltarea unor trăsături de personalitate cum ar fi spontaneitatea, curajul de a exprima un punct de vedere, perseverența, ambiția, etc.
Fazele activității didactice axate pe această strategie:
împărțirea clasei în grupuri de elevi (maxim 10)
alegerea unui secretar (care va nota ideile în ordinea emiterii lor)
comunicarea principiilor brainstormingului:
se caută cantitatea de idei mai mult decât calitatea lor, elevii exprimând liber orice idee privitoare la subiect, indiferent cât de fantezistă ar părea
se interzic judecățile critice, ironizarile, cenzurarile,contrazicerile
se fac asociatii pe baza ideilor emise de ceilalți participanți (grupul acționează ca un stimulent pentru imaginația fiecărui membru)
fiecare grup va emite câte o idee la o interventie, consultând un check-list pentru a nu repeta aceeași idee
alegerea problemei și prezentarea ei de către profesor
stabilirea, de către profesor, la sfârșitul acțiunii a unui grup de evaluare care va evalua și tria ideile, le va ierarhiza în funcție de valoarea și aplicabilitatea lor și le va prezenta colectivului clasei.
1.1.3. Metoda „Phillips 6 – 6”
Metoda Philips 6/6 a fost elaborată de către profesorul de literatură J. Donald Philips și este similară brainstorming-ului, însă se deosebește de acesta prin limitarea discuției celor 6 participanți la 6 minute. Acest fapt are ca scop intensificarea producției creative, profesorul având rolul de a dirija învățarea. Această modalitate de lucru asigură abordarea într–un timp limitat a mai multor aspecte ale unei probleme, facilitând comunicarea, confruntarea și luarea deciziilor.
Etapele metodei Philips 6/6:
Se constituie grupuri de câte 6 elevi (4 membri + 1 secretar + 1 conducător de grup). Secretarul fiecărui grup are în plus, sarcina de a consemna ideile colegilor. Conducătorul este cel care dirijează dezbaterea în cadrul grupului și prezintă concluziile.
Anunțarea temei/problemei ce urmează a fi dezbătută și motivarea importanței acesteia.
Desfășurarea discuțiilor pe baza temei, în cadrul grupului, timp de 6 minute. Acestea pot fi libere, în sensul că fiecare membru propune un răspuns și la sfârșit se rețin ideile cele mai importante sau pot fi discuții progresive în care fiecare participant expune în cadrul grupului său o variantă care e analizată și apoi se trece la celelalte idei.
Colectarea soluțiilor elaborate. Conducătorii fiecărui grup expun ideile la care au ajuns sau ele sunt predate în scris profesorului.
Discuția colectivă este urmată de decizia colectivă în ceea ce privește soluția finală, pe baza ierarhizării variantelor pe tablă. Dezbaterea în plen este reuniunea propriu-zisă și debutează cu expunerile conducătorilor de grup; intervențiile sunt libere; se realizează selecția și ierarhizarea soluțiilor.
Încheierea discuției se face în urma prezentării din partea profesorului a concluziilor privind participarea la desfășurarea activității și a eficienței demersurilor întreprinse. Evaluarea generală a ideilor este realizată de către profesor; el sintetizează informațiile și susține motivațional interacțiunea participanților.
1.1.4. Studiul de caz
Studiul de caz este o metodă activ-participativă, care stimulează gândirea și creativitatea, care determină elevul să găsească și să aplice soluții pentru diverse problem, să emită reflecții critice și judecăți de valoare, să compare și să analizeze critic situațiile date.
Ca formă și conținut, un studiu de caz se împarte în 3 mari secțiuni, denumite în funcție de subiect și de domeniul de activitate:
Provocare / problemă / ipoteză
Abordare / soluție / implementare
Beneficiu / rezultat / finalizare
Studiul de caz se axează pe o singură problemă, focalizat pe prezentarea soluției oferite sau pe avantajul produsului in discuție, și urmărește:
identificarea cauzelor declanșatoare ale fenomenului respectiv
modul în care evoluează fenomenul discutat comparativ cu fenomene similare.
Etapele prezentarii studiului de caz:
Prezentarea concisă, clară și completă a cazului, în concordanță cu obiectivele propuse
Clarificarea eventualelor neînțelegeri în legătură cu acel caz
Studiul individual al cazului – elevii se documentează, caută soluții de rezolvare a cazului, pe care le și notează.
Discutarea în plen a posibilităților de soluționare a cazului – analizarea variantelor de rezolvare a cazului propuse; analizarea critică a fiecărei variante propuse; ierarhizarea soluțiilor.
Luarea deciziei relativ la soluția optimă și formularea concluziilor
Evaluarea modului de soluționare a cazului și evaluarea participanților.
Aplicarea metodei studiului de caz poate avea trei posibilități de realizare:
Varianta 1: Metoda situației (Case – Study – Method) – implică o prezentare completă a cazului, inclusiv a informațiilor necesare soluționării acestuia.
Varianta 2: Studiul analitic al cazului (Incidence Method)- presupune prezentarea completă a cazului, fără a avea informațiile necesare sau doar cu date parțiale despre acesta.
Varianta 3: Elevii nu beneficiază de prezentarea completă a situației și nici nu primesc informațiile necesare rezolvării cazului-problemă; elevilor li se propun doar sarcini concrete de rezolvat, urmând să se descurce prin eforturi proprii.
1.1.5. Metoda cubului
Metoda cubului – folosită pentru a înlesni explorarea unui subiect/situație din mai multe perspective, în vederea dezvoltării competențelor necesare unei abordări complexe și integratoare.
Etapele metodei:
Pe cele 6 fețe ale cubului se menționează sarcinile: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.
Anunțarea temei/situației pusă în discuție
Împărțirea clasei în 6 grupuri, care examinează tema conform cerinței înscrise pe fața cubului alocată fiecărui grup. Prin brainstorming, elevii emit idei pe care le includ în tema respectivă, în paragrafe distincte.
Descrie: culorile, formele, mărimile/dimensiunile
Compară: asemănarile și diferențele specifice față de alte realități
Asociază: tema la ce te îndeamna să te gândești?
Analizează: spune din ce se compune, din ce este făcut etc.?
Aplică: cum poate fi folosită? Ce poți face cu ea?
Argumentează pro sau contra ei, enumerând suficiente motive care să susțină afirmațiile tale.
Fiecare grup prezintă celorlalte grupuri concluziile la care au ajuns (materialul elaborat)
Pe tablă, în forma cvasi–finală, vor fi notate concluziile celor 6 grupuri, se comentează asupra lor și, în final, se dă un format integrat lucrării respective.
1.1.6. Studiul pe grupuri mici:
Fiecare colectiv este alcătuit dintr-un anumit număr de membri și în fiecare demers rezolutiv al grupului este implicat potențialul fiecarui individ din grup. Planurile pe care se poate structura activitatea de grup pot fi:
Planul individual, care cuprinde totalitatea aptitudinilor, atitudinilor și a pregătirii profesionale la nivelul fiecărui membru al grupului;
Planul interacțional care include componenta profesională (relațiile care se stabilesc între membrii grupului în scopul realizării sarcinilor cerute) și componenta interpersonală (ansamblul conduitelor membrilor în cadrul grupului)
Planul organizațional care desemnează mărimea, structura, funcțiile grupului, sistemul de evaluare și personalitatea conducătorului grupului.
Argumente privind studiul în grupuri mici:
Eterogenitatea grupului stimulează creativitatea și omogenitatea lui are efecte pozitive în identificarea soluțiilor la problemele prezentate;
Sensul conceptelor nou prezentate este mai bine înțeles de elevi dacă desfășoară activități în comun,
Le dezvoltă elevilor abilitățile de comunicare și încrederea în sine;
Le structurează relațiile de cooperare care au la bază afinități profesionale, intelectuale și moral-afective comune.
Mărimea grupului este recomandabil să fie redusă, dar această mărime este variabilă de la o sarcină de lucru la alta.
Grupuri de 3–5 elevi. Beneficii:
Elevii se simt mai siguri pe cunoștințele lor;
Viteza de lucru este crescută, membrii grupului ajungând mai ușor la un punct de vedere comun;
Eficiența și productivitatea activității sporesc;
În cadrul grupului fiecare membru poate avea un punct de vedere propriu, fără a intra în contradicție cu ale celorlalți.
Grupuri de mai mari de 8 elevi – se formează atunci când clasa are de rezolvat probleme cu răspunsuri directe de tipul „da–nu”, „pro sau contra”. Punctul forte al acestor grupuri constă în:
Varietatea și calitatea ideilor prezentate crește;
Dinamica activității în grup este ridicată;
La nivelul grupului se creionează mai multe roluri.
Exemple de situații în care se optează pentru asemenea grupuri ar putea fi:
Activități de brain–storming, star bursting, lotus flower, etc;
Când se lucrează în cerc;
Când se dezvoltă o idee în lanț.
1.1.7. Metoda Predării/Învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar, 1986)
Printre metodele care activează predarea-învățarea sunt și cele prin care elevii lucrează productiv unii cu alții, își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reciproc. Metoda Predării-Învățării Reciproce a fost introdusă de pedagogul Palinscar în 1986 și constă în împărțirea colectivului clasei în grupe de predare-învățare reciprocă, cu accent pe dezvoltarea dialogului de la elev la elev. Rolul profesorului este de a monitoriza activitatea elevilor care au misiunea de a-și instrui colegii.
Metoda prezintă unele avantaje, cum ar fi:
Elevii își dezvoltă operațiile gândirii (analiza, sinteza, concretizarea, generalizarea etc.)
Stimulează atenția, capacitatea de exprimare, dar și de ascultare activă a elevilor;
Îi ajută în învățarea metodelor și a tehnicilor de muncă intelectuală pe care le pot folosi independent pentru orice alt tip de activitate de instruire.
Metoda predării-învățării reciproce se constituie din patru etape de învățare:
rezumarea (expunerea a ceea ce este mai important din informația prezentată);
formularea de întrebări referitoare la informația în discuție;
clarificarea datelor (lămurirea neclarităților, prin verificarea din diferite surse și soluționarea neînțelegerilor);
precizarea (expunerea a ceea ce cred elevii că se va întâmpla în continuare).
Etape de lucru în cadrul metodei:
Explicarea scopului și descrierea metodei, respectiv a celor patru etape;
Împărțirea rolurilor elevilor;
Organizarea elevilor pe grupe;
Activitatea educativă;
Realizarea învățării reciproce;
Aprecieri și comentarii.
Efectul acestei metode este evident: elevul are un beneficiu direct prinfaptul că îi învață pe colegi ceea ce el a învățat anterior, deoarece el însuși are ocazia să-și sistematizeze și să-și rememoreze cunoștințele .
1.1.8. Expunerea
Avantajele pe care le oferă prezentarea, expunerea prin intermediul cuvântului rostit și receptat mintal prin auz a făcut ca metodele expozitive să fie utilizate în procesul de învățământ, încă de la primele forme instituționalizate de educație.
Folosirea metodelor expozitive prezintă însă dezavantajul că fac apel la receptivitatea elevilor fără ca ei să participe activ la elaborarea de noi achiziții, să–și exerseze gândirea și spiritul critic; activitatea lor este redusă, din care cauză poate să apară plictiseala și chiar oboseala; se poate instala predispoziția spre superficialitate și formalism în învățare.
Explicația, o variantă a expunerii, presupune aflarea, pe baza unei argumentații deductive – de la general la particular – a unor adevăruri noi. Profesorul pornește de la enunțarea clară a unor concepte, reguli, norme, teoreme etc. pe care elevii le cunosc deja, după care analizează argumentele, premisele sau cauzele, iar apoi prezintă și exemple sau diferite cazuri aplicative, particulare; pe această cale se asigură dezvăluirea sau deslușirea, întărirea și confirmarea celor expuse. Astfel, elevii sunt ajutați să–și clarifice și să adâncească înțelegerea unor concepte, reguli, principii, legi etc. prin raportarea lor la structuri de ordin inferior acestora.
Definiția are o valoare metodologică deosebită în cadrul procesului de instruire, prin intermediul său fiind posibil accesul la noțiunile (conceptele) specifice diferitelor domenii ale cunoașterii. Eficiența demersului didactic, eficiența prelucrării, transmiterii și receptării informației depinde, printre altele, de gradul de organizare internă al ansamblului de noțiuni vehiculate, care, la rândul său, depinde în mod direct de folosirea corectă a operațiilor logice cu noțiuni, între care un rol deosebit îl are definiția.
Prin intermediul definiției este surprinsă, descrisă și explicată, într–o formă concisă, lapidară, esența obiectelor, fenomenelor sau proceselor exprimate prin notiuni (concepte), conform însușirilor (calităților) ce le caracterizează. Din perspectiva logică, a defini înseamnă sau a indica o determinare proprie (caracteristică) unui obiect al cunoașterii sau a da semnificația unui termen ori a arăta caracteristicile pe care trebuie să le aibă o clasă de obiecte ce urmează a fi construită. Pe scurt, operația de definire presupune a dezvălui caracteristici, a da semnificații, a da reguli de construcție, a identifica, a descrie, altfel spus, a elucida un obiect al cunoașterii.
1.1.9. Demonstrația
Demonstrația – presupune a prezenta elevilor obiecte, fenomene, procese – reale sau fictive – imagini ș.a., în scopul asigurării unui suport perceptiv, pentru ușurarea efortului de explorare a realității, pentru a asigura accesibilitatea și înțelegerea în procesul cunoașterii.
Aristotel a fost cel care a elaborat, pentru prima dată, o teorie logică a întemeierii, distingând două forme ale acesteia: întemeierea demonstrativă și întemeierea argumentativă. Într–o demonstrație se evidențiază ceea ce este necesar pentru a întemeia teza în discuție, pornind de la niște premise date.
În funcție de materialul demonstrativ ce se utilizează există:
demonstrația figurativă (cu ajutorul reprezentărilor grafice),
demonstrația cu ajutorul desenului la tablă sau cu ajutorul modelelor (fizice, grafice etc.),
demonstrația cu ajutorul imaginilor audiovizuale, demonstrația prin exemple ș.a..
Condiții care asigură eficiența sporită a folosirii demonstrației:
materialul intuitiv se arată elevilor numai în momentul în care va fi folosit efectiv;
în măsura în care e posibil, fără a se forța nota, este bine ca perceperea materialului să se facă prin intermediul a cât mai mulți analizatori;
obiectele și fenomenele să fie prezentate, de la caz la caz, pe etape, faze specifice dezvoltării (evoluției) unui proces;
în dirijarea observației să se pornească de la perceperea în ansamblu a obiectului, către părțile sale componente, cu sublinierea, pe baza comparațiilor, a unor asemănări și deosebiri și prin raportarea fiecărei părți la întreg;
în timpul demonstrării să se asigure angajarea efortului intelectual al elevilor, în scopul formării și dezvoltării unor capacități de cunoaștere, a spiritului de observație; să se realizeze o explorare perceptivă, mobilizând și exersând procesele de cunoaștere.
1.1.10. Argumentarea
ARGUMENTAREA (a argumenta – a susține – a dovedi – a întări) este un mijloc de a susține sau de a demonstra un punct de vedere; se face în scopul de a-i convinge pe partenerii de comunicare de justețea opiniei exprimate.
Dacă demonstrația relevă ceea ce este în întregime cunoaștere certă, evidentă, argumentarea relevă opinii posibil de admis, o perspectivă, un punct de vedere asupra subiectului discutat, fapt pentru care este esențialmente un domeniu al dezacordului, al conflictului. În timp ce prima este obiectivă, cea de a doua este subiectiv orientată. Printr–o întemeiere demonstrativă reușim să convingem pe cineva că o susținere este sigur adevărată, pe când printr–o întemeiere argumentativă urmărim să influențăm auditoriul, cu mijloacele discursului, să adere la o opinie, să accepte o idee, să fie de acord cu noi într–o privință. Scopul oricărei acțiuni comunicative este schimbul de informații. În unele situații se vehiculează cunoștințe al căror adevăr nu poate fi pus sub semnul îndoielii, acestea fiind produsul unei cunoașteri demonstrative, care are întotdeauna ca rezultat adevăruri necesare. Dar atunci când profesorul și elevii se antrenează într–o acțiune comunicativă ce ia forma dialogului sau dezbaterii colective (polilogul) purtată asupra unei probleme sunt elaborate mai multe răspunsuri posibile, răspunsuri conținând fiecare o soluție relativă la problema respectivă.
Argumentul este un cumul al afirmațiilor pro/ contra, afirmații care produc temeiuri pentru susținerea unei concluzii. În formularea argumentelor și a concluziilor se folosesc diferite expresii persuasive: în mod cert, cu siguranță, cu certitudine, evident, clar, prin urmare, deci, desigur, greșit etc. Argumentele trebuie expuse clar și concis, într-o ordine logică, de la cele mai putin influente spre cele mai convingătoare. Argumentele pot fi de mai multe tipuri; cel mai des folosite sunt exemplele și comparațiile.
Exemplul face trimitere la o experiență cunoscută sau, în cazul rezolvării unei probleme, la cunoștințe dobândite anterior.
Comparația evidențiază elemente similare sau diferențe, cu scopul de a accentua aspecte diverse ale ideii susținute.
Împreună, teza și propozițiile argumentative constituie un raționament și traduc poziția de pe care locutorul urmărește să obțină modificarea universului epistemic al interlocutorului. Operațiile logice, prin care acestea sunt puse în relație, se deruleaza sub forma unor raționamente de ordin inductiv sau deductiv. Prin raționament înțelegem operația prin care derivăm un enunț din cel precedent sau prin care extragem dintr–un fapt sau afirmație consecințele care pot rezulta în mod logic. În funcție de raționamentele pe care se construiesc argumentele, distingem două tehnici de argumentare: deductive și inductive. Distincția ține seama de mersul gândirii: de la cunoștințe cu caracter general la cele cu caracter particular și invers.În cazul tehnicilor deductive, premisele sunt condiția suficientă a tezei, care este consecința lor necesara, pe când în cazul celor inductive, premisele sunt o condiție probabilă a concluziei, iar aceasta este consecința probabilă a lor.
Metode activ–participative:
1.1.11. Metoda ciorchinelui
Deși este o variantă mai simplă a brainstorming–ului, ciorchinele este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor. Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut., reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.
Elevii vor fi solicitați să–și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându–se linii între acestea și cuvântul inițial.
În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate.
Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s–a atins limita de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.
Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile facilizându–se reținerea și înțelegerea acestora.
Adesea poate rezulta un “ciorchine” cu mai mulți “sateliți”.
Utilizarea acestor metode antrenează elevii într–o continuă participare și colaborare, crește motivarea intrinsecă deoarece li se solicită să descopere fapte, să aducă argumente pro și contra. Lucrul în echipă dezvoltă atitudinea de toleranță față de ceilalți și sunt eliminate motivele de stres iar emoțiile se atenuează.
1.1.12. Metoda piramidei
Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă, este o îmbinare între activitatea individuală și cea a grupurilor de elevi, cu rolul de a include activitatea fiecărui elev într-un demers global îndreptat spre rezolvarea unei probleme complexe.
Această metodă presupune organizarea unei activități care se desfășoară în următoarele etape:
etapa individuală – elevii primesc o temă pe care încearcă fiecare să o o rezolve individual într-un timp alocat ( de obicei 5 minute). Aceștia pot formula întrebări de clarificare a unor neînțelegeri referitoare la subiectul tratat;
etapa lucrului pe perechi – se formează grupe de câte doi elevi , care își vor verifica reciproc rezultatele șivor încerca să răspundă la întrebările care au fost formulate în interiorul grupului;
etapa grupurilor de patru elevi – formate prin unirea perechilor două câte două. Elevii își confruntă rezultatele , concep un nou răspuns la formularea căruia contribuie toți, identificând concluziile cu caracter general în zonele de controverse sau cu probleme nesoluționate;
etapa lucrului cu întreaga clasă – în care un reprezentant al fiecărei grupe prezintă concluziile acesteia. Ele pot fi notate pe tablă pentru a se putea realiza o comparație între răspunsurile fiecărui grup. Pe baza acestor adnotări se concepe soluția finală a problemei tratate.
Avantaje ale aplicării metodei piramidei:
dezvoltă învățarea prin cooperare;
stimulează manifestarea spiritului de echipă;
dezvoltă capacitățile comunicaționale;
dezvoltă capacitatea de analiză, de argumentare;
sporește încrederea în forțele proprii.
Limitele acestei metode pot fi:
contribuția fiecărui participant este foarte greu de apreciat;
lipsa implicării din partea unor elevii și transferul responsabilităților acestora către colegi.
1.2. Metode de predare – învățare specifice Matematicii
Metode pedagogice tradiționale de predare – învățare a matematicii în școală
1.2.1. Demonstrația matematică
Este o metodă de predare–învățare specifică matematicii și apare ca o formă a demonstrației logice care constă într-un șir de raționamente prin care se verifică un anumit adevăr, exprimat prin propoziții.
Demonstrația matematică este metoda specifică de justificare a teoremelor și constă în a arăta că, dacă ceea ce afirmă ipoteza are loc, atunci concluzia rezultă din ea în mod logic.
Demonstrația se bazează numai pe axiome sau pe teoreme demonstrate anterior.
Este esențial ca în predarea–învățarea teoremelor să se țină seama de următoarele aspecte:
să se asigure însușirea faptului matematic exprimat în teoreme;
să se desprindă ipoteza de concluzie;
să se transcrie în simboluri matematice ipoteza și concluzia;
efectuarea demonstrației, utilizând formele de scriere specifice cu atenționarea necesară efectuării eventuale a dublei implicații pentru teoremele cu formulările: „condiția necesară și suficientă…”, sau „dacă…și numai dacă…”
Demonstrația matematică prin analiză și sinteză
Demonstrația în care se pornește de la propoziții generale spre propoziții particulare se numește demonstrație analitică. În acest tip de demonstrație se pornește de la ceea ce se cere spre ceea ce este cunoscut ca adevărat. Propoziția ce trebuie dovedită ca este adevărată se înlocuiește pe rând cu propoziții echivalente cu ea, până când se ajunge la o propoziție cunoscută, despre care se știe că e adevărată.
Demonstrația în care se pornește de la propoziții particulare spre propoziții generale se numește demonstrație sintetică. În acest tip de demonstrație se pornește de la o propoziție care este cunoscută ca fiind adevărată, din ea se deduc propoziții care de asemenea știm că sunt adevărate și ultima este ceea ce trebuia demonstrat. Raționamentele sunt legate prin implicații adevărate.
Demonstrația matematică prin reducere la absurd
Metoda reducerii la absurd este o metodă veche, folosită și în geometrie, încă din antichitate, pentru demonstrarea unor teoreme sau a unor probleme cu caracter teoretic.
La baza acestei metode stă una dintre legile fundamentale ale logicii clasice, care se anunță astfel: Dintre două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă falsă, iar a treia posibilitate nu poate exista.
Practic în matematică se procedează astfel: se presupune că ceea ce trebuie demonstrat nu este adevărat, adică se neagă concluzia teoremei date . Apoi pe baza presupunerii făcute, se fac o serie de deducții logice, care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta conduce la concluzia că presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia teoremei date. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.78).
Demonstrația prin metoda inducției matematice
Cuvântul inducție provine din latinescul inductionis care, tradus înseamnă „aducere”, „introducere”, „dovedire prin exemple”.
În logică, prin inducție se înțelege o formă de raționament în care gândirea noastră pleacă de la particular la general, sau de la cunoștințe cu un grad de generalitate mai mic la cunoștințe cu grad de generalitate mai mare . În geometrie primele adevăruri au fost obținute pe calea observației, deci pe alea inducției. De exemplu, la început, pe bază de experiență prin observații și măsurători, vechii egipteni au stabilit aproximativ raportul dintre lungimea cercului și diametrul său.
În procesul generalizării prin raționamentul inductiv se întâlnesc două cazuri:
Se obține o concluzie generală despre o anumită mulțime de obiecte de același fel pe baza cercetării tuturor elementelor ei.
Al doilea caz de generalizare pe cale inductivă este acela în care concluzia despre o clasă de obiecte se obține pe baza studiului care nu cuprinde toate obiectele clasei care se cercetează . Acest fel de raționament se numește inducție incompletă.
1.2.2. Expunerea sistematică a cunoștințelor
Este metoda care se prezintă în mai multe variante: povestirea, prelegerea și explicația.
Povestirea este mai puțin folosită la matematică.
Povestirea constă în descrierea unor fapte, evenimente, întâmplări sau personaje. La matematică prin povestire se transmit date istorice legate de studiul unei discipline noi sau în prima lecție din cadrul unei unități de învățare .
Prelegerea constă în prezentarea de către profesor a unui conținut matematic în mod neîntrerupt. Se prezintă definiții, proprietăți, teoreme, demonstrații, algoritmi fără ca elevului să i se adreseze vreo întrebare. Se recomandă ca această metodă să fie folosită mai rar, și doar la clasele terminale de liceu, când elevii au o putere mai mare de concentrare.
Explicația constă în transmiterea unor cunoștințe într–un timp relativ scurt de către profesor, în situații când elevul, pe baza cunoștințelor anterior însușite, nu le poate descoperi singur. Este o metodă foarte des întâlnită în predarea matematicii. Profesorul expune logic și argumentat modul lui de gândire iar elevii îl urmăresc căutând să înțeleagă. Este necesară prezentarea de către profesor a conținutului la nivelul de înțelegere a elevilor. Modul de expunere să fie clar și cu anumite pauze.
Profesorul trebuie să controleze limbajul non–verbal (mimica, gesturile) elevilor, să pună întrebări, pentru a observa dacă este urmărit de elevi. Explicația trebuie să dezvolte la elevi imaginația, să fie clară și convingătoare.
1.2.3. Metoda conversației
Această metodă constă în dialogul dintre profesor și elev și se bazează pe întrebări și răspunsuri. Profesorul are rolul unui partener care adresează întrebări elevilor dar și răspunde la întrebările acestora. Stimulează gândirea elevilor în vederea însușirii de cunoștințe noi sau fixarea, sistematizarea cunoștințelor și deprinderilor dobândite anterior. Conversația ajută la formarea raționamentului matematic la elevi.
Există mai multe clasificări ale conversației:
După numărul de indivizi cărora li se adresează întrebarea conversația este:
individuală (între profesor și un singur elev)
frontală (întrebările se adresează întregii clase, iar răspunsurile vin de la elevi diferiți).
După momentul în lecție conversația poate fi:
introductivă (folosită în momentele captării atenției și reactualizării cunoștințelor anterioare)
folosită în scopul transmiterii de cunoștințe noi (folosită în evenimentul de dirijare a învățării)
folosită pentru fixarea noilor cunoștințe
folosită pentru recapitulare
folosită în procesul evaluării cunoștințelor elevilor
După timpul de raționament efectuat de elev când dă răspunsul se deosebesc conversația:
euristică (când întrebările se adresează gândirii și o dirijează spre efectuarea de raționamente, judecăți)
catehetică (când întrebările se adresează memoriei iar răspunsurile sunt reproduceri de definiții, formule, reguli)
În cadrul conversației este foarte important ca întrebările formulate să fie precise, să vizeze un singur răspuns și să nu conțină răspunsul, să contribuie la dezvoltarea gândirii.
Metoda conversației determină dezvoltarea limbajului. Se va acorda o importanță deosebită limbajului matematic. Când răspunsurile sunt greșite vor fi corectate imediat prin discuții mai ample din care profesorul va deduce cauza greșelii. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.76)
1.2.4. Metoda exercițiului (LEARNING BY DOING)
Exercițiul presupune efectuarea conștientă și repetată a unor operații sau acțiuni mintale în vederea formării de priceperi și deprinderi, pentru dezvoltarea unor capacități intelectuale și toate acestea în scopul învățării matematicii.
Aceasta metodă are ca semnificație elaborarea unor răspunsuri imediate și sigure, de tipul deprinderilor specifice unor situații standard. Exersarea înseamnă repetarea unor acțiuni până la stăpânirea automată a acestora, până la formarea unor deprinderi ca răspunsuri sau reacții automatizate în fața unor situații bine definite.
Evaluarea performanței se realizează prin exerciții.
În rezolvarea exercițiilor se recomandă următoarele etape:
cunoașterea de către elevi a enunțului exercițiului;
înțelegerea exercițiului de către elevi;
rezolvarea propriu–zisă a exercițiului;
verificarea rezultatului obținut.
Prin metoda exercițiului se urmărește, în primul rând, să se dea modele de rezolvări care ulterior să-l determine pe elev să rezolve atât exerciții de tipurile prezentate cât și descoperirea de noi metode sau algoritmi.
Formele de organizare a activității pe metoda exercițiului sunt variate. Se poate lucra independent sau frontal, exercițiile pot fi diferențiate sau nu.
(Anexa 2. Tema: Exerciții de fixare a modalităților de rezolvare a ecuațiilor cu coeficienți complecși)
1.2.5. Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice
Metoda muncii cu manualul este o formă de muncă independentă utilizată în scopul studierii și asimilării de noi cunoștințe de matematică. În același scop se folosesc și culegeri de probleme, reviste de matematică, monografii. Manualul este principalul material bibliografic al elevului și constituie ghid pentru pregătirea profesorului pentru lecție. Pentru elev manualul școlar conține cantitatea de informație necesară nivelului său de învățare obligatorie.
Învățarea din manual presupune un efort propriu din partea elevului în a dezlega o problemă, în a aborda subiecte complementare celor folosite de profesor în clasă. Folosirea manualului ajută la utilizarea limbajului matematic scris pe lângă cel simbolic. Studiul individual stă la baza autoperfecționării, formează la elevi abilități de comunicare scrisă în specialitatea respectivă.
Introducerea în munca cu manualul, respectiv cu alte auxiliare matematice, se face treptat sub îndrumarea profesorului, dar trebuie continuată independent de către elev, având totuși indicații din partea profesorului asupra obiectivelor ce trebuie să fie urmărite.
Prin această metodă se realizează unul dintre obiectivele fundamentale ale predării matematicii: de a–l învăța pe elev cum să învețe. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.85)
Metode pedagogice moderne de predare – învățare a matematicii în școală
1.2.6. Problematizarea
Situațiile create de profesor prin care elevul este determinat ca prin activitate proprie să găsească definiția unei noțiuni, enunțul unei propoziții matematice, un algoritm de calcul sau o nouă metodă de demonstrație se numesc situații–problemă.
În predarea problematizată profesorul, dă posibilitate elevului să asimileze prin exerciții niște scheme fundamentale de abstractizare, de conceptualizare, de raționament și interpretare. Aceste stări sunt situații–problemă.
În pedagogie sunt descrise aceste situații–problemă astfel:
Dezacord (conflict, contradicție) între cunoștințele anterioare ale elevului și condițiile noi de rezolvare a unei probleme.
Selectarea din cunoștințele anterioare a acelora cu valoare operațională, adică elevul este pus în fața unei contradicții între modul de rezolvare posibil din punctul de vedere teoretic și imposibilitatea lui de aplicare practică.
Încadrarea cunoștințelor anterioare într–un sistem, conștientizarea că acest sistem nu este întotdeauna operațional și de aici necesitatea completării lui.
Prin aplicarea în predare a problematizării, rezultatul final este întotdeauna descoperirea soluției de către elev a problemei propuse. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.93)
Utilizarea imaginilor (planșelor) și folosirea unor argumente intuitive în rezolvarea problemelor
Abordarea unei probleme prin prisma unor interpretări geometrice duce la o mai bună înțelegere a afirmației demonstrate, la sporirea atracției pentru matematică.
Exemplu (Anexa 5 – Probleme celebre de geometrie rezolvate cu ajutorul numerelor complexe)
1.2.7. Învățarea prin descoperire (PROBLEM SOLVING)
Descoperirea, ca mijloc de instruire, constituie aspectul unor intense preocupări ale didacticii moderne. Găsirea unor soluții în diferite probleme concrete presupune o activitate de descoperire. Elevii pot descoperi astfel o formulă, o noțiune, un principiu, o regulă, o definiție sau teoremă. Elevii descoperă adevăruri deja cunoscute, deci de fapt descoperirea de tip didactic este o redescoperire.
Aparent asemănătoare metodei problematizării, învățarea prin descoperire presupune analiza unei situații–problemă la care elevii trebuie să descopere soluții posibile.
Învățarea prin descoperire se poate realiza:
independent, atunci când elevul desfășoară întreaga activitate iar profesorul doar urmărește desfășurarea acesteia;
dirijat, atunci când profesorul coordonează întreaga activitate.
Sensul principal al aplicarii acestei metode este de a încuraja activitatea mintală a elevilor, de a provoca facultatea de combinare (asociere) și de a dezvolta invenția și creativitatea, rezolvarea de probleme și creativitatea fiind culmi ale performanței cognitive. Rezolvarea de probleme este un fel de învățare prin descoperire complexa, altceva decât un simplu exercițiu de aplicare a unor achiziții anterioare.
Metoda descoperirii dirijate este folosită destul de des în cadrul lecțiilor de matematică, dirijarea de către profesor a activității elevului se realizează într–o măsură mică; elevii prin efort personal, prin analiză, sinteză, inducție, generalizare, analogie sunt lăsați să descopere o teoremă, o demonstrație, un algoritm de calcul
Exemplu (Anexa 3. Tema: Exerciții care se rezolva folosind egalitatea dintre dezvoltarea in baza Binomului lui Newton și formula lui Moivre)
1.2.8. Modelarea matematică
Modelarea este o metodă pedagogică prin care gândirea elevului este condusă la descoperirea adevărului cu ajutorul modelului, având la bază raționamentul prin analogie.
Modelele pot fi clasificate în:
modele materiale care se folosesc sub formă de machete, dar pot fi și ilustrate în film, tv, video sau softuri pentru computere;
modele ideale: grafice, logice, matematice.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.118)
1.2.9. Metoda învățării pe grupe
Metoda învățării pe grupe constă în faptul că sarcinile de lucru sunt executate de grupe de elevi și presupune o activitate comună în cadrul grupului. Prin munca în grup se urmărește pe lângă educarea elevului în spiritul muncii sociale, dezvoltarea responsabilităților individuale cu efect asupra grupului.
Din ce în ce mai mulți profesori folosesc această metodă recunoscându–i eficacitatea. Grupele se pot forma de către profesor sau se pot autoalege . Criteriile de formare sunt: omogenitatea, eterogenitatea, criteriul afectiv. Grupele omogene conțin elevi de același nivel de pregătire, cele eterogene sunt formate din elevi de toate categoriile iar cele alcătuite pe criteriul afectiv sunt bazate pe prietenii, vecinătate de bancă sau de domiciliu, preocupări comune.
Numărul elevilor dintr–un grup variază de la 2 la 10, randamentul maxim este oferit de grupurile de 4–6 elevi.
Activitatea pe grupe presupune următoarele etape:
repartizarea materialului de lucru pe grupe;
munca independentă a grupului;
discuția în comun a rezultatelor.
Sarcinile de lucru pot să difere în funcție de tipul grupelor: la grupe omogene se vor repartiza sarcini corespunzătoare nivelului de omogenitate; în celelalte cazuri se dau sarcini echivalente tuturor grupelor cu sarcini suplimentare pentru polii grupului.
La sfârșitul activității soluțiile se prezintă pe tablă, se poartă discuții privind corectitudinea și variantele de rezolvare. Rolul profesorului este de a incita discuțiile în scopul dezvoltării de raționamente și de a trage concluziile în încheiere.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.122)
1.2.10. Algoritmizarea
Este o metodă folosită frecvent în cadrul orelor de matematică. Algoritmizarea presupune existența unor scheme logice care să permită rezolvarea unor sarcini de lucru.
Algoritmizarea reprezintă o metodă didactică de învățământ care angajează un lanț de exerciții dirijate, integrate la nivelul unei scheme de acțiune didactică standardizată, care urmărește îndeplinirea sarcinii de instruire în limitele demersului prescris de profesor
1.2.11. Instruirea programată
Instruirea programată reprezintă o metodă de învățământ care organizează acțiunea didactică, aplicând criteriile ciberneticii la nivelul activității de predare–învățare – evaluare, concepută ca un sistem dinamic complex, constituit dintr–un ansamblu de elemente și inter–relații. (Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.137)
1.2.12. Softuri educaționale
Softurile educaționale sunt de asemenea metode didactice folosite în procesul predării – învățării matematicii.
Sunt programe interactive prin care exersarea se face nu numai prin exerciții și probleme, ci și prin jocuri educaționale interactive. Conțin module de predare care ajută elevul să–și reamintească lecția predată în clasă . Conțin teste pe nivele de dificultate, respectiv sinteze la sfârșit de capitol. Aceste softuri educaționale sunt ideale pentru pregătirea evaluărilor la sfârșitul unității de învățare; asociază noțiunile teoretice cu elemente din viața reală; sunt atractive pentru elevi, deci sunt utile atat elevilor cat si profesorilor.
Metode activ–participative utilizate în lecția de matematică
Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe. Învățarea nu mai are ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe, ci presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor nu produce învățare, decât în foarte mică măsură. Este mult mai eficient dacă elevii participă activ la procesul de învățare.
1.2.13. Investigația
Investigația oferă posibilitatea elevului de a aplica în mod creativ cunoștințele însușite,in situații noi și variate. Metoda presupune definirea unei sarcini de lucru cu instrucțiuni precise, înțelegerea acesteia de către elevi înainte de a trece la rezolvare propriu–zisă. Prin această metodă elevul demonstrează și exersează totodată, o gamă largă de cunoștințe și capacități în contexte variate.
Investigația oferă elevului posibilitatea de a se implica activ în procesul de învățare, stimulează inițiativa elevilor pentru luarea deciziilor, oferă un nivel de înțelegere mult mai profund a evenimentelor și fenomenelor studiate, motivează elevii în realizarea activităților propuse.
Prin realizarea unei investigații pot fi urmărite următoarele elemente esențiale:
înțelegerea și clarificarea sarcinii de lucru;
identificarea procedeelor pentru obținerea informațiilor necesare;
colectarea și organizarea datelor sau informațiilor necesare;
formularea și testarea unor ipoteze de lucru;
schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, dacă este necesar;
colectarea altor date, dacă este necesar;
motivarea opțiunii pentru anumite metode folosite în investigație;
scrierea / prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investigației.
Demersul investigației poate fi raportat la trei etape esențiale care trebuie parcurse:
definirea problemei;
alegerea metodei / metodologiei adecvate;
identificarea soluțiilor.
Sarcinile de lucru adresate elevilor de către profesor în realizarea unei investigații pot varia ca nivel de complexitate a cunoștințelor și competențelor implicate.(Ardelean, L.; Secelean, N., 2007, p.140)
1.2.14. Proiectul
Metoda proiectului înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a colectării și prelucrării unor date referitoare la o temă fixată anterior. Este activitatea cel mai pregnant centrată pe elev. Este un produs al imaginației acestora, menit să permită folosirea liberă a cunoștințelor însușite, într–un context nou și relevant. Este o activitate personalizată, elevii putând decide nu numai asupra conținutului său, dar și asupra formei de prezentare.
Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru. În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru și fixează termenele pentru diferite etape ale proiectului.
După corelarea datelor și organizarea materialului, proiectul se încheie în clasă prin prezentarea rezultatelor obținute.
Metode interactive de grup utilizate în lecția de matematică
Nu ne–am propus să descriem toate metodele interactive utilizate la clasă pentru predarea noțiunilor de matematică. Ne vom opri doar la câteva dintre acestea, la cele care pot fi aplicate cu succes fără a le combina cu alte metode interactive, ci doar cu cele tradiționale. Fiecare dintre ele înregistrează avantaje și dezavantaje, important este însă momentul ales pentru desfășurarea lor.
1.2.15. Tehnica DIAGRAMEI VENN
Tehnica aceasta poartă numele logicianului englez John Venn și reprezintă o tehnică de organizare grafică a informațiilor. Are rolul de a reprezenta sistematic, într–un mod cât mai creativ, asemănările și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice. Dă rezultate deosebite la activitatea în echipă. ( Pfeifer, G. , www.pagini–școlare.ro )
Diagrama reprezintă una sau mai multe mulțimi și o relație logică între acestea. Mulțimile sunt reprezentate sub forma unor cercuri/elipse. Zona de suprapunere a doua cercuri/elipse (mulțimi) conține elementele comune ambelor mulțimi, și reprezintă o a treia mulțime.
Cercurile/elipsele care nu se întretaie reprezintă mulțimi fără elemente comune (disjuncte).
Exersarea sarcinilor ce implică Diagrama Venn facilitează :
Concentrarea atenției.
Eficientizarea rezolvării unei probleme sau situații problemă.
Formarea spiritului de analiză sistematică.
Transferarea soluției la o altă situație asemănătoare.
Diagrama Venn are o scară largă de aplicabilitate, în orice etapă a lecției, la orice tip de lecție, în cadrul tuturor modurilor de organizare a clasei ( frontal, individual, în perechi, pe grupe).
Etape:
Comunicarea sarcinii de lucru și activitatea individuală
Activitatea în grup – Se formează grupe a câte 4 elevi fiecare și în fiecare grup, elevii completează diagrama Venn pentru cele trei figuri geometrice plane și proprietățile acestora, adăugând sau corectând informațiile găsite independent. Între elevi are loc un schimb de informații, argumente, aprecieri, analize comparative și se definitivează sarcina inițială.
Activitatea frontală – Pe tablă se realizează diagrama Venn și se completează cu idei de la toate grupele.
Exemplu (Anexa 1. Tema: Numere complexe conjugate forma algebrică – forma trigonometrică )
1.2.16. Metoda CADRANELOR
Metodă a gândirii critice, este o modalitate de rezumare și sintetizare a unui conținut informațional solicitând participarea și implicarea elevilor în înțelegerea lui adecvată. Metoda presupune trasarea a două axe principale perpendiculare în urma cărora apar ”patru cadrane”. În cadrul acestei metode se poate lucra individual sau cu clasa împărțită pe grupe și atunci fiecare grupă va primi câte o fișă. Se pot propune diferite cerințe în cadrul metodei cadranelor în funcție de obiectivele urmărite în lecția respectivă. Activitatea se poate desfășura pe grupe sau ca activitate independentă. În cazul organizării pe echipe, fiecare grup va avea propriul cadran. La finalul exercițiului dirijat de cadrul didactic, se vor prezenta variantele lucrate, fie într–un Tur al galeriei, fie prin completarea unui cadran la tablă. Lucrul individual, în echipe sau participarea întregii clase la realizarea “cadranului” este o provocare și determină o întrecere în a demonstra asimilarea corectă și completă a cunoștințelor noi, conexiuni legate de termenul propus.
Metoda poate fi folosită la o lecție de consolidare, dar și ca evaluare, după o serie de activități ce au presupus aceași abordare. (Breben S,Gangea E.,Fulga M., 2002, apud www.paginișcolare.ro)
Se poate utiliza această metodă în lecțiile ce presupun rezolvare de probleme, deoarece stimulează atenția și gândirea și conduce cu ușurință la sintetizarea informațiilor, scoțând în evidență modul propriu de gândire și înțelegere al elevului.
Metoda este eficientă deoarece delimitează clar în mintea elevului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei. Poate fi utilizată și în compunerea de probleme: acoperind cadranul I și descoperind doar cadranele II, III sau IV se poate cere elevilor să compună probleme asemănătoare (reprezentării grafice, sau planului de rezolvare).
Exemplu ( Anexa 6. Exerciții pregătitoare pentru examenul de bacalaureat)
1.2.17. Metoda ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM ÎNVĂȚAT
Know-Want-Learnt (KWL) – elaborată de Donna M. Ogle în 1986 – este o metodă de învățare prin descoperire prin care elevii realizează un inventar a ceea ce știu deja despre o temă și apoi formulează întrebări legate de tema noua la care vor găsi răspunsuri prin valorificarea cunoștințelor anterioare.
Etapele metodei :
colectivul clasei se organizează în perechi/grupe și fiecare pereche/grupă primește ca sarcină realizarea unei liste cu tot ceea ce știe sau crede că știe despre o anumită temă. În timp ce elevii realizează lista, profesorul desenează pe tablă un tabel pe care elevii îl vor completa întâi în perechi/grupe și apoi la tablă;
Știu Vreau să știu Am învățat
Informații pe care elevii le Întrebări pe care elevii le au Informații dobândite
dețin cu privire la tema ce în legătură cu tema după
urmează să fie abordată. respectivă. activitatea de învățare.
fiecare pereche/grupă va completa propriul tabel și se vor nota apoi, în tabelul de pe tablă, în coloana din stânga, informațiile cu care toată clasa este de acord ;
elevii vor formula întrebările generate de noua temă, iar profesorul le va scrie în a doua coloana a tabelului. Aceste întrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legătură cu tema aflată în discuție ;
elevii citesc individual lecția din manual, iar după lectură, se revine asupra întrebărilor din a doua coloana și se analizează la care dintre întrebări s–a găsit răspunsul în text; răspunsurile elevilor vor fi notate în coloana AM ÎNVĂȚAT.
elevii compară ceea ce cunoșteau deja în legătură cu tema respectivă (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului); unele dintre întrebările lor pot rămâne fără răspuns sau pot genera întrebări noi, în aceste cazuri, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații personale.
informațiile cuprinse în coloana AM ÎNVĂȚAT vor fi structurate sub forma lecției noi.
Etape:
Se formează 5 grupe a câte 5 elevi fiecare. Elevii aleg câte un cartonaș pe care sunt scrise numere de la 1 la 5. Pe mesele de lucru se plasează de asemenea câte un cartonaș cu numere de la 1 la 5, astfel că, elevii care au ales cartonașele cu numărul 1 formează grupa cu numărul 1 și se așează la masa de lucru unde se află cartonașul cu numărul 1, elevii care au ales cartonașele cu numărul 2 formează grupa cu numărul 2 și se așează la masa de lucru unde se află cartonașul cu numărul 2 ș.a.m.d.
Elevii citesc textul problemei și în cadrul grupului din care fac parte încearcă să stabilească ceea ce știu și ceea ce vor să știe. Apoi, se discută părerile elevilor, discuția având loc frontal.
Elevii notează pe fișa de lucru ceea ce știu și ceea ce vor să știe în rubricile corespunzătoare.
Se completează rubrica „Am învățat”. Aici, elevii scriu operațiile și rezultatele corespunzătoare fiecărei întrebări din rubrica „Vreau să știu”.
Exemplu: Tema lecției: Exercitii si probleme de geometrie rezolvate cu ajutorul numerelor complexe (Anexa 4)
1.2.18. Metoda TEHNICA LOTUS (FLOAREA DE NUFĂR – LOTUS BLOSSOM TECHNIQUE)
Tehnica florii de nufăr presupune deducerea de legături între idei și concepte, pornind de la o temă centrală. Problema sau tema centrală determină câte 8 idei secundare, care se subordonează celei principale, asemeni petalelor florii de nufăr.
Varianta 1 – etape:
Construirea diagramei. Diagrama este formată din 9 cercuri tangente astfel: un cerc în mijloc si alte 8 cercuri care îl înconjoară;
Scrierea temei centrale în cercul din centrul diagramei;
Participanții se gândesc la ideile sau aplicațiile legate de tema centrală. Acestea se trec în cele 8 “petale” (cercuri) ce înconjoară tema centrală, de la A la H, în sensul acelor de ceasornic.
Folosirea celor 8 idei deduse, drept noi teme centrale pentru celelalte 8 cadrane. (“flori de nufăr”).
Etapa construirii de noi conexiuni pentru cele 8 noi teme centrale și consemnarea lor în diagramă. Se completează în acest mod cât mai multe cadrane. (“flori de nufăr”).
Etapa evaluării ideilor. Se analizează diagramele și se apreciază rezultatele din punct de vedere calitativ și cantitativ. Ideile emise se pot folosi ca sursă de noi aplicații și teme de studiu în lecțiile viitoare.
Tehnica Lotus stimulează munca colaborativă în echipă și efortul creativ al fiecărui membru al grupului în soluționarea sarcinii date. Există și o oarecare competiție între grupe, în sensul găsirii celei mai potrivite idei (care poate fi supusă discuției în etapa nr. 5), în rapiditatea cu care lucrează un grup față de altul, cu toate că acestea nu se înscriu în dezideratele metodei. Scopul central este participarea tuturor elevilor la un exercițiu creator și, în unele cazuri, la găsirea unei soluții la o problemă dată.
Varianta 2 – etape:
Cadrul didactic sau elevii propun tema centrală.
Moment de lucru independent: fiecare elev se gândește la ideile conexe.
Discutarea ideilor obținute și trecerea lor în diagramă. (Oprea, C.L., 2009, p.208)
Constituirea grupurilor. De data aceasta nu mai este necesar să se constituie numărul fix de 8 grupe, ci a unora similare ca număr de elevi sau ca posibilități creative.
Fiecare grup își aduce contribuția la întreaga diagramă, având în vedere dezvoltarea, atât cât poate, a fiecăreia dintre cele 8 noi teme centrale stabilite. Astfel, având o limită de timp, membrii grupului A, de exemplu, vor elabora pe rând, cât mai multe idei (maxim 8 idei) pentru temele A, B, C, D, E, F, G, H, trecându–le în diagrama pe care fiecare grup o are la dispoziție.
La un semn (dat de cadrul didactic), diagramele se schimbă între grupuri, în sensul acelor de ceasornic. Locurile (cercurile) din diagramă rămase goale de la grupul precedent au șansa de a fi completate acum. Rotirea diagramelor se face până când acestea ajung la grupul inițial.
În final se citesc diagramele și se apreciază rezultatele.
Dacă diagrama este completată în întregime (toate cele 8 cadrane), rezultă un număr de 64 de idei noi, conexe, care împreună cu cele 8 teme din care decurg, alcătuiesc 72 de idei generate de tema centrală.
În stabilirea temei centrale se poate pleca de la una propusă de cadrul didactic sau de către elevi: Tema poate fi anunțată sau nu în lecția premergătoare. În cazul în care ea este dinainte cunoscută de către elevi, aceștia sunt motivați să lucreze singuri acasă înainte, căutând variante, culegând materiale pentru a găsi cât mai multe soluții. (Oprea, C.L., 2009, p.209)
Capitolul 2 – INTRODUCEREA NUMERELOR COMPLEXE
Știm că în mulțimea numerelor reale nu putem rezolva o ecuație de gradul II, al cărei discriminant (expresie matematică formată din coeficienții ecuației, mai exact b2–4ac, unde ecuația dată este ax2+bx+c=0) este negativ. Numerele complexe au apărut ca o necesitate a rezolvării acestor ecuații și au fost introduse începând cu secolele XVII–XVIII de matematicieni celebrii ca Euler, Moivre sau Gauss. Însă, pentru prima oară s–a vorbit de „numere imaginare” încă din anul 1545, de către matematicianul și medicul italian Girolamo Cardano.
2.1. Mulțimea numerelor complexe. Forma algebrică a unui număr complex.
Forma trigonometrică a unui număr complex.
Mulțimea numerelor complexe
Construcția mulțimii numerelor complexe se face utilizând mulțimea numerelor reale ℝ, care este un corp comutativ ordonat arhimedian și euclidian .
Fie produsul cartezian ℝ2 = ℝ ℝ := {(a, b) a,b ℝ}.
Două perechi ordonate (a, b) și (a', b') din ℝ2 se numesc egale dacă a = a' și b = b'. Deci (a, b) = (a',b') ⟺ a = a', b = b'.
Se notează cu z := (a, b) un element arbitrar din R2.
Pe mulțimea ℝ 2 se definesc două operații algebrice: adunarea și înmulțirea.
Adunarea
Se numește adunare operația prin care se asociază perechilor z = (a, b) și z' = (a', b') din ℝ2 perechea z+z'=(a+a', b+ b') din ℝ2, numită suma lui z cu z'.
Înmulțirea
Se numește înmulțire operația prin care se asociază perechilor z = (a, b) și z' = (a', b') din ℝ 2 perechea z·z'=( aa'–bb', ab'+a'b) din ℝ2, numită produsul lui z cu z'. Se va nota frecvent, mai simplu, zz'=z z'.
Observația 1. Există încă o operație (externă), care asociază unei perechi z=(a, b)ℝ2 și unui număr real λ ℝ perechea notată λz=( λa, λb) ℝ2, numită înmulțirea cu scalar pe ℝ2. Înmulțirea cu scalar este un caz particular al înmulțirii complexe, deoarece
λ(a, b)=(λ, 0)·(a, b).
Totodată, înmulțirea cu scalar este o operație externă specifică unui spațiu liniar. ℝ 2 cu adunarea și înmulțirea cu scalari formează un spațiu liniar bidimensional, dar interpretarea numerelor complexe ca vectori se va discutata în secțiunea următoare.
Definiție. Se numește mulțimea numerelor complexe ansamblul ℂ=( ℝ 2, +, ·), adică ℝ 2 cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus. Un element z=(a, b)ℂ se numește, de acum, un număr complex.
Teorema 1. Mulțimea numerelor complexe ℂ = (ℝ 2, +, ·) are o structură de corp comutativ.
Demonstrație. Se arată că ℂ este un grup abelian în raport cu adunarea:
adunarea este asociativă:
(z+z')+z"=z+(z'+z"), z, z', z"ℂ;
adunarea are elementul neutru (nul) numărul complex zero 0=(0, 0)ℂ, căci
z+0=0+z=z, zℂ;
adunarea are simetrie, căci fiecare număr complex are un element opus:
zℂ, (–z)ℂ, astfel încât z+(–z)=(–z)+z=0;
(în baza observației anterioare, dacă z=(a, b), atunci opusul lui z este –z=(–a, –b))
adunarea este comutativă :
z+z'=z'+z, z, z'ℂ.
Verificarea proprietăților adunării numerelor complexe se bazează pe proprietățile adunării numerelor reale.
Se arată apoi că ℂ*=C\{0} este un grup abelian în raport cu înmulțirea;
înmulțirea este asociativă:
(z∙z')∙z"=z∙(z'∙z"), z, z', z"ℂ*;
înmulțirea are elementul neutru (unitate) numărul complex 1 = (1, 0)ℂ*, căci
z∙1=1∙z, zℂ*;
înmulțirea are simetrie, căci fiecare număr complex nenul are un element invers:
zℂ*, z–1ℂ*, astfel încât z∙z–1 =z–1∙z=1;
(dacă z=(a, b)ℂ*, atunci )
înmulțirea este comutativă :
z∙z'=z'∙z, z, z'ℂ*.
Se arată apoi că înmulțirea numerelor complexe este distributivă în raport cu adunarea numerelor complexe :
z∙(z'+z")=z∙z'+z∙z", z, z', z"ℂ.
În concluzie, mulțimea ℂ este un corp comutativ.
Dacă z, z'ℂ , atunci numărul complex z'–z=z'+(–z) se numește diferența dintre z' și z. Operația prin care oricăror două numere complexe z' și z li se asociază diferența lor se numește scădere. Dacă z=(a, b), z'=(a', b')ℂ , atunci
z'–z=(a'–a, b'–b).
Dacă z, z'ℂ și z0, atunci numărul complex =z'∙z–1 se numește câtul dintre z' și z. Operația prin care numerelor complexe z' și z li se asociază câtul lor se numește împărțire. Dacă z=(a, b)ℂ*, z'=(a', b')ℂ, atunci
.
Se deduce imediat că
z –1=, zℂ*.
Observația 2. Submulțimea numerelor complexe:
R={z=(a, 0) aℝ}ℂ
formează un subcorp al corpului ℂ, care este izomorf cu corpul numerelor reale ℝ.
În adevăr, R satisface toate axiomele de corp pentru operațiile:
(a, 0)+(a', 0)=(a+a', 0),
(a, 0)∙(a', 0)=(a∙a', 0), a, a' 0 ,
induse din ℂ (se verifică imediat), iar aplicația f:aℝ(a, 0)Rℂ este un izomorfism de corpuri (f este o bijecție a lui ℝ pe R, care păstrează cele două operații, ceea ce se arată fără dificultate). În consecință, dacă se identifică numărul real aℝ cu numărul complex (a, 0)R și reciproc, via izomorfismul f , atunci se poate considera corpul numerelor reale ℝ , ca un subcorp al corpului numerelor complexe ℂ, scriind ℝℂ; se spune că ℂ este o extensie comutativă a lui ℝ. Numerele complexe 0=(0, 0) și 1=(1, 0) se identifică cu numerele reale 0 și respectiv 1.
Forma algebrică, conjugatul și modulul unui număr complex
Programele școlare de la nivelul primelor clase liceale abordează numerele complexe sub o formă tradițională din punct de vedere istoric, numită forma algebrică a unui număr complex. Pentru a realiza legătura acesteia cu cele prezentate anterior, se face următoarea
Observația 3. Fiecare număr complex z=(a, b)ℂ se poate scrie sub forma:
z=(a, 0)+(b, 0)(0, 1) sau z=(a, 0)+(0, 1)(b, 0).
Cu identificarea canonică (a, 0)=a și (b, 0)=b, dar și cu notația
i=(0, 1),
se obține
z=a+bi sau z=a+ib, unde a, b ℝ și i2=–1,
care reprezintă forma algebrică a numărului complex z=(a, b), i se numește unitatea imaginară. Forma algebrică a unității imaginare este i=0+1∙i, iar verificarea proprietății
i2=–1 este directă (formal se poate scrie i=, pentu a–i conferi un conținut matematic în ℂ).
Operațiile cu numere complexe sub forma algebrică se exprimă astfel: dacă z=a+bi , z'=a'+b'i, λR , atunci
z=z'⟺a=a'; b=b';
z+z'=(a+a')+(b+b')i;
z∙z'=(aa'–bb')+(ab'+a'b)i;
λ∙z=(λa)+(λb)i.
Fie un număr complex z=(a, b)=a+biℂ. Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z și se notează cu Re(z), iar numărul real b se numește partea imaginară a lui z și se notează cu Im(z). Prin urmare,
z=Re(z)+i∙Im(z).
Numărul complex z este pur imaginar dacă și numai dacă z=bi sau a=0 sau Re(z)=0. Numărul complex z este pur real dacă și numai dacă z=a sau b=0 sau Im(z) = 0.
Observația 4. Pentru z, z'ℂ și λℝ, se verifică următoarele relații:
z=z' ⟺ Re(z)=Re(z'), Im(z)=Im(z');
Re(zz')=Re(z)Re(z'); Im(zz')=Im(z)Im(z');
Re(zz')=Re(z)Re(z')–Im(z)Im(z'); Im(zz')=Im(z)Re(z')+Im(z')Re(z);
Re(λz)=λRe(z); Im(λz)=λIm(z).
Observația 5. Relațiile care exprimă puterile întregi ale unității imaginare sun :
i4n=1; i4n + 1=i; i4n + 2=–1; i4n + 3=–i, nℤ.
Definiție. Se numește conjugatul numărului complex z=(a, b)=a+biℂ numărul complex
,
numerele z și se numesc numere complex conjugate, iar aplicația c:z⟼ se numește conjugare complexă.
Teorema 2. Conjugarea complexă are următoarele proprietăți z, z'ℂ, λℝ,
;
; ;
;
;
;
;
, z0;
;
Se pot stabili, de asemenea, proprietățile :
, nℕ*, z1, z2,…, znℂ;
, nℕ*, z1, z2,…, znℂ.
Conjugarea complexă c este unicul automorfism al corpului ℂ, diferită de aplicația identică 1C , care invariază numerele pur reale.
Demonstrație. Vom demonstra câteva dintre proprietățile enunțate, utilizând, fie definiția inițială a numărului complex, fie forma algebrică a acestuia.
Fie z=(a, b)=a+bi, z'=(a', b')=a'+b'i, λR.
4) ;
6)
7) dacă z 0, atunci 1, deci , adică ;
8) dacă z 0, atunci ==;
9) și 10) se demonstrează prin inducție asupra lui n ;
11) operația de conjugare c:zeste o funcție injectivă ( și involutivă (cc)(z)=c(c(z))=c(=z, z ℂ.
Prin urmare, c este o aplicație bijectivă cu inversa c–1=c; în baza proprietăților 5) și 6), c este un automorfism netrivial al lui ℂ , cu proprietatea c(z)=z dacă și numai dacă zℝ.
Definiție. Se numește modulul numărului complex z=(a, b)=a+biℂ numărul real nenegativ
Teorema 3. Funcția modul zz are următoarele proprietăți z , z' ℂ , λℝ,
z0; z=0 ⟺ z=0; ; ;
z==–z; z2=z∙ sau ; z–1=z–1 sau z–1=;
λ∙z=λ∙z;
z∙z'=z∙z'; z∙+∙z'=2Re(z∙);
z–z'z+z'z+z';
, z0;
z–z'z–z'z+z'; z–z'z–z';
z1+z2+…+znz1+z2 +…+zn, z1 , z2, …, znℂ;
z1∙z2∙…∙zn =z1∙z2∙…∙zn , z1, z2, …, znℂ;
zn=zn, nℤ.
Demonstrație. Primele trei proprietăți se verifică direct, utilizând definițiile anterioare. Vom demonstra
4) z∙z'2=(z∙z')∙()=z∙z'∙=z∙∙z'∙=z2 ∙z'2, de unde rezultă prima egalitate cerută. Apoi, din rezultă că z∙ și∙z' sunt numere complexe conjugate; prin urmare, z∙+∙z'=2Re(z∙).
Pentru a verifica 5) se va observă că z + z'2 = (z+z')·=(z+z')·(=z2+ +z·+·z'+z'2=z2+2Re(z·)+z'2z2+2z·+z'2=z2+2z·z'+z'2=(z+z')2, deci z+z'z+z'; această relație se numește inegalitatea lui Hermann Minkowski (1864–1909). Relația devine egalitate dacă și numai dacă Re(z·)=z·z', adică dacă și numai dacă există tℝ+, astfel încât z'=t z. Pe de altă parte,
z=z+z'–z'z+z'+–z'=z+z'+z', deci z–z'z+z'.
Vom verifica 6) .
Vom proba 7) mai întâi, z–z'=…=z+(–z')z+–z'=z+z', deci z–z'z+z'; pe de altă parte, z=z–z'+z'z–z'+z' implică z–z'z–z', prin urmare, prima pereche de inegalități este probată. A doua inegalitate de la 7) este imediată, căci, utilizând inegalitățile precedente, avem, pe de o parte z–z'z–z'+z–z', iar din relația z'–zz'–z sau z–z'z'–z se obține, pe de altă parte –z–z'z–z'.
8) și 9) se stabilesc prin inducție.
10) este o consecință a lui 9), dacă z1=z2=…=zn=z.
Forma polară (trigonometrică) și forma exponențială a unui număr complex
Fie z=(a, b)= a+biℂ și M(a, b)E2, imaginea geometrică a lui în planul euclidian raportat la sistemul cartezian de coordonate ortonormat S = Oxy, respectiv la r.c.o. asociat , R = (O, ).
Observația 6. Punctul M poate fi caracterizat de două elemente: lungimea segmentului [OM] notată cu r (r0) și măsura în radiani a unghiului orientat trigonometric pe care îl formează semiaxa pozitivă [Ox cu semidreapta [OM, notat cu t, t[0, 2π). Numerele (r, t) se numesc coordonatele polare ale punctului M și sunt unic determinate; r se numește raza polară a lui M, iar t se numește unghiul polar al lui M. Ansamblul P = {O; [Ox } se numește sistemul de coordonate polare asociat s.c.c.o. S=Oxy; O este numit pol iar [Ox este numită axa polară a lui P. P realizează o corespondență biunivocă
P:ME2\{O}(r, t)(0, )[0, 2π);
se mai scrie M(r, t), iar pentru punctul O nu există coordonate polare. Coordonatele polare și coordonatele carteziene ale punctului M sunt legate prin relațiile:
a=r∙cos t; b=r∙sin t, (r, t)(0, )[0, 2π).
Ținând seamă de interpretarea geometrică a modulului unui număr complex (Obs.10 d), se observă că r=|z|=, adică r reprezintă modulul lui z.
Teorema 4. Există o funcție bijectivă
arg:zℂ\{0} arg z=t[0, 2π),
unde t este soluția unică a sistemului de ecuații trigonometrice:
, 0t<2π .
Numărul t=arg z[0, 2π) este unghiul polar al punctului M, imaginea se numește argumentul redus (principal) al lui z. Cu aceste precizări, numărul complex z=(a, b)= =a+biℂ\{0}=ℂ* se poate exprima în mod unic sub forma: z=r∙(cos t+i∙sin t), r>0, t[0, 2π), numită reprezentarea sau forma polară (trigonometrică) a numărului complex z.
Demonstrație. Este suficient să se verifice că, pentru fiecare z=(a, b)=a+biℂ*, arg z este unghiul polar al imaginii geometrice M a numărului complex z (vezi figura de mai sus). Examinând toate pozițiile posibile ale lui M în plan, din triunghiul dreptunghic ΔM'OM se deduce că, pe de o parte, r=|z|=OM=, Re(z)=a, Im(z)=b, iar pe de altă parte, soluția sistemului de ecuații trigonometrice din enunț este
, unde .
De aici rezultă imediat reprezentarea polară a lui z. Totodată, din considerațiile de mai sus se evidențiază relațiile care exprimă coordonatele polare (r, t) în funcție de coordonatele carteziene (a, b) ale unui punct din plan.
Observații 7. a) Dacă z=0, atunci |z|=0, prin urmare, r=0, dar t=arg 0 este nedeterminat. Numărul complex 0ℂ nu are o formă trigonometrică determinată.
b) Relația z=r∙(cos t+i∙sin t), unde zℂ* este dat și r=|z|, este satisfăcută și de valori reale ale lui t care nu aparțin intervalului [0, 2π). Aceste valori se numesc argumente extinse ale lui z, iar mulțimea tuturor argumentelor lui z este
Arg z={ tℝ| t=arg z+2kπ, kℤ}.
Au loc următoarele proprietăți: z , z1 , z2ℂ*, tArg z ,
t' Arg z ⟺ hℤ, a.î. t'–t=2hπ ;
z1 =z2 ⟺ |z1|=|z2| și Arg z1=Arg z2 ⟺ |z1|=|z2| și arg z1–arg z22πℤ.
Observația b) este o consecință a periodicității funcțiilor sinus și cosinus definite pe ℝ.
c) Dacă zℂ* și este conjugatul lui z , atunci
arg =arg z–1=. Arg =Arg z–1=–Arg z={ –t| tArg z}.
d) Dacă zℂ* , atunci
arg (–z) =
Arg (–z)={tℝ| t=arg z+(2k+1)π, kℤ}=π+Arg z .
Observațiile c), d) se verifică direct, cu definițile argumentelor. În particular,
z–1=, deci arg z–1=arg .
Forma trigonometrică a conjugatului complex, a opusului și a inversului unui număr complex
Din Obs. 7 c), d), rezultă:
Observații 8. Dacă z=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ*, atunci:
=r∙[cos(2π–t)+i∙sin(2π–t)], unde r>0, t[0, 2π);
–z=
z–1=cos(2π–t)+i∙sin(2π–t)], unde r>0, t[0, 2π).
Produsul și câtul a două numere complexe exprimate sub forma trigonometrică
Observația 9. Fie z1=r1∙(cos t1+i∙sin t1), z2=r2∙(cos t2+i∙sin t2)ℂ*, exprimate sub forma trigonometrică. Au loc următoarele relații:
z1z2=r1∙r2∙[cos(t1+t2)+i∙sin(t1+t2)] ;
Arg (z1z2)=Arg z1+arg z2=arg z1+Arg z2=arg z1+arg z2+2πℤ;
[cos(t1–t2)+i∙sin(t1–t2)];
Arg =Arg z1–arg z2=arg z1–Arg z2=arg z1–arg z2+2πℤ.
Relațiile 1) și 2) nu sunt, în general, formele trigonometrice reduse ale produsului și respectiv câtului, pentru că t1+t2 și t1–t2 nu sunt întotdeauna argumente principale i.e. din [0, 2π). Ele se pot numi forme trigonometrice extinse sau modulo 2πZ și se obțin direct prin înmulțirea lui z1 cu z2 , respectiv a lui z1 cu =[cos(–t)+i sin(–t)], utilizând formule trigonometrice convenabile .Celelalte relații se verifică direct cu definițiile argumentelor.
Puterea a n–a a unui număr complex exprimat sub forma trigonometrică
Fie nN, n2 și zk=rk(cos tk+i sin tk)ℂ*, k=1, 2,…, n, numere complexe exprimate sub forma trigonometrică i.e. rk >0, tk[0, 2π).
Observații 10. a) Produsul numerelor zk este numărul complex
; Arg=Z.
b) Dacă z1=z2=…=zn=z, adică r1=r2=…=rn=r, t1=t2=…=tn=t, atunci puterea a n–a a lui z este numărul complex
zn=rn(cos nt+i∙sin nt); Arg zn=n∙arg z+2πZ.
c) Dacă z este unimodular, adică r=1, atunci
(cos t+i∙sin t)n=cos nt+i∙sin nt ,
relație numită formula lui Abraham de Moivre (1667 – 1754)
d) Dacă nℤ*, atunci formula lui Moivre, respectiv relația care exprimă puterea a n–a a unui număr complex rămân valabile.
Cele două numere complexe [produsul de la a) și puterea de la b)] sunt, în general, exprimate sub forma trigonometrică extinsă. Relația care exprimă produsul de la a) se demonstrează fără dificultate prin inducție matematică, iar relația care exprimă puterea a n–a a lui z este o consecință directă a primeia. Formula lui Moivre este un caz particular al relației de la b). În fine, fie nℤ*, n–2 și z=r(cos t+i∙sin t), r>0, t[0, 2π). Avem:
Imaginea geometrică a produsului și câtului a două numere complexe exprimate sub formă trigonometrică
Fie z1 =r1(cos t1+i∙sin t1), z2 = r2(cos t2+i∙sin t2)ℂ* și M1(r1, t1), M2(r2, t2)E2 imaginile geometrice ale lui z1, respectiv z2 (în coordonate polare). Se notează cu N1, N2, intersecțiile cercului unitate C(O, 1) cu semidreptele [OM1, respectiv [OM2. Se consideră punctul N3C(O, 1), unic determinat prin condiția ca unghiul polar al său să fie t1+t2. Apoi se consideră punctul M3[ON3, astfel încât OM3=OM1·OM2=r1·r2.
Observația 11. Imaginea geometrică a produsului z1z2 este punctul M3 ( r1∙r2 , t1+t2).
În adevăr, afixul punctului M3(r1∙r2 , t1+t2) este numărul
z3 = r1 r2 [ cos(t1 + t2) + i sin(t1 + t2)] = z1 z2 .
Se observă că ΔOAM1~ΔOM2M3 (LUL) și că raționamentul anterior evidențiază imaginea geometrică M1 a câtului . În general, se poate enunța:
Observația 12. Imaginea geometrică a câtului este punctul M3'(.
Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex exprimat sub forma trigonometrică
Fie nℕ, n2 și numărul complex u=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ, r>0, t[0, 2π). Se consideră ecuația polinomială (binomială) de gradul n cu coeficienți complecși zn–u=0. Conform teoremei lui d'Alembert, ea trebuie să aibă exact n rădăcini (soluții) din ℂ. Aceste soluții se mai numesc rădăcinile de ordinul n ale lui u.
Dacă u=0, atunci toate rădăcinile de ordinul n sunt nule. Cum se obțin aceste rădăcini când u 0 ?
Teorema 5. Dacă u=r∙(cos t+i∙sin t)ℂ*, atunci u are n rădăcini de ordinul n distincte, care sunt date de formula:
zk=, k=0, 1, 2, …, n–1.
Demonstrație. Considerăm necunoscuta z a ecuației zn–u=0 sub formă trigonometrică (extinsă ), adică z=ρ∙(cos θ+i∙sin θ), ρ>0, θℝ. Prin urmare, ecuația inițială devine:
ρn(cos nθ+i∙sin nθ)=r∙(cos t+i∙sin t),
cu necunoscutele ρ și θ. Se deduc relațiile :
ρn=r, nθ=t+2hπ, hℤ, echivalent, ρ=, θh=, cu hℤ. Prin urmare, numerele complexe
zh=(cos θh +i∙sin θh), hℤ.
verifică ecuația zn–u=0. Acum, vom constata că între aceste numere complexe doar n sunt distincte și acelea vor fi rădăcinile de ordinul n ale lui u. În adevăr, pentru hℤ, ! pℤ și !
k{0, 1, …, n–1}, astfel încât h=n∙p+k. Prin urmare,
θh===θk+2pπ ,
deci zh=zk, k{0, 1, …, n–1}. Se observă, de asemenea, că
0θ0θ1 … <θn–12π,
adică θk sunt argumente principale distincte, respectiv numerele complexe corespunzătoare,
zk=, k=0, 1, 2, …, n–1,
sunt rădăcinile de ordinul n ale lui u.
Observația 13. Imaginile geometrice ale rădăcinilor de ordinul n ale unui număr complex nenul z=r(cos t+i∙sin t) sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul cu centrul în origine și cu raza .
În adevăr, dacă M0, M1, …, Mn–1 sunt imaginile geometrice ale numerelor complexe z0, z1, …, zn–1, atunci OMk=zk=, cu k{0, 1, …, n–1}, deci MkC(O, ), k{0, 1, …, n–1}. Pe de altă parte, măsurile arcelor de cerc determinate de perechi de vârfuri consecutive sunt egale, căci:
arg z k+1–arg z k=, k{0, 1, …, n–1} și
arg z0–arg zn–1=2π–2(n–1)=.
În concluzie, M0M1…Mn–1 este un poligon regulat cu n vârfuri.
Observația 14. Rădăcinile de ordinul n ale lui 1 se numesc rădăcinile de ordinul n ale unității și sunt următoarele :
εk=cos , k{0, 1, …, n–1}.
Dacă se notează ε= ε1=cos , atunci:
mulțimea rădăcinilor de ordinul n ale unității este Un={1=ε0, ε, ε2, …, εn–1};
au loc relațiile: εn=1, 1+ε+…+εn–1=0, utile în aplicații;
Un este generată de ε și formează un grup multiplicativ abelian;
imaginile geometrice ale elementelor lui Un sunt vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul unitate cu centrul O, iar unul din vârfuri este punctul M0(1, 0).
înmulțirea unui număr complex z=r(cos t+i∙sin t) cu un număr complex unimodular u=cos θ+i∙sin θ are următoarea interpretare geometrică: reprezintă rotația de centru O și de unghi θ a punctului M(r, t)E2.
Pentru n=2, rădăcinile pătrate ale lui 1 sunt 1 și –1. Dacă n=3, atunci
U3={1, ε=, ε2=}
are imaginea geometrică mulțimea vârfurilor unui triunghi echilateral; ε3=1, 1+ε+ε2=0. Pentru n=4, U4={1, i, –1, –i}, ale cărei elemente au ca imagini geometrice vârfurile unui pătrat ș.a.m.d. În fine, pentru n=6,
U6={1, ε=cos=, ε2=,
ε3=cos π+i∙sin π =–1, ε4=, ε5=cos}.
Imaginea geometrică a lui U6 este mulțimea vârfurilor unui hexagon regulat înscris în cercul unitate C(O, 1).
Teorema 6. Rădăcinile unității au o serie de proprietăți utile în aplicații:
dacă n|m (n divide m), atunci orice rădăcină a ecuației zn–1=0 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației zm–1=0;
rădăcinile comune ale ecuațiilor zn–1=0 și zm–1=0 sunt rădăcinile ecuației zd–1=0, unde d=(m, n); în particular, zn–1=0 și zm–1=0 au o singură rădăcină comună dacă și numai dacă (m, n)=1 (m și n sunt prime între ele);
dacă εk este o rădăcină de ordinul n a unității, atunci cel mai mic număr natural nenul p pentru care (εk)p=1 este p=;
rădăcină εk=cos, k{0, 1, …, n–1}, a lui zn–1=0 se numește rădăcină primitivă, dacă (k, n)=1; εk este o rădăcină primitivă a unității dacă și numai dacă
p{1, 2, …, n–1}, (εk)p1;
dacă εUn este o rădăcină primitivă de ordinul n a unității, atunci pentru orice pℕ*,
Un={εp, εp+1, …, ε p+n–1}.
Demonstrație. Se verifică fiecare dintre afirmațiile de mai sus.
1) n | m implică m=n h, cu h2, deci zm–1=(zn)h–1=(zn–1)(z(h–1)n+…+zn+1) și afirmația este imediată.
2) Fie εp=p=, rădăcinile lui zn–1=0 și
εq'=, q=, rădăcinile lui zm–1=0.
Cu aceste precizări, se pune condiția ca ecuațiile să aibă rădăcini comune:
εp=εq' ⟺ rℤ ⟺ ⟺ mp–nq=rmn .
Dacă d=(m, n), atunci n=dn1, n1ℕ*, m=dm1, m1ℕ*, (m1, n1)=1. Prin urmare,
mp–nq=rmn ⟺ dm1p–dn1q=rd2m1n1 ⟺ m1p–n1q=rdm1n1.
Se deduce că n1|m1p și cum (m1, n1)=1, rezultă n1|p sau p=n1p1 , cu p1ℕ*, astfel că
arg εp= și deci (εp)d=(εq')d=1.
Așadar, orice rădăcină comună a ecuațiilor zn–1=0 și zm–1=0 este o rădăcină a ecuației
zd–1=0. Reciproca este o consecință imediată a lui 1). În fine, este clar că ecuațiile zn–1=0 și
zm–1=0 au rădăcina comună 1; aceasta este unica rădăcină comună dacă și numai dacă d=(m, n)=1.
3) Fie εk o rădăcină a ecuației zn–1=0; condiția (εk)p=1 implică , cu rℕ*, deci ℕ*. Dacă d=(k, n), k=dk1, n=dn1, (k1, n1)=1, atunci ℕ*; cum n1 și k1 sunt mutual prime, se deduce n1|p. Prin urmare, cel mai mic număr natural nenul p cu proprietatea (εk)p=1 este p=n1==.
4) εk este o rădăcină primitivă a unității i.e. (k, n)=1 atunci și numai atunci când cel mai mic număr natural nenul p pentru care (εk)p=1 este p=n, altfel spus, atunci și numai atunci când p{1, 2, …, n–1}, (εk)p1.
5) Fie εUn și p ℕ*. Pentru orice k{0, 1, …, n–1}, (εp + k)n=(n)p + k=1, deci εp + kUn.
Se arată că εp, εp+1, …, ε p+n–1 sunt distincte, dacă se observă că funcția :
k {0, 1, …, n–1} p + kUn
este injectivă.
L. Euler a conceput și o scriere exponențială a unui număr complex unimodular (de modul egal cu 1). Inspirat din teoria seriilor infinite, în speță de seriile Taylor asociate funcțiilor trigonometrice și funcției exponențiale, Euler a propus următoarea relație care îi poartă numele :
eit=cos t+i sin t, t ℝ (formula lui Euler , 1748) .
Formula lui Euler este justificată matematic prin egalitatea seriilor Taylor asociate celor doi membri ai egalității din formulă, dar are și alte maniere de verificare. Un caz particular al acestei formule este miraculoasa relație între trei numere fundamentale din matematică :
eiπ+1=0 (identitatea lui Euler),
care se obține considerând t=π în formula lui Euler.
Formula lui Euler ne dă scrierea exponențială a numărului complex unimodular
z=cos t+i∙sin t, t [0, 2π) , adică
z=eit, t[0, 2π),
iar numărul complex în forma trigonometrică z=r(cos t+i sin t), t[0, 2π) se exprimă sub forma exponențială:
z=r eit, t[0, 2π) sau z=zeit, t[0, 2π).
Observații 15. a) Dacă z=reit, z'=r' eit' ℂ* , atunci z=z' ⟺ r=r'; t–t'=2k ;
b) Dacă z=reitℂ*, atunci =re–it și z–1=e–it;
c) Dacă z=reit, z'=r'eit'ℂ*, atunci z·z'=rr'ei(t + t'); ei(t–t');
d) Dacă z=reitℂ* și αℝ, atunci zα=rαeiαt;
e) Dacă u=reit și nℕ, n2, atunci soluțiile ecuației zn=u sunt numerele complexe:
zk=, k=;
În particular, rădăcinile de ordinul n ale unității sunt:
k=, k=.
f) Funcția exp: tℝ exp(t)=eitS1={zℂ |z|=1} este reprezentarea complexă a proiecției de acoperire a cercului ( v.[1, p.111]). Mai precis, dacă f:ℝC(O, 1)E2 este proiecția de acoperire a cercului unitate (care definește geometric funcțiile trigonometrice), atunci
exp=f, unde :M(a,b)E2z=a+biℂ este sistemul de coordonate complexe asociat s.c.c.o.
S=Oxy și (C(O, 1))=S1.
2.2. Corpul numerelor complexe
Reamintim un rezultat fundamental în analiza matematică.
Teoremă 7. Mulțimea (ℝ, +, ∙) este un corp complet ordonat. De asemenea (ℝ, ∙) este un monoid comutativ cu element absorbant 0, iar (ℝ*, ∙) este grup comutativ.
Mulțimea numrelor complexe ℂ=ℝ×ℝ este înzestrată cu o structură matematică fundamentală, accea de corp comutativ. Acest corp poate fi introdus, fie printr-o definiție axiomatică, fie prin construcția unui model al acestuia.
Capitolul 3 – UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE
ÎN GEOMETRIE ȘI TRIGONOMETRIE
În cuprinsul acestui capitol vom prezenta rezultate deosebite obținute în geometrie și trigonometrie demonstrate cu ajutorul numerelor complexe, care pot fi tratate ca enunnțuri matematice sau ca teme de lucru pentru orice activități de pregătire suplimentară.
Problena „Dacă ABC este un triunghi echilateral și M un punct arbitrar în planul său, lungimile MA, MB, MC sunt laturile unui triunghi eventual degenerat.” poartă numele lui D. Pompeiu, matematician cu o contribuție remarcabilă în domeniul funcțiilor de o variabilă complexă. Acesta o demonstrează atât sintetic, cât și prin operații cu numere complexe, realizând încă odată legătura între geometrie și algebră.
3.1 Aplicații ale numerelor complexe în geometrie
Împărțirea unui segment într–un raport dat
Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 și respectiv z2 și fie P un punct pe dreapta A1A2, astfel încât , unde λ∈ℝ, λ≠1. Dacă P are afixul zP atunci:
Formula reprezintă afixul punctului care împarte un segment într–un raport dat.
Afixul mijlocului unui segment
Dacă P este mijlocul segmentului A1A2, atunci λ=–1 .din formula precedentă se obține:
Patrulaterul M1M2M3M4, unde punctele Mi au afixele zi, i= este paralelogram dacă și numai dacă:
Centrul de greutate al unui triunghi
Fie ABC un triunghi ale cărui vârfuri au afixele zA, zB, zC. Atunci centrul de greutate G al triunghiului are afixul:
Distanța dintre două puncte; ecuația cercului.
Dacă A1A2 sunt puncte în plan de afixe z1 și respectiv z2, atunci lungimea segmentului A1A2 este:
|A1A2|=|z1–z2|
Rezultă că cercul de centru A0(z0) și rază r are ecuația:
Condiția de coliniaritate
Punctele M1, M2, M3 de afixe z1, z2 respectiv z3 sunt coliniare dacă și numai dacă există k1, k2, k3∈ℝ cu k1+k2+k3=0 și k1z1+k2z2+k3z3=0.
Într-adevăr dacă M1, M2, M3 sunt coliniare, atunci există k∈ℝ cu . Deci , adică z1–(1–k)z2–kz3=0.
Pentru k1=1, k2=1–k, k3=–k obținem concluzia.
Reciproc, din k1+k2+k3=0 cu k2=–k1–k3 obținem:
k1(z1–z2)=–k3(z3–z2)
Pentru obținem , adică M1, M2, M3 sunt coliniare.
Măsurarea unghiului orientat
Măsura unghiului orientat ∢ M1OM2, în sens trigonometric, semidreapta OM1, se rotește în sens trigonometric peste semidreapta OM2, față de un reper cu originea în O este:
Unde z1, z2 sunt afixele punctelor M1, respectiv M2.
Dacă punctele M1, M2, M3 au afixe z1, z2, respectiv z3, atunci măsura unghiului orientat (în sens trigonometric) ∢ M1M2 M3 este:
Dacă punctele M1, M2, M3 au afixe z1, z2, z3, și =ρε, unde ρ>0, ε=cos α+isinα cu α∈[0, 2π), atunci:
Ecuația dreptei care trece prin duuă puncte.
Fie A1, A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 și respectiv z2. Atunci dreapta A1A2 reprezintă mulțimea punctelor din plan ale căror afixe z sunt de forma
z=(1–λ)z1+λz2.
O altă formă a ecuației unei drepte în ℂ.
Punctul P aparține dreptei A1A2 dacă și numai dacă afixul său z verifică egalitatea:
.
Unghiul a două drepte.
Fie punctele M1, M2, M3, M4, distincte în plan, diferite de origine, cu afixele zi, i=. Măsura unghiului orientat (în sens trigonometric) al dreptelor M1M2 și M3M4 este:
Dreptele M1M2 și M3M4 sunt:
M1M2⊥M3M4 dacă și numai dacă
M1M2∥M3M4 dacă și numai dacă
Punctele M1, M2, M3, M4 sunt conciclice dacă și numai dacă raportul anarmonic al afixelor lor este real, adică:
Ortocentrul unui triunghi
Fie ABC un Triunghi înscris într–un cerc cu centrul în originea O a stemului xOy. Înălțimile AA1, BB1 și CC1 ale triunghiului sunt concurente într–un punct H care îndeplinește condiția vectorială
Dacă afixele vârfurilor triunghiului sunt z1, z2, z3 pentru punctele A, B respectiv C atunci afixul ortocentrului este h și este:
Dacă originea reperului cartezian nu este în centrul cercului circumscris triunghiului, atunci punctul O are afixul o și are loc relația:
Față de un reper cu originea în centrul cercului circumscris triunghiului ABC, centrul cercului lui Euler are afixul:
Centrul cercului înscris într–un triunghi
Fie ABC un triunghi ale cărui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c. Centrul I al cercului înscris în triunghiul ABC are afixul:
Demonstrație. Fie zA, zB, și zC afixele vârfurilor triunghiului ABC și A’, B’ și C’ picioarele bisectoarelor unghiurilor A, B și C, cu afixele zA’, zB’, și zC’. conform teoremei bisectoarei avem:
de unde resultă că punctul A’ împarte segmentul BC în raportul .
Din , dar A’B+ A’C=a deci și .
Considerăn BI bisectoarea unghiului ∢ABA’, deci aplicând din nou teorema bisectoarei obținem:
de unde resultă că punctul I împarte segmentul A A’ în raportul .
Înlocuind pe zA’ obținem afirmația dată. q.e.d.
Aria triunghiului
Demonstrație. Dacă zi, i=, sunt afixele vârfurilor triunghiului ABC, notat în sens trigometric, atunci aria triunghiului este:
Fără a restrânge generalitatea problemei putem considera că originea sistemului ortogonal de axe se află în interiorul triunghiului.
Folosind forma trigonometrică a celor trei afixe:
atunci:
Calculăm
q.e.d.
Carecterizarea triunghiului dreptunghic
Triunghiul ABC înscris în cercul C(O,R) este dreptunghic dacă și numai dacă |a+b+c|=R, unde A(a), B(b), C(c).
Demonstrație. Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, cu unghiul drept în A, atunci B și C sunt diametral opuse, deci b=–c, de unde |a+b+c|=|a|=R.
Reciproc, dacă|a+b+c|=R, atunci |a+b+c|2=R2, adică, deci:
echivalent cu
adică două dintre punctele A, B, C sunt diametral opuse. q.e.d.
Formula rotației în complex
Dacă punctul M3(z3) se obține printr–o rotație de centru M2(z2) și unghi α∈[0, 2π), a punctului M3(z3), atunci:
unde dacă rotația se efectuează în sens trigonometric sau ε= , dacă rotația se efectuează în sens invers trigonometric.
Triunghiul ABC este echilateral dacă și numai dacă
unde , dacă triunghiul ABC este orientat în sens trigonometric sau ε= , dacă triunghiul ABC este orientat în sens invers trigonometric.
3.2. Probleme de algebră și trigonometrie rezolvate cu numere complexe
În continuarea proprietăților enunțate și demonstrate anterior prezentăm câteva proprietăți ce pot fi ușor transformate în probleme și rezolvate în consecință.
1. I. Numărul complex are ca modul 1, ∀ a∈ℝ.
II. Reciproc, numărul complex z de modul 1, e posibil a fi scris sub forma și a exprimat în funcție de argumentul z.
III. Ecuația admite n rădăcini reale și nu admite alte rădăcini în corpul numerelor complexe.
Demonstrație: I. 1+ia și 1–ia sunt conjugate, raportul lor are ca modul 1 (au același modul și argumente opuse).
II. Toate numerele complexe de modul 1 se scriu . Oricare ar fi a, putem scrie . Dacă punem , θ∈(–π, π), obținem forma de mai sus.
III. Deoarece x=–i nu e rădăcină, ecuația se poate scrie sau
. Dacă notăm cu θ unul din numerele obținem, punând , , ecuație ce admite ca rădăcină unică x=a. Ecuația dată admite ca rădăcini n valori ale lui . Ecuația fiind de gradul n, nu poate admite mai mult de n rădăcini în corpul numerelor complexe. În consecință toate rădăcinile sale sunt reale.
2. Construcția ecuației care are ca rădăcini valorile lui , cunoscănd că tga=b.
Demonstrație: Din formula lui Moivre avem cos5x=cos5x–10cos3xsin2x+5cosxsin4x, sin5x= =5cos4xsinx–10cos2xsin3x+sin5x, de unde . Punând 5x=a și apoi , avem ecuația y5–5by4–10y3+10by2+5y–b=0, care este ecuația căutată.
3. Calculul expresiilor cos 5x și sin 5x respectiv în funcție de cosx și sinx, utilizând formula lui Moivre. Deducerea valorii exacte a lui și .
Demonstrație: Avem cos5x=16cos5x–20cos3x+5cosx; sin5x=16sin5x–20sin3x+5sinx. Dacă , sin5x=0, deci este o rădăcină nenulă a ecuației 16×5–20×3+5x=0. La fel dacă , cos5x=0, deci este de asemenea o rădăcină nenulă a acestei ecuații. Rădăcinile pozitive și nenule ale acestei ecuații ne dau ; .
4. Determinarea numerelor complexe z, pentru care este real.
Demonstrație: Notând z=x+iy, expresia este reală dacă , deci pentru numerele complexe a căror imagini se găsesc pe cercul de centru și raza . ( Se exclude punctul de coordonate (0; 1) căruia îi corespunde numărul complex i pentru care expresia dată nu are sens.)
5. Determinarea numerelor complexe z, astfel ca O să fie centrul cercului circumscris triunghiului format de imaginile lui z, z2, z3.
Demonstrație: Notănd , avem și . Distanțele la origine ale imaginilor celor trei numere, trebuie să fie egale, deci . Rezultă r=0, deci cazul banal z=0, sau r=1, în care , deci imaginile numerelor z, z2 și z3 sunt situate pe cercul cu centrul în origine și raza unitate, argumentele lor fiind θ, 2θ și 3 θ. Există o infinitate de soluții.
6. Determinarea numerelor complexe z, astfel ca O să fie centrul de greutate al imaginilor numerelor z, z2, z3.
Demonstrație: Trebuie să avem , deci afară de soluția banală z=0, rezultă 1+z+z2=0, deci . În ambele cazuri se obține triunghiul echilateral înscris în cercul cu centrul în origine și raza unu, unul dintre vârfuri fiind pe axa reală pozitivă.
7. Descompunerea în factori a polinomului x2n–1 în câmpul numerelor reale. Identitatea trigonometrică obținută împărțind identitatea precedentă cu cu x2–1, este
Demonstrație: Rădăcinile polinomului sunt rădăcinile de ordinul 2n ale unității , k=–(n–1), –(n–2), … –1, 0, 1, n. Se vede că ε0=1, εn=–1, εj și ε-j sunt complex conjugate și factorii corespunzători din polinomul dat sunt:
.
Avem deci , sau împărțind prin x2–1 obținem: . Dacă în ultima relație obținută considerăm x=1, găsim , din care se obține identitatea cerută.
În particular, dacă n=2 avem , iar pentru n=3 obținem
3.3 Diverse probleme care se rezolva cu ajutorul numerelor complexe
Acest subcapitol își propune să trateze probleme deosebite propuse la concursurile școlare de matematică, în a căror rezolvare sunt folosite numerele complexe.
1. În exteriorul triunghiului neechilateral ABC se consideră triunghiurile asemenea ABM, BCN și CAP astfel încât MNP să fie echilateral. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiurilor ABM, BCN și CAP.
(Olimpiada Națională, 2010)
Soluție: Fie triunghiul ABC direct orientat. Din ipoteză, avem: .
Rezultă: m = ka + (1 – k)b; n = kb + (1 – k)c; p = kc + (1 – k)a.
Din MNP triunghi echilateral, rezultă: .
Rezultă:
sau , de unde . Deoarece triunghiul ABC nu este echilateral, deducem că , iar din m = ka + (1 – k)b, rezultă , de unde triunghiul AMB este isoscel cu un unghi de măsură . Celelalte două unghiuri au .
2. Fie triunghiul ABC și astfel încât . Demonstrați că, dacă centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor DEF și ABC coincid, atunci triunghiul ABC este echilateral.
(Olimpiada Națională, 2008)
Soluție: Considerăm un reper cu originea în O – centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Dacă , atunci și analoagele. Triunghiul DEF are același centru cu triunghiul ABC dacă |d| = |e| = |f|, deci . Cum , obținem , de unde rezultă că .
3. Fie ABCD un patrulater, astfel încât . Să se arate că mijlocul lui (MN) aparține segmentului determinat de mijloacele diagonalelor.
Soluție: Notăm .
Rezultă: m = a(1 – k) + bd; n = bk + (1 – k)c, .
Din , rezultă concluzia.
4. Fie ABC un triunghi oarecare și astfel încât . Să se arate că dreapta AE este paralelă cu dreapta determinată de mijloacele segmentelor (BC) și (DF).
Soluție: Dacă , atunci , iar M mijlocul lui BC, N mijlocul lui DF, avem (și .
5. Pe laturile (BC), (CD) ale patrulaterului ABCD se consideră punctele M și N astfel încât . Fie P punctul de intersecție a dreptelor AM și BN. Dacă , arătați că ABCD este paralelogram.
Soluție: Notăm cu x afixul unui punct X față de un reper oarecare.
Găsim:
,
de unde a + c = b + d și de aici concluzia.
6. Fie ABC un triunghi și M un punct în planul său, mijloacele laturilor BC, CA, AB și . Arătați că sunt concurente.
Soluție: Față de un reper oarecare, notăm x, afixul punctului X.
.
Căutăm un punct astfel încât afixul său, q să se exprime simetric în funcție de a, b, c.
Cum , alegem x astfel încât , deci . Pentru acest x, . Rezultă că dreptele date sunt concurente în Q.
Capitolul 4 – CONSIDERATII METODICE ASUPRA TEMEI
Studiul matematicii în cadrul liceului urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a formula și rezolva probleme pe baza relaționării și conexiunilor cunoștințelor din alte domenii, dar și înzestrarea elevilor cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă și a unei culturi comune pentru toți elevii determinând, pe de altă parte, trasee individuale de învățare.
De la modelul “magister dixit” la libertatea totală a școlii active, de la o abordare de tip autocrat la una democratică, activitatea de predare a fost abordată în diverse maniere de-a lungul timpului. Înțelegem prin predare activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor de învățare care au drept scop facilitarea și stimularea învățării eficiente la elevi. Pentru ca predarea să se manifeste cu adevărat în spiritual acestei accepțiuni, ea necesită proiectarea – gândirea în avans a derulării evenimentelor la clasă.
Întrucât organizarea și obiectivele formulate de diferitele tipuri de licee presupun o mare varietate de modalități de a utiliza cunoștințele matematice, dar și din cauza numărului de ore alocat diferit pentru fiecare tip de liceu, organizarea curriculum-ului este structurată pe mai multe tipuri de programe, respectiv M1, M2, M3.
Astfel, planurile cadru pentru clasele a IX–a și a X–a de liceu (anexa 1 la OMECT 5723 / 23.12.2004) sunt structurate pe trei componente: trunchi comun (TC), curriculum diferențiat (CD) și curriculum la decizia școlii (CDȘ).
Programa școlară de Matematică este structurată pe formarea de competențe. Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare; ele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.
Învățământul liceal trebuie să răspundă cât mai aplicat cerințelor sociale exprimate în termeni și achiziții finale ușor evaluabile. De aceea, programele școlare au fost organizate într-o structură care să permită centrarea pe competențele care urmează a fi formate la elevi și, în același timp, să asigure corelarea conținuturilor învățării cu aceste competențe.
În elaborarea programei s–a avut în vedere înzestrarea elevului cu competențe de tip funcțional (ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare) care presupun aplicarea optima a unor tehnici și strategii adecvate.
Noul curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.
În mod concret, s–a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia; continuitatea și coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într–o formă accesibilă, în scopul stimulării motivației pentru studiul matematicii și, nu în ultimul rând, asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.
PROIECTUL UNITATII DE INVATARE ”NUMERE COMPLEXE”
NUMERE COMPLEXE/ 13ORE
PROIECT DE ACTIVITATE DIDACTICĂ
Clasa: a – X – a,
Disciplina: Algebră
Titlul Activității: Numere complexe – Operatii cu numere complexe.
Tipul lectiei: Lectie de predare – fixare de noi cunostinte
Scopul: Formarea si dezvoltarea de capacitati, priceperi si deprinderi in vederea rezolvarii diferitelor situatii–problema
COMPETENTE GENERALE :
Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații–problemă
Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
COMPETENTE SPECIFICE :
Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în vederea optimizării calculelor.
Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.
Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale și complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații.
Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
O1. să identifice numerele complexe
O2. să utilizeze si să opereze cu numere complexe
O3. să efectueze operatii cu numere complexe si să aplice puterile lui i
Metode didactice: explicația, rezolvarea de probleme, conversația euristică,
Mijloace didactice: tabla, creta, manualul
Evaluare: continuă, frontală, globală
MOMENT ORGANIZATORIC:
Pregătesc materialul didactic și verific prezența elevilor
VERIFICAREA MODULUI DE INSUSIRE A CUNOSTINTELOR DOBANDITE ANTERIOR :
Metode folosite: conversatia, examinarea
Fie , ,
Se numeste partea reala a numarului complex
Se numeste coeficientul partii reale a numarului complex
Exemple de nr. Complexe z = 2+3i
Z=–12 – 13i
Operatii studiate – egalitatea z1=a1+b1i
Z2=a2+b2 i , Z1=Z2 daca a1=a2 si b1=b2
FIXAREA CUNOSTINTELOR: (prezentarea de material nou, obtinere de performanta)
Metode folosite: demonstrația, explicația,conversația euristică
OPERATII CU NUMERE COMPLEXE
1. ADUNAREA
Fie
APLICAȚII :
1. Dacă să se calculeze:
a) b)
2. Dacă să se calculeze:
a) b)
2. ÎNMULTIREA
Fie
APLICATII:
1. Dacă să se calculeze
2. Dacă să se calculeze:
a)
b)
CONJUGATUL UNUI NUMAR COMPLEX
DEFINITIE : Se numeste conjugatul numarului nr. notat
Obs :
3. ÎMPĂRȚIREA:
Fie ,
OBS. Inversul unui numar complex z= x+ yi , z∊ℂ , este numarul z–1 =1/z.
APLICAȚII :
1. Dacă să se calculeze: a)
2. Să se scrie sub forma algebrică .
APLICAȚII:
1. Dacă să se calculeze:
a) b) c) d)
e)
2. Să se scrie sub forma algebrică .
3. Dacă să se calculeze:
a)
4. Să se determine nr. dacă:
a)
b)
5. Să se determine z ∊ℂ daca: .
PUTERILE LUI i : (i2 = –1)
Exemple :
APLICATII :
Calculați ; S =i2000+2i2001 +3i2002+4i2003+5i2004+6i2005+7i2006
Calculati : S=i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8
Obs. Verificarea OBTINERII DE PERFORMANTA se face pe baza unei lucrari scurte.
ASIGURAREA FEED–BACK–ULUI:
Metode folosite: Conversatia, Scurta lucrare.
Fac o scurta recapitulare a noțiunilor care au fost utilizate în decursul lecției.
INCHEIEREA ACTIVITATII:
Stabilesc tema pentru acasă (manual,pagina 80,81 ,ex. 7,9 10,11.). Ofer indicatii cu privire la rezolvarea problemelor ce ar putea prezenta dificultăți.
CONCLUZII
Toate acțiunile din cadrul procesului instructiv–educativ vizează elevul, formarea și educarea acestuia. Poziția lui nu este cea a materialului inert din care sculptorul realizează opera de artă, ci constituie o resursă activă devenind partener în interacțiunea cu profesorul.
În general este greu să se facă o delimitare clară a strategiilor de predare–învățare, lecțiile fiind de regulă o îmbinare de strategii. Profesorul trebuie să fie conștient că prin cel mai mic efort de a–l implica pe elev în propria instruire face un pas înainte în creșterea motivației pentru învățarea matematicii, în atingerea obiectivelor educației. Prin strategiile folosite profesorul urmărește dezvoltarea unor sisteme cognitive bazate pe stimularea gândirii reflexive prin implicarea elevilor în situații din viața reală, precum și utilizarea în contexte variate a cunoașterii acumulate și a abilităților pe care aceștia și le-au format.
Strategiile educaționale sunt astfel concepute și folosite, încât asigură condițiile pentru întelegerea și interpretarea științei, pentru relaționarea cunoștințelor si evidențierea legăturilor dintre diferite științe. Performanțele tinerilor se vor concretiza în facilitarea luării deciziilor bazate pe valori și relaționarea acestor decizii cu realitatea socială.
Lucrarea de față și-a propus doar să exemplifice posibilitățile numeroase de aplicare a numerelor complexe într-o ramură a matematicii care este studiată, din păcate, de către elevii de liceu din ce în ce mai superficial, geometria. Astfel, au fost prezentate câteva noțiuni elementare ale geometriei plane traduse foarte natural în limbajul numerelor complexe, câteva strategii didactice de predare-învățare a numerelor complexe, precum și un set de probleme (unele chiar dificile, altfel), care au câștigat o soluționare mult ușurată, datorată folosirii acestor numere. Tema este, evident, infinit mai vastă și lasă loc ideii de studiu aprofundat.
ANEXE – ASPECTE METODICE. EXERCIȚII PROPUSE SPRE REZOLVARE CU AJUTORUL METODELOR DESCRISE
ANEXA 1 – DIAGRAMA VENN
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.15, pagina 35.
FORMA TRIGONOMETRICA A NUMERELOR COMPLEXE
Comparati forma trigonometrica a numerelor complexe cu forma algebrica a acestora. În zona suprapusă notați asemanarile.
Scrieti sub forma trigonometrica conjugatul numarului 9i–3.
Rezolvare: z=9i-3=-3+9i⟹
Probleme propuse ce se pot rezolva cu ajutorul diagramei Venn
Să se afle numarul complex scris sub forma trigonometrica (cos – i sin )
Să se arate ca triunghiul de varfuri A(2i), B(–4+6i), C(3+5i) este dreptunghic
Folosind forma trigonometrica a numerelor complexe să se arate ca cos2x=cos2x–sin2x si sin2x=2sinxcosx
ANEXA 2 – LEARNING BY DOING
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.4, pagina 28.
Determinarea numerelor reale x și y din relația: (x + y) + (3x + y)i = 3 – i.
Rezolvare
Observăm că în fiecare membru al egalității avem câte un număr complex. Pentru ca acestea să fie egale vom pune condițiile:.
Se rezolvă acest sistem și obținem: x = – 2 și y = 5.
Să se rezolve ecuația x2-4x+5=0.
Rezolvare
Δ=(-4)2–4∙1∙5=16–20=–4 deci ecuația are rădăcini complexe:
și analog .
Probleme propuse ce se pot rezolva cu ajutorul metodei LEARNING BY DOING
Să se găsească numerele reale x și y astfel încât:
(1 – 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i
(2 + i)x – (2 – i)y = x – y + 2i
Să se calculeze:
Să se arate că numerele complexe, sunt soluții ale ecuației x4+x2+1=0.
Să se calculeze:
Să se reprezinte geometric numerele complexe:
3 + 5i
4 – i
3i
– 5 – 5i.
Să se rezolve în ℂ ecuațiile:
x2–2x+2=0
x3–27=0
x4+16=0
x4–2x-8=0
Să se calculeze |z| unde
Să se determine m∈ℝ astfel încât numărul să fie real.
Să se determine numerele complexe z, astfel încât .
Dacă α și β sunt rădăcinile ecuației x2+x+1=0, să se calculeze:
α1980+β1980
(1+α)1980+(1+β)1980
Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie .
ANEXA 3 – PROBLEM SOLVING
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.7, pagina 30.
1. Să se calculeze numarul x = sin[5arcsin(1/3)].
Rezolvare:
Notând obținem, în baza formulei lui Moivre și se dezvoltă egalitatea în baza formulei binomului lui Newton.
Se egalează coeficienții lui i din cele două rezultate, se efectuează calculele și se găsește valoarea lui x.
Probleme propuse ce se pot rezolva cu ajutorul metodei LEARNING BY DOING
1. Coordonatele polare ale unui numar complex z=x+i·y sunt
,
Reprezentați punctul corespunzător numărului complex z= 3+2·i. Care este forma polară a acestui număr complex. Scrieți acest număr în forma polară. Calculați modulul și numărul complex conjugat ale acestui număr complex.
2. Aplicând relațiile de mai sus să se calculeze produsul și raportul a două numere complexe z1= x1+y1·i și respectiv z2= x2+y2·i.
3. Să se arate că dacă n este număr întreg : i4n≡1 și i2n≡ –1.
4. Folosind forma polară a numerelor complexe z(r,θ)=r·eiθ să se calculeze z1·z2 și z1/z2. De asemenea să se calculeze zn și z1/n.
5. Să se calculeze rădăcina cubică a numărului –8 folosind forma trigonometrică a numerelor complexe.
ANEXA 4 – K.W.L.
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.17, pagina 36.
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
Forma algebrică și Aplicarea în cadrul Metode de rezolvare
forma trigonometrică geometriei a problemelor de
a numerelor complexe a numerelor complexe geometrie cu ajutorul
numerelor complexe
I. Reprezentarea geometrica a numerelor complexe.
Execitiu;
Punctele M( 2,0) si N( 3,4) au ca afixe numerele complexe zM = 2 si zN = 3 + 4i. Numerele complexe z1 = 2i si z2 = 3 – i au ca imagine geometrică punctele A( 0,2) si B(3,–1)
Prin asocierea z = x + iy”<< M(x,y), multimii ℝ a numerelor reale îi corespunde axa Ox numită, în acest context, axa reală, iar multimii iℝ a numerelor imaginare, axa Oy, numită axa imaginară. Planul ale carui puncte se identifica cu numerele complexe prin functia g o f, definită mai inainte, se numește planul complex. În acest fel, putem transfera pe ℂ proprietățile geometrice definite pe V2 sau P și reciproc, orice relatie stabilită între numere complexe poate fi interpretată în V2 sau P .
II. Descrierea geometrica a operatiilor cu numere complexe. Distanta dintre doua puncte.
1) Se consideră punctele A, B, C și I de afixe 5+i, , , și respectiv 2 + i. Să se arate că punctele A, B și C se găsesc pe același cerc cu centrul în I.
Soluție:
Calculam distantele: IB=|zB-zI|, IA, și respectiv IC și obținem valuarea 3. Deci A, B, C sunt puncte ale cercului cu centrul în I și raza 3
2) Să se reprezinte în planul complex mulțimea punctelor M al caror afix z verifică egalitatea |z+1+i|=|z-3|
Soluție:
Fie A și B punctele de afixe zA = –1 –i și zB = 3.
Relația dată se scrie |zM-zA|=| zM-zB|, adică MA = MB. Mulțimea căutată este mediatoarea segmentului AB.
III. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie.
1. Rezolvați ecuațiile:
a) |z – a| + |z – b| = b – a, z număr complex, a, b numere reale fixate, b > a.
b) |z| + |z – 1| + |z – 2| + |z – 3| = 4, z număr complex.
Soluție: Alegem un reper XOY, A, B pe OX și M(z), A(a), B(b).
a) ecuația este echivalentă cu MA + MB = AB, de unde rezultă că M se află pe [AB], deci z este număr real,
b) 4 = |z| + |z – 1| + |z – 2| + |z – 3| |z – (z – 3)| + |z – 1 – (z – 2)| = 4, de unde rezultă |z| + |z – 3| = 3 și |z – 1| + |z – 2| = 1 .
2. Să se arate că nu există trei numere complexe cu modulele egale cu 1, care să verifice:
.
Soluție: Fie . După calcule, obținem:
și
,
de unde ;
.
Rezultă: .
Cum (egalitățile pentru sinx= 0, cosx = 1 sau sinx=1, cosx = 0), rezultă , fals.
3. Fie a, b, c trei numere complexe, astfel încât . Demonstrați că
.
(Olimpiada Națională, 2008)
Soluție: Dacă unul dintre numere este nul, concluzia este evidentă.
În caz contrar, fie , deci și . În acest caz, diferențele dintre argumentele numerelor sunt egale cu . Rezultă, din teorema cosinusului, că și analoagele. Prin înmulțirea acestor relații, rezultă concluzia.
4 . Fie a, b, c numere complexe. Demonstrați că:
Soluție: iar
. Prin înmulțire, rezultă concluzia.
5. Fie n un număr întreg, și . Considerăm mulțimile și
. Să se determine .
Soluție: Avem: .
Fie . Există astfel încât . Cum
Din , deci n este par. Astfel, pentru n impar, ={1}, iar pentru n par .
ANEXA 5 – PROBLEMATIZAREA
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.6, pagina 30.
Cateva exemple de rezultate celebre din geometrie rezolvate ca problem și cu ajutorul numerelor complexe
1. Dreapta lui Euler.
Fie triunghiul ΔABC și punctele O, G, H , cu semnificațiile uzuale. Să se demonstreze că punctele O, G, H sunt coliniare ( dreapta lui Euler a triunghiului) și să se precizeze raportul în care G divide segmentul orientat (O, H).
Soluția 1.(metoda coordonatelor complexe) Se consideră o coordonatizare complexă a planului ABC având originea în ppunctul O ( centrul cercului circumscris lui ΔABC). Fie A(a), B(b), C(c) și A'(-a) simetricul lui A în raport cu O. Atunci G are afixul g = și cum HBA'C este un paralelogram, rezultă : ( afixul mijlocului M al lui [BC]), de unde se deduce că H are afixul h = a + b +c . Prin urmare, h = 3 g , deci O, G, H sunt coliniare. Deoarece se poate scrie :, rezultă că G divide bipunctul (O, H) în raportul ().
Soluția 2.(metoda raționamentului geometric) Cu notațiile de la soluția precedentă, raționamentul este următorul : 1) HBA'C este un paralelogram ( BH AC, A'C AC BH A'C ; CH AB, A'B AB CH A'B ) ; 2) În triunghiul ΔA'AH , OM este linie mijlocie, deci OM AH , OM = AH ; 3) Mediana AM a triunghiului ΔABC ( dar și al lui ΔA'AH ) intersectează segmentul (OH) într-un punct G' ; se va arăta că G' este centrul de greutate G al lui ΔABC ; 4) Are loc asemănarea ΔG'OM ΔG'HA ( teorema fundamentală a asemănării), din care se deduce că : ; rezultă, pe de o parte, că G' = G, adică punctele O, G, H sunt coliniare, iar , pe de altă parte, că G divide (O, H) în raportul () .
Soluția 3.(metoda vectorială) , deci punctele O, G, H sunt coliniare; cum 3, rezultă că G (OH) sau O – G – H și , adică G divide pe (O, H) în raportul ().
2. Cercul lui Euler.
Fie triunghiul ΔABC , punctele O, G, H , cu semnificațiile uzuale , M, N, P, mijloacele laturilor [BC], [CA], respectiv [AB] , D, E, F, proiecțiile vârfurilor A, B, respectiv C, pe laturile opuse, iar A', B', C' , mijloacele segmentelor [AH], [BH], respectiv [CH] . Să se demonstreze că punctele D, E, F, A', B', C' aparțin cercului circumscris triunghiului median ΔMNP ( numit cercul medial sau cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte al lui ΔABC).
Soluția 1.(metoda coordonatelor complexe) Se consideră o coordonatizare complexă a planului ABC având originea în punctul O. Fie A(a), B(b), C(c); atunci G are afixul
g= și H are afixul h=a+b+c. Dacă A'(a'), M(m), atunci: m=, a'= Prin urmare, mijlocul segmentului [A'M] este punctul O1 de afix o1 = .
Se observă că o1 este simetric în a , b, c , deci O1 este, de asemenea, mijlocul segmentelor [B'N], [C'P]. Cum O1 este , evident, mijlocul lui [OH], rezultă că punctele M, N, P, D, E, F, A', B', C' sunt conciclice, pe cercul lui Euler, care are centrul O1.
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) 1) Se arată că patrulaterele MNPD, NMPE, PNMF sunt trapeze isoscele (MN = DP =AB; NM = EP =AB; PN = FM =BC ), deci D, E, F aparțin cercului lui Euler; 2) NA' NM ( NA' CH NA' AB NA' NM), PB'PN (PB'AHPB'BCPB'PN), MC' MP (MC' BH MC' AC MC' MP); rezultă că m() + m(= 180 , m(+ m(=180, m(+ m() = 180, deci patrulaterele cu vârfurile A', N, M, D , respectiv, B', P, N, E, respectiv, C', M, P, F, sunt inscriptibile, ceea ce înseamnă că A', B', C' aparțin cercului lui Euler.
Soluția 3.(metoda coordonatelor ) Se consideră un s.c.c.o. OXY , având originea O – proiecția D a vârfului A pe BC, OX=BC, OY = OA. Prin urmare, fie A(0, a) , B(b, 0), C(c, 0). Rezultă: M(, N(, P(. Ecuațiile laturilor lui ΔABC sunt :
AB: ; BC : y = 0; CA : , iar ecuațiile înălțimilor sunt:
AO: x = 0; BE : y = ; CF : y = . Se obțin coordonatele ortocentrului
{H}= AO BE , rezolvând sistemul de ecuații ale dreptelor respective și avem H(0, ). Similar se obțin proiecțiile vârfurilor:
D = O(0,0), E(, F( .
În fine, mijloacele segmentelor [AH] , [BH], [CH] sunt punctele A'(, B'(,
C'(. Se scrie ecuația cercului circumscris triunghiului lui Euler:
i.e. , de unde rezultă:
Se verifică succesiv, că ecuația este verificată de coordonatele punctelor D, E, F, A', B', C', adică ele aparțin cercului lui Euler.
3. Teorema lui Pappus.
Fie triunghiul ΔABC și punctele A' BC , B' CA , C' AB , astfel încât :
, k 0 .
Să se demonstreze că triunghiurile ΔABC și ΔA'B'C' au același centru de greutate.
Soluția 1.(metoda coordonatelor complexe) Se alege o coordonatizare, pentru care originea sa fie centrul de greutate G al lui ΔABC . Prin urmare G(0) și dacă A(a), B(b), C(c) , atunci a + b + c = 0. Punctele A', B', C' divid bipunctele (B,C) , (C, A) , respectiv (A, B), în același raport : (- k) , dacă A', B', C' sunt pe laturi , respectiv k , dacă A', B', C' sunt în exteriorul laturilor . Se tratează similar fiecare caz. Astfel, dacă suntem în primul caz și x, y, z sunt afixele punctelor A', B', respectiv C', atunci :
x = , y = , z = ,
iar centrul de greutate G' al triunghiului ΔA'B'C' are afixul :
g' = = …= = 0,
ceea ce înseamnă că G' = G.
Soluția 2.(metoda vectorială) Avem : == .
Pe de altă parte, dacă G , G' sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ΔABC și ΔA'B'C', atunci , și
3.
Prin urmare, , adică G' = G.
4. Teorema lui Pompeiu.
În plan, distanțele unui punct la vârfurile unui triunghi echilateral pot fi lungimile laturilor unui triunghi.
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Dacă triunghiul ABC este echilateral, adică |b – c = c – a = a – b|, atunci relația z – a b – c z – b c – a + z – c a – b devine :
z – a z – b + z – c sau MA MB + MC .
Deoarece se pot obține relații analoage, permutând circular A, B, C, aceste relații probează existența unui triunghi avand laturile de lungimi MA, MB, MC.
Soluția 2.(metoda transformărilor geometrice) Fie un triunghi echilateral ΔABC și punctul M ABC . Se consideră rotația : E2 E2 , de centru B și de unghi , pentru care (A) = C , (C) = C' , (M) = M' . Deoarece este o izometrie , BM' = BM = = MM' , M'C = MA . Prin urmare, triunghiul ΔM'CM are laturile de lungimi MA, MB, MC.
5. Teorema lui G. Ceva.
Fie un triunghi ΔABC și punctele A' BC, B' CA, C' AB , astfel încât dreptele (ceviene) AA', BB', CC' sunt concurente într-un punct O . Să se demonstreze că are loc relația:
,
unde factorii din membrul stâng sunt rapoartele simple: (B,C;A') = k1, (C,A;B') = k2 , (A,B;C') = k3 .
Soluția 1. (metoda coordonatelor complexe) Fie AA’ BB’ CC’ ={O} și se consideră o coordonatizare complexă cu originea O. Fie punctele de afixe precizate : A(a), B(b), C(c), A’(a’), B’(b’), C’(c’).Din ipoteza teoremei, , , ; rezultă , .
Din aceste relații se deduce: , de unde obținem:
. (1)
Pe de altă parte, ; . Din aceste relații rezultă:, de unde obținem:
. (2)
În fine, avem : , .
Din aceste relații rezultă: , de unde obținem:
. (3)
Efectuând înmulțirea relațiilor (1), (2) și (3) se obține .
Soluția 2. (metoda raționamentului geometric) Se notează cu A[ABC] aria lui ΔABC.
Utilizând arii, se pot scrie relațiile : ; , care implică :
(proporție derivată). Analog se obțin celelalte două relații similare :
; = . Prin înmulțirea membru cu membru a celor trei relații se deduce:
= = 1.
Deoarece există două posibilități : a) toate cele trei puncte A', B', C' aparțin laturilor , caz în care = – (B, C ; A') ; = – (C, A ; B') ; = – (A, B ;C') sau
b) doar unul din punctele A', B', C' aparține triunghiului, celelalte două fiind exterioare acestuia, caz în care, de exemplu,
= – (B, C ; A') ; = (C, A ; B') ; = (A, B ;C') .
În concluzie, relația din enunț este verificată.
Soluția 3.(metoda raționamentului geometric) Să presupunem că A' (BC) . Se aplică teorema lui Menelaus triunghiului ΔAA'B și punctelor coliniare O, C, C':
. (1)
Se aplică teorema lui Menelaus triunghiului ΔAA'C și punctelor coliniare O, B, B' :
. (2)
Se împarte membru cu membru relația (2) la relația (1) și se obține:
= 1 i.e. .
ANEXA 6 – METODA CADRANELOR
EXERCITII DE PREGATIRE A EXAMENULUI DE BACALAUREAT
Observație: Etapele metodei în cuprinsul lucrării, la capitolul 1.2.16, pagina 36.
În continuare prezint un set de exerciții ce se pretează a fi folosite pentru pregătirea examenului de bacalaureat prin metoda cadranelor.
1. Să se determine mulțimea punctelor din plan ale căror afixe satisfac:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Să se determine forma trigonometrică a următoarelor numere complexe:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
3. Fie un număr real nenul. Să se arate că forma trigonometrică a lui este:
4. Fie un număr complex nenul. Să se arate că:
5. Să se determine modulele și argumentele numerelor:
a)
b)
c)
d) , .
6. Să se calculeze produsul sub forma trigonometrică
7. Să se calculeze modulele și argumentele reduse ale următoarelor numere complexe:
a) d)
b) e )
c) f)
8. Să se calculeze:
a) ; b) ; c) , ,
9. Să se arate că, dacă numerele naturale și sunt prime între ele, atunci ecuațiile și au o singură rădăcină comună.
10. Să se rezolve următoarele ecuații binome:
a) c)
b) d) .
11. Să se rezolve ecuațiile:
a) c)
b) d) .
12. Să se reprezinte mulțimile punctelor din plan ale căror afixe satisfac:
a) d)
b) e) .
c)
13. a) Știind că , , să se calculeze .
b) Să se calculeze , știind că .
14. Să se demonstreze că formula lui Moivre este adevărată și în cazul în care este un număr întreg negativ.
15. Să se demonstreze:, unde: , .
16. Să se efectueze calculele:
a) ;
b) .
17. Fie expresia . Să se calculeze .
18. Să se calculeze rădăcinile de ordin ale lui în următoarele cazuri:
a) c)
b) d) .
19. Să se determine rădăcinile de ordin 3, 4 și 8 ale unității.
20. Să se demonstreze că rădăcinile de ordin ale unității sunt egale cu puterile unei rădăcini particulare (o astfel de rădăcină se numește rădăcina primitivă de ordin al unității ).
21. , , fiind rădăcinile de ordin 3 ale unității, să se arate că:
a) ; b) ; c)
22. Știind că numărul complex verifică ecuațtia , să se arate că nume–rele , și verifică aceeași ecuație.
Aplicație: Să se calculeze și să se deducă rădăcinile de ordinul 4 ale numărului .
23. Să se verifice poziția celui de–al treilea vârf al triunghiului echilateral, afixele a 2 vârfuri fiind: , .
24. Fie trei numere complexe, nenule, distincte 2 câte 2 și de module egale. Să se demonstreze că dacă , și sunt numere reale, atunci .
26. Notând cu mulțimea rădăcinilor de ordinul ale unității, să se demonstreze că:
a) ; b)
27. Să se determine numerele complexe de modul 1 care verifică .
28. Fie ecuația , și și . Să se arate că ecuația dată are cel puțin o rădăcină de modul egal cu 1.
29. Fie trei numere complexe nenule, astfel încât .
a) Să se demonstreze că numerele complexe și astfel încât , și
b) Să se rezolve ecuația în raport cu una din necunoscute.
c) Folosind eventual rezultatele de la a) și b) să se demonstreze că dacă atunci sau numerele sunt vârfurile unui triunghi echilateral.
BIBLIOGRAFIE
Albu, I. D. Geometrie. Concepte și metode de studiu. Partea I: Construcția axiomatică a geometriei euclidiene, Editura Mitron, Timișoara 1998
Andreescu T., Andrica D., Complex Numbers from A to Z, Birkhausser Boston, 2006
Ardelean, L., Secelean, N., Didactica matematicii-noțiuni generale, comunicare didactică specifică matematicii, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007
Banea H., Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, Pitești,1995
Bobic F.I.– Lucrare metodico–științifică pentru obținerea gradului didactic i în învățământ,
Bocoș M., Jucan D., Teoria și metodologia instruirii și Teoria și metodologia evaluării. Repere și instrumente didactice pentru formarea profesorilor, Casa Cărții de Știință, Cluj – Napoca, 2007
Brânzei D. și alții, Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei, București, 1983
Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Pitești 2010
Cerghit I., Metode de învățământ, EDP R.A, București, 1997
Chirilă C. și alții, Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii, Editorul materialului ISJ Iași, Iași 2012
Cîrjan F., Didactica Matematicii, Ed. Corint, București, 2008
Cucoș, C. (coord.). Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, ed. a II–a revăzută și adăugită, Editura Polirom, Iași, 2008
Cucoș, C. Teoria și metodologia evaluării, Editura Polirom, Iași, 2008
Ghircoiașiu N., Iasinschi M. Fișe de algebră pentru elevi și absolvenți de licee. Ed. Dacia, Cluj–Napoca, 1976
Gazier, B. Strategiile resurselor umane, Editura Institutul European, Iași, 2003
Iucu, B. R. Instruirea școlară, Editura Polirom, Iași, 2002
Joița, E., Pedagogie și elemente de psihologie școlară pentru examenele de definitivare și obținerea gradului didactic II (profesori, institutori, învațători, educatoare), Editura Arves, 2003.
Mihăileanu, N., Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Ed. Tehnică, București, 1968
Neagu M., Petrovici C., Elemente de didactica matematicii, PIM, Iași 2002
Oprea, C.L, Strategii didactice interactive. București: E.D.P., 2006
Radovanovic M., Complex Numbers in Geometry, The IMO Compedium Group, 2007
Radu I., Miron I., Didactica modernă, Ed. Dacia, Cluj – Napoca; 1995
Sălăgean S¸ Geometria planului complex, Promedia–Plus, Cluj Napoca, 1997.
Soitu, L; Cherciu, R.D. (coord), Strategii educationale centrate pe elev, Bucuresti 2006
Zlate, M, Psihologia mecanismelor cognitive, Editura Polirom, Iași, 2008
Zlate, M. Fundamentele psihologiei, Editura Universitară, București, 2006
Zlate, St. s.a. Strategii moderne de predare-învățare-evaluare, Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013, Axa prioritară 1 – Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii economice și dezvoltării societății bazate pe cunoaștere Domeniul major de intervenție 1.3 – Dezvoltarea resurselor umane în educatie si formare profesională
Manuale alternative de Matematică pentru clasele, a X – a, a XI – a, Editurile Didactică și Pedagogică, Teora, All, Petrion, Mathpress, 1995 – 2012
www.Wikipedia ; www.MathWorld
www.matestn.ro/Matematica%20in%20judet.htm
www.edu.ro
www.didactic.ro
www.programescolare.ro
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Exerciții de fixare a modalităților de rezolvare a ecuațiilor cu coeficienți complecși) [306518] (ID: 306518)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.