Exemple selectate din materia de gimnaziu Editura 2017 Cuprins *** 1 Noțiuni matematice 3 1.1 Definiția . . . . . . . . . . . . . . . [608502]

Prof. Cosor Gabriela Cristina
ELEMENTE DE LOGICĂ
MATEMATICĂ
Exemple selectate din materia de gimnaziu
Editura
2017

Cuprins
***
1 Noțiuni matematice 3
1.1 Definiția . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Clasificarea și diviziunea noțiunilor . . . . . . . . . . 8
Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1

1Capitolul
Noțiuni matematice
***
Noțiunile, conceptele, sunt forme de reflectare a realității obiec-
tive. Ele se formează pe baza unor operații de gândire, cum ar fi:
observația, comparația, analiza, sinteza, generalizarea, sistematiza-
rea, abstractizarea, concretizarea, analogia. Pe baza observației și a
comparației (pe baza unui criteriu stabilit) se stabilesc proprietăți
aleobiectelor,asemănărișideosebirialeacestora. Analizapresupune
descompunerea întregului în părți componente, ceea ce conduce la
evidențierea proprietăților obiectelor. Sinteza este operația opusă
acesteia, prin care, pe baza proprietăților sau a părților, se reface
întregul. Prin abstractizare, se desprind proprietățile generale ale
obiectului. Generalizarea presupune extinderea acestor proprietăți
la o clasă de obiecte.
Elementele structurale ale noțiunii sunt:
•conținutul-cuprindetotalitateaproprietățiloresențialealeno-
țiunii și proprietățile ce decurg din acestea, reflectând necesa-
rul. De exemplu, conținutul noțiunii de paralelogram este:
"figură plană, cu patru laturi, cu laturile opuse paralele, etc."
•sfera – înglobează toate obiectele care au proprietățile cuprinse
în conținutul noțiunii, reflectând generalitatea. De exemplu,
sfera noțiunii de paralelogram cuprinde mulțimea pătratelor,
dreptunghiurilor, romburilor.
Conținutulșisferauneinoțiuniconstituiestructuralogicăaacesteia.
Ele se folosesc pentru a clasifica noțiuni, la rezolvarea de exerciții și
3

probleme, în demonstrațiile teoremelor.
Spunem că o noțiune este mai generală decât o alta dacă sfera
ei conține sfera celeilalte noțiuni. Între conținutul noțiunii și sferă
există o dependență: dacă mărim conținutul se micșorează sfera și
invers (legea variației inverse a conținutului și sferei noțiunilor, lege
de bază în logică). De exemplu, dacă la conținutul noțiunii de pa-
ralelogram mai adăugăm proprietatea ca diagonalele să fie egale,
obținem noțiunea de dreptunghi, a cărei sferă este strict inclusă în
cea a paralelogramului.
Generalizarea noțiunii presupune trecerea de la o noțiune cu o sferă
mai restrânsă, la o alta, a cărei sferă este mai cuprinzătoare (se trece
de la o noțiune specie la o alta tip gen). De obicei, pentru a genera-
liza o noțiune, se renunță la o proprietate esențială și independentă
de celelalte proprietăți ale noțiunii. Astfel, teorema lui Pitagora,
caracteristică triunghiurilor dreptunghice, se generalizează la cazul
triunghiurilor oarecare, renunțând la condiția ca un unghi al triun-
ghiului să fie drept.
Pentru a concretiza o noțiune se folosesc procedee inverse generali-
zării noțiunilor. Astfel, se adaugă la conținutul noțiunii inițiale una
sau mai multe proprietăți independente de cele deja existente. Sfera
noțiunii se restrânge. Dacă la proprietățile noțiunii de paralelogram
adăugăm proprietatea "să aibă un unghi drept", obținem noțiunea
de dreptunghi, iar dacă mai adăugăm și "are laturile congruente"
obținem noțiunea de pătrat. Prin restrângerea succesivă a sferei ini-
țiale la altele mai puțin cuprinzătoare, ajungem în situația în care
determinarea nu se mai poate realiza. în acest caz, noțiunea rezul-
tată se numește individuală, unitară, sfera fiind formată dintr-un
singur element (triunghiul echilateral, de exemplu). O altă metodă
de a concretiza o noțiune este cea de a introduce restricții, condi-
ții asupra noțiunii, formulei, teoremei considerate. Spre exemplu,
pornind de la noțiunea de triunghi, obținem noțiunile de triunghi
dreptunghic, isoscel.
Unele noțiuni nu se pot defini fără altele (numărătorul unei fracții
fără numitorul ei, mediana fără noțiunea de triunghi, ecuația fără
noțiunea de variabilă). Ținând cont de diferitele raporturi existente

între noțiuni, acestea pot fi diferențiate în noțiuni comparabile și
incomparabile.
1. Noțiunile comparabile sunt cele care au proprietăți comune.
Ele se pot afla în raporturi de:
•compatibilitate, când sferele coincid total sau parțial. În
acest caz, aceste noțiuni pot fi în relații de:
–identitate, ce semnifică noțiuni identice, care au ace-
eși sferă, dar conținutul acestora diferă. De exemplu,
noțiunea de triunghi echilateral este identică cu cea
de "triunghi cu toate unghiurile congruente";
–subordonare, când sfera unei noțiuni este strict in-
clusă în sfera celeilalte noțiuni (număr prim, număr
natural). Raportul de subordonare se folosește în de-
finirea noțiunilor matematice, precizând genul și de-
osebirile de specie. De exemplu, triunghiul (noțiunea
subordonată) este un poligon (noțiunea subordona-
toare) cu trei laturi.
–intersecție, adică sferele celor două noțiuni se inter-
sectează. Putem considera, pentru acest caz, rom-
bul și dreptunghiul, (au în comun pătratul), triun-
ghiul isoscel și cel dreptunghic, (comun este triun-
ghiul dreptunghic isoscel), numere divizibile cu 3 și
cu 2, (numerele divizibile cu 6 fac parte din ambele
sfere).
•incompatibilitate, când sferele noțiunilor nu se intersec-
tează. (Unele noțiuni pot fi incompatibile, de exemplu
pătratul și triunghiul, dar pot fi comparabile, dacă le pri-
vim ca poligoane.) Acest tip de noțiuni se pot afla în
raporturi de:
–coordonare, atunci când mai multe noțiuni sunt no-
țiuni specie ale aceleiași noțiuni gen, dar sferele lor
nu se intersectează. De exemplu, dreptele paralele și

cele concurente (ambele sunt noțiuni specie ale no-
țiunii gen "drepte în plan")
–contradicție, dacănoțiunileseexcludunapecealaltă.
în această situație, sferele celor două noțiuni reunite
formează sfera noțiunii gen din care fac parte. De
exemplu, menționăm perechile număr par și impar,
număr pozitiv și negativ.
–contrarietate, dacă reuniunea sferelor este strict in-
clusă în sfera noțiunii gen căreia acestea se subordo-
nează. Aceste noțiuni se mai numesc noțiuni opuse
sau contrare. De exemplu, unghi ascuțit și unghi ob-
tuz.
2. Noțiunile incomparabile sunt acele noțiuni care nu au propri-
etăți comune. Spre exemplu, noțiunile de bisectoare și număr
prim, ecuații și dreptunghi sunt noțiuni incomparabile.
1.1 Definiția
În matematică există noțiuni primare sau fundamentale, care nu
se definesc (cum ar fi cele de mulțime, plan, punct, dreaptă) și no-
țiuni derivate, care se definesc pe baza noțiunilor primare, sau a
altor noțiuni deja definite.
Definiția este enunțul prin care se precizează elementele esențiale
din conținutul unei noi noțiuni. Se menționează astfel, proprietățile
esențiale ale noțiunii, putând face distincția dintre noțiunea definită
și altele. în orice definiție apar două elemente: noțiunea de definit
(definitul) și expresia prin care definim (definitorul), cea care ajută
la definire. De exemplu, în definiția "Un poligon este o linie frântă
închisă", definitul este noțiunea de poligon iar definitorul este linie
frântă. Prin formularea definițiilor se dezvoltă gândirea și limbajul
matematic. Definițiile trebuie introduse corect și complet, cu multă
grijă, trebuie insistat asupra analizei acestora, sunt mereu urmate
de exemple care să ușureze asimilarea lor. De asemenea, trebuie

dezvoltată capacitatea elevilor de a le folosi în demonstrarea teore-
melor, în rezolvarea problemelor, în definirea altor noțiuni, ceea ce
asigură profesorul de faptul că noțiunea predată a fost înțeleasă.
Vom prezenta câteva tipuri de definiții întâlnite mai des în matema-
tică.
1. Definiții prin indicarea genului proxim și a diferenței specifice
(des întâlnite în geometrie). Definirea presupune În acest caz
două etape:
•se include sfera noțiunii care se definește În sfera unei
noțiuni gen, cunoscută de elevi. De obicei se indică ge-
nul cel mai apropiat (genul proxim) pentru că acesta este
cel care are cele mai multe proprietăți comune cu noua
noțiune. De exemplu, genul proxim pentru paralelogram
este patrulaterul.
•se indică proprietățile esențiale ale noțiunii noi care o
deosebesc pe aceasta de celelalte specii ale genului indicat
(diferența specifică).
În general, o noțiune are mai multe proprietăți esențiale echi-
valente. De exemplu, pentru noțiunea de paralelogram putem
enumera "are laturile opuse paralele", "are o pereche de laturi
opuse paralele și congruente ", "are unghiurile opuse congru-
ente", etc. Definirea noțiunii se face folosind una din propri-
etăți, în cazul nostru "paralelogramul este patrulaterul cu la-
turile opuse paralele", iar celelalte conținuturi echivalente sunt
enunțate ca proprietăți caracteristice în teoreme sau definiții
echivalente (se are în vedere că trebuie demonstrată echiva-
lența acestor definiții înainte să le folosim). În acest mod de
definire, se precizează genul, specia și diferența specifică. În
cazul definiției luate ca exemplu Înainte, paralelogramul este
specia, patrulaterul este genul proxim iar diferența specifică
este dată "de laturile opuse paralele".
2. Definiții genetice (constructive), cele în care definitorul indică
sursa din care provine obiectul definit și modul de formare

al acestuia (se precizează anumite obiecte inițiale și operațiile
efectuate cu ele pentru a defini noțiunea nouă). Obiectele ini-
țiale pot fi numere, expresii algebrice, figuri geometrice. Ope-
rațiile pot fi aritmetice, algebrice, logice, de substituție sau
de comparație. De exemplu, suprafața cilindrului se definește
ca suprafața generată prin rotația unui dreptunghi în jurul
uneia din laturile sale. Ca procedee principale folosite În defi-
nițiile generice ale unor noțiuni geometrice, putem menționa:
transformările geometrice (la definirea suprafețelor de rotație,
a figurilor congruente sau asemenea) și construcțiile (la defini-
rea proiecției ortogonale a unui punct pe o dreaptă, proiecția
unei drepte pe un plan, etc.). Aceste procedee sunt ușor de
abordat de către elevi, ele fiind folosite mai ales În etapa de
formare a noțiunilor respective. Un caz particular al definiți-
ilor constructive este cel al definițiilor recursive, prin care se
indică regulile de formare a obiectelor noi din cele inițiale.
3. Definiții convenționale, întâlnite des în algebră, în care noțiu-
nile sunt introduse prin expresii matematice (funcția de gradul
I, al II-lea)
1.2 Clasificarea și diviziunea noțiunilor

Bibliografie
***
[1] Bieltz P., Dumitru M., Logică elementară și argumentare, ma-
nual pentru clasa a IX-a, Editura All Educational, București,
1999.
[2] Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii, Editura
Paralela 45, 2000.
[3] M.E.C., C.N.C., Ghid metodologic pentru aplicarea programe-
lor de matematică, primar-gimnaziu, Editura Aramis, București,
2001.
[4] Savu I., Prajea M., Rădulescu S., Chiteș C., MoŃăŃeanu M.,
Poștaru C., Lupșor V., Streinu-Cercel G., Marinescu D., Moldo-
veanu S., Povarnă A., Heuberger C., Constantinescu E., Ghidul
profesorului de matematică Concursul pentru ocuparea posturi-
lor didactice-2004, Editura Sigma, 2004.
[5] Vârtopeanu I., Metodica predării matematicii, Sinteze, vol. I,
Editura Sitech, Craiova, 1998.
9