Evaluarea Progresului Scolar In Urma Activitatilor de Rezolvare de Probleme

CUPRINS

INTRODUCERE

Epoca contemporană formulează multiple exigențe față de personalitatea umană, pe primul loc situându-se gândirea – și nu orice fel de gândire, ci o gândire creatoare.

Într-o lume stabilă rațiunea este facultatea cea mai de preț. Dar într-o lume mobilă și reînnoită permanent, trebuie să inventeze, și mai întâi trebuie să inventezi propria viață.

În întreaga istorie a societății, gândirea umană a avut un rol esențial. Programul socio-cultural și cele mai complicate probleme științifice sau tehnice depind de capacitățile spirituale , de productivitatea gândirii.

G. Văideanu arată că nu există tezaur mai sigur decât cel constituit din inteligențele bine formate, corect folosite și permanent susținute de un ideal de viață superior.

Epoca contemporană are nevoie de un om cu gândirea creatoare, inventiv, explorator, îndrăzneț. Gândirea independentă și spiritul inovator trebuie să devină însușiri de care să dispună fiecare individ. De aceea, schimbările ce se petrec pe plan mondial, în concepțiile despre învățământ situează pe primul loc, dezvoltarea gândirii elevilor, formarea gândirii creatoare. Plecând de la acest fapt, învățământului primar îi revine sarcina de a contribui la creșterea și educarea viitorilor cetățeni în concordanță cu procesul accelerat al dezvoltării sociale.

Învățământul primar este o etapă a ciclului curricular de dezvoltare. Stabilitatea achizițiilor dobândite la acest moment și capacitatea de a le utiliza creativ devin fundamentale în formarea viitorului absolvent al școlii, al viitorului cetățean. Ciclul curricular de dezvoltare transformă clasa IV-a într-un moment al închiderii, al finalului într-o fereastră spre viitor, iar conștiința acestui fapt rămâne să modeleze activitatea învățătorului în clasă.

Astăzi se afirmă cu tot mai multă convingere că fundamentul culturii moderne îl constituie matematica, că indiferent de domeniul în care activează omul modern trebuie să posede o bună pregătire pentru a putea soluționa multipele probleme ale vieții.

Matematica modernă nu înseamnă cunoștințe, ci înseamnă în special un mod de a gândi și mai mult precum și pasiunea de a descoperi prin gândire proprie.

Primele patru clase de școală au un rol hotărâtor pentru parcurgerea de către elevi a întregului sistem al învățământului matematic.

Cu ,,echipamentul” pe care i-l dau aceste clase, elevul face întreaga călătorie în domeniul acestei științe. În măsura în care cunoștințele noi găsesc suport în mintea elevului, ele se sudează, se cimentează și construcția se ridică solidă și estetică în același timp.

În clasele I-IV se formează noțiunile matematice elementare, de bază, cu care copilul de azi va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic. Acum se formează instrumentele de bază, deprinderi de calcul, de măsurare, de rezolvare a problemelor etc. Se formează unele aptitudini și abilități ale gândirii.

Matematica este obiectul de învățământ care obligă cadrele didactice la cercetare și găsirea metodelor, procedeelor și căilor de transmitere la elevi a cunoștințelor temeinice și accesibile.

Misiunea noastră a învățătorilor este de a folosi cât mai rațional imensul potențial educativ ce ni-l oferă rezolvările de probleme, de a descoperi și cultiva cele mai frumoase calități sufletești ale elevilor, ale dezvoltării calităților intelectuale, a le conștientiza interesul pentru propria dezvoltare intelectuală și mai ales să valorificam posibilitățile creatoare ale elevilor.

Omul prezentului și al viitorului trebuie să fie ușor adaptabil la schimbări, inventiv.

Prin matematică dezvoltam gândirea creativă și independența la copii, rezolvăm corelarea tuturor disciplinelor și contribuim la legarea de practică a învățământului primar. Iată de ce găsirea și aplicarea unor modalități de lucru în cadrul orelor de matematică care să conducă la dezvoltarea gândirii logice și creatoare a copiilor constituie un important subiect de investigare și cercetare.

Preocupările mele pentru predarea și însușirea matematicii are la bază un factor afectiv – plăcerea deosebită pe care o încerc întotdeauna când reușesc să descifrez tainele unei probleme, plăcerea cu care îmi urmăresc elevii în străduința lor de a rezolva și compune probleme.

Problema găsirii unor modalități eficiente pentru predarea matematicii la elevii din ciclul primar, trezirea interesului pentru acest domeniu m-a preocupat din perioada formarii mele ca învățătoare. Azi, la catedră, cu interes sporit urmăresc tot ceea ce apare în domeniul matematicii și a metodicii predării matematicii și trebuie să recunosc ca există la ora actuală cristalizată o experiența valoroasă în învățământul românesc privind eficientizarea pregătirii matematice a elevilor, educarea gândirii creative a acestora.

Mi-am ales apoi, această temă de studiu pentru că vârsta școlară mică cu care eu lucrez e deosebit de sensibilă la cultivarea potențialului creativ. Profilul psihologic al acestei perioade de vârstă oferă un fond favorizat pentru creativitate.

Stimularea creativității este un demers socio-educațional complex ce cuprinde simultan fenomene de activizare, antrenare a potențialului creator.

Încerc în lucrarea de față să prezint din experiența mea la catedră direcții de acțiune care să reliefeze preocupări și rezultatele de activizare (condiție esențială pentru creativitate) și dezvoltare (ca rezultat al frământărilor, antrenării, activizării minții și resorturilor voliționale ale școlarului mic).

Am plecat de la ferma convingere în urmărirea și tratarea temei acestei lucrări că încă din clasele mici trebuie să se realizeze antrenarea sistematică și gradată a gândirii elevilor în rezolvarea de exerciții și probleme, care disciplinează gândirea, le formează capacitatea de a percepe selectiv, de a gândi condensat.

Problema învățării matematicii, a formării gândirii matematice am privit-o cu multă seriozitate, ținând seama de faptul că în clasele I-IV se formează noțiuni matematice de bază, cu care copilul va opera pe tot parcursul vieții și pe care de fapt se clădește întregul edificiu matematic. Aici se formează instrumentele mentale de bază: deprinderile de calcul, de rezolvare a problemelor, exercițiilor etc. cu care va opera toată viața, nemaivorbind de faptul că la acest nivel se cristalizează primele interese stabile, unele aptitudini și abilități ale gândirii .

În consecință, am căutat în permanență să-mi formez un anumit stil de muncă pentru a realiza obiectivele propuse la această disciplină, să mă documentez sistematic, să introduc la clasă acele procedee de lucru care să-i solicite elevului curiozitatea, să-l facă să fie perseverent în muncă, să aibă încredere în sine, să dea dovadă de o flexibilitate a gândirii. Am căutat să țin cont de potențialul creativ al fiecărui elev fiindcă fiecare elev dispune de un potențial propriu de creativitate și că ceea ce se dobândește prin învățarea creatoare are șanse mai mari de a se întipări și de a deveni operaționale, prin transfer, în alte situații de învățare. Am căutat să dau posibilitatea fiecărui elev să descopere noi căi în rezolvarea de exerciții și probleme. Rezolvarea de exerciții și probleme reprezintă cadrul cel mai propice al regulilor, teoriilor, legilor și prezintă importanță deosebită și din punct de vedere practic prin sesizarea și înțelegerea relațiilor dintre mărimi, prin soluționarea matematică a diferitelor aspecte ale proceselor de producție și ale împrejurărilor vieții sociale, deoarece viața de toate zilele ne pune în față noi și variate probleme, iar un individ care gândește, care reușește să găsească procedee originale (ad-hoc) de rezolvare a unor probleme, va reuși să facă față problemelor impuse de viață.

În concluzie, la alegerea și tratarea temei m-am condus după ideea că rezolvarea de exerciții și probleme este terenul cel mai fertil de manifestare și dezvoltare a gândirii creative.

Așa cum remarca G. Polya: ,,A rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.” (Polya, 1978,p. 58)

Caracterul creator al activității învățătorului se bazează pe o permanentă năzuință de a merge înainte, spre mai bine, spre nou, spre realizarea perspectivelor. Școala actuală are nevoie de cadre creative pentru a stimula potențialul creator al fiecărui individ. Fiecare învățător trebuie să aibă o pregătire formativ-creativă conform cu standardele curriculare și de evaluare națională. Să lucrez mâine mai bine decât astăzi – aceasta este deviza oricărui învățător care desfășoară o activitate creativă.

CAPITOLUL I

CONSIDERAȚII PSIHO-PEDAGOCICE PRIVIND DEZVOLTAREA GÂNDIRII CREATIVE LA ELEVI

1.1. Analiza particularităților de vârstă ale elevilor

Vârsta școlară mică este vârsta celei mai mari plasticități a sistemului nervos când, în procesul instruirii, se produc cele mai complexe și mai bogate modificări prin care se pun, pe toate planurile, bazele personalității elevului (cultura, comportament intelectual, moral, trăsături ale personalității etc.). În vederea conducerii științifice a procesului de formare a copilului în funcție de trăsăturile caracteristice fiecăruia, pentru individualizarea actului educativ, se simte nevoia evidențierii frecvente a dinamicii evoluției fiecărui copil. Aceasta se referă cu atât mai mult la instruirea școlară, unde cunoașterea cât mai exactă a nivelelor de dezvoltare a copilului pe multiplele planuri ale personalității lui, dă posibilitatea de ameliorare a randamentului școlar prin adaptarea procesului de instruire și educare la aceste nivele și de proiectare a programului de dezvoltare a copilului.

Se știe că etapa celor mai efervescente transformări se situează la începuturile școlarității, în perioada de adaptare a copilului de 6-7 ani la regimul muncii școlare, perioada primelor achiziții școlare: structurarea și restructurarea informației, exersarea proceselor de cunoaștere, însușirea tehnicilor de muncă intelectuală, adoptarea unui ritm de lucru normal. Toate acestea, pe fondul factorilor intelectuali (motivarea învățării) aptitudinile, precum și a capacitații de rezistență (mai mare sau mai mică) la efortul intelectual.

Vârsta micii școlarități este desemnată ca fiind vârsta maximei receptivități, vârsta la care are loc constituirea intensivă a celor mai importante structuri psihice. Ceea ce dobândește în ciclul primar este un bun capital convertibil în capacități și tehnici esențiale pentru etapele următoare.

Prin funcția lor integratoare, atât pe verticală cât și pe orizontală, deprinderile au o importanță deosebită în actul învățării, mai ales în ciclul primar. Formarea unor deprinderi de studiu individual la elevi este cerută azi mai mult ca oricând în viziunea educației permanente. "Educația permanentă se constituie ca un ansamblu de mijloace puse la dispoziția oamenilor, pentru ca ei să nu înceteze să se formeze de-a lungul vietii, cu scopul de a-și asigura deplina dezvoltare a facultăților intelectuale și participarea eficientă la progresul societății".

Procesul de învățământ contribuie la dezvoltarea percepției, memoriei, limbajului și gândirii școlarului mic. Matematica contribuie la dezvoltarea gândirii elevilor de la concret la abstract. În cursul formării noțiunilor matematice se desfășoară o serie de operațiuni de gândiri: analiză, sinteză, comparare, abstractizare, generalizare, formare de noțiuni și judecăți.

În procesul de însușire a cunoștințelor de matematică, un rol important îl are cunoașterea activă (acționala), examinarea manipulativă, descoperirea și crearea de situații-problemă.

Varietatea explicațiilor și participarea activă a elevului în dobândirea cunoștintelor ușurează și ajută la formarea de noțiuni noi. Prima dată se produce senzația neînțelegerii în legătură cu fenomenele observate și se naște exigența pentru explicație și înțelegere. Singur încearcă să dea răspuns celor observate, dar acesteaar acestea se rup ca un fir de păianjen dacă nu îl dirijam în rezolvarea problemei ce îi stă în față. Cu senzația neînțelegerii sau cu conștientizarea acesteia, care produce întrebări, probleme, începe activitatea de gândire activă a copilului, perioada nedumeririlor. Rezolvarea acestora solicită o gândire conștientă, în scoală putem dezvolta gândirea elevului, unde, în cadrul instruirii sistematice, începe însușirea cunoștințelor care, câteodată sunt elementare, totuși sunt încadrate în sisteme și în gândirea elevului și începe să se restructureze.

Învățătorului îi revine sarcina să găsească momentul potrivit când poate dezvolta elevilor gândirea, imaginația creatoare. Sarcina lui este să ajute elevii la însușirea diferitelor tehnici de gândire, procedee eficace, aceasta cerandu-i multă răbdare și tact pedagogic.

1.2. Gândirea creativă – specificul ei la școlarul mic

Gândirea constă într-o succesiune de operații care duc la dezvăluirea unor aspecte importante ale realității și la rezolvarea anumitor probleme.

Operațiile gândirii sunt:

a) Comparația – care constă în apropierea pe plan mental a unor obiecte sau fenomene cu scopul stabilirii de asemănări și deosebiri între ele.

b) Analiza – aceasta însemnând separarea mentală a unor obiecte, fenomene sau însușiri, părți, elemente ale lor.

c) Sinteza – stabilirea de legaturi între obiecte, fenomene sau diferitele lor părți, elemente sau însușiri.

d) Abstractizarea- este o analiză a esențialului,

e) Generalizarea- este o operație prin care extindem o relație stabilită între două obiecte sau fenomene asupra unei întregi categorii.

A gândi înseamnă a judeca, iar a judeca înseamnă a afirma sau a nega un raport între obiecte, fenomene sau însușirile lor.

Creativitatea, una din cele mai fascinante acțiuni cu care a operat vreodată știința, a devenit în ultima vreme o problemă stringentă a cercetării științifice, deoarece epoca cibemeticii, a roboților, a stăpânirii energiei nucleare și a cercetării spațiului cosmic solicită formarea unui număr tot mai mare de specialiști, capabili să rezolve problemele sociale, să desfașoare o muncă eficientă și creativă.

Termenul de creativitate a fost introdus în literatura de specialitate de G. W. Allport în anul 1937. Până atunci pentru a se desemna creativitatea erau utilizați diverși termeni, cum ar fi: dotație, aptitudini, talent, genialitate, imaginație creatoare și inteligentă.

Creativitatea constă într-o structură caracteristică a psihicului, care face posibilă realizarea unor producții, opere noi. Originalitatea produsului creat e foarte variată: de la rezultatele expresive ale desenului infantil, la creativitatea inovatoare prin care se aduc modificări esențiale principiilor de bază ale unui domeniu.

Cultivarea spiritului creativ constituie una din sarcinile școlii de azi. Dacă la acest nivel nu ajung decât puțini oameni, realizarea unor invenții este accesibilă oricărui om, cu condiția unor interese și experiente corespunzătoare. Produsul creat poate fi nou și numai pentru subiectul care-l realizează.

După opinia lui Alexandru Roșca, "creativitatea se referă la găsirea de soluții, idei, probleme, metode etc., care nu sunt noi pentru societate, dar la care s-a ajuns pe o cale independentă. Produsul este nou numai pentru subiectul în chestiune sau pentru un grup restrâns”. (Roșca, 1967,p. 25)

Deci, orice copil normal posedă realmente potențial creativ și care poate fi dezvoltat. De aceea, activitatea elevului care, pe baza experienței obținute în munca de dobândire a cunoștințelor, prin spiritul de investigare, în mod independent, descoperă adevăruri noi pentru el, dar pentru știintă nu, poate fi socotită creativă.

Prin urmare, rezolvarea unei probleme teoretice sau practice, găsirea unor soluții experimentale de către elev pot fi considerate ca fiind creative în cazul în care rezolvarea s-a făcut pe o cale independentă, și chiar dacă modul de rezolvare nu este nou pentru știintă și domeniile respective.

"Ori de câte ori un copil se găsește în fața unei probleme, își restructurează datele sau își imaginează procesul care conduce la soluție, fie că această problemă este o sarcină școlară, o sarcină a vieții curente, sau un test, el înfăptuiește o invenție". (Roșca, 1967,p. 44)

O astfel de accepțiune a creativității trebuie s-o avem în vedere, noi dascălii, în activitatea instructiv-educativă, unde nu urmărim formarea de creatori proriu-ziși, ci formarea unor capacități cognitive, care sunt fundamente ale procesului creator.

A porni de la acceptarea elevului așa cum este, a-1 face să simtă acest lucru, înseamnă a-1 elibera de inhibiții și a crea atmosfera propice exprimării personalității și originalității sale. Dacă cerem elevului să găsească sau să compună original, trebuie să respectam ideile și compozițiile pe care le produce el, să luăm în considerare efortul lui, care dovedește că a muncit cu sinceritate. Creativitatea este o formație complexă care angrenează personalitatea în ansamblul său, corelând însă mai puternic cu unele trăsături ale acesteia (inteligența, gândirea divergența, flexibilitatea gândirii , fluența ideațională, curiozitate, perseverența, încredere în sine etc.)

Fiecare act creativ începe cu întrebări, acestea trebuind să fie deschise, să aibă sens, să nu conțină răspunsuri predeterminate și îndeosebi să fie întrebări care să nu reclame o expunere a faptelor. Intrebarea operațională provoacă conduita creatoare, pentru că ea duce la explorare, dezvoltă curiozitatea și stimulează tendințele implicate în acestea. În lecție trebuie instaurat un climat favorabil unei conlucrări fructuoase între educatori și elevi, climat caracterizat printr-o tonalitate afectiv-pozitivă, de exigență și înțelegere, de responsabilitate.

Fiecare lecție trebuie să aducă ceva nou. Trebuie să i se creeze copilului un mediu favorabil în care să-și dezvolte personalitatea, talentul. El poate ajunge până la polemică cu un coleg și chiar cu învățătorul, astfel el va reuși să fie mai receptiv și mai creativ.

O lecție poate fi comparată cu construcția unei case. Ii pui temelia bună; zidirea noului se face mai ușor, iar la sfârșit adăpostul este mai sigur; înfrumusețarea făcându-se plimbându-te prin ariile curriculare, care îți oferă umbra, dacă rezultanta a ieșit bună, astepți vesel trecerea intemperiilor vremii.

Nu mai puțin importantă este stimularea efortului personal al elevului și stimularea tendinței acestuia de a aduce o contribuție proprie, de a fi original, inventiv, creator.

Predarea ca un proces creativ presupune ca educatorul să mediteze între elev și lumea ce îl înconjoară. După A. Miel (Miel, 1961,p. 78), aspectele specifice ale predării ca funcție mediatoare sunt:

1. Structurarea și restructurarea unui cadru pentru a face posibilă o experiență utilă celor care învață;

2. Indicarea experiențelor pe care le pot avea aceștia în cadrul creat sau invitația către cei care învață de a folosi ei singuri posibilitățile de experimentare;

3. Participarea alături de un individ sau un grup în sensul clarificării sau al ameliorării liniilor orientative;

4. A servi ca model în legăturile interpersonale sau a încuraja o interacțiune între colegi și persoane de la alte grupe de vârstă;

5. A ajuta individual sau grupul să folosească timpul, spațiul, echipamentul și materialele;

6. A ajuta individual sau grupul să extragă din experiență informați, valori, deprinderi, procese;

7. A ajuta individul sau grupul să interpreteze și să evalueze experiențele.

La ore elevilor trebuie să li se dea posibilitatea să pună în mișcare toate capacitățile lor intelectuale de la cele mai simple la cele mai complexe cu efect transformator asupra propriei lor personalități.

1.3. Factorii intelectuali ai creativității

Școala în conceptie moderna trebuie să asigure dona obiective majore ale instructiei:

a) să ajute copiii să învețe cum să procedeze în învățare pe tot cursul vieții, într-o lume pe care n-au cunoscut-o;

b) să-i încurajeze în abordarea creativă a problemelor pe care le va ridica activitatea.

Capacitățile legate inseparabil de creație sunt definite prin termenii de fluiditate, flexibilitate, originalitate, elaborare, capacitatea de a rezolva probleme, sensibilitate la implicații și asociativitate, intuiție, profunzime intelectuală, capacitate evalutivă și capacitate de a forma ipoteze.

Fluiditatea gândirii (verbală, ideațională, asociativă și expresivă) presupune bogăția și ușurința asociațiilor. Pentru a determina această calitate a subiectului se cere acestuia să găsească cât mai multe utilizări ale unui obiect sau cât mai multe obiecte care aparțin unei clase. O persoană capabilă de a produce un număr mai mare de idei are o șansă mai mare decât altele de a fi creativ.

Flexibilitatea gândirii este considerată a fi principalul factor psihic cognitiv al creativității, Prin flexibilitate se înțelege modificarea rapidă a mersului gândirii , atunci când situația o cere, restructurarea ușoară a vechilor structuri temporare, a vechilor asociații în conformitate cu cerințele noii situații; schimbarea ușoară a punctului de vedere, a direcției gândirii, a modului de abordare a unei situații sau probleme în funcție de cerințele noii situații.

Opusul flexibilității este inerția sau rigiditatea gândirii, care înseamnă perseverarea într-o situație nouă cu modalitățile anterioare de rezolvare a problemelor, manifestarea stereotipiei în gândire. Flexibilitatea este rezultatul unei experiente, format în procesul rezolvării problemelor independent și creator.

Originalitatea gândirii este una din trăsăturile definitorii ale creativității. Ca indiciu al originalității ar fi caracterul neuzual al raspunsurilor și soluțiilor, varietatea lor strategică. Există însă tendința de a se considera originalitatea ca fiind · de fapt flexibilitatea adoptivă în operarea cu informația verbală, cu material semantic.

Factorii intelectuali ai creativității nu pot actiona independent unii de altii. Mai mult, factorii intelectuali ai creativității nu sunt de sine stătători, ci dependenți de personalitatea subiectului, primordial nu este factorul, ci persoana.

Pentru atingerea obiectivelor amintite anterior se impune un ansamblu de criterii de selectie a activităților.

Acestea trebuie să asigure:

1. Stimularea gândirii productive, formarea ideii că viitorul promite o afirmare nelimitată.

2. Libertatea de exprimare a cunoștințelor, a gândurilor, a faptelor; în acest sens apar ca adecvate activitățile care cer spontaneitate și contribuie la dezvoltarea gândirii creative.

3. Utilizarea talentelor și a deprinderilor individuale.

4. Generarea de noi semnificații din cele vechi (activitățile să pună elevii în situații de a sesiza noi relații între fapte și idei, noi aranjamente de elemente, noi modele organizaționnale),

5. Năzuința spre necunoscut, incitarea curiozității.

6. Exersarea autocontrolului (activități care cer disciplina mentală și socială).

7. Satisfacție personală (ca bază pentru un act interogativ, care, potrivit autorilor este un factor important).

In cadrul procesului de predare-învățare a matematicii la nivelul ciclului primar orice raționament, orice rezolvari de probleme este în acelaș timp și o manifestare a unui început de formare și dezvoltare a unei gândiri creative. În acest context copilul trebuie dirijat în găsirea soluției unei probleme sau să fie ajutat în demararea operativității sale mentale, prin a i se sugera la timp și ori de câte ori este nevoie.

Buna deprindere de a rezolva probleme are o mare importanță asupra dezvoltării gândirii , atenției, memoriei, imaginației, spiritului de observație, inițiativei, creativității școlarului .

Creativitatea se învață de când începi să o descoperi și până la moarte. Când ai descoperit-o, îi simți gustul și ai nevoie de ea ca de aer.

CAPITOLUL II

CLASE DE PROBLEME DE MATEMATICĂ

-considerații metodice-

2.1. Noțiunea de problemă și de rezolvare a problemelor

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă variată de preocupări și acțiuni din domenii diferite. Viața constituie un permanent furnizor de probleme, întrucât în activitatea practică și teoretică a omului se ivesc în acord frecvent probleme în a căror rezolvare aplică metode standardizate, de tip algoritmic, alteori apar situații noi pentru care omul nu găsește soluții în experiența dobândită prin învățare și atunci este nevoit să aplice o modalitate euristică.

,,În general gândirea lucrează în regim de continuu problematic, traversând momente de obstacol inaparent și minim și, progresând către dificultăți problematice tot mai complexe și pregnante conturate." (Popescu-Neveanu, 2013, p.456)

Etimologic "pro-ballein" înseamnă ceea ce ți se aruncă în față ca barieră, ca obstacol, ca "provocare", prin extensie, ceea ce constituie o dificultate teoretică sau practică a cărei înlăturare este pusă sub semnul întrebării. Expresia "rezolvare de probleme" (problem-solving) este folosită ori de câte ori este vorba de găsirea unor soluții noi.

Paul Fraisse arată că ,,orice situație în care răspunsul nu poate fi dat imediat, constituie o problemă, subiectul trebuie să exploreze situația și să găsească în mod activ o soluție." (Fraisse, 1970, p.122)

În general, orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare, o rezolvare, poartă numele de problemă.

În matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul. Problemele de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și fată de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.

În rezolvarea ei, problema impune o activitate de descoperire. Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscute) și întrebarea problemei care se referă la valorile necunoscute. Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei raportând datele

cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduc la găsirea soluției problemei.

După David Ausubel, ,,rezolvarea de probleme este un fel de învățare prin descoperire situată în ierarhia comportamentală deasupra aplicațiilor de rutină ale unor probleme cunoscute și mai jos de creativitate" (Ausubel, 1981, p.714), deci problema nu trebuie confundată cu exercițiile de aplicare a unor reguli sau principii cunoscute, dar nici cu situația-problemă care dispune de o complexitate mai mare.

Spre deosebire de problemă, exercițiul matematic oferă elevului datele, sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute. Distincția dintre un exercițiu și o problemă se face, în general, în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute.

Dar, din punct de vedere matematic, această distincție nu trebuie făcută după forma exterioară a solicitării, ci după natura rezolvării.

a) Dacă este de la început indicat în mod clar ce anume procedeu trebuie folosit, avem de-a face cu un exercițiu.

b) Dacă se pune o problemă de gândire, privind alegerea modului de rezolvare sau îmbinare a mai multor cunoștințe și procedee cunoscute într-un mod care trebuie descoperit, avem de-a face cu o problemă,

Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și probleme se poate face ținând seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un elev din clasa I, un exercițiu pentru un matematician.

Astfel, chiar dacă la nivelul ciclului primar enunțul: ,,Termenii unei adunări sunt 34 și 12. Aflați suma lor.", deși are text, este doar un exercițiu, pe când solicitarea: "Observă regula și completează șirul de numere: 1,3,9,27, … " deși lipsită de text, reprezintă o problemă pentru micul școlar.

Experiența rezolvatorului este esențială în clarificarea unui enunț matematic în exercițiu sau problemă. De exemplu, în funcție de această experiență, enunțul: "Într-un bidon sunt 10 litri de lapte. S-au consumat 7 litri. câti litri de lapte au mai rămas ?", reprezintă o problemă pentru elevul din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a V-a și doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician.

Situația-problemă înseamnă mai mult decât problema. Ea desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a două realități incompatibile între ele: experiența trecută și necunoscutul cu care este confruntat subiectul.

Exemplu:

"Florin are 4 bucăți de sfoară de lungimi: 5m, 10 m, 15 m și 20m. Cum poate construi o sfoară de cel puțin 8m pentru zmeu ? "

Pedagogia modernă, preocupată de angajarea cognitivă globală a elevului în procesul de învățare, reconsideră rolul situației-problemă, făcând din ea punctul de plecare al învățării și nu punctul de sosire al procesului de învățământ. În fapt, utilizarea situației-problemă este învățarea însăși și ea solicită elevului să elaboreze ipoteze de rezolvare și de răspuns pe baza datelor și regulilor cunoscute reconsiderate în noi perspective. "Rezolutivitatea" sau capacitatea de a rezolva probleme tot mai dificile este o componentă definitorie a inteligenței, după cum capacitatea de a pune și formula probleme noi, este un indiciu al creativității."

Noțiunea de "rezolvare de probleme" se formează odată cu noțiunea de "problemă", în clasa I, în momentul în care începem să rezolvam cu elevii probleme simple, bazate pe acțiuni autentice din viața lor. Aceste noțiuni au un conținut complex și nu pot fi definite pentru elevi într-o formă accesibilă, de aceea, formarea acestor noțiuni constituie un proces îndelungat. El se bazează pe utilizarea repetată și în împrejurari variate ale acestor noțiuni.

În acest sens am folosit expresiile: "vă voi spune o problemă", "repetați problema", "spuneți și voi o problermă", rar a da o definiție acțiunii.

Elevii trebuie să știe că problema este formată dintr-o parte enunțiativă în care poate fi vorba despre copii, flori, creioane, cărți, caiete, din numere care pot fi mai mici sau mai mari, relații între aceste numere care exprirmă esența problemei și întrebarea care arată ce se cere în problemă.

Pentru a înțelege legătura dintre enunț și întrebare, faptul ca din problemă nu poate lipsi una din cele două părți, am prezentat elevilor enunțul unei probleme și le-am cerut să formuleze întrebarea.

Exemplu:

"Radu a rezolvat într-o zi 5 probleme, iar sora lui 4 probleme"

sau am enunțat întrebarea problemei, pe baza căreia elevii trebuiau să compună un enunt:

"Câte timbre au împreună Mihai și Dan?"

Altă dată le-am cerut să rezolve o problemă din care lipseau datele:

"La o întrunire sportivă au participat băieți și fete. Câți copii au participat la întrecere?"

Elevii au observat ca nu pot rezolva o asemenea problemă până nu vor completa problema cu date numerice. Prin astfel de exerciții am format elevilor convingerea despre unitatea celor două componente ale problemei.

Pentru a verifica dacă elevii și-au însușit noțiunile de problemă și de rezolvare de probleme, după mai multe rezolvări și compuneri de probleme, le-am dat o fișă de evaluare în semestrul al II-lea din clasa I, care cuprindea:

1. Să se rezolve problema:

"Elena are în ghiozdan 2 cărți și 5 caiete. Câte cărți și caiete are Elena în ghiozdan ? "

2. Completați problema și apoi o rezolvați:

"Într-o livadă sunt pruni și meri. Câți pomi sunt în acea livadă ? "

3. Puneți întrebarea și rezolvați:

"Un elev a cumpărat un penar cu 50 lei, un caiet cu 30 lei și un creion cu 10 lei. "

4. "Într-un coș sunt 8 fructe. Câte mere și câte pere pot fi ? "

5. Compuneți o problemă după exercițiul:

96m – 32m = 64m

Numărul problemelor: 1 2 3 4 5

Punctaj acordat 1 1,5 2 2,5 2

1 punct se acordă din oficiu.

În urma evaluării am constatat că majoritatea elevilor stăpânesc corect noțiunile de "problemă" și de "rezolvare", știu să completeze cu date și pun chiar și mai multe întrebări la aceeași problemă.

Dificultăți au întâmpinat elevii mai slabi la intrebările 4 și 5 în găsirea tuturor soluțiilor și în compunerea enunțului problemei.

În rezolvarea problemelor intervin o serie ·de procedee, de moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Sunt necesare unele modalității executorii care se referă la detaliile acțiunilor, operațiilor aritmetice care se automatizează, se fixează și devin deprinderi.

Rezolvarea problemelor presupune și elaborarea unor algoritmi, care se formează prin rezolvarea unui anumit număr de probleme similare, cât și prin rezolvarea unui număr variat de probleme aparținand în câtegoria respectivă, este totuși un act creativ.

În rezolvarea problemelor se delimitează două situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor:

a) Elevul are de rezolvat o problemă asemanătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă-tip. În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de probleme, prin rezolvarea căreia se fixează principiul de rezolvare – schema mintală.

Exemplu:

"Suma a două numere A și B este 7. A este cu 3 mai mic decât B. Să se afle numerele."

a. _____________________

b. ________________________ ____ ___

2p + 3 = 7

2p = 7 – 3 = 4

1p = 4 : 2 = 2

a=2;b=2+3

b =5

Verificare: 2 + 5 = 7

b) Elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, în care nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută. Gândirea sa este solicitată să descopere drumul de aflare a necunoscutei.

2.2. Clase de probleme

După G. Polya (Polya, 1978,p. 58), problemele se clasifică în probleme "de aflat" și probleme "de demonstrat." Această clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează încă de la Euclid, termenul de problemă"de aflat" corespunzând celui de problemă, iar cel de problemă "de demonstrat" corespunzând termenului de teoremă.

Scopul unei probleme "de aflat" este de a găsi necunoscuta problemei. Scopul unei probleme "de demonstrat" este de a arăta că o anumită aserțiune este adevarată sau falsă.

Iată un exemplu de problemă "de aflat":

"Un muncitor face drumul de acasă până la uzină, pe jos, în 30 minute, iar pe bicicletă în 0,3 ore. La ce distanță de uzină locuiește acest muncitor, dacă el face într-o oră pe bicicletă, cu 8 km mai mult de cât pe jos?"

În această problemă ni se cere ca, ținând cont de ceea ce cunoaștem, să aflăm necunoscuta (distanța la care locuiește muncitorul față de uzină).

Iată un exemplu de problemă "de demonstrat":

"Să se arate că produsul a două numere naturale consecutive se împarte exact la doi."

Rezolvarea acestei probleme constă în demonstrarea propoziției anunțate.

Uneori, cele două operații – de aflare și de demonstrare se pot întâlni în aceeași problemă.

În matematicile claselor I-IV; predomină problemele "de aflat." După numărul operațiilor necesare aflării soluției, problemele de matematică se clasifică în două grupe: probleme simple și probleme compuse. Se numesc simple problemele în care soluția se obține printr-o singură operație, iar compuse – problemele a cărer rezolvare se face cu două sau mai multe operații.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face· încă din perioada pregătitoare primelor operații, Învățătorul se folosește de probleme "acțiune", care după ce au fost "puse în scenă'', vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Deși rezolvările de probleme simple par ușoare, învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operațiune aritmetică.

a) Problemele simple bazate pe adunare pot fi:

– de aflare a sumei a doi termeni;

– de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

– probleme de genul "cu atât mai mult"

Exemple:

"În grădina scolii s-au plantat 4 nuci și 3 peri. Câți pomi s-au plantat ?"

"Vasilică a citit dintr-o carte 15 pagini. Fratele său a citit, din altă carte, cu 5 pagini mai mult. Câte pagini a citit fratele lui Vasilică ?"

b) Probleme simple bazate pe scădere:

– de aflare a restului;

– de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat;

– de aflare a unui termen când să cunosc suma și un termen al sumei;

– probleme de genul "cu atât mai puțin"

Exemple:

"Ce rest primește Vlad de la 100 lei, dacă a cumpărat un bloc de desen cu 64 lei? "

„Pe un câmp pasc 8 oi, iar miei cu 2 mai puțini. Câți miei pasc ?"

c) Probleme simple bazate pe înmulțire:

– de repetare de un număr de n ori a unui număr dat;

– de aflare a produsului;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de n ori mai mare decât un număr dat.

Exemple:

"Care sunt numerele de 7 ori mai mari decât: 4, 8, 7, 9 ?”

"Aurel își propune să rezolve 10 probleme în fiecare zi. Câte probleme va rezolva în 2 zile?”

"Un sac cu făină are 9 kg, iar altul este de 3 ori mai greu. Câte kilograme au, în total, cei doi saci ?''

d) Probleme simple bazate pe împărțire:

– de împarțite a unui număr dat în părți egale;

– de împarțire prin cuprindere a unui număr prin altul;

– de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat;

– de aflare a unei părți dintr-un întreg;

– de aflare a raportului dintre două numere.

Exemple:

1. "Câte portocale are Ana și câte Ioana dacă 12 portocale s-au împărțit în mod egal celor 2 copii ?”

2. "Victor are 9 bile pe care le împarte unor copii câte una. La câți copii împarte Victor bilele? "

3. "Ioana a citit 12 pagini. Fratele ei, Andrei a citit de 3 ori mai puține pagini. Câte pagini a citit fratele ei ? "

După finalitate și după sfera de aplicabilitate, problemele se structurează în probleme teoretice și probleme practice.

Problemele teoretice urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștintelor teoretice din matematică, dezvoltarea gândirii creative a elevilor.

Exemplu:

4. "Suma a patru numere este 43. Dacă din fiecare se scade același număr se obțin numerele: 7, 2, 9, 13. Care sunt numerele?"

Problemele practice conțin date luate din lumea înconjuratoare, legate de procesul de producție, așa cum se desfășoară el în realitate în mine, uzine și pe ogoare sau date scoase din cercetări știintifice, în laboratoare, aplicații tehnice, din calcule financiare, din comerț.

Exemplu:

5. "Pentru prepararea bronzului, la 20 kg de aramă se iau 3 kg de zinc și 2 kg de cositor. Ce cantitate vom lua din fiecare metal, ca să facem 15 bucăți de bronz, în greutate de 45 kg fiecare?"

Rezolvarea problemelor practice de către elevi are o mare influență în pregătirea elevilor pentru viață, pentru activitatea productivă.

După conținutul lor, problemele matematice pot fi geometrice, de mișcare, de aflarea densității unui aliaj, de amestec și aliaje etc.

Exemple:

6. "Un triunghi are latura cea mai mare de 13 cm, cea mijlocie cu 1 cm mai mică, iar latura a treia este mai mică cu 1 cm decât jumătatea laturii mijlocii. Să se afle laturile și perimetrul triunghiului.”

7. „Un călăreț pleacă din orașul A îndreptindu-se către orașul B cu viteza de 12 km/oră. După 3 ore pleacă tot din A, în aceeași direcție un biciclist având viteza de 18 km/oră. În cât timp îl va ajunge biciclistul pe călăreț? La ce distanță de orașul A ?”

8. „Din două calități de marfă în valoare de 360 lei și 160 lei kilogramul, trebuie să alcătuim 45 kg de amestec în același fel întrucât prețul mijlociu al amestecului să fie de 240 lei kilogramul. Câte kilograme din fiecare calitate trebuie să luăm pentru a face amestecul ?”

După gradul de generalitate al unei metode folosite problemele matematice se clasifică în:

– probleme care se rezolvă prin metoda figurativă sau grafică;

– probleme care se rezolvă prin metoda ipotezelor (eliminarea prin înlocuire);

– probleme care se rezolvă prin metoda mersului invers.

Exemple:

9. "În două lăzi sunt 76 kg cartofi. Dacă din prima ladă se scot 20 kg, iar dintr-a doua 16 kg, cantitățile rămase în cele două lăzi sunt egale. Câte kg de cartofi sunt în fiecare ladă ?”

10. "Intr-o grăiniță sunt 120 de copii, băieți și fete. Un costum de băiat costă 350 lei, o rochiță 320 lei. S-au cheltuit pentru a cumpăra fiecărui copil un costum sau o rochiță, 40800 lei. Câți băieți erau și câte fetițe ?”

11. „Am o sumă de bani. Dublez această sumă și iau după aceea din ea 20 lei. Suma obținută astfel o dublez iarăsi și iau din ea din nou 20 lei. A treia oară, dublez suma rămasă, iau din ea 20 lei și nu mai rămâne nimic. Care a fost suma la început ?”

O câtegorie aparte de probleme, cu multe valente formative sunt problemele nonstandard.

În fața acestor probleme, rezolvatorul nu reușește să le introducă în "canoanele" metodei de rezolvare bine știute. Gândirea și imaginația lucrează febril; elevul reușind să rezolve devine un creator, deoarece nici o problemă nu seamănă cu alta; de fiecare dată elevul fiind pus în situația să găsească o cale nouă de rezolvare.

Exemple:

12. "S-au făcut observații meteorologice un număr de zile și s-a constatat că:

a) N-a fost vreo zi în care să fi plouat atât dimineața cât și după amiază;

b) A plouat în total 9 zile;

c) Nu a plouat în 7 dimineți și în 6 după-amiezi.

În câte zile s-au făcut observații ?”

13. "Dintr-un număr scadem 7 și diferența obținutul îl înmulțim cu 7. Dacă din el scădem 11 și diferența o înmulțim cu 11 obținem același rezultat. Să se afle numărul.”

14. "Trei prieteni: Ion, Mioara și Costel pot sta în bancă câte 2 ore așa cum doresc. În câte feluri pot sta ?”

Datorită marii varietăți a acestui gen de probleme și a gradului înalt de particularitate al fiecăreia este greu să se facă analogii, să se opereze transferurile de metodă în rezolvarea lor de câtre elevi. Eforturile metodice ale învățătorului în aceste situații se multiplică.

2.3. Etape în rezolvarea problemelor și metodologia rezolvării acestora

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvatorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste etape sunt:

A – Cunoașterea enunțului problemei; B – întelegerea enunțului problemei;

C – Analiza problemei și întocmirea planului logic;

D – Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzatoare succesiunii judecăților din planul logic;

E – Activități suplimentare după rezolvarea problemei.

A. Cunoașterea enunțului problemei. Este etapa de început în rezolvarea oricărei probbleme. Uneori ea poate fi precedată de o scurtă discuție pregătitoare, care să introduca elevii în atmosfera de lucru.

Rezolvatorul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este necunoscuta problemei. Problema se va repeta de mai multe ori, până la însușirea ei, avându-se în vedere citirea expresivă a textului, scoțând în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Apoi se vor nota pe tablă și pe caiete datele problemei: pe orizontală, pe verticală sau în tabele.

Exemplu:

"Radu a citit într-o zi 45 pagini dintr-o carte, iar sora lui, Elena, a citit 24 pagini. A doua zi, Radu a citit 36 pagini, iar Elena, 17 pagini.

1. să se afle câte pagini au citit amândoi în fiecare din cele două zile?

2. cu câte pagini a citit mai mult Radu decât Elena în fiecare din cele două zile ?

a) I zi …………………… R 45 pag ……………………… E 24 pag

a II-a zi…………………. R 36 pag ………………………. E 17 pag

………………..? R-E în cele două zile

………………..? R+E în cele două zile

b) Se dă:

I zi …………………… R 45 pag ……………………… E 24 pag

a II-a zi…………………. R 36 pag ………………………. E 17 pag

Se cere: ? R+E în I zi; dar a II-a zi

? R-E în I zi; dar a II-a zi

O astfel de notare îi deprinde pe elevi cu sesizarea esențialului problemei, îi obligă să-și însușească conștient esețialul, fapt care va face să poată rezolva cu ușurință problema.

B. Înțelegerea enunțului problemei. Are un rol important pentru că asigură înțelegerea problemei și rezolvarea ei corectă. Elevul nu poate emite ipoteze, nu poate construi raționamente numai dacă cunoaște termenii în care se pune problema. Am observat că unii elevi au tendința ca dupa prima citire a problemei să efectueze operații cu numerele date, fără nici o motivație pe bază de raționament, uitând uneori și ce anume reprezintă numerele respective. Pentru a nu-i obișnui cu superficialitatea am încercat să-i conving de necesitatea înțelegerii corecte a enunțului, să îi deprind a pune în evidență relațiile dintre date, de multe ori discutând cu elevii numai calea de rezolvare a problemei, renunțând la efectuarea calculelor. Este indicat, uneori, să se recitească acele fragmente din problemă care sunt mai grele de înțeles la prima citire și să se utilizeze în scopul însușirii conștiente a enuntului desenele, graficele, schemele, modelele Iogico-matematice,

Elaborarea modelului se realizează în etape, dar în cadrul acelorași scheme.

Exemplu:

"Dintr-o scoală au plecat în tabără 37 băieți; iar fete cu 13 mai puțin. Câți elevi au plecat în tabără ?

ETAPA I

ETAPA a II-a ETAPA a III-a

+ =…

b. _____________________ 37

f. _____________________ 37-13

13

Elaborarea modelului în variante diferite: cu cerculete, pătrate, dreptunghiuri cu litere, cu cuvinte, cu ilustrații devine un instrument ajutător rezolvării de probleme.

Reușind alcătuirea Iui, parcurge deja o etapă de gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei.

C. Analiza problemei și întocmirea planului logic. Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei. Aceasta este faza în care se construiește raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură dintre datele problemei și necunoscută.

În această etapă este necesar să conducem elevii spre o analiză profundă a datelor, analiză care să permită o serie de reformulări, care să îi apropie de soluție. Analiza este cu atât mai necesară în clasele mici, unde elevii întâmpină dificultăți în această direcție, datorită lipsei unei vederi de ansamblu asupra problemei și a conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. Se impune deci, necesitatea de a-i ajuta pe elevi să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei, astfel ca ei să poată trece de la fragmente la tot, la relații dintre perechi de date la întregul fileu al rezolvării, care este dinamic și se îmbină după o logică riguroasă .

În examinarea problemei se folosesc două metode principale: analiza și sinteza. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una din acestea. Amândouă constau în descompunerea problemei date în probleme simple, deosebirea dintre ele constă în punctul de plecare al raționamentului.

Metoda sintetică. A examina o problemă prin această metodă înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date după relațiile dintre ele, descompunând problema compusă în mai multe probleme simple, astfel ca întrebarea ultimei probleme simple să coincidă cu întrebarea finală a problemei date, elaborând astfel un raționament inductiv pe baza unor teze succesive.

Această metodă este mai accesibilă elevilor mici,deoarece se pornește de la cunoscut spre necunoscut,dar nu solicită suficient gândirea elevilor, uneori se poate pierde din vedere întrebarea finală a problemei.

Ea dă rezultate bune la problemele aranjate, ordonate, la care mersul operațiilor este indicat direct din enunț. Metoda sintetică se bazează pe idei1e: "cunoscând ……….putem afla ……….”.

Metoda analitică. A examina o problemă prin această metodă înseamnă a porni de la întrebarea finală a problemei, de la necunoscut, spre valorile numerice și relațiile cunoscute, solicitând din partea elevilor un efort mai mare de gândire, îndreptandu-le atenția mereu spre întrebarea finală. Ponind de la întrebarea problemei se stabilesc datele necunoscute, cu ajutorul cărora se poate formula problema simplă a cărei rezolvare să coincidă cu întrebarea problemei-bază. Apoi se stabilesc alte date cu ajutorul cărora se formulează alte probleme simple ale căror rezultate să constituie elementele problemei simple precedente. Se continuă astfel până se ajunge la prima problemă simplă care se poate formula pe baza datelor problemei compuse, date ce trebuie să fie ambele cunoscute. Ajunsă în acest moment, rezolvarea problemei simple merge pe cale inversă, calea sintetică.

Raționamentul după care se conduce rezolvarea problemei prin metoda analitică este aceasta: "pentru a afla …….. trebuie să cunoaștem……….”

Avantajul acestei metode constă în faptul ca asigură elevilor o imagine de ansamblu a întrgii rezolvări, având mereu în atenție firul logic al raționamentului, ea este mai dificilă fiindcă presupune un proces de gândire continuu și în profunzime, dar tocmai acest aspect o recomandă să fie mai des utilizată.

Folosită cu precădere la clasele a III-a și a IV-a, metoda analitică poate fi utilizată și la clasele I și a II-a când se trece la rezolvarea problemelor compuse.

Exersarea în muncă la clasă a metodei sintetice, a metodei analitice, cât și 'îmbinarea lor, ușurează formarea la elevi a deprinderilor de rezolvare a problemelor, contribuie la dezvoltarea gândirii , a spiritului de investigație, a perseverenței în muncă.

Concluziile din examinarea unei probleme sunt reflectate în planul de rezolvare. acesta se întocmește metodic mai întâi oral, apoi în scris. Forma sub care poate fi scrisă este variată: interogativă, enunțiativă, concisă.

Primele două forme se folosesc atât la realizarea planului oral cât și scris, iar forma concisă este folosită mai mult în realizarea planului sens. În continuare voi prezenta câteva forme de întocmire a planului de rezolvare a unei probleme:

''Într-o livadă sunt 32 de meri. Fiecare măr produce în medie 25 kg de mere. Un kg de mere se vinde cu 7 de lei. Ce sumă se realizează prin vânzarea merelor din livadă ? "

După examinarea problemei prin metoda analitico-sintetică, am stabilit planul de rezolvare:

a) sub forma interogativă:

Varianta I

– Câte kg de mere dau cei 32 de meri ?

– Ce sumă s-a realizat prin vânzarea merelor ?

Varianta a II-a

– Ce sumă se realizează prin vânzarea merelor produse de un mar?

-Ce sumă se realizează prin vânzarea merelor produse de toți merii din livadă ?

b) sub forma enunțiativă:

Varianta I

-Aflăm cantitatea de mere produsa de cei 32 de meri.

– Aflăm suma obținută prin vânzarea merelor.

Varianta a II-a

-Aflăm suma obținută prin vânzarea merelor produse de un singur măr?

– Aflăm suma obținută prin vânzarea merelor produse de toți merii.

c) sub forma concisă (titluri):

Varianta I

– Cantitatea totală de mere: 32 X 25 = 800 kg

– Suma încasată prin vânzare: 800 X 7 lei= 5600 lei

Varianta a II-a

– Suma obținută prin vânzarea merelor de pe un mar:

25 X 7 lei = 175 lei

– Suma obținută prin vânzarea tuturor merelor:

1750 lei X 32 = 5600 lei

d) altă posibilitate:

Varianta I

32 X 25 = 800 kg mere în total

800 X 7 = 5600 lei suma realizată

Varianta a II-a

25 X 7 = 175 lei sumă realizată

175 X 32 = 5600 lei suma totală

D. Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic, justificarea alegerii lor.

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și evident, a rezultatului final.

Este indicat ca numerele din operații să fie însoțite de unitatea de măsură: kg, lei, m, 1, etc.

La anumite probleme este necesară formularea și interpretarea răspunsului, discutarea aspectelor educative ale conținutului problemei.

E. Activități suplimentare după rezolvarea problemei.

Această etapă constă din:

– verificarea soluției problemei;

– repetarea coerentă și sistematică a enunțului, a etapelor mai importante, în scopul refacerii unitătilor logice ale problemei;

– scrierea rezolvării sub forma de exercitiu;

– rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

– alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;

– determinarea unei formule generale (literale) sau a schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie;

– complicarea treptată a problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebarii;

– compunerea unei probleme asemănătoare cu cea rezolvată;

– discutarea aspectelor educative ale conținutului problemei.

În continuare voi exemplifica câteva din aceste forme de realizare a muncii suplimentare, după rezolvarea problemei:

"Un elev cumpără de la librărie 2 cărți de povești a 152 lei bucata și 3 caiete a 48 lei bucata. El dă la casă o bancnotă de 500 lei.

a) Dacă îi ajung banii, ce rest primește ?

b) Dacă nu-i ajung, cât îi mai trebuie ?”

Rezolvare:

1. Costul cărților

2. Costul caietelor

3. Costul total

4. Restul primit

152 x 2 = 304 lei

48 x 3 = 144 lei

304 + 144 = 448 lei

500 – 448 = 52 lei

Răspuns: 52 lei

La întrebarea b) este necesar să mai răspundem ? (Nu)

De ce? (Fiindcă cumpăraturile costă mai puțin decât 500 lei)

Când trebuie să răspundem la a doua întrebare (C) 500 lei)

Implicațiile posibile aduse acestei probleme:

1. Ce ar mai fi putut cumpăra elevul de restul banilor? (Gândindu-se la aceleași produse):

52-48 = 4 lei

R: 1 caiet și rest 4 lei

2. Dar de noul rest ? ( 1 creion, 1 radieră etc.)

3. Scrieți rezolvarea problemei sub forma unui exercițiu:

500 – ( 152 x 2 + 48 x 3 ) = 500 – 448 = 52 lei

4. Modificați problema astfel încât să puteți răspunde la cea de a doua întrebare:

a) mărind cantitățile:

( 152 x 4 + 5 x 48) – 500 = ( 608 + 240 ) – 500 =

= 848-500 =

= 345 lei

b) mărind prețurile:

(175 x 2 + 52 x 3 )-500 = ( 350 + 156 )-500 =

L = 506 – 500 = 6 lei

c) mărind și cantitățile și prețurile:

( 186 x 3 + 55 x 4) – 500 = ( 558 + 220) – 500 =

= 778 – 500 = 278 lei

5. Stabiliți formulele literale corespunzătoare:

S-( a x b + c x d) =R

(a x b+c x d)-S=s

R = restul

S = suma de 500 lei

s = cât trebuie suplimentat la 500lei

6. Alcătuiți schema problemei sau schema generală:

+

x x

+

7. Compuneți o problemă asemănătoare.

Structura unei probleme înțeleasă, conștientizată de elevi prin întocmirea unei scheme sau prin transpunerea ei în formula numerică sau literală, poate fi considerată ca punct de plecare în rezolvarea altei probleme, așa zise probleme inverse.

Aceasta se poate realiza prin:

• schimbarea de situații

• schimbarea de variabile

Prioritatea rezolvării de probleme din ciclul primar nu trebuie înțeleasă limitativ: mai multe probleme rezolvate în lecție, ci sub aspect calitativ: rezolvarea unei probleme prin toate metodele și procedeele posibile, conștientizarea integrală a rezolvării tuturor problemelor.

Mă voi referi în lucrarea mea la principalele câtegorii de probleme ce se întâlnesc în clasele I-IV.

A. Rezolvarea problemelor simple:

Rezolvarea problemelor simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii. Primele probleme simple se rezolvă la un nivel concret, ca acțiuni de viață (au mai venit _ fetițe, s-au spart _ baloane, au plecat _ rățuște, i-a dat _ creioane colorate) ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul este la scoală și primește cărți sau creioane). În această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de calcul.

Dificultatea principală pe care o întâmpină elevii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. Pe baza experienței pe care o au, încă din primele lecții de matematică ei reușesc cu ușurință "să traducă" în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații. Am căutat să-i familiarizez pe elevii din clasa I cu noțiunea de problemă chiar după primele 4 săptămâni de la începerea anului școlar, paralel cu predarea numerelor și cifrelor 0-9. De exemplu, la lecția "Semnul +" i-am lăsat pe elevi să privească atent ilustrația din manual, apoi să vorbească liber. La întrebarea "Ce vedeți în ilustrație?" mulți copii au răspuns în propoziții chiar sub forma unei probleme simple. "Într-un coș sunt 4 rândunele. Mai vine o rândunică."

Pentru ca problema să fie completă, am intervenit cu o întrebare ajutătoare, astfel încât problema să aibă și o întrebare. "Dacă în cos sunt 4 rândunele și mai vine o rândunică ce putem afla?" Elevii au răspuns: "Câte rândunele sunt acum în coș?"

Se evidențiază operația prin care s-a rezolvat, se scrie rezolvarea ei și se formulează răspunsul.

4+1=5

R: 5 rândunele

Familiarizarea elevilor cu noțiuni de "problemă", "rezolvarea problemei", "răspunsul problemei" se face o dată cu rezolvarea primelor probleme simple.

Elevii au avut distribuite din timp jetoane cu mere, pere, buline, flori, jetoane cu care au lucrat individual.

Le-am cerut ca să așeze pe bănci 3 buline roșii și 4 buline albastre și apoi să formuleze enunțul și întrebarea problemei.

Un elev a lucrat la fel și la stelaj. Cu acest prilej am punctat și părțile componente ale problemei (conținut și întrebare) și i-am verificat rezultatul (aici, vizual, prin numărare) ca o întărire imediată a corectitudinii soluției.

Am rezolvat problema bazată pe reprezentări folosind diferite simboluri (puncte, cerculețe, litere)

Exemplu:

Maria are 6 lei, iar fratele ei cu 2 lei mai mult. Câți lei are fratele Mariei ?

Pentru rezolvarea problemei elevii au fost solicitați să schițeze pe caiete prin cerculețe, puncte, steluțe, câți lei are fiecare.

Maria fratele

V

Punând elementele celor două mulțimi în corespondență, elevii remarcă faptul că fratele are cu 2 lei mai mult, adică 6+2= 8 lei.

Treptat am trecut la rezolvarea problemelor numai pe baza reprezentărilor:

"Pe o sârmă de telegraf sunt 7 păsărele. 3 dintre ele și-au luat zborul. Câte păsărele au mai rămas pe sârmă ? "

Elevii, imaginându-și acțiunea reușesc cu ușurință să rezolve problema.

7 – 3 = 4 păsărele

În general, problemele simple cu toate variantele sale sunt ușor înțelese și rezolvate de câtre elevi. S-a observat că există și unele dificultăți de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuată,

B. Rezolvarea problemelor compuse:

Am rezolvat încă din clasa I probleme compuse ( cu 2 sau mai multe operații ) cu elevii, la început cu plan oral, continuând, din clasa a II-a cu plan în scris de rezolvare.

Exemplul 1. Clasa I (cu plan oral)

Un țăran are 100 de oi. Vinde din ele o dată 20, iar altă dată 40. Câte oi îi mai rămân ?

Rezolvare:

I.

20 + 40 = 60 (oi)

100 – 60 = 40 (oi) sau: 100 – ( 20 + 40 ) = 40;

II.

100-20 = 80 (oi)

80-40 = 40 (oi) sau: 100 – 20 – 40 = 40

III.

+

–

sau

+

–

Exemplul 2. Clasa a II-a (cu plan în scris)

"La o croitorie s-au adus 998 m material pentru cămăși, șorțuri, bluze și rochițe. Pentru cămăși s-au adus 342m, pentru sorțuri cu 130m mai puțin, iar restul pentru rochițe și bluze în mod egal.

Câți m au fost pentru rochițe și câți m pentru bluze?

Rezolvare:

1) câți m au fost pentru sorțuri ?

342m-130m =212m

2) câți m au fost pentru cămăși și șorțuri ?

342m + 212m = 548m

3) câți m au fost pentru rochite și bluze ?

998m – 542m = 444m

4) câți m au fost pentru rochițe și câți m pentru bluze ?

444m : 2 = 222m sau: 998- ( 342 -130) -342 :2 =222

Exemplul 3. Clasa a III-a

"O fetiță sortează într-o oră 3 lăzi cu cartofi, iar un băiat 4 lăzi. Câte lăzi vor sorta într-o oră, dacă lucrează la fel 3 fetițe și 3 băieți ? Rezolvați în mai multe moduri. "

Rezolvare:

I.

1) câte lăzi sortează într-o oră o fetiță și un băiat ?

3 + 4 = 7 (lăzi)

2) câte lăzi sortează într-o oră 3 fetițe și 3 băieți ?

7 x 3 = 21 (lăzi) sau: ( 3x 4 ) x 3 = 21

II.

1) câte lăzi sortează 3 fetițe într-o oră ?

3 x 3 = 9 (lăzi)

2) câte lăzi sortează 3 băieți într-o oră ?

4 x 3 = 12 (lăzi)

3) câte lăzi sortează într-o ora 3 fetițe și 3 băieți ?

9 + 12 = 21 (lăzi)

III.

x x

+

x x

+

Exemplul 4. Clasa a IV-a

"La o crescătorie de păsări sunt 116 găini și de 7 ori mai mulți pui. Se vând un sfert din numărul puilor.

Câte păsări mai rămân la crescătorie ?

Rezolvare:

I.

1) 116x 7 = 812 (pui)

2) 812 : 4 = 203(pui)

3) 812 -203 = 609 (pui rămași)

4) 116 + 609 = 725 (păsări rămase)

II.

1) 116 x 7 = 812 (pui)

2) 812: 4 = 203 (pui vânduți)

3) 203 x 3 = 609 (pui rămași)

1- 4) 116 + 609 = 725 (păsări rămase)

III.

1) 116 x 7 = 812 (pui)

2) 812 : 4 = 203 (pui vânduți)

3) 812 + 116 = 928 (păsări în total)

4) 928 – 203 = 725 (păsări rămase)

C. Rezolvarea problemelor tip:

Problemele tipice constituie un capitol important. Ele se rezolvă pe baza unui anumit algoritm de lucru, specific fiecărui tip.

a) Metoda figurativă (grafică)

Ea constă în reprezentarea (figurarea) mărimilor din probleme și a relațiilor dintre ele prin diferite elemente grafice: desene, figuri geometrice plane, segmente de dreapta, puncte, ovale, semiovale, litere sau combinații de litere, alte simboluri sau semne convenționale. Această metodă este aplicabilă în orice problemă, în care se poate apela la figurare și prin caracterul ei intuitiv este indispensabilă în rezolvarea de către elevii claselor primare a multora dintre problemele de matematică.

Reprezentarea prin segmente de dreaptă este cel mai des întâlnită

În practică, cantitățile le putem reprezenta prin grămezi, dreptunghiuri, pătrate, linii curbe închise, pe baza diagramelor mulțimilor.

Astfel, încă din clasa I, când se formulează și se rezolvă probleme simple, putem cere elevilor să ilustreze relațiile dintre mărimile problemei prin segmente de dreapta.

Exemplul 1.

"Maria a cumpărat 5 m de panglică roșie, iar Ioana a cumpărat cu 3 m mai mult. Câți m de panglică a cumpărat Ioana?

Rezolvați și reprezentați grafic problema. "

5 m

M

5 m 3 m

I

M=5m

I=5m+3m= 8m

R=8m

Exemplul 2.

"Pe o farfurie sunt 6 mere, pe alta de 3 ori mai mult. Câte mere sunt pe cele două farfurii? "

I.

II.

6 x 3 = 18 mere pe a doua farfurie

6 + 18 = 24 mere pe cele două farfurii

sau: 6 x4 = 24 mere

R: 24 mere

Se poate scrie rezolvarea problemei și într-o expresie numerică.

6 + ( 6 x 3 ) = 24 și a + ( a x b ) =

Începând din clasa a II-a apar probleme tipice care conțin suma și diferența, suma și raportul, diferența și raportul, în rezolvarea cărora reprezentarea grafică constituie o necesitate în efectuarea raționamentului și în găsirea soluției problemei.

Exemplul 3.

"În vacanța de vară, Dan și Bogdan au cules dintr-o livadă 166 kg cireșe. Câte kg a cules fiecare dacă Dan a cules cu 6 kg mai mult decât Bogdan?

Rezolvare (I)

Notând cu I și II cantitățile culese de primul și respectiv al doilea copil, putem scrie:

I+ II= 166 kg

I= II+ 6 kg

I= ? II=?

sau: Rezolvare (II)

Fie a și b cele două cantități, iar S și D suma și respectiv diferența, rezulta:

a+ b = 166 kg ori S=166

a – b = 6 kg D=6

a=? b=? a=? b=?

Reprezentarea grafică:

Cantitățile culese de fiecare dintre cei doi copii se pot reprezentate astfel:

a)

6 kg

166

b) II

166 kg

I + 6 kg

c) 166 kg

Varianta I

Consideram că Dan a cules tot atâtea kg de cireșe ca și Bogdan. De ce ? Pentru că dacă suma ar fi formată din două părți la fel de mari am împarți-o în două și am putea determina cantitatea fiecăruia. Ca urmare, trebuie să dăm la o parte cele 6 kg cu cât a cules mai mult primul copil.

Atunci cantitatea totală, care se va micșora cu 6 kg va fi două părți, fiecare egală cu cantitatea culeasă de Bogdan, adică:

II

166 – 6

I

166 – 6 = 160

160 : 2 = 80 ( kg a cules Bogdan)

80 + 6 = 86 (kg a cules Dan)

Varianta a II-a

Dacă am mai adăuga la cantitatea culeasă de al doilea copil încă 6 kg am obține o cantitate la fel de mare ca a primului, iar suma ar fi doua asemenea cantități, adică:

+ 6 kg

II

6 kg 166 – 6

I

166 + 6 = 172 kg

172: 2 = 86 kg (a cules primul copil)

86 – 6 = 80 kg (a cules al doilea copil)

În general, în asemenea probleme, metoda grafică are atâtea variante câte mărimi sunt. Dacă notăm cu:

S = suma

D = diferența

x = numărul mai mic

y = numărul mai mare

Putem ajunge la generalizarea:

x = (S-D): 2

y=(S+D):2

b. Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și raportul lor.

Exemplu:

"În două bidoane se află 80 l de ulei. În primul bidon se află de 4 ori mai mulți litri decât în al doilea. Câți litri de ulei se află în fiecare bidon ? "

Rezolvare:

Notăm cu a cantitatea de ulei din primul bidon, cu b cantitatea de ulei din al doilea bidon.

II 1 p

80 litri 5p = 80 litri

I 1 p 1 p 1 p 1 p 1p = 16 litri

a+ b = 80 l

a= 4xb

Se cere: a=? l

b =? l

a a + b

b

a= 4 părți a= 4 x 16= 64

b = 1 parte b= 1 x 16=16

a + b = 5 părți = 80 a= 4 x 16= 16

1p = 80 : 5 = 16 l (o parte) b = 80 – 64 = 16 l

Verificare:

64 +16 = 80

64: 16 = 4

Dacă notăm cu S = suma

a/b = raportul

x = numărul mai mare

y = numărul mai mic

ajungem la generalizarea că:

x=(S / a+b) x a

y=(S / a+b) x b

c) Probleme de aflare a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor

Exemplu:

"Într-o urnă sunt de 5 ori mai multe bile albe decât roșii și cu 24 bile albe mai multe decât bile roșii. Să se determine câte bile albe și câte bile roșii sunt în urnă.

Rezolvare:

Notăm cu a bilele albe și cu b bilele roșii. Reprezentam grafic:

a 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 4p=24

lp = 6

r 1 p

24

Aflăm o parte din bilele albe: 24 : 4 = 6

Aflăm bilele albe în total: 5 x 6 = 30

Aflăm bilele roșii: 1 x 6 = 6

Verificare: 30: 6 = 5 (raportul)

30 – 6 = 24 (diferența)

R = 30 bile albe și 6 bile roșii

Dacă notăm: D = diferența

a /b = raportul

x = numărul mai mare

y = numărul mai mic

obținem generalizarea:

x=(D/a-b)x a

y=(D/a-b)x b

În clasa a IV-a reprezentarea grafică se utilizează pentru actualizarea cunoștintelor, compararea fracțiilor sau pentru concretizarea relațiilor dintre datele unor probleme de mișcare. Problemele simple de mișcare presupun în rezolvarea lor respectarea unui algoritm legat de formulele d = v x t; v = d /t; t = d /v.

Exemplu:

"În același timp din două orașe A și B pleacă din A spre B pe o cale ferată dublă un accelerat cu viteza medie de 80 km/h și din B spre A un personal cu viteze medie de 60 km/h. Dacă distanța dintre A și B este de 280 km, după cât timp se întâlnesc ? La ce distanță de orașul A ? "

Rezolvare:

Reprezentare grafică:

vt = 80 km/h v2 = 60 km/h

A B

d= 280km

1. Cu cât se apropie cele două trenuri într-o oră ?

80 + 60 = 140 (km)

(vi+ v2)km

2. După cât timp se întâlnesc ?

280: 240 = 2 (ore)

t= d/v1-v2

3. La ce distanță de orașul A ?

80 x 2 = 160 (km

A B

80×2 km 60x 2 km

După rezolvarea unor astfel de probleme am făcut împreună cu elevii generalizarea soluțiilor:

va=v1 + v2

t=d / v1+ v2

t= d / va

unde:

va = viteze de apropiere

t = timpul

d = distanța

v1, v2 = vitezele

Pentru aflarea timpului când deplasarea se face în același sens am rezolvat probleme de tipul:

"Un biciclist având viteza medie de 23 km/h pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din orașul A, în același sens un motociclist având viteza medie de 42 km/h. În cât timp ajunge motociclistul pe biciclist ? La ce distanță de orașul A ?

Rezolvare:

Reprazentare grafică:

A B

vm = 42 km/h

vb = 24 km/h

1. În cele 3 ore biciclistul are un avans de 3 x 24 = 72(km)

A 72 km

vb = 24 km/h

t= 3 h

2. Motociclistul recuperează într-o oră distanța de:

42-24 = 18 (km)

3. Pentru a recupera cei 72 km, motociclistul merge un timp de:

72 : 18 = 4 (ore)

– acesta fiind și timpul după care se întâlnesc

4. Motociclistul l-a ajuns pe biciclist la distanța de:

42 x 4 = 168 (km de orașul A)

Generalizarea s-a făcut:

Vr = V1 + V2 ; t = d / V2 – V 1

Am notat:

Vr = viteza de recuperare

v2 = viteza mai mare

v1 = viteza mai mică

d = distanța

t = timpul

De un real sprijin este metoda figurativă în rezolvarea problemelor cu date sau mărimi "discrete", întelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate câte una și că se pot pune în corespondență după anumite criterii. În acest caz mărimile le configuram prin simboluri.

Exemplu:

"Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 43 de animale, având 124 de picioare. Câte găini și câți iepuri sunt în curte ?”

Etapa I:

Să reprezentam cele 43 de vietăți prin niște ovale:

………………………….

43 animale

Etapa a II-a:

Acum ar trebui să desenăm picioarele, dar pentru că nu știm câte găini și câți iepuri sunt, vom desena deocamdată fiecărui animal câte două picioare.

………………………….

43 animale

Câte picioare am desenat ?

43 x 2 = 86 (picioare)

Deci mai trebuie desenate:

124 – 86 = 38 (picioare)

Etapa a III-a:

Vom mai desena câte două picioare la fiecare animal care are deja câte două picioare. Formăm astfel "iepuri". Pentru câte animale ne vor ajunge picioarele ?

38: 2 = 19

…………….. …………..

19 iepuri 24 găini

43 animale

Deci sunt 19 iepuri și 43 – 19 = 24 găini ·

R = 19 iepuri și 24 găini

Verificare: ( 19 x 4) + ( 24 x 2) = 76 + 48 = 124 picioare

Probleme de genul acesta pot fi rezolvate și prin metoda falsei ipoteze. Reprezentarea grafică ajută elevii și în rezolvarea unor probleme cu un grad ridicat de dificultate.

Exemplu:

"Într-un depozit se află de 4 ori mai multă făină decât în altul. Dacă din primul depozit s-ar scădea 185 kg și din al doilea 2000 kg atunci ambele depozite ar conține cantități egale.

Câte kg de făină sunt în fiecare depozit ?

Rezolvare: Reprezentare grafică:

2000 kg

I 185 kg 1p 1p 1p

185 kg

II

3p + 185 = 2000

3p = 1815

1p= 605 kg

I. 605×1 = 605 (kg făină în primul depozit)

II. 605 x 4 = 2420 (kg făină în al doilea depozit)

Verificare:

605 – I 85 = 420 (kg făină au rămas în primul depozit)

2420 – 2000 = 420 (kg făina au rămas în al doilea depozit)

d. Metoda reducerii la unitate

Metoda reducerii la unitate se poate sintetiza prin regula: pentru a ști valoarea mai multor unități trebuie să determinăm valoarea unei singure parț(unități) și invers.

În ambele situații, fie că sunt mărimi direct proporționale, fie că sunt mărimi invers proporționale, enunțul cuprinde trei elemente cunoscute și unul necunoscut, două câte două de același fel. Cu ajutorul celor trei elemente se află cel de al patrulea. De aceea, metoda se mai numește de trei simplă sau compusă.

Metoda este aplicabilă unei clase întregi de probleme care se găsesc în manualele de matematică.

Pentru a înțelege și a utiliza această metodă în rezolvarea problemelor am rezolvat cu elevii probleme de felul:

1. "Cinci creioane costă 40 de lei. Cât vor costa 9 creioane de același fel ? "

Pentru a stabili mai ușor dependența dintre mărimile și operațiile necesare rezolvării, așezăm datele problemei în ordinea de mai jos:

5 creioane …………………………………………. 40 lei

9 creioane ………………………………………….? lei

Pentru a ști cât costă 9 creioane, trebuie să aflăm mai întâi cât costă un creion (o unitate de măsură).

5 creioane ……………………………………….. 40 lei

1 creion ………………………………………….. 40: 5 = 8 lei

Cunoscând prețul unitar putem afla costul oricâtor creioane vrem.

În cazul nostru:

1 creion …………………………………………. 8 lei

9 creioane ……………………………………… 9 x 8 = 72 lei

R = 72 lei

2. "Șase muncitori execută o lucrare în 4 zile. În câte zile execută aceeași lucrare 12 muncitori, dacă toți muncesc la fel ? "

Rezolvare:

6 muncitor ……………………………………….. 4 zile

1 muncitor ……………………………………….. 6 x 4 = 24 zile

Când la aceeași lucrare participă 12 muncitori, timpul se va micșora de 12 ori adică:

1 muncitor ………………………………………… 24 zile

12 muncitori ………………………………………. 24 : 12 = 2 zile

Este indicat ca în rezolvarea acestor probleme să stabilim cu elevii felul mărimilor ce apar în problemă; mărimi direct proporționale (când una crește de un anumit număr de ori, crește și cealaltă de același număr de ori, exemplu problema nr.l); mărimi invers proporționale (când una crește de un anumit număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori, de exemplu problema nr.2).

e. Metoda falsei ipoteze sau metoda ipotezelor

Un număr însemnat de probleme existente în manualele de matematică, ale cărei mărimi sunt proporționale le rezolvam prin această metodă.

În rezolvarea acestor probleme se pleacă de la întrebarea problemei, în sensul că asupra mărimii ce o căutam facem o presupunere, complet arbitrară. Refacem problema pe baza presupunerii făcute. Ajungem la un rezultat care nu concorda cu cel real din problemă. Este fie mai mare, fie mai mic decât acesta, dar el nu coordonează căutările.

Comparând rezultatul obținut cu cel real, observăm de câte ori am greșit când am făcut presupunerea. Obținem astfel un număr cu ajutorul căruia corectăm presupunerea făcută în sensul că o micșorăm sau o mărim de acest număr de ori.

Problemele rezolvabile prin această metodă se împart în două categorii:

• probleme care solicită o singură ipoteză

• probleme care solicită două sau mai multe ipoteze

Spre exemplificare voi arăta mai întâi raționamentul de rezolvare a unei probleme din prima categorie, folosind o singură ipoteză.

"O florăreasă a vândut într-o zi 100 de fire de flori: garoafe și lalele. Garoafa avea prețul de 15 lei, iar laleaua de 10 lei. Știind că a încasat sumă de 1325 lei, câte fire de fiecare fel a vândut ? "

Rezolvare: Varianta I

Presupunem că toate firele de flori vândute au fost garoafe. Atunci ar fi încasat:

15×100 = 15000 lei

Dar în realiate ea a încasat a 1325 lei.

S-a obținut mai mult cu 1500-1325 = 175 lei

Această diferență provine din faptul că au fost vândute și lalele și pentru fiecare lalea am socotit cu 15 – 10 = 5 lei mai mult, presupunându-le garoafe.

Pentru câte lalele am socotit în plus câte 5 lei ?

Pentru atâtea, de câte ori 5 se cuprinde în diferența de 175 lei.

175: 5 = 35

Deci, s-au vândut 35 de fire de lalele.

Aflăm câte garoafe s-au vândut:

100-35 = 65

Verificare: ( 65×15) + (35 x 10) = 1325 lei

Rezolvare: Varianta a II-a

Presupunem că toate firele vândute au fost lalele. Am obține în acest caz suma de:

100 x 10 = 1000 lei, adică mai puțin cu

1325 -1000 = 325 lei

Această diferență arată că s-au vândut și garoafe cu 15 lei firul.

Înlocuim o lalea cu o garoafă: la fiecare înlocuire diferența de 325 lei scade cu 15 -10 = 5 lei.

Deci, va trebui să facem atâtea înlocuiri de câte ori 5 se cuprinde în 325.

325: 5 = 65

Deci, s-au vândut 65 fire de lalele.

Verificare: (35 x 10) + ( 65×15) = 1325 lei

Între problemele din prima categorie și cele de categoria a doua există o diferență apreciabilă de dificultate. Elevii întâmpină piedici serioase în aplicarea metodei ipotezelor la aceste probleme.

De aceea, în rezolvarea acestui gen de probleme, la clasa a IV-a am urmărit să imprim metodei grafice un caracter intuitiv mai pronunțat – figurarea prin desen.

Exemplu:

"Radu jucându-se cu pietricele și vrând să pună în fiecare gropiță același număr de pietricele, face următorul calcul: Dacă pun câte 12 pietricele în fiecare gropiță îmi rămân 10 pietricele, iar dacă pun 15, nu-mi ajung 5 pietricele. Câte pietricele și câte gropițe făcute avea Radu ? "

Rezolvare:

Radu grupează pietricelele pe care le are în grămezi de câte 12 rânduri (situatia 1 ). În momentul în care se gândește să grupeze câte 15 cum procedează ?

Ia cele 10 pietricele care au rămas negrupate și le distribuie la grupele în care erau câte 12. Dar în această situație (situația 2) pentru ultima grupă nu-i ajung 5 pietricele pentru a fi câte 15. Această ultimă grupă avea în situația 1, 12 pietricele.

Câte trebuie să rămână acolo pentru ca atunci când Radu vrea să aibă 15, să nu îi ajungă 5 ?

adică 15 – ? = 10

Rezultă că în ultima grupă Radu va lasă 10.

Câte pietricele ia ca să-i rămână 10, adică 12 – ? = 10. Deci mai ia 2 pentru ca 12 -10 = 2.

Câte mai pune la fiecare grupă de câte 12 pentru a avea 15,

adică:

12 +? = 15

15-12=3

La câte grupe mai pune câte 3 din cele 12 pe care le distribuie ?

12: 3 = 4

Deci, Radu avea 4 gropițe cu câte 15 pietricele și o gropiță de 10 pietricele.

Câte pietricele avea Radu ?

(4×15) +10= 60 + 10 = 70

Câte gropite făcuse Radu ?

4+1=5

Situația 1

…….. 10

Situația 2

…….. 10

12+3 12+3 12+3 12+3 12+3 12+3 12+3 15-5

e. Metoda comparației

Specificul metodei comparației constă în faptul că se folosește mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relații clar precizate, determinarea fiecăruia implicând eliminarea celeilalte mărimi prin înlocuirea sau prin reducere (scăderea).

a) Comparația prin reducere (scădere) o folosim în problemele în care enunțul cuprinde relații referitoare la mărimile date în două situații distincte. După scrierea datelor unele sub altele, conform situațiilor din enunț, trebuie să comparăm datele privitoare la o mărime din care două situații. Dacă ele nu sunt aceleași la obținerea prin diferite procedee (multiplicitate sau divizibilitate). De aceea metoda se mai numește aducerea la același termen de comparație sau egalarea datelor.

b) În problemele care se rezolvă prin eliminarea unei mărimi înlocuind-o poate fi dat raportul dintre valorile unitare, sau poate fi dată diferența dintre valorile unitare.

A. Probleme care se rezolvă prin reducere (scădere)

1. "Un elev a cumpărat de la o librărie 2 cărți și 4 caiete plătind 236 lei. Altădată, la aceleași prețuri a cumpărat 2 cărți și 3 caiete plătind 201 lei. Cât costă o carte și cât costa un caiet?"

Rezolvare:

Notăm datele problemei pe două șiruri, corespunzătoare celor două situații:

2 cărți……………………………… 4 caiete …………………………. 236 lei

2 cărți………………………………3 caiete ………………………….. 201 lei

Se observă că prima și a doua oară elevul a cumpărat același număr de cărți. De ce nu a plătit aceeași sumă? Pentru că nu a cumpărat același număr de caiete. A doua oară a cumpărat mai puține, motiv pentru care a plătit mai puțin.

2 cărți ……………………………4 caiete …………………………. 236 lei

2 cărți…………………………. .3 caiete ………………………….. 201 lei

1 caiet = 235 lei – 201 lei= 35 lei

Înlocuind în prima relație caietele cu costul lor avem:

2 cărți …………………………. 4 x 35 lei ……………………………. 236 lei

2 cărți ………………………….3 x 35 lei …………………………….. 201 lei

2 cărți ……………………………………………………………. 236 -140 = 96 lei

1 carte ………………………………………………………………….96 :2 =48 lei

2. "Trei pahare și 4 farfurii costă 431 lei. 6 pahare și 5 farfurii de același fel costă 640 lei. Câți lei costă un pahar și câți lei costă o farfurie?"

Rezolvare:

Ne propunem să avem același număr din pahare sau farfurii. Pentru aceasta multiplicam datele din prima relație de un număr convenabil de ori (2 ori). Vom avea de 2 ori mai multe pahare, de 2 ori mai multe farfurii și evident, ca vor costa de 2 ori mai mult.

În urma acestei operații datele vor fii următoarele:

6 pahare ……………………… 8 farfurii ……………………………. 862 lei

6 pahare………………………. 5 farfurii ……………………………. 640 lei

În continuare raționamentul adoptat este ca și la prima problema:

1. diferența numărului farfuriilor 8 -5 = 3

2. diferența costurilor 862 – 640 = 222 lei

3. costul unei farfurii 222: 3 = 74 lei

4. costul a 8 farfurii 74 x 8 = 592 lei

5. costul a 6 pahare 862 – 592 = 270 lei

6. costul unui pahar 270: 6 = 45 lei

R = 74 lei o farfurie

45 lei un pahar

B. Probleme care se rezolvă prin eliminarea unei mărimi prin înlocuire

– înlocuire pe baza raportului:

3. "S-au cumpărat 3m de stofă și 4m de mătase și s-a plătit în total 9750 lei. 1 m de stofă este de 3 ori mai scumpă decât 1 m de mătase.

Cât costă 1 m de stofă și 1 m de mătase ? "

Rezolvare:

Stofa fiind de trei ori mai scumpă, înseamnă că cu banii platiți pentru cei trei metri de stofă se puteau lua 3 x 3 = 9m de mătase.

Deci, cu 9750 lei se pot cumpăra:

4m + 9m = 13 m mătase

1 m mătase costă: 9750: 13 = 75 lei

1 m stofă costă: 3 x 75 = 225 lei

R = 75 lei pentru 1 m mătase

225 lei pentru 1 m stofă

– înlocuirea pe baza diferenței:

4. "Pentru 2 kg lămâi și 3 kg portocale s-a plătit 1525 lei. 1 kg portocale costă cu 50 lei mai mult decât 1 kg lămâi.

Cât costă 1 kg de lămâi și 1 kg de portocale ? "

Rezolvare:

– înlocuim lămâile cu portocale. Atunci, pentru a cumpăra numai portocale la cele 2 kg lămâi trebuie să mai adăugăm 2 x 50 lei = 100 lei

Costul total va deveni: 1525 + 100 = 1625 lei

2 kg portocale + 3 kg portocale vor costa 1625 lei

5 kg portocale ……………………………………………. 1625 lei

1 kg portocale …………………………………………… 1625 : 5 = 325 lei

1 kg lămâi …………..…………………………………. 325 – 50 = 275 lei

R = 325 lei 1 kg de portocale

275 lei 1 kg de lămâi

sau:

– înlocuim portocalele cu lămâi.

Pentru a cumpăra numai lămâi va trebui să scădem din costul total 3 x 50 = 150 lei.

Suma va deveni: 1525 + 150= 1375 lei

2 kg lămâi + 3 kg lămâi= 5 kg lămâi

5 kg lămâi ……………………………………………. 1375: 5= 275 lei

1 kg portocale ……………………………………… 275 lei+ 50 lei = 325 lei

R= 275lei1 kg de lămâi

325 lei 1 kg de portocale

f. Metoda mersului invers

Metoda mersului invers o folosim în rezolvarea problemelor gen rest din rest, în care datele depind unele de altele, aflându-se într-o ordine succesivă.

Urmărind enunțul de la sfârșit la început (mergând în sens invers enunțului) trebuie să determinăm penultimul rest pe baza relației sale cu ultimul rest, apoi a penultimului rest, până se ajunge la numărul inițial (întregul). Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operația inversă celei din enunț. Deci, nu numai mersul este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse celei din problemă.

Exercițiile ce se pot obține din rezolvarea unora dintre aceste probleme sunt denumite "exerciții cu x" care sunt de fapt ecuații de gradul I cu o necunoscută dar care pentru elevii mici se rezolvă nu prin calculul algebric, ci prin raționamentul aritmetic.

Exemplu:

1. "M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 5, la rezultat am adăugat 50. Suma obținută am împărțit-o la 9 și din cât am scăzut 22, obținând 428. La ce număr m-am gândit ? "

Pentru a înțelege raționamentul de rezolvare am prezentat elevilor comparativ drumul problemei cu cel al rezolvării.

Drumul prezentat de problemă:

1. Numărul necunoscut:

2. Prima etapă:

3. A doua etapă

4. A treia etapă

5. A patra etapă

a

a x 5

a x 5 + 20

(a x 5 + 50) :9

(a x 5 + 50) : 9 – 22 = 428

Drumul rezolvării (avem de aflat un număr necunoscut dintr-o egalitate):

( a x 5 + 50) : 9 – 22 = 428

D S R

x

D – descăzut

s – scăzător

R – rest (diferența)

+

:

–

1. Observăm că numărul necunoscut se află în descăzut

D + S + R deci (a x 5 + 50) : 9 = 428 + 22 = 450

D (deîmpărtit) Î (împărțitor) C (cât)

2. Acum numărul necunoscut se află la deîmpărțit

D = C x Î deci:

a x 5 + 50= 450 x 9

T1 T2 S=4050

3. De data aceasta numărul necunoscut se află în produsul a x 5 care este un termen al adunării.

Aceasta se află scăzând din sumă (S) termenul cunoscut (T2) deci:

a x 5 = 4050-50 = 4000

4. Numărul a este un factor necunoscut deci:

a= 4000: 5

a= 800

Problemele gen rest din rest au un enunț care le evidențiază denumirea și care în mod general se formulează astfel:

2. "Un călător are de făcut un drum. În prima zi merge 1/3 din el, a doua zi 1/3 din rest, iar a treia zi 3/4 din noul rest și a patra zi ultimii 40 km. Care este lungimea drumului ? "

Reprezentare grafică:

l-a zi 1/3 D

a II-a zi 1/3 R1

a III-a zi 3/4 R2

a IV-a zi 40 km (1/4)

Pe graficul astfel realizat "aplicăm" raționamentul. Unde trebuie să ajungem ?

La segmentul inițial – lungimea drumului.

Pornind de la ultima relație și mergând înapoi putem afla pe rând R2, R1 și în final lungimea totală, D.

1. A câta parte din R2 reprezintă 40 km ?

1-3/4 = 1/4;

2. Aflăm R2.

R2 x (1/4) = 40

R2 = 40×4=160 km;

3. Aflăm a câta parte din R1 reprezintă R2.

1 -1/3 = 2/3;

4. Aflăm Rl.

R1 x 2/3 = R2

R1= R2 x 3/2 = 160 x3/2 =240 km;

5. Aflăm a câta parte din drumul total reprezintă R1.

1-1/3 = 2/3;

6. Aflăm lungimea totala a drumului, D.

D x 2/3 =R1;

D = R1 x 3/2 = 240 x 3/2 = 360 km

R: lungimea totală este 360 km

f. Probleme nonstandard

O câtegorie aparte de probleme, care nu se supun exigențelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum și care nu permite aplicarea unei metode învățate este cunoscută sub denumirea de probleme nonstandard.

Prin rezolvarea unor probleme nonstandard se realizează "Recreația intelectuală, rezultată dintr-o gimnastică sau mișcare a minții la fel de binefacătoare ca orice gimnastică sau mișcare pentru sistemul care o practică" (Guran,1985,p. 98)

Iată câteva probleme de acest gen, pe care le-am rezolvat cu elevii diferitelor clase:

1. "Costel și Irina sunt frați. Se duc la teatru împreuna cu părinții și bunicii. Câte scaune vor ocupa?"

Rezolvare:

2 + 2 + 2 + 2 = 8 ( locuri dacă vor merge și bunicii din partea tatălui sau din partea mamei)2 + 2 + 2 = 6 (locuri dacă vor merge numai bunicii din partea mamei sau numai din partea tatălui)

2. "Niște vânători, 2 tați și 2 feciori au împușcat fiecare câte un iepure. Când i-au numărat au văzut ca sunt numai trei iepuri.

Puteți spune de ce ?

Răspuns: La vânatoare au fost numai trei persoane: bunicul, tata și fiul.

3. "Un pescar amator, după 2 zile de pescuit este întrebat de prieteni câți pești a pescuit. El a răspuns: Am prins 6 pești fără cap, 9 pești fără coadă și 8 pe jumătate. Câți pești a prins ? "

Răspuns: Nici unul.

4. Nelu are un frate și 3 surori. Câti frați și câte surori are sora sa?

Răspuns: 2 surori și 2 frați.

CAPITOLUL III

Dezvoltarea gândirii creative a elevilor prin rezolvări și compuneri de probleme de matematică

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă termenul cel mai fertil din domeniul activităților matematice pentru stimularea curiozității și imaginației elevilor, formarea la elevi a unei gândiri deschise, flexibile, creative

3.1. Dezvoltarea gândirii creative a elevilor prin rezolvarea unor probleme

Activitatea de rezolvare a unor probleme se desfășoară prin parcurgerea mai multor etape, care solicită un efort intelectual complex, cuprinzând inducții și deducții logice, analogii, analize, generalizări.

Toate aceste date, în final conduc spre găsirea ideii centrale, a principiului de rezolvare a problemei, a ideii decisive de rezolvare. Apariția ideii conducătoare constituie momentul de incheiere a fazei de tensiune, a căutarii, un moment de destindere care marchează satisfacția descoperirii. Acesta este momentul descoperirii, al creației în rezolvarea problemelor.

În activitatea de rezolvare a problemelor există o fază de tensiune, neliniște, căutare; se fac o serie de încercări "în schiță", atenția concentrându-se nu asupra fiecărei verigi, în parte ci asupra totului, asupra felului cum se vor lega verigile.

Aceste tatonări reprezintă activitatea gândirii de descoperire, care nu construiește soluția etapă cu etapă pe un drum liniar.

În prima etapă nu căutăm primul element al rezolvării ci direct soluția, întregul, și pentru că nu-l putem găsi dintr-o dată, căutăm să delimităm treptat conturul întregului.

După ce a fost descifrat drumul către soluția problemei, urmează partea de executare a construcției, care constă în aplicarea atentă a unor metodici și tehnici cunoscute, lipsite de problematică.

Dezvoltarea gândirii creative prin rezolvarea problemelor se poate face utilizând procedee cât mai variate. Cultivarea creativității presupune lupta cu stereotipia. Problemele pe care le rezolvă elevii trebuie să fie diverse ca mod de prezentare, dar încadrabil în algoritmii de lucru de anumite niveluri. În fața oricărei probleme, elevul trebuie pus în situația de a gândi ca în fața unei probleme noi, necunoscute și numai după acest act de gândire (cunoașterea, eventual recunoașterea problemei pe baza elementelor esențiale) să poata trece la încadrarea problemei "individuale" în categoria sau tipul de "probleme" căruia îi aparține.

Elevul trebuie să fie stăpânit de o motivație superioară, exprimată prin interesul său nemijlocit față de problemele ce i se oferă, prin placerea de a cunoaște și de a explora necunoscutul, prin satisfacțiile pe care le are de pe urma eforturilor sale.

Pentru a forma la elevi o gândire creatoare, ei trebuie puși în situații variate, mereu noi. În acest scop se utilizează o varietate de procedee. Printre acestea enumerăm:

– complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

– rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee;

– scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;

– alegerea celei mai scurte și mai economicoase căi de rezolvare;

– determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie și încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumita categorie de probleme;

– transformarea problemelor compuse în exerciții, astfel încat ordinea operațiilor să fie în succesiunea judecăților și a relațiilor corespunzătoare conținutului problemei;

– transformarea problemelor compuse în exerciții cu paranteze care să indice ordinea operațiilor;

– transformarea și compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse s.a.

Folosindu-ne de toate aceste procedee, elevul realizează nu un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe, în ordonarea, combinarea și emiterea de ipoteze, verificarea ipotezelor, contribuind prin toate acestea în principal la cultivarea gândirii creative.

Unii psihologi (Ausubel, 1970, p.749) consideră rezolvarea de probleme și creativitatea drept "culmi ale performanței cognitive."

Caracterul inventiv, creativ al activității de rezolvare a problemelor este subliniat și de George Polya. El spune că: "a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr-o dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția unei probleme este o performanță specifică inteligenței umane."

În esență, rezolvarea unei probleme necesită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute cu cât valoarea necunoscută se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei.

Oricare ar fi situația, fie că descoperă ceva nou pentru el, o relație ascunsă îndepărtată, fie că pur și simplu îmbină o serie de cunoștințe care-l duc la rezultat, în rezolvarea oricărei probleme, gândirea elevului este pusă în fața unui efort.

În căutarea soluției, gândirea trebuie lăsată liberă să iscodească, să încerce, chiar dacă pornește pe cărări fără șansă de reușită. Acțiunea înfrigurată a căutării are o eficiență formativă mult mai bogată decât dirijarea elevului către soluție, care-l scutește de efort și de trăirea emoțiilor căutării și a bucuriei descoperirii.

Elevul trebuie lăsat să își manifeste gândirea liberă, iscoditoare și să nu fie îngrădit de corsetul unui limbaj "ales" pe care-l pretinde învățătorul. În momentul când gândirea elevului s-a declanșat într-o direcție și el încearcă să prezinte și să urmărească această direcție, trebuie lăsat să caute, gîndirea lui să iscodească, pentru început, nu forma în care-și prezintă gândul trebuie avută în vedere. Abia după aceea, când atenția și gândirea lui devin disponibile – a trecut momentul de tensiune, soluția a fost descoperită – i se poate cere să se exprime cât mai corect și mai complet, se pot formula exigențe care privesc limbajul intern al elevului, ce-și spune el în gând.

Caracterul creator al activității de rezolvare a problemei constă în priceperea de a scoate la iveală condițiile problemei care sunt camuflate de circurnstanțele întâmplătoare și de a găsi mijlocul cel mai economicos și eficient de rezolvare.

Important pentru rezolvarea problemei este înțelegerea ei, înțelegere care devine incompletă dacă nu luăm în considerare datele esențiale și relațiile dintre ele.

3.2. Dezvoltarea gândirii creative a elevilor prin compuneri de probleme

Compunerea de probleme este o activitate complexă în care elevul este solicitat să îmbine și numere, exprimând relații între cantități, să respecte structura exercițiului sau a schemei date și în raport cu acestea, să elaboreze textul problemei – text al cărui raționament să reclame rezolvarea oferită.

Complexitatea acestui gen de activitate intelectuală constă în faptul că ea presupune un anumit volum de cunoaștere, stăpânirea tehnicilor de calcul, a deprinderii de a stabili raționamentul logic, un vocabular bogat, apel la toate cunoștințele dobândite pentru a elabora un text cu conținut realist cât și a atmosferei stimulatoare care să-l elibereze pe elev de tensiune, teamă, frică de pedeapsă, de nereușită.

Priceperea de a compune probleme se formează în timp, paralel cu însușirea operațiilor aritmetice și cu cea de rezolvare a problemelor.

Elevii trebuie deprinși mai întâi cu selecționarea și cu combinația datelor, să formuleze întrebări, să descopere căi variate de rezolvare, ca apoi să poată crea în mod independent.

Modalitatea de compunere a problemelor sunt foarte variate, succesiunea lor graduală putând fi urmatoarea:

– probleme acțiune sau cu punere în scenă;

– compuneri de probleme după tablouri și imagini;

– compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

– compuneri de probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate;

– compuneri de probleme după un plan stabilit;

– compuneri de probleme cu mai multe întrebări posibile;

– probleme cu întrebare probabilizantă;

– compuneri de probleme cu început dat, cu sprijin de limbaj;

– compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

– compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

– compuneri de probleme după un model simbolic;

– compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor;

– crearea liberă de probleme;

– probleme de perspicacitate, rebusistice.

Primele probleme compuse de elevi s-au creat cu ajutorul materialului intuitiv, cerut de gândirea concret-intuitivă a elevilor din clasa I. La început am folosit materialul concret existent în clasă: creioane, caiete, cărți, ghivece cu flori, tablouri, planșe. Treptat am trecut la materialul semi-concret: figurile decupate, planșe cu diferite desene și scheme, imagini din manuale.

Pornind de la principiul că orice cunoștințe sunt mai conștient însușite și mai temeinice dacă sunt percepute prin mai mulți analizatori, primele probleme create de elevii clasei I au fost cele cu numere în scenă sau acțiune.

Exemplu:

Am cerut unei fetițe să scoata din cutia cu creioane colorate 3 creioane și să le țină în mână, iar unui băiat să ia din cutie 5 creioane.

Dupa această acțiune am cerut elevilor din clasa să compuna o problemă. Au fost compuse probleme de forma:

"Ana are 3 creioane colorate, iar Mihai are 5 creioane colorate. Câte creioane au împreună? "

Le-am cerut apoi să formuleze și alte intrebări posibile. Elevii au formulat întrebările:

"Cu câte creioane are mai mult Mihai decât Ana ? "

"Cu câte creioane are mai puțin Ana decât Mihai ? "

"Câte creioane ar trebui să mai aiba Ana astfel ca numărul creioanelor celor doi să fie egal? "

"Câte creioane trebuie să dea Mihai ca săi aibă cât Ana ? "

În compunerea problemelor ne-am folosit de obiecte existente în clasă. Observând obiectele din clasa, elevii au compus probleme de forma:

"Pe suportul de flori sunt 5 ghivece. Elena ia 2 ghivece și le așează pe geam. Câte ghivece mai sunt pe suport ? "

Pentru ca această activitate de compuneri de probleme să fie cât mai placută, să stârnească interes și sensibilitate față de noi probleme, au fost create situații de joc didactic, ne-am imaginat că suntem într-o librărie, unii elevi au primit rolul de vânzători, alții de cumpărători.

Cu ajutorul materialului concret: caiete, stilouri, cărți, bancnote, monede, am pus în scenă mai multe probleme. Cu acest prilej am subliniat și modul cum trebuie să se comporte într-un magazin și formulele de politețe cu care trebuie să se adreseze vânzătorului.

Compuneri de probleme după tablouri, desene și imagini

Compunerea de probleme folosind tablouri, desene și imagini antrenează întreaga clasa de elevi, chiar și pe cei mai timizi sau cu o imaginație mai scăzută, deoarece desenele, imaginile ilustrează conținutul problemei, indică mărimile sau valorile cu care trebuie să se compună problema, dirijând elevii într-un raționament sistematic.

Manualul actual de matematică pentru clasa I este bogat în ilustrații care pot constitui sugestii de compunere a problemelor, începând cu paginile pentru formarea conceptului de număr natural și continuând cu cele care ilustrează operații de adunare și scădere,

Pe baza ilustrației de la pag. ____ ,elevii au alcătuit probleme interesante, imaginea sugerând atât o operație de adunare cât și cea de scădere.

Exemplu:

" Într-o parcare sunt 3 autoturisme. Mai vin autoturisme. Câte autoturisme sunt acum în parcare ? "

sau

"La o stație PECO erau mașini. 2 dintre ele au alimentat și au plecat. Câte autoturisme au mai rămas ? "

Având în vedere particularitățile gândirii elevilor din clasa I am cerut elevilor să compună probleme după desene și scheme prezentate.

Desenele copiilor realizate la orele de educație plastică având ca teme plastice "La săniuș", "În livadă", "Pe stadion", "Culesul fructelor", le-am folosit în compunere de probleme de acest gen.

De exemplu, desenul "Culesul fructelor", a sugerat elevilor din clasa a III-a următoarea problemă:

"Într-o livadă sunt 7 meri și 5 peri. Fiecare măr produce în medie 50 kg mere și fiecare păr 45 kg pere. Merele se vând cu 12000 lei/kg, iar perele cu 15000 lei/kg. Ce sumă se încasează pe fructele vândute din acea livadă ? "

La clasa a IV-a am cerut elevilor să compună o problemă inspirându-se după desenul de mai jos și folosindu-se de cunoștințele lor de geometrie:

15

49

1/5 2/5 2/5

"Un teren agricol de formă dreptunghiulară având lungimea de 49m și lățimea de 15m a fost cultivat astfel: 1/5 din teren cu fasole, 2/5 cu cartofi, iar ceea ce a rămas a fost cultivat cu porumb. Ce suprafață s-a cultivat cu fiecare cultură ? "

Imaginile și desenele oferă elevilor o gamă variată de probleme solicitându-le imaginația, spiritul inventiv și creativ.

Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior

Problemele rezolvate cu elevii și înțelese de aceștia pot constitui punctul de plecare în compunerea unor probleme asemănătoare. Prin acest fel de compunere se poate vedea dacă elevii recunosc tipurile de probleme rezolvate anterior și dacă au înțeles în mod conștient raționamentul de rezolvare, realizând astfel conexiunea inversă.

După ce am rezolvat un anumit număr de probleme prin metoda figurativă am cerut elevilor să compună și ei probleme asemănătoare de aflare a dona numere cunoscând suma și diferența, suma și raportul, diferența și raportul.

Elevii au compus probleme asemănatoare schimbând:

– fie mărimile ce intră în problemă:

– fie datele numerice;

– atât mărimile cât și datele numerice.

Exemplu:

"Compuneți o problemă a cărei rezolvare să necesite metoda figurativă".

R1. "Doi frați, Elena și Marin au împreună 146 lei. Câți lei are fiecare dacă Elena are cu 20 lei mai mult de cât Marin ? "

R2. "Fiica este mai mică decît mama de 4 ori, iar mama este cu 24 ani mai mare decât fiica. Câți ani are fiecare ? "

R3. Într-un depozit se află 4550 kg orez și zahăr. Cantitatea de orez este de 4 ori mai mică decît cea de zahăr. Câte kg de zahăr și câte kg de orez se află în depozit ? "

"Compuneți o problemă care să se rezolve prin metoda reducerii la unitate".

R1. Un muncitor execută 269 de piese în 8 ore. Câte piese execută in 5 ore dacă în fiecare oră lucrează același număr de piese ? "

"Compuneți o problemă care să se rezolve prin metoda mersului invers ".

R1. "Suma de 1050 lei s-a plătit cu ajutorul a 18 bancnote de 100 lei și de 25 lei. Câte bancnote au fost de 25 lei și câte de 100 lei ? "

R2. "Un elev a plecat în excursie cu o sumă de bani. În prima zi a cheltuit 1/4 din bani, a doua zi 1/3 din rest, a treia zi 1/2 din noul rest și încă 10 lei, iar a patra zi restul de 20 lei. Câți lei a avut elevul la plecare?"

Acest gen de compuneri de probleme îl putem cere elevilor în fiecare oră de matematică, după rezolvarea unei probleme, la început oral și apoi sub formă scrisă.

Compuneri de probleme cu indicarea operațiilor ce trebuie efectuate

Compunerea unor probleme cu indicarea operațiilor ce trebuie efectuate în rezolvarea lor este una din sarcinile pe care elevii le rezolvă cu destulă ușurință, deoarece se lasă la propria lor inițiativă alegerea mărimilor și valorilor numerice care intră în conținutul problemei.

Această formă de comunicare o folosesc în special la clasele I și a II-a, paralel cu introducerea operațiilor aritmetice.

Clasa I: Compuneți o problemă care să se rezolve:

– printr-o operație de adunare;

– printr-o operație de scădere;

– prin adunare și scădere;

– prin scădere și adunare;

– prin două adunări;

– prin două scăderi.

Clasa a II-a: Compuneți o problemă care să se rezolve:

– printr-o înmulțire;

– printr-o împărțire;

– prin înmulțire și adunare sau scădere;

– prin împărțire și adunare sau scădere;

– numai prin inmulțiri;

– numai prin împărțiri.

La clasele a III-a și a IV-a avem posibilitatea de a compune probleme utilizând toate variantele de cerințe de la clasele anterioare.

Exemplu:

"Compuneți o problemă în rezolvarea căreia să folosiți toate operațiile aritmetice".

R. "La o fermă avicolă sunt 9600 păsări. Din acestea 2/3 sunt rațe, 1/5 din rest sunt curci, iar restul găini. Câte păsari sunt de fiecare fel ? "

Pentru elevii care alcătuiesc acest fel de probleme cu ușurință formulez noi cerințe, care să-i puna în situația de a restructura problema.

Exemplu:

– adăugați enunțului și alte necunoscute;

– schimbați întrebarea astfel încât rezolvarea să necesite și alte operații;

– complicați enunțul problemei și rezolvați-o prin două moduri.

Compuneri de probleme după un plan stabilit

La clasa I am cerut elevilor să alcătuiască probleme după un plan redactat sub formă interogativă.

Exemplu:

1. "Câți ani are mama ?"

2. "Câți ani au împreună tata și mama ? "

3. Mama are 32 de ani, iar tata cu 5 ani mai mult. Cați ani au împreună ? "

Clasa a II-a. Plan sub formă enunțiativă:

Exemplu:

1. "Aflăm câți metri de stofă are al doilea balot. "

2. " Aflăm câți metri de stofă au primele două baloturi la un loc."

3. "Aflăm câți metri de stofă are al treilea balot. "

R. "La un magazin erau trei baloturi de stofă. Primul avea 256 m, al doilea cu 84 m mai mult decât primul, iar al treilea cu 152 m mai mult decât cele două la un loc. Câți metri de stofă avem în al treilea balot ? "

Clasa a III-a și a IV-a: Plan sub formă concisă:

Exemplu:

1. Cantitatea de mere recoltată. 20 x 50 = 1 250 (kg)

2. Cantitatea de prune recoltată. 32 x 65 = 2 080 (kg)

3. Suma realizată prin vânzarea merelor:

1 250 x 12 000 = 15 000 000 lei

4. Suma realizată prin vânzarea prunelor.

2 080×8 000 = 16 640 000 lei

5. Suma totală realizată: 31 640 000 lei

"Într-o livadă sunt 25 de meri și 32 pruni. Un măr produce în medie 50 kg mere, iar un prun 62 kg prune. Merele se vând cu 12 000 lei kilogramul, iar prunele cu 8 000 lei kg. Ce sumă se încasează prin vânzarea acestor fructe ? "

Pentru a ușura crearea problemelor, la început analizez planul împreună cu elevii, stabilind uneori datele numerice sau relațiile matematice.

Compunerea de probleme după date numerice izolate

Această formă de compunere de probleme ridică cu ceva gradul de dificultate față de problemele compuse după operația indicată, deoarece atenția elevilor trebuie concentrată asupra mărimilor ce vor intra în problemă. Ele nu se pot a1ege la întâmplare, ci în funcție de va1orile numerice date și să corespundă pe cât posibil realității.

Clasa I: Alcătuiți o problemă cu numerele 18 și 6:

1. "La un concurs sportiv participă 18 băieți și 6 fete. Câți elevi participă la acel concurs? "

2. "Într-o săptămână Vlad a rezolvat 18 probleme, iar sora lui cu 6 probleme mai puțin. câte probleme au rezolvat cei doi frați ? "

Clasa a II-a: Alcătuiți o problemă în care să folosiți numărul 24 și sfertul său:

"Suma a două numere este 24. Unul din numere este cu 6 mai mare decât celălalt. Să se determine numerele. "

Clas a a III-a: Compuneți o problemă cu numerele 189, 2 și 34:

"La o cantină s-au adus mese, scaune mari și scaune mici, în total 189. Scaune mari s-au adus de două ori mai multe decât mese; iar scaune mici cu 34 mai multe decât scaune mari. Câte mese, scaune mari și scaune mici s-au adus la cantină ? "

Clasa a IV-a: Folosindu-vă de numerele 275, 315, 1045, compuneți o problemă:

"La un magazin s-au adus m stofă. Într-o zi s-au vândut 3/5 din ea cu prețul de 1045 lei metrul. Ce sumă s-a încasat pe stofa vândută? Ce sumă se va realiza prin vânzarea în întregime a stofei? "

Elevii elaborează enunțuri variate, cele mai interesante se apreciază în fața clasei și se rezolvă.

Compunerea de probleme cu mai multe întrebări posibile

Este o activitate cu valențe formative deosebite care pune elevii în situația de a gândi, de a crea, de a formula raționamente logice, îndemnându-i în același timp și la competiții în găsirea a cât mai multe întrebări la aceeași problemă.

Clasa I: Compuneți o problemă la care să puteți pune cât mai multe întrebări:

"Maria are 8 lei, Elena 9 lei, iar Mirel 10 lei."

Întrebarile formulate:

"Câți lei au împreună ? "

"Cu câți lei are mai mulți Mirel decât Maria ?"

"Cu câți lei are mai puțini Maria decât Elena ?"

"Câți lei au împreună? "

"Dacă Maria și Mirel își pun împreună banii, vor avea mai mulți sau mai puțini decât Elena ? "

La clasa a III-a am dat urmatorul enunț:

" La o librărie s-au adus 50 caiete de citire și 40 caiete de matematică. S-au vândut 20 caiete de citire și 15 caiete de matematică."

Li s-a cerut elevilor să pună toate întrebările posibile. Elevii au formulat următoarele întrebări:

1. Câte caiete de citire și matematica s-au adus ?

2. Câte caiete s-au vândut ?

3. Câte caiete au mai rămas ?

4. Cu câte caiete au fost mai multe de citire decât de matematică ?

5. Cu câte caiete de citire s-au vândut mai multe decât cele de matematică?

6. Câți lei s-au încasat pe caiete dacă un caiet de citire costă 15 000 lei și un caiet de matematică costă 14 000 lei ?

La clasa a IV-a am prezentat elevilor enunțul:

"Un teren de sport are formă dreptunghiulară cu lățimea de 45 m, iar lungimea de 4 ori mai mare."

Elevii au formulat urmatoarele intrebari:

1. Care este lungimea terenului ?

2. Cați metri de sârmă: ar fi necesari pentru a imprejmui terenul ?

3. Cați lei costa toată sârma necesară dacă un metru de sarma costa 20 000 lei ?

4. Care este perimetrul terenului de sport ?

Aceste compuneri de probleme au o importanță foarte mare în ceea ce privește dezvoltarea gândirii creative la elevi. Ei sunt puși mereu în situația de a investiga și a analiza datele problemei.

Compunerea problemelor cu un început dat și sprijinit cu expresii de legătură în frază

În fiecare oră de matematică elevii trebuie puși să compună probleme; modalitățile de compunere trebuie să varieze de la o lecție la alta pentru a nu interveni plictiseala.

Iată câteva exemple de probleme cu început dat pentru clasa I și a II-a:

1. Într-o pepinieră sunt brazi și fagi. Câți puieți sunt în acea pepinieră ?

2. Maria are ….. lei, din care cheltuiește ……. lei. Câți lei mai are Maria?

3. Au plecat în excursie ……. elevi. Din clasa I au fost ……. elevi, din clasa a II-a ……. elevi, iar restul din clasa a III-a. Câți elevi din clasa a III-a au plecat în excursie ?

La clasele a III-a și a IV-a, cer elevilor să compun probleme cu sprijin de limbaj.

Exemplu:

Compuneți o problemă în care să folosiți expresiile "s-au cumpărat", "s-au dat", "restul s-a împărțit în mod egal. "

"Pentru o cantină s-au cumpărat 265 kg de fructe. În prima zi s-au dat copiilor 150 kg de fructe, iar restul s-a împărțit în mod egal în a doua și a treia zi. Câte kg de fructe s-au dat copiilor a doua și a treia zi ? "

Diversitatea problemelor create de elevi depinde de diversitatea problemelor rezolvate în clasă cu elevii sau acasă, de bogăția și expresivitatea vocabularului folosit, de experiența dobândită în timpul rezolvării de probleme.

Compunerea problemei după un exercițiu simplu sau compus

Compunerile de probleme după exerciții sunt activități reversibile celor de "scriere într-o singură expresie a rezolvării unei probleme."

După ce am format la elevi deprinderea de a concentra rezolvarea problemei într-o expresie numerică, le-am cerut să compună probleme (cu alte enunțuri) folosind expresia numerică obținută în urma rezolvării sau alte expresii date. La clasa I elevii compun astfel de probleme după exerciții simple și compuse de adunări și scăderi.

Compuneți probleme după exercițiile:

14 lei + 4 lei =

34 m-21 m =

(20 kg+ 45 kg)- 25 kg =

58 l – (12 l + 16 l) =

Iată câteva probleme create de elevi:

"Într-un bidon sunt 58 l benzină. În prima oră se vând 12 l , iar apoi 16 l benzină. Câți litri de benzină au mai rămas în bidon ? "

"O cantină a cumpărat 20 kg rosii și 45 kg castraveți. Din întreaga cantitate de legume 25 kg s-au consumat în prima zi. Câte kg de legume au rămas pentru a doua zi ? "

La clasa a II-a expresiile numerice cuprind și operații de înmulțire și împărțire:

(4×8) – (2×6) =

(7×6) : (36×6) =

95 – (9×5) + (4×10) =

"Într-o grădina s-au plantat 9 rânduri de lalele a câte 5 fire rândul și 4 rânduri cu garoafe a câte 10 fire rândul, iar restul până la 95 fire de flori s-au plantat zambile. Câte zambile s-au plantat ? "

La clasa a III-a și a IV-a expresiile numerice pot cuprinde toate operațiile învațate și parantezele:

[1325 – (4×27 + 3×81+285)] :3 =

"O fabrică trebuie să trimită spre vânzare într-un oraș 1325 de mașini. S-au trimis 4 transporturi cu câte 27 de mașini fiecare, altă dată încă 3 transporturi cu câte 81 de mașini și apoi încă 285. Restul au fost împărțite în mod egal la 3 instituții din oraș. Câte mașini a primit fiecare instituție ? "

Pentru ca toți elevii să reușească să compună probleme după exerciții date analizez cu ei expresiile numerice și le atrag atenția asupra raportului de dependență între datele problemei.

Astfel, exercițiul: 300 + (300 + 200) + (300 – 50) =

Impune introducerea în textul problemei a formularilor: "mai mult cu 200", "mai puțin cu 50", ambele raportate la prima mărime: 300.

Elevii trebuie să înțeleagă în mod conștient faptul că fiecare paranteză din expresia formulată reprezintă o dată necunoscută a problemei.

Compunerea de probleme după o schemă dată sau modele simbolice

Compunerea de probleme după scheme date este o activitate complexă și abstractă, care stimulează gândirea la o activitate intensă de creație.

Schema, ca suport intuitiv al raționamentului problemei, este un instrument de lucru cu eficiență sporită în orientarea gândirii elevilor buni și foarte buni, cât și pentru cei mediocri sau rămași în urma la învățătură.

Introducerea schemelor o fac treptat. La început folosesc scheme simple, fără indicarea operațiilor, în care elevii își pot manifesta și antrena flexibilitatea gândirii :

? ?

Variante posibile de compunere pentru clasa I pot fi:

a+b

a-b

a+(a+b)

a+(a-b)

"O gospodină a cumpărat 3 kg de ceapă și 2 kg de morcovi. Câte kg de legume a cumpărat ? "

"Elena are în biblioteca sa pe un raft 34 cărți, iar pe altul, cu 13 mai mult. Câte cărți are Elena în bibliotecă ? "

"O bucată de pânză are lungimea de 76 m. Se taie din ea 54 m. Câți m mai rămân? "

"Un turist parcurge într-o zi 97 km, iar a doua zi cu 32 km mai puțin. Câți km a parcurs turistul în cele două zile ?"

Scheme pentru clasele a III-a și a IV-a:

Și această schemă implică mai multe variante de compunere de probleme:

(a + b) + (c x d)

(a + b) – (c x d)

(a x b) : (c x d)

Iata o problemă creată de un elev dupa cele 3 variante:

"Mama a cumpărat pentru fiii săi 2 perechi de pantofi cu 235 000 lei perechea și 4 cămăși cu 150 000 lei bucata. Câți lei a cheltuit pe toate cumpărăturile ? Cu cât a dat mai mult pe pantofi decât pe cămăși ? De câte ori au costat mai mult pantofii decât cămășile ? "

Elevii compun cu usurință probleme după scheme, cu mărimi concrete (preț de cost, cantitate, etc.), dar întâmpină, în general, greutăți atunci când în schema mărimile concrete sunt înlocuite cu mărimi abstracte, adică simboluri literale de forma:

Variante posibile:

a + b + c

a+ b-c

a x b+c

a x b-c

Pentru elevii mai puțin dotați am indicat în schemă și numele operațiilor ce le vor folosi în rezolvare:

+ : + x

"Trei frați au economisit bani pentru o excursie. Primul a economisit 854 lei, al doilea de 2 ori mai puțin decât primul, iar al treilea de 3 ori mai mult decât primul. Ce sumă au economisit cei trei frați ? "

La clasa a IV-a le-am cerut elevilor să alcătuiască probleme după formule literale și să găsească mai multe exprimări pentru aceeași formulă.

1.a+(a+b)+(a+b-c)

2. a+ (a-b) + (a-bxc)

"La un magazin s-au adus 3 baloturi de stofă. Primul avea 256 m, cel de al doilea cu 84 m mai mult decât primul, iar cel de al treilea cu 152 m mai puțin decât al doilea. Câți metri de stofă s-au adus în cele trei baloturi ? "

"Elevii unei școli au făcut o excursie mergând 200 km cu trenul, cu 150 km mai puțin cu autobuzul, iar pe jos cu 10 km mai puțin de cât cu autobuzul. Câți km au parcurs elevii ? "

Utilizarea formulelor literale cât și a schemelor stimulează flexibilitatea și originalitatea gândirii elevilor, dă posibilitatea tratării diferențiale, deoarece se pot construi formule literale și scheme de nivele diferite și le putem complica pe măsură ce capacitatea de înțelegere a elevilor crește.

Compunerea liberă de probleme

Aceasta este o activitate mai puțin îngrădită de anumite cerințe, dar în care experiența anterioara dobândită în rezolvarea problemelor își fac simțită prezența.

Cu cât elevul este lăsat liber la alegerea datelor și a modurilor de rezolvare, gândirea creatiăa este mai puternică,

Învățătorul își poate transpune elevii însa în situația ca ei să rezolve anumite probleme legate de problemele zilnice sau necesare vieții, cum ar fi:

"Un gospodar dorește să-și construiască o clădire. Ce probleme se ridica în fața lui ? De ce materiale are nevoie ? Cât var costa aceste materiale ? "

Bazați pe experiența lor, elevii vor reuși să creeze probleme interesante.

Compunerea de probleme în clasele I-IV poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creație și cu certitudine, o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic din ciclul primar.

CAPITOLUL IV

EVALUAREA PROGRESULUI ȘCOLAR ÎN URMA ACTIVITĂȚILOR DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

4.1. Evaluarea progresului școlar

Evaluarea este o componentă esențială a activității de învățământ în general și a procesului didactic în special, ce cuprinde un sistem de concepții, principii și tehnici referitoare la măsurarea și aprecierea rezultatelor școlare și a procesului didactic.

Prin natura informației pe care o furnizează cu privire la rezultatele obținute în raport cu obiectivele instructiv-educative urmărite, prin feed-back-ul pe care îl oferă asupra actului de predare-învățare, evaluarea reprezintă temeiul științific pentru abordarea în continuare a lecțiilor, a capitolelor noi, adoptarea unor măsuri și decizii privind optimizarea demersului didactic.

În orice evaluare deosebim trei elemente: obiectivele, instrumentele de măsurat și calificativul (element de măsură).

Evaluarea procesului de predare-învățare se face prin raportarea performanțelor obținute de elevi, a pregătirii lor la obiectivele instructiv- educative urmărite prin studiul disciplinelor de învățământ.

Informația obținută pe această cale în legatură cu programele și cu randamentul școlar al elevilor este precisă, conformă cu realitatea și reprezintă singurul criteriu intern al procesului de predare-învățare, unitar și lipsit de subiectivitate. Ea permite depășirea unei practici mai puțin eficiente, aceea de a compara performanțele elevului cu cele ale colectivului din care face parte, cu scopul de a face o clasificare.

În condițiile unui învățământ formativ este mult mai eficient pentru elev să i se arate ce nivel a atins în cunoaștere, care din obiectivele stabilite le-a realizat, decât ce loc ocupă în raport cu colegii.

Unii pedagogi afirmă că nu există evaluare corectă fără obiective clare. Este imposibil să judeci adecvarea unei conduite, gradul de eficiență a unei acțiuni, fără să cunoști efectul sau rezultatul urmărit.

Unul dintre instrumentele de măsură cel mai des utilizat pentru evaluarea randamentului școlar, mai ales la obiectul matematică este testul docimologic, care întocmit în raport cu obiectivele operaționale, asigură o mare doză de obiectivitate.

Acordarea de calificative presupune existența unor criterii foarte clare, în baza cărora elevul va obține un calificativ.

Atunci când evaluăm un elev acesta trebuie să știe cât și ce mai are de învățat pentru a obține un calificativ foarte bun. Acum va cunoaște că obținerea calificativului "suficient'' corespunde unui anumit comportament descris de criteriile de performanță. Prin urmare, fiecare elev va ști clar unde se află cu nivelul de cunoaștere și cât mai are de parcurs pentru a ajunge la nivelul superior , și invers, dacă nivelul la care a ajuns e regresiv, ce trebuie să facă pentru a-și îmbunătăți performanțele.

Învățătorul, cunoscând nivelul atins de elevi, va ști să-și perfecționeze activitatea viitoare pentru a înlătura lacunele elevilor. Va ști unde să intervină cu explicații suplimentare, să sugereze anumite modificări în activitatea lui ulterioară.

Pentru părinți, evaluarea este o bază de predicție sau garantarea reușitei în viitor, indiciu pentru acordarea de sprijin.

După modul de integrare în procesul didactic se conturează trei strategii de evaluare a randamentului școlar:

– evaluare inițială;

– evaluare

– cumulativă (sumativă);

– evaluare continuă (formativă), care, departe de a fi opuse una față de celelalte trebuie considerate ca fiind complementare.

Evaluarea inițială se aplică de obicei la început de ciclu școlar, sau la începutul fiecărui an școlar, pentru a depista nivelul cunoștințelor în momentul respectiv.

Evaluarea cumulativă (sumativă) constă în verificarea și aprecierea periodică a produsului final, al actului pedagogic. Aceasta forma de masura și apreciere se efectueaza la sfarsitul unor perioade mai mari de timp: semestru, an școlar sau ciclu de învățământ și, pretinde elevilor să depășească dificultățile prin structurarea și restructurarea vechilor cunoștințe cu ajutorul noilor cunoștințe asimilate.

Evaluarea continuă (formativă) înlătură neajunsurile celorlalte forme prin faptul că ea se realizează concomitent cu procesul însuși, pe secvențe mai mici și permit cunoașterea după fiecare secvență a efectelor activității, neajunsurile depistate putând fi înlăturate la timp. Deci, este forma de evaluare care asigură realizarea la cel mai înalt nivel al conexiunii inverse în procesul de învățare, aducându-și o contribuție la ameliorarea operativă a procesului didactic și implicit a rezultatelor.

Evaluarea sub formele ei: inițială, formativă și sumativă, asigură controlul permanent al eficienței actului complex al învățării-înțelegerea, memorarea, operarea, aplicarea, soluționarea de probleme, creația – care se exprimă în obiective formulate și operaționalizate pentru fiecare lecție.

Evaluarea trebuie înțeleasă ca o modalitate de ameliorare a predării și învățării, de eliminare a eșecului și de realizare a unui progres constant în pregătirea fiecarui elev.

4.2. Metode de evaluare a activităților de rezolvare a problemelor de matematică

Conceptul de evaluare, particularizat la obiectul matematică păstrează caracteristicile evaluării generale, dar împlinesc note specifice.În cadrul examinării și notării elevilor se urmărește stabilirea unor tehnici de evaluare precise și eficiente bazate pe criterii obiectiv stabilite în spiritul învățământului formativ, care se referă la volumul și calitatea cunoștințelor, dezvoltarea capacităților intelectuale, gândire logică, stil personal de rezolvare a problemelor, posibilitatea aplicării acțiunilor teoretice în activitatea practică, posibilitatea de restructurare și transfer a cunoștințelor, precum și aspecte educative ale activității școlare, materializate în atitudine și comportamentul elevilor.

Evaluarea randamentului școlar se face prin două modalități principale:

– evaluare prin probe orale;

– evaluare prin probe scrise și practice.

Evaluarea orală este o forma de conversație, ce se poate desfășura frontal, adică printr-un dialog cu întreaga clasă sau individual, prin ascultarea succesivă a fiecăruia dintre elevi. Învățătorul estimează cantitatea și calitatea cunoștințelor, a priceperilor și deprinderilor elevilor și a capacităților de a opera cu ele.

Eficiența acestei forme de evaluare depinde de modul de formulare a întrebărilor și eșalonarea lor într-un sistem logic. Acestea trebuie să vizeze nu numai reproducerea, ci mai ales interpretarea, prelucrarea, argumentarea.

Ele sunt cu atât mai productive cu cât provoacă intensitatea gândirii , dirijând-o în calea descoperirii soluției.

Întrebările trebuie să fie "deschise" care solicită inteligența productivă, cer formularea a mai multor soluții sau răspunsuri posibile la aceeași problemă.

Efortul de a gandi asupra punerii întrebărilor nu este zadarnic, căci așa cum afirma Constantin Noica: "Când pui o întrebare "luminezi lucrurile", iar când reușim să-i facem pe elevi să-și pună și ei intrebări, să preia inițiativa, să dovedească preocupare, interes, înseamnă că efortul nostru este răsplătit." (Noica, 1996,p. 34)

Chestionarea orală poate fi curentă (realizată în timpul lecțiilor) și finală, realizată în ore special planificate la sfârșitul capitolelor sau a semestrelor.

Examinarea orală prezintă unele avantaje pentru elevi:

– stimulează participarea elevilor la lecție, punând în evidență evoluția fiecăruia, reliefând progresele, oferind și prermsa individualizării;

– lacunele și erorile elevilor pot fi înlăturate la timp, înainte de a se amplifica;

– învățătorul poate interveni cu întrebări ajutătoare,

Pe lângă aceste avantaje, examinarea orală prezintă și dezavantaje:

– elevul care răspunde frecvent cu ajutorul educatorului nu poate arăta valoarea reală a pregătirii lui;

– evaluarea pe această cale este mai puțin obiectivă.

Evaluarea prin probe scrise reprezintă metoda fundamentală de evaluare a nivelului de pregătire a elevilor la obiectul matematică.

Din probele scrise fac parte mai multe tipuri de lucrări:

a) Probe scrise de control curent (extemporal) conținând întrbări, exerciții și probleme din lecția curentă și care durează 10-15 minute.

b) Testele formative rezolvate pe parcursul uneia sau mai multor lecții, de unul sau mai mulți elevi.

c) Testele sumative (probele de control) de la sfârșitul unei unități

didactice mai mari (capitol, semestru, an școlar) și care se caracterizează prin trăsături ca:

– sunt anunțate din timp;

– se întind pe durata unei ore;

– sunt direcționate prin sublinierea inițială a obiectivelor propuse.

d) Lucrările scurte de tip obiectiv efectuate ca activitate independentă în clasă (efectuarea unor seturi de exerciții, rezolvarea sau compunera unor probleme) corectarea facăndu-se de către învățător sau frontal, de câtre elevi pe baza unei lucrări reușite (model).

În evaluările de scurtă durată (5-10 minute), se pot da elevilor exerciții, probleme pregătite anterior, privind aspectele esențiale ale lecției.

Elevii vor completa răspunsurile pe foile multiplicate în prealabil sau copiat de la tablă, apoi țși pot schimba între ei foile, corectând răspunsurile și notându-le conform baremului anunțat de învățător; învățătorul va oficia apoi calificativele.

Iată un model de evaluare prin lucrare scrisă de scurtă durată la clasa I (Numere matematice de la 0 la 10):

1. Desenați în fiecare diagramă numărul de steluțe corespunzător cifrei din căsuță:

2. Completați căsuțele libere cu numerele corespunzătoare steluțelor din diagrame:

3. Descompuneți numerele:

9 10 9 8

4. Puneți în fiecare căsuță semnul de relație corespunzător:

5+1 5-1

10 – 3 3+4

7+1 4+5

6-2 0+4

5. Mama îi dă lui Ionuț 3 mere și un număr de pere. Câte pere îi dă dacă el are 7fructe ?

Matematica oferă posibilitatea elaborării unor teste docimologice care își aduc contribuția la sporirea gradului de evaluare a muncii elevului, la eliminarea subiectivismului și a hazardului.

Aplicarea testului docimologic, ca instrument eficace de evaluare la obiectul matematică, presupune urmărirea realizării urmatoarelor obiective:

– să surprindă aspectele de fond ale pregătirii fiecărui elev în parte;

– să informeze asupra volumului și calității cunoștințelor dobândite; ce noțiuni au fost mai greu asimilate; ce lacune există în pregătirea elevilor și ce măsuri de recuperare se pot lua pentru creșterea randamentului școlar;

– să realizeze ritmicitatea notării elevilor;

– să stimuleze elevii în formarea unor puternice deprinderi de muncă intelectuală;

– să stabilească nivelul proceselor psihice implicate în învățare (flexibilitatea și originalitatea gândirii).

După stabilirea capitolului și a obiectivelor operaționale se trece la alcătuirea itemilor care pot fi structurați pentru obiective de nivel minim, mediu și până la cele de performanță, ținând cont de gradul de accesibilitate al clasei.

Itemii trebuie să îndeplinească anumite cerințe:

– fiecare item să vizeze un singur obiectiv, precis determinat;

– să fie redactate clar, încât să permită răspunsuri scurte, precise și să poată fi măsurate exact;

– să solicite din partea elevilor operații intelectuale și concret practice cât mai variate, implicând operațiile gândirii ;

– să fie ordonați după gradul de dificultate;

– să se acorde punctaj corect pentru fiecare item realizat precum și punctajul de penalizare în conformitate cu gradul de realizare a fiecărui item.

Această operație se face concomitent cu elaborarea testului.

După administrarea testului se prezintă în fața elevilor modul de punctare și de depunctare.Aceasta face ca elevul să devina pe lângă obiect al actului de evaluare și subiect al autoevaluării.

În urma calificativelor obținute se face o analiză asupra punctajului obținut la fiecare item, analiză ce furnizează informații utile asupra atingerii obiectivelor propuse cât și asupra restructurării activității ulterioare.

Voi exemplifica cele arătate mai sus prin redarea în continuare a unor teste întocmite și utilizate în clasă.

Clasa: I

Capitolul: Numere naturale de la 0 la 10

Adunări și scăderi

Test de evaluare cumulativă (1 punct din oficiu)

Descriptori de performanță

Iată graficul rezultatelor obținute:

N = număr elevi

C = calificativ

9

8

7

6

5

4

3

2

1

N C I S B FB

Clasa a IV-a

Capacitatea: Înțelegerea operațiilor cu numere

Subcomponenta: Adunarea numerelor scrise cu mai multe cifre

Test de evaluare

Descriptori de performanță

Acordarea calificativelor:

Foarte bine: 15p – 17p

Bine: 12p – 14p

Suficient: 9p – 11p

I1 – câte un punct pentru fiecare operație de adunare efectuată corect

(lpx4=4p)

I2 – un punct pentru efectuarea corectă a operației după terminologia "cu x mai mare" (lp)

– un punct pentru efectuarea corectă a operației după terminologia "sumă'', "termen" (lp)

I3 – un punct pentru efectuarea corectă a probei adunării prin adunare (1 p)

– un punct pentru efectuarea corectă a probei adunării prin scădere (lp)

I4 – câte un punct pentru stabilirea operației corespunzătoare, în fiecare exercițiu dat (2p) ·

-cate un punct pentru efectuarea corectă a operației corespunzătoare și aflarea termenului necunoscut în fiecare exercițiu dat (2p)

I5 – câte un punct pentru ficare operație efectuată corect (1 p x 3 = 3p)

– un punct pentru al doilea mod de rezolvare (lp)

Iată graficul obținut:

N = număr elevi

C = calificativ

9

8

7

6

5

4

3

2

1

N C I S B FB

Evaluarea prin probe scrise prezintă multe avantaje:

– permite verificarea cunoștințelor unui număr mare de elevi într-un timp scurt;

– notarea este obiectivă;

– permite verificarea tuturor elevilor la însușirea unui anumit conținut;

– elevii timizi au posibilitatea să-și expună nestingherit răspunsurile.

Dar evaluarea prin probe scrise prezintă și unele limite prin care:

– elevul nu poate fi orientat prin întrebări ajutătoare spre obținerea unui răspuns corect și complet;

– unele erori ale elevilor în răspunsurile formulate nu pot fi corectate și lămurite pe loc;

– măresc rolul întâmplării în evaluarea rezultatelor.

Un alt mod de evaluare la obiectul matematic este verificarea prin lucrări practice, care se face mai ales la capitolul "Unități de măsură”.

În alegerea metodelor de evaluare, învățătorul va urmări să folosească acea metodă care corespunde cel mai bine obiectivelor instruirii, particularităților de vârstă, care să-l ajute ca evaluarea să fie cât mai reală. Va căuta să îmbine evaluarea orală cu cea scrisă și practică.

CAPITOLUL V

METODOLOGIA CERCETĂRII

5.1. Obiectivele cercetării

În cadrul experimentului realizat mi-am propus următoarele obiective:

Utilizarea unor metode și tehnici adecvate de determinare obiectivă a nivelului gândiri creative a elevilor din clasele I-IV.

Determinarea nivelului de pregătire a elevilor implicați în cercetare.

Înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii care participă la experiment, la testul inițial și la testul final.

Analiza relației dintre gândirea creativă și rezolvarea problemelor de matematică, a inteligenței interpersonale, a motivației și satisfacției în urma rezolvări de probleme, a rezolvării unor probleme din viața reală.

Cuantificarea și măsurarea gradului de implicare a elevilor și profesorilor în dezvoltarea gândirii creative în cadrul activităților didactice.

5.2. Ipoteza cercetării

Presupunem că dacă elevii din clasele I-IV își însușesc cât mai multe metode și procedee de rezolvare și compunere de probleme la matematică, atunci se va constata o dezvoltare a gândirii creative a elevilor.

5.3. Metode de cercetare

Pentru testarea ipotezei emise am utilizat ca metode de investigație obeservația zilnica a activităților elevilor în vederea cunoașterii lacunelor și a progresului, la înțelegerea și asimilarea cunoștințelor și aplicarea lor la rezolvări de probleme: metoda analizei modului în care și-au rezolvat tema pentru acasă, metoda testelor, experimental pshiopedagogic, metoda de măsurare a datelor cercetate, metode de prelucrare matematico-statistică și interpretare a datelor cercetării.

Acestea au fost aplicate colectivului clasei a IV-a de la Școala Gimnazială nr.1 Nucet, județul Bihor. În mod deosebit au fost observați pe o perioadă de opt săptămâni.

5.4. Eșantionul de subiecți

Programul de intervenție conceput s-a aplicat pe un eșantion experimental care a fost în atenția mea o perioadă lungă de timp de la Școala Gimnazială nr.1 Nucet, județul Bihor, eșantion alcătuit din șaisprezece elevi în vârstă de zece ani (zece băieți și șase fete).

Observându-i cu atenție în activitatea de rezolvare și compunere de probleme am căutat să-i fac să înțeleagă că acest lucru solicită un efort intellectual complex, cuprinde inducții, deducții logice, analogii, analize, generalizării, există o etapă de tensiune, neliniște, căutare, este momentul în care gândirea descoperă soluția.

Acest lucru nu se poate face de la început, ci treptat, delimităm conturul gândirii.

Elevii au fost puși să rezolve, să compună problem cât mai diferite, dar care se încadrau în algoritmii de lucru de anumite nivele. S-a dorit ca ei să înțeleagă că în fața unei probleme noi, necunoscute, iar după ce au reușit să cunoască amănunțit datele, s-o poată încadra în categoria sau tipul de probleme căruia îi aparține. Ei au fost puși în diferite situații, mereu noi, utilizând o serie de procedee, reușind să realizeze un act de creație, contribuind prin toate acestea la cultivarea gândiri creative. Au fost lăsați să-și manifeste gândirea liberă, iscoditoare care nu a fost încorsetată de nici un limbaj ales. În momentul în care gândirea lor s-a declanșat într-o anumită direcție au fost lăsați să caute, gândirea lor să iscodească. Apoi când soluția a fost găsită li s-a cerut să exprime cât mai corect și mai complet.

Astfel, ei au reușit să scoată la iveală condițiile problemei care erau camuflate de circumstanțele întâmplătoare și să găsească mijlocul cel mai economicos și mai eficient de rezolvare. S-a cerut elevilor ca ei să facă apel la toate cunoștințele dobândite, raționamentele stabilite, să aibă o logică, testele elaborate în activitatea de compunere de probleme să aibă un conținut realist.

5.5. Eșantionul de conținut

Prin intermediul obeservației zilnice am urmărit modul cum se dezvoltă gândirea creativă a elevilor, în urma rezolvării și compunerii a cât mai multe probleme, a testelor aplicate, cum s-a schimbat atitudinea elevilor față de această activitate, cum au reușit să-și însușească cât mai bine metodele, procedeele de lucru în rezolvarea și compunerea de probleme.

Experimentul a cuprins următoarele etape:

etapa constatativă – care a constat în observarea zilnică a elevilor, a lacunelor pe care aceștia le întâmpină în rezolvarea și compunerea de probleme a modului cum știu să aplice cunoștințele dobândite.

realizarea experimentului propriu-zis.

5.6. Organizarea experimentului

Năzuința elevilor mici este de a avea calificative cât mai bune. Calificativele acordat, aprecierile făcute, au marcat diferite nivele, performanțele atinse de elevi, nivelul clasei.

Prin testele aplicate, am căutat să cultiv la elevi dorința de a învăța și puterea de a se aprecia. Am căutat să realizez și concordanță cât mai perfectă între nivelul de aspirații și cel de realizare.

Experimentul duce la cunoașterea forțelor proprii de realizare, la autoevaluare corectă. A oferit și prilejul verificării cunoștințelor însușite de elevi la diferite capitole, la obiectul matematică – clasa a IV-a..

În prima etapă a experimentului, elevii au primit o probă de evaluare din capitolul Împarțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000. Sarcinile date sunt diferite, datorită faptului că diferită este performanța maximă la care tind elevii. Nivelele performanței maxime coincid cu calificative de S, B și FB.

Fiecare elev a primit un set de 3 lucrări și anume:

lucrarea A – pentru calificativul FB; (până la 10 puncte)

lucrarea B – pentru calificativul B; (până la 8 puncte)

lucrarea C – pentru calificativul S; (până la 6 puncte)

După ce au primit lămuriri referitoare la dificultatea sarcinilor de lucru, la valoarea fiecărei sarcini corect rezolvate, elevii au primit și indicația de a citi fiecare lucrare și de a alege acea lucrare pe care o pot rezolva în întregime și care reprezintă calificativul aspirat de fiecare. Dacă pe parcurs își dau seama că nu pot rezolva lucrarea aleasă inițial, au posibilitatea de a-și lua altă lucrare. În cazul în care își termină lucrarea înainte de terminarea timpului acordat (30 minute), pot lua și o altă lucrarea – mai pretențioasă – spre rezolvare.

În urma testului, am putut identifica nivelul de aspirație și de realizare individuală. Pe baza acestor date inițiale, am procedat la o clasificare a elevilor în grupa acelora cu succes sau insucces.

A doua etapă a constat în analiza și comentarea rezultatelor obținute. Analiza și comentarea datelor, colectivă și individuală, s-a făcut de fiecare dată în raport cu performanța scontată de întreaga clasă de elevi și de fiecare elev în parte.

Ca urmare a cunoașterii calificativelor generale și individuale, fiecare elev a avut prilejul să constate măsura în care efortul său personal a contribuit la reducerea sau, dimpotrivă, la creșterea decalajului dintre aspirații și media clasei.

După încheierea analizei și comentării rezultatelor primului test, am trecut la aplicarea celui de-al doilea test, din capitolul Probleme.

Fiecărui elev i-au corespuns trei calificative:

calificativul aspirat

calificativul obținut la primul test

calificativul obținut la al doilea test.

Separat, am calculat pe clasă media aritmetică, indicând, în ordine, nota medie de aspirație (NMA) și nota medie de realizare (NMR), la fiecare test.

Ținând cont de particularitățile de vârstă, de experiența slabă a copilului de clasa a III-a în ceea ce privește concordanța dintre aspirația copilului, performanța sa maximă și capacitatea lui de realizare, am aplicat un număr de 2 teste, urmărind de fiecare dată în ce măsură indicele ce reprezintă valoarea cotelor de diferențe realizare (CDR1 și CDR2 – media = diferența dintre NMA și NMR) se situează deasupra sau sub nivelul celei scontate.

În urma analizării testelor, datele statistice obținute sunt următoarele:

Observații:

O1) La primul test, diferența dintre nota medie de aspirație și nota medie de realizare este de 1,20. În schimb, observăm că diferența dintre nota medie de aspirație și nota medie de realizare, la testul 2 scade, ea fiind de 0,42.

O2) Reducerea decalajului dintre aspirație și realizare se datorează pe de-o parte perfecționării performanței anterioare a unor elevi, iar pe de altă parte, faptului că un număr mai mare de elevi, atinge sau chiar depășește nivelul performanței aspirate.

O3) În urma testelor, fiecare elev a avut posibilitatea să constate unde se situează performanța sa actuală, în raport cu cea scontată, în raport cu performanța medie a clasei, dacă a atins sau nu ce și-a propus.

O4) În continuare voi prezenta cele două teste date elevilor clasei a III-a, la sfârșitul următoarelor capitole:

Împărțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000.

Probleme:

TESTUL NR.1

Lucrarea A(pentru calificativul FB) 10 puncte

Calculați câtul și restul împărțirilor:

185:4= 595:4=

368:5= 873:6=

289:7= 128:9=

567:8= 175:3=

Aflați numărul necunoscut:

u:24=32 r 5

p x 5=150

a x 4=848

m x 18=43

Într-o parcare sunt 35 de mașini roșii, de două ori mai multe mașini albastre, iar albe, de cinci ori mai puține decât mașinile roși și albastre la un loc.

Câte mașini sunt de fiecare?

Compuneți o problemă care să se rezolve după expresia matematică:

(a:b) + (c:b)= ?

Obiective operaționale:

O1– să calculeze câtul și restul împărțirilor

O2 – să afle numărul necunoscut

O3 – să rezolve probleme, cu plan de rezolvare

O4 – să compună probleme după o expresie matematică

Descriptori de performanță

TESTUL NR.1

Lucrarea B (pentru calificativul B) 8 puncte

Calculați câtul împărțirilor:

328:8= 615:3=

424:4= 525:5=

668:2= 648:4=

969:3= 749:7=

La un concurs de cros au participat 228 elevi din clasele a IV-a și de două ori mai puțini elevi din clasele a-III-a iar din clasele a-II-a de patru ori mai puțini.

Câți elevi au participat la concurs?

Compuneți o problemă după următorul exercițiu:

(663:3) + (442:2)

Obiective operaționale

O1 – să se calculeze câtul împărțirilor.

O2 – să rezolve problem, cu plan de rezolvare.

O3 – să compună problem după un exercițiu dat.

Descriptori de performanță.

TESTUL NR.1

Lucrarea C (pentru calificativul S) 6 puncte

48:2= 88:8=

525:5= 28:7=

936:3= 63:9=

648:6= 72:8=

Compuneți o problema după următoarea schemă:

+

Obiective operaționale:

O1 – să se calculeze câtul împărțirilor

O2 – să compună problemă după schema dată.

Descriptori de performanță

CONCLUZII:

La primul test, rezultatele au fost următoarele: MA MR

Prelucrarea statistică a rezultatelor testului nr.1:

Diagrama 3D :

Diagramă circulară:

Observații:

O1) Corespondența calificative – note:

O2) Calculul procentelor:

1. Numărul elevilor / clasă: 16

2. Numărul elevilor / calificative:

S 16 ………. 100%

2 ………. x1 x1 = 12,50 %

B 16 ………. 100%

6 ………. x2 x2 = 37,50 %

FB 16 ………. 100%

8 ………. x3 x3 =50 %

O3) În urma acestor rezultate am constatat următoarele:

1. Diferența dintre MA și MR este 1,20, ceea ce dovedește că unii elevi au aspirat la rezultate foarte bune fără să fie capabili să le obțină;

2. Cei care au obținut calificative de S, greșesc la aflarea termenului necunoscut și la rezolvarea problemelor.

3. Din cei 16 de elevi, 10 au aspirat la calificativul FB, 5 elevi au aspirat la calificativul B și doar unul la calificativul S.

O4) A urmat analiza și comentarea rezultatelor testului, aceasta făcându-se prin compararea calificativului aspirat și calificativul realizat.

O5) Folosind acest procedeu, am observat că mulți copii s-au ambiționat în muncă, lucrând cât mai mult ca să-i poată ajunge pe cei mai buni.

O6) În discuțiile individuale, avute cu elevii și părinții, am accentuat dificultățile întâmpinate în atingerea aspirației dorite.

TESTUL 2

Capitolul: Probleme

Lucrarea A (pentru calificativul FB) 10 puncte

Din produsul numerelor 29 și 4, scade câtul numerelor 165 și 5.

Un număr este cu 34 mai mare decât altul .Dacă numarul cel mare îl înmulțim cu 4 obținem 1056.

Află suma celor 2 numere.

De pe un teren s-au recoltat 800 kg de cartofi. Un sfert din întreaga cantitate s-a pus în saci de câte 50 kg fiecare, iar restul în saci a câte 20 kg fiecare .

Câți saci au fost necesari?

Compuneți o problemă, folosind expresia matematică:

[ a+ ( a + b ) + ( a – c ) ] x d =

Obiective operaționale:

O1 – să rezolve un exercițiu în lanț.

O2 – să afle numerele după criterii date.

O3- să resolve problem, cu plan de rezolvare.

O4 – să compună probleme după o expresie matematică.

Descriptori de performanță

Realizarea obiectivelor

Lucrarea B (pentru calificativul B) 8 puncte

1. La câtul numerelor 63 și 9 , adaugă produsul numerelor 23 și 32 apoi scade 500.

Pentru o cantină s-au adus mere și anume: 4 lăzi a câte 235 kg și 6 lăzi a câte 620 kg fiecare.

Câte kg s-au adus în total la acea cantină?

3. Compuneți o problemă după următorul exercițiu:

( 856 : 2 ) + ( 693 : 3 ) =

Obiective operaționale

O1 – să rezolve un exercițiu în lanț

O2 – să rezolve problem, cu plan de rezolvare.

O3 – să compună probleme după un exercițiu dat.

Descriptori de performanță

TESTUL NR.2

Lucrarea C (pentru calificativul S) 6 puncte

Scade 245 din suma numerelor 325 și 642.

În livada unei ferme s-au plantat 7 rânduri cu câte 126 de meri și 8 rânduri cu câte 182 peri

Câți pomi s-au plantat?

Compuneți o problemă dupa următoarea schemă:

+

Concluzii în evaluarea / notarea elevilor, la testul nr.2:

răspunsurile corecte, necesare obținerii calificativelor I, S:

CONCLUZII:

La testul nr.2, rezultatele au fost următoarele: MA MR CDR

Prelucrarea statistică a rezultatelor testului nr.2:

Diagramă 3D :

Diagramă circulară:

Observații:

O1) Calculul procentelor:

1. Numărul elevilor / clasă: 16

2. Numărul elevilor / calificative:

S 16 ………. 100%

1 ………. x1 x1 = 6,25 %

B 16 ………. 100%

5 ………. x2 x2 = 31,25%

FB 16 ………. 100%

10 ………. x3 x3 = 62,50%

O2) A scăzut nivelul de aspirație, dar a crescut nivelul de realizare, iar decalajul dintre cele două nivele este mai scăzut, de 0,42.

O3) Faptul că, în comparație cu primul test, cel de-al doilea test are media de aspirație mai mică, denotă că elevii au început să se cunoască mai bine, s-au autodescoperit, încep să-și cunoască propriile valori și capacități de muncă. Acest lucru nu trebuie interpretat ca o lipsă de ambiție sau o moderată mulțumire de sine, ci ca o justă apreciere a valorilor și posibilităților de care dispun ei înșiși.

5.7. Prezentarea și interpretarea rezultatelor obținute în urma experimentului

Realizând o privire de ansamblu asupra experimentului desfășurat, am constatat următoarele:

există încă elevi care nu și-au putut atinge performanțele dorite;

ponderea elevilor din clasă o dețin elevii care ating sau depășesc nivelul performanței scontate;

elevii au putut constata unde se situează performanțele lor individuale, în raport cu cea colectivă;

au avut posibilitatea înțelegerii mai ample a pretențiilor care se ridică pentru obținerea calificativului respectiv;

au câștigat încrederea în forțele proprii și independența în muncă;

au ajuns ca, în final, să privească cu deosebită plăcere aceste teste, solicitând chiar ca toate lucrările să fie desfășurate sub această formă;

deși presupune efort suplimentar din partea învățătorului consider că acest procedeu de verificare prin lucrări la diferite nivele, merită să fie aplicat.

În continuare, voi reda un grafic care reprezintă, comparativ, nivelul de aspirație de la primul test și nivelul de realizare obținut la cele două teste.

Testul nr.1:

Legendă:

CDR = cota diferențelor realizată

NMA = nota medie de aspirație pentru colectivul de elevi

NMR = nota medie realizată

CDR = NMA – NMR

Testul nr.2:

CONCLUZII

Matematica, ca obiect de studiu, are o contributie insemnata la dezvoltarea armonioasa a copilului, ajuta în mare masura la realizarea lui ca om. Ea formeaza și dezvolta gandirea creativa a copilului, care constituie calitatea – sinteza a omului epocii moderne.

Copilul își desfasoara capacitatile de judecata și gandire logica prin, și cu ajutorul exercițiilor și problemelor pe care le rezolva printr-un efort propriu sub directa indrumare a învățătorului și intr-o mică masura prin acelea care se prezintă în fata lui.

Sintetizand cele susținute în lucrare, în activitatea de dezvoltare a creativității gândirii , în procesul de rezolvare și compunere a problemelor de matematica la clasele I-IV, am ajuns la concluzii importante,

Rezolvarea problemelor are un rol important în procesul de predare-învățare. Pe langa funcția de a contribui la intelegerea notiunilor și la consolidarea lor, rezolvarea problemelor ii inarmeaza pe elevi cu deprinderea de a rezolva probleme practice, pe care viata le pune în fata lor. Prin probleme, calculul prinde viata, este legat de realitate.

Activitatea de rezolvare a unei probleme se desfasoara prin parcurgerea mai multor etape, care solicita un efort intelectual complex, cuprinzand inductii și deductii logice, analogii, analize, generalizari toate acestea generand dezvoltarea unei gandiri creative.

Problemele mai au și funcția educativa, fiindca ele contribuie la dezvoltarea intelectuala a elevului.

Modul delicat în care se intervine în rezolvarea de probleme simple, compuse de elevi, face să sporeasca interesul pentru creatia proprie.

Deprinderea de a rezolva probleme se formeaza în timp, sistematic, pormind de la ușor (probleme simple) la greu (probleme compuse).

Pe masura ce elevii trec de la o etapa la alta, de la o vârsta la alta, creativitatea gândirii este mai accentuata, se poate exersa mai mult și rezultatele sunt vizibil superioare stimuland și pe cei ce prezintă ramaneri în urma la invatatura.

Operatiile gândirii se formeaza numai în activitate.

In concluzie, dezvoltarea gândirii creative, este impusa de caracteristicile epocii contemporane, care pun în fata omului probleme greu de rezolvat numai cu un echipament intelectual dominant, reflexologic, adresandu-se mai ales reflexiei conditional-operante caracteristica a echipamentului intelectual creativ.

Aceasta constituie un proces anevoios ce parcurge etape multiple, ce necesita preocupare și tenacitate din partea învățătorului.

Este un proces continuu ce poate fi perfectionat în permanență.

B I B L I O G R AF I E:

Alb-Lupaș, Alina

Albu, Rodica (2008), Modalitate de actvizare a elevilor la lecțiile de matematică în ciclul primar, Bârlad: Editura Sfera

Aron, I. (1977), Aritmetica pentru învățători, București: Editura Didactică și Pedagogică

Ausubel, David P (1981), Învățarea în școală: o introducere în psihologia pedagogică, București: Editura Didactică și Pedagogică

Bălan B. (f.a.), Psihopedagogie pentru examenele pentru definitivare și grade didactice, Iași: Editura Polirom

Călugărița, A. (1997), Exerciții și probleme de matematica pentru clasele I-IV, București: Editura Universal Pan

Cerghit, I. (1983), Perfecționarea lecției în școala modernă, București: Editura Didactică și Pedagogică

Fraisse, Paul (1970), Psihologia experimentală, București: Editura Științifică

Gârboveanu, M. (1981), Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Grigoreț, Roman (2011), Gândirea logică și creativitatea prin lecții de matematică prin învățământul primar: lucrare științifică, Câmpulung Muscel: Editura Larisa

Guran, Emil, (1985), Matematica recreativă, București: Editura Junimea

Herivan M. (1976), Educatia la timpul viitor, București: Editura Albatros

Jurca, M. G. (1994), Cum rezolvam probleme de aritmetică, București: Editura Transpres

Matei, N. C. (1982), Educarea capacităților creatoare în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Lupoaiei, Mandolica (2012), Creativitatea în matematică: pentru clasa I și a II-a, Cluj-Napoca: f.e.

Miel, Alice (1961), Creativity in Teaching: Invitations and Instances, f.p.: Hardcover

Neacșu, I. (1988), Metodica predării matematicii la clasele I-IV, București: Editura Didactica și Pedagogică

Neagu, Manole (1999), Matematică: Probleme rezolvate și comentate: ingenioyitate, creativitate, surptiză, Alexandria: Editura Tipoalex

Oprescu, N. (1974), Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, București: Editura Didactică și Pedagogică

Peneș, M., Maior, A. (1997), Puncte de sprijin în organizarea predarii – învățării la clasele I-IV, București: Editura Aramis

Polya, G. (1978), Metodica predării matematicii, București: Editura Didactică și Pedagogică

Popescu-Neveanu, Paul (2013), Tratat de psihologie generală, București: Editura Trei

Roșca, Al. (1967), Creativitate, modele, programare, București: Editura Știintifică

Stoica, A. (1983), Creativitatea elevilor, București: Editura Didactică și Pedagogică

Tălmaciu, Camelia (2010), Creativitatea în matematică: lucrare științifică, Orăștie: f. e.

B L I O G R AF I E:

Alb-Lupaș, Alina

Albu, Rodica (2008), Modalitate de actvizare a elevilor la lecțiile de matematică în ciclul primar, Bârlad: Editura Sfera

Aron, I. (1977), Aritmetica pentru învățători, București: Editura Didactică și Pedagogică

Ausubel, David P (1981), Învățarea în școală: o introducere în psihologia pedagogică, București: Editura Didactică și Pedagogică

Bălan B. (f.a.), Psihopedagogie pentru examenele pentru definitivare și grade didactice, Iași: Editura Polirom

Călugărița, A. (1997), Exerciții și probleme de matematica pentru clasele I-IV, București: Editura Universal Pan

Cerghit, I. (1983), Perfecționarea lecției în școala modernă, București: Editura Didactică și Pedagogică

Fraisse, Paul (1970), Psihologia experimentală, București: Editura Științifică

Gârboveanu, M. (1981), Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Grigoreț, Roman (2011), Gândirea logică și creativitatea prin lecții de matematică prin învățământul primar: lucrare științifică, Câmpulung Muscel: Editura Larisa

Guran, Emil, (1985), Matematica recreativă, București: Editura Junimea

Herivan M. (1976), Educatia la timpul viitor, București: Editura Albatros

Jurca, M. G. (1994), Cum rezolvam probleme de aritmetică, București: Editura Transpres

Matei, N. C. (1982), Educarea capacităților creatoare în procesul de învățământ, București: Editura Didactică și Pedagogică

Lupoaiei, Mandolica (2012), Creativitatea în matematică: pentru clasa I și a II-a, Cluj-Napoca: f.e.

Miel, Alice (1961), Creativity in Teaching: Invitations and Instances, f.p.: Hardcover

Neacșu, I. (1988), Metodica predării matematicii la clasele I-IV, București: Editura Didactica și Pedagogică

Neagu, Manole (1999), Matematică: Probleme rezolvate și comentate: ingenioyitate, creativitate, surptiză, Alexandria: Editura Tipoalex

Oprescu, N. (1974), Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, București: Editura Didactică și Pedagogică

Peneș, M., Maior, A. (1997), Puncte de sprijin în organizarea predarii – învățării la clasele I-IV, București: Editura Aramis

Polya, G. (1978), Metodica predării matematicii, București: Editura Didactică și Pedagogică

Popescu-Neveanu, Paul (2013), Tratat de psihologie generală, București: Editura Trei

Roșca, Al. (1967), Creativitate, modele, programare, București: Editura Știintifică

Stoica, A. (1983), Creativitatea elevilor, București: Editura Didactică și Pedagogică

Tălmaciu, Camelia (2010), Creativitatea în matematică: lucrare științifică, Orăștie: f. e.