Evaluarea Competentelor la Disciplina Matematica

CAPITOLUL V. EVALUAREA COMPETENȚELOR

LA DISCIPLINA MATEMATICĂ

V.1. Curriculum și evaluare la disciplina Matematică.

Rolul important al evaluării în procesul educațional este justificat prin nevoia de a măsura eficacitatea și eficiența procesului de instruire, de a obține informații relevante privind rezultatele școlare ale elevilor, de a asigura formarea competențelor și de a oferi feedback-ul necesar tuturor celor implicați în educație (elevi, profesori, părinți, factori de decizie).

Evaluarea reprezintă o parte integrantă a procesului de învățământ și nu ceva suprapus acestuia. În acest context, relația curriculum – evaluare trebuie analizată din perspectiva programelor școlare, a programelor de examene, a efectelor de feedback, de backwash și de washbefore, precum și a valorii adăugate. Un rol important în această relație îl are și abordarea interdisciplinară (relații între mai multe discipline de studiu). De exemplu, elevul poate rezolva o problemă prin care sunt evaluate competențe specifice dobândite prin programa școlară la discipline diferite de studiu.

În contextul analizării relațiilor dintre programa școlară, programa de examen și evaluare, procesul de predare-învățare-evaluare trebuie abordat unitar întrucât evaluarea reprezintă o parte integrantă a curriculumului. O schimbare produsă la nivelul oricăreia dintre aceste activități influențează modalitățile de realizare a celorlalte, generând o reacție în lanț, care impune reveniri și revizuiri permanente.

Feedback-ul are rolul de reglare a activităților de predare-învățare în funcție de rezultatele obținute în urma evaluărilor. Feedback-ul formativ este o consecință a evaluării formative, continue prin care profesorul transmite sistematic elevului informații privind nivelul achizițiilor acestuia, urmărește și evidențiază progresul educațional al elevului, precum și eventualele dificultăți întâmpinate în învățare. Prin diagnosticarea la timp a deficiențelor, a punctelor slabe, dar și a punctelor tari ale celor doi factori principali implicați în educație, în cadrul procesului de evaluare continuă, dialogul educațional dintre profesor și elev capătă consistența și forța necesare pentru a schimba atitudinile. Calitatea comunicării în relația profesor-elev este esențială, iar feedback-ul formativ are atât menirea de a ridica nivelul motivațional al elevului, cât și de a induce și de a forma în timp, comportamente cu miză formativă la elevi. La matematică, evaluările formative sunt foarte importante. O eroare fixată în mintea elevului și aplicată în repetate rânduri este greu de corectat. Un feedback imediat și analizat în detaliu de către profesor conduce la identificarea și corectarea promptă a eventualelor deficiențe de raționament sau de proces, precum și la creșterea motivației elevului pentru învățarea matematicii. Feedback-ul sumativ final este o consecință a evaluării sumative finale, care nu are efecte imediate asupra procesului de instruire și învățare deja parcurs, deoarece nu mai există posibilitatea revenirii asupra acestuia. Efectele produse asupra elevului sunt mai mult de natură atitudinală și motivațională, având semnificația recunoașterii valorii sau a efortului personal, eventual în vederea parcurgerii unui nou program educațional. Acest feedback este important pentru profesori și pentru factorii de decizie, deoarece le furnizează acestora date necesare pentru a-și modifica, transforma, adapta demersul educațional viitor și, dacă este cazul, chiar să aducă corecții curriculumului.

Evaluarea rezultatelor școlare se realizează într-o proporție semnificativă prin activitatea desfășurată la clasă. Uneori testele elaborate de către profesor pot să nu respecte, de exemplu, criteriul fidelității. De aceea, rolul și importanța evaluărilor externe sunt esențiale în cadrul sistemului educațional prin calitățile pe care le incumbă: obiectivitate, transparență, egalitate de șanse etc. Este de remarcat influența pe care o exercită examenele asupra activităților didactice desfășurate la clasă. Elevii și părinții urmăresc, cu precădere, succesul la examen, deoarece acesta le asigură o diplomă sau accesul într-o treaptă superioară de educație. Ca urmare, profesorii adaptează procesul de instruire la cerințele examenului și orientează activitățile de învățare spre dobândirea competențelor necesare acestui deziderat. Influența exercitată de examene asupra curriculumului realizat, prin adaptarea strategiilor de învățare-predare-evaluare, este cunoscută sub numele de efect backwash. Pentru ca acțiunea acestui efect să fie pozitivă ar trebui avute în vedere următoarele:

• maximizarea curriculumului evaluat prin:

– utilizarea și a altor forme de evaluare, complementare examenelor (de exemplu, valorificarea evaluărilor curente desfășurate pe parcursul unui ciclu de învățământ)

– precizarea competențelor de evaluat

– diversificarea metodelor și a tehnicilor de evaluare

– îmbunătățirea calității instrumentelor de evaluare

furnizarea unui feedback prompt și eficient;

informarea curentă a celor interesați asupra modului de desfășurare a examenelor;

comunicarea diferențiată a rezultatelor examenelor pentru diferite categorii de auditoriu;

alocarea resurselor umane și financiare necesare.

Conceptul de washbefore are o dimensiune predictivă fiind numit și efectul de siaj prin asocierea metaforică a efectului evaluării sau examinării cu un vas navigând pe o mare liniștită, lăsând în urma sa cele două linii de valuri care pot reverbera la distanțe apreciabile. Referindu-se în esență la efectele pe care evaluarea și examinarea le au și asupra curriculumului ulterior sau asupra parcursului educațional din etapa următoare, acesta are un impact mai puțin direct și vizibil asupra proiectării demersurilor de evaluare și de examinare.

Valoarea adăugată reprezintă ceea ce se obține ca rezultat al învățării în plus față de ceea ce a fost planificat, prognozat. Aici ne putem referi la crosscurricularitate (prin care elevul are abilitatea de a face conexiuni logice între discipline de studiu, în rezolvarea unor probleme). De exemplu, evaluarea unor competențe specifice menționate în programa școlară care necesită o abordare crosscurriculară: matematică-fizică, matematică-chimie, matematică-logică etc. De asemenea, ne putem referi la transdisciplinaritate (prin care elevul are abilitatea de a face conexiuni logice dincolo de disciplinele de studiu, în rezolvarea unor probleme). De exemplu, evaluarea unor competențe specifice menționate în programa școlară care necesită o abordare transdisciplinară: aeromodelism, astronomie etc.

V.2. Formarea și evaluarea competențelor

Studiul matematicii în învățământul liceal:

urmărește să contribuie atât la formarea și la dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, cât și la înzestrarea acestora cu un set de competențe menite să contribuie la formarea unei culturi generale comune pentru toți elevii, determinând în același timp trasee individuale de învățare;

oferă elevului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra lumii înconjurătoare în funcție de propriile nevoi și dorințe, pentru a formula și a rezolva probleme pe baza relaționării competențelor din diferite domenii.

La nivelul programelor școlare de matematică relația dintre formarea și evaluarea competențelor este evidențiată prin raportarea acestora la:

– competențele generale, care reprezintă un ansamblu structurat de cunoștințe și de deprinderi pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlarizare;

– competențele specifice, care se formează pe parcursul unui an de studiu, sunt deduse din competențele generale și sunt etape în formarea acestora;

– conținuturile învățării, care sunt mijloace prin care se urmărește formarea competențelor specifice și, implicit, a competențelor generale propuse;

– valorile și atitudinile, care orientează dimensiunile axiologică și afectiv-atitudinală aferente formării personalității elevului din perspectiva fiecărei discipline; realizarea concretă a acestora derivă din activitatea didactică permanentă a profesorului, constituind un element implicit al acesteia;

– sugestiile metodologice, care propun modalități de organizare a procesului de predare-învățare-evaluare; exemplele de activități de învățare sugerează demersuri pe care le poate întreprinde profesorul pentru formarea competențelor specifice.

Într-un demers educațional centrat pe competențe, procesul de evaluare îmbină formele tradiționale (probe scrise, probe orale, probe practice) cu cele alternative (investigația, proiectul, portofoliul etc.), corelând rezultatele evaluate și competențele specifice, vizate de programa școlară, prin valorizarea rezultatelor învățării raportate la progresul școlar al fiecărui elev și prin utilizarea unor metode variate de comunicare a rezultatelor școlare.

Elaborarea competențelor de evaluat se realizează printr-un proces de operaționalizare a competențelor din programa școlară.

Competențele de evaluat:

– au caracter derivat în raport cu competențele din programa școlară;

– au un grad de specificitate care permite o evaluare educațională validă și fidelă, deoarece acest lucru se realizează pe baza aprecierii, cu ajutorul unui instrument de evaluare, a comportamentului cognitiv al elevilor.

Etapele elaborării competențelor de evaluat:

specificarea comportamentului vizat, pe care elevul trebuie să-l demonstreze;

precizarea condițiilor în care comportamentul se poate produce sau poate deveni vizibil,

măsurabil, evaluabil;

stabilirea unui nivel acceptabil al performanței, prin enunțarea unui criteriu direct măsurabil –exprimabil prin niveluri de cunoaștere.

V.3. Instrumente de evaluare a competențelor la disciplina Matematică

Calități ale instrumentelor de evaluare:

1. validitatea se referă la faptul că testul trebuie să măsoare exact ceea ce și-a propus;

2. fidelitatea este calitatea unui test de a da rezultate constante în cursul aplicării lui repetate, în condiții identice;

3. obiectivitatea reprezintă gradul de concordanță între aprecierile făcute de evaluatori independenți în ceea ce privește un răspuns bun pentru fiecare dintre itemii unui test; foarte important este baremul de corectare și de notare;

4. aplicabilitatea este calitatea unui test de a fi administrat și interpretat cu ușurință.

3.1.Tipuri de itemi

Pentru a construi un tested evaluare este necesar să optăm pentru unul sau mai multe tipuri de itemi.

Item = cerință/ sarcină de lucru + formatul acesteia + răspunsul așteptat

Se disting trei mari categorii de itemi:obiectivi,semiobiectivi și subiectivi.

1. Itemi obiectivi

– Itemii cu alegere duală solicită elevul să selecteze unul din cele două răspunsuri posibile: adevărat/ fals; corect/ greșit; da/ nu. Acești itemi măsoară cunoașterea unor noțiuni, capacitatea de a identifica relația cauză – efect, capacitatea de a diferenția enunțurile factuale de cele de opinie.

Avantaje: într-un interval de timp redus se testează un volum mare de rezultate ale învățării.

Dezavantaje: complexitatea lor este redusă; identificarea unui enunț incorect nu implică în mod necesar cunoașterea de către elev a răspunsului adevărat.

Exemplu:

Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XI-a /Funcții derivabile

Obiectivul:Elevul să fie capabil să identifice condițiile din teoremele importante ale calculului diferențial.

Enunț: Dacă apreciezi că afirmația este adevărată încercuieste litera A.În caz contrar incercuiește litera F.

A F 1. Funcției i se poate aplica teorema lui Lagrange.

A F 2. Funcției i se poate aplica teorema lui Rolle.

A F 3. Fie și funcția derivabilă. Funcțiilor

definite prin li se poate alpica teorema lui

Cauchy.

A F 4. Fie continue,derivabile pe și

Aplicând funcțiilor f și g teorema lui Lagrange, se poate deduce teorema lui Cauchy.

Răspuns : Adevărate 2 și 3.

– Itemii de tip pereche solicită din partea elevilor stabilirea unor corespondențe între cuvinte, propoziții, numere, litere sau categorii de simboluri, distribuite pe coloane. Un item tip pereche trebuie să includă un număr inegal de răspunsuri și de premise. Lista răspunsurilor trebuie să fie scrisă într-o ordine (alfabetică sau descrescătoare sau crescătoare) astfel încât să fie eliminate indiciile care ar putea conduce elevul spre ghicirea răspunsului corect. De asemenea, toate premisele și răspunsurile unui item tip pereche trebuie scrise pe aceeași pagină.

Avantaje: -ușurința construcției itemului;

-testarea unui volum mare de rezultate ale învățării într-un interval de timp redus;

-se corectează repede.

Dezavantaje: această tehnică nu poate fi utilizată pentru abordarea unor rezultate mai complexe ale învățării.

Exemplu:

Disciplina/Clasa/Capitolul: Matematică/Clasa a XII-a /Funcții integrabile

Obiectivul: Elevul va fi capabil să determine punctele de continuitate ale unei funcții date pentru a preciza ce proprietăți are aceasta

Enunț: Înscrie în spațiul din stânga fiecărei proprietăți date funcția din a doua coloană care are proprietatea respectivă.

I II

––––1.funcția este continuă

––––2.funcția admite primitive

––––3.funcția este monotonă

––––4.funcția este integrabilă

––––5.funcția are proprietatea lui Darboux

Raspuns: 1.h

2.h

3.f,g,h

4. f,g,h

5.h

– Itemii cu alegere multiplă solicită elevul să aleagă un răspuns dintr-o listă de răspunsuri posibile (dintre care unul corect, iar restul distractori) oferită pentru o singură premisă. Avantaje:- pot măsura tipuri variate de rezultate ale învățării de la simple la foarte complexe;

-fenomenul de ghicire a rezultatelor se produce relativ greu;

– se corectează repede.

Dezavantaje:- necesită un timp mare pentru elaborare;

– utilizarea abuzivă are repercusiuni asupra modului de învățare a elevului.

Exemplu:

Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XI-a /Funcții derivabile

Obiectivul: : Elevul va fi capabil să determine rădăcinile reale ale unei ecuații cu ajutorul șirului lui Rolle.

Enunț: Care este intervalul parametrului real m pentru care ecuația

are toate rădăcinile egale?

A. B. C. D. E.

Încercuiește răspunsul correct.

Răspuns :E

2.Itemi semiobiectivi

– Itemii cu răspuns scurt solicită producerea unui răspuns limitat ca spațiu, formă și conținut. Nu există riscul ghicirii rezultatului.

– Itemii de completare solicită producerea unui răspuns care completează o afirmație incompletă și îi

conferă valoare de adevăr.

Cele două categorii de itemi diferă prin forma de prezentare a cerinței/ întrebării/ problemei și uneori prin dimensiunea răspunsului cerut. Prin itemii cu răspuns scurt se solicită fraze, cuvinte, numere, simboluri, în timp ce itemii de completare solicită, de obicei, drept răspuns unul sau două cuvinte, care să se încadrează în contextual-suport dorit. În primul caz cerința este de tip întrebare directă, în al doilea caz este o afirmație incompletă.

Avantaje – sunt utili in evaluarea cunostințelor și măsoară mai mult decât simpla recunoaștere și memorare;

– solicită un anumit grad de coerență in realizarea răspunsului;

– permit evaluarea unui număr mai mare de concepte ,priceperi și capacități;

– pot incuraja discriminarea fină intre fapte specifice;

– nu cer foarte mult timp pentru construire.

Dezavantaje- nu sunt adecvați pentru măsurarea capacităților intelectuale superioare(analiză , sinteză);

răspunsul foarte scurt poate inhiba,uneori dezvoltarea abilităților complexe.

Exemplul 1: Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XI-a /Funcții derivabile

Obiectivul: Elevul să fie capabil să recunoască consecințele teoremei lui Lagrange pentru funcții derivabile.

Enunț: Completează spațiile punctate pentru a obține afirmații adevărate.

Dacă doua funcții derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă pe acel interval printr-o………..

Răspuns : constantă

Exemplul 2 Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XII-a /Integrabilitate

Obiectivul: Elevul să fie capabil să aplice proprietăți de mărginire a unei funcții in stabilirea neintegrabilitații acesteia .

Enunț: Completează spațiile punctate astfel încât să obții afirmații adevărate:

Fie funcția ,

…deci f nu este …….rezultă că f nu este integrabilă.

Răspuns: …deci f nu este mărginită rezultă că f nu este integrabilă.

-Intrebările structurate sunt formate din mai multe subîntrebări legate între ele printr-un element comun. Pot fi neprogresive (întrebările secundare sunt independente) sau progresive (răspunsurile la întrebările secundare depind de cele de dinainte).

Avantaje: – lărgesc distribuția scorului;

– permit construirea progresivă a unor dificultăți și complexități dorite;

– utilizarea unor materiale auxiliare(grafice,diagrame).

Dezavantaje: -materialele auxiliare sunt relativ dificil de proiectat;

– răspunsul la o subîntrebare depinde ,uneori,de răspunsul la subântrebările precedente;

– proiectarea unei întrebări structurate necesită mai mult timp.

Exemplu: Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XI-a /Funcții derivabile

Obiectivul: Elevul va fi capabil să enunțe și să aplice teorema de medie a lui Lagrange.

Enunț: a) Enunțați teorema de medie a lui Lagrange.

Arătați că dacă este derivabilă pe și are derivata mărginită,

atunci f este mărginită.

c) Aplicând teorema lui Lagrange funcției f(x)=lnx pe intervalele ,, să se arate că șirul are limita .

Răspuns:

a) Fie o functie f : ,si a,b , a<b.

Daca :

1) f este continua pe intervalul inchis ;

2) f este derivabila pe intervalul deschis ;

atunci exista cel putin un punct din intervalul deschis , pentru care:

.

b) Fie oarecare . Se aplică teoremalui Lagrange funcției f pe intervalul

sau Atunci există astfel ca

=

Atunci unde

c) Conform teoremei lui Lagrange ,

astfel încât

Cum ,obținem

După insumarea inegalităților din dreapta pentru k= găsim că

și atunci

3. Itemi subiectivi

Itemii subiectivi sau cu răspuns deschis reprezintă forma ,, tradițională”de evaluare in tara noastră.Ei sunt relativ ușor de construit și testează obiective ce scot in evidență originalitatea ,creativitatea și caracterul personal al răspunsului.

3.1.Rezolvarea de probleme reprezintă forma tradițională de evaluare.,o activitate curentă aprocesului de instruire pe care profesorul o propune la clasă –fiecărui elev sau unui grup- cu scopul dezvoltării creativitații ,gândirii divergente ,imaginației ,capacității de a generalize, reformula o problemă.

Capacitatea de a rezolva o problemă nu este ceva înnăscut, ci aceasta se dezvoltă prin exercițiu de-a lungul unei perioade mai lungi. De aceea când utilizăm rezolvarea de probleme ca metodă de apreciere a performanțelor elevilor, trebuie să începem cu activități simple.

Obiectivele urmărite prin utilizarea rezolvării de probleme sunt

înțelegerea problemei;

obținerea informațiilor necesare rezolvarii problemei;

formularea și testarea ipotezelor

descrierea metodelor de rezolvare a problemei;

elaborarea unui scurt raport despre rezultatele obținute;

posibilitatea de generalizare și de transfer a tehnicilor de rezolvare .

Avantaje: – permite formarea unei gândiri productive;

oferă posibilitatea unor interdependențe; oferă posibilitatea discuțiilor asupra diverselor metode și soluții;

activează atitudinea critică și îi învață pe elevi să adopte metoda cea mai bună de lucru;

stimulează gândirea creativă;

oferă posibilitatea analizei erorilor.

Dezavantaje: – necesită un timp mare pentru elaborare;

– există o oarecare subiectivitate în evaluare.

Exemplu Disciplina/Clasa/Capitolul: Analiză matematică/Clasa a XI-a /Funcții derivabile.

Obiectivul:Elevul să fie capabil să coreleze cunoștințele de geomerie cu cele de analiză matematică.

Enunț: Să se determine piramida patrulateră regulată de volum maxim ,știind că baza are latura variabilă x ,iar muchia laterală este constantă ,m.

Răspuns:

Dacă x= latura bazei ,atunci apotema bazei este

(1)

și apotema piramidei este (1’)

Utilizând (1) și (1’) vom determina înălțimea piramidei

H= (2)

iar aria bazei este

Utilizând (2) și vom determina volumul piramidei

.

Considerăm funcția : unde și(condiția ca piramida să existe este ca ).

Funcția este derivabilă și derivate acesteia este :

iar .

Din condiția și

=este un punct de maxim al funcției

Rezultă volumul maxim va fi atins atunci când .

3.2.Metode de evaluare

Metoda de evaluare reprezintă o cale prin care profesorul oferă elevilor posibilitatea de a demonstra nivelul de dezvoltare a competențelor prevăzute în programa școlară și urmărite în procesul educațional, testate prin utilizarea unei diversități de instrumente adecvate scopului urmărit.

3.2.1. Metodele tradiționale de evaluare au primit această denumire datorită consacrării lor în timp ca fiind cele mai des utilizate. Din această categorie fac parte:

• probele orale;

• probele scrise;

• probele practice.

Vom înțelege prin probă „orice instrument de evaluare proiectat, administrat și corectat de către profesor” (Stoica, Musteață, 1997).

Probele orale reprezintă metoda de evaluare cel mai des utilizată la clasă. Datorită fidelității și validității lor scăzute, aceste probe nu sunt recomandabile în situații de examen, ele fiind caracteristice în principal disciplinelor care presupun demonstrarea unor capacități și abilități dificil de surprins prin intermediul probelor scrise (de exemplu, capacitatea de comunicare verbală).

Probele scrise sunt practicate, și uneori chiar preferate, datorită unora dintre avantajele lor de necontestat, în condițiile în care se dorește eficientizarea procesului de instruire și creșterea gradului de obiectivitate în apreciere. Dezavantajul major al probelor scrise îl reprezintă relativa întârziere în timp a momentului în care se realizează corectarea unor greșeli sau completarea unor lacune identificate.

Probele practice sunt utilizate în vederea evaluării capacității elevilor de a aplica anumite cunoștințe teoretice, precum și a gradului de stăpânire a priceperilor și deprinderilor de ordin practic. Cu toate că activitățile practice oferă posibilitatea elevului de a-și dezvolta competențele generale (comunicare, analiză, sinteză, evaluare), și competențele specifice (manipularea datelor și a instrumentelor de lucru, interpretarea rezultatelor), evaluarea elevilor prin probe practice, atât în situații de examinare curentă, cât și în situații de examen, este foarte puțin pusă în valoare.

Pentru realizarea cu succes a unei activități practice, este normal ca încă de la începutul anului școlar, elevii să fie avizați asupra (I. Neacșu, A. Stoica, (coord.) 1996):

 tematicii lucrărilor practice;

 modului în care ele vor fi evaluate (baremele de evaluare);

 condițiilor care le sunt oferite pentru a realiza aceste activități (aparate, unelte, săli de sport etc.).

3.2.2. Metode complementare de evaluare

Înafară de metodele devenite clasice vizând evaluarea, se mai pot identifica o serie de noi metode, numite fie complementare, fie alternative. Caracterul complementar implică faptul că acestea completează arsenalul instrumentar tradițional (metode orale, scrise, practice) și că se pot utiliza simultan în procesul evaluativ. Caracterul alternativ presupune o înlocuire cvasitotală a metodelor clasice cu cele moderne, ceea ce, deocamdată, nu este oportun și nu se poate generaliza. Practica docimologică de la noi demonstrează că nu se poate renunța la practicile curente de evaluare. Mizăm, deci, mai mult pe o împletire funcțională, o complementare fructuoasă, optimă dintre cele două tendințe metodologice și nu pe o folosire unilaterală, exclusivă, concurențială a acestora.

Se pare că metodele complementare de evaluare sunt mult mai suple și permit profesorului să structureze puncte de reper și să adune informații asupra derulării activității sale, utilizând instrumente ce se adecvează mai mult la specificul situațiilor instructiv-educative.

O oarecare dificultate intervine datorită faptului că aceste metode de evaluare nu sunt standardizate, modul de proiectare și aplicare depinzând în fiecare caz în parte, de la profesor la profesor (ceea ce atrage, indubitabil, valorizări diferite).

Metode complementare de evaluare invocate, în ultimul timp, sunt următoarele:

• Referatul;

• Investigația;

• Proiectul;

• Portofoliul;

• Observarea sistematică a activității și a comportamentului elevilor;

• Autoevaluarea.