Euclid (cca. 325 – cca. 270 î. Hr.) a fost un matematician grec care a activat în Alexandria. El este cunoscut datorită tratatului său în matematici,… [301502]

VI. [anonimizat].1. Despre Euclid

Euclid (cca. 325 – cca. 270 î. Hr.) a fost un matematician grec care a activat în Alexandria. [anonimizat] (Elementele), lucrare în 13 [anonimizat] a doua carte după Biblie din punct de vedere al numărului de limbi traduse și al circulației.

Despre viața lui Euclid se cunosc foarte puține lucruri. Nu se cunosc date care să ajute la identificarea momentului nașterii și nici a morții sale. Se presupune că a fost precursorul lui Arhimede. [anonimizat] a [anonimizat]. Se crede că a fost educat la academia lui Platon din Atena și apoi a fost chemat de Ptolemeu I, ca profesor la noua universitate fondată în Alexandria. Se spune că într-o zi, Ptolemeu a cerut matematicianului să-i dea o metodă mai ușoară pentru a [anonimizat] a replicat : Nu există o cale regală pentru studiul geometriei.

VI.2. Lucrări de geometrie și fizică atribuite lui Euclid

Euclid a [anonimizat]:

Date, o [anonimizat];

Împărțirea unor figuri, o colecție de propoziții referitoare la împărțirea unor diferite configurații plane;

Fenomene, [anonimizat] a lui Autolycus;

Optica, o lucrare ce cuprinde elemente de:

optică (ramură a [anonimizat] a acesteia, și legile propagării și interacțiunii luminii cu substanța), în general;

catoptrică (ramură a opticii, care studiază reflexia luminii și formarea de imagini în oglinzi), prima aplicație practică cunoscută a fost telescopul catoptric numit și reflectorul lui Newton;

dioptrică (ramură a opticii, care studiază refracția luminii în special prin lentile). Telescoapele, care crează imagini folosind lentile convexe (refractori), se numesc telescoape dioptrice. Claudius Ptolemeu a studiat refracția luminii în ochiul uman și în alte medii cum este apa.

Alte lucrări care se presupune că ar aparține lui Euclid sunt: Porismele – o posibilă versiune antică a geometriei analitice ( După Pappus și Proclus, a treia carte a lui Euclid este numită Porisme. [anonimizat]-o propoziție, sau o propoziție intermediară (lemă) necesară demonstrării unei teoreme); De locis ad superficiam (Despre locuri pe suprafață) – [anonimizat], se înțelege un set de puncte care respectă o anumită proprietate; [anonimizat]; Conica (Conicele). Proclus atribuie lui Euclid și o lucrare numită Elemente de muzică. Două elemente sunt identificate în această lucrare: Introducere în armonie și Sectio Canonis (Împărțirea gamei muzicale).

VI.3. Elementele lui Euclid

În cele 13 [anonimizat], într-[anonimizat]. Este cunoscut că această lucrare nu este originară a lui Euclid. [anonimizat], Hipocrat din Chios, Pitagora din Samos și Teetet din Atena. Prima carte se referă la dreaptă, triunghiuri, paralele și paralelograme (denumire dată de Euclid), relații metrice în triunghiul dreptunghic. În cartea a II-a (numită și cartea algebrei geometrice) sunt expuse sub formă geometrică diverse identități pe care astăzi le exprimăm algebric.

Cartea a III-a este consacrată cercului. În cartea a IV-a sunt date construcțiile poligoanelor regulate. Primele patru cărți au fost prelucrate după un material pierdut al lui Hipocrat. Cartea a V-a conține teoria numerelor raționale, datorate lui Eudoxiu. Cărțile VII-IX conțin o expunere sistematică a cunoștințelor de aritmetică, inclusiv teoria numerelor prime și progresii aritmetice și geometrice. Cartea a X-a studiază numerele iraționale, datorată lui Teetet. La Euclid și contemporanii săi, numerele fracționare și iraționale apăreau din compararea segmentelor și calculele aveau caracter geometric. Cartea a XI-a conține teoreme asupra dreptelor și planelor, relații de volum în legătură cu paralelipipedele. Cartea a XII-a conține relații de comparare a volumelor de piramidă, cilindru și sferă. Cartea a XII-a se referă la poliedre regulate.

Tematica acestei lucrări este ordonat și riguros organizată sub formă de definiții, postulate, axiome, porisme (corolare), leme, teoreme și probleme (propoziții). În Posterior Analytics (Analiza posterioară), Aristotel prezintă necesitatea principiilor primare în demonstrările științifice. Cu ajutorul acestora se demonstrează toate aserțiunile. Principiile primare sunt clasificate de către Aristotel în: definiții, axiome și postulate.

Definiția este o afirmație care cere numai înțelegerea termenilor utilizați. Nu se spune nimic despre existența celor definite, acest lucru trebuind demonstrat separat. Spre exemplu termenul cerc nu implică că acest lucru există.

Axioma sau noțiunea comună este o afirmație, care este evidentă și aplicabilă, prin analogie, în toate științele. Ca exemplu: Acele lucruri egale cu un alt lucru sunt egale între ele.

Postulatele, asemănător axiomelor, sunt considerate fără demonstrație. Actual, matematicienii nu mai fac distincție între acestea. Aristotel atribuia trei caracteristici ce diferențiază postulatele de axiome:

Postulatele nu sunt așa de evidente ca axiomele.

Postulatele sunt aplicabile numai în anumite domenii ale științei, pe când axiomele au un caracter general.

Postulatele afirmă că ceva există, iar axiomele nu fac acest lucru.

Un exemplu de postulat: Se poate construi un cerc când se cunoaște centrul și raza. Acest lucru stabilește existența cercului, dar acest lucru un este așa de evident.

O propoziție se referă la stabilirea unor proprietăți ale unui obiect sau câteodată direcții de construcție a acestuia. Ele sunt de două forme: teoreme, iar dacă sunt lăsate pentru mai târziu se numesc probleme. Teoremele nu demonstrează existența pentru orice, ci numai stabilesc condițiile de îndeplinire. În problemele pentru care se demonstrează existența, fiecare parte a soluției de construcție este dovedită pe un exemplu de obiect care ne interesează. De exemplu, pentru a arăta existența unui triunghi echilateral, Euclid construiește un triunghi particular și arată că are toate laturile egale.

Proclus a împărțit formal propozițiile în șase părți: enunțul, expunerea, specificația (în greacă se numește diorismos – limitare ), construcția, demonstrația și concluzia. De exemplu:

Enunțul. Fiind date trei segmente de dreaptă, se poate construi un triunghi având lungimile egale cu acestea.

Diorismos. Este necesar ca suma lungimilor oricăror două segmente să fie mai mare decât lungimea celei de al treilea.

Expunerea. Fie trei segmente A, B, C, care respectă condiția ca suma oricăror două este mai mare decât al treilea.

Specificația. Se presupune posibilitatea construirii triunghiului cu laturile egale cu segmentele A,B,C.

Construcția. Pe dreapta DE găsim punctele F, G și respectiv H astfel încât lungimea lui DE să fie egală cu A, a lui FG să fie egală cu B și a lui GH egală cu C. Cu centrul în F și raza FD construim cercul DKL. Asemănător, cu centrul în G și raza GH construim cercul KLH, K este un punct de întâlnire al celor două cercuri. Spunem că triunghiul KFG este construit cu laturile egale cu A, B, C.

Demonstrația. Deoarece F este centrul cercului DKL rezultă că FD și FK sunt egale. Deoarece FD este egal cu A, rezultă că și KF este egal cu A. Asemănător, Deoarece G este centrul cercului LKH, implică GH este egal cu GK. Dar GH este egal cu C, și deci, KG este egal cu C. Adăugând faptul că FG este egal cu B ne duce la concluzia că segmentele KF, FG, GK sunt egale cu cele trei segmente date A, B, C.

Concluzia. Cele trei segmente KF, FG, GH sunt egale cu segmentele A, B, C, și deci, triunghiul KFG poate fi construit.

ș

Dintre postulate, cel mai celebru este:

Dacă o dreaptă tăind două drepte formează unghiurile interne și de aceeași parte mai mici decât două unghiuri drepte, cele două drepte prelungite la infinit se vor întâlni în partea în care se află unghiurile mai mici decât două unghiuri drepte., care se găsește în Cartea I a Elementelor.

Acesta poartă numele de postulatul lui Euclid, în zilele noastre este enunțat după forma dată de J. Playfair, în secolul al XVIII-lea: Printr-un punct al planului nu se poate duce decât o singură paralelă la o dreaptă dată. Modificând acest postulat s-au construit, mai târziu, geometriile neeuclidiene.

Menționăm câteva dintre teoremele ce se găsesc în Cartea I:

Teorema unghiului exterior: Unghiul exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile neadiacente.

Teorema triunghiului isoscel: Dacă un triunghi are două laturi egale are și două unghiuri egale și reciproc. Se folosește metoda reducerii la absurd, cunoscută de la Aristotel.

În două triunghiuri , cu două laturi , , la unghiul corespunde latura .

Proprietățile paralelogramului. Paralelograme echivalen-te.

Teorema lui Pitagora. Teorema catetei. Reciproca teoremei lui Pitagora.

Cartea a II-a conține identități algebrice tratate sub formă geometrică:

,

, ,

,

, ,

,

, ,

.

Construcția geometrică a rădăcinilor ecuației

.

Construcția unui pătrat echivalent cu un poligon.

Teorema înălțimii.

Teorema lui Pitagora generalizată (a cosinusului)

.

Din Cartea a III-a reținem:

Problema unghiului mixt (a unghiului de contingență). Evaluarea unghiului format dintre un cerc și o tangentă. Euclid a afirmat că este mai mic decât orice unghi rectiliniu.

Măsura unghiului înscris. Consecință: În patrulaterul inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplimentare.

Construcția pe o coardă dată a unui arc de cerc capabil de un unghi dat.

Puterea punctului față de cerc.

În Cartea a IV-a este studiată problema înscrierii poligoanelor regulate într-un cerc și problema circumscrierii lor. Sunt tratate triunghiul echilateral, pătratul, pentagonul și hexagonul. Ca o consecință: Concurența mediatoarelor și bisectoarelor unui triunghi.

Cartea a V-a se referă la rapoarte și proporții. Patru definiții ne atrag atenția:

Raport este relația după cantitate a două mărimi de același fel.

Se zice că mărimile au un raport între ele dacă, înmulțite, una poate întrece în mărime pe cealaltă.

Se zice că mărimile sunt în același raport, întâia către a doua și a treia către a patra, dacă multiplii egali ai celei dintâi și ai celei de a treia, deodată, sau întrec în mărime respectiv multipli egali ai celei de a doua și ai celei de a patra, pentru oricare multiplu, sau sunt egali, sau mai mici, în ordinea considerată…

Dacă dintre multipli egali, multiplul celei dintâi întrece în mărime multiplul celei de a doua, dar multiplul celei de a treia nu întrece în mărime multiplul celei de a patra, se zice că întâia către a doua are un raport mai mare decât a treia către a patra.

Din cartea a VI-a reținem:

Teorema bisectoarei. Bisectoarea taie latura opusă a triunghiului în raportul laturilor adiacente

Cazurile de asemănare

Construcția pe o latură dată a unei figuri asemenea cu o figură dată. Teorema lui Thales.

Raportul ariilor triunghiurilor asemenea este egal cu pătratul raportului laturilor omoloage.

Poligoane asemenea.

Tranzitivitatea asemănării.

Construcția unei figuri de arie dată, asemenea cu o figură dată.

Împărțirea unui segment în medie și extremă rație, numită mai târziu secțiunea de aur (Figura VI.6).

Teoremă. Dintre toate paralelogramele AKFG astfel ca paralelogramele complementare KFHB să fie asemenea între ele, cel mai mare corespunde mijlocului C al segmentului AB.

Reciproc, pentru o arie dată S, construcția geometrică a rădăcinii admisibile a ecuației .(Figura VI.7)

Generalizarea teoremei lui Pitagora: Construind figuri asemenea pe laturile unui triunghi dreptunghic, aria figurii construită pe ipotenuză este suma ariilor figurilor construite pe catete.

Cartea a VII-a dezvoltă tema Cărții a V-a, teoria proporțiilor, dar numai pentru rapoarte raționale. Cartea studiază întregul, prin două axiome:

Unitatea este o măsură (divizor) a oricărui număr,

Înaintea unui număr dat există o mulțime finită de numere întregi.

Cea de-a doua axiomă este esențială pentru găsirea cu ajutorul algoritmului lui Euclid, a celui mai mare divizor comun a două numere. Acest algoritm este legat de simplificarea aproximativă a rapoartelor, așa cum era practicată în acea epocă de către Aristarh din Samos și Arhimede din Siracusa. El constituie punctul de plecare al teoriei fracțiilor continue începând cu secolul al XVII-lea. Tot în această carte mai găsim o teorie a numerelor prime (dă forma numerelor perfecte , unde p și sunt prime) și o scurtă teorie a celui mai mic multiplu comun.

Cartea a VIII-a este consacrată numerelor întregi în progresie geometrică (în alt limbaj, puterile numerelor întregi ale fracțiilor), Scopul este, să găsească, într-o formă generală, cazurile de raționalitate a rădăcinilor de ordinul n ale unui întreg sau ale unei fracții.

Cartea a IX-a ne atrage atenția printr-o demonstrație referitoare la infinitatea numerelor prime:

Să presupunem că p este cel mai mare număr prim. Atunci numărul , format din produsele tuturor numerelor prime la care se adaugă 1, este prim cu oricare dintre numerele 2, 3,…, p. Fiind mai mare decât p, am ajuns la o contradicție. Deci presupunerea făcută este falsă.

Cartea a X-a încearcă să facă o clasificare a primelor lungimi iraționale, rezultate din metodele de aplicare (transformare) a ariilor, pornind de la o lungime luată drept unitate. (Prin număr rațional Euclid înțelegea, acela care poate fi măsurat, sau este diagonala unui pătrat cu latura măsurabilă.

Exemple. sunt segmente (numere) raționale, primele două fiind comensurabile, iar fiind diagonala unui pătrat cu latura comensurabilă)

Aria rațională este exprimată printr-un segment (număr) comensurabil (Exemple. ). Prima propoziție îi este atribuită lui Eudoxius:

Fiind date două mărimi neegale, dacă din cea mai mare se scade una mai mare decât jumătatea ei, iar din cea rămasă una mai mare decât jumătatea ei, și acesta se repetă continuu, va rămâne o mărime oarecare care va fi mai mică decât mărimea cea mai mică considerată.

Următoarele trei propoziții folosesc algoritmul lui Euclid, fie pentru a găsi cea mai mare măsură comună, dacă cele două mărimi sunt comensurabile, fie pentru a trage concluzia că mărimile sunt incomensurabile, dacă algoritmul nu se sfârșește după un număr finit de pași. Urmează o clasificare a unor numerelor iraționale, în notațiile noastre (k,k’ rațional):

Numerele sunt numite, de Euclid, numere mediane (Exemple:).

Aria mediană este exprimată prin pătratul unui număr median (Exemple: ).

Numărului binomial (mai general, , rațional) îi corespunde prima apotomă , rădăcini ale ecuației .

Numărului major

îi corespunde numărul minor

,

rădăcini ale ecuației .

Rădăcina pătrată a unui rațional plus un median (în arie)

are în corespondență numărul irațional

,

rădăcini ale ecuației .

Rădăcina pătrată (în sumă) a două mediane (în arie)

are în corespondență numărul irațional

,

rădăcini ale ecuației .

Primul binomial , prima apotomă

.

Al doilea binomial , a doua apotomă

Al treilea binomial , a treia apotomă

.

Al patrulea binomial este , a patra apotomă

.

Al cincilea binomial , a cincea apotomă

.

Apoi sunt date diverse proprietăți ale lor. În limbajul nostru, a supraviețuit cuvântul binom, după care algebriștii l-au extins la trinom și polinom.

Cartea a XI-a conține teoremele:

Perpendicularele într-un punct pe o dreaptă sunt situate într-un plan.

Două perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele și reciproc, dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, orice paralelă a ei este perpendiculară pe plan.

Intersecția a două plane perpendiculare pe un plan este perpendiculară pe plan.

Într-un unghi triedru, suma unghiurilor a două fețe este mai mare decât unghiul celeilalte fețe.

Suma unghiurilor fețelor unui poliedru este mai mică decât patru unghiuri drepte.

Construcția unui unghi triedru, când sunt date fețele.

Solidele paralelipipedice având baze egale și aceeași înălțime sunt echivalente.

Din Cartea a XII-a reținem:

Descompunerea unei prisme triunghiulare în trei piramide echivalente. Orice con este a treia parte a unui cilindru cu aceeași bază și înălțime. (Folosind metoda lui Eudoxiu).

Construcția unui solid poliedric înscris într-o sferă care să rămână exterior unei sfere concentrice date.

Cartea a XII-a începe cu relații echivalente, pe care le exprimăm algebric astfel:

, ,

, ,

unde și . Urmează:

Într-un pentagon regulat ABCDE, diagonalele AC, BE sunt concurente în H, împărțindu-se în medie și extremă rație, iar segmentul mai mare este egal cu latura pentagonului.

Între laturile pentagonului, hexagonului și decagonului regulat avem relația: .

Latura decagonului regulat înscris în cercul de rază r este:.

Pătratul diametrului sferei este o dată și jumătate latura tetraedrului regulat înscris, este dublul pătratului laturii octaedrului regulat înscris.

Determinarea laturii dodecaedrului și icosaedrului regulat:

,

Există numai cinci poliedre regulate (solidele platoniene).

Elementele lui Euclid au fost completate de Hipsicle (cca. 170 î. Hr.), care a scris cartea a XIV-a, relativ la poligoane și poliedre regulate. De asemenea, unul sau mai mulți anonimi au scris cartea a XV-a, continuând studiul poliedrelor.

VI.4. Temă

1) Refaceți demonstrațiile pentru identitățile din Cartea a II-a, prin metode geometrice.

2) Construiți poligoanele regulate înscrise în cerc (triunghi, pătrat, pentagon, hexagon, decagon), urmărind toate etapele unei probleme de construcție.

3) Scrieți ecuațiile de gradul II ce au ca soluții numerele binomiale și apotomele din Cartea a X-a. Dați diverse exemple.

VI.5. Bibliografie

[1] Allman, G. J. Greek Geometry from Thales to Euclid, 1976;

[2] Sir Thomas L. Heath, Mathematics in Aristotle ,Oxford: Clarendon Press, 1970;

[3] Sir Thomas L. Heath, The Thirteen Books of Euclid's Elements, 2nd ed., New York: Dover Publications, 1956;

[4] Heath, Sir Thomas L. A History of Greek Mathematics, 2 vols. 1921; rpt. New York: Dover Publications, Inc., 1981;

[5] Heath, Thomas L., trans. Euclid's Elements, Green Lion Press, 2003;

[6] Heath,T. L., Greek Astronomy, Londra, 1932;

[7] Heath,T. L., The Copernicus of Antiquity, Londra, 1920;

[8] Pappus of Alexandria, Book 7 of the Collection, 2 vols., trans. Alexander Jones, NY: Springer Verlag, 1986;

[9] Proclus. A Commentary on the First Book of Euclid's Elements. Trans. Glenn R. Morrow. Princeton: PUP, 1970;

[10] Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio,Waterloo, Ontario: Wilfred Laurier University Press, 1987;

[11] Rene Taton, Istoria generală a științei, vol. I, Știința antică și medievală de la origini la 1450, Editura Științifică, București, 1970;

[12] Turnbull, Herbert Westren. The Great Mathematicians. New York: New York University Pres,1961;