Elemente Fundamentale de Matematica Si Aspecte Metodice In Predarea Activa a Numarului Natural

Cuprins

INTRODUCERE 3

CAPITOLUL I 9

ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE DEZVOLTĂRII ȘCOLARULUI MIC 9

I.1. Specificul proceselor cognitive 10

I.1.1. Senzațiile și percepțiile 11

I.1.2. Reprezentările 12

I.1.3. Limbajul 13

I.1.4. Gândirea 14

I.1.5. Memoria 16

I.2. Specificul proceselor reglatorii 17

I.2.1.Atenția 17

I.2.2. Motivația 19

I.2.3. Afectivitatea 21

I.2.4. Voința.  22

I.3.METODE DE ACTIVIZARE SPECIFICE INVAȚAMANTULUI PRIMAR 23

I.3.1. Precizări terminologice 23

I.3.3.Taxonomii 25

I.3.4.Metode active-metode interactive 28

I.3.5.Caracteristici ale metodelor active 35

I.3.6. Clasificări ale metodelor active 37

CAPITOLUL II 39

ELEMENTE FUNDAMENTALE DE MATEMATICĂ ȘI ASPECTE METODICE 39

ÎN PREDAREA ACTIVĂ A NUMĂRULUI NATURAL 39

II.1.Elemente de logică matematică 39

II.2 MULȚIMI. RELAȚII. FUNCȚII. 40

II.2.1. Mulțimi 40

II.2.2. RELAȚII 42

II.2.3. FUNCȚII 44

II.3. NUMĂR NATURAL. OPERAȚII CU NUMERE NATURALE 45

II.4. REZOLVAREA PROBLEMELOR PRIN METODE ARITMETICE 50

II.5. ANALIZA METODELOR UTILIZATE ÎN ETAPA INTRODUCERII FACTORULUI DE PROGRES 67

II.5.1.Tipuri de metode de activizare 69

II.6. APLICAREA METODELOR ACTIVE PE CLASE 79

II.6.1. Metode activ-participative folosite în predarea conceptului de număr natural 83

III.3. Metode activ-participative folosite în predarea operațiilor cu numere naturale 86

CAPITOLUL III 91

COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE 91

III.1. Ipoteza, obiectivele și etapele cercetării 91

III.2 Metode și tehnici utilizate pentru colectarea datelor. 94

III.2.1 Metoda observației 94

III.2.2 Experimentul 95

III.2.3 Metoda analizei produselor ativității și a cercetării documentelor 95

III.2.4 Convorbirea 96

III.2.5 Metoda testelor 96

III.3. ANALIZA PRELUCRAREA SI INTERPRETAREA DATELOR LA TESTUL DE EVALUARE INITIALA 97

III.1.2 INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE LA TESTUL INIȚIAL 101

III.2 EVALUAREA FORMATIVĂ 102

III.2.2 INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE LA TESTUL FORMATIV 111

III.2.3.EVALUAREA SUMATIVĂ ( FINALĂ ) 112

IV.3.1 PRELUCRAREA DATELOR MODALITATEA DE NOTARE: 114

III.2.4 ANALIZA, PRELUCRAREAȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE 116

CONCLUZII 117

BIBLIOGRAFIE 120

ANEXE 122

ANEXA 1 127

ANEXA 2 128

ANEXA 3 129

FIȘĂ DE LUCRU 130

Învățătorul este acela care face să crească două idei acolo unde există doar una.

Elbert Hubbart

INTRODUCERE

La actuala dezvoltare economică și culturală la care a ajuns țara noastră, pregatirea științifică și tehnică a tinerei generații, nu se mai poate face, fără o riguroasă fundamentare matematică.

Astăzi se afirmă cu tot mai multă convingere că, fundamentul culturii moderne îl constituie matematica, că indiferent de domeniul în care activează omul modern, trebuie să posede o bună pregatire matematică, pentru a solutiona multiplele și variatele probleme ale vieții. Se știe, că matematica, dezvoltă gândirea și aceasta a stat totdeauna la baza progresului, constituind impulsul dinamicii sociale, nefiind de mirare că printre multiplele exigențe pe care societatea actuală le formulează cu privire la formarea personalității accentul cade în primul rând pe gândire.

Contemporaneitatea are însa nevoie nu de orice fel de gândire; ea are nevoie de gândirea critică și novatoare, de gândirea originală și creatoare pe care matematica modernă o formează.

Tendințele actuale ale predării matematicii la nivel elementar, consacră o atenție specială dezvoltării gândirii matematice a elevilor, exersând-o armonios sub toate aspectele . Predarea aritmeticii rămane unul din obiectivele esențiale ale receptării matematicii la nivelul elementar, iar tendința este de a se elimina caracterul plicticos si dogmatic pe care îl avea altadată. Se lasă copilului mai multă libertate de a alege tehnicile si strategiile de calcul.

Studiul teoretic și practic al aritmeticii bazat pe rezolvarea unor probleme reale din viață care contribuie la abordarea sau aplicarea unor noțiuni matematice, conduce la rezultate superioare în însușirea acestui obiect de învățământ.

Situațiile problematice, jocurile matematice, exersarea capacităților intelectuale atestăsdeosebita valoare formativa a acestei discipline școlare în structura deprinderilor de activitate intelectuală, in dezvoltarea gândirii, memoriei și imaginației, in formarea unor trăsături de personalitate (voință, perseverență, simțul ordinii al disciplinei in muncă ), indispensabile integrării in ciclurile școlare următoare , in viața activă în general.

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea- învățarea matematicii in ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară.

Rezolvarea problemelor pune la încercare capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar se acordă o foarte mare atenție rezolvării de probleme .

Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei insiși probleme. Din problematica vastă a predării matematicii mă voi ocupa de studierea bazelor metodologice si psihologice ale rezolvării problemelor, la clasele I-IV.

În școala modernă, cea care aduce în prim – plan dascălul viitorului, activitatea este orientată spre elev și presupune aplicarea principiilor de instruire diferențiată, realizate prin folosirea unei diversități de metode, tehnici și procedee de instruire.

Accentul cade pe utilizarea metodelor activ – participative, ce determină elevul să participe și să se implice activ cu toate resursele posibile în procesul instructiv – educativ. Se urmărește astfel dezvoltarea gândirii, stimularea creativității și dezvoltarea motivației pentru învățare.

Dintre toate materiile cuprinse în Curriculum Național, cea care este primită cu reticență de cei mai mulți elevi este matematica. Aceasta dispune de bogate valențe formative, dar specificul activității matematice constă în faptul că ea are nevoie de o mobilizare totală a elevului, iar măiestria dascălului se observă tocmai în oferirea unei cunoașteri active a noțiunilor de bază ale matematicii, necesare dezvoltării altor concepte matematice.

Aplicarea în orele de matematică a metodelor active, prin care elevul devine dintr-un spectator gata să recepționeze pasiv ceea ce i se transmite, un actor, unaparticipant activ în procesul învățării, pregătit să-și însușeascăcunoștințele pe calea propriilor acțiuni, a propriei angajări în sarcinile de învățare, transformă o activitate statică și plictisitoare, în jocul matematic dorit de copii.

Aceste idei, concluzii au apărut firesc în urma experienței avute timp de 16 ani la catedră. Lucrul efectiv cu elevii m-a ajutat să observ că matematica este piatra de încercare pentru mulți elevi și mi-am propus să găsesc modalități de a facilita depășirea dificultăților întâmpinate de elevi.

Astfel, lucrarea de față pornește de la ideea folosirii în orele de matematică a metodelor activ – participative împletite cu munca diferențiată, scopul cercetării de față fiind observarea influenței acestor metode asupra motivației învățării elevilor și implicit asupra progresului în învățare al acestora.

Este cunoscut faptul că buna dispoziție a copilului stimulează interesul pentru ceea ce îi este dat sau cerut să facă, mărind astfel gradul de receptivitate față de cunoștințele prezentate cât și durata pentru care se fixează în memoria lui. Acest lucru arată importanța metodelor și strategiilor aplicate în procesul instructiv – educativ, ce trebuie cunoscute, îmbunătățite și adaptate permanent de către cadrele didactice.

Motivarea alegerii temei lucrării Ritmul în care se realizează în zilele noastre progresul în toate domeniile vieții sociale impune fiecăruia la locul său de muncă o preocupare permanentă pentru a fi informat la zi cu tot ceea ce este nou în domeniul în care lucrează , cu scopul de a spori calitatea activității pe care o desfășoară .

Conștienți de răspunderea socială care ne revine noi, formatorii, începem procesul de autoperfecționare a activității înca din primele zile petrecute la catedră și-l continuăm toată viața, până la încheierea misiunii pe care am avut-o de îndeplinit.

Tema aleasă pentru cercetare în prezenta lucrare are menirea de a aborda , pe baza documentării teoretice și a experienței capatate până acum la catedră , diferite modalități de atingere a obiectivelor pe care le urmarește predarea matematicii în general și în mod special dezvoltarea gândirii elevilor pe baza rezolvării și7compunerii de probleme .

Renumitul matematician si fizician Norbert Wiener sesiza, pe bună dreptate, că: Orice gândire corectă este fie matematică, fie susceptibilă de a fi matematicizată. De acee , activitatea de rezolvare a problemelor, prin importanța pe care o are asupra realizării obiectivelor obiectului matematicii m-a incitat permanent.

Este acea parte a matematicii unde se întâmpină cele mai multe greutăți din partea elevului, dar și a cadrului didactic. Din experiența proprie, am constatat că numai ceea ce se dobândește prin efort propriu si consecvență are temeinicie.

Ca urmare a acestei constatări, am ales pentru desfășurarea experimentului un singur eșantion ( elevii unei singure clase ) deoarece am avut posibilitatea să urmaresc sistematic și pe termen îndelungat activitatea acestuia.

În această perioadă, am căutat să folosesc în activitatea desfășurată acele metode și procedee care să-i activeze pe elevi, să-i facă să persevereze în munca desfășurată , dându-le încredere în forțele proprii prin încurajări permanente, prin aprecieri deosebite la adresa muncii și seriozității cu care au lucrat.

Am dorit permanent și mi-a plăcut să-i determin pe copii să pătrundă cu plăcere în frumusețe , dar și dificultatea problemelor, să fie atrași de nou, de problemele care le solicită la maximum independența în gândire, care să-i facă să judece singuri cu îndrazneală, să caute soluții originale, să nu se simtă la orele de matematică obosiți sau plictisiți.

Educația elevilor trebuie centrată astăzi pe crearea acelor situații care le impun adaptarea optimă la condiții cât mai diverse, dezvoltându-și în acest mod o gândire divergentă , cu un grad sporit de flexibilitate.

Importanța, rolul și locul matematicii în învățământul primar

Științele matematice joacă astăzi un rol din ce în ce mai influent în viața societății contemporane și aceasta ca un efect de sine „qua non” al dezvoltării explozive , care impune matematicizarea si informatizarea domeniilor economico-sociale . Tocmai de aceea însușirea matematicii a devenit o necesitate stringentă , căreia6trebuie să-i acordăm atenia cuvenită, începând cu învățământul primar când studiul matematicii devine o disciplină de învățământ științific organizată. Astăzi când conceptele de structură , relație și operativitate domină toată știința modernă, când pentru mulți aceste concepte exprimă însăși natura matematicii se impune ca și matematica predată în școală să adopte acest spirit , se impune renovarea invățământului matematic.

În ciclul primar se pun bazele muncii intelectuale și fizice, se dezvoltă progresiv capacitățile creatoare, personalitatea morală a copiilor. Elevul este înarmat cu cunoștințele instrumentale necesare achizițiilor viitoare din toate domeniile. Primii ani sunt hotărâtori pentru dezvoltarea ulterioară a tinerilor, influența acestora lăsând urme adânci în personalitatea copilului.

Învățământului primar îi revine sarcina înzestrării fiecărui copil cu instrumentele cunoașterii, cu noțiunile de bază fără de care nu se poate vorbi de o formație intelectuală . Trebuie să le formezi metode de lucru care să ăi facă capabili să-și completeze singuri, mai târziu, instruirea elementară primită în școală.

Noțiunile matematice trebuie introduse cât mai devreme posibil , într-o ținuta științifică și dezvoltate treptat . În acest sens , se incearcă formarea înca de la grădiniță a unor reprezentări matematice care să faciliteze introducerea matematicii într-o manieră modernă înca din clasa I. Indiscutabil că noua organizare a învațământului matematic marchează ridicarea nivelului științific al predării și învățării acestei discipline la toate nivelurile de școlarizar .

Modernizarea învățământului presupune perfecționarea sistemului de predare învățare și în cadrul acestei discipline eșalonarea si dozarea mai rațională a cunoștințelor ,asigurarea accesibilității lor, punându-se accent deosebit pe activitatea de rezolvare a exercițiilor si problemelor. În selecționarea conținutului învățământului matematic la clasele I-IV nu trebuie să se neglijeze faptul că aici se pun bazele întregului sistem noțional5pe care și-l însușeste elevul în școală.

Cele mai substanțiale rezultate în insusirea cunoștințelor de matematică se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosfera menită să activeze gândirea și celelalte funcții de cunoaștere, să susțină interesul și curiozitatea în studiu a elevilor și să le dezvolte spiritul critic.

În clasele primare, mai ales în primele clase, elevii dobândesc noțiuni științifice la nivel elementar, adică noțiuni cu explicație corectă, dar nu complete și definitive, noțiuni elementare de ținută științifică, pe care ei le înteleg, dar încă nu le pot prezenta în definițiile lor riguros științfice și nici nu le pot demonstra. Utilizarea și reținerea denumirilor științifice se vor face numai în măsura în care acestea sunt necesare (plus , minus , termen , sumă) și nu ridică dificultăți.

Un principiu cu valabilitate confirmată de multă vreme ce se impune în învățământul primar la matematică este cel al accesibilității. Copilul de vârstă școlară mică este tot copil și în fața matematicii tradiționale și în fața celei moderne.

Se impune asadar, o dimensionare a științei la nivelul capacităților inelectuale ale copilului.Jerome Bruner face afirmația îndrazneață că : oricărui copil, la orice stadiu de dezvoltare, i se poate preda orice obiect de învățământ într-o formă intelectuală adecvată.

De aceea, cel mai important lucru în predarea conceptelor constă în a-i ajuta pe copii să treacă în mod progresiv de la gândirea concretă la4folosirea unor procedee de gândire cu un grad mare de conceptualizare.

Menirea unui învățământ modern în domeniul matematicii nu este a introduce învățarea mai timpurie a unor noțiuni ci de a spori eficiența formativă a matematicii , în speță de a conduce la formarea unei gândiri logice moderne.Acestui obiectiv îi servește , nu însușirea unor cât mai bogate concepte de teorie a mulțimilor (ca scop în sine), ci exercițiile de definire, caracterizare, operare.

Se impune deci ca noul sistem de prezentarea cunoștințelor să nu prezinte un spor de verbalism, ci unul de fundamentare logică a cunoștințelor matematice pe baza cunoașterii și exersării proceselor gândirii.

Caracterizată prin spiritul său de ordine, disciplina matematică presupune un mod deosebit de gândire și deci este necesar să se creeze de timpuriu posibilitatea ca toți elevii să-și formeze acest mod de gândire. Respectând rigorile științei matematice, învățătorul va introduce conceptele matematicii la nivelul de înțelegere și în limbajul propriu copiilor de vârstă școlară.

Optimizarea procesului de învățare a matematicii la aceste clase poate fi realizată prin asigurarea conștientizării tehnicilor de calcul, prin cultivarea elementelor de creativitate și flexibilitate a gândirii matematice, prin folosirea in mod rațional a timpului la fiecare lectie.

Principalele căi de realizare a acestor obiective constau in lărgirea ariei aplicațiilor și a explorărilor independente ale elevilor. Optimizarea procesului didactic la matematică necesită nu numai modalități noi de activizare a clasei ci și un nou tip de relații , pe de o parte între învățător și elev , iar pe de altă parte între elevii inșiși.

Sarcinile mereu sporite care stau in fața școlii pretind învățătorului o atitudine creatoare nu numai în folosirea unor sisteme de tipuri de lecții variate , ci mai ales în constituirea a numeroase variante , în modificarea și diversificarea fiecarui tip de lecție , în primul rând prin stilul de muncă creator , care conduce la realizarea unor lecții cu participarea efectivă a elevilor în însușirea noilor cunoștințe. Stilul de muncă creator oferă posibilitatea antrenării elevilor în diverse forme de activitate independentă, creatoare, diferențiată, care solicită și dezvoltă gândirea, interesul, inventivitatea, perseverența și în mod deosebit4aptitudinile.

Modernizarea învățământului și ridicarea sa pe o treaptă superioară, corespunzatoare transformărilor economico-sociale, înseamnă asigurarea primatului formativ în desfășurarea procesului instructiv-educativ .

CAPITOLUL I

ASPECTE PSIHOPEDAGOGICE ALE DEZVOLTĂRII ȘCOLARULUI MIC

Copilul este constructorul spiritual al omenirii, iar obstacolele în calea dezvoltării sale libere sunt pietrele din zidul în care a fost închis sufletul omului.

Maria Montessori

I.1. Specificul proceselor cognitive

Perioada școlară mică (6-10 ani), de la intrarea copilului în școală și până la terminarea ciclului elementar, reprezintă pentru unii psihologi sfârșitul copilăriei. Caracteristic pentru această etapă este faptul că acum sunt evidențiate problemele adaptării școlare și ale învățării, fără a se pierde din vedere că unele structuri psihice se dezvoltă ca urmare a faptului că în copilaria timpurie și în perioada preșcolară are loc cea mai importantă achiziție de experiență adaptativă și atitudinală.

Prin urmare, în perioada școlară mică, se dezvoltă caracteristici importante și se realizează progrese în activitatea psihică datorită conștientizării ca atare a procesului învățării; învățarea devine tipul fundamental de activitate. Aceasta înseamnă că activitatea școlară va solicita intens intelectul și are loc un proces gradat de achiziții, de cunoștințe prevăzute în programele școlare. În concluzie, copilului i se vor organiza și dezvolta strategii de învățare, i se va conștientiza rolul atenției si repetiției, își va forma deprinderi noi de scris – citit și socotit.

Această perioadă de cinci ani modifică regimul, tensiunea și planul de evenimente ce domină în viața copilului, chiar dacă au fost precedați de frecventarea grădiniței.

La vârsta de 6/7 ani, în momentul intrării în clasa I, copilul trebuie să fie pregătit pentru învățarea de tip școlar. Pentru aceasta el trebuie să atingă o anumită dezvoltare fizică și psihică care să-i permită achiziționarea de noi cunoștințe, formarea de priceperi, deprinderi și competențe specifice. De aceea, în prevenirea insuccesului școlar are o importanță deosebită echilibrul realizat între dezvoltarea psihică și fizică a copilului, deoarece începutul activității de învățare îi cere copilului nu numai un efort intelectual considerabil, ci și o4mare rezistență fizică. Pentru perioada de vârstă menționată, sunt de reținut, sub aspectul dezvoltării fizice, atât indicii ale creșterii ponderale cât și staturale.

Se intensifică în organism metabolismul calciului, care are repercursiuni atât asupra dezvoltării procesului osificării cât și asupra dentiției. Acum dentiția provizorie tinde să fie înlocuită de cea permanentă, fapt ce creează copilului, pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă, stări de disconfort, de agitație, precum și ușoare modificări pasagere sau persistente în actul vorbirii. Procesele de maturizare fizică fiind în curs de realizare, are o mare importanță prevenirea pozițiilor incorecte în bancă, precum și evitarea supraîncărcării ghiozdanului. Totodată, efortul fizic și intelectual, reglat de consumurile energetice din organism și din creier, imprimă o marcă specifică instalării stării de oboseală, cu notele ei de variație individuală de la un copil la altul. Sunt semnificative și legăturile funcționale nervoase, ca și creșterea în greutate a creierului, ajungând la șapte ani să cântărească 1200 de grame.

Cu toate că au loc toate aceste schimbări, copilul nu este robust ca la 5 ani, ci dimpotrivă, la 6 ani copilul este sensibil, dificil, instabil și obosește ușor. În schimb sporesc îndemânarea și agilitatea, crește forța musculară și se dezvoltă musculatura fină a degetelor mâinii, fapt ce constituie o premisă anatomică indispensabilă însușirii scrisului.

Procesele de creștere și maturizare continuă la nivelul sistemului nervos. Cresc îndeosebi lobii frontali, ceea ce constituie o bună premisă pentru organizarea și dezvoltarea legăturilor implicate în citire și scriere, ca dimensiuni ale însușirii limbii și ale dezvoltării limbajului individual. În această perioadă se dezvoltă și se perfecționează activitatea motorie generală mai ales autocontrolul.

Ca urmare a orelor de educație fizică ce sunt cuprinse în programa școlară, precum și a jocurilor ce implică mișcare, desfășurate în cadrul activităților extrașcolare, se dezvoltă abilitățile motorii. Copilul capată o mai bună coordonare a membrelor și poate astfel să învețe, sub îndrumarea unui adult, orice sport.

Datorită schimbărilor și îmbunătățirilor apărute în dezvoltarea copilului până la vârsta de 10 ani, P. Osterrieth spune depre acest stadiu că reprezintă: momentul de deplină4înflorire și deplină integrare, a caracteristicilor copilului mare.

I.1.1. Senzațiile și percepțiile

În perioada micii școlarități se dezvoltă organele de simț și implicit modalitățile senzoriale, posibilitățile de a reflecta în mod complex obiectele și fenomenele cu care vine în contact. Acum se îmbunătățesc văzul, auzul și gustul și fac posibilă o mai bună orientare și adaptare la mediu, extinderea câmpului de acțiune și dezvoltarea unor noi abilități.

Perioada de la 7 la 12 ani, afirma H. Wallon, esteaaceea în care obiectivitatea înlocuiește sincretismul. Această trăsătură însoțește dinamica evoluției copilului, de la procesele senzorial – perceptive până la trăsăturile de personalitate.( Gh. Dumitriu,2003).

Deși maturizarea organelor de simț (ochiul, urechea, corpusculii tactili) se termină relativ timpuriu în dezvoltarea ontogenetică (către 2 ani), senzațiile sunt un proces în continuă dezvoltare și desfășurare. Se constată o lărgire a câmpului vizual, atât a celui central cât și a celui periferic,precum și o creștere a preciziei în diferențierea nuanțelor cromatice.Se înregistrează progrese ale capacității de recepționare a sunetelor înalte și ale capacității de autocontrol a propriilor emisii vocale.

În literatura de specialitate această perioadă este caracterizată ca fiind perioada în care copilul încearcă să se adapteze cerințelor și programului activității școlare, diferențelor dintre mediul familial și cel școlar, precum și diferențelor dintre grădiniță și școală. Este perioada în care continuă să se dezvolte toate formele de sensibilitate, precum și toate formele complexe ale percepției.

Acum trebuie realizate obiective importante ale învățării perceptive precum: dezvoltarea sensibilității și a activității discriminative a analizatorilor; însușirea unor criterii și procedee de explorare, investigare aacâmpului perceptiv ( vizuală, tactilă, auditivă); formarea unor structuri perceptive, cum sunt cele corespunzătoare cifrelor, literelor, semnelor convenționale.

I.1.2. Reprezentările

În cadrul procesului de învățare, uneori, nu este necesar și nici chiar posibil ca obiectele, fenomenele reale să fie prezente și percepute de elevi. Totuși, în aceste condiții, cunoașterea lor poate fi realizată deoarece informațiile percepute anterior nu dispar fără urmă din mintea elevilor. Ele au capacitatea de a fi conservate și reactualizate în lipsa stimulilor care le-au determinat ca urmare a procesului psihic de reprezentare a lor sub formă de imagini secundare.

La intrarea în școală copilul posedă numeroase reprezentări despre obiecte de uz casnic, fructe, animale, oamenii din jur și activitățile lor. Reprezentările4suportă modificări importante atât sub raportul sferei și a conținutului, cât și în ceea ce privește modul lor de producere și funcționare. De la caracterul difuz, contopit, nediferențiat, nesistematizat, reprezentările devin mai precise, maiaclare, coerente, sistematice.

Sub acțiunea învățării și prin intermediul funcției reglatorii a limbajului, devin posibile: evocarea cu mai multă ușurință a fondului de reprezentări, combinarea lor; sau, dimpotrivă, descompunerea acestora în componente cu care copilul poate opera în contexte variate (desen, compunere, povestire, abilități).

Prin transformarea și combinarea reprezentărilor sau componentelor acestora, pot fi create noi imagini, reprezentarea contribuind la realizarea altor procese cognitive superioare precum: imaginația, gândirea, memoria. Demersul didactic trebuie să stimuleze capacitatea elevului de a evoca și dirija voluntar reprezentările în funcție de sarcina de rezolvat, dată prin instrucție verbală sau de scopul fixat prin limbaj anterior.

În acest stadiu apar modificări importante si asupra reprezentărilor. Crește și se diversifică fondul de reprezentări și astfel reprezentările devin mai clare și mai coerente. Ele dobândesc mai multă mobilitate și astfel, prin mijlocirea lor, micul școlar înțelege mai bine numeroase fenomene din natură, noțiuni de geografie, își însușește noțiunea de număr natural, etc.Sub acțiunea învățării și prin intermediul funcției reglatorii a limbajului, devin posibile: evocarea cu mai multă ușurință a fondului de reprezentări existent; generarea de noi reprezentări, combinarea, înlănțuirea lor, sau, dimpotrivă, descompunerea acestora în componente cu care poate opera în contexte variate (desen, compunere, povestire). (Gh. Dumitriu, C. Dumitriu, 1997). Cu alte cuvinte, reprezentările devin tot mai variate și pot fi desprinse treptat de obiecte, ceea ce îi dă copilului independența de a opera cu obiecte noi.

După opinia psihologilor, dezvoltarea intelectuală constituie, principalul salt calitativ al școlarității mici, gândirea intuitivă cedând locul gândiriiooperatorii, procedeele intuitive, empirice ale preșco-larității fiind înlocuite cu construcțiile logice, mediate și reversibile. Operațiile mintale se formează prin interiorizarea‚ acțiunilor externe.

Caracteristica principală a operației logice este reversibilitatea, adică posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct și invers, a anticipării rezultatului, efectuării unor corecții, toate acestea desfășurându-se pe plan mintal.

Psihologia genetică‚ (J. Piaget) a demonstrat că la această vârstă, copilul este capabil să. surprindă fenomene inaccesibile simțurilor, trecând dincolo de4aspecte1e concrete de mărime, formă, culoare etc., și desprinzând ceea ce este identic, constant, permanent, invariabil în obiecte și fenomene.

Se formează astfel ideea de invarianță, conservare a unor caracteristici (cantitate, greutate, volum), după cum urmează: la 7 – substanței, către 9 ani recunosc conservarea greutății, iar la 11-12 ani, conservarea volumului.

Operațiile acestui stadiu sunt concrete deoarece deși se des-fășoară pe plan mintal, ele se realizează asupra unor conținuturi concrete, fiind legate încă de acțiunea obiectuală. Grupările de operații se perfecționează prin generalizarea unor date furnizate de situații concrete, intuitive, ele prefigurând grupul operațiilor formale, achiziție a stadiului următor : …toate aceste transformări solidare sunt, în realitate, expresia unui același act total, care este un act de decentrare completă, sau de conversiune integrală a gândirii…Ea nu mai pornește dintr-un punct de vedere particular al subiectului, ci coordonează toate punctele de vedere distincte într-un sistem de reciprocități obiective (J. Piaget, 1965, p.p. 185).

I.1.3. Limbajul     

  Limbajul este definit cel mai adesea ca fiind activitatea psihica de comunicare intre oameni prin intermediul limbii.

În cursul micii școlarități se dezvoltã atât limbajul oral cât și cel scris. În ceea ce privește limbajul oral, una dintre laturile lui importanteeeste conduita de ascultare. În cursul micii școlaritãți se formeazã capacitatea de citit – scris și aceasta stimulează de asemenea progresele limbajului. Lecturile literare fac să creascã posibilitățile de exprimare corectă și fluentă. Se însușește fondul principal de cuvinte al limbii materne, care ajunge să numere spre sfârșitul micii școlaritãți la aproape 5000 de cuvinte, dintre care tot mai multe pătrund în limbajul activ al copilului.

Copiii se obișnuiesc ca prin limbaj să-și planifice activitatea, să exprime acțiunile pe care le au de făcut, ordinea în care vor lucra. Toate acestea vor avea influența nu numai asupra perfecționării conduitei verbale, ci și asupra dezvoltãrii intelectuale, contribuind la formarea capacității micilor școlari de a raționa, de a argumenta și demonstra.

Se pot constata diferențe însemnate de la un copil la altul în ceea ce privește dezvoltarea limbajului, pe de o parte datorită capacității potențelor intelectuale ale copilului, iar pe de altă parte, influențelor mediului4familial.

Odată cu intrarea în școală și învățarea citirii și scrierii, copilul dobândește conștiința limbajului (R. Vincent). Principala caracteristică a dezvoltării limbajului în învățământul primar rezidă în faptul că limba devine un obiect de învățământ, fiind însușită în mod conștient, sistematic pe baze științifice sub toate aspectele sale importante fonetic, lexical, gramatical, sti1istic etc. Se dezvoltă atât limbajul oral, cât și cel scris, acum formându-se capacitatea de citit și scris.

Însușirea fondului principal de cuvinte, a. structurilorggramaticale, sporirea fluenței și expresivității etc., influențează nu numai asupra perfecționării conduitei verbale, ci și asupra dezvoltării intelectuale, știut fiind faptul că limbajul reprezintă un ax al S.P.U. Tulburările de vorbire, care pot afecta profund conduita verbală a școlarului mic, solicită din partea învățătorului multă grijă, în funcție de situație impunându-se fie o terapie educațională, fie una psihomedicală.

I.1.4. Gândirea

Gandirea este procesul cognitiv superior care prin intermediul abstractizarii si generalzarii ne informeaza despre relatiile dintre obiectele si fenomenele lumii in forma notiunilor, judecatilor si rationamentelor 

Perioada școlară mică se caracterizează printr-o permanentă solicitare a gândirii sau a adevărurilor acceptate și verificate social. În procesul de învățământ se dezvoltă operațiile de gândire absolut indispensabile oricărei activități intelectuale:analiza și sinteza,comparația, abstractizarea și generalizarea, clasificarea și concretizarea logică.

Gândirea devine mai productivă ,ca rezultat al creșterii gradului de flexibilitate și mobilitate al utilizării diferitelor procedee de activitate mintală.

J. Piaget a considerat că, la 6-7 ani, are loc o trecere de la gândirea intuitivă la organizarea unor structuri mentale concrete care operează cu lungi serieri și clasificări. Gândirea operatorie lucrează cu criterii ,cu reciprocități, simetrii, forme de reversibilitate și de negație. Logicul se întemeiază pe situații concrete, în interiorul cărora obiectele pot fi organizate și clasificate în sisteme potrivit unui criteriu adoptat în prealabil.

Copilul înțelege că elementele pot fi schimbate sau transformate, conservându-și însă caracteristicile inițiale. Școlarul mic operează cu ceea ce este real, imediat prezent și nu cu ceva posibil, cu sensuri concrete4legate de acțiunea obiectuală, în condițiile în care raționamentul logic se sprijină pe acțiuni imediate.

Operațiile concrete conferă intelectului o structură calitativ deosebită, imprimând gândirii un caracter operatoriu. Ea se desprinde din datele percepției globale intuitive, a reprezentării; prin decentrări succesive copilul își depășește egocentrismul și realizează o reflectare adecvată prin acțiuni eficace asupra obiectului Astfel, gândirea concretă, specifică acestui stadiu, se deosebește de cea intuitivă specifică stadiului anterior. Aceasta din urmă se întemeiază pe reprezentare, iar cealaltă este operatorie.

Odată cu dezvoltarea gândirii și cu creșterea experienței (formată pe cale intuitivă și verbală) ca urmare a influenței primite în școală, apare și gândirea critică ce constă în respingerea afirmațiilor și concluziilor neconforme unor principii bine stabilite.

Verificarea datelor obținute, demonstrațiile matematice, motivarea cauzală a fenomenelor sunt elemente care împreună formează acest spirit critic, bază a gândirii corecte, logice.

În această etapă, încep să se contureze diferențe de bază la nivelul unor abilități speciale și a randamentului școlar.

Fetele pot avea perfomanțe superioare în ceea ce privește fluența verbală, ortografia, citirea și calculul matematic. Băieții obțin rezultate bune și foarte bune privind raționamentul matematic, orientarea spațială, soluționarea problemelor de descoperire. Acum pot apărea diferențe în ceea ce privește erorile tipice.

Băieții prezintă înclinații în a comite erori de rezolvare, în timp ce fetele pot cădea în capcana erorilor de interpretare. Cunoașterea acestor particularități și stimularea compensatorie pot reduce diferențele dintre băieți și fete.

Orice raționament, orice rezolvare de probleme constituie, în același timp, și o manifestare a creativității gândirii. Al. Roșca, în studiile sale, consideră că principala caracteristică a gândirii creatoare este noutatea sau originalitatea soluției găsite, a ideii emise.

Din punct de vedere intelectual asistăm la un progres al gândirii care începe să devinănoțională. Ea se depărtează încetul cu încetul de datele pe care i le oferă percepția, fără a se desprinde, însă, în totalitate de ele.Gândirea rămâne predominant concretă. Ca proces, ea se realizează cu ajutorul unor operații logice. Este perioada operațiilor concrete, după J. Piaget.

Din intuitivă, gândirea devine operativă. Datele și relațiile intuitive sunt grupate într-un ansamblu4și transformate în operații. Copilul devine apt pentru memorarea unor cunoștințe care depășesc sfera manipulării practice sau a contactului nemijlocit cu obiectele și fenomenele realității. Universul său intelectual cunoaște o expansiune tot mai mare. Operațiile mintale se formează prin interiorizarea acțiunilor externe.

În conceptia lui J. Piaget, dezvoltarea gândirii în stadiul operațiilor concrete prezintă următoarele caracterisitici:

-mobilitatea crescută a structurilor mentale permite copilului luarea în considerare a diversitătii punctelor de vedere; faptul se datoreazã cristalizării operațiilor mentale care au la bazã achiziția reversibilității; copilul poate concepe că fiecărei acțiuni îi corespunde o acțiune inversă care permite revenirea la starea anterioară;

-în baza operaționalității crescânde a gândirii, pasul spre logicitate este făcut și prin extinderea capacității de conservare a invarianților; aceastã achiziție permite saltul de la gândirea de tip funcțional la cea de tip categorical;

-se dezvoltă operațiile de clasificare, incluziune, subordonare, seriere, cauzalitate;

-se dezvoltă raționamentul cauzal, copiii încearcă să înțeleagă, să examineze lucrurile în termeni cauzali; ceea ce diferențiază acest prim stadiu logic de următorul este faptul că operațiile mentale rămân dependente și limitate de conținutul pe care îl pot prelucra: materialul concret. Astfel se explică și caracterul categorical – concret (noțional) al gândirii școlarului mic.

Caracteristica principală a operației logice este reversibilitatea, adică posibilitatea folosirii concomitente a sensului direct și invers, a anticipării rezultatului, efectuării unor corecții, toate acestea efectuându-se în plan mintal. Este vorba însă de o formă simplă a acesteia, adică elevii pot aplica de exemplu, o operație de adunare și apoi să facă una de scădere, consolidându-le și verificându-le reciproc.

În stadiul următor se va completa și desăvârși procesualitatea cognitivã prin apariția formelor categorial – abstracte (conceptele). Psihologia genetică a demonstrat că la această vârstă copilul este capabil să cuprindă fenomene inaccesibile simțurilor, trecând dincolo de aspectele concrete de mărime, formă, culoare, etc, și desprinzând ceea ce este identic, constant, permanent, invariabil în obiecte și fenomene.

Se formează astfel ideea de invarianță, conservare4a unor caracteristici după cum urmează:

-la 7- 8 ani copiii admit conservarea substanței;

-către 9 ani recunosc conservarea greutății;

-la 11-12 ani, conservarea volumului.

Dezvoltarea gândirii este condiționată și strâns legată de dezvoltarea limbajului.

I.1.5. Memoria 

Memoria este procesul psihic care constă în întipărirea, recunoașterea și reproducerea senzațiilor, sentimentelor, mișcărilor, cunoștințelor etc. din trecut.Memoria este un proces psihic care contribuie în măsură importantă la reușita activității de învățare. Școlarul mic reține mai ușor ceea ce este concret față de ceea ce este abstract, reține mai ușor forme, culori, întâmplări decât definiții, explicații. Se accentuează caracterul voluntar și conștient al proceselor memoriei,dezvoltându-se astfel formele mediate,logice ale memoriei,precum și volumul ,trăinicia memorării.Pentru că productivitatea și optimizarea memoriei depind atât de particularitățile materialului de memorat, de ambianța în care se desfășoară,cât și de trăsăturile psihofiziologice ale copilului,învățătorul va apela foarte des la strategii cu mari valențe activ-participative.

Memoria nu numai că se implică în procesul însușirii de cunoștințe, ci și fixează, păstrează, recunoaște și reproduce și trăiri emoționale, trăiri artistice, conduite și acțiuni.

Datorită ei, copilul evită conduitele și situațiile de eșec, de tensiune, și, în mod complementar, reproduce situațiile în care s-a simțit bine ori a reușit să rezolve în bine o situație anume. În această formă de memorie există elementele importante de învățare socială.

Școlarul mic memorează mai ales, ceea ce se bazează pe percepție, insistând asupra acelor elemente, însușiri care îl impresio-nează mai mult. Se accentuează caracterul voluntar și conștient al proceselor memoriei, dezvoltându-se astfel formele mediate, logice ale memoriei, precum și volumul, trăinicia memorării. Deoarece productivitatea și, în general, optimizarea memoriei, depinde atât de particularitățile materialului de memorat. de ambianța în care acesta se desfășoară, precum și de trăsăturile psihofiziologice ale copilului, cadrele didactice vor apela frecvent la strategii cu sporite valențe activ-participative. Memoria nu poate fi disociată de operațiile de gândire, de dezvoltarea inteligenței. Pe măsură ce operațiile4logice se cristalizează, codul mnezic se aproprie de exigențele gândirii.

I.2. Specificul proceselor reglatorii

I.2.1.Atenția

Este procesul psihic de orientare selectiva, de concentrare a energiei psihonervoase asupra unor obiecte, însusiri sau procese, menite sa conduca la sporirea eficientei activitatii psihice, cu deosebire a proceselor cognitive.

In activitatea cotidiana, implicarea atentiei este apreciata intotdeauna ca un factor al reusitei sau succesului, iar slabiciunea sau absenta ei – ca factor generator de erori si esecuri. Ea este prima realitate psihica ce se scoate in fata, cu titlu pozitiv sau negativ, ori de cate ori trebuie sa dam seama de rezultatele unei actiuni concrete sau a alteia.

  Atentia poate fi definita ca proces psihofiziologic de orientare, concentrare si potentare selectiva a functiilor si activitatilor psihice si psihocomportamentale modale specifice in raport cu obiectul si finalitatea lor proprii asigurandu-le atingerea unui nivel optim de eficienta adaptativa. In mod normal, pe la 6-7 ani copilul este capabil de o atentie suficient de stabila pentru a se putea integra in activitatea scolara. Totusi, in primul an de scoala, insuficienta atentiei elevilor este pregnanta.

Din cauza noutatii situatiilor carora trebuie sa le se adapteze, elvii din clasa I se caracterizeazaprint-un volum deosebit de redus al atentiei si prin dificultatea distribuirii ei asupra mai multor activitatii sau obiecte.

Datorita acestui volum redus si a incapacitatii de distribuire a atentiei, elevii fac adeseori impresia ca nu sunt atenti. In acelasi timp, datorita faptului ca intreaga ambianta este noua si neobisnuita, atentia elevilor din clasa I se distrage usor de la sarcina principala. O alta caracteristica a atentiei copilului este predominarea atentiei involuntare asupra celei voluntare. Din aceasta cauza, daca lectia nu trezeste suficient interes copii devin neatenti.

In fiecare clipa a existentei sale, omul receptioneaza un numar mare de informatii venite, fie din exterior, fie din interiorul organismului. Astfel, elevul care se afla intr-o clasa primeste informatii asupra luminozitatii si temperaturii salii, receptioneaza prezenta celorlalti elevi. Interesul psihologilor fata de problema atentiei a inregistrat mari fluctuatii de la considerarea acestei ca nerv al intregului sistem psihologic până la punerea sub4semnul îndoielii a validității termenului ănsuși de atenție.

Atenția este un proces psihic specific real si unitar. Evoluția sa de la reacția de orientare neselectivă până la atitudinea pregătitoare sau atenția efectoare, este determinată de semnificația obiectivului supus atenției pentru subiectul dat.

Întrucât atenția nu are o existență de sine statatoare, ci se aflam slujba unei activitatii de cunoastere, elaborare si perfectionarea ei are locca proces implicit, pe masura antrenarii exercitarii activitatii date. Acest caracter cognitiv-creativ al atentiei ne permite sa intelegem atat efectele sale facilizatoare asupra proceselor de cunoastere cat li mentinerea sa concentrata pe obiectul sau lucrarea efectuata.

Fenomenul de atentie se caracterizeaza printr-o ingustare a campului perceptiv, prin orientarea acestui camp inspre un anumit obiectiv, care este selectat dintre multiplele surse de informatii sau actioneaza simultan asupra perceptiei.

Atentia este o conditie necesara pentru asimilarea cunostintelor. In mod obisnuit, starea de atentie se manifesta vizibil prin reactii receptoare, prin reactii postulare si prin mimica specifica: incordarea muschilor fetei, privirea concentrata. Toate aceste reactii constituie orientarea activa a organismului catre selectia informatiilor. Dimpotriva, distragerea atentiei se exprima prin agitatie continua, ori printr-o alta atitudine care arata absenta mobilizarii pentru activitate. Manifestarile exterioare nu ne ajuta intotdeauna sa stabilim daca elevul este sau nu atent.

In activitatea scolara sunt antrenate diferite forme de atentie. Astfel, atentia involuntara este conditionata de unele particularitati ale obiectelor si excitatilor: marimea, intensitatea, noutatea, variabilitatea, etc.. Atentia involuntara nu cere eforturi speciale de concentrare, deoarece obiectul sau fenomenul in sine ii capteaza si le mobilizeaza procesele perceptive.

Atentia involuntara nu asigura intotdeauna fixarea constienta  si temeinica a cunostintelor, priceperilor si deprinderilor. Este necesar ca atentia sa se bazeze pe vointa proprie, fie cand se percepe un material intuitiv, fie cand se transmit cunostinte abstracte sau se consolideaza o deprindere. Atentia voluntara se caracterizeaza prin orientarea intentionata, inversa si sustinuta a activitatii psihice pentru intelegerea problemelor si sarcinilor dificile, inclusiv pentru insusirea unui material care in sine nu pare interesant.

La varsta de 6-7 ani, atentia prezinta inca multe laturi ce trebuie avute in vedere. Volumul si intensitatea atentiei sunt relativ reduse la scolar. El urmareste excesiv persoana invatatoarei, dar nu e la fel de atent la ceea ce face sau ce spune aceasta. Distribuirea atentiei este dificila, incat micul scolar nu poate sa cuprinda si sa rezolve in acelasi timp mai multe4activitati.

Urmarirea vizuala a unui material intuitiv si intelegerea descrierii verbale simultane constituie de fapt doua operatii, din care elevul efectueaza adesea numai una singura. Avand ca sarcina de lucru sa scrie niste litere din abecedar, elevul se concentreaza numai asupra executarii formei grafice, nerespectand indicatiile cu privire la tinerea instrumentului de scris in mana, pozitia caietului, a corpului la scris.

Flexibilitatea atentiei, ca proprietate de a trece rapid de la o activitate la alta este slaba. Atentia involuntara are o pondere mai mare fata de atentia voluntara. Elevii se antreneaza cu placere in activitatile in care folosesc povestirea sau cele desfasurate pe baza de materiale intuitive dar urmaresc destul de greu exercitiile de analiza si sinteza verbala sau de predare teoretica a operatiilor aritmetice.

Atentia consuma multa energie si de aceea fenomenul de oboseala se instaleaza cu precadere la nivelul acestui proces. Scolarul mic, dupa o concentrare de cateva minute la scris, abandoneaza scrisul si se indeletniceste cu altceva. Pe parcursul saptamanii, se observa o oscilatie a capacitatii de a fii atent a copilului.

Distragerea atentiei se constata la elevii din clasa I la prima si la ultima ora. La scolarii clasei a II-a, desi scad valorile la unele feluri de atentie, cresc la altele. La nivelul clasei a III-a se manifesta o scadere evidenta a neatentiei, scade in principal distragerea, dar creste opozabilitatea fata de caracterul repetitiv, neatractiv al cunostintelor. Rezistenta psihologica a copiilor devine mai mare, fapt evident la scaderea generala a neatentiei este evidenta. Doar lectiile neinteresante si cele cu un caracter repetitiv accentuat genereaza neatentia mascata si oboseala.

I.2.2. Motivația

Motivația este un concept fundamental în psihologie și, în genere în științele despre om, exprimând faptul că la baza conduitei umane se află întotdeauna un ansamblu de mobiluri–trebuințe, tendințe, afecte, interese, intenții, idealuri – care susțin realizarea anumitor acțiuni, fapte, atitudini.

Mobilurile enumerate reprezintă condiții interne, interpuse între stimulii mediului și reacțiile organismului, mediind, cerând, întreținând un comportament sau altul. Motivația se restructurează și se ajustează continuu, în concordanță cu funcția psihică pe care o servește, incluzând în componența sa o multitudine de variabile fiziologice, psihologice și socio-culturale.

Având în vedere acestea, motivația apare ca ca factor integrator și explicativ al celor mai variate fenomene psihosociale: statuturi și roluri, aspirații și performanțe, relații interpersonale, a diverselor fenomene de grup (coeziunea, conformismul, autoritatea, influența,4prestigiul, etc.).

Motivația constituie temeiul comportamentelor și activităților pe care le prestează indivizii în cadrul grupului în funcție de specificul solicitărilor ce decurg dintr-o categorie sau alta de relații funcționale (relații dintre subiect și sarcinile activității). Motivația se bazează pe trebuințe, acestea fiind substratul cauzal imediat al celor mai diferite activități și comportamente interumane.

Motivul nu apare ca derivat al unei trebuințe singulare, ci ca expresie a modului în care acestea interacționează în sistem. Forma cea mai înaltă a motivației este motivația internă, care apare atunci când rolul profesional cu care interacționează subiectul devine el însuși o necesitate. O astfel de motivație condensează în sine trebuința de activitate a subiectului, valorizarea socială pozitivă a activității acestuia și conștientizarea importanței sociale a activității desfășurate.

Modificările apărute în cadrul sistemului de trebuințe al individului influențează profund gradul de motivare al acestuia; această mișcare e punctată adesea de contradicții decurgând din dualitatea modului de formare a motivației ca rezultat al sistemului de trebuințe individuale și a dependenței de succesiunea gradelor de angajare în lucru al fiecărui nivel de trebuințe.

Motivația copilului pentru școală se constituie ca o sinteză de factori externi (obsevarea și imitarea de către copil a modelelor exterioare) și interni (dorința copilului de a deveni școlar), susținute de multiplele lui cunoștințe despre școală și despre statutul de școlar. Activitatea acestuia poate fi susținută nu numai de o motivație externă, dar și de una internă care activează procesele de asimilare a cunoștințelor în mod continuu.

Trebuința de explorare, investigare, informare și documentare a școlarului mic este în plin progres. El dorește să afle, din ce în ce mai mult, despre fapte și întâmplări la care nu există nemijlocit, fiind stimulat în acest sens de rețeaua mass-media (cu un rol, nu întotdeauna pozitiv, în acest parcurs de cunoaștere și formare, structurare continuă a proceselor psihice).

În perioada micii școlarități, motivația pentru învățarea școlară este activă și în progres. La intrarea în școală există o motivație extrinsecă pentru învățare, cum ar fi dorința de a respecta cerințele părinților, urmarea exemplului fraților mai mari, etc. Cu timpul, aceasta se va îmbogăți cu motive extrinseci cu mai mare semnificație. În cadrul schimbărilor ce se petrec în structura motivației pentru școală, începe să se dezvolte o motivație intrinsecă începând cu amplificarea curiozității gnoseologice și continuând cu formarea intereselor cognitive tot mai stabile și mai eficiente.

Valorificând această deschidere, învățătorul le poate cultiva atașamentul față de școală și învățătură, dragoste și interesul pentru cunoaștere, atât de necesară4în viață.

I.2.3. Afectivitatea

Afectivitatea este procesul psihic reglator ce reflecta relatiile omului cu lumea sub forma unor trairi subiective (interne) ce rezulta  din satisfacerea sau nesatisfacerea trebuintelor.

Afectivitatea este o componentă fundamentală a psihicului uman, la fel de prezentă în comportamentul și activitatea noastră cotidiană ca și cogniția. Nu întâmplător, analiza psihologică s-a învârtit întotdeauna în jurul relației rațiune-emoție, cu exagerările cunoscute – în direcția supraestimării rațiunii și subestimării afectivității sau în direcția supraestimării rolului trăirilor emoționale și subestimării rolului rațiunii. P. Osterrieth aprecia că la această vârstă, a micii școlarități, se trece printr-o perioadă de latență afectivă. Putem astfel considera că în această perioadă afectivitatea școlarului mic are o evoluție mai discretă, deoarece sunt mai puțin exteriorizate emoțiile și sentimentele copilului, atât pozitive cât și negative.

Cu privire la acestea din urmă, se constată că tind să fie mai mult trăite sub tăcere, copilul punând pe primul plan felul în care răspunde la cerințele școlii. Răspunsurile afective ale copilului se intensifică în contact cu noul mediu – școala și cu problemele de adaptare.

După primele faze de adaptare la noul mediu se constată o creștere a capacităților de control asupra condițiilor emoțional – expresive. Astfel ei reușesc să se adapteze mai bine la cerințele de desfășurare a lecțiilor și reușesc să comunice mai bine unii cu alții. Acum, când copiii se confruntă cu sarcini numeroase și adesea dificile, de mare importanță rămân legăturile afective cu părinții.

Dragostea necondiționată a părinților este un important factor de securizare și sprijin pentru a trece peste dificultăți și unele insuccese. Statutul de școlar face ca la aceastã vârstă copilului să i se rezerve atât în cadrul familiei, cât și printre ceilalți copii o nouă poziție, caracterizată prin însemne exterioare și semnificații sociale distincte. Asupra afectivității școlarului mic își pun amprenta atât sarcinile de învățare propriu-zise cât și relațiile interpersonale din cadrul colectivității școlare.

Se dezvoltă astfel atât emoțiile și sentimentele intelectuale, precum și sentimentele și emoțiile morale și estetice. Trăirile intelectuale sunt generate îndeosebi de învățare, ca activitate de cunoaștere, cu greutățile, cu reușitele, cu insuccesele ei. Învățarea organizată rațional, care oferă copilului perspectiva reușitei devine atrăgătoare, plăcută, contribuind la atașamentul lui față de școală și față de munca intelectuală.

Deosebit de important pentru constituirea motivației școlare este dinamica proceselor de apreciere și autoapreciere. Activitatea școlarului mic poate fi susținutã nu numai de o motivație externă, ci și de o motivatie internă, care activează procesul de însușire a cunoștințelor într-un mod continuu.

Motivele sociale ale conduitei școlarului mic, sunt strâns legate nu numai de activitatea de învățare, dar și de modalitatea în care sunt se desfășoară interacțiunea și comunicarea cu ceilalți. Important este ca acestea să fie fundamentate pe activismul copiilor, pe independența și inițiativa lor creatoare.

Alte structuri motivaționale care susțin celelalte activități în care este implicat copilul sunt: interesul pentru joc, ce trebuie satisfăcut zilnic, atracția către grupul de copii, interesul pentru lectură, plăcerea lucrului la calculator, alcătuirea de colecții care acum sunt puțin valoroase, dar le pot cultiva spiritul de ordine și disciplină și susțin relațiile de comunicare dintre ei.

I.2.4. Voința. 

Voința este procesul psihic complex de reglaj superior (realizat prin mijloace verbale) care consta in actiuni de mobilizare si concentrare a energiei psihonervoase, in vederea depasirii obstacolelor si atingerii scopurilor constient stabilite (P.P. Neveanu).

  Asigurand energia necesara desfașurării activităților și mai ales concentrând-o in direcția unică a scopului urmărit, vointa este una dintre conditiile subiective cele mai importante ale reusitei activitatii si a obtinerii unor inalte performante in orice tip de activitate. Actul de voință este un act de sinteză, foarte complex, în care este antrenată întreaga personalitate: memoria și gândirea, sentimentele și deprinderile, trăsăturile de temperament (persoana caracterizata de voință are nevoie de energie) și de un caracter puternic.

Reflectând raporturile multilaterale dintre fenomenele și obiectele lumii reale, omul este capabil să prevadă în perspectivă urmările acțiunilor sale, să înțeleagă și să-și însușească legile vieții sociale, să se conducă pe baza unor principii6sociale, să acționeze în conformitate cu ideile morale superioare. Omul devine capabil să învingă dificultățile ce stau în calea realizării scopurilor propuse.

Voința constă în:

– capacitatea omului de a-și realiza scopurile pe calea unor activități care implică învingerea unor obstacole (durere, oboseală, comoditate, primejdie etc.), prin mobilizarea resurselor sale morale.

– capacitatea omului de a-și realiza activitatea pe baza unor reprezentări sau idei, pentru înfăptuirea scopurilor sale învingând dificultățile ce se ivesc în calea realizării respectivei activități.

     Voința poate fi definita ca:

               – o construcție psihofiziologică complexă, care se dezvoltă treptat în ontogeneză în contextul activității fizice și intelectuale – în luptă cu obstacole de diferite grade de dificultate (M. Golu).

               – modalitatea superioară de autoreglare a sistemului psihocomportamental, care în forma sa completă este proprie omului și se împletește strâns cu dezvoltarea funcțiilor conștiinței.

        Voința reflectă obstacolul care se interpune în calea atingerii scopului propus de catre individ. Din punct de vedere psihologic, obstacolul nu se identifică nici cu un obiect sau fenomen al realității și nici cu rezistența internă resimțită de om în desfășurarea unei activități, ci reprezintă o confruntare între posibilitățile acestuia și condițiile obiective ale activității respective.  De aceea, una și aceeași piedică obiectivă poate fi un obstacolmic pentru o persoană și unul dificil pentru alta.

Evaluarea riguroasă, corectă, adecvată a obstacolului este destul de greu de realizat, apărând frecvent cazuri de subapreciere sau supraapreciere a obstacolului. Cauzele subevaluării sau supraevaluării sunt diverse: experiența succesului și a eșecului, tipul de personalitate etc

La școlarul mic, voința ia următoarele forme:

• Se exersează caracterul voluntar al conduitei și se pun bazele unor deprinderi, priceperi automatizate, ce vor fi active prin voință;

• Toate procesele psihice (percepție, memorie, gândire, atenție, afectivitate) se impregnează volitiv;

• Demararea unei activități este declanșată de forța autorității adultului;

• În desfășurararea acțiunii se lasă ușor perturbat șigsustras, ceea ce demonstrează caracterul fragil al voinței.

I.3.METODE DE ACTIVIZARE SPECIFICE INVAȚAMANTULUI PRIMAR

I.3.1. Precizări terminologice

Cuvântul metodă provine din grecescul methos (odos-cale,drum;metha-spre,către),ceea ce înseamnă cale de urmat în vederea atingerii unui scop sau,un mod de urmărire ,de căutare și aflare a adevărului.În teoria și practica educațională au fost propuse numeroase definiții ale metodei de învățământ,fiind extinse sfera și conținutul acesteia și evidențiate noile sale caracteristici.

Astfel metoda se definește drept o cale de urmat în vederea îndeplinirii obiectivelor instructive-educative dinainte stabilite drum sau cale de urmat în activitatea comună a educatorilor și educaților ,pentru îndeplinirea scopurilor învățământului, adică pentru informarea și formarea educaților, modalități de acțiune cu ajutorul cărora elevii sub îndrumarea cadrului didactic sau în mod independent însușesc cunoștințe,își formează priceperi și deprinderi, aptitudini, atitudini.

Metodele de învățământ au un caracter instrumental,reprezentând maniera concretă de lucru,modalități practice de desfășurare și realizare a activității de predare, învățare, evaluare, de utilizare a mijloacelor de didactice și a unor tehnici specifice învățământului.

Definițiile formulate sunt definiții funcționale evidențiind și accentuând rolul metodelor.Există și definiții structurale,care relevă și subliniază elementele componente ale acestora (procedeele).De pildă,P.Popescu- Neveanu definește metoda dreptsistem de proceduri prin care se ajunge la un rezultat,structură de ordine,program după care se realizează acțiunile practice și intelectuale în vederea atingerii unui scop.

Considerând că menirea oricărei metode de învățământ este de a oferi modalități concrete de realizare efectivă a operațiilor implicate în acțiunile efectuate de cadru didactic și elevi,N.Oprescu afirmă că acest rol îl au procedeele didactice ,care intră în componența metodei. Procedeul reprezintă o tehnică mai limitată de acțiune,o particularizare sau o componentă a metodei sau un element de sprijin ,fie un mod concret de valorificare a metodeiDe aceea metoda poate fi definită și ca un ansamblu de procedee.

Între metodele și procedeele didactice există o graniță flexibilă ,dependentă de evoluția raporturilor dintre cadru didactic și elev.Astfel,o metodă poate deveni procedeu la fel cum un procedeu poate fi convertit în metodă atunci când desfășurareagactivității didactice o impune.

Asemenea resurse de adaptabilitate la nivel de acțiune sau/și de operație caracterizează următoarele metode de învățământ: conversația, munca cu manualul, observareademonstrația, descoperirea,exercițiul,jocul didactic, problematizarea…

Ansamblul metodelor și procedeelor de predare-învățare utilizate în procesul de învățământ constituie metodologia procesului de învățământ.I.Cerghit precizează că metodologia studiază și natura,funcțiile, locul și clasificarea metodelor,principiile și regulile care stau la baza utilizării lor optimale.

Metodologia are un caracter dinamic,se distinge prin flexibilitate și suplețe,permanentă deschidere la înnoire,preocupare de racordare la cerințele actuale ale învățământului. I.3.2. Funcțiile metodelor Metodele didactice îndeplinesc o serie de funcții,unele de conținut (cognitivă și formativ-educativă),iar altele de organizare,de formă ( cea instrumentală și normativă).

■Funcția cognitivă,de organizare și dirijare a cunoașterii(învățării),de elaborare a noi structuri cognitive și operaționale,de descoperire a lucrurilor descoperite;

■Funcția instrumentală(operațională),de intermediar între elev și materia de studiat,între obiectivele de îndeplinit și rezultate;

■Funcția normativă ,de optimizare a acțiunii de a arăta cumanume să se procedeze,cumsă se predea,,cumsă se învețe pentru obținerea unor rezultate optime,în condițiile date; prin intermediul metodei,învățătorul stăpânește acțiunea instructivă, o dirijează,o corectează și o reglează continuu.

■Funcția motivațională,de stimulare a curiozității,de trezire a interesului și a dorinței de a cunoaște și a acționa;de energizare a forței intelectuale a elevilor;

■Funcția formativ-educativă,de exersare și dezvoltare a proceselor psihice și motorii, concomitent cu însușirea cunoștințelor și formarea deprinderilor de influențare și modelare a atitudinilor,opiniilor,convingerilor,sentimentelor,calităților morale .

În afară de acestea, fiecare metodă didactică deține,de obicei,o funcție specifică,prin care se impune față de alte metode didactice care-i conferă o anumită identitate.gDe exemplu, exercițiul este exercițiu și nu altceva, tocmai prin funcția lui aparte, formativă de noi structuri operatorii,de noi priceperi și deprinderi,prin repetiție a unor acțiuni sau funcții. Alte metode de învățământ pot deține și unele funcții adaptate unor sarcini concrete. De exemplu, conversația poate servi simultan sau succesiv la realizarea mai multor obiective: la descoperirea unor cunoștințe noi (sub formă de concluzii,generalizări) obținute pe baza prelucrării datelor existente deja în mintea elevilor(conversație euristică);

Aceasta înseamnă că o metodă sau alta poate avea un caracter polifuncțional.

I.3.3.Taxonomii

Sistem ul metodelor de învățământ conține:

■ metode tradiționale, cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi păstrate cu condiția reconsiderării și adaptării lor la exigențele învățământului modern;

■metode moderne, determinate de progresele înregistrate în știință și tehnică, unele dintre acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică, punându-l pe elev în situația de a dobândi cunoștințele printr-un efort propriu de investigație experimentală; altele valorifică tehnica de vârf (simulatoarele, calculatorul). În școala modernă, dimensiunea de bază în funcție de care sunt considerate metodele de învățământ este caracterul lor activ adică măsura în care sunt capabile să declanșeze angajarea elevilor în activitate, concretă sau mentală, să le stimuleze motivația, capacitățile cognitive și creatoare.

Un criteriu de apreciere a eficienței metodelor îl reprezintă valențele formative ale acestora, impactul lor asupra dezvoltării personalității elevilor.

Clasificarea metodelor de învățământ se poate realiza în funcție de diferite criterii.

Pe baza consultării unei bibliografii reprezentative în acest domeniu, C.Cucoș(1996)avansează următoarea clasificare a metodelor de învățământ:

I.după criteriul istoric:

●metode clasice (tradiționale): expunerea, conversația, exercițiul etc.;

●metode moderne: studiul de caz, metoda proiectelor, metode de simulare,hmodelarea etc.;

II.dupăfuncția didactică principală:

●metode de predare-învățare propriu-zise, dintre care se disting: metodele de transmitere și dobândire a cunoștințelor: expunerea, problematizarea, lectura etc.;

●metodele care au drept scop formarea priceperilor și deprinderilor: exercițiul, lucrările practice etc.;

●metode de evaluare

III.după forma de organizare a muncii:

● metode frontale (expunerea, demonstrația);

●metode de activitate individuală (lectura);

●metode de activitate în grup (studiul de caz, jocul cu roluri);

●metode combinate, care se pretează mai multor modalități de organizare a activității (experimentul);

IV.după modul de administrare a experienței ce urmează a fi însușite:

●algoritmice bazate pe secvențe operaționale,stabile,construite dinainte

(exercițiul,demonstrația);

●euristice bazate pe descoperire proprie și rezolvare de probleme(problematizarea);

V.în funcție de extensiunea sferei de aplicabilitate:

●metode generale:expunerea,prelegerea,conversația,cursul magistral;

●metode particulare sau speciale: exercițiul moral, exemplul moral, aprobarea, convorbirea morală;

VI.după modalitatea principală de prezentare a cunoștințelor:

●metode verbale,bazate pe cuvântul scrishsau rostit ;

●metode intuitive,bazate pe observarea directă,concret-senzorială a obiectelor și fenomenelor;

VII.după gradul de angajare al elevilor la lecție:

●metode expozitive sau pasive,centrate pe memoria reproductivă și pe ascultarea pasivă;

●metode active,care stimulează activitatea de explorare personală a realității;

VIII.în funcție de axa de învățare mecanică(prin receptare)-învățare conștientă (prin descoperire):

●metode bazate pe învățarea prin receptare(expunerea,demonstrația cu caracter

expozitiv)

●metode care aparțin preponderent descoperirii dirijate(conversația euristică,observația dirijată,instruirea programată,studiul de caz)

●metode de descoperire propriu-zisă(observarea independentă,exercițiul euristic,rezolvarea de probleme,brainstorming-ul)

IX.după sorgintea schimbării produselor de elevi

●metode heterostructurante (transformarea se produce prin altul,ca în cazul expunerii,conversației,studiului de caz,problematizării)

●metode autostructurante (individul se transformă prin sine,ca în situația unor metode de tipul descoperirii, observației,exercițiului)

Luând drept criteriu de clasificare izvorul principal al învățării (experiența social-istorică,experiența individuală,experiența dobândită prin acțiune practică,intervenție activă),I.Cerghit distinge trei mari grupe de metode:

1.metode de comunicare și dobândire a valorilor social-culturale

2.metode de explorare sistemică a realității obiective

3.metode fundamentate pe acțiune(practică)

1.Metodele de comunicare și dobândire a valorilor social-culturale includ:

♦metode de comunicare orală

-expozitive: povestirea,descrierea,explicația,instructajul; conversative(dialogate):conversația,conversațiaeuristică,discuțiacolectivă,problematizarea;

♦metode de comunicare scrisă(de muncă cu manualul): -lectura explicativă,lectura independentă;

♦metode de comunicare oral-vizuală(limbajul imaginii,sunetului,cuvântului);

♦metode de comunicare interioară(bazate pe limbaj intern).

2.Metode de explorare sistematică a realității obiective:

♦metode de explorare directă(nemijlocită)a obiectelor și fenomenelor: observarea sistematică și independentă, efectuarea de mici experiențe și experimente, examina-rea relicvelor și a documentelor istorice,studiul de caz;

♦metode de explorare indirectă prin intermediul substitutelor realității:demonstrația cu ajutorul imaginilor ,graficelor ,proiecțiilor fixe și dinamice ,înregistrărilor electronice ,machetelor ,modelelor.

3.Metode de acțiune

♦ metode de învățare prin acțiune reală:exerciții,algoritmi operaționali,lucrări practice;

♦metode de învățare prin acțiune fictivă(simulată):jocuri didactice.

4.Metode de raționalizare a învățării și pregătirii:

♦activitatea cu fișele;

♦metoda algoritmică(algoritmizarea);

♦instruirea programată(pe bază de programe cu răspunsuri construite sau cu răspuns la alegere);

♦instruirea asistată dejcalculator/ordinator(I.A.C).

Metodele didactice nu apar în stare pură ci sub forma unor variante și aspecte diferite încât,în mod difuz,în cadrul unei metode caracterizate la început prin algoritmicitate se poate ivi treptat tendința către euristicitate.Metodele didactice se concretizează în variante metodologice compozite,prin difuzarea permanentă a unor trăsături și prin articularea a două sau mai multor metode.Privită astfel,metodologia didactică este tehnică,artă și știință.

I.3.4.Metode active-metode interactive

O categorie de metode utilizate ( mai recent ) în predarea – învățarea matematicii o reprezintă metodele active. Elevii sunt încântați de aceste metode, obișnuindu-se cu ele de la sfârșitul clasei I și continuând să le folosească și în clasele următoare ( a II-a, a III-a, a IV-a ) .Studiile subliniază faptul că metodele active creează o învățare mai profundă și o mai bună aplicare a cunoștințelor. Elevii dau dovadă de o bună memorare și își dezvoltă aptitudini de gândire mai bune. Aceste metode sunt apreciate de elevi. Ele ușurează munca deoarece : sporesc participarea activă, constructivă a elevilor; lecțiile au un impact mai puternic și devin mai interesante; pot oferi o clipă de răgaz și dau posibilitatea notării.

Metoda Ciorchinele.

Această metodă stimulează realizarea unor asociații noi de idei și permite cunoașterea propriului mod de a înțelege o anumită temă . Se poate lucra în perechi , pe grupe sau individual . Pentru realizarea ei sunt necesare următoarele etape :

Se scrie un cuvânt sau o propoziție – nucleu în centrul tablei sau foii de hârtie ; Se scriu cât mai multe cuvinte sau sintagme care par să aibă legătură cu tema desemnată prin cuvântul sau propoziția – nucleu , fără ca aceste idei să fie evaluate în vreun fel ;

Se evidențiază conexiunile care par să existe între propoziția – nucleu și ideile generate de ea sau între aceste idei ; această evidențiere se face cu ajutorul unor linii, important fiind ca aceste conexiuni să fie cât maiknumeroase și mai variate .

Această metodă permite : fixarea mai bună a ideilor; structurarea informațiilor; facilitarea reținerii și înțelegerii informațiilor. Ciorchinelestimulează : evidențierea conexiunilor dintre idei ; realizarea unor noi asociații de idei ; relevarea unor noi sensuri ale ideilor .

Am utilizat această metodă în etapa de actualizare a cunoștințelor în cadrul lecției Adunarea numerelor naturale de la 0 la 30, fără trecere peste ordin .

Metoda Gândiți / lucrați în perechi / comunicați – G . C . I .

Metoda se poate folosi chiar de mai multe ori în timpul unei lecții și are ca etape:

Timp de 1-4 minute , fiecare răspunde individual la una sau mai multe întrebări formulate în prealabil de cadrul didactic . Sunt de preferat întrebările care suscită mai multe răspunsuri posibile ;

Se formează perechile ; partenerii își citesc răspunsurile și convin asupra unuia comun , care cuprinde ideile ambilor ;

Cadrul didactic va cere ca 2-3 perechi să rezume , în circa 30-60 de secunde fiecare , discuțiile purtate și concluzia formulată .

Metoda instruirii programate

Metoda instruirii programate organizează activitatea didactică , aplicând principiile ciberneticii la nivelul activității de predare – învățare – evaluare , concepută ca un sistem dinamic complex , constituit dintr-un ansambvlu de elemente și interrelații .

Procesul de învățământ valorifică următoarele principii cibernetice :

-principiul transmiterii și receptării informației – prin mecanisme specifice de programare și comandă ;

-principiul prelucrării și stocării informației- prin mecanisme specifice deorganizarea materialului transmis și difuzat în secvențe și relații de întărire ;

-principiul autoreglării raporturilor dintre efectele și cauzele informației – prin mecanisme specifice de conexiune inversă ;

-principiul asigurării concordanței dintre programarea externă și asimilarea internă a informației – prin mecanisme specifice de individualizare a activității .

Metoda instruirii programate dezvoltă propriile saleaprincipii : -principiul pașilor mici – constă în divizarea materiei în unități de conținut care asigură elevului șansa reușitei și a continuității în activitatea de predare – învățare – evaluare ; toate aceste unități logice prezentate într-o succesiune univocă constituie programul acivității ;

-programul comportamentului activ – presupune dirijarea efortului elevului în direcția selecționării , înțelegerii și aplicării informației necesare pentru eleborarea unui răspuns corect Elevul este obligat să răspundă fiecărei unități logice ce i se prezintă , altfel nu poate trece mai departe ;

-principiul evaluării imediate a răspunsului urmărește întărirea pozitivă sau negativă a comportamentului elevului în funcție de reușită sau eșec în îndeplinirea sarcinii de învățare corespunzătoare fiecărui pas . După parcurgerea fiecărei unități elevul este informat dacă a răspuns corect sau nu ;

-principiul ritmului individual de învățare – vizează respectarea și valorificarea particularităților elevului , demonstrate prin modul și timpul de parcurgere a fiecărei secvențe

Mijloacele didactice specifice metodei sunt programele de învățare sau soft-urile didactice . O clasificare a soft-urilor este după funcția pedagogică specifică pe care o pot îndeplini în cadrului procesului de instruire și anume :

– soft-uri de exersare ;

– soft-uri interactive pentru predarea de noi cunoștințe ;

– soft-urile de simulare ;

– soft-urile pentru testarea cunoștințelor ;

– jocurile educative .

Din punct de vedere al metodologiei, instruire programată ridică probleme legate de mijloacele instruirii programate și de organizare a lecțiilor . Instruirea programată se realizează în condiții optime cu ajutorul calculatorului. Îmbinarea instruirii programate cu alte metode și mijloace didactice curente și forme de organizare constituieao modalitate eficientă de însușire și consolidare a cunoștințelor .

Brainstorming

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode de stimulare a creativității Etimologic, brainstorming provine din engleză, din cuvintele brain ( creier ) și storm ( furtună ), plus desinența ing specifică limbii engleze , ceea ce înseamnă furtună în creier , efervescență, aflux de idei o stare de intensă activitate imaginativă . Un principiu al brainstorming-ului este : cantitatea generează calitatea . Conform acestui principiu , pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare . Brainstorming-ul este prezent chiar în activitatea de compunere de probleme . În momentul în care în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze , în mintea acestuia apar o avalanșă de idei , de operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme . În scopul stimulării creativității , trebuie apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia

Pentru derularea optimă a unui brainstorming se pot parcurge următoarele etape:

-Alegerea temei și a sarcinii de lucru.

-Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, fără cenzură, atuturor ideilor – chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în minte legatede rezolvarea unei situații–problemă conturate. Se pot face asociații în legătură cu afirmațiile făcute, se discută, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup dar, sub nici un motiv, nu se voradmite referiri critice. Nimeni nu are voie să facă observații negative.

-Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă, flipchart).

-Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi).

-Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, imaginicare reprezintă diferite criterii etc.

-Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior, la nivelulclasei sau al unor grupuri mai mici.

-Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru problema supusăatenției. În această etapă se discută liber, spontan, riscurile și contradicțiile care apar.

-Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje,imagini, desene, cântece, jocuri de rol etc.

Brainstorming-ul se desfășoară în cadrul unei reuniuni formate dintr-un grup de maximum 30 de persoane, de preferință eterogen din punct de vedere alpregătirii. Durata optimă este de 20 – 45 minute.Brainstorming-ul stimulează exprimarea liberă a ideilor elevilor și dezvoltă motivația acestora pentru învățare, mai ales la începutul unei lecții noi.

Câteva avantaje ale acestei metode sunt: eliberarea elevilor de prejudecăți, datorită faptului că ideile lor nu sunt judecate de către ceilalți, se dezvoltă relațiile interpersonale, pot fi implicați toți elevii participanți la activitate și astfel se creează o atmosferă plină de prospețime și emulație.

Principalul dezavantaj îl reprezintă faptul că se creează o anumită rumoare pe parcursul activității. De asemenea, situația poate scăpa puțin de sub control prin exprimarea liberă a ideilor fiecăruia, iar succesul aplicării acestei metode depinde de calitățile cadrului didactic sau moderatorului de a anima și dirija discuția pe făgașul dorit.

Atunci când aplic la clasă această metodă stabilesc de la început o regulă: ascultăm cu atenție ideile tuturor colegilor și vorbim pe rând.

Cubul

Metoda presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Această metodă oferă posibilitatea de a dezvolta competențele necesare unei abordări complexe.

Sunt recomandate următoarele etape:

Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară,analizează,asociază, aplică, argumentează.

Anunțarea temei, a subiectului pus înadiscuție.

Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe unadintre fețele cubului:

Descrie: culorile, formele, mărimile etc.

Compară : ce este asemănător? Ce este diferit?

Analizează : spune din ce este făcut, din ce se compune.

Asociază : la ce te îndeamnăsăte gândești?

Aplică : ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?

Argumentează: pro sau contrași enumerăo serie de motive care vin în sprijinulafirmației tale.

Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.

Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.

Această metodă prezintă o serie de avantaje precum: formarea deprinderilor de muncă intelectuală, creșterea responsabilității elevului față de propria învățare, dar și față de grup, sporirea eficienței învățării (elevii învață unii de la alții), dezvoltarea abilității de comunicare și cooperare, determinarea participării conștiente a elevilor prin implicarea maximă a acestora în rezolvarea sarcinilor primite. De asemenea, prin modul în care sunt prezentate, metoda diferențiază sarcinile de învățare.

Folosită la clasă, metoda prezintă și dezavantaje. Cadrul didactic nu are un control precis asupra cantității sau calității cunoștințelor dobândite de elevi și rezolvarea sarcinilor necesită resurse mari de timp. De asemenea, în timpul activității se creează zgomot deoarece elevii din fiecare grupă se sfătuiesc și își împărtățesc ideile.

Am încercat tot timpul ca aceste metode active să le întrepătrund și cu metodele specifice de rezolvare a problemelor de matematică , mai ales metoda figurativ – grafică . Elevii le-au perceput astfel mai ușor și le-au înțeles și aplicat mai bine .Folosirea acestor metode active este în beneficiul elevilor pentru că ei muncesc în echipă , fiecare are părticica lui de activitate .

Se tinde tot mai mult , în învățământul românesc , să se folosească aceste metode active în procesul de predare – învățare – evaluare . În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea –învățarea matematicii în ciclul primar , rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară .

Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală la o astfel de activitate esteasuperioară altor demersuri matematice , elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția , să formuleze ipoteze și apoi să le verifice.

Mozaicul

Este o metodă de învățare prin cooperare, prin intermediul căreia elevii își predau reciproc cunoștințele.

Etapele aplicării metodei sunt:

1. Împărțirea clasei în grupuri de 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă deînvățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unei unități de cunoaștere.

2. Prezentarea succintă a subiectului tratat.

3. Explicarea sarcinii care constă în înțelegerea întregii unități de cunoaștere.

4. Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care aunumărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d.

5. Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit grupului din unitatea de cunoaștere desemnată pentru oră: elevii citesc și pot predaceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar. Strategiile de predare și materialele folosite rămân lalatitudinea grupului de experți. Este foarte important ca fiecare membru al grupului de experți să înțeleagăcă el este responsabil de predarea secțiunii respective celorlalți membri ai grupului inițial.

6. Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități,se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membridin grupul expert pentru secțiunea respectivă.

7. Trecerea în revistă a unității de cunoaștere prinaprezentare orală cu toată clasa/ cu toțiparticipanții. Cadrul didactic monitorizează predarea reciprocă și se asigură că informația și cunoștințele se transmit și se asimilează corect..

Avantaje:

-anihilarea efectului Ringelmann (lenea socială, când individul își imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie);

– dezvoltă interdependența dintre membrii grupului;

– ameliorează comunicarea;

– curiozitate, receptivitate și interes din partea grupelor;

– implicarea și responsabilitatea în învățare și în transmiterea informațiilor asimilate;

– colaborarea eficientă și stimularea încrederii în sine a elevilor;

– crearea de abilități de comunicare și pentru elevii cu un nivel ridicat de emotivitate;

– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;

– optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.

Dezavantaje ale metodei:

– se creează agitație prin schimbarea elevilor de la o grupă la alta;

– unii elevi pot rămâne pasivi și se pot folosi de munca colegilor de grup.

Metoda cadranelor

Metoda urmărește realizarea unei înțelegeri cât mai adecvate a unui conținut informațional de către elevi.

Etapele aplicării metodei cadranelor sunt:

Împărțirea tablei în 4 părți egale;

2. Se propune câte un criteriu pentru fiecare cadran obținut;

3.Se citește textul;

4. Se formulează răspunsuri scurte pentru fiecare cadran;

5. Se evaluează rezultatele.

De asemenea, această metodă poate fi folosită cu succes în orele de matematică la rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane, repartizate după cum urmează:

Cadranul I – textul problemei

Cadranul II – reprezentarea grafică a problemei;

Cadranul III – rezolvarea problemei;

Cadranul IV – răspunsul problemei și verificarea răspunsului.

Metoda cadranelor stimulează atenția și gândirea, evidențiază modul propriu de înțelegere al elevilor și conduce la sintetizarea cunoștințelor acestora.

Această metodă prezintă o multitudine de avantaje precum: determină implicarea maximă a elevilor în rezolvarea sarcinilor date, permite formarea deprinderilor de muncă intelectuală, stimulează gândirea logică a elevilor, sporește eficiența învățării prin faptul că elevii învață unii de la alții și dezvoltă abilități de comunicare.

Metoda R.A.I.

Metoda R.A.I. are la bază stimularea și dezvoltarea capacităților elevilor de a comunica ceea ce au învățat. Denumirea provine de la inițialele cuvintelor Răspunde – Aruncă – Interoghează.

Metoda poate fi folosită la începutul lecției, pe parcursul ei sau la sfârșit, în scopul descoperirii, de către cadrul didactic care asistă la joc, a eventualelor lacune în cunoștințele elevilor și a reactualizării ideilor – ancoră și se desfășoară astfel: învățătorul împreună cu elevii participă la un joc de aruncare a mingii. Cel care aruncă mingea trebuie să adreseze o întrebare din lecția predată celui care o prinde. Cel care prindemmingea răspunde la întrebare și adreseză o altă întrebare celui căruia îi aruncă mingea.

Elevul care nu cunoaște răspunsul iese din joc, iar răspunsul va fi dat de cel care a aruncat mingea. Acesta are ocazia de a mai arunca o dată mingea și de a mai pune o întrebare. În cazul în care cel care interoghează este descoperit că nu cunoaște răspunsul întrebării, este scos din joc, locul lui fiind ocupat de cel căruia i-a adresat întrebarea. Treptat vor rămâne în grup doar elevii bine pregătiți.

Această metodă oferă posibilitatea de a realiza un feedback rapid, într-un mod plăcut, energizant și mai puțin stresant decât metodele clasice de evaluare. Antrenați în acest joc cu mingea, chiar și cei mai timizi elevi se simt încurajați, comunică cu ușurință și participă cu plăcere la activitate. Metoda R.A.I. poate fi organizată cu toată clasa sau pe grupe mici de elevi, fiecare deținând câte o minge.

Membrii grupului se autoelimină treptat, rămânând cel mai bun din grup. Acesta intră în finala câștigătorilor de la celelalte grupe, jocul desfășurându-se până la rămânerea în cursă a celui mai bine pregătit.

De exemplu, această metodă poate fi folosită într-o lecție de consolidare la clasa a III-a, cu subiectul, Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale de la 0 la 100. Se transmite elevilor să lanseze o întrebare și să arunce mingea la un alt coleg.

Acesta va răspunde și va arunca din nou mingea lansând o nouă sarcină. Pentru fiecare răspuns corect se va oferi o recompensă (o bulină, un sticker, etc).

I.3.5.Caracteristici ale metodelor active

Metodele activ – participative sunt cele care transformă elevul din spectator în actorul principal al piesei de teatru numită proces instructiv – educativ. Cu ajutorul acestora este implicată nu doar mintea copiilor ci și pasiunea (motivația), cea care constituie motorul activității. La nivelul clasei, cadrul didactic folosește metode activ –participative pentru a stimula creativitatea, intuiția, dar și pentru a realiza un colectiv unit, în care fiecare îl cunoaște pe celălalt, îi cunoaște nevoile, dorințele, hobby – urile, etc.

Dacă se ajunge la o asemenea relație profesor – elev, elev – elev, atunci activitățile instructiv – educative vor fi mai eficiente, mai plăcute fiind bazate pe tipul de inteligentă al fiecărui elev, dar și atmosfera va fi una mai destinsă, de prietenie, cooperare, întrajutorare (mai ales în cadrul activităților realizate pe grupe) datorită dispariției disensiunilor dintre copii și implicit a problemelor emoționale create de acestea.

Privind clasa ca pe o comunitate în care relațiile dintre indivizi sunt considerate importante, vom avea la sfârșitul unui ciclu primar (sau poate mai devreme) nu o clasă de elevi ci un grup de prieteni. Matematica este considerată de foarte mulți elevi, mari și mici, o piatră de încercare, o materie despre care puțini vorbesc cu relaxare. Aici intervin metodele activ – participative. Aplicarea acestora sprijină descoperirea propriilor capacități și talente ale elevilor, sporește încrederea în sine, relaxează atmosfera, oferă varietate, posibilitatea de a participa, de a privi totul ca pe un joc.

De fiecare dată când îmi propun aplicarea unei metode active într-unul din momentele lecției, indiferent de obiectul de studiu, nu spun prea multe de la început, prezint totul ca pe o surpriză pe care elevii urmează să o primească și joaca începe. Simt că atitudinea lor se schimbă, zâmbetul le revine pe buze și ochișorii privesc cu uimire spre mine și așteaptă nerăbdători să vadă ceea ce urmează. În acest mod reușesc să participe cu plăcere la rezolvarea unor situații – problemă de care altfel s-ar teme.

Însușirea cunoștințelor se va face astfel pe calea activității proprii a elevilor, a angajării optime a gândirii și a celorlalte procese intelectuale. Doar cunoștințele dobândite prin efort propriu vor deveni un bun personal al elevilor și vor fi aplicate cu succes în viitor. Anumiți stimuli interni motivaționali de tipul curiozității, intereselor, dorinței de succes constituie o componentă indispensabilă activizării. Nu se poate concepe învățământ modern fără respectarea acestui principiu care are ca rezultat însușirea unor cunoștințe trainice și funcționale.

Gradul de activizare și participare a elevilor diferă de la o metodă la alta. Învățătorul este cel care are rolul de a selecta metodele și procedeele în funcție de obiectivele urmărite, de conținuturile învățării și de a le îmbina cu diferite mijloace de învățământ pentru a-i implica cât mai mult pe elevi în procesul de învățare, pentru a le dezvolta gândirea, creativitatea, interesul pentru învățare și nu în ultimul rând pentru a-i determina să iubească școala. Frumusețea și eficiența metodelor active rezidă în posibilitatea acestora de modificare și adaptare, de construire și reconstruire succesivă în funcție de evoluția demersului educațional.

Frumusețea și eficiența metodelor active rezidă în posibilitatea acestora de modificare și adaptare, de construire și reconstruire succesivă în funcție de evoluția demersului educațional. De asemenea, relația învățător – elev (profesor – elev) nu mai este una de dependență a elevului față de profesor. Această relație este independentă de competențele profesionale ale cadrului didactic. Dacă este pozitivă, ea determină un comportament adecvat din partea elevului, iar dacă este negativă ea determină respingere și implicit randament scăzut la învățătură.

Unul din mijloacele de acțiune la îndemâna cadrului didactic, ce promovează o învățare activă și o atitudine pozitivă, îl reprezintă metodele didactice, cu accent pe cele activ – participative. Aplicarea acestor metode îl ajută pe elev să se implice activ în procesul de învățare, îl ajută să înțeleagă lumea în care trăiește într-un mod care îi respectă personalitatea, îi crește motivația și îl ajută în relația față de sine și față de ceilalți

În cadrul activităților instructiv – educative ce se desfășoară prin aplicarea unor metode activ – participative, relația de comunicare este una bidirecțională, în care comunicarea se produce atât din partea învățătorului cât și din partea elevului, iar activitatea este condusă de cadrul didactic în mod democratic, tendința acestuia fiind de a se integra în climatul clasei, de a se identifica cu viața și activitatea elevilor.

Pe tot parcursul procesului educațional, cadrul didactic are rol de dirijor, el urmărind mereu o sincronizare între obiectivele individuale ale elevilor cu cele comune clasei, fapt ce duce la solidificarea relațiilor din clasa – grup. Metodele activ – participative sprijină instruirea centrată pe nevoile și interesele elevului.

În acest sens am folosit de-a lungul carierei mele didactice diverse metode de activizare a elevilor. În selectarea și aplicarea acestora am avut în vedere: respectarea Curricum-ului Național, a programei școlare, selectarea materialului de lucru în funcție de disponibilitățile și interesele elevilor, promovarea învățării prin cooperare, etc.

Voi prezenta câteva din metodele ce i-au determinat pe copii să fie mult mai implicați în lecțiile de matematică și care i-au motivat să participe chiar și pe cei cu mai puține achiziții și cu dorință scăzută de învățare.

I.3.6. Clasificări ale metodelor active

În practica pedagogic este acceptat faptul că un copil reține :

– 10% din ceea ce i se citește;

– 20% din ceea ce se aude:

– 30% din ceea ce se vede și aude în același timp;

– 80% din ceea ce spune;

– 90% din ceea ce spune în timp ce desfășoară o activitate care îl interesează.

După funcția didactică principală putem clasifica metodele și tehnicile interactive de grup astfel:

Metode de predare-învățare interactivă de grup:

– metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching-Palinscar);

– metode Jigsaw (Mozaicul);

– cascada (Cascade);

– STAD ([anonimizat] Division)

– metoda învățării pe grupe mici;

– TGT (Teams/Games/Tournaments)

– metoda turnirurilor între echipe;

– metoda schimbării perechii (Share-Pair Cireles);

– metoda piramidei;

– învățarea dramatizată.

Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare:

– harta cognitivă sau harta conceptual (Cognitive map, Conceptual map);

– matricele;

– lanțurile cognitive;

– scheletul de pește (Fishbone maps);

– diagrama cauzelor și a efectelor;

– pânza de păianjen (Spider map-Webs);

– tehnica florii de lotus (Lotus Blossom Technique);

– metoda R.A.I.;

-cartonașele luminoase.

Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității:

– brainstorming;

– explozia stelară (Starbursting);

– metoda pălăriilor gânditoare (Thinking hats-Edward de Bono);

– caruselul;

– multi-voting;

– masa rotundă;

– interviul de grup;

– studiul de caz;

– incidental critic;

– Philips 6/6;

– tehnica 6/3/5;

– controversa creativă;

– tehnica acvariului (Fishbowl);

– tehnica focus grup;

– patru colțuri (Four corners);

– metoda Frisco;

– sinectica;

– buzz-groups;

– metode Delphi.

Metode de cercetare în grup:

– tema sau proiectul de cercetare în grup;

– experimental pe echipe;

– portofoliul de grup.

CAPITOLUL II

ELEMENTE FUNDAMENTALE DE MATEMATICĂ ȘI ASPECTE METODICE

ÎN PREDAREA ACTIVĂ A NUMĂRULUI NATURAL

II.1.Elemente de logică matematică

Aritmetica este acea parte a matematicii care se ocupă cu proprietățile elementare ale numerelor raționale. La baza aritmeticii stă faptul că operațiile de adunare și de înmulțire a numerelor natural, se bucură de următoarele proprietrăți fundamentale și anume:

– comutativitatea adunării și înmulțirii;

– asociativitatea adunării și înmulțirii;

– distributivitatea operației de înmulțire fată de adunare.

Partea elevată a acestei discipline matematice se numește teoria numerelor. Gauss (1777-1845), desemnat ca fiind cel mai mare mathematician al timpurilor modern, vorbind de teoria numerelor, a spus: matematica este regina științelor, iar aritmetica este regina matematicii.Cele mai multe propoziții din teoria numerelor nu se referă la proprietăți isolate ale anumitor numere ci la clase de numere care au o proprietate comună.

Propoziții

Un text matematic este alcătuit din propoziții redactate în cuvinte sau cu ajutorul semnelor și simbolurilor matematice. Logica matematică studiază acele enunțuri care sunt fie adevărate, fie false.

Definiție: se numește propoziție un enunț despre care putem spune că este 7adevărat (1) sau fals (0), însă nu amândouă simultan.Propozitiile simple se notează de obicei cu literele p, q, r… sau p1, p2, p3 … . Din propoziții simple se pot obține propoziții compuse folosind conectorii logici non,si , sau,implică, echivalent.Negatia unei propozitii p este propozitia non p (notată  ﾡ p) și care este adevarata când p este falsa si falsa când p este adevarata. Valoarea de adevar a propozitiei ﾡ p este data in tabelul urmator:

Conjunctia propozitiilor.

Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ʌ q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.

Disjunctia propozitiilor.

Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.

Implicația propozițiilor

Implicația propozițiilor p, q este propoziția p implică q (notată p) care este falsă atunci și numai atunci când p este adevărată iar q este falsă.

Echivalența propozițiilor

Echivalența propozițiilor p, q este propoziția p este echivalent cu q ( notată p) care este adevărată atunci și numai atunci când p și q au aceeași valoare de adevăr.

II.2 MULȚIMI. RELAȚII. FUNCȚII.

II.2.1. Mulțimi

Noțiunea de mulțime și de element al unei mulțimi fac parte din categoria acelor noțiuni care nu pot fi definite, numite și noțiuni primare. Noțiunea de mulțime poate fi înțeleasă ca fiind analogă noțiunii de colecție sau grupare. Mulțimile se formează după anumite criterii care ne ajută să determinăm obiectele care formează mulțimea.

Obiectele care formează o mulțime se numesc elementele mulțimii. Mulțimea se notează de obicei cu litere mari de tipar iar elementele mulțimii cu litere mici de tipar. Dacă A este o mulțime și a un element al mulțimii , vom scrie:

a (a aparține mulțimii A);

a (a nu aparține mulțimii A).

Există două moduri de a defini o mulțime:

– sintetic, în situația în care elementele mulțimii sunt numite individual: A={1,2,3};

– analitic, în situația în care este specificată o proprietate pe care o au toate elementele mulțimii: A={x / P}.

Mulțimea fără nici un element se numește mulțimea vidă și se notează cu.

Mulțimi egale

Spunem că mulțimea A este egală cu mulțimea B, dacă cele două mulțimi au aceleași elemente, adică orice element al lui A aparține și mulțimii B și reciproc. Vom scrie: A = B.

Relația de incluziune

Spunem că mulțimea A este inclusă în mulțimea B,dacă orice element al mulțimii A este și element al mulțimii B. Vom nota:A sau B ⊃ A.

Operații cu mulțimi

1.Reuniunea mulțimilor

Numim reuniunea a două mulțimi A și B mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile A sau B. Vom nota reuniunea celor două mulțimi prin A și citim A reunit B. Deci A = { x / x sau x }.

Proprietățile reuniunii sunt:

A ⊂ A , B ⊂ A , A = A;

A = A (idempotență);

A = B (comutativitatea);

A = (A

Intersecția mulțimilor

Intersecția mulțimilor A și B, notatăA ∩ B, este mulțimea ce conține elementele care aparțin și lui A și lui B, deci:

A ∩ B ⇔ (x∈A) ∧ (x∈B).

Pentru orice mulțimi A, B, C au loc proprietățile:

– A ∪ B = B∪ A; A ∩ B = B∩ A (comutativitate);

– (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitate);

– A ∪(B ∩ A) = A; A ∩ (B ∪ A) = A ( absorbție);

– A ∪ A = A; A ∩ A = A (idempotență);

– A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C) (legi de distributivitate);

– A ∪∅ = A ; A ∩ ∅ = ∅

Diferența mulțimilor

Diferența lui A și B mulțimi oarecare, notată A – B sau A \ B este mulțimea care conține elemente din A care nu se găsesc în B, deci: x ∈ A – B ⇔ (x∈A) ∧ (x∉ B).

Diferența a două mulțimi are proprietățile:

– A – B ⊂ A;

– A ∪ (B – A) = A ∪ B;

– (A – B) – C = (A – C) – B = A – (B ∪ C);

– (A ∩ B) – C = (A – C) ∩ (B – C);

– A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C);

– (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C);

– A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C);

– A – ∅ = A; ∅ – A = ∅; A – A = ∅.

Produsul cartezian

Se numește produs cartezian al mulțimilor A și B, notat A × B, mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a∈A și b∈ B, deci: A × B = {(a, b) | a∈A, b∈B}.

Produsul cartezian a două mulțimi are proprietățile:

– (A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D)⇒ A × C ⊂ B × D; – (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

– C × (A ∪ B) = (C × A) ∪ (C × B)

– (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

– C × (A ∩ B) = (C × A) ∩ (C × B)

– (A – B) × C = (A × C) – (B × C)

– C × (A – B) = (C × A) – (C × B)

– A × B ≠ B × A

– A × ∅ = ∅.

II.2.2. RELAȚII

Se numește relație binară între două mulțimi A și B distinct sau care coincide, o submulțime R a produsului A x B. Numim relație binară între A și B un triplet ordonat R = ( A, B, R ), care se mai numește și graficul lui R. Cuvântul binară arată că fiecărui element din A îi corespunde un element din B, adică relația leagă perechi de elemente.

Proprietățile relațiilor:

– reflexivitatea – spunem că o relație R într-o mulțime A este reflexivă atunci când, pentru , avem aRa; spunem că este antireflexivăatunci când nu avem aRa, .

– simetria – spunem că o relație în A este simetrică atunci când, pentru fiecare bRa avem aRb. În simboluri scriem: ( (aRb.

– tranzitivitatea – se spune că o relație într-o mulțime A este trnzitivă atunci când , luate trei elemente a, b, c, astfel încât bRa, cRbavem cRa. Simbolic scriem: ( (), (, bRa ∧ cRbcRa

Relații de echivalență

Se numește relație de echivalență orice relație reflexivă, simetrică și tranzitivă. Fiind dată o relație de echivalență, două elemente asociate prin aceasta se numesc echivalente.

Fiind dată o mulțime I, se numește partiție a lui I o clasă K de submulțimi nevide a lui I, astfel ca: submulțimile lui K sunt disjuncte două câte două; reuniunea submulțimilor lui K este I.

Fiind dată o relație de echivalență R în I și un x I, se numește clasă de echivalență a lui x, notată Cx, mulțimea elementelor y din I astfel ca yRx.Fiind dată o relație de echivalență în I, clasele de echivalență constituie o partiție a lui I.

Fiind dată o relație de echivalență R, în I, mulțimea claselor de echivalență se numește mulțime cât a lui I în raport cu R și se scrie I / R.

Relații de ordine

Faptul fundamental care stă ascuns în cuvintele ordonare, ordine este posibilitatea de a compara două elemente, precizând care vine primul și care al doilea. De obicei, în limbajul current se are în vedere o posibilitate de comparare a tuturor elementelor unei mulțimi în cauză, dar chiar în exemple destul de familiarelipsește o asemenea posibilitate de comparare.

Se numește relație de ordine sau ordonare o relație, indicată de obicei printr-unul din simbolurile care se bucurăde proprietățile: reflexivitate, tranzitivitate și antisimetrie, astfel încât:

– pentru orice a, aa;

– dacă b și c atunci ca;

– dacă b și a atunci a = b;

– dacă b cu bse spune că în ordonare b precede pe a sau că a urmează după O mulțime dotată cu o relație de ordine se numește mulțime ordonată. O ordonare în care două elemente pot fi întotdeauna comparate se numește totală. O relație de ordine totală trebuie să satisfacăurmătoarele proprietăți:

– a pentru oricare a (reflexivitatea);

– dacă b a și c b atunci c a (tranzitivitatea);

– fiind date două elemente distincte a și b, trebuie să avem a b sau b a, dar nu ambele.

Se numește relație de ordine în sens strict și se notează cusau cu ⊂o relație care este antireflexivă și tranzitivă, astfel încât:

– nu avem niciodată a a;

– dacă b a și c b atunci c a.

O relație trihotomică și tranzitivă se numește relație de ordine totală în sens strict. Iată câteva feluri de ordonări :

– incluziunea ⊆ pentru relații de ordine;

– relația între numere pentru relația de ordine totală;

– incluziunea în sens strict ⊂ pentru ordine strictă;

– relația între numere pentru relația de ordine totală în sens strict.

II.2.3. FUNCȚII

O noțiune fundamentală a matematicii moderne este cea de funcție care va fi definită cu ajutorul relațiilor binare.

Moduri de definire a funcției : 

– funcții definite sintetic: O funcție f : A ->B poate fi definită precizând pentru fiecare elementdin A ce element îi este asociat din B.

– funcții definite analitic: O funcție f : A ->B poate fi definită specificând o proprietate ce leagăun element oarecare x din A de elementul f(x) din B.

2. Funcții monotone

Fie f : D ->R o funcție reală variabilă ( D⊂R) . Funcția se numește :

– monoton crescătoare pe D dacă: (x₁, x₂ D cu x₁ x₂⇒ f (x₁) f(x₂);

– strict crescătoare pe D dacă: : (x₁, x₂ D cu x₁ x₂⇒ f (x₁) f(x₂);

– monoton descrescătoare pe D dacă: (x₁, x₂ D cu x₁ x₂⇒ f (x₁) f(x₂);

– strict descrescătoare pe D dacă: (x₁, x₂ D cu x₁ x₂⇒ f (x₁) f(x₂);

– monotonă pe D dacă f este monoton crescătoare sau monoton descrescătoare;

-strict monotonă pe D dacă f este strict crescătoare sau strict descrescătoare.

3.Funcții injective, surjective, bijective

O funcție f : A → B este:

– injectivă sau injecție, dacă și numai dacă, ∀x1, x2∈X cu x1 ≠ x2 rezultă f(x1) ≠ f(x2) sau, logic echivalent: ∀x1, x2∈X cu x1 = x2 rezultă f(x1) = f(x2);

– surjectivă sau surjecție, dacă și numai dacă, pentru ∀y∈B există un element x∈A astfel încât y= f(x);

– bijectivă sau bijecție, dacă și numai dacă, f este simultan injectivă și surjectivă;

– inversabilă, dacă și numai dacă, există o funcție f:A →B astfel încât g ° f = 1X, f °g = 1Y și g se numește inversa funcției f, notată g = f –1: B→A.

Fie f: A→ B și g : B → C , două funcții atunci au loc afirmațiile:

– dacă f și g sunt injective atunci g ° f este injectivă.

– dacă f și g sunt surjective atunci g ° f este surjectivă.

– dacă f și g sunt bijective atunci g ° f este bijectivă.

– dacă g ° f este injectivă atunci f este injectivă.

– dacă g ° f este surjectivă atunci g este surjectivă.

– dacă g ° f este bijectivă atunci f este injectivă și g este surjectivă.

Observații:

1. Funcția f: A → B este injectivă, dacă și numai dacă, pentru orice două elemente distincte din A corespund elemente distincte din B.

2. Funcția f: A → B este surjectivă, dacă și numai dacă, orice element din B este imaginea unui element din A sau echivalent: orice element din B are o preimagine în mulțimea A.

3. Funcția f: A → B este injectivă: dacă ∀y∈B, există cel mult un x∈A cu f(x)= y. Funcția f: A → B este surjectivă: dacă ∀y∈B, există cel puțin un x∈A cu f(x) = y.

Funcția f: A →B este bijectivă: dacă ∀y∈B, există exact un x∈A cu f(x)=y.

Fie f: A →B o funcție injectivă și f(A) = B0 ⊂B mulțimea valorilor funcției f în B. Funcția f -1 : B0 →A cu f -1 (y) = x dacă y =f(x) este inversa funcției f, privită astfel: f: A →B0, B0 ⊂ B.

II.3. NUMĂR NATURAL. OPERAȚII CU NUMERE NATURALE

Numar cardinal.

O primă prezentare a mulțimii numerelor naturale se bazează pe noțiunea de cardinal.

O clasa de echivalență , definită de relația de echipotență, se notează printr-un simbol care se numește număr cardinal sau puterea fiecărei mulțimi din clasa respectivă.

Dacă mulțimile A și B sunt echipotente , ele au aceeași putere și li se asociază același număr cardinal. Notam cardinalul multimii A cu A.

Adunarea numerelor cardinale

Oricare ar fi mulțimile A și B disjuncte, prin definiție card (AB) =A+B.

Proprietățile adunării cardinalelor:

1. Comutativitatea AB=BA+B=B+A(a+b=b+a);

2. Asociativitatea considerând mulțimile A,B,C disjuncte două câte două, avem (AB)C=A(BC)(AB)CA(BC)(A+B)+C=A+(B+C) ((a+b)+c=a+(b+c))

3. Element neutru: cardinalul 0 (al multimii vide)AØ=ØA=A A Ø ~ØA 0+A=A+0=A (o+a=a+0=a)

Înmulțirea numerelor cardinale

Oricare ar fi multimile A si B avem prin definiție : card (AxB=A·B)

Proprietatile înmulțirii cardinalilor :

a).este comutativa AxB ~ BxA AxB =BxA A·B=B·A (a·b=b·a);

b)este asociativa (AxB)xC~Ax(BxC) xxC=Ax(BxC) (A·B) ·C=A·(B·C) ((a·b) ·c=a·(b·c));

c) cardinalul 1 este elemental neutru fie N=.AxN ~ NxA ~A AxN=NxA=A Ax1=1xA=A

d)înmultirea oricarui cardinal cu 0 da rezultatul 0 Ax Ø= ØxA Ax Ø ~ Ø x Ø = Ø Ax0=0

e) este distributiva fata de adunare Ax(BC)= (AxB)(AxC)Ax(BC) ~ (AxB) (AxC) x(B+C) =AxB+AxC

Număr natural.

Cardinalul a este finit daca a ≠ a+1 . Dacă un cardinal nu este finit sau transfinit.

Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalele finite se numește mulțimea numerelor naturale și se noteaza cu N. N = , N*=.

Teorema : daca a+1=b+1, atunci a=b.

Fie mulțimea M , care are cardinalul a+1=b+1. Există mulțimile A și B , care îndeplinesc condiția M=A=B. Putem construi aplicația bijectivț f:A B , în care avem f(u)=v. Facem o restricție a aplicației f excluzând din domeniul de definiție pe u și din codomeniu pe v .

Ramâne funcția bijectivă: f:A  B. Deci A~B si A = B . Atunci card (AU ) = a+1 a a = b; card (BU) = b+1 b.

Teorema : dacă numărul natural a este finit, atunci si a+1 este finit .

Presupunem că a+1 nu este finit. Atunci avem : a+1 = (a+1) + 1, iar din teorema anterioară rezultă că a =a+1, adică a nu ar fi finit , ceea ce contrazice ipoteza. Schematic, inducția matematică se prezintă astfel : P(a) este adevarată.

Ipoteza :P(k) se presupune adevarată.

Concluzia P(k+1) se demonstrează că este adevarată.

Folosind inducția, se demonstrează că numerele naturale sunt și regulate față de adunare (adica , daca a + n = b + n , atunci a = b) și numerele mulțimii N* sunt regulate față de înmulțire (adică, dacă axn=bxn, atunci a=b).

Adunarea și înmulțirea numerelor naturale verifică aceleați proprietăți ca și adunarea si înmultirea cardinalilor .

Relația de ordine totală

Spunem ca a este cel mult egal cu b si scriem a ≤ b , dacă exista un număr natural c astfel încât sa avem b = a + c .

Proprietăți :

     – a ≤ a, deoarece a = a + 0 ( reflexivitatea );

– a ≤ b, deoarece b = a + c; b ≤ c , deoarece c = b + d .

Adunând ultimele doua egalități , avem b + c = a + b + d + e c = a + (d + e) 

c = a + f a ≤ c. Adunând ultimele doua egalități , avem a + b = a + b + c + d c d. Numerele c și d fiind naturale, ultima egalitate este valabilă numai dacă c = d = 0. Deci, a = b (antisimetria).

    – a ≤ b , deoarece b = a + c ; b ≤ a , deoarece a = b + d

Deci relatia ≤ este una de ordine pe N. Ea este de ordine totală , deoarece , oricare ar fi o pereche (a,b) de numere naturale, avem a ≤ b sau b ≤ a.

Proprietăți ale relației de ordine totală față de adunare și înmulțire :

– dacă a +c ≤ b + c , atunci a ≤ b si reciproc;

   – dacă a ≤ b si c≤ d , avem a + c ≤ b + d;

     – dacă a≤ b si c ≤ d avem a x c ≤ b x d;

    – dacă a ≤ b atunci a x c ≤ b x c ( diferit de 0 ) si reciproc.

Operații cu numere naturale

Adunare

Numerele care se adună se numesc termeni , iar rezultatul sum sau total .

Adunarea numerelor naturale are aceleași proprietăți cu cea a cardinalelor : adunarea a doua numere naturale este tot un numar natural ( se spune ca în N adunarea este parte stabila), deci a, ba + b 

– comutativitatea: a, ba + b = b + a ;

– asociativitatea: a ,b , c avem (a + b ) + c = a + ( b + c) ;

– 0 este element neutru la adunare, aavem a + 0 = 0 + a = a.

Asociativitatea poate fi folosita cu succes în calculele mintale .

Exemplu : 1 + 2 + 3 +…..+ 97 + 98 + 99 + 100 = 100 + (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + ….. = (100 x 99) : 2 + 100 = (100 x 101) : 2.

Scăderea

A scădea3două numere a și b , primul numit descăzut, al doilea scăzător, înseamnă a găsi un număr, numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să ne dea descăzutul. Operația se noteaza cu semnul – . În felul acesta , se mai spune că scăderea este operația inversă adunării. Avem deci a – b = x, daca b + x = a . În mulțimea numerelor naturale operația de scădere este posibilă numai daca a ≥ b .

Proprietăți și reguli de calcul : )    

– a,b avem a +b – b = a ;

– pentru a scădea un număr dintr-o sumă este suficient să-l scădem dintr-un termen al sumei : a + b+ c + d – m = a+ b+ (c – m) + d ,c > m;

– dacă mărim și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a + c) – (b + c) = a – b;

– dacă micșorăm și descăzutul și scăzătorul cu același număr , diferența nu se schimbă : (a – c) – (b – c) = a – b ;

– dacă scăzătorul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr: a – (b + c ) = a – b – c ; a – (b -c ) = a – b + c;

– dacă descăzutul crește sau scade cu un număr , atunci și diferența crește sau scade cu același număr: (a + c) – b = (a – b) + c ; (a – c) – b = (a – b ) – c.

Înmulțirea

A înmulți două numere a și b, primul numit deînmulțit, al doilea înmulțitor, înseamnă a afla suma a b termeni egali cu a : a x b = a +a + a + …….+ a , b termeni.

Tot prin definiție a x 1 = a si a x 0= 0.

Numerele care se înmuțtesc se numesc factori , iar rezultatul se numește produs.

Proprietati :

–   comutativitatea: a x b = b x a , a,b N;

– asociativitatea: a x (b x c) = ( a x b) x c , a,b,c N;

– distributivitatea față de adunare: a x (b +c) = a x b+a x c , a,b,c N ; numarul 1 este element neutru ax 1 = 1 x a , a, N

Reguli de calcul :

– într-un produs de mai multi factori putem schimba oricum ordinea lor , fara ca produsul sa se schimbe ;

– într-un produs de mai multi factori putem înlocui doi sau mai multi factori prin produsul lor;

– produsul aceluiasi factor se numeste putere : a x a x a x..x a = aN; n factori ;

– înmultirea este distributiva fata de scadere : a x(b – c ) = a x b – a x c , a,b,c ÎN ; ( b>c) ;

– daca un factor al produsului se înmulteste de n ori , produsul se mareste tot de n ori.

Împărțirea

A împărți două numere a și b, primul numit deîmpărțit, al doile numit împărțitor , înseamnă a găsi un număr numit cât, care înmulțit cu împărșitorul să rezulte deîmpărțitul .

Împărțirea lui a la b se scrie a:b sau a /b .

Împărțirea este operația inversă înmulțirii. Ea nu este întotdeauna posibilă. Când împărțirea este posibilă câtul este unic . Împărțirea la 0 nu este posibilă.

Aceasta operatie poate fi văzută ca o scădere repetată cu același număr. Cu ajutorul mulțimilor, ea se pune în evidență astfel: fiind dată o mulțime A cu n elemente , formăm submulțimi disjuncte , fiecare având același număr de elemente .

Se pun în evidență două procedee de împărțire :

– împărțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al submulțimii B, trebuie să aflăm numărul de submulțimi ;

– împărțirea în părti egale este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al mulțimii A și numărul de submulțimi B, trebuie să aflăm numărul de elemente dintr-o submulțime.

Teorema împărțirii cu rest:

a,b b ≠ 0), există două numere naturale q și r numit respectiv cât si rest, astfel încât: a = b x q + r , r < b ( D = Î x Q + R ) . Numerele q și r determinate de aceste condiții sunt unice. Când restul este 0, spunem că avem o împărțire exactă.

Proprietăți și reguli de calcul

– (a : b ) x b = a ;

– a x b x c : m = a x ( b : m ) x c ;

– daca înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr, câtul nu se schimbă: a x c: b x c = a : b ;

– dacă împărțim și deîmpărțitul si împărțitorul la același număr, câtul nu se schimbă: (a : c) : ( b : c ) = a : b;

– pentru a împărți un număr la un produs, împărțim pe rând la fiecare factor al produsului;

– pentru a împărți un număr la alt produs, se efectuează mai întâi simplificările;

– pentru a împărți o sumă sau o diferență la un număr, putem împărți fiecare termen la acel număr: ( a + b – c ) : m = a: m + b : m – c : m ;

Împărțirea cu rest are următoarele reguli :

– dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr, câtul împărțirii rămâne același, dar restul se înmulțește și el cu acel număr;

– dacă înmulțim și deîmpărțitul si împărțitorul cu același număr, câtul împărțirii rămâne același, dar restul se împarte și el la același număr .

II.4. REZOLVAREA PROBLEMELOR PRIN METODE ARITMETICE

În sens psihologic o problemă este orice situație , dificultate , obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat . În general , orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare , o rezolvare , poartă numele de problemă .

Etimologic pro-bolleim înseamnă ceea ce ți se aruncă în față ca bariera, ca obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat .

Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative și în care , pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele si față de una sau mai multe.

Situația problemă înseamnă mai mult decât o problemă . Ea desemnează o situație contradictorie, conflictuală, ce rezultă din trăirea simultană a doua realități incompatibile între ele: experiența trecută și momentul cu care este confruntat subiectul. Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei să dispună de o serie de competențe în domeniile informativ, instrumental si formativ. Elevii trebuie să observe și să-și însușească urmatoarele adevăruri:

a) orice problemă presupune un enunț;

b) enunțul conține una sau mai multe propoziții;

c) enunțul ne oferă mărimi numite date ale problemei;

d) între datele problemei sunt stabilite relații matematice;

e) relațiile matematice dintre date se pot exprima prin operații matematice;

f) orice problema are cel puțin o întrebare;

g) rezolvarea problemei înseamna găsirea răspunsului la întrebare;

h)răspunsul la întrebare se poate afla prin efectuarea uneia sau mai multor operații matematice.

A rezolva o problemă de matematică înseamnă ca din datele cunoscute să deducem necunoscute , care se află în relații neexprimate în textul problemei și care trebuie descoperite . În esență rezolvarea unei probleme constă în dezvăluirea implicațiilor ascunse în care se găsește necunoscută , față de datele cunoscute .

Etapele rezolvării unei probleme sunt :

1 Cunoașterea enunțului problemei

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme . Înainte de a enunța problema , propunătorul , prin 2-3 întrebari potrivite , readuce în atenția elevilor noțiunile și ideile pe care le conține aceasta , stabilește împrejurările veridice în care se desfășoară actiunea ei și localizează aceste împrejurări astfel încât elevii să-și poată imagina faptele .

După ce se asigură de deplina atenție și concentrare a elevilor asupra problemei ce urmează a se enunta , propunătorul , enuntă textul propriu-zis , modelându-și vocea pentru a scoate in evidență datele și relațiile dintre ele , precum și întrebarea problemei .

2 Înțelegerea enunțului problemei

În vederea analizei problemei, elevii trebuie să înțeleagă, să pătrundă și să-și însușească corect conținutul respectiv. Înțelegerea enunțului unei probleme implică urmatoarele activități:

– repetarea enunțului de către propunător cu scrierea datelor pe tablă , iar elevii pe caiete ( folosind scrierea pe orizontală sau pe verticală ) ;

– explicarea cuvintelor sau expresiilor neînțelese ;

– repetarea enunțului de către 2-3 elevi ;

– ilustrarea enunțului cu ajutorul planșelor , desenelor , schemelor , graficelor .

3 Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se elimină aspectele care nu prezintă semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului . În această fază se evidențiază legătura dintre datele problemei și necunoscută .

Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute, ajungem să ne ridicăm de la situații concrete pe care le prezintă problema, la nivelul abstract care vizeză relațiile dintre parte și întreg.

Transpunând problema într-o schemă, desen sau diagramă, scriind datele cu relațiile dintre ele într-o coloană, evidențiem reprezentarea matematică a conținutului ei. Soluția problemei e ca și descoperită în momentul în care elevii au transpus-o în relații matematice.

4 Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și a rezultatului final. Pentru rezolvarea unei probleme compuse este necesar să se eșaloneze pe puncte, să se descompună în tot atâtea probleme simple cerute de conținutul prezentat, care urmează să se efectueze într-o anumită ordine.

De aceea se va trata separat fiecare punct al planului de rezolvare, arătându-se procesul de gândire care stă la baza stabilirii operației corespunzătoare, pentru a justifica operația respectivă. O importanță majoră în formarea priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme îl are etapa următoare.

5 Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Această etapă constă în verificarea soluției problemei, la găsirea altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. În această etapă se realizează autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul, precum și demersul de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea este făcută frontal , sau prin activitate independentă , este posibil ca în șirul de raționamente ca și în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum și în efectuarea operațiilor indicate să se strecoare erori care să conducă la o altă soluție decât cea bună . În plus , prin folosirea unor căi și metode diferite, se poate ajunge la soluții diferite sau la soluții ilogice, neconforme cu realitatea ( de genul-vârsta tatălui este de…250 de ani ).

După rezolvarea unei probleme, se recomandă – pentru a scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea ( transpunerea ) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz în fragmente de exercițiu. Raționamentul problemei se generalizează prin formula numerică respectivă, iar treptat dupa rezolvarea mai multor probleme care se încadrează în acest algoritm, el poate fi exprimat printr-o formula generală. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme cu aceleași date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme.

O altă sarcină a învățătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relații dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic și îmbină fragmentele după o logică riguroasă.

CLASIFICAREA PROBLEMELOR

Problemele de matematică în ciclul primar se pot grupa astfel :

A . – după finalitate și după sfera de aplicabilitate :

* teoretice

* aplicații practice

B . – după numărul operațiilor :

* probleme simple

* probleme compuse

C . – după conținutul specific problemele pot fi :

* geometrice

* de mișcare

* de amestec și aliaj

* algebrice

D . – după metoda folosită în rezolvare :

* probleme generale

* probleme tipice ( particulare ) :

a) – metoda figurativă

b) – metoda comparației

c) – metoda falsei ipoteze

d) – metoda mersului invers

e) – metoda reducerii la unitate

* probleme nonstandard .

În mod obișnuit clasificarea problemelor se face , după complexitate lor în :

– probleme simple

– probleme compuse

– probleme tipice

REZOLVAREA PROBLEMELOR SIMPLE

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală , în familie în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui .

Respectând particularitățile de vârstă ale elevilor de clasa I , activitatea de rezolvare și compunere a problemelor se va face la început , numai pe cale intuitivă . Primele probleme se vor introduce sub formă de joc și au caracter de probleme acțiune folosindu-se un bogat material didactic ilustrativ .

Rezolvarea primelor probleme se realizeză la un nivel concret ca acțiuni de viață ( au mai venit…fetițe , s-au apart…baloane , au plecat…băieți , i-a dat…creioane colorate , au mâncat…bomboane ) , ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii ( elevul vine la magazin , cumpără , plătește sau copilul este la școală și primește cărți sau creioane ) .

Pe baza experienței dobândite în etapa preșcolară , precum și în primele lecții de matematică elevii reușesc ușor să traducă în operații matematice acțiunile cerute în enunțul problemei propuse spre rezolvare . În această fază , activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de calcul . Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de problemă; întrebarea problemei; rezolvarea problemei; rezultatul probleme . Deși rezolvările de probleme simple par ușoare , învățătorul trebuie să prezinte elevilor săi , rezolvând sub îndrumarea și controlul său , toate genurile de probleme care pot fi rezolvate printr-o singură operație .

Momentul cel mai important în rezolvarea problemelor simple îl constituie stbilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații . În enunțul unei probleme , formulat de învățător sau de elev , nu se spune 3 fetițe + 2 fetițe ci se spune că erau trei fetițe și au mai venit două fetițe; nu se spune 4 baloane – 2 baloane, ci că au fost 4 baloane și s-au spart 2 dintre ele .

Pentru stabilirea operației corespunzătoare fiecărei probleme simple este necesar ca elevii să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire, astfel încât alegerea unei anumite operații să poată fi justificată în mod rațional .

Împrejurările care determină alegerea unei anumite operații sunt diferite .

Astfel :

1. Adunarea se întrebuințează pentru :

a) aflarea sumei a două sau mai multe numere ;

b) aflarea unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat ( probleme de genul cu atât mai mult ) .

2. Scăderea se utilizează în următoarele cazuri :

a) când acțiunea indicată de problemă are ințeles de luare , de scoatere ( aflare a restului)

b) când se cere aflarea unui număr care să fie cu câteva unități mai mic decât numărul dat ( probleme de genul cu atât mai puțin) :

c) când problema se referă la gruparea prin diferență a două numere sau mărimi pentru a stabili care este mai mare sau mai mic și cu cât .

3. Înmulțirea se întrebuințează în rezolvarea problemelor :

a) de repetare de un număr de ori a unui număr dat ca termen al adunării ;

b) de aflare aunui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat ;

c) de aflare a produsului .

4. Impărțirea se utilizeză în rezolvarea problemelor în următoarele cazuri :

a) de aflare a câtului în cazul împărțirii în părți egale ;

b) de aflare a câtului în cazul împărțirii prin cuprindere ;

c) de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat ;

d) de aflare a unei singure părți dintr-un întreg ;

e) de aflare a raportului dintre două numere .

În general , pentru alegerea operației pe care o comportă rezolvarea unei probleme simple se pornește de la înterbarea problemei și cu ajutorul unui proces de gândire se stabilește corespondența dintre această întrebare și unul din cazurile specificate mai sus . Reținerea întrebării problemei este un moment foarte important în activitatea de compunere și rezolvare de probleme .

Învățătorul trebuie să-i învețe pe elevi să afle o pluritate de soluții , care se pot construi în tot atâtea raționamente , judecăți și probleme distincte .

De multe ori aceeași problemă pusă sub altă formă , îi pune pe elevi în încurcătură . De aceea nu este de ajuns rezolvarea problemelor simple numai sub o formă , ci trebuie analizată în toate formele . Astfel îi facem pe elevi să gândească , să descopere singuri căile de rezolvare îi obișnuim să se descurce singuri în diferite situații problemă .

Pe elevii de clasa I de multe ori cifrele îi determină să ignore conținutul problemei și să fie preocupați de ceea ce ar putea face cu ele și nu ce trebuie de fapt să facă ținând cont de textul și întrebarea problemei .

În general , problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de către elevi însă apar și dificultăți de genul :

– neglijarea întrebării ;

– includerea răspunsului în enunț ;

– neglijarea unei date ;

– confundarea operației ce trebuie efectuată , datorită neînțelegerii sensului semantic al cuvintelor : adăugat, crescut, rest, diferență, cu atât mai mult, cu atât mai puțin, de atâtea ori mai mult , de atâtea ori mai puțin .

Pentru depășirea acestor dificultăți sunt recomandabile :

– rezolvarea unui mare număr de probleme ;

– analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme ;

– abordarea unei mari varietăți de răspunsuri ;

– prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii să le completeze și apoi să le rezolve ;

– prezentarea datelor unei probleme la care elevii să pună întrebarea și invers ;

– prezentarea unor povestiri, care de fapt nu sunt decât așa-zise probleme latente.

– completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea ;

– rezolvarea unor probleme în care operația nu apare la prima vedere ;

– compunerea de probleme după anumite date , după scheme date , folosind inversarea datelor sau alte date ;

– alcătuirea de către elevi a unor probleme , în mod liber , fără a fi limitați de existența datelor , de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație . De fapt , prin aceste procedee se urmărește propriu-zis , nu o învățare a problemelor ci formarea capacităților de a domina varietatea lor , care este practic infinită . Procedeele trebuie introduse și folosite în mod gradat , pe măsură ce elevii capătă experiență în activitatea de rezolvare și compunere a problemelor .

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați spre exersarea flexibilității și fluenței gândirii . Prin rezolvare , elevii ajung să opereze în mod real cu numere să facă operații de compunere și descompunere,să folosească strtegii șimodele mintale anticipative .

Încă de la începutul clasei I , după predarea numerelor până la 10 , elevii sunt antrenați să rezolve oral , apoi în scris probleme simple ( primul semestru ) la un nivel concret , iar în semestrul al-II-lea , probleme compuse.

REZOLVAREA PROBLEMELOR COMPUSE

Rezolvarea problemelor simple constituie prima etapă în formarea deprinderii de a rezolva probleme .

După ce s-au rezolvat suficient de multe asemenea probleme și elevii au căpătat o oarecare îndemțnare în rezolvarea lor , se poate trece la rezolvarea problemelor compuse . Baza de sprijin atunci când trecem la rezolvarea problemelor compuse o constituie cunoașterea elementelor și tehnicii rezolvării problemelor simple .

Dacă în rezolvarea rpoblemelor ce necesită o singură operație ne folosim doar de cele două date cu care rezolvăm problema , în cadrul problemelor compuse este necesar un efort al gândirii mult mai mare , pentru că acestea conțin mai multe date și trebuie alese perechile de valori care se leagă într-o relație determinată .

Această activitate cere un anumit efort al gândirii și o anumită experiență în rezolvarea problemelor care să-i conducă pe elevi în desprinderea problemelor simple din cadrul celei compuse . Acest proces de analiză trebuie orientat către întrebarea problemei .

În cadrul problemelor compuse se cere stabilirea unor relații logice între valorile numerice ale problemei și întrebarea ei nu în formă directă , ci prin intermediul altor întrebări al căror răspuns duce la descoperirea altor valori numerice , pe baza cărora se ajunge la răspunsul întrebării compuse .

Având în vedere complexitatea sarcinilor ce revin în rezolvarea problemelor compuse , trecerea de la problemele simple la cele compuse trebuie făcută cu mare atenție , introducându-i pe elevi treptat în tainele acestei activități prin familiarizarea lor cu elementele problemei compuse . Acest lucru se poate face prin mai multe moduri :

1 . Realizarea unei acțiuni care să cuprindă două faze distincte:formularea problemei și rezolvarea acelei probleme .

2 . Rezolvarea succesivă a două probleme simple astfel formulate încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a duoa .

În utilizarea primei posibilități , în vederea trecerii de la rezolvarea unei probleme simple la alta compusă , se pot crea situații concrete , cu obiecte existente în clasă .

Metoda analitică

A examina o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi întâi problema în ansamblu apoi pornind de la întrebarea ei a o descompune în probleme simple din care este alcătuită și a le aranja într-o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod convergent la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea prolemei date .

Metoda sintetică

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei , a grupa aceste date după relațiile dintre ele , astfel încât să se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile și a le așeza într-o succesiune logică astfel încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei date .

Cele două metode nu pot fi separate deoarece în procesul gândirii ele formează o unitate , astfel că nu putem vorbi de folosirea în exclusivitate numai a uneia dintre cele două metode . În analiza unei probleme intervin ambele metode , ca laturi separate ale procesului unitar de gândire , dar în unele momente una din ele este dominantă .

Descompunerea unei probleme compuse în probleme simple din care este formată , constituie prin esență un proces de analiză , iar formarea planului de rezolvare cu stabilirea succesiunii problemelor simple constituie un proces de sinteză.

În practică s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă , dar nu solicită prea mult gândirea elevilor . Mai mult , se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei . Metoda anlitică pare mai dificilă , dar solicită mai mult gândirea elevilor și , folosind-o , îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei , să aibă mereu în atenție întrebarea problemei .

Probleme ce se rezolvă prin metoda figurativă sau grafică.

Prin această metodă reprezentarea mărimilor din problemă și a relațiilor dintre ele utilizează elemente grafice sau desene și scheme . În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adecvate naturii datelor problemei și specificului lor cât și etapei de școlarizare .

Figurarea prin desen – se folosește încă de la clasa I când elevii fac cunoștință cu noțiunea de problemă – pentru probleme cu date sau mărimi discrete ( mărimile pot fi numărate câte una și se pot pune în corespondență după anumite criterii ) . În acest caz mărimile le figurăm prin simboluri .

Exemplu :

1) Dacă se așează câte un elev ântr-o bancă rămân14 elevi în picioare . Dacă așezăm câte 2 elevi ântr-o bancă rămân 3 bănci libere .Câți elevi și câte bănci sunt ?

Scriem datele :

1 elev … 1 bancă … 14 elevi … 2 elevi … 1 bancă … 3 bănci … ? elevi … ? bănci

După însușirea enunțului de către elevi , se poate purta cu ei următorul dialog : Enunțul acestei probleme conține două părți distincte și anume , dacă îi așezăm într-un anume fel se întâmplă ceva , iar dacă-i așezăm altcumva , se întâmplă altceva . Să mai observăm că datele problemei sunt mărimi cărora le-am zis discrete ( bănci și elevi ) , mărimi care se pot pune în corespondență după criterii desprinse din analiza textului . Deci , din analiza primei părți desprindem că mulțimea elevilor și mulțimea băncilor pot fi în așa fel privite încât elementele lor să fie organizate astfel : fiecărui elev îi corespunde o bancă , situație în care 14 elevi rămân în picioare , deci nu au loc . Să figurăm printr-un desen această situație ( convenind asupra simbolurilor folosite ) . Se realizează la tablă următorul desen :

Așa ar apare desenul care sugerează situația inițială . Am așezat în fiecare bancă câte un elev , în felul acesta rămânând 14 elevi în picioare , cei desenați la urmă . Deoarece nu cunoaștem câte bănci sunt , am figurat primele trei și ultima , arătând că …sugerează că mai sunt asemenea bănci cu câte un elev .

Acum , legătura cu partea a doua a enunțului s-ar face astfel : Nu ne convine așezarea unui singur elev într-o bancă deoarece rămân unii elevi ( 14 ) fără loc . Se propune dispunerea a câte 2 elevi într-o bancă . Cum se poate face acest lucru ?

Probabil că vor exista elevi care să propună că ar fi mai bine să ne ocupăm de cei 14 elevi rămași în picioare și să-i distribuim câte unul în fiecare bancă. Deci trebuie să realizăm grupuri de forma. Aceste mutații sunt sugerate prin următorul comentariu: Tu, primul elev care stai în picioare, treci lângă colegul tău în prima bancă și completeaz-o până la doi elevi. Tu, al doilea, treci treci lângă colegul tău din a doua bancă și așa mai departe , până se așază câte doi elevi în fiecare bancă .

Elevii vor constata că cei 14 elevi ce erau în picioare vor completa 14 bănci până la doi elevi . Deoarece enunțul menționează că așezându-i câte doi într-o bancă rămân 3 bănci libere , înseamnă că din aceste bănci s-au mai ridicat 3 elevi ( inițial fiecare bancă avea câte un elev ) care au completat ca și ceilalți colegi ai lor încă trei bănci cu doi elevi .

Să recapitulăm : avem 14 bănci cu câte doi elevi completate de cei 14 elevi ce erau în picioare și încă 3 bănci cu doi elevi completate astfel prin ridicarea din trei bănci care trebuie să rămână libere și , în fine , rămân 3 bănci libere .

În acea clasă erau : 14 +3 + 3 = 20 ( bănci )

Aflarea numărului de elevi nu mai constituie o greutate . Se poate afla din prima parte a enunțului :

20 + 14 = 34 ( elevi )

Răspuns : 20 de bănci și 34 de elevi .

Probleme asemănătoare se pot rezolva prin metoda figurativă, folosind drept modele ( desene ) ale mărimilor din enunț simboluri mult mai simplificate. Figurarea prin segmente de dreaptă, cu date sau mărimi continui , caz în care le figurăm prin segmente .

Două bucăți de pânză aveau aceeași lungime . După ce s-au vândut 18 m din prima bucată și 25 m din cealaltă , în prima a rămas de 2 ori mai multă pânză decât în a doua .

1. Aflăm lungimea pânzei rămasă în a doua bucată .

25 m – 18 m = 7 m

2. Aflăm câți metri de pânză a avut a doua bucată .

7 m + 25 m = 32 m

Verificare:

( 32- 18 ) : ( 32 -25 ) = 2 , Răspuns : 32 m

2) Într-o grupă sportivă sunt 17 copii. Băieții sunt cu 3 mai mult decât fetele . Câți băieți și câte fete sunt în grupă ?

Primul mod :

1. Aflăm dublul numărului fetelor .

17 – 3 = 14 ( fete )

2. Aflăm numărul fetelor .

14 : 2 = 7 ( fete )

3. Aflăm numărul băieților .

17 – 7 0 10 ( băieți )

Probleme ce se rezolvă prin metoda comparației .

Comparația ca operație a gândirii logice intervine în multe momente și situații ale activității matematice, dar cu deosebire în probleme în care două mărimi necunoscute sunt legate între ele prin două relații liniare bine precizate , valorile unitare fiind aceleași .

Problemele tipice care se rezolvă prin aducerea la același termen de comparație pot fi cu două , trei și mai multe necunoscute, numărul relațiilor fiind în mod necesar egal cu numărul mărimilor respective .

Așezarea datelor într-o problemă de eliminare prin reducere se face cu respectarea relațiilor stabilite între mărimi , astfel încât valorile aceleiași mărimi să fie puse în evidență în mod direct , așezând valorile de același fel unele sub altele .

Rezolvarea problemei se face prin eliminarea succesivă a necunoscutelor până se ajunge la o relație cu o singură necunoscută .

Problemele de eliminare prin reducere pot conține sau nu valori egale pentru una din mărimi . Dacă una din mărimi ia valori egale , reducerea se face direct .

În cazul în care problema nu conține valori egale pentru nici una din mărimi întâi se egalează valorile uneia din mărimi adică are loc aducerea la același termen de comparație prin înmulțirea sau împărțirea uneia dintre relații cu numere astfel alese încât valorile respective să devină egale . Se pot aduna sau scade diferite relații între ele astfel încât să se ajungă la eliminarea simultană a unei mărimi sau a mai multora – depinde de enunțul problemei .

Exemple :

1 ) Pentru 4 vaci și 6 porci se consumă dimineața 28 kg nutreț . Pentru 4 vaci și 8 porci se consumă 32 kg nutreț .

Câte kg de nutreț se consumă pentru o vacă și pentru un porc ?

Notăm datele problemei pe două șiruri corespunzătoare celor două situații.

4 vaci 6 porci 28 kg

4 vaci 8 porci 32 kg

# 2 porci 4 kg

Se observă că și prima dată și a doua oară avem același număr de vaci dar avem cu 2 porci mai mult , respectiv o cantitate de nutreț mai mare cu 4 kg .

Rezolvare :

Cu câți porci sunt mai mult a doua oară ?

8 – 6 = 2 ( porci )

2. Câte kg de nutreț consumă cei doi porci ?

32 – 28 = 4 ( kg )

3 . Câte kg de nutreț consumă un porc ?

4 : 2 = 2 ( kg )

4. Câte kg de nutreț consumă 6 porci ?

2 x 6 = 12 ( kg )

5. Câte kg de nutreț consumă 4 vaci ?

28 – 12 = 16 ( kg )

6. câte kg de nutreț consumă o vacă ?

16 : 4 = 4 ( kg )

Răspuns : – 4 kg nutreț consumă o vacă

– 2 kg nutreț consumă un porc .

Probleme care se rezolvă prin metoda falsei ipoteze ( probleme de presupunere ) .

Problemele din această categorie sunt foarte numeroase . Orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale poate fi rezolvată prin metoda falsei ipoteze . În rezolvarea problemelor din această categorie se pleacă de la întrebarea problemei , în sensul că asupra mărimii ce o căutăm , facem o presupunere complet arbitrară . În această situație refacem problema pe baza presupunerii făcute .

Ipoteza nu o lansăm cu intenția de a nimeri răspunsul , ci pentru a vedea din nepotrivirea cu enunțul ce modificări trebuie să facem asupra ei .

Deoarece mărimile sunt proporționale , rezultatele obținute pe baza presupunerii se translatează în plus sau în minus, după cum presupunerea făcută este mai mică, respectiv mai mare, decât rezultatul real .

Refăcând problema, ajungem la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. Este fie mai mare, fie mai mic decât acesta .În acest moment se compară rezultatul pe baza presupunerii cu cel real din punct de vedere al câtului și observăm de câte ori am greșit când am făcut presupunerea. Obținem, așadar, un număr cu ajutorul căruia corectăm presupunerea făcută, în sensul că o micșorăm sau o mărim de acest număr de ori.

Dacă am aplica o serie de încercări succesive până nimerim soluția , ar fi o rezolvare empirică . Comun cu această rezolvare este numai faptul că facem o încercare arbitrară ; o continuăm printr –un raționament ( soluția o stabilim în mod rațional ) .

După numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor sunt probleme pentru a căror rezolvare este suficientă o singură ipoteză , dar și probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive .

Exemple :

1) Un elev are 18 caiete de 50 și de 8o de foi , având împreună 1050 foi . Câte caiete are de fiecare fel ?

Rezolvare :

Presupunem că toate caietele ar fi de 50 de foi . Avem atunci :

50 x 18 = 900 ( foi )

În problemă se spune că avem 1050 foi . Deci :

1050 – 900 = 150 Această diferență provine din faptul că sunt caiet de 80 de foi . Diferența de foi dintre 2 caiete diferite este de :

80 – 50 = 30 ( foi )

Câte caiete de 50 de foi vor fi înlocuite ?

150 : 30 = 5 ( caiete de 80 de foi )

Cîte caiete cu 50 de foi au rămas?

18 – 5 = 13 ( caiete 50 foi )

Verificare : 5 x 80 + 13 x 50 =

Probleme ce se rezolvă prin metoda mersului invers ( probleme de rest prin rest ).

Prin metoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a șirului de calcule ce rezultă din enunțul problemei .A rezolva un exercițiu sau o problemă prin metoda mersului invers înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate de text până se ajunge la elementul de bază pe care s-a constituit exercițiul sau problema. Înțelegerea problemei se bazează pe exercițiile de aflare a unui număr considerat necunoscut , dar asupra căruia s-au efectuat anumite operații al căror rezultat este dat .Problemele gen rest din rest au un enunț care le evidențiază denumirea .Rezolvarea unei asemenea probleme începe cu ultima etapă de mers, observând ce fracție reprezintă mărimea din ultimul rest.

Găsim astfel ultimul rest. Mergând în continuare în sens invers enunțului observăm cât reprezintă acest ultim rest din restul precedent. Găsim penultimul rest. Continuând în același mod calculăm al doilea rest , apoi primul rest și în final întreaga mărime.

Verificarea problemei se face prin efectuarea calculelor în sensul direct al enunțului .

Un elev a rezolvat toate problemele dintr-o culegere în 5 zile . În prima zi a rezolvat 1/5 și încă 3 probleme , a doua zi 2/5 din rest și încă 3 probleme , a treia zi 3/5 din rest și încă 4 probleme , a patra zi 3/5 din rest și ăncă 5 probleme . Pentru a cincea zi i-au mai rămas de rezolvat 3 probleme .

Câte probleme a rezolvat elevul ?

I. 1/5 x T + 3 R1

II. 2/5 x R1 + 3 R2

III. 3/5 x R2 + 4 R3

IV. 3/5 x R3 + 5 R4

V. R4 = 3

1. Cât reprezintă 2/5 din R2 ?

5 + 3 =8

2. Cât este R3 ?

8 : 2 x 5 = 20 ( probleme )

3. Cât reprezintă 2/5 din R2?

20 + 4 = 24 ( probleme )

4. Cât reprezintă R2 ?

24 : 2 x 5 = 60 ( probleme )

5. Cât reprezintă 3/5 din R1?

60 + 3 = 63 ( probleme )

6. Cât reprezintă R1?

63 : 3 x 5 = 105 ( probleme )

7. Cât reprezintă 4/5 din numărul total de probleme ?

105 + 3 = 108 ( probleme )

8. Care este numărul total de probleme ?

108 : 4 x 5 = 135 ( probleme )

Răspuns : 135 ( probleme )

Observăm că pentru rezolvarea problemelor ne folosim atât de relațiile scoase din enunțul problemelor cât și de schema grafică . Folosindu-ne de această metodă putem rezolva și exerciții de tipul :

M-am gândit la un număr , la acesta adaug 7, rezultatul îl înmulțesc cu 6 , din produsul obținut scad 10 , rezultatul se împarte la 4 , apoi se adună cu 5 , obținându-se 25 . La ce număr m-am gândit ?

Enunțul se scrie sub forma unei ecuații de gradul I :

[ (y + 7 ) x 6 – 10 ] : 4 + 5 = 25

Expresia reprezintă o adunare în care primul termen este necunoscut ; un termen al adunării se află prin operația de scădere , adică :

[ ( y + 7 ) x 6 – 10 ] : 4 = 25 – 5

[ ( y + 7 ) x 6 – 10 ] : 4 = 20

Acum exercițiul reprezintă o împărțire în care deîmpărțitul este necunoscut ; el este egal cu produsul dintre împărțitor și cât , adică :

( y + 7 ) x 6 – 10 = 20 x 4

( y + 7 ) x 6 – 10 = 80

Avem o scădere în care nu cunoaștem descăzutul și îl putem afla făcând suma dintre diferență și scăzător :

( y + 7 ) x 6 = 80 + 10

( y + 7 ) x 6 = 90

Exercițiul se reduce la o înmulțire în care nu cunoaștem unul din factori pe care îl putem afla împărțind produsul la factorul cunoscut :

Y + 7 = 90 : 6

Y + 7 = 15

Am redus exercițiul la o adunare în care trebuie să aflăm unul din termeni , scăzând din sumă termenul necunoscut :

Y = 15 – 7

Y = 8

Verificarea se face prin efectuarea calculelor în mod direct

Probleme cu mărimi proporționale .

În problemele cu părți proporționale intervin două feluri de mărimi :

Mărimi direct proporționale – două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă o mărime se mărește sau se micșorează de un număr de ori cealaltă se mărește sau se micșorează de același număr de ori . Raportul a două valori ale uneia din mărimi este egal cu raportul valorilor corespunzătoare ale celeilalte mărimi : x1/x2 = y1/y2 .

Exemple :

– cantitatea de marfă și valoarea ei în unități monetare ;

– timpul de lucru și contribuția ;

– spațiul și timpul în mișcarea uniformă ;

– debitul și cantitatea de lichid acumulat într-un timp determinat .

Mărimi invers proporționale – două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă prima mărime se mărește de un număr de ori valoarea corespunzătoare din a doua mărime se micșorează de același număr de ori și invers . Raportul a două valori ale uneia din mărimi este egal cu inversul raportului dintre valorile corespunzătoare ale celeilalte mărimi : x1/x2 = y2/y1.

Exemple:

– numărul muncitorilor și timpul de lucru pentru un volum de muncă dat ;

– viteza și timpul în mișcarea uniformă pentru un spațiu dat ;

– dimensiunile unui dreptunghi de arie dată .

1. Trei muncitori cu aceeași calificare lucrează respectiv 5 piese , 8 piese și 7 piese de același fel , pentru care primesc 7 600 000lei .

Ce sumă primește fiecare ?

În clasele I-IV apar probleme de împărțire în părți direct proporționale cu numerele date . Elevii vor înțelege cu ușurință că dacă muncitorii aduc o contribuție diferită în realizarea unui produs , este firesc ca retribuția lor să fie diferită .

Pentru stabilirea sumei ce se cuvine fiecărui muncitor , proporțional cu numărul de piese lucrate , este necesar să se cunoască cât primește pentru o singură piesă lucrată . De aici rezultă că metoda prin care se stabilește suma corespunzătoare pentru o singură piesă , pentru o singură unitate , se numește reducere la unitate .

Rezolvarea problemei comportă două etape distincte :

1. aflarea sumei corespunzătoare pentru o singură piesă ;

2. aflarea sumelor corespunzătoare pentru piesele lucrate de fiecare muncitor în parte.

Rezolvare :

1. Aflăm numărul total de piese .

5 + 8 + 7 = 20 ( piese )

2. Aflăm suma corespunzătoare unei singure piese .

7 600 000 : 20 = 380 000 ( lei )

3. Cât primește primul muncitor ?

380 000 x 5 = 1 900 000 ( lei )

4. Cât primește al doilea muncitor ?

380 000 x 8 =3 040 000 ( lei )

5. Cât primește al treilea muncitor ?

380 000 x 7 = 2 660 000 ( lei )

Acest procedeu poate fi formulat astfel :

– pentru a împărți un număr în părți direct proporționale cu anumite numere date se împarte acel număr la suma numerelor date , iar câtul obținut se înmulțește cu fiecare din aceste numere .O categorie specială o constituie problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă . Metoda de bază o constituie reducerea la unitate , regula de trei simplă fiind doar o anumită formă de așezare a datelor .

În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin două mărimi direct sau invers proporționale , fiecare mărime cu câte o pereche de valori , una din aceste valori fiind necunoscută . Se dau trei valori cu ajutorul cărora se găsește cea de-a treia valoare , fapt care justifică și denumirea .

Pentru rezolvarea problemelor prin această metodă este suficient să se așeze datele conform unor reguli iar în rezolvare și calcul să se utilizeze metoda proporțiilor dar această metodă cere cunoștințe matematice pe care elevii le parcurg abia la gimnaziu pentru clasele din învățământul primar folosindu-se metoda reducerii la unitate .

1) O cantitate de 250 kg . cartofi a fost ambalată în 10 lăzi . Dar 375 kg . cartofi în câte lăzi se vor ambala ?

250 kg…………………………………………………..10 lăzi

375 kg……………………………………………………y lăzi

Mărimile fiind direct proporționale , aplicăm metoda reducerii la unitate :

250 kg…………………………………………………..10 lăzi

1 kg………………………………………………………10/250 lăzi

375 kg…………………………………………………..10/250 x 375 = 15 lăzi

2) Un număr de 26 muncitori sapă un șanț în 17 zile . În câte zile vor săpa același șanț 34 de mincitori ?

Stabilim cele două mărimi : muncitorii și zilele și vedem că sunt mărimi invers proporționale .

26 muncitori………………………………….17 zile

34 muncitori………………………………….y zile

Avem :

26 muncitori…………………………………..17 zile

1 muncitor……………………………………17 x 26 zile

34 muncitori………………………………….17 x 26 : 34 zile

Răspuns :13 zile

Probleme cu conținut geometric Predarea și învățarea cunoștințelor de geometrie în clasele primare au drept scop principal dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copii necesare în clasele următoare pentru însușirea sistematică și logică a geometriei , deci o bază reală și sigură pentru dezvoltarea raționamentului privind formele spațiale ale materiei .

Studiul geometriei la clasele I – IV , implică înarmarea elevilor cu un sistem de cunoștințe coerent și bine structurat despre formele obiectelor lumii reale , mărimea și propriatățile acestora , a efectua măsurători , a stabili mărimi și distanțe , a calcula , a defini corect noțiunile și elementele care se constituie apoi fundament pentru învățarea în clasele următoare a cursului sistematic și logic de geometrie .

În geometrie , desenul este de o importanță covârșitoare , rațiune pentru care , încă de la primele clase , construcția figurilor trebuie să constituie o verigă importantă a structurii lecțiilor cu conținut geometric . Construcția unei figuri geometrice are avantajul că prezintă prin câteva linii forma figurilor , sugerează relații între elementele lor , pe baza cărora elevii sunt puși să descopere alte proprietăți care se pot verifica prin raționament . Desenul trebuie mai întâi să fie explicat pentru ca fiecare segment trasat să-și găsească corespondentul în modelul real alăturat .

De asemenea , o altă cerință de bază a activității didactice în predarea și învățarea elementelor de geometrie , precum și în rezolvarea problemelor aferente o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunoștințe și abilități geometrice care sunt funcționale , adică spre acele cunoștințe ce pot fi aplicate și transferate eficient în orice situație de mediu ( teoretică sau practică ) . În această ordine de idei , învățătorulu trebuie să rețină că :

a) abilitatea practică de a ști ( putea ) să rezolve probleme se capătă prin exercițiu prin studiu pe modele reale sau create , printr-o activitate îndrumată , printr-o activitate de grup și în mod obligatoriu printr-o activitate personală ;

b) acitvitatea de rezolvare de probleme asigură și consolidarea cunoștințelor de geometrie , realizând deschideri în planul motivațiilor favorabile continuării studiului, dezvoltării pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.

II.5. ANALIZA METODELOR UTILIZATE ÎN ETAPA INTRODUCERII FACTORULUI DE PROGRES

Activizarea învățării presupune folosirea unor metode, tehnici și procedee care să-l implice activ pe elev în procesul de învățare, urmărindu-se dezvoltarea gândirii, a motivației pentru învățare, dar și stimularea creativității. Astfel, elevul este ajutat să înțeleagă lumea în care trăiește și să aplice în diferite situații de viață ceea ce a învățat.

Metodele activ – participative sunt metodele care au capacitatea de a stimula participarea activă și deplină a elevilor în procesul de învățare.La baza metodelor de predare – învățare – evaluare stau principiile didactice, iar dintre acestea, principiul însușirii activeși conștiente a cunoștințelor explică cel mai bine rolul metodelor activ -participative în cadrul procesului instructiv – educativ.

Acest principiu exprimă necesitatea ca în învățare subiectul educațional (elevul) să înțeleagă semnificațiile procesului studiat, să depună efort operațional, mental și acțional. Astfel, învățarea trebuie să fie un act de trecere a cunoștințelor prin filtrul propriu al gândirii elevului.

Învățarea conștientă se poate realiza prin intermediul motivației pozitive, cu ajutorul satisfacțiilor obținute de elevi în învățare, prin formarea convingerilor care susțin învățarea, dezvoltând disponibilitățile de creație ale elevilor și profesorilor. Însușirea activă a cunoștințelor se poate realiza în clasă și acasă, prin participarea la descoperirea cunoștințelor împreună cu profesorul, cu ceilalți elevi prin lucrul individual și în grup, prin studiul individual, prin consultarea bibliografiei, prin elaborarea unor portofolii, etc.

S-a demonstrat că un copil reține 30% din ceea ce aude și vede în același timp, dar 90% din ceea ce spune în timp ce desfășoară o activitate care îl interesează. De aceea o mare importanță în procesul instructiv – educativ o are alegerea metodelor didactice aplicate de cadrul didactic pe parcursul orelor desfășurate la clasă. În procesul educațional cele mai adecvate metode de predare – învățare – evaluare sunt cele activ – participative care conduc la însușirea conștientă și activă a cunoștințelor teoretice și practice. Sunt considerate activ – participative toate acele metode care sunt capabile să modeleze energiile elevului, să-i concentreze atenția, să-l facă să urmărească cu interes și curiozitate lecția, să-i câștige adeziunea logică și afectivă față de cele nou învățate, care-l îndeamnă să-și pună în joc imaginația, înțelegerea, puterea de participare. (Ioan Cerghit, 1990).

Caracteristicile principale ale metodelor de activizare sunt:

-învață elevul cum să învețe;

-facilitează interacțiunea și cooperarea între membrii colectivului;

-ajută elevul să cerceteze, să prelucreze cunoștințele și să le integreze în sisteme noi;

-creează situații problematice, determinând astfel implicarea activă a elevului, cu toate resursele posibile;

-stimulează dezvoltarea gândirii creatoare, a imaginației, memoriei și

voinței.

Prin intermediul acestor metode, cadrul didactic își redimensionează continuu rolurile și ipostazele, manifestând un comportament deschis și o atitudine pozitivă, deschisă și reflexivă, promovând astfel o învățare interactivă și stimulând întregul potențial al elevilor. Aceștia din urmă depun astfel un efort de reflecție personal, întreprind acțiuni mintale de căutare, de cercetare și redescoperire a adevărurilor, de elaborare a noilor cunoștințe.

În urma aplicării metodelor de activizare, schimbările observate la elevi țin deopotrivă de eficiența învățării și de atitudinea acestora față de sine, față de ceilalți si față de învățare în general.

II.5.1.Tipuri de metode de activizare

Unele dintre cele mai cunoscute și utilizate metode de activizare sunt :

– Cubul

– Mozaicul

– Metoda cadranelor

– Brainstorming

– Metoda R.A.I.

– Organizatorul grafic

– Știu/Vreau sa știu/Am învățat

Cubul

Metoda presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective. Această metodă oferă posibilitatea de a dezvolta competențele necesare unei abordări complexe.

Sunt recomandate următoarele etape:

1.Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele:descrie, compară,analizează,asociază, aplică, argumentează.

2.Anunțarea temei, a subiectului pus în discuție.

3.Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe unadintre fețele cubului:

– Descrie: culorile, formele, mărimile etc.

– Compară :ce este asemănător? Ce este diferit?

– Analizează : Spune din ce este făcut, din ce se compune.

– Asociază : la ce te îndeamnăsăte gândești?

– Aplică : ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?

– Argumentează : pro sau contrași enumerăo serie de motive care vin în sprijinulafirmației tale.

4.Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.

5.Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.

Această metodă prezintă o serie de avantaje precum: formarea deprinderilor de

muncă intelectuală, creșterea responsabilității elevului față de propria învățare, dar și față de grup, sporirea eficienței învățării (elevii învață unii de la alții), dezvoltarea abilității de comunicare și cooperare, determinarea participării conștiente a elevilor prin implicarea maximă a acestora în rezolvarea sarcinilor primite. De asemenea, prin modul în care sunt prezentate, metoda diferențiază sarcinile de învățare.

Folosită la clasă, metoda prezintă și dezavantaje. Cadrul didactic nu are un control precis asupra cantității sau calității cunoștințelor dobândite de elevi și rezolvarea sarcinilor necesită resurse mari de timp. De asemenea, în timpul activității se creează zgomot deoarece elevii din fiecare grupă se sfătuiesc și își împărtățesc ideile.

În anul școar 2013 – 2014, am folosit metoda cubului în cadrul mai multor unități de învățare, printre care se află și unitatea de învățare : Numerele naturale de la 0 la 1000.

Exemplu:

Sarcinile ce vor fi rezolvate în funcție de aruncarea cubului.:

Descrienumărul 736 ( din ce este compus).

Compară numărul 629 cu numărul 384.

Analizează următoarele propozițiiși noteazăcu A sau F :

a) Cel mai mic număr de trei cifre este numărul 100. ……..

b) Cel mai mare număr de trei cifre este numărul 978. ………

Aplicăcunoștințele însusite despre numerele naturale, încercuind doar numerele pare, din șirul: 423, 532, 268, 301, 798, 357.

Asociază numerele date cu numerele la care pot fi estimate:

428 492 502 657

800 500 400

Argumentează de ce numărul 787 nu este un număr par.

Mozaicul

Este o metodă de învățare prin cooperare, prin intermediul căreia elevii își predau reciproc cunoștințele.

Etapele aplicării metodei sunt:

1. Împărțirea clasei în grupuri de 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă deînvățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unei unități de cunoaștere.

Prezentarea succintă a subiectului tratat.

2.Explicarea sarcinii care constă în înțelegerea întregii unități de cunoaștere.

3.Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care aunumărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d.

4.Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit grupului din unitatea de cunoaștere desemnată pentru oră: elevii citesc și pot predaceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar. Strategiile de predare și materialele folosite rămân lalatitudinea grupului de experți. Este foarte important ca fiecare membru al grupului de experți să înțeleagăcă el este responsabil de predarea secțiunii respective celorlalți membri ai grupului inițial.

5.Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități,se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări și celorlalți membridin grupul expert pentru secțiunea respectivă.

6.Dacă persistă dubiile, atunci problema trebuie cercetată încontinuare.

7. Trecerea în revistă a unității de cunoaștere prin prezentare orală cu toată clasa/ cu toțiparticipanții.

Cadrul didactic monitorizează predarea reciprocă și se asigură că informația și cunoștințele se transmit și se asimilează corect.

Pentru feedback-ul activității, învățătorul poate aplica un test, poate adresa întrebări pentru a verifica gradul de înțelegere a noului conținut de către elevi.

Prin această metodă este stimulată încrederea în sine a elevilor și se dezvoltă motivația acestora pentru învățare, precum și abilitățile de comunicare.

Avantaje:

-anihilarea efectului Ringelmann(lenea socială, când individul își imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie);

-dezvoltă interdependența dintre membrii grupului; ameliorează comunicarea; curiozitate, receptivitate și interes din partea grupelor; implicarea și responsabilitatea în învățare și în transmitereainformațiilor asimilate;

-colaborarea eficientă și stimularea încrederii în sine a elevilor;

– crearea de abilități de comunicare și pentru elevii cu un nivel ridicat de emotivitate;

-dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;

-optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.

Dezavantaje ale metodei:

-se creează agitație prin schimbarea elevilor de la o grupă la alta;

-unii elevi pot rămâne pasivi și se pot folosi de munca colegilor de grup.

Am folosit, spre exemplu, metoda mozaic la unitatea de învățare,Adunarea și scăderea numerelor de la 30 la 100.

(I)Elevii au fost împărțiți în 5 grupe. Fiecare elev dintr-o grupă primește câte un număr de la 1 la 5 câte o fișă, cu sarcini diferite. Toți elevii care au același număr se vor regrupa și vor începe rezolvarea sarcinilor. Li se dă voie să colaboreze. Am monitorizat permanent activitatea. Fiecare elev a devenit un expert pentru pasul următor. (II) S-a revenit la grupurile inițiale, alcătuite din elevi cu numerele 1, 2, 3, 4, 5. Experții au prezentat celorlalți din grupă modul în care au rezolvat cerințele de pe fișă. Acolo unde au fost nelămuriri au intervenit alți experți, de la alte grupe. În acest mod fiecare copil a reușit să participe activ la oră, explicând celorlalți felul în care a rezolvat

sarcina avută și a purtat apoi discuții asupra dificultății exercițiilor sau problemelor rezolvate.

*Măriți cu :

a ) 9 suma numerelor 31 și 49 b ) 6 suma numerelor 22 și 48 c ) 5 suma numerelor 44 și 56

b) În clasa a II – a C sunt 29 de elevi , iar în clasa a II – a A 21 de elevi. Câți elevi sunt în total ?

Fișa nr.3

*Completați tabelul :

Fișa nr. 4

*Aflați suma numerelor :

a) 43 și 29 b) 55 și 26 c) 38 și 27

*La suma numerelor 24 și 58 adunați diferența numerelor 38 și 27 . * Măriți cu 55 diferența numerelor 36 și 14.

Fișa nr. 5

*Găsiți baloanele pereche:

49+43

38+24

La un aprozar s-au adus 37 kg de mere și 28 kg de pere. Câte kg de fructe s -au adus în total ?

Se împart fișe de evaluare individuală fiecărui elev din grupa inițială (cu nr. 1,2,3,4,5), cu sarcini diferite. La tablă se lucrează exercițiile care au fost mai dificile.

Metoda cadranelor

Metoda urmărește realizarea unei înțelegeri cât mai adecvate a unui conținut informațional de către elevi.

Etapele aplicării metodei cadranelor sunt:

1.Împărțirea tablei în 4 părți egale;

2.Se propune câte un criteriu pentru fiecare cadran obținut;

3.Se citește textul;

4.Se formulează răspunsuri scurte pentru fiecare cadran;

5.Se evaluează rezultatele.

De asemenea, această metodă poate fi folosită cu succes în orele de matematică la rezolvarea problemelor prin metoda grafică.

Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane, repartizate după cum urmează:

Cadranul I – textul problemei

Cadranul II – reprezentarea grafică a problemei;

Cadranul III – rezolvarea problemei;

Cadranul IV – răspunsul problemei și verificarea răspunsului.

Metoda cadranelor stimulează atenția și gândirea, evidențiază modul propriu de înțelegere al elevilor și conduce la sintetizarea cunoștințelor acestora.

Această metodă prezintă o multitudine de avantaje precum: determină implicarea maximă a elevilor în rezolvarea sarcinilor date, permite formarea deprinderilor de muncă intelectuală, stimulează gândirea logică a elevilor, sporește eficiența învățării prin faptul că elevii învață unii de la alții și dezvoltă abilități de comunicare.

Am folosit cu succes această metodă în toate lecțiile de matematică din clasa I, ce aveau ca subiect Numărul și cifra …

Exemplu: Numărulși cifra 5

Brainstorming-ul (sau asaltul de idei) reprezintă formularea cât mai multor idei, oricâtde fanteziste ar putea părea acestea, ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea.Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară oproductivitate creativă cât mai mare.

Pentru derularea optimă a unui brainstorming se pot parcurge următoarele etape:

1.Alegerea temei și a sarcinii de lucru..

2.Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, fără cenzură, atuturor ideilor – chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în minte legatede rezolvarea unei situații–problemă conturate. Se pot face asociații în legătură cu afirmațiile făcute, se discută, se pot prelua, completa sau transforma ideile din grup dar, sub nici un motiv, nu se voradmite referiri critice. Nimeni nu are voie să facă observații negative

. 3.Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă, flipchart).

4.Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor (de la 15 minute până la o zi).

5.Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, imaginicare reprezintă diferite criterii etc.

6.Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior, la nivelulclasei sau al unor grupuri mai mici.

7.Selectarea ideilor originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru problema supusăatenției. În această etapă se discută liber, spontan, riscurile și contradicțiile care apar.

8.Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje,imagini, desene, cântece, jocuri de rol.

Brainstorming-ul se desfășoară în cadrul unei reuniuni formate dintr-un grup de maximum 30 de persoane, de preferință eterogen din punct de vedere alpregătirii. Durata optimă este de 20 – 45 minute.

Brainstorming-ul stimulează exprimarea liberă a ideilor elevilor și dezvoltă motivația acestora pentru învățare, mai ales la începutul unei lecții noi.

Câteva avantaje ale acestei metode sunt: eliberarea elevilor de prejudecăți, datorită faptului că ideile lor nu sunt judecate de către ceilalți, se dezvoltă relațiile interpersonale, pot fi implicați toți elevii participanți la activitate și astfel se creează o atmosferă plină de prospețime și emulație.

Principalul dezavantaj îl reprezintă faptul că se creează o anumită rumoare pe parcursul activității. De asemenea, situația poate scăpa puțin de sub control prin exprimarea liberă a ideilor fiecăruia, iar succesul aplicării acestei metode depinde de calitățile cadrului didactic sau moderatorului de a anima și dirija discuția pe făgașul dorit.

Atunci când aplic la clasă această metodă stabilesc de la început o regulă: Ascultăm cu atenție ideile tuturor colegilor și vorbim pe rând.Această metodă poate fi folosită la matematică spre exemplu la Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale în concentrul 0 – 100Se cere elevilor să scrie cuvintele cheie despre înmulțire și împărțire în Copacul ideilor.

Metoda R.A.I.

Metoda R.A.I. are la bază stimularea și dezvoltarea capacităților elevilor de a comunica ceea ce au învățat. Denumirea provine de la inițialele cuvintelor Răspunde – Aruncă – Interoghează.

Metoda poate fi folosită la începutul lecției, pe parcursul ei sau la sfârșit, în scopul descoperirii, de către cadrul didactic care asistă la joc, a eventualelor lacune în cunoștințele elevilor și a reactualizării ideilor – ancoră și se desfășoară astfel: învățătorul împreună cu elevii participă la un joc de aruncare a mingii. Cel care aruncă mingea trebuie să adreseze o întrebare din lecția predată celui care o prinde. Cel care prinde mingea răspunde la întrebare și adreseză o altă întrebare celui căruia îi aruncă mingea. Elevul care nu cunoaște răspunsul iese din joc, iar răspunsul va fi dat de cel care a aruncat mingea. Acesta are ocazia de a mai arunca o dată mingea și de a mai pune o întrebare. În cazul în care cel care interoghează este descoperit că nu cunoaște răspunsul întrebării, este scos din joc, locul lui fiind ocupat de cel căruia i-a adresat întrebarea. Treptat vor rămâne în grup doar elevii bine pregătiți.

Această metodă oferă posibilitatea de a realiza un feedback rapid, într-un mod plăcut, energizant și mai puțin stresant decât metodele clasice de evaluare. Antrenați în acest joc cu mingea, chiar și cei mai timizi elevi se simt încurajați, comunică cu ușurință și participă cu plăcere la activitate.

Metoda R.A.I. poate fi organizată cu toată clasa sau pe grupe mici de elevi, fiecare deținând câte o minge. Membrii grupului se autoelimină treptat, rămânând cel mai bun din grup. Acesta intră în finala câștigătorilor de la celelalte grupe, jocul desfășurându-se până la rămânerea în cursă a celui mai bine pregătit.

De exemplu, această metodă poate fi folosită într-o lecție de consolidare la clasa a III-a, cu subiectul Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale de la 0 la 100.

Se transmite elevilor să lanseze o întrebare și să arunce mingea la un alt coleg. Acesta va răspunde și va arunca din nou mingea lansând o nouă sarcină. Pentru fiecare răspuns corect se va oferi o recompensă (o bulină, un sticker, etc).

Exemple de sarcini:

3x2x2=

14:2=

Cum se numesc numerele care se înmulțesc?

Cum se numește rezultatul înmulțirii?

Care este dublul numărului 9?

Cum se numește numărul care se împarte?

M-am gândit la un număr, l-am înmulțit cu 4 și am obținut 32. La ce număr m-am gândit?

Organizatorul grafic

Organizatorul grafic este o metodă de învățare activă, care presupune esențializarea unui material informativ ce urmează să fie exprimat sau scris, prin schematizarea, sistematizarea și vizualizarea ideilor.

Organizatorul grafic se poate utiliza în cinci moduri:

1. pentru a realiza structuri de tip comparativ;

Unul din tipurile de organizator grafic de tip comparativ este Diagrama Venn – Euler. Aceasta presupune compararea de către elevi a două elemente: idei, concepte, evenimente, obiecte, etc. Sunt evidențiate atât trăsăturile comune, cât și cele diferite ale celor două elemente comparate. Se prezintă sub forma a două cercuri intersectate. În zonaîn care se suprapun cele două cercuri se grupează asemănările, iar în arealurile rămase libere se menționează deosebiri dintre două aspecte, idei sau concepte.

Această metodă poate fi aplicată cu succes în etapa de consolidare sau chiar în procesul de evaluare a cunoștințelor și presupune un mare efort de gândire din partea elevilor care identifică asemănări și deosebiri între doi termeni dați, în funcție de criterii cunoscute sau elaborate de elevi.

În formularea sarcinii de lucru se precizează conținutul analizat, timpul disponibil, forma de organizare a activității, numărul minim de elemente care vor fi incluse în diagrama Venn, în funcție de resursele de timp și de scopul propus (reflecție, evaluare).

Diagrama Venn poate fi folosită pentru a-i ajuta pe elevi să- și sistematizeze cunoștințele și să diferențieze informații ce par asemănătoare la prima vedere.

2. pentru structuri de tip descriere; (ex. Ciorchinele)

Ciorchinele este un organizator grafic prin care se evidențiază într-o rețea conexiunile dintre ideile despre un subiect. Se pornește de la un cuvânt scris pe mijlocul tablei sau al unei foi de hârtie și se notează în jurul lui toate sintagmele, ideile sau cunoștințele elevilor în legătură cu tema respectivă, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.

Ciorchinele poate fi utilizat la începutul orei sau, după prezentarea cunoștințelor, spre sfârșitul orei. Este o metodă de brainstorming ce poate fi utilizată pentru a stimula gândirea. Poate fi utilizată pentru a se rezuma ceea ce s-a studiat, ca o modalitate de a construi asociații noi și, fiind o metodă flexibilă, poate fi realizată individual sau în grup.

Am folosit ciorchinele, spre exemplu, în lecția de recapitulare Numerele naturalede la 0 la 100, pentru clasa a II-a :

3. pentru structuri de tip secvențial, în scopul prezentării unor fenomene, procese în ordine cronologică;

De exemplu, la prezentarea multiplilor și submultiplilor unei unități de măsură, într-o oră de matematică la clasa a IV-a se poate folosi cu succes un organizator grafic de tip secvențial, deoarece acesta va prezenta succint și clarordinea acestora.

Subiect: Multiplii și submultiplii metrului

4. pentru structuri de tip cauză – efect;

Diagrama cauză – efect oferă posibilitatea de a evidenția cauza și efectul unor procese, evenimente, fenomene, probleme etc.

Exemplu:

Clasa a II-a

Sarcina de lucru: Găsește cifre în locul literei :

Dacă a = 3, atunci :

5a2 513

5a2 = 513

5a2 513

5. pentru structuri de tip problemă – soluție.

Acest tip de structură poate fi folosit în rezolvarea problemelor și prezentarea tuturor soluțiilor de rezolvare. Se dorește astfel să nu mai fie scris planul de rezolvare, obținându-se în schimb mai mult timp pentru găsirea tuturor soluțiilor posibile.

Exemplu:

Clasa a II-a

Subiectul: Adunarea numerelor natural în concentrul 0 – 100

12 + 9 = 21

21 + 12 = 33

12 bile albe

cu 9 mai multe bile verzi

Metoda aceasta ajută:

Elevii – săpoatăface o corelare între ceea ceștiuși ceea ce urmeazăsăînvețe saula ceea ce vor trebui să răspundă.

Profesor – săstabileascăobiectivele lecției, săconștientizeze mai bine ceea ce vorpreda și ceea ce vor să evalueze, să descopere punctele tari și slabe ale elevilor pentru a le oferi sprijin.

Știu/Vreau să știu/Am învățat

Aceasta este o metodă ce poate fi realizată cu grupuri mici sau cu întreaga clasă;

Etapele metodei sunt:

– se trece în revistă ceea ce știu deja elevii despre o anumită temă șiapoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsului înlecție;

– pentru a folosi această metodă se cere la început elevilor să formezeperechi și să facă o listă cu tot ce știu despre tema ce urmează a fidiscutată;

– se construiește pe tablă un tabel cu rubricile: știu (ce credem căștim?), vreau să știu(ce vrem să știm?), am învățat (ce am învățat?); – se cere elevilor să spună ce au scris pe liste și se notează lucrurile cucare toată lumea este de acord, dacă este posibil, pe categorii;

– elevii formulează întrebări despre lucrurile de care nu sunt siguri.Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului privind unele detalii sau pot fi produse de curiozitatea elevilor. Ele se notează pe coloana din mijloc;

– se cere apoi elevilor să citească textul, după care se va reveni asupraîntrebărilor pe care le-au trecut în coloana Vreau să știu pentru a setrece răspunsul lor în coloana Amînvățat;

– în continuare sunt întrebați elevii ce alte informații au găsit în text, înlegătură cu care nu au pus întrebări la început și sunt trecute și acesteaîn ultima coloană;

– dacă există întrebări fără răspuns, sunt discutate cu elevii sursele deunde ar putea găsi informații. În final, se revine la tabelul scris petablă și se decid ce au învățat din lecție. Unele întrebări s-ar putea sărămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, ele pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.

Prin folosirea acestei metode învățarea noilor cunoștințe va fi mai ușoară, deoarece elevii sunt motivați să-și verifice cunoștințele pe care și le-au însuțit anterior despre subiectul aflat în discuție.

În sistemul de învățământ american, această metodă are 4 pași. Pe lângă cele 3 prezentate anterior, ei scriu și o coloană numită How best we learned? / Cât de bine amînvățat? în care, completeazăîmpreunăcu elevii toate activitățile pe care le-au desfășurat,numele jocurilor, al poeziilor sau cântecelor memorate pentru reținerea mai bună a informației prezentate. De exemplu, pentru a reține cum se numesc numerele care se adună sau se scad, rezultatul adunării și al scăderii, ei îi învață pe copii un cântec numit The Math Song / Cântecul matematicii. Am aflat aceste informații de la voluntarii americani din Corpul Păcii împreună cu care am lucrat la Școala Româno – Americană în perioada 2004 – 2006. În sistemul nostru de învățământ, folosirea acestei metode, cuprinzând toate cele patru etape, este utilă la sfârșitul unei unități de învățare sau la sfârșitul unui capitol.

II.6. APLICAREA METODELOR ACTIVE PE CLASE

Metodele activ – participative sprijină instruirea centrată pe nevoile și interesele elevului. Această aplicare nu urmează o rețetă, ci ține de un anumit mod de gândire, de atitudinea cadrului didactic, dar și de capacitatea lui de a motiva elevii pentru învățare și comportament individual bazat pe rigoare științifică, deschidere și cooperare.

În acest sens am folosit de-a lundul carierei mele didactice diverse metode de activizare a elevilor. În selectarea și aplicarea acestora am avut în vedere: respectarea Curricum-ului Național, a programei școlare, selectarea materialului de lucru în funcție de disponibilitățile și interesele elevilor, promovarea învățării prin cooperare,etc.Voi prezenta câteva din metodele ce i-au determinat pe copii să fie mult mai implicați în lecțiile de matematică și care i-au motivat să participe chiar și pe cei cu mai puține achiziții și cu dorință scăzută de învățare.

Mozaicul

Exemplu : Clasa I

Subiectul:Proba scăderii

Se împarte clasa în 6 grupe a câte 4 elevi, în fiecare grupă elevii reprezintă un număr de la 1 la 4.

Se formează grupele de experți și li se distribuie fișele de învățare.

Studiul comun îi face să observe cum se efectuează proba scăderii (prin adunare și scădere).

1. Proba scăderii prin adunare:

2. Proba scăderii prin scădere:

După aceea fiecare elev se întoarce la grupul originar și explică celorlalți ce a observat. Li se adresează elevilor întrebări orale pentru a vedea gradul de înțelegere a situației

prezentată pe fișă, iar consolidarea se poate face aplicând cele învățate în alte exerciții.

Metoda cadranelor

Exemplu:

Clasa aIII-a

Subiectul: Înmulțirea numerelor naturale

Explicarea aplicării metodei:

-în primul cadran se scrie problema (sau datele problemei);

– în al doilea se face desenul;

-în al treilea se rezolvă problema;

-în al patrulea se dă răspunsul,se pune problema în exercițiu.

Subiectul: Compunerea de probleme

În momentul în care așezăm în fața elevului câteva numere și îi cerem să formuleze cu acestea o problemă în care să le integreze, apare în mintea acestuia o avalanșă de idei și operații matematice cărora le-ar putea asocia enunțul unei probleme.

Cerință:

Compuneți o problemă folosind numerele 18 și 5.

5. Metoda R.A.I.

Exemplu: Clasa a III-a

Subiectul: Operații cu numere naturale

Mingea circulă de la elevul care pune întrebarea spre cel care va trebui să dea răspunsul, iar cel care greșește va primi o pedeapsă (pedeapsa însemnând spre exemplu: să sară de trei ori într-un picior, să cânte primul vers dintr-un cântec cunoscut, etc.), astfel se realizează o mobilizare maximă spre rezolvarea sarcinilor.

Am utilizat exerciții de calcul rapid care au dus la creșterea gradului de corectitudine a răspunsurilor, dar și la diminuarea efortului depus de elev pentru găsirea soluției:

-adunați numerele 10 și 18; scădeți numărul 7 din 9;înmulțiți numărul 5 cu 8; împărțiți numărul 50 la 5;

-găsiți un număr: a) cu 6 mai mare decât 39; b) cu 5 mai mic decât 52; c) de 5 ori mai mare decât 9; d) de 4 ori mai mic decât 32;

-aflați: a) suma numerelor 12 și 24;b) diferența numerelor 48 și 19;c) produsul numerelor 7și 8; d) câtul numerelor 40 și 5;

-spuneți două numere: a) a căror sumă să fie 16; b) a căror diferență să fie 14; c) al căror produs să fie 18; d) al căror cât să fie 3.

Acest ultim exercițiu are soluții multiple și dă posibilitatea de a verifica gradul de acuitate și flexibilitate al gândirii.

6. Diagrama Venn

Exemplu: Clasa aIII-a

Subiectul: Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale

Înmulțirea Împărțirea

Deosebiri Asemănări Deosebiri

7. Organizatorul grafic (de tip cauză – efect)

Exemplu:

Clasa a IV-a

Subiect: Unități de măsură pentru lungime

Organizator grafic pentru structurarea de tip cauză-efect.

Lungimea unui teren în formă de dreptunghi este de 30m, iar lățimea de 15 m. Dacă se mărește lungimea cu 7 m, câți metri de sârmă vor fi necesari pentru încercuirea terenului cu 3 rânduri de sârmă?

8. Știu/Vreau sa știu/Am învățat

Exemplu:

Clasa a II-a

Subiectul: Măsurarea timpulu

II.6.1. Metode activ-participative folosite în predarea conceptului de număr natural

1. CUBUL

Clasa I

Tema: Numărul și cifra 5(consolidare)

Elevii sunt împărțiți în 6 grupe.

Fiecare din cele 6 grupe și-a ales ca simboluri următoarele jetoane: ursuleț, minge, mașinuță, clovn, zar, păpușă( toate aceste simboluri reprezintă jucării).

Învățătoarea le prezintă elevilor un cub care are desenat pe fiecare latură una din jucăriile amintite mai sus, pe care va trebui să:

ursulețul- DESCRIE

rățoiul- COMPARE

purcelul- ANALIZEZE

mielul- ASOCIEZE

maimuța- APLICE

rața-ARGUMENTEZE

Pe toate aceste operațiuni elevii le vor realiza pe fișe, fiecare echipă primind o fișă conform simbolului ales.

 După ce elevii vor lucra pe echipe aceste fișe, va veni la tablă câte un reprezentant al fiecărei echipe, care va prezenta colegilor rezultatele finale ale fișelor de lucru.

DESCRIE cifra 5

-desenează elementele ei componente;

COMPARĂ

-comparăcifra 5 cu cifra 4 (oral);

-compară obiectele cu care se aseamănă fiecare din ele.

ANALIZEAZĂ

– analizează următoarele mulțimi:

APLICĂ-Scrie un rând cu cifra 5

ASOCIAZĂ cifra cu obiecte din mediul înconjurător

ARGUMENTEAZĂ că văcuța din imagine are 5 pete. Colorează-le și numără-le!

2. MOZAICUL

Clasa I

Subiectul : Numărul și cifra 4 (consolidare)

– Elevii sunt împărțiți în grupe de câte patru.

– Fiecare primește un număr (1; 2; 3; 4) și câte o fișă de lucru individuală.

– Elevii se regrupează după numărul pe care l-au primit. De exemplu: toți elevii care au numărul 1 formează o grupă, toți elevii care au numărul 2…, toți elevii care au numărul 3…, toți elevii care au numărul 4….

Astfel grupați ei lucrează împreună, se consultă acolo unde nu știu sau au nelămuriri, dacă este cazul sunt ajutați de învățător.

După ce au finalizat fișa de lucru, elevii se regrupează ca la început și devin EXPERłI în grupul lor. Le prezintă și colegilor conținutul fișei, le dau lămuririle necesare acolo unde este cazul.

Învățătorul monitorizează activitatea elevilor.

Copiii cu cifra.1 pe piept

Desenează un obiect care să semene cu cifra 4.

Copiii cu cifra 2 pe piept

Deseneazăîn diagramă atâtea floricele câte arată cifra

4 4 Copiii cu cifra 3 pe piept

Pune cifra corespunzătoare numărului de elemente.

Copiii cu cifra 4 pe piept

Scrie un rând cu cifra pe care o ai prinsă pe piept, folosind carioca ce are culoarea ta preferată.

3. BRAINSTORMING

Se aplică în două variante:

Varianta deschisă: membrii grupului comunică între ei

Varianta închisă: soluțiile sunt prezentate în scris

Clasa I

Subiectul: Numărul și cifra 7

Cerință:

La ce vă gândiți când vedeți 7?

săptămână pitici

cifră

număr

III.3. Metode activ-participative folosite în predarea operațiilor cu numere naturale

1. CUBUL

Clasa a II-a

Subiectul: Adunarea și scăderea fără trecere peste ordin în concentrul 0 – 1 00

DESCRIE:Compune o problemă după exercițiul: 343+ 125 – 211 =.

COMPARĂ:Compară suma numerelor 546 și 312 cu diferența numerelor 641 și 320 .

ANALIZEAZĂ: Analizează datele problemei și întocmește planul de rezolvare al acesteia:

La acțiunea Protejați pădurea !, o grupă de elevi a strâns 947 kg. Hârtie, iar altă grupă cu 135 kg. Mai puțin.

Câte kg. de hârtie a strâns a doua grupă ?

ASOCIAZĂ :

Asociază corespunzător :

Suma numerelor : 364 și 212 682

Diferența numerelor : 764 și 332 576

Măriți cu 562 numărul 120 432

782>123+522

2. ȘTIU /VREAU SĂ ȘTIU/ AM ÎNVĂȚAT

Clasa a III-a

Subiectul: Înmulțirea cu numărul 5

3. Diagrama Venn – Euler

Clasa aIII-a

Subiectul : Ordinea efecturării operațiilor

II.6. 2. Metode activ-participative folosite în cadrul rezolvărilor de probleme

ȘTIU / VREAU SĂ ȘTIU/ AM ÎNVĂȚAT

Clasa a IV-a

Subiectul : Împărțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1000

Corina are 38 m panglică, iar Diana, 28 m panglică. Pentru confecționarea unor fundițe fetele folosesc câte 2 m de panglică.

Câte fundițe au confecționat fetițele?

METODA CADRANELOR

Clasa a II -a

Subiectul: Probleme care se rezolvă prin două operații

3. METODA CUBULUI

Clasa a III-a

Subiectul: Rezolvare de probleme

1. DESCRIE

Alcătuiește o problemă după exercițiul:

94 – (5 × 7 + 8 × 4) =

2. COMPARĂ

Compară:

sfertul numărului 36 cu dublul numărului 3:

produsul numărului 8 și 4 cu jumătatea numărului 64:

câtul numerelor 81 și 9 și câtul numerelor 72 și 8:

3. ANALIZEAZĂ

Analizează datele problemei și întocmește planul de rezolvare al acesteia:

O cantitate de 35 l de lapte se toarnă în bidoane de câte 5 l, altă cantitate de 42 l se toarnă în bidoane de 7 l fiecare. Câte bidoane sunt necesare pentru tot laptele?

Plan de rezolvare

4. ASOCIAZĂ

Asociază corespunzător:

jumătatea numărului 846 537

numărul de 5 ori mai mare decât 123 423

numărul cu 263 mai mic decât 800 730

numărul cu 127 mai mare decât 603 249

triplul numărului 83 111

o cincime din numărul 555 615

5. APLICĂ

Compune o problemă care se rezolvă prin două operații de înmulțire, folosind numerele: 9, 7, 5.

6. ARGUMENTEAZĂ

Completează următoarele argumente:

a) dacăînmulțim un număr cu 5 obținem un număr

b) dacă scădem 16 dintr-un număr obținem un număr

c) dacă împărțim un număr la 7 obținem un număr

d) dacă adunăm un număr cu 123 obținem un număr

e) dacă Irina a rezolvat în 3 zile în mod egal 63 de probleme, aflăm

f) dacă s-au cumpărat 6 cutii cu bomboane, iar în fiecare cutie sunt 8 bomboane, aflăm

CAPITOLUL III

COORDONATE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE

III.1. Ipoteza, obiectivele și etapele cercetării

Într-un secol în care informațiile își redimensionează volumul, un individ învață permanent pentru a se readapta unei relații dinamice, dar ritmul cu care acesta preia și prelucrează cunoștințele determină un decalaj între realitate și reprezentările sale.

Conștientizarea acestei probleme ne-a determinat să identificăm modalitățile concrete prin care o persoană învață repede și corect, iar în cariera didactică ne-a preocupat identificarea strategiilor și mijloacelor prin care îi putem determina pe ceilalți să învețe . Problemele au un rol important în învățarea și aprofundarea cunoștințelor de matematică , punând la încercare în cel mai înalt grad , capacitățile intelectuale ale elevilor , le solicităm acestora toate disponibilitățile psihice , în special inteligența , motiv pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă o foarte mare atenție rezolvării de probleme .Folosind strategii didactice adecvate în predarea – învățarea matematicii , putem obține un randament ridicat la elevii claselor I – IV . Metodologia cercetării psihopedagogice presupune raportarea la un sistem teoretic general ( cu valoare explicativă ) , realizarea unor investigații empirice cu ajutorul metodelor și tehnicilor de colectare a datelor ( în vederea testării ipotezelor și elaborării a noi enunțuri teoretice ) , analiza și interpretarea acestora .

Încă de la începutul activității mele didactice am fost preocupată să trezesc interesul elevilor pentru cunoaștere , pentru învățătură , să asigur dezvoltarea intelectuală la capacitatea maximă a fiecărui elev , să combat fenomenul eșecului școlar și să atrag mai mult familia în acțiunea de educare și instruire a elevilor .

Am pornit de la premiza că o bună cunoaștere a copiilor ( sub aspect afectiv , volitiv , al potențialului creativ , cognitiv )îmi va arăta care sunt tehnicile de învățare adecvate pentru fiecare elev în parte , în funcție de particularitățile fiecăruia . Cercetarea pedagogică este o strategie întreprinsă în vederea surprinderii unor relații inedite între componentele acțiunii educaționale și a desprinderii unor soluții și variante optime în desfășurarea sa ulterioară .

Cercetarea pedagogică conduce la descoperirea unor manifestări și interacțiuni proprii educației și sugerează reguli în vederea creșterii randamentului său.Cercetarea pedagogică se concentrează asupra perfecționării tehnicii de intervenție și acțiune asupra acestui proces formativ . Este vorba în fond de a rezolva mai mult și mai bine în activitatea instructiv – educativă . Atingerea unui asemenea deziderat nu se obține în mod spontan , prin simpla acumulare de experiență . Este indispensabilă cercetarea care pune întrebări și caută soluții . Asemenea soluții pe care le impune cercetarea pedagogică în urma descoperirilor la care ajunge , urmează să fie aplicate în practica educativă și să conducă la îmbunătățirea ei . Didactica modernă pune accent pe latura formativă a învățării .

Acest fapt m-a făcut să încep cercetarea pornind de la următoarea ipoteză: Dacă în cadrul lecțiilor de predare – învățare a cunoștințelor de matematică se vor folosi metode inter-active centrate pe elev, compunerea și rezolvarea de probleme, atunci se va stimula activitatea elevilor, va crește eficiența lecțiilor, va spori randamentul școlar și reușita învățării.

Din ipoteza formulată se desprind două variabile ale carcetării :

– variabila independentă , metode inter-active, compunerea și rezolvarea de probleme ;

– variabila dependentă , stimularea activității de învățare a elevilor și creșterea eficienței activității didactice la matematică .

Obiectivele care decurg din această ipoteză și care corespund etapelor cercetării sunt :

1 . Cunoașterea profilului psihologic al școlarului de clasa a – IV –a ;

2 . Valorificarea experienței personale în vederea dezvoltării gândirii logice a elevilor în activitatea matematică ;

3 . Evidențierea rolului metodelor activ – participative în dezvoltarea gândirii logice a elevilor ;

4 . Formularea testelor de evaluare ce urmează a fi aplicate ;

5 . Aplicarea testelor și înregistrarea datelor ;

6 . Analiza , prelucrarea și interpretarea datelor ;

7 . Concluzii asupra studiului .

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar , rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime , cu caracter de analiză și sinteză superioară . Ea îmbină eforturile mentale de înțelegere a celor învățate și aplicarea algoritmilor cu structurile conduitei creative , inventice , totul pe fondul stăpânirii unui volum de cunoștințe matematice solide precum și deprinderi de aplicare a accestora .

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad , capacitățile intelectuale ale elevilor , le solicită acestora toate disponibilitățile psihice , în special inteligența , motive pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o foarte mare atenție .

Tema abordată valorifică pe lângă elementele teoretice și pe cele practice , cu care se confruntă elevul în mod real .

Acest experiment de tip constatativ – ameliorativ s-a desfășurat pe un eșantion de 24 elevi Pentru cunoașterea psiho – pedagogică a fiecărui elev din clasă am utilizat informațiile furnizate de metoda observației , metoda analizei produselor activității și cercetării documentelor .

Cercetarea a cuprins 3 etape și anume :

A . Etapa inițială – de depistare a potențialului intelectual al elevului de clasa a – IV –a din eșantionul experimental .

B . Etapa formativ-ameliorativă – proiectarea și desfășurarea unui experiment formative -introducerea factorului de progres ( fișe de lucru și de evaluare utilizând metode active, precum și fișe de activitate independentă conținând compuneri și rezolvări de probleme ) la eșantionul experimental.

C . Etapa finală / evaluativă ale rezultatelor experimentului care constă într-o retestare a potențialului intelectual al elevului din eșantionul experimental și analiza rezultatelor .

Etapa inițială constatativă s-a desfășurat în perioada 15 septembrie 2013 – 31 mai 2014 . În această perioadă, pe baza rezultatelor probelor aplicate , am măsurat și apreciat randamentul școlar al elevilor la disciplina matematică .

În această perioadă am cules informații , date despre capacitățile intelectuale ale elevilor despre modul în care și-au format deprinderi și priceperide muncă intelectuală . Am depistat potențialul creative al elevilor , am stabilit nivelul inițial al dezvoltării lor , date culese din evaluări orale , din teste aplicate la începutul anului școlar 2013 – 2014. Am întocmit fișe de observație curentă urmărind comportamentul elevilor la fiecare lecție .

Etapa ameliorativă s-a desfășurat pe parcursul anului școlar 2013-2014. În această etapă , pe baza centralizării observațiilor obținute în etapa inițială, a prelucrării și analizei lor, am proiectat și implementat un curriculum subordonat formării / exersării unor competențe specifice matematicii.

În perspectivă formativă au fost aplicate teste pentru măsurarea și aprecierea randamentului școlar al elevilor , au fost aplicate metode și tehnici alternative de evaluare a rezultatelor școlare .

Am organizat activități didactice în conformitate cu particularitățile dezvoltării psihologice, am urmărit îmbunătățirea metodologiei de lucru prin introducerea unor strategii didactice moderne și a metodelor și tehnicilor alternative de evaluare. Am aplicat o varietate de strategii, raportate la nivelul clasei , respectând programa școlară . S-au cules date referitoare la progresul elevilor determinat de motivația pentru învățare .

Pe baza rezultatelor obținute am adoptat decizii adecvate de organizare a unor activități diferențiate, atât cu elevii ce dovedesc un randament crescut la învățătură , dar în special cu elevii care manifestă lacune în pregătire .

Etapa finală – s-a desfășurat la sfârșitul semestrului al II-lea în perioada 19 mai -10 iunie . Reprezintă etapa în care au fost aplicate teste de evaluare sumativă pentru a înregistra progresul , evoluția elevilor din eșantionul experimental .

Rezultatele obținute la testele aplicate atât în etapa inițială cât și în etapa finală , le-am înregistrat în tabele centralizatoare analitice și sintetice , care au permis depistarea lacunelor în pregătirea elevilor , diferențierea și personalizarea curriculum-ului , inițierea unor programe de compensare sau dezvoltare specifice , prin valorificarea valențelor activ – participative ale metodei care a fost aleasă ca factor de progres .

Dintre tehnicile statistice utilizate pentru prelucrarea datelor cercetării avem :

A . Întocmirea tabelului de rezultate ;

B . Reprezentări grafice :

– histograma ;

– poligonul de frecvență ;

– diagrama areolară ;

– diagrama procentuală .

După fiecare testare am întocmit un tabel centralizat în care coloanele, citite pe orizontală arată numărul itemilor și punctajul ,iar citite pe verticală , numărul elevilor .

III.2 Metode și tehnici utilizate pentru colectarea datelor.

III.2.1 Metoda observației

Pentru investigarea unor aspecte ale problemei puse în discuție , am folosit o serie de metode de investigare și colectare a datelor .

Observația – observația științifică în cercetarea pedagogic înseamnă urmărirea atentă și sistematică a fenomenelor și faptelor fără intenția de a le modifica, cu scopul de a degaja relații cauzale referitoare la procesul instructiv – educativ, pe baza cărora se pot formula generalizări predictive.

Ca metodă de cercetare, observația constă în urmărirea intenționată și înregistrarea exactă, sistematică, a diferitelor manifestări comportamentale ale elevului (grupului) așa cum se prezintă în mod natural. Putem vorbi de o observație spontană, la nivel cotidian, fără o intenție specifică și observația științifică, sistematică realizată cu scopul expres de a culege date cu caracter științific, utilizând mijloace specifice ; ea este efectuată de personae cu pregătire special.

În activitatea curentă, la clasă , am fost interesată în primul rând de realizarea obiectivelor pedagogice, dar, în paralel, am realizat observarea spontană a conduitelor de comunicare, de învățare ale elevilor. Am urmărit comportamentul elevilor în cadrul activităților desfășurate în orele de matematică. Am strâns aceste observații, de-a lungul unor intervale mai mari de timp, în fișele de observație ale elevilor. Am avut posibilitatea să observ comportamentul elevilor atunci când primesc sarcini de lucru diferențiate și cum se manifestă la sfârșitul lor. Am urmărit modul în care elevii reușesc să se mobilizeze, în activitățile ulterioare, ca urmare a aprecierilor făcut. Observațiile au fost consemnate în fișa de observație.

III.2.2 Experimentul

Este apreciat ca cea mai important metodă de cercetare. Astfel, spre deosebire de observație, unde cercetătorul așteaptă apariția și manifestarea fenomenului studiat, principala caracteristică a experimentului constă în provocarea intenționată a manifestării fenomenului, pe de o parte și în varietatea condițiilor de manifestare a acestora, pe de altă parte.

Conform literaturii de specialitate există mai multe tipuri sau forme de expxriment, luându-se în considerare criterii precum: gradul și specificul intervenției cercetătorului, manipularea variabilelor, natura variabilelor modificate, locul experimentului în cadrul cercetării, etc.

Cele mai multe lucrări se opresc la următoarele tipuri: experiment de laborator, experiment natural și experiment psihopedagogic, o variantă a celui natural.

Experimentul utilizat de mine este cel psihopedagogic formativ, iar în realizarea lui am parcurs următoarele etape :

– testarea inițială a grupului experimental în vederea evaluării nivelului cunoștințelor asimilate;

– introducerea factorului de progres în lotul experimental ;

– retestarea grupului ( testare finală ) prin aplicarea probelor folosite în evaluarea sumativă și compararea performanțelor pentru evidențierea factorului de progres în stimularea randamentului școlar.

III.2.3 Metoda analizei produselor ativității și a cercetării documentelor

Rezultatele școlare ale elevilor se oglindesc în diferite documente cum ar fi: catalogul școlar, portofolii, rapoarte, carnete de note. Am consultat documentele școlare: planul de învățământ, programele școlare, documente care m-au ajutat să realizez planificarea calendaristică corect. Aceste documente mi-au oferit date privitoare la activitatea educațională, mai ales asupra rezultatelor ei.

Produsele activității școlare ale elevilor poartă amprenta, pe de o parte a cerințelor speciale ale obiectivelor de învățământ, iar pe de altă parte , a caracteristicilor individuale .

Folosind această metodă am obținut informații privind nivelul și calitatea cunoștințelor, spiritul de independență și inițiativă, capacitatea de aplicare în practică a cunoștințelor teoretice.

III.2.4 Convorbirea

Ca metodă de studiere a elevului , convorbirea furnizează informații pentru înțelegerea motivelor interne ale conduitei , a opinilor și preferințelor sale . De asemenea, ea dezvăluie demersul gândirii elevului, atitudinea față de ceilalți copii , față de grupul școlar și educator , influența familiei și a mediului social imediat . Am folosit această metodă ori de câte ori au fost necesare explicații pentru elucidarea unei situații problemă. Prin discuții individuale am obținut informații despre greutățile pe care le întâmpină elevii în rezolvarea problemelor de aritmetică, am descoperit cauzele pentru care unii elevi care au rezultate bune la învățătură întâmpinau , la un moment dat , dificultăți și rezultatele obținute erau sub posibilitățile lor . Am folosit această metodă în întâlnirile cu părinții elevilor, când supunem atenției acestora problema învățării la matematică.

III.2.5 Metoda testelor

În Dicționar de psihologie, P. Popescu Neveanu precizează că termenul de test are un sens mult mai larg probă standardizată în ceea ce privește administrarea și interpretarea –cotarea ei și care furnizează date asupra caracteristicilor psihofiziologice sau psihice.

Andrei Cosmovici definește testul ca fiind o probă standardizată, vizând determinarea cât mai exactă a gardului de dezvoltare a unei însușiri psihice sau fizice.

Aplicarea testelor a permis evaluarea mai obiectivă a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor dobândite de elevi, m-au ajutat să descopăr cauzele rămânerii în urmă și să organizez activități de prevenire a eșecului școlar, activități recuperatorii sau activități care să mobilizeze elevii dotați în rezolvarea de situații problemă.

Testul trebuie să îndeplinească anumite condiții:

– standardizarea – crearea acelorași condiții pentru toți subiecții supuși testării, fără a-i favoriza pe unii și defavoriza pe alții. Se standardizează conținutul probei, instructajul dat subiecților în legătură cu sarcina ce trebuie executată; timpul de aplicare a probei; modul de cotare a reacțiilor;

– validitatea – testul să măsoare exact ceea ce își propune;

– etalonarea – unitate de măsură, stabilirea unui etalon la care se raportează rezultatele obținute;

– fidelitatea – se referă la însușirea testelor de a permite obținerea unor performanțe relative asemănătoare la o nouă aplicare .

II.2.6 Eșantionul experimental.

Cercetarea efectuată a fost organizată în anul școlar 2013 – 2014 pe un eșantion experimental format din 24 de elevi de clasa a IV– a de la Școala cu clasele I – VIII Secuieni comuna Secuieni, județul Bacău.

III.3. ANALIZA PRELUCRAREA SI INTERPRETAREA DATELOR LA TESTUL DE EVALUARE INITIALA

În etapa constatativă am aplicat un test de evaluare inițială .Testul a fost elaborat ținând cont de obiectivele ce trebuiau atinse la finalul clasei a-III-a, pentru a stabili nivelul de pregătire al elevilor.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

OBIECTUL: Matematică

CLASA : a – IV – a

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Rezolvare de probleme

CONȚINUTUL ÎNVĂȚĂRII : Rezolvarea de probleme cu cel puțin două operații

OBIECTIVE OPERAȚIONALE :

O1 – să opereze corect cu termenii : sumă, diferență, cu…mai mare, cu…mai mic;

O2 – să rezolve probleme cu două sau trei operații;

O3 – să compună probleme după formula numerică dată;

O4 – să identifice operațiile prin care se ajunge la rezolvarea problemelor.

SUBIECTELE EVALUĂRII

I1: Se dau numerele: 632, 122, 231.

Calculați:

– suma lor;

– diferența primelor două;

– diferența dintre primul și ultimul număr;

– diferența dintre suma primelor două numere și suma ultimelor duoă numere.

I2: Știind că a + 36 = 43, b = 71 – a , c = a + b , aflați suma celor trei cifre micșorată cu cel mai mare număr natural scris cu o cifră.

I3: O carte are 976 pagini. Radu citește în prima zi 321 pagini, a doua zi cu 123 pagini mai mult, iar a treia zi mai puțin decât a doua zi cu 180 pagini. Găsiți o întrebare și rezolvați problema.

I4 : Compuneți o problem după următoarea formulă numerică:

x – ( 35 + 68 ) =150

ACORDAREA CALIFICATIVELOR:

Foarte bine – de la 9 la 10 puncte;

Bine – de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient – de la 5 la 6,99 puncte;

Insuficient – de la 1 la 4,99 puncte.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

COMPETENȚE URMĂRITE:

rezolvarea problemelor propuse;

compunerea problemelor după un exercițiu dat;

identificarea operațiilor după termenii specifici matematici folosiți în contextul problemei ( sumă, diferență, cel mai mare );

însușirea și aplicarea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetic .

OBIECTIVE DE EVALUARE:

să utilizeze diferite operații matematice în rezolvarea de probleme;

să aplice metodele de rezolvare a problemelor aritmetice;

să identifice operațiile după termenii specifici matematici;

să compună probleme după exercițiul dat;

să scrie corect și estetic problemele propuse spre rezolvare.

III.1.1 PRELUCRAREA DATELOR

MODALITATE DE NOTARE :

Tabelul sintetic nr.1 reflectă rezultatele elevilor la proba inițială :

Tabelul nr.2

Număr de copii/ procente Calificativ

Analizând datele tabelelor , putem afirma că :

– rezultatele obținute de elevii clasei experimentale reprezintă informații cu privire la bagajul de – – cunoștințe pe care îl posedă elevul respectiv și lacunele pe care le are acesta ;

– totalul de puncte la nivelul clasei l-am realizat din suma punctelor obținute la fiecare item plus punctul din oficiu .

În urma înregistrării acestor date , am concluzionat următoarele cu privire la nivelul inițial de pregătire al elevilor :

– dificultățile întâmpinate de elevi s-au înregistrat la rezolvarea problemelor ;

– media nivelului clasei experimentale este de 7,3 , aceasta reprezentând punctul de plecare în realizarea cercetării propuse .

Histograma nr .1 reflectă rezultatele elevilor din clasa experimentală la testul de evaluare inițială .

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Poligonul de frecvență nr . 1 reflectă rezultatele elevilor din eșantionul experimental la testul nr. 1

Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Diagrama areolară nr .1 reflectă rezultatele elevilor la testul nr .1

Diagrama procentuală nr .1 reprezintă rezultatele elevilor la testul inițial:

III.1.2 INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE LA TESTUL INIȚIAL

Testul inițial a fost menit să stabilească nivelul de pregătire al elevilor. În urma lui am observant că itemul cel mai dificil s-a dovedit a fi I4, în timp ce rezultatele cele mai bune s-au obținut la itemii: I1, I2, I3. Datele per elev au demonstrate diferențe mari între elevii care au rezolvat 2-3 sarcini și cei care au rezolvat toate sarcinile. Am constatat că nivelul clasei este scăzut spre mediu.

Aplicarea testului inițial mi-a permis cunoașterea dificultăților de învățare a elevilor în faza incipient și legat de amploarea lor, staționarea mai îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea unui nivel corespunzător de pregătire de către toți elevii.

Analizând graficele care reprezintă rezultatele obținute de către elevi constatăm că 5 elevi au rezolvat correct itemii, obținând calificativul Foarte Bine și având un ritm optim de aplicare a cunoștințelor însușite, restul obținând calificative de Bine, Suficient și Insuficient.

Analizând rezultatele obținute de elevii cu performanțe mai slabe, am constatat că aceștia întâmpină greutăți în rezolvarea următoarelor sarcini:

– nu efectuează corect calculele;

– nu rezolvă problema până la final

– nu compun probleme după un exercițiu dat

– nu găsesc întrebarea care li se cere pentru a rezolva problema.

În urma rezultatelor obținute de clasa experimentală am observant că cei mai mulți elevi întâmpină greutăți în rezolvarea problemelor.

Bazându-mă pe rezultatele experimentului inițial constatativ, am stabilit scopul celei de-a doua etapă a cercetării mele – experimental formativ care să asigure progresul, conducându-mă la idea necesității unei evaluări continue după fiecare capitol , tratare diferențiată , schimbarea metodei de lucru, astfel timpul consacrat activităților de rezolvare și compunere de probleme să fie mai mare decât cel dedicat explicării propriu-zise a cunoștințelor noi.

Am acordat o mai mare atenție activității independente, astfel pentru elevii care nu au rezolvat un item sau altul am elaborat fișe de lucru în care a fost reluată sarcina nerezolvată din itemul corespunzător, venind în același timp cu explicații suplimentare, iar în a doua parte cu un număr mai mare de exempl , astfel ca prin exercițiu să-și însușească cunoștințe și deprinderi.

Exemple de fișe de lucru pentru recuperare:

Fișa nr. 1

1. Într-o livadă sunt 2014 meri și de 3 ori mai mulși pruni.

Câți pomi sunt în livadă?

2. Pune rezolvarea problemei într-un exercițiu.

3. Compuneți o problemă asemănătoare.

Fișa nr. 2

11. Florin și Dan au împreună 316 timbre.

Câte timbre are fiecare, știind că Dan are cu 14 timbre mai mukt decât Florin?

2. După desenul problemei anterioare compune o problem asemănătoare.

Ținând cont de rezultatele obținute la experimental constatativ am trecut la cea de-a doua etapă a cercetării – experimental formative, care să asigure progresul.

III.2 EVALUAREA FORMATIVĂ

Aplicarea testului inițial mi-a permis cunoașterea lacunelor elevilor în faza incipientă și legat de amploarea lor , staționarea mai îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea unui nivel corespunzător de pregătire de către toți elevii .

În etapa curentă la clasa experimental s-a pus un accent deosebit pe problemele creative , pe compunerea de probleme . Astfel , periodic , la lecțiile de matematică am aplicat teste de evaluare formativă . Am cerut elevilor să rezolve astfel de teste pornind de la ipoteza că permanetizarea controlului imediat , ca situație motivațională extrinsecă va crea o motivație necesară în dezvoltarea imaginației și creativității prin compunerea de probleme .

Testele de evaluare formativă aplicate în lecțiile de matematică mi-au permis cunoașterea imediată a dificultăâilor de învățare ale elevilor .

În vederea eliminării greșelilor am recurs la diferențierea activității . În urma analizei testelor am prezentat obiectivele operaționale nerealizate de elevi pentru a putea fi urmărite în activitățile de recuperare propuse.

TEST DE EVALUARE FORMATIVĂ NR. 1

OBIECTUL : Matematica

CLASA : a-IV-a

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Rezolvare de probleme

CONȚINUTUL ÎNVĂȚĂRII : Rezolvarea de probleme cu mai multe operații în

concentrul 0 – 10 000

OBIECTIVE OPERAȚIONALE :

O1 – să opereze carect cu termenii : sumă , diferență , de…ori mai mult , de…mai puțin

O2 – să efectueze calcule cu numere naturale în concentrul 0 – 10 000 , și să verifice rezultatele prin operația inversă ;

O3 – să rezolve probleme respectând toate etapele de rezolvare ;

O4 – să găsească întrebarea unei problemE astfel încât să modifice numărul operațiilor ;

O5 – să identifice operațiile prin care se ajunge la rezolvarea problemelor .

SUBIECTELE EVALUĂRII ( ITEMI )

I1 : La suma numerelor 2400 și 1099 adună un număr cu 580 mai mic decât cel mai mic număr de patru cifre diferite .

I2 : Calculează și verifică rezultatele :

356 + ( 800 – 188 ) =

904 – 728 + 176 =

I3 : Într-o magazie sunt 2762 q de grâu , secară de două ori mai puțin decât grâu , porumb cu 284 q mai puțin decât secară , iar ovăz cu 1271 q mai mult decât secară .

Câte q de cereale sunt în magazie ?

I4 : Alcătuiți o problemă după următorul exercițiu :

[ 287 + ( 287 x3 ) + ( 287 x 3 :2 )] = 628

I5 : Compuneți o problemă după următoarea formulă numerică :

a – ( 35 + 68 ) = 150

ACORDAREA CALIFICATIVELOR

Foarte Bine – de la 9 la 10 puncte ;

Bine – de la 7 la 8,99 puncte ;

Suficient – de la 5 la 6,99 puncte ;

Insuficient – de la 1 la 4,99 puncte .

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

COMPETENȚE URMĂRITE:

– rezolvarea problemelor propuse;

– compunerea problemelor după un exercițiu dat;

– identificarea operațiilor după termenii specifici matematici folosiți în contextul problemelor;

– însușirea și aplicarea metodelor de rezolvare a probnlemelor de aritmetică.

OBIECTIVE DE EVALUARE:

– să utilizeze diferite operații matematice în rezolvarea de probleme;

– să aplice metodele de rezolvare a problemelor de aritmetică;

– să identifice operațiile după termenii specifici matematicii;

– să compună probleme după exercițiul dat;

– să scrie corect și esthetic problemele primate spre rezolvare.

III.2.1 PRELUCRAREA DATELOR

MODALITĂȚI DE NOTARE:

Tabelul sintetic reflectă rezultatele elevilor la proba de evaluare formativă.

Tabelul sintetic nr.4

Număr de copii/procente Calificativ

Din analiza datelor din tabel , am constatat că majoritatea copiilor din clasa experimentală au înregistrat o creștere semnificativă a calificativelor , rezolvând corect cerințele itemilor I1, I2, I3, întâmpinând greutăți în rezolvarea itemilor I4 și I5.

Histograma reflectă rezultatele elevilor la testul nr . 2

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Poligonul de frecvență reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare formativă nr. 1.

Diagrama areolară reflectă rezultatele elevilor exprimate în procente.

Diagrama procentuală reprezintă procentul de promovabilitate.

Am observat o creștere a nivelului de pregătire față de testul inițial. Pentru elevii care au întâmpinat dificultăți în rezolvare am inițiat un program de lucru suplimentar în afara orelor de curs.

TEST DE EVALUARE FORMATIVĂ NR . 2

OBIECTUL: Matematică

CLASA: a-IV-a

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Rezolvare de probleme

CONȚINUTUL ÎNVĂȚĂRII: Aplicarea operațiilor matematice în rezolvarea de probleme

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să rezolve corect exerciții de adunare, scădere, înmulțire și împărțire;

O2: să realizeze proba exercițiilor rezolvate;

O3: să afle un număr necunoscut;

O4: să calculeze corect folosind ordinea efectuării operațiilor;

O5: să rezolve corect o problemă folosind operațiile învățate;

O6: să compună o problemă după un exercițiu dat.

ITEMI:

I1. Efectuați, apoi faceți proba:

1345786 + 278537 =

23145653 – 1287975 =

25852 x 75 =

1543825 : 16 =

I2. Calculați:

[( 79 x 10 + 260 ) : ( 540 – 510 )] =

I3. Aflați numărul necunoscut din egalitatea :

( 154 x a ) : 100 = 10

I4. Suma a trei numere este 879. Primul termen este 251, iar al doilea termen este cu 32 mai mic decât primul. Află al treilea termen.

I5. Compuneți o problemă după următorul desen:

L = 54 m

l = 17 m

p = ? m

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

ACORDAREA CALIFICATIVELOR:

Foarte Bine – de la 9 la 10 puncte;

Bine – de la 7 la 8,99 puncte;

Suficient – de la 5 la 6.99 puncte;

Insuficient – de la 1 la 4,99 puncte.

COMPETENȚE URMĂRITE:

– rezolvarea problemelor propuse;

– compunerea problemelor după un exercițiu dat;

– identificarea operațiilor după termenii specifici matematici folosiți;

OBIECTIVE DE EVALUARE:

– să utilizeze diferite operații matematice în rezolvare de probleme;

– să aplice metodele de rezolvare a problemelor aritmetice;

– să identifice operațiile după termenii specifici matematici;

– să compună probleme după exercițiu dat;

– să scrie corect și estetic problemele propuse spre rezolvare.

MODALITĂȚI DE NOTARE

Tabelul sintetic cu rezultatele elevilor la testul de evaluare formativă nr. 2

Tabelul sintetic nr. 3

Număr de copii/procente Calificativ

Analizând datele din tabel putem afirma că elevii din clasa experimentală nu au înregistrat salturi în ceea ce privește calificativele, dar am observant că aproape toți elevii au obținut punctaje mai bune decât la testul anterior și a fost asigurată reușita învățării.

Afirm acest lucru datorită gradului de dificultate mărit al conținuturilor din această unitate de învățare față de unitatea precedentă. De asemenea am observat că cele mai frecvente greșeli, au fost cele de calcul, ceea ce denotă faptul că metodele utilizate în rezolvarea de probleme sunt cunoscute și însușite de către elevii clasei.

Histograma nr. 3 reflectă rezultatele elevilor din clasa experimentală.

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.

Poligonul de frecvență reflectă rezultatele elevilor din clasa experimentală:

Diagrama areolară nr. 3

Diagrama procentuală nr. 3

III.2.2 INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE LA TESTUL FORMATIV

Testele de evaluare formativă aplicate în lecțiile de matematică mi-au permis cunoașterea imediată a greșelilor, a dificultăților de învățare a elevilor.

Urmărind tabelele de la testele formative ameliorative, precum și graficele cu punctajele și calificativele obținute cu cele de la testul inițial, am observat o creștere a randamentului școlar exprimată numeric astfel:

Media aritmetică la testul inițial la clasa experimental este de 7,3 iar la testul formativ nr 1 este de 8. La testul formativ nr. 2 s-a observat o mică scădere față de primul test obținându-se media aritmetică de 7, 8. Această scădere se datorează dificultății mari a conținuturilor unității de învățare. Cu toate acestea punctajele obținute au fost în mare măsură mai ridicate decât la testul anterior.

Rezultatele obținute scot în evidență importanța testelor de evaluare a cunoștințelor pe parcursul activităților de învățare și confirmă utilitatea metodelor folosite.Faptul că rezultatele elevilor din clasa experimentală au înregistrat creșteri, chiar și cei care nu învață sistematic ajungând la un nivel promovabil , m-a determinat atunci când a fost necesar să intervin cu fișe de recuperare pentru a relua unele sarcini pentru o mai bună aprofundare.

Structura testelor a fost astfel concepută încât să verific atât volumul de cunoștințe cât și nivelul de dezvoltare a proceselor psihice în special gândirea cu elementele sale de flexibilitate Am avut în vedere ca cerințele formulate să stimuleze creativitatea și imaginația, să le dea posibilitatea să găsească soluții cât mai diferite în context diferite, apelând la bagajul propriu de cunoștințe pe care îl dețineau și să-l folosească într-o situație problemă.

Progresul obținut de elevi față de proba inițială nu poate fi interpretat numai prin creșterea proporției în realizarea obiectivelor, ci și prin utilitatea metodei de lucru datorită căreia a avut loc mobilizarea dorinței de performanță sau amplificarea acesteia și implicit, o prticipare conștientă mult mai activă a elevilor.

III.2.3.EVALUAREA SUMATIVĂ ( FINALĂ )

În etapa finală a evenimentului am propus teste de evaluare sumativă și am înregistrat și prelucrat rezultatele obținute în vederea constatării progresului prin raportarea la testul inițial și la obiectivele stabilite în desfășurarea cercetării.

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

OBIECTUL: Matematică

CLASA: a-IV-a

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Rezolvare de probleme

CONȚINUTUL ÎNVĂȚĂRII:Aplicarea operațiilor matematice în compunerea și rezolvarea de probleme

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1: să rezolve corect exerciții de adunare, scădere, înmulțire și împărțire;

O2: să realizeze proba exercițiilor rezolvate;

O3: să afle un număr necunoscut;

O4: să calculeze corect folosind ordinea efectuării operațiilor;

O5: să rezolve corect o problemă ce conține operațiile învățate;

O6: să compună o problemă după un exercițiu dat.

ITEMI:

I1. Rezolvați și faceți proba :

28673 + 52769 =

796845 – 327968 =

215 x 7 =

689 : 4 =

I2. Calculați pe a:

a + 2481 = 6732

a – 12793 = 43978

89073 – a = 32915

a x 8 =192

a : 5 = 364

872 : a = 4

I3. Calculați:

[( 3 x 8 + 50: 10 ) + 842 : 2 ] =

I4. La o fermă sunt 220 găini, pui de două ori mai mult decât găini iar gâște de patru ori mai puțin decât găini și pui la un loc.

Câte păsări sunt la acea fermă?

I5. Alcătuiți o problemă după următorul exercițiu :

789 – ( 40 x 8 ) =

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

ACORDAREA CALIFICATIVELOR

Foarte Bine – de la 9 la 10 puncte ;

Bine – de la 7 la 8,99 puncte ;

Suficient – de la 5 la 6,99 puncte ,

Insuficient – de la 1 la 4,99 puncte .

COMPETENȚE URMĂRITE :

– rezolvarea problemelor propuse ;

– compunerea problemelor după un exercițiu dat ;

-identificarea operațiilor după termenii specifici matematici folosiți în contextul problemei;

– însușirea și aplicarea metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetică .

IV.3.1 PRELUCRAREA DATELOR MODALITATEA DE NOTARE:

Tabel nr .7

Tabel nr.8

Histograma reflectă rezultatele elevilor la testul sumativ .

Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de performanță raportat la calificative .

Poligonul de frecvență reflectă rezultatele elevilor la testul sumativ :

Diagrama areolară privind rezultatele elevilor la testul sumativ :

Din datele tabelului sintetic rezultă că s-au realizat 202,9 puncte din totalul de 240 posibile. Punctajul realizat reprezintă 84,5% iar cel nerealizat 15,5% .

Diagrama procentuală reprezintă procentul realizat ca punctaj la testul sumativ :

Poligonul de frecvență reprezintă rezultatele elevilor din clasa experimentală , la testul inițial

respective testul sumativ .

III.2.4 ANALIZA, PRELUCRAREAȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR OBȚINUTE

În etapa de evaluare finală a nivelului de învățare și aprofundare a cunoștințelor de matematică prin rezolvarea de probleme, rezultatele au indicat o creștere semnificativă la clasa experimentală.

Comparând rezultatele probelor susținute se constată că performanțele elevilor de la clasa experimentală au crescut datorită antrenamentelor zilnice, prin care elevii au fost solicitați să rezolve exerciții și probleme de aritmetică cu un conținut adecvat, folosindu-se metoda logic – adecvată.

Urmărind cele două grafice se poate observa linia ascendentă a rezultatelor testului final în comparație cu rezultatele testului inițial, ceea ce confirm afirmația de mai sus privind progresul continuu realizat de elevi .

Astfel dacă la testul inițial procentul calificativelor de Suficient și Insuficient erau în proporție de 38,4%, la testul sumativ procentul acestor calificative scade la 25%,cu mențiunea că nu mai există nici un calificativ de Insuficient, iar calificativele de Foarte Bine și Bine cresc procentual de la 61,6% la testul inițial, la 75% pentru testul de evaluare sumativă.

La clasa experimentală s-au înregistrat evoluții remarcabile la elevii slabi și mediocri care au reușit să obțină calificative mai bune la testarea sumativă decât la cea inițială sau cele formative. Acest progress a fost posibil datorită faptului că pe parcursul procesului didactic am folosit metode de lucru activ – participative care pun elevul în centrul activității didactice , sunt atractive și antrenante cu caracter de noutate în permanență.

Aceste metode activ – participative sunt deosebit de atractive dar ele sunt combinate cu metodele clasice, la care nu se poate renunța în procesul instructiv – educati.

Elevilor le place acest mod de evaluare, participând cu entuziasm și responsabilitate la corectarea testelor, iar permanentizarea controlului imediatanunțat contribuie la dezvoltarea unor deprinderi de autocontrol și apreciere obiectivă . Asta nu înseamnă că elevii au rezolvat corect și în totalitate, dificultăți se vor mai înregistra în compunerea și rezolvarea de probleme Concluzionez că verificarea elevilor trebuie să devină o activitate complexă de cunoaștere a pregătirii lor, de depistare și de analiză la momentul oportun a deficiențelor în însușirea cunoștințelor, formarea priceperilor și deprinderilor de activitate intelectuală.

Creșterea nivelului de pregătire, confirmă utilitatea metodelor activ – participative folosite în compunerea și rezolvarea problemelor de matematică, confirmând valabilitatea ipotezei enunțate, deoarece este una dintre principalele modalități de a dezvolta gândirea independent , stimulează și educă activitatea creativă a elevilor.

CONCLUZII

În general se poate spune că rezolvarea problemelor constituie cel mai nimerit mijloc pentru realizarea obiectivelor pe care le urmărește predarea – învățarea matematicii.Activitatea matematicii necesită o tensiune, o încordare și o mobilizare a tuturor componentelor psihicului uman, dar cu precădere a gândirii și inteligenței. Efortul intellectual ce se desfășoară în compunerea și rezolvarea problemelor este în esență, un continuu antrenament care are drept efect dezvoltarea imaginației și creativității elevilor

Din punct de vedere instructiv – educativ, rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobândite în legătură cu operațiile matematice și proprietățile lor, aprofundarea și consolidarea unor cunoștințe Din punct de vedere practic, rezolvarea problemelor reprezintă sesizarea și înțelegerea relațiilor dintre mărimi cu care ne confruntăm în viața de zi cu zi, pentru a căror rezolvare nu este suficientă cunoașterea exclusivă a tehnicii de calcul.

Obiectivul principal al fiecărei lecții trebuie să servească nu numai instruirii ci și educației, acțiune în care rolul conducător îi revine educatorului. Acesta trebuie să aibă grijă să evite caracterul formal al lecției și să asigure o atmosferă de comunicare continuă, elevii participând cu propriile idei, întrebări, pe care învățătorul să le conducă cu tact spre scopul educative propus. În același timp trebuie să urmărească accesibilitatea învățării prin confruntarea elevului, în mod sistematic, conștient, gradat, cu obstacole pe care, sub îndrumarea lui, să le poată depăși

Învățătorul adevărat are rolul de călăuză a activității celui care învață în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția specifică acestei activități. Rolul învățătorului nu se diminuează, ci crește prin faptul că trebuie să conducă elevii spre raționamente corecte ținând cont de particularitățile individuale de percepere a elevilor. Bunul mers al procesului de învățământ se demonstrează prin rezultatele obținute care depind de metodele folosite în procesul predării – învățării.

Pe parcursul cercetării am utilizat metode diferite, uneori combinate. Mijloacele de învățământ utilizate au fost diverse, iar rezultatele obținute arată că elevii au lucrat cu plăcere, că au depus un efort intelectual ridicat pentru compunerea unor probleme asemănătoare sau crearea unor situații noi, rezolvate de multe ori cu succes confirmând ipoteza de lucru. Acest lucru se poate observa comparând rezultatele de la testul inițial cu rezultatele de la testele formative și cel sumativ.

Compunerea și rezolvarea problemelor vor pune în dificultate elevii pe toată perioada școlară însă și pe toată perioada vieții, dar conduși cu discreție spre descoperirea soluției, vor fi entuziasmați și încurajați spre obținerea de cât mai multe performanțe.

Rezultatele obținute prin aplicarea testelor au condus la următoarele constatări:

– datele obținute au pus în evidență rezultatele superioare obținute la ultimul test comparativ cu primul, demonstând eficiența antrenamentului mintal sistematic în găsirea mai multor variante de rezolvare a unei probleme

– rezolvarea permanentă și susținută a problemelor i-a ajutat și pe elevii cu rezultate mai slabe, înlăturându-le teama de eșec și timiditatea;

– antrenarea sistematică a elevilor în găsirea a câtor mai multe variante de rezolvare a unei probleme conduce la dezvoltarea creativității acestora;

– implicarea elevilor în activități creative, activ – participative, oferă învățătorului posibilitatea de a le cunoaște mai bine particularitățile individuale , stilul propriu al fiecăruia , inteligența, voința, temperamentul , comportamentul , într-un cuvânt personalitatea.

Consider că obiectivul și ipoteza propuse au fost confirmate, lucrarea putând constitui un ghid în sprijinul învățătorilor, în activitatea de rezolvare a problemelor simple, compuse sau tipic. Problemele rezolvate sau cele propuse la ANEXE constituie un material ce poate veni în ajutor învățătorilor, în orice moment , mai ales în timpul pregătirii lecțiilor, de un real folos fiind sistematizarea și completările de rigoare necesare fiecărui tip de problemă întâlnit la diferite clase și capitole din materia claselor I – IV.

Prin subiectul cercetat am dorit să-mi aduc o modesta contribuție la o mai bună rezolvare a acestor obstacole pe care le întâlnim zi de zi în activitatea noastră , nu atât prin descoperiri spectaculoase cât prin acea licărire de lumină ce doresc să o fac să lumineze mai intens în activitatea ce o voi desfășura.

Fără a ajuta copilul să obțină succese, fără a i le provoca, fără a-i crea situații care să-i ajute acestuia să-și aprecieze rezultatele, să le guste , să le înțeleag , e greu de presupus că vom mobiliza toate forțele sale și îl vom determina să dea tot ce poate.

( Dumitru Palade )

BIBLIOGRAFIE

Aron, I .; Herescu G . – Aritmetica pentru învățători, E.D.P.București 1997 ;

Bogdan, T . ; Stănculescu , I . – Psihologia copilului și psihologia pedagogică , E.D.P. București, 1968;

Bruner, J . – Procesul educației intelectuale , Editura Științifică , București , 1970 ;

Cerghit, I . – Perfecționarea lecției în școala modernă, E.D.P. București , 1993 ;

Cerghit, I . – Metode de învățământ , E.D.P.București , 1980 , Ed. a-II-a ;

Cerghit, I . – Metode de învățământ , Editura Polirom , Iași , 2006 ;

Cosău , L . ; Lupu, . ; Săvulescu, D . ; Terente, N . – Aritmetică pentru învățători și elevi ai școlilor normale, Ed. Paralela 45 , 1996 ;

Cojocariu , V . M. – Educație pentru schimbare și creativitate , E.D.P. București , 2003 ;

Cojocariu , V . M . – Teoria și metodologia instruirii E.D.P. București , 2004 ;

Cosmovici , A . ,Iacob , L . -Psihologie școlară , Editura Polirom , Iași , 1998 ;

Cucoș , C . – Pedagogie, Editura Polirom , Iași , 1996 ;

Daraban, I. – Euristica rezolvării de matematică, Ed.Rovimed Publishers, Bacău, 2011 ;

Dumitriu , C . – Introducere în cerecetarea psihopedagogică E.D.P. R.A , București , 2004

Dumitriu , C . – Metodologia cercetării psihopedagogice, curs , Bacău , 2001 ;

Dumitriu , E . – Elev la 6 ani, Editura Științifică , București , 1972 ;

Dumitriu, Gh . ;Dumitriu, C . – Psihologia procesului de învățământ, E.D.P. București , 1997 ;

Dumitriu , Gh . ; Dumitriu , C .–Psihopedagogie, E.D.P., București , 2004 ;

Lupu, C.; Săvulescu, D.; Lupu, I. –Aritmetică Teorie – Probleme – Metode de rezolvare, Editura Egal, Bacău, 2002;

Lupu, C. –Didactica matematicii pentru învățământul primar, Editura Pim, Iași, 2012

Neacșu , I . – Metodica predării matematicii la clasele I-IV, E.D.P. București ,1988 ;

Nicola , I . – Tratat de pedagogie școlară, E.D.P. București, 1996 ;

Oprescu , N . – Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, E.D.P. București, 1991 ;

Olivotto , I . – Culegere de exerciții și probleme de aritmetică, Ed.Ana, București, 1991 ;

Petrică , I . – Probleme de aritmetică pentru clasele I-IV, E.D.P., București, 1991 ;

Popescu – Neveanu , P . – Dicționar de psihologie, Ed.Albatros, București, 1996 ;

Popescu – Neveanu , P . – Psihologia școlară, Tipografia Universității București, 1987 ;

Poyla , G . –Cum rezolvăm o problem de matematică, Editura Științifică, București, 1965

Poyla , G . –„Descoperirea în matematică, Editura Științifică, București, 1971 ;

Schneider, M .; Schneide , Gh . A. – Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică la clasele I-IV , Ed.Hyperion și Ed. Oltenia, Craiova, 1992 ;

********Descriptori de performanță pentru învățământul primar, Ed ProGnosis București, 2000;

********Curriculum național pentru învățământul primar, E.D.P. București, 2000

********Manualele de matematică pentru clasele I-IV .

********Strategii educaționale centrate pe elev, București, 2006.

ANEXE

PROIECT DIDACTIC

CLASA: a-IV-a

ÎNVĂȚĂTOR: Daraban Ionela

ȘCOALA GIMNAZIALĂ SECUIENI

DISCIPLINA : Matematică

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Înmulțirea numerelor natural în concentrul 0-1000

ELEMENT DE CONȚINUT : Înmulțirea unui număr de trei cifre cu un număr dedouă cifre

TIPUL LECȚIEI : predare – învățare

Obiective de referință :

1.4 – să efectueze operații de înmulțire cu numere natural mai mici sau egale cu 1000 ;

2.3 – să exploreze modalități de efectuare a înmulțirii folosind diverse tipuri de grupări sau reprezentări ;

2.5 – să rezolve și să compună probleme de forma : ? x c = d ;

3.1 – să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea problemelor ;

4.1 – să manifeste inițiativă în a transpune diferite situații în context matematic ,propunând modalități diverse de abordare a unei probleme ;

4.3 – să manifeste un comportament adecvat în relațiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităților practice de rezolvare de probleme;

Obiective operaționale :

A ) COGNITIVE :

OC1 : să aplice corect algoritmul de calcul privindînmulțirea numerelornaturale mai mici sau egale cu 1000 ;

OC2 : să utilizeze correct terminologia specifică matematicii ;

OC3 : să aplice procedeul de aflare a unui factor necunoscut ;

OC4 : să elaboreze planul logic de rezolvarea problemelor propuse ;

OC5 : să scrie rezolvarea problemelor într-un singur exercițiu ;

OC6 : să compună probleme după un exercițiu dat ;

B ) MOTRICE :

OM1 : să-și coordoneze activitatea pentru utilizarea corectă a manualului , a fișelor de lucru și orientarea eficientă pe pagina caietului ;

OM2 : să-și mențină poziția corectă în bancă .

C) AFECTIVE :

OA1 : să colaboreze cu partenerii de echipă sau grupă ;

OA2 : să participle cu plăcere și motivație la lecție .

RESURSE :

a) Bibliografice :

1) oficiale :

– Curriculum Național , Programe școlare pentru învățământul primar , Bucureșt , 1998

– Aurel Maior , Angelica Călugărița , Elena Maior , Matematica – manual pentru clasa a-IV-a , Aramis , 2006 ;

2) metodico – didactice :

– Costică Lupu , Metodica predării matematicii în clasele primare , Editura Paralela 45 , Pitești 2001 ;

– Casa Corpului Didactic Grigore Tăbăcaru Bacău , Strategii activ – participative de predare – învățare în ciclul primar , Bacău 2004 ;

3) pedagogice :

– Venera Mihaela Cojocariu Teoria și metodica instruirii , E.D.P.București , 2002

( 65-78 )

b) Metodologice :

1) strategia didactică : dirijată , inductivă , algoritmică ;

2) metode și procedee : conversația euristică , explicația , problematizarea , exercițiul , observația , metoda cubului , metoda cadranelor , jocul didactic ;

3) forme de organizare , frontal , individual , pe grupe , în echipă ;

4) mijloace didactice :

c) Temporale : 45 min.

SCENARIUL DIDACTIC

ANEXA 1

METODA CUBULUI

1 . DESCRIE importanța cifrei 2 în fiecare dintre numerele :

120 , 2349 , 14 211 , 24 572 , 2 242 706 .

2 . COMPARĂ produsele :

5 x 148 … 39 x 20

48 x 60 … 144 x 10 x 2

3 . ASOCIAZĂ rezultatele obținute cu denumirile lor:

1 462 – 462 = sumă

12 052 + 14 119 = cât

12 x 48 = diferență

100 : 10 = produs

4 . ANALIZEAZĂ propozițiile de mai jos și anuleaz-o pe cea care nu prezintă un adevăr

Numerele care se înmulțesc se numesc factori .

Rezultatul înmulțirii se numește produs .

Dacă unul dintre factori este zero atunci produsul este 1 .

5 . APLICĂ noțiunile de…mai mare decât… și de…ori mai mic decât pentru a afla numerele :

– de 41 ori mai mare decât 78…………………………………………………R:

– de 7 ori mai mic decât 567……………………………………………………R:

6. ARGUMENTEAZĂ

Câți lei a cheltuit Sânziana dacă a cumpărat 5 bilete de 8 lei la Grădina Zoologică , 9 vederi cu imagini din România a câte 3 lei fiecare și 4 brelocuri a câte 7 lei fiecare ?

ANEXA 2

METODA CADRANELOR

ANEXA 3

FIȘĂ DE LUCRU

1. Aflați:

de câte ori este mai scump un caiet de 27 lei decât unul de 9 lei.

…………………………………………………………………………………………..

b) de câte ori este mai ieftin un pix de 7 lei decât unul de 63 lei.

…………………………………………………………………………………………

c) de câte ori este mai lung un drum de 54 m decât unul de 9 m.

…………………………………………………………………………………………

d) de câte ori este mai scurt un drum de 4 km decât unul de 28 km.

…………………………………………………………………………………………

e) de câte ori este mai mare numărul 70 decât 7.

…………………………………………………………………………………………

f) de câte ori este mai mic numărul 8 decât 72.

…………………………………………………………………………………………

2.Măriți fiecare număr cu 8 Micșorați fiecare număr cu 8

FIȘA DE LUCRU

1.Completați:

a)

b)

c)

d)

FIȘĂ DE LUCRU

1. Puneți „+”, „–”, „×”, „:” pentru ca egalitățile să fie adevărate:

2. Completați cu numere potrivite pentru a obține egalitățile date.

a)

b)

FIȘĂ DE LUCRU

1)1.Într-o livadă sunt 25 meri,16 peri,27 nuci 2.Datele

și 14 cireși.Câți pomi sunt în livadă?

3.Plan de rezolvare 4.Raspuns

Rezolvare printr-un exercițiu

2)Găsiți numerele care se pot rotunji la:

3.Unește cu o linie fiecare număr aproximat cu numărul din care provine:

234 223 119 647 536

230 650 200 540 120