Elemente de Trigonometrie Sferica

INTRODUCERE

Trigonometria sferică este disciplina matematică care se ocupă de rezolvarea triunghiurilor formate pe suprafața unei sfere din arce de cercuri mari. Este o ramură a geometriei sferice care tratează despre poligoane pe sferă (în special triunghiuri) și relațiile dintre laturile și unghiurile lor. Acestea sunt de mare importanță în calculele din astronomie și suprafața Pământului, precum și în navigația orbitală și spațială.

Trigonometria sferică are o mare importantă teoretică și practică și se aplică pe scară mare în astronomie, în geodezia superioară, în cartografie, în cristalografie, în geometria minieră, în teoria instrumentelor și în alte științe, atunci când, pentru studiul poziției relative în spațiu a unor puncte, linii și plane, se recurge la o sferă ajutătoare.

Trigonometria sferică a apărut și s-a dezvoltat mai întâi în țările Orientului antic. Dezvoltarea cunoștințelor de astronomie a contribuit la apariția și dezvoltarea trigonometriei sferice din care, ca un caz particular, s-a dezvoltat și trigonometria plană.

Părinte al trigonometriei sferice și plane este considerat astronomul grec Hipparc, de la Școala din Alexandria (180 – 125 î.e.n.). Merite importante în dezvoltarea trigonometriei au și matematicienii greci: Teodosiu (secolul al II lea î.e.n.), Menelau din Alexandria (sec. II – I î.e.n.), Ptolemeu Claudiu (sec. II î.e.n.).

Ulterior, trigonometria sferică s-a dezvoltat la hinduși și în mod deosebit la arabi și alte popoare din Asia. Între învățații acestor popoare se numără Al Battanii (850 – 930) care lucrează în jurul anului 900 la Observatorul orașului Rei, în apropiere de Teheran. Într-o problemă, el obținu-se o relație, care numai formal se deosebește de una din cele mai importante teoreme ale trigonometriei sferice, și anume, teorema cosinusurilor, care va fi apreciată după merit de Regiomontanus.

Mai amintim pe Abu – I – Vafa (940 – 998) și pe Nasir-ed-Din (1201 – 1274) care în cartea sa “Tratat despre patrulater”, sintetizează rezultatele lucrărilor din domeniul trigonometriei sferice și plane de până la el.

Mai târziu, trigonometria sferică a fost dezvoltată de Regiomontanus (1435 – 1476), Tycho Brahe (1546 – 1601), Kepler (1571 – 1630) și alții.

Descoperirea logaritmilor, stabilirea proprietăților lor, întocmirea tabelelor de valori naturale ale funcțiilor trigonometrice și a tabelelor de logaritmi pentru funcțiile trigonometrice, duc la transformarea calculelor din trigonometria sferică și dau eleganță și simplitate formulelor ei.

Trigonometria sferică, așa cum este cunoscută astăzi, se datorează oamenilor de știință ai secolelor XVIII și XIX: Euler, Lobacevski, Moebius, Gauss, Lagrange.

Euler Leonhard (1707 – 1783) s-a ocupat în mod special de trigonometria sferică în două articole mari, abordând-o din puncte de vedere diferite. În primul (1755) el a construit într-un mod cu totul general trigonometria sferică ca geometrie a triunghiurilor formate pe suprafața sferei din linii de distanță minimă.

În al doilea (1779) Euler adoptă o bază elementară pentru a construi sistemul formulelor ei. El pleacă de la un triedru pe care îl intersectează cu plane corespunzătoare pentru a putea aplica apoi teoremele trigonometriei plane (ca și Copernic). Astfel el a dedus teorema sinusurilor, teorema cosinusului pentru laturi și o formulă nouă care leagă între ele cinci elemente; relevând că aceste trei formule conțin întreaga trigonometrie sferică. A treia ecuație pe care a obținut-o este supusă unor transformări multiple. El deduce din ea așa-numita formulă a cotangentelor, teorema cosinusurilor pentru unghiuri și, cu ajutorul teoremei sinusurilor, formula ei polară. Abia pe urmă, el introduce triunghiul polar și explică utilizarea lui, dă formulele logaritmabile, pe care le deduce parțial într-un mod nou, și declară cu deplină îndreptățire, că articolul său oferă o expunere completă (putem adăuga: prima expunere completă) a sistemului trigonometriei sferice.

Lagrange J.L (1736 – 1813) a dat pentru prima oară (1798) datorită unei mânuiri mult mai iscusite a formulelor, o formă modernă deducției tuturor egalităților trigonometrice. El demonstrează relația celor cinci elemente a lui Euler precum și formula analogă acesteia. El deduce tot atât de simplu regula cotangentelor și subliniază cum cu ajutorul acestor formule se poate rezolva orice problemă. Articolul lui Lagrange a constituit o încununare a progreselor trigonometriei în pragul sec. al XIX-lea.

Capitolul dedicat elementelor de trigonometrie sferică, este absolut necesar viitorilor navigatori de pe mările și oceanele lumii, din această cauză el va trata probleme de geometrie sferică și va pune la dispoziție aparatul matematic necesar navigației astronomice.

Datorită faptului că ochiul uman nu poate discerne distanțele până la obiectele cerești (Soarele, Luna, planetele, stelele, etc.), acestea par a se afla la aceeași distanță de fiecare persoană care le observă. bolta cerească apare ca o sferă pe care se deplasează corpurile cerești. Pentru scopuri practice imediate (orientare, determinarea timpului, etc.) este necesară cunoașterea direcției de vizare a unui astru, distanța până la acesta fiind irelevantă. În plus, cea mai evidentă mișcare a aștrilor, mișcarea diurnă aparentă, este o mișcare de rotație omogenă față de observator (mișcare datorată rotației Pământului), susținând aparența cerului sferic.

Din punct de vedere matematic, în măsura în care nu suntem interesați de distanțele reale până la aștri, vom opera doar cu direcțiile pe care aceștia se găsesc față de observator. În acest caz, putem construi o sferă de rază arbitrară și putem echivala în mod trivial „direcțiile” din spațiul tridimensional cu „punctele” acestei sfere. Astfel, formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinările astronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensională sferică.

În cadrul acestei geometrii, „dreptele” sunt înlocuite de cercurile mari de pe suprafața sferei. Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice. Pentru aceasta, vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, formulele lui Gauss, acesta fiind principalul rezultat al acestei lecții. Aceste formule corespund într-o anumită măsură relațiilor trigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului.

CAPITOLUL I. TRIUNGHIUL SFERIC. PROPRIETĂȚI

Figura 1.1. Triunghiul sferic

Un cerc de pe suprafața unei sfere se numește cerc mare dacă raza sa este egală cu raza sferei. Observație: Un cerc de pe suprafața unei sfere este un cerc mare dacă și numai dacă planul determinat de el conține centrul sferei.

Definiție: Se numește triunghi sferic figura convexă determinată pe suprafața unei sfere de trei cercuri mari neconcurente . Evident, trei cercuri de pe suprafața unei sfere sunt neconcurente dacă nu există nici un punct care să fie comun tuturor celor trei cercuri. Observație: Trei cercuri mari determină pe suprafața unei sfere mai multe triunghiuri sferice. Astfel, în figură, atât ABC cât și A'B'C' dar și A'BC sau AB'C', sunt triunghiuri sferice.

Triunghiul sferic este cel mai simplu poligon sferic convex. Elementele triunghiului sferic sunt: trei laturi a, 6, c și trei unghiuri A, B, C (fig.1.1), fiecare din acestea fiind mai mici de 180° (triunghiuri euleriene).

Dacă un unghi al triunghiului sferic este de 90°, triunghiul se numește dreptunghic. Triunghiul sferic care are o latură de 90° se numește rectilater. Există triunghiuri sferice tridreptunghice și trirectilatere (exemplu: triunghiul format de ecuator și două meridiane perpendiculare între ele).

1.1. Măsurile laturilor unui triunghi sferic

Se definește măsura unei laturi AB a triunghiului sferic ABC ca fiind măsura arcului de cerc mare AB. Evident, aceasta este egală cu unghiul la centru AOB. În mod tradițional se notează mărimile laturilor unui triunghi ABC astfel: AB=c, AC=b, BC=c.

În ceea ce privește primele două proprietăți, având în vedere definiția mărimilor laturilor triunghiului ABC, demonstrația se reduce la o problemă simplă de geometrie a tetraedrului OABC. Cea de a treia și cea de a patra proprietate se vor demonstra în secțiunea următoare, folosind formalismul triunghiurilor polare. Expresia ariei triunghiului sferic face în întregime subiectul celei de a treia secțiuni a acestei lecții.

Geometria sferică se ocupă cu studiul figurilor de pe o sferă. Dreptelor și segmentelor de dreaptă din geometria plană le corespund cercuri și arce de cercuri pe sferă.

Deosebim:

– cercuri mari, ale căror plane trec prin centrul sferei;

– cercuri mici, ale căror plane nu trec prin centrul sferei.

Prin două puncte ale sferei trece un cerc mare și numai unul, dacă cele două puncte nu sunt diametral opuse. In adevăr, prin două puncte A, B de pe sferă și prin centrul O trece un plan unic dacă punctele A, O și B nu sunt coliniare. Intersecția acestui plan cu sfera determină cercul mare ce trece prin A și B

Diametrul sferei perpendicular pe planul unui cerc intersectează suprafața sferei în două puncte numite polii cercului.

1.2. Măsurile unghiurilor unui triunghi sferic

Măsura unghiului BAC al triunghiului sferic ABC este măsura unghiului diedru format de planele (OAB) și (OAC).

Observație. Cum tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza în punctul de contact, avem că tangentele la cercurile mari AB și AC în punctul A sunt ambele perpendiculare pe muchia diedrului format de planele OAB și OAC. Deci, unghiul unui triunghi sferic se poate măsura și între tangentele la laturile triunghiului in punctul considerat. Conform definiției, triunghiul sferic este o figură convexă. Aceasta înseamnă că măsura nici unui unghi al triunghiului nu este mai mare de 180 (o figură concavă determinată de trei cercuri mari neconcurente pe suprafața unei sfere este de exemplu exteriorul triunghiului ABC din figură – aceasta nu face obiectul studiului nostru).

Spre deosebire de cazul plan, pentru un triunghi sferic, suma unghiurilor este întotdeauna mai mare decât 180. Un triunghi se numește dreptunghic dacă are (cel puțin!) un unghi drept; el se va numi rectilater dacă are o latură cu măsura de 90. Un exemplu remarcabil de triunghi sferic este triunghiul tridreptunghic (trei unghiuri drepte) trirectilater (trei laturi de 90) – triunghiul format pe globul terestru de ecuator, meriadianele 0 si 90.

Proprietăți

Pentru orice triunghi sferic ABC avem:

Aria triunghiului sferic este dată de:

unde R este raza sferei, A, B, C sunt în grade, iar se numește exces sferic (măsurat în radiani!).

Două cercuri mari de pe aceeași sferă se intersectează întotdeauna în două puncte diametral opuse.

Unghiul format de două arce de pe sferă, care se intersectează într-un punct, este, prin definiție, unghiul (180°) format de tangentele duse la cele două arce în punctul lor de intersecție.

În particular, măsura unghiului sferic APB este egală cu :

– măsura unghiului diedru al planelor PAP’ și PBP’

– măsura arcului AB de pe cercul mare al cărui poli sunt P și P’

Măsura unui arc de cerc mic de pe sferă se poate exprima cu ajutorul măsurii arcului de cerc mare. Pentru a arăta acest lucru ,considerăm cercul mic cu centru în C și care are planul paralel cu planul cercului AB cu centru în O. Cercurile mari PAP’ și PBP’ determină pe cercul mic arcul DE.

Avem:

1.3. Fusul sferic este figura de pe sferă format din două semicercuri mari ale căror extremități coincide cu extremitățile diametrului lor comun (fig 1.2). Elementele fusului sferic sunt:

– două laturi, ABA’ și ACA’ de fiecare;

– două unghiuri congruente, și

Dată fiind măsura unghiului A al fusului sferic de pe sfera de rază R, se poate determina aria fusului , utilizând regula de trei simplă, și anume: la unghiul cu măsura corespunde aria , iar la măs(Â) corespunde aria Sa; rezultă:

care exprimă faptul că ar pe sferă format din două semicercuri mari ale căror extremități coincide cu extremitățile diametrului lor comun (fig 1.2). Elementele fusului sferic sunt:

– două laturi, ABA’ și ACA’ de fiecare;

– două unghiuri congruente, și

Dată fiind măsura unghiului A al fusului sferic de pe sfera de rază R, se poate determina aria fusului , utilizând regula de trei simplă, și anume: la unghiul cu măsura corespunde aria , iar la măs(Â) corespunde aria Sa; rezultă:

care exprimă faptul că aria fusului sferic este proporțională cu măsura unghiului său.

Poligonul sferic este figura de pe sferă mărginită de arce de cerc mare (laturile poligonului) mai mici de 180° și limitate de intersecțiile lor consecutive.

Un poligon sferic se numește convex dacă este situat de aceeași parte în raport cu fiecare din cercurile mari cărora le aparțin laturile sale. În caz contrar, poligonul se numește concav.

Aria triunghiul sferic

Demonstrarea formulei ariei triunghiului sferic pleacă de formula ariei fusului sferic. Acesta se definește ca fiind zona determinată pe suprafața unei sfere de două cercuri mari ale căror planuri formează unghiul diedru D. Aria fusului sferic de unghi diedru D este:

(pentru a reține această formulă să observăm că întreaga sferă poate fi definită ca fiind un fus sferic de deschidere 360)

Să considerăm triunghiul ABC ca în figură. Se observă pentru început că:

ABC =

Măsurile celor două triunghiuri sunt evident egale, datorită simetriei. Acum, să considerăm următoarele fusuri sferice:

Însumând aceste suprafețe se observă că obținem o semisfer㸠plus de două ori aria triunghiului ABC (acesta aparține fusului B cât ți fusului C, deci a fost considerat de două ori)

Adunând deci aceste relații obținem:

+ + = 2∏ + 2 = 2(A + B + C) ∏/180

= (A + B + C – 180) ∏/180

Principalele sistemele de coordonate folosite În astronomie (orizontale, ecuatoriale, ecliptice, galactice) au același reper – observatorul. O transformare de coordonate de la unul din aceste sisteme la altul este deci echivalentă cu un set de rotații în jurul axelor de coordonate carteziene. Dar, după cum am arătat, formulele care determină rotația în sistemul cartezian se reduc la formulele lui Gauss în trigonometria sferică. Astfel, determinarea direcțiilor de observare a corpurilor cerești în diferite sisteme de coordonate se va reduce la rezolvarea unor triunghiuri pe sfera cerească, folosind fie formulele lui Gauss pentru laturi, fie formulele lui Gauss pentru unghiuri.

CAPITOLUL II. FORMULELE LUI GAUSS

Să considerăm un triunghi sferic oarecare ABC pe suprafața unei sfere de rază R și să construim două sisteme carteziene de coordonate Oxyz și Ox'y'z' astfel:

O este centrul sferei

Oz trece prin B

planul Oyz este planul (OAB)

Oz' trece prin A

planul Oy'z' este planul (OAB)

Impunând condiția ca sistemul de coordonate să fie drept, axele Ox și Ox' vor fi determinate. Mai mult, cum planele Oyz și Oy'z' coincid, rezultă că Ox=Ox'.

Se observă faptul că sistemul Ox'y'z' se obține din sistemul Oxyz printr-o rotație în jurul axei Ox.

Pentru a găsi un set de expresii ce leagă elementele triunghiului sferic ABC, vom adopta următoarea strategie:

Scriem coordonatele punctului C în sistemul Oxyz

Scriem coordonatele punctului C în sistemul Ox'y'z'

Scriem expresia transformării de rotație a sistemului Oxyz în Ox'y'z'.

2.1. Coordonatele punctului C în Oxyz

Raportându-ne acum la elementele triunghiului ABC avem (conform figurii):

și deci obținem:

  (1)

Coordonatele punctului C în Ox'y'z' :

În acest caz avem:

Astfel obținem:

2.2. Rotația în jurul axei Ox

Expresia rotației în planul (Oyz)=(Oy'z') este:

Din nou, ne raportăm la elementele triunghiului ABC. Avem: de unde rezultă imediat:

  (3)

2.3. Formulele lui Gauss

Din (1), (2) și (3) obținem:

Simplificând cu R și scriind în ordine inversă obținem expresia standard a formulelor lui Gauss:

Prima relație se numește teorema cosinusurilor pentru trigonometria sferică. Ultima relație este teorema sinusurilor, iar cea de a doua formulă se numește formula celor cinci elemente. Teorema sinusurilor se poate pune și sub forma

2.4. Triunghiul polar. formulele lui gauss pentru unghiuri

Definiție. Se numesc poli ai unui cerc mare intersecțiile cu sfera ale dreptei perpendiculare pe planul cercului în centrul sferei.

Un exemplu ilustrativ este dat de polii globului terestru care reprezintă poli în sensul definiției de mai sus față de ecuatorul terestru.

Definiție. Se numește triunghi polar (A'B'C') al unui triunghi sferic dat (ABC) un triunghi pentru care fiecare latură are ca pol unul din vârfurile triunghiului ABC (fig.1.4). Vârfurile A,B,C sunt, respectiv, polii laturilor B'C', A'C',B'A'. Laturile triunghiului polar sunt suplemente ale unghiurilor corespunzătoare ale triunghiului dat și viceversa. Pentru justificarea acestei afirmații, observăm (fig.1.4) că:

În mod analog se obține b' = 180° — B și c' = 180° — C.

Deoarece triunghiul polar al triunghiului sferic A'B'C' este triunghiul ABC, avem:

Din relațiile (1.5) și (1.6) rezultă că dacă triunghiul dat este dreptunghic, atunci triunghiul său polar este rectilater și invers.

Pornind de la inegalitatea (1.3) scrisă pentru triunghiul sferic A'B'C' : a' < b/ + c/ și ținând seama de relațiile de tipul (1.5), se obține 180° — A < 180° – B + 180° – C' sau:

Pornind de la inegalitățile (1.4) scrise pentru triunghiul A'B'C' și ținând seama de relațiile (1.5), obținem: 0° < 180° — A + 180° — B + 180° – C < 360°, sau:

se numește exces sferic și este o proprietate caracteristică a triunghiului sferic. Intr-adevăr, A + B + C = 180° + e (e > 0°), adică suma unghiurilor triunghiului sferic ABC este mai mare decât 180°.

CAPITOLUL III. COORDONATE SFERICE

Relația cu coordonatele carteziene

Punctul P având coordonatele sferice

Punctul P având coordonatele sferice unde

Observație. Dacă punctul corespunde punctului care este simetric punctului în raport cu originea axelor de coordonate.

Exemplu:

Sfera de ecuație

Pentru sfera de ecuație carteziană:

putem face transformarea:

și obținem ecuația sferică:

care mai poate fi scrisă în limbajul teoriei mulțimilor:

Aplicații

Suprafața

Să se transforme în coordonate sferice ecuațiile suprafețelor de mai jos date în coordonate cilindrice:

1).

Soluție. Avem:

deci:

Deci ecuația în coordonate sferice este:

Așadar, este un cilindru circular de axă și paralel cu axa Oz.

2)

Suprafața

Soluție. Avem:

Rezultă:

de unde:

și obținem ecuația căutată:

Deci este o parte din conul circular:

situat în semispațiul

Suprafața

3).

Soluție. În mod similar se deduce ecuația în coordonate sferice:

Suprafața

4)

Soluție.

5)

Planul de ecuație

Soluție. Din:

obținem:

care este ecuația în coordonate carteziene a unui plan a cărui ecuație în coordonate sferice este:

6)

Soluție. Deoarece

obținem ecuația carteziană:

care este o sferă cu centrul în origine și de rază a și a cărei ecuație în coordonate sferice este:

7)

Soluție. Deoarece:

obținem ecuația carteziană:

care este ecuația unui paraboloid circular de axă:

Ecuația acestei suprafețe în coordonate sferice este:

Să se determine ecuațiile carteziene și parametrice ale suprafețelor descrise prin ecuațiile sferice:

Sfera

8)

Soluție.

Avem:

Deci:

care este ecuația carteziană a unei sfere de centru și rază

O parametrizare ar putea fi:

9)

Suprafața și generatoarea sa

Soluție.

Avem:

deci

Obținem ecuația carteziană a suprafeței:

Putem adopta o parametrizare:

Deci S este o suprafață de revoluție în jurul axei Oz și având ca generatoare curba:

Dar:

Deci este cercul:

de centru și rază

CAPITOLUL IV. FORMULE. DEMONSTRAȚII. LUCRĂRI PRACTICE

Să se deducă formula pentru aria triunghiului sferic ABC.

Rezolvare. Aria triunghiului sferic ABC de pe sfera de rază R (fig.1.5) se poate deduce ușor, dacă observăm că suma ariilor celor trei fuse sferice (AAA', BB', CC') care au drept unghiuri unghiurile triunghiului sferic dat acoperă emisfera vizibilă a sferei plus de două ori aria SABC a triunghiului sferic dat. Ținând seama și de faptul că aria fusului sferic este dată de (1.2), rezultă:

de unde, utilizând notația (1.9), se obține:

Dacă R = 1, rezultă că

1.5. Să se deducă formulele ce exprimă teoremele cosinusului, sinusului și formula celor cinci elemente referitoare la laturile triunghiului sferic ABC (formulele lui Gauss).

Rezolvare. Se consideră triunghiul sferic ABC de pe sfera cu centrul în O și de rază unitate (R = 1). Alegem sistemul trirectangular de referință Oxyz astfel încât axa Oz să intersecteze sfera în vârful A al triunghiului, iar vârful B să aparțină planului xOz

(fig.1.6). Componentele vectorilor de poziție ai vârfurilor triunghiului sunt: e1(0,0,1); e2(sin c, 0, cos c); e3(sin bcos A, sin bsin A, cos b).

Făcând produsul scalar al vectorilor unitari e2 și e3, obținem:

Înmulțind (1.11) cu cos c și adunând membru cu membru la relația 1.12), efectuând reducerile și împărțind prin sin c relația rezultată, se obține:

In mod analog se obțin încă două relații ce reprezintă, împreună cu (1.14), formulele celor cinci elemente referitoare la laturile unui triunghi sferic ABC.

Din (1.11) rezultă:

Ridicând această relație la pătrat, scăzând fiecare membru al egalității din 1 și împărțind prin sin2 a fiecare membru al relației rezultate, se obține:

Aceste formule reprezintă teorema sinusului referitoare la laturile unui triunghi sferic ABC.

Relațiile:

constituie formulele fundamentale ale trigonomtriei sferice și poartă numele de formulele lui Gauss.

Prin permutarea circulară a literelor din (1.16) se obțin trei grupe de relații

fundamentale:

(deduse din notațiile: cos b = mcosM și sin b cos A = msinM), primele două formule din (1.16) se transformă în două expresii calculabile prin logaritmi, și anume:

.6. Să se deducă formulele lui Gauss referitoare la unghiurile triunghiului sferic ABC.

Rezolvare. Scriind formulele lui Gauss (1.16) pentru triunghiul polar A!B'C' al triunghiului ABC și ținând seama de relațiile (1.5) și (1.6), se obține:

Să se particularizeze formulele lui Gauss pentru triunghiul sferic dreptunghic (A = 90°).

Să se particularizeze formulele lui Gauss pentru triunghiul sferic rectilater (a = 90°).

Răspuns.

Rezolvare. Din formula cosinusului deducem ușor:

unde am introdus notația a + b + c = 2p.

Atunci obținem imediat:

și, prin permutări circulare, formule analoge pentru unghiurile B/2 și C/2.

Din formulele (1.20), (1.21) și din formulele similare pentru celelalte unghiuri se deduce ușor:

Formulele pentru cos (A+B)/2, sin(A+B)/2 și sin se obțin în mod analog. Acestea reprezintă formulele lui Delambre, care se scriu de regulă sub forma:

1.10. Să se deducă formulele pentru

în funcție de laturi și formulele pentru

în funcție de unghiuri (formulele lui Neper).

Rezolvare. Din formulele lui Delambre (1.23), prin împărțire, obținem:

care sunt formulele (sau analogiile) lui Neper (sau Napier).

1.11. Să se exprime excesul sferice e în funcție de laturile triunghiului sferic (formula lui L ’Huillier).

Rezolvare. Vom considera și utiliza următoarea, formulă din trigonometría plană:

Înlocuind în această relație sin(A+B)/2 și cos(A+B)/2 prin expresiile date de formulele lui Delambre (1.23), obținem după calcule simple:

Exprimând tg C/2 cu ajutorul formulei corespunzătoare ce se obține din (1.20) și (1.21), relația de mai sus devine:

Ridicând la pătrat și folosind formula din trigonometria plană sin x

sin X/2 cos X/2, rezultă:

care este formula lui L’Huillier.

1.12. Să se arate că, în cazul limită când R —> oo și triunghiul sferic se apropie de un triunghi plan, teoremele sinusului și cosinusului ale trigonometriei sferice se transformă în teoremele corespunzătoare din trigonometria plană, iar din formula lui L’Huillier rezultă formula lui Heron din trigonometria plană.

Rezolvare. Să considerăm trei puncte din spațiu ce nu sunt colimare, A, B, C. Ele determină un plan și, în acest plan, un triunghi. În același timp, există o infinitate de sfere pe a căror suprafață se găsesc cele trei puncte. Dacă aceste sfere sunt ordonate după mărimea razelor, atunci când R —> oo curburile respective descresc și triunghiul sferic se apropie de un triunghi plan; unghiurile de pe sferă se apropie de unghiuri plane obișnuite și excesul sferic e devine oricât de mic. Lungimile laturilor triunghiului plan, a, b, c au drept corespondente în triunghiul sferic arcele măsurate în unități de arc.

Din dezvoltarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus în serii convergente, notând a/R=qa, b/R=qb,c/R=qc și prin deltai – mărimile ce tind la 0 odată cu 1/R4, se

obține:

și la limită se obține:

adică teorema cosinusurilor din trigonometria plană.

Dacă în formula lui L’Huillier (1.25) funcțiile tangentă se înlocuiesc cu arcele unghiurilor, acestea din urmă fiind foarte mici, obținem formula aproximativă:

Utilizând expresia de mai sus și ținând seama de expresia SABC (1.10) pentru aria unui triunghi sferic, se obține formula lui Heron pentru triunghiul plan:

1-13. Să se arate că într-un triunghi sferic echilateral există relația:

Rezolvare. Din ipoteză rezultă a = b = c. In aceste condiții, prima formulă a lui Gauss (1.16) devine:

din care deducem succesiv:

De aici rezultă relația căutată.

1.14. Să se determine aria triunghiului sferic echilateral care are unghiurile de 75°.

Rezolvare. Din ipoteză avem

Aplicând formula (1.10), găsim aria triunghiului:

Știind că aria unui triunghi sferic dreptunghic isoscel este o treime din aria unui cerc mare al sferei, să se calculeze unghiurile tri- unghiului.

Rezolvare. Conform ipotezei, avem A = 90°, B — C. Aria triunghiului sferic este atunci:

sau, în grade, B = C=75°.

Să se determine lungimea laturii unui triunghi sferic așezat pe o sferă cu raza R = 5m, știind că a = 32°17/15//.

Rezolvare. Calculăm a în secunde de arc (a"):

Dacă R este raza unui cerc și a numărul de radiani al unui arc acel cerc, atunci lungimea arcului este:

Să calculăm numărul de radiani al unui arc de 1", număr pe care îl notăm cu w. Știind că unui arc de 180° (= 648000") îi corespund pi radiani, prin regula de trei simplă găsim:

Atunci, din (1.27), unde a =a''w, calculăm imediat lungimea laturii aȘ

Lucrarea nr.1

Rezolvarea triunghiurilor sferice dreptunghice și quadratice

1. Formule pentru triunghiul sferic dreptunghic

Un triunghi sferic este dreptunghic dacă are cel puțin un unghi drept (de 900). Unghiul drept va fi notat întotdeauna cu A. Un triunghi sferic dreptunghic este determinat de oricare două elemente ale sale (în afara lui A) rămânând de aflat celelalte trei elemente. Formulele convenabile sunt acelea care leagă trei elemente ale triunghiului și din care determinăm un element când se dau celelalte două. Vom avea în total combinații posibile, adică în total zece formule. Ele se obțin din formulele cunoscute în care intră patru elemente incluzându-l și pe A. Aceste formule vor fi I1, II, III, IV3-6 (formulele lui Gauss, date la curs) :

(I) (formula cosinusului laturii a)

(II) (formulele cosinusului unui unghi)

(III) (din teorema sinusurilor)

(VI3-6) (formule cu patru elemente)

Având în vedere că și deci , vom obține următorul tabel de formule pentru un triunghi dreptunghic:

(1) (6)

(2) (7)

(3) (8)

(4) (9)

(5) (10)

Aceste formule se pot transcrie în formă echivalentă, astfel încât în membrul drept al fiecărei formule să figureze un sinus iar în membrul drept să apară produsul a două tangente sau a două cosinusuri:

(1’) (6’)

(2’) (7’)

(3’) (8’)

(4’) (9’)

(5’) (10’)

Din aceste formule rezultă o regulă mnemotehnică pentru toate cele zece formule, dată de Neper (vezi diagrama alăturată):

„Sinusul oricărui unghi din diagramă este egal cu:

1) produsul tangentelor a două unghiuri adiacente acestuia;

2) produsul cosinusurilor a două unghiuri opuse (neadiacente)”.

2. Rezolvarea triunghiurilor sferice dreptunghice.

Un triunghi sferic dreptunghic poate fi rezolvat dacă se dau (în afară de ):

1) ipotenuza a și o catetă b (sau c),

2) cele două catete b și c,

3) ipotenuza a și un unghi alăturat ei B (sau C)

4) o catetă și un unghi alăturat ei (b și C, sau c și B),

5) cele două unghiuri B și C,

6) o catetă și unghiul opus ei (b și B, sau c și C).

Cazurile 1-5 dau soluție unică. Cazul 6) dă două soluții căci elementele ce rămân de determinat se obțin prin sinusul lor, ceea ce conduce la două valori suplimentare una alteia.

De notat că în acest caz (de exemplu : se dau b,B și se cer a,c,C), triunghiul poate fi rezolvat numai când b și B se află în același cadran deoarece în primul cadran, avem b< B, iar în cadranul al doilea avem b > B.

Observație. Cazurile 1) – 5) pot fi rezolvate și prin utilizarea formulelor ce determină elemente necunoscute prin sinusul lor. În aceste cazuri trebuie avute în vedere regulile:

i) Dacă b și c se află în același cadran, atunci a < 90o iar dacă se află în cadrane diferite, atunci a > 90o.

ii) Dacă B și C se află în același cadran, atunci a < 90o iar dacă ele se află în cadrane diferite, atunci a > 90o.

iii) Valorile catetei și a unghiului opus ei se află în același cadran.

3. Rezolvarea triunghiurilor sferice quadratice (rectilatere)

Un triunghi sferic se numește quadratic (rectilater) dacă el are cel puțin o latură egală cu 90o. Latura egală cu 90o se va nota întotdeauna cu a . Triunghiului quadratic (rectilater) ABC i se asociază triunghiul sferic polar A1B1C1 care va fi dreptunghic și care se rezolvă pe baza datelor cunoscute și a formulelor :

adică : ; ;

; ; .

4. Exemple

I. Să se rezolve triunghiurile sferice dreptunghice () cunoscând :

1. a = 740 și c = 300 30’.

2. b = 600 și c = 450.

3. a = 820 30’ și C = 720 25’.

4. c = 450 și B = 600 35’.

5. B = 460 și C = 750 30’.

6. b = 380 24’ și B = 420 54’.

Rezolvări :

1. Din (1) rezultă , de unde

. Pe calculator se lucrează în „degree”.

Din (10) rezultă de unde

Din (7) rezultă de unde

.

Observații : Excesul sferic al triunghiului este .

Se pot afla lungimile laturilor precum și aria triunghiului în funcție de raza sferei R

(lungimea unui arc este , iar aria ).

2. Din (1) , de unde

Din (10) rezultă , de unde

Din (7) rezultă de unde

Excesul sferic al triunghiului este .

3. , .

Dintre formulele (1)-(10) pentru triunghiul sferic dreptunghic sunt de preferat cele pentru cosinusul sau tangenta elementelor necunoscute. Astfel din (7) rezultă

de unde

.

Din (1) rezultă de unde

Din (3) rezultă de unde

.

Excesul sferic al triunghiului este .

4. Din (4) de unde

.

Din (2) de unde

.

Din (7) rezultă

de unde .

Excesul sferic al triunghiului este .

5. Din (2) de unde

.

Din (3) rezultă de unde

.

Din (4) rezultă de unde

.

Excesul sferic al triunghiului este .

6. . Din (9) de unde se obțin două

soluții și .

Din (4) rezultă, pentru cele două valori c1,2, de unde

, . Latura a se poate determina din (10)

de unde rezultă și pentru cele două soluții c1,2

Se obțin valorile și .

II. Să se rezolve triunghiul sferic quadratic () cunoscând : b = 1390 și C = 510.

Rezolvare :

Triunghiul polar triunghiului dat A1B1C1 este dreptunghic (A1 = 900). Se aplică formulele

(1)-(10) pentru laturile acestui triunghi a1 = 1800- A, b1 = 1800 – B , c1 = 1800 – C =1290

și unghiurile sale B1 = 1800 – b = 410, C1 = 1800 – c .

Din (9) rezultă de unde

, deci .

Din (1) de unde

, deci A = 1800 – a1 = 58024’07’’.

Din (7) de unde

, deci c = 1800 – C1 = 65036’53’’

Excesul sferic al triunghiului este .

5. Probleme propuse

I. Să se rezolve triunghiurile sferice dreptunghice () cunoscând :

1. a = 750 și c = 300 . Răspuns: b = 77036’39’’, B = 81006’02’’, C = 31010’26’’.

2. c = 460 și B = 610. Răspuns: C = 52033’11’’, a = 43033’37’’, b = 37003’52’’.

3. a = 800 și C = 700. Răspuns: b = 62043’36’’, c = 67043’52’’, B = 64054’32’’.

4. c = 460 și B = 610. Răspuns: C = 52035’19’’, a = 64054’43’’, b = 52022’58’’.

5. B = 500 și C = 1000. Răspuns: a = 98030’29’’, b = 49015’15’’, c =103006’06’’.

6. b = 450 și B = 480. Răspuns: c1 = 64012’40’’, C1 = 71008’13’’, a1 = 72005’01’’;

c2 = 115047’20’’, C2 = 108051’47’’, a2 = 107054’59’’.

II. Să se rezolve triunghiurile sferice quadratice () cunoscând :

1. b = 1400 și C = 520. Răspuns: B = 146031’35’’, A = 59005’58’’, c = 67008’38’’.

2. b = 820 și c = 950. Răspuns: A = 82017’43’’, B = 81058’09’’, c = 95002’57’’.

3. B = 1200 și C = 1000. Răspuns: A = 94057’44’’, b = 119029’56’’, c = 98041’35’’.

4. B = 600 și c = 650. Răspuns: C = 61042’00’’, A = 108044’12’’, b = 63003’24’’.

Lucrarea nr.2

Rezolvarea triunghiurilor sferice oarecare

1. Formule pentru triunghiul sferic oarecare

Un triunghi sferic oarecare poate fi rezolvat dacă din cele șase elemente ale sale (trei laturi și trei unghiuri: a,b,c,A,B,C) sunt cunoscute trei. Următoarele formule (deduse la curs) constituie un minimum necesar rezolvării triunghiurilor :

(I) (formulele cosinusului unei laturi)

(II) (formulele cosinusului unui unghi)

(III) (teorema sinusurilor)

(VIII) unde

(IX) (formulele lui Borda)

(XI) unde

(XII)

(XIV)

(XV) (formulele de control ale lui Gauss)

(XVIII) (formula lui L’Huiler pentru excesul sferic )

2. Rezolvarea triunghiurilor sferice oarecare

Sunt posibile șase cazuri distincte când se dau :

1) trei laturi ;

2) trei unghiuri;

3) două laturi și unghiul dintre ele;

4) o latură și două unghiuri alăturate ei;

5) două laturi și un unghi opus uneia din ele;

6) două unghiuri și o latură opusă unuia din ele.

Rezolvarea se face folosind tabelul:

Observații:

1. Cazurile 1-4 ne dau soluție unică. Cazurile 5 și 6 dau două soluții care apar din utilizarea sinusurilor pentru determinarea primului element, rezultând două soluții suplimentare.

2. Controlul soluțiilor se face evaluând excesul sferic pe două căi (după definiția = A+B+C-1800, când se folosesc unghiurile triunghiului, apoi după formula (XVIII), unde se folosesc laturile) sau cu formulele de control (XV).

3. Exemple :

Să se rezolve triunghiurile sferice oarecare cunoscând :

1. a = 300 , b = 400 și c = 500.

2. A = 500 , B = 650 și C = 1150.

3. a = 650 , b = 50025’13’’ și C = 45030’.

4. A = 950 , B = 84030’ și c = 56030’01’’.

5. B = 700’ , b = 60028’ și c = 570

6.B = 70028’ , C = 800 și b = 47030’.

Rezolvări :

1. Condițiile de existență : 0°<a+b+c <360° ; a+b>c, b+c>a, c+a>b sunt îndeplinite.

Din (I) (formula cosinusului pentru latura a) rezultă

, de unde

.

Prin permutări circulare se obține din

, de unde

.

Din rezultă

, de unde

.

Verificare : Excesul sferic al triunghiului este .

Pe de altă parte (XVIII) , unde aici ,

deci . Prin urmare

, de unde (valoare apropiată de cea găsită . direct).

2. Condițiile de existență : 180°<A+B+C< 540°, A+B <180o+C, B+C <180o+A, C+A <180o+B

sunt îndeplinite.

Din (II) (formula cosinusului pentru unghiuri) . . . . . rezultă , de unde

.

Din .

rezultă , de unde

.

Din .

rezultă , de unde

.

Verificare : Excesul sferic al triunghiului este , de unde

.

Pe de altă parte (XVIII) ,

unde aici ,

deci . Prin urmare

, de unde (valoare foarte apropiată de cea găsită direct).

3. Din (I) (formula cosinusului pentru latura c), pentru

și rezultă , de unde

.

Din (XIV) , unde rezultă

, de unde

Rezolvând sistemul se obțin unghiurile și.

.

Verificare : Excesul sferic al triunghiului este , de unde

.

Pe de altă parte (XVIII) ,

unde aici ,

deci ,

valoare foarte apropiată de cea găsită direct.

4. B = 84,50, iar c = 56.5002770.

Din (XIV) rezultă

, de unde

. Rezolvând sistemul se obțin laturile .

și.

.

Din (II) (formula cosinusului pentru unghiul C)

rezultă , de unde .

Verificare : Excesul sferic al triunghiului este , de unde

.

Pe de altă parte (XVIII) ,

unde aici ,

deci ,

valoare foarte apropiată de cea găsită direct.

5. b = 60028’ = 60,4666670 .

Din teorema sinusurilor (III) rezultă

de unde se găsesc două soluții (deoarece

):

și unghiul suplementar

.

Pentru determinarea elementelor a și A se vor folosi, în cele două cazuri, formulele (XIV) :

de unde

și

În cazul întâi se obține :

, de unde

de unde , rezultă .

Deci o soluție a problemei este triunghiul cu :

,, C = 64,9287570 = 64055’43’’,

, b = 60,4666670 = 60028’, .

Soluția găsită este validă dacă și au același semn. Într-adevăr :

și . De asemenea A-B și a-b

trebuie să aibă același semn. Într-adevăr A-B > 0 și a-b > 0.

În al doilea caz se obține :

, ecuație ce nu are

soluții în intervalul . Explicația constă în faptul că C2 =115,0712430 > B =700,

dar c = 570 < b = 60,4666670, ceea ce contrazice teorema : “Latura mai mare se opune

unghiului mai mare“.

Singura soluție găsită se verifică cu formula de control ale lui Gauss :

(XV)

Astfel , iar

(valoare apropiată).

6. B = 70028’ = 70,4666670 , b = 47030’ = 47,50.

Din teorema sinusurilor (III) rezultă

de unde se găsesc două soluții (deoarece

):

și unghiul suplementar

.

Pentru determinarea elementelor a și A se vor folosi, în cele două cazuri, formulele (XIV) :

de unde

și

În cazul întâi se obține :

, de unde

de unde , rezultă .

Deci o primă soluție a problemei este triunghiul cu :

,, C = 800,

, b = 47030’ = 47,50, .

Soluția găsită este validă dacă și au același semn. Într-adevăr :

și . De asemenea A-B și a-b

trebuie să aibă același semn. Într-adevăr A-B < 0 și a-b < 0.

În al doilea caz se obține :

, de unde

de unde , rezultă .

Deci a doua soluție a problemei este triunghiul cu :

,, C = 800,

, b = 47030’ = 47,50, .

Soluția găsită este validă dacă și au același semn. Într-adevăr:

și . De asemenea A-B și a-b

trebuie să aibă același semn. Într-adevăr A-B > 0 și a-b > 0.

Soluțiile se verifică cu formula de control ale lui Gauss :

(XV)

În primul caz , iar

(valoare apropiată).

În al doilea caz , iar

(valoare apropiată).

4. Probleme propuse

Să se rezolve triunghiurile sferice oarecare cunoscând :

1. a = 400, b = 500 și c = 600. Răspuns: A = 47054’50’’, B = 62011’06’’, c = 89006’57’’.

2. A = 400, B = 350 și C = 1100. Răspuns: a = 25038’53’’, b= 22043’13’’, c = 39015’22’’.

3. a = 70025’ , b = 500 și C = 60030’. Răspuns: c = 55011’27’’, A = 92053’38’’, B = 54017’44’’.

4. A = 950 , B = 800 și b = 65030’. Răspuns: a1 = 57013’30’’, c1 = 9012’45’’, C1 = 10018’10’’;

a2 = 122046’30’’, c2 = 148041’32’’, C2 = 242003’11’’.

5. a = 1100’ , c = 720 și C = 1280 Răspuns: a1 = 57013’30’’, c1 = 9012’45’’, C1 = 10018’10’’;

a2 = 122046’30’’, c2 = 148041’32’’, C2 = 242003’11’’.

6. A = 101012’ , C = 102006’ și c = 96030’.

Răspuns: A1 = 51007’56’’, b1 = 122002’06’’, B1 = 135023’19’’;

A2 = 128052’04’’, b2 = 176046’59’’, b2 = 177020’06’’.

BIBLIOGRAFIE

C. Ciobanu, Capitole de Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, trigonometrie sferică, Editura Muntenia, Constanța, 2005

C. Ciobanu, Capitole de Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, trigonometrie sferică – Aplicații, Editura Muntenia, Constanța, 2005

M. Craioveanu, I. Albu, Geometrie afină și euclidiană, Editura Facla, Timișoara, 1982

N.V. Efimov, E.R. Rozendorn, Linéar Algèbra and Multidimensional Geometry, Editura Mir. Moscow, 1975

P.R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, D. Van Nostrand Co., Princeton, 1958

S. Sburlan, Principiile fundamentale ale matematicii moderne, Editura Academiei Române, București, 1991

Gh. Gheorghiev, R. Miron, D. Papuc, Geometrie analitică și diferențială, Vol. I, II, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965

C. Udriște, Probleme de algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Editura Didactică și Pedagogică, 1976

C. Udriște, C. Radu, C. Dicu, O. Mălăncioiu, Probleme de algebră, geometrie și ecuații diferențiale, Editura Didactică și Pedagogică, 1981