Elemente DE Teoria Lui Galois
UNIVERSITATEA DIN PITEȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ–INFORMATICĂ
DOMENIUL DE ABSOLVIRE MATEMATICĂ
LUCRARE DE ABSOLVIRE
ELEMENTE DE TEORIA LUI GALOIS
COORDONATOR : Lector univ. Dr. Andronescu Corneliu Stelian
. Absolvent: . . PEIA PETRU STELIAN
– PITEȘTI –
– 2016 –
Cuprins
Introducere…………………………………………………………………pag.3
Capitolul I. NOȚIUNI PRELIMINARE
1.1. Inele ……………………………………………………………. . . .…… pag.5
1.1.1 Definiția inelului. Exemple………………………………………………………… pag.5
1.1.2 Proprietăți de bază ale inelelor……………………………………………………. pag. 9
1.1.3 Subinele…………………………………………………………………………………. pag.10
1.1.4 Morfisme de inele…………………………………………………………………….. pag.14
1.2. Corpuri…………………………………………… . .…………………….pag. 18
1.2.1. Definiția corpului. Exemple…………………………………………………………. pag. 18
1.2.2. Proprietăți de bază ale corpurilor………………………………. …………………. pag. 20
1.2.3. Subcorpuri……………………………………………………………………………….. pag. 21
1.2.4. Corpuri prime……………………………………………………………….. …………. pag. 22
1.2.5. Morfisme de corpuri…………………………………………………………………… pag. 24
1.2.6 Corpuri finite……………………………………………………………………………… pag. 24
Capitolul II ELEMENTE DE TEORIE GALOIS
2.1 Extinderi algebrice……………………………………………………………. pag. 27
2.2 Extinderi algebrice normale……………………………………………………pag. 32
2.3 Extinderi algebrice separabile……………………………………………..……pag. 36
2.4 Teorema fundamental a teoriei lui Galois………………………………….…..pag. 40
Capitolul III APLICAȚII
3.1 Construcții cu rigla și compasul……………………………………………….. pag.44
3.2 Grupul lui Galois. Teorema lui Galois………………………………………….pag.48
3.3 Exercitii………………………………………………………………………….pag.50
Concluzii……………………………………………………………………….. pag 56
Bibliografie……………………………………………………………………………………… pag 57
INTRODUCERE
Încă din tinerețe, Évariste Galois, a determinat condiția necesară și suficientă pentru ca o ecuație polinomială să fie rezolvabilă prin formule cu radicali, reușind astfel să rezolve o veche problemă a matematicii. A fost primul matematician care a folosit termenul grup ca noțiune matematică de reprezentare a unei multimi de permutări. Problema poate fi tratată mai elegant cu ajutorul teoriei corpurilor: considerând corpul descompunerilor unui polinom problema se transferă la teoria corpurilor. Teoria Galois modernă generalizează acest tip de grupuri Galois la extensiile de corp și stabilește cu ajutorul teoremei fundamentale a teoriei Galois (vezi capitolul II) o relație precisă între corpuri și grupuri, subliniind din nou omniprezența grupurilor în matematică. Lucrarea sa Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux („Memoriu asupra condițiilor de rezolvabilitate a ecuațiilor prin radicali”), publicată de către Joseph Liouville abia în 1846, la 14 ani după moartea lui Galois, a fost considerată de succesorii săi din acest domeniu al matematicii (în particular de Sophus Lie) ca fiind momentul declanșator din punct de vedere structural și metodologic al matematicilor moderne. Cu teoria ecuațiilor algebrice a mers mai departe decât Niels Henrik Abel, dând o formă definitivă și generală problemei rezolvării ecuațiilor algebrice, construind o teorie cu totul nouă. Pentru cercetarea funcțiilor algebrice, în 1830 a creat celebra teorie a grupurilor, numite ulterior grupuri Galois (vezi capitolul III). A tratat și principiile teoriei grupurilor de substituții și s-a ocupat de reprezentarea liniară a grupurilor. A stabilit teoria generală a grupurilor care stă la baza teoriei fundamentale a ecuațiilor de grad superior, precum și la baza anumitor probleme din teoria numerelor tratate de Gauss, la baza studiului transformărilor geometrice, la baza analizei matematice și care a dat naștere analizei metrice. În 1830, Galois realizează un salt în teoria numerelor prin introducerea a ceea ce ulterior vor fi denumite „imaginarele lui Galois”. În 1831 stabilește condițiile necesare și suficiente pentru ca o ecuație algebrică să fie rezolvabilă prin radicali. Teorema lui Galois afirmă, în mod precis, că o ecuație algebrică este rezolvabilă prin radicali dacă și numai dacă grupul asociat este rezolubil. Contribuția lui Galois la rezolvarea ecuațiilor algebrice este importantă nu numai prin constituirea grupurilor, cât mai ales prin aprofundarea raportului care există între ideea de grup și aceea de invariant. Teoria grupurilor abstracte a fost reluată de: Cauchy, Betti, Cayley, I. A. Serret, Jordan, Sylow, Kronecker, Dedekind și alții, care au contribuit la răspândirea operei lui Galois clarificând anumite raționamente și precizând aplicațiile acestei teorii. Întreaga disciplină algebrică: grup Galois, câmp Galois, corp Galois este cunoscută sub numele de „teoria lui Galois” prezentată parțial în paginile următoare.
CAPITOLUL I
NOȚIUNI PRELIMINARE
In acest capitol se introduc noțiunile de bază ale teoriei inelelor: inel, corp, morfism de inele, subinel.
1.1.1 Inele
Definiția inelului. Exemple
1.1.1.1 Definiție : Fie A o mulțime înzestrată cu două operații binare notate prin simbolurile + și și numite operație de adunare respectiv de înmulțire. Tripletul (A,+, ) se numește inel dacă satisface condițiile (axiomele) :
(A,+) este grup abelian (comutativ) ;
(A, ) este semigrup ;
Pentru orice a, b, c A ,
a (b + c) = ab + ac
(a + b) c = ac + bc ,
adică operația de înmulțire este distributivă, atât la stânga cât și la dreapta, față de operația de adunare.
Explicitând proprietățile 1, 2 și 3, (A, +, ) este inel dacă:
(x + y) + z = x + (y + z) , () x, y, z A.
() 0 A a. î. 0 + x = x + 0 = x , (() xA)
() xA , () -x A a.î. x + (- x ) = (- x) + x = 0
x (yz) = (xy) z , () x, y, z A
Observăm că A, deoarece cel puțin elementul neutru față de operația de adunare trebuie să aparțină lui A, adică notând acest element prin 0, neapărat 0A . Elementul 0 se numește elementul zero al inelului, prin analogie cu numărul întreg zero, care joacă rolul de element neutru față de operația de adunare în Z.
Dacă A nu conține alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (A,+, ) se numește inel nul. Mai mult, se observă că pentru orice mulțime formată dintr-un singur element există o singură structură de inel, inelul nul.
Exemple de inele:
(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative și unitare.
Menționăm că mulțimea numerelor naturale, împreună cu operațiile de adunare și înmulțire, definite în modul cunoscut în această mulțime, nu formează inel, întrucât (N, +) nu este grup.
(Z[i],+, ) numit inelul întregilor lui Gauss,
unde Z[i] = {z/z = a + bi; a, b Z}, iar operațiile + și sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifică ușor ca (Z[i], +, ) este inel comutativ unitar.
(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.
Exemple concrete de inele:
1. Presupunând cunoscută construcția numerelor naturale N, precum și proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor întregi. Pentru aceasta să considerăm produsul cartezian și definim în această mulțime o relație binară ≈ astfel:
Relația ≈ este o relație în N x N, deci putem construi mulțimea cât Z = N x N/≈ , adică, unde
Definind în Z operațiile binare + și prin
se constată că (Z, +, ) este un inel unitar și comutativ , având ca element zero clasa iar ca element unitate clasa . Pentru simplificarea scrierii se notează = 1 și = 1
Să arătăm că inelul (Z, +, ) nu admite divizori ai lui zero nebanali. Pentru aceasta, fie și două numere întregi pentru care ab = 0 , adică
deci,
de unde obținem
Dacă m = n sau p = q , atunci sau
Dacă m > n ( > fiind relația de ordine definită în modul cunoscut în N) , atunci există l N , l > 0 , astfel încât m = n + l , deci
(n + 1)p + nq = (n + 1)q + np
adică
np + lp + nq = nq + lq + np
de unde, aplicând legile comutativității și simplificării valabile pentru operațiile din N, primim p = q , prin urmare .
În cazul m < n se obține b = 0 , iar în cazul p < q sau p > q se obține a = 0 .
2. Să notăm prin Mn mulțimea tuturor matricilor pătratice de ordin n (n N)
având elementele dintr-un inel (A,+, ). Definind operațiile de adunare și înmulțire a matricilor în modul cunoscut, adică
(i, j= 1,2, …,n)
tripletul (Mn,+,) devine inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 A . Dacă inelul posedă element unitate, atunci și inelul (Mn, +, ), posedă element unitate. De asemenea, se știe că operația de înmulțire a matricilor este, în general, necomutativă, deci inelul (Mn,+, ), va fi necomutativ. În sfârșit, se constată că (Mn,+, ), admite divizori ai lui zero. Într-adevăr, dacă considerăm de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci
deși fiecare dintre matricile ce se înmulțesc sunt diferite de matricea zero.
3. Fie (A, +, ) un inel și M o mulțime, M ≠ Ø . Să notăm prin AM mulțimea tuturor funcțiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g AM să definim suma și produsul acestor două funcții astfel:
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f g) (x) = f(x) g(x)
Se observă imediat că f + g și f g sunt funcții de la M la A , adică f + g , f g AM. Apoi se constată că (AM, +, ) formează un inel pentru care elementul zero este funcția z : M A definită prin z(x) = 0 (xM) . Acest inel este cu element unitate dacă (A, +, ) posedă element de unitate. Într-adevăr, dacă 1 A este elementul unitate în inelul (A, +, ) , atunci funcția ε : M A, definită prin ε(x) = 1 va fi element unitate în inelul (AM, +, ). De asemenea , dacă (A, +, ) este comutativ, atunci și inelul (AM, +, ) va fi comutativ.
În sfârșit, se constată că acest inel este cu divizori ai lui zero. Pentru a dovedi acest lucru să considerăm, de exemplu, în inelul (Z, +, ) funcțiile f, g : Z Z definite prin
dacă x ≤ 0
în rest
daca x > 0
în rest
Observăm că pentru orice x Z avem (fg) (x) = f(x) g(x) = 0 , adică fg = z, deși atât f cât și g sunt diferite de elementul zero al inelului (Z, +, ) .
1.1.2. Proprietăți de bază ale inelelor
1.1.2.1. Teorema. Pentru fiecare a A , a 0 = 0 a = 0 .
Demonstrație. Pentru orice a A , a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 , deci simplificând în grupul aditiv (A, + ) prin a 0 , obținem a 0 = 0. Similar se demonstrează că 0 a = 0 .
1.1.2.2. Teorema. Pentru orice a, b, c A ,
a(b – c) = ab – ac ;
(a – b)c = ac – bc ,
adică operația de înmulțire este distributivă față de operația de scădere, atât la stânga cât și la dreapta.
Demonstrație. În grupul (A, +) operația de scădere se definește prin formula a – b = a + (– b) , deci pentru orice a, b, c A , (b – c) + c = b , adică a[(b – c) + c] = ab deci a(b – c) + ac = ab, de unde primim a(b – c) = ab – ac. A doua egalitate se demonstrează similar.
1.1.2.3. Teorema. Pentru orice a, b A, (– a)b = a(– b) = – ab și de asemenea (– a)( – b) = ab .
Demonstrație. Dacă a, b A , atunci ab + (– a)b = [a + (–a)]b = 0b = 0 și la fel, ab + a(– b) = a[b + (– b)] = 0 , deci ( – a)b = a( – b) = – ab .
Apoi , ( – a) ( – b) = – [a( – b)] = ab .
Inelul (A, +, ) se numește inel cu element unitate (sau inel unitar), dacă satisface condiția :
Există elementul 1 A , astfel încât pentru orice a A, a 1 = 1 a = a.
Dacă inelul (A, +, ) este unitar, atunci are sens să vorbim despre elementele inversabile (simetrizabile) ale acestui inel. Anume, elementul a A se numește inversabil dacă există a – 1 ( A cu proprietatea a a – 1 = a – 1 a = 1 .
Exemple: Inelele (Z,+,), (Q,+,), (R,+,), (C,+,), (Z[i],+,) sunt domenii de integritate. Dacă A este un inel unitar, elementele lui simetrizabile în raport cu înmulțirea se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului..
Inversul sau simetricul lui a, dacă există, se notează cu a .
1.1.2.4. Teorema. Mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar (A,+, ) formează grup în raport cu operația de înmulțire indusă.
Demonstrație. Fie S = {a A a – 1 A : aa – 1 = a – 1 a = 1 } și să arătăm că (S, ) satisface axiomele grupului :
Dacă a, b S , atunci a – 1 , b – 1 A , astfel încât aa – 1 = a – 1 a = 1 și bb –1 = b – 1 b = 1, deci
(ab) (b – 1 a – 1 ) = a(bb – 1 )a – 1 = a 1 a – 1 = aa – 1 =1 ,
(b – 1 a –1 )(ab) = b –1 (a –1 a)b = b –1 1 b = b –1 b = 1,
adică ab S .
Asociativitatea operației induse este evidentă, ea se transmite de la inelul (A, +, ) . Deoarece 1 1 = 1, obținem 1 S și astfel acesta va juca rol de element neutru și pentru elementele din S.
În sfârșit, dacă a S, atunci există a –1 A astfel încât aa –1 = a –1 a = 1, deci întrucât proprietatea de „a fi simetric” este reciprocă, obținem că a –1 S.
Inelul (A, +, ) se numește comutativ dacă satisface condiția:
Pentru orice a, b A, ab = ba .
Fie (A, +, ) un inel. Elementul a A se numește divizor al lui zero , dacă există b A, b 0 , astfel încât ab = ba = 0
Observăm imediat că, pentru orice inel (A, +, ) nenul , elementul 0 este în mod banal divizor al lui zero. Prezintă interes faptul dacă un inel admite și divizori ai lui zero nebanali.
Un inel care nu admite divizori ai lui zero nebanali se va numi inel fără divizori ai lui zero.
Inelul (A, +, ) se numește domeniu de integritate dacă este comutativ, cu element unitate și fără divizori ai lui zero.
Exemple:
(1) (Z, +, ) este un domeniu de integritate deoarece este comutativ, este unitar, conține pe 1, nu are divizori ai lui zero în (Zn , +, )
1.1.2.5. Teorema. Dacă (A, +, ) este inel și a A nu este divizor al lui zero, atunci ax = ay sau xa = ya implică x = y. În particular, într-un domeniu de integritate este valabilă legea simplificării.
Demonstrație. Dacă ax = ay , atunci ax – ay = 0, deci a(x – y) = 0, prin urmare x – y = = 0 și astfel x = y .
1.1.2.6. Teorema. Elementele inversabile dintr-un inel unitar nu sunt divizori ai lui zero.
Demonstrație. Să presupunem că elementul a A este inversabil, adică există a –1 A cu proprietatea aa –1 = a –1 a = 1 . Dacă a –1 a ar fi divizor al lui zero, atunci există b ≠ a , b ≠ 0, astfel încât ab = 0, deci a –1 (ab) = (a –1 a)b = b = 0, ceea ce contrazice faptul că b = 0.
Din această teorie rezultă că un inel unitar este nenul, deoarece conține cel puțin elementele 0 și 1, 1 0.
1.1.3. Subinele
Definiție. Fie (A,+, ) un inel și SA, S . Considerând operațiile induse în S din A, tripletul (S,+, ) se numește subinel al inelului (A,+, ) dacă la rândul sau formează inel.
1.1.3.1. Teorema. Dacă (A,+, ) este inel și SA, S , atunci S va fi subinel dacă și numai dacă se satisfac condițiile:
Pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei);
Pentru orice a S, – a S ;
Pentru orice a, b S, ab S (condiția de închidere a produsului);
Demonstrație. Aceste condiții sunt evident necesare, deoarece coincid cu o parte dintre axiomele ce definesc inelul. Observăm însă că ele sunt și suficiente. Într-adevăr condiția (1) ne asigură închiderea, parte din axiomele ce definesc inelul operației de adunare în S, legile asociativității și comutativității păstrându-se evident și pentru operația de adunare indusă, condiția (2) ne asigură existența opusului pentru fiecare element din S. Apoi, observăm că deoarece S , există a S astfel încât , – a S , deci prin condiția (1) a + (– a) = 0 S. Proprietatea de asociativitate a operației de înmulțire și legile distributivității ale acesteia față de adunare se transmit de la întregul inel A.
1.1.3.2. Teorema Dacă (A,+, ) este inel și S A, S , atunci (S,+, ) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile:
Pentru orice b S , a – b S (condiția de închidere a operației de scădere);
Pentru orice a, b S, ab S (condiția de închidere a produsului).
Demonstrație. Daca (S, +, ) este subinel, atunci din teorema (I.1.3.1.) rezultă că pentru orice b S, – b S, deci pentru orice b S, a + (– b) = a – b S și astfel este satisfăcută condiția (1) , iar condiția (2) coincide cu condiția (3) din teorema precedentă.
Invers, să presupunem că submulțimea S satisface condițiile (1) și (2). Atunci, pentru orice a S , a – a = 0 S , deci pentru orice b S , 0 – b = – b S și astfel pentru orice a b S , a – (– b) = a + b S. Prin urmare se satisfac condițiile teoremei, I.1.3.1., deci (S, +, ) este subinel al inelului (A, +, ).
1.1.3.3. Teorema. Dacă (A, +, ) este inel și SA, S este o submulțime finită a lui A, atunci (S, +, ) va fi subinel dacă și numai dacă satisface condițiile:
Pentru orice a, b S , a + b S ;
(2) Pentru orice a, b S, ab S .
Demonstrație. Condițiile sunt evident necesare. Să arătăm că ele sunt și suficiente. Pentru aceasta observăm că este de ajuns să demonstrăm că este satisfăcută condiția (2) formulată în teorema I.1.3.1. Fie S = { a1, a2, … , an } și pentru a S să notăm a + S = {a+a1, a+a2, … , a+an }. Se constată că pentru orice a S, a + S = S, deci pentru orice a, b S ecuația a + x = b are soluție în S. În particular, ecuația a + x = a are soluție în S , deci există x0 S astfel încât x0 + a = b. Prin urmare, pentru orice b S , b + 0 = ( x0 + a ) + 0 = x0 + ( a + 0 ) = x0 + a = b, adică 0 joaca rol de element neutru pentru operația de adunare din S. În sfârșit, din faptul că pentru orice a S ecuația a + x = 0 are soluție în S rezultă condiția de demonstrat.
Observăm că dacă (A, +, ) este unitar și (S, +, ) este un subinel al acestui inel, atunci elementul 1 A nu aparține obligatoriu și lui S. Așa, de exemplu, (2Z, +, ) este un subinel al inelului (Z, +, ) pentru care 1 2Z.
Pentru fiecare inel (A, +, ) tripletele ( {0}, +, ) și însăși (A, +,) sunt subinele banale ale acestui inel. Există însă inele care admit subinele nebanale. Un astfel de inel, este, de exemplu (Z, +, ) care admite ca subinele toate tripletele (nZ, +, ), oricare ar fi n N.
1.1.3.4.Teorema. Dacă (Si, +, ), i I , sunt subinele ale inelului (A, +, ) ,
atunci este subinel al inelului (A, +, ) .
Demonstrație. Observăm că ≠ Ø, deoarece cel puțin 0 . Apoi, (, +, ), este subgrup al grupului (A, +, ), deci va fi suficient să arătăm că operația de înmulțire indusă pe este închisă. Pentru aceasta, observăm că dacă a, b , atunci pentru fiecare iI; a, b Si , deci pentru fiecare i I; ab Si , adică ab .
Se constată însă că , în general, reuniunea unei familii de subinele nu este subinel. Pentru a ne convinge de acest lucru să considerăm subinelele (2Z, +, ) și (3Z, +, ) ale inelului (Z, +, ). Se știe că operația de adunare indusă pe submulțimea 2Z 3Z nu este închisă , deci reuniunea acestor două subinele nu va fi subinel al inelului (Z, +, ) .
Cu toate acestea, este adevărată următoarea afirmație:
1.1.3.5. Teorema. Dacă (Si, +, ), este o familie de subinele ale inelului (A, +, ) , atunci există subinelul (S, +, ) al inelului cu proprietățile:
Pentru fiecare i I ,S Si ;
(2) Dacă pentru fiecare i I subinel (S’, +, ) al inelului are proprietatea S’ Si , atunci S’ S.
Subinelul (S, +, ) , astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul (A, +, ) de familia de subinele Si.
Demonstrație. Se consideră mulțimea tuturor subinelelor (X, +, ) ale inelului (A, +, ) care posedă proprietatea că pentru fiecare i I, X Si . Această mulțime este nevidă, deoarece cel puțin A posedă această proprietate. Intersecția tuturor acestor subinele este un subinel care posedă proprietățile (1) și (2).
1.1.3.6. Teorema. Dacă (A, +, ) este inel și M A, atunci există subinelul (S, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietățile :
S M;
Dacă (S’, +, ) este un subinel al inelului (A, +, ) cu proprietatea
S’ M, atunci S’ S .
Subinelul (S, +, ) astfel determinat, se numește subinelul generat în inelul (A, +, ) de submulțimea M A. Evident, dacă M = Ø, atunci subinelul generat de M coincide cu subinelul zero.
Deoarece teoremele precedente ne asigură numai existența subinelului generat, e bine să arătăm și modul cum se poate obține efectiv acest subinel.
1.1.3.7. Teorema. Subinelul generat în inelul (A, +, ) de submulțimea M A, M ≠ Ø , este format din toate sumele finite de forma , unde xk M sau – xk M (k = 1, 2, …, n). În particular, subinelul generat de familia de subinele (Sj, + , ) i I, va fi format din toate sumele finite de forma , unde xk .
Demonstrație. Notând , se constată ca S M și că diferența și produsul a două elemente din S sunt tot elemente din S. Deci (S, +, ), este un subinel al inelului (A, +, ). Apoi, dacă (S’, +, ) este un subinel al inelului (A, +, ) care conține pe M , atunci acesta (prin calitatea sa de subinel) va conține și elementele din S, deci S’ S .
Exemple:
Dacă A este un inel, atunci A și {0} sunt subinele, numite subinele improprii.
(Z, +, ) și (Q, +, ) sunt subinele ale inelului (R, +, ) .
Z Q R sunt subinele unul în altul, cu adunarea și înmulțirea numerelor.
Fie n N. Mulțimea H = nZ = {nk / k (Z} este un subgrup al grupului aditiv (Z, +). Dacă avem x, y H, atunci x = nk1, y = nk2, k1, k2 Z, deci xy = nk1k2 ( H, adică H este un subinel al lui Z. Deci, orice grup al grupului aditiv al lui Z este un subinel al inelului Z, deoarece orice subgrup al lui (Z, +) este de forma nZ , cu n N.
Reciproc, deoarece orice subinel al unui inel trebuie sa fie subgrup al grupului aditiv al inelului respectiv, rezultă că orice subinel al lui Z este de forma H = nZ. Deci subinelele inelului Z coincid cu subgrupurile lui (Z, +), care sunt de forma nZ , n N .
Mai exact fiecare subinel este format din multiplii întregi ai celui mai mic număr natural nenul sau zero ce aparține subinelului.
1.1.4 Morfisme de inele
Fie (A, +, ) și (B, +, ) doua inele . Funcția f : A B se numește morfism de la inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) dacă pentru orice a1, a2 A se satisfac condițiile:
f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2)
f(a1a2) = f(a1) f(a2) ,
adică funcția este compatibilă cu operațiile de adunare și de înmulțire.
Acest morfism se va numi injectiv, surjectiv sau bijectiv dacă funcția f : A B este respectiv injectivă , surjectivă sau bijectivă. De asemenea , morfismele de la un inel (A, +, ) la el însuși se mai numesc endomorfisme, iar endomorfismele bijective se numesc automorfisme.
În continuare, dacă nu va exista nici un pericol de confuzie vom nota inelul (A, +, ) simplu prin A.
Să dam câteva exemple de morfisme de inele :
(1) Pentru fiecare inel (A, +, ) , funcția 1A : A A este un automorfism.
(2) Fie (A, +, ) un inel unitar și a A un element inversabil, adică există a –1 A astfel încât a a-1 = a-1 a = 1. Atunci funcția fa : A A definită prin fa(x) = axa-1 este un automorfism . Într-adevăr , pentru orice x1, x2 A ,
fa(x1 + x2) = a(x1 + x2)a-1 = ax1a-1 + ax2a-1 = fa(x1) + fa(x2)
și de asemenea,
fa(x1 x2) = a(x1 x2)a-1 = (ax1a-1 )( ax2a-1 )= fa(x1) ( fa(x2)
Apoi, dacă fa(x1) = fa(x2) , atunci ax1a-1 = ax2a-1 , adică a-1 ax1 a-1 =a-1 ax2a-1 ,
deci x1a-1 = x2a-1 și astfel x1 = x2 . În sfârșit , pentru orice y A , există a-1ya A astfel încât (a(a-1ya) = a(a-1ya)a-1 = y .
(3) Fie (A, +, ) și (B, +, ) două inele. Definind în mulțimea A x B două operații binare prin
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2 , b1 + b2)
(a1, b1) (a2, b2) = (a1 a2 , b1 b2)
se constată imediat că (A x B, + , ) devine inel.
Funcțiile i1 : A A x B și i2 : B A x B definite prin i1(a) = (a, 0) și i2(b) = (0, b) sunt morfisme injective, iar funcțiile p1 : A x B A și p2 : A x B B definite prin p 1((a, b)) = a și p2 ((a, b)) = b sunt morfisme surjective.
Menționăm că dacă A și B sunt inele unitare, pentru care 1 A este element unitate în A și 1’ B element unitate în B, iar f : A B este un morfism de inele, atunci morfismul f nu păstrează obligatoriu unitatea. Dacă această proprietate este însă satisfăcută, vom spune că morfismul f este unitar.
Studiem în continuare câteva proprietăți ale morfismelor de inele .
1.1.4.1. Teorema. Dacă f : A B este un morfism de la inelul A la inelul B, atunci
(1) f(0) = 0 ;
(2) f(- a) = – f(a) .
Demonstrație. Întrucât f este, în particular, un morfism de la grupul aditiv (A, +), la grupul aditiv (B, +), egalitățile menționate sunt o consecință imediată a teoremei grupurilor.
1.1.4.2. Teorema. Dacă f : A B și g : B C sunt morfisme de inele, atunci gf : A C este morfism de la inelul A la inelul C. Mai mult, dacă f și g sunt morfisme injective, surjective sau bijective, atunci la fel este și morfismul g f .
Demonstrație. Este suficient să arătăm că se satisface a doua condiție din definiția morfismului de inele. Pentru aceasta observăm că dacă a, b A , atunci
(gf) (ab) = g(f(ab)) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b )) =
= (gf )(a) (gf)(b) .
1.1.4.3. Teorema Dacă f : A B este un morfism de inele și A1 A este un subinel al inelului A , atunci f(A1) este subinel al inelului B. În particular f(A) va fi subinel al inelului B, numit imaginea morfismului f și notată prin Im f.
Demonstrație. Deoarece f este morfism de la grupul aditiv al inelului A la grupul aditiv al inelului B, f(A) este un subgrup al grupului aditiv B. Rămâne de arătat că pentru orice b1, b2 f(A1), b1b2 f(A1) . Pentru aceasta , observăm că există a1, a2 A , astfel încât b1 = f(a1) și b2 = f(a2) , deci b1b2 = f(a1) f(a2) = f(a1a2) f(A1) .
1.1.4.4. Teorema. Dacă f : A B este un morfism de inele și B1 B este un subinel al inelului B, atunci f –1(B1) este un subinel al inelului A. În particular, f-1({0}) va fi un subinel al inelului A, numit nucleul morfismului f și notat prin Ker f .
Demonstrație. Se știe că f-1(B1) este un subgrup la grupului aditiv (A, +) . Să arătăm că f-1(B1) este chiar un subinel al inelului A. Pentru aceasta, fie a1, a2 f-1 (B1), adică f(a1) B1 și f(a2) B1 , deci f(a1a2) B 1 și astfel a1a2 f-1(B1) .
1.1.4.5. Teorema. Dacă f : A B este un morfism de inele și I B este un ideal al inelului B, atunci f-1(I) va fi ideal în A. În particular, Ker f = f-1 ({0}) va fi ideal în A.
Demonstrație. Din teorema precedentă rezultă că f-1(I) este subinel al inelului A adică prima condiție din definiția idealului este satisfăcută. Să arătăm că se satisface și a doua condiție. Pentru aceasta, fie xA și a f-1(I), deci
f(xa) = f(x)f(a) I și la fel f(ax) = f(a)f(x I) , prin urmare xa , ax f-1(I) .
Menționăm că imaginea directă a unui ideal I al inelului A prin morfismul f : A ( B nu este neapărat un ideal al inelului B. Cu toate acestea , este adevărată afirmația:
1.1.4.6. Teorema. Dacă f :A B este un morfism de inele surjectiv și IA este un ideal al inelului A, atunci f(I) este un ideal al inelului B.
Demonstrație. Evident este suficient să arătăm că dacă y B și b f(I), atunci by I și yb f(I) . Din faptul că b f(I) rezultă că există aI astfel încât b = f(a) , iar din faptul că f este morfism surjectiv rezultă că există xA astfel încât y = f(x) . În plus, ax I și xa I , deci by = f(a)f(x) = f(ax)f(I) și yb = f(x) f(a) = = f(xa) f( I ) .
1.1.4.7. Teorema. Morfismul de inele f : A B este injectiv dacă și numai dacă Ker f = {0}.
Demonstrație. Afirmația este o consecință a teoremei grupurilor :
« Morfismul f : G1 G2 este injectiv dacă și numai dacă Ker f = {e1} » , teorie transcrisă în limbajul grupurilor aditive.
1.1.4.8. Teorema. Morfismul de inele f : A B este surjectiv dacă și numai dacă Im f = B .
Demonstrație. Inelele A și B se numesc izomorfe dacă există morfismele f : AB și g : BA astfel încât :
g f = 1A ;
f g = 1B .
Și de data aceasta se poate arăta că izomorfismul de inele poate fi caracterizat complet de noțiunea de morfism bijectiv, anume :
1.1.4.9. Teorema. Inelele A și B sunt izomorfe dacă și numai dacă există cel puțin un morfism bijectiv f : A (B) .
Demonstrație. Dacă A și B sunt izomorfe ca inele , atunci există morfismele f și g astfel încât g f = 1A și f g = 1B . Se constată imediat că f : A B este morfism bijectiv.
Invers să presupunem că f : A B este un morfism bijectiv de inele. Atunci, f este în particular și un morfism bijectiv de grupuri, deci există morfismul de grupuri f-1 : B A cu proprietatea f -1 f = 1A și f f -1 = 1B . Rămâne să arătăm că f-1 : B A este chiar un morfism de inele. Pentru aceasta, observăm că dacă b1 b2 B , atunci f(f -1(b1 b2)) = b1b2 și f(f -1 (b1)f -1 (b2)) = f(f -1 (b1)) f(f -1 (b2)) deci, întrucât f este injectivă , avem f –1 (b1b2) = f –1 (b1) f –1 (b2) .
1.1.4.10 Teorema. Fiecărui ideal I al inelului A i se poate asocia un inel factor A / I ; I un morfism surjectiv g : A A / I astfel încât Ker g = I .
Demonstrație. În grupul comutativ (A, +) , idealul I este evident un subgrup normal. Deci, există grupul factor A / I = {a + I | a ( A } , unde a + I = {a +h | a A și h ( I} , iar operația grupală se definește prin
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I
Să definim în mulțimea cât A / I o nouă operație binară , astfel :
(a + I) ( (b + I) = ab + I
Observăm, mai întâi, că operația astfel definită nu depinde de alegerea reprezentanților, în sensul că dacă a1 a + I și b1 b + I , atunci a1b1 + I = ab + I . Într-adevăr, dacă x a1b1 + I , atunci există h1 I astfel încât x = a1b1 + h1. Apoi din faptul că a1 a + I și b1 b + I rezultă că există h2, h3 I astfel încât a1 = a + h2 și b1 = b + h3 , deci x = (a + h2)(b + h3) + h1 = ab + ah3 + h2b + h2h3 + h1 . Dar întrucât i este ideal , ah3 + h2b + h2h3 + h1 I adică există h = ah3 + h2b + h2h3 + h1 I astfel încât x = ab + h , deci x ab + I și astfel a1b1 + I ab + I . Asemănător se arată că ab + I a1b1 + I .
În continuare se verifică imediat că operația de înmulțire este asociativă, deci (A / I , + , ) formează un inel. Elementul nul al inelului factor A / I este clasa 0 + I = I , unde 0 este elementul zero din inelul (A, +, ).
Aplicația g : A ( A /I definită prin g(a) = a + I este un morfism surjectiv, așa cum rezultă din definiția operațiilor din inelul cât .
În sfârșit, se observă că pentru orice a A , a + I = I dacă și numai dacă a I , deci Ker g = {a ( A | g(a) = I} = I .
1.2.1 Corpuri
Definiția corpului. Exemple.
1.2.1.1. Definiție: Un inel unitar (A, +, ) se numește corp dacă fiecare element nenul al inelului este inversabil, adică dacă satisface condiția :
Pentru fiecare a A* , unde A* = A \ {0}, există a –1 A astfel încât aa –1 = a –1 a = 1.
Prin urmare, dacă (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) se numește corp comutativ sau câmp.
Observație:
Pe orice mulțime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notăm cu 0 și 1 aceste elemente, atunci adunarea și înmulțirea nu pot fi definite decât în modul următor:
0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1.2.1.2. Exemple:
1. (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.
2. Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p ≠ 0 este un număr natural prim, atunci rezulta ca Z este corp.
3.Corpurile de numere pătratice Q(). Fie d un întreg liber de pătrate și Q() ={a +b / a, b Q}. Dacă z1 = a1 + b1 și z2 = a2 + b2, a1, a2, b1, ,b2 Q, atunci :
z1 + z2 = ( a1 + b1) + a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2) z1 + + z2 Q(), iar z1z2 = a1a2 + db1b2 + (a1b2 + a2b1) z1z2 Q().
Deci Q() este parte stabilă a lui C in raport cu adunarea și înmulțirea. Observăm că 0 = 0 + 0Q(), 1+ 0Q() și deducem că Q() este inel comutativ in raport cu operațiile induse pe Q() de adunarea și înmulțirea pe C. Pentru a dovedi că Q() este corp, mai rămâne să arătăm că pentru orice element z Q(), z = a + b, z 0, există z’Q() a.i. zz’ = z’z =1. Deoarece z 0, atunci a 0 sau b 0 (dacă și b = 0, deducem a = 0, iar dacă și b 0 atunci = |a/b| și deducem că Q, contradicție).
Apoi, zz’=1 (a + b)z’ = 1 z’ = 1/(a + b) = (ab) / () = a/() + (-b)/()Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) și Q sunt corpuri comutative.
Exemple concrete de corpuri …
1. Pornind de la domeniul de integritate (Z, +, ), putem construi corpul numerelor raționale. Pentru aceasta, să definim în produsul cartezian Z x Z*, unde Z* = Z \ {0} , relația binară astfel:
(a, b) (c, d) ad =bc
Relația astfel definită este o echivalență în Z x Z*, deci se poate construi mulțimea cât Q = Z x Z* , adică , unde
Definind în Q operațiile binare + și prin
se constată că (Q, +, ), este corp comutativ, având ca element zero clasa , iar ca element unitate clasa . Și de data aceasta, pentru simplificarea scrierii, se notează , deci = 0 și = 1.
Menționăm că domeniul de integritate al numerelor întregi nu este corp, deoarece (Z*, +, ) nu este grup. Într-adevăr, elementele lui diferite de 1 și -1 nu sunt inversabile în inelul (Z, +, ).
2. Presupunând cunoscută noțiunea de șir fundamental de numere raționale precum și proprietățile acestor șiruri, putem construi corpul numerelor reale. Anume, în mulțimea tuturor șirurilor fundamentale de numere raționale se definește relația binară astfel:
și se observă că aceasta este o relație de echivalență. Notând prin R mulțimea cât corespunzătoare și definind în R operațiile binare + și prin
se constată că (R, +, ) este un corp comutativ, numit corpul numerelor reale.
3. Pornind de la corpul numerelor reale (R, +, ) se poate construi corpul numerelor complexe. Pentru aceasta, să definim în C= R x R operațiile binare + și astfel
(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)
(a, b) (c, d) = (ac – bd , ad + bc)
Se constată că tripletul (C, +, ) devine corp comutativ, având ca element zero perechea (0,0), iar ca element unitate perechea (1,0) .
Notând (a, 0) = a și (0,1) = i și ținând cont de definiția operațiilor în C, observăm că oricare pereche (a, b) C se poate scrie astfel
(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .
Am obținut, în acest fel, forma de scriere cunoscută a numerelor complexe.
1.2.2 Proprietăți de bază ale corpurilor.
1.2.2.1. Teorema. Într-un corp nu există divizor al lui zero.
Fie (A, +, ) un inel. Deoarece (A, +) este un grup, pentru orice a A și orice n Z putem defini elementul na in mod recursiv prin condițiile:
0 a = 0
na = (n -1)a + a dacă n >0 ;
na = (n + 1)a – a dacă n <0.
Observăm că este vorba de transpunerea în limbaj aditiv a definiției puterii unui element dintr-un grup multiplicativ.
Pentru orice a A și orice n Z ,
na = -n ( -a ) = -(-na) ;
Pentru orice a A și orice m, n Z ,
ma + na = (n + n)a și n(ma) = (nm)a ;
Pentru orice a, b A și orice n Z ,
n(a + b) = na + nb .
De asemenea, întrucât (A, ) este semigrup, pentru orice aA și orice n Z , n > 0 , se poate defini elementul an A , anume an = , astfel încât pentru orice a A și pentru orice m, n Z , am an = am+n și (am)n = amn .
Dacă inelul (A, +, ) este comutativ, atunci pentru orice a, b A și orice n Z , n >0, (ab)n = an bn .
Mai mult, dacă (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) este grup, deci pentru fiecare a A, a > 0, se poate defini elementul an unde n Z. În acest caz, regulile de calcul cu puteri sunt:
(1) Pentru orice a A* și orice n Z, an = (a –1 ) –n = (a –n ) –1 ;
(2) Pentru orice a A* și orice n Z, aman = am + n și (am)n = amn ;
(3) Dacă (A, +, ) este corp comutativ , atunci pentru orice a, b A* și orice n Z , (ab)n = anbn .
Deoarece orice corp este inel, toate proprietățile inelelor rămân valabile în cazul corpurilor. Însă unele dintre proprietățile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor.
1.2.3 Subcorpuri
1.2.3.1 Definiție. Dacă (A, +, ) este inel unitar sau corp și S A, S Ø , atunci (S, +, ) va fi subcorp dacă și numai dacă satisface următoarele condiții :
Pentru orice a, b S, a + b S ;
Pentru orice a, b S, a b S ;
Pentru orice a S, -a S ;
Pentru orice a, b S, a – b S
Avem in plus condiția:
Pentru fiecare a S*, există a –1 S* astfel încât aa –1 = a –1 a = 1 adică elementele diferite de zero sunt inversabile .
1.2.3.2 Teorema Dacă (A, +, ) este corp și S A , S Ø este o submulțime finită a lui A , atunci (S, +, ) va fi subcorp dacă îndeplinește următoarele condiții
Pentru orice a, b S , a + b S ;
(2) Pentru orice a, b S, a b S .
Exemple:
(1) Fie A un corp. Atunci A este evident subcorp al lui A.
(2) Q este un subcorp al lui R cu adunarea și înmulțirea numerelor reale.
(3) Q este un subcorp al corpului R al numerelor reale.
(4) Z și Q nu au alte subcorpuri in afară de ele însele
În corpul numerelor complexe C , corpul numerelor reale R și corpul numerelor raționale Q sunt subcorpuri . Corpurile Q, R, C sunt subcorpuri în corpul cuaternionilor P. De asemenea Q este subcorp al lui R . Mulțimea numerelor complexe de forma a + bi , unde a , b Q , se notează , de obicei prin Q(i) este subcorp al lui C.
De asemenea numerele reale de forma a + b, a, b Q formează un subcorp al corpului numerelor reale R.
Să observăm că dacă k este subcorp al corpului K și la rândul său, K este subcorp al corpului L, atunci rezultă că k este subcorp al lui L. Prin urmare subcorpurile posedă o proprietate de tranzitivitate .
1.2.4 Corpuri prime
Fie (A, +, ) un corp notat cu A. Atunci A poate fi privit și ca subcorp în A. Un subcorp al lui A diferit de A se numește subcorp propriu al lui A. Se numește subcorp prim , un corp care nu are subcorpuri proprii. Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însuși.
1.2.4.1 Propoziție. Corpurile Q și Zp, p > 0, număr întreg prim , sunt corpuri prime.
Demonstrație. Fie A un subcorp al lui Q. Atunci 1 A , de unde deducem că pentru n Z, n > 0 , n A, deoarece n = 1 + 1 + 1 + … + 1 de n ori. Apoi obținem –n A. Deci Z A . Cum inversele elementelor din Z trebuie să fie și ele în A rezultă A = Q .
Fie p > 1 un număr întreg prim . Atunci Zp are p elemente , , …, .
Orice subcorp A al lui Zp conține pe și pe . Pentru orice , 0 ≤ r ≤ p-1, avem = + + … + de r ori. Prin urmare A = Zp .
Ne propunem să arătăm că Q și Zp sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este suficient să mai demonstrăm următoarea propoziție.
1.2.4.2 Propoziție. Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.
Demonstrație. Dacă u : A A este un endomorfism al corpului prim A, atunci cum u este injectiv iar u(A) este subcorp al lui A , deducem că u(A) = A, adică u este un automorfism al lui A, fiind injectiv. Însă din faptul că u() = rezultă că u() = ,pentru orice r număr întreg 0 r < p dacă A = Zp, p > 0 număr întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Dacă A = Q , tot din faptul că u(1) = 1 rezultă u(n) = n pentru orice n Z , apoi pentru a, b Z , b 0 rezultă u(a / b ) u(a) u(b –1 ) = ab –1 , adică u este și în acest caz identitatea.
Se poate arăta că proprietatea din propoziția precedentă caracterizează corpurile prime
1.2.4.3 Definiție. Fie A un corp . Se poate spune că A are caracteristica zero dacă A conține pe Q și caracteristica p > 0, p fiind un număr întreg prim > 0, dacă A conține corpul Zp
Din această definiție rezultă : corpurile Q, R, C sunt de caracteristică 0 iar corpul Zp are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct din definiție , că dacă aA este o extindere de corpuri, atunci corpurile a și A au aceeași caracteristică . Uneori în loc de caracteristica unui corp se folosește exponentul caracteristic , care prin definiție este 1 dacă caracteristica corpului este p > 0 , dacă caracteristica corpului este p .
În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp , care este, poate, mai sugestiv.
Fie A un corp și e elementul unitate la înmulțirea în A. Atunci caracteristica lui A este cel mai mic număr natural p > 0 cu proprietatea 0 = p e = e + e + … + e , de p-ori . Dacă nu există nici un număr natural cu această proprietate vom spune că corpul A este de caracteristică 0 . Să arătăm că dacă numărul natural p > 0 există el este prim . Într-adevăr , dacă p = p1p2, atunci pe = (p1e)(p2e) și pe = 0, iar A fiind corp se obține sau p1e = 0 sau p2e = 0 . Din proprietatea de minimalitate a lui p se obține sau p1 = p sau p2 = p .
Observând că în corpul Zp , p este cel mai mic număr natural cu proprietatea p = 0 , deducem ușor echivalența dintre cele două moduri de a introduce caracteristica unui corp .
1.2.5 Morfisme de corpuri
Definiție. Fie A și A doua corpuri. Se numește morfism de corpuri de la A la A o funcție f : A A( , astfel încât să fie satisfăcute următoarele condiții:
f(x + y) = f(x) + f(y) , oricare ar fi x, y A ,
f(xy) = f(x) f(y) , oricare ar fi x, y A ,
f(1) = 1 .
Deci f : A A este un morfism de corpuri dacă este un morfism unitar de inele .
Deoarece f este în particular un morfism de grupuri de la A* la A * , rezultă că f(x –1) = (f(x)) –1 , pentru orice x > 0.
1.2.5.1. Propoziția. Orice morfism de corpuri este injectiv .
1.2.6 Corpuri finite
Fie K L o extindere de corpuri cu un număr finit de elemente ; presupunem că corpul K are Q elemente . Corpul L este spațiu vectorial (la stânga) peste K și fie r = dimK L. Atunci , din faptul că orice element x L se scrie în mod unic sub forma fiind o bază a lui L peste K și ai K, deducem că corpul L are qr elemente . Dacă L este un subcorp al lui L care conține pe K și s = dimkL , atunci s divide pe r. Orice corp finit K este de caracteristică p 0 și deci conține corpul prim Zp , deci k va avea pn elemente , unde n = dimZpK .
1.2.6.1.Teorema. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp comutativ este ciclic .
Demonstrație. Fie K un corp comutativ. Notăm cu K* grupul multiplicativ al elementelor nenule din K . Fie G un subgrup finit al lui K* de ordin h . Este suficient să arătăm că in G există un element de ordin h . Fie h = descompunerea în factori primi a lui h, p1, p2, … ,pk 0 fiind numere prime distincte . Pentru orice i = 1, 2, …, k există un element xi G astfel încât , căci în cazul contrar polinomul ar avea mai multe rădăcini decât gradul său . Vom arăta că elementul yi = are ordinul . În adevăr , este clar că , căci . rezultă atunci că ordinul elementului yi este un divizor al lui , adică de forma , cu 1 s ri . Dacă s ri , ar rezulta , în contradicție cu alegerea elementului xi . Deci s = ri și ordinul elementului yi este . Atunci din lema care urmează va rezulta că elementul y = y1 y2 … yk este un element din G de ordin h
1.2.6.2. Lema Fie G un grup comutativ și ai , i = 1, 2, …, k , elemente din G de ordin respectiv ni , i = 1, 2, …, k , astfel încât numerele naturale ni , să fie relativ prime două câte două . Atunci ordinul elementului este egal cu .
1.2.6.3 Lema. Fie A un inel factorial , K corpul său de fracții , x un element dintr-o extindere a lui K care este rădăcină a unui polinom unitar h ( A(x) . Atunci polinomul minimal al lui x peste K are coeficienții în A .
Demonstrație. Fie f polinomul minimal al lui x peste K și g un factor ireductibil al lui h cu g(x) = 0 . Polinomul g are coeficientul termenului de grad maxim o unitate din A , deci , eventual înmulțind cu inversul acestui element din A , putem presupune că g este polinom unitar și cum g este ireductibil în K(x) , deducem că f = g .
1.2.6.4 Teorema Două corpuri finite cu același număr de elemente sunt izomorfe . . Demonstrație . Fie K un corp cu pr elemente . Atunci orice element x K este rădăcină a polinomului Zpx , deoarece un element nenul x K satisface relația = 1 , deoarece grupul multiplicativ al elementelor nenule din K are ordinul pr – 1 . De aici rezultă că corpul K , este corpul de descompunere al polinomului Zpx și deci rezultă că două astfel de corpuri sunt izomorfe .
Fie K un corp de caracteristică p 0 . Atunci aplicația u : K K , definită prin u(x) = xp , este un endomorfism de inel al lui K , numit endomorfismul lui Frobenius , deoarece pentru x , y K avem evident u(xy) = u(x)u(y) . De asemenea , u(x + y) = u(x) + u(y) , deoarece (x + y)p = xp + yp , deoarece (combinări de p luate câte s ) se divid cu p dacă p 1 este un număr prim . În general u este un endomorfism injectiv iar dacă K este finit sau este algebric închis , rezultă imediat că este și surjectiv , deci în aceste două cazuri este automorfism al lui K .
Un corp K de caracteristică zero sau de caracteristică p > 0 pentru care morfismul u de mai sus este izomorfism se numește corp perfect . Din cele de mai sus rezultă că corpurile finite și cele algebric închise sunt corpuri perfecte . Notăm cu us puterea de ordin s a endomorfismului u (definit mai sus) al corpului K de caracteristică p> 0 . Evident u este automorfism dacă și numai dacă us este automorfism .
CAPITOLUL II
ELEMENTE DE TEORIA GALOIS
2.1 EXTINDERI ALGEBRICE
2.1.1 Definiție. Dacă K și k sunt două corpuri astfel încât k este un subcorp al lui K, spunem că K este o extindere a lui k și se notează: kK.
Fie k un corp, K o extindere a sa și M o submulțime a lui K. Intersecția tuturor subcorpurilor lui K care conțin pe k și submulțimea M, este un subcorp al lui K și o extindere a lui k care conține mulțimea M. Acest subcorp al lui K se notează cu k(M) și este corpul obținut prin adjuncționare la k a elementelor mulțimii M. Corpul k(M) este corpul de fracții al inelului k[M] generat peste k de mulțimea M.
Fie I o mulțime, notăm cu k( X; I) corpul său de fracții; acesta poate fi privit ca obținut prin adjuncționare la k a nedeterminatelor Xi,iI.
2.1.2 Definiție. O extindere K a unui corp k se numește de tip finit dacă există o submulțime finită M a lui K, astfel încât k(M) =K.
Dacă există un element xK astfel încât K =k(x), atunci K senumește extindere simplă a lui k.
Fie K un corp și 1,2,….,n numere complexe arbitrare. Considerăm toate corpurile care sunt extinderi ale lui K și care conțin numerele 1,2,….,n.
Asfel de corpuri există, deoarece, de exemplu, printre acestea se află corpul C al numerelor complexe. Intersecția tuturor acestor corpuri este, de asemenea, un corp și este cea mai mică extindere a lui K, ce conține numerele 1,2,….,n; se notează cu K(1,2,….,n) și se numește extinderea generată de numerele 1,2,….,n.
O extindere K a lui k se numește finit generată, dacă există elementele 1,
2,….,n,astfel încât K=k(1,2,….,n).Se verifică ușor că:
1) k(1,2,…..,n)= k, dacă și numai dacă 1,2,….nk;
2) k(1,2,….,n) =k(1,…..,i) (i1,…..,n) pentru orice1≤i≤n;
Dacă K este o extindere finită a lui k cu baza 1,2,….,n, atunci K=k(1,2,….,n), adică este finit generată.
Notăm cu k [ 1 , 2 ,….,n ] = {xC/ există f k[ X1,…., Xn ], x = f( 1 ,…..,n )}. Se observă că k[1,2 ,…..,n] este un subinel al lui C și este cel mai mic subinel al lui C care conține corpul k și elementele 1,2,….,n și că k [ 1 , 2 ,….,n ] k ( 1 , 2 ,…….,n).
2.1.3 Propoziție. Fie k K o extindere de corpuri. Sunt adevărate următoarele afirmații: i ) k( K ) = K, iar k( M) = k dacă și numai dacă submulțimea M este din k.
ii ) Dacă M și N sunt două submulțimi ale lui K, atunci k ( MN) = k(M)(N) =
= k( N)(M).
iii) Dacă este un sistem de submulțimi ale lui K filtrant la dreapta (adică pentru orice , există astfel încât și și ,
atunci .
Demonstrație.
Afirmațiile i) și ii) rezultă direct din definiția de mai sus. Pentru demonstrarea afirmației din iii) este suficient să observăm că deoarece sistemul{Mi},iI este filtrant la dreapta, este un subcorp al lui K.
Comentarii. În condițiile teoremei, se notează de obicei cu k(M,N) corpul k(MN). . 2.1.4 Definiție. O extindere K a corpului k se numește finită, dacă există în corpul K un număr finit de elemente 1 , 2 ,….,n astfel încât orice element K se scrie în mod unic sub forma unei combinații liniare de elemente, cu coeficienți în corpul k: ; a1,a2,…,ank. Sistemul de elemente , i {1,….,n}, care are această proprietate se numește bază a extinderii K peste corpul k. Sistemul de elemente 1,…..,n este o bază a lui K peste k, dacă:
generează liniar extinderea K peste k.
sunt liniar independente peste corpul k.
2.1.5 Propoziție. Fie K o extindere a corpului k și 1 ,….,n , o bază a lui K peste k. Dacă 1,…..,m, sunt elemente din K, astfel încât m>n, atunci există b1,
b2,….,bmK, nu toate nule, astfel încât: b1 1 +…….+ bm m =0.
În particular, rezultă că două baze ale lui K peste k au același număr de elemente.
Definiție. Se numește gradul extinderii K peste k, numărul elementelor dintro bază
arbitrară a lui K peste k, și se notează K :k.
Observații. 1) [ K: k ] = 1, dacă și numai dacă K =k.
Întradevăr, dacă K =k, atunci [ K: k ]=1, deoarece 1 este o bază a extinderii K
peste k. Reciproc, presupunem [ K:k ]=1;fie { } o bază a lui K peste k. Atunci există un a k, astfel încât 1=a. Deci = a-1, de unde rezultă că k și deci K=k.
2) Dacă K este o extindere finită a lui k, [ K : k ] este egal cu dimensiunea lui K peste k, considerat ca spațiu vectorial.
2.1.6 Propoziție.Fie k K L, extinderi de corpuri. Dacă K este extindere finită a lui k și L extindere finită a lui K, atunci L este extindere finită a lui k și în plus
[ K : k ] [ L : K ] = [L :k ] ( tranzitivitatea extinderilor finite ).
2.1.7 Definiții. 1) Fie K un corp. Un număr complex se numește algebric peste K, dacă există un polinom nenul f K[ X ], astfel încât f( )=0.
Un număr comlex care nu este algebric peste K, se numește
transcendent peste corpul K.
Un număr complex , care este algebric ( respectiv transcendent ) peste corpul numerelor raționale Q, se numește simplu număr algebric (respec
tiv număr transcendent ).
Dacă este algebric peste K, polinomul unitar nenul f K[ X ] de grad
cel mai mic, astfel încât f() = 0, se numește polinomul minimalal
lui .
2.1.8 Observații. 1) Polinomul minimal al lui este unic determinat.
2) Polinomul minimal este ireductibil.
2.1.9 Definiție O extindere K a lui k se numește algebrică dacă orice element al lui K este algebric peste k.
2.1.10 Exemple : 1)Numărul este algebric peste corpul Q, deoarece este rădăcina polinomului X2-2Q[X], care este și polinomul său minimal.
Numărul este algebric peste corpul Q, deoarece este rădăcina polinomuluiQ[X], care este și polinomul său minimal.
Corpul numerelor complexe C este o extindere algebrică a corpului numerelor reale R. Într-adevăr, dacă z =a+ib, este un număr complex, atunci z este rădăcina polinomului: R [ X ]. Deducem că [ C : R] = 2.
Numerele complexe i = , , , , sunt numere algebrice, deoarece ele sunt respective rădăicini ale polinoamelor din Q [X ]: X2+ 1, X2+2, X4+3, X2+5 , x2+x+1.
Numerele, sunt transcendente peste corpul numerelor rationale Q.
2.1.11 Propoziție. Dacă K este o extindere finită a lui k, atunci K este algebrică peste k.
Demontrație: Presupunem că n = [ K : k ] și fie K. Considerăm elementele: 1, , 2,….,n,care sunt în număr de n+1. Atunci există a0, a1,…,ank, nu toate nule, astfel încât . .Polinomul aparține, lui k [X ], și este nenul. Cum f ( )=0, înseamnă că e este algebric peste k.
2.1.12 Propoziție. Fie K un corp și un număr complex algebric peste K. Atunci K( ) este o extindere finită a lui K și [ K( ) : K ] este egal cu gradul polinomului minimal al lui . În plus, K() = K[], unde K[] ={g() / g K[X]}.
2.1.13 Corolar. Fie K = și algebrice peste k. Atunci K este o extindere finită a lui k. În plus,
2.1.14 Corolar. Dacă K este o extindere algebrică și finit generată a lui k, atunci K este o extindere finită a lui k.
2.1.15 Corolar. Dacă E este o extindere algebrică a lui K și F este o extindere algebrică a lui E, atunci F este o extindere algebrică a lui K.
2.1.16 Definiție. Fie k un corp și K o extindere a sa. Corpul k este algebric închis în K, dacă orice element din K, algebric peste, aparține lui k. Dacă corpul k se consideră ca extindere a lui însuși, atunci k este, evident, algebric închis în k.
2.1.17 Propoziție. Dacă K K este o extindere de corpuri și k corpul elementelor din K algebrice peste k, atunci k este algebric închis în K.
2.1.18 Propoziție. Fie k un corp. Următoarele afirmații sunt echivalente:
k este algebric închis;
orice polinom de grad 1 din k[X], are o rădăcină în k;
orice polinom degrad 1 din k[X], are toate rădăcinile în k;
orice polinom degrad 1 din k[X], se descompune în produs finit de factori liniari;
singurele polinoame ireductibile din k[X], sunt cele de grad 1.
2.1.19 Observații.1)Corpul numerelor rationale Q nu este algebric închis, deoarece polinomul X2+1Q[X] este ireductibil și nu este de gradul l.
2) Analog, corpul numerelor reale R, nu este algebric închis, deoarece același polinom, considerat ca polinom în R[X], este ireductibil.
2.1.20 Propoziție. Un corp finit nu este algebric închis.
Demonstrație. Fie k un corp finit. Va fi suficient să arătăm că există un polinom de grad1in k[X], care nu are nici o rădăcină în k. Considerăm polinomul
unde 0, 1, a1,. . . ,an, sunt elementele corpului k . Se observă că f nu are nici o rădăcină în k, căci pentru orice a k, avem: f(a) = 1.
2.1.21 Teorema (fundamentală a algebrei sau teorema lui d’Alembert)
Corpul numerelor complexe este algebric închis.
2.1.22 Propoziție. Fie k un corp și K, un corp al gebric închis, extindere a corpului k. Atunci corpul k al elementelor din K, algebrice peste k, este și el algebric închis.
2.1.23 Teoremă. Orice corp k are o extindere K care este corp algebric închis.
2.1.24 Corolar. Pentru orice corp k există o extindere algebrică a lui k care este un corp algebric închis.
2.1.25 Definiție. O extindere algebrică a corpului k, care este algebric închisă, se numește închidere algebrică a lui k.
Comentarii. 1)Corolarul precedent, arată că orice corp are o închidere algebrică.
2) Două închideri ale unui corp k sunt k-izomorfe.
2.1.26 Corolar. Fie K un corp. Dacă =C/ algebric peste K, atunci este un subcorp al lui C.
este o extindere finită a lui K, aceasta este algebrică și deci + , . Analog, dacă și 0, atunci – 1K(). Deoarece K() este o extindere finită a lui K, ea este și algebrică. Deci – 1.
2.1.27 Definiție. Corpul se numește închiderea algebrică a lui K in C. Deci C – este mulțimea numerelor transcendente peste K. În cazul particular K =Q, corpul se numește mulțimea numerelor algebrice.
2.2 EXTINDERI NORMALE
2.2.1 Definiție. O extindere de corpuri K L se numește extindere normală dacă este extindere algebrică și pentru orice L, Irr(, K.) are toate rădăcinile în L. Se mai spune în acest caz ,, L este normală peste K".
Remarcăm că extinderea algebrică K L este normală dacă și numai dacă orice polinom ireductibil în K[X], care are o rădăcină în L, are toate rădăcinile în L. Propoziția următoare dă cîteva caracterizări ale extinderilor normale.
2.2.2 Propoziție. Fie K L o extindere algebrică de corpuri și o închidere algebrică a lui L.
Următoarele afirmații sint echivalente:
a) K L este extindere normală.
b) Pentru orice K-morfism : : are loc φ(L) L.
c)Pentru orice K-morfism : : are loc φ(L)= L.
d) Există o familie de polinoame F K[X] astfel înât L să fie corpul de descompunere a familiei F peste K.
Demonstrație. a)b) Fie : un K-morfism și ϵ L. Dacă notăm f = Irr(, k), avem că () este rădăcină a lui f, deci aparține lui L.
b) a) Fie ϵ L și f polinomul minimal al lui . Polinornul f are toate rădăcinile în :fie β altă rădăcină a lui f. Există un K-izomorfism σ : K() K (β)care duce pe în β.
Prelungim σ la un K-morfism τ :. Întrucît τ (L) L și
τ()= σ ()= β, obținem că β ϵ L. Deci toate rădăcinile lui f sînt în L.
a) c) Știm deja că (L) L. Rămâne de arătat că este surjecție. Fie ϵ L, f polinomul minimal al lui și S mulțimea rădăcinilor lui f din . Am văzut că S L și că (S) S. Cum este injectivă și S este finită, obținem că s : S S este bijecție, deci există β ϵS cu (β) =.
a) d) Fie F =Irr(x,K)|xϵL} . Din faptul că K L este normală obținem că rădăcinile oricărui polinom din F sînt în L, deci corpul de descompunere a lui F este inclus în L. Incluziunea reciprocă este evidentă.
d) b) Fie S mulțimea rădăcinilor din ale polinoamelor din F. Avem că L = K(S). Dacă : este un K-morfism, atunci (S) S, deci (L) L.
2.2.3 Observație. Dacă extinderea K L este normală atunci orice K-morfism al închiderii algebrice a lui L induce (prin restricția la L) un K-automorfism al lui L (adică un element al G(L/K)). Deoarece este extindere normală a lui K, rezultă că orice K-morfism : este chiar automorfism. Astfel, în caracterizările de mai sus se poate înlocui ,,K-morfism cu „K-automorfism……………………………………
2.2.4 Corolar. Fie K L o extindere finită de corpuri. Extinderea K L este normală numai dacă există un polinom f ϵ K[X] astfel încît L să fie corpul de descompunere a lui f peste K.
Demonstrație. Presupunem că K L este normală și fie S=x1,…,xn} L un sistem finit de generatori : L= K(S). Fie f= , Irr(x1, K)· …· Irr(xn, K). Atunci L este corpul de descompunere a lui f peste K. Reciproca a fost demonstrată mai înainte.
În practică, pentru a demonstra faptul că o extindere K L este normală, se arată că L este corp de desconpunere pentru o familie de polinoame (cel mai adesea pentru un polin) din KX
2.2.5 Exemple. a) Extinderea Q()/Q nu este normală: polinomul minimal al lui este X3 — 2, care are și două rădăcini complexe nereale.
b) Extinderea Q()/Q , unde ϵC este o rădăcină a polinomului X2 +X+1 este normală. Aceasta rezultă observînd că rădăcinile polinomului X3-2 sunt ,,2 și că Q()=Q( ,2) este corpui de descompunere a lui X3-2 peste Q.
c) Pentru orice corp K, închiderea sa algebrică este o extindere normală a lui K.
d) Orice extindere K L de grad 2 este normală. Într-adevăr, fie αϵL, K și f= Irr:a,K) Deoarece f este de grad 2 (căci K(x) și f este divizibil cu X- în LX se descompune în factori liniari în LX
2.2.6 Definiție. Dacă K L este o extindere algebrică, este o închidere algebrică a lui L, iar σ este un K-automorfism al lui , atunci σ (L) se mai numește extindere cojiugată a lui L peste K în .
Situația sugerată de exemplele a) și b) de mai sus poate fi generalizată: dacă K L nu este normală, adjuncționînd la L toate rădăcinile polinoamelor minimale ale unui sistem de generatori ai lui L peste K, se obține o extindere norma1ă.
2.2.7 Propoziție. Fie K un corp, o închidere algebrică a lui K și L o extindere algebrică a lui K, L . Atunci există o unică extindere normală N a lui K cu L N și care este cea mai mică cu această proprietate: oricare ar fi K F extindere normală cu L F are loc N F. Extinderea N este compozitul conjugatelor lui L peste K în , adică N= K(U{σ(L)| σ ϵ AutK()}). În plus, dacă K L este finită, atunci K N este finită.
Demonstrație. Fie S o submulțirne a lui L astfel încît L= K(S). Considerăm mulțimea I={Irr(x,K)| x ϵ S} și notăm cu N corpul de descompunere a familiei I peste K. Evident, N include L și N este extindere normală a lui K. În cazul în care L este extindere finită a lui K, observărm că putem lua S mulțime finită și deci familia I este și ea finită. Astfel, N este extindere finită a lui K.………………………………………………….
Fie F o extindere normală a lui K cu L F Q. Atunci S F și deci corpul de descompunere a lui Irr(x,K) peste K este inclus în F,xϵS. Astfel, corpul de descompunere a lui I peste K (adică N) este inclus în F.
Unicitatea lui N rezultă din condiția de „minim" demonstrată mai sus: dacă M este o altă extindere ce satisface aceleași proprietăți, avem simultan M N și N. M, deci M = N.
Fie M compozitul conjugatelor lui L peste K în . Dacă este un K-automorfism al lui , atunci {σ(L) |σϵ AutK()} ={ σ(L)|σϵ AutK()},deci avem:
(M) = K({ σ(L)| σ ϵAutK()}) =K({σ(L)| σ ϵAutk()}) =M
Aceasta arată că M este extindere normală a lui K. Evident, L M. Pe de altă parte, orice extindere normală E a lui K, care include L, are proprietatea că σ(E)= E, σϵ AutK(), deci σ (L) σ (E)= E, adică M E. Deci M satisface aceleași proprietăți ca și N. Din unicitatea lui N rezultă M=N
Extinderea N construită mai sus este „cea mai mică" (În sensul incluziunii extindere normală a lui K care include L și se numește inchiderea normală (în) a extinderii L / K ( sau a lui L peste K). Din faptul că N este corpul de descompunere pestc K a unei familii de polinoame rezultă că închiderea normală nu depinde (până la un K-izomorfism) de închiderea algebrică considerată.
Extinderile normale nu au proprietatea de tranzitivitate: extinderile Q ) și )Q() sunt normale, fiind de grad 2, dar Q() nu este normală (de ce?). Are loc însă următoarea proprietate:
2.2.8 Propoziție. Fie K L o extindere normală și E un corp intermediar. Atunci extinderea E L este normală.
Demonstrație. Fie F o familie de polinoame din K[X] astfel încît L să fie corp de
descompunere a familiei F peste K. Atunci L este corp de descompunere a familiei F (văzută ca inclusă în E[X]) peste E.
2.2.9 Propoziție. Fie K L o extindere și E, F extinderi algebrice ale lui K, incluse în L.
Atunci:
a) Dacă K E este normală, atunci F FE este normală.
b)Dacă K Eși K F sînt normale, atunci K EFși K E F sunt normale.
Demonstrație. a) E este corp de descompunere peste K pentru o anumită familie I K[X, deci E= K(S), unde S este mulțimea rădăcinilor din ale polinoamelor din I. Atunci FE = F(K(S))= F(S), deci FE este corp de descompunere peste F pentru aceeași familie I (interpretată ca submulțime a lui F[X]).
b) Fie o închidere algebrică a lui EF și : un K-automorfism. Atunci avem (E) E, (F) F (sunt extinderi normale), deci (EF) EF și (E F). E F . Astfel, K EF și K E F sînt normale.
Se observă că rezultatele teoretice privind extinderile normale pot fi demonstrate folosind una sau alta din caracterizările de mai sus.
2.3 Separabilitate
În cele ce urrnează este util să presupunem (fără a restrânge generalitatea) că toate extinderde algebrice ale cotpului K pe care le considerăm sînt incluse într-o închidere algebrică fixată a lui K.
2.3.1 Definiție. Fie K L o extindere de corpuri și un element algebric peste K. Spunem că este separabil peste K dacă Irr(, K) nu are rădăcini multiple (în ). Polinomul fϵ K[X] se numește polinom separabil dacă f nu are rădăcini multiple (în ). Se observă că polinomul f ϵ KX este separabil dacă și numai dacă orice rădăcină a sa este element separabil peste K. Un element din L se numește inseparabil (sau neseparabil) peste K dacă este algebric, dar nu este separabil peste K. Un polinom ireductibil f ϵ K[X] care are rădăcini multiple se numește polinom inseparabil. O extindere algebrică K L se numește extindere separabilă dacă orice element din L este separabil peste K (se mai spune L este separabilă peste K). Dacă K L este algebrică și nu este separabilă (există măcar un element al lui L (inseparabil peste K), spunem că K L este extindere inseparabilă.
Observăm că un polinom f ϵ K[X] este separabil dacă și numai dacă are atîtea rădăcini distincte în cît este gradul său.
2.3.2 Exempiu. Polinomul X2 + 1 ϵ QX este separabil peste Q: rădăcinile sale i și – i sunt deci elemente separabile peste Q
Următorul rezultat simplu va fi folosit adesea în continuare. Remarcăm că este adevărată și reciproca .
2.3.3 Propoziție. Fie K L M extinderi algebrice. Dacă K M este separabilă, atunci K L și L M sint separabile.
Demonstrație. Clar, K L este separabilă. Să arătărm că orice element din M este separabil peste L. Știm că Irr(, K) nu are rădăcini multiple. Pe de altă parte, Irr (, L) îl divide pe Irr(, K) în L[X], deci Irr(, L) nu poate avea rădăcini multiple.
Propoziția următoare caractcrizează polinoamele ireductibile separabile. Se folosește criteriul cu derivata formală.
2.3.4 Propoziție. Fie f=a0+a1X+… +anXn , cu an ≠0, un polinom ireductibil cu
coeficienți în corpul K.
a) Polinomul f are rădăcini multiple (este inseparabil) daeă și numai daeă, f ' = 0.
b) Dacă car K = 0, atunci f este separabil (nu are rădăcini multiple).
c) Dacă car K = p > 0, atunci f este inseparabil dacăt și numai dacă fϵK[XP]. Mai mulft există e ϵ N* și g ϵ K[X, g ireductibil separabil, astlel încât f = g()
Demonstrație. a) Fie d=(f,f '). Dacă f '= 0, d este un divizor al lui f și grad d f 'grad f. Cum f este ireductibil, aceasta arată că în acest caz avem neapărat d = 1, adică f nu are rădăcini multiple. Reciproc, dacă f' = 0, atunci d=f deci grad d 1 și f are rădăcini multiple.
b) Pentru corpuri de caracteristică 0, f' ≠ 0 căci nan ≠0.
c)Fie car K= p > 0 și f ' = 0. Coeficienții lui f ' sunt iai, i ϵ{1, … n}. Din iai= 0 rezultă
i·l= 0 sau a1 = 0. Dacă p nu divide i atunci i·l ≠0 și deci ai = 0. Avem așadar că ai = 0,iϵ{ 1,….n} cu p nu divide i. Cu alte cuvinte, f K[XP].
Fie e cel mai mare număr natural cu proprietatea că fϵ K[]. Dacă g ϵ K[X cu f= g(, atunci g este ireductibil (altfel, f nu ar fi ireductibil!) și g K[XP] (în caz contrar, f ϵ K[],contradicție cu maximalitatea lui e). Deci g este separabil.
3.3.5 Definiție. Un corp K se numește corp perfect dacă orice extindere algebrică a lui K este separabilă.
Evident, condiția din definiția de mai sus se poate reformula ,,orice polinom ireductibil din K[X] este separabil". Propoziția anterioară spune că orice corp de caracteristică 0 este perfect. Deci, studiul separabilității are obiect numai pentru extinderi de caracteristică p > 0.
2.3.6 Propoziție. Orice extindere algebrică a unui corp perfect este corp perfect. Demonstrație. Fie K L extindere algebrică, cu K corp perfect. Dacă este algebric peste L, atunci este algebric peste K (prin tranzitivitate) și Irr (, L) divide Irr (,K) în LX Irr(a, K) are doar rădăcini simple, deci Irr (, L) are aceeași proprietate. Așadar este separabil peste L.
2.3.7 Propoziție. Corpul K este perfect dacă și numai dacă endomorfismul lui Frobenius este automorfism.
Demonstrație. În cazul car K = 0, endomorfismul lui Frobenius este aplicația identică și afmnația este evidentă. Fie car K= p > 0. Presupunem că endornorfismul lui Frobenius (: K —› K, (x)= xP , x e K), este automorfism. Dacă, prin absurd, ar exista un polinorn ireductibil f ϵ K[X], inseparabil, atunci f ϵ K[XP]. Fie
f=iXpi, a1K
Întrucît , este surjectiv, există bi ϵ K astfel încît ai = , iϵ{0, …. p}, deci
. f=Xpi=(Xi)p, K
(am folosit că g gp este un endomorfism a1 inelului KX de caracteristică p). Dar această relație arată că f nu este ireductibil!
Reciproc, fie K corp perfect. Va fi suficient să arătăm că, dacă nu e surjectiv, atunci există un element algebric inseparabil peste K. Fie a ϵ K\KP Polinomul f =XP— a ϵ K[X are o rădăcină într-o închidere algebrică a lui K. Averm a K (pentru că altfel am avea a ϵ KP), deci grad Irr(,K) > 1. Dacă β este altă rădăcină a lui f atunci β P = P =. Din injectivitatea endomorfismului Frobenius al lui avem că β =. Astfel, f are o singură rădăcină, de multiplicitate p. Polinomul minimal al lui este un divizor al lui f și are cu necesitate pe drept rădăcină multiplă de ordin egal cu gradul său, deci este inseparabil peste K.
2.3.8 Corolar. Corpurile finite, corpurile de caracteristică 0 și corpurile algebric închise sunt perfecte.
2.3.9 Exemplu. Pentru a găsi un corp care nu e perfect, trebuie să căutăm așadar printre corpurile infinite de caracteristică p > 0. Un exemplu ,,natural" de astfel de corp este Fp(X)=: K. Alegerea este corectă: considerînd polinomul h = YP — X ϵ K[Y, observăm că h este ireductibil (cu criteriul lui Eisenstein aplicat pentru elementul prim X ϵ Fp[X]); h nu este separabil, căci h ϵ KYP. Notînd cu a o rădăcină a acestui polinom, rezultă că extinderea K K() este inseparabilă.
Un K-morfism de corpuri duce o rădăcină a unui polinomf ϵK[X] tot într-o rădăcină a lui f. De aici apare ideea folosirii K-morfismelor ca instrument de studiu al separabilității.
2.3.10 Definiție. Fie K L o extindere algebrică de corpuri. Cardinalul mulțimii HomK(L, ) (K-mortismele definite pe L cu valori în ) se notează cu [L : K]s și se numește gradul separabil sau de separabilitate) al extinderii K L. Cu alte cuvinte, [L : K]s este cardinalul mulțimii : L , morfism, K = t}, unde t K este incluziunea canonică. Pentru extinderi simple, o altă caracterizare a gradului separabil este dată la c) în propoziția următoare.
2.3.11 Propoziție. a) Fie K L o extindere algebrică de corpur, o închidere algebrică a lui L și : K un morfism de corpuri. Atunci HomK(L, ) este în corespondență bijectivă cu mulțimea morfismelor de la L la care îl prelungesc pe.
P(LK,, ):= : L K= , morfism
Deci P(LK,, )nu depinde de si .
b) Gradul separabil este multiplicativ: dacă K L M sunt extinderi algebrice, atunci [M : K]s=M LS [L :KS
c) Dacă L=K() este o extindere algebrică ,simplă a lui K, atunci [K():KS este egal cu
numărul conjugaților lui în .
Dacă este algebric peste K, atunci [K() : KS K() : K.
2.3.12 Propoziție. Dacă L = K() este o extindere algebrică simplă a corpului K, atunci condițiile următoare sunt echivalente.
a)[K(): Ks= [K(): K].
b) este separabil peste K.
c)K() este extindere separabilă a lui K.
2.3.13 Propoziție. Fie K L o extindere finită. Atunci:
a) [L : K]s [L : K].
b) K L este extindere separabilă dacă și numai dacă [L : K]s =[L : K].
2.3.14 Teorema. (tranzitivitatea extinderilor separabile) Fie K L M extinderi algebrice. Daca K L șiL M sunt separabile, atunci K M este separabilă.
2.3.15 Corolar. Fie K L o extindere si A o familie de elemente din L, separabile peste K. Atunci K K(A) este extindere separabilă.
Demonstrație. Orice element din K(A) este o expresie polinomială cu coeficienți în K de un număr finit de elemente din A. Este clar astfel că putem reduce problema la cazul A finită. Presupunem A=x1, x2}. Cum x1 este separabil peste K, extinderea K K(x1) este separabilă). Elementul x2 este separabil peste K, deci și peste k(x1), așa că extinderea K(x1) K(x1)(x2) este separabilă. Din tranzitivitate, K K(x1, x2) este separabilă. În cazul A = {x1, x2, …, xn}, n > 2, se aplică o inducție.
Este remarcabil faptul că orice extindere separabilă finită este extindere simplă (ceea ce are un rol important în teoria Galois):
2.3.16 Lema. Fie K un corp infinit, L o extindere a sa și βϵ L, algebrice peste K, cu β element separabil peste K. Atunci K K (,β este extindere simplă (are un element primitiv).
2.3.17 Teoremă. (teorema elementului primitiv) Orice extindere separabilă finită K L este simpă (are un element primitiv).
Demonstrație. Daca K este corp finit, atunci și L este corp finit. Orice generator al grupului ciclic L este atunci element primitiv al extinderii. Presupunern corpu1 K infinit. Daca x1, x2 L astfel încît L =K( x1x2), atunci se aplică lema precedentă. În continuare se aplică o inducție dupa nϵN* cu proprietatea că există x1,…. xn L astfel încît k(x1,…,xn) = L.
2.3.18 Observație. Pentru extinderile de forma K K(,β)cu corpul K infinit, lema anterioara dă și un procedeu practic de găsire a unui element primitiv (sau măcar de intuire a sa, în cazul în care condiția (i) este greu de verificat).
2.4 Teorema fundamental a Teoriei lui Galois
2.4.1 Propoziție.a) (Lema lui Dedekind) Fie (G), un semigrup, K un corp, nϵ N* și σ1: G (K*, • ) , iϵ1, …n, morfisme distincte de semigropuri. Dacă 1,……,nϵ K astfel încât 1σ1(x)+…….+ nσn(x)=0 pentru orice x ϵG, atunci 1 =….. = n = 0.
b) Dacă K L este a extindere finită de corpuri, atunci G(L)/K)L: K].
2.4.2 Corolar. Fie K = L o extindere.finită, normală și separabilă. Atunci [G(L/K)]=[L:K].
Demonstrație. Este suficient să arătăm că [G(L/K)] ≥ [L:K] =: n. Extinderea fiind finită și separabilă, are un element primitiv . Deci grad Irr(, K) = n; extinderea fiind normală, lrr(, K) are n rădăcini în L. Pentru orice rădăcină β a lui Irr(, K), [K(β) : K] = n, deci K(β) = L. Dar K() și K(β) sunt K-izomorfe printr-un izomorfism σβ care duce în β. Am găsit astfel, pentru orice conjugat β al lui , un K-izomorfism σβ : L L, care este evident un element al G(L/K).
Propoziția următoare este un pas important în demonstrarea teoremei fundamentale și are drept consecință reciproca rezultatului precedent .
2.4.3 Propoziția (E. Artin) Fie L un corp, H un subgrup finit al grupului Aut(L) at auto-morfismelor corpului L și LH subcorpul fixat de H. Atunci extinderea LH L este .finită, normală separabilă [L : LH] =H și G(L/ LH) = H.
2.4.4 Corolar. Fie K L o extindere finită cu [G(L/K)] ≥ [L : K]. Atunci K L este normală și separabilă și [G(LK)] = [L :K.
Demonstrație. Fie G = G(L/K)și [G]= [L : K] , Ko =LG. Din propoziția
Precedentă Ko L este normală, separabilă și [L : Ko]=G = [L : K. Cum K Ko L, rezultă K =K0
Reamintim că am definit corespondențele Galois pentru o extindere K L, de grup Galois G, în modul următor: notând cu Subext (L/K) mulțimea subextinderilor extinderii K L și cu Subg(G) mulțimea subgrupurilor lui G, definim
: Subext(L/K) —> Subg(G), (E) = G(L E), E ϵ Subext(L/K);
Ψ: Subg(G) Subext(L/K), Ψ (H) = {xϵ Lσ(x)= x, σ ϵ H := LH , H ϵ Subg(G ).
2.4.5 Propoziție. Fie K L o extindere de corpuri. Atunci:
a) Pentru orice E ϵ Subext(L/K), L(G(L/E) E.
b) Pentru orice H ϵ Subg(G(L/K)), G(L/LH) H.
c) este descrescătoare: E1, E2 ϵ Subext(L/K), E1 E2 G(L/E1) G(L/E2) .
d)Ψ este descrescătoare: H1, H2 Subg(G(L/K)), H1 H2 LH1 LH
2.4.6 Teoremă. (Teorema fundamentală a Teoriei Galois) Fie K L o extindere finită normală și separabilă. Atunci corespondențele Galois sunt descrescătoare, bijective, inverse una celeilalte. Prin aceste corespondențe, subextinderile K E care sunt normale corespund subgrupurilor normale ale lui G(L/K). Mai precis:
a) Pentru orice subextindere K E L, LG(L/E) =E și [L : E] = [G(LE)].
b) Pentru orice subgrup H G(LK),G (L/LH) = H.
c)Pentru orice subextindere K E L cu K E normală, G(LE) este subgrup normal în G(L/K). În plus, G(E/K) G(L/K)/G(L/).
d) Dacă H este subgrup normal în G(L/K). atunci LH este extindere normală a lui K iar G(LH/K) G(L/K)/H.
2.4.7 Exemplu. Extinderea Q Q( )=:L este galoisiană: separabilitatea este automată (caracteristica este 0), iar normalitatea decurge din faptul că L este corp de descompunere a lui (X2-2)(X2-3) peste Q. Gradul extinderii este 4 deci grupul Galois G are 4 elemente, conform teoremei fundamentale. Pentru a determina acest grup, cercetăm acțiunea automorfismelor din G asupra generatorilor . Dacă σ ϵ G, atunci σ () ϵ – ( adică rădăcinile lui Irr( , Q) = X2 — 2); la fel, σϵ. Întrucit G are 4 elemente, iar numărul alegerilor posibile este tot 4, elementele lui G vor fi determinate de acțiunea lor pe generatori, conform tabelului următor:
De exemplu, τ() = și τ() =- . Pe baza acestui tabel se poate scrie tabla de compunere a grupului G.
Se observă că G Z2Z2 (grupul lui Klein), căci orice element al lui G este de ordin 2.
Subgrupurile lui G sunt id,<σ> ={id, σ}, <τ>={id, τ}, <η>={id, η}, și G. Astfel extinderea are 3 subextinderi proprii, corespunzătoare subgrupurilor proprii <σ>, <τ> ,<η >. Pe de altă parte se vede imediat că Q(), Q(), Q(), sunt subextinderi proprii distincte, deci acestea sunt toate. Avem σ()= , deci L<σ> Q(); pentru a demonstra egalitatea, e suficient să vedem că ,,gradele se potrivesc", adică [Q(): Q] =[L<σ>:Q].Dar [L<σ>: Q]=[L :Q]/[ L:L <σ> ]=4/2 = 2=[Q():Q]. La fel se stabilesc corespondențele între celelalte subgrupuri și subextinderile rămase.
Iată un exemplu de folosire a teoriei Galois, des întîlnit în aplicații:
2.4.8 Propoziție. Fie K L o extindere Galois finită K M o extindere (ambele incluse într-o extindere K F). Atunci M ML este Galois finită și G(ML/M) este izomorf cu un subgrup a1 lui G(L/K) (anume cu G(L/M L)).
Teoria Galois infinită tratează cazul unei extinderi L/K, algebrică, normală și separabilă, dar nu neapărat finită. ldeea este de a introduce o topologie (topologia Krull, după numele creatorului acestei teorii) pe grupul Galois al extinderii; teorema fundamentală devine "există o bijecție (dată de corespondențele Galois) între subextinderile lui L/K și subgrupurile închise ale grupului Galois." O expunere a acestei teorii este de exemplu în NELKIRCH {1986] sau FRIED, JARDEN [1986]
Teoria Galois pentru inele comutative este datorată lui CHASE, HARRISON, ROSENBERG, într-un articol apărut în 1965.
Teoria Galois diferențială cercetează problema existenței soluțiilor "explicite" ale ecuațiilor diferențiale. Pentru o introducere și referințe, vezi GOZARD [1997].
Teorii co-Galois. Un exemplu de asemenea teorie este teoria Kummer . Numele provine de la faptul că acest tip de teorie stabilește o bijecție crescătoare între subextinderile unei extinderi și subgrupurile unui anumit grup (spre deosebire de teoria Galois, unde bijecția este descrescătoare). Recent, matematicienii români T. Albu și F. Nicolae au dat o teorie de acest tip care generalizează teoria Kummer .
CAPITOLUL III
APLICAȚII
3.1 CONSTRUCȚII CU RIGLA ȘI COMPASUL
Construcțiile geometrice cu rigla și compasul au un interes istoric considerabil probleme de acest tip apărînd încă la geometrii Greciei antice. Unele probleme celebre au rămas nerezolvate mii de ani, cu toate eforturile depuse de multe generații de matematicieni. Rezolvarea lor (în sens negativ) a fost dată abia în sec. XIX, odată cu începuturile teoriei extinderilor de corpuri. Este remarcabil faptul că demonstrarea imposibilității anumitor construcții necesită doar rezultate elementare ale teoriei corpurilor; principalele, dificultăți care au trebuit învinse par a fi fost transferul problemei din domeniul geometric în cel algebric și formularea riguroasă a noțiunii de „constructibilitate cu rigla și compasul".
În cele ce urmează, se va subînțelege faptul că este vorba exclusiv de construcții cu rigla și cornpasul. Scopul acestei secțiuni este obținerea unui criteriu general de constructibilitate, care, în particular, dă răspuns unor probleme celebre:
„Trisectiunea unghiului": Fiind dat un unghi, să se construiasca un unghi cu măsura egală cu 1/3 din măsura unghiului dat.
..Duplicarea cubului": Să se construiască un cub cu volumul egal cu dublul volumului unui cub dat.
..Cuadratura cercului": Să se construiască un pătrat cu aria egală cu cea a unui cerc dat.
-Să se construiască un heptagon regulat. Mai general pentru ce numere natutrale n este posibilă construirea unui poligon regulat cu n laturi?
În spiritul geometriei Greciei antice, noțiunea de construcție cu rigla și compasul este una abstractă. Fiind date două puncte, cu rigla se poate desena dreapta „perfectă." (fără grosime, infinit de lungă) care trece prin cele două puncte. Compasul poate desena cercul cu centrul într-un punct dat și care trece printr-un alt punct dat. Acestea sunt singurele construcții permise. . Analizind diversele probleme de construcție, se observă că toate se reduc la o problemă de tipul următor: „Fiind dată o mulțime S de puncte din plan, să se construiască o mulțime T de puncte (satisfăcînd o anumită proprietate)". Într-adevăr, constructia unei drepte se reduce la construcția a două puncte distincte de pe dreaptă, un unghi este determinat de trei puncte vârful unghiului și câte un punct de pe laturii )etc.
Să dăm definiții precise acestor concepte. În cele ce urmează, se va considera un plan euclidian P. Dacă A și B sunt puncte distincte din P, notăm cu AB dreapta determinată de punctele A, B, cu [AB] segmentul (închis) determinat de A și B și cu AB lungimea segmentului [AB]. Fie S o mulțime de puncte din planul P puncte inițial (constructibile). Notăm cu DS mulțimea dreptelor determinate de două puncte distincte din S și cu Cs mulțimea cercurilor cu centrul într-un punct din S și care trec printr-un punct din S.
3.1.1 Definiție. Punctul M P se numește punct constructibil cu rigla și compasul într-o etpă pornind de la S dacă satisface una din condițiile următoare:
P aparține intersecției a două drepte distincte din Ds.
P aparține intersecției a două cercuri distinete din Cs.
P aparține intersecției unui cerc din C cu o dreaptă din Ds.
Notăm cu C1(S) mulțimea punetelor constructibile într-o etapă pornind de la S. Punem Cn(S):=S și definim recursiv Cn(S) :=C1(Cn….1(S), nN*. Un punct din plan se numește punct constructibil pornind de la S dacă și numai dacă punctul aparține lui C(S):= .Vom spune că o dreaptă cerc, un unghi,…) este constructibil(ă) plecînd de la S dacă dreapta (cercul, unghiul….) este determinat(ă) de puncte din C(S). Dacă mulțimea S este clară din context, se va spune mai pe scurt constructibil în loc de constructibil pornind de la S.
3.1.2 Observatie. a) S= 1 <=> C1(S)=S. Cu alte euvinte, dacă se consideră un unic punct inițial constructibil, nu se mai poate construi nimic altceva plecând de la acesta.
Un număr real x este constructibil pornind de la S dacă și numai dacă există un lanț K0 K1 … Kn de subcorpuri ale lui R astfel îneât Ko = Q(SR),
[Ki : Ki-1] 2, i {1,…, n} și x Kn.
Demonstrație. „" Va fi sufleient să demonstrăm prin inducție după m că pentru orice mulțime finită de puncte T Cm(S) există un șir de extinderi K0K1…Kn astfel încît mulțimea TR a coordonatele punetelor din T este inclusă în Kn și [Ki : K i-1 2, 1,…,n . Dacă m = 0, T S, deci TR SR Q(SR) =K0 . Fie m > 0 și T=A1,…Ar} o submulțime finită a lui Cm(S). Aceasta înseamnă că există o mulțime finită U CM-1(S) astfel încît orice punct din T este constructibil într-o etapă pornind de la U. Din ipoteza de inducție, există un șir de extinderi K0 K1… Kn astfel încât UR Kn și [Ki : Ki-1] 2, i 1,…,n.Pentru orice punct AS T (s {1, …, r} ), are coordonatele în Kn (punem atunci us= 0) sau într-o extindere de grad doi a lui Kn de forma Kn( s ), cu us Kn , us> 0. Deci TR Kn ( 1 ,…, r ) și avem șirul de extinderi
K0 … K. n Kn(1 ) . .. Kn(1 ,…,r )
care satisface condiția că fiecare extindere din șir este de grad cel mult 2.
„" Demonstrăm prin inducție după n că, pentru orice șir de extinderi de forma Q(SR) = K0 … Kn R , cu [Ki : K i-1] 2 , i {1, …n, are loc, Kn K (subcorpul numerelor reale constructibile pornind de la S ) Pentru n = 0, K0 = Q(SR). K include subcorpul lui R generat de SR , care este chiar Q(SR). Dacă n > 0, condiția [ Kn : K n -1 ] 2 implică Kn = K n – 1 (și ipoteza de inducție arată că am terminat) sau Kn este o extindere de grad doi a lui K n-1 . Este ușor de arătat că există atunci u K n – 1 , u > 0, astfel încât Kn = K n – 1 ( ). Din ipoteza de inducție știm că K n – 1 K; cum K este închis la rădăcină pătrată, rezultă că și Kn K.
3.1.4 Propoziție. a) A trisecta un unghi de măsură 0 este echivalent cu a construi punctul (cos(/3), sin(/3)) pornind de la {0, 1 )cos, sin)}. Unghiul de 60° nu poate fi trisectat cu rigla și compasul (nu se poate construi un unghi de 20°) b) Duplicarea cubului este imposibilă (nu se poate construi cu rigla compasul un cub avînd dublul volumului unui cub dat).
Cuadratura cercului este imposibilă (nu se poate construi cu rigla și compasul un pătrat având aria egală cu aria unui cerc dat).
Demonstrație. a) A construi un unghi de măsură este echivalent cu a construi punctul (cos , sin ). Într-adevăr, dacă unghiul are vârful în O și una din laturi este Ox, atunci intersecția celeilalte laturi cu cercul de rază 1 cu centrul în origine are coordonatele (cos , sin ) sau (cos , — sin ). Reciproc, dacă este dat (cos, sin), atunci unghiul dintre OP și axa Ox este . ……….. ……. Pe de altă parte dacă cos este constructibil, atunci sin= este constructibil. Astfel, trisectarea unghiului de măsură revine la constructibilitatea lui c cos(/3) peste { cos }. Din formula cos(.3x)= 4cos3x — 3cosx rezultă că u := cos(/3) ; satisface ecuația 4u3 — 3u = cos. Suntem conduși astfel la cercetarea polinomului 4X3-3X- cos, cu coeficienți în Q(cos). Pentru = 60o, se obține că u := cos20° este rădăcină a polinomului 8X3 — 6X— 1 Q[X]. Acesta este chiar polinomul minimal al lui u peste Q (nu are rădăcini raționale), deci [Q(u) : Q] = 3. Dacă u ar fi constructibil, atunci [Q(u) : Q] este o putere a lui 2, contradicție.
b) Alegem unitatea de măsură egală cu latura cubului, deci mulțimea de puncte inițial constructibile este {0. 1}. Cubul de volum dublu are latura . Numărul real nu este constructibil, căci [ Q():Q] =3 și nu este o putere a lui 2.
c) Alegînd unitatea de măsură egală cu raza cercului, iarăși mulțimea de puncte inițial constructibile este {0,1}. Aria cercului de rază 1 este π, deci latura pătratului de aceeași arie este . Însă π este transcendent peste Q. Cu atît mai mult, este transcendent, deci nu este constructibil.
3.1.5 Teoremă. (Caracterizarea numerelor reale constructibile) Fie U R, x un număr real, algebric peste Q(U)) și N închiderea narmală a extinderii Q(U) Q(U)(x). Atunci x este constructibil pornind de la U dacă și numai dacă [N:Q (U)] este o putere a lui 2.
3.1.6 Observație. Cu notațiile din teorema de mai sus are loc și afirmația: x este constructibil pornind de la U dacă și numai dacă există o extindere normală L a lui Q(U), cu [L :Q ( U )] putere a lui 2 și x L. Într-adevăr, dacă x aparține unei astfel de extinderi L atunci închiderea normală a extinderii Q(U) Q(U)(x) este inclusă în L și deci are și ea gradul peste Q (U) egal cu o putere a lui 2.
Rezolvăm acum problema clasică a constructibilității poligoanelor regulate.
3.1.7 Teoremă. (Gauss. 1801) Fie n 3 . Poligonul regulat cu n laturi este constructibil cu rigla și compasul dacă și numai dacă descompunerea în factori primi a lui n este 2e pe…. pt unde e,tN și p1,….pt sunt numere prime distincte de forma 22m +1, cu m N.
Dernonstrație. Este vorba evident de constructibilitate pornind de la două puncte (O și I) Constructibilitatea unui poligon regulat cu n laturi este echivalentă cu constructibilitatea unghiului de măsură 2π/n. Mai întâi observăm că, dacă unghiurile și sunt constructibile, atunci, pentru orice u, v Z, u + v este constructibil. Fie a, b N*, cu (a, b) = 1. Afirmăm că unghiul 2π/ab este constructibil dacă și numai dacă unghiurile 2π/a și 2π/b sunt constructibile. Implicația directă este simplu de justificat: fiind dat un unghi (de exemplu 2π/ab), se poate construi orice multiplu al său (deci și unghiurile 2π/a , 2π/b ). Reciproc, fie u, vZ astfel încât ua + vb = 1. Înmulțind cu 2π/ab, rezultă u2π/b+ v2π/a= 2π/ab și aplicăm observația precedentă.
3.2. GRUPUL LUI GALOIS
Fie K un corp. Notăm cu Aut(K) mulțimea tuturor automorfismelor ( unitare) de inel, ale lui K. Aut(K) este un subgrup al lui S(K), al tuturor permutărilor mulțimii K, căci dacă , Aut(K), atunci ,-1Aut(K).
3.2.1 Definiție. Fie k un subcorp al lui K. Notăm cu G(K/k) mulțimea acelor elemente Aut(K), care au proprietatea că (a) = a, pentru orice a k, adică cele care sunt k-automorfisme.G(K/k) este un subgrup al lui Aut(K), și-l numim grupul lui Galois al extinderii K a lui k.
3.2.2 Definiție. Fie E și F două extinderi ale corpului k.Un omomorfism (respectivi zomorfism)de corpuri : EF cu proprietatea (x)=x, oricre ar fixk, se numește k-omomorfism (respectiv k-izomorfism). Dacă E este o extindere a lui k și : EE un k-izomorfism, se numește k-automorfism.
3.2.3 Propoziție. Dacă E este o extindere algebrică a lui k și :EE un k-omomorfism, atunci este un k-automorfism.
3.2.4 Observații. Fie M și N două mulțimi ordonate, relațiile respective le notăm pe ambelecu . Atunci o funcție :MN se numește morfism de mulțimi ordonate(sau omomorfism de mulțimi ordonate sau încă funcție monotonă), dacă oricare ar fi x1, x2M, cu x1x2, rezultă (x1) (x2) și antimorfism de mulțimi ordonate(sau antiomomorfism de mulțimi ordonate sau încă funcție antimonotonă), dacă oricare ar fi x1, x2M, cu x1x2, rezultă (x2)(x1). Funcția identică IM MM este un morfism de mulțimi ordonate. Morfismul (antimorfismul) de mulțimi ordonate se numește izomorfism (antiizomorfism) de mulțimi ordonate, dacă există un morfism (respectiv un antimorfism) de multimi ordonate :N M, astfel ca =1N și =1M.
3.2.5 Observație. Orice izomorfism ( antiizomorfism) de mulțimi ordonate este o funcție bijectivă. Reciproc, nu.
3.2.6 Propoziție. Un morfism (antimorfism) :MN de mulțimi ordonate este
Izomorfism (antiizomorfism), dacă și numai dacă este o bijecție, iar pentru x,x’M,următoarele afirmații sunt echivalente:
x x’
(x) (x’), (respectiv (x) (x’ ) ).
3.2.7 Exemple. 1) Fie Pun corp prim. Atunci Aut(P) este format dintr-un singur element, identitatea lui P.
Într-adevăr, dacă P este finit, afirmația rezultă din faptul că Peste generat ca
grup aditiv de elementul unitate. Dacă P este infinit, el este izomorf cu Q. Orice automorfism al lui Q induce pe Z automorfismul identic, Z fiind generat ca grup aditiv de 1, care are o singură extindere la Q: automorfismul identic. Mai mult, dacă K este un corp și P este corpul prim conținut în K, atunci orice automorfism al lui K induce pe P automorfismul identic. Așadar, Aut(K) = G(K/P).
2) Fie Q(i), extinderea lui Q. Să determinăm grupul G(Q(i)/Q). Fie u G(Q(i)/Q). Atunci u(r+si) = u(r)+u(s)u(i) = r+su(i).Deoarece, obținem.De aici, deducem că u()= sau u()=. În primul caz u este automorfismul identic, iar în al doilea, este automorfismul definit prin u(r+si)=rsi. Deci grupul G(Q(i)/Q) este format din două elemente, și prin urmare, este izomorf cu Z2.
Comentarii. Fie Kun corp, extindere a corpului k, și H un subgrup al lui G(K/k). Notăm cu KH elementele xK cu proprietatea u(x)=x, pentru orice uH, adică elementele din K care sunt invariate de elementele din H. Se constată că KH este un subcorp al lui K, care conține pe k.
Într-adevăr, dacă x,y KH rezultă u(x-y)=u(x)-u(y)=x-y, pentru orice u H, deci x- y KH și dacă y 0, u(xy -1)=u(x).u(y -1 )=x.y -1, pentru orice uH, deci xy -1 KH Dacă H’H, rezultä KH’KH. Se stabilește astfel o funcție de la mulțimea subgrupurilor lui G(K/k) la mulțimea extinderilor lui k conținute în K, funcție care este antimonotonă, dacă considerăm pe cele două mulțimi ordonarea dată de relația de incluziune.
Fie L un subcorp al lui K, care contine pe k. Acestui corp îi putem asocia grupul G(K/L), care este evident un subgrup al lui G(K/k), iar dacă L’ este un alt subcorp al lui K, cu L’L,atunci G(K/L’)G(K/L).
Se astfel o funcție antimonotonă (pentru relația de incluziune),de la subcorpurile lui K, care conțin pe k, la subgrupurile grupului lui GaloisG(K/k).
În principal, teorema fundamentală a teoriei lui Galois, dă condiții în care cele două funcții, definite mai sus, sunt inverse una celeilalte.
3.3 EXERCIȚII
3.3.1 Fie K corpul de descompunere al polinomului X3 – 2 peste Q. Determinați grupul Galois G(K/Q) și toate subcorpurile lui K. Care dintre acestea sunt extinderi normale ale lui Q?
Rezolvare
Avem: K = Q(i , ) și [K:Q] = 6. Deci G(K/Q) are 6 elemente (extinderea Q K este galoisiană, deoarece ea este normală (corp de descompunere al unui polinom) și separabilă(caracteristică zere)), el este izomorf cu S 3 sau cu Z/6Z.
Arătăm că el este izomorf cu S3
A da un Q-automorfism u al lui K revine la a da u(i) și u( ), care nu pot fi decât rădăcini conjugate cu i , respectiv.
Alcătuim următorul tabel:
unde = , ( este conjugata lui ). Calculele au fost făcute ținând cont de alegerea lui u și v, adică: (uv)( ) = v( ) = și (vu)( ) = v(-i ) = -i .
Evident, (uv)( ) = u() = u( )u() = , (uv)( = u(= – i, deci uv = v2 vu, adică G(K/Q) este necomutativ și izomorf cu S3 (u transpoziție;
v permutare pară I, adică ciclu de lungime trei).
Subgrupurile proprii ale lui G(K/Q) sunt:
H1 = {I,u), H2 = {I, vu}, H3 = {I,v2u) și H4 = {I,v ,v2
Determinăm subcorpurile lui K fixate de ele. Evident, u invariază Q();
deci F1 (notăm prin Fi, i = 1,..,4, corpul fixat de Hi), conține Q( ). Conform teoriei lui Galois, avem :[K :F1 ] = ordH1 = 2. Pe de altă parte, [K:Q()] = 2, de unde rezută:
[F1 : Q()] = 1, adică F1 = Q( ). La fel, observăm că:
F2 = Q( ), F3 = Q( ) și F4 = Q( ). Deoarece F4 este extindere pătratică a lui Q, ea este o extindere normală.
Extinderile Fi/Q, i=1,2,3 nu sunt normale. Observăm că Hi nu sunt subgrupuri normale în G(K/Q), pentru i=1,2,3 pe când H4 subgrup normal, deoarece are idicele 2.
3.3.2 Determinați grupul lui Galois Q Q(i,) și toate subcorpurile lui Q(i,) .Care dintre acestea, sunt extinderi normale ale lui Q?
Rezolvare
Observăm că extinderea Q Q( ) are gradul 4, X4 -2 este polinomul minimal al lui , iar extinderea Q() Q( ,i) are gradul 2.
Deci G(Q(i, )/Q) are 8 elemente(extindera Q Q(i,) este galoisiană, deoarece este normală (este corpul de descompunere al polinomului X4-2) și evident separabilă).
Descriem modul cum actionează elementele lui G(Q(i, )/Q), pe generatorii extinderii din următorul tabel:
Deci G este necomutativ (vu uv) și cum v4=u2= I deducem că el este diedral. Subgrupurile proprii ale G sunt:
H1 = {I,u}, H2 = {I,v,v2,v3}, H3 = {I,v2, H4 = {I,vu}, H5 = {I,u,v},H6= {I, V2, u),
H7 = {I,v 2, u, v 2u }, H8=I, vu, uv, v2
Determinăm corpurile Fi, i = 1,2,. . .,8 fixate de Hi. Evident, H1, invariază pe Q() și
cum [Q( ,i):Q( ] = 2 = ordH1 , rezultă F1 = Q(). La fel F2 = Q(i), F3=Q(i,)
Un element Q invariat de vu, se găsește mai greu, de aceea procedăm astfel
Găsim un element x al extinderii Q Q(i, )(de exemplu: i+ ).
Observăm că y = x+(vu)(x) este invariant de vu (dacă ord vu ar fi fost n, atunci am fi luat x+(vu)(x)+……+(vu)n-1x).
În cazul nostru y = +i+i –i=(1+i). Avem extinderea: QQ( (1+i)) de grad 4, căci QQ(i) este de grad 2(polinomul minimal fiind X2+2), iar
Q(i)Q((1+i)) este tot de grad 2 (polinomul minimal fiind: X2-2i). Deci
[Q(,i): Q((1+i))] = 2 = ord H4, de unde rezultă F4 = Q( (1+i)).
La fel F7 = Q(), iar F8=Q(i)(atenție F3, conține strict F8 .
Se observă că F2,F7,F8 sunt extinderi normale ale lui Q, fiind pătratice(sau H2,
H7,H8 sunt de indice 2).
De asemenea Q F3 este normală, fiind corpul de descompunere al lui
F4 și F5 nu sunt extinderi normale ale lui Q, deoarece H4, H5 nu sunt divizori normali (de exemplu: v-1(vu)v = uv H4)
Evident, F1 și F6 nu sunt extinderi normale ale lui Q.
3.3.3 Fie k un corp de caracteristică p > 0, f = -X+ak[X], un polinom ireductibil și x o rădăcină a lui f într-o închidere algebrică a lui k. Să se arate că extinderea k k(x) este normală și separabilă.
Determinați grupul Galois G(k(x)/k).
Rezolvare.
Polinomul f are, în k(x) soluțiile:{x, x+1,. . . .,x+p-1}, care sunt evident diatincte. Într-adevăr, dacă 0 i p, atunci avem
(x+i)p-(x+i)+a = xp-x+a+ip-I = 0, deoarece iGFp k și elementele lui GFp sunt soluțiile ecuației = X. Deci k(x) este corpul de descompunere al polinomului f peste k. În plus x fiind separabil, extinderea k k(x) este separabilă și deci galoisiană de grad p. Deci G(k(x)/k) are p elemente, de unde rezultă:
G(k(x)/k) Z/pz k-automorfismul u:k(x) k(x), definit prin u(x) = x+1, generează, evident G(k(x)/k), adică avem G(k(x)/k) = {1,u,u2,…,up-1) .
3.3.4 Să se arate că orice extindere algebrică a unui corp perfect este perfect.
Fie k un corp perfect și k K, o extindere algebrică a lui k. Deci k L este o extindere separabilă. Deducem că extinderea K L este separabilă, și deci K este perfect .
3.3.5 Fie k K o extindere de tip finit de corpuri, de caracteristică p> 0. Să se arate că dacă K este un corp perfect, atunci extinderea k K este algebrică și k este un corp perfect.
Rezolvare
Dacă xK, este un transcendent peste k, atunci K pentru orice
s N, K fiind perfect. Dar extinderea k k(x, x1/p,…,, …) nu poate ti de tip finit,
ceea ce contrazice ipoteza. Deci kK este algebrică.
Dacă k nu este perfect, alegem x k — kp, ca și mai sus, K contine
K(x1/p , …)și nu poate fi de tip finitpeste k.
3.3.6 Fie A un inel comutativ unitar. Notăm cu U(A) mulțimea elementelor inversabile din A. Atunci U(A) este grup abelian fară de operația de inmulțire din inelul A.
Notăm M(A) = U(A) x A. Pe M(A) definim operatia “ * ” astfel: fie (a,b) și(c,d) două elemente din M(A); atunci (a,b) * (c,d) = (ac,bc+d).
Se verifică, imediat, că operatia “ * ” este asociativă. Elementul (1,0) este element neutru în M(A), iar dacă (a,b) M(A), atunci (a-1,ba-1) este inversul său. Deci M(A) este un grup (în general neabelian).
Definim aplicatia :M(A) U(A), (a,b) = a. Aplicatia este omomorfism surjectiv de grupuri și Ker = {(a,b)/ (a,b) = 1} = {(a,b) M(A)/a = 1} ={(1,b)/b A}. Ker este izomorf cu grupul abelian subiacent structurii de inel a lui A.
Conform teoremei : Un grup G este rezolubil dacă și numai dacă H și G/H sunt rezolubile, unde H este un subgrup al lui G, rezultă că M(A) este un grup rezolubil.
Considerăm un caz particular.
Fie inelul A = Zn. Atunci U(Zn)= Z*n â/(a,n) = 1)
Notă Mn M(Zn) Z*n Zn.. Se observă că Mn este un grup finit rezolubil.
Ordinul său este egal cu n (n), unde (n) este indicatorul lui Euler al numărului natural n.
3.3.7 Exemplu de extindere normală.
Q() = {a+b( /a,b e Q) este o extindere normală a lui Q. Într -adevăr, [Q():Q] = 2 și cojugatul lui a+b este a – b .
C este o extindere normală a lui R.
Într -adevăr, [C:R] = 2 și conjugatul lui a+bi este a-bi.
Exemple de corpuri de descompunere.
a)Fie polinomul f= X4-2 Q[X]. Rădăcinile lui f sunt:,-, i , -i.
Atunci corpul de descompunere al lui f este:
b)Dacă considerăm tot polinomul f = X4- 2, dar cu coeficienți în R[X], atunci corpul de descompunere al lui f peste R este:
E = R ( ) = R(i) = C.
3.3.9. Exemple de corpuri de descompunere.
a) Fie polinomul f= X4-2 Q[X]. Rădăcinile lui f sunt:,-, i, -i.
Atunci corpul de descompunere al lui f este:
b) Dacă considerăm tot polinomul f = X4- 2, dar cu coeficienți în R[X], atunci corpul de descompunere al lui f peste R este:
E = R ( ) = R(i) = C.
3.3.10.Exemplu de grup Galois.
Fie Q() = (a+b(/ a, b e Q}. Este limpede că [Q(): Q] = 2 și Q() este o extindere normală a lui Q, ca fiind corpul de descompunere al polinomului X2-3.
Rezultă că grupul lui Galois G(Q() /Q) are două elemente și anume aplicația identică a lui Q() și automorfismul : Q() –› Q() , (a+b) = a – b .
Comentarii. 1) Fie K o extindere arbitrară a lui k. Notăm cu G(K/k) mulțimea k — automorfismelor lui K. G(K/k) împreună cu operația de compunere a funcțiilor este un grup. Elementul neutru al acestui grup este funcția identică 1K: K K, lK( X) =X
Grupul G(K/k) se numeçte grupul lui Galois asociat extinderii K.
2) Dacă K este o extindere normală a lui k, atunci G(K/k) este un grup finit având ordinul egal cu [K:k].
3.3.11.Pentru orice număr prim p5, există un polinom f de grad p, având grupul Galois asociat izomorf cu p. Cum p, pentru p5, nu este rezolubil, rezultă că ecuația f= 0, nu este rezolvabilă prin radicali (relativ la corpul Q).
3.3.12.Fie fR[X], un polinom arbitrar. Ecuatia f= 0 este rezolvabilă prin radicali,relativ lacorpul R.
Într -adevăr, f se descompune într – un produs finit de polinoame de grad2, cu coeficienți în R. Atunci putem presupune fR[X] cu grad f2. Dar ecuația f= 0 este rezolvabilă prin radicali, relativ la corpul R. Greutatea, însă constă în faptul de a scrie un polinom fR[X], ca un produs finit de polinoame ireductibile de grad 2.
CONCLUZII
Teoria corpurilor are multe aplicații ( pe langa cele prezentate anterior) în alte domenii ale matematicii. În teoria algebrică a numerelor, metodele teoriei corpurilor și în special teoria lui Galois sunt aplicate în studiul aritmetic al numerelor algebrice, adică a elementelor unei extensii a corpului numerelor raționale. Diferitele clase de funcții care fac obiectul teoriei functiilor complexe de exemplu functiile rationale formeaza un corp și se pot aplica în studiul lor rezultate din teoria corpurilor. Reciproc, în mod frecvent, rezultate din teoria funcțiilor complexe se aplica în algebră, de exemplu la demonstrarea teoremei fundamentale a algebrei sau la studiul aprofundat al proprietăților corpului numerelor complexe. Rezumând, se poate afirma ca teoria lui Galois este esentială în cercetarea altor concepte matematice, avand o importanță majoră în gandirea matematică în ultimii 50 de ani. Studiul lor este în curs și importanța lor nu este înca, în multe cazuri, pe deplin clarificată.
Bibliografie
[1] M. Becheanu, C. Niță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu , Algebră Pentru Perfecționarea Profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
[2] Gheorghe Fărcaș, , Algebră, Editura universității “Petru Maior”, Târgu Mureș, 2001
[3] Ion D. Ion , R. Nicolae, Algebra, Ediția a III-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981
[4] C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol.I , Editura Academiei R.S.R. , București, 1986
[5] Tiberiu Dumitrescu, Algebră, București ,Editura Universității, 2006
[6] Ioan Tofan, A.C. Volf, Algebra.Inele Module Teorie Galois, Editura Matrixrom , București, 2001
[7] I.D.Ion, C. Niță, N. Radu, D. Popescu,Probleme de algebră, Editura Didactica și Pedagogica, București 1981
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Elemente DE Teoria Lui Galois (ID: 114777)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.